авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |

«Сибирское отделение Российской академии наук Институт математики им. С. Л. Соболева В. М. Маракулин АБСТРАКТНЫЙ РАВНОВЕСНЫЙ АНАЛИЗ ...»

-- [ Страница 5 ] --

i Переходя к пределу в этом неравенстве и по выбору x(i), получаем pi (y) q (x(i) ) = ( pj )(i ) = (i ), что доказывает (2.2.11). Последнее, будучи применённым к y Pi (), в силу y 0 & 0, даёт (y) (i ). Кроме того, x используя утверждение 2.2.1 (ii) и (2.2.11), получаем (xi ) (i ).

Отсюда, из x A(X) и если (xi ) (i ) для некоторого i находим = (xj ) ( j ) =, что невозможно. Следовательно, (xi ) = (i ) для всех i. Наконец, мы имеем ( ) pi ( ) h ( ) 0, что, совместно с последним и предыдущими соотноше ниями, даёт требуемый результат.

Доказательство теоремы 2.2.1. Чтобы установить теорему, необ ходимо опустить предположение (2.2.4) в формулировке теоре мы 2.2.2. С этой целью определим h i = (1 hn)i + h, i I, для действительных h (0, 1/n). Ясно, что условие (2.2.4) выпол h h i =. Пусть (xh, q) нено для запасов (i ), так как i = iI iI равновесная пара, удовлетворяющая утверждению теоремы 2.2. для данных исходных запасов. Так как ( ) 0, где = pi, iI функционал q может быть нормализован как q h : = q/( ), q h = (ph,..., ph ), 1 n что очевидно даёт ( ph )( ) = 1. К настоящему моменту мы имеем:

i для каждого h, 0 h 1/n существует такая равновесная пара (xh, q h ), что если h = ph, то i ph, i (xh ) h (i ), h i 2.2. Существование равновесий в экономике чистого обмена 1 = h ( ) ph ( ), i I.

i Кроме того, 1 = h ( ) = q h (y) = ph ( ) max i y0, yj = I и по теореме 2.2. ph, + V 0 = | ph, V | ph ( ) 1.

i i i Следовательно, q h {q = (p1,..., pn ) | | pi, V | 1 i I, pi ( ) 1} := M, I где множество M является (L, L)-компактом. Опять, без ограни чения общности можно предполагать, что (xh, q h ) (x, q), q, 1, = (,..., ).

Далее покажем, что (x, ) при = pi является квазиравновесием M -правильной модели E m. С этой целью определим x(0) 0, x(i) из соотношений q(x(i) ) = i I, max q(y), y0, yj =i q(x(0) ) = max q(y).

y0, yj = По построению имеем h (i ) = (1 h · n) h (i ) + h · h ( ) h (1 h · n)q h (x(i) ) + h · q h (x(0) ) (1 h · n)q h (x(i) ) q(x(i) ) = (i ).

h Теперь для y i (x) в силу утверждения 2.2.1 (v) получаем y i (xh ) для достаточно малых h, что влечёт ph (y) h (i ).

h i Сейчас можно перейти к пределу, полагая h 0, что в силу преды дущего соотношения даёт pi (y) (i ), y i (x), i I.

Наконец, так как pi, то 172 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики E+, (y) (i ), y i (x) i I. (2.2.12) Чтобы закончить доказательство, заметим, что в силу утвержде ния 2.2.1 (ii) для каждого i I выполнено xi cl(i (x) E + ), откуда по непрерывности получаем (xi ) (i ), i I.

Теперь, если (xi ) (i ) для некоторого i, то (xi ) ( ), что iI xi =. Следовательно, (xi ) = (i ), i I, что противоречит iI совместно с (2.2.12), SA(iii) и в силу утверждения 2.2.1 (iii) даёт искомый результат.

2.3. Существование равновесий в линейно-решёточной модели Эрроу–Дебре В настоящем разделе анализируется проблема существования конку рентного равновесия в модели Эрроу–Дебре, в которой пространство продуктов описывается как линейная векторная решётка. Данная модель, обозначенная как E AD, и отвечающие ей понятия равнове сия и квазиравновесия (определение 2.1.1) были описаны в разде ле 2.1. Там же был сформулирован ряд безусловных предположений, которым модель E AD должна удовлетворять, с тем чтобы можно бы ло надеяться на то, что равновесия (квазиравновесия) существуют.

Все эти предположения хорошо известны в литературе и требуются (или следуют из наложенных на модель экономики) во всех извест ных автору результатах. В их числе структурные предположения о свойствах двойственной пары товаров и цен SA, выпуклость, замкнутость и достижимость совокупности всех допустимых со стояний PA, ограниченность (слабая компактность) множества достижимых состояний BA, а также предположения, относя щиеся ко свойствам предпочтений, CA, которые должны быть непрерывны, выпуклы и иррефлексивны.

Основным результатом данного параграфа является теорема су ществования квазиравновесий (имеется несколько альтернативных версий), доказанная при дополнительном предположении о пото чечной правильности предпочтений и производственных множеств.

Особо отметим, что изложенные ниже результаты не предполага ют какой-либо формы монотонности предпочтений или условия сво бодного расходования в производственном секторе, а предположения 2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре о правильности даны в слабейшем из имеющихся в литературе ви де и имеют поточечную характеризацию. По твёрдому мнению ав тора, приведённые здесь теоремы являются самыми сильными из имеющихся на данный момент в теории равновесия с бесконечно мерным пространством продуктов. Изложение основано на работах [Florenzano, Marakulin, 2001;

Маракулин, 2004].

Центральная идея, на которой основывается доказательство су ществования квазиравновесий, состоит в том, чтобы проанализиро вать возможность децентрализации равновесий по Эджворту, суще ствование которых можно гарантировать при относительно слабых предположениях. Равновесиями по Эджворту называют состояния экономики, принадлежащие пересечению (бесконечно-счётного чис ла) ядер реплицированной модели исходной экономики (точнее, сим метричной части этого пересечения, в которой агенты одного типа используют одинаковые потребительские и производственные пла ны). Как отмечалось во введении, этот подход применялся ещё в [Peleg, Yaari, 1970] (а в дальнейшем и в работах многих других ав торов, например, в [Aliprantis et al., 1989]). Использованная нами децентрализующая аргументация основана на применении теоре мы отделимости и того факта, что равновесия по Эджворту принад лежат нечёткому ядру исходной экономики. Предположение о пра вильности предпочтений (с целью получить непрерывный ценовой функционал) используется в случае, когда множества (строго) пред почитаемых потребительских планов по отношению к текущему состоянию экономики имеют (возможно) пустую внутренность в ис ходной топологии пространства продуктов. Однако теперь, посколь ку мы имеем дело с конкретным состоянием экономики, достаточно требовать, чтобы предпочтения были правильными в данной точке (состоянии). Возможность замены требования равномерной правиль ности на поточечную была указана еще в [Araujo, Monteiro, 1989] (а также в работе [Due, Zame, 1989]) применительно к частному слу чаю, в котором совокупные исходные запасы являются строго поло жительным элементом пространства продуктов в модели экономики чистого обмена, в которой потребительские множества совпадают с конусом неотрицательных элементов пространства продуктов (авто ры не используют равновесия Эджворта, но доказывают существо вание равновесий с ценами, непрерывными в порядковой норме;

в дальнейшем, используя правильность предпочтений, устанавлива ется непрерывность этих цен в исходной топологии). Затем этот ре зультат был обобщён в [Podczeck, 1996] на случай непорядковых и немонотонных предпочтений. Для более общего случая, когда сово купные запасы не являются квазивнутренней точкой конуса неот 174 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики рицательных элементов (особенно, когда квазивнутренность конуса пуста), Подчек также вводит промежуточное понятие правильности, получившее название E-правильность. Это понятие сильнее пото чечной правильности, но слабее, чем равномерная. Сохраняя основ ную идею E-правильных предпочтений, мы обобщаем это понятие на более общий случай модели экономики с производством и потре бительскими множествами общего вида (этот случай не был изучен Подчеком), в рамках которой и будет установлена теорема существо вания квазиравновесий. Проблема существования квазиравновесия в модели экономики этого же типа исследовалась в работах [Tourky, 1998, 1999], где предполагается строгая монотонность предпочтений и свободное расходование в производственном секторе. В дальней шем мы сравним результаты Турки с изложенными в данном пара графе. Использованные нами понятия E-правильности даны в до вольно абстрактном виде и применяются как для предпочтений, так и для производственных множеств. В последнем случае, в частно сти, используются векторные подрешётки пространства продуктов, которые играют ту же роль, что и предтехнологические множества, введённые в [Mas-Colell, 1986b]. Таким образом, использованное на ми понятие правильности производственных множеств, хотя и даёт ся в поточечных терминах, тем не менее близко к понятию равно мерной правильности (множеств) по Мас-Колеллу, однако при этом теорема существования избавлена от некоторых излишних допол нительных предположений, использованных в оригинальной версии Мас-Колелла (в их числе, например, использованное в [Richard, 1989] требование того, чтобы -раздутия технологических множеств со держались в самом предтехнологическом множестве, комментарии см. ниже). Кроме того, мы вводим и более слабое понятие правиль ности, названное как F -правильность. Это понятие, восходящее к F -правильности по Яннелису и Зейму20 [Yannelis, Zame, 1986], рабо тает весьма эффективно в экономиках обмена с конусом неотрица тельных элементов в качестве потребительских множеств. В общем случае его применять существенно сложнее, однако мы приводим некоторые экономически значимые условия, когда это возможно.

Постольку поскольку в наших модельных рамках не предпола гается ни монотонности предпочтений, ни свободного расходования, то упомянутую выше процедуру децентрализации состояния эконо мики из нечёткого ядра довольно затруднительно использовать на всём пространстве продуктов. Поэтому сначала мы реализуем её в 20 Символ F, присоединённый к этому названию, соответствует первой букве от англ. “forward”.

2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре отношении равновесий по Эджворту в модели экономики, ограничен ной на некоторый хорошо определённый идеал пространства продук тов, подход, восходящий ещё к Пелегу и Ярри. Затем осуществля ется продолжение ценового функционала на всё пространство. В по следнем случае используется и адаптируется идея, заимствованная из [Podczeck, 1996], состоящая в том, что полученный ценовой (не обязательно непрерывный!) функционал можно разложить в сум му непрерывной и положительной составляющих (своеобразный ана лог теоремы Иосиды–Хьюита). В дальнейшем искомые непрерывные равновесные цены определяются как супремум непрерывных состав ляющих. Таким образом, при условии E-правильности, определён ной для всего пространства (а не подпространства, как это делает ся в общем случае), использованный метод попутно доказывает тот факт21, что состояние экономики, представимое как квазиравновесие с необязательно непрерывными ценами, является квазиравновесием с непрерывным ценовым функционалом.

