авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 9 |

«Сибирское отделение Российской академии наук Институт математики им. С. Л. Соболева В. М. Маракулин АБСТРАКТНЫЙ РАВНОВЕСНЫЙ АНАЛИЗ ...»

-- [ Страница 3 ] --

Итак, резюмируя сказанное в комментариях к понятию обобщён ного равновесия, заключаем, что это понятие полностью совпадает 26 Убедиться в этом можно по-разному, но проще всего рассмотреть нестан дартный функционал p = 1 e1 + 2 e2 + · · · + k ek, где 1 = 1 и j+1 /j 0 & j+1 0 для всех j = 1, 2,..., k 1. Теперь, поскольку Xi = co A при некотором конечном A Rl, то у нестандартной задачи оптимизации px min, x Xi, имеется решение a в (стандартном) множестве A. Очевидно, что P реализует a искомый минимум оператора P на Xi.

1.2. Неоклассические модели с нестандартными ценами с понятием равновесия с нестандартными ценами и схемой распре деления избыточных стоимостей, заданной с помощью стандартно го вектора = (1,..., n ) 0, определяющего трансферабельные стоимости по правилу = ·, где нестандартный 0.

Действительно, каждому обобщённому равновесию можно по ставить в соответствие нестандартный вектор цен, полагая p = 1 e1 + 2 e2 + · · · + k ek Q, где коэффициенты j R удо влетворяют единственному требованию: j+1 /j 0, j 0 для всех j = 1, 2,..., k (k+1 = 0), и набор нестандартных трансфера бельных стоимостей i из условия i /k µi = h·i (т. е. полагаем = k h). Тогда в силу теоремы 1.1.9, где нужно принять w = i, = i при j(p, ) = k, заключаем, что stBi (p) является множе ством, определяемым в (1.2.2), (1.2.3), и, следовательно, совпадает с Bi (e1,..., ek ). Таким образом, каждому обобщённому равновесию отвечает нестандартное, удовлетворяющее определению 1.2.1.

Чтобы убедиться в обратном, предположим, что задано некото рое нестандартное -равновесие такое, что =, где 0 неко торый заданный стандартный вектор и 0. Чтобы охарактеризо вать бюджетные множества, вновь воспользуемся теоремой 1.1.9. От метим, что номер j, фигурирующий в этой теореме в описании струк туры множеств B i (p, i ) = stBi (p), является общим для всех i I = i /i 0 при = 0), т. е. j = j(p, i ) = j(p, i ) = j(p, ), (ибо i / i при любых i = i. Теперь при /j выберем в качестве обобщён r=j ной цены набор функционалов {er }r=1, тот же вектор, а в качестве h возьмём st( /j ). В случае /j в качестве обобщённой цены примем {er }j1, и h = 0. В силу теоремы 1.1.9, формул (1.2.2), r= (1.2.3) и по определению имеем искомый результат.

Прежде чем сформулировать теорему существования обобщён ных равновесий, которая является, таким образом, следствием тео ремы 1.2.1 и 1.1.9, напомним, что при полиэдральных Xi, i I и A предположение A3 слабая непрерывность предпочтений экви валентно предположению A3 открытость графика предпочтений, см. замечание 1.1.2.

Теорема 1.2.2. Пусть E m удовлетворяет A2–A4, потребитель ские множества Xi полиэдральны, i Xi, а функции дохода опре деляются как i (p) = p, i, i I. Тогда, если 0 intQ, то при любом 0 существуют обобщённые -равновесия.

88 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Иерархия стоимостных оценок, положенная в основу понятия обобщённого равновесия, индуцирует иерархическое расслоение эко номических агентов, что позволяет дать этому понятию следующую интерпретацию (см. также [Данилов, Сотсков, 1985;

Danilov, Sotskov, 1990]). Действительно, в состоянии обобщённого равновесия потреби телей экономики E m можно расклассифицировать по признаку при надлежности бюджетных множеств Bi (e1,..., ek ) к тому или иному типу, определяемому соотношениями (1.2.2), (1.2.3). Точнее, опреде лим At I как множество At = {i I | t = t(i)}, t = 1,..., k, где номер t(i), определённый выше, отвечает номеру первого ограниче ния, удовлетворяющего условию Слейтера. Далее, в пространстве продуктов Rl всегда можно перейти к другому ортонормальному ба зису, обладающему тем свойством, что первые k l базисных векто ров совпадают с векторами e1, e2,..., ek. Содержательно последнее означает переход от отдельных продуктов к продуктовым корзи нам. В таком случае можно предполагать, без ограничения общ ности, что векторы e1, e2,..., ek изначально совпадают с единичны ми ортами исходного пространства продуктов. Теперь тот факт, что i At можно понимать так, что данный агент обладает ненулевыми ресурсами продукта t (в количестве (i )t (i )t, где вектор i был определён выше), которые могут быть реализованы (проданы) на t-м рынке. Имеющаяся иерархия стоимостных оценок предполагает, что при i At, t k, потребитель i может потреблять любое количество продуктов с номерами t + 1,..., l, или, в другой терминологии, об менять сколь угодно малое количество продукта t на любое (сколь угодно большое) количество продукта более низкого иерархического уровня. Наличие механизма перераспределения избыточных стои мостей означает, что если i At вдруг решит потреблять продукт t в количестве, меньшем, чем имеется у него в наличии (т. е. если он достиг насыщения), то неизрасходованный остаток этого ресурса должен быть передан агентам данного и более низких уровней. По следнее очевидно приводит к тому, что агенты более низких уровней, получив ненулевое количество ресурса t, поднимаются на уровень t.

В особом случае, когда потребительские множества совпадают с по ложительным ортантом в пространстве продуктов, можно не перехо дить к новому базису, а ситуацию интерпретировать как расслоение общего рынка продуктов на подрынки, на каждом из которых хо дит собственная валюта, причём так, что агенты данного рынка всегда имеют доступ на рынки более низкого уровня и способны об менять единицу своей валюты на любое количество валюты более низкого качества. При этом существует строгий запрет на вход на рынок более высокого уровня. В [Данилов, Сотсков, 1985;

Danilov, 1.2. Неоклассические модели с нестандартными ценами Sotskov, 1990] указанную ситуацию описывают в терминах меновых стоимостей, допуская возможность пропорциям обмена обращаться в 0 или.

1.2.2. Экономика с производством в модели Эрроу–Дебре Неоклассическая модель децентрализованной экономики типа Эрроу–Дебре предполагает наличие двух секторов потребитель ского и производственного. Производственный сектор описывается конечным множеством фирм (более общо производителей), каж дая из которых характеризуется посредством собственного производ ственного (технологического) множества, описывающего производ ство в терминах потоков, и формально является подмножеством пространства продуктов. Цель фирмы, являющейся по определению акционерным обществом, состоит в максимизации прибыли (мате матически выраженной как скалярное произведение вектора цен на технологический вектор), которая затем распределяется среди пай щиков (акционеров). Потребительский сектор включает в себя ко нечное множество потребителей, описанных так же, как в модели рынка. Единственное отличие состоит в способе определения функ ций распределения дохода: потребители формируют свой доход из двух источников от продажи имеющихся у них в наличии ис ходных ресурсов, а также из дивидендов по акциям фирм, которые предполагаются полностью распределёнными между потребителя ми. В краткой математической форме модель представлена следую щей шестёркой:

E AD = I, J, Rl, {Xi, Pi, i, i }iI, {Yj }jJ, Q.

Здесь I = {1, 2,..., n} множество номеров потребителей;

J = = {n + 1, n + 2,..., n + r} номера производителей;

Rl простран их номенклатура;

Xi Rl ство продуктов, где {1, 2,..., l} потребительское множество потребителя i, xi Xi его потре бительские планы, а Yj Rl производственное (технологиче ское) множество фирмы j, yj Yj производственные планы Xi Yj Rl(n+r) явля этой фирмы. В данном случае X = I J ется множеством допустимых состояний, где Rl(n+r) = L играет роль пространства состояний. Каждый потребитель характеризу ется также вектором исходных ресурсов i Rl и отношением пред почтения Pi : X Xi, i I. Таким образом, как и в случае 90 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами модели рынка, предполагается, что в модели Эрроу–Дебре отсут j ствуют внешние влияния. Величины i 0 компоненты вектора n+1 n+r i = (i,..., i ) указывают на долю (в акциях, дивидендах и т. д.) потребителя i в j-м производстве. Из контекста ясно, что они j i = 1 для всех j J.

должны удовлетворять условию iI Механизм стоимостного регулирования в модели E AD определя ется посредством множества допустимых рыночных цен Q Rl и функций распределения дохода i : X Q R, определённых по формуле j i I.

i (x, y, p) = i (y, p) = p, i + i p, yj, jJ Первое слагаемое в доходах потребителя i представляет стоимость его исходных ресурсов, а второе, поскольку p, yj следует понимать как прибыль, полученную от реализации производственного плана yj при ценах p (ибо yj описывает технологию в терминах потоков), является совокупным (суммарным) дивидендом, полученным потре бителем из производственного сектора (заметьте, что эта величина может быть отрицательной). Отметим, что в модели E AD постули руется определённая форма поведения производителей, вытекающая из интересов потребителей владельцев акций, реализующая прин цип максимизации прибыли при экзогенно заданных ценах p.

В стандартной постановке в качестве равновесия понимается такая тройка (x, y, p) X Q (совокупность всех потребительских и производственных планов и отвечающий им вектор цен), что вы полнено условие баланса xi = yj + i, I J I производители максимизируют доход pyj p, Yj & yj Y j j J, xi p i (y, p) и при а потребители решают задачу потребителя этом Pi (x) Bi (y, p) = i I, где по определению Bi (y, p) = {y Xi | pxi i (y, p)} бюджетное множество потребителя i.

1.2. Неоклассические модели с нестандартными ценами Чтобы перейти к понятию равновесия с нестандартными цена ми, прежде всего необходимо уточнить используемое здесь поня тие бюджетного множества. Для данного i I, заданных p Q, (x, y) X, и нестандартного i 0 в качестве нестандартного бюд жетного множества с трансферабельной стоимостью i примем подмножество Xi, элементы которого удовлетворяют ограничению px i (y, p) + i. Положим = {x Xi | px i (y, p) + i }, i I.

