авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 9 |

«Сибирское отделение Российской академии наук Институт математики им. С. Л. Соболева В. М. Маракулин АБСТРАКТНЫЙ РАВНОВЕСНЫЙ АНАЛИЗ ...»

-- [ Страница 2 ] --

N Из построения с очевидностью следует, что эти точечно множественные отображения имеют замкнутый график и непустые выпуклые значения для всех K.

С целью использовать закон Вальраса A6, рассмотрим согласо ванное с T проектирование g(·) и определим x0 = g(x1,..., xn )10.

Далее для i () = i (x0, xi, q) положим {z Xi | qi z i (x0, q)} при qi xi i (x0, q), i () = {z Xi | qi z i (x0, q)} co Pi (xi, q) при qi xi i (x0, q).

Заметьте, что правая часть каждого из использованных здесь бюд жетных ограничений зависит от состояния x0 = g(x1,..., xn ) это не случайно и является необходимым элементом конструкции.

10 В данном случае неявно предполагается, что T = T для всех i N и, в част i ности, T может быть одноэлементным множеством. Поэтому любое проектиро вание является согласованным, однако при этом нужно, чтобы была выполнена вторая часть предположения A6.

1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами Поскольку каждая функция i (·) непрерывна и по построению удо влетворяет условию Слейтера, то соответствие {z Xi | qi z i (x0, q)} является полунепрерывным снизу и обладает непустыми, относи тельно открытыми и выпуклыми значениями. Отсюда в силу A легко заключить, что и отображение i () будет полунепрерыв но снизу и иметь открытые в Xi и выпуклые значения. Заметим, однако, что отображение i (·) может иметь пустые значения. Поло жим Ui = dom i (·) = { | i () = }.

Теперь уже отображение i |U имеет в своей области определения i непустые значения и, следовательно, удовлетворяет теореме Майкла о существовании непрерывного селектора (см. теорему 4.1.2 из раз дела 4.111 ). Выберем любой непрерывный селектор fi и положим {fi ()} Ui, при i () = Ui.

Xi при / Из построения (так как Ui открыто в силу A3 и условия Слейтера) легко следует, что данное отображение имеет замкнутый график и принимает непустые выпуклые значения.

Последнее, завершающее конструкцию, отображение соответ ствует тому, что иногда называется ценообразующим органом и определяет реакцию рынка на текущий стратегический выбор эко номических агентов:

() = {q A(Q) | qi (yi +xi ) q A(Q)}.

qi (yi +xi ) N N Собирая построенные отображения в одно по формуле i () () i (), K, H() = N N мы получаем точечно-множественное отображение, которое имеет замкнутый график и непустые выпуклые значения в K при любом K (в силу вышеуказанных свойств построенных отображений).

Следовательно, применима классическая теорема Какутани (теоре ма 4.1.1 раздела 4.112 ) и отображение H(·) имеет неподвижную точку в K. Пусть H().

теорема 3.1, p. 368 из [Michael, 1956].

11 Это 12 Например, см. [Берж, 1961].

44 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами На завершающем этапе мы исследуем свойства этой неподвижной точки.

Прежде всего заметим, что неравенство q i xi i (x0, q) невоз можно по определению отображений i (·) и i (·). Следовательно, должно быть q i xi [( ||q||)+ + min(, ||qj ||)]i + i (x0, q) i N. (1.1.11) N Далее, для какого-либо i N также невозможно fi () {z Xi | qi z i (x0, q)} co Pi (xi, q) =, ибо это противоречит предположению A4 (выпуклость и ирреф лексивность предпочтений). Следовательно, последнее пересечение должно быть пусто, откуда в силу A3(i) и условия Слейтера для i (·) заключаем {z Xi | qi z i (x0, q)} co Pi (xi, q) = i N. (1.1.12) Далее из построения i (·) и свойства неподвижной точки y i i () заключаем ||y i ||2 j и N q i y i min(, ||q i ||2 ) · ( i N.

j ) N Теперь просуммируем по i N данные неравенства и неравенства из (1.1.11), получая:

q i y i [( ||q||)+ + min(, ||q j ||)] i q i xi + N N N N ( min(, ||q j ||)) i + i (x0, q).

N N N В результате, после соответствующих сокращений и простейших пре образований, а также используя A6 (закон Вальраса), выполненный в силу (1.1.12) и i (x0, q) i (x0, q) в точке x0 = g(x1,..., xn ), по лучим q i (xi + y i ) ( ||q||)+ qi i + N N N q i (xi + y i ) ( ||q||)+ i.

N N 1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами Далее рассмотрим величину, стоящую в последнем соотношении сле q i (xi + y i ) 0. Из построения отобра ва. Предположим, что N жения (·) и свойств неподвижной точки следует, что функционал qi (xi + y i ) достигает максимума на q при огра Q(q, y, x) = N ничениях q A(Q). Однако по предположению Q является шаром единичного радиуса в (L )N, поэтому с необходимостью получаем ||q|| = 1, откуда следует ( ||q||)+ = 0 (по выбору 1/(n + 1)).

Таким образом, сделанное предположение неверно, и можно заклю чить, что qi (xi + y i ) q i (xi + y i ) = 0 q A(Q).

N N Более того, последнее соотношение выполняется тогда и только то гда, когда qi (xi +y i ) = 0 q E(L) = {q (L )N | ker qi (·) kerF (·)}.

N N Анализ данной формулы позволяет сделать все необходимые выво ды. Действительно, если положить qi = qj = q и qk = 0 для всех прочих k = i, j, то можно заключить q (y i + xi ) = q (y j + xj ) q L = y k + xk = x k N.

Продолжая, для всех q L, удовлетворяющих ker q (·) kerF (·), для z = x должно быть (q,..., q ), (z,..., z ) = 0 q z = z kerF (·) x kerF (·).

В итоге, суммируя сказанное, получаем x = y i + xi i N & F (x) = F (), что в силу ||y i || j и ввиду соотношений (1.1.11), (1.1.12) N и реализует (x, q) как -равновесие абстрактной модели с то тальными внешними влияниями относительно аппроксимаций :

z0 = x0 = g(x1,..., xn ), zi = xi, i N.

Доказательство теоремы 1.1.6. Аналогично предыдущему дока зательству можем считать, без ограничения общности, что Q Lef f 46 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами является шаром единичного радиуса в Lef f, а в силу A1, A2 мы можем также считать, что X является компактным подмножеством в L (в противном случае заменим X его пересечением с подходя щей компактной выпуклой и прямоугольной окрестностью мно жества A(X)).

Рассмотрим следующие стандартные аппроксимации бюджетных ограничений экономических агентов. Пусть даны = (1,..., n ) 0, текущее состояние экономики x X и набор допустимых индивиду альных цен q = (q1,..., qn ) Q. В качестве новых доходов примем величину i (x, q) = (q)i + i (x, q), где для фиксированного 0 1/2 положим (q) = ( ||q||)+ + min(, ||qj ||).

n N Отметим, что по построению 0 (q) 1, откуда в силу i 0 и предположений A5, A7 следует, что функции i (·) непрерывны и удовлетворяют условию Слейтера.

Далее переходим к построению точечно-множественного отобра жения, чьи неподвижные точки реализуют -равновесные состояния абстрактной экономики.

Положим Xi = X, Yi = Bn = {y L | ||y||2 j }, i N, n N и Lef f K= Yi Q Xi.

N N Множество K является непустым выпуклым компактом.

Определим отображения, действующие из K в себя. Для каждого i N и = (y1,..., yn, q, x1,..., xn ) K, xi Xi, q Q, положим i () = i (q) = { y Yi | qi y min(, ||qi ||) · ( j ) }.

n N Эти точечно-множественные отображения имеют замкнутый график и непустые выпуклые значения для всех K.

Используя закон Вальраса A6 и отвечающее ему отображение проектирования g : LN L, определим точечно-точечные отобра жения проектирования g (·), g (·) из K в B = {y L | ||y|| j } N и X, полагая 1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами g () = g(x1,..., xn ), g () = g(y1,..., yn ).

Из построения, в частности, следует, что оба эти отображения непре рывны.

Далее положим x0 = g(x1,..., xn ) и для i () = i (x0, xi, q) опре делим i (x0, xi, q) = {z Xi | qi z i (x0, q)} при qi xi i (x0, q) и i (x0, xi, q) = {z Xi | qi z i (x0, q)} co Pi (xi, q) при qi xi i (x0, q). Опять, поскольку каждая функция i (·) непре рывна и по построению удовлетворяет условию Слейтера, то соот ветствие {z Xi | qi z i (x1, q)} является полунепрерывным снизу и обладает непустыми, относи тельно открытыми и выпуклыми значениями. Следовательно, в си лу A3 отображение i () будет полунепрерывно снизу и будет иметь открытые в Xi и выпуклые значения. Однако отображение i (·) может принимать пустые значения. Положим Ui = dom i (·) = { | i () = }.

Отображение i |U принимает во всей своей области определения i непустые значения. Более того, в силу ограниченности внешних вли яний (1.1.9), по выбору q Lef f и определению пространства Lef f, для всех Ui имеет место i () = pr|L [i ()] Xt, i tT \Ti где посредством pr|L [i ()] обозначена проекция множества i () на i Li = Lt. Ясно, что точечно-множественное отображение tTi Li (·) : pr|L [i ()] i полунепрерывно снизу и имеет открытые, выпуклые и непустые при Ui значения. Следовательно, это отображение, (равно как и i (·)), удовлетворяет теореме Майкла о существовании непрерыв ного селектора (теорема 4.1.2 раздела 4.113 ). Выберем любой непре рывный селектор fLi этого отображения и определим непрерывный селектор отображения i (·) по формуле fi () = (fLi (), gLi ()), Ui, это проекция вектора g () на пространство где gLi () 3.1, p. 368 из [Michael, 1956].

13 Теорема 48 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Li = Lt.

tT \Ti Другими словами, в силу сделанных предположений у отображения i (·) существует и выбирается селектор, полученный как декартово произведение двух отображений, причём так, что фрагмент этого селектора, отвечающий дополнительному к Li пространству Li, где Li Li = L, совпадает с соответствующим фрагментом вве дённого выше отображения проектирования g (·).

Теперь можно определить необходимое для построения точечно множественное отображение {fi ()} Ui, при i () = Xt {gLi ()} Ui.

