авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 9 |

«Сибирское отделение Российской академии наук Институт математики им. С. Л. Соболева В. М. Маракулин АБСТРАКТНЫЙ РАВНОВЕСНЫЙ АНАЛИЗ ...»

-- [ Страница 6 ] --

z x (, ), (2.3.24) [S A(X S ) P S () или A(X S ) P S () = ] S B, z x x (2.3.25) x (, ) =. (2.3.26) Однако здесь имеется тонкость, состоящая в том, что теорема Майк ла применима только для пространств, являющихся полными и мет рическими, а в нашем случае пространство продуктов (E, ) не обя зано быть таковым. Эту трудность легко преодолеть, переходя к рассмотрению семейства конечномерных подпространств простран ства продуктов, содержащих все векторы начальных запасов потре бителей. Далее, как указано, применяем теорему Майкла, устанав ливая (2.3.24)–(2.3.26) для каждого из подпространств (нужно пе рейти к пересечениям множеств с, если нужно, соответствующим декартовым произведением подпостранства на себя), а затем осуще ствить предельный переход по сети подпространств (упорядоченных по включению). Легко видеть, что это возможно в силу BA и CA(ii) (проверка рутинная). Итак, будем считать установленным существо x вание тройки (, z, ) Z, удовлетворяющей соотношениям (2.3.24)– (2.3.26).

Далее покажем, что (, y ) C(E AD ) для некоторого y. Для x этого достаточно установить I() =. Предполагая противное x x I() =, из построения (, ) и в силу (2.3.26) заключаем x {µ B | µS S } =.

I() x S eS eI, то так как {i} B для каждого i, мно Теперь, если SI() x жество I() можно пополнить одноэлементными коалициями, так x чтобы полученная совокупность коалиций образовывала сбаланси рованное семейство, которому отвечает набор коэффициентов {µS }, удовлетворяющих µS S для каждого S I(). Но последнее x противоречит предыдущему соотношению, откуда заключаем суще ствование такого i0 I, что S = 1.

SI():i0 S x 214 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики i Однако теперь из (2.3.24) заключаем xi0 = S zS0, что в си SI():i0 S x лу (2.3.25) влечёт xi0 co Pi0 () x противоречие с предположением CA(iii). Теорема 2.3.2 доказана.

Доказательство теоремы 2.3.3. Доказательство этой теоремы осуществляется в два этапа, на первом из которых необходимо до казать непустоту симметричной части d-реплики исходной модели, в которой предпочтения потребителей определяются как овыпук ление (т. е. выпуклая оболочка) множества строго лучших потре бительских планов исходных предпочтений в каждой из их точек определения. Данный факт устанавливается в точности тем же ме тодом, что и теорема 2.3.2, единственное отличие состоит в том, что вместо обычных коалиций здесь приходится рассматривать нечёт кие коалиции t = (t1, t2,..., tn ) = 0 специального вида требует ся, чтобы d · ti {0, 1,..., d}, т. е. ti должны представляться в ви де дроби со знаменателем d. Нечётким коалициям этого типа (а их конечное число) так же сопоставляются весовые коэффициенты t 0, сбалансированная совокупность которых должна удовлетво t t = eI, где T представляет множество всех рять требованию tT таких (ненулевых) векторов t. В итоге, чтобы доказать теорему о непустоте симметричной части реплицированной экономики, доста точно в доказательстве предыдущей теоремы заменить B на T, eS на t, S на t соответственно. Итак, будем считать первый этап до казательства теоремы установленным.

На втором этапе сначала установим C e (E AD ) =. Из предполо жения CA(ii) следует, что симметричная часть ядра реплики эко номики является слабо замкнутой и, так как каждая из них содер жится в A(X), то в силу первого этапа и BA их пересечение, которое по определению совпадает с множеством равновесий по Эджворту, является непустым. Теперь, чтобы установить теорему, достаточно показать, что C e (E AD ) C f (E AD ). Предполагая противное, найдём (x, y) C e (E AD ), который доминируется нечёткой коалицией t = 0.

По определению найдётся x Xi такой, что t ti j ti (x i ) ti i Yj it iI:ti 0 iI:ti 0 jJ и x co Pi (x) i supp(t) = {i I | ti 0}.

it Далее для ti 0 положим x = (ti /si )x + (1 ti /si )i si (x i ) = ti (x i ), i it i i 2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре где рациональные si удовлетворяют условию ti si 1, а для ti = определим si = 0. По построению x = (x )i:si 0 Xi и s i si ti j j si (x i ) )Yj si i ( si i Yj.

i si iI:si 0 iI:si 0 jJ iI jJ Однако в силу CA(i) величины si можно выбрать так, чтобы вы полнялось x co Pi (x) для всех i, удовлетворяющих si 0, что i противоречит выбору (x, y) C e (E AD ).

Доказательство утверждения 2.3.4. По предположению K главный идеал в E, генерированный (например) точкой e E, e 0.

Напомним, что пространство K = E(e) можно оснастить нормой Рисса x e = inf{ 0 | |x| e}. Очевидно, что единичный шар в этой норме совпадает с порядковым интервалом [e, +e]. Кроме того, ясно, что на E(e) топология нормы тоньше топологии, ин дуцированной, в силу SA(iii) интервал [e, +e] ограничен в слабой топологии (ибо каждый -непрерывный функционал явля ется порядково ограниченным и, значит, образ интервала ограни чен), но в силу теоремы Макки (см. следствие 2 к теореме 3.2, с. [Шефер, 1971]) топологии, согласованные с двойственностью, име ют одинаковые классы ограниченных множеств, следовательно, единичный шар в норме Рисса -ограничен, что всё и доказывает.

Теперь положим def j G = co (coPi (x, y)) E(e) E(e) i.

i Yj iI jJ Используя F -правильность в точке (x, y) отношения Pi (·) совместно с прочими предположениями о E AD, заключаем, что G = и что · e xi co Pi (x, y) E(e).

Легко видеть, что (x, y) C f (E|E(e) ) влечёт 0 G. Однако, с дру / гой стороны, из F -правильности в точке (x, y) предпочтения Pi (.) следует, что G имеет непустую · e -внутренность. Теперь, приме няя классическую теорему отделимости, заключаем существование такого p (E(e), · e ), p = 0, что x Pi (x, y) E(e) влечёт i j p · x p · x i = p · i + i p · yj.

i j 216 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики Одновременно из yj Yj E(e) и построения p следует, что p · yj p · yj. Тем самым можно заключить, что (x, y, p) квазирав новесие в E|AD. Теперь используем тот факт, что E(e), будучи осна E(e) щено нормой Рисса, является банаховой решёткой, следовательно, любой непрерывный (в топологии нормы) функционал является по рядково ограниченным, откуда заключаем p (E(e), ).

Доказательство теоремы 2.3.5. В силу теоремы 2.3.3 имеем C f (E AD ) =. Пусть (x, y) C f (E AD ) фиксирован и пусть E AD нетривиально E-правильная экономика относительно K = E. По условию теоремы модель E AD, будучи нетривиально-E-правильной относительно E, является также нетривиально-F -правильной отно сительно H = E(uv ) в точке (x, y) (нужно рассмотреть подрешётки, i j i j заданные соотношениями Zxi H, Zyj H, где Zxi и Zyj выбраны из условия правильности). Далее, применяя утверждение 2.3.4, найдём такой линейный pH на H, что pH = 0 и (x, y, pH ) квазиравнове сие модели E|AD. Теперь применим утверждения 2.3.1 и 2.3.2, находя H H H такие -непрерывные функционалы i и j, что выполнены соот ношения (2.3.10)–(2.3.14) в пределах пространства H, причём имеет место представление p H =. H I J Далее, будучи элементом нечёткого ядра, точка (x, y) является, в частности, оптимальной по Парето. Последнее можно записать в виде {(x, y ) E I J | x Pi (x) i } =, Yj yj = i I J что, с учётом F -правильности относительно E, влечёт V Z {(x, y ) E I J | x i } =.

yj = i Vxi Vyjj и Z = i i j Zxi Zyj, где все множества Здесь V = выбраны из условия правильности. Покажем далее, что получен H H H H ный ранее функционал вида (1,..., n, n+1,..., n+r ) разде I J ляет множества V и Z {(x, y ) E | xi i } yj = I J на подпространстве H. В силу условия (2.3.10), истинного для Vxi H и Vyjj H для всех i, j, для этого достаточно доказать, что i неравенство H H H H i x i j y j i t i j t j (2.3.27) 2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре выполняется для любого (t1,..., tn, tn+1,..., tn+r ) H I J Z, удо влетворяющего ti tj = i.

i j Сделаем это. Пусть zi = xi ti Zxi и zj = yj tj Zyj. По свойству идеала zi, zj H и, значит, из ti zi, tj zj и в силу pH H I J имеем pH (ti zi ) i (ti zi ) = i (ti xi ) + i (xi zi ) H H H i, pH (zj tj ) j (zj tj ) = j (yj tj ) + j (zj yj ) H H H j.

Однако в силу (2.3.11), (2.3.12) имеем i (xi zi ) = pH (xi zi ) H & j (zj yj ) = pH (zj yj ) H i, j.

Подставляя выражения в правую часть предыдущих соотношений и преобразуя неравенства, находим pH (ti xi ) i (ti xi ), H pH (yj tj ) j (yj tj ) i, j.

H ti Суммируя последние неравенства, в силу tj = i = = ( xi yj ) заключаем H j (yj tj ) pH ( H i (ti xi )+ ti tj ( xi yj )) = 0.

Последнее, после рутинных преобразований, и даёт (2.3.27).

Далее, в силу (2.3.27) и нетривиальной F -правильности, кото рая влечёт V H I J =, по теореме Хана–Банаха функционал q H = (1,..., n, n+1,..., n+r ) можно поднять на всё про H H H H I J странство E с сохранением свойства разделимости множеств V и Z {(x, y ) E I J | x i }. Обозначим через yj = i q = (1,..., n, n+1,..., n+r ) полученное продолжение функ ционала q H и покажем, что функционал = является квази равновесными ценами для распределения (x, y).

