авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

АЗЕРБАЙДЖАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ НЕФТЯНАЯ АКАДЕМИЯ

В.А.ИБРАГИМОВ

ЭЛЕМЕНТЫ

НЕЧЕТКОЙ МАТЕМАТИКИ

БАКУ - 2010

1

Составитель:

Кандидат физико-математических наук, доцент

Валех Абульфаз оглы Ибрагимов

Редактор:

Доктор физико-математических наук, профессор

Яшар Шакир оглы Салимов

Рецензенты:

Заведующий кафедрой «Автоматизированные системы управления» АГНА, член-корр. НАНА, профессор Рафик Азиз оглы Алиев Профессор кафедры «Информатика и Вычислительная математика» АГПУ Алиф Мамедгусейн оглы Мамедов 19471817160010 © -2010 1957( M )1800010 2 Посвящаю памяти дорогого учителя, профессора Агаева Гашима Низамовича ОТ АВТОРА Во всех написанных до сих пор работах по нечетким множествам приведены отдельные понятия элементов нечеткой математики с инженерной точки зрения, применительно к отдельным конкретным разделам техники. Поэтому приводимые ими определения этих понятия расплывчаты и имеют отдельные недостатки.

Предлагаемая вниманию читателя монография по нечеткой математике отличается от всех предыдущих тем, что здесь определения всех приводимых понятий даются с чисто математической точки зрения. Поэтому с математической точки зрения они не содержат каких-либо недостатков и при переносе этих понятий в четкую (классическую) математику никаких противоречий не возникают.

С другой стороны, здесь впервые проведена попытка изложить материал в стиле учебного пособия, доступного широкому кругу читателей, желающих ознакомиться с элементами нечеткой математики. Кроме того, им можно пользоваться и как справочник по нечеткой математике, для инженеров и научных сотрудников, так как в нем приведены определения основных понятий как элементарно, так и высшей математики.

Пользуясь случаем, хочу выразить огромную благодарность чл.корр НАН Азербайджана, профессору Алиеву Р.А, д.ф.м.н., профессору Салимову Я.Ш., профессору Мамедову А.М. за оказанное внимание и ценные советы.

Предисловие Неопределенность и расплывчатость представлений человеческих знаний привело к несущей необходимости создания теории, позволяющей формально описать нестрогие нечеткие понятия и обеспечивающей возможность познания процессов рассуждений, содержащих такие понятия. Крупным шагом в этом направлении явился подход, основанный на использовании понятия нечеткого множества Л.Заде, который позволяет дать строгое математическое описание в действительности расплывчатых утверждений.

Теория нечетких множеств появилась в результате обобщения и переосмысления достижений в многозначной логике, теории вероятностей и математической статистики, дискретной математики, теории матриц, дискретной математики, теории графов, теории грамматики и т.д. и начала развиваться после публикации в 1965 году основополагающей работы Л.Заде [31]. У ее истоков лежат идеи и достижения многозначной логики (трехзначной логики Лукасевича, к-значной логики Поста).

Дальнейшие шаги в этом направлении связаны с созданием строгих и гибких математических методов исследования нечетко определенных объектов. При этом можно выделить следующие основные классификационные признаки способов формализации нечеткости:

1) по виду представления нечеткой субъективной оценки величины (нечеткого множества);

2) по виду области значений функции принадлежности;

3) по виду области определения функции принадлежности;

4) по виду соответствия между областью определения и областью значений (однозначное, многозначное);

5) по признаку однородности или неоднородности области значений функции принадлежности.

В теории нечетких множеств предлагаются следующие способы формализации нечетких понятий.

Первый способ (основан на работах Л.Заде 32-34 ) предполагает отказ от основного утверждения классической теории множеств о том, что некоторый элемент может либо принадлежать, либо не принадлежать множеству. При этом вводится характеристическая функция множества – функция принадлежности, которая принимает значения из интервала [0;

1]. Этот способ приводит к контициальной логике.

Во втором (более общем) способе формирования не четкости характеристическая функция множества принимает значения не из интервала [0;

1], а в конечной или бесконечной дистрибутивной решетке. Это обобщение называется нечетким множеством в смысле Гогена.

Третий способ – Р - нечеткие множества. При этом обобщении каждый элемент универсального множества связан не с точкой интервала [0;

1], а с подмножеством или частью этого интервала. Алгебра Р-нечетких множеств может быть сведена к алгебре классов.

Четвертый способ – гегерентные нечеткие множества. Здесь в общем случае элементам универсального множества ставится в соответствие значения в различных дистрибутивных решетках.

Приведенные способы формирования нечетких понятий позволяют приближенно описать поведение систем настолько сложных и плохо определенных, что они не подаются точному математическому анализу.

Важным понятием, относящимся к теории нечетких множеств является невероятностная энтропия, служащая интегральной характеристикой размытости нечеткого множества.

При этом следует отметить, что способы формализации нечеткости развиваются по двум основным подходам. Первый базируется на обобщении понятия принадлежности элемента множеству, приводящему к размыванию границ множества, а в предельном случае к появлению объекта с неопределенными границами – полумножества. Второй подход полагает описание нечеткости с помощью иерархии-семейства упорядоченных четких множеств. Наряду с этим прослеживается взаимосвязь этих подходов, что указывает на существование глубокой внутренней связи проблем математической обработки нечеткой информации и построения моделей сложных иерархических систем.

Следует отметить, что с появлением теории нечетких множеств возникла потребность замены основных понятий классической (четкой) математики (числа, переменной величины, функции и т.д.) и теории управления некоторыми аналогами в терминах теории нечетких множеств, или же основные понятия теории нечетких множеств привести к языку, четкой классической математике. В теорию нечетких множеств может внести ясность то направление, которое базируется на нечетких числах и методах классической математики и управления, для чего необходимо разработать эффективные алгоритмы выполнения арифметических операций.

Анализ литературных источников, посвященных элементам нечеткой математики, показал, что во всех до сих пор написанных в этой области монографиях присущи отдельные недостатки, среди которых наиболее важным являются: отсутствие четких определений, понятий нечетких чисел, нечеткой переменной, нечеткой функции, ее непрерывности, дифференцируемости и интег рируемости.

В настоящей работе впервые проведена попытка устранению указанных недостатков, а также проведена попытка изложить материал в стиле учебного пособия, доступного широкому кругу читателей, желающих ознакомиться с элементами так называемой нечеткой математики и специалистов в области кибернетики, управления.

ГЛАВА I. НЕЧЕТКАЯ АРИФМЕТИКА Нечеткая арифметика – это наука о нечетких числах.

Поэтому сначала будут рассмотрены основные понятия нечетких чисел и арифметических операций над ними.

Отметим, что самостоятельной областью применения нечеткой арифметики являются нечеткое линейное программирование – анализ обычного линейного программирования. В [16] приводятся примеры решения задач линейного программирования для случая нечетких коэффициентов, а также примеры решения неравенств с нечеткими числами (LR-типа).

Хорошо известны два случая применения нечеткой арифметики как самостоятельного аппарата для решения практических задач.

В первом случае решалась задача составления квадратного расписания занятий в учебном заведении.

Необходимость обращения к нечетким числам в данном случае была обусловлена отсутствием экспериментальных данных и непосредственным характером критериев оптимальности. Для решения задач были использованы некоторые экспертные оценки, характеризующие длительность лекционных курсов, лабораторных занятий, наличие экзаменов и.т.д. В результате было получено расписание на квартал [50].

Во втором случае решалась задача оптимизации транспортной сети города. Информация, характеризующая транспортируемость, задавалась сч помощью нечетких чисел и лингвистических переменных. Решение было с примененме Фортран-программы для траспортной сети Тулузы. [60] § 1. Нечеткие числа и операции над ними Математической основой для построения математической модели систем с использованием лингвистических переменных и обычных арифметических операций является алгебра нечетких чисел [14;

47].

В классической математике принадлежность элементов x X множеству А часто рассматривается как характеристическая функция A из Х в {0;

1}, т.е.

1, если x A (1.1) (x) A 0, если x A При этом множество {0;

1} называется множеством оценок, из которого следует, элемент х либо принадлежит множеству А, либо не принадлежит. Однако на практике зачастую не представляется возможности однозначного определения принадлежности элементов одному и тому же множеству. Поэтому в этих случаях A ( x ) не определяется значениями, а может изменяться на отрезке [0;

1]. Это значит, что в этом случае A ( x ) характеризует не только принадлежность того или иного элемента х некоторому множеству А, но и выражает степень его принадлежности этому множеству.

Определение 1.1. Функцию A ( x ), сопоставляющую A( x ) [ 0;

1] и каждому элементу xX число характеризующую степень принадлежности элемента х множеству А будем называть функцией принадлежности элемента х множеству А.

Из определения 1.1. следует, что функция принад лежности есть ничто иное, как характеристическая функция, но принимающая не два значения, а бесчисленное множество значений из всего [0;

1].

Определение 1.2. Значения функции принадлежности элемента х множеству А будем называть степенью четкости или четкостью элемента х на множестве А.

Аналогичным образом введем понятие четких и нечетких значений числа.

~ Определение 1.3. Значение a будем называть нечетким значением числа а, если значение степени принятия его числом а принадлежит интервалу (0;

1), т.е.

a ( x ) ( 0;

).

Определение 1.4. Четким значением числа а будем называть значение, степень принятия которого равна единице, т.е. a 1.

~ Определение 1.5. Нечетким числом a называется нечеткое подмножество числовой оси R, имеющей a :R [ 0;

1 ], где R функцию принадлежности множество действительных чисел, [ 0;

1 ]} - множество числовой оси.

F( R ) { / : R Наряду с этим там же в [57] вводится понятие нечеткого множества.

Определение 1.6. Нечеткое множество ~ A ( x, ( x )) (1.2) A математически определяется как совокупность упорядоченных пар. Составленных из элементов х универсального множества Х и соответствующих степеней A x принадлежности или (поскольку функция принадлежности является исчерпывающей характеристикой нечеткого множества) непосредственно в виде функций A : X [ 0;

1].

На основании определения (1.6), если A -нечеткое ~ числовое множество, а элемент ~ A - есть нечеткое x число, определенное через (1.1)-как пара ( x, A ( x )), которая соответствует точке числовой оси R, то это понятие нечеткого числа противоречит определению нечеткого числа 1. С другой стороны из определений 1.5 и 1.6 следует, что нечеткое число есть подмножество множества (числовой оси) R и нечеткое множество есть подмножество числовой оси R с той же функцией принадлежности A, переобозначенное в a : R [ 0;

1 ]. В связи с этим заранее следует отметить, что будь это в смысле классической математики, либо в терминах так называемой нечеткой математики, строющейся на понятиях нечетких чисел и нечетких множеств, каждое число – четкое, либо нечеткое число L-типа, либо R-типа с единой конкретной степенью нечеткости принимает единственное значение. Если же рассматривается класс нечетких чисел (LR)-типа способна принять два значения (одно L-типа и другое R-типа).

При этом( как это всегда следует иметь в виду), если за исходное понятие взять понятие носителя числа, тип числа можно определить по виду его носителя.

Действительно:

Определение 1.7. Подмножество S a действительного множества (числовой оси) R будем называть носителем числа «а», если S a { x;

a ( x ) 0;

x R } (1.3) При этом следует принять определение 1.8. Число «а» называется четким числом, если его носитель состоит из единственного элемента множества R, т.е.

Sa { a;

1} (1.4) a Наряду с этим, учитывая, что все авторы монографий, включающих в себя элементы нечеткой математики (в основном понятие нечетких множеств), вводят понятие нечеткого числа, подобно определению 1.5.

