авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 12 |

«Ю. А. ФЕДОРОВ С ОСНОВАМИ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ Р е к о м е н д о в а н о Г о с у д а р с т в е н н ы м ко- митетом Российской Федерации по ...»

-- [ Страница 2 ] --

Каждый лист карты масштаба 1 : 50 000 содержит четыре ли ста карты более крупного масштаба 1 : 25 000, которые обознача ются добавлением к его номенклатуре строчных букв русского алфавита, например, 0-37-144-Б-г (см. рис. 2. 7 а ).

Лист карты масштаба 1 : 25 000 делится на четыре листа кар ты масштаба 1 : 10 000, обозначаемые арабскими цифрами, напри мер, 0-37- 1.44-B-B-4 (см. рис. 2.7 а ).

План масштаба 1 : 5000 получается путем деления листа кар ты масштаба 1 : 100 000 на 256 частей и обозначается арабскими цифрами, заключенными в скобки и подписываемыми вслед за номенклатурой листа карты масштаба 1:100 000, например, 0-37-144- (220). Этот пример дан в нижней правой части рис. 2.7 а.

План масштаба 1 : 2000 составляет 1/9 часть плана масштаба 1 : 5000 и обозначается одной из девяти строчных букв русского 807" Таблица 2. Разграфка и номенклатура карт и планов Протяжение листа', Число листов, соответствующее Масштаб карты Пример написания ' или плана одному листу номенклатурного листа карты масштаба по широте по долготе 1 : 1 000 6° 0- 1 4° 1 : 1 000 (Санкт- Петербург) 3° 4 2° 0-37-Г 1 :500 1°20' IX-0- 9 2° 1 ШО 1 у200 000 1° :

36 40' 0-37-XXXVI 144 20' 30' 0-37- 1 : 100 1 : 100 4 - 10' 15' 1: 50 000 0-37-144-Г 16 5' Т 30" 1:25 000 0-37-144-Г-г 2'30" 1 : 10 000 64 3'45" 0-37-144-Г-г- 256. 1'15" 0-37-144-(256) 1 :5 000 1'52" 2304 25" 1:2000 37"5 0-37-144-(256-и) алфавита, добавляемых к обозначению плана масштаба 1 : 5000, например, 0-37-144- (120-и) (см. рис. 2.76).

Таким образом, существующая в нашей стране-схема разграф ки и номенклатура топографических карт представляют собой стройную систему, основанную на добавлении к номенклатуре кар ты масштаба 1 : 1 000 000 соответ ствующих чисел и букв, принятых для обозначения листов карт и планов того или иного масштаба.

Сводная характеристика разме н о в листов карт и планов, их раз графки и номенклатуры приве дена в табл. 2.2.

Если площадь участка съемки :е превышает 20 км 2, то для Рис. 2.8. Квадратная разграфка и номен клатура планов масштабов 1 :2000, 1 : 1000 и 1 : 500.

планов масштабов 1 : 5000, 1 : 2000, 1 : 1000 и 1 :500 применяют квадратную разграфку листов и местную их нумерацию. З а ее основу принят план масштаба 1 : 5000 размером: 4 0 x 4 0 см, кото рый обозначается арабской цифрой, например 5 (рис. 2.8). Планы масштабов 1 : 2000, 1 : 1000, 1 :500 имеют размеры 50X50 см.

Одному листу плана масштаба 1 : 5 0 0 0 соответствуют четыре листа планов масштаба 1:2000, для обозначения каждого из ко торых одна из первых четырех прописных букв русского алфавита присоединяется к номеру соответствующего листа масштаба 1 : 5000, например 5-Б.

Одному листу плана масштаба 1 : 2000 соответствуют четыре листа планов масштаба 1 : 1000, обозначаемых римскими цифрами (5-B-IV), и 16 листов планов масштаба 1 : 500, обозначаемых арабскими цифрами (5-Г-11). Указанные номенклатуры планов масштабов 1 : 2000, 1 : 1000 и 1 : 500 показаны штриховкой на рис. 2.8.

2.5. Условные знаки для топографических карт и планов Д л я отображения на картах и планах географических объек тов местности и рельефа используются условные знаки. Разработ кой и изданием условных знаков для топографических карт и пла нов занимаются организации Федеральной службы геодезии и картографии России. Условные знаки являются единым норматив ным документом для всех организаций и учреждений страны, вы полняющих топографические съемки местности.

Для унификации и стандартизации условных знаков на картах различных масштабов, различающихся лишь размерами знаков, периодически издаются таблицы условных знаков. Эти таблицы содержат и условные знаки для отображения объектов на мате риалах других ведомств, изготавливаемых для специальных целей.

Таблицы условных знаков для удобства пользования классифи цируются по масштабам. В нашей стране таблицы условных зна ков издаются отдельно для топографических карт масштабов.

1 : 200 000, 1 : 500 000, 1 : 1 000 000;

отдельно для карт масштабов 1 : 2 5 000, 1 : 5 0 000 и 1 : 1 0 0 000;

отдельно для карты масштаба 1 : 10 000 (государственный масштаб картографирования террито рии страны) [40] и для топографических планов масштабов 1 : 5000, 1 : 2000, 1 : 1000 и 1 : 500 [41].

Условные знаки периодически обновляются, дополняются и пе реиздаются. Это вызвано изменением требований к топографиче ским картам и необходимостью совершенствовать содержание и оформление карт.

Все условные знаки для топографических карт и планов под разделяются на три группы: контурные, внемасштабные и поясни тельные.

Контурными условными знаками изображают на картах и пла нах объекты, выражающиеся в масштабе карты (пашни, луга, ле са, болота и т. д.). Очертания (контуры) этих объектов вычер чивают точечным пунктиром, если они не совпадают с условным 807" знаком соответствующей границы объекта, например, дороги, из городи, канавы и т. п. Площади внутри контуров заполняют уста новленными значками.

Так как проекции различных контуров на картах и планах могут иметь совершенно одинаковые очертания, то во избежание ошибок и для выделения тех или иных особенностей изображае мых объектов на картах применяют фоновую окраску различного цвета. Площади водных поверхностей окрашивают голубым цве том, лесов— зеленым, кварталов населенных пунктов — оранже вым и т. д.

Внемасштабные условные знаки применяют в тех случаях, ког да их нельзя выразить в масштабе карты или плана. Названы они так потому, что изображают предметы без сохранения масштаба (километровые столбы, указатели дорог, геодезические пункты, колодцы, родники, силосные башни и др.).

Большая часть внемасштабных условных знаков указывает точное положение обозначаемых ими местных предметов, что по зволяет измерять расстояния между ними. Например, положение объекта могут указывать центр условного знака, середина его ос нования или вершина угла.

Пояснительные условные знаки дополняют контурные или вне масштабные условные знаки и тем самым расширяют их смысл.

К ним относятся характеристики лесов, мостов, дорог и других объектов. Очень часто пояснительные условные знаки совместно с внемасштабными изображают различные водные объекты и ха рактеристики рек. К ним относятся изображения порогов, перека тов, водопадов, гидрометеорологических постов, пристаней в виде внемасштабных условных знаков с пояснительными надписями.

На крупных реках и каналах показывают в виде дроби ширину и глубину реки. Скорость течения, выраженная в метрах в секунду, является составной частью условного знака в виде стрелки, ука зывающей направление течения. При изображении болотных мас сивов указывают глубину болота в метрах или дают надпись, на пример, глубже 2 м.

С уменьшением масштаба карты исключаются второстепенные гидрографические объекты и сокращается число их характери стик. Но важнейшие гидрографические объекты, к которым от носятся берега морей, крупные реки, озера и водохранилища, изображают на всех картах вплоть до карт самых мелких мас штабов.

При оформлении оригиналов карт и планов некоторые услов ные знаки гидрографических объектов, болота, солончаки, лед ники вычерчивают зеленым цветом, рельеф местности, скалы, су хие русла, каменные реки, галечники, пески и др. — коричневым, остальные элементы — черным. Образец оформления некоторых условных знаков показан на рис. 2.9.

Издаваемые «Условные з н а к и... » содержат непосредственно таблицы условных знаков, образцы шрифтор надписей, пояснения к условным знакам, перечень условных сокращений, алфавитный 807" Пункты государственной геодезической сети ^ 67, на курганах к* 125, Нивелирные марки и реперы грунтовые ®.1Ш Выдающиеся огнестойкие жилые и нежилые здания Церкви, костелы, кирхи каменные разв.

Разрушенные и полуразрушенные строения Погреба fl погреб Заводы, фабрики и мельницы с трубами Отвалы пород-терриконы тер.

Места открытых разработок (карьеры) 1 t Ветряные мельницы каменные и деревянные к L Ветряные двигатели А Метеорологические станции фбр.

Д.

Братские могилы Qf.

/+S Кладбища Рис. 2.9. Образец оформления условных знаков.

указатель условных знаков и образцы оформления рамок съемоч ных трапеций. В таблицах условных знаков указаны порядковые номера условных знаков, их названия, а также примеры изобра жения.

2.6. Ориентирование линий на карте и на местности При изображении линий местности на карте, при выполнении натурных геодезических работ, при перенесений выполненных про ектов гидротехнических и других сооружений в натуру требуется знать положение любой линии'относительно стран света.

Ориентированием линии местности называется определение ее направления относительно какого-либо другого направления, принимаемого за исходное.

807" В качестве исходного направления в геодезии принимают гео графический, или истинный, меридиан точки,, магнитный меридиан точки и осевой меридиан зоны в зональной системе координат.

Направление линии местности определяется горизонтальным уг лом между меридианом и этой линией. В зависимости от того, ка кой меридиан принят за исходный, углы ориентирования назы ваются следующим обр азом: / — азимутами (исходным меридианом является истинный ме ридиан), — дирекдионными углами (исходным.является осевой мери диан зоны), ':Т — магнитными азимутами (исходным является направление магнитной стрелки).

