авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |

«УДК 004 ББК 32.81 М34 Рекомендовано Редакционно-издательским советом ГрГУ им. Я. Купалы. Ред а к ц и он н а я ...»

-- [ Страница 9 ] --

УДК 519. Ю. Е. ДУДОВСКАЯ СЕТЬ С МНОГОРЕЖИМНЫМ ОБСЛУЖИВАНИЕМ И АБСТРАКТНЫМ ОПИСАНИЕМ СОСТОЯНИЙ В работе исследуется открытая сеть массового обслуживания с простейшим входящим потоком заявок, экспоненциальным обслуживанием и марковской маршрутизацией.

Заявки, циркулирующие в сети, могут быть нескольких типов. Узлы функционируют в нескольких режимах, отвечающих различной степени их работоспособности. Время переключения с одного режима работы в другой имеет показательное распределение, переключение возможно только в соседние режимы, во время переключения режимов число заявок в узлах не меняется. Состояние узла описывается абстрактно и может не совпадать с числом заявок в нём. Устанавливаются условия эргодичности, достаточные условия существования и аналитический вид стационарного распределения вероятностей состояний в мультипликативной форме.

Введение Изучение систем и сетей с многорежимными стратегиями обслуживания представляет боль шой интерес, поскольку зачастую на практике возникает ситуация, когда оборудование может ча стично или полностью выходить из строя. В работе исследуется открытая сеть с многорежимным обслуживанием, в которой циркулируют заявки нескольких типов. Рассматриваемые режимы от вечают разной степени работоспособности узлов сети. При переходе в режим с большим номером, в менее надёжный режим, производительность узла уменьшается. Прибор не выходит из строя полностью. Прибор может частично терять работоспособность как при обслуживании, так и в незанятом состоянии.

В сети допускается наличие внутренних переходов в узлах. Внутренние переходы обуслов лены не поступлением или обслуживанием заявок в узлах, а внутренними изменениями в узлах и переходами с одного режима работы в другой с сохранением числа заявок каждого типа в узлах. В практических ситуациях это может означать возможность изменения режима работы устройства без воздействия внешних факторов.

Описание модели сети В сеть, состоящую из N узлов, поступает простейший поток заявок с параметром. За явки могут быть M типов. Каждая заявка входного потока независимо от других заявок на правляется в i-ый узел и становится заявкой типа u с вероятностью p0(i,u) (i = 1, N, u = 1, M ), N M u=1 p0(i,u) = 1.

i= Предполагается, что i-ый узел может находиться в одном из li режимов работы (li = 0, ri, i = 1, N ). Состояние сети в момент времени t описывается вектором x(t) = (x1 (t), x2 (t),..., xN (t)), где xi (t) – состояние i-го узла в момент времени t. Состояние узла описывается абстрактно и может не совпадать с числом заявок в нём. Процесс xi (t) имеет не более чем счётное пространство состояний Xi. Обозначим через 0 такое состояние i-го узла, когда в нём отсутствуют заявки, и узел находится в режиме работы 0;

|xi |li число заявок типа u в i-ом узле, который функционирует u в li -ом режиме и находится в состоянии xi Xi (u = 1, M, li = 0, ri, i = 1, N ). При описании узла были введены обозначения, аналогичные обозначениям, введённым в работе [2].

li Обозначим через Yiku множество состояний i-го узла с числом заявок типа u, равным ku, li находящегося в режиме работы li, т.е. Yiku = {xi Xi : |xi |li = ku } (u = 1, M, li = 0, ri, i = 1, N ).

u Пусть iu (xi, xi ) – условная вероятность того, что узел перейдёт в состояние xi Xi, если в него поступит заявка типа u, заставшая его в состоянии xi Xi (|i |li = |xi |li +1). Пусть µiu (xi, xi ) xu u – интенсивность перехода узла из состояния xi Xi в состояние xi Xi за счёт обслуживания заявки типа u (|i |li = |xi |li 1, |xi |li = 0). Предположим, что xu u u iu (xi1, xi1 ) iu (xi2, xi2 ) li li xi1, xi2 Yiku, xi1, xi2 Yiku +1, =, µiu (i1, xi1 ) x µiu (i2, xi2 ) x u = 1, M, li = 0, ri, i = 1, N.

В каждом узле предполагаются возможными внутренние переходы из состояния xi Xi в другое состояние xi Xi с тем же числом заявок каждого типа. Это значит, что такие пере ходы обусловлены не поступлением или обслуживанием заявок, а внутренними изменениями в узле и переходами с одного режима работы в другой с сохранением числа заявок каждого типа (|i |li +1 = |xi |li, |i |li 1 = |xi |li, xi = xi ). Назовём режим 0 основным режимом работы. Время ра xu u xu u боты узла, находящегося в состоянии xi Xi, в режиме li (li = 0, ri, i = 1, N ) имеет показательное распределение, при этом с интенсивностью i (xi, xi ) узел переходит в состояние xi с (li + 1)-ым режимом (li = 0, ri 1), а с интенсивностью i (xi, xi ) – в состояние xi с (li 1)-ым режимом (li = 1, ri ). Предполагается, что i (xi, xi ) = 0, когда узел находится в состоянии xi с режимом ri, и i (xi, xi ) = 0, когда узел находится в состоянии xi с режимом 0. Предположим, что i (xi1, xi1 ) i (xi2, xi2 ) li li + xi1, xi2 Yiku, xi1, xi2 Yiku, =, i (i1, xi1 ) x i (i2, xi2 ) x u = 1, M, li = 0, ri 1, i = 1, N.

Заявка типа u, обслуженная в i-ом узле, независимо от других заявок мгновенно направля ется в j-ый узел и становится заявкой типа v с вероятностью p(i,u)(j,v), а с вероятностью p(i,u) покидает сеть (i, j = 1, N ;

u, v = 1, M ), N M v=1 p(i,u)(j,v) + p(i,u)0 = 1.

j= Предполагается, что матрица вероятностей переходов (p(i,u)(j,v) : i, j = 0, N, u, v = 1, M ), где p(0,u)(0,v) = 0, неприводима. Система уравнений трафика принимает вид N M iu = p0(i,u) + jv p(j,v)(i,u), i = 1, N, u = 1, M. (1) j=1 v= Система уравнений трафика имеет единственное положительное решение (iu, i = 1, N, u = 1, M ).

При сделанных предположениях x(t) – однородный марковский процесс с непрерывным вре менем и не более чем счётным пространством состояний X = X1 X2... XN.

Введем следующие обозначения:

+ (i, u, li, xi ) = {i Xi : |i |li = |xi |li +1, x xu u |i |li = |xi |li, m {1, 2,..., M }\{u}};

xm m (i, u, li, xi ) = {i Xi : |i |li = |xi |li 1, x xu u |xi |li = 0, |i |li = |xi |li, m {1, 2,..., M }\{u}};

xm u m + (i, u, li, xi ) = {i Xi : |i |li +1 = |xi |li, x xu u |i |s = |xi |s, xi = xi, s {0, 1,..., ri 1}\{li }};

xu u (i, u, li, xi ) = {i Xi : |i |li 1 = |xi |li, x xu u |i |s = |xi |s, xi = xi, s {1, 2,..., ri }\{li }}.

xu u Обозначим через iu = iu (i = 1, N, u = 1, M ) интенсивность поступления заявок типа u в i-ый узел. Инфинитезимальные интенсивности переходов процесса xi (t) из состояния xi Xi в состояние xi Xi (xi = xi ) принимают следующий вид:

qi (xi, xi ) = iu iu (xi, xi ), xi + (i, u, li, xi ), qi (xi, xi ) = µiu (xi, xi ), xi (i, u, li, xi ), qi (xi, xi ) = i (xi, xi ), xi + (i, u, li, xi ), qi (xi, xi ) = i (xi, xi ), xi (i, u, li, xi ).

Для всех остальных состояний xi интенсивность перехода qi (xi, xi ) = 0. Здесь iu (xi, xi ) 0, (i,u,l,x ) µiu (xi, xi ) – интенсивность + (i,u,l,x ) iu (xi, xi ) = 1;

µiu (xi, xi ) 0, µiu (xi ) = x x ii ii обслуживания i-ым узлом заявок типа u, когда он находится в состоянии xi ;

i (xi, xi ) 0, i (xi, xi ) 0, i (xi ) = x+ (i,u,li,xi ) i (xi, xi ), i (xi ) = x (i,u,li,xi ) i (xi, xi ) – интенсивности выхода из состояния xi за счёт внутренних переходов (i = 1, N ). Рассмотрим изолированный i-ый узел в фиктивной окружающей среде (окружающая среда является фиктивной, т.к. в сети сум марные потоки заявок в узлы, вообще говоря, не являются простейшими), предполагая, что в него поступают M независимых простейших потоков заявок с интенсивностями i1, i2,..., iM, где (iu, i = 1, N, u = 1, M ) – решение системы уравнений трафика (1). Пусть {pi (xi ), xi Xi } – ста ционарное распределение вероятностей состояний процесса xi (t). Предположим, что i-ый узел обратим. Уравнения обратимости для изолированного i-го узла сети принимают вид xi + (i, u, li, xi ), li = 0, ri ;

iu iu (xi, xi )pi (xi ) = µiu (i, xi )pi (i ), x x xi + (i, u, li, xi ), li = 0, ri 1;

i (xi, xi )pi (xi ) = i (i, xi )pi (i ), x x xi, xi Xi, u = 1, M, i = 1, N.

Стационарное распределение вероятностей состояний изолированного узла сети имеет вид l i M |xi |u li li li s1 s iu iu (yiku 1, yiku ) i (yi0, yi0 ) pi (xi ) = s1 pi (0), (2) li li s µiu (yiku, yiku 1 ) s=1 i (yi0, yi0 ) u=1 ku = li li yiku Yiku, xi, 0 Xi, u = 1, M, li = 0, ri, i = 1, N.

Стационарное распределение сети Обозначим через [i ] N -мерный вектор x X, у которого все координаты, кроме i-ой, сов x падают с координатами вектора x X, а i-ая координата равна xi Xi. Через [i, xj ] обозначим x N -мерный вектор x X, у которого все координаты, кроме i-ой и j-ой, совпадают с координата ми вектора x X, а i-ая координата равна xi Xi, j-ая координата равна xj Xj. Если q(x, y) – интенсивность перехода процесса x(t) из состояния x X в состояние y X, q(x) = y=x q(x, y) – интенсивность выхода из состояния x, то интенсивности переходов процесса x(t) имеют вид q(x, [i ]) = p0(i,u) iu (xi, xi ), xi + (i, u, li, xi );

x q(x, [i ]) = µiu (xi, xi )p(i,u)0 I(|x |li =0), xi (i, u, li, xi );

x iu q(x, [i ]) = i (xi, xi )I(li =ri ), xi + (i, u, li, xi );

x q(x, [i ]) = i (xi, xi )I(li =0), xi (i, u, li, xi );

x q(x, [i, xj ]) = µiu (xi, xi )p(i,u)(j,v) jv (xj, xj )I(|x |li =0) ;

x iu + xi (i, u, li, xi ), xj (j, v, lj, xj ), u, v = 1, M ;

i, j = 1, N, x X.

