авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ АЗЕРБАЙДЖАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ НЕФТЯНАЯ АКАДЕМИЯ В.А.ИБРАГИМОВ ЭЛЕМЕНТЫ ...»

-- [ Страница 2 ] --

y х х x 3 1x 1y Исходя из 1 x ~ k k A a xL xR a 1 ~ где - растяжение носителя нечеткого числа A, а - четкое зна чение числа А, имеем:

~ 1) для точки A 1 0,9 3L 0,9 3 23 2, 3 3 3L 1 ~ 2 A1 2,04;

6, 1 0,9 5 R 0,9 5 34 6, 4 5R ~ для точки A 2) 1 0,9 3R 0,9 3 23 3, 3 3R 2 ~ A2 3,96 ;

3, 1 0,9 5 L 0,9 5 34 3, 4 5 5L Результаты приведены на рис.3. y 8 ~ A1 2,04;

6, 6 SA ~ А(3;

5) 4 ~ A2 3,96;

3, х 0 1 2 34 5 67 Рис.3. Определение 3.5. Носителем нечеткой точки в трехмерном про странстве будем называть правильную область трехмерного пространства, содержащую носитель четкой точки, расширени ~ ем которой является эта область. Если M ~ ;

y;

~ - есть нечеткая x z точка, то (3.4) SM Sx S y Sz ~ т.е. носитель нечеткой точки есть Декартово произведение носи телей ее координат.

В прямоугольной Декартовой системе координат в трех мерном пространстве носителем нечеткой точки является пря мая четырехмерная призма;

в сферических координатах сектор полого шара;

в цилиндрических координатах – сектор полого цилиндра.

Отметим, что если одна из координат нечеткой точки в трех мерном пространстве есть четкое число, то ее носитель обраща ется в плоскую область, принадлежащую плоскости, перпенди кулярной той координатной оси, которая соответствует четкой координате нечеткой точки (в которой эта плоскость пересека ется с координатной осью).

§2. Нечёткие линии и нечёткие поверхности Назвав линией след, сохраняемый за собой перемещаемый телом, становится ясно, что, как и след, она может быть чёткой и нечёткой.

В классической математике порядке различных линий и поверхностей определяются порядком уравнений, которыми они описываются.

Одним из основных понятий геометрии, косвенное опреде ление которым даются через аксиомы, геометрии, есть прямая и плоскость, которые также являются соответственно линией и поверхностью первого порядка.

I. Нечёткая прямая на плоскости В классической математике вводится следующее понятие прямой на плоскости:

Определение 3.6. Прямой евклидовой плоскости будем на зывать геометрическое место точек плоскости, декартовые или афинные координаты которых удовлетворяют уравнению ax+by+c=0 (3.5) где a, b, c четкие числа и не равны нулю одновременно.

Сравнивая понятия четкой и нечеткой точек, примем сле дующее определение нечеткой прямой на плоскости.

