авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА Нестандартные методы анализа А. Г. Кусраев С. ...»

-- [ Страница 5 ] --

(2) Утверждение V(B) |= K не имеет делителей нуля равно сильно тому, что для любых x и y K верно b := [[xy = 0]] = [[x = 0]] [[y = 0]]. Если выполняется последнее соотношение и 192 Гл. 4. Анализ алгебраических систем xy = 0, то b = 1, стало быть, для e := [[x = 0]] и c := [[y = 0]] имеем e c = 0. Кроме того, (e )x = x и (c )y = y, поэтому [x] (e ) и [y] (c ). Отсюда видно, что носители [x] и [y] дизъюнктны. Если же [x] [y] = 0, то, как отмечалось в 4.2.6, x · y = 0.

Наоборот, допустим, что равенство xy = 0 равносильно дизъ юнктности носителей [x] и [y]. Тогда для b := [[xy = 0]] из равенств 0 = (b)xy = ((b)x) · ((b)y) вытекает, что проекторы := [(b)x] и := [f (b)y] дизъюнктны. Заметим, что (b) x = 0 и (b) y = 0, а потому [[x = 0]] [[y = 0]] (b f 1 ( )) (b 1 ( )) = b.

(3) Утверждение о мультипликативности ясно. Докажем, что спуск кольца частных есть кольцо частных. Заметим сначала, что (S K ) = S K. Рассмотрим отношение эквивалентности P V(B) такое, что для x, x K и s, s S V(B) |= (x, s)P(x, s ) ( t S )(t(sx s x) = 0).

Если P := P, то P отношение эквивалентности в K S, причем (x, s)P (x, s ) ( t S) (t(sx s x) = 0).

Далее, спуск фактор-множества S K /P биективен с множеством KS K/P. Наконец, для x, y K и s, t S равенства (x/s) + (y/t) = (tx + sy)/st, (x/s)(y/t) = (xy/st) верны в том и только в том случае, если они истинны внутри V(B).

Осталось сопоставить сказанное с определением кольца частных.

(4) Допустим, что [[K поле ]] = 1. Тогда K полупервично и из xy = 0 вытекает [x][y] = 0 для всех x и y K согласно (1) и (2). Для всякого регулярного элемента x K будет (b)xy = 0 (b)y = 0, каковы бы ни были b B и y K. Но тогда [[xy = 0]] [[y = 0]], т. е. [[x = 0]] = 1. Таким образом, существует элемент u K такой, что [[xu = ux = 1]] = 1, поэтому xu = ux = 1, т. е. x обратим в кольце K. Наоборот, пусть K полупервично, всякий регулярный элемент в нем обратим и ортогональность элементов K равносильна дизъюнктности их носителей. Тогда V(B) |= K коммутативное 4.2. Спуски алгебраических систем кольцо, следовательно, [[ K поле ]] = [[( x)(x K x = x обратим ) ]] = {[[( z)(z = x1 )]] : x K [[x = 0]] = 1}. Значит, достаточно показать, что если [[x = 0]] = 1, то [[ x обратим ]] = 1, каков бы ни был x K. Допустим, что [[x = 0]] = 1 и xy = 0 для некоторого y K. Тогда для := [x] и := [y] имеем = 0.

С другой стороны, (b)x = 0 влечет b [[x = 0]] = [[x = 0]] = 1 = 0, стало быть, := (1) = IK. Отсюда получаем = 0 или y = 0.

Следовательно, элемент x обратим в кольце K. Это немедленно приводит к соотношению [[x обратим в K ]] = 1.

(5) Элемент x входит в радикал кольца в том и только в том случае, если для любого y элемент 1 yx обратим слева. Остается заметить, что 1 yx обратим слева в K тогда и только тогда, когда [[1 yx обратим слева в K ]] = 1.

(6) Если [[ (K, D) это BAP-кольцо ]] = 1 и D, то по 4.2. : K K гомоморфизм. С другой стороны, [[ = ]] = 1, поэтому ( ) ( ) = ( ) =, т. е. проектор. То, что D булева алгебра, будет установлено в 4.2.9. Тем самым (K, D) это BAP-кольцо. По определению B = {: {0D, 1D }B } (см.

4.2.7), поэтому B D. Аналогично устанавливается противополож ная импликация.

4.2.9. Теорема. Пусть D полная булева алгебра внутри V(B) и D := D. Тогда D полная булева алгебра и существует полный мономорфизм : B D такой, что b [[x y]] (b)x (b)y для всех x, y D и b B.

В силу 4.2.4 D расширенная алгебраическая B-система сиг натуры (,,, 0, 1). То, что D булева алгебра, также следует из 4.2.4. Временно обозначив булевы операции в D через,, прове рим, например, дистрибутивность.

Рассмотрим термы t1 (x, y, z) := (x y) z, t2 (x, y, z) := (x z) (x y) и формулу := ( x)( y)( z)(x, y, z), где (x, y, z) := (t1 (x, y, z) = t2 (x, y, z)). Тогда согласно 4.2.4 будет 1 = [[||D = 1]] = ||D = ||D (a, b, c), a,b,cD 194 Гл. 4. Анализ алгебраических систем значит, ||D (a, b, c) = 1 для всех a, b, c D. Далее, 1 = ||D (a, b, c) = d(t1 (a, b, c), t2 (a, b, c)) = = [[t1 (a, b, c) = t2 (a, b, c)]] = [[(ab)c = (ac)(bc)]].

Отсюда ввиду отделимости V(B) получаем (ab)c = (ac)(bc).

Точно так же проверяется справедливость остальных аксиом булевой алгебры. Итак, D булева алгебра.

Полнота D не есть свойство первого порядка, поэтому она не выводима по указанной схеме. Пусть V(B) обычное отношение порядка в D, т. е.

V(B) |= ( x D)( y D)(x y x y = x).

Положим := (). Тогда для x, y D выполняется xy в том и только в том случае, если xy = x. Рассмотрим соответствие := (, D, D). Ясно, что вполне нерастягивающее. Далее, если A D, то (A) ( 1 (A)) множество всех верхних (соответствен но нижних) границ множества A (относительно порядка ). Таким образом, sup(A) = (A) 1 ( (A)), если sup(A) существует. Если := (, D, D)B, то соответствие внутри V(B) и =. В силу полноты D существует такой элемент a D, что [[a = sup(A)]] = 1 или [[ (A) 1 ( (A)) = a]] = 1.

Привлекая правило спуска поляр (см. 3.2.13 (2)), выполним простые вычисления:

a = ( 1 ( (A)) (A)) = = 1 ( (A)) (A) = sup(mix(A)) = sup(A).

Следовательно, a = sup(A) и полнота D обоснована. Пусть V(B) тождественное вложение алгебры {0D, 1D }B в D внутри V(B).

Положим 1 = и := 1 2, где 2 изоморфизм B на {0D, 1D }B.

Тогда мономорфизм. Полнота мономорфизма следует из того, что для A B верно ( (A)) ((A)), где := 1.

Далее, ввиду очевидного соотношения V(B) |= ( x, y D)( c {0D, 1D })((c)x = = (c)y (c = 0D ) (c = 1D x = y)) 4.2. Спуски алгебраических систем для любых x, y D и b B будет [[(b)x = (b)y]] = b (b [[x = y]]).

Отсюда получаем (b)x = (b)y b [[x = y]], следовательно, d(x, y) = [[x = y]] = {b B : (b)x = (b)y}.

Теперь ясно, что если (x, y) := x y, то {b B : (b)x (b)y}, [[||D (x, y) = 1]] = [[x y]], ||D (x, y) = откуда и вытекает требуемая эквивалентность.

Отметим теперь несколько следствий для BAP-колец и буле вых алгебр, доказательства которых содержатся по существу в 4.2.5, 4.2.7, 4.2.8, 4.3.2.

Возьмем BAP-кольца K1 и K2 и пусть 1 и 2 изоморфизмы B на выделенные булевы алгебры проекторов в K1 и K2 соответ ственно. Гомоморфизм h : K1 K2 назовем B-однородным, если h 1 (b) = 2 (b) h (b B). Будем говорить также, что K1 кольцо с выделенной булевой алгеброй проекторов B и h перестановочен с проекторами из B.

4.2.10. (1) Теорема. Пусть K1 и K2 это BAP-кольца с одной и той же выделенной алгеброй проекторов D внутри V(B). Положим D := D, Kl := Kl и l := 1, 2. Тогда K1 и K2 это BAP-кольца с выделенной алгеброй проекторов D и если внутри V(B) верно, что гомоморфизм из кольца K1 в кольцо K2, перестановочный с h проекторами из D, то h гомоморфизм из кольца K1 в кольцо K2, перестановочный с проекторами из D. Если h изоморфизм K1 на K2, то h изоморфизм K1 на K2.

(2) Теорема. Пусть D1 и D2 полные булевы алгебры внутри V(B). Положим Dk := Dk, и пусть k : B Dk канонический мо номорфизм при k := 1, 2 (см. 4.2.9). Если h V(B) есть изоморфизм 196 Гл. 4. Анализ алгебраических систем D1 на D2 внутри V(B), то существует изоморфизм H алгебры D1 на D2, для которого коммутативна диаграмма:

B?

 ???

 ?? 1  ??

 ??

  ?  / D D H Наоборот, если H : D1 D2 такой изоморфизм булевых алгебр, что указанная диаграмма коммутативна, то алгебры D1 и D2 изо морфны внутри V(B).

4.3. Погружение алгебраических B-систем В текущем параграфе функтор погружения, изученный в 3.4, распространяется на категории алгебраических B-систем.

4.3.1. Пусть A := (A, ) алгебраическая B-система сигнатуры := (F, P, a). Рассмотрим отображение : F P V(B), действую щее по правилу : s (s) := F ((s)) (s F P ), где F функтор погружения (см. 3.4.12–3.4.16). В соответствии с общим определением погружения соответствий 3.4.13 для каждого f F, a(f ) = n, отображение (f ) : (A )n A внутри V(B) определяется соотношением [[ (f )(A (x0 ),..., A (xn1 )) = A (f )(x0,..., xn1 )]] = 1, каноническое вложение A в A := A (см. 3.5.4). Ана где A логично для p P, a(p) = m, элемент (p) V(B) это такое отображение из (A )m в {0, 1}B V(B), что [[ (p)(A (x0 ),..., A (xm1 )) = B (p)(x0,..., xm1 )]] = 1.

Как видно, модифицированный подъем µ := ( ) отображения :

F P im( ) представляет собой интерпретирующее отображение внутри V(B). Пару (A, µ) или элемент (A, µ)B V(B) называют булевозначной реализацией алгебраической B-системы A и обозна чают символом A.

4.3. Погружение алгебраических B-систем 4.3.2. Теорема. Для любой алгебраической B-системы A сиг натуры ее булевозначная реализация A является алгебраической системой сигнатуры внутри V(B). При этом для всякой формулы сигнатуры с n свободными переменными и для произвольных a0,..., an1 A := |A| выполняется ||A (a0,..., an1 ) = [[||A (A (a0 ),..., A (an1 )) = 1]].

Напомним, что, рассматривая произвольное множество как B-множество, мы имеем в виду дискретную B-метрику на ней. В силу этого = (см. 3.4.12). Благодаря 3.5.5, выполнено V(B) |= µ функция и dom(µ) = F P.

