авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 ||

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Бийский технологический институт (филиал) государственного образовательного учреждения высшего ...»

-- [ Страница 2 ] --

В динамических сиренах ротор вращается с большой скоростью и испытывает значительные механические напря жения. Для уменьшения массы ротор изготавливается из легких сплавов высокой прочности. В настоящее время в ряде конструкций сирен частоты вращения ротора достигают 20000 об/мин.

В идеальном случае для получения периодически прерываемого потока воздуха в сирене ротор должен плотно на кладываться на диск статора и тем самым полностью перекрывать отверстия в статоре. Однако на практике для свобод ного вращения ротора относительно статора необходимо обеспечить между ними некоторый минимальный зазор. Поэто му полного перекрытия отверстий статора достигнуть невозможно. Коэффициент полезного действия сирены будет тем больше, чем меньше утечка воздуха в момент перекрытия отверстий (чем меньше зазор). Очевидно, что повышение КПД сирены достигается также при увеличении разницы диаметров отверстий в роторе и статоре, т.е. с увеличением степени перекрытия отверстий статора. При этом желательно, чтобы большие размеры имели отверстия в статоре, соприкасаю щемся с озвучиваемым объемом газа.

При выборе диаметра отверстий необходимо учитывать следующее. Время, в течение которого отверстие открыва ется, будет равно времени его закрывания в том случае, если диаметр отверстия составит половину расстояния между центрами соседних отверстий. При этом в озвучиваемой среде будет иметь место чередование импульсов сжатия и раз режения через равные промежутки времени.

Для определения аэродинамических данных сирены устанавливается зависимость сопротивления ее воздушному потоку от расхода подаваемого в ней воздуха при различных частотах генерируемых колебаний.

Обычно давление сжатого воздуха, подаваемого в сирены, имеет величину от 0,02 до 0,4 МПа. Увеличение давле ния увеличивает звуковую мощность, излучаемую сиреной, однако при этом возрастает мощность, потребляемая элек тродвигателем.

Характеристики направленности сирен формируются в результате интерференции звука, излучаемого отдельными отверстиями [14]. Довольно типичной является, например, такая направленность излучения, когда более 90 % всей мощ U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий ности излучается в угле ±40° относительно оси сирены (рисунок 3.11). Обычно звук излучается внутри рупоров, состав ляющих один из основных элементов сирен. Рупоры по закону изменения образующей бывают конические, экспоненци альные, гиперболические и др.

Рисунок 3.11 – Пример характеристики направленности динамической сирены Применение экспоненциального рупора (для сирен аксиального типа) может увеличить излучаемую мощность си рены примерно на 10 %.

Максимальные интенсивности излучения динамических сирен достигают 1 МВт/м2 (100 Вт/см2) при КПД до 20 %;

частота колебаний может достигать 200 кГц, акустическая мощность может составлять до 35 кВт.

В настоящее время известен ряд разновидностей конструкций динамических сирен. Наряду с сиренами с одним вращающимся ротором имеются конструкции с двумя вращающимися навстречу друг другу роторами. Привод роторов применяется как электрический, так и пневматический.

Динамические сирены условно можно разбить на две группы:

– сирены, работающие с разбавлением озвучиваемой среды рабочим газом;

– сирены, работающие без разбавления озвучиваемой среды рабочим газом.

К первой группе относятся, например, сирены типов УЗГ-1Н, УЗГ-1В, УЗГ-2, УЗГ-3, УЗГ-4, УЗГ-4А и УЗГ-5.

Ко второй группе относятся сирены типов УЗГ-7, УЗГ-7А, УЗГ-7Г, С-34, С-43 и АС-Д.

Ниже описаны конструкции и приведены характеристики перечисленных сирен.

Динамические сирены, работающие с разбавлением озвучиваемой среды рабочим газом. Сирены типов УЗГ-2, УЗГ 3, УЗГ-4, УЗГ-4А и УЗГ-5 имеют устройство, показанное на рисунке 3.12, а. Внешний вид одной из сирен этого типа по казан на рисунке 3.12, б.

а) б) Рисунок 3.12 – Схема (а) и внешний вид (б) динамической сирены, работающей с разбавлением озвучиваемой среды рабочим газом Статор сирены состоит из двух частей: наружного кольца 1 и внутреннего диска, 2, соединенных с помощью резь бового или другого вида соединения. В диске 2 имеются лопатки 4 для распределения рабочего газа перед его попадани ем в ротор. Статор размещен в корпусе 3, ротор находится на валу двигателя. Статор давлением рабочего газа прижат к U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий упору 5, который резьбой соединен с корпусом и благодаря этому может перемещаться вдоль оси сирены, изменяя поло жение статора, а следовательно, зазор между ним и ротором.

Динамические сирены, работающие без разбавления озвучиваемой среды рабочим газом. Сирены типов УЗГ-7, УЗГ-7А и УЗГ-7Г являются двухкамерными. Корпус сирены имеет камеру сжатия и камеру разрежения, а статор имеет две системы отверстий, одна из которых соединена с камерой сжатия, а другая – с камерой разрежения.

Компрессор, питающий сирену, соединен нагнетательной линией с камерой сжатия сирены, а всасывающей линией – с камерой разрежения. При вращении ротора сирены происходит попеременное соединение камер сжатия и разрежения с озвучиваемой средой, в результате чего происходит циркуляция рабочего газа между сиреной и компрессором, а раз бавления этим газом озвучиваемой среды практически не наблюдается.

Сирены типов С-34 и С-43 – низкочастотные радиального типа, работающие без поддува рабочего газа. Диаметры роторов у сирен С-34 и С-43 равны соответственно 34 и 43 см.

Сирены имеют широкий спектр излучаемых частот, достаточно экономичны (КПД сирены С-34 составляет 27 %, а С-43 – 31 %) и просты в эксплуатации и по конструкции, с ростом частоты КПД падает.

Основные частоты указанных сирен равны 400 Гц, причем в спектре излучаемых частот сильно выражены высшие гармоники.

Наибольшее звуковое давление при излучении в свободное пространство развивается по оси сирены и под сравни тельно небольшими углами к ней и составляет 307 Па.

В плоскости ротора звуковое давление значительно меньше. При работе на замкнутый объем получены звуковые давления до 5000 Па.

Динамическая сирена типа АС-Д представляет собой сирену радиального типа с электрическим приводом ротора, осуществляемым с помощью специальной передачи (рисунок 3.13, таблица 3.1). Все узлы сирены смонтированы на об щей металлической плите.

Рисунок 3.13 – Динамическая сирена типа АС-Д Таблица 3.1 – Технические характеристики сирены АС-Д Акустическая мощность, кВт 3, Максимальный уровень силы звука, дБ Основная частота, кГц Потребляемая мощность, кВА Озвучиваемый объем, м3/с 5– Масса, кг Собственно сирена состоит из следующих основных частей: ротора, на котором радиально расположены сопла, ста тора с промежуточной оболочкой, в которой расположены резонаторы, турбокомпрессора, смонтированного на одном валу с ротором, диффузора для входа воздуха в компрессор и рупора, имеющего фланцевое окончание. Сирена монтиру ется в технологической аппаратуре в горизонтальном, либо в вертикальном положении.

На рисунке 3.14 приведена фотография одной из самых мощных сирена в мире.

U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий Рисунок 3.14 – Мощная динамическая сирена Эта гигантская сирена имеет размер автомобиля – 3,6 м в длину и 1,8 м в высоту. Приводится в действие 8 цилиндровым бензиновым двигателем Chrysler Industrial. Трехступенчатый компрессор вдувает через прерыватель воз дух в шесть гигантских рупоров со скоростью 400 миль в час. На расстоянии 30 м имеет громкость 138 дБ (частота 460 Гц).

Сравнительные технические характеристики сирен различного типа приведены в таблице 3.2.

Таблица 3.2 – Технические характеристики различных сирен Техническая ха УЗГ-1В УЗГ-2 УЗГ- рактеристика Масса, кг 450 300 Кратковремен Система электро- С переменной Непосредствен ная посред привода передачей ная ственная Мощность элек 10 4,5 2, тродвигателя, кВт Частота, кГц до 25, 130–324 9– Давление воздуха 0,3–0,4 0,3–0,4 0, питания, МПа Расход сжатого Нет данных Нет данных воздуха, нм3/ч Уровень силы зву 166 при 174 кГц 124 ка, дБ Акустическая Нет данных Нет данных Нет данных мощность, кВт КПД Нет данных Нет данных Нет данных Техническая ха УЗГ-4А УЗГ-5 УЗГ-7А рактеристика Масса, кг 31,2 150 40, Система электро- Непосредствен- Непосредствен- Непосредствен привода ная ная ная U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий Мощность элек 3,0 3,5 0, тродвигателя, кВт Частота, кГц 4,8–45 324 4,5–90, Давление воздуха 0,3–0,5 0,3–0,4 0,2–0, питания, МПа Расход сжатого Нет данных Нет данных воздуха, нм3/ч Уровень силы зву до 180 140 ка, дБ Акустическая Нет данных Нет данных 6, мощность, кВт КПД до 39 Нет данных Нет данных Недостатками вышеописанных аэродинамических излучателей являются:

необходимость подвода большого количества сжатого воздуха, что возможно осуществить только с помощью промышленной пневматической сети или компрессора;

большие габаритные характеристики;

низкий КПД, достигающий в лучших образцах 39 %, как правило, КПД не превышает 20 %;

быстрый износ механических узлов, приводящий к частой замене;

необходимость защиты обслуживающего персонала от акустического излучения широкого спектра.

Вышеописанные недостатки ограничивают применение динамических сирен для ультразвуковых колебаний высо кой интенсивности.

Выявленные недостатки являются принципиально присущими данному типу излучателей и не могут быть устране ны дальнейшим совершенствованием конструктивной схемы газоструйных свистков и динамических сирен.

Альтернативой аэродинамическому методу создания ультразвуковых колебаний в воздухе является использование электроакустических преобразователей – устройств, трансформирующих электрическую энергию в энергию упругих ко лебаний тврдого тела, которая в дальнейшем преобразуется в энергию акустического воздействия на обрабатываемое вещество.

