авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 |

«Сибирское отделение Российской академии наук Институт математики им. С. Л. Соболева В. М. Маракулин АБСТРАКТНЫЙ РАВНОВЕСНЫЙ АНАЛИЗ ...»

-- [ Страница 8 ] --

A6inh (закон Вальраса). Для любых N и при любых ценах = (p, q) 0 имеет место h (p, Ri ) = rj, i cor i:Ni jJ где rj = d (, zj ) + h (p, Rj ) + p, j j j есть остаточная стоимость агента j, причём R = (rj )jIi, Ri = (R )N, i i а cor J = { j I | tj () 0 } множество всех агентов, умерших в предыстории () собы тия, где tj () = inf{ t | t () () Nj }.

A7ss (условие Слейтера). Для каждого i I и для всех Ni исходные запасы удовлетворяют i intXi.

300 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках В дополнение к данным предположениям мы будем постулиро вать желательность всех продуктов у всех агентов. Такого рода пред положение обычно также называют монотонностью предпочтений.

Предпочтение Pi : Xi Xi называется (сильно) монотонным, если для каждого xi Xi имеет место xi + Rli \ {0} Pi (xi ), li = l.

+ Ni Предположения A1–A7ss довольно близки к традиционным по сылкам, характерным для современной теории существования. Сде лаем только небольшие замечания. Предположение A5 необходимо по техническим причинам. Посылка A6inh постулирует закон сохра нения стоимости (закон Вальраса), который в нашей модели означа ет, что совокупная неизрасходованная стоимость агентов, умерших в предыстории данного события, должна быть полностью перераспре делена среди живых в данном событии агентов. Заметьте, что всё, что мы требуем от механизма перераспределения остаточных стои это A5 и A6inh (помимо описанных выше структурных мостей, требований). Условие Слейтера A7ss может быть ещё более ослабле но. Например, можно требовать 0 Xi, что совместно с i 0, i = 0 и сильной монотонностью предпочтений, гарантирующей положительность цен на все продукты, обеспечивает положитель ность доходов в событии. Можно также использовать неразложи мость или какую-либо форму ресурсной связности, что совместно со слабой монотонностью предпочтений даёт аналогичный результат, и т. д. Ниже, однако, мы не исследуем эти возможности, концентри руя внимание на специфических свойствах используемого понятия равновесия (решения) в предложенной нами модели динамического неполного рынка.

Теорема 3.2.1. Если модель экономики E dyn удовлетворяет A1– A7ss и предпочтения всех агентов монотонны, то существуют C-равновесия со строго положительными ценами на потребитель ские блага.

Теорема 3.2.2. Если модель E dyn удовлетворяет A1–A7ss и пред почтения всех агентов монотонны, то существуют обобщённые равновесия со строго положительными ценами на потребитель ские блага.

Доказательства теорем 3.2.1, 3.2.2 имеют много общего между собой. В частности, схема доказательства и основные идеи сов падают. Однако доказательство теоремы 3.2.1 менее громоздко 3.2. Динамические неполные рынки и конструктивно более ясное. Поэтому ниже мы дадим полное доказательство теоремы 3.2.1 и укажем, как оно может быть транс формировано к тому, чтобы установить теорему 3.2.2.

Идея доказательства и вспомогательные результаты.

Идея доказательства теоремы 3.2.1 состоит в нестандартном пре дельном переходе (в смысле нестандартного анализа), применённом к экономикам с конечным числом агентов, активов и событий. Эти экономики E T аппроксимируют модель E dyn, а их раднеровские рав новесия служат аппроксимацией равновесий из E T. Здесь T это длина дерева событий ( время жизни ) экономики E T, которая яв ляется поддеревом дерева (N, ), куда включены все события, отсто ящие от начальной вершины на расстояние не более чем T. Далее T устремляется к бесконечности, ограничения на объёмы продаж активов также ослабляются до бесконечности, т. е. осуществляется двойной предельный переход. Опишем конструкцию экономик E T по дробнее.

Пусть N T = { N | t T : t () = 0 } конечное поддерево дерева событий длины T. Положим I T = { i I | Ni N T = }, это множество агентов, живущих хотя бы в одном событии из N T.

Далее пусть K T = { k K | k N T } обозначает множество всех активов, нетривиально функционирую щих в событиях из N T. Для i I T положим NiT = Ni N T, это дерево жизни агента i в экономике E T. Мы сохраняем значения и используем те же обозначения исходных запасов i и функций унаследованных стоимостей hi (·) модели E для агентов из I T при N T. Потребительские множества и предпочтения определим как T T T T T Xi, i I T, T Pi (x) = { y Xi | (y, i ) Pi (x, i )}, x Xi = T Ni где T i = (i )Ni \N T 302 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках T это дополнение векторов из Xi до векторов из Xi. Иначе говоря, T предпочтения на Xi соответствуют сечениям исходных предпочте ний, взятым относительно продолжения до вектора из исходного по требительского множества посредством потребления исходных за пасов в событиях, не включённых в дерево N T. Наконец, активы aT = {aT }N T, функционирующие в E T, определяются по правилу k k обрезания исходных, т. е. мы полагаем aT = a, N T, k K T.

k k В дальнейшем нам потребуется теорема существования раднеров ских равновесий, применённая к модели E T. Такого рода теорему можно установить, следуя схеме доказательства теоремы 3.1.2. От личие модели E T от изученных в разделе 3.1 состоит в том, что акти вы могут появляться в различных событиях, а агенты могут иметь различные деревья жизни. Поскольку в нашем случае это не влияет принципиальным образом на схему доказательства, трансформация которого носит рутинный характер, мы дадим только формулировку нужной нам теоремы, опуская ее доказательство.

Теорема 3.2.3 (вспомогательная). В условиях теоремы 3.2. для каждого 0 и натурального T 0 в модели E T суще ствует равновесие Раднера x = (xi )I T, z = (zi )I T, p = (p )N T, q = (qk )K T при ограничениях на объемы продаж активов, имеющих вид z k 1, k K T и при этом p 0, || || = 1, N T.

Здесь = (p, q ) это полные цены в событии, где q = (qk )k =.

Теперь мы переходим к непосредственному доказательству тео ремы 3.2.1, состоящему из нескольких этапов и включающему в себя ряд вспомогательных фактов.

Этап 1: нестандартные аппроксимирующие экономики Рассмотрим нестандартную модель E dyn, полученную как -изо бражение всех параметров модели E dyn. Далее рассмотрим конеч ную нестандартную подмодель E T для нестандартно конечного (но бесконечного в обычном смысле!) T N \ N и исследуем ее -R равновесия. Это такие равновесия, где имеются ограничения на объ ёмы продаж активов, которые мы примем заданными в виде · z k 1, 0.

0, (3.2.22) В силу вспомогательной теоремы данные равновесия существуют и, исследуя их, мы получим основной результат. Однако прежде сдела ем некоторые технические замечания.

3.2. Динамические неполные рынки Так как N T N внутреннее подмножество, то все параметры модели E T, рассматриваемые как отображения, могут быть внутрен ним образом продолжены до отображений, имеющих те же области определения и значения, что и соответствующие им отображения из dyn E. Например, любая конечная внутренняя последовательность (p )N T может быть продолжена до последовательности ( )N по p правилу NT, N \ N T.

p = p, p = 0, То же самое может быть сказано о последовательностях потреби тельских планов, активах, предпочтениях и т. д. Для определённо сти можно сказать, что все такие продолжения устроены по правилу дополнения нулями для N T (или любому другому, но обяза / тельно внутреннему правилу). Таким образом, все основные объек ты из E T могут рассматриваться как элементы (подмножества) тех же пространств, что и объекты из E dyn.

Другое замечание связано с топологией пространства RN. Здесь мы рассматриваем топологию произведения (поточечной сходимо сти), которой можно дать нестандартное описание в терминах монад.

Монада точки x RN для этой топологии определяется как µ(x) = { (y )N | (y )N внутреннее & ym xm, m N }.

Отсюда, в частности, следует, что x (RN ), st(x) = (st xm )mN, где правая и левая части существуют одновременно. Более того, если N M N, где M внутреннее, то имеет место st{ y (RN ) | ym = 0, m N \ M } = RN.

Итак, в силу принципа переноса и вспомогательной теоремы, су ществуют нестандартные -R–равновесия модели E T. Пусть NT, p 0, p = (p )N T, соответствующая ему последовательность цен, i IT, xi = (x )NiT, x = (xi )I T, i потребительские планы, k KT, q = (q k )K T, qk 0, последовательность цен для активов, а 304 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках zi RKi, i IT, k zi 1, k Ki, z = (zi )I T, их торговые портфели. Здесь последовательности (p )N T & (qk )K T можно стандартизовать, в силу || || = 1.

Далее, в силу предположения A2 и того факта, что (x )NiT i A(X ), по нестандартному критерию компактности можем заклю чить, что x околостандартно при i I, N.

i Наконец, рассмотрим последовательности стоимостей (d )N T, i получаемых агентом i от рынка активов. Эти стоимости заданы фор мулой (3.2.3) и могут быть записаны в виде k di = zi k (), kKNi где qk, = k, k () = a · p, N, k вектор стоимостных отдач по активу k.

Лемма 3.2.1. Для любого i I последовательности di = (d )N T, i hi = (h )N T и Ri = (R )N T, отвечающие -R–равновесию, около i i стандартны.