2.6.1. Истинный азимут и дирекционный угол линии Метанным азимутом направления (от арабского слова «as-su mut» — пути) называется угол, отсчитываемый по ходу часовой стрелки от северного направления истинного (географического) меридиана, проходящего через данную точку, до направления из этой точки на предмет. Азимуты изменяются от 0 до 360°. Направ ление географического меридиана определяется с помощью астро номических наблюдений. На картах изображениями Отрезков географических меридианов являются западная и восточная рам ки карт.

В разных точках земной поверхности (исключение составляет экватор) географические меридианы не параллельны друг другу, так как все они сходятся у северного и южного полюсов. Поэтому значения истинных азимутов в разных точках одной и той же ли нии различаются. Вблизи экватора эти различия несущественны, в верхних широтах они могут достигать больших значений, изме ряемых градусами. ' ;

•..-.;

Истинные, азимуты обозначаются буквой А. На рис. 2.10 изо бражены Истинные меридианы, проходящие-через концы некото рой линии АВ, Азимут АЛК называется прямым азимутом линии АВ, если направление линии АВ считается от точки А к точке В, В этом случае АВА — обратный азимут'этой линии. Он отличается от прямого на 180° из-за изменения направления линии и непарал лельности истинных меридианов:

180 D + Ава = А + Y. (2.16) дв Сближение меридианов у в точке В земного эллипсоида.— это угол между касательной к географическому меридиану этой точ ки и касательной к эллипсоиду, проведенной в той же точке -па раллельно плоскости географического /меридиана,. проходящего че рез точку Л (РИС. 2.11). - ;

807" Сближение меридианов в точке В является функцией разно сти долгот ДА указанных меридианов, широты и параметров р эллипсоида. Приближенно сближение меридианов выражается формулой:

V « А/, sin q:, (2.17) где ДА — разность долгот точек Л и В, расположенных на одной параллели;

ср-^-лшрота параллели, на которой расположены Рис. 2.10. Прямой и об- Рис. 2.11. Сближение ме ратный истинные азиму- ридианов на эллипсоиде.

р _ географический ТЫ линии АВ. полюс Земли, АР — истинный мери диан точки А, ВР — истин ный меридиан точки В, ВС — параллельная мери диану точки А.

Из формулы 2.17 следует, что на экваторе (qp=0°) сближение меридианов у = 0°, а на полюсах (ср = 90о) оно равно разности дол гот точек: При расстоянии 1 км между двумя точками на широте 40° значение у 0.5', на широте 60° у С 1', на широте 80° Y = 3'. Когда расстояние на местности между двумя точками менее 1 км, величиной у можно пренебречь и тогда А,бр. = Аф± 180°, (2.18) где Л0бр и Л п р — соответственно обратный и прямой азимуты ли нии.

В формуле (2.18) знак минус используется тогда, когда Л 1ф 180°.

Дирекционный угол линии и румб (см. п. 1.3) используются для решения различных задач геодезии, в частности, для ориен тирования линий. В данном случае в качестве исходного направле ния служит осевой меридиан зоны или линии, ему параллельные, 807" образующие на картах координатную сетку вместе с линиями, па раллельными экватору. Расстояния между ближайшими линиями координатной сетки обычно кратны целому числу километров на местности. Поэтому координатная сетка на топографических кар тах называется километровой. Выходы линий километровой сетки подписываются в километрах вдоль всех рамок листа карты.

В отличие от истинного азимута дирекционный угол линии не зависимо от её длины в пределах зоны и в любой ее точке не из меняется, а остается постоянным. Кроме того, прямой и обратный дирекционные углы какой-либо линии различаются ровно на 180° (рис. 2.12) :

uba — UAB ± 180°. (2.19) Знак минус применяется в случаях, когда адв 180°.

Связь дирекционных углов с румбами направлений графи чески показана на рис. 2.12, а аналитически — формулами (1.7).

Принимая в зоне в качестве оси абсцисс изображение осе Рис. 2.12. Связь между прямым и обратным дирекционным углами и между истинным азимутом и дирек ционным углом линии АВ.

вого меридиана, мы тем самым предопределяем необходимость учета сближения меридианов, называемого гауссовым. Это угол, образованный изображением меридиана точки в проекции Гаусса и осью х. На рис. 2.12 гауссово сближение меридианов в точке А обозначим через yb, полагая, что точка Л расположена западнее осевого меридиана зоны. В этом случае сближение меридианов на зывается западным. Если предположить, что точка В расположена восточнее осевого меридиана, то гауссово сближение меридианов в этой точке ув будет называться восточным. Д л я восточной по ловины зоны сближение меридианов считается положительным, для западной — отрицательным. Поэтому в формуле связи дирек ционного угла с истинным азимутом следует всегда учитывать знак сближения. Из рис. 2.12 следует, что (2,20) а=М ± у.

2.6.2. Магнитный азимут и румб линий.

Склонение магнитной стрелки Под действием сил земного магнетизма в любой точке земной поверхности (за исключением зон магнитных аномалий) свободно подвешенная;

в горизонтальной плоскости магнитная стрелка на 807" правлена одним кондом на север, а д р у г и м — н а юг. Свойство магнитной стрелки указывать своим кондом на север можно ис пользовать для ориентирования линий.

Горизонтальный угол между северным направлением магнит ной стрелки и направлением линии на местности называется магнитным азимутом линии. Он Отсчитывается от северного на правления магнитной стрелки по ходу часовой стрелки и изменя ется от 0 до 360°. Кроме магнитного азимута для ориентирования линий используется и магнитный румб Линии.

Магнитным румбом линий называется острый угол между бли жайшим к линии северным или южным направлением магнитной стрелки и горизонтальной проекцией данной линии местности.

Магнитные румбы изменяются от 0 до 90°. Также следует указы вать соответствующую четверть, в которой расположена линия местности: СЗ, СВ, ЮВ или ЮЗ. Д л я магнитного азимута Л м = = 315°00 / магнитный румб этой же линии г м = СЗ : 45°00 /. Связь между магнитными азимутами и магнитными румбами аналогич на связи дирекционных углов и румбов линий и описывается формулой (1.7).

Направление магнитной стрелки почти всегда не совпадает с направлением истинного меридиана, проходящего через ту же точку. Горизонтальный угол, образованный направлением магнит ной стрелки и истинным меридианом в данной точке местности, называется склонением магнитной стрелки, или магнитным скло нением б.

Различают восточное (положительное) и. западное (отрица тельное) магнитное склонение. Если магнитная стрелка отклоня ется к западу от истинного меридиана, то склонение называют за падным, если к востоку — т о восточным (рис. 2.13).

Магнитное склонение не постоянно, а является функцией про странства и времени. Так, на территории нашей страны склонение колеблется От —15 до 25°. В данной точке земной поверхности маг нитное склонение подвержено вековым (за 500 лет оно изменяется на 22,5°), годовым и суточным изменениям с амплитудой колеба ний 15'. Помимо указанных систематических изменений возможны й Случайные изменения значения магнитного склонения. Они, как правило, совпадают по времени с появлением полярных сияний, гроз, землетрясений и достигают /2° и более. Возмущения магнит ной стрелки особенно велики во время магнитных бурь в зависи мости от интенсивности образования солнечных пятен. Они дости гают нескольких градусов й продолжаются с перерывами от нескольких часов до 4—5 сут. В районах сильных магнитных аномалий склонение магнитной стрелки может принимать любое значение от 0 до ± 180°. ;

На направление магнитной стрелки влияют также близость железных дорог "или других железных предметов и линий высоко вольтных передач.;

Поэтому можно заключить, что ориентирование по магнитному меридиану имеет низкую точность. По этой при 807" 5 З а к а з № 124 чине его используют в геодезии лишь для приближенного ориенти рования линий на местности и на топографических картах.

Д л я измерения магнитных азимутов и румбов и ориентирова ния линий на местности используют специальные приборы-—бус соли, имеющие разные конструкции (БШ, БС-2 и др.). Все буссо ли можно условно разделить на три типа.

В буссолях первого типа визирное приспособление на корпусе совмещено с диаметром кольца 180—0°, которое жестко скреплено с корпусом. Деления на кольце буссоли подписаны против хода часовой стрелки. С помощью этой буссоли, наведя визирное при способление на какой-либо объект местности, по северному концу магнитной стрелки можно сразу определить значение магнитного азимута.

В буссолях второго типа (рис. 2.14) магнитная стрелка 1 непо средственно соединена с легким лимбом 2, имеющим азимуталь ную шкалу с делениями. Нуль шкалы находится на южном конце стрелки. Визирное приспособление в виде предметного 3 и глаз ного 4 диоптров жестко крепится к корпусу буссоли 6. Магнит ный азимут какой-либо линии определяется не по концу магнит ной стрелки, а по шкале при визировании на объект местности с помощью призматической лупы 5, укрепленной в нижней части глазного диоптра. Ручная буссоль второго типа БШ (буссоль Шмалькальдера) широко применяется в практике гидрологиче ских изысканий.

К буссолям третьего типа относятся так называемые ориентир буссоли. У них, как и у буссолей первого типа, магнитная стрел ка свободно подвешена на шпиле и отсчет по шкале определяет ее северный конец. Однако визирного приспособления у этих бус солей нет. Они служат для ориентирования карты или съемочного планшета при производстве топографической съемки местности.

Скошенный край ориентир-буссоли параллелен направлению 0—180° и прикладывается при ориентировании либо к рамке тра пеции карты, либо к произвольной линии ориентирования на съемочной планшете. Обычное кольцо с делениями у ориентир-бус солей заменено небольшими секторами по 10—12° по обе сторо ны от нулевого деления.

Кроме буссолей для ориентирования линий широко используют компасы различных конструкций, которые представляют собой буссоли небольшого размера. На практике наиболее широко рас пространены компасы Адрианова, у которых северный конец маг нитной стрелки, указатели линии визирования и наименования стран света покрыты светящимся в темноте составом.

Чтобы определить магнитное склонение, необходимо нулевой диаметр буссольного кольца положить на прочерченное на бумаге направление истинного меридиана (полуденной линии) и по север ному концу магнитной стрелки отсчитать число градусов и ми гнут с учетом знака склонения. Погрешность определения склоне ния, как правило, не превышает 15' и находится на одном уров не с суточными изменениями магнитного склонения.