Действительно, так как |H = p по формуле Рисса–Канторовича, то в силу (2.3.14) имеем ij · yj i I.

xi = i + jJ Покажем далее, что выполнены неравенства из пунктов (i) и (ii) определения 2.1.1. С этой целью прежде всего установим для всех i, j следующие соотношения:

i (xi zi ) = i (xi zi ) zi xi, zi Zxi, (2.3.28) 218 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики j (yj zj ) = j (yj zj ) zj yj, zj Zyj. (2.3.29) Зафиксируем некоторый i0 и zi0 и установим истинность (2.3.28). Так как xi0 zi0 0, то в силу формулы Рисса–Канторовича достаточно доказать неравенство n+r s i0 (xi0 zi0 ) = для произвольного s E n+r, s = (s1,..., sn+r ) 0, s = xi0 zi0.

Действительно, по определению F -правильности имеем t = (x1 + s1,..., zi0 + si0,..., xn + sn, yn+1 sn+1,..., yn+r sn+r ) Z.

При этом по выбору s и из достижимости (x, y) также имеем n+r ti xi tj = yj + zi0 + s = i.

I J J I i=i0 = Тем самым элемент t принадлежит пересечению множеств, которое функционал q отделяет от V. Следовательно, так как (x, y) V, то q, t q, (x, y), что можно записать в виде n+r i t i i x i s j t j = j yj + i0 zi0 + I J J i=i0 = i x i j yj + i0 xi0.

J i=i Сокращая общие члены, получаем искомое неравенство, что и дока зывает (2.3.28). Доказательство соотношения (2.3.29) осуществляет ся подобным образом.

Далее пусть x Vxi Zxi при некотором i. Положим zi = xi x.

i i i i Так как zi xi, zi xi и zi Zxi, то в силу i, из i xi i x и i i по (2.3.28) можем записать (x xi )+(xi zi ) = (x zi ) i (x zi ) i (xi zi ) = (xi zi ), i i i что доказывает xi x. Тем самым xi, Vxi Zxi, что в силу i i i E-правильности предпочтений влечёт xi, Pi (x).

Похожим образом устанавливается неравенство yj, Yj.

Действительно, пусть yj Vyjj Zyj при некотором j. Положим j 2.3. Линейно-решёточная модель Эрроу–Дебре j zj = yj yj. Имеем zj Zyj и по (2.3.29), j yj j yj можем за писать (yj yj )+(yj zj ) = (yj zj ) j (yj zj ) j (yj zj ) = (yj zj ), что доказывает yj yj. Опять, из E-правильности производствен ных множеств условие yj, Vyjj Zxj влечёт yj, Yj. По j следнее завершает проверку определения 2.1.1 в отношении тройки (x, y, ).

Нетривиальность полученного квазиравновесия следует из по строения и утверждения 2.3.2 аналогично тому, как это было сделано в конце доказательства теоремы 2.3.1. Теорема 2.3.5 доказана.

Доказательство теоремы 2.3.6. Чтобы установить утверждение теоремы, достаточно использовать утверждение 2.3.4 и теорему 2.3. применительно к модели E|AD. С этой целью воспользуемся предпо E() ложениями относительно модели E AD и замкнутостью идеала E( ).

При необходимости используя теорему Хана–Банаха, легко видеть, что E|AD удовлетворяет всем предположениям, сделанным в отно E() шении E AD, кроме, быть может, предположения BA о слабой компактности множества достижимых состояний модели E|AD. Од E() нако последнее следует из (E, E )I J -компактности A(X) (в силу BA) и -замкнутости E( ), ибо E( )I J A(X) = A(X|E() ), отку да A(X|E() ) -замкнутое выпуклое и, так как класс выпуклых -замкнутых множеств совпадает с классом слабо-замкнуто выпук лых, само является слабо замкнутым, а следовательно и слабо ком пактным множеством.

Доказательство леммы 2.3.4. Из условия = xi yj и x + i j = xi 0 Zxi & yj = yj 0 Zyj для всех i, j имеем i x + + i j xi 0 yj 0 = ( yj ) = Z xi Z yj.

i Кроме того, из = i j i и i = i 0 Zxi & 0 Zyj для всех i, j имеем i = i j i 0 = Z xi Z yj.

i j Z xi Следовательно, используя выпуклость множества Zyj, за ключаем 1 x + ( + ) = ( + i j i ) Z xi yj + Z yj.

i 2 220 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики x + + + Однако в силу i = i и ввиду ( yj ) = i = ( x+ + yj ), получаем i [ v, + v] i j Z xi Z yj, где 1 + x+ + v= ( i + yj ).

i + x+ + Более того, из 0 следует, что i i и yj i x + yj, что влечёт + i + + |i | 2 i i и x+ + x+ + |xi | + |yj | 2( yj ) yj.

i i Суммируя последние неравенства, получаем 4v u 2v 0 = v u и в силу предыдущего имеем 1 [ u, + u] i j Z xi Z yj, 4 что и требовалось доказать.

2.4. Рынки с перекрывающимися поколениями В данном разделе рассматриваются теоретические основы функци онирования долгоживущих экономических систем рыночного типа, а именно, рынки с перекрывающимися поколениями экономических агентов, моделирующие живущую на бесконечно-счётном множестве временных интервалов экономику популяции. В моделях этого ти па постулируется, что агенты рождаются в какие-то моменты вре мени (периоды) и затем живут их конечное число, причём в каждый момент кто-то живёт (поколения перекрываются), а экономика в це лом функционирует бесконечно долго. В качестве цен в такого рода моделях принимается последовательность ценовых функционалов, отвечающих периодам жизни экономики. Однако при попытке непо средственно перенести понятие конкурентного равновесия на OLG экономики возникают специфические математические трудности (и 2.4. Рынки с перекрывающимися поколениями парадоксы), обусловленные тем, что не всякая бесконечная после довательность потребительских планов может при заданных ценах иметь стоимостную оценку, даже если все элементы (цены и планы) неотрицательны. Отметим, что данная проблема может проявиться только в правой части определяющих равновесие бюджетных огра ничений, при определении стоимостной оценки исходных ресурсов, ибо стоимостные оценки из левой части являются конечными сумма ми конечных величин (так как каждый потребитель живёт конечное время). Тем не менее, специфика модели такова, что в общем случае проблема корректного определения стоимостной оценки последова тельности потребительских планов может повлечь за собой отсут ствие равновесия в обычном понимании (см. [Wilson, 1981;

Данилов, 1993;

Geanakoplos, Polemarchakis, 1991, пример 8, p. 1920], а также его переложение ниже), и, для того чтобы равновесия существовали, приходится накладывать дополнительные ограничения на структуру исходных запасов. В теории известно два типа таких ограничений либо исходные запасы у каждого потребителя имеют только конеч ное число ненулевых попериодных компонент, либо имеется конечная группа потребителей, обладающая ненулевой долей совокупных ре сурсов в каждом из периодов времени (эта доля не зависит от выбора момента). В общем же случае удаётся гарантировать только суще ствование скомпенсированных равновесий специфического поня тия равновесия, в котором постулируется возможность добавления к правым частям бюджетных ограничений некоторых стоимостных величин, названных компенсирующими. Таким образом, в класси ческой теории OLG-экономик из формально-математических сообра жений следует: чтобы равновесия существовали (т. е. чтобы потреби тельские рынки были сбалансированы), необходимо привлекать фи нансовые потоки, идущие из ниоткуда (из будущего?), причём меха низм их перераспределения среди потребителей никак не определён.

В настоящем разделе мы намерены уточнить понятие скомпенси рованного равновесия, дав конструктивное описание используемых при его введении компенсирующих стоимостей, роль которых в тра диционных подходах довольно загадочна. С этой целью будет вве дено понятие нестандартных OLG-цен, OLG-равновесия с нестан дартными ценами и доказана его теорема существования в рамках общих линейно-решёточных структурных предположений. По своей сути OLG-равновесие с нестандартными ценами является новым по нятием, очень близким к понятию обобщённого скомпенсированного равновесия по Данилову [1993], в котором, так же как и в общепри нятом, используются компенсирующие стоимости. Однако при этом эти стоимости обладают рядом положительных дополнительных 222 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики свойств, что следует из явно описывающих их формул (в том и состо ит понятийная новизна). В частности, если какой-либо агент облада ет только конечно-живущими ресурсами, то эти стоимости нулевые, (а значит, если все агенты экономики таковы, то нестандартное рав новесие есть просто равновесие!);

если ресурсы какого-либо агента больше ресурсов другого агента в какое-то число раз, то в это же число раз будут больше его компенсированные стоимости и т. д. По лученные результаты проясняют роль, которую могут в экономике играть бесконечно-живущие ресурсы, их связь с компенсированны ми стоимостями и, тем самым, состоятельность (валидность) тради ционных равновесных моделей с перекрывающимися поколениями экономических агентов, в которых парадоксальным образом можно качать ресурсы из бесконечного отдалённого будущего.

2.4.1. Модель и существование равновесий в экономиках с перекрывающимися поколениями Изучается традиционная модель экономики чистого обмена с пере крывающимися поколениями, в которой имеется счётное число по колений, каждое из которых состоит из конечного числа конечно живущих потребителей, причём в каждый момент жизни экономики кто-то живёт (поколения перекрываются).

Опишем основные элементы модели. Символ t обозначает вре менной период, и T = {1, 2,..., t,...} это совокупность всех мо ментов жизни (временных периодов) экономики. Пространство про дуктов (Et, t ) в период t T описывается так же, как в разде лах 2.1, 2.2, это частично упорядоченное топологическое вектор ное пространство, где топология t хаусдорфова (отделима) и ло кально выпуклая. Имеется I = {1, 2,..., i,...} экономических аген тов, каждый из которых живет Ti T временных периодов, причем + |Ti | +, i I. Предпочтения Pi определены на Xi = Et Ti это потребительское множество агента i. Здесь Pi : Xi Xi, точечно-множественное отображение, где Pi (xi ) Xi интерпрети руется как множество всех потребительских планов, строго предпо читаемых агентом i плану xi Xi. Исходные запасы агентов описы + t t ваются как последовательности i = (i )tT, i Et. Требуется, чтобы цены в каждый момент времени t выбирались из топологи чески двойственного Et = (Et, t ) к Et, т. е. были непрерывными линейными функционалами. Таким образом, модель сохраняет ос новные черты экономики, описанной в разделе 2.2. К числу разли 2.4. Рынки с перекрывающимися поколениями чий относятся сужение области определения предпочтений до по требительского множества (здесь это важно) и собственно наличие бесконечно-счётного множества потребителей. Суммируя сказанное, исследуемая OLG-модель это E OLG = I, T, { Et, Et }tT, {Pi, i, Ti }iI.

