авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |

«Сибирское отделение Российской академии наук Институт математики им. С. Л. Соболева В. М. Маракулин АБСТРАКТНЫЙ РАВНОВЕСНЫЙ АНАЛИЗ ...»

-- [ Страница 7 ] --

Magill, Shafer, 1991, пример 5, p. 1537]). Основная тому причина состоит в том, что матрица финансовых отдач A(x, p, q) может иметь пе ременный ранг при изменении определяющих её параметров. При чём это может случиться уже в случае реальных активов имен но поэтому гораздо удобнее рассматривать их подвид, исчислимые активы, где этого не может произойти (если стоимости продукто вых корзин ненулевые на всех спотовых рынках). Очевидно, про блем такого рода не может возникнуть в важном классе номиналь ных активов. Несложно видеть, что изменчивость ранга матрицы отдач может повлечь разрывность функции спроса, что и препят ствует существованию равновесия. На проблему несуществования можно взглянуть и с другой стороны причина отсутствия рав новесия кроется в неограниченности (некомпактности) стратегиче ских множеств Xi Rk, фигурирующих в определении бюджетных множеств. Причём здесь это принципиально, и эту некомпактность нельзя элиминировать каким-либо техническим приёмом (постулат о компактности множества сбалансированных стратегий не явля ется состоятельным по модельным соображениям). Более того, как мы увидим позже (теорема 3.1.2), если пополнить модель какими-то требованиями, обеспечивающими возможность сведения к компакт ному случаю (например, как это делается ниже, постулируя огра ниченность снизу потребительских множеств и вводя ограничения на торговлю активами, достаточно ограничить их продажи, или, альтернативно, покупки), то равновесие начинает существовать при прочих предположениях, эквивалентных используемым в классиче ской модели Эрроу–Дебре.

Постольку поскольку существование GEI-равновесий для реаль ных активов не может быть установлено полноценным образом, стан дартным в литературе является доказательство теоремы существо 3.1. Равновесие в базовой модели неполного рынка вания в терминах почти всегда (генерически), т. е. для массивного класса моделей, в которых достаточно широко варьируются опреде ляющие параметры. При этом наиболее популярным является класс моделей, в котором изменению подвержены матрица реальных отдач по активам и (индивидуализированные) исходные запасы экономи ческих агентов5, а предпочтения считаются фиксированными. При всех достоинствах этого подхода, однако, заметим, что результат о генерическом существовании получается только при весьма жёстком предположении о предпочтениях они определяются функциями, бесконечно дифференцируемыми на внутренности положительного ортанта (это потребительское множество) и при условии отрицатель ной определённости матрицы вторых частных производных (аналог строгой вогнутости) на касательном к поверхности безразличия под пространстве (см. [Magill, Shafer, 1991, предположение 1, p. 1528 и теорема 9, p. 1547]).

Обычный метод, используемый для доказательства генерическо го существования GEI-равновесий (см. [Geanakoplos, 1990;

Magill, Shafer, 1991]), состоит в том, чтобы сначала доказать существова ние так называемых псевдоравновесий (не путать с квазиравновеси ями!), а уже затем установить их генерическое совпадение с равнове сиями. Вновь отметим, что имеющиеся в литературе результаты по существованию псевдоравновесий (определение ниже) имеют место только при довольно жестких модельных предположениях, близких к условиям их генерического совпадения с равновесиями. Послед нее, конечно, определяется методом доказательства, один из кото рых (имеются и другие, основанные на методах дифференциальной и алгебраической топологии) сводится к нахождению неподвижной точки на невыпуклом множестве, что и не позволяет воспользовать ся теоремой Какутани или каким-либо её аналогом. Этим множе ством является многообразие Грассмана в нашем случае это со вокупность всех подпространств размерности k в Rs, о котором из вестно, что оно компактное, но невыпуклое. Именно подпростран ства размерности, равной числу активов в пространстве размерно сти, равной числу будущих событий, и являются ключевым опре деляющим параметром концепции псевдоравновесия. Существова ние неподвижной точки можно установить, если соответствующее отображение является достаточно квалифицированным с дифферен циальной точки зрения. В данной связи укажем также на подход 5 С равным успехом, по нашему мнению, можно было бы варьировать полез ности, как это делалось в [Маракулин, 1981] для обычной модели Эрроу–Дебре, а в [Dubey, 1980] для игр;

см. раздел 1.3 настоящей монографии. Однако нам не известны такого рода работы.

258 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках Кейдинга [Keiding, 1992], основанный на стандартных методах тео рии существования. Используя соответствующую параметризацию подпространств фиксированной размерности (получена с помощью действительного проективного пространства), он сводит проблему к нахождению неподвижной точки на выпуклом компактном мно жестве с последующим предельным переходом. Представляется, что таким способом можно доказать теорему существования, в той же мере общую, что и в классическом случае (в цитируемой работе ав тор использует ряд упрощающих предположений, которые, как нам кажется, можно ослабить). Тем не менее, имеющихся результатов вполне достаточно с тем, чтобы затем доказать генерическую теоре му, которая в данном контексте и является основной целью. Ниже мы предложим и исследуем несколько иную точку зрения на вопрос существования GEI-равновесий.

Возможное несуществование GEI-равновесий мотивирует поиск экономически состоятельного преобразования этой концепции с це лью достичь удовлетворительной теоремы существования и, тем са мым, обеспечить непротиворечивость предъявляемых условий.

Потенциально имеется две возможности разумного преобразова ния концепции GEI-равновесия. Первая из них состоит в том, чтобы наложить дополнительные ограничения на объёмы торговли акти вами, т. е. вместо zi Rk можно потребовать, чтобы, как в опреде лении 3.1.1, zi Zi Rk, (3.1.1) где множества Zi могут иметь достаточно общий вид. Этот подход был предложен Раднером [Radner, 1972], впервые установившим су ществование равновесий при ограничении на объёмы продаж акти вов. Поэтому ниже, в случае выпуклых, замкнутых и ограниченных снизу множеств Zi для всех i, мы будем называть финансовые Z равновесия равновесиями по Раднеру (для краткости R-равновесия).

При данном подходе, напомним, появляются бюджетные множества следующего вида:

Bi (x, ) = {x Xi | z Zi : Px i (x, ) + (x, )z}.

Z i i Таким образом, в этом случае принимаются дополнительные огра ничения на область определения оператора (x, ). Вторая возмож ность состоит в модификации его области значения. Здесь условие (i) определения 3.1.1 трансформируется к виду L = (x, )[Rk ], Px i (, x) + ui, ui L + C, (3.1.2) 3.1. Равновесие в базовой модели неполного рынка где C Rs+1 (некоторое) выпуклое замкнутое множество, выбран ное из некоторого (заданного) класса подмножеств. В таком случае бюджетные множества принимают вид Bi (x, p) := {x Xi | u L + C : Px i (, x) + u }.

C i i i i Конечно, тогда необходимо трансформировать и балансовые соотно шения (iii), преобразуя их к виду xi =, ui = 0.

iI iI Комментируя этот подход, прежде всего отметим, что последний вариант содержательно представляется предпочтительнее для опи сания финансовых рынков, нежели первоначальный. Действительно, условия типа (3.1.1) означают, что имеются некоторые экзогенные физические или институциональные ограничения на объёмы торгов ли по активам, что не кажется достаточно реалистичным и является грубым вмешательством в экономическую среду. Напротив, условия (3.1.2) означают, что в экономическую жизнь вводятся новые акти вы, торговля которыми регулируется множеством C (неявно это, ко нечно, оказывает влияние на торговлю исходными активами). Разу меется, условие (3.1.2) также является своеобразной формой вмеша тельства в сферу бизнеса, но при этом имеет другой знак торговые возможности агентов расширяются (конечно, без нарушения балан совых условий (iii)). Однако чрезмерное расширение этих возмож ностей означало бы произвольное изменение исследуемой модели.

По этой причине на класс допустимых множеств C накладывается следующее требование минимальности вмешательства.

Назовём выпуклое замкнутое множество C эффективным отно сительно пары (x, ), если dim(L + C) k.

Таким образом, использование эффективных C расширяет возмож ности агентов по переносу стоимости среди возможных состояний мира в ограниченных пределах. При этом допустимый перенос задаётся вектор-стоимостями, которым дозволяется принадлежать некоторому выпуклому замкнутому множеству в Rs+1 размерности не более чем число (исходных) активов, полученному как протяже ние C вдоль подпространства L, формально это цилиндр в Rs+1.

В результате приходим к следующему понятию.

260 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках Определение 3.1.3. Четвёрка (x, z,, C), где x X, z (Rk )I,, называется C-равновесием, если C эффективное множе ство и найдутся такие di C, i I, что выполнены условия:

(i) финансовой достижимости Pxi i (, x) + (, x)zi + di, i I, (ii) рациональности C Pi (x) Bi (, x) =, i I, (iii) и баланса xi =, zi = 0, di = 0.

iI iI iI В порядке комментария к определению, прежде всего сравним C равновесия с псевдоравновесиями. Действительно, если псевдорав новесия переформулировать в наших терминах, то их можно опреде лить как триплет (x,, L), где L Rs+1 является некоторым подпро странством, удовлетворяющим дополнительному условию: dim L = k и L L. При этом в правой части бюджетных ограничений агента i вместо (x, )zi + di, как в определении 3.1.3, используются эле менты пространства L, все ограничения реализуются в форме ра венств, а собственно состояние x X сбалансировано. Ясно, что в условиях, когда в теории используется концепция псевдоравновесия (строго монотонные дифференцируемые полезности, определённые на положительном ортанте, который по определению модели являет ся потребительским множеством каждого экономического агента, см.

[Geanakoplos, 1990;

Magill, Shafer, 1991], псевдоравновесия в точности соответствуют C-равновесиям, где C является подпространством в Rs+1, удовлетворяющим dim(C+L ) = k. Например, в качестве мно жества C можно взять собственно L или же любое алгебраическое дополнение к L в L. Следовательно, псевдоравновесия правомочно рассматривать как частный случай C-равновесий.

