авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 11 |

«УДК 004 ББК 32.81 М34 Рекомендовано Редакционно-издательским советом ГрГУ им. Я. Купалы. Ред а к ц и он н а я ...»

-- [ Страница 8 ] --

Введение Под управлением проектом подразумевается деятельность, направленная на реализацию проекта с максимально возможной эффективностью при заданных ограничениях по времени, денежным средствам (и ресурсам), а также качеству конечных результатов проекта (документи рованных, например, в техническом задании) [1].

Для того чтобы справиться с ограничениями по времени используются методы построения и контроля календарных графиков работ, т.е календарное планирование. Для выполнения работ требуется их ресурсное обеспечение, и существуют специальные методы управления человече скими и материальными ресурсами [2].

Использование инструментальных средств, реализующих обоснованные математические ме тоды рационального планирования и управления, позволяет обеспечить руководство IT-компании важной информацией и рекомендациями для принятия обоснованных решений по управлению проектами и распределении ресурсов.

Для облегчения работы руководителя было принято решение о создании системы поддержки принятия решений по управлению проектами в IT- компаниях.

Постановка задачи Пусть дано I исполнителей и Z задач со своим набором возможностей и потребностей N. Ис полнитель может выполнять определенное количество задач на текущий момент времени. Необ ходимо определить назначения исполнителей на задачи так чтобы они удовлетворяли ограниче ниям.

Время, необходимое на выполнение задачи, измеряется в часах. Каждая задача имеет сроки выполнения, которые учитываются при подборе работников. Предпочтения лица принимающего решения выражаются в виде экспертных оценок и весовых коэффициентов в моделях СППР.

Формирование предпочтений может зависеть от субъективной оценки, личных ощущений, от зывов и оценок самих работников. Под решением, в данной СППР, подразумевается назначение или совокупность назначений работников на конкретные позиции в проекте.

Математическая модель Для системы поддержки принятия решений для управления проектами в IT-компании в ка честве основной цели выступает эффективное назначение исполнителя на определенную задачу.

В качестве целей были выделены следующие:

Повышение качества выполнения задач;

Минимизация длительности выполнения задач;

Минимизация простоев ресурсов;

Минимизация убытков;

Исходя из этих целей, критериальные функции можно представить виде:

n qij + S ij sij + M ij mij ) Xij max, ij (Qij Где Q- показатель качество выполнения исполнителем задачи, S-скорость выполнения задачи исполнителем, M- показатель мотивации исполнителя, q,s,m – весовые коэффициенты.

n ij (T ij tij + C ij cij ) Xij min, Где T- длительность выполнения задачи, С- показатель трудоемкости выполняя задачи, t,c – весовые коэффициенты.

n T t t (1 ij ) Xij min, ij Где ij -статус i-го исполнителя на j-ой задачи в момент времени t t n ij Salaryij Xij min, Где Salary – заработная плата исполнителей.

Верхнее подчеркивание находящее над показателем говорит о том, что значения данного показателя нормированно.

Для разработки системы поддержки принятия решения создана модель и диаграмма BPMN СППР по управлению проектами, а так же диаграмму вариантов использования.

Модель бизнес- процесса СППР представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Модель бизнес-процесса СППР В качестве входа в систему поступает информация о внутреннем состоянии системы и инфор мация, поступающая из внешней среды, в качестве рычага управления выступают нормативные документы. Сама система обозначена блоком с записью процесса, как система поддержки при нятия решения по управлению проектами. Выходом из данной процесса выступает стабильная работа над проектами, эффективность работы.

Диаграмма BPMN - система условных обозначений (нотация) для моделирования бизнес процессов. Диаграмма для СППР представлена на рисунке 2.

Рисунок 2 – Диаграмма BPMN Данная схема показывает, какие процессы (подсистемы) содержит в себе бизнес-процесс.

Сначала идет процесс сбор данных (информация о сотрудниках, проектах и другие ), затем данные передаются в детальную группировку информации, путем разбиения её на информацию о проекте, составе команды, текущих задач. Затем сгруппированная информация передается для анализа. Процесс анализа информации включает в себя детальный анализ, который изуча ет различные показатели эффективности работы, затем с помощью методов принятия решений происходит выявление узких мест и рекомендации по их устранению. После этого все данные передаются в процесс составления отчетности. Процесс составления отчетности включает в се бя оформление различной отчетности по улучшению работы, повышения эффективности, затем информация передается на определенный носитель (бумажной или электроном виде), которая способствует качественной работе компании.

Диаграммы вариантов использования описывают взаимоотношения и зависимости между группами вариантов использования и действующих лиц, участвующими в процессе. Диаграм ма вариантов использования для разрабатываемой системы поддержки принятия решения для управления проектами представлена на рисунке 3.

Рисунок 3 – Диаграмма вариантов использования Для программной системы был разработана структура пользовательского интерфейса web приложения. Ниже представлены макет основной страницы приложения рисунок 4.

Рисунок 4 – Главная страница СППР На главной странице пользователь может просматривать информацию о проектах, видеть состояние текущих проектов, получить общую информацию о проекте.

При дальнейшем разработки системы поддержки принятия решения по управлению проек тами будут вноситься изменения.

Список литературы 1. Дорф Р. Современные системы управления /Р. Дорф, Р. Бишоп- М: Изд-во Юнимедстайл, 2002. - с.

2. Полковников А.С. Эффективное управление проектами / А.С. Полковников - М: Изд-во ЛАНИТ, 2000. - 92 с.

Степанова Татьяна Викторовна, магистрант кафедры математического и информационного обеспечения экономических систем Гродненского государственного университета имени Янки Купалы, vedmo4ka13666@mail.ru.

УДК 517. В. Е. ХАРТОВСКИЙ, А.Т. ПАВЛОВСКАЯ НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА При математическом моделировании процессов и объектов одними из важных требований являются условия устойчивости, стабилизации и полной управляемости. В работе рассматривается задача полной управляемости линейными автономными системами ней трального типа со многими запаздываниями в случае, когда решение системы понимается как абсолютно-непрерывная функция. Также изучен вопрос успокоения решения указан ными объектами при отсутствии у них свойства полной управляемости. Приводятся критерии разрешимости соответствующих задач. Для линейных автономных систем нейтрального типа с одним запаздыванием в состоянии с непрерывным и абсолютно непрерывным решениями представлены необходимые и достаточные условия модальной управляемости посредством линейных дифференциально-разностных регуляторов.

Задача полной управляемости и ее обобщение Рассмотрим линейную автономную дифференциально-разностную систему нейтрального ти па с соизмеримыми запаздываниями :

m m m x(t) Di x(t ih) = Ai x(t ih) + Bi u(t ih), t 0, (1) i=1 i=0 i= x(t) = (t), t [mh, 0], u(t) 0, t 0, (2) где x – n-вектор-столбец решения уравнения (1), u – r-вектор-столбец кусочно-непрерывного управления, 0 h – постоянное запаздывание, Di, Ai, Bi – постоянные матрицы соответству ющих размеров. Начальная функция D([mh, 0], Rn ), где D([mh, 0], Rn ) – пространство абсолютно-непрерывных на отрезке [mh, 0] функций со значениями в Rn. Под решением уравне ния (1) понимаем [1, с. 36] абсолютно-непрерывную функцию x(t), t [mh, +), совпадающую с (t), t [mh, 0], и такую, что уравнение (1) удовлетворяется почти всюду.

Определение 1. Начальную функцию в (2) назовем полностью управляемой, если суще ствуют момент времени t1 mh и кусочно-непрерывное управление u(t), t [0, t1 mh], такие, что x(t) 0, t t1, (3) при u(t) 0, t t1 mh. Если полностью управляемы все начальные функции D([mh, 0], Rn ), то систему назовем полностью управляемой.

Определение 2. Начальную функцию в (2) будем называть управляемой, если для любого натурального числа существуют момент времени t1 0 и управление u(t), t [0, t1 + h], такие, что x(t) 0, t [t1, t1 + h].

Если управляемы все функции D([mh, 0], Rn ), то систему назовем управляемой.

Пусть C – множество комплексных чисел, Ek – еденичная матрица порядка k k, W () = m m (Ai + Di )eih – характеристическая матрица уравнения (1), B() = Bi eih, En A i=1 i= D Dm B i = col[Bi, 0,..., 0], i = 0, m – матрицы размера mnr, D = [D1,..., Dm1 ], R =, En(m1) m Rmi B i.

L= i= Теорема 1. Для того чтобы система была полностью управляема необходимо и доста точно, чтобы одновременно выполнялось два условия C;

1) rank[W (), B()] = n 2) rank[L, RL,..., Rmn1 L] = rank[L, RL,..., Rmn1 L, Rmn ].

При конструировании систем управления может оказаться полезным следующее утвержде ние, которое лучше отражает структурные свойства системы.

Теорема 2. Для полной управляемости системы необходимо и достаточно, чтобы од новременно выполнялись два условия 1) rank[W (), B()] = n C;

m m m mi mi Bi ] = n C, = 0.

2) rank[ En Di, i=1 i= Рассмотрим далее систему, для которой нарушаются условия теоремы 1 (или теоремы 2), с точки зрения ее управляемости. Обозначим: Kj = j Bi Pmj+i (Pi, i = 1, m – некоторые i= постоянные матрицы размера rr1, алгоритм построения которых рассмотрен в [4]), j = 0, m 1, Km = 0, K() = m1 Kj ejh, B() = [B(), K()], K i = col[Ki, 0,..., 0], i = 0, m – матрицы j= размера mn r1, L = m Rmi [B i, K i ].

i= Теорема 3. Для того чтобы система была управляема необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия C;

1) rank[W (), B()] = n 2) rank[L, RL,..., Rmn1 L] = rank[L, RL,..., Rmn1 L, Rmn ].

Теорема 4.Для того чтобы система была управляема необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия 1) rank[W (), B()] = n C;

m m 2) rank[m En mi Di, mi [Bi, Ki ]] = n C, = 0.

i=1 i= Задача модальной управляемости В настоящем пункте для простоты ограничимся случаем системы при m = 1, B1 = 0, которую обозначим 1 :

x(t) Dx(t h) = A0 x(t) + A1 x(t h) + Bu(t), t 0, (4) x(t) = (t), t [h, 0], (5) где x n – решение уравнения (4), u r – управляющее воздействие, D, A0, A1, B – постоянные матрицы соответствующих размеров, начальная функция D([h, 0], Rn ).

Систему 1 замкнем регулятором s s Tk x(t kh) + Rk x(t kh), u(t) = (6) k=1 k= где s – некоторое натуральное число, Tk, Rk – постоянные матрицы. Систему 1, замкнутую регулятором (6), обозначим 1.

Определение 3. Систему 1 назовем модально управляемой регулятором (6), если для любых заданных полиномов rk (m) = s1 rk,j mj найдутся число s и матрицы Tk и Rk такие, j= что характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид 1 () = n k rk (eh ), k= rn (0) = 1.