Для корректного рассмотрения в рамках OLG-экономики каких либо понятий равновесия необходимо, чтобы соответствующие пара метры имели смысл. По этой причине сначала рассмотрим предполо жения, которым модель должна удовлетворять, а уже затем дадим определения.

Прежде всего наложим специфические ограничения на популя цию экономических агентов и структуру их исходных запасов.

SF (структурная OLG-конечность):

(i) для каждого t T множество живущих в этом периоде агентов конечно и непусто, т. е.

I(t) = {i I | t Ti } =, | I(t) | +;

(ii) для каждого t T множество агентов-собственников в этом периоде конечно и непусто, т. е.

t J(t) = {i I | i = 0} =, | J(t) | +.

Отметим, что в модели не предполагается прямой взаимосвязи меж ду множествами I(t) и J(t), но есть только косвенная через формулируемое ниже предположение о нередуцируемости E OLG экономики.

Экономическое значение предположений SF должно быть ясно, они хорошо известны в литературе. В частности, SF(ii) влечёт су ществование вектора совокупных (общественных) исходных запа t = t сов для каждого периода времени i, что будет ис iI пользоваться в дальнейших предположениях и позволяет коррект ным образом рассматривать понятия достижимого распределения и -равномерной правильности предпочтений. SF(i) будет играть несколько другую роль, оно используется явным образом в конструк ции аппроксимирующей (возмущенной) модели, которая описывает ся в следующем разделе. Тем не менее заметим, что, как показывают примеры (см. [Geanakoplos, Polemarchakis, 1991, пример 4, p. 1916]), если SF(i) нарушается, а в случае конечномерного пространства 224 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики продуктов это означает, что найдётся продукт, желаемый бесконеч ным числом потребителей, то это может служить причиной отсут ствия равновесия.

Далее необходимо указать рамки структурных предположений, которым должно удовлетворять пространство продуктов в модели с перекрывающимися поколениями. При каждом t T предполагают ся выполненными структурно-решёточные посылки предположения SA в двойственности Et, Et.

Требования к предпочтениям, изложенные в разделах 2.1 и 2.2, несколько усиливаются и их приложение для OLG-экономик требу ет некоторого пояснения. Эти требования, формулируемые в отно шении какого-либо потребителя i I, следует понимать как требо вания относительно пространства Li = Et и ассоциированной с tTi ним двойственности Li, L. То же самое имеет место в отношении i вектора совокупных ресурсов E зачастую это означает, что = |Li = ( t )tTi. Кроме того, в рассматривается его проекция последующем изложении элементы пространства Li достаточно ча сто (и в зависимости от контекста) будут отождествляться с векто рами из E = Et это просто векторы, полученные по принципу tT заполнения нулями недостающих компонент.

Итак, с учётом приведённого выше замечания, мы принимаем все сделанные в разделах 2.1 и 2.2 предположения: SA, BA (огра ниченность), CA (непрерывность, выпуклость и иррефлексивность предпочтений), NA (локальная ненасыщаемость), MA (монотон ность). Отметим, что PA автоматически выполнено в силу SA(i), (ii) и определения потребительских множеств. Предположение BA слабая компактность достижимых распределений в рамках OLG экономики следует понимать как компактность распределений в каждом временном периоде, что эквивалентно компактности поряд кового отрезка [0, t ] в топологии (Et, Et ). Отметим, что в силу тео ремы Тихонова последнее будет эквивалентно компактности [0, ] в топологии произведения (Et, Et ).

t В соответствии с принятой выше терминологией назовём модель E OLG линейно-решёточной, если она удовлетворяет предположени ям SA, SF, BA и CA.

В части усиления свойств потребительских предпочтений снача ла потребуем, чтобы они имели открытый график в соответствую щем произведении слабых топологий (Et, Et ).

OGr (открытость графика). Для каждого i I предпочтение Pi : Xi Xi имеет (Li, L )-открытый график в Xi Xi.

i 2.4. Рынки с перекрывающимися поколениями Кроме того, нам потребуется несколько усилить требование мо нотонности предпочтений. Дополнительно потребуем SM (OLG-монотонность). Для каждого i I и любых x, y Li если x y, то Pi (x) Pi (y).

Уместно заметить, что для предпочтений, удовлетворяющих аксио мам предпорядка, предположение MA влечёт SM (легко проверя ется), однако в общем случае это неверно.

Необходимо также требовать несколько более сильную форму ненасыщаемости предпочтений, а именно, их ненасыщаемости от носительно каждого временного периода из Ti. Пусть i I, t T + иy Et фиксированы. Определим частное предпочтение t Ti \{t} t Pi (·, y) посредством эквивалентности (z, y) Pi (z, y), z Et.

+ t z Pi (z, y) PN (попериодная ненасыщаемость). Если Et бесконечномерно t и t Ti для некоторого i I, то частное предпочтение Pi (·, y) + t является t -локально ненасыщаемым на [0, ] Et для каж + Et, т. е. для каждого x [0, t ] имеет место дого y t Ti \{t} t x cl(co Pi (x, y)).

Заметьте, что PN не следует из стандартного предположения ло кальной ненасыщаемости NA на x [0, |Li ] Li. Это предполо жение делается только для тех периодов времени, которым отвеча ет бесконечномерное пространство продуктов, ибо в конечномерном случае скалярное произведение ·, · является непрерывным по обоим аргументам одновременно (используется в доказательстве).

Далее нужно уточнить понятие достижимого распределения в экономике с перекрывающимися поколениями.

Состояние x (L+ )I называется достижимым (распределени i xt = t для каждого t T. Видно, что разница со ем), если j j:tTj стандартным определением состоит только в том, что здесь учиты вается специфика OLG-экономик и в каждом из периодов времени материальный баланс должен выполняться для живущих в этом пе риоде агентов. Как обычно, обозначим A(X) = {(xi )iI | xi L+, i I, xt = t t T } j i j:tTj множество всех таких распределений.

226 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики IR (нередуцируемость). Если x = (xi )iI достижимое распре деление и R I некоторое собственное непустое подмноже + ство в I, то найдутся такие i R и z Et, что z j tTi jI\R и при этом xi + z Pi (xi ).

Эта или другая форма нередуцируемости (сравни с определением § 1.2.4, с. 109) необходима с тем, чтобы можно было перейти от ква зиравновесия к равновесию (т. е. обеспечить, чтобы любое квазирав новесие являлось равновесием), и это предположение означает вид внутримодельной взаимосвязи между запасами и интересами эко номических агентов. Отметим, что в силу SF(ii) из этого условия можно заключить существование конечного подмножества S I \R, такого, что 0 z j и т. д., как в IR.

jS С тем чтобы можно было эффективно осуществлять предель ные переходы, для OLG-экономик будет предполагаться силь нейшая форма правильности предпочтений равномерная M - правильность, в соответствии с определением 2.2.1 раздела 2.2. В контексте OLG-экономики для данного i последнее означает суще ствование такой окрестности Vi нуля в Li, что для i = { ( |Li w) | 0, w Vi } имеет место (xi i ) co Pi (xi ) = xi co Pi (xi ) + i / для всех xi [0, |Li ]. Другими словами совокупные запасы = i экстремально желательны на [0, |Li ] для каждого i. Заметьте, что в силу SF(i) можно считать, без ограничения общности, что для каждого t T найдутся такие выпуклые закруглённые окрестности нуля Vt в Et, что Vi = Vt для всех i I.

Ti Линейно-решёточную модель E OLG назовём M -правильной, если она удовлетворяет данному свойству, а также всем прочим вышеука занным предположениям NA, MA, SM, OGr, PN и IR (а также SA, SF, BA, CA).

Далее перейдём к концепциям равновесия, которые представля ется уместным исследовать в контексте OLG-экономики. Начнём с классического понятия компенсированного равновесия.

Назовём OLG-ценовым функционалом любую последователь ность p = (pt )tT положительных линейных непрерывных функ ционалов pt (Et, t ). Далее для E = Et и x E +, xi L+ для i T i I определим 2.4. Рынки с перекрывающимися поколениями pt x t, pt x t. (2.4.1) p, x = sup p, xi = i ST, |S|+ tS tTi Ясно, что обе эти величины корректно определены, но при этом пер вая может не быть конечной для некоторых p и x.

Определение 2.4.1. Пара (x, p) называется скомпенсированным равновесием, если p = (pt )tT OLG-ценовой функционал, x A(X) и имеет место Pi (xi ), p p, xi (2.4.2) и p, xi p, i (2.4.3) для каждого i I. Скомпенсированное равновесие называется рав новесием, если неравенства в (2.4.3) обращаются в равенства для всех i I.

Величины i = p, xi p, i, ассоциированные с потребителями OLG-экономики по определению компенсированного равновесия, мо гут быть ненулевыми и называются компенсирующими стоимостя ми. Применяя определение 2.4.1 к случаю конечных множеств T и I, мы приходим к классическому понятию конкурентного равновесия (из достижимости равновесного распределения легко доказывается, что все компенсирующие стоимости с необходимостью обращаются в ноль). Отметим также, что в классической версии понятия скомпен сированного равновесия [Geanakoplos, Polemarchakis, 1991] дополни тельно требуется, чтобы i = 0 как только множество supp (i ) = t = {t T | i = 0} конечно.

Следующий пример из [Wilson, 1981] (см. также пример 8, с. из [Geanakoplos, Polemarchakis, 1991]) показывает, что при самых обычных предположениях в OLG-экономике равновесия могут не существовать, если найдутся потребители с бесконечно живущими исходными запасами.

Пример 2.4.1. Рассмотрим однопродуктовую OLG-экономику с индивидами i N, каждый из которых живёт два периода {i, i + 1} = Ti, описывается предпочтениями, заданными функция ми полезности ui (xi ) = xi + 3xi+1 и оснащён запасами i = (i )T, t i i t t i = 1, t = i, i + 1 и i = 0 иначе. Добавим к множеству агентов индивида с номером 0, который живёт только в периоде 1, с полез ностью u0 (x0 ) = x1 и запасами 0 = (0 )T, i = t, t T. Положим t t I = {0} N. Далее, рассуждая от противного, покажем, что в этой экономике нет равновесия.