2.3.1. Правильные модели Эрроу–Дебре и продолжение линейных функционалов Для децентрализации равновесий по Эджворту будут использовать ся формулируемые ниже понятия правильности потребительских предпочтений и производственных множеств.

Определение 2.3.1. Пусть K E некоторый идеал простран ства продуктов. Отношение предпочтения Pi : X Xi называется F -правильным относительно K в точке x X, если существуют -открытое выпуклое подмножество Vx E, подрешётка Zx K, удовлетворяющая Zx + K + Zx и подмножество Ax E, радиаль ное22 в точке xi, такие, что xi Vx Zx и = Vx Ax co Pi (x).

Zx (2.3.1) Если дополнительно (Zx + E + ), co Pi (x) Ax Vx (2.3.2) 21 Этот результат был впервые установлен в [Yannelis, Zame, 1986] для риссов ских экономик обмена со строго положительным вектором совокупных ресурсов, а затем передоказан в различных контекстах в работах многих других авторов (см. [Aliprantis et al., 1989;

Podczeck, 1996;

Tourky, 1998, 1999]).

22 Напомним, что подмножество A E называется радиальным (поглощаю щим) в точке y A, если для каждого u E существует действительное, 0 1 такое, что (1 )y + u A для каждого 0.

176 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики K=E P(x) Vx Zx x Ax Рис. 2.3.1. F-правильные предпочтения то отношение предпочтения Pi называется E-правильным в точке x X относительно K.

Прежде всего отметим, что в данном определении неявно предпо лагается, что выбор идеала K может зависеть от выбора текуще го состояния экономики, но всегда имеет место xi K. Кроме то го, отметим тот факт, что по свойству Zx + K + Zx подрешётка Zx автоматически является выпуклой (ибо для z1, z2 Zx имеем z1 + (1 )z2 [z1 z2, z1 z2 ] Zx для каждого 0 1) и может быть различной у предпочтений, отвечающих разным аген там. Дополнительно заметим, что условие E-правильности (2.3.2) фактически влечёт Pi (x) Zx + E +, т. е. у каждого (строго) пред почитаемого плана найдётся нижняя граница в пределах множества Zx K. Тем самым условие E-правильности относительно E не вле чёт правильность относительно идеала K, даже если истинно (2.3.1) относительно Zx K. Геометрия F -правильных предпочтений пред ставлена на рис. 2.3.1, а E-правильных на рис. 2.3.2.

Комментируя определение 2.3.1, сравним его с наиболее близки ми из имеющихся в литературе и данными в терминах открытых выпуклых конусов. Предположим, что на конусе неотрицательных 2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре элементов E + локально выпуклого пространства (E, ) определено автономное отношение предпочтения P : E + E +. Также пред положим, что определены некоторый вектор vx, удовлетворяющий x+vx K + для некоторого 0, и некоторая открытая выпуклая окрестность нуля Ux E, которые являются, соответственно, век тором и окрестностью правильности в следующем смысле. Пусть x открытый выпуклый конус с вершиной в точке 0, генериро ванный множеством ({vx } + Ux ). Тогда отношение P : E + E + является F -правильным относительно K в точке x K +, если су ществует такое радиальное в точке x множество Ax E, что K+ Ax P(x).

({x} + x ) Здесь в случае K = E мы получаем определение F -правильности по Яннелису и Зейму [Yannelis, Zame, 1986]. В то же время отношение P(·) является E-правильным относительно K в точке x K +, если существует такое Ax E, радиальное в точке x E, что x + vx co P(x) для некоторого и K+ (co P(x) + x ) Ax P(x).

В первом случае Vx = {x} + x и Zx = K + согласуются с F Zx = K + и правильностью по определению 2.3.1, во втором Vx = co P(x) + x удовлетворяют условиям (2.3.1) и (2.3.2) этого же определения и соответствуют определению E-правильности относи тельно K, предложенному в [Podczeck, 1996] (однако описанному в других терминах).

В частности, из вышесказанного должно быть понятно, что пред положение о правильности отношения Pi : X Xi, постулированное в определении 2.3.1, является не только предположением на Pi, но и предположением на Xi. Как обычно, можно заметить, что Pi являет ся E-правильным в точке x, если Pi (x) Ax Zx можно продолжить до выпуклого множества Pi (x) = Vx, имеющего -внутреннюю точ ку в Zx Ax и такого, что xi Pi (x). Стоит также отметить, что условие (2.3.1) определения 2.3.1 в частности влечёт, что x является локально-ненасыщенной точкой для co Pi в K.

Заканчивая обсуждение E-правильности предпочтений, приве дём пример, заимствованный у Подчека (см. пример 3 в [Podczeck, 1996]), который показывает, что E-правильность не влечёт равно мерной M -правильности по определению 2.2.1 даже при условии мо нотонности предпочтений.

178 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики K=E P(x) Vx Zx x Ax Рис. 2.3.2. E-правильные предпочтения Пример 2.3.1. Пусть E = ca([0, 1]). Нижеописанная процедура определяет некоторую функцию на E. Для действительного определим непрерывную функцию f : [0, 1] R по формуле (1/t) 1 для 1/ t 1, f (t) = 2 1 для 0 t 1/.

Для имеет место f (t) f (t) для всех t [0, 1] и также f (0) + при +. Отсюда легко видеть, что для каждого µ ca([0, 1])+, µ = 0, существует единственное число = (µ) такое, что f, µ = 1. Теперь определим функцию полезности u :

ca([0, 1])+ R+ по формуле 1/((µ)) для µ = 0, u(µ) = 0 для µ = 0.

Несложная проверка показывает, что функция u(·) является (ca([0, 1]), C([0, 1])-непрерывной, квазивогнутой и строго монотонно возрастающей. В частности, для каждого ненулевого µ ca([0, 1])+ и любого µ ca([0, 1])+ неравенство 2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре u(µ ) u(µ) f (µ), µ и, кроме того, u(µ ) = u(µ) f (µ), µ = 1.

Отсюда следует, что предпочтение, определённое посредством u(·), является E-правильным относительно E в каждой из точек µ ca([0, 1])+, причём в качестве вектора правильности можно при нять любой ненулевой вектор ca([0, 1])+. Более того, можно пока зать, что f (µ), · является единственным с точностью до нормиров ки опорным в точке µ к множеству лучших по u(·) потребительских планов (мер).

Далее, пусть w стандартная мера Лебега на [0, 1], а лю бая топология, совместимая с двойственностью ca([0, 1]), C([0, 1]) (например, топология Макки). Далее заметим, что при любом f C([0, 1]) условие f z 0 для всех z E(w)+ влечёт f 0. Те перь, используя теорему отделимости (рассуждая от противного), несложно показать, что положительный конус E(w)+ идеала E(w) является -плотным в ca([0, 1])+. Утверждается, что заданное функ цией u(·) предпочтение не является M -правильным (равномерно) на [0, w]. Действительно, предполагая противное, заметим, что в таком случае предпочтение является M -правильным относительно любого вектора правильности из E(w)+ (следует из отмеченной плотности конуса из E(w)), а значит, и относительно w. Следовательно, можно найти (ca([0, 1]), C([0, 1])-компактное множество B в C([0, 1]), обла дающее свойствами:

(i) для каждого µ [0, w] существует такой f B, что f (µ ) f (µ) если u(µ ) u(µ), (ii) f (w) = 1 для каждого f B.

Теперь, с целью прийти к противоречию, рассмотрим для нату рального m функционал wm = (1/m)w. Так как E(w)+ -плотно в ca([0, 1])+, то отсюда следует (например, в силу леммы 2.3.1), что в точке wm единственным линейным -непрерывным опорным функционалом является, с точностью до нормировки, функционал m f (w ). Пусть теперь f m это тот же функционал, но нормиро ванный условием f m (w) = 1. Теперь, устремляя m к бесконечно сти, находим, что f m (0) и f m (t) 0 для t (0, 1]. Сле довательно, семейство функционалов {f m } не может быть относи тельно (ca([0, 1]), C([0, 1])-компактным, ибо данная последователь ность не имеет подпоследовательности, слабо сходящейся к непре рывной функции (элементу из C([0, 1]), что должно быть в силу 180 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики K=E Y 0 Y  y Ay Vy Zy Y ?

Рис. 2.3.3. F-правильное производство критерия компактности. Получили противоречие и, тем самым, уста новили, что для любой топологии, сопоставимой с двойственностью ca([0, 1]), C([0, 1]), предпочтения, заданные функцией u(·), не явля ются равномерно правильными на [0, w].

Определение 2.3.2. Пусть K E некоторый идеал простран ства продуктов. Множество Y E называется F -правильным относительно K в точке y Y, если найдутся -открытое вы пуклое подмножество Vy E, подрешётка Zy K, удовлетворяю щая Zy K + Zy, и радиальное в точке y подмножество Ay E такие, что y V y Zy и = Vy Ay Y.

Zy (2.3.3) Если дополнительно (Zy E + ), Ay V y Y (2.3.4) то множество Y называется E-правильным в точке y Y отно сительно K.

2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре K=E Y 0 Y  Ay y Vy Zy Y ?

Рис. 2.3.4. E-правильное производство Здесь опять выбор идеала K может зависеть от выбора текущего состояния экономики и всегда y K, а по свойству Zy K + Zy подрешётка Zy (потенциально различная у разных производствен ных множеств) автоматически является выпуклой. Геометрия F -пра вильных производственных множеств представлена на рис. 2.3.3, а E-правильных на рис. 2.3.2.

Прокомментируем различие между F - и E-правильностью в точ ке y Y K в терминах конусов. Вновь предположим, что (E, ) локально выпукло и что определены вектор vy K + и -открытая выпуклая окрестность нуля Uy E, которые можно принять как вектор и окрестность правильности. Пусть y открытый выпук лый конус с вершиной в 0, генерированный множеством ({vy } + Uy ).

