авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 9 |

«Сибирское отделение Российской академии наук Институт математики им. С. Л. Соболева В. М. Маракулин АБСТРАКТНЫЙ РАВНОВЕСНЫЙ АНАЛИЗ ...»

-- [ Страница 4 ] --

1 k e0 Li для любого i At, t = 1,..., k. (1.3.4) t Тогда отображение : U Z RT S трансверсально в точке (u0, z 0 ) любому подмногообразию RT S.

Доказательство леммы 1.3.1. Достаточно доказать сюръек тивность касательного к в точке (u0, z 0 ) отображения. Пусть = (1,..., n, 1,..., k,,, 1,..., n ) RT S. Найдем тра екторию (u(h), z(h))h[0,1] такую, что u(0) = u0, z(0) = z 0 = (x0, e0,..., e0 ), (u(h), z(h))|h=0 =.

1 k h 130 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Будем искать x(h), ej (h), j = 1, 2,..., k, компоненты z(h) в виде x(h) = x0 + xh, ej (h) = e0 + ej h, j = 1, 2,..., k, где (, e1,..., ek ) x j определяются из системы линейных уравнений ( xi (h)) |h=0 =, I xi (h), et (h) |h=0 = ti, i At \{i0 }, t = 1, 2,..., k, (C i xi (h)) |h=0 = i, i I, (et (h)) |h=0 = t, t = 1, 2,..., k.

Подставляя представления x(h) = x0 + xh, et (h) = e0 + et h, t t = 1, 2,..., k, и дифференцируя по h при h = 0, получаем xi =, I xi, e0 = ti x0, et, i At \{i0 }, t = 1, 2,..., k, t i C i x i = i, i I, et = t, t = 1, 2,..., k.

Векторы e1,..., ek находятся из последних уравнений, а в качестве x можно взять любое решение системы xi =, I 0 i At \{i0 }, xii, et = ti, t = 1, 2,..., k, i I, C x i = i, где ti = ti x0, et. В силу условия (1.3.4) строки матрицы D, i описываемые данной системой, линейно независимы и, следователь но, решение существует. Условно матрица D может быть записана в виде, представленном ниже. Здесь E единичная матрица раз мера l l, а первые l столбцов соответствуют потреблению агента i0 (без ограничения общности предполагаем i0 = 1). Найдём теперь траекторию u(h), полагая ui (h, x) = u0 (x(h)) + bi xi h, где bi Rl i некоторые фиксированные векторы, i I. Вычислим компоненты этих векторов с тем, чтобы выполнялось необходимое условие. За пишем фрагмент отображения, в котором участвуют градиенты функций полезности:

ui (x(h)) = ij, j = 1, 2,..., l. (1.3.5) h xij h= 1.3. Конечность равновесий с нестандартными ценами ··· ··· ··· E E E E E e...

.

.

.

e..

.

e k..

.

e D=, k i(1) C..

.

C i(1)..

.

C i(k)...

..

.

C i(k) Полагая x(h) = x0 + xh и преобразуя равенство (1.3.5), имеем 2 (u0 ) i bij = ij (x )r.

x xij xr rIL Так как вектор был выбран произвольным образом, то тем са мым доказана сюръективность отображения T(u0,z0 ). Следователь но, для любого C 1 -подмногообразия W в качестве алгебраического дополнения к Ty W в Ty (RT S) можно взять алгебраическое до полнение Ty W к T(u0,z0 ) (T(u0,z0 ) (U Z)), которое существует и за мкнуто в силу конечной размерности. Доказательство существова ния замкнутого алгебраического дополнения к (T(u0,z0 ) )1 (Ty W ) до T(u0,z0 ) (U Z) довольно простое. Это дополнение конечномерно, откуда следует его замкнутость, и может быть определено как ли нейная оболочка точек, выбранных из прообразов (T(u0,z0 ) )1 (ar ) векторов, образующих базис {ar } в алгебраическом дополнении к Ty W в Ty (RT S) (выбирается точно одна точка (любая) из каж дого прообраза). Несложно убедиться в том, что при y = (u0, z 0 ) данное построение корректно определяет искомое дополнение. Та ким образом, трансверсальность доказана.

Предположение (1.3.4) ограничивает возможность прямого при менения леммы 1.3.1. Ниже описывается метод, используя который можно обойти эту трудность.

132 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами et Линейная зависимость строк матрицы, или, что то же Ci самое, условие et Li, i At, (1.3.6) означает, что бюджетное ограничение агента дублирует условие принадлежности его потребительского набора к грани Fi. Однако, если мы снимем бюджетные ограничения для агентов из некоторого множества H I (т. е. исключим из рассмотрения соответствующие (t )i ) и нужным образом сузим область определения отображения (в части, касающейся цен), то модифицированное отображение H будет трансверсально любому подмногообразию в любой точке (u, x, e1,..., ek ) из U X S H области определения H. А именно, возьмем в качестве S H множество тех элементов многообразия S, что условие (1.3.6) выполняется только для i H. Формально эту процедуру можно описать следующим образом.

Зафиксируем некоторый произвольный иерархический блок At и положим Ht = At H. Далее рассмотрим множества вида Li )\( iAt \Ht Li ) если Ht =, ( WtH = iHt Rl \( iAt Li ) иначе.

H компонент S H нужно взять Ясно, что в качестве St, t = 1,..., k, St = St WtH.

H Отметим, что множества S H относительно открыты и образуют раз биение многообразия S, а clSt является подпространством в Rl.

H Внесём теперь коррективы в устройство отображения. Поло жим T = T \H и рассмотрим отображение k t B p H = u i : X S H RT clS H, u i H H t= iI iI где t : XSt RAt \(Ht {i0 }), (t (x, et ))i = et, xi, i At \(Ht {i0 }), H H H p : S H clS H, p (e1,..., ek ) = (e1,..., ek ), H H а u, i, B определены выше. Отображение i H : U X S H RT clS H 1.3. Конечность равновесий с нестандартными ценами задаётся в виде H (u, z) = H (z). Построим теперь многообразие u HF аналог F :

def (q1,..., qn, q1,..., qk, q, q, q 1,..., q n ) RT clS H | H F = при i A \Ht, t = 1,..., k, t qt + y i C i, yi RTi t i qi = yi C i, yi RTi иначе, 0 при i A \(Ht {i0 }), t = 1,..., k 1, t (qt )i = i µ при i A \(Hk {i0 }), t = k, k q = 0, q i = 0, i I, qt = 1, t = 1,..., k.

Значение всех переменных имеет прежний смысл и, кроме того:

соотношения для qi соответствуют необходимым условиям экс тремума, а для (qt )i отвечают бюджетным ограничениям;

q = 0 уравнениям баланса;

qt = 1, t = 1, 2,..., k, условию нормировки ценовых функ ционалов;

q i = 0, i I, условию принадлежности грани.

Лемма 1.3.2. Если u U такова, что для любых H I, S и под множеств насыщенных участников A At, t = 1, 2,..., k отоб t ражение H трансверсально многообразию HF, то для данного u u U число невырожденных состояний -равновесия, принадлежа щих грани F, конечно.

Доказательство леммы 1.3.2. Конечность числа невырожден ных равновесий будет следовать из конечности (относительно вы бора подмножеств A At, H I и многообразий цен S H ) чис t ла вариантов устройства отображения H и многообразия HF, а u также из конечности множеств (H )1 (HF ), объединение которых u накрывает все равновесные (невырожденные) состояния из F. Итак, достаточно установить конечность множеств (H )1 (HF ). Прини u мая во внимание свойство трансверсальных отображений сохранять коразмерность при переходе к прообразу, покажем, что выполняется неравенство codimHF = codim(H )1 (HF ) dimX S H = nl + dimS H. (1.3.7) u Сначала рассмотрим только такие равновесия, что A1 = A (т. е.

все потребители из A1 ненасыщаемы и, тем самым, работают все ограничения из группы, отвечающей qi, т. е H1 = ). Здесь при µ 0, 134 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами как мы и предположили выше, с необходимостью должно быть k 2.

Подсчитаем коразмерность многообразия HF. По построению и сделанным предположениям codim(HF ) будет равна разности меж ду числом независимых ограничений и числом свободных перемен ных. Каждому ограничению для (qt )i и q i = 0, i I соответствует t Ti свободная переменная i и yi R соответственно. Таким образом, свободные переменные и ограничения компенсируются с точно стью до невырожденного потребителя с номером i0, для которого ограничение для (qt )i (это ограничение e1 xi0 = 0) отсутствует (ибо i0 с необходимостью принадлежит множеству A1 ). Кроме того, нуж но учесть, что имеется ещё одна свободная переменная µ. Значит, всего переменных на 2 единицы больше, чем рассмотренных ограни чений. Ограничения для qi, которых всего nl штук, в данном случае можно, условно говоря, считать жёсткими. В итоге совокупный баланс коразмерности по этой группе соотношений составляет ве личину nl 2. Кроме того имеется l штук жёстких ограничений q = 0 (отвечают балансу продуктов) и k штук нормировок по це нам qt = 1, t = 1,..., k. Окончательно, учитывая все факторы, получаем codimHF = nl + l + k 2 nl + dimS H при k 2, так как dimS H l. Особо отметим, что codim(HF ) не зависит от выбора H.

Наконец, рассмотрим случай k = 1. Здесь возможно два вариан та. В первом из них, при I = A1, свободную переменную µ в опре делении многообразия HF необходимо положить равной нулю (ибо нет насыщенных агентов!), и, тем самым, это вариант, когда реа лизуются обычные рыночные равновесия. При этом коразмерность многообразия будет в точности равна nl + l (легко видеть из фор мулы, где при µ = 0 вычитается единица, а не двойка, как это было выше). Таким образом, вновь приходим к необходимому соотноше нию (1.3.7).

В случае k = 1 и A = подсчет коразмерности осуществля ется аналогично, с тем лишь отличием, что свободная переменная µ не приравнивается нулю, а выражается через значения бюджет ных отображений насыщенных участников её можно вычис лить, а значит и исключить из числа свободных переменных.

