авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 25 | 26 || 28 | 29 |   ...   | 42 |

«Руководство по индексам потребительских цен Т е о р и я и п р а к т и к а Международное бюро труда ...»

-- [ Страница 27 ] --

n pq C ( f ( q), p1 ). ii i PK ( p 0, p1, q), (17.1) t C ( f (q1 ), p 0 ) C ( f ( q ), p 0 ) (17.2) n Следует заметить, что определение (17.2) характери- p i1 q i зует семейство индексов цен, поскольку для каждого i, выбранного базисного вектора количеств q имеется n 0 min q p q i : f (q ) f (q ) один такой индекс. i i 17.12. Было бы естественно в определении (17.2) выбрать два конкретных базисных вектора коли C(f(q 0 ), p 0 ), (17.4) честв q: наблюдаемый вектор количеств базисного периода q0 и вектор количеств текущего периода q1. n p i1 q i Выбор первого из этих векторов приводит к следую q1 (q1,..., q 1 ) i, щему истинному индексу стоимости жизни Ласпей- n n 0 pq реса–Конюса: i i i C ( f ( q 0 ), p 1 ) PK ( p 0, p 1, q 0 ), C ( f ( q 0 ), p 0 ) n 0 C ( f ( q ), p ) C ( f (q 1 ), p 0 ) p i0 q i1,, применяя (17.1) для t = n i pq 1 ii i C ( f (q 1 ), p 0 ) n n p i0 q i pi1 qi : f ( q) f (q 0 ) min q i, i PP ( p 0, p 1, q 0, q 1 ), n (17.3) pi0 qi где PP — индекс цен Пааше. Таким образом, (нена i блюдаемый) истинный индекс стоимости жизни используя определение задачи минимизации затрат, Пааше–Конюса ограничен снизу наблюдаемым ин которая определяет C( f(q0), p1) дексом цен Пааше5.

17.14. Эти два неравенства (17.3) и (17.4) можно n проиллюстрировать для случая, когда существует все pi1 qi го два товара, — см. рисунок 17.1. Решение задачи ми, i n нимизации затрат периода 0 есть вектор q0. Прямая pi0 qi линия C представляет собой бюджетное ограничение i потребителя в периоде 0, то есть множество точек ко личеств q1, q2, таких что p0q1 + p0q2 = p0q0 + p0q0. Кри поскольку q0 (q0,…, qn ) является допустимым 1 2 11 вая линия, проходящая через q0, — это кривая безраз решением задачи минимизации личия потребителя в периоде 0, то есть множество то = PL( p0, p1, q0, q1), чек q1,q2, таких что f(q1, q2) = f(q0, q0);

иными слова ми, это множество векторов потребления, которые где PL — индекс цен Ласпейреса. Таким образом, приносят ту же полезность, что и наблюдаемый век (ненаблюдаемый) истинный индекс стоимости жиз тор потребления периода 0 q0. Решение задачи мини ни Ласпейреса–Конюса ограничен сверху наблюда мизации затрат периода 1 есть вектор q1. Прямая ли емым индексом цен Ласпейреса4.

ния D представляет собой бюджетное ограничение 17.13. Выбор второго из этих двух естественных потребителя в периоде 1, то есть множество точек ко вариантов базисного вектора количеств q в определе личеств q1,q2, таких что p1 q1 + p1q2 = p1 q1 + p1q1.

1 2 11 нии (17.2) приводит к следующему истинному индексу Кривая линия, проходящая через q1, — это кривая стоимости жизни Пааше–Конюса: безразличия потребителя в периоде 1, то есть множе ство точек q1,q2, таких что f(q1, q2) = f(q1, q1);

иными словами, это множество векторов потребления, кото рые приносят ту же полезность, что и наблюдаемый вектор потребления периода 1 q1. Точка q0* является 4Это неравенство впервые было получено Конюсом (1924;

5Это неравенство приписывается Конюсу (1924;

1939, стр. 19);

1939, стр. 17). См. также Поллак (1983). см. также Поллак (1983).

РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА 17.15. Рисунок 17.1 можно также использовать Рисунок 17.1 Границы Ласпейреса и Пааше для иллюстрации неравенства (17.4). Во-первых, сле для истинного индекса стоимости жизни дует заметить, что пунктирные линии, проходящие через E и F, параллельны линии изокосты периода 0, q проходящей через C. Точка q1* является решением ги потетической задачи минимизации затрат, необходи мых для достижения уровня полезности текущего пе q1 = (q11, q21) риода u1 f(q1), при векторе цен периода 0 p0 = (p0, p0 ).

0* * * q Таким образом, C(u1, p0 ) = p0q1 + p0q1. Согласно 11 уравнению (17.4), истинный индекс Пааше–Конюса q0 = (q10, q20) q1* равен [p1q1 + p1q1]/C(u1, p0), тогда как обычный ин 11 декс Пааше равен [p1q1 + p1q1]/[p0q1 + p0q1]. Посколь 11 22 11 ку числители этих двух индексов одинаковы, разница между индексами связана с различиями в их знамена q1 телях. На рис. 17.1 это различие в знаменателях выра O A B C D E F жается в том, что линия затрат, проходящая через E, расположена ниже параллельной ей линии затрат, проходящей через F. Величина этой разницы отража ет величину систематического расхождения вследст решением гипотетической задачи минимизации за- вие неучета эффекта замещения между истинным ин трат, необходимых для достижения уровня полезности дексом и соответствующим индексом Пааше, то есть базисного периода u0 f(q0) при векторе цен периода 1 индекс Пааше обычно меньше, чем соответствующий * p1 = ( p1, p1 ). Таким образом, C(u0, p1) = p1q0 + p1q0, ему истинный индекс стоимости жизни PK ( p0, p1, q1).

1 2 11 а пунктирная линия, проходящая через A, — это Следует отметить, что направление этого неравенства соответствующая линия равных затрат (изокосты) противоположно предыдущему неравенству для двух p1q1 + p1q2 = C(u0, p1). Следует отметить, что гипоте- индексов Ласпейреса. Причина такого изменения на 1 тическая линия затрат, проходящая через A, парал- правления заключается в том, что в первом случае лельна фактической линии затрат периода 1, прохо различаются числители двух индексов (неравенства дящей через D. Согласно уравнению (17.3), истинный Ласпейреса), тогда как во втором случае различаются индекс Ласпейреса–Конюса равен C(u0, p1)/[p0 q0 + 11 знаменатели индексов (неравенства Пааше).

p0q0], тогда как обычный индекс Ласпейреса равен 22 17.16. Ограничение (17.3), которое накладыва 1 q0 + p1q0 ]/ [p0q0 + p0 q0]. Поскольку знаменатели [p1 1 22 11 22 ется на истинный индекс стоимости жизни Ласпей этих двух индексов одинаковы, разница между ин реса–Конюса PK ( p0, p1, q0 ) путем использования в дексами связана с различиями в их числителях. На качестве уровня жизни уровня полезности базисно рисунке 17.1 это различие в числителях выражается в го периода, является односторонним, равно как и ог том, что линия затрат, проходящая через A, располо раничение (17.4), которое накладывается на истин жена ниже параллельной ей линии затрат, проходя ный индекс стоимости жизни Пааше-Конюса щей через B. Если бы кривая безразличия потребите PK ( p0, p1, q1) путем использования в качестве уров ля, проходящая через наблюдаемый вектор потребле ня жизни уровня полезности текущего периода. Ко ния периода 0 q 0, имела L образный вид с углом в q 0, нюс (1924;

1939, стр. 20) получил выдающийся ре тогда потребитель не стал бы менять свою структуру зультат, показав, что существует промежуточный потребления в ответ на изменение относительных вектор потребления q*, который лежит на прямой, цен двух товаров и сохранил бы при этом постоян соединяющей вектор потребления базисного перио ный уровень жизни. В этом случае гипотетический да q0 с вектором потребления текущего периода q1, вектор q 0 * совпадал бы с q 0, пунктирная линия, про так что соответствующий (ненаблюдаемый) истин ходящая через A, совпадала бы с пунктирной линией, ный индекс стоимости жизни PK ( p0, p1, q*) находит проходящей через B, а истинный индекс Ласпейре ся между наблюдаемыми индексами Ласпейреса и са–Конюса совпадал бы с обычным индексом Лас Пааше PL и PP6. Таким образом, доказано существо пейреса. Однако L-образные кривые безразличия в вание числа *, лежащего в интервале между 0 и 1, целом не согласуются с потребительским поведени ем, то есть при снижении цены товара спрос потре- такого что бителей на него обычно растет. Таким образом, в об щем случае между точками A и B существует разрыв.

Величина этого разрыва отражает величину система тической ошибки вследствие неучета эффекта заме- 6Более недавние случаи применения метода доказательства Ко щения между истинным индексом и соответствую нюса см. в работе Диверта (1983a, стр. 191), где этот метод при щим индексом Ласпейреса, то есть индекс Ласпейре- меняется в отношении потребителя, и в другой работе Диверта са обычно больше, чем соответствующий ему истин- (1983b, стр. 1059–1061), где он применяется в отношении про ный индекс стоимости жизни PK (p0, p1, q0 ). изводителя.

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ НА ПРИМЕРЕ ОДНОГО ДОМАШНЕГО ХОЗЯЙСТВА ние не только совершенно обоснованно с точки зре или PK ( p 0, p1, * q 0 * ) q1 ) (17.5) PL PP (1 ния реального экономического поведения, но и ле жит в основе экономических индексов цен, которые PK ( p 0, p1, * q 0 * ) q1 ) PP PL.