Пусть П[P (m)] – матрица, присоединенная к произвольной полиномиальной матрице P (m), т.е. П[P (m)] · P (m) = P (m)·П[P (m)] = detP (m) · En.

Лемма 1. Если система 1 модально управляема, то rank[En D · m, B] = n, m C. (7) Считаем, что условие (7) выполнено. Тогда (в общем случае не единственная) матрица T (m) = s Tk mk обеспечивающая равенство k= det[En D · m B T (m)] 1.

Обозначим A(m) = A(m)П[En D · m B T (m)], C(m) = [B, A(m)B,..., A(m)n1 B].

Теорема 5. Для модальной управляемости системы 1 необходимо, чтобы имели место условие (7) и равенсво m C.

rankC(m) = n, (8) Теорема 6. Пусть выполняются условия (7), (8) и, кроме того, найдутся столбцы bkj, j = 1, r матрицы B и числа µj, j = 1,, µ1 +... + µ = n, такие что det[bk1,..., A(m)µ1 1 bk1,..., bk,..., A(m)µ 1 bk ] const = 0.

Тогда система 1 модально управляема.

Система нейтрального типа в случае непрерывного решения Задачи полной управляемости и управляемости в случае, когда под решением системы понимается непрерывная функция, рассмотрены в [8].

Система 1 в данной ситуации будет иметь вид:

d (x(t) Dx(t h)) = A0 x(t) + A1 x(t h) + Bu(t), t 0, (9) dt x(t) = (t), t [h, 0], (10) где начальная функция C([m, 0], Rn ), где C(·) – пространство непрерывных функций.

Систему (9), (10) обозначим 2, которую замкнем регулятором s s d Tk (x(t kh) + x(t (k + 1)h) + Rk x(t kh).

u(t) = (11) dt k=1 k= Определение модальной управляемости системы 2 формулируется аналогично определению 3 для системы 1.

Лемма 2. Если система 2 модально управляема, то det[En D · m] 1, mC (12) (т.е. матрица D является нильпотентной).

Положим A(m) = A(m)( n (Dm)k ), где n n – индекс нильпотентности матрицы D.

k= Теорема 7. Для модальной управляемости системы 2 необходимо, чтобы имели место условие (12) и равенсво m C, rankC(m) = n, где C(m) = [B, A(m)B,..., A(m)n1 B].

Теорема 8. Пусть выполняются условия теоремы 7 и, кроме того, найдутся столбцы bkj, j = 1, r матрицы B и числа µj, j = 1,, µ1 +... + µ = n, такие что det[bk1,..., A(m)µ1 1 bk1,..., bk,..., A(m)µ 1 bk ] const = 0.

Тогда система 2 модально управляема.

Список литературы 1. Хейл, Дж. Теория функционально-дифференцальных уравнений / Дж. Хейл // М. – 1984.

2. Минюк, С.А. Критерии полной управляемости и полной конструктивной идентифицируемости ли нейных стационарных систем нейтрального типа / С.А. Минюк, А.В. Метельский // Известия РАН.

ТиСУ. – 2006. – №. 5. – С. 15–23.

3. Хартовский, В.Е. Задачи идентификации и управления выходом для систем с запаздыванием / В.Е. Хартовский // Автоматика и телемеханика. – 2011. – №. 5. – С. 17–31.

4. Хартовский, В.Е. Обобщение задачи полной управляемости дифференциальных систем с соизмери мыми запаздываниями / В.Е. Хартовский // Известия РАН. ТиСУ. – 2009. – №. 6. – С. 3–11.

5. Хартовский, В.Е. К вопросу управления линейными системами нейтрального типа / В.Е. Хартовский // Вести НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. – 2010. – №. 4. – С. 68–75.

6. Марченко, В.М. Управление системами с последействием в шкалах линейных регуляторов по типу обратной связи / В.М. Марченко // Дифференциальные уравнения. – 2011. – Т. 47. – №. 7. – С. 1003– 1017.

7. Марченко, В.М. О модальном управлении многовходных систем с запаздывающим аргументом ней трального типа / В.М. Марченко, А.А. Якименко // Дифференциальные уравнения. – 2008. – Т. 44. – №. 11. – С. 1534–1543.

8. Хартовский, В.Е. Задача полной управляемости для линейных автономных систем нейтрального типа / В.Е. Хартовский // Известия РАН. ТиСУ. – 2012. – №. 6. – С. 15–28.

9. Хартовский, В.Е. Задача успокоения решения алгебро-дифференциальных вполне регулярных систем с последействием / В.Е. Хартовский // Доклады НАН Беларуси. – 2012. – Т. 56. – №. 6. – С. 5–11.

Хартовский Вадим Евгеньевич, заведующий кафедрой логистики и методов управления Гроднен ского государственного университета им. Я. Купалы, кандидат физико-математических наук, доцент, hartovskij@grsu.by.

Павловская Анастасия Тауновна, аспирант кафедры математического анализа и дифференциаль ных уравнений Гродненского государственного университета им. Я. Купалы, pavlovskay at@grsu.by.

УДК 004.942:517.977. О. Б. ЦЕХАН ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В СИСТЕМЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ Предложен алгоритм исследования средствами компьютерной математики (СКМ) фундаментальных свойств управляемости, наблюдаемости, идентифицируемости для систем управления, описываемых линейными стационарными сингулярно возмущенными системами с малым параметром при части старших производных и с запаздыванием в состоянии (ЛССВСЗ). Описаны алгоритмы проверки указанных свойств ЛССВСЗ при всех достаточно малых значениях параметра сингулярности, вычисления оценок значений ма лого параметра, при которых имеют место исследуемые свойства. Для СКМ Mathematica указаны встроенные функции, с помощью которых реализуются предложенные алгоритмы.

Введение Управляемость, наблюдаемость, идентифицируемость относятся к структурным свойствам динамических систем и являются важнейшими условиями их работоспособности, обеспечива ющими возможность регулирования динамики систем в процессе их функционирования и экс плуатации. Управляемость характеризует возможность перевести систему за конечное время из заданного начального состояния в заданное конечное состояние с помощью управляющих воздей ствий определенного класса. Для осуществления управления системой надо иметь информацию о ее текущем состоянии в каждый момент времени, поэтому важно, чтобы состояния были на блюдаемыми. В зависимости от типа системы и ее выхода, класса управляющих воздействий и выходных функций, требований и ограничений, налагаемых на процесс и результат управления, наблюдения выделяют различные понятия управляемости, наблюдаемости.

Системы с запаздыванием возникают при моделировании различных процессов в технике, экономике, технологиях, биологии, экологии, социальной сфере и т.п. Наличие запаздывания в таких системах отражает объективное свойство инерционности, в той или иной мере присущее любым реальным процессам, выражается в зависимости текущей скорости изменения выходных переменных системы от их значений в предшествующие моменты времени и приводит к моделям, которые описываются дифференциальными уравнениями с последействием. Учет запаздывания в математических моделях существенно изменяет свойства и динамику систем, соответственно требует разработки и применения для их анализа специальных методов.

Из-за усложнения для систем с запаздыванием понятия состояния (состояние таких систем характеризуется не набором конечного числа величин, а набором функций), понятия управляе мости, наблюдаемости систем с запаздыванием оказывается более разнообразным. В связи с этим различают, например, относительную управляемость (перевод траектории системы в заданную точку евклидового пространства), полную управляемость (удержание координат объекта в новом состоянии), а также управляемость в других функциональных пространствах. Аналогично изуча ют относительную наблюдаемость (восстановление вектора евклидового пространства – значение переменных состояния системы в некоторый момент времени), полную наблюдаемость (восста новление состояния системы как элемента некоторого функционального пространства, который однозначно определяет поведение системы в будущем). При этом в зависимости от того, на каком промежутке времени происходит восстановление состояния, выделяют проблемы полной наблю даемости (начальное состояние до интервала наблюдения или кусок траектории в пространстве состояний на первом интервале наблюдения длиной запаздывания), полной идентифицируемости (на последнем интервале наблюдения длины запаздывания).

Системы дифференциальных уравнений с малым параметром при части старших производ ных относятся к классу сингулярно возмущенных систем (СВС) и возникают при исследовании и моделировании объектов, которые совершают одновременно медленные и быстрые движения.

Интерес к СВС вызван потребностями практики в различных областях естествознания и техники.

Это объясняется широким спектром приложений таких систем: гидродинамика, электроэнерге тика, радиотехника, динамика полета, экономика и др. При качественном исследовании СВС стремятся к получению условий, гарантирующих наличие у системы тех или иных свойств для всех достаточно малых значений параметра сингулярности.

К настоящему времени большинство результатов по исследованию качественных свойств СВСЗ относятся к исследованиям в евклидовом пространстве (относительная управляемость, относительная наблюдаемость). При этом автору не известны результаты, в которых получены оценки параметра сингулярности. Кроме того, несмотря на конструктивный характер многих известных условий (например, ранговые параметрические условия) требуется разработка техно логий реализации алгоритмов их проверки доступными средствами, с помощью СКМ.

В работе приведены конструкутивно реализуемые условия [1-3] для проверки наличия у ЛССВСЗ свойств управляемости, наблюдаемости, идентифицируемости в функциональных пространствах, предложена технология их исследования средствами компьютерной математики.

Постановка задач Рассматривается линейная стационарная сингулярно возмущенная система с запаздыванием (ЛССВСЗ):

x(t) = A1 x(t) + A2 y(t) + C1 x(t h) + C2 y(t h) + B1 u(t), x Rn1, y Rn2, u Rr, (30) µy(t) = A3 x(t) + A4 y(t) + C3 x(t h) + C4 y(t h) + B2 u(t), t T = [0, t1 ], (31) w(t, µ) = D1 x(t) + D2 y(t), t T, wRm, m n1 + n2, (32) {x0 (·, µ), y0 (·, µ)} = {(), (), [h, 0]}.

В (30)-(32) Ai, Cj, i = 1, 4, Bj, Dj, j = 1, 2, – постоянные матрицы соответствующих размерностей, u(t), t T – r-вектор-функция управления, u(·) U – множество кусочно-непрерывных на T r-вектор-функций, µ – параметр, µ(0, µ0 ], µ0 1, 0 h – число, (), (), [h, 0] – кусочно-непрерывные n1 - и n2 -вектор-функции, соответственно. Обозначим n = n1 + n2. Считаем t1 n2 h.

Пусть Rm – m-мерное евклидово пространство, Lm [t1 h, t1 ] – гильбертово пространство суммируемых m-вектор-функций на отрезке [t1 h, t1 ], Mn = Ln [t1 h, t1 ] Rn. Рассмотрим при 2 фиксированном µ наблюдение (33) {X, Y }(µ) = {{x(t, µ), y(t, µ)}, t (t1 h, t1 ), {x(t1, µ), y(t1, µ)};

u(t) U }.

