авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В. А. СТЕКЛОВА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ Выпуск 1 ...»

-- [ Страница 3 ] --

их отношение определяет един ственную рациональную функцию Rn (с точностью до обычного отождествления). Эта рациональная функция называется много точечной аппроксимацией Паде (в рассматриваемом случае, ти па (n 1, n)) функции f, соответствующей узлам интерполяции 2n,1,..., 2n,2n. Если Qn = 0 в этих узлах, то Rn интерполирует в них функцию f. В противном случае, при переходе от Qn f Pn к f Rn некоторые из интерполяционных условий теряются;

одна ко, потеря dn условий интерполяции сопровождается понижением (на dn ) степеней числителя и знаменателя Rn.

Основные трудности, связанные с применением многоточеч ных аппроксимаций Паде, лежат в анализе асимптотического по ведения их полюсов (в первую очередь, с вопросом о том, как это поведение связано с характером и расположением особенностей функции f ).

Если функция f H(E) допускает голоморфное продолже ние в открытое множество G = C \ F (без ограничения общности можно считать, что E и F компакты в C и f () = 0), то полиномы Qn удовлетворяют комплексным соотношениям орто гональности f (t) dt Qn (t) tj (3.5) = 0, j = 0, 1,..., n 1, A2n (t) где контур, охватывающий F ( лежит в дополнении к E F ).

Для разности f Rn имеем 1 A2n (z) (Qn Qf )(t) dt (3.6) (f Rn )(z) =, 2i (Qn Q)(z) A2n (t)(z t) где Q произвольный полином степени не выше n (интегралы в (3.5), (3.6) не зависят от и их можно записывать как F ).

В 1983–1988 гг. на основе метода многоточечных аппрок симаций Паде был решен ряд узловых задач, связанных со скоростью рациональных аппроксимаций аналитических функ ций. Общая теорема относится к последовательностям функций, задающихся интегралами типа Коши;

она формулируется в терминах, связанных с равновесным распределением заряда на пластинах конденсатора при условии, что на одной из его Рациональные аппроксимации функций пластин действует внешнее поле. Изучение характера сходимости многоточечных аппроксимаций Паде приводит к вопросам, от носящимся к предельным распределениям нулей ортогональных многочленов с переменными (зависящими от номера многочлена) весовыми функциями (см. (3.5));

теоретико-потенциальные за дачи равновесия с внешним полем позволяют охарактеризовать такие распределения (для вещественного случая см. [14], [15]).

В случае комплексных соотношений ортогональности (для мно гозначных аналитических функций, например, для функций с конечным числом точек ветвления) возникает также проблема выбора компакта F. Важные результаты в этом направлении получены Шталем;

в частности, им доказаны гипотезы Нат толла и автора, относящиеся к локальным аппроксимациям.

Полученные результаты показывают, что полюсы аппроксимаций “выбирают” экстремальную систему кривых Ff (при надлежащем выборе узлов интерполяции ). Однако, в общем случае анализ задач о предельном распределении свободных полюсов аппрок симаций (нулей ортогональных многочленов) удобно основывать непосредственно на свойстве симметрии соответствующей сис темы “разрезов” F. Вопросы построения кривых, обладающих надлежащим свойством симметрии, и вычисления параметров соответствующих теоретико-потенциальных задач, связаны с экс тремальными задачами геометрической теории функций (типа задач Чеботарева и Лаврентьева) и траекториями квадратичных дифференциалов на римановых поверхностях.

3.3. Прежде чем формулировать основную теорему (cм.

[18], [19]), введем необходимые для этого понятия. Пусть (E, F ) конденсатор, вещественная непрерывная функция (внешнее поле) на F ((E, F, ) оснащенный конденсатор). Обозначим через M (E, F ) множество всех вещественных мер (зарядов) вида µ = µF µE, где µE, µF вероятностные меры на E, F (соответственно).

Существует единственный заряд, минимизирующий энер гию (с учетом поля ) в классе M (E, F ):

J () = inf{J (µ) : µ M (E, F )}, где J (µ) = log dµ(t) dµ(z) + 2 (t) dµF (t).

|t z| 96 А. А. Гончар Если дополнение к EF связно, то заряд (и только этот заряд в классе M (E, F )) удовлетворяет следующим соотношениям равновесия (приблизительно всюду на указанных множествах ;

V =V логарифмический потенциал ):

V (z) = w1, z E, (3.7) (V + )(z) = min(V + ) = w2, z L = Supp F.

