авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 42 |

«Руководство по индексам потребительских цен Т е о р и я и п р а к т и к а Международное бюро труда ...»

-- [ Страница 26 ] --

i 1, 2,..., n, (16.44) i pi0 этих индексов (16.45) и (16.47). Джон Мейнард Кейнс был особенно активным критиком невзвешенного где — общие темпы инфляции, а i — случайные ве- стохастического подхода к теории индексов50. Он вы личины со средним значением 0 и дисперсией 2. ступил со следующим критическим замечанием в от Оценка, полученная методом наименьших квадра- ношении этого подхода, который ревностно защищал тов или методом максимального правдоподобия, Эджуорт (1923):

представляет собой индекс цен Карли (1764) PC, оп «Тем не менее я осмеливаюсь утверждать, что такие ределяемый как идеи, которые я постарался изложить выше настоль ко беспристрастно и правдоподобно, насколько 1 pi1.

n PC ( p 0, p1 ) (16.45) только мог, в корне ошибочны. «Ошибки наблюде 1 n pi ния», «неточные выстрелы в десятку» и им подобные i концепции теории индексов цен, «объективного среднего отклонения общего уровня цен» Эджуорта Недостаток индекса цен Карли заключается в том, есть результат заблуждения. Нет никакой десятки.

что он не удовлетворяет критерию обратимости во Нет никакого подвижного, но единственного центра, времени, то есть PC ( p 1, p 0 ) 1/ PC ( p 0, p 1 ) 48.

16.75. Теперь можно изменить стохастическую спецификацию и предположить, что логарифм каж дого соотношения цен ln( pi1/pi0) является не содержа- работе Гринлиса (1999) указано, что хотя (1/n) 1 =1 ln( pi1/pi0) n 49В щей систематической ошибки оценкой логарифма есть не содержащая систематической ошибки формула оценки, соответствующая экспонента этой оценки PJ, определяемая темпов инфляции в периоде 1 по сравнению с перио дом 0, которую можно обозначить, например,. Ана- уравнением (16.47), в общем случае не будет являться содержа щей систематической ошибки оценкой при принятых выше ве логом (16.44) является следующее уравнение: роятностных допущениях. Чтобы убедиться в этом, нужно вве сти переменную x i = ln pi1/pi0. При взятии математических ожи даний получается, что Exi = = ln. Далее нужно определить по pi ;

i 1, 2,..., n, ln( ) ложительную выпуклую функцию f одной переменной x как (16.46) i pi0 (x) e x. В соответствии с неравенством Дженсена (Jensen, 1906), E(x) (Ex). Пусть x равно случайной величине xi, тогда данное неравенство принимает следующий вид: E( pi1/pi0) = где ln, а i — независимо распределенные слу- E(x i) (Exi) = () = e = eln =. Таким образом, для каждого чайные величины со средним значением 0 и диспер- n, E( pi1/pi0), и можно заметить, что индекс цен Джевонса, как правило, при обычных вероятностных допущениях будет иметь систематическое завышение.

46Ссылки на эту литературу можно найти у Диверта (1993a, 50В работе Уолша (1901, стр. 83) также подчеркивалась важность стр. 37–38;

1995a;

1995b). адекватного взвешивания, основанного на экономической зна 47«При выведении средних значений независимые колебания чимости товаров в сравниваемых периодах: «Но присвоение не будут в той или иной степени взаимно погашаться;

незатрону- равных весов, аппроксимирующих относительные объемы то тым останется лишь колебание золота» (Джевонс, 1863, стр. 26). варов за многие годы или за каждый отдельный период, не по 48По существу, Фишер (1922, стр. 66) заметил, что P ( p 0, p 1) требовало бы серьезных дополнительных усилий, и даже при C PC ( p 1, p 0 ) 1, если только вектор цен периода 1 p 1 не пропор- близительная процедура такого рода могла бы дать гораздо бо ционален вектору цен периода 0 p0, то есть Фишер показал, что лее точные результаты, чем процедура с равными весами. Осо индекс Карли определенно имеет систематическое завышение. бенно абсурдно отказываться от использования весьма прибли Он призвал статистические ведомства не использовать эту фор- женно определенных неравных весов на том основании, что та мулу. Уолш (1901, стр. 331, 530) также пришел к этому результа- кая процедура неточна, и вместо этого использовать равные ве ту в случае n = 2. са, которые являются гораздо более неточными».

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ И СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОДЫ К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ том, что изменения цен должны взвешиваться в соот который можно было бы назвать общим уровнем цен или объективным средним отклонением общего ветствии с их экономической значимостью, то есть с уровня цен и вокруг которого разбросаны подвиж- учетом количеств или расходов.

ные уровни цен отдельных благ. Все это разнообраз- 16.77. Помимо приведенной выше теоретической ные, вполне определенные концепции уровней цен критики, Кейнс обрушился также на невзвешенный составных товаров, пригодные для разных целей и стохастический подход Эджуорта с эмпирической исследований, которые были перечислены выше, а стороны:

также для многих других. Ничего более. Джевонс «Те, кто, в отличие от самого Эджуорта, не так хоро гнался за миражом.

шо разбирался в тонкостях вопроса, обычно отож В чем изъян этого аргумента? Во-первых, предпо дествляли с покупательной способностью денег «объ лагается, что колебания индивидуальных цен вокруг ективное среднее отклонение общего уровня цен»

«среднего» «случайны» в том смысле, который вкла Джевонса–Эджуорта, или «неопределенный» стан дывается в это понятие теорией комбинации незави дарт, — хотя бы по той превосходной причине, что это симых наблюдений. Согласно этой теории, предпо трудно было представить себе, как что-либо другое. А лагается, что отклонение одного «наблюдения» от поскольку любой адекватный индекс, какой бы ни истинного положения не оказывает никакого влия была система его весов, который охватывал достаточ ния на отклонения других «наблюдений». Но в слу но большое число товаров, мог, в соответствии с этим чае с ценами изменение цены одного товара неиз аргументом, рассматриваться как довольно точная ап бежно влияет на изменение цен других товаров, и в проксимация неопределенного стандарта, то казалось то же время величина этих компенсирующих изме естественным рассматривать любой такой индекс и нений зависит от величины изменения расходов на как довольно точную аппроксимацию покупательной первый товар по сравнению со значимостью расхо способности денег.

дов на товары, цены на которые испытывают вторич ное воздействие изменения цен первого товара. Та- Наконец, вывод о том, что все стандарты «в конце ким образом, вместо «независимости» между «ошиб- концов приходят примерно к одному и тому же», был ками» в последовательных наблюдениях существует «индуктивно» усилен тем фактом, что конкурирую то, что некоторые исследователи теории вероятнос- щие индексы (все, однако, принадлежащие к опто тей называют «связанностью», или, как это выразил вому типу) демонстрировали значительную согласо Лексис, существует «субнормальное рассеяние». ванность друг с другом, несмотря на различия в их составе… В противоположность этому таблицы, при Поэтому нельзя двигаться вперед, не сформулировав веденные выше (стр. 53, 55), дают основанное на надлежащий закон связанности. Но закон связанности веских предположениях доказательство того, что как не может быть сформулирован без упоминания отно в рамках длительного, так и в рамках короткого пе сительной значимости затронутых колебаниями цен риода колебания оптовых и потребительских стан товаров, что вновь возвращает нас к проблеме, кото дартов, соответственно, могут расходиться очень рую мы пытались обойти, — к взвешиванию компо сильно» (Кейнс, 1930, стр. 80–81).

нентов составного товара» (Кейнс, 1930, стр. 76–77).

В приведенной выше цитате Кейнс отметил, что сто Основной тезис, который, по-видимому, отстаивал ронников невзвешенного стохастического подхода к Кейнс в приведенной выше цитате, заключается в количественному определению изменений цен обна том, что цены в экономике распределяются не неза деживал тот факт, что все существовавшие тогда (не висимо друг от друга и от количеств товаров. Пользу взвешенные) индексы оптовых цен демонстрировали ясь современной макроэкономической терминоло более или менее сходную динамику. Однако Кейнс гией, слова Кейнса можно интерпретировать следую щим образом: макроэкономический шок распреде- эмпирически показал, что динамика его индексов оп ляется по всем товарам и количествам в экономике товых цен существенно отличалась от динамики его через обычное взаимодействие спроса и предложе- индексов потребительских цен.

ния, то есть посредством механизмов системы обще- 16.78 Для того чтобы устранить недостатки не го равновесия. Таким образом, Кейнс, по-видимому, взвешенного стохастического подхода к индексам, тяготел к экономическому подходу к теории индек- подвергнутые критике выше, необходимо:

сов (даже до того, как он был сколько-нибудь по- • иметь четкую область определения индекса;

дробно разработан), согласно которому динамика • взвешивать соотношения цен в соответствии с их количеств функционально связана с динамикой цен.

экономической значимостью52.

Второй тезис, выдвинутый Кейнсом в приведенной выше цитате, состоит в том, что не существует ника- Альтернативные методы взвешивания обсуждаются в ких истинных темпов инфляции, есть только измене- следующих разделах.

ния цен, которые распространяются на строго опре деленные множества товаров или операций, то есть область определения индекса цен должна быть четко обозначена51. Последний тезис Кейнса заключается в 52Уолш (1901, стр. 82–90;

1921a, стр. 82–83) также критиковал 51Дополнительное рассмотрение этого тезиса можно найти в отсутствие взвешивания при невзвешенном стохастическом пунктах 15.7–15.17 главы 15. подходе к теории индексов.

РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА Взвешенный стохастический подход 16.81. Каждый из этих показателей общего лога рифмического изменения цен представляется одина 16.79. Как представляется, Уолш (1901, стр. 88–89) ково обоснованным, поэтому можно было бы приве был первым специалистом по теории индексов, ко сти аргументы в пользу того, чтобы взять симметриче торый утверждал, что при обоснованном стохастичес ское среднее этих двух показателей с целью получить ком подходе к количественной оценке изменения окончательный единственный показатель общего ло цен индивидуальные соотношения цен должны гарифмического изменения цен. Тейл55 утверждал, взвешиваться в соответствии с их экономической что можно получить «замечательную» формулу сим значимостью или их стоимостью в операциях в двух метричного индекса, если сделать вероятность выбо рассматриваемых периодах:

ра n-го соотношения цен равной арифметическому «На первый взгляд может показаться, что каждое среднему долей расходов на товар n в периодах 0 и 1.

