авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«Н. Б. Ильинский, Д. Ф. Абзалилов МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ КРЫЛОВЫХ ПРОФИЛЕЙ УСЛОЖНЕННЫЕ СХЕМЫ ТЕЧЕНИЯ; ПОСТРОЕНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ...»

-- [ Страница 2 ] --

§ 6. Отбор через кольцевой канал Одним из способов улучшения аэродинамических свойств крыла, в частности, получения больших коэффициентов подъ емной силы при безотрывном обтекании, является снабжение крыла устройством отбора внешнего потока. Известны различ ные математические модели таких устройств. В этом парагра фе используется схема отбора потока через круговой канал с постоянными скоростями на стенках, предложенная Г. Ю. Сте пановым [53].

6.1. Постановка задачи. В физической плоскости z = = x + iy искомый крыловой профиль Lz с заданной длиной хорды b обтекается плоским установившимся потоком ИНЖ (рис. 6.1) с заданной скоростью v на бесконечности. Внутрен ний к области течения угол в точке B равен 2. Щель для отбора воздуха из внешнего потока схематизируется бесконеч нолистным завитком, асимптотически переходящим в кольце вой канал шириной H = b(r2 r1 ) с постоянными скоростями v1 и v2 на его стенках (v1 v2 ). Здесь r1 и r2 – соответствен но безразмерные внутренний и внешний радиусы закругления.

Считается заданным либо безразмерная ширина h = H/b, либо безразмерный коэффициент q = Q/(v b) расхода через щель.

На искомом контуре профиля задано распределение ско рости v() с несколькими свободными параметрами, где – полярная координата в канонической области || 1 плоско сти (рис. 6.2). Соответствующие точки в плоскостях z и обозначены одинаковыми буквами. Для взаимно однозначного §6. Отбор через кольцевой канал replacemen y (z) Lz Gz b N P A x B v Рис. 6.1. Течение в физической плоскости G () P N B A u Рис. 6.2. Течение в канонической плоскости 60 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи конформного отображения областей Gz и G предполагается соответствие бесконечно удаленных точек плоскостей z и, а также переход точки z = 0 в точку = 1.

Требуется определить форму крылового профиля и его аэродинамические и геометрические характеристики.

6.2. Схема решения задачи. Обозначим через u и, соответственно, модуль и аргумент скорости на бесконечности в плоскости (рис. 6.2). Комплексно сопряженную скорость dw/d обтекания единичного круга со стоком в точке N нетруд но выписать, воспользовавшись методом особенностей (см., на пример, [15]). Получим dw ( a )( p )( 1) = u ei 2 ( n ) d или в более удобной форме dw a p 1 n = u ei 1, (6.1) 1 1 d где a = eia, p = eip, n = ein – координаты точек A, P, N на окружности || = 1 (напомним, что координата точки B равна = 1). Перейдем в (6.1) на границу области G, по ложив = ei. Учтем, что единичная окружность является линией тока и скорость направлена по касательной к ней, т. е.

dw = u()ei(+/2). Сравнив эти два выражения, опреде d =e лим распределение скорости u() по единичной окружности a p n sin sin1 (6.2) u() = 4u sin sin 2 2 2 и получим связь углов (6.3) = (a + p n ).

Циркуляцию и расход Q нетрудно выразить через пара метры u, a, p, n. Действительно, при больших значениях || поведение функции (6.1) имеет вид dw 1 = u ei 1 + (n a p 1) + O (6.4).

d §6. Отбор через кольцевой канал С другой стороны, т. к. на бесконечности поток имеет ис точник интенсивности Q и вихрь с циркуляцией, то комплекс ная скорость имеет вид, аналогичный (5.2):

dw Q + i 1 = u ei + (6.5) +O.

d Сравнив выражения (6.4) и (6.5), найдем Q = 2u [cos(n )cos(a )cos(p )cos ], = 2u [sin(n )sin(a )sin(p )+sin ].

(6.6) Введем в рассмотрение аналитическую функцию Жуков ского – Мичела 1 dw v i (6.7) () = ln = ln e = S i.

v dz v Она имеет логарифмические особенности на окружности в точ ках A, N и P. Так, в критических точках A и P действительная часть () обращается в бесконечность, а мнимая терпит скачок на величину. В точке N, наоборот, действительная часть этой функции терпит скачок на a = ln(v1 /v2 ), а мнимая обращается в бесконечность.

В дальнейшем целесообразно использовать вспомогатель ную аналитическую функцию без особенностей (6.8) () = S + i = () 0 (), a p ai n 0 () = ln 1 1 ln 1.

На границе = ei круга известна действительная часть этой функции v() a( n ) a( n ). (6.9) S() = ln + p a 2 2 | n | 4v sin sin 2 Функция S() является ограниченной и непрерывной всюду при [0, 2].

62 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи Восстановление аналитической функции () по известной действительной части S() на границе есть задача Шварца.

Для внешности круга формула, дающая решение этой задачи, имеет вид + ei (6.10) () = S() d.

ei Заметим, что в общем случае аналитическая функция на ходится с точностью до мнимой постоянной, поэтому в фор муле Шварца обычно присутствует слагаемое i0. Но в нашем случае из условия, что скорость на бесконечности параллельна действительно оси, следует Im () = 0, поэтому 0 = 0.

Мнимая часть функции () на границе круга восстанав ливается интегралом Гильберта – Шварца по формуле 1 (6.11) () = S() ctg d.

2 Угол наклона касательной к контуру крылового профиля определяется из (6.7) и (6.8):

n a n (6.12) () = () + + + ln 2 sin.

2 Как видно из (6.12), в окрестности точки N функция () не ограничена. Для нахождения координат искомого контура профиля используем следующую формулу:

dw/d u() i (6.13) dz = dx + idy = d = e d.

dw/dz v() Неизвестная в (6.2) скорость u, влияющая лишь на разме ры контура профиля z(), определяется из условия заданности хорды b профиля. После определения расхода Q по (6.6) ради усы r1 и r2 границ канала отбора отыскиваются по формулам [53]:

Q Q (6.14) r1 =, r2 =.

av1 av §6. Отбор через кольцевой канал Так как при приближении к n функции () и u() стано вятся неограниченными, то интегрирование (6.13) ведется лишь до достижения углом некоторого определенного значения min (которое выбирается из условия, что форма канала с заданной точностью совпадает с круговой).

6.3. Условия разрешимости. Из (6.8) следует, что в бесконечно удаленной точке () = 0. С другой стороны, из (6.10) при = получим () = S() d.

Поэтому необходимо выполнение условия (6.15) S() d = 0.

Это условие выражает тот факт, что заданная величина скорости на бесконечности в физической плоскости z совпа дает с v, определяемой в процессе решения по известному распределению v().

Условия замкнутости искомого контура крылового профи ля выводятся из комплексного соотношения res(dz/d) = 0 при. Выведем эти условия. Заметим, что ai/ dw a p n () = v e() = v e() 1 1 1.

dz Приняв во внимание (6.1), найдем ai/ u ei () dz dw/d 1 n () = = e 1 1.

d dw/dz v (6.16) Из (6.10) следует, что в окрестности бесконечно удаленной точ ки 1 1 S()ei d.

() = c1 + O, c1 = 64 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи Следовательно, e() = 1 c1 / + O(1/ 2 ) и (6.16) перепишем в виде u ei dz ai 1 () = 1 1+ 1 n + c1 +O.

d v Вычет dz/d будет равен нулю, если ai c1 = 1 1.

Отделив действительную и мнимую части, получим два усло вия на функцию S():

(6.17) S() cos d = (cos n 1) + a sin n, (6.18) S() sin d = sin n a cos n.

Условия разрешимости (6.15), (6.17), (6.18) с учетом (6.9) представляют собой систему трех нелинейных интегральных уравнений, налагающих ограничения на класс исходных рас пределений скорости v().

6.4. Задание исходного распределения скорости.

Для выполнения условий разрешимости достаточно задать трехпараметрический класс распределений v(, a1, a2, a3 ), при этом свободные параметры ai (i = 1, 2, 3) следует искать из условий разрешимости (6.15), (6.17), (6.18).

Ввиду задания ширины h щели или безразмерного расхода q через щель появляется еще одно условие, выполнение кото рого достигается за счет введения четвертого свободного пара метра в v().

Для получения других желаемых аэродинамических или геометрических характеристик профиля (например, заданного отстояния щели от задней кромки) исходное распределение v() скорости зададим зависящим от бльшего чем 4 числа пара о метров. Так, на рис. 6.3 приведен пример задания v() от 8-ми параметров: v0, v1, v2, 1, 2, n, 3, 4.

§6. Отбор через кольцевой канал v v v p a 0 2 n 3 4 v v Рис. 6.3. Исходное параметрическое распределение скорости Знак скорости связан с направлением роста и поэтому v 0 при (p, n ) (a, 2) и v 0 при (0, p ) (n, a ).

Задание скорости в таком виде обеспечивает в рамках приня той математической модели безотрывное обтекание крылового профиля за счет отсутствия участков падения скорости. В по токе вязкой жидкости отбор должен быть таким, чтобы весь ПС, образовавшийся на профиле, уходил бы в канал отбора.

Т а б л и ц а 6. Характеристики крыловых профилей с отбором потока h(%) № v1 n v2 v0 cy cx 1 2.0 0.8 1.0 0.683 2.71 0.08 9.7 2. 2 2.2 0.4 1.1 0.389 4.45 0.08 7.2 2. Для получения заданного h или q и выполнения условий разрешимости параметры 1, v0, 3, 4 определялись в процес се решения задачи. Угол n, от которого зависит отстояние щели от задней кромки, задавался. Отношение скоростей k = = v1 /v2 = r2 /r1 также задавалось, следовательно, учитывая известность h или q, радиусы r1 и r2 закругления канала опре делялись до решения задачи. Скорость v1 на большей части верхней поверхности и параметр 2, влияющий на кривизну профиля в окрестности критической точки P, также задава лись.

66 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи а) v 1. / 0.0 0.2 0.4 0.6 1. 0. 1. 2. y б) 0. 0x 0.4 0. 1.0 0.8 0. Рис. 6.4. Крыловой профиль с отбором при v1 /v = v а) 1. / 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1. 1. 2. y б) 0. 0x 0.8 0.6 0.4 0. 1. Рис. 6.5. Крыловой профиль с отбором при v1 /v = 2. §7. Отбор в диапазоне режимов обтекания 6.5. Примеры построения крыловых профилей. На рис. 6.4 – 6.5 изображены построенные профили с соответству ющими распределениями скоростей |v()|. Задаваемые (v1, n ), а также определяемые параметры и характеристики этих про филей приведены в табл. 6.1. Расчетный угол атаки указан в градусах, ширина h щели – в процентах длины хорды b. Рас ход через щель для всех профилей был взят равным q = 0.04, отношение k = 2. Коэффициенты cy подъемной силы и cx со противления вычислены по формулам (5.8).

