авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«В.Б. ГРАХОВ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В УПРАЖНЕНИЯХ И ЗАДАЧАХ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический ...»

-- [ Страница 2 ] --

Доказательство. Пусть пространство состоит из п элементар ных исходов некоторого эксперимента, событие А – из к элементар ных исходов, событие В – из l элементарных исходов, событие АВ – из т элементарных исходов. Тогда m l l P ( A ) =, P ( AB ) =, P ( B / A ) = n n m ml l P ( A ) P ( B / A ) = = = P ( AB ).

nm n Аналогично доказывается второе равенство.

Два события А и В называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А) или Р(В/А) = Р(В).

В этом случае Р(АВ) = Р(А) Р(В).

2.19. Из колоды в 36 карт вынимается случайно выбранная карта. Рас сматриваются события:

А – появился туз;

В – появилась карта красной масти;

С – появился бубновый туз;

D – появилась десятка.

Зависимы или независимы следующие пары событий: а) А и В;

б) А и С;

в) В и С;

г) В и D?

Решение. События А и В независимы, так как P ( A ) = 4/36 = 1/9 и P ( A / B ) = 2/18 = 1/13.

События А и С зависимы, так как P ( A ) = 1/9;

P ( A / C ) = 1.

События В и С зависимы, так как P ( B ) = 18/36 = 1/2;

P ( B / C ) = 1.

События В и D независимы, так как P ( B ) = 1/2;

P ( B / D ) = 2/4 = = 1/2.

2.20. Опыт состоит в последовательном бросании двух монет по одному разу. Рассматриваются события:

А – выпадение герба на первой монете;

В – выпадение хотя бы одного герба;

С – выпадение хотя бы одной цифры;

D – выпадение герба на второй монете.

Определить, зависимы или независимы пары событий: а) А и С;

б) А и D;

в) В и С;

г) В и D.

1 1 Ответ: а) P ( A ) =, P ( A / C ) = – зависимы;

б) P ( A ) =, 2 3 1 3 P ( A / D ) = – независимы;

в) P ( B ) =, P ( B / C ) = – зависимы;

2 4 P ( B ) =, P ( B / D ) = 1 – зависимы.

2.21. В коробке 9 радиоламп, из которых три были в употреблении. В течение дня мастеру для ремонта аппаратуры пришлось взять две ра диолампы. Найти вероятность того, что обе радиолампы были в упот реблении.

3 2 1 C32 Ответ: Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = = 2 =.

9 8 12 C9 2.22. В урне 3 красных, 2 синих и 6 белых шаров. Найти вероятность того, что будут извлечены два цветных шара ( с возвращением и без возвращения).

5 54 Ответ: а) P ( A ) = 0, 21 ;

б) P ( A ) = = 0,18.

11 11 10 2.4. Вероятности сложных событий 2.23. Два спортсмена независимо друг от друга стреляют по мишени.

Вероятность попадания в мишень первого спортсмена равна 0,7, второ го – 0,8. Найти вероятность того, что мишень будет поражена. Задачу решить тремя способами.

Ответ: 0,94;

способы: а) A = A1 + A2 ;

б) A = A1 A2 + A1 A2 + A1 A2 ;

( ) в) P ( A ) = 1 P A1 A2.

2.24. В трёх залах кинотеатра идут три фильма. Вероятность того, что на определённый час в кассе первого зала есть билеты, равна 0,3, в кассе второго зала – 0,2, в кассе третьего зала – 0,4. Найти вероятность того, что на данный час можно купить билет на какой-либо фильм.

Ответ: 0,664.

2.25. Первый магазин может выполнить план с вероятностью 0,9, вто рой – 0,8, третий – 0,7. Найти вероятность того, что план выполнят:

а) не менее двух магазинов;

Ответ: 0,902.

б) не более одного магазина;

Ответ: 0,098.

в) хотя бы один магазин. Ответ: 0,994.

2.26. Вычислить надёжность каждой из пяти схем, если pi – надёж ность i-го элемента. Решения-ответы даны справа от схем.

()( )( ) P ( A ) = P ( A1 + A2 + A3 ) = 1 P A1 P A2 P A3 = = 1 (1 p1 )(1 p2 )(1 p3 ).

P ( A ) = P ( A1 A2 A3 + A4 A5 A6 ) = = p1 p2 p3 + p4 p5 p6 p1 p2 p3 p4 p5 p6.

P ( A ) = P ( A1 ( A2 + A3 ) A4 ) = p1 ( p2 + p3 p2 p3 ) p4.

P ( A ) = P ( ( A1 + A3 )( A2 + A4 ) ) = = ( p1 + p3 p1 p3 )( p1 + p3 p1 p3 ).

P ( A ) = P ( ( A1 + A4 ) A2 ( A3 + A5 ) ) = = ( p1 + p4 p1 p4 ) p2 ( p3 + p5 p3 p5 ).

2.27. Отрезок разделён на три равные части. На этот отрезок наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что на каждый отрезок по падёт по одной точке.

Решение. Событие А можно представить следующим образом:

A = A11 A22 A33 + A12 A21 A33 + A12 A23 A31 + A11 A23 A32 + A13 A21 A32 + A13 A22 A31.

Ответ: P ( A ) = 6 (1/ 3) = 2 / 9.

2.28. В коробке 5 красных и 3 зеленых карандашей. Рассмотреть сле дующие случаи:

1. Из коробки извлекают (последовательно или одновременно) 3 карандаша. Найти вероятность того, что они все зеленые.

2. Первый извлечённый карандаш возвращается в коробку, после че го извлекается второй карандаш. Найти вероятность того, что оба выну тых карандаша красного цвета.

3. Из коробки последовательно без возвращения извлекаются два ка рандаша. Найти вероятность того, что они разных цветов.

4. Первый извлечённый карандаш возвращается в коробку, после че го извлекается второй карандаш. Найти вероятность того, что оба выну тых карандаша разных цветов.

5. Из коробки в случайном порядке один за другим извлекаются все находящиеся в ней карандаши. Найти вероятность того, что вторым по порядку извлечен зеленый карандаш.

Решение.

1. Пусть А – исходное событие, вероятность которого нужно найти, Ai – i-й извлечённый карандаш зеленый, тогда A = A1 A2 A3. Пусть извле чение трех карандашей происходит последовательно, тогда по правилу умножения вероятностей P ( A ) = P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P ( A3 / A1 A2 ) = 3/8 · 2/7·1/6 = 1/56.

Пусть извлечение трех карандашей происходит одновременно, тогда элементарным исходом является набор любых трех карандашей. Число всех таких наборов равно числу сочетаний из восьми по три, т. е. C83 = 56. Число благоприятных элементарных исходов для наступ ления события А равно числу сочетаний из трех по три, т. е. C3 = 1. То- гда по классической формуле вычисления вероятностей P ( A ) =.

2. Пусть В – исходное событие, вероятность которого нужно найти.

Пусть Bi – i-й извлечённый карандаш красный, тогда B = B1 B2, причем события B1 и B2 независимы. По правилу умножения вероятностей не зависимых событий P ( B ) = P ( B1 B2 ) = P ( B1 ) P ( B2 ) = 5/8 5/8 = = 25/64.

3. Пусть С – исходное событие, вероятность которого нужно найти, тогда C = A1 B2 + B1 A2, причем события A1 B2 и B1 A2 несовместны. По правилам сложения вероятностей несовместных событий и произведе ния вероятностей зависимых событий P ( C ) = P ( A1 B2 + B1 A2 ) = P ( A1 B2 ) + P ( B1 A2 ) = 3 5 5 3 = P ( A1 ) P ( B2 / A1 ) + P ( B1 ) P ( A2 / B1 ) = + =.

8 7 8 7 4. Обозначения те же, что и в п. 3. Поскольку эта задача с возвраще нием, то P ( C ) = P ( A1 B2 + B1 A2 ) = P ( A1 B2 ) + P ( B1 A2 ) = = P ( A1 ) P ( B2 ) + P ( B1 ) P ( A2 ) =.

5. Элементарным исходом в рассматриваемом случае является любой упорядоченный набор извлечённых 8 карандашей. Число всех таких на 8!

боров n = = 56. Число m упорядоченных наборов, в которых вторым 5!3!

7!

по порядку находится зеленый карандаш, равно m = = 21, тогда ве 5!2!

21 роятность исходного события D равна P ( D ) = =. Рассмотрим дру 56 гой способ решения. Пусть D – исходное событие, тогда D = A1 A2 + B1 A2, и так как P ( D ) = P ( A1 A2 + B1 A2 ) = P ( A1 ) P ( A1 / A2 ) + P ( B1 ) P ( B1 / A2 ), 32 53 то P ( D ) = + =.

87 87 2.29. В группе туристов, отправляющихся за границу, 65% владеют анг лийским языком, 45% – немецким и 20% – обоими языками. Найти ве роятность того, что случайно выбранный турист из этой группы не зна ет ни одного из этих языков. Ответ: 0, 2.30. Из колоды в 36 карт одновременно извлечены 3 карты. Найти ве роятности событий:

А – среди вынутых карт будет хотя бы одна пиковая или хотя бы одна червовая;

Ответ: 0,799.

В – все карты разных мастей. Ответ: 0,718.

2.31. Из колоды в 36 карт извлечены три карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз. Задачу решить для одновременного и последовательного извлечения этих карт.

Ответ: 0,009.

2.32. Три стрелка, имеющие по 4 патрона, ведут стрельбу каждый по своей мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. При первом же попадании в мишень стрелок прекращает стрельбу. Найти вероятности следующих событий:

А – у всех стрелков вместе останется неизрасходованным хотя бы один патрон;

Ответ: 0,999999784.

В – ни у кого из стрелков не будет израсходован весь боезапас;

Ответ: 0,994.

С – только один из стрелков израсходует весь боезапас.

Ответ: 0,036.

2.33. Происходит воздушный бой между истребителем и бомбардиров щиком. Истребитель первым делает выстрел. Вероятность сбить им бомбардировщика этим выстрелом равна 0,2. Если бомбардировщик не сбит, то он делает ответный выстрел. Вероятность сбить им истребителя одним выстрелом равна 0,3. Если истребитель этим выстрелом не сбит, то он делает следующий выстрел с вероятностью попадания 0,4. Найти вероятности следующих событий:

А – сбит бомбардировщик;

Ответ: 0,424.

