авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

В.С. Щербаков,

М.С. Корытов,

С.В. Котькин

СИСТЕМА АВТОМАТИЗАЦИИ

МОДЕЛИРОВАНИЯ СТРЕЛОВЫХ

ГРУЗОПОДЪЕМНЫХ КРАНОВ

Министерство

образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Сибирская государственная автомобильно-дорожная

академия (СибАДИ)»

В.С. Щербаков, М.С. Корытов, С.В. Котькин

СИСТЕМА АВТОМАТИЗАЦИИ

МОДЕЛИРОВАНИЯ СТРЕЛОВЫХ ГРУЗОПОДЪЕМНЫХ КРАНОВ Монография Омск СибАДИ 2012 УДК 621.87 : 681.5 ББК 38.6-445.22 : 31.965 Щ 60 Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. Д.И. Чернявский (ОмГТУ);

д-р техн. наук, проф. В.А. Мещеряков (ВЗФЭИ) Монография одобрена редакционно-издательским советом СибАДИ.

Щербаков В. С. и др.

Щ 60 Система автоматизации моделирования стреловых грузоподъ емных кранов: монография / В.С. Щербаков, М.С. Корытов, С.В. Котькин. – Омск: СибАДИ, 2012. – 143 с.

ISBN 978–5–93204–637– В монографии произведен анализ тенденций развития стреловых грузо подъемных кранов и их систем автоматического управления;

рассмотрены со временные системы автоматизации моделирования сложных динамических сис тем;

проведен анализ стрелового грузоподъемного крана как сложной динамиче ской системы, состоящей из механической подсистемы, подсистемы гидропри вода и двигателя внутреннего сгорания. Обоснован критерий энергетической эффективности перемещения груза в пространстве конфигураций, который представляет собой затраты топлива, израсходованного двигателем;

предложена методика оптимизации технологических параметров рабочих процессов стрело вых грузоподъемных кранов. Описана система автоматизации моделирования стреловых грузоподъемных кранов.

Монография может быть полезна студентам вузов, аспирантам, инженерам, научным работникам, чья деятельность связана с проектированием и исследова нием стреловых грузоподъемных кранов и их систем управления.

Табл. 9. Ил. 78. Библиогр.: 36 назв.

© ФГБОУ ВПО «СибАДИ», ISBN 978–5–93204–637– ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................................................................................ 1. Анализ состояния вопроса. Цель и задачи исследования.................... 1.1. Анализ тенденций развития стреловых грузоподъемных кранов............................................................................................................ 1.2. Обзор и анализ конструкций стреловых грузоподъемных кранов............................................................................................................ 1.3. Обзор существующих работ и методов моделирования грузоподъемных кранов.............................................................................. 1.4. Анализ современных систем автоматизации моделирования сложных динамических систем.................................................................. 2. Методика исследования динамической системы стрелового грузо подъемного крана............................................................................................... 2.1. Общая методика исследования......

.................................................... 2.2. Анализ стрелового грузоподъемного крана как сложной динамической системы................................................................................ 2.3. Методика теоретических исследований подсистем сложной динамической системы стрелового грузоподъемного крана................... 2.4. Методика экспериментальных исследований.................................. 3. Разработка математической модели сложной динамической систе мы стрелового грузоподъемного крана.......................................................... 3.1. Математическая модель механической подсистемы....................... 3.1.1. Выбор и обоснование расчетной схемы................................. 3.1.2. Уравнения кинематики механической подсистемы............. 3.1.3. Уравнения движения механической подсистемы................. 3.1.4. Имитационная модель механической подсистемы стрелового грузоподъемного крана................................................... 3.2. Математическая модель гидравлической подсистемы.................... 3.2.1. Принципиальная гидравлическая схема................................ 3.2.2. Математическое описание элементов гидропривода........... 3.2.3. Обобщенная имитационная модель гидравлической подсистемы.......................................................................................... 3.3. Математическая модель двигателя внутреннего сгорания с регулятором угловой скорости................................................................ 4. Теоретические исследования рабочего процесса стрелового грузоподъемного крана...................................................................................... 4.1. Анализ рабочего процесса стрелового грузоподъемного крана..... 4.1.1. Обоснование критерия энергетической эффективности перемещения груза в пространстве конфигураций.......................... 4.1.2. План вычислительного эксперимента.................................... 4.1.3. Построение регрессионной модели энергетических затрат. 4.2. Методика оптимизации технологических параметров рабочего процесса стрелового грузоподъемного крана........................................... 4.2.1. Алгоритм решения обратной задачи кинематики стрелового грузоподъемного крана при нулевых углах наклона базового шасси..................................................................................... 4.2.2. Алгоритм определения оптимальных значений управляемых координат стрелового грузоподъемного крана для заданного перемещения груза............................................................ 4.2.3. Алгоритм построения траектории в пространстве управляемых координат...................................................................... 4.2.4. Алгоритм определения оптимального расположения базового шасси для заданного перемещения груза......................... 4.3. Система автоматизации моделирования стреловых грузоподъемных кранов.............................................................................. 4.4. Результаты теоретических исследований по оптимизации технологических параметров рабочего процесса стрелового грузоподъемного крана................................................................................ Аппроксимация зависимостей........................................................... 5. Экспериментальные исследования рабочего процесса стрелового грузоподъемного крана...................................................................................... 5.1. Объект и оборудование экспериментальных исследований........... 5.2. Определение основных технологических параметров рабочего процесса стрелового грузоподъемного крана........................................... 5.3. Подтверждение адекватности математической модели.................. Заключение.......................................................................................................... Библиографический список.............................................................................. ВВЕДЕНИЕ Стреловые грузоподъемные краны (СГК) являются наиболее рас пространенным средством механизации и автоматизации работ во всех отраслях промышленности. От их совершенства во многом зави сит эффективность монтажных и погрузо-разгрузочных работ на про мышленных предприятиях.

В связи с этим остро стоит проблема создания и повышения эф фективности функционирования систем автоматизированного проек тирования (САПР) узлов, агрегатов, устройств управления, металло конструкций и в целом СГК. Высокое качество проектных работ СГК может быть достигнуто только на основе использования современных методов моделирования и инженерного анализа. Вышеизложенным объясняется актуальность темы – создание системы автоматизации моделирования СГК, без которой невозможно решение задач анализа и синтеза проектных решений образцов новой техники.

Монография посвящена разработке и исследованию модели СГК, алгоритмов и методик для анализа и синтеза проектных решений.

Одним из важнейших направлений совершенствования СГК яв ляется повышение их эффективности за счет снижения энергетиче ских затрат. Повышение энергетической эффективности СГК осуще ствляется за счет оптимизации траекторий перемещения грузов, с по мощью систем автоматического управления на базе микропроцессор ной техники.

1. АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ 1.1. Анализ тенденций развития стреловых грузоподъемных кранов Стреловые грузоподъемные краны являются наиболее распро страненным средством механизации и автоматизации работ во многих отраслях промышленности. От их совершенства во многом зависит эффективность монтажных и погрузоразгрузочных работ на промыш ленных предприятиях. В ближайшие годы спрос на СГК только уве личится, что будет связано с огромными темпами строительства и развития промышленности. В России и ближнем зарубежье СГК вы пускаются на следующих предприятиях: ОАО «Автокран»

(г.Иваново);

ГУП РТ «ПО ЕЛАЗ» (г.Елабуга);

ОАО «ГАКЗ» (г.Галич Костромской обл.);

ОАО «Мотовилихинские заводы» (г.Пермь);

ОАО «ГАЗПРОМКРАН» (г.Камышин Волгоградской обл.);

ОАО «Сокол»

(г.Самара);

ОАО «КРАСТ» (г.Ставрополь);

ОАО «Челябинский меха нический завод» (г.Челябинск);

ОАО «Клинцовский автокрановый за вод» (г.Клинцы Брянской обл.);

ЗАО «Машстройиндустрия»;

ОАО «Краян» (г.Одесса);

ОАО «Ухтинский машзавод» (г.Ухта, Республика Коми);

ОАО «Угличмаш» (г.Углич Ярославской обл.);

ОАО «Юр маш» (г.Югра Кемеровской обл.);

АО «Павлодарский машзавод»

(г.Павлодар, Республика Казахстан);

ОАО «Могилевтрансмаш»

(г.Могилев, Республика Беларусь). Большим спросом пользуются кра ны зарубежного производства: KATO WORKS сo., LTD (Япония);

Komatsu Ltd. (Япония);

Liebherr (Германия);

Luna Equipos Industriales S.A. (Испания);

SENNEBOGEN (Германия);

XCMG (Китай);

Zoomlion (Китай).

Мировой объем выпуска СГК и их грузоподъемность непрерывно возрастают. В начале семидесятых годов предельная грузоподьем ность серийно выпускаемых СГК не превышала 100 т. В настоящее время самым мощным СГК с телескопической стрелой является кран Liebherr LTM 11200-9.1, максимальная грузоподъемность которого составляет 1200 т. Конструкции СГК постоянно совершенствуются и развиваются. Непрерывное совершенствование СГК необходимо с целью повышения производительности выполняемых работ, безопас ности и комфортабельности эксплуатации, снижения энергетических затрат.

Автоматизация современного промышленного производства тре бует внедрения систем автоматического управления кранами. Для ав томатизации процесса управления СГК необходимо, прежде всего, автоматизировать отдельные операции, например процессы разгона и торможения механизмов, регулирования скоростей рабочих движе ний, остановки механизмов в заданном месте. Отдельные вопросы ав томатизации управления уже решены. В настоящее время широко ис пользуются командоконтроллеры, обеспечивающие включение и раз гон механизмов в автоматическом режиме, автоматические устройст ва безопасности – ограничители грузоподъемности и крайних поло жений механизмов, грузозахватные устройства. Частичная автомати зация за счет использования командоконтроллеров позволяет осуще ствлять дистанционное управление кранами. Необходимо отметить, что даже такая частичная автоматизация управления краном обеспе чивает увеличение скоростей рабочих движений и за счет этого обес печивается повышение производительности и срока службы, умень шение необходимого числа кранов и численности обслуживающего персонала.

