авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 42 |

«Руководство по индексам потребительских цен Т е о р и я и п р а к т и к а Международное бюро труда ...»

-- [ Страница 25 ] --

78Уолш (1921b, стр. 540–541) отметил, что критерий обрати См. Алтерман, Диверт и Фенстра (1999, стр. 65).

мости во времени является частным случаем критерия цирку 77Уолш (1921a, стр. 98) называл этот критерий критерием цир лярности.

кулярности, но поскольку Фишер использовал этот термин 79По существу, она представляет собой один из вариантов ме для описания своего критерия транзитивности, определенно тодологии Фишера (1922, стр. 284), используемой для провер го ранее в уравнении (15.77), по-видимому, лучше придержи ки того, насколько различные формулы соответствуют его ваться терминологии Фишера, так как она уже закрепилась в версии критерия циркулярности.

специальной литературе.

ОСНОВОПОЛАГАЮЩАЯ ТЕОРИЯ ИНДЕКСОВ Приложение 15.1. Взаимосвязь Приложение 15.2. Взаимосвязь индексов Пааше и Ласпейреса индексов Лоу и Ласпейреса 1. Вспомним определения, представленные выше 1. Вспомним определения, представленные выше в в пунктах 15.11–15.17. Определим i-ю относительную пунктах 15.33–15.48. Определим i-е соотношение цены цену или соотношение цен ri и i-е соотношение товара i в месяце t с ценой этого товара в месяце 0, ri, и количеств ti следующим образом: i-е соотношение количества ti, связывающее количест во товара i в базисном году b с количеством этого това pi1 qi1 ра в месяце 0, ti, следующим образом:

1,..., n.

ri ;

ti i ;

(A15.1.1) pi0 qi pit qib Используя формулу (15.8) индекса цен Ласпейреса PL ;

i = 1,…, n. (A15.2.1) ri ti pi0 qi и определения (A15.1.1), получаем:

n ri si0 r*, (A15.1.2) PL Как и в приложении A15.1, индекс цен Ласпейреса PL(p 0, pt, q0) можно определить как r*, взвешенное по i долям расходов в месяце 0 среднее индивидуальных со то есть определяем «среднее» соотношение цен r* как отношений цен ri, как они определены в (A15.2.1), за среднее индивидуальных соотношений цен ri, взвешен исключением того, что в определении i-ного соотно ное по долям расходов базисного периода.

шения цен ri цена в месяце t, p i1, теперь используется 2. По формуле (15.6) для индекса цен Пааше PP вместо цены периода 1, p i1:

получаем:

n n n p i1 q i1 ri t i p i0 q i0 ri si0 PL.

r (A15.2.2) i1 i1, используя опреде- i PP n n ления (A15.1.1) 2. «Среднее» соотношение количеств t*, представ 01 0 pm qm tm pm qm ляющее собой соотношение количеств базисного года b m1 m с количествами месяца 0, определяется как взвешенное по долям расходов месяца 0 среднее индивидуальных что вытекает из (A15.1.2) и равенства n 1 s i0 = 1, и из сле i= соотношений количеств ti, определенных в (A15.2.1):

дующего определения «среднего» соотношения коли честв t*:

n t* t i si n QL, (A15.2.3) QL, * t ts (A15.1.4) ii i i где QL = QL(q0, qb, p 0) — индекс количеств Ласпейреса, где последнее равенство следует из уравнения (15.11), то представляющий собой соотношение количеств меся есть определения индекса количеств Ласпейреса QL. ца 0, q0, с количествами года b, qb, где в качестве весов 3. Зная разность между PP и PL и используя уравне- выступают цены месяца 0, p0.

ния (A15.1.2)–(A15.1.4), получаем: 3. Используя определение (15.26), получим следую щее выражение для индекса Лоу, в котором сравнивают ся цены месяца t с ценами месяца 0, где в качестве весов n t * ) si0. выступают количества базисного года b:

r * )(ti (A15.1.5) PP PL ( ri QL i Теперь пусть r и t — дискретные случайные величины, которые принимают n значений ri и ti, соответственно. n n pit t i qi pit qib Пусть s i0 — совместная вероятность того, что r = ri и t = ti 0 i1 i, (A15.2.1) t b для i = 1,…,n, и пусть совместная вероятность равна 0, ес- PLo ( p, p, q ) n n ли r = ri и t = tj, где i j. Можно показать, что сумма n 1 pi0 qib pi0 t i qi i= (ri – r*)( ti – t*) si0 в правой части уравнения (A15.1.5) — это i1 i ковариация между соотношениями цен ri и соответству- n n p it t i qi0 pi0 t i qi ющими соотношениями количеств ti. Эта ковариация может быть преобразована в коэффициент корреля- i1 i ции80. Если эта ковариация отрицательна, что, как n n 0 pi0 qi pq правило, имеет место в контексте изучения потреби- i i i1 i тельского поведения, то PP меньше PL.

pit n t i pi0 qi pi i t, (A15.2.3) n 80См.работу Борткевича (Bortkiewicz, 1923, стр. 374–375), в pi0 qi которой был впервые использован этот метод разложения с i использованием коэффициентов корреляции.

РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА Приложение 15.3. Взаимосвязь n ri t i pi0 qi между индексом Янга и его используя i t временной антитезой (A15.2.1) n pi0 qi 1. Вспомним, что прямой индекс Янга PY (p0, p t,s b), i n n n был определен в уравнении (15.48), а его временная ан ri ti si0 r )ti si0 r ti si ( ri титеза P * (p0, p t, s b) была определена в уравнении Y i1 i1 i1 (15.52). Определим i-е отношение цены в месяце t к це t t t не в месяце 0 следующим образом:

n n pit / pi0 ;

i 1,..., n ti si r )ti si0 r ri ( ri (A15.3.1) i i t t и определим взвешенное среднее (при использовании весов базисного года sib) ri как n (ri r )t s используя ii rt n i (A15.2.3) sib ri r (A15.3.2) t t i n n 0 (ri r )(t i t ) s (ri r )t s i i которое оказывается равным прямому индексу Янга i1 i r PY (p0, p t, s b). Определим отклонение ei для ri от их взве t t шенного среднего r*, используя следующие уравнения:

n n ri si r )(t i t ) si0 t r (ri r (1 ei );

i 1,..., n.

ri (A15.3.3) i i r t t Если уравнение (A15.3.3) подставить в уравнение (A15.3.2), получим следующее уравнение:

n (ri r )(t i t ) s i n n ri si i r r поскольку ya que sib r (1 ei ) r t i i n r )(ti t ) si (ri n n (A15.3.4) PL ( p 0, p t, q 0 ) i sib ei поскольку sib r r ya que b 0 QL (q, q, p ) i i n (A15.2.4) 0. (A15.3.5) sib ei e поскольку по (A15.2.2) r* равно индексу цен Ласпейре- i са PL( p 0, pt, q0), а по (A15.2.3) t* равно индексу коли Таким образом, взвешенное среднее e* отклонений ei честв Ласпейреса QL(q0, qb, p 0). Таким образом, уравне равно 0.

ние (A15.2.4) означает, что индекс цен Лоу при исполь 2. Прямой индекс Янга PY ( p0, p t, s b), и его времен зовании в качестве весов количеств года b, PLo( p 0, pt, qb ), равен обычному индексу Ласпейреса при исполь- ная антитеза PY ( p0, p t, s b ) могут быть записаны как * зовании в качестве весов количеств месяца 0, PL(p0, pt, функции от r*, весов sib и отклонений соотношений n qb ), плюс ковариация i =1 (ri – r*)(ti – t*)si0 между со- цен ei следующим образом:

отношениями цен ri pit / p0 и соотношениями коли i честв ti qib/ q0, деленная на индекс количеств Ласпей i (A15.3.6) реса QL(q0, qb, p 0) в месяце 0 по сравнению с базисным PY ( p 0, p t, s b ) r годом b.

n PY ( p 0, p t, s b ) sib r (1 ei ) i (A15.3.7) n sib (1 ei ) r.

i 3. Теперь рассмотрим PY (p0, p t, s b) как функцию век * тора отклонений e [e1,..., en], например, PY*(e). Аппрок ОСНОВОПОЛАГАЮЩАЯ ТЕОРИЯ ИНДЕКСОВ Приложение 15.4. Соотношение * симация PY (e) рядом Тэйлора второго порядка в окрест ности точки e = 0n задается следующим выражением81:

между подходом Дивизиа и экономическим подходом n n n n PY (e) sib ei sib s b ei e j sib ei r r r r j 1. Подход Дивизиа в рамках теории индексов осно i1 i1 j1 i ван на теории дифференцирования. Поэтому создается n n n впечатление, что он не имеет какой-либо связи с эко r0 r sib s b e j ei sib ei r r e j номической теорией. Однако в работах ряда экономи i1 j1 i стов82, начиная с публикации Вилле (Ville, 1946), было (A15.3.5) установлено, что индексы цен и количеств Дивизиа все-таки имеют связь с экономическим подходом в те n n sib 0 ei sib ei ории индексов. Эта связь кратко представлена в дан r r r e ном приложении.

i1 i (A15.3.5) 2. Сначала опишем в общих чертах экономический подход к определению уровня цен и количеств. Рассмат n риваемый здесь вариант экономического подхода восхо PY ( p 0, p t, s b ) PY ( p 0, p t, s b ) sib ei e дит к работам Шепарда (1953;

1970), Сэмюэльсона (1953) i и Сэмюэльсона и Свэйми (Samuelson and Swamy, 1974).

(A15.3.6) 3. Принимается допущение о том, что «конкретный»

PY ( p 0, p t, s b ) PY ( p 0, p t, s b )Var e, потребитель имеет четко определенные предпочтения в отношении различных комбинаций n потребительских (A15.3.8) товаров. Каждая комбинация может быть представлена в виде положительного вектора q [q1,..., qn]. Предпочте где взвешенная выборочная дисперсия вектора e от клонений цены определяется следующим образом: ния потребителя в отношении альтернативных возмож ных векторов потребления q, согласно допущению, мож n но представить как непрерывную неубывающую вогну sib ei Var e e тую функцию полезности f. Далее предполагается, что (A15.3.9) i потребитель сводит к минимуму издержки, связанные с достижением в период t уровня полезности t, ut f(qt), для 4. Преобразовывая уравнение (A15.3.8), получим периодов t = 0,1,…,T. Предполагается, что в наблюдае следующую приблизительное соотношение между пря мый период t вектор потребления qt решает следующую мым индексом Янга PY (p0, p t, s b) и его временной анти проблему минимизации затрат для периода t:

тезой PY*(p0, p t, s b) с точностью аппроксимации рядом Тэйлора второго порядка в окрестности точки цен, в которой вектор цен в месяце t пропорционален векто n ру цен в месяце 0:

C (u t, p t ) pit qi : f ( q) ut f (qt ) min q i PY ( p 0, p t, s b ) PY ( p 0, p t, s b ) PY ( p 0, p t, s b ) Var e n pit qit ;

t,T.