Наконец в случае k 2 и µ = 0, несмотря на то что выше мы исключили этот вариант, коразмерность возрастает по крайней мере на 1 (её подсчёт осуществляется по тем же правилам), что влечёт истинность неравенства (1.3.7). Таким образом, (1.3.7) доказано.

1.3. Конечность равновесий с нестандартными ценами В силу трансверсальности H к HF и того факта, что St от H u носительно открыты в Li, можно заключить, что iHt dim (H )1 (HF ) 0, если dim S H = l;

u dim (H )1 (HF ) = 0, если dimS H = l.

u Таким образом, (H )1 (HF ) пусто или дискретно, если u dimS H = l. Далее, поскольку F замкнуто, а X без ограничения общности является компактом в Rln (ибо в силу FA1 множество всех сбалан сированных распределений компактно), то (u )1 (F ) (X S) компакт в Rln S. Справедливо включение (u )1 (F ) (H )1 (HF ).

u H Но для каждого H, а их конечное число, множество (H )1 (HF ) u дискретно в X S H. Следовательно, (u )1 (F ) (X S) дискретный компакт, откуда и вытекает конечность числа невы рожденных состояний -равновесия из F.

Доказательство теоремы 1.3.1. Выберем для i I компакт Ki RL{i} такой, что intKi Xi, K = Ki X, и пусть I {S } H последовательность компактов, аппроксимирующая S H = изнутри, т. е.

S = S H H S S H, H & = 1, 2,...

= H Теперь построим последовательности компактов KH = K S X S H, = 1, 2,..., и применим теоремы о плотности и от крытости трансверсальных сечений в случае V = U, X = X S H, Y = RT clS H, v = H, = H, W = HF. Из примечания к u лемме 1.3.1 следует, что трансверсально W, а остальные условия соблюдены по построению. Получаем, что | VKW = {v V | v z W, z KH } открыто и всюду плотно в V. Положим 42 Нетрудно видеть, что существует единственное подмножество H I такое, что dimS H = l.

136 Глава 1. Экономическое равновесие с нестандартными ценами VKW, G= = где пересечение берется по = 1, 2,... Число возможных вариантов полученных здесь множеств G, определяется общим числом граней F, подмножеств H I, выбора i0 I, числом k l и вариантов выбора A,..., A I. Таким образом, поскольку имеется конечное 1 k множество возможных G, а каждое из них есть пересечение счётно го числа открытых множеств, то их пересечение массивно. Чтобы закончить доказательство, осталось применить лемму 1.3.2.

Глава Равновесие в бесконечномерной модели экономики Исследование любой бесконечномерной модели экономики (с беско нечным числом продуктов или участников или того и другого одно временно) сталкивается с определёнными математическими трудно стями, существенно отличающими бесконечномерные пространства от конечномерных. Наиболее серьёзные из них:

• множественность топологий исходного пространства продуктов и двойственного пространства ценовых функционалов;

• потенциальная некомпактность множества всех достижимых со стояний экономики в исходной топологии пространства продуктов, а также множества цен (ценовых функционалов), в числе которых могут находиться равновесные;

• билинейное отображение, характеризующее двойственную пару пространство товаров – пространство цен, называемое также ска лярным произведением, является непрерывным только по одному из аргументов и обычно не является непрерывным по обоим одновре менно.

Поэтому математический анализ и собственно выбор объекта иссле дования модели и сопутствующих ей объектов пространства продуктов и цен, должен проводиться со всей тщательностью.

Основоположником теории экономического равновесия с беско нечномерным пространством продуктов следует считать Трумана Ф.

138 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики Бьюли, работа которого [Bewley, 1972] инициировала широкие иссле дования в этом направлении1. Бьюли установил существование рав новесий в модели типа Эрроу–Дебре с конечным числом экономи ческих агентов, в которой в качестве пространства продуктов было избрано L (Rl ) пространство существенно ограниченных изме римых функций (с областью значений Rl и областью определения [0, 1]).

Эта работа высветила значение теоремы Алаоглу и ту роль, которую играют слабые топологии, ассоциированные с дуально стью, слабая, слабая со звездой и Макки в проблеме существо вания равновесия с непрерывными, в исходной топологии простран ства продуктов, ценами. Изменилась и точка зрения на то, чем явля ются цены (отмеченная формально ещё в [Debreu, 1959]), теперь это уже не просто вектор, но линейный функционал. Пространство L (Rl ) очень удобно для математического анализа и обладает ря дом ключевых свойств конечномерного пространства. Одним из этих свойств является тот факт, что конус неотрицательных элементов имеет непустую внутренность в исходной топологии (определяемой нормой существенный супремум модуля функции). Последнее поз волило использовать обычную математическую идею конечномер ных аппроксимаций, в которых привычными методами устанавли вается существование конечномерных равновесий. В дальнейшем функционал цен продолжается до непрерывного функционала на всём пространстве, а затем реализуется предельный переход. Таким способом Бьюли получает цены из (ba)l пространства топологи чески двойственного к L (Rl ). Переход к ценам из L1 (Rl ) (ba)l осуществляется при повышении требования к непрерывности пред почтений предполагается полунепрерывность снизу в топологии Макки (сильнейшая локально выпуклая топология, ассоциирован ная с двойственностью) в двойственности L (Rl ), L1 (Rl ).

Другим примечательным результатом, заложившим основы со временного равновесного анализа в экономиках с бесконечным чис лом продуктов, является работа [Peleg, Yaari, 1970]. Авторы рассмот рели довольно частный случай экономики обмена с конечным числом потребителей и пространством продуктов R (т. е. RN, где N нату ральный ряд временных периодов ). Работа интересна прежде все го методом доказательства, который сводится к обобщению теоремы Дебре–Скарфа о совпадении ядра и равновесия в условиях совер шенной конкуренции (в реплицированных экономиках) и обобще нию теоремы Скарфа (на случай бесконечномерных пространств) тем фактом, что ядро непусто в сбалансированных кооперативных 1 Несколько раньше появилась работа [Peleg, Yaari, 1970].

Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики играх без побочных платежей. Цены в этой модели интерпретирова лись как ставки процента при переходе от одного временного пе риода к другому (модель однопродуктовая). Именно в силу этой трактовки в модели Бьюли более предпочтительны цены из L1, а не из ba (чисто конечно-аддитивную меру трудно интерпретировать с содержательной экономической точки зрения). В модели Пелега– Ярри проявилась также характерная трудность бесконечномерных пространств конус неотрицательных элементов, который прини мался в качестве потребительского множества, очень часто имеет пустую внутренность.

Последующие исследования выявили теоретическую значимость порядковых структур основного пространства продуктов (что не имеет большого значения в конечномерных пространствах). В яв ной форме частично упорядоченные пространства (и отвечающие им модельные понятия) впервые были рассмотрены в [Kreps, 1981].

Пространства Рисса (линейные решётки, а в русскоязычной литера пространства Канторовича2 ) были введены в теорию кон туре, курентного равновесия Алипрантисом и Брауном [Aliprantis, Brown, 1983]. Впоследствии решёточная структура пространства продуктов была использована Мас-Колеллом [Mas-Colell, 1986a], чтобы дока зать его замечательную теорему о существовании равновесия (об щий обзор литературы по этому вопросу можно найти в [Mas-Colell, Zame, 1991]). В этой же работе Мас-Колелл вводит важное поня тие равномерной правильности (собственности) предпочтений (это своеобразный аналог равномерной непрерывности, или липшициру емости) и расширяет рамки анализа до топологических векторных решеток. Монография Алипрантиса, Брауна и Бёркеншо [Aliprantis et al., 1989] подвела определённый итог достижений 1980-х годов в равновесном анализе моделей с бесконечным числом продуктов. Осо бое внимание в ней было уделено двойственности векторных решеток и их локально солидных топологий. Именно эти топологии обеспечи вают равномерную непрерывность решёточных операций (операции взятия супремума или инфимума). Однако в [Mas-Colell, Richard, 1991] был сделан следующий шаг и было установлено существова ние равновесий в моделях, где пространство продуктов описыва ется как линейная векторная решётка. Данный термин, в отличие от топологических векторных решёток, не предполагает непрерыв ность решёточных операций. Важным является тот факт, что это не просто очередное обобщение, но таким образом могут быть опи 2 Точнее, насколько это известно автору, под термином пространство Кан торовича понимается полная по Дедекинду (каждое порядково ограниченное сверху множество имеет супремум) линейная решётка.

140 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики саны экономически содержательные модели, ранее не включённые в общую теорию. Например, в исследованной в [Jones, 1984] модели с дифференцируемыми продуктами пространство продуктов описы вается как пространство мер, определённых на некотором компакте.

Это пространство является линейной, но не топологической решёт кой (в слабой со звездой топологии, определяемой двойственностью C(M), ca(M), см. также работу [Huang, Kreps, 1986]). Отметим, что в работе Мас-Колелла и Ричарда явным образом используются порядковые свойства предпочтений экономических агентов (а зна чит, они могут быть представлены в виде функций полезности, что позволяет искать неподвижную точку в критериальном простран стве полезностей это так называемый поход Негииши). В после дующих исследованиях многие авторы (см. [Podczeck, 1996;

Tourky, 1998;

Deghdak, Florenzano, 1999;

Florenzano, Marakulin, 2001]) изба вили теорию от этого навязанного предположения, устанавливая су ществование равновесий при нетранзитивных и неполных предпо чтениях (это, конечно, требует коренного пересмотра доказатель ства). Кроме того, в большинстве из указанных работ требование равномерной правильности предпочтений заменяется на поточеч ную характеризацию (первыми на эту возможность указали [Araujo, Monteiro, 1989]), что существенно слабее и, главное, лучше соответ ствует содержательной стороне вопроса в ряде приложений общей модели (например, к финансовой теории, где уже в модели Пелега и Ярри предпочтения не являются равномерно правильными).