228 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики Предположим, что p = (t )T p равновесная последовательность цен. Учитывая строгую монотонность предпочтений, обычным обра зом заключаем, что pt 0 t, т. е. p 0. Рассмотрим далее множе ство T = {t T | t 2 & pt+1 3t }.

p Отметим прежде всего, что это бесконечное множество: предпола гая противное, найдём t T такой, что pt+1 3t t t. Но p t=n t t pt 0 + при n, что в тогда легко видеть, что pt t=t T равновесии невозможно.

Пусть (i )I последовательность равновесных потребительских x планов. Учитывая вид полезностей, из задачи потребителя заклю чаем xt = 0 при t T, где i = t. Значит, из условия баланса в t равновесии при t T весь совокупный продукт этого периода по требляется индивидом i = t 1, т. е. xt t t t t1 = t1 + t + 0 2.

Теперь из бюджетного ограничения индивида i = t 1 находим 2t pt xt = pt1 + pt pt1 pt при t T. В частности отсюда p t1 следует, что t T и t 3 совместно влекут t 1 T, что из бес конечности множества T позволяет заключить T = {t N | t 2}.

В итоге имеем p1 p2 · · · pt1 pt · · · это ключевое нужное нам свойство равновесных цен. Действительно, 2t pt p1. Следовательно, из бюджетного теперь находим p0 = t= ограничения агента 0 имеем x1 1. Однако из предыдущего и решения задачи агента 1 также следует x1 = 0 и, значит, x1 + x 1 0 1 0 + 1 = противоречие.

В заключение укажем на скомпенсированное равновесие этого примера. Легко проверяется, что таковым является последователь ность цен p = (p )T при t p = (1 + 2t )1 p, p 0, t+1 t и потребительских планов x = (x )I, где i (x )i = 0, (x )i+1 = 2 + 2(i+1) для i 1 и (x )1 = для i = 0.

i i В таком случае p x = p i для i 1 и p x = p p 0 0, i p 0 p.

2.4. Рынки с перекрывающимися поколениями Понятие ценового функционала для OLG-экономик было обоб щено в [Данилов, 1993], где предполагается, что это линейный функционал, определённый на совокупном модельном простран стве продуктов E, однако принимающий заведомо конечные значе ния только на запасах и потребительских программах отдельных экономических агентов и могущий иметь бесконечное значение на векторе совокупных запасов экономики. В самом деле, благодаря первой части (2.4.1), OLG-цена может рассматриваться как функци онал, определённый на подпространстве Ep E = Et. Это подпро странство упорядоченного (покомпонентно) пространства E, которое можно определить, используя генерирующий конус положительных элементов43 Ep, + это множество всех таких x E +, что p, x ко нечно. Легко видеть, что таким образом корректно определён конус, на котором функционал p аддитивен и, следовательно, его можно + + однозначно продолжить на Ep = Ep Ep. В силу (2.4.3) ясно, что i Ep для каждого i I. Следовательно, Ep содержит (порядко вый) идеал H E, генерированный семейством {i }iI. С другой стороны, = ( t )tT может не принадлежать H и, значит, возможно Ep, т. е. p может принимать бесконечное значение на. Другими / словами, если S = i для конечного S I, то S, но моно S тонная сеть p S = pi может не иметь верхней границы. Развивая S далее идею Данилова, можно рассмотреть в явном виде нестандарт ный ценовой функционал (внутреннюю последовательность нестан дартных цен), значение которого определено на, хотя оно и может не быть конечным (стандартно ограниченным). Этот путь удобнее с математической точки зрения и позволяет интерпретировать ком пенсирующие стоимости как ценовую оценку бесконечно живущих активов44.

Итак, ключевым моментом нашего понимания обобщенного OLG-равновесия является вводимое ниже понятие нестандартных цен (в смысле нестандартного анализа).

Пусть p = (pt )t T внутренняя последовательность положи тельных нестандартных функционалов pt (Et ), t T. Назовём p нестандартными ценами для OLG-экономики, если pt (y) f t (y) для некоторого t -непрерывного линейного функционала f t на Et и каждого y Et, t T, а также pi + для каждого i I.

Требования, которым должны удовлетворять нестандартные 43 Говорят, что положительный конус H частично упорядоченного простран ства A генерирующий, если H H = A.

44 Данилов также использует нестандартные методы в доказательствах, но не определяет понятия нестандартного ценового функционала в явном виде.

230 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики OLG-цены, можно эквивалентным образом переформулировать. Они означают, что функционалы pt и величины pi околостандартны, т. е. st(pt ), t T & st(pi ), i I, существуют, где стандартные части st(pt ) берутся относительно слабой со звездой топологии45 (о нестан дартных методах в функциональном анализе см. [Young, 1972]). Бо лее того, функционалы st(pt ) = f t явным образом описываются фор мулой st(pt )y = st(pt y) y Et.

Используя эту формулу, можно эквивалентным образом требовать, чтобы для каждого y Et величина pt y была конечна (т. е. |pt y| ограничена стандартным действительным числом) и, следователь но, околостандартна, чтобы формула корректным образом опре деляла функционал, который был бы t -непрерывным. Кроме то го, уместно заметить, что если (E, ) некоторое топологическое векторное пространство, то достаточным условием для того, чтобы функционал h E был слабо- околостандартен, является требо вание hy 0 для каждого y 0, y E. Чтобы убедиться в этом, достаточно найти такую окрестность нуля U, что образ её изобра h( U ) стандартно ограничен (последнее можно показать, жения используя теорему 1.1.1 из [Young, 1972]).

Итак, в соответствии с данным определением для всякой нестан дартной цены p = (pt )t T и для любой ее компоненты pt, отвеча ющей стандартному временному интервалу t T, найдется стан дартный сколь угодно близкий к нему функционал цен pt (назы- ваемый стандартной частью ). Последнее позволяет сопоставить всякой нестандартной цене p = (pt )t T стандартные стоимостные оценки потребительских благ. Именно, стоимость потребительского плана xi = (xt )tTi (где Ti жизненный цикл агента i) может быть i pt xt. Кроме того, в определении постулируется определена как i tTi существование стоимостной оценки исходных ресурсов у каждого из экономических агентов, но, повторимся, не у экономики в целом.

Переводя условие существования стандартной части у некоторых объектов (величин, векторов и т. д.) на язык стандартной матема тики, можно отметить, что фактически это означает существование пределов у некоторых последовательностей, отождествляемых с нестандартными величинами.

45 Заметьте, что монада нуля µ(0) в топологии (Et, Et ) может быть описана как µ(0) = {p Et | py 0 y Et }.

2.4. Рынки с перекрывающимися поколениями Так как обозначение st(p) обычно используется в отношении за данного топологического пространства, чтобы быть специфичными, обозначим p = (st(pt ))tT.

Для заданной нестандартной OLG-цены положим st( t )i,, xi = t st( t )xt, xi Li, i I.

, i = sup i ST, |S|+ tS tTi Ниже будут также использоваться обозначения, i = i и, xi = xi.

Определение 2.4.2. Пара (x, ) называется равновесием с нестандартными ценами, если 0 нестандартная OLG-цена, x A(X) и существуют бесконечные ti T \ T, i I такие, что выполнено t i ) t, Pi (xi ), xi =, i + st( tti для каждого i I. Более того, для каждого k T \ T и i I, если t=ti t=ti t i ) = 0, т. е.

t t j 0.

t k ti, то st( t=k t=k Заметьте, что если пара (x, ) удовлетворяет определению 2.4. t i ) = 0, то (x, ) является t и для каждого i I выполнено st( tti классическим OLG-равновесием.

Принципиально важным в определении 2.4.2 является то, что в качестве стоимостной оценки исходных запасов потребителя i при нимается величина ti T \ T.

t t i ), t t, i + st( tti tT Здесь первое слагаемое, это обычная сумма ряда, однако второе та самая компенсированная стоимость, добавляемая к правой ча сти бюджетного ограничения. Отметим, что сумма под st(·) берется по всем бесконечным моментам, большим некоторого бесконечно го ti. Таким образом, компенсирующие стоимости как бы являют ся стоимостью бесконечных хвостов исходных запасов экономиче ских агентов и их можно интерпретировать как равновесные стои мости, приписываемые бесконечно-живущим ресурсам. Другими словами, это стоимость ресурсов в бесконечно удаленном будущем:

продавая их, агент расходует полученные средства для собствен ного потребления в течение своего жизненного цикла (только как 232 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики это представить практически?). Все прочие требования, характерные для понятия равновесной цены, сохраняются и для OLG-равновесия с нестандартными ценами, т. е. требуется, чтобы совокупные объе мы потребляемых благ совпали с объемами предложения и каждый агент выбирал наилучший, в рамках всего бюджетного ограничения, потребительский план, т. е. выполнялось условие Pi (xi ),, xi = st((i )).

Много полезных свойств равновесных цен можно вывести из это го явного представления компенсирующих стоимостей, и первое из их числа линейность относительно исходных запасов факт, пропущенный в классическом понимании компенсированного равно весия (но замеченный в [Данилов, 1993]). Кроме того ясно, что ес t ли i = 0 для всех бесконечных t и некоторого i I, т. е. если |supp(i )| +, то тогда для этого i отвечающая ему стоимость равна нулю. Более того, если условия, которым удовлетворяет мо t i 0 для каждого t дель, таковы, что можно показать, что kt t T \ T, i I, то равновесие с ценами реализуется автомати чески.

Основным результатом настоящего раздела является следующая Теорема 2.4.1. Если E OLG является M -правильной моделью (т. е. выполнены все предположения), то равновесия с нестандарт ными ценами существуют.

Как следствие теоремы 2.4.1 установлена Теорема 2.4.2. В условиях теоремы 2.4.1 если либо запасы аген тов имеют конечный носитель, либо существуют конечное под множество I I и действительное 0 такие, что i ·, I то равновесия существуют.