Особый интерес представляет вопрос о том, какого рода классы допустимых эффективных множеств способны гарантировать суще ствование C-равновесий. В общей постановке, конечно, в качестве та кого класса можно принять совокупность всех выпуклых замкнутых подмножеств в Rs+1. Однако значительно интереснее определить по 3.1. Равновесие в базовой модели неполного рынка возможности наиболее узкий класс таких множеств, как это имеет место для псевдоравновесия, где можно взять совокупность всех под пространств Rs+1 фиксированной размерности. В случае обобщён ного равновесия, концепция которого вводится ниже, используется класс всех полиэдральных подмножеств в Rs+1. Здесь эффективное множество C относительно (x, ) можно описать как C={ yj c j | yj bj, yj R, j = 1, 2,..., }, (3.1.3) j=1 j= где cj = (c0, c1,..., cs ) Rs+1, Rk, bj Rk, j = 1, 2,...,, jj j и при этом k dim L (x).

Векторы cj, фигурирующие в этом представлении, можно ин терпретировать как компенсирующие активы, аналогичные исход ным активам, в которых вектор стоимостных отдач определяет ся как ac 1 s k+j := (cj,..., cj ), а их цены задаются первой (с но мером 0) компонентой вектора cj с отрицательным знаком, т. е.

qk+j := c0, j = 1,.... Заметьте, что эти активы функционируют c j при ограничениях на объёмы покупок и продаж yj, имеющих линей ный вид yj bj, = (1,..., k ).

j= В результате мы приходим к следующему определению.

Определение 3.1.4. Тройка (x, z, ) X (Rk )I называет ся обобщённым равновесием с компенсирующими активами, ес ли найдётся такое множество C, удовлетворяющее (3.1.3), что (x, z,, C) является C-равновесием и, дополнительно, найдутся такие y i = (y1,..., y ), что i i i y i = 0.

yj c j, i I & di = j=1 iI Поясним более чётко структуру бюджетных множеств, исполь зованных в этой последней концепции равновесия. Для агента i в качестве бюджетного принимается множество g Bi (x, ) := {x Xi | z Rk, z R : Bz & i Px c i (, x) + (, x)z + z }, (3.1.4) i c где := [c1,..., c ], B := [b1,..., b ].

262 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках Хотя последняя (слабая) концепция равновесия и была вырабо тана из чисто математических соображений, она имеет одно важное преимущество по сравнению с понятием псевдоравновесия. Имен но, в отличие от псевдоравновесия, обобщённое равновесие имеет разумную экономическую интерпретацию. В действительности обоб щённое равновесие представляет собой в точности некоторый предел равновесий Раднера, чьи ограничения имеют вид (r) z j j, j = 1, 2,..., k, и при этом (r), r.

j Данный факт легко увидеть из доказательства теоремы существо вания обобщённых равновесий, изложенной ниже. Следовательно, понятие обобщённого равновесия можно рассматривать как концеп цию предельного решения, интерпретируя предельный процесс, в ре зультате которого оно появляется, как процесс регулирующего воз действия на финансовый рынок управляющего органа (правитель ства?). Этот орган действует методом проб и ошибок, наблюдая отсутствие равновесия на рынке активов и, как крайняя мера, на кладывая временные ограничения на объёмы их продаж, он затем ослабляет эти ограничения до бесконечности, тем самым пытаясь восстановить свободу рынка. Однако при этом может случиться так (в силу теоремы), что устраниться сразу этому органу не удастся и какое-то реальное время будут функционировать компенсирующие активы с ограничением на объёмы их торгов. Можно ожидать, что по мере развития рынка, с появлением новых активов, ситуация из менится и рынок найдёт нормальное равновесие. Вопрос об описании пределов равновесий Раднера при ослаблении ограничений на объё мы продаж появляется в работе [Geanakoplos, 1990].

3.1.2. Теорема существования обобщённых равновесий В данном разделе мы рассмотрим вопрос о существовании обобщён ных равновесий, представляющих особый случай C-равновесий с по лиэдральным множеством C, концепция которого была изложена в предыдущем разделе. Формулируемая ниже теорема существования доказывается при существенно более слабых условиях по сравнению с известными в литературе теоремами существования псевдоравно весия, наиболее ограничительным из которых является требование дифференцируемости функций полезности и матрицы финансовых 3.1. Равновесие в базовой модели неполного рынка отдач по активам (см. [Geanakoplos, 1990;

Magill, Shafer, 1991]). Наши требования к модели неполного рынка близки к слабейшим модель ным предположениям, при которых можно гарантировать существо вание равновесия со стандартными ценами в общей модели эконо мики чистого обмена, описанной в первой главе, см. теорему 1.2.1 и замечание 1.2.1. Для удобства читателя мы полностью переформули руем эти предположения в специфических рамках неполного рынка, сохраняя по возможности смысл и использованную символическую нумерацию предположений.

В первую группу предположений входят требования, предъявля емые к состояниям экономики.

A1 (выпуклость и замкнутость). Множество допустимых со стояний X выпукло и замкнуто.

Напомним, что A(X) обозначает совокупность всех достижимых состояний E in, т. е.

A(X) = {x = (xi )I X | xi = }.

iI A2 (ограниченность). Множество всех достижимых состояний A(X) ограничено.

Вторую группу формируют требования к предпочтениям. В их числе непрерывность в сильной форме, выпуклая иррефлексивность и локальная ненасыщаемость.

A3 (сильная непрерывность предпочтений). Для каждого i I отображение Pi (·) : X Xi имеет открытый график GrPi (·) в X Xi, где GrPi (·) = {(x, y) X Xi | y Pi (x)}.

A4 (выпуклая иррефлексивность). Для x = (xj )jI A(X) и каждого i I выполняется xi co Pi (x).

/ Последнюю группу предположений образуют требования к стои мостному механизму.

A5 (непрерывность доходов). Отображение A(·) : X Rs и для каждого i I функция i (·) : X Rs+1 непрерывны.

264 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках Формулируемый ниже закон Вальраса имеет специфическую форму векторного равенства.

A6in (закон Вальраса). Для каждого x X и = (p, q) вы полняется i (x, p, q) = p.

iI Так же как в классической модели рынка, существование равновесий со стандартными ценами в неполном рынке можно гарантировать, только если выполнена какая-либо форма условия Слейтера. Одна ко теперь ситуация усугубляется, и мы должны постулировать это условие на каждом из спотовых рынков.

A7s (условие Слейтера). Для каждого элементарного события = 0,..., s существуют компактные M Rl такие, что для каждого = (p0,..., ps, q), x X и любого i I, если p = 0 для некоторого, то inf p, Xi M i (x, ).

Мы опускаем здесь обсуждение сделанных выше предположений, единственное отличие которых от стандартных состоит в векторной форме некоторых соотношений, и отсылаем читателя к первой главе настоящей монографии.

Так же как и в случае обычного рынка, при отсутствии ненасы щаемости предпочтений можно гарантировать только существова ние равновесий с трансферабельными стоимостями. Ниже эта кон струкция адаптируется к неполному рынку. Неотрицательный век тор = ( 0, 1,..., s ) назовём вектором трансферабельных стоимостей. Как обычно (см.

первую главу), эти стоимости добавляются к правым частям бюд жетных ограничений в (3.1.4), которые для концепции обобщённого равновесия принимают вид Px + i (x, ) + (x, )z + c z i g и формируют множества Bi (x,, ) по тем же правилам, что и рас смотренные выше обычные бюджетные множества в (3.1.4). Как и для классического рынка, назовём их бюджетными множествами с трансферабельными стоимостями. Соответствующая им концеп ция равновесия называется аналогично обобщённое равновесие с 3.1. Равновесие в базовой модели неполного рынка трансферабельными стоимостями. Заметим, что тем самым в дан ном подходе мы рассматриваем равномерную схему перераспределе ния избыточной стоимости от насыщенных агентов к ненасыщен ным, хотя можно было бы рассмотреть и другие схемы, фиксируя у агентов положительные доли получаемой общей избыточной стои мости (см. главу 1).

Рынок E in называется локально ненасыщаемым на (спотовом) рынке, где = 0,..., s, если для любого (xi )iI A(X) и каждого i I выполняется x Pi (x, x ) Exi, i i i где x = (x0,..., xi, x+1,..., xs ) фрагмент вектора xi, допол i i i i няющий x до xi, а Exi = {y Rl | y = x } аффинное подпро i i странство в E = Rl, отвечающее событию и потреблению xi.

Теорема 3.1.1. Если E in удовлетворяет A1–A7s, то обобщённые равновесия с трансферабельными стоимостями существуют. Ес ли, дополнительно, каждый из спотовых рынков = 0,..., s нена сыщаемый, то существует и обобщённое равновесие.

Доказательство этой теоремы содержится в следующем парагра фе и основывается на формулируемой ниже теореме существования равновесий по Раднеру, после чего осуществляется нестандартный предельный переход.

Следующая теорема устанавливает существование раднеровских равновесий без предположения о ненасыщаемости предпочтений.

Опять, это возможно, только если и в этой теореме задействовать механизм трансферабельных стоимостей. В таком случае единствен ное, что может требовать пояснения, это конструкция бюджетных множеств. По определению, при заданных i I, 0 и Zi Rk это множество Bi (x,, ) = {x Xi | z Zi : Px + i (, x) + (, x)z}.

Z i i Все прочие требования финансового Z-равновесия (определе ние 3.1.1) сохраняются (нужно только помнить, что в условии фи нансовой достижимости (i) трансферабельные стоимости также фи гурируют).

Теорема 3.1.2. Пусть E in удовлетворяет A1–A7s и для каждо го i I множество Zi выпуклое, замкнутое, ограниченное снизу и удовлетворяет 0 intZi. Тогда существует финансовое Z-рав новесие с трансферабельными стоимостями = ( 0,..., s ) и ценами ((p )=0, q), удовлетворяющее = 1 ||p || для =s = 1,..., s и = 1 min(||p0 || + ||q||) для = 0.

