авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |
-- [ Страница 1 ] --

Сибирское отделение

Российской академии наук

Институт математики им. С. Л. Соболева

В. М. Маракулин

АБСТРАКТНЫЙ РАВНОВЕСНЫЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

ЭКОНОМИКИ

Новосибирск

Издательство Сибирского отделения

Российской академии наук

2012

УДК 519.8

ББК 22.18

М25

Маракулин В. М. Абстрактный равновесный анализ математиче-

ских моделей экономики/ В. М. Маракулин;

Рос. акад. наук, Сиб.

отд-ние, Ин-т математики им. С. Л. Соболева. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2012. 348 с.

Настоящая монография посвящена математическому анализу од ного из наиболее важных вопросов экономической теории вопро са о существовании равновесия. Изложение в основном основано на авторских результатах, полученных в трёх наиболее теоретически значимых направлениях исследований моделей типа Эрроу–Дебре.

Особенностью работы является интенсивное использование, наряду с обычными методами (математический и функциональный анализ, теория полуупорядоченных линейных пространств, элементы диф ференциальной топологии и пр.), методов нестандартного анализа.

Эти методы позволяют не только упростить изучение чисто мате матических проблем, но также и предложить ряд новых концепций обобщённого решения, с помощью которых удаётся избежать некото рых навязанных предположений и, тем самым, углубить понимание базисных принципов теории общего равновесия. Для удобства чи тателя в монографию включено приложение, излагающее авторское введение в нестандартные методы и содержащее сводку некоторых необходимых результатов.

Монография предназначена для специалистов в области матема тической экономики и, в первую очередь, теории общего равнове сия;

аспирантам и студентам старших курсов, специализирующимся в данном направлении.

Утверждено к печати Учёным советом Института математики им.

С. Л. Соболева СО РАН от 11.02. Рецензенты:

Академик, директор ЦЭМИ, д. ф-м. н, проф. Макаров В. Л.

Д. ф-м. н, главный науч. сотр. ИЭОПП СО РАН, Дементьев Н. П.

PhD in economics, проф. Университета Инсбрука, Коновалов А. В.

c Маракулин В. М., ISBN 978-5-7692-1242- Оглавление Обозначения........................... Введение.............................. Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами............. 1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами............................ 1.1.1. Оптимальность по Парето и её характеризация 1.1.2. Абстрактное и аппроксимирующее равновесие. 1.1.3. Концепция равновесия с нестандартными ценами 1.1.4. Структура бюджетных множеств и свойства предпочтений.................... 1.2. Неоклассические модели с нестандартными ценами.. 1.2.1. Модель рынка с нестандартными ценами.... 1.2.2. Экономика с производством в модели Эрроу–Дебре..................... 1.2.3. Экономики с общественными благами...... 1.2.4. Нередуцируемость и существование равновесий со стандартными ценами....... 1.3. Конечность равновесий с нестандартными ценами... 1.3.1. Пространство экономик и конечность равновесий с нестандартными ценами...... 1.3.2. Доказательство основной теоремы........ Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики...................... 2.1. Двойственность товаров и цен в модели Эрроу–Дебре 2.2. Существование равновесий в экономике чистого обмена 2.2.1. Стратегия доказательства............. 4 Оглавление 2.2.2. Доказательства теорем и других результатов.. 2.3. Существование равновесий в линейно-решёточной модели Эрроу–Дебре.................... 2.3.1. Правильные модели Эрроу–Дебре и продолжение линейных функционалов..... 2.3.2. Равновесия по Эджворту и существование квазиравновесий с непрерывными ценами.... 2.3.3. Доказательства теорем и утверждений...... 2.4. Рынки с перекрывающимися поколениями....... 2.4.1. Модель и существование равновесий в экономиках с перекрывающимися поколениями 2.4.2. Стратегия доказательства, вспомогательные результаты и обсуждение............. 2.4.3. Доказательство основной теоремы и вспомогательных результатов........... Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках... 3.1. Равновесие в базовой модели неполного рынка..... 3.1.1. C-равновесия и предельные равновесия Раднера 3.1.2. Теорема существования обобщённых равновесий 3.1.3. Доказательство теоремы существования обобщённых равновесий.............. 3.2. Динамические неполные рынки............. 3.2.1. Неполный рынок с перекрывающимися поколениями экономических агентов....... 3.2.2. Компенсированные и обобщённые равновесия в динамическом неполном рынке......... 3.2.3. Теоремы существования, идея доказательства и вспомогательные результаты.......... 3.2.4. Завершение доказательства теорем........ Глава 4. Вспомогательный математический аппарат. 4.1. Точечно-множественные отображения: базисные определения и результаты................. 4.2. Введение в нестандартный анализ............ 4.2.1. Нестандартный анализ: конструктивный подход........................ 4.2.2. Три техники..................... 4.2.3. Сводка некоторых результатов.......... Литература............................ Обозначения В данной работе наряду со стандартными будут использоваться сле дующие обозначения. Пусть L некоторое векторное пространство над R и L его алгебраически двойственное.

выпуклая оболочка множества A L, co A A + x = {a + x | a A} при любых A L, x L, A + B = {a + b | a A, b B} при любых A L, B L, скалярное произведение векторов p L, p, x = p(x) = px x L, p, A = {p(x) | x A}, где p L, A L, A B a b, a A, b B при любых A R, B R, A \ B = {x A | x B} / теоретико-множественная разность.

Линейные отрезки в L с концами a, b L обозначаются следую щим образом (аналогично для подобных вариантов):

[[a, b]] = co{a, b} = {a + (1 )b | 0 1}, ((a, b]] = [[a, b]] \ {a} = {a + (1 )b | 0 1}.

Обозначение [a, b] применяется в случае, когда (L, ) является частично упорядоченным множеством, и означает порядковый отре зок с концами a и b, т. е.

[a, b] = {x L | a x b}.

Если (L, ) решётка, то для a, b L a b = sup{a, b} и a b = inf{a, b}, a+ = sup{a, 0} и a b = sup{(a), 0} a = a+ a.

Если L оснащено топологией, то для A L A замыкание множества A, а intA его внутренность.

U универсум нестандартных объектов (математики).

x L, µ(x) = {y L | y x} монада точки x.

это стандартная часть точки x L.

st(x) = y, y L, где y x, st(A) = {y L | x A : y x} стандартная часть множества A L.

si(A) = {y L | µ(y) A} стандартная внутренность множе ства A L.

Памяти моей мамы, Варвары Ивановны Введение Экономика это общественная наука, которая анализирует по ведение разумных существ (людей, марсиан) в условиях ограничен ности ресурсов. Микроэкономическая теория является составной ча стью экономики и нацелена на моделирование экономических реалий как процесса взаимодействия экономических агентов, преследующих свои частные интересы. В свою очередь теория общего равновесия, основанная на методологии теории игр, является ядром микроэко номической теории. Крайне важно, что исследуемые теорией общего равновесия математические модели экономики допускают одновре менное рассмотрение кооперативного и бескоалиционного игрового подхода, что позволяет провести их сравнительный анализ. В числе исследуемых теорией равновесия вопросов находится центральное понятие конкурентного равновесия, которое можно рассматривать как одну из возможных реализаций концепции равновесия по Нэшу в стратегических играх, а также концепция ядра экономики, осно ванная на сугубо кооперативном теоретико-игровом сценарии. При этом получаются наиболее интересные и значимые результаты как собственно для микроэкономической теории, так и для теории игр.

В математически оформленном виде понятие конкурентного рав новесия экономической системы впервые появляется в работах швей царского экономиста Леона Вальраса1, почему и называется равно весием по Вальрасу. Вальрас также впервые задаётся вопросом о существовании равновесия первой ключевой проблемой теории, означающей, ко всему прочему, математическую корректность ис следуемой модели. Рассуждения Вальраса в этой части сводятся к наблюдению, что математически равновесие представимо как ре шение некоторой системы функциональных уравнений, в которой число неизвестных совпадает с числом уравнений. Позже Абрахам 1 Walras L. Elements of Pure Economics, 1874.

8 Введение Вальд (1936) дал первое строгое доказательство существования и единственности равновесия, основанное на предположении, что все продукты является взаимозаменяемыми. Однако его модель была описана в слишком агрегированном виде (отождествляется с функ цией избыточного спроса), недостаточно точно и ясно отражающем экономические реалии. Решающий шаг был сделан в основополага ющих работах Кеннета Эрроу, Жерара Дебре и Лионеля МакКен зи [Arrow, Debreu, 1954;

McKenzie, 1954;

Debreu, 1959], заложивших основы современных математических моделей замкнутой децентра лизованной экономической системы. Развитая в их рамках теория экономического равновесия является, по-видимому, одним из наибо лее выдающихся достижений математической ветви экономической теории второй половины 20-го века.

Последние 50 лет были отмечены обширным потоком работ, обоб щающих результаты Эрроу–Дебре в самых различных направлени ях. В частности, многими исследователями ослаблялись предполо жения, гарантирующие существование равновесий. Большая часть этих предположений, усилиями многих авторов2, была доведена до математического совершенства и, по-видимому, не может быть прин ципиально ослаблена в дальнейшем (во всяком случае для конеч номерных моделей). Однако все эти результаты в той или иной мере основываются на одном весьма ограничительном модельном предположении, так называемом условии выживаемости3 (survival) потребителей. Хотя это предположение и является экономически осмысленным свойством, однако вызывает ощущение дискомфор та и, главное, не является безусловно необходимым требованием.