0, 1, (A15.4.1) (A15.3.10) i Здесь pt — вектор цен периода t для n рассматриваемых Таким образом, с точностью до аппроксимации второ- товаров, с которым сталкивается потребитель. Отме го порядка прямой индекс Янга превосходит свою вре- тим, что решение проблемы минимизации затрат, или меннумю антитезу на величину, равную прямому ин- расходов, для периода t определяет функцию затрат потребителя C(ut, pt).

дексу Янга, умноженному на взвешенную дисперсию отклонений соотношений цен от их взвешенного сред- 4. На функцию полезности для потребителя f на него. Поэтому чем больше разброс относительных цен, кладывается дополнительное условие регулярности.

тем в большей степени прямой индекс Янга будет пре- Предполагается, что f — (положительная) линейная од восходить свою временнумю антитезу. нородная функция для строго положительных векторов количеств. При этом допущении функция расходов или издержек потребителя C(u,p), разлагается на uc(p), где c(p) — функция затрат потребителя на единицу продук та83. Получаем следующее уравнение:

82См., например, Малмквист (Malmquist, 1953, стр. 227), Уолд (Wold, 1953, стр. 134–147), Солоу (Solow, 1957), Йоргенсон и Гриличес (1967) и Халтен (Hulten,1973), а также работу Балка (2000a), содержащую последний обзор публикаций, посвящен ных индексам цен и количеств Дивизиа.

81Данный тип аппроксимации второго порядка для случая, 83См. Диверт (1993b, стр.120–121), где содержится материал по когда r* = 1, был впервые изложен в работе Далена (1992;

143), а применительно к общему случаю r* он впервые опуб- функциям затрат на единицу продукта. Этот материал также бу ликован в работе Диверта (1995a, стр. 29). дет представлен в главе 17.

РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА 7. Логарифмическая производная уровня цен Ди n c( p t ) f (q t ) t 0,1,,T.

pit qit визиа P(t) может быть записана как (вспомним приве (A15.4.2) i1 денное выше уравнение (15.67)):

Таким образом, в периоде t общие расходы на n товаров n n в агрегированном виде in= 1 p ti q ti разлагаются на произ- pi (t ) qi (t ) pi (t ) qi (t ) P (t ) ведение двух членов c(p t ) и f(q t ). Затраты в периоде t на i1 i используя (А15.4.6) n u(t )c * (t ) P (t ) единицу продукта c( p t ) можно идентифицировать как pi (t ) qi (t ) уровень цен в периоде t, P t, а уровень полезности в пе- i риоде t, f(q t ), можно идентифицировать как уровень ко- n личеств в периоде t, Q t. pi (t ) u (t )c p1 (t ), p2 (t ),..., pn (t ) 5. Экономический уровень цен в периоде t, Pt c(pt ), i определенный в предыдущем пункте, свяжем теперь с u (t )c * (t ) используя (А15.4.5) уровнем цен Дивизиа в период времени t, P(t), что было в неявном виде определено в дифференциальном урав- n нении (15.67). Как и в пунктах 15.65–15.71, представим, ci p1 (t ), p2 (t ),..., pn (t ) pi (t ) 1 dc * (t ) что цена является непрерывной дифференцируемой i функцией времени pi(t), скажем, для i = 1,…, n. Таким c * (t ) c * (t ) dt образом, функция затрат на единицу продукта может используя(A15.4.4) utilizando (А15.4.5) рассматриваться также и как функция времени t, то есть определим функцию затрат на единицу продукта в виде c * ' (t ) (A15.4.7) функции времени t следующим образом:

c * (t ) c (t ) c p1 (t ), p2 (t ),..., pn (t ). (A15.4.3) Таким образом, в рамках указанного ранее допущения о минимизации затрат в непрерывном времени, уро 6. Допуская, что для функции затрат на единицу вень цен Дивизиа P(t), по существу, равен функции за продукта c(p) существуют частные производные перво трат на единицу продукта, определенных в ценах вре го порядка, рассчитаем логарифмическую производ мени t, c*(t) c[p1(t), p2(t),..., pn(t)].

ную c*(t) следующим образом:

8. Если уровень цен Дивизиа P ( t) задается равным функции затрат на единицу продукта c*(t) c[p1(t), d ln c * (t ) 1 dc * (t ) p2(t),..., pn(t)], то из уравнения (A15.4.2) следует, что c * (t ) dt dt уровень количеств Дивизиа Q(t), который определяет ся в уравнении (15.68) будет равен функции полезнос n ci p1 (t ), p2 (t ),..., p n (t ) pi (t ) ти для потребителя, рассматриваемой как функция времени f*(t) f [q1(t),..., qn(t)]. Таким образом, при, i c p1 (t ), p2 (t ),..., p n (t ) допущении, что потребитель непрерывно минимизи (A15.4.4) рует затраты, связанные с достижением данного уров где ci[p1(t), p2(t),..., pn(t)] c[p1(t), p2(t),..., pn(t)]/p — ня полезности, а функция полезности или предпочте ний является линейной однородной функцией, видно, частная производная функции затрат на единицу по i-й цене p, а p(t) dpi(t)/dt — производная по времени функ- что уровни цен и количеств Дивизиа P(t) и Q(t), в неяв i i ном виде определенные в дифференциальных уравне ции i-й цены pi (t). Пользуясь леммой Шепарда ниях (15.67) и (15.68), фактически равны функции за (Shephard, 1953, стр. 11), представим минимизирующий затраты спрос потребителя на товар i во время t как: трат потребителя на единицу продукта c*(t) и функции полезности f*(t), соответственно84. Это весьма замеча qi (t ) u(t )ci p1 (t ), p2 (t ),..., pn (t ), для i = 1,...,n тельные равенства, поскольку при данных функциях (A15.4.5) времени pi (t) и qi (t), дифференциальные уравнения, ко торые определяют индексы цен и количеств Дивизиа, в где уровень полезности во время t, u(t) = f [q1(t), принципе, могут иметь численное решение, и поэтому q2(t),..., qn(t)]. Аналогом представленных выше уравне- P(t) и Q(t), в принципе, можно наблюдать (с точностью ний (A15.4.2) в непрерывном времени являются общие до некоторых нормирующих констант).

расходы во время t, которые равны общим затратам во 9. Более подробное обсуждение подхода Дивизиа в время t, которые, в свою очередь, равны уровню полез- рамках теории индексов можно найти в работах Фогта ности u(t), умноженному на затраты на единицу про- (1977;

1978) и Балка (2000a). Альтернативный подход к дукта в периоде t, c*(t): индексам Дивизиа, с использованием линейных инте гралов, можно найти в сопутствующем издании «Руко n pi (t ) qi (t ) u(t )c * (t ) u(t )c p1 (t ), p2 (t ),..., pn (t ) водство по индексам цен производителей» (Статисти ческое бюро ЕС и др., 2004), которое в скором времени i (A15.4.6) будет опубликовано.

84Очевидно, что шкала полезности или функции затрат не являются однозначно определенными в дифференциальных уравнениях (15.62) и (15.63).

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ И СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОДЫ К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ Введение ров цен и количеств рассматривались как перемен ные, которые могут изменяться независимо друг от 16.1. Как было показано в главе 15, целесообраз- друга, так что, например, изменения цен в одном пе но иметь возможность оценивать различные предло- риоде не влияют на цены в другом периоде или на ко женные формулы индексов с точки зрения их личества в обоих рассматриваемых периодах. Упор де свойств. Если у формулы оказываются весьма неже- лался на сравнении общей стоимости фиксированной лательные свойства, это вызывает сомнения в ее при- корзины количеств товаров в обоих периодах или на годности в качестве целевого индекса, который мог исчислении средних значений индексов такой фикси бы использоваться статистическим ведомством. Ана- рованной корзины. Это — один из примеров основы лиз математических свойств формул индекса приво- построения индекса.

дит к подходу на основе критериев, или аксиоматичес- 16.4. Однако возможны и иные концептуальные кому подходу к теории индексов. В рамках этого подхо- основы построения индекса. Например, вместо раз да предлагаются желательные свойства формулы ин- ложения соотношения стоимостей на произведение декса, а затем делается попытка определить, согласу- двух множителей, один из которых отражает измене ется ли та или иная формула с этими свойствами или ние цен между двумя периодами, а другой — измене критериями. Идеальным результатом является ситуа- ние количеств, можно попытаться разложить стои ция, когда предлагаемые критерии одновременно мостный агрегат для одного периода на произведение желательны и полностью определяют функциональ- двух чисел, одно из которых представляет собой уро ную форму формулы. вень цен в рассматриваемом периоде, а другое — уро 16.2. Аксиоматический подход к теории индексов вень количеств в этом периоде. В рамках первого ва не является совершенно очевидным, поскольку требу- рианта этого подхода предполагается, что индекс цен ет принятия решений по следующим двум аспектам: является функцией цен n товаров, относящихся к • необходимо определить концептуальную основу данному агрегату в рассматриваемом периоде, тогда как индекс количеств считается функцией количеств построения индекса;

n товаров, относящихся к агрегату в этом периоде.

• после выбора концептуальной основы построения Получившийся в результате индекс цен в работе Фри следует решить, выполнения какого рода критери ша (1930, стр. 397) назван абсолютным индексом, в ра ев или наличия какого рода свойств следует требо боте Айхорна (1978, стр. 141) — уровнем цен, а в рабо вать от данного индекса.

те Андерсона, Джонса и Несмита (Anderson, Jones and Второе положение понятно: у разных специалистов Nesmith 1997, стр. 75) — односторонним индексом цен.

по статистике цен могут быть разные мнения о том, В рамках второго варианта этого подхода допускается, какие критерии важны, и альтернативные наборы ак- что функции цен и количеств могут зависеть как от сиом могут приводить к альтернативным «наилуч- вектора цен, так и от вектора количеств, относящихся шим» функциональным формам индексов. Это сле- к рассматриваемому периоду1. Эти два варианта тео дует иметь в виду при ознакомлении с данной главой, рии односторонних индексов будут рассмотрены в поскольку не существует всеобщего согласия относи- пунктах 16.11–16.292.