В – сбит истребитель;

Ответ: 0,24.

С – ни один из самолетов не сбит. Ответ: 0,336.

2.34. Производится 8 выстрелов по мишени с вероятностью попадания в нее 0,7. Найти вероятности следующих событий:

а) А – попадания и промахи чередуются;

Ответ: 2 0,65 0, 45 = 0,0016.

б) В – всего четыре попадания, причём все они с 5-го по 8-й выстрел.

Ответ: C5 p 4 q 6 = 5 0,64 0, 46 0,0026.

2.35. Два игрока поочередно выбрасывают две игральные кости. Выиг рывает тот, у кого в сумме выпадет 12 очков. Найти вероятность выиг рыша для каждого игрока. Ответ: 0,027.

2.36. Читатель разыскивает книгу в трёх библиотеках. Вероятности то го, что книга есть или отсутствует в фонде библиотеки, а также того, что она выдана или нет, одинаковы. Вычислить вероятность того, что читатель найдёт нужную книгу. Ответ: 0,58.

2.37. Через автобусную остановку с равной частотой проходят автобусы семи маршрутов. Пассажир ожидает автобус одного из маршрутов № 1, № 5 или № 7. Какова вероятность того, что нужный автобус будет од ним из первых трёх подошедших к остановке? Ответ: 0,89.

2.38. Найти вероятность того, что при пятикратном бросании игральной кости шесть очков появятся хотя бы один раз.

Ответ: 1 0,59.

2.39. Вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го разме ра, равна 0,2. Найти вероятность того, что пяти первым покупателям по Ответ: 0,00032.

требуется обувь 41-го размера.

2.40. Игральная кость подброшена три раза. Найти вероятность того, что шесть очков выпадут: а) при первом бросании;

б) при одном броса нии;

в) хотя бы при одном бросании;

г) не более, чем при одном броса Ответ: а) 1/6;

б) 3 = 0,374 ;

в) 1 0, 421 ;

нии.

666 г) 0,374 + 0,579 = 0,953.

2.41. Сделаны три выстрела по одной и той же цели. Вероятность попа дания при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,5 и третьем – 0,7.

Найти вероятность того, что в результате трёх выстрелов по цели оказа лось: а) одно попадание;

б) хотя бы одно попадание;

в) два попадания;

г) три попадания;

д) хотя бы два попадания.

Ответ: а) 0,36;

б) 0,91;

в) 0,41;

г) 0,14;

д) 0,55.

2.42. Из шести карточек с буквами Л, И, Т, Е, Р, А выбраны наугад и расположены в ряд слева направо четыре. Найти вероятность того, что 1111 Ответ: = при этом получилось слово ТИРЕ..

6 5 4 3 2.43. Буквы А, А, А, М, М, Т, Т, Е, И, К расположены в ряд в случайном порядке. Найти вероятность того, что получилось слово 2 32112111 3!2!2!

1 = МАТЕМАТИКА. Ответ:.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 10!

2.44. Вероятность того, что событие А наступит хотя бы один раз в двух испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность наступления события А в одном испытании, считая, что она не меняется от испытания к испыта Ответ: 1 (1 p ) = 0,75 p = 0,5.

нию.

2.45. При одном цикле обзора радиолокационной станции объект обна руживается с вероятностью р. Найти вероятность того, что объект бу Ответ: 1 (1 p ).

n дет обнаружен при n циклах.

2.46. Имеется m радиолокационных станций, каждая из которых за один цикл обзора обнаруживает объект с вероятностью р (независимо от дру гих циклов и других станций). За время T каждая станция успевает сде лать n циклов. Найти вероятность следующих событий:

A – объект обнаружен хотя бы одной из станций;

B – объект обнаружен каждой станцией.

( ).

m mn n Ответ: P ( A ) = 1 (1 p ), P ( B ) = 1 (1 p ) 2.47. Прибор состоит из n блоков, соединённых последовательно. Блоки выходят из строя независимо друг от друга с вероятностью р каждый.

Найти надёжность (вероятность безотказной работы) прибора.

Ответ: p n.

2.48. Для повышения надёжности прибора он дублируется другим, точ но таким же прибором, надёжность (вероятность безотказной работы) каждого прибора равна р. При выходе из строя первого прибора проис ходит мгновенное переключение на второй (надёжность переключаю щего устройства равна единице). Найти надёжность системы двух дуб Ответ: 1 (1 p ).

лирующих друг друга приборов.

2.49. В условиях задачи 2.48 надёжность переключающего устройства, обеспечивающего переключение с отказавшего первого прибора на вто Ответ: 1 (1 p )(1 p1 p ).

рой, равна p1.

2.50. Для повышения надёжности прибора он дублируется ( n 1 ) други ми такими же приборами, соединёнными параллельно. Надёжность ка ждого из n приборов равна р. Найти надёжность P(A) системы из n при Ответ: 1 (1 p ).

n боров.

2.51. В условиях задачи 2.50 надёжность каждого переключающего уст ройства, обеспечивающего переключение с отказавшего первого прибо ра на соответствующий другой, равна p1.

n Ответ: 1 (1 p )(1 p1 p ).

2.5. Формула полной вероятности Пусть событие А может наступить при условии наступления одно го из событий H1, H 2,..., H n, называемых гипотезами и образующих полную группу событий, т. е. удовлетворяющих условиям:

1) H i H j =, i j ;

n Hi =.

2) i= n Тогда A = A = ( H i A ) и, применяя формулу умножения вероятно i = стей, можно получить следующее равенство:

n P ( A ) = P ( H i )P ( A / H i ).

i = Это равенство называется формулой полной вероятности.

2.52. Образуют ли полную группу события в указанных опытах?

1. Производится однократное бросание монеты. События А1 – по явление герба;

А2 – появление цифры. Ответ: да.

В нашем примере результатом бросания монеты может быть только наступление одного из попарно несовместных событий A1 или A2, т.е.

эти события образуют полную группу.

2. Производится однократное бросание двух монет. События: B1 – появление двух гербов;

B2 – появление двух цифр. Ответ: нет.

2.53. Образуют ли полную группу события в указанных опытах?

1. Производятся два выстрела по мишени. События:

C0 – ни одного попадания;

C1 – одно попадание;

C2 – два попадания. Ответ: да.

2. Производятся два выстрела по мишени. События:

D1 – хотя бы одно попадание;

D2 – хотя бы один промах. Ответ: нет.

3. Вынимается карта из колоды в 36 карт. События:

E1 – появление карты червонной масти;

E2 – появление карты бубновой масти;

E3 – появление карты трефовой масти. Ответ: нет.

2.54. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Проверка качества такова, что с вероятностью 0,95 обна руживает дефект, а с вероятностью 0,03 признаёт исправный транзи стор дефектным. Найти вероятность того, что случайно выбранный транзистор признан дефектным. Ответ: 0,122.

2.55. Туристы выходят из пункта П1, выбирая всякий раз на раз вилке дорог дальнейший путь наудачу. Найти вероятность того, что они попадут в пункт П2. Схема дорог следующая:

H1 П H H3 H П Рис. Ответ: 67/120.

2.56. На трёх различных станках изготавливаются одинаковые детали.

Производительность 1- го станка за смену составляет 40 деталей, вто рого – 35, третьего – 25 деталей. Известно, что 2, 3 и 5% продукции этих станков соответственно имеют скрытые дефекты. В конце смены на контроль взята деталь. Найти вероятность того, что она с дефектом.

Ответ: 0,031.

2.57. На столе п экзаменационных билетов. Студент знает ответы на т билетов. Когда вероятнее студенту взять "счастливый" билет, если он подойдёт к столу первым или вторым?

Ответ: m/n, т. е. одинаково вероятно.

2.58. В каждой из трёх коробок содержится 6 чёрных и 4 белых шара.

Из первой коробки во вторую переложен шар, после чего из второй коробки в третью переложен тоже шар. Найти вероятность того, что взятый наудачу из третьей коробки шар оказался белым.

Ответ: 0,4.

2.59. С первого автомата на сборку поступает 40%, со второго – 30%, с третьего – 20%, с четвёртого – 10% всех деталей. Среди деталей, изго товленных на первом автомате, 0,1% бракованных, на втором – 0,2%, третьем – 0,25%, четвёртом – 0,5%. Найти вероятность того, что посту пившая на сборку деталь бракованная. Ответ: 0,002.

2.60. Брак вида A (брак А) в продукции завода составляет 5%, причём среди забракованной по этому виду продукции в 10% случаев встреча ется и брак вида B (брак В), а в продукции, свободной от брака A, брак B встречается в 1% случаев. Найти вероятность не встретить брак B во всей продукции. Ответ: 0,9855.

2.61. С первого автомата на сборку поступает 40%, со второго – 30%, с третьего – 20%, с четвёртого – 10% деталей. Первый автомат даёт в среднем 0,2% брака, второй – 0,3%, третий – 0,1%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.

Ответ: 0,0018.

2.62. Обследовано 200 пар отцов с сыновьями с целью проверки, имеет ся ли зависимость между их профессиями. Среди этих пар оказалось отцов и 50 сыновей, имеющих одинаковую профессию, причём у 25 сы новей профессия совпадает с профессией отца. Найти вероятность того, что 1) у отца и сына совпадают профессии, 2) у отца и сына профессии не совпадают, причём из-за отца.

Ответ: 1) 0,625;

2) 0,15625.

2.63. Радиолокационная станция ведёт наблюдение за объектом, кото рый может применять или не применять помехи. Если объект не приме няет помех, то за один цикл обзора станция обнаруживает его с вероят ностью p0, если применяет, то с вероятностью р1 ( p1 p0 ). Вероятность того, что во время цикла применены помехи, равна р2 и не зависит от того, как и когда применялись помехи в других циклах. Найти вероят ность того, что объект может быть обнаружен хотя бы один раз за n Ответ: 1 (1 (1 p2 ) p0 p2 p1 ).

n циклов обзора.

2.64. Радиолампа может принадлежать одной из трёх партий с вероят ностями р1, р2, р3, где p1 = p3 = 0, 25, p2 = 0,5. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны соответственно 0,1, 0,2, 0,4. Найти вероятность события: наудачу взятая радиолампа проработа ет заданное число часов. Ответ: 0,225.

2.65. Пятнадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Студент знает ответы только на 25 вопросов.

Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого дос таточно ему ответить на два вопроса из одного билета или на один во прос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из дру 25 24 25 5 5 25 24 ++ = гого билета. Ответ:.

30 29 30 29 30 29 28 2.66. В первой урне содержались два белых и три чёрных шара, во вто рой – три белых и два чёрных, в третьей – четыре белых и два чёрных.

Наудачу выбранный шар из первой урны переложили во вторую, после чего наудачу выбранный шар из второй урны переложили в третью, а из третьей – в первую. Найти вероятность того, что в первой урне оказался первоначальный по цвету состав шаров.

2 4 5 2 2 4 3 3 2 3 3 3 Ответ: + + + = 0,48.

5 6 7 5 6 7 5 6 7 5 6 7 2.67. Прибор состоит из двух дублирующих друг друга узлов A и В, со единённых параллельно, и может случайным образом работать в одном из двух режимов: благоприятном и неблагоприятном. В благоприятном режиме надёжность каждого из узлов равна p1, в неблагоприятном – p2.

Вероятность того, что прибор будет работать в благоприятном режиме, равна p3, в неблагоприятном (1 p3 ). Найти надёжность прибора (веро ятность безотказной работы).

( ) ( ) Ответ: p3 1 (1 p1 ) + (1 p3 ) 1 (1 p2 ).

2 2.68. На телефонную станцию поступает случайный поток вызовов. Ве роятность поступления к вызовов за время t равна pk ( t ) ( k = 0, 1, 2...).

Число вызовов, поступивших за промежуток времени t, не зависит от того, сколько вызовов поступило до или после этого промежутка. Найти вероятность того, что за промежуток времени 2t поступит l вызовов.

l l Ответ: P ( A ) = P ( H k )P ( A / H k ) = pk ( t ) pl k ( t ).

k =0 k = 2.69. В магазин поступают пальто от трех фабрик. Продукция первой фабрики содержит 30% изделий 48-го размера, второй – 40%, третьей – 35%. С какой вероятностью покупатель будет иметь возможность при обрести пальто 48-го размера, если в магазине на продажу выставлены 30% пальто первой фабрики, 20% – второй и 50% – третьей?

Ответ: 0,345.

2.70. В группе студентов три отличника, пять студентов успевают хо рошо, а шесть занимаются слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки, «хорошисты» – с равной веро ятностью хорошие и отличные оценки. Остальные студенты могут с одинаковой вероятностью получить хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для ответа на экзамене вызывают вы бранного наугад студента. Какова вероятность того, что он получит оценку «хорошо»? Ответ: 0,46.

Какова вероятность того, что экзамен сдавал слабо занимающийся сту дент, если экзамен сдан на «хорошо»? (Ответ: 0,3) 2.71. Имеется n урн, в каждой из которых a белых шаров и b черных. Из первой урны во вторую переложили один шар, затем из второй в третью тоже один шар и так далее до n-й урны, из которой извлекли шар. Найти вероятность того, что он белый. Ответ: a/(a+b).

2.72. В первом ящике три белых и пять черных шаров. Во втором – шесть белых и восемь черных шаров. Из первого ящика во второй пере кладываются два наудачу извлеченных шара. После этого из второго ящика наудачу извлекается один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый. Ответ: 0,48.

Найти вероятность того, что из первого ящика извлечены черные шары, если известно, что из второго ящика извлечен белый шар.

Ответ: 0,28.

2.73. Курс рубля повышается в течение квартала с вероятностью 0,9 и понижается с вероятностью 0,1. При повышении курса рубля фирма рассчитывала получить прибыль с вероятностью 0,85, а при понижении – 0,5. Найти вероятность того, что фирма получит прибыль.

Ответ: 0,815.

2.74. В коробке 20 воланов для бадминтона. Из них 14 новых и 6 ранее использованных. Для первой игры наудачу выбирают три волана, после игры их возвращают назад в коробку. Для второй игры вновь наудачу из коробки достают еще два волана. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться одним новым и одним старым воланами?

Ответ: 0,51.

2.75. На полке десять старых и шесть новых CD-дисков. Наудачу извле каются четыре диска и заменяются на новые. После этого вновь наудачу достают два диска. Найти вероятность того, что эти диски новые.

Ответ: 0,27.

Найти вероятность того, что первоначально извлеченные диски старые, если во второй раз с полки были сняты оба новых. Ответ: 0,16.

2.6. Формула Байеса Пусть находимся в условиях постановки задачи для формулы полной вероятности. Известно, что P ( AH i ) = P ( A ) P ( H i / A ) = P ( H i ) P ( A / H i ).

Тогда условная вероятность P ( H i / A ) гипотезы Нi при условии, что событие А произошло, определится по формуле P ( Hi ) P ( A / Hi ) P ( H i / A) =, P ( A) которая называется формулой Байеса. Эта формула позволяет пере смотреть вероятности гипотез после наступления события А.

Замечания:

1. Значение Р(А) вычисляется по формуле полной вероятности.

2. Числитель формулы является i-м слагаемым в формуле полной ве роятности.

3. Формула Байеса применяется в задачах, в которых исходное собы тие произошло.

2.76. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит цель из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95, а из винтовки без оптического при цела – 0,8. Стрелок поразил цель. Что вероятнее, стрелял он из винтов ки с оптическим прицелом или без него?

Ответ:19/43, 24/43.

2.77. Имеется три партии деталей по 20 штук в каждой. Число деталей в первой, во второй и в третьей соответственно равно 20, 15 и 10. Из наудачу выбранной партии извлечена деталь, оказавшаяся стандарт ной. Деталь возвращается обратно, и вторично из этой же партии нау дачу извлекается деталь, которая тоже оказывается стандартной. Най ти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.

Ответ:4/29.

2.78. На полке стоят 5 видеокассет с записями концертов и 8 кассет с записями фильмов. С полки наугад убраны 3 кассеты, а из оставшихся на ней случайным образом выбирают две. Выбранные две кассеты ока зались с записями концертов. Найти вероятность того, что изъятые пер воначально все 3 кассеты содержали записи фильмов.

Решение. Пусть А – исходное событие, т. е. две извлеченные кассеты содержали записи концертов.

Введем следующие гипотезы, отражающие состав трех убранных кассет:

Н0 – все кассеты с фильмами;

Н1 – одна кассета с концертом и две с фильмами;

Н2 – две кассеты с концертами и одна с фильмом;

Н3 – все кассеты с концертами.

Гипотезы Н0, Н1, Н2, Н3 образуют полную группу событий. При этом C83 C82C5 P ( H0 ) = 3 = ;

P ( H1 ) = 3 = ;

C13 143 C13 C8C52 1 C5 P ( H2 ) = 3 = ;

P ( H3 ) = 3 =.

C13 143 C13 Для контроля необходимо найти сумму вероятностей гипотез, кото рая должна быть равна единице:

28 70 40 P ( Hi ) = + + + = 1.

143 143 143 i = Найдем теперь условные вероятности события А в зависимости от гипотез:

C52 2 C4 P ( A / H 0 ) = 2 = ;

P ( A / H1 ) = 2 = ;

C10 9 C10 C32 1 C2 P ( A / H 2 ) = 2 = ;

P ( A / H3 ) = 2 =.

C10 30 C10 Тогда по формуле полной вероятности 28 2 70 2 40 1 51 Р( А) = P ( H i ) P( A / H i ) = + + + =.

143 9 143 15 143 30 143 45 i = Теперь можно воспользоваться формулой Байеса, из которой следует, что P ( H 0 ) P ( A / H 0 ) Р( H 0 / А) = =.

P ( A) До проведения опыта P ( H 0 ) =, т.е. вероятность гипотезы Н0 воз росла.

2.79. Экзаменационный билет по математике содержит три вопроса по трём различным, непересекающимся разделам курса. Экзамен считает ся не сданным, если студент не даёт правильного ответа, по крайней ме ре, на два вопроса. Студент Середняков подсчитал, что из первого раз дела курса он не подготовил 1/5 часть вопросов, из второго – 2/5, из третьего – 3/5. Середняков экзамен не сдал. Найти вероятность того, что Середняков не ответил на первый и третий вопросы.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что Середняков экзамен не сдал. Во время сдачи экзамена могли произойти следующие гипоте зы:

Н1 – студент не ответил на все три вопроса;

Н2 – студент не ответил на первый и второй вопросы;

Н3 – студент не ответил на первый и третий вопросы;

Н4 – студент не ответил на второй и третий вопросы;

Н5 – студент не ответил только на первый вопрос;

Н6 – студент не ответил только на второй вопрос;

Н7 – студент не ответил только на третий вопрос;

Н8 – студент ответил на все вопросы.

Можно убедиться, что эти гипотезы образуют полную группу со бытий. Пользуясь теоремой умножения вероятностей независимых со бытий, найдем вероятности гипотез:

P ( H1 ) = 0, 2 0,4 0,6 = 0,048, P ( H 5 ) = 0, 2 0,6 0, 4 = 0,048, P ( H 2 ) = 0, 2 0, 4 0, 4 = 0,032, P ( H 6 ) = 0,8 0,4 0, 4 = 0,128, P ( H 3 ) = 0,2 0,6 0,6 = 0,072, P ( H 7 ) = 0,8 0,6 0,6 = 0, 288, P ( H 4 ) = 0,8 0, 4 0,6 = 0,192, P ( H 8 ) = 0,8 0,6 0, 4 = 0,192.

Сумма всех полученных вероятностей равна 1.

По условию задачи нужно найти условную вероятность P ( H 3 / A ).

Воспользуемся формулой Байеса P( H 3 ) P( A / H 3 ) Р( H 3 / А) =, P ( A) где Р(А) вычисляется по формуле полной вероятности Р( А) = P ( H i ) P ( A / H i ) = 0,048 + 0,032 + 0,072 + 0,192 + 0 + 0 + 0 + i = + 0 = 0,344.

Тогда P ( H 3 / A) = 0,072/0,344 = 0,209.

2.80. В студенческой группе 80% юношей. 20% юношей и 35% девушек имеют мобильные телефоны. После занятий в группе обнаружен забы тый кем-то телефон. Что вероятнее, телефон потерян девушкой или юношей?

Ответ: с вероятностью 0,484 девушкой, 0,516 – юношей.