отображение из (A )a(f ) в По теореме 3.4.14 V(B) |= µ(f ) отображение из (A )a(p) в (B) при всех f F и V |= µ(p) A {0, 1} для каждого p P. Отсюда немедленно вытекает, что V(B) |= A алгебраическая система сигнатуры.

Рассмотрим теперь формулу сигнатуры. В силу теоремы 3.5.5 (3) для f F и p P будет A f (a0,..., an1 ) = µ(f )(A (a0 ),..., A (an1 )) (al A), B p (a0,..., an1 ) = µ(p ) (A (a0 ),..., A (an1 )) (al A).

Используя эти равенства, индукцией по длине формулы вы водим ||A (a0,..., an1 ) = ||A (A (a0 ),..., A (an1 )) (a0,..., an1 A), где A := A. Осталось привлечь теорему 4.2.4.

4.3.3. Теорема. Пусть A := (A, ) алгебраическая B-система сигнатуры. Тогда существуют такие A и µ V(B), что выполнены условия:

(1) V(B) |= (A, µ) алгебраическая система сигнатуры ;

(2) если A := (A, ) спуск системы (A, µ), то A расширенная алгебраическая B-система сигнату ры ;

198 Гл. 4. Анализ алгебраических систем (3) существует изоморфизм из A в A такой, что A = mix((A));

(4) для любой формулы сигнатуры с n свободными переменными выполняется ||A (a0,..., an1 ) = ||A ((a0 ),..., (an1 )) = = 1 (||A )((a0 ),..., (an1 )) при всех a0,..., an1 A и из 4.2.2.

Положим A := A, := A, а µ определим как в 4.3.1. Тогда требуемые утверждения вытекают из 3.5.5 (3), 4.2.4 и 4.3.2.

4.3.4. Теорема. Рассмотрим алгебраические B-системы A и B одной и той же сигнатуры.

нерастягивающее отображение из |A| в (1) Пусть h |B|. Тогда h является гомоморфизмом (сильным го моморфизмом, изоморфизмом) в том и только в том случае, если V(B) |= h гомоморфизм (сильный гомоморфизм, изоморфизм) из A в B. Гомомор физм h сюръективен внутри V(B) тогда и только тогда, когда |B| = mix(h(|A|)).

(2) Пусть g V(B) и V(B) |= g : A B гомомор физм алгебраических B-систем. Если при этом B расширенная алгебраическая B-система, то суще ствует единственный гомоморфизм h : A B такой, что g = h.

(1) Если h := h, A := A, B := B, := |A| и := |B|, то h = h (см. 3.5.4 (3)). Покажем, что h гомоморфизм в том и только в том случае, если h гомоморфизм. При этом ограничимся обоснованием 4.1.10 (3) с n = 1. Иными словами, нужно показать, что h и h одновременно сохраняют или нет одноместные операции. Пусть,, µ() и µ() интерпретирующие отображения систем A, B, A и B соответственно. Если h гомоморфизм, то h f = f h. Кроме того, f = (f µ()) и f = (f µ()), следовательно, h (f µ() ) = h f = f h = (f µ()) h.

4.3. Погружение алгебраических B-систем Учитывая также соотношение |A | = mix((|A|)), получим h (f µ() ) = (f µ() ) h. Наоборот, если верно последнее равенство, то, рассуждая в противоположном направлении, найдем h f = f h. Случай произвольных операций или произвольных преди катов несколько более громоздок, но не вызывает принципиальных трудностей. Итак, h гомоморфизм, сильный гомоморфизм или изоморфизм алгебраических B-систем A и B тогда и только тогда, когда соответствующим свойством обладает отображение h из A в B. Ввиду этого требуемое вытекает из 4.2.5 и 4.3.3.

(2) Если A расширенная алгебраическая система, то требуе мое вытекает из 3.5.8 (4). В общем случае нужно вначале привлечь 3.5.8 (2). Искомый гомоморфизм имеет вид h := 1 (g).

4.3.5. Отметим некоторые следствия теорем 4.3.3 и 4.3.4.

(1) Теорема. Если A алгебраическая система конечной сиг натуры, то V(B) |= A алгебраическая система сигнатуры.

При этом для всякой формулы сигнатуры с n свободными пере менными будет A |= (a0,..., an1 ) [[A |= (a,..., a )]] = 1, 0 n каковы бы ни были a0,..., an1 A.

Для доказательства нужно лишь заметить, что если A := (A, f0,..., fk1, p0,..., pm1 ), то предложение A |= (a0,..., an1 ) записывается ограниченной формулой теории множеств (A, f0,..., fn, p0,..., pm1, a0,..., an1 ), и сослаться на 2.2.9.

(2) Теорема. Для всякой алгебраической B-системы A суще ствуют расширенная алгебраическая B-система A сигнатуры (A) и изоморфизм из A в A такие, что (a) |A | = mix((|A|));

(b) если h гомоморфизм из A в расширенную алгебра ическую B-систему B, то существует единственный гомоморфизм h : A B такой, что h = h;

(c) если A расширенная алгебраическая B-система, а изоморфизм : A A удовлетворяет условию (a) (с заменой A на A ), то существует единственный изоморфизм h из A на A такой, что h =.

Пусть (A, µ) булевозначная реализация алгебраической B системы A. Тогда спуск A := (A, µ) удовлетворяет всем требуемым 200 Гл. 4. Анализ алгебраических систем условиям. Действительно, в силу 4.3.3 (3, 4) каноническое вложение := |A| является изоморфизмом, причем выполнено (a). Если h и B те, что указаны в (b), то по теореме 4.3.4 g := h гомоморфизм из A в B := B. В силу расширенности B каноническое отобра жение := |B| является изоморфизмом на. Ясно, что h := 1 g и есть искомый гомоморфизм. Полезно отметить, что если a |A | и a = mix(b (a )), то h (a) = mix(b h (a )). Утверждение (c) вы текает из (a) и из теоремы 4.3.4.

Любую пару (A, ), где A расширенная алгебраическая B система, а изоморфизм из A в A, удовлетворяющую условию (a) теоремы (2), естественно назвать максимальным расширением A.

Тогда из теоремы (2) можно извлечь следующее утверждение.

(3) Всякая алгебраическая B-система обладает единственным с точностью до изоморфизма максимальным расширением.

Возьмем полный гомоморфизм из B в полную булеву алгеб ру C. Пусть A := (A, f0,..., fk1, p0,..., pm1 ) алгебраическая система конечной сигнатуры внутри V(B). Обозначим (A) := ( (A), (f0 ),..., (pm1 ))C, (A) V(C), где : V(B) V(C) ассоциированное с отображение (см. 2.2).

(4) Теорема. Элемент (A) представляет собой алгебраиче скую систему конечной сигнатуры (A) внутри V(C). Отображение a (a) (a A) является гомоморфизмом из A в (A). Для любой формулы сигнатуры (A) с n свободными переменными и для произвольных a0,..., an1 |A| выполняется формула A|= (a0,..., an1 ) (A)|= ( (a0 ),..., (an1 )).

В частности, если B алгебраическая B-система конечной сигна туры и A = B, то для a0,..., an1 |B| имеем B |= (a0,..., an1 ) (A)|= ( (a0 ),..., (an1 )), мономорфизм, то где := |B|. Если изоморфизм из A в (A) и в указанных формулах верна также и обратная импли изоморфизм, то кация. Если изоморфизм алгебраических B-систем.

4.3. Погружение алгебраических B-систем Для доказательства этого факта нужно собрать воедино 2.2.4, 2.2.5, 4.1.10, 4.2.5 и воспользоваться рассуждением из (1).

(5) Для всякой алгебраической системы A внутри V(B) выпол няется [[A изоморфна A]] = 1.

(6) Теорема. Булевозначная реализация (A,, ) алгебраиче ской B-системы с дизъюнктностью (A,, ) является алгебраиче ской системой с простой дизъюнктностью внутри V(B). Если (A, ) := (A, µ) и := {(x, y) A A : (x, y) = 1}, то (A,, ) расширенная алгебраическая B-система с дизъюнктностью и для любых x, y A справедливы эквивалентности x y x y [[x = y = ]] = 1, где = A : A A каноническая инъекция.

Достаточно привлечь 4.1.13 и 4.3.3.

4.3.6. Остановимся теперь подробнее на важном вопросе, за тронутом в 4.2.6. Возьмем алгебраическую B-систему A сигнатуры. Для формулы той же сигнатуры и элементов a0,..., an |A| мы временно будем использовать более информативную запись A |=B (a0,..., an1 ) вместо A |= (a0,..., an1 ).

Применяя процедуру очистки, описанную в 4.1.3, к B-системе A, мы получим двузначную алгебраическую систему A. Можно гово рить об истинности (a0,..., an1 ) как в A, так и в A, ибо |A| = |A| и (A) =. Возникает естественный вопрос, как связаны утвер ждения A |=B (a0,..., an1 ) и A |= (a0,..., an1 ). Теоремы 4.2. и 4.2.8 дают примеры таких формул, для которых из A |=B вытекает A |=. С другой стороны, нетрудно построить пример, нарушающий эту импликацию.

Действительно, пусть B := P([0, 1]) и A := R[0,1] множество всех вещественных функций на отрезке [0, 1] с B-метрикой d(f, g) := {t [0, 1] : f (t) = g(t)} (f, g A).

Введем B-значный бинарный предикат [[ · · ]] на A формулой [[f g]] := {t [0, 1] : f (t) g(t)} (f, g A).

Тогда A := (A, [[ · · ]]) алгебраическая B-система и A |=B, где := ( x)( y)(x y y x). Кроме того, очевидно, что A := (A, ) очистка A, если положить f g ( t [0, 1])f (t) g(t).

202 Гл. 4. Анализ алгебраических систем Очевидно, что A |= ¬. Итак, если T B (A) и T (A) множества всех формул (с константами из |A|), истинных в системах A и A соответ ственно, то никакое из этих двух множеств не будет, вообще говоря, подмножеством другого. Можно ожидать поэтому, что имеют ме сто лишь соотношения вида T B (A) (?)T (A) для некоторого класса формул сигнатуры. Для точных формулировок необхо дим определенный синтаксический анализ текстов.

4.3.7. Выделим необходимые нам типы формул.

(1) Классы генерических и строго генерических формул опреде ляются рекурсией по длине формулы. Вот соответствующие правила формирования:

(a) Всякая атомная формула является строго генериче ской.

(b) Если и строго генерические формулы, то стро го генерическими будут также, ( x), ( x).

(c) Каждая строго генерическая формула является гене рической.

(d) Если и генерические формулы, то генериче скими будут также, ( x), ( x).

(e) Если строго генерическая формула, то ¬ ге нерическая формула.

(f ) Если строго генерическая формула, а гене рическая формула, то генерическая форму ла.

(2) Базисной хорновской формулой называют дизъюнкцию... n, где самое большее одна из формул k атомна, а остальные отрицания атомных формул. Формулу называют хорновской, если она строится из базисных хорновских формул посредством, и.

(3) Всякая генерическая формула исчисления предикатов логи чески эквивалентна хорновской формуле и наоборот.

4.3.8. Примеры.