Эту трудность можно преодолеть, ревизуя понятия цены, а имен но, вместо обычных стандартных цен предлагается использовать нестандартные (в смысле нестандартного анализа). Другими сло вами, цены на продукты могут быть не только обычными числами но и нестандартными, т. е. выбранными из нестандартного расши рения числовой прямой R (о нестандартном анализе см. например, [Девис, 1980;

Успенский, 1987], а также раздел 4.2). С математиче ской точки зрения обычное понятие решения заменяется на обоб щённое, которое существует уже при более слабых предпосылках, типичный для математики приём, эффективно работающий в ря 2 В их числе А. Мас-Колелл, Р. Ауманн, В. Хильденбранд, Д. Гейл и многие другие.

3 Экономически означает, что каждый индивидуум способен совершать нетри виальные покупки. Обычно это условие формулируется как ресурсная связ ность, или нередуцируемость экономической модели, а фактически играет роль условия Слейтера в задаче потребителя.

Введение де других её областей. Этот подход не должен вызывать серьёзных возражений с экономической точки зрения, ибо фактически он всего лишь означает, что шкала измерений для цен на разного рода про дукты должна быть мельче (в достаточной мере) шкалы, использу емой для исчисления физических благ. При этом методологически концепция равновесия не меняется4. Фактически же предлагается определенная асимметрия, продукты измеряются в стандартных величинах, а цены в нестандартных. Таким способом в модель вво дится более тонкий, по сравнению с традиционным, механизм стои мостного регулирования, что и позволяет достичь намеченной цели:

построить теорию, избавленную от условия выживаемости. Изложе ние основ этой теории составило содержание первой главы настоящей монографии. Эту теорию можно кратко назвать теорией равнове сия с нестандартными ценами в неоклассической (конечномерной) модели экономики здесь анализируются не столько условия су ществования, сколько изучаются собственно свойства предложенной концепции равновесия, в числе которых (и наиболее привлекатель ным) является отсутствие для его существования требования выжи ваемости экономических агентов.

С начала 70-х годов прошлого века в экономико-математической литературе отмечен устойчивый интерес к моделям экономики с бес конечным числом продуктов. Этот факт имеет простое объяснение.

Действительно, уже самая обычная модель обмена с конечным чис лом торговцев превращается в бесконечно-товарную, если принять во внимание и смоделировать тот факт, что продукты могут быть распределены в пространстве (а не только среди агентов), обла дать потенциально различными непрерывными потребительски ми свойствами (например, содержание белков, жиров, витаминов и проч.

в продуктах питания), а это все свойства реальной эконо мики, которыми пренебрегает классическая теория распределения ресурсов. Другой важный фактор, превращающий обычные модели в бесконечно-товарные, это время, ибо продукты, потребляемые в различные моменты времени, следует считать различными. Кроме того, на рынке могут появляться новые и исчезать старые агенты такого рода постановки приводят к важному классу моделей с на рождающимися поколениями и т. д. С поверхностной точки зре ния, бесконечно-товарная постановка может показаться надуманной математической проблемой, ибо, казалось бы, всегда можно рассмот реть модель экономики с конечным, но достаточно большим числом 4 Действительно, если экономисты согласны с использованием в теории ирра циональных величин, не наблюдаемых в практике (кто встречал на рынке цены типа 2,, e?), то почему нельзя использовать нестандартные?

10 Введение продуктов. Однако именно для того и нужны исследования бесконеч номерных экономик, чтобы обосновать теоретическую корректность такого рода конечномерных аппроксимаций. Действительно, если ис следуемая проблема (например, о существовании равновесных цен) имеет решение в бесконечномерной постановке, то это означает, что соответствующие ей конечномерные решения являются инвариант ными по отношению к типу аппроксимации. Другими словами, ана лиз бесконечномерных моделей позволяет найти экономически зна чимые условия, при которых предельные решения обоснованны. В то же время бесконечномерная постановка позволяет вычленить наи более общие свойства и предположения, дающие в рассматриваемом случае существование равновесных цен в конкурентных экономиках и оценить их экономическую значимость5.

Современная теория товарно-бесконечномерных моделей эконо мики изложена во второй главе монографии;

в этом контексте рас сматривается также модель с перекрывающимися поколениями эко номических агентов. Здесь представлена серия теорем существова ния, а также предложены новые (важные в данном контексте) усло вия правильности предпочтений и производственных множеств, сла бейшие из известных в литературе по этой тематике.

Неполные рынки появляются в экономической теории как обоб щение модели Эрроу–Дебре с целью отразить на модельном уровне функционирование финансового сектора реальных экономик. В ис ходном, классическом варианте модели экономики (неявно) предпо лагается, что вся экономическая жизнь протекает как бы в отдельно взятом временном периоде, в котором физические параметры оста ются (более-менее) неизменными, агенты обладают достаточно пол ной информацией о значении экономических переменных для при нятия собственных рациональных решений, сделки осуществляются за бесконечно малое время и т. д. О такого рода постановках при нято говорить, что это полный рынок, описываемый классической теорией распределения ресурсов (модель Эрроу–Дебре). Однако в мире реальной экономики индивидуумам приходится принимать ре шения в условиях неопределённости, обусловленной как неполнотой информации, так и объективной неопределённостью будущего. В ре зультате в мире современной экономики наряду с рынками обычных продуктов можно наблюдать сложившиеся рынки специфических финансовых инструментов, называемых активами (assets). Функци 5 Например, если продукты различаются по содержанию питательных ве ществ, то естественно ожидать, что равновесные цены будут непрерывно зави сеть от содержания этих веществ;

однако этот и подобные ему факты можно проанализировать, только исследуя бесконечно-товарную модель.

Введение онирование этих рынков нацелено именно на разрешение задач, свя занных с неопределённостью будущих событий. Данная проблема, связанная с неопределённостью будущего, понималась и классика ми экономической теории, но привлекла особо пристальное внима ние экономистов к началу 80-х годов 20-го века, когда классическая теория Эрроу–Дебре исчерпала возможности дальнейшего развития.

Результатом проведённых исследований явилось построение, в рас ширенных структурных рамках модели Эрроу–Дебре, теории непол ных рынков. Термин неполный здесь апеллирует к тому обстоятель ству, что потенциально бесконечное многообразие возможных реали заций будущего (событий) заведомо шире множества придуманных людьми страховочных вариантов, выраженных в форме финансо вых активов. В современной версии теории неполных рынков фор мулируется понятие финансового равновесия (GEI-равновесия), ха рактерной чертой которого является множественность бюджетных ограничений, отвечающих разным событиям, связь между которы ми осуществляется только через торговлю активами. Таким образом, здесь нет полной свободы в перетоке стоимости из одного события в другое. Другой их чертой является тот факт, что, вообще говоря, эти равновесия могут не существовать уже при самых обычных модельных предположениях и в конечномерной постановке, как, на пример, это происходит в известном примере Харта6. Основная тому причина состоит в том, что матрица финансовых отдач может иметь переменный ранг при изменении определяющих её параметров (цен).

Возможное несуществование GEI-равновесий мотивирует поиск экономически состоятельного преобразования этой концепции с це лью достичь удовлетворительной теоремы существования и, тем са мым, обеспечить непротиворечивость предъявляемых условий. По следнее и является, в рамках базовой модели двустадийного непол ного рынка (настоящее будущее, с конечным числом событий), основным предметом анализа в первой части третьей главы. Здесь вводится и изучается концепция компенсированного равновесия (C равновесия) и близко к ней примыкающего обобщённого равнове сия. Эти понятия, введённые в [Marakulin, 1992;

Marakulin, 1999], обладают следующими преимуществами в отношении ранее извест ных. Во-первых, обобщённые и C-равновесия существуют всегда в рамках довольно слабых предположений, близких к условиям суще ствования равновесия в классическом рынке. Доказательство теоре мы основывается на том факте, что при ограничениях на торговлю активами, обеспечивающих компактность совокупности всех сбалан 6 См. [Geanakoplos, 1990;

Magill, Shafer, 1991, пример 5, p. 1537].

12 Введение сированных торговых портфелей, финансовое равновесие существу ет всегда. В дальнейшем осуществляется (нестандартный) предель ный переход. Во-вторых, введённые понятия являются экономиче ски интерпретируемыми, отвечающие им распределения можно понимать как некоторое предельное решение, полученное в результа те ослабления ограничений на торговлю активами до бесконечности.

Предельный процесс, в результате которого оно появляется, можно понимать как процесс регулирующего воздействия на финансовый рынок управляющего органа. Этот орган, наблюдая отсутствие рав новесия на рынке активов и, как крайняя мера, накладывая вре менные ограничения на объёмы их продаж, затем ослабляет их до бесконечности, тем самым пытаясь восстановить свободу рынка. До казанная теорема говорит о том, что устраниться сразу органу не удастся, и какое-то реальное время будут функционировать компен сирующие активы с ограничением на объёмы их торгов новый модельный элемент, появляющийся в понятии обобщённого равно весия. Можно ожидать, что по мере развития рынка, с появлением новых активов, ситуация изменится и рынок самостоятельно найдёт нормальное равновесие.

Во второй части третьей главы предлагается и исследуется но вая модель динамического неполного рынка, представленного на счётно-бесконечном дереве (граф) событий. Такого рода модель со держит в себе черты рынка с перекрывающимися поколениями эко номических агентов и реализует попытку более адекватно описать бесконечно-живущую экономику, избавленную, в том числе, от пара доксов OLG-моделей. В модели постулируется, что агенты и активы рождаются в некоторых событиях и затем живут в рамках неко торого конечного поддерева событий с начальной вершиной в момент их рождения. Причём в каждом событии живёт непустое конечное множество агентов, а торговля активами осуществляется только в момент их появления (рождения) на рынке. В каждом событии име ется собственный рынок обычных продуктов и активов, вся торговля осуществляется относительно отвечающих этому событию рыноч ных цен. В модели рассматривается класс реальных активов типа фьючерсных контрактов, которые обеспечивают покупателю актива отдачи в форме материальных благ, затем продающихся по текущим рыночным ценам. В каждом периоде-событии может появиться не более чем конечное число новых активов, и агенты формируют свои торговые портфели заказов только на те из них, которые появляются в течение их жизни. Как это специфично для модели неполного рын ка, агенты функционируют в рамках множественности бюджетных ограничений в каждом событии имеется собственное ограничение.