наблюдение цены представляет собой просто одну ве Используя такие вероятности отбора, можно полу личину, а поскольку каждому товару (любому виду то чить следующий окончательный показатель общего варов) соответствует одно наблюдение цены, может логарифмического изменения цен по Тейлу:

показаться, что изменения цен любого вида товаров представляют собой одну рассматриваемую величину.

pi n Именно так подходили к этому вопросу первые иссле ln PT ( p 0, p1, q 0, q1 ) si1 ) ln( ).

( si (16.48) дователи изменений цен, когда они использовали pi i простое усреднение с равными весами. Но наблюде ние цены — это наблюдение цены для общего наиме Следует заметить, что индекс PT, определяемый урав нования одного товара, являющегося представителем нением (16.48), эквивалентен индексу Торнквиста, для множества разновидностей товара, причем под определяемому уравнением (15.81) в главе 15.

одним таким общим наименованием выступает не сколько, а под другим — множество разновидностей 16.82. Правой части уравнения (16.48) можно дать товара… Поэтому одно наблюдение цены может при- статистическую интерпретацию. Пусть i-е логарифми ходиться на разное количество разновидностей това- ческое соотношение цен ri определяется следующим ра, из которых складывается названный товар и кото образом:

рые в совокупности могут стоить сто, тысячу или мил лион долларов. Поэтому вес товара при усреднении pi должен согласовываться с этой денежной стоимос- ) para i 1,..., n. (16.49) для ri ln( pi тью» (Уолш, 1921a, стр. 82–83).

Однако Уолш не выдвинул сколько-нибудь убеди Теперь можно определить дискретную случайную тельного предложения о том, как именно должны величину, например, R, как случайную величину, ко определяться эти экономические веса.

торая может принимать значения ri с вероятностью 16.80. Генри Тейл (Henri Theil, 1967, стр. 136–137) i (1/2)[s i0 + si1] для i = 1,…, n. Следует заметить, предложил решение проблемы отсутствия весов в что, поскольку сумма по i каждого набора долей рас индексе Джевонса PJ, который определяется уравне ходов si0 и si1 дает единицу, сумма вероятностей i нием (16.47). Он рассуждал следующим образом.

также будет равна единице. Можно показать, что ма Пусть соотношения цен отбираются случайным об тематическое ожидание дискретной случайной ве разом, так чтобы шансы выбора каждого доллара рас личины R есть ходов базисного периода были равными. В таком случае вероятность выбора i-го ценового отношения равна s i0 pi0 qi0/ n pk q k, то есть доле расходов на то pi n n K= si1 ) ln( ER r ( si ) вар i в периоде 0. Тогда общее среднее (с весами пе- ii pi i1 i риода 0) логарифмическое изменение цен равно ln PT ( p 0, p 1, q 0, q1 ) n s 0 ln( p1/p0) 53.

Теперь нужно повторить приведен- (16.50) i=1 i ii ный выше эксперимент и отобрать соотношения цен случайным образом, так чтобы шансы выбора каждо- Таким образом, логарифм индекса PT можно интер го доллара расходов периода 1 были равными. Это претировать как математическое ожидание распреде приводит к общему среднему (с весами периода 1) ления логарифмических соотношений цен в рассматри логарифмическому изменению цен n s1 ln( p1/p0) 54. ваемой области определения, где n дискретным соот ii i=1 i ношениям цен, входящим в данную область опреде 53В главе 19 этот индекс называется геометрическим индексом Ласпейреса PGL. Вартиа (Vartia, 1978, стр. 272) обозначал этот 55«В индексе цен, определенном в (1.8) и (1.9), в качестве ба индекс как логарифмический индекс Ласпейреса. Еще одно на- зовых элементов используются n логарифмов индивидуаль звание этого индекса — геометрический индекс с весами базис- ных ценовых разниц. Они комбинируются линейно посредст ного периода. вом двухэтапной процедуры отбора: во-первых, каждому ре 54В главе 19 этот индекс называется геометрическим индексом гиону дается одинаковый шанс в 1/2 быть выбранным, а во Пааше PGP. Вартиа (1978, стр. 272) обозначил этот индекс как вторых, каждому доллару, потраченному в отобранном регио логарифмический индекс Пааше. Еще одно название этого ин- не, дается одинаковый шанс (1/ma или 1/mb) быть выбран декса — геометрический индекс с весами текущего периода. ным» (Тейл, 1967, стр. 138).

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ И СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОДЫ К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ ления, присваиваются вероятностные веса по Тейлу, n ET t i (1/2)[si0 + si1] para i = 1,…, n. ii i 16.83. Если потенцировать обе стороны уравне n ния (16.48), то получится индекс цен Тейла–Торнкви ri t i, (16.52) (16.53) ста (Торнквист, 1936;

1937) PT56. Эта формула индекса i обладает рядом хороших свойств. В частности, PT ER, (16.50) удовлетворяет критерию пропорциональности ценам 0 1 0 ln PT ( p, p, q, q ).

текущего периода К5 и критерию обратимости во вре мени К11, которые обсуждались выше. Эти два крите рия можно использовать для обоснования (арифме- Таким образом, можно убедиться в том, что распреде тического) метода Тейла, с помощью которого стро- ление случайной величины T равно распределению ится среднее двух наборов долей расходов, чтобы по- случайной величины минус R. Следовательно, неваж лучить вероятностные веса i (1/2)[si0 + si1] но, рассматривается ли распределение исходных ло гарифмических соотношений цен ri ln pi1/pi0 или для i = 1,…, n. Рассматривается следующий класс распределение обратных им величин ti ln p i0/pi1 — в логарифмических индексов с симметрическим средним:

любом случае стохастическая теория индексов остает p1, n ся по сути неизменной.

ln PS ( p 0, p 1, q 0, q 1 ) m( s i0, s i ) ln 1 i (16.51) 16.85. Можно рассмотреть взвешенные стохасти p i i ческие подходы к теории индексов, в рамках которых где m(si0, si1) — положительная функция долей расхо- анализируется распределение соотношений цен pi1/pi0, дов на товар i в периодах 0 и 1: si0 и si1, соответствен- а не распределение логарифмических соотношений но. Для того чтобы PS удовлетворял критерию обрати- цен ln pi1/p i0. Так, вновь следуя за Тейлом, можно пред мости во времени, необходимо, чтобы функция m бы- положить, что соотношения цен отбираются случай ла симметрической. Тогда можно показать57, что PS ным образом, так чтобы шансы выбора каждого дол будет удовлетворять критерию К5, только если m яв- лара расходов базисного периода были равными. Тог ляется средним арифметическим. Это является доста- да вероятность выбора i-го соотношения цен равна s i0, точно веским обоснованием сделанного Тейлом вы- то есть доле расходов на товар i в периоде 0. Таким об бора функции среднего значения. разом, общее среднее (с весами периода 0) изменение 16.84. Стохастический подход Тейла обладает цен равно:

еще одним «замечательным» свойством симметрич pi1, n ности. Рассматривая распределение соотношений (16.54) PL ( p 0, p1, q 0, q1 ) si цен ri = ln pi1/pi0, можно было бы также рассмотреть pi i распределение обратных к этим соотношениям цен величин, например: что оказывается индексом цен Ласпейреса PL. Этот стохастический метод идеально подходит для изуче p0 p1 ния проблем формирования выборки, связанных с при ln i1 ln i ti менением индекса цен Ласпейреса.

pi pi 16.86. Теперь можно повторить приведенный вы pi1 ше эксперимент и отобрать соотношения цен случай ln i 1,, n. (16.52) ri ным образом, так чтобы шансы выбора каждого дол pi лара расходов периода 1 были равными. Отсюда общее среднее (с весами периода 1) изменение цен равно:

Симметричную вероятность i (1/2)[si0 + si1] по прежнему можно связать с i-м обратным логарифми- pi1.

n PPAL ( p 0, p1, q 0, q1 ) si1 (16.55) ческим соотношением цен ti для i = 1,…, n. Теперь pi i можно определить дискретную случайную величину, Данное выражение известно как формула индекса например, T, как случайную величину, которая может принимать значения ti с вероятностью i (1/2)[si0 + Пэлгрейва (Palgrave, 1886)58.

16.87. Можно проверить, что ни индекс цен Лас si1] para i = 1,…, n. Можно показать, что математичес пейреса, ни индекс цен Пэлгрейва не удовлетворяют кое ожидание дискретной случайной величины T есть критерию обратимости во времени К11. Поэтому, вновь следуя рассуждениям Тейла, можно попытаться получить формулу, которая удовлетворяет критерию обратимости во времени, взяв симметрическое сред 56Проблема систематической ошибки выборки, которая изу нее двух наборов долей. Рассматривается следующий чалась в работе Гринлиса (1999), в данном контексте не воз класс формул индексов с симметрическим средним:

никает, поскольку в определении (16.50) не фигурирует фор мирование выборки: сумма pit qit по всем i для каждого перио да t полагается равной стоимостному агрегату Vt в периоде t. 58Это формула 9 в перечне формул индексов в работе Фишера 57См. Диверт (2000) и Балк и Диверт (2001). (1922, стр. 466).

РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА pi1, n 1 Pm ( p 0, p1, q 0, q1 ) m( si0, si1 ) (16.56) PHP ( p 0, p1, q 0, q1 ) pi0 0 i1 n pi p n si1 i si pi p i где m(si0, si1) есть симметрическая функция долей рас- i i ходов на товар i в периодах 0 и 1: s i0, и si1, соответст PP ( p, p, q, q1 ).

0 1 (16.60) венно. Для интерпретации правой части уравнения (16.56) как математического ожидания соотношений цен pi1/pi0 необходимо, чтобы Таким образом, обратные стохастические индексы цен, определенные уравнением (16.60), оказываются n m( si0, si1 ) 1. (16.57) равными индексу цен фиксированной корзины Паа ше PP. Такой стохастический метод идеально подхо i дит для изучения проблем формирования выборки, Однако для того чтобы выполнялось уравнение связанных с применением индекса цен Пааше. Дру (16.57), m должна быть арифметическим средним59. гой обратный стохастический индекс цен с несим В случае выбора такого вида m уравнение (16.56) пре- метричными весами, определяемый формулой (16.59), образуется в следующую (не имеющую названия) не ассоциируется с именем какого-либо исследовате формулу индекса Pu: ля, но в перечне Фишера (1922, стр. 467) формула pi1 этого индекса отмечена под номером 13. Вартиа n Pu ( p 0, p1, q 0, q1 ) si1 ) (16.58) ( si (1978, стр. 272) назвал этот индекс гармоническим ин pi i дексом Ласпейреса, и именно этот термин будет ис пользоваться в данном тексте.