при / tTi Из построения (ибо Ui открыто) следует, что данное отображение имеет замкнутый график и принимает непустые выпуклые значе ния14.

Последнее, завершающее конструкцию, отображение соответ ствует работе ценообразующего органа и определяет реакцию рынка на текущий стратегический выбор экономических агентов:

() = {q A(Q Lef f ) | qi (yi + xi ) N qi (yi + xi ) q A(Q Lef f )}.

N Собирая теперь построенные отображения в одно по формуле i () () i (), K, H() = N N мы получаем точечно-множественное отображение, которое имеет замкнутый график и непустые выпуклые значения в K при лю бом K (в силу вышеуказанных свойств построенных отобра жений). Следовательно, применима классическая теорема Какутани (см. [Берж, 1961] или раздел 4.1, теорема 4.1.1) и отображение H(·) имеет неподвижную точку в K. Пусть H().

14 Обратите внимание, что вышеиспользованный метод нахождения непрерыв ного селектора нужен был только для того, чтобы получить замкнутость графи ка отображения i (·).

1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами Сразу отметим основное отличительное свойство этой неподвижной точки от точки, полученной при доказательстве теоремы 1.1.5: для каждого i N имеет место (xi )t = (g ())t t T \ Ti. (1.1.13) На завершающем этапе доказательства мы исследуем другие свой ства точки.

Используя рассуждения, полностью совпадающие с изложенны ми в доказательстве теоремы 1.1.5, установим, что q i xi i (x0, q) и при этом {z Xi | q i z i (x0, q)} co Pi (xi, q) = i N. (1.1.14) Кроме того, по определению (·) функционал qi (xi + y i ) Q(q, y, x) = N достигает максимума на q при ограничениях q A(Q Lef f ). Одна ко Q Lef f по предположению является шаром единичного радиуса в Lef f, поэтому рассуждениями, аналогичными изложенным в дока зательстве теоремы 1.1.5, получаем Q(q, y, x) = 0, т. е. имеем q i (xi + y i ) = 0 q A(Q Lef f ).

qi (xi + y i ) N N Более того, последнее соотношение выполняется тогда и только то гда, когда qi (xi +y i ) = 0 q E(Lef f ) = {q Lef f | ker qi (·) kerF (·)}.

N N Анализ этой формулы позволяет сделать все необходимые выводы.

Действительно, из предыдущего имеем (x1 + y 1,..., xn + y n ) E(Lef f ). Однако, так как E(Lef f ) = E(L) Lef f, где A обозначается ортогональное дополнение к множеству A.

15 Символом 50 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами E(L) = {q (L )N | ker qi (·) kerF (·)}, N то имеет место E(Lef f ) = (E(L) Lef f ) = E(L) + (Lef f ).

При этом в конце доказательства теоремы 1.1.5 фактически было доказано, что E(L) = {(z,..., z) LN | z kerF (·)}, а из определения пространства Lef f следует, что (Lef f ) = {(z 1,..., z n ) LN | (z i )t = 0 t Ti }.

В результате можно заключить существование такого z kerF (·) и таких z i L, удовлетворяющих условию (z i )t = 0 для всех t Ti и i N, что xi + y i = + z + z i.

Последнее, в силу (1.1.10) и определения отображений g (·), g (·), влечёт следующее:

+ z = g () + g () ( + z)t = (xi + y i )t, t Ti, i N.

В то же время, в силу (1.1.13) при t Ti должно быть (xi )t = (g ())t, / поэтому (g ())t + (y i )t = (g ())t + (g ())t + (z i )t = (z i )t = (y i )t (g ())t.

В итоге, если положить zi = xi, i N и x = + z, то в силу последнего и предыдущего соотношений получаем (x)t (y i )t t Ti, при (zi )t = (x)t (g ())t t T \ Ti, при из чего следует ||zi x|| ||y j ||. Но так как по построению N ||y j || k, то n N ||zi x|| j N для всех i N. Поскольку по определению x и свойствам z kerF выполнено F (x) = F (), а q A(Q) по построению, то ввиду соот ношения (1.1.14) заключаем, что (x, q) является -равновесием аб страктной модели с ограниченными внешними влияниями относи тельно аппроксимаций z0 = x0 = g(x1,..., xn ), zi = xi, i N.

16 Для любых подпространств A и B конечномерного пространства выполня ется (A B) = A + B.

1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами 1.1.3. Концепция равновесия с нестандартными ценами С содержательно-экономической точки зрения равновесие с нестан дартными ценами представляет из себя некоторый устойчивый ре жим функционирования экономической системы рыночного типа при наличии сколь угодно тонкой (гибкой, мелкой) шкалы измерения стоимостных величин. Делая свой независимый стратегический вы бор в рамках собственных финансовых возможностей (бюджетных ограничений), каждый участник экономики (экономический агент) затем округляет своё решение до стандартного, т. е. выбирает бли жайшее в некоторой стандартной шкале измерений, пренебрегая та ким образом стоимостями более высокого уровня малости. При этом, как обычно в равновесии, ситуация такова, что в совокупности все индивидуальные решения совместимы между собой или, в других терминах, соответствующее состояние экономики достижимо (сба лансировано)17. Таким образом, понятие равновесия с нестандарт ными ценами обобщает традиционное в том смысле, что отвечающее ему состояние экономики представляет из себя достижимую сово купность огрублённых с бесконечной мерой малости независимых индивидуальных решений, в рамках бюджетных ограничений, опре делённых данным механизмом стоимостного регулирования в преде лах сколь угодно (бесконечно) тонкой шкалы измерения стоимост ных параметров.

С чисто математической точки зрения равновесие с нестандарт ными ценами реализует идею предельного перехода по гипотети чески возможным и близким к равновесным состояниям экономи ки. Последнее осуществляется посредством методов нестандартно го анализа, путём перехода в универсум нестандартной математи ки, где истинны все теоремы стандартной математики (в силу так называемого принципа переноса), и, следовательно, выполнена тео рема существования аппроксимирующих -равновесий. Затем, выби рая бесконечно малые 0, возвращаемся в стандартную область изменения состояний экономики, в качестве спуска используя опера цию взятия стандартной части и дополняющую её операцию взятия стандартной внутренности. Важно, что в рассматриваемом случае такого рода процедура подъёма и обратного спуска в стандартный универсум приводит к состояниям экономики, отвечающим традици онному понятию экономического равновесия, если все эти переходы осуществлялись в точках непрерывности бюджетных отображений 17 В англоязычной литературе применительно к традиционным моделям гово рят, что все рынки очищаются.

52 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами участников экономики. Другими словами, реальная новизна в поня тии равновесия с нестандартными ценами может проявиться только в точках разрыва, т. е. в случае, когда нарушены условия существо вания обычного равновесия в смысле определения 1.1.4. В свою оче редь, выполнение условия Слейтера при стандартизации нестандарт ных равновесных цен и состояния экономики является достаточным требованием, обеспечивающим именно непрерывность соответству ющих бюджетных отображений. Таким образом, если условие Слей тера выполнено, то равновесие с нестандартными ценами в точности является равновесием в смысле определения 1.1.4.

Прежде чем перейти к формальному описанию понятий и резуль татов, напомним, что для любого внутреннего подмножества A L определены стандартная часть и стандартная внутренность, задава емые соответственно по формулам stA = {y L | µ(y) A = }, siA = {y L | µ(y) A = }, где посредством µ(x) обозначена монада точки x L, т. е. внешнее множество µ(x) = {y L | y x}.

Операции взятия стандартной части и стандартной внутренно сти могут быть применены не только к множествам, но и к соот ветствиям (точечно-множественным отображениям). Чтобы сделать это, достаточно применить операцию к графику отображения, а за тем опять перейти к отображению, чей график совпадает с полу ченным множеством. Более точно, пусть P : X Y некоторое внутреннее точечно-множественное отображение (X, Y внутрен ние множества из U ) и Gr(P (·)) его график в X Y, где Gr(P (·)) = {(x, y) X Y | y P (x)}.

Определим (однозначно!) si(P (·)) и st(P (·)) по формулам Gr[si(P (·))] = si[Gr(P (·))] & Gr[st(P (·))] = st[Gr(P (·))].

Отметим различие в обозначениях. Здесь si(P (x)) = siP (x) означает стандартную внутренность множества P (x), а si(P (·))(x) значе ние отображения si(P (·)) в (стандартной) точке x (аналогично для операции st(·)).

При введении и исследовании понятия равновесия с нестандарт ными ценами ключевым является определение стандартного бюд жетного множества при нестандартных ценах. В качестве совокуп ности допустимых нестандартных цен примем множество Q, т. е.

1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами -изображение множества допустимых стандартных цен модели E 18.

Функции распределения дохода i также заменяются их изображе ниями:

i (·) : X Q R i N.

При этом, так как i (·) фактически являются продолжением на X Q стандартных отображений i (·), то ( ) опускаем и в даль нейшем используем символ i (·) также для обозначения нестандарт ных функций распределения дохода.

Далее по аналогии со стандартным случаем введём в рассмотре ние бюджетные множества агентов с нестандартными ценами, пола гая Budi (x, q) = {x X | qi x i (x, q)}, q Q, x X, i N.

Здесь Budi (x, q) X, т. е. это множество состоит из нестандартных допустимых состояний экономики. С целью вернуться в стандарт ную область, вместо Budi (x, q) рассмотрим его стандартную часть, которая в данном случае определяется следующим образом:

st Budi (x, q) = {z X | x Budi (x, q) : z x }.

По определению это множество стандартное, хотя и может быть пу стым при непустом Budi (x, q).

К определению стандартного бюджетного множества при нестан дартных ценах (и текущем состоянии экономики) можно прийти и другим путём, полагая в основу конструкции изображение собствен но бюджетного отображения. Действительно, рассмотрим точечно множественное отображение Bi : Q X 2X, где Bi (x, q) = {x X | qi x i (x, q)}, q Q, x X, i N, и возьмём его изображение Bi : Q X (2X ).

Здесь (2X ), это совокупность всех внутренних подмножеств мно жества X (см. [Девис, 1980, с. 72, упр. 7]). Теперь в качестве нестан дартного бюджетного множества можно взять Bi (x, q). Однако, в 18 Напомним, что взаимооднозначное отображение (·) : U U осуществляет связь между универсумами стандартной математики U и нестандартной U, но не является при этом отображением на.