Введение Помимо бюджетных в экономике могут появиться и специфические ограничения на объёмы торговли активами.

Таким образом, в динамическом неполном рынке, в отличие от классической OLG-модели, агенты ограничены торговлей активами в способах трансформации (переноса) стоимости из одного события в другое. При этом может сложиться ситуация, когда в событиях после их смерти могут остаться некоторые неизрасходованные сто имости. Причём здесь это принципиально, в отличие от двустадий ной модели, где агенты живут в течение всего периода жизни рын ка. Поэтому мы вводим в модель новый элемент функции уна следованных стоимостей, которые распределяют неизрасходован ные данным агентом стоимости среди его наследников. Формально эти функции служат для исполнения закона сохранения стоимости (закона Вальраса), которая со смертью агента не исчезает из эко номического оборота, но передаётся его наследникам (по каким-то разумным правилам). Таким образом, ещё один элемент реальной жизни находит своё воплощение в нашей модели. На модель дина мического неполного рынка переносятся понятия равновесия, рас смотренные ранее в контексте конечномерной модели в первой части третьей главы. Основным результатом являются теоремы существо вания компенсированных и обобщённых равновесий, доказанные в рамках предположений, близких к современным условиям, гаранти рующим существование вальрасовских равновесий. Доказательство осуществляется посредством двойного предельного перехода по рад неровским равновесиям, с использованием техники нестандартного анализа.

Глава Экономическое равновесие с нестандартными ценами В первой главе последовательно развивается теория равновесия с нестандартными ценами в рамках базовой неоклассической моде ли экономики типа Эрроу–Дебре–МакКензи. Здесь формулируется собственно понятие равновесия сначала в рамках абстрактной мо дели с внешними влияниями (в потреблении), а затем в адаптиро ванном контексте как классической модели типа Эрроу–Дебре, так и модели с общественными благами. Дальнейший анализ выявляет наиболее привлекательное свойство предложенной концепции: отсут ствие требования выживаемости экономических агентов в теореме существования.

Основные математические результаты представлены в ряде тео рем существования экономического равновесия с нестандартными ценами;

эти теоремы доказаны при слабейших современных пред положениях на модель экономики и при отсутствии какого-либо аналога условию Слейтера. Однако анализируются не только усло вия существования, но и другие свойства предложенной концепции.

Именно, дано явное описание бюджетных множеств в стандартных терминах: изначально эти множества определяются как стандарт ная часть всех нестандартных потребительских и производствен ных планов экономических агентов, удовлетворяющих бюджетным ограничениям (для потребителей) или максимизирующих доход (для фирм). Последний результат является одним из наиболее технически сложных результатов первой главы. В качестве ответа получается лексикографическое устройство бюджетных множеств, где лекси кография задаётся через разложение вектора цен p Rl в виде p = 1 e1 + 2 e2 + · · · + r er, r l.

Здесь e1, e2,..., er ортонормированная система векторов, коэффи циенты j 0, j = 1, 2,..., r, и при этом 2 3 r 0, 0,..., 0.

1 2 r Далее, если i Xi начальные запасы потребителя i, где Xi Rl его потребительское множество, то бюджетное множество Bi (p) при ценах p Rl задаётся из условия: существуют натураль ный 0 s r и µi 0 такие, что (1) e1, xi e1, i, xi Xi,.

.

.

(s) es, xi es, i, xi Xi, (s+1) Bi (p) = {xi Xi | ej, xi = ej, i, j = 1, 2,..., s, es+1, xi es+1, i + µi } & yi Xi : es+1, yi es+1, i.

Другими словами, с помощью опорных функционалов e1,..., es усло вия (1)–(s) задают грань потребительского множества Xi 1, и ограни чение (s + 1)-го уровня задаёт окончательное ограничение, удовле творяющее условию Слейтера. В правой части этого ограничения мо гут появиться дополнительные слагаемые µi 0, что соответствует механизму распределения избыточных стоимостей уровня s+1. Эти уровни определяют равновесное расслоение общества экономических агентов по доходам. Подробнее см. §1.1.4, §1.2.1.

Для экономической теории после существования следующим по значимости является вопрос оптимальности или эффективности рав новесного распределения (ресурсов). Под эффективными распреде лениями в экономике принято понимать оптимальные по Парето не существует другого распределения, в котором, по сравнению с 1 При s = 0 эта грань совпадает с Xi.

16 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами данным, часть агентов улучшила бы свое положение, не ухудшая положения прочих участников экономики. Первая теорема благосо стояния утверждает, что в классической модели Эрроу–Дебре (без внешних влияний) равновесие по Вальрасу оптимально по Парето.

Это является формальным доказательством известного высказыва ния Адама Смита о невидимой руке :

[Каждый индивидуум] стремится к собственной выгоде.

При этом, ведомый невидимой рукой [рынка], он прихо дит к итогу, к которому он [осознанно] не стремился. Пре следуя свой собственный интерес, он часто способствует эффективной деятельности общества более, нежели бы он действительно стремился к этому.

Вильфредо Парето (1909) уточнил формальное понятие оптимально сти и, более того, впервые установил: с каждым эффективным рас пределением можно ассоциировать некоторую систему цен, которая обращает распределение в равновесие относительно некоторого ис ходного распределения ресурсов. Сейчас это составляет содержание второй теоремы благосостояния. В данной главе проблема эффек тивности распределения и отвечающих ему цен рассматривается в более широком контексте. Именно, известно, что теоремы благосо стояния имеют место, только если экономические агенты полностью эгоистичны, т. е. если их полезность зависит только от объёмов потребляемых ими лично благ. Однако если допустить возможную зависимость полезности от потребительских планов других агентов (что нередко встречается в реальности), в таком случае говорят о наличии внешних влияний (в потреблении), то конкурентное равновесие генерически (почти всегда) теряет свойство эффектив ности (см. [Маракулин, 1981]). Ниже будет показано, что пробле му эффективности при внешних влияниях можно разрешить, если допустить индивидуализированные цены, достаточно гибко изменя ющиеся, совокупность которых должна удовлетворять некоторому дополнительному требованию, связывающему индивидуальные це ны с рыночными. С помощью индивидуальных цен можно опреде лить и соответствующее понятие (эффективного) равновесия. Одна ко здесь мы опять сталкиваемся с проблемой условия Слейтера, которую можно разрешить переходом к нестандартным ценам. Та ким образом, в первой главе даётся двойственная характеристика оптимальных по Парето состояний экономики (вторая теорема бла госостояния), сформулированная в терминах нестандартных цен и избавленная от разного рода дополнительных предположений типа потребительские планы являются внутренними точками потреби 1.1 Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами тельских множеств или ему подобных. Любопытно, что в качестве побочного продукта на этом пути доказана теорема о строгой разде лимости нестандартным линейным функционалом стандартных выпуклых множеств (см. теорему 4.2.13 раздела 4.2, а также теоре му 1.1.4 и замечание к ней).

Наконец, в последнем разделе главы устанавливается конечность числа равновесий с нестандартными ценами для массивного множе ства экономик чистого обмена. Этот результат получен с помощью техники дифференциальной топологии, в частности, применялись теоремы Тома о плотности и открытости трансверсальных сечений.

1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами В настоящем параграфе рассматривается модель экономической си стемы, описанная в наиболее абстрактной форме. Характерной чер той представленной модели является допущение внешних влияний, что мотивирует изучение в её рамках эффективных механизмов сто имостного регулирования, использующих индивидуализированные стоимостные оценки так называемые индивидуальные цены.

В рамках данной модели будут представлены два важных результа та двойственная характеристика оптимальных по Парето состоя ний экономики (аналог второй теоремы благосостояния ), данная в терминах нестандартных индивидуальных цен, а также теорема су ществования аппроксимирующих равновесий. В последующем будет показано, что, надлежащим образом применённая в соответствую щих конкретизациях абстрактной модели, эта аппроксимизирующая теорема приводит к целому спектру теорем существования эконо мических равновесий с нестандартными ценами. В частности, это могут быть теоремы существования в традиционных неокласси ческих моделях, таких как экономика чистого обмена, экономика с производственным сектором типа Эрроу–Дебре, экономика с об щественными благами, а также разного рода их обобщения. Пред ставляется весьма важным то обстоятельство, что при наличии до полнительных модельных предположений, обеспечивающих выпол нение условия Слейтера в задаче потребителя, соответствующее равновесие с нестандартными ценами превращается в стандартное равновесие. Таким образом, изложенные в данной главе результаты можно также рассматривать как некий универсальный метод анали за проблемы существования равновесия в замкнутой экономической модели.

18 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Основополагающими элементами любой модели экономики явля ются пространство состояний L и выделяемое в его рамках мно жество X L допустимых состояний экономики. В пределах дан ной главы мы будем всегда предполагать, что L является конечно мерным евклидовым пространством и, таким образом, может быть отождествлено с Rm при некотором натуральном m. Достижимы ми называются такие допустимые состояния x из X, которые удо влетворяют дополнительному требованию F (x) = F (), где F (·) некоторый заданный линейный оператор, а некоторый фикси рованный элемент в X, отождествляемый с исходным состоянием экономики. В приложениях абстрактной модели определяемые этим оператором соотношения F (x) = F () выражают в наиболее общей форме свойство сбалансированности состояния x. Положим A(X) = {x X | F (x) = F ()} множество всех достижимых состояний экономики.