К сожалению, не имеющий названия индекс Pu 16.89. Теперь можно рассмотреть класс обратных также не удовлетворяет критерию обратимости во индексов цен с симметричными весами:

времени60.

16.88. Вместо того чтобы рассматривать распре- Pmr ( p 0, p1, q 0, q1 ), деление соотношений цен pi1/pi0, можно было бы p n рассмотреть распределение обратных к этим соот- 0 m( s, s ) i0 (16.61) i i ношениям цен величин. Аналогами индексов с pi i несимметричными весами, определенных ранее уравнениями (16.54) и (16.55), являются теперь n = i 1s i (pi /pi ) и i = 1s i (pi /pi ) соответственно. Это — 001 n где, как обычно, m(si0, si1) — однородное симметриче (стохастические) индексы цен, рассчитываемые в ское среднее долей расходов на товар i в периодах 0 и 1.

обратном направлении: от периода 1 к периоду 0. Для Однако ни один из индексов, определенных уравне того чтобы сделать эти индексы сопоставимыми с ниями (16.59)–(16.61), не удовлетворяет критерию другими ранее определенными перспективными обратимости во времени.

индексами, нужно взять индексы, обратные первым 16.90. Тот факт, что формула индекса Тейла PT от (что приводит к гармоническим средним), и тогда с вечает критерию обратимости во времени, делает ин использованием уравнения (15.9) из главы 15 полу- декс Тейла предпочтительным как «наилучший» взве чатся следующие два индекса: шенный стохастический индекс.

16.91. Основные характеристики взвешенного стохастического подхода к теории индексов можно PHL ( p 0, p1, q 0, q1 ) обобщить следующим образом. Для начала необхо pi n (16.59) si0 димо выбрать два периода и область определения pi1 операций. Как обычно, каждая операция со стои i мостью для каждого из n товаров, входящих в об ласть определения, раскладывается на ценовой и количественный компоненты. Тогда при допуще нии, что новые товары не появляются, а старые не исчезают, cуществует n соотношений цен pi1/pi0, от 59Доказательство этого утверждения можно найти в работе Балка и Диверта (2001). носящихся к двум рассматриваемым ситуациям, а 60Более того, этот индекс имеет тот же недостаток, что и ин также 2n соответствующих им долей расходов. В декс Карли — систематическое завышение: Pu( p 0, p1, q 0, q1) рамках взвешенного стохастического подхода пред Pu( p 1, p0, q 1, q0) 1. Для доказательства этого необходимо от полагается только, что эти n соотношений цен или метить, что предыдущее неравенство эквивалентно [Pu( p 1, p0, q 1, q0)]–1 Pu(p 0, p1, q 0, q1), а это неравенство следует из того некоторые преобразования этих соотношений цен f ( pi1/pi0) имеют дискретное статистическое распре факта, что взвешенное гармоническое среднее n положитель деление, где i-я вероятность i = m(si0, si1) является ных чисел меньше или равно соответствующему взвешенно му арифметическому среднему;

см. Харди, Литтлвуд и Поля функцией долей расходов на товар i в двух рассмат (Hardy, Littlewood and Pоlya, 1934, стр. 26).

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ И СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОДЫ К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ риваемых ситуациях: si0 и si1. В зависимости от вы- том, чтобы попытаться найти «наилучшее» взвешен ное среднее соотношений цен ri61. Это эквивалентно бора функций f и m получаются разные индексы использованию аксиоматического подхода для того, цен. У Тейла в качестве функции преобразования f чтобы испытать и определить «наилучший» индекс используется натуральный логарифм, а в качестве вида P(r, v 0, v 1), где v 0 и v 1 — векторы расходов на n то функции среднего значения m — простое невзве варов в периодах 0 и 162. Вначале вместо индексов шенное арифметическое среднее.

вида P(r, v 0, v 1) будут рассмотрены индексы вида 16.92. Существует и третий аспект взвешенного P(p0, p1, v 0, v 1), поскольку данная концептуальная стохастического подхода к теории индексов: необхо основа более сопоставима с первой двусторонней димо решить, какое именно единственное число лучше аксиоматической основой, которая использовалась всего обобщает распределение n (возможно, преобра в пунктах 16.30–16.73. Как будет показано ниже, ес зованных) соотношений цен. В представленном вы ли для индекса вида P(p0, p1, v 0, v 1) формулируется ше анализе в качестве «наилучшего» обобщающего критерий инвариантности к изменениям единиц из показателя распределения (возможно, преобразован мерения, то P( p0, p1, v 0, v 1) можно записать в виде ных) соотношений цен было выбрано среднее значение P(r, v 0, v 1).

дискретного распределения;

но возможны и другие 16.95. Следует напомнить, что для определения показатели. В частности, в качестве «наилучшего» по индекса количеств Q(p0, p1, q0, q1) V 1/V 0 P(p0, p1, казателя центральной тенденции часто предлагаются q0, q1), который соответствует двустороннему индек взвешенная медиана или различные усеченные средние, су цен P(p0, p1, q0, q1), использовался критерий про поскольку эти показатели сводят к минимуму влия изведения (16.17). Аналогичный критерий произведе ние резко отклоняющихся значений. Подробное рас ния сохраняется и в рассматриваемой здесь концепту смотрение этих альтернативных показателей цент альной основе, то есть при условии, что функцио ральной тенденции, однако, выходит за рамки данной нальная форма индекса цен P(p0, p1, v0, v1) определе главы. Дополнительный материал по стохастическим на, соответствующий индекс количеств, полученный подходам к теории индексов и ссылки на литературу косвенным образом, можно определить с помощью P можно найти в работах Клеменца и Айзана (Clements следующим образом:

and Izan, 1981;

1987), Селванатана и Рао (Selvanathan and Rao, 1994), Диверта (Diewert, 1995b), Чеккети n vi (Cecchetti, 1997) и Винна (Wynne, 1997;

1999).

Q ( p 0, p1, v 0, v 1 ) i 16.93. Вместо использования описанного выше. (16.62) n стохастического подхода к теории индексов можно v P ( p 0, p1, v 0, v 1 ) i взять те же исходные данные, которые используются i в этом подходе, но применить к ним аксиоматичес 16.96. В пунктах 16.30–16.73 индексы цен и коли кий подход. Соответственно, в следующем разделе честв P( p0, p1, q 0, q1) и Q( p0, p1, q0, q1) определялись индекс цен рассматривается как взвешенная на осно совместно, то есть аксиомы постулировались не толь ве стоимостей функция n соотношений цен, а подход к теории индексов на основе критериев используется для определения функциональной формы индекса 61Фишер также принял эту точку зрения, когда описывал свой цен. Иными словами, в следующем разделе на базе подход к теории индексов:

аксиоматического подхода анализируются свойства «Индекс цен ряда товаров есть среднее их соотношений цен.

Для конкретности это определение было выражено с помощью альтернативных описательных статистик, с помощью цен. Но точно так же индекс может рассчитываться для заработ которых отдельные соотношения цен (взвешенные в ной платы, для количеств экспортируемых или импортируемых товаров и, по сути дела, для любых объектов, предполагающих соответствии с их экономической значимостью) агре расходящиеся изменения количественных характеристик неко гируются в обобщающие показатели изменения цен, торой группы элементов. Кроме того, это определение было вы причем целью этого анализа является стремление ражено с помощью времени. Но индекс можно с равным основа нием применять и для сопоставления двух мест или, по существу, найти «наилучший» обобщающий показатель изме- для сопоставлений какой-либо количественной характеристики нения цен. Таким образом, применяемый ниже аксио- группы элементов, находящихся в одних обстоятельствах, с той матический подход может рассматриваться как от- же характеристикой той же самой группы элементов в других об стоятельствах». (Фишер, 1922, стр. 3) ветвление теории описательной статистики.

Развивая свой аксиоматический подход, Фишер постулиро вал аксиомы для индексов цен и количеств, записанных как Второй аксиоматический подход функции двух векторов цен p 0 и p 1 и двух векторов количеств к двусторонним индексам цен q0 и q1;

то есть он не записывал свой индекс цен в форме P(r, v0, v 1) и не постулировал аксиомы для индексов такого ти па. Разумеется, в итоге его идеальный индекс оказался геоме трическим средним индексов цен Ласпейреса и Пааше и, как Концептуальная основа и некоторые было показано в главе 15, каждый из этих индексов может предварительные критерии быть записан как взвешенное на основе долей расходов сред него n соотношений цен ri pi1/pi0.

16.94. Как упоминалось в пунктах 16.1–16.10, 62Один из вариантов этого аксиоматического подхода рассма один из подходов Уолша к теории индексов состоял в тривался в главе 3 работы Вартии (1976).

РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ко для P( p0, p1, q 0, q1), но и для Q(p0, p1, q0, q1), а То есть если все цены периода 1 умножить на положи тельное число, то новый индекс цен будет равен критерий произведения (16.17) применялся для пре произведению на прежний индекс цен. Иными сло образования этих критериев, сформулированных в вами, функция индекса цен P(p0, p1, v0, v1) является отношении Q, в критерии, формулируемые в отно (положительно) однородной в первой степени по шении P. В данном разделе этот подход не будет компонентам вектора цен периода 1 p1. Этот критерий использоваться: будут рассматриваться только кри терии, формулируемые в отношении P( p 0, p1, v 0, v1) является аналогом критерия К5 из пункта 16.37.

16.100. В следующем критерии вместо умножения для определения «наилучшего» индекса цен этого на одно и то же число всех цен периода 1, на число вида. Таким образом, существует параллельная тео рия для индексов количеств вида Q (q 0, q 1, v 0, v1), умножаются все цены периода 0.

задача которой — найти «наилучшее» взвешенное с Обратная пропорциональность ценам К5:

помощью показателей стоимостей среднее соотно базисного периода:

шений количеств q1/qi063.

i 16.97. По большей части критерии, предъявляе P(p0, p1, v0, v1) = -1P( p0, p1, v0, v1) для 0.