( не зависят от уровня жизни потребителя9. Согласно Неравенства (17.5) имеют определенную практичес- этому предположению, функцию расходов или за трат потребителя C(u, p), которая определяется урав кую ценность. Если наблюдаемые (в принципе) ин дексы Пааше и Ласпейреса не слишком удалены нением (17.1), можно разложить на составляющие друг от друга, то симметрическое среднее этих двух следующим образом. При положительных ценах на товары p 0N и положительном уровне полезности u, индексов должно хорошо аппроксимировать истин ный индекс стоимости жизни, когда базисный уро- используя определение C как минимальных затрат на достижение заданного уровня полезности u, можно вень жизни находится где-то между уровнями жизни базисного и текущего периодов. Для того чтобы оп- получить следующие равенства:

ределить точную форму симметрического среднего n индексов Пааше и Ласпейреса, можно обратиться к C(u,p) min q p i q i : f (q1,..., q n ) u результатам, приведенным в пунктах 15.18–15.32 i главы 15, и в качестве «наилучшего» среднего вы n, min q pi qi : f (q1,..., q n ) брать геометрическое среднее индексов Пааше и Ла u i спейреса, которое представляет собой индекс цен u Фишера. Таким образом, в пользу идеального индек са цен Фишера как хорошей аппроксимации нена- n q q1, min q pi qi : f (,..., n ) блюдаемого теоретического индекса стоимости жиз u u i ни выдвигаются достаточно веские доводы.

f 17.17. Ограничения (17.3)–(17.5) — это самое луч шее, что можно получить относительно истинных ин- n pi qi q q : f ( 1,..., n ) u min q дексов стоимости жизни, не прибегая к дополнитель u u u i ным допущениям. Дополнительные допущения вво, дятся ниже для класса функций полезности, описы- n u min z p i z i : f ( z1,..., z n ) вающих вкусы потребителя относительно n товаров.

i Благодаря этим новым допущениям можно точно оп qi ределить истинную стоимость жизни потребителя.

zi u Истинный индекс стоимости uC (1, p) жизни при гомотетических (17.1) предпочтениях uc( p), (17.6) 17.18. До сих пор функция предпочтения потре бителя f не должна была удовлетворять какому-либо определенному допущению об однородности. В ос тавшейся части данного раздела предполагается, что f (положительно) линейно однородна7. В экономичес- 9Авторство данной конкретной ветви экономического подхода кой литературе это допущение известно как допуще- к теории индексов приписывается Шепарду (1953;

1970) и Са муэльсону и Свэйми (Samuelson and Swamy, 1974). Шепард, в ние о гомотетических предпочтениях8. Это допуще частности, осознал важность допущения о гомотетичности в сочетании с допущениями о возможности разделения для обос нования существования субиндексов общего индекса стоимос 7Линейная однородность функции f означает, что она облада ти жизни. Следует отметить, что, если изменение реального до ет следующим свойством: f (q) = f (q) для всех 0 и всех хода или полезности для потребителя между двумя рассматри q 0n. Это допущение носит довольно ограничительный ха ваемыми периодами не слишком велико, то допущение о гомо рактер в отношении потребителя. Из него следует, что каждая тетичности предпочтений потребителя приведет к истинному кривая безразличия является радиальной проекцией кривой индексу стоимости жизни, очень близкого к истинным индек безразличия единичной полезности. Из него также следует, сам стоимости жизни Ласпейреса–Конюса и Пааше–Конюса, что все эластичности спроса по доходу равны единице, что которые определяются уравнениями (17.3) и (17.4). Еще один противоречит эмпирическим данным. способ обосновать допущения о гомотетических предпочтени 8Более конкретно, согласно Шепарду (Shephard, 1953), гомотети- ях заключается в использовании уравнения (17.49), которое ческая функция — это монотонное преобразование линейно од- обосновывает применение гиперболического индекса нородной функции. Однако, если функция полезности для по- Торнквиста–Тейла PT при негомотетических предпочтениях.

требителя гомотетична, всегда можно изменить ее масштаб, сде- Поскольку обычно PT близок по величине к другим гиперболи лав эту функцию линейно однородной, не меняя поведения по- ческим индексам, которые строятся на допущении о гомотети требителя. Следовательно, допущение о гомотетических предпо- ческих предпочтениях, то можно видеть, что допущение о гомо чтениях можно просто отождествить с допущением о линейной тетичности при построении индексов в большинстве случаев не однородности. будет приводить к ошибочным эмпирическим заключениям.

РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА где c( p) C(1, p) — функция затрат на единицу про C ( f (q ), p 1 ) PK ( p 0, p 1, q ) дукта, которая соответствует f10. Можно показать, C ( f (q ), p 0 ) что функция затрат затрат на единицу продукта c( p) удовлетворяет тем же условиям регулярности, что и c( p 1 ) f (q), (17.8) функция f;

то есть c( p) положительна, вогнута и (по c( p 0 ) f (q ) ложительно) линейно однородна по положитель (17.6) ным векторам цен11. Подставляя уравнение (17.6) в уравнение (17.1) и используя ut = f(qt ), можно полу- c( p 1 ).

чить следующее уравнение:

c( p 0 ) n c( p t ) f ( q t ) 0,1.

pit qit t Таким образом, при допущении о гомотетических (17.7) i предпочтениях все семейство истинных индексов стоимости жизни Конюса сужается до одного единст Таким образом, при допущении о линейной однород венного индекса c( p1)/c( p0), который представляет ности функции полезности f наблюдаемые расходы в собой отношение минимальных затрат на достиже периоде t на n товаров равны затратам на единицу ние уровня единичной полезности при уровнях цен продукта в периоде c( pt ) на достижение единицы по периодов 1 и 0, соответственно. Иными словами, лезности, умноженным на уровень полезности в пе при допущении о гомотетических предпочтениях риоде t f(qt ). Очевидно, затраты на единицу продукта PK ( p0, p1, q) не зависит от базисного вектора коли в периоде t c( pt ) можно отождествить с уровнем цен в честв q.

периоде t Pt, а уровень полезности в периоде t f(qt ) — 17.20. Если в качестве концепции индекса цен ис с уровнем количеств в периоде t Qt 12.

пользуется истинный индекс стоимости жизни Ко 17.19. Допущение о линейной однородности нюса, определяемый правой частью уравнения (17.8), функции предпочтения потребителя f позволяет то соответствующий индекс количеств, исчисляемый упростить семейство истинных индексов стоимости косвенным образом посредством критерия произве жизни Конюса PK ( p0, p1, q), определяемых уравне дения (согласно которому произведение индекса цен нием (17.2). Используя это определение для произ на индекс количеств равно соотношению стоимос вольного базисного вектора количеств q, можно тей), будет иметь следующий вид:

получить следующее:

n pi1 qi 0 1 0 1 i Q( p, p, q, q ) n pit qit PK ( p 0, p1, q) i 10Экономисты, несомненно, узнают аналог выражения C(u, p) c( p 1 ) f (q 1 ), = uc( p) из теории производителя: если производственная c( p 0 ) f (q 0 ) PK ( p 0, p 1, q) функция производителя f характеризуется постоянной отда чей от масштаба, то соответствующая функция общих затрат (17.7) C(u, p) равна произведению уровня выпуска продукции u и за трат на единицу продукта c( p).

c( p 1 ) f ( q 1 ), 11Очевидно, что функция полезности f определяет функцию c( p ) f ( q 0 ) c( p 1 ) / c( p 0 ) затрат потребителя C(u, p) как решение задачи минимизации затрат в первой строке уравнения (17.6). Тогда функция затрат (17.8) на единицу продукта c( p) определяется как C(1, p). Таким об f (q 1 ) разом, f определяет c. Однако при соответствующих условиях.

регулярности c также можно использовать для определения f.

(17.9) f (q 0 ) В экономической литературе это известно как теория двойст венности. Дополнительный материал о теории двойственнос ти и о свойствах f и c можно найти в работах Самуэльсона Таким образом, при допущении о гомотетических (1953), Шепарда (1953) и Диверта (1974a;

1993b, стр. 107–123).

предпочтениях исчисленный косвенным образом 12Существует также интерпретация приведенной выше тео индекс количеств, соответствующий индексу цен, рии с точки зрения теории производителя. Пусть f — это про построенному как истинный индекс стоимости изводственная функция производителя (с постоянной отда жизни c(p1)/c(p0), представляет собой соотношение чей от масштаба), p — это вектор цен на затраты ресурсов, с которыми сталкивается производитель, q — это вектор затрат полезностей f(q1)/f(q0). Поскольку предполагается, ресурсов, а u = f (q) — это максимально возможный выпуск что функция полезности однородна в первой степе продукции с использованием вектора затрат ресурсов q. C(u, p) minq {n piqi: f (q) u} в данном случае представляет со- ни, данная форма является естественным определе i= бой функцию издержек производителя, а c( pt) можно отожде- нием индекса количеств.

ствить с уровнем цен на ресурсы в периоде t, тогда как f (qt ) 17.21. При изложении последующего материала представляет собой общее количество ресурсов, использован потребуются еще два результата из экономической те ных в периоде t.

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ НА ПРИМЕРЕ ОДНОГО ДОМАШНЕГО ХОЗЯЙСТВА блюдаемый вектор количеств периода t qt является ре ории: тождество Уолда и лемма Шепарда. Тождество Уолда (Wold, 1944, стр. 69–71;

1953, стр. 145) представ- шением задачи минимизации затрат, определяемой C(ut, p t), qt должен представлять собой допустимое ре ляет собой следующее. Предполагая, что для перио дов 0 и 1 выполняются допущения о минимизации за- шение этой задачи, поэтому должно выполняться ра венство f(qt ) = ut. Таким образом, qt является допусти трат потребителя (17.1) и что функция полезности f дифференцируема в точках, соответствующих наблю- мым решением следующей задачи минимизации за даемым векторам количеств q0 и q1, можно показать13, трат, где вместо общего вектора цен p подставлен кон кретный вектор цен периода t pt:

что выполняется следующее уравнение:

f (q t ) n n C (u t, p) min q pi qi : f (q1,..., q n ) u t pi qit t p qi 0,1 1,..., n, i t k i1 i f (qt ) n n tt t p k qk qk (17.10) (17.13) qk k1 k где f(qt)/qi обозначает частную производную где неравенство следует из того факта, что qt t t функции полезности f по i-му количеству qi, вычис- (q1,…, qn ) — допустимое (но, как правило, не опти ленную в точке, соответствующей вектору коли- мальное) решение задачи минимизации затрат, честв периода t qt. представленной в уравнении (17.13). Теперь для 17.22. Если сделано допущение о гомотетических каждого строго положительного вектора цен p нуж предпочтениях и предполагается, что функция полез- но определить следующую функцию g(p):

ности линейно однородна, то тождество Уолда можно n упростить и привести к следующему уравнению, ко- C (u t, p), (7.14) pi qit g ( p) торое оказывается весьма полезным14: i где, как обычно, p (p1,…, pn). Используя уравнения f ( q t ) qi pit 0,1 1,..., n. (17.13) и (17.1), можно показать, что g(p) достигает t k f (qt ) n минимума (по всем строго положительным векто tt p k qk рам цен p) в точке p = pt. Таким образом, выполня (17.11) k ются необходимые условия первого порядка для ми 17.23. Лемма Шепарда (1953, стр. 11) представля нимизации дифференцируемой функции n пере ет собой следующее. Пусть рассматривается задача менных, что позволяет упростить уравнение (17.12).

