авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«В.Б. ГРАХОВ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В УПРАЖНЕНИЯХ И ЗАДАЧАХ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический ...»

-- [ Страница 3 ] --

2 2 Ответ: M ( X ) = 0, D ( X ) = = 0,663.

12 5.11. Кривая распределения случайной величины X представляет собой верхнюю половину эллипса с центром в начале координат и полуосями a и b. Величина a известна. Требуется найти: а) величину b и плотность вероятности;

б) математическое ожидание и дисперсию случайной ве личины X;

в) функцию распределения F ( x ).

0, x a, b, f ( x ) = a 2 x 2, a x a, Ответ: а) a a 0, x a;

a б) M ( X ) = 0, D ( X ) = ;

0, x a, 1 x a в) F ( x ) = 2 x a x + a arcsin +, a x a, 2 2 a a 1, x a.

5.12. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией 3 x 2, 0 x 1, f ( x) = Найти математическое ожидание, медиану, моду 0, x 0 и x 1.

случайной величины X. Найти функцию распределения и построить её график.

0, x 0, Ответ: ;

3 ;

1;

F ( x ) = x 3, 0 x 1, 4 2 1, x 1.

5.13. Точка брошена наудачу в круг радиуса R. Вероятность попадания точки в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональ на площади этой области. Найти функцию распределения, математиче ское ожидание и дисперсию расстояния от этой точки до центра круга.

0, x 0, R x Ответ: F ( x ) =, 0 x R, M ( X ) = R, D ( X ) =.

R 3 1, x R, 5.3. Частные случаи распределений Равномерное распределение, a x b, f ( x) = b a ba 0, x a, x b.

0 a b х Рис. 0, x a, F(x) xa F ( x) =, a x b, ba 1, x b.

a 0 b Рис. Для равномерного распределения:

(b a ), X = b a, P x =.

a+b M (X ) =, D( X ) = () ( ) ba 2 12 Показательное распределение f(x) 0, x 0, f ( x ) = x e, x 0.

0 x Рис. F(x) 0, x 0, F ( x) = x 1 e.

0 x Рис. 1 1 M ( X ) =, D ( X ) = 2, ( X ) =, P ( x ) = e x e x.

Нормальное распределение f(x) 1 xa 1 f ( x) =.

e a - a a + 0 x Рис. 1 t a x 1 2 F(x) F ( x) = e dt. 1/ 0 a x Рис. 1 1 x M ( X ) = a, D ( X ) =, f ( x ) = N ( a, ), N ( 0, 1) = e 2 = ( x).

a a, P ( X a ) = 2Ф.

P ( X ) = Ф Ф Правило 3 сигм: P ( X a 3 ) = 2Ф ( 3) = 0,9973.

5.14. Случайная величина распределена нормально с параметрами a = и = 3. Найти P (12,5 X 14 ).

Ответ: 0,044.

5.15. Случайная величина X распределена равномерно. Известно, что M ( X ) = 4, D ( X ) = 3. Найти плотность вероятности случайной величи ны X и построить её график.

0, x 1, x 7, Ответ: f ( x ) = 6, 1 x 7.

5.16. Случайная величина X является суммой 100 независимых случай ных величин, имеющих одинаковые математические ожидания M ( X k ) = 2 и дисперсии D ( X k ) = 0,16. Найти вероятность того, что возможные значения случайной величины X будут заключены в преде лах от 195 до 206.

Ответ: P (195 X 206 ) = 0,8276.

5.17. Случайная величина X является суммой 50 независимых величин X k, у которых M ( X k ) = 5, D ( X k ) = 0,5. Определить вероятность того, что отклонение случайной величины X от её математического ожидания по абсолютной величине не будет превышать 3.

Ответ: P ( x 5 3) = 0,903.

5.18. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклоне ние её контролируемого размера от проектного, которое подчинено нормальному закону с параметрами a = 20 и = 5, не превышает мм. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

Ответ: 95,44%.

5.19. Размер длины детали распределён по нормальному закону с пара метрами a = 5 и = 0,9. Найти границы, в которых с вероятностью 0, лежит размер длины детали.

Ответ: [3,236;

6,764].