F Положим w = w(E, F, ) = w2 w1 ;

равновесная константа w, как и равновесный заряд = F E, единственным образом определяется соотношениями равновесия (3.7).

Будем говорить, что оснащенный конденсатор (точнее, его пластина F ) обладает свойством симметрии в гармоническом поле и писать (E, F, ) S, если выполнены условия:

i) гармоническая функция в некоторой окрестности пла стины F ;

ii) L = Supp F правильный компакт (cap(L \ L0 ) = 0, где множество всех точек L, окрестности которых пересе L каются с L по аналитической дуге);

(V + ) (V + ) iii) (), L0, где /n± произ () = n+ n водные по нормали к L0 в противоположных направлениях.

Теорема. Пусть n последовательность функций, голомор фных в окрестности пластины F конденсатора (E, F ), и g функция, голоморфная в \ F. Предположим, что выполнены следующие условия:

i) (2n)1 log равномерно внутри ;

|n | ii) (E, F, ) S;

iii) g H0 ( \ F ) (последнее означает, что g H(\ F ) и имеет достаточно пра вильный скачок на L0 ). Тогда для последовательности функций n (t)g(t) dt fn (z) =, z E, tz F справедливо соотношение lim n (fn, E)1/n = e2w, w = w(E, F, ).

n Рациональные аппроксимации функций При n (z) 1 (тем самым, 0) из этой теоремы вытека ет, что соотношение (3.3) справедливо, в частности, в следующих случаях:

1) E континуум и элемент (f, E) определяет многозначную аналитическую функцию с конечным числом точек ветвления (в частности, алгебраическую функцию);

2) E есть объединение конечного числа попарно непере секающихся континуумов E1,..., EN и fj (z) cj для z Ej, j = 1,..., N (случай двух отрезков вещественной прямой соответ ствует классической задаче Золотарева;

для двух континуумов в комплексной плоскости формула (3.3) содержится в работе [1]).

3.4. Эта же теорема легла в основу решения известной задачи о скорости рациональной аппроксимации экспоненты на полуоси (см. [19]). Положим rn = n ex, E +, E + = [0, +].

Многочисленные работы были посвящены последовательному улучшению констант c1, c2 в оценках вида 1/n 1/n 0 c1 lim inf rn lim sup rn c2 и приближенным вычислениям (гипотетически существующего) 1/n предела rn. С другой стороны, сама возможность геометриче ской скорости рациональной аппроксимации функции ex, име ющей существенную особенность в точке z = E +, породила большое число исследований в этом направлении.

Приведенная выше теорема приводит к решению этой задачи в терминах, связанных с равновесным зарядом в поле (z) = 1 Re z на (заранее неизвестной) пластине F оснащенного конденсатора (E, F, ). Требование (E, F, ) S позволяет найти эту пласти ну и дать явное решение соответствующей задачи равновесия в терминах, связанных с эллиптическими функциями и эллипти ческими интегралами. Мы приведем ответ в наиболее интересной (теоретико-числовой) форме.

1/n Теорема. Существует предел = limn rn ;

его значение совпадает с (единственным) положительным корнем уравнения:

an xn = (1)d d. (3.8), an = n=1 d|n 98 А. А. Гончар Другими словами, коэффициент an является модулем алгеб раической суммы всех (простых и составных) делителей числа n, в которой четные делители учитываются со знаком плюс, а нечет ные со знаком минус. Вычисление на основе (3.8) не состав ляет труда.

Явное решение получено и для более общей задачи о скорости рациональной аппроксимации функции ez в угловых областях вида E : | arg z| /2. А именно, существует 1/n lim n ez, E = (0, 1);

n при этом = h2, где h = exp(i /) удовлетворяет уравнению 1/ 0 (t) dt = 0, = 3 (t) (0, 3 тэта-функции, соответствующие = /).

4. Метод векторных потенциалов.

Аппроксимации Эрмита–Паде 4.1. Классическое понятие равновесного распределения заряда для компакта (проводника) F и для конденсатора (F1, F2 ) (Fj непересекающиеся компакты в C) играет важную роль во мно гих вопросах теории приближений. Ряд задач, относящихся к рациональным аппроксимациям аналитических функций, есте ственным образом приводит к более общему понятию равновесно го распределения зарядов (равновесной меры) для системы про водников (F1, F2,..., Fm );

при этом задаются величины зарядов на каждом из проводников, закон их взаимодействия (взаимо действие зарядов, принадлежащих Fj и Fk, может быть различно для разных j, k, и общий закон взаимодействия задается (m m) матрицей) и внешние поля, действующие в пределах этих провод ников.