2.81. Прибор состоит из двух узлов, исправность каждого из которых необходима для работы прибора в целом. Надёжность (вероятность без отказной работы в течение времени t) первого узла равна 0,8, второго – 0,9. В результате испытаний в течение времени t прибор вышел из строя. Найти вероятность того, что в это время первый узел отказал, а второй – нет. Ответ: 0,64.

2.82. Перед посевом 80% всех семян обработали ядохимикатами. Веро ятность поражения вредителями растений, проросших из этих семян, равна 0,06. Вероятность поражения вредителями растений, проросших из необработанных семян, равна 0,3. Какова вероятность того, что взя тое наудачу растение окажется поражённым? Если растение поражено, то какова вероятность того, что оно выращено из обработанного семе ни? Ответ: 0,108;

0,444.

2.83. В условиях задачи 2.61 найти вероятность того, что оказавшаяся бракованной деталь изготовлена на первом автомате. Ответ: 0,222.

2.84. Среди поступающих на сборку деталей с первого автомата 0,1% бракованных, со второго – 0,2%, с третьего – 0,25%, с четвёртого – 0,5%. Производительности автоматов соотносятся, как 4 : 3 : 2 : 1 соот ветственно. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти веро ятность того, что она изготовлена: 1) на первом;

2) втором;

3) третьем;

4) четвёртом автомате. Проверить правильность вычислений.

Ответ: 1) 0,4004;

2) 0,3000;

3) 0,1999;

4) 0,00997.

2.85 Телеграфное сообщение состоит из сигналов “точка” и “тире”. Ста тистические данные помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 со общений “точка” и 1/3 сообщений “тире”. Известно, что сигналы “точ ка” и “тире” встречаются в отношении 5 : 3. Найти вероятность того, что принят передаваемый сигнал: 1) «точка»;

2) «тире».

Ответ: 0,75;

0,5.

2.86. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8, 7 – с ве роятностью 0,7, 4 – с вероятностью 0,6, 2 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвёл выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежит этот стрелок?

Ответ: ко второй.

2.87. Три охотника одновременно выстрелили по утке, которая была убита одной пулей. Найти вероятности того, что утка убита первым, вторым или третьим охотником, если вероятности попадания каждым из них равны соответственно 0,2, 0,4, 0,4.

Ответ: 0,103;

0,297;

0,0,620.

2.88. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно и 1 – плохо. В экзаменацион ных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный на 16, по средственно – на 10, плохо подготовленный – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероят ность того, что этот студент подготовлен: 1) отлично;

2) плохо.

Ответ: 0,58;

0,002.

2.89. Прибор состоит из двух узлов, соединённых последовательно. На дёжность (вероятность безотказной работы в течение времени Т) перво го узла равна р1, второго – р2. Прибор испытывался в течение времени Т, в результате чего обнаружено, что он вышел из строя (отказал). Най ти вероятность того, что отказал только первый узел, а второй исправен.

(1 p1 ) p2.

Ответ:

1 p1 p 2.90. На вход радиолокационного устройства с вероятностью р3 посту пает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 1 p3 – толь ко одна помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устрой ство регистрирует наличие каждого сигнала с вероятностью р1, если только помеха – с вероятностью р2. Устройство зарегистрировало нали чие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе имеет p1 p ся полезный сигнал. Ответ:.

p1 p3 + p2 (1 p3 ) 2.91. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трёх касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местополо жения и равны соответственно 0,2, 0,3, 0,5. Вероятность того, что к мо менту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распрода ны, равны для первой кассы 0,1, для второй – 0,2, для третьей – 0,7.

Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрёл билет. Най ти вероятность того, что это была первая касса.

Ответ: 0,316.

3. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ.

ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ Пусть некоторый эксперимент (опыт) проводится n раз в неизмен ных условиях. Каждое такое проведение эксперимента назовем испы танием. Эти испытания называются независимыми относительно собы тия А, если вероятность его наступления в каждом из п испытаний не зависит от результатов других испытаний. Ставится задача найти веро ятность Pn ( k ) того, что в п независимых испытаниях событие А поя вится к раз, если вероятность наступления события А в каждом испы тании постоянна и равна числу p = P ( A ).

Пусть проведено п независимых испытаний и в каких-либо к из них наступило событие А, тогда вероятность наступления к раз события А в этом варианте по теореме умножения вероятностей для независимых событий равна p k q n k, где q = 1 p. Так как число разных вариантов k равно Cn, то по теореме сложения вероятностей Pn ( k ) = Cn p k q nk.

k Это равенство называется формулой Бернулли.

3.1. Вероятность того, что футболист попадёт в ворота, равна 0,25. Най ти вероятность того, что футболист из четырёх попыток один раз попа дёт в ворота. Ответ: 0,42.

3.2. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что 4 раза вы падет цифра. Ответ: 70/256.

3.3. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,02. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 6 деталей окажется бо лее 4 стандартных. Ответ: 0,9943.

3.4. Устройство состоит из 8 работающих элементов. Вероятность от каза каждого элемента за время Т равна 0,2. Найти вероятность того, что за время Т откажет устройство, если для этого достаточно отказа хотя бы 3 элементов из 8. Ответ: 0,203.

3.5. Производится 8 выстрелов по мишени с вероятностью попадания в нее 0,7. Найти вероятность того, что число попаданий не меньше двух.

Решение. Нахождение вероятности исходного события А позволяет применить формулу Бернулли, считая каждый выстрел независимым испытанием с вероятностью успеха, равной p = 0,7 и q = 0,3.

() P ( A ) = 1 P A = 1 ( P8 ( 0 ) + P8 (1) ). Для вычисления вероятностей P8 ( 0 ) и P8 (1) применим формулу Бернулли.

P8 ( 0 ) = C8 0,70 0,38 = 0,00006561, P8 (1) = C8 0,71 0,37 = 0,00122472.

0 Тогда P ( A ) = 1 ( P8 ( 0 ) + P8 (1) ) 0,9987.

3.6. Пару одинаковых костей бросают 7 раз. Найти вероятности сле дующих событий:

А – дважды сумма очков равна 7;

В – хотя бы один раз сумма очков равна 7;

С – каждый раз сумма очков больше 7;

D – ни разу сумма очков не равна 12.

Ответ: 0,234;

0,721;

0,00218;

0,821.

3.7. Вероятность выиграть по одному лотерейному билету равна 1/7.

Найти вероятность при шести билетах выиграть: 1) по двум билетам;

2) по трём билетам;

3) не менее, чем по двум билетам;

4) не выиграть по двум билетам. Ответ: 0,1652;

0,0367;

0,2064;

0,0037.

3.8. На автобазе имеется 12 автобусов. Вероятность выхода на линию каждого из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы авто базы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 8 автобусов. Ответ: 0,9017.

3.9. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и де вочки одинаковыми, найти вероятность того, что в данной семье:

1) пять мальчиков;

2) мальчиков не менее трёх, но не более восьми.

Ответ: 63/256;

957/1024.

3.10. Прибор состоит из 10 узлов, соединённых параллельно. Надёж ность (вероятность безотказной работы в течение времени Т) для каждо го узла равна р. Узлы выходят из строя независимо один от другого.

Найти вероятность того, что за время Т: 1) откажет хотя бы один узел;

2) откажут не менее двух узлов.

Ответ: 1 (1 p ), 1 (1 p ) 10 p (1 p ).

10 10 3.11. При въезде в новую квартиру в осветительную сеть было включе но 2к новых электролампочек. Каждая электролампочка в течение года перегорает с вероятностью р. Найти вероятность того, что в течение го да не менее половины первоначально включённых лампочек придётся k Ответ: 1 C2 k p m (1 p ) 2 k m m заменить новыми..

m = 3.12. (Задача Банаха). У курящего всегда в кармане две коробки спичек.

В каждой из них было сначала по n спичек. Всякий раз, когда была не обходима спичка, он выбирал наугад одну из коробок. Очевидно, что мог наступить момент, когда он впервые достал пустую коробку, а в другой могло оказаться, например, ни одной, одна, две, …, все n спичек.

Найти вероятность того, что в указанный момент в другой коробке ока залось: 1) к спичек;

2) не более к спичек.

2 nk 2 n i 1 k Ответ: C2 nk, C2 ni.

n n 2 i =0 3.13. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника: 1) три пар тии из четырёх или пять из восьми;

2) не менее трёх партий их четырёх или не менее пяти партий из восьми?

Ответ: 1)1/4, 7/32;

2) 5/16, 93/256.

3.14. Прибор, состоящий из к узлов, работает в течение времени Т. На дёжность (вероятность безотказной работы) каждого узла за время Т равна р. По истечении времени Т прибор останавливается, техник ос матривает его и заменяет узлы, вышедшие из строя. На замену одного узла ему требуется время. Найти вероятность того, что через время после остановки прибор будет готов для нормальной работы.

k ( k 1) k Ответ: p k + kp k 1 (1 p ) + p (1 p ).

3.15. При вращении антенны радиолокатора на один оборот за время наблюдения точечной цели (самолёт, ракета) успевают отразиться 8 им пульсов. Найти вероятность обнаружения цели за один оборот антенны радиолокатора, если для этого необходимо прохождение через приём ник не менее 5 импульсов, а вероятность подавления импульса помехой в приёмнике равна 0,1, и подавления различных импульсов помехами суть независимые события. Ответ: 0,999976.

3.16. В некотором регионе живут 20% брюнетов, 30% шатенов, 40% блондинов и 10% рыжих. Выбирается наугад группа из шести человек.

Найти вероятности следующих событий:

А – в составе группы не меньше четырех блондинов;

В – в группе хотя бы один рыжий;

С – в составе группы равное число блондинов и шатенов.

Ответ: Р(А) 0,455;

Р(В) 0,468;

Р(С) 0,181.

3.17. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го разме ра, равна 0,2. Найти вероятность того, что из пяти покупателей обувь этого размера понадобится: а)одному;

б)по крайней мере, одному.

Ответ: а)0, 4096;

б)0,6723.

3.18. Тест состоит из пяти вопросов, на каждый из которых дается че тыре варианта ответа, причем правильный из них один. Найти вероят ность того, что студент, выбирающий каждый раз ответ наудачу, даст:

а) три правильных ответа;

б) не менее трех правильных ответов.

Ответ: а)0,176;

б) 0,203.

Наивероятнейшее число событий np q k0 np + p 3.19. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2.

