авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |
-- [ Страница 1 ] --

Astronomy described simple rules and simple effects,

while history described complicated rules and complicated

effects. Fractal geometry has revealed simple rules and

complicated

effects.

Benoit Mandelbrot

Астрономия описывала простые правила и их простые

эффекты, в то время как история описывала сложные

правила и их сложные эффекты. Фрактальная геометрия

обнаруживает простые правила и их сложные эффекты.

Бенуа Мандельброт 1 Живые модели ушедшего мира: фрактальная геометрия истории.

D.S. Zhukov, S.K. Lyamin Live Models of the Dead World:

the Fractal Geometry of History Monograph Tambov 2007 2 Д.С. Жуков, С.К. Лямин Живые модели ушедшего мира:

фрактальная геометрия истории Монография Тамбов Живые модели ушедшего мира: фрактальная геометрия истории.

УДК 930.1/. ББК Ж Рецензенты:

академик РАЕН, доктор исторических наук, профессор Л.И. Бородкин;

доктор исторических наук, профессор Н.В. Дронова;

доктор исторических наук, профессор В.В. Канищев.

Жуков Д.С., Лямин С.К. Живые модели ушедшего мира: фрактальная Ж геометрия истории: Монография / Д.С. Жуков, С.К. Лямин;

Федеральное агентство по образованию, Тамб. гос. ун-т им. Г. Р. Державина. Тамбов: Изд-во ТГУ им. Г. Р. Державина, 2007. 176 с.

ISBN 978-5-89016-305- Монография посвящена изучению историко-методологических проблем.

Авторы предпринимают попытку адаптировать достижения фрактальной геометрии к историческим исследованиям;

фрактальные построения применяются для анализа конкретно-исторических вопросов: динамика властных структур Британской империи и трансформация менталитета жителей российской провинции в период модернизации второй половины XIX века. В монографии представлены математические модели исторических процессов, а также результаты компьютерного моделирования.

Книга предназначена специалистам по математическому моделированию, по истории Британской империи и пореформенной России, а также всем интересующимся историко-методологическими проблемами.

УДК 930.1/. ББК ISBN 978-5-89016-305- © Д.С.Жуков, С.К. Лямин, © Тамбовский государственный университет им. Г. Р. Державина Reviewers:

Member of e Russian Academy of Natural Sciences, Doctor of Historical Sciences, Professor L.I. Borodkin;

Doctor of Historical Sciences, Professor N.V. Dronova;

Doctor of Historical Sciences, Professor V.V. Kanishchev.

Zhukov, D.S. & Lyamin, S.K. Live Models of the Dead World: the Fractal Geometry of History: Monograph / D.S. Zhukov, S.K. Lyamin;

Federal Educational Agency, TSU named aer G. R. Derzhavin. Tambov: e Publishing House of TSU named aer G. R. Derzhavin, 2007. 176 pp.

ISBN 978-5-89016-305- e monograph is devoted to the research of historical and methodological problems. e authors make an attempt to adapt the achievements of fractal geometry to historical researches;

fractal sets are applied for the analysis of the special historical problems: dynamics of government system of the British Empire and transformation of Russian province people’s mentality during the modernization period of the second half of the XIX century. e monograph presents mathematical models of historical processes, and the results of computer modeling.

e book is aimed for the specialists in mathematical modeling in history, in the British Empire history and post-reform Russia, and for all interested in historical and methodological problems.

ISBN 978-5-89016-305- © Zhukov D.S., Lyamin S.K., © Tambov State University named aer G. R. Derzhavin, Живые модели ушедшего мира: фрактальная геометрия истории.

С од е р ж а н и е Предисловие......................................................... РАЗДЕЛ I.

Фрактальная парадигма научного знания.............................. Глава первая.

История, теория и методология фрактальной геометрии........ Глава вторая.

Фрактальные факты и фрактальные интерпретации историче ской реальности................................................. РАЗДЕЛ II.

«Вязкие пальцы» империи.............................................. Глава первая.

Обречённая империя: эволюция системы управления пере селенческими колониями Британской империи в XIX – начале XX века.......................................................... Глава вторая.

Империофрактал: Британская империя – фрактальный орга низм............................................................. РАЗДЕЛ III.

«Русалочий зов» русской общины...................................... Глава первая.

Инертная модернизация: модификация сознания и среды в пре диндустриальном городе пореформенной России............... Глава вторая.

Менталофрактал: моделирование динамики средовых и мен тальных характеристик городского социума средствами фрак тальной геометрии.............................................. Послесловие........................................................... Contents Foreword............................................................. SECTION I.

Fractal Paradigm of Scientific Knowledge................................. First Chapter.

History, eory and Methodology of Fractal Geometry............. Second Chapter.

Fractal Facts and Fractal Interpretations of Historical Reality........ РSECTION II.

«Viscous Fingers» of the Empire......................................... First Chapter.

e Doomed Empire: Evolution of Government Systems of “White” Colonies of the British Empire in the XIX – Early ХХ Century....... Second Chapter.

Imperial Fractal: the British Empire – Fractal Organism............. SECTION III.

«Mermaid’s Call» of Russian Community................................. First Chapter.

Inert Modernization: Modification of Consciousness and Environment in Pre-Industrial City of Post-Reform Russia....................... Second Chapter.

Mental Fractal: Dynamics Modeling of Environment and Mental Characteristics City Society by Means of Fractal Geometry.......... Epilogue …............................................................. Живые модели ушедшего мира: фрактальная геометрия истории.

П р ед и с л о в и е На первый взгляд, эта книга покажется в чём-то странной и у читателя возникнет логичный вопрос: что может объединять в одном труде эволюцию Британской империи и менталитет жите лей российского провинциального города во второй половине XIX века? Наш ответ: фрактальная геометрия. Эта книга – по сути своей методологическая – продиктована стремлением авторов легализо вать методологию фрактальной геометрии в исторических иссле дованиях. Мы попытались продемонстрировать универсальность избранного подхода, эффективность его применения в разных об ластях исторического знания. Решению этой задачи способствовало то, что один из авторов англовед, а другой – руссист.

Исследование замышлялось как полноценный междисципли нарный диалог, результатом которого должно было стать глубокое взаимопроникновение дискурсов истории и математики. Мы стре мились к тому, чтобы книга была понятна и математикам, и истори кам. Поэтому неизбежной особенностью нашей работы стала зна чительная детализация математических и исторических понятий.

Такая детализация может показаться специалистам тривиальной и излишней, если, конечно же, не учитывать, что книга предназначена не только для математиков и не только для историков.

Книга не была бы написана без помощи математика и програм миста Юлии Игоревны Мовчко, которой авторы бесконечно при знательны за её труд и терпеливое отношение к гуманитариям.

Раздел I. Фрактальная парадигма научного знания.

Ра зд е л п е р в ы й Ф р а кт а л ь н а я п арадигма научного знания Гл а ва п е р ва я История, т е о р и я и м е тод ол о г и я фракт а л ь н о й ге ом е т р и и Что общего между цветной капустой и простых материальных систем... Они имеют ме сто в... хаотических средах. Они имеют место в поведением биржи экономике – в поведении цен и биржи... Они име ют место в физиологии – в росте клеток млеко Рождение фрактальной геометрии состоялось питающих. И наконец, хотите верьте хотите нет, в 1977 году после выхода в свет книги Бенуа Ман фракталы произрастают в садах. Присмотритесь, дельброта «Fractals: Form, Chance and Dimension», подойдя поближе, и вы увидите различие между которая предшествовала основному труду Ман- соцветиями брокколи и цветной капусты – раз дельброта «e Fractal Geometry of Nature». Через личие, которое может быть точно охарактеризо 22 года, 23 июня 1999 г. на церемонии присвоения вано лишь во фрактальной теории»1.

Бенуа Мандельброту почётной степени доктора наук Университета св. Эндрюса в Шотландии Бенуа Мандельброт стал создателем новой гео глава Школы философских и антропологических метрии. Он открыл дотоле неизвестный мир – по исследований Университета Питер Кларк сказал: этому ему потребовалось понятие, объединяющее «Я не хочу, чтобы... создалось впечатление, что новый класс явлений. «Однажды зимним днём мы чествуем сегодня всего лишь математика. По- 1975 года Мандельброт работал над своей первой звольте мне объяснить, почему. Первым из его монографией... Он понял, что должен найти некий великих озарений было открытие того факта, что термин, который стал бы стержнем новой геоме необычные, почти патологические, структуры, трии. Одолжив у сына латинский словарь, он стал которые долго игнорировались учёными мужа- перелистывать его и наткнулся на слово fractus, ми, являются универсальными... Фракталы, кото- образованное от глагола fragere – “разбивать”. Сло рые он таким образом открыл и снабдил общей во было созвучно английским fracture (разрыв) и теорией, представлены почти повсеместно в при- fraction (дробь). Так Мандельброт придумал тер роде... Фракталы... однажды были замечены по- мин fractal, который вошёл как существительное и прилагательное в современные английский и всюду... Они имеют место в физике – в описании французский языки»2.

необычного комплексного поведения некоторых Цит. по: O’Connor, J.J. & Robertson, E.F. Benoit Mandelbrot // http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk (сайт Школы математики и статистики Университета св. Эндрюса, Шотландия).

Глейк Дж. Хаос: создание новой науки. СПб., 2001. С. 129.