Определение 3.7. Нечеткой прямой евклидовой плоскости назы вается геометрическое место нечетких точек, декартовые или афинные координаты которых удовлетворяют нечеткому урав нению:

~~~ ax b y c 0 (3.6) ~ ~ и b не равны нулю одновременно.

где a Так же, как и для четкой прямой, для нечеткой прямой справедливы свойства:

1. Какова бы ни была нечеткая прямая, существуют нечёт кие точки, принадлежащие ей.

2. Через любые две нечёткие точки можно провести нечёт кую прямую, и только одну.

3. Из трёх нечётких точек нечёткой прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Учитывая определение носителя нечёткой точки и свойства 2, можно принять следующее определение носителя нечёткой прямой.

Определение 3.8. Носителем нечёткой прямой на плоскости бу дем называть выпуклую односвязную область этой плоскости, содержащую носитель чёткой прямой (саму чёткую прямую) и носитель всех нечётких точек этой прямой. т.е., если нечёткая ~ прямая на плоскости (ХОY) описывается уравнением (3.6), то ~ ~~~ sup por l S~ S x S y ;

x;

y a x b y c 0 (3.7) l Следует отметить, что вид носителя нечёткой прямой за висит от вида нечёткого уравнения (3.6), т.е.

~ ~ 1) если : ax by c 0, (3.8) то её носитель представляет собой полосу плоскости (ХОY), отсекающую на оси (ОY) отрезок, равный носителю точ ~ c a ~ ки M 0;

с углом наклона arctg рис. 3.4.а) b b ~~~ ~ 2) если : a x b y c 0, либо только один из коэффи циентов а или b есть нечёткие числа, то носитель этой нечёткой прямой есть плоская область, принадлежащая (ХОY), состоящая из двух секторов, образованных пересечением нечётких прямых lL ( 0) и l R ( 0).

y M y а) y2,L( ) M2RL( ) M y y1L( ) x x1 x1,R( ) x2 x2,R( ) y y M M2( ) y2,L( ) N M б) y M1( ) M х1х2R( ) x2,L( ) x2 x Рис.3. Из определения нечёткой прямой свойства 2 следует сле дующее определение.

Определение 3.9. Нечёткой прямой -уровня L(R)-типа на евк лидовой плоскости называется прямая, проходящая через любые две нечёткие точки L(R)-типа чёткости -уровня, аффинные или декартовые координаты которых удовлетворяют уравнению (3.6).

Определение 3.10. Нечётким отрезком чёткой (нечёткой) прямой называется отрезок этой прямой, заключённый между двумя точками этой прямой, хотя бы одна из которых есть нечёткая точка.

Пример 3.2. построить носитель нечёткой прямой ~ ~ 3 x 4 ~ 10, если y ~ ~ ~ 10 10;

0,6;

0,8 : 3 3;

0,6;

0,8 ;

4 4;

0,6;

0, Имеем: l:3x+4y= ~ lR (0) : 3,8 x 4,8 y 10,8 x y1 x N ~ x y 6 lL (0) 2,4 x 3,4 y 9, Таким образом, N(-6;

7) есть точка пересечения прямых l(1);

lL(0) и lR(0).

Для построения носителя заданной нечёткой прямой доста точно найти любые вторые точки этих прямых. Имеем:

y - - lL(0) - lR(0) - l(1) x Рис.3. Пример 3.3. Построить носитель нечёткой прямой ~ ~ 2 x 4 y 9, где 9 {9;

1,5;

2} Имеем:

~ y x 2, ~ l :y x 2, l R (0) : y x 1, l l ( 0) : y x 2, Носитель заданной нечёткой прямой есть полоса с углом наклона в /6 и отсекающая на оси (OY) отрезок длиной 0, y lR(0) l x lL(0) Рис.3. II. Нечёткие плоскости Из курса аналитической геометрии [37] известно, что плоскость (также, как и прямая линия) описывается линейным уравнением. В частности, общим уравнением плоскости в трёх мерном пространстве является уравнение вида Ax+By+Cz+D=0 (3.9) Где А, В и С одновременно не равны нулю. Аналогично приведённому определению нечёткой прямой на плоскости вве дём следующее понятие нечёткой плоскости.

Определение 3.11. Геометрическое место точек трёхмерно го пространства, координаты которых удовлетворяют нечёт кому линейному алгебраическому уравнению ~ ~ ~ ~ Ax By Cz D 0 (3.10) ~ ~~ (где A, B и C одновременно не равны нулю) будем назы вать нечёткой плоскостью. Так же как и для нечётких прямых на плоскости можно рассмотреть различные частные случаи нечёт ких плоскостей в пространстве и построить их носители.

III. Нечёткие прямые в трёхмерном пространстве Так же как и для случая нечётких прямых в пространстве, нечёткие прямые в трёхмерном пространстве могут быть опре делены: а) как место пересечения двух плоскостей в простран стве (хотя бы одна из которых есть нечёткая плоскость);

б) Про ходящая через точку (чёткую, либо нечёткую) в заданном на правлении (который определяется направляющим вектором чёт ким, либо нечётким). Причём и точка, через которую проходит нечёткая прямая, и направляющий вектор не являются одновре менно чёткими;

с) проходящая через две точки, хотя бы одна из которых есть нечёткая точка. При этом уравнения этих нечётких прямых имеют вид:

~ ~ ~ ~ A1 x B1 y C1 z D1 а) (3.11) ~ ~ ~ ~ A2 x B2 y C 2 z D2 ~ ~ ~ xa yb zc b) ~ (3.12) ~ ~ m n p ~~~ ~~ где a, b, c, m, n и ~ одновременно не являются чёткими p числами.

x ~1 y ~1 z ~ x y z с) ~ ~ (3.13) ~~ ~~ x 2 x1 y 2 y1 z 2 z где ~1, ~2, ~3, ~1, ~2 и ~3 одновременно не являются чёт xxx yy y кими числами.

Учитывая понятие носителя нечёткой точки в трёхмерной Декартовой, сферической и цилиндрической систем координат, легко показать (на конкретном примере), что:

- если все коэффициенты уравнений, описывающих нечёт кую прямую в трёхмерном пространстве, есть нечёткие числа, то носитель нечёткой прямой: а) в Декартовой системе координат представляет собой неограниченную четырёхугольную призму;

в) в сферической системе координат – неограниченное круговое цилиндрическое тело, одно из сечений которого имеет вид об ласти, показанной на рисунке (3.2, б.) IV. Нечёткие линии второго порядка Как известно 3 к линиям второго порядка на плоскости относятся линии, описываемые уравнением:

Ax2+2Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (3.14) где А, В и С одновременно не равны нулю. В зависимости от значений А, В и С уравнение (3.14) описывает одну из пло ских линий: гипербола, парабола, эллипс, либо пару параллель ных прямых.

Определение 3.12. Нечёткой линией второго порядка на плоскости (ХОY) будем называть геометрическое место точек этой плоскости, афинные или декартовые координаты которых удовлетворяют уравнению (3. ), хотя бы один из коэффициен тов, либо свободный член которого есть нечёткие числа.