тельно того, какой набор «разумных» аксиом являет- 16.5. Остальные подходы, рассматриваемые в ся «наилучшим». Таким образом, аксиоматический главе 16, являются, главным образом, двусторонни подход может привести к нескольким наилучшим ми подходами, то есть цены и количества товаров, формулам индекса.

16.3. Первое положение относительно упомянуто 1Этот подход рассматривался в работах Айхорна (Eichhorn, го выше выбора требует дополнительного рассмотре 1978, стр. 144) и Диверта (1993d, стр. 9).

ния. В предыдущей главе акцент по большей части де- 2В рамках этих подходов к теории односторонних индексов лался на теории двусторонних индексов, то есть пред- допускаются независимые изменения векторов цен и коли полагалось, что цены и количества одних и тех же n то- честв. В рамках еще одной концептуальной основы построе варов заданы для двух периодов и что формула индек- ния индексов допускается свободное изменение цен, однако количества рассматриваются как функции цен. На этом осно са предназначена для сравнения общего уровня цен в ван экономический подход к теории индексов, который кратко одном периоде с общим уровнем цен в другом перио- рассматривается в приложении 15.4 к главе 15, а более по де. При такой постановке вопроса оба набора векто- дробно —в главах 17 и 18.

РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА входящих в агрегат, сравниваются для двух перио- итоговой формуле к каждому периоду следует подхо дов. В пунктах 16.30–16.73 и 16.94–16.129 за основу дить симметричным образом:

взят подход с точки зрения разложения соотноше- «Цель заключается в том, чтобы усреднить измене ния стоимостей3. В пунктах 16.30–16.73 двусторон- ния меновой стоимости данной общей суммы денег ние индексы цен и количеств, P( p 0, p 1, q 0, q 1) и по отношению к нескольким классам товаров, при Q( p 0, p 1, q 0, q 1), рассматриваются как функции век- чем этим изменениям [соотношениям цен] должны присваиваться веса, пропорциональные относитель торов цен, относящихся к двум периодам p0 и p1, и ным размерам классов. Следовательно, нужно учи двух векторов количеств q0 и q1. Аксиомы, или крите тывать относительные размеры классов в обоих пе рии, применяемые к индексу цен P( p 0, p 1, q 0, q 1), не риодах» (Уолш, 1901, стр. 104).

только отражают «разумные» свойства индекса цен, «Товары следует взвешивать в соответствии с их но, более того, некоторые критерии появляются как значимостью или их полной стоимостью. Но пробле «разумные» критерии, предъявляемые к индексу ко ма аксиометрии всегда подразумевает наличие по личеств Q( p 0, p 1, q 0, q 1). Подход, раскрываемый в меньшей мере двух периодов. Существует первый пе пунктах 16.30–16.73, позволяет одновременно опре- риод и второй период, который сравнивается с пер делить «наилучшие» индексы цен и количеств. вым. В промежутке между этими периодами проис 16.6. В пунктах 16.74–16.93 акцент переносится ходят изменения цен5, которые должны быть усред на соотношения цен для n товаров в периоде 1 по срав- нены, чтобы получить величину их общих измене нению с периодом 0: ri p i1/p i0 для i = 1, …, n. В рам- ний. Однако веса товаров во втором периоде могут отличаться от их весов в первом периоде. Какие же ках невзвешенного стохастического подхода к теории веса являются правильными: веса первого или веса индексов индекс цен рассматривается как равновзве второго периода? Или это должно быть некоторое шенное среднее n соотношений цен ri. Первыми этот сочетание этих двух наборов весов? Нет никаких ос подход к теории индексов стали применять Карли нований предпочесть первый или второй набор. В та (1764) и Джевонс (1863;

1865), причем Карли исполь ком случае надлежащим ответом следовало бы счи зовал арифметическое среднее соотношений цен, а тать сочетание обоих. А это сочетание как таковое Джевонс — геометрическое среднее (но также рассмат- подразумевает усреднение весов обоих периодов»

ривал возможность применения гармонического (Уолш, 1921a, стр. 90).

среднего). Этот подход к теории индексов будет затра- 16.8. Таким образом, Уолш был первым, кто до гиваться в пунктах 16.74–16.79. Данный подход согла- статочно подробно исследовал довольно сложные суется со статистическим подходом, при котором проблемы6, связанные с выбором способа взвешива каждое соотношение цен ri рассматривается как слу- ния соотношений цен товаров, входящих в агрегат, с чайная переменная со средним значением, равным учетом экономической значимости товаров в двух истинному индексу цен. рассматриваемых периодах. Следует отметить, что тот 16.7. Важная проблема, связанная с подходом к тип формулы индекса, который рассматривал Уолш, теории индексов на основе невзвешенного среднего имел вид P(r, v 0, v 1), где r — вектор соотношений цен соотношений цен, заключается в том, что этот подход не принимает в расчет экономическую значимость отдельных товаров, входящих в агрегат. Янг (1812) 5Изменение цен — это, согласно терминологии Уолша, соот выступал за некоторую форму приблизительного рас- ношение цен.

чета весов для соотношений цен в соответствии с от- 6Уолш (1901, стр. 104–105) понимал, что было бы неверно про носительной стоимостью этих товаров в рассматрива- сто взять арифметическое среднее значение стоимостей двух периодов [vi0 + vi1]/2 в качестве «правильного» веса для i-го со емом периоде, однако точная форма расчета весов не отношения цен ri, поскольку в период высоких темпов инфля была им указана4. Но именно Уолш (1901, стр. 83– ции это придало бы чрезмерное значение периоду с наиболее 121;

1921a, стр. 81–90) подчеркнул важность взвеши- высокими ценами, а Уолш хотел подходить к каждому перио вания индивидуальных соотношений цен, при кото- ду симметричным образом:

ром веса являются функциями стоимости соответст- «Но такого рода операция явно неправильна. Во-первых, раз вующих товаров в каждом периоде и при котором в меры классов в каждом периоде выражены в деньгах этого пери ода, и если меновая стоимость денег снижается или общий уро вень цен растет, большее влияние на результат будет приписано весам второго периода;

или же, если общий уровень цен снижа ется, то большее влияние на результат будет приписано весам 3Следует напомнить, что объяснение этого подхода содержит первого периода. Или при сопоставлении двух стран большее ся в пунктах 15.7–15.17 главы 15. значение будет придано весам страны с более высоким уровнем цен. Однако очевидно, что один период или одна страна столь же 4В работе Уолша (1901, стр. 84) содержится следующее выска важны в проводимом сопоставлении, как и другой период или другая зывание о вкладе Янга:

страна, и взвешивание при усреднении их весов должно быть дейст «Хотя до сих пор лишь немногие исследователи-практики вительно равным».

действительно используют что-либо, кроме равномерного взве шивания, однако с тех пор как в начале только что завершивше- Однако Уолш не смог прийти к решению проблемы взвешива гося столетия эта необходимость была впервые подчеркнута Ар- ния, найденному Тейлом (1967), которое состоит в том, чтобы туром Янгом, они почти всегда признают теоретическую необ- использовать среднюю долю расходов [si0 + si1]/2 в качестве ходимость учитывать относительную значимость различных «правильного» веса i-го соотношения цен применительно к классов… Артур Янг указывал лишь на то, что классам должен взвешенному геометрическому среднему соотношений цен.

присваиваться вес в соответствии с их значимостью».

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ И СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОДЫ К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ периодами9. Для t = 0, 1,..., T и i = 1,..., n, стои с i-м компонентом ri = pi1/pi0, а v t — вектор стоимостей мость операций с товаром i определяется как vit pit периода t с i-м компонентом vit = pitqit для t = 0,1.

qit, а общая стоимость операций в периоде t как:

Предложенное им решение этой проблемы взвешива ния не было полностью удовлетворительным, однако он, по крайней мере, предложил очень полезную ос- n n Vt vit pit qit (16.1) t 0, 1,..., T нову построения индекса цен — взвешенное на осно i1 i ве стоимостей среднее n соотношений цен. Первое удовлетворительное решение проблемы взвешивания 16.12. Используя приведенные выше обозначе было получено Тейлом (Theil, 1967, стр. 136–137), и ния, уровневый вариант проблемы индексов опреде оно объясняется в пунктах 16.79–16.93.

ляется следующим образом: для t = 0, 1,…, T нужно 16.9. Как видно из приведенного материала, од найти такие скаляры P t и Q t, при которых ним из подходов Уолша к теории индексов7 была по пытка определить «наилучшее» взвешенное среднее Vt P tQ t соотношений цен ri. Это равнозначно использова- t 0, 1,..., T (16.2) нию аксиоматического подхода для того, чтобы ис пытать и определить «наилучший» индекс, имеющий Число P t интерпретируется как совокупный уровень вид P(r, v 0, v1). Этот подход рассматривается в пунк- цен в периоде t, а число Qt — как совокупный уро тах 16.94–16.1298. вень количеств в периоде t. Предполагается, что 16.10. Индексы Янга и Лоу, рассмотренные в гла- совокупный уровень цен P t является функцией век ве 15, не полностью вписываются в рамки двусторон- тора цен pt периода t, а совокупный уровень коли него подхода, поскольку используемые в этих индек- честв Qt периода t — функцией вектора количеств qt сах веса на основе стоимостей или количеств необяза- периода t, следовательно:

тельно соответствуют стоимостям или количествам, которые относятся к одному из периодов, соответст Pt c( p t ) и Q t f (qt ) t 0, 1,..., T y (16.3) вующих векторам цен p0 и p1. Аксиоматические свой ства этих двух индексов с точки зрения их ценовых 16.13 Функции c и f необходимо определить тем переменных анализируются в пунктах 16.130–16.134.

или иным образом. Следует заметить, что, согласно Уровневый подход к теории 9Такая интерпретация цен как стоимостей единиц продукта за индексов отрезок времени следует традиции Уолша (1901, стр. 96;

1921a, стр. 88) и Фишера (1922, стр. 318). По мнению Фишера и Хикса, длительность периода должна быть достаточно ко Аксиоматический подход роткой, чтобы изменениями цен внутри периода можно было к односторонним индексам цен пренебречь, что видно из следующих цитат:

«На протяжении всей этой книги «цена» любого товара или 16.11. Пусть цена и количество n товаров в перио- его «количество» для любого отдельного года полагались задан ным. Но что представляет собой такая цена или количество?