мые к индексу цен P( p0, p1, v0, v1) в данном разделе, являются аналогами критериев, которые предъявля То есть если все цены периода 0 умножить на поло лись к индексу цен P( p0, p1, q0, q1) в пунктах жительное число, то новый индекс цен будет равен 16.30–16.73. Предполагается, что каждый компонент произведению 1/ на прежний индекс цен. Иными каждого вектора цен и стоимостей является положи словами, функция индекса цен P(p0, p1, v0, v1) явля тельным, то есть pt 0n и vt 0n для t = 0,1. Если ется (положительно) однородной в минус первой v0 = v1, то общий вектор расходов будет обозначаться v;

степени по компонентам вектора цен периода 0 p0.

если p0 = p1, то общий вектор цен будет обозначаться p.

Этот критерий является аналогом критерия К6 из 16.98. Первые два критерия являются прямыми пункта 16.39.

аналогами соответствующих критериев из пункта 16.34.

16.101. Следующие два критерия однород Положительность: P(p0, p1, v0, v1) 0. ности можно также рассматривать как критерии К1:

инвариантности.

Непрерывность: P(p0, p1, v0, v1) является К2:

Инвариантность к пропорциональным К6:

непрерывной функцией своих аргументов.

изменениям стоимостей текущего периода:

Критерий тождественности или постоянных К3:

P(p0, p1, v0, v1) = P(p0, p1, v0, v1) для всех 0.

цен: P(p, p, v0, v1) = 1.

То есть, если все показатели стоимости текущего Иными словами, если цена каждого товара остается периода умножить на число, то индекс цен неизменной в течение двух периодов, то индекс цен останется неизменным. Иными словами, функция должен быть равен единице, независимо от векто- индекса цен P(p0, p1, v0, v1) является (положительно) ров стоимостей. Следует заметить, что в приведен- однородной в нулевой степени по компонентам ном выше критерии оба вектора стоимостей могут вектора стоимостей периода 1 v1.

быть разными.

Инвариантность к пропорциональным К7:

Критерии однородности изменениям стоимостей базисного периода:

P(p0, p1, v0, v1) = P(p0, p1, v0, v1) для всех 0.

16.99. Следующие четыре критерия ограничивают поведение индекса цен P при изменении масштаба То есть, если умножить все показатели стоимости ба одного из четырех векторов p0, p1, v0, v1.

зисного периода на число, то индекс цен останется неизменным. Иными словами, функция индекса цен Пропорциональность ценам текущего периода:

К4:

P(p0, p1, v0, v1) является (положительно) однородной P(p0, p1, v0, v1) = P(p0, p1, v0, v1) для 0 в нулевой степени по компонентам вектора стоимос тей периода 0 v0.

16.102. К6 и К7 совместно задают свойство индек 63Оказывается, что индекс цен, соответствующий этому «наи- са цен P, согласно которому последний не зависит от лучшему» индексу количеств, определяемый как P *(q0, q1, v0, абсолютных значений векторов стоимостей v0 и v1.

v1) n v1/[n v0 Q(q0, q1, v0, v1)], не равен «наилучшему» ин Используя критерий К6 при = 1/ n v1 и используя i=1 i i=1 i дексу цен P(p0, p1, v0, v1). Таким образом, используемый здесь i=1 i критерий К7 при = 1/ n v0, можно убедиться в том, аксиоматический подход приводит к отдельным «наилучшим» i=1 i индексам цен и количеств, произведение которых в общем что P обладает следующим свойством случае на равно соотношению стоимостей. Это недостаток второго аксиоматического подхода к двусторонним индексам P(p0, p1, v0, v1) = P(p 0, p1, s0, s1), (16.63) по сравнению с первым подходом, рассмотренным выше.

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ И СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОДЫ К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ где s0 и s1 — векторы долей расходов в периодах 0 и 1, также записать как функцию векторов долей расходов то есть i-й компонент st представляет собой s t es s ti s0 и s1, то есть PGW (p0, p1, v0, v1) однороден в нулевой v it / n v k для t = 0,1. Таким образом, из критериев t степени по компонентам векторов стоимостей v0 и v1, k= а потому PGW (p0, p1, v0, v1) = PGW (p0, p1, s0, s1). Таким К6 и К7 следует, что функция индекса цен P образом, Уолш очень близко подошел к формулиров является функцией двух векторов цен p0 и p1 и двух векторов долей расходов s0 и s1. ке индекса Торнквиста–Тейла, определенного выше уравнением (16.48)64.

16.103. Как показывает следующая цитата, кон цепция критериев К6 и К7 была предложена Уолшем Критерии инвариантности (1901, стр. 104): «Цель заключается в том, чтобы ус реднить изменения меновой стоимости данной об и симметричности щей суммы денег по отношению к нескольким клас 16.106. Следующие пять критериев — это крите сам товаров, причем этим изменениям [то есть соот рии инвариантности или симметричности, и четыре ношениям цен] должны присваиваться веса, пропор из них являются прямыми аналогами сходных кри циональные относительным размерам классов. Сле териев из пунктов 16.42–16.46 выше. Согласно пер довательно, нужно учитывать относительные разме вому критерию инвариантности, индекс цен должен ры этих классов в обоих периодах».

оставаться неизменным при изменении порядка то 16.104. Уолш также понимал, что взвешивание варов в списке.

i-го соотношения цен ri с помощью арифметического среднего весов на основе данных о стоимостях в двух Критерий обратимости товаров К8:

рассматриваемых периодах (1/2)[vi0 + vi1] придало бы (или инвариантность к изменениям слишком большой вес расходам того периода, в кото порядка товаров в списке):

ром уровень цен был наиболее высок:

P(p0*, p1*, v0*, v1*) = P(p0, p1, v0, v1), «На первый взгляд, может показаться достаточным сложить веса каждого класса для двух периодов и по где pt* обозначает перестановку компонентов векто делить на два. Это дало бы (арифметическое) среднее ра p t, а vt* — ту же перестановку компонентов vt для размеров каждого класса за два периода. Но такого ро t = 0,1.

да операция явно неправильна. Во-первых, размеры классов в каждом периоде выражены в деньгах этого 16.107. Следующий критерий требует, чтобы периода, и если меновая стоимость денег снижается индекс был инвариантен к изменениям единиц или общий уровень цен растет, большее влияние на измерения.

результат будет приписано весам второго периода;

или же, если общий уровень цен снижается, то большее Инвариантность к изменениям единиц К9:

влияние на результат будет приписано весам первого измерения (критерий соизмеримости):

периода. Или при сопоставлении двух стран большее значение будет придано весам страны с более высо P(1 p1,…, n pn ;

1 p1,…, n pn ;

v0,…, vn ;

v1,…, vn ) = 0 0 1 0 ким уровнем цен. Однако очевидно, что один период 1 1 или одна страна так же важны в проводимом сопостав P( p1,…, pn ;

p1,…, pn ;

v1,…, vn ;

v1,…, vn ) 0 0 10 0 лении, как и другой период или другая страна, и взвеши- 1 вание при усреднении их весов должно быть действи для всех 1 0, …, n 0.

тельно равным» (Уолш, 1901, стр. 104–105).

16.105. В качестве решения вышеуказанной проблемы взвешивания Уолш (1901, стр. 202;

1921a, Иными словами, индекс цен не меняется при измене стр. 97) предложил следующий геометрический ин- нии единиц измерения для каждого товара. Следует декс цен: отметить, что расходы на товар i в течение периода t, vit, не меняются, если меняется единица измерения w(i ) p i n (16.64) PGW ( p 0, p 1, v 0, v 1 ) товара i.

, pi i где i-й вес в приведенной выше формуле определя- 64Индекс Уолша можно было бы вывести, используя те же ар ется как гументы, что и у Тейла, за исключением того, что в качестве предварительного вероятностного веса i-го логарифмического соотношения цен ln ri можно было бы взять геометрическое ( vi0 vi1 )1 / 2 ( si0 si1 )1 / 2 среднее долей расходов (si0si1)1/2. Эти предварительные веса за w( i ) i 1,..., n n n тем нормализуются, с тем чтобы их сумма была равна единице, ( v k v 1 )1 / ( s k s k )1 / путем деления на их сумму. Очевидно, что при использовании (16.65) k нормальных временных рядов данных геометрический индекс k1 k цен Уолша будет близко аппроксимировать индекс Тейла. Вы ражаясь более формально, рассматривая оба индекса как функции p0, p1, v0, v1, можно показать, что PW ( p0, p1, v0, v1) Второе уравнение в (16.65) показывает, что геометри- апроксимирует PT ( p0, p1, v0, v1) до второго порядка вокруг точки ческий индекс цен Уолша PGW (p0, p1, v0, v1) можно равных цен (то есть p0 = p1) и количеств (то есть q0 = q1).

РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА К12: Критерий симметричности весов, основанных 16.108. Последний критерий имеет одно очень важное следствие. Пусть 1 =1/p1, …, n = 1/pn. Под 0 0 на данных о стоимостях:

становка этих выражений вместо i в определение P(p0, p1, v0, v1) = P(p0, p1, v1, v0).

критерия дает следующее уравнение:

Иными словами, если поменять местами векторы P(p0, p1, v0, v1) = P(1n, r, v0, v1) P*(r, v0, v1), (16.66) расходов двух периодов, то индекс цен останется не изменным. Это свойство означает, что, если в качест где 1n — вектор единиц размерности n, а r — вектор ве весов для цен в формуле индекса используются соотношений цен, то есть i-й компонент r стоимости, то стоимости периода 0 v 0 и стоимости пе представляет собой ri pi1/pi0. Таким образом, если риода 1 v1 должны входить в формулу симметричным, выполняется критерий соизмеримости К9, то индекс или равноправным, образом.

цен P( p0, p1, v0, v1), который является функцией 4n переменных, можно записать как функцию 3n Критерий среднего значения переменных P*(r, v0, v1), где r — вектор соотношений цен, а P*(r, v0, v1) определяется как P(1n, r, v0, v1). 16.112. Следующий критерий — это критерий 16.109. Следующий критерий требует, чтобы фор- среднего значения.

мула была инвариантна к выбору базисного периода.

К13: Критерий среднего значения для индекса цен:

К10: Критерий обратимости во времени:

min i ( pi1 pi0: i 1,..., n ) P( p 0, p1, v 0, v1 ) P( p0, p1, v0, v1) = 1/P( p1, p0, v1, v0).

max i ( pi1 pi0: i 1,..., n ) (16.67) Иными словами, если поменять местами данные пе Иными словами, индекс цен находится между мини риодов 0 и 1, то получаемый индекс цен должен быть мальным и максимальным соотношениями цен. По равен величине, обратной исходному индексу цен.