Доказательство леммы 3.2.1. Предположим, что |d | + при i некоторых N, i I. По условию сбалансированности (iii) опре деления равновесия имеем d = 0, I() = { j I | t 0 : t () Ni }, j jI() где I() конечно. Следовательно, найдется j I() такой, что d. Однако, в силу (3.2.7), (3.2.8) должно быть j p x p j h d j j j для Nj или p j h d j j для Nj. В обоих случаях получаем h +. Дальше доказа / j тельство идёт от противного и параллельно второму интересующему нас случаю околостандартности последовательности унаследован ных стоимостей hi = (h )N T для каждого i из I T.

i Покажем, что тогда существует i0 I такой, что h0 +, Ni0, (3.2.23) i 3.2. Динамические неполные рынки т. е. найдётся агент, наследующий бесконечную стоимость. Действи тельно, по определению функций наследования стоимостей (3.2.4), (3.2.5) в равновесии имеем 0 h rm 0, rm, j mIj где Ij множество всех агентов, умерших ранее j в предыстории предшественники j, см. (3.2.4). Следовательно, найдется m Ij inh такой, что rm +. В силу закона Вальраса A6 имеем h = ri, i cor i:Ni iJ cor где J Ij множество всех агентов, умерших в предыстории. Имеем m J. Так как в равновесии h 0, ri 0, Ni при cor i любых i,, то найдется i0, удовлетворяющий (3.2.23). Для агента i при нулевом портфеле заказов на активы (допустимый в силу A7ss ) имеем p yi0 i0 p + h0 +.

i Это неравенство выполняется при любом околостандартном yi0 Xi0. Однако это противоречит условию монотонности пред почтений и условию (ii) бюджетной оптимальности xi, так как выше была установлена его околостандартность (ибо если стан дартный yi0 stx0, то по монотонности финансово достижимый i (stx, yi0 ) i0 stxi0 ). Получили противоречие. Еще проще (как на i последнем логическом шаге) прийти к противоречию, предполагая rj + для некоторых N, j I.

Итак, теперь мы можем определить i I, xi = st xi, N, p = st p, k K, qk = st qk, i I, di = st di, i = hi (, Ri ), i I, h r где Ri = stRi, Ri = (j )jIi, i I. Далее мы намерены показать, x что тройка (, p, d) является C-равновесием при подходящем выборе семейства (CS )S.

Очевидно, условие (iii) сбалансированности будет выполнено по построению и сбалансированности R-равновесий.

306 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках Чтобы установить достижимость (i) и бюджетную оптимальность (ii), воспользуемся соответствующими свойствами R-равновесий и рассмотрим бюджетные множества агентов. Дальнейшие рассужде ния во многом подобны использованным при доказательстве теоре мы 3.1.1, однако есть и специфика.

При фиксированном i I положим S = Ni. Имеем Bi () = { (y, c) | y Xi u RKS : c = S u, z E KS · u eKS, Py Pi + hi (p, Ri ) + c }, (3.2.24) где E KS единичная матрица, а eKS = (1,..., 1) вектор размер ности |KS |. Оператор P(·) здесь задан по формуле y Rl.

y = (y )N T, Py = (p y )N T, Оператор S стоимостных отдач от финансовых активов определя ется из соотношения NT, (S u) = () · uk, k kKS где k () вектор стоимостных отдач актива k. Положим Bi () = { y Xi | c : (y, c) Bi () }.

z По свойствам равновесия имеем T z (xi, di ) Bi (), Pi (xi ) Bi () =.

Теперь, в силу утверждений 1.1.2, 1.1.3, обычным образом заключаем T st Bi () =, i I, siPi (st xi ) T где символом si Pi обозначено точечно-множественное отображение, T чей график совпадает с si GrPi (это стандартная внутренность мно жества, см. главу 1 и раздел 4.2 о свойствах операторов si(·) и st(·)).

Далее, применяя предположение A3 и следствие 1.1.1, находим:

T si Pi (st xi ) = Pi (i ), i I, x откуда в силу предыдущего Pi (i ) stBi () =, i I.

x 3.2. Динамические неполные рынки z Заканчивая этап 1, теперь вместо Bi рассмотрим меньшие мно жества, определённые формулой (3.2.24), но при дополнительном условии существования st(E S u), st(c) и st[hi (p, Ri )]. Далее возьмём z стандартную часть этого множества, которую обозначим Bi (), и определим с его помощью z B i () = {y Xi | (y, c) Bi ()}. (3.2.25) Из построения следует B i () stBi () для всех i (обратное включение, вообще говоря, неверно). В итоге этих пертурбаций получаем x z (i, di ) Bi (), Pi (i ) B i () =, i I.

x (3.2.26) z Далее мы исследуем структуру множеств Bi & B i, что в силу (3.2.26) и дает нам требования (i) & (ii) определения 3.2.2.

3.2.4. Завершение доказательства теорем Доказательство теоремы 3.2.1 заканчивает анализ структуры полу ченных на предыдущем этапе бюджетных множеств B i ().

Этап 2: построение компенсирующих активов и портфелей Прежде всего отметим, что в силу ограниченности жизни агентов и активов в ограничениях (3.2.24) существенными являются только конечное число неравенств, причем все отвечают событиям из N.

Далее считаем i и S = Ni фиксированными. Напомним, что suppS = { N | k KS : a = 0 }.

k Обозначим suppS TS = S это множество всех состояний мира, в которых могут реализовать ся существенные в (3.2.24) относительно S неравенства. Рассмотрим подматрицу S ограничений, чьи строки соответствуют моментам из TS. Без ограничения общности сохраним за этой подматрицей тот же символ S и положим E KS G=.

S 308 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках Здесь G матрица размерности (|KS | + |TS |) |KS |. Пусть k = |KS |.

Свойства нестандартного оператора z RKS, Gz = y, G = [g1,..., gk ] (3.2.27) являются ключевыми для выявления структуры бюджетных мно жеств. Нас будут интересовать решения системы (3.2.27) при около стандартном y. С этой целью выделим главную часть этого операто ра. Рассмотрим stG и возьмем максимальную независимую подсисте му вектор-столбцов матрицы stS. Будем считать, без ограничения общности, что это первые m столбцов. Теперь определим матрицу F по индукции. Положим z (j) = z, j m.

fj = g j, При j m определим j cj = gj fj = cj /||cj ||, µjj = ||cj ||, µrj fr, r= (j1) (j1) zr + µrj zj, r j, (j) (j1) zr = ||cj ||zr, r = j, (j1) zr, r j.

Здесь скаляры µrj находятся из условия cj, fs = 0, s j, т. е. должно быть j s = 1,..., j 1.

µrj fs, fr = gj, fs, (3.2.28) r= Иначе говоря, процедура сводится к следующему. На первом нетри виальном шаге определяется вектор нормали cm+1, опущенной из точки gm+1 на подпространство, натянутое на первые m столбцов.

Здесь fm+1 это нормированный вектор нормали. Далее преобразу ются матрица G и неизвестные, с тем чтобы сохранилось тождество (3.2.27). На следующем, (m + 2)-м шаге, процедура повторяется, но теперь уже относительно матрицы G(m+1) = [f1,..., fm+1, gm+2,..., gk ] и т. д. Так как по определению G всегда выполнено ||cj || = 0, j m, то система (3.2.28) имеет единственное решение, причем матрица 3.2. Динамические неполные рынки [ fs, fr ]r,s стандартно невырожденная. Отсюда, в частности, следу ет, что коэффициенты µrj околостандартны. Таким образом, пре образование матрицы G сводится к последовательному применению элементарных преобразований столбцов и неизвестных при условии сохранения (3.2.27). В итоге получаем систему F z = y, где F = G(k) = G1, z = z, а матрицы и F имеют вид 1 0... 0 µ1,m+1... µ1k 0 1... 0 µ2,m+1... µ2k...

..

....

... =, 1 µm,m+1... µmk µm+1,m+1... µm+1,k..

.

0... 0 µkk K EmS S = [1,..., m ].

F=, m S m F K Здесь st(EmS ) = 0 по выбору 0, а значит, должно быть F = stF =, S m F S где черта означает операцию st(·). Столбцы m = [1,..., m ] линейно-независимы по построению и выполняется L (1,..., m ) = L (1,..., k ). (3.2.29) Кроме того, система (3.2.27) имеет решение относительно z тогда и только тогда, когда система F z = y имеет единственное околостан дартное решение.

Этап 3: структура бюджетных множеств Этот раздел завершает доказательство теоремы 3.2.1. Здесь мы покажем, что {(y, c) | y Xi z = (z, z ) RKS : eKS z, z Bi = cTS = Hz, c = 0, TS, / TS T TS T hTS (, Ri ) + cTS }, P P y i S + p (3.2.30) S i 310 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках где H = [1,..., m, F ], а верхний символ TS означает, что берутся компоненты вектора (или строки матрицы), соответствующие моментам жизни из TS.

Включение в формуле (3.2.30) следует из рассмотрений преды дущего раздела. Необходимо показать обратное включение. Пусть (y, c) выбрана из правой части (3.2.30). Достаточно установить су z ществование такой пары (, c) Bi, что y y, c c, и суще y KS KS ствует такой u R, что E u околостандартный вектор и c = S u. После преобразования, описанного в предыдущем пункте, это условие будет эквивалентно существованию околостандартного z = (, z ) = u такого, что при некоторых y y имеет место z (1,..., 1) · EmS z +, K z PTS ( i S ) hTS (p, Ri ) S z + F z cTS.

T y m (3.2.31) i После преобразований и выделения главных членов неравенства (3.2.31) можно привести к виду (1,..., 1) z + z +, (3.2.32) TS S T (y+yi S )hi (, Ri ) m (z +z )+F (z +z )+µ, (3.2.33) P p где, µ некоторые бесконечно малые векторы, символ бес конечной малости и y + y = y, z + z = z. Выберем в качестве z = (z, z ) тот вектор, который соответствует паре (y, c) по (3.2.30).

Теперь проблема сводится к нахождению y 0 и z 0 таких, чтобы выполнялось (3.2.33). Проделаем это.

Ограничения, фигурирующие в (3.2.32) и (3.2.33), можно разбить на две группы. Первую из них составляют ограничения на торговлю компенсирующими активами (3.2.32), все ограничения, появляющи еся из условия отсутствия долгов после смерти агента, т. е. отвеча ющие TS \ S, а также та часть ограничений при S S, для которых по определению имеет место p y p i + h (, Ri ).

ip Вторую группу ограничений составят неравенства из (3.2.33) при S \ S, т. е. те, для которых выполнено обратное к последнему:

p y p i + h (, Ri ). Мы используем первую группу для нахож ip дения z, а вторую для y, S \ S, полагая y = 0 для всех прочих.