Живые модели ушедшего мира: фрактальная геометрия истории.

Что же такое фрактал? Исследователи до сих отличает фракталы от объектов классической пор не могут прийти к единому определению геометрии»4.

этого феномена. Но человек, один раз увидевший Простым примером фрактала может служить фрактал, узнает его в любых формах, какие бы он гипотетическое дерево. От его ствола отходит не принимал. Можно сказать, что в самом поня некоторое количество ветвей. В свою очередь, от тии фрактала большая роль отведена интуитив каждой из этих ветвей отходит определённое ко ному пониманию.

личество других, более мелких, ветвей и т.д. Мы можем проделывать эту процедуру бесконечно и получим древовидный фрактал с бесконечным Рисунок 1. Масштабная инвариантность фрактала.

количеством ветвей. При этом, каждую отдельную ветвь можно рассматривать как отдельное дерево.

И, тем не менее, дефиниции существуют. В Но о древовидных фракталах – чуть ниже.

самом простом случае фрактал – это особый тип геометрической фигуры, а «фрактальный» - это Таким образом, для фрактала, как правило, характеристика структуры, явления или процес характерна так называемая масштабная инвари са, обладающих свойствами фрактала. Опреде антность. В каком бы масштабе мы не рассматри ление фрактала, данное самим Мандельбротом, вали фрактал, мы всегда видим одно и то же или, звучит так: «Фракталом называется структура, во всяком случае, нечто подобное. Фрактал – это состоящая из частей, которые в каком-то смысле геометрическая фигура, в которой один и тот же подобны целому».

фрагмент повторяется при каждом уменьшении масштаба. В своей фундаментальной работе Фрактал под микроскопом: самоподобие «Фрактальная геометрия природы» Мандельброт и масштабная инвариантность указывает: «Если каждая из частей некоторой формы геометрически подобна целому, то и Иначе говоря, одним из атрибутов фракталов форма, и порождающий ее каскад называются является самоподобие. Это означает, что неболь шая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале3.

«Дело в том, что часто (хотя и не всегда. – Авт.) фрактал можно разбить на сколь угодно малые части так, что каждая часть окажется просто уменьшенной копией целого. Иначе говоря, если мы будем смотреть на фрактал в микроскоп, то с удивлением увидим ту же самую картину, что и без микроскопа. Это свойство самоподобия резко Рисунок 2. Немасштабируемая фигура.

См.: Шабаршин А.А. Введение во фракталы // http://www.getinfo.ru (сайт «GetInfo.Ru Компьютерная библиотека»).

Жирков В.В. Фракталы // Соросовский образовательный журнал. Математика. 1996. No 12. С. 109.

Раздел I. Фрактальная парадигма научного знания.

самоподобными... Наиболее полную противопо ложность самоподобным формам представляют собой кривые, которые имеют либо только один масштаб (например, окружность), либо два четко разделенных масштаба (например, окружность, украшенная “гребнем” из множества меньших полуокружностей). Такие формы мы можем оха рактеризовать как немасштабируемые»5.

Дж. Глейк следующим образом иллюстриру ет масштабную инвариантность: «Характерная Рисунок 3. Ребёнок рисует дерево.

для них (облаков. – Авт.) беспорядочность – ее не является точной копией дерева, но мы, тем не вполне можно описать в терминах фрактального менее, легко обнаружим сходство между веткой и измерения – совсем не меняется при изменении всем деревом. Достаточно вспомнить, как дерево масштаба. Вот почему, путешествуя по воздуху, рисует ребёнок – он воспроизводит одну и ту же совсем не ощущаешь, насколько далеко от тебя картинку, начиная от ствола и заканчивая самой находится то или иное облако. Даже в ясную по маленькой веточкой.

году облако, проплывающее в двадцати футах от наблюдателя, может быть неотличимо от того, Между площадью и объёмом: дробная что находится на расстоянии, в сотню раз боль размерность шем... Довольно сложно отделаться от привычки рассматривать явления, прежде всего, с точки Ещё одним атрибутом фрактала следует считать зрения их размера и продолжительности. Однако дробную размерность. Сразу обратим внимание фрактальная геометрия утверждает, что при ис – речь идёт о математической конструкции, а не следовании некоторых фрагментов окружающего о физической реальности. «Мы хорошо представ мира поиски присущего лишь им масштаба толь ляем себе, – поясняет В.В. Жирков, – что точка ко отвлекают от сути»6.

имеет размерность 0, отрезок... – размерность 1, круг... – размерность 2. С одномерными объектами В этом смысле, если мы утверждаем, что гран мы связываем понятие длины, с двумерными диозный смерч и ветерок, который закручивает – площади... (с трёхмерными – объема. – Авт.).

мусор на тротуаре, - разные явления, то это зна Но как можно представить себе множество с раз чит, что мы не увидели их общей сущности. В то мерностью 3/2? По-видимому, для этого требуется же время, если мы осознаём эту общую сущность, нечто промежуточное между длиной и площадью, масштаб двух этих явлений теряет значение.

и если длину условно назвать 1-мерой, а площадь Однако необходимо оговориться, что не- – 2-мерой, то требуется (3/2)-мера. В 1919 году Ф.

которые фракталы могут обладать масштабной Хаусдорф действительно определил такую меру и...

инвариантностью лишь приближенно7. Иначе каждому множеству в евклидовом пространстве со говоря, в каждом отдельном фрагменте такого поставил число, названное им метрической размер фрактала вся фигура повторяется лишь в общих ностью. Он же привел первые примеры множеств чертах – с некоторыми искажениями, которые с дробной размерностью»8.

могут задаваться в соответствии с определён ными правилами или возникать хаотично. Ветка Мандельброт Б. Фрактальная геометрия Природы. М., 2002. С. 59.

Глейк Дж. Хаос: создание новой науки. СПб., 2001. С. 141 – 142.

См.: Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Нижний Новгород. 1999, C. 7 – 8.

Жирков В.В. Фракталы // Соросовский образовательный журнал. Математика. 1996. No 12. С. 109.

Живые модели ушедшего мира: фрактальная геометрия истории.

Иначе говоря, посредством ряда математиче- геометрические фигуры. Так, прямая линия имеет ских процедур множество, которое «порождает» размерность 1, а значительно более извилистая фрактальные фигуры, сопоставляется с опреде- линия морского берега от 1,15 до 1,25… Вместе с лённым числом. Это число может указывать на не- тем накопились и вопросы. Выяснилось, напри которые физические свойства фракталов. Конечно мер, что существуют фракталы, фрактальная раз же, их топологическая, привычная для восприя- мерность которых определяется целым числом.

тия, размерность останется прежней – целочис- Фрактальная размерность непрерывно меняется ленной. Но фрактальная (дробная) размерность и, в принципе, может быть любой, однако пока не может указывать на степень изломанности фигу- удалось сделать эту характеристику уникальной и ры, её изогнутости в другом измерении. Обычно использовать её для идентификации фракталов.

фрактальная размерность фигуры больше, чем её Очень многие, совершенно разные фракталы име топологическая размерность9. ют одинаковую размерность»11.

Дж. Глейк в своей знаменитой книге «Хаос: ста Слишком простые деревья: геометриче новление новой науки» пытается пояснить подня тие дробной размерности на примере наблюдений ские фракталы геофизика Кристофера Шольца – одного из пер вых последователей Мандельброта: «Шольц раз- Для того, чтобы представить всё многообра мышлял о классической геологической формации зие фракталов, воспользуемся их общепринятой – об осыпи на склоне горы. С большого расстоя- классификацией. Обычно – по методу построе ния она кажется одной из двухмерных евклидовых ния – фракталы подразделяются на геометриче форм, тем не менее, геолог, приближаясь, обнару- ские и алгебраические.

живает, что двигается не столько по поверхности Геометрические фракталы такой формы, сколько внутри самые наглядные. Их получают неё. Осыпь распадается на с помощью некоторой ломаной валуны размером с легковую линии или поверхности, назы машину. Её действительная ваемой генератором. Генератор размерность составляет уже повторяется при каждом умень около 2,7, поскольку камени шении масштаба.

стые поверхности, загибаясь и сворачиваясь, занимают почти Например, мы можем взять трёхмерное пространство, по- в качестве генератора фрактала добно поверхности губки»10. графический образ заглавной Рисунок 4. Н-фрактал.

печатной буквы «Н». Построение Впрочем, и фрактальная фрактала осуществляется пошагово. На каждом размерность играет роль атрибута фрактала не шаге к «концам» буквы «Н» присоединяются дру безупречно: «В принципе фрактальная размер гие соответственно уменьшенные буквы «Н». Чем ность показывает степень грубости фрактала в больше шагов мы проделаем, тем меньше стано сравнении с чистой, понятной топологической вится размер присоединяемой буквы. Эту проце размерностью, которой обладают традиционные Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Нижний Новгород. 1999 C. 10.

Глейк Дж. Хаос: создание новой науки. СПб., 2001. С. 139.

Леонов А.М. Фракталы, природа сложных систем и хаос // http://lpur.tsu.ru/Public/a0101/ (Фракталы и циклы раз вития систем. Материалы пятого Всероссийского постоянно действующего научного семинара «Самоорганизация устойчивых целостностей в природе и обществе»).

Раздел I. Фрактальная парадигма научного знания.