В последние два десятилетия 20-го столетия в рамках общего бес конечномерного равновесного анализа также интенсивно исследова лись динамические равновесные модели особого типа, так называе мые экономики с перекрывающимися поколениями экономических агентов (OLG-economies3, см. обзор [Geanakoplos, Polemarchakis, 1991]). Этот класс моделей характеризуется счётно-дискретным мно жеством временных периодов жизни экономики и счётным числом экономических агентов, причём в каждом временном периоде жи вёт только конечное (и ненулевое) их число. Вильсон [Wilson, 1981] установил существование равновесных цен (т. е. последовательности цен, соответствующих периодам жизни экономики) при условии, что либо каждый агент обладает только конечно-живущими ресурсами, либо имеется конечная группа агентов, обладающая положительной долей всех ресурсов экономики во всех периодах её жизни. Он так же показал, что если экономика не удовлетворяет этим требованиям, то можно гарантировать существование только скомпенсированных 3 OLG это аббревиатура английского термина “overlapping generations”.

Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики равновесий (были построены соответствующие примеры). Следую щий шаг совершил Данилов [1993], который обобщил понятие ском пенсированного равновесия, допуская в качестве цен линейные функ ционалы, принимающие конечные значения на ресурсах отдельных индивидуумов, на совокупных ресурсах экономики их значения могут быть бесконечны. Так же как и в работе Вильсона, Данилов рассматривает модели с конечномерным пространством продуктов в каждом временном периоде. Равновесные цены по Данилову имеют лучшую, чем у Вильсона, экономическую интерпретацию и облада ют многими дополнительными свойствами, вытекающими из линей ности функционала. В частности, если ресурсы какого-либо агента представлены в виде линейной комбинации ресурсов некоторых дру гих агентов (конечного числа!), то в таком же соотношении находят ся их равновесные компенсирующие стоимости и т. д. Ещё в моно графии [Aliprantis et al., 1989] была рассмотрена модель и получены первые результаты для OLG-экономик, где допускается бесконечно мерное пространство продуктов в каждом отдельно взятом перио де жизни экономики. В последнее время в этом направлении был получен ряд результатов других авторов (например, см. [Deghdak, Florenzano, 1999;

Richard, Srivastava, 1988]), однако все они исхо дят из традиционных для бесконечномерного равновесного анализа структурных предпосылок доказывается существование равнове сий и используются локально солидные топологии.

Содержание второй главы составляют три группы теорем суще ствования равновесия (квазиравновесия) в модели рынка, модели Эрроу–Дебре, а также в модели с перекрывающимися поколениями экономических агентов в рамках (бесконечномерного) пространства продуктов, которое описывается как линейная векторная решётка.

Кроме того, во всех случаях предпочтения могут быть неполными и нетранзитивными, а в качестве цен рассматриваются непрерывные линейные функционалы, определённые на всём пространстве про дуктов. В первой из этих теорем рассматривается модель чистого обмена с монотонными и M -равномерно правильными предпочте ниями, заданными на конусе неотрицательных элементов простран ства продуктов (отождествляемом с потребительскими множества ми). Метод доказательства этой теоремы обобщает подход Негии ши на случай непорядковых предпочтений. Во второй группе тео рем изучается модель Эрроу–Дебре, причём отсутствуют какие-либо требования типа свободного расходования (для предпочтений это монотонность). Здесь вводятся и исследуются два новых и слабей ших из известных в литературе требования правильности предпо чтений и производственных множеств, имеющих вид поточечной ха 142 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики рактеризации и заданных относительно некоторого подпространства продуктов это так называемые F -правильность и E-правильность.

При комбинации F -правильности с (топологической) плотностью со ответствующего подпространства получена одна серия теорем суще ствования, при наличии E-правильности другая. Наконец, в теоре ме третьего типа рассматриваются OLG-экономики, в которых для каждого временного периода дуальность товары–цены удовлетворя ет тем же требованиям, что и для моделей с конечным числом участ ников. Здесь вводится новое понятие OLG-равновесия с нестандарт ными ценами аналог обобщённого скомпенсированного равнове сия по Данилову, теорема существования которого устанавливается.

При этом компенсирующие стоимости (это стоимости, добавляемые к правой части бюджетных ограничений участников экономики), ко торые также появляются в этом нестандартном понятии равнове сия, имеют явное представление в виде стандартной части суммы ряда нестандартных стоимостей исходных ресурсов, эта сумма вы числяется для членов ряда, отвечающих временным периодам, начи ная с некоторого бесконечного. Указанная явная формула позво ляет сделать те же выводы относительно свойств компенсирующих стоимостей их линейность по запасам и проч., что и в случае компенсирующих стоимостей по Данилову. Более того, эта формула позволяет, на основе факта о существовании равновесия с нестан дартными ценами, легко получать теоремы существования равнове сия при наличии дополнительных предположений о структуре ис ходных запасов такая теорема получена как следствие в случае классических предпосылок, упомянутых выше. Отметим также, что доказательство ключевой теоремы для OLG-экономик существенно опирается на первую теорему существования квазиравновесий в мо дели рынка с M -равномерно правильными предпочтениями.

2.1. Двойственность товаров и цен в модели Эрроу–Дебре В теории равновесия с бесконечномерным пространством продук тов является общепринятым, что пространство продуктов должно быть пространством Рисса частично упорядоченным линейным пространством4, которое является при этом решёткой существуют 4 Пространство E называется упорядоченным (частично) линейным простран ством, если на E определено рефлексивное, транзитивное и антисимметричное бинарное отношение такое, что x + y 0 и x 0 при любых x 0, y 0, 0, x, y E, R.

2.1. Двойственность товаров и цен в модели Эрроу–Дебре инфимум (точная нижняя грань) и супремум (точная верхняя грань) любых двух элементов пространства. Последнее вполне отвечает эко номической интуиции, говорящей о том, что пространство продуктов должно быть пространством функций, область определения которых образует номенклатуру продуктов (или время, точнее совокупность моментов жизни экономики, возможны смешанные постановки), а значение в точке указывает на количество товара в данном наборе продуктов (отождествляемом с функцией). Как отмечалось во вве дении, пространства Рисса были введены в экономическую теорию в [Aliprantis, Brown, 1983]. Тот факт, что пространство продуктов яв ляется решёткой, действительно важен и отражает идею наличия в экономике продуктовых наборов, полученных как поточечный супре мум (инфимум) любых двух данных допустимых наборов. Последнее свойство быть решёткой существенно сужает класс линейных частично упорядоченных пространств, которые могут играть роль пространства продуктов. В частности, конечномерное пространство с порождающим конусом неотрицательных элементов является ре шёткой, только если конус получен как коническая оболочка набо ра векторов, образующих базис этого пространства (примером бес конечномерного пространства, которое не является решёткой, мо жет служить пространство непрерывно дифференцируемых функ ций C 1 ([0, 1])). Типичными представителями популярных в эконо мической теории бесконечномерных пространств Рисса являются Lp при 1 p +, пространство непрерывных функций C(M), а также пространство борелевских мер ca(M), определённых на некотором компактном множестве M.

С тем чтобы было возможно корректным образом говорить о близких наборах, пространство продуктов должно быть оснаще но топологической структурой, согласованной со структурой линей ного пространства (т. е. это пространство должно быть топологиче ским векторным пространством5 ). В теории предполагается, что на пространстве продуктов, обозначенном в дальнейшем символом E, задана некоторая локально выпуклая6 хаусдорфова топология. Бу дучи при этом частично упорядоченным отношением, простран ство E должно предполагать хотя бы слабую форму согласования двух структур порядковой и топологической. В большинстве из имеющихся в литературе результатов предполагается, что решёточ 5 Напомним, что это означает непрерывность (по обоим аргументам) операций сложения векторов и их умножения на скаляр.

6 Существует базис фильтра окрестностей нуля, составленный из открытых, выпуклых и симметричных множеств.

144 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики 7 равно и инфимума ные операции взятия супремума мерно непрерывны в топологии (откуда следует их непрерывность, однако обратное неверно). Последнее эквивалентно тому факту, что существует базис фильтра окрестностей нуля, составленный из вы пуклых солидных множеств. В таком случае топология называется локально-выпукло-солидной, а оснащённые ей пространства Рисса топологическими векторными решётками. Напомним, что в соот ветствии со стандартными обозначениями x+ = x 0, x = (x) и |x| = x (x). Множество A E называется солидным8, если для любого y E выполнено y A как только |y| |x| при некотором x A. Данное предположение (солидность топологии ) обеспечи вает определённый математический комфорт при исследовании со ответствующей модели экономики, и большая часть экономически значимых пространств ему удовлетворяет (в их числе пространства Lp, а также C(M)), однако не все. Таковым не является простран ство ca([0, 1]) в слабой топологии (ca([0, 1]), C([0, 1])), определяемой двойственностью ca([0, 1]), C([0, 1]) 9. Это пространство использует ся в моделях экономики с дифференцированными продуктами (на пример, см. работу [Jones, 1984], а также близко примыкающую к ней [Huang, Kreps, 1986]), и, таким образом, теория равновесия, разви тая для топологических векторных решёток, недостаточна для ана лиза данного класса моделей. В настоящем исследовании в пределах данной главы будет предполагаться слабейшая форма взаимосвязи топологии с порядковой структурой замкнутость конуса поло жительных элементов E + = {x E | x 0} в топологии про странства продуктов E (по определению этот конус является также выпуклым). Отметим, что отсюда не следует даже непрерывности решёточных операций. При этом, однако, замкнутость конуса E + влечёт (не эквивалентно) архимедовость пространства E 10. Свойство 7 Здесь x y = sup{x, y} и x y = inf{x, y} при x, y E.

8В другой терминологии телесным или нормальным.

9 Чтобы убедиться в этом, рассмотрим последовательность x n элементов ca([0, 1]), плотность которых x (·) определена по формуле x = n(n 22n ), где n n характеристическая функция множества [0, 1/n] при n N. Легко видеть, n что xn (f ) 0 при любом f C([0, 1]). Следовательно, xn 0. Однако плот ность |xn | совпадает с nn, откуда |xn |(f ) f (0) при f C([0, 1]) и, значит, |xn | 0 = 0. Таким образом, |.| не является непрерывной в (ca([0, 1]), C([0, 1])) и, следовательно, (ca([0, 1]), C([0, 1])) не является локально солидной тополо гией.