5.20. Случайная погрешность измерения подчинена нормальному зако ну распределения с параметрами a = 0 и = 9 мм. Проводятся три неза висимых измерения. Найти вероятность того, что погрешность хотя бы одного измерения не превзойдет по абсолютной величине 3 мм.

Ответ: (1 0,74143 = 0,5921).

5.21. Бомбардировщик сбросил бомбы на мост длиною 60 м и шириною 12 м. Рассеяние попаданий происходит по нормальному закону с дис персией, равной 225 м2 по длине и 36 по ширине;

средняя точка попа даний – центр моста. Рассеяние по длине и ширине независимы. Найти вероятность попадания в мост при сбрасывании одной бомбы.

Ответ: 0,6515.

5.22. Диаметр деталей, изготовленных цехом, является случайной вели чиной, распределённой по нормальному закону. Дисперсия её равна 0,0001 см2, а математическое ожидание – 2,5 см. В каких границах мож но практически гарантировать диаметр детали (за практически досто верное принимается событие, вероятность которого равна 0,9973)?

Ответ: [2,47;

2,53].

5.23. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распреде лённой по нормальному закону. Пусть математическое ожидание её равно 170 см, а дисперсия – 36 см2. Найти плотности вероятности и функцию распределения этой случайной величины. Вычислить вероят ность того, что хотя бы один из наудачу выбранных четырёх мужчин будет иметь рост не менее 172 и не более 180 см. Ответ: 0,7033.

5.24. Длина изготовленной автоматом детали представляет собой слу чайную величину, распределённую по нормальному закону с парамет рами a = 15 см, = 0, 2 см. Найти вероятность брака, если допустимые значения длины детали должны быть 15 ± 0,8 см. Какую точность дли ны изготовленной автоматом детали можно гарантировать с вероятно стью 0,97?

Ответ: P ( X a 0,3) = 0,1336 ;

= 0,436.

5.25. На автомате изготовляются заклёпки. Диаметр их головок – слу чайная величина, распределённая по нормальному закону – имеет сред нее значение, равное 2 мм, и дисперсию, равную 0,01 мм2. Какие разме ры диаметра головок заклёпки можно гарантировать с вероятностью Ответ: 1,8 X 2, 2.

0,95?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Абрамова А.Б. Методические указания к решению задач по курсу "Теория вероятностей" / А.Б.Абрамова, Р.А.Вайсбурд. Свердловск :

УПИ, 1983.

2. Высшая математика. Специальные разделы / А.И.Кириллов [и др.];

под общ. ред. А.И.Кириллова М. : Физматлит, 2001.

3. Бабушкина Г.В. Руководство к решению задач по теории вероятностей / Г.В.Бабушкина, В.Б. Грахов, Г.М. Устинов. Екатеринбург : ГОУ ВПО УГТУ–УПИ, 2006.

4. Бедько И.В. Теория вероятностей и математическая статистика. При меры и задачи / И.В.Бедько, Г.П.Свирид. Минск.: Новое знание, 2002.

5. Бричикова Е.А. Справочное пособие к решению задач: Теория ве роятностей / Е.А.Бричикова, В.А.Гусак. Минск : ТетраСистемс, 1999.

6. Вентцель Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей / Е.С.Вентцель, В.А.Овчаров. М. : Высшая школа, 2000.

7. Гмурман B.E. Руководство к решению задач по теории вероятно стей и математической статистике / B.E.Гмурман. М. : Высшая шко ла, 1998.

8. Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel / Г.В.Горелова, И.А.Кацко. Ростов н/Д. : Феникс, 2002.

9. Грахов В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика: ме тодические указания / В.Б. Грахов. Екатеринбург : УрГЭУ, 1996.

10. Ежов И.Н. Элементы комбинаторики / И.Н.Ежов, А.В.Скороход, М.И.Ядренко. М. : Наука, 1977.

11. Кремлёв А.Г. Математика. Раздел: Вероятность / А.Г.Кремлёв. Ека теринбург, ГЦФВШ, 2001.

12. Крестников С.Е. Распределение случайных величин: методиче ские указания к решению задач по курсу "Теория вероятностей" / С.Е.Крестников. Екатеринбург : УПИ, 1997.