дуру построения фрактала можно объяснить иначе: на первом шаге два более коротких отрезка присоединяются перпендику лярно к концам первоначального отрезка и т.д. Фигура, которая появляется - это геометрический фрактал, в котором каждая часть представляет собой подобие исходного фрактала12. (См.

рис. 4.) Н-фрактал относится к так называемым дендритам (от греческого «dendron» - дерево). «Это название очень подходящее, потому что структура такого фрактала аналогична структу ре дерева: ствол разделяется на две отдельные ветви, каждая из которых является стволом для следующих, более мелких, Рисунок 5. Двоичное дерево.

ветвей и т.д. Если этот процесс продолжить до бесконечности, будем иметь бесконечное число уровней»13. Примеров ден дритов можно привести множество (см. рис. 5 и 6.).

Водоразделы и цветомузыка: алгебраические фракталы Алгебраические фракталы возникают вследствие опреде лённых математических операций. Представьте, что некие численные результаты этих операций рассматриваются как координаты точек, которые наносятся на координатную плоскость. Из этих точек складывается фигура – фрактал.

Неожиданностью для исследователей стала возможность по- Рисунок 6. Дерево Пифагора.

средством простых алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры14. Так, например, хорошо знакомая всем «цветомузыка» – сложные визуальные эффекты из по пулярных компьютерных плееров – создаётся именно по по добным рецептам.

Но алгебраические фракталы используются не только для развлечений – помимо прочего, они применяются в иссле дованиях динамических систем. Нелинейные динамические системы могут обладать несколькими устойчивыми состояни ями. То состояние, в котором оказалась динамическая система спустя некоторое время, зависит от ее начального состояния.

Поэтому каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, стартуя из кото рых система обязательно попадёт в рассматриваемое конечное состояние (в этот аттрактор)15. Рисунок 7. «Цветомузыка».

См.: Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Нижний Новгород, 1999. C. 11 – 12.

Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Нижний Новгород, 1999. C. 13.

Шабаршин А.А. Введение во фракталы (http://www.getinfo.ru «GetInfo.Ru - Компьютерная библиотека») Шабаршин А.А. Введение во фракталы (http://www.getinfo.ru «GetInfo.Ru - Компьютерная библиотека») Живые модели ушедшего мира: фрактальная геометрия истории.

В качестве метафоры подобного рода явлений добно реке, имеет свой “бассейн”, свою “площадь исследователи приводят бассейн реки. Аттрактор водосбора”, и каждый такой “бассейн” заключен системы здесь – устье. Начальные состояния - в определенные границы... [Некоторые] системы родники. В каком бы месте бассейна не находились способны в конечном устойчивом состоянии родники, вода из них непременно окажется в ус- демонстрировать нехаотическое поведение, но тье. Между бассейнами разных рек существует во- могут испытывать более одного стабильного дораздел. В устье какой реки попадёт вода того или состояния. Исследование границ фрактальных иного родника? – это зависит от его положения бассейнов было исследованием систем, которые относительно водораздела. Характеристики на- способны достигнуть одного из нескольких неха чальных состояний и аттракторов системы можно отических конечных состояний. Оно приводило выразить численно;

эти числа можно принять за к вопросу о том, как предсказать каждое из этих координаты точек, составляющих на координат- состояний…»16.

ной плоскости некую фигуру. Оказалось, что и На рис. 8 в качестве представителя алгебраи изображения аттракторов, и изображение сово ческих фракталов изображён самый известный из купности начальных состояний этих аттракторов них – так называемое построение Мандельброта, («водосборных» бассейнов) во многих случаях которое детальнее мы рассмотрим чуть ниже.

имеют вид фракталов.

Между лапласовским детерминизмом и первородным хаосом: детерминирован ные и стохастические фракталы Фракталы можно классифицировать и по другому основанию – по наличию элементов случайности в процедуре построения. В со ответствии с этим критерием все фракталы допустимо разделять на стохастические (не детерминированные) и детерминированные.

Причём, детерминированными (равно как и стохастическими) могут являться и алгебра ические, и геометрические фракталы.

Стохастические фракталы, в отличие от детерминированных, содержат в себе элемент случайности. Иначе говоря, в про Рисунок 8. Построение Мандельброта.

цедуру их построения вносится некоторое воз Дж. Глейк пишет по этому поводу: «Происхо- мущение. Каждый элемент детерминированного дящее на рубеже между двумя аттракторами в фрактала выстраивается в соответствии с одним динамической системе служит своего рода от- чётко определённым и точно воспроизводящимся правной точкой, определяющей ход множества на каждом шаге (в каждом масштабе) правилом. В широко известных процессов, начиная от раз- стохастическом фрактале закономерность постро рушения материалов и заканчивая принятием ения не является абсолютной, ибо она сочетается решений. Каждый аттрактор в такой системе, по- с определёнными отклонениями. Но всё же зако Глейк Дж. Хаос: создание новой науки. СПб., 2001. С. 296 – 297.

Раздел I. Фрактальная парадигма научного знания.

номерность существует. Стохастический фрактал Сравним один из наиболее известных фракта лов – кривую Коха (см. рис. 10), – с береговой линией, возникает на границе абсолютной закономерности которая создана природой «совершенно случайно».

в духе лапласовского детерминизма и первородного Незначительное возмущение, внесённое в кривую хаоса. По большому счёту, эта граница – есть не что Коха, может сделать её очень похожей на береговую иное как весь окружающий нас мир. Именно поэто линию.

му стохастические фракталы наиболее приближены к объектам реального мира. «Кривая Коха, – пишет Мандельброт, – похожа на настоящие береговые линии, однако она имеет кое-какие существенные недо статки… Ее части идентичны одна другой… Таким образом, кривую Коха можно считать лишь очень предварительной моделью береговой линии. Я разработал несколько спосо бов избавления от этих недо статков, однако ни один из них не обходится без известных вероятностных усложнений… Многочисленные узоры, Рисунок 9. Дерево Пифагора и Обдуваемое ветром дерево Пифагора.

создаваемые Природой, рас Сверхсложность детерминированного фрак- сматриваются на фоне упорядоченных фракталов, тала можно до конца разъяснить, обнаружив не- которые могут служить, пусть и очень приблизи кий довольно простой принцип его построения. тельными, но все же моделями рассматриваемых феноменов...»18.

Сверхсложность стохастического фрактала разъ яснятся в том случае, если мы опреде лим и закономерность его построения и меру случайных отклонений.

Вводя некоторые возмущения при построении фракталов, мы фактически переделываем детерминированный фрактал в стохастический, добиваясь максимального сходства последнего с природными объектами. Так на рис. обыкновенный детерминированный дендрит (Дерево Пифагора) сопостав ляется со стохастическим дендритом, в котором используется точно такой же принцип построения (Обдуваемое ве тром дерево Пифагора)17. Рисунок 10. Кривая Коха и береговая линия.

См.: Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Нижний Новгород, 1999, C. 71 - 72.

Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М., 2002. С. 67 - 68.

Живые модели ушедшего мира: фрактальная геометрия истории.

Итак, стохастический фрактал является более Можно привести другой пример из того же ряда.

точной моделью реальных вещей, нежели класси- Сравните фотографию дерева и ещё один стохасти ческие геометрические фигуры, именуемые Ман- ческий фрактал – искусственно сгенерированный дельбротом евклидовыми. фрактальный кластер.

Пафос фрактальной геометрии и заключается На первый взгляд различия не существенны, не в том, что её построения могут служить более правда ли? А вот ещё одно изображение. Если Вы ду точными моделями реальности, чем простые маете, что это фотография настоящего листа, то Вы треугольники, квадраты и т.п. именно потому, ошибаетесь – это искусственный фрактал.

что во фрактальных моделях для того, чтобы обнаружить присущую природе закономерность приходится абстрагироваться от меньшего числа индивидуальных характеристик предмета. Так, фрактал-дендрит более точно воспроизводит де рево, чем треугольник, поставленный на вершину другого треугольника.

Рисунок 12. Листовидный фрактал.

Итак, если нам удаётся доказать, что тот или иной природный феномен является стохастическим фракталом или подобен ему, это означает, что мы можем смело утверждать наличие единообразной закономерности построения этого феномена, опре деляющей всю его структуру, какой бы сложной она ни была, с поправкой на некий уровень случайности.

Таким образом, фрактальное мышление позволяет обнаружить закономерность в хаосе. Эта методоло гия примиряет идеальные абстрактные схемы и ир регулярность живой природы, которые гармонично Рисунок 11. Дерево и фрактальный кластер. сочетаются в стохастическом фрактале.

Раздел I. Фрактальная парадигма научного знания.

волнистая поверхность “встроена” в другую.

Фракталы, таким образом, могут быть как Легкие также являют пример того, как боль «идеальными», так и статистическими, просчиты шая площадь “втиснута” в довольно маленькое ваемыми на основании статистических законов, пространство… Фрактальный подход,… пред которые допускают индивидуальность и неповто полагает рассмотрение структуры как цело римость каждого элемента системы, но выявляют го через разветвления разного масштаба.

.. Не типичность и закономерность групп элементов – «в сразу, а лишь десятилетие спустя после того, как среднем». Особенное и типичное, случайное и зако Мандельброт ознакомил читающую публику со номерное в данном случае совмещаются, но наличие своими взглядами на физиологию, некоторые особенного и случайного не означает хаос – всего биологи-теоретики стали находить, что фрак лишь закономерность из линейной превращается в тальная организация лежит в основе устройства статистическую.