Для первой группы ограничений выделим из их числа стандартно-активные они реализуют неравенства из (3.2.30) для данного (y, z) в форме равенств, совокупность номеров которых обо значим как M. Очевидно, только эти активные ограничения могут 3.2. Динамические неполные рынки играть существенную роль в нашем анализе. Подставляя (y, z) в ограничения из M, имеем следующее:

Для ограничений на торговлю компенсирующими активами r 1 =, z, r M KS, r где означает строку r матрицы. Для ограничений при S :

0 p y p i h (, Ri ) = H z, M S.

ip Ограничения из условия отсутствия долгов после смерти агента да ют два типа соотношений, которые разбивают множество активных ограничений из TS \ S на два непересекающихся подмножества со бытий M и M соответственно. Напомним, что y = 0 для всех TS \ S. Для ограничений с номерами из M имеет место M, 0 i h (, Ri ) = H z, p ip а для попавших в M выполнено M.

0 = i h (, Ri ) = H z, p ip (3.2.34) Именно наличие этой последней группы ограничений создаёт наи большие трудности в последующем анализе.

Далее прежде всего найдём такой 0, 0, что ||||/ 0 & ||µ||/ 0.

Заметьте, что если бы мы сейчас приняли в качестве z вектор z, то все ограничения из первой группы в (3.2.32) и (3.2.33) при y = были бы выполнены, за исключением тех, номера которых попали в M. Перепишем эти ограничения в более детальном виде, учитывая S (3.2.31) и (3.2.34). Полагая S = m +S и F = F +F, необходимо m m получить S (H) z + (m ) z + (F ) z, M, (3.2.35) где = p i + h (p, Ri ) + (S ) z + (F ) z некоторая m i фиксированная бесконечно малая величина. Будем искать z в виде = (em + z, z ), z где em = (1,..., 1) m-мерный вектор и 0. Сразу укажем, что если при этом будет / 0, то при данном выборе z все огра ничения из первой группы в (3.2.32) и (3.2.33), кроме тех, что с номерами из M, остаются выполненными.

312 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках Далее заметим, что в силу предположения A7ss из условия сильной монотонности предпочтений и теоремы существования R равновесий имеет место p 0 (легко доказывается от против ного). Отсюда имеем a, p 0 TS \ S.

k KS S Теперь несложно заключить, что каждая строка матрицы m c номе ром из TS \S, а значит, и для номеров из M неотрицательная и ненулевая (от противного по выбору S и в силу (3.2.29)). Последнее m позволяет переписать неравенства из (3.2.35) в виде M, u + +, для некоторых 0 и стандартном u 0. Наконец, мы можем записать определяющие неравенства в виде M.

( / + ) (u + ), Ясно, что если в условия на добавить требования / M, то можно будет найти 0, удовлетворяющий также / 0. Значит, доказано, что существует z 0, при котором вы полнены все ограничения первой группы при y = 0 для TS \S.

Наконец, рассмотрим ограничения второго типа, т. е. рассмот рим случай S \ S. Далее, используя A7ss и p 0, найдем стандартный x Xi, удовлетворяющий i p x p i.

i Отметим, что по выбору S \ S имеем p y p i + h (, Ri ), ip и, так как всегда h (, Ri ) 0, то из предыдущего заключаем ip p x p y S \ S.

i (3.2.36) Теперь положим = · ( y ), xi y где 0, 0 удовлетворяет 3.2. Динамические неполные рынки · p ( y ) ( i + h (, Ri ) + H z p y ) + H z + µ.

p xi ip Опять, слагаемое в скобках правой части неравенства неотрицатель но, а H z + µ бесконечно мало. Значит, в силу (3.2.36) такой вы бор возможен. Таким образом, (3.2.33) установлено, а значит, верно и (3.2.30).

Заканчивая доказательство, отметим, что ввиду (3.2.30) при CS = { d | z = (z, z ) RKS : dTS = Hz, z eS, d = 0, TS } / C z проекция множества Bi на Xi совпадает с Bi (, di ) (формула p (3.2.15)). Кроме того, семейство (CS )S по построению удо x влетворяет (3.2.10)–(3.2.13), а значит, тройка (, p, d) является C-равновесием.

Доказательство теоремы 3.2.2. Отличие в доказательстве тео ремы 3.2.2 сводится к рассмотрению несколько отличной от описан ной в предпоследнем разделе процедуры выделения главного члена оператора G. Здесь мы имеем S = {1,..., } N = N.

Пусть mi для фиксированного i I, где mi это момент смерти агента i, и E S G=.

S Как и ранее, нас интересуют свойства оператора z RKS, Gz = y, G = [g1,..., gk ].

Преобразование матрицы G производится в соответствии с процес сом ортогонализации системы вектор-столбцов этой матрицы. Этот процесс начинается с последнего вектора gk и далее проводится по мере убывания номеров. Здесь (k) (k) fk = ck /||ck ||, = zk · ||ck ||, ck = g k, zk zr = zr, rk для j = k, а при j k имеем k fj = cj /||cj ||, cj = g j µrj fr, r=j+ (j+1) zr, r j, (j+1) (j) zr = ||cj ||, z r = j, r (j+1) (j+1) zr + µrj zr, r j.

При j = 1 процесс заканчивается, и в итоге мы имеем 314 Глава 3. Равновесный анализ в неполных рынках z = z (1), F = [f1,..., fk ], F z = y.

В матричной форме µ11...

F = G1, =.

z = z,,.

.

µk1... µkk где коэффициенты µrj находятся из условия cj, fr = 0, r j, т. е.

µjj = ||cj ||, µrj = gj, fr, r j, j = 1,..., k.

Матрица околостандартная и стандартно невырожденная. Далее матрица F стандартизуется и определяются новые неизвестные:

z = st z (1).

F = stF =, F При этом, так как свой стратегический выбор портфеля заказов агент делает только в течение своей жизни, то z RK и после преобразования будет (1) zk = 0, tk ni по определению.

Наконец, чтобы определить -набор компенсирующих активов, удовлетворяющих (3.2.16)–(3.2.18), необходимо проделать еще одно (стандартное) преобразование матрицы F. Именно, в порядке убыва ния номеров будем просматривать вектор-столбцы матрицы. По ложим b = k, c = v k, = [1,..., k ], F = [v1,..., vk ].

k k Если j линейно выражается через {j+1,..., k }, т. е. если k j = rsj s, s=j+ то положим k b = 0, c = v j rsj vs. (3.2.37) j j s=j+ Иначе имеем b = j, c = v j, rsj = 0, s j, rjj = 1. (3.2.38) j j 3.2. Динамические неполные рынки Теперь примем наборы C = {c }jK, B = {b }jK в каче j j стве требуемых в определении обобщённого равновесия. Переписы вая предыдущее в матричной форме, получаем z = R1 z, C = F R, B = R, где матрица R невырождена и имеет вид r21 1 R=..

..

..

.

rk1... rk,k1, Далее необходимо показать, что C и B удовлетворяют (3.2.16)– (3.2.19). Здесь (3.2.17)–(3.2.19) выполнены по построению, покажем (3.2.16). При любом j k имеем k gj = ||cj ||fj + µrj fr, r=j+ · ej gj =, ej = (0,..., 0, 1, 0,..., 0).

j j Стандартизуя это тождество и подставляя представление векторов st(fr ) = (r, vr ), r = 1,..., k, данные в (3.2.37), (3.2.38), после приве дения общих членов получим k k b s, c s.

0= j = s s s=j s=j Однако, в силу (3.2.37) ненулевые вектор-столбцы b, s = 1,..., k, s линейно независимы, значит s = 0 для b = 0, s = j,..., k, откуда s c s, Kj = { s | j s k, b = 0 }, j = s s Kj что и доказывает (3.2.16). Все прочие свойства системы {C, B }, требуемые в определении обобщенных равновесий, устанавливаются рутинной проверкой.

Глава Вспомогательный математический аппарат Доказательства большинства теорем существования основаны на применении техники точечно-множественных отображений (соответ ствий) и теоремы о неподвижной точке. Ниже даётся соответствую щая сводка результатов.

4.1. Точечно-множественные отображения:

базисные определения и результаты Пусть X и Y некоторые множества. Тот факт, что F является либо точечно-множественным отображением, либо отношением, либо соответствием1 из A в B, мы будем записывать в виде F : X Y (здесь F (x) Y x X)2 или в виде x F (x), x X.

Графиком точечно-множественного отображения F : X Y на зывается множество Gr(F ) = {(x, y) X Y | y F (x)}.

Далее пусть X и Y топологические пространства. Нас будут прежде всего интересовать свойства разного рода непрерывности со ответствия, выраженные в терминах топологий на X и Y.

1 Под термином соответствие, в отличие от точечно-множественного отобра жения, иногда понимают точечно-множественное отображение, отображающее каждую точку из указанного множества в непустое подмножество области зна чений. Мы не будем делать такого рода различий.

2 В литературе также широко используется обозначение F : X 2Y.

4.1. Техника точечно-множественных отображений Определение 4.1.1. Отображение F : X Y называется по лунепрерывным сверху (п. н. св.) в точке x X, если при F (x) = для каждой окрестности U множества F (x) найдётся такая окрестность V точки x, что F (x ) U для всех x V.

Отображение называется полунепрерывным сверху, если оно п. н. св. для всех x X.

Определение 4.1.2. Отображение F : X Y называется полу непрерывным снизу (п. н. сн.) в точке x X, если для каж дой открытого U Y такого, что F (x) U =, найдётся такая окрестность V точки x, что F (x ) U = для всех x V.

Отображение называется полунепрерывным снизу, если оно п. н. сн. для всех x X.

Определение 4.1.3. Отображение F : X Y называется за мкнутым, если замкнут его график.

Определение 4.1.4. Отображение F : X Y называется непре рывным, если оно полунепрерывно сверху и снизу одновременно.

Для функций (точечно-точечных отображений) понятия полуне прерывности сверху и снизу совпадают с обычной непрерывностью, а если область значений компактна, то они эквивалентны замкнуто сти отображения.

Следующие утверждения описывают характеристические свой ства полунепрерывных отображений.