54 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами силу принципа переноса это множество будет иметь то же строе ние, что и представленное выше, т. е. имеет место x X, q Q.

Bi (x, q) = Budi (x, q) Таким образом, данные подходы эквивалентны, и мы получили удоб ное обозначение Bi (x, q)19 вместо Budi (x, q).

На следующем этапе перейдём к рассмотрению предпочтений экономических агентов.

В общем случае предпочтения агентов могут зависеть не только от состояний экономики, но также и цен, что создаёт определённые трудности. Проблема состоит в нахождении корректного перехода к предпочтениям, которые зависят от стандартных допустимых со стояний экономики и нестандартных цен и принимают значения в области всех стандартных допустимых состояний. Непрерывность предпочтений в смысле предположения A3 мотивирует следующее определение. Определим отношение q по формуле:

i q q y x y x y y, x x, y, x X.

i i В дальнейшем это отношение и будет использоваться в качестве предпочтений агента i при нестандартных ценах q Q. Отметим, что такого рода переход хорошо согласуется с исходными данными, и, в частности, если предпочтение не зависит от цен и удовлетво ряет предположению A3 (открытый график), то определённое вы ше предпочтение совпадает с исходным предпочтением i (см.

i утверждение 1.1.4 и следствие 1.1.1). В свою очередь, если данное предпочтение является предпочтением производителя и представля ется посредством функции полезности вида x, qi, то при спуске в стандартную область полученные таким образом предпочтения мо гут быть заданы посредством функции x, st(qi /||qi ||) для qi = (легко видеть непосредственно по определению).

Символом Pi (·) обозначим точечно-множественное отображе ние, соответствующее введённым предпочтениям q, т. е. для i Pi : X Q X положим q Pi (x, q) = {y X | y x y y, x x, y, x X} i 19 Здесь имеется потенциальная возможность для путаницы, ибо тем же мето дом может быть обозначено изображение множества Bi (x, q). Однако опять, в силу принципа переноса при стандартных x и q, это изображение должно совпа дать с множеством Bi (x, q).

1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами при (x, q) X Q. Отметим, что отображение Pi (·) может быть эквивалентным образом определено посредством операции взятия стандартной внутренности si(·), применённой к точечно множественному отображению. Действительно, непосредственно из определений легко убедиться в истинности следующего тождества:

Pi (·, q) = si( Pi (·, q)).

Переход к нестандартным ценам в вышеуказанном смысле при водит к следующему понятию равновесия.

Определение 1.1.6. Допустимое состояние x X экономики E называется (простым) равновесием с нестандартными ценами q Q, если выполнены условия:

(i) x stBi (x, q) i N ;

(ii) Pi (x, q) stBi (x, q) = i N ;

(iii) x A(X);

(iv) q A( Q).

Понятие равновесия в смысле определения 1.1.6 существенно рас ширяет область существования отвечающих ему состояний эконо мики. В частности, в работах [Данилов, Сотсков, 1985;

Маракулин, 1988;

Danilov, Sotskov, 1990] для модели чистого обмена без внеш них влияний (модель рынка) были доказаны теоремы существования полуравновесия с нестандартными ценами (в [Данилов, Сотсков, 1985;

Danilov, Sotskov, 1990] это сделано в несколько иных терми нах меновых стоимостей) понятия равновесия, в котором балан совые ограничения имеют форму неравенства (в нашем случае это F (x) F ())20. Однако данное понятие не решает проблемы су ществования равновесия при отсутствии условия Слейтера в задаче потребителя, и отвечающие ему состояния могут не существовать во многих экономически содержательных моделях экономики. Напри мер, они не существуют в рассмотренных выше примерах 1.1.1, 1.1. абстрактной модели (приведённый анализ несуществования равно весий со стандартными ценами сохраняется и в случае нестандарт ных цен в силу принципа переноса и полученных выше результа тов, характеризующих границу Парето). Анализ этих примеров (а 20 Не вдаваясь в содержательную сторону определения полуравновесных со стояний, отметим математическую ограниченность полученных в этих работах теорем существования: область их применимости фактически ограничивается моделями рынка, в которых потребительские множества агентов совпадают с положительным ортантом пространства продуктов.

56 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами также многих других, в частности, рассмотренных в дальнейшем) показывает, что основная причина отсутствия равновесия в смыс ле определения 1.1.6 состоит в насыщаемости предпочтений эконо мических агентов, которая может проявляться на уровне как стан дартных, так и нестандартных (т. е. бесконечно малых!) величин.

Другими словами, при выборе приближённо-стандартного решения в рамках нестандартных ограничений у экономических агентов мо гут оставаться неизрасходованные стоимости, которые не работа ют в экономике, а имеющийся механизм стоимостного регулирова ния запрещает их передачу другим агентам (в силу закона Вальраса A6). Следовательно, с целью перейти к корректному определению равновесия с нестандартными ценами, необходимо совершить ещё один шаг в модификации стоимостного механизма, а именно, допу стить возможность и определить механизм перераспределения неиз расходованных избыточных стоимостей от насыщенных агентов к ненасыщенным.

Пусть RN некоторый фиксированный нестандартный век тор, удовлетворяющий условию 0 i 0 i N.

Для данного допустимого набора индивидуальных цен q Q, те кущего состояния экономики x X и каждого i N рассмотрим нестандартные бюджетные множества Bi (q, x), определяемые по средством ограничения qi x i (q, x) + i, т. е. положим = {x X | qi x i (q, x) + i }, i N.

Bi (q, x) Вектор 0, определяющий стоимости, добавленные к правым час тям бюджетных ограничений экономических агентов, в дальнейшем условимся называть схемой перераспределения избыточных стои мостей.

Определение 1.1.7. Допустимое состояние x X экономики E называется равновесием с нестандартными ценами q Q и фиксированной схемой перераспределения избыточных стоимостей RN, 0, если выполнены условия (i) x stBi (x, q) i N ;

(ii) Pi (x, q) stBi (x, q) = i N ;

(iii) x A(X);

(iv) q A( Q).

1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами В дальнейшем для краткости изложения тройку (x, q, ), удовлетво ряющую условиям определения 1.1.7, назовём -равновесием с нес тандартными ценами, или просто (нестандартным) -равновесием.

Одним из основных инструментов исследования равновесий с нестандартными ценами любого типа является понятие квазирав новесия (точнее -квазиравновесия), определение которого даётся ниже.

Определение 1.1.8. Допустимое состояние x X экономики E называется квазиравновесием с нестандартными ценами q Q и фиксированной схемой перераспределения избыточных стоимостей RN, 0, если существует такое нестандартное допусти мое состояние x X, что x x и выполняются условия (i) x stBi (, q) i N ;

x (ii) Pi (x, q) stBi (, q) = i N ;

x (iii) x A(X);

(iv) q A( Q).

Из определения 1.1.8 видно, что отличие -равновесия от -квазиравновесия состоит в том, что если в первом случае доходы агентов в равновесном состоянии определяются посредством самого состояния (а также цен и вектора ), то во втором посредством некоторого бесконечно близкого к равновесному допустимого нестан дартного состояния, существование которого постулируется. Именно предположение о наличии ещё одного нестандартного состояния неясно, что бы это могло значить с экономической точки зрения, и не позволяет рассматривать квазиравновесия как истинные рав новесия с нестандартными ценами. Польза в рассмотрении квази равновесий состоит в том, что они представляют из себя в точно сти предельные точки аппроксимирующих равновесий, существова ние которых было установлено в предыдущем разделе (теоремы 1.1. и 1.1.6). Отметим, что нестандартные квазиравновесия играют при мерно ту же роль по отношению к нестандартным равновесиям, что и в стандартном случае, где, по тем же причинам отсутствие условия Слейтера вводится (другое) понятие квазиравновесия. В дальней шем обычно доказывается существование квазиравновесных состоя ний экономики, после чего, используя дополнительные предположе ния (ресурсная связность, нередуцируемость и т. д.), устанавливают ся его равновесные свойства. В случае равновесия с нестандартными 58 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами ценами механика несколько тоньше, однако общий принцип тот же:

нужно доказать существование квазиравновесий, а затем, используя дополнительные предположения, установить совпадение равновесий с квазиравновесиями.

Основным результатом данного раздела является теорема суще ствования квазиравновесий, при установлении которой нам потре буются следующие вспомогательные (элементарные) факты нестан дартного анализа.

Утверждение 1.1.2. Пусть Y и Z являются внутренними под множествами -изображения Y топологического простран ства Y и удовлетворяют условию Y Z =. Тогда stY siZ =, где st(·) и si(·) операции взятия стандартной части и стандарт ной внутренности.

Доказательство утверждения 1.1.2. Если x stY siZ, то µ(x) Y = и µ(x) Z, откуда Y Z =. Получили противоре чие с условиями утверждения.

Утверждение 1.1.3. Пусть X и Q топологические простран ства, P : X Q X точечно-множественное отображение, действующее из X Q в X, а P (·) его -изображение. Тогда, если P (·) имеет открытый график в X Q X, то для всякого (x, q) domP (·) такого, что существует st(x), имеет место si[P (q, ·)](st(x)) si[P (x, q)].

Доказательство утверждения 1.1.3. Если (x, q) удовлетворяет условиям утвержения, то в силу открытости графика и по определе нию монады условие y si[P (q, ·)](st(x)) выполняется тогда и только тогда, когда µ(st(x)) {q} µ(y) GrP = GrP, откуда ввиду x µ(st(x)) и из определений получаем {x} {q} µ(y) GrP µ(y) GrP |(x,q) y si[P (x, q)].

Здесь символом GrP |(x,q) обозначено сечение множества GrP в точке (x, q).

1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами Ниже формулируется наиболее общий вариант теоремы суще ствования нестандартных -квазиравновесий применительно к слу чаю ограниченных внешних влияний (этой теоремы вполне доста точно, ибо тотальные внешние влияния являются частным случаем ограниченных).

Теорема 1.1.7. Пусть E удовлетворяет предположениям A1, A2, A3 и A4–A7 и является экономикой с ограниченными внешними влияниями в следующем смысле. Для некоторого конечного T име ет место X = Xt и для каждого i N определены Ti T такие, T что T T Pi (x, q) = Pi i (x, q) Xt, Pi i (x, q) Xi = Xt Li = Lt, tTi tTi tT \Ti причём данные соотношения выполнены для всех (x, q) X Q та ких, что Pi (x, q) =. Пусть также выполнено Ti = T iN и 0 int|Lef f (Q Lef f ), где Lef f = { (q1,..., qn ) (L )N | qi = 0 i N, t T \ Ti }.

t Тогда для каждого = (1, 2,..., n ) RN, 0, существуют -квазиравновесия с ценами q = (q1,..., qn ) Q Lef f такие, что = · при некотором нестандартном 0.