Автоматизация производственного процесса целесообразна в случаях, когда напряженность производственного ритма настолько велика, что человек контролировать его непосредственно не может.

Применение автоматических систем управления СГК позволит пере мещать груз по оптимальной траектории, что обеспечит повышение производительности и энергетической эффективности. Задачи авто матического управления рабочим процессом СГК могут быть решены за счет применения современных методов нечеткого управления, ней ронных сетей, адаптивного управления. Для автоматизации производ ственных процессов с участием СГК необходимо осуществлять выбор оптимальной траектории перемещения груза. Для оптимизации траек тории перемещений грузов могут применяться различные критерии, такие как минимизация перемещений, энергетическая экономичность и другие.

В настоящее время на СГК применяются системы автоматическо го управления, обеспечивающие следующие технологические функ ции: защиту от опрокидывания и перегрузок;

контроль предаварийно го состояния;

контроль производимой работы;

защиту при работе вблизи ЛЭП;

сбор информации. Автоматизация планирования и осу ществления траекторий пока не распространена из-за отсутствия тео ретических разработок. Комплексная реализация названных функций возможна только с применением на СГК бортового вычислительного устройства на базе микропроцессора. Техническая реализация неко торых задач автоматического управления СГК на базе микропроцес сорной техники представлена ограничителями грузоподъемности ОНК-160С, АСУ ОГП-2, АСУ ОГП-31, АС-АОГ-01 (Россия), АЗК-1, АЗК-2 (Украина). Перечисленные приборы безопасности могут одно временно решать задачи ограничения нагрузки, защиты оборудования крана от столкновений с линиями электропередач, сбора информации.

Ограничитель устанавливают в систему управления СГК таким обра зом, что при опасной нагрузке запрещаются недопустимые движения рабочего оборудования и подается тревожная сигнализация.

Можно выделить основные тенденции развития СГК: совершен ствование методов расчета кранов;

повышение грузоподъемности кранов;

создание систем приводов с широким диапазоном регулиро вания рабочих скоростей;

создание СГК на спецшасси повышенной проходимости и маневренности;

внедрение систем автоматического управления, использующих имитационную модель рабочего процесса СГК [3, 7, 22].

Следует отметить, что происходят постоянное усовершенствова ние и модернизация конструкции СГК, их механизмов, а также сис тем управления. Дальнейшее развитие СГК связано с повышением их грузоподъемности, совершенствованием механизмов, систем автома тического управления, повышением производительности и энергети ческой эффективности.

1.2. Обзор и анализ конструкций стреловых грузоподъемных кранов Стреловой грузоподъемный кран представляет собой поворотный кран, у которого стреловое оборудование закреплено на поворотной платформе, размещенной непосредственно на ходовой части, грузоза хватное устройство подвешено к блокам на концевой части стрелы или подвешено к грузовой тележке, перемещающейся вдоль стрелы.

Общий вид СГК с жестким подвесом стрелового оборудования приведен на рис. 1.1. Основными частями СГК являются: базовое шасси 1;

поворотная платформа 2;

телескопическая стрела 3;

кабина машиниста 4 и грузовой полиспаст 5. Базовое шасси СГК оснащено выносными опорами 6. Изменение наклона стрелы 3 осуществляется с помощью гидроцилиндра 7.

СГК подразделяют на несколько групп, самая распространенная из которых группа самоходных кранов. В зависимости от условий эксплуатации они монтируются на различные ходовые устройства [3].

По конструкции ходовой части СГК подразделяются на пневмоколес ные, гусеничные, автомобильные и на специальном шасси. Автомо бильные, пневмоколесные, на специальном шасси и гусеничные кра ны различаются между собой лишь типом движителя, в остальном они имеют общую классификационную характеристику [2, 3, 8, 13].

Важными элементами ра бочих процессов СГК являют ся процессы подъема груза, функционирования двигателя, процессы функционирования привода рабочего оборудова ния и позиционирования гру за. В общем случае процесс перемещения груза СГК со стоит из основных операций:

подъема (опускания) груза;

поворота поворотной плат формы крана;

наклона и вы- Рис. 1.1. Общий вид СГК с жесткой под движения (втягивания) стре- веской и телескопической стелой лы. Рабочие процессы выпол няются следующими испол нительными механизмами: поворота поворотной платформы;

наклона стрелы;

выдвижения стрелы;

подъема груза.

Одной из конструктивных особенностей СГК является то, что они состоят из двух основных частей – неповоротной и поворотной.

Неповоротная часть включает в себя ходовую раму, оборудованную выносными опорами, и ходовое устройство. Эта часть представляет собой основную опору, обеспечивающую устойчивое положение кра на. Поворотная часть включает в себя сварную раму, на которой смонтированы механизмы поворота, наклона стрелы, выдвижения стрелы, лебедки. К поворотной части крепится рабочее оборудование, кабина машиниста с пультом управления. Поворотная рама с помо щью опорно-поворотного устройства соединяется с ходовой рамой.

Такая конструкция соединения поворотной рамы с ходовым устрой ством дает возможность рабочему оборудованию вращаться вокруг вертикальной оси крана в любую сторону и на любой угол.

По конструкции стреловое оборудование подразделяется на два основных типа: стрелы решетчатой конструкции и стрелы телескопи ческой конструкции. Длина стрелы может оставаться постоянной или изменяемой, при использовании специальных выдвижных устройств [3]. По этому признаку стреловое оборудование разделяют на выдвиж ные и невыдвижные устройства. Выдвижные устройства – стрелы, имеющие выдвижные секции для изменения длины. К невыдвижным устройствам относятся решетчатые стрелы, секции которых жестко со единены одна с другой. В зависимости от используемого стрелового оборудования различают два типа подвесок: гибкую и жесткую [13].

Механизм наклона стрелы с гибкой подвеской включает в себя лебедку 1 и стреловой полиспаст, состоящий из неподвижной обоймы 2, установленной на поворотной платформе крана, каната 3 и под вижной обоймы 4, размещенной на головке стрелы (рис. 1.2, а) либо подвешенной на тягах 5 (рис. 1.2, б). В зависимости от направления вращения барабана стрела наклоняется относительно шарнира 6 вниз или вверх.

У кранов с жесткой подвеской (рис. 1.2, в) стреловое оборудова ние удерживается гидравлическим цилиндром 7, с помощью которого изменяется угол наклона стрелы. Стрела и гидравлический цилиндр шарнирно закрепляются на поворотной раме. Шток гидроцилиндра шарниром 9 соединяется с металлоконструкцией стрелы. Жесткая подвеска используется в телескопических стрелах [13].

Рис. 1.2. Схемы подвесок стрелового оборудования: а – гибкая подвеска с подвижной обоймой на головке стрелы;

б – гибкая подвеска с подвижной обоймой, подвешенной на тягах;

в – жесткая подвеска Основными элементами механизма подъема являются: крюк, при крепленный к подвижной крюковой обойме;

грузовой полиспаст;

бара бан;

зубчатая передача, двигатель и тормоз, предназначенный для удер жания поднятого груза. На СГК с гидравлическим приводом в механиз мах подъема используются аксиально-поршневые гидравлические мото ры. Грузовые лебедки могут оборудоваться одним или двумя двигателя ми. Основной двигатель лебедки предназначен для подъема (опускания) грузов наибольшей массы, вспомогательный – для подъема (опускания) грузов наименьшей массы и обеспечения посадочной скорости. Меха низм поворота состоит из редуктора, гидравлического двигателя и тор моза. Тормоз необходим для остановки механизма при выполнении ра бочих операций. При торможении механизмов возникают инерционные нагрузки, которые вызывают колебания механической подсистемы СГК.

Для приведения в движение механизмов и рабочего оборудова ния СГК и управления ими служит комплекс устройств, называемый приводом. Привод состоит из источника энергии, устройств передачи энергии исполнительным механизмам и аппаратуры управления. В СГК применяются следующие виды приводов:

1. Механический привод – привод от двигателя внутреннего сго рания, в котором энергия горения топлива преобразуется в механиче скую энергию вращения коленчатого вала и передается к исполни тельным механизмам с помощью механических передач.

2. Электрический привод – привод, в котором источником меха нической энергии является электродвигатель.

3. Гидравлический привод – привод, в котором энергия потока ра бочей жидкости от гидравлического насоса преобразуется в механиче скую энергию исполнительного звена гидравлическим двигателем.

4. Комбинированный привод – привод с параллельным или по следовательным использованием разнотипных источников энергии.

Привод крановых механизмов в СГК на автомобильном шасси грузоподъемностью до 40 т осуществляется от привода ходового уст ройства, а в СГК с большей грузоподъемностью – от отдельного дви гателя, установленного на поворотной части. Для СГК грузоподъем ностью до 40 т мощность приводного двигателя обуславливается транспортным режимом базовой машины. Мощность, потребляемая крановой установкой, определяется с учетом совмещения рабочих операций. При выполнении погрузочно-разгрузочных и монтажных работ совмещают операции подъема (опускания) груза с поворотом платформы, изменение длины стрелы и угла наклона стрелы.

Современные СГК оснащаются гидроприводом. Принципиальная гидравлическая схема на примере крана КС-45717 приведена на рис.

1.3. В гидравлической схеме большинства СГК содержится тормозной клапан, который предназначен для поддержания стабильной скорости опускания стрелы.

Механизм выносных Механизм Механизм Механизм Механизм выдви опор изменения вылета поворота подъема жения стрелы Рис. 1.3. Принципиальная гидравлическая схема СГК на примере КС- При наличии тормозного клапана в механизме наклона опускание стрелы происходит после подачи в клапан давления управления, при чем полость управления клапана соединена со штоковой полостью гидроцилиндра. Максимальное давление применяемых на СГК акси ально-поршневых гидравлических моторов составляет 25 МПа, номи нальное давление 16 МПа [13].

Таким образом, учитывая вышеприведенное описание конструк ций СГК, можно сделать вывод о том, что при создании системы ав томатизации моделирования необходимо рассмотреть СГК как слож ную динамическую систему, состоящую из подсистем гидропривода, двигателя внутреннего сгорания и механической подсистемы.