Утверждение 4.1.1. Отображение F : X Y полунепрерывно сверху выполнена одна из альтернатив:

(i) множество {x X | F (x) U } открыто для любого откры того U Y ;

(ii) множество F 1 (G) = {x X | F (x) G = } замкнуто для любого замкнутого G Y.

Утверждение 4.1.2. Отображение F : X Y полунепрерывно снизу выполнена одна из альтернатив:

(i) множество {x X | F (x) G} замкнуто для любого замкну того G Y ;

(ii) множество F 1 (U ) = {x X | F (x) U = } открыто для любого открытого U Y.

318 Глава 4. Вспомогательный математический аппарат Утверждение 4.1.3. Пусть Fk : X Y, k = 1,..., m, отоб ражения полунепрерывные сверху (снизу). Тогда отображение x Fk (x) является полунепрерывным сверху (снизу) соот ветственно.

Если, дополнительно, Y линейное пространство, то x Fk (x) является полунепрерывным сверху (снизу) соот ветственно.

Если, более того, Y конечномерное линейное пространство, то x co Fk (x) является полунепрерывным сверху (снизу) соответственно.

В приложениях весьма полезно следующее Утверждение 4.1.4. Пусть Y компакт и отображение F :

XY замкнуто-значно. Тогда отображение F полунепрерыв но сверху F замкнуто.

Рассмотрим далее применяемую нами теорему о неподвижной точке. Пусть F : X X точечно-множественное отображение.

Тогда x X называется неподвижной точкой, если x F (x).

Теорема 4.1.1 (Какутани, 1949). Пусть X непустое, ком пактное и выпуклое подмножество некоторого конечномер ного пространства3. Пусть F : X X замкнутое точечно множественное отображение, и при этом F (x) непустой выпук лый компакт для каждого x X. Тогда у отображения F суще ствует неподвижная точка.

Селектором точечно-множественного отображения F : X Y называется такая функция f : X Y, что f (x) F (x) для каждого x domF.

Теорема 4.1.2 (Майкл, 1956).4 Пусть F : X E полунепре рывное снизу точечно-множественное отображение из метриче ского пространства X в конечномерное пространство E такое, что непустое выпуклое подмножество для каждого x X. То F (x) гда отображение F имеет непрерывный селектор, определённый на X.

3 Давно и хорошо известно, что эта теорема выполняется в любых топологи ческих векторных пространствах. Однако Какутани формулирует её только для конечномерных пространств, см., например, [Берж, 1961].

4 Это не самая общая, но удобная в приложениях версия теоремы Майкла, в которой не требуется замкнутость значений исследуемого отображения (ко нечномерность E важна). Более сильную теорему, из которой следует данная, можно найти в [Michael, 1956, теорема 3.1, p. 368].

4.2 Введение в нестандартный анализ 4.2. Введение в нестандартный анализ В настоящем разделе будет дано краткое введение в нестандартный анализ и приведён обзор некоторых его приложений к математиче ской экономике. Нестандартный анализ, иногда называемый также инфинитезимальным анализом, это скорее математическая техника, нежели самостоятельная теория. Нестандартный анализ оперирует с идеальными элементами, которые могут быть как бесконечно близки к интересующему объекту, так и бесконечно далеки от него. Ниже будет представлено построение совокупности нестандартных чисел, ассоциированное с достаточно простой системой логики. Кроме то го, будет приведена сводка необходимых базисных результатов этой теории. С её деталями, а также с большинством из опущенных до казательств, читатель может ознакомиться в [Девис, 1980;

Anderson, 1991;

Loeb, 2000].

Нестандартный анализ находит своё применение во многих об ластях современной математики. В их числе действительный и ком плексный анализ, теория меры и теория вероятности, функциональ ный анализ и общая топология. Одно из наиболее заметных преиму ществ нестандартной методологии состоит в том, то она обладает возможностью упростить математические рассуждения. Например, используя нестандартные методы, обычно можно существенно упро стить громоздкие -рассуждения. Поэтому о нестандартном ана лизе часто говорят, что он служит целям элиминации количеств.

Большинство из приложений нестандартного анализа основыва ется на идее гиперконечного множества это множество, которое может быть занумеровано нестандартными натуральными числами, не превосходящими некоторого фиксированного нестандартного на турального числа. Используя это понятие, можно аппроксимировать бесконечные (и даже бесконечномерные) объекты множествами, к которым применимы стандартные заключения о конечных объек тах. В частности, в экономико-математической литературе имеется значительное количество работ, использующих идею гиперфинит ного множества это в основном результаты, в которых исследу ются большие модели экономики (с бесконечным числом агентов или продуктов). Например, таким способом моделируются ситуа ции, отражающие условия совершенной конкуренции, это моде ли, в которых имеется много индивидуумов, каждый из которых имеет пренебрежимо малое влияние на экономику в целом. Тако го рода постановки приводят к рассмотрению моделей с гиперфи нитным множеством экономических агентов, оснащённых стандарт но ограниченными возможностями влиять на текущую ситуацию 320 Глава 4. Вспомогательный математический аппарат (в модели обмена околостандартными векторами исходных запа сов). Первые результаты этого типа появились в пионерских работах [Brown, Robinson, 1974, 1975], основанных на понятии гиперконеч ной экономики чистого обмена. Описание достижений в этой обла сти равновесного анализа можно найти в [Rashid, 1987] и [Anderson, 1991]. Имеется также множество других приложений методов нестан дартного анализа к математической экономике и теории игр. В их числе работы по моделям с перекрывающимися поколениями эко номических агентов, с бесконечным временным горизонтом, эконо микам с общественными благами, бескоалиционным играм с боль шим числом игроков и т. д.

4.2.1. Нестандартный анализ: конструктивный подход Идеальные элементы Типичным в истории развития математики является метод, осно ванный на введении и изучении идеальных элементов, обеспечиваю щих существование решения уравнений, ранее таковых не имевших.

Древние греки открыли, что уравнение x2 = 2 неразрешимо в раци ональных числах;

проблема разрешается через введение идеального элемента 2, а в дальнейшем и собственно множества действитель ных чисел как пополнения множества рациональных. Подобным образом комплексные числа появляются посредством введения иде ального элемента i = 1. Лейбниц1 (1684) впервые вводит в рас смотрение бесконечно малые как идеальные элементы, которые не равны нулю и неотрицательны, но при этом меньше любого положи тельного действительного числа. Таким образом, бесконечно малые появляются как решение семейства неравенств x 0;

x 1, x 1/2, x 1/3,... (4.2.1) Бесконечно малые играли важную роль в созданном Лейбницем дифференциальном исчислении. Например, по Лейбницу производ ная функции определялась как наклон функции на интервале беско нечно малой длины. Лейбниц постулирует, что множество действи тельных чисел, пополненное бесконечно малыми, обладает теми же свойствами и удовлетворяет тем же правилам оперирования с его 1 Leibniz G. Nova methodus pro maximis et minimis// Acta Eruditorum.

Leipzig, 1684.

4.2. Введение в нестандартный анализ элементами, что и множество обычных действительных чисел. К со жалению, эти воззрения не являлись непротиворечивыми. Напри мер, известно, что каждое ограниченное множество действительных чисел обладает точной верхней гранью. Однако что произойдёт, ес ли рассмотреть бесконечно малые? Очевидно, что множество бес конечно малых обозначим его далее как ограничено любым положительным действительным числом. Предположим, что у су ществует точная верхняя грань. Теперь, если бесконечно малое число, т. е. если удовлетворяет неравенствам (4.2.1), то таким же является число + ибо неравенство + 1/n следует из 1/2n для всех натуральных n N. С другой стороны, так как 0, то должно быть +, что противоречит тому факту, что является точной верхней гранью множества. Наконец, если предположить, что не является бесконечно малым, то получаем 1/n для неко торого n N. Однако 1/n больше любого бесконечно малого числа противоречие с тем, что является точной верхней гранью.

Теория, построенная Абрахамом Робинсоном [Robinson, 1966], из бегает такого рода парадоксов, поскольку использует язык и обос нования математической логики. В рамках этой теории принцип Лейбница формулируется в следующем виде:

Существует расширение множества действительных чи сел, включающее бесконечно малые и имеющее те свой ства числовой прямой, которые выражаются в определён ном формальном языке.

Здесь важно то, что свойство числа быть бесконечно малым не имеет такого описания в (формальном математическом) языке.

В таком случае в нестандартном анализе говорят, что совокупность бесконечно малых является внешним множеством (будет пояснено позже).

Три концепции Теория нестандартного анализа работает с двумя структурами стандартным универсумом и нестандартным универсумом. Кроме того, имеется формальный язык, который применяется для форму лировки разного рода утверждений в каждой из этих структур.

Имеется три основных инструмента вида математической тех ники нестандартного анализа. Первый из них это принцип пере носа, который, грубо говоря, утверждает, что любое утверждение, ис тинное в стандартном универсуме, является истинным в нестандарт ном и наоборот. Другая техника это теорема направленности. Эта 322 Глава 4. Вспомогательный математический аппарат теорема гарантирует, что расширенная структура содержит доста точно много идеальных элементов и, в частности, включает в себя все мыслимые пополнения, компактификации и т. д. Третья техни ка это принцип доказательства от противного в предположении, что то или иное множество является внутренним. Множество S эле ментов нестандартного универсума называется внутренним, если S само является элементом нестандартного универсума;

в противном случае S называется внешним множеством.

Конечно, изложенные положения и комментарии достаточно при близительны. Чтобы предмет нестандартного анализа стал действи тельно ясным, неопытному в этой области читателю необходимо об ратиться к детализированным руководствам (частично указанным выше).

Фильтры Конструкция нестандартного универсума основана на методах ма тематической логики, причём при этом используется понятие ультра произведения. Чтобы прояснить существо конструкции, ниже при водятся понятие и сводка простейших свойств фильтров.

Определение 4.2.1. Пусть I любое непустое множество. Се мейство подмножеств F 2I называется фильтром на I, если (i) A F и A B влечёт B F, (ii) A, B F влечёт A B F, и (iii) F, I F.