формула сигнатуры {} с единственным пре (1) Пусть дикатным символом. Если аксиомы решеточно упорядоченно го множества (= решетки;

см. 1.1.1), то генерическая форму ла. Дистрибутивность в указанной сигнатуре не записывается гене рической формулой. Однако если возьмем сигнатуру := {, }, где и двуместные функциональные символы, то формула 4.3. Погружение алгебраических B-систем x (y z) = (x y) (x z) атомная и, значит, строго генериче ская. Более того, дистрибутивная решетка строго генерическая формула сигнатуры {, }.

(2) Возьмем формулы и сигнатуры {,,, 0, 1}. Пусть аксиомы булевой алгебры (см. 1.1.2), а := существует по крайней мере один атом, т. е.

:= ( x)( y)(x = 0 y = y x = y y = 0).

Тогда строго генерическая формула, но не является генери ческой.

(3) Пусть := {+, 0}, где + двуместный функциональный символ, 0 символ константы. Если аксиомы группы (ассоци ативность групповой операции, аксиома нуля, существование обрат ного элемента), то строго генерическая формула сигнатуры.

(4) Пусть := {+, ·, 0, 1}, где +, · двуместные функциональ ные символы, 0 и 1 символы констант. Пусть аксиомы кольца, аксиомы области целостности, т. е. :=, где а := ( x)( y)(x · y = 0 x = 0 y = 0).

Тогда строго генерическая формула, а генерическая фор мула.

4.3.9. Продолжим наш синтаксический анализ следующим ут верждением.

(1) Теорема Йеха. Пусть A расширенная алгебраическая B-система, а формула сигнатуры (A) и a0,..., an1 |A|. Если строго генерическая, то (a) A |=B (a0,..., an1 ) A |= (a0,..., an1 ).

Если генерическая, то (b) A |=B (a0,..., an1 ) A |= (a0,..., an1 ).

Доказательство ведется индукцией по длине формулы. В соответствии с теоремой 4.3.3 можно считать, что A = A, где A алгебраическая система сигнатуры внутри V(B).

Если атомная формула, то утверждение непосредственно следует из определения очистки, ибо для предикатного символа p (A), a(p) = n, верно p (a0,..., an1 ) = 1 (a0,..., an1 ) (p) 204 Гл. 4. Анализ алгебраических систем для всех a0,..., an1 |A|. Для конъюнкции :=, учитывая определение 4.1.8 и индукционное предположение, имеем [[ ]]A = 1 ||A = 1 ||A = 1 A |= A |= A |=.

Аналогично обстоит дело с квантором общности := ( x):

|( x)|A = 1 ( a |A|)(a)|A = ( a |A|)A |= (a) A |= ( x).

Рассмотрим случай квантора существования := ( x). В силу принципа максимума существует элемент z V(B) такой, что [[A |= ( x)]] = [[z |A | A |= (z)]].

По теореме 4.3.3 эту формулу можно переписать так:

[[z |A |]] |(z)|A = |( x)|A.

Отсюда и из индукционного предположения видно, что верны экви валентности |( x)|A = 1 ( z |A|)|(z)|A = ( z |A|)(A |= (z) A |= ( x)), ибо по определению 4.2.3 |A| = |A |. Итак, в каждом из рассмот ренных случаев индукционный шаг осуществим для строго генери ческой формулы, что доказывает (a).

Переходя к (b), заметим, что случаи, и рассматривают ся так же, как выше. Пусть := ¬, где строго генерическая формула. Осталось проанализировать случаи формирования с по мощью отрицания и импликации (см. 4.1.7 (e, f)). Если ||A = 1, то ||A = 0 и в силу установленного в (a) не может быть истинной в A. Но тогда A |=. Наконец, рассмотрим формулу вида :=, где строго генерическая формула, а генерическая формула.

Предположим, что | |A = 1. Если A |=, то доказанное в (a) дает ||A = 1, поэтому ||A = 1. По индукционному предположению будет A |=. Тем самым A |=.

4.3. Погружение алгебраических B-систем Отметим, что теорема Йеха позволяет заменить доказательство некоторых фрагментов теорем 4.2.7–4.2.9 синтаксическим разбором соответствующих предложений. Разумеется, можно сформулиро вать и общий факт такого рода.

(2)Следствие. Пусть A и A булевозначная реализация и очистка расширенной алгебраической B-системы. Для любого хор новского предложения верно [[A |= ]] = 1 A |=.

4.3.10. Пусть некоторое множество формул одной и той же сигнатуры. Введем категорию AS(B) ( ) следующим образом:

Ob AS(B) ( ) := {A V(B) : [[A алгебраическая система сигнатуры и A |= ]] = 1};

AS(B) (A, B) := {h V(B) : [[h гомоморфизм из A в B]] = 1};

Com(f, g) = h [[h = g f ]] = 1.

То, что этими условиями действительно определяется катего рия, следует из принципа переноса, принципа максимума, теоремы 4.3.2, а также из других свойств функтора погружения. Так же, как и раньше, мы будем обозначать символами F и F отображения погружения и спуска соответственно, действующие в категориях ал гебраических систем: F : B-AS( ) AS(B) ( ), F : AS(B) ( ) B-AS( ).

Теорема. Справедливы следующие утверждения:

(1) отображение F есть ковариантный функтор из ка тегории AS(B) ( ) в категорию B-CAS(B) ( );

(2) отображение F является ковариантным функтором из категории B-AS( ) (а также из B-CAS( )) в кате горию AS(B) ( );

(3) функторы F и F осуществляют эквивалентность категорий AS(B) ( ) и B-CAS( ).

4.3.11. (1) Теорема. Пусть D полная булева алгебра и :

BD полный мономорфизм. Тогда существуют полная булева алгебра D внутри V(B) и изоморфизм H из D на D := D такие, что коммутативна диаграмма 206 Гл. 4. Анализ алгебраических систем B  ???

 ??

 ??

  ??

  ??

  /D D H где канонический мономорфизм из B в D.

это BAP-кольцо и : B D (2) Теорема. Пусть (K, D) полный мономорфизм. Тогда существуют BAP-кольцо (K, D) внутри V(B) и изоморфизм h кольца K в кольцо K := K такие, что для любого b B коммутативна диаграмма /K h K (b) (b)   /K K h где канонический мономорфизм из B в D.

Аналогичные результаты имеют место и для BAP-групп.

4.3.12. Примечания.

(1) Пусть C и D булевы алгебры, а P и Q их стоуновские компакты. Определим тензорное произведение C D алгебр C и D как булеву алгебру открыто-замкнутых подмножеств декартова про изведения P Q (см. 1.1.6 (6) и 1.2.6 (8)). Пусть C D пополнение булевой алгебры C D (см. 1.1.6 (7) и 1.2.6 (9)). Если D булева алгебра, а элемент D V(B) таков, что V(B) |= D пополнение булевой алгебры D, то алгебры D и B D изоморфны (см. [234]).

(2) Теоремы Соловея Тенненбаума (см. 4.3.11) могут быть по ложены в основу итерирования конструкции булевозначной модели.

Пусть D V(B) и V(B) |= D полная булева алгебра. По схеме 2. внутри V(B) можно построить V(B) -классы булевозначный универ сум (V(B) )(D), соответствующие булевы оценки истинности [[ · = · ]]D и [[ · · ]]D, а также каноническое вложение ( · ) универсально го класса UB в (V(B) )D. Положим D := D, W(D) := (V(B) )(D), 4.4. Упорядоченные алгебраические системы [[ · = · ]]D := ([[ · = · ]]D ), [[ · · ]]D := ([[ · · ]]D ), := ( · ). Пусть канонический мономорфизм, а : V(B) V(D) :BD соответствующая инъекция (см. 2.2).

Тогда существует единственная биекция h : V(D) W(D) такая, что [[x = y]]D = [[h(x) = h(y)]]D, [[x y]]D = [[h(x) h(y)]]D, каковы бы ни были x и y V(B).

При этом диаграмма V(B) ?

 ???

 ??

 ??

 ??

   / W(D) V(D) h коммутативна. Детали см. в [234]. О родственных булевозначных конструкциях в теории универсальных алгебр см. [218].

(3) Дальнейшие итерации описанной выше конструкции при водят к трансфинитной последовательности булевозначных расши рений. На этом пути возникает сильный метод итерированный форсинг, с помощью которого была установлена относительная сов местимость гипотезы Суслина с ZFC (см. [234]).

4.4. Упорядоченные алгебраические системы Полная булева алгебра конгруэнций, необходимая для булево значной реализации алгебраической системы, часто порождается от ношением порядка. Указанное обстоятельство приводит к возмож ности булевозначной реализации упорядоченных алгебраических си стем. Необходимые дополнительные сведения можно найти в [5, 50, 106, 122].

4.4.1. Упорядоченной группой называют алгебраическую систе му (G, +, 0, ), для которой соблюдены условия:

(1) (G, +, 0) группа;

(2) (G, ) (частично) упорядоченное множество;

(3) структуры группы и порядка согласованы так, что груп повые трансляции являются изотонными отображениями, 208 Гл. 4. Анализ алгебраических систем т. е. G является моделью для ( x)( y)( a)( b)(x y a + x + b a + y + b).

(Аддитивная запись групповой операции не означает, что она ком мутативна.) Говорят, что G линейно упорядоченная группа, если помимо (1)–(3) выполняется (4) (G, ) линейно упорядоченное множество, т. е. на G вы полняется формула ( x)( y) (x y y x).

Элемент x G называется положительным, если x 0. Мно жество всех положительных элементов именуют положительным конусом и обозначают через G+. Подмножество K группы G явля ется положительным конусом относительно некоторого группового порядка на G, если выполняются условия:

(a) K (K) = {0};

(b) K + K = K;

(c) x + K = K + x (x G).

При этом конус K и соответствующий ему порядок связаны соотно шениями x y y x K x + y K.

Группа G линейно упорядочена в том и только в том случае, если справедливо (d) G = G+ (G+ ).

Конус положительных элементов называется воспроизводящим, если G = G+ G+. При соблюдении этого условия говорят также, что G направленная группа. По определению упорядоченная груп па G целозамкнута (архимедова) в том и только в том случае, если для любых x, y G из неравенств nx y, n (соответственно nx y, ±n ) следует, что x 0 (соответственно x = 0). Гомомор физм h : G G упорядоченных групп положителен, если h(x) для каждого 0 x G.

4.4.2. Решеточно упорядоченной группой называют упорядо ченную группу G, в которой всякое непустое конечное множество {x0,..., xn1 } G имеет точную верхнюю границу x0... xn1 := sup{x0,..., xn1 } и точную нижнюю границу x0... xn1 := inf {x0,..., xn1 }. Для всякого элемента x решеточно упорядоченной группы G определены элементы |x| := x (x), x+ := x 0 и x := (x)+ = x 0, называемые соответственно модулем, положитель 4.4. Упорядоченные алгебраические системы ной частью и отрицательной частью x. В любой решеточно упо рядоченной группе выполняются соотношения:

(1) x = x+ x, |x| = x+ + x, x+ x = 0;

(2) (x + y)+ x+ + y +, (x + y) x + y ;

(3) (nx)+ = nx+, (nx) = nx, |nx| = n|x| (n );

(4) |x + y| |x| + |y| + |x|;

(5) |x + y x| = x + |y| x;

(x + y x) = x + y x;

(6) u x = 0, u y = 0 u (x + y) = 0;

Решеточно упорядоченная группа G коммутативна в том и только в том случае, если вместо (4) выполняется |x + y| |x| + |y| для всех x, y G. Из прочих свойств решеточно упорядоченной группы G отметим, что G группа без кручения, G является дистрибутивной решеткой и в ней справедливы соотношения a+ x + b = (a + x + b), a+ x + b = (a + x + b).