10 Убедиться в этом можно так. Пусть x 0, x = 0. Найдём линейный f : E R такой, что f (E + ) 0 и f (x) 0. Если 0 nx y, то 0 nf (x) f (y) n, что возможно только если f (x) = 0 противоречие. Существование нужного функционала обеспечивает вторая теорема отделимости (выпуклые компактное 2.1. Двойственность товаров и цен в модели Эрроу–Дебре пространства быть архимедовым (из 0 nx y при любых n N и любых фиксированных x, y E следует, что x = 0) является весьма важным в теории полуупорядоченных пространств и предполагается во многих полезных для приложений результатах.

Следующий важный вопрос, требующий прояснения в бесконеч номерных пространствах, это что такое цена (или система цен).

Под ценой в модели экономики понимается линейный (ценовой) функционал p : E R, который непрерывен в топологии. Этот подход требует комментария. Свойство линейности, безусловно, на кладывается по аналогии с конечномерным случаем и имеет ту же интерпретацию. Требование непрерывности отражает идею близ ких стоимостных оценок у близких (в смысле ) потребительских наборов. При этом, однако, важно обратить внимание на то, что p определён на всём пространстве E и, тем самым, любой продуктовый набор получает стоимостную оценку. Это желательное свойство яв ляется достаточно сильным требованием, ибо в бесконечномерных пространствах зачастую далеко не все продуктовые наборы пред ставлены на рынке. Например, в модели обмена с конечным числом потребителей, где потребительские множества совпадают с E +, вся экономическая жизнь сосредоточена в пределах ящика Эджвор та порядкового отрезка [0, ], где представляет совокупные (сум марные) исходные ресурсы агентов экономики. Поэтому в данном случае действительно необходимо только то, чтобы ценовые функ ционалы были определены на [0, ]. В дальнейшем по линейности их можно продолжить на пространство, натянутое на [0, ]. Из по строения следует, что это пространство является главным идеалом пространства E, генерируемым (порождаемым) элементом E +.

Напомним, что подпространство Рисса называется идеалом, если оно является солидным подмножеством основного пространства. Мини мальный идеал, содержащий фиксированную точку пространства, называется главным (и генерированным этой точкой). Отметим в этой связи один важный теоретический факт: если пространство Рисса является архимедовым а это наш случай, то любой глав ный идеал может быть представлен как функциональное простран ство. Как установил А. И. Юдин, из этого результата вытекает, что любое решёточное тождество или неравенство, истинное в множестве вещественных чисел, автоматически выполнено в любом архимедо вом пространстве Рисса.

и замкнутое множества, имеющие пустое пересечение, можно строго разделить гиперплоскостью). Теорему нужно применить к E + и {x}.

146 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики Возвращаясь к вопросу об области определения ценового функ ционала, отметим, что (главный) идеал не обязан совпадать со всем пространством (что имеет место уже в конечномерных простран ствах) и, с целью найти решение исследуемой проблемы (экономиче ского феномена), пространство продуктов при необходимости мож но, без ущерба содержательной стороне вопроса, сужать до неко торого подходящим образом выбранного идеала исходного про странства продуктов. Этот приём был реализован уже в работе Пе лега и Ярри [Peleg, Yaari, 1970], где в качестве исходного простран ства продуктов было выбрано R (пространство всех последователь ностей с топологией произведения), чьё двойственное пространство непрерывных линейных функционалов весьма бедное (оно совпада ет с пространством последовательностей, имеющих конечный носи тель) и проблема существования равновесных цен не имеет решения.

Однако в двойственном к идеалу, генерируемому исходными ресур сами, можно найти разумные (с содержательной точки зрения) рав новесные цены.

Итак, в качестве пространства допустимых цен выбирается про странство (E, ) всех непрерывных линейных функционалов над (E, ). Отсюда естественным образом появляется двойственность (E, ), (E, ), в которой при x E, f (E, ) определено ска лярное (внутреннее) произведение по формуле f, x = f (x), где совместно с f, x мы будем регулярно использовать обозначение f x = f · x = f, x. В дальнейшем (E, ), (E, ) будет называться дуальной парой товаров и цен, в рамках которой используются стан дартная математическая техника и понятия теории двойственных пространств (в частности, топологии слабая и слабая со звездой, топология Макки и пр.). Дополнительно мы будем предполагать, что (E, ) является подпространством в (E, ) пространстве всех порядково ограниченных линейных функционалов над (E, ), т. е. предполагается, что (E, ) (E, ). Напомним, что линейный функционал p : E R порядково ограничен, если он переводит по рядковые интервалы (множества вида [x, y] = {z E | x z y}) в ограниченные множества в R. Хорошо известно, что пространство (E, ), будучи упорядочено отношением f g f (x) g(x) x E +, при f, g (E, ), само является (полным) пространством Рисса, векторная решётка11, и называется порядково двойствен если E 11 Это требование к E быть решёткой можно ослабить, однако это не важно для наших целей.

2.1. Двойственность товаров и цен в модели Эрроу–Дебре ным. При этом для каждого x 0, x E и любых f, g (E, ) имеют место следующие важные формулы:

(f g)(x) = sup{f (y) + g(z) | y + z = x, y 0, z 0, y, z E}, (f g)(x) = inf {f (y) + g(z) | y + z = x, y 0, z 0, y, z E}.

Мы также будем предполагать, что (E, ) является подрешёткой пространства (E, ), т. е. f g (E, ) при любых f, g (E, ), что позволяет использовать в отношении цен вышеуказанные фор мулы и имеет очевидную экономическую интерпретацию. Послед нее, очевидно, также является ограничением на топологию, свя зывающим порядковую и топологическую структуры пространства продуктов. Однако отметим, что совместно с предыдущим тре бованием (замкнутость конуса E + ) эти ограничения существенно слабее требования непрерывности решёточных операций и, напри мер, выполнены для дуальной пары ca([0, 1]), C([0, 1]), где в ка честве -топологии пространства ca([0, 1]) выбрана слабая тополо гия (ca([0, 1]), C([0, 1])), ассоциированная с этой двойственно стью. Именно, известно, что если пространство является топологи ческой векторной решёткой, то конус неотрицательных элементов замкнут, а топологически двойственное является подрешёткой про странства порядково ограниченных функционалов.

Суммируя сказанное выше относительно свойств дуальной пары товары–цены (E, ), (E, ), мы сформулируем следующие предпо ложения.

SA (структурные предположения):

(i) E линейная векторная решётка (пространство Рисса), осна щённая локально выпуклой хаусдорфовой топологией ;

(ii) E + замкнутый конус в -топологии пространства E;

(iii) (E, ) подрешётка порядково двойственного к E.

Предположения вида SA были введены в [Mas-Colell, Richard, 1991] при исследовании проблемы существования конкурентного равно весия в товарно-бесконечномерных экономиках обмена (формаль но опубликованная несколько ранее работа [Richard, 1989], по видимому, вторична в данном контексте) и затем использовались в работах многих других авторов (см. [Back, 1988;

Podczeck, 1996;

Tourky, 1998, 1999;

Marakulin, 1998;

Deghdak, Florenzano, 1999]).

148 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики Предметом исследования настоящей главы является модель эко номики Эрроу–Дебре, в которой двойственность товары цены удо влетворяет структурным предположениям SA. Модель этого типа E AD была представлена в § 1.2.2 в контексте конечномерного про странства продуктов и описывается следующей пятёркой:

I, J, (E, ), (E, ), {Xi, Pi, i, i }iI, {Yj }jJ,.

E AD = Напомним значение параметров. Здесь I = {1, 2,..., n} множество номеров потребителей, J = {n + 1, n + 2,..., n + r} номера произ водителей;

(E, ), (E, ) двойственность товаров и цен;

Xi E потребительское множество потребителя i, где xi Xi его по требительские планы, а Yj E производственное (технологиче ское) множество фирмы j, где yj Yj производственные планы Xi Yj E n+r является этой фирмы. В данном случае X = I J множеством допустимых состояний, где E n+r = L играет роль про странства состояний. Каждый потребитель i характеризуется так же вектором исходных ресурсов i E и отношением строгого пред почтения Pi : X Xi, i I, которое удовлетворяет дополнительно му требованию Pi (x, y) = Pi (x, y ) для всех x Xi, y, y Yj, I J и это отличает данную модель от ранее рассмотренного варианта конечномерной модели Эрроу–Дебре12. Используемое в дальнейшем обозначение x x эквивалентно x Pi (x, y), (x, y) X, x Xi, i i i i j для некоторого (любого) y Yj. Величины i 0 компонен J n+1 n+r ты вектора i = (i,..., i ) указывают на долю (в акциях, дивидендах и т. д.) потребителя i в производстве j и удовлетворяют j i = 1 для всех j J. В модели E AD неявным образом условию iI определён механизм стоимостного регулирования, в рамках которого допустимы любые цены из (E, ), а доходы потребителей функции i (·) по определению вычисляются по формуле j p (E, ), (x, y) X, i I, i (p, y) = p, i + i p, yj, jJ имеющей тот же содержательный смысл, что и в конечномерном случае. Следуя терминологии и символике, принятой в первой гла 12 Единственная причина, по которой мы вводим это дополнительное ограниче ние, состоит в намерении использовать в дальнейшем такие понятия как нечёт кая коалиция и нечёткое ядро модели Эрроу–Дебре, что сделать значительно проще в случае, когда предпочтения агентов не зависят от производственного сектора.

2.1. Двойственность товаров и цен в модели Эрроу–Дебре ве монографии, определим множество всех достижимых состояний экономики E AD, полагая A(X) = (x, y) Xi Yj | xi = yj + i.

I J I J I Далее мы сформулируем группу слабейших стандартных пред положений, используемую в той или иной мере (обычно требуют значительно большего) во всех имеющихся в литературе теоремах существования конкурентного равновесия в модели Эрроу–Дебре.