минимизации затрат периода t, определяемая уравне 17.25. Если сделано допущение о гомотетических нием (17.1). Если функция затрат C(u, p) дифферен предпочтениях и если предполагается, что функция цируема по компонентам вектора цен p, то вектор ко полезности линейно однородна, то при использова личеств периода t qt равен вектору первых частных нии уравнения (17.6) лемма Шепарда (17.12) прини производных функции затрат по компонентам p:

мает следующий вид:

C (u t, p t ) i 1,..., n 0,1.

qit t c( p t ) i 1,..., n 0,1.

qit ut pi t (17.15) pi (17.12) Объединение уравнений (17.15) и (17.7) дает следу 17.24. Для того чтобы объяснить, почему выпол ющее уравнение:

няется уравнение (17.12), нужно рассмотреть следую щее утверждение. Поскольку предполагается, что на c( p t ) qit c( p t ) 1,..., n 0,1.

i t 13Для доказательства этого утверждения нужно рассмотреть ус- n pi t t pq ловия первого порядка, необходимые для того, чтобы строго k k положительный вектор qt был решением задачи минимизации k1 17. затрат периода t. Условия Лагранжа для вектора q переменных таковы: pt = t f (qt ), где t — оптимальный множитель Лагран жа, а f(qt ) — вектор первых частных производных f, взятых в 17.26. Следует отметить симметричность уравне точке qt. Следует отметить, что эта система уравнений пред- ний (17.16) и (17.11). Именно эти два уравнения будут ставляет собой систему уравнений формы «цена равна констан использоваться ниже в данной главе.

те, умноженной на предельную полезность», которые хорошо знакомы экономистам. Теперь следует взять скалярное произве дение обеих сторон этого уравнения на вектор количеств перио да t qt и решить полученное уравнение для t. Подстановка это Гиперболические индексы:

го решения назад в векторное уравнение pt = t f (qt ), дает идеальный индекс Фишера уравнение (17.10).

14Нужно дифференцировать по обе стороны уравнения f (q) = f(q), а затем решить полученное уравнение при = 1. 17.27. Пусть потребитель имеет следующую функ Это дает уравнение n fi(q)qi = f(q), где fi(q) f(q)/qi. цию полезности:

i= РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА n n n f (q1,..., q n ) aik qi q k, p k qk n q (17.17) i1k1 i k fi (q ) n f (q0 ) aik a ki i k. pi1 qi i i, Дифференцируя f(q), определяемую уравнением q1 q n n 0 (17.17), по qi, можно получить следующее уравнение: fi (q ) i 0 f i (q ) i f (q ) f (q ) i1 i n 2 используя уравнение (17.11) для t = aik qk f i ( q) i 1,..., n, k 2 n n qi1 qi n n n n a jk q j qk, 0 aik qk aik qk 2 f (q0 ) f ( q1 ) j1k1 i1k1 i1k 17.18) n aik qk используя уравнение (17.19), k f ( q) 1 1, 2 где fi(q) f(qt)/qi. Для того чтобы получить первое f (q 0 ) f ( q1 ) уравнение из (17.18), необходимо использовать усло вия симметричности: aik = aki. Теперь можно решить используя уравнение (17.17) и сокращая второе уравнение из (17.18) в точке, соответствующей наблюдаемому вектору количеств периода t qt f ( q1 ) (q1t, …, qn), и разделить обе стороны полученного t (17.20) f (q 0 ) уравнения на f(qt ). Это дает следующие уравнения:

n Таким образом, если допустить, что в течение перио t aik qk f i (q ) дов 0 и 1 потребитель минимизирует свои затраты и t 0,1 1,..., n.

k t i что его предпочтения относительно n товаров соот f (q t ) f (q t ) ветствуют функции полезности, определяемой урав нением (17.17), то идеальный индекс количеств Фи (17.19) шера QF в точности равен истинному индексу коли честв f(q1)/f(q0)15.

Пусть в периодах 0 и 1 поведение потребителя ха рактеризуется стремлением к минимизации затрат. 17.28. Как было отмечено в пунктах 15.18–15. Поскольку функция полезности f, определяемая главы 15, индекс цен, которому соответствует индекс уравнением (17.17), линейно однородна и диффе- количеств Фишера QF на основе критерия произведе ренцируема, уравнение (17.11) будет выполняться. ния (15.3), есть индекс цен Фишера PF, определяемый Теперь следует вспомнить определение идеального уравнением (15.12). Пусть c(p) — функция затрат на индекса количеств Фишера QF, которое было дано единицу продукта, которая соответствует однородной выше в главе 15: квадратичной функции полезности f, определяемой уравнением (17.17). Тогда, используя уравнения (17.16) и (17.20), можно увидеть, что c( p 1 ) n n (17.21) pi0 qi1 pi1qi1 PF ( p 0, p 1, q 0, q 1 ) c( p 0 ) 0 1 0 1 i i QF ( p, p, q, q ) n n 00 p k qk p k qk Таким образом, если допустить, что в течение пери k1 k одов 0 и 1 потребитель минимизирует свои затраты и что его предпочтения относительно n товаров со n pi1 qi1 ответствуют функции полезности, определяемой n q, уравнением (17.17), то идеальный индекс цен Фи 0 i i f i (q ) n f (q 0 ) шера PF в точности равен истинному индексу цен 1 i pq k k c( p1)/c( p0).

k 15Относительно предыстории этого результата см. Диверт используя уравнение (17.11) для t = (1976, стр. 184).

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ НА ПРИМЕРЕ ОДНОГО ДОМАШНЕГО ХОЗЯЙСТВА Дифференцирование функции c(p), определяемой 17.29. Дважды непрерывно дифференцируемая функция f(q) n переменных q (q1,…, qn) позволяет уравнением (17.22), по pi дает следующие уравнения:

получить аппроксимацию второго порядка другой n функции с такими же свойствами, f* (q), в окрестно- bik pk сти точки q*, если уровни и все первые и вторые ча- k parai = 1,...,nn для i 1,..., ci ( p ) стные производные обеих функций совпадают в точ- 2 n n ке q*. Можно показать16, что однородная квадратич- b jk p j p k ная функция f *, определяемая уравнением (17.17), j 1k позволяет получить аппроксимацию второго порядка n (17.23) для произвольной функции f*, принадлежащей к bik pk классу линейно однородных функций, в окрестности, k любой (строго положительной) точки q*. Таким обра- c(q) зом, однородная квадратичная функциональная фор где ci( p) c( pt )/pi. Для того чтобы получить пер ма, определяемая уравнением (17.17), является гибкой вое уравнение из (17.23), необходимо использовать функциональной формой17. Диверт (1976, стр. 117) назвал формулу индекса Q( p0, p1, q0, q1), которая бы- условия симметричности. Теперь нужно решить второе уравнение из (17.23) в точке, соответствую ла в точности равна истинному индексу количеств щей наблюдаемому вектору цен периода t, p t f (q1)/f (q0) (где f — гибкая функциональная форма), (p1t,…, ptn), и разделить обе стороны полученного гиперболической формулой индекса18. Уравнение (17.20) в сочетании с тем фактом, что однородная квадратич- уравнения на c(pt). Это дает следующее уравнение:

ная функция f, определяемая уравнением (17.17), n является гибкой функциональной формой, показы- t bik pk ci ( p t ) вают, что идеальный индекс количеств Фишера QF, 0,1 1,..., n.

k t i определяемый уравнением (15.14), является гипер- (17.24) c( p t ) c( p t ) болической формулой индекса. Поскольку идеаль ный индекс цен Фишера PF удовлетворяет уравне нию (17.21), где c(p) — функция затрат на единицу Поскольку предполагается, что в периодах 0 и 1 по продукта, порождаемая однородной квадратичной требитель минимизирует затраты, и поскольку функ функцией полезности, PF также называют гиперболи- ция затрат на единицу продукта c, определяемая урав ческой формулой индекса. нением (17.22), дифференцируема, выполняются 17.30. Существует и другой способ показать, что уравнения (17.16). Теперь следует вспомнить опреде идеальный индекс цен Фишера является гиперболи- ление идеального индекса цен Фишера PF, который ческой формулой индекса. Вместо того чтобы начи- задается уравнением (15.12) в главе 15:

нать с предположения о том, что функция полезности для потребителя является однородной квадратичной n n функцией, определяемой уравнением (17.17), можно pi1 qi0 pi1qi начать с предположения о том, что функция затрат по PF ( p 0, p 1, q 0, q1 ) i1 i требителя на единицу продукта является однородной n n 0 0 pq p k qk квадратичной функцией19. Пусть потребитель имеет k k следующую функцию затрат на единицу продукта: k1 k n n n pi1qi c( p1,..., pn ) bik pi pk, bik bki ik n c (p ), i1k pi0 i i n c( p ) p k q i (17.22) k k 16См. Диверт (1976, стр. 130), предполагается, что параметр r равен 2. используя уравнение (17.16) для t = 17В экономическую литературу этот термин ввел Диверт n (1974a, стр. 133).

p k q k 18Фишер (1922, стр. 247) использовал термин «гиперболичес- n c (p ) pi1 i 0 k кий» для характеристики идеального индекса цен Фишера. n c( p ) Таким образом, Диверт заимствовал терминологию Фишера, pi1 qi i но попытался уточнить определение гиперболичности Фише i ра. Фишер называл формулу индекса гиперболической, если она аппроксимировала соответствующие идеальные результа ты Фишера при использовании его набора данных.

ci ( p 0 ) ci ( p 1 ), n n pi1 pi 19Диверт (1974a, стр. 112) показал, что при заданной функции c( p 0 ) c( p1 ) затрат потребителя на единицу продукта c(p) соответствую- i1 i щую функцию полезности f(q) можно определить следую щим образом: для строго положительного вектора количеств используя уравнение (17.16) для t = q, f (q) 1/maxp, { n pi qi: c ( p) = 1}.

i= РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА Таким образом, если предпочтения потребителя со 1 1 ответствуют функции затрат на единицу продукта,, 2 c( p 0 ) c( p1 ) определяемой уравнением (17.22), где bik удовлетво ряет ограничениям (17.26), то векторы количеств пе риодов 0 и 1 пропорциональны вектору b (b1,…, bn), используя уравнение (17.22) и сокращая члены то есть q0 = b u0 и q1 = b u1. При данных предположе ниях индексы Фишера, Пааше и Ласпейреса PF, PP и c( p1 ). (17.25) PL совпадают друг с другом. Однако предпочтения, c( p 0 ) соответствующие функции затрат на единицу продук та, определяемой уравнением (17.27), не согласуются Таким образом, если допустить, что в течение пери с нормальным поведением потребителя, поскольку одов 0 и 1 потребитель минимизирует свои затраты они подразумевают, что потребитель не станет заме и что его предпочтения относительно n товаров со нять более дорогие товары более дешевыми при изме ответствуют функции затрат на единицу продукта, нении относительных цен между периодами 0 и 1.

определяемой уравнением (17.22), то идеальный ин декс цен Фишера PF в точности равен истинному индексу цен c( p1)/c( p0 )20.