1. Нечёткий эллипс описывается уравнением вида:

2.

x2 y 1 (3.15) ~ ~ a2 b Носителем нечёткого эллипса является кольцо эллиптичес кой формы, длины большой и малой полуосей которой равны ~ ~ ~ ~ a L (0), bL (0) и a R (0), bR (0).

Пример 3.4. Построить носитель нечёткого эллипса, опи сываемого уравнением:

x2 y2 ~ ~ 1, если S {5;

1,5;

1} и 3 {3,1;

0,8} ~ ‘~ 2S Имеем: а) чёткая линия описывается уравнением:

x2 y 2S б) в качестве растяжения R-типа берётся внешняя линия эллиптического кольца x2 y 42,25 в) в качестве растяжения L-типа берётся внутренняя линия эллиптического кольца x2 y 16 4, y ЭR(0) SЭ Рис.3.7 ЭL(0) Э(1) Рис. 3. Где Э(1)- линия чёткого эллипса ЭL(0)- граница внутреннего сжатия ЭR(0)- граница внешнего растяжения линии эллипса;

Sэ носитель нечёткого эллипса.

Следует отметить, что условия нечёткости могут быть та ковы, что в (3.15) лишь одно из чисел «а» либо «b» будут нечёт ким числом.

x2 y2 ~ ~ 1, где 3 {3;

1;

1,5} Пример 3.5.

36 x2 y ~ Имеем: 1) чёткая линия:

36 2) растяжение R-типа берётся внешняя линия эллиптического сегмента, т.е.

x2 y ЭR(0): 36 20, 3) в качестве растяжения L-типа берется внутренняя граница эллиптического сегмента:

x2 y ЭL(0): y 36 ЭR(0) S~ (0) э ЭL(0) x Э(1) Рис.3. Нечеткая гипербола описывается уравнением:

x2 y ~1 (3.16) ~ 9 Носителем нечеткой гиперболы является гиперболические сегменты, внутри которых содержится нечеткая гипербола чет кости любого -уровня L и R –типа.

Пример 3.6. Построить носитель нечеткой параболы, опи сываемой уравнением:

x2 y2 ~ ~ 1, где 3 {3;

0,8;

1};

2 {2;

0,6;

0,8} ~ ~ 9 y Имеем: 1) четкая линия: x ~ 1.

~ 9 4) нечеткое растяжение R –типа x2 y 16 7, 5) нечеткое растяжение L –типа x2 y 4,84 1, Рис.3. 2 ~x y2 p (3.17) либо x 2 2 ~y p (3.18) В обоих случаях носителем нечеткой параболы является плоский параболический сегмент, ветви которых симметричны относительно (ОХ) и (ОY) соответственно.

Пример 3.7. Построить носитель нечеткой параболы, опи сываемой уравнением ~ ~ y2 4 x, где 2 { 2;

9,6;

1 } Имеем: 1) четкая параболы ( 1 ) : y 2 4 x 2) L ( 0 ) : y 2 2,8 x - левое растяжение ( 0 ) : y2 6 x 2 - правое растяжение 3) R y – – S~ – – x ПL(0) П(1) ПR(0) Рис.3. Следует отметить, что в трехмерном евклидовом простран стве:

а) нечеткая прямая определяются как место пересечения двух плоскостей, хотя бы одна из которых есть нечеткая плоскость, а носитель – как геометрическое произведение носителей этих плоскостей;

б) нечеткая линия второго порядка (эллипс, парабола и гипербо ла) определяются как место пересечения поверхностей (хотя бы одна из которых есть поверхность второго порядка), хотя бы од на из которых есть нечеткая поверхность, а носитель – как гео метрическое произведение носителей этих поверхностей.

§3. Нечеткие углы Определение 3.13. Нечеткой полупрямой или нечетким лу чом называется часть нечеткой прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее чет кой или нечеткой точки. Эта точка называется начальной точкой нечеткой полупрямой.

Определение 3.14. Геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной четкой, либо нечеткой точ ки, хотя бы одна из которых является нечеткой, называется не четким углом.

Определение 3.15. Нечетким углом -уровня называется нечеткий угол, стороны которого являются лучами -уровня.

Справедливо утверждение 3.1. Если нечеткие полупрямые име ют одинаковые функции принадлежности (а вместе с ними рас тяжения их носителей), то нечеткие углы любого -уровня, об разованных этими нечеткими полупрямыми равны между собой и равны четкому углу, сторонами которого являются их четкие полупрямые. В противном случае нечеткие углы различных уровней четкости, сторонами которых являются эти нечеткие лучи, не равны друг другу.

Доказательство. Пусть нечёткие полупрямые, образующие неко торый нечёткий угол ~, заданы своими нечёткими уравне ниями:

~ ~ ~ ~ ~ ~ l1 : y k1 x b1 и l2 : y k 2 x b2, (3.19) а соответствующие им чёткие полупрямые, образующие чёткий угол - заданы уравнениями:

~ l1 : y k1 x b1 и l 2 : y k 2 x b2 (3.20) Обозначим через L ( ) - нечёткий угол, образованный нечёт кими полупрямыми L-типа -уровня, т.е. l1, L ( ) и l 2, L ( ), а их ~ угловые коэффициенты через K1 ( ) и K 2 ( ). l1 и l2 имеют одинаковые растяжения S ~ S ~, то из рис.3.4 б) следует, что l l 1 l1 l1L ( ) l1 l1L ( ) L (3.21) L L L Обозначим K. Тогда 1, L ( ), а tg 2, L ( ) 1. Поэтому:

K1 K K2 K K l1, L ( ) ;

K l 2, L ( ) 1 K1 K 1 K2K Докажем, что при этом 2( ).

Действительно:

K2 K K1 K K 2, L ( ) K1, L 1 K 2 K 1 K1 K tg L ( ) K 2 K K1 K 1 K1, L ( ) K 2, L ( ) 1 K 2 K 1 K1 K K 2 K 1 K1 K K1 K 1 K 2 K (3.22) 1 K1 K 1 K 2 K K 2 K K1 K K1 K K2 K1 K2 K 2 K tg 1 K1 K 2 K 2 K 2 K1 K 2 1 K1 K Если условие (3.21) не выполняется, то обозначив l1 l1L ( ) ;

l2 l2 L ( ) tg K 3 ;

tg K4.

1 2 1 Тогда () ;

(). Поэтому, 1, L 2, L 1 1 2 K1 K 3 K1 K K l1, L (, а K l1, L ( ) ) 1 K1 K 3 1 K1 K Тогда, проведя подсчёты аналогично (3.22), получим tg tg L( ) (3.24) соотношения (3.22) и (3.23) аналогично можно получить для R ( ) и для любых других уровней чёткости.

Пример 3.8. Построить чёткий угол и нечёткие углы 0 уровня L и R-типа, образованных пересечением нечётких пря ~ ~ ~ ~ ~ мых l1 и l2 на плоскости (XOY), если: l1 :у=2х+ 1 ;

l2:y=3x- 2, ~ ~ где 1 {1;

2;

1,5} 2 {2;

1,5;

2} Имеем: 1) чёткий угол – угол между чёткими прямыми K 2 K1 32 tg 1 K1 K 2 1 32 2) Так как угловые коэффициенты нечётких прямых есть чёткие числа, то для нечётких углов любого уровня чёткости, в том числе и для =0,8.

~ ~ Аналогично примеру 3.3, построив носители прямых l1 и l2, ~~ получим носитель нечеткого угла l1 l2 и нечёткий угол уровня чёткости.

Пример 3.9. Найти чёткий и нечёткие углы =0 уровня, образо ~ ~ ванные нечёткими прямыми l1 и l2, заданные своими нечёт кими уравнениями:

~ ~ ~ ~ ~ ~ l1 : y 2 x 1 и l2 : y 3 x 2, где 2 {2;

1;

1} и 3 {3;

1,5;

1,5} Имеем:

1) чёткий угол- угол между двумя чёткими прямыми.