В соответствии со сказанным выше, исходными данными рас сматриваемой задачи являются:

F = (F1,..., Fm ) множество компактов в C;

= (1,..., m ) вектор с положительными координатами;

вещественная симметричная (m m)-матрица;

A = aj,k Рациональные аппроксимации функций множество непрерывных функций в C со = (1,..., m ) значениями в (, +], j (x), x Fj.

Далее предполагается, что Fj отрезки вещественной пря мой, A положительно определенная матрица и aj,k = 0 при Fj Fk =.

Через M = M (F ) обозначим множество всех векторных мер µ = (µ1,..., µm ), где µj (положительные борелевские) меры, причем S(µj ) = Supp µj Fj и |µj | = µj (Fj ) = j. Для меры µ M определим векторный потенциал W µ = Wjµ (x), x Fj :

j = 1,..., m, где m Wjµ (z) = aj,k V µk (z) + j (z), zC k= (V логарифмический потенциал ). Энергия (удвоенная) ме ры µ с учетом матрицы взаимодействия и вектора внешних полей задается формулой:

m m J (µ) = (Aµ, µ) + 2 dµ = aj,k (µj, µk ) + 2 k dµk, j,k=1 k= где (µj, µk ) взаимная энергия указанных мер. Сформулируем теорему, лежащую в основе метода векторных потенциалов (ср. [17]).

Теорема. Каждая из следующих задач имеет единственное решение в классе M ;

решения этих задач совпадают:

(A) J () = minµM J (µ);

(B) Wj (x) wj = minFj Wj, x S(j ), j = 1,..., m;

(C) minFj Wj = maxµM(j,) minFj Wjµ, j = 1,..., m;

M (j, ) множество мер µ M таких, что µk = k для всех k = j.

Векторная мера, решающая задачи (A), (B), (C), называется равновесной мерой. Наиболее важной для приложений является характеризация меры как решения задачи равновесия (B).

Соответствующее утверждение теоремы можно сформулировать так: существует единственная мера M такая, что (для некоторых констант wj ) имеют место соотношения:

Wj (x) = wj на S(j ) и Wj (x) wj на всем отрезке Fj, j = 1,..., m. Это свойство равновесия однозначно определяет и меру, и набор равновесных констант w = (w1,..., wm ).

Теорема справедлива и при более общих предположениях относительно исходных данных задачи.

100 А. А. Гончар 4.2. В классической работе Эрмита о трансцендентности числа e была введена конструкция рациональных аппроксимаций, сыгравшая важную роль в ряде задач анализа и теории чисел.

В дальнейшем соответствующие рациональные функции стали называться аппроксимациями Эрмита–Паде. Один из основных вариантов этой конструкции состоит в построении рациональных аппроксимаций с общим знаменателем для конечного набора степенных рядов с центром в точке z = :

cj,k (4.1) f = (f1,..., fm );

fj (z) =, j = 1,..., m.

z k+ k= А именно, фиксируем мультииндекс n = (n1,..., nm ) Zm ;

+ положим |n| = n1 + · · · + nm. Всегда существует полином Qn (z) 0, deg Qn |n|, удовлетворяющий соотношениям:

An,j (4.2) (Qn fj Pn,j )(z) = + ···, j = 1,..., m z nj + (справа стоят ряды по возрастающим степеням 1/z, Pn,j полиномиальная часть степенного разложения Qn fj в точ ке z = ). Для любого решения задачи (4.2) рациональные функции Rn,j = Pn,j /Qn, j = 1,..., m, называются аппрокси мациями Эрмита–Паде (или совместными аппроксимациями Паде) для набора степенных рядов (4.1). Если любой полином Qn, удовлетворяющий соотношениям (4.2), с необходимостью имеет степень |n| (такие индексы называются нормальными), то суще ствует единственный (с точностью до нормирующего числового множителя) полином Qn, удовлетворяющий этим соотношени ям, и, тем самым, единственный набор {Rn,j } аппроксимаций Эрмита–Паде для f. Случай m = 1 соответствует классическим аппроксимациям Паде (для степенных разложений с центром в точке z = );

далее рассматриваются m 2.

4.3. Опишем результаты, полученные для функций марков ского типа:

dsj (x) (4.3) fj (z) = sj (z) =, j = 1,..., m, zx где sj конечные положительные борелевские меры с ком пактными носителями на вещественной прямой. Степенные разложения марковских функций fj в точке z = имеют Рациональные аппроксимации функций xk dsj (x), k = 0, 1, 2,..., вид (4.1), где cj,k = моменты мер sj.