В первом примере скорость на контуре профиля была огра ничена величиной 2v, канал отбора располагался на расстоя нии приблизительно 75% хорды. Полученный крыловой про филь изображен на рис. 6.4.

Второй (рис. 6.5) крыловой профиль получился в резуль тате модификации первого с целью получения cy, большего 4.

Для этого была немного увеличена скорость v1 = 2.2v и канал отбора сдвинут к задней кромке.

Приведенный в этом параграфе метод позволяет проекти ровать крыловые профили с отбором внешнего потока. Показа но, что отбор потока в совокупности со специальным способом задания исходного распределения скорости позволяет исклю чить диффузорные участки (на которых возможен отрыв по тока) и значительно увеличить коэффициент подъемной силы таких крыловых профилей.

§ 7. Отбор в диапазоне режимов обтекания В § 6 была решена задача построения высоконесущего кры лового профиля со щелевым отбором воздуха из внешнего по тока в рамках модели ИНЖ по распределению скорости, не со держащему диффузорные участки. Задание скорости в таком виде обеспечивает в рамках принятой математической модели безотрывное обтекание крылового профиля.

С практической точки зрения важной является задача про ектирования профилей, имеющих желаемые аэродинамические характеристики (в рассматриваемом случае – отсутствие участ ков падения скорости) в заданном диапазоне изменений угла 68 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи атаки. Рассмотрим задачу проектирования крылового профи ля с отбором внешнего потока при условии отсутствия участков падения скорости на двух разных углах атаки.

7.1. Постановка задачи. В этой задаче, в отличие от ра бот [21, 64, 66, 73] кроме угла атаки крылового профиля или теоретического угла – аргумента скорости набегающего по тока в канонической области – появляется еще один дополни тельный параметр – величина расхода Q через щель. Поэтому режим обтекания такого профиля определяется двумя парамет рами: углом атаки и величиной расхода.

v p n a Рис. 7.1. Скорость на расчетном (сплошная линия) и нерасчетных (штриховые линии) режимах Если пересчитать задаваемое кусочно-линейное распреде ление скорости, изображенное на рис. 6.3, на другие режимы, т. е. другие углы атаки и (или) другие расходы, то возникают участки падения скорости (рис. 7.1, штриховые линии).

Найдем связь между распределениями v1 () и v2 () ско ростей для двух разных режимов обтекания. Пусть z = z() – функция, конформно отображающая внешность единичного круга на внешность профиля, а w1 (z) и w2 (z) – комплексные потенциалы течений этих режимов обтекания. Тогда из очевид §7. Отбор в диапазоне режимов обтекания ного соотношения dz dw1 /d dw2 /d = = d dw1 /dz dw2 /dz следует u1 ()/v1 () = u2 ()/v2 (), откуда с использованием (6.2) получается формула для пересчета распределения скоро сти на другой режим:

(7.1) v2 () = v1 ()(), p2 a sin sin u2 () 2 2 (7.2) () = = a1.

p u1 () sin sin 2 В эту формулу входят параметры a и p (для двух ре жимов), которые однозначно связаны с соответствующими им углом и расходом Q соотношениями (6.3) и (6.6).

Нашей целью является нахождение профиля, который об текался бы безотрывно при двух расчетных режимах. Этого можно добиться, если задать распределение скорости v1 () та ким образом, чтобы оно и пересчитанное по (7.1), (7.2) на вто рой режим распределение v2 () не убывали на участках [0, n ] и [n, 2].

Как и в § 6 считаются заданными скорость v набегающего потока и линейный размер – хорда b профиля. Также считаются заданными диапазон изменения углов атаки = 2 1 = 1, а также радиусы r1 и r2 канала отбора. Заметим, что ширина канала h = r2 r1, а коэффициент k, определяющий отношение скоростей на внутренней и внешней стенках канала отбора, вычисляется по формуле v(n + 0) r (7.3) k= =.

v(n 0) r 7.2. Схема решения. Разобьем точками k, k = 1, n, за даваемый отрезок [0, 2] на участки, на каждом из которых скорость будем считать постоянной либо для первого, либо для 70 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи второго режимов обтекания:

C1, C1 (), [0, 1 ], C2 /(), C2, [1, 2 ], v1 () = C3, v2 () = C3 (), [2, 3 ], C4 /(), C4, [3, 4 ],...,...,...

Границы j (j = 1,..., n) участков, как и число n, найдем из условия неубывания скорости при двух расчетных режимах.

Для того, чтобы распределения v1 () и v2 () скорости не имели участков падения, необходимо, чтобы v2 () 0, [0, 1 ] [2, 3 ]..., v1 () 0, [1, 2 ] [3, 4 ]...

Заметим, что v2 () = v1 ()()(), [0, 1 ] [2, 3 ]..., () v1 () = v2 (), [1, 2 ] [3, 4 ]..., () где p2 p a2 a. (7.4) () = ctg ctg +ctg ctg 2 2 2 Найдем интервалы знакопостоянства у функций v1 (), v2 (), (), () в предположении, что известны углы p1, p2, a1, a2. Возможны два различных случая взаимного рас положения критических точек для каждого из двух режимов обтекания. Пусть для первого режима угловая координата a критической точки A меньше, чем для второго, т. е. a1 a2.

Тогда первым будем считать случай, когда p1 p2, а вторым – когда p1 p2.

Аналитически можно показать, что для первого случая функция (7.4) не имеет нулей, а для второго всегда имеются два корня, лежащие в интервалах (p1, a1 ) и (a2, 2 +p2 ). Эти корни обозначим через r1 и r2. Знаки функций для двух раз личных случаев выписаны в табл. 7.1 и 7.2, причем в табл. 7. §7. Отбор в диапазоне режимов обтекания Т а б л и ц а 7. Знаки функций для первого случая (0, p1 ) (p1, p2 ) (p2, n ) (n, a1 ) (a1, a2 ) (a2, 2) + + + + v + + v + + + + + + + + + + + + v + + + + v Т а б л и ц а 7. Знаки функций для второго случая (0, p2 ) (p2, p1 ) (p1, n ) (n, r1 ) (r1, a1 )(a1, a2 )(a2, r2 )(r2, 2) v1 + + + + v2 + + + + + + + + + + + + + v2 + + + + + v1 + + + + + представлен вариант, когда r1 n и r2 2. Остальные три варианта (r1 n, r2 2;

r1 n, r2 2;

r1 n, r2 2) рассматриваются по аналогии.

Проанализируем первый случай по данным табл. 7.1. Так, на первом участке (0, p1 ) производная v1 () 0, а v2 () 0.

Если на этом участке в качестве постоянной задать v1 () = C1, то v2 () будет убывающей, что не соответствует постановке за дачи. Если же задать на этом участке v2 () = C1, то после пересчета на первый режим этот участок постоянной скоро сти перейдет в некоторую монотонно возрастающую кривую v1 (). На втором участке (p1, p2 ) обе производные положи тельны, поэтому здесь в качестве постоянной можно задавать как v1 (), так и v2 (). Участков, на которых обе производные были бы отрицательны, нет. В итоге распределение скорости, удовлетворяющее условию отсутствия участков падения скоро сти, можно записать в следующем виде:

C1 /(), C1, [0, 1 ], C2, C2 (), [1, n ], (7.5) v1 () = v () = C3 /(), 2 C3, [n, 2 ], C4, C4 (), [2, 2], 72 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи где 1 (p1, p2 ), а 2 (a1, a2 ). Оба распределения v1 () и v2 () изображены на рис. 7.2 сплошной и штриховой линиями соответственно.

v C C p 1 p1 a a n C1 v2 () v1 () C Рис. 7.2. Распределение скорости для первого случая;

v1 () – сплошная линия, v2 () – штриховая v C C 2 C 1 p p2 a1 a n r1 r v2 () C v1 () C C Рис. 7.3. Распределение скорости для второго случая На рис. 7.3 изображено распределение скорости для вто рого случая. Заметим, что здесь число участков постоянной скорости равно шести, тогда как в первом случае их четыре.

Распределение скорости (7.5) зависит от 11 параметров:

p1, 1, p2, n, a1, 2, a2, C1, C2, C3, C4. Но не все они явля ются свободными, необходимо выполнение нескольких условий.

Во-первых, надо выполнить два условия непрерывности распре деления скорости в точках = 1, = 2. В задней кромке B, §7. Отбор в диапазоне режимов обтекания являющейся бесконечно тонкой, также необходимо выполнение условия v(2) = v(0). В месте расположения щели – точке N – должно выполняться соотношение (7.3).

В ходе решения обратной задачи (построения по заданному распределению скорости контура крылового профиля) возника ют три условия разрешимости, включающие в себя два условия замкнутости искомого контура профиля и условие совпадения заданной скорости на бесконечности с определяемой в процес се решения (6.15)–(6.18). Они представляют собой ограничения на распределение скорости v().

Кроме того, согласно постановке задачи, заданы ширина h канала отбора и диапазон изменения углов атаки = 2 1.

В итоге имеем 9 условий и только 2 из 11 параметров можно выбирать произвольно, а остальные находить из перечислен ных выше условий. В качестве таких “свободных” параметров выберем n, отвечающее за положение щели на поверхности крылового профиля, и C3 – скорость на большей части верхней поверхности для второго режима обтекания.

Аналогичные рассуждения можно провести и для второго случая с 15 параметрами. Свободных параметров также будет два, в качестве которых выберем n и C4 – скорость на большей части верхней поверхности.

7.3. Примеры построения крыловых профилей.

Был разработан алгоритм и составлена программа построения крыловых профилей по заданному в параметрическом виде распределению скорости. В ходе проведенных расчетов уста новлено, что существует некоторое критическое значение, такое, что при имеется решение для первого случая, а при – для второго. При = получается пре дельная ситуация со слившимися в одну точками p1 и p2, причем контур профиля в этой точке имеет точку возврата – аналог бесконечно тонкой кромки. На рис. 7.4 – 7.6 изображе ны построенные крыловые профили для первого, предельного и второго случаев. На рис. 7.7 представлен пример построения профиля для второго случая с = 0, т. е. смена режима обтекания достигается лишь путем изменения расхода (этот пример имеет лишь теоретический интерес, т. к. контур про 74 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи v а) 3. 2. 1. / 0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1. -1. -2. -3. б) y 0. 0. x -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 Рис. 7.4. Пример построения профиля для первого случая при = филя получился самопересекающимся). Для всех профилей радиусы закругления канала отбора равны 4% и 6% хорды (что соответствует h = 2% и отношению k = 1.5 скоростей на стенках канала), скорость на большей части верхней поверх ности для большего угла атаки равнялась 2.5v, положение канала отбора n = 0.7. Другие характеристики всех четырех профилей приведены в табл. 7.3.