Определение 1. ЛССВСЗ (30), (32) {x, y}- управляема в пространстве Mn1 +n2 при фик сированном µ(0, µ0 ], если наблюдение {X, Y }(µ) (33), реализованное при этом µ, является ли нейным подпространством, всюду плотным в пространстве M2 1 +n2.

n Определение. Пусть в (30) B1 = 0, B2 = 0. При фиксированном µ(0, µ0 ] система (30) полностью {x, y}-наблюдаема (идентифицируема) по выходу (31) на интервале T если для любой выходной функции w(t, µ) текущее состояние {x(, µ), y(, µ);

[0, h]} ( [t1, t1 h]) системы (30), совместимое в силу системы (1) с данным выходом w(t, µ), можно восстановить однозначно.

Задача. Для ЛССВСЗ (30)-(32) реализовать средствами СКМ проверку условий наличия определенных выше свойств, а также вычисление оценок малого параметра, при которых эти свойства имеют место. В работе задача решена и продемонстрирована на примере полной {x, y} наблюдаемости для системы второго порядка.

Условия управляемости, наблюдаемости, идентифицируемости ЛССВСЗ При n1 = n2 = r = m = 1, n = 2 по параметрам системы (30)-(32) определим матрицы b1 µb1 (a1 + c1 eh ) + b2 (a2 + c2 eh ) Pc (eh, µ) =, b2 µb1 (a3 + c3 eh ) + b2 (a4 + c4 eh ) + a1 + c1 eh a2 + c2 eh b Nc (, eh, µ) = N12c | B =, h µ + a4 + c4 eh b a3 + c3 e a1 a2 c1 c a3 µ a4 c3 c если c3 = 0, c c3, a1 + a3 µ a2 + a 0 µ) = L(,, = если c4 = 0, c a1 + a3 µ a2 + a 0 0 c4, d1 d2 0 0 0 d1 d d1 d Po (eh, µ) =, eh ) h ) µd (a + c eh ) + d (a + c eh ) µd1 (a1 + c1 + d2 (a3 + c3 e 12 2 24 d1 d D No (, eh, µ) = a1 c1 eh a2 c2 eh =.

12o N a3 c3 eh µ a4 c4 eh Определение введенных выше функциональных матриц через параметры ЛССВСЗ (30)-(32) в общем случае при n 2 дано в [1-3].

Обозначим также 1 (pc)m m (pc)m k pc (µ)z i, k pc (µ) = R (в общем случае pc (z, µ) = det Pc (z, µ) = a µ,a i i i i m= i= pc (z, µ) – это НОД миноров порядка n матрицы Pc (z, µ), Zµ = {zj (µ)} – различные корни полинома pc (z, µ), c = { C : eh Zµ }, c c µ 2 + z(c + µc ) + (a + µa ) + z 2 (c c c c ) + z(a c + a c Dpc (, z, µ) = det N12c = µ 4 1 4 1 14 23 14 c2 a3 a2 c3 ) + (a1 a4 a2 a3 ), ki (µ)i – НОД миноров порядка n2 матрицы L(, µ),ki (µ) L L L (, µ) = = i= (L)m m (P o)m R, ai µ, ai m= L = {i (µ)} – различные корни НОД миноров порядка n2 матрицы L(, µ), Zµ = {z C :

L µ z = eh, L }, µ (P o)m m (P o)m po (z, µ) = det Po (z, µ) = k1 o (µ) z + k0 o (µ), ki o (µ) = P P P R, ai µ, ai m= N o (, z, µ) = det N12o = µ2 z(c4 + µc1 ) (a4 + µa1 ) + z 2 (c1 c4 c2 c3 ) + z(a1 c4 + a4 c c2 a3 a2 c3 ) + (a1 a4 a2 a3 ), µc – минимальный из корней µ 0 системы {pc (z, µ) = 0, Dpc (, z, µ) = 0, eh = z}, = min{µ 0 : k pc (µ) = 0}, µ = min{µ, i = 0, 1}, µic c i i µ = min{µ 0 : ki (µ) = 0, ki (µ) = 0}, µ = min{µ }, P L o io io µo = min{µ 0 : L (, µ) = 0, po (z, µ) = 0, N o (, z, µ) = 0, eh = z}. (34) Используя введенные выше обозначения и результаты из [1-3], имеем следующие достаточные условия наличия у ЛССВСЗ определенных выше структурных свойств.

Теорема 1 (условия управляемости). Если выполнены условия 1. rank Pc (eh, 0) = n по крайней мере для некоторого комплексного ;

2. rank Nc (, eh, 0) = n c ;

3. rank[C, B] = n;

то система (30), (32) {x, y}- управляема в пространстве Mn1 +n2 при всех µ(0, µ ], где µ = min{µ0, µ, µc }.

c Теорема 2 (уcловия наблюдаемости). Пусть 1. rank L(, 0) = n2, для некоторого комплексного ;

2. rank Po (z, 0) = n, C, z Z0.

L Тогда ЛССВСЗ (30), (31) полностью {x, y}-наблюдаема при всех µ(0, µ ], где µ = min{µ0, µ, µo }.

o Теорема 3 (условия идентифицируемости). Пусть 1. rank Po (eh, 0) = n, для некоторого комплексного ;

2. rank No (, eh, 0) = n C такого, что eh Z0.

Тогда найдется такое µ 0, что ЛССВСЗ (30), (31) полностью {x, y}-идентифицируема при всех µ(0, µ ]. При этом операция восстановления текущего состояния может быть выбрана непрерывной.

Алгоритм анализа полной {x, y}-наблюдаемости ЛССВСЗ и его реализация в СКМ.

На основании приведенных выше условий предлагается следующий алгоритм проверки пол ной {x, y}-наблюдаемости ЛССВСЗ.

1. Задаем параметры системы (30)-(31).

2. Формируем функциональные матрицы из условий теоремы 2.

3. Рассчитываем миноры порядка n2 матрицы L(, 0).

4. Находим НОД миноров, рассчитанных на шаге 4.

5. Находим корни НОД миноров матрицы L(, 0) как функции от µ и формируем из них мно жество L.

6. Если множество L пусто, то для достаточно малых µ система (30)-(31) полностью {x, y} наблюдаема.

7. В противном случае формируем множество Z0 и находим миноры матрицы из условия L теоремы 2 при z Z0.

L 8. Если среди миноров, найденных в пункте 7, есть не равные тождественно 0, то для доста точно малых µ система (30)-(31) полностью {x, y}-наблюдаема.

9. Рассчитываем µ = min{µ0, µ, µo }, где µ, µo находим по формуле (34). ЛССВСЗ (30), (31) o o полностью {x, y}-наблюдаема при всех µ(0, µ ].

10. В противном случае вывод о полной {x, y}-наблюдаемости системы (30)-(31) сделать не мо жем.

Аналогичную структуру (с очевидными изменениями в соответствии с теоремами 1 и 3) имеют алгоритмы анализа {x, y}- управляемости в пространстве M2 1 +n2, полной {x, y}-иденти n фицируемости ЛССВСЗ.

Наибольшую сложность с вычислительной точки зрения в представленном алгоритме пред ставляет вычисление на шаге 9 оценки малого параметра, а точнее, решение системы (34), со держащей нелинейное уравнение. Тем не менее, для случая n = 2 решение в численном виде несложно реализовать средствами СКМ.

Система компьютерной математики Mathematica предоставляет весь набор функций, необ ходимых для выполнения вычислений, преобразований и средств для визуализации результатов анализа структурных свойств систем управления. Укажем некоторые функции пакета, позволя ющие реализовать представленный выше алгоритм.

- Параметры системы задаем в виде матриц A, C, D, M, которые затем визуализируем с помо щью функции Print["A= A // MatrixForm].

- При формировании функциональных матриц из условий теоремы 2 используются функции условного выбора, матричных операций, а также функция Join[], например, для формирования характеристической матрицы исследуемой системы имеем L1 = Transpose[Join[Transpose[x*IdentityMatrix[2] - AM], Transpose[-CM]]];

- При нахождении миноров матрицы L подсчитываем их количество kL = Binomial[Dimensions[L][[1]], Dimensions[L][[2]]];

затем задаем пустой список ML для миноров матрицы L ML = Table[0, kL];

и присваиваем списку в цикле (по количеству миноров) значения миноров ML[i] = Minors[L, Dimensions[L][[i]]]].

- Для построения НОД миноров разлагаем миноры на сомножители Do[Print["ML[ i, "]= Factor[ML[[i]]]], i, kL];

исключаем из списка разложения миноров матрицы ML нулевые элементы ML0 = DeleteCases[ML, 0];

выбираем сомножители НОД миноров матрицы ML Intersection[MLL0] - и формируем полином L L = Product[ML0[[i]], i, Dimensions[ML0][[1]]].

- Для формирования множества L неполноты ранга матрицы L находим корни НОД миноров µ матрицы L xz = Solve[L == 0, x] - При подсчете оценки µ из (34) используем функцию CoecientList[L, x][[1]] - Оценку µ находим, решая систему из (34) S1, S2 = Solve[L == 0, P == 0, N == 0, z, x] NSolve[Exp[-x*h] == z /. S1, S2, m].

- Для визуализации решения системы из (34) используем построение графиков:

PE = Plot[Exp[-x*h] /. S1, S2, m, 0, 0.5];

PZ = Plot[z /. S1, S2, m, 0, 0.5];

Show[PE, PZ].

В общем случае при формировании функциональных матриц из теорем 1-3 требуется про верка определенных условий (реализуется функциями условного выбора), выполнение невырож денных преобразований над матрицами (реализуется с помощью умножения матриц на енвырож денные матрицы определенной структуры). Функциональные матрицы можно формировать как матрицы отпеременных, z, µ. Для проверки достаточных условий затем выполняется присваи вание µ = 0 и построенные матрицы, полиномы и другие структуры, необходимые для проверки условий теорем, рассчитываются при нулевом значении параметра.

Пример.

Для системы (1), (2) с параметрами a1 = a2 = a4 = c1 = 0, a3 = 2, c2 = 10, b1 = c3 = 1, c4 = 10, b2 = 1, µ (0, 0.5] определенные в работе объекты имеют вид:

0 2 µ 1 (, µ) = 0 0 0 0 h L, P (e, µ) =, 0o 2 eh µ + 10eh 0 0 1 1 0 0 0 N (, z, µ) = µ2 20z + 10z 10z 2, L (, µ) = 20 9 10µ, P (z, µ) = 2 + 9z + 10µz, 2 µN 0.245.

L, L = {L (µ)} = Zµ = {z (µ)} = =, µ 9 + 10µ 9 + 10µ Используя построенные объекты легко проверить, что для системы (1), (2) с параметрами из примера выполнены условия теоремы 2, а следовательно, рассматриваемая система полностью {x, y}-наблюдаема по крайней мере для µ [0, µN ).