Максимальный элемент (по включению) множества всех фильтров на I называется ультрафильтром. Другими словами, F ультра фильтр на I, если F является фильтром и для любого другого филь тра F1 включение F1 F влечёт F1 = F. Например, множество всех подмножеств в I, содержащих фиксированный элемент I, является ультрафильтром:

Fx = {A 2I | x A}, x I.

Ультрафильтры этого вида называются главными, или тривиаль ными. Тот факт, что нетривиальные ультрафильтры существуют, является следствием леммы Цорна (или, эквивалентной ей, аксиомы выбора).

4.2. Введение в нестандартный анализ Теорема 4.2.1 (Картан). Если F0 фильтр на I, то существу ет ультрафильтр F на I такой, что F F0.

Теорема 4.2.2 (Бурбаки). Если I бесконечное множество, то нетривиальный ультрафильтр на I существует.

Интересное свойство нетривиальных ультрафильтров состоит в том, что они не содержат конечных множеств.

Теорема 4.2.3. Пусть F нетривиальный ультрафильтр на I.

Тогда из A F следует, что A бесконечное.

Доказательство. Предположим, что существует такое конечное множество A, что A F. Без ограничения общности можно счи тать, что никакое собственное подмножество A не принадлежит F.

По определению фильтра A непусто. Пусть a A. Так как F нетри виальный ультрафильтр, A должно содержать не менее двух элемен тов, т. е. A \ {a} =. Рассмотрим семейство множеств G = {X I | {a} X F } фильтр. Очевидно, G и I G. Если и покажем, что G X1, X2 G, то X1 {a}, X2 {a} F, откуда (X1 X2 ) {a} F и X1 X2 G. Предположим X2 X1 и X1 G. Тогда X1 {a} F и X2 {a} F, что влечёт X2 G.

С другой стороны, X F влечёт {a} X F и X G. Следова тельно, G F. Более того, F является собственным подмножеством G, так как A \ {a} G, но A \ {a} F. Но последнее означает, что F не является ультрафильтром противоречие.

Определяющим свойством того, что некоторый фильтр является ультрафильтром, является тот факт, что каждое подмножество A в I или его дополнение I \ A должно быть элементом фильтра.

Теорема 4.2.4. Пусть F фильтр на I. Тогда F ультра фильтр на I для каждого A I либо A F, либо I \ A F.

Следствие 4.2.1. Если F нетривиальный ультрафильтр на I, то каждое множество с конечным дополнением является элемен том F.

Индивиды и суперструктуры Приложения нестандартного анализа начинаются с выбора подхо дящего множества индивидов S. Обычно в качестве S выбирается 324 Глава 4. Вспомогательный математический аппарат множество точек топологического пространства или множество всех действительных чисел. Технически удобно считать, что члены S не являются множествами (хотя индивидами могут быть объекты, кото рые в распространённых изложениях определяются как множества);

т. е. если x S, то x = и утверждения t x и t x не являются осмысленными (т. е. ложны). Далее будет показано, как можно по строить простейшую суперструктуру всех множеств, (включая от ношения и функции), необходимую в обычных математических по строениях, связанных с элементами S. Определим иерархию:

S0 = S, Si+1 = Si 2Si, i = 0, 1, 2,..., и положим S= Si.

iN Тогда S называется суперструктурой с индивидами S. Каждый эле мент из S называется индивидом суперструктуры S, и каждый эле мент из S \ S называется множеством из S. Заметьте, что S, так что S1.

Следующие примеры показывают, как разного рода математиче ские объекты могут быть представлены в суперструктуре.

• Предположим, что a1,..., an Si для некоторого i N. Известно, что упорядоченное множество (кортеж) a = (a1,..., an ) может быть представлено как множество {{a1 }, {a1, a2 },..., {a1,..., an }}.

Но тогда, так как каждое из множеств {a1 },..., {a1,..., an } является элементом в Si+1, множество a будет элементом в Si+2.

• Предположим, что A и B два множества такие, что A, B Si для некоторого i N. Функция f : A B может быть определена с помощью её графика G = {(x, f (x)) | x A}. Из предыдущего при мера мы знаем, что каждая упорядоченная пара (x, f (x)) является элементом в Si+2. Следовательно G Si+2 и G Si+3. Множество всех функций из A в B тогда является элементом в Si+4.

• Рассмотрим пример модели экономики с множеством I S эконо мических агентов и пространством продуктов Rl. Каждый элемент + из Rl является l-мерным вектором (кортежем упорядоченной со + вокупностью l элементов из R) и, следовательно, является элементом 4.2. Введение в нестандартный анализ в S2 (предполагаем S = R). Отношение предпочтения отождествля ется с подмножеством из Rl Rl и, таким образом, является эле + + ментом в S3. Пара предпочтение–запасы (i, i ), i I, где i Rl, + является элементом в S5. Тогда экономика обмена представляется как функция из I в множество пар вида предпочтение–запасы и, таким образом, является элементом в S8.

Универсумы Пусть S некоторое множество индивидов.

Определение 4.2.2. Любое подмножество U суперструктуры S называется универсумом с индивидами S, если (i) U, S U, (ii) x, y U {x, y} U, (iii) для каждого A U, x A выполнено x U.

Первый важный факт об универсумах состоит в том, что построен ная выше суперструктура S является универсумом с индивидами S.

Теорема 4.2.5. S универсум с индивидами S.

Предположим, что r и s два элемента суперструктуры S. Ес отношение (соответствие) и существует единственный t S ли r такой, что (s, t) r, то пишем r(s) = t. В частности, если r являет ся графиком некоторой функции (отображения), то r(s) обозначает значение этой функции в точке t. Во всех других случаях (если нет такого t или их имеется более двух, или r не является отношени ем), полагаем r(s) =. Важно, что любой универсум удовлетворяет следующему свойству замыкания:

Теорема 4.2.6. Если U универсум и r, s U, то r(s) U и (r, s) U, где (r, s) = {{r}, {r, s}} упорядоченная пара.

Далее всюду в этом разделе в качестве суперструктуры S рас сматривается стандартный универсум с индивидами S, или мы про сто говорим стандартный универсум, который будет обозначаться как U, т. е. полагаем U := S.

Ниже будет изложен вариант конструкции другого, так называе мого нестандартного универсума U, чьи индивиды включают эле менты S и чьи свойства тесно связаны со свойствами U.

326 Глава 4. Вспомогательный математический аппарат Итак, пусть F некоторый нетривиальный ультрафильтр на множестве натуральных чисел N. Будем говорить, что некоторое свойство элементов из N имеет место п. в. (почти всюду) или для почти всех n N, если множество чисел n, для которых это свой ство выполнено, принадлежит F.

При построении нестандартного универсума используются после довательности f = (fn )nN, отображающие N в U. Для каждого i N определим Zi как множество всех последовательностей f, отобража ющих N в U, для которых fn Si п. в. Наконец, пусть Z= Zi.

iN Множество Z поставляет сырьевые ресурсы для конструкции нестандартного универсума U.

Далее отметим, это важно, что имеется естественное вложение стандартного универсума U в Z. Именно, отождествим элемент r U с постоянной последовательностью r, т. е. положим rn = r для всех n N. Например, таким образом полагается, что 4 = (4, 4, 4,...) Z0.

Далее фиксируем любой нетривиальный ультрафильтр F на N. Для двух последовательностей f и g из Z0 положим f g, если fn = gn почти всюду. Из определения ультрафильтра следует, что являет ся отношением эквивалентности на Z0. Теперь для f Z0 определим f = {g Z0 | g f }. (4.2.2) Таким способом отношение расчленяет Z0 на дизьюнктные классы эквивалентности. Далее положим W = {f | f Z0 }, принимая это множество в качестве совокупности нестандартных индивидов. Отметим, что из определения ультрафильтра и в силу вложения S в Z0 следует, что для любых двух различных x, y из S выполнено x= y. Это означает, что можно корректным образом отождествить каждый x S с элементом x W. В таком случае, например, класс эквивалентности 3, содержащий последовательно сти вида (1, 2, 3, 3, 3,...) и (2, 1, 3, 3, 3,...), отождествляется с нату ральным числом 3. Таким образом имеем S W и теперь можно сказать, что для x S имеет место x = x.

4.2. Введение в нестандартный анализ На следующем шаге определим суперструктуру W, полагая Wi+1 = Wi 2Wi, i 2 & W = Wi.

W0 = W, iN И, наконец, определим универсум U, который состоит из множества W и определённых (не всех!) подмножеств W, ассоциируя, по некото рому рекурсивному правилу, с элементами f Zi соответствующие элементы f Wi. Действительно, f были выше определены для f Z0. Пусть натуральный k 0, f Zk+1 \ Zk, и предположим, что g уже определены для всех g Zi, i k. Положим f = {g | g Zk и gn fn почти всюду}. (4.2.3) Другими словами f содержит такие элементы g, для которых (лю бой) его прототип g Z удовлетворяет условию gn fn для почти всех n N. Тогда по построению и рекурсии для каждого g f бу дем иметь g Wk. Следовательно, f Wk и f Wk+1. Более того, таким способом мы фактически определили отображение (·) : Z W.

В итоге нестандартный универсум, соответствующий U, определяет ся по формуле U = {f | f Z}, или, иначе говоря, U является образом Z при отображении (·):

U =(Z) W.

Имеет место следующая Теорема 4.2.7. U является универсумом в суперструктуре W.

Так как U Z (через вложение), то каждому элементу (который может быть множеством в обычном смысле!) стандартного универ сума U сопоставляется определённый элемент суперструктуры W.

Например из построения U следует, что в -образах множеств R, N определены и обладают привычными свойствами алгебраические операции + и ·, а также отношение упорядочивания. В частно сти, множество гипердействительных чисел R является элемен том W1, генерированным последовательностью (R, R, R,...) Z1.

Несложно видеть, что является таким отношением на R, что x y xn yn п. в.

328 Глава 4. Вспомогательный математический аппарат Причём из конструкции ясно, что это свойство не зависит от того, какой именно представитель выбран из классов эквивалентности x и y, представляющих x и y.

С целью упростить обозначения, символ обычно опускают, если в нестандартном универсуме имеется ввиду какая-либо привычная операция +,, · или другое стандартное отношение либо функ ция. Таким образом, принято писать 3,, =, sin, | · | (абсолютная величина или мощность) для нестандартных аналогов этих объек тов, вместо 3,, =, sin, | · | соответственно.