Тогда Y будет F -правильным относительно K в точке y Y K, если существует такое Ay E, радиальное в точке y, что {z K | z + y + } ({y} y ) Ay Y.

Это условие, будучи рассмотренным при K = E, близко к одному из условий, накладываемых в [Richard, 1989] (это условие предполагает существование такого открытого конуса, что 182 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики (Y ) { z E | y Y : z + y + } = Y.

Ясно, что это один из вариантов равномерной правильности произ водственных множеств).

В то же время множество Y является E-правильным относитель но E в точке y Y, если, как в [Mas-Colell, 1986b], найдётся неко торая предтехнологическая выпуклая решётка Zy E такая, что Y Zy, Zy E + Zy и (Y ) Zy Y.

В данном случае открытый выпуклый конус с вершиной в 0, ге нерированный множеством {v} + U, где v E + вектор равномер ной правильности множества Y и U некоторая -открытая, выпук лая окрестность нуля в E. Можно показать (см. [Marakulin, 1998]), что свойство M -правильности производственных множеств по Мас Колеллу эквивалентно тому факту, что конус, выпущенный из про извольной точки z Zy \ Y, не пересекается с множеством Y. Гео метрия M -правильных производственных множеств представлена на рис. 2.3.5, с. 183. Заметьте, что если из точки криволинейного тре угольника ABC выпустить изображённый (открытый) конус z +, то он не пересекается с множеством Y.

Отметим, что в соответствии с данным определением производ ственное множество вида Y = {0} не является ни F -правильным, ни E-правильным. Наоборот, множество Y = E + является как F, так и E-правильным относительно любого идеала K пространства E, в любой точке y Y K.

Отметим также, что для предпочтений и производственных мно жеств E-правильность относительно E очень близка к понятию M правильности по Турки [Tourky, 1998, 1999], однако E-правильность в нашем смысле всё ещё является более слабым требованием23.

Далее мы представим пример производственного множества, ко торое является E-правильным в каждой точке его эффективной гра ницы, но при этом не является равномерно правильным. Этот при мер математически близок к примеру 2.2.1 из предыдущего раздела и анализируется подобным образом. Пусть E = L1 ([0, 1]). Определим производственное множество Y E по формуле Y = {y L1 ([0, 1]) | y(t) 1 для п. в. t [0, 1] & 1 y(t)dt 1} 23 Кроме того, как отмечалось выше, в теоремах существования Турки требует монотонности предпочтений и свободное расходование в производстве.

2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре A B  z+ Zy Y 0 Y C Y ?

Рис. 2.3.5. M-правильное производство или, слегка меняя ограничение, как Y = {y L1 ([0, 1]) | y(t) 1 для п. в. t [0, 1] & ln(1y(t))dt 0 }.

Легко видеть, что это множества, допускающие бездействие, т. е.

0 Y, свободное расходование и прочие стандартные требования.

В части проверки свойств правильности анализ подобен реализован ному в примере 2.2.1 и опускается.

Определение 2.3.3. Пусть E AD линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре24 и пусть K некоторый идеал в E. Модель E AD на зывается F -правильной (соответственно E-правильной) относи тельно K в точке (допустимом состоянии) (x, y) X, x = (xi )iI, y = (yj )jJ, если каждое отношение предпочтения и каждое про изводственное множество F -правильное (соответственно E-пра вильное) относительно K в точках xi, yj соответственно, причём E AD удовлетворяет предположениям SA, PA, BA и CA.

24 Следовательно, 184 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики i j i j i Zxi и 0 Zyj для всех i I, j J, где множества Zxi и Zyj выбраны из определения правильности.

Если модель E AD = E m, т. е. является линейно-решёточной эко номикой чистого обмена, то E m называется F -правильной (соот ветственно E-правильной) относительно K в точке x Xi, iI если вышеуказанные требования выполнены для потребительского сектора.

Стоит заметить, что идеал K, удовлетворяющий условию этого опре деления, должен содержать каждую из точек i, xi и yj и, следова тельно, автоматически содержит идеал E(u), генерированный точ кой |i | + |xi | + |yj |.

u= I I J Кроме того, так как u = |i | 0, то должно быть I E( ) E(u).

Следующее определение вводит понятие нетривиально правильной модели экономики.

Определение 2.3.4. Экономика E AD называется нетривиально F -правильной (соответственно нетривиально-E-правильной) от носительно K в точке (x, y), если E AD является F -правильной (E правильной) в точке (x, y) и выполнено следующее дополнительное условие: для каждого i и j существуют такие векторы vi, vj K, что xi + vi Vxi Zxi и yj vj Vyjj Zyj, множество i i j Zxi E(uv ) i Zyj E(uv ) j I J радиально в точке = i 25 в E(uv ) K подыдеале идеала K, I генерированном точкой uv = |i | + |xi | + |vi | + |yj | + |vj |, I I I J J и при этом ( vi + Xt = & ( vj + Xi = (2.3.5) Yj ) Yt ) J I J I для любых i I, j J. Здесь все множества Zxi, Zyj и Vxi, Vyjj i j i выбраны из определения правильности.

25 Заметьте, что =, только если 0 для всех i, и это согласуется с i принятыми ранее обозначениями.

2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре Анализируя это определение, отметим, что соотношения (2.3.5) могут быть эквивалентным образом записаны в виде vi Yj & vj Xt Xi Yt I J I J для каждого i, j и имеют очевидный экономический смысл допу стимости желательных в текущем состоянии (x, y) продуктовых наборов vi и vj. Действительно, совместно с другими требованиями эти включения означают, что для каждого потребителя (произво дителя) найдётся в экономике такой продуктовый набор vi из про странства K (технологический план vj ), который этот потребитель способен и хотел бы дополнительно потребить (мог бы дополнитель но затратить в производстве). При этом, например, левое соотноше ние в (2.3.5) говорит о том, что экономика потенциально допуска ет изъятие вектора vi из совокупных ресурсов, т. е. существуют сбалансированные производственная и потребительская программы, t vi. Аналогично для производствен совместимые с ресурсами tI ного сектора (правая часть в (2.3.5)).

Ниже даётся аналогичное определение в отношении модели эко номики чистого обмена.

Определение 2.3.5. F -правильная (соответственно E-правиль ная) экономика чистого обмена E m называется нетривиально F -правильной (соответственно нетривиально E-правильной) от носительно K в точке x, если для каждого i существуют такие i i векторы vi K, что xi + vi Vxi Zxi, и при этом vi i I, Xi, (2.3.6) Zxi E(uv ) радиально в точке = i причём множество i в I I E(uv ) K подыдеале идеала K, генерированном точкой uv = |i | + |xi | + |vi |.

I I I i i Здесь множества Zxi, Vxi выбраны из определения правильности.

Уместно указать на одну особенность, непосредственно следую щую из приведенных понятий нетривиальной правильности. Эта осо бенность играет важную роль в дальнейшем анализе. Первое, каж дая нетривиально E-правильная модель относительно любого идеа ла является нетривиально F -правильной относительно идеала E(uv ).

186 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики Второе, нетривиальная E-правильность относительно идеала E пространства продуктов данной модели является слабейшим ти пом нетривиальной E-правильности.

Дальнейшие рассмотрения будут основываться на следующем вспомогательном результате выпуклого анализа, первая (основная) часть которого была установлена в [Podczeck, 1996].

Лемма 2.3.1. Пусть (E, ) хаусдорфово топологическое вектор ное пространство и пусть K подпространство E. Пусть также Z выпуклое подмножество в K и V выпуклое -открытое под множество E такое, что V Z =. Пусть p линейный функ ционал на K, удовлетворяющий p · z p, V Z для некоторого z V Z. Тогда существуют такой -непрерывный линейный функционал (E, ) и такой линейный функционал h на E, что p = |K + h|K и при этом · z, V, h · z h, Z. (2.3.7) Дополнительно предположим, что (E, ) упорядоченное век торное пространство и определим множество K + = E + K. Те перь, если Z + K + Z, то h|K 0, |K p и p · (z y) = · (z y) для каждого y z, y Z. (2.3.8) Комментируя утверждение леммы, особо отметим, что функцио нал p не просто разлагается в сумму непрерывной и положительной составляющих, но одновременно продолжается до линейного функ ционала, определённого на всём пространстве E.

Применяя предыдущую лемму к множествам V, Z и точке z, непосредственно получаем Следствие 2.3.1. Если в условиях леммы 2.3.1 требование Z + K + Z заменить на Z K + Z, то найдутся непрерыв ный линейный и линейный h, удовлетворяющие (2.3.7), условиям p = |K + h|K, h|K 0, |K p и, дополнительно, p · (z y) = · (z y) для каждого y z, y Z. (2.3.9) Применение данной леммы и её следствия в нижеследующем утверждении описывает важные свойства F -правильных моделей экономики. Доказательство этого утверждения явственно демон стрирует значение декомпозиционного свойства Рисса в простран стве продуктов E и формулы Рисса–Канторовича (о представлении 2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре супремального функционала) в отношении непрерывных линейных функционалов над E, что гарантируют наложенные на двойствен ность товаров и цен структурные предположения SA26.

Утверждение 2.3.1. Пусть K некоторый порядковый идеал в E и пусть (x, y, p) квазиравновесие в модели E|AD с ценами p K K алгебраически двойственного к K. Если E AD F -правильная эко i номика относительно K в точке (x, y) и если множества Vxi, i j j Zxi, Vyj, Zyj выбраны из определения правильности, то для каж дого t I J существуют такие -непрерывные функционалы t (E, ), что t|K p, и j · Vyjj j · yj, i i · V x i i · x i, i I, j J.

(2.3.10) Более того, если = (iI i ) (jJ j ), то (E, ) и i i I, zi xi, zi Zxi, i (xi zi ) = (xi zi ) = p(xi zi ), (2.3.11) j j J, zj yj, zj Zyj, j (zj yj ) = (zj yj ) = p(zj yj ), (2.3.12) · ( u) = p · ( u) u, u i j Z xi Z yj. (2.3.13) iI jJ Наконец, для каждого i I имеет место · x i = · i + ij · yj. (2.3.14) jJ Результат утверждения 2.3.1 дополняет следующее Утверждение 2.3.2. Пусть в условиях утверждения 2.3.1 под Z xi K Zyj K радиально в точке в i j множество i j K K подыдеале идеала K. Тогда |K = p|K. Если, допол нительно, E AD нетривиально-F -правильная экономика относи тельно K в точке (x, y) и E(uv ) K, где E(uv ) подыдеал идеала K, генерированный точкой uv = |i | + |xi | + |vi | + |yj | + |vj |, I I I J J где vi, vj K выбраны из определения нетривиально-правильной модели экономики, причём p|E(uv ) = 0, то (x, y, p) такое квазирав новесие, что pvi 0 или pvj 0 для некоторого i, j.