Bi (y, p) Определение 1.2.2. Состояние экономики (x, y) X и нестан дартный вектор цен p Q называются равновесием модели E AD с фиксированной схемой перераспределения избыточных стоимостей = ( 1,..., n ), RI, 0, если выполнены условия:

xi stBi (y, p) i I;

(i) Pi (x) stBi (y, p) = i I;

(ii) p, yj p, Yj j J;

(iii) (iv) xi = yj + i.

iI jJ iI Модель E AD может быть приведена к форме абстрактной модели экономики. Проделаем это. Положим N = I и рассмотрим то же самое множество допустимых состояний X = Xi Yj. В качестве I J предпочтений экономических агентов, принимающих свои значения abs в X, примем отображения Pi : X X, заданные по формуле abs Pi (x, y) = Xt Pi (x, y) Xt Yj ti ti jJ для всех i N и (x, y) X таких, что Pi (x, y) =. В качестве балансового оператора возьмём (x, y) Rl(n+r) xi F (x, y) = yj, I J и примем как исходное состояние abs = (1,..., n, 0,..., 0). Клю чевым в переходе от E AD к абстрактной модели является адекватное определение механизма стоимостного регулирования. С этой целью 92 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами сначала определим совокупность допустимых индивидуальных цен.

Пусть T = I J (по определению I J = ) и определим Qabs = { (q1,..., qn ) (L )N | i I, j J : (qi )i Q, (q1 )j Q & (qi )t = 0, t = i, t I & (qi )t = 0, i = 1, t J }. (1.2.4) abs По построению Q компоненты векторов индивидуальных цен, отвечающие производственному сектору, могут быть ненулевыми только у 1-го агента. В потребительском секторе компонента инди видуальной цены данного агента ненулевая, если только она отвечает потребительским планам этого агента. Легко видеть, что множество Qabs изоморфно QT L.

Далее определим функции распределения дохода. Пусть (x, y) X и q Qabs. Для i = 1 положим j abs (1 1 ) yj, q1j.

1 (x, y, q) = q11, 1 + (1.2.5) jJ Для прочих i = 2, 3,..., n определим доходы формулой j i [ yj, q1j ].

abs i (x, y, q) = qii, i + (1.2.6) jJ В последнем случае стандартным образом величина z по опреде иначе27. Построенную модель лению равна (z) при z 0 и abs обозначим символом EAD.

Следует указать на некоторые важные свойства определённых выше функций распределения дохода в абстрактной модели. По j скольку i 0, то второе слагаемое в правой части (1.2.6) будет неотрицательное. Отсюда в частности следует, что при i Xi, abs i 2 доходы i-го агента в модели EAD удовлетворяют предположе нию A7 (непустота бюджетных множеств). При i = 1 и 1 X1 это предположение также будет выполнено, если дополнительно пред положить, что Yj выпуклы и 0 Yj для всех j J. Действительно, в таком случае вектор n+1 n+r = (1, x2,..., xn, (1 1 )yn+1,..., (1 1 )yn+r ) X при любых yj Yj, xi Xi, i = 1, i N, и, следовательно, B1 (x, y, q).

Существование равновесий с нестандартными ценами в модели E AD устанавливает следующая z = (z) 0.

27 Точнее 1.2. Неоклассические модели с нестандартными ценами Теорема 1.2.3. Пусть модель E AD удовлетворяет предположени ям A1–A4. Дополнительно предположим, что Xi и Yj полиэдраль ны и при этом i Xi, 0 Yj при всех i I, j J. Пусть также 0 int Q и существует i0 I локально ненасыщаемый потреби тель т. е. такой, что xi0 cl Pi0 (x, y) при любом (x, y) X. Тогда для любого 0, RI существует -равновесие с нестандарт ными ценами такое, что = при некотором нестандартном 0.

В соответствии с принятой в настоящей главе символикой, в форму лировке последней теоремы мы полагаем A(X) = (x, y) Xi Yj | xi = yj + i.

I J I J I Замечание 1.2.2. Предположения теоремы 1.2.3 не являются мак симально общими. В частности, полиэдральность Xi была использо вана только с целью применить более слабое предположение о непре рывности предпочтений A3 вместо A3 (а также из соображений симметрии с полиэдральностью производственных множеств). Поли эдральность Yj играет более существенную роль и требуется, чтобы удовлетворить условию (iii) определения 1.2.2. В общем случае (при выпуклых и замкнутых Yj ) можно только гарантировать существо вание таких нестандартных j 0, что в равновесии имеет место p, yj +j p, Yj (величины j можно определить как j = pyj pyj при некотором yj yj, yj Yj, удовлетворяющем p, yj p, Yj 28 ).

В таком случае в качестве трансферабельных стоимостей необходи j мо также принять i = i + i j. Последнее обобщение может J иметь значение, например, для того чтобы установить существова ние стандартных равновесий (здесь можно использовать соображе ния, подобные указанным в замечании 1.2.1 по отношению к моде ли рынка). Дополнительно можно заметить, что функции распреде ления дохода также могут иметь более общий вид. В действитель ности главное, что необходимо, это предполагать не общую форму их зависимости от p и y, но зависимость от стоимостных величин p, yj, j J.

28 Нижеследующий пример 1.2.2 показывает, что в общем случае выпуклости и замкнутости Y недостаточно, чтобы свойство p, st(y) p, Y следовало из условия p, y p, Y, однако при полиэдральном Y это так, и, более того, p y = p st(y), если st(y) существует.

94 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Можно также отметить возможность замены требования о суще ствовании локально ненасыщаемого потребителя на просто ненасы щаемого, используя стандартный приём, связанный с переходом в модели от исходного предпочтения к приращённому, см. по этому поводу [Gale, Mas-Colell, 1975] и [Gale, Mas-Colell, 1979]. Более того, требование о том, что этот агент является ненасыщаемым на всём X, можно заменить требованием ненасыщаемости на A(X) множе стве всех достижимых состояний экономики. Действительно, если это так, то ненасыщаемость будет иметь место на некоторой окрест ности множества A(X) (из непрерывности предпочтения), и, следо вательно, можно стандартным приёмом перейти к другой модели, в которой множество допустимых состояний совпадает с этой окрест ностью (выпуклым замкнутым подмножеством в X). Легко видеть, что полученное в новой модели равновесие будет также равновесием в исходной.

Доказательство теоремы 1.2.3. Доказательство основано на применении теоремы 1.1.7 о существовании нестандартных -квазиравновесий к вышепостроенной модели абстрактной эконо abs мики EAD. Сразу укажем, что без ограничения общности мы будем считать в условиях теоремы i0 = 1 (т. е. потребитель с номером является локально ненасыщаемым на X). Условия теоремы 1.2. обеспечивают предположения A1–A5 и A7, а также A3 приме abs нительно к модели EAD (напомним, что из построения и условий следует A7, а из полиэдральности X и A3, A4 следует A3, см.

замечание 1.1.2). Таким образом, чтобы воспользоваться теоремой 1.1.7, достаточно установить A6 закон Вальраса. Сделаем это.

Положим Ti = {i} при i I, i 2 и T1 = {1} J. Здесь Ti Tk = для всех i = k и Ti = T = I J. Следовательно, N существует единственное согласованное отображение проектирова ния g : LN L такое, что (g(z1,..., zn ))t = (zi )t при t Ti и любом abs i I. По выбору Ti и определению i (y, q) достаточно рассмотреть оптимальные реакции 1-го агента. Итак, пусть abs P1 (x, y) B1 (x, y, q) =, где B1 (x, y, q) = {(x, y ) X | q11, x + abs q1j, yj 1 (y, q)}.

J 1.2. Неоклассические модели с нестандартными ценами abs{T1 } По построению P1 P1 (x, y) (x, y) = Yj и при этом J x1 cl P1 (x, y). В силу локальной ненасыщенности i0 = 1 предыду щее соотношение возможно, только если abs q1, (x, y) q1, P1 (x, y) q1j, yj q1j, Yj j J, = откуда в силу 0 Yj заключаем q1j, yj 0 = [ q1j, yj ] = q1j, yj j J.

Теперь, подставляя эти равенства в правую часть (1.2.6) и суммируя (1.2.5) и (1.2.6) по i I = N, с учётом построения Q см. (1.2.4), abs i (x, y, q) = qii, i = qi, (1,..., n, 0,..., 0), N N N что и доказывает A6.

Итак, пусть (x, y, q) -квазиравновесие абстрактной модели, су ществующее в силу теоремы 1.1.7, где =, 0, R. Пусть также (, y ) (x, y) нестандартное состояние модели, отвечающее x определению 1.2.1. Теперь в силу теоремы 1.1.7 (см. последнее из заключений теоремы), устройства отображения проектирования g(.), а также ввиду ненасыщаемости 1-го агента и того факта, что y является фрагментом его оптимальной реакции, заключаем, что q1j, yj q1j, Yj, j J.

(1.2.7) При этом, поскольку 0 Yj для всех j, то бюджетные ограничения имеют вид j qii, x qii i i 2, i I, i q1j, yj + i, (1.2.8) i J для i 2. Кроме того, в силу пункта (ii) определения нестандартного квазиравновесия для 1-го агента имеет место P1 (x, y) stB1 (, q) =, abs y где y, q1J для некоторого y 29 Если y, q1J Yj, то из локальной нена J x, y ), q P1 (x, y) такой, что сыщаемости найдётся (x1 1 1 q1, (x, y). Отсюда выводим противоречие с предыдущим соотношением.

96 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами = {(x, y ) X | B1 (, q) y j q11 x + q1j yj q11 1 + (1 1 ) q1j, yj + 1 }.

J J Последнее условие эквивалентно P1 (x, y) pr|X1 [stB1 (, q)] = 30.

y Однако в силу (1.2.7) при определении проекции нестандартного множества B1 (, q) (очевидно, что в силу прямоугольности X по y рядок применения операций проектирования pr|X1 [·] и взятия стан дартной части множества может быть любым) в левой части опре деляющего его бюджетного неравенства величины q1j, yj можно заменить на q1j, yj, что после их переноса в правую часть даёт j ограничение q11 x q11 1 1 q1j, yj + 1. Таким образом, для J всех i I имеет место j st{x Xi | qii x qii i Pi (x, y) i q1j, yj + i } =. (1.2.9) i i J Далее, по определению -квазиравновесия должно быть q A( Q), откуда получаем qi kerF & q Lef f p Rl : p = qii i I & ker qit = 0, t = i, i = 1 i I t T & q1j = p j J.