Подгруппа G0 решеточно упорядоченной группы называется o идеалом, порядковым идеалом или выпуклой подгруппой, если для любых x и y из |x| |y| и y G0 следует, что x G0. Если, сверх того, подгруппа G0 нормальна, то ее именуют l-идеалом.

4.4.3. Всюду ниже G будет решеточно упорядоченной группой.

Введем в G отношение дизъюнктности по формуле := {(x, y) G G : |x| |y| = 0}.

Ясно, что удовлетворяет всем аксиомам отношения дизъюнкт ности из 4.1.12 (2). Полную булеву алгебру, составленную из компонент K (G), называют базой G и обозначают B(G). Допу стим, что компонента K B(G) выделяется прямым слагаемым группы G. Тогда соответствующий проектор K положительный эндоморфизм в G, причем K x x для всех 0 x G. Если вся кая компонента в K выделяется прямым слагаемым, то множество Pr(G) всех проекторов вида K (K B(G)) есть полная булева ал гебра, изоморфная B(G). В этой ситуации говорят, что G группа с проекциями на компоненты. Решеточно упорядоченная группа G 210 Гл. 4. Анализ алгебраических систем с проекциями на компоненты называется расширенной или ортого нально полной, если она расширена относительно алгебры проекто ров Pr(G). Максимальным расширением решеточно упорядоченной группы G назовем расширенную решеточно упорядоченную группу G вместе с o-изоморфизмом : G G такую, что G = mix((G)) и для каждого 0 x G найдется 0 x G, (x) x (здесь mix вычисляется относительно булевой алгебры Pr(G)).

Напомним, что [x] обозначает наименьшую компоненту, содер жащую x. Из свойств, перечисленных в 4.4.2, вытекает такой факт.

(1) Справедливы следующие соотношения:

(x, y G+ );

[x + y] = [x y] = [x] [y] [x] = [|x|] = [x+ ] [x ] (x G);

[x + y x] = x + [y] x (x, y G);

xy x+y =y+x (x, y G).

(2) Всякая компонента K B(G) является o-идеалом.

Действительно, если x и y A для некоторого A G, то в силу второго соотношения из (1) и 4.4.2 можно написать {x + y} {x} {y} {x} A, значит, x + y {x + y} A. Тем самым установлено, что A подгруппа в G. С другой стороны, если y A и |x| |y|, то {x} {y} A, поэтому x {x} A, что и требовалось.

4.4.4. Если группа G не коммутативна, то компоненты в ней не обязательно будут нормальными подгруппами, т. е. не являют ся, вообще говоря, l-идеалами. В связи с этим вводится следую щее понятие. Компоненту K B(G) назовем инвариантной, если x + K x K для каждого x G. В силу 4.4.3 (2) это равносильно тому, что K есть l-идеал. Множество всех инвариантных компонент обозначим символом B (G).

(1) Множество всех инвариантных компонент B (G) является правильной подалгеброй булевой алгебры всех компонент.

Ясно, что пересечение любого множества инвариантных ком понент будет инвариантной компонентой. Поэтому достаточно уста новить, что инвариантной компонентой будет дизъюнктное допол нение каждой инвариантной компоненты. Возьмем K B (G) и 4.4. Упорядоченные алгебраические системы x K. Тогда для любых y K и a G будет 0 = (a+|y|a)|x| = a+(a+|y|a)|x|+a = |y|(a+|x|+a), тем самым a+|x|+a K.

Это и означает, что компонента K инвариантна.

(2) Для решеточно упорядоченной группы G равносильны ут верждения:

(a) всякая компонента инвариантна, т. е. B(G) = B (G);

(b) для любых x, y G имеет место равенство {x} = y + {x} y;

(c) если элемент x G дизъюнктен какому-нибудь из своих сопряженных y + x y, то x = 0.

Условие (b) является очевидным следствием (a). Допустим, что выполнено (b) и x (y + x y) для некоторых x и y G. Тогда x {y + x y} = y + {x} y = {x}, откуда немедленно вытекает, что x = 0. Наконец, пусть выполнено (c) и компонента K имеет вид A, A G. Возьмем произвольные x K, y G, a A и положим z := (y + |x| y) |a|. Ясно, что 0 z (y + z + y) |x| |a| = 0, так что z = 0. Но это означает, что |y + x y| = y + |x| y A = K, т. е. y + K y K.

Введем симметричное отношение в G формулой := {(x, y) G G : ( a)( b)(a + |x| a) (b + |y| b) = 0}.

Если для некоторых x и y G неверно, что x y, то найдутся такие a0 и b0 G, что u0 := (a0 + |x| a0 ) (b0 + |y| b0 ) = 0. Легко видеть, что u0 {a0 + |x| a0 }, а с другой стороны, {a0 + |x| a0 } = {x}. Отсюда вытекает, что u0 {x} и аналогично u0 {y}.

Заметим еще, что наименьшая -компонента есть {0} и IG IG = {(0, 0)}. Таким образом, отношение дизъюнктности на G (см. 4.1.12 (2)).

(3) Множество всех -компонент совпадает с полной булевой алгеброй инвариантных -компонент: R (G) = B (G).

4.4.5. Предположим теперь, что группа G имеет инвариант ную базу, т. е. все ее компоненты инвариантны. Это означает в 212 Гл. 4. Анализ алгебраических систем точности, что =. Понятно, что коммутативная решеточно упоря доченная группа имеет инвариантную базу. В указанной ситуации можно превратить G в алгебраическую B-систему. Пусть изо морфизм полной булевой алгебры B на (инвариантную) базу B(G).

Положим по определению p(x) := 1 ({x } ) (x G).

Отображение p : G B обладает рядом важных свойств.

(1) Для любых x и y G имеют место соотношения:

(a) 0 x p(x) = 1;

(b) p(x) p(x) = 1 ({x} );

(c) p(x) p(y) p(x + y);

(d) p(x) = p(y + x y);

(e) p(x) p(x) = 1.

Первое утверждение очевидно. Для доказательства (b) необ ходимо заметить, что {x} = {x+ } {x } = {x } {(x) } благодаря дизъюнктности x+ и x. Тогда ясно, что 1 ({x } ) = 1 ({x } )1 ({(x) } ) = p(x)p(x). Аналогичными рассуж дениями с учетом 4.4.2 (2, 6) устанавливается (c). Соотношение (d) вытекает из 4.4.2 (5) ввиду инвариантности компонент. Привлекая вновь дизъюнктность элементов x+ и x, можно написать ({x+ } {x } ) = {x+ } {x } = {0}.

Отсюда выводим {x+ } {x } = G, что равносильно требуемому.

Введем два отображения и d : G G B следующими фор мулами:

d(x, y) := 1 ({x y} ) (x, y) := p(y x), (x, y G).

Из 4.4.5 (a)–(d) непосредственно вытекает (2) Отображение обладает следующими свойствами:

(a) (x, x) = 0 (рефлексивность);

(b) (x, y) (y, z) (x, z) (транзитивность);

(c) (x, y) = (a + x b, a + y b) (инвариантность);

(d) (x, y) (y, x) = d(x, y) (антисимметричность).

Ввиду (d) d(x, y) = (x, y) (y, x), следовательно, d это B метрика на G, инвариантная относительно правых и левых сдвигов, а является B-предикатом. Наконец, ясно, что d(x, 0) = 1 ({x} ), т. е. B-метрика d согласована с дизъюнктностью (см. 4.1.13).

4.4. Упорядоченные алгебраические системы 4.4.6. Теорема. Пусть G решеточно упорядоченная группа с инвариантной базой. Тогда G, рассматриваемая с B-предикатом и соответствующей B-метрикой d, представляет собой алгебраическую B-систему сигнатуры (+, 0, ), на которой выполняются аксиомы линейно упорядоченной группы.

Как уже отмечалось выше, B-метрика d инвариантна относи тельно сдвигов. С учетом этого можно написать d(x + y, u + v) = d(x, y + u + v) d(x, u) d(u, y + u + v), d(u, y + u + v) = d(u + y u, v) d(y, v) d(u + y u, y), d(u + y u, y) = d(u + y, u + y) = 0.

Из этих соотношений видно, что d(x + y, u + v) d(x, u) d(y, v), т. е. операция суммы есть нерастягивающее отображение. Далее, благодаря 4.4.5 (3) по определению d будет d(x, y) p(x) = p(x) p(x y) p(y x) p(y), каковы бы ни были x и y G. Отсюда без труда выводится, что (x, y)d(x, u) d(y, v) (u, v), а это означает нерастягиваемость отображения.

Итак, (G, +, 0, ) служит алгебраической B-системой сигнатуры (+, 0, ) при следующей интерпретации символа : если x, y G, то |x y|G := (x, y). Тогда унарный B-предикат p на G будет, очевид но, интерпретацией свойства быть положительным элементом, т. е.

|0 x|G = p(x). Тот факт, что G является B-моделью для аксиом линейно упорядоченной группы, есть просто иная трактовка свойств 4.4.5 (1–5). Проверим, например, согласованность порядка с груп повой структурой и линейную упорядоченность.

Если замкнутая формула из 4.4.1 (3), то, расписывая булевы оценки истинности для кванторов в соответствии с 4.1.8, получим ||G = |x y a + x + b a + y + b|G.

x,y,a,bG Далее, учитывая, что служит интерпретацией символа, напи шем:

|x y a + x + b a + y + b|G = (x, y) (a + x + b, a + y + b).

214 Гл. 4. Анализ алгебраических систем Однако согласно 4.4.5 (4) выполняется (a + x + b, a + y + b) = p(a + y + b (a + x + b)) = = p(a + (y x) a) = p(y x) = (x, y).

Значит, 1 = (x, y) (a + x + b, a + y + b), поэтому ||G = 1.

Пусть теперь аксиома линейной упорядоченности 4.4.1 (4).

Вновь пользуясь правилами 4.1.8, напишем:

||G = |x y y x|G = (x, y) (y, x).

x,yG x,yG Заметим, далее, что в силу 4.4.5 (5) выполняется (x, y) (y, x) = p(y x) p(x y) = 1, стало быть, ||G = 1.

4.4.7. Обратимся теперь к случаю решеточно упорядоченных колец. Алгебраическая система (A, +, ·, 0, ) называется упорядо ченным кольцом, если справедливы утверждения:

(1) (K, +, 0, ) коммутативная упорядоченная группа;

(2) (K, +, ·, 0) кольцо (не обязательно коммутативное или ассоциативное);

(3) умножение в кольце K согласовано с порядком так, что из 0 x, y K следует 0 xy, т. е. K является моделью для формулы ( x)( y)(x 0 y 0 x · y 0).