Согласно аналитическим зависимостям (6.3) и (6.6) можно охарактеризовать первый случай (одновременное увеличение a и p ) так: при увеличении угла атаки уменьшается расход через щель;

циркуляция при этом остается приблизительно на §7. Отбор в диапазоне режимов обтекания а) v 2. 1. / 0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1. -1. -2. -3. б) y 0. 0. x -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 Рис. 7.5. Пример построения профиля для предельного случая при = = 13. одном уровне (может как незначительно уменьшаться, так и увеличиваться). Второй случай (при увеличении a значение p уменьшается) характеризуется значительным увеличением расхода Q и циркуляции при слабом изменении угла атаки (угол атаки может как возрастать, так и убывать).

Итак, на рис. 7.2 и 7.3 изображены распределения скоро сти, на которых нет участков падения для двух режимов об текания. Представляет интерес вопрос, будут ли участки паде ния на распределениях скоростей, соответствующих некоторым промежуточным режимам? В связи с этим были найдены такие области в переменных (a, p ) или (, q), в которых не будет участков падения.

Для первого случая можно аналитически показать, что в прямоугольнике a1 a2, p1 p2 эти условия a p 76 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи v а) 3. 2. 1. / 0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1. -1. -2. -3. y б) 0. 0. x -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 Рис. 7.6. Пример построения профиля для второго случая при = выполняются. Более точно область найдена численно, она изоб ражена на рис. 7.8, а в плоскости (a, p ) и на рис. 7.8, б – в плоскости (, Q).

Во втором случае область вырождается в одну-единствен ную кривую, соединяющую два исходных режима обтекания.

Уравнение этой кривой имеет вид r1 p r1 p r1 a r1 a ctg ctg + ctg ctg = 0.

2 2 2 Эта кривая изображена в плоскостях (a, p ) и (, q) на рис. 7.9, а и б соответственно.

§7. Отбор в диапазоне режимов обтекания v а) 3. 2. 1. / 0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1. -1. -2. -3. б) y 0. x -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 Рис. 7.7. Пример построения профиля для второго случая при = 7.4. Расчет полученных профилей в CFD-пакете Fluent. Построенные вышеизложенным методом крыловые профили были рассчитаны в вычислительном пакете Fluent 6.2.

Для расчета был взят профиль, изображенный на рис. 7.10, являющийся небольшой модификацией профиля c рис. 7.4.

Модификация заключалась в следующем: во-первых, во из бежание большого перепада скоростей на стенках канала, радиусы канала отбора были увеличены (r1 = 20%, r2 = 22%);

во-вторых, скорость на большей части верхней поверхности выбиралась из условия, что максимальная скорость на контуре профиля для обоих режимов не превышает 3v. Диапазон = 10, расчетные углы атаки 1 = 1.8, 2 = 11.8.

Расчет в пакете Fluent проводился для трех различных мо 78 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи Т а б л и ц а 7. Геометрические и аэродинамические характеристики крыловых профилей с отбором потока № 1 2 q1 q2 cy1 cy 1 15 1.3 16.3 0.1604 0.0406 4.193 5. 2 13.32 3.0 16.3 0.0434 0.0406 3.791 5. 3 10 3.2 13.2 0.0342 0.1652 2.939 4. 4 0 3.4 3.4 0.0308 0.4400 2.687 4. б) а) p q p2 q1 q p a2a a1 Рис. 7.8. Область отсутствия участков падения скорости для первого случая делей течения: ламинарного, турбулентного с использованием модели Спаларта – Аллмараса (SA), турбулентного по модели SST k (SST). Жидкость считалась несжимаемой, скорость набегающего потока выбрана равной v = 100м/с, хорда про филя b = 1м, что соответствует числу Рейнольдса Re = 5 · 106.

Расчетная сетка, содержащая около 50 тыс. ячеек, по казана на рис. 7.11. Она строилась следующим образом:

вокруг крылового профиля была описана окружность, вне этой окружности выбрана регулярная четырехугольная сетка.

Внутри окружности (за исключением входного канала для отбора потока, сетка которого была также четырехугольной) использовалась трехугольная сетка. Получение нужного угла атаки достигалось поворотом окружности.

Граничные условия были следующие:

– на входе в расчетную область задавалась скорость потока, – на выходе – условие выхода, §7. Отбор в диапазоне режимов обтекания б) а) p q p1 1 q q p2 a2 a a1 Рис. 7.9. Область отсутствия участков падения скорости для второго случая y 0. s s= s=l 0 x -0.6 -0. Рис. 7.10. Контур рассчитываемого крылового профиля – на боковых гранях – условие симметрии или гладкой стен ки (вектор скорости параллелен боковой границе расчет ной области), – на крыловом профиле – условие прилипания, – на границе щели задавалась скорость отбора потока.

На рис. 7.12 приведены распределения коэффициента cp (s) = 2(p(s) p )/(v ) давления по контуру профиля в зависимости от дуговой абсциссы s (рис. 7.10), а в табл. 7.4 – коэффициенты cx и cy для двух расчетных режимов. Резуль таты расчетов показали хорошее совпадение с результатами численно-аналитического решения, отрыва потока для обо их углов атаки и для всех моделей течений не наблюдалось.

Небольшое расхождение между точным решением и всеми моделями турбулентности наблюдалось лишь в районе щели.

В последней строчке табл. 7.4 приведены результаты рас чета этого профиля, сделанные В. Судаковым (снс отделения 80 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи а) б) Рис. 7.11. Расчетная сетка: общий вид и вид вблизи контура профиля аэродинамики ЦАГИ). Расчет проводился в пакете Fluent на структурированных сетках (число ячеек 100 тыс.) со сгуще нием узлов в ПС, щели и следе;

модель турбулентности SA. Как видно из таблицы, рассчитанные коэффициенты подъемной си лы и сопротивления с высокой степенью точности совпадают с результатами численно-аналитического решения.

Итак, показано, что щелевой отбор внешнего потока поз воляет в рамках принятой математической модели течения и устройства отбора значительно увеличить коэффициент подъ емной силы крылового профиля по сравнению с непроницаемы ми профилями и сохранить при этом безотрывность обтекания в заданном диапазоне изменения режимов.

§8. Выдув реактивной струи cp s 0.5 1. 3 5 Рис. 7.12. Кривые распределений cp по контуру профиля:

1 – численно-аналитическое решение, 2 – ламинарное течение, 3 – турбулентное (SA) Т а б л и ц а 7. Сравнение характеристик крыловых профилей с отбором № Течение cx1 cy1 cx2 cy 1. Численно-аналитическое 0.118 2.96 0.085 4. решение 2. Ламинарное 0.129 2.94 0.112 4. 3. Турбулентное (SA) 0.127 2.94 0.102 4. 4. Турбулентное (SST) 0.128 2.94 0.105 4. 5. Турбулентное (SА) (ЦАГИ) 0.120 2.97 0.087 4. § 8. Выдув реактивной струи Крыловые профили с выдувом обладают преимуществами по сравнению с обычными профилями вследствие ряда инте ресных эффектов. Первый из них – эффект Коанда или, други ми словами, эффект прилипания высокоэнергетической струи к обтекаемой поверхности даже при очень малых радиусах кривизны последней. Второй – эффект суперциркуляции или “жидкого закрылка”, выдуваемая под углом струя отклоняет набегающий поток подобно закрылку, вследствие чего увеличи 82 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи ваются циркуляция и коэффициент подъемной силы. Поэтому представляет интерес рассмотрение задачи проектирования та кого крылового профиля.

8.1. Постановка задачи. В физической плоскости z = = x + iy искомый крыловой профиль Lz с хордой b плавно об текается плоским установившимся потоком ИНЖ. Плотность потока –, скорость на бесконечности – v, давление – p (т. о. полное давление внешнего потока p0 = p + v /2). На поверхности профиля имеется щель, которая, как и в задаче § 6, моделируется завитком, асимптотически переходящим в беско нечнолистный круговой канал с постоянными скоростями v и v2 (v1 v2 ) на стенках (рис. 8.1). Заметим, что в случае равных скоростей стенки канала асимптотически стремятся к прямым. Из этой щели выдувается струя ИНЖ с другой плот ностью j и скоростью vj при давлении p ;

полное давление в струе pj0 = pj + j vj /2. Также считается заданной безраз мерная ширина щели h или величина безразмерного расхода q через щель. В точке A разветвления потока профиль предпола гается гладким, а в точках B и P схода потока внутренние к области течения углы приняты равными 2 (бесконечно тонкие кромки).

+ Обозначим через lz и lz линии тока, сходящие с острых кромок P и B профиля и разделяющие среды с плотностями и j. Предполагается, что при переходе через эти линии дав ление меняется непрерывно, а скорость в общем случае изме няется скачком, который определяется из интеграла Бернулли соотношением v 2 j vj j vj = v 2 + µv 2 p = p0 = pj 2 или в более удобной форме 2 vj v (8.1) (1 + µ) = + µ, vj v где безразмерный параметр µ определяется по (5.12).

На искомом контуре профиля задано распределение скоро сти (8.2) v = v(), 0 2, §8. Выдув реактивной струи y Gz (z) P v b v1 N + A v x z B z Рис. 8.1. Течение в физической плоскости G () + + P N B u A Рис. 8.2. Течение в канонической плоскости 84 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи где – полярная координата в канонической области || плоскости (рис. 8.2). В точках P и B должно соблюдаться условие (8.1). Соответствующие точки в плоскостях z = x + + iy и = rei обозначены одинаковыми буквами. Для вза имно однозначного конформного отображения областей Gz и G предполагается соответствие бесконечно удаленных точек плоскостей z и, а также переход точки B (z = 0) в точку = 1.

Требуется определить форму крылового профиля и его аэродинамические и геометрические характеристики.

8.2. Схема решения. При сделанных предположениях во внешнем потоке и в струе существуют комплексные потенци алы потоков. Мы будем рассматривать их как единую кусочно аналитическую функцию w(z) = (x, y) + i(x, y), терпящую разрыв на двух линиях схода потока. Комплексно сопряжен ная скорость в плоскости может быть представлена в виде [43] dw = u ei f ()e(). (8.3) d В формуле (8.3) в нашем случае a 1 p n f () = 1 1 1 1, где a = eia, p = eip, n = ein – координаты точек A, P, N на окружности || = 1, u и – модуль и аргумент скорости на бесконечности в плоскости, () = T (r, ) + i(r, ) – ку + сочно-аналитическая функция, терпящая скачок на линиях l + и l – образах линий схода потока lz и lz в физической плос кости. В граничной точке N (рис. 8.2) плоскости находится источник.