1.3. Обзор существующих работ и методов моделирования грузоподъемных кранов Работы по исследованию СГК ведутся в направлениях исследо вания отдельных элементов механической подсистемы, подсистемы гидропривода и двигателя внутреннего сгорания. В настоящее время накопился огромный опыт по изучению динамики механизмов СГК.

Вопросы расчета грузоподъемных кранов и их механизмов рассмотрены в работах М.С. Ко марова [15], А.А. Вайнсона [7, 8] и Д.П. Вол кова. В работах авторов изложена методика определения сил, приведены расчетные схемы механизмов. В работах А.П. Крайнева и Д.П.

Волкова приведен анализ различных типов ме ханических передач, применяемых в грузо подъемных машинах. В работе М.С. Комарова [15] изложена методика исследования динами ки грузоподъемного крана, приведена трехмас- Рис. 1.4. Двухмассовая совая расчетная схема, которая состоит из мас- расчетная схема грузо подъемного механизма сы металлоконструкций крана;

массы меха низма подъема;

массы груза.

Динамическая модель СГК определяется исходя из решаемых за дач. Например, для расчета динамики грузоподъемного оборудования при работе крана с грузами, массой меньше грузоподъемности, можно воспользоваться двухмассовой расчетной схемой (рис. 1.4).

Движение масс описывается дифференциальными уравнениями вида m1 &&1 + b( x1 x2 ) + c( x2 x1 ) = F ;

&& x (1.1) m2 &&2 + b( x2 x1 ) + c( x1 x2 ) = G, && x где m1 и m2 – приведенная масса механизма подъема и масса подни маемого груза, включающая в себя массу грузозахватного приспособ ления;

x1 и x2 – соответственно перемещение механизма подъема и груза;

b и c – коэффициенты вязкости и жесткости подвески груза;

F – приведенная движущая сила;

G – сила тяжести груза.

В работах указанных авторов исследуемые грузоподъемные ма шины представляются в виде многомассовых динамических моделей (расчетных схем), состоящих из сосредоточенных приведенных масс, соединенных между собой упруговязкими связями. Движение этих моделей описывается системами дифференциальных уравнений, на основании решения которых с учетом сделанных допущений форми руются качественные и количественные выводы о динамических на грузках, действующих на элементы грузоподъемной машины.

При исследовании характеристик систем автоматического управ ления, механических и гидравлических систем широко применяются методы машинного анализа. Для представления физически неодно родных систем используются методы многополюсных графов, графов связей [5]. Можно выделить группу методов, основанную на уравне ниях Лагранжа второго рода [26].

Значительный вклад в моделирование динамики механизмов внес Е.Ю. Малиновский [23, 24]. Автором предложен алгоритм автомати зированного формирования системы дифференциальных уравнений для любой схемы механизма. В общем случае задача сводится к ре шению уравнений, которые могут быть записаны в матричной форме && M T X Q x =, T T E (1.2) U где M – квадратная диагональная матрица размерностью 3n 3n ( n – число тел в системе), диагональ матрицы должна быть составлена из последовательных элементов mi и J i ;

T – прямоугольная матрица размерности 3n n ( n – число степеней свободы, ограничиваемых наложенными связями;

T T – транспонированная матрица T размер ности n 3n ;

E0 – нулевая матрица размерности n n ;

Qx – вектор размерности 3n, каждый элемент которого представляет сумму соот ветствующих коэффициентов правой части уравнений;

U – вектор размерности n, состоящий из коэффициентов U i.

Исследованию гидравлических систем посвящены работы Т.М.

Башты, Н.С. Гамынина, В.А. Лещенко и В.Н. Прокофьева в которых рассмотрены вопросы конструирования гидропривода различных ма шин, выбора основных параметров, структурные схемы и методы расчета переходных процессов. Известны работы Т.В. Алексеевой [4], Г.М. Иванова, И.И. Бажина, Е.Ю. Малиновского [24] в области гид ропривода строительных и дорожных машин и выбора его парамет ров.

Анализ общедоступных литературных источников показал суще ствование большого количества работ, посвященных исследованию отдельных элементов подсистем СГК. Недостаточно раскрыты вопро сы автоматизации моделирования рабочих процессов СГК.

1.4. Анализ современных систем автоматизации моделирования сложных динамических систем В настоящее время высокое качество проектных работ СГК мо жет быть достигнуто только на основе использования современных методов моделирования и инженерного анализа. Основными требова ниями к системам автоматизации моделирования сложных динамиче ских систем являются: возможность при необходимости добавлять в модель описание новых технических решений, а также возможность использования алгоритмов оптимизации. Системы автоматизации мо делирования являются одной из составляющих САПР. Моделирова ние на стадии проектирования экономит значительные средства и су щественно снижает сроки разработок.

Существует множество мощных программных математических комплексов для автоматизации инженерных расчетов, анализа и мо делирования физических процессов, проверки и оптимизации техни ческих решений. Среди них можно выделить системы полнофунк ционального инженерного анализа, такие как ANSYS, NX Nastran и MSC.Nastran, обладающие мощными средствами моделирования раз личных физических процессов. В них предусмотрены собственные средства моделирования геометрии тел. Системы инженерного анали за, встроенные в САПР, имеющие значительно менее мощные средст ва анализа: Pro/MECHANICA для Pro/ENGINEER, Unigraphics NX CAE для NX, CATIA CAE для CATIA. К системам инженерного ана лиза среднего уровня относятся такие программные пакеты, как для COSMOS/Works, COSMOS/Motion, COSMOS/FloWorks SolidWorks.

Рис. 1.5. Вид модели стрелового грузоподъемного крана на поворотной опоре в MSC.NASTRAN (пример) Расчетная часть в таких системах чаще всего основана на методе конечных элементов. В качестве примера на рис. 1.5 приведена мо дель СГК на поворотной опоре в MSC.NASTRAN.

Использование этих систем для моделирования рабочих процес сов СГК достаточно трудоемко и нецелесообразно. Построить модель динамической системы СГК в указанных программных комплексах инженеру сложно, так как это требует тщательного изучения средств и инструментов моделирования. Эти задачи требуют разработки соот ветствующих математических моделей и алгоритмов. В связи с этим возникает необходимость в создании специализированной системы для моделирования рабочих процессов СГК.

2. МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ СТРЕЛОВОГО ГРУЗОПОДЪЕМНОГО КРАНА 2.1. Общая методика исследования В монографии в качестве общей методики исследований исполь зовался системный подход. Системный подход является общеприня тым направлением методологии научных исследований.

Системный подход предусматривает комплексный метод прове дения исследований, который содержит теоретические и эксперимен тальные методы исследований. В результате теоретических исследо ваний устанавливаются закономерности функционирования отдель ных подсистем и всей системы в целом. Теоретические исследования проводились методами имитационного и математического моделиро вания. К задачам экспериментальных исследований относятся: под тверждение адекватности математических моделей;

определение чис ленных значений параметров, входящих в математические модели;

подтверждение работоспособности и эффективности предложенных технических решений.

В основе системного подхода лежат следующие основные прин ципы [25]: целостность, иерархичность, структурность, множествен ность, системность. Целостность СГК как системы заключается в том, что его свойства не могут быть поняты и оценены без знания свойств его подсистем. Иерархичность и структурность СГК как системы ха рактеризуются возможностью описания системы через установление ее структуры с помощью сети связей и отношений системы, а также обусловленностью поведения всей системы поведением ее отдельных элементов и свойствами ее структуры. Принцип системности предпо лагает, что СГК рассматривается и оценивается как единое целое.

Свойства системы оцениваются с позиции всей системы, так как ее составные элементы и происходящие в ней процессы взаимосвязаны с учетом внутренних и внешних факторов.

Применение системного подхода совместно с моделированием позволяет в доступной для анализа форме отразить существенные и интересующие свойства системы, а также использовать ПК для ис следования поведения системы в конкретных заданных условиях.

Решение задач работы с применением системного подхода пред ставлено следующими этапами:

1. Постановка задачи – определяются цель и задачи исследова ния, а также критерии для изучения объекта.

2. Анализ решаемой задачи – определяется структура исследуе мой системы;

выделяются отдельные структурные элементы системы и определяются связи между ними. Составляются математические модели элементов и системы.

3. Решение поставленной задачи – исследуются полученные ма тематические модели;

определяются количественные оценки связей между структурными элементами системы.

2.2. Анализ стрелового грузоподъемного крана как сложной динамической системы В монографии СГК рассматривается как сложная динамическая система, которая состоит из конечного множества взаимосвязанных подсистем (подсистемы гидропривода и двигателя внутреннего сго рания, механическая подсистема), что позволяет определить, какие структурные элементы и связи должны входить в состав модели, а также какие параметры и характеристики, свойственные выбранным структурным элементам, необходимо учитывать в модели.

Сложная динамическая система СГК меняет свое поведение во времени под воздействием возмущающих и управляющих воздейст вий. На рис. 2.1 представлена блок-схема сложной динамической сис темы СГК с обозначением элементов и связей, где 1 – перемещение золотников гидравлического распределителя;

2 – управляющее воз действие ДВС;

3 – внешние силы, приложенные к звеньям механиче ской подсистемы (возмущающие воздействия);

4 – перемещения звеньев механической подсистемы (выходные параметры);

5 – угло вая скорость вала ДВС;

6 – момент сопротивления на валу ДВС;

7 и – силы взаимодействия опорных элементов с грунтом;

9 – угловая скорость вала насоса;

10 – момент сопротивления на валу насоса;

11 – подача насоса;

12 – давление насоса;

13 – расход на входе в гидравли ческий мотор механизма поворота;

14 – давление на входе в гидрав лический мотор механизма поворота;

15 – расход на входе в гидроци линдр наклона стрелы;

16 – давление на входе в гидроцилиндр накло на стрелы;

17 – расход на входе в гидроцилиндр механизма выдвиже ния стрелы;

18 – давление на входе в гидроцилиндр механизма вы движения стрелы;

19 – расход на входе в гидравлический мотор меха низма подъема;

20 – давление на входе в гидравлический мотор меха низма подъема;

21 – угловая скорость вала гидравлического мотора механизма поворота;

22 – момент сопротивления на валу гидравличе ского мотора механизма поворота;

23 – перемещение и скорость пе ремещения штока гидроцилиндра наклона стрелы;

24 – сила, прило женная к штоку гидроцилиндра наклона стрелы;

25 – скорость пере мещения штока гидроцилиндра выдвижения стрелы;

26 – сила, при ложенная к штоку гидроцилиндра выдвижения стрелы;

27 – угловая скорость вала гидравлического мотора механизма подъема;

28 – мо мент сопротивления на валу гидравлического мотора механизма подъема;

29 – угловое перемещение и угловая скорость поворотной платформы;

30 – момент сопротивления повороту платформы;

31 – перемещение и скорость перемещения телескопического звена;

32 – сила на входе механической передачи механизма выдвижения;

33 – перемещение и скорость перемещения груза;

34 – сила натяжения ка ната;

35, 36, 37, 38 – взаимодействия между звеньями механической подсистемы.