Благодарности. Работа частично поддержана Министерством образования Республики Бе ларусь в рамках государственной программы научных исследований Республики Беларусь на 2011-2015 годы (шифр задания "Конвергенция 1.3.02").

Список литературы 1. Цехан, О.Б. Об условиях управляемости в пространстве L2 [t1 h, t1 ] R2 линейных стационарных сингулярно возмущенных систем второго порядка с запаздыванием / О.Б. Цехан // Веснiк ГрДУ iмя Я. Купалы. Серия 2. –2012. – № 3. – С.60–72.

2. Цехан, О.Б. О достаточных условиях полной наблюдаемости линейных стационарных сингулярно воз мущенных систем с запаздыванием / О.Б. Цехан // Аналитические методы анализа и дифференци альных уравнений: Тез.докл.междунар.конф. - Минск: ИМ НАНБ. – 2012. - С.70-71.

3. Цехан, О.Б. О полной идентифицируемости Плинейных стационарных сингулярно возмущенных си стем с запаздыванием / О.Б. Цехан // Тез.докл.междунар.конф. XV Международная научная конфе ренция по дифференциальным уравнениям "Еругинские чтения-2013 (в печати)."

Цехан Ольга Борисовна, доцент кафедры математического и инфмоарционного обеспечения эко номических систем Гродненского государственного университета им. Я.Купалы, кандидат физико математических наук, доцент, tsekhan@grsu.by.

УДК 517. Д. С. ШПАК О КОМПОЗИЦИИ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ОПЕРАТОРОВ ВОЛЬТЕРРА – ВИНЕРА, ОДИН ИЗ КОТОРЫХ ЛИНЕЙНЫЙ В статье рассмотрены эволюционные операторы Вольтерра – Винера с обобщенными импульсными характеристиками, на основании которых строится композиция двух операторов Вольтерра – Винера A и B. При этом исследованы два случая: во-первых, когда оператор A линеен, а оператор B не линеен;

во-вторых, когда оператор A нелинейный, а оператор B линейный. Найдены общие формулы для нахождения импульсных и спектраль ных характеристик композиции эволюционных операторов в двух случаях. Также показано построение композиции двух полиномиальных эволюционных операторов Вольтерра – Винера. Используя понятия теории разбиений и теории композиций, проанализированы операторные компоненты построенной композиции полиномиальных эволюционных опера торов Вольтерра – Винера.

Введение Пусть X -– пространство финитных слева функций. Эволюционным оператором Вольтерра – Винера называется оператор A вида Sp (ap xp ), x X, A(x) = p= где Sp – оператор сокращения переменных порядка p, действующий по формуле Sp f (t1, t2,..., tp ) = f (t, t,..., t);

ap – обобщенная функция, называемая импульсной характеристикой порядка p опе ратора A;

xp = x x... x – тензорная степень функции x;

– операция свёртки. [1, стр.139] Полиномиальным оператором Вольтерра – Винера степени m называется эволюционный опе ратор A, определяемый следующим образом m Sp (ap xp ), x X.

A(x) = p= Отметим, что Ax = a1 x + S2 (a2 x2 ) +... + Sm (am xm ) = A1 x + A2 x +... + Am x.

Линейный оператор A1 x = a1 x называется первой операторной компонентой оператора A.

Соответственно, оператор Am x = Sm (am xm ), (m 1), – m-ая операторная компонента опера тора A.

Композиция эволюционных операторов Вольтерр – Винера, один из которых линеен Пусть имеется нелинейная система с одним входом и одним выходом, описываемая операто ром y = Ax, где x является входным сигналом системы, а y – выходным сигналом системы, A – нелинейный оператор.

Тогда выходной сигнал системы может быть представлен в виде ряда Вольтерра + + q1 ( )x(t )d + q2 (1, 2 )x(t 1 )x(t 2 )d1 d2 +..., y((t) = где qk (1, 2,..., k ) – ядро ряда Вольтерра k-й степени.[3] Очевидно, ряд Вольтерра является обобщением интеграла свертки, широко используемого в теории линейных систем. В результате такого представления оператора, можно построить модель системы в виде параллельного соединения звеньев, соответствующих каждому из слагаемых ряда.

Одной из важных характеристик любой системы является переходная импульсная характе ристика. Она определяется как выходной сигнал системы, возникающий как реакция на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, или как реакция системы на единичный импульс при нулевых начальных условиях.

Импульсная характеристика системы полностью ее характеризует. Действительно, по ней не трудно восстановить дифференциальное уравнение, описывающее систему. Применение импульс ных характеристик для анализа систем в основном связано с тем, что на её основе может быть получена комплексная частотная (спектральная) характеристика.

Использование понятий импульсной и спектральной характеристик системы позволяет све сти расчет реакции системы от действия непериодического сигнала произвольной формы к опре делению реакции системы на простейшее воздействие типа единичной или -функции, с помощью которых аппроксимируется исходный (входной) сигнал.

Для того чтобы получить спектральные характеристики эволюционного оператора, необхо димо применить обобщенное преобразование Лапласа ap () = ap (t), et, где t = 1 t1 + 2 t2 +... + p tp, к импульсным характеристикам соответствующего порядка эво люционного оператора.

Операторы Вольтерра – Винера широко используются в анализе нелинейных систем. После довательному соединению соответствует композиция системных операторов Вольтерра – Винера C = B(A) = B A.

Рассмотрим случай, когда оператор A – нелинейный, а оператор B – линейный. Тогда Sp (ap xp ) = b1 Sp (ap xp ).

B A = b p=1 p= Для дальнейшего преобразования данного выражения определим свёртку порядка.

Пусть – мультииндекс с m компонентами = (n1, n2,..., nm ). И пусть x, y – обобщенные функции m и n переменных соответственно, где n = || = 1 + 2 +... + m. Тогда сверткой порядка обобщенной функции y с обобщенной функцией x называют обобщенную функцию x y, которая определяется следующим образом [1, стр.164]:

x y() = (t1 + s1, t1 + s2,..., t1 + sn1,..., t2 + sn1 +1,..., t2 + sn1 +n2,..., tm + sn ) (t1 + s1, t1 + s2,..., t1 + sn1,..., t2 + sn1 +1,..., t2 + sn1 +n2,..., tm + sn ) где – обобщенная функция n переменных.

Следовательно, b1 Sp (ap xp ) = b1 (s1,..., s1 ), ap (1,..., p ), xp (t1 1, t2 2,..., tp p ) = = b1 (s1,..., s1 ), ap (1,..., p ), xp (t1 s1 1, t2 s1 2,..., tp s1 p ).

Значит, b1 Sp (ap xp ) = Sp ((b1 ap ) xp ).

BA= p=1 p= Следовательно, импульсные характеристики оператора C для данного случая можно вычис лить по формуле cp = b1 ap.

Спектральные характеристики можно найти по формуле cp () = b1 (1 + 2 +... + p )ap (1, 2,..., p ).

Спектральная характеристика является одним из основных критериев описания устойчиво сти системы.

Рассмотрим второй случай. Пусть оператор A – линейный, т.е. A = A1, B – нелинейный.

Тогда p Sp (bp (a1 x)p ).

BA= Sp (bp (A1 x) )= p=1 p= Так как тензорное произведение свёртки двух функций равно свёртке тензорного произве дения этих функций [1, стр.150], то получаем p p (ap Sp ((bp ap ) x BA= Sp (bp x )) = ).

1 p=1 p= Следовательно, импульсные характеристики оператора C для данного случая можно вычис лить по формуле cp = bp ap.

Применяя к данному равенству преобразование Лапласа, находим общую формулу для спек тральных характеристик cp () = b1 (1, 2,..., p )a1 (1 )a1 (2 ),..., a1 (p ).

Композиция полиномиальных эволюционных операторов Вольтерра–Винера Пусть оператор C является композицией полиномиального оператора Вольтерра – Винера A степени m m Sk (ak xk ), x X.

A(x) = k= и полиномиального оператора Вольтерра – Винера B степени n, т.е.

n Ss (bs y s ), y X.

B(y) = s= Тогда композиция операторов A и B имеет вид Cy = (A B)y = A(By) = A(B1 + B2 +...Bn ) = = A1 (B1 + B2 +... + Bn ) + A2 (B1 + B2 +... + Bn, B1 + B2 +... + Bn ) +... + +Am (B1 + B2 +... + Bn, B1 + B2 +... + Bn,..., B1 + B2 +... + Bn ) = = A1 B1 + A1 B2 +... + A1 Bn + A2 (B1, B1 ) + A2 (B1, B2 ) +... + A2 (B1, Bn )+ +A2 (B2, B1 ) + A2 (B2, B2 ) +... + A2 (B2, Bn ) +... + A2 (Bn, B1 ) + A2 (Bn, B2 ) +... + A2 (Bn, Bn ) +...+ +Am (B1, B1,..., B1 ) + Am (B1, B1,..., B2 ) +... + Am (B1, B1,..., Bn ) +...+ +Am (B1, B2,..., B1 ) + Am (B1, B2,..., B2 ) +... + Am (B1, B2,..., Bn ) +...+ +Am (B2, B1,..., B1 ) + Am (B2, B1,..., B2 ) +... + Am (B2, B1,..., Bn ) +...+ +Am (B2, B2,..., B1 ) +... + Am (B2, B2,..., Bn ) +...+ Am (Bn, B1,..., B1 ) +... + Am (Bn, Bn,..., Bn ).

Проанализируем оператор C. В силу теоремы о композиции эволюционных операторов [1, стр.167] C также является эволюционным оператором, причем полиномиальным эволюционным оператором Вольтерра–Винера степени mn.

Как известно, число размещений с повторениями из h элементов по t, т.е. число упорядочен ных t-выборок с повторениями из h элементов, обозначается через Ph = ht. Пусть C(k, l) – число t композиций натурального числа k точно с l частями, т.е.

(k 1)!

C(k, l) =.

(l 1)!(k l)!

А число композиций натурального числа k точно с l частями, каждая из которых не превосходит n, есть величина C(k, l, n).[2, стр.67] Тогда количество слагаемых композиции полиномиального эволюционного оператора A сте пени m и полиномиального эволюционного оператора B степени n будет равно m m i ni.

N= Pn = i=1 i= Так как C – полиномиальный эволюционный оператор Вольтерра–Винера, то интересен вопрос о величине Mk – количестве слагаемых каждой операторной компоненты Ck, (k = 1, 2,..., mn) оператора C. С помощью величины C(k, l, n) можно записать m Mk = C(k, l, n), k = 1, mn.

l= где n– степень оператора A, m – степень оператора B.

Заметим, что mn N= Mk.

k= Приведем таблицу значений N и Mk для различных комбинаций m и n.