скольку предполагается, что индекс цен можно ин Очевидно, что этот критерий (как и все другие крите терпретировать как некоторое среднее n соотноше рии, приведенные в данном разделе) будет выпол ний цен pi1/p0, представляется существенным, чтобы няться в случае одного товара, когда индекс цен пред- i индекс цен P удовлетворял данному критерию.

ставляет собой просто единственное соотношение цен.

16.110. Следующий критерий — это вариант Критерии монотонности критерия циркулярности, представленного в пунктах 15.76–15.97 главы 1565. 16.113. Следующие два критерия в данном разде ле — это критерии монотонности, показывающие, К11: Транзитивность цен при фиксированных как должен меняться индекс цен P( p0, p1, v 0, v 1) при весах, основанных на данных о стоимостях:

увеличении любого из компонентов двух векторов цен p0 и p1.

P( p0, p1, v r, v s)P(p1, p2, v r, v s) = P(p0, p2, v r, v s).

Согласно этому критерию, при сопоставлениях цен К14: Монотонность в отношении цен текущего векторы весов на основе расходов, v r и v s, остаются периода:

неизменными. Однако при условии, что эти веса ос таются неизменными, данный критерий требует, что- P( p0, p1, v 0, v 1) P( p0, p2, v0, v1), если p1 p2.

бы произведение индекса, охватывающего периоды Иными словами, в случае повышения одной из цен и 1, P( p0, p1, v r, v s ), на индекс, охватывающий перио периода 1 индекс цен должен увеличиться (при со ды 1 и 2, (p1, p2, v r, v s ), равнялось прямому индексу, хранении неизменных векторов стоимостей), то посредством которого сопоставляются цены периода есть P( p0, p1, q0, q1) возрастает по компонентам p 2 с ценами периода 0, P(p0, p2, v r, v s). Очевидно, что при фиксированных p0, v0 и v1.

этот критерий является многотоварным аналогом свойства, которое выполняется в случае с единствен К15: Монотонность в отношении цен базисного ным соотношением цен.

периода:

16.111. Последний критерий в данном разделе от ражает идею о том, что веса на основе данных о стои P( p0, p1, v 0, v 1) P( p2, p1, v0, v 1), если p0 p мостях должны входить в формулу индекса симмет ричным образом.

Иными словами, в случае повышения одной из цен периода 0 индекс цен должен уменьшиться, то есть P( p0, p1, q0, q1) убывает по компонентам p0 при фик сированных p1, v0 и v1.

65См. уравнение (15.77) в главе 15.

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ И СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОДЫ К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ Критерии в отношении весов К17: Незначимость изменений цен при очень малых весах, основанных на данных о стоимостях:

16.114. Приведенных выше критериев недоста P( p1, 1, …, 1;

p1, 1, …, 1;

0, v2,…, vn ;

0, v1,…, vn ) = 1.

0 0 0 точно для определения функциональной формы ин- 1 декса цен. Например, можно показать, что и геомет- (16.70) рический индекс цен Уолша PGW ( p0, p1, v 0, v 1), опре деляемый уравнением (16.65), и индекс Торнквис- Согласно критерию К17, если все цены, за исключе та–Тейла PT ( p0, p1, v 0, v 1), определяемый уравнением нием цен на товар 1, в двух периодах полагаются рав (16.48), удовлетворяют всем указанным выше аксио- ными 1, и расходы на товар 1 в двух периодах равны мам. Таким образом, необходим по крайней мере еще нулю, а расходы на другие товары заданы произволь один критерий, чтобы определить функциональную ным образом, то индекс равен 167. Таким образом, форму индекса цен P( p0, p1, v 0, v 1). говоря приблизительно, если стоимостные веса то 16.115. Критерии, предлагавшиеся до сих пор, не вара 1 очень малы, то не имеет значения, какова це предписывают точно, как именно должны использо- на товара 1 на протяжении этих двух периодов.

ваться векторы долей расходов s 0 и s1 для взвешива- 16.118. Конечно, если критерий К17 объединить с ния, например, первого соотношения цен p1 /p1. Со- критерием К8, критерием обратимости товаров, то гласно следующему критерию, для взвешивания цен можно показать, что P обладает следующим свойст первого товара p1 и p0 должны использоваться только вом: для i = 1,…, n 0 доли расходов s1 и s1, относящиеся к первому товару.

P(1, …, 1, p0, 1, …, 1;

1, …, 1, p1, 1, …, 1;

v1,…, 0, …, i i i vn ;

v1,…, 0, …, vn ) = 0 1 (16.71) К16. Взвешивание цен на основе долей расходов на рассматриваемый товар:

Согласно уравнению (16.71), если все цены, за исклю чением цен товара i в двух периодах, полагаются рав 0 1 0 P ( p, 1,..., 1 ;

p, 1,..., 1 ;

v, v ) 1 ными, и расходы на i-й товар на протяжении двух пе n n риодов равны нулю, а расходы на другие товары в двух (16.68) f p10, p1, v10 / 1 0 v vk, v1 /. периодах заданы произвольным образом, то индекс k k1 k равен 1.

Следует отметить, что v1t / n = 1v k равно s1, то есть до t t 16.119. На этом завершается перечень критери k ле расходов периода t на товар 1. Согласно приведен- ев для подхода к теории двусторонних индексов, ному выше критерию, если все цены, за исключением основанного на взвешенном среднем соотношений цен товара 1 в двух периодах, принять равными 1, а цен. Как показано в следующем разделе, приведен расходы в двух периодах задать произвольным обра- ные выше критерии достаточны для определения зом, то индекс будет зависеть только от двух цен това- конкретной функциональной формы индекса цен.

ра 1 и двух долей расходов на товар 1. Согласно этой Индекс цен Торнквиста–Тейла аксиоме, функция 2 + 2n переменных на самом деле есть лишь функция четырех переменных66.

и второй подход на основе 16.116. Конечно, если критерий К16 объеди критериев применительно нить с критерием К8, критерием обратимости то к двусторонним индексам варов, то можно показать, что P обладает следую щим свойством: 16.120. В приложении 16.1 к данной главе пока зано, что если число товаров n превышает два и P(1,..., 1, pi0, 1,..., 1 ;

1,..., 1, pi1, 1,...,1 ;

v 0 ;

v1 ) функция двустороннего индекса цен P(p 0, p 1, v0, v1) удовлетворяет перечисленным выше 17 аксиомам, то n n f pi0, pi1, vi0 / v k, vi1 / v1 P должен быть индексом цен Торнквиста–Тейла i 1,..., n k PT (p 0, p 1, v0, v1), который определяется уравнением k1 k (16.69) (16.48)68. Таким образом, 17 критериев, или свойств, Уравнение (16.69) означает, что если все цены, за ис- 67Строго говоря, поскольку все цены и стоимости должны ключением цен товара i в двух периодах, приняты быть положительными, левую часть уравнения (16.70) следу ет заменить на ее предел при стремящихся к нулю стоимостях равными 1, а расходы в двух периодах заданы произ- 0 товара 1 v1 и v1.

вольным образом, то индекс зависит только от двух 68Индекс цен Торнквиста–Тейла удовлетворяет всем 17 кри цен товара i и двух долей расходов на товар i.

териям, однако в доказательстве, приведенном в приложении 16.117. Последний критерий, связанный с взве- 16.1, для того чтобы установить справедливость обратного ут шиванием цен, таков. верждения, используются не все эти критерии: критерии 5, 13, 15, а также 10 или 12 не требуются для демонстрации того, что индекс, удовлетворяющий всем остальным критериям, должен быть индексом цен Торнквиста–Тейла. Альтернатив 66Вэкономической литературе аксиомы такого рода известны ные описания индекса цен Торнквиста–Тейла см. в работах как аксиомы разделимости. Балка и Диверта (2001) и Хиллинджера (2002).

РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА перечисленных в пунктах 16.94–16.129, аксиомати- 16.123. Разумеется, возможны и другие критерии.

чески характеризуют индекс цен Торнквиста–Тейла, Аналогом критерия К16 из пункта 16.49, то есть кри точно так же, как 20 критериев, перечисленных в терия граничных значений Пааше и Ласпейреса, яв ляется следующий геометрический критерий гранич пунктах 16.30–16.73, аксиоматически характеризуют ных значений Пааше и Ласпейреса:

идеальный индекс цен Фишера.

16.121. Очевидно, что для индексов количеств, PGL ( p 0, p1, v 0, v1 ) P ( p 0, p 1, v 0, v1 ) PGP ( p 0, p1, v 0, v1 ) o имеющих форму Q(q0, q1, v0, v1), существует парал лельная аксиоматическая теория, которая зависит от PGP ( p 0, p1, v 0, v1 ) P ( p 0, p 1, v 0, v1 ) PGL ( p 0, p1, v 0, v1 ), двух векторов количеств периодов 0 и 1 q0 и q1, а так же от двух соответствующих векторов расходов v0 и (16.74) v1. Таким образом, если Q(q0, q1, v0, v1) удовлетворяет где логарифмы геометрических индексов цен Лас аналогам критериев К1–К17 для количеств, то Q дол пейреса и Пааше PGL и PGP определяются следую жен быть равен индексу количеств Торнквиста–Тей ла QT (q0, q1, v0, v1), который определяется следую- щим образом:

щим образом:

pi n q n ln PGL ( p 0, p1, v 0, v 1 ) si0 ln (16.75) 0 1 0 1 ln QT (q, q, v, v ) ( si s ) ln( i0 ), (16.72) pi i qi i i pi n где, как обычно, доля расходов периода t на товар i sit ln PGP ( p 0, p1, v 0, v 1 ) si1 ln. (16.76) определяется как vit/ n vk для i = 1,…,n и t = 0,1.

t pi k=1 i 16.122. К сожалению, исчисленный косвенным образом индекс цен Торнквиста–Тейла PIT (q 0, q1, v 0, Как обычно, доля расходов в периоде t на товар i sit v 1), который соответствует индексу количеств определяется как vit/ n vtk для i = 1,…,n и t = 0,1.