И так как понятие нечеткого числа играет наиболее важную и основную роль в создании математической модели и его применении в задачах управления, то для более глубокого понимания смысла понятия нечетких чисел и их алгебры приведем понятие нечетких чисел и действий над ними, подобно [1,12], где понятие нечеткого числа вводится подобно определению 1.5, но не придерживаясь этого определения.

Определение 1.9 Число a будет называть нечетким числом, если оно принимает нечеткое значение и будем называть четким числом, если оно принимает четкое значение. Поэтому, нечеткое число может быть представлено как ~ a { x;

(x) 0;

x R} (1.5) Sa ~ где S a -носитель нечеткого числа a.

Пример 1.1.

Рис. 1. ~ ~ На рисунке 1.1 числа a { 1 / 0,6 }, b { 1 / 0,4 } и ~ d { 3 / 08 } -есть нечеткие числа, так как они принимают нечеткие значения. Число c 2 1 - есть четкое число, так как оно принимает четкое значение. Нечеткие числа ~ ~ a и d - есть нечеткие числа с одинаковой степенью нечеткости, равной 0, Если учесть, что каждой точке действительной прямой можно сопоставить единственное четкое действительное число, то можно ввести следующее определение нечеткого числа.

~ Определение 1.10. Под нечетким числом a на действительной прямой будем понимать одно из нечетких значений водящих в набор нечетких значений, характеризуемый функцией принадлежности a :R [ 0;

1 ] и представленный в виде (1.5).

Из данного определения нечеткого числа) и понятия выпуклого множества (учитывая существование выпуклого множества) следует, что нечеткие числа обладают свойством выпуклости.

~ Определение 1.11. Нечеткое число a будем называть выпуклым, если множество его нечетких значений носитель образует выпуклое множество Определение 1.12. Множество нечетких значений будем называть выпуклым множеством, если для любых значений х, у и z из этого множества, удовлетворяющих условию x y z справедливо неравенство ( y ) min ( x );

(z) (1.6) a a a Рис. 1. На рис. 1.2. приведено схематическое изображение ~ нечеткого числа N. Здесь интервалы ( N N ;

N) и ( N ;

N N ) – называются соответственно левый и правый расширениями нечеткого числа N ;

а N-его четкое значение. Из рисунка 1.2 и определения 1.9 следует, что ~ нечеткое число N -выпукло, так как для его нечетких значений xyz имеем y min( x, z ).

Определение 1.13 Множество нечетких значений нечеткого числа a, степени принадлежности которых ~ числу a больше, либо равны « » называются нечеткими значениями -уровня.

Определение 1.14 -срезом нечеткого числа будем называть те нечеткие значения, степени принятия которых даны нечетким числом равны.

Определение 1.15 Переходным значением нечеткого ~ числа a называется то значение, степень принятия которого равна 0,5, т.е. a ( x ) 0,5.

~ Для проведения арифметических действий на нечеткими числами можно пользоваться принципом обобщения Л.Заде, т.е.

Принцип обобщения. Пусть на действительной оси R заданы нечеткие числа a и b. Операцию над нечеткими ~~ числами a и b можно выполнить, используя соотношение:

~~ (1.7) a*b min ( x ), ( y ) /( x * y ) ~ ~ a b Sa*b ~~ Используя взамен гипотетической операции арифметические действия (+;

-;

х;

:) можно получить четыре ~~ арифметических действий над числами a и b.

~~ (x) ( y) ~ ~ (1.8) a ab min b (x y) Sa ~ ~ b ~ ( x ), ( y) ~ ~ ~ a a b min (1.9) b (x y) Sa ~ ~ b ~~ ( x ), ( y) ~ ~ a ab min (1.10) b (x y) Sab ~~ ~~ ( x ), ( y) ~ ~ a a :b min (1.11) b (x: y) S a :b ~~ где S a b - означает: { x S a ;

y S b }.

~~ ~ ~ Исходя из (1.5) можно получить соотношения:

a a b b ~~ ab a( x)/ x a( x)/ x ~( x ) / x ~( x ) / x ~ ~ b b a a b b ab b ~ ~( x ) / x ~ ~( x ) / x ab ab a ab где a’ и b’ получены из a;

a ;

b и b в зависимости от конкретных операций и нормировки.

Вычислим c b ~~ ~ ab ( x)/ x ( x)/ x c (1.12) ~ ~ c c a c c a b;

a’ a b;

b a b K1 x K c определяется в виде: ~ ~ c ~c a x Исходя из нормировки для можно записать [ ]:

c b’ xa b’ x ~~ ~ ab /x / x c1 (1.13) ca b’ c a c Для остальных арифметических операций аналогичным образом можно получить:

c b’ xa b’ x ~~ ~ ab /x /x c2 (1.14) ca b’ c a c где a a b ;

b ’ b a ;

c a b Применяя функцию принадлежности в виде:

K1 x K c получим:

c b" x a" b" x ~~ ~ ab /x /x c3 (1.15) c a" b" c a" c где a" a a’ ;

b" b b" ;

c ab K Применяя функцию принадлежности c K x получим:

c b" ( x a" )c ( b" x )c ~~ ~ a :b /x /x c4 (1.16) ( c a" ) ( b" c ) a" c где a" a’ a ;

b" b’ b;

c a : b ~ ~~ ~ Пример 1.2. a 5 ;

b ~5 ( x 4)/ x (6 x)/ x 4 ~ при x 4;

5 4 4 0;

x ~ при x 4,5 5 4,5 4 0,5;

x 4, ~ при x 5 5 5 4 1;

x ~ при x 5,5 5 6 5,5 0,5;

x 5, ~ при x 6 5 6 6 0. Следовательно, x ~ 5 { 0 / 4;

0,5 / 4,5;

1 / 5;

0,5 / 4,5;

0 / 6 } Для 9 при х=7;

8;

9;

10;

11 аналогичным образом можно получить:

~ 9 { 0.7;

0,5 / 8;

1 / 9;

0,5 / 10;

0 / 11 } Верхняя и нижняя границы и вершины этих чисел ~ следующие: для 5 ;

a 4;

a 6;

a 5;

~ Для 9 5 ;

b 7;

b 11;

b 9;

Приведем все четыре арифметических действия над этими числами.

Сложение. Согласно (1.13) вычислим границы и вершину суммы ( 5 9 ):

c a b 4 7 11;

b ’ a b 6 11 17;

c a b 5 9 14 x 11 17 x Таким образом: 5 9 x x 3 11 Вычисляя 14 при различных Х имеем:

14 0 11 0 5 12 5 1 14 0 5 15 5 0 Вычитание. Границы и вершина разности 9 5 в соответствии с (1.9) определяется как:

a7 4 3;

a 11 6 5;

c ba 4 x3 5x ~ ~ ~ /x /x 9 34 3 Значения функции принадлежности при значения х=3,5;

х=4,5 будут равны 0,5.

4 0 3 05 351 4 05 45 0 Схематически это означает:

Рис. 1. ~~~ ~ Нечеткие числа 4 ;

5 ;

9 ;

Умножение. С помощью соотношения (1.12) 4,5 6, x x 28 ~~ /x /x 45 28 66 4, 4,5 6, x 5,23 8,12 x ~ /x / x 4, 1,41 1, 4, Значения функции принадлежности при значении х=3б5;

х=40;

х=55;

х=60 значения функции принадлежности соответственно будет: 0,45;

0,73;

0,5;

0,27.

Таким образом 59 0 28 0 45 35 0 73 40 1 45 0 52 55 0 27 Деление. Согласно (1.16) границы и вершина ~ ~ результата деления 9 на 5 будет:

c 7 : 6 1,16;

c 11 : 4 2,75;

c b : a 9 : 5 1, Функция принадлежности определяется как:

18 2 x 1 16 1 8 2 75 x 1 x x 1 8 1 16 x 2 75 1 8 x 1 16 Вычисляя значения функции принадлежности при различных значениях х получим:

~~ 5:9 { 0 / 1,16;

0,3 / 1,3;

0,77 / 1,6;

1 / 1,8;

0,71 / 2;

0,19 / 2,5 } Рассмотрим другой метод выполнения ариф метических операций над нечеткими числами, основанный на использовании уровневых множеств, отличающихся значительным упрощением вычислений по сравнению с операциями на основе принципа обобщения. При этом дополнительно следует использовать следующее понятие.

Определение 1.16. Бинарная операция (*) на R называется возрастающей, если для любых ( x1 x1 ) y1 y 2 из x1 x1 ;

y1 y2 следует ( x1 x1 ) ( y1 y 2 ).

Если заданы нечеткие числа a и b с функциями принадлежности a и b, то результат обобщенной операции (*) над ними есть нечеткое число c a b, заданное функцией принадлежности a и b, то результат ~ обобщенной операции (*) над ними есть нечеткое число ~ ~~ c ( a b ), заданное функцией принадлежности (x) sur min ( x );

(x) (1.17) ~ ~ ~ c a b zxy Более коротко все четыре арифметические операции можно представить как:

Сложение:

sur min a ( x );

b ( y ) sur min a ( x );

b ( z x ) (1.18) ~ ~( x ) ~ ~ ~ ~ ab zxy x Вычитание:

(1.19) ( x) surmin a( x );

b ( y ) surmin a( x );

b ( z x ) ~~ ~ ~ ~ ~ ab zxy x Умножение:

( z : x ) (1.20) ( z ) sur min ( x );

( y) sur min ( x );

~~ ~ ~ ~ ~ a a ab b b z xy x Деление:

(1.21) ( z ) surmin a ( x );

( y) surmin a ( x );

( z : x) ~~ ~ ~ ~ ~ a:b b b z x:y x Если нечеткие числа можно представить в виде:

~ ~ a{ / x11;

/ x2 ;

/ x1,2 };

b { / y11;

/ y21;

/ y1,2 }, 22) 1 2 1 1 2 то результатом обобщенной операции (*) над ними будет нечеткое число ~ c~ ~ ab { (1.23) /( x11 y11 );

/( x21 y21 );

/( x1,2 y1,2 };

1 2 Это справедливо, когда операция (* является возрастающей, либо убывающей). Операции вычитания и деления не являются такими, однако их можно определить следующим образом ~~~ ~ ~~ ~ a b a ( b );

a : b a ( b 1 ) (1.24) Пример 1.3. Зададим два нечетких числа ~ 4 { 0 / 3;

0,5 / 3,5;

1 / 4;

0,5 / 4,5;

0 / 5 } 5 0 4 05 451 5 05 55 0 Проведем все четыре арифметические действия над этими нечеткими числами:

Сложение:

~~ 5 4 { 0 /( 4 3 );

0,5 /( 4,5 3,5 );

1 /( 5 4 );

0,5 /( 5,5 4,5 );

0 /( 6 5 )} { 0 / 7;

0,5 / 8;

1 / 9;

0,5 / 10;

0 / 11 } Умножение:

~~ 5 4 { 0 / 12;

0,5 / 15,75;

1 / 20;

0,5 / 24,75;

0 / 30 } Вычитание: сначала определим - 4. Имеем:

~ - 4 { 0 / 5;

0,5 / 4,5;

1 / 4;

0,5 / 3,5;

0 / 3 }, тогда ~~~ ~ 5 4 5 ( 4 ) { 0 / 1;

0,5 / 0;

1 / 1;

0,5 / 2;

0 / 3 } Деление: Сначала определим 4 1.Имеем:

~ { 0 / 1 : 3;

0,5 / 1 : 3,5;

1 / 1 : 4;

0,5 / 1 : 4,5;

0 / 1 : 5 }, { 0 / 0,33;

0,5 / 0,29;

1 / 0,25;

0,5 / 0,22;

0 / 0,2 } отсюда 54 5 4 0 1 32 0 5 1 29 1 1 25 0 5 1 21 0 1 Понятие дополнительного вычитания При решении нечетких уравнений приходится вычислять противоположные и обратные нечеткие числа.