Более того, если x X и x X состояния экономи ки, соответствующие этому -квазиравновесию, то найдутся та кие xi X, xi x, удовлетворяющие qi xi i (, q) + i и x Pi (xi, q) Bi (, q) =, что g(x1,..., xn ) = x, где g(·) x некоторое отображение проектирования, отвечающее закону Вальраса A6.

Замечание 1.1.3. При анализе понятия нестандартного -равнове сия и -квазиравновесия, а также теоремы 1.1.7 может сложиться впечатление, что в качестве равновесных могут реализоваться це ны q 0, что плохо согласуется с содержательной стороной вопроса.

Данную трудность легко обойти переходом к однородным (степени 1) по q Q функциям распределения дохода. Действительно, полагая Q = Q Lef f и предполагая (в силу 0 int|Lef f Q ), без ограниче ния общности, что сфера S единичного радиуса в Lef f содержится в Q, рассмотрим снижение функции i (·) на X S, которую затем 60 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами продолжим до функции i (·) на X Q, определённой по правилу i (q, x) = ||q|| i (q/||q||, x) для q = 0 и i (q, x) = 0 при q = 0. В силу свойств i (предположения A5–A7) и по построению эти функции будут непрерывны и удовлетворяют A6, A7. Поэтому последующие рассуждения (в первую очередь факт существования равновесия) можно проводить относительно функций i. В дальнейшем можно опять вернуться к исходным функциям дохода, переходя в равнове сии (квазиравновесии) от q = 0 к q = q/||q|| и полагая = /||q||.

Можно также заметить, что если цены q = 0 реализуются как рав новесные относительно i, то несложно вычислить такой, опре деляющий трансферабельные стоимости, что q = 0 являются равно весными ценами для того же состояния экономики относительно i и новых трансферабельных стоимостей (ибо при ценах равновесия q = 0 все агенты находятся в насыщении).

Доказательство теоремы 1.1.7. Выберем из условия теоре мы 1.1.7 и найдём такое нестандартное действительное 0, что бы было выполнено условие 0. Положим =. Далее вос пользуемся теоремой 1.1.6, применяя к которой принцип переноса, заключаем существование -равновесий. Пусть x L, zi X, i N {0} и q Q нестандартные векторы, выбранные в соот ветствии с определением 1.1.5, относительно нестандартного вектора 0, где в условиях (i)–(iv) все множества заменены их -изобра жениями. Далее, в силу A1, A2 и конечномерности пространства L множество A(X) компактно. Отсюда, используя A1, несложно до казать, что норма векторов zi при 0 ограничена стандартной величиной и, следовательно, в силу конечномерности L и нестан дартного критерия компактных множеств (теорема 4.2.20 из разде ла 4.222 ) векторы zi, i N {0} околостандартны. Таким образом, существуют st(zi ) для всех i N {0} и существует st(x ). Посколь ку ||zi x || || ||1 0, то st(zi ) = st(x ) = st(zj ) для всех i, j.

Теперь положим q = q, xi = zi, i N, x = st(zi ) при любом i N, x = z0 и = · при нестандартном 0 1, существование которого обеспечивают теорема 1.1.6 и принцип переноса. Покажем, что тройка (x, q, ) является нестандартным -квазиравновесием аб страктной модели E.

Действительно, требование (iv) определения 1.1.8, а также свой ство q = q Lef f (см. (1.1.10)) обеспечивают теорема 1.1.6 и прин 21 Это следует из того факта, что ||z x || || || при x L, F (x ) = F (), 2 i откуда, используя компактность A(X) и A1, можно заключить, что zi при надлежат изображению некоторой стандартной компактной окрестности мно жества A(X).

22 Это теорема 1.6, с. 113 из [Девис, 1980].

1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами цип переноса. Так как F (x ) = F () = stF (x ) = F (st(x )) (послед нее из непрерывности F (·)) и x = st(x ) = st(zi ) X (из zi X и в силу нестандартного критерия замкнутости), то по определению x A(X), что обеспечивает условие (iii). Более того, по построе нию zi Bi (, q), откуда x = st(zi ) stBi (, q), что означает x x истинность (i) для всех i N. Наконец рассмотрим требование (ii) определения 1.1.8. Опять, в силу теоремы 1.1.6, пункта (ii) опреде ления 1.1.5 и принципа переноса, заключаем {y X | qi, y i (z0, q) + } = i N.

Pi (zi, q) i Далее применим утверждение 1.1.2, получая si[ Pi (zi, q)] st{y X | qi, y i (z0, q) + } = i N, i где по построению stBi (, q) = st{y X | qi, y i (z0, q) + }.

x i Наконец, по построению, в силу утверждения 1.1.3 и предположения A3 имеем Pi (x, q) = si[ Pi (·, q)](x) si[ Pi (zi, q)], что совместно с предыдущим и доказывает пункт (ii). Теорема 1.1. доказана.

1.1.4. Структура бюджетных множеств и свойства предпочтений В настоящем разделе изучаются математические свойства бюджет ных множеств разного типа и топологические свойства предпочте ний, наиболее значимые для теории равновесия с нестандартными ценами. В рамках предположения о полиэдральности (многогран ности) множества допустимых состояний экономики детально ис следуется структура бюджетных множеств с нестандартными це нами и схемой перераспределения избыточных стоимостей. Имен но множества этого типа фигурируют в базисном для данной тео рии понятии равновесия с нестандартными ценами и фиксирован ной схемой перераспределения избыточных стоимостей (определе ния 1.1.7, 1.1.8).

На первом этапе рассмотрим наиболее общие свойства бюджет ных множеств и предпочтений, вытекающие собственно из свойств 62 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами операторов st(·) и si(·). Прежде всего укажем на взаимосвязь между этими операциями, следующую непосредственно из их определения.

Напомним, что для всякого внутреннего подмножества A X, где X топологическое пространство, определены следующие подмно жества:

stA = st(A) = {y X | µ(y) A = }, siA = si(A) = {y X | µ(y) A}, где посредством µ(x) обозначена монада точки x L, т. е. (внешнее) множество вида µ(x) = {y X | y x}.

Операции st(·) и si(·) связаны между собой соотношениями:

st(A) = X \ si(X \ A) si(A) = X \ st(X \ A).

& (1.1.15) Нижеследующее утверждение фактически является следстви ем нестандартного критерия открытости множества, см. теоре му 4.2.18.

Утверждение 1.1.4. Пусть G X подмножество некоторого топологического пространства X. Тогда истинны формулы st( G) = cl(G) si( G) = int(G), & (1.1.16) где cl(·) и int(·) означают операции взятия замыкания и взятия внутренности множества. В частности, если множество G за мкнуто, то st( G) = G, а если оно открыто, то si( G) = G.

Доказательство утверждения 1.1.4. В силу (1.1.15), чтобы до казать (1.1.16), достаточно установить истинность одного из соотно шений в (1.1.16). Докажем, что si G = intG.

Чтобы убедиться в истинности включения в последнем соот ношении, возьмём любой g intG. Поскольку intG G, а intG яв ляется открытым подмножеством в X, содержащем точку g, то по определению монады в точке заключаем µ(g) [intG] G, что всё доказывает.

Чтобы установить включение, выберем любой g si G. По определению имеем µ(g) G и µ(g) = {D | D Wg }, 1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами где Wg совокупность всех открытых подмножеств X, содержащих точку g. Далее воспользуемся теоремой 4.2.17 из раздела 4.2 (см.

[Девис, 1980, теорема 1.1, с. 111]), которая утверждает, что мона да в стандартной точке содержит некоторое внутреннее подмноже ство, принадлежащее -изображению совокупности всех открытых окрестностей данной точки, т. е. имеет место D µ(g) G для некоторого D W g. Следовательно, в универсуме нестандартной математики U истинно D W g : D G, откуда, применяя принцип переноса (можно стереть звёздочки), заключаем D Wg : D G.

Следовательно g intG что и требовалось доказать.

Значение доказанного утверждения для теории равновесия с нестандартными ценами определяет следующее Следствие 1.1.1. Пусть бинарное отношение, определённое на множестве допустимых состояний X абстрактной модели E, удовлетворяющее предположению A3, т. е. не зависит от цен q Q и имеет открытый график в X X. Тогда = si( ) =.

В условиях этого следствия, комбинируя его с утверждени ем 1.1.3, заключаем, что если точечно-множественное отображение P : X X имеет открытый график, то P (st(x)) si(P (x)), если st(x) существует. Тем самым, если нестандартный x X оп тимален на некотором внутреннем множестве X для P (·), т. е. если P (x) X =, то st(x) будет оптимален (если существует) для P (·) на X.

Другой важный результат состоит в том, что специфика нестан дартных цен может проявиться только в ситуации, когда нарушено условие Слейтера в задаче потребителя при стандартизации нестан дартных цен. А именно, если стандартизовать цены (т. е. перейти к их стандартным частям) и трансферабельные стоимости (величины, добавляемые к правым частям бюджетных ограничений) и опреде лить соответвующие стандартные бюджетные множества, то это бу дут в точности множества, использованные в определении 1.1.8.

64 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Утверждение 1.1.5. Пусть X L выпуклое замкнутое под множество, а p L и R таковы, что существуют p = st(p) и = st(), и при этом выполнено условие Слейтера : существу ет x X, такой, что px. Тогда имеет место st{x X | px } = {x X | px }.

Доказательство утверждения 1.1.5. Чтобы установить, возь мём любой x X такой, что px и существует st(x ). В силу замкнутости X и утверждения 1.1.4 заключаем st(x ) X. Далее, стандартизуя неравенство, находим st(x )st(p) = st(px ) st(), что заканчивает доказательство.

Установим включение. Пусть x X и удовлетворяет px. Положим p = p + p и = +, где по определению p 0 и 0. Необходимо найти такой x 0, чтобы x + x X и при этом ( + p)(x + x) +. Раскрывая последнее неравенство, p находим ( + p)(x + x) + px + p · x + p · x + p · x +, p что, с учётом ||x|| 1, будет выполнено, если показать, что имеет место p · x ( px) + p · x ||p||.