3.4 Электромеханические преобразователи (излучатели) Электромеханическим преобразователем (излучателем) называют устройство, трансформирующие энергию элек трических колебаний в энергию активного воздействия на вещество, в рассматриваемом случае – в энергию механиче ских колебаний.

Электромеханические излучатели в зависимости от физической природы используемого эффекта преобразования подразделяют на различные классы: электромагнитные, электродинамические, пьезоэлектрические, магнитострикцион ные, электростатические [25].

Принцип работы электромагнитных излучателей основан на получении колебаний подвижной механической систе мы под действием электромагнита, возбуждаемого переменным током.

В электродинамическом излучателе возбуждение колебаний происходит за счт взаимодействия магнитного поля неподвижного постоянного магнита и катушки с током.

В электростатическом преобразователе акустические колебания получаются при взаимодействии мембраны с элек трическим полем, создаваемым статором, который представляет собой металлический лист с отверстиями (или натяну тую проволоку).

Принцип работы магнитострикционного преобразователя основан на возбуждении колебаний за счт изменения геометрических размеров стержня или пакета из магнитострикционного материала, помещнного в переменное магнит ное поле.

В пьезоэлектрическом излучателе возбуждение колебаний происходит за счт изменения размеров обладающего пьезоэлектрическими свойствами элемента под действием электрического поля.

Электродинамические и электростатические излучатели в настоящее время получили широкое распространение в современных бытовых акустических системах, предназначенных для воспроизведения частот, расположенных в пределах слышимости человеческого уха. Однако в ультразвуковой технике использование этих типов излучателей затруднитель но в силу существенного падения интенсивности акустического воздействия с повышением частоты излучаемой звуко вой волны в УЗ области. Такой же недостаток присущ электромагнитным излучателям. Поэтому наибольшее распро странение в ультразвуковой технологии получили магнитострикционные и пьезоэлектрические преобразователи, позво ляющие достаточно эффективно преобразовывать и излучать в нагрузку энергию. Далее эти классы излучателей рас смотрены более подробно.

U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий 3.4.1 Электромеханические преобразователи с магнитострикционным активным элементом Магнитострикционными излучателями называют электромеханические преобразователи, которые, как правило, со стоят из трех основных частей: активного элемента (собственно, магнитострикционного преобразователя) и пассивного элемента (акустического трансформатора упругих колебаний) и согласующих устройств [25].

Часто активный элемент излучателя используется непосредственно как источник ультразвуковых колебаний. Вто рая часть излучателя – пассивный элемент – может выполнять различные вспомогательные функции технологического и конструкционного характера. Однако основное назначение пассивного элемента – передача в обрабатываемую среду уп ругих колебаний, создаваемых активным элементом.

Если поместить никелевый стержень в переменное магнитное поле, то под действием периодического намагничи вания он будет периодически изменять длину. Легко видеть, что в силу независимости деформации от направления поля в отсутствие подмагничивания частота колебаний стержня будет вдвое больше частоты изменения магнитного поля. Од нако для получения возможно больших механических деформаций целесообразно ввести постоянное подмагничивание с тем, чтобы работать на наиболее крутом участке кривой деформации.

Подмагничивание магнитострикционных излучателей постоянным магнитным полем, как правило, осуществляется постоянным током, подаваемым в отдельную обмотку или обмотку возбуждения излучателя. Для подмагничивания маг нитострикционных излучателей малой и средней мощности иногда применяются постоянные магниты или отдельные электромагниты, между полюсами которых устанавливается магнитострикционный излучатель.

В случае настройки частоты возбуждающего поля в резонанс с собственной частотой упругих колебаний стержня амплитуда его колебаний оказывается максимальной и концы стержня излучают звуковые колебания.

Собственные частоты f k стержня длиной l см определяются формулой:

kE fk, (3.6) 2l где E – модуль упругости, дин/см2;

– плотность материала стержня в г/см3;

k=1,2,3,… – порядок колебаний.

Амплитуда колебаний магнитострикционных излучателей при возбуждении на основной частоте имеет величину порядка 10 4 l, где l – длина стержня. Наивысшая частота, на которой еще удается возбудить сравнительно интенсивные колебания, составляет приблизительно 60 кГц. При этом длина возбуждаемого на основной частоте стержня оказывается равной всего 4 см. Возбуждение колебаний основного типа в более коротких стержнях наталкивается на трудности, и приходиться прибегать к возбуждению колебаний высших порядков, несмотря на связанное с этим уменьшение мощно сти.

Для излучения ультразвука в одном направлении на противоположном рабочему торцу пакете иногда создают воз душную подушку или наклеивают, например, пористую резину толщиной 5–20 мм. Тогда с этого нерабочего торца пре образователя происходит излучение звука в окружающую преобразователь охлаждающую жидкость. При этом амплиту да колебаний и полезная излучаемая мощность возрастают [26].

Недостатком магнитострикционных излучателей является низкий КПД (40 %), что приводит к тому, что свободная энергия воздействует на сам преобразователь, приводя к повышению уровня паразитного шума. Кроме того, магнитост рикционные излучатели характеризуются малой частотой генерируемых колебаний (от 2 до 20 кГц) и трудностью полу чению стабильной частоты колебаний. Для более высоких частот изготавливать их не целесообразно, так как с повыше нием частоты значительно уменьшается длина стержня и возникают конструкционные трудности. Еще одним недостат ком магнитострикционных излучателей является то, что они при работе сильно нагреваются в результате возникающих вихревых токов.

Для компенсирования нагрева активного элемента магнитострикционных элементов применяется обязательное ох лаждение жидкостью (водное или масляное). В сравнении, для компенсирования нагрева активного элемента пьезоэлек триков применяется воздушное охлаждение (при необходимости).

3.4.2 Электромеханические преобразователи с пьезоэлектрическим активным элементом Пьезоэлектрическим излучателем называется электромеханический преобразователь, который состоит из элемента, обладающего пьезоэлектрическими свойствами, то есть способностью изменять размеры при действии электрического поля, приложенного к нанесенным на него электродам. Эти излучатели обычно используются в диапазоне ультразвуко вых частот до 3–10 МГц. Из различных пьезоэлектрических материалов в промышленности используются естественные монокристаллические пьезоэлектрики: кварц и сегнетова соль, и искусственные поликристаллические керамические пье зоэлектрики: титанаты бария и кальция и цирконаты титанаты свинца (ЦТС).

Наибольшее промышленное использование получили искусственные пьезокерамические материалы, благодаря их относительно невысокой стоимости, возможности легкого изготовления из нее пьезоэлементов всевозможных форм, соз U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий дания фокусирующих излучателей ультразвука. В настоящее время пьезоэлектрические излучатели изготавливаются раз личных форм, размеров и типов (рисунок 3.15) [27, 28].

Современные пьезоэлектрические материалы на основе цирконата–титаната свинца, применяемые в ультразвуко вых технологических установках, по своим мощностным характеристикам не уступают магнитострикционным материа лам, а по КПД значительно превосходят их.

Рисунок 3.15 – Пьезоэлектрические излучатели различных форм Если к граням пьезоэлектрической пластинки приложить переменное электрическое напряжение высокой частоты, то она будет совершать механические колебания, следуя изменению приложенного электрического напряжения. Грани пластинки будут двигаться одна относительно другой, а при соприкосновении с какой-либо средой, в которой могут рас пространяться ультразвуковые волны, пластинка будет излучать в эту среду ультразвук. Наибольший эффект наблюдает ся при совпадении частоты изменения электрического поля с собственной частотой упругих колебаний пьезоэлемента, то есть в момент резонанса. Однако даже в этом случае амплитуда колебаний пьезопластины не будет составлять более 5– 6 мкм. Амплитуда колебаний такой величины у тврдотельного излучающего элемента не обеспечивает должного аку стического воздействия.

Для увеличения амплитуды колебаний излучающего элемента пьезоэлектрического преобразователя простое увели чение диаметра пьезопластины оказывает незначительное действие, так как при этом падает сопротивление излучения, приведнное к электрической стороне, чем затрудняется е согласование с генератором и что в конечном итоге приводит к потере излучаемой мощности. Поэтому применяют резонансные трансформаторы скорости – концентраторы, входящие в состав ультразвуковой колебательной системы.

Ультразвуковая колебательная система (УЗКС) (рисунок 3.16) представляет собой устройство, обеспечивающее преобразо вание энергии электрических колебаний, поступающих от генератора, в упругие ультразвуковые колебания резонансной колеба тельной системы и ввод сформированных колебаний в обрабатываемые технологические среды. УЗКС является основным узлом любого технологического аппарата, поскольку обеспечивает не только формирование ультразвуковых колебаний, но и их усиле ние до величин, необходимых для реализации различных процессов при помощи резонансных концентраторов, а также ввод уси ленных ультразвуковых колебаний в технологические среды через различные по площади и форме излучающей поверхности ра бочие инструменты.

Ультразвуковая колебательная система технологического назначения состоит из преобразователя, согласующего элемента и рабочего инструмента с излучающей поверхностью. В преобразователе (активном элементе ультразвуковой колебательной сис темы) создается знакопеременная механическая сила. Согласующий элемент системы (пассивный) осуществляет трансформацию скоростей, согласование механического сопротивления внешней нагрузки и внутреннего сопротивления активного элемента. Ра бочий инструмент создает ультразвуковое поле в обрабатываемом объекте или непосредственно воздействует на него. Обычно коэффициент усиления концентратора, равный отношению амплитуды продольных колебаний рабочего инструмента к амплиту де колебаний пьезопластины, равен 10–15.

U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий 1 – корпус;

2 – опора;

3 – отражающая накладка;

4 – пьезокерамический элемент;

5 – трансформатор колебательной скорости;

6 – рабочий инструмент Рисунок 3.16 – Ультразвуковая колебательная система Тем не менее амплитуды колебаний тврдотельного излучающего элемента, получающейся в результате усиления колеба ний пьезопластины с помощью концентратора и равной примерно 50–70 мкм, недостаточно для обеспечения эффективного про текания процессов в газовых средах. Более того, существенное различие волновых сопротивлений металлов и воздуха не позволя ет создавать в воздушной среде плоские или сферические волны с уровнем звукового давления свыше 100 дБ.