26 Более подробно об этих двух свойствах см. [Aliprantis et al., 2000].

188 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики Один из основных результатов настоящего раздела устанавлива ется в нижеследующей теореме. Эта теорема утверждает, что до стижимое состояние, будучи поддержано (децентрализовано) в K некоторым линейным над K функционалом, также может быть под держано в E непрерывным на (E, ) функционалом (ценами), если модель E AD является E-правильной относительно K.

Теорема 2.3.1. Пусть в условиях утверждения 2.3.1 модель E AD является E-правильной относительно K и, дополнительно, ли бо существует такой i0 I, что px 0 pxi0 при некотором i x 0 Xi0 Zx00, либо, альтернативно, E AD i нетривиально-E i i правильная относительно K в точке (x, y), причём p|E(uv ) = 0, где E(uv ) подыдеал идеала K, генерированный точкой uv = |i | + |xi | + |vi | + |yj | + |vj |.

I I I J J Тогда (x, y, ) нетривиальное квазиравновесие;

здесь найдено из условий и соответствует утверждению 2.3.1.

В частности, заменяя в предыдущей теореме K на E, легко ви деть, что если E AD обладает свойством E-правильности относитель но E, то любое достижимое состояние, представимое как квазирав новесие с вектором цен, не принадлежащим (E, ), также предста вимо как квазиравновесие с непрерывными ценами. Таким обра зом, данная теорема обобщает подобные результаты из [Podczeck, 1996] и [Tourky, 1998, 1999] на случай экономики с производством и потребительскими множествами общего вида без предположения о какой-либо монотонности предпочтений или условия свободного расходования в производственном секторе. Однако отметим (см. за мечание 2.2.1 предыдущего раздела), что, хотя в целом условие M правильности жёстче E-правильности, для M -правильных (равно мерно) моделей теорема 2.3.1 неверна (см. пример 2 из [Podczeck, 1996]). Причина состоит в том, что M -правильность исходных пред почтений не влечёт их E-правильности (если бы это было так, то каждое нетривиальное квазиравновесие с линейными ценами можно было бы представить как нетривиальное квазиравновесие с непрерывными ценами, однако пример Подчека противоречит это му), хотя, конечно, новые предпочтения, определённые по правилу x : (co Pi (x) + ) E +, являются E-правильными в соответствую щих моделях экономики.

Давайте вновь обратимся к случаю F -правильных моделей. Сле дующее утверждение даёт достаточные условия для получения ре зультата, аналогичного предыдущему, в рамках F -правильности.

2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре Утверждение 2.3.3. Предположим в условиях утвержде i j Z xi ния 2.3.1, что Z yj радиальное в точке i под I i j множество в K и что для всех i, j множества Pi (xi ) K и Yj K являются -плотными в Pi (xi ) и Yj соответственно. Тогда |K = p и (x, y, ) является квазиравновесием модели E AD.

Для доказательства этого утверждения достаточно применить утверждение 2.3.2 для K = K, вспомнить квазиравновесные свойства точки (x, y, p), а затем, используя плотность Pi (x, y) K и Yj K в Pi (x, y) и Yj соответственно, применить -непрерывность функционала.

В качестве приложения утверждения 2.3.3 можно предположить, что порядковый идеал K является -плотным в E. В таком случае достаточно выяснить условия, при которых можно гарантировать, что множества Pi (xi ) K и Yj K являются -плотными в (соответ ственно) Pi (xi ) и Yj. Отметим, что, в силу предположения CA(i), для -плотности множеств (строго) предпочитаемых потребитель ских планов достаточно требовать -плотности Xi K в Xi. Важ ным примером множества, обладающего этим свойством, является конус неотрицательных элементов E + пространства E. Этот факт при предположениях SA был установлен в лемме 3 из [Podczeck, 1996]27.

Лемма 2.3.2 (Подчек, 1996). Пусть (E, ) удовлетворяет SA и -плотный идеал в E. Тогда K + = K E + -плотно в E +, K + = E+.

т. е. K В частности, из леммы 2.3.2 следует, что множества вида {k}+E + или вида {k} E + для любого k K также обладают этим свой ством. Следующая лемма и её очевидное следствие дают достаточ ные условия для искомой плотности и при этом имеют определён ную экономическую интерпретацию.

Лемма 2.3.3. Пусть Z E -замкнутое, K -плотное в E и каждый z Z удовлетворяет одному из условий:

• либо найдутся такой az K, az z и такое -открытое, выпук лое множество Uz E, что ({az } E + ) Z ({az } E + ), = Uz z Uz (2.3.15) & 27 Доказательство дано Подчеком в случае, когда K является порядковым иде алом, генерированным положительным элементом в E. Однако легко проверя ется, что то же самое доказательство срабатывает в отношении любого другого порядкового идеала, -плотного в E.

190 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики • либо найдутся такой az K, az z и такое -открытое, выпук лое множество Uz E, что ({az } + E + ) Z ({az } + E + ).

= Uz z Uz & (2.3.16) Тогда K Z = Z.

Следствие 2.3.2. Пусть некоторое замкнутое Z E допускает представление в виде (B E + ) Z=U или в виде (B + E + ) Z=U для некоторого -открытого, выпуклого U E и некото рого B K. Пусть также для каждого b B выполнено ({b} E + ) U = в первом случае и ({b} + E + ) U = во втором. Тогда условие K = E влечёт K Z = Z.

Условия (2.3.15) и (2.3.16), наложенные в этой лемме, можно ин терпретировать как вид правильности сверху в точке z относи тельно K ( правильность снизу соответственно), которые могут быть наложены на потребительские и производственные множества совместно с условием F -правильности предпочтений. Важное (и наи более ограничительное) требование в условиях леммы 2.3.3 состоит в предположении того, что каждый z Z имеет верхнюю (нижнюю) границу в K. Применительно к потребительским или производствен ным множествам, это требование можно экономически интерпрети ровать. В самом деле, принимая в расчёт то, что i K для каж дого i, можно постулировать, что векторы затрат (выпусков) фирм должны быть выбраны из E( ) K порядкового идеала, генери |i |. Аналогичные гипотезы могут рованного в K вектором = i быть приняты в отношении допустимых потребительских планов28.

Как показывает следствие 2.3.2, потребительские множества, представленные в виде Xi = Zi ({ai } + E + ) при ai K, где Zi выпуклое, -замкнутое и имеющее внутреннюю точку в ({ai } + E + ), удовлетворяют (2.3.16). Предположение этого вида свойство иметь внутреннюю точку отмечено в конце работы [Podczeck, 1996] как допускающее, в экономике обмена, обобщение 28 Заметьте, что это требование автоматически выполнено если X E +, ибо i 0 K.

2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре теоремы существования в условиях F -правильности предпочтений и для потребительских множеств, имеющих более общий вид, неже ли конус неотрицательных элементов пространства продуктов. Тем не менее заметим, что применение гипотез этого типа в отношении производственного сектора представляется более проблематичным.

2.3.2. Равновесия по Эджворту и существование квазиравновесий с непрерывными ценами В начале данного раздела мы напомним понятия ядра, равновесия по Эджворту29 и нечёткого ядра в модели Эрроу–Дебре, а также приведём имеющиеся результаты существования, т. е. непустоты от вечающих этим понятиям множеств состояний экономики.

Говорят, что состояние (x, y) A(X) доминируется (блокируется) коалицией (непустой) S I, если существует такой x Xi, что S iS j (x i ) i Yj, iS iS iS jJ и при этом x Pi (x, y) для каждого i S. Условие доминирова iS ния означает, что по сравнению с текущим распределением при ав тономном функционировании коалиция способна обеспечить своим членам более предпочтительные потребительские программы. Сле довательно, рассмотренное распределение не может служить в каче стве финального распределения, поскольку нашлась протестующая коалиция.

Ядром C(E AD ) модели E AD называется множество всех дости жимых состояний (x, y) A(X), которые не блокируются никакой (непустой) коалицией. Распределения из ядра являются минимально приемлемыми кандидатами на роль финального распределения.

Репликой модели E AD объёма d N (т. е. d-кратной репликой) на AD зывается модель Ed, составленная из d штук подэкономик, каждая из которых совпадает с исходной моделью E AD. Иначе говоря, пара метры реплицированной модели получены как d-кратное копирова AD ние параметров исходной экономики. Более точно, модель Ed вклю m=d m=d чает в себя Id = {(i, m)}m=1,iI потребителей и Jd = {(j, m)}m=1,jJ производителей, которые обладают тем свойством, что их парамет ры (т. е. потребительские и производственные множества, предпочте ния, исходные запасы и доли участия в производственном секторе), 29 Впервые введённая в [Aliprantis et al., 1989] эта терминология теперь уже стала общепринятой.

192 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики имеющие двойной индекс (i, m) или (j, m), полностью определяют ся их типом в исходной модели, т. е. первым индексом. При этом предпочтения потребителей задаются точечно-множественным отоб ражением Pim (·), определённым на Xm = Xim Yjm и при iI jJ нимающим значения в Xim, т. е.

Pim (·) : Xm Xim для всех m = 1, 2,..., d. То же самое относится к долям участия в производстве с индексом (j, m). Только потребители m-й подэконо мики имеют ненулевые доли, совпадающие с долями участия потре бителя данного типа в исходной модели, т. е. имеет место jm j jm im = i, im = 0 i I, j J & m, m = 1, 2,..., d, m = m.

Следуя [Aliprantis et al., 1987, 1989], достижимое состояние (x, y) A(X) называется равновесием Эджворта, если d-кратная вектор-копия вектора (x, y) принадлежит ядру d-реплики модели E AD для каждого натурального d 1. В дальнейшем символ C e (E AD ) обозначает множество всех равновесий Эджворта моде ли E AD.