Торнквиста–Тейла QT, определяемому уравнением k= Можно показать, что индекс цен Торнквиста–Тейла (16.72) с помощью критерия произведения, не равен PT (p 0, p 1, v0, v1), определяемый уравнением (16.48), прямому индексу цен Торнквиста–Тейла PT (p0, p1, v0, удовлетворяет этому критерию, а геометрический ин v1), определяемому уравнением (16.48). Уравнение декс цен Уолша PGW (p 0, p 1, v0, v1), определяемый урав критерия произведения, посредством которого опре нением (16.65), не удовлетворяет. Геометрический деляется PIT, в настоящем контексте задается следую критерий граничных значений Пааше и Ласпейреса в щим уравнением:

данном разделе не был включен в число первичных n критериев, поскольку заранее не было известно, ка vi кой вид усреднения соотношений цен (например, 0 1 0. (16.73) i PIT ( q, q, v, v ) геометрический, арифметический или гармоничес n 0 0 1 0 кий) окажется наиболее подходящим в рамках данной v QT ( q, q, v, v ) i системы критериев. Критерий (16.74) является подхо i дящим, если решено, что подходящей основой явля Тот факт, что прямой индекс цен Торнквиста–Тейла ется геометрическое усреднение соотношений цен, PT в общем случае не равен исчисленному косвенным поскольку геометрические индексы Пааше и Ласпей образом индексу цен Торнквиста–Тейла PIT, опреде реса соответствуют «крайним» формам взвешивания ляемому уравнением (16.73), является недостатком на основе данных о стоимостях в контексте геометри данного подхода по сравнению с аксиоматическим ческого усреднения и было бы естественным потребо подходом, который был описан в пунктах 16.30–16. вать, чтобы «наилучший» индекс цен находился в и в соответствии с которым «наилучшими» считаются интервале между этими крайними индексами.

идеальные индексы цен и количеств Фишера. Ис 16.124. Уолш (1901, стр. 408) указывал на пробле пользование подхода Фишера означало отсутствие необходимости решать, какой именно «наилучший» му, которая связана с его геометрическим индексом индекс — цен или количеств — следует искать, по- цен, определяемым уравнением (16.65), и которая скольку теория, изложенная в пунктах 16.30–16.73, также характерна для индекса цен Торнквиста–Тейла PT (p 0, p 1, v 0, v 1), определяемого уравнением (16.48):

позволяла определить оба индекса одновременно.

Однако в рамках подхода Торнквиста–Тейла, кратко эти индексы геометрического типа не дают «правиль представленного в данном разделе, необходимо сде- ного» ответа, когда векторы количеств постоянны лать выбор между «наилучшим» индексом цен и «на- (или пропорциональны) на протяжении двух перио илучшим» индексом количеств69. дов. По мнению Уолша, в данном случае «правиль ный» ответ должен давать индекс Лоу, представляю 69В работе Хиллинджера (2002) для разрешения этого проти щий собой соотношение затрат на приобретение по воречия предложено брать геометрическое среднее прямого и исчисленного косвенным образом индексов цен Торнквис- стоянной корзины товаров в двух периодах. Иными та–Тейла. К сожалению, получающийся в результате индекс словами, геометрические индексы PGW и PT не удов не является «наилучшим» ни для одного из наборов аксиом, летворяют критерию фиксированной корзины К4 из которые были предложены в данном разделе.

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ И СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОДЫ К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ пункта 16.35. Что же побудило Уолша определить свой r m(r1, r2 ) m(r1, r2 ) индекс среднегеометрического типа PGW? Оказывает r ся, он пришел к этому типу индекса в результате рас смотрения другого критерия, объяснение которого rr r1 m( 1, 2 ), (16.78) приводится ниже.

r1 r1 r 16.125. Уолш (1901, стр. 228–231) сформулиро вал свой критерий в результате рассмотрения следу- r2 r r1 f ( 2 ), r1 m(1, ) ющей очень простой основы построения индекса. r1 r Пусть индекс охватывает всего два товара, и пусть (16.79) доля расходов на каждый товар одинакова в каждом из двух рассматриваемых периодов. При таких усло виях индекс цен равен P( p0, p0;

p1, p2;

v 0, v 0;

v1, v 2) 1 1 1 где функция одной (положительной) переменной f(z) 1 2 1 = P*(r1, r2;

1/2, 1/2;

1/2, 1/2) m(r1, r2), где m(r1, r2) — определяется как:

симметрическое среднее двух соотношений цен r f(z) m(1, z) (16.80) p1 /p0 и r2 p2/p0 70. В рамках этой концептуальной 11 основы Уолш предложил следующий критерий об- Используя уравнение (16.77):

ратного соотношения цен:

1 m(r1, r1 1 ) m(r1, r1–1) = 1. (16.77) r m(r1, r1 1 ) Таким образом, Уолш (1901, стр. 230) утверждал, что r если веса двух товаров на основе стоимостей в двух периодах равны, а второе соотношение цен является r1 m(1, r1 2 ), (16.78).

величиной, обратной первому соотношению цен r1, r то при таких обстоятельствах общий индекс цен дол (16.81) жен быть равен единице, поскольку относительное снижение одной цены в точности компенсируется Используя уравнение (16.80), уравнение (16.81) мож повышением другой, а на оба товара в каждом пери- но преобразовать в следующую форму:

оде расходуется одинаковая сумма. Он пришел к вы воду о том, что геометрическое среднее полностью f ( r1 2 ) r1 1. (16.82) удовлетворяет этому критерию, однако арифметиче ское среднее приводит к тому, что значения индекса Пусть z r1, откуда z1/2 = r1, тогда уравнение (16.82) –2 – превышают единицу (при условии, что r1 не равно превращается в:

единице), а гармоническое среднее приводит к тому, что значения индекса оказываются меньше единицы, z1/ 2. (16.83) f ( z) а это — абсолютно неудовлетворительная ситуация71.

Таким образом, в рамках одного из своих подходов к Теперь нужно подставить уравнение (16.83) в уравне теории индексов он остановился на некоторой фор- ние (16.79), и тогда функциональная форма функции ме геометрического усреднения соотношений цен. среднего значения m(r1, r2) будет определена следую 16.126. Результат Уолша легко поддается обобще- щим образом:

нию. Пусть функция среднего значения m(r1, r2) удов летворяет критерию обратного соотношения цен Уол- 1/ r r ша (16.77) и, кроме того, m — однородное среднее, r11 / 2 r21 / 2.

r m( r1, r2 ) r1 f (16.84) r r так что оно обладает следующим свойством для всех r1 0, r2 0 и 0:

Таким образом, геометрическое среднее двух соотно m(r1, r2) = m(r1, r2). шений цен является единственным однородным (16.78) средним, которое удовлетворяет критерию обратного соотношения цен Уолша.

Пусть r1 0, r2 0. Тогда 16.127. Необходимо упомянуть еще один крите рий. Фишер (1911, стр. 401) ввел этот критерий в своей первой книге, которая была посвящена при менению подхода к теории индексов на основе кри териев. Он назвал его критерием определенности 70Уолш рассматривал только те случаи, когда m представляло относительно цен и описал его следующим образом:

собой арифметическое, геометрическое и гармоническое среднее r1 и r2. «Индекс цен не должен обращаться в нуль, беско 71«Эта тенденция арифметической и гармонической форм ин нечность или становиться неопределенным, если декса «ударяться о землю» или «улетать в поднебесье» есть оче отдельная цена становится равной нулю. Так, если в видное указание на их ошибочность» (Уолш, 1901, стр. 231).

РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА 1910 году на рынке образуется переизбыток какого- о том, какой набор аксиом наиболее целесообразно нибудь товара, который превратится тем самым в использовать на практике, могут расходиться.

«бесплатный товар», это не должно сделать индекс для 1910 года равным нулю». В настоящем контекс Аксиоматические свойства те этот критерий можно было бы интерпретировать индексов Лоу и Янга следующим образом: если какая-нибудь одна цена pi0 или pi1 стремится к нулю, то индекс цен P( p0, p1, v 0, v 1) не должен стремиться к нулю или к плюс бес- 16.130. Определения индексов Янга и Лоу приве конечности. Однако при такой интерпретации дан- дены в главе 15. В данном разделе рассматриваются ного критерия, согласно которой при pi0 или pi1, аксиоматические свойства этих индексов с точки зре стремящемся к нулю, стоимости vit остаются неиз- ния их ценовых аргументов73.

16.131. Пусть q b [q1,…, qn ] и pb [p1,…, pn ] b b b b менными, ни одна из широко распространенных формул индексов не будет удовлетворять этому обозначают векторы количеств и цен, относящиеся критерию. В связи с этим данный критерий следует к некоторому базисному году. Соответствующие до интерпретировать как критерий, применяемый к ли расходов в базисном году можно определить, как индексам цен P( p0, p1, v 0, v 1) того типа, который обычно, следующим образом:

изучался в пунктах 16.30–16.73, то есть именно так, как Фишер и намеревался использовать этот крите- pib qib sib i 1,..., n. (16.85) рий. Поэтому критерий определенности относи- n bb тельно цен Фишера следует интерпретировать сле- p k qk дующим образом: если какая-нибудь одна цена pi0 k или pi1 стремится к нулю, то индекс цен P( p0, p1, q0, Пусть b b sb [s1,…, sn ] обозначает вектор долей расхо q1) не должен стремиться к нулю или к плюс беско дов базисного года. Индекс цен Янга (1812) в период t нечности. При такой интерпретации этого крите по сравнению с периодом 0 определяется как:

рия можно удостовериться, что индексы Ласпейре са, Пааше и Фишера удовлетворяют данному кри pit n терию, тогда как индекс цен Торнквиста–Тейла — PY ( p 0, p t, s b ) sib.

(16.86) pi нет. Следовательно, при использовании индекса i цен Торнквиста–Тейла необходимо исключить ну левые значения цен, чтобы избежать бессмыслен Индекс цен Лоу (1823, стр. 316)74 в период t по сравне ных значений индекса.

нию с периодом 0 определяется следующим образом:

16.128. Уолш осознавал, что индексы среднегео метрического типа, такие как индекс цен Торнквис та–Тейла PT или геометрический индекс цен Уолша pit n n sib pit qib PGW, определяемый уравнением (16.64), становятся pib несколько неустойчивыми72, если индивидуальные i PLo ( p 0, p t, q b ) i (16.87) n n соотношения цен оказываются очень большими или pk 0b b p k qk sk очень маленькими: b pk k1 k «Поэтому маловероятно, чтобы на практике геомет рическое среднее существенно отличалось от истинно го значения. Однако мы видели, что когда классы [то есть расходы] очень неравномерны, а изменения цен 73Ряд аксиоматических свойств индекса Лоу разработал очень велики, это среднее может существенно откло Болдуин (1990, стр. 255).