Гипе рболические индексы 17.31. Поскольку однородная квадратичная функ в виде квадратичного ция затрат на единицу продукта c(p), определяемая среднего степени r уравнением (17.22), также является гибкой функцио нальной формой, тот факт, что идеальный индекс цен Фишера PF в точности равен истинному индексу цен 17.33. Существует множество других гиперболи c( p1)/c( p0 ), означает, что PF является гиперболичес- ческих формул индексов, то есть множество индексов количеств Q( p0, p1, q0, q1), которые в точности равны кой формулой индекса21.

f(q1)/f(q0), и множество индексов цен P(p0, p1, q0, q1), 17.32. Пусть коэффициенты bik уравнения которые в точности равны c( p1)/c( p0), где функция (17.22) удовлетворяют следующим ограничениям:

агрегирования f или функция затрат на единицу про bik = bi bk для i, k = 1,…, n, (17.26) дукта c представляет собой гибкую функциональную форму. Ниже приводятся определения двух семейств где n чисел bi неотрицательны. Можно видеть, что в гиперболических индексов.

данном частном случае уравнения (17.22) функцию 17.34. Пусть предпочтения потребителя описыва затрат на единицу продукта можно упростить следу- ются следующей функцией полезности в виде квадра ющим образом: тичного среднего степени r22:

n n f r (q1,..., q n ) aik qir / 2 q k / 2, r n n r (17.29) c( p1,..., pn ) bi bk pi pk i1k i1k где параметры aik удовлетворяют условиям симмет n n n ричности aik = aki для всех i и k, а параметр r удовле (17.27) bi pi bk pk bi pi творяет ограничению r 0. Диверт (1976, стр. 130) i1 k1 i продемонстрировал, что функция полезности f r, оп ределяемая уравнением (17.29), является гибкой При подстановке уравнения (17.27) в лемму Шепар- функциональной формой, то есть может аппрокси да (17.15) получаются следующие выражения для мировать произвольную дважды непрерывно диффе векторов количеств периода t, qt: ренцируемую линейно однородную функциональную форму с точностью до второго порядка. Следует отме c( p t ) тить, что при r = 2 f r равна однородной квадратичной qit ut bi u t i 1,..., n;

t 0,1 (17.28) функции, определяемой уравнением (17.17).

pi 17.35. Пусть индекс количеств в виде квадратич ного среднего степени r Qr определяется как:

20Этот результат был получен Дивертом (1976, стр. 133–134).

n 21Следует отметить, что, как было показано, индекс Фишера si0 (qi1 / qi0 ) r / r PF точен для предпочтений, определяемых уравнением i r 0 1 0 1, Q ( p, p,q,q ) (17.17), а также для предпочтений, двойственных по отноше n нию к функции затрат на единицу продукта, определяемой (17.30) 0 r/ 1 s (q / q ) r уравнением (17.22). В общем случае эти два класса предпо- i i i чтений не совпадают. Однако если симметрическая матрица i A размерности n х n с элементами aik обратима, то можно по казать, что матрица B размерности n х n и с элементами bik бу 22Эта терминология приписывается Диверту (1976, стр. 129).

дет равна A–1.

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ НА ПРИМЕРЕ ОДНОГО ДОМАШНЕГО ХОЗЯЙСТВА где sit pitqit / n pkqk, как обычно, — доля расходов в tt n n k= pi1qi1 pi0 qi0 qi периоде t на i-й товар.

i1 i 17.36. Используя в точности те же методы, кото- n n pi1 qi0 qi рые применялись в пунктах 17.27–17.32, можно пока- pqii зать, что Q r точен для функции агрегирования f r, оп- i1 i ределяемой уравнением (17.29), то есть между индек- n n pi1qi1 pi1 qi0 qi сом количеств Q r и функцией полезности f r выполня i i ется следующее точное соотношение: n n pi0 qi0 pi0 qi0 qi f r (q 1 ) i i Q r ( p 0, p1, q 0, q1 ) (17.31) f r (q 0 ) n pi1qi PW ( p 0, p1, q 0, q1 ), Таким образом, если допустить, что в течение перио- i n дов 0 и 1 потребитель минимизирует свои затраты и pqii что его предпочтения относительно n товаров соот- i ветствуют функции полезности, определяемой урав- (17.33) нением (17.29), то индекс количеств в виде квадратич ного среднего степени r QF в точности равен истинно му индексу количеств f r(q1)/f r(q0) 23. Поскольку Q r то- где PW — индекс цен Уолша, определенный выше в уравнении (15.19) из главы 15. Таким образом, P1* чен для f r и f r является гибкой функциональной фор равен PW, индексу цен Уолша, и поэтому он являет мой, можно видеть, что индекс количеств в виде ква ся также гиперболическим индексом цен.

дратичного среднего степени r Qr представляет собой гиперболический индекс для каждого r 0. Таким об- 17.39. Пусть функция затрат потребителя на еди ницу продукта в виде квадратичного среднего степени разом, существует бесконечное множество гипербо r имеет следующий вид r 24:

лических индексов количеств.

17.37. Для каждого индекса количеств Qr можно использовать критерий произведения (15.3) из гла- n n c r ( p1,..., p n ) bik pir / 2 pkr / 2, r вы 15, чтобы определить соответствующий исчис- (17.34) i1k ленный косвенным образом индекс цен в виде ква дратичного среднего степени r, Pr*:

где параметры bi k удовлетворяют условиям симмет n pi1qi1 ричности bik = bki для всех i и k, а параметр r удовле r* c (p ), творяет ограничению r 0. Диверт (1976, стр. 130) P r* ( p 0, p1, q 0, q 1 ) i n c r* ( p 0 ) продемонстрировал, что функция затрат на единицу pi0 qi0 Q r ( p 0, p1, q 0, q1 ) продукта cr, определяемая уравнением (17.34), явля i (17.32) ется гибкой функциональной формой, то есть мо cr* жет аппроксимировать произвольную дважды не где — функция затрат на единицу продукта, кото рая соответствует функции агрегирования f r, опреде- прерывно дифференцируемую линейно однород ляемой уравнением (17.29). Для каждого r 0 непря- ную функциональную форму с точностью до второ го порядка. Следует отметить, что при r = 2 cr равна мой индекс цен в виде квадратичного среднего степе ни r P r * является также гиперболическим индексом. однородной квадратичной функции, определяемой 17.38. При r = 2 Qr, определяемый уравнением уравнением (17.22).

17.40. Пусть индекс цен в виде квадратичного (17.30), упрощается до QF, то есть до идеального ин среднего степени r P r определяется как:

декса количеств Фишера, а Pr*, определяемый урав нением (17.32), упрощается до PF, то есть до идеаль ного индекса цен Фишера. При r = 1 Qr, определяе- r/ pi n si мый уравнением (17.30), упрощается до: r pi i P r ( p 0, p1,q 0,q1 ), r/ 1 (17.35) n p si qi1 qi n n i n r 0 00 s pq pq p i ii i qi0 qi ii i i1 i Q 1 ( p 0, p 1, q 0, q1 ) i n qi0 qi n n pi0 qi si1 pi1qi qi1 qi i i1 i 24Эта терминология приписывается Диверту (1976, стр. 130), а сама эта функция затрат на единицу продукта была впервые 23 См. Диверт (1976, стр. 130). определена Денни (Denny, 1974).

РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА где sit pitqit / n pkqk, как обычно, — доля расходов в tt k= периоде t на i-й товар. pi1 pi n n n si0 pi0 qi pi1qi 17.41. Используя в точности те же методы, которые pi0 pi i1 i применялись в пунктах 17.27–17.32, можно показать, P 1 ( p 0, p 1, q 0, q1 ) i n что P r точен для функции агрегирования, определяе- pi n n p pi0 qi si1 pi1 qi i мой уравнением (17.34), то есть между формулой ин- pi p i i1 i i декса P r и функцией затрат на единицу продукта cr n n выполняется следующее точное соотношение:

pi1 qi1 qi0 pi0 pi c r ( p1 ) i1 i P r ( p 0, p 1, q 0, q1 ) n n (17.36) qi1 pi0 pi cr ( p0 ) pqii i1 i n n Таким образом, если предположить, что в течение qi1 pi0 pi pq периодов 0 и 1 потребитель минимизирует свои за- ii i i траты и что его предпочтения относительно n то- n n qi0 pi0 pi варов соответствуют функции затрат на единицу pqii продукта, определяемой уравнением (17.34), то i i индекс цен в виде квадратичного среднего степени n pi1qi r PF в точности равен истинному индексу цен cr( p1)/cr( p0) 25. Поскольку Pr точен для cr, и cr являет- QW ( p 0, p1, q 0, q1 ), i n ся гибкой функциональной формой, можно видеть, pqii что индекс цен в виде квадратичного среднего степе- (17.38) i ни r Pr представляет собой гиперболический индекс для каждого r 0. Таким образом, существует беско нечное множество гиперболических индексов цен. где QW — индекс количеств Уолша, определенный 17.42. Для каждого индекса цен P r можно исполь- выше в сноске 30 к главе 15. Таким образом, Q1* ра зовать критерий произведения (15.3) из главы 15, что- вен QW, индексу количеств Уолша, и поэтому он яв бы определить соответствующий исчисленный кос- ляется также гиперболическим индексом количеств.

венным образом индекс количеств в виде квадратич ного среднего степени r Qr*:

Гиперболические индексы:

индекс Торнквиста n pq ii f r* ( p1 ), Q r* ( p 0, p1, q 0, q1 ) i 17.44. В данном разделе принимаются те же до n f r* ( p 0 ) pi0 qi0 P r ( p 0, p1, q 0, q1 ) пущения о поведении потребителя, что и в пунктах 17.9–17.17. В частности, отсутствует допущение о i (17.37) том, что функция полезности для потребителя f обя зательно является линейно однородной, как это предполагалось в пунктах 17.18–17.43.

где fr* — функция агрегирования, которая соответ 17.45. Прежде чем будет получен основной ре ствует функции затрат на единицу продукта cr, опре зультат, необходим один предварительный результат.

деляемой уравнением (17.34)26. Для каждого r Пусть функция n переменных f(z1,…, zn) f(z) явля исчисленный косвенным образом индекс количеств ется квадратичной функцией, то есть в виде квадратичного среднего степени r Qr* являет ся также гиперболическим индексом. n 1n n 17.43. При r = 2 P r, определяемый уравнением f ( z1,..., z n ) a0 ai z i aik z i z k y (17.39) 2i (17.35), упрощается до PF, то есть до идеального ин- i1 k декса цен Фишера, а Qr*, определяемый уравнением и aik = aki для всех i и k, (17.37), упрощается до QF, то есть до идеального ин декса количеств Фишера. При r = 1 Pr, определяемый где ai и aik — константы. Пусть fi (z) обозначает пер уравнением (17.35), упрощается до:

вую частную производную функции f, взятую в точ ке z по i-му компоненту z, zi. Пусть fik(z) обозначает вторую частную производную функции f по zi и zk.

Тогда хорошо известно, что аппроксимация квадра тичной функции рядом Тейлора второго порядка яв ляется точной;

то есть, если f определяется уравне 25См. Диверт (1976, стр. 133–134).