Рассмотренные выше арифметические операции, основанные на принципе обобщения, не позволяют A (такое,что отыскать противоположное число ( A A 0 )) и обратное число A A A 1.

Кроме того, отметим, что для нечетких множеств имеет место неравенства A B B A и A B B A. (1.25) Поэтому, для точного решения уравнения Ах+В=D (1.26) Где А,В,D – нечеткие числа, х – неизвестное, используются операции дополнительного вычитания (--) и дополнительного деления (/./) АХ=D-B (1.27) Носителями множеств B и D являются, соответственно интервалы S B { b1,b2 } и S D { d1, d 2 }. Носителем множества Х, определяемого дополнительным вычитание, будет S AX { d1 b1 ;

d 2 b2 }, (1.28) а функцией принадлежности 1, если B ( z x ) D( z ) AX ( X ) inf D, если B( z x) D( z ) z Рассматриваемая операция вычитания определена тогда, когда длина интервала носителя уменьшаемого больше, чем у вычитаемого.

Дополнительное деление Решением уравнения АХ=D будет нечеткое число Х=D/A Если носителями нечетких чисел А и D являются SA a1 a2 и S D d1 d 2, то носитель нечетких числа Х определяется, как d 2 a d 1 : a1, если S A 0;

S D d 1 : a 2, d 2 : a1, если S A 0;

S D 0 (1.29) Sx [ d 1, d 2 ] //[ a1 ;

a 2 ] d 2 : a1, d 1 : a 2, если S A 0;

S D d 2 : a 2 ;

d 1 : a 2, если S A 0;

S D или через функции принадлежности 1, если (t / x) (t ) A D (1.30) (x) x ( t ), если (t / x) (t ) D A D Эта операция определена не для любых нечетких чисел A и D, а для таких, у которых интервалы – носители удовлетворяют определенным условиям.

Пример 4. Решить уравнение Х+В=D ~ B 8 { 0 / 6;

0,5 / 7;

1 / 8;

0,5 / 9;

0 / 10 } при D 14 { 0 / 10;

0,5 / 12;

1 / 14;

0,5 / 16;

0 / 18 } Интервалы – носители для Bи D будут SB 6 10 S D 10 18 Согласно (28) S x Согласно (1.27) можно определить функцию принадлежности x X 0 4 05 51 6 05 7 0 Пример 5 Решить уравнение АX=D при ~ A 8 { 0 / 6;

0,5 / 14;

1 / 24;

0,5 / 36;

0 / 50 } S A { 6 : 10 };

S D [ 6;

50 ] согласно (28) S x [ 6 : 6;

50 : 10 ] [ 1 : 5 ] Функцию принадлежности можно определить на основании (1.29) Решением уравнения является нечеткое число:

x { 0 / 1;

0,5 / 2;

1 / 3;

0,5 / 4;

0 / 5 } Замечание 2. Следует отметить, что при одной и той же степени нечеткости (при одном и то же значении ~ ) нечеткое число a обязано функции принадлежности принимать лишь одно нечеткое значение. Но несмотря на это из рассматриваемого выше понятия нечеткого числа следует, что одно и то же нечеткое число при одной и той же степени нечеткости способно принять два значения. И кроме того, одно и то же значение с различными степенями нечеткости принимаются различными нечеткими числами.

Пример ~ 2 {0 / 1;

0,7 / 1,7;

1 / 2;

0,7 / 2,3;

0 / 3};

~ 3 {0 / 2;

0,3 / 2,3;

1 / 3;

0,3 / 3,7;

0 / 4} Из данного примера в конкретности видно, что нечеткое значение 2,3 можно одновременно отнести к обеим указанным нечетким числам с различными степенями четкости. Причем, если эти нечеткие числа имеют одинаковые растяжения, равные половине разности четких значений этих нечетких чисел, то сумма значений функций принадлежности одного и того же значения принимаемое этими нечеткими числами равна единице.

Кроме того, следует отметить, что чем больше растяжение нечеткого числа, тем большему числу нечетких чисел будет отнесено одно и то же значение действительной прямой.

Во избежание выше указанного противоречия, которое может привести к неординарности получения результатов при решении различных задач, целесообразно применить нечеткую арифметику на нечетких числах L и R – типа.

§ 2 Нечеткие числа L-R типа и действия над ними Определение 1.17 Совокупность нечетких значений ~ нечеткого числа a меньших ее четкого значения будем называть левым расширением этого нечеткого числа (носителя нечеткого числа).

Определение 1.18 Совокупность нечетких значений ~ нечеткого числа a больших ее четкого значения будем называть правым расширением нечеткого числа.

~ Если S a -носитель нечеткого числа a, то ~ S { x a;

a 0 } и S { x a, a ( x ) 0, x R } ~ ~ aL aR являются соответственно левым и правым носителями ~ растяжения нечеткого числа a ~ Определение 1.19 Число a L будем называть нечетким числом L-типа, если оно может принимать нечеткое ~ значение из левого расширения нечеткого числа a ~ Определение 1.20 Число a R - будем называть нечетким числом R-типа, если оно может принимать нечеткие ~ значения из правого расширения нечеткого числа a.

Эти нечеткие числа могут быть представлены в виде ~ aL ~ ( x ) / x SaL ;

aL (1.31) ~ aR ~ ( x ) / x;

x S a R ~ aR где a x ~ (x) для a aL x a;

aL aL aL (1.32) xa ~ (x) для a x a aR ;

aR aL aR a -четкое значение;

a L -левое растяжение;

~ a R -правое растяжение нечеткого числа a.

Определение 1.21 Значение а называется левой ~ (правой) границей нечеткого числа a, если для любого достаточно малого 0;

( a ) 0;

( a ) 0;

a (1.33) 0;

( a ) 0;

( a ) a ~ Исходя из данного определения нечеткое число a можно представить в виде a a ~ a (x a) (a x );

x (1.34) a a где a и a -соответственно левая и правая (либо нижняя и ~ верхняя) границы нечеткого числа a. При этом ~~ Определение 1.22. Нечеткие числа a и b называются нечеткими числами одинакового порядка, если они имеют одинаковые расширения и называются нечеткими числами различного расширения;

т.е.

~ ~ если { a a b b;

a a b b }, то a и b - есть нечеткие числа одинакового порядка и если ~~ b }, то нечеткие числа a и b - есть {a a b b;

a a b нечеткие числа различного порядка.

Рис. 1. ~ ~ На рисунке 1.4 нечеткие числа a и b -одинакового ~~ порядка, а нечеткие числа m и n -различных порядков.

Определение 1.23 Нечеткое число называется нормальным, если его левое расширение равно правому, в противном случае оно называется субнормальным нечетким числом.

~ ~ ~ На рисунке 1.3. a, b и m - нормальные нечеткие числа, а ~ n субнормальное нечеткое число.

Следует отметить, что на практике левый и правый растяжения нечеткого числа одинаковые, т.е. на практике рассматриваются лишь нормальные нечеткие числа.

Кроме того, 1) для нормального нечеткого числа его наиболее четкое значение совпадает с его четким значением;

2) если интервалы растяжения нечеткого числа равны нулю, то оно является четким числом;

3) по мере увеличения интервалов расширения нечеткое число становится более нечетким.

Справедливы следующие свойства функции принадлежности нечеткого числа:

~ ( x ) -монотонно ~ ( x ) 1) возрастающая, а aL aR монотонно убывающая функции, причем ~ (a) ~ (a) 1 (1.35) aL aR 2) Функции и -четные функции, т.е.

L R R ( x) R ( x) ( x) L( x ) и L 3) Если нечеткое число – нормальное нечеткое число, то L( x )и R( x ) линии, описываемые функциями симметричны относительно прямой x a, где a ~ четкое значение нечеткого числа a.

Примерами функций L ( x ) и R ( x ) могут служить 1 1) R ( x ) ;

L( x ),где p p 1 ( a x )p 1 (x a) p p 2) R ( x ) e ( x a ) ;

L ( x ) e ( a x ), где р Наряду с выше изложенным нечеткое число L-R – типа с учетом понятия уровня четкости, можно ввести следующим образом:

~ Определение 1.24. Нечеткое число a называется нечетким числом L-R-типа, если a aL ( ) (a) L aL (1.36) () ~ a a( ) a 1R R( a ) aR ~ где a -четкое значение числа a, т.е. a a L ( 1 ) a R ( 1 ) ;

a L и a R -соответственно левое и правое растяжения ~ нечеткого числа a ;

a L ( ) и a R ( ) -соответственно левое и ~ правое значения нечеткого числа a четкости.

Из (1.36) следует, что если ~ a( ) a L ( );

a R ( ), то aL ( ) a ( 1 )a L ;

a R ( ) a ( 1 )a R Следует учесть, что если растяжение нечеткого числа равна нулю, то оно является четким числом. Кроме того, ~ по мере увеличения левого и правого растяжений a оно становится более нечетким числом. Символически ~ нечеткое число L-R – типа обозначим a { a,a L,a R }.

Рассмотрим алгебраические действия над четкими числами L-R-типа.

~ ~ Сложение. Пусть a { a,a L,a R }, b { b;

bL ;

bR }, тогда ~~ ab { a b;

a L bL ;

a R bR } (1.37) Формула отрицания нечеткого числа имеет вид:

~ a a.a L,a R { a ;

a R ;

a L } Вычитание:

~~ ~ ab a ( b ) { a b;

a L bR ;

a R bL } (1.38) ~~ Если a и b есть нечеткие числа -уровня (нечеткости ), то ~~ a b a b (1 )( a L bL );

(1.39) a b (1 )( a R bR ) ~ ~ a b a b (1 )( a L bR );

a b (1 )( a R bL ) ~ ~ Умножение. Пусть a { a ;

a L ;

a R }, b { b;

bL ;

bR }.

1) если a 0;

b 0,то ~~ ab { a, a L, a R } { b;

bL ;

bR ] {( a a L )( b bL );

( a a R )( b bR )} (1.40) { ab;

abL ba L a L b;

abR ba R a R bR } 2) аналогично для a 0;

b ~~ a b { ab;

abR bL a L a L b;

abL ba R a R bL } 3) для a 0;

b ~~ a b { ab;

abR ba R a R bR ;

abL ba L a L bL } ~~ Если a и b -нечеткие числа (нечетности ) -уровня, то 1) для a 0;

b ~~ a b { ab;

( 1 )( abL ba L ) ( 1 )a L bL ;

(1 )( abR ba R ) ( 1 )a R bL )} 2) для a 0;

b ~ ~b { ab;

( a )( abR ba L ) ( 1 )a L bL ;

(1.41) (1 )( abL ba R ) ( 1 )a R bL )} 3) для a 0;

b ~~ a b { ab;

( 1 )( abR ba R ( 1 )a R bR ;

(1 )( abL ba L ( 1 )a L bL )} ~ ~ Деление: Пусть a { a ;

a L ;

a R };

b { b;

bL ;

bR }, тогда, 1) если a 0,b 0,то ~ a { a;

a L ;

a R } { a a L ;

a a R } a aL a aR ;

~ b { b;

bL ;

bR } { b bL ;

b bR } b bR b bL или же ~ a abR ba L a R b abL a ;

;

~ b b( b bR ) b( b bL ) b 2) если a 0,b 0,то ~ a { a aL ;

a aR } a aR a aL ;

(1.42) ~ b { b bL ;

b bR } b bR b bL или же ~ a { a;

a L ;

a R } a abR ba R abL ba L ;

;

~ b { b;

bL ;

bR } b b( b bR ) b( b bL ) 3) если a 0;

b 0, то ~ a { a aL ;

a aR } a aL a aR ;

или же ~ b { b bL ;

b bR } b bL b bR ~ a { a;

a L ;

a R } a a L b abL ba R abR ;

~ b { b;

bL ;

bR } b b( b bL ) b( b bR ) 4) если a 0;

b 0, то ~ a { a;

a L ;

a R } { a a L ;

a a R } или же ~ b { b;

bL ;

bR } { b bL ;

b bR } a aR a aL ;

b bL b bR ~ a abL a R b a L b abR a ;

;

~ b b( b bL ) b( b bR ) b ~~ Если a и b - нечеткие числа (нечетности - -уровня), т.е.