Таким образом упорядоченное кольцо представляет собой коль цо, аддитивная группа которого упорядочена и, кроме того, коль цевые гомотетии, соответствующие положительным элементам, яв ляются положительными эндоморфизмами указанной упорядочен ной группы. Часто мы будем приписывать упорядоченному кольцу свойства соответствующей упорядоченной группы. Так, например, понятия решеточно или линейно упорядоченного кольца, положи тельного конуса и т. п. относятся к упорядоченной группе кольца и не нуждаются в пояснениях. Порядок на K называется кольцевым, если он удовлетворяет всем условиям из (1) и (3).

4.4. Упорядоченные алгебраические системы Упорядоченное кольцо K называют коммутативным, если по мимо (1)–(3) выполняется также аксиома (4) ( x)( y) (xy = yx).

Подмножество P кольца K является положительным конусом некоторого кольцевого порядка в том и только в том случае, если P (P ) = {0};

P + P P;

P · P P.

В решеточно упорядоченном кольце K помимо указанных в 4.4. соотношений выполняется также: (xy)+ x+ y + + x y ;

(xy) x+ y + x y + ;

|xy| |x| · |y|.

4.4.8. Всякое решеточно упорядоченное кольцо K можно пре вратить в упорядоченную B-группу, но при этом K не будет, вообще говоря, B-кольцом. Дело в том, что кольцевое умножение может не быть нерастягивающей операцией относительно соответствующей B метрики. Чтобы исключить это нежелательное явление, необходима более тесная взаимосвязь умножения и порядка. Решеточно упоря доченное кольцо K называется f -кольцом, если оно удовлетворяет следующему условию: если x, y K и x y = 0, то (ax) y = и (xa) y = 0 для любого 0 a K. Отметим, что во всяком f -кольце выполняется: |x| |y| = 0 xy = 0. Если в f -кольце нет ненулевых нильпотентных элементов, то верно и обратное утвержде ние или, как еще говорят, f -кольцо является точным. В частности, f -кольцо без делителей нуля является линейно упорядоченным, а линейно упорядоченное кольцо без ненулевых нильпотентных эле ментов не содержит делителей нуля. Из прочих свойств f -кольца отметим следующие:

(x y)z = (xz) (yz);

z(x y) = (zx) (zy);

(x y)z = (xz) (yz);

z(x y) = (zx) (zy);

|xy| = |x| · |y|.

Для любого решеточно упорядоченного кольца K равносильны следующие утверждения:

(1) K является f -кольцом;

(2) {xy} {x} {y} ;

(3) d(xy, uv) d(x, u) d(y, v).

216 Гл. 4. Анализ алгебраических систем Допустим, что K есть f -кольцо. Если |x| |u| = 0 или |y| |u| = 0, то |xy| |u| = (|x| · |y|) |u| = 0. Значит, из u {x} или u {y} следует u {x · y}, т. е. {x} {y} {xy}. Отсюда {xy} ({x} {y} ) = {x} {y}. Пусть теперь выполнено (2). Заметим, что |xyuv| = |x(yv)+(xu)v| |x|·|yv|+|xu|·|v|, поэтому {xy uv} {y v} {x u}.

Это неравенство равносильно (3) в силу определения B-метрики d из 4.4.5. Наконец, предположим, что отображение (x, y) xy нерас тягивающее. Положим в (3) u = 0, v = y := a и перепишем его в виде {x · a} {x} {0} = {x} или {xa} {x}. Если теперь x y = 0 для некоторого y K, то y {xa} и при a 0 выполня ется (xa) y = 0. Аналогично устанавливается, что (ax) y = 0 и тем самым K есть f -кольцо.

4.4.9. Теорема. Всякое (ассоциативное, коммутативное) f -ко льцо K вместе с B-предикатом и соответствующей B-метрикой d представляет собой алгебраическую B-систему, которая является B-моделью для аксиом (ассоциативного, коммутативного) линейно упорядоченного кольца. При этом элемент 0 = e K является коль цевой единицей указанного B-кольца в том и только в том случае, если e порядковая и кольцевая единица кольца K.

Как установлено в 4.4.6, K является линейно упорядоченной B-группой с указанными и d. Добавим к этой B-группе нерас тягивающее отображение (x, y) xy и докажем, что полученная алгебраическая B-система есть f -кольцо. Ассоциативность, комму тативность и дистрибутивность в B-системе K тривиально следуют из соответствующих свойств кольца K. Проверим аксиому согласо ванности 4.4.7 (3). Для этого заметим, что благодаря 4.4.7 и 4.4.8 (2) выполнено {(xy) } {x+ y } {x y + } {x } {y }.

По определению p заключаем, что p(x) p(y) p(xy). Теперь оста 4.4. Упорядоченные алгебраические системы ется вычислить булевы оценки истинности по правилам 4.1.8:

|( x)( y)(x 0 y 0 xy 0)|K = |x 0|K |y 0|K |xy 0|K = = x,yK p(x) p(y) p(x · y) = 1.

= x,yK Заметим далее, что для e K равенство 1 = | e|K = |e 0 e = 0|K означает, что p(e) d(e, 0) = 1, т. е. e 0 и e является порядковой единицей. С другой стороны, d(x, ex) d(x, xe), |( x)(xe = ex = x)|K = xK поэтому e будет единицей B-кольца тогда и только тогда, когда e порядковая единица в K и для каждого x K выполняется d(xe, x) = d(ex, x) = 0. Последнее означает: x = ex = xe, что и требовалось.

4.4.10. Теорема. Пусть G упорядоченная группа в модели V(B) и G := G. Тогда G упорядоченная группа, расширенная относительно булевой алгебры проекторов B и существует изомор физм из B на B такой, что b [[0 x]] 0 (b)x (x G, b B).

При этом имеют место следующие эквивалентности:

(1) V(B) |= G направлена (целозамкнута, архимедова) G направлена (целозамкнута, архимедова) ;

(2) V(B) |= G решеточно упорядочена (порядково пол на) G решеточно упорядочена (порядково пол на) ;

(3) V(B) |= G упорядоченное кольцо G рас ширенное упорядоченное кольцо с булевой алгеброй проекторов B ;

(4) V(B) |= G линейно упорядоченное тело G расширенное f -кольцо без ненулевых нильпотентных элементов, B алгебра проекторов на всевозмож ные компоненты G и всякий регулярный элемент в G обратим.

218 Гл. 4. Анализ алгебраических систем То, что G расширенная группа с полной булевой алгеброй проекторов B, было установлено в 4.2.7. Пусть G + положитель ный конус группы G внутри V(B). Тогда [[G + + G + G + ]] = [[G + G + = {0}]] = = [[( x G )(x + G + = G + + x)]] = 1.

Положим G+ := G + и заметим, что G+ + G+ G+, G+ G+ = {0} по правилам спусков пересечения и образа. Далее, для любого x G будет [[x + G + = G + + x]] = 1, т. е. x + G + = G + + x, но тогда (x + G+ ) = (x + G + ) = (G + + x) = G+ + x.

упорядоченная группа с положительным конусом G+.

Итак, G Существование изоморфизма : B B также доказано в 4.2.7.

При этом равносильны соотношения b [[x = y]] и (b)x = (b)y.

Возьмем x G и заметим, что [[0 x ( y G + )(x = y)]] = 1.

Это означает, что b [[0 x]] в том и только в том случае, когда b [[( y G + )(x = y)]]. Последнее равносильно существованию y G + =: G+, такого что b [[x = y]] или (b)x = (b)y 0.

Докажем теперь эквивалентности (1)–(4).

(1) Направленность G означает, что [[G + G + = G ]] = 1. Но это равносильно направленности G, ибо (G + G + ) = G + G + = G+ G+. Целозамкнутость G это не что иное, как {[[x 0]] : [[( y G )( n )(nx y)]] = 1} = 1.

Поэтому G целозамкнута в том и только в том случае, если для каждого x G верна импликация ( y G)([[( n )(nx y)]] = 1 [[x 0]] = 1), или (( y G)( n )[[n x y]] = 1) [[x 0]] = 1.

Последняя строчка представляет собой эквивалентную запись цело замкнутости группы G. Аналогично доказывается утверждение об архимедовости G.

4.4. Упорядоченные алгебраические системы (2) Пусть G решеточно упорядочена. Покажем, что на алгебра ической системе G истинна замкнутая формула ( x)( y)( z) (z = sup{x, y}), т. е. что в G для любых двух элементов существует точ ная верхняя граница. Если x и y G, то [[{x, y} G ]] = 1. Поэтому [[( u G )(u = sup{x, y})]] = 1. В силу принципа максимума суще ствует z V(B) такой, что [[z G ]] [[z = sup{x, y}]] = 1.

Это означает, с одной стороны, что z G, а с другой |z = sup{x, y}|G = 1.

По определению отношения порядка отсюда получаем z = x y. Те же рассуждения приводят к существованию точной нижней границы x y.

Предположим теперь, что [[ G порядково полная группа ]] = 1.

Покажем, что тогда и G будет порядково полной. Сначала напом ним следующее эквивалентное определение точной верхней границы sup(A) множества A в произвольном упорядоченном множестве:

sup(A) = (A) ( (A)).

Возьмем теперь произвольное ограниченное сверху подмноже ство A системы G. Это означает, что (A) =. Но тогда по правилам спуска и подъема поляр [[ (A) = ]] = 1, или, что то же ограниченное сверху подмножество в G ]] = 1. Отсюда самое, [[A по принципу максимума выводим, что для некоторого a G будет [[a = sup(A) = (A) ( (A))]] = 1.

Привлекая вновь нужные правила спуска и подъема, получим, что a = sup(mix(A)). Наконец, учитывая полную экстенсиональность от ношения, заключаем sup(mix(A)) = sup(A). Итак, A имеет точную верхнюю границу. Таким образом, G порядково полная упорядо ченная группа.

(3) Следует из 4.2.8 и из установленных свойств G.

(4) Пусть V(B) |= G линейно упорядоченное тело. Благодаря (3) и 4.2.8, можно заключить, что G упорядоченное расширенное 220 Гл. 4. Анализ алгебраических систем ассоциативное кольцо с булевой алгеброй положительных проекто ров B, не имеющее ненулевых нильпотентных элементов. Так как G является моделью для ( x)( y)(x y = 0 x = 0 y = 0), то для любых x, y G будет [[x y = 0]] (x = 0) (y = 0). Если x y = 0, то b [[x = 0]] и b [[y = 0]], или (b)x = x и (b)y = для подходящего b B. Отсюда уже без труда выводится, что B булева алгебра проекторов на компоненты. Но тогда ортогональ ная полнота G равносильна расширенности G относительно B. Так как проекторы (b) (b B) мультипликативны (см. 4.2.8), то ядро всякого проектора есть кольцевой идеал. Это немедленно приводит к справедливости в G характеристического свойства f -кольца (см.

4.4.8 (2)).

Наоборот, если G удовлетворяет указанным в (4) условиям, то ввиду (2) [[ G решеточно упорядоченное кольцо ]] = 1. Как нетруд но видеть, G будет и f -кольцом без ненулевых нильпотентных эле ментов внутри V(B). Но тогда для x, y G из [[xy = 1]] = 1 следует [[|x| |y| = 0]] = 1, или |x| |y| = 0, следовательно, найдется такой элемент b B, что (b)x = 0 и (b )y = 0. Отсюда b [[x = 0]] и b [[y = 0]], значит, [[x = 0 y = 0]] b b = 1. Тем самым уста новлено, что V(B) |= G не имеет делителей нуля. Но f -кольцо без делителей нуля линейно упорядочено, так что V(B) |= G линейно упорядочено. Наконец, в силу 4.2.8 ненулевые элементы G обрати мы и, стало быть, V(B) |= G линейно упорядоченное тело.