Решить проблему создания акустических полей высокой интенсивности в газовой среде можно с помощью увели чения площади излучения и фокусировки (концентрирования) менее интенсивных колебаний, полученных с помощью преобразования продольных колебаний ультразвуковой колебательной системы в изгибные колебания тврдого тела, на локализованном участке.

Для дальнейшего увеличения интенсивности акустического поля может применяться фокусировка акустических ко лебаний в воздушной среде при помощи зеркальных, линзовых или фазированных систем. Последние представляют наи больший интерес, поскольку имеют наиболее простую конструкцию и небольшие габариты. Принцип работы фазирован ного фокусирующего излучателя показан на рисунке 3.17.

a – длина акустической волны в воздушной среде;

b – волны изгибных колебаний в твердом теле Рисунок 3.17 – Принцип работы фокусирующего излучающего диска Распределение амплитуд колебательных смещений вдоль радиуса излучателя в виде твердого тела (пластины), со вершающего изгибные колебания, имеет вид стоячих волн. Каждая точка колеблющейся поверхности излучает в воздуш ную среду акустическую волну. Если за счет формы пластины расположить «положительные» максимумы колебатель ных смещений на расстояниях от центра пластины, определяемых по формуле:

n2a Y naL (3.7), где n 0, 2, 4, …, a – длина звуковой волны в воздухе;

L – расстояние от центра пластины до фокуса;

Y – расстояние «положительного» максимума колебательных смещений при различных n и «отрицательные» мак симумы на расстояниях, определяемых по формуле:

n2a Y naL (3.8), где n 1, 3, 5, …, a – длина звуковой волны в воздухе;

L – расстояние от центра пластины до фокуса;

Y – расстояние «отрицательного» максимума колебательных смещений при различных n, то волны, излучаемые ка ждой точкой пластины, будут приходить в фокус в одной фазе. Уровень звукового давления в фокусе в таком случае дос тигает значений 150–160 дБ и выше, а вокруг фокуса образуются поверхности равных фаз, где уровень звукового давле U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий ния составляет 130–140 дБ. Несмотря на указанные преимущества фокусирующего излучающего диска, его использова ние для воздействия на газовые среды не представляется возможным, поскольку он не позволяет обеспечить равномер ное распределение акустических колебаний с интенсивностью до 150 дБ в необходимом объеме технологической среды.

Применение фокусирующих излучателей целесообразно только в случае, когда зона обработки имеет малый объем, на пример, при пеногашении.

В связи с этим представляют интерес излучатели, создающие в воздушной среде акустическую волну, близкую к плоской. Как известно, при центральном возбуждении плоского тонкого диска, радиус которого кратен половине длины изгибной волны в этом материале, распределение колебательных смещений изгибных колебаний вдоль поверхности дис ка будет иметь вид стоячих волн.

При этом амплитуда колебаний точки поверхности диска, удаленной на расстояние r от его центра будет опреде ляться выражением :

kr A(r ) A0 cos( 2 ), (3.9) R где A0 – амплитуда колебаний в центре диска;

k – целое число полуволн изгибных колебаний, укладывающихся на радиусе диска;

R – радиус диска.

На рисунке 3.18 представлено примерное распределение изгибных колебаний по поверхности плоского диска и из лучение отдельных точек поверхности диска в воздух.

Рисунок 3.18 – Примерное распределение изгибных колебаний по поверхности плоского диска и излучение отдельных точек поверхности диска в воздух Из рисунка 3.18 видно, что различные точки поверхности диска излучают колебания в противоположенных фазах, что приводит к тому, что на некотором расстоянии от диска акустическое излучение взаимно компенсируется.

Наиболее очевидным путем устранения данного недостатка является использование экрана, пропускающего коле бания только одной фазы. Метод реализован в [29], конструкция представлена на рисунке 3.19.

1 – пьезоэлектрический преобразователь;

2 – излучатель;

3 – экран с U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий отверстиями, пропускающими колебания только одной фазы Рисунок 3.19 – Электромеханический преобразователь – источник ультразвуковых колебаний, излучающий колебания одной фазы Подобная конструкция электромеханического преобразователя предназначена для измерения расстояний эхо импульсным методом и не может обеспечить высокой интенсивности акустического излучения. Частично это связано с низким КПД излучателя (половина излучения экранируется), частично с низкой амплитудой колебаний, обусловленной низкой механической прочностью излучающей пластины.

Описанные преимущества пьезоэлектрических преобразователей с излучателями в виде изгибно-колеблющихся пластин или дисков делают их наиболее перспективными для новых разработок ультразвуковых технологических аппа ратов, предназначенных для воздействия на аэродисперсные системы.

Для определения основных конструктивных параметров предлагаемых излучателей необходимо выявить основные параметры акустического поля (частота и уровень звукового давления) применительно к воздействию на аэродисперсные системы. Этому посвящена следующий раздел.

U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕЖИМОВ ВОЗДЕЙСТВИЯ Для определения оптимальных режимов акустического воздействия и выработки общих требований к создаваемому оборудованию предложена и разработана модель процесса акустической коагуляции аэрозолей. Созданная модель пред назначена для определения оптимальных частот и интенсивностей акустического воздействия для различных по дис персности и концентрации аэрозолей. При этом представленный далее теоретический анализ модели проведен для аэро золей с размером частиц менее 10 мкм, поскольку, как уже упоминалось в первом разделе, улавливание, или осаждение, мелкодисперсных аэрозолей является основной проблемой современной техники и технологий коагуляции, а примене ние акустической коагуляции наиболее целесообразно для аэрозольных частиц именно таких размеров.

Для определения оптимальных режимов акустического воздействия требуется знание зависимости времени разру шения газодисперсной системы от величин, характеризующих воздействие, таких как частота создаваемых акустических колебаний и уровень звукового давления. Эти зависимости определяются физическими свойствами двухфазной среды, такими как плотность и давление несущей (газовой) фазы, плотность жидкой фазы (аэрозольных частиц) и дисперсный состав обрабатываемого аэрозоля.

4.1 Общие положения модели процесса акустической коагуляции аэрозолей Наиболее известным и подтвержднным экспериментально является рассмотренный в работе [30] подход к по строению модели процесса акустической коагуляции на макроскопическом уровне, заключающийся в следующем. Пред полагается, что масса каждой частицы пропорциональна m0, то есть каждая отдельно взятая частица имеет массу km0 ;

где k – целое число, больше либо равное 1. Далее вводятся функции nk (t ), каждая из которых суть концентрация частиц, имеющих массу km0, или k -мер.

Кинетика коагуляции в предположении, что коагуляция происходит главным образом за счт парных столкновений, описывается системой уравнений Смолуховского [30, 31]:

k 1 nk i, k i ni (t )nk i (t ) n k (t ) i, k ni (t ), (4.1) t 2 i 1 i где k – натуральное число, изменяющееся в пределах от 1 до бесконечности (искомая система состоит из уравнений при различных значениях k );

i, k – ядро коагуляции, не зависящее от времени, характеризующее интенсивность столкновения i -мер и k -мер;

nk (t ) – концентрация k -мер в момент времени t. Далее по тексту аргумент t функции nk (t ) опускается. Первое слагаемое правой части характеризует интенсивность увеличения концентрации k -мер за счт столкновения i -мер и k мер, а второе слагаемое – убыль концентрации k -мер за счт столкновения k -мер с любыми другими частицами.

Для вычисления вероятности столкновения частиц во внимание принимались два механизма: ортокинетического и гидродинамического взаимодействия частиц. Результирующее ядро коагуляции можно приближнно представить в виде суммы этих двух компонент [30].

Ядро коагуляции симметрично:

i, k k,i. (4.2) Легко проверить, что данное уравнение подчиняется закону сохранения массы:

kn k n k 1 k k t t k k 1 k( 2 nk i, k i ni nk i i, k ni ) k 1 i 1 i k 1 (k i i) (k i) 1 i, k 1ni nk 1 i, k ni nk. (4.3) 2 k 1 i 1 i 1 k При замене i, k (i k )i, k ni nk получается:

U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий knk k k 1 i,k 1 i,k t 2 k 2 i 1 2 i 1 k 1 i,k i,k 0.

2 i 1 k 1 i 1 k (4.4) Задачу, в которой нужно найти зависимость концентрации частиц разных размеров от времени, можно свести к за даче Коши для системы уравнений Смолуховского:

n k 1 i, k i ni nk i n k i, k ni k t.

2 i 1 i (4.5) nk (0) nk При расчете зависимости концентрации частиц от времени рассматривались только частицы от 1-мер от N-мер, в предположении, что концентрации частиц, начиная с N-мер, достаточно малы.

Математическое моделирование процесса акустической коагуляции с использованием системы уравнений Смолу ховского (4.5) рассматривалось авторами [30].