807" Магнитное склонение для конкретной точки можно определить по картам изогон (линий равных магнитных склонений). Магнит ное склонение определяется и при топографических съемках мест ности равномерно по всей площади листа карты. Его среднее зна чение и. годовое изменение подписывают под южной рамкой листа карты. • Зная магнитное склонение 6 и измерив. с помощью буссоли магнитный азимут линии Ам, можно вычислить истинный азимут (А) этой1 линии по формуле Л = А, + 6. (2.21) Если известно сближение меридианов у, то по измеренному магнитному азимуту можно определить дирекционный угол ли нии (рис. 2.15) а = Д, + 6 — у. (2.22) При расчете а надо учитывать знаки магнитного склонения к сближению меридианов. Разность б — у = П представляет собой поправку на магнитное склонение и сближение меридианов. Ее учитывают при ориентировании карты с помощью компаса или буссоли.

2.6.3. Ориентирование линий на топографической карте и на местности Чтобы сориентировать какую-либо линию между двумя точ ками на карте, необходимо измерить либо дирекционный угол этой линии, либо истинный и магнитный азимуты. Более точным считается ориентирование линии по дирекционному углу.

Дирекционный угол измеряют с помощью транспортира. Вна чале на карте проводят карандашом линию, соединяющую две точки, и прочерчивают ее до ближайшей вертикальной линии ки лометровой сетки. Основание транспортира прикладывают к вер тикальной линии так, чтобы полукольцо с оцифрованными деле ниями было направлено в сторону конечной точки прочерченной линии. Отсчет по транспортиру по прочерченной линии представ ляет собой румб линии, от которого легко перейти к дирекционно му углу в зависимости от направления линии.

Истинный азимут линии на карте измеряют аналогично, только в этом случае транспортир располагают на карте так, чтобы его центр совпал с начальной точкой линии, а нулевой диаметр был параллелен ближайшему истинному меридиану, который проводят карандашом, пользуясь наличием минутных делений на северной и южной рамках карты.

Д л я определения магнитного азимута линии на карте доста точно к дирекционному углу этой линии прибавить сближение ме ридианов и отнять магнитное склонение.

При производстве гидрологических исследований необходимо уметь ориентировать карту относительно стран света, т. е. распо 4* лагать ее так, чтобы изображение ситуации на карте соответст вовало ее действительному расположению.

Карту ориентируют по местным предметам и по истинному ме ридиану. Первый способ используют при наличии на местности прямолинейных объектов, позволяющих сориентировать карту.

К ним относятся прямолинейные участки железных и автомобиль ных дорог, просек, канав, каналов, линии электропередачи, связи и т. д. В этом случае встают с листом карты на дорогу или дру гой объект и поворачивают карту до тех пор, пока направление дороги на карте и в натуре не совпадут. Чтобы не ошибиться в ориентировании на 180°, правильность выполненной операции проверяют по другим местным предметам глазомерно или с по мощью визирной линейки. Если на местности нет хорошего об зора, четких ориентиров или большие пространства заняты лесом или кустарником, то в этих случаях карту и нанесенные на ней проектные линии ориентируют по истинному меридиану.

2.7. Изображение и использование рельефа местности на топографических картах 2.7.1. Основные формы рельефа и способы их изображения на планах и картах Рельеф местности — это сочетание неровностей поверхности Земли естественного (возвышенности, котловины, хребты, овраги и т. д.) и искусственного (курганы, ямы, карьеры, насыпи, выем ки и т. д.) происхождения. В зависимости от характера рельефа и преобладающих углов^ наклона его элементов различают рав нинную, холмистую и горную местность.

Равнинная местность отличается почти полным отсутствием за метных неровностей поверхности с углами наклона до 2°. Это, как правило, тундровые районы, степи, полупустыни, территории бо лотных массивов и др. :.• • -Холмистая местность' отличается хорошо выраженными повы шениями и понижениями с небольшой разностью высот и преоб ладающими углами наклона от 2 до 4°. К этой категории рельефа относятся невысокие возвышенности, дюнные пески, пустыни, со стоящие из грядовых или барханных песков.

,Горная и высокогорная местность характеризуется горными массивами с глубокими долинами, расположенными выше 500 м над уровнем моря и с крутыми склонами. Углы наклона местности превышают 6°.

Рельеф местности характеризуется пятью основными формами.

Возвышенность — положительная форма рельефа, возвышаю щаяся над окружающей местностью. Наивысшая точка называется вершиной, место слияния возвышенности с окружающей местно стью — подошвой, понижение от вершины до подошвы возвышен ности-— скатом;

или склоном. Остроконечная вершина называется 807" пиком, плоская вершина — плато. Разновидностью возвышенностей являются холмы, сопки и гольцы.

Котловина — противоположная возвышенности отрицательная форма рельефа— углубление с постепенно понижающимися ска тами. Наинизшая точка котловины называется дном, место слия ния с окружающей местностью '—окраиной котловины.

Седловина — понижение между двумя вершинами. В этом ме сте в две стороны местность повышается, а в две —понижается.

Хребет — вытянутая положительная форма рельефа с пони жающимися в три стороны скатами;

Самая высокая линия хреб та, от которой отходят в противоположные стороны два ската,, называется водоразделом-, плк-водораздельной линией.

Лощина — вытянутая отрицательная форма рельефа, постепен но понижающаяся в одном направлении. Самая низкая линия ло щины называется тальвегом, или водосливной линией. Очень ча сто тальвег является ложем водотока. Граница перехода лощины в окружающую местность называется бровкой, а расположенные на скатах лощины горизонтальные уступы называются терра сами.

Широкие лощины с пологими скатами и хорошо развитой пой мой реки называют долинами, узкие и глубокие лощины в горах — ущельями. Разновидностью ущелий являются каньоны — узкие долины с почти отвесными стенами. Под действием стекающих поверхностных вод по склонам возвышенностей образуются про моины— очень узкие углубления, которые по' мере своего разви тия превращаются н овраги. Прекратившие свой рост и заросшие растительностью овраги называются балками.

Линии водоразделов й тальвегов Называют характерными ли ниями рельефа, а вершины возвышенностей, дно котловин и самые низкие точки седловин — характерными точками рельефа.

Рельеф местности можно изобразить на карте различными спо собами.

Способ штриховки. Карту покрывают штрихами. В зависимости от крутизны скатов толщина штриховки и расстояние между штрихами меняются. Этот способ трудоемок в исполнении и «за бивает» изображение контурной части карты или плана. По этой причине способ штриховки в настоящее время не применяется.

Способ отмывки. Отдельные формы рельефа окрашивают раз бавленной тушью, подчеркивая более плотным слоем окраски кру тые склоны и оставляя чистыми плоские участки 'местности. Этот способ также очень трудоемок и не обеспечивает наглядности изо бражения рельефа плоскбравнинных районов и дна водоемов.

В настоящее время способ отмывки используется для дополни тельного подчеркивания крутизны склонов на картах масштаба 1 :500 ООО п мельче. г :.. '.

Способ послойной' окраски. Интервалы между горизонталями равномерно окрашивают. Изображение рельефа получается на глядным, но только при : значительной высоте сечения местности горизонтальными плоскостями. Способ широко используется при 807" создании учебных, гипсометрических и физических карт, карт мо рей и океанов.

Способ изображения рельефа с помощью подписей отметок то чек. Способ применяется при картографировании изрытых участ ков местности и совершенно плоских районов с минимальными от клонениями высот в пределах больших территорий.

Самым совершенным способом изображения рельефа местно сти на планах и картах является способ горизонталей, или изо гипс. Горизонтали представляют собой замкнутые кривые, соеди няющие на карте (плане) точки местности с одинаковыми высо Рис. 2.16. Изображение рельефа местности с помощью горизонталей.

тами над уровенной поверхностью. Другими словами, горизонта ли — это линии равных высот.

Д л я изображения на карте какой-либо формы рельефа, напри мер, котловины, представим, что она рассечена равно отстоящими горизонтальными плоскостями F (рис. 2.16). Расстояние по верти кали между соседними плоскостями Fa И Fb называется высотой сечения рельефа (/гСеч), которую выбирают в зависимости от на значения и масштаба создаваемого плана или карты. От приня той высоты сечения зависят точность и детальность изображения рельефа с помощью горизонталей. Чем меньше принятая высота сечения рельефа, тем детальнее он отображается. Но слишком ма лая высота сечения рельефа перегружает карту горизонталями.

Поэтому введено понятие о нормальной высоте сечения, соответ ствующей графической точности чертежа, то есть 0,2 мм в масшта бе карты (плана). Так, для карты масштаба 1 : 100 000 нормаль ная высота сечения рельефа 20 м, 1 : 5 0 000 — 10 м, 1 : 25 000— 5 м, 1 : 10 0 0 0 — 2 м, 1 : 5 0 0 0 — 1 м.

807" В зависимости от характера рельефа местности и назначения карты или плана (для целей мелиорации и др.) допустимы откло нения от регламентированной нормальной высоты сечения. Напри мер, на карте масштаба 1 : 10 ООО для целей мелиорации и при картографировании плоско-равнинной территории нормальная вы сота сечения равна 1 м, а на планах масштаба 1 : 5000 — 0,5 м.

Д л я детализации изображения равнинных территорий 1 на картах проводят дополнительные горизонтали (на половине' высоты ос новного сечения) и даже вспомогательные горизонтали (на про извольной высоте). Кроме того, для таких районов на карте под писывают большее число характерных точек (до 10—15 на 1 дм2 площади карты). Высоту сечения рельефа подписывают под юж ной рамкой карты (плана).

Горизонтали обладают следующими свойствами:

1) они не могут пересекаться между собой, так как являются следом секущих параллельных между собой горизонтальных плос костей, находящихся на разных высотах;

2) они соединяют точки с одинаковыми высотами и всегда яв ляются замкнутыми линиями;

3) чем меньше расстояние между соседними горизонталями на карте или плане, называемое з а л о ж е н и е м с к а т а, тем круче скат;

4) изменение заложения ската прямо пропорционально изме нению высоты сечения рельефа;

5) водораздельные и водосливные линии горизонтали пересе кают под прямым углом.