Субъектами модели являются экономические агенты, представ ленные в её конкретизациях как потребители и производители;

од нако на первоначальном этапе мы не делаем такого рода разграниче ний. Множество N всех представленных в модели агентов предпола гается конечным и для простоты полагается N = {1,..., n}. Агенты способны сравнивать между собой различные состояния экономики, выделяя из их числа те, которые им нравятся больше по отноше нию к любому заданному текущему состоянию. Другими словами, первоначально можно считать, что для всякого i N на множестве допустимых состояний X определено точечно-множественное отоб ражение Pi : X X, где Pi (x) интерпретируется как множество всех состояний экономики, строго предпочитаемых агентом i состо янию x, а само отображение Pi (·) называется отношением (строгого) предпочтения1. На самом деле, с целью увеличить область возмож ных приложений модели, мы будем предполагать, что Pi (·) опреде лены на более широком множестве, постулируя возможную зависи мость множества строго лучших состояний не только от текущего состояния экономики, но также и от сложившегося набора (инди видуальных) цен. Однако при этом область значений индивидуаль ных предпочтений остаётся неизменной, и ей по-прежнему является множество X всех допустимых состояний. Таким образом, если Q это множество допустимых наборов индивидуальных цен, то Pi (·) 1 Если в модели допускаются предпочтения агентов, для которых принципи ально наличие столь обширных областей определения и значения, то принято говорить о наличии внешних влияний.

1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами определены на X Q и принимают значения в X. Отметим, что это последнее обобщение является действительно важным для анализа конкретизаций абстрактной модели, включающих в себя производ ственный сектор (ибо поведение производителя в явной форме зави сит от сложившихся на рынке цен).

Итак, для всех i N заданы точечно-множественные отображе ния Pi : X Q X. В тексте будет также использоваться привычное обозначение q, определяющее предпочтение агента i в виде бинар i ного отношения, где по определению q y x y Pi (x, q).

i Причём, если это не приводит к недоразумениям, то символ q в q i может быть опущен, даже если сохраняется зависимость предпочте ний от цен.

Множество допустимых индивидуальных цен Q, где Q (L )N = = Ln и q = (q1,..., qn ) для q Q, является частью определённого в модели формального механизма стоимостного регулирования, ко торый включает в себя также заданные для каждого i N функции распределения дохода i : X Q R.

В краткой форме модель абстрактной экономики может быть за писана в следующем виде:

E = N, X, Q, F (.),, {Pi (.), i (.)}iN.

Одним из наиболее естественных требований, предъявляемых в любой экономической системе к механизму стоимостного регулиро вания, является требование его эффективности, которое в рассмат риваемом нами классе моделей понимается как оптимальность по Парето отвечающих ему состояний равновесия. Данный вопрос на ходится в тесной связи с тем, какого типа цены допустимы в дан ном механизме, насколько они являются гибкими и т. д. Следующий пункт раздела посвящён анализу данной проблемы.

1.1.1. Оптимальность по Парето и её характеризация Прежде всего дадим необходимые определения.

Определение 1.1.1. Говорят, что допустимое состояние эконо мики x X оптимально (слабо) по Парето относительно q Q, если оно достижимо, т. е. F (x) = F () и при этом выполняется Pi (x, q) A(X) =.

iN 20 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами В существующей литературе в случае, когда предпочтения не зависят от цен, множество состояний экономики, удовлетворяющих определению 1.1.1, принято называть слабой границей Парето.

Полную характеризацию парето-оптимальных состояний, пред ставленную в терминах индивидуальных нестандартных цен, даёт следующая Теорема 1.1.1. Пусть x A(X), множества Pi (x, q) & Pi (x, q){x} выпуклы и x Pi (x, q) для всех i N. Состояние x оптимально по / Парето относительно q тогда и только тогда, когда найдётся на бор ненулевых нестандартных векторов 1,..., n из L такой, что Pi (x, q), i x, i для каждого i N, удовлетворяющего Pi (x, q) =, и при этом kerF (·) ker i (·) N [ y L, F (y) = F () i (y) = i () ]. (1.1.1) N N Комментируя содержание теоремы 1.1.1, прежде всего отметим возможность получения как следствия характеризации оптималь ных по Парето состояний экономики в терминах стандартных ли нейных функционалов. Последнее возможно при дополнительных модельных предположениях.

Действительно, с целью перейти к стандартным векторам инди видуальных цен будем считать, что норма вектора = (1,..., n ) равна 1 (при необходимости всегда можно так его пронормировать).

Так как сфера единичного радиуса компактна в Ln (ибо L конеч номерно), то каждая точка её -изображения околостандартна и, следовательно, существует стандартная часть вектора. Полагая i = st(i ), получим набор стандартных векторов 1,..., n, не все из которых равны нулю (при данном переходе нельзя гарантиро вать, что каждый из них ненулевой, даже если Pi (x, q) = для всех i N ), таких, что ker i (·) kerF (·) и при этом N Pi (x, q), i x, i 1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами для каждого i N такого, что Pi (x, q) =. Далее, если дополнитель но предположить, что x intX (без ограничения общности можно считать intX = ) и Pi (x, q) относительно открыты в X, то из преды дущего соотношения несложно заключить, что Pi (x, q), i x, i для i = 0. Вышесказанное и составляет стандартную характериза цию оптимальных по Парето состояний экономики (используя допол нительные предположения, этот результат можно распространить и на случай x intX, но здесь мы не будем этим заниматься).

/ Другой важный вывод, следующий из теоремы 1.1.1, состоит в том, что в общем случае, при наличии внешних влияний, эффектив ный механизм стоимостного регулирования должен основываться на понятии индивидуальной цены, допустимая совокупность которых должна удовлетворять условию (1.1.1). Без сомнения, использование индивидуальных цен в реальной экономической практике сталкива ется с серьёзными затруднениями, тем большими, чем больше их индивидуализация. Поэтому представляется важным определить те минимальные пределы, в которых индивидуализация цен действи тельно необходима, с тем чтобы сохранить свойство эффективно сти стоимостного механизма по мере уменьшения эффекта внеш них влияний. Формально вопрос можно поставить так: как можно сузить пространство допустимых индивидуальных цен при умень шении внешних влияний, чтобы выполнялась теорема 1.1.1? При исследовании данной проблемы прежде всего нужно уточнить ма тематический смысл высказывания уменьшение эффекта внешних влияний.

Будем говорить, что в абстрактной модели E в состоянии x при ценах q Q имеется ограниченный эффект внешних влияний, если имеет место следующая ситуация. Пусть для некоторого конечного T пространство состояний представляется в виде L = Lt, а мно tT Xt, где Xt Lt, для жество допустимых состояний в виде X = tT каждого t T. Пусть для каждого i N такого, что множество Pi (x, q) =, определено Ti T такое, что индивидуальные предпо чтения можно представить в виде T Pi (x, q) = Pi i (x, q) Xt, tT \Ti T Pi i (x, q) Xi = Xt Li = Lt. (1.1.2) tTi tTi 22 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Если для каждого i N представление (1.1.2) имеет место при любом x A(X) domPi (·, q)2, причём выбор Ti не зависит от x, то мы будем говорить просто об ограниченном эффекте внешних влияний (при ценах q).

В терминах стандартных цен приемлемый ответ на поставленный выше вопрос, особенно важный в приложениях абстрактной модели, даёт следующая Теорема 1.1.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.1.1 и при этом в модели имеется ограниченный эффект внешних влияний в достижимом состоянии x при ценах q Q и выполнено (1.1.2).

Пусть в случае Pi (x, q) = для всех i N дополнительно выполне но Ti = T.3 (1.1.3) iN Тогда существует набор стандартных векторов 1,..., n, не все t из которых равны нулю, таких, что i = 0 для всех t T \ Ti, где i = (i )tT, i L, причём ker i (·) kerF (·), и при этом t t t N Pi (x, q), i x, i для каждого i N такого, что Pi (x, q) =.

Условие (1.1.2) означает, что область значений предпочтения i можно без ущерба ограничить пространством Li, что соответственно уменьшает эффект внешних влияний. Требование (1.1.3) указывает на пределы, в рамках которых возможно эффективное сужение обла стей изменения индивидуальных цен в таком случае компоненты индивидуальных цен, отвечающие неинтересным фрагментам со стояния экономики, могут обращаться в ноль. Полученный в теоре ме 1.1.2 результат можно уточнить, если воспользоваться вышеука занным замечанием (см. комментарий к теореме 1.1.1) относительно перехода от нестандартной характеризации к стандартной.

Полноценный нестандартный аналог теоремы 1.1.2, дающий необходимые и достаточные условия оптимальности по Парето со стояний абстрактной модели в терминах нестандартных цен, явля ется более тонким результатом, требующим уточнения собственно понятия оптимальности.

2 Здесь стандартным образом полагается dom Pi (·, q) = {y X | Pi (y, q) = }.

3 Заметьте, что при Pi (x, q) = для некоторого i данное соотношение неопре деленно и, следовательно, условие не накладывается.

1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами Определение 1.1.2. Говорят, что допустимое состояние x X сильно оптимально по Парето относительно q Q, если оно до стижимо, т. е. F (x) = F () и для каждой непустой коалиции S N не существует z A(X) такого, что z Pi (x, q) i S (1.1.4) и при этом x Pi (z, q) i S.

/ / (1.1.5) Содержательно данное определение означает, что нет такой ко алиции, которая была бы способна предложить своим членам стро го предпочитаемое каждым из них достижимое состояние экономи ки при условии нейтральности дополняющей коалиции изменение текущего состояния экономики возможно только, если в дополняю щей коалиции нет активно несогласных членов. Заметьте, что дан ное понятие доминирования является более слабым по сравнению с доминированием, отвечающим понятию слабой границы Парето, соответственно сильная граница является подмножеством слабой.