PA (выпуклость, замкнутость и достижимость). Множе ство допустимых состояний X выпукло, замкнуто и удовле творяет (1,..., n, 0,..., 0) X.

BA (ограниченность). Множество достижимых состояний A(X) компактно в слабой топологии (L, L ).

CA (слабая непрерывность и иррефлексивность). Для каж дого i I отображение Pi (·) : X Xi удовлетворяет условиям для всех x X множество (i) полунепрерывность сверху:

Pi (x) -открыто в Xi ;

для всех y Xi множество (ii) полунепрерывность снизу:

Pi (y) = {x X | y Pi (x)} (L, L )-открыто в X;

для всех x X (iii) слабая выпуклость и иррефлексивность:

xi co Pi (x)13, / x = (x1,..., xn, yn+1,..., yn+r ).

Комментируя данные предположения, отметим, что они обеспе чивают истинность предположений A1–A7 для соответствующим образом определённой, абстрактной модели экономики в специфи ческих рамках модели Эрроу–Дебре и конечномерного пространства продуктов. Действительно, в топологической части предположений A1–A3 просто учтена специфика конечномерного пространства, в котором существует единственная отделимая линейная топология, причём компактные в этой топологии множества характеризуются 13 co A обозначает выпуклую оболочку множества A.

150 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики как ограниченные и замкнутые. В бесконечномерной постановке про (L, L ) сто осуществлена замена исходной топологии на слабую I J (совпадает с (E, E ) ), там, где это необходимо. При этом в CA содержательно всего лишь предполагается, что предпочтения (вкусы) потребителей непрерывны в той же мере, как и цены, что не вызывает серьёзных возражений с экономической точки зрения.

Компактность множества всех достижимых состояний, необходимая с математической точки зрения, постулируется в BA в слабейшем из всех мыслимых вариантов (с учётом свойства непрерывности це новых функционалов). Предположение A5 (непрерывность доходов) обеспечивается (в конечномерной постановке) специфическим видом функций распределения дохода (отметим, что A5 не выполняется в бесконечномерном случае в силу только односторонней непрерыв ности скалярного произведения.,., определяемого двойственно стью товары–цены). Кроме того, вид этих функций (в соответству ющей постановке абстрактной модели) гарантирует A7 (закон Валь раса), а совместно с второй частью предположения PA требование (1,..., n, 0,..., 0) X (это свойство в рамках абстрактной модели можно интерпретировать как допустимость исходного состояния экономики, что в частности влечёт непустоту A(X)) обеспечивает истинность предположения A7 (непустота бюджетных множеств).

В соответствии с терминологическими принципами, близкими к принятым в [Aliprantis et al., 1997], назовём модель E AD линейно решёточной экономикой, если она удовлетворяет всем вышеуказан ным предположениям SA, PA, BA и CA.

Соответственно, если предположение SA заменяется (более силь ным) требованием к пространству продуктов быть топологической векторной решёткой, то мы говорим о риссовской экономике.

Определение 2.1.1. Состояние экономики (x, y) X и ценовой функционал (E, ), = 0 называются квазиравновесием мо дели E AD, если выполнены следующие условия:

j i yj ), Pi (xi ) (xi ) = (i + i I;

(i) jJ, yj, Yj j J;

(ii) (x, y) A(X).

(iii) Квазиравновесие называется нетривиальным, если для некото рого i0 I имеет место inf · Xi0 · xi0.

14 Символом, C обозначено множество {, c | c C}, а A b означает a b, a A.

2.2 Существование равновесий в экономике чистого обмена Квазиравновесие является равновесием (вальрасовским или кон курентным), если неравенство в (i) определения 2.1.1 строгое.

Квазиравновесия имеют в экономической теории небольшое са мостоятельное значение, однако обладают многими свойствами рав новесий и служат удобным промежуточным объектом на пути уста новления факта существования равновесий. Например, легко дока зывается, что если каждый потребитель зарабатывает доход (т. е.

если i 0 при Xi = E +, а в общем случае inf · Xi · i для всех i I), то квазиравновесие с необходимостью является рав новесием. Последнее обычно обеспечивается разного рода предполо см. § 1.2.4), а жениями типа выживаемости (нередуцируемость возможно, и просто свойством строгой монотонности предпочтений и проч. С одним из условий этого типа (нередуцируемость) мы далее встретимся в четвёртом параграфе этой главы при рассмотрении мо дели рынка с перекрывающимися поколениями. Важным же здесь является тот факт, что сложность проблемы существования равно весия разбивается на две составляющие технически значительно более трудную проблему существования квазиравновесий и сравни тельно простую проблему нахождения экономически значимых усло вий, при которых квазиравновесия превращаются в равновесия.

Как показывают многочисленные примеры (см. [Mas-Colell, Zame, 1991]), вышеописанных предположений недостаточно для то го, чтобы квазиравновесия существовали в модели Эрроу–Дебре. То му причиной (во всяком случае при монотонных предпочтениях) по тенциальная пустота внутренности конуса положительных элемен тов пространства продуктов. Для существования квазиравновесий необходимы дополнительные предположения, наиболее известными из которых являются разного рода требования правильности пред почтений потребителей, а также потребительских и производствен ных множеств, компенсирующие негативные структурные свойства пространства продуктов. В настоящем исследовании будут рассмот рены несколько разных (но содержательно близких) понятий пра вильности, обеспечивающих существование квазиравновесий.

2.2. Существование равновесий в экономике чистого обмена В настоящем параграфе будет рассмотрен частный случай модели экономика чистого обмена (рынка). Модель E AD Эрроу–Дебре превращается в экономику обмена в случае |J| = 1 и Yn+1 = {0} и представляет из себя следующую совокупность данных:

152 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики I, E, E, {Pi (·), i }iI.

Em = Все параметры здесь имеют прежний смысл, при том отличии, что в качестве потребительских множеств выбирается конус неотри цательных элементов E + пространства продуктов E и, таким об разом, Pi : (E + )I E + для всех i I. В рамках модели E m будут сделаны все вышеуказанные предположения относительно модели E AD SA, PA, BA и CA. Отметим, что предположение BA о сла бой компактности множества всех достижимых состояний A(X) в случае данной модели обмена эквивалентно требованию слабой компактности (т. е. компактности в топологии (E, E )) порядкового отрезка [0, ], = i. Последнее следует из теоремы Тихонова (о том, что произведение компактов является компактом в тополо гии произведения) и непрерывности проектирования (ибо образ [0, ] компакта A(X) компакт).

Основным результатом параграфа является теорема существова ния квазиравновесия, доказанная при дополнительном предположе нии о монотонности и равномерной правильности потребительских предпочтений.

Мы продолжим изложение с определения представленного в дан ном параграфе понятия правильного предпочтения, использованно го в [Marakulin, 1994, 2001].

Определение 2.2.1. Отношение предпочтения Pi (·) называется M -правильным в точке x domPi (·), x = (x1,..., xn ) относитель но вектора vx E, если существует такая -окрестность нуля Vx в E, что при любом 0 имеет место xi vx + z co Pi (x) = z Vx.

/ (2.2.1) Если вектор vx и окрестность Vx существуют для каждого x domPi (·) A(X) и могут быть выбраны независимо от x, то Pi (·) называется равномерно M -правильным (v = vx ).

Заметьте, что без потери общности можно предполагать, что окрестность нуля Vx, существование которой постулируется в опре делении правильного предпочтения, является открытой, выпуклой и закруглённой (или симметричной, т. е. Vx = Vx ).

Понятию правильности предпочтения в точке может быть дана и другая характеризация в терминах открытых выпуклых конусов.

Именно, положим 2.2. Существование равновесий в экономике чистого обмена P(xi ) xi x i x + Рис. 2.2.1. M -правильное предпочтение в точке xi относительно x = {(vx u) | 0, u Vx }, где vx и открытая выпуклая окрестность нуля Vx в E выбраны в соответствии с определением 2.2.1. Тогда условие (2.2.1) будет экви валентно любому из требований (xi x ) co Pi (x) = xi co Pi (x) + x, / (2.2.2) что легко проверяется непосредственно из определений. Таким об разом, в силу второй части соотношения (2.2.2), предпочтение Pi (·) является равномерно правильным тогда и только тогда, когда най дётся такой -открытый выпуклый конус в E, что модифициро ванное отношение предпочтения x : co Pi (x) + иррефлексивно на A(X). Геометрия M -правильных предпочтений представлена на рис. 2.2.1.

Вышеизложенное понятие правильности в контексте автоном ных, выпуклых и нестрогих предпочтений, представленных как 154 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики предпорядок на E + (т. е. рефлексивное, транзитивное и полное бинарное отношение), было введено в экономическую теорию в [Mas-Colell, 1986a] (отражено в присоединённом символе M ) с це лью компенсировать потенциальную пустоту внутренности потреби тельских множеств в исходной -топологии пространства продуктов.

Действительно, во многих интересных с экономической точки зрения пространствах конус неотрицательных элементов, который являет ся типичным примером потребительского множества, имеет пустую внутренность. Более того, эта ситуация типична и практически толь ко в пространствах типа L и C([0, 1]) внутренность конуса непуста.


Фактически правильность предпочтения в точке x = (x1,..., xn ) эк вивалентна существованию непрерывного опорного к Pi (x) в точке xi функционала (в силу классической (первой) теоремы отделимо сти и (2.2.2)). Это понятие имеет также и экономическое содержа ние, ибо его можно трактовать как наличие экстремально жела тельного набора продуктов, отвечающего вектору vx, желательного в том смысле, что потеря в количестве vx не может быть скомпен сирована дополнительным количеством z любого другого продук тового набора, в том случае, если z достаточно мало (что отража ет требование его принадлежности окрестности Vx ). Правильность предпочтений (в точке) таким образом можно интерпретировать в терминах маргинальных норм замещения. Предложенное в опреде лении 2.2.1 понятие правильности несколько слабее оригинального по Мас-Колеллу и обобщает его на случай непорядковых и невы пуклых предпочтений. Яннелис и Зейм [Yannelis, Zame, 1986] пред ложили альтернативное понятие правильности предпочтения (так называемая F -правильность), которое так же применимо в случае непорядковых предпочтений. Один из слабейших его вариантов бу дет рассмотрен в следующем параграфе.