K 2 K1 tg 1..., 1 K1 K 2 1 3 2 y R(0) l1,L(0) L(0) l2,R0) 2, x l1,R0) l l2,L(0) l Рис.3. между прямыми l1L (0)l2 L (0) и 2) нечёткие углы L (0) и R (0) l1R (0)l 2 R (0) K 2, L (0) K 1L (0) 4,5 tg 1, L 1 K 1L (0) K 2 L (0) 1 4,5 K 2, R (0) K 1R (0) 1,5 tg R (0) 1, 1 K 1R (0) K 2 R (0) 1 1,5 Из подсчетов очевидно, что углы, образованные между ле вым и правым границами носителей нечётких прямых, не равны между собой и не равны чёткому углу между чёткими прямыми.

Аналогично можно показать, что нечёткие углы различных уровней чёткости не равны друг другу.

Следует также отметить, что нечёткий угол, соответст вующий прямому чёткому углу, может быть либо острым, либо тупым углом.

l2,L(0) y l l2R(0) R0) L(0) x l1, L ( 0)l 2 R ( 0) l1 l1,R0) l1, R ( 0)l 2 L ( 0) l1L(0) Рис.3. Определение 3.16. Носитель нечёткого угла между двумя нечёт ~~ кими прямыми l1 и l2 будем называть совокупность всех углов, принимающих значения между углами, образованными пересе ~ чением правой границы носителя l1 с левой границей носителя ~ нечёткой прямой l2 и углом, образованным пересечением левой ~ границы носителя нечёткой прямой l1 с правой границей носи ~ теля нечёткой прямой l2, т.е.

~~ ~ ~ ~ ~ sup por l1 l2 l1,R (0) l2,L (0);

l1,L (0) l2,R (0);

(3.26) Пример 3.10. Найти носитель нечётких углов, образованных пе ресечением нечётких прямых, описываемых уравнениями, при ведёнными в примерах 3.8 и 3.9.

Решение.

1) из результатов примера 3.8 следует, что носитель нечёт кого угла принимает единственное значение, равное чёт кому углу между заданными прямыми.

2) Из данных примера 3.9 следует:

l1, R (0) : y 3x l 2, L ( 0) : y 4,5 x K 2, R (0) K1L (0) ~ ~ 1,5 tg l, L1 (0) l2, R (0) 1 K1L (0) K 2 R (0) 1 1,5 ~~ Таким образом, sup por l1l 2 [0,55;

5] Найденные углы показаны на рис.3.12.

Следует отметить, что для случая определения нечётких углов между нечёткими прямыми в трёхмерном пространстве следует воспользоваться нечёткими уравнениями, описывающими не чёткие прямые в трёхмерном пространстве и результатами оп ределения углов между чёткими прямыми в трёхмерном про странстве.

§4. Нечёткие многоугольники Следуя понятию чёткого многоугольника [3], введём поня тие нечёткого многоугольника.

Определение 3.17. Простая замкнутая ломаная линия назы вается нечётким многоугольником, если её соседние звенья, хо тя бы одна из которых есть отрезок нечёткой прямой, не лежат на одной прямой.

Для конкретности в настоящем параграфе рассмотрены не чёткие треугольники.

Определение 3.18. Нечёткий многоугольник с наименьшим числом звеньев (стороны и вершины) будем называть нечётким треугольником.

Следует отметить, что авторы монографии [41] понятие нечёткого треугольника вводят с помощью понятий нечётких полуплоскостей.

Определение 3.19. Пусть,, и - три различных направ ления на плоскость и пусть А, В и С одновременно отличны от постоянной и содержат значение 0). Тогда A B C называется нечётким треугольником. Рис. 3.13.

B A C Рис.3. Из этого понятия треугольника следует:

1) под нечётким треугольником авторы понимают не замк нутую нечёткую ломанную линию, а часть плоскости, ог раниченной этой ломанной линией;

2) стороны нечёткого тре угольника как нечёткие прямые являются нечёткими прямыми лишь одно L либо R – типа, причём нечёткий треугольник лю бого -уровня подобен чёткому треугольнику, что не всегда обязательно на основании определения нечёткой прямой на плоскости (пример 3.2) Поэтому, в качестве понятия нечёткого треугольника сле дует принять определения 3.17 либо эквивалентное ему Определение 3.20. Нечётким треугольником называется фигура, состоящая из трех нечётких точек, не лежащих на одной прямой и трёх нечётких отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Рассмотрим отдельные виды нечётких треугольников.

I. Нечёткий треугольник с одной нечёткой стороной ~ Пусть стороны нечёткого треугольника ABC на плоскости (ХОY) описываются уравнениями AB : a1 x b1 y c (3.27) BC : a 2 x b2 y c ~ ~ ~ AC : a 3 x b3 y c В зависимости от коэффициентов уравнения, описываю щего нечёткую сторону треугольника (см (3.6), либо (3.8)), но ситель нечёткого треугольника меняет свой вид, сохранив при этом без изменений угол, противолежащий его нечёткой сто роне.

Пример 3.11. Построить носители нечётких треугольников ~ ABC, где:

AB : 2 x b1 y 1 AB : 2 x y 1) BC : x 3 y 3 2) BC : x 3 y ~ ~ ~ ~ AC : 3 x y 5 AC : 3 x y ~ ~ где 3 {3;

1;

2};

5 {5;

2;

3} Решение. Найдены координаты вершин нечётких тре угольников. Решив попарно уравнения, получим:

2x y1 x 1) B (0;

1). Аналогично x 3y 3 y ~ ~ AL (0,8;

0,6);

A(1,2;

1,4);

AR (1,8;

2,6) ~ C L (1,2;

0,6);

C (1,8;

0,4);

C R (2,7;

0,1) ~ ~ 2) AL A 1,2;

1,4 ;

AR (1,5;

2) ;

~95 ~ CL ;

C 1,8;

0,4 ;

C R 2 ;

88 AR(0) y A(1) a) AL(0) CR (0) C (1) x 0 CL (0) B AR(0) y A(1) AL(0) б) CR (0) C (1) x 0 CL (0) B Рис.3. II. Нечёткий треугольник с двумя нечёткими сторонами Пусть стороны нечёткого треугольника на плоскости (XOY) описываются уравнениями:

AB : y k1 x b ~ ~ (3.28) BC : y K 2 x b ~ ~ AC : y K 3 b Так же, как и при определении нечётких углов, в данном ~~~ ~ случае в зависимости от значений K 2, K 3, b1 и b3 можно рассмот реть три случая: 1) К2 и К3 – чёткие, но b1 и b2 – нечёткие;

2) К2 и К3 – нечёткие, b2 и b3 – чёткие;

3) К2 и b3 – чёткие, а К3 и b2 – нечёткие и наоборот. Во всех этих трёх случаях носители нечёт ких треугольников резко отличаются друг от друга.

Пример 3.12. Построить носители нечётких треугольников:

AB : y 2x 2 ~ 3 {3;

1,5;

2};

~ 1) BC : y 4 x 3, где ~ 5 {5;

2;

3} ~ AC : y x Решив системы уравнений, находим координаты всех вер шин чёткого треугольника и треугольников, образующие гра ницу носителя нечёткого треугольника. Имеем: 1) для чёткого треугольника АВС А(-2,5;

-7);

В(7;

12);

С ;

;

2) для треугольников с нечёткими сторонами:

A R ( 0) A( 1,75;

5,5);

AL (0) A( 3,5;

9);

B L (0) B (5;

8) B R ( 0) B (10;

18);

C LL (0) C ;

2 ;

C LR (0) C (0,5;

3,5) C RL (0) C (2,16;

5,16);

C RR (0) C (1;

9) Рис.3. На рис.3.15 заштрихованная область является носителем ~ нечёткого треугольника ABC.

AB : y 2x 6 ~ 2 {2;

1;

3} ~ 2) BC : y 2 x 4, где ~ 5 {5;