Отметим, что если отношение q иррефлексивно и транзитивно, i то условия (1.1.4), (1.1.5), определяющие сильную границу Парето, будут эквивалентны требованию q q i N : zx xz i N.

& i i В свою очередь любое строгое бинарное отношение будет ирре флексивно и транзитивно, если оно определено как строгая компо нента некоторого нестрогого отношения, которое рефлексивно и транзитивно. Чтобы убедиться в этом, напомним, что по определе нию строгой компоненты z y z y&y z.

Теперь, если z y & y x, то из транзитивности заключаем x. Однако если x z, то из y x z и транзитивности полу z чаем y z, что противоречит условию z y и определению строгой компоненты. Следовательно, x z и по определению z x.

Таким образом, определение 1.1.2, будучи применённым к класси ческим нестрогим (и полным) предпочтениям экономических аген тов, в точности совпадает с традиционным определением сильной границы Парето.

С целью установить точную теорему при ограниченном эффекте внешних влияний, рассмотрим следующую модификацию понятия оптимальности по Парето.

24 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Определение 1.1.3. Допустимое состояние x X строго опти мально по Парето относительно q Q при ограниченном эффекте внешних влияний, если оно достижимо, т. е. F (x) = F () и для каждой (непустой) коалиции S N не существует z A(X) та кого, что z Pi (x, q) i S & zi = xi i S, / где zi, xi обозначают проекцию векторов z, x на Li = Lt, и при tTi этом если Pi (x, q) =, то Ti = T \ ( Tj ), где N = {j N | jN Pj (x, q) = }.

Легко видеть, что данное понятие занимает промежуточное по ложение между слабой и сильной оптимальностью по Парето и, главное, всякое сильно оптимальное состояние является строго оп тимальным, если предпочтения иррефлексивны и имеет место огра ниченный эффект внешних влияний. Убедиться в этом можно, рас суждая от противного: если x сильно оптимален и не является строго оптимальным, то найдется z и непустая доминирующая коалиция S такая, что для агентов, не попавших в эту коалицию, выполняется zi = xi (см. определение выше). Но тогда если x i z для некоторого i S, то в силу ограниченного эффекта внешних влияний (1.1.2) по / лучаем z i z, что невозможно. Следовательно, x i z для всех i S / и по определению S (слабо) доминирует x по z противоречие.

Теорема 1.1.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.1.1 и при этом в модели E имеется ограниченный эффект внешних влияний в достижимом состоянии x при ценах q Q и выполнены (1.1.2), (1.1.3). Тогда состояние x при ценах q строго оптимально по Па рето тогда и только тогда, когда найдётся набор нестандартных векторов 1,..., n из L такой, что i = 0 для всех t T \ Ti, где t t t i = (i )tT, i Lt, выполняются (1.1.1) и Pi (x, q), i x, i для каждого i N, удовлетворяющего Pi (x, q) =.

Доказательство теорем 1.1.2, 1.1.3 идёт параллельно доказатель ству теоремы 1.1.1 и приводится в конце данного пункта (непосред ственно после доказательства теоремы 1.1.1). Доказательство тео ремы 1.1.1 основано на применении нестандартного обобщения из вестной теоремы Дубовицкого–Милютина, которое имеет также и самостоятельный интерес.

1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами Теорема 1.1.4. Пусть {Bj }j=k некоторая совокупность выпук j= лых подмножеств пространства L такая, что для некоторого x L и любого j множество Bj {x} выпукло. Тогда, если k (Bj {x}) = {x}, j= то существуют нестандартные линейные функционалы fj L, j = 1, 2,..., k, удовлетворяющие условию k fj = 0 (1.1.6) j= и такие, что fj (Bj ) fj (x), причём выполняется FBj (x) = {y Bj | fj (y) = fj (x)}, (1.1.7) где FBj (x) обозначает грань4 минимальной размерности (возмож но, пустую) множества Bj, которой принадлежит элемент x.

Замечание 1.1.1. Прежде всего отметим тот факт, что если x riBj, то FBj (x) riBj = и в силу (1.1.7) разделяющий функци / онал fj ненулевой. Соответственно, если x riBj для всех j, то все / разделяющие функционалы ненулевые, что демонстрирует отличие настоящей теоремы от стандартной версии теоремы Дубовицкого– Милютина. Теорема 1.1.4 является достаточно глубоким результа том. В определённом смысле она показывает, что стандартные вы пуклые множества обладают свойствами выпуклых многогранников в классе всех нестандартных множеств. В частности, из этой теоремы следует, что любые два выпуклых стандартных множества, имеющие пустое пересечение, можно строго разделить нестандартной гипер плоскостью. Действительно, для выпуклых X, Y L если X Y =, то достаточно применить теорему 1.1.4 к совокупности из двух мно жеств, имеющих вид {0} и {(x y) | x X, y Y, 1 0}, 4 Подмножество C замкнутого выпуклого множества B L называется гра нью B, если и только если для любых a, b B условие ((a, b)) C = влечёт [[a, b]] C. Здесь [[a, b]] = {y L | y = a + (1 )b, 0 1}, ((a, b)) = {y L | y = a + (1 )b, 0 1}.

Под гранью произвольного выпуклого множества мы понимаем подмноже ство, которое можно представить как пересечение грани замыкания с основ ным множеством. О граневой структуре выпуклых множеств подробнее см.

[Брёнстед, 1988].

26 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами рассмотренных относительно вектора 0 (нужно принять x = 0 в фор мулировке теоремы 1.1.4). Искомым разделяющим нестандартным функционалом здесь является f = f1 = f2.

В основе доказательства данной теоремы лежит следующий стан дартный факт о разделимости выпуклых многогранников.

Утверждение 1.1.1. Пусть {Aj }j=k совокупность выпуклых j= многогранников5 в пространстве L, удовлетворяющая условию k Aj = {x}, j= грань Aj 6. То и пусть x riFAj для всех j = 1,..., k, где FAj гда найдется совокупность линейных стандартных функционалов j=k {fj }j=1, не все из которых равны нулю, таких, что fj (Aj ) fj (x), причём FAj = {y Aj | fj (y) = fj (x)} для всех j = 1, 2,..., k, и k fj = 0.

j= При доказательстве последнего утверждения будет использоваться следующая вспомогательная Лемма 1.1.1. Пусть C L выпуклый многогранник, FC соб ственная грань в C и H L аффинное подпространство, удо влетворяющее H C FC и H riFC =. Тогда H можно продол жить до опорной к C гиперплоскости D такой, что D C = FC.

Доказательство леммы 1.1.1.7 Без ограничения общности мож но считать, что dimC = dimL. Далее ведём индукцию по размер ности пространства L. При dimL = 1, 2 утверждение леммы очевид но, что обеспечивает базу индукции. Предполагая истинность леммы при dimL m, докажем его для dimL = m.

5 Под термином выпуклый многогранник мы понимаем множество, предста вимое как выпуклая оболочка конечного числа точек. Множества, представимые как пересечение конечного числа замкнутых полупространств, называются по лиэдральными.

6 Это условие означает, что F грань минимальной размерности, содержа Aj щая точку x.

7 В целом доказательство леммы следует схеме доказательства теоремы 7. из [Брёнстед, 1988], утверждающей, что каждая грань многогранника является выступающей. Грань F выпуклого множества B L называется выступающей, если либо F совпадает с или B, либо F = B D, где D опорная гиперплос кость к B.

1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами По условию леммы H C FC и, так как FC собственная грань C (значит FC intC = ), заключаем H intC =. В силу классической теоремы отделимости найдётся такая гиперплоскость E H, что E intC =. Покажем, что FC E. Действительно, пусть x riFC H. Теперь, если y FC \ E, то из x riFC най дём такой 0, что z = x + (x y) FC, откуда по выбору y получаем z E, причём y и z лежат в разных полупространствах, / ограничиваемых гиперплоскостью E. По условию найдётся c intC, возьмём любой. Теперь, в силу свойства выпуклых множеств, име ем ((y, c)) intC и ((z, c)) intC. Однако, так как y и z лежат в разных открытых полупространствах, ограничиваемых гиперплос костью E, получаем либо ((y, c)) E =, либо ((z, c)) E =, что влечёт E intC = противоречие с выбором E. В итоге заключа ем, что FC E.


Далее, если E C = FC, то гиперплоскость E искомая. В против ном случае FC является собственной гранью многогранника C E и, в силу индуктивного предположения, аффинное подпространство H может быть продолжено до гиперплоскости H в E так, чтобы было выполнено утверждение леммы: FC = H C и H опорная ги перплоскость к C E в E. Заметим, что dimH = m 2 1. Пусть двумерное подпространство в L, ортогональное к H, и pr(.) T обозначает ортогональную проекцию L на T. Тогда pr(H ) одно точечное множество, а pr(C) двумерный многогранник в T. Далее покажем, что pr(H ) вершина pr(C). Действительно, если бы это было не так, то в C нашлись бы такие точки y и z, что pr(y) = pr(z) и при этом pr(H ) = (1 ) pr(y) + pr(z) для некоторого 0 1. Полагая v = (1 )y + z, находим, что v C и pr(v) = pr(H ). Однако последнее влечет v H, ибо по построению имеем pr1 (pr(H )) = H. Следовательно, v принадле жит FC (так как FC = H C). Но тогда из определения грани мы заключаем, что y, z FC. В то же время, поскольку FC H, для всех u FC должно выполняться pr(u) = pr(H ), откуда, в част ности, следует pr(y) = pr(z). Полученное противоречие доказывает, что pr(H ) является вершиной в pr(C). Далее, в силу истинности леммы в двумерном варианте, в T найдется такая прямая Q, что pr(C) = pr(H ).