всего человеческого тела. Выяснилось, что и мо Лёгкость уподобления фракталов реальным чевыделительная система фрактальна по своей объектам делает фрактальную геометрию способом природе, равно как желчные протоки в печени, моделирования реальности. Иначе говоря, создав а также сеть специальных мышечных волокон, фрактальную модель объекта, мы можем с высокой которые проводят электрические импульсы к со точностью выявить и прогнозировать поведение кратимым мышечным клеткам сердца… С точки реального прототипа, проводя компьютерный экс- зрения Мандельброта,… фракталы, разветвля перимент с фракталом. ющиеся структуры, до прозрачности просты и могут быть описаны с помощью небольшого объ ема информации. Возможно, несложные преоб Жизнь среди фракталов разования, которые формируют фигуры (наподо бие дендритов. – Авт.), заложены в генетическом Логично возникает вопрос: насколько широка коде человека. ДНК, конечно же, не может во сфера применения фрактального моделирования, всех подробностях определять строение брон насколько велико число фракталоподобных струк хов, бронхиол, альвеол или пространственную тур в природе. Бенуа Мондельброт отвечает одно структуру дыхательного “древа”, однако она в значно: для природы характерен именно фракталь состоянии запрограммировать повторяющийся ный (и не какой другой) способ самоорганизации.

процесс расширения и разветвления – а ведь именно таким путем природа достигает своих Действительно, фракталы можно увидеть в целей... Мандельброт естественным образом границах облаков и морских побережий, в тур переключился с изучения “древа” дыхательного булентных потоках, в трещинах, в зимних узорах и сосудистого на исследование самых настоящих на стекле и снежинках, в корнях, в листьях и деревьев, которые ловят солнце и противостоят ветвях растений, в тканях и органах животных, ветрам, деревьев с фрактальными ветвями и ли включая человека.

стьями. А биологи-теоретики начали подумывать Вот как иллюстрирует Дж. Глейк масштаб о том, что фрактальное масштабирование не распространения фракталов: «…В системе крово- просто широко распространенный, но универ обращения поверхность с огромной площадью сальный принцип морфогенеза. Они утверждали, должна вместиться в ограниченный объем… что проникновение в механизмы кодирования и Человеческое тело полно подобных хитроспле- воспроизводства фрактальных моделей станет тений. В тканях пищеварительного тракта одна настоящим вызовом традиционной биологии»19.

Глейк Дж. Хаос: создание новой науки. СПб., 2001. С. 142 – 146.

Живые модели ушедшего мира: фрактальная геометрия истории.

биологии, экономике, в физике, метеорологии, в ге В силу того, что фракталы широко представ ологии и т.д. Сфера применения фракталов еще до лены в природе, методы фрактальной геометрии конца не исчерпана. Потенциал этой методологии, проникли и продолжают проникать (в чём может по мысли Мандельброта, огромен: «…Я задумал и убедиться читатель этой книги) в разные (если не разработал новую геометрию Природы, а также во все) научные дисциплины. «Фракталы имеют нашел для нее применение во многих разнообраз чрезвычайно обширные и разветвлённые корни, ных областях. Новая геометрия способна описать которые во многих случаях проложили себе путь многие из неправильных и фрагментированных в многочисленные области знания»20.

форм в окружающем нас мире и породить вполне законченные теории, определив семейство фигур, которые я называю фракталами»21.

Анатомия геометрических фракталов Рассмотрим более подробно, что представ ляют собой геометрические фракталы. Тради ционно в литературе, посвящённой фракталам, описание геометрических фракталов начинается с примера триадной кривой Коха - линии, на званой по имени шведского математика Хельга фон Коха, впервые описавшего этот феномен в 1904 году. Кривая Коха выглядит следующим об разом – см. рис. 13.

Построение кривой Коха, как и любого геоме трического фрактала, начинается с так называе мого инициатора. В данном случае инициатором является отрезок единичной длины. Это нулевое поколение кривой Коха. Построение кривой Коха продолжается: инициатор мы заменяем так назы ваемым генератором, обозначенным на рис. 13 че рез n = 1. В результате такой замены мы получаем 1-е поколение - кривую из четырех прямолиней ных звеньев, каждое длиной по 1/3 от единичного отрезка. Длина всей кривой 1-го поколения со ставляет величину 4/3. Следующее поколение по Рисунок 13. Кривая Коха.

лучается при замене каждого прямолинейного зве Фракталы находят применение в компьютер- на первого поколения уменьшенным генератором.

ном дизайне, в алгоритмах сжатия информации, в В результате мы получаем кривую 2-го поколения, O’Connor, J.J. and Robertson E.F. Benoit Mandelbrot // http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/ (сайт Школы математики и статистики Университета св. Эндрюса, Шотландия). См. также: Божокин С.В., Паршин Д.А.

Фракталы и мультифракталы. М. – Ижевск, 2001;

Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. М., 2000;

Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск, 2001.

Мандельброт Б. Фрактальная геометрия Природы. М., 2002. С. 13.

Раздел I. Фрактальная парадигма научного знания.

состоящую из 16 звеньев. Проделав ту же самую операцию несколько раз, мы можем получить кривую 3, 4, 5 и т.д. поколений. Теоретически эту операцию можно проделывать бесконечно – в результате мы получим кривую бесконеч ной длины. Нетрудно убедиться, что при изменении масштаба рассмотрения этой кривой её вид будет оставаться прежним.

Аналогичным способом строится снежинка Коха. Инициатором в данном случае является равносторонний треугольник, а генератором – тот же самый элемент, что и в предыдущем примере.

В первом поколении мы получим звезду Давида. Повторим эту операцию, прикрепив еще меньший треугольник к средней трети каждой из двенадцати сторон звезды. Если проделывать эту процедуру вновь и вновь, число дета лей в образуемом контуре будет расти и расти. Изображение приобретает вид снежинки с геометрически идеальными очертаниями.

Дж. Глейк указывает на некоторые парадоксальные, на первый взгляд, свойства снежинки Коха: «Прежде всего, она представляет собой непрерыв ную петлю, никогда не пересекающую саму себя, так как новые треугольники на каждой стороне всегда достаточно малы и поэтому не сталкиваются друг с другом. Каждое преобразование добавляет немного пространства внутри кривой, однако ее общая площадь остается ограниченной и фактически лишь незначительно превышает площадь первоначального треугольника.

Если описать окружность около последнего, кривая никогда не растянется за ее пределы. Но все же сама кривая бесконечно длинна, так же как и евклидова прямая... Подобный парадоксальный итог – бесконечная длина в ограничен ном пространстве – в начале XX века поставил в тупик многих математиков.

Кривая Коха оказалась монстром, безжалостно поправшим все мыслимые интуитивные ощущения относительно форм»22.

Впоследствии математики создали иные формы, которым были при сущи странные черты кривой Коха. Однако использовались другие инициаторы и генераторы. Напри- мер - решето Серпински. См.

рис. 15. Для построения «решета» нужно взять равносторонний треугольник и вписать в него со- ответственно уменьшенный и перевёрнутый треугольник, а затем в крайние из полу чившихся треугольников впи- сать новые перевёрнутые и уменьшенные треугольни- ки и т.д.

Фрагменты фрактала могут повторять генератор не только в уменьшенном масштабе, но и с други- ми изменениями (поворот, сжатие, от- ражение), при Рисунок 15. Решето Серпински.

Рисунок 14.

Рост снежинки Коха.

Глейк Дж. Хаос: создание новой науки. СПб., 2001. С. 130 – 131.

Живые модели ушедшего мира: фрактальная геометрия истории.

том условии, что эти изменения также чётко опре делены и одинаковы для всех элементов и во всех масштабах. На рис. 16 – 19 изображены примеры геометрических фракталов, для создания которых используются самые разнообразные инициаторы и генераторы.

Рисунок 16. Фрактал Минковского. Рисунок 19. Фрактал «дракон».

Фракталы, полученные с помощью «поворота – сжатия», «сжатия – отражения» и других преобразо ваний генератора изображены на рисунке 2023.

Рисунок 17. Фрактал Леви.

Рисунок 20. Фракталы с последовательным преоб разованием генератора.

Источник изображений: Морозов А.Д. Введение в тео Рисунок 18. Троичное дерево. рию фракталов. Нижний Новгород, 1999. C. 60 – 70.

Раздел I. Фрактальная парадигма научного знания.

2. Комплексная плоскость Чудовищный полимер и его собратья Если мы возьмём комплексное число и значе Для того, чтобы понять принцип построения ния действительной и мнимой частей представим алгебраических фракталов, необходимо иметь как значения по оси х и по оси у в системе коор самые общие представления о том, что такое динат, то комплексное число мы сможем уподо комплексные числа, комплексная плоскость и бить точке. Её координаты по оси х будут равны итерационный процесс. действительной части, а по оси у коэффициенту k мнимой части. Комплексные числа, изображён 1. Комплексные числа ные таким образом в системе координат, образу ют комплексную плоскость.

Любое комплексное число состоит из двух ча стей – действительной и мнимой. Действительная 3. Итерация часть представляет собой действительное число Итерация в самом общем смысле – это ре («обыкновенное», привычное число – отрица зультат применения какой либо математической тельное или положительное, целое или дробное).