Требование к предпочтениям быть равномерно правильными существенно сильнее требования поточечной правильности. Как мы увидим в дальнейшем, при монотонных предпочтениях равномер ная правильность фактически обеспечивает существование слабо со звездой компактного выпуклого множества ценовых функционалов такого, что в его пределах найдется функционал, опорный к Pi (x) в точке xi. Здесь можно проследить аналогию со свойством лип шицируемости функций полезности имеются определённые пре делы, равномерно ограничивающие нормы продуктовых замещений.

На самом деле, как показано в [Richard, Zame, 1986], свойство рав номерной правильности предпочтений тесно связано с их продолжи мостью на окрестность потребительского множества (при автоном ных предпочтениях). В данной связи представляет интерес пример 2.2. Существование равновесий в экономике чистого обмена предпочтений, заданных с помощью непрерывных вогнутых функ ций полезности, которые являются правильными в (любой) точке области определения, но не являются равномерно правильными на отрезке [0, ].

Пример 2.2.1 (Неравномерно правильные предпочтения).

Рассмотрим пространство всех интегрируемых по Лебегу функций на отрезке [0, 1] в качестве пространства продуктов, т. е. положим E = L1 ([0, 1]). Далее на конусе неотрицательных элементов этого пространства рассмотрим функцию u : E + R, заданную по формуле x(·) E + = L+ ([0, 1]).

u(x(·)) = 2 x(t)dt, Функция u(·) непрерывная в топологии нормы на L1 ([0, 1]), что лег ко заключить из известного факта о том, что сходимость последова тельности по норме || · ||L1 влечёт сходимость почти всюду у некото рой подпоследовательности. Также очевидно, что эта функция яв ляется вогнутой ибо для любого конечномерного подпространства ступенчатых (простых) функций это сумма квадратных корней от конечного числа переменных, что является функцией вогнутой, далее предельным переходом с плотного подпространства заключа ем истинность нужных в определении неравенств. Наконец, u(·) дифференцируемая функция в любой (квазивнутренней) точке x(·) такой, что x(t) 0 для некоторого и почти всех t [0, 1].

При этом производная u (·) (дифференциал) задаётся по известной из конечномерного анализа формуле u (x), y = x(t) 0, п. в. t [0, 1].

y(t)dt, x(t) Более того, эта производная однозначно с точностью до нормиров ки задаёт непрерывный линейный функционал, опорный в точке к множеству предпочтительных по этой функции (полезности) потре бительских планов, т. е. к выпуклому (из вогнутости u) множеству P(x) = {y E + | u(y(·)) u(x(·))} = = u (x), P(x) u (x), x = u(x)/2.

Истинность последних формул также можно обосновать путём пре дельного перехода по сети конечномерных подпространств ступенча тых функций, для которых эти факты доказаны в обычном много 156 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики мерном анализе. Покажем далее, что данное предпочтение не явля ется равномерно правильным на отрезке [0, e], где e(t) = 1 t [0, 1] (это можно принять как совокупные начальные запасы).

Предположим, что предпочтение P : x P(x) является равно мерно правильным на [0, e]. По определению 2.2.1 найдутся вектор (интегрируемая функция) v : [0, 1] R и окрестность нуля V в L1 ([0, 1]), определяющие конус = {(v w) | 0, w V } такой, что (x ) P(x) =.

В силу теоремы отделимости эти множества можно разделить непре рывным линейным функционалом, который для x(·) e(·), 0, находится однозначно с точностью до нормировки. Следовательно, должно быть u (x, ·), x u (x, ·), x u (x, ·), P(x) = = u (x, ·), 0 x [0, e(·)]. (2.2.3) L+ ([0, 1]).

Покажем, что отсюда следует: Действительно, предположим противное и пусть такое, что на некотором мно жестве ненулевой меры A [0, 1] для некоторого 0 выполнено (t), t A. Рассмотрим далее функцию x : [0, 1] R+, полагая x(t) = 1, t B = [0, 1] \ A и x(t) =, t A, где действительный 1 0 находится из условия µ(A) u (x, ·), (·) + (t)dt 0.

B Первое из этих неравенств выполнено всегда, второе можно обеспе чить, выбирая достаточно малый 0 (числитель в дроби отри цательный!). Получили противоречие с (2.2.3). Таким образом дока зано L+ ([0, 1]). Однако непустой открытый в топологии L1 ([0, 1]) конус, в то время как конус неотрицательных элементов имеет в топологии нормы || · ||L1 пустую внутренность пришли к противоречию. Тем самым предъявленное предпочтение не является равномерно правильным на [0, e(·)]. С другой стороны, несложно ви деть, что выполнено условие поточечной правильности. Более того, данный пример не является уникальным и его анализ можно распро странить на более широкие классы функций полезности, например, на L+ ([0, 1]) это могут быть функции вида u (x) = 0 [x(t)](t) dt, где : [0, 1] (0, 1).

2.2. Существование равновесий в экономике чистого обмена Предложенный выше пример легко модернизировать с тем, что бы получить предпочтение, удовлетворяющее условию равномерной M -правильности. Например, рассмотрим суперпозицию нашей по лезности с функцией, равномерно увеличивающей объёмы потреб ления всех продуктов на 0: u (x) = u(x + e(·)). Докажем M правильность построенной полезности, выбирая e(·)) в качестве век тора правильности. В силу приведённого анализа для этого будет достаточно найти окрестность нуля V такую, что x [0, e(·)]:

u (x, ·), e(·) + V 0 (1 + y(t))dt 0, y V.

x(t) + Последнее имеет место для V = { y L1 | ||y||L1 }, что 1+ и доказывает равномерную правильность представленного предпоч тения.

Основной результат настоящего параграфа теорема существо вания квазиравновесий в M -правильной линейно-решёточной моде ли обмена будет установлен при дополнительных предположениях о монотонности и локальной ненасыщаемости предпочтений.

NA (локальная ненасыщаемость). Для каждого i I и любого x A(X) xi cl(co Pi (x)), x = (x1,..., xn ).

MA (монотонность предпочтений). Для каждого i I и любо го x A(X) Pi (x) + E + cl(co Pi (x)).

Прежде чем перейти к формулировке и доказательству теорем, сделаем ещё несколько важных замечаний. Первое легко видеть, что квазиравновесие (x, ) в модели E m является нетривиальным, только если 0 при = i. Второе, если (x, ) нетривиаль ное квазиравновесие (см. § 1.2.4), то предпочтения всех потребителей являются M -правильными (в точке x) относительно. Последнее требует комментария. Действительно, в силу условия монотонности MA M -правильность предпочтений в точке x эквивалентна условию (xi x E + ) co Pi (x) =, т. е. конус x + E + можно взять вместо конуса правильности x.

Более того, так как при v vx и окрестности нуля V Vx имеет место xi con(v + V ) = xi con(v vx + vx + V ) xi E + con(vx + V ), 158 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики где con(·) означает операцию взятия конической оболочки, то сов местно с предыдущим последнее соотношение означает, что v и V можно принять в качестве вектора и окрестности, отвечающих усло вию M -правильности предпочтения (если таковыми являются vx и Vx ). Суммируя сказанное, можно заключить, что при условии моно тонности требование M -правильности предпочтений можно без огра ничения общности считать реализованным относительно общих для всех i I положительного вектора vx и открытой, выпуклой, за i круглённой окрестности нуля Vx (достаточно положить vx = vx I i и Vx = Vx ). Наконец, можно показать, что если при M -правильных I предпочтениях хотя бы для одного потребителя i имеет место (i + E + ) E( ) = 15, x где E( ) главный идеал, генерированный, то x (а при равномер любое достижимое состояние модели E m ) яв ной правильности ляется тривиальным квазиравновесием. Действительно, тогда в ка честве равновесных цен можно взять непрерывный линейный функ ционал p = 0, разделяющий множества в последнем соотношении (существует в силу классической теоремы отделимости). Чтобы убе диться в том, что это действительно квазиравновесие, достаточно заметить, что из отделимости следует p 0 и p = 0, откуда за ключаем pxi = 0 (ибо 0 xi ) и p, Pi (x) 0 (ибо Pi (x) E + и p 0). Ясно, что полученные таким образом тривиальные квази равновесия не имеют экономического смысла, и, чтобы исключить указанную возможность, нужно предполагать, что (i + E + ) E( ) = x для всех i. Однако теперь в качестве (индивидуализированных) век торов правильности можно взять любой вектор из последнего пересе чения, а супремум этих векторов (в силу соображений, высказанных выше) реализует общий для всех потребителей вектор правильности, который по свойству идеала должен принадлежать E( ). Но каж дый вектор из E( ) должен мажорироваться вектором вида при некотором 0. Следовательно,, а значит и, можно принять в качестве (общего) вектора правильности.


15 Это условие может иметь место, только если не является квазивнутренней точкой в E +. Свойство квазивнутренности в данном случае эквивалентно тому, что конус неотрицательных элементов E + является радиальным множеством в точке, или, в другой терминологии, множество E + поглощающее.

2.2. Существование равновесий в экономике чистого обмена Итак, в итоге мы будем предполагать, что предпочтения потре бителей удовлетворяют свойству M -равномерной правильности (иначе говоря, совокупные запасы = i экстремально жела тельны), а саму модель E m назовём M -правильной, если она удо влетворяет данному свойству, а также всем прочим вышеуказанным предположениям SA, PA, BA, CA, NA и MA.

Теорема 2.2.1. Если E m является M -правильной экономикой об мена, то нетривиальные квазиравновесия существуют.

Теорема 2.2.1 является прямым обобщением теоремы из [Mas Colell, Richard, 1991] на случай неавтономных и непорядковых пред почтений потребителей.