Д л я облегчения распознавания форм рельефа (положительных и отрицательных) на некоторых горизонталях проводятся корот кие штрихи (бергштрихи) — скатоуказатели, направленные в сто рону понижения ската. Д л я лучшего чтения рельефа на картах и планах при сечениях рельефа 20, 10, 5, 2 и 1 м каждую пятую го ризонталь, кратную 5 или 10 м (например, на картах масштаба 1 : 100 000 через 100 м), утолщают и подписывают высотной от меткой, что облегчает и ускоряет определение высот точек на карте. • • Горизонтали на картах и планах вычерчивают плавными не прерывными линиями цвета жженой сиены,-Дополнительные (по лугоризонтали) И вспомогательные горизонтали изображают пре рывистыми линиями разной протяженности, а отдельные формы рельефа (промоины, овраги, скалы и др.) изображают и услов ными знаками (рис. 2.17). Искусственные формы рельефа изоб ражают на картах и планах черным цветом (насыпи, ямы и др.).

При выборе способа изображения рельефа местности н а топо графических картах надо учитывать следующие требования:

1) полное отображение особенностей рельефа снимаемой тер ритории;

2) возможность быстрого определения отметок точек местности на карте, 807" 3) хорошая увязка рельефа местности с гидрографической сетью и контурной ситуацией, 4) хорошая читаемость, 5) соответствие законам образования рельефа.

Всем перечисленным требованиям отвечает способ изображе ния рельефа с помощью горизонталей в сочетании с условными знаками и подписями высот характерных точек местности, приня тый в качестве основного при создании топографических карт и планов в нашей стране.

ю { / У Р и с. 2.17. И з о б р а ж е н и е рельефа с помощью горизонталей и услов ных знаков. i а — основные горизонтали, б— полугоризонталь,, в — четвёртьгоризонталь, г — обрыв с указанной высотой в метрах, д — овраг с указанной глубиной в мет рах, е — с к а л а.

2.7.2. Задачи, решаемые на топографических картах с помощью горизонталей Изображенный на топографических картах и планах с помо щью горизонталей рельеф местности позволяет решать широкий круг разнообразных задач, связанных с вычислением высот точек местности, определением границ речных бассейнов, объемов водо емов, определением уклонов рек, построением продольных профи лей местности и др.

2.7.2.1. Определение высот точек местности. Чтобы по карте определить высоту точки, расположенной на горизонтали, необхо димо знать высоту этой горизонтали, которую находят либо с по мощью подписанных значений утолщенных горизонталей, либо по подписанным на карте вблизи заданной точки высотам харак терных точек местности или урезов воды. В обоих случаях надо учитывать высоту сечения рельефа, которую подписывают на кар тах под южной рамкой.

807" Чтобы определить высоту точки С, расположенной между дву мя основными горизонталями, применяют интерполяционную фор мулу, следующую из рис. 2.18: : I •-., Я с = / /, + (ci/a) Ас,ч, (2.23) •Скат местности Рис. 2.18. Определение высоты точки, расположенной между горизонталями на карте.

где ксеч — Н%— Hi — высота сечения рельефа на карте;

Нi и Н% — высоты горизонталей, между которыми расположена точка С;

а — заложение ската;

с?—расстояние на карте между точкой С и го ризонталью с меньшей отметкой высоты # i по сравнению с Hz.

Рис. 2.19. К определению по карте высоты точки, расположенной на вершине (а), в котловине (б) и в седловине (в).

Чтобы определить высоту точки, расположенной между гори зонталями с одинаковой высотой или внутри замкнутой горизон тали (рис. 2.19), к высоте этой горизонтали прибавляют (для по нижений отнимают) половину высоты сечения рельефа:

Н е = Я г ± Лсеч/2, (2.24) где Я г — высота горизонтали, ближайшей к точке С.

807" Если принять высоту ближайшей к точке С горизонтали равной 115 м, а высоту сечения р е л ь е ф а — 1 м, то Не = 1 1 5 / г с е ч / 2 = = 114,5 м (см. рис. 2.19 б и в) или Нс — 115 + / г с е ч / 2 = 115,5 м {см. рис. 2.19 а).

2.7.2.2. Построение на карте линий заданной крутизны. Крутиз ну ската можно выразить либо углом наклона линии, либо ее уклоном. Углом наклона линии в какой-либо точке ската называ ется вертикальный угол между плоскостью горизонта, проходя щей через данную точку, и линией местности по направлению ска та. Из рис. 2.18 следует, что:

tg v = йсеч/а, hce4 = atgv, a = hce4 ctg v, (2.25) где v —'"угол наклона, или крутизна ската.

\ а 0) а, \сс2 FT С 2 3 4 Г Л а б) _ gj а О 0,01 0,02' 0,03 г Рис. 2.20. Графики заложений для углов наклонов v (а) и для уклонов i (б).

Уклон линии—это значение i = t g v, выраженное в натураль ных числах, процентах или промилях.

На топографических картах часто приходится проектировать каналы, железные и автомобильные дороги и т. д. Трассы этих со оружений обычно задаются конкретным параметром — предель ным значением угла наклона или уклона. Д л я этих и других целей под южной рамкой топографических карт изображены специаль ные графики заложений. На прочерченной горизонтальной линии откладывают равные отрезки, на концах которых подписывают уг лы наклона линий через некоторое число градусов. Вычислив для выбранных значений v по формуле (2.25) заложения а, отклады вают их в масштабе карты на восстановленных в концах отрезков перпендикулярах, соединяют их концы плавной линией и получа ют график заложений для углов наклона v (рис. 2.20 а ). Часто 807" линии заданной крутизны на картах проектируют по предельным уклонам линий. Д л я этогр строят масштаб заложений для опре деленных значений уклонов i (на топографических картах он так же присутствует). З а д а в а я определенные уклоны линий, которые подписывают в концах отрезков, построенных по горизонтальной линии, вычисляют заложения а по формуле Лсеч/t, откладывают их по перпендикулярам и соединяют плавной линией (рис. 2.20 6).

Пусть требуется построить на карте проектную линию водовода с уклоном не больше 0,02 между точками А я В (рис. 2.21). Д л я этого по графику заложений (см. рис. 2.20) определяют раствором циркуля-измерителя отрезок а 2, соответствующий заданному пре дельному уклону i. Этим раствором измерителя из заданной точ Рис. 2.21. Линии заданной крутизны, на карте.

ки Л засекают ближайшую горизонталь и получают точку 1 про ектируемой линии. Далее, нацеливаясь на конечную точку В, от кладывают еще раз отрезок, соответствующий предельному укло ну, и получают точку 2 и т. д. Если расстояние между соседними горизонталями больше апред, то проектируемую линию водовода проводят по кратчайшему к точке В направлению. Соединив все полученные промежуточные точки прямыми линиями, получают линию заданной крутизны.

2.7.2.3. Определение продольного уклона водотока. Продольный уклон участка реки между двумя точками определяют путем деле ния разности их отметок (падение водотока) на расстояние (по линии изображения водотока на карте) между этими точками:

/=(Я - я о д = АЯ//, (2.26) где / — продольный уклон участка реки (водотока), %0;

I — длина участка реки, км;

ДН — разность отметок двух точек, м.

Обычно уклон реки выражается в промилях. В этом случае падение водотока выражают в метрах, а длину реки — в кило метрах.

Высоту начальной (исток) и конечной (устье) точек реки вы числяют по формуле (2.23), а длину реки измеряют курвиметром (см. гл. 9).

При значительных изменениях уклонов реки (в местах поро гов, водопадов или перекатов) вычисляют так называемый средне взвешенный уклон реки по результатам определения уклонов от дельных ее участков, ограниченных точками резких перепадов рельефа.

2.7.2.4. Построение продольного профиля местности по задан ной линии. Построению продольного профиля местности между 807" двумя точками местности предшествует выбор значений горизон тального и вертикального масштабов. Если они равны между со бой, то линия профиля полностью соответствует натуре. Однако на практике для выделения отдельных микроформ рельефа и оцен ки объемов земляных работ при спрямлении запроектированных водоводов, дорог и т. п. вертикальный масштаб задают в 5— 10 раз крупнее горизонтального. Для построения профиля в за данном масштабе на миллиметровой бумаге проводят прямую ли нию и на ней в горизонтальном масштабе откладывают линию АВ и точки 1, 2,..., 12, в которых она пересекает горизонтали и ха Рис. 2.22. Продольный профиль линии АВ.

рактерные точки рельефа (рис. 2.22). Приняв высотную отметку горизонта профиля (120 м) меньше самой низкой отметки на про фильной линии А В, откладывают по перпендикулярам в точках 1, 2,.-.., 12 высоты горизонталей и характерных точек местности в принятом вертикальном масштабе. Соединив концы отложенных отрезков прямыми линиями, получают продольный профиль мест ности. Его часто используют при расчете оптимальных высот гео дезических знаков, значительно удаленных друг от друга при ус ловии обеспечения взаимной видимости между ними, а также при проектировании каналов, дорог.

Проводя на картах профильные линии по направлениям, про ходящим через какие-либо препятствия (постройки, лес и т. п.), ограничивающие кругозор из данной точки, можно определить с их помощью поля невидимости и нанести их на карты. Эти операции чаще всего выполняют в военном деле.

2.7.2.5. Проведение границ водосборов. Поверхностный водо сбор представляет собой участок земной поверхности, с которого поступают воды в данную реку или водоём. Д л я проведения гра 807" ниц водосбора на карте необходимо обозначить по изображению горизонталей водораздельные линии, которые и оконтурят водо сборную площадь (рис. 2.23).