операции, получающейся в серии аналогичных Действительную часть обычно обозначают лите математических операций. Представьте, что вы рой d. Мнимая часть комплексного числа пред вычисляете значение у по выражению у=2х. Вы ставляет собой произведение коэффициента k подставляете первое значение х – например 1;

на мнимое число i. Коэффициент k является дей- получаете значение у=2. На следующем этапе ствительным числом. i – это квадратный корень Вы в качестве х подставляете 2 (значение у, вы из -1;

иными словами i2 = -1. численное на предшествующем этапе). Получаете новый у=4. Теперь, на третьем этапе, в исходную Можно сказать, что комплексные число – это формулу в качестве х подставляется значение обобщение понятия числа. Ибо действительное у, рассчитанное на втором этапе, и получается число можно представить как частный случай новое значение у=8. Этот процесс можно продол комплексного числа с коэффициентом k=0. жать бесконечно, он называется итерационным процессом. Каждый этап вычисления («подста Комплексные числа, таким образом, имеют новка») называется итерацией. Таким образом, вид d+ki. Они удобны для многих математиче результатом процесса итерирования является ских расчётов, поскольку содержат корни из череда чисел.

отрицательных чисел, которые, вопреки нашим школьным воспоминаниям, всё-таки существу- 4. Построение Мандельброта ют. Комплексные числа можно было бы воспри Построение Мандельброта производится на нимать как слишком вольную математическую комплексной плоскости с помощью формулы фантазию, если бы они не использовались во Zn+1 = (Zn)2 + C. В этой формуле Z и C являются многих отраслях знания, имеющих практическое комплексными числами, то есть точками на ком применение, – например, электротехника, теория плексной плоскости. Построение Мандельброта – упругости, аэродинамика и многие другие. это множество точек на комплексной плоскости, которые получаются в результате итерационного С комплексными числами можно выполнять процесса. Однако в построение Мандельброта все те же самые действия, что и с действительны входят не все точки комплексной плоскости, ко ми, но при соблюдении специфических правил. На торые участвуют в итерационном процессе.

пример, при сложении комплексных чисел мнимая часть складывается с мнимой, а действительная – с Возникает логичный вопрос: какие точки действительной;

в результате чего получается комплексной плоскости входят в построение Мандельброта, а какие - нет.

опять-таки число, состоящее из двух частей.

Живые модели ушедшего мира: фрактальная геометрия истории.

Мы можем наложить на комплексную пло- ми значениями в чёрный или белый цвет. По скость своего рода решётку, в узлах которой бу- лучившаяся фигура считается одним из самых дут размещаться точки. Квадратные ячейки этой революционных открытий XX века.

решётки могут быть больше, могут быть меньше, Нетрудно заметить, что чем мельче ячейки а значит и количество точек может быть больше налагаемой решётки, тем детальнее прорисов или меньше в некотором ограниченном квадрате ка этого построения. Увеличивая детальность на комплексной плоскости (например, мы можем прорисовки, мы получаем возможность при взять часть плоскости, ограниченную значения близиться к построению, рассмотреть его под ми от -2 до 2 по оси х и от -2 до 2 по оси у). Итак, микроскопом – увидеть его в разных масштабах.

наложив на этот ограниченный участок плоско Когда Мандельброт с помощью компьютера в ла сти решётку с определённым размером ячеек, мы боратории IBM проделывал все эти манипуляции получим определённую совокупность точек. Так, с крайне мелкой решёткой, он обнаружил карти если мы возьмём решётку с размером ячейки 0,2, ны, фантастической сложности и красоты.

то мы получим совокупность четырёхсот точек в указанном ограниченном периметре.

С этими точками мы и будем работать.

Возьмём точку с координатами (1,8;

1,8). Она соответствует комплексному числу 1,8+1,8i.

Подставим это значение в качестве С в формулу Zn+1 = (Zn)2 + C, при этом Z1= 0. По формуле вычис лим Z2. Это была первая итерация. Проведём вто рую итерацию: подставим Z2 в формулу, возведём его в квадрат, прибавим С (то есть начальное число = 1,8+1,8i) и получим таким образом Z3, ко торое во время следующей итерации подставим в ту же самую формулу, чтобы получить Z4. Про делаем таким образом значительное число итера ций – например, 300 – и получим на последней итерации комплексное число Z300. Теперь проана лизируем это число. Если значение его действи тельной и мнимой частей больше 2 или меньше Рисунок 21. Построение Мандельброта.

-2, то точка лежит за пределами обозначенного Компьютерная программа, воспроизводящая нами периметра. В этом случае исходную точку С построение Мандельброта, нуждается в некото со значениями (1,8;

1,8), которую мы использова рых пояснениях. Точки, входящие в построение, ли в процессе итерации, закрасим в белый цвет.

могут быть обозначены черным цветом, а не при Если значение действительной и мнимой частей надлежащие к построению – белым. Для получе числа Z300 меньше 2 и больше -2, то точка Z300 ле ния более колоритного изображения белый цвет жит в пределах обозначенного нами периметра.

можно заменить другими цветами. В частности, В этом случае исходную точку С со значениями если итерационный процесс прекращается после (1,8;

1,8), закрасим в чёрный цвет.

десяти повторений (то есть после 10 итераций Проделаем те самые триста итераций с каж- конечная точка покидает пределы ограниченного дой из четырёхсот исследуемых нами точек и в периметра), программа должна выдать красную зависимости от конечных результатов трёхсот начальную точку, после двадцати – оранжевую, по итераций закрасим четыреста точек с исходны- сле сорока – желтую и т.д. Выбор цветов и момент Раздел I. Фрактальная парадигма научного знания.

Рисунок 22. Масштабная инвариантность «раскрашенного» построения Мандельброта.

остановки расчета точек исследо- – целую иерархию форм, где от ватель может выбрать сам. атомов, словно ростки, отпоч Дж. Глейк с присущей ему ковываются всё новые и новые метафоричностью так описы- атомы, и так до бесконечности… вает построение Мандельброта: Вскоре он обнаружил некие вклю «Множество [построение] Ман- чения, собиравшиеся по краям дельброта, как любят повторять дисков и “плававшие” в близле его почитатели, является наи- жащем пространстве… Отростки более сложным объектом во всей и завитки медленно отделились от математике. Чтобы увидеть его основного островка, и возникла полностью – круги, усыпанные колючими шипами, кажущаяся однородной граница, которая распада спирали и нити, завивающиеся наружу и кругом, лась на цепочку спиралей, напоминавших хвосты с выпуклыми пестрыми молекулами, висящими, морских коньков.... Если бы [построение] было словно виноградины на личной лозе Господа Бога, просто фрактальным..., тогда каждое последующее – не хватит целой вечности… Однако, как это ни изображение (при изменении масштаба. – Авт.) парадоксально, для передачи полного описания более или менее походило бы на предыдущее.

системы по линии связи хватит нескольких де- Принцип внутреннего подобия при различных сятков кодовых символов, а в компьютерной про- масштабах позволил бы предугадать, что мы уви грамме содержится достаточно информации, что- дим в электронный микроскоп на следующем бы воспроизвести систему целиком. Догадавшиеся уровне увеличения. Вместо этого каждый взгляд первыми, каким образом в системе смешиваются в глубины системы Мандельброта приносил все сложность и простота, были застигнуты врасплох новые сюрпризы. Мандельброт, желая применить – даже сам Мандельброт. Система превратилась свой термин “фрактал” к новому объекту, начал в эмблему хаоса для широкой публики. Она за- беспокоиться о том, что определил это понятие мелькала на глянцевых обложках тезисов кон- слишком узко. При достаточном увеличении вы ференций и инженерных журналов и сделалась яснилось, что система приблизительно повторя украшением выставки компьютерного искусства, ет свои же элементы – крошечные, похожие показанной во многих странах в 1985 – 1986 годах. на жучков объекты, отделявшиеся от основной... На грубо набросанной координатной сетке, формы. Однако, еще более увеличив изображение, где несколько раз повторялась петля обратной исследователь убеждался, что эти молекулы не связи (итерационный процесс. – Авт.), возникли во всем соответствуют друг другу, всегда появля первые контуры кругов или дисков… Справа и лись новые формы, похожие на морских коньков слева от главных дисков появлялись иные неясные или на вьющиеся ветви оранжерейных растений.

очертания. Как позже вспоминал сам Мандель- Фактически ни один фрагмент системы точно не походил на другой при любом увеличении....

брот, воображение нарисовало ему нечто большее Живые модели ушедшего мира: фрактальная геометрия истории.

ческих форм, таких как Каждая плавающая молекула на самом деле “висит” окружности, эллипсы и на филигранной нити, которая связывает ее с дру параболы, система Ман гими молекулами. В итоге получается хрупкая пау дельброта не допускает тинка, ведущая от крошечных частиц к основному никаких сокращенных объекту, – “дьявольский полимер”, говоря словами вариантов. Определить, Мандельброта. Математики доказали, что в каждом какая форма подходит сегменте – не имеет значения, где он находится и к каждому конкретно насколько он мал, – при увеличении “компьютер му уравнению, удаётся ным микроскопом” обнаружатся новые молекулы, только методом проб каждая из которых будет напоминать систему в и ошибок. Именно он целом и одновременно чем-то отличаться от нее.