Для вычисления вероятности столкновения частиц в работе [30] во внимание принимались два механизма взаимо действия частиц: ортокинетический и механизм гидродинамического взаимодействия. Численные оценки показывают, что при сильном различии частиц по размерам доминирующим является ортокинетический механизм. А для частиц, близких по размеру, наоборот, доминирует механизм гидродинамического взаимодействия. Поэтому результирующее ядро коагуляции можно приближнно представить в виде суммы двух компонент [30]:

i, k Oi, k Hi, k, (4.6) где Oi, k – компонента ядра коагуляции, характеризующая сближение частиц за счт механизма ортокинетического взаимодействия;

Hi, k – компонента ядра коагуляции, характеризующая сближение частиц за счт механизма гидродинамического взаимодействия. Имеется множество работ, посвящнных определению компонент ядра коагуляции [31, 32, 33]. Эти компоненты, определяющие вероятность столкновения i -меры и j -меры, находятся следующим образом [30, 32, 33]:

Oi, j 2(ai a j ) 2U 0 H i, j, (4.7) (ai a j ) 2 1 h( f 21) f 21 sin d, Hi, j (4.8) ai a j 3 h( f 21) 1, если f 21 h( f 21), (4.9) h( f 21) 0, если f 21 где ai, a j – радиус i -меры и j -меры соответственно;

– вязкость несущей (газовой) фазы;

Hi,j=|Hi-Hj| – комплексный коэффициент увлечения i -меры, модуль которого определяет отношение амплитудного значения колебательной скорости частицы к колебательной скорости среды, а аргумент – сдвиг по фазе колебаний части цы относительно колебаний среды;

U 0 – амплитуда колебательной скорости газовой среды в отсутствие аэрозольных частиц;

– угол между волновым вектором акустической волны и линией центров частиц (в выражении (4.8) при вычисле нии вероятности столкновения интеграл бертся по всем углам, т.е. суммируются вероятности столкновения j -мер, ли нии центров которых с i -мерами расположены под различными углами к волновому вектору акустического поля);

f 21 – сила взаимодействия частиц, которая авторами [30] определялась по формуле Книга для силы взаимодействия между сферами, помещнными в идеальную несжимаемую жидкость (4.10):

3 0U 0 ai a j, f 21 (4.10) (ai a j ) где 0 – плотность газовой фазы.

Таким образом, результирующая формула для вероятности столкновения, обусловленной взаимодействием частиц, после подстановки формулы (4.10) в выражение для вероятности столкновения (4.9), выглядит следующим образом:

2 30U 0 ai2 a Hi, j j (4.11).

9 ai a j U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий 4.2 Определение ортокинетической компоненты ядра коагуляции Для нахождения ортокинетической компоненты, обусловленной различной степенью увлечения частиц разных раз меров в акустическом поле, используется уравнение Бассета–Буссинеска–Осеена, описывающие движение частицы в нестационарном потоке вязкой жидкости:

u p u p (t ) m p (t ) 6a(u (t ) u p (t )) mp t t (u (t ) u p (t )) m p t (u ( z ) u p ( z )) z t 6a 2 0 (4.12), z tz где m p – масса аэрозольной частицы;

u(t) – скорость движения набегающего потока газа в момент времени t;

up(t) – скорость движения частицы в момент времени t;

– отношение плотности газовой среды к плотности частицы;

a – радиус частицы.

Выражения для комплексных коэффициентов увлечения H i и H j каждой из частиц получаются при помощи под становки гармонических функций с комплексными амплитудами для скоростей движения частицы u p U p 0e it и среды u U 0e it с неизвестной амплитудой скорости частицы U p 0 в уравнение (4.12). При этом для любого i установлено соотношение 3 3 i i i i 2 2 Hi 1 3 i i 1 i i 1 2 2.

А H i, j находится следующим образом:

3 3 i i i i 2 2 Hi H j H i, j 3 1 i i (1 )i i 2 2 3 3 j i j j, 2 2 3 1 j i (1 ) j i 2 2 2 (4.13) 2 p ai i, (4.14) где p – плотность дисперсной (жидкой фазы);

– круговая частота акустического поля.

4.3 Определение гидродинамической компоненты ядра коагуляции При определении вероятности столкновения, обусловленной силами взаимодействия частиц авторами [30] не учи тывалась вязкость среды. Однако численные оценки для воздушщной среды показывают, что при малых характерных размерах (до 10 мкм) и при уровнях звукового давления (до 137 дБ) число Рейнольдса оказывается меньше 0,4. При вы числении вероятности столкновения частиц рассматривается взаимодействие частиц практически при непосредственном контакте. При радиусах частиц до 10 мкм характерный размер можно принять за 20 мкм. При уровне звукового давления UL до 137 дБ характерную скорость можно принять за 0,32 м/с. Re 0,4. Более того, при малых числах Рейнольдса можно принять допущение о стоксовом режиме обтекания.

U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий E (t ) x На больших расстояниях от частиц скорость набегающего потока жидкости U i U i 0 (t ), которая обу ij j j словлена акустическим воздействием.

Причм при построении модели использован подход, аналогичный подходу, рассмотренному в работе [34], в кото рой построена модель процесса коагуляции двух частиц в звуковой волне в идеальной, как сжимаемой, так и несжимае мой среде (жидкости или газе). Необходимо отметить, что в изначальном виде модель [34] также не пригодна для рас смотрения процесса коагуляции мелкодисперсных аэрозолей (до 10 мкм), так как предполагает отсутствие вязкости не сущей (газовой или жидкой) фазы.

Сущность модели заключается в следующем. В силу сжимаемости газа скорость практически линейно (в силу ма E (t ) 0. При этом динамика газа описывает лых размеров рассматриваемой области) зависит от координат, причем ii i ся линеаризованными уравнениями гидродинамики с учтом вязкости и сжимаемости. В силу их линейности тем же уравнениям будут удовлетворять возмущения скорости и давления среды. Но так как размеры частиц много меньше дли ны волны и возмущения скорости и давления достаточно быстро затухают, поэтому применяются все рассуждения, про водимые для несжимаемой среды. А линейная зависимость скорости от координаты учитывается в граничных условиях.

Рассмотрим парные частицы A и B, скорости которых есть V A и VB соответственно. Скорость движения в каждой точке среды можно представить в виде V u U, где U – скорость на бесконечности. Давление на бесконечности есть p0. Давление в каждой точке среды можно представить в виде P p p0.

В силу линейности системы уравнений гидродинамики возмущения скорости и давления среды будут удовлетво рять уравнениям:

div u 0, (4.15) 0 = pu. (4.16) На больших расстояниях от частиц p стремится к нулю, а также u стремится к нулю.

Далее вводятся величины vA=VA-U, vB=VB-U, =-E.

На границе этих двух частиц справедливы условия прилипания, имеющие многочисленные экспериментальные подтверждения и обусловленные силами сцепления молекул между вязкой средой и поверхностью [35]:

u v A Г(x X A ), (4.17) u v Г(y Y ). (4.18) B B где – матрица коэффициентов, позволяющая в граничных условиях учесть линейную зависимость от координаты ско рости среды на бесконечности. Причм ij Eij. Также эта матрица коэффициентов дат возможность учесть враща тельное движение частиц помимо поступательного путм простого вычитания тензора вращения.

Силы, действующие на частицы A и B соответственно в вязкой жидкости, определяются следующим образом [35]:

u u FAi pni i j n j dS, (4.19) x j xi j 1 SA pn ui u j n dS, j FBi (4.20) x j xi i j 1 SB где xi и x j – i -я и j -я координаты поверхности сферы соответственно, по которой бертся интеграл соответственно;

S A, S B – поверхности сфер A и B соответственно;

– динамическая вязкость газовой среды;

ui и u j – i -я и j -я компоненты скорости газовой среды соответственно;

ni и n j – i -я и j -я компоненты вектора нормали к поверхностям сфер A и B в формулах (4.19) и (4.20) соответст венно.

После применения дивергенции к обеим частям уравнения (4.16) с учтом уравнения (4.15) получается, что возму щение давления жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа (4.21):

p 0. (4.21) Для нахождения распределения давления, удовлетворяющего уравнению Лапласа, использован подход, аналогич ный подходу, рассмотренному в работе [34].

Известно, любая функция, принадлежащая пространству C2(Q) (пространство функций, определнных в области Q и имеющих в этой области непрерывные производные до 2-го порядка включительно) и удовлетворяющая уравнению Лапласа в области Q представима в виде [36]:

U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий E (r, r ' ) p p(r ) p(r ' ) E (r, r ' ) ' (r ' ) dS (r ' ), (4.22) n r n r ' Г где E(r,r’) – фундаментальное решение трхмерного оператора Лапласа, определяющееся следующим образом:

E r, r '. (4.23) 4 r r ' Для случая одиночной частицы с центром, расположенным в начале координат, давление жидкости в силу извест ного свойства гармонической функции, т.е. удовлетворяющей уравнению Лапласа, с учтом затухания возмущений на бесконечности можно представить в виде:

E (r, r ' ) p p(r ) p(r ' ) E (r, r ' ) ' (r ' ) dS (r ' ) n r n r ' SA E (r, r ' ) p p(r ' ) E (r, r ' ) ' (r ' ) dS (r ' ), n 'r n r (4.24) SB если r ' для каждой сферы рассматривать как координату относительно центра сферы, по которой вычисляется интеграл, то выражение для давления запишется следующим образом:

E (r rA, r ' ) p p(r ) p(r ' ) E (r rA, r ' ) ' (r ' ) dS (r ' ) n r n r ' SA E (r rB, r ' ) p p(r ' ) E (r rB, r ' ) ' (r ' ) dS (r ' ), n r n r ' (4.25) SB где S A, S B – поверхности рассматриваемых сфер, при интегрировании по поверхностям сфер изменяется координата точки поверхности r ', а координата r – фиксирована. Для каждого из интегралов r ' представима в следующем виде:

а) по сфере A:

r ' RAn A ;

(4.26) а) по сфере B:

r ' RBn B ;

(4.27) где n A, nB – векторы нормали к сферам A и B соответственно.

Производные по вектору нормали nr определяются следующим образом:

а) для сферы A:

E (r rA, r ' ) 3 xi' E (r rA, r ' ) ;

(4.28) nr xi' ' i 1 RA б) для сферы B:

E (r rB, r ' ) 3 xi' E (r rB, r ' ) ;

(4.29) nr xi' ' i 1 RB где xi' – i-я компонента вектора r ' ;

rA и rB – координаты центров частиц A и B соответственно;

R A – радиус сферы A;

RB – радиус сферы B.

Разложение E(r,r’) в многомерный ряд Тейлора по r’ в окрестности r’=0 будет выглядеть следующим образом (4.30):

U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий E r,r ' E r, r ' E r,0 xi' x' i r ' i 1 3 3 2 E r,r ' xi' x 'j 2! i 1 j 1 xi' x'j r ' 1 3 3 3 3 E r,r ' xi' x 'j x k ' 3! i 1 j 1 k 1 xi' x'j x'k r ' 1 3 3 3 3 4 E r,r ' xi' x 'j x k x h...