нием (17.39), то для любых двух точек z0 и z1 выпол 26Используя cr, функцию fr* можно определить следующим об разом: f r*(q) 1/ maxp {n piqi: cr(p) = 1}. няется следующее уравнение:

i= ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ НА ПРИМЕРЕ ОДНОГО ДОМАШНЕГО ХОЗЯЙСТВА n 17.47. Предполагается, что предпочтениям потре f ( z1 ) f (z 0 ) f i ( z 0 ){z i1 z i0 } (17.40) бителя соответствует транслогарифмическая функ i ция затрат и что в течение периодов 0 и 1 потребитель n n 1 минимизирует свои затраты. Пусть p0 и p1 — наблюда f ik ( z 0 ){z i1 z i0 }{z 1 zk } k емые векторы цен периодов 0 и 1, а q0 и q1 — наблюда 2 i1k емые векторы количеств периодов 0 и 1. Из этих пред положений следует, что:

Менее известно, что среднее двух рядов Тейлора первого порядка также дает точную аппроксима- n n C (u 0, p 0 ) pi0 qi0 C (u 1, p1 ) pi1qi1, (17.44) цию квадратичной функции, то есть, если f опреде ляется приведенным выше уравнением (17.39), то i1 i для любых двух точек z0 и z1 выполняется следую щее уравнение27: где C — транслогарифмическая функция затрат, оп ределенная выше. Теперь, применив лемму Шепар n f (z1 ) f (z 0 ) { fi (z 0 ) f i ( z 1 )}{z i1 z i0 } да, то есть уравнение (17.12), можно вывести следу 2 i ющее уравнение:

(17.41) C (u t, p t ) Диверт (1976, стр. 118) и Лау (Lau, 1979) показали, что 1,..., n 0, qit i t уравнение (17.41) описывает квадратичную функ pi цию, и назвали это уравнение леммой о квадратичной (17.45) C (u t, p t ) ln C (u t, p t ) аппроксимации. В данной главе уравнение (17.41) бу.

ln pi дет обозначаться как квадратичное тождество. pit 17.46. Пусть функция затрат потребителя28 C(u,p) имеет следующую транслогарифмическую функцио- Теперь нужно использовать уравнение (17.44), что нальную форму29: бы заменить C(ut, pt ) в уравнении (17.45). После не которых перемножений оно превратится в следую n n n ln C (u, p) a0 ai ln pi aik ln pi ln p k щее уравнение:

i1 i1k n 1 ln C (u t, p t ) pit qit b00 (ln u ) 2, b0 ln u bi ln pi ln u i 1,..., n t 0, sit ln pi 2 n i1 t t pq (17.42) k k k (17.46) где ln — функция натурального логарифма, а парамет ры ai, aik и bi удовлетворяют следующим ограничениям:

или n n n a ki, 1, 0 0 i, k 1,..., n. n aik ai bi aik 0,1, aik ln p k bi ln u t i 1,..., n sit t ai t i1 i1 k k (17.43) (17.47) Данные ограничения на параметры гарантируют, где sit — доля расходов в периоде t на товар i.

что C(u,p), определяемая уравнением (17.42), ли 17.48. Пусть геометрическое среднее уровней по нейно однородна по p, а это — свойство, которым лезности периодов 0 и 1 определяется как u*, то есть должна обладать функция затрат. Можно показать, что с помощью транслогарифмической функции за трат, определяемой уравнением (17.42), можно по u* u 0u1 (17.48) лучить аппроксимацию рядом Тейлора второго по рядка для произвольной функции затрат30.

Теперь следует обратить внимание на то, что правая часть уравнения (17.42), определяющего натураль 27Доказательство ный логарифм транслогарифмической функции за этого и предыдущего соотношений легко поддается проверке. трат, является квадратичной функцией переменных 28Функция затрат потребителя была определена выше в zi ln pi, если полезность остается постоянной на уравнении (17.6).

уровне u*. Следовательно, можно применить квад 29В экономическую литературу эта функция была введена ратичное тождество (17.41), получив тем самым сле Кристенсеном, Йоргенсоном и Лау (Christensen, Jorgenson and дующее уравнение:

Lau, 1971).

30Можно показать также, что если все b = 0 u b = 0, то C(u, p) = i uC(1, p) uc(p), то есть гомотетические предпочтения являются ln C (u *, p 1 ) ln C (u *, p 0 ) следствием этих дополнительных ограничений, накладывае мых на параметры общей транслогарифмической функции за ln C (u *, p 0 ) ln C (u *, p 1 ) 1 n трат. Следует отметить, что предполагается также, что масштаб 2 ln pi ln pi полезности u определен таким образом, чтобы u всегда была i положительной.

РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ваний квадратичного тождества и использования ln pi1 ln pi0 леммы Шепарда (или тождества Уолда)32. К счастью, n n допущение о том, что у потребителя имеются (преоб 1 ai aik ln pk bi ln u * ai разованные) квадратичные предпочтения, является 2 i1 k адекватным для большинства эмпирических прило n жений, поэтому результаты, представленные в пунк aik ln p1 bi ln u * ln pi1 ln pi k тах 17.27–17.49, вполне полезны для практических k специалистов в области индексов, которые хотят n n 1 взять на вооружение экономический подход к теории bi ln u 0 u ai aik ln pk ai 2 индексов33. По существу, экономический подход к те i1 k ории индексов дает веские аргументы в пользу при (17.49) n n 1 менения индекса цен Фишера PF, определяемого bi ln u ai aik ln pk ai 2 уравнением (15.12), индекса цен Торнквиста–Тейла i1 k PT, определяемого уравнением (15.81), исчисленных n bi ln u1 ln pi1 ln pi0 косвенным образом индексов цен в виде квадратич aik ln pk ного среднего степени r Pr*, определяемых уравнени k ем (17.32) (при r = 1 этот индекс эквивалентен индек ln C (u*, p 0 ) ln C (u*, p1 ) n ln pi1 ln pi0 су цен Уолша, определяемому уравнением (15.19) в ln pi ln pi 2 главе 15), и индексов цен в виде квадратичного сред i него степени r P r, определяемых уравнением (17.35).

n si0 si1 ln pi1 ln pi0, используя utilizando la В следующем разделе рассматривается вопрос о том, 2 уравнение (17.46) i имеет ли значение, какая из этих формул выбрана в качестве «наилучшей».

В последнем уравнении из (17.49) можно узнать ло гарифм формулы индекса Торнквиста–Тейла PT, оп Аппроксимационные свойства ределенного выше в уравнении (15.81) из главы 15.

гиперболических индексов Поэтому потенцирование обеих частей уравнения (17.49) дает следующее равенство между изменени 17.50. Благодаря результатам, представленным в ем истинной стоимости жизни в периоде 1 по срав пунктах 17.27–17.49, в распоряжении специалистов нению с периодом 0, рассчитанной при промежу по статистике цен оказывается большое число фор точном уровне полезности u*, и наблюдаемым мул индексов, каждая из которых представляется оди индексом Торнквиста–Тейла PT31:

наково хорошей с точки зрения экономического под хода к теории индексов. Как следствие, возникают C (u *, p 1 ) PT ( p 0, p 1, q 0, q 1 ) два вопроса.

(17.50) C (u *, p 0 ) • Имеет ли значение то, какая из этих формул выбрана?

Поскольку транслогарифмическая функция затрат в • Если да, то какая формула должна быть выбрана?

левой части уравнения (17.49) является гибкой функ- 17.51. В отношении первого вопроса Диверт циональной формой, индекс цен Торнквиста–Тейла (1978, стр. 888) продемонстрировал, что все гипербо PT является также гиперболическим индексом. лические формулы индексов, перечисленные в пунк 17.49. Несколько загадочным представляется то, тах 17.27–17.49, аппроксимируют друг друга с точно каким образом с помощью наблюдаемой формулы стью до второго порядка в окрестности любой точки, индекса можно точно оценить соотношение нена- в которой два вектора цен p 0 и p1 равны между собой блюдаемых функций затрат в виде, представленном в и два вектора количеств q0 и q1 равны между собой.

левой части приведенного выше уравнения. Ключ к В частности, это означает, что при условии p0 = p разгадке этой тайны лежит в предположении о мини мизации затрат и в квадратичном тождестве (17.41), а также в том факте, что, согласно лемме Шепарда, 32См. Диверт (2002a).

производные функций затрат равны количествам.

33Вместе с тем, если предпочтения потребителя не гомотетич В действительности, все точные результаты исчисле- ны, а изменение полезности между двумя сопоставляемыми ния индексов, которые были получены в пунктах ситуациями значительно, может оказаться целесообразным 17.27–17.43, могут быть выведены путем преобразо- рассчитывать отдельно истинные индексы стоимости жизни Ласпейреса–Конюса и Пааше–Конюса, определяемые урав нениями (17.3) и (17.4): C(u0, p1)/C(u0, p1) и C(u1, p1)/C(u1, p0), соответственно. Для этого потребовалось бы использовать эконометрические методы и эмпирически оценить функцию 31Этот результат приписывается Диверту (1976, стр. 122). затрат или расходов потребителя.

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ НА ПРИМЕРЕ ОДНОГО ДОМАШНЕГО ХОЗЯЙСТВА в виде квадратичного среднего степени r P r определя и q0 = q1 для всех r и s, не равных нулю, выполняются следующие равенства34. ются уравнением (17.35). На основе результатов, приведенных в предыдущем пункте, Диверт (1978, стр. 884) сделал вывод о том, что «все гиперболичес P r ( p 0, p 1, q 0, q1 ) P s* ( p 0, p 1, q 0, q 1 ) PT ( p 0, p 1, q 0, q1 ) кие индексы близко аппроксимируют друг друга».