де t обозначаются как pit и qit, соответственно, для Иногда это наблюдение на 1 января или 1 июля, но обычно это i = 1, 2,..., n и t = 0, 1,..., T. Переменная qit интер- среднее нескольких наблюдений, относящихся к разным датам на протяжении года. Возникает вопрос: каков должен быть претируется как общее количество товара i, участво принцип построения этого среднего? Практический ответ гла вавшее в операциях в периоде t. Для того чтобы не вы- сит: любой тип среднего, поскольку обычно изменения в тече ходить за рамки общей стоимости операций, необхо- ние года, по крайней мере в том, что касается цен, слишком ма димо определить pit как стоимость единицы продукта, лы, чтобы сколько-нибудь заметно повлиять на результат, како го бы типа среднее ни использовалось.

В противном случае бы то есть pit должно быть равно стоимости операций с ло бы целесообразно разделять год на кварталы или месяцы до товаром i в периоде t, деленной на общее количество тех пор, пока не был бы найден достаточно короткий период, чтобы рассматривать его практически как точку. Количества товара, участвовавшее в операциях, qit. В принципе, проданного товара будут, конечно, изменяться в широких пре период времени должен выбираться таким образом, делах. Требуется их сумма за год (которая, разумеется, есть то же самое, что и простое арифметическое среднее годовых соотно чтобы изменения цен товаров внутри периода были шений для отдельных месяцев или иных внутригодовых интер очень малы по сравнению с их изменениями между валов времени). Иными словами, можно использовать простое арифметическое среднее как цен, так и количеств. Или, если имеет смысл более точная оценка, можно взять взвешенное арифметическое среднее цен, использовав в качестве весов про данные количества товаров» (Фишер, 1922, стр. 318).

7Как видно из главы 15, Уолш также рассматривал подходы на основе корзины к теории индексов. «Под неделей будет пониматься такой период времени, в те чение которого изменениями цен можно пренебречь. Для теоре 8В пунктах 16.94–16.129 рассматриваются индексы формы тических целей это означает, что цены меняются не непрерыв P(r, v 0, v 1), вместо того чтобы начать с индексов формы P( p0, но, а через короткие интервалы. Календарная длительность не p1, v 0, v 1),. Но если к этому последнему индексу применяется дели, конечно, достаточно произвольна, но если сделать ее критерий инвариантности к изменениям единиц измерения, очень короткой по времени, то рассматриваемую теоретическую это равнозначно исследованию индексов формы P( r, v 0, v 1). В схему можно сколь угодно точно подогнать под непрерывные работе Вартии (1976) также использовался вариант данного изменения, которые характерны для цен на определенных рын подхода к теории индексов. ках» (Хикс, 1946, стр. 122).

РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА уравнению (16.3), вид функции агрегирования цен c и 16.20. Таким образом, данный уровневый подход функции агрегирования количеств f не зависит от вре- к теории индексов на основе критериев неожиданно мени. Это разумное требование, поскольку нет при- заводит в тупик: бесполезно искать функции уровней цен и количеств P t = c(p t ) и Q t = f(q t ), которые удов чин менять метод агрегирования с течением времени.

16.14. Подставляя уравнения (16.3) и (16.2) в летворяли бы уравнениям (16.2) или (16.4) и одновре уравнение (16.1) и опуская индексы t, можно полу- менно отвечали бы весьма разумному условию поло чить следующее функциональное уравнение, которо- жительности (16.5).

му должны удовлетворять c и f для всех строго поло- 16.21. Следует заметить, что уровневая функция индекса цен c( p t ) не зависит от соответствующего жительных векторов цен и количеств:

вектора количеств qt, а уровневая функция индекса n количеств f(q t ) не зависит от вектора цен pt. Возмож c( p ) f (q ) 0 0.

pi qi pi qi но, это и есть причина полученного выше весьма i (16.4) негативного результата. Поэтому в следующем раз 16.15. Естественно предположить, что функции деле допускается, что функции цен и количеств за висят одновременно и от pt, и от qt.

c(p) и f(q) положительны, если положительны все це ны и количества:

Второй аксиоматический подход c( p1,..., p n ) 0 ;

f (q1,..., q n ) 0, к односторонним индексам цен 0 0.

pi qi (16.5) 16.22. В данном разделе ставится цель найти такие функции 2n переменных c(p,q) и f( p,q), чтобы выпол 16.16. Пусть 1n обозначает n-мерный вектор нялся следующий аналог уравнения (16.4):

единиц. Тогда из (16.5) следует, что при p = 1n, c(1n) n является положительным числом, например, a, а c ( p, q ) f ( p, q ) pi qi при q = 1n, f (1n ) также является положительным (16.10) i числом, например, b, то есть из (16.5) следует, что c 0 0.

pi qi и f удовлетворяют следующим условиям:

16.23. Вновь естественно предположить, что (16.6) c(1n ) a f (1n ) b 0;

0 функции c(p,q) и f(p,q) положительны, если поло жительны все цены и количества:

16.17. Пусть p = 1n, тогда нужно подставить пер вое уравнение из (16.6) в уравнение (16.4), чтобы по c(p1, …, pn;

q1, …, qn) 0;

f(p1, …, pn;

q1, …, qn) 0, лучить следующее уравнение:

n qi если все pi 0 и все qi 0 (16.11) f (q) 0.

qi (16.7) a i 16.24. В рамках настоящей концептуальной осно 16.18. Теперь пусть q = 1n, тогда нужно подставить вы не делается различий между функциями c и f, второе уравнение из (16.6) в уравнение (16.4), чтобы поэтому необходимо поставить условие, чтобы эти получить следующее уравнение: функции обладали определенными «разумными»

n pi свойствами. Первое свойство, формулируемое в отно c( p) pi 0. (16.8) шении c, заключается в том, что эта функция должна i1 b быть однородной в первой степени по своим ценовым 16.19. Наконец, нужно подставить уравнения компонентам:

(16.7) и (16.8) в левую часть уравнения (16.4), чтобы c ( p, q ) c ( p, q ) 0. (16.12) получить следующее уравнение:

n n n pi qi Таким образом, если умножить все цены на положи pi qi b a тельное число, полученный в результате индекс цен (16.9) i1 i1 i будет равен произведению на исходный индекс цен.

0 0.

pi qi Аналогичное свойство линейной однородности фор Если n больше единицы, тогда очевидно, что уравне- мулируется в отношении индекса количеств f;

то есть ние (16.9) не может выполняться для всех строго по- f должен быть однородным в первой степени по сво ложительных векторов p и q. Таким образом, если им компонентам количеств:

число товаров n больше единицы, не существует ни каких функций c и f, которые удовлетворяли бы урав- f ( p, q ) f ( p, q ) 0. (16.13) нениям (16.4) и (16.5)10.

16.25. Необходимо отметить, что из свойств (16.10), (16.11) и (16.13) следует, что индекс цен c(p,q) 10Этот результат был получен Айхорном (1978, стр. 144).

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ И СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОДЫ К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ обладает следующим свойством однородности отно- данной главы аксиоматический подход будет приме сительно компонентов q: няться к двусторонним индексам цен, имеющим форму P( p 0, p 1, q 0, q 1).

n pi qi c ( p, q ), f ( p, q ) Первый аксиоматический i n подход к двусторонним pi qi, (16.13) f ( p, q ) индексам цен i n pi qi i 1 f ( p, q ) Двусторонние индексы и некоторые c( p, q ), (16.10) (16.11). первые критерии 16.30. В данном разделе все строится на допуще (16.14) нии о том, что формула двустороннего индекса цен Таким образом, c(p,q) однородна в нулевой степени P( p 0, p 1, q 0, q 1) удовлетворяет достаточно большому по своим компонентам q. числу «разумных» критериев, или свойств, что опре 16.26. Последнее свойство, которое формулиру- деляет функциональную форму P13. Термин «двусто ется в отношении индекса уровней цен c(p,q), таково. ронний»14 связан с допущением о том, что функция P Пусть даны положительные числа di. Тогда необходи- зависит только от данных, которые относятся к двум мо, чтобы индекс цен был инвариантен к изменени- сравниваемым ситуациям или периодам, то есть P ям единиц измерения n товаров, то есть чтобы функ- считается функцией двух наборов векторов цен и ко ция c(p,q) обладала следующим свойством:

личеств p 0, p 1, q 0, q 1, которые должны быть агрегиро ваны в одно число, отражающее общее изменение n c( d 1 p1,..., d n pn ;

q1 d 1,..., qn d n ) c( p1,..., pn ;

q1,..., qn ) соотношений цен p1/p0,…, pn /pn.

1 1 16.31. В данном разделе к теории индексов будет (16.15) применяться подход на основе разложения соотно 16.27. Теперь можно показать, что свойства шений стоимостей, то есть наряду с индексом цен (16.10), (16.11), (16.12), (16.14) и (16.15), которые фор- P(p 0, p 1, q 0, q 1), будет рассматриваться такой парный мулируются в отношении функции уровней цен к нему индекс количеств Q(p 0, p 1, q 0, q 1), что произ c ( p,q), несовместимы, то есть не существует такой ведение этих двух индексов равняется соотношению функции 2n переменных c(p,q), которая обладала бы стоимостей в двух рассматриваемых периодах15. Та этими весьма разумными свойствами11. ким образом, на протяжении всего этого раздела 16.28. Причину этого можно понять, используя предполагается, что P и Q удовлетворяют следующему уравнение (16.15) и установив di = qi для каждого i, критерию произведения:

чтобы получить следующее уравнение:

V 1/V 0 = P(p 0, p1, q 0, q 1) Q(p 0, p1, q 0, q 1) (16.17) c(p1, …, pn;

q1, …, qn) = c(p1q1, …, pnqn;

1, …, 1) Vt, Стоимости периода t, для t = 0,1 определяются (16.16) уравнением (16.1). Коль скоро определена функцио Если c(p,q) обладает свойством линейной однородно нальная форма индекса цен P, можно использовать сти (16.12), так что c(p, q) = c(p, q), тогда из уравне уравнение (16.17) для определения функциональной ния (16.16) следует, что c(p,q) также линейно однород формы индекса количеств Q. Еще одно преимущест на по q, так что c( p, q) = c(p, q). Но это последнее во, вытекающее из допущения о выполнении крите уравнение противоречит уравнению (16.14), откуда и рия произведения, заключается в том, что если в от следует вывод о невозможности.