4.4.11. Таким образом, решеточно упорядоченные группы и f кольца определенным способом превращаются в линейно упорядо ченные B-группы и B-кольца. Это означает в силу 4.3, что они имеют булевозначные реализации, являющиеся линейно упорядочен ными группами и кольцами соответственно. Следовательно, всякую информацию о строении линейно упорядоченных групп и колец мож но использовать для изучения более общих классов групп и колец.

Продемонстрируем это положение на примере следующих известных фактов (см. [5, 106]).

(1) Теорема Гльдера. Любая архимедова линейно упорядо е ченная группа изоморфна подгруппе аддитивной группы действи тельных чисел.


(2) Всякая архимедова направленная группа коммутативна.

(3) Теорема. Архимедово линейно упорядоченное кольцо либо 4.4. Упорядоченные алгебраические системы является нулевым (т. е. произведение любых двух элементов рав но нулю), либо порядково и алгебраически изоморфно однозначно определенному подкольцу поля действительных чисел.

4.4.12. Теорема. Пусть G архимедова решеточно упорядо ченная группа, база которой изоморфна булевой алгебре B. Тогда в булевозначной модели V(B) существует подгруппа G аддитивной группы поля действительных чисел, такая, что решеточно упоря доченная группа G := G является максимальным расширением группы G.

В соответствии с 4.4.6 группу G можно превратить в линей но упорядоченную B-группу. Пусть G булевозначная реализация этой алгебраической B-системы. Тогда по 4.3.3 G линейно упоря доченная группа внутри V(B). По теореме 4.4.10 G := G решеточ но упорядоченная группа, причем известно, что G = mix((G)), где канонический изоморфизм из G в G. Если b B, а Lb B(G) и b Pr(G ) соответствующие компонента и проектор, то усло вия x Lb и (I b )((x)) = 0 равносильны для любого x G.

Действительно, по определению B-метрики на G (см. 4.4.5) соотно шение x Lb означает d(x, 0) b, а из теоремы 4.4.10 видно, что b (x) = (x) выполняется лишь в том случае, если b [[(x) = 0]].

Но при этом известно, что [[(x) = 0]] = [[(x) = 0]] = d(x, 0).

Итак, установлено, что соответствие L 1 (L ) (L B(G )) явля ется изоморфизмом баз B(G ) и B(G). Возьмем теперь 0 x G.

Если x = mix( (x )), то 0 (x ) (x ) для некоторого. В силу указанного изоморфизма баз существует 0 z G, для кото рого z { (x )}. Теперь для x0 := x z имеем 0 (x0 ) (z) (x ) (x ) x.

Тем самым (G) минорантно в G. Допустим теперь, что для некото рых x, y G выполняется n|x| y (n ). Пусть y = mix( (y )) и x = mix( (x )) для некоторых семейств (x ) и (y ) в G и разбиения единицы ( ) в Pr(G ). Положим 0 := { : (|x |) = 0}. Вви ду минорантности (G) для каждого \ 0 существует 0 u G, 222 Гл. 4. Анализ алгебраических систем для которого (u ) (|x |). Далее, для тех же и для всех n будет (nu ) (n|x |) = (n|x|) y = (y ) (y ), или nu y. Благодаря архимедовости G, получаем u = 0. Это означает, что 0 =, а потому x = 0. Следовательно, группа G ар химедова, а по 4.4.10 [[ G архимедова ]] = 1. По теореме Гльдера е 4.4.11 (1) G изоморфна аддитивной подгруппе группы действитель ных чисел R. По теореме 4.3.4 можно считать, что G есть линейно упорядоченная подгруппа в R.

4.4.13. Теорема. Пусть K архимедово f -кольцо. Тогда в K существуют две взаимно дополнительные компоненты K0 и K1, такие что если базы B(K0 ) и B(K1 ) изоморфны булевым алгебрам B0 и B1 соответственно, то имеют место утверждения:

(1) в булевозначной модели V(B0 ) существует подгруп па K0 группы действительных чисел такая, что ре шеточно упорядоченная группа K0 := K0 с нуле вым умножением есть максимальное расширение f кольца K0 ;

(2) в булевозначной модели V(B) существует подкольцо K1 кольца действительных чисел такое, что f -кольцо K1 := K1 является максимальным расширением K.

При этом f -кольцо K0 K1 является максимальным расшире нием f -кольца K.

Мы уже видели в 4.4.12, что реализация аддитивной группы f -кольца K в модели V(B), B = B(K), будет подгруппой аддитив ной группы действительных чисел. Однако согласно 4.4.9 K явля ется B-кольцом, а по теореме 4.3.3 [[ K кольцо ]] = 1. Положим b0 := [[ K нулевое кольцо ]] и b1 := [[ K подкольцо кольца действи тельных чисел ]]. Благодаря принципу переноса и теореме 4.4.11 (3), b0 b1 = 1. С другой стороны, b0 b1 = 0, ибо кольцо не может быть одновременно нулевым и подкольцом кольца действительных чисел.

Пусть K0 и K1 компоненты в K, соответствующие элементам b0 и b1, т. е. K0 и K1 определены условиями x K1 d(x, 0) bl (l = 0, 1), 4.5. Спуски полей где d это B-метрика B-системы K. Положим Bl := [0, bl ] и заме тим, что база B(Kl ) изоморфна Bl, причем bl единица алгебры Bl.

Обозначим Kl := l (K ) V(Bl ), где l : b bbl, b B. Так как l эпиморфизм B на Bl, то V(B0 ) |= 0 (K ) подгруппа аддитив ной группы действительных чисел и V(B1 ) |= 1 (K ) подкольцо кольца действительных чисел. По теореме 4.4.12 K := K есть рас ширение упорядоченной группы K. Поскольку bl = [[l (K ) K ]], то Kl := Kl (bl )(Kl ), следовательно, K 0 K1.

K Отсюда видно, что K есть максимальное расширение K.

4.5. Спуски полей Здесь устанавливается, что рационально полные коммутатив ные полупервичные кольца биективно соответствуют полям в бу левозначных моделях теории множеств. Отсюда, в частности, вы водится возможность переноса хорновских свойств полей на такие кольца. Необходимые факты из теории колец изложены в деталях, например, в [82, 104].

4.5.1. Всюду в данном параграфе K коммутативное кольцо с единицей 1, причем 1 = 0. В этом случае полупервичность кольца равносильна отсутствию в нем ненулевых нильпотентных элемен тов, т. е. таких элементов 0 = x K, что xn = 0 для некоторого n N. Напомним также, что коммутативное кольцо называют об ластью целостности или целостным кольцом, если 0 = 1 и единственный делитель нуля.

(1) Отношение в полупервичном кольце K, определяемое ра венством := {(x, y) K K : xy = 0}, есть отношение дизъюнктности, причем наименьшая -компонента совпадает с одноточечным множеством {0}. Дизъюнктность будет простой в том и только в том случае, когда K область целостности.

Отношение симметрично ввиду коммутативности K. Для произвольного элемента x (K) будет x2 = 0, поэтому x = 0.

Следовательно, второе свойство дизъюнктности (см. 4.1.12 (2)) вы текает из полупервичности K. Если z = xy = 0, то для произволь ных u (x) и v (y) будет uz = (ux)y = 0 и zv = x(yv) = 0.

224 Гл. 4. Анализ алгебраических систем Тем самым z (x) (y) = [x] [y].

Иначе говоря, выполнено и третье условие из определения дизъ юнктности 4.1.12 (2). Итак, отношение дизъюнктности в K.

Привлекая определение 4.1.12 (2), видим, что дизъюнктность про ста лишь в том случае, когда из равенства xy = 0 вытекает либо x = 0, либо y = 0.

Легко видеть, что аннулятор L непустого множества L K, определяемый формулой L := (L) := k K : kL = {0}, служит идеалом кольца K. Идеалы такого вида называют аннуля торными идеалами. Можно показать, что множество J K яв ляется аннуляторным идеалом в том и только в том случае, если J = J, где J := (J ). Из 4.1.12 (3) вытекает следующее утвер ждение.

(2) Аннуляторные идеалы любого коммутативного полупервич ного кольца K образуют полную булеву алгебру B(K), причем ре шеточные операции в B(K) имеют вид:

(L, M B(K)), L M := (L M ) L M := L M, а булево дополнение L идеала L B(K) совпадает с его аннулято ром L.

4.5.2. Пусть B полная булева алгебра аннуляторных идеалов кольца K. Определим в K булево расстояние, положив d(k1, k2 ) := {k1 k2 } (k1, k2 K).

(1) Коммутативное полупервичное кольцо K с B-метрикой d и дизъюнктностью представляет собой B-кольцо с дизъюнктностью.

Убедимся сначала, что выполнены свойства булевой метрики из 3.4.1. Свойства (1) и (2) видны непосредственно из определения d.

Для проверки свойства (3) из 3.4.1 возьмем k {k1 k2 } {k2 k3 } и заметим, что k(k1 k2 ) = 0 и k(k2 k3 ) = 0, т. е. k(k1 k3 ) = или k {k1 k3 }. Отсюда выводим d(k1, k3 ) = {k1 k3 } ({k1 k2 } {k2 k3 } ) = = {k1 k2 } {k2 k3 } = d(k1, k2 ) d(k2, k3 ).

4.5. Спуски полей Если d(k1, k2 ) = 0, то {k1 k2 } = K, значит, (k1 k2 )2 = 0. Но так как в K нет ненулевых нильпотентных элементов, то k1 = k2.

Проверим, что кольцевые операции нерастягивающие отобра жения. Надо показать, что {k1 k1 } {k2 k2 } {(k1 + k2 ) (k1 + k2 )} ;

{k1 k1 } {k2 k2 } {k1 k2 k1 k2 }.

Первое включение очевидно. Имеют место очевидные соотношения k1 k2 k1 k2 = k1 k2 k1 k2 + k1 k2 k1 k2 = k1 (k2 k2 ) + k2 (k1 k1 ), откуда следует второе включение.

Кольцевые операции очевидным образом сохраняют дизъюнкт ность, т. е. из x, y a следует, что xy, x + y a. Согласованность дизъюнктности с B-метрикой d тривиально следует из определений, ибо d(x, 0) = x (см. 4.1.13).

(2) Для любых x, y K имеет место равенство d(xy, 0) = d(x, 0) d(y, 0).

Нужно установить равенство {xy} = {x} {y}, в котором включение очевидно. Возьмем u {x} {y} = ({x} {y} ). Это означает, что для любых a, b K из ax = 0 сле дует au = 0, а из by = 0 следует bu = 0. Применив эти соображения при b := v 2 x и a := v 2 u, для произвольного v K выводим v xy (v 2 x)y = 0 (v 2 u)y = v 2 u2 = 0 (vu)2 = 0 vu = 0.

Итак, для любого v {xy} выполнено v u, стало быть, u {xy}.