17.52. Вышеприведенное заключение, однако, неверно, даже если выполняются уравнения (17.51)– (17.51) (17.56). Проблема в том, что индексы цен в виде ква PT ( p 0, p 1, q 0, q 1 ) P r ( p 0, p 1, q 0, q1 ) дратичного среднего степени r P r и исчисленные ко pit pit свенным образом индексы цен в виде квадратичного P s* ( p 0, p 1, q 0, q 1 ) среднего степени s P s * являются (непрерывными) (17.52) pit функциями параметров r и s, соответственно. Следо вательно, когда r и s станут очень велики, индексы P r для i = 1,…, n и t = 0, и P s * могут существенно отличаться, например, от идеального индекса Фишера P 2 = PF. В самом деле, используя определение (17.35) и предельные свойст PT ( p 0, p 1, q 0, q 1 ) P r ( p 0, p 1, q 0, q1 ) ва средних степени r 35, Роберт Хилл (Robert Hill, qit qit 2000, стр. 7) показал, что P r имеет следующий предел P s* ( p 0, p 1, q 0, q 1 ) при r, стремящемся к плюс или минус бесконечности:


(17.53) qit lim P r ( p 0, p 1, q 0, q1 ) lim P r ( p 0, p 1, q 0, q1 ) для i = 1,…, n и t = 0,1 r r pi1 p PT ( p 0, p 1, q 0, q1 ) P r ( p 0, p 1, q 0, q1 ) max i i min i pit p k t pit p k t pi pi P s* ( p 0, p 1, q 0, q 1 ) (17.54) pit p k t (17.57) Используя метод анализа, предложенный Хиллом, для i, k = 1,…, n и t = 0, можно показать, что исчисленный косвенным обра зом индекс цен в виде квадратичного среднего сте PT ( p 0, p 1, q 0, q1 ) P r ( p 0, p 1, q 0, q1 ) пени r имеет следующий предел при r, стремящемся pit qk t pit qk t к плюс или минус бесконечности:

P s* ( p 0, p 1, q 0, q 1 ) lim P r* ( p 0, p 1, q 0, q 1 ) lim P r* ( p 0, p 1, q 0, q 1 ) (17.55) pit qk t r r n pi1 qi для i, k = 1,…, n и t = 0, i pi1 p n PT ( p 0, p1, q 0, q1 ) P r ( p 0, p 1, q 0, q1 ) pi0 qi0 min i max i i qit qk t qit qk t pi pi i s* 2 0 1 0 P ( p, p,q,q ) (17.58) qit qk t (17.56) Таким образом, при большом по величине r P r и P r * для i, k = 1,…, n и t = 0,1, могут существенно отличаться от PT, P1, P1* = PW (индекса цен Уолша) и P2 = P2* = PF (идеального где индекс цен Торнквиста–Тейла PT определяется индекса Фишера)36.

уравнением (15.81), исчисленные косвенным образом индексы цен в виде квадратичного среднего степени s P s * определяются уравнением (17.32), а индексы цен 35См. Харди, Литтлвуд и Поля (1934).

36Хилл (2000) зафиксировал это для двух наборов данных. Ис 34Для того чтобы доказать равенства, представленные уравне- пользованные им временные ряды состоят из данных о годо ниями (17.51)–(17.56), нужно просто дифференцировать раз- вых расходах и количествах по 64 компонентам валового внут личные формулы индексов и взять производные в точке, где реннего продукта США с 1977 по 1994 год. Для этого набора p0 = p1 и q0 = q1. На самом деле уравнения (17.51)–(17.56) будут данных Хилл (2000, стр. 16) обнаружил, что «гиперболические выполняться и при условии, что p1 = p0 и q1 = q0 для любых индексы могут отличаться друг от друга более чем в два раза чисел 0 и 0, то есть при условии, что вектор цен перио- (то есть более чем на 100 процентов), хотя индексы Фишера и да 1 пропорционален вектору цен периода 0 и что вектор коли- Торнквиста никогда не отличаются друг от друга более чем на честв периода 1 пропорционален вектору количеств периода 0. 0,6 процента».

РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА r = 1), оказывается наилучшим с точки зрения «чисто 17.53. Хотя теоретические и эмпирические ре зультаты, полученные Хиллом, убедительно показы- го» индекса цен. Результаты, представленные в дан вают, что не все гиперболические индексы будут обя- ном разделе, указывают на то, что в случае «нормаль зательно точно аппроксимировать друг друга, по- ных» временных рядов данных эти три индекса будут прежнему остается вопрос о том, насколько хорошо иметь практически одинаковые значения. Для того будут аппроксимировать друг друга наиболее часто чтобы определить, какой именно из этих трех индек используемые гиперболические индексы. Все широко сов следует использовать в качестве теоретического используемые гиперболические индексы P r и P r * по- целевого или фактического индекса, статистическое падают в интервал 0 r 2 37. Хилл (2000, стр. 16), ведомство должно будет решить, какой подход к тео проделав все возможные попарные сравнения между рии двухсторонних индексов в наибольшей степени любыми двумя значениями данных из своих времен- согласуется с его целями. Для большинства практиче ных рядов, следующим образом подвел итог, насколь- ских ситуаций, однако, не имеет значения, какой из ко далеко расходятся индексы Торнквиста и Фишера: этих трех индексов выбран в качестве теоретического целевого индекса для сравнения цен в двух периодах.

«Разница между значениями гиперболических ин дексов S(0,2) также представляет определенный ин Гиперболические индексы терес, поскольку на практике индексы Торнквиста (r = 0) и Фишера (r = 2) являются, безусловно, двумя и двухступенчатое агрегирование наиболее часто используемыми гиперболическими индексами. Во всех 153 попарных сравнениях S(0,2) 17.55. Большинство статистических ведомств ис оказывается меньше, чем разница между индексами пользует формулу Ласпейреса для агрегирования цен Пааше и Ласпейреса, и в среднем разница между ги в два этапа. На первом этапе формула Ласпейреса ис перболическими индексами составляет всего 0,1 про цента. Общее заблуждение о том, что все гиперболи- пользуется для агрегирования компонентов общего ческие индексы близко аппроксимируют друг друга, индекса (например, продуктов питания, одежды, ус лишь потому столь долго продержалось в литературе луг), а затем, на втором этапе агрегирования, эти суб по индексам, что до настоящего времени внимание индексы для компонентов объединяются в общий почти исключительно было сосредоточено на гипер индекс. В таком случае, естественно, возникает во болических индексах в интервале 0 r 2».

прос: совпадает ли индекс, рассчитанный в два этапа, Таким образом, проанализировав свои временные с индексом, рассчитанным в один этап? Вначале этот ряды, охватывающие 64 компонента валового внут- вопрос рассматривается применительно к формуле реннего продукта США с 1977 по 1994 год, и проде- Ласпейреса39.

лав все возможные попарные сравнения любых двух 17.56. Пусть данные о ценах и количествах пери лет, Хилл обнаружил, что индексы цен Фишера и ода t, pt и qt, можно записать в виде M подвекторов Торнквиста отличались друг от друга в среднем все- следующим образом:

го на 0,1 процента. Такое близкое соответствие со гласуется с результатами других эмпирических ис- p t1, p t2,....., p t M q t1, q t2,..., q t M pt qt следований, в которых используются временные ря ды годовых данных38. Дополнительные сведения на для t = 0,1, (17.59) этот счет можно найти в главе 19.

17.54. В предыдущих главах настоящего Руковод- где размерность подвекторов ptm и qtm составляет Nm ства было установлено, что несколько формул индек- для m = 1,2,…,M, причем сумма размерностей Nm рав сов оказываются «наилучшими» при рассмотрении их на n. Эти подвекторы содержат данные о ценах и ко с разных точек зрения. Так, идеальный индекс Фише- личествах для подкомпонентов индекса потребитель ра PF = P2 = P2*, определяемый уравнением (15.12), ских цен для периода t. Теперь для каждого из этих оказывается наилучшим с точки зрения одного аксио- компонентов нужно построить субиндексы, показы матического подхода, индекс цен Торнквиста–Тейла вающие их изменение в периоде 1 по сравнению с пе PT, определяемый уравнением (15.81), оказывается риодом 0. Для базисного периода цену каждого из наилучшим с точки зрения другого аксиоматического этих подкомпонентов, скажем, Pm0 для m = 1,2,…M, подхода, а также с точки зрения стохастического под- можно принять равной 1, а соответствующие количе хода, а индекс Уолша PW, определяемый уравнением ства подкомпонентов, скажем, Qm0 для m = 1,2,…,M, (15.19) (который равен исчисленным косвенным об- приравнять к объему потребления данного подком разом индексам цен в виде квадратичного среднего понента в базисном периоде для m = 1,2,…,M:

степени r Pr*, определяемым уравнением (17.32) при 39Значительная часть материала в данном разделе заимство вана из работ Диверта (1978) и Алтермана, Диверта и Финст 37Диверт (1980, стр. 451) показал, что индекс Торнквиста P T— ры (Alterman, Diewert and Feenstra, 1999). См. также работу это предельный случай P r при r, стремящемся к 0.

Балка (1996b), в которой рассматриваются альтернативные 38См., например, работу Диверта (1978, стр. 894) или работу определения концепции двухэтапного агрегирования и ссыл Фишера (1922), текст которой воспроизводится у Диверта ки на литературу по этой теме.

(1976, стр. 135).

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ НА ПРИМЕРЕ ОДНОГО ДОМАШНЕГО ХОЗЯЙСТВА мулу индекса цен Ласпейреса, используя информа Nm 0 pi0 m qi0 m 1 Qm 1,2,..., M.

Pm m (17.60) цию в уравнениях (17.63) и (17.64) как входные дан i ные для этой формулы индекса. Поскольку векторы индексов цен и векторы количеств, выступающие в Теперь следует использовать формулу Ласпейреса, качестве входных данных на втором этапе задачи аг чтобы исчислить индекс цен для каждого подкомпо регирования, имеют размерность M, в отличие от од нента ИПЦ, скажем, Pm1 для m = 1,2,…,M, в периоде ноступенчатой формулы, где используются векторы 1. Поскольку размерность векторов подкомпонентов размерности n, для обозначения нового индекса Лас ptm и qtm отличается от размерности векторов цен и пейреса необходим иной символ, например, PL*. Та количеств периода t pt и qt, включающих в себя все ким образом, индекс цен Ласпейреса, рассчитанный в компоненты, эти индексы Ласпейреса для подком два этапа, можно обозначить как PL.(P0, P1, Q0, Q1).

* понентов необходимо обозначить другими символа Теперь возникает вопрос: равен ли этот двухступенча ми, например, PLm для m = 1,2,…,M. Таким образом, тый индекс Ласпейреса соответствующему односту индексы цен для подкомпонентов в периоде 1 опре пенчатому индексу PL, который исследовался в преды деляются как дущих разделах данной главы? Иными словами, Nm выполняется ли следующее равенство:

pi1m qi0 m m 1 0m 1m 0m 1m i P P (p, p,q,q ) PL* ( P 0, P 1, Q 0, Q 1 ) PL ( p 0, p 1, q 0, q1 ). (17.65) m L Nm 0m 0m pqi i Если на каждом этапе агрегирования используется i формула Ласпейреса, то ответ на этот вопрос будет для m = 1, 2,…, M (17.61) положительным: с помощью простых вычислений можно показать, что индекс Ласпейреса, рассчитан После того как с помощью уравнения (17.61) опреде ный в два этапа, равен индексу Ласпейреса, рассчи лены субиндексы цен периода 1 для M, соответству танному в один этап.

ющие количества подкомпонентов периода 1 Qm1 для 17.57. Пусть теперь на каждом этапе агрегирова m = 1,2,…,M можно определить, поделив стоимости ния используются формулы Фишера или Торнквиста.