2;

1} ~ AC : y 5 x Решив систему уравнений, найдем координаты вершин ~ ABC.

а) для чёткого треугольника:

А(-1;

-8);

В(2,5;

-1);

С(1;

2) б) для треугольников с нечёткими вершинами и сторонами, являющимися границами носителя нечёткого треугольника:

3 10 AL ( 3;

12);

AR ;

7,5 ;

B L ;

3 B R (10;

14);

4 7 73 79 71 C L, L ;

C L, R ;

C R, L ;

;

C R, R ;

;

;

88 11 11 62 На рис. 3.16 заштрихованная область является носителем ~ нечёткого ABC.

Рис.3. III Нечёткий треугольник с тремя нечёткими сторонами Пусть все стороны нечёткого треугольника есть отрезки нечётких прямых, описываемых уравнениями:

~ ~ AB : y K1 x b ~ ~ (3.29) BC : y K2x b ~ AC : y K 3 x b Здесь следует рассмотреть три случая:

1) угловые коэффициенты сторон чёткие, а свободные чле ~~ ~ ны (b1, b2 и b3 ) - нечёткие числа;

2) угловые коэффициенты – нечёткие, а свободные члены чёткие числа;

3) угловые коэффи циенты и свободные члены уравнений нечётких сторон нечёт кого треугольника – нечёткие числа. Для конкретности для каж дого случая рассмотрим примеры:

Пример 3.14.

~ ~ AB : y 0,4 x 3,8 3,8 {3,8;

0,8;

1,2} ~ ~ 5 4 4 1), где AC : y x ;

;

6 3 3 ~ ~ BC : y 7 x 26 26 {26;

5;

2} Решение а) Для чёткого АВС имеем: А(-2;

3);

В(3;

5) и С(4;

-2) б) для носителя нечёткого треугольника имеем:

23 13 9 ALL (0) A ;

ALR (0) A 1 ;

2 3 ;

37 37 37 30 25 16 ARL (0) A ;

ARR (0) A 1 ;

2 2 ;

37 37 37 16 36 6 ALL (0) B2 ;

B LR (0) B ;

3 ;

37 37 37 14 13 4 B RL (0) B3 ;

B RR (0) B ;

4 ;

37 37 37 9 26 3 C LL (0) C3 ;

C LR (0) C ;

1 ;

37 37 37 24 31 C RL (0) C 4;

2 ;

C RR (0) C3 ;

37 37 На рис.3.17 заштрихованная область есть носитель нечёт ~ кого ABC.

Рис.3. Пример 3.15.

2) Построить носитель нечёткого треугольника, стороны которого заданы уравнениями:

~ ~ 3 3 ;

;

AB : y x 3, 4 ~ ~ 3x 1, где BC : y 3 3;

1;

~ ~ 1 1 AC : y x1 ;

;

2 2 Решение. Найдём координаты вершин чёткого треуголь ника и координаты точек пересечения границ носителей нечёт ~ ких сторон ABC.

а) для чёткого треугольника: А(-2;

3);

В(2;

5) и С(4;

-1).

б) для границ носителя:

6 ALR (0) A( 5;

8);

B LR (0) B (1,875;

1,625);

C LR (0) C2 ;

7 ALL (0) A( 2,5;

1,5);

B LL (0) B (1,875;

7,25);

C LL (0) C 3 ;

ARR (0) A(1,25;

2,25);

B RR (0) B (7,5;

4);

C RR (0) C 1 ;

5 AR1 (0) A ;

B RL (0) B (2,5;

1,5);

C RL (0) C 20;

;

7 Из рис.3.18 следует, что носитель нечёткого треугольника, стороны которого описываются уравнением с нечётким угловым коэффициентом, представляет собой многоугольник, содержа щий чёткий треугольник и нечёткий треугольник чёткости лю бого -уровня.

y Рис.3. 3) Из рис. 3.17 и 3.18 следует, что если все коэффициенты и свободные члены уравнений, описывающие стороны нечёт кого треугольника нечёткие числа, то задачи определения носи теля и нахождения нечёткого треугольника чёткости любого уровня усложняется.

Останавливаясь на площади нечёткого треугольника, сле дует отметить, что в 41 эти понятия рассмотрены частично лишь для случая, когда стороны нечёткого треугольника заданы нечёткими уравнениями прямых с чёткими угловыми коэффи циентами. Причём определения площади и периметра нечётко го треугольника очень расплывчаты. Поэтому приведём эти по нятия.

Углы нечёткого треугольника определяются так же, как и углы между двумя прямыми, если заданы уравнения сторон не чёткого треугольника. Если же заданы координаты вершин не чёткого треугольника, то выписав уравнения нечётких сторон нечёткого треугольника (как уравнение прямой, проходящей че рез две заданные точки) определяется угол между двумя пря мыми (смотри примеры 3.8;

3.9) Следует отметить, что:

1) все свойства подобия чётких треугольников справед ливы и для нечётких треугольников;

Утверждение 3.2. Два нечётких треугольника L(R) – типа любого -уровня подобны тогда и только тогда, когда равны их носители и функции принадлежности.

Доказательство.

~ ~ Так как носители ABC и A, B, C равны друг другу, то рав ны и носители соответствующих сторон. Тогда в силу утвер ждения 3.1. соответствующие углы этих треугольников равны друг другу. Поэтому, в силу теоремы о подобии чётких тре угольников справедливо данное утверждение.

Утверждение 3.3. Два нечётких треугольника L(R) любого -уровня равны друг другу, если равны их носители, функции принадлежности и по одной стороны L(R)-типа любого -уровня чёткости.

Доказательство.

~ В силу утверждения 3.2. соответственные углы ABC и ~ A1, B1, C1 другу. Поэтому на основании теоремы о равенстве треугольников (по двум углам и прилежащей к ним стороне) ~ ~ ~ ~ A1, B1, C1 и ABC L ABC R A1, B1, C1R Для определения периметра нечёткого треугольника вве дём понятие длины нечёткого отрезка прямой. На основании оп ределения 3.10 имеем.

~ Определение 3.21. Длиной нечёткого отрезка AB (расстоянием ~ ~ между двумя нечёткими точками A и B ) будем называть наи меньшее расстояние между носителями этих точек, т.е. если:

~ ~ B L (0);

B R (0), то sup porA AL (0);

AR (0) ;

sup porB (3.23) (3.23) d AB inf AR (0) B L (0);

AL (0) B R (0) ~~ Для нечётких точек любого -уровня (3.24) d AB ( ) inf AR ( ) B L ( );

AL ( ) B R ( ) ~~ ~ Пример 3.16. Найти длину AB, если:

~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ A( 3;

4 );

B ( 2;

5 );

3 {3;

1;

2};

4 {4;

1;

1} ~ ~ 2 {2;

1;

1};

5 {5;

2;

1} ~ ~ ~ ~ ~ ~, где A ~1 ~ ;

B ( ~2 ~2 ) d x2 x1 y2 y1 xy xy inf ~ AB Имеем:

~ ~ - 2 { 3;

1};

4 { 5;

3} ( 2 3) 2 (5 4) d AB ~ ( 3 5) 2 ( 5 6) sup r AB ~ ( 1 2) 2 ( 3 3) inf AB Таким образом, d ~ AB ~ На рис.3.19. заштрихованные участки есть носители A и ~ B. Из рисунка видно, что d AB dS~ d BLR (0) ARL (0) ~~ SA ~ B Y BLR(0) BRL(0) BLR(0) ARL(0) Рис.3. Теперь остановимся на понятиях периметра и площади не четких треугольников.

Следуя 41, авторы которого считают, что нечеткий тре угольник полностью определен заданием носителей лишь двух ее сторон. Поскольку, по их мнению, эти прямые параллельны их четким сторонам. Они считают их как определение направ лений сторон нечеткого треугольника. Поэтому они принимают следующие понятия площади и периметра нечеткого треуголь ника.