ношении индекса количеств Q формулируется неко 16.29. Весьма негативные результаты, получен торый разумный критерий, уравнение (16.17) можно ные в пунктах 16.13–16.21, указывают на бесполез использовать для преобразования этого критерия, ность применения аксиоматического подхода с целью определения уровней цен и количеств, когда и вектор цен, и вектор количеств рассматриваются как незави- 13Значительная часть материала данного раздела основана на симые переменные12. Поэтому в следующих разделах разделах 2 и 3 работы Диверта (1992a). Более свежие обзоры ак сиоматического подхода можно найти у Балка (1995) и фон Ау эра (von Auer, 2001).

11Это утверждение было высказано в работе Диверта (1993d, 14Теория многосторонних индексов относится к случаям, ког стр. 9), однако приведенное в ней доказательство является модификацией близкого результата, полученного Айхорном да существует более двух ситуаций, для которых необходимо (1978, стр. 144–145). агрегировать цены и количества.

12Следует напомнить, что в рамках экономического подхода до- 15Более подробные сведения об этом подходе, который перво пускаются независимые изменения вектора цен p, однако счи- начально был выдвинут в работах Фишера (1911, стр. 403;

1922), тается, что соответствующий вектор количеств q определяется p. см. в пунктах 15.7–15.25 главы 15.

РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА предъявляемого к индексу количеств, в соответствую- ключается в том, что в нем допускаются различия двух щий критерий, применяемый к индексу цен P16. векторов количеств21.

16.32. Если n = 1, то есть существует только одна К4: Критерий фиксированной корзины или постоян цена и один показатель количества, подлежащие аг ных количеств22:

регированию, тогда естественным подходящим P яв ляется p1 /p0 — единственное соотношение цен, а ес тественным подходящим Q является q1 /q 0 — единст- n pi1qi венное соотношение количеств. Если число товаров 0 1 i P ( p, p, q, q ) или продуктов, подлежащих агрегированию, больше 1, n тогда остается последовать примеру специалистов pi0 qi.

по теории индексов, на протяжении многих лет фор- i мулировавших различные свойства, или критерии, Иными словами, если количества неизменны в тече которым должен удовлетворять индекс цен P. Эти ние двух периодов, то есть q 0 = q1 q, то индекс цен свойства обычно являются многомерными аналога должен быть равен расходам на постоянную корзину ми адекватной формулы индивидуального индекса n в периоде 1 i =1pi1qi, поделенным на расходы на ту же цен p1 /p0. Ниже приводится примерно 20 критериев, 11 n корзину в периоде 0, i =1 p i0qi.

характеризующих идеальный индекс цен Фишера.

16.33. Предполагается, что каждый компонент 16.36. Если индекс цен P удовлетворяет критерию каждого вектора цен и количеств является положи- К4, а P и Q совместно удовлетворяют критерию про тельным, то есть pt 0n и q t 0n17 для t = 0,1. Если q изведения (16.17), приведенному выше, тогда нетруд = q1, то общий вектор количеств будет обозначаться q;

но показать23, что Q должен удовлетворять критерию тождественности Q(p0, p1, q, q) = 1 для всех строго по если p0 = p1, то общий вектор цен будет обозначаться p.

16.34. Первые два критерия, обозначаемые как К1 ложительных векторов p0, p1, q. Этот критерий посто и К2, не вызывают серьезных споров, поэтому они не янных количеств для Q также несколько неоднозна чен, поскольку допускаются различия между p0 и p1.

будут обсуждаться подробно.

К1: Положительность18: P(p 0, p 1, q 0, q 1) Критерии однородности 16.37. Следующие четыре критерия К5–К8 огра P(p 0, p 1, q 0, q 1) Непрерывность19:

К2: есть непре ничивают поведение индекса цен P при изменении рывная функция своих аргументов.

масштаба любого из четырех векторов p 0, p 1, q 0, q 1.

16.35 Следующие критерии, К3 и К4, являются К5: Пропорциональность ценам текущего периода24:

несколько более спорными.

P(p0, p1, q0, q1) = P(p 0, p 1, q 0, q 1) для 0.

К3: Критерий тождественности или постоянных То есть, если все цены периода 1 умножить на поло цен20:

жительное число, то новый индекс цен будет равен P( p, p, q 0, q1) = Иными словами, если цена каждого товара остается 21Обычно экономисты предполагают, что при заданном век торе цен p соответствующий вектор количеств q однозначно неизменной в течение двух периодов, то индекс цен определен. Здесь используется один и тот же вектор цен, но должен быть равен единице, независимо от векторов допускается, что соответствующие векторы количеств могут количеств. Противоречивость данного критерия за- быть различными.

22Истоки этого критерия уходят по крайней мере на 200 лет назад, когда законодатели Массачусетса приняли решение, согласно которому для индексации жалованья солдат из Мас 16Это наблюдение впервые было сделано Фишером (1911, сачусетса, сражавшихся в американской революционной стр. 400–406), а идея была развита в работах Фогта (1980) и войне, использовалась постоянная корзина товаров;

см. рабо Диверта (1992a). ту Уилларда Фишера (1913). Среди работ, авторы которых на 17 Запись q 0 означает, что каждый компонент вектора q по- протяжении многих лет предлагали этот критерий, можно на n ложителен;

q 0n означает, что каждый компонент q неотри- звать: Лоу (1823, приложение, стр. 95), Скроуп (Scrope, 1833, цателен, а q 0n означает, что q 0n и q 0n. стр. 406), Джевонс (1865), Сиджуик (1883, стр. 67–68), Эджу орт (1925, стр. 215), работа первоначально была опублико 18Этот критерий предложили Айхорн и Феллер (Eichhorn and вана в 1887 году, Маршалл (1887, стр. 363), Пирсон (1895, Voeller, 1976, стр. 23).

стр. 332), Уолш (1901, стр. 540;

1921b, стр. 543–544) и Баули 19Сущность этого критерия была неформально предложена (1901, стр. 227). В работе Фогта и Барты (1997, стр. 49) спра Фишером (1922, стр. 207-215). ведливо отмечено, что этот критерий является частным слу 20Этот критерий предлагали Ласпейрес (1871, стр. 308), Уолш чаем критерия пропорциональности Фишера (1911, стр. 411) для индексов количеств, который сам Фишер (1911, стр. 405) (1901, стр. 308), а также Айхорн и Феллер (1976, стр. 24). Ласпей с помощью критерия произведения (15.3) преобразовал в рес выдвинул этот критерий, или свойство, чтобы показать несо критерий для индекса цен.

стоятельность индекса соотношения стоимостей единицы про дукта Дробиша (1871a), который не удовлетворяет этому крите- 23См. Фогт (1980, стр. 70).

рию. Этот критерий является также частным случаем критерия 24Этот критерий был предложен Уолшем (1901, стр. 385), Айхор пропорциональности цен Фишера (1911, стр. 409–410). ном и Феллером (1976, стр. 24), а также Фогтом (1980, стр. 68).

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ И СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОДЫ К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ произведению на прежний индекс цен. Иными сло- P(p 0, p 1,q 0, q 1) = P(p 0, p 1, q 0, q 1) для всех 0.

вами, функция индекса цен P(p 0, p 1, q 0, q 1) является То есть, если умножить все количества базисного (положительно) однородной в первой степени по периода на число, то индекс цен останется неиз компонентам вектора цен периода 1 p1. Большинство менным. Иными словами, функция индекса цен специалистов по теории индексов считает это весьма P(p 0, p 1, q 0, q 1) является (положительно) однород существенным свойством, которому должна удовлетво- ной в нулевой степени по компонентам вектора ко рять формула индекса. личеств периода 0 q0. Если индекс количеств Q удов 16.38. Уолш (1901) и Фишер (1911, стр. 418;

1922, летворяет следующему аналогу К8: Q(p 0, p 1, q 0, q 1) стр. 420) предложили связанный с этим критерий = -1Q(p 0, p 1, q 0, q 1) для всех 0, тогда, используя пропорциональности: P(p, p, q 0, q 1) =. Этот по- уравнение (16.17), можно показать, что соответству следний критерий является сочетанием К3 и К5;

в са- ющий индекс цен P должен удовлетворять К8. Этот мом деле, Уолш (1901, стр. 385) отмечал, что этот по- аргумент дает некоторое дополнительное основание следний критерий предполагает критерий тождест- предполагать, что К8 применим к функции индекса венности К3. цен P.

16.39. В следующем критерии вместо умножения 16.41. Вместе К7 и К8 подразумевают, что индекс на одно и то же число всех цен периода 1, на умно- цен P не зависит от абсолютных величин векторов ко жаются все цены периода 0. личеств q 0 и q 1.

Обратная пропорциональность ценам К6:

Критерии инвариантности базисного периода25:

и симметричности, p, q, q ) = P(p, p, q, q ) для 0.

P(p 0 1 0 1 -1 0 1 0 16.42. Следующие пять критериев К9–К13 — это То есть, если все цены периода 0 умножить на поло- критерии инвариантности и симметричности. Фишер жительное число, то новый индекс цен будет равен (1922, стр. 62–63, 458–460) и Уолш (1901, стр. 105;

произведению 1/ на прежний индекс цен. Иными 1921b, стр. 542), по-видимому, были первыми иссле словами, функция индекса цен P (p 0, p 1, q 0, q 1) явля- дователями, которые осознали важность такого рода ется (положительно) однородной в минус первой сте- критериев. Фишер (1922, стр. 62–63) говорил о спра пени по компонентам вектора цен периода 0 p0. ведливости, но очевидно, что при этом автор имел в 16.40. Следующие два критерия однородности виду свойства симметричности. Жаль, что автор не можно также рассматривать как критерии инвари- понял того, что помимо предложенных им свойств су антности. ществуют и другие свойства инвариантности и сим метричности;

если бы он понял это, вполне вероятно, Инвариантность к пропорциональным К7:

он смог бы аксиоматически охарактеризовать свой изменениям количеств текущего периода:

идеальный индекс цен так, как это сделано в пунктах P(p 0, p 1, q 0,q 1) = P(p 0, p 1, q 0, q 1) для всех 0. 16.53–16.56. Первый критерий инвариантности со стоит в том, что индекс цен должен оставаться неиз То есть, если все количества текущего периода умно- менным при изменении порядка товаров в списке:

жить на число, то индекс цен останется неизмен Критерий обратимости товаров К9:

ным. Иными словами, функция индекса цен P(p 0, p 1, (или инвариантность к изменениям q 0, q 1) является (положительно) однородной в нуле порядка товаров в списке):


вой степени по компонентам вектора количеств пери ода 1 q1. Этот критерий был впервые предложен Фог- P(p 0*, p 1*, q 0*, q 1*) = P(p 0, p 1, q 0, q 1), том (1980, стр. 70)26, и то, как этот критерий был по где pt* обозначает перестановку компонентов вектора лучен, представляет определенный интерес. Пусть pt, а qt* — ту же перестановку компонентов вектора qt индекс количеств Q удовлетворяет аналогу ценового для t = 0,1. Этот критерий приписывается Фишеру критерия К5 для количеств, то есть пусть Q удовле (1922, стр. 63)28 и является одним из трех его знамени творяет Q(p 0, p 1, q 0, q 1) = Q(p 0, p 1, q 0, q 1) для 0.