'' 4! i 1 j 1 k 1 h 1 xi' x'j x'k x'h ' r 1 ' 1 2 1 ' ' 3 3 xi xi x j r i 1 xi r 2! i 1 j 1 xi x j r 13 3 x x x r xi' x 'j x k' 3! i 1 j 1 k 1 i j k 13 3 3 x x x x r xi' x 'j x k' x h...

' (4.30) 4! i 1 j 1 k 1 h 1 i j k h где xi’, xj’, xk’, xh’ – компоненты вектора r’;

xi, xj, xk, xh – компоненты вектора r.

Для сферы A производную E r, r ' по вектору нормали можно представить в следующем виде:

13 1 1 E r r A, r ' x 'm r r A xi r r A xi ' nr ' R A m 1 i 13 xi x ' j ' 2! i 1 j 1 xi x j r r A 1 13 3 x x x r r A xi x'j x'k ' 3! i 1 j 1 k 1 i j k 1 13 3 3 3 xi x'j x'k x'h... x'm.

x x x x r r A ' 4! i 1 j 1 k 1 h 1 i j k h (4.31) ' После раскрытия скобки, стоящей под знаком частной производной по xm, получается:

U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий 1 33 1 E r r A, r ' x i' x m ' R A m 1 i 1 x i r r A nr ' xm ' 2 1 ' 13 x x r r A x i' x ' x m 2! i 1 j 1 i j j xm ' 1 3 ' 13 3 x x x r r A x i' x ' x k' x m 3! i 1 j 1 k 1 i j k j xm ' 1 4 ' ' ' 13 3 3 x x x x r r A x i' x ' x k x h x m...

4! i 1 j 1 k 1 h 1 i j k h j xm ' 3 1 x r r ' im x m R A m 1 i 1 A i 1 ' 3 im x ' x i' x m 2! i 1 j 1 x i x j r r A j jm 1 3 ' 13 3 x x x r r A im x ' x k' x i' x k' km x i' x ' x m 3! i 1 j 1 k 1 i j k j jm j 13 3 3 4! i 1 j 1 k 1 h 1 x i x j x k x h r r A ' ' im x ' x k' x h ' x i' x k x h km x i' x ' x h hm x i' x ' x k x m..., '' ' (4.32) j jm j j где im – символ Кронекера, равный 1, если i m, и нулю в противном случае. С учтом этого выражение (4.32) можно преобразовать следующим образом:

13 1 E r r A, r ' x i' R A i 1 x i r r A nr ' 2 1 13 x x r r x i' x ' j 1! i 1 j 1 i j A 13 3 x i' x ' x k' 2! i 1 j 1 k 1 x i x j x k r r A j ' 1 13 3 3 x x x x r r x i' x ' x k' x h....

j 3! i 1 j 1 k 1 h 1 i h (4.33) A j k Аналогично для сферы B (4.34), (4.35), (4.36):

13 1 1 E r r B, r ' 1 r r B xi r r B xi' m nr ' ' RB xm i 2 1 ' ' 13 xi x j 2! i 1 j 1 xi x j r r B 3 3 xi' x ' xk' 3! i 1 j 1 k 1 xi x j xk r r B j ' ' 1 13 3 3 3 xi' x ' xk' xh... xm.

xi x j xk xh r r B j (4.34) 4! i 1 j 1 k 1 h1 После раскрытия скобки, стоящей под знаком частной производной по x ', получается:

m U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий 1 33 1 E r r B, r ' xi' x m ' R B m 1 i 1 xi r r B xm nr ' ' 2 1 13 3 ' x x r r xi' x 'j x m xm ' j 2! i 1 j 1 i B 1 13 3 3 ' ' x x x r r xi' x 'j x k x m xm ' k 3! i 1 j 1 k 1 i B j 1 13 3 x x x x r r h 4! i 1 j 1 k 1 h 1 i B j k 1 33 1 ' ' ' ' ' ' im x m xi x j x k x h x m...

R B m 1 i 1 xi r r B ' xm 2 1 13 3 ' x x r r im x 'j xi' x m jm j 2! i 1 j 1 i B 1 13 3 x x x r r k 3! i 1 j 1 k 1 i B j im x 'j x k ' ' xi' x k km xi' x 'j x m ' jm 1 3 3 3 4! i 1 j 1 k 1 h 1 xi x j x k xh r r B ' ' im x 'j xk xh jm xi' x k xh km xi' x 'j xh hm xi' x 'j xk xm....


'' '' ' (4.35) Далее с учтом того, что для любых индексов i и j ij l, если i j, и 0 – в противном случае, выражение (4.35) упрощается следующим образом:

13 1 ' E r r B, r ' xi R A i 1 xi r r B nr ' 3 xi' x 'j 1! i 1 j 1 xi x j r r B 3 3 xi' x 'j xk ' 2! i 1 j 1 k 1 xi x j xk r r B 13 3 3 3 xi' x 'j xk x h....

'' 3! i 1 j 1 k 1 h 1 xi x j xk xh r r B (4.36) Выражение для давления среды представляется следующим образом (после подстановки уравнений (4.30), (4.33) и (4.36) в уравнение (4.25)):

U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий pr ' xi r r A xi' 1 pr RA S A i 3 xi' x 'j 1! i 1 j 1 xi x j r r A 13 3 x x x r r xi' x 'j xk' k A 2! i 1 j 1 k 1 i j ' 13 3 3 x x x x r r xi' x 'j xk' xh...

h A 3! i 1 j 1 k 1 h 1 i j k 1 p ' 3 1 ' r xi R A n r ' i 1 xi r r A 2 13 x x r r xi' x 'j j A 2! i 1 j 1 i 13 3 x x x r r xi' x 'j xk' k A 3! i 1 j 1 k 1 i j ' 13 3 3 x x x x r r xi' x 'j xk' xh... dS r ' h A 4! i 1 j 1 k 1 h 1 i j k pr ' x r r 1 xi' 3 3 1 1 xi' x ' 1! i 1 j 1 xi x j r r B j i RB S B i B 1 13 3 xi x j xk r r B xi' x ' xk' j 2! i 1 j 1 k 1 ' 1 13 3 3 xi x j xk xh r r B xi' x ' xk' xh...

j 3! i 1 j 1 k 1 h1 1 p ' 3 1 1 xi' 3 r xi' x ' RB nr ' i 1 xi r r B 2! i 1 j 1 xi x j r r B j 1 13 3 xi x j xk r r B xi' x ' xk' j 3! i 1 j 1 k 1.

' 1 13 3 3 3 xi' x ' xk' xh... dS r' xi x j xk xh r r B j (4.37) 4! i 1 j 1 k 1 h1 После вынесения сумм за знаки поверхностных интегралов получается:

3 p ' ' pr p r ' xi' R r xi dS r ' xi r r A nr ' i 1 A S A 3 3 ' ' ' 1 p ' ' ' ' R p r xi x j 2! n ' r xi x j dS r x x r r i 1 j 1 A S i j A r A 3 3 3 1 1 p 2! p r ' 3! n ' r ' xi' x 'j xk' dS r ' xi x j xk r r A RA i 1 j 1 k r SA 3 3 3 3 1 1 p ' ' ' ' ' p r' r xi x j xk xh dS r ' 4! nr ' i 1 j 1 k 1 h 1 R A S 3! A...

xi x j x k x h r r A 3 1 p ' ' p r ' xi' R r xi dS r ' xi r r B nr ' i 1 B S B 3 3 1 ' ' ' 1 p ' ' ' ' R p r xi x j 2! n ' r xi x j dS r x x r r i 1 j 1 B S i j B r B U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий 3 3 3 1 1 p ' ' ' ' p r' r xi x j xk dS r ' 3! nr ' i 1 j 1 k 1 R B S 2! B xi x j xk r r B 3 3 3 3 1 1 p ' ' ' ' ' p r' r xi x j xk xh dS r ' 4! nr ' i 1 j 1 k 1 h 1 R B S 3! B 1...

xi x j xk xh r r B (4.38) Поверхностные интегралы, стоящие под знаками сумм, есть постоянные величины, поэтому их можно обозначить следующим образом:

p(r ' ) xi' p (r ' ) xi' dS (r ' );

H iA (4.39) nr ' RA SA 1 p p(r ) 2! n (r ' ) xi' x 'j dS (r ' );

H ij A ' (4.40) ' RA r SA 1 1 p 2! p(r ) 3! n (r ' ) xi' x 'j xk dS (r ' );

H ijk A ' ' (4.41) ' RA r SA 1 1 p 3! p(r ) 4! n (r ' ) xi' x 'j xk xh dS (r ' );

H ijkh A ' '' ' RA (4.42) r SA p(r ' ) xi' p (r ' ) xi' dS (r ' );

H iB (4.43) nr ' RB SB 1 p p(r ) 2! n (r ' ) xi' x 'j dS (r ' );

H ij B ' (4.44) ' RB r SB 1 p(r ' ) 1 p (r ' ) xi' x 'j xk dS (r ' );

H ijk B ' 2! (4.45) 3! nr ' RB SB 1 1 p 3! p(r ) 4! n (r ' ) xi' x 'j xk xh dS (r ' ).

H ijkh B ' '' ' (4.46) RB r SB Далее вводятся следующие обозначения:

X A r rA ;

(4.47) X B r rB. (4.48) С использованием введнных обозначений давление среды можно представить следующим образом:

U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий 1 3 3 A 2 pr H iA H ij xi X A i 1 j 1 xi x j X A i 3 3 3 H ijk A xi x j x k X A i 1 j 1 k 4 3 3 3 H ijkh A xi x j x k x h X A i 1 j 1 k 1 h 1 3 3 B 2... H iB H ij xi X B i 1 j 1 xi x j X B i 3 3 3 H ijk B xi x j x k X B i 1 j 1 k 4 3 3 3 H ijkh...