Рис. 2.1. Блок-схема сложной динамической системы стрелового грузоподъем ного крана На блок-схеме изображены подсистемы двигателя внутреннего сгорания и гидропривода, а также механическая подсистема. Подсис тема гидропривода представлена блоками: насос, гидравлический распределитель, гидроцилиндры, гидромоторы и механические пере дачи. В механическую подсистему СГК входят следующие блоки:

грунт, базовое шасси, поворотная платформа, стрела, телескопическое звено, груз. Блоки соединены между собой связями, отражающими влияние одних элементов блок-схемы на другие. Объемные стрелки обозначают многопараметрические связи.

Основные этапы автоматизированного построения модели слож ной динамической системы СГК:

1. Построение модели механической подсистемы.

2. Построение модели подсистемы гидропривода.

3. Построение модели подсистемы ДВС.

4. Задание управляющих и возмущающих воздействий.

5. Задание параметров моделирования.

6. Задание численных значений параметров и начальных усло вий.

7. Проведение вычислительного эксперимента.

2.3. Методика теоретических исследований подсистем сложной динамической системы стрелового грузоподъемного крана Теоретические исследования основываются на математических моделях, которые с достаточной точностью отражают изучаемые свойства отдельных элементов и всей сложной динамической систе мы [14, 29].

Математическое моделирование позволяет решать задачи проек тирования СГК, исследования динамических процессов. Анализ ди намических процессов в механизмах СГК достаточно сложен, так как механическая подсистема крана состоит из большого числа масс и упругих элементов. Чтобы описать движение такой сложно сочлененной пространственной механической подсистемы как СГК, необходимо ввести понятие обобщенных координат – это независи мые друг от друга переменные, которые полностью определяют по ложение и конфигурацию объекта в пространстве [14, 26, 28].

Математическое описание механической подсистемы СГК осно вывается на допущениях [7, 14, 26, 28]:

1. СГК представляет собой шарнирносочлененный пространст венный многозвенник.

2. Связи, наложенные на динамическую систему СГК, являются голономными и стационарными.

3. Элементы металлоконструкций представляются абсолютно жесткими.

4. Инерционные свойства звеньев характеризуются координата ми центров масс, массами, центробежными моментами инерции, осе выми моментами инерции.

5. Люфты в шарнирах отсутствуют.

6. Внешние силы, действующие на звенья механической подсис темы СГК, являются сосредоточенными.

7. Упруговязкие свойства гидроцилиндров выносных опор, тро совой подвески с крюковой обоймой и грузом представлены телами Фохта.

Поскольку связи между точками звеньев системы голономные, то есть геометрические, число степеней свободы механической подсис темы СГК равно числу обобщенных координат. Положение твердого тела в пространстве может быть задано шестью независимыми коор динатами: три координаты центра масс и три угла поворота вокруг соответствующих осей координат. Задачу определения взаимного по ложения звеньев механической подсистемы СГК удобнее всего ре шать методом однородных координат [7, 14, 26, 28].

Рассматриваемую точку любого звена механической подсистемы можно определить в локальной системе однородных координат дан ного звена вектором положения вида R = [ X iYi Z i ]T, (2.1) где X i, Yi, Z i – координаты точки в локальной декартовой системе координат соответствующего звена.

Достоинством метода однородных координат является возмож ность осуществления преобразования поворота и переноса осей сис тем координат посредством умножения на соответствующую матрицу размером 4 4.

Если точка в системе координат Oi X iYi Z i в однородных коорди натах задана вектором Ri, а в системе координат Oi 1 X i 1Yi 1Z i 1 век тором Ri 1, то уравнение перехода запишется следующим образом:

Ri 1 = Ai Ri, (2.2) где Ai – блочная матрица размером 4 4, li pi Ai =, (2.3) 0 0 где pi – матрица поворота в декартовой системе координат размером 3 3 ;

li – матрица параллельного переноса осей размером 31.

Матрицу Ai можно расписать как произведение матриц Ail и Aip :

Ai = Ail Aip, (2.4) где 1 0 1 0 li pi Ail = ;

Aip =. (2.5) 0 0 0 0 1 0 0 Матрица Ail получается в результате перемножения матриц па раллельного переноса [14, 16]:

Ail = Aix Aiy Aiz, (2.6) где Aix, Aiy Aiz – матрицы параллельного переноса по параметрам xi, yi, zi, 1 0 0 xi 1 0 1 0 0 0 1 0 yi Aix = ;

Aiy = ;

0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 (2.7) 1 0 0 0 1 0 0 xi 0 1 0 0 0 1 0 yi Aiz = ;

Ail =.

0 0 1 zi 0 0 1 zi 0 0 0 1 0 0 0 Матрица поворота Aip получается в результате перемножения матриц поворота осей координат [14, 16]:

Aip = Ai Ai Ai, (2.8) cos i 0 sin i 1 0 0 0 cos 0 0 sin i 1 где Ai = ;

Ai = ;

i 0 sin i 0 sin i cosi cos i 0 1 0 0 0 0 cos i sin i 0 sin 0 cos i Ai = ;

i (2.9) 0 1 0 0 cos i cos i sin i cos i sin i cos sin cos + cos cos cos i sin i sin i + i i i i i + sin i sin i + sin i cos i Aip =. (2.10) sin i sin i cos i + sin i cos i sin i sin i sin i + + cos i sin i + cos i cos i 0 0 Матрица Aip получена с учетом некоммутативности углов Эйлера и соблюдения последовательности поворота на углы i, i, i вокруг соответствующих осей X i, Z i, Yi [14, 16].

Применение однородных координат позволяет составить матрицу однородного преобразования [14, 16]:

cos i cos i sin i cos i sin i xi cos sin cos + cos cos yi cos i sin i sin i + i i i i i + sin i sin i + sin i cos i Ai =. (2.11) sin i sin i cos i + sin i cos i sin i sin i sin i + zi + cos i sin i + cos i cos i 0 0 Любая точка, заданная в локальной системе координат Oi X iYi Z i вектором Ri, представляется в инерционной системе координат O0 X 0Y0 Z 0 вектором R0i = Ti Ri, (2.12) где Ti – матрица перехода из i -й локальной системы координат в инерциальную систему координат, Ti = A1 A2... Ai. (2.13) Матрицы перехода в формулах (2.2)–(2.13) записаны для боль ших значений обобщенных координат, определяющих взаимное по ложение звеньев. Для решения полученных уравнений на ПК необхо димо провести линеаризацию уравнений по методу Тейлора и перей ти к малым значениям обобщенных координат (отклонениям от больших значений):

l f dq j ( j = 1,2,K, l ).

df = (2.14) j =1 q j Если обозначить малые приращения обобщенных координат как q j = dq j, то f l q j ( j = 1,2,K, l ).

df = (2.15) j =1 q j В линеаризованном виде векторы положения и скорости харак терных точек принятой расчетной схемы будут иметь вид l R0i = U ij q j Ri ;

(2.16) j = dR & R0i = 0i. (2.17) dt Следовательно, dq j l & R0i = U ij Ri = Vi Ri ;

(2.18) dt j = dq j l Vi = U ij. (2.19) dt j = Матрицы для определения скоростей:

T U ij = i. (2.20) q j Дифференцирование по формуле (2.20) производится при помо щи следующих дифференцирующих матриц:

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 Ex = ;

E y = ;

E z = ;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 E = ;

E = ;

E =. (2.21) 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Универсальным методом для составления уравнений движения является метод Лагранжа второго рода [14, 16, 26, 28]:

d K K P + + = Q j ( j = 1,2,K, l ), (2.22) dt q j q j q j q j & & где t – время;

q j – обобщенная координата ( j = 1,K, l ) ;

q j – обоб & щенная скорость;

Q j – обобщенная сила, действующая по обобщен ной координате;

K – кинетическая энергия;

P – потенциальная энер гия;

– диссипативная функция.

В векторно-матричной форме система дифференциальных урав нений (2.22) имеет вид [14, 16] Aq q + Bq q + Cq q = Qq, && & (2.23) где Aq, Bq, Cq – матрицы коэффициентов дифференциальных урав нений размером l l ;

Qq – вектор сил размером l 1 ;

q, q, q – векто && & ры размером l 1 соответственно ускорений, скоростей и малых от клонений обобщенных координат.

Таким образом, математическая модель механической подсисте мы СГК представляется системой дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Коэффициенты являются функциями больших значений обобщенных координат, что позволяет перейти от малых перемещений к большим при помощи поэтапного интегриро вания дифференциальных уравнений. Способ поэтапного интегриро вания сводится к пересчету во время переходного процесса коэффи циентов дифференциальных уравнений с учетом больших значений обобщенных координат, скорректированных на текущую величину малых отклонений обобщенных координат. Одновременно с этим ма лые отклонения обобщенных координат обнуляются. Текущие значе ния обобщенных скоростей и обобщенных ускорений при пересчете коэффициентов не изменяются и передаются в качестве начальных условий для решения новой системы дифференциальных уравнений [16]. Блок-схема алгоритма моделирования механической подсистемы СГК приведена на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Блок-схема алгоритма моделирования механической подсистемы стре лового грузоподъемного крана Количество функциональных элементов в гидроприводах СГК невелико. К таким элементам относятся: трубопровод, гидравличе ский мотор, гидравлический насос, местное сопротивление (дрос сель), гидроцилиндр, клапаны (предохранительный, обратный) [4, 24].