Q Далее осталось положить D = a(H Q) = pr1 (Q) и убедиться в том, что D является опорной гиперплоскостью к C в L, удовлетво ряющей (по построению) условиям D H и D C = FC.

28 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Доказательство утверждения 1.1.1. Применим лемму 1.1.1 к j=k многограннику C = Aj, точке (x,..., x) и подпространству j= H = {(y,..., y) | y L}, k определённым в пространстве Lk. Множество F = FAj (x) явля j= ется гранью C, содержащей (x,..., x) в своей относительной внут ренности, причём эта грань может быть несобственной, только если x riAj, j. Однако тогда по условию утверждения intC = и, следовательно, чтобы получить нужный результат, достаточно рас смотреть любую гиперплоскость, содержащую аффинную оболоч ку C. Итак, в силу леммы 1.1.1 заключаем существование опорной к C гиперплоскости E H, удовлетворяющей условию k E C= FAj (x).

j= Так как 0 H E, то найдётся (ненулевой, если F собственная) линейный функционал f такой, что {y Lk | f (y) = 0} = E. Запи сывая функционал f в виде f = (f1,..., fk ), где fj функционалы j=k fj (z) = 0 для всех z L, что над L, в силу f (H) = 0 находим j= доказывает вторую часть утверждения. Ввиду опорности E к C, мы можем предполагать, что f (C) f (F ) = 0 (в противном случае возь мём f вместо f ). Отсюда, применяя f к элементу из C, имеющему вид (z1,..., zk ), где zi = x для i = j и zj Aj, находим fi (x) fj (x) + fi (x) = fj (zj ) fj (x) zj Aj.

fj (zj ) + i=j i=j Осталось заметить, что в последнем неравенстве равенство возмож но только тогда, когда zj FAj (x).

Доказательство теоремы 1.1.4. Прежде всего отметим, что до статочно рассмотреть случай, в котором Bj = для всех j = 1,..., k.

Действительно, для j таких, что Bj =, можно взять новые множе ства, полагая Bj := {x}. Ясно, что набор нестандартных функцио налов, отвечающий новому набору выпуклых множеств, будет удо влетворять требованиям теоремы в отношении старого набора.

Доказательство теоремы основывается на применении теоремы направленности из теории нестандартного анализа (см. раздел 4.2.2, 1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами теорема 4.2.11 и, например, [Девис, 1980]). С этой целью опреде лим направленное отношение8 U следующим образом. Пусть C = = {C1,..., Ck } есть любая совокупность конечных (возможно, пус тых) подмножеств Cj Bj, удовлетворяющая следующему усло вию: если x Bj, то x co Cj и размерность минимальной грани в co Cj, которой принадлежит x, совпадает с размерностью минималь ной грани из Bj при FBj (x) = (это грани, для которых x лежит в их относительной внутренности, см. теорему 5.6 в [Брёнстед, 1988]). Да лее определим Aj = co(Cj {x}) для всех j = 1,..., k и отметим, что этот набор выпуклых многогранников удовлетворяет всем условиям утверждения 1.1.1. Пусть F = F(C) = {f1,..., fk } набор линейных функционалов, отвечающих данному набору {Aj } многогранников, и удовлетворяющий требованиям утверждения 1.1.1. Теперь опреде лим отношение U как совокупность всех пар (C, F(C)) указанного вида, т. е. положим U = {(C, F) | C = {Cj }j=k, card Cj, Cj Bj, F = F(C)}.

j= Свойство направленности отношения U легко проверяется. Действи тельно, для конечного семейства {C t } из dom U достаточно поло t жить Cj = Cj и, используя утверждение 1.1.1, найти набор функ t ционалов F, соответствующий набору многогранников {Aj }, где Aj = co(Cj {x}). Легко видеть: (C t, F ) U, что и требовалось до казать. Итак, U направленное отношение, и в силу теоремы на правленности найдётся такой набор нестандартных функционалов F = {fj }j=k, что (C, F) U при любом C dom U. Чтобы закон j= чить доказательство, достаточно заметить, что по определению U набор F удовлетворяет всем свойствам Утверждения 1.1.1 при лю бом C dom U, и так как к Cj можно добавить любую точку из Bj, не выходя за пределы dom U, то fj (y) f (x) = f (z) z FBj (x) & y Bj \ FBj (x), что устанавливает (1.1.7). Свойство (1.1.6) выполнено по определе нию отношения U и в силу утверждения 1.1.1.

Доказательство теоремы 1.1.1. Необходимость. Поскольку Pi (x, q) X для каждого i, то условие оптимальности по Парето состояния x может быть записано в эквивалентной форме:

8 Отношение U называется направленным, если при любом конечном A dom U в универсуме найдётся такой элемент bA, что (a, bA ) U для всех a A.

30 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Pi (x, q) {y L | F (y) = F ()} =, N причём выполнены условия теоремы 1.1.4 (по условиям теоре мы 1.1.1). Следовательно, существует набор нестандартных функ ционалов {ft }t=n, удовлетворяющий соотношениям (1.1.6) и (1.1.7), t= где функционал с номером 0 соответствует множеству, определён ному через балансовое соотношение. В силу (1.1.6) и (1.1.7) (для функционала f0 ), заключаем fi = f0 = ker fi (·) kerF (·).

N N Далее заметим, что по условию теоремы 1.1.1 для каждого i N вы полняется FPi (x,q) (x) =. Применяя (1.1.7) в отношении f1,..., fn, находим fi (Pi (x, q)) fi (x) для каждого i N такого, что Pi (x, q) =. Чтобы закончить дан ную часть доказательства, осталось только заменить все функцио налы представляющими их векторами (в форме скалярного произ ведения), что возможно в силу конечномерности L.

Доказательство теоремы в части достаточности совершенно стан дартно и приводится здесь только с целью полноты изложения. Дей ствительно, пусть найдутся x A(X) и набор нестандартных векто ров 1,..., n, удовлетворяющий условиям теоремы. Тогда если y Pi (x, q) A(X), N то i (y) i (x) для каждого i, откуда i (y) i (x).

N N В то же время в силу x, y A(X) и по свойству векторов {i } должно быть F (y) = F (x) = F () = i (y) = i (x), N N что противоречит предыдущему соотношению.

Доказательство теоремы 1.1.2. Рассмотрим модификацию ис ходной модели экономики, в которой в качестве нового множества 1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами допустимых состояний выбирается всё пространство L, а в качестве новых предпочтений в точке (x, q) множества вида T Pi (x, q) = Pi i (x, q) Lt tT \Ti (при Pi (x, q) = ). Тогда, так как в силу (1.1.3) при ненасыщенных предпочтениях имеем Pi (x, q) = Pi (x, q) X, то из оптимально N N сти по Парето (x, q) в исходной модели заключаем, что Pi (x, q) {y L | F (y) = F ()} =.

N Однако последнее означает оптимальность по Парето состояния x относительно q в новой модели (если Pi (x, q) = для некоторо го i, то последнее соотношение выполнено автоматически). Кроме того, заметим, что множества Pi (x, q) {x} выпуклы, это сле дует из условий теорем 1.1.1 и 1.1.2, что эквивалентно выпуклости T Pi i (x, q) {xi }, где xi обозначает проекцию вектора x на Li = Lt.

Ti /T По условиям теоремы 1.1.1 также имеем xi Pi i (x, q).

Далее применим теорему 1.1.1 к новой модели и найдём соот ветствующий набор нестандартных векторов 1,..., n. По усло вию (1,..., n ) = 0 можно считать, что евклидова норма вектора (1,..., n ) в точности равна 1, откуда в силу компактности единич ной сферы в L заключаем существование i = st(i ), i N, не все из которых равны нулю. Для каждого из этих векторов мы имеем t i, Pi (x, q) i, x = i, yt 0 yt Lt, t Ti.

/ t Последнее возможно только если i = 0 для всех t T \ Ti, что совместно с предыдущим и заканчивает доказательство.

Доказательство теоремы 1.1.3. Необходимость. В отличие от предыдущего доказательства рассмотрим несколько иные множества предпочитаемых состояний, полагая T Pi (x, q) = (Pi i (x, q) {xi }) Lt tT \Ti T для всех i N (здесь Pi i (x, q) = при Pi (x, q) = ). Далее, исполь зуя свойство строгой оптимальности состояния x, покажем, что Pi (x, q) {y L | F (y) = F ()} = {x}. (1.1.8) N 32 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Действительно, пусть z принадлежит множеству, расположенному в левой части последнего соотношения. Прежде всего отметим, что в силу (1.1.3) должно быть z X и, следовательно, z A(X). Далее, если z = x, то определим непустую (в силу (1.1.3)) коалицию аген тов, полагая S = {i N | zi = xi }. Легко видеть, что S коалиция, существование которой отрицается по свойству строгой оптимально сти по Парето состояния x. Таким образом, (1.1.8) истинно и мож но применить теорему 1.1.4. Отметим, что грань минимальной раз мерности множества Pi (x, q), которой принадлежит элемент x, это в точности множество {xi } Lt. Поэтому в силу теоремы 1.1. tT \Ti и аргументов, аналогичных изложенным выше при доказательстве теоремы 1.1.1, найдётся совокупность нестандартных функционалов, чьи представляющие векторы удовлетворяют всем требованиям тео ремы 1.1.3. В части достаточности доказательство стандартно.


1.1.2. Абстрактное и аппроксимирующее равновесие Сначала мы рассмотрим понятия общего и аппроксимирующего рав новесия в абстрактной модели экономики, а затем установим теоре мы существования аппроксимирующего равновесия.