Используя сделанное выше предположение о полуавтономности потребительских предпочтений (т. е. их независимость от производ ственного сектора), для выпуклого Y = Yj (что следует из пред J положения PA, постулирующего выпуклость X), тот факт, что со стояние (x, y) C e (E AD ), можно переформулировать в следующих терминах. Не существует вектора t = (t1,,..., tn ) = 0 с рациональ ными ti [0, 1] такого, что найдётся такой x Xi, что t ti j ti (x i ) i Yj 30, ti (2.3.17) it iI:ti 0 iI:ti 0 jJ и при этом имеет место x Pi (xi ) для всех i supp(t) = {i | ti 0}.

it Другое важное понятие, плодотворно работающее в теории эконо мического равновесия, это концепция нечёткого ядра. Напомним, что любой вектор t [0, 1]I, t = 0 отождествляется с нечёткой коали цией, где ti 0 интерпретируется как мера участия i-го потребителя 30 Легко видеть, что в силу полуавтономности предпочтений возможно (и фак тически делается) перейти к модели, в которой производственный сектор опи сывается посредством индивидуализированных (в отношении каждого из потре j i Yj, i I.

бителей) производственных множеств, имеющих вид jJ 2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре в данной коалиции. Коалиция t блокирует (доминирует) состояние (x, y) A(X), если найдётся такой x Xi, что t ti j ti (x i ) ti i Yj, it iI:ti 0 iI:ti 0 jJ x co Pi (x) i supp(t) = {i I | ti 0}.

it Множество всех неблокируемых по нечётким коалициям достижи мых состояний, обозначенное как C f (E AD ), называется нечётким ядром модели E AD.

Из определений и в силу (2.3.17) легко видеть, что элементы нечёткого ядра отличаются от равновесий по Эджворту только в двух аспектах. Во-первых, допускается доминирование по любым нечётким коалициям, а не только по коалициям, имеющим рацио нальные координаты. Во-вторых, возможности доминирования рас ширяются за счет требования принадлежности доминирующих по требительских планов выпуклой оболочке co Pi (x) множества строго лучших потребительских наборов, а не просто Pi (x), как это дела ется в случае равновесий по Эджворту. Тем самым, поскольку воз можности по доминированию расширяются, то всегда имеет место C f (E AD ) C e (E AD ).

Однако должно быть ясно, что в силу плотности множества рацио нальных чисел, в рамках стандартного предположения о выпукло сти потребительских предпочтений31 (и при прочих стандартных предположениях), нечёткое ядро совпадает с множеством равнове сий по Эджворту. Используя именно факт о совпадении этих мно жеств, в теории устанавливается непустота нечёткого ядра. В свою очередь, существование равновесий Эджворта следует из непустоты обычного ядра экономики, ибо представляет из себя счётное пересе чение непустых замкнутых подмножеств (симметричной части ядер реплицированных моделей) некоторого (слабо) компактного множе ства (всех достижимых состояний исходной модели экономики) и, следовательно, само является непустым и компактным.

Вопрос о непустоте обычного и нечёткого ядра, а также мно жества равновесий по Эджворту исследовался многими авторами в контексте даже более общих, нежели рассмотренные в данном ис следовании, моделей экономики и при более слабых требованиях к 31 При необходимости всегда можно перейти к модели, в которой предпочтения потребителей в точке заданы как выпуклая оболочка множества строго лучших потребительских планов в исходной модели экономики.

194 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики пространству продуктов (порядковые структуры здесь не играют какой-либо роли). Ниже приводятся соответствующие результаты, заимствованные из работ [Florenzano, 1989, 1990], но сформулиро ванные в рамках линейно-решёточных моделей Эрроу–Дебре.

Теорема 2.3.2 (Флорензано, 1989). Линейно-решёточная эко номика Эрроу–Дебре имеет непустое ядро32, т. е. C(E AD ) =.

Теорема 2.3.3 (Флорензано, 1990). Линейно-решёточная эко номика Эрроу–Дебре имеет непустое нечёткое ядро33, т. е.

C f (E AD ) =.

Для децентрализации равновесий по Эджворту будут исполь зоваться сформулированные выше понятия правильности потреби тельских предпочтений и производственных множеств. При этом, если порядковый идеал, в отношении которого это понятие рассмат ривается, является главным, то соответствующее состояние экономи ки можно децентрализировать посредством порядково ограниченно го функционала, определённого на этом идеале. Далее, используя свойство правильности, осуществляется его продолжение на всё пространство с сохранением свойств квазиравновестности текущего состояния. В рамках этой общей логики возможны различные вари анты, обусловленные различными свойствами пространства продук тов и рассматриваемого идеала. Данный главный идеал может быть как -замкнутым, так и -плотным в E и, очевидно, может иметь оба эти свойства одновременно (совпадая, тем самым, с пространством E). Однако, в большинстве случаев, он не обладает ни одним из этих свойств. Поэтому в общем случае приходится рассматривать различ ные (возможно) идеалы в разных точках (отражено в нижеследую щем определении 2.3.6) и применять понятие E-правильности. В слу чае -замкнутого идеала можно рассматривать модель экономики, редуцированную на K, а затем уже в её рамках децентрализировать равновесия Эджворта. Отметим, что замкнутость идеала необходи ма, с тем чтобы можно было гарантировать (слабую) компактность (предположение BA) множества достижимых состояний в редуци рованной модели, что необходимо для непустоты ядра. В вариан те -плотного идеала можно, при дополнительных предположениях, 32 В оригинале этот результат формулируется в терминах коалиционной эконо мики с производством, где предполагается, что пространство продуктов является хаусдорфовым линейным топологическим пространством. В рамках модели так же не предполагается свойство предпочтений иметь открытые верхние сечения т. е. отсутствует какой-либо аналог сделанного выше предположения CA(i).

33 Здесь наличие предположения CA(i) является важным.

2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре ограничиться слабейшей формой правильности F -правильностью.

В дальнейшем будут подробно рассмотрены возможные варианты и вытекающие из них теоремы существования квазиравновесия с непрерывными ценами.

Итак, в рамках группы слабейших ограничений нечёткое ядро линейно-решёточной модели непусто. Таким образом, можно начать исследование с элемента (x, y) C f (E AD ).

главный идеал в E 34. Следующее Далее предположим, что K утверждение устанавливает существование p (K, ) такого, что (x, y, p) квазиравновесие в редуцированной на K модели E|AD. K Утверждение 2.3.4. Пусть (x, y) C f (E AD ) и K главный иде ал в E. Тогда, если E AD F -правильная экономика35 относитель но K в точке (x, y), то существует такой p (K, ), p = 0, что (x, y, p) является квазиравновесием модели E|AD.

K Замечание 2.3.1. В идеале хотелось бы, чтобы это утвержде ние было пополнено высказыванием относительно нетривиально-F правильной модели. Именно, в таком случае мы желали бы, что бы равновесный ценовой функционал был ненулевым на подыдеале E(uv ) идеала K, генерированном точкой uv = |i | + |xi | + |vi | + |yj | + |vj |.

I I I J J В дальнейшем это полезное свойство позволило бы установить ещё более сильные теоремы существования нетривиальных квазиравно весий. Однако эта проблема оказалась близко связанной с возмож ностью продолжения ненулевого функционала с E(uv ) на K c со хранением свойства отделимости от нуля множества G (см. доказа тельство), построенного для элемента нечёткого ядра. Возможность такого продолжения в рамках сделанных предположений всё ещё остаётся открытым вопросом (кажется, это можно сделать при до полнительном предположении о монотонности предпочтений). Про блема, конечно, состоит в том, что пространство E(uv ) может не содержать внутренней точки множества G в порядковой норме на K и классические теоремы о продолжении отделяющего функционала оказываются неприменимыми.

34 Иначе говоря, K E солидное подпространство Рисса с порядковой еди ницей.

35 Помимо F -правильности здесь действительно важными являются только предположения SA, CA(i), (iii) и PA.

196 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики В контексте модели экономики наиболее естественным представ ляется рассмотрение следующих двух (главных) идеалов простран ства продуктов. Первый это порядковый идеал E(u), генерирован ный в E элементом |i | + |xi | + |yj |.

u= iI iI iJ Второй идеал E( ), генерированный точкой |i |.

= iI Далее сначала рассмотрим случай, в котором K = E(u) = {x E | 0, |x| u}.

Определение 2.3.6. Линейно-решёточная модель E AD называет ся F -правильной (соответственно E-правильной, нетривиально правильной), если для каждого достижимого (x, y) A(X) эконо мика E AD является F -правильной (соответственно E-правильной, нетривиально-правильной) в точке (x, y) относительно главного идеала E(u).

Если свойство правильности выполняется относительно неко торого идеала K, мы говорим о поточечно-правильной модели.

Таким образом, если в определении правильной модели вообще не фигурирует какой-нибудь идеал пространства продуктов, то это всегда означает, что рассматривается идеал E(u). Заметьте, что для поточечно правильной относительно K модели всегда выполнено E(uv ) K, где E(uv ) идеал, генерированный точкой uv = |i | + |xi | + |vi | + |yj | + |vj |.


I I I J J Кроме того, ещё раз напомним, что в силу введённой ранее термино логии любая правильная модель, будучи линейно-решёточной, долж на удовлетворять минимальной группе предположений SA, PA, BA и CA (см. с. 150).

Комбинируя утверждение 2.3.4 и теорему 2.3.1, непосредственно получаем следующее утверждение:

Теорема 2.3.4. Каждая нетривиально-E-правильная экономика имеет нетривиальное квазиравновесие с -непрерывными ценами.

2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре Этот результат существенно усиливает следующая Теорема 2.3.5. Каждая поточечно нетривиально-E-правильная экономика относительно порядкового идеала K E имеет нетри виальное квазиравновесие с -непрерывными ценами.

Для модели обмена последний результат был получен в [Маракулин, 2004]. Отметим, что в данном случае прямое прило жение утверждения 2.3.4 невозможно, ибо здесь идеал K не явля ется главным, т. е. это может быть солидное подпространство без порядковой единицы, наличие которой существенно в конструкции доказательства утверждения 2.3.4 (используется порядковая норма и проч.). В частности, возможно K = E, и при этом имеется множе ство важных для экономических приложений пространств без еди ницы: например это пространства типа Lp при 1 p + (это так, ибо пространство с единицей имеет конус неотрицательных элемен тов с непустой внутренностью). Кроме того, как уже было отмечено выше, свойство нетривиальной E-правильности относительно идеа ла K = E является слабейшим типом E-правильности. Тем самым, последнюю теорему достаточно доказать только для этого случая, что и сделано в приведённом ниже доказательстве.