Для всех остальных состояний y X q(x, y) = 0. Интенсивность выхода получается сложе нием указанных интенсивностей:

N M N x X.

q(x) = + µiu (xi )I(|x |li =0) + [i (xi )I(li =ri ) + i (xi )I(li =0) ], (3) iu i=1 u=1 i= Теорема. Если для всех i = 1, N выполняются условия обратимости iu (yik1, yik1 )i (yik1, yiku )µiu (yiku, yiku 1 )i (yiku 1, yik1 ) = li li li li li li li li u 1 u u u = iu (yiku 1, yiku )i (yik1, yiku 1 )µiu (yik1, yik1 )i (yiku, yik1 ), li li li li li li li li u 1 u u u yik1 Yiku 1, yik1 Yiku, yiku Yiku, yiku 1 Yiku 1, li 1 li 1 li li li li li li u 1 u ku = 0, li = 0, ri, u = 1, M, i = 1, N, и сходится ряд l i M |xi |u li li li N s1 s iu iu (yiku 1, yiku ) i (yi0, yi0 ) q(x) s1, li li s µiu (yiku, yiku 1 ) s=1 i (yi0, yi0 ) i=1 u=1 ku = xX где q(x) – интенсивность выхода из состояния x, определяемая равенством (3), то марковский процесс x(t) эргодичен, а его стационарное распределение имеет форму произведения x X, p(x) = p1 (x1 )p2 (x2 )...pN (xN ), где pi (xi ) определяется (2).

Список литературы 1. Летунович, Ю. Е. Открытые неоднородные сети массового обслуживания с возможностью внутренних изменений в узлах / Ю. Е. Летунович // Вестник Томского государственного университета. Управле ние, вычислительная техника и информатика. – 2010. – № 2(11). – С. 82–89.

2. Малинковский, Ю. В. Критерий представимости стационарного распределения состояний открытой марковской сети обслуживания с несколькими классами заявок в форме произведения / Ю. В. Ма линковский // Автоматика и телемеханика. – 1991. – № 4. – С. 75–83.

Дудовская Юлия Евгеньевна, ассистент кафедры экономической кибернетики и теории вероятностей Гомельского государственного университета имени Ф. Скорины, кандидат физико-математических наук, dudovskaya@gmail.com.

УДК 519. М. К. ЖУРАК, Ю. С. ХАРИН ОБ ОЦЕНИВАНИИ ПАРАМЕТРОВ ПУАССОНОВСКОЙ УСЛОВНО АВТОРЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ ЗАБОЛЕВАЕМОСТИ НА ОСНОВЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ ДАННЫХ Построена Пуассоновская условно авторегрессионная модель заболеваемости на основе пространственно-временных данных. Разработан алгоритм вычисления оценок при помощи метода максимального правдоподобия. Предлагается упрощенная аппроксимационная регрессионная модель, для которой построены статистические оценки параметров.

Представлены результаты компьютерных экспериментов.

Введение Модели пространственно-временных статистических данных находят широкое применение при решении актуальных прикладных задач. Они используются в медицине, экологии, экономике и других областях. Укажем некоторые из моделей [1-6].

Кластерный процесс Неймана-Скотта используется для описания процессов воспроизвод ства населения в задачах демографии [1]. Модель STCAR применялась для описания процессов банкротства малых и средних предприятий в провинциях Италии [2], эпидемическая модель была использована для описания процессов эпидемии ящура в 2001 году в Великобритании [3], обобщенная многомерная условно авторегрессионная модель (GMCAR) была использована для моделирования динамики смертности населения [4]. Пространственно-временные процессы широко используются в сейсмологии для данных, регистрирующих место и время землетря сений [5], [6]. В данной статье предлагается Пуассоновская условно авторегрессионная модель пространственно-временных наблюдений за состоянием заболеваемости в некотором регионе и решается задача статистического оценивания параметров этой модели.

Пуассоновская условно-авторегрессионная модель Введем следующие обозначения:

(, F, P ) – вероятностное пространство;

s S = {1, 2,..., n} – индексная переменная, кодирующая пространственные координаты населенного пункта, n – число населенных пунктов;

t = {1, 2,..., T } – дискретное время, T – длительность временного промежутка наблюде ний;

xs,t = x(, s, t) N0 = N {0}, – случайное число больных в момент t в пункте s в расчете на фиксированный размер группы риска, округленное до целого (уровень заболеваемо сти);

Fs,t = {x(, u, ) : u = s, t} F – -алгебра, порожденная указанными в {·} случай ными величинами;

zs,t 0 – наблюдаемый (известный) уровень фактора (например, уровень загрязнения), влияющий на уровень заболеваемости в пункте s в момент t;

{k (t) : 1 k Ks } – заданный набор базисных функций, определяющих тренд (1 (t) 1);

L{} – закон распределения вероятностей случайной величины ;

() – закон распределения вероятностей Пуассона с параметром 0;

N (µ, 2 ) – одномерный нормальный (Гауссовский) закон распределения вероятностей с па раметрами µ, 2 ;

{s,t } – независимые гауссовские случайные величины, L{s,t } = N1 (0, s ).

Аналогично [2] построим Пуассоновскую условно авторегрессионную модель пространственно-временных наблюдений {xs,t }:

L{xs,t |Fs,t } = (s,t ), s S, t, s,t = s,t es,t, (1) ps qs Ks k=1 sk k (t) + s xs1,t }, s,t = exp{ i=1 si xs,ti + j=1 sj zs,tj1 + где {si } : i = 1,..., ps, {sj } : j = 1,..., qs, {sk } : k = 1,..., Ks, s, s, s = 1,..., n – параметры модели, ps, qs, Ks - заданные значения, 1 ::= 0.

Задача состоит в статистическом оценивании указанных выше параметров модели по наблюдениям {xs,t : s S, t }.

Вычисление оценок максимального правдоподобия (ОМП) Учитывая, что оптимальные статистические выводы [7] основаны на функции правдоподо бия, рассмотрим задачу построения функции правдоподобия.

Примем следующие обозначения:

s = (s1,..., sps, s1,..., sqs, s1,..., sKs, s ) Rps +qs +Ks +1, n s=1 (ps +qs +Ks +1), D = (1,..., n ) Rn, s = (s,1,..., s,T ) RT.

2 = (1,..., n ) R Построим вначале условную функцию правдоподобия для s-го административного центра Ls (s, s |s ) при фиксированном случайном векторе s (s S).

Теорема 1. Для определенной выше модели пространственно-временного случайного поля условная функция правдоподобия для s-го административного центра имеет вид:

x T T s,t s,t s,t exs,t s,t s,t e Ls (s, s |s ) =( )( ).

xs,t !

t=1 t= Заметим, что при таком построении функции правдоподобия возникает проблема с заданием начальных значений {xs,t : t = 0, 1,..., ps + 1}. Если такие значения не доступны, то будем рассматривать модифицированную функцию правдоподобия для t ps + 1:

s,t T (s,t es,t )xs,t es,t e Ls (s, s |s ) =.

xs,t !

t=ps + Функции Ls (s, s |s ) и Ls (s, s |s ) отличаются конечным (не зависящим от T ) множителем:

2 2 Ls (s, s |s ) = Ls (s, s |s )P {xs,1,..., xs,ps 1 |s }, значение которого при T становится пренебрежимо малым.

Для статистического оценивания параметров будем использовать логарифмическую функ цию правдоподобия. В этом случае если P {xs,1,..., xs,ps 1 |s } не зависит от параметров модели, то при вычислении оценок параметров слагаемое в логарифмической функции правдоподобия, со держащее P {xs,1,..., xs,ps 1 |s } влиять на результат не будет. Если P {xs,1,..., xs,ps 1 |s } не зависит от T, то влияние дополнительного слагаемого будет мало.

Введем специальную функцию f (k, a, b, 2 ) = E{ 2k eabe }, где a 0, b 0, k 0, L{} = N1 (0, 2 ):

1 2k eabe e 22 d.

f (k, a, b, 2 ) = (2) 2 Теорема 2. В условиях теоремы 1 логарифмическая функция правдоподобия для s-го ад министративного центра имеет вид:

T 2 (xs,t ln s,t ln xs,t ! + ln f (0, xs,t, s,t, s )), ls (s, s ) = t=ps + где f (k, a, b, 2 ) - функция, определенная в (2).

Следствие. Логарифмическая функция правдоподобия для совокупности всех администра тивных центров имеет следующий вид:

n n T l(, 2 ) = 2 (xs,t ln s,t ln xs,t ! + ln f (0, xs,t, s,t, s )).

ls (s, s ) = s=1 s=1 t=ps + Для нахождения ОМП параметров модели нужно решить следующую оптимизационную задачу:

l(, D) max. (3),D Из модели (1) и теоремы 2 видно, что задача (3) распадается на n задач для каждого s:

ls (s, s ) max. (4) s,s Запишем необходимое условие для локального максимума в (4):

s ls (s, s ) = 0. (5) s ls (s, s ) Пусть (s, s ) - решение (5), тогда достаточным условием локального максимума (4) в точке (s, s ) является условие отрицательной определенности матрицы вторых производных:

2 l (, 2 ) s s s s s,s ls (s, s ) H(s, s ) = 0.

2 2 2 l (, 2 ) s,s ls (s, s ) s s s s 2 Задачу (5) будем решать численно, применяя итерационный метод Ньютона[8], который об ладает квадратичной сходимостью. Для этого метода (k+1)-ая итерация имеет вид (k = 0, 1, 2,...):

(k+1) (k) s s (H (k) )1 · ( ls )(k), = (6) (s )(k+1) 2 (s )(k) (k) где ( ls )(k) – вектор первых производных в точке (s, (s )(k) ), H (k) – матрица вторых производ (k) (0) (0) ных в точке (s, (s )(k) ). (s, Ds ) – начальное приближение. Далее будет предложен способ (0) (0) задания (s, Ds ). Итерационные вычисления заканчиваем, если || ls (s )(k+1), (s )(k+1) )||, где 0 – наперед заданная достаточно малая величина, определяющая точность вычисления (k+1) s ОМП;

при этом в качестве решения принимаем.

(s )(k+1) Задача (4) может определять несколько локальных максимумов, удовлетворяющих условию (5);

поэтому для нахождения глобального максимума ls (s, s ) будем применять итерационный алгоритм (6) несколько раз для разных начальных значений. А затем в качестве оценки выберем то решение задачи (4), в котором функция правдоподобия принимает наибольшее значение.

Для задания одного из векторов начального приближения для ите- ((0), D(0) ) рационного алгоритма (6) рассмотрим аппроксимационную модель для модели (1).

Остальные векторы начальных приближений выберем случайным образом из множества (, D) ((0), D(0) ) (, D) M, где M - наперед заданная величина.

Так как L{xs,t } = (s,t ), то E{xs,t } = s,t. Учитывая это свойство, вместо модели (1) рассмотрим регрессионную модель:

ps qs Ks sk k (t) + s xs1,t + s,t, s S, t, ln xs,t = si xs,ti + sj zs,tj1 + (7) i=1 j=1 k= где {s,t } – независимые случайные величины L{s,t } = N1 (0, s ). ps qs Ks F (, D, s, t) = i=1 si xs,ti + j=1 sj zs,tj1 + k=1 sk k (t) + s xs1,t – линейная функция регрессии для ys,t = ln xs,t.