подкомпонентов в периоде 1 iN= 1 p1m q1m на индекс m i i Иными словами, пусть в уравнении (17.61) формула цен Pm: m Ласпейреса PL ( p0m, p1m, q0m, q1m) заменена на формулу m 0m Фишера PF ( p, p1m, q0m, q1m) или на формулу Nm pi1m qi1m m Торнквиста PT ( p0m, p1m, q0m, q1m);


а в уравнении (17.65) *(P0, P1, Q0, Q1) заменена на P * (или на (17.62) m 1,2,..., M.

i1 формула PL Q F m Pm PT*), а формула PL( p0, p1, q0, q1) — на PF (или на PT).

Справедливо ли тогда, что для этих индексов будут Теперь можно определить векторы цен и количеств получены результаты, аналогичные результату для подкомпонентов для каждого периода t = 0,1, двухэтапного агрегирования по формуле Ласпейреса, используя уравнения (17.60)–(17.62). Так, векторы который представлен уравнением (17.65)? Ответ на цен и индексов цен подкомпонентов для периодов этот вопрос будет отрицательным. Можно показать, и 1 P 0 и P1 определяются следующим образом:

что в общем случае P0 ( P10, P20,..., PM ) 1M P1 ( P11, P21,..., PM ), PF* ( P 0, P 1, Q 0, Q 1 ) PF ( p 0, p 1, q 0, q1 ) и (17.66) (17.63) PT* ( P 0, P 1, Q 0, Q 1 ) PT ( p 0, p1, q 0, q1 ) где 1M обозначает вектор единиц, имеющий раз- Аналогичным образом, можно показать, что фор мерность M, а компоненты P1 определяются урав- мула индекса в виде квадратичного среднего степе нением (17.61). Векторы количеств подкомпонен- ни r P r, определяемого уравнением (17.35), и фор тов для периодов 0 и 1 Q0 и Q1 определяются следу- мула исчисленного косвенным образом индекса в ющим образом: виде квадратичного среднего степени r Pr*, опреде ляемого уравнением (17.32), также несогласованы в Q0 (Q10, Q2,..., QM ) 0 Q1 1 1 (Q1, Q2,..., QM ), агрегировании.

(17.64) 17.58. Тем не менее, даже если формулы Фишера и Торнквиста не совсем согласованы в агрегировании, где компоненты Q0 определяются в уравнении (17.60), можно показать, что эти формулы приближенно со а компоненты Q1 определяются в уравнении (17.62).

гласованы. Говоря более конкретно, можно показать, Векторы цен (и индексов цен) и количеств в уравне что двухступенчатая формула Фишера PF* и односту ниях (17.63) и (17.64) представляют результаты перво пенчатая формула Фишера PF, фигурирующие в нера го этапа агрегирования. Теперь эти векторы можно венстве (17.66) и представляющие собой функции 4n использовать как входные данные для второго этапа переменных из векторов p0, p1, q0, q1, аппроксимиру задачи агрегирования, то есть нужно применить фор РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ют друг друга с точностью до второго порядка в окрест- Теперь товары 1 и 2 можно объединить в один субаг ности точки, в которой оба вектора цен равны между регат, а товары 3 и 4 в другой субагрегат. Вновь ис собой (то есть p0 = p1) и оба вектора количеств равны пользуя результат Хилла (17.57), можно найти предел индекса цен для первого субагрегата, равный [ab]1/2, и между собой (то есть q0 = q1), причем аналогичный ре зультат справедлив также для двух- и одноступенчато- предел индекса цен для второго субагрегата, равный [bc]1/2. Теперь можно перейти ко второму этапу агре го индексов Торнквиста в уравнении (17.66)40. Как можно было видеть в предыдущем разделе, односту- гирования и вновь применить результат Хилла, полу пенчатые индексы Фишера и Торнквиста обладают чив предельное значение двухступенчатого агрегата при использовании P r в качестве формулы индекса, схожим свойством аппроксимации, поэтому все че равное [ab2c]1/4. Таким образом, при r, стремящемся к тыре индекса в неравенстве (17.66) аппроксимируют друг друга с точностью до второго порядка в окрест- плюс или минус бесконечности, отношение предела ности точки равных (или пропорциональных) цен и одноступенчатого агрегата к пределу двухступенчато го агрегата равно [ac]1/2/[ab2c]1/4 = [ac/b2]1/4. Пусть b количеств. Таким образом, для нормальных времен может принимать любое значение от a до c, а следова ных рядов данных одноступенчатые и двухступенча тые индексы Фишера и Торнквиста, как правило, бу- тельно, отношение предела одноступенчатого агрега та P r к пределу его двухступенчатого аналога может дут очень близки друг к другу по значению. Этот ре принимать любое значение от [a/c]1/4 и [c/a]1/4. По зультат иллюстрируется в главе 19 с помощью набора условных данных41. скольку c/a больше 1, а a/c меньше 1, можно увидеть, что при увеличении r и при надлежащем выборе зна 17.59. Аналогичные результаты в отношении при чений a, b и c отношение одноступенчатого индекса к ближенной согласованности в агрегировании (как в случае с формулами Фишера и Торнквиста, рассмот- двухступенчатому может быть произвольно далеко от 1.

ренном в предыдущем пункте) можно получить для 17.60. Результаты, полученные в предыдущем индексов в виде квадратичного среднего степени r P r пункте, показывают, что делать допущение о том, что и для исчисленных косвенным образом индексов в все гиперболические индексы приближенно согласо виде квадратичного среднего степени r P r * — см. Ди- ваны в агрегировании, нужно с известной долей осто верт (1978, стр. 889). Тем не менее из результатов, по- рожности. Вместе с тем доступные эмпирические лученных Хиллом (2000), вновь следует, что свойство данные указывают на то, что три наиболее часто ис аппроксимации второго порядка одноступенчатого пользуемых гиперболических индекса (идеальный индекса в виде квадратичного среднего степени r P r индекс Фишера PF, индексы Торнквиста–Тейла PT и Уолша PW) обладают свойством приближенной согла к его двухступенчатому аналогу перестанет выпол няться при приближении r к плюс или минус беско- сованности в агрегировании вплоть до достаточно нечности. Чтобы убедиться в этом, необходимо рас- высокой степени аппроксимации, так что пользова смотреть простой пример, в котором наличествует тели не должны чрезмерно беспокоиться по поводу какой-либо несогласованности42.

всего четыре товара. Пусть первое соотношение цен p1 /p1 равно положительному числу a, пусть вторые два соотношения цен p1 /p1 равны b, и пусть последнее Формула индекса соотношение цен p4 /p4 равно c, причем предпола Ллойда–Моултона гается, что a c и a b c. Согласно результату Хил ла (17.57), предельное значение одноступенчатого ин 17.61. Формула индекса, которая будет обсуж декса равно даться в этом разделе в рамках экономического под хода к теории индексов применительно к случаю од lim P r ( p 0, p1, q 0, q1 ) lim P r ( p 0, p1, q 0, q1 ) ного домашнего хозяйства, может быть очень полез r r ной для статистических ведомств, которые сталкива pi1 p1 ются с проблемой своевременного исчисления ИПЦ.

max i i0 ac min i В формуле Ллойда–Моултона, которая будет рассмат pi0 pi риваться в данном разделе, используется та же ин формация, которая необходима для построения ин (17.67) декса Ласпейреса, если не считать одного добавочно го элемента информации.

17.62. В данном разделе принимаются те же допу 40См. Диверт (1978, стр. 889). Иными словами, для этих двух ступенчатых индексов и их одноступенчатых аналогов выпол- щения о поведении потребителя, что и в пунктах няется ряд равенств, аналогичных уравнениям (17.51)– 17.18–17.26 выше. В частности, предполагается, что (17.56). Действительно, эти равенства выполняются и в том функция полезности для потребителя f(q) линейно случае, если p 0 и 0 для любых чисел p1 = p0 и q1 = q0.

однородна43 и что соответствующая функция затрат 41По вопросу эмпирического сравнения этих четырех индек сов см. Диверт (1978, стр. 894–895). По данным о потреби тельских расходах в Канаде, которые рассматривались в этой 42Некоторые дополнительные сведения на этот счет можно работе, в 1971 году цепной двухступенчатый индекс Фишера найти в главе 19.

составлял 2,3228, а соответствующий цепной двухступенча 43Таким образом, в данном разделе действует допущение о го тый индекс Торнквиста — 2,3230, то есть они были равны зна мотетических предпочтениях.

чениям соответствующих одноступенчатых индексов.

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ НА ПРИМЕРЕ ОДНОГО ДОМАШНЕГО ХОЗЯЙСТВА на единицу продукта есть c(p). Предполагается, что u 0 c( p 0 ) i ( pi0 ) r.

функция затрат на единицу продукта имеет следую- n 0r щую функциональную форму:

k ( pk ) k 1 /(1 ) (17.69) n c( p ), p 0 i i i Эти уравнения можно переписать в следующем виде:

n ln c( p ) ln pi, 1, pi0 qi0 ( pi0 ) r 0 i (17.68) i 1,2,..., n, i i u 0 c( p 0 ) n (17.70) 0r k ( pk ) где i и — неотрицательные параметры, причем k in= 1i = 1. Функция затрат на единицу продукта, оп где r 1 –. Теперь можно рассмотреть следующую ределяемая уравнением (17.68), соответствует функ формулу индекса Ллойда–Моултона (Ллойд, 1975;

ции агрегирования с постоянной эластичностью за Моултон, 1996a):

мещения (ПЭЗ), которая была введена в экономиче скую литературу авторами работы Эрроу, Чинери, 1 /(1 ) pi Минас и Солоу (Arrow, Chenery, Minhas and Solow, n 0 1 0 1 PLM ( p, p, q, q ) 1, s 1961)44. Параметр представляет собой эластич- pi i i ность замещения;

когда = 0, функция затрат на единицу продукта, определяемая уравнением (17.71) (17.68), становится линейной по ценам, а значит, со где si0, как обычно, — доля расходов в периоде 0 на i-й ответствует функции агрегирования с постоянными коэффициентами, которая характеризуется нулевой товар:

замещаемостью всех товаров. Когда = 1, соответст pi0 qi вующая функция агрегирования, или функция по si0 i 1,2,..., n лезности, принимает вид функции Кобба–Дугласа. n 0 Когда приближается к +, соответствующая функ- pq k k k ция агрегирования f приближается к линейной p i0 qi функции агрегирования, которая характеризуется, бесконечной замещаемостью между каждой парой u 0 c( p 0 ) факторов. Функция затрат на единицу продукта с ПЭЗ, определяемая уравнением (17.68), не является ( pi0 ) r полностью гибкой функциональной формой (если i, (17.70).