2.4.2. Стратегия доказательства, вспомогательные результаты и обсуждение Мы начнём исследование вопроса о существовании равновесий в OLG-экономиках с конструкции возмущённой модели экономики с конечным числом потребителей и подходящей двойственности това ров и цен. Эта конструкция такова, что возмущённая модель будет 2.4. Рынки с перекрывающимися поколениями удовлетворять всем условиям теоремы 2.2.1 существования из раз дела 2.2, и, более того, как только исходная OLG-модель удовлетво ряет условию нередуцируемости IR (см. также § 1.2.4), то нередуци руемой является и возмущённая модель. Далее из нередуцируемости вспомогательной модели стандартным образом устанавливается, что каждый агент этой модели зарабатывает доход (т. е. стоимость его ресурсов строго положительна) в любом нетривиальном квазиравно весии. Таким образом, в возмущённой модели существует равнове сие46. Последнее позволяет осуществить нестандартный предельный переход по равновесным парам и затем изучить предельные точки, которые при сделанных предположениях и окажутся равновесиями с нестандартными ценами.

Возьмём и зафиксируем любое конечное подмножество M множе ства I и определим модель EM. Для потребителей с номерами из M сохраним все определяющие их данные из E OLG и, кроме того, доба вим ещё одного формального агента с номером 0. Следуя идее из [Richard, Srivastava, 1988], в качестве исходных запасов этого агента примем 0 = i.

iM Определим его предпочтения в соответствии с нижеследующей кон струкцией. Пусть T0 = TM = Tj jI\M является (бесконечным) множеством всех периодов его жизни. Возь мём любой линейный непрерывный функционал t ri : Et R t t t t такой, что ri (i ) = 1, если i = 0, и ri (·) 0 иначе. В силу тео ремы Хана–Банаха ясно, что такие функционалы существуют для каждого i и t. Далее положим s+ = st 0.

t st = ri, t iM По предположению Et векторная решётка, следовательно, все + + st, st непрерывны, а st также положительные функционалы, ко торые по построению удовлетворяют t t i = 0 для некоторого i M = st (i ) 0.

46 При CA если в квазиравновесии каждый агент зарабатывает доход, то это квазиравновесие является равновесием, см. § 1.2.4, с. 108.

234 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики Заканчивая конструкцию, найдём последовательность чисел t 0, t TM, удовлетворяющую условию t · s+ t +, t tTM и определим функцию полезности агента 0 по формуле t · s + x t, + x = (xt )tTM, x t Et.

u0 (x) = t tTM Конечно, значение этой функции не может быть корректно опреде лено для каждой последовательности x = (xt )tT. Далее рассмотрим в E = Et подпространство L, которое будет использоваться в ка T честве пространства продуктов возмущённой модели.

Положим |pt t | +} P = {p Et | T T это пространство непрерывных функционалов на главном идеале в E, генерированном точкой = ( t )tT. Далее положим |pt xt | + L = {x Et | p P} T T и рассмотрим на этом пространстве топологию, определённую как слабейшая топология из тех, которые сильнее (тоньше) индуциро ванной на L топологии произведения t, и такую, что каждый функ ционал из p P непрерывен. Эту топологию можно описать в тер минах полунорм следующим образом. Если { } является семей ством полунорм, определяющих топологию произведения t на E, а полунормы {p }pP определяются как |pt xt |, x L, p P, p (x) = T то совокупное семейство { } {p }pP будет задавать топологию. Из данного построения следует, что пространство (L, ) являет ся векторной решёткой при покомпонентном упорядочивании, чей конус неотрицательных элементов L+ замкнут относительно. Бо лее того, имеет место L = P, в чём можно убедиться рутинной проверкой. Отметим также, что по построению эта двойственность не зависит от выбора множества M I, а порядковый интервал 2.4. Рынки с перекрывающимися поколениями [0, ] компактен в слабой топологии (L, L ). Последнее следует из предположения BA (компактность порядковых отрезков [0, t ] в топологии (Et, Et )), по определению и из построения.

Итак, мы рассматриваем двойственность товаров и цен L, L и возмущённую модель EM = M0, L, L, {Pi (·), i }iM экономики E OLG, где M0 = M {0}, а предпочтения для i M три виально продолжены на L+. Из построения и сказанного выше следует, что двойственность L, L удовлетворяет структурным предположениям SA и, если Pi (·) удовлетворяют CA относительно Li, L, то их продолжения на i L+ удовлетворяют CA относительно L, L. Предположение CA также выполнено для функции полезности u0 (·) агента 0 (легко проверяется) и истинны BA, NA и MA. Таким образом, экономи ка EM удовлетворяет всем условиям теоремы 2.2.1 существования квазиравновесия из раздела 2.2. Более того, если (xM, M ) квази равновесие, то анализ доказательства теоремы существования пока зывает, что существуют такие линейные непрерывные функционалы pM L, i M0, что i M = pM, M, i iM и для каждого i M pM, + Ui 0, (2.4.4) i где Ui открытая, выпуклая, закруглённая окрестность нуля, вы бранная из условия -равномерной -правильности для предпочте ний агента i в (L, ). Отметим, что для i = 0 эти окрестности могут быть определены по формуле Ui = {y L | y = (yi, yi ), yi Vi, yi Et }, T \Ti где окрестность Vi Li выбрана из предположения правильности предпочтений на [0, |Li ]. Отметим также, что тогда (2.4.4) влечёт (pM )t = 0 для всех t T \Ti, i M. Подобным образом из построения i u0 следует, что окрестность правильности для агента 0 может быть выбрана так, что имеем (pM )t = 0 для всех t TM.

/ M формуле: x y, x, y L+ xi yi, xi = (xt )tTi, yi = (y t )tTi L+ ;

47 По i i i ниже, с целью упростить обозначения, верхний индекс M опускается.

236 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики Наконец, если модель E OLG нередуцируемая (IR), то можно по казать, что по построению u0 (·) модель EM также является нереду цируемой, и это совместно со сказанным выше даёт Утверждение 2.4.1. В условиях теоремы 2.4.1 для каждого ко нечного M I модель EM имеет равновесную пару (xM, M ) та кую, что M = iM0 pM, где функционалы pM 0, pM L удо i i i влетворяют pM, Pi (xM ) M xi = M i, pM |L, |Li + Vi 0, (2.4.5) i i i i а окрестность Vi выбрана по предположению M – -правильности, M, i 0, i M и M, = 1. Более того, каждый план xM = (xt )tT и каждый функционал pM удовлетворяют xt = 0 и i i i i (pM )t = 0 для t Ti, i M0.

/ i Данное утверждение позволяет реализовать нестандартный пре дельный переход по сети равновесных пар (xM, M ). В самом деле, в силу принципа переноса (см. раздел 4.2 и [Девис, 1980]) утвержде ние остаётся истинным при замене всех параметров их -образами (другими словами, ко всем константам можно добавить звёздочки).

Далее рассмотрим и зафиксируем конечное внутреннее M I, удовлетворяющее условию I M 48, и исследуем нестандартную равновесную пару (x, ) = (xM, M ). Нижеследующие результаты позволяют нам стандартизировать это равновесие и показать, что полученные таким способом точки являются равновесием с нестан дартными ценами.

Утверждение 2.4.2. В условиях теоремы 2.4.1 для каждого ко нечного внутреннего M I, I M каждая нестандартная равновесная пара (x, ) модели EM удовлетворяет st(i /j ) 0, i, j I.

Отметим, что при доказательстве этого утверждения предположение IR является существенным. Кроме того, необходимо, чтобы предпо чтения агентов из I имели открытый график в подходящем произ ведении слабых топологий (Et, Et ).

Так как двойственность L, L является общей для всех воз мущённых моделей, потребительские планы агентов принадлежат 48 Например, это можно сделать, фиксируя любое бесконечное t T \ T по формуле M = Mt = {i I | Ti {1,..., t}}.

Так как в силу SF(i) для каждого t T множества подобного типа конечны, то множество Mt является конечным по принципу переноса.

2.4. Рынки с перекрывающимися поколениями [0, ], а отрезок [0, ] является (L, L )-компактным, то в си лу нестандартной характеризации компактных множеств49 потреби тельские планы агентов из I можно стандартизовать (стандартные части существуют). Однако нестандартные ценовые функционалы пока ещё нельзя стандартизовать, но если их нормировать, полагая i = 1 для некоторого (любого) i I, что возможно в силу утвер ждения 2.4.2, то каждый t, t T будет иметь стандартную часть.

Лемма 2.4.1. В условиях утверждения 2.4.2, если равновесные це ны удовлетворяют i = 1 для некоторого i I, то для каждого t T существует st( t ) 0, где st(·) берётся относительно топо логии (Et, Et ).

Доказательство теоремы 2.4.1 основывается на последнем и предыдущих результатах. Представление величин st(i ) в требу емой в теореме форме даёт следующая Лемма 2.4.2. В условиях теоремы 2.4.1 каждая нестандартная равновесная цена, нормализованная как 1 = 1, удовлетворя ет следующему свойству: для каждого i I найдётся такой ti T \ T, что t i ).

t st(i ) = i + st( tti t=ti Более того, если k ti, k T \ T, то t i 0.

t t=k Напомним, что по определению t i ).

t i = sup ( ST, |S| + tS Комментарий. В заключение можно отметить, что идея нашего до казательства основной теоремы довольно близка к доказательству, данно му Даниловым (с целью получить в конечномерной постановке результат, подобный нашей теореме 2.4.1, см. [Данилов, 1993]). Основное отличие со стоит в том, что он использует теорему существования полуравновесий с нестандартными ценами, полученную в [Маракулин, 1988] (материальный баланс в виде неравенства). Эта в целом несложная теорема избавлена от какой-либо формы условия Слейтера в задаче потребителя (данный 49 Множество A компактно, если и только если каждая точка из A околостан дартна, см. теорему 4.2.20 и [Девис, 1980].

238 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики результат будет верным и в обычной стандартной постановке, в чём мож но убедиться самостоятельно). Данилов тоже конструирует возмущённую модель с конечным числом потребителей, подобную нашей, но при этом не оснащает её каким-либо аналогом условия Слейтера, что мы делаем (наше условие нередуцируемости играет эту роль). Затем, после нестандартно го предельного перехода, с целью перейти от полуравновесий к равнове сиям, он использует рассуждения добавления вверх (не потреблённые никем продукты в каком-либо временном периоде распределяются среди живущих в этом периоде агентов, что не приводит к нарушению прочих условий равновесия). В прямом виде эта идея не может быть применена в товарно-бесконечномерной постановке, ибо отсутствует теорема суще ствования, подобная доказанной в [Маракулин, 1988] (конечно, имеются также другие специфические трудности, появляющиеся в случае беско нечномерных пространств). Именно по этой причине нами была введена и исследовалась модель EM, удовлетворяющая условию нередуцируемо сти IR.