Любую сложную по конфигурации подсистему гидропривода рабоче го оборудования СГК можно представить как комбинацию перечис ленных элементов, математическое описание которых известно.

Существует два основных подхода математического описания гидроприводов. При использовании первого подхода гидравлические элементы представляются в виде динамических звеньев из теории ав томатического управления. Точность математического описания при таком способе определяется точностью замеров, проводимых в ходе экспериментальных исследований. При таком подходе неизбежно уп рощение математической модели гидропривода, так как сложно учесть большое количество параметров, влияющих на работу гидро привода [24]. При втором подходе для каждого элемента гидроприво да составляется своя математическая модель в виде дифференциаль ных уравнений. Путем компоновки моделей элементов составляется система дифференциальных уравнений, описывающая подсистему гидропривода [24, 29]. В работе используется второй метод.

При моделировании гидропривода рабочего оборудования СГК были приняты допущения [24, 29]:

1. Инерционные свойства жидкости в элементах гидропривода не учитываются.

2. Плотность, кинематическая вязкость, модуль упругости жид кости и коэффициент расхода элементов гидропривода принимают постоянные значения на протяжении моделирования.

3. Влияние волновых процессов на динамику гидропривода не учитывается.

4. Переход между ламинарным и турбулентным режимами про исходит мгновенно.

5. Силы инерции и трения в элементах конструкции гидравличе ских устройств не учитываются.

Проведение теоретических исследований сложных динамических систем существенно упрощается за счет использования современных средств вычислительной техники. Теоретические исследования про водились в среде Simulink программного комплекса MATLAB 7 с ис пользованием библиотек физического моделирования: SimMechanics, SimHydraulics, Simscape.

Вычислительный эксперимент обладает рядом очевидных пре имуществ перед натурным экспериментом:

1. Низкая стоимость проведения исследований.

2. Возможность вмешательства на любом этапе проведения ис следований.

3. Простота модификации математических моделей для имита ции тех или иных реальных условий.

4. Возможность моделирования таких условий эксперимента, проведение которых в реальных условиях невозможно.

2.4. Методика экспериментальных исследований К основным задачам экспериментальных исследований относят ся: определение численных значений параметров математических мо делей;

проверка адекватности математических моделей;

подтвержде ние эффективности и работоспособности предложенных технических решений. Экспериментальные исследования позволяют подтвердить правомерность теоретических выводов и заключений.

Представленные в работе подсистемы гидропривода, ДВС и ме ханическая подсистема в настоящее время достаточно хорошо изуче ны. Предшествующими исследователями проведено множество экс периментальных исследований, в результате которых накоплено ог ромное количество эмпирических данных, что позволяет принять имеющиеся математические модели. Модель сложной динамической системы СГК, состоящая из совокупности математических моделей подсистем, требует подтверждения адекватности.

В монографии планирование натурного эксперимента на СГК выполнялось для решения следующих задач:

1. Выбор существенных факторов, влияющих на технологиче ские параметры СГК.

2. Определение значений рациональных технологических пара метров.

3. Получение регрессионных зависимостей рациональных тех нологических параметров СГК.

4. Подтверждение адекватности модели сложной динамической системы СГК.

Подтверждение адекватности математических моделей заключа ется в следующей последовательности действий:

1. Получение массива экспериментальных данных в результате проведения натурного эксперимента.

2. Получение массива теоретических данных в результате про ведения машинного эксперимента при необходимых параметрах.

3. Оценка адекватности математических моделей сравнением экспериментальных и теоретических данных.

В теории планирования эксперимента различают два метода про ведения эксперимента: активный и пассивный [29]. Активный экспе римент заключается в исследовании отклика динамической системы на сформированное внешнее воздействие. В отличие от активного ме тода пассивный метод не предполагает вмешательства в рабочий про цесс. Роль исследователя при этом сводится к наблюдению и регист рации исследуемых параметров.

В данной монографии при натурных экспериментальных иссле дованиях на СГК использовался пассивный метод эксперимента. Про ведение активного эксперимента на СГК требует больших материаль ных затрат по сравнению с пассивным экспериментом, обусловлен ных высокой стоимостью самого СГК и его рабочего времени. В ка честве регистратора параметров использовался прибор безопасности и его датчики, стационарно установленные на СГК.

При планировании натурного эксперимента на СГК учитывались следующие существенные факторы: масса груза, длина и угол наклона стрелы. Для указанной совокупности факторов не выполняется требо вание совместимости. Совместимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы и безопасны. Поэтому выполнялось выде ление безопасных подобластей сочетания уровней факторов согласно диаграмме грузоподъемности СГК с помощью прибора безопасности.

При проведении активного вычислительного эксперимента на имитационной модели СГК выделение безопасных подобластей соче тания уровня факторов согласно диаграмме грузоподъемности СГК осуществлялось по специальному алгоритму. Выбор интервалов ва рьирования факторов производился выделением из областей, задан ных конструктивными ограничениями СГК, безопасных подобластей сочетания уровней факторов согласно диаграмме грузоподъемности СГК. Таким образом на имитационной модели СГК проводился пол ный факторный эксперимент типа 2 k на безопасных подобластях со четания уровней факторов с числом интервалов варьирования каждо го значимого фактора 5.


Оценка качества регрессионных зависимостей, полученных в ре зультате экспериментальных исследований, производилась с помо щью следующих показателей [9, 36]: коэффициент детерминации R 2 ;

скорректированный коэффициент детерминации R 2 ;

критерий Фи шера F ;

сумма квадратов остатков RSS ;

стандартная ошибка уравне ния регрессии SEE ;

максимальная относительная погрешность max, %. Проверка статистической значимости коэффициентов регрессион ного уравнения выполнялась по t -критерию Стьюдента.

Сумма квадратов остатков RSS измеряет необъясненную часть вариации зависимой переменной ) RSS = ( yi yi ) 2. (2.24) Стандартная ошибка уравнения регрессии SEE измеряет величи ну квадрата ошибки, приходящейся на одну степень свободы:

RSS SSE =, (2.25) k n где n – число объясняющих переменных в уравнении регрессии.

Стандартная ошибка уравнения регрессии используется в качестве основной величины для измерения качества уравнения регрессии.

Коэффициент детерминации R 2 характеризует, на сколько про центов построенное уравнение регрессии объясняет вариацию значе ний зависимой переменной относительно своего среднего уровня, т. е.

показывает долю общей дисперсии результативной переменной y, объясненной вариацией факторных переменных x1 K xm, включенных в уравнение регрессии. Коэффициент детерминации может быть опреде лен с помощью теоремы о разложении сумм квадратов по формуле ESS RSS = R2 =, (2.26) TSS TSS где ESS – сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией, ) ESS = ( yi y ) 2, (2.27) здесь y – среднее арифметическое наблюдаемых значений зависимой переменной.

TSS – полная сумма квадратов, TSS = ( yi y ) 2. (2.28) Значения R 2 принадлежат интервалу [0;

1]. Чем ближе значение R 2 к 1, тем лучше уравнение регрессии характеризует взаимосвязь между переменными. Низкое значение R 2 не свидетельствует о низ ком качестве модели и может объясняться наличием существенных факторов, не включенных в уравнение.

Наряду с коэффициентом детерминации R 2 необходимо рассчи тывать также и скорректированный коэффициент детерминации R 2, в котором учитывается количество факторных переменных, включен ных в уравнение регрессии [9, 36].

Скорректированный коэффициент детерминации R 2 показывает долю объясненной дисперсии c учетом числа переменных уравнения регрессии:

n R 2 = R2 (1 R 2 ). (2.29) k n Скорректированный коэффициент детерминации не превосходит по величине коэффициент детерминации R 2. При большом объеме выборочной совокупности значения обычного и корректированного коэффициентов детерминации отличаться практически не будут.

Критерий Фишера F представляет собой отношение объяснен ной суммы квадратов ESS в расчете на одну переменную к остаточ ной сумме квадратов RSS в расчете на одну степень свободы. Крите рий Фишера F используется для проверки значимости регрессионной модели [9, 36].

На нелинейные модели регрессии, которые являются внутренне линейными, то есть сводимыми к линейному виду, распространяются все методы проверки гипотез, используемые для классических линей ных моделей регрессии.

Проверка гипотезы о значимости модели множественной регрес сии состоит в проверке гипотезы значимости коэффициента детерми нации R 2. Основная гипотеза состоит в предположении о незначимо сти коэффициента детерминации: H 0 : R 2 = 0. Обратная гипотеза со стоит в предположении о значимости коэффициента детерминации:

H1 : R 2 0. Данные гипотезы проверяются с помощью критерия Фи шера F.

Наблюдаемое значение F -критерия (вычисленное на основе вы борочных данных) сравнивают со значением F -критерия, которое определяется по таблицам распределения Фишера и называется кри тическим. При проверке основной гипотезы наблюдаемое значение F -критерия Фишера рассчитывается по формуле [9, 36] ESS/n ( ESS/TSS )/n F= = = RSS/(k n 1) ( RSS/TSS )/(k n 1) R 2 /n =. (2.30) (1 R 2 )/(k n 1) При проверке значимости коэффициента детерминации критиче ское значение F -критерия определяется как Fкрит (a;

k1 ;

k 2 ), где a – уровень значимости;

k1 = n 1 и k 2 = k n – число степеней свободы.

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуа ции. Если наблюдаемое значение F -критерия больше критического значения F -критерия, то есть F Fкрит, то с вероятностью a основ ная гипотеза H 0 о незначимости коэффициента детерминации отвер гается и он признается значимым. Следовательно, полученная модель регрессии также признается значимой. Если наблюдаемое значение F -критерия меньше критического значения F -критерия, то есть F Fкрит, то основная гипотеза H 0 о незначимости коэффициента де терминации принимается и он признается незначимым. Полученная модель регрессии является незначимой и нуждается в дальнейшей до работке.