Теперь, чтобы получить искомый результат, достаточно заменить в (1.2.9) компоненты вектора qi на p или p и установить тот факт, что pj = pyj для всех j.

y Чтобы убедиться в последнем, воспользуемся (1.2.7), что в дан ном случае даёт p, yj p, Yj, j J, и полиэдральностью Yj. Действительно, без ограничения общности можно считать Yj многогранником (в силу ограниченности A(X)), т. е. предположить, что Yj = co Aj при некотором конечном Aj Rl.31 Но тогда множество решений задачи pyj max, yj Yj может быть записано в виде coAj для некоторого Aj Aj. Таким образом, вектор yj представляется как (нестандартная) выпуклая комбинация конечного числа (стандартных) точек из Rl, на которых нестандарт ный функционал p достигает максимума и, очевидно, pa = pa для всех a, a A. Отсюда по линейности заключаем pj = p(st yj ), что y j ввиду st y = y всё доказывает.

30 Напомним, это проекция множества A X на X1.

что pr|X [A] 31 Можно также в общем случае использовать лемму Фаркаша.

1.2. Неоклассические модели с нестандартными ценами Заканчивая раздел, приведём пример, показывающий, что усло вия выпуклости и замкнутости множества Y Rl недостаточно для того, чтобы из p, y p, Y при y Y следовало p, st(y) p, Y. Любопытно, что в двумерном случае это всегда так (легко доказывается).

Пример 1.2.2. Пусть Y R3 и определён следующим образом:

Y = {(y1, y2, y3 ) R3 | y = h(x1, x2, 0) + (1 h)(0, 0, 1), 0 h 1, x2 + x2 1}.

1 Другими словами, Y представляет из себя выпуклую оболочку диска единичного радиуса с центром в нуле в подпространстве, определён ном ортами e1 и e2, с точкой (0, 0, 1) это круговой усечённый конус, представленный на рис. 1.2.5. Выберем точки 1, a=, 0, b = (0, 0, 1), 1 + 2 1 + принадлежащие Y, и проведём через них опорную гиперплоскость.

Эта гиперплоскость определяется вектором нормали 1 1, p=,1.

2 2 1 + 1+ Действительно, при y = y(h) Y вычисление показывает hx1 hx2 y, p = + + (1 h) = 2 2 1+ 2 1+ 1 1 (x1, x2 ),, h + (1 h).

= 2 2 1 + 1+ Положим x = (x1, x2 ) и зададим 1, d=.

2 1 + 1+ По условию ||x||2 = x2 + x2 1 и ||d||2 = 1. Поскольку x, d = 1 = ||x||2 ||d||2 cos(), где угол между векторами x и d, то x, d и, значит, p, y 1/2. Однако 1 p, st(a) = p, a = p, b =, 2 1+ т. е. отрезок ((st(a), b]] не пересекается с множеством {y Y | p, y p, st(a) }.

98 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами  y y b a y Рис. 1.2.5. Контрпример 1.2.3. Экономики с общественными благами Модель экономики с общественными благами характеризуется нали чием продуктов специального вида, которые по своим физическим качествам являются продуктами общественного потребления. При мерами общественных благ32 являются общественные теле- и радио трансляции, уличное освещение, дороги, разного рода продукция ти па безопасность (полиция, государственная оборона и т. д.). Спи сок примеров можно продолжить, однако ясно, что во всех этих слу чаях имеется продукт (благо), одновременно потребляемый многи ми агентами. Этот продукт нужно воспроизводить (ремонтировать дороги, производить телепрограммы и осуществлять вещание), что нужно как-то финансировать. Понятно, что финансирование воспро изводства продукта коллективного потребления должно осуществ ляться за счёт всех его потребителей.

В неоклассической теории децентрализованной экономической системы в основу механизма стоимостного регулирования обще ственных благ положено понятие индивидуальных стоимостных оце нок, вычисляемых как произведение индивидуальной цены на общий объём потребления. Конечно, в экономике могут быть и обычные продукты, процессы обмена и воспроизводства которых осуществ ляются по обычным рыночным правилам. В теории определяется соответствующее понятие равновесия (по Линдалю), обладающее в 32 В англоязычной литературе “public goods”.

1.2. Неоклассические модели с нестандартными ценами том числе тем свойством, что отвечающие ему состояния экономики оптимальны по Парето. Трудным теоретическим вопросом являет ся проблема практического определения индивидуальных цен. Дей ствительно, в случае продуктов индивидуального потребления этот вопрос решается автоматически, посредством рыночного механизма, основанного на большом числе сделок обмена, методом нащупыва ния. По отношению к общественным благам этот способ не сраба тывает, ибо индивиды в принципе не могут обмениваться частями общественных благ33. С теоретической точки зрения индивидуаль ные цены должны быть пропорциональны маргинальным нормам замещения (обмена), а в терминах функций полезности фрагмен ту градиента, отвечающему общественным благам. Таким образом, чтобы вычислить индивидуальные цены, нужно обладать сугубо частной информацией о предпочтениях индивидуумов, что практи чески неосуществимо.

Формально модель экономики с общественными благами имеет следующий вид. В модели имеется конечное число потребителей, об разующих множество I = {1,..., n}, и конечное число производите лей (фирм) J = {n + 1,..., n + r}. В экономике представлено l типов продуктов частного потребления, их номенклатура {1,..., l}, и s ви дов общественных благ, занумерованных индексами {l + 1,..., l + s}.

Таким образом, всего имеется l + s продуктов. Потребители осна щены индивидуализированными потребительскими множествами p частных продуктов Xi Rl и общим для всех потребителей мно жеством допустимых к потреблению общественных благ X c Rs.

Здесь Rl+s это пространство продуктов. Кроме того, потребители обладают исходными запасами частных продуктов i Rl, i I, а экономика в целом запасами общественных благ c Rs. Фирмы могут производить и затрачивать как частные, так и общественные блага, их производственные возможности заданы посредством тех нологических множеств Yj Rl+s, j J. Производственные планы pc p yj Yj будут записываться в виде yj = (yj, yj ), где yj Rl соответ c s ствует продуктам частного потребления, а yj R общественного.

Множество p Xpg = Xi X c Yj I J отождествляется с совокупностью всех допустимых состояний, а пространство L = Rln+s+r(l+s) Xpg есть пространство состо 33 Поэтому на практике рекомендуется всегда, когда это возможно, посред ством разного рода специфических приёмов представлять общественное благо как частное, с тем чтобы задействовать рыночный механизм. Примером может служить переход к счётчикам при оплате за водоснабжение.

100 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами яний. Предпочтения потребителей определены на Xpg и принима p p ют значения в Xi X c, т. е. Pi : Xpg Xi X c. Как мы ви дим, в данной модели имеются внешние влияния, сконцентрирован ные в сфере общественных благ. Кроме того, так же как и в мо j дели Эрроу–Дебре, определены доли i 0 компоненты вектора n+1 n+r i = (i,..., i ) потребителя i в прибыли производителя j.

j i = 1 для всех j J Эти величины удовлетворяют условию iI (т. е. прибыль полностью распределяется между акционерами).

Процессы обмена и воспроизводства благ регулируются в модели посредством индивидуальных цен на общественные блага qi Rs и рыночных цен p Rl на продукты частного потребления. Множество Qc Rs определяет допустимые наборы индивидуальных цен для каждого потребителя, а Qp Rl это множество всех допустимых рыночных цен.

Механизм стоимостного регулирования определяется, как обыч но, с помощью функций распределения дохода i : Yj Q R, J где Q = Qp [Qc ]I, которые задают бюджетное ограничение p xi, p + xc, qi i (y, q, p), xi Xi, xc X c, i I, Yj, q = (q1,..., qn ) [Qc ]I и p Qp. В чисто где y = (y1,..., yr ) J неоклассическом варианте функции распределения дохода вычис ляются по формуле j p i (y, q, p) = i, p + c, qi + c i I, i (pyj + q yj ), jJ где q = qi. Как мы видим, в последнем случае доходы фор I мируются из трёх источников: от продажи исходных ресурсов i по рыночным ценам p, индивидуализированной стоимостной оценки общественных благ qi, c и как сумма дивидендов из прибыли производителей. Отметим, это важно, что прибыль определяется с помощью производственных цен (p, q ).

В краткой форме модель экономики с общественными благами может быть записана в виде p E pg = I, J, Rl, Rs, { Xi, Pi, i, i }iI, {Yj }jJ, X c, Qc, Qp, c.

В неоклассической постановке в качестве равновесия (по Линда лю) принимаются такое состояние z = (x, xc, y) Xpg и набор цен (p, q1,..., qn ) Q, что при q = qi выполняется I 1.2. Неоклассические модели с нестандартными ценами p yp c c q yj + pyj q yj + pj, j J, y p c для каждого (j, yj ) Yj (принцип максимизации прибыли произ водителями);

имеет место xi p + xc qi i (y, q, p) и Pi (x, xc, y) Bi (y, q, p) =, i I (максимизация полезности при бюджетном ограничении), и, нако нец, планы совместно реализуемы: имеется баланс по продуктам частного потребления p xi = i + yj I I J и баланс общественных благ xc = c + c yj.

J Здесь Bi (y, q, p) это бюджетное множество потребителя i, заданное по формуле p Bi (y, q, p) = {(i, xc ) Xi X c | xi p + xc qi i (y, q, p)}.

x Как это следует из формального определения, в понятие равновесия по Линдалю в модели E pg заложен принцип максимизации прибы ли производителями по совокупным производственным ценам (p, q ), q= qi. Прочие требования, предъявляемые в понятии равновесия I с общественными благами, имеют обычный содержательный смысл и аналогичны соответствующим условиям, которым удовлетворяет конкурентное равновесие модели Эрроу–Дебре. Нужно только обра тить внимание на специфическую форму балансовых ограничений общественных благ это принципиально и следует из содержатель ной стороны вопроса.

С целью перейти к понятию равновесия с нестандартными цена ми, необходимо определить понятие бюджетного множества. При Yj, нестандартных ценах (p, q) Q и для фиксированных y J нестандартного i 0 положим = {(p, xc ) Xi X c | xp p + xc qi i (y, q, p) + i }.

p Bi (y, q, p) xi i Величины i 0 условимся, как обычно, называть трансферабель ными стоимостями, а вектор = ( 1,..., n ) схемой перераспреде ления избыточных стоимостей.