266 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках Доказательство теоремы 3.1.2. Ниже мы опишем только основ ные стадии доказательства, опуская детали, основанные на хорошо известных в моделях типа Эрроу–Дебре идеях и фактически изло женные в главе 1.

Доказательство сводится к конструкции подходящего точечно множественного отображения и изучения его неподвижных точек.

Определим вектор (p, q) = ( 0,..., s ) по формулам (p ) = 1 ||p ||, ||p || 1, = 1,..., s и 0 (p0, q) = 1 min(1, ||p0 || + ||q||).

Далее рассмотрим бюджетные множества потребительских и тор говых программ, определённые как BZi (, x, ) = {(i, zi ) Xi Zi | Pi () + i (x, ) + i }.

x x z Заметьте, что в силу A7s и 0 intZi эти множества непустые и, очевидно, замкнутые для каждого (p, q ) и x X. Более того, из A7s легко видеть, что для каждого допустимого (p, q), x найдутся допустимые x и zi такие, что выполнено i Px (p, q) + i (x, p, q) + zi.

i Это свойство позволяет установить полунепрерывность снизу отоб ражения BZi (·) и, так как оно очевидно полунепрерывно сверху, то, тем самым, и его непрерывность для каждого i I.

Далее определим отображение индивидуальных реакций (x, z, ) (x, zi ), i i I, i i (x, z, ) = co(arg max dist(x, xi )), (i,i )BZi (x,,) xz где dist(x, xi ) является евклидовым расстоянием между точкой (x, xi ) и множеством X Xi \ GrPi, а GrPi график предпочте ния агента i. Реакции ценообразующего органа определяются как (x, z) = (p, q), xi, (x, z) = arg max, ( zi ).

iI iI В результате мы приходим к отображению : K K, K = X Z, 3.1. Равновесие в базовой модели неполного рынка заданному как произведение введённых выше i () (), K.

() = I В силу A1, A2 без ограничения общности можно считать, что Xi и Zi, i I являются выпуклыми компактами, причём A7s остаётся истинным. Теперь легко видеть, что в силу A1, A3, A5 и A7s отоб ражение и множество K удовлетворяют всем условиям теоремы Какутани и, следовательно, существует неподвижная точка (, z, ) (, z, ), x x которая, как мы увидим, и является равновесием. Для доказатель ства необходимо проверить условия (ii), (iii) определения равнове сия.

Действительно, если (, z ) не удовлетворяет (iii), то в силу x 0 int и свойств неподвижной точки заключаем xi, p, ( zi ) 0.

zi = 0, то |||| = 1 и по построению 0 (0, q ) = 0, что Однако если q p влечёт x0 0 + q, p0, i zi 0.

С другой стороны, суммируя бюджетные неравенства, приходим к x0 i (, ) q, p0, i x zi, что, в силу закона Вальраса A6in, противоречит предыдущему. Зна чит, zi = 0 и пусть x = для некоторого. Опять, из опреде i ления отображения ценообразующего органа и построения заклю чаем ( ) = 0 и p x 0.

p, i Однако, суммируя бюджетные ограничения на рынке, находим x i (, ) = p,.

p, i x Полученное противоречие доказывает (iii).

Наконец, если предположить ложность (ii) для некоторого i I, то можно заключить dist(, xi ) Pi (), max dist(, xi ) 0 = arg x max x x (i,i )BZi xz (i,i )BZi xz что влечёт xi co Pi ().

x Однако это противоречит A4. Доказательство закончено.

268 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках 3.1.3. Доказательство теоремы существования обобщённых равновесий Доказательство теоремы 3.1.1 осуществляется в три этапа, с исполь зованием методов нестандартного анализа. Для удобства читателя и с целью полноты изложения мы начнём с напоминания некоторых необходимых (элементарных) фактов нестандартного анализа (см.

подробнее главу 1 раздел 4.2).

Напомним, что для любого внутреннего подмножества A Y, топологическое пространство и Y где Y его -изображение, определены стандартная часть и стандартная внутренность, задан ные по формулам stA = {y Y | µ(y) A = }, siA = {y Y | µ(y) A = }, где посредством µ(x) обозначена монада точки x Y, т. е. внешнее множество µ(x) = {y Y | y x}. При этом множество A от крыто (замкнуто) тогда и только тогда, когда siA = A (stA = A соответственно).

Первый результат (см. утверждение 1.1.2) состоит в том, что если Y и Z являются внутренними подмножествами в Y и удовлетво ряют условию Y Z =, то stY siZ =. (3.1.5) Операции взятия стандартной части и стандартной внутренно сти могут быть применены и к точечно-множественным отображе ниям для этого их нужно применить к графику отображения, а затем опять перейти к отображению, чей график совпадает с полу ченным множеством. Более точно, если P : X Y некоторое внутреннее точечно-множественное отображение и Gr(P (·)) его график в X Y, где Gr(P (·)) = {(x, y) X Y | y P (x)}, то si(P (·)) и st(P (·)) однозначно определяются по формулам Gr[si(P (·))] = si[Gr(P (·))] & Gr[st(P (·))] = st[Gr(P (·))].

Второй результат (утверждение 1.1.3 и следствие 1.1.1) состоит в следующем. Пусть, как и выше, Y, Y топологические пространства 3.1. Равновесие в базовой модели неполного рынка и P : Y Y некоторое точечно-множественное отображение, имею щее открытый график в Y Y. Тогда P (st(x)) si( P (x)). (3.1.6) Далее перейдём собственно к доказательству теоремы.

Доказательство теоремы 3.1.1. Для лучшего представления ло гики рассуждений, доказательство теоремы осуществляется в три этапа.

Этап 1: нестандартная аппроксимирующая экономика Рассмотрим нестандартную модель неполного рынка E in, полу ченную как -образы всех параметров E in, и исследуем нестандарт ные R-равновесия. Нас будет интересовать особый случай, в котором ограничения на продажи активов имеют вид j zj 1, j 0, j 0, j = 1,..., k.

В силу теоремы 3.1.2 и принципа переноса такие равновесия суще ствуют. Если (x, z, ) одно из них, то x A(X) и в силу A2 вектор x = (xi )I является элементом изображения компактного множества, откуда по нестандартному критерию компактности заключаем око лостандартность xi i I. Аналогично, = (p, q) околостан дартны по выбору. Пусть i I, xi = st(xi ), p = st(p), q = st(q), = (, q ).

p В дальнейшем мы намерены показать, что (, ) можно представить x как обобщённое равновесие.

Действительно, в силу (ii) определения финансового равновесия в нестандартной модели имеем Z Pi (x) Bi (x,, ) =, i I.

Применяя далее (3.1.5), (3.1.6), что возможно по предположению A (открытый график предпочтений), заключаем истинность Z Pi () st(Bi (x,, )) =, i I.

x (3.1.7) В дальнейшем нас будет интересовать структура множеств Z Z st(Bi (x,, )). Множества Bi (x,, ), стандартная часть которых здесь рассматривается, можно описать как проекцию множества BZi (x,, ) = {(x, z ) | x Xi, z Rk, zj · j 1, j = 1,..., k, 270 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках Px + i (x, ) + (x, ) · z } на Xi. Далее рассмотрим несколько (потенциально) меньшие мно жества, добавляя дополнительное требование существования стан дартных частей у величин zj j, j = 1,..., k, и у вектора (x, )z, определяющих BZi. Положим BZi (x,, ) := {(x, z ) | x Xi, z Rk : st(zj j ), st(z ) & st Px + i (x, ) + z, zj j 1, j = 1,..., k} (3.1.8) и определим B i (x,, ) := {st(x ) | z Rk : (x, z ) BZi } st (3.1.9) как стандартную часть проекции на Xi множества, заданного в (3.1.8) (формально так можно сделать, хотя оно и не является внут ренним). Теперь, в силу (3.1.7) заключаем Pi () B i (x,, ) =, i I.

x (3.1.10) На следующих этапах мы дадим конструктивное описание мно жеств вида B i (x,, ) с помощью компенсирующих активов и порт фелей агентов, отвечающих вектору (, ).

x Этап 2: построение компенсирующих активов и портфелей.

Положим 1..

E =.

0 k и рассмотрим нестандартный оператор z Rk, Gz = y, (3.1.11) заданный матрицей E G=, G = [g1,..., gk ], составленной из матрицы ограничений на торговлю активами и соб ственно матрицы финансовых отдач по активам. Свойства оператора G являются ключевыми для выявления структуры бюджетных мно жеств из (3.1.9) и определения структуры компенсирующих активов.

3.1. Равновесие в базовой модели неполного рынка Действительно, в силу условия сбалансированности (iii) из опре деления равновесия, портфели агентов удовлетворяют условию bi Gzi = bj, Gzj j=i j=i i где векторы b определяются с помощью величин, фигурирующих в правой части ограничений на торговлю активами и бюджетных ограничений агента i по формуле 1, r = 1,..., k, bi = p, x i (x, ), r r = k + + 1, = 0,..., s.

i Следовательно, при определении портфелей, отвечающих равнове сию, мы приходим к решению системы (3.1.11) при некотором око лостандартном y.

Рассмотрим матрицу st(G) и выберем максимальную линейно независимую систему вектор-столбцов её подматрицы st(). Без ограничения общности можно считать, что эту систему образуют первые m столбцов. Далее определим по индукции новую матрицу F = [f1,..., fk ] и набор портфелей z = (1,..., zk ). Положим z z (r) = z, r m.

fr = g r, Для r m определим r hr = g r fr = hr /||hr ||, µrr = ||hr ||, µjr fj, j= (r1) (r1) zj + µjr zj, j r, (r) (r1) zj = ||hr ||z, j = r, (r1) j zj, j r, где скалярные величины µjr находятся из условий hr, ft = 0, t r, т. е. из решения системы r t = 1,..., r 1.