При составлении множественной регрессии необходимо выпол нять проверку значимости коэффициентов регрессии bi, i[1;

p ]. Это означает проверку основной гипотезы об их значимом отличии от ну ля.

Основная гипотеза состоит в предположении о незначимости ко эффициентов модели множественной регрессии:

H 0 : b0 = b1 = K = b p = 0. (2.31) Обратная гипотеза состоит в предположении о значимости коэф фициентов модели множественной регрессии:

H 1 :b0 b1 K b p 0. (2.32) Данные гипотезы проверяются с помощью t -критерия Стьюден та, который вычисляется c помощью частного F -критерия Фишера.

При проверке основной гипотезы H 0 о значимости коэффициентов модели множественной регрессии применяется зависимость, которая существует между t -критерием Стьюдента и F -критерием Фишера:

t = F. (2.33) При проверке значимости коэффициентов модели множественной регрессии критическое значение t -критерия определяется как t крит (a;

k l 1), где a – уровень значимости;

l – число оцениваемых по выборке параметров;

(k l 1) – число степеней свободы, которое определяется по таблице распределений t -критерия Стьюдента [9, 36].

При проверке основной гипотезы наблюдаемое значение частно го F -критерия Фишера рассчитывается по формуле R 2 ( y, x1 K xk ) R 2 ( y, x1 K xk 1 ) (k l ).

F ( xk ) = (2.34) 1 R 2 ( y, x1 K xk ) При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуа ции. Если наблюдаемое значение t -критерия больше критического значения t -критерия, определенного по таблице распределения Стьюдента, то есть t t крит, то основная гипотеза H 0 о незначимости коэффициента bk модели множественной регрессии отвергается и он является значимым. Если наблюдаемое значение t -критерия меньше критического значения t -критерия, определенного по таблице рас пределения Стьюдента, т.е. t t крит, то основная гипотеза H 0 о незна чимости коэффициента bk модели множественной регрессии прини мается.

Максимальная относительная погрешность аппроксимации max определяется по формуле ) yi yi max = max100, i [1;

k ], (2.35) yi ) где yi – наблюдаемое значение зависимой переменной;

yi – значение зависимой переменной, найденное по уравнению регрессии;

k – ко личество наблюдений.

3. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СЛОЖНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ СТРЕЛОВОГО ГРУЗОПОДЪЕМНОГО КРАНА СГК представляет собой сложную динамическую систему, на которую действуют управляющие и возмущающие воздействия.

Анализ СГК как сложной динамической системы приведен в разде ле 2.2 монографии. При математическом описании СГК применяет ся системный подход, согласно которому СГК рассматривается как сложная система, которая состоит из отдельных, взаимосвязанных друг с другом, подсистем: механической подсистемы;

подсистемы гидропривода и ДВС. Каждая из выделенных подсистем обладает своими свойствами и законами функционирования, которые описы ваются математическими моделями. Совокупность математических моделей подсистем образует сложную математическую модель.

3.1. Математическая модель механической подсистемы Механическая подсистема СГК состоит из поворотной и непово ротной частей, которые связаны друг с другом опорно-поворотным устройством, передающим нагрузки от поворотной части на непово ротную, а также обеспечивает возможность вращения поворотной ча сти относительно неповоротной. Неповоротную часть СГК образуют базовое шасси и ходовая рама со смонтированными выносными опо рами. Ходовая рама передает нагрузки от поворотной части на вы носные опоры. В состав поворотной части крана входят поворотная платформа и стреловое оборудование. У СГК с жестким подвесом стреловое оборудование удерживается гидравлическим цилиндром, с помощью которого изменяется угол наклона стрелы. Подъем и опус кание груза производятся грузовой лебедкой, а вращение поворотной части – механизмом поворота. Движение лебедке и механизму пово рота передается от гидравлических моторов. Телескопирование стре лы осуществляется за счет гидроцилиндра.

3.1.1. Выбор и обоснование расчетной схемы Механическая подсистема СГК представлена в виде системы ки нематически связанных тел, звеньями которой являются базовое шас си, поворотная платформа, стрела, телескопическое звено, крюковая обойма с грузом. В работе [14] предлагается пространственная рас четная схема, не позволяющая учитывать малые перемещения СГК в опорной плоскости.

На рис. 3.1 изображена обобщенная расчетная схема механиче ской подсистемы СГК, представляющая собой систему с пятью мас сами, звеньями которой являются: базовое шасси массой m1, вклю чающей в себя массу ходовой рамы;

поворотная платформа массой m2, включающей в себя массу противовеса;


стрела массой m3 ;

теле скопическое звено массой m4 ;

груз массой m5, включающей в себя массу грузозахватного устройства.

Расчетная схема СГК рассматривается в инерциальной системе координат O0 X 0Y0 Z 0, начало которой в равновесном состоянии сов падает с началом локальной системы координат базового шасси O1 X 1Y1Z1. Начало системы координат O1 X 1Y1Z1, связанной с базовым шасси, находится на оси поворота поворотной платформы. Ось X совпадает с продольной осью базовой машины, ось Y1 направлена вертикально вверх. Начало системы координат O2 X 2Y2 Z 2, связанной с поворотной платформой, находится на оси поворота звена. Ось X лежит в направлении стрелового оборудования, ось Y2 направлена вертикально вверх. Положение третьего и четвертого звеньев в инер циальной системе координат O0 X 0Y0 Z 0 определяется положениями соответствующих правых локальных систем координат, которые свя заны соответственно: O3 X 3Y3 Z 3 – со стрелой;

O4 X 4Y4 Z 4 – с телеско пическим звеном. Оси X 3 и X 4 направлены вдоль стрелы. Начало си стемы координат O5 X 5Y5 Z 5, связанной с крюковой обоймой и грузом, находится на оголовке стрелы. Ось Y5 направлена вдоль троса. Пово роты системы координат O5 X 5Y5 Z 5 вокруг собственных осей обеспе чивают качание груза.

Согласно принятым допущениям (раздел 2.3) звенья представляют ся абсолютно жесткими и характеризуются массами mi ;

координатами центров масс, заданных векторами Rim в локальных системах координат соответствующих звеньев;

осевыми моментами инерции J ix, J iy, J iz ;

центробежными моментами инерции J ixy, J ixz, J iyz. Массы звеньев в по ле тяготения формируют силы веса, изображенные на обобщенной рас четной схеме векторами Fmi (где i =1,2,K,5 – номер звена).

Y c13,b13 c14,b X X m4 O c19,b19 c15,b Fm4 Z Y X m O c16,b Z Y3 Fm Y1, Y2 Z3 O c18,b c10,b10 m O2 X2 c11,b m F c7,b7 FR c6,b6 R6 Z Fm c3,b c2,b2 Fm2 2 O X FR10 m1 c17,b17 FR11 FR FR2 Y Z c9,b9 c12,b Fm c8,b8FR c5,b5 FR c1,b1 c4,b4 O0 X FR FR Z FR1 FR Рис. 3.1. Обобщенная расчетная схема стрелового грузоподъемного крана Со стороны грунта на опорные элементы действуют силы реак ции, представленные на обобщенной расчетной схеме векторами FR1KFR12. Упруговязкие свойства связей, наложенных на звенья сис темы, представлены на расчетной схеме упруговязкими телами Фох та, характеризуемыми коэффициентами жесткости c1Kc19 и коэффи циентами вязкости b1Kb19.

Для обобщенной расчетной схемы СГК приняты 13 обобщенных координат q1Kq13 (табл. 3.1), которые определяют координаты любой расчетной точки механической подсистемы в инерциальной системе координат O0 X 0Y0 Z 0.

Т а б л и ц а 3.1. Обобщенные координаты q1 K q № Характеристика в локальной системе координат Обозначение п/п Перемещение центра масс базового шасси вдоль оси X 0 q Перемещение центра масс базового шасси вдоль оси Y0 q Перемещение центра масс базового шасси вдоль оси Z 0 q Поворот базового шасси вокруг оси X 1 q Поворот базового шасси вокруг оси Y1 q Поворот базового шасси вокруг оси Z1 q Поворот платформы вокруг оси Y2 q Поворот стрелы вокруг оси Z 3 q Выдвижение телескопической секции стрелы вдоль оси X 4 q Перемещение центра масс груза вдоль оси Y5 q Поворот системы координат O5 X 5Y5 Z 5 вокруг оси X 5 q Поворот системы координат O5 X 5Y5 Z 5 вокруг оси Y5 q Поворот системы координат O5 X 5Y5 Z 5 вокруг оси Z 5 q 3.1.2. Уравнения кинематики механической подсистемы Используя методику, описанную в разделе 2.3 монографии, сформированы матрицы перехода от локальной системы координат одного звена к локальной системе координат другого звена.

Матрицы переноса и поворота для перехода из системы коорди нат базового шасси O1 X 1Y1Z1 в инерциальную систему координат O0 X 0Y0 Z 0 для обобщенной расчетной схемы записываются следую щим образом:

1 0 0 q1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 q 0 1 0 A1x = ;

A1 y = ;

A1z = ;

0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 q 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 cos q5 0 sin q 1 0 0 0 cos q4 sin q4 0 0 1 A1 = ;

A1 = ;

0 sin q4 cos q4 0 sin q5 0 cos q5 0 1 0 0 0 0 cos q6 sin q6 0 sin q cos q 0 A1 =.

6 (3.1) 0 1 0 0 Матрица перехода из системы координат O1 X 1Y1Z1 в инерциаль ную систему координат O0 X 0Y0 Z 0 имеет вид cos q6 cos q5 cos q6 sin q q sin q cos q sin q cos q + cos q cos q cos q sin q sin q + q 4 6 5 4 6 4 6 + sin q 4 sin q5 + sin q 4 cos q A1 =. (3.2) sin q 4 sin q6 cos q5 + sin q 4 cos q6 sin q 4 sin q6 sin q5 + q + cos q 4 sin q5 + cos q 4 cos q 0 0 Матрицы переноса и поворота для перехода из системы коорди нат поворотной платформы O2 X 2Y2 Z 2 в систему координат базового шасси O1 X 1Y1Z1 записываются следующим образом:

cos q7 0 sin q7 0 1 A2 = ;

sin q7 0 cos q7 0 (3.3) 0 0 A2 x = A2 y = A2 z = A2 = A1 = E, где E – единичная матрица размером 4 4.