Оценки параметров модели (7), полученные при помощи метода наименьших квадратов, примем в качестве начального приближения ((0), D(0) ) для итерационного алгоритма (6).

При реализации выше представленного алгоритма вычисления ОМП возникла задача вы числения функции f (·), определенной в (2), а также вектора первых производных и матрицы вторых производных.

Лемма 1. Для модели (1) производные первого порядка по параметрам s и s от логариф- мической функции правдоподобия для s-го административного центра имеют вид:

T f 0, xs,t + 1, s,t, s (xs,t s ls s, s = s,t )Xs,t, f (0, xs,t, s,t, s ) t=ps + T f 1, xs,t, s,t, s s ls s, s =, 4 f (0, x,, 2 ) 2s 2s s,t s,t s t=ps + где f (·) - функция, определенная в (2).

Вычислим матрицу производных второго порядка.

Лемма 2. Для модели (1) матрица вторых производных по параметрам s и s от логариф мической функции правдоподобия для s-го административного центра имеет вид:

2l 2 2 s, s s,s ls s, s s s 2 2 H s, s = ls s, s =, 2 2 2 l, 2,s ls s, s s s ss s где 2 s ls s, s = T f 2 0, xs,t + 1, s,t, s 2 2 f 0, xs,t + 2, s,t, s f xs,t + 1, s,t, s 2 T = s,t Xs,t Xs,t.

s,t f 2 (0, xs,t, s,t, s ) 2 2 f (0, xs,t, s,t, s ) f (xs,t, s,t, s ) t=ps + 2 s ls s, s = T 2 2 f 2 1, xs,t, s,t, s f 1, xs,t, s,t, s f 2, xs,t, s,t, s 1 ( = +8 + ), 6 f (0, x,, 2 ) 2 2 s 4s f (0, xs,t, s,t, s ) f (0, xs,t, s,t, s ) 2s s,t s,t s t= T 2 2 2 s,s ls s, s = s,s ls s, s = 2 T 2 2 f 1, xs,t + 1, s,t, s f 1, xs,t, s,t, s f 0, xs,t + 1, s,t, s 1 T =4 + s,t Xs,t, 2 f 2 (0, xs,t, s,t, s ) 2s f (0, xs,t, s,t, s ) t=ps + где f (·) – функция, определенная в (2).

Лемма 3. Функции f (k, a, b, 2 ), a 0, b 0, входящяя в выражение функции правдопо добия и ее производных и определяемая формулой (2), ограничена и может быть вычисленна приближенно, используя квадратурную формулу:

n f (k, a, b, 2 ) = Aj g(j ) + Rn (g), j= 2 2 2k где g() = ( 2 ) 2k ea 2 2 be, {j } - корни многочлена Эрмита, {Aj } - коэффициенты квадратурной формулы: 2n (n + 1)!

Aj =, j = 0, 1,..., n.

(n + 1)2 (Hn (j )) Остаток имеет вид: (n + 1)!

max g (2n+2) ().

Rn (g) = n+ 2 (2n + 2)! (,) Замечание. При вычислении функции f (k, a, b, 2 ), a 0, b 0 можно воспользоваться суще ствующими таблицами узлов {j } и коэффициентов {Aj } для различных значений n.

Результаты компьютерного моделирования Приведем результаты компьютерных экспериментов на модельных данных. Рассмотрим мо дель (1) при n = 1, p1 = q1 = 0, K1 = 2, = (2.5, 0.01), 1 (t) = 1, 2 (t) = t, 1 = 0.5.

Оценим среднеквадратическую погрешность оценивания параметров для разных значений T по следующей формуле:

F ||(k) ||2, rT {} = F k= где – оценка параметра по k-ой реализации временного ряда, – истинное значение парамет (k) ров, F – количество реализаций временного ряда. На рисунке 1 изображена зависимость rT {} от T (T изменяется от 20 до 200, F = 500) для модели (1), используя (6), и для регрессионной модели (7).

Рисунок 1 – Среднеквадратическая погрешность для модели (1) и для модели (7) Рисунок 1 иллюстрирует свойство состоятельности оценок параметров для модели (1). Видно также, что среднеквадратическая погрешность оценивания парметров для модели (1) меньше, чем для аппроксимационной модели (7).

Заключение В статье построена Пуассоновская условно авторегрессионная модель пространственно временного случайного поля. Построена функция правдоподобия для оценки параметров дан ной модели. Предложен численный метод вычисления оценок. Построена аппроксимационная регрессионная модель, для которой выполнены численные эксперименты на модельных данных.

Список литературы 1. Handbook of spatial statistic / [edited by] E. Alan Gelfand [et al.] // Taylor and Francis Group, 2010. – 608 p.

2. Mariella, L. Spatial temporal conditional Auto-Regressive Model: A New Autoregressive Matrix / L. Mariella, M. Tarantino // Austrian journal of Statistic. – 2010. – Vol. 3 – P. 223–244.

3. Dynamics of the 2001 UK foot and mouth epidemic: Stochastic dispersal in a hete-rogeneous landscape / M. J. Keeling [et al.] // Science. – 2001. – Vol. 294. – P. 813–817.

4. Jin, X. Generalized hierarchical multivariate CAR models for areal data / X. Jin, B. P. Carlin, S. Banerjee // Biometrics. – 2005. – Vol. 91(4). – P. 950–961.

5. Ogata, Y. Space-time point process model for earthquake occurrences / Y. Ogata // Annals of the Institute of Statistical Mathematics. – 1998. – Vol. 50(2). – P. 379-–402.

6. Ogata, Y. Space–time ETAS models and an improved extension / Y. Ogata, J. Zhuang // Technophysics.

–2006. – Vol. 413(1-2). – P. 13–23.

7. Боровков, А. А. Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез / А. А. Боровков.

– М.: Издательство "Наука 1984. – 472 с.

8. Альсевич, В. В. Методы оптимизации: упражнения и задания: учебное пособие / В. В. Альсевич, В. В. Крахотко – Мн. : БГУ, 2005. – 405 с.

9. Зорич, В. А. Математический анализ, часть 1 / В. А. Зорич. – М.: Наука, 1981. – 544 с.

Журак Марина Константиновна, студентка 5 курса факультета прикладной математики и инфор матики Белорусского государственного университета, mzhurak@gmail.com.

Харин Юрий Семенович, заведующий кафедрой математического моделирования и анализа дан ных Белорусского государственного университета, член-корреспондент НАН Беларуси, доктор физико математических наук, профессор, kharin@bsu.by.

УДК 519. Н. М. ЗУЕВ, П. М. ЛАППО ХАРАКТЕРИСТИКИ ВРЕМЕНИ НАСТУПЛЕНИЯ СЕРИИ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ В ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ СХЕМЕ В работе приводятся рекуррентные соотношения для нахождения распределения и цен тральных моментов времени появления серии событий в полиномиальной схеме.

Ключевые слова: серии событий, полиномиальная схема испытаний.

Имеется обширная литература, посвященная исследованию серий успехов и неудач в би нарных последовательностях. Распределение числа испытаний Бернулли до первого появления k последовательных успехов называется геометрическим распределеним порядка k. Это распре деление интересовало еще Муавра (1667–1754), Феллера [1]. В [2] рассматривается cерия успе хов определенной длины. Проверяется гипотеза о том, что все успехи имеют вероятности 0,5.

Предельное распределение числа успехов определенной длины в цепи Маркова с постоянными вероятностями перехода рассматривается в работе Y. H. Wang, J. I. Shuixin [3]. В [4] Q. Yang рассматривает двумерное распределение для числа успехов различной длины в цепи Маркова и получает выражение для производящей функции. V. T. Stefanov в [5] получает асимптотиче ское распределение для набора успехов и неудач в марковской последовательности испытаний Бернулли. Производящая функция числа успехов определенной длины в цепи Маркова с двумя состояниями получена K. Hirano и S. Aki в [6]. C. Fu и M. V. Koutras получили точное распре деление для m-го момента наступления серии успехов определенной длины в [7]. В настоящей работе исследуется вопрос нахождения распределения момента наступления определенной серии различных событий в полиномиальной схеме. Также находятся центральные моменты времени первого появления определенной серии.

Будем рассматривать последовательность независимых испытаний, в которых могут проис ходить только события A1,..., Al с вероятностями p1,..., pl соответственно.

Пусть нас интересует появление определённой последовательности из событий длины k, со ставленной из событий A1,..., Al. Такую последовательность обозначим. Первые i элементов этой последовательности обозначим i. Пусть Sn – n реализаций в рассмотренной схеме испыта ний.

Обозначим i Sn, если последние i событий в последовательности Sn совпадают с i. Пусть = min(n : Sn ), p(n) = P ( = n), pi (n) = P ( = n/i ), j – индекс события, стоящего в серии событий после i 1-го события.

Теорема 1. Распределение p(n) случайной величины находится рекуррентным образом из системы k линейных уравнений:

ps pl(s) (n + l(s) i), pi1 (n) = pj pi (n) + (1) s=j где p0 (n) = p(n), pi (n) = 0, если n k, pk (n) = 1, l(s) = max(r : r i1 As ).

Доказательство теоремы следует из формулы полной вероятности.

Пусть Ei (l) = E(( + l)m |i ), Ei = E( m |i ).

Теорема 2. Моменты E m случайной величины находятся рекуррентным образом из си стемы k линейных уравнений:

ps El(s) (i l(s)), Ei1 = pj Ei (n) + s=j где E0 (l) = E( + l)m, Ek (l) = (k + l)m Доказательство теоремы следует из теоремы 1, умножая правую и левую части (1) на nm и суммируя по n от 1 до.

Пусть i (l) = E(z +l |i ), i = E(z |i ).

Теорема 3. Производящая функция (z) = Ez = 0 случайной величины находится рекуррентным образом из системы k линейных уравнений:

ps l(s) (i l(s)), i1 = pj i (n) + (2) s=j где k (l) = Ez +l = z l (z).

Доказательство теоремы следует из теоремы 1, умножая правую и левую части (1) на z n и суммируя по n от 1 до.

Производящая функция (z) из уравнений (2) будет иметь вид cz k (z) =, k zm 1 am m= где c, a1,..., ak зависят только от p1,..., pk.

Используя выражение для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и по линомиальное разложение, получим l k l! lm (a1 z)l1... ak z k k m k (z) = cz am z =cz = l1 !...lm !

m= l=0 l= l!

= cz k al... alm z l1 +2l2 +...+mlm = br z r, l1 !... lm ! 1 m l=0 r=k где берётся по упорядоченным наборам неотрицательных целых чисел l1,..., lk таким, что l1 +... + lk = l.

Отсюда получаем lk l cl! a1... ak P ( = n) = bn =, l1 !... lk !

где берётся по упорядоченным наборам неотрицательных целых чисел l,..., l таким, что 1 k l1 + 2l2 +... + k(lk + 1) = n, l1 +... + lk = l.

Пример. Рассмотрим независимые испытания Бернулли с событиями A и A, имеющими вероятности p и q = 1p соответственно. Индекс у события будет указывать на номер испытания.