Рассмотрим нестандартного индивида w, генерированного по следовательностью w = (1, 2, 3, 4,...).

Здесь w является элементом множества N нестандартных нату ральных чисел, ибо wn N для каждого n N. Заметьте, что по скольку каждое натуральное n N принадлежит N (через вложе ние), мы вправе записать N N. Так как w N, то N является собственным подмножеством N. Ясно, что последовательность w больше любого натурального n N в бесконечном числе компонент (так как она меньше n только в конечном числе позиций). Следова тельно, истинно n N, w n для каждого и мы получили, таким образом, бесконечно большое натураль ное число. Аналогично убеждаемся в том, что величина, для = (1, 1/2, 1/3,...), должна рассматриваться как гипердействитель ная, которая меньше любого положительного действительного чис ла:


1/n для каждого n N. (4.2.4) Более того, покоординатное произведение w и даёт постоянную по следовательность (1, 1, 1,...), откуда заключаем w · = 1. Таким образом, мы не только нашли бесконечно большое и бесконечно ма лое числа, но также обнаружили, что их произведение может дать действительное число.

Любое гипердействительное число R, удовлетворяющее || 1/n для каждого n N, называется бесконечно малым (ин финитезимальным). Для любых двух гипердействительных чисел x, y R пишем x y (читается как: x бесконечно близко к y), если разница x y бесконечно мала.

Элемент r U, для которого существует другой элемент r U из стандартного универсума, называется стандартным элементом 4.2. Введение в нестандартный анализ в U. Естественно, что элементы U, которые не являются стандарт ными, называются нестандартными элементами U. В частности, стандартными индивидами являются только элементы S;

нестан дартные индивиды образуют множество W \ S.

Множества из W, принадлежащие U, называются внутренними;

множества из W, которые не являются внутренними, называются внешними они буквально внешние по отношению к нестандартно му универсуму U принадлежат W \ U. Примерами внутренних множеств являются N и R. Примеры внешних множеств множе ство всех стандартных натуральных чисел N и множество всех беско нечно малых. Можно доказать, что не существует такого элемента z Z, что z = N или z =. Функция называется внутренней, если её график является внутренним множеством.

Подведём некоторые итоги. Выше были построены два универ сума: стандартный универсум U, который является просто супер структурой, построенной на подходящем множестве индивидов S, и нестандартный универсум U, состоящий из множества индиви дов W S и некоторых множеств из суперструктуры W. Показано, что множество U содержит бесконечно малые и бесконечно боль шие числа. На U существует отображение (·), действующее в U.

Элементы U вида x для некоторого x U называются стандартны ми;

прочие элементы U называются нестандартными. Множества из W, являющиеся элементами U, называются внутренними, все про чие множества внешними. Внешние множества существуют уже совокупность натуральных чисел является внешним множеством.

Языки и семантика Для произвольного универсума U построим соответствующий язык L = L(U ), который используется для формулировки утверждений об U. Основой каждого языка L является множество A, называемое алфавитом в L, члены которого называются символами. Мы запи сываем A в виде A = A1 A2 A3, причём множества A1, A2, и A3 предполагаются попарно дизьюнкт ными и удовлетворяющими следующим требованиям.

(1) Символами, принадлежащими A1, являются ¬ & = ( ), 330 Глава 4. Вспомогательный математический аппарат (2) Символы, принадлежащие A2, называются переменными и об разуют счётное бесконечное множество:

x1 x2 x3...

(3) Множество A3 находится во взаимно-однозначном соответствии с универсумом U. Для каждого b U элемент из A3, соответ ствующий b, называется именем b. Символы из A3 называются константами. Конечно, в общем случае A3 бесконечно и даже несчётно.

Конечная последовательность символов алфавита L называется выражением в L. Выражение µ называется термом, если существует конечная последовательность µ1, µ2,..., µn выражений, где µn = µ, такая, что для каждого i, 1 i n истинна одна из следующих альтернатив:

(1) µi переменная, (2) µi константа, (3) µi = (µj, µk ), где j, k i, (4) µi = µj (µk ), где j, k i.

Выражение (x3 (x2 ), x2 ) является примером терма. Терм, не содер жащий переменных, называется замкнутым термом.

Выражение называется формулой, если существует конечная последовательность выражений 1,..., n, где n =, такая, что для каждого i, 1 i n, имеет место (1) (µ = ), где µ и термы в L, или (2) (µ ), где µ и термы в L, или (3) ¬j, где j i, или (4) (j &k ), где j, k i, или (5) (xj µ)k, где k i, xj является переменной и µ терм в L, в который xj не входит.

Примером формулы является ((x1 = x2 )&¬(x1 x2 )). Вхождение переменной xi в формуле называется связанным, если существует такая формула, что является частью, содержащей вхождение xi, и при этом является формулой вида (xi µ). Вхождение x в 4.2. Введение в нестандартный анализ, которое не является связанным, называется свободным. Формула, не содержащая переменных со свободными вхождениями, называет ся высказыванием. Например, формула (x1 b)¬(x2 c)(x1 x2 ), где b и c некоторые константы, является высказыванием, так как все вхождения переменных являются связанными. Интуитивно, вы сказывание представляет некоторое утверждение, чьё значение не меняется в зависимости от значений входящих в него переменных.

Для формулы языка L пишем = (xi1,..., xik ), когда все переменные, имеющие свободные вхождения в, включены в список xi1,..., xik. В этом случае через (b1,..., bk ) обозначают высказывание, полученное заменой каждого свободного вхождения xi1 на b1, xi2 на b2 и так далее.

Предполагается, что каждый замкнутый терм в L представля ет определённый элемент универсума U и что каждое высказывание в L образует истинное или ложное утверждение об U. Все эти поня тия и представления принимают точный смысл в семантике языка L, описываемой ниже.

Пусть µ замкнутый терм в L. Определим значение |µ| следую щим образом:

(1) |b| = b для всех констант b U, (2) |(µ, )| = (|µ|, ||), (3) |µ()| = |µ|(||).

Используя это определение рекурсивным образом (рекурсия по длине µ), придаём значение |µ| для всех замкнутых термов. При меняя далее индукцию и теорему 4.2.6, заключаем, что |µ| U для каждого замкнутого терма µ.

Далее определим по рекурсии понятие истинности в U выска зывания в языке L, что записывается как U |= и читается истинно в U. Положим:

(1) U |= (µ = ) тогда и только тогда, когда |µ| = ||, (2) U |= (µ ) тогда и только тогда, когда |µ| ||, (3) U |= ¬ тогда и только тогда, когда неверно, что U |=, (4) U |= (&) тогда и только тогда, когда U |= и U |=, (5) U |= (xi µ)(xi ) тогда и только тогда, когда U |= (c) для некоторого c |µ|.

332 Глава 4. Вспомогательный математический аппарат Это определение представляет собой рекурсию по общему числу вхождений символов ¬, &, и в высказывание. Заметим при этом, что при полном отсутствии этих символов, так как мы имели дело с высказываниями, µ и в (1) и (2) должны быть замкнутыми тер мами. Отсюда следует определённость |µ| и ||, что и задаёт базу индукции по числу вхождений указанных логических символов. А дальше рекурсия.

Формулы в L могут использоваться не только для формулировки утверждений об U, но также для определения подмножеств в U.

Пусть A U. Тогда множество A называется определимым, если существует формула = (x) в L такая, что A = {b U | U |= (b)}.

Напомним, что все прочие (привычные) логические операции мо гут быть выражены посредством рассмотренных выше. Действи произвольные формулы в L, xi тельно, пусть, переменная терм в L. Тогда полагаем ( ) для ¬(¬&¬), ( ) иµ для ¬(&¬) и (xi µ) для ¬(xi µ)¬. Тем самым понятие истинности распространяется на все привычные математические вы сказывания.

4.2.2. Три техники Принцип переноса Имеется ровно два универсума, которые будут рассматриваться в дальнейшем и относятся собственно к нестандартному анализу. Это стандартный универсум U и нестандартный универсум U. Далее пишем L = L(U ) язык, используемый для стандартного универсу ма, и L = L( U ) для нестандартного. Если, высказывание в L, то пишем |= вместо U |=. Аналогично, если высказывание в L, то используем |= вместо U |=.

Далее мы пополним область определения введённого ранее отоб ражения (·) множеством всех формул и термов языка L. Именно, пусть терм или формула в L. Определим как терм (или фор мулу) в L, полученную из замещением каждой константы b U в соответствующей константой b U в языке L. Следующий факт является весьма важным и широко используется в нестандартных доказательствах.

4.2. Введение в нестандартный анализ Теорема 4.2.8 (Принцип переноса). Пусть высказывание в L. Тогда |= тогда и только тогда, когда |=.

Принцип переноса образует один из основных инструментов нестан дартного анализа. Математическая теорема, эквивалентная |= при некотором высказывании в L, может быть доказана посредством демонстрации того, что |=.

С целью продемонстрировать продуктивность принципа перено са, рассмотрим последовательность s = {sn | n N} R действи тельных чисел. Тогда выполнено |= (n N)(r R)(sn = r).

По принципу переноса истинно |= (n N)(r R)((s)n = r).

Это означает, что s отображает N в R. В последующем, так как s является стандартным элементом в U, будем естественно писать sn для s (вместо громоздкого (s)n ), даже если n бесконечно. Далее докажем следующий критерий сходимости стандартной последова тельности s.

Теорема 4.2.9. Число r R является пределом s = (sn ) тогда и только тогда, когда sn r для всех n N \ N.

Доказательство. Пусть sn r. Возьмём некоторый 0, R.

Из определения предела для этого существует такой n0 N, что |= (n N)(n n0 |sn r| ).

Применяя принцип переноса, заключаем |= (n N)(n n0 |sn r| ).

Заметьте, что опять мы пишем n0, r, без, поскольку эти числа являются стандартными индивидами в U. Так как n0 конечно, то имеем |sn r| для каждого n N\N. В силу произвольности в выборе заключаем |sn r| 0, т. е. sn r для каждого бесконечного натурального n N\N.