Далее перейдём к случаю, который появляется при рассмотре нии идеала E( ) в качестве идеала правильности. Ясно, что все гда имеет место E( ) E(u) для каждого u = u(x, y), (x, y) A(X), однако возможно и совпадение этих множеств. В частности, так бу дет всегда, если имеет место A(X) = A(X|E() ) (верно и обратное), откуда немедленно следует Следствие 2.3.3. Пусть A(X) = A(X|E() ) и E AD нетривиаль но-E-правильная модель экономики относительно порядкового иде ала E( ) для всех (x, y) A(X|E() ). Тогда существует нетриви альное квазиравновесие (, y, ) такое, что (E, ).

x Чтобы получить существование квазиравновесия в случае E-пра вильной экономики относительно идеала E( ), который, возможно, не совпадает с E(u) для некоторых u = u(x, y) A(X), нужно до полнительно требовать -замкнутость E( ) в E. Последнее необхо димо с тем, чтобы можно было гарантировать замкнутость (а зна чит, и слабую компактность) множества допустимых распределений в редуцированной модели с пространством продуктов E( ), иначе множество C f (EE( ) ) может оказаться пустым.

AD Теорема 2.3.6. Пусть E AD E-правильная модель экономики от носительно -замкнутого порядкового идеала E( ), генерированно 198 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики |i |, для каждого допустимого (x, y) A(X|E() ).

го точкой = I Тогда существует квазиравновесие (, y, ) такое, что (E, ).

x Более того, если E AD нетривиально-E-правильная модель от носительно E( ), то существует нетривиальное квазиравновесие.

В качестве модельного примера пространств, где может быть полез на данная теорема, можно рассмотреть пространства типа L.

Наконец, рассмотрим случай F -правильных моделей и плотного в E идеала K. Здесь можно воспользоваться утверждением 2.3.3, леммой 2.3.3 и её следствием 2.3.2, которые опять используются сов местно с утверждением 2.3.4. Однако теперь для применения лем мы 2.3.3 и следствия 2.3.2 и тем самым реализации этой программы необходимо, чтобы элементы потребительских и производственных множеств мажорировались (сверху или снизу) векторами из K. Про ще всего это добиться, полагая K = E( ), а мажоранты выбирать так, чтобы автоматически выполнялось A(X) = A(X|E() ). Ранее бы ло отмечено, что эти условия выполнены в экономике обмена, в ко торой потребительские множества содержатся в E + или, более общо, имеют нижнюю границу в E( ). В общем же случае можно предпо ложить, как это было сделано выше, что векторы затрат (выпусков) каждой из фирм выбираются из E( ), а потребительские планы по требителей таковы, что их положительные (отрицательные) части выбираются из E( ). Ниже формулируется один из вариантов тео ремы существования квазиравновесия, полученной на этом пути.

Теорема 2.3.7. Пусть модель E AD такая, что (i) Xi = ({ai } + E + ) Zi при ai E( ) и выпуклых, -замкнутых Zi таких, что intZi ({ai } + E + ) = для всех i I, (ii) и, для производства, Yj = ({bj } E + ) Zj при bj E( ) и выпуклых, -замкнутых Zj таких, что intZj ({bj } + E + ) = для всех j J, либо, что (iii) Xi = ({ai } E + ) Zi при ai E( ) и выпуклых, -замкнутых Zi и таких, что intZi ({ai } E + ) = для всех i I, (iv) и, для производства, Yj = ({bj }+E + ) Zj, при bj E( ) и вы пуклых, -замкнутых Zj и таких, что intZj ({bj } + E + ) = для всех j J.

2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре Тогда A(X) = A(X|E() ) и, если E AD является F -правильной отно сительно E( ), а идеал E( ) является -плотным в E, то E AD обладает квазиравновесием (, y, ) с ценами (E, ).

x Более того, если E AD дополнительно является нетривиально F -правильной относительно E( ), то она обладает нетривиаль ным квазиравновесием с -непрерывными ценами.

Доказательство этой теоремы фактически было дано выше, необ ходимо только отметить, что в первом случае из предположений тео ремы следует ai + xi0 + (x, y) A(X) bj xi0 E( ), i0 I, J i=i и a i + y j0 + (x, y) A(X) bj yj0 E( ), j0 J, I j=j откуда заключаем A(X) = A(X|E() ). Вторая возможность рассмат ривается симметрично.

Заканчивая данный раздел, вернёмся ещё раз к модельным тре бованиям, обеспечивающим существование нетривиальных квази равновесий с непрерывными ценами. На первый взгляд, одним из наиболее ограничительных требований в определениях 2.3.4, 2.3. является предположение о радиальности в E(uv ) K множе Zyj E(uv ) в точке = Zxi E(uv ) i j ства i для мо I J I дели с производственным сектором и, соответственно, множества Zxi E(uv ) i в модели чистого обмена. Нижеследующая лемма I даёт легко проверяемые достаточные условия, гарантирующие эту радиальность.

Лемма 2.3.4. Пусть модель E AD является F -правильной отно |xi | + |i | + |yj | в точке сительно E(u), u = u(x, y) = I I J (x, y) A(X). Дополнительно предположим, что = i I и 0 Zxi, 0 Zyj 36 для каждого i I, j J, где все Zxi, Zyj i j i j выбраны из условия F -правильности. Тогда 1 [ u, + u] i j Z xi Z yj.

4 36 В силу предположения PA включение 0 Yj всегда выполнено;

отсю j да можно заключить, что 0 Zyj для E-правильной модели. Однако для F правильности это свойство нужно постулировать.

200 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики Итак, эта лемма даёт условия, гарантирующие первую часть нетри виальности правильной модели Эрроу–Дебре, если E(uv ) = E(u), то множество i j Zxi E(u) Zyj E(u) радиально относительно E(u) в точке. Заметим, что условие E(uv ) = E(u) эквивалентно тому, что все векторы правильности вы бираются из идеала E(u), что вполне приемлемо с экономической точки зрения. Так будет, например, если все они просто совпадают с вектором.

Чтобы обеспечить вторую часть нетривиальности, достаточно дополнительно постулировать (подобно тому, как это делается в [Tourky, 1998, 1999]), что xi + Vxi для всех i I и yj Vyjj i для всех i J (т. е. фактически положить vi = vj = ), а также предположить существование такого 0 1, что Xi. Тур i ки не делает этого последнего предположения, используя другое, по нашему мнению, ошибочное, определение нетривиальности всего лишь требуется, чтобы цены квазиравновесия удовлетворяли усло вию 0. В нашем случае это условие также будет выполнено и гарантируется прочими предположениями о нетривиальности.

Полученный на этом пути результат (следствие теоремы 2.3.5 и леммы 2.3.4) является прямым обобщением (с учётом замечания вы ше) теоремы существования по Турки. Ниже этот результат форму лируется в явном виде: несмотря на то, что это не самая общая в нашем контексте теорема, однако она компактна и удобна в даль нейших приложениях.

Теорема 2.3.8 (Маракулин, 2004). Пусть E m линейно-ре шёточная экономика обмена, которая является E-правильной (относительно пространства продуктов E) в каждой точке x = (xi )I A(X) в следующем смысле: для каждого i I найдутся открытое выпуклое Vi E и подрешётка Zi E такие, что (i) = Vi Zi Pi (x) V i Zi xi ;

(ii) xi + 1 + · · · + n Vi ;

(iii) i Zi + E + Zi.

Пусть также выполняются (достаточные) условия нетриви альности:

0 Zi, 0 Zj i, j, 1 + · · · + n 0 & (1 + · · · + n ) X1 + · · · + Xn для некоторого действительного 0 1.

2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре Тогда существует нетривиальное квазиравновесие с непре рывными ценами.

Для полноты последующих ссылок и удобства в приложениях сформулируем подобную теорему для модели Эрроу–Дебре с произ водственным сектором.

Теорема 2.3.9 (Маракулин, 2004). Пусть E AD линейно-ре шёточная экономика, которая в части потребительского сектора является E-правильной в каждой точке (x, y) A(X) в смысле теоремы 2.3.8 (i) (iii) и, дополнительно, в производственном сек торе: для каждого j J найдутся открытое выпуклое Vj E и подрешётка Zj E такие, что (i) = Vj Zj Yj V j Zj yj ;

(ii) yj (1 + · · · + n ) Vj ;

(iii) Zj E + Zj.

Пусть также выполняются (достаточные) условия нетриви альности:

0 Zi, 0 Zj i, j, 1 + · · · + n 0 & (1 + · · · + n ) X1 + · · · + Xn для некоторого действительного 0 1.

Тогда существует нетривиальное квазиравновесие с непре рывными ценами.

Комментарий. Попробуем сравнить полученные результаты с близ кими к ним по духу результатами, полученными в [Tourky, 1999], более детально. Турки делает следующие предположения правильности в ча сти потребительского сектора, называя это M -правильностью, в силу её аналогии с предположениями, накладываемыми в [Mas-Colell, 1986b] для производственных множеств. Ниже используются обозначения, близкие к введённым выше (отличаются от оригинальных обозначений Турки), где, как и выше, = k.


I Отношение предпочтения Pi : Xi Xi называется M -правильным в точке xi Xi, если найдутся такое открытое выпуклое Vi E и такая выпуклая решётка Zi E, удовлетворяющая Zi + E + Zi, что (i) Vi Zi = Pi (x);

(ii) xi + Vi ;

(iii) xi, 0, i Zi ;

(iv) (1 + i )xi Zi для некоторого действительного i 0.

202 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики Для производственного сектора Турки постулирует следующее. Мно жество Yj E называется M -правильным в точке yj Yj, если найдутся такое открытое выпуклое Vj E и такая выпуклая решётка Zj E, удовлетворяющая Zi E + Zi, что (i) V j Zj = Yj ;

(ii) yj Vj ;

(iii) 0 Zj.

Дополнительно предполагая условие свободного расходования в производ ственном секторе (E + Yj ), монотонность предпочтений37 (xi + E + Pi (xi ) {xi }), а также при 0, Турки доказывает существование такого квазиравновесия, что 0.

Анализ определений показывает, что M -правильная в точке (x, y) по Турки линейно-решёточная экономика Эрроу–Дебре является E-правиль ной в точке (x, y) относительно E в смысле определения 2.3.3. При этом в нашем контексте предположения типа (ii), 0 Zi и 0 необходимы только для доказательства нетривиальности полученного квазиравнове сия. Предположение (iv) в нашем случае является просто избыточным38.