102 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Определение 1.2.3. Состояние экономики (x, xc, y) Xpg, набор нестандартных индивидуальных цен q = (q1,..., qn ), qi Qc, i I и нестандартный вектор рыночных цен p Qp называются рав новесием модели E pg с фиксированной схемой перераспределения из быточных стоимостей = ( 1,..., n ), RI, 0, если выпол нены условия:

(xi, xc ) stBi (y, q, p) i I;

(i) Pi (x, xc, y) stBi (y, q, p) = i I;

(ii) p p y p c c c qi, yj p, yj + qi, yj (j, yj ) Yj, j J ;

(iii) p, yj + I I p xc = yj + c.

c (iv) xi = yj + i, iI jJ iI jJ pg Исследование модели E и проблемы существования равновесий с нестандартными ценами будет осуществлено стандартным приё мом, посредством сведения E pg к модели абстрактной экономики. С этой целью положим N = I, а в качестве пространства состояний L и множества допустимых состояний X возьмём p L = Rln+s+r(l+s) Xi X c & X= Yj I J соответственно.

abs Предпочтения агентов абстрактной экономики Pi :XX определим по формуле p Pi (x, xc, y) = abs Xt Pi (x, xc, y) Yj J t=i, tN для всех i N и (x, xc, y) таких, что Pi (x, xc, y) =. Ясно, что та ким образом определены предпочтения с ограниченными внешними влияниями.

Далее определим балансовый оператор F : L Rl+s, полагая F = (F p, F c ), где F p : L Rl и F c : L Rs задаются тождествами p F p (x, xc, y) = yj & F c (x, xc, y) = xc yj, (x, xc, y) L.

c xi I J J Примем в качестве исходного состояния вектор abs = (1, 2,..., n, c, 0,..., 0) L.

В таком случае имеем F ( abs ) = ( i, c ).

1.2. Неоклассические модели с нестандартными ценами Наконец, необходимо подходящим образом определить механизм стоимостного регулирования. Положим T = I J {c}, где ин декс c отвечает множеству X c допустимых общественных благ, и определим p Qabs = { (q1,..., qn ) (L )N | (qii, qi ), q1j Qp Qc i I, j J & c 0, t = i, t I & (qi )t = 0, i = 1, t J }. (1.2.10) (qi )t = p c Здесь (qii, qi ) это фрагмент вектора qi, отвечающий потребле p c нию агента i, где qii для частных, а qi общественных благ.

это фрагмент, отвечающий t T. Заметьте, Аналогично, (qi )t что только у первого агента компоненты индивидуальной цены, со ответствующие производственному сектору, могут принимать нену левое значение.

Из построения множества Qabs и определения предпочтений в абстрактной модели следует, что в качестве эффективной области изменения цен можно принять подпространство Lef f = { (q1,..., qn ) (L )N | tI & (qi )t = 0, t = i, t J }.

(qi )t = 0, i = 1, Функции распределения дохода зададим по формулам p j i [ yj, q1j ] i (y, q, p) = qii, i + qi, c + abs c jJ при i = 1 и i N. Для i = 1 положим p j 1 (y, q, p) = q11, 1 + q1, c + abs c (1 1 ) yj, q1j.

jJ Так же как и в модели Эрроу–Дебре, легко убедиться в том, что p условия i Xi, c X c и 0 Yj при выпуклых Yj для всех i I и j J влекут истинность предположения A7 в абстрактной модели ибо abs принадлежит бюджетному множеству при i 2, а n+1 n+r (1, 2,..., n, c, (1 1 )yn+1,..., (1 1 )yn+r ) находится в бюджетном множестве агента 1.

Прежде чем перейти к теореме существования равновесий с нестандартными ценами, установим следующий вспомогательный результат.

Лемма 1.2.1. Пусть q1, q2,..., qn L и q = (q1,..., qn ) Lef f.

Тогда условие ker qi kerF эквивалентно существованию такого N p Rl, что:

104 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами p i I;

(i) qii = p qi = q = (q1j )c, q1j = (p, q ) c j J;

(ii) I (qi )t = 0, t = i t, i I;

(iii) (qi )t = 0, i = 1 t J, i I.

(iv) Доказательство леммы 1.2.1. По определению имеем kerF = F 1 (0) = [F p ]1 (0) [F c ]1 (0) = kerF p kerF c.

С другой стороны, для любого линейного h : L R условие ker(h) kerF эквивалентно h (kerF ) = (kerF p ) + (kerF c ).

Таким образом, чтобы получить необходимую характеризацию, нуж но определить (kerF p ) и (kerF c ). Легко видеть, что h (kerF p ) p Rl : h = p, h = 0, h = (p, 0) Rl+s i I, j J, i c j h (kerF c ) q Rs : h = 0, h = q, h = (0, ) Rl+s i I, j J.

j q i c Учитывая условие q = (q1, q2,..., qn ) Lef f и, таким образом, qi = h + h, имеем искомый результат.

N Существование равновесий с нестандартными ценами и фиксиро ванной схемой перераспределения избыточных стоимостей в модели E pg будет установлено для полиэдрального множества допустимых состояний и основано на применении теоремы о существовании квазиравновесий в абстрактной модели.

Теорема 1.2.4. Пусть модель E pg удовлетворяет предположени p ям A1–A4. Дополнительно предположим, что Xi, X c и Yj по p c c лиэдральны и при этом i Xi, X, 0 Yj при всех i I, j J. Пусть также 0 int Qp, 0 int Qc и существует i0 I локально ненасыщаемый потребитель т. е. такой, что (xi0, xc ) cl Pi0 (x, xc, y) при любом (x, xc, y) Xpg. Тогда для любого 0, RI существует -равновесие с нестандартными ценами такое, что = при некотором нестандартном 0.

1.2. Неоклассические модели с нестандартными ценами Доказательство теоремы 1.2.4. Доказательство идёт симмет рично теореме 1.2.3 о существовании нестандартных равновесий в модели Эрроу–Дебре. Напомним, что в условиях полиэдральности Xpg и A4 предположение A3 эквивалентно A3. Таким образом, в силу условий теоремы выполнены предположения A1–A5 и A7 в абстрактной модели экономики. Проверка закона Вальраса пред положения A6 осуществляется с помощью тех же аргументов, что и в теореме 1.2.3. В данном случае нужно положить T1 = {1, c} J и Ti = {i, c} для всех i = 1. Далее, используя локальную ненасыща емость 1-го агента (так можно считать без ограничения общности), заключаем, что для оптимальных реакций (x, xc, y, q) имеет место q1j, yj q1j, Yj j J.

Отсюда в силу 0 Yj следует q1j, yj 0, что даёт [ q1j, yj ] = = q1j, yj для всех j J. Последнее из определений и после несложных вычислений даёт abs qi, abs, i (y, q) = N N что доказывает A6.

Итак, выполнены все условия теоремы 1.1.7 в абстрактной мо дели, отвечающей E pg, используя которую заключаем существова ние -квазиравновесия, такого, что = при некотором нестан дартном 0. Пусть (x, xc, y, q) и есть это -квазиравновесие, а (, xc, y ) (x, xc, y) x нестандартное состояние экономики, отвеча ющее определению 1.1.8 и обладающее свойствами, указанными в теореме 1.1.7. Опять, так же как в доказательстве теоремы 1.2.3, из локальной ненасыщаемости 1-го агента следует q1j, yj q1j, Yj j J, (1.2.11) откуда, используя свойство (ii) определения квазиравновесия, а так же из построения несложно заключить, что Pi (x, xc, y) не пересека ется с st{(x, xc ) (Xi X c ) | qii x +qi xc qii i +qi c p p p j c c i yj, q1j + i } i i jJ (1.2.12) для всех i N. Действительно, проверки требует только случай i = 1, ибо qij = 0 для i 2, j J по построению Qabs, а дальше всё следует из определения равновесия. Напомним, что в рассматривае мом случае бюджетное ограничение для i = 1 имеет вид q11 xp + q1 xc + p p j c q1j yj q11 1 + qi c + c (1 1 ) yj, q1j + 1, jJ jJ 106 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами xp X1, xc X c, yj Yj, j J. Однако опять, в силу теоре p мы 1.1.7 (см. последний фрагмент), последнее неравенство остаётся истинным при замене в его левой части переменных xp, xc, yj на p c x1, x1, yj и, кроме того, имеет место P1 (, xc, yj ) B1 (, p, q) =.

abs x 1 y Отсюда, стандартным образом, используя ненасыщаемость перво го агента, заключаем истинность (1.2.12) (грубо говоря, величину q1j yj нужно перенести в правую часть бюджетного неравенства и J сократить с q1j yj ).

J Наконец, используя (1.2.11) и полиэдральность X, заключаем, что q1j, yj = q1j, yj, j J, что можно подставить в (1.2.12). Что бы закончить доказательство, осталось воспользоваться свойством q = (q1,..., qn ) Qabs Lef f, пунктом (iv) определения нестан дартного квазиравновесия, что влечёт ker qi kerF, и применить N принцип переноса к лемме 1.2.1.

1.2.4. Нередуцируемость и существование равновесий со стандартными ценами В настоящем разделе мы намерены обсудить условия на модель, ко торые обеспечивают существование равновесий с обычными стан дартными ценами. Именно этот подход распространён в известной современной литературе. Далее мы последовательно рассмотрим мо дели обмена, Эрроу–Дебре и модель с общественными благами. Это классические модели как по общей структуре, так и особенно по фор ме формирования доходов у индивидов. Именно, в модели обмена (рынка) это стоимость начальных запасов в текущих рыночных це нах, но в модели с производственным сектором к этим доходам до бавляется сумма дивидендов, полученных по акциям от фирм про изводящего сектора.

В целом программа нахождения равновесия делится на два эта па. Первый, наиболее трудоёмкий этап состоит в установлении так называемого нетривиального квазиравновесия. На втором этапе, используя дополнительные предположения типа нередуцируемость, доказывается, что каждое нетривиальное квазиравновесие являет ся равновесием. В существующей литературе вопрос второго этапа почти никак не обсуждается ([Arrow, Hahn, 1971] редкое исклю чение) и всё внимание концентрируется на первом этапе.