Испытано 9 приборов. Найти наивероятнейшее число отказавших при Ответ: k = 1, 2;

0,302.

боров и вероятность этого события.

3.20. Вероятность того, что случайный пассажир опоздает к моменту отправления поезда, равна 0,02. Найти наиболее вероятное число опо здавших из 855 пассажиров. Ответ: 17.

3.21. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,8.

Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность такого исхода стрельбы, если сделано 9 выстрелов. Ответ: 7 или 8;

0,302.

3.22. Вероятность того, что денежный приёмник автомата при опуска нии одной монеты сработает неправильно, равна 0,97. Сколько нужно опустить монет, чтобы наивероятнейшее число случаев правильной ра боты автомата было равно 100? Ответ: 103.

3.23. Сколько нужно посеять семян, всхожесть которых составляет 70%, чтобы наивероятнейшее число невзошедших семян было равно 60?

Ответ: 199 n 202.

Асимптотические формулы в схеме Бернулли Если число испытаний достаточно велико ( n 30 ), то использова ние формулы Бернулли нецелесообразно в силу необходимости выпол нения громоздких вычислений. Поэтому применяют асимптотические (приближённые) формулы.

Формула Пуассона Если npq 10 и p 0,5 (близко к нулю), то можно применять формулу Пуассона (формулу редких явлений):

k Pn ( k ) e, где = np.

k!

Замечание: для нахождения значений Pn ( k ) можно пользоваться табли цей (прил. 3).

3.24. Некоторое электронное устройство выходит из строя, если отка жет определённая микросхема. Вероятность её отказа в течение часа работы равна 0,004. Найти вероятность того, что за 1000 часов рабо ты устройства придётся 5 раз менять микросхему.

Ответ: 0,1563;

по формуле Бернулли 0,1566.

3.25. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено: а) три изделия;

б) менее 3 изделий;

в) более 3 изделий;

г) хотя бы одно изделие. Ответ: 0,0613;

0,9197;

0,019;

0,6321.

3.26. Устройство состоит из большого числа независимо работающих элементов с очень малой (одинаковой ) вероятностью отказа каждого элемента за время Т. Найти среднее число отказавших элементов за время Т, если вероятность того, что за это время откажет хотя бы один элемент, равна 0,98.

Решение-ответ: e = 1 0,98 = 0,02 =3,9 4.

3.27. Вероятность смерти человека на 21-м году жизни равна 0,006. За страхованы 1000 человек в возрасте 20 лет. Найти вероятность того, что в течение года для страховой компании наступит 5 страховых случаев.

Ответ: 0,16.

3.28. Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,008. Найти наивероятнейшее число бракованных деталей из 1000 изготовленных и вероятность этого события. Ответ: 0,1396.

3.29. Для проверки партии из 1000 изделий, содержащей 4 бракован ных, произведена выборка 50 изделий. Найти вероятность того, что в этой выборке не окажется бракованных изделий. Сравнить точное зна чение этой вероятности с приближённым, найденным по формуле Пуас сона. Ответ: 0,814;

0,819.

3.30. Найти среднее число опечаток на странице рукописи, если вероят ность того, что страница рукописи содержит хотя бы одну опечатку, равна 0,95. Предполагается, что распределение вероятностей числа опе Ответ: e = 0,05;

3.

чаток подчинено закону Пуассона.

3.31. В страховой компании застраховано 10000 автомобилей. Вероят ность поломки любого автомобиля в результате аварии равна 0,006. Ка ждый владелец застрахованного автомобиля платит в год 2000 рублей страховых и в случае поломки автомобиля в результате аварии получает от компании 50000 рублей. Найти вероятность того, что по истечении года работы страховая компания потерпит убыток.

Ответ: практически невозможное событие, т.е. 0.

3.32. Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу нали чия помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найти вероятности следующих событий:

А – в принятом тексте, содержащем 1100 цифр, будет меньше 20 оши бок;

В – в этом тексте будет сделано ровно 7 ошибок.

Ответ: Р(А) 0,9964;

Р(В) 0,0176.

3.33. Прядильщик обслуживает 1000 веретён. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероят ность того, что в течение одной минуты обрыв произойдёт в пяти вере Ответ: P ( 5 ) = 0,156.

тёнах. 3.34. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Какое из двух событий вероятнее: 1) в течение одной мину ты позвонят 3 абонента;

2) в течение одной минуты позвонят 4 абонен Ответ: P ( 3) = 0,090 ;

P ( 4 ) = 0,036.

та? 100 3.35. Производятся независимые испытания, в каждом из которых собы тие А может появиться с вероятностью 0,001. Найти вероятность того, что при 2000 испытаниях событие А наступит не менее двух и не более четырех раз.

22 2 23 2 24 Решение-ответ: P2000 ( 2 k 4 ) = e + e + e 0,541.

2! 3! 4!

3.36. Рукопись объёмом в 1000 страниц машинописного текста содер жит 1000 опечаток. Найти вероятность того, что наудачу взятая страни ца содержит: а) хотя бы одну опечатку;

б) ровно 2 опечатки;

в) не менее двух опечаток. Ответ: а) 0,63;

б) 0,185;

в) 0,2642.

3.37. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,001.

Произведено 5000 выстрелов. Найти вероятность попадания в цель дву мя и более выстрелами. Ответ: 0,96.

Локальная формула Муавра-Лапласа Если npq 10, то применяется локальная формула Муавра-Лапласа k np 1 x Pn ( k ), где ( x ) = e.

npq npq Замечания: 1) ( x ) = ( x ) ;

2) для значений функции ( x ) есть специ альные таблицы (прил. 1).

3.38. Найти вероятность того, что событие А наступит 70 раз в испытаниях, если вероятность наступления этого события в каждом ис пытании равна 0,25. Ответ:0,0231.

3.39. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорождённых окажутся 50 мальчиков.

Ответ: 0,0782.

3.40. Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти вероятность того, что Ответ:0,6542 / N.

герб выпадет N раз.

3.41. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что из 200 родившихся детей мальчиков и девочек – поровну.

Ответ: 0,052.

3.42. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,4. Най ти вероятность 100 попаданий из 320 выстрелов. Ответ: 0,0003.

3.43. Найти вероятность того, что 500 посеянных семян не взойдёт 130, если всхожесть семян составляет 75%. Ответ: 0,036.

3.44. Найти вероятность того, что в 400 испытаниях некоторое событие появится 104 раза, если вероятность наступления его в каждом испыта нии равна 0,2. Ответ: 0,0006.

3.45. На факультете 730 студентов. Найти вероятность того, что у 3 студентов день рождения 1-го января. Ответ: 0,22.

3.46. Применяя 1) формулу Бернулли, 2) локальную теорему Лапласа, 3) формулу Пуассона, найти вероятность того, что среди 200 человек ока жется четверо левшей, если в среднем левши составляют 1%. Объяснить результат вычислений.

Ответ: 1) 0,0929;

2) 0,1038;

3) 0,090224.

Интегральная формула Муавра-Лапласа Для вычисления в схеме Бернулли вероятности того, что число k событий А в n испытаниях окажется в промежутке от k1 до k2, ис пользуется интегральная формула Муавра-Лапласа:

P ( k1 k k2 ) = Ф ( x2 ) Ф ( x1 ), t x k1 np k np 1 и Ф( x) где x1 =, x2 = 2 e 2 dt – функция Лапласа.

2 npq npq Замечания:

1) Ф ( x ) = Ф ( x ) ;

2) для значений функции Лапласа есть специальные таблицы (прил. 2);

3) при x 5 Ф ( x ) 0,5.

3.47. Вероятность наступления события А в каждом из 100 испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А появится:

а) не менее 75 и не более 90 раз;

Ответ: 0,8882.

б) не менее 75 раз;

Ответ: 0,8944.

в) не более 74 раз. Ответ: 0,0668.

3.48. Вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаний равна 0,8. При каком наименьшем значении п можно ожидать с вероятностью 0,9, что событие А появится не менее 75 раз?

75 0,8n Ответ: n = 100, так как = 1, 28.

0, 4 n 3.49. В каждый танк выпускают одиночные снаряды и перестают стре лять, как только он подбит. Вероятность поражения танка при одном выстреле из противотанкового орудия, делающего 12 выстрелов в ми нуту, равна 0,15. Сколько нужно иметь орудий, чтобы вероятность под бить все 20 танков противника в течение трех минут была больше 0,9?

Решение. Пусть необходимое число орудий равно n, причем n 1. За три минуты они сделают 36n выстрелов, причем число попаданий среди них должно быть не менее 20 с вероятностью не меньше 0,9. Поскольку число попаданий не менее 20, значит, возможное число попаданий к принадлежит промежутку [20, 36n]. Тогда по интегральной формуле Лапласа 30,6 n 20 5, 4n P ( 20 k 36n ) = Ф Ф = 4,59n 4,59 5, 4n ( ) = Ф 14,3 n + Ф 0,9.

4,59n В силу монотонного возрастания функции Лапласа Ф(х) ( ) Ф 14,3 n Ф (14,3) 0,5, так как n 1, 5,4n 20 5,4n поэтому имеем 0,5 + Ф 0,9, откуда Ф 0, 4.

4,59n 4,59n Используя таблицы значений функций Лапласа, наименьшее значе 5,4n = 1, 28. Решив это уравнение, по ние n найдем из уравнения 4,59n лучим, что n 4,84. Таким образом, необходимо иметь не менее 5 ору дий для поражения всех танков противника с указанной в условии зада чи вероятностью.

3.50. При штамповке металлических клемм получается в среднем 90% годных. Найти вероятность наличия от 790 до 820 штук годных клемм из 900. Ответ: 0,8533.


3.51. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 750 покупателей не более 120 потребуют обувь этого размера. Ответ: 0,9970.

3.52. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень бу дет поражена: 1) не менее 70 и не более 80 раз;

2) не более 70 раз.

Ответ: 0,7498;

0,1251.

3.53. Радиотелеграфная станция принимает цифровой текст. В силу на личия помех вероятность ошибочного приёма любой цифры не изменя ется в течение всего приёма и равна 0,01. Считая приёмы отдельных цифр независимыми событиями, найти вероятность того, что в тексте, содержащем 1100 цифр, число неверно принятых будет не меньше 20.

Ответ: 0,9953.