Первоначально теорема 2.2.1 будет доказана при дополнительном предположении относительно индивидуальных исходных запасов по требителей модели E m, что оформлено в виде следующего вспомога тельного результата.

Теорема 2.2.2. Если E m является M -правильной экономикой об мена и при этом h 0 такой, что i h i I, (2.2.4) то существует квазиравновесие (x, ) такое, что ( ) 0. Бо лее того, при этом для каждого i I имеет место = pi, iI pi, + V 0, где V = Vi и Vi открытая выпуклая и закруг iI лённая окрестность нуля в E, выбранная из условия -равномерной -правильности i-го предпочтения.

Замечание 2.2.1. Нужно особо отметить, что результат теоре мы 2.2.1 устанавливает всего лишь существование квазиравновесий с непрерывными ценами при условии M -правильности предпочте ний на [0, ]. Однако пример, представленный в работе [Podczeck, 1996, p. 477], показывает, что в рамках предположений теоремы 2.2.1, возможно, найдётся распределение, представимое как нетривиаль ное квазиравновесие с ценами, которые не являются непрерывны ми в исходной топологии, и при этом не существует непрерывно го ненулевого функционала, реализующего это распределение как квазиравновесное. Конечно, такое может произойти только по той причине, что данное распределение не является квазиравновесным относительно предпочтений Pi (x) = (co Pi (x) + ) E +, i I.

160 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики 2.2.1. Стратегия доказательства Мас-Колелл и Ричард [Mas-Colell, Richard, 1991] предложили при влекательную идею представить цены равновесия в дезагрегиро ванной форме, а именно как супремум индивидуальных под держивающих цен индивидуализированных ценовых функциона лов, опорных к множествам предпочитаемых потребительских пла нов в данном состоянии экономики16. Кроме того, они конструиру ют слабо со звездой компактное множество, содержащее индивидуа лизированные поддерживающие цены любого слабо оптимального по Парето состояния экономики, явным образом используя свой ство -равномерной правильности предпочтений. Мы заимствуем эти идеи, но применяем их несколько другим способом. Наш ме тод основывается на прямом использовании отображений, которые определяют множества непрерывных функционалов, поддерживаю щих (опорных) множество предпочтительных потребительских пла нов для данного потребителя и заданного состояния экономики.

Пусть i I фиксировано. Если Vi открытая, выпуклая, за круглённая окрестность нуля, выбранная из условия равномерной правильности предпочтений i-го потребителя, то для x L+ поло жим i (x) = co Pi (x) +, x = (x1,..., xn ), (2.2.5) где = {( + V ) | 0} & V = Vi.

iI I Напомним, что L = E отождествляется с пространством состояний.

Основные свойства отображения i : L+ E описаны в следую щем (несложном) утверждении.

Утверждение 2.2.1. Если Pi : L+ E + удовлетворяет предпо ложениям CA, MA и NA, то для любого x = (x1,..., xn ) L+ имеет место (i) i (x) открыто, выпукло и непусто при x A(X);

E + ) и xi i (x);

если x A(X), то xi cl(i (x) (ii) / E + );

co Pi (x) cl(i (x) (iii) cl(i (x)) + E + cl(i (x));

(iv) 1 (y) есть (L, L )-открытое подмножество в L+ для (v) i каждого y E.

16 Мас-Колелл и Ричард использовали этот подход в лемме 1 и утверждении из [Mas-Colell, Richard, 1991].

2.2. Существование равновесий в экономике чистого обмена Далее, для x A(X) и любого действительного i 0 определим множества а по ним и отображение индивидуальных поддер живающих цен по формуле i (x, i ) = {pi E+ | i (x), pi i = pi (xi )}. (2.2.6) Отображения, заданные посредством (2.2.5), (2.2.6) (которые, ко нечно, не всюду определены), будут играть решающую роль в ни жеследующих рассуждениях. Действительно, в силу (2.2.5), (2.2.6) несложно заключить, что pi, + V 0, откуда из симметричности V следует | pi, V | pi,, pi i (x, i ).

Последнее, при дополнительном условии xi для некоторо го 0, влечёт, в силу теоремы Алаоглу–Бурбаки17, компактность множества i (x, i ) (в слабой со звездой топологии).

В последующих рассуждениях мы также хотели бы, чтобы вели чины i удовлетворяли условию i = ( pj )(i ) = sup pj (xj ), jI xj 0, xj =i т. е. мы хотели бы, чтобы i совпадали с доходами потребителей, вычисленными относительно супремальных цен. Тогда, неслож ными рассуждениями, подобными использованным Мас-Колеллом и Ричардом (см. утверждение из [Mas-Colell, Richard, 1991]), можно было бы показать, что = pj является (квази)равновесной ценой.

Однако, попытка сконструировать точечно-множественное отобра жение, чья неподвижная точка удовлетворяет данным условиям, на талкивается на множество трудностей.

Первая из возникающих проблем состоит в том, что график отоб ражения i (·) может быть не замкнут в слабой со звездой тополо гии (E, E) (точнее, в подходящем произведении этих топологий) из-за только односторонней непрерывности внутреннего произведе ния p, y = p(y), p E, y E. По этой причине на первом этапе мы ограничим рассмотрения конечномерными подпространствами пространства продуктов.

Другая проблема состоит в том, что каждое отображение i (·, ·) должно быть корректно определено на выпуклой компактной обла сти, принимая в качестве значений её подмножества, которые долж ны быть выпуклы, компактны и непусты.

17 Эта классическая теорема утверждает, что ограниченные, выпуклые, за мкнутые подмножества сопряжённого пространства слабо-звёздно компактны (см. [Шефер, 1971, с. 109, следствие к пункту 4.3.]) 162 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики Частичный ответ на указанные вопросы и соображения даёт сле дующая Лемма 2.2.1. Пусть некоторое предпочтение Pi (·) удовлетворя ет предположениям CA, NA и MA, а множество Y является подмножеством некоторого конечномерного подпространства про странства E. Тогда (i) для каждого x = (x1,..., xn ) A(X) и любого 0, если xi для некоторого 0, то множество i (x, ), опре делённое посредством (2.2.5) и (2.2.6), является непустым, выпуклым и (E, E)-компактным, (ii) отображение (x, ) i (x, ), определённое на (Y I A(X)) [, ], для любых действительных 0 имеет за мкнутый график в (Y I A(X)) [, ] E+ относительно (E, E)-топологии на E+.

Предположим сейчас, что для некоторого фиксированного действи тельного h 0 имеет место i h для всех i. Теперь возьмём и фиксируем такой, что h 0. Пусть также L E некоторое фиксированное конечномерное подпространство, содержащее все i.

Далее для данного L и определим следующие множества. Первое из них это = {p E+ | | p, V |, p( ) h}.

Опять, применяя теорему Алаоглу, заключаем, что множество является (E, E)-компактом. В ближайших построениях это мно жество будет принято в качестве области изменения (индивидуаль ных) цен. Ясно, что n выпуклое, (L, L)-компактное и непустое при достаточно малых 018.

В качестве области изменения состояний экономики примем мно L жество (заметим, что (1,..., n ) X ) X = ( + L+ )I L A(X) = = {(x1,..., xn ) Ln | xi, i I, xi = }.

+ iI 18 Из леммы 2.2.1 (i) имеем i (, h) =. Теперь, чтобы убедиться в непустоте, возьмём и заметим, что i (, h).

h 2.2. Существование равновесий в экономике чистого обмена Наконец, область изменения переменных = (1,..., n ) опреде ляется следующим образом:

= { (1,..., n ) RI | i 1, i h, i I }, + I это множество непусто для h 1/n. Теперь, собирая определён ные выше множества в одно, мы приходим к следующему непустому (при подходящем значении определяющих параметров) выпуклому компактному множеству L L Z = X n.

На следующем этапе перейдём к конструированию точечно L множественного отображения из Z в себя. Это отображение пред ставляется как произведение (декартово) трёх отображений. Первое из них было фактически определено выше. Это отображение s : (x, ) = i (xi, i ).

iI Второе отображение определяется по формуле r : q = (p1,..., pn ) = argmax q(x ).

L x X L Третье отображение имеет более сложную структуру. Пусть XL = {x Ln | x = i }, XL = {x Ln | x = }.

i + j + j jI jI Далее определим L (q) = maxi q(x ), L (q) = max q(x ), (2.2.7) i x XL x XL тогда требуемое отображение это L : q = (p1,..., pn ) (L (q),..., L (q)) = L (q), 1 n зададим по формуле L (q) = L (q)/L (q), i I.

i i Итоговым является следующее отображение:

L : (x,, q) = r (q) {L (q)} s(x, ).

L Основные свойства построенных выше множеств и отображений описывает следующая 164 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики Лемма 2.2.2. Предположим, что h 1/n. Тогда для каждого L такого, что 0 h, множество Z является непустым, вы пуклым и компактным, а отображение L : Z Ln Rn (E+ )n L + + имеет замкнутый график с непустыми, выпуклыми и компакт ными значениями в Z. Следовательно, L имеет неподвижную L точку.

При фиксированном L обозначим посредством (xL, L, q ) текущую L L неподвижную точку отображения. Как отмечено в следующей лемме, для достаточно малых 0 все неподвижные точки этого отображения могут быть заключены в некоторое общее компактное множество.

Лемма 2.2.3. Предположим, что (0, 1/2n]. Тогда все непо движные точки (xL, L, q ) отображения L (·) могут быть за L ключены в некоторое общее компактное множество, не завися щее от выбора. Более того, для каждой такой точки, если L q = (p1,..., pn ), то 2 pi ( ) h, | pi, V | 2.

Лемма 2.2.3 позволяет устремить 0 и перейти к пределу по неподвижным точкам отображения L (·). В результате мы приходим к следующей (основной) лемме.