привел исследователей Каждая новая молекула будет обладать собствен к неизведанным землям, ными спиралями и выступающими частями, похо скорее путем Магеллана, жими на языки пламени, и в них также неизбежно чем дорогой Евклида.

обнаружатся новые молекулы, еще меньшие, такие Такое объединение все же бесконечно разнообразные, всегда подобные, но ленной форм с миром никогда – полностью идентичные. Это можно на чисел говорило о раз звать чудом миниатюризации: каждая новая деталь рыве с прошлым. Новые является вселенной, цельной и многоликой»24.

геометрии всегда начи Построение Мандельброта – не единственный наются с того, что кто алгебраический фрактал. Изменяя итерируемую нибудь пересматривает формулу, мы можем получить бесчисленное базовый постулат. Пред количество фрактальных форм. Впервые мно- положим, говорит уче жества, порождающие фракталы, были открыты ный, что пространство и изучены еще во время Первой мировой войны определенным образом французскими математиками Гастоном Джулиа и искривлено, – и в резуль Пьером Фато, работавшими без каких бы то ни тате получается стран было компьютерных изображений. Однако лишь ная пародия на Евклида, Мандельброт смог обобщить предшествующие геометрия Римана-Ло работы и заново осмыслить их значение. Можно бачевского, которая сказать, что Мандельброт является действитель- стала основой общей те но создателем фрактальной геометрии. ории относительности.

Дальше – больше...

Нам хотелось бы продемонстрировать лишь Допустим, что про некоторые возможности (они безграничны!) по странство может иметь строения алгебраических фракталов – см. рис. 23.

четыре измерения, пять или даже шесть... Вооб Открытие Мандельброта изменило само пред разим, что число, выра ставление об исследовании функций и построении жающее измерение, мо фигур на их основе. Тот же Дж. Глейк так описы жет представлять собой вает революционную сущность фрактальной гео дробь... Представим, что метрии: «…В отличие от традиционных геометри геометрические объек ты можно закручивать, растягивать, завязы Глейк Дж. Хаос: создание новой науки. СПб., 2001. С. вать узлами... Пусть их Рисунок 23.

281 – 291. можно определить не Алгебраические фракталы.

Раздел I. Фрактальная парадигма научного знания.

решением определенного уравнения, а итераци- их начальных состояний, их эволюции и их ей его с помощью петли обратной связи (выде- аттракторов. В этом пространстве все данные о лено нами. – Авт.). Джулиа, Фато,... Мандельброт динамической системе в каждый момент времени – все эти математики изменили правила создания представляются одной точкой. Если в следующий геометрических форм. Картезианский и Евклидов момент система претерпит изменения, то точка, методы превращения уравнений в кривые знако- представляющая её в фазовом пространстве, мы любому, кто изучал геометрию в средней школе изменит своё местоположение. Движение точки или находил точку на карте по двум координатам. можно изобразить в виде линии в фазовом про В стандартной геометрии кроме уравнения необ- странстве, которая свидетельствует о характере ходим также и набор чисел, которые ему удовлет- изменения системы.

воряют, тогда решения уравнения вроде х2 + у2 = Каким образом данные о сложной системе 1 образуют форму (в системе координат. – Авт.), могут быть представлены лишь одной точкой?

в данном случае – окружность. Другим простым Если система характеризуется лишь двумя пере уравнениям соответствуют иные фигуры: эллип менными, то значение одной из переменных рас сы, параболы... Но когда геометр прибегает к ите полагается на оси х, а значение другой – на оси у.

рации вместо того, чтобы решать уравнение, по В данном случае мы имеем дело с двухмерным следнее преобразуется из описания в процесс, из фазовом пространством. Для изображения си статического объекта в динамический (выделено стемы, характеризующейся тремя переменными, нами. Иначе говоря, в итерируемом уравнении нам потребуется уже трёхмерное фазовое про заключён не результат взаимосвязи некоторых странство и т.д.

факторов, а процесс их взаимодействие. – Авт.).

Подставив исходное число в уравнение, мы по Дж. Глейк следующим образом характеризует лучим новое число, которое, в свою очередь, даст изображение динамической системы в фазовом еще один результат, и так далее. Соответствующие пространстве: «Система, в которой переменные им (числам. – Авт.) точки перепрыгивают с места непрерывно увеличиваются и уменьшаются, пре на место. Точка наносится на график не тогда, вращается в движущуюся точку, словно муха, когда она удовлетворяет уравнению, а тогда, ког летающая по комнате. Если некоторые комбина да она генерирует определенный тип поведения ции переменных никогда не возникают, учёный (выделено нами. – Авт.). При этом один из них может просто предположить, что пределы комна может представлять собой устойчивое состояние, ты ограничены, и насекомое никогда туда не за а другой – неуправляемое стремление к бесконеч летит. При периодическом поведении изучаемой ности»25.

системы, когда она вновь и вновь возвращается к одному и тому же состоянию, траектория по лёта мушки образует петлю, и насекомое минует Бешеная мушка в фазовом пространстве одну и ту же точку в пространстве множество раз. Своеобразные портреты физических систем Конструирование алгебраических фракталов в фазовом пространстве демонстрировали об позволяет моделировать процессы в фазовом разцы движения, которые были недоступны на пространстве. Фазовое пространство – теоре блюдению иным способом… Учёный, взглянув на тический конструкт. Каждая из точек фазового фазовую картину, мог… уяснить сущность самой пространства имеет одну или несколько коорди системы: петля здесь соответствует периодично нат – в зависимости от числа измерений фазово сти там, конкретный изгиб воплощает определён го пространства. Фазовое пространство приме ное изменение, а пустота говорит о физической няется при исследовании динамических систем, Глейк Дж. Хаос: создание новой науки. СПб., 2001. С. 286 – 288.

Живые модели ушедшего мира: фрактальная геометрия истории.

невероятности…»26. траекторию системы в фазовом пространстве.

Сам фрактал можно рассматривать, например, Фазовое пространство – это удобный инстру- как совокупность всех возможных начальных мент изучения аттракторов. Аттракторам при- условий системы, из которых она попадёт в тот суще важнейшее качество – устойчивость. Самые или иной аттрактор.

Таким образом, фрактальное моделирование позволяет исследовать и репрезентовать поведе ние динамических систем.

Фрактальный фронт вытеснения и сто хастические процессы Ещё несколько слов о стохастических фрак Рисунок 24. талах. Напомним, что они широко используются Этапы вытеснения глицерина воздухом.

для моделирования многих естественных про цессов. Здесь в качестве иллюстрации рассмо простые аттракторы можно изобразить в фазо трим фракталы, имитирующие рост фронта вы вом пространстве фиксированными точками или теснения одной среды другой средой.

замкнутыми кривыми. Подобные аттракторы описывают поведение таких систем, которые до Например, при добыче нефти, нередко наблю стигли устойчивого состояния или непрерывно дают этот эффект, вытесняя из недр земли нефть себя повторяют.

под давлением воды. Такой эффект получил на звание «вязкие пальцы». Действительно, если мы В фазовом пространстве мы также может посмотрим на изображение фронта вытеснения обозначить начальные условия системы – точку, одной среды другой средой (в том случае если из которой она стартует. Каждый из аттракто они не смешиваются в силу разных факторов), ров системы (а их может быть несколько) имеет то увидим появление пальцеобразных выро собственную область начальных условий в фа стов. Так, на рис. 24 мы можем наблюдать этапы зовом пространстве.

процесса вытеснения глицерина воздухом, а на Построение алгебраического фрактала можно рис. 25, показано, что происходит, когда в центр рассматривать как исследование поведения си- круглой ячейки, заполненной одной средой, зака стемы в фазовом пространстве. Так, например, в чивается другая среда27.

построение Мандельброта не входят точки, име ющие аттрактор в бесконечности, а входят только Экспериментально доказано, что вязкие паль те точки, которые имеют аттрактор внутри обо- цы в пористых средах имеют фрактальную при значенного периметра комплексной плоскости. роду. При этом динамика фронта образования вязких пальцев (то есть фронта вытеснения) в Итерируемая формула описывает поведение пористых средах имеет две главные составляю точки – то есть системы. Формула генерирует щие: глобальное распределение давления одной череду чисел, значения которых отображают Глейк Дж. Хаос: создание новой науки. СПб., 2001. С. 179.

Источник изображений: Федер Е. Фракталы. М., 1991. С. 52 – 53.

Раздел I. Фрактальная парадигма научного знания.

блуждающая точка прилипает к ней. Если с этими двумя точками сталкивается ещё какая-нибудь блуждающая точка, то и она прилипает к этим двум – к любой из двух точек – в зависимости от того, с какой она столкнулась. Так растёт со вокупность точек, и в определённый момент мы получаем фрактал, подобный тому, который изо бражённый на рис. 2629.

Фрактальная размерность этой фигура слу Рисунок 25. Вязкие пальцы. жит количественной характеристикой её важной особенности, а именно – заполнения ею про среды на другую и локальные флуктуации в странства.

геометрии пор. Рост фрактальной структуры является результатом совместного действия этих В программе, которая генерирует этот стоха двух факторов28.