Таблица 1 – значений N и Mk m n N Mk 1 1 1 C1 = 1 2 2 C1 = 1;

C2 = 1;

2 1 2 C1 = 1;

C2 = 1;

2 2 6 C1 = 1;

C2 = 2;

C3 = 2;

C4 = 1;

2 3 12 C1 = 1;

C2 = 2;

C3 = 3;

C4 = 3;

C5 = 2;

C6 = 1;

3 2 14 C1 = 1;

C2 = 2;

C3 = 3;

C4 = 4;

C5 = 3;

C6 = 1;

3 3 39 C1 = 1;

C2 = 2;

C3 = 4;

C4 = 6;

C5 = 8;

C6 = 8;

C7 = 6;

C8 = 3;

C9 = 1;

3 4 84 C1 = 1;

C2 = 2;

C3 = 4;

C4 = 7;

C5 = 10;

C6 = 13;

C7 = 14;

C8 = 13;

C9 = 10;

C10 = 6;

C11 = 3;

C12 = 1;

Список литературы 1. Вувуникян, Ю. М. Эволюционные операторы с обобщёнными импульсными и спектральными харак теристиками: монография / Ю. М. Вувуникян. –// Гродно: ГрГУ, – 2007. – 224с.

2. Эндрюс, Г. Теория разбиений / Г. Эндрюс. –// Москва: Наука, – 1982. – 256с.

3. Шпак, Д. Композиция линейного и нелинейного операторов Вольтерра – Винера / Д. Шпак // The 10th Students’ conference Applied mathematics, Kaunas, Lithuania, April 20, 2012 / Kaunas University of Technology;

Atsakingas redaktorius J. Valantinas. – Kaunas: Technotogtja, 2012. – С. 7 – 9.

Шпак Дарья Сергеевна, аспирант кафедры теории функций, функционального анализа и приклад ной математики Гродненского государственного университета имени Янки Купалы, d.s.shpak@grsu.by.

УДК 621.391. С. Н. ЯРМОЛИК, А. С. ХРАМЕНКОВ ОБНАРУЖЕНИЕ ОДИНОЧНОГО СИГНАЛА ИЗВЕСТНОЙ ФОРМЫ НА ОСНОВЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АЛГОРИТМА ВАЛЬДА В работе рассмотрен способ решения задачи радиолокационного обнаружения случайного одиночного сигнала известной формы на основе модифицированного последовательного алгоритма Вальда. Рассмотрены частные критерии оптимальности обнаружения. Для анализируемых условий наблюдения приводятся результаты синтеза устройства обра ботки и устройства принятия решения. Предложен вариант обнаружителя, основанный на модифицированной усеченной процедуре Вальда, обеспечивающий заданные вероятности ошибок обнаружения первого и второго рода.

Постановка задачи.

Задача радиолокационного обнаружения заключается в установлении факта наличия или отсутствия цели в элементе разрешения пространства наблюдения. Решение о наличии (A ) или отсутствии (A ) цели принимается при двух взаимоисключающих условиях A0 – присутствие только помеховых колебаний или A1 – присутствие аддитивной смеси сигнала с помехой. По следствия принимаемых решений могут быть весьма различными, поэтому каждому решению соответствует определенная плата (цена) [1]: C11, C00 – цены правильных обнаружения и необ наружения соответственно, C01, C10 – цены пропуска цели и ложной тревоги.

Систему обнаружения характеризуют средним риском, который определяет среднее значение ожидаемых потерь:

R = C11 P (A1 )D + C01 P (A1 )D + C10 P (A0 )F + C00 P (A0 )F.

где P (A1 ), P (A0 ) – априорные вероятности наличия и отсутствия цели;

D, D – условные вероятности правильного обнаружения и пропуска цели;

F, F – условные вероятности ложной тревоги и правильного необнаружения.

Выбор оптимального решающего правила производится путем минимизации величины сред него риска. Устройство обнаружения, оптимальное по критерию минимума среднего риска, для принятия решения об обнаружении должно формировать отношение правдоподобия (ОП) [1] (f )=p1 (f )/p0 (f ) и сравнивать его с порогом (где p1 (f ), p0 (f ) – плотности вероятностей вы борки, формируемой при отсутствии и при наличии полезного сигнала соответственно). Если (f ), то принимается решение о наличии цели (A ), если (f ) – решение об ее от сутствии (A ). Порог обнаружения зависит от ряда параметров:P (A1 ), P (A0 ), C11, C00, C01, C10. При выборе параметров существуют определенные трудности. Эта проблема решается путем использования частных критериев оптимальности.

В рамках данной статьи рассматривается задача обнаружения одиночного сигнала извест ной формы со случайными амплитудой и фазой [1], наблюдаемого на фоне некоррелированного гауссовского шума. В этом случае, плотность вероятности дискретных значений входного сигнала при отсутствии цели (гипотеза H0 ) определяется выражением:

(f m0 ) e 22.

p0 (f ) = (1) где m0 = 0 – среднее значение случайных шумовых отсчетов;

2 – дисперсия случайных отсчетов шума.

Плотность вероятности дискретных значений входного сигнала при наличии цели (гипотеза H1 ) определяется выражением:

(f m1 ) p1 (f ) = e 22. (2) где m1 = 0 – среднее значение аддитивной смеси сигнала и шума.

Применительно к рассматриваемой задаче для принятия решения удобнее осуществить пе реход к формированию и анализу логарифма ОП [1]. Определенный интерес представляет по следовательный алгоритм обнаружения, позволяющий в ряде случаев минимизировать время принятия решения.

1. Частные критерии оптимальности.

В устройствах радиолокационного обнаружения наиболее распространены критерий идеаль ного наблюдателя и критерий Неймана-Пирсона.

Критерий идеального наблюдателя предполагает отсутствие вознаграждения за правильные решения (цены C00 = C11 = 0) и одинаковые платы за неверные решения (C01 = C01 = 1). В этом случае порог обнаружения определяется только априорными вероятностями наличия или отсутствия цели = P (A0 )/P (A1 ). Очевидно, что рассматриваемый критерий лишь частично снимает проблему выбора порога, что является его недостатком.

Критерий Неймана-Пирсона предполагает обеспечение фиксированного значения вероятно сти ложной тревоги F = const (ошибки первого рода ) путем соответствующего выбора порога обнаружения (рис. 1).

Рисунок 1 – Выбор порога обнаружения согласно критерию Неймана-Пирсона Критерий Неймана-Пирсона обеспечивает наибольшую условную вероятность правильного обнаружения D = 1 (где вероятность ошибки второго рода – вероятность пропуска цели) из всех обнаружителей, у которых условная вероятность ложной тревоги не больше заданной вероятности F (рис. 1).

Отметим, что процедура обнаружения, основанная на критерии Неймана-Пирсона, предпо лагает использование фиксированного времени наблюдения объекта, что не всегда является по лезным. Эффективным методом уменьшения числа зондирований и связанных с этим временных затрат может служить предложенный Вальдом последовательный критерий отношения вероят ностей (ПКОВ) [2]. В этом случае время наблюдения заранее не фиксируется, а определяется ходом реализации наблюдаемого процесса.

2. Последовательный критерий отношения вероятностей Вальда.

ПКОВ предполагает последовательное проведение испытаний до момента выполнения усло вия завершения эксперимента [2]. ПКОВ, как и процедуры обнаружения с фиксированным объ емом выборки, обладает оптимальными свойствами [2]. Процедура испытаний предполагает на каждом шаге наблюдения вычисление ОП (f ) и сравнение его с двумя порогами: нижним – () и верхним – (). Значения порогов обнаружения получены Вальдом [2] и определяются требуемыми вероятностями ложной тревоги () и пропуска цели (). Наблюдение прекращается с принятием решения о наличии цели (A1 ) как только выполнится неравенство (f ) (). Если (f ) (), то принимается решение об отсутствии цели – A0. Если же сформированное зна чение ОП (f ) будет находится между верхним и нижним порогами () p1 (f )/p0 (f ) (), то наблюдение продолжается.

Вероятности и определяются в данном случае путем интегрирования условной плотности вероятности p0 (f ) и p1 (f ) (рис. 2).

Рисунок 2 – Выбор порогов обнаружения согласно последовательному критерию Вальда Очевидно, что оптимальность рассмотренного решающего правила не нарушится, если ОП заме нить монотонной функцией (например, функцией логарифма): z(f ) = ln(f ) = ln(p1 (f )/p0 (f )).

В этом случае при вычислении решающей статистики операция умножения заменяется более простой операцией суммирования.

Рассматривая задачу обнаружения случайных гауссовских отсчетов, наблюдаемых на фоне некоррелированного шума, будем полагать, что на вход радиолокационного приемника последо вательно поступают случайные отсчеты принятого сигнала f1, f2, f3,.... Классический последо вательный подход решения данной задачи, согласно методике изложенной в [2, 3], предполагает вычисление логарифма ОП на каждом шаге, с последующим сравнением его с двумя порогами Z = ln = ln(/(1 )) и Z = ln = ln((1 )/). При этом решающие границы представ ляют собой две параллельные прямые, расстояние между которыми всегда постоянно (рис. 3).

Рисунок 3 – Пояснение принятия решения на основе последовательной процедуре Вальда Необходимо отметить, что в рассматриваемом случае значения ошибок 1-го и 2-го рода ( и ) на каждом этапе обнаружения оказываются существенно меньше заданных значений (рис. 4).

Рисунок 4 – Зависимость вероятностей ошибок и от номера шага процедуры при ПКОВ Поскольку значения порогов обнаружения определяются требуемыми величинами ошибок и, которые при радиолокационном обнаружении выбираются весьма малыми, очевидно, что при обнаружении отдельные испытания могут длиться достаточно долго, а значит и среднее число наблюдений становится недопустимо большим [2]. В таких случаях необходимо искус ственно прерывать процедуру испытаний и принимать результирующее решение, осуществляя выбор между двумя альтернативами. Данную процедуру называют усечением [2].

3. Модифицированный последовательный алгоритм Вальда.

Несколько модифицировав предложенный Вальдом последовательный подход к обнаруже нию, можно получить автоматически усекаемую процедуру обнаружения. С этой целью пред лагается рассчитывать пороги обнаружения на каждом шаге процедуры, исходя из обеспечения постоянства ошибок обнаружения: = const и = const. Решение принимается согласно извест ному решающему правилу, однако пороги обнаружения изменяются на каждом шаге процедуры, обеспечивая постоянство заданных вероятностей ошибок (рис. 5).


Рисунок 5 – Зависимость величины порогов обнаружения от номера шага (для ПКОВ и предлагаемого модифицированного критерия) При использовании модифицированного последовательного критерия, рассматриваемая задача обнаружения, предполагает следующие действия.

Шаг 1. На вход приемника поступает случайный отсчет принятого сигнала f1, используя который формируется значение логарифма ОП ln(f1 ) [3]:

m1 m0 f1 (m1 + m0 ) Z 1 = z1 = (3) 2 где z1 – значение решающей статистики для выборки на 1-м шаге;

Z1 – накопленное значение статистики на 1-м шаге.