Пусть площади треугольников T 1,T 2.,...,T n будут S 1, S 2.,..., S n и периметры T 1,T 2.,...,T n и пусть, где ( 0=0). Тогда площадью i i i Т является n S S (3.25) i i i Откуда следует, что эта сумма вычисляет площадь S для треугольника T 1 четкости и S 1 - как площадь каждого внут реннего треугольника T i с четкостью ( i 1,н ) i При этом периметр Т является n P Pi (3.26) i i При этом, учитывая, что стороны a, b,c треугольников T i перпендикулярны направлениям, и (определение 3.19), то длины их сторон можно определить как n n n a i ai ;

b i bi ;

c c (3.27) ii i1 i1 i И таким образом, n P ai bi ci (3.28) i i Следует отметить, что (3.25)-(3.28) имеют смысл лишь в том случае, когда под знаком подразумевается операция объе динения множеств (каждое из которых есть множество точек геометрических фигур), пересечением которых являются четкие геометрические фигуры.

Следует отметить, что если нечеткий треугольник любого 1-уровня вложен в четкий треугольник, то в (3.25)-(3.28) знак объединения следует поменять на знак пересечения множеств.

Если же соответствующие стороны нечетких треугольни ков I –уровней не параллельны друг другу и не параллельны соответствующим сторонам четкого треугольника (примеры 3.12-3.15), то их площади и периметры невозможно определить по (3.25)-(3.28).

В этом случае и периметры и площади нечетких треуголь ников любого -уровня следует определять через координаты их вершин (по тем же формулам, с помощью которых определя ются площади и периметры четких треугольников), которые так же верны и для нечетких треугольников рассмотренных в 41.

Пример 3. Найти периметры и площади четкого и соответ ствующих ему нечетких треугольников (L, L) (L,R), (R,L) и (R,R) типов уровня ( =0), стороны которых описываются уравнения ми, заданными в примере 3.15.

Решение.

Пользуясь известными (из классической математики) фор мулами x1 )2 ( y 2 y1 ) P ABC AB BC AC ( x (3.29) x2 )2 ( y3 y 2 )2 x1 )2 ( y3 y1 ) ( x3 ( x S x3 x1 y3 y2 x3 x2 y3 y1 (3.30) AbC получаем:

а) для четкого треугольника А(-2;

3);

В(2;

5) и С(4;

-1).

( 2 2 )2 ( 5 3 )3 ( 4 2 )2 ( 1 5 ) P ABC ( 4 2 )2 ( 1 3 )2 18, 20 40 S ( 4 2 )( 1 5 ) ( 4 2 )( 1 3 ) ABC б) для границ носителя ( 1,875 2,5 ) 2 ( 7,25 1,5 ) PL,L ( 0 ) 2 2 2 1 1 1 1,875 7,25 2,25 1,5 21, 3 4 3 3 3 3 11 1 1 S LL ( 0 ) 2,5 7,25 1,875 1,5 12, 3 4 3 23 3 3 2 2 2 S LL ) ( 7,5 1,25 4 2,25 7, 1 2 3 2 2 1,25 2,25 17, 1 3 12 2 2 S RR ) ( 1,25 2 2,25 1 7,5 2, 1 4 23 3 3 ( 1,875 5 )2 ( 1,625 8 ) PL,R ( 0 ) 2 6 21, 2 5 3 7 16 2 6 S LR ( 0 ) 1,625 1,875 21, 2 5 3 2 3 27 7 7 2 2 5 1 PR,L ( 0 ) 2,5 1,5 2 20 2,5 1, 7 14 5 70, 20 29 7 1 5 S RL ( 0 ) 29 1,5 20 2,5 224, 20 29 2 7 Смотри рис.3. Как следует из результатов подсчетов, в данном случае значения периметра и площади нечетких треугольников нельзя вычислять по формулам (3.25) и (3.26).

Следует отметить, что для любых выше рассмотренных нечетких треугольников справедливы все теоремы, которые справедливы для четких треугольников (теорема синусов, тео рема косинусов и т.д.).

В заключении отметим, что исходя из (определения 3.17) определения нечетких многоугольников, все результаты, спра ведливые для четких многоугольников легко перенести на не четкие многоугольники любого уровня четкости.

ГЛАВА IV. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА §1. Понятие нечетких множеств Начиная от Л.Заде [1] многими авторами монографий по использованию нечетких множеств различными спосо бами понятие нечеткого множества [1, 12, 29, 57] и т.д.

Наиболее четким и корректным определением нечет кого множества следует считать следующее.

Определение 4.1. Нечетким множеством А будем на зывать совокупность элементов х Х, функция принадлеж ности которых множеству А принимает значения из 0;

1.

При этом множество Х является универсальным множест вом.

Определение 4.2. Множество Х называется универ сальным множеством нечеткого множества А, если оно яв ляется областью определения функции принадлежности А.

Отметим, что если Х есть конечное множество А Х примет вид:

т А ( xi ) / xi (4.1) A i Если же Х – бесконечное множество, то A ( x )/ x, (4.2) A x где означает объединение элементов.

x Пример 4.1. Х={a, b, c, d, e, k, m} А=[0,2/a+0,5/b+0,1/c+0,4/d+0,8/e+1/k++0,9/m] есть нечеткое множество, а Х- универсальное множество.

Определение 4.3. Носителем нечеткого множества A называется множество таких точек из Х, для которых ве личина А (хi) положительна. А { x X ;

A ( x ) 0 }.

Исходя из определения носителя нечеткого числа следует Определение 4.4. Носителем нечеткого множества А будем называть объединение носителей всех четких и не четких элементов множества А.

Исторически первым обобщением понятия нечеткого :Х L множества стали L- нечеткие множества:

(нечеткое множество L-типа), т.е. функции, принимающие свои значения в конечной или бесконечной дистрибутив ной решетке L (решетка – частично упорядоченное множе ство с точной нижней и точной верхней границами). Об ласти принадлежности также моделируются полной реше точно упорядоченной полугруппой 13. В плане выраже ния качественных представлений и оценок человека в про цессе решения задач важным является случай S-нечетких множеств, задаваемых парой R,, где (4.3) :R S На S естественно налагаются условия конечности и полно ты. Нечеткие множества классифицируются на нечеткие множества различных типов.

Определение 4.5. Нечеткое множество, функция при надлежности которого является обычная четкая функция, т.е. область ее значений является четкое множество, будем называть нечетким множеством 1-го типа;

если же значе ния ее функции принадлежности образуют нечеткое мно жество, то само нечеткое множество называется нечеткое множеством 2-го типа. А : x 0;

0;

1 (4.4) Определение 4.6. Нечетким множеством типа Р назы вается множество из Х, у которого значения функции при надлежности является нечетким множеством типа (Р-1).