B (4.49) xi x j x k x h X B i 1 j 1 k 1 h Возмущение скорости движения жидкости определяется следующим образом:

1 33 A ui r H iA H ij xj X A 3 X A 5 j 4 3 3 A 2 1 5 3 3 3 A 3 H ijk x x X 9 H ijkh x x x X...

k A h A 7 j 1 k 1 j 1 k 1 h j j k 1 3 A 2 H j x x X X A j A 6 j 1 i 133 A H jk x x x X X A k A 10 j 1 k 1 i j 1333 A H jkh x x x x X X A h A 14 j 1 k 1 h1 i j k 13333 A H jkhm x x x x x X X A...

m A 18 j 1 k 1 h1 m1 i j k h 1 33 B H ij H iB xj XB 3 X B 5 j 2 43 3 B H ijk x x X k B 7 j 1 k 1 j 53 3 3 B H ijkh x x x X...

h B 9 j 1 k 1 h1 j k 1 3 A 2 1 H j x x X X B 10 H B x x x X X B 2... jk j B k B 6 j 1 j 1 k i i j 1333 B H jkh x x x x X X B h B 14 j 1 k 1 h1 i j k 13333 B H jkhm x x x x x X X B...

m B 18 j 1 k 1 h1 m1 (4.50) i j k h где ui (r ) – i -я компонента скорости u (r ).

С использованием алгоритма, описанного ниже, коэффициенты разложения в выражении (4.50) определяются одно значно для любых граничных условий, имеющих вид (4.17), (4.18). Скорость и давление среды, представленные выраже ниями (4.50) и (4.49) соответственно, удовлетворяют уравнениям (4.15), (4.16), как будет показано далее. А также най денные распределения скорости и давления среды будут определять решение уравнений (4.15), (4.16) с граничными ус ловиями (4.17), (4.18) в силу его единственности.

Легко проверить, что данное разложение скорости удовле творяет уравнению неразрывности:

U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий 2 1 3 3 A 2 div u H iA H ij x i X A 5 j 1 xi x j X A i 1 43 3 A H ijk x x x X k A 7 j 1 k 1 i j 53 3 3 A H ijkh x x x x X...

h A 9 j 1 k 1 h 1 i j k 1 2 13 A H j x 2 x X X A 6 H A x x X x X A j j A j A 6 j 1 j 1 i i i 133 B H jk x x x X x X B k B 10 j 1 k 1 i j i 133 A H jk x 2 x x X X A k A 10 j 1 k 1 i j 133 A H jk x x x X x X A k A 10 j 1 k 1 i j i 1333 A H jkh x 2 x x x X X A h A 14 j 1 k 1 h 1 i j k 1333 A H jkh x x x x X x X A h A 14 j 1 k 1 h 1 i j k i 13333 A H jkhm x 2 x x x x X X A A 18 j 1 k 1 h 1 m 1 i j k h m 13333 A H jkhm x x x x x X x X A...

m A 18 j 1 k 1 h 1 m 1 i j k h i 3 3 B 2 H ij... H iB x i X B 5 j 1 xi x j X B 43 3 B H ijk x x x X k B 7 j 1 k 1 i j 53 3 3 B H ijkh x x x x X...

h B 9 j 1 k 1 h 1 i j k 1 2 13 B H j x 2 x X X B 6 H B x x X x X B j j B j B 6 j 1 j 1 i i i 133 B H jk x 2 x x X X B k B 10 j 1 k 1 i j 3 133 B H jk x x x X x X B k B 10 j 1k 1 i j i 5 1333 B H jkh x 2 x x x X X B h B 14 j 1k 1h 1 i j k 4 1333 B H jkh x x x x X x X B h B 14 j 1k 1h 1 i j k i 5 13333 B H jkhm x x x x x X x X B m B 18 j 1k 1h 1m 1 i j k h i 6 13333 B H jkhm x 2 x x x x X X B...

m B 18 j 1k 1h 1m 1 (4.51) i j k h 1 С учтом того, что и удовлетворяют уравнению Лапласа, получается:

XA XB U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий 2 3 A 1 3 3 3 A 2 H i x X 5 H ij x x X div u i A j A 3 i 1 j 1 i 1 i 43 3 3 A H ijk x x x X k A 7 j 1 k 1 i 1 i j 53 3 3 3 A H ijkh x x x x X...

h A 9 j 1 k 1 h 1 i 1 i j k 2 13 A H j x x X x XA j A 6 j 1 i 1 i i 133 A H jk x x x X x X A k A 10 j 1 k 1 i 1 i j i 1333 A H jkh x x x x X x X A h A 14 j 1 k 1 h 1 i 1 i j k i 13333 A H jkhm x x x x x X x X A m A 18 j 1 k 1 h 1 m 1 i 1 i j k h i 3 3 3 B 2 23 B H i x X 5 H ij x x X... j B 3 i 1 j 1 i B i i 43 3 3 B H ijk x x x X k B 7 j 1 k 1 i 1 i j 4 53 3 3 3 B H ijkh x x x x X B...

h 9 j 1 k 1 h 1 i 1 i j k 2 13 A H j x x X B x X B j i 6 j 1 i 1 i 3 133 B H jk x x x X B x X B k i 10 j 1 k 1 i 1 i j 4 1333 B H jkh x x x x X B x X B h i 14 j 1 k 1 h 1 i 1 i j k 5 13333 B 1 H jkhm x x x x x X B x X B....

m i 18 j 1 k 1 h 1 m i (4.52) i j k h Для дальнейшего доказательства того факта, что разложение скорости в ряд удовлетворяет уравнению неразрывно сти, необходимо доказать следующее утверждение:

n xi X i xi1 xi2...xin1 x X n1 n i n1 1 n, (n 1) (4.53) x X xi1 xi2...xin где x, X – произвольные не равные друг другу векторы.

Доказательство проводится по индукции.

Если n=0, то 1 ( xi1 X i1 ) 3 xi X i xi1 X i xi1 x X 1 i1 1 x X i (x X i1 ) i1 x X 1 i1 (0 1).

x X x X 3 x X x X Таким образом, для n 0 утверждение верно.

Теперь рассмотрим индукционный шаг. В предположении, что для n верно, покажем, что верно и для n+1:

U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий 1 n 2 x i n 2 X i n x i1 xi 2... xi n 2 x X i n 2 3 1 n1 xi n 2 X i n i 1 xi... xi x X xi1 n 2 n2 1 n x i1i n i 2... xi n 2 x X i n 2 3 1 n1 xi n 2 X i n xi1 i n 2 1 xi 2... xi n 2 x X 1 n1 xi 2... xi n 1 xi1 x X 1 1 n n n 1 xi 2... xi n 1 x X x... x x x X xi1 i1 i2 i n n n 2. (4.54) xi1 xi 2... xi n 1 x X Утверждение (4.53) доказано. Для сферы A справедливо следующее соотношение:

n1 x x...x XA m X A xi i 1 i j n1 ( xi rAi ) xi x j...xm X A i n.

2(n 1) x j...xm X A (4.55) Аналогично для сферы B:

n 1 XB xi x j...xm X B xi i n 1 1 2 x x...x ( xi rBi ) m XB i 1 i j 1 n.

2(n 1) X x j...xm (4.56) B 2 3 A 1 3 3 3 A 2 H i x X 5 H ij x x X div u i A j A 3 i 1 j 1 i 1 i 3 43 3 3 A H ijk x x x X k A 7 j 1 k 1 i 1 i j 4 53 3 3 3 A H ijkh x x x x X...


h A 9 j 1 k 1 h 1 i 1 i j k 4 3 A 1 6 3 3 A 2 H j x X 10 H jk x x X j A k A 6 j 1 j 1 k 1 j 3 8333 A x x x X H jkh h A 14 j 1 k 1 h 1 j k 4 10 3 3 3 3 A H jkhm x x x x X...

m A 18 j 1 k 1 h 1 m 1 j k h U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий 23 B 1 2 33 H i xi X B 5 H ijB xi x j X B 3 i 1 j 1 i 3 43 3 3 B xi x j x k X B H ijk 7 j 1 k 1 i 4 53 3 3 3 B H ijkh xi x j x k x h X B...

9 j 1 k 1 h 1 i 43 A H j xj X B 6 j 6 3 3 B 2 H jk x j x k X B 10 j 1 k 3 8333 B H jkh x j x k x h X B 14 j 1 k 1 h 4 10 3 3 3 3 B 1 H jkhm x j x k x h x m X B... 0.

18 j 1 k 1 h 1 m (4.57) Таким образом показано, что скорость, представленная разложением (4.50), удовлетворяет уравнению неразрывно сти.

Осталось показать, что разложения скорости и давления (4.50) и (4.49) удовлетворяют уравнению сохранения им пульса. После раскрытия оператора Лапласа получается:

U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий 1 3 A 2 u i r H j x x X X A j A 6 j 1 i 133 A H jk x x x X X A k A 10 j 1 k 1 i j 1333 A H jkh x x x x X X A h A 14 j 1 k 1 h 1 i j k 13333 A H jkhm x x x x x X X A...

m A 18 j 1 k 1 h 1 m 1 i j k h 1 3 A 2 H j x x X XB j B 6 j 1 i 133 B x x x X XB H jk B 10 j 1 k 1 i j k 1333 B H jkh x x x x X X B h B 14 j 1 k 1 h 1 i j k 13333 B H jkhm x x x x x X X B m B 18 j 1 k 1 h 1 m 1 i j k h 13 A H j x x x X x XA... j A 3 j 1 l 1 l i l 13 3 A H jk x x x x X x X A k A 5 j 1 k 1 l 1 l i j l 13 3 3 A H jkh x x x x x X x X A h A 7 j 1 k 1 h 1 l 1 l i j k l 13 3 3 3 A H jkhm x x x x x x X x X A...

m A 9 j 1 k 1 h 1 m 1 l 1 l i j k h l 13 A Hj xl xi x j X B xl X B 3 j 1 l 13 3 B H jk x x x x X x X B k B 5 j 1 k 1 l 1 l i j l 5 13 3 3 B H jkh x x x x x X x X B B l 7 j 1 k 1 h 1 l 1 l i j k h 6 13 3 3 3 B H jkhm x x x x x x X x X B...