13. Сборник задач по математике для втузов. В 3 ч. Ч. 3. Теория веро ятностей и математическая статистика / А.В. Ефимов [и др.];

под ред. А.В. Ефимова. М. : Наука, 1990.

14.Теория вероятностей и математическая статистика в задачах / В.А. Ватутин [и др.]. М. : Дрофа, 2003.

ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение x t 1 Таблица значений функции Лапласа Ф ( x ) = e dt 2 х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) 0,00 0,0000 033 0,1293 0,66 0,2454 0,99 0, 0,01 0,0040 0,34 0,1331 0,67 0,2486 1,00 0, 0,02 0,0080 0,35 0,1368 0,68 0,2517 1.01 0, 0,03 0,0120 0,36 0,1406 0,69 0,2549 1,02 0, 0.04 0,0160 0,37 0,1443 0,70 0,2580 1,03 0, 0,05 0,0199 0,38 0,1480 0,71 0,2611 1,04 0, 0,06 0,0239 0,39 0,1517 0,72 0,2642 1,05 0, 0,07 0,2790 0,40 0,1554 0,73 0,2673 1,06 0, 0,08 0,0319 0,41 0,1591 0,74 0,2703 1,07 0, 0,09 0,0359 0,42 0,1628 0,75 0,2734 1,08 0, 0,10 0,0398 0,43 0,1664 0,76 0,2764 1,09 0, 0,11 0,0438 0,44 0,1700 0,77 0,2794 1,10 0, 0,12 0,0478 0,45 0,1736 0,78 0,2823 1,11 0, 0,13 0,0517 0,46 0,1772 0,79 0,2852 1,12 0, 0,14 0,1557 0,47 0,1808 0,80 0,2881 1,13 0, 0,15 0,0596 0,48 0,1844 0,81 0,2910 1,14 0, 0,16 0,0636 0,49 0,1879 0,82 0,2939 1,15 0, 0,17 0,0675 0,50 0,1915 0,83 0,2967 1,16 0, 0,18 0,0714 0,51 0,1950 0,84 0,2995 1,17 0, 0,19 0,0753 0,52 0,1985 0,85 0,3023 1,18 0, 0,20 0,0793 0,53 0,2019 0,86 0,3051 1,19 0, 0,2! 0,0832 0,54 0,2054 0,87 0,3078 1,20 0, 0,22 0,0871 0,55 0,2088 0,88 0,3106 1,21 0, 0,23 0,0910 0,56 0,2123 0,89 0,3133 1,22 0, 0,24 0,0948 0,57 0,2157 0,90 0,3159 1,23 0, 0,25 0,0987 0,58 0,2190 0,91 0,3186 1,24 0, 0,26 0,1026 0,59 0,2224 0,92 0,3212 1,25 0, 0,27 0,1064 0,60 0,2257 0,93 0,3238 1,26 0, 0,23 0,1103 0,6! 0,2291 0,94 0,3264 1,27 0, 0,29 0,1141 0,62 0,2324 0,95 0,3289 1,28 0, 0,30 0,1179 0,63 0,2357 0,96 0,3315 1,29 0, 0,31 0,1217 0,64 0,2389 0,97 0,3340 1,30 0, 0,32 0,1255 10.65 0,2422 0,98 0,3365 1,31 0, Окончание приложения х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) 1,32 0,4066 1,63 0,4484 1,95 0,4744 2,52 0, 1,33 0,4082 1,64 0,4495 1,96 0,4750 2,54 0, 1,34 0,4099 1,65 0,4505 1,97 0,4756 2,56 0, 1,35 0,4115 1,66 0,4515 l,98 0,4761 2,58 0, 1,36 0,4131 1,67 0,4525 1,99 0,4767 2,60 0, 1,37 0,4147 1,68 0,4535 2,00 0,4772 2,62 0, 1,38 0,4162 1,69 0,4545 2,02 0,4783 2,64 0, 1,39 0,4177 1,70 0,4554 2,04 0,4793 2,66 0, 1,40 0,4192 1,71 0,4564 2,06 0,4803 2,68 0, 1,41 0,4207 1,72 0,4573 2,08 0,4812 2,70 0, 1,42 0,4222 1,73 0,4532 2,10 0,4321 2,72 0, 1,43 0,4236 1,74 0,4591 2,12 0,4830 2,74 0, 1,44 0,4251 1,75 0,4599 2,14 0,4838 2,76 0, 1,45 0,4265 1,76 0,4608 2,16 0,4846 2,78 0, 1,46 0,4279 1,78 0,4625 2.18 0,4854 2,80 0, 1,47 0,4292 1,79 0,4633 2,20 0,4861 2,82 0, 1,48 0,4306 1,80 0,4641 2,22 0,4868 2,84 0, 1,49 0,4319 1,81 0,4649 2,24 0,4875 2,86 0, 1,50 0,4332 1,82 0,4656 2,26 0,4881 2,88 0, 1,51 0,4345 1,83 0,4664 2,28 0,4887 2,90 0, 1,52 0,4357 1,84 0,4671 2,30 0,4893 2,92 0, 1,53 0,4370 1,85 0,4678 2,32 0,4898 2,94 0, 1,54 0,4382 1,86 0,4686 2,34 0,4904 2,96 0, 1,55 0,4394 1,87 0,4693 2,36 0,4909 2,98 0, 1,56 0,4406 1,88 0,4699 2,38 0,4913 3,00 0, 1,57 0,4418 1,89 0,4706 2,40 0,4918 3,20 0, 1,58 0,4429 1,90 0,4713 2,42 0,4922 3,40 0, 1,59 0,4441 1,91 