~~ ~~ Если a a ( );

b b ( ) -нечеткие числа со степенью нечеткости ( -уровня), то в (1.42), вместо a L ;

a R ;

bL и bR всюду берутся соответственно a L ( );

a R ( );

a R ( ) и bR ( ).

~ ~ Пример 1.7 a { 5;

0,4;

0,6 };

b { 3;

0,5;

0,7 } ~~ 1) a b { 5;

0,4;

0,6 } { 3;

0,5;

0,7 } { 8;

0,9;

1,3 } ~~ 2) a b { 5;

0,4;

0,6 } { 3;

0,5;

0,7 } { 2;

1,1;

1,1 } ~~ a b { 5;

0,4;

0,6 } { 3;

0,5;

0,7 } 3) { 15;

5 0,5 3 0,4 0,4 0,5;

5 0,7 3 0,6 0,7 0,6 } { 15;

3,5;

5,72 } ~ a { 5;

0,4;

0,6 } 5 5 0,7 3 0,4 5 0,5 3 0, ;

;

~ { 3;

0,5;

0,7 } 3 3( 3 0,7 ) 3( 3 0,5 ) b 4) ;

0,207;

0, или же ~~ ab { 5;

0,4;

0,6 } { 3;

0,5;

0,7 } { 4,6;

5,6 } { 2,5;

3,7 } { 4,6 2,5 5,6 3,7 } { 11,5;

20,72 } { 15;

3,5;

5,72 } ~ a { 4,6;

56 } { 1,243;

2,24 } ;

0,207 ;

0, ~ { 2,5;

3,7 } b Замечание 1. Так как нечеткие числа могут быть заданы разными способами, а при проведении арифметических действий над ними следует учесть принцип обобщения Заде, то при проведении арифметических действий желательно предварительно привести их (с помощью 35) к одинаковым степеням четкости (уровня четкости). Если же все нечеткие числа заданы с помощью среднего значения (четкого значения) и левого и правого расширений, то арифметические действия следует произвести без приведения к одному уровню нечеткости.

Замечание 2. При применении нечетких чисел в решении практических задач пользуются нечеткими числами L типа (определение (1.19)), либо нечеткими числами R типа (определение (1.23)), поэтому (как частный случай нечетких чисел LR - типа) рассмотрим арифметические действия отдельно над нечеткими числами L-типа и R -типа.

~ ~ Пусть a { a;

a L } и b { b;

bL }, тогда I.

~~ 1) a b { a ;

a L } { b;

bL } { a b;

a L bL } ~~ 2) a b { a b;

a L bL } (1.43) ~ ~ 3) a b { a ;

a } { b;

b } { a b;

a b ab a b } L L L L LL для a 0;

b ~ ~ b { a a } { b b } { ab;

ab a b a b } a L L L L LL (для a 0;

b 0 ) ~~ a b { a a L }{ b bL } { ab;

a L b abL a L bL } (для a 0;

b 0 ) ~~ a b { a a ;

b b } { ab;

ab ab a b } L L L L LL (для a 0;

b 0 ) ~ a { a;

a L } { a a L } a a L abL ;

4) ~ b ;

bL b bL b b( b bL ) b (для a 0;

b 0 ) ~ a { a aL } a abL a L b ;

(для a 0;

b 0 ) ~ b { b bL } b b( b bL ) ~ a { a aL } a abL a L b ;

(для a 0;

b 0 ) ~ b { b bL } b b( b bL ) ~ a { a aL } a abL a L b ;

(для a 0;

b 0 ) ~ b { b bL } b b( b bL ) ~ ~ Пусть a { a;

a R } и b { b;

bR ], тогда II.

~~ 1) a b { a ;

a R } { b;

bR } { a b;

a R bR } ~~ 2) a b { a ;

a R } { b;

bR } { a b;

a R bR } ~~ 3) a b { a a R } { b bR } { a b;

abR a R b a R bR } (для a 0;

b 0 ) ~ ~ b { a a } { b b } { a b;

ab a b a b } a R R R R RR (для a 0;

b 0 ) ~~ a b { a a R }{ b bR } { a b;

a R b abR a R bR } (для a 0;

b 0 ) ~ ~ b { a a }{ b b } { a b;

ab a b a b } a R R R R RR (для a 0;

b 0 ) ~ { a aR } a aRb aRb a ;

(для a 0;

b 0 ) 4) ~ { b bR } b b( b bR ) b ~ a {a aR } a abR a R b ;

(для a 0;

b 0 ) ~ b {b bR } b b( b bR ) ~ a {a aR } a abR a R b ;

(для a 0;

b 0 ) ~ b {b bR } b b( b bR ) ~ a {a aR } a a R b abR ;

(для a 0;

b 0 ) ~ b {b bR } b b( b bR ) Следует отметить, что как и в случае нечетких чисел LR уровня, для случая нечетких чисел a L ( ) и a R ( ) типа следует всюду вместо a L ;

a R ;

bL и bR на основании (25) взять соответственно a L ( ), a R ( ), bR ( ), bL ( ).

Пример 18: Заданы два нечетких числа L-типа:

~ ~ 7 L { 7;

0,6 } и 3L { 3;

0,4 } Найти сумму, разность, произведение и частное этих чисел.

~ ~ 1 )7 L 3L { 7 0,6 } { 3 0,4 } { 10;

1 };

~ ~ 2 )7 L 3L { 7 0,6 } { 5 0,4 } { 4;

0,2 };

~ ~ 3 )7 L 3L { 7 0,6 } { 3 0,4 } { 21;

4,36 };

~ 7 { 7 0,6 } 4 ) ~L ;

0, { 3 0,4 } 3L Наконец следует отметить, что если:

1) в (1.42)-(1.44) один из сомножителей есть нечеткое число, то получим формулы умножения нечеткого числа на скаляр;

2) 2) в (1.28), (1.32) и (1.34) делитель будет четким числом, то получим формулы деления нечеткого числа на скаляр.

§3. Сравнение нечетких чисел Как известно, между двумя четкими числами a и b могут быть справедливым одно из следующих соотношений:

a b;

a b;

либо a b (1.45) Поэтому возникает вопрос: какова возможность того, что ~ ~~ ~ нечеткое число a больше (меньше) b, либо a b.

Определение 1.25. Будем говорить, что нечеткое число ~ ~ a больше (меньше) нечеткого числа b, если любое ~ значение носителя нечеткого числа a больше (меньше) ~ любого значения носителя нечеткого числа b, т.е.

~~ ab {x y;

x S a ;

y Sb } (1.46) ~~ ab {x y;

x S a ;

y Sb } (1.47) Определение 1.26. Будем говорить, что нечеткое ~ ~ число a равно нечеткому числу b, если их носители совпадают (совпадение носителей этих чисел означает, что при любом конкретном значении функции принадлежности нечеткие значения обеих чисел равны друг другу), т.е.

~~ ab { x y;

a ( x ) b ( y );

x S a ;

y S b } (1.48) Следует отметить, что для различных видов функций принадлежности (степени четкости) значения нечеткого числа при одном и том же уровне четкости не равны друг другу, т.е. если () ( ), то для 1 A A AL1 ( ) AL2 ( ) и AR1 ( ) AR2 ( ) (1.49) Рис. 1. ~ На рисунке 1.5 А – четкое число. B - нечеткое число ~ S B MN - носитель нечеткого числа B. ~1 ~2 3.

~ ~ B B B Поэтому, для указанного ( 0,1 ).

bL1 ( ) bL2 ( ) bL3 ( ) b (1.50) bR3 ( ) bR2 ( ) bR1 ( ) где b - четкое значение числа В;

bLi и bRi - соответственно нечеткие числа L и R – типа для функций принадлеж ности ~ ( i 1,2,3 ) четкости -уровня.

B Из рисунка 1.5 следует, что функция принадлежности нечеткого числа B ( x ) слева ( x b) -возрастает, а справа ( x b) - убывает.

~ Пример 1.9. Требуется найти значения нечеткого числа слева и справа уровня =0,6, при функциях x 1( x ) принадлежности (виды нечеткости) и x (x) и растяжение слева и справа =2.

Исходя из a xL k k xR a (x) A имеем:

1) При A ~ 3R ~ 0,6 3 2 ln 3, 3R 0, ~ 3 3L ~ 0,6 3 2 ln 2, 3L 0, 2) при A ~ 3R ~ 0,6 3 24 ln 4, 3R 0, ~ 3 3L ~ 0,6 3 24 ln 1, 3L 0, Этот результат подтверждает справедливость (1.50).

Отметим, что не следует отождествлять виды и свойства функций принадлежности нечетких чисел с видами функций принадлежности нечетких множеств, так как носитель нечеткого числа содержит лишь одно четкое значение этого сила, а носитель нечеткого множества может содержать любое количество четких значений (если нечеткое множество - нормальное), а может и не содержать четких значений (если нечеткого множеств – субнормальное).

Определение 1.27. Нечеткое число называется положительным, если все элементы его носителя положительные, называется отрицательным – если все элементы его носителя отрицательные.

Наряду с этим, приведем понятие нечеткого неотрицательного действительного числа, предложенного Хеле 5 :

- Нечеткое неотрицательное действительно число R [ 0,1], определяется как отображение :

удовлетворяющее условиям:

( 0 ) 0, sup ( ( r ) r R ) 1 (граничные условия) r R : ( r ) sup( ( r ) r r ) (непрерывность слева) Если - нечеткое неотрицательное действительное число, то величину ( r ) можно интерпретировать как степень принадлежности (степень четкости) неявного числа четкому интервалу [ 0;

r ).

Из приведенного понятия нечеткого числа следует, что автор не рассматривает нечеткое число как нечеткое подмножество из R (положительной полуоси), а рассматривает как неявную величину. При этом за его носитель принимается полуинтервал [ 0;

r ), куда входят множество четких и нечетких чисел вида 0 r r.

~ Определение 1.28 Нечеткое число A называется нечетким нулем, если наиболее четкое его значение равно нулю, т.е.

(0) sup (x) (1.51) A A x Если растяжение нечеткого нуля равно, то под нечетким нулем четкости ( 0;

1 ) на основании (4) будем понимать одно из чисел OL ( ) (1 ), либо OR ( ) (1 ) (1.52) xa для A( x ) (1.53) Для другой функции принадлежности значение (1.53) будет другим. Но во всех случаях для ( 0;

1 ), OL ( ) 0 ;

OR ( ) 0.

~ Теорема 1. Для того, чтобы нечеткое число aLR было ~ больше нечеткого числа bLR необходимо и достаточно, ~ чтобы любое значение левого растяжения числа aLR было ~ больше любого значения правого растяжения числа bLR.

~ Доказательство: Необходимость. Пусть a { a,a L,a R } и ~~ ~ b { b,bL,bR } - нечеткие числа и пусть a b. Тогда в силу (1.46) x y для любых x ( a a L ;

a a R ) и любых y ( b bL ;

b bR ) имеем xy (1.54) Но так как для любого нечеткого числа его значение из левого растяжения меньше любого значения из его правого растяжения, то (1.55) x x, x ( a a L, a );

x ( a ;

a a R ) (1.56) y y, y ( b b L, b );

y ( b ;

b b R ) Тогда из (1.54)-(1.56) следует, что x y.