(4.58) m B 9 j 1 k 1 h 1 m 1 l 1 l i j k h l Далее потребуется следующее свойство:

3 2 x 2( x X X A (X A) 6.

2 Ai ) (4.59) i xi i 1 i 1 i аналогично:

X B 6, (4.60) C учтом свойств (4.59), (4.60), а также утверждения (4.55) получается:

U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий 2 u i r H A j xi x j X A j 3 3 HA 5 j 1 k 1 jk xi x j x k X A 4 33 3 3 A H jkh x x x x X h A 7 j 1 k 1 h 1 i j k 5 13 3 3 3 A H...

3 j 1 k 1 h 1 m 1 jkhm xi x j x k x h x m X A 2 H A j xi x j X B j 3 33 3 B H jk x x x X k B 5 j 1 k 1 i j 4 33 3 3 B x x x x X H jkh h B 7 j 1 k 1 h 1 i j k 5 13 3 3 3 B H jkhm x x x x x X...

m B 3 j 1 k 1 h 1 m 1 i j k h 6 3 A 2 H j x x X j A 3 j 1 i 83 3 A H jk x x x X k A 5 j 1 k 1 i j 10 3 3 3 A H jkh x x x x X h A 7 j 1 k 1 h1 i j k 12 3 3 3 3 A H jkhm x x x x x X...

m A 9 j 1 k 1 h1 m1 i j k h 6 3 B 2 H j x x X j B 3 j 1 i 83 3 B H jk x x x X k B 5 j 1 k 1 i j 10 3 3 3 B H jkh x x x x X h A 7 j 1 k 1 h1 i j k 12 3 3 3 3 B H jkhm x x x x x X m B 9 j 1 k 1 h1 m1 i j k h U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий 3 A 1 3 3 A 2 H j H xi j 1 (4.61) x j X A j 1 k 1 jk x j x k X A 3 3 H A x j xk xh X A jkh j 1 k 1 h 3 3 3 H A x j xk xh xm X A jkhm j 1 k 1 h 1 m 1 3 3 B 2... H B H jk j x j X B j 1 k 1 x j xk X B j 3 3 H B x j xk xh X B jkh j 1 k 1 h p 3 3 3 H B...

.

xi x j xk xh xm X B jkhm j 1 k 1 h 1 m Таким образом показано, что разложения скорости и давления (4.49) и (4.50) удовлетворяют уравнениям (4.15), (4.16).

Ряды, в виде которых представляются возмущения скорости и давления, содержат бесконечно много членов, однако для достижения удовлетворительной точности достаточно ограничиться первыми несколькими. Например, выражения для скорости и давления можно записать таким образом:

1 3 3 A 2 pr H iA H ij xi X A i 1 j 1 xi x j X A i 3 3 3 H ijk A xi x j x k X A i 1 j 1 k 4 3 3 3 H ijkh A xi x j x k x h X A i 1 j 1 k 1 h 1 3 3 B 2 H iB H ij xi X B i 1 j 1 xi x j X B i 3 3 3 H ijk B xi x j x k X B i 1 j 1 k 4 3 3 3 H ijkh B xi x j x k x h X B (4.62) i 1 j 1 k 1 h После подстановки разложения скорости граничные условия на поверхности частиц тогда перепишутся следующим образом:

– на поверхности сферы А:

33 A v Ai ij x j X Aj H iA 2 H ij x X j A 3 5 j XA j 1 5 3 3 3 H ijk x x X 9 H ijkh x x x X A A k A h A 7 j 1 k 1 j 1 k 1 h j j k 1 3 A 2 1 3 H j x x X X A 10 H A x x x X X A 2 jk A A 6 j 1 j 1 k i j i j k 4 1333 A H jkh x x x x X X A h A 14 j 1 k 1 h 1 i j k 5 13333 A H jkhm x x x x x X X A m A 18 j 1 k 1 h 1 m 1 i j k h U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий 1 33 B 1 43 3 B 2 H ij H ijk... H iB x j X B 7 j 1 k 1 x j xk X B 3 X B 5 j 1 13 2 53 3 3 B H ijkh x x x X 6 H A x x X X B j h B j B 9 j 1 k 1 h 1 j j k i 133 B H jk x x x X X B k B 10 j 1 k 1 i j 1333 B H jkh x x x x X X B h B 14 j 1 k 1 h 1 i j k 13333 B H jkhm x x x x x X X B...

(4.63) m B 18 j 1 k 1 h 1 m1 i j k h – на поверхности сферы B:

v Bi ij x j X Bj H iA 2 XA j 33 A 1 43 3 A 2 H ij x X 7 H ijk x x X j A k A 5 j 1 j 1 k 1 j 53 3 3 A H ijkh x x x X h A 9 j 1 k 1 h 1 j k 1 3 A 2 H j x x X X A j A 6 j 1 i 133 A H jk x x x X X A k A 10 j 1 k 1 i j 1333 A H jkh x x x x X X A h A 14 j 1 k 1 h 1 i j k 13333 A H jkhm x x x x x X X A...

m A 18 j 1 k 1 h 1 m 1 i j k h 33 B 1 43 3 B 2 2 B H ij 7 H ijk... Hi xj XB x j xk X B 3 X B 5 j 1 j 1 k 53 3 3 B H ijkh x x x X h B 9 j 1 k 1 h 1 j k 1 3 A 2 H j x x X XB B 6 j 1 i j 133 B H jk x x x X X B k B 10 j 1 k 1 i j 1333 B H jkh x x x x X X B h B 14 j 1 k 1 h 1 i j k 13333 B H jkhm x x x x x X X B...

(4.64) m B 18 j 1 k 1 h 1 m 1 i j k h где Ai и Bi – i -е компоненты векторов A и B описанных выше;

R A – радиус частицы A.

Аналогичным образом записывается граничное условие на поверхности частицы B.

Далее вводятся следующие обозначения:

i j... m 1 ;

L (y ) 1 ;

rA rB ;

y r rA.

Lij...m (y ) xi x j...xm y y C учтом введнных ранее обозначений, а также того, что X A r rA и X B r rB. Тогда граничное условие на поверхности частицы A запишется следующим образом:

U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий 3 3 H L j y 7 H ijk L jk y H i L0 y 2A 3 v Ai A A ij 3 j 1 j 1 k 3 3 3 H H ijkh L jkh y... 6 Lij y y 5 1 A A j 9 j 1 k 1 h 1 j 3 3 3 3 H Ajk Lijk y y 14 H Ajkh Lijkh y y 1 2 10 j 1 k 1 j 1 k 1 h 3 3 3 H Lijkhm y y...

1 A jkhm 18 j 1 k 1 h 1 m H H iB L0 y L j y 2 3 B ij 3 5 j 3 3 3 3 H L jk y 9 H ijkh L jkh y...

4 B B ijk 7 j 1 k 1 j 1 k 1 h 3 3 H Lij y y 10 H jk Lijk y y 1 2 B B j 6 j 1 j 1 k 3 3 H Lijkh y y 1 B jkh 14 j 1 k 1 h 3 3 3 H Lijkhm y y...

1 B jkhm (4.65) 18 j 1 k 1 h 1 m где y RA.

Функцию L (y ) можно разложить в ряд Тейлора по переменной y вблизи точки y 0.

13 13 L0 y L0 Li yi Lij yi y j 1! i 1 2! i 1 j 13 3 3 13 3 3 Lijk yi y j y k 4! Lijkh yi y j y k y h...

(4.66) 3! i 1 j 1 k 1 i 1 j 1 k 1 h Этот ряд сходится в случае, когда y. Ограничимся только линейной частью ряда:

L0 (y ) L0 () Li () yi.

(4.67) i Аналогично, ограничиваясь только линейными членами, можно вывести следующие приближнные равенства:

Li (y ) Li () Lim () y m ;

(4.68) m Lij (y )(y ) 2 2 Lij () [2 m Lij () 2 Lijm ()]y m ;

(4.69) m Lijk (y )(y ) 2 2 Lijk () [2 m Lijk () 2 Lijkm ()]ym. (4.70) m 33 A 43 3 A v Ai H iA L0 y H ij L j y 7 H ijk L jk y 3 5 j 1 j 1 k 53 3 3 A H ijkh L jkh y 6 H A Lij y y j 9 j 1 k 1 h 1 j 133 A H jk Lijk y y 14 H A Lijkh y y 2 jkh 10 j 1 k 1 j 1 k 1 h 13333 A H Lijkhm y y 3 H iB L 18 j 1 k 1 h 1 m 1 jkhm U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий 33 B H ij L j 6 H Bj Lij 5 j 1 j 133 B H jk Lijk 10 j 1 k 33 B H iB L m H ij L jm m 1 3 5 j H B 2 m L ij 2 L ijm j 6 j 133 B H jk 2 m Lijk 2 Lijkm y m, (4.71) 10 j 1 k где y RA.

Аналогичным образом преобразуется граничное условие на поверхности частицы B:

33 B v B i H iB L 0 y H ij L j y 3 5 j 43 3 B 53 3 3 B H ijk L jk y 9 H ijkh L jkh y 7 j 1 k 1 j 1 k 1 h 13 B H j L ij y y 10 H Bjk L ijk y y 2 6 j 1 j 1 k 1333 B H jkh L ijkh y y 14 j 1 k 1 h 13333 B 1 H jkhm L ijkhm y y 3 H iA L 0 18 j 1 k 1 h 1 m 33 H ijA L j 6 H Aj L ij 5 j 1 j H Ajk L ijk 10 j 1 k 33 A H iA L m H ij L jm m 1 3 5 j H A 2 m Lij 2 Lijm j 6 j 133 A H jk 2 m Lijk 2 Lijkm y m (4.72) 10 j 1 k где y RB.