2.4.3. Доказательство основной теоремы и вспомогательных результатов Доказательство утверждения 2.4.1. Первое, что нужно дока зать, состоит в том, чтобы убедиться, что модель EM нередуцируе мая, т. е. истинно IR.

Действительно, пусть I собственное непустое подмножество в M0 = M {0} и x = (xi )iM0 некоторое допустимое распределение.

Если I M, то требуемые i I и 0 y j можно найти в jM0 \I j и нередуцируемости E. Пусть 0 I M0.

силу j = jM0 \I jI\I Возьмём любое достижимое распределение x = (x )iI модели E i такое, что x = xj для j M. Тогда, благодаря нередуцируемости E, j + найдутся такие i (I \ {0}) (I \ M ) и zi Et, что выполнено tTi j и zi + x Pi (x ). Если найденный i I \ {0}, то 0 zi i i M \I нет проблем: используя этого агента, можно проверить требуемые по определению свойства непосредственно. Далее, если i I \ M, то Ti TM и x + j Pi (x ) = [j ]Ti 0, i i M \I M \I t где [j ]Ti = (j )tTi, что по построению u0 (·) влечёт 2.4. Рынки с перекрывающимися поколениями t · s+ j 0 = u0 (x0 + t j ) u0 (x0 ).

t jM \I,tTi M \I Сейчас мы можем взять агента 0, чтобы проверить IR, тем самым модель EM является нередуцируемой.

Далее, выше было отмечено, что в рассматриваемом случае вы полнены предположения теоремы 2.2.1 раздела 2.2, что позволяет заключить существование квазиравновесия (xM, M ) = (x, ) в EM такого, что функционал цен удовлетворяет условиям утвержде ния 2.4.1. Хорошо известно, что благодаря CA(i), (ii) эта пара будет равновесием в случае, когда каждый агент зарабатывает доход, т. е. когда i 0 i M0 (например, см. §1.2.4 на с. 108). Чтобы убедиться в последнем, определим I = {i M0 | i = 0} и применим IR. Теперь, предполагая I = M0, в силу IR & CA(i) можно найти такие 0 z j и i I, что j I / 0 1 : y = xi + z xi = y xi, i но по выбору z и из определения I заключаем y = (xi ) + 0 xi = i = 0, что противоречит предыдущему неравенству.

Наконец, чтобы показать, что xt = 0 для каждого t Ti, i M0, / i предположим противное и определим xi = (t )tT, полагая xt = xt xi i i для t Ti и xt = 0 для t Ti. Ясно, что для равновесных цен i / имеет место, xi xi = 0, i M0, и, принимая в расчёт xi xi 0, i M0, определим (xi xi ) 0, z = (z t )tT.

z= iM Далее, перераспределяя z t любым способом среди потребителей, жи вущих в момент t T, и добавляя полученные векторы к xi, опреде лим новые потребительские наборы, которые в силу SM образуют равновесное распределение относительно цен.

Последнее свойство: (pM )t = 0 для t Ti, i M0, следует из / i (2.4.4) и в силу предположения о -равномерной правильности пред почтений по определению 2.2.1. Действительно, применяя последнее 240 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики к предпочтениям, продолженным на L+, находим pM, Et 0, что t возможно только если (pM )t = 0 (для i = 0, по построению u0 как i линейного непрерывного функционала с нулевыми компонентами при t TM, легко найти подходящую окрестность правильности в / нуле, которая влечёт это свойство).

Доказательство утверждения 2.4.2. Пусть (x, ) любая нестандартная равновесная пара, существующая в силу утвержде ния 2.4.1 и в силу принципа переноса для любого внутреннего и ко нечного M I, I M. Возьмём i = 1 и нормализуем, полагая 1 = 1. Далее рассмотрим множество I = {j I | j 0}.

Покажем, что I = I. Предполагая противное, получим I \ I = и по построению I =. Далее определим последовательность стандарт ных потребительских планов, полагая i I, xi = st(xi ), где стандартизация берётся относительно слабой топологии (L, L ). Это построение корректно, ибо xi [0, ] и, так как [0, ] является (L, L )-компактом, то каждая точка в [0, ] имеет стандартную часть. Из утверждения 2.4.1 следует, что вектор xt i ненулевой, только если t Ti (причём каждое Ti конечное мно жество). Теперь, так как множество I(t) конечно это множество агентов, живущих в периоде t, см. SF(i), то заключаем xt = st(xt ) = st( xt ) = st( xt ) = t t T.

i i i i I M I(t) I(t) достижимое распределение в E. Те Следовательно, x = (i )iI x перь, применяя IR относительно I и x, найдём такой i I & 0 zi j, что выполнено zi + xi Pi (i ). Можно считать, x I\I что zi Li = Et, что в силу SF(ii) влечёт существование конечно Ti го S I \ I такого, что 0 zi j. Но теперь, применяя CA(i), S находим y = (1 )i + zi Pi (i ) x x для некоторого достаточно малого (стандартного) 0. Фиксируем этот. Далее, по предположению график Pi является (Li, L )-от i крытым. Следовательно, для каждого y y, x xi из L+ имеем i i 2.4. Рынки с перекрывающимися поколениями y Pi (x ). Так как xi xi и для y = (1 )xi + zi имеем y Xi, i y y, то последнее даёт (1 )xi + zi Pi (xi ).

Теперь можно применить равновесные свойства (нестандартного) распределения x = (xi )iM0, заключая y = (1 )xi + zi i, что, ввиду xi = i, после рутинных преобразований даёт zi · i. (2.4.6) Однако мы имели 0 zi j, где S I \ I конечно. Следова S тельно, из 0 получаем 0 zi j 0, j = S S что по определению I влечёт zi 0. Но i I и 0 i 0, что противоречит предыдущему и (2.4.6). Следовательно, установлено I = I.

Чтобы закончить доказательство, достаточно заметить: если бы нашёлся такой i I, что i было бы неоколостандартно, то, нор мализуя как i = 1, можно было бы найти другое подмножество I такое, что 1 I \ I =. Однако в силу предыдущего последнее невозможно.

Доказательство леммы 2.4.1. Утверждение 2.4.1 и принцип пе реноса дают представление нестандартной равновесной цены в виде = pi, где pi L, i I, iM для некоторого внутреннего M I такого, что I M, M0 = M {0}. Далее покажем, что функционал st(pt ) существует i для каждого i I, t T.

Фиксируем i I. В силу утверждения 2.4.1 имеем pi, Ui + 0.

Можно считать, что окрестность Ui представляется в виде Ui = (Vi Et ) L, tT \Ti 242 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики где Vi некоторая закруглённая окрестность нуля в Li = Ei, Ti выбранная по свойству -равномерной правильности Pi. Последнее и предыдущее влекут | pi, U i | pi,, t T \ Ti.

pt = 0, (2.4.7) i Кроме того, по принципу переноса, из SF(i) и построения TM, а также ввиду I M, легко видеть, что имеет место TM I \ I. Но тогда утверждение 2.4.1 и принцип переноса для агента 0 дают pt = 0 для всех t T.

Пусть J I множество всех агентов, живущих по крайней мере в течение хотя бы одного временного периода из Ti, т. е.

J= I(t).

tTi Заметьте, что J конечное множество. Теперь в силу (2.4.7) и свой ства равновесных распределений, описанных в утверждении 2.4. (xt = 0 t Tj ), можем записать j pi, x j pi, = pi, xj = xj = j.

J jJ J J Но из утверждения 2.4.2 для нормализованного как 1 = 1 сле дует, что величина j стандартно ограничена (конечна, так как J J конечно). Следовательно, каждая точка множества K = {p L | | p, Ui | j } J околостандартна относительно (L, L )-топологии (по теореме Алаоглу–Бурбаки и в силу нестандартного критерия компактности), что означает существование st(pt ) в топологии (Et, Et ) для всех t.

i В итоге имеем t = pt = pt, i i iM0 iI(t) где каждый pt является (Et, Et ) околостандартным функционалом.

i Чтобы показать, что = ( t )T является нестандартной OLG ценой, нужно проверить, что t околостандартный функционал в (Et, Et ) для каждого t T. С этой целью для фиксированных + t и x Et, используя SA(iii) и принцип переноса, воспользуемся 2.4. Рынки с перекрывающимися поколениями формулой Рисса–Канторовича, явно представляющей супремальный + функционал на Et :

yi = x, yi Et, i I(t)}.

+ t (x) = sup { pt y i | i iI(t) iI(t) Ясно, что величина t (x) околостандартна. Следовательно, st( t ) су ществует в слабой со звездой топологии алгебраически двойственно го Et к Et. Теперь, для того чтобы показать, что этот функционал является t -непрерывным, в силу SA(iii) достаточно доказать, что st( t ) = st(pt ), т. е. достаточно проверить истинность i iI(t) + st( t (x)) = sup { st(pt )yi | yi = x, yi Et, i I(t)} (2.4.8) i iI(t) iI(t) + для каждого x Et. Далее ограничим внимание порядковым иде алом E(x) = Et (x) пространства Et, генерированным точкой x50.

Рассмотрим на E(x) норму Рисса || · ||x это норма, в которой еди ничный шар задаётся как B(x) = {y Et | |y| x}.

Тогда (E(x), || · ||x ) нормированное пространство Рисса, и легко видеть, что |E(x) и pt |E(x) t элементы пространства i (E(x), || · ||x ) и, более того, каждый pt E(x) является || · || i| околостандартным функционалом (так как образ нестандартного шара B(x) при отображении pt E(x) стандартно ограничен). Но i| пространство (E(x), || · ||x ), оснащённое двойственной нормой || · ||, является также нормированным (и банаховым) простран ством Рисса (см. [Wong, Ng, 1973, p. 64, теорема Девиса 6.12]), в котором порядковые операции непрерывны. Следовательно, st||·|| (|E(x) ) = st||·|| (pt E(x) ), и, так как st||·|| (pt E(x) ) совпадает t i| i| iI(t) на E(x) со стандартной частью pt в топологии (Et, Et ) (поскольку i (Et, Et ) хаусдорфова), то истинно (2.4.8) для данного x, а значит, + и для каждого x Et. Лемма 2.4.1 доказана.