Исходя из заданных значений вероятностей ошибок и, рассчитываются пороги обнаружения:Z1 и Z (рис. 6).

Рисунок 6 – Распределения плотностей вероятностей статистики на первом шаге процедуры наблюдения Модификация решающего правила предполагает вместо сравнения решающей статистики Z1 с порогами Z1 и Z, осуществлять сравнение величины f1 с модифицированными порогами обна ружения (Z )1 и (Z 1 ). При этом, если выполняется условие 2 f1 (Z )1 = lnZ1 + (m1 + m0 ), (m1 m0 ) то принимается гипотеза H1. Если 2 f1 (Z )1 = lnZ + (m1 + m0 ), (m1 m0 ) то принимается гипотеза H0. Если (Z )1 f1 (Z )1, то наблюдение продолжается и осуществ ляется переход к шагу 2.

Шаг 2. На вход приемника поступает выборка f1,2 = (f1, f2 ). Формируемое значение лога рифма ОП ln(f12 ) принимает вид:

m1 m (f1 + f2 (m1 + m0 )) Z 2 = z1 + z2 = (4) Результатом суммирования нормальных независимых случайных величин f1 и f2 является слу чайная величина f12 = f1 + f2, распределенная по гауссовскому закону с математическим ожи данием 2m1 или 2m0 и дисперсией 2 2. Очевидно, что происходит изменение формы закона распределения наблюдаемых отсчетов (рис. 7).

Рисунок 7 – Распределения плотностей вероятностей статистики на втором шаге процедуры наблюдения Значения порогов обнаружения Z2 и Z, на 2-м шаге процедуры, определяются исходя из усло вия обеспечения фиксированных значений и (рис. 7). Модифицированное решающее прави ло предполагает сравнение величины f12 с модифицированными порогами обнаружения (Z )2 и (Z )2. При этом, если выполняется условие f1 + f2 (Z )2 = lnZ2 + (m1 + m0 ), (m1 m0 ) то принимается гипотеза H1. Если 2 f1 + f2 (Z )1 = lnZ + (m1 + m0 ), (m1 m0 ) то принимается гипотеза H0. Если (Z )2 f1 + f2 (Z )2, то наблюдение продолжается и происходит переход к следующим итерациям последовательной процедуры.

Шаг n. На вход приемника поступает выборка f1n = f1 + f2 +... + fn. Формируемое значение логарифма ОП ln(f1n ) принимает вид:

n m1 m0 n fi Zn = zn1 + zn = (m1 + m0 ) (5) 2 i= Случайная величина f1n будет распределена по нормальному гауссовскому закону с математиче ским ожиданием nm1 или nm0 и дисперсией n 2. Исходя из условия обеспечения фиксированных значений и, определяются значения порогов обнаружения Zn и Z на n-м шаге процедуры n (рис. 8).

Рисунок 8 – Распределения плотностей вероятностей статистики на n-м шаге процедуры наблюдения Очевидно, что трансформация закона распределения наблюдаемой статистики в совокупности с фиксированными значениями вероятностей и, приводит к равенству (пересечению) верхнего и нижнего порогов обнаружения (рис. 9), что обеспечивает неизбежное принятие гипотезы H или альтернативы H1.

Рисунок 9 – Пороги обнаружения для ПКОВ и предлагаемого модифицированного критерия В отличие от классической последовательной процедуры Вальда [1], где пороги обнаружения изменяются, однако расстояние между ними постоянно (рис. 9), расстояние между модифициро ванными порогами уменьшается с каждым шагом наблюдения. Следовательно, предложенный подход позволил получить автоматическую процедуру обнаружения с усечением, что является определенным достоинством рассматриваемого решающего правила.

Заключение В работе предложен алгоритм решения задачи обнаружения на основе модифицированной последовательной процедуры обнаружения. Обеспечение постоянства значения ошибок обнару жения и на каждом шаге процедуры обнаружения позволило получить решающие границы в виде пересекающихся линий, что исключает затягивание процедуры обзора. Отмеченный факт является достоинством алгоритма, что обуславливает целесообразность его использования в радиолокационных системах обнаружения.

Список литературы 1. Охрименко, А. Е. Основы радиолокации и радиоэлектронная борьба. Часть 1. Основы радиолокации / А. Е. Охрименко. – М.: Воениздат, 1983. – 456 с.

2. Вальд, А. Последовательный анализ / А. Вальд. – М.: Физматгиз, 1960. – 328 с.

3. Фу, К. Последовательные методы в распознавании образов и обучении машин / К. Фу. – М.: Наука, 1971. – 256 с.

Ярмолик Сергей Николаевич, профессор кафедры радиолокации и приемо-передающих устройств УО Военная академия Республики Беларусь, кандидат технических наук, доцент,Yarmsergei@yandex.ru.

Храменков Андрей Сергеевич, магистрант кафедры радиолокации и приемо-передающих устройств УО Военная академия Республики Беларусь, xras.tech.@mail.ru.

.

.

СТОХАСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Ивановская Т. К., Маталыцкий М. А. Прогнозирование доходов региональной таможни с помощью НМ-сетей Китурко О. М., Маталыцкий М. А. Нахождение ожидаемых доходов систем замкнутой структуры массового обслуживания Ключников А. С., Сидоренко К. С. Математическое моделирование портфеля стратегий и корпоративной системы управления предприятием Копать Д. Я.,МаталыцкийМ. А. О нахождении максимальных входных потоков клиентов в одной системе обслуживания Лаппо П. М. О рекуррентных алгоритмах вычисления вероятности разорения за конечное время Монько В. Д., Паньков А. В. О имитационном моделировании сетей массового обслуживания в с однотипными заявками Науменко В. В., Маталыцкий М. А. Исследование сети массового обслуживания с обходами систем обслуживания разнотипными заявками и ее применения Русилко Т. В., Хонская Н. С. Исследование временного ряда данных по импорту природного газа в Республику Беларусь Семенчук Н. В., Степаненко И. С. Использование статистических методов, при анализе производственных данных Смолевская О. В., Косарева Е. В. О некоторых задачах оптимизации процесса обработки электронных сообщений в информационной сети и методах их решения Статкевич С. Э., Маталыцкий М. А., Монько В. Д. Анализ НМ-сетей с различными особенностями и их применение при моделировании доходов систем межбанковских платежей Труш Н. Н., Сакович Т. Н. Практическое применение непрерывного Вейвлет преобразования к анализу временных рядов с выраженной неоднородностью УДК 519. Ю. С. БОЯРОВИЧ, Л. Н. МАРЧЕНКО ОТКРЫТАЯ СЕТЬ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕАКТИВНЫМИ ЗАЯВКАМИ И ОБХОДАМИ СИСТЕМ Исследуется стационарное функционирование открытой сети массового обслуживания с временно неактивными заявками. Неактивные заявки находятся в очередях узлов и не обслуживаются. Предусматривается возможность перехода заявки из обычного состо яния во временно неактивное и обратно. Длительности обслуживания заявок в узлах имеют показательное распределение. Находятся условия эргодичности. Устанавливается вид стационарного распределения вероятностей состояний сети.

Введение В теории сетей массового обслуживания достаточно актуальной является проблема иссле дования надежности обслуживающих систем. Однако не только обслуживающая система может выходить из строя. По ряду причин могут терять свои качественные характеристики и поступа ющие в систему заявки.

Все большее внимание исследователей привлекают сети массового обслуживания с временно неактивными заявками. Все заявки в таких сетях делятся на два класса. Первые могут обслу живаться системами, а вторые являются временно неактивными и не обслуживаются, скапли ваясь в очередях систем. Поступающие в сеть потоки информационных сигналов позволяют за явкам менять свое состояние: из неактивного переходить в состояние, когда они могут получать обслуживание, и наоборот. В большинстве случаев исследователей интересуют характеристики стационарного функционирования таких сетей, в частности вид стационарного распределения вероятностей состояний.

Неактивные заявки можно интерпретировать как заявки, имеющие некоторый дефект, делающий их непригодными для обслуживания. Действительно, при передаче данных в информационно-телекоммуникационных сетях может возникать ситуация, когда пересылаемая заявка становится непригодной для обслуживания в результате какой-либо поломки или сбоя в процессе ее пересылки. Таким образом, результаты исследования сетей с временно неактивными заявками могут представлять интерес с прикладной точки зрения.

Исследованию открытой сети с временно неактивными заявками посвящена работа [1], где исследуется стационарное распределение вероятностей состояний в предположении, что длитель ности обслуживания заявок распределены по экспоненциальному закону. В [2,3] исследовано ста ционарное функционирование сетей, являющихся обобщением модели из [1] на случай произволь ного распределения времени обслуживания заявок. Устанавливается инвариантность стационар ного распределения вероятностей состояний по отношению к функциональной форме распреде ления длительностей обслуживания.

Сети с обходами заявками систем впервые были рассмотрены Ю.В. Малинковским [4]. В таких сетях заявка, поступающая в некоторую систему, с некоторой вероятностью, зависящей от состояния этой системы, может присоединиться к очереди и ожидать своего обслуживания, или мгновенно обойти систему и двигаться далее согласно матрице маршрутизации. Было установле но, что стационарное распределение вероятностей состояний имеет мультипликативную форму. В работах [5-10] были исследованы различные обобщения указанной модели. Так в [5] установлено, что выходящие потоки из сети с обходами являются пуассоновскими, в [6] установлена инвари антность стационарного распределения открытых и замкнутых сетей по отношению к функцио нальной форме распределения длительностей обслуживания. В работе [7] доказана независимость стационарного распределения замкнутых сетей с обходами и несколькими типами заявок от вида функций распределения длительности обслуживания. Аналогичный результат был получен для сетей, в которых вероятность обхода зависит от состояния узла и номера предыдущего узла.


В настоящей работе исследуется открытая экспоненциальная сеть массового обслуживания с неактивными заявками и обходами. Устанавливается вид стационарного распределения вероят ностей сети и условия его существования.

Открытая сеть массового обслуживания с неактивными заявками и обходами Рассматривается открытая сеть массового обслуживания с множеством систем J = {1,..., N }. Заявки поступают в сеть независимыми пуассоновскими потоками с интенсивностями i, i J. Извне в сеть поступают независимые пуассоновские потоки информационных сигналов с интенсивностями i и i, i J. Поступивший в i-ю систему с интенсивностью i информацион ный сигнал уменьшает количество обыкновенных заявок на единицу и увеличивает на единицу количество временно неактивных заявок;

в случае отсутствия в i-й системе обыкновенных за явок сигнал покидает сеть. Поступивший в i-ю систему с интенсивностью i информационный сигнал уменьшает на единицу количество временно неактивных заявок, увеличивая на единицу число обыкновенных заявок;

в случае отсутствия в i-й системе неактивных заявок сигнал по кидает сеть. Обслуживания информационные сигналы не требуют. Неактивные заявки не могут получать обслуживания и скапливаются в очередях систем.