Последнее эквивалентно p · x ( px) + при = x · p ||p|| 0. Далее, при ( px) 0, положим x = 0, а при ( px) = 0 воспользуемся условием Слейтера и возьмём любой x X, удовлетворяющий условию px, и такой 0, 0, чтобы выполнялось условие p( x). В последнем x случае положим x = ( x). Поскольку по построению имеем x x + x X и px, то необходимое неравенство доказано, а с ним и утверждение 1.1.5.

Следствие 1.1.2. Применительно к концепции -квазиравновесия с нестандартными ценами (x, q, ) в модели экономики E при пред положениях A1, A5, последнее утверждение означает, что если существуют q = (1,..., qn ) = st(q) Q, = ( 1,..., ) = st(), q n и для данного i N выполнено условие Слейтера: найдётся такой стандартный x X, что qi x i (x, q ) + i, то 1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами {y X | qi, y i (x, q ) + i } = = st{y X | qi, y i (x, q) + i } = stBi (, q).

x Здесь x x, x X, существование которого постулируется в квазиравновесии (см. определение 1.1.8).

Таким образом, если условие Слейтера выполнено для каждо го потребителя, то -квазиравновесие с нестандартными ценами превращается в стандартное равновесие (x, q, с ) -схемой пере распределения избыточных стоимостей 23.

Представляет интерес выяснение структуры бюджетных мно жеств с нестандартными ценами в случае, когда условие Слейте ра нарушается, но при этом выполнено предположение о непустоте бюджетных множеств A7. Дальнейшее изложение в пределах дан ного пункта будет посвящено исследованию этого вопроса, ответ на который не является столь же элементарным, как в ранее рассмот ренных случаях. Нам потребуется следующая вспомогательная Лемма 1.1.2. Для каждого p Rm найдётся такая (единствен ная) система ортонормальных стандартных векторов {e1,..., ek } из Rm, что j R, j = 1, 2,..., k.

p = 1 e1 + · · · + k ek, (1.1.17) При этом коэффициенты j 0 и удовлетворяют соотношениям j+1 /j 0, j = 1, 2,..., k 1.

Доказательство леммы 1.1.2. Доказательство проводим по ин дукции, которую ведём по размерности m пространства, содержа щего вектор p Rm. При m = 1 утверждение леммы очевидно.

Предполагая её истинность при m l, докажем для m = l + 1.

Предполагая p = 0, положим p = p/ ||p||. Так как точка p около стандартна, (ввиду компактности единичного шара в конечномерном пространстве и нестандартного критерия компактности), то можно положить e1 = st(p ) и 1 = p, e1. Далее положим p = p 1 e1 и определим подпространство L = {x Rm | e1, x = 0}.

23 В [Makarov, 1981;

Макаров, 1982] равновесия этого вида в модели типа Эрроу–Дебре без внешних влияний получили название равновесия с трансфе рабельными стоимостями.

66 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Отметим, что L будет иметь то же устройство, что и L (в силу принципа переноса). Из определения p получаем p, e1 = p, e1 p, e1 e1, e1 = (ибо e1, e1 = 1), откуда p L. Однако dimL l, что в силу индуктивного предположения означает существование ортонормаль ной системы стандартных векторов {e2,..., ek } таких, что p = 2 e2 + · · · + k ek, причём коэффициенты удовлетворяют j+1 /j 0, j = 2,..., k 1.

Принимая {e1, e2,..., ek } в качестве искомой системы, получаем p = 1 e1 + p = 1 e1 + · · · + k ek.

Ортонормальность полученной системы стандартных векторов оче видна из построения, нужно установить 2 /1 0. Чтобы убедиться в этом, положим = ||e1 p ||2 0 и подсчитаем ||p e1, p e1 ||2 = p, p 2 e1, p + e 1, p 2 e1, e1 = = 1 2 e 1, p + e 1, p = 1 e 1, p 2 2 = =1 1 =11+ = 1.

2 4 Отсюда заключаем ||p || = ||p 1 e1 || = ||p|| ||p e1, p e1 || = ||p||, (1 /4) 0. Однако с другой стороны где = ||p || = ||p 1 e1 || = ||2 e2 + · · · + k ek || = 2 + · · · + 2.

2 k Отсюда, учитывая e1, p 1, получаем ||p || ||p|| 2 + · · · + 2 2 k 0 0.

= = = e 1, p 1 1 1 e1, p Единственность представления нестандартного функционала по формуле (1.1.17) следует из изложенного выше построения системы {e1,..., ek }. Действительно, предполагая наличие другого разложе ния и повторяя рассуждения, убеждаемся в том, что все параметры этого представления должны совпадать с полученными выше.

1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами Лемма 1.1.3. Пусть X Rm полиэдральное множество (мно гогранник), а f1,..., fk Rm функционалы, удовлетворяющие условию fj, X 0, j = 1, 2,..., k, m иf R любой другой функционал. Тогда либо k fj, X f +n j= при некотором натуральном n N, либо найдётся такой x X, что f, x 0 и fj, x = 0 для всех j = 1, 2,..., k.

Доказательство леммы 1.1.3. Положим X = {x X | fj (x) = 0, j = 1, 2,..., k}.

Лемма будет доказана, если, исходя из предположения f, X 0, установить истинность первой альтернативы. С этой целью преж де всего заметим, что в силу полиэдральности множество X может быть описано как множество решений (конечной) системы линейных неравенств gt x dt, x Rm. Тогда множество X можно эквивалент ным образом определить как X = {x Rm | gt x dt t, fj x 0 j}.

Теперь, используя предположение и известную лемму Фаркаша о вы воде следствий из системы неоднородных линейных неравенств (см., например, [Шмырёв, 1998, теорема 4.2, с. 20] или [Карманов, 1986, с. 30] для однородных систем), можно заключить существование таких действительных t 0 и j 0, что t dt 0.

f= t g t + j (fj ) & t t j Далее найдём натуральный n, удовлетворяющий n j для каждого j, и положим (n j )fj.

h=f +n fj = t g t + t i j Но теперь для произвольного x X имеем (n j )fj x t dt + 0 0, hx = t (gt x) + t t j что и доказывает истинность первой альтернативы.

68 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Одним из основных результатов настоящего раздела является нижеследующая теорема, описывающая в стандартных терминах структуру бюджетных множеств с нестандартными ценами.

Пусть p Rm любой фиксированный нестандартный вектор.

Используя лемму 1.1.2, рассмотрим (единственное!) представление p в виде (1.1.17). При фиксированном w Rm определим следующие множества. Для t = 1, 2,..., k положим B(t, p, w) = {y X | yet et w, yej = ej w, j = 1, 2,..., t 1}, а для t = k + 1 определим B(k + 1, p, w) = {y X | yej = ej w, j = 1, 2,..., k}.

Теорема 1.1.8. Если X Rm полиэдральное множество, некоторый стандартный, а p Rm w Rm любой нестан дартный вектор, то st{x X | p, x p, w } = B(t, p, w) (1.1.18) при некотором натуральном t k + 1, причём для всех t = 1,..., k найдётся такой y B(t, p, w), что yet et w.

Доказательство теоремы 1.1.8 довольно объёмно и приводится в кон це данного раздела. Формулировка и особенно анализ доказатель ства этой теоремы могут породить сомнения в необходимости пред положения о полиэдральности (многогранности) множества X и же лание заменить его чем-нибудь более слабым, например, выпукло стью. Следующий пример показывает, что для выпуклых множеств результат неверен.

Пример 1.1.3. Пусть множество X R3 задано формулой X = {(x1, x2, x3 ) | x1 0 & x2 0 x2 0 & x1 x2 } и изображено на рис. 1.1.3. Рассмотрим в качестве нестандартных цен вектор вида p = (1, 0, 0) + 22 (0, 1, 0) + 4 (0, 0, 1) при 0, 0. Положим w = 0 и исследуем структуру множества st{x X | p, x p, w = 0}. С учётом строения множества X для околостандартных x = (x1, x2, x3 ) X получаем:

px 0 = x1 0 & x1 0 = st(x1 ) = 0, 1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами x  x  X x Рис. 1.1.3. Контрпример: без полиэдральности теорема 1.1.8 неверна px 0 = x2 22 x2 0 = x2 0 = st(x2 ) = 0, 2 px 0 = 4 x3 22 x2 x2 max(x2 +22 x2 ) = 4 = st(x3 ) 1.

2 Тем самым доказано, что st{x X | px 0} {(y1, y2, y3 ) X | y1 = y2 = 0, y3 1}.

Чтобы убедиться в истинности обратного включения, достаточно заметить, что для любого y = (0, 0, y3 ), удовлетворяющего y3 1, вектор y = (4, 2, y3 ) y, принадлежит X и удовлетворяет py 0.

В итоге имеем бюджетное множество, строение которого от личается от описанного в теореме 1.1.8. Анализ данного примера может подсказать гипотезы о строении бюджетных множеств при выпуклом X. Последнее, однако, остаётся открытым вопросом.

Теорема 1.1.8 не дает непосредственного ответа на вопрос отно сительно ключевого понятия для теории равновесия устройства бюджетного множества с нестандартными ценами и трансфера бельными стоимостями. Тем не менее, эта теорема является до статочно мощной, чтобы дать корректный ответ, нужно всего лишь воспользоваться следующим несложным техническим приёмом.

70 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Рассмотрим (m + 1)-мерное множество X = X {1} и вектор цен p = (p, ). Тогда проекция множества B = {x X | p x 0} на первые m компонент является в точности множеством B(p, ) = {y X | py }.


(1.1.19) Ясно, что стандартная часть множества B может быть описана по средством теоремы 1.1.8 (относительно w = 0), а её проекция на Rm совпадает со стандартной частью множества B(p, ) (в силу непре рывности проектирующего отображения). Далее, чтобы воспользо ваться теоремой 1.1.8 с целью описать stB, нужно иметь представ ление вектора нестандартных цен (p, ) в виде разложения по ор тонормальному стандартному базису, определённому в лемме 1.1. с помощью формулы (1.1.17). Полученное на этом пути описание структуры множества stB(p, ) имеет довольно громоздкий вид, и мы его опускаем. Однако важен сам принцип описания это мно жества типа B(t, p, w), определённые в пространстве Rm+1. Из по следнего, в частности, следует, что стандартные части множеств ви да (1.1.19) имеют следующие небезынтересные математические свой ства.