4.5.3. Элемент e K называют идемпотентом, если e2 = e.

Идемпотенты коммутативного кольца K с единицей образуют булеву алгебру P(K) (не обязательно полную), в которой булевы операции имеют вид e = 1 e (e, d P(K)).

e d = e · d, e d = e + d e · d, Кольцо K называют регулярным (в смысле фон Неймана), ес ли каждый главный идеал в нем порождается идемпотентом или, 226 Гл. 4. Анализ алгебраических систем эквивалентно, если каждый главный идеал в нем выделяется пря мым слагаемым. Регулярность кольца K равносильна разрешимо сти в нем уравнения a2 x = a для любого элемента a K (уравнения aa a = a в некоммутативном случае).

Если коммутативное полупервичное кольцо K разложимо отно сительно введенной булевой метрики, то каждый аннуляторный иде ал порождается идемпотентом и, в частности, оно регулярно. При этом отображение : e e·K осуществляет булев изоморфизм P(K) на B(K).

Возьмем аннуляторный идеал b B(K). В силу разложимо сти B-кольца K существует элемент e K, для которого b d(1, e) = 0 и b d(0, e) = 0, т. е. e := mix{b1, b 0}. Этот элемент является идем потентом, так как из 4.5.2 (2) вытекает d(e2, e) = d(e, 0) d(1, e) b b = 0. В частности, e (1 e), поэтому аннуляторные иде алы d(e, 0) = {e} и d(1, e) = {1 e} дизъюнктны, следова тельно, d(e, 0) = b и d(1, e) = b. Теперь, используя равенство d(ex, x) = d(1, e) d(x, 0) (см 4.5.2 (2)), для произвольного x K выводим:


x b d(x, 0) b d(ex, x) = 0 ex = x.

Таким образом, b = eK. Оставшиеся детали очевидны.

4.5.4. Множество S K называют плотным, если S = {0}, т. е. если для любого k K из равенства k · S = {0} следует k = 0.

Кольцо K называют рационально полным, если для любого плотного идеала J K и произвольного группового гомоморфизма h : J K, для которого h(kx) = kh(x) при всех k K и x J, существует элемент r K такой, что h(x) = rx для всех x J.

Теорема. Рационально полное кольцо является расширенным B-кольцом. Если кольцо регулярно, то верно и обратное утвержде ние: расширенное B-кольцо рационально полно.

Пусть (b ) разбиение единицы в булевой алгебре аннуля торных идеалов B и (k ) произвольное семейство в кольце K.

множество всех сумм вида x, где x b и в сум Пусть J ме имеется лишь конечное число ненулевых слагаемых x. Тогда плотный идеал. Определим отображение h : J K формулой J h(x) := k x (x b ). Ясно, что h удовлетворяет нужным услови ям из определения рациональной полноты, поэтому при некотором 4.5. Спуски полей r K имеет место представление h(x) = rx для всех x J. Ес ли x b, то h(x) = rx = k x или x(r k ) = 0. Тем самым b {rk } = d(r, k ), значит, будет b d(r, k ) = 0 и r = mix(b k ).

Предположим теперь, что кольцо K регулярно. Возьмем идеал J K и K-гомоморфизм h : J K. Используя лемму Куратовско Цорна, можно в множестве J P(K) выбрать максимальное го множество попарно дизъюнктных элементов (e ). Виду того, что рассматриваемое B-кольцо расширенно, существует элемент k K, для которого e k = e h(e ) = h(e ). Заметим, что e kx = xh(e ) = e h(x), т. е. e (h(x) kx) = 0 для всех и x J. Если теперь h(x) = kx, то для некоторого ненулевого идемпотента e0 P(K) будет e0 (h(x) kx) = 0. Но тогда должно быть e0 e для всех, что противоречит максимальности семейства (e ).

4.5.5. Отметим три следствия из установленного факта.

(1) Рационально полное полупервичное кольцо регулярно.

(2) Аннуляторный идеал рационально полного коммутативного полупервичного кольца является рационально полным кольцом.

Говорят, что кольцо K самоинъективно, если оно инъектив но как K-модуль. Напомним, что K-модуль M называют инъек тивным, если для любых данных K-модуля N, K-подмодуля N и K-гомоморфизма h0 : N0 M существует продолжение до K гомоморфизма h : N M. Критерий Бэра утверждает, что K модуль M инъективен в том и только в том случае, если для любых идеала J K и K-гомоморфизма h : J M существует элемент m M такой, что h(x) = mx для всех x J (см., например, [82] или [104]).

(3) Кольцо рационально полно тогда и только тогда, если оно самоинъективно.

Рассмотрим гомоморфизм h : J K, где J идеал ра ционально полного кольца K. Согласно 4.5.4 K0 := J = eK для некоторого идемпотента e K. Так как кольцо K0 рационально полно, а отображение eh : J K0 является гомоморфизмом, то существует элемент k K такой, что eh(x) = kx при всех x J.

Остается заметить, что eh(x) = h(ex) = h(x) (x J).

Это следует из критерия Бэра.

4.5.6. Теорема. Пусть элемент K V(B) таков, что [[K поле ]] = 1. Тогда K рационально полное коммутативное полу 228 Гл. 4. Анализ алгебраических систем первичное кольцо и существует изоморфизм алгебры B на булеву алгебру аннуляторных идеалов B(K ) такой, что b [[x = 0]] x (b ) (x K, b B).

Вытекает из 4.2.8, 4.5.3 и 4.5.4. Нужно только заметить, что в силу 4.2.8 (4) проекторы (b) соответствуют в точности аннулятор ным идеалам (b).

4.5.7. (1) Теорема. Пусть K полупервичное коммутативно рационально полное кольцо и B = B(K ) полная булева алгебра аннуляторных идеалов. Тогда в модели V(B) существует поле K V(B) такое, что кольца K и K изоморфны.

Воспользуемся теоремой 4.3.3. Кольцо K является расширен ной алгебраической B-системой в силу 4.5.4. Следовательно, изомор физм из 4.3.3 (3) будет биекцией. Так как K коммутативное B кольцо, то из 4.3.3 (4) вытекает, что [[K коммутативное кольцо]] = 1. Остается доказать, что в кольце K обратим любой ненулевой эле мент, т. е. [[K |= ]] = 1, где (y)(x)(y = 0 xy = 1). В силу 4.3.3 (4) достаточно установить, что ||K = 1, т. е. K |=B.

Так как кольцо K регулярно (см. 4.5.3 и 4.5.4), то для произ вольного y K найдется элемент x K такой, что y 2 x = y. Имеют место очевидные импликации y 2 x = y y(yx 1) = 0 y {yx 1} {y} {yx 1} {y} {yx 1} {y} {yx 1}.

Учитывая определение d, выводим d(y, 0) d(yx, 1). Привлекая определение B-значной интерпретации атомных формул из 4.1.8, по лучаем, что для любого y K существует X K такой, что |y = 0 yx = 1|K = 1. Вновь воспользовавшись определениями 4.1.8, приходим к требуемому ||K = 1.

(2) Следствие. Хорновские теории рационально полных ком мутативных полупервичных колец и полей совпадают.

4.5.8. Приведем теперь построение полного кольца частных, ос нованное на установленных результатах о булевозначной реализа ции. Сначала напомним некоторые определения.

4.5. Спуски полей Кольцо K называют классическим кольцом частных кольца K, если существует мономорфизм колец : K K такой, что элемент (x) обратим в K для каждого регулярного элемента x K и имеет место представление K = {(x)(y)1 : x, y K, y регулярен в K}.

Если K область целостности, то K поле, которое называют по лем частных кольца K. Классическое кольцо частных мы будем обозначать символом Qcl (K) := K. Заметим, что Qcl (K) = S 1 h(K), если в качестве мультипликативного множества S, фигурирующе го в 4.2.6, взять множество всех регулярных элементов (т. е. всех неделителей нуля) кольца K.

В то же самое время кольцо K является алгебраической B системой и согласно 4.3.5 (2) обладает максимальным расширени ем (K, ), где : K K кольцевой мономорфизм. Кольцо QB (K) := K принято называть также ортогональным пополнени ем кольца K.

Кольцо Q(K) := Qcl QB (K) вместе с мономорфизмом := называют полным кольцом частных кольца K.

Теорема. Пусть K коммутативное полупервичное кольцо и булева алгебра его аннуляторных идеалов. Пусть K B бу левозначная реализация кольца K как алгебраической B-системы.

Тогда [[ K целостное кольцо ]] = 1 и при это существуют элементы F, V(B) такие, что справедливы утверждения:

(1) V(B) |= F поле частных целостного кольца K, а :K F вложение кольца K в поле частных ;

(2) (F, ) полное кольцо частных кольца K, где : K K := K каноническое вложение.

Булевозначная реализация K := K алгебраической B-систе мы (B-кольца) K будет кольцом внутри V(B), см. 4.3.1, 4.3.3 и 4.5.2 (1). В соответствии с 4.1.13 B-значная дизъюнктность в коль це K определяется формулой (x, y) := d(x, 0) d(y, 0), поэтому в силу 4.5.2 (2) будет (x, y) := d(xy, 0) = [[xy = 0]]. Отсюда видно, что для булевозначной реализации этой дизъюнктности выполня ется [[(x, y) xy = 0]]. Таким образом, связана с кольцевым умножением в K так же, как и с кольцевым умножением в K.

230 Гл. 4. Анализ алгебраических систем Согласно 4.3.5 (6) дизъюнктность простая, а это означает ввиду 4.5.1 (1), что [[ K целостное кольцо ]] = 1.

Существование элементов F, V(B), удовлетворяющих усло вию (1), вытекает из принципа максимума и утверждения о том, что область целостности имеет кольцо частных, которое является полем. Пусть K := K и : K K канонический мономор физм, см. 4.3.3. Тогда K ортогональное пополнение кольца K, т. е. K = QB (K). Кроме того, из 4.2.8 (3) следует, что F= Qcl (K ).

Окончательно получаем F= Q(K).

4.5.9. Из установленной теоремы можно извлечь разнообраз ные следствия о строении кольца частных. Рассмотрим некоторые из них.

(1) Полное кольцо частных любого коммутативного полупер вичного кольца рационально полно и, следовательно, самоинъектив но и регулярно.

Непосредственно следует из 4.5.5 (1, 3), 4.5.6 и 4.5.8.

(2) Булева алгебра B := B(K) изоморфна булевой алгебре ан нуляторных идеалов каждого из колец K и Q(K). Изоморфизмы осуществляются отображениями:

g : L 1 (L) (L B(K )), g : L 1 (L) (L B(Q(K))).

Вытекает из 4.2.8 и 4.3.5 (6).

(3) Полное кольцо частных Q(K) коммутативного полупервич ного кольца K является инъективным K-модулем.

В силу критерия Бэра (см. 4.5.5) достаточно показать, что идеал в K и h : J Q(K) если J K-гомоморфизм, то для некоторого q Q(K) имеет место представление h(x) = qx (x J).

Согласно теореме 4.5.8, можно не ограничивая общности считать, что K K := K Q(K) = F. Заметим, что для x J и k K из x k следует h(x) k. Тем самым x b h(x) g (b) для каждого b B, следовательно, h экстенсиональное отображение.

Пусть J := J и := h. Тогда J идеал в K, а : J F K -гомоморфизм.