1.2. Неоклассические модели с нестандартными ценами Термин квазиравновесие34 означает, что строго лучшие по пред почтению индивида потребительские наборы должны стоить не меньше (нестрого!) стоимости текущего потребительского набора, при этом непременно указывается, что цены ненулевые. Примеры ситуаций, когда это различие (строго нестрого) существенно, ра нее уже приводились, появятся в следующих главах и их неслож но построить самостоятельно. Прилагательное нетривиальное35 для квазиравновесия несёт существенную добавочную нагрузку, без это го дополнительного условия можно предложить множество разных патологических примеров, формально удовлетворяющих условиям квазиравновесия, но при этом с настоящим равновесием не имею щих ничего общего.

Формально-математически именно нетривиальные квазиравнове сия являются наилучшими кандидатами на то, чтобы исполнить роль равновесия при ещё одном дополнительном условии, это так называемая нередуцируемость модели (несводимость к моделям с меньшим числом индивидов). Нетривиальность обычно формулиру ют как наличие агентов, способных зарабатывать ненулевой доход, однако последнее время появились и другие определения. Нереду цируемость содержательно означает невозможность разделить мно жество всех агентов на две части экономически значимых и та ких, кем можно пренебречь. Более формально, это говорит о том, что при любом разделении индивидов на две непустые группы у каждой из них есть потребность в продуктах, которыми обладает её дополнение. Далее рассмотрим указанные понятия на формально– математическом уровне. Начнём с модели обмена (рынка).

Как это было описано в разделе 1.2.1, с. 78, в краткой форме модель рынка может быть записана в виде пятёрки:

Em = I, Rl, {Xi, Pi (·), i (·)}iI,, Q.

Предположим, что доходы индивидов формируются как в основном модельном варианте как стоимость исходных продуктовых запа сов, которые представлены в векторе = (i )I X. Итак, положим p Q, i I.

i (p) = p, i, Далее сформулируем типичное определение квазиравновесия:

34 В экономической теории имеется огромное количество суррогатов равнове сия: псевдоравновесие, компенсированное равновесие, равновесие с дивидендами (трансферабельными стоимостями) и проч., причём все эти понятия по смыслу действительно различаются.

35 По-видимому, впервые было введено в [Podczeck, 1996].

108 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами • Пара (x, p) Xi Q называется квазиравновесием модели iI E m, если x A(X), p = 0 линейный функционал над E = Rl и p, Pi (xi ) pxi = pi i I. (1.2.13) Квазиравновесие такое, что x Pi (xi ) влечёт px pxi, называ i i ется вальрасовским, или конкурентным, равновесием.

В работе [Florenzano, 2009] понятие нетривиального равновесия вводится как существование такого индивида i I, что неравенство (1.2.13) становится строгим, т. е.

i I : p, Pi (xi ) p, xi.

При этом однако совершенно непонятно, как такого рода требование можно получить (доказать) в конкретной модели. Несколько ранее в [Podczeck, 1996] было предложено более конструктивное понятие нетривиальности, именно:

i I : inf p, Xi p, xi = p, i. (1.2.14) В таком случае, при наличии предположения о непрерывности предпочтений (см. A3(i) с. 33), нетривиальность по Флорензано легко доказывается. Действительно, возьмём z Xi такой, что p, z p, xi и произвольный y Pi (xi ). В силу (1.2.13) име ем p, y p, xi, однако p, y = p, xi невозможно, ибо тогда для некоторого 0 имеем y = y + (z y) Pi (xi ), но при этом p, y = p, xi (py pz) p, xi, что противоречит (1.2.13), т. е.

условие Флорензано выполнено.

Более того, из рассуждения видно, что если каждый индивид удовлетворяет условию нетривиальности по Подчеку, то тогда ква зиравновесие является равновесием. Однако, какое модельное усло вие может гарантировать нетривиальность квазиравновесия (любо го)? Легко видеть, что это может быть условие типа i int Xi, iI iI которое представляется вполне приемлемым и фактически означает (с точностью до выбора системы координат), что на рынке представ лены все продукты, ничего формально-фиктивного в модели нет.

Прежде чем показать, как нетривиальные квазиравновесия рабо тают далее, рассмотрим понятие нередуцируемой модели.

36 Здесь, как и ранее, p, A b p, a b a A.

1.2. Неоклассические модели с нестандартными ценами • Экономика E m называется нередуцируемой, если для любого допустимого распределения x = (xi )iI A(X) и любого нетриви ального разбиения I = S T, S T = множества I = {1, 2,..., n} найдётся такое перераспределение ресурсов дополняющей коалиции T, z = (zi )I L, что zj & j T : j zj X j & zj = S T i S : xi + zi P i (xi ) & i S : xi + zi Pi (xi ). Последняя формула говорит о том, что группа T способна не только предоставить ресурсы, в которых заинтересованы члены группы S, но и как-то при этом выжить: поставки продуктов возможно осуще ствить.

Далее, чтобы доказать, что нетривиальное квазиравновесие (x, p) Xi Q является равновесием, рассуждаем таким обра iI зом. Образуем группу S I всех индивидов, удовлетворяющих (1.2.14) (туда же можно добавить тех, которые удовлетворяют усло вию строгого неравенства по Флорензано), и пусть T = её допол нение. Далее рассмотрим поток z = (zi )I L ресурсов для коалиции S по определению нередуцируемой модели и найдём j S p, xj + zj p, xj & i S : p, xi + zi p, xi = = p, zj 0 = p, zj = p, zi 0.

S S T Однако по построению p, i = inf p, Xi для i T и в силу нереду цируемости p, i zi inf p, Xi p, zi 0 i T.

= Суммируя по i T, получаем p, zi 0, что противоречит преды T дущему заключению. Следовательно, T = и квазиравновесие яв ляется равновесием.

Что изменится в случае модели Эрроу–Дебре (см. § 1.2.2)? Далее удобно рассуждать в терминах индивидуализированных производ j i Yj, i I 38. Однако теперь распреде ственных множеств Yi = jJ ление это (xi, yi )I (Xi Yi ) при условии достижимости I 37 Зачастую постулируется zj = 0 j = i, j S. Здесь, как обычно, P i (xi ) это замыкание множества Pi (xi ).

38 Это эквивалентное преобразование модели, и такого рода конструкции часто встречаются в литературе.

110 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами xi = i + yi.

iI iI iI • Это распределение будет квазиравновесием модели E AD, если найдётся вектор цен p Q, p = 0 такой, что p, Pi (xi ) pxi = pi + pyi & p, yi p, Yi i I.

Нетривиальность квазиравновесия по определению (1.2.14) теперь можно переписать в (эквивалентном) виде i I : inf p, Xi Yi p, i, что обеспечивается условием i int( Xi ) Xi ) Yi = int( Yj. (1.2.15) iI iI iI iI jJ Ну, а для нередуцируемости в части свойств продуктового потока zT Rl, полученного группой S от дополняющей коалиции T, нужно требовать x Xi, i T, yT YT = x = i + y T zT.

Yi :

i i iT T T Далее ресурсы zT (Yi + i Xi ) поступают в распоряжение T коалиции S, которая использует их в производстве и находит план zS Rl такой, что (zi )iS (Rl )S : zi = zS + zT : (yS + zS ) YS & iS i S : xi + zi P i (xi ) & i S : xi + zi Pi (xi ). (1.2.16) yi Здесь yS = Yi это исходная равновесная производствен S S ная программа группы S, а zS это её допустимая коррекция, ре ализованная с помощью ресурсов zT, полученных от дополняющей группы агентов. Далее покажем, почему в таком случае нетривиаль ное квазиравновесие оказывается равновесием.

Как и в случае модели обмена, рассмотрим группу S I индивидов, удовлетворяющих условию нетривиальности. Положим T = I \ S = и воспользуемся условием нередуцируемости модели 1.2. Неоклассические модели с нестандартными ценами E AD. Сначала оценим стоимости добавочного потребления по ценам квазиравновесия:

pzi 0 i S & i S pzi 0 = p zi = p, zS + p, zT 0.

S Однако из определения квазиравновесия p, yS p, YS p, yS p, yS + zS p, zS 0.

= = Следовательно, в силу предыдущей формулы заключаем p, zT 0.

Наконец, по определению для членов группы T имеем inf p, Xi Yi = p, i, откуда, применяя это к вектору i x + yT, заключаем zT = i T T x + yT 0, i p, zT = p, i T T что противоречит последнему заключению. Полученное противоре чие доказывает T = и, значит, квазиравновесие по факту является равновесием.

Для удобства последующих ссылок дадим цельное определение нередуцируемой модели Эрроу–Дебре и сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Определение 1.2.4. Экономика E AD называется нередуцируемой, если для любого допустимого распределения (xi, yi )iI A(X) и любого нетривиального разбиения I = S T, S T = множества индивидуумов I = {1, 2,..., n} найдётся такой поток zT (Yi + i Xi ) ресурсов дополняющей коалиции T, что выпол T нены условия (1.2.16).

Можно предложить другое, более универсальное определение нередуцируемой модели. Именно, экономика нередуцируемая, ес ли выполнено следующее условие. Рассмотрим (любое) нетриви альное разбиение I = S T, S T = множества индивидуумов I = {1, 2,..., n} и отвечающее ему расширение исходной модели, по полненной копиями (дубликатами) индивидов из T = T. Тогда для любого допустимого распределения z = (zi )iI исходной модели най дётся такое распределение z = (zk )kI T в расширении, которое для членов коалиции S (слабо) доминирует по Парето исходное рас пределение z = (zi )iI. Данное наблюдение будет применяться далее в контексте модели с общественными благами.

112 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Теорема 1.2.5. Если модель экономики E AD нередуцируемая и удо влетворяет условию (1.2.15), то каждое квазиравновесие является равновесием.

Может появиться вопрос, почему здесь не было представлено тео ремы существования квазиравновесия?.. Однако в предыдущих раз делах мы занимались условиями существования равновесия с нестан дартными ценами любая из теорем этого типа после надлежащей стандартизации всех параметров даёт теорему существования квази равновесия, которую можно использовать в контексте исследуемого вопроса. Обратимся далее к модели с общественными благами.