Матрица перехода из координатной системы поворотной плат формы O2 X 2Y2 Z 2 в систему координат базового шасси O1 X 1Y1Z1 име ет вид 0 sin q cos q7 0 1 A2 =. (3.4) sin q7 0 cos q 0 0 Матрицы переноса и поворота для перехода из системы коорди нат стрелы O3 X 3Y3 Z 3 в систему координат поворотной платформы O2 X 2Y2 Z 2 записываются следующим образом:

1 0 0 x3 1 0 0 0 cos q8 sin q8 0 0 1 0 0 0 1 0 y sin q cos q 0 A3 x = ;

A3 y = ;

A3 = ;

8 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 A3 z = A3 = A3 = E. (3.5) Матрица перехода из системы координат стрелы O3 X 3Y3 Z 3 в сис тему координат поворотной платформы O2 X 2Y2 Z 2 имеет вид cos q8 x sin q8 sin q y cos q8 A3 =.

(3.6) 0 0 0 0 Матрицы переноса и поворота для перехода из системы коорди нат телескопического звена O4 X 4Y4 Z 4 в систему координат стрелы O4 X 3Y3 Z 3 записываются следующим образом:

1 0 0 q 0 1 0 A4 x = ;

(3.7) 0 0 1 0 0 0 A4 y = A4 z = A4 = A4 = A4 = E.

Матрица перехода из координатной системы телескопического звена O4 X 4Y4 Z 4 в систему координат стрелы O3 X 3Y3 Z 3 имеет вид 1 0 0 q 0 1 0 A4 =. (3.8) 0 0 1 0 0 0 Матрицы переноса и поворота для перехода из системы коорди нат груза O5 X 5Y5 Z 5 в систему координат телескопического звена O4 X 4Y4 Z 4 записываются следующим образом:

1 0 1 00 0 0 1 0 q10 0 cos q sin q A5 y = ;

A5 = ;

0 0 1 0 0 sin q11 cos q11 0 0 0 1 0 0 0 sin q cos q12 0 cos q13 0 sin q 0 0 sin q 0 1 0 cos q A5 = ;

A5 = ;

(3.9) sin q12 0 0 1 0 cos q12 0 1 0 0 0 0 A5 x = A5 z = E.

Матрица перехода из системы координат O5 X 5Y5 Z 5 в систему ко ординат O4 X 4Y4 Z 4 имеет вид cosq13 cosq12 cosq13 sinq sinq cosq11 sinq13 cosq12 + cosq11 cosq13 cosq11 sinq13 sinq12 + q + sinq11 sinq12 + sinq11 cosq A5 =.(3.10) sinq11 sinq13 cosq12 + sinq11 cosq13 sinq11 sinq13 sinq12 + + cosq11 sinq12 + cosq11 cosq 0 0 Переход из координатных систем подвижных концов в коорди натные системы неподвижных концов упруговязких элементов осу ществляется с помощью матриц перехода Gu, u =1,2,K,19.

Для выносных опор, каждая из которых представлена тремя те лами Фохта, расположенными строго вдоль координатных осей инер циальной системы координат, матрицы Gu записываются следующим образом:

G1 = G2 = G3 = G4 = D y A1;

G5 = G6 = G7 = G7 = Dx A1 ;

(3.11) G9 = G10 = G11 = G12 = Dz A1, где Dx, D y и Dz – матрицы, ограничивающие смещение упруго вязких элементов выносных опор ( u =1,2,K,12 ) координатными осями X, Y и Z соответственно:

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Dx = ;

D y = ;

D z =. (3.12) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Для тел Фохта, характеризующих груз на тросе, матрицы Gu оп ределяются следующим образом:

G13 = D A5 ;

G14 = D A5 ;

G15 = D A5, (3.13) где D, D и D – матрицы, ограничивающие повороты упруго вязких элементов ( u =13,14,15 ) вокруг координатных осей X, Y и Z соответственно:

0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 D = ;

D = ;

D =. (3.14) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Матрица G16 для тела Фохта, характеризующего трос, имеет вид G16 = D y A5. (3.15) Для тела Фохта, характеризующего поворот поворотной плат формы, G17 = A2. (3.16) Из обобщенной расчетной схемы (рис. 3.1) видно, что матрицы G18, G19 для тел Фохта, характеризующих гидроцилиндры наклона стрелы и выдвижения телескопического звена, имеют вид G18 = A3 ;

G19 = A4. (3.17) При дифференцировании матриц перехода Ti по уравнению (2.13) при помощи дифференцирующих матриц (2.21) согласно мето дике, изложенной в разделе 2.3, получены матрицы определения ско ростей характерных точек звеньев, имеющие следующий вид:

U11 = E x A1x A1 y A1z A1 A1 A1 ;

U12 = A1x E y A1 y A1z A1 A1 A1 ;

U13 = A1x A1 y E z A1z A1 A1 A1 ;

U14 = A1x A1 y A1z E A1 A1 A1 ;

U15 = A1x A1 y A1z A1 A1 E A1 ;

U16 = A1x A1 y A1z A1 E A1 A1 ;

U17 =U18 =U19 =U110 =U111 =U112 =U113 = E0 ;

U 21 =U11 A2 ;

U 2 2 =U12 A2 ;

U 2 3 =U13 A2 ;

U 2 4 =U14 A2 ;

U 2 5 =U15 A2 ;

U 2 6 =U16 A2 ;

U 2 7 = A1 A2 x A2 y A2 z A2 A2 E A2 ;

U 28 =U 2 9 =U 210 =U 211 =U 212 =U 213 = E0 ;

U 31 =U 21 A3 ;

U 3 2 =U 2 2 A3 ;

U 33 =U 2 3 A3 ;

U 3 4 =U 2 4 A3 ;

U 35 =U 2 5 A3 ;

U 36 =U 2 6 A3 ;

U 37 =U 2 7 A3 ;

U 38 = A1 A2 A3 x A3 y A3 z A3 E A3 A3 ;

U 39 =U 310 =U 311 =U 312 =U 313 = E0 ;

U 41 =U 31 A4 ;

U 4 2 =U 3 2 A4 ;

U 4 3 =U 33 A4 ;

U 4 4 =U 3 4 A4 ;

U 4 5 =U 35 A4 ;

U 4 6 =U 36 A4 ;

U 4 7 =U 37 A4 ;

U 48 =U 38 A4 ;

U 4 9 = A1 A2 A3 E x A4 x A4 y A4 z A4 A4 A4 ;

U 410 =U 411 =U 412 =U 413 = E0 ;

U 51 =U 41 A5 ;

U 5 2 =U 4 2 A5 ;

U 53 =U 4 3 A5 ;

U 5 4 =U 4 4 A5 ;

U 55 =U 4 5 A5 ;

U 5 6 =U 4 6 A5 ;

U 5 7 =U 4 7 A5 ;

U 58 =U 48 A5 ;

U 59 =U 4 9 A5 ;

U 510 = A1 A2 A3 A4 A5 x E y A5 y A5 z A5 A5 A5 ;

U 511 = A1 A2 A3 A4 A5 x A5 y A5 z E A5 A5 A5 ;

(3.18) U 512 = A1 A2 A3 A4 A5 x A5 y A5 z A5 A5 E A5 ;

U 513 = A1 A2 A3 A4 A5 x A5 y A5 z A5 E A5 A5, где E0 – нулевая матрица размером 4 4.

Полученные уравнения кинематики в однородных координатах позволяют определить положение, скорость и ускорение характерных точек звеньев расчетной схемы механической подсистемы СГК в про извольный момент времени в локальной и инерциальной системах ко ординат.

В линеаризованном виде значения векторов и скоростей подвиж ных концов упруговязких элементов имеют вид l Ru = M uj q j Rur, (3.19) j = где Rur – вектор подвижного конца упруговязкого элемента в локаль ной системе координат подвижного конца.

Gu (3.20) M uj = ;

q j dq j & dR l Ru = u = M uj Rur =Wu Rur ;

(3.21) dt j =1 dt отсюда скорости равны dq j l Wu= M uj. (3.22) dt j= Для принятой расчетной схемы матрицы M uj имеют вид M 11 = M 21 = M 31 = M 41 = D y U11 ;

M 12 = M 2 2 = M 3 2 = M 4 2 = D y U12 ;

M 13 = M 2 3 = M 33 = M 4 3 = D y U13 ;

M 14 = M 2 4 = M 3 4 = M 4 4 = D y U14 ;

M 15 = M 2 5 = M 35 = M 4 5 = D y U15 ;

M 16 = M 2 6 = M 36 = M 4 6 = D y U16 ;

M 17 =K= M 113 = E0 ;

M 2 7 =K= M 213 = E0 ;

M 37 =K= M 313 = E0 ;

M 4 7 =K= M 413 = E0 ;

M 51 = M 61 = M 71 = M 81 = Dx U11;

M 5 2 = M 6 2 = M 7 2 = M 8 2 = Dx U12 ;

M 53 = M 6 3 = M 7 3 = M 83 = Dx U13 ;

M 5 4 = M 6 4 = M 7 4 = M 8 4 = Dx U14 ;

M 55 = M 6 5 = M 7 5 = M 85 = Dx U15 ;

M 5 6 = M 6 6 = M 7 6 = M 8 6 = Dx U16 ;

M 5 7 =K= M 513 = E0 ;

M 6 7 =K = M 613 = E0 ;

M 7 7 =K= M 713 = E0 ;

M 8 7 =K= M 813 = E0 ;

M 91 = M 101 = M 111 = M 121 = Dz U11 ;