µjr fj, ft = gr, ft, (3.1.12) j= Другими словами, рассматривается следующая процедура. На пер вом нетривиальном шаге из точки gm+1 пространства Rs+k+1 опус кается вектор нормали hm+1 на подпространство, определённое как 272 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках линейная оболочка первых m столбцов матрицы G. Здесь fm+ это нормализованный вектор hm+1. Далее матрица G трансформи руется и определяются новые переменные так, чтобы сохранилось тождество (3.1.11). На следующем шаге процедура повторяется, но теперь уже применяется к матрице G(m+1) = [f1,..., fm+1, gm+2,..., gk ], и т. д. Так как по построению G имеем ||hr || = 0 для всех r m, то матрица [ fj, ft ]j,tr, стандартно невырожденая6 (стандартная часть определителя существует и не равна нулю) и система (3.1.11) имеет единственное решение, которое околостандартно, т. е. около стандартны все коэффициенты µjr. Таким образом, преобразование системы (3.1.11) сводится к последовательности элементарных пре образований столбцов матрицы G и переменных z. В результате мы приходим к системе F z = y, F = [f1,..., fk ], где F = G(k) = G1, z = z, матрица перехода имеет вид 1 0... 0 µ1,m+1... µ1k 0 1... 0 µ2,m+1... µ2k...

..

...

.

...

=, 1 µm,m+1... µmk µm+1,m+1... µm+1,k..

.

0... 0 µkk а F представляется как Em W F=, m V 6 Это матрица Грама системы векторов {f,..., f r1 }, о которой известно, что она невырождена тогда и только тогда, когда система линейно-независимая. В свою очередь, стандартная часть определителя нашей матрицы (ибо определи тель является непрерывной функцией) совпадает с определителем Грама систе мы {stf1,..., stfr1 }, которая по построению линейно независимая.

3.1. Равновесие в базовой модели неполного рынка где W и V некоторые подматрицы, m = [1,..., m ] и 1..

.

Em =.

0 m 0... Здесь st(Em ) = 0 по выбору j 0, что влечёт 0, W F = st(F) =, 1,..., m, V где черта означает операцию взятия стандартной части st(·). Столб цы матрицы m = [1,..., m ] линейно-независимы по построению, причём линейные оболочки столбцов матрицы по выбору m удо влетворяют L(1,..., m ) = L(1,..., k ). (3.1.13) Кроме того, система (3.1.11) имеет решение относительно z при око лостандартном y, если и только если система F z = y имеет един ственное и околостандартное решение.

Далее, примем столбцы V = [vm+1,..., vk ] = c в качестве компенсирующих активов. Агенты могут использовать исходные активы 1,..., m, а также компенсирующие vm+1,..., vk, формируя их торговые портфели z = (z, z ), z = (z1,..., zm ), z = (zm+1,..., zk ). Причём портфели для компенсирующих акти вов должны удовлетворять дополнительным ограничениям, опреде ляемым матрицей B := W из векторного неравенства W z (1,..., 1).

Сейчас мы можем определить новые торговые портфели активов, отвечающие исходным нестандартным равновесным портфелям, по формуле z i = st(z i ), i I.

Легко видеть, что вектор z = (i )I удовлетворяет условию баланса, z а тройка (, z, ) требованию финансовой достижимости (i) опре x деления равновесия. Следовательно, к данному моменту проблема сводится к установлению требования оптимальности (ii).

274 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках Этап 3: структура бюджетных множеств В силу соотношений (3.1.10) и (3.1.13) доказательство будет за вершено, если установить, что для g Bi (,, ) = {y Xi | z Rm, z Rkm : (1,..., 1) W z, x Py + i (, ) + m z + V z } x (3.1.14) имеет место g B i (x,, ) = Bi (,, ) x (3.1.15) для каждого i I. Сделаем это. Включение в (3.1.15) следует из свойств рассмотренного на предыдущем этапе преобразования опе ратора G и стандартизации соответствующих неравенств. Необходи мо доказать обратное включение.

Пусть i фиксировано и y выбран из множества в правой части (3.1.14), и пусть z = (z, z ) отвечающая этому y торговая про грамма для исходных и компенсирующих активов. Достаточно найти такие y 0, z 0, что st (y + y, z + z) BZi.

По определению это включение означает, что (1,..., 1) Em (z + z ) + W (z + z ), P(y + y) i (x, ) + m (z + z ) + V (z + z ) +.

Выделяя основные члены и проводя рутинные преобразования, эти неравенства можно привести к виду (1,..., 1) W (z + z ) +, P(y + y) i (, ) m (z + z ) + V (z + z ) + µ, (3.1.16) x где, µ некоторые бесконечно малые векторы (как и выше, черта означает стандартную часть). Сейчас проблема сводится к нахожде нию y, z, удовлетворяющих (3.1.16) при любых фиксированных 0, µ 0. Сделаем это.

Для удобства изложения предположим, без ограничения общно сти, что все неравенства из правой части в (3.1.14) превращаются в равенства для вектора (y, z) (так как если неравенство выполнено как строгое для стандартных величин, оно будет истинно для любых других бесконечно к ним близких (из монады) и, следовательно, в таком случае это неравенство можно исключить из последующего 3.1. Равновесие в базовой модели неполного рынка анализа). В частности, будет (1,..., 1) = W z. Далее мы будем различать два случая. В первом из них выполнено p0 = 0 или 0 (если p0 = 0, то 0 0 и, значит, выполнено условие Слейтера для стандартных частей на рынке настоящего). Во втором случае p0 = 0 и 0 = 0 одновременно. Отметим также факт, используемый в даль нейших рассуждениях: для данных x,,, y, z и любого условие p = 0 влечёт i (, ) = 0 для каждого i (легко доказать7 из непре x рывности i (·) и закона Вальраса, см. A5, A6in и A7s ).

Первый случай. Предположим, выполняется p0 = 0 или 0 0.

Выделим все состояния природы = 0,..., s, для которых выполне но b = p, y i (, ) 0 S, x и найдём 0, 0 такой, что · W z 0, (m z + V z ) µ 0, S.

Поскольку и µ бесконечно малые, то по определению S такой для S его сомножителями являются строго отри найдётся, цательные стандартные величины m z + V z = b. Положим S.

= z, = 0, z y Далее, для всех = 0 по теореме 3.1.2 условие p = 0 влечёт 0, но в рассмотренном случае так же будет и для = 0. Поэтому p = для каждого S (ибо p = 0 влечёт i (, ) = 0, откуда S ) / x и, в силу A7s, существует такой x Xi, что i p, x i (, ).

i x Кроме того, если S, = 0,..., s, то в силу 0 имеет место / p, y i (, ).

x Отсюда заключаем p ( y ) 0 S. Теперь найдём такой xi / 0, 0, что выполнено · p ( y ) m z + V + µ 0, S, xi / z и определим 7 Используя A7s для p = 0, p 0 и переходя к пределу, доказываем (, ) 0 i, что по закону Вальраса возможно, только если (, ) = i x i x для всех i.

276 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках = ( y ), S.

xi / y Легко видеть, что для найденных y, z выполнены все неравенства из (3.1.16).

Второй случай. Предположим, что выполняется p0 = 0 и 0 = 0.

В силу теоремы 3.1.2 имеем 0 = 1 min(1, ||p0 || + ||q||) 0, что в таком случае влечёт |||| = 1. Более того, по предположению все q неравенства в правой части (3.1.14) выходят на равенство для дан ных x,, и y, z. Так как p0 = 0 влечёт i (, ) = 0, то можем x заключить (m z + V z )0 = 0. (3.1.17) Далее, так как |||| = 0, в матрице m найдётся вектор-столбец, в ко q тором первая компонента (соответствует состоянию природы = 0) не равна нулю (иначе противоречие с выбором матрицы m ). Будем считать, что это первый вектор-столбец, т. е. имеем (1 )0 = 1 = 0.

q Теперь, если положить = µ0 /1 0, то для z1 = z1 +, zj = zj, q j = 2,..., m, получим p0 y0 = ( + i (, ) + m z + V z + µ)0 = 0.

x Далее рассмотрим систему линейных неравенств относительно бес конечно малых нестандартных неизвестных y и z и данного фиксированного нестандартного z, которая эквивалентна системе (3.1.16), но при этом имеет другие величины в бесконечно малой ча сти:

P(y + y) i (, ) m ( + z ) + V (z + z ) + µ.

x z Здесь z было определено выше и µ = µ + 1 = µ [µ0 /(1 )0 ]1.

Теперь можно реализовать использованный в первом случае метод нахождения 0, 0 таких, что выполнено · W z 0, (m z + V z ) µ 0, S.

Опять, так как & µ бесконечно малые величины, то по определению S такой выбор возможен. Положим S = z, = 0, z y и найдём y для S, = 0 в точности так, как это было сдела / но в первом случае, но относительно вектора µ, выбранного вместо µ. Поскольку z = z, то в силу (3.1.17) соответствующее равенство 3.2 Динамические неполные рынки для = 0 останется справедливым. Тем самым мы получили нуж ный результат относительно y + y, где (y)0 = 0, и нестандартного портфеля z + z, что и заканчивает проверку равенства (3.1.15).

Чтобы закончить доказательство теоремы, достаточно заметить, что если E in (локально) ненасыщаема на каждом из спотовых рын ков, то каждое R-равновесие с трансферабельными стоимостями реализуется, только если = 0. Действительно, локальная ненасы щаемость влечёт, что в равновесии все бюджетные неравенства вы полнены в форме строгих равенств, суммируя которые и применяя закон Вальраса A6in, заключаем = 0. По принципу переноса ска занное выполняется и в нестандартной модели E in.