2.7.2.6. Определение среднего уклона и средней высоты речного бассейна. Средний уклон речного бассейна (водосбора) вычисля ется по формуле /ср = Йсеч [0,5 (10 -f /„) + /, + /2 +... + /„_,]/F, (2.27) где Iср—средний уклон речного бассейна, °/сю;

/о... U — длины горизонталей в пределах границ водосбора, км;

F — площадь во досбора;

км 2.

Средняя высота речного бассейна (водосбора)—средняя из высот всех элементарно малых площадок, из которых слагается поверхность речного бассейна. Она вычисляется по формуле Hcp = (fiHl + f2H2 +...+fnHn)/F, (2.28) где fi... fn — частные площади водосбора, заключенные между со седними горизонталями, км 2 ;

Hi, Нг, V.., Нп — средние высоты по верхностей между теми ж е горизонталями, м;

F — общая площадь водосбора, км 2.

Средняя высота речного бассейна обычно выражается в мет рах. Средний уклон и среднюю высоту речного бассейна широко используют в гидрологических расчетах.

2.7.2.7. Вычисление объемов котловин и озер. В последние го ды топографические съемки внутренних водоемов страны проводи лись весьма интенсивно. Сегодня для большинства из них име ются топографические карты и планы. С помощью горизонталей можно определить объемы котловин, озер и водохранилищ. Суть решения задачи состоит в расчете объемов усеченных конусов, ограниченных по высоте двумя соседними горизонталями, и объ ема нижней части котловины (озера), принимаемой или за конус, или за шаровой сегмент с площадью основания, обозначенного изображением последней горизонтали (см. рис. 2.16). Объем усе 807" ченного конуса вычисляется по формуле Уi - 0,'А-оч (S, + S, :, ), (2.29) где Si и Si+i —площади, ограниченные на карте нижней и верх ней горизонталями, являющимися основаниями усеченного кону са, км2.

Объем самой нижней части водоема, если принять ее за шаро вой сегмент с площадью основания Sn, равен Vп = 0,Ыгсеч (Sn + h2), (2.30) где h — разность между высотными отметками дна и последней горизонтали.

Если отметка дна котловины или озера на карте не подписана, то принимаются h =/г с е ч /2.

Окончательно имеем Пз=2]Vi + Vn, (2.31) где Уоз — объем озера, км.

В формулах (2.29) и (2.30) предполагалось, что горизонтали изображают фигуру котловины в виде ряда концентрических окружностей. При сложной конфигурации горизонталей следует вместо формулы (2.29) применить формулу Н. Г. Келля Vi = hce4 [(SH + S B )/6 + 2S73], (2.32) где S H И Sb — площади, ограниченные нижней и верхней горизон талями;

S' — площадь, ограниченная горизонталью, проведенной посередине между верхней и нижней горизонталями.

2.7.2.8. Определение границ затоплений. При сооружениях на реках плотин необходимо определить по карте границы затопле ния местности будущим водохранилищем. Д л я этого на карту на носят ось намечаемого гидротехнического сооружения в виде пря мой линии, перпендикулярной оси водотока. Концы этой линии должны доходить до проектной отметки подъема воды в водохра нилище. Их уточняют на карте с помощью горизонталей. Двигаясь от концов оси проектируемого гидротехнического сооружения по отметкам проектного уреза воды, на карте с помощью горизонта лей проводят замкнутую линию — границу будущего затопления.

При необходимости можно измерить ее площадь одним из спосо бов, изложенных в гл. 9. Следует отметить, что указанный способ определения границ затоплений можно применять только при от сутствии течения в проектируемом водохранилище, возникающего за счет речного притока, т. е. когда зона затопления имеет гори зонтальную поверхность.

ГЛАВА 3. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ Погрешностями называют привнесенные в результате измере ний небольшие по абсолютному значению ошибки. Они возника ют, когда по различным причинам допускаются отступления от строгого выполнения измерений или когда при разного рода рас четах используются приближенные формулы, или при недостаточ ной изученности вопроса и т. п.

Погрешности измерений хотя и носят субъективный характер, но тем не менее они неизбежны в любых измерениях, как бы без упречно последние не выполнялись (объективные ошибки). Зако ны возникновения этих ошибок и их действия изучаются в теории ошибок измерений [22]. В изложении этой главы использован тер мин «ошибка измерений».

В теории ошибок любых измерений на основе положений тео рии вероятностей и математической статистики изучают причины появления и законы распределения ошибок измерений. С учетом свойств различных видов ошибок разрабатывают такую методику наблюдений, которая позволила бы удерживать неизбежные при измерениях ошибки в установленных пределах. Можно определить основные задачи теории ошибок геодезических измерений:

1) изучение закономерностей ошибок геодезических измере ний;

2) выбор наиболее надежного критерия для оценки точности результатов измерений;

3) установление допусков, ограничивающих использование по лученных результатов геодезических измерений в заданных пре делах точности;

4) оценка и предвычисление точности геодезических измере ний, окончательного результата и функций непосредственно изме ренных величин.

3.1. Классификация ошибок геодезических измерений Геодезическое измерение — это сравнительная операция, по средством которой определяется отношение одной искомой вели чины к другой однородной ей величине, значение которой принимается за единицу измерения. Число, выражающее такое отношение, называется результатом измерения. Любое геодезиче ские измерение представляет собой сложное сочетание таких элементов, как объект измерения (расстояние между точками, угол), технические средства измерения (исполнитель или регист рирующее устройство), метод измерения и внешние условия, в которых оно выполняется. Все геодезические измерения сопро вождаются ошибками, которые по характеру влияния на резуль 807" таты измерений и присущим им свойствам подразделяются на грубые, систематические и случайные. Грубые ошибки — это ошибки, выходящие за пределы точности измерений. Они возникают в результате небрежности в измере ниях, вызываемых невнимательностью исполнителя, неисправно стью инструмента, неудовлетворительной организацией процесса измерений, неучетом, влияния внешней среды, которое не является пренебрегаемо малым (температура Среды, скорость и направле ние ветра, условия видимости и т. п.). Примером грубых ошибок могут служить просчеты целых оборотов шкалы курвиметра 'при измерении длин линий по карте, целых градусов при измерении угла между двумя направлениями, целой длины мерной ленты при измерении расстояния между двумя точками и т. д.

Грубые ошибки исключаются при сопоставлении повторных из мерений, которые можно выполнять даже с меньшей точностью, чем контролируемый результат, но другим инструментом или ме тодом. Например, для обнаружения такой небрежности, как про пуск целого пролета мерной ленты при линейных геодезических измерениях достаточно измерить длину линии по дальномеру, а при коротких длинах — даже шагами. В любом случае задача исполнителя обеспечить такую организацию контроля измерений, чтобы полностью исключить грубые ошибки.

Систематические ошибки входят в результат измерения по то му или иному закону в зависимости от причин их возникновения, они имеют определенный знак и значение. Их влияние на резуль тат измерения можно выразить функцией, связывающей этот ре зультат с каким-либо фактором измерения (неточной установкой прибора, температурой воздуха и т. д.). Систематические ошибки делят на постоянные и переменные.

К постоянным систематическим ошибкам относят те, которые в процессе наблюдений сохраняют свое значение и знак. Так, если между действительной длиной мерного прибора и ее номинальным значением существует какая-то разница, то она постоянна для всех измерений. Такого рода ошибку можно в значительной сте пени исключить из результатов измерений путем введения соответ ствующих поправок, примерно равных по значению постоянной систематической ошибке, но противоположных ей по знаку. Оста точное влияние постоянной систематической ошибки на резуль тат измерений после введения поправки будет пренебрежимо ма лым, его можно оценить ошибкой сравнения (эталонирования) длин рабочего и эталонного мерного прибора.

К переменным систематическим ошибкам относят те, которые в процессе измерений по некоторому закону могут менять не только свое значение, но и знак. Частным случаем переменных систематических ошибок являются односторонне действующие ошибки, которые при определенных условиях сохраняют знак, но изменяют свое значение в зависимости от изменений причин, их вызывающих. Например, если при измерении длины линии сталь 807" ной лентой постоянно повышается температура воздуху, то ошиб ка измерений сохранит свой знак, но значение ее будет.изменяться в каждом пролете с изменением температуры воздуха! " Задача наблюдателя состоит в том, чтобы исключить основную часть систематических ошибок из результатов измерений, а оста точное их влияние свести к минимуму. Это достигают с помощью поверок и юстировок прибора, совершенствования методики из мерений й т. II.

Чтобы обнаружить систематические ошибки данного ряда из мерений, необходимо организовать специальные исследования. На пример, для определения ошибок, связанных с инструментом — ис следования инструментальных ошибок, с наблюдателем — личных ошибок, с теоретической формулой экспериментального характе р а — теоретических ошибок, с изменением температуры воздуха при измерениях —температурных ошибок и т. д.


Общих законов учета систематических ошибок теория ошибок не дает, а ограничивается следующим указанием: под неизбежной ошибкой;

возникающей при измерениях, ;

надо всегда: понимать: не который двучлен;

состоящий из собственной случайной ошибки и г ее систематической доли. v i v Случайные ошибки измерений характеризуются величинами, разными как по знаку, так и по. значению. Они обусловлены точ ностью инструмента, квалификацией исполнителя, неучтенными изменениями внешней среды;

Еслк" систематическую ошибку мо жно исключить из единичного измерения, то случайные ошибки, поскольку они являются одним иё наиболее ярких примеров слу чайной величины и их закономерности обнаруживаются только в массовом проявлении, нельзя устранить из единичного изме рения. '. 7 чг.... 7!;

. А -.,.;

VV Таким образом, влияние случайных ошибок на результат из мерений устранить полностью нельзя,, но можно его ослабить, по вышая качество и число измерений, а также проводя соответст вующую математическую обработку результатов измерений.

• Исследования больших рядов результатов измерений позво лили установить ряд свойств случайных ошибок;

1) при данных условиях измерений значения' случайных оши бок не могут превосходить определенногб предела;

!

2) равные по абсолютному значению положительные и отрица тельные случайные ошибки в ряду измерений одинаковой точно-' сти равновозможны;

7 -.