Пусть серия имеет вид = AAAAA. Тогда из теоремы 1 получаем следующую систему P { = n} = pP { = n/A1 } + qP { = n 1}, P { = n/A1 } = pP { = n/A1 A2 } + qP { = n 2}, P { = n/A1 A2 } = pP { = n 1/A1 A2 } + qP = n/A1 A2 A3, (3) P = n/A1 A2 A3 = pP { = n 3/A1 A2 } + qP = n/A1 A2 A3 A4, P = n/A1 A2 A3 A4 = pP { = n/} + qP { = n 5}, P { = n} = 0, 1, если n = 5, при n 4, и P { = n/} =, 0, если n = P { = n/A1 A2 } = pP { = n 1/A1 A2 } + qp2 P { = n 3/A1 A2 } + (4) +q 2 p2 P q 2 pP q3P { = n 2/A1 A2 } + { = n/} + { = n 5}.

Если же n 2, то P { = n/A1 A2 } = 0. Используя (3) и (4), находим P { = n}.

Найдем моменты первого и второго порядка случайной величины. Из теоремы 2 получаем:

E = pE (/A1 ) + gE ( + 1), E (/A1 ) = pE (/A1 A2 ) + qE ( + 2), E (/A1 A2 ) = pE ( + 1/A1 A2 ) + qE /A1 A2 A3, (5) E /A1 A2 A3 = pE ( + 3/A2 ) + qE /A1 A2 A3 A4, E /A1 A2 A3 A4 = p · 5 + qE ( + 5).

Отсюда 1 + p2 4p3 + p4.

E = p3 q Для момента второго порядка имеем систему E 2 = pE 2 |A1 + qE( + 1)2, E 2 |A1 = pE 2 |A1 A2 + qE( + 2)2, E 2 |A1 A2 = pE ( + 1)2 |A1 A2 + qE( 2 |A1 A2 A3 ), (6) E 2 |A1 A2 A3 = pE ( + 3)2 |A1 + qE( 2 |A1 A2 A3 A4 ), E( 2 |A1 A2 A3 A4 ) = 25p + qE( + 5)2.

Используя системы (5) и (6) находим момент второго порядка.

Найдем производящую функцию (z) = Ez. По теореме 3 имеем Ez = pE(z|A1 ) + qEz +2, E(z |A1 ) = pE(z |A1 A2 ) + qEz +2, E(z |A1 A2 ) = pE(z +1 |A1 A2 ) + qE(z |A1 A2 A3 ), E(z |A1 A2 A3 ) = P E(z +3 |A1 ) + qE(z |A1 A2 A3 A4 ), E(z |A1 A2 A3 A4 ) = z 5 p + qEz +5.

Отсюда получаем p3 q 2 z (z) =.

1 z + p2 q 2 z 4 p2 q 3 z Список литературы 1. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и её приложения / В. Феллер // М., 1967. – Т.1 – 498 с.

2. Smith, C. F. Distribution of runs tests under various models / C. F. Smith // South. African. Statist. J. – 1996. – (30). – p. 69–79.

3. Wang, Y. H. Limit theorems for the number of occurrence of consecutive k successes in n markovian trials / Y. H. Wang, J. I. Shuixin // J. Appl. Prob. – 1995. – 32. – p. 727–735.

4. Han, Q. Distributions and probability generating functions of success run vector / Q. Han // Far East J.

Theo. Stat. – 2002. – Vol.6. – p. 57–72.

5. Stefanov, V. T. On run statistics for binary trials / V. T. Stefanov // Journal of Statistical Planning and Interference. – 2000. –87. – p. 177–185.

6. Hirano, K. On number of occurrence of success runs of specied length in a two-state Markov chain / K. Hirano, S. Aki // Statistica Sinica. – 1993 – 3. – p. 313-320.

7. Fu, J. C. Distribution theory of runs: a Markov chain approach / J. C. Fu, M. V. Koutras // Journal of American Statistical Association. – September 1994. – Vol. 89. – No. 427. – Theory and Methods. p. 1050– 1058.

Зуев Николай Михайлович, доцент кафедры теории вероятностей и математической стати стики Белорусского государственного университета, кандидат физико-математических наук, доцент, ZuevNMM@bsu.by.

Лаппо Петр Михайлович, доцент кафедры теории вероятностей и математической стати стики Белорусского государственного университета, кандидат физико-математических наук, доцент, LappoPM@bsu.by.

УДК 519. Т. К. ИВАНОВСКАЯ, М. А. МАТАЛЫЦКИЙ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДОХОДОВ РЕГИОНАЛЬНОЙ ТАМОЖНИ С ПОМОЩЬЮ НМ-СЕТЕЙ В статье предложена стохастическая модель прогнозирования ожидаемых доходов Грод ненской региональной таможни (ГРТ) в виде НМ-сети массового обслуживания (МО) с ограниченным временем ожидания заявок и без ограничений. Также рассмотрено примене ние к модели функционирования ГРТ НМ-сети с двумя типами заявок. Получены значения среднего числа заявок в системах, построены графики расчета ожидаемых доходов ГРТ на различных интервалах времени. Проведено сравнение спрогнозированного дохода ГРТ с реальными показателями, которое подтверждает адекватность предложенной модели.

Введение В настоящее время Гродненская региональная таможня это крупное структурное подраз деление в составе Государственного таможенного комитета Республики Беларусь, обеспечиваю щее исполнение таможенного законодательства РБ, нормативных актов, взимание таможенных платежей, борьбу с контрабандой и административными таможенными правонарушениями, ве дение таможенной статистики, организацию таможенного контроля и оформления.

Основной вид деятельности таможенных органов это взимание таможенных пошлин и налогов, которыми облагаются ввозимые товары на территорию Республики Беларусь. В цен тральном (головном) офисе ГРТ перераспределяются денежные средства, поступающие из рес публиканского бюджета и от взимания таможенных пошлин, налогов на граничных и внутренних постах. Доходы таможня получает от поступления денежных средств от взимания таможенных пошлин, налогов с физических и юридических лиц за перемещение товаров через таможенную границу, а расходы происходят из-за движения денежных средств на потребности таможни, пла нируемые государством и самой таможней, но в связи с различными случайными факторами они также могут наступать в случайные моменты времени.

Упрощенная схема формирования доходов и расходов ГРТ представлена на рис.1.

Рисунок 1 – Схема формирования доходов и расходов ГРТ Описание функционирования ГРТ с помощью НМ-сети В статье рассматривается модель функционирования ГРТ в виде открытой НМ (Howard Matalytski)-сети МО со случайными доходами от переходов между ее состояниями. Для анализа доходов систем сети, представленной на рис.2, можно применить методику, описанную в [1].

Ее стохастической моделью является сеть МО, состоящая из центральной системы массо вого обслуживания (СМО) S11, соответствующей центральному офису ГРТ и 10 периферийных СМО: S1 – таможенный пункт (ТП) Брузги, S2 – ТП Берестовица, S3 – ТП Привалка, S4 – организация таможенного оформления и контроля (ОТОиК) №1, S5 – ОТОиК №2, S6 – ТП Гродно-2, S7 – ТП Волковыск, S8 – бюджет Гродненской области, S9 – республиканский бюджет, S10 – расходы. Заявками в модели являются операции по зачислению денежных средств на счет таможни, поступающих из различных периферийных СМО. В качестве линий обслужи вания в СМО рассматриваются сотрудники таможни, занимающиеся обработкой операций по зачислению платежей. Схема сети приведена на рис.2.

Рисунок 2 – Стохастическая модель ГРТ Методика прогнозирования доходов ГРТ В сеть поступает простейший поток заявок с интенсивностью. Интенсивность обслужи вания заявок µi (ki (t)) в момент времени t в системе Si зависит от числа заявок в этой системе ki (t), i = 1, n 1.

Рассмотрим динамику изменения доходов центральной системы Sn сети. Через Vn обозначим ее доход в момент времени t. Пусть доход системы в начальный момент времени равен Vn (0) = vn0.

Доход в момент времени t + t этой СМО можно представить в виде Vn (t, t) = Vn (t) + Vn (t, t), (1) где Vn (t, t) – изменение дохода системы Sn на интервале времени [t, t + t). Для нахождения этой величины выпишем условные вероятности событий, которые могут произойти за время t, а также связанные с ними изменения доходов периферийных систем Si, i = 1, n 1, и центральной системы Sn.

1) С вероятностью p0i t + o(t) в систему Si из внешней среды поступит заявка, которая принесет ей доход в размере r0i, где r0i – СВ с математическим ожиданием (м.о.) M {r0i } = a0i, i = 1, n 1.

2) С вероятностью µi (ki (t))u(ki (t))pi0 t + o(t) заявка из системы Si перейдет во внешнюю среду, при этом доход системы Si уменьшится на величину Ri0, где Ri0 – СВ с м.о. M {Ri0 } = = bi0, i = 1, n 1.

3) С вероятностью µi (ki (t))u(ki (t))pin t + o(t) заявка перейдет из системы Si в систему Sn, при этом доход системы Sn возрастет на величину rin, а доход системы Si уменьшится на эту 1, если x величину, где rin – СВ с м.о. M {rin } = ain, i = 1, n 1;

u(x) = функция 0, если x = Хевисайда.

4) С вероятностью µn (kn (t))u(kn (t))pni t + o(t) заявка из системы Sn перейдет в систему Si, при этом доход СМО Sn уменьшится на величину Rni, а доход системы Si восрастет на эту величину, где Rni – СВ с м.о. M {Rni } = bni, i = 1, n 1.

n 5) С вероятностью 1 (p0i + µi (ki (t))u(ki (t)) + µi (ki (t))u(ki (t))pin )t + o(t) на отрезке i= времени [t, t + t) изменение состояния системы Si, i = 1, n не произойдет.

Кроме того, за каждый малый промежуток времени t система Si увеличивает свой доход на величину ri t, где ri – СВ с м.о. M {ri } = ci, i = 1, n. Будем также считать, что СВ rin, Rni, r0i, Ri являются независимыми по отношению к СВ ri, i = 1, n.

Тогда из вышеуказанного следует r0i + ri t, с вероятностью p0i t + o(t), Ri0 + ri t, с вероятностью µi (ki (t))u(ki (t))pi0 t + o(t), rin + ri t, с вероятностью µi (ki (t))u(ki (t))pin t + o(t), Vi (t, t) = Rni + ri t, с вероятностью µi (ki (t))u(ki (t))pni t + o(t), n ri t, с вероятностью 1 (p0i + µi (ki (t))u(ki (t)) + µi (ki (t))u(ki (t))pin )t + o(t).

i= Если ввести обозначение vn (t) = M {Vn (t)}, то нахождение ожидаемых доходов открытой сети можно свести к решению неоднородного линейного ОДУ первого порядка с разрывными правыми частями:

n1 n dvn (t) µi min(Ni (t), mi )(pin ain pi0 bi0 ) µn min(Nn (t), mn ) = cn + p0i a0i + pni bni, (2) dt i=1 i= где среднее число заявок в СМО находится из системы уравнений:

n dNi (t) µj pjn min(Nj (t), mj ) µi min(Ni (t), mi ) + p0i, i = 1, n 1, j = i.

= (3) dt j= Рассмотрим случай, когда сеть функционирует в условиях высокой нагрузки, т.е. в любой момент времени в системах сети есть заявки. В этом случае, системы (2), (3) примут следующий вид: n1 n dvn (t) µi (pin ain pi0 bi0 ) µn = cn + p0i a0i + pni bni, dt (4) i=1 i= vn (0) = vn0.

dNi (t) n µn pni µi + p0i, i = 1, n 1, dt = i=1 (5) dNn (t) n µi pin µn.

dt = i= Решениями системы (5) являются выражения n µn pni µi + p0i )t + Ni (0), i = 1, n 1, Ni (t) = ( i= n µi pin µn )t + Nn (0), Nn (t) = ( (6) i= где Ni (0) – среднее число заявок в i-ой системе в начальный момент времени, i = 1, n 1.