стический фрактал, можно изменять некоторые параметры – например, интенсивность запуска Каким же образом создаётся фрактальная блуждающих точек или сопротивление «среды модель эффекта вязких пальцев? Представим блуждания». При этом во время повторного запу окружность, от которой внутрь стартуют точки в случайном направлении и в случайном порядке.


В самом начале этого процесса в центре окруж ности располагается первая точка. Если какая либо из блуждающих внутри окружности точек, соприкасается с центральной (первой) точкой, то Рисунок 26. Фрактальный кластер.

Федер Е. Фракталы. М., 1991. С. 58.

Рисунок 27.

Источник изображения: Федер Е. Фракталы. М., 1991.

Рост стохастических фракталов с прямой.

С. 42.

Живые модели ушедшего мира: фрактальная геометрия истории.

только пространственными, но и временными. Иначе ска программы с одними и теми же параметрами, говоря, существуют не только фрактальные фигуры, возникает фигура, отличающаяся от предыдущей но и фрактальные процессы. Классический пример по форме, но совпадающая с ней по размерности, фрактального процесса – броуновское движение ча разветвлённости и другим качественным харак стиц. Если по оси у мы будем откладывать движение теристикам.

броуновской частицы условно вверх и условно вниз, На рис. 27 изображен рост стохастических а по оси х – время движения;

то мы получим модель фракталов с прямой. Частицы начинают случайное фрактального, стохастического процесса.

блуждание от верхней границы и отражаются от «Создавая свою геометрию, – пишет боковых стенок. Достигнув нижней границы или одного из деревьев, частица прилипает к ним30.

Связь между описанным выше процессом роста стохастического фрактала и образованием неустойчивого фронта вытеснения в пористых Рисунок 28. Броуновская кривая.

средах, на первый взгляд, может показаться «на Дж. Глейк, – [Мандельброт] выдвинул закон о тяжкой». Тем не менее, как пишет Е. Федер, «… неупорядоченных формах, что встречаются в такой модифицированный динамический про природе. Закон гласил: степень нестабильности цесс... подробно описывает скорость, с которой постоянна при различных масштабах. Спра растут вязкие пальцы. Отсюда мы заключаем, ведливость этого постулата подтверждается что численное моделирование (построение вы вновь и вновь. Мир снова и снова обнаруживает шеописанных фракталов. – Авт.) позволяет с вы устойчивую неупорядоченность»32. В этом смысле сокой точностью описывать скорость, с которой степень неупорядоченности броуновской кривой растут вязкие пальцы... Замеченная... аналогия одинакова во всех её масштабах. Это особенность между кинетикой [роста фрактала] и фронтами подобных кривых позволяет с помощью инстру вытеснения в пористых средах очень точна и ментария фрактальной геометрии, предсказывать хорошо описывает образование вязких пальцев процессы, на первый взгляд, кажущиеся неупо в двумерных средах»31.

рядоченными.

Мы рассмотрели всего лишь частный случай Таким образом, фрактальным (в пространстве) создания имитационной модели естественного структурам соответствуют фрактальные (во вре процесса. Стохастические фракталы могут быть мени) процессы – многомерные, сложные много необычайно похожи на объекты реального мира.

волновые циклы, спирали и т.п. Фрактальность Капуста, снежинка, дерево, рельеф земной по процессов становления и эволюции тех или иных верхности, облака – всё это и многое другое мож систем позволяет предположить, что это следствие но рассматривать как стохастические фракталы.

(отголосок, а может быть - причина) того факта, Фрактальные процессы что эти системы фрактальны по своей природе.

Уже упоминалось, что фракталы могут быть не Источник изображения: Федер Е. Фракталы. М., 1991. С. 62.

Федер Е. Фракталы. М., 1991. С. 63.

Глейк Дж. Хаос: создание новой науки. СПб., 2001. С. 129.

Раздел I. Фрактальная парадигма научного знания.

Гл а ва вто р а я Фракт а льные факт ы и ф р а кт а л ь н ы е и н т е р п р е т а ц и и истор и ч е с ко й р е а л ь н о с т и Там, где сошлись небо и земля: фрак- ностей в природе и обществе»33, проходившего в тальная методология в социально-гумани- 2001 г.: «Фракталы и циклы социальных процес тарных науках сов»34, «Фрактальный анализ временных рядов в прогнозировании тенденций развития социо Когда мы говорим о фрактальной методоло- экономических систем»35, «Фрактальная теория и гии в современных науках, необходимо помнить, этносоциальный процесс»36, «О демографических что «молодая была не молода». В сфере естествен- циклах и фракталах»37, «Принцип фрактальности ных и точных наук, во многих прикладных отрас- в новой научной парадигме социально-экономи лях знания эта методология давно и с успехом ческого развития»38 и т.п. Таким образом, фрак используется. Однако её прорыв в социально- тальная теория (как максимум) и фрактальная гуманитарные дисциплины только начинается. терминология (как минимум) уже осваиваются Этим и объясняется тот факт, что в первой части в социально-экономических и гуманитарных от нашей книги много внимания уделено основам раслях знания. Однако, за редким исключением, фрактальной геометрии.

речь пока не идёт о конкретных фрактальных мо делях, ибо социально-гуманитарная сфера плохо Возникает логичный вопрос: применима ли поддаётся формализации. Как правило, во фрак вообще фрактальная методология в социаль тальных изысканиях речь идёт об утверждении ных исследованиях? Во всяком случае, опыт её подобия разных уровней рассматриваемых со применения существует. Вот лишь некоторые циальных систем и (или) о некоей цикличности темы докладов пятого всероссийского научного тенденций и регулярности явлений.

семинара «Самоорганизация устойчивых целост Фракталы и циклы развития систем. Материалы пятого Всероссийского постоянно действующего научного семинара «Самоорганизация устойчивых целостностей в природе и обществе» (http://lpur.tsu.ru/Public/a0101/ index2001.htm) И.А. Кучин. И.А. Лебедев Я.В. Круковский В.А. Осипов С.А. Нефедов Л.В. Земцова Живые модели ушедшего мира: фрактальная геометрия истории.

Тем не менее, как мы полагаем, фрактальная публике, и той деятельностью, которая обращена методология обладает огромным потенциалом только к специалистам? Чтобы попытаться объ применения в социально-гуманитарных науках, яснять этот контраст, позвольте мне сделать… и в частности – в их древнейшем бастионе – в беглый и краткий экскурс в прошлое, сравнив истории. Наша книга продиктована стремлением модели познания, выстраивавшиеся по образцам легализовать фрактальную методологию в исто- астрономии и истории.

рических исследованиях.

Древние греки и средневековые схоласты Движение сквозь масштабы позволяет по- видели абсолютное различие между двумя нять принцип построения всего фрактала – т.е. крайностями: чистота и совершенство Неба и увидеть простое в сложном, закономерное в безнадежное несовершенство Земли. “Чистота” хаотичном, однообразное в разнообразном. предполагала подчиненность рациональным Это соответствует духу исторического иссле- законам, которые подразумевали простые пра дования: изучая отдельный поступок человека вила, позволяющие всё же делать превосходные и, например, динамику развития политической прогнозы движения планет и звёзд. Множество структуры, мы, при первом приближении, не за- цивилизаций и индивидов верят, что их жизни мечаем их родство, подчинённость одним и тем записаны со всеми подробностями в некой книге же принципам – уж слишком разные масштабы. и, следовательно, в теории, могут быть предсказа Тем не менее, такое родство существует. Именно ны и не могут быть изменены. Но многие другие фрактальная геометрия позволяет связать во- (включая древних греков) думали иначе. Они по едино макротеории и микрофакты – макро- и лагали, что почти всё на Земле находится в состо микромасштабы. Помимо прочего, фрактальная янии полного беспорядка. Возможны события, методология – это один из способов возвращения которые, будучи сами по себе незначительными, в науку «великих теорий». Многие «большие те- тем не менее могут иметь непредсказуемые и со ории» предаются забвению лишь на том основа- крушительные последствия...

нии, что при первом приближении исследователи Изящное разделение между чистым и не не обнаруживают связи между фактами разных чистым продолжалось до Галилея. Он разрушил масштабов и обобщениями разных уровней.

этот принцип, создав земную механику, которая Фрактальные модели позволяют обнаружить удовлетворяла условиям тех же самых законов, стройность там, где, на первый взгляд, царит что и небесная механика;

он также обнаружил, «художественный, неповторимый» хаос разно что поверхность Солнца покрыта пятнами и, направленных человеческих воль и разноликих следовательно, несовершенна. Предпринятое им эмпирических фактов – фрактальная геометрия расширение владений порядка открыло дорогу объединяет их, не укладывая, вместе с тем, в про к Ньютону и к науке;

а предпринятое им же рас крустово ложе простейших схем.

ширение владений неупорядоченности сделало Подобные мысли занимали самого создателя наше видение Вселенной более реалистичным...

фрактальной геометрии Бенуа Мандельброта. В После Галилея познание было свободно от монографии «Fractals, Graphics and Mathematical разграничения между Небом и Землей, заложен Education», написанной совместно с М.Л. Фрей ного греками. Однако продолжало существовать мом, Мандельброт в своей части книги поме различие между разными принципами познания.

щает размышление об истории и фрактальной С одной стороны, существовало строгое зна геометрии.