При этом, однако, ключевыми являются требования нетривиальности ква зиравновесия, в которых у нас с Турки есть различие. Действительно, в определениях 2.3.4, 2.3.5 требуется выполнение условий (2.3.5) и (2.3.6), какой-либо прямой аналог которых у Турки отсутствует. Тем не менее заметим, что, так как для модели с производством Турки предполагает свободное расходование в производственном секторе, то в силу i Xi i (как и у нас, это изначальное свойство модели), по 0, а это общий вектор правильности, автоматически имеем 0 Xi Yj. Но последнее I J в данном контексте означает истинность (2.3.5). В случае модели обмена ситуация несколько иная, что вызвано дефектом определения нетривиаль ного квазиравновесия по Турки. Действительно, в нашем случае посылки (2.3.5), (2.3.6) нужны только для того, чтобы получить нетривиальность квазиравновесия в виде: существует i I такой, что inf, Xi xi. Лег ко видеть, что в общем случае свойство 0 не влечёт нетривиальности в нашем смысле. В то же время, другая часть определений 2.3.4, 2.3.5 в наших теоремах существования влечёт существование квазиравновесия, обладающего свойством sup vt 0, откуда и вытекает его нетриви tI J альность (в нашем смысле). Нетривиальности по Турки недостаточно для 37 Без условия монотонности, но при свободном расходовании и ненасыщае мости в [Tourky, 1999] также доказывается, что квазиравновесие с линейными ценами является квазиравновесием с непрерывными ценами.

38 Турки использует его в своём доказательстве, чтобы установить тот факт, что, в наших обозначениях, pi xi = xi (при предположении (iv) несложно до казать и в нашем случае), а затем применяет его, чтобы доказать равновесные свойства точки (x, y, ).

2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре характеризации квазиравновесия, ибо, даже в рамках предположения о нередуцируемости модели экономики, она не влечёт существование равно весий с непрерывными ценами основной цели данного фрагмента эко номической теории, так как не влечёт свойства inf, Xi xi i I, которое и позволяет заключить, что данное квазиравновесие является на стоящим равновесием. По нашему мнению, результаты Турки для модели обмена должны быть дополнены, например, требованием 0 Xi. Одна I ко это именно случай, в котором оказываются выполнены наши условия (2.3.5) и (2.3.6).

2.3.3. Доказательства теорем и утверждений Доказательство леммы 2.3.1. Как уже было отмечено, первая часть этой леммы следует из леммы 2, установленной в [Podczeck, 1996]39 : рассмотрим следующее подмножество в R E, заданное по формуле H = {(r, x) R E | v V, z Z : x = v z, r pz }.

По построению и предположениям H =, выпукло, открыто в топо логии произведения и (pz, 0) H. Следовательно, существует такое / действительное 0 и такой -непрерывный линейный f на E, что pz (, f ), H. Так как Z V = 0 V Z и V Z открыто в, должно быть 0 и, без ограничения общности, можно считать, что = 1. Таким образом имеем pz pz + f (v z ) v V, z Z.

Из z Z можем положить z = z, откуда f (z) f (V ). В то же время из z V и -непрерывности f следует (p f )z (p f ), Z что и требовалось доказать. Далее установим вторую часть леммы.

Так как Z + K + Z, из (2.3.7) заключаем, что h · y 0 y K +.

Следовательно, h|K 0 и |K p. Чтобы установить (2.3.8), возьмём любой y Z, y z. Сейчас (2.3.7) даёт h·y h·z, но так как zy 0, z y K и h|K 0, получаем h · z h · y и заключаем h · (z y) = 0.

Теперь из p = |K + h|K следует, что p · (z y) = · (z y) + h · (z y) = · (z y).

39 Подчек предполагает в этой лемме, что (E, ) локально выпуклое про странство, но затем в доказательстве это излишнее предположение не использу ется.

204 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики Доказательство утверждения 2.3.1. Поскольку (x, y, p) есть квазиравновесие модели E|K, соотношения (i), (ii) из определения квазиравновесия выполняются для Pi (x, y) K и Yj K соответ ственно. Далее определим открытые конусы, полагая i i = {(v xi ) | v Vxi, 0}, i I, j = {(v yj ) | v Vyjj, 0}, j J.

Открытость и выпуклость этих конусов легко проверяется непосред ственно. Теперь в силу (2.3.1) и (2.3.3), так как Axi и Ayj предпола гались радиальными в E в точках xi, yj соответственно, заключаем, что i = ({xi } + i ) Zxi {xi } + {(v xi ) | v Pi (xi ) K, 0} и j = ({yj } + j ) Zyj {yj } + {(v yj ) | v Yj K, 0}.

Следовательно, используя (i), (ii) из определения квазиравновесия, можно заключить, что i p · (({xi } + i ) Zxi ) p · xi, i I, j p · (({yj } + j ) Zyj ) p · yj, j J.

i j i Однако из xi V xi и yj V yj находим xi ({xi } + i ) Zxi и j yj ({yj } + j ) Zyj. Далее применим основную вспомогатель ную лемму 2.3.1 и её следствие, тем самым устанавливая существо вание таких -непрерывных функционалов i, j (E, ), что i ({xi } + i ) i xi & i i (xi zi ) = p(xi zi ) zi xi, zi Zxi, i I, (2.3.18) и j ({yj } + j ) j yj & j j (zj yj ) = p(zj yj ) zj yj, zj Zyj, j J. (2.3.19) Из определения конусов i и j, а также в силу непрерывности i, j последнее влечёт (2.3.10). Кроме того, из предположений Zxi +K + i i j + j Zxi и Zyj K Zyj следует, что эти функционалы удовлетворяют условию t | K p t I J.

2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре Далее положим = (iI i ) (jJ j ) и заметим, что в силу SA (iii) линейный функционал непрерывен в топологии. Более того, так как по предположению K идеал в E, получаем p | K, t, t I J. (2.3.20) i Последнее, в силу (2.3.18) для zi xi, zi Zxi, влечёт · (xi zi ) i · (xi zi ) = p · (xi zi ), что совместно с p · (xi zi ) · (xi zi ) доказывает (2.3.11). Аналогичным образом (2.3.19) и (2.3.20) дока зывают (2.3.12).

Чтобы установить (2.3.13), вспомним, что состояние (x, y) дости жимо, т. е.

xi = i + yj.

iI iI jJ i Далее, выбирая любой zi xi, zi Zxi и произвольный zj yj, j zj Zyj, можно написать (xi zi ) + (zj yj ) = zj i + zi.

iI jJ iI jJ iI Теперь применим функционал p к левой и правой частям этого ра венства и используем (2.3.11), (2.3.12), заключая · ( + zi ) = p · ( + zj zj zi ) jJ iI jJ iI i j zi x i, zi Z x i & zj y j, zj Z y j. (2.3.21) uj, vi Zxi, uj Zyj и u. Пусть i j vi Далее пусть u = iI jJ также zi = xi vi, zj = yj uj для всех i, j. Поскольку по предполо i j i j жению Zx и Zy являются решётками, то получаем zi Zxi и zj Zyj для всех i, j и, кроме того, имеем u u, u = zi zj i j и (zj yj ) = u u u 0.

(xi zi ) + i j 206 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики Теперь, используя декомпозиционное свойство Рисса (например, см.

теорему 1.2, с. 3 из [Aliprantis, Burkinshaw, 1978]), находим такие vi, i I и u, j J, что j 0 v i x i zi & 0 u zj y j j u = u u. Теперь, вспоминая, что K и vi + идеал и что j Zxi + K Zxi, Zyj K+ Zyj, заключаем vi, u K и i + i j j j y j zj u Z yj i j x i v i + zi Z x i, i, j. (2.3.22) j В итоге получаем u = u + u = (zj u ) (zi + vi ) vi + j j iI jJ iI jJ u = (yj (zj u )), (xi (zi + vi )) j iI jJ что в силу (2.3.21) и (2.3.22) даёт необходимый результат.

Чтобы закончить доказательство, необходимо проверить (2.3.14).

i Из предположения i Zxi для каждого i I можно найти такой i zi Zxi, что zi xi i. Теперь вычтем p · zi из правой и левой j частей тождеств p · xi = p · i + i p · yj и применим (2.3.11), откуда j для каждого i I получаем j · (xi zi ) = p · (i zi ) + i p · yj.

jJ + j j Подобным образом, так как 0 Zyj, имеем yj Zyj для каждого j + j J. Далее добавим величины i p · yj к правой и левой частям j последних тождеств, из чего, используя (2.3.12), получаем j j + + · (xi zi ) + i · (yj yj ) = p · (i zi ) + i p · yj i I.

j j + В то же время неравенства i zi, yj 0 и p |K влекут j j + + p · (i zi ) + i p · yj · (i zi ) + i · yj i I.

jJ jJ Следовательно, подставляя последнее соотношение в предыдущее и преобразуя неравенства, получаем j · x i · i + i · yj i I.

jJ 2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре Однако эти неравенства могут быть выполнены только в форме ра венств, что следует из достижимости состояния (x, y).

Доказательство утверждения 2.3.2. Чтобы установить первую часть доказываемого утверждения, применим утверждение 2.3.1 и рассмотрим = (iI i ) (jJ j ) такой, что i и j удовлетво ряют соотношениям (2.3.10)–(2.3.13). Покажем, что |K = p|K. С этой целью возьмём любой y K. Так как K идеал в E, имеем y +, y K. Далее, поскольку Z = Z x i K Z yj K i j ради I J альное множество в точке = i, можно найти действительный I 0 такой, что y +, y Z, что в силу (2.3.13) даёт ·( ( y + )) = p·( ( y + )) ·y + = p·y + ·y + = p·y +, и, аналогичным образом, находим · y = p · y. Поскольку y = y + y, то заключаем |K = p|K.