Подставив соотношения (6) в систему (4), можно найти ожидаемый доход центральной системы Sn на различных интервалах времени.

Пример Найдем ожидаемый доход ГРТ за 2012 год (4 квартала).

Для построения графика прогнозируемого дохода были рассчитаны следующие параметры модели:

- интенсивность поступления заявок в сеть (количество заявок поступивших извне в перифе рийные системы за единицу времени, равную одному дню) = 7580 заявок/день;

- вероятности поступления заявок в сеть извне находятся как p0i = i, i = 1, 7, где i – количество заявок, поступающих в i-ю СМО в единицу времени;

- вероятности поступления заявок в центральную СМО из периферийных систем pin = 1, i = 1, 7, i = 9;

- вероятности поступления заявок из центральной СМО в периферийные pni = 0, 1, i = 1, 10;

- время обслуживания одной заявки рассчитывается как Ti (день), i = 1, 7;

Ti =, ti = i µi где Ti – суммарное время обслуживания всеми линиями i–ой системы заявок, поступающих в единицу времени;

- интенсивность обслуживания заявки одной линией i-й СМО в единицу времени (заявок/день);

µi = ti - a0i – доход, который приносит поступившая заявка системе Si ;

- bni, i = 1, 7 – расход центральной СМО, когда из нее уходят заявки.

Параметры сети, а также доходы и расходы центральной системы в единицу времени (день), связанные с поступлением и уходом заявок приведены в табл.1, при этом, cn = 4370, 56 млрд.

руб.

Таблица 1 – Параметры стохастической модели прогнозирования доходов ГРТ № СМО i (заявок/день) p0i ti (день) µi (заявок/день) a0i (млн.руб.) bni (млн.руб.) 1 1650 0,2177 0,00061 1639,3443 90,63 15, 2 1540 0,2032 0,00065 1538,4615 78,96 16, 3 1120 0,1478 0,00089 1123,596 74,52 30, 4 230 0,0303 0,0044 227,273 254,75 12, 5 170 0,0224 0,0059 169,4915 180,48 14, 6 770 0,1016 0,0013 769,2308 35,99 25, 7 2100 0,277 0,00048 2083,33 322,42 20, 8 60 0,0079 0,0001 50,62 0 357, 9 90 0,0106 0,00016 87,02 34,89 634, 10 30 0,0028 0,00003 26,01 0 98, Для нахождения ожидаемых доходов ГРТ была составлена программа в компьютерной си стеме Mathematica, которая позволяет находить ожидаемые доходы систем сети в любой момент времени и строить их графики. Среднее число заявок в системах сети, с учетом (6), равно N1 (t) = 1, 7834(1 e1639,3442t ), N2 (t) = 1, 5678(1 e1538,4615t ), N3 (t) = 1, 0987(1 e1123,596t ), N4 (t) = 0, 0032(1 e227,273t ), N5 (t) = 0, 0024(1 e169,4915t ), N6 (t) = 1, 0045(1 e769,2308t ), N7 (t) = 2, 0769(1 e2083,33t ), N8 (t) = 0, 0009(1 e50,62t ), N9 (t) = 0, 00105(1 e87,02t ), N10 (t) = 0, 0003(1 e26,01t ), N11 (t) = 34, 854 + 17, 92(0, 754e9427,56t e3145,32t ).

Доход центральной системы сети ГРТ, полученный как решение системы (4), равен v11 (t) = 1456, 61e1639,3443t + 5678, 03e1538,4615t + 34678, 9e1123,596t + 6571, 4e227,273t + +8345, 84e169,49t + 2546, 91e769,23t + 1344, 22e2083,33t + 123, 1e87,02t + 67, 7823 · 106 t.

График ожидаемого дохода ГРТ за 2012 год изображен на рис.3.

Рисунок 3 – График прогнозируемого дохода ГРТ за 2012 год Методика прогнозирования доходов ГРТ с помощью НМ-сетей с ограниченным вре менем ожидания заявок В статье также рассмотрена стохастическая модель прогнозирования доходов ГРТ с ограни ченным временем ожидания заявок. В рассматриваемой нами модели, заявки, которые попадают в периферийные системы S1, S2,..., S5, из внешней среды, могут циркулировать только между видами СМО: граничными таможенными постами S1 – ТП Брузги ;

S2 – ТП Берестовица ;

S3 – ТП Привалка и внутренними таможенными постами S4 – ОТОиК №1, S5 – ОТОиК №2, и, не дождавшись обслуживания в данной периферийной системе, могут переходить в другие пери ферийные системы соответствующего вида СМО. Такое перемещение может происходить вслед ствие большой очереди в системе, длительного времени обслуживания одной заявки, в результа те возврата заявки по причине поломки, перевоза ограниченного, запрещенного и нелегального товара, а также в случае невозможности оплатить таможенные пошлины, налоги. Схема сети приведена на рис.4.

Рисунок 4 – Стохастическая модель ГРТ с ограниченным временем ожидания заявок Рассмотрим открытую сеть, в которую поступает простейший поток заявок с интенсивно стью. Интенсивность обслуживания заявок µi в системе Si не зависит от числа заявок в этой системе, i = 1, n 1. Длительность пребывания заявок в очереди i-ой СМО является случай ной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с параметром i (ki (t)), причем i (ki (t)) = i (ki (t) mi )u(ki (t) mi ), т.е. линейно зависит от числа заявок в очереди. Пусть за явки, время ожидания которых в очереди i-ой СМО истекло, переходят в очередь j-ой СМО n с вероятностью qij либо с вероятностью qi0 покидают сеть, qij = 1, j = i. Заявки, которые j= покидают СМО, не получив в ней обслуживания, называются нетерпеливыми.

Требуется найти ожидаемые доходы СМО сети за время t при условии, что нам известно ее состояние в начальный момент времени.

Можно получить, что ожидаемый доход центральной СМО удовлетворяет несложному неод нородному линейному ОДУ первого порядка, но с разрывными правыми частями n dvn (t) [µj pji aji min(Nj (t), mj ) + j qji hji (Nj (t) mj )u(Nj (t) mj )] = cn + p0i a0i + dt j= n n [µi (pi0 bi0 + qij hij )(Ni (t) mi )u(Ni (t) mi )], j = i, (7) pij aij )min(Ni (t), mi ) + i (qi0 Hi0 + j=1 j= где hji – доход системы Si, в случае когда заявка, не дождавшись обслуживания в системе Sj, перейдет из очереди этой системы в систему Si ;

Hi0 – величина, на которую уменьшится доход системы Si, в случае когда заявка, не дождавшись обслуживания в системе Si, перейдет из очере ди этой СМО во внешнюю среду. Задав начальные условия vn (0) = vn0 можно найти ожидаемые доходы центральной системы сети.

Для нахождения среднего числа заявок Ni (t) СМО сети используем следующую методику [2]. Поскольку в сеть поступает простейший поток заявок с интенсивностью, то среднее число заявок, поступивших извне в систему Si за время t равно p0i t. Обозначим через (t) – сред нее число занятых линий обслуживания в системе Si в момент времени t, i = 1, n 1,. Тогда, µi i (t)t и i (Ni (t)mi )u(Ni (t)mi ) – среднее число заявок, покинувших систему Si за время t n соответственно после обслуживания в ней, и, не дождавшись обслуживания в ней;

µj j (t)pji t j= n и j (Nj (t) mj )u(Nj (t) mj )qji t, j = i среднее число заявок, поступивших в систему Si за j= время t из других СМО соответственно после обслуживания в них и не дождавшись обслужи вания в них. Откуда при t 0 вытекает система ОДУ для Ni (t):

n dNi (t) [µj j (t)pji + j (Nj (t) mj )u(Nj (t) mj )qji ] = dt j= µi i (t) i (Ni (t) mi )u(Ni (t) mi ) + p0i, i = 1, n 1, j = i.

Аппроксимируя величину i (t) величиной min(Ni (t), mi ), получим систему линейных ОДУ с разрывными правыми частями n dNi (t) [µj min(Nj (t), mj )pji + j (Nj (t) mj )u(Nj (t) mj )qji ] = dt j= µi min(Ni (t), mi ) i (Ni (t) mi )u(Ni (t) mi ) + p0i, i = 1, n 1, j = i. (8) Решать ее нужно путем разбиения фазового пространства на ряд областей и нахождения решения в каждой из них.

Если СМО сети функционируют в условиях высокой нагрузки, то min(Ni (t), mi ) = mi, u(Ni (t) mi ) = 1, i = 1, n 1, и соотношение (8) примет вид:

n n dNi (t) = i Ni (t) + (µj pji j qji )mj (µi i )mi + p0i, i = 1, n 1, j = i. (9) j qji Nj (t) + dt j=1 j= Систему (9) можно переписать в матричной форме dN (t) = DN (t) + f, (10) dt где N T (t) = (N1 (t), N2 (t)),..., Nn (t)), D – квадратная матрица, состоящая из элементов dij = = j qji ;

i = 1, n 1, j = 1, n, j = i;

f – вектор-столбец, элементами которого являются значения n (µj pji j qji )mj, если положить pii = qii = 1, i = 1, n 1. Решение системы (10) fi = p0i + + j= имеет вид:

t Dt eD(t ) d, N (t) = N (0)e +f где N (0) – заданные начальные условия.

Подставив решение системы (9) в систему (7) и решив ее, найдем ожидаемый доход центральной системы Sn на различных интервалах времени.

Пример 1 1 Пусть средние длительности ожидания заявок в очередях СМО: 1 = 1, 4;

2 = 0, 5;

3 = 1 = 0, 9;

4 = 2, 1;

5 = 1, 9;

вероятности перехода заявок, не дождавшихся обслуживания, между СМО сети: qi0 = 1, i = 1, 5;

q0i = = 1, 2. Значения доходов от переходов заявок 1 3, i = 1, 3;

q0j = 2, j между состояниями сети приведено в табл.1.

Среднее число заявок в системах сети, с учетом (8), равно N1 (t) = 2, 024(1 e1532,4t ), N2 (t) = 1, 078(1 e1501,5t ), N3 (t) = 1, 321(1 e1120,6t ), N4 (t) = 0, 012(1 e230,3t ), N5 (t) = 0, 0012(1 e170,5t ), N6 (t) = 1, 0045(1 e769,2t ), N7 (t) = 2, 0769(1 e2083,3t ), N8 (t) = 0, 0009(1 e50,62t ), N9 (t) = 0, 00105(1 e87,02t ), N10 (t) = 0, 0003(1 e26,01t ), N11 (t) = 34, 854 + 17, 92(0, 754e9427,56t e3145,32t ).

В этом случае получено, что выражение для ожидаемых доходов центральной СМО (ГРТ) имеет вид:

v11 (t) = 1673, 2e1532,4t + 5834, 2e1501,5t + 35672, 1e1120,6t + 8261, 9e230,3t + +7891, 5e170,5t + 3023, 3e769,2t + 1762, 11e2083,3t + 435, 2e87,02t + 82, 43 · 106 t.