Полиномы Qn в этом случае удовлетворяют следующей системе соотношений ортогональности:

Qn (x)xk dsj (x) = 0, k = 0, 1,..., nj 1, j = 1,..., m.

(4.4) Эта система для функций марковского типа может служить определением полиномов Эрмита–Паде Qn, соответствующих мультииндексу n (как и выше, вместе со стандартными условиями Qn (z) 0, deg Qn |n|).

Через (sj ) будем обозначать минимальный отрезок, содер жащий носитель меры sj. В дальнейшем удобно считать, что задается система отрезков j и мер sj таких, что (sj ) = j, j = 1,..., m.

Вопросы сходимости аппроксимаций Эрмита–Паде для слу чая, когда отрезки j попарно не пересекаются (системы Анжелеско) был изучен в работе [11]. В этом случае все индексы нормальны и многочлен Qn имеет nj различных нулей внутри отрезка j, j = 1,..., m. Основываясь на методе векторных потенциалов (в рассматриваемых здесь задачах внешние по ля отсутствуют, но они возникают в процессе доказательства соответствующих теорем) был получен первый результат об щего характера, характеризующий предельные распределения нулей многочленов Qn и области сходимости аппроксимаций Эрмита–Паде Rn,j.

Меру, ассоциированную с нулями произвольного полинома q(z), обозначим через µ(q): µ(q) =, где сумма берется по всем нулям полинома q (с учетом их кратностей). Пусть произвольная последовательность мультииндексов n, для которой nj lim = j 0, j = 1,..., m.

|n| Предполагается, что меры sj удовлетворяют условию: sj почти всюду на j.

Теорема. Пусть = (1,..., m ) набор попарно непе ресекающихся отрезков, равновесная векторная мера, соответствующая исходным данным:, и матрице взаимо действия A = aj,k, где aj,j = 2, aj,k = 1 при j = k ( 0).

102 А. А. Гончар Тогда µ(Qn ) 1 + · · · + m |n| при n, |n|, и lim |(fj Rn,j )(z)|1/|n| = exp Wj (z) wj, n z D =C\ j, j = 1,..., m, где wj, j = 1,..., m, набор равновесных констант.

Содержащееся в теореме утверждение о (слабой) сходимости мер, ассоциированных с нулями полинома Qn, эквивалентно следующей асимптотической формуле m lim |Qn (z)|1/|n| = exp V j (z), z D.

n j= Из теоремы следует, что последовательность аппроксима + ций Эрмита–Паде Rn,j сходится в области Dj = z D :

wj Wj (z) 0 и расходится в области Dj = z D :

wj Wj (z) 0. Области сходимости всегда не пусты (они содержат точку z = );

непустыми могут оказаться и области расходимости. Последний факт возможность существования областей расходимости в марковской ситуации впервые был обнаружен в связи с приведенной теоремой.

Принципиальное значение имеет тот факт, что описанная асимптотическая картина (предельное распределение нулей Qn, характер сходимости аппроксимаций Rn,j ) определяется только геометрией задачи и не зависит от самих функций fj (мер sj ).

В последующих работах на основе метода векторных по тенциалов были изучены асимптотические свойства аппрокси маций Эрмита–Паде для систем Никишина (Е. М. Никишин, Г. Шталь и др.). Эти системы соответствуют случаю, когда все отрезки j совпадают;

Никишин предложил специальную кон струкцию мер sj, гарантирующую “независимость” соотношений ортогональности (4.4), и доказал свойство нормальности (тем самым, единственность аппроксимаций) для мультииндексов n, n1 · · · nm.

Удобно ввести следующие обозначения. Пусть F1 и F непересекающиеся отрезки вещественной прямой, 1 и 2 меры с носителями на F1, F2 соответственно. Определим меру 1, Рациональные аппроксимации функций формулой: d 1, 2 (x) = |2 (x)| d1 (x), x F1. Для системы отрезков F1,..., Fm таких, что Fj1 Fj =, j = 2,..., m, и мер 1,..., m, S(j ) Fj, индуктивно определим меры 1, 2,..., k+1 = 1, 2,..., k+1, k = 2,..., m 1. Меры sj, приводящие к системам Никишина, определяются по заданным 1 = F1,..., Fm и 1,..., m : s1 = 1 = 1, s2 = 1, 2,..., sm = 1,..., m. Отвлекаясь от других параметров задачи равновесия, связанной с системами Никишина, отметим, что матрица A = aj,k в этом случае такова: aj,j = 2, aj,j±1 = 1, остальные aj,k = 0.