3) малые по абсолютному значению случайные'ошибки встре чаются чаще, чем большие;

- : f ": ' :

4) при неограниченной 4иСлё измерений среднее арифметиче :;

ское из значений случайных ошибок стремится к пулю. Указанные свойства случайный ошибок действуют при условии, что в результатах измерений грубые небрежности отсутствуют, ос новная часть систематических ошибок исключена, а остаточные систематические ошибки малы.

5 Заказ № 124 3.2. Критерии, применяемые при оценке точности измерений 3.2.1. Средняя ошибка измерений.

Принцип арифметической середины Результат любых измерений неизбежно содержит в себе слу чайную ошибку:

А1 = и - Х, (3.1) где Аг — случайная ошибка результата измерений;

X —точное (ис тинное) значение измеряемой величины;

U — результат отдель ного измерения этой величины., Предположим, что сделано п равноточных (одинаково точных) измерений, получены результаты измерений U, к,..., 1 п величи ны X и что грубые и систематические ошибки устранены (равно точными измерениями называются измерения, выполненные одним и тем ж е исполнителем, приборами одинаковой точности, по еди ной методике и при одинаковых параметрах внешней среды).

Тогда можно записать:

А, = — д п=1п-х.

Сложив почленно левые и правые части равенств (3.2) и обо значив суммы квадратными скобками (в обозначениях Гаусса), получим [А] = [1]-пХ, откуда [А]/п = [l]/n — X. (3.3) Среднее арифметическое из абсолютных значений случайных ошибок называется с р е д н е й о ш и б к о й :

о = [|А-| ]1п, (3.4) где v — средняя ошибка измерений;

[ | Д | ] = | Д11 + | Дг | +... + | Д п \;

п,— число измерений.

К а к следует из 4-го свойства случайных ошибок, при возраста нии числа измерений среднее арифметическое из случайных оши бок стремится к нулю:

lim [Д]//г = 0. (3.5) «-оо В этом случае lim [l]/n = Х. (3.6) 807" Отношение [l]/ri = L. называется a p и ф м ет,и ч е с к о й с е р е д и н о й. Оно не свободно от случайной ошибки при конечном числе: измерений. Тем не менее, при достаточно большом числе независимых равноточных измерений арифметическую, середину следует рекомендовать в качестве Приближенного значения неиз вестной величины А'.

Выражение (3.6) отражает так называемый принцип арифмети ческой середины: при неограниченно большом:числе равноточных измерений одной и той ж е величины и при отсутствии системати ческих ошибок арифметическая середина стремится к истинному значению этой величины. ;

, Недостатком арифметической середины применительно к обра ботке результатов измерений является то, что на практике число измерений в большинстве случаев весьма ограниченное, а не бес конечно большое. Кроме того, при наличии односторонне дейст вующих систематических ошибок арифметическая середина прак тически перестаёт заметно приближаться к истинному значению, начиная с некоторого значения д. ;

-• Так как точное значение измеряемой величины неизвестно, то точность геодезических измерений оценивают по отклонениям ре зультатов измерений от арифметической.середины::., • у,-= /, - - [ / ] / «, ' где Vi — отклонение результата отдельного измерения от арифме тической середины;

: L— 1, 2,..., п\Ц—;

чис-ла;

»измерений;

lt — ре зультат отдельного измерения.

Просуммировав левые и правые части рг&енства (3.7) по ряду равноточных измерений, получим ;

[о] = И - л И / « = 0: (3.8) Таким образом, • сумма отклонений результатов измерений от арифметической середины в равноточном ряду измерений всегда равна нулю. Этим свойством пользуются при контроле вычйсления значений v.

г 3.2.2. Средняя квадратическая ошибка равноточных измерений Средней квадратической ошибкой m называется величина, ха рактеризующая собой точность одного измерения в среднем из ря да измерений. Она предложена К. Гауссом и вычисляется по фор муле m = л/Wyi, (3.9) где [А] — символ гауссовой суммы: [А2] = Д? -)- Д 1 + + А»;

п — число измерений.

: ^Средняя квадратическая ошибка выбрана для оценки точно сти измерений по следующим соображениям.

4* 1. На средней квадратической ошибке в большей степени сказы ваются значительные по абсолютному значению ошибки, которые и характеризуют реальную точность измерений. Это происходит потому, что при вычислении т суммируются квадраты ошибок А,-, а при вычислении v — модули Дг-. Например, если взять ряд равно точных измерений с ошибками —5, 4, 9, —7, —8, 3, то средняя, ошибка v = 6, а средняя квадратическая ошибка т = 6,4. Критерии точности, v и т сглаживаются при очень большом числе измере ний. При нормальном распределении ошибок измерений сущест вует связь m = 1,250. (3.10) 2. Чтобы достаточно точно определить среднюю квадратиче скую ошибку, требуется сравнительно мало измерений, т. е. сред няя квадратическая ошибка измерений является устойчивой вели чиной.

Средняя квадратическая ошибка самой средней квадратической ошибки характеризуется величиной тт т/-у/2п... (3.11) П р и м е р 3.1. Дан ряд Ошибок равноточных измерений: —5, 4, 9, 7, —8, 3.

Требуется найти среднюю квадратическую ошибку и оценить точность ее определения.

Решение.

тщ = 6.4/V2 • B W 1,8..' В приведенном примере ТОЧНОСТЬ определения Т сопоставима с самим значением т из-за того, что ряд ошибок измерений слишком короткий. При оценке точности по ограниченному числу наблюдений принято считать эту точность надежной, если средняя квадратическая ошибка /и определена с ошибкой пг т, не превы шающей 0,25т:

пгт 0,25т. (3.12) Условие (3.12) выполняется при п 8. (3.13) Следовательно, минимально необходимым числом измерений для надежной оценки их точности является п = 8.

3.2.3. Предельная ошибка геодезических измерений • Поведение случайных ошибок измерений с перечисленными их свойствами в большинстве случаев достаточно хорошо описыва ется так называемым нормальным законом распределения, ука зывающий, какова вероятность попадания случайной ошибки т в тот или иной интервал значений. ' 807" Многочисленные исследования рядов ошибок геодезических ! из мерений позволили определить следующие соотношения абсолют ных значений этих ошибок со значениями средней квадратической -ошибки: - '.

1) из 100 ошибок Л 32 превышают или равны т;

' -;

2) из 100 ошибок Д 5 превышают или равны 2гщ' :•• 3) из 100 ошибок Д 1 превышает или равна 2j5m;

4) из 1000 ошибок Д 3 превышают или равны 3 т.

Исходя из этого и учитывая вероятность появления указанных случайных ошибок, установлено,, что средняя квадратическая ошибка т связана с предельной ошибкой геодезических измере ний Дпред следующими соотношениями:

2 т с вероятностью 0,95, Дпред ^ Дпред с вероятностью 0,9973. (Д-14) Д л я теоретических расчетов служит формула • Дпред Зот. • (3.15) ;

;

В практической деятельности с учетом современного.состояния!

геодезической техники и методики производства измерений уста-' новлено более жесткое значение ". - Д„;

ед2т: (3.16) Предельной ошибкой измерений называют такое наибольшее абсолютное значение случайной Ошибки, которое она может до стигнуть при данных условиях измерений. • - '' ' Значение предельной ошибки характеризует в конечном счете качество выполненных измерений. Как правило, в геодезических инструкциях, руководствах и наставлениях оговаривается, что число результатов измерений со средними ошибками, равными пре дельной ошибке, не должно превышать 10 % общего числа изме рений. Все ошибки, превосходящие по абсолютному значению пре дельную ошибку, считают грубыми, а результаты измерений с та кими ошибками бракуют. Л. '., 3.2.4. Абсолютная и относительная ошибки: измерений Такие ошибки измерений как средняя квадратическая (т), средняя (у), вероятная (г), истинная (А) и предельная (Дщюд) на зываются абсолютными ошибками. Они очень адекватно характери зуют, например, г точность угловых измерений ( т р = 1,5'). При вы полнении ж е линейных измерений, определении площадей конту ров или объемов фигур значение абсолютной ошибки неоднознач но характеризует точность определения искомого результата. Так, например, если средняя ошибка измеренной длины линии равна 1 м, то.это еще ни о чем не говорит,- Необходимо знать длину ли ний,'измеренной' с указанной ошибкой: если 10 к м — т о точность измерения высокая, если 100 м - - то низкая.

807" Относительной ошибкой измерений называют отношение соот ветствующей/ абсолютной ошибки;


к значению измеренной вели чины. Обычно относительную ошибку выражают в виде простой:

дроби с единицей в числителе. Так, при измерении площади кон тура 5 с абсолютной ошибкой AS относительная ошибка измере ния выразится величиной:.

AS/S = (AS : AS)/(S : AS) = 1/iV. (3.17) 7;

Наряду с абсолютной предельной ошибкой Дпред существует предельная относительная ошибка измерений, задаваемая дробью с числителем, равным единице,"например, 1 : 2000.

3.3. Оценка точности равноточных измерений и функций вычисленных величин. Принято различать непосредственные (прямые) и косвенные измерения. При непосредственных измерениях мера или прибор применяются непосредственно: для измерения какой-либо величины (например, длины линии — мерной лентой, горизонтального уг л а — теодолитом и т. п.). Косвенными* называют измерения, ре зультаты которых получаются путем вычислений на основании данных непосредственных измерений величин, находящихся с ис комой величиной.в определенной зависимости (например, вычис ление превышения между двумя точками по измеренным непо средственно длине линии и ;

,вертикальному углу, между ними).

3.3.1. Средняя квадратическая ошибка одного измерения Д л я оценки точности непосредственных измерений наилучшим критерием служит средняя квадратическая ошибка. Однако в фор [А 2 ]/и истинная ошибка А равна разности ме :

муле Гаусса m = жду конкретным результатом измерения и истинным значением измеряемой величины, которое всегда неизвестно. Поэтому точ ность измерений оценивают по отклонениям от арифметической середины. Д л я этого- необходимо в формуле (3.9) член А выра зить через отклонения результатов отдельных измерений от их среднего арифметического значения. • Согласно (3.2) и (3.7), запишем:

Ai = ti — X, vi = h —[t]/n (i = 1,2,..., я).