Как и в § 6, перейдем в формуле (8.3) на границу = ei. В результате определим распределение скорости на окружности p a n T () sin1 (8.4) u() = 4u sin sin sin e 2 2 2 и установим связь углов a + p n (8.5) () = =.

2 §8. Выдув реактивной струи Из (8.5) следует, что мнимая часть функции () на границе круга постоянна () =.

+ Пусть + (t) и (t) – углы наклона касательной к l (t) и l (t) соответственно, где t – дуговая абсцисса линий раздела, отсчитываемая от точек схода потока P и B, т. е. d + (t)/dt = + = ei (t), d (t)/dt = ei (t), или в более компактной форме d ± (t) ± = ei (t). (8.6) dt ± Условия непроницаемости линий l (t) запишем в виде dw = ± (t) arg d l± или, учтя соотношения (8.3), ± (t) = ± (t) + Im ln f (). (8.7) Из этого соотношения следует, что Im () меняется непре ± рывно при переходе через линии l (t), а скачок терпит лишь Re ( ± (t)) = T ± (t).

Введем в рассмотрение функцию Жуковского – Мичела 1 dw v (8.8) () = ln = ln i = S i.

v dz v Для исключения особенностей этой функции в точках a ± и n, а также на линиях l рассмотрим модифицированную функцию (8.9) () = S + i = () 0 () + (), где a ai n 0 () = ln 1 ln 1, постоянная a = ln(v1 /v2 ) 0. Покажем, что функция () является аналитической в области || 1 и, следовательно, ± непрерывна при переходе через линии раздела сред l.

86 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи Комплексно сопряженную скорость в физической плоско сти можно представить в виде ai/ dw a n = v e() = v e()() 1. (8.10) dz Из соотношения dz = dw dw с учетом (8.3) и (8.10) следует d d dz ai/ u ei () p dz 1 n. (8.11) = e 1 1 d v Так как левая часть (8.11) – аналитическая функция в канони ческой области, то и правая часть должна быть аналитической, откуда следует, что () – функция аналитическая в области ± || 1 и непрерывна на линиях l. Поэтому из (8.9) вытекает, что скачки функций () и () компенсируют друг друга и j |l± = T Tj |l± = ± (t), (8.12) где ± vj (t) ± (t) = ln (8.13).

v ± (t) ± l ± В этом соотношении скорости vj (t) и v ± (t) связаны формулой (8.1).

Разделив действительные и мнимые части (8.9) на границе = ei, с учетом (8.5) найдем v() a( n ) a( n ) + T (), (8.14) S() = ln a + 2 2 | n | 2v sin + p n a n (8.15) () = () + + ln 2 sin.

2 Для решения ОКЗА необходимо знать функцию S(). Но в правую часть формулы (8.14) входит неизвестная функция T (). Поэтому предположим вначале, что линии раздела сред ± l (т. е. углы наклона ± (t)) и функции скачка ± (t) известны.

§8. Выдув реактивной струи Следуя [43], функцию (), удовлетворяющую условиям (8.5), (8.12), определим по формуле (8.16) () = () + (1/) (0), где + (t) dt (t) dt (8.17) () =, 2i t + t l l причем (8.5) будет выполняться при (8.18) = Im (0).

Определив из (8.16) Re (ei ) = T (), по (8.14) найдем S().

На границе окружности || = 1 восстановим Im (ei ) = () сингулярным интегралом Гильберта – Шварца (6.11). Из со отношения (8.15) определим угол наклона () касательной к контуру крылового профиля, после чего координаты искомого контура найдем по формуле (6.13), где u() имеет вид (8.4).

8.3. Схема итерационного процесса. Как было сказа но ранее, для решения задачи необходимо определить функции ± (t), ± (t). Для этого организуем следующий итерационный процесс.

Начальный этап.

Зададим каким-либо образом нулевое приближение функ ций ± (t), ± (t) с учетом того, что в точках P и B справедливы соотношения:

v(p 0) v(0) + (0) = ln (0) = ln,, v(p + 0) v(2) + (0) = p, (0) = 0.

Первые два соотношения следуют из условия задания распреде ления скорости на контуре профиля, а два других показывают тот факт, что в канонической плоскости линии схода потока подходят к единичной окружности под прямым углом.

Основной этап.

88 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи ± Проинтегрировав (8.6), определим линии раздела l (t).

По (8.17) найдем (), по (8.18) – и по (8.5) – угол.

± Из соотношения (8.16) на линиях раздела l (t) определим функции T ± (t) = Re ( ± (t)), ± (t) = Im ( ± (t)) и на границе круга || = 1 – функцию T () = Re (ei )).

Действительную часть функции () на границе круга, т. е.

S(), определим по (8.14).

По известной S() найдем S ± (t) = Re ( ± (t)) на линиях ± l (t), использовав формулу Пуассона, (r 2 1) d i (8.19) S(re ) = S( ).

r 2 2r cos( ) + Распределение скоростей внешнего течения v ± (t) на лини ± ях определим по формуле l (t) ai/ a n ± (t)T ± (t) v ± (t) = v eS 1 1, вытекающей из (8.10).

± ± Распределение скоростей струи vj (t) на линиях l (t) най дем по формуле (8.1).

Новые функции ± (t), ± (t) определим из уравнений (8.7), (8.13).

Итерационный процесс завершаем при выполнении усло вий max |± (k) (t)± (k1) (t)|, max |± (k) (t)± (k1) (t)|, t t где – заданное малое изменение искомых функций, индексом k обозначено их значение на k-й итерации. В случае невыпол нения какого-либо условия повторяем основной этап.

Завершающий этап.

По (6.11) находим (), по (8.15) – угол наклона касатель ной () и по (6.13) восстанавливаем координаты крылового профиля.

§8. Выдув реактивной струи 8.4. Условия разрешимости. Как и в ОКЗА для непро ницаемого профиля, необходимо выполнить условия разреши мости (см., например, [18]).

Условие совпадения заданной величины скорости на беско нечности в физической плоскости z с определяемой в процессе решения имеет вид (6.15), хотя выражение для S() в § 6 от лично от (8.14).

Условия замкнутости искомого контура крылового профи ля, выводимые из соотношения res(dz/d) = 0 при, так же выражаются через S() (они выводятся аналогично (6.17), (6.18)):

(8.20) S() cos d = (cos n cos p 1) + a sin n, (8.21) S() sin d = (sin n sin p ) a cos n.

Условия (6.15), (8.20), (8.21) с учетом выражения (8.14) представляют собой систему трех нелинейных интегральных соотношений, налагающих ограничения на класс исходных рас пределений скорости (8.2). Вместе с условием получения задан ной величины расхода q или ширины щели h они представляют собой четыре условия разрешимости поставленной задачи. По этому для корректной постановки задачи следует задавать не фиксированное распределение скорости v(), а некоторый че тырехпараметрический класс v(;

a ), = 1, 4, где значения a определяются из четырех условий разрешимости.

8.5. Определение аэродинамических сил. Для опре деления коэффициента cx сопротивления и коэффициента cy подъемной силы используем формулы (5.14). Необходимые для вычисления этих коэффициентов величины Q и найдем, раз ложив комплексно сопряженную скорость dw/d в окрестно стях точек n и = :

dw Q ak ( n )k, = + d ( n ) n k= 90 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи dw Q + i = u ei + bk k.

+ d k= Подставив в эти соотношения представление dw/d в виде (8.3), получим n p T (n ) n a n (8.22) Q = 8u sin sin sin e, 2 2 Q = 2u cos(n ) cos(a ) (8.23) cos(p ) cos Re(ei ), = 2u sin(n ) sin(a ) (8.24) sin(p ) + sin Im(ei ), где – коэффициент при члене 1/ в разложении функции () на бесконечности во внешнем потоке dk k.

| =+ k= Заметим, что найденные таким образом величины Q и Q с учетом (5.13) могут быть использованы для проверки точности вычислений.

Первые четыре слагаемых в выражении для присутству ют и в (6.6). Последнее слагаемое – добавочный член, появляю щийся только при разных характеристиках выдуваемой струи и внешнего потока, и его физический смысл – это появление эффекта суперциркуляции.

Для нахождения воспользуемся формулой 1 = () d = () d.

2i 2i LR1 l4 L1 l Здесь линии LR1, l1, l2 такие же, как и на рис. 5.3, линия L1 представляет собой дугу единичной окружности P AB (рис. 8.2).

§8. Выдув реактивной струи v v v n a p 2 1 v v v Рис. 8.3. Задаваемое распределение скоростей Добавив к левой части этого соотношения равный нулю интеграл по замкнутому контуру ( + ) d = 0, 2i L2 l3 LR2 l окончательно получим i T ()ei d + (eip 1) = 2i (8.25) + (t) (t) [+ (t) ]ei [ (t) ]ei dt + dt.

+ l l 8.6. Примеры построения крыловых профилей.

Рассмотрим наиболее интересный случай – выдув вблизи носи ка профиля и исследуем влияние безразмерного параметра µ на форму крылового профиля и его характеристики.

Распределение скорости возьмем в виде, схематически изображенном на рис. 8.3 и зависящем от 9 параметров. На диффузорном участке (0, 1 ) закон убывания скорости выбран 92 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи v а) 2. 1. 0. / 0.2 0.4 0.6 0. -1. -2. -3. б) y 0. x -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 Рис. 8.4. Профиль с выдувом при µ = 0 (vj /v = 1) v а) 2. 1. 0. / 0.2 0.4 0.6 0. -1. -2. -3. б) y 0. x -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 Рис. 8.5. Профиль с выдувом при µ = 1.25 (vj /v = 1.5) §8. Выдув реактивной струи Т а б л и ц а 8. Характеристики крыловых профилей с выдувом струи µ v0 v1 v4 D cy cxj cx + cxp 0 0.89 3.00 0.89 20.5 15.0 1.42 0.146 0. 1.25 0.79 3.44 1.37 7.3 17.7 2.20 0.255 0. 3 0.67 3.97 1.86 4.1 19.9 3.11 0.397 0. в виде 1/ cos cos (8.26) v() = v1 1 + D.

cos 1 cos n Так как в окрестности задней кромки cos ведет себя как дуго вая абсцисса, то задание распределения скорости в таком виде при значениях D, меньших некоторого D = 6.6, обеспечива ет безотрывность обтекания (см., например, [18, 52]). Для вы полнения условий разрешимости и получения заданной h или q параметры 2, 3, v4, p не задавались, а определялись в процес се итерационного решения задачи. Поэтому, кроме описанного выше внутреннего итерационного процесса, пришлось организо вать дополнительный внешний цикл, чтобы удовлетворить упо мянутым условиям разрешимости. Скорости v2 и v0 находились по v3, v4 из условия справедливости в точках P и B соотноше ния (8.1), скорость v1 = v2 /k, где отношение k = r1 /r2. Таким образом, задавались лишь параметры 1 – начало участка па дения скорости, n – положение канала выдува, v3 – скорость на верхней поверхности вблизи точки P ;

остальные находились из приведенных выше условий.