M 9 2 = M 10 2 = M 112 = M 12 2 = Dz U12 ;

M 9 3 = M 10 3 = M 113 = M 12 3 = Dz U13 ;

M 9 4 = M 10 4 = M 114 = M 12 4 = Dz U14 ;

M 9 5 = M 10 5 = M 115 = M 12 5 = Dz U15 ;

M 9 6 = M 10 6 = M 116 = M 12 6 = Dz U16 ;

M 9 7 =K= M 913 = E0 ;

M 10 7 =K= M 1013 = E0 ;

M 117 =K= M 1113 = E0 ;

M 12 7 =K= M 1213 = E0 ;

M 131 =K = M 139 = E0 ;

M 1310 = D A5 x E y A5 y A5 z A5 A5 A5 ;

M 1311 = D A5 x A5 y A5 z E A5 A5 A5 ;

M 1312 = D A5 x A5 y A5 z A5 A5 E A5 ;

M 1313 = D A5 x A5 y A5 z A5 E A5 A5 ;

M 141 =K= M 14 9 = E0 ;

M 1410 = D A5 x E y A5 y A5 z A5 A5 A5 ;

M 1411 = D A5 x A5 y A5 z E A5 A5 A5 ;

M 1412 = D A5 x A5 y A5 z A5 A5 E A5 ;

M 1413 = D A5 x A5 y A5 z A5 E A5 A5 ;

M 151 =K= M 159 = E0 ;

M 1510 = D A5 x E y A5 y A5 z A5 A5 A5 ;

M 1511 = D A5 x A5 y A5 z E A5 A5 A5 ;

M 1512 = D A5 x A5 y A5 z A5 A5 E A5 ;

M 1513 = D A5 x A5 y A5 z A5 E A5 A5 ;

M 161 =K= M 16 9 = E0 ;

M 1610 = D y A5 x E y A5 y A5 z A5 A5 A5 ;

M 1611 = D y A5 x A5 y A5 z E A5 A5 A5 ;

M 1612 = D y A5 x A5 y A5 z A5 A5 E A5 ;

M 1613 = D y A5 x A5 y A5 z A5 E A5 A5 ;

M 171 =K = M 17 6 = E0 ;

M 17 7 = A2 x A2 y A2 z A2 A2 E A2 ;

M 17 8 =K= M 1713 = E0 ;

M 181 =K= M 18 7 = E0 ;

M 188 = A3 x A3 y A3 z A3 E A3 A3 ;

(3.23) M 189 =K= M 1813 = E0 ;

M 191 =K= M 198 = E0 ;

M 19 9 = E x A4 x A4 y A4 z A4 A4 A4 ;

M 1910 =K= M 1913 = E0.

Полученные уравнения кинематики упруговязких элементов в однородных координатах позволяют определить скорость и положе ние подвижных концов упруговязких элементов.

3.1.3. Уравнения движения механической подсистемы Уравнения движения механической подсистемы СГК составлены с помощью метода Лагранжа второго рода [14, 16, 26, 28] d K K P + + = Q j ( j = 1,2, K, l ), (3.24) q q q q dt & j &j j j где K – кинетическая энергия;

P – потенциальная энергия;

– дис сипативная функция;

q j – обобщенная координата ( j =1,K,l ) ;

Q j – обобщенная сила, действующая по обобщенной координате.

Кинетическая энергия механической подсистемы СГК определя ется как сумма кинетических энергий всех звеньев, обладающих инерционными свойствами [14, 16, 26, 28]:

k K = Ki. (3.25) i = Каждое звено рассматривается как совокупность множества то чек с бесконечно малыми массами dm, координатами Ri, заданными в локальной системе координат звена и соответствующими кинетиче скими энергиями dK i [14, 16, 28]:

1& dK i = | R0i |2 dm. (3.26) Квадрат модуля вектора положения i -й точки определяется как след матрицы (сумма диагональных элементов) [14, 16, 28]:

( ) | R0i |2 = tr R0i R0i.

T (3.27) Уравнение (3.26) с учетом принятых обозначений и в соответст вии с правилами перемножения сцепленных матриц имеет вид ( ) 1 l (U ij q j )Ri RiT U ijT q j dm.

l dK i = tr & & (3.28) 2 j =1 j = Кинетическая энергия i -го звена получается путем интегрирова нием энергий бесконечно малых точек [14, 16, 28]:

( ) = 1 l K i = tr (U ij q j ) Ri RiT dm U ij q j l T & & 2 j =1 m j = ( ) 1 l = tr (U ij q j )I i U ij q j, l T & & (3.29) 2 j =1 j = где I i – матрица инерции i -го звена, xi2 dm xi dm xi yi dm xi zi dm m m m m xi yi dm yi dm yi zi dm yi dm I i = m = m m m x z dm yi zi dm zi dm zi dm m i i m m m x dm mi yi dm zi dm mi m m ( J ix + J iy + J iz ) 1 J ixy J ixz xi mi (J ix J iy + J iz ) = yi mi J ixy J iyz, (3.30) (J ix + J iy J iz ) zi mi J ixz J iyz mi xi mi yi mi zi mi где J ix, J iy, J iz и J ixy, J ixz, J iyz – осевые и центробежные моменты инерции i -го звена;

xi, yi, zi – координаты центра масс i -го звена в локальной системе координат этого звена.

Кинетическая энергия механической подсистемы СГК равна 1k l K = tr U ij I iU ij q 2.

T &j (3.31) 2 i =1 j =1 Для подстановки в уравнение Лагранжа второго рода (3.24) вы ражение (3.31) необходимо продифференцировать:

d K k l ( ) = tr U ij I iU ij q 2.

T && j (3.32) dt q j i =1 j = & Потенциальная энергия находится как сумма потенциальных энергий звеньев механической подсистемы СГК в поле тяготения Pg и потенциальной энергии упруговязких элементов Py:

P = Pg + Py. (3.33) Потенциальная энергия звеньев механической подсистемы СГК в поле тяготения Pg находится следующим образом:

k Pg = mi gG T Ti Rim, (3.34) i = где mi – масса звена;

g – ускорение свободного падения;

G – вектор направления сил тяжести в инерциальной системе координат [ ] G T = x g y g z g 1. Для СГК, стоящего на горизонтальной опорной по верхности, G T = [0 1 0 1].

Потенциальная энергия упруговязких элементов определяется уравнением Клайперона 1n Py = cu u, (3.35) 2 u = где cu – коэффициент упругости u -го упруговязкого элемента;

u – полная деформация u -го упруговязкого элемента.

С учетом принятых обозначений выражение (3.35) будет выгля деть следующим образом:

1n Py = cu | Ru |2. (3.36) 2 u = С учетом выражения (3.27) и формулы (3.19) для определения векторов перемещения характерных точек подвижных концов упруго вязких элементов выражение (3.36) примет вид ( ), 1n Py = tr Qu N u Qu T (3.37) 2 u = где l Qu= M uj q j ;

(3.38) j= ( ) T N u = cu Rur Rur. (3.39) Уравнение потенциальной энергии механической подсистемы СГК имеет вид:

( ) 1n k P = mi gG T Ti Ri + tr Qu N u Qu.

T (3.40) 2 u = i = Для подстановки в уравнение Лагранжа второго рода (3.24) вы ражение (3.40) необходимо продифференцировать:

( ) P k ln = mi gG T U ij Ri + tr M uj N u M uj q j.

T (3.41) qi i =1 j =1u = Диссипативная функция упруговязких элементов определяет ся по формуле Релея 1 n & = bu u, (3.42) 2 u = где bu – коэффициент вязкого трения u -го упруговязкого элемента;

& u – скорость деформации u -го упруговязкого элемента.

По аналогии с выражением (3.37), полученным при определении потенциальной энергии, выражение (3.42) примет вид 1n & = bu | Ru |2. (3.43) 2 u = Продифференцировав выражение (3.43) с учетом формул (3.27) и (3.19), получим ( ) n l = tr M uj Bu M uj q j, T & (3.44) q j u =1 j = & где ( ) T Bu = bu Rur Rur. (3.45) Составляющая обобщенных внешних сил, стоящая в правой час ти уравнения Лагранжа, определяется по формуле R0 r m Q j = Fr (3.46), q j r = где Fr – сила;

R0 r – вектор положения точки, заданный в инерциаль ной системе координат, к которой прикладывается сила. Вектор Fr [ ] имеет вид Frx Fry Frz 1.

С учетом формулы (3.12) получим m Q j = FrU ij Rir, (3.47) r = где Rir – вектор положения точки, заданной в локальной системе ко ординат i, к которой прикладывается сила.

Система из l уравнений (l – число обобщенных координат) по лучается путем подстановки всех слагаемых в уравнение Лагранжа.

Каждое уравнение имеет вид ( ) ( ) k l n l tr U ij I iU ip q j + tr M uj Bu M up q j + T T && & i=1 j=1 u=1 j= ( ) nl k m + tr M uj N u M up q j + mi gG T U ip Ri= FrU ip Rir.

T (3.48) u=1 j=1 i=1 r= Полученная система уравнений представляется в векторно матричном виде Aq q + Bq q + Cq q = Qq, && & (3.49) где Aq, Bq, Cq – матрицы коэффициентов дифференциальных урав нений размером l l ;

q, q, q – векторы размером l 1, представляю && & щие ускорения, скорости и малые отклонения обобщенных коорди нат;

Qq – вектор сил размером l 1. Для принятой обобщенной рас четной схемы механической подсистемы СГК l =13.

Элементы матриц Aq, Bq, Cq определяются по формулам:

( ) k a jp = tr U ij I iU ip ;

T i = ( ) n b jp = tr M uj Bu M up ;

T (3.50) u = = tr (M ).

n T c jp uj N u M up u = Уравнения статики СГК могут быть получены из уравнений (3.49), если приравнять нулю первые и вторые производные обоб щенных координат:

Cq q = Qq. (3.51) Таким образом, уравнение движения механической подсистемы СГК, записанное в векторно-матричной форме, представляет собой систему тринадцати дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, являющимися функциями конструктивных пара метров СГК и больших значений обобщенных координат.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.