График ожидаемого дохода модели ГРТ с ограниченным временем ожидания заявок изображен на рис.5.

Рисунок 5 – График прогнозируемого дохода ГРТ за 2012 год Результаты сравнения с реальными данными о доходах, представленные на рис.3 и рис.5, говорят о том, что предлагаемые модели прогнозирования доходов достаточно адекватны.

Список литературы 1. Колузаева, Е. В. Исследование НМ-сетей со случайными доходами от переходов между их состояниями / Е. В. Колузаева, М. А. Маталыцкий // Известия Томского государственного университета. Сер.

Информатика, вычислительная техника и управление. – 2009. – № 5. – С. 91–100.

2. Статкевич, С. Э. Анализ НМ-сети с ограниченным временем ожидания и случайными доходами от переходов между состояниями / С. Э. Статкевич, М. А. Маталыцкий // Вестник Гродненского госу дарственного университета. Серия 2. Математика. Физика. Информатика, вычислительная техника и управление. – 2009. – № 3. – С. 6–13.

Ивановская Татьяна Константиновна, магистрант кафедры стохастического анализа и эко нометрического моделирования Гродненского государственного университета имени Янки Купалы, IVANOUSKAYA.TATSIANA@gmail.com.

Маталыцкий Михаил Алексеевич, заведующий кафедрой стохастического анализа и эконометриче ского моделирования Гродненского государственного университета имени Янки Купалы, доктор физико математических наук, професcор, m.matalytski@gmail.com.


УДК 519. О. М. КИТУРКО, М. А. МАТАЛЫЦКИЙ НАХОЖДЕНИЕ ОЖИДАЕМЫХ ДОХОДОВ СИСТЕМ ЗАМКНУТОЙ СТРУКТУРЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ В работе проведен асимптотический анализ ожидаемых доходов отдельных систем замкнутой структуры массового обслуживания с однотипными заявками. Выведено обыкновенное дифференциальное уравнение для нахождения ожидаемого дохода при опре деленных начальных условиях. Рассмотрен пример, когда изменение параметров носит сезонный характер.

Введение Рассмотрим замкнутую сеть массового обслуживания (МО), состоящую из n + 1 систем мас сового обслуживания (СМО) S0, S1,..., Sn, общее число однотипных заявок в которой в момент времени t составляет K(t). Обычно под системой S0 понимается внешняя среда, а под система ми S1, S2,..., Sn – конкретные СМО сети, в которых производится обслуживание заявок. Сети МО, являющиеся замкнутыми по структуре, но в которых общее число обслуживаемых заявок не постоянно, а зависит от времени, впервые исследованы в частных случаях в [1] и названы замкну тыми структурами обслуживания (ЗСО). Пусть mi (t) – число линий обслуживания в системе Si, i = 1, n, положим, m0 (t) = K(t) и времена обслуживания заявок каждой из линий распределены по показательному закону с интенсивностью µi (t), также зависящей от времени, i,j = 0, n. Заявки на обслуживание выбираются в соответствии с дисциплиной FIFO. Заявка, обслуживание кото рой в системе Si закончилось, с вероятностью pij (t) переходит в систему Sj, i,j = 0, n. Матрица вероятностей переходов P (t) = pij (t), i,j = 0, n, является в каждый момент времени матрицей вероятностей переходов неприводимой марковской цепи, 0 pij (t) 1, n pij (t) = 1. Основная j= задача исследования заданной ЗСО состоит в асимптотическом анализе марковского процесса, описывающего её поведение при большом числе заявок.

Состояние структуры в момент времени t описывается вектором k(t) = (k, t) = (k1, k2,..., kn, t) = (k1 (t), k2 (t),..., kn (t)), где ki (t) – число заявок в системе Si в момент времени t, t [0, T ], i = 0, n, который образует n мерный марковский процесс с непрерывным временем и конечным числом состояний. Очевидно, что число заявок в системе S0 равно k0 (t) = K(t) n ki (t).

i= Нахождение ожидаемого дохода отдельных систем Нахождение общего ожидаемого дохода замкнутой структуры массового обслуживания с однотипными заявками было рассмотрена в [2]. Поставим теперь задачу прогнозирования ожи даемого дохода отдельной СМО Sc, c = 1, n. Обозначим через Vc (k, t) полный ожидаемый доход, который получит СМО Sc за время t, если в начальный момент времени она находится в состо янии (k, t). Как указано ранее, в течение малого промежутка времени t ЗСО может остаться в состоянии (k, t + t) либо совершить переход в состояние (k + Ii Ij, t + t), i,j = 0, n.

Теорема. Плотность распределения дохода v A (x, t) при условии, что она дифференцируема по t и дважды кусочно-непрерывно дифференцируема по xi, i = 1, n, удовлетворяет с точностью до членов порядка малости 2 (t) = K 2 (t) дифференциальному уравнению в частных производных:

n n 2 vc (x, t) vc (x, t) vc (x, t) (t) = Ai (x, t) Bij (x, t) t xi 2 xi xj i=1 i,j= n nK(t) (t)vc (x, t) + rc (t) + K(t) µj (t)pji (t) min(lj (t), xj )rjic (t), c = 1, n. (1) i,j= Доказательство. Будем считать, что если на интервале времени [t, t + t] ЗСО со вершает переход из состояния (k, t) в состояние (k + Ii Ij, t + t) с вероятностью µj (t)pji (t) min(mj (t), kj (t))t+o(t), то доход системы Sc составит Rjic (t) плюс ожидаемый доход Vc (k + Ii Ij, t), который она получает за оставшееся время t, если бы начальным было состояние (k + Ii Ij, t). Кроме этого, будем считать, что система Sc получает доход в размере Rc (t) за единицу времени в течение пребывания ЗСО в состоянии (k, t). ЗСО остаётся в состоянии (k, t) в течение малого промежутка времени t с вероятностью 1 n µi (t) min(mi (t), ki (t))t, при i= этом доход СМО Sc составит Rc (t)t + Vc (k, t).

Тогда полный ожидаемый доход Vc (k, t + t) в момент времени (t + t) удовлетворяет сле дующей системе разностных уравнений:

n Vc (k, t + t) = 1 µj (t) min(mj (t), kj (t)) t (Rc (t)t + Vc (k, t))+ j= n µj (t)pji (t) min(mj (t), kj (t))t (Rjic (t) + Vc (k + Ii Ij, t)) + o(t), + i,j= которая сводится к системе РДУ:

n dVc (k, t) µj (t)pji (t) min(mj (t), kj (t)) (Vc (k + Ii Ij, t) Vc (k, t)) + = dt i,j= n + µj (t)pji (t) min(mj (t), kj (t))Rjic (t) + Rc (t), c = 1, n. (2) i,j= Далее, как и ранее, перейдём к плотности распределения дохода СМО Sc, которую обозначим vc (x, t). При K(t) :

Vc (k, t) = Vc (xK, t) = n (t)vc (x, t) или vc (x, t) = K n (t)Vc (xK, t). (3) Кроме того, при K(t) доходы Rjic (t) и Rc (t) удовлетворяют следующим асимптотиче ским равенствам K n (t)Rjic (t) = rjic (t), K n (t)Rc (t) = rc (t). (4) Уравнение (2) для плотности распределения дохода с учетом (3), (4) может быть представ лено в виде vc (x, t) = nK(t) (t)vc (x, t)+ t n µj (t)pji (t) min(lj (t), xj ) (vc (x + ei ej, t) vc (x, t)) + +K(t) i,j= n +K(t) µj (t)pji (t) min(lj (t), xj )rjic (t) + rc (t). (5) i,j= Полагая, что vc (x, t) дифференцируема по t и дважды кусочно-непрерывно дифференциру ема по xi, i = 1, n, можно разложить функцию v(x + ei ej, t) в ряд Тейлора в окрестности точки (E, t), используя члены до второго порядка включительно:

vc (x, t) vc (x, t) vc (x + ei ej, t) = vc (x, t) + (t) + xi xj 2 (t) 2 vc (x, t) 2 vc (x, t) 2 vc (x, t) + O(2 (t)), i, j, c = 1, n.

+ + 2 x 2 xi xj xi j Поэтому уравнение (4) можно записать в виде n vc (x, t) vc (x, t) vc (x, t) = µj (t)pji (t) min(lj (t), xj ) + t xi xj i,j= 2 vc (x, t) 2 vc (x, t) 2 v c (x, t) (t) 2 nK(t) (t)vc (x, t)+ + + x2 x 2 xi xj i j n +K(t) µj (t)pji (t) min(lj (t), xj )rjic (t) + rc (t), c = 1, n.

i,j= Последнее уравнение с точностью до членов порядка O(2 (t)) можем записать в более компактном виде (1). Теорема доказана.

Используя рассуждения, как в предыдущем пункте, приходим к следующему дифферен циальному уравнению для среднего по x значения дохода системы Sc при условии изменения начального состояния (x, t) в области G:

n d Ai (x, t) nK(t) (t) vGc (t)+ vGc (t) = dt xi i= n n K(t) + µj (t)pji (t)rjic (t)... min(lj (t), xj )dx+ m(G) j=1 i=0 G n n K(t) rc (t) + µ0 (t)p0i (t)r0ic (t)... xj dx +... dx, c = 1, n. (6) m(G) m(G) i=0 j= G G Зададим, как и ранее, разбиение: 0 (1) = {1, 2,..., n}, 1 (1) = {}, = 1, что соответствует наличию очередей в СМО S1, S2,..., Sn. Тогда, решая уравнение (6) при начальном условии vG1 c (0) = Sc, можно определить средний ожидаемый доход при изменении начального состояния n по области G1 = x(t) : li (t) xi 1, i = 1, n, i=1 xi 1. Уравнение (6) при этом имеет вид n d p0i (t) nK(t) (t) vG1 c (t)+ vG c (t) = µ0 (t) dt i= n n + µj (t)pji (t)mj (t)rjic (t)+ m(G1 ) j=1 i= n n +K(t) µ0 (t)p0i (t)r0ic (t)... xj dx + rc (t), c = 1, n. (7) i=0 j= G Пример Пусть транспортное предприятие (ТП, система Sn ) посылает автомобили (заявки), для вы полнения перевозок между различными городами (внешняя среда, система S0 ). После этого они возвращаются на базу ТП, предварительно пройдя в ряде пунктов (системы S1, S2,..., Sn1 ) технический осмотр, который может также включать и ремонт автомобилей. Количество функ ционирующих линий обслуживания в пунктах S1, S2,..., Sn1 в момент времени t равны соот ветственно m1 (t), m2 (t),..., mn1 (t). В системе Sn осуществляется погрузка автомобилей перед выходом в рейс, которой занимаются mn (t) бригад погрузки Аналогичная ситуация может возникнуть когда автомобили возвращаются из внешней среды и разгружаются на складах ТП (системы S1, S2,..., Sn1 );

в этом случае m1 (t), m2 (t),..., mn1 (t) – количество бригад разгрузки соответственно на складах S1, S2,..., Sn1.

В данном случае моделью функционирования перевозок является ЗСО, изображенная на рисунке 1. Матрица P (t) при этом имеет вид 0 p01 (t) p02 (t)... p0,n1 (t) 0 0 0... 0 n 0 0 0... 0 p0j (t) = 1, t [T0, T ].