Лемма 2.2.4. Предположим, что i h · для некоторо- го h 0, и пусть L E есть такое конечномерное подпро странство, что i L, i I. Тогда существуют достижи мое состояние xL = (xL,..., xL ) Ln, набор ценовых функционалов 1 n + q L = (pL,..., pL ) (E+ )n, и набор чисел L h, i I, удовлетво 1 n i L 1, такие, что для каждого i I выполняются ряющих i I следующие условия:

(i) pL, i (xL ) pL (xL ) = L, i (xL ) = co Pi (xL )+{( +V ) | 0};

i i i i (ii) pL {p E+ | | p, V | 2, h p 2};

i (iii) L max {q L (y) | y Ln, yj = i }.

+ i iI 2.2. Существование равновесий в экономике чистого обмена Теорема 2.2.2 будет доказана посредством предельного перехо да по парам (xL, q L )LE, полученным в предыдущей лемме. Другой h предельный переход, при h 0 для подходящей аппроксимации i исходных запасов i, i I, позволит установить теорему 2.2.1.

Стоит отметить одно наблюдение, использованное в доказатель стве теорем. Если q = (p1,..., pn ) набор предельных индивидуали зированных поддерживающих цен, то векторы z i L+, удовлетво ряющие условиям q(z i ) = max pj (xj ) = (, pj )(i ), I xj 0, xj =i, могут быть вложены в общее конечномерное подпространство, что даёт нам возможность сделать ключевые оценки и использовать рав новесные свойства пар (xL, q L )LE.

2.2.2. Доказательства теорем и других результатов Доказательство утверждения 2.2.1. Пункты (i)–(iii) немедлен но следуют из определения i и предположений CA, NA и MA, наложенных на предпочтения потребителей.

Проверим (iv). В силу MA и ввиду выпуклости E + заключаем Pi (x) + E + cl(co Pi (x)) co Pi (x) + E + = co[Pi (x) + E + ] co[cl(co Pi (x))] = cl(co Pi (x)) i (x) + E + = co Pi (x) + + E + cl(co Pi (x)) + cl i (x).

Чтобы убедиться в истинности (v), выберем любой x L+, y E, такие, что y i (x) x 1 (y). По определению (см. (2.2.5)) i m tr zr + при некоторых, zr Pi (x) и tr 0, имеет место y = r= m tr = 1. Далее, в силу CA (ii) множество Pi (zr ) r = 1,..., m, r= является (L, L )-открытой окрестностью x в L+, значит, множество r=m Wx = r=1 Pi (zr ) также (L, L )-открытая окрестность точки x в L. Но тогда x Wx zr Pi (x ), r = 1,..., m y i (x ), + т. е. Wx 1 (y). Так как точка x была выбрана произвольно, то i множество 1 (y) является окрестностью каждой своей точки и, i следовательно, (L, L )-открыто в L+.

166 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики Доказательство леммы 2.2.3. Чтобы установить (i), сначала по кажем, что i (x, ) =. В силу свойства M -правильности предпо чтений, а также из CA (iii) имеем (xi ) co Pi (x) =.

Применяя утверждение 2.2.1 (i) и (первую) теорему отделимости, найдём ненулевой p E такой, что p, xi p(xi ) p, co Pi (x).

Из MA заключаем, что p E+. Так как p, 0, то p( ) 0, что влечёт p(xi ) 0, и мы можем нормировать p, полагая p(xi ) =.

Таким образом, p i (x, ).

Чтобы установить компактность i (x, ), заметим, что из p и по предположению xi следует = p(xi ) p( ) = p( ).

Условие p, i (x) p, xi влечёт p, 0 = p, V + 0 = | p, V | p,, ибо окрестность V симметричная (закруглённая). Последняя и предыдущая формулы дают | p, V | для каждого p i (x, ) и i I. Так как множество i (x, ) яв ляется, очевидно, слабо-звёздно замкнутым, то по теореме Алаоглу i (x, ) слабо-звёздно компактно. Выпуклость i (x, ) тривиально следует из определения.

Чтобы установить (ii), возьмём сеть (направленное множество) (x, p, ) такую, что x Y n A(X), p i (x, ) и x y Y n A(X), и p p в (E, E)-топологии. До статочно показать, что p i (y, ), т. е. проверить p, i (y) p(yi ) =.

Действительно, пусть x co Pi (y) + {( + V ) | 0} фиксирован.

В силу утверждения 2.2.1 (v) найдётся такой, что x i (x ) для всех, что влечёт p (x ) p (x ) =,.

i 2.2. Существование равновесий в экономике чистого обмена По предположению пространство L конечномерно, следовательно, в L существует некоторый конечный линейный базис (zt ), который будем считать фиксированным. По свойству базиса можем записать x = it zt для всех i I. Без ограничения общности можно счи i t тать, что it it и yi = it zt при i I, что влечёт t = p (x ) = it p (zt ) = it p(zt ) = p(yi ) = lim p (x ), i i t t p (zt ) p(zt ) поскольку для каждого t. Следовательно, p(x ) p(yi ) =, что и требовалось доказать.

Доказательство леммы 2.2.2. Выше было отмечено, что множе L L ство Z выпукло и компактно. Покажем, что Z =. Очевидно L X =. Условие h, сделанное в этой лемме, даёт =. Из n этого условия также следует, что, откуда n = (см. сноску h 18 данной главы), что всё и доказывает.

Чтобы доказать замкнутость графика точечно-множественного отображения L = r L s, достаточно установить замкнутость L графика его сомножителей. Тот факт что r (·) и L (·) имеют за L мкнутые графики и принимают непустые, выпуклые и компактные значения, доказывается совершенно стандартно. Применение лем L мы 2.2.1 доказывает, что s(·, ·), с областью определения X, также имеет замкнутый график и принимает непустые, выпуклые и компактные значения. Таким образом, для применения теоремы Какутани–Фана19 о неподвижной точке достаточно показать, что L (z) Z, z Z. Сделаем это.

L L Очевидно r (q) X. Из построения L (q) (см. (2.2.7)) следует, L L что L = max q(x ) q(y) = h · L, max i n i yL+, yj =h x XL L = max q(x ) max q(y) = L, i yXL i x XL iI iI что влечёт L (q).

19 Это просто бесконечномерная версия классической теоремы Какутани, из начально доказанной в рамках конечномерного пространства, давно и хорошо известный факт, истинный в локально выпуклых векторных пространствах (см.

теорему 4.1.1 из раздела 4 и, например, часть 9 раздел 5 из [Berge, 1966]).

168 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики L Более того, если pi i (xi, i ), где x X и, то pi ( ) pi (xi ) = i h (2.2.8) и i = pi (xi ) pi ( ) = pi ( ) 1/.

В то же время из определения имеем pi, i (xi ) pi (xi ) = i, что в силу симметричности V влечёт pi, + V 0 = | pi, V | pi ( ).

(2.2.9) Комбинируя последнюю и предыдущую формулы, заключаем | pi, V | 1/, что даёт s(x, ) L. Итак, для каждого 0, такого, что h, множество Z и отображение L удовлетворяют всем условиям тео L ремы Какутани–Фана о существовании неподвижной точки.

Доказательство леммы 2.2.3. Пусть (xL, L, q ) L (xL, L, q ) L L неподвижная точка отображения L. Очевидно, что xL и L принад лежат компактным множествам XL и. С целью упростить обозна чения, в нижеследующих вычислениях индексы L и опускаются. В силу i = pi (xi ) (следует из свойств неподвижной точки) получаем pi (xi ) = q(x) = max q(x ) = i = x X iI iI = max q, (y1 +,..., yn + ) = yLn, (yi + )= + q(y) + q( ) = (1 n) + q( ), = max yLn, yi =(1n) + где = (,..., ), что (см. также (2.2.7)) влечёт i (1 n). (2.2.10) iI 2.2. Существование равновесий в экономике чистого обмена Далее выберем (0, 1/2n]. Используя (2.2.10) и тот факт, что по i 1, заключаем 2. Но, так как pi ( ) h построению (см. (2.2.7), (2.2.8)), получаем 2 pi ( ) h.

Последнее в силу (2.2.9) заканчивает доказательство леммы.

Доказательство леммы 2.2.4. Применяя лемму 2.2.2 при (0, 1/2n], найдём z Z такой, что z L (z ). В силу лем L L L L мы 2.2.3, устремляя 0, можно предполагать, без ограничения общности, что z = (xL, L, q ) (xL, L, q L ), L L (q L ), q L s(xL, L ).

L L Очевидно, что xL достижимое состояние в L и L. Теперь L L L условие q s(x, ) доказывает (i). В предельной точке мы также имеем h pL ( ) 2, | pL, V | 2, i i что доказывает (ii).

Условие (iii) для предельных точек легко проверяется из ко нечномерности L и, следовательно, совместной непрерывности на этой области отображения (q, x) q(x). Действительно, мы можем перейти к пределу при 0 в соотношениях (2.2.10), заключая L L = L 1, что влечёт i iI L = L /L L, i I, i i i и, по определению величин L (см. (2.2.7)), даёт (iii).

i Доказательство теоремы 2.2.2. Доказательство основано на пре дельном переходе по сети конечномерных подпространств L про странства E, содержащих все i и направленных (т. е. образующих сеть) отношением. Рассмотрим равновесные тройки (xL, L, q L ), полученные в лемме 2.2.4. Отметим, что xL A(X), где в си (L, L )-компакт, а L, где по лу BA множество A(X) построению компакт. Наконец, в силу леммы 2.2.4 (ii) и теоремы Алаоглу можно считать, без ограничения общности, что x (xL, L, q L ) (,, q ). Положим = pi. Покажем, что pi (y) i = (i ), y i ().

x (2.2.11) Прежде всего определим векторы x(i) L+ из условия 170 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики q (x ) = (i ), q (x(i) ) = i I.

max x L+, xj =i Можно считать, что x(i) XL для каждого L L и некоторого L.

i Так как i (y) является (L, L )-открытым в L+ (см. утвержде ние 2.2.1 (v)), то можно считать, что y i (xL ) для каждого L L, что влечёт pL (y) L = pL (xL ) max q L (x ).

i i i i i x XL Поскольку из x(i) XL следует maxx XL q L (x ) q L (x(i) ), заклю i i чаем pL (y) q L (x(i) ).



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.