Доказательство теоремы 2.4.1. Рассмотрим нестандартную мо дель EM с внутренним конечным M I таким, что I M.

50 Это линейное подпространство в Et, которое можно определить по формуле E(x) = {y Et | R, 0 : |y| x}.

244 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики Рассмотрим также нестандартную равновесную пару (x, ), суще ствующую по утверждению 2.4.1 и принципу переноса. Используя утверждение 2.4.2, нормализуем, полагая 1 = 1. Далее изучим равновесную точку (, ), определённую как xi = st(xi ), i I. В x силу слабой компактности интервала [0, ] в L это построение кор ректно. Кроме того, в силу леммы 2.4.1 функционалы t = st( t ) су ществуют для всех t T, а по выбору нормализации и в силу утвер ждения 2.4.2 также выполнено st(i ) 0 для всех i I. Таким об разом, функционал = (t )T является нестандартной OLG-ценой.


Далее покажем, что пара (, ) действительно является равновесием x с нестандартными ценами. Благодаря лемме 2.4.2 (доказанной ниже) и тому факту, что каждый агент зарабатывает доход, всё будет до казано, если установить, что имеет место t yt t xt = st(i ) i Ti Ti для каждого y = (yt )Ti Pi (i ), i I.

x Чтобы сделать это, сначала покажем, что t yt st(i ), y Pi (i ), i I.

x (2.4.9) Ti Пусть y Pi (i ) и i I фиксированы. По предположению график x Pi является (Li, L )-открытым в L+, следовательно, для xi xi i i имеем y Pi (xi ), что даёт y xi = i, в силу равновесных свойств нестандартной пары (x, ). Но (стан дартный) y Li, где пространство Li можно отождествить с под t yt. Теперь, стандар пространством в L, откуда получаем y = Ti тизуя последнее неравенство, устанавливаем (2.4.9).

Далее установим t xt = st(i ).

i Ti Пусть t Ti и i I фиксированы. Применяя принцип переноса к утверждению 2.4.1, найдём соответствующие pj L, имеющие j необходимые равновесные свойства (2.4.5), причём t = pt. j jI(t) Так как t pt, xt 0, то i i pt, Pi (xi ) i t t x t = t, (2.4.10) i i i t Ti,t =t 2.4. Рынки с перекрывающимися поколениями где Pi (xi ) = Pi (xt, xt ), xt = (xt )t Ti \{t} t t сечение мно i i i i жества Pi (xi ) относительно Et. Выберем далее любой z xt, i t z co Pi (xt, xt ), существующий в силу PN и OGr t слабой от i i крытости графика Pi 51. Тогда из (2.4.10) заключаем pt z t = pt xt + pt (z xt ) t.

i i i i i i i Но (z xt ) 0, и в силу (2.4.5) легко видеть, что pt y 0 для всех i i t y 0, y Et. Следовательно, pt (z xt ) 0 и имеет место i i t pt x t t = t xt t.

i i i (2.4.11) i i Покажем, что имеет место и обратное неравенство. В самом деле, xt = t следует заметим, что из i iI(t) t xt = t t.

i iI(t) Но из построения и равновесных свойств мы также имеем t = t t, t x t = t.

i i i I(t) Но теперь в силу (2.4.11) и двух последних соотношений заключаем, что i xt i xt (чтобы достичь этого, потребовались специальные t t i i рассуждения в силу только односторонней непрерывности скаляр ного произведения в слабой топологии, если бы Et было бы конеч номерно, то тогда мы имели бы это автоматически), что влечёт t xt t xt t xt = t = t xt t.

i i i i i i Сейчас, суммируя последние соотношения по t Ti, получаем t xt |Ti |i (|Ti | 1) t xt i i Ti Ti и после элементарных преобразований имеем некоторая сеть, сходящаяся к xt в топологии t, такая, 51 Если {z } i что (z, xt ) co Pi (i ),, то (z, xt ) co Pi (xi ),, так как i x i xi xi и в силу PA(i). Последнее влечёт существование такого \, что (z, xt ) co Pi (xi ) (иначе приходим к противоречию, поскольку \ i внешнее множество), но z xt для всех \ и можно положить z = z.

i t 246 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики t xt = st(i ).

i Ti Последнее, совместно с (2.4.9), и даёт требуемый результат. В силу леммы 2.4.2 теорема доказана.

Доказательство леммы 2.4.2. Фиксируем i I и определим t i, k T и = sup st(k ). Тогда по определению i t k = kT tk получим t i.

t = i = sup ST, |S| tS Теперь определим следующую внутреннюю последовательность:

k T.

k = (k )+, Так как и i положительные, то k 0 для всех членов при k T.

Сейчас можно применить теорему о продолжении внутренней после довательности (см. следствие 4.2.2 из раздела 4.2 и [Девис, 1980]), которая влечёт существование такого ti T \ T, что k 0 для всех k ti. Следовательно, i k ti, k T.

t i t tk Более того, для каждого конечного S T имеем t i k ti, k T \ T, t i t t i t t S S tk что влечёт t i t i.

tk Принимая в расчёт предыдущее соотношение, получаем t i ) = i k ti, k T \ T.

t i ) = st( t t st( tti tk Отсюда непосредственно следует t i + t t i t i = tti tti t i ) + st( t t i ) = i + st( t t i ) t st(i ) = st( tti tti tti что и требовалось доказать.

2.4. Рынки с перекрывающимися поколениями Доказательство теоремы 2.4.2. Так как первая часть теоремы является очевидным следствием теоремы 2.4.1, рассмотрим случай, в котором существует конечная группа агентов I I, обладаю щая положительной долей совокупных исходных ресурсов экономи ки. Итак, предположим, что i j, 0. (2.4.12) I I Далее рассмотрим любую равновесную пару (x, ) с нестандартными ценами, существующую в силу теоремы 2.4.1. Ввиду (2.4.12) равно весные цены можно нормализовать, полагая = 1. При этом будем иметь st(i ) 0 для всех i I. Сейчас для того чтобы уста новить теорему 2.4.2 на основе теоремы 2.4.1, достаточно показать, k i 0 для каждого бесконечного t T \ T и каждого k что kt i I. Сделаем это.

Для заданного t T определим множество Jt всех агентов, имеющих ненулевую собственность в одном из временных периодов {1,..., t}, т. е. положим k Jt = {i I | k t : i = 0}.

Ясно, что Jt конечное множество. По выбору t можно считать, что имеет место I Jt, где I удовлетворяет (2.4.12). Отсюда имеем k k + k k.

j Jt kt kt С другой стороны, найдём t t такой, что Ti {1,..., t} для каж дого i Jt. Отсюда получаем k k xj = j.

Jt Jt kt Сравнивая эти неравенства, находим k k k k, st( k k ) k k.

(2.4.13) kt kt tkt tkt k k для t, то правую часть в (2.4.13) Но, так как kt можно сделать сколь угодно малой, что даёт 248 Глава 2. Равновесие в бесконечномерной модели экономики k k 0 t T \ T, 0 kt т. е.

iI st(i ) = i, что и требовалось доказать.

Глава Равновесный анализ в неполных рынках Одна из основных целей экономической теории и её составной ча сти теории общего равновесия состоит в том, чтобы описать распределение ресурсов, реализуемое через систему рынков. В ис ходном классическом варианте (неявно) предполагается, что вся эко номическая жизнь протекает как бы в отдельно взятом временном периоде, в котором физические параметры остаются (более-менее) неизменными, агенты обладают достаточно полной информацией о значении экономических переменных для принятия собственных ра циональных решений, сделки осуществляются за бесконечно малое время и т. д. О такого рода постановках принято говорить, что это полный рынок, описываемый классической теорией распределения ресурсов, представленный в наиболее законченном виде теорией (мо делью) Эрроу–Дебре. Однако в мире реальной экономики индиви дуумам приходится принимать решения в условиях неопределённо сти, обусловленной как неполнотой информации, так и объективной неопределённостью будущего. За время развития человеческой ци вилизации был накоплен значительный практический опыт решения задач подобного рода. В результате в реальном мире современной экономики наряду с рынками обычных продуктов можно наблюдать сложившиеся рынки специфических финансовых инструментов, на зываемых активами (assets). Функционирование этих рынков наце лено именно на разрешение задач, связанных с неопределённостью будущих событий. Примерами рынков этого типа могут служить страховой бизнес, рынки фьючерсных контрактов, торговля опци 250 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках онами1 разного типа и т. д. Данная проблема, связанная с неопреде лённостью будущего, понималась и классиками экономической тео рии (см. обзор [Radner, 1982]), но привлекла особо пристальное вни мание экономистов к началу 80-х годов 20 века, когда классическая теория Эрроу–Дебре исчерпала возможности дальнейшего развития.

Результатом проведённых исследований явилось построение, в рас ширенных структурных рамках модели Эрроу–Дебре, теории непол ных рынков (см. [Geanakoplos, 1990;

Magill, Shafer, 1991]). Термин неполный здесь апеллирует к тому обстоятельству, что потенциаль но бесконечное многообразие возможных реализаций будущего (со бытий) заведомо шире множества придуманных людьми страховоч ных вариантов, выраженных в форме финансовых активов. Таким образом, теория неполных рынков моделирует экономические обсто ятельства, в которых экономические агенты живут и функциониру ют в рамках ограничений, предопределённых возможными разли чиями во временных моментах появления товаров на рынке и объ ективно обусловленной неопределённостью будущего по отношению к настоящему. При этом из многообразия способов моделировать неопределённость и время эта теория выбирает те из них, которые в наибольшей степени отражают специфические финансовые черты, присущие реально существующим рыночным экономикам, покрывая одновременно классическую теорию распределения ресурсов.

В данной главе будет рассмотрено две модели неполного рын ка. В первой, базовой модели двустадийного (настоящее–будущее) неполного рынка, с конечным числом событий (возможных состоя ний природы), будут рассмотрены новые понятия компенсированно го и обобщённого равновесия и установлены отвечающие им теоре мы существования. Во второй части главы рассматривается новая модель динамического неполного рынка, представленного на счётно бесконечном дереве событий. Концепции компенсированного и обоб щённого равновесия переносятся на динамический неполный рынок, а затем устанавливаются соответствующие им теоремы существо вания.

1 Это торговля правом на будущую необязательную сделку, где “call” на покупку и “put” на продажу какого-нибудь продукта.