количество агрегируемых товаров n не равно 2), но n 0r k ( pk ) она обладает гораздо большей гибкостью, чем функ k ция агрегирования с нулевой замещаемостью (кото рая представляет собой частный случай уравнения (17.72) (17.68) при, равной нулю), которая является точ ной для индексов цен Ласпейреса и Пааше. Если подставить уравнение (17.72) в уравнение 17.63. При допущении о минимизации затрат (17.71), получится следующее:

потребителем в периоде 0 из леммы Шепарда (17.12) следует, что наблюдаемое в первом периоде потреб ление товара i q0 будет равно u0 c( p0)/pi, где 1/ r r i pi n c( p0)/pi — первая частная производная функции PLM ( p 0, p 1, q 0, q 1 ) si pi затрат на единицу продукта по цене i-го товара, взя- i тая при ценах периода 0, а u0 = f(q0) — агрегирован 1/ r ный (ненаблюдаемый) уровень полезности периода 0.

Используя функциональную форму с ПЭЗ, опреде- r ( p i0 ) r pi n ляемую уравнением (17.68), и предполагая, что 1, i pi n можно получить следующие уравнения: i ( pk ) r k (1 / r ) n k r r qi0 u0 pi pk 0 1/ r k i n k1 1r i ( pi ) 1 0 i 1,2,..., n r i n ( pk ) r 44В математической литературе эта функция агрегирования, или k k функция полезности, известна как среднее степени r, и в этих условиях r = 1 – ;

см. Харди, Литтлвуд и Поля (1934, стр. 12–13).

РУКОВОДСТВО ПО ИНДЕКСУ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА состоит в том, что оценки параметра эластичности 1/ r n замещения обязательно будут несколько неопре 1r (p ) 0 i i деленными, а следовательно, получаемый индекс i Ллойда–Моултона может подвергаться критике за 1/ r n необъективность или невозможность воспроизведе 0r k ( pk ) ния расчетов. Статистическое ведомство должно бу k дет взвесить выгоды от уменьшения систематичес c( p 1 ) кой ошибки вследствие неучета эффекта замещения, c( p 0 ) и эти возможные издержки.

1 (17.68).

r Годовые предпочтения (17.73) и месячные цены 17.64. Уравнение (17.73) показывает, что форму 17.65. Следует вспомнить определение индекса ла индекса Ллойда–Моултона PLM точна при пред Лоу PLo( p0, p1, q), который определяется уравнением почтениях, характеризующихся ПЭЗ. Ллойд (1975) (15.15) в главе 15. В пунктах 15.33–15.64 главы 15 от и Моултон (1996a) независимо пришли к этому вы мечалось, что эта формула часто используется стати воду, но именно Моултон осознал важность этой стическими ведомствами в качестве целевого индек формулы (17.71) для достижения целей статистичес са для ИПЦ. Отмечалось также, что хотя векторы цен ких ведомств. Нужно отметить, что для расчетов по p0 (вектор цен базисного периода) и p1 (вектор цен те формуле (17.71) необходима следующая информация:

кущего периода) представляют собой месячные или • доли расходов базисного периода si0;

квартальные векторы цен, вектор количеств q (q1, • соотношения цен p1/p0 между базисным и текущим q2,…, qn), который входит в эту формулу корзины, ii периодами;

обычно измеряется с годовой периодичностью и от • оценка эластичности замещения товаров, входя- носится к базисному году, скажем, b, который пред щих в агрегат,. шествует базисному периоду цен, то есть месяцу 0.

Первые два элемента информации — это стандарт- Таким образом, как правило, статистическое ведом ные наборы данных, используемые статистически- ство с месячной периодичностью рассчитывает ИПЦ, имеющий вид PLo( p0, pt, q b), где p0 — вектор ми ведомствами для расчета индекса цен Ласпейре са PL (следует отметить, что при = 0 PLM сводится цен, относящийся к базисному периоду цен (месяцу 0), к PL). Следовательно, если статистическое ведомст- pt — вектор цен, относящийся к текущему периоду во может оценить эластичность замещения на ос- цен (например, месяцу t), а qb — вектор количеств ба нове данных прошлых периодов45, то индекс цен зисной корзины, который относится к базисному го Ллойда–Моултона можно вычислить, используя, по ду b, совпадающему с месяцем 0 или предшествую существу, тот же набор сведений, который применя- щему ему47. Вопрос, на который предстоит ответить в ется для расчета традиционного индекса Ласпейре- данном разделе, таков: может ли этот индекс быть са. Более того, в полученном в результате ИПЦ с ра- связан с каким-либо индексом, построенным на ос зумной степенью приближения46 будет отсутство- нове экономического подхода к теории индексов?

вать систематическая ошибка вследствие неучета эффекта замещения. Конечно, практическая про Индекс Лоу как приближенная оценка блема, связанная с применением этой методологии, истинного индекса стоимости жизни 45По поводу первого применения данной методологии (в кон 17.66. Пусть предпочтения потребителя относи тексте ИПЦ) см. Шапиро и Уилкокс (1997a, стр. 121–123). Ав тельно векторов потребления q [q1,…,qn] опреде торы этой работы рассчитали гиперболические индексы лены и могут быть представлены в виде непрерыв Торнквиста для США за 1986–1995 годы, а затем исчислили ной возрастающей функции полезности f(q). Так, ес индекс Ллойда–Моултона с ПЭЗ за тот же период, используя различные значения. После этого они выбрали такое значе- ли f(q1) f(q0), то потребитель предпочитает вектор ние (равное 0,7), при котором индекс с ПЭЗ наиболее близ потребления q1 вектору q0. Пусть qb — вектор годово ко аппроксимировал индекс Торнквиста. Фактически та же го потребления в базисном году b. Уровень полезно самая методология была использована в работе Алтермана, сти для базисного года ub определяется как такой Диверта и Финстры (1999) при исследовании индексов им портных и экспортных цен США. Относительно альтернатив- уровень полезности, который соответствует f(q), рас ных методов оценки см. Балк (2000b). считанной при qb:

46Что такое «разумная» степень приближения — зависит от ub f (q b ) контекста. При оценивании эластичностей спроса допуще- (17.74) ние о том, что предпочтения потребителей характеризуются 17.67. Для любого вектора положительных цен то ПЭЗ, необоснованно: в этом контексте требуется по край варов p [ p1,…, pn] и для любого допустимого уров ней мере второй порядок аппроксимации предпочтений по требителя. Однако при приближенном оценивании измене ний расходов потребителя на n рассматриваемых товаров до пущение об аппроксимации на основе ПЭЗ, как правило, 47Какотмечалось в главе 15, месяц 0 называется базисным пе является адекватным. риодом цен, а год b называется базисным периодом весов.

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ НА ПРИМЕРЕ ОДНОГО ДОМАШНЕГО ХОЗЯЙСТВА ня полезности u функция затрат потребителя C(u,p) поскольку вектор количеств базисного года qb при может быть определена обычным образом как мини- надлежит к области допустимых решений данной за мальные расходы, необходимые для достижения дачи минимизации затрат.

уровня полезности u при ценах p: 17.70. Было бы полезно переписать неравенства (17.78) и (17.79) в виде равенств. Это можно сделать, n если вычесть из правых частей обоих этих неравенств C (u, p) pi qi : f (q1,..., q n ) u min q (17.75) неотрицательные систематические ошибки вследст i вие неучета эффекта замещения et и e0. Таким обра Пусть pb [ pb, …, pnb] — вектор годовых цен, с кото- зом, неравенства (17.78) и (17.79) можно переписать в рыми потребитель столкнулся в базисном году b. следующем виде:

Предположим, что вектор наблюдаемого потребле ния для базисного года qb [qb,…, qn ] является ре b n C (u b, p t ) pit qib et шением следующей задачи минимизации затрат ба- (17.80) i зисного года:

n n n (17.81) C (u b, p b ) pib qi : f (q1,..., q n ) ub p ib qib C (u b, p 0 ) pi0 qib e min q i1 i1 i (17.76) 17.71. Используя уравнения (17.80) и (17.81), а также определение индекса Лоу (15.15) из главы 15, Эта функция затрат будет использована ниже, для можно получить следующее приближенное равенство того чтобы определить индекс стоимости жизни для индекса Лоу:

потребителя.

17.68. Пусть p0 и pt — векторы месячных цен, с n p it q ib которыми потребитель сталкивается в месяцах 0 и t.

{C (u b, p t ) et } Тогда истинный индекс стоимости жизни Конюса t b 0 i PLo ( p, p, q ) PK ( p0, pt, q b ) для месяца t по сравнению с месяцем 0, n b e0} {C (u, p ) p i0 q ib при том что в качестве базисного уровня жизни ис- i пользуется уровень полезности для базисного года C (u b, p t ) ub = f(q b), определяется как следующее соотноше- PK ( p 0, p t, q b ) (17.82) C (u b, p 0 ) ние минимальных месячных затрат на достижение уровня полезности ub:

Таким образом, если неотрицательные системати C ( f ( q b ), p t ) ческие ошибки вследствие неучета эффекта заме t b 0 (17.77) PK ( p, p, q ) щения e0 и et невелики, то индекс Лоу PLo( p0, pt, qb) C ( f ( q b ), p 0 ) для месяца t по сравнению с месяцем 0 будет доста точно точной аппроксимацией истинного индекса 17.69. Используя определение задачи минимиза стоимости жизни PK ( p0, pt, qb) для месяца t по срав ции месячных затрат, которая соответствует затратам нению с месяцем 0.

C( f(qb), pt), можно показать, что выполняется следу 17.72. Путем некоторых алгебраических манипу ющее неравенство:

ляций можно показать, что индекс Лоу будет в точно n сти равен соответствующему индексу стоимости жиз C ( f (q b ), p t ) pit qi : f (q1,..., q n ) f (q1b,..., q n ) b min q ни, если систематические ошибки вследствие неучета i эффекта замещения удовлетворяют следующему со n pit qib, (17.78) отношению48:

i et C (u b, p t ) PK ( p 0, p t, q b ) поскольку вектор количеств базисного года qb при C (u b, p 0 ) (17.83) e надлежит к области допустимых решений данной задачи минимизации затрат. Аналогичным образом, Уравнения (17.82) и (17.83) можно интерпретировать используя определение задачи минимизации месяч следующим образом: если темпы роста систематичес ных затрат, которая соответствует затратам месяца кой ошибки вследствие неучета эффекта замещения C( f(qb ), p0 ), можно показать, что выполняется сле для месяца t по сравнению с месяцем 0 равны темпам дующее неравенство:

роста минимальных затрат на достижение уровня по n C ( f (q b ), p 0 ) f (q1b,..., q n ) b pi0 qi : f (q1,..., q n ) min q i n 48Это предполагает, что e0 больше нуля. Если e0 равна нулю, то pi0 qib, (17.79) для сохранения равенства PK и PLo необходимо, чтобы et также i1 равнялась нулю.



Pages:     | 1 |   ...   | 25 | 26 || 28 | 29 |   ...   | 42 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.