На рис. 8.4–8.6 приведены построенные контуры профи лей вместе с задаваемым распределением v() для параметра µ = 0, 1.25, 3 соответственно. Радиусы закругления канала вы браны равными 6% и 9% хорды (т. е. ширина щели равна 3%, отношение скоростей k = 2/3). Задаваемые параметры были следующие: 1 = 2.0, n = 2.6, v3 /v = 2.0. Остальные геомет рические и аэродинамические характеристики профилей приве дены в табл. 8.1.

Как показали расчеты, число µ очень сильно влияет на схо димость итерационного процесса, так, при µ = 0 итерационный 94 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи v а) 2. 1. 0. / 0.2 0.4 0.6 0. -1. -2. -3. б) y 0. x -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 Рис. 8.6. Профиль с выдувом при µ = 3 (vj /v = 2) процесс не требовался, при µ = 0.21 сходимость достигалась при 26 итерациях (этот случай не показан), при µ = 1.25 – при 54 итерациях, при µ = 3 – при 336 итерациях при выбранном значении = 106. Заметим, что в первом и втором расчетах D D, следовательно, распределение скорости не является безотрывным, в последнем примере критерий безотрывности выполняется.

Таким образом, изложенный метод позволяет проектиро вать крыловые профили с выдувом реактивной струи. Показа но, что выдув струи приводит к увеличению коэффициента cy подъемной силы крыловых профилей. Чем ближе к передней кромке располагается щель, тем большим получается cy.

Коэффициент cy растет также с ростом µ – энергии выду ваемой струи. Кроме того, благодаря эффекту Коанда выдув высокоэнергетической струи позволяет добиться выполнения условия безотрывности.

§9. Выдув струи в диапазоне режимов обтекания § 9. Выдув струи в диапазоне режимов обтекания Выше в § 8 поставлена и решена задача проектирования крылового профиля с выдувом реактивной струи. Представля ет интерес решение этой задачи, когда исходные данные зада ются для двух расчетных режимов обтекания.

9.1. Постановка задачи. Как и в задаче проектирова ния профиля с отбором внешнего потока (§ 7), в случае наличия выдува струи, кроме угла атаки крылового профиля, появля ется еще один дополнительный параметр – величина расхода q через щель. Но в связи с тем, что положение точки P схода потока в задаче с выдувом фиксировано, угол атаки связан с q некоторым соотношением. Поэтому можно считать, что режим обтекания профиля с выдувом определяется лишь углом атаки, а величина расхода, необходимая для того, чтобы сход потока происходил с острой кромки, является функцией этого угла.

Целью является нахождение профиля, который обтекался бы безотрывно при двух расчетных режимах за счет специаль ного задания распределений скорости v1 () и v2 () для двух разных углов атаки 1 и 2 (2 1 );

– полярная координа та в канонической плоскости (рис. 8.2).

Вблизи передней кромки на контуре профиля выберем точ ку C, на единичной окружности ей соответствует точка eic. На участке [0, c ] (т. е. на верхней поверхности) зададим рас пределение v2 () скорости для большего угла атаки. На остав шейся части [c, 2] (нижней поверхности) – v1 ().

Считаются заданными: скорость v набегающего потока, хорда b профиля, диапазон изменения углов атаки = 1 = 2 1, а также радиусы r1 и r2 канала отбора. Ширина канала h = r2 r1 и коэффициент k, определяющий отноше ние скоростей на внутренней и внешней стенках канала отбора (7.3), находятся до решения задачи.

9.2. Схема решения задачи. Найдем связь между рас пределениями v1 () и v2 () скоростей. Пусть z = z() – функ ция, конформно отображающая внешность единичного круга на внешность профиля, а w1 (z) и w2 (z) – комплексные потен 96 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи циалы течений этих режимов обтекания. Тогда из соотношения dz dw1 /d dw2 /d = = d dw1 /dz dw2 /dz следует u1 ()/v1 () = u2 ()/v2 (), откуда с учетом (8.4) a sin 2 T1 ()T2 () (9.1) v2 () = v1 () a1 e.

sin В формулу (9.1) входят неизвестные функции Tk (), k = = 1, 2, где индекс k обозначает режим обтекания. Функция Tk () представляет собой действительную часть вспомогатель ной кусочно-аналитической функции, терпящей скачок на ли ниях раздела сред. Для ее нахождения надо знать соответ ствующее этому режиму распределение скорости vk () на всей окружности, поэтому непосредственно воспользоваться форму лой (9.1) можно лишь для простейшего случая нереактивной струи (в этом случае T1 () = T2 () 0).

Поэтому для нахождения функций Tk () для случая реак тивной струи организуем следующий итерационный процесс.

Начальный этап.

– Зададим каким-либо образом начальные T1 (), T2 (), на пример, T1 = T2 0.

Основной этап.

– По формуле (9.1) достроим v1 () на участке [0, c ] и v2 () на участке [c, 2].

– Для каждого из режимов решим обратную задачу постро ения контура крылового профиля с выдувом струи, использо вав метод § 8.

– Определим новые T1 (), T2 ().

– Итерационный процесс завершаем при выполнении усло вий ||T1(n) () T1(n1) ()||, ||T2(n) () T2(n1) ()||, где – заданная погрешность вычислений, индексом n обозна чено значение функций на n-й итерации. В противном случае повторяем основной этап.

§9. Выдув струи в диапазоне режимов обтекания 9.3. О задаваемом распределении скорости. Началь ное распределение скорости изображено на рис. 9.1. Оно зави replacemen сит от 11 параметров: v0, v1, v2, v3, v4, 1, n, p, c, a1, a2.

На участке [0, 1 ] закон падения скорости выбран в виде (8.26).

v v v a1 a 1 n p c v v v Рис. 9.1. Исходное распределение скорости для крылового профиля с выдувом струи в диапазоне углов Как и ранее, вышеперечисленные параметры нельзя зада вать произвольно, необходимо выполнение ограничений, кото рых в данной задаче будет 9. Это три условия разрешимости (6.15), (8.20), (8.21);

два условия, определяющие радиусы r1, r закругления канала выдува;

одно условие непрерывности рас пределения скорости в точке c ;

два условия справедливости соотношения (8.1) в точках P и B;

условие заданности диапа зона расчетных углов = 2 1.

Поэтому свободных параметров при таком задании скоро сти будет 2. В качестве таких параметров выберем угол n, определяющий положение канала отбора на профиле, и 1 – начало участка падения скорости.

9.4. Результаты числовых расчетов. На рис. 9.2–9. представлены примеры построения крыловых профилей с вы дувом в диапазоне режимов обтекания (каждый из которых характеризуется углом атаки, расходом через щель и парамет рами выдуваемой струи).

98 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи Исходные данные для построения этих профилей были сле дующие: r1 = 12%, r2 = 9% (т. е. h = 3%, k = 3/4), n = 2.5, 1 = 1.7, = 10, µ1 = 0. Отличие примеров лишь в энер гии выдуваемой струи при большем угле атаки: µ2 = 0, 1.25, 3.

Остальные параметры, найденные в процессе решения задачи, представлены в табл. 9.1. Заметим, что в первом и втором при мерах получилось D D = 6.6. Это означает, что распреде ление скорости на диффузорном участке отрывное. При увели чении µ градиенты скорости на диффузорном участке падают (эффект Коанда) и уже в третьем примере условие безотрыв ности выполняется. Также отметим рост cy в зависимости от энергии выдуваемой струи.

Т а б л и ц а 9. Характеристики крыловых профилей с выдувом струи µ2 v0 v1 D cxj1 cy1 cxj2 cy 1 0 0.89 2.44 20.5 3.9 0.093 0.9 13.9 0.127 2. 1.25 1.36 2.86 7.5 4.1 0.099 1.3 14.1 0.222 2. 3 1.85 3.37 4.3 4.3 0.106 1.8 14.3 0.352 3. 9.5. Расчет полученных профилей в CFD-пакете Fluent. Полученный крыловой профиль c рис. 9.4 был рассчи тан в вычислительном пакете Fluent 6.2. Так как на диффузор ном участке закон падения скорости был выбран из условия безотрывности ТПС, расчет проводился для двух моделей тур булентного течения: Спаларта – Аллмараса (SA) и модели SST (для ламинарного течения в начале диффузорного участка на верхней поверхности возникает отрыв). Жидкость считалась несжимаемой, скорость набегающего потока v = 100м/с, хор да b = 1м (что соответствует числу Рейнольдса Re = 5 · 106 ).

Расчетная сетка строилась по такому же принципу, что и для профиля из § 7, исследовалось течение вокруг профиля для двух расчетных углов атаки: 1 = 4.3 и 2 = 14.3.

Граничные условия имели такой же вид, что и в § 7 (от личие заключалось лишь в том, что на границе щели скорость выдува задавалась из условия получения заданного числа µ:

для первого режима µ1 = 0 и для второго – µ2 = 3).

На рис. 9.5 приведено сравнение распределения коэффици §9. Выдув струи в диапазоне режимов обтекания v а) 0.2 0.8 / y б) 0. 0. x 0.6 0. 1. Рис. 9.2. Профиль с выдувом струи при µ = v а) 0.2 0.8 / y б) 0. 0. x 1.0 0.6 0. Рис. 9.3. Профиль с выдувом струи при µ = 1. 100 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи v а) 0.2 0.8 / y б) 0. 0. x 1.0 0.6 0. Рис. 9.4. Профиль с выдувом струи при µ = ента давления по контуру профиля численно-аналитическим методом, изложенным в этом параграфе (сплошная линия), с распределениями давлений, полученных в пакете Fluent (SA – пунктирная линия, SST – штриховая линия). В табл. 9.2 при ведено сравнение коэффициентов cx и cy для двух расчетных режимов.