Вычтя в приведенных выражениях соответственно их левые и правые части, получим:

Ai - vi =•• [l]/n — X. (3.18) Но согласно (3.3), [l]fn — Х = [А]/п. Тогда можно записать, что Аг = уг + [А]/я. (3. 807" 807" Возведем в квадрат левые и правые части равенств (3.19) и результат просуммируем: -t, • [А ] = И + 2 [о] [Aj/n + [Af/n.

Согласно (3.8), [у] = 0, и поэтому ' [А ] = М + [ А ]. -: f:,• (3.20) Определим значение [А]2: •'••• [Af = (А, + А2 + Д, + ;

;

:. + A „ ) 2 - A ? + А1 + А з + + А2 + + 2А,А2 + 2A,A3 + • • • + 2А 1 А„:+2А 2 А 3 +.....,....,.. : :' (3.21) [А]2/я — [А2]//г + 2 [Ар Aq]jn., Поскольку произведения Ар Ад икеют все свойства случайных ошибок, то при неограниченном увеличении числа измерений, со гласно четвертому свойству случайных ошибок, имеем : :

lim [Ар А,,]//г — 0. ' '• Тогда выражение (3.20) примет вид: 2 [ А ] - М + [А ]/я. (3.22) Но согласно (3.9) [А2] = т2п, а [А2] \п = т2. Поэтому mzn = = [vz] + m2.

Окончательно запишем:

т = л/{о2\1(п — 1). (3.23) В выведенной формуле средней квадратической ошибки одного измерения по отклонениям от арифметической середины (формуле Бесселя) двучлен (п — 1) — это число избыточных измерений.

Избыточные измерения не являются лишними. Они представ ляют собой дополнительные," или. контрольные измерения к един ственному необходимому измерению, сделанному из п измерений, и в этом плане служат для повышения надежности окончатель ного результата измерений.

Средняя квадратическая ошибка арифметической середины М из результатов равноточных измерений в У я ' р а з меньше средней квадратической ошибки отдельного измерения:

м = т/л/[ у 2 ]/(, г {п - 1)}, {3:24} ;

i :

так как при равноточных Измерениях т ^ / п г ^... = m n = m, где п — число измерений.

Формула оценки точности определения средней квадратической ошибки результата равноточного, измерения m m по отклонениям от арифметической середины в отличие от формулы (3.11) имеет следующий вид:

'-'! тт—т/^2(п—1). (3. 3.3.2. О ц е н к а точности р е з у л ь т а т а по р а з н о с т я м д в о й н ы х р а в н о т о ч н ы х и з м е р е н и й В практике геодезических работ часто приходится повторять измерения одной и той же величины. Так, при проложении маги страли вдоль русла реки расстояния между точками измеряют дважды: в прямом и обратном направлениях. Точно так ж е изме ряют превышения между точками съемочных ходов при топогра фических съемках местности.

Предположим, что выполнены двойные равноточные измерения каких-то величин xi, хг,.. х п и получены результаты:

Хи 1л, 1-2, •••, In',.. 1\, 1, • • •, In Составим разности:

di — U — t'i (t = 1, 2,..., п). (3.26) Допустим, что систематических Ошибок в результатах измере ний ;

нет. В этом случае разности di можно рассматривать как ошибки величин, истинное значение которых равно нулю, и точ ность- двойных1 измерений можно оценить по формуле Гаусса (3.9):

(3.27) где [d2\ — сумма квадратов разностей всех пар измерений;

п — число-пар измерений. -' :."•.'.,•' Средняя квадратическая ошибка одного измерения величины хг в V 2 меньше:

Г. т = т^л/2, (3.28) так как двойные измерения между собой ^ равноточны.

Д л я проверки отсутствия постоянных систематических ошибок в измерениях надо вычислить среднюю систематическую ошибку О из разностей d\, d-,..., dn по формуле 0 == (3.29) [d]/p,:

ЕСли оно значительно отличается от нуля (критерием служит неравенство | [d]| 0,25 [|d|], от это. указывает на наличие в ре зультатах измерений постоянной систематической ошибки. Тогда можно записать:

d'i = dt - 0, ' (3.30) 807" где d'i — исправленная за систематическую ошибку разность двой ных измерений (постоянная часть систематической ошибки при этом не исключается). Рассматривая выражение (3.30) как от клонение от арифметической середины, в данном случае для оцен ки точности двойных измерений следует применить формулу Бес селя (3.23) ;

- ;

= VtK)2]/(«-l)- (3.31) md Соответственно, т Х 1 = ф, 5 [ ( й ' У ] 1 ( п - 1).. (3.32) 3.3.3. Оценка точности функций измеренных величин 3.3.3.1. Средняя квадратическая ошибка линейной функции.

Лусть имеется линейная функция вида у — f(li, I2,..., In) от пе ременных U, k,..., 1п, измеренных независимо друг от друга.

Полный дифференциал этой функции ^ + Ж dl +•' • + "" 3- :ИЛИ (3.34) + Так как каждый аргумент измерен независимо от других, то перейти к квадрату 1 средней квадратической ошибки функций г/= = f(/i, k,..., In) можно с помощью формулы (3.34) соответствен но по каждому слагаемому в отдельности независимо от других •слагаемых:

3- « I * Приняв в формуле (3.35) частные производные df/dh-^Ki, •df/dk-Kz,..., df/dln •• -• Кп за постоянные числа, запишем формулу (3.35) в виде: • m l = K m * + K%mt +,.. + К1т 2 п, :или + Klml + • '.. + Kltnl, (3.36) Шу — л/KWx где mi, m2,..., m n — средние квадратические ошибки величин k, Л2,..., In 3.3.3.2. Средняя квадратическая ошибка суммы (и разности) измеренных независимых величин. Пусть имеется функция ~ z = x ± y, в которой x ^ c o n s t и у ф c o n s t. Каждый из аргументов.X и у измерен п раз со случайными ошибками Ах, и Ау;

. Полагая, что систематических ошибок нет, функцию г под влиянием случай 807" ных ошибок Axi и А г/г определим со случайной ошибкой -Дгг:

ь :

A3/ =•- Лх,- ± At/-, (3.37) где i—• 1, 2,..., п.

Возведем в квадрат каждое из равенств системы (3.37), про суммируем результаты левой и правой частей уравнений и разде лим суммы на число измерений п. После этого получим [Дz 2 ]/n = [Д х 2 ]/я ± 2 [АЛ: Ау]/п + [Ду 2 ]/п. (3.38) В соответствии с 4-м свойством случайных ошибок при возра стании числа измерений среднее арифметическое из произведения случайных ошибок [Дх Ау]/п-+ 0. Тогда равенство (3.38) можно записать в виде:

[Az2]/n = [Ах2]/п + [А у2]/л, rtii — т 2 х + ni'y, (3.39) 807" m z = V rn x + ttfy При m x = m v = m формула (3.39) имеет вид:

m z = m У2Т (3.40) 3.3.3.3. Средняя квадратическая ошибка произведения изме ренных независимых величин. Если вычисляемая величина 2 вы ражается функцией z=xy, в которой x ^ c o n s t и г / ^ c o n s t, а слу чайные ошибки аргументов х и у малы, то эту функцию можно разложить в ряд Тейлора, ограничиваясь членами, содержащими только первые степени ошибок:..j. ^'+'Az, -f 3' df df Возведем в квадрат левую и правую части равенств (3.41), просуммируем их, разделим, на число измерений,и отбросим в пра вой части равенства среднее арифметическое из произведений слу чайных ошибок АхАу/п, так как они близки к нулю при большом числе измерений. После этого получим выражение Переходя к средним квадрэтическим ошибкам, получим:

\ 2 22 mz = y тх + х ту, тг = л/у2т2х + х2т2у ;

;

(3.42) 3.3.3.4. Средняя квадратическая ошибка произведения изме ренной величины на постоянный коэффициент. Предположим, что необходимо оценить1 точность вычисленной величины z, заданной функцией z == Кх, где К — const, а х ф const. Аргумент л;

измерен п раз. Тогда ' ' :

' Azi=KAxi,.. (3.43) где г'= 1, 2,..., п.

Возведем в уравнении (3.43) все члены в квадрат, просумми руем их, разделим на п и получим [Az*]/n - /С2 [Axf]/«. г..(3.44) Переходя к средним квадрэтическим ошибкам, получим 2,,2 "2...

тг = К тх, m z = Km x. \ (3.45) П р и м е р 3.2. В плоском четырехугольнике измерены три угла со средними жвадратическими ошибками: т а = 3", т ^ = ' 5 т ^ = 4". Найти среднюю квад ратическую ошибку для четвертого угла б. / л.

! ;

Р е ш е н и е. Поскольку 6 = 360° - --(а + р + у), то тъ = Vml + ml + rriy = У з 2 + 52 + 42 = 7".

(" П р и м е р 3.3. В плоском треугольнике измерены его основание а = 12 см с о средней квадратической ошибкой та = 0,2 см и высота h = 10 см со сред •ней квадратической ошибкой mh = 0,1 см. Найти среднюю квадратическую ошибку для площади треугольника. Л.

Р е ш с н и е. Так как S = 0,5ati, то - 0,5 д / а 2 т \ + h2m2a = 0,5 У 1 4 4 • 0,01 + 100 • 0,04 « 1,2 см 2.

ms П р и м е р 3.4. Радиус окружности, измерен со средней квадратической ошиб кой 0,02 см. Определить среднюю квадратическую ошибку для длины. окруж ности.

Р е ш е н и е. Длина окружности ;

равна Q = следовательно m Q = Km R = 6,28 • 0,02 я? 1,26 см.

3.4. Оценка точности неравноточных измерений Неравноточными измерениями одной и той же величины или.

-однородных величин называются измерения, выполненные раз ными исполнителями;

инструментами различной точности или ин струментами одинаковой точности, но разным числом приемов из мерений;

в разных внешних условиях, по разной методике.