3.2. Динамические неполные рынки В этом разделе предлагается и исследуется новая модель динами ческого неполного рынка, представленного на счётно-бесконечном дереве (граф) событий. Такого рода модель содержит в себе чер ты рынка с перекрывающимися поколениями экономических аген тов (OLG-экономика) и реализует попытку более адекватно описать бесконечно-живущую и развёрнутую во времени экономическую си стему, избавленную, в том числе, от парадоксов OLG-моделей. Мо дель с нарождающимися (перекрывающимися) поколениями была описана во второй главе монографии (раздел 2.4), однако напомним вкратце основные её черты.

Отличительной чертой OLG-модели является то, что экономика в целом живет бесконечно-счётное число временных периодов (мо ментов), а агенты только конечное их число. Здесь продукты, по требляемые в различные моменты времени, считаются различными, но существует единый, развёрнутый на все время жизни экономи ки рынок. Этому рынку отвечает последовательность попериодных цен, но при этом агенты торгуют продуктами так, словно они жи вут во все времена жизни экономики (имеют доступ на все рын ки), а процесс торговли происходит единовременно (встретились и торгуют агенты, чьи периоды жизни разделены многими тысячеле тиями?!). Используемое здесь понятие равновесия определяется по аналогии с классическим конечномерным случаем. Наиболее суще ственным недостатком этой модели, по нашему мнению, является именно неограниченность той свободы, с которой стоимости перете кают из одного периода в другой, что по меньшей мере экономически нереалистично. Известно, что эта особенность служит причиной от сутствия обычных равновесий, для существования которых необ 278 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках ходимо наложить дополнительные ограничения на структуру исход ных ресурсов агентов экономики. В общем же случае могут суще ствовать только скомпенсированные равновесия, в которых аген ты могут парадоксальным образом качать финансовые ресурсы из бесконечности. Одна из целей предлагаемой ниже модели и состо ит в том, чтобы устранить этот дефект на основе представлений об экономике, разработанных в неполных рынках. Действительно, тео рия неполных финансовых рынков избавлена от указанного дефекта (полная свобода в межпериодной трансформации стоимости). Здесь связь между различными периодами (состояниями мира) осуществ ляется посредством торговли активами, стоимостного механизма особого вида, который можно интерпретировать как функциониро вание финансового сектора реальной экономики. Однако наиболее значимые из известных нам результатов в теории неполных рынков были получены только для конечномерных двустадийных моделей (см. модель и литературу предыдущего раздела), где агенты живут в течение всего периода жизни экономики. Здесь торговля активами и товарами осуществляется в некотором начальном состоянии мира, где агенты определяют торговые программы для активов (портфели заказов) и объемы потребляемых благ во всех состояниях (событиях) мира.

Предлагаемая нами модель динамического неполного рынка со держит в себе основные черты обоих подходов. Здесь имеется счётное число событий жизни экономики, образующих из себя некоторое де рево событий (бесконечный граф), счётное число агентов, каждый из которых живёт конечное время, и в каждом периоде-событии живёт только конечное их число. Стоимостные взаимосвязи между событиями осуществляются посредством активов, которые могут по являться (нарождаться) в определённых событиях (начальная вер шина) и распространяют свое влияние на конечное число событий в будущем в пределах подграфа дерева событий. Причём в каж дом событии может появиться не более чем конечное число новых активов, а агенты формируют свои торговые портфели только на те активы, которые появляются в течение их жизни. На модель динами ческого неполного рынка переносятся понятия равновесия, компен сированного (кратко C-равновесия, их частным случаем являются псевдоравновесия) и обобщенного равновесия, рассмотренные ранее в контексте конечномерной модели в первой части главы. Основ ным результатом являются теоремы существования компенсирован ных и обобщённых равновесий, доказанные в рамках предположе ний, близких к современным условиям, гарантирующим существо вание вальрасовских равновесий (равновесия могут не существовать 3.2. Динамические неполные рынки по тем же причинам, что и для конечномерных моделей неполного рынка). Основной результат достигается посредством двойного пре дельного перехода по раднеровским равновесиям, с использованием техники нестандартного анализа. Изложение следует работе [Мара кулин, 1996]. В техническом плане результаты этой части развивают идеи, заложенные автором в [Marakulin, 1992;

Marakulin, 1999].

В научной литературе известны и другие подходы, имеющие об щетеоретическую цель, близкую к нашей. Отметим, однако, толь ко работу [Schmachtenberg, 1988], чей подход наиболее близок. Хотя модель Шмахтенберга гораздо менее общая, математические мето ды весьма различаются, а результаты были получены совершенно независимо, его и наш подходы объединяют общие представления о функционировании бесконечно-живущей экономической системы. В частности, рассмотренный нами подход реализует почти все предло жения Шмахтенберга по обобщению предложенной им модели.

3.2.1. Неполный рынок с перекрывающимися поколениями экономических агентов Ниже будет описана модель неполной экономики чистого обме на с перекрывающимися поколениями экономических агентов. Мо дель представлена на счётно-бесконечном дереве событий (состоя ний мира) и реализует попытку наиболее полно описать бесконечно живущую экономическую систему, в которой для каждого текуще го временного периода будущее представлено многими вариантами возможных событий. Важно, что конкретная реализация этих собы тий агентам не известна, нет и явно выраженной вероятностной ин терпретации. Экономический механизм, связывающий между собой разные события, здесь представлен с помощью активов (assets) финансовых инструментов особого рода, торговля которыми зача стую интерпретируется как функционирование страхового бизнеса (финансового сектора). Если какое-либо событие реализовалось, то, покупая (продавая) активы, агенты получают (отдают) обещанные в будущих событиях материальные блага, доход от их продажи они ис пользуют для приобретения потребительских продуктов или покуп ки новых активов и т. д. Делая такой стратегический выбор, агенты основываются на собственных вкусах или предпочтениях, которые предполагаются определёнными во всех состояниях мира, в кото рых живет данный агент. Оптимизируя таким образом свою по лезность, агенты находятся в рамках многих бюджетных ограниче ний, своего для каждого отдельного события и, тем самым, выби рают собственный оптимальный портфель торговли активами.

280 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках Мы исследуем экономику с перекрывающимися поколения ми агентов, что подразумевает наличие счётного числа конечно живущих агентов (точнее, множество состояний мира, в которых живёт данный агент, представляет собой конечное поддерево дерева событий), причём в каждом состоянии мира живёт строго конеч ное, непустое их множество. Торгуя активами, каждый агент может использовать только те из них, которые появились (родились!) в те чение его жизни. Появившийся в некотором состоянии мира актив распространяет своё влияние (т. е. обещает ненулевые отдачи) толь ко в пределах конечного поддерева с начальной вершиной, соответ ствующей её моменту рождения, в этом событии осуществляется торговля данным активом. Таким образом, экономика в целом жи вёт бесконечное (счётное) время, в ней функционирует бесконечное число агентов и активов, но в каждом возможном состоянии ми ра не более чем конечное их число. Кроме того, модель оснащается специфическим механизмом наследования неизрасходованных сто имостей. Этот механизм предполагает, что агенты распределяют не истраченные на потребление (ввиду невозможности это сделать, ибо экономика неполна, т. е. активы неспособны трансформировать любые стоимости в любые состояния мира) стоимости среди своих наследников. Вводимые в модели явным образом функции унасле дованных стоимостей моделируют реальную экономику, в которой наследство агента не исчезает из экономического оборота вместе с его смертью.

Нас будут интересовать равновесные состояния экономики это такие состояния, где все агенты оптимизируют свой стра тегический выбор и все рынки потребительских благ и активов находятся в равновесии, т. е. спрос равен предложению, а объё мы покупок активов совпадают с объёмами их продаж. Сейчас мы опишем основные элементы модели формально и более подробно.

Дерево событий. Под деревом событий подразумевается лю бой бесконечный неориентированный граф-дерево G = (N, ), кото рый может быть определён следующим образом. Пусть N счётно бесконечное множество вершин, отождествляемых с событиями, на котором определено отображение : N N, сопоставляющее дан ному событию N ему непосредственно предшествующее ().

Мы требуем, чтобы отображение удовлетворяло следующим свой ствам:

(i) существует единственная начальная вершина 0 такая, что ( 0 ) = 0 ;

3.2. Динамические неполные рынки (ii) для каждого N найдется натуральное t такое, что t () = 0 ;

(iii) для каждого N имеет место |1 ()| +.

Будем говорить, что вершина N предшествует вершине m N, если t (m) = для некоторого натурального t. Обозначим через G() = (N (), ) максимальное поддерево дерева G с начальной вер шиной в вершине, т. е. положим N () = {m N | t 0 : t (m) = }.

Наглядное представление о дереве событий дано на рис. 3.2.1.

Пространство продуктов. Каждому событию N сопо ставляется пространство Rl, при натуральном l 0. Агенты, жи вущие в состоянии мира, могут потреблять наборы продуктов x = (x1,..., xl ) Rl. Событию N сопоставляется вектор ры ночных цен p = (p1,..., pl ) 0, в соответствии с которыми осу ществляется торговля материальными благами. Положим p = (p )N.

Агенты. Символом I обозначается счётно-бесконечное множе ство агентов. Агенту i I сопоставляется его дерево событий Gi = (Ni, i ), являющееся поддеревом G и обладающее следующими свойствами:

(i) существует единственная начальная вершина i N, называе мая моментом рождения агента i такая, что i (i ) = i ;

(ii) i совпадает с для всех Ni \ {i }, т. е. i () = () для Ni, = i ;

(iii) дерево Gi конечно, т. е. |dom i | +, где dom i = Ni.

В дальнейшем мы всегда предполагаем, что Ni = N. (3.2.1) I Данное условие означает, что в каждом событии кто-то живет. На рис. 3.2.1 жирными линиями показано возможное дерево жизни (граф событий) агента j.

282 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках t= () j t=1 Gj mj (i ) t= i t=3...

...

...

t=4........

.........

.........

.

t Рис. 3.2.1. Дерево событий динамического рынка Агент i может потреблять продукты во всех событиях из Ni, т. е.

в течение своей жизни. Его потребительские возможности в собы тии ограничены потребительским множеством Xi, а совокупное потребительское множество отождествляется с Xi, Xi Rli, li = Xi = l.