Т а б л и ц а 9. Сравнение характеристик крыловых профилей с выдувом № Течение cx1 cy1 cx2 cy 1. Численно аналитическое 0.106 1.75 0.352 3. решение 2. Турбулентное (SA) 0.179 1.88 0.346 3. 3. Турбулентное (SST) 0.176 1.88 0.344 3. Заметим, что результаты численно-аналитического метода и пакета Fluent для профиля с выдувом получились не таки ми близкими, как это было для контура с отбором. По-видимо §10. Случай одновременного отбора и выдува sb cp sn sp s 1 Рис. 9.5. Распределение cp по контуру профиля му, это связано с тем, что высокоэнергетическая струя в турбу лентном потоке размывается. Кроме того, на контуре имеется диффузорный участок с положительным градиентом давления, что также вносит некоторые погрешности в расчет. Но в то же время заметим, что течение остается безотрывным для обоих расчетных режимов.


§ 10. Случай одновременного отбора и выдува В настоящем параграфе поставлена и исследована обрат ная краевая задача аэрогидродинамики для крылового профи ля со щелевым отбором воздуха с его верхней поверхности из внешнего потока и выдувом реактивной струи в его кормовой части.

10.1. Постановка задачи. В физической плоскости z = = x+iy искомый контур Lz крылового профиля (рис. 10.1) обте кается плоскопараллельным потоком ИНЖ с заданной плотно стью, скоростью v и давлением p на бесконечности. Точка схода потока B принята за начало координат, ось абсцисс вы брана параллельно направлению скорости v, внутренний к области течения угол в точках B и E равен 2. Хорда b про филя известна. Щель отбора воздуха моделируется бесконечно 102 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи листным завитком, асимптотически переходящим в кольцевой канал N с постоянными скоростями v1 и v2 на его стенках. В задней кромке B из прямолинейного канала F с постоянны ми скоростью vj выдувается жидкость с другой плотностью j и скоростью на бесконечности vj. Индексом j обозначают ся все параметры, относящиеся к струе. Заданы безразмерные расходы qn = Qn /(v b) отбора и qf = Qf /(v b) выдува.

y Lz Gz (z) NP v b D + E lz F A x B lz Рис. 10.1. Физическая плоскость z + Обозначим через lz и lz линии тока, отделяющие реактив ную струю от внешнего потока, то есть границы струи. При переходе через эти границы давление меняется непрерывно, а скорость – скачком согласно соотношению (8.1) Контур Lz профиля образован прямолинейным участком BAD, содержащим точку разветвления потока A, участками постоянной скорости DN, N P, P E, EF и F B. На неизвест ных участках искомого контура Lz крылового профиля зада ется кусочно-постоянное распределение скорости как функция от полярной координаты в канонической области || (рис. 10.2): на участке DN имеем v() = v1, на N P : v() = = v2, на P E: v() = v2, на EF : v() = vj и F B: v() = = vj. Соответствующие точки в плоскостях z и обозначены + одинаковыми буквами. Образы линий lz и lz во вспомогатель + ной плоскости обозначим l и l. Для взаимно однозначного конформного отображения областей Gz и G предполагается соответствие бесконечно удаленных точек плоскостей z и и переход точки B (z = 0) в точку = 1.

Требуется определить форму контура Lz крылового про + филя, границы струи, то есть линии lz и lz, отделяющие струю от внешнего потока, и аэродинамические характеристики про §10. Случай одновременного отбора и выдува + l () G PE N l F B D A u Рис. 10.2. Каноническая плоскость филя.

10.2. Схема решения задачи. Обтеканию искомого профиля в физической плоскости z соответствует обтекание в канонической плоскости единичного круга со стоком в точке N и источником в точке F с интенсивностями qn и qf соответ ственно плоскопараллельным потоком ИНЖ с модулем u и аргументом скорости набегающего потока на бесконечности.

При сделанных предположениях относительно математической модели в области Gz существуют комплексные потенциалы те чений во внешнем потоке и в струе. Будем рассматривать эти потенциалы как единую кусочно-аналитическую функцию w(z) = (x, y) + i(x, y), терпящую разрыв на линиях раздела + сред, то есть на границах струи lz и lz. Комплексно-сопря женную скорость dw/d нетрудно записать, воспользовавшись методом особенностей dw = u ei f ()e(), (10.1) d 1 a p e 1 n f f ()= 1 1 1 1 1 1.

Здесь () = T (r, ) + i(r, ) – кусочно-аналитическая функ + ция, терпящая скачок на линиях l и l.

104 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи Положив в формуле (10.1) на границе = ei, определим распределение скорости на окружности p a e u() = 4u sin sin sin sin 2 2 2 f T () n sin1 sin1 e.

2 Разложив комплексно сопряженную скорость dw/d в окрестности точек N и F, получим выражения для расходов n p n a n e n qn = 8u sin sin sin sin 2 2 2 2 (10.2) 1 n f T (n ) sin e, f a f p f e f qf = 8u sin sin sin sin 2 2 2 2 (10.3) 1 f n T (f ) sin e.

Из условия того, что окружность является линией тока, установим связь (10.4) () = (a + p + e n f )/2.

+ Пусть + (t) точка на линии l, (t) точка на линии l, + а + (t) и (t) – углы наклона касательной к кривым l и l соответственно, где t – дуговая абсцисса линии раздела сред, + отсчитываемая от точки E для l и от точки B для l, то есть ± + d ± (t)/dt = ei (t). Условие непроницаемости линий l и l с учетом (10.1) запишется в виде ± (t) = ± (t) + Im[ln(f ( ± (t))], (10.5) откуда следует, что Im ( ± ) меняется непрерывно при перехо + де через линии l и l, а скачок терпит лишь Re ( ± (t)) = = T ± (t).

Введем в рассмотрение аналитическую функцию () = S + i = () + () ia (10.6) a p n ln 1 1 1, §10. Случай одновременного отбора и выдува dw v () = ln = ln v i, a = ln, dz v () – функция Жуковского – Мичела.

Так как функция () аналитическая, то скачки функций () и () компенсируют друг друга. Обозначим функции скачков v ± j (t) ± (t) = j |l± = T Tj |l±, ± (t) = ln, v ± (t) l± + где v ± j (t) и v ± (t) – распределения скоростей на линиях lz и lz в ± (t) известна, струе и в потоке соответственно. Если функция то с учетом (10.5), следуя [43], запишем функцию () в виде () = () + (1/) (0), 1 + ( )d ( )d () =, 2i + l l причем (10.4) будет выполняться при = Im (0).

Выделив действительные и мнимые части в (10.6) на гра нице = ei, с учетом (10.4) найдем v() a( n ) S() = ln + p 4 sin a sin (10.7) 2 a ( n ) + T (), 0 d, 2 | n | (10.8) () = () + (), d 2, e n f ( a ) a n () = + + ln 2 sin.

2 2| a | Выражения (10.7) и (10.8) представляют собой граничные усло вия смешанной краевой задачи для аналитической в G функ ции (). Интегральное представление решения такой задачи дает формула Вольтерра [79] d ei( /2d /4) ( eid )( 1) () = S() d + 2 ( ei ) sin((d )/2) sin( /2) 106 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи ei( /2d /4) ( eid )( 1) + () d.

2 ei ) ( sin(( d )/2) sin( /2) d Распределение скорости v(), 0 2, и угол наклона касательной к контуру крылового профиля определяются по (10.7) и (10.8):

() = () + (), p a v() = ln 4 sin sin 2 a( n ) a( n ) exp S() + T ().

2 2| n | Координаты искомого контура профиля дает квадратура u() dz = dx + idy = ei ds = ei d.

v() Здесь s – дуговая абсцисса искомого контура Lz крылового про филя, отсчитываемая от задней кромки B так, чтобы область течения оставалась слева.

Для решения необходимо определить функции ± (t), ± ±(t). Для этого был организован итерационный процесс, ана логичный описанному в п. 8.3.

10.3. Условия разрешимости. Задание исходного распределения скорости. В исследуемой задаче имеют место пять условий разрешимости. Условие совпадения за данной скорости на бесконечности в физической плоскости с определенной в процессе решения имеет вид (6.15).

Два действительных условия замкнутости искомого контура крылового профиля, вытекающие из соотношения res(dz/d) = 0 при, имеют вид S() cos d = (cos n + cos f cos e 1) a sin n, S() sin d = (sin n + sin f sin e ) + a cos n.

§10. Случай одновременного отбора и выдува v vj v f e 1 p 2 n d a v vj v Рис. 10.3. Схематическое распределение скорости v() по контуру крылового профиля Четвертым и пятым условиями разрешимости будут усло вия (10.2) и (10.3) получения заданных величин расходов qc и qf. Эти условия разрешимости представляют собой нелинейную систему из пяти уравнений, налагающих ограничения на класс исходных распределений скорости v().

Для выполнения перечисленных условий разрешимости достаточно задать пятипараметрический класс распределе ний скорости v(, a1, a2, a3, a4, a5 ), а свободные параметры ai (i = 1, 5) искать из условий разрешимости. Для получения желаемых геометрических характеристик профиля исходное распределение скорости целесообразно задавать зависящим от девяти параметров: v0, v1, v2, a, d, c, e, 1, f. Такое распределение схематично изображено на рис. 10.3.

10.4. Примеры построения профилей. Характеристи ки профилей, построенных на рис. 10.4, приведены в табл. 10.1.

Расчетный угол атаки указан в градусах, коэффициенты cya подъемной силы, cxa сопротивления и cx полного сопротивле ния (с учетом энергетических затрат на установку отбора-выду ва) вычислены по формулам (5.14), (5.15).

Что касается влияния µ на аэродинамические характери 108 Гл.2. Профили с отбором потока и выдувом струи y x y x Рис. 10.4. Результаты расчетов для µ = 3 (а) и для µ = 20 (б) стики крылового профиля, то из двух первых строк табл. 10.1, рис. 10.4, а и б можно сделать следующие выводы. С ростом скорости выдува реактивной струи, то есть при увеличении µ, коэффициент cya подъемной силы увеличивается. С увели чением µ коэффициент cx полного сопротивления растет. Чем больше µ, тем меньше кривизна струи.

Для подтверждения достоверности числовых результатов решения обратной краевой задачи был построен еще один кры ловой профиль и вычислены его аэродинамические характери стики (строка 3, табл. 10.1). Затем этот профиль был рассчи тан по программе Fluent, причем расчет проводился для двух разных моделей жидкости: модель ИНЖ использовалась для проверки результатов решения обратной краевой задачи, а мо дель Спаларта – Аллмараса – для определения применимости использованной модели идеальной несжимаемой жидкости для моделирования вязких течений (Re = 6 · 106 ).