Чтобы сравнивать неравноточные результэты, полученные из различных рядов равноточных измерений, введем понятие о ве се, или о достоверности результата. Весом р называется вели чина, равная или прямо пропорциональная числу равноточных измерений, из результатов которых получилась рассматриваемая арифметическая середина. О весе, имеет смысл говорить тогда, •когда число измерений п 1.

Если сравнивается целый! р я д арифметических середин, то вес любой из них принимают равным единице. Тогда веса других 807" арифметических середин равны целым.или дробным числам, полу ченным при делении их первоначальных весов на вес арифмети ческой середины, приравненной к единице. Измерение с весом:

р = 1 может быть не только фиктивным, но и реальным. Вес ре зультата измерения р обратно пропорционален квадрату средней квадратической ошибки измерения:

р = с/т 2, - (3.46) где с — произвольное число.

Пусть имеется ряд результатов неравноточных измерений hi к,. • •, In со средними квадратическими ошибками mi, mz,.'.., тп и соответственно весами г.

р, =с/ти p, = c/mi и ра = с/ml Если в данном ряде измерений вес какого-либо результата принять равным единице, то в этом случае из формулы (3.46) с л е г дует, что с = т2 = ц,2, где,и — средняя квадратическая ошибка из мерения, вес которого принят за.единицу. Тогда формулу (3.46) можно записать в виде: •• р = ц2/т2. - (3.47) Д л я удобства расчетов число с следует выбирать таким, чтобы все веса выражались целыми числами.

Если средние квадратические ошибки результатов измерений неизвестны,, то веса измерений устанавливают в зависимости от вида измерений (с помощью следующих формул):

1) при измерении линий различной длины одним и тем же мерным прибором pi — c/Di, (3.48. где D,- —длина измеряемой линии;

2) при измерении углов одним и тем же угломерным инстру ментом разным) числом приемов Pi = щ, (3.48.2).

где п — число приемов измерений;

3) при измерений углов поворота в ходе, имеющем п вершин, вес суммы, углов хода ".

'.,* pi = с/л,. (3.48.3) 3.4.1. Общая арифметическая середина При равноточных измерениях простая арифметическая середи на результатов измерений равна Ь = [1]/п. (3.49) Веса результатов всех равноточных измерений.равны между собой и равны единице,, 807" 807" Веса результатов неравноточных измерений не равны единице.

Каждому такому результату U, к,.. •, U соответствует вес pi, Рт-х • • - Рп-......,...'."'•• 1 :

Чтобы найти формулу среднего арифметического для общего случая, допустим, что имеется р я д равноточных измерений - (h, U, h), \lk~u h),. (ln-2, tn-i, In), ' (3*50) где п — число измерений., Разобьем этот ряд на группы, в которые входит разное число измерений с приблизительно равными весами р (степенями дове рия к результату). В отличие от простого среднего, вычисляемого по формуле (3.49), найдем частное общее среднее по каждой группе:.

llo = [lf/p„ & — Р?., й= (3.51) Эти частные средние получаются но закону сочетания резуль татов равноточных измерений или закону ассоциативности. Соче тание по группам допускается любым/'Определим окончательное среднее из этих частных средних. Причем следует иметь в виду, что если взять из них простое среднее, т. е. сумму этих частных средних, и разделить на их.число, то результат будет неверен, по тому что достоинство, качество, степень доверия каждого частного среднего различны: Это следует из того факта, что частные сред ние образованы из различных чисел р. Но будет правильным, если мы из (3.51) найдем соотношения:

' \l]k-i = top2, (3.52).,. Mrt-2 = l0p3, [l]i=lopi + lop2 + lop Соотношения (3.52) не изменятся, ёсли заменим их одним [lpn = (llPl + /*jts + /fo 3 )/(p 1 + p s + рг) (3.53) или (3.54) h = [lp]l[p], где Lo—общая арифметическая середина ряда нерарноточных из мерений.

Д л я упрощения вычислений обычно формулу (3.54) в ы р а ж а ю т через приближенное среднее и остатки:

Lo = Lo + [sip]l[p], (3.55) где L' — приближенное среднее значение, выбираемое из данного ряда измерений;

е г = / г — / ^ — достаточно малые разности между отдельными результатами измерений и выбранным приближенным средним значением.

807". П р и м e p 3.5. Абсолютная высота нуля барометра гидрометеорологиче ской станции получена из трех ходов геометрического нивелирования. По ходу длиной 2 км высота нуля барометра равна 147,813 м, по ходу длиной 3 км — 147,830 м и по ходу длиной 6 км— 147,803 м. Найти вероятнейшую высоту нуля барометра.

Р е ш е н и е. Примем за вес измерений величину рг = c/Di и приближенную среднюю высоту нуля барометра Н'0 = 147,815 м. При с = 6, Л = c/Z, = = 6/2 = 3, Рц = с/Д = 6/3 = 2 и Рг = c/D3 = 6/6.=. 1 находим tf0 по фор муле (3.49):

Нй — 147,815 + (— 0,002-3 -f 0,015-2 — 0,012-1)/(3 + 2 + 1) = 147,815 + 0,012/6.

О т в е т : Н = 147,817 м.

3.4.2. Средняя квадратическая ошибка единицы веса v Пусть имеется ряд неравноточных измерений I, k In с со ответствующими весами pi,,p.z,.,., рп. Вычислив по формуле (3.54) арифметическую середину, можно найти отклонения от нее, т. е. поправки, приводящие этот ряд измерений к общей ариф метической середине, и противопоставить ему соответствующие веса:

Vy,v,...,v 2 n pn = \iz/ml.

pi = [i /mu р2 — \i/ml (3.56) Умножив каждое значение h на множитель Ург- (где г — номер измерения), получим ряд значений функций измеренных величин:

л/pi h, л/р2 к..., У р „ / Л. (3.57) Поправки Vi, приводящие измерения к общей арифметической середине функций, как и сами измерения, неравноточны и имеют вид:

Vpi. VPS • • • л / к ^п (3.58) Средняя квадратическая ошибка каждой из функций (3.57) равна средней квадратической ошибке единицы веса [л:

m V^2=V^m2 = \Jv?/mlm2 = y,. (3.59) Следовательно, ряд значений функций измеренных величин (3.57) представляет собой ряд равноточных косвенных измерений.

В этом случае для определения средней квадратической ошибки можно использовать формулу (3.23). Подставляя в нее вместо по правок vi, vz,..., vn выражения (3.58), получим 1). (3-60) где м- — средняя квадратическая ошибка результата измерения с весом, равным единице, называемая кратко средней квадратиче ской ошибкой единицы веса.

807" 3.4.3. Средняя квадратическая ошибка общей арифметической середины ^,,'... с* г Г* t Зная среднюю квадратическую ошибку единицы веса, можно найти среднюю квадратическую ошибку общей арифметической середины. Д л я этого развернем формулу (3.54) в виде линейной функции: : • J io = W [ p ] ) *, + -, • + (Р«/[РЗ)С * (3.61) Выражение (3.61) — линейная функция вида y = f (h, к,../п) от переменных k, к,..., In, измеренных независимо друг от друга.

Средняя квадратическая ошибка Мо для этой функции определя ется по формуле (3.36): - • Mo = (pi![pf) т\ + Шр]2) mi +... +(p2n/[pf)m% ' (3.62) Значения mi, /и2,..., тп — это средние квадрэтические ошибки измерений, не равные между собой, т. е. они отвечают случаю равноточных измерений. В случае неравноточных измерений оцен ку точности результатов измерений можно свести к случаю рав ноточных. Д Л Я ЭТОГО П Р И Н Я В P-JO. 4Г 0 ) 1 С 6 т2 = \\2/р1, ml = jj 2 /р 2,..., т2п = \х2/рп (3.63) и подставив в формулу (3.62) значения т из (3.63), получим Ml = (p 2 /[pf) (P. + Р2 + •, • + Рп) = { v / [ p f ) [Р] или М0 = и/УЁР]• (3.64) Если формулу (3.64) использовать для равноточных измерений, то [х переходит в т, а сумма весов [р] = 1 + 1 + 1 = п. На этом основании выражение (3.64) превращается в формулу -M — m J ^ n, т. е. в формулу средней квадратической ошибки простой арифме тической середины.

3.4.4. Оценка точности результата по разностям двойных неравноточных измерений Предположим, что ряд разностей двойных измерений du йг, • • ••..., dn получен по неравноточным измерениям U, к,...., 1п с веса ми pi, р2,..., Рп- Каждая разность получена из попарно равно точных измерений, т. е. рг. = рг-Тогдз обрэтный вес каждой:

• i -• • разности d i ^ U — I'. равен \lpdi = \lpl.+ llpi, = 2/pli и pdl = phl% (3.65) т. е. вес разности di в 2 раза меньше,веса отдельных измерении.

При отсутствии систематических ошибок с учетом (3.65) сред няя квадратическая ошибка* -единицы веса вычисляется по фор мула ц = V[Pd-d^fn ==: V[p d2]/2n,;

,, : (3.66) где n — число пар измерений.

Средние квадратические ошибки средних значений результатов двойных измерений 7,- = (Ь + 1'.)/2 равны: '' ' •- (3-67) Если разности di содержат систематические ошибки и величина О = [dp]l [р] значительно отличается от нуля (критерием является неравенство | [^Vp] | ^ 0,25 [ | с?д/р | ], то средняя квадратическая ошибка единицы веса вычисляется л о формуле '"V-: л/КЛ'Ур]/{2 (а - 1)}, ';

' (3.68) где d'. di — 0.

Это означает, что при оценке точности среднего результата из двойных измерений в формуле (3.67) вместо J надо использовать A значение р/, вычисленное по формуле (3.68).

807" 3.5. Общие правила обработки результатов геодезических измерений 3.5.1. Принципы уравнивания результатов измерений Никакие геодезические измерения нельзя считать законченны ми, пока не оценена их точность. Точность результата измерений (или вычислений) Можно оценить по абсолютной и относительной средним квадратическим ошибкам или но предельной ошибке.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 12 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.