4.4. В недавней работе [21] рассматриваемые задачи иссле дованы для произвольных марковских систем, удовлетворяющих условию: для любых j = k отрезки j и k или не пересе каются, или совпадают (обобщенные системы Никишина или GN-системы). Каждая GN-система определяется с помощью (плоского) графа-дерева, m вершин которого, по существу, нумеруют функции соответствующей системы (4.3). Множество вершин графа можно рассматривать как частично упорядоченное множество (, ) с аксиомой индукции: каждый непустой отрезок { : } имеет наибольший элемент. Удобно рассматривать также расширенный граф = {}, где наименьший / элемент (корневая вершина графа).

Отношение “непосредственного следования” для вершин (ребро графа ) будем обозначать символом (от к ). Через + обозначим множество всех элементов, “непо средственно следующих” за ;

отношение “соседства”, в котором находятся элементы множества +, обозначается символом.

Каждому приводится в соответствие отрезок F и мера с носителем на F ;

предполагается, что два отрезка не пересекаются, если их индексы связаны одним из отношений или, а меры удовлетворяют условию: 0 почти всюду на F (для всех ).

Для любого существует единственная определяющая эту вершину цепочка элементов вида: · · ·, +.

GN-системой, соответствующей графу и заданному набору мер { : }, назовем систему марковских функций f = s, где s =,...,,, ( · · · цепочка, определяющая ).

В работе [21] исследованы асимптотические свойства аппрокси маций Эрмита–Паде для произвольных GN-систем. Ограничимся 104 А. А. Гончар здесь описанием исходных данных задачи равновесия, в тер минах которой формулируются основные результаты работы:

F = {F : }, где F носители мер ;

= { : }, функция распределения, соответствующая заданному на графе распределению вероятностей {p : };

A = aj,k матрица взаимодействия зарядов, элементы которой определя ются следующим образом: a, = 2, если = ;

a, = 1, если индексы связаны отношением ;

a, = 1, если индексы связаны отношением ;

a, = 0 в остальных случаях. Все результаты асимптотического характера для аппроксимаций Эрмита–Паде GN-систем связаны с равновесной мерой, соответствующей этим исходным данным. В частности, для предельного распределения нулей Qn имеем:


µ(Qn ) k |n| + k (подробнее см. [21]).

5. Заключение Основные результаты работы относятся к теории сходимости конструктивных рациональных аппроксимаций аналитических функций. Развита теория обратных задач, непосредственно связанная с применениями метода аппроксимаций Паде к во просам эффективного аналитического продолжения функций.

В терминах, связанных с предельным поведением полюсов строк таблицы Паде, дана полная характеристика мероморфного про должения функции, заданной своим разложением в степенной ряд. Получено локальное условие однозначности аналитической функции в целом и доказаны теоремы сходимости рациональных аппроксимаций для соответствующих классов функций. Для ши рокого класса областей доказан принципиально новый критерий равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде:

голоморфность аппроксимаций в данной области влечет их рав номерную сходимость внутри этой области. На основе метода многоточечных аппроксимаций Паде решены узловые задачи, относящиеся к вопросу о скорости чебышевской рациональной аппроксимации аналитических функций, в частности, известная задача о скорости рациональной аппроксимации экспоненты на полуоси. Разработаны новые подходы, основанные на применении Рациональные аппроксимации функций векторных потенциалов и связанных с ними равновесных мер (метод векторных потенциалов), которые позволили изучить асимптотические свойства аппроксимаций Эрмита–Паде для си стем функций марковского типа и доказать соответствующие теоремы сходимости.

Методы и результаты представленной работы существен но использовались и получили дальнейшее развитие в ряде последующих работ российских и зарубежных математиков.

Список публикаций [1] Гончар А. А., “О задачах Е. И. Золотарева, связанных с раци ональными функциями” // Матем. сб., 1969, 78, 640–654.

[2] Гончар А. А., “Локальное условие однозначности аналитиче ских функций” // Матем. сб., 1972, 89(1), 148–164.

[3] Гончар А. А., “О сходимости аппроксимаций Паде” // Матем.

сб., 1973, 92(1), 152–164.

[4] Гончар А. А., “Локальное условие однозначности аналитиче ских функций нескольких переменных” // Матем. сб., 1974, 93(2), 296–313.