Следствие 1.1.3. Если X полиэдральное множество, то при любом R и каждом y stB(p, ) имеет место st{z X | p, z p, y } stB(p, ).

Следствие 1.1.4. Если X полиэдральное множество, то при любом околостандартном x X имеет место st{z X | p, z p, st(x) } st{z X | p, z p, x }.

Следующий пример показывает, что включение, описанное в следствии 1.1.4, может быть собственным.

Пример 1.1.4. Пусть X = [0, 2] [0, 2], p = (1, ), x = (, 1) при 0, 0. Так как st(x) = (0, 1) и e1 = (1, 0), e2 = (0, 1), где p = 1 · e1 + · e2, то в силу теоремы 1.1.8 должно быть st{z X | p, z p, st(x) } = 1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами = {(y1, y2 ) X | y1 = 0, y2 1} = {0} [0, 1].

В то же время {(y1, y2 ) X | y1 + y2 2} {0} [0, 2] и {(y1, y2 ) X | y1 + y2 2} [0, 2] [0, 2], откуда следует st{(y1, y2 ) X | y1 + y2 2} = {0} [0, 2].

Особый интерес в приложениях понятия равновесия с нестан дартными ценами и схемой перераспределения избыточных стоимо стей к классическим моделям экономики представляет выяснение структуры бюджетных множеств с трансферабельными стоимостя ми, заданных с помощью функций распределения дохода, имеющих вид скалярного произведения (содержательно это стоимость ис ходных запасов, по определению представленных стандартными век торами, при нестандартных ценах). Изучение внутренней структу ры множеств этого типа является предметом нижеследующих рас смотрений. В отличие от общего случая множеств типа (1.1.19), мы дадим, используя специфику определения, полноценное описа ние структуры этих множеств в исходных терминах нестандартной цены и заданных трансферабельных стоимостей (а не в терминах расширенного функционала цен, как это было отмечено выше).

Итак, далее нас будет интересовать внутреннее устройство мно жеств вида B w (p, ) = st{x X | px pw + } при некотором нестандартном 0, где X Rm, а w любой стан дартный вектор из Rm. Прежде всего установим следующий вспомо гательный результат.

Лемма 1.1.4. Пусть множество X Rm выпукло и замкнуто, а нестандартные векторы p, p Rm и величины 0, удовлетворяют условиям ||p p || 0 & и найдется такой околостандартный z X, что pz pw. Тогда B w (p, ) = B w (p, ).

72 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Доказательство леммы 1.1.4. Сначала установим равенство B w (p, ) = B w (p, ). Предполагая, покажем, что B w (p, ) B w (p, ).

Действительно, пусть x B w (p, ). По определению найдётся такой y x, y X, что py pw+. Предположим, что py pw+ (иначе нечего доказывать) и рассмотрим z = (1 )y + z = y + (z y), где нестандартный вектор z выбран из условия леммы, а из условия = (1 + ). По построению z y x, z X, а из предположений следует, что pz py, откуда получаем pz pw + + (z y)p pw + = pw +, что всё и доказывает. Теперь установим B w (p, ) = B w (p, ).

Положим p = p p. По условию имеем p 0, а значит, найдется такой 0, 0, что p 0.

Но тогда |p y| ||p || · ||y|| для всех околостандартных y X, откуда следует p y py p y +, что влечёт B w (p, ) B w (p, ) B w (p, + ).

Однако, в силу вышедоказанного, левая и правая части этой цепоч ки включений равны B w (p, ).

Нижеследующая теорема дает полную характеристику бюджет ных множеств с нестандартными ценами и трансферабельными сто имостями.

Используя лемму 1.1.2 и представление (1.1.17), для данного p Rm поставим в соответствие нестандартной величине 0 та кой j = 1,..., k + 1, что /j1 0 & /j 0. (1.1.20) В (1.1.20) для определённости полагаем 0 = + и k+1 = 0. Такой j = j(p, ), в силу сказанного и леммы 1.1.2, определен корректно.

Положим µ = st(/j ) при /j.

1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами Теорема 1.1.9. Пусть X выпуклое полиэдральное множество, w X, и p Rm, нестандартный 0 и номер j = j(p, ) связаны соотношением (1.1.20). Тогда истинна одна из альтернатив:

(i) B w (p, ) = X при /1 +;

(ii) существует такой t j, что B w (p, ) = B(t, p, w), причём найдется такой y X, что et y et w;

(iii) B w (p, ) = {x X | er y = er w, r j} при /j +;

(iv) B w (p, ) = {x X | er y = er w, r j, ej y ej w + µ} при /j +.

Доказательство теоремы 1.1.9. Рассмотрим (m+1)-мерное мно жество X = X {1}, вектор исходных запасов w = (w, 0) и бюд жетное множество B = {x X | p x p w }, (1.1.21) где вектор цен p определяется по формуле k (p, ) при /j +, p = p r er, r=j p= j (p, µ) при / +, p = r er.

j j r= По построению, в силу условия w X и леммы 1.1.4 проекция стан дартной части множества (1.1.21) совпадает с B w (p, ). Чтобы убе диться в этом, прежде всего заметим, что всегда имеет место st(pr| Rm [B ]) = pr|Rm [st B ], где pr|L [A] означает проекцию A на подпространство L. Далее, из построения следует, что для любого x X при /j + имеем p x = p, (x, 1), а для второй альтернативы при = j st(/j ) выполняется p x = p, (x, 1). Таким образом, st(pr| Rm [B ]) сов падает с B w (p, ) или B w (p, ) соответственно. Поскольку в обоих случаях для данных p, p,, выполнены условия леммы 1.1.4, то мы имеем искомый результат.

Далее, из построения мы можем также написать p = r e + e, r jj rj где e = (er, 0) при r j, а r 74 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами (0, 1) при /j +, e = j (ej, µ) при /j + и при /j +, = j при /j +.

j Поскольку система векторов {e }rj и коэффициентов { }rj удо r r влетворяет требованиям леммы 1.1.2 (строго говоря, вектор e следо j вало бы ортонормировать, однако это несущественно), то применима теорема 1.1.8. Альтернативы (i)–(iii) получаются немедленно. При /j + величина µ = st(/j ) 0 существует, и в силу теоре мы 1.1.8 при t = j в качестве последнего линейного ограничения, определяющего B(t, p, w), будем иметь (y, 1), (ej, µ) (w, 0), (ej, µ) = yej wej + µ, что заканчивает доказательство.

Доказательство теоремы 1.1.8. Без ограничения общности мож но считать, что w = 0. Воспользуемся леммой 1.1.2 и определим множество J {1, 2,..., k} = K как совокупность тех j K, для которых выполнено ej, X 0. При 1 J положим t = 1. Пусть / 1 J и j 2, j J. Рассмотрим следующее условие: найдутся такие / j j неотрицательные числа 1,..., j1, что j1 j j j 0, ej + r er, X a j = ej + r er. (1.1.22) r=1 r= Для конкретного j условие (1.1.22) может быть как истинно, так и ложно. Выберем в качестве t минимальный номер в K, для которого (1.1.22) не выполняется, а если таковых нет, то положим t = k + 1.

Сейчас мы установим формулу (1.1.18) при k t 2 (случаи t = и t = k + 1 рассматриваются также, но с пропуском части рассужде ний).

Из определения t следует тождество X = {x X | xej 0, j J, j t & xaj 0, j KJ, j t}, j j где KJ = {1, 2,..., t 1} \ J, а векторы aj = ej + r er реализуют r= для номера j условие (1.1.22). Применяя к последнему тождеству принцип переноса, получаем 1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами X = {x X | xej 0, j J, j t & xaj 0, j KJ, j t}.

Начнём доказательство (1.1.18) с проверки включения. Пусть y st{x X | p, x p, w }.

По определению найдётся такой x X, что x y и xp 0 (напом ним, w = 0). В силу леммы 1.1.2 это неравенство можно переписать в виде x, ej j 0, jk откуда получаем x, er r x, er r.

rt rt Деля это соотношение на t 0, с учётом (1.1.17) получаем x, er r + x, et 0. (1.1.23) t rt Пусть j0 наибольший номер, удовлетворяющий условиям j0 t и j0 KJ. Для этого j0 выполняется aj0, x 0, откуда, используя представление aj0 (см. (1.1.22)), получаем j x, ej0 r0 x, er.

rj С помощью этого неравенства усугубим (1.1.23), исключая номер j0 из левой части (1.1.23). В результате имеем x, er r + x, et 0.

j (r r0 j0 ) x, er + t rj j rt 0 В силу (1.1.17) должно быть j0 /r 0 при j0 r. Поэтому, проводя замену j r r0 j0 при r j0, r = r при r j0, j имеем r /r 1 (ибо r0 стандартное число) для всех r t, r = j и приходим к неравенству r x, er + x, et 0.

t rt,r=j 76 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Изложенную процедуру исключения номеров можно продолжать, на каждом этапе получая формулу, аналогичную предыдущей, с но выми коэффициентами r, которые, тем не менее, удовлетворяют условию r /r r /r 1. Таким путём можно исключить все чле ны, входящие в левую часть (1.1.23) с индексами из KJ. В итоге получим соотношение r x, er + x, et 0, (1.1.24) t rt,rJ где r /r 1 при r J & r t.

Далее рассмотрим слагаемые в левой части последнего соотно шения. По выбору r J и в силу x X имеем x, er 0. Однако в силу (1.1.17) и по построению коэффициентов r условие st x, er противоречит (1.1.24) (так как тогда в левой части неравенства по явится бесконечно большая величина). Следовательно, должно быть j J, j t.

y, ej = st(x), ej = st x, ej = 0, (1.1.25) По аналогичным соображениям при стандартном d невозможно x, et d 0. Поэтому заключаем y, et = st(x), et = st x, et 0. (1.1.26) Далее установим соотношение, аналогичное (1.1.25), но для j J.

/ Предполагая противное, найдём минимальный j, удовлетворяющий условию x, ej 0, j KJ & j t. Теперь мы можем написать соотношение, аналогичное (1.1.24), но с заменой t на этот номер j.

Таким образом получаем x, ej 0.