няться от истинного значения» (Уолш, 1901, стр. 373).

74Эта формула индекса также с точностью совпадает с форму «В случаях умеренного неравенства размеров клас- лой индекса типа А, представленной в работе Бина и Стайна сов или чрезмерных изменений одной из цен геомет- (Bean and Stine, 1924, стр. 31). Уолш (1901, стр. 539) первона рический метод, по-видимому, сам по себе демонстри- чально ошибочно приписывал формулу Лоу Дж. Пулет Скроупу рует тенденцию к отклонению, становясь ненадеж- (G. Poulett Scrope, 1833), который в 1833 году написал книгу Principles of political economy («Начала политической экономии») ным, тогда как два других метода по-прежнему дают и предложил в ней формулу Лоу, не упомянув о приоритете достаточно близкие результаты» (Уолш, 1901, стр. 404).

Лоу. Но рассматривая работу Фишера (1921), Уолш (1921b, 16.129. Если взвесить все аргументы и критерии, стр. 543–544) исправил свою ошибку относительно авторства формулы Лоу:

представленные выше, то, как представляется, не «Какой индекс следовало бы тогда использовать? Та большое предпочтение можно отдать идеальному ин кой:qp1/qp0. Это метод, использовавшийся Лоу без малого сто дексу цен Фишера как подходящему для статистичес- лет назад. В своей книге [1901 года] я назвал его индексом Ско ких ведомств целевому индексу, но, конечно, мнения упа, но его следовало бы назвать индексом Лоу. Обратите внима ние, что в данном индексе используются количества не базисно го и не последующего года. Используемые в нем количества 72Тоесть индекс может стремиться к нулю или к плюс беско- должны представлять собой приблизительные оценки количеств нечности. на протяжении всего рассматриваемого периода или эпохи».

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ И СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОДЫ К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ Приложение 16.1.

16.132. Ниже перечислено 12 желательных акси ом для индексов цен в виде P( p0, p1), которые основа Доказательство оптимальности ны на аксиомах, приведенных в данной главе. Пред индекса цен Торнквиста–Тейла полагается, что компоненты векторов цен p0 и p t пе при втором двустороннем риодов 0 и t строго положительны.

методе на основе критериев Положительность: P(p0, p t) 0, если все К1:

цены положительны. Критерии (К1, К2 и т.д.), упомянутые в данном приложе нии, — это критерии, представленные в пунктах 16.98– Непрерывность: P(p0, p t) есть непрерывная К2:

16.119.

функция цен.

1. Пусть ri pi1/pi0 для i = 1,…, n. Используя К1, К9 и Критерий тождественности: P( p0, p 0) = 1. уравнение (16.66), P( p0, p1, v0, v1) = P*(r, v0, v1).

К3:

Используя К6, К7 и уравнение (16.63):

Критерий однородности в отношении цен К4:

периода t: P(p0, p t) = P( p0, p t ) для всех 0. P(p0, p1, v0, v1) = P*(r, s0, s1), (A16.1.1) Критерий однородности в отношении цен К5:

периода 0: P(p 0, p t) = –1( p 0, p t ) для всех где st — вектор долей расходов периода t для t = 0,1.

2. Пусть x (x1,…, xn) и y (y1,…, yn) — строго поло 0.

жительные векторы. Из критерия транзитивности К Критерий обратимости товаров:

К6: и уравнения (A16.1.1) следует, что функция P* облада P(p 0, pt ) = P(p0*, p t*), где p0* и p t* ет следующим свойством:

обозначают одну и ту же перестановку P ( x;

s 0, s 1 ) P ( y ;

s 0, s 1 ) P ( x1 y1,..., x n y n ;

s 0, s1 ).

компонентов векторов цен p0 и p t 75.

Инвариантность к изменениям единиц К7: (A16.1.2) измерения (критерий соизмеримости).

3. Используя критерий К1, P*(r, s 0, s 1) 0, а ис Критерий обратимости во времени:

К8:

пользуя критерий К14, P*(r, s0, s1) строго возрастает по P(p t, p0) = 1/P(p0, p t). компонентам r. Из критерия тождественности К3 сле дует, что:

Критерий циркулярности или транзитив К9:

ности: P(p0, p2) = P(p0, p1) P(p1, p2).

P (1n, s 0, s 1 ) 1, (A16.1.3) К10: Критерий среднего значения: min{pit/p0 : i = i 1,…, n} P(p 0, pt ) max{pit/p0 : i = 1,…, n}. где 1n — вектор единиц размерности n. Используя ре i зультат, приписываемый Айхорну (1978, стр. 66), мож К11: Критерий монотонности в отношении цен но показать, что эти свойства P * достаточны для того, периода t P(p 0, p t) P(p 0, p t*) если p t p t*. чтобы из этого следовало существование положитель ных функций i(s0, s1) для i = 1,…,n, при которых P * К12: Критерий монотонности в отношении цен имеет следующее представление:

периода 0 P(p 0, p t) P(p 0*, p t) если p 0 p 0*.

n 16.133. Нетрудно показать, что индекс Лоу, опре ln P ( r, s 0, s1 ) ( s 0, s1 ) ln ri. (A16.1.4) деляемый уравнением (16.87), удовлетворяет всем 12 i i аксиомам, или критериям, перечисленным выше.

4. Из критерия непрерывности К2 следует, что по Поэтому индекс Лоу обладает очень хорошими акси ложительные функции i(s 0, s1) непрерывны. Для оматическими свойствами относительно своих цено из критерия линейной однородности К4 следует, что:

вых переменных76.

16.134. Нетрудно показать, что индекс Янга, оп ln P ( r, s 0, s 1 ) ln P (r, s 0, s 1 ) ln ределяемый уравнением (16.86), удовлетворяет 10 из 12 аксиом, не соответствуя критерию обратимости n ( s 0, s 1 ) ln ri, во времени К8 и критерию циркулярности К9. Та i ким образом, аксиоматические свойства индекса i Янга определенно хуже, чем свойства индекса Лоу. (A16.1.4) n n ( s 0, s 1 ) ln ( s 0, s 1 ) ln ri 75В случае применения этого критерия к индексам Лоу и Ян- i i i1 i га предполагается, что вектор количеств базисного года qb и вектор долей базисного года sb подвергаются одной и той же n ( s 0, s 1 ) ln ln P (r, s 0, s 1 ), перестановке.

i 76Следует напомнить, что, как отмечалось в главе 15, основ- i ная сложность с индексом Лоу возникает, когда вектор весов (A16.1.4).

на основе количеств, qb, нерепрезентативен с точки зрения количеств, которые были приобретены в интервале между пе (16.1.5) риодами 0 и 1.

РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА Если приравнять правые части первой и последней строк 8. Необходимо допустить, что выполняется крите уравнения (A16.1.5), то будет видно, что функции рий в отношении весов К17, и подставить уравнение i(s 0, s 1) должны удовлетворять следующему ограничению: (16.71) в уравнение (A16.1.9), чтобы получить следую щее уравнение:

n (s 0, s1 ) i (A16.1.6) pi i i 1,..., n.

(0,0) ln 0;

(A16.1.11) i pi для всех строго положительных векторов s 0 y s 1.

5. Если использовать критерий в отношении весов Поскольку pi1 и pi0 могут быть любыми положительными К16 и критерий обратимости товаров К8, то будут вы- числами, можно увидеть, что из уравнения (A16.1.11) полняться уравнения (16.69). Из уравнения (16.69) в следует:

сочетании с критерием соизмеримости К9 следует, что P * удовлетворяет следующему уравнению: i 1,..., n.

(0,0) 0 ;

(A16.1.12) i 0 1 0 P (1,..., 1, ri, 1,..., 1 ;

s, s ) f (1, ri, s, s ) ;

i 1,..., n i i 9. Пусть количество товаров n больше 3 или равно 3.

(A16.1.7) Используя уравнения (A16.1.10) и (A16.1.12), можно применить теорему 2 в работе Акцеля (Aczl, 1987, стр. 8) для всех ri 0, где f — функция, определенная в критерии и получить следующую функциональную форму для каждого i(si0, s i1):

К16.

6. Следует подставить уравнение (A16.1.7) в урав нение (A16.1.4), чтобы получить следующую систему ( si0, si1 ) si0 ) si1 ;

i 1,..., n,(A16.1.13) ( i уравнений:

где — это положительное число, удовлетворяющее ln P (1,..., 1, ri,1,...,1;

s 0, s1 ) ln f (1, ri, s 0, s1 ) условию 0 1.

0 (s, s ) ln ri ;

i 1,..., n 10. Наконец, критерий обратимости во времени i (A16.1.8) К10 или критерий симметричности весов на основе ко личеств К12 можно использовать, чтобы показать, что должна равняться Ѕ. Если подставить это значение Однако из уравнения (A16.1.8) следует, что положитель ная непрерывная функция 2n переменных i(s 0, s 1) по- вместо в уравнение (A16.1.13), а затем подставить это стоянна относительно всех своих аргументов, за исклю- уравнение в уравнение (A16.1.9), то функциональная чением si0 и si1, и это свойство выполняется для каждого i. форма P*, а значит и P, будет определяться следую Таким образом, каждую i(s 0, s 1) можно заменить на по- щим образом:

ложительную непрерывную функцию двух переменных i(si0, si1) для i = 1,…,n77. Теперь нужно заменить i(s 0, s 1) ln P( p 0, p1, v 0, v1 ) ln P ( r, s 0, s1 ) в уравнении (A16.1.4) на i(si0, si1) для i = 1,…,n и полу pi n чить следующую форму представления P*: si1 ) ln (A16.1.14).

( si pi i n ln P ( r, s 0, s1 ) (si0, si1 ) ln r. (A16.1.9) i i 7. Из уравнения (A16.1.6) следует, что функции i(s 0, s1) также удовлетворяют следующим ограничениям:

n n n si0 si1 ( si0, s i1 ) 1.

1 1 i i1 i1 i (A16.1.10) 77Более конкретно (s 0, s 1) (s 0, 1,…, 1;

s 1, 1,…, 1) и т.д.