Как и закладывалось при проектировании этого профиля, он обтекается безотрывно. В табл. 10.2 приведены значения cya и cxa для рассмотренных выше случаев. Видно, что во всех §10. Случай одновременного отбора и выдува Т а б л и ц а 10. Характеристики профилей с отбором и выдувом µ v1 qc qf cya cxa cx 3 2.408 0.20 0.20 6.81 3.301 0.40 0. а 20 2.588 0.20 0.20 7.08 3.647 1.43 2. б 3 2.494 0.15 0.06 15.49 3.342 0.236 0. в Т а б л и ц а 10. Сравнение характеристик крылового профиля Метод/модель cya cxa Численно-аналитический метод 3.3420 0. Fluent, модель ИНЖ 3.3420 0. Fluent, модель вязкой жидкости 3.3418 0. трех случаях значения коэффициента подъемной силы cya по чти совпадают. Расхождения по коэффициенту сопротивления cxa объясняются наличием вязких сил, которые при решении обратной задачи не учитывались.

Подводя итог, отметим, что наличие устройства отбора выдува позволяет значительно увеличить подъемную силу по сравнению с тем же профилем без отбора и выдува. Сравнения результатов обратной и прямой задач по модели ИНЖ дают полное совпадение по коэффициенту cya подъемной силы и почти полное по коэффициенту cxa сопротивления, что под тверждает достоверность численно-аналитического решения.

Сравнения результатов обратной задачи по модели идеальной несжимаемой жидкости и прямой задачи по вязкой несжима емой жидкости дали совпадение лишь по коэффициенту cya подъемной силы, но разошлись по коэффициенту cxa сопро тивления,что вполне естественно, так как в решении обратной краевой задачи вязкость не учитывалась.

Глава Двухэлементные крыловые профили Вопрос об аэродинамическом расчете двухэлементных крыловых профилей всегда привлекал внимание исследо вателей. С использованием математической модели ИНЖ эта задача сводится к решению краевой задачи для двухсвязной области. Одно из первых исследований ОКЗА для крылового профиля биплана провел Р. М. Насыров [45], где на искомых профилях задавалось распределение скорости, области тече ния ставилась в соответствие внешность двух дуг единичной окружности во вспомогательной плоскости. Задача Дирихле решалась путем сведения к двум задачам Римана. В моногра фии Г. Г. Тумашева и М. Т. Нужина [56] предложен несколько иной путь решения, а именно, в качестве вспомогательной обла сти выбирался прямоугольник. Функция Жуковского – Мичела восстанавливалась по формуле Вилля. Однако вопрос о спосо бах выполнения условий разрешимости задачи в этих работах остался открытым.

Г. Ю. Степановым [52] решена задача построения реше ток бипланов методом годографа скорости. Комплексный по тенциал искомого течения в физической плоскости находился как аналитическая функция комплексной скорости в заданной области годографа скорости. Замкнутость контуров профилей обеспечивалась вариацией исходного годографа скорости и сво бодных параметров.

В работе Н. Б. Ильинского и А. В. Поташева [30] решена ОКЗА для двухэлементного профиля в случае, когда разме ры закрылка (предкрылка) малы по сравнению с размерами основного профиля. Для решения задачи закрылок заменял §11. ОКЗА для двухэлементного крылового профиля б) а) E (z) Gz (t) y i/ M2 N2 N1 B1 A1 M Lz B i E E A2 Gt Lz A1 B1 x M1 N v B2 A N2 M E Рис. 11.1. Области течения в физической и канонической плос костях ся точечным вихрем. Для выполнения условий разрешимости ОКЗА применен способ квазирешения некорректных задач ма тематической физики. А. В. Поташевым [48] решена задача в случае закрылка конечных размеров при задании на его скелет ной линии распределений толщины и перепада давлений.

В работе [70] Р. М. Джеймсом предложен метод решения, основанный на интегральных соотношениях для функции Жу ковского – Мичела в кольце. Решение задачи сведено к быст рому преобразованию Фурье. Выполнение условий разрешимо сти достигалось вариацией коэффициентов ряда Фурье. Метод построения изолированного крылового профиля, описанный в [77], обобщен на двухэлементный случай в работе [68]. Для ре шения задачи использовалась комбинация решения обратной задачи для одноэлементного профиля и прямой задачи для двухэлементного профиля.

§ 11. Обратная краевая задача аэрогидродинамики для двухэлементного крылового профиля 11.1. Постановка задачи. В физической плоскости z (рис. 11.1, а) искомые непроницаемые крыловые профили Ak Bk (k = 1, 2) обтекаются установившимся безвихревым потоком 112 Гл.3. Двухэлементные крыловые профили vk v2k v0k sak s1k s2k s3k sk k v1k v0k Рис. 11.2. Вид задаваемого распределения скорости vk (sk ) ИНЖ;

контуры Lzk профилей считаются гладкими, за исклю чением задних кромок Bk, где внутренние к области течения углы равны 2.

Начало декартовой системы координат выбрано в задней кромке B1 профиля Lz1, а ось абсцисс параллельна направле нию заданного вектора скорости v набегающего потока. Пе риметры профилей известны и равны k. Дуговые абсциссы sk контуров профилей отсчитываются от 0 в точках Bk до k в них же так, что при возрастании sk область течения остает ся слева. Распределение скорости по контуру Lzk описывается зависимостью vk = vk (sk, dj ), sk [0, k ], k = 1, 2, j = 1, m, (11.1) где dj – свободные параметры. Некоторые из этих параметров будут находиться из условий разрешимости, остальные могут быть выбраны произвольно. В дальнейшем в записи функции vk параметры dj будем опускать. Пример задания кусочно линейного (за исключением диффузорного участка) распреде ления скорости vk (sk ) приведен на рис. 11.2. Функции vk (sk ) – кусочно-гладкие, обращающиеся в нуль в точках Ak разветвле ния потока sak и непрерывно дифференцируемые в них. Знак vk связан с направлением обхода, поэтому vk (sk ) 0 при sk [0, sak ), vk (sk ) 0 при sk (sak, k ].

Введем в рассмотрение комплексный потенциал w(z) = §11. ОКЗА для двухэлементного крылового профиля = (x, y) + i(x, y), который определяется с точностью до ком плексной постоянной. Будем считать, что в точке разветвления потока на первом контуре w(za1 ) = a1 + ia1 = 0. Для фикси рования взаимного расположения контуров относительно друг друга зададим комплексный потенциал в точке A2 : w(za2 ) = = a2 + ia2.

Требуется найти форму профилей и их геометрические и аэродинамические характеристики.

11.2. Схема решения. Значения k = (sk ) вдоль про филей определятся формулами sk k (sk ) = ak + vk (s)ds, sk [0, k ].

sak Циркуляции скорости по каждому контуру Lzk равны k = = k (k ) k (0). Пусть также bk = k (0).

Двухсвязную область Gz в плоскости z конформно отобра зим на прямоугольник Gt со сторонами 1 = и 2 = i/2 в плоскости t = + i. При этом контуру Lz1 в плоскости t со ответствует сторона N1 M1 прямоугольника Gt, а контуру Lz – сторона N2 M2 (рис. 11.1, б), бесконечно удаленная точка в плоскости z переходит в точку E (t = i) на мнимой оси, а на боковых гранях прямоугольника выполняется условие пери одичности.

Согласно решению прямой задачи о биплане [49] можно записать w(t) = (, ) + i(, ) = u [ei (t i) + ei (t + i)]+ 1 + 2 (t i) + Kt + C, (11.2) + ln 2i (t + i) dw (t) = u [ei (t i) + ei (t + i)]+ u(t) dt 1 + [(t i) (t + i)] + K, (11.3) + 2i 1 K= 1 + (1 + 2 ) 2u 1 cos = const, 114 Гл.3. Двухэлементные крыловые профили где u,,, C = C1 + iC2 – неизвестные постоянные;

(t), (t), (t) – функции Вейерштрасса с полупериодами /2 и i/2;

1 = = (t + ) (t) – постоянная. Пусть 1 () = (, /2), 1 () = (, /2), [0, ].

2 () = (, 0), 2 () = (, 0), Перейдя на границы N1 M1 и N2 M2 прямоугольника Gt, получим систему из десяти нелинейных алгебраических урав нений для определения десяти параметров ta1 = a1 + i/2, ta2 = a2, tb1 = b1 + i/2, tb2 = b2, u,,, C1, C2 и :

u(ta1 ) = 0, u(ta2 ) = 0, u(tb1 ) = 0, u(tb2 ) = 0, (11.4) 1 (a1 ) = 0, 1 (a1 ) = 0, 2 (a2 ) = a2, 2 (a2 ) = a2, 2 (b2 ) = b2, 1 (b1 ) = b1 + 1.

Первые четыре уравнения этой системы служат для опре деления параметров a1, a2, b1 и b2 ;

два последующих – для нахождения C1 и C2. Оставшаяся система из четырех уравне ний служит для определения u,, и. Для ее решения выбран метод Ньютона решения системы нелинейных уравне ний.

Определив параметры, найдем функции k () на отрезках Nk Mk. Сопоставив значения потенциалов скорости в первона чальном и преобразованном потоках, взятых в соответствую щих друг другу точках, установим связь sk = sk () между точками контуров Lzk и отрезков Nk Mk прямоугольника Gt.

Функция Жуковского – Мичела 1 dw v (t) = ln = ln i, v dz v где – аргумент вектора скорости, имеет логарифмические осо бенности в точках Ak обращения скорости v в нуль. Поэтому введем в рассмотрение модифицированную функцию (11.5) (t) = (t) 0 (t), (t ta1 ) (t ta2 ) 0 (t) = ln sin sin.

§11. ОКЗА для двухэлементного крылового профиля Заметим, что функция 0 (t) – периодическая в плоскости t и имеет такой же характер поведения в точках Ak, что и функция (t). Следовательно, (t) = S(, )+i(, ) периодическая и не имеет особенностей во всем прямоугольнике Gt.

Действительная часть этой функции на верхней и нижней сторонах прямоугольника Gt известна:

v1 (s1 ()) ( a1 ) ( a2 + i/2) S1 () = ln ln sin sin, v v2 (s2 ()) ( a2 ) ( a1 i/2) S2 () = ln ln sin sin, v где S1 () = S(, /2), S2 () = S(, 0).

Функцию восстановим по формуле Вилля (см., например, [7]) (t) = S1 () (t i/2) S2 () (t ) d+ i (11.6) 1 + P1 + iP2, где P2 – вещественная постоянная, которая будет определена позднее, а для P1 имеем (11.7) P1 = S1 ()d = S2 ()d.

0 Последнее равенство в (11.7) является условием однозначности функции (t).

По известной (t) определим ее мнимую часть на верхней и нижней сторонах прямоугольника Gt :

1 () = Im ( + i/2), 2 () = Im ().

Производную dz/dt найдем по формуле dz dw/dt u(t) u(t) (t) = = =.