В то же время по выбору j KJ, j t имеем x, aj 0, что в силу минимальности j влечёт j x, ej r x, er 0.

rj Последнее, совместно с предыдущим неравенством, даёт x, ej 0, что противоречит выбору j. Таким образом, множество номеров из KJ, для которых x, ej 0 & j t, пусто, а значит j KJ, j t.

y, ej = st(x), ej = st x, ej = 0, 1.1. Абстрактная модель и равновесие с нестандартными ценами Совместно с (1.1.25), (1.1.26) последнее завершает проверку включе ния B(t, p, w) st{x X | p, x p, w }.

Прежде чем перейти к анализу обратного включения, пока жем, что при указанном выборе t для t = k + 1 найдётся такой y B(t, p, w), что y, et 0. Действительно, по выбору J и построе нию (1.1.22) функционалы ej, j J и ar, r KJ при r, j t опор ны к множеству X. Это даёт возможность использовать лемму 1.1.3, принимая в качестве f функционал et. Теперь на основании леммы и по выбору t можно заключить, что если X = {y X | y, ej = 0, j J, j t & y, ar = 0, r KJ, r t}, то найдётся такой y X, что y, et 0 (иначе противоречие с вы бором t). В то же время легко видеть, что из построения ar следует, что X = {y X | y, ej = 0, j t}, а этим всё доказано.

Докажем включение в равенстве (1.1.18). При t = k + 1 дока зывать нечего. Пусть t k и y B(t, p, w). Предполагая y, et = (напомним, что w = 0), возьмём y B(t, p, w) такой, что y, et и оценим величину y, p :

k k y, p = y, j ej = t y, et + j y, ej = j=1 j=t+ k j = t y, et + y, ej.

j=t+1 t Так как j /t 0 при j t, то должно быть y, p /t d при некотором стандартном d. Теперь положим yµ = (1 µ)y + µ y, где µ 0 и µ 0. По построению yµ y, yµ X, и справедлива оценка k yµ, p = (1 µ) y, p + µ y, p (1 µ) j y, ej + µt d.

j=t+ Ясно, что при µ = t+1 /t 0 величина, стоящая в последнем неравенстве справа, будет отрицательна, и, стало быть, yµ, p 0.

Таким образом, по произвольно заданному y B(t, p, w) найден yµ y, принадлежащий множеству {x X | p, x p, w }, что и требовалось доказать.

78 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами 1.2. Неоклассические модели экономики с нестандартными ценами 1.2.1. Модель рынка с нестандартными ценами Модель рынка, или, в другой терминологии, экономики чистого об мена, представляет из себя одну из конкретизаций абстрактной моде ли экономики типа Эрроу–Дебре, рассмотренной в первом парагра фе данной главы. В рамках этой модели предполагается, что каждый экономический агент является торговцем (потребителем), торгов цы торгуют (обмениваются) между собой продуктами, номенклату ра которых образует множество {1, 2,..., l}. Торговцы потребля ют купленные (выменянные) наборы потребительских благ, кото рые математически представлены как векторы пространства Rl. Бу дучи ограниченными разного рода институциональными, этически ми и просто физическими рамками, допустимые наборы этих благ образуют потребительские множества, которые потенциально мо гут быть разными у разных агентов.

Итак, пусть I = N = {1, 2,..., n} множество потребителей и Rl пространство продуктов, а Xi Rl потребительское мно Xi Rln будет жество потребителя i. Тогда множество X = iI совокупностью всех допустимых состояний экономики, где Rln = L отождествляется с пространством состояний. В простейшем вари анте экономики обмена предполагается, что у каждого потребителя имеется вектор исходных запасов, обозначенный как i Rl, i I.

Таким образом, заданный набор векторов (i )iI формализует в мо дели отношения собственности, и при = (1,..., n ) X вектор можно принять в качестве исходного состояния экономики. В со ответствии с интерпретацией, достижимыми являются такие состо яния экономики, которые представляют из себя допустимые обмены совокупных исходных запасов i, т. е. принимая F (x) = xi I I при x = (x1, x2,..., xn ) L, для = (1,..., n ) получаем A(X) = {x X | i }.

xi = iI iI С содержательной точки зрения интересы потребителей сосредоточе ны в сфере индивидуального потребления, поэтому в модели рынка предполагается отсутствие внешних влияний и независимость пред почтений от текущих (рыночных) цен. Таким образом, предпочтения потребителей заданы с помощью точечно-множественных отображе 1.2. Неоклассические модели с нестандартными ценами ний Pi : X X и удовлетворяют определению ограниченных внеш них влияний из первого параграфа (см. формулу (1.1.2)) при T = I и Ti = {i}, Li = Rl для i I, где при Pi (x) = имеет место i1 n {i} Pi (x) = Xj Pi (x) Xj.

j=1 j=i+ Для простоты изложения в пределах этого пункта мы будем отож {i} дествлять отображения Pi (·) и Pi : X Xi.

Модель оснащена механизмом стоимостного регулирования, который включает в себя множество допустимых рыночных цен Q Rl, а также заданные для каждого i I функции распределе i : Q R. Таким образом, в отличие от абстрактной ния дохода модели, где функционируют индивидуальные цены, в модели обме на цены общие, которые являются элементами l-мерного простран ства, и, кроме того, функции распределения дохода зависят только от текущих рыночных цен. В простейшем варианте для заданного набора исходных ресурсов доход потребителя i определяется в виде i (p) = p, i. От цен p Q можно перейти к соответствующему набору индивидуальных цен q(p) = q = (q1,..., qn ) если положить p при i = j;

(qi )j = 0 при i = j для i, j I. Отметим, что в терминах абстрактной модели этот на бор индивидуальных цен является эффективным по отношению к xi = 0, т. е. x kerF, то, заданному выше оператору F, ибо если I так как qi = (p, p,..., p), имеем qi, x = pxi = p, xi = 0, I I I I qi kerF.

что означает ker I В краткой форме модель рынка может быть записана в виде пя тёрки:

E m = I, Rl, {Xi, Pi (·), i (·)}iI,, Q.

Как показывает вышеизложенный комментарий, модель рынка действительно является частным случаем абстрактной модели эко номики и, следовательно, в её рамках может быть рассмотрено по нятие равновесия с нестандартными ценами, адаптированная версия которого приводится ниже. Однако сначала мы напомним стандарт ное неоклассическое понятие конкурентного равновесия.

Состояние x X и вектор p Q называются конкурентным или вальрасовским равновесием модели E m, если x сбалансирован, т. е.

80 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами i, и при этом Pi (x) Bi (p) = & xi Bi (p) для всех xi = I I i I. Здесь символом Bi (p) обозначено бюджетное множество по требителя i:

Bi (p) = {y Xi | py i (p)}.

Для данного p Q, и каждого i I рассмотрим нестандартные бюджетные множества Bi (p), определяемые посредством ограниче ния px i (p) + i, т. е. положим = {x Xi | px i (p) + i }, i I.

Bi (p) Заметьте, что, в отличие от случая абстрактной модели, бюджетные множества являются подмножеством собственного потребительского множества, а не множества всех допустимых состояний модели. Век тор 0, определяющий стоимости, добавленные к правым частям бюджетных ограничений потребителей, условимся называть, как и в случае абстрактной модели, схемой перераспределения избыточных стоимостей.

Определение 1.2.1. Допустимое состояние x X экономики E m называется равновесием с нестандартными ценами p Q и фиксированной схемой перераспределения избыточных стоимостей RI, 0, если выполнены условия:

(i) xi stBi (p) i I;

(ii) Pi (x) stBi (p) = i I;

(iii) x A(X).

Тройку (x, p, ) будем называть -равновесием с нестандартными ценами.

Иллюстрацией определения 1.2.1 служит приведённый выше при мер 1.1.1 экономики обмена, а также следующий пример.

Пример 1.2.1. Рассмотрим пример экономики, заимствованный из [Маракулин, 1988], в котором нет даже полуравновесия с нестандарт ными ценами, но есть нестандартное равновесие с трансферабельны ми стоимостями (рис. 1.2.4). В модели имеется два агента и два типа продуктов. При этом X1 = {(x, y) | (0, 0) (x, y) (10, 10)}, X2 = X1 {(x, y) | y 4 x}, 1.2. Неоклассические модели с нестандартными ценами 6y I grad u Точка насыщения u x Рис. 1.2.4. Равновесие с нестандартными ценами и стоимостями u1 (x, y) = 16 (x 4)2 (y 4)2, u2 (x, y) = y, Q = {p R2 | p 2}, 1 = (1, 3), 2 = (2, 2).

При ценах p = (px, py ) таких, что px 0, оптимальная реакция 1-го агента такова, что его спрос на первый товар 4, т. е. больше об щего количества данного товара. Поэтому ни равновесие, ни даже полуравновесие в этом случае невозможно. При py 0 с нереаль ным запросом на товар y выступает агент 2: y2 = 10. Следовательно, должно быть p 0. При py px оптимальная реакция 2-го агента совпадает с 2, а 1-го такова, что x1 1, т. е. баланс снова недости жим даже в форме неравенства. При px py оптимальной реакцией агента 2 будет (0, y2 ), где y2 4, а оптимальная реакция 1-го такова, что суммарный спрос на второй продукт 5 и превышает предло жение. Последнее следует из того, что все наборы (x1, y1 ), которые лучше 1 и такие, что x2 1 (чтобы выдерживался баланс), при этих ценах находятся вне бюджетного множества участника 1. При ценах p = (1, 1) так же, как и при нестандартных ценах p = (1 +, 1 ), 0, 0, спрос на y выше предложения. Цены (1, 1 + ) дают превышение спроса на x над его предложением. Все случаи, когда нестандартность в ценах играет роль, исчерпываются двумя вышеуказанными (в силу однородности доходов). В остальных ситу 82 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами ациях бюджетные множества участников при ценах p и stp совпада ют (см. утверждение 1.1.5). Таким образом, при любых ценах из Q условие сбалансированности нарушается. Тем не менее в этой эко номике есть состояние нестандартного равновесия: (x1, y1 ) = (2, 2), (x2, y2 ) = (1, 3), реализующееся при ценах p = (1, 1+) и трансфе рабельных стоимостях = (0, 2) (а также при = (, 2) и любых 0, 0, 0). Как видим, агент 1 всего лишь выменял единицу 1-го продукта на единицу 2-го у агента 2 и при этом оба существенно повысили свою полезность. Однако для описания этой ситуации потребовались нестандартные цены и трансферабельные стоимости.