Рассмотрим предложенную выше общую (пере)формулировку нередуцируемой модели и адаптируем её к контексту модели E pg с общественными благами, см. § 1.2.3, с. 98. Действительно, пусть z = ((xi )I, xc, (yi )I ) некоторое распределение исходной модели, где xc = y c = c yi. Тогда в расширении дубликаты коалиции T, образу I ющие формальную коалицию T, способны поставить для S ресурсы p c l+s zT = (zT, zT ) R, которые найдены в рамках ограничений Yi : xc = c + y c + yT X c39 & p x Xi, i T, (yT, yT ) YT = c c i iT p p x = c c i + y T zT, zT = y T, (1.2.17) i T T что в модельном контексте означает возможность существования (выживания) коалиции после передачи ресурсов: индивиды i T способны и будут потреблять (x, xc ) Xi X c. Далее ресурсы i p c (zT, zT ) (Yi + (i, 0) Xi {0}) T поступают в распоряжение коалиции S, которая использует част p ные продукты zT в производстве и находит дополнительные потре p бительские программы ((zi ))iS, zS ) (Rl )S Rs для своих членов c из условия p p p p p c c (yS, yS ) + (zS, zS ) YS, zi = zS + zT : (1.2.18) iS которым соответствуют новые планы потребления такие, что (xp, xc ) + (zi, zT + zS ) P i (xp, xc ) i S, pc c (1.2.19) i i 39 В контексте сделанных ниже предположений это ограничение не существен но, однако оно содержательное и в общем случае является значимым.

1.2. Неоклассические модели с нестандартными ценами причём (xp + zi, xc + zT + zS ) i (xp, xc ) для некоторого i S. Здесь p c c i i p p p c yi, и (yS, yS ) yS = Yi = YS это исходная равновесная про S S p c изводственная программа группы S, а (zS, zS ) это дополнительное производство, реализованное с помощью ресурсов zT, полученных от p c дополняющей группы агентов. Таким образом, zT = (zT, zT ) приме няются подобно начальным запасам, но с учётом того, что производ ство уже осуществляется.


Применим далее следующее адаптированное понятие нетриви ального квазиравновесия:

i I : inf (p, qi ), Xi X c pxi + qi xc.

Каждое квазиравновесие будет нетривиальным, если выполнено сле дующее необременительное условие (можно ещё более ослабить), по добное (1.2.15):

i, c ) int[( Xi ) X c ] ( Yi.

iI iI iI Далее важную роль будут играть два предположения о свойствах общественных благ40. Во-первых, они могут только производиться, но не затрачиваться, и во-вторых, увеличение потребления любого общественного блага желательно (возможно где-то и нестрого) для каждого индивида. Значит, из первого имеем Yj Rl Rs, откуда + c c следует zS, zT 0, а из второго стандартным образом заключаем qi 0, i I. Последнее следует из того факта, что желательность общественных благ можно записать в виде (xi, xc ) + {0} intRs Pi (xi, xc ), + что в силу опорности ценового функционала (p, qi ) в точке квази равновесия к множеству предпочитаемых наборов потребления по зволяет заключить (p, qi ), (xi, xc ) + {0} intRs (p, qi ), (xi, xc ) = + qi, intRs 0 = qi 0, i I.

= + Сказанное влечёт c c c qi, zS 0 = qi, zS qi, zS, I T S что применяется в последующей оценке.

40 Это не определение, но математическое предположение, обоснованное эконо мически. В реальной жизни могут быть и общественные антиблага (радиация, экологический ущерб и т. д.), а также блага могут быть затратными факторами.

114 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Докажем далее равновесные свойства у нетривиального квази равновесия. Для этого, как и в случае обычной модели Эрроу–Дебре, нужно сравнить балансы стоимости у коалиции S до и после пере дачи ресурсов от дополняющей коалиции. Из построения S и в силу (1.2.19) в квазиравновесии для i S имеем (p, qi ), (xp, xc ) + (zi, zT + zS ) (p, qi ), (xp, xc ) pc c = i i p c c p, zi + qi, zT + zS 0, = причём одно из неравенств строгое. После суммирования и в силу оценки выше при q = qi имеем I p pc c c c p, zi + qi, zT +zS 0 = (p, q ), ( zi, zS ) + qi, zT 0.

S S S S Отсюда, в силу (1.2.18) и того факта, что по определению квазирав p c новесия план (yS, yS ) максимизирует прибыль на Yi = YS, полу S чаем p p p p p p c c c (p, q ), (yS, yS ) (p, q ), (yS + zS, yS + zS ), zS = zi zT = iS p p pc p c zi zT, zS ) 0 = zi, zS ) p, zT.

= (p, q ), ( (p, q ), ( iS iS Используя предыдущую формулу, заключаем p c p, zT + qi, zT 0.

S Таким образом, стоимость полученных коалицией S от T = T ресур p c сов (zT, zT ) по равновесным ценам коалиции (p, qi ) строго больше S нуля. Однако нужно посмотреть, сколько по стоимости в тех же це нах ресурсов отдала коалиция T.

Действительно, из определения квазиравновесия и построения T для членов этой группы заключаем inf (p, qi ), Xi X c = pxi + qi xc = pc = pi + qi c + (p, q ), (yi, yi ) pi + qi c + (p, q ), Yi (вновь применяются индивидуализированные производственные множества), откуда, подставляя в левую часть c + zT X c и сокра c щая общие члены, находим c inf p, Xi + qi, zT pi + (p, q ), Yi = 1.3 Конечность равновесий с нестандартными ценами c qi, zT p = inf p, Xi + i + (p, q ), Yi.

T T T T Однако в силу (1.2.17) p p x = p( inf p, Xi p i + yT zT ), i T T T что, после подстановки в последнее неравенство и сокращений, учи c c тывая zT = yT, даёт p p c p(yT zT ) + qi, zT (p, q ), Yi = T T p p c c qi, yT (p, qi ), (zT, zT ) (p, q ), = pyT + Yi = I S T p c qi ), (zT, zT ) 0.

= (p, S Таким образом, стоимость переданных ресурсов меньше нуля, что противоречит сделанному выше заключению. В итоге доказана сле дующая Теорема 1.2.6. Пусть модель экономики E pg нередуцируемая, об щественные блага желательны и могут производиться, но не затрачиваться. Тогда каждое нетривиальное квазиравновесие по Линдалю является равновесием.

В заключение раздела отметим, что рассмотренные виды нереду цируемой модели и нетривиального квазиравновесия работоспособ ны не только в конечномерной постановке, но также и в бесконечно мерных пространствах (продуктов). Далее этот факт применяется как в моделях обмена, так и для моделей с производственным сек тором.

1.3. Конечность равновесий с нестандартными ценами Жерар Дебре, один из основоположников равновесного анализа, в [Debreu, 1970] впервые установил конечность числа равновесий для почти всех экономик чистого обмена. Тем самым чисто математи ческими методами была подтверждена самодостаточность понятия экономического равновесия, которое, будучи представлено ранее как 116 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами чисто дескриптивное понятие, теперь уже можно было принять в ка честве полноценного экономического решения (единственность рав новесий реализуется довольно редко, необходимы дополнительные ограничения на модель типа условия валовой заменимости). Подход Дебре основывался на рассмотрении такого класса моделей, где все параметры фиксированы, но изменяются исходные запасы экономи ческих агентов. Используя теорему Сарда, применённую к функции избыточного спроса, Дебре установил конечность равновесий для по чти всех в смысле меры Лебега экономик. Несколько позже по явились и другие подходы, основанные на изменениях другого пара метра модели, функций полезности участников экономики. Здесь используются методы дифференциальной топологии и в первую оче редь теоремы Р. Тома об открытости и плотности трансверсальных сечений. П. Дубей был одним из первых, кто использовал эту техни ку в [Dubey, 1980] он доказал, в частности, конечность (и неэффек тивность) числа равновесий Нэша для почти всех игр в нормаль ной форме. Впоследствии его результаты были обобщены автором на случай моделей экономики [Маракулин, 1981]. Термин для по чти всех понимается здесь как для всех экономик из открытого всюду плотного (или массивного) подмножества в соответствующем функциональном пространстве полезностей“. С целью придать за ” конченность теории равновесия с нестандартными ценами, представ ляется необходимым прояснить вопрос о конечности отвечающих им равновесных распределений.

В настоящем исследовании использовался второй подход, т. е. ва рьировались функции полезности участников экономики. Последнее вызвано тем, что при вариациях исходных запасов нестандартные равновесия почти всегда являются обычными равновесиями (ибо почти всегда исходные запасы потребителей находятся во внутрен ности потребительских множеств и, следовательно, будет выполнено условие Слейтера в задаче потребителя), что очевидным образом (в силу теоремы Дебре) влечет их конечность. В то же время, если исходные запасы фиксированы и расположены на границе потреби тельских множеств, то условие Слейтера выполняется не для всех цен, и вопрос о конечности нестандартных равновесий становится нетривиальным.

1.3.1. Пространство экономик и конечность равновесий с нестандартными ценами Для исследуемого вопроса наличие производственного сектора в мо дели экономики не является математически значимым фактором, 1.3. Конечность равновесий с нестандартными ценами но делает изложение более громоздким. Поэтому мы ограничимся рассмотрением простейшей модели экономики чистого обмена, опи санной в § 1.2.1 и представленной четвёркой E m (u) = I, Rl, {Xi, ui, i }iI, Q.

Напомним значение параметров этой модели. Здесь I = {1,..., n} это множество номеров потребителей, Xi Rl, i I их потре бительские множества, где Rl пространство продуктов, а l их число;

i Xi, i I начальные запасы потребителей, и Q Rl множество допустимых цен. Предпочтения потребителей задаются с помощью функций полезности ui : Xi R по правилу I Pi (x) = {yi Xi | ui (x|yi ) ui (x)}, i I, где по определению (x|yi ) = (x1,..., xi1, yi, xi+1,..., xn ).

Вопрос о конечности нестандартных равновесий будет исследо ваться применительно к понятию равновесия с нестандартными це нами и фиксированной схемой перераспределения избыточных сто имостей, отвечающему приведённому выше определению 1.2.1. От метим, что в рамках рассматриваемой модели и сделанных пред положений это понятие будет эквивалентно понятию обобщённого равновесия, введённого в § 1.2.1. Там же была установлена весьма общая теорема существования (теорема 1.2.1) нестандартных равно весий этого типа. Ниже приводится формулировка этого понятия, адаптированная к описанной модели экономики чистого обмена.

Определение 1.3.1. Допустимое состояние x Xi экономики I E m (u) называется равновесием с нестандартными ценами p Q и фиксированной схемой перераспределения избыточных стоимостей RI, 0, если выполнены условия:

ui (x) = max{ui (x|x ) | x Bi (p)}, i I;

(i) рациональность i i (ii) сбалансированность xi = i, I I где максимум в (i) берется по множеству Bi (p) = st{x Xi | px pi + i }.