В 39, 60 рассмотрен другой тип нечетких множеств, у ко торых значения функции принадлежности является слу чайной переменной. В этом случае вероятностное множе ство А в Х определяется характеристической функцией:

: x ( x, ) ( x, ) Qc (4.5) А A где A ( x ) является ( B, Bc ) измеренной функцией носите ля каждого фиксированного x X.

Следует учесть, что понятие нечеткое множество свя зано с центральным понятием так называемой альтерна тивной теории множеств 11 - понятием полумножества.

Одновременно как множество предполагает наличие опре деленных границ принадлежности и непринадлежности.

Но полумножество является более широким понятием, не имеющим максимальных и минимальных элементов, а следовательно и фиксированных значений принадлежно сти. В альтернативной теории множеств четко разграничи ваются понятия множества и класса. Понятие класса явля ется более общим, чем понятие множества. Свойство объ ектов ( х ) определяется класс x, x. Полумножеством называется собственный класс (не множество), являющий ся подклассом некоторого множества Х:

A x, x X. Поскольку при определении полу множества не используется отношение принадлежности элементов множеству, этот математический объект являет ся более общим, чем нечеткое множество. Но для практи ческих применений полумножество следует ввести функ циональные ограничения на принадлежность и аппрокси мируемость полумножества нечеткими множествами. Спо собы приближения полумножества нечеткими множества ми описаны в 56, 58. Приведем наиболее важные понятия теории нечетких множеств.

Определение 4.7. Два нечетких множества равны, ес ли равны их функции принадлежности:

x R;

A ( x ) B( x ) AB (4.6) Одни нечеткие множества могут быть подмножествами других множеств.

Определение 4.8. Нечеткие множество А есть под множество нечетких множеств тогда и только тогда, когда ( х ) для любых x X А( х ) AB A( x ) B ( x ), xX (4.7) Пример 4.2 X 1,2,3,......10, если A 0,3 / 3;

0,2 / 4;

0,6 / 5;

0,6 / 7;

0,5 / B 0,1 / 1;

0,4 / 3;

0,4 / 40;

0,6 / 5;

0,8 / 7;

0,9 / 8;

0,6 / 9,то A B Определение 4.9. Множество A будем называть не четким множеством -уровня, если оно образует совокуп ность таких элементов x X, степень принадлежности которых множеству А больше или равно 0, ~ A x/ A x ;

xX (4.8) Пример 4. ~ A 3 / 0,2 8 / 0,3 11 / 0,5 15 / 0,6 20 / 0, ~ A0,3 8 / 0,3 11 / 0,5 15 / 0,6 20 / 0, Справедливо следующее свойство:

A1 A2 2 Справедлива теорема о декомпозиции.

~ Всякое нечеткое множество A можно разложить на произ ведение подмножеств по коэффициентам i :

~ (4.9) A max A 1, A 2,..., A n 1 i 0 1, ( i 1,2,..., n ) i Доказательство следует непосредственно:

1, если A (x) i (x) Ai 0, если A (x) i ~ Таким образом, функцию принадлежности A можно записать в виде:

(x) max [ Ai] max [ ] (x) i i A A( x) max [ iA i ] i i i Разложение нечеткого множества в виде (4.9) называ ется декомпозицией нечеткого множества А.

Пример 4.4. Пусть A ( x ) 1 ;

x R ~ 1 x Рассматривая интервал ;

1, где 0 1, можно запи сать:

1, если ~ ( x) [ ;

1] A ( x) ~ Ai ~ ( x) 0, если [ ;

1] A Таким образом, в данном примере 1, если x ( x) A 0, если x Определение 4.10. Высотой нечеткого множества А будем называть верхнюю границу функции принадлежно сти элементов множества А:

hgt( A ) sub (x) (4.10) A xX Определение 4.11. Нечеткое множество А называется нормальным, если существует хотя бы один x X, для которого A ( x ) 1, т.е. если hgt(A)=1, в противном случае (hgt(A) 1) нечеткого множества называется субнормаль ным.

Определение 4.12. Множество А называется пустым x X, A ( x ) 0 и обозначается множеством, если для A 1 Нормальное Субнормальное нечеткое множество нечеткое множество Рис.4. Определение 4.13. Точкой перехода нечеткого множе ства А называется такой элемент х Х, для которого ( x ) 0,5 (4.11) A Пример 4.5. [ 29 ] Пусть Х представляет собой интервал 1;

100 и переменная х принимает значения из этого интер вала. Интерпретируя возраст как нечеткое подмножество множества Х, обозначает термин «старость» можно опре делить функцию принадлежности в виде 0, при 0 x (x) x A 1, при 1 при 50 x В этом примере носителем нечеткого множества старость является интервал 50;

100. Высота множества старость близка к 1, а точкой перехода является возраст х=55.

Четкое множество, близкое к нечеткому множеству, определяется как:

0, если ( x ) 0, A (x) 1, если (x) 0, A* A 0 или 1, если (x) 0, A Определение 4.14. Нечеткое множество А в простран стве Х=Rn называется выпуклым нечетким множеством тогда и только тогда, когда его функция принадлежности выпукла, т.е. для каждой пары х, у Х и для всех [ 0;

1 ] удовлетворяет неравенство:

( x (1 ) y ) min( ( x ), ( y )) (4.13) A A Определение 4.15. Если Х есть конечное универсаль ное множество и А - нечеткое множество, порожденное Х, то мощность нечеткого множества А определяется как:

A A( x ) (4.14) xX Если Х – бесконечное множество, то A не всегда сущест вует. Однако, если А имеет конечный носитель, то мощ ность нечеткого множества А определяется как:

A (x) (4.15) A x surrA Определение 4.16. Точку М будем называть нечеткой точкой действительной R, если значений функции принад лежности ее прямой R принимает значение из (0;

1), т.е.

( M ) 1. В противном случае, если R ( M ) 1, то точка R М называется четкой точкой действительной прямой R.

Например: М1=0,8/2 – нечеткая точка, М2=1/4 – четкая точка.

Определение 4.17. Интервал (отрезок прямой, полу интервал) действительной прямой будем называть нечет ким интервалом (нечетким отрезком, нечетким полуинтер валом), если значения функции принадлежности всех то чек действительной прямой, образующих его носитель, принимают значения ( 1).

Пример 4.6.

(-2;

3)=0,1/(-2;

-1 +0б4/(1;

0)+0,6 0;

1)+1/ 1;

2 +0,6/(2;

3) есть нечеткий интервал действительной прямой.

Отдельные авторы 1 вводят следующее определение не четкого интервала.

Определение 4.18. Если граница интервала является нормальным выпуклым нечетким множеством, то оно на зывается нечетким интервалом.

Легко доказать, что это определение является част ным случаем определения 4.17, т.е. из определения 4. следует определения 4.18.