Следующая теорема существования нестандартных -равновесий фактически следует из теоремы 1.1.7 о существовании -ква зиравновесий с нестандартными ценами в абстрактной модели E.

Для модели рынка E m могут быть использованы стандартные предположения A1–A7 и A3. Здесь нужно только уточнить форму закона Вальраса:

A6m (закон Вальраса). i при любом p Q.

i (p) = p, I I Отметим также, что в простейшем варианте функций распределения дохода, имеющих вид p, i, p Q, для того чтобы удовлетворить предположению A7 (непустота бюджетных множеств), достаточно требовать i Xi.

Теорема 1.2.1. Пусть E m удовлетворяет предположениям A1, A2, A3, A4, A5, A6m, A7 и 0 int Q. Тогда для каждого = (1, 2,..., n ) RI такого, что 0, существуют -рав новесия такие, что = · при некотором нестандартном 0.

Доказательство теоремы 1.2.1. Воспользуемся теоремой 1.1.7, применяя её к абстрактной модели экономики, в которой N = I, X = Xi и I Q = { (q1,..., qn ) (L )N | (qi )i Q & (qi )j = 0, i = j i, j N }.

Функции дохода i (·) агентов абстрактной экономики определим по формуле i i (x, q) = i (qi ), i N.

Тогда для Ti = {i} имеем Ti = N = T и в данном случае получаем N j Lef f = { q = (q1,..., qn ) (L )N | qi = 0 i N, j = i, j N }.

1.2. Неоклассические модели с нестандартными ценами Следовательно, в силу 0 int Q, заключаем 0 int|Lef f (Q Lef f ), что заканчивает проверку условий теоремы 1.1.7. Пусть (x, q, ) соответствующее -квазиравновесие абстрактной модели (см. опре деление 1.1.8). Прежде всего рассмотрим условие (iv) эффективно сти равновесных цен q A( Q). Из определения F (·) (см. выше) несложно заключить, что для всех q = (q1,..., qn ) (L )n имеет место qi kerF (·) & q Lef f ker N p Rl : p = (qi )i & (qi )j = 0 i = j, i, j N.

Следовательно, из принципа переноса и по определению A(Q) за ключаем существование такого p Q, что p = (qi )i i N & (qi )j = 0 i = j, i, j N.

Наконец, из определений и того факта, что в модели рынка функ ции дохода потребителей не зависят от текущего состояния эконо мики, легко заключить, что тройка (x, p, ) является -равновесием с нестандартными ценами модели E m.

Замечание 1.2.1. Теорему 1.2.1 можно применить к чисто стан дартному случаю, с целью определить условия, при которых су ществуют обычные конкурентные равновесия. Действительно, это в точности те условия, которые обеспечивают выполнение условия Слейтера для i (·) при потенциально равновесных (например всех!) p Q, таких, что для p = 0 имеет место y Xi : py i (p), i I.

Дополнительно, с тем чтобы избавиться от трансферабельных сто имостей, обычно используется предположение о локальной ненасы щаемости предпочтений в области всех достижимых состояний эко номики:

x A(X), i I xi cl Pi (x).

Чтобы убедиться в этом, прежде всего укажем, что при условии ненасыщаемости цены p = 0 не могут реализоваться как равно весные, ибо тогда Bi (p) = Xi и нарушено условие (ii) определе ния 1.2.1. Следовательно, p = 0, p Q и, так как тогда мож но считать функции i (·) однородными по p степени 1 (см. за мечание 1.1.3), то можно предполагать, что цены равновесия удо влетворяют ||p|| = 1 (достаточно разделить бюджетное ограни чение на ||p|| и рассмотреть новые трансферабельные стоимости 84 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами = i / ||p||). Далее, используя утверждение 1.1.5, заключаем i stBi (p) = {y Xi | y p i () + i }, p где p = st(p), i = st( i ). Теперь в силу (iii) и локальной ненасы щаемости предпочтений для равновесных (x, p) X Q находим xi p = i () + i для всех i I. Суммируя эти неравенства и исполь p i = 0, зуя закон Вальраса A6m, в силу xi = i находим I I I что при i 0 возможно, только если i = 0 для всех i I. Таким образом, (, p) стандартное равновесие модели E m.

x Далее рассмотрим модель E m применительно к случаю, в ко тором функции дохода принимают наиболее естественный вид i (p) = p, i, а также при полиэдральных потребительских множе ствах Xi. В данных условиях возможно совместно использовать тео рему 1.2.1 и теорему 1.1.9, характеризующую структуру бюджетных множеств, по отношению к которым и формулируется понятие равновесия в модели E m. Теперь, в силу произвола в выборе нестан дартного вектора = (1,..., n ) 0, это вектор, задающий в теореме 1.2.1 вектор в виде =, 0, без ущерба к содержа тельной стороне вопроса можно считать стандартным и, более того, конкретизировать (например, положить = (1, 1,..., 1), постулируя тем самым равномерную схему перераспределения избыточных сто имостей = (,,..., )). В таком случае величину можно рассмат ривать как своего рода цену на избыточные финансовые ресурсы и, таким образом, вектор (p, ) можно понимать как нестандартный расширенный вектор цен. Сказанное выше в данных условиях мож но положить в основу понятия обобщённого равновесия в модели E m, по сути, очень близкого к понятию равновесия в меновых стои мостях по Данилову–Сотскову (а также и обобщённого равновесия, см. [Данилов, Сотсков, 1985;

Danilov, Sotskov, 1990]). В силу тео рем 1.2.1 и 1.1.9 отвечающие этому понятию состояния экономики будут существовать, только если i Xi и при прочих других есте ственных предположениях A2, A324 и A4 (ограниченность сбалан сированных состояний, открытость графика предпочтений, а также их выпуклость и иррефлексивность). Итак, перейдём к определению (одному из возможных вариантов) обобщённого равновесия.

Любой упорядоченный набор ортонормальных векторов {ej }j=k, j= k l, связанное с ним число h 0 и вектор = (1,..., ) 0 на 24 Напомним, что в силу замечания 1.1.2 при полиэдральных потребительских множествах или порядковых предпочтениях предположение A3 эквивалентно более слабому требованию A3.

1.2. Неоклассические модели с нестандартными ценами зовём -обобщённой ценой рынка. Набору {ej }j=k сопоставим мат j= рицу P, строка j которой совпадает с вектором ej. Вектору x Rl поставим в соответствие k-мерный вектор стоимостных оценок Px.

Теперь предположим, что некоторый потребитель имеет доходы, формализованные посредством k-мерного вектора. Тогда его по требительский выбор x Rl должен удовлетворять бюджетному ограничению Px, где посредством обозначено лексикогра leks leks фическое упорядочивание в Rk.25 Таким образом, в силу свойств введение обобщённой цены и связанный с ним способ стои leks мостного сравнения потребительских наборов постулируют иерар хию стоимостных оценок, отвечающую упорядочиванию, заложен ному в определении обобщённой цены посредством набора векторов {ej }. В модели рынка имеющийся у потребителя вектор доходов есте ственно положить равным набору стоимостных оценок, полученных из имеющихся у него исходных ресурсов. Тем самым логично счи тать, что потребительский выбор торговца i удовлетворяет ограни чению Px Pi для x Xi. Однако множества вида leks {x Xi | Px Pi } leks обладают плохими математическими свойствами и, в частности, мо гут быть незамкнуты (что может повлечь невозможность решить задачу потребителя). Более того, нетрудно видеть, что в общем слу чае, даже при обычных ценах, в силу закона Вальраса все рынки продуктов могут быть одновременно сбалансированы (в форме ра венства) только при наличии какого-либо механизма перераспреде ления избыточных стоимостей (в соответствии с некоторой схемой перераспределения). Оказывается, что в случае обобщенного сто имостного регулирования достаточно использовать этот механизм только на последнем, k-м иерархическом уровне. Этот механизм вво дится с помощью вектора = (1,..., n ) 0, определяющего про порции (доли) потребителей в общем объёме избыточной стоимости k-го уровня. В итоге, в качестве ключевого понятия бюджетного множества с обобщённой ценой примем множества вида Bi (e1,..., ek ) = cl{x Xi | Px P(i + i ek )}, (1.2.1) leks где i = h i, i I, т. е. мы полагаем = h. Теперь, чтобы ввести по нятие -обобщённого равновесия, достаточно в определении 1.2.1 за менить нестандартный вектор цен p обобщённой ценой (e1,..., en, h), x, y Rk, то x y x = y или r k : xj = yj j r и xr+1 yr+1.

25 Если leks 86 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами предположить стандартность = ( 1,..., n ) = h и заменить в условиях (i)–(iii) множества stBi (p) на Bi (e1,..., en ).

Бюджетным множествам, заданным формулой (1.2.1), можно дать и другую, более привычную характеризацию. Для каждого i I определим номер t(i) k по следующему правилу: положим t(i) = k, если функционалы ej опорны к Xi в точке i для всех j k;

в противном случае определим такой t(i) k, что все ej опорны в i к Xi при j t(i) и при этом существует такой y Xi, что et(i), y et(i), i. Теперь, анализируя свойства и формулу leks (1.2.1), несложно убедиться в том, что при t(i) k имеет место Bi (e1,..., en ) = {x Xi | ej x = ej i, j t(i) & et(i), x et(i), i }, (1.2.2) а при t(i) = k имеем Bi (e1,..., en ) = {x Xi | ej x = ej i, j k & ek, x ek, i + i }. (1.2.3) Имеется ещё одна возможность найти номер t(i), определяющий длину цепочки линейных ограничений в структуре обобщённого бюджетного множества. Именно, для i I определим k-мерный век тор i как минимум оператора P : Rl Rk на множестве Xi, где на Rk рассматривается лексикографическое упорядочивание. Отме leks тим, что при многогранном Xi этот минимум всегда существует26.

Далее сравним вектор i с вектором P(i + i ek ). Очевидно, что i P(i + i ek ). Теперь в качестве t(i) нужно взять минималь leks ный номер компоненты, для которой имеет место строгое неравен ство (i )j (P(i + i ek ))j. Из сказанного, в частности, следует, что обобщённое бюджетное ограничение Px P(i + i ek ) удовлетворя leks ет обобщённому условию Слейтера на Xi, если только i 0: суще ствует y Xi такой, что Py leks P(i + i ek ). В случае i = 0 условие Слейтера может нарушиться, причём только если ej, Xi ej, i для всех j = 1, 2,..., k.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.