(t ta1 ) (t ta2 ) v e(t) dt dw/dz (t) v e sin sin 116 Гл.3. Двухэлементные крыловые профили Проинтегрировав это соотношение по верхней и нижней сторо нам прямоугольника Gt, получим параметрическое выражение контуров искомых профилей uk () ik () (11.8) zk () = z0k + e d, k = 1, 2, [0, ], vk () bk где вещественные функции uk (), k () имеют вид u1 () = u( + i/2), u2 () = u(), 1 () = 1 () Im 0 ( + i/2), 2 () = 2 () Im 0 ().

Так как начало координат в физической плоскости выбрано в точке B1, то z01 = x01 + iy01 = 0. Для определения постоянной z02 используем формулу tb dz z02 = x02 + iy02 = dt.

dt tb 11.3. Условия разрешимости. В ОКЗА для двухэле ментного крылового профиля, как и для изолированного, присутствуют условия разрешимости, выводимые аналогич ным способом. Условия замкнутости следуют из (11.8) uk () ik () (11.9) e d = 0, k = 1, 2.

vk () Так как эти равенства комплексные, они представляют собой четыре вещественных условия разрешимости.

С учетом равенства dw/dz|z = v получим (11.10) Im (i) = 0, (11.11) Re (i) = 0.

Условие (11.10) служит для определения неизвестной P2, а (11.11) – это пятое условие разрешимости. Последним, шестым §11. ОКЗА для двухэлементного крылового профиля условием разрешимости, является полученное ранее условие (11.7) однозначности ().

Для удовлетворения этих условий были использованы вве денные в распределения скорости (11.1) свободные параметры (по 3 параметра из каждого vk (sk )).

11.4. Расчет аэродинамических характеристик.

Аэродинамические силы находятся по формуле Чаплыгина (5.1). Перейдя в плоскость t, получим k i vk ()uk ()ek () d.

Rk = Rxk iRyk = (1) При вычислении сил удобно пользоваться безразмерными коэффициентами 2Ryk 2Rxk cxk =, cyk =, 2 (b + b ) 2 (b + b ) v 1 v 2 где b1, b2 – хорды профилей.

Для результирующей силы, действующей на систему про филей, справедливы формулы Жуковского 2(1 + 2 ) cx = cx1 + cx2 = 0, cy = cy1 + cy2 =.

v (b1 + b2 ) 11.5. Примеры построения крыловых профилей.

Построение крыловых профилей выполнялось по следующей схеме. По заданным распределениям скоростей vk (sk ) “по лочного” типа из класса гидродинамически целесообразных распределений скорости и значениям a2 и a2 определялись функции Sk () на верхней и нижней сторонах прямоугольника.

Затем восстанавливалась функция (t). Для выполнения усло вий разрешимости часть свободных параметров в исходных распределениях скоростей находилась из решения системы нелинейных уравнений (11.7), (11.9) и (11.11) методом Ньюто на. В качестве таких свободных параметров были выбраны s1k, s2k, v0k. Одним из основных требований гидродинамической це лесообразности является требование безотрывности обтекания.

118 Гл.3. Двухэлементные крыловые профили б) а) v v 2 1 0 s2 / s1 / 1 в) 2 x 0. y 0.8 0.4 Рис. 11.3. Пример построения профиля с закрылком Т а б л и ц а 11. Параметры и характеристики двухэлементных профилей 1 2 a2 a2 v21 v01 v22 v02 cy 0. 0.2 0.8 0.05 1.488 0.838 1.925 1.092 1. 0.8 0.2 0.05 1.613 0.912 2.678 1.553 1. 1.0 0.0 – – 1.692 0.943 – – 1. 0. 0.5 0.5 0.05 1.527 0.864 2.306 1.328 1. На диффузорном участке распределение скорости задавалось в виде sk s3k 1/ vk (sk ) = v2k 1 + Dk, s3k sak где Dk определяется из условия vk (lk ) = v0k. Из критерия без отрывности ТПС по методу Кочина – Лойцянского следует задавать Dk D = 6.6 (см., например, [18, 52]). Для удо влетворения этого условия использовался свободный параметр v2k.

Пример построения крылового профиля с закрылком при веден на рис. 11.3. Рассчитанные в ходе решения распределения §11. ОКЗА для двухэлементного крылового профиля а) v v1 б) 2 1 0 s2 / s1 / 1 в) x 0. y 0.8 0.4 Рис. 11.4. Пример построения профиля с предкрылком скорости изображены на рис. 11.3, а, б, соответствующие им профили – на рис. 11.3, в. Начало диффузорных участков во всех примерах взято равным s3k = 0.7k. Задаваемые и опреде ляемые параметры и характеристики этого профиля приведены в первой строке табл. 11.1.

Случай построения профиля с предкрылком изображен на рис. 11.4. Характеристики этого профиля приведены во второй строке табл. 11.1. Заметим, что коэффициенты подъемной си лы для профилей с закрылком и предкрылком получились до вольно близкими. Но в то же время проектирование профилей с закрылком является более предпочтительным с точки зре ния сохранения дозвукового обтекания, т. к. максимальная ско рость потока при обтекании профиля с закрылком получилась равной 1.925, а для профиля с предкрылком – 2.678.

Для сравнения коэффициентов подъемной силы двухэле ментного и одиночного профилей в качестве распределений скорости по контурам профилей (как для одиночного, так и для обоих распределений двухэлементного) были взяты оди наковые распределения скорости полочного типа (рис. 11.2).

120 Гл.3. Двухэлементные крыловые профили v а) s/ б) y 0. x 0.8 0.4 Рис. 11.5. Изолированный профиль Начало диффузорного участка задано s3k = 0.7k, v1k = 0.5v, скорость v2k на полке находилась из условия безотрывности Dk = 6.6. Сначала по схеме решения ОКЗА для профиля в без граничном потоке найдено распределение скорости по его кон туру (рис. 11.5, а) и построен соответствующий ему одиночный профиль (рис. 11.5, б). Его характеристики приведены в 3 стро ке табл. 11.1. Затем решена задача для двухэлементного профи ля при a2 = 0.2, a2 = 0.05. Периметры профилей выбраны одинаковыми 1 = 2. Распределения скоростей на обоих конту рах двухэлементного профиля изображены на рис. 11.6, а, б;

а сам профиль – на рис. 11.6, в. Характеристики этого двухэле ментного профиля приведены в 4 строке табл. 11.1. Как видно из расчетов, за счет использования двухэлементного крылово го профиля удалось увеличить коэффициент подъемной силы более чем на 30%. Заметим также, что в случае равных пе риметров коэффициент cy получился больше, чем в случаях обтекания профиля с закрылком или предкрылком.

Таким образом, приведено численно-аналитическое реше §12. Обобщение на случай учета вязкости и... а) v v1 б) 2 1 0 s2 / s1 / 1 2 в) x 0. y 0.8 0.4 Рис. 11.6. Пример построения двухэлементного профиля ние задачи построения двухэлементного крылового профиля по заданному на искомых контурах профилей распределению скорости или давления как функции дуговой абсциссы этих кон туров. Получены формулы для вычисления аэродинамических сил, действующих на каждый профиль. Результаты числовых расчетов показали, что коэффициент подъемной силы двухэле ментного крылового профиля при учете ограничения на безот рывность обтекания больше по сравнению с одиночным профи лем.

§ 12. Обобщение на случай учета вязкости и сжимаемости В этом параграфе изложено численно-аналитическое реше ние задачи построения двухэлементного крылового профиля при обтекании дозвуковым потоком вязкого газа. Учет вязко сти выполнен по теории ПС, сжимаемости – по модели газа Чаплыгина.

122 Гл.3. Двухэлементные крыловые профили 12.1. Постановка задачи. В физической плоскости z (рис.12.1, а) искомые непроницаемые крыловые профили Ak Bk (k = 1, 2) обтекаются плоским установившимся дозвуковым по током вязкого газа с заданными числами Рейнольдса Re и Маха M на бесконечности;

контуры Lzk профилей считаются гладкими за исключением задних кромок Bk, где внутренний к области течения угол равен 2.

a) б) k y z B2 B B A B B1 A l1 l2 sk A x B A1 B B Рис. 12.1. Физическая плоскость a) и задаваемое распределение (s) приведенной скорости Начало декартовой системы координат выбрано в задней кромке B1 профиля Lz1, а ось абсцисс параллельна направле нию скорости набегающего потока. Периметры профилей из вестны и равны lk.

Предполагая безотрывный характер обтекания и малость толщины ПС, дуговые абсциссы sk контуров профилей и полу тел вытеснения на участках Bk Ak Bk будем считать совпадаю щими и отсчитывать их от нуля в точках Bk до lk в Bk так, что при возрастании sk область течения остается слева. Рас пределения приведенных скоростей k вдоль границ полутел вытеснения Bk Ak Bk в параметрическом виде равны k (sk, dj ) = vk (sk, dj )/a =, sk [0, lk ], k = 1, 2, j = 1,..., m, где dj, (j = 1,..., m) – свободные параметры, a – критическая скорость. В дальнейшем в записи функции k свободные пара §12. Обобщение на случай учета вязкости и... метры dj будем опускать. Распределения k (sk ) изображены на рис.12.1, б. Функции k (sk ) – кусочно-гладкие, обращающиеся в нуль в точках Ak разветвления потока sak и в них непрерыв но дифференцируемы. Знак k связан с направлением обхода, поэтому k (sk ) 0 при sk [0, sak ), k (sk ) 0 при sk (sak, lk ].

Кроме вышеперечисленных условий, необходимо выполне ние ряда требований, ограничивающих выбор распределения скорости. К таким относятся ограничения по конструктивной реализуемости решения (требование замкнутости и простоты искомых контуров, ограничения на толщину и кривизну про филей) и по физической реализуемости решения (соответствие решения обратной краевой задачи аэрогидродинамики матема тической модели, принятой в постановке задачи). Названные ограничения определяют множество гидродинамически целе сообразных распределений скорости (см., например, [52]), из которого и берутся исходные распределения скорости.

Введем в рассмотрение комплексный потенциал течения w(z) = (x, y) + i(x, y), где z = x + iy. Считаем, что известен расход q между контурами полутел вытеснения и разность по тенциалов между точками A2 и A1. Положив w(z) равным нулю в точке A1, имеем (sa1 ) = 0, (sa1 ) = 0, (sa2 ) =, (sa2 ) = q Требуется найти форму двухэлементного крылового профиля и его геометрические и аэродинамические характеристики.

12.2. Решение обратной задачи. В качестве характер ного линейного размера выберем полусумму l = 0.5(l1 + l2 ) пе риметров искомых профилей.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.