Заявка, обслуженная в i-й системе, мгновенно с вероятностью pi,j переходит в j-й узел, а с вероятностью pi,0 покидает сеть i, j J, jJ pi,j + pi,0 = 1. Не ограничивая общности, договоримся считать pi,i = 0, i J. Состояние сети в момент времени t характеризуется векто ром z(t) = (n1 (t), n1 (t)),..., (nN (t), nN (t)), где (ni (t), ni (t)) – состояние i-й системы в момент времени t. Здесь ni (t) и ni (t) – число обыкновенных и соответственно неактивных заявок в i-й системе в момент времени t, а общее число заявок в i-й системе равно ni (t) + ni (t). z(t) обладает фазовым пространством Z = {n = ((n1, n1 ),..., (nN, nN ))|ni, ni 0, i J}. z(t) – цепь Маркова с непрерывным временем.

Поступающая в систему i заявка с вероятностью fi (ni + ni ) присоединяется к очереди систе мы, а с вероятностью 1 fi (ni + ni ) обходит систему i J (такая заявка считается обслуженной).

Система уравнений трафика имеет вид N j pj,i, i J.

i = i + (1) j= Можно показать, что в случае неприводимости матрицы маршрутизации система уравнений трафика имеет единственное положительное решение.

Теорема. При выполнении условий эргодичности:

ni +ni i i i ni ni fi (l 1), i = 1,..., N, (2) µi µi i l= ni,ni = стационарное распределение вероятностей состояний процесса z(t) имеет вид (n) = 1 (n1, n1 )2 (n2, n2 )... N (nN, nN ), (3) здесь ni +ni i i i ni ni fi (l 1), i (ni, ni ) = i (0, 0) (4) µi µi i l= где ni +ni i i i ni ni fi (l 1) i (0, 0) =. (6) µi µi i l= ni,ni = Здесь i, i J – решение системы уравнений трафика (1).

Пусть n = ((n1, n1 ),..., (nN, nN )) – состояние сети. Рассмотрим следующие события.

Заявка, поступающая в систему i J, не изменит состояние сети. Вероятность этого события обозначим i (n).

Заявка, поступающая в систему i J, впервые поступит на обслуживание в систему j J.

Вероятность этого события обозначим i,j (n).

Заявка, обслуженная системой i J, не изменит состояние сети. Вероятность этого события обозначим i (n).

Заявка, обслуженная системой i J, впервые поступит на обслуживание в систему j J.

Вероятность этого события обозначим i,j (n).

В [4] показано, что указанные вероятности удовлетворяют следующим соотношениям N i (n) = (1 fi (ni + ni ))(pi,0 + j (n)pi,j );

(6) j= N i,j (n) = fi (ni + ni )i,j + (1 fi (ni + ni )) pi,k k,j (n);

(7) k= N pi,j j (n ei );

i (n) = pi,0 + (8) j= N pi,k k,j (n ei ).

i,j (n) = (9) k= При этом N i (n) + i,j (n) = 1;

(10) j= N i (n) + i,j (n) = 1;

(11) j= здесь i,j – символо Кронекера.

В [10] доказано, что справедлива следующая обобщенная система уравнений трафика:

N N fi (ni + ni )i = k k,i (n) + fj (nj + nj )j j,i (n). (12) j= k= Очевидно, что при выполнении условий (2) марковский процесс z(t) эргодичен. Это сле дует из эргодической теоремы Фостера. Таким образом, существует единственное стационарное распределение вероятностей состояний (n), n Z.

Уравнения глобального равновесия имеют вид i (1 i (n)) + µi (1 i,i (n))Ini 0 + i Ini 0 + i Ini 0 (n) = iJ N (n ei ) j j,i (n ei )Ini 0 + (n + ei )µi i (n + ei )+ = j= iJ +(n ei + ei )i Ini 0 + (n + ei ei )i Ini 0 + (n + ei ej )µi i,j (n + ei ej )Inj 0, n Z.

+ jJ Легко показать, что с такими интенсивностями переходов марковский процесс z(t) обратим.

Подставляя (n), определенные по формулам (3) - (5) в уравнения глобального баланса, учитывая (6) - (11), систему уравнений трафика (1) и обобщенную систему уравнений трафика (12), получаем тождество.

Список литературы 1. Tsitsiashvili, G. Sh. Distributions in stochastic network models / G.Sh. Tsitsiashvili, M. A. Osipova // Nova Publishers, 2008.

2. Боярович, Ю. С. Сети массового обслуживания с обходами узлов заявками / Ю. C. Боярович, Ю. В. Малинковский // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычисли тельная техника и информатика. – 2009. – № 4. – С. 83–90.

3. Боярович, Ю. С. Инвариантность стационарного распределения вероятностей состояний замкнутой сети массового обслуживания с временно неактивными заявками / Ю. C. Боярович // Автоматика и телемеханика. – 2012. – № 10. – С. 32–41.

4. Малинковский, Ю. В. Сети массового обслуживания с обходами узлов заявками / Ю. В. Малинковский // Автоматика и телемеханика. – 1991. – № 2. – С. 102–110.

5. Малинковский, Ю. В. Выходные потоки в модифицированных сетях Джексона / Ю. В. Малинковский // Автоматика и телемеханика. – 1992. – № 9. – С. 134–138.

6. Малинковский, Ю. В. Замкнутые сети массового обслуживания с обходами узлов заявками / Ю. В. Ма линковский, О. В. Якубович // VII Белорусская Математическая Конференция: тез. докл. научн.

конф., Минск, 18-22 ноября 1996 г. / Бел. матем. общ-во, Бел. гос. унив., Институт математики Ака демии наук Беларуси. – Минск, 2001. – № 3. – С. 8–9.

7. Малинковский, Ю. В. Инвариантность стационарного распределения состояний модифицированных сетей Джексона и Гордона - Ньюэлла / Ю. В. Малинковский // Автоматика и телемеханика. – 1998. – № 9. – С. 29–36.

8. Крыленко, А. В. Инвариантность стационарного распределения замкнутых сетей массового обслу живания с обходами узлов, неэкспоненциальным обслуживанием и несколькими типами заявок / Ю. В. Малинковский, А. В. Крыленко // Весцi Акадэмii навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 1998, № 3. – С. 118–122.

9. Малинковский, Ю. В. Замкнутые сети массового обслуживания с обходами узлов заявками / Ю. В. Ма линковский, О. В. Якубович // Весцi Акадэмii навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 1999, № 1. – С. 119–124.

10. Малинковский, Ю. В. Сети массового обслуживания с динамической маршрутизацией и динамически ми вероятностными обходами узлов заявками / Ю. В. Малинковский, В. Е. Евдокимович // Проблемы передачи информации. – 2001. – Vol. 37, № 3. – P. 55–66.

Bojarovich Julia, Assistant Professor of the Department of Economic Cybernetics and the Theory of Probability, Francisk Scorina Gomel State University, Ph.D., juls1982@list.ru.

Marchenko Larisa, Associate Professor of the Department of Economic Cybernetics and the Theory of Probability, Francisk Scorina Gomel State University, Ph.D., lmarchenko@gsu.by.

УДК 330. Е. С. ГАБРУСЕВИЧ, М. А. МАТАЛЫЦКИЙ СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ ДОХОДОВ ОБЛАСТНОЙ НАЛОГОВОЙ ИНСПЕКЦИИ В статье предложена модель формирования налоговых доходов, поступающих в Грод ненскую областную налоговую инспекцию, с помощью открытой НМ-сети массового обслуживания со случайными доходами от переходов между состояниями сети. Получены выражения для нахождения ожидаемых доходов в зависимости от времени. Построены графики налоговых доходов Гродненской области на различных интервалах времени и проведено сравнение спрогнозированных доходов с реальными данными.

Введение Будем рассматривать налоговые доходы, поступающие от плательщиков Гродненской обла сти. Указанные доходы контролируются инспекцией Министерства по налогам и сборам Респуб лики Беларусь (МНС) по Гродненской области (Гродненской областной налоговой инспекцией, ОНИ), и перераспределяются в местные или республиканский бюджеты.

Стохастическая модель формирования налоговых доходов, поступающих в Гродненскую об ластную налоговую инспекцию, может быть представлена в виде сети массового обслуживания (МО), представленной на рис. 1, состоящей из центральной системы массового обслуживания (СМО), соответствующей самой областной налоговой инспекции, которая непосредственно распо ряжается всеми поступившими денежными средствами, периферийных систем массового обслу живания (СМО), соответствующих инспекциям МНС по районам области и г. Гродно: Бересто вицкому, Волковысскому, Вороновскому, Гродненскому, Дятловскому, Зельвенскому, Ивьевскому, Кореличскому, Лидскому, Мостовскому, Новогрудскому, Островецкому, Ошмянскому, Свислоч скому, Сморгонскому, Щучинскому, Ленинскому, Октябрьскому, Слонимскому, и двух СМО, со ответствующих местным и республиканскому бюджетам. Все системы являются однолинейными.

Рисунок 1 – Формирование налоговых доходов Гродненской областной налоговой инспекции В ОНИ из районных инспекций поступает информация о суммах уплаченных налогов. Доход ОНИ определяется как сумма поступивших налогов из 19 районов области и г. Гродно. Далее все суммы, в соответствии с законодательством, перераспределяются в местные, областной и республиканский бюджеты. При необходимости, из ОНИ в районные инспекции могут быть воз вращены суммы налога на добавленную стоимость (НДС) для зачисления их на расчетные счета плательщиков.

Заявками в сети служат данные из районных инспекций о суммах поступивших от органи заций, индивидуальных предпринимателей и физических лиц налогах. Из периферийных СМО в центральную заявки поступают один раз в месяц или 12 раз в год. Возврат налога на добавлен ную стоимость происходит равномерно в течение всего года, т.е. в каждую периферийную СМО поступает в среднем 12 заявок в год из центральной СМО. Заявка при переходе из одной системы в другую приносит последней некоторый доход, при этом доход первой системы уменьшается на эту же величину.

Таким образом, стохастической моделью формирования налоговых доходов может являться открытая экспоненциальная HM (Howard-Matalytski)-сеть МО с центральной СМО, в которой заявками служат данные из районных инспекций о суммах поступивших от организаций, инди видуальных предпринимателей и физических лиц налогах, доходами периферийных СМО явля ются суммы поступивших от плательщиков района налогов и суммы возврата НДС, а расходами – перенаправленные суммы поступивших налогов в центральную СМО. Доходами центральной СМО являются суммы налогов от периферийных СМО, расходами - возврат НДС. Структура сети приведена на рисунке 2.