0,4719 2,44 0,4927 3,60 0, 1,60 0,4452 1,92 0,4726 2,46 0,4931 3,80 0, 1,61 0,4464 1,93 0,4732 2,48 0,4934 4,00 0, 0, 1,62 0,4474 1,94 0,4738 2,50 0,4938 5, Приложение 1 x Таблица значений функции ( x ) = e 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0,0 0,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3986 0,3984 0,3982 0,3980 0,3977 0, 0,1 0,3970 0,3965 0,3961 0,3956 0,3951 0,3945 0,3939 0,3932 0,3925 0, 0,2 0,3910 0,3902 0,3894 0,3885 0,3876 0,3867 0,3857 0,3847 0,3836 0, 0,3 0,3814 0,3802 0,3790 0,3778 0,3765 0,3752 0,3739 0,3726 0,3712 0, 0,4 0,3683 0,3668 0,3653 0,3637 0,3612 0,3605 0,3589 0,3572 0,3555 0, 0,5 0,3521 0,3503 0,3485 0,3467 0,3448 0,3429 0,3410 0,3391 0,3372 0, 0,6 0,3332 0,3312 0,3292 0,3271 0,3251 0,3230 0,3209 0,3187 0,3166 0, 0,7 0,3123 0,3101 0,3079 0,3056 0,3034 0,3011 0,2989 0,2966 0,2943 0, 0,8 0,2897 0,2874 0,2850 0,2827 0,2803 0,2780 0,2756 0,2732 0,2709 0, 0,9 0,2661 0,2637 0,2613 0,2589 0,2565 0,2541 0,2516 0,2468 0, 0, 1,0 0,2420 0,2396 0,2371 0,2347 0,2323 0,2299 0,2275 0,2251 0,2227 0, 1,1 0,2179 0,2155 0,2131 0,2107 0,2083 0,2059 0,2036 0,2012 0,1989 0, 1,2 0,1942 0,1919 0,1895 0,1872 0,1849 0,1826 0,1804 0,1781 0,1758 0, 1,3 0,1714 0,1691 0,1669 0,1647 0,1626 0,1604 0,1582 0,1561 0,1539 0, 1,4 0,1497 0,1476 0,1456 0,1435 0,1415 0,1394 0,1374 0,1354 0,1334 0, 1,5 0,1295 0,1276 0,1257 0,1238 0,1219 0,1200 0,1182 0,1163 0,1145 0, 1,6 0,1109 0,1092 0,1074 0,1057 0,1040 0,1023 0,1006 0,0989 0,0973 0, 1,7 0,0940 0,0925 0,0909 0,0893 0,0878 0,0863 0,0848 0,0833 0,0818 0, 1,8 0,0790 0,0775 0,0761 0,0748 0,0734 0,0721 0,0707 0,0694 0,0681 0, 1,9 0,0656 0,0644 0,0632 0,0620 0,0608 0,0596 0,0584 0,0573 0,0562 0, 2,0 0,0540 0,0529 0,0519 0,0508 0,0498 0,0488 0,0478 0,0468 0,0459 0, 2,1 0,0440 0,0431 0,0422 0,0413 0,0404 0,0396 0,0387 0,0379 0,0371 0, 2,2 0,0355 0,0347 0,0339 0,0332 0,0325 0,0317 0,0310 0,0303 0,0297 0, 2,3 0,0283 0,0277 0,0270 0,0264 0,0258 0,0252 0,0246 0,0241 0,0235 0, 2,4 0,0224 0,0219 0,0213 0,0208 0,0203 0,0198 0,0194 0,0189 0,0184 0, 2,5 0,0175 0,0171 0,0167 0,0163 0,0158 0,0154 0,0151 0,0147 0,0143 0, 2,6 0,0136 0,0132 0,0129 0,0126 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0100 0, 2,7 0,0104 0,0101 0,0099 0,1096 0,0093 0,0091 0,0088 0,0086 0,0084 0, 2,8 0,0079 0,0077 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0067 0,0065 0,0063 0. 2,9 0,0060 0,0058 0,0056 0,0055 0,0053 0,0051 0,0050 0,0048 0,0047 0, 3,0 0,0044 0,0043 0,0042 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 0,0035 0, 3,1 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 0,0025 0, 3,2 0,0024 0,0023 0.0022 0,0022 0,0021 0,0020 0,0020 0,0019 0,0018 0, 3,3 0,0017 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 0,0013 0, 3,4 0,0012 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 0,0010 0,0009 0, 3,5 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0, 3,6 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0, 3,7 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 0,0003 0,0003 0, 3,8 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0, 3,9 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0001 0, Приложение k Таблица значений функции Pn ( k ) = e k!