Достаточность: Пусть x y, тогда в силу (1.55) y x, а следовательно и y x для любых x ( a aL ;

a aL ) (1.57) С другой стороны в силу (1.56) y y для любых y ( b bL ;

b bL ) (1.58) Поэтому из (1.57) и (1.58) следует справедливость (1.54). Откуда в силу определений левого и правого растяжений и носителя нечеткого числа следует справедливость теоремы.

Аналогично, доказывается справедливость.

~ Теоремы 1.2 Для того, чтобы нечеткое число aLR было ~ меньше нечеткого числа bLR необходимо и достаточно, чтобы любое значение правого растяжения нечеткого ~ числа aLR было меньше любого значения левого ~ растяжения нечеткого числа bLR.

Из результатов теорем 1.1 и 1.2 следует:

ab ~ ~ (1.59) a LR bLR a L bL aR bR Рис.1. На рис.1.6 (I) схематически показаны нечеткие числа ~ ~ ~ ~ aLR bLR, а на рисунке 1.6(II) – случай a LR bLR Замечание 1.5. Для случая нечетких чисел L и R - типа легко доказать, что ~ ~ a L bL { x y, x ( a a L ;

a );

y ( b bL ;

b )} ~ ~ a R bR { x y, x ( a ;

a a R );

y ( b;

b bR )} Отметим, что здесь и всюду во всей монографии под левым и правым растяжением, расширением и сужениями нечеткого числа следует понимать левое и правое растяжение, расширение и сужение носителя нечеткого числа.

Глава II НЕЧЕТКАЯ АЛГЕБРА §1 Теоретическое обоснование нечетких уравнений Ряд задач анализа математических моделей нечетких систем требует решение уравнений с нечеткими числами.

Практический интерес представляет рассмотрение уравнений с обычными математическими терминами и нечеткими математическими отношениями и уравнения с нечеткими числами и обычными математическими отношениями. В общем случае нечетким уравнением называются уравнения, в которых коэффициенты и переменные являются нечеткими числами.

В [24-26] рассматриваются примеры решения уравнений с нечеткими отношениями и обычными математическими терминами. Для чего использованы следующие понятия и теоремы.

Определение 2.1. Математическим термом называется конструкция из элементов x R и связывающих их операций (+;

-;

x;

:) Определение 2.2. Если A F ( R), A : R [0,1], то А называется нечетким отношением, а A ( x, y ) указывает на то, с какой степенью (х,у) удовлетворяет А.

Примером А может быть А «приближенно равенство».

Определение 2.3. Если f1 и f 2 есть математические термы и А есть нечеткое отношение, т.е. A : R 2 [0;

1], то f, Af 2 называется нечетким уравнением с нечетким отношением.

Например f1 y 2 ;

f 2 x 3 ;

А есть при умножении f ~ ~ y 2 3 x 3, где на 3 ;

Тогда f1 Af ~ 3 {3;

0,4;

0,6} нечеткое число (LR)- типа.

Теорема 2.1 Предположим, что f1 и f 2 математические термы, А-нечеткое отношение и имеет место уравнение f1 Af 2. Тогда, если a R, то 1) ( f1 a )( A a )( f 2 a ) (2.1) 2) ( f1 a )( A a )( f 2 a ) Теорема 2.2. Нечеткое отношение являются адитивно независимым тогда и только тогда, когда A( x, y ) A( x y ) (2.2) Теорема 2.3 Нечеткое отношение А является мультипликативно независимым тогда и только тогда, когда (2.3) A( x;

y ) A(( x / y )h), h Определение 2.4. Нечетким математическим термом называется конструкция из элементов Ai F ( R ), i N, :;

+;

-;

, m~~, min. Далее ~ ax связанных отношениями поскольку семейство выпуклых нормальных нечетких чисел (семейство нечетких чисел, имеющих выпуклые носители, содержащие их четкие значения) образуют только коммутативное полукольцо, то решение уравнения с нечеткими термами возможно только при использовании разложения нечетких термов по -уровням. Метод, описанный в [25] неизбежно приводит к нечетким нулям и к изменению степени истинности математических отношений.

Определение 2.5. Скобочной формой уравнения ~~ f 1 Af 2 называется следующее разложение по -уровням:

~ ~ f1 A f2 f L1 f R1 A f L2 f R2 (2.4) Например. Пусть ~~ ~ ~ ~ ax2 b x c 0, где a {a L ;

a R };

b {bL ;

bR } и ~ c {c L ;

c R }, тогда ~~ ~ ax2 {a L x 2 0;

a R x bx c bL x c L bR x c R 0} Если все нормальные унимодельные числа, из которых ~ ~ состоят нечеткие термы f1 и f 2 имеют носители S и f S такие, что они не содержат одновременно f положительных и отрицательных элементов, то будет справедливо следующее соотношение:

( f L ( ) A( f ( )) ~ ~ L f1 ( ) Af 2 ( ) [0,1] (2.5) ( f ) A( f ) R1 R Поскольку элементы скобочной формы и А являются обычными математическими нормами и отношением, то для скобочной формы будут справедливы соответствующие условия адитивной и мультипликативной независимости, которые справедливы для любых обычных уравнений.

Таким образом, чтобы решить уравнений вида ~ ~ f1 ( x) Af 2 ( x) необходимо привести его к виду (2.4) и решить отдельно относительно хL и хR. Условием адитивности явяляется выпуклость и нормальность (носителей).

В случае нечетких чисел (LR)-типа уравнение с Н.Н.

можно решить, получив соответствующую скобовую форму. При этом необходимо учитывать приближенный характер «.», «..» для нечетких чисел (LR)-типа.

Следует отметить, что разложение по -уровням дает возможность производить дальнейший анализ задач с Н.Н.

с помощью метода интервального анализа.

Ниже применяя метод интервального анализа проводится решение алгебраических уравнений и систем линейных алгебраических уравнений с нечеткими коэффициентами.

§2. Нечеткие линейные алгебраические уравнения Определение 2.6. Нечетким алгебраическим уравнением называется алгебраическое уранение, в котором хотя бы один из коэффициентов при неизвестных либо свободный член (либо тот и другой) являются нечеткими числами.

Следует отметить, что корни нечеткого алгебраического уравнения являются нечеткими числами.

В частности, исходя из основного правила алгебры.

Если один из коэффициентов аi алгебраического уравнения n a1 x n i 0 (2.6) i есть нечеткое число, то хотя бы один из корней этого уравнения является нечетким числом. Следует отметить, что если показатель степени уравнения (2.1) есть нечеткое число, то уравнение (2.1) называется уравнением с нечеткой степенью и при этом решением ее будет нечеткое число.

Определение 2.7. Нечеткое алгебраическое уравнение линейное относительно неизвестной называется нечетким линейным уравнением о обозначается:

~x ~ a~ b (2.7) ~ b ~ (2.8) x (x) (a ) ( b )) ~;

min( a Рассмотрим различсные виды нечетких линейных алгебраических уравнений:

~ ~ ~ b ;

( x) 1) ax b, тогда x (b), где a bL b1 bL ;

b2 b bL ~ а) Если b {bL ;

bR }, то ~ X { xL ;

X R } bL bR ;

, если a 0;

b 0;

a 0;

b (2.9) aa bR bL ;

, если a 0;

b 0;

a 0;

b aa ~ б) если b {b;

bL ;

bR }, то b bL bR, если a ;

;

0;


aa a ~ X {x;

x L ;

X R } b bR bL, если a 0;

;

;

aaa Пример2.1. 3 x {6;

0,9;

0,3};

~ {2;

0,3;

0,1} x b 2) a x b;

~ ~ x ;

( x) (a) a ~ a {a L ;

a R } где a L a a L ;

a R a a R, то a) a 0;

b o bb, для :

;

a 0;

b aR aL ~ X {x L ;

X R } a 0;

b o bb, для :

;

a 0;

b aL aR ~ б) если a {a;

a L ;

a R }, то ~ X { x;

x L ;

X R } a 0;

b ba R ba L b ;

;

, для a 0;

b a a( a a R ) a( a a L ) a 0;

b ba R ba R b ;

;

, для a 0;

b a a( a a L ) a( a a R ) Пример 2. ~ {3;

0,397;

0,273} x ~ ~ b b, тогда ~ ~ x ~ ;

( x) min( (a ) (b)) 3) ax a ~ ~ ~ а) если a {a L ;

a R };

b {bL ;

bR }, тогда, пользуясь правилом деления нечетких чисел имеем:

bL bR ~ X, для (a 0;

b ;

0) aR aL bL bR ~ X, для (a 0;

b ;

0) aL aR (2.10) bR bL ~ X, для (a 0;

b ;

0) aR aL bR bL ~ X, для (a 0;

b 0) ;

aL aR ~ ~ б) Если a {a;

a L ;

a R } b {b;

b L ;

bR }, то b a R b abL abR a L b ~ X, для a 0;

b ;

;

a a(a a R ) a(a a L ) b abL a L n abR aRb ~ X, для a 0;

b ;

;

a a(a a L ) a(a aR ) (2.11) b a R b abR a L b abL ~ X, для a 0;

b ;

;

a a(a a R ) a(a a L ) b abR a L b ba R abL ~ X, для a 0;

b ;

;

a a(a a L ) a(a a R ) Пример 2.3 {2;

0,4;

0,6} ~ {10;

0,6;

0,7} x {9,4;

10,7} a) ~ x {5;

1,38;

1,69} {3,62;

6,69} {1,6;

2,6} {10;

0,6;

0,7} б) ~x {5;

1,38;

1,69} {3,62;

6,69} {2;

0,4;

0,6} Отметим, что ~~~~ ~ если в (2.7) a a R ;

b bR, т.е. a {a;

a R } 3) ~ и b {b;

bR }, то b abL aLb ~ X ;

a a( a aL ) ~ ~ если в (2.7) a a;

aR ;

b b;

bR, то 4) b abR aR b ~ X ;

a a( a aR ) ~ ~ ~ 5) если a {a;

a L } b bR {b;

bR }, то b aR b abL ~ X ;

{ x;

xL } (2.12) a a( a aR ) ~ ~ ~ ~ 4) если a aR {a;

a R }, а b bL {b;

bL }, то b abR aL b ~ X ;

{ x ;

xR } (2.13) a a( a aL ) Замечание. Если коэффициенты и свободные члены уравнения (2.7) явяляются нечеткими числами -уровня, то всюду a L и bL заменяются на a L ( ) и bL ( ) с помощью (1.28).

~ ~ Пример 2.4 Найти решение уравнения a x b, коэффициенты которого взяты из данных примера (2.3), со степенью четкости =0, ~ a (0,8) {2;

(1 0,8)0,4;

(1 0,8)0,6} {2;

0,08;

0,12} ~ Имеем: b (0,8) {10;

0,12;

0,14} ~ {10;

0,12;

0,14} X {5;

0,29;

0,34} {4,71;

5,34} {2;

0,08;

0,12} §3 Нечеткие квадратные уравнения Определение 2.8. Квадратное уравнение, хотя бы один коэффициент которого либо свободный член есть нечеткое число называется нечетким квадратным уравнением.

Как и в случае четкое квадратного уравнения полное нечеткое квадратное уравнение имеет вид:

~~ ~ ax2 b x c 0 (2.14) Рассмотрим различные виды нечетких квадратных уравнений:

I. Неполное нечеткое квадратное уравнение:

~ 1) a x 2 b x 0, если c ~ ~ (2.15) При этом ~ b ~ (2.16) x1 x 0;

~ a ~ В зависимости от типа нечетких чисел a и ~ b определяем значение (2.16) как решение нечеткого линейного алгебраического уравнения.

~ ~~ 2) a x c 0, если b 0 (2.17) откуда ~ c ~ x1, 2 (2.18) ~ a ~ ~ Очевидно, что если aи c -нечеткие числа противоположного знака, то корни уравнения (2.17) ~~ действительные и различны;

если же a и c -одинакового знака, то корни уравнения (2.17)-комплексно сопряженные нечеткие числа.