11 1 11 То есть при определении 1(s1, s1 ) используется функция 0 1(s1, 1,…, 1;

s1, 1,…, 1), причем все компоненты векторов s 0 и s1, за исключением первого, принимаются равными про извольному положительному числу, например, 1.

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ НА ПРИМЕРЕ ОДНОГО ДОМАШНЕГО ХОЗЯЙСТВА Введение ходов) оказываются среди «наилучших» и в рамках экономического подхода к теории индексов. В этих 17.1. Данная и следующая главы посвящены эко- разделах на функцию предпочтения единственного номическому подходу к теории индексов. В настоя- домашнего хозяйства будут наложены дополнитель щей главе рассматривается случай одного домашнего ные ограничения по сравнению с теми допущениями хозяйства, а в следующей главе речь идет о случае мно- о предпочтениях, которые были введены в двух пре гих домашних хозяйств.

Ниже представлен краткий дыдущих разделах. Предлагаются конкретные функ обзор содержания данной главы. циональные формы функции полезности потребите 17.2. В пунктах 17.9–17.17 представлена теория ля, и оказывается, что при каждом таком конкретном индекса стоимости жизни для единственного потре- допущении на основе наблюдаемых данных о ценах и бителя или домашнего хозяйства. Эта теория перво- количествах можно точно рассчитать истинный ин начально была разработана русским экономистом декс стоимости жизни потребителя. Каждая из этих А.А. Конюсом (A.A. Конюс, 1924). В указанных пунк- трех конкретных функциональных форм функции тах разъясняется взаимосвязь между (ненаблюдае- полезности потребителя позволяет аппроксимиро мым) истинным индексом стоимости жизни и наблю- вать произвольную линейно однородную функцию с даемыми индексами Ласпейреса и Пааше. Следует точностью до второго порядка;

то есть, пользуясь эко отметить, что в рамках экономического подхода к номической терминологией, можно сказать, что каж теории индексов предполагается, что домашние дая из этих трех функциональных форм является гиб хозяйства рассматривают сведения о наблюдаемых кой. Следовательно, в соответствии с терминологией, ценах как данность, тогда как сведения о количествах предложенной Дивертом (1976), индексы цен Фише рассматриваются как решения различных экономи- ра, Уолша и Торнквиста — это примеры гиперболичес ческих задач оптимизации. Многие специалисты по ких формул индексов.

статистике цен полагают, что допущения, выдвигае- 17.5. В пунктах 17.50–17.54 показано, что при ис мые в рамках экономического подхода, являются не- пользовании «нормальных» временных рядов данных сколько неправдоподобными. Возможно, лучше все- индексы Фишера, Уолша и Торнквиста очень близко го было бы считать предположения, выдвигаемые в аппроксимируют друг друга. Это весьма удобный ре рамках экономического подхода, просто формаль- зультат, поскольку эти три формулы индексов посто ным отражением того факта, что обычно потребители янно оказываются «наилучшими» в рамках всех под покупают больше какого-то товара, если его цена па- ходов к теории индексов. Таким образом, данный вы дает относительно цен на другие товары. вод о близкой аппроксимации подразумевает, что 17.3. В пунктах 17.18–17.26 на предпочтения по- обычно не имеет значения, какой из этих трех индек требителя накладываются определенные ограниче- сов выбирается в качестве предпочтительного целево ния по сравнению с самым общим случаем, представ- го индекса для построения индекса потребительских ленным в пунктах 17.9–17.17. В пунктах 17.18–17.26 цен (ИПЦ).

предполагается, что функция, отражающая предпо- 17.6. Индексы цен Пааше и Ласпейреса обладают чтения потребителя относительно альтернативных одним очень удобным математическим свойством:

сочетаний товаров, является однородной в первой они согласованы в агрегировании. Так, если для постро степени. Это допущение означает, что каждая по- ения субиндексов, например, по продуктам питания верхность безразличия (множество наборов това- или одежде, используется формула Ласпейреса, зна ров, которые приносят потребителю одинаковое чения этих субиндексов можно рассматривать как со удовлетворение или полезность) представляет собой отношения цен для субагрегатов и, используя доли радикальное увеличение единственной поверхности расходов на эти субагрегаты, можно вновь применить безразличия. Как будет показано ниже, это допол- формулу Ласпейреса для построения двухступенчатого нительное допущение позволяет упростить теорию индекса цен Ласпейреса (на основе процедуры двух истинной стоимости жизни. этапного агрегирования). Согласованность в агреги 17.4. В разделах, начинающихся с пунктов 17.27, ровании означает, что этот двухступенчатый индекс 17.33 и 17.44, показано, что индексы цен Фишера, равен соответствующему одноступенчатому индексу.

Уолша и Торнквиста (которые являются «наилучши- В пунктах 17.55–17.60 показано, что гиперболические ми» с точки зрения различных неэкономических под- индексы, выведенные в предыдущих разделах, не сов РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА сем согласованы в агрегировании, однако прибли- честв q 0 и q1 независимы от двух векторов цен p 0 и p1.

женно согласованы в агрегировании. В рамках экономического подхода вектор количеств 17.7. В пунктах 17.61–17.64 выводится очень ин- периода 0 q 0 определяется функцией предпочтения тересная формула индекса: индекс цен Ллойда–Мо- потребителя f и вектором цен периода 0 p 0, с кото ултона (Lloyd, 1975;

Moulton, 1996a). В этой формуле рым сталкивается потребитель, а вектор количеств индекса используется та же самая информация, ко- периода 1 q1 определяется функцией предпочтения торая требуется для расчета индекса Ласпейреса (а потребителя f и вектором цен периода 1 p1.

именно доли расходов базисного периода, цены ба- 17.10. В рамках экономического подхода к теории зисного и текущего периодов), а также еще один па- индексов предполагается, что «данный» потребитель раметр (эластичность замещения товаров). Если бы имеет хорошо определенные предпочтения относи можно было получить информацию об этом допол- тельно различных сочетаний n потребительских това нительном параметре, полученный таким образом ров или продуктов2. Каждое сочетание продуктов индекс позволил бы значительно уменьшить систе- может быть представлено в виде положительного век тора количеств q (q1,…, qn). Предполагается, что матическую ошибку вследствие неучета эффекта за мещения, и его можно было бы рассчитать, исполь- предпочтения потребителя относительно возможных зуя, по существу, ту же самую информацию, которая альтернативных векторов потребления q могут быть необходима для исчисления индекса Ласпейреса. представлены в виде непрерывной неубывающей и вогнутой3 функции полезности f. Так, если f(q1) 17.8. В разделе, начинающемся с пункта 17.65, об f(q0), то потребитель предпочитает вектор потребле суждается проблема определения истинного индекса стоимости жизни в ситуации, когда предпочтения по- ния q1 вектору q 0. Кроме того, предполагается, что требителя представлены в годовом выражении, а це- потребитель минимизирует затраты на достижение уровня полезности периода t, ut f(qt) для периодов ны, с которыми он сталкивается, доступны с месяч ной (квартальной) периодичностью. В этом разделе t = 0,1. Таким образом, предполагается, что наблюда емый в периоде t вектор потребления qt является предпринята попытка дать экономическое обоснова ние для индекса Лоу, проанализированного в главе 15. решением следующей задачи минимизации затрат В нем также кратко изложены проблемы, связанные с периода t:

сезонными товарами, которые более подробно рас сматриваются в главе 22. В последнем разделе речь n C (u t, p t ) pit qi : f ( q ) ut f (qt ) min q идет о ситуациях, когда цена на товар может быть рав- i на нулю в одном периоде, но отличаться от нуля в n pit qit другом периоде. (17.1) для t = 0, i Индекс стоимости жизни Конюса Вектор цен периода t на n рассматриваемых товаров, с и наблюдаемые границы которым сталкивается потребитель, обозначается как pt. Следует заметить, что решение задачи минимиза 17.9. В данном разделе рассматривается теория ции затрат, или расходов (17.1), для общего уровня индекса стоимости жизни для случая единственного полезности u и общего вектора цен товаров p опреде потребителя (или домашнего хозяйства), которая ляет функцию затрат потребителя C(u, p). Функция была впервые разработана русским экономистом затрат будет использована ниже, для того чтобы дать Конюсом (1924). Эта теория строится на допущении определение индекса стоимости жизни потребителя.

об оптимизирующем поведении экономических аген 17.11. Семейство истинных индексов стоимости тов (потребителей или производителей). Так, при за жизни Конюса (1924), относящихся к двум перио данном векторе цен товаров p t, с которым домашнее дам, когда потребитель сталкивается со строго по хозяйство сталкивается в заданном периоде t, предпо ложительными векторами цен p0 ( p0,…, pn ) и лагается, что соответствующий наблюдаемый вектор p1 ( p1,…, p1 ) в периодах 0 и 1, соответственно, количеств q t является решением задачи минимиза- 1 n определяется как отношение минимальных затрат ции затрат, в которую входит функция предпочтения или полезности потребителя f 1. Таким образом, в противоположность аксиоматическому подходу к 2В данной главе предполагается, что эти предпочтения не ме няются во времени, тогда как в следующей главе это допуще теории индексов, при экономическом подходе от ние ослабляется (одна из переменных внешней среды может сутствует допущение о том, что два вектора коли- быть переменной времени, отражающей изменения вкусов).

3Следует заметить, что функция f вогнута тогда и только тогда, когда f(q1 + (1–)q2) f(q1) + (1–) f (q2) для всех 0 1 и всех q1 0n и q2 0n. Следует отметить также, что q 0N оз 1Описание экономической теории индексов цен затрат и выпу начает, что каждый компонент N-мерного вектора q неотрица ска продукции можно найти в работе Балка (1998a). В эконо телен, q 0n означает, что каждый компонент q положите мической теории индекса цен выпуска продукции предполага лен, а q 0n означает, что q 0n, но q 0n, то есть q неотрица ется, что qt является решением задачи максимизации доходов, включающей вектор цен на выпускаемую продукцию p t. телен, но по крайней мере один его компонент положителен.

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ НА ПРИМЕРЕ ОДНОГО ДОМАШНЕГО ХОЗЯЙСТВА на достижение одного и того же уровня полезности C ( f (q 1 ), p 1 ) PK ( p 0, p 1, q 1 ) u f(q), где q (q1,…, qn) — положительный базис- C ( f (q 1 ), p 0 ) ный вектор количеств:



Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 42 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.