3.54. Проверкой качества изготовляемых на заводе часов установлено, что в среднем 98% из них отвечают предъявляемым требованиям, а 2% нуждаются в дополнительной регулировке. Приемщик проверяет каче ство 30 изготовленных часов. Если при этом среди них обнаружится или более часов, нуждающихся в дополнительной регулировке, вся пар тия возвращается на завод для доработки. Определить вероятность то го, что партия будет принята. Ответ: 0,9438.

Отклонение частоты от среднего значения в независимых испытаниях P ( k np ) = 2Ф npq 3.55. Вероятность появления события А в каждом из 10000 незави симых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что частота по явления события отклонится от среднего значения числа его появле ний по абсолютной величине не более, чем на 100. Ответ: 0,9971.

3.56. Вероятность появления события А в каждом из n независимых ис пытаний равна 0,2. Найти наименьшее число n испытаний, при кото ром с вероятностью 0,99 можно ожидать, что частота появления собы тия отклонится от среднего числа по абсолютной величине не более чем на 27. Ответ: 690.

3.57. Вероятность появления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. В каких границах с вероятностью 0,77 находится Ответ: = 18, 432 k 468.

частота появления события?

3.58. В библиотеке 100 томов учебной и справочной литературы, со держащей таблицы по теории вероятностей. Вероятность выдачи каж дой из них в течение дня – 0,8. Какое максимальное число книг указан ной тематики будет выдано в течение дня с вероятностью 0,999?

Ответ: 92.

3.59. Вероятность того, что семя прорастёт, равна 0,9. Сколько семян нужно посадить, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что Ответ: n 177.

не менее 150 из них прорастет?

Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях n k P p = 2Ф n pq 3.60. Вероятность появления события А в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная час тота появления события отклонится от его вероятности по абсолют ной величине не более чем на 0,04. Ответ: 0,9876.

3.61. Вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний равна 0,5. Найти наименьшее число n испытаний, при ко тором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная часто та появления числа события отклонится от его вероятности по абсолют ной величине не более чем на 0,02. Ответ: 900.

3.62. Вероятность появления события А в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. В каких границах с вероятностью 0,99 находится Ответ: = 20, 300 k 340.

частота появления события?

3.63. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле из винтовки равна 0,8. Какова вероятность того, что при 500 выстрелах частота по паданий в мишень отклонится от вероятности P не более чем на 0,04 (по абсолютной величине)? Ответ: 0,9488.

3.64. Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний постоянна и равна P = 0,75. Найти вероятность того, что от носительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,0001.

Ответ: 0,182.

3.65. Вероятность попадания в мишень в каждом из 800 выстрелов рав на 0,3. В каких границах будет находиться относительная частота попа даний, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна 0,9624?

Ответ: 0,3 ± 0,0337.

3.66. Вероятность появления события в каждом из независимых испы таний постоянна и равна p = 0, 2. Найти величину отклонения относи тельно частоты появления событий от его вероятности, которую можно ожидать с вероятностью p = 0,9128 в 5000 испытаниях.

Ответ: 0,00967.

3.67. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3.

Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с вероятностью 0,996 от клонение частоты попадания от вероятности не превзошло по абсолют ной величине 0,04? Ответ: 1089.

3.68. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью, равной 0,6, ожидать отклонения относительной частоты появления герба от ве роятности по абсолютной величине не более чем на 0,01?

Ответ: 1764.

3.69. При массовом производстве продукции и установившемся процес се производства 4% изделий выходят бракованными. Сколько изделий следует отобрать, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что среди них доля бракованных по абсолютной величине отличается от вероятности брака не более чем на 0,02? Ответ: 639.

3.70. Вероятность смерти человека на 21-м году жизни равна 0,006. При наступлении страхового случая компания выплачивает наследникам руб. На год застраховано 10000 человек в возрасте 20 лет. Какой следу ет установить минимальный страховой взнос, чтобы вероятность стра ховой компании оказаться к концу года в убытке была не больше 0,1?

Ответ: 3,5 р.

4. СЛУЧАЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 4.1. Основные понятия Числовая величина называется случайной, если она может принять одно из возможных своих значений, заранее неизвестное.

Если множество значений случайной величины X дискретно, т.е.

X = { x1, x2,..., xn }, то случайная величина называется дискретной.

Например, число бракованных деталей в случайно отобранной партии, число светофоров, пройденных автомобилем без остановки, число ро дившихся мальчиков в течение суток в определённой стране – дискретные величины.

Произведением числа на случайную величину Х называется случай ная величина Y = X, возможные значения которой равны xi, где xi X.

Суммой двух случайных величин Х и Y называется случайная величина Z=X+Y, возможные значения которой равны xi + y j, где xi X, а yi Y.

Произведением двух случайных величин X и Y называется случайная величина Z=XY, возможные значения которой равны xi y j, где xi X, а y j Y.

4.1. Пусть Х = {1,2,3} и Y = {4,7,11}. Тогда Z = X+Y ={5, 8, 12, 6, 9, 13, 7, 10, 14}, Z = XY = {4,7,11,8,14,22,12,21,33}, Z = 5Х = {5,10,15}.

4.2. Закон распределения. Функция распределения Принятие случайной величиной X одного из возможных своих значений можно рассматривать как случайное событие. Каждому случайному событию можно поставить в соответствие вероятность его наступле ния.

X = { x1, x2,..., xn }. События Пусть задана случайная величина ( ) X = xi, i = 1, n образуют полную группу, т.е. выполнены следующие условия:

( ) ( ) а) ( X = xi ) X = x j =, i, j = 1, n, i j ;

n б) P ( X = xi ) = 1.

i = Законом распределения случайной дискретной величины X (СДВ) на зывается соотношение, устанавливающее связь между событиями ( ) X = xi, i = 1, n и вероятностями их наступления. Одним из способов задания закона распределения является табличный:

Х х1 х2... хi... хn рi р1 р2... рi... рn n Здесь pi = P ( X = xi ) и рi = 1. Две случайные величины называются i= независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от то го, какие возможные значения приняла другая.

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), задающая вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем х, т. е.

F ( x) = P( X x).

Для случайной дискретной величины X функция распределения принимает вид F ( x ) = P ( X = xi ).

xi x 4.2. В партии из 8 деталей пять стандартных. Составить закон распре деления числа стандартных деталей среди 4 отобранных.

Ответ:

Х 1 2 3 рi 1/14 6/14 6/14 1/ 4.3. Завод получает сырьё на автомашинах от трёх независимо ра ботающих поставщиков. Вероятность прибытия автомашины от пер вого поставщика равна 0,2, от второго – 0,3, от третьего – 0,1. Соста вить закон распределения числа прибывших автомашин.

Х 1 2 3 Ответ:

рi 0,504 0,398 0,092 0, 4.4. Составить закон распределения числа попаданий стрелком в цель при 4 выстрелах, если вероятность попадания им при одном выстреле равна 0,1.

Ответ: Х 1 2 3 0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0, рi 4.5. Произведены последовательные испытания пяти приборов на на дёжность. Каждый следующий прибор испытывается в том случае, если предыдущий прибор оказался надёжным. Построить ряд распределения числа испытанных приборов, если надёжность (вероятность выдержать испытание) каждого из них равна 0,9. Построить многоугольник рас пределения.

1 2 3 4 X Ответ:

pi 0,1 0,09 0,081 0,0729 0, 4.6. Случайная величина Х может принимать следующие значе ния: x1 = 2, x2 = 5, x3 = 8. Известны вероятности первых двух возможных значений: p1 = 0, 4, p2 = 0,15. Найти p3 = P ( X = 8 ). Ответ: 0,45.

4.7. Игральная кость брошена три раза. Написать закон распределения числа появления шестёрки.

0 1 2 X Ответ: pi 0,579 0,347 0,069 0, 4.8. Составить закон распределения числа наступления события A в 3 независимых испытаниях, если вероятность наступления события A в каждом испытании равна 0,6.

0 1 2 X Ответ:

pi 0,064 0,288 0,432 0, 4.9. В шестиламповом приёмнике (все лампы различные) перегорела одна лампа. С целью устранения неисправности наудачу выбранную лампу заменяют заведомо годной из запасного комплекта, после чего сразу проверяется работа приёмника. Составить закон распределения числа заменённых ламп.

Ответ: 1 2 3 4 5 X pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/ 4.10. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4. Со ставить закон распределения числа выстрелов, произведённых до пер вого поражения цели.


0 1 2 … n … X Ответ: pi 0,4 0,24 0,144 … 0,6n1 0, 4 … 4.11. Опыт проводится с помощью серии одинаковых приборов, кото рые включаются один за другим через 5 с. Время срабатывания прибора 16 с. Опыт прекращается сразу же после получения благоприятного ис хода на каком-нибудь приборе. Найти ряд распределения числа вклю чённых приборов, если вероятность благоприятного исхода опыта на каждом приборе равна 0,5.

4 5 6 … n … X Ответ: … … pi 0,5 0,25 0,125 0,5n 4.12. Имеется n лампочек, каждая из них с вероятностью p имеет де фект. Лампочка ввинчивается в патрон, после чего включается ток. Если лампочка перегорает, она сразу же заменяется другой. Опыт заканчива ется, если включённая лампочка не перегорит. Рассматривается случай ная величина Х – число лампочек, которые будут испробованы. Постро ить её ряд распределения.

1 2 … n n X Ответ:

p n2 q p n q pq pi … 4.13. Найти функцию распределения числа попаданий в цель, если про изведено 6 выстрелов, а вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2. Пользуясь этой функцией, вычислить вероятность того, что цель будет поражена не менее одного, но не больше пяти раз.

0 1 2 3 4 5 X pi 0,2621 0,3932 0,2458 0,0819 0,0154 0,0015 0, Ответ:

P (1 k 5 ) = 0,7378.

4.14. Сколько изюма должны в среднем содержать сдобные булочки, чтобы вероятность иметь хотя бы одну изюминку в булочке была 0,99.

Предполагается, что распределение вероятности числа изюминок в бу лочке подчинено закону Пуассона. Ответ: 5.

4.15. В лотерее на 1000 билетов разыгрываются три вещи, стоимость ко торых – 200, 60 и 30 руб. Составить закон распределения величины вы игрыша для лица, имеющего один билет.

0 30 60 X Ответ: pi 0,997 0,001 0,001 0, 4.16. Вероятность, что в каждой из 4 библиотек города есть необходи мая студенту книга, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, чтобы взять нужную книгу.