Чтобы установить вторую часть утверждения, напомним, что по определению квазиравновесия и в силу вышедоказанной первой ча сти должно быть |K = p = 0 для = I J. При этом в силу утверждения 2.3.1 и (2.3.10) имеем i j, Vyj yj j J.

i, Vx xi i I, Теперь из определения F -правильной модели экономики эти соотно шения влекут i, xi + vi i xi для всех i и j, yj vj j yj для всех j. Более того, если i, xi + vi = i xi для некоторого i, то из i i xi + vi Vxi и открытости Vxi можем заключить i = 0. Аналогично, равенство j, yj vj = j yj в силу yj vj Vyjj и ввиду открытости множества Vyjj влечёт j = 0. Следовательно, если i, xi + vi = i xi для каждого i и j, yj vj = j yj для каждого j, должно быть i j = = 0 = |K = 0.

I J Однако |E(uv ) = p|E(uv ) = 0 противоречие. Значит, существуют i или j такие, что или i, xi + vi i xi = i vi 0, или j, yj vj j yj = j vj соответственно. Теперь пусть, без ограничения общности, для потре i бителя i0 I выполнено i0 vi0 0. По свойствам решётки Zx00 и из i i0 i xi0 + vi0 Vxi0 Zxi0 имеем 208 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики i zi0 = (xi0 + vi0 ) xi0 Zx i и, так как (xi0 + vi0 ) xi0 = xi0 + vi0 0 = xi0 vi0, то должно быть ui0 = xi0 + vi0 zi0 K + & wi0 = xi0 zi0 K +.

Более того, по построению и в силу утверждения 2.3.1 имеем pui0 i0 ui0, i0 ui0 = i0 wi0 + i0 vi0, i0 vi0 0 и pwi0 = i0 wi0.

Следовательно, из ui0 = wi0 + vi0 заключаем pvi0 = pui0 pwi0 i0 ui0 i0 wi0 = i0 vi0 0, что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы 2.3.1. Для каждого i I возьмём и фиксируем любой x co Pi (x, y) Axi, где радиальное в E в точке i xi множество Axi выбрано из условия (2.3.2). В силу (2.3.2) можно найти такой ui Zxi, что ui x и положить vi = ui xi. Из пред i i i положений заключаем vi Zxi. Теперь, применяя (2.3.10), находим i (x vi ) i (xi vi ). Последнее, совместно с (2.3.11) и i, i позволяет написать · (x xi ) + p · (xi vi ) = · (x xi ) + · (xi vi ) = · (x vi ) i i i i · (x vi ) i · (xi vi ) = p · (xi vi ), i что влечёт · (x xi ) 0. Таким образом для каждого i I дока i зано, что, (co Pi (x, y) Axi ) · xi. (2.3.23) Теперь, используя радиальность Axi в точке xi в E и F -правильность предпочтений, покажем, что, co Pi (x, y) · xi i I, т. е. установим условие (i) определения квазиравновесия. Этот факт кажется почти тривиальным, однако требует проверки в случае бес конечномерного пространства E.

Действительно, из xi V x Zx и Vx Zx Ax = (см. (2.3.1)) следует существование такого x Vx Zx, что множество ((xi, x ]] = {xi + (1 )x | 0 1} 2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре содержится в Vx 40, а значит можно считать, что ((xi, x ]] co Pi (x, y). Но тогда co{((xi, x ]], x } = {((xi, x ]] + (1 )x | 0 1} co Pi (x, y) для каждого x co Pi (x, y). Следовательно, так как ((xi, u]] co{((xi, x ]], x } для каждого u [[x, x )), то u [[x, x )).

((xi, u]] co Pi (x, y) Последнее, с учётом радиальности Axi в точке xi в E и в си лу (2.3.23), даёт x xi, откуда из произвольности выбора x co Pi (x, y) получаем искомый результат.

Доказательство требования (ii) осуществляется симметричным образом. Действительно, пусть j и yj Yj Ayj фиксированы. В j силу (2.3.4) можно найти такой uj Zyj, что uj yj. Положим vj = uj yj. Сейчас (2.3.10) даёт j ·(yj vj ) j ·(yj vj ). Последнее, соотношение (2.3.12) и j позволяют написать · (yj yj ) + p · (yj vj ) = · (yj yj ) + · (yj vj ) = · (yj vj ) j · (yj vj ) j · (yj vj ) = p · (yj vj ), что влечёт · (yj yj ) 0. Таким образом для каждого j J доказано, что, (Yj Ayj ) · yj.

Теперь, поскольку каждое Ayj радиально в точке yj в E, а по пред положениям Yj выпукло и замкнуто, то так же, как для предпо чтений, можно заключить, Yj · yj j J.

Заканчивая доказательство, покажем нетривиальность тройки (x, y, ), предполагая, что p · x 0 p · xi0 для некоторого i0 I и i x 0 Xi0 Zx00. Сейчас положим u = xi0 x 0, получая u Zx00.

i i i i i i Далее используем xi0 u 0, что ввиду p |K влечёт p · (xi0 u) · (x 0 u), откуда, вспоминая (2.3.11), можно написать i · (x 0 xi0 ) = · (x 0 u) + · (u xi0 ) i i p · (x 0 u) + p · (u xi0 ) = p · (x 0 xi0 ) 0.

i i 40 Легко видеть, что для любого открытого и выпуклого U E из u U и u U следует ((u, u ]] U. Напомним, что [u, u ] означает порядковый отрезок, а [[u, u ]] линейный.

210 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики Наконец, чтобы установить нетривиальность (x, y, ) в случае нетривиально-E-правильной модели в точке (x, y), достаточно при менить утверждение 2.3.2 и (2.3.5) (или (2.3.6) соответственно), из чего заключаем существование такого v K, что v Xi Yj и v = pv 0. Отсюда, используя свойства квази I J равновесия, получаем x x xi yj v = yj yj i i I J I J I J для некоторых x Xi, i I, yj Yj, j J. Преобразуя последнее i неравенство, находим x v 0, xi i I I x а значит, xi 0 для некоторого i I что и требовалось i доказать.

Доказательство леммы 2.3.2. Предполагая противное, найдём x E + \K + и, в силу (второй) теоремы отделимости, -непрерывный линейный функционал f, удовлетворяющий f (x) 0 f, K +. По предположению SA (iii) существуют и являются -непрерывными f + и f, причём f = f + f, где по формуле Рисса–Канторовича f (z) = sup{f (y) | 0 y z}. Следовательно, так как K идеал в E, то f (z) = 0 для всех z K +. Более того, имеет место K = K + K +, откуда f = 0 на K. Однако подпространство K -плотно в E, а f -непрерывный функционал. Значит f = на E, откуда f 0 f (E + ) 0, что противоречит выбору x и построению f.

Доказательство леммы 2.3.3. Предположим (2.3.15) для некото рого z Z, т. е. что = Uz ({az } E + ) Z z U z ({az } E + ), и и покажем, что имеет место z Uz ({az } E + ) K Z K.

Вторая часть последнего соотношения тривиальна, докажем первое включение. По условию существует z Uz ({az } E + ). Используя тот факт, что Uz выпуклое и -открытое множество, для всех, удовлетворяющих 0 1, имеем z + (z z) Uz ({az } E + ).

2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре Следовательно, z Uz ({az } E + ) Z. Далее, в силу леммы 2.3.2, заключаем ({az } E + ) K = {az } E +, откуда в силу доказанного имеем ({az } E + ) K.

z Uz Однако так как Uz является -открытым, мы также имеем ({az } E + ) K = Uz ({az } E + ) Uz K, что, совместно с предыдущим, влечёт z Uz ({az } E + ) K Z K.

Случай (2.3.16) рассматривается симметричным образом.

Наконец, в силу произвольности выбора z в Z, имеем Z Z K.

Обратное включение Z K Z следует из предположения о -замкнутости Z.

Доказательство теоремы 2.3.2. Доказательство теоремы осно вывается на применении теоремы о неподвижной точке к надлежа щим образом построенному точечно-множественному отображению.

Конструкция этого отображения описывается ниже.

Введём следующие обозначения. Для каждого S I, S = по ложим j YS = i Yj, X S = Xi, J S S A(X S ) = {xS X S | i Y S }.

xiS iS iS Заметьте, что Y S E, но X S E S и при этом в частности X {i} = Xi, а A(X I ) является проекцией множества A(X) на X I, т. е. A(X I ) = pr|X I (A(X)). Далее пусть B = {S I | S = } множество всех непустых подмножеств I и для каждого x A(X I ) определим множество всех блокирующих его коалиций по формуле I(x) = {S B | A(X S ) P S (x) = }, 41 Для любого W E, такого, что W Uz =, имеет место Uz W = Uz W.

212 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики где P S (x) = co Pi (x). Рассмотрим также множество весов сба S лансированности, полагая B = { = (S ) RB | S 0 S B & S eS = eN }, SB где eS индикаторная вектор-функция множества S B (вектор eS можно отождествлять с множеством S, а, соответственно, B отож дествлять с множеством всех таких (ненулевых) векторов). Теперь рассмотрим множество Z = A(X I ) A(X S ) B SB и определим на нём следующие отображения. Для (x, z, ) Z по ложим (z, ) = (x )iI, x = i S zS i I, i i SB:iS (x) = (S (x))SB, S (x) = A(X S ) P S (x) S B, {µ B | µS S } I(x) =, при (x, ) = I(x) I(x) =.

при По построению и в силу предположений PA и CA(ii) отображения : Z A(X I )42, : Z A(X S ) и : Z B являются вы SB пуклозначными и имеют слабо открытые нижние сечения (следова тельно, полунепрерывны снизу). В свою очередь, в силу PA и BA множество Z является непустым, выпуклым и компактным в под ходящем произведении слабых и стандартной (для B ) топологий.

Хотя наши отображения могут принимать и пустые значения, их всегда можно доопределить, просто заменяя пустое множество соот ветствующей областью значений, так что в силу открытости нижних сечений это не испортит полунепрерывности снизу. Теперь мы хоте ли бы, применяя теорему Майкла о существовании непрерывного селектора (теорема 4.1.2 из приложения 4, см. [Michael, 1956, тео рема 3.1, p. 368]) к произведению этих (теперь уже доопределён ных) отображений, найти непрерывный селектор, к которому, в свою 42 Обратите внимание, что свойство (z, ) A(X I ), которое в общем случае следует из предположения о сбалансированности коалиционной экономики, для по построению Y S и в силу модели Эрроу–Дебре выполнено автоматически j того факта, что потребители обладают долями участия i в технологических множествах производителей этой модели.

2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре очередь, можно было бы применить теорему о неподвижной точке x и заключить существование тройки (, z, ) Z, удовлетворяющей следующим трём свойствам:



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.