Докажем обратное. Пусть sn r для всех n N\N. Возьмём и зафиксируем произвольный 0, R. Так как sn r для всех бес конечных n, то |sn r| для всех бесконечных n. В частности, если 334 Глава 4. Вспомогательный математический аппарат n0 является некоторым фиксированным бесконечным натуральным, то |sn r| для всех n n0. Следовательно, |= (n0 N)(n N)(n n0 |sn r| ).


По принципу переноса получаем |= (n0 N)(n N)(n n0 |sn r| ), что является стандартным определением того факта, что r является пределом последовательности (sn ).

Используя принцип переноса, также можно легко доказать, что множество всех стандартных чисел N является внешним. Действи тельно, известно, что каждое ограниченное подмножество N име ет максимальный элемент. Тогда из принципа переноса заключа ем, что каждое внутреннее ограниченное подмножество N имеет максимальный элемент. Множество N является подмножеством N и ограничено любым бесконечным натуральным. Легко видеть, что максимальный элемент N, если существует, не является элементом N. Это противоречие показывает, что N является, на самом деле, внешним множеством универсума U.

Полезным следствием принципа переноса является следующая характеризация множества A для определимого множества A U.

Теорема 4.2.10. Пусть A = {b U ||= (b)}, где формула в L, является множеством в U (т. е. A U ). Тогда A = {b U | |= (b)}.

В заключение отметим, что в некотором смысле последняя теоре ма верна не только для элементов из U, но также и определимых подмножеств A U. Если положить A = {b U | |= (b)}, то можно доказать, что множество A не зависит от конкретного вида определяющей его формулы, но только именно от множества A.

Теорема направленности Начнём данный раздел собственно с определения направленного от ношения.

Определение 4.2.3. Бинарное отношение r U называется на правленным относительно U (или просто направленным), если для любого конечного набора a1,..., ak dom(r) существует такой элемент b, что (ai, b) r для всех i = 1,..., n.

4.2. Введение в нестандартный анализ Основным результатом о направленных отношениях является Теорема 4.2.11 (Теорема направленности). Пусть r направ ленное отношение в U. Тогда существует элемент b U такой, что ( a, b) r для всех a dom(r).

По определению направленного отношения для каждого конечно го подмножества A из области определения dom(r) отношения r найдётся такой элемент qA U, что (a, qA ) r для всех a A.

Интуитивно, теорема направленности обеспечивает существование такого (нестандартного) b, который представляет из себя предел точек qA, как только A приближается к dom(r).

С помощью теоремы направленности доказывается важная в при ложениях теорема о продолжении внутренней последовательности чисел.

Теорема 4.2.12. Пусть {sn | n N} внутренняя последо вательность гипердействительных чисел. Пусть |sn | M, где M R, для всех n N. Тогда существует такое N \ N, что |sn | M, для всех n.

Таким образом, неравенство |sn | M продолжается с N на некото рый отрезок в N с бесконечным правым концом. Часто встречается следующее Следствие 4.2.2 (последовательности бесконечно малых).

Пусть {sn | n N} внутренняя последовательность гипердей ствительных чисел и пусть |sn | 0 для всех n N. Тогда для некоторого N \ N выполнено |sn | 0 для всех n.

С целью проиллюстрировать практическую полезность теоремы направленности, мы докажем ниже нестандартную теорему отде лимости, которая утверждает, что любые два выпуклых дизьюнкт ных подмножества некоторого векторного пространства могут быть строго разделены нестандартной гиперплоскостью.

Теорема 4.2.13 (Маракулин, 1988). Пусть X и Y любые два непересекающихся выпуклых подмножества векторного простран ства V. Тогда существует внутренний линейный функционал f : V R такой, что f (x) f (y) x X, y Y.

336 Глава 4. Вспомогательный математический аппарат Доказательство. Рассмотрим множество F всех пар (A, B) та ких, что A конечное подмножество X и B конечное подмноже ство Y. Обозначим сопряжённое пространство линейных (и непре рывных в нужной отделимой линейной топологии) функционалов на V символом V и рассмотрим отношение U на множестве F V, заданное по формуле U = {((A, B), f ) F V | f, coA f, coB }, где coA и coB стандартное обозначение выпуклой оболочки мно жества здесь A и B соответственно. Для каждого (A, B) F мно жества coA и coB являются непустыми выпуклыми компактами (в любой отделимой линейной топологии). Следовательно, в силу (вто рой) теоремы отделимости, найдётся линейный функционал, стро го разделяющий эти множества, т. е. существует такой g V, что ((A, B), g) U. Теперь пусть (A1, B1 ),..., (Ak, Bk ) F. Так как k k ( Ai, Bi ) F, i=1 i= то найдётся g V такой, что k k (( Ai ), ( Bi ), g) U.

i=1 i= Но тогда ((Ai, Bi ), g) U для каждого i = 1,..., k, что совместно с предыдущим и доказывает направленность отношения U. Теперь, применяя теорему направленности, заключаем существование (внут реннего) линейного функционала f (V ) такого, что f (x) f (y) для каждого x X, y Y, что и заканчивает доказательство теоремы.

4.2.3. Сводка некоторых результатов В приложениях нестандартного анализа бывает весьма важно уметь показать, что то или иное множество является внутренним. Следу ющая теорема даёт для этого эффективный критерий, утверждаю щий, что определимые подмножества внутреннего множества явля ются внутренними.

Теорема 4.2.14. Пусть A внутреннее и B U определимое множества. Тогда A B внутреннее множество.

4.2. Введение в нестандартный анализ Гиперконечные множества Предположим, что A U является множеством. Пусть F (A) обозна чает совокупность всех конечных подмножеств A. Говорят, что мно жество B U гиперконечно (гиперфинитно), если B F (A) для некоторого A U. В этом случае, конечно, имеем B A. Следую щая теорема говорит о том, что каждое множество из стандартного универсума U содержится в некотором гиперконечном множестве.

Теорема 4.2.15. Пусть A U и n N \ N любое бесконечное натуральное число. Тогда существует гиперконечное множество D такое, что |D| n и x A x D.

Важно также то, что каждое внутреннее подмножество гиперко нечного множества само является гиперконечным (доказательство несложно).

Гипердействительные числа и стандартные части Из того факта, что R упорядоченное поле, следует (по принципу переноса), что R также является упорядоченным полем относитель но операций +, · и отношения. Говорят, что нестандартное число r R конечное, если |r| n для некоторого n N. Если r R конечное, то существует единственное действительное число, беско нечно близкое к r. Это число называется стандартной частью чис ла r и обозначается как r (иногда st(r) = st r). Верно и обратное если стандартная часть r существует, то r конечно.

Монады и топология Предположим, что (X, T ) топологическое пространство, где T обо значает совокупность всех открытых множеств. Если x X, то мо нада элемента x это множество µ(x) = T.

xT T Пусть (X, d) метрическое пространство. Тогда для x X метриче ская монада x это множество µm (x) = {y X | d(x, y) 0}.

338 Глава 4. Вспомогательный математический аппарат Теорема 4.2.16. Предположим (X, d) метрическое простран ство и x X. Тогда монада x совпадает с метрической монадой x.

Если x, y X и y элемент (метрической) монады x, то пишут x y (читается как y бесконечно близок к x ). Это определе ние согласуется с предыдущим обозначением, введённым для эле ментов R. Обозначение x y используется и для произвольных топологических пространств, но только если x X;

в таком случае x y y µ(x). Пример R показывает, что монады, вооб ще говоря, не являются внутренними множествами. Однако каждая монада содержит в себе некоторое внутреннее множество, подобное открытой окрестности точки. Более точно, истинна следующая Теорема 4.2.17. Для каждого x X существует внутреннее множество D T такое, что D µ(x).

В остатке этого раздела будет представлен список нестандартных эквивалентностей разного рода топологических понятий.

Теорема 4.2.18. Множество A X открыто тогда и только то гда, когда µ(x) A для каждого x A.

Теорема 4.2.19. Множество A X замкнуто тогда и только тогда, когда для каждого x X условие µ(x) A = влечёт x A.

Теорема 4.2.20. Множество K X компактно тогда и только тогда, когда для каждого y K существует такой x K, что y µ(x).

Для топологического пространства X точка y X называется око лостандартной, если y x для некоторого x X;

иначе y называ ется отдалённой точкой.

Теорема 4.2.21. Топологическое пространство X компактно то гда и только тогда, когда каждая точка y X околостандартна.

Теорема 4.2.22. Пусть f отображение из топологического про странства X в топологическое пространство Y и предположим, что x X. Тогда f непрерывно в точке x тогда и только тогда, когда x x = f (x ) f (x).

Последнее условие может быть записано в эквивалентном виде:

f (µ(x)) µ(f (x)).

4.2. Введение в нестандартный анализ Пусть A подмножество топологического пространства X. Мо нада множества A это µ(A) = T.

AT T Если X метрическое пространство, то метрическая монада неко торого внутреннего множества A X определяется как µm (A) = {y X | d(y, A) 0}.

Теорема 4.2.23. Для каждого внутреннего A X имеет место µm (A) = µm (x).

xA Теорема 4.2.24. Предположим, что K компактное подмноже ство метрического пространства X. Тогда µ(K) = µm (K).

Теорема 4.2.25. Пусть X и Y два топологических простран ства. Соответствие : X Y является полунепрерывным сверху в точке x X тогда и только тогда, когда (x ) µ((x)) для каждого x µ(x).

Теорема 4.2.26. Пусть X топологическое и Y метрическое пространства. Соответствие : X Y является полунепрерыв ным снизу в точке x X тогда и только тогда, когда (x) µm ( (x )) для каждого x µ(x).

Литература Abraham P., Robbin J. Transversal mapping and ows. New York:

Benjamin, 1967.

Aliprantis C. D. On the Mas-Colell–Richard equilibrium theorem// Journal of Economic Theory. 1997. Vol. 74 (2). P. 414–424.

Aliprantis C. D., Brown D. J. Equilibria in markets with a Riesz space of commodities// Journal of Mathematical Economics. 1983.