P (t) = pij (t) =, (n+1)(n+1)..................

j= 0 0 0... 0 1 0 0... 0 Рисунок 1 – Модель передвижения автомобилей Пусть изменение параметров ЗСО носит сезонный характер, например, интервал [T0, T ] разбит на q различных промежутков. Положим, что (1) µj, t [T0, T1 ), K1, t [T0, T1 ), (2) K2, t [T1, T2 ), µj, t [T1, T2 ), K(t) = µj (t) = j = 0, n,......

Kq, t [Tq1, T ], (q) µj, t [Tq1, T ], (1) (1) mj, t [T0, T1 ), poi, t [T0, T1 ), (2) (2) mj, t [T1, T2 ), poi, t [T1, T2 ), i = 1, n 1.

mj (t) = j = 1, n, p0i (t) =...

... (q) (q) poi, t [Tq1, T ], mj, t [Tq1, T ], Найдем средние доходы системы Sc viA (t), i = 1, q. Пусть также доходы от переходов между состояниями ЗСО также являются кусочно-постоянными функциями с несколькими интервалами постоянства:

(1) (1) rjic, t [T0, T1 ), rc, t [T0, T1 ), (2) (2) rjic, t [T1, T2 ), rc, t [T1, T2 ), rjic (t) = j = 0, n, r(t) =...

... (q) (q) rc, t [Tq1, T ].

rjic, t [Tq1, T ], Найдем вначале ожидаемый доход СМО Sc v1c (t) на интервале [T0, T1 ). Уравнение (7) в этом случае имеет вид:

n dv1c (t) (1) (1) (1) (1) (1) µj mj rjnc + µ(1) m(1) rn0c + = µ0 v1c (t) + n n dt m(G1 ) j= n1 n (1) (1) (1) (1) (1) (1) +K1 µ0 p0j r0jc... xj dx + rc = µ0 v1c (t) + r1c, v1c (T0 ) = v0c, j=1 j= G то есть dv1c (t) (1) (1) µ0 v1c (t) = r1c, v1c (T0 ) = v0c.

dt Его решением является r1c r1c (1) (1) eµ0 (tT0 ), t [T0, T1 ).

v1c (t) = v0c + (1) (1) µ0 µ Найдем теперь ожидаемый доход СМО Sc v2c (t) на интервале [T1, T2 ). Уравнение (7) на этом интервале принимает вид dv2c (t) (2) = µ0 v2c (t) + rc, (8) dt где n1 n 1 (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) µ(2) m(2) rn0c p0j r0jc r2c = µj mj rjnc + + K 2 µ n n m(G1 ) j=1 j= n (2)... xj dx + rc, j= G в качестве начального условия нужно взять v2c (T1 ) = v1c (T1 ). Решением уравнения (8) является r1c r1c r2c r2c (2) (1) (1) (T1 T0 ) v2c (t) = eµ0 (tT1 ) eµ0, t [T1, T2 ).


v0c + + (1) (1) (2) (2) µ0 µ0 µ0 µ На интервале [T2, T3 ) будем иметь r1c r1c r2c (1) (2) (3) (2) (3) (1) (T1 T0 )+µ0 (T2 T1 )+µ0 (tT2 ) (T2 T1 )+µ0 (tT2 ) eµ0 eµ v3c (t) = v0c + (1) (1) (2) µ0 µ0 µ r2c r3c r3c (3) eµ0 (tT2 ), t [T2, T3 ), (2) (3) (3) µ0 µ0 µ где n1 n 1 (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) µ(3) m(3) rn0c p0j r0jc r3c = µj mj rj3c + + K3 µ n n m(G1 ) j=1 j= n (3)... xj dx + rc.

j= G На i-ом интервале [Ti1, Ti ) имеем:

dvic (t) (i) = µ0 vic (t) + ric, vic (Ti1 ) = vi1 c (Ti1 ), (9) dt где n1 n 1 (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) p0j r0jc ric = µj mj rjnc + µn mn rn0c + Ki µ m(G1 ) j=1 j= n (i)... xj dx + rc.

j= G Решением уравнения (9) является ric ric (i) eµ0 (tTi1 ), t [Ti1, Ti ).

vic (t) = vi1 c (Ti1 ) + (i) (i) µ0 µ На последнем q-ом интервале [Tq1, T ]:

dvqc (t) (q) = µ0 vqc (t) + rqc, vqc (Tq1 ) = vq1 c (Tq1 ), dt где n 1 (q) (q) (q) (q) (q) µj mj rjnc + µ(q) m(q) rn0c + Kq µ rqc = n n m(G1 ) j= n (q)... xj dx + rc.

j= G Тогда rqc rqc (q) eµ0 (tTq1 ), t [Tq1, T ].

vqc (t) = vq1 c (Tq1 ) + (q) (q) µ0 µ Пусть n = 5, а интервал [T0, T ] разбит на q = 4 различных промежутка. Предположим, что V (0) = 0. Параметры ЗСО, кроме доходов от переходов между состояниями сети, пусть остаются теми же. Найдём средний доход центральной СМО S5. Предположим, что доходы от переходов между состояниями ЗСО также являются кусочно-постоянными функциями с q = 4 интервалами постоянства:

t [0, 1.8, 1), t [1, 2.5, 2), r5 (t) = t [2, 1.6, 3), t [3, 2.7, 4], 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3. 0 0 0 0 0 (1) (1), t [0, 1), R5 (t) = rij5 = 0 0 0 0 0 9. 0 0 0 0 0 1. 8.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3. 0 0 0 0 0 4. (2) (2), t [1, 2), R5 (t) = rij5 = 0 0 0 0 0 8. 0 0 0 0 0 5. 3.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5. 0 0 0 0 0 8. (3) (3), t [2, 3), R5 (t) = rij5 = 0 0 0 0 0 9. 0 0 0 0 0 1. 8.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8. 0 0 0 0 0 4. (4) (4), t [3, 4].

R5 (t) = rij5 = 0 0 0 0 0 5. 0 0 0 0 0 9. 8.4 0 0 0 0 Изменение ожидаемого дохода системы на интервале представлен на рисунке 2.

Рисунок 2 – Ожидаемый доход системы S Список литературы 1. Китурко, О.М. Асимптотический анализ общего ожидаемого дохода замкнутой структуры массово го обслуживания с однотипными заявками и её применение /О. М. Китурко, М. А. Маталыцкий, Т. В. Русилко// Вестник ГрГУ. Сер.2. – 2013. – № 1.

2. Маталыцкий, М.А. Математический анализ стохастических моделей обработки исков в страховых компаниях. Монография./М.А. Маталыцкий, Т.В. Русилко – Гродно: ГрГУ, 2007. – 334 с.

Китурко Ольга Михайловна, аспирант кафедры стохастического анализа и эконометрического моде лирования факультета математики и информатики Гродненского государственного университета им.Янки Купалы, sytaya_om@mail.ru.

Маталыцкий Михаил Алексеевич, заведующий кафедрой стохастического анализа и эконометриче ского моделирования факультета математики и информатики Гродненского государственного универси тета им.Янки Купалы, доктор физико-математических наук, профессор, m.matalytski@gmail.com.

УДК 330.4(075) А. С. КЛЮЧНИКОВ, К. С. СИДОРЕНКО МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ СТРАТЕГИЙ И КОРПОРАТИВНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЕМ В данной работе излагается принципы и методы реализации математического моделиро вания портфеля стратегий систем управления, выполненных авторами на предприятиях г.Витебска. При этом моделирование портфеля стратегий и соответствующих ему особенностей их корпоративных систем управления осуществлялось на основе теории игр.

Полученные результаты после внедрения данных методов позволило на указанных пред приятиях в течении 10 лет развития получить прибыль, достаточную для интенсивного инновационного экономического развития.

Введение Жесткая конкуренция на международном рынке промышленной продукции особенно в сфе ре дорогостоящих наукоемких технологий ставит перед участниками научно- технологического прогресса, как в государственном, так и в бизнес - секторе экономики следующие задачи:

уже на стадии разработки бизнес - плана предполагаемого создания нового или модерни зации действующего предприятия разработать портфель нескольких возможных стратегий его развития;

в соответствии с этим портфелем стратегий создать и оценить виртуальные модели корпора тивной системы управления предприятием для каждого варианта из разработанных стратегий;

привлечь к решению этих задач специалистов в области математического моделирования процессов управления.

В данной работе излагается принципы и методы реализации указанных задач, выполненных авторами в интересах предприятия СООО Фортекс - водные технологии расположенного в г.

Витебске.

Материалы исследования В процессе моделирования портфеля стратегий учитывались от пяти до семи из наиболее известных детерминант глобальных стратегий менеджмента: конкуренция, потребители, постав щики, новые наукоемкие технологии, конкурентный потенциал предприятия, государственная поддержка и факторы макросреды.

Укрупненный алгоритм моделирования этих стратегий включает в себя прогнозирование вероятного прогресса науки и технологий в сфере деятельности предприятия, формирование наиболее вероятных составляющих формируемого портфеля стратегий и корпоративных систем управления предприятием, а также анализ эффективности этих стратегий методами математи ческого моделирования - аналитическими, экспериментальными и имитационными.

В основе аналитического моделирования лежит использование общих законов природы, а также законов и закономерностей протекания процессов в исследуемых системах, выявленных при анализе.

Построение модели включает следующие этапы:

- анализ процессов, протекающих в моделируемой системе;

- выбор процессов, существенно влияющих на функционирование системы;

- определение параметров, характеризующих выбранные процессы, описание этих процессов:

о построение аналитической модели функционирования системы.

Результатом построения аналитической модели является совокупность математических вы ражений, которые решаются аналитическими либо численными методами Достоинством аналитического моделирования следует считать возможность проведения пол ного исследования функционирования системы математическими методами (в любых условиях при любых управляющих и возмущающих воздействиях).

К недостаткам аналитического моделирования следует отнести:

трудности, связанные с выявлением законов и закономерностей протекания процессов в сложных системах и обусловленные завуалированностью этих процессов, трудностью выделения факторов, влияющих на процессы и сложностью процессов, подлежащих анализу;

необходимость существенных упрощений при построении аналитических моделей и неизбеж ная в связи с этим потеря информативности и адекватности моделей;

сложность получаемой аналитической модели, несмотря на предпринятые упрощения.

Практически хорошие аналитические модели можно построить только для сравнительно простых и хорошо изученных систем.

Сущность экспериментального моделирования состоит в следующем. Проводится экспери мент над системой. По полученным результатам наблюдений входных и выходных переменных исследуемой системы строится математическая модель, позволяющая получить аналитическую зависимость между входом и выходом системы.

Имитационное моделирование представляет собой процесс построения модели исследуемой системы и экспериментирования с этой моделью для получения информации о функционирова нии моделируемой систем.

Сущность имитационного моделирования заключается в имитации на модели процессов функционирования исследуемой системы. При этом имитироваться может как весь процесс в целом, так и его составляющие с сохранением логической структуры процесса и последователь ности протекания имитируемых явлений во времени.

К основным целям имитационного моделирования относятся:

- описание процессов функционирования систем;

- построение теорий и гипотез, объясняющих наблюдаемые процессы функционирования;

- предсказание хода функционирования системы в будущем [1].