X1 2 3 Ответ: pi 0,3 0,21 0,147 0, 4.17. Пусть X и Y – числа очков, выбиваемых соответственно первым и вторым стрелком одним выстрелом. Известны законы распределения случайных величин X и Y:

Y 2 3 4 Х 3 4 qj 0,1 0,1 0,5 0, pi 0,1 0,4 0, Составить закон распределения суммы чисел очков, выбиваемых двумя стрелками.

Х +Y 5 6 7 8 9 Ответ:

rk 0,01 0,05 0,14 0,28 0,37 0, 4.18. Даны законы распределения двух случайных величин X и Y:

Х -1 0 1 Y 0 1 qj pi 0,2 0,3 0,5 0,1 0,3 0, Составить закон распределения случайной величины X Y.

ХY -3 -1 0 1 Ответ:

rk 0,12 0,06 0,37 0,15 0, 4.19. Даны две независимые случайные величины X 1 и X 2, заданные за конами распределения:

X 1 -1 0 X2 1 1 2 pi 0,2 0,3 0,5 pi 0,1 0,2 0,3 0, Составить законы распределения случайных величин X = X1 + X 2, Y = X1 X 2.

-1 0 1 2 3 X Ответ:

0,02 0,07 0,17 0,27 0,27 0, rk Y -3 -2 -1 0 1 2 q j 0,08 0,06 0,04 0,37 0,10 0,15 0, 4.20. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия рав на 0,4. Производится 6 выстрелов. Составить закон распределения чис ла: а) X 1 попаданий в цель;

б) X 2 непопаданий в цель.

5 X1 0 1 2 3 Ответ:

pi 0,047 0,187 0,311 0,276 0,138 0,037 0, X2 0 1 2 3 4 5 pi 0,004 0,037 0,138 0,276 0,311 0,187 0, 4.21. Команда состоит из двух стрелков. Числа очков, выбиваемых ка ждым из них, являются случайными величинами Х1 и Х2, заданными законами распределений:

X1 3 X2 4 5 3 4 pi 0,3 0,4 0,3 pi 0,1 0,2 0,3 0, Каждый участник команды делает по одному выстрелу. Составить закон распределения числа очков, выбиваемых командой.

X 5 6 7 8 9 Ответ:

0,06 0,11 0,16 0,26 0,26 0, рi 4.22. Даны две независимые случайные величины X 1 и X 2, заданные за конами распределения:

X 1 -1 0 X2 0 1 pi 0,2 0,3 0,5 pi 0,1 0,2 0,3 0, Составить законы распределения случайных величин X = X1 + X 2, Y = X1 X 2.

X -1 0 1 2 3 Ответ:

pi 0,02 0,07 0,17 0,27 0,27 0, Y -3 -2 -1 0 1 2 pi 0,08 0,06 0,04 0,37 0,10 0,15 0, 4. 3. Числовые характеристики СДВ Математическое ожидание Пусть известен закон распределения случайной дискретной величины X = { x1, x2,..., xn } :

Х х1 х2... хi... хn рi р1 р2... рi... рn Математическим ожиданием случайной дискретной величины X = { x1, x2,..., xn } называется числовая величина, обозначаемая M ( X ) n и равная: M ( X ) = xi pi.

i = Замечания.

1. Математическое ожидание является "средним" значением случай ной величины Х, около которого группируются все возможные её значе ния.

2. Размерность математического ожидания совпадает с размерно стью случайной величины Х.

Свойства математического ожидания 1. M ( C ) = C.

2. M ( X ± Y ) = M ( X ) ± M (Y ).

( ) ( ) Доказательство. Пусть pi = P ( X = xi ), i = 1, m, q j = P Y = y j, ( ) n m () rij = pi, rij = q j.

j = 1, n и rij = P ( X ± Y ) = xi ± y j. Тогда i= j= mn mn mn ( ) M ( X ± Y ) = xi ± y j rij = xi rij ± y j rij = i =1 j =1 i =1 j =1 i =1 j = n n m m n m = xi rij ± y j rij = xi pi ± y j q j = M ( X ) ± M (Y ).

i=1 i= i =1 j =1 j =1 j = 3. M ( XY ) = M ( X ) M (Y ), если Х и Y независимые случайные вели чины.

() mn Доказательство. M ( XY ) = xi y j rij = i =1 j = mn m n = xi y j pi q j = xi pi y j q j = M ( X ) M (Y ).

i =1 j =1 i =1 j = Следствия:

1. M ( CX ) = CM ( X ), 2. M ( X M ( X ) ) = 0, 3. Математическое ожидание числа появлений события А в схеме Бернулли равно пр.

4.23. В партии из 8 деталей пять стандартных. Найти математическое ожидание числа стандартных деталей среди отобранных 4 деталей.

Ответ: 5/2.

4.24. Завод получает сырьё на автомашинах от трёх независимо рабо тающих поставщиков. Вероятность прибытия автомашины от первого поставщика равна 0,2, от второго – 0,3, от третьего – 0,1. Найти мате матическое ожидание числа прибывших автомашин.

Ответ: 0,6.

4.25. Найти математическое ожидание числа попаданий в мишень при выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,1.

Ответ: 0,4;

непосредственно и по следствию 3.

4.26. Производятся 4 выстрела с вероятностью попадания в цель P = 0,6, P2 = 0, 4, P3 = 0,5, P4 = 0,7. Найти математическое ожидание Ответ: M ( X ) = 2, 2.

общего числа попаданий.

4.27. В лотерее разыгрывается мотоцикл стоимостью 250 р., велосипед стоимостью 50 р. и часы стоимостью 40 р. Найти математическое ожи дание выигрыша для лица, имеющего один билет, если общее число би летов равно 100. Ответ: 3 р. 40 к.

4.28. Производится испытание деталей на надёжность. Вероятность от каза любой детали за время испытания равна 0,2. Найти математическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию подвергнуты деталей. Ответ: 2.

4.29. Найти математическое ожидание произведения числа очков, кото рые могут выпасть при одном бросании 2 игральных костей.

Ответ: 12,25.

4.30. Случайная величина x подчинена закону Пуассона с математиче ским ожиданием a = 3. Построить многоугольник распределения и функцию распределения случайной величины Х. Найти вероятность то го, что случайная величина Х примет: а) значение меньшее, чем её ма тематическое ожидание;

б) положительное значение.

Ответ: а) 0,423;

б) 0,95.

4.31. Поток заявок, поступивших на телефонную станцию, представля ет собой простейший (стационарный пуассоновский) поток. Математи ческое ожидание числа вызовов за час равно 30. Найти вероятность то го, что за минуту поступит не более двух вызовов.

Ответ: 0,0902.

4.32. Случайные величины Х и Y заданы законами распределения:

Х Y 0,2 0,5 0, а) pi 0,4 0,6 qi 0,1 0,6 0, -1 X б) Y pi 0,6 0,4 qi 0,7 0, Найти математическое ожидание случайной величины X + Y двумя способами: 1) составив закон распределения этой случайной величины;

2) пользуясь свойством математического ожидания суммы двух случай ных величин. Ответ: 1) 2,73;

2) 1,4.

4.33. Независимые случайные величины Х и Y заданы законами распре деления:

Х1 2 Y 0,5 pi 0,2 0,8 pi 0,3 0, Найти математическое ожидание случайной величины XY двумя спо собами:

1) составив закон распределения этой случайной величины;

2) пользу ясь свойством математического ожидания произведения двух случай ных величин. Ответ: 1,53.

4.34. Команда состоит из двух стрелков. Числа очков, выбиваемых каждым из них, являются случайными величинами X 1 и X 2, заданными законами распределений;

X 1 -1 0 X2 1 1 pi 0,2 0,3 0,5 pi 0,1 0,2 0,3 0, Каждый участник команды делает по одному выстрелу. Найти мате матическое ожидание числа очков, выбиваемых командой.

Ответ: 8 = 4+4;

непосредственно и по свойству 2.

5 6 7 8 9 X pi 0,06 0,11 0,16 0,26 0,26 0, Дисперсия Пусть известен закон распределения случайной дискретной величины X = { x1, x2,..., xn } Х х1 х2... хi... хn рi р1 р2... рi... рn Дисперсией случайной величины X называется числовая величина, ).

(( X M ( X )) обозначаемая D ( X ) и равная: D ( X ) = M Свойства дисперсии 1. D ( C ) = 0.

2. D ( CX ) = C 2 D ( X ).

3. D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y ), если Х и Y независимые случайные ве личины.

((( X ± Y ) M ( X ± Y )) ) = Доказательство. D ( X ± Y ) = M ) )= (( ( X M ( X ) ) ± (Y M (Y ) ) =M ) ( ( X M ( X ) ) + (Y M (Y ) ) ± 2 ( X M ( X ) ) (Y M (Y ) ) = 2 =M )= ( ( X M ( X ) ) + (Y M (Y ) ) 2 =M )( ) = D ( X ) + D (Y ).

(( X M ( X )) + M (Y M (Y ) ) 2 =M Следствия:

1. D(X-M(X)) = 0.

2. D ( X ) = M ( X 2 ) M 2 ( X ).

3. Дисперсия числа наступлений события А в схеме Бернулли равна npq.

Среднее квадратическое отклонение ( X ) = D( X ) Размерность среднего квадратического отклонения ( X ) совпадает с размерностью случайной величины Х.

4.35. В партии из 8 деталей пять стандартных. Найти дисперсию чис ла стандартных деталей среди 4 отобранных.

Ответ: 15/28, по определению и по формуле.

4.36. Завод получает сырьё на автомашинах от трёх независимо рабо тающих поставщиков. Вероятность прибытия автомашины от первого поставщика равна 0,2, от второго – 0,3, от третьего – 0,1. Найти дис персию числа прибывших автомашин.

Ответ: 0,46.

4.37. Найти дисперсию числа попаданий в цель при 4 -х выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,1.

Ответ: 0,36;

непосредственно и по следствию 3.

4.38. Команда состоит из двух стрелков. Числа очков, выбиваемых каждым из них, являются случайными величинами X 1 и X 2, заданными законами распределений:

3 4 X 0,3 0,4 0, pi 2 3 4 X 0,2 0,1 0,2 0, pi Каждый участник команды делает по одному выстрелу. Найти дис персию числа очков, выбиваемых командой.