Рисунок 2 – Структура НМ-сети 1. Методика прогнозирования доходов сети, когда доходы от переходов между состо яниями являются случайными величинами Для анализа доходов систем сети можно применить методику, описанную в [1], в нашем случае n = 22, m = 19. Обозначим через k(t) = (k1 (t), k2 (t),..., kn (t)) – вектор состояний сети, где ki (t) – число заявок в системе Si (в очереди и на обслуживании) в момент времени t. В сеть поступает простейший поток заявок с интенсивностью. Интенсивность обслуживания заявок в момент времени t µi (ki (t)) в системе Si зависит от числа заявок в этой системе и времени, i = 1, n.

Рассмотрим динамику изменения доходов центральной системы Sn сети. Обозначим через Vn (t) ее доход в момент времени t. Пусть в начальный момент времени доход системы равен Vn (0) = vn0. Доход этой СМО в момент времени t + t можно представить в виде Vn (t + t) = Vn (t) + Vn (t, t), где Vn (t, t) – изменение дохода системы Sn на интервале времени [t, t + t). Для нахождения этой величины выпишем условные вероятности событий, которые могут произойти за время t, и изменения доходов системы Sn, связанные с этими событиями.

1). С вероятностью µj (kj (t))u(kj (t))pjn t + o(t) заявка перейдет из системы Sj в систему Sn, при этом доход системы Sn возрастет на величину rjn, а доход системы Sj уменьшится на эту величину, где rjn – СВ с математическим ожиданием (м.о.) M {rjn } = ajn, pjn - вероятность 1, если x перехода заявки из системы Sj в систему Sn, j = 1, m, u(x) = – функция 0, если x = Хевисайда.

2). С вероятностью µn (kn (t))u(kn (t))pnj t + o(t) заявка из системы Sn перейдет в систему Sj, при этом доход СМО Sn уменьшится на величину Rnj, а доход системы Sj возрастет на эту величину, где pnj - вероятность перехода заявки из системы Sn в систему Sj, Rnj – СВ с м.о.

M {Rnj } = bnj, j = 1, n 1.

n 3). С вероятностью 1 µn (kn (t))u(kn (t)) + t + o(t) на отрезке j=1 µj (kj (t))u(kj (t))pjn времени [t, t + t) изменение состояния системы Sn не произойдет, i = 1, n.

Кроме того, за каждый малый промежуток времени t система Sn увеличивает свой доход на величину rn t, где rn – СВ с м.о. M {rn } = cn. Будем также считать, что СВ rjn, Rnj, являются независимыми по отношению к СВ rn, j = 1, n.

Из вышеуказанного следует rjn + rn t, с вероятностью µj (kj (t))u(kj (t))pjn t + o(t), Vn (t, t) = Rnj + rn t, с вероятностью µn (kn (t))u(kn (t))pnj t + o(t), rn t, с вероятностью 1 µn (kn (t))u(kn (t)) + n µj (kj (t))u(kj (t))pjn t + o(t).

j= Введем обозначение vn (t) = M {Vn (t)}. Пусть µj (kj (t)) = µj, j = 1, n. Можно доказать, что ожидаемый доход центральной СМО удовлетворяет ОДУ первого порядка с разрывными правыми частями:

n n dvn (t) µj min(Nj (t), 1)pjn ajn µn min(Nn (t), 1) = cn + pnj bnj, (1) dt j=1 j= где среднее число заявок Nj (t) в СМО сети находится из системы уравнений:

dNi (t) = µn pni min(Nn (t), 1) µi min(Ni (t), 1) + p0i, i = 1, m, dt (2) dNn (t) = m µj pjn min(Nj (t), 1) µn min(Nn (t), 1).

j= dt Задав начальные условия vn (0) = vn0, можно найти ожидаемые доходы центральной системы сети.

Если сеть функционирует так, что в среднем в её системах не наблюдается очередей, т.е.

min(Ni (t), 1) = Ni (t), i = 1, n, то системы (1) и (2) будут иметь вид:

dvn (t) n n µn Nn (t) = cn + j=1 µj Nj (t)pjn ajn j=1 pnj bnj, dt (3) vn (0) = vn0.

dNi (t) = µn pni Nn (t) µi Ni (t) + p0i, i = 1, m, dt (4) dNn (t) = m µj pjn Nj (t) µn Nn (t).

j= dt Решение системы (4) имеет вид:

p0i p0i eµi t + Ni (0) Ni (t) =, i = 1, m, (5) µi µi m eµn t eµi t p0i µi pin 1 1 µi pin Ni (0) µn t eµi t )} + Nn (0)eµn t, { Nn (t) = + (e µi µn µn µi µn µi µn µi i= где Ni (0) - среднее число заявок в i-ой системе в начальный момент времени, i = 1, n.

Подставив (5) в систему (3) и решив её, можно найти выражения для ожидаемого дохода системы Sn, зависящее от времени.

Из вышеуказанного следует rjn + rn t, с вероятностью µj (kj (t))u(kj (t))pjn t + o(t), Vn (t, t) = Rnj + rn t, с вероятностью µn (kn (t))u(kn (t))pnj t + o(t), rn t, с вероятностью 1 µn (kn (t))u(kn (t)) + n µj (kj (t))u(kj (t))pjn t + o(t).

j= Введем обозначение vn (t) = M {Vn (t)}. Пусть µj (kj (t)) = µj, j = 1, n. Можно доказать, что ожидаемый доход центральной СМО удовлетворяет ОДУ первого порядка с разрывными правыми частями:

n n dvn (t) µj min(Nj (t), 1)pjn ajn µn min(Nn (t), 1) = cn + pnj bnj, (1) dt j=1 j= где среднее число заявок Nj (t) в СМО сети находится из системы уравнений:

dNi (t) = µn pni min(Nn (t), 1) µi min(Ni (t), 1) + p0i, i = 1, m, dt (2) dNn (t) = m µj pjn min(Nj (t), 1) µn min(Nn (t), 1).

j= dt Задав начальные условия vn (0) = vn0, можно найти ожидаемые доходы центральной системы сети.

Если сеть функционирует так, что в среднем в её системах не наблюдается очередей, т.е.

min(Ni (t), 1) = Ni (t), i = 1, n, то системы (1) и (2) будут иметь вид:

dvn (t) n n µn Nn (t) = cn + j=1 µj Nj (t)pjn ajn j=1 pnj bnj, dt (3) vn (0) = vn0.

dNi (t) = µn pni Nn (t) µi Ni (t) + p0i, i = 1, m, dt (4) dNn (t) = m µj pjn Nj (t) µn Nn (t).

j= dt Решение системы (4) имеет вид:

p0i p0i eµi t + Ni (0) Ni (t) =, i = 1, m, (5) µi µi m eµn t eµi t p0i µi pin 1 1 µi pin Ni (0) µn t eµi t )} + Nn (0)eµn t, { Nn (t) = + (e µi µn µn µi µn µi µn µi i= где Ni (0) - среднее число заявок в i-ой системе в начальный момент времени, i = 1, n.

Подставив (5) в систему (3) и решив её, можно найти выражения для ожидаемого дохода системы Sn, зависящее от времени.

2. Пример Предлагаемая методика была опробована при расчете ожидаемых доходов Гродненской об ластной налоговой инспекции за 2012 год. По данным о поступлениях налогов и суммах возврата НДС за первое полугодие 2012 г. были рассчитаны параметры стохастической модели формирова ния доходов, поступающих в ОНИ. Заявки поступали в периферийные СМО S1 S19 с интенсив ностью 6 (заявок/в полугодие), т.е. p0i = 6, i = 1, 19, p0i = 19, i = 1, 19. Так как в центральную СМО модели поступали заявки только из систем S1 S19, то вероятности переходов заявок из периферийных СМО в центральную равны pin = 1, i = 1, 19, а остальные равны нулю. Интенсив ности обслуживания заявок в периферийных СМО равны µi = 6, i = 1, 21, pni = 21, i = 1, 21. Из центральной системы в каждую периферийную систему в среднем поступают 6 заявок в полуго дие, поэтому интенсивность обслуживания заявок в центральной СМО равна µn = 21 6 = (заявок/в полугодие). Т.к. налоги поступают во второй половине каждого месяца, то за единицу времени возьмем 2 последние декады указанного периода, считая, что в первой декаде нет по ступлений. Доходы и расходы центральной системы в месяц рассчитаны по доходам и расходам ОНИ за 1 полугодие 2012 г. и приведены в таблице 1, при этом cn = 0.

Таблица 1 – Доходы и расходы центральной системы в единицу времени № СМО ajn (млн.руб.) bnj (млн.руб.) 1 4996,1 1485, 2 33018,2 9558, 3 4597,6 1039, 4 27593,5 11200, 5 15128,8 2752, 6 3079,6 1125, 7 4813,3 1215, 8 4661,1 1159, 9 74119,6 23044, 10 7695,4 2725, 11 18682,1 8032, 12 5584,4 692, 13 8285,2 2872, 14 2950,3 1169, 15 20299,1 3742, 16 17079,2 6842, 17 124657,4 11704, 18 320795,0 72432, 19 27921,0 8660, 20 0 428148, 21 0 126351, Пусть Ni (0) = 0, i = 1, 22. Найдем ожидаемый доход центральной СМО. Сеть функционирует так, что в среднем в ее системах не наблюдается очередей. Из (5) следует:

Ni (t) = 1 e6t, i = 1, 19, N22 (t) = 0, 905 + 0, 95(0, 048e126t e6t ), а средний ожидаемый доход центральной СМО, найденный из (3), равен:

dv22 (t) = 413792, 1 217783, 6e6t 198621, 9e126t, dt v22 (t) = v22 (0) 37873, 7 + 413792t + 36297, 3e6t + 1576, 4e126t.

Построим график ожидаемого дохода центральной системы за первое полугодие 2012 года (рис. 3):

Рисунок 3 – График ожидаемого дохода центральной системы за 1 полугодие 2012г.

На рисунке 4 изображены графики реальных и прогнозируемых с помощью модели налого вых поступлений за 2012 год.

Рисунок 4 – Графики реальных и прогнозируемых поступлений налогов за 2012 год Из рисунка 4 видно, что с помощью предложенной модели можно адекватно прогнозировать ожидаемые доходы ОНИ.

Список литературы 1. Колузаева, Е. В. Исследование НМ-сетей со случайными доходами от переходов между их состояниями / Е. В. Колузаева, М. А. Маталыцкий // Известия Томского государственного университета. Сер.

Информатика, вычислительная техника и управление. – 2009. – № 5. – С. 91–100.

Маталыцкий Михаил Алексеевич, заведующий кафедры стохастического анализа и экономет рического моделирования ГрГУ им. Я. Купалы, доктор физико-математических наук, профессор, m.matalytski@gmail.com.

Габрусевич Елена Сергеевна, магистрант кафедры стохастического анализа и эконометрического моделирования ГрГУ им. Я. Купалы, canvas_mf@mail.ru.



Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 11 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.