Ni Ni Предпочтения или вкусы агента определены на Xi и представля ются точечно-множественным отображением P i : Xi Xi так, что Pi (xi ) Xi отождествляется с множеством всех потреби тельских планов, строго им предпочитаемых плану xi ;

далее также используется обозначение y i xi y Pi (xi ).

Агенты оснащены исходными запасами ресурсов i = (i )N, i Rl, i 0, N, таких, что suppi = supp(i ) N (i ), где 3.2. Динамические неполные рынки supp(i ) = { N | i = 0} означает носитель отображения i.

Активы. В каждом текущем событии (вершине) N могут появиться специфические финансовые блага, называемые реальны ми активами (assets). Пусть K не более чем счётное множество всевозможных активов, могущих появиться в течение жизни всей экономики. Условимся называть момент k N появления актива k на рынке его моментом рождения. Агенты экономики торгуют активом k в момент его появления k, причём эта торговля допусти ма только среди живущих в событии k агентов. Пусть I = {i I | Ni } множество агентов, живущих в событии, и K = {k K | k = } множество активов, торгуемых в момент. Предполагается, что |I | +, |K | +, N, т. е. в каждом событии живет конечное число агентов и может по явиться только конечное число активов.


Покупка единицы актива k обещает отдачи a 0 в виде мате k риальных благ в будущих, по отношению к моменту рождения k, событиях, т. е. это реальный актив k, отождествляемый с набором ak = (a )N (k ), a Rl, N (k ).

k k + В дальнейшем, без ограничения общности, мы полагаем, что a опре k делены для всех, но при этом a = 0 = t : t () = k.

k Мы также будем использовать обозначение suppk = supp(ak ) = { N | a = 0}, k что позволяет переписать предыдущее соотношение в виде suppk N (k ). (3.2.2) В модели всегда предполагается, что активы имеют конечный носи тель, т. е.

|suppk | +.

284 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках Торговля активами. Активы продаются в момент своего рож дения по ценам qk 0. Положим q = (qk )kK.

k Данный агент i покупает (продает) актив k в объемах zi 0, k (zi 0), формируя таким образом собственный портфель заказов k zi = (zi )kAi, Ai = { k K | k Ni } на все активы, которыми он способен торговать. Его доход от этой деятельности в текущем событии складывается из двух источ ников. Первый это доходы (расходы), полученные от продажи (покупки) на рынке обещанными ценностями отдач потенциальных благ, причем учитываются только заказы на активы, появившиеся в предшествующих событиях:

zi p, a, k k kA i где A = { k Ai | t 0 : t () = k }.

i Другой источник это торговля активами, появившимися в данном событии, т. е. это k qk · zi.

k:k =, Ai Эта величина вычитается из предыдущей, ибо, в соответствии с ин терпретацией, покупка актива в объеме z k 0 означает издержки в количестве qk z k. В событиях, в которых агент не живёт, он также может получать доход, но, конечно, только из первого источника (в этом случае вторая сумма берётся по пустому множеству индексов и полагается равной нулю).

Итак, доход агента i от торговли активами в событии состав ляет величину d = d (, zi ) = zi · p, a k k qk · zi, (3.2.3) i i k kA k:k =,Ai i где = (p, q), p = (p )N, q = (qk )K.

Положим di = (d )N (i ).

i 3.2. Динамические неполные рынки Доходы агентов. Другим источником доходов агента i слу жит продажа имеющихся у него исходных ресурсов, осуществляемая по текущим рыночным ценам: в событии он способен получить p, i.

Наконец, последний источник это доходы, полученные участ ником по наследству от агентов, уже умерших по отношению к текущему событию. Механизм такого наследования стоимостей является совершенно новым элементом модели, и ниже мы объясним его детально. В данный момент лишь укажем, что мы не требуем, чтобы агенты расходовали все свои доходы, полученные как в течение жизни, так и после смерти, на покупку потребительских благ. Поэтому, особенно это касается событий после смерти агента8, ввиду неполноты рынка, могут оставаться неизрасходованные стоимости, которые должны быть каким-то образом переданы его наследникам.

Механизм наследования стоимостей. Цепь рёбер (вер шин) дерева событий G, соединяющую (однозначно!) событие с начальной вершиной 0, по определению это () = { N | t 0 : t () = }, мы будем называть предысторией события.

Мы говорим, что агенты i, j имеют общую предысторию относи тельно (события), если выполнено условие () =, Ni Nj которое означает, что моменты рождения агентов i и j принадле жат предыстории ().

Назовем агента j предшественником агента i, а i наследником j в событии, если они имеют общую предысторию и, дополнительно, выполняется ti = inf{ t 0 | t () Ni } inf{ t 0 | t () Nj } = tj.

Это условие означает, что в предыстории события агент j умирает раньше агента i (здесь агент i может быть живым в событии ). Для иллюстрации см. рис. 3.2.1 и предысторию события i это событие, отвечающее рождению агента i.

8 Как будет видно в дальнейшем, ввиду предположения о ненасыщаемости предпочтений, доходы, полученные в течение своей жизни, агенты полностью тратят на покупку потребительских благ и активов.

286 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках Событие mj () = tj () при tj 0 назовем моментом смерти агента j в предыстории.

В модели агенты следуют принципу распределения своих оста точных стоимостей, появляющихся после их смерти, среди своих наследников. Итак, пусть rj означает остаточную стоимость агента j в событии 9 и пусть R = (rj )jIi i совокупность всех остаточных стоимостей агентов, являющихся предшественниками агента i. Здесь Ii = { j I | i наследник j } (3.2.4) множество предшественников агента i. Обозначим через h (p, Ri ) i унаследованную агентом i стоимость, зависящую, по определению, от рыночных цен p = (p )N и набора R (определяется рекурсив i но). Мы предполагаем, что эта величина удовлетворяет очевидному требованию 0 h (p, Ri ) rj. (3.2.5) i jIi Унаследованная стоимость может быть израсходована агентом для собственного потребления, покупки активов или передана своим на следникам.

Итак, сейчас все готово для того, чтобы определить совокупный доход i агента i в событии. Этот доход определяется как сум ма доходов, полученных агентом от продажи исходных ресурсов, а также доходов, полученных по наследству и от торговли актива ми, т. е.

i = p, i + h (p, Ri ) + d (, zi ).

(3.2.6) i i Суммируя сказанное выше, исследуемая модель может быть представлена в следующем сокращенном виде:

E dyn = (N, ), I, K, {Ni, Pi (·), hi (·)}iI, (ak )kK.

Бюджетные ограничения. Итак, оперируя активами, прода вая ресурсы и получая наследство, агенты получают доходы в тех 9 Точное определение этих величин дается ниже, см. формулу (3.2.8).

3.2. Динамические неполные рынки или иных событиях и используют их для собственного потребления.

Таким образом, в событии агент i определяет свой потребитель ский план x Xi, находясь в рамках ограничения i p, x p, i + h (p, Ri ) + d (, zi ), Ni.

(3.2.7) i i i Конечно, эти ограничения появляются только в течение жизни дан ного агента. Если событие происходит после его смерти, то он ниче го не может потребить, однако мы предполагаем, что он также не может делать долги (т. е. качать ресурсы из будущего ). Поэтому его стратегический выбор должен также удовлетворять условию 0 p, i + h (p, Ri ) + d (, zi ) = ri Ni.

/ (3.2.8) i i В правой части этого ограничения находится величина остаточной стоимости, передаваемая агентом своим наследникам.

Множество всех пар (xi, zi ), xi Xi, удовлетворяющее условиям (3.2.7), (3.2.8), обозначим символом z Bi (, zi ), zi = (zj )jI,j=i.

Особо подчеркнем, что нет никаких ограничений на объемы по купок и продаж активов, т. е. zi RKi. Отметим также, что стра z тегические множества Bi могут опосредованно, через механизм на следования стоимостей, зависеть от портфелей заказов на активы других агентов.

z Обозначим проекцию множества Bi на Xi символом Bi (), т. е.

положим Bi () = { xi Xi | zi RKi : (xi, zi ) Bi (, zi ) }.

z Основным объектом исследования являются равновесные состояния модели E dyn, чьё определение дается ниже.

Определение 3.2.1. Четвёрка x = (xi )I, z = (zi )I, p = (p )N, q = (qk )K называется состоянием равновесия, если выполняются следующие условия:

(i) достижимость, z (xi, zi ) Bi (, zi ), i I;

(ii) бюджетная оптимальность, Pi (xi ) Bi () =, i I;

288 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках (iii) баланс потребительских планов и торговых программ, x = k N, k K.

j, zi = 0, i i:Ni jI i:kAi Представленные здесь требования (i) & (ii) имеют обычный смысл: первое означает, что агент способен купить потребительские планы xi = (x )Ni, находясь в рамках своих бюджетных ограниче i ний (3.2.7) и при соблюдении условия отсутствия долгов (3.2.8) при торговле активами. Требование (ii) есть не что иное, как принцип оптимальности стратегического выбора (xi, zi ) относительно пред почтений данного агента (или принцип максимизации полезности в рамках бюджетных ограничений). Условие (iii) означает сбаланси рованность всех рынков во всех событиях, т. е. равенство спроса и предложения.

Хорошо известно, что обычные равновесия в неполных рын ках могут не существовать (см. начало главы и [Geanakoplos, 1990;

Magill, Shafer, 1991]). Поскольку наша модель является обобщени ем традиционных, то могут не существовать и равновесия, описан ные в определении 3.2.1. Причина этого эффекта хорошо известна и кроется в возможной вырожденности матриц стоимостных отдач по активам при некоторых рыночных ценах. Точнее, эти матрицы могут иметь в области допустимых цен переменный ранг. Обычный приём, с помощью которого эта трудность преодолевается, состоит в рассмотрении вспомогательного понятия псевдоравновесия, кото рое уже существует всегда. Ниже мы намерены предложить другое, более общее вспомогательное понятие обобщённого (компенсирован ного) равновесия. По нашему мнению, это понятие имеет также и самостоятельное значение и может быть удовлетворительно интер претируемо с экономической точки зрения. Его введению и обсуж дению посвящён следующий раздел.