Ответ: 2 = 0,6 + 1,4;

непосредственно и по свойству дисперсии 2.

5 6 7 8 9 X 0,06 0,11 0,16 0,26 0,26 0, pi 4.39. Случайная величина X задана законом распределения:

X -2 -1 0 1 pi 0,1 0,2 0,2 0,4 0, Построить многоугольник распределения. Записать выражение функции распределения. Построить график функции F ( x ). Найти математиче ское ожидание, дисперсию случайной величины. Найти вероятность то го, что случайная величина X примет значение, не превосходящее 1 по абсолютной величине.

Ответ: M ( X ) = 0, 2;

D ( X ) = 1,36 ;

P ( X 1) = 0,8.

4.40. Мишень состоит из круга и двух концентрических колец № 1 и № 2. Попадание в круг даёт 10 очков, в кольцо № 1 – 5 очков, в кольцо № – 1 очко. Вероятности попасть в круг и кольца № 1, 2 равны соответст венно 0,5, 0,3, 0,2. Для суммы очков, набранных в результате 2 попада ний, построить ряд распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.

X -2 4 9 10 15 Ответ: 0, pi 0,4 0,12 0,2 0,09 0, М(Х) = 12,6;

D(Х) = 36,02.

4.41. Испытываемый прибор состоит из 5 элементов. Вероятность отка ( ) за элементов с номером i, i = 1,5 определяется по формуле pi = 0,2 + 0,1( i 1). Вычислить математическое ожидание и дисперсию числа отказавших элементов, если отказы элементов независимы.

Ответ: M ( X ) = 2;

D ( X ) = 1,1.

4.42. Найти математическое ожидание и дисперсию:

1) числа очков при одном бросании игральной кости;

Ответ: 3,5;

35/12.

2) суммы очков при одном бросании двух игральных костей.

Ответ: 7;

35/6.

4.43. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,1. Из партии контролёр берёт деталь и проверяет её качество. Если она ока зывается нестандартной, дальнейшие испытания прекращаются, а пар тия задерживается. Если же деталь окажется стандартной, то контролёр берёт следующую. Но всего он проверяет не более пяти деталей. Вы числить математическое ожидание и дисперсию числа проверенных де талей.

0 1 2 3 4 X Ответ: 0,09 0,081 0,0729 0,06561 0, pi 0, M ( X ) = 3,7 ;

D ( X ) = 3, 298.

4.44. Дисперсия случайной величины Х равна 5. Найти дисперсию слу чайных величин: а) X 1 ;

б) 2X ;

в) 3 X + 6.

Ответ: а) 5;

б) 20;

в) 45.

4.45. Случайная величина Х может принять два значения: x1 с вероятно стью p1 = 0,3 и x2 с вероятностью p2 = 0,7, причём x2 x1. Найти зна чения x1 и x2, зная, что M ( X ) = 2,7 и D ( X ) = 0,21. Ответ: 2;

3.

4.46. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появлений собы тия A в двух независимых испытаниях, если математическое ожидание равно 0,8. Ответ: 0,48.

4.47. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появлений собы тия в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна 0,7. Ответ: 21.

4.48. Найти вероятность попадания в цель при каждом выстреле и число произведённых выстрелов, если среднее число попаданий равно 72, а среднее квадратичное отклонение случайной величины, характеризую щее число попаданий, равно 6. Ответ: p = 0,5 ;

n = 144.

Случайная величина Х задана 4.49.

Х2 4 8 законом распределения:

следующим pi 0,1 0,5 0, Найти среднее квадратическое отклонение этой величины.

Ответ: 2,2.

4.50. Случайная величина Х распределена по следующему закону:

2 4 Х pi 0,1 0,5 0, Найти M ( X 4 ) и D ( X 4 ). Ответ: 0,7;

0,21.

5. СЛУЧАЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Если множеством значений случайной величины X является число вой непрерывный промежуток, то случайная величина называется не прерывной. Например, такие случайные величины как: дальность полёта артиллерийского снаряда, размер заданного параметра изготовленной детали, время безаварийной работы станка, являются непрерывными.

5.1. Функция распределения. Плотность распределения F ( x ) = P ( X x ) – функция распределения.

Свойства функции распределения:

1. 0 F ( x ) 1 ;

F ( x ) – непрерывная функция.

2. F ( x ) – неубывающая функция: x1 x2 F ( x1 ) F ( x2 ).

Введем следующие события:

A = ( X x1 ), B = ( X x2 ), C = ( x1 X x2 ).

Тогда A + C = B, P ( B ) = P ( A ) + P ( C ) и P ( C ) = P ( B ) P ( A ). Так как P ( A ) = F ( x1 ), P ( B ) = F ( x2 ) и P ( C ) 0, то получается, что F ( x1 ) F ( x2 ).

3. lim F ( x ) = 0 ;

lim F ( x ) = 1.

x x+ 4. P ( X = ) = 0, так как lim P ( X ) = lim ( F ( ) F ( ) ) P ( ) = 0.

Следствие: P ( X ) = F ( ) F ( ).

На основании следствия из свойства 4 – функции распределения – запишем следующее равенство:

P( x X x + x) = F ( x + x) F ( x) = F ( x) ;

P( x X x + x) F ( x + x) F ( x) = F ( x ).

= lim lim x x x0 x Плотностью распределения вероятностей называется функция f ( x ) = F ( x ), следовательно, P ( x X x + x ) = f ( c ) x p ( x ), что и объясняет название функции f ( x ). График плотности распределения f ( x ) называется кривой распределения.

Свойства плотности распределения:

1. f ( x ) 0, так как f ( x ) = F ( x ), а F ( x ) – неубывающая функция.

2. P ( X ) = F ( ) F ( ) = f ( x ) dx.

+ f ( x ) dx = 1 – геометрическая интерпретация:

3.

f (x) S= 0 x Рис. x f ( t ) dt = F ( x ).

4.

5.1. Дана функция распределения 0, x, 1 F ( x ) = a sin x +, x, 4 2 4 1, x.

Требуется: 1) найти значение параметра а;

Ответ:1/2.

2) вычислить P X ;

Ответ:1/2.

4 3) построить график функции распределения.

5.2. Дана функция распределения F ( x ) случайной величины Х:

0, x 0, F ( x ) = x, x 0.

1 + x Найти: 1) плотность распределения f ( x ) ;

2) P (1 X 2 ).

0, x 0, Ответ: 1) f ( x ) = 2 x, x 0., 2) 0,3.

(1 + x 2 ) 5.3. Дана плотность распределения 0, x 0, f ( x ) = a ( x 3), 0 x 3, 0, x 3.

Требуется найти: 1) значение параметра а;

Ответ: 1/9.

3 2) найти P x 4 ;

Ответ: 1/8.

2 3) найти F ( x ) ;

0, x 0, ( x 3) Ответ: F ( x ) = + 1, 0 x 3, 1, x 3.

4) построить графики функций f ( x ) и F ( x ).

A 5.4. Функция f ( x ) =, ( x ) является плотностью вероят 1 + x ности случайной величины Х. Найти значение коэффициента A и функ цию распределения случайной величины Х, определить вероятность то го, что случайная величина Х примет значение: а) не меньше 0, но не больше 5;

б) не больше 3.

1 Ответ: A =, F ( x ) = + arctg x, P ( 0 X 5 ) = 0,437 ;

P ( X 3) = 0,898.

2A 5.5. Функция f ( x ) = x, ( x ) является плотностью вероят e + e x ности случайной величины X. Найти значение коэффициента A. Вычис лить вероятность того, что случайная величина X примет значение: а) не меньшее нуля, но не большее 2;

б) меньшее 1.

2 Ответ: A = ;

а) P ( 0 X 2 ) = arctg e 2 = 0, 414 ;

б) P ( X 1) = arctg e = 0,776.

A 5.6. Функция f ( x ) = x, ( x ) является плотностью вероят e + e x ности случайной величины X. Вычислить: а) значение коэффициента A;

б) вероятность того, что она примет значение, не меньшее 1;

б) найти функцию распределения.

2 2arctg e Ответ: а) ;

б) P ( X 1) = 1 = 0, 224, в) F ( X ) = arctg e x.

A 5.7. Функция f ( x ) равна нулю при x 1 и равна 4, если x 1 x +. Найти: а) значение A, при котором эта функция будет плот ностью вероятности некоторой случайной величины X;

б) функцию рас пределения этой случайной величины;

в) вероятность того, что случай ная величина X примет значение из интервала ( 2;

4 ) ;

г) вероятность того, что в четырёх независимых испытаниях она ни разу не попадёт в ин тервал (1;

2 ).

0, x 1, Ответ: а) 3;

б) F ( X ) = в) 7/24;

1 x 3, 1 x +;

г) 0,125 = 0,000244.

5.2. Числовые характеристики Математическое ожидание () () P ( xi X xi + xi ) = F ( xi + xi ) F ( xi ) = F xi xi = f xi xi pi.

n + + xi f ( xi ) xf ( x ) dx M ( X ) = xf ( x ) dx – определе xi = lim n i =1 ( max xi 0 ) ние математического ожидания.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение (( X M ( X )) ) = ( x M ( x )) + D( X ) = M f ( x ) dx – определение.

2 D( X ) = M ( X ) M ( X ) – формула вычисления.

2 ( X ) = D ( X ) – среднее квадратическое отклонение.

5.8. Известна плотность распределения:

0, x 0, f ( x ) = a sin x, 0 x, 0, x.

Требуется: 1) найти значение параметра а;

Ответ:1/2.

2) вычислить значения M ( X ), D ( X ) и ( X ) ;

2 0,47;

0,684.

Ответ:, 2 3) вычислить P X ;

Ответ:1/4.

3 4) построить графики функций f ( x ) и F ( x ).

5.9. График плотности вероятности случайной величины Х имеет вид f ( x) h -2 0 4 х Рис. Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, интегральную функцию (построить её график).

Ответ: 2/3, 14/9;

0, x 2, 0, x 2, 1 ( x + 2 )2, 2 x 0, x +, 2 x 0, 6 F ( x ) = f ( x) = 1 x + 1, 0 x 4, 1 1 ( x 4 )2, 0 x 4, 12 0, x 4;

1, x 4.

5.10. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величи ны X, если её плотность вероятности f ( x ) = cos 2 x на интервале ;

и равна нулю при x.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.