Из результатов предыдущего раздела следует, что эффективный механизм стоимостного регулирования в общей модели с внешними влияниями должен основываться на понятии индивидуальной цены, допустимая совокупность которых должна удовлетворять условию (1.1.1), что является основным аргументом в пользу нижеследующе го определения.

Введём множество достижимых наборов индивидуальных цен, полагая A(Q) = {q Q | ker qi (·) kerF (·)}.

N Далее для каждого i N определим бюджетное множество агента i в состоянии x X при ценах q Q, полагая Bi (x, q) = {y X | qi, y i (x, q)}.

Множество Bi (x, q) имеет обычный содержательный смысл и состо ит из тех состояний экономики, которые способен купить агент i по индивидуальным ценам qi в текущем состоянии x относительно допустимого набора индивидуальных цен q.

1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами Определение 1.1.4. Допустимое состояние x X экономики E называется абстрактным равновесием при ценах q Q, если вы полнены условия:

x Bi (x, q) i N ;

(i) Pi (x, q) Bi (x, q) = i N ;

(ii) x A(X);

(iii) q A(Q).

(iv) Приведённое здесь условие (i) можно интерпретировать как требова ние индивидуальной финансовой достижимости состояния x, тогда как (ii) совместно с (i) следует понимать как реализацию принципа выбора бюджетно-оптимального состояния или просто как результат максимизации полезности в рамках бюджетного ограничения (ино гда называется как индивидуальная рациональность, хотя это может входить в противоречие с терминологией теории игр). Требование (iii) означает реализуемость (достижимость) состояния x в эконо мике в целом, а (iv) эффективности набора индивидуальных цен q = (q1,..., qn ).

Далее сформулируем некоторые минимальные требования, предъявляемые к модели экономики, с тем чтобы можно было наде яться на существование равновесий. Все эти требования носят обще математический характер и прежде всего в их числе предположения, относящиеся собственно к множеству допустимых состояний эконо мики:

A1 (выпуклость и замкнутость). Множество допустимых со стояний X выпукло и замкнуто.

A2 (ограниченность). Множество достижимых состояний A(X) ограниченно.

В следующую группу входят предположения, связанные со свой ствами предпочтений, их непрерывностью и выпуклой иррефлек сивностью. В современной литературе используется два типа пред положений о непрерывности предпочтений сильная и слабая.

A3 (слабая непрерывность). Отображение Pi (·) : X Q X для каждого i N удовлетворяет условиям:

(i) полунепрерывность сверху: для всех (x, q) X Q множество Pi (x, q) открыто в X;

34 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами (ii) полунепрерывность снизу: для всех y X множество Pi (y) = {(x, q) X Q | y Pi (x, q)} открыто в X Q.

A3 (сильная непрерывность). Отображение Pi (·) : X Q X для каждого i N имеет открытый график GrPi (·) в X Q X, где GrPi (·) = {(x, q, y) X Q X | y Pi (x, q)}.

Замечание 1.1.2. Предположение A3 очевидно влечёт A3 и в общем случае является более квалифицированным требованием к предпочтениям агентов. Однако заметим, что если бинарное отно шение q не зависит от цен, т. е. q = i, и является строгой ком i i понентой некоторого транзитивного, полного и рефлексивного от ношения, то A3 эквивалентно A3.

Чтобы убедиться в этом, возьмём произвольную пару (x, y) GrPi (·) (здесь GrPi (·) X X). Предположим, что z Pi (x) Pi (y) =. Тогда из транзитивности (x, y) Pi (z) Pi (z) GrPi (·) для некоторого z X.9 Если Pi (x) Pi (y) =, то из транзитивно сти и полноты несложно заключить, что (x, y) Pi (y) Pi (x) GrPi (·).

Таким образом, GrPi (·) есть окрестность каждой своей точки и по определению является открытым подмножеством X X.

Другая ситуация, в которой предположение A3 оказывается эк вивалентным A3, состоит в предположении о полиэдральности мно жества допустимых состояний X в случае выпуклых значений у Pi (·).

Полиэдральность выполняется по определению в ряде традицион ных моделей экономики. Кроме того, как мы увидим в дальнейшем, в рамках предположения о полиэдральности X получаются наиболее интересные результаты в приложениях общей теории равновесия с нестандартными ценами.

9 Заметим, что если такого z не существует, то тогда Pi (x) Pi (y) = X и множество X представимо как объединение двух открытых множеств, имею щих пустое пересечение, что противоречит связности X (в силу A1). Напомним, что связными называют множества, которые нельзя представить как объедине ние двух открытых непересекающихся подмножеств. Отсюда следует, что факт остаётся справедливым для неполных предпочтений.

1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами Чтобы убедиться в истинности последнего высказывания, пред положим A3 и возьмём любую тройку (x, q, y) GrPi. Имеем y Pi (x, q), где в силу полиэдральности X и A3(i) найдётся мно гогранная окрестность V X точки y в топологии L, индуциро ванной на X, такая, что V Pi (x, q). Другими словами, найдёт ся такое конечное A X, что co A окрестность точки y в X и co A Pi (x, q). Теперь в силу A3(ii) множество Pi (a) = W aA является открытой окрестностью точки (x, q) в X Q, и в силу пред положения о выпуклозначности Pi (·) заключаем co A Pi (x, q ) для всех (x, q ) W, т. е. W co(A) GrPi и GrPi является окрестно стью каждой своей точки и, значит, является открытым множеством в X Q X.

A4 (выпуклость и иррефлексивность). Для каждого i N и для всех (x, q) X Q выполняется x co Pi (x, q).

/ Отметим, что co Pi (·) удовлетворяет A3, если оно выполнено для Pi (·). Поэтому, комбинируя A3 и A4 в предположении о полиэд ральности X, заключаем эквивалентность A3 и A3.

В другую группу предположений входят требования, предъяв ляемые к механизму стоимостного регулирования. Первое из этих требований имеет обычный математический смысл.

A5 (непрерывность доходов). Для каждого i N функция i (·) : X Q R непрерывна.

Для существования любого экономически значимого понятия равновесия необходимы предположения, обеспечивающие выполне ние финансового баланса в итоговом решении. В теории существова ния вальрасовского равновесия такую роль играет закон Вальраса. В абстрактной модели экономики этот закон имеет не совсем привыч ную форму, что обусловлено большой общностью модели. Именно, чтобы сформулировать этот закон в форме, приложимой к случаю ограниченных внешних влияний, нам потребуется определить неко торое правило, в соответствии с которым всякому заданному набору x1,..., xn состояний экономики сопоставляется состояние, состоящее из компонент этих состояний. Другими словами, необходимо опре делить отображение g(·) проектирования из LN в L, надлежащим образом согласованное с понятием ограниченных внешних влияний.

Пусть в модели E множество допустимых состояний X представ ляется в виде X = Xt при некотором конечном T и имеет место T 36 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами ограниченный эффект внешних влияний (см. (1.1.2)). Отображение проектирования g : LN L назовём согласованным со структурой внешних влияний, если для каждого t T определён такой i N, что (g(x1,..., xn ))t = (xi )t, t Ti.

В дальнейшем для краткости такого рода проектирования называ ются просто согласованными. Отметим, что при (x1,..., xn ) XN выполняется g(x1,..., xn ) X. Ещё раз подчеркнем, что единствен ное требование, предъявляемое к согласованному проектированию g(·), состоит в том, что его компонента t определяется как компо нента t у состояния, отвечающего некоторому агенту i, где t входит в область эффективного изменения его предпочтений, т. е. должно быть t Ti. Таким образом, согласованные проектирования суще ствуют, только если выполнено Ti = T.

N A6 (закон Вальраса). Существует такое согласованное проек тирование g : XN X, что для любого заданного набора x1,..., xn X и любого набора достижимых индивидуальных цен q A(Q), если Pi (xi, q) Bi (g(x1,..., xn ), q) = i N, то i (g(x1,..., xn ), q) = qi,.

iN iN Ясно, что закон Вальраса в данной формулировке является ослабле нием общепринятого в моделях типа Эрроу–Дебре, где нет ограниче ний на выбор текущего состояния экономики. Несмотря на его внеш нюю искусственность с экономической точки зрения (и трудность проверки), эта формулировка является приемлемой для абстракт ной модели и в чём-то даже ближе к классическим установкам. Дей ствительно, здесь требуется, чтобы финансовый баланс выполнялся только в точках, которые представлены через оптимальные решения в задачах выбора состояния у агентов экономики. В свою очередь, в классическом понимании требуется, чтобы скалярное произведение вектора цен на текущий избыточный спрос обращалось в ноль (т. е.

требуется нулевая стоимость избыточного спроса). Таким образом, странность изложенной формы закона Вальраса сводится только к тому, что он применяется по отношению не к заданному состоянию экономики, но к набору этих состояний (для перехода используется 1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами отображение g(·)). Как это будет видно в дальнейшем, предложен ный вариант закона Вальраса удобен в приложениях абстрактной модели (см. § 1.2.2), учитывающих наличие производства.

A7 (непустота бюджетных множеств). Существует компакт M L такой, что для каждого i N и любых (x, q) X Q выполняется Bi (x, q) M = y XM : qi, y i (x, q).

Данное предположение аккумулирует основной смысл нашего подхо да. Должно быть ясно (и это показывают примеры), что предположе ние A7 является слишком слабым, чтобы гарантировать существо вание равновесий в смысле определения 1.1.4, даже если выполня ются все прочие предположения A1–A6. Более того, как показыва ет нижеследующий пример (см., например, [Данилов, Сотсков, 1985;

Danilov, Sotskov, 1990]), его будет также недостаточно и в случае обычной модели обмена без внешних влияний, даже если предпочте ния агентов локально ненасыщаемые, а цены сколь угодно гибкие, это хорошо известный в теории равновесия факт.