Коэффициенты определяются из граничных условий методом неопределнных коэффициентов, учитывая линейную независимость производных L (y ) и L (y ). При составлении необходимой системы линейных уравнений приравни i..k i..k ваются коэффициенты при каждом Li..k (y ). Причм в разложениях (4.68)–(4.72) ym в граничных условиях на поверхно сти сферы A представляется в виде:

ym RA Lm ( y), (4.73) т.к. y RA.

Аналогично на поверхности сферы B:

ym RB Lm ( y).

Для удобства выбирается система координат таким образом, чтобы расстояние между частицами имело только ком поненту по оси z, а центр частицы A был расположен в начале координат, а частицы B – в точке с координатой (0, 0, ).

С учтом вышесказанного для коэффициентов разложения скорости и давления среды получается следующая сис тема уравнений :

3 2 B H i R A H i L 0 H ij L j H j L ij 33 B 13 B A 2 3 5 j 1 6 j 1 (4.74) H jk L ijk v Ai ;

133 B 10 j 1k U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий 5 3 2 B H ij R A H i L j H ik L jk 33 B A 3 5 k H k L ijk 2 2 L ik j 13 B 6 k 1 3 3 B A R A3 H kl L ijkl 2 2 L ikl j ij ;

10 k 1l 1 (4.75) Hi RB B 2 (4.76) H iA L 0 H ij L j H A L ij 2 H A L ijk 2 v B i ;

33 A 13 j jk 3 5 j 1 6 j 1 10 j 1k H ij R B B 2 A H i L j H ik L jk H k L ijk 2 2 L ik j 33 A 13 A 3 5 k 1 k 5 3 1 3 3 A R B H kl L ijkl 2 L ikl j ij, 2 B (4.77) 10 k 1l 1 где коэффициенты i и j изменяются в пределах от 1 до 3.

После преобразования уравнений (4.74)–7(4.77) с учтом равенства нулю 1-й и 2-й компоненты вектора расстоя ния между частицами нетрудно получить, что при i =1,2:

31B B B v Ai ;

H i RA H i (4.78) A 2 2 H i 3 H 3i 2 5 3 1 H i 3 R A 2 H i 3 H i 3 3 H 3i i 3 ;

6 6 (4.79) A B B B A 2 5 5 3 3 B 1 A H 3i R A 3 H 3i 2 H i 3 H 3i H i3 3i ;

(4.80) B B B A 5 2 31A A A vBi ;

RB H i (4.81) Hi B 2 2 H i 3 H 3i 2 5 3 1 H i 3 R B 2 H i 3 H i 3 3 H 3i i 3 ;

6 6 (4.82) B A A A B 2 5 5 3 3 H 3i R B 3 H 3i 2 H i 3 H 3i H i 3 3i.

1 9 (4.83) B A A A A B 5 2 Решение этой системы уравнений (4.78)–(4.83) даст выражения для коэффициентов H iA, H i3, H 3i, H iB, H i3, A A B B H 3i. Для сведения этой системы относительно 12 неизвестных к системе относительно 6 неизвестных выражения (4.78)– (4.80) для коэффициентов H iA, H i3, H 3i подставляются в (4.81)–(4.83), и получается система уравнений относительно A A B B B H i, H i3, H 3i, т.е. относительно 6 неизвестных. После нахождения этих коэффициентов с помощью выражений (4.78)– (4.80) нетрудно найти коэффициенты H iA, H i3, H 3i. A A Для значений i, j, изменяющихся в пределах от 1 до 2 и неравных друг другу, справедливы следующие соотноше ния:

R A H ij H ji R ij ;

1 R (4.84) H ij H ij 3 A A B B B A A 3 R H ij H ji R ij.

1 R (4.85) H ij H ij 3 B B A A A B B B 3 A A B B Эти соотношения образуют систему уравнений относительно H 12, H 21, H 12, H 21, решение которой позволяет найти эти коэффициенты.

A B A B Также для коэффициентов H 3, H 3, H 33, H 33 справедливы следующие соотношения (4.86)–(4.89):

3 1B 3 B H 3 R A H 3 2 H 33 v A3 ;

(4.86) A 2 U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий 3 1 A 3 A H 3 R B H 3 2 H 33 v B3 ;

(4.87) B 2 5 3 1 B 9 B H 33 R A 2 H 3 3 H 33 33;

(4.88) A A 3 5 3 1 A 9 A H 33 R B 2 H 3 3 H 33 33;

(4.89) B B A B A B После решения системы линейных уравнений находятся коэффициенты H 3, H 3, H 33, H 33.

Для i =1,2:

R A3 B 5 R A3 B 5 R A3 B H ii 3 H ii 2 H 3 H 33;

(4.90) A 6 R B3 A 5 R B3 A 5 R B3 A H ii 3 H ii H 33. (4.91) H B 62 A B A B Решается система уравнений относительно H ii и H ii для каждого i =1,2 при известных коэффициентах H 3, H 3, A B H 33, H 33.

Таким образом, находятся коэффициенты разложения при всех различных индексах i и j, лежащих в диапазоне от 1 до 3.

Сила взаимодействия f 21 определяется как разность сил, действующих на 1-ю и 2-ю частицы. Для частиц близких по размеру она вызывается как наличием градиента скорости, так и возмущением поля обтекания одной частиц со сторо ны другой. А для частиц, существенно различающихся радиусом, к силе f 21 добавляется компонента, обусловленная разной степенью увлечения частиц в набегающий поток газа, но при этом существенной потери точности не происходит, так как для частиц, различающихся по размеру, доминирует механизм ортокинетического взаимодействия и, как показы вают численные оценки, компонента вероятности столкновения, обусловленная разной степенью увлечения частиц в ко лебательное движение среды, существенно превышает компоненту, обусловленную их взаимодействием.

Сила взаимодействия частиц подставляется в выражение (4.8) для вероятности столкновения, обусловленной их взаимодействием, и рассчитывается новая вероятность, отличающаяся от вычисленной авторами [30] вероятности (4.11) тем, что она учитывает вязкость газовой среды.

После нахождения вероятности столкновения для всех необходимых размеров частиц численно решается система уравнений Смолуховского, позволяющая выявить требуемые зависимости.

4.4 Теоретический анализ оптимальных условий процесса акустической коагуляции На первом этапе был проведен анализ оптимального частотного диапазона воздействия на аэрозоли. Как уже упоминалось, применение акустического воздействия наиболее целесообразно для коагуляции мелкодисперсных аэрозолей с размерами частиц менее 10 мкм. В этой связи теоретический анализ также был проведен для аэрозолей с дисперсной фазой до 10 мкм.

На рисунке 4.1 приведены зависимости эффективности коагуляции от частоты для аэрозолей с различными размерами частиц при средней концентрации 61011 м-3. Расчты проводились при постоянном уровне звукового давления 133 дБ. Эффективность коагуляции определялась как значение отношения концентрации частиц n через 30 секунд с момента начала процесса к начальной n0.

Обобщение представленных зависимостей позволяет сделать вывод о возрастании оптимальной частоты с увеличением дисперсности аэрозоля. Из рисунка 4.1, а следует, что оптимальная частота (10 кГц) для аэрозоля с начальными размерами частиц порядка 10 мкм лежит ниже границы ультразвукового диапазона, в то время как аэрозоли с размерами частиц 5 мкм и менее наиболее эффективно коагулируются в ультразвуковом диапазоне частот (рисунок 4.1, б, в).

U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий б) a) в) г) Проведнные теоретические расчеты позволили установить, что оптимальная частота коагуляции для аэрозолей с размерами частиц 5 мкм и менее лежит в области ультразвуковых частот и возрастает с увеличением дисперсности аэрозолей. При размерах аэрозольных частиц 9 мкм и более оптимальная частота лежит в пределах слышимого диапазона (рисунок 4.2, а). Однако, как показывает зависимость, приведнная на рисунке 4.2, а, применение частот акустических колебаний от 15 до 20 кГц и выше вызывает незначительную потерю эффективности коагуляции.

б) a) Рисунок 4.2 – Зависимости концентрации: а) от времени при различных уровнях звукового давления;

б) от уровня звукового давления в момент времени 15 секунд:

концентрации 31011 м-3 (график 1) и 91011 м-3 (график 2) Таким образом, оптимальные частоты акустического воздействия для реализации процесса коагуляции лежат в области ультразвуковых частот, т.к. в этом случае обеспечивается высокая эффективность коагуляции мелкодисперсных аэрозолей (менее 5 мкм) при незначительном снижении эффективности грубодисперсных аэрозолей (10 мкм и более).

На втором этапе проводился анализ зависимости времени коагуляции от уровня звукового давления. Характер влияния уровня звукового давления на процесс коагуляции может быть пояснен зависимостями, показанными на рисунке 4.2. На рисунке 4.2, а приведены зависимости изменения концентрации от времени УЗ воздействия (частота колебаний 25 кГц) при различных уровнях звукового давления для аэрозоля с радиусом частиц 5 мкм и начальной концентрацией 1012 м-3. На рисунке 4.2, б показаны зависимости отношения концентрации аэрозольных частиц к начальной n / n0 от уровня звукового давления, определяющие эффективность процесса коагуляции (частота колебаний 20 кГц, время 15 с с момента начала процесса, радиус частиц 3 мкм).

Результаты расчтов подтверждают рост скорости коагуляции при увеличении уровня звукового давления УЗ излучения. Так, повышение интенсивности от 130 до 140 дБ позволяет существенно сократить время коагуляции более чем в 3 раза. Кроме того, зависимости на рисунке 4.2 б подтверждают факт, что коагуляция аэрозолей под действием акустических колебаний происходит более интенсивно при высоких концентрациях аэрозоля.

Таким образом, проведенный теоретический анализ позволил показать, что для коагуляции мелкодисперсных аэрозолей наиболее эффективным является ультразвуковой диапазон частот и уровень звукового давления от 130 дБ.

Полученные зависимости являются основой для определения технических требований к ультразвуковым аппаратам для коагуляции аэрозолей, конструкция и основные принципы построения которых рассмотрены в следующих разделах.

U-sonic.ru – Лаборатория акустических процессов и аппаратов БТИ АлтГТУ Центр ультразвуковых технологий

Pages:     | 1 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.