~ ~ а) Пусть a {a' L a' R };

c {c' L ;

c' R }, тогда c 'R c 'L ( для a 0;

c ;

0) a 'R a 'L ~ X c 'L c 'R ( для a 0;

c ;

0) (2.19) a 'L a 'R c 'L c 'R ( для a 0;

c ;

0) a 'L a 'R ~ X c 'R c 'L ( для a 0;

c ;

0) a 'R a 'L ~ ~ б) Пусть a {a;

a L ;

a R }, c {c;

c L ;

c R }, тогд c( a aR ) ( c cR )a c( c cL ) a aL c ;

a a( a aR ) a( a aL ) (2.20) ~ x1 ( дляa 0;

c 0 ) c( a aL ) ( c cL )a c( c cR ) c( a aR c ;

;

a a( a aL ) a( a aR ) ( дляa 0;

c 0 ) c(a aL) ( c cL) a( c cR) c( a aR) c ;

;

a a(a aL) a(a aL) ~ x (для ;

c a ) a( c aR) ( c( a aR) c(a aL) a( c cL c ;

;

a a(a aR) a(a aL) (дляa ;

c ) Из (2.19) следует, что при умножении или делении коэффициентов уравнения (2.17) на (-1) носители его корней изменяются ~ ~ ~ Пример 2.5 3 x 12 =0, где 3 {3;

0,4;

0,6} ;

~ 12 {12;

0,3;

0,7} ~ ~ Имеем 3 {2,6;

3,6};

12 {11,7;

12,7} Так как a 0, c 0, то 11,7 12, ~ X1 ;

{1,8;

2,21} а) 3,6 2, ~ X 2 { 2,21;

1,8} ~ X 1 2;

0,16;

0, б) ~ X 2 { 2;

0,19;

0,16} II Полное квадратное уравнение Рассмотрим уравнение (2.14), когда все коэффициенты нечеткие числа, отличные от нуля.

Учитывая формулы корней квадратного уравнения для квадратных уравнений с четкими коэффициентвми имеем:

~ ~ ~ ~ b2 b ~~ ~~ b 4a c b 4a c ~ ~ (2.21) X1 X ;

~ ~ 2a 2a 1) Пусть в (2.14) ~ ~ ~ a {a' L a' R };

b {b' L ;

b' R } и c {c' L ;

c' L } Если при этом корни уравнения (2.14) искать в виде ~ ~ X 1 { X ' L ;

X ' R } : X 2 { X ' L 2 : X ' R 2 }, то при a0;

b0;

c b' 2 4a' R c' R b' 2 4a' L c' L b' R b' L L R X ' L1 X ' R ;

2a' L 2a' L (2.22) b' 2 4a' L c' L b' 2 4a' R c' R b' R b' L R L X ' L2 X ' R ;

2a' L 2a' R при a0;

b0;

c b' 2 4a ' L c ' R b' 2 4a ' R c ' L b' R b' L L R, X ' L1 X ' R ;

2a ' R 2a ' R если числители дробей отрицательны.

b' 2 4a ' L c ' R b' 2 4a ' R c ' L b' R b' L L R, (2.23) X ' L1 X ' R ;

2a ' R 2a ' L если числители дробей положительны.

b' 2 4a ' R c ' L b' 2 4a ' L c ' R b' R b' L L L X ' L2 X ' R ;

2a ' L 2a ' R при a0;

b0;

c b' 2 4a' R c' R b' 2 4a' L c' L b' R b' L R L X ' L1 X ' R ;

2a' R 2a' L (2.24) b' 2 4a' L c' L b' 2 4a' R c' R b' R b' L L R X 'L X ' R ;

2 2a' R 2a' L при a0;

b0;

c b' 2 4a ' L c ' R b' 2 4a ' R c ' L b' R b' L R L X ' L1 X ' R ;

2a ' R 2a ' L (2.25) b' 2 4a ' R c ' L b' 2 4a ' L c ' R b' R b' L L R X 'L X ' R ;

2 2a ' L 2a ' R при a0;

b0;

c b' 2 4a' R c' L b' 2 4a' L c' R b' R b' L L L X ' L1 X ' R ;

2a' R 2a' R (2.26) b' 2 4a' R c' R b' 2 4a' R c' L b' R b' L R L X 'L X ' R ;

2 2a' L 2a' R при a0;

b0;

c b' 2 4a ' L c ' L b' 2 4a ' R c ' R b' R b' L L R X ' L1 X ' R ;

2a ' R 2a ' L если числитель дроби положительный и b' 2 4a ' R c ' R b' 2 4a ' L c ' L b' R b' L L R X ' L1 X ' R ;

(2.27) 2a ' L 2a ' R если числитель дроби отрицательный b' 2 4a ' R c ' R b' 2 4a ' L c ' L b' R b' L R L X ' L2 X ' R ;

2a ' L 2a ' R при a0;

b0;

c b' 2 4a ' R c' L b' 2 4a ' L c' R b' R b' L R L X ' L1 X' ;

R 2a ' R 2a ' L (2.28) b' 2 4a ' L c' R b' 2 4a ' R c' L b' R b' L L R X ' L2 X ' R ;

2a ' L 2a ' L при a0;

b0;

c b' 2 4a ' L c ' L b' 2 4a ' R c ' R b' R b' L R L X ' L1 X ' R ;

2a ' R 2a ' L (2.29) b' 2 4a ' R c ' R b' 2 4a ' L c ' L b' R b' L L R X 'L X ' R ;

2 2a ' R 2a ' L если числитель дроби положительный и b' 2 4a ' R c ' R b' 2 4a ' L c ' L b' R b' L L R X ' L2 X ' R ;

2a ' L 2a ' R если числительный дроби отрицательный ~ ~ ~ 2) Пусть a {a;

a L ;

a R };

b {b;

b L ;

b R } и c {c;

c L ;

c R } При этом учитывая, что a' L a a L ;

a' R a' a R (2.30) b' L b b L ;

b' R b b R ;

c' L c c;

c' R c cR на основании (2.22)-(2.29), определим ~ X i { X ' Li ;

X ' R i };

(i 1,2). Затем лпределив решение четкого квадратного уравнения b2 b b 4ac b 4ac (2.31) X1 X ;

2a 2a находятся ~ ~ { X 1, X Li ;

X R i };

и { X 1, X Li ;

X R i };

где X1 X (2.32) X Ri { X ' Ri X i };

X Li Xi X Li (i 1,2).

Если же требуется найти корни уравнения (2.14) со степенью четкости (x), то:

а) следует всюду в (2.22)-(2.29) вместо { X ' L i ;

X ' R i ;

(i 1,2)} взять { X ' L i ( );

X ' R i ( );

(i 1,2)}, где ) X Ri i 1,2 }(2.33) {X ' L i ( ) Xi ) X ' Li ;

X ' Ri ( ) Xi (1 ( б) следует с помощью (2.22)-(2.32) найти решение уравнения (2.14), а затем с помощью (2.33) найти решение данного нечеткого квадратного урвнения с нужной степенью четкости ~~ Пример 2.5 a x 2 b x c 0, где ~ ~ ~ ~ a {2;

0,2;

0,3};

b {5;

0,1;

0,3};

c {3;

0,3;

0,2} ибо ~ ~ ~ a {1,8;

2,3};

b {4,9;

5,3};

c {2,7;

3,2} 4,9 5,3 4 1,8( 2,7) Имеем: X ' L 0, 2 2, 5,3 4,9 4 2,3( 3,3) X 'R 0, 1 2 1, 5,3 5,3 4 2,3( 3,2) X ' L2 3, 2 1, 4,9 4,9 4 1,8( 2,7) X ' R2 2, 2 2, ~ ~ X1 {0,281;

0,746};

X 2 { 3,58;

2,5} 2x 2 5 x 3 0;

x1 0,5;

x 2 ~ ~ x1{0,5;

0,219;

0,246};

x 2 { 3;

0,58;

0,5} ~ ~ ~ Вычислим: X ( 0,8) { X 1 (0,8);

X 2 (0,8)}. Имеем:

X ' L1 (0,8) 0,5 (1 0,8)0,219 0, ~ X 1 (0,8) X ' R1 (0,8) 0,5 (1 0,8)0,246 0, X ' L 2 (0,8) 3 (1 0,8)0,58 3, ~ X 2 (0,8) X ' R 2 (0,8) 3 (1 0,8)0,5 2, Таким образом, решение квадратного уравнения можно представить в виде нечетких чисел:

~ X 1 {0 / 0,28;

0,8 / 0,456;

1 / 0,5;

0,8 / 0,549;

0 / 0,746} ~ X 2 {0 / 3,58;

0,8 / 3,116;

1 / 3;

0,8 / 2,9;

0 / 2,5} II. Приведенные квадратные уравнения LR-типа Рассмотрим нечеткое квадратное уравнение:

~~ x2 (2.34) Px q ~ ~ где P {P' L ;

P' R };

q {q' L ;

q' R } Учитывая формулы корней приведенного квадратного уравнения имеем:


p2 p ~ ~ ~ p 4q p 4q ~ ~ (2.35) X1 X ;

2 Если принять X ' Li ;

X ' Ri (i 1,2), то При Р0;

q p ' L 2 4q ' R p ' R 2 4q L p' R p' L X ' L1 ;

X ' R 2 p ' L 2 4q R p' R p ' R 4q ' L p' L X ' L2 ;

X ' R 2 при p0;

q p ' R 2 4q ' L p' R p ' L 4q ' R p' L X ' L1 ;

X ' R1.

2 p ' L 2 4q ' R p' R p ' R 4q ' L p' L X ' L2 ;

X ' R2.

2 при p0;

q p ' L 2 4q ' L p ' 2 4q ' R p' R p' L R X ' L1 ;

X ' R1.

2 p ' R 2 4q ' R p ' 2 4q ' L p' R p' L L X ' L2 ;

X ' R2.

2 при p0;

q p ' L 2 4q ' L p' R p ' R 4q ' R p' L X ' L1 ;

X ' R1.

2 p ' R 2 4q ' R p' R p ' L 4q ' L p' L X ' L2 ;

X ' R2.

2 Пример 2.6 х2-{4;

0,5;

0,8}x-{5;

0,6;

0,4}= 3,2 3,2 4 4, X’ 4,276;

L1 4,5 2 4 5, 4, X’ 5, R 4,5 2 4 5, 3, X’ 1,665;

R 3,2 2 4 4, 4, X’ 0, R ~ { 4;

0,5;

0,8 } { 4,5;

3,2 } p ~ q { 5;

0,6;

0,4 } { 5,6;

4,6 } ~ ~ X1 {4,27;

5,515};

X 2 { 1,665;

0,426} x 2 4 x 5 0;

x1 5;

x 2 ~ ~ X 1 {5;

0,724;

0,515};

X 2 { 1;

0,665;

0,574} IV. Полные квадратные уравнения L-типа Рассмотрим полное нечеткое квадратное уравнение, коэффициенты которого есть нечеткие числа L-типа ~~ ~ a L x 2 bL c L 0 (2.36) ~ ~ ~ где a L {a;

a L };

b {b;

bL } и c {c;

c L } при этом (для a0;

b0;

c0) (b bL ) (b bL ) 4(a a L )(c c L ) X ' L 2(a a L ) (b bL ) (b bL ) 4(a a L )(c c L ) X ' R 2(a a L ) (для a0;

b0;

c0) (b bL)2 4(a aL)( cL) (b bL) c X'R 2(a aL) (b bL)2 4(a aL)( cL) (b bL) c X'L 2(a aL) (b bL ) 2 4( a a L )(c c L ) (b bL ) X ' L 2( a a L ) (2.37) (b bL ) (b bL ) 4( a a L )(c c L ) X ' R 2( a a L ) ( для a0;

b0;

c0) (b bL ) 2 4(a a L )(c c L ) (b bL ) X ' L (2.38) 2(a a L ) (b bL ) 2 4(a a L )(c c L ) (b bL ) X ' R 2(a a L ) (для a0;

b0;

c0) (b bL ) 2 4(a a L )(c c L ) (b bL ) X ' L 2( a a L ) (b bL ) (b bL ) 4(a a L )(c c L ) X ' L 2( a a L ) ( для a0:b0;

c0) (b bL ) 2 4(a a L )(c c L ) (b bL ) X ' L 2( a a L ).