0,1 0,2 0,3 0,4 0, к 0 0,90484 0,81873 0,74082 0,67032 0, 1 0,09048 0,16375 0,22225 0,26813 0, 2 0,00452 0,01638 0,03334 0,05363 0, 3 0,00015 0,00109 0,00333 0,00715 0, 4 0,00006 0,00025 0,00072 0, 5 0,00002 0,00006 0, 6 0, 0,6 0,7 0,8 0,9 1, к 0 0,54881 0,49659 0,44933 0,40657 0, 1 0,32929 0,34761 0,35946 0,36591 0, 2 0,09879 0,12166 0,14379 0,16466 0, 3 0,01976 0,02839 0,03834 0,04940 0, 4 0,00296 0,00497 0,00767 0,01112 0, 5 0,00036 0,00070 0,00123 0,00200 0, 6 0,00004 0,00008 0,00016 0,00030 0, 7 0,00001 0,00002 0,00004 0, 8 0, 2,0 3,0 4,0 5,0 6, к 0 0,13534 0,04979 0,01832 0,00674 0, 1 0,27067 0,14936 0,07326 0,03369 0, 2 0,27067 0,22404 0,14653 0,08422 0, 3 0,18045 0,22404 0,19537 0,14037 0, 4 0,09022 0,16803 0,19537 0,17547 0, 5 0,03609 0,10082 0,15629 0,17547 0, 6 0,01203 0,05041 0,10419 0,14622 0, 7 0,00344 0,02160 0,05954 0,10445 0, 8 0,00086 0,00810 0,02977 0,06528 0, 9 0,00019 0,00270 0,01323 0,03627 0, 10 0,00004 0,00081 0,00529 0,01813 0, 11 0,00001 0,00022 0,00193 0,00824 0, 12 0,00006 0,00064 0,00343 0, 13 0,00001 0,00020 0,00132 0, 14 0,00006 0,00047 0, 15 0,00002 0,00016 0, 16 0,00005 0, 17 0,00001 0, ОГЛАВЛЕНИЕ Введение.……………………………………………………………… 1. Случайные события.……………………...……………………….. 2. Сложные события ………………………………………………... 3. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.….… 4. Случайные дискретные величины.……………………………… 5. Случайные непрерывные величины.……………………………. Библиографический список..……………………………….……... Приложения.…………………………...………………………...…

Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.