тых критериев обратимости. Другие два — это крите Тогда, используя критерий произведения (16.17), рий обратимости во времени и критерий обратимости можно показать, что P должен удовлетворять К7.

факторов, которые рассматриваются ниже.

К8: Инвариантность к пропорциональным 16.43. Следующий критерий требует, чтобы индекс изменениям количеств базисного периода27: был инвариантен к изменениям единиц измерения.

28«Этот[критерий] настолько прост, что он никогда не был 25Этот критерий был предложен Айхорном и Феллером (1976, сформулирован. Он просто воспринимается как данное и со стр. 28).

блюдается инстинктивно. Любое правило усреднения товаров 26Фишер (1911, стр. 405) предложил связанный с этим крите должно быть настолько общим, чтобы его можно было при рий: P(p 0, p 1, q 0, q 0) = P( p 0, p 1, q 0, q 0) = n p1q 0/ n p0q 0. менять ко всем усредняемым членам на равных основаниях».

i=1 i i i=1 i i 27Этот критерий был предложен Дивертом (1992a, стр. 216). (Фишер, 1922, стр. 63) РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА К10: Инвариантность к изменениям единиц неизменным. Это свойство означает, что если в ка измерения (критерий соизмеримости): честве весов для цен в формуле индекса использу ются количества, то количества периода 0, q0, и ко P(1 p1,…,n pn ;

1p1,…, n pn;

1–1q1,…, n qn ;

0 0 1 0 –1 1 личества периода 1, q1, должны входить в формулу симметричным или равноправным образом. Этот 1–1q1,…, n qn ) = P(p1,…, pn ;

p1,…, pn ;

1 –1 1 0 0 критерий был предложен в работе Функе и Феллера (Funke and Voeller, 1978, стр. 3), которые назвали его q1,…, qn ;

q1,…, qn ) для всех 1 0, …, n 0.

0 0 свойством весов.

16.46. Следующий критерий является аналогом Иными словами, индекс цен не меняется при измене- К12, применяемым к индексам количеств.

нии единиц измерения для каждого товара. Концеп К13: Критерий обратимости цен (критерий ция этого критерия приписывается Джевонсу (1863, симметричности весов цен)29:

стр. 23) и нидерландскому экономисту Пирсону (Pierson, 1896, стр. 131), который критиковал не сколько формул индексов, не удовлетворявших этому n p1q фундаментальному критерию. Фишер (1911, стр. 411) ii сначала назвал этот критерий критерием изменения P( p 0, p1, q 0, q1 ) i n единиц;

позже он назвал его (1922, стр. 420) критерием p i0 q i соизмеримости. i 16.44. Следующий критерий требует, чтобы фор (16.18) n мула была инвариантна к выбору базисного периода. p i0 q i P( p1, p 0, q 0, q1 ) i К11: Критерий обратимости во времени:.

n p 1 q i P(p 0, p 1, q 0, q 1) = 1/P(p 1, p 0, q 1, q 0). i i Иными словами, если поменять местами данные пе риодов 0 и 1, то получаемый в результате индекс цен Таким образом, если для определения индекса коли должен быть равен величине, обратной исходному честв Q через индекс цен P используется уравнение индексу цен. Очевидно, что этот критерий будет вы (16.17), тогда можно показать, что К13 эквивалентен полняться в случае одного товара (как и все осталь следующему свойству сопряженного с ним индекса ные критерии, приведенные в данном разделе), ког количеств Q:

да индекс цен представляет собой просто единствен ное соотношение цен. Если число товаров больше Q(p 0, p1, q 0, q 1) = Q(p 1, p0, q 0, q 1). (16.19) одного, то многие широко используемые индексы Иными словами, если поменять местами векторы цен цен не удовлетворяют этому критерию, например, двух периодов, то индекс количеств останется неиз индекс цен Ласпейреса (1871) PL, определяемый менным. Таким образом, если цены одного и того же уравнением (15.5) в главе 15, и индекс цен Пааше товара в двух периодах используются для взвешива (1874) PP, определяемый уравнением (15.6) в главе 15, ния количеств при построении индекса количеств, не отвечают этому фундаментальному критерию.

тогда из свойства К13 следует, что эти цены входят в Концепция критерия приписывается Пирсону индекс количеств симметричным образом.

(1896, стр. 128), который был настолько огорчен тем фактом, что многие широко используемые формулы Критерии среднего значения индексов не удовлетворяют этому критерию, что предложил вообще отказаться от концепции индек 16.47. Следующие три критерия К14–К16 — это сов. В более формальном виде критерий был изло критерии среднего значения.

жен Уолшем (1901, стр. 368;

1921b, стр. 541) и Фише ром (1911, стр. 534;

1922, стр. 64).

К14: Критерий среднего значения для индекса цен30:

16.45. Следующие два критерия являются более min i ( pi1 pi0 : i 1,..., n ) P ( p 0, p 1, q 0, q1 ) спорными, поскольку они необязательно совмести мы с экономическим подходом к теории индексов.

max i ( pi1 pi0 : i 1,..., n ) Вместе с тем эти критерии вполне совместимы со взвешенным стохастическим подходом к теории ин- (16.20) дексов, который обсуждается ниже в данной главе.

Иными словами, индекс цен находится между мини К12: Критерий обратимости количеств (критерий мальным и максимальным соотношениями цен. По симметричности весов на основе количеств):

P(p 0, p 1, q 0, q 1) = P(p 0, p 1, q 1, q 0).

29Этоткритерий был предложен Дивертом (1992a, стр. 218).

Иными словами, если поменять местами векторы 30Впервые этот критерий был предложен, по-видимому, Ай количеств двух периодов, то индекс цен останется хорном и Феллером (1976, стр. 10).

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ И СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОДЫ К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ скольку предполагается, что индекс цен можно ин- личении любого из компонентов двух векторов цен p терпретировать как своего рода среднее n соотноше- и p1 или при увеличении любого из компонентов двух ний цен pi1/p0, представляется существенным, чтобы векторов количеств q 0 и q 1.

i индекс цен P удовлетворял данному критерию. К17: Монотонность в отношении цен 16.48. Следующий критерий является аналогом текущего периода:

К14, применяемым к индексам количеств:

P(p 0, p 1, q 0, q 1) P(p 0, p 2, q 0, q 1), если p 1 p 2.

К15: Критерий среднего значения для индекса количеств31: Иными словами, в случае повышения одной из цен периода 1 индекс цен должен увеличиться, то есть 1 (V V ) min i ( qi1 qi0 : i 1,..., n ) P( p 0, p 1, q 0, q 1) возрастает по компонентам p1. Это P ( p 0, p 1, q 0, q1 ) (16.21) свойство было предложено Айхорном и Феллером 1 (1976, стр. 23) и является весьма разумным свойст max i ( q q : i 1,..., n ), i i вом, которым должен обладать индекс цен.

где V t — стоимость агрегата, определяемая уравнени ем (16.1), в периоде t. Используя критерий произведе- К18: Монотонность в отношении цен ния (16.17), чтобы определить индекс количеств Q че- базисного периода:

рез индекс цен P, можно показать, что К15 эквива P(p, p 1, q 0, q 1) P(p 2, p 1, q 0, q 1), если p 0 p 2.

лентен следующему свойству сопряженного с ним Иными словами, в случае повышения одной из цен индекса количеств Q:

периода 0 индекс цен должен уменьшиться, то есть P(p 0, p 1, q 0, q 1) убывает по компонентам p0. Это весь min i ( qi1 /qi0: i 1,..., n ) Q ( p 0, p1, q 0, q1 ) ма разумное свойство было также предложено Айхор max i ( qi1 /qi0: i 1,..., n ). (16.22) ном и Феллером (1976, стр. 23).

Иными словами, значение индекса количеств Q, К19: Монотонность в отношении количеств определяемого косвенным образом с помощью P, текущего периода: если q1 q2, тогда находится между минимальным и максимальным соотношениями индивидуальных количеств q1/q0. n ii pi1qi 16.49. В пунктах 15.18–15.32 главы 15 утвержда лось, что было бы весьма разумно принять среднее P ( p 0, p 1, q 0, q1 ) i n индексов цен Ласпейреса и Пааше в качестве един pi0 qi ственного «наилучшего» показателя общего измене i ния цен. Из этой точки зрения можно вывести сле- (16.23) дующий критерий. n pi1qi К16: Критерий граничных значений индексов P( p 0, p1, q 0, q 2 ) i Пааше и Ласпейреса32: n pi0 qi Индекс цен P находится между индексами Ласпей i реса и Пааше PL и PP, которые определяются уравне ниями (15.5) и (15.6) в главе 15.

К20: Монотонность в отношении количеств Можно было бы предложить критерий, согласно ко базисного периода: если q0 q2, тогда торому индекс количеств Q, полученный косвенным образом с помощью P посредством уравнения (16.17), n pi1qi должен находиться между индексами количеств P ( p 0, p 1, q 0, q1 ) i Ласпейреса и Пааше QP и QL, которые определяются n уравнениями (15.10) и (15.11) в главе 15. Однако полу- pq ii чающийся в результате критерий оказывается эквива- i лентным критерию К16.

(16.24) n pi1qi Критерии монотонности P( p 0, p1, q 2, q1 ) i n 16.50. Последние четыре критерия К17–К20 — pi0 qi это критерии монотонности, показывающие, как i должен меняться индекс цен P(p 0, p 1, q 0, q 1) при уве 16.51. Пусть Q — индекс количеств, полученный косвенным образом с помощью P посредством урав 31Этот критерий был предложен Дивертом (1992a, стр. 219).

нения (16.17). Тогда известно, что К19 можно преоб 32Это свойство для индекса цен было одобрено Баули (1901, разовать в следующее неравенство, включающее Q:


стр. 227) и Фишером (1922, стр. 403).

РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА Q(p 0, p 1, q 0, q 1) Q(p 0, p 1, q 0, q 2), если q1 q2. (16.25) что левая часть данного уравнения — это индекс Фи шера PF ( p 0, p 1, q 0, q 1), который определяется уравне Иными словами, в случае увеличения одного из коли нием (16.27), а правая сторона — это P( p 0, p 1, q 0, q 1).

честв периода 1 полученный косвенным образом ин Таким образом, если P удовлетворяет К1, К11, К декс количеств Q, соответствующий индексу цен P, и К13, он должен быть равен идеальному индексу должен возрасти. Аналогичным образом, мы видим, Фишера PF.

что К20 преобразуется в:

16.55. Индекс количеств, связанный с индексом Q(p0, p1, q 0, q1) Q(p0, p1, q 2, q1), если q 0 q 2. (16.26) цен Фишера посредством критерия произведения (16.17), — это индекс количеств Фишера QF, опреде Иными словами, в случае увеличения одного из коли ляемый уравнением (15.14) в главе 15.

честв периода 0 полученный косвенным образом ин 16.56. Как оказывается, PF удовлетворяет еще од декс количеств Q должен уменьшиться. Авторство кри ному критерию К21, который был третьим критерием териев К19 и К20 приписывается Фогту (1980, стр. 70).

(два других — это К9 и К11) обратимости Фишера 16.52. На этом перечень критериев заканчивается.

(1921, стр. 534;

1922, стр. 72–81).

В следующем разделе предлагается ответ на вопрос о том, существует ли какая-либо формула индекса P( p 0, p 1, q 0, q 1), которая могла бы удовлетворить К21: Критерий обратимости факторов (критерий симметричности функциональной формы):

всем 20 критериям?

n pi1qi Идеальный индекс Фишера.

P ( p 0, p 1, q 0, q1 ) P ( q 0, q1, p 0, p 1 ) и подход на основе критериев i (16.29) n pq 16.53. Можно показать, что единственная формула ii i индекса P( p 0, p 1, q 0, q 1), которая удовлетворяет кри териям К1–К20, — это идеальный индекс цен Фише- Этот критерий обосновывается следующим образом:

ра PF, который определяется как геометрическое если P( p 0, p 1, q 0, q 1) — это подходящая функцио среднее индексов Ласпейреса и Пааше33. нальная форма для индекса цен, тогда, если поменять ролями цены и количества, P(q 0, q 1, p 0, p 1) должен PF ( p0, p1, q 0, q1) {PL( p0, p1, q 0, q1)PP (p 0, p1, q 0, q1)}1/2 быть подходящей функциональной формой для ин (16.27) декса количеств (что представляется правильным утверждением) и, таким образом, произведение ин 16.54. Можно сравнительно легко показать, что декса цен P( p 0, p 1, q 0, q 1) и индекса количеств Q( p 0, индекс Фишера удовлетворяет всем 20 критериям. Бо p 1, q 0, q 1) = P(q 0, q 1, p 0, p 1) должно быть равно соот лее сложной частью доказательства является демонст ношению стоимостей V1/V 0. Вторая часть данного рация того обстоятельства, что индекс Фишера являет утверждения кажется неверной, и потому на протяже ся единственной формулой индекса, удовлетворяющей нии длительного времени многие исследователи воз перечисленным критериям. Эта часть доказательства ражали против критерия обратимости факторов. Тем следует из того, что, если P удовлетворяет критерию не менее, если принять К21 в качестве базового положительности К1 и трем критериям обратимости критерия, то, как показали Функе и Феллер (1978, К11–К13, то P должен быть равен PF. Чтобы убедиться стр. 180), единственной функцией индекса P( p 0, p 1, в этом, следует переставить члены уравнения в форму q 0, q 1), удовлетворяющей К1 (положительность), К лировке К13, получив следующее уравнение:

(критерий обратимости во времени), К12 (критерий n n обратимости количеств) и К21 (критерий обратимос pi1 qi1 pi0 qi ти факторов), является идеальный индекс Фишера PF, P( p 0, p 1, q 0, q1 ) i1 i который определяется уравнением (16.27). Таким об n n P( p 1, p 0, q 0, q1 ) pi0 qi1 pi1 qi0 разом, критерий обратимости цен К13 можно заме i1 i нить критерием обратимости факторов, для того что P( p 0, p 1, q 0, q1 ) бы получить минимальный набор из четырех крите P( p 1, p 0, q1, q 0 ) риев, которые приводят к индексу цен Фишера34.

Соответствие критериям других используя критерий обратимости количеств К = P(p 0, p1, q 0, q 1)P(p 0, p1, q 0, q 1), индексов используя критерий обратимости во времени К11.

16.57. Индекс цен Фишера PF удовлетворяет (16.28) всем 20 перечисленным выше критериям К1–К20.

Теперь нужно взять положительные квадратные кор ни обеих сторон уравнения (16.28). Можно заметить, 34Другие описания индекса цен Фишера можно найти в рабо 33См. тах Функе и Феллера (1978) и Балка (1985;

1995).

Диверт (1992a, стр. 221).

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ И СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОДЫ К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ Критерий аддитивности Каким критериям удовлетворяют другие широко ис пользуемые индексы цен? Следует вспомнить ин 16.62. Существует еще один критерий, который декс Ласпейреса PL, определяемый уравнением считают важным многие специалисты по статистике (15.5), индекс Пааше PP, определяемый уравнением национального дохода: критерий аддитивности. Это (15.6), индекс Уолша PW, определяемый уравнением критерий, или свойство, которым должен обладать (15.19), и индекс Торнквиста PT, определяемый урав полученный косвенным образом индекс количеств нением (15.81) в главе 15.

Q( p 0, p 1, q 0, q 1), который соответствует индексу 16.58. Простые вычисления показывают, что ин цен P( p 0, p 1, q 0, q 1) исходя из критерия произведе дексы цен Ласпейреса и Пааше, PL и PP, не удовле ния (16.17). Согласно этому критерию, полученный творяют всего трем критериям обратимости: К11, косвенным образом индекс количеств должен иметь К12 и К13. Поскольку критерии обратимости коли следующий вид:

честв и цен К12 и К13 являются несколько противо- n речивыми, а потому их можно не принимать во вни- pi* qi мание, соответствие PL и PP критериям, на первый Q( p 0, p1, q 0, q1 ) i1, взгляд, кажется вполне удовлетворительным. Однако n (16.30) * pq несоответствие критерию обратимости во времени m m m К11 является серьезным ограничением, связанным с использованием этих двух индексов.

16.59. Индекс цен Уолша PW не удовлетворяет че- где общая для всех периодов цена i–го товара pi* для тырем критериям: К13 — критерию обратимости цен, i = 1,…, n может быть функцией всех 4n цен и коли К16 — критерию граничных значений Пааше и Лас- честв, относящихся к двум рассматриваемым перио дам или ситуациям: p 0, p 1, q 0, q 1. В литературе, посвя пейреса, К19 — критерию монотонности по количе ствам текущего периода и К20 — критерию монотон- щенной многосторонним сопоставлениям (то есть со ности по количествам базисного периода. поставлениям более чем двух ситуаций), достаточно 16.60. Наконец, индекс цен Торнквиста PT не часто предполагается, что сопоставление количеств удовлетворяет девяти критериям: К4 (критерию фик- между любыми двумя регионами может производить сированной корзины), критериям обратимости ко- ся с использованием двух региональных векторов ко личеств q 0 и q1 и общего базисного вектора цен p* личеств и цен К12 и К13, К15 (критерию среднего значения для количеств), К16 (критерию граничных * * (p1,..., pn )37.

значений Пааше и Ласпейреса) и четырем критериям 16.63. Очевидно, если наложить дополнитель монотонности К17–К20. Таким образом, индекс ные ограничения на то, от каких именно перемен Торнквиста имеет достаточно высокий показатель ных зависит каждая базисная цена pi*, можно полу несоответствия с точки зрения аксиоматического чить различные варианты критерия аддитивности.

подхода к теории индексов35. Самое простое из таких ограничений заключается в 16.61. Предварительный вывод, который можно том, чтобы предположить, что каждая pi* зависит сделать из полученных выше результатов, заключает- только от цен товара i, относящихся к двум рассмат риваемым ситуациям, p0 и p1. Если дополнительно ся в том, что с точки зрения данного конкретного i i двустороннего подхода к теории индексов на основе предположить, что функциональная форма функ критериев идеальный индекс цен Фишера PF оказы- ции взвешивания одинакова для всех товаров, то есть p* = m( p0, p1) для i = 1,…,n, то получится одно вается «наилучшим», поскольку он удовлетворяет i i i всем 20 критериям. Если все критерии считать оди- значный индекс количеств, постулированный в рабо наково важными, за ним следуют индексы Пааше и те Ниббса (Knibbs, 1924, стр. 44).

Ласпейреса. Оба эти индекса, однако, не удовлетво ряют очень важному критерию обратимости во вре мени. Оставшиеся два индекса — индексы цен Уолша 36Данное утверждение требует оговорки: существует множест и Торнквиста — удовлетворяют критерию обратимо- во других критериев, которые здесь не обсуждались, и у спе сти во времени, но индекс Уолша представляется циалистов по статистике цен могут быть различные мнения о «предпочтительным», поскольку он удовлетворяет 16 важности соответствия разным наборам критериев. Другие критерии рассматриваются, в частности, в работах Ауэра из 20 критериев, тогда как индекс Торнквиста удовле (2001;

2002), Айхорна и Феллера (1976), Балка (1995), а также творяет только 11 критериям36. Фогта и Барты (1997). В пунктах 16.101–16.135 показано, что индекс Торнквиста идеален, когда он рассматривается при ином наборе аксиом.

35Вместе с тем в главе 19 показано, что при использовании «нор- 37Хилл (1993, стр. 395–397) такие многосторонние методы обозначает термином блоковый подход, тогда как Диверт мальных» временных рядов данных, которые характеризуются (1996a, стр. 250–251) использует термин подходы на основе достаточно плавными долговременными трендами, индекс средних цен. В работе Диверта (1999b, стр. 19) используется по Торнквиста довольно близко аппроксимирует индекс Фишера.

нятие аддитивной многосторонней системы. По поводу аксио Поэтому при таких обстоятельствах можно считать, что индекс Торнквиста отвечает 20 критериям с достаточно высокой степе- матических подходов к теории многосторонних индексов нью приближения. см. работы Балка (1996a;

2001) и Диверта (1999b).

РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА 16.64. Теория однозначного индекса количеств (или образом индекса цен PIK, определяемого посредством чистого индекса количеств)38 имеет параллели с тео- критерия произведения (16.17). Можно показать, что рией чистого индекса цен, кратко изложенной в если QK удовлетворяет уравнению (16.33), то соответ пунктах 15.24–15.32 главы 15. В данном разделе при- ствующий полученный косвенным образом индекс водится краткое описание этой теории. Пусть чистый цен PIK будет удовлетворять приведенному выше кри индекс количеств QK имеет следующую функцио- терию К5 — критерию пропорциональности ценам нальную форму: текущего периода. Два критерия, (16.32) и (16.33), определяют точную функциональную форму чистого индекса количеств QK, который определяется уравне n qi1m( pi0, pi1 ) нием (16.31): чистый индекс количеств, или однознач ный индекс количеств Ниббса, QK, должен быть ин 0 1 0 1 i1. (16.31) QK ( p, p, q, q ) n дексом количеств Уолша Qw40, который определяется 0 0 q m( p, p ) k k k следующим образом:

k n qi1 pi0 pi Предполагается, что векторы цен p0 и p1 строго по ложительны, а векторы количеств q0 и q1 неотрица- 0 1 0 1 i1. (16.34) QW ( p, p, q, q ) n тельны, но имеют по крайней мере один положи- 0 0 q pp тельный компонент39. Задача состоит в том, чтобы, k k k k если это возможно, определить функциональную форму для функции усреднения m. Чтобы проделать 16.67. Таким образом, с добавлением двух кри это, необходимо обозначить некоторые критерии териев чистым индексом цен PK должен быть индекс или свойства, которым должен удовлетворять чис- цен Уолша PW, определяемый уравнением (15.19) из тый индекс количеств QK. Как и в случае с чистым главы 15, а с добавлением тех же самых двух крите индексом цен, было бы весьма разумно потребо- риев (но применительно к индексам количеств, а не вать, чтобы индекс количеств удовлетворял крите- цен) чистым индексом количеств QK должен быть рию обратимости во времени: индекс количеств Уолша QW, определяемый уравне нием (16.34). Следует отметить, однако, что произ ведение индекса цен и индекса количеств Уолша не 1 (16.32) Q K ( p 1, p 0, q1, q 0 ). равно соотношению расходов V 1/V 0. Таким образом, Q K ( p, p 1, q 0, q1 ) сторонники концепций чистых, или однозначных, индексов цен и количеств должны выбрать один из 16.65. Как и в случае с теорией однозначного ин этих двух индексов, поскольку оба они не могут декса цен, можно заметить, что если однозначный применяться одновременно41.

индекс количеств QK должен удовлетворять критерию 16.68. Если индекс количеств Q(p 0, p 1, q 0, q 1) обратимости во времени (16.32), тогда функция сред удовлетворяет критерию аддитивности (16.30) для не него значения в уравнении (16.31) должна быть сим которых весов цен pi*, то процентное изменение агре метрической. Кроме того, требуется, чтобы QK удовле гата количеств Q(p 0, p 1, q 0, q 1) – 1 можно переписать творял следующему критерию инвариантности к про следующим образом:

порциональным изменениям цен текущего периода. n pi* qi QK (p 0, p1, q 0, q 1) = QK (p 0, p1, q 0, q 1) 0 1 0 1 i Q( p, p, q, q ) 1 n * pq для всех p 0, p1, q 0, q 1 и всех 0. (16.33) m m m 16.66. Идея, лежащая в основе критерия инвари антности, такова: индекс количеств QK (p 0, p 1, q 0, q 1) n n (16.35) pi* qi1 * pm qm должен зависеть только от относительных цен каждо- n 1 i1 m wi (q q ), го периода и не должен зависеть от величины инфля- i i n ции между двумя периодами. Другой подход к интер- * 0 i pq m m претации критерия (16.33) заключается в том, чтобы m выяснить, что подразумевает этот критерий относи тельно соответствующего полученного косвенным где вес i-го товара wi определяется как 38Этот термин использовался в работе Диверта (2001).

39Предполагается, что m(a,b) обладает двумя следующими 40Этоиндекс количеств, который соответствует индексу цен 8, свойствами: m(a,b) есть положительная и непрерывная функ определенному Уолшем (1921a, стр. 101).

ция, определенная для всех положительных чисел a и b, и 41Ниббс (1924) не заметил этого обстоятельства.

m(a,a) = a для всех a 0.

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ И СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОДЫ К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ где QF — значение индекса количеств Фишера pi* QF (p 0, p 1, q 0, q 1), а нормализованная цена периода t wi ;

i 1,..., n, (16.36) n на товар i, wit определяется как цена периода t, pit, * p m qm деленная на расходы на агрегат в периоде t:

m Следует отметить, что изменение количества товара i pit между ситуациями 0 и 1 составляет qi1 – qi0. Таким об- wit,n. (16.39) ;

t 0,1 ;

i 1, n разом, i-й элемент на правой стороне уравнения t t pqm m (16.35) представляет собой вклад количественного из- m менения товара i в общее процентное изменение агре 16.71. Используя веса wFi, определяемые уравне гата в периоде 1 по сравнению с периодом 0. Аналити ниями (16.38) и (16.39), можно получить следующее ки, представляющие коммерческие структуры, неред точное разложение идеального индекса количеств ко хотят, чтобы статистические ведомства представ Фишера:

ляли разложения, такие как в уравнении (16.35), с тем чтобы иметь возможность разложить общее измене n ние агрегата на составляющие по секторам42. Таким Q F ( p 0, p 1, q 0, q1 ) 1 wFi ( qi1 qi0 ) (16.40) образом, со стороны части пользователей существует i спрос на аддитивные индексы количеств.

16.69. Для индекса количеств Уолша, определяе- Таким образом, для индекса количеств Фишера мого уравнением (16.34), i-й вес равен существует аддитивное разложение процентного изменения45.

pi0 pi1 16.72. Ввиду симметричности индексов цен и ко wWi ;

i 1,..., n. (16.37) личеств Фишера можно показать, что для индекса цен n 0 0 q pp Фишера PF, определяемого уравнением (16.27), также m m m существует следующее аддитивное разложение про m центного изменения:

Таким образом, индекс количеств Уолша QW может быть разложен на изменения компонентов в процент- n PF ( p 0, p1, q 0, q1 ) 1 v Fi ( pi1 pi0 ), ном выражении в виде уравнения (16.35), где веса оп- (16.41) i ределяются уравнением (16.37).

16.70. Оказывается, индекс количеств Фишера где вес товара i vFi определяется как QF, определяемый уравнением (15.14) в главе 15, так же имеет аддитивное разложение процентного изме v i0 ( PF ) 2 v i нения, вид которого задан уравнением (16.35)43. Для ;

i 1,..., n, v Fi (16.42) данного разложения по Фишеру i-й вес wFi описыва- 1 PF ется достаточно сложной формулой и зависит от индекса количеств Фишера QF (p 0, p 1, q 0, q 1) следу где PF — значение индекса цен Фишера PF (p 0, p 1, q 0, ющим образом44:

q 1), а нормализованное количество i-го товара перио да t, vit, определяется как количество qit в периоде t, де wi0 (Q F ) 2 wi ;

i 1,..., n, (16.38) w Fi ленное на расходы на агрегат в периоде t:

1 QF qit vit ;

t 0,1 ;

i 1,,n.

n (16.43) t t pq m m 42Аналитики из коммерческих и государственных структур m также часто заинтересованы в подобном разложении измене ния ценового агрегата на аддитивные компоненты по отдель ным секторам.

16.73. Приведенные выше результаты показыва 43Для индекса количеств Фишера также существует аддитив ют, что для индексов цен и количеств Фишера суще ное разложение данного типа, которое определяется уравне нием (16.30), приписываемым Ван Айзерену (Van Ijzeren, ствуют точные аддитивные разложения на составляю 1987, стр. 6). i-я базисная цена pi* определяется как p* щие, которые отражают воздействие изменений цен i [(1/2) p0 + (1/2)pi1]/PF ( p 0, p 1, q 0, q 1) для i = 1,…,n, где PF — ин i (или количеств) каждого товара на общее изменение декс цен Фишера. Данное разложение было независимо полу индекса цен (или количеств).

чено в работе Диханова (Dikhanov, 1997). Разложение индекса количеств Фишера по Ван Айзерену используется в настоя щее время Бюро экономического анализа США;

см. Моултон и Сескин (Moulton and Seskin,1999, стр. 16) и Эхеманн, Катц и Моултон (Ehemann, Katz and Moulton, 2002).

45Чтобы проверить точность этого разложения, нужно под 44Это разложение было получено Дивертом (2002a), а также ставить уравнение (16.38) в уравнение (16.40) и решить полу Райнсдорфом, Дивертом и Эхеманном (Reinsdorf, Diewert and ченное уравнение для QF. Это решение будет равно QF, кото Ehemann, 2002). Относительно экономической интерпрета рый определяется уравнением (15.14) в главе 15.

ции этого разложения см. Диверт (2002a).

РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА Стохастический подход сией 2. Оценка, полученная методом наименьших к индексам цен квадратов или методом максимального правдоподо бия, представляет собой логарифм геометрического среднего соотношений цен. Поэтому соответствую Первый невзвешенный щая оценка общих темпов инфляции 49 представля стохастический подход ет собой индекс цен Джевонса (1865) PJ, определяе мый следующим образом:

16.74. Стохастический подход к определению ин декса цен восходит к работам Джевонса (1863;

1865) и pi1 (16.47) n PJ ( p 0, p1 ) Эджуорта (1888)46, которые появились более ста лет n pi назад. Идея, лежащая в основе (невзвешенного) сто- i хастического подхода, заключается в том, что каждое 16.76. Индекс цен Джевонса PJ действительно соотношение цен pi1/p0 для i = 1, 2,…, n может рас- удовлетворяет критерию обратимости во времени, а i сматриваться как оценка общих темпов инфляции в потому он гораздо предпочтительнее индекса Карли периоде 1 по сравнению с периодом 047. PC. Вместе с тем как индекс цен Джевонса, так и ин Предполагается, что: декс цен Карли имеют один глобальный недостаток:

все соотношения цен pi1/pi0 наделяются одинаковой pi1 значимостью и получают одинаковый вес в формулах ;



Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 42 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.