Теперь достаточно показать, что для некоторого q F выпол няется (x) = qx для всех x J. Последнее без труда выводится из следующего очевидного соотношения a(x) = (ax) = x(a), спра ведливого для всех a, x J. В самом деле, если a = 0, то положим q := (a)a1 F.

4.5. Спуски полей Подмодуль M некоторого K-модуля M называют массивным (или существенным), если для любого элемента 0 = x M найдется такой элемент k K, что kx = 0 и kx M. Инъективной оболочкой кольца K называют пару (K, ) такую, что M инъективный K модуль, : M M мономорфизм и (M ) массивный подмодуль в M.

(4) Пара (Q(K), ) является инъективной оболочкой кольца K, рассматриваемого как K-модуль.

В силу доказанного в (3) нужно лишь установить, что (K) есть массивный подмодуль K-модуля Q(K). При этом можно счи тать, что K Q(K). Следовательно, нужно показать, что для лю бого 0 = q Q(K) существует k K со свойствами kq = 0 и kq K.

Из определения Q(K) видно, что существуют семейства (x ) K и (y ) K и разбиение единицы (b ) B такие, что q = xy 1, x = mix(b x ) и y = mix(b y ).

Поскольку q = 0, для некоторого индекса будет ex = 0, где e идемпотент в K, соответствующий идеалу b := b. Верно также, что ey = 0, так как y регулярный элемент.

Пусть a произвольный ненулевой элемент из идеала b, причем ax = 0. Положим k := ay = aey. Тогда qk = a(ex)(y y 1 ) = ax = aex b K.

Дробью называют гомоморфизм K-модулей J K, где J плотный идеал в кольце K. В множестве дробей вводится эквива лентность: две дроби эквивалентны если они совпадают на пересе чении областей определения. Фактор-множество естественным об разом наделяется структурой кольца (подробности см. в [82]). Это кольцо обозначим символом Q (K).

(5) Кольца Q(K) и Q (K) изоморфны.

Вновь будем считать K подкольцом кольца Q(K). Учитывая (4), каждой дроби h Q (K) можно сопоставить элемент (h), для которого h(x) = (h)x для всех x из области определения h. Легко видеть, что отображение h (h) является мономорфизмом колец, поэтому нужно обосновать сюръективность этого гомоморфизма.

Для произвольного q Q (K) положим J := {k K : qk K}.

Тогда J плотный идеал в K. Если дробь hq задается формулой hq : x qx, то (hq ) = q.

Кольцом частных (в смысле Утуми) кольца K назовем пару (R, ), где R кольцо и : K R кольцевой мономорфизм, если 232 Гл. 4. Анализ алгебраических систем существует мономорфизм : R Q(K) такой, что =.

(6) Пусть K обозначает максимальное расширение полупервич ного кольца K как алгебраической B-системы. Тогда K кольцо частных кольца K.

Следует из определения кольца частных, если положить := и :=.

(7) Существует единственное с точностью до изоморфизма ра ционально полное кольцо частных Q(K) коммутативного полупер вичного кольца K.

Вытекает, например, из единственности инъективной оболоч ки с точностью до изоморфизма.

4.5.10. Примечания.

(1) Идея о том, что регулярные коммутативные кольца можно изучать, рассматривая свойства подходящих полей, не является но вой. Например, коммутативные регулярные кольца исследовались путем представления их в виде подпрямых произведений полей или в виде кольца глобальных сечений расслоения полей над топологи ческим булевым пространством [219, 226]. Изложенный в этом па раграфе подход на основе булевозначных реализаций унифицирует указанную идею, обладая техническими и методологическими пре имуществами.

(2) Теорема из 4.5.8 показывает, что с точки зрения V(B) пол ное кольцо частных коммутативного полупервичного кольца K есть просто поле частных области целостности, полученной при погруже нии K в V(B), где в качестве B берется булева алгебра аннуляторных идеалов K.

(3) Детальное освещение сведений из теории колец, использо ванных в этом параграфе, можно найти в [82, 104, 147]. Результаты, изложенные в 4.5.6 и 4.5.7, получены Е. И. Гордоном [25]. Несколь ко позже аналогичные результаты опубликовала Кэй Смит в [231].

Фактически она установила эквивалентность категорий регулярных коммутативных колец и булевозначных полей. Используя этот факт, она показала, что регулярное коммутативное кольцо имеет алгебра ическое замыкание.

(4) Изложенные методы применимы к более общим классам ко лец. Так, например, отношение из 4.5.1 будет дизъюнктностью и в случае некоммутативного кольца без ненулевых нильпотентных эле ментов. Следовательно, множество аннуляторных идеалов такого 4.5. Спуски полей кольца K образует полную булеву алгебру B, а само кольцо K реа лизуется в модели V(B) как кольцо без делителей нуля.

(5) Отправляясь от результатов настоящего параграфа и поль зуясь теми же средствами, можно получить аналогичные результаты о модулях, см. [26].

Модуль M над кольцом K называют отделимым, если для лю бого элемента x M и любого плотного идеала J K из равенства J · x = {0} следует, что x = 0.

Теорема. Пусть M линейное пространство над полем K в модели V(B), а : B B(K ) булев изоморфизм из 4.5.3 (2). То гда M унитальный отделимый инъективный модуль над кольцом K и выполняется соотношение (x M, b B).

b [[x = 0]] (b)x = (6) Отделимость K-модуля M гарантирует, что B-полуметрика d, определяемая формулой {b B : b x = b y} (x, y M ), d(x, y) := является B-метрикой. Таким образом, отделимый K-модуль имеет структуру алгебраической B-системы, что приводит к следующему результату (см. [26]).

Теорема. Пусть K некоторое рационально полное коммута тивное кольцо, B = B(K) и K булевозначная реализация коль ца K. Пусть M унитальный отделимый инъективный K-модуль.

Тогда существует элемент M V(B) такой, что [[ M линейное пространство над полем K ]], причем существуют изоморфизмы ал гебраических B-систем K : K K и M : M M такие, что (a K, x M ).

M (ax) = K (a)M (x) Глава Булевозначный анализ банаховых пространств Булевозначный универсум V(B), связанный с фиксированной бу левой алгеброй B, представляет собой одну из тех арен, где разыг рываются математические события. В самом деле, в силу принци пов переноса и максимума в V(B) имеются числа и группы, интегра лы Лебега и Римана, выполняются теоремы Радона Никодима и осуществимо жорданово разложение матрицы. Простейшая техника спусков и подъемов, с которой мы ознакомились на примере алгебра ических систем, показывает, что каждый из математических объек тов в V(B) есть реализация аналогичного классического объекта с до полнительной структурой, определяемой алгеброй B. В частности, высказанное соображение относится и к алгебраическим системам, используемым в функциональном анализе.

В настоящей главе излагаются факты, связанные с булевознач ной реализацией классических объектов анализа. Основной предмет рассмотрения банаховы пространства в булевозначном универсу ме. Оказывается, что такие пространства неразрывно связаны с кон цепциями теории упорядоченных векторных пространств и, прежде всего, с K-пространствами, введенными в начале тридцатых годов Л. В. Канторовичем. Открытие этой связи является наиболее зна чительным общематематическим достижением булевозначного ана лиза.

Основополагающий результат булевозначного анализа в этом направлении это теорема Гордона (см. 5.2.2), которую можно сфор 5.1. Векторные решетки мулировать так: расширенное K-пространство есть интерпретация поля вещественных чисел в подходящей булевозначной модели. При этом любая теорема о вещественных числах, сформулированная в рамках теории множеств Цермело Френкеля, имеет свой аналог для соответствующего K-пространства. Перевод одних теорем в другие осуществляется с помощью общих операций булевозначного анализа.

Как центральные результаты текущей главы следует выделить также теоремы 5.2.4, 5.4.2 и 5.5.11. Первая из них утверждает, что любую архимедову векторную решетку можно погрузить в буле возначную модель так, что она превращается в векторную подре шетку поля действительных чисел, рассматриваемого как вектор ная решетка над некоторым плотным подполем. Вторая теорема говорит о том, что решеточно нормированное пространство можно реализовать в подходящей булевозначной модели как плотное линей ное подпространство (над некоторым полем, например, полем раци ональных чисел) банахова пространства. Наконец, смысл третьей теоремы состоит в следующем: банахово пространство возникает с помощью процедуры ограниченного спуска из булевозначной модели в том и только в том случае, если оно содержит полную булеву алгеб ру проекторов единичной нормы, обладающую свойством циклично сти. Последнее равносильно также и тому, что упомянутое банахово пространство есть порядково полное решеточно нормированное про странство, а исходная скалярная норма является смешанной. Этот факт служит основой для развиваемого в следующей главе подхода к инволютивным банаховым алгебрам.

5.1. Векторные решетки Здесь эскизно изложены основные понятия теории векторных решеток. Более детализированное изложение можно найти в [1, 18, 44, 45, 116, 186, 227, 258].

5.1.1. Пусть F линейно упорядоченное поле. Рассмотрим алгебраическую систему E, сигнатура которой содержит символы +, 0,,, где пробегает поле F, обозначая всякий раз одномест ную операцию на E. Последнюю называют растяжением вектора в раз или умножением вектора на скаляр. Допустим, что для E выполнены условия:

236 Гл. 5. Анализ банаховых пространств (1) (E, +, 0, ) коммутативная упорядоченная группа;

(2) E векторное пространство над F;

(3) умножение на любой положительный скаляр F является положительным эндоморфизмом упорядо ченной группы (E, +, 0, ).

В рассматриваемой ситуации говорят, что задано упорядоченное век торное пространство E.

Таким образом, упорядоченное векторное пространство можно определить как пару (E, ), где E векторное пространство над по лем F, а векторный порядок в E, т. е. отношение порядка в E, согласованное со структурой векторного пространства. Последнее, неформально говоря, означает, что неравенства в E можно склады вать и умножать на положительные элементы поля F. Формально говоря, отношение векторного порядка в E должно быть конусом в E 2 и одновременно отношением порядка в E. Задание векторного порядка в векторном пространстве E над полем F равносильно также указанию множества (положительного конуса) E + E со свойства ми: E + + E + E + ;

E + E + (0 F);

E + (E + ) = 0. При этом порядок и конус E + связаны соотношением x y y x E+ (x, y E).

Понятия и результаты теории упорядоченных групп примени мы, разумеется, и к упорядоченным векторным пространствам. Яс но, например, что для упорядоченного векторного пространства по нятия архимедовости, линейной упорядоченности, o-идеала и т. д.

относятся к соответствующей упорядоченной группе.

5.1.2. Векторной решеткой называют упорядоченное вектор ное пространство, являющееся решеточно упорядоченной группой.

Тем самым в каждой векторной решетке E существуют точная верх няя граница sup{x1,..., xn } := x1 · · · xn и точная нижняя граница inf{x1,..., xn } := x1 · · ·xn произвольного непустого конечного мно жества {x1,..., xn } E. В частности, любой элемент x векторной решетки имеет положительную часть x+ := x 0, отрицательную часть x := (x)+ := x 0 и модуль |x| := x (x).

Напомним, что в векторной решетке E дизъюнктность вводит ся формулой := {(x, y) E E : |x| |y| = 0}.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.