(b bL ) 2 4(a a L )(c c L ) (b bL ) X ' L 2( a a L ) (для a0;

b0;

c0) (b bL ) 2 4(a a L )(c c L ) (b bL ) X ' L 2( a a L ).

(b bL ) (b bL ) 4(a a L )(c c L ) X ' R 2( a a L ) (для a0;

b0;

c0) (b bL ) 2 4(a a L )(c c L ) (b bL ) X ' L 2( a a L ).

(b bL ) (b bL ) 4(a a L )(c c L ) X ' R 2( a a L ) (для a0;

b0;

c0) (b bL ) (b bL ) 4(a a L )(c c L ) X ' L 2(a a L ).

(b bL ) 2 4(a a L )(c c L ) (b bL ) X ' L 2(a a L ) (для a0;

b0;

c0) Пример 2. ~2 ~ ~ ~ ~ ~ 2x 5 x 3 0;

2 {2;

0,8} : 5 {5;

0,7} 3 {3;

0,9} 2 x 2 5,7 x 3,9 x1 5,36;

x1 5,36;

x 2 0, 2,8 x 2 4,3 x 21 0;

x1 1,93;

x 2 0, ~ {2,93;

5,36};

~ { 0,61;

0,39} x1 x Аналогичным образом, можно наути корни нечеткого уравнения в слечае, когда коэффициенты его есть нечеткие числа R-типа.

Кроме того, учитывая (1.28) можно определить нечеткое решение (2.36) с четкостью -уровня.

§4 Система нечетких линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными Решение системы линейных уравнений методом Крамера ~ ~ ~ a1 x b1 y c (2.39) ~ ~ ~ a 2 x b2 y c ~ ai {a;

a L ;

a R } {a ' Li ;

a ' Ri };

(i 1,2) где ~ ~ bi {bi ;

bLi ;

bRi } {b' Li ;

bRi };

ci {ci ;

c Li ;

c Ri } {c' Li ;

c' Ri } ~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ c1b2 c2 b1 a1c2 a 2 c ~ ~ y ;

~ x X y (2.40) ~~ ~ ~ ~~ ~ ~ a1b2 a 2 b1 a1b2 a 2 b Учитывая правила сложения, вычитания, умножения и деления нечетких чисел (LR)-типа имеем:

{a ' L1 b' L 2 ;

a ' R1 b' R 2 } (для а1 0;

b2 ) {a ' L1 b' R 2 ;

a ' R1 b' L 2 } (для a1 0;

b2 0) ~~ a1b {a ' R1 b' L 2 ;

a ' L1 b' R 2 } (для a1 0;

b2 0) {a ' R1 b' R 2 ;

a ' L1 b' L 2 } (для a1 0;

b2 0) {a ' L 2 b' L1 ;

a ' R 2 b' R1 } (для а 2 0;

b1 ) {a ' L 2 b' R1 ;

a ' R 2 b' L1 } (для a 2 0;

b1 0) ~~ a 2 b {a ' R 2 b' L1 ;

a ' L 2 b' R1 } (для a 2 0;

b1 0) {a ' R 2 b' R1 ;

a ' L 2 b' L1 } (для a 2 0;

b1 0) {b' L 2 c' L1 ;

b' R 2 c R1 } (для b2 0;

c1 0) {c' R1 b' L 2 ;

b' R 2 c' L1 } (для b2 0;

c1 0) ~~ b2 c {b' R 2 c' L1 ;

b' L 2 c' R1 } (для b2 0;

c1 0) {b' R 2 c' R1 ;

b' L 2 c' L1 } (для b2 0;

c 2 0) {b' L1 c' L 2 ;

b' R1 c R 2 } (для b1 0;

c 2 0) {b' L1 b' R 2 ;

b' R1 c' L 2 } (для b1 0;

c 2 0) ~~ b1c2 (2.41) {b' R1 c' L 2 ;

b' L1 c' R 2 } (для b1 0;

c 2 0) {b' R1 c' R 2 ;

b' L1 c' L 2 } (для b1 0;

c 2 0) {a ' L1 c' L 2 ;

a ' R1 c R 2 } (для a1 0;

c 2 0) {a ' L1 c' R 2 ;

a ' R1 c' L 2 } (для a1 0;

c 2 0) ~~ a1c {a ' R1 c' L 2 ;

a ' L1 c' R 2 } (для a1 0;

c 2 0) {a ' R1 c' R 2 ;

a ' L1 c' L 2 } (для a1 0;

c 2 0) {a ' L 2 c' L1 ;

a ' R 2 c R1 } (для a 2 0;

c1 0) {a ' R 2 c' L1 ;

a ' L 2 c' R1 } (для a 2 0;

c1 0) ~~ a 2 c {a ' L 2 c' R1 ;

a ' R 2 c' L1 } (для a1 0;

c1 0) {a ' R 2 c' R1 ;

a ' L 2 c' L1 } (для a1 0;

c 2 0) При этом (a'1 b'2 ) L (a'2 b'1 ) R ;

R (a'1 b'2 ) R (a'2 b'2 ) L L x' L (b'2 c'1 ) L (b'1 c'2 ) R ;

x'R (b'2 c'1 ) R (c'2 b'1 ) L (2.42) (a'1 c'2 ) L (a'2 c'1 ) R ;

y'R (a1c2 ) R (a2c1) L y'L 'xL x 'R x' L ;

x' R ;

R L (для 0;

x 0;

y 0) ' yL y 'R y' L ;

y' R ;

R L 'xR x 'L x' L ;

x' R ;

R L 0 ) (2.43) (для 0;

x 0;

y ' yR y 'L y' L ;

y' R ;

R L 'xL xR x' L ;

x' R ;

L R (для 0;

x 0;

y 0) ' yL yR y' L ;

y' R ;

R L xR xL x' L ;

x' R ;

L R (для 0;

x 0;

y 0) yR yL y' L ;

y' R ;

R L xL xR x' L ;

x' R ;

R L (для 0;

x 0;

y 0) yL yR y' L ;

y' R ;

L R 'xR xL x' L ;

x' R ;

R L (для 0;

x 0;

y 0) yR yL y' L ;

y' R ;

L R xL xR x' L ;

x' R ;

L R (для 0;

x 0;

y 0) yL yR y' L ;

y' R ;

L R xR x 'L x' L ;

x' R ;

(для 0;

x 0;

y 0) L R yR yL y' L ;

y' R ;

L R Для нахождения решения системы (2.39) в виде ~ {x;

x L ;

x R };

~ { y;

y L ;

y R } x y Следует найти решение системы (2.39) с четкими коэффициентами, т.е.

c1b2 c 2 b1 a1c 2 a 2 c X ;

y, а затем найти a1b2 a 2 b1 a1b2 a 2 b X L x x' L ;

x R x' R x ~ ~ ~ 3 x 2 y 14 где Пример 2. ~ ~ ~ 6x 2 y ~ ~ ~ 3 {3;

0,4;

0,6};

2 {2;

0,3;

0,5};

14 {14;

0,6;

0,4} ~ ~ 4 {4;

0,5;

0,4};

6 {6;

0,7;

0,6} Имеем:

~ 2 { 2;

0,5;

0,3} { 2,5;

17} ~ ~ { 2,6;

3,6 };

b { 1,7;

2,5 };

~ { 13,4;

14,4 } a1 c ~ a 2 { 5,3;

6,6 };

b2 { 2,5;

1,7 };

~2 { 3,5;

4,4 } ~ c { : } { a’ b’ ;

a’ b’ } { a’ b’ ;

a’ b’ } L R R1 L2 L1 R2 L2 L1 R2 R { 3,6 ( 2,5 );

2,6 ( 1,7 )} { 5,3 1,7;

6,6;

2,5 } { 2,5;

13,43 } {’ ;

’ } x xL R { 14,4 ( 2,5;

13,4 ( 1,7 ))} { 1,7 3,5;

2,5 4,4 } { 4,7;

28,73 } { ;

} { 2,6 3,5;

3,6 4,4 } { 5,3 13,4;

6,6 14,4 } y y’L y’R { 35,94;

55,62 } { 4,7;

28,73 } ~ x X { X ’L ;

X ’R } { 1,27;

3,5 } { 25,5;

13,43 } { 85,94;

55,62 } ~ y Y { y’L ;

y’R } { 2,19;

6,4 } 25,5;

13, 3 x 2 y x 2;

y 6x 2 y ~{ 2;

0,73;

1,5 };

~ { 4;

1,81;

2,4 } x y Графический способ решения нечеткой системы уравнений показана на рисунке 2. Y 7. a (3,5;

6,4) 6,4 – R. a( 2;

4 ) a L ( 1,27 ;

2,19 ).

.... Х 0 11,2 2 3, Рис.2. II. Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса.

~ ~x ~x ~x a11 1 a12 2 a13 3 b ~ ~x ~x ~x a a a b2 (2.44) 21 1 22 2 23 ~ ~x ~x ~x a 31 1 a 32 2 a 33 3 b ~ где a ij {a ij ;

a ;

a } {a ’ ;

a ’ } Lij R ij Lij R ij ~ bi {b i ;

b ;

b } {b’ ;

b’ } Lij R ij Li R i Решение: Для определения решения системы (2.44) расширенная матрица имеет вид:

~ B {B L ;

B R }, где a’ a’ a’ a’ a’ a R11 R12 R13 b L11 L12 L13 b R1 R (2.45) BR a’ a’ a’ b ;

BL a’ a’ a b R 21 R 22 R 23 R 2 L 21 L 22 L 23 R b b a’ a’ a’ a’ a’ a R3 R R 31 R 32 R 33 L31 L32 L Применив линейное преобразование, приводим BL и BR к виду a’ a’ a’ a’ a’ a’ b’ b’ R11 R12 R13 L11 L12 L R1 R ~ ~ ~’ ~’ ~’ ~’ (2.46) B’R 0 a a b’ ;

BL 0 a a b’ R 22 R 23 R2 L 22 L 23 R ~ ~ b’ b’ ~’ ~’ 0 0 a 0 0 a R3 R R 33 L Выписав систему уравнений соответствующей полученной матрицы и найдем:

~ X j {x ’ x ’ } ( j 1,2,3) Lj R j Пример 2. ~‘ ~ ~ ~ 3x 2y z ~‘ ~ ~ ~ 2x 3y 2 z ~‘ ~ ~ 4x y 2 z ~ ~ 2 {2’0,6;

0,8};

3 {3;

0,7;

0,8} ~‘ ~ где 4 {4;

0,4;

0,3};

10 {10;

3,1;

5,9} ~‘ ~‘ 12 {12;

3,7;

5,9} 14 {14;

5,1};

9, Решим систему нечетких уравнений двумя способами:

1) Метод Гаусса 1,4 2,3 1,4 8, 6, 2,3 1, 4 0 1,45 0,79 4, BR 1, 4 2,3 1, 4 8,9 ;