[5] Гончар А. А., “Скорость рациональной аппроксимации и свойство однозначности аналитической функции в окрест ности изолированной особой точки” // Матем. сб., 1974, 94(2), 265–282.

[6] Гончар А. А., “О сходимости аппроксимаций Паде для некоторых классов мероморфных функций” // Матем. сб., 1975, 97(4), 607–629.

[7] Гончар А. А., “О сходимости обобщенных аппроксима ций Паде мероморфных функций” // Матем. сб., 1975, 98(4), 564–577.

[8] Гончар А. А., “О скорости рациональных аппроксимаций некоторых аналитических функций” // Матем. сб., 1978, 105(2), 147–164.

[9] Гончар А. А., Лопес Г., “О теореме Маркова для мно готочечных аппроксимаций Паде” // Матем. сб., 1978, 105(4), 512–524.

106 А. А. Гончар [10] Гончар А. А., Лунгу К. Н., “Полюсы диагональных аппрок симаций Паде и аналитическое продолжение функций” // Матем. сб., 1980, 111(2), 279–292.

[11] Гончар А. А., Рахманов Е. А., “О сходимости совместных аппроксимаций Паде для систем функций марковского типа” // Труды МИАН, 1981, 157, 31–48.

[12] Гончар А. А., “Полюсы строк таблицы Паде и мероморфное продолжение функций” // Mатем. сб., 1981, 115(4), 590–613.

[13] Гончар А. А., “О равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде” // Матем. сб., 1982, 118(4), 535–556.

[14] Гончар А. А., “О скорости рациональной аппроксимации аналитических функций” // Труды МИАН, 1984, 166, 52–60.

[15] Гончар А. А., Рахманов Е. А., “Равновесная мера и распре деление нулей экстремальных многочленов” // Матем. сб., 1984, 125(1), 117–127.

[16] Гончар А. А., “О сходимости диагональных аппроксимаций Паде в сферической метрике.” // Математические струк туры вычислительная математика математическое моделирование. София, 1984. 2, 29–35.

[17] Гончар А. А., Рахманов Е. А., “О задаче равновесия для векторных потенциалов” // УМН, 1985, 40(4), 155–156.

[18] Гончар А. А., “Рациональные аппроксимации аналитических функций” // Труды Международного конгресса математи ков (США, Беркли, 1986), 1987, 1, 739–748.

[19] Гончар А. А., Рахманов Е. А., “Равновесные распределения и скорость рациональной аппроксимации аналитических функций” // Матем. сб., 1987, 134(3), 306–352.

[20] Гончар А. А., Рахманов Е. А., Суетин С. П., “О сходимости аппроксимаций Паде ортогональных разложений” // Труды МИАН, 1991, 200, 136–146.

[21] Гончар А. А., Рахманов Е. А., Сорокин В. Н., “Об аппрок симациях Эрмита–Паде для функций марковского типа” // Матем. сб., 1997, 188(5), 33–58.

Содержание Проблема Бернсайда о периодических группах и смежные вопросы С. И. Адян Введение......................... 1. Краткое описание теории................ 2. Свойства свободных периодических групп нечетно го периода........................ 3. Независимые системы групповых тождеств..... 4. Некоммутативные аналоги аддитивной группы ра циональных чисел.................... 5. Периодические произведения групп.......... 6. Некоторые результаты других авторов....... Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами А. А. Болибрух Введение......................... 1. Проблема Римана–Гильберта............. 1.1. Локальное устройство фуксовой системы.. 1.2. Метод решения. Достаточные условия раз решимости.................... 1.3. Контрпример к проблеме Римана–Гильберта 2. Биркгофова стандартная форма........... 3. Изомонодромные деформации фуксовых систем.. Рациональные аппроксимации аналитических функций А. А. Гончар 1. Введение......................... 2. Теория сходимости. Обратные задачи........ 3. Скорость рациональных аппроксимаций аналити ческих функций..................... 4. Метод векторных потенциалов. Аппроксимации Эрмита–Паде....................... 5. Заключение........................ Научное издание СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ Выпуск Ответственный за выпуск А. Д. Изаак Компьютерная верстка Е. И. Иванниковой, О. Г. Мисюриной Сдано в набор 15.08.2003. Подписано в печать 25.12.2003.

Формат 6090/16. Усл. печ. л. 6,75. Тираж 150 экз.

Отпечатано в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН Москва, 119991, ул. Губкина, 8.

http://www.mi.ras.ru/spm/ e-mail: spm@mi.ras.ru

Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.