3.2.2. Компенсированные и обобщённые равновесия в динамическом неполном рынке Прежде всего мы рассмотрим понятие компенсированного неполного равновесия (обозначаемого для краткости как C-равновесие), а затем введём и изучим понятие обобщённого равновесия. Теоремы существования отвечающих этим понятиям состояний экономи ки формулируются в следующем разделе. Они доказываются в рамках предположений, близких к используемым в моделях типа 3.2. Динамические неполные рынки Эрроу–Дебре, что существенно слабее обычно требуемых в теории неполных рынков (и в рамках значительно менее общих моделей!).


• C-равновесия. По определению модели агенты формируют собственные торговые портфели только для тех активов, которые появились в течение их жизни, т. е. в событиях из дерева жизни дан ного агента. Проблема состоит в том, что разные агенты могут иметь разные деревья жизни. При этом может случиться, что появление некоторого актива (например, после смерти агента) может повли ять на его стратегический выбор опосредованно, через спрос других агентов, имеющих с данным общие жизненные события. Более того, может случиться, что появление нового актива приведёт к вырожде нию матрицы отдач по активам (выраженной в стоимостной форме) при некоторых допустимых ценах (если для всех, то проблемы не возникает!). Последнее может повлиять на непрерывность спроса, ибо пространство отдач по активам может иметь одну размер ность при некоторых ценах и другую (строго большую!) при дру гих, сколь угодно близких ценах. Вследствие этих обстоятельств обычные равновесия могут не существовать. Чтобы обойти данные трудности, и вводится понятие компенсированного равновесия.

Пусть S N это некоторое конечное поддерево дерева событий экономики E. Рассмотрим рынок активов, появившихся в течение событий из S. Обозначим через K = { k K | k S } KS = S множество номеров этих активов и символом TS N множество тех событий, в которых активы из KS имеют ненулевые отдачи. Так же включим в TS множество событий, в которых осуществляется торговля ими, т. е. вершины-даты их появления на рынке. По опре делению имеем { N | suppk, k S }.

TS = S Ясно, что это множество конечно. Далее, с целью упростить обозна чения, условимся считать TS интервалом множества натуральных чисел (при необходимости его всегда можно переупорядочить). Рас смотрим последовательность (вектор) стоимостных отдач k () = (qk, ak k +1 pk +1,..., a p,...), k генерируемых активом k, и подпространство LS RTS, 290 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках образованное как линейная оболочка векторов стоимостных отдач по активам с номерами из KS, т. е. положим LS = L ({k }kKS ).

Можно заметить, что если дерево жизни агента i совпадает с де ревом S, т. е. если Ni = S, то его стратегический выбор портфеля заказов по активам в силу (3.2.3) будет эквивалентен (в стоимост ном выражении) выбору элемента из LS. Другими словами, в опре делении бюджетного множества условие представимости доходов от торговли активами di в виде формулы (3.2.3) можно заменить тре бованием d i LS. (3.2.9) Теперь сопоставим семейству всех конечных поддеревьев дерева событий экономики семейство C = {CS }S выпуклых замкнутых подмножеств CS RN, удовлетворяющее следующим свойствам:

LS C S, dim CS |KS |, (3.2.10) dS = (d )N CS = d = 0 suppS / S, (3.2.11) S S S1 S2 = CS1 CS2, (3.2.12) KS1 = KS2 = CS1 = CS2, (3.2.13) где suppS = kKS suppk. Чтобы определить понятие C-равновесия, достаточно заменить условие (3.2.9) требованием di CS, S = Ni, i I. (3.2.14) При этом вторая часть условия (iii) определения 3.2.1, постулирую щая сбалансированность портфелей заказов на активы, должна быть преобразована к виду di = 0.

I Чтобы исключить возможные недоразумения, мы дадим сейчас пол ное формальное определение понятия C-равновесия. Однако прежде всего поясним некоторые соглашения, сделанные с целью упростить обозначения.

Без ограничения общности положим Xi = {0}, N \ Ni, 3.2. Динамические неполные рынки и будем обозначать прежним символом Xi потребительское множе ство агента i, определённое уже как Xi = Xi.

N Элемент xi Xi мы отождествляем с элементом из Xi, пред Ni N полагая, что xi дополнен нулевыми компонентами для Ni. По / добным образом все другие отображения, использованные при опре делении модели, будем считать определёнными на всем дереве жизни экономики N, если это необходимо, т. е. мы полагаем h (·) 0, N \ N (i ).

i = 0, i Теперь определим линейный оператор Py = (p y )N, y = (y )N, y Rl.

Определение 3.2.2. Пятёрка x = (xi )I, d = (di )I, p = (p )N, q = (qk )K, C = (CS )S называется C-равновесием, если совокуп ность C удовлетворяет (3.2.10)–(3.2.13) и выполняются условия:

(i) достижимости, Pxi Pi + hi (p, Ri ) + di, xi Xi, di CNi, i I;

(ii) бюджетной оптимальности, C Pi (xi ) Bi (p, di ) =, i I;

(iii) баланса потребительских планов и стоимостных портфелей, xi = i, di = 0.

I I I Использованные в пункте (ii) бюджетные множества определяются здесь по аналогии с рассмотренными выше по формуле C Bi (p, di ) = { y Xi | c CNi : Py Pi +hi (p, Ri )+c }. (3.2.15) Комментируя определение 3.2.2, заметим, что множества CS до пустимых стоимостных последовательностей представляют одинако вые возможности агентам в случае, если они имеют одинаковые де ревья жизни. Последнее можно интерпретировать как равенство 292 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках экономических прав у одинаково живущих агентов. Особо мы хо тели бы отметить тот факт, что в случае, когда для данного S последовательности стоимостных отдач по активам ( )N, k KS k образуют линейно-независимую совокупность, то dimLS = |KS | и в силу (3.2.9) с необходимостью должно быть CS = LS (учтите, что CS выпукло!). Другими словами, если рынок торговли активами невы рожден для S и данных C-равновесных цен, то торговые возможности агентов, чьи деревья жизни совпадают с S, будут та кими же, как в случае равновесия. Ясно, что если для всех S рынки активов невырождены, то C-равновесие является равнове сием в смысле определения 3.2.1. Однако если последовательности стоимостных отдач по активам, появившимся на рынке в течение событий из S, линейно-зависимые, то dimLS |KS | это ситуа ция вырождения рынка активов. В таком случае, в соответствии с концепцией C-равновесия, торговые возможности агентов могут рас шириться. Агенты могут воспользоваться любой стоимостной после довательностью из CS LS. Последовательности из CS могут иметь ненулевые отдачи только в том случае, когда найдётся хотя бы один исходный актив, обещающий ненулевые отдачи (условие (3.2.11)).

Требование (3.2.13) утверждает, что конструкция множеств CS полностью определяется набором исходных активов, причём, если один набор шире другого (3.2.12), то и множества CS обладают тем же свойством.

Хотя в самом определении C-равновесия и не был заложен эко номический механизм, обосновывающий появление на рынке после довательностей из CS, можно предполагать, что исходные паке ты активов в ситуации вырождения пополняются некоторыми ком пенсирующими активами, которые, в отличие от исходных, могут функционировать при ограничениях на их торговлю (например, это могут быть ограничения на объемы продаж актива в одни руки ).

Чтобы убедиться в возможности такого описания, выделим любую максимальную линейно-независимую подсистему исходного пакета активов. Ясно, что линейная оболочка этой подсистемы совпадает с LS CS. Далее пополним эту систему до базиса в минимальном подпространстве, объемлющем CS, и примем новые векторы в ка честве компенсирующих активов. В таком случае всякую последо вательность из CS можно будет представить как сумму стоимостной последовательности из LS это отдачи по исходным активам и по следовательности стоимостных отдач по компенсирующим активам.

Геометрически это означает, что множества CS являются цилиндра ми, представленными как протяжения некоторого выпуклого мно жества размерности |KS | dimLS вдоль подпространства LS.

3.2. Динамические неполные рынки Представляется небезынтересным сравнить концепцию компен сированного неполного равновесия с традиционно используемым по нятием псевдоравновесия. Хотя ранее псевдоравновесия и использо вались в основном только для конечномерных моделей двухуровне вой экономики (например, в обзоре [Geanakoplos, 1990]), без особо го труда эта концепция обобщается и на исследуемую нами модель.

Именно, в нашем случае вместо семейства множеств {CS }S необхо димо рассмотреть семейство подпространств {MS }S, обладающих свойством LS MS, dimMS = |KS |.

Можно также требовать выполнения условий, близких к требова ниям (3.2.11)–(3.2.13). Псевдоравновесия можно интерпретировать как результат введения в экономическую систему компенсирующих активов (хотя даже в обычных моделях это почему-то не делает ся и псевдоравновесия играют чисто вспомогательную техническую роль) общим числом |KS | dimLS. Причем разница между псевдо равновесиями и C-равновесиями сводится к тому, что в первом слу чае компенсирующие активы функционируют без ограничений на их торговлю, а во втором с ограничениями.

Итак, с содержательной точки зрения компенсированные равно весия можно интерпретировать как результат воздействия на эконо мическую систему некоторого регулирующего органа (государства?), осуществляющего контроль за стабильностью финансовой сферы и вводящего при необходимости некоторые компенсирующие акти вы, которые, возможно, функционируют в рамках ограничений на торговлю с ними. Принципиально важно то, что при этом никак не ущемляется свобода торговли исходными активами. Однако здесь сразу появляется вопрос откуда государство знает, какие акти вы надо вводить, не будучи всецело информированным и всемогу щим. Оказывается, что достичь C-равновесий можно очень просто, достаточно лишь наложить ограничения на объемы продаж исход ных активов, а затем постепенно ослаблять эти ограничения до бес конечности. Это может показаться удивительным, но в результате такой совместной игры рынка и государства реализуются в точно сти компенсированные неполные равновесия, этот тезис с очевид ностью вытекает из метода доказательства теоремы существования, где C-равновесия представляются как предел раднеровских равно весий (так мы называем равновесия по определению 3.2.1 c дополни тельными ограничениями на объёмы торгов по активам). Следова тельно, и это выгодно отличает C-равновесия от псевдоравновесий, концепция C-равновесия обладает большой дескриптивной силой.