В отличие от традиционных, равновесия с трансферабельными стоимостями предполагают возможность перераспределения избы точной стоимости (т. е. стоимостей, не израсходованных агентами, 118 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами достигшими насыщения в своем потреблении) между ненасыщен ными агентами. Причём передача избыточных стоимостей может осуществляться как для величин стандартного типа, так и для беско нечно малых. Важной особенностью рассматриваемой ситуации яв ляется то, что агент может и не потреблять наилучший с его точки зрения набор благ, т. е. не достигать насыщения в обычном смысле, но при этом для увеличения полезности ему требуется стоимость, бесконечно большая относительно имеющейся у него неизрасходо ванной стоимости. В этом и состоит специфика используемого на ми термина насыщаемость, предопределённая нестандартностью цен и трансферабельных стоимостей. В идеале ситуацию можно ин терпретировать как существование некоего банка, принимающего от агентов ненужную им стоимость и выдающего её в виде креди тов желающим их получить. Можно, однако просто считать, что по средством трансферабельных стоимостей осуществляется расшире ние бюджетных возможностей участников, позволяющее им дости гать равновесного состояния в ситуации, когда этого нельзя сделать в рамках традиционных бюджетных ограничений.


В рассмотренном выше примере 1.2.1 число состояний нестан дартного равновесия с трансферабельными стоимостями конечно, однако в общем случае гипотеза о конечности неверна. В следующем примере имеется континуум нестандартных равновесий с трансфе рабельными стоимостями (рис. 1.3.1).

Пример 1.3.1. Рассмотрим экономику обмена со следующими па раметрами. Пусть X1 = X2 = X3 = {(x, y) | (0, 0) (x, y) (10, 10)}, Q = {p R2 | p 2}, 1 = (2, 1), 2 = 3 = (2, 0), u1 = 5 (x 1)2 (y 2)2, u2 (x, y) = u3 (x, y) = x.

Несложный анализ показывает, что точки x1 = (1, 1), x2 = (2 +, 0), x3 = (3, 0), 0 1, будут нестандартными равновесиями с трансферабельными стоимостями при p = (, 1), = (0,, (1 )), 0, 0. Более того, ясно, что для всех достаточно малых воз мущений функций полезности в данной экономике имеется беско нечное число (континуум) нестандартных равновесий с трансфера бельными стоимостями.

Отметим ещё раз, что если в примере 1.3.1 рассмотреть вариа ции исходных запасов, то число равновесий будет конечным почти 1.3. Конечность равновесий с нестандартными ценами y x u2 = u 1 2 = 3 x Рис. 1.3.1. Экономика с бесконечным числом равновесий всегда. Последнее должно быть ясно, ибо в этом случае в возму щенной модели условие Слейтера (здесь это i 0, i = 1, 2, 3) будет выполнено почти всегда, а значит, нестандартные равнове сия с трансферабельными стоимостями являются обычными равно весиями (в силу утверждения 1.1.5 и ненасыщаемости предпочтений, что исключает p = 0 как цены равновесия). Именно поэтому, иссле дуя вопрос о конечности числа нестандартных равновесий с целью получить нетривиальный математический результат, мы должны ис пользовать вариации функций полезности, а не исходных запасов (как это было сделано в работе [Debreu, 1970]).

В этом разделе вводится специфическое понятие нестандартного равновесия, аналогичное определению 1.2.1, но с конкретизирован ными трансферабельными стоимостями, которое далее условимся называть -равновесием. Пусть стандартный вектор = (1,..., n ) строго положительный и фиксированный.

Определение 1.3.2. Распределение x Xi называется состоя I нием -равновесия экономики E (u), если найдутся такие R, m 0 и p Q, что (x, p) является -равновесием при =.

120 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Нижеследующее определение выделяет класс -равновесий, ко нечность которых будет доказываться.

Определение 1.3.3. Состояние -равновесия x Xi невырож I дено, если найдется такой i0 I, что выполнено включение xi0 intXi0.

В дальнейшем всюду полагаем Xi и i фиксированными для всех i I. Основной результат будет установлен при следующих предпо ложениях.

FA1. Для всех i I множество Xi выпуклое, замкнутое, ограни ченное снизу полиэдральное множество (многогранник), при чем int Xi =.

FA2. Функции полезности ui участников экономики определены и дважды непрерывно дифференцируемы на некоторой откры той окрестности X множества X = Xi.

I Таким образом, рассматриваемое в работе пространство эконо совпадает с C 2 (X, Rn ). На U мы будем рассматривать мик U стандартную топологию равномерной сходимости на компактах: если {f } C 2 (X, Rn ), то f f0 C 2 (X, Rn ) тогда и только тогда, = когда для всякого компакта K X имеем f |K f0 при в норме · C 2 пространства C 2 (K, Rn ). Норма · C 2 определяется по формуле gi, i I, j I {1,..., l}, g = max{ gi C(K), C 2 (K,Rn ) xj C(K) 2 gi, i I, j, s I {1,..., l} }, xj xs C(K) где для f C(K) полагается = max{|f (x)| | x K}.

f C(K) Основным результатом раздела является следующая Теорема 1.3.1. Для любого стандартного вектора 0 суще ствует массивное (второй категории, следовательно, всюду плот ное) множество G U такое, что для всякого u G множество невырожденных состояний -равновесия конечно.

1.3. Конечность равновесий с нестандартными ценами 1.3.2. Доказательство основной теоремы Теорема о конечности нестандартных -равновесий будет доказана с помощью теорем Тома о плотности и открытости трансверсальных сечений. Доказательство теоремы довольно громоздко и разбивается на несколько этапов.

На первом этапе будут изучены наиболее специфические свой ства -равновесий и дана их характеризация в стандартных терми нах, что послужит в дальнейшем основой для исследования вопро са об их конечности. В частности, это позволит описать множества нестандартных цен, в числе которых находятся цены равновесия, как конечное объединение стандартных многообразий. Именно, будет по строено многообразие S(F ) (стандартное) равновесных цен, отвеча ющих равновесным распределениям продуктов из внутренности гра ни F X. Здесь также строится отображение u, u U, опреде ленное на riF S(F ) и принимающее значения в некотором конечно мерном пространстве. Это отображение конструируется посредством функций, характеризующих -равновесия из riF. Затем в области значений u выделяется такое подмногообразие F, что 1 (F ) u накрывает множество всех -равновесных распределений из riF. Та ким образом, чтобы установить конечность -F -равновесий, доста точно доказать, что многообразие 1 (F ) имеет нулевую раз u мерность (т. е. дискретно).

Второй этап завершает доказательство основной теоремы. Здесь приводится сводка необходимых результатов о трансверсальных се чениях и устанавливается, что если u трансверсально F, то dim1 (F ) = 0. Наконец, с использованием теорем Тома показы u вается, что отображения u трансверсальны к F для массивного множества экономик u U.

Этап 1: многообразия цен и -равновесий.

Характеризация -равновесий основана на результатах, описанных в § 1.1.4, описывающих структуру бюджетных множеств с нестандарт ными ценами и трансферабельными стоимостями, а также в § 1.2.1, где было введено понятие обобщённого равновесия в модели рынка.

В первую очередь будут использоваться теорема 1.1.9 и примыкаю щая к ней лемма 1.1.2, дающая представление нестандартного ли нейного функционала в форме разложения по стандартному набору ортонормальных векторов.

Действительно, применяя теорему 1.1.9 для характеризации равновесий, заметим, что все величины i имеют одинаковый по рядок малости. Таким образом, номер j = j(, p) = j(i, p), опре 122 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами деляемый соотношениями (1.1.20), будет одним и тем же для всех i I. Более того, поскольку в силу теоремы 1.1.9 слагаемые с номе рами r j в разложении (1.1.17) несущественны при определении стандартных частей бюджетных множеств, то всегда можно считать, что j(, p) = k & /k +.

Случай /k + также неинтересен, ибо сводится к ценам p = r er, для которых /j1 0.

rj Итак, в -равновесии бюджетные ограничения потребителя i определяются посредством системы стандартных линейных равенств вида yer = i er, r t, y Xi (1.3.1) и неравенства yet i et, y Xi, при некотором t k, причём всегда найдется такой y Xi, что последнее неравенство строгое. Для t = k последнее ограничение трансформируется к виду yek i ek + i µ, µ = st(/k ) и при µ = 0 может реализоваться как ограничение в форме равенства (т. е. при µ = 0 может не найтись такого y, что неравенство строгое).

Поскольку все функционалы, участвующие в ограничениях (1.3.1), являются опорными к Xi в точке i, то соотношения (1.3.1) определяют некоторую (замкнутую) грань41 Fit (p) многогранника Xi (где символ t указывает на то, что берется t 1 равенство), причем всегда i Fit (p).

В данных терминах бюджетные множества могут быть записаны в виде Bi (p, ) = {y Fit (p) | yet i et } (1.3.2) для t k, а также при t = k и µ = 0. Другая возможность реализу ется только при t = k:

Bi (p, ) = {y Fik (p) | yet ti et + i µ}.

(1.3.3) 41 Напомним, что выпуклое подмножество F замкнутого выпуклого множества Y называется гранью Y, если для любых двух различных точек y, z Y таких, что ((y, z)) F =, имеет место [[y, z]] F.

1.3. Конечность равновесий с нестандартными ценами Вышеописанное устройство бюджетных множеств потребите лей в -равновесии позволяет классифицировать индивидуумов по признаку, указывающему на тип этих множеств. Без ущерба можно ограничить исследование рассмотрением только таких равновесий, где µ конечно и строго больше нуля. Итак, разобьем множество I на попарно непересекающиеся подмножества A1,..., Ak, так что в At собраны все агенты, чьи бюджетные множества имеют тип (1.3.2) или (1.3.3) для Ak (если µ 0). Данное разбиение, обозначенное как A(p, ), назовем -иерархией агентов, определяемой ценами p и величиной.

Далее зафиксируем некоторую грань F X. Нас будут интере совать -равновесные распределения только из riF относительной внутренности грани F. Как было указано, для существования та ких распределений необходимо, чтобы для всех i I выполнялось riFi Fit (p), где Fi грани множеств Xi, произведение которых реализует грань F, т. е.