Vol. 11. P. 189–207.

Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Locally solid Riesz spaces. New York;

San Francisco;

London: Academic press, Inc., 1978.

Aliprantis C. D., Brown D. J., Burkinshaw O. Edgeworth equilibria in production economies// Journal of Economic Theory. 1987. Vol. 43.

P. 252–290.

Aliprantis C. D., Brown D. J., Burkinshaw O. Existence and opti mality of competitive equilibria. Berlin;

New York: Springer-Verlag, 1989.

Aliprantis C. D., Border K. C., Burkinshaw O. Economies with many commodities// Journal of Economic Theory. 1997. Vol. 74.

P. 62–105.

Aliprantis C. D., Tourky R., Yannelis N. C. The Riesz–Kantorovich formula and general equilibrium theory// Journal of Mathematical Economics, 2000. Vol. 34. P. 55–76.

Anderson R. M. Non-standard analysis with applications to economics// Handbook of Mathematical Economics, Vol. IV/ W. Hildenbrand, H. Sonnenschein (eds). Amsterdam: North-Holland, 1991. P. 2145–2208.

Литература Araujo A., Monteiro P. K. Equilibrium without uniform conditions// Journal of Economic Theory. 1989. Vol. 48. P. 416–427.

Arrow K. J., Debreu G. Existence of equilibrium for a competitive economy// Econometrica. 1954. Vol. 22. P. 265–290.

Arrow K. J., Hahn F. H. General competitive analysis. San Francisco:

Holden–Day, 1971.

Back K. Structure of consumption sets and existence of equilibria in innite-dimensional spaces// Journal of Mathematical Economics.

1988. Vol. 17. P. 88–99.

Berge C. Espaces topologiques. Fonctions multivoques. Paris: Dunod, 1966.

Bewley T. Existence of equilibria in economies with innitely many commodities// Journal of Economic Theory. 1972. Vol. 4. P. 514–540.

Burke J. On the existence of price equilibria in dynamic economies// Journal of Economic Theory. 1988. Vol. 44. P. 281–300.

Brown D. J., Robinson A. The cores of large standard exchange economies// Journal of Economic Theory. 1974. Vol. 9. P. 245–254.

Brown D. J., Robinson A. Nonstandard exchange economies// Eco nometrica. 1975. Vol. 43. P. 41–55.

Cherif I., Deghdak M., Florenzano M. Existence of equilibria in overlapping generations model. The nontransitive case// Economic Theory. 1994. Vol. 4. P. 217–235.

Danilov V. I., Sotskov A. I. A generalized economic equilibrium// Journal of Mathematical Economics. 1990. Vol. 19. P. 341–356.

Debreu G. Theory of value. New York: John Wiley, 1959.

Debreu G. Economies with a nite set of equilibria// Econometrica.

1970. Vol. 38. P. 387–392.

Deghdak M., Florenzano M. Decentralizing Edgeworth equilibria in economies with many commodities// Economic Theory. 1999. Vol. 14.

P. 297–310.

Dubey P. Nash equilibria of market games: nitness and ineciency// Journal of Economic Theory. 1980. Vol. 22. P. 363–376.

342 Литература Due D., Zame W. R. The consumption based capital asset pricing model// Econometrica. 1989. Vol. 57. P. 1274–1298.

Florenzano M. On the non-emptiness of the core of a coalitional production economy without ordered preferences// Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1989. Vol. 141. P. 484–490.

Florenzano M. Edgeworth equilibria, fuzzy core and equilibria of a production economy without ordered preferences// Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1990. Vol. 153. P. 18–36.

Florenzano M. Walras Lindahl Wicksell: What equilibrium concept for public goods provision? I The convex case// Document de Travail du Centre d’Economie de la Sorbonne 09009, Universite Pantheon-Sorbonne (Paris 1), Centre d’Economie de la Sorbonne, 2009. 22 p. (http://halshs.archives ouvertes.fr/docs/00/36/78/67/PDF/09009.pdf) Florenzano M., Marakulin V. M. Production equilibria in vector lattices// Economic Theory. 2001. Vol. 17(3). P. 577–598.

Florenzano M., Gourdel P., Marakulin V. M. Implementing nan cial equilibrium of incomplete markets: bounded portfolios and the limiting case// Decision Analysis Application (Real Academia de Ciencias, Spain)/ F. Javier Giron (eds). Boston;

Dordrecht;

London:

Kluwer Academic Publishers, 1998. P. 181–191.

Gale D., Mas-Colell A. An equilibrium existence theorem for a ge neral model without ordered preferences// Journal of Mathematical Economics. 1975. Vol. 2. P. 9–15.

Gale D., Mas-Colell A. Correction to an equilibrium existence theo rem for a general model without ordered preferences// Journal of Mathematical Economics. 1979. Vol. 2. P. 297–298.

Geanakoplos J. An introduction to general equilibrium with incom plete assets markets// Journal of Mathematical Economics. 1990.

Vol. 19. P. 1–38.

Geanakoplos J. D., Polemarchakis H. M. Overlapping gene rations// Handbook of Mathematical Economics, Vol. IV/ W. Hildenbrand, H. Sonnenschein (eds). Amsterdam: North-Holland, 1991. P. 1899–1960.

Huang C., Kreps D. Intertemporal preferences with a continuous time dimension// Sloan School Working Paper, 1986.

Литература Jones L. A competitive model of product dierentiation// Economet rica. 1984. Vol. 52. P. 507–530.

De Jonge E., van Rooij A. C. M. Introduction to Riesz spaces.

Amsterdam: Mathematisch centrum, 1977.

Keiding H. Existence of pseudo-equilibria in economies with incomplete markets// was presented as a paper at Econometric Society European Meeting-92, 1992.

Konovalov A. V., Marakulin V. M. Equilibria without the survival assumption// Journal of Mathematical Economics. 2006. Vol. 42.

P. 198–215.

Kreps D. M. Arbitrage and equilibrium in economies with innitely many commodities// Journal of Mathematical Economics, 1981.

Vol. 8. P. 15–35.

Loeb P. A. An introduction to non-standard analysis// Nonstandard analysis for the working mathematician/ P. A. Loeb, M. Wol (eds).

Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2000.

Magill M., Shafer W. Incomplete markets// Handbook of Mathematical Economics, Vol. IV/ W. Hildenbrand, H. Sonnenschein (eds). Amsterdam: North-Holland, 1991. P. 1523–1614.

Makarov V. L. Some results on general assumption about the existence of economic equilibrium// Journal of Mathematical Economics. 1981.

Vol. 8. P. 87–100.

Marakulin V. M. Equilibrium with nonstandard prices in exchange economies// Optimal decision in markets and planned economies/ R. E. Quant, D. Triska, (eds). Westview press, 1990a. P. 268–282.

Marakulin V. M. Equilibrium with nonstandard individual prices in economies with externalities/ Институт математики СО АН СССР, Новосибирск, 1990b. Препринт № 31, 36 с. (in English) Marakulin V. M. About the notion of generalized equilibrium and its existence theorem in incomplete markets/ Институт математики СО АН СССР, Новосибирск, 1992. Препринт № 23, 29 с. (in English) Marakulin V. M. An equilibrium in vector lattices: the nontransitive case and overlapping generations models// Conference Internationale En Economic Mathematique Et Finance Mathematique. Tunis, 21– Juin 1994. 23 p.

344 Литература Marakulin V. M. Production equilibria in vector lattices with unordered preferences: an approach using nite dimensional approximations// Preprint CEPREMAP № 9821, Paris, 1998. 29 p.

Marakulin V. M. Incomplete markets: the concept of generalized equilibrium and its existence theorem// Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales. 1999. Vol. 93 (4). P. 489–498.

Marakulin V. M. Equilibrium in innite dimensional commodity spaces revisited// Economic Theory. 2001. Vol. 18 (3). P. 621–633.

Marakulin V. M. Equilibria with nonstandard prices in vector lattice overlapping generations economies// Journal of Mathematical Ana lysis and Applications. 2003. Vol. 282 (2). P. 648–667.

Mas-Colell A. The price equilibrium existence problem in topological vector lattices// Econometrica. 1986a. Vol. 54. P. 1039–1053.

Mas-Colell A. Valuation equilibrium and Pareto optimum revisited// Contribution to Mathematical Economics/ W. Hildenbrand, A. Mas Colell (eds). New York: North-Holland, 1986b.

Mas-Colell A., Richard S. F. A new approach to the existence of equilibria in vector lattices// Journal of Economic Theory. 1991.

Vol. 53. P. 1–11.

Mas-Colell A., Zame W. Equilibrium theory in innite dimensional spaces// Handbook of Mathematical Economics, Vol. IV/ W. Hildenbrand, H. Sonnenschein (eds). Amsterdam: North-Holland, 1991.

McKenzie L. W. On equilibrium in Graham’s model of world trade and other competitive systems// Econometrica. 1954. Vol. 22 (2).

P. 147–161.

Michael E. Continuous Selections I// Annals of Mathematics. 1956.

Vol. 63 (2). P. 361–382.

Peleg B., Yaari M. E. Markets with countably many commodities// International Economic Review. 1970. Vol. 11. P. 369–377.

Podczeck K. Equilibria in vector lattices without ordered preferences or uniform properness// Journal of Mathematical Economics. 1996.

Vol. 25. P. 465–485.

Radner R. Existence of equilibrium of plan, prices and price expectations// Econometrica. 1972. Vol. 40. P. 289–303.

Литература Radner R. Equilibrium under uncertainty// Handbook of Mathematical Economics, Vol. II/ K. J. Arrow, M. D. Intriligator (eds). Amsterdam: North-Holland, 1982. P. 923–1006.

Richard S. F. Production equilibria in vector lattices// Journal of Mat hematical Economics. 1989. Vol. 18. P. 41–56.

Richard S. F., Srivastava S. Equilibrium in economies with innitely many consumers and innitely many commodities// Journal of Mathematical Economics. 1988. Vol. 17. P. 9–21.

Richard S. F., Zame W. Proper preference and quasiconcave utility functions// Journal of Mathematical Economics. 1986. Vol. 15.

P. 231–248.



Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.