Широкое применение имитационное моделирование получило с появлением компьютеров.

Машинная имитационная модель представляет собой программу, реализующую с помощью ком пьютера алгоритм, отображающий динамику последовательности смены состояний математиче ской модели функционирования исследуемой системы. Такой алгоритм называется моделирую щим. Поскольку моделирующий алгоритм воспроизводит работу математической модели, то при имитационном моделировании стремятся, чтобы математическая модель структурно и динами чески соответствовала исследуемой системе.

Теоретически имитационные модели позволяют решать любые задачи по исследованию сложных систем. Исследование на этих моделях наиболее близко к натурному эксперименту, и его часто называют вычислительным экспериментом.

Реализация имитационного моделирования осуществляется средствами динамического про граммирования, которая связано с возможностью представления процесса управления в виде цепочки последовательных действий или шагов, развернутых во времени и ведущих к цели. Та ким образом, процесс управления можно разделить на части и представить его в виде дина мической последовательности и интерпретировать в виде пошаговой программы. Это позволяет спланировать программу будущих действий. Поскольку вариантов возможных планов-программ множество, то необходимо из них выбрать лучший, оптимальный по какому-либо критерию В соответствии с поставленной целью, что позволяют методы динамического программирования.

Поскольку современные стратегии управления предприятием заключаются, как правило, в достижении коммерческого успеха, то следует учитывать эту специфику объекта моделирования.

С этой целью для достижения практических результатов моделирования портфеля стратегий предприятия использовалась теория бизнес-инжиниринга.

Под бизнес-инжинирингом понимается выполнение комплекса проектировочных работ по разработке методов и процедур управления бизнесом, когда без изменения принятой структуры управления в организации (предприятии, фирме) достигается улучшение ее финансового поло жения.

Целью бизнес-инжиниринга является обеспечение менеджеру наиболее благоприятных усло вий работы для достижения эффективности производства, а значит, и повышения прибыльно сти организации за счет снижения себестоимости проектируемых работ, сокращения внутренних затрат, повышения профессиональной подготовки, ответственности, производительности труда персонала и в итоге -увеличение объема продаж, предоставление более широкого спектра и вы сокого качества услуг на рынке.

Инжиниринг располагает для проектирования бизнеса рядом методик:

- выделение пошаговых процедур проектируемого бизнеса;

- внедрение описывающих процедуры систем обозначений;

- использование эвристик и прагматических решений, позволяющих описывать степень соот ветствия спроектированного варианта бизнеса заданным целям.

Внедрение инжиниринга открывает возможность накапливать опыт и реализовывать важ ную проблему - объединять в единый процесс проектирования упорядочение управленческих про цедур и разработки системы поддержки принятия решений. Достигается значительное улучшение организации управленческой деятельности и информационного обслуживания работников управ ления менеджеров, руководителей соответствующих подразделений организации. Реальным становятся внедрение в повседневную практику управленческой деятельности бизнес-процессов/ Под бизнес-процессом понимается целостное описание основных видов деятельности орга низации (предприятия, фирмы, корпорации) и их проекция на организационные структуры с учетом развития взаимодействия между участниками во времени/ Как показывает зарубежная практика, работа менеджера в среде автоматизированных ин формационных технологий, на специально оборудованных необходимыми инструментальными средствами рабочих местах создает ему благоприятные условия для поиска неординарных вари антов перехода от сложившихся годами методов работы к новым, дающим кратно увеличенный экономический эффект. Проектирование такого сложного организационно-технологического ком плекса, направленного на координальное улучшение управления бизнесом, получило название реинжиниринг бизнес-процессов [2].

Реинжиниринг основывается на системном подходе в изучении потока работ и компьютерном моделировании бизнес-процессов, проходящих во времени. При этом анализируются и уточняют ся факторы, определяющие управление качеством процессов, формируются фундаментальные цели функционирования организации, выявляются ключевые факторы успеха, которые необхо димы и достаточны для достижения целей.

Проект по реинжинирингу бизнеса, как правило, включает следующие этапы:

разработку образа будущей организации;

анализ существующего бизнеса;

разработку нового бизнеса;

внедрение нового бизнеса.

В условиях рыночных отношений производственная и финансовая деятельность организаций сложна и динамична, что и требует применения динамических моделей практически во всех ва риантах методик проведения реинжиниринга бизнес-процессов. Как показывает практика, ими тация - наиболее удачный подход, обеспечивающий как точность анализа, так и наглядность различий при сравнении альтернативных решений. Немаловажным является и тот факт, что имитационное моделирование успешно реализуется на персональном компьютере, которым обес печивается автоматизированное рабочее место менеджера/ Накопление опыта в области компьютерного моделирования бизнес-процессов позволяло выделить четыре группы бизнес- процессов, обладающих определенной спецификой в отношении построения динамических моделей: процессы реализации проектов, процессы производства, процессы распределения и процессы предоставления услуг.

Выводы В коммерческой деятельности приходится принимать решения, учитывая множество фак торов различной природы. Причем специфика коммерческой деятельности такова, что учиты ваемые при принятии решений факторы нередко обладают так называемым свойством неопре деленности, поскольку нельзя заранее определить точно, каково будет значение того или иного фактора или показателя. Отсюда следует, что и результат принятия решения также будет обла дать свойством неопределенности. Например, объем продажи в значительной степени зависит от спроса населения на тот или иной товар. Спрос, как известно, является величиной случайной, следовательно, его значение имеет некоторый разброс и является точно неопределенным.

Неопределенность значений различных факторов приводит к тому, что рекомендации по решению проблемы не могут быть столь же четкими и однозначными, как в случаях полной определенности. В процессе поиска решений появляются возможные варианты решений. Поэто му принятие решения состоит в выборе наилучшего из имеющихся вариантов. В данной работе для указанных предприятий моделирование портфеля стратегий и соответствующих ему особен ностей их корпоративных систем управления осуществлялось на основе теории игр.

Внедрение полученных результатов на вышеназванных предприятиях позволило им за 10 лет развития получить прибыль, достаточную не только для интенсивного экономического развития, но и для выкупа в уставном фонде доли иностранных учредителей и стать самостоя тельными инновационно развивающимися предприятиями.

Список литературы 1. Математические модели в управлении: учебно-методический комплекс / авт.-сост.: Д.Ф. Карелин, А.С.

Ключников. – Витебск: УО ВГУ им. П.М. Машерова, 2010. – 170 с.

2. Информационные технологии в экономике предприятия: учебно-методический комплекс / авт.-сост.:

Д.Ф. Карелин, А.С. Ключников. – Витебск: УО ВГУ им. П.М. Машерова, 2011. – 196 с.

Ключников Александр Сергеевич, зам. заведующего кафедрой экономики, менеджмента и логистики Витебского филиала Международного университета МИТСО, доктор технических наук, профессор, kluchas@rambler.ru.

Сидоренко Кристина Сергеевна, преподаватель кафедры экономики, менеджмента и логистики Витебского филиала Международного университета МИТСО, магистр экономических наук, kristina sidoren@mail.ru.

УДК 519. Д. Я. КОПАТЬ, М. А. МАТАЛЫЦКИЙ О НАХОЖДЕНИИ МАКСИМАЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ПОТОКОВ КЛИЕНТОВ В ОДНОЙ СИСТЕМЕ ОБСЛУЖИВАНИЯ В статье описано применение марковской сети массового обслуживания (МО) в качестве стохастической модели обслуживания пассажиров при их регистрации в аэропорту.

Сформулирована и решена задача нахождения максимальных интенсивностей потоков пассажиров к стойкам регистрации при заданных производительностях обслуживающего персонала этих стоек.

Введение Первой особенностью организации процесса обслуживания пассажиров является пред положение о том, что каждая группа пассажиров образует отдельную очередь ожидания, а одновременно работающие стойки регистрации в определенной пропорции могут обслуживать пассажиров из всех очередей [1], рис. 1. Вторая особенность заключается в том, что число одновременно работающих стоек регистрации m является переменной величиной, отображаю щий общий объем ресурсов, выделенных для обслуживания пассажиров. Одним из подходов к решению этой задачи является построение математической модели, позволяющей выбрать оптимальный вариант функционирования при заданных параметрах. При математическом моделировании обработки потоков пассажиров представляет интерес следующая задача: найти максимальные интенсивности потоков пассажиров, поступающих к стойкам регистрации, такие, чтобы среднее число пассажиров в очередях к ним (среднее время ожидания) не превышало заданного значения.

Постановка задачи Рассмотрим следующую задачу. В n очередей S1, S2,..., Sn поступают клиенты с интенсив ностью i, i = 1, n. Далее они с той же интенсивностью перенаправляются на обслуживание к m стойкам регистрации, рис.1.

Рисунок 1 – Сетевая модель обслуживания пассажиров С вероятностью pij клиент из i-ой очереди поступает на обслуживание к j-й стойке регистра ции Sn+1, Sn+2,..., Sn+m, i = 1, n, j = n + 1, n + m. Среднее время обслуживания пассажира в j-й стойке регистрации равно µ1, j = n + 1, n + m. Необходимо найти максимальную интенсивность j входного потока пассажиров к стойкам регистрации и оптимальные вероятности их переходов, такие, чтобы среднее число пассажиров Nqj в очередях к к стойкам в стационарном режиме не превышало заданного значения a, j = n + 1, n + m. Таким образом, задача оптимизации имеет следующий вид [2] n i max, f () = i,i=1,n (1) i= Nqj a, j = n + 1, n + m, i 0, i = 1, n.

В качестве моделей функционирования стоек регистрации будем рассматривать системы массового обслуживания (СМО) вида M/M/1. Так как входные потоки пассажиров при этом n пуассоновские, то суммарная интенсивность их входного потока к j-й стойке равна i pij, j = i= n + 1, n + m, а среднее число заявок в очереди находится по формуле n i pij j i= (2) Nqj = =, j = n + 1, n + m.

n 1 j µj i pij i= n+m Подставляя (2) в (1) и учитывая условие нормировки для вероятностей pij = 1, i = 1, n, j=n+ задачу (1) можно переписать в виде n i f () = max, i,pij, i=1,n, j=n+1,n+m i= n i pij i= (3) a, j = n + 1, n + m, n µj i pij i= n+m pij = 1, i 0, i = 1, n.

j=n+ Решение оптимизационной задачи для случая n=2, m= Рассмотрим частный случай, когда n=2, m=2, тогда задача (3) принимает вид 1 + 2 max, i,pij, i=1,2, j=3, 1 p13 + 2 p a, µ3 (1 p13 + 2 p23 ) 1 p14 + 2 p a, µ4 (1 p14 + 2 p24 ) p13 + p14 = 1, p23 + p24 = 1, i 0, i = 1, 2, или 1 + max, i,pij, i=1,2, j=3, 1 p13 (1 + a) + 2 p23 (1 + a) aµ3, 1 p14 (1 + a) + 2 p24 (1 + a) aµ4, p13 + p14 = 1, p23 + p24 = 1, i 0, i = 1, 2.

Просуммировав первые два ограничения, получаем, что 1 (p13 + p14 )(1 + a) + 2 (p23 + p24 )(1 + a) a(µ3 + µ4 ), a(µ3 +µ4 ) откуда следует, что 1 (1 + a) + 2 (1 + a) a(µ3 + µ4 ), то есть 1 + 2 1+a.



Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.