3,6 1 1, 4 8,3 0 1,91 0,85 5, 2,3y 1,4z 8,9 x L 0, 1,4 2,3 1,4 8,9 1,4 x 0 1,45 0,79 4,66 1,45 y 0,79z 4,66 yL 1, 0 0 0,14 0,36 0,14z 0,36 zL 2, 3,8 2,8 1 15,9 2,8 3,8 2,8 22, 2,8 3,8 2,8 22,9 0 1,74 2,06 11, BR 4,3 1 2,8 17,8 0 3,15 2,98 11, 2,8 x 3,8 y 2,8 z 22,9 x R 1, 2,8 3,8 2,8 22, 2,8 1,74 2,06 11,18 1,74 y 2,06 z 11,18 yR 2, 4,3 0 1,52 4,93 1,52 z 4,93 zR 3, Следовательно ~ {0,84;

1,43};

~ {1,8;

2,58};

~ {2,64;

3,24} x y z Для этой же системы уравнений с четкими коэффициентами имеем:

2 3 2 3 2 1 5 4 2 3 2 14 B 3 4 1 2, 12 1 02 2 x 3 y 2 z 2 3 2 14 x 5 42 5 4 y z y 3 33 3 3 z 22 4,3 0 z 3 Тогда в силу понятия растяжения нечеткого числа, решение нечеткой системы примет вид:

~ {1;

0,16;

0,43};

~ {2;

0,2;

0,58};

~ {3;

0,36;

0,2} x y z 2) Метод Крамера 2,3 1,4 1 3,8 2,8 ’L 1,4 2,3 1,4 1,618;

’R 2,8 3,8 2,8 28, 3,6 1 1,4 4,3 2, 6,9 1,4 1 15,9 2,8 ’ 8,9 2,3 1,4 1,29;

’ 22,9 3,8 2,8 39, xL xR 8,3 1 1,4 17,8 1 2, 2,3 6,9 1 3,8 15,9 ’ 1,4 8,9 1,4 2,42;

’ 2,8 22,9 2,8 72, yL yR 3,6 8,3 1,4 4,3 17,8 2, 2,3 1,4 6,9 3,8 2,8 15, ’ 1,4 2,3 8,9 3,41;

’ 2,8 3,8 22,9 90, zL zR 3,6 1 8,32 4,3 1 17, 1,29 39, xL 0,84;

x R 1,43;

1,68 28, 2,42 72, yL 1,8;

y R 2, 1,68 28, 3,41 90, zL 2,64;

z R 3, 1,68 28, ~ { 0,84;

1,43 } { 1;

0,16;

0,43 };

~ { 1,8;

2,58 } { 2,02;

0,58 } x y ~ z { 2,64;

3,24 } { 3;

0,36;

0,24 } Следует отметить, что иллюстрируемые выше методы решения систем трех нечетких линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными аналогичным образом применимы и к системе n-го числа нечетких линейных алгебраических уравнений с "n"-неизвестными, т.е.

n ~x ~;

(2.47) a ji i cj j 1, n j III Условие существования решения системы нечетких линейных алгебраических уравнений.

Из правила Крамера следует, что для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений с четкими коэффициентами имела единственное решение необходимо и достаточно, чтобы главный определитель этой системы (определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных) был отличен от нуля.

Поэтому для системы линейных алгебраических уравнений с нечеткими коэффициентами условием существования единственного решения должно быть выполнение условия ~ отличия от нуля главного определителя L( ), т.е.

~ ( ) { ’L ( );

’R ( )} { ;

L ( );

R ( )} 0 (2.48) для любого (0;

1].

Докажем, что условие (2.48) может быть выполнено тогда, когда, ’L ( ) и ’R ( ) будут одинакового знака для любого [0;

1].

Пусть это не так, т.е. пусть ’L ( 1 ) 0, а ’L (1) 0, где 1 (0;

1) (2.49) В силу понятия нечеткого числа (LR)-типа множество значений ’L ( ) образует выпуклое множество значений таких, что ’L ( 1 ) ’L ( 2 ) при 2 для любых 1, (0;

1). С другой стороны, так как каждому значению (0;

1] соответствует единственное значение ’L ( ), то ’L ( ) является функцией от причем непрерывной а(0;

1]. Поэтому, в силу теоремы о непрерывных функциях, если ’L ( ) непрерывна на ( 1 ;

1 ] (0;

1] и ’L ( 1 ) 0;

L (1) 0, то существует хотя бы одно значение (0;

1] такое, что ’L ( 2 ) 0. Это противоречит выполнению условия (2.48). Аналогичным образом можно провести доказательство теоремы и для случая, когда ’R ( ) для любого (0;

1] имеет противоположный знак с ’R (1).

Из результата доказанной теоремы следует следующее условие существования единственного решения системы линейных нечетких уравнений. Для того, чтобы система нечетких "n" линейных алгебраических уравнений имела единственное нечеткое решение необходимо и достаточно, чтобы главный определитель этой системы как с четкими коэффициентами, так и с нечеткими коэффициентами были отличны от нуля и для любой степени нечеткости (0;

1], ’L ( ) и ’R ( ) имели одинаковый знак с, где ’L ( ) и ’R ( ) -соответственно главные определители заданной системы с нечеткими коэффициентами со значениями из левого и правого растяжения нечетких коэффициентов, а -главный определитель данной системы с четкими коэффициентами.

Следует отметить, что если при вычислении главных определителей, ’L ( ) и ’R ( ) для любого (0;

1] они окажутся отрицательными, то учитывая свойство определителей (с помощью одной транспозиции, что соответствует замене местами двух соседних уравнений системы) их можно обратить в положительные величины с теми же абсолютными величинами. Следует отметить, что при этом и вспомогательные определители меняют свои знаки на противоположные, что не влияет на значение нечетких решений данной нечеткой системы ~ уравнений. Кроме того, если X i {X’ ;

X’ } (i 1;

n ) есть Li Ri нечеткое решение системы нечетких линейных алгебраических уравнений (2.47), то для любого (i 1, n ) должно выплняться услови X’ Xi X’ (i 1, n ) (2.50) Li Ri где X i (i 1, n ) -четкое решение заданной системы уравнений.

Поэтому, если при решении системы уравнений (2.47) методом Крамера будут выполнены условия:

’L ’R ;

’ (2.51) X Li xi Ri и при определении X i (i 1, n ) в виде ’ XR i ~ XL i Xi {X’ ;

’ ;

(i 1, n )} ;

(2.52) Li XR i ’ ’Li Li окажется, что хотя бы для одного значения ~ i (1;

n ) X’Li X’R i, то X i следует искать в виде ’R i ~ XL i (2.53) Xi {X’ ;

’ } ;

Li XRi ’ Li Ri ~ Если же при вычислении X i по формулам (2.52) условия (2.50) выполняется, нет смысла применять формулу (2.53), така как при этом опять-таки будет выполнено условие (2.50) с той лишь разницей, что найденные нечеткие решения будут иметь различные носители, пересечение которых не пусто и представляет собой интервал, содержащий четкое решение заданной системы уравнений.

Проиллюстрируем этот факт на данных примера 2. Така как 10;

’L 1,618;

’R 28,01;

10;

1,29;

’X R 39,932;

x XL 20;

’y 2,42;

’y R 72, y L 30;

’Li 3,41;

’ZR 90, z На основании (2.52) ~ {0,84;

1,43};

~1 {1,8;

2,8};

~1 {2,64;

3,24} X1 y z На основании (2.53) 1,29 39, ~ X2 ;

{0,046;

24,68} 28,01 1, 2,42 72, ~ Y2 ;

0,086;

44, 28,01 1, 3,41 90, ~ Z2 ;

0,1218;

56, 28,01 1, ~ ~ Отсюда следует, что X 1 X 2 ;

~1 ~ 2 и ~1 ~2, т.е.

z z y y носитель нечеткого решения ( ~1 ;

y1 ;

~1 ) входит в носитель x z ~ ;

~ ;

z ). Наряду с этим следует отметить, что решения ( x 2 y 2 с помощью (2.52) можно найти нечеткие решения линейных алгебраических уравнений с нечеткими коэффи циентами L-типа, R-типа и (LR)-типа.

ГЛАВА III. НЕЧЁТКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Нечёткая геометрия, так же как и чёткая геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур. Разница лишь в том, что здесь объектами изучения являются нечёткие геометриче ские фигуры.

§1. Нечёткие точки В геометрии (четкая) точка представляется как не имеющая ни длину, ни ширину, ни толщину. Как элемент множества, точ ка наделена некоторой структурой. Природа точки может быть самой разнообразной. Так под точкой n-мерного евклидова про странства понимается упорядоченное множество n-чисел.

Следуя этому классическому понятию четкой точки, вве дем следующее определение.

Определение 3.1.Упорядоченное множество n-чисел, хотя бы од но из которых есть нечеткое число, будем называть нечеткой точкой n-мерного евклидова пространства и обозначим:

~ ~ ~, ~,..., ~, N N x1 x2 xn En (3.1) ~ xi где Еn - n-мерное евклидово пространство, - нечеткие числа ~ (координаты точки N ), ( i 1, n ).

Отметим, что нечеткие числа ~i могут иметь различные x ~ N - не, xi Xi i 1, n, а степени четкости. И если xi i четкая точка -уровня, то min (3.2) i Учитывая определение носителя нечеткого числа и определения нечеткой точки в n-мерном пространстве, введем следующие понятия носителя нечеткой точки.

~ Определение 3.2. Носителем нечеткой точки N на прямой (0;

х) будем называть выпуклое подмножество (интервал) этой пря мой, содержащую четкую точку и являющейся растяжение ее носителя.

На основании определения 11, можно ввести следующее.

Определение 3.3. Нечеткой точкой на прямой (0;

х) будем назы ~ вать точку N, координата которой есть нечеткое число.

Из определений нечеткого числа и нечеткой точки следует, что на прямой (0;

х) для одной функции принадлежности существуют (0;

1) уровня NL ( ) и NR ( ).

две нечеткие точки четкости На рисунке 2 М- четкая точка, МL и МR нечеткие mL mR точки некоторого уровня......

слева и справа соответст венно, mL и mR – соответст x 0 М1 М МR венно, левое и правое растя жения носителя нечеткой Рис.3. точки, SM M m ;

M m -L L носитель нечетких точек на оси (0;

х).

Определение 3.4.Носителем нечеткой точки на плоскости будем называть выпуклую односвязную область, этой плоскости, со держащую носитель четкой точки, расширением которой явля ~ ~~ ется эта область. Если M x, y, то SM Sx Sy (3.3) где S x и S y - носители соответственно нечетких чисел ~ и ~.

xy Знак умножения ( ) означает Декартово произведение.

Отметим, что каждая из нечетких чисел (как координата нечеткой точки) вообще говоря, может иметь различные растя жения носителей и функции принадлежности. И при этом еще каждая координата нечеткой точки (как нечеткое число) может иметь свой уровень четкости.

SN ~ У а) а) N S~ y N nL nR nL nR X n S~x S N(, ) б) R S SN ~ L 0 L R Рис.3. На рис.3.а. – заштрихованная область есть носитель нечет ~ кой точки N, S~ и S~ - носители координат нечеткой точки в y x прямоугольной Декардовой системе координат;

nL, nR - левое и правое растяжения абсциссы, nL1, nR1 - левое и правое растяжения ~ ординаты, нечеткой точки N, N n;

n1 - четкая точка. На рис.

3,б. – заштрихованная область есть носитель нечеткой точки ~ N в полярной системе координат;

N, - четкая точка;

S и S - носители координат нечеткой точки в полярной системе ко ординат;

L, R – левое и правое угловое растяжения L, R - ле вое и правое растяжения по радиусу.

~ Пример 3.1. Найти координаты нечетких точек A1 3L ;

5 R и ~ A 2 3R ;

5 L четкости =0,9 с функциями принадлежности 1 1, если растяжение по х- =2;

по у- =3.

;



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.