F= Fi.

I Fit (p) Xi определяются ценами p и соотношениями (1.3.1) Грани для соответствующего t k. Из определения -равновесия и выше сказанного следует, что если x = (x1,..., xn ) riF является равно весным распределением, то xi доставляет максимум полезности ui (·) на множестве {y riFi | yet i et } при t k, i At1 и множестве {y riFi | yek i ek + i µ} при i Ak.

Далее построим многообразие цен, фигурирующих в описан ных выше бюджетных множествах. Это многообразие будет опреде лено как произведение линейных пространств, общим числом рав ных числу блоков в иерархии агентов, с выколотой точкой 0. По строение будет осуществлено индуктивным способом.

В дальнейшем условимся предполагать, без ограничения общно сти, что каждый иерархический блок не пуст. Кроме того, предпо ложим, что все агенты имеют нулевые исходные запасы (общая си туация легко сводится к рассматриваемой элементарным сдвигом потребительских множеств).

Итак, рассмотрим последний иерархический блок Ak, Ak = и отвечающие агентам из Ak грани Fik (p). Напомним, что мы ограни чились рассмотрением случая, где µ конечно и строго больше нуля.

124 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами В этом случае бюджетное ограничение yek µi будет существен ным для всех участников из Ak, ибо i 0, причем оно может реа лизоваться как строгое неравенство (при y = 0).

Рассмотрим подпространство Lk, полученное как линейная обо лочка граней Fik, i Ak, т. е. положим Fik (p).

Lk = L iAk Ясно, что вектор ek должен быть выбран из данного подпростран ства (при необходимости ek можно заменить его проекцией на Lk ). В качестве многообразия допустимых, для данного равновесного рас пределения, k-х компонент вектора нестандартных равновесных цен по техническим соображениям удобно взять Sk = Lk \{0}.

На втором шаге рассмотрим Fik1 (p) надграни грани Fik (p), i Ak, т. е. множества вида {y Xi | yet = 0, t k 2}, а также грани Fik1 (p), отвечающие агентам из Ak1. Взяв линей ную оболочку объединения множеств Fik1 (p) по всем i из Ak и Ak1, получим линейное пространство Mk1, объёмлющее Lk. Далее, в качестве Lk1 примем ортогональное дополнение к Lk в простран стве Mk1, т. е. положим Lk1 = Mk1 (Lk ).

Это подпространство служит областью допустимости для компо ненты k 1 вектора равновесных нестандартных цен (см. (1.1.17)).

Наконец, подмногообразие Sk1 = Lk1 \{0} является следующей компонентой многообразия цен (заметьте, что в силу построения и свойства попарной ортогональности век торов {ej } вектор ek1 всегда имеет ненулевую проекцию на Lk1 ).

Процедура, описанная на втором шаге, далее будет повторяться от шага к шагу. При этом будет построена система попарно ортого нальных подпространств L1,..., Lk, где Lt = Mt (Lt+1 ), 1.3. Конечность равновесий с нестандартными ценами Fir (p).

Mt = L iAr, rt В результате в качестве многообразия цен принимается множество S = S1 · · · Sk.

Сразу укажем, что размерность многообразия S в точности равна dim S = l, что с очевидностью следует из построения и невырож денности исследуемых равновесий.

Теперь можно приступить к описанию отображения u, аккуму лирующего в себе свойства равновесных распределений. Это отобра жение описывается как декартово произведение следующих отоб ражений.

Отображения первого типа содержательно являются фрагмента ми градиентов функций полезности участников, отвечающими их собственному потреблению:

ui u : X RL{i}, (u )j (x) = i I, j L, (x), i i xij где на данный момент в обозначениях положим L = {1,..., l}.

Отображения второго типа выражают условия принадлежности равновесного распределения к грани F = Fi. Напомним, что для I данного i мы исследуем только xi ri Fi. Здесь мы заменяем это условие требованием принадлежности xi линейному подпростран ству Li = Li (Fi ), натянутому на Fi. Будем считать, что это под пространство задано с помощью системы линейных уравнений ci xi = 0, r Ti, Ti = {1,..., t(i)}.

r Предполагая, что все ограничения существенны, для каждого i I имеем линейно-независимую по строкам матрицу i c.

i C =..

.

ci t(i) Теперь, если принять оператор C i y в качестве отображения i, т. е.

положить i (x) = C i xi, то уравнение i (x) = 0 будет, очевидно, характеризовать необходи мое условие принадлежности набора xi к ri Fi.

126 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Следующее отображение, по сути, является бюджетным ограни чением данного агента. Положим t : X S RAt \{i0 }, (t (x, et ))i = et, xi, i At \{i0 }.

Отметим, что, по техническим соображениям (чтобы в итоге полу чить систему независимых ограничений), бюджетное ограничение для невырожденного агента с номером i0 (см. определение 1.3.3) от сутствует, ибо для сбалансированных распределений оно следует из ограничений для всех прочих участников экономики (можно отбро сить ограничение любого агента, но мы берём именно i0 ).

Следующее отображение отражает свойство сбалансированности равновесного распределения:

B : X RL{n+1}, (B (x))j = j {1,..., l} = L.

xij, iI Наконец, обозначим используемое ниже тождественное отображение p : S S, p (e1,..., ek ) = (e1,..., ek ).

В итоге, рассматривая произведение описанных выше отображений k u t B p u = i, i t= iI iI мы приходим к искомому отображению с областью определения Z = X S и принимающему значение в некотором конечномерном пространстве RT S, где n+ L {i} (I\{i0 }) T= Ti.

I i= Отображение : U Z RT S задается в виде (u, z) = u (z).

1.3. Конечность равновесий с нестандартными ценами На следующем этапе нам необходимо определить подмного образие F RT S, обладающее тем свойством, что если (x, e1,..., ek ) -равновесие, то u (x, e1,..., ek ) принадлежит F.

Прежде всего, отметим, что каждая иерархическая группа At мо A и A. В A включены все жет быть разделена на две части t t t агенты, для которых бюджетное ограничение (последнее) является существенным. В другую группу включены все насыщенные относи тельно данного ограничения xet t et агенты из At, т. е. такие, что xi локальный экстремум в riFi. Из сказанного следует, что для агентов из первой группы необходимые условия экстремума примут следующий вид: найдутся yi RTi и t R такие, что i ui u (x) = (x) = t et + yi C i.

i i xi Для агентов другой группы эти условия имеют вид: найдется такой yi RTi, что ui u (x) = (x) = yi C i.

i xi В определении многообразия F должно быть также учтено, что компоненты отображения t, отвечающего бюджетным ограничени ям агентов, являются свободными для участников из второго мно жества (насыщенных), а для участников из первого множества об ращаются в 0 при t k или равны µi для t = k.

Итак, рассматривается следующее подмногообразие RT S :

def (q1,..., qn, q1,..., qk, q, q, q 1,..., q n ) RT S | F = при i A, t qt + y i C i, yi RTi t = 1, 2,..., k, t i qi = при i A, yi C i, yi RTi t = 1, 2,..., k, t 0 при i A \{i0 }, t = 1, 2,..., k 1, t (qt )i = i µ при i A \{i0 }, t = k, k q i = 0, i I, q = 0, qt = 1, t = 1, 2,..., k.

Здесь:

µ, t, а также yi RTi свободные переменные;

i qi являются векторами размерности l и соответствуют фраг менту градиента функции полезности i-го участника, отвечаю щего его собственному потреблению;

элементы пространства RAt \{i0 }, t = 1, 2,..., k, соответ qt ствующие бюджетным ограничениям;

128 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами q Rl соответствуют условиям баланса;

qt St, t = 1, 2,..., k соответствуют векторам e1,..., ek разложения вектора цен p = 1 e1 + · · · + k ek, где qt = их условие нормировки;

q i RTi отвечают условиям принадлежности -равновесий к грани F.

Требования, наложенные в конструкции многообразия на векторы qi, соответствуют необходимым условиям максимума функции по лезности при ограничениях, связанных с принадлежностью к данной грани и при данном бюджетном ограничении.

Этап 2: завершение доказательства основной теоремы.

Прежде всего приведем сводку необходимых результатов из диффе ренциальной топологии (см. [Abraham, Robbin, 1967]).

Определение 1.3.4 (трансверсальность). Пусть X и Y C 1 многообразия, f : X Y C -отображение и W Y подмного образие. Отображение f трансверсально W в точке x X (обозна | чение f x W ), если f (x) = y W или если y W и выполняются условия:

1) Tx f (Tx X) содержит замкнутое алгебраическое дополнение к Ty W в Ty Y, т. е. существует замкнутое подпространство W Tx f (Tx X) такое, что W Ty W = Ty Y ;

2) (Tx f )1 (Ty W ) = V таково, что существует замкнутое ал гебраическое дополнение до пространства Tx X, т. е. суще ствует замкнутое подпространство V Tx X такое, что V V = {0} и V V = Tx X.

| | Отображение f трансверсально W (обозначение f W ), если f x W для любого x X.

Определение 1.3.5. Пусть V, X, Y C r -многообразия и : V C (X, Y ). Пусть v = (v). Отображение есть C r r представление, если : V X Y, заданное как (v, x) = v (x) для v V, x X, есть C r -отображение из V X в Y.

Теорема 1.3.2 (о плотности). Пусть Cr V, X, Y r r многообразия, : V C (X, Y ) C -представление, W Y подмногообразие и при этом:

1.3. Конечность равновесий с нестандартными ценами 1) X конечной размерности p и W конечной коразмерности q;

2) V и X второй категории;

3) r max(p q, 0);

| 4) W.

| Тогда VW = {v V | v W } массивно в V.

Теорема 1.3.3 (об открытости). Пусть V, X, Y C r -многообра 1 зия, : V C (X, Y ) C -псевдопредставление, W Y под многообразие, K X компакт и при этом:

1) X конечной размерности;

2) W замкнуто.

| Тогда VKW = {v V | v x W, x K} открыто в V.

Эта теорема также верна, когда представление.

Условимся обозначать через Li линейную оболочку совокупности векторов {ci }, r Ti строк матрицы C i. Для дальнейшего анализа r нам потребуется следующая Лемма 1.3.1 (о трансверсальности). Зафиксируем элемент (u0, z 0 ) = (u0, x0, e0,..., e0 ) U Z 1 k такой, что для (e0,..., e0 ) выполнено условие:



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.