Пример 1.1.1. Пусть N = {1, 2}, пространство состояний L = L1 L2, где L1 = L2 = R2 пространство продуктов. Пусть X = R2 R2, а предпочтения определены на L+ = R2 (нет + + + i внешних влияний) посредством функций полезности: u1 (x, y) = x и u2 (x, y) = y. В экономике функционируют рыночные цены p R2, а доходы агентов определены с помощью векторов исходных ре сурсов i R2, где = (1, 2 ) X и 1 = (1, 0), 2 = (1, 1), + а i = i, p, i = 1, 2. Равновесием здесь является вектор (x1, x2 ) R4 такой, что x1 + x2 = 1 + 2 (из условия достижимости (iii) + определения 1.1.4) и при этом для некоторого p R2 имеет место ui (xi ) = max{ui (x, y) | (x, y) R2 : p, (x, y) pi }, i = 1, 2.

+ Ситуацию иллюстрирует рис. 1.1.1, где в пространстве продуктов R изображены исходные запасы, кривые (прямые) безразличия функ ций полезности и возможные бюджетные множества экономических агентов.

Покажем, что в этой модели рынка нет равновесия. Предполагая противное, из условия монотонности предпочтений находим p 0, p = 0. Но p = (, 0) или p = (0, ), 0, невозможно, ибо тогда спрос одного из потребителей бесконечен. Следовательно p 0, что также невозможно, поскольку спрос на второй продукт строго больше 1.

Противоречие.

38 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами 6y u 2 = (1, 1)  p  p u x 1 1 = (1, 0) Рис. 1.1.1. Рынок без равновесия Следующий пример однопродуктовой экономики представляет модель с внешними влияниями.

Пример 1.1.2. Пусть N = {1, 2}, пространство состояний L = R2, пространство продуктов. Пусть X = R2, а предпочтения где R + определены на R2 посредством функций полезности: u1 (x) = x1 · x + и u2 (x) = x2. В экономике функционируют индивидуальные цены qi R2, а доходы агентов определены с помощью 2-мерного вектора исходных ресурсов = (1, 2 ) X, где 1 = 0,6, 2 = 0,4, а i (q) =, qi, i = 1, 2.

На рис. 1.1.2 изображён образ u(A(X)) множества всех до стижимых состояний в критериальном пространстве переменных (u1, u2 ) = u. Равновесием здесь является вектор x = (x1, x2 ) R + такой, что x1 + x2 = 1 + 2 = 1 и при этом для некоторых qi R2, 1 1 2 i = 1, 2, удовлетворяющих условию q1 + q2 = q1 + q2 (в силу (iv) из определения 1.1.4, где F (y1, y2 ) = y1 + y2 ), имеет место ui (x) = max{ui (y) | y R2 : qi y qi }, i = 1, 2.

+ Покажем, что равновесие не существует. Предполагая противное, из оптимальности по Парето равновесного распределения (в силу ре зультатов предыдущего раздела) находим, что x2 0, 5 x1, а из решения задачи потребителя (т. е. в силу (i), (ii) и необходимых условий экстремума) заключаем grad u1 (x1, x2 ) = (x2, x1 ) = q1 и 1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами u1 потенциально равновесный исход слабая граница Парето W  0, 0,4 = 2 0,5 1 u Рис. 1.1.2. Экономика с внешними влияниями без равновесия grad u2 (x1, x2 ) = (0, 1) = q2 при некоторых 0, 0. Но в силу бюджетного ограничения (i) должно быть x2 2, что невозможно при x2 2.

Оба рассмотренных примера удовлетворяют требованиям A1–A7, однако равновесия не существуют по, на первый взгляд, разным причинам. Действительно, в примере 1.1.1 достаточно добавить к исходным ресурсам первого потребителя любое коли чество второго продукта и в экономике появится равновесие. В примере 1.1.2 первый потребитель хотел бы передать (подарить) второму 0,1 продукта, (изменяя распределение до оптимального по Парето), но стоимостной механизм запрещает такого рода опера цию, ибо второй потребитель оказывается не способным как-либо финансировать потенциально равновесное распределение (0,5;

0,5) (в силу условия (iv) единственная возможность положить q2 = 0, но тогда его спрос бесконечен).

На самом деле причина отсутствия равновесия в обоих примерах общая, и она состоит в том, что в области допустимых цен нарушено условие Слейтера в задаче потребителя: для каждого q Q, q = и любого x A(X) найдутся такие yi X, что i N.

qi, yi i (x, q) Действительно, в примере 1.1.1 это условие нарушается при p = (0, 1), а в примере 1.1.2 при qi = 0 & qj = 0, i = j.

40 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами В каждом конкретном случае несложно придумать такую ап проксимацию функций распределения дохода, чтобы условие Слей тера выполнялось во всей области достижимых цен A(Q). Вводи мое ниже понятие аппроксимирующего равновесия решает эту зада чу неким универсальным образом.

Определение 1.1.5. Пусть = (1,..., n ) 0. Состояние x L экономики E называется -равновесием при ценах q Q, если най дутся 0 1 и допустимые zi X, i = 0,..., n, такие, что ||zi x||2 j для всех i N {0} и выполнены условия:

N qi, zi i (z0, q) + i i N ;

(i) Pi (zi, q) {y X | qi, y i (z0, q) + i } = i N ;

(ii) (iii) F (x) = F ();

q A(Q).

(iv) Как это следует из формального определения, в -равновесии по стулируется существование ||||1 -близких состояний экономики, ко торые являются решением задачи потребителя при соответствую щих аппроксимациях бюджетного ограничения, определяемых по средством состояния z0 X и величин i 0, 0, i N. Отметим, что эти аппроксимации расширяют бюджетные множества агентов, причём иногда очень значительно (при qi 0 и фиксированных 0, 0), хотя по абсолютному значению могут быть сколь угодно малы. Уместно также отметить, что состояние экономики, отвечающее понятию -равновесия, может не быть допустимым, од нако является -допустимым и -F -сбалансированным.

Основным результатом настоящего пункта являются две теоремы существования -равновесий. Первая из них имеет дело со случаем всеобщих (тотальных) внешних влияний, вторая обобщает результат на случай ограниченных внешних влияний.

Теорема 1.1.5. Пусть E удовлетворяет предположениям A1–A и 0 intQ. Тогда -равновесия существуют.

Доказательство следующей теоремы основано на тех же иде ях, что и доказательство теоремы 1.1.5, однако в силу специфики несколько более громоздко.

Теорема 1.1.6. Пусть E удовлетворяет предположениям A1–A и является экономикой с ограниченными внешними влияниями 1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами в следующем смысле. Для некоторого конечного T имеет место X = Xt и для каждого i N определены Ti T такие, что T T Pi (x, q) = Pi i (x, q) Xt, (1.1.9) tT \Ti T где Pi i (x, q) Xi = Xt Li = Lt, причём соотношения tTi tTi (1.1.9) выполнены для всех (x, q) X Q таких, что Pi (x, q) =.

Пусть также выполнено Ti = T (1.1.10) iN и 0 int|Lef f (Q Lef f ), где Lef f = {q = (q1,..., qn ) (L )N | qi = 0 i N, t T \ Ti }.

t Тогда для каждого согласованного проектирования g : LN L, удовлетворяющего A6, существует такое -равновесие с ценами q = (q1,..., qn ) Q Lef f, что z0 = g(z1,..., zn ).

Описанное в теореме 1.1.6 пространство Lef f это эффективная область изменения цен, в рамках которой имеет место вторая тео рема благосостояния состояния экономики оптимальны (строго) по Парето тогда и только тогда, когда в Lef f найдётся допустимый набор линейных (и нестандартных) функционалов, опорных к мно жествам строго предпочитаемых состояний каждого экономического агента (см. теорему 1.1.3).

Доказательство теоремы 1.1.5. Прежде всего отметим, что, с целью упростить изложение и в силу предположения 0 intQ, мы можем считать, без ограничения общности, что Q является шаром единичного радиуса в (L )N. Более того, в силу предположений A1, A2, поскольку пространство L предполагалось конечномерным, мы можем также считать, что X является компактным подмножеством в L (в противном случае в нижеизложенных рассуждениях можно стандартным образом заменить X пересечением этого множества с подходящей компактной выпуклой окрестностью множества A(X)).

Рассмотрим следующие аппроксимации бюджетных ограничений экономических агентов. Пусть даны = (1,..., n ) 0, текущее состояние экономики x X и набор допустимых индивидуальных цен q = (q1,..., qn ) Q. В качестве новых доходов примем величину i (x, q) = (q)i + i (x, q), где для любого фиксированного 0 1/(n + 1) положим 42 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами (q) = ( ||q||)+ + min(, ||qj ||).

N Здесь по определению для всякого действительного y величина y + = y для y 0 и y + = 0 иначе. Сразу отметим, что по постро ению 0 (q) 1, откуда в силу i 0 и предположений A5, A следует, что функции i (·) непрерывны и удовлетворяют условию Слейтера.

На следующем этапе мы переходим к построению точечно множественного отображения, чьи неподвижные точки реализуют -равновесные состояния абстрактной экономики. Положим Xi = X, Yi = B = {y L | ||y||2 j }, i N, N и K= Yi Q Xi.

N N Множество K является непустым выпуклым компактом.

Далее определим отображения, действующие из K в себя. Для каждого i N и = (y1,..., yn, q, x1,..., xn ) K, xi Xi, q Q положим i () = i (q) = { y Yi | qi y min(, ||qi ||) · ( j ) }.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.