ние – наука о порядке, выстроенная по образцу «Почему существует такое возмутительное астрономии. С другой стороны – гибкое знание, различие между деятельностью, которая (по- выстраивающееся по образцу истории, – то есть добно серьезной истории) обращена к широкой изучение человеческого и социального поведения.

Раздел I. Фрактальная парадигма научного знания.

Позвольте мне в этой точке моих размышле- сложные результаты и эффекты. Фрактальная ний признаться Вам в зависти, испытываемой геометрия обнаруживает простые правила и их мной в юности, когда я наблюдал то влияние на сложные результаты и эффекты...» умы людей, которое является привилегией психо Между схемой и суммой: фракталы как логии и социологии;

позвольте мне признаться в моих юношеских мечтах о некоей отрасли точной уровни сложности исторической реальности науки, которая могла бы так или иначе преуспеть в достижении подобного влияния. Ещё несколько Наша книга содержит не только образцы десятилетий назад природа самих точных наук фрактального моделирования при решении делала все эти мечты бесполезными. Люди (не конкретно-исторических задач;

в этой главе мы все, что и говорить, но достаточное число из стремимся продемонстрировать соответствие них) рассматривают историю, психологию, со- методов фрактальной геометрии принципам циологию как науки живые, ясно понимающие, гносеологии исторической науки. Иначе говоря, действенные… Астрономия не рассматривалась прежде чем показать варианты практического как живая и действенная наука;

Солнце и Луна применения и эвристическую ценность фрак сверхчеловечны, поскольку из-за своей пра- тальных моделей в истории, мы попытаемся вильности подобны богам. В том же самом духе аргументировать теоретическую обоснованность многие студенты рассматривают математику как такого рода моделирования.

холодную и сухую... Ученые и инженеры должны В соответствии с законами диалектики, по знать правила, которые управляют движением скольку качественно-количественные скачки планет. Но эти правила не предназначены для имеют место между уровнями сложности (струк широкой публики, потому что они не имеют турными уровнями) исторической реальности, никакого отношения к истории... или к повсед качественная характеристика каждого отдель невной жизни...

ного уровня единообразна при количественном В настоящее время острый контраст между разнообразии. Внутри определённого ограничен астрономией и историей исчез. Мы являемся сви- ного уровня сложности исторические явления детелями возникновения не просто новой разно- могут иметь фрактальное построение, поскольку видности науки или нового рода наук, но намного качественное однообразие при количественном более глубоких изменений... Начиная с 1960-х гг. разнообразии соответствует принципу внутрен изучение истинной сложности и неупорядочен- него подобия фрактала – фрактал при качествен ности вышло на сцену. Здесь можно произнести ной однородности заключает в себе большое два ключевых слова – хаос и фракталы, – но я количество элементов и связей между ними.

остановлюсь на фракталах. Снова и снова в про- Заметим также, что фрактальная модель может цессе моей работы обнаруживались случаи, где описывать один или множество, но всегда огра простота порождает сложность, которая кажется ниченное количество уровней сложности.

невероятно жизнеподобной...

Фрактал – есть результат моделирования, Астрономия описывала простые правила и который позволяет по ограниченному количе их простые результаты и эффекты, в то время ству наблюдаемых элементов судить о качестве как история описывала сложные правила и их всей совокупности элементов в рамках наблю Frame M.L. & Mandelbrot B.B. Fractals, Graphics and Mathematical Education. Washington DC: Mathematical Association of America & Cambridge UK: e University Press, 2002. С. 25 – 26. (http://www.math.yale.edu/mandelbrot/webbooks/ собрание электронных книг, размещённых на персональном сайте Б. Мандельброта).

Живые модели ушедшего мира: фрактальная геометрия истории.

даемого уровня (уровней) сложности. Фрактал, бразить с помощью большого, но ограниченного таким образом, может выступать в качестве количества элементарных штрихов»40.

эффективной модели, демонстрирующей и Изучение фрактала, если известны принципы объясняющей сочетание и взаимозависимость его построения, можно интерпретировать как качественного единства и количественной дис идиоадаптацию знания, а открытие фрактала – кретности. Именно поэтому отождествление как ароморфоз знания.

качественно однородных уровней с фракталом позволяет исследователю обнаружить в пестро В историческом исследовании лавинообраз те неупорядоченных исторических фактов не ное увеличение эмпирических фактов нередко кую скрытую упорядоченность, не унифицируя приводит исследователя в теоретический тупик.

факты сами по себе. Кроме того, фрактальное Фрактальная геометрия, напротив, позволяет моделирование позволяет свести, казалось бы, свести всё множество фактов к определённой за бесконечное число фактов к конечному числу кономерности и, что более важно, – утверждает закономерностей. Мандельброт так описывает объективное наличие этой закономерности. Про принцип граничности при построении фракта блема соотнесения всеобщности закономерности лов: «...Для практического использования вполне и уникальности факта в большинстве случаев в достаточно, чтобы и геометрическая концепция, состоянии превратить либо теорию в прокру и ее изображение были заключены между не стово ложе для фактов, либо историю как науку которыми определенными значениями... разме в собрание летописей – сумм самодостаточных ров – большим, но конечным (внешний порог), фактов, очищенных от теорий. Поэтому, если и меньшим, но положительным (внутренний базовая идея о существовании исторических за порог). Сегодня, благодаря возможности стро кономерностей верна, то с большой долей веро ить изображения с помощью компьютера, такие ятности можно предположить, что историческое грубые изображения приобрели практическую «целое» (в котором и прослеживаются историче полезность и в случае фракталов. Например, ские закономерности) взаимодействует с истори все самоподобные фрактальные кривые имеют ческими «частностями» на основе фрактальных бесконечную длину и бесконечно малую толщи принципов.

ну. В то же время каждая из них демонстрирует своё, строго специфичное отсутствие гладкости, Нуклеарный факт и связанно-состав что делает задачу построения изображения та ких кривых более трудной, чем самые сложные ной факт задачи евклидовой геометрии. Таким образом, согласно вышеупомянутым принципам даже са- Фрактал, моделирующий конкретный уро мое лучшее изображение оказывается истинным вень сложности исторической реальности, пред только в очень ограниченном диапазоне. Однако ставляет собой совокупность элементов, орга установление ограничения на очень маленькие низованную в иерархию от менее масштабных к или очень большие детали не только вполне при- более масштабным. Причём, менее масштабные емлемо, а даже в высшей степени разумно, по- элементы являются составной частью более мас скольку и внешние, и внутренние пороги так или штабных. Первооснова каждого элемента такого иначе либо присутствуют, либо предполагаются в фрактала – нуклеарные (атомарные) истори ческие факты. Нуклеарные факты, связываясь, Природе. Следовательно, типичную фрактальную в каждом элементе составляют целостность, кривую можно вполне удовлетворительно изо Мандельброт Б. Фрактальная геометрия Природы. М., 2002. С. 41.

Раздел I. Фрактальная парадигма научного знания.

которую мы далее будем называть связанно-со- Нуклеарный факт, не будучи связан и сопо ставным фактом. Связанно-составной факт – это ставлен с другими фактами, не может являться не просто «большой» элемент или структурная предметом научного анализа, поскольку не функ единица исторической реальности, а факт, впи- ционирует как часть конкретного уровня сложно санный в ту или иную модель, факт, объективно сти. Нуклеарный факт замкнут в себе и не о чём соотнесённый с рядом других фактов, то есть не свидетельствует, кроме как о самом себе. Любая функционирующий в совокупности и во взаимо- попытка локализовать нуклеарный факт на том действии с рядом других фактов. Иными словами, или ином уровне сложности исторической ре связанно-составной факт – это не только факт, альности приводит к его ликвидации – на наших включающий в себя ряд взаимосвязанных фактов, глазах он превращается в связанно-составной представляющих собой его функциональные еди- факт. Поэтому нуклеарный факт не может быть ницы, но и факт, наряду с себе подобными, вклю- равноправным элементом качественно однород чённый в качестве опять-таки функциональной ной фрактальной модели. Нуклеарный факт – это единицы в другой более масштабный факт. Таким истина, очищенная от интерпретации, кирпичик образом, связанно-составной факт не является бытия – ускользающая от исследователя реаль всего лишь искусственно-интеллектуальной кон- ность. На уровне нуклеарного факта историче струкцией. Связанно-составной факт – структур- ская реальность существует, «является» (в сугубо ная единица исторической реальности, но иного онтологическом смысле), а не функционирует (как качества, нежели нуклеарный факт. Историческая познаваемое явление), поэтому нуклеарный факт реальность является совокупностью нуклеарных онтологически находится за пределами фрактала, фактов, но функционирует как совокупность свя- поскольку фрактал – модель функционирования занно-составных фактов. исторической реальности. В этом смысле между нуклеарным и связанно-составным фактом суще Связанно-составные факты всегда выстраива- ствует качественное отличие.

ются в определенную иерархию, в которой суще ствуют факты более значимые и менее значимые, Английская овца и капитализм: фрак более крупные и менее крупные – включающие и тальная структура контекст-субтекстных включённые. Такого рода масштабирование тесно отношений связанно как с взаиморасположением субъекта и объекта исследования, то есть с постановкой Иерархия связанно-составных фактов есть исследовательских задач, так и с объективными отражение контекст-субтекстных отношений, свойствами функционирования исторической которые выстраиваются во многих случаях в реальности. Моделью данной иерархии во многих соответствии с фрактальными принципами.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.