3.1. Равновесие в базовой модели неполного рынка Ниже описывается простейшая модель экономики неполного рынка, в которой предполагается наличие точно двух временных периодов жизни экономики, настоящее и будущее. При этом представление будущего имеет множество (конечное) вариантов реализации (собы тий), однако здесь не предполагается наличия какой-либо их веро ятностной интерпретации, которая существенно сужает модельные рамки (ибо предполагает у разных агентов одинаковые ожидания различных событий). Представление о будущих событиях скрыты в предпочтениях агентов, определённых на всевозможных допусти мых вариантах потребления во всех состояниях мира настоящего и будущего. Таким образом, в вероятностных терминах агенты мо гут иметь различные (индивидуализированные) ожидания будущих событий, которые могут изменяться по отношению к текущему со стоянию экономики (набору вариантов потребительских планов).

Рассмотрим в общих рамках экономики чистого обмена (двухста дийную) модель с двумя временными периодами t = 0, 1, в которой имеется конечное число физически различных (потенциально) про дуктов, достижимых либо сегодня (с определённостью), либо завтра, которое представлено посредством s возможных событий (состояний природы) будущего. Для удобства обозначим через = 0 состояние природы, отвечающее событию сегодня, и пусть l число про дуктов, достижимых в состоянии = 0, 1,..., s. Таким образом, в рассматриваемом случае полное пространство продуктов E можно =s отождествить с пространством Rl, где l = l. В каждом из состо = яний = 0, 1,..., s имеется собственный (спотовый) рынок каждого продукта. Цены на этих рынках представлены векторами p Rl.

В настоящем (т. е. в момент t = = 0) существует также финан совый рынок активов или ценностей (assets), общим числом k штук, которые обещают финансовые выплаты в состояниях будуще го при t = 1. Цена на актив j представлена величиной qj, и пусть q = (q1, q2,..., qk ) полный вектор цен на активы. Определим = {(p, q) Rl Rk | p 1, q 1} множество всех допустимых рыночных цен на активы и обычные продукты2. Элементы этого множества будут в дальнейшем также 2 Действительно важным при определении множества допустимых цен явля ется только факт 0 int, т. е. цены являются сколь угодно гибкими.

252 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках обозначаться символом = (p, q). В максимально общей постановке структура активов задаётся отображением A(·) = [aj (·)]j=1,...,k, определённым на X, где X множество всех допустимых состоя ний;

здесь A(, x) это (s k)-матрица, j-й вектор-столбец которой aj (, x), для заданных p, q и x, указывает на финансовые выплаты (с плюсом или минусом) актива j в будущих состояниях природы, номинированные в единицах счёта (деньгах). Другими словами, при покупке актива типа j в единичном объёме гарантированные фи нансовые отдачи в будущих состояниях мира и составят вектор aj (, x). Положим q = [j ]j=k = j (, x) = (qj, aj (, x)),.

j=1 A(, x) Тогда общее изменение стоимости среди различных состояний мира, которое некоторый агент может получить от рынка активов, фор мируя портфель заказов на ценности z = (z 1,..., z k ) (торговая программа для активов), определяется вектором q1 qk · z = z1 + · · · + zk.

a1 ak В неполном рынке потребитель i обычным образом описывается сво им потребительским множеством Xi E, причём предполагается =s Xi при Xi Rl, и отношением предпочтения Pi : X Xi, Xi = = где X = Xi. Кроме того, при общем подходе этот потребитель до iI полнительно характеризуется множеством допустимых портфелей Zi Rk и вектор-функцией =s i (·) = (i (·))=0, i : X R, показывающей, какими стоимостями, при заданных ценах =s p = (p )=0, q и действиях других агентов, обладает потре битель i в разных событиях. Следовательно, потребитель может выбирать свой потребительский план при следующих бюджетных ограничениях, имеющих форму векторного неравенства:

Pxi i (, ) + zi, xi Xi, zi Zi, x где матрица 3.1. Равновесие в базовой модели неполного рынка p0 0 p0...... =.

P=.. P 0 ps определяет потребительский стоимостной оператор. Заметьте, что обычно используемое в теории неполных рынков квадратное про стандартное обозначение p x, означающее вектор изведение =s (p x )=0, x Rl, l = l, совпадает с обычным произведением Px, x Rl. Модель неполного рынка также матрицы на вектор включает в себя вектор совокупных исходных запасов E, или же просто индивидуальные векторы i Xi, i I;

в последнем случае полагается = i. В итоге, будучи записана в краткой форме, iI исследуемая модель неполного рынка примет вид E in = I, E, {Xi, Pi, i (·)}iI,, A(·).

Далее мы напомним концепции равновесия, применяемые в теории неполных рынков.

Обозначим символом Z = Zi множество всех допустимых тор iI говых портфелей на активы, в этом множестве аккумулированы все имеющиеся в экономике ограничения на рынке активов. При задан ных действиях всех прочих агентов для текущих рыночных цен на потребительские продукты и при заданных ценах на активы можно определить бюджетное множество агента i:

Bi (p, q, x) = { x Xi | zi Zi : p x i (p, x) + (p, q, x)zi } Z i i это множество всех его финансово достижимых потребительских программ, из числа которых и только из них агент i может сделать свой потребительский выбор.

Определение 3.1.1. Финансовое Z-равновесие это пара допу стимых действий и цен (i, zi )iI, (, q ) X Z, удовлетво x p ряющая условиям:

xi i (, x) + (, q, x)i i I;

(i) p p p z Z (ii) Pi (i ) Bi (, q, x) = i I;

x p (iii) xi = & zi = 0.

iI iI 254 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках Условия (i), (ii) классические и совместно означают, что каждая пара (i, zi ) является оптимальным бюджетно-достижимым планом x агента i при заданных ценах p, q и действиях прочих агентов x.

Требование (iii) заключает в себе условие сбалансированности спро са и предложения на рынке обычных продуктов и на рынке активов в предположении, что нет производства и невозможны межвременные запасы3. Отметим, что если i (, x) = p, т. е. выполнен за p iI кон Вальраса и все спотовые рынки ненасыщаемы (это влечёт выход на равенство всех ограничений в (i)), то в условии (iii) требование zi = 0 является избыточным, как только ранг матрицы (, q, x) p iI равен k числу активов.

Концепция потребительских множеств отражает идею наличия у агентов экономики социологических и физиологических ограни чений на допустимые для потребления наборы продуктов, причём эти ограничения независимы от ограничений на ресурсы. Подобная интерпретация для множеств допустимых торговых портфелей на активы представляется сомнительной. Поэтому для экономической теории наибольший интерес представляет частный случай финансо вого Z-равновесия, в котором нет никаких ограничений на торговлю активами.

Определение 3.1.2. Финансовым или GEI-равновесием4 называ ется пара допустимых действий и цен, являющаяся финансовым Z-равновесием при Zi = Rk для каждого i I.

Вновь отметим, что если, то даже если матрица i (, x) = p p iI финансовых отдач (, q, x) имеет ранг строго меньше чем k, условие p zi = 0 является излишним в следующем смысле: изменяя порт iI фель некоторого агента, легко ассоциировать финансовое равновесие с совокупностью действий (достижимые потребительская и тор говая программы) ((i, zi )iI, p, q ), удовлетворяющей всем другим x условиям определения 3.1.2, за исключением zi = 0, причём вер iI но и обратное. Другими словами, если имеется некоторое равновесие без условия zi = 0, то соответствующее распределение и цены яв iI 3 Точнее, имеющиеся возможности по межвременному сохранению ресурсов аккумулированы в исходных запасах i = (i ), а через них в функциях рас пределения дохода.

4 Аббревиатура от англоязычного термина “general equilibrium incomplete” равновесие неполного рынка.

3.1. Равновесие в базовой модели неполного рынка ляются равновесными для некоторого (другого) набора портфелей, удовлетворяющего этому условию.

Имеется три базисных типа активов, имеющих практическое зна чение в экономической теории и наиболее часто рассматриваемых в литературе (применительно к концепции GEI-равновесия).

это l1 -мерные Первый тип описывается как реальные активы =s векторы a1, a2,..., ak Rl, где l1 = l (верхний индекс 1 при = l указывает на то, что рассматриваются только будущие события), которые как вектор-столбцы образуют матрицу A = [aj ]j=k, т. е.

j= a1 a2 ak...

1 1..

...

A=...

.

...

a1 a2 ak...

s s s (l1 k)-матрица натуральных (продуктовых) отдач по активам.

Этой матрице отвечает матрица финансовых отдач в будущих со стояниях, задаваемая по формуле A(x, p, q) = (p · aj ) =1,...,s = P1 A.

j=1,...,k Заметьте, что при реальных активах концепция финансового рав новесия является инфляционно-состоятельной, т. е. изменение отно сительного масштаба цен (типа их нормировки) на рынках будуще го и настоящего не влияет на распределение ресурсов в силу од нородности бюджетных ограничений. При этом, если дополнитель но функции дохода экономических агентов определены на основе индивидуализированных векторов исходных запасов, отождествля емых с собственностью агентов, т. е. для i (p, q, x) = p i, где 0 s i = (i,..., i ), на области определения i (·) для всех i,, то в этом важном случае бюджетное ограничение потребителя i примет вид q z, xi Xi, zi Rk.

Pxi Pi + P1 A i Если для каждого состояния 1 из будущего задан некоторый потребительский набор (корзина) e Rl, который выбирается в качестве единицы исчисления, то исчислимые активы задаются векторами aj = r e, r R, и в этом частном случае реальных j j активов мы имеем второй тип матрицы финансовых отдач:

j A(x, p, q) = (p · e )r =1,...,s.

j=1,...,k 256 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках При чисто финансовых отдачах контрактах типа страхования матрица A(x, p, q) не зависит от p, q и это третий тип номинальных активов. В дальнейшем, однако, нас будет интересовать случай об щей модели. Подробнее о теории неполных рынков см. [Geanakoplos, 1990;

Magill, Shafer, 1991].

3.1.1. C-равновесия и предельные равновесия Раднера В литературе по неполным рынкам хорошо известно, что GEI равновесия по определению 3.1.2 могут не существовать при самых обычных модельных предположениях, как, например, это проис ходит в известном примере Харта (см. [Geanakoplos, 1990;



Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.