294 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках Ниже вводится следующее понятие обобщённого равновесия, отличающееся от C-равновесия явно представленными компен сированными активами и описанное в терминах их торговых портфелей (а не стоимостных последовательностей).

• Обобщённое равновесие. Основное отличие обобщённых рав новесий от компенсированных сводится к способу определения бюд жетных множеств, которые определяются с помощью торговых порт фелей исходных и компенсированных ценностей. В описании кон струкции, ввиду её сложности и трудностей с экономической интер претацией для максимально общей постановки, мы ограничимся рас смотрением случая, когда дерево событий N совпадает с тривиаль ным графом, определяемым множеством всех натуральных чисел.

Итак, далее всюду полагаем N = N, заменяем символ события на n и определяем (n) = n 1. Тем самым события интерпрети руются как временные периоды жизни экономики. Будем также предполагать (без ограничения общности), что множество K номе ров активов упорядочено таким образом, что k k влечет nk nk, т. е. этот порядок сопоставим с естественным порядком их появления на рынке.

Пусть = {1, 2,...} N обозначает множество всех временных периодов, в которых появляются новые активы. Положим S = {1,..., }, K = KS, и предположим, что цены = (p, q) фиксированы. Пакету исходных активов с номерами из K поставим в соответствие совокупность компенсирующих активов C = {c }kK, c = (c n )nN RN, k k k и матрицу b R|K |, B = (b )kK, k k размерности |K | |K |. Матрицы B в дальнейшем будут опреде лять ограничения на объемы продаж активов из C. Требуется, что бы каждая пара (C, B ) обладала следующими свойствами. Обо значим M = { k K | b = 0, nk n } n k множество номеров нулевых столбцов матрицы B, отвечающих ак n тивам, появившимся в течение интервала S = S = { n, n + 1,..., }.

Имеет место LS L({c }kM ), (3.2.16) n k 3.2. Динамические неполные рынки где L означает операцию взятия линейной оболочки и LS это обо лочка активов (в стоимостном выражении), появившихся в течение периодов из S. Более того, требуется, чтобы выполнялись:

b = 0, k K линейно-независимая совокупность;

(3.2.17) k supp(c ) (suppm {nm }), k K ;

(3.2.18) k mK, mk c z k для z = (z k )kK, удовлетворяющего если d = k kK B z (1,..., 1) z k = 0, k k, & то для всякого найдется такой z, что d = c z k и k kK B z (1,..., 1), z k k k.

= 0, (3.2.19) Активы c функционируют в модели следующим образом. Пусть k рынок активов достижим для агента i в момент и неко торый текущий момент после смерти этого агента, т. е.

mi, (здесь, в отличие от общего случая10, момент смерти mi определя ется однозначно, в силу предположения N = N). Агент определяет k портфель заказов zi = (zi )K на активы из пакета при ограниче ниях B zi (1,..., 1) и требовании невозможности торговли активами, появившимися до его рождения:

k zi = 0, nk ni.

Таким образом, он получает последовательность стоимостных отдач от активов k c zi, di = k kK которую затем использует для покупки потребительских благ в тече ние своей жизни. Требование (3.2.19) означает, что портфель заказов zi может быть пересчитан (и, тем самым, допустим) для каждого другого -пакета при. Данное свойство позволяет сравнивать 10 Выше мы вводили понятие момента смерти относительно заданного события в предыстории (), т. е. в однозначно определённой цепи N (i ) \ Ni вершин, соединяющей вершину с моментом рождения i агента i.

296 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках портфели у агентов, имеющих различные жизненные периоды, в об щей структуре компенсирующих активов (ибо эти активы зависят от текущего момента ). Действительно, пусть пара (k, ) такова, что все агенты, имеющие право торговать активом k, уже полностью определили свои торговые портфели к моменту (умерли к этому моменту!), т. е. выполнено условие max{ mi | ni nk mi } = k. (3.2.20) В этом случае можно записать балансовое условие k zi = iI на торговлю данным активом, что и позволяет нам ввести понятие обобщенного равновесия в исходных терминах портфелей. Отме тим, что условие (3.2.16) эквивалентно (3.2.10) при S = {n,..., }, n ибо по построению множеств M в правой части включения (3.2.16) находится линейная оболочка компенсирующих активов, по которым нет ограничений на торговлю. Требование (3.2.17) это чисто ма тематическое свойство, (3.2.18) прямой аналог условия (3.2.11), а (3.2.19) влечет (3.2.12). Сейчас мы дадим точное формальное опре деление.

Определение 3.2.3. Пятёрка x = (xi )I, z = (zi )I, p = (pn )N, q = (qk )K, (C, B ) называется обобщённым равновесием, если вы полняются требования (3.2.16)–(3.2.19) и имеют место:

(i) координация, k k k k c zi = c zi, di = zi = zi = 0, nk ni k k K K для каждого,, где = max{ | mi } i I;

(ii) достижимость, Pxi Pi + hi (p, Ri ) + di, xi Xi i I, max{ | mi }, ;

B zi (1,..., 1), (iii) бюджетная оптимальность, C Pi (xi ) Bi (p, di ) = i I;

3.2. Динамические неполные рынки (iv) баланс потребительских планов и портфелей по активам, k zi = 0, k.

xi = i & I I i:nk Ni C Здесь бюджетные множества Bi (p, di ) определяются по формуле (3.2.15) применительно к случаю k k c z | B z (1,..., 1), z = 0, nk ni }, (3.2.21) CNi = { k K а временной период k в (iv) задан формулой (3.2.20).

Легко видеть, что всякое обобщённое равновесие, по определе нию 3.2.3, является C-равновесием для сети (CS )S, заданной фор мулами (3.2.21) при S = Ni. К недостаткам концепции обобщённого равновесия можно отнести довольно громоздкий способ их опреде ления. Преимуществом является более естественная экономическая трактовка.

В экономических терминах идею обобщённого равновесия можно выразить следующим образом. Принимая решение о том, как тор говать каким-либо активом, агент принимает в расчёт возможности оперирования другими активами, которые появятся у него в буду щем. Эти возможности определяются периодами его жизни и могут быть различны у разных агентов. При этом потенциально не исклю чено, что структура активов, которые появятся в будущем, будет по отношению к данному активу k такова, что торговля этим активом как бы может открыться вновь (если он представляется как линей ная комбинация активов, появившихся в будущих периодах). Эта ситуация подобна вторичному рождению актива, и это вырож денный случай. Для такого рода ситуаций общество (управляющий орган) вырабатывает особый механизм с тем, чтобы сохранить ры ночную стабильность и предотвратить попытки изменить контрак ты, заключённые ранее. Этот механизм работает таким образом. Ес ли вырождение рынка наступило, то для k K может быть ге нерирован некоторый компенсирующий актив ck, который начинает функционировать вместо актива k в момент его появления на рынке.

Причём этот компенсирующий актив, возможно, будет торговаться с ограничениями на объёмы покупок и продаж. Таким способом все агенты, торговавшие активом k, могут быть допущены на рынки бу дущего. Точнее, это будет возможно, если хотя бы один из них живет в момент такого рода вырождения. Причём уже умершие агенты не могут получить дополнительную по отношению к активу k прибыль, 298 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках их торговые портфели просто пересчитываются в новой, скомпен сированной структуре активов. Описанная процедура может приме няться к любому активу несколько раз, в частности, могут появиться компенсирующие активы компенсирующих активов. Здесь пред полагается, что агенты информированы об этом механизме, и они формируют свои портфели заказов для всевозможных в будущем оказий.

3.2.3. Теоремы существования, идея доказательства и вспомогательные результаты Основным результатом являются теоремы существования компенси рованных и обобщённых равновесий, установленные при следующих предположениях. Эти предположения вполне аналогичны предполо жениям § 3.1.2 для конечномерной модели, однако есть и некоторая специфика.

A1 (выпуклость и замкнутость). Для каждого N множе ство допустимых состояний X = Xi выпукло и замкну i:Ni то.

Пусть A(X ) обозначает совокупность всех достижимых состояний модели E dyn в событии N, т. е.

A(X ) = {x = (x )I X | x = }.

i i iI A2 (ограниченность). Для каждого события N множество всех достижимых состояний A(X ) ограниченно.

Отметим, что это предположение будет выполнено, если, например, альтернативно постулировать ограниченность снизу (сверху) потре бительских множеств в каждом из возможных событий. Действи тельно, тогда при фиксированном i I потребительский выбор удо влетворяет условию e x = x m · e, i j j=i:Nj где = j вектор совокупных исходных запасов в событии jI N, а e общая нижняя граница потребительских множеств агентов, живущих в событии, где m = |{ j I | Nj }| 3.2. Динамические неполные рынки их число. Важную роль здесь играет структурное предположение о том, что в каждом событии живёт только конечное число агентов.

A3 (сильная непрерывность предпочтений). Для всех i I отображение Pi (·) : Xi Xi имеет открытый график GrPi (·) в Xi Xi, где GrPi (·) = {(x, y) Xi Xi | y Pi (x)}.

A4 (выпуклая иррефлексивность). Для каждого i I и для всех xi Xi выполняется xi co Pi (xi ).

/ A5 (непрерывность доходов). Функции h (·) унаследованных i стоимостей непрерывны i I, N (i ).

В силу специфического вида используемых в динамической моде ли доходов экономических агентов закон Вальраса формулируется в терминах отображения унаследованных стоимостей.



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.