Следует отметить, что нечеткие интервалы могут оп ределяться либо с помощью выбора четкого интервала для формирования ядра, от которого функция принадлежности уменьшается до нуля, или посредством выбора двух нечет ких чисел в качестве концов интервала. Вообще, можно построить нечеткий регион, окруженного нечеткой пере ходной зоной, в которой функция принадлежности умень шается до нуля монотонно.

Альтернативный способ представления нечеткой об ласти – это определение нечеткой гиперповерхности, фор мулирующий его границу.

Такая граница гиперповерхности своего ядра, при удалении от которого значения функции принадлежности, монотонно убывает во всех направлениях.

Определение 4.19. Нечеткое множество, носитель ко торого состоит из одной точки, называется синглтонной.

Замечание. Близким к идеям альтернативной теории множеств является недоопределенное множество, описы ваемое четверкой N A, A,M x,Mn 55. Здесь + множества A и A - суть конечного подмножества универ сального множества Х, причем A+ - есть множество эле ментов x X, которые точно принадлежат множеству А, а A—множество элементов x X, которые точно не при надлежат множеству А. Натуральные числа Мх и Мn – вы ражают соответственно верхнюю и нижнюю оценку мощ ности множества А. Это определение, моделирующее не полные сведения о конкретной совокупности А элементов некоторого универсума Х, неявно задает трехзначную функцию принадлежности 1, для А ( х) 0, для А ?, для Х / А А Естественным обобщением N является переход к паре N,, где - функция принадлежности A A A x X множеству А, а характеризует возможность для A элементов натурального ряда быть значением мощности множества А.

§2. Операции над нечеткими множествами Определение 4.20. Дополнением нечеткого множества А будем называть нечеткое множество A (или же A ), определеное следующим образом:

x X, A ( x ) 1 A( x ) (4.16) Пример 4.7. Если Х={1,2,3,... 10}, A=0,2/1+0,4/3+0,8/4+1/6+0,6+0,6/7, то A A 0,8 / 1 1 / 2 0,6 / 3 0,2 / 4 1 / 0,4 / 7 1 / 8 1 / 9 1 / Следует отметить, что операция дополнения соответствует логиическому отрицанию.

Определение 4.21. Если А обычное четкое подмножество множества Х, то пара (А, A ) называется разбиением множества Х,если A, A X Определение 4.22. Если А-нечеткое подмножество множества Х, причем A, то пара (А, A )называется нечетким разбиением.

В примере 4.7. Х=(А, A )-есть нечеткое разбиение множества Х.

Аналогично, если A1, A2,... An таковы, что для n x X, ( x ) 1, то эта система называется Ai i нечетким разбиением множества Х.

A1, A2,... An -нечеткие Определение 4.23. Если подмножества универсального множества Х, а 1, 2,..., n -неотрицательные вещественные n коэффициенты 1, то нечеткое множество А с i i функцией принадлежности n A( x ) ( x ) будем называть выпуклой i Ai i комбинацией нечетких множеств A1, A2,... An.

Здесь подразумевается арифметическое суммирование.

Определение 4.24. Объединением нечетких множеств А и В будем называть такое множество С, функция принадлежности которого определяется следующим образом:

(4.17) x X, max A ( x ), ( x ) A B( x ) C Объединение соответствует логическое связи (или). Так, если А и В названия нечетких множеств, то А или В понимать нечеткое множество – Д, функция принадлеж ности которой определяется в виде:

(4.18) x X, ( x ) min ( x ), (x) D AB A Операция пересечения соответствует логической связи (И) А и В= A B Пример 4.8. Если A=0,4/2+0,7/4+0,8/5+1/7+0,5/8, B=0,2/1+0,5/2+0,6/4+0,7/5+0,6/6+0,9/7+0,8/10, то A B A B 0,2 / 1 0,5 / 2 0,7 / 4 0,8 / 0,6 / 6 1 / 7 0,5 / 8 0,8 / A B 0,4 / 2 0,6 / 4 0,7 / 5 0,9 / Отметим, что операции (, ) над нечеткими множествами удовлетворяют следующим свойствам [6]:

1) Нейтральность min( 1, ( x )) (x) G A A A A max( 0, ( x )) (x) A A A A 2) коммутативность:

min( A ( x ), ( x )) min( ( x ), ( x )) A B B A A max( A ( x ), ( x )) max( ( x ), A ( x )) A B B A 3) ассоциативность:

min(min( A ( x ), ( x ), c ( x )) min( ( x ),min( ( x ), c ( x )) A ( A B) A (B C) max(max( A ( x ), ( x ), c ( x )) max( ( x ),max( ( x ), c ( x )) A (A B) A (B C) 4) монотонность:

(x) (x), (x) ( x ) min( ( x ), ( x )) A c c D A c min) ( x ), ( x )) A C B D A BC D.

c D max( ( x ), ( x ) max( (x) (x) AA c C D A C B D A B C D 5)идемпотентность:

min( A ( x ), (x) (x) A A A A A max( ( x ), (x) (x) A A A A A A 6)дистрибутивность:

min A ( x ),max B ( x ), ( x ) max(min( ( x ), ( x )) C A B min( ( x ), ( x )) A (B C) ( A B) ( A C) A C max( A ( x ), C ( x )) A (B C) ( A B) ( A C) 7) поглощение min( A ( x ),max A ( x ), ( x ))) (x) A ( A B) A BC A max( ( x ),min( ( x ), ( x ))) (x) A ( A B) A A A B A 8) Закон Деструкция Моргана:

1 min( A ( x ), max B ( x ) max( 1 ( x ),1 (x) A B A B A B 1 max( ( x ), ( x )) A B min( 1 ( x ),1 ( x )) A B A B A B 9) двойное отрицание: 1 ( 1 A ( x ) A( x ) AA 10) Отрицание основного и пустого множеств:

1-1=0=G= 1-0=1= =G Для объединения и пересечения нечетких множеств можно пользоваться и другими операторами.

Определение 4.25. Алгебраическим произведением нечетких множеств А и В будем называть множество С, функция принадлежности которой определяется в виде:

c( x ) AB ( x ) A ( x ), B ( x ) для x X (4.19) Для нечетких множеств А и В примера 4. Имеем:

АВ=0,2/2+0,42/4+0,56/5+0,9/ Алгебраическое произведение обозначается A( x ) B ( x ) / x АВ= (4.20) x Из (4.20) следует, что для любого нечеткого множества А, где m-положительное число, Аmследует понимать так m Am A( x ) /x x Определение 4.26. Нечеткое множество, возникшее в результате возведения в степень (с помощью оператора концетрирования нечеткого множества) conm A {[ A ( x )] m / x };

xX (4.21) будем называть концентрацией нечеткого множества А, а нечеткое множество, возникшее в результате извлечения из корня dit m A { m A ( x ) / x, x X} (4.22) будем называть расширением нечеткого множества А.

Пример 4.9. А={0,01/2;

0,25/3;

0,36/5;

0,6/7} и m-2. Тогда con2A={0,0001/2;

0,625/3;

0,1296/5;

0,36/7} dit2A={0,1/2;

0,5/3;

0,6/5;

0,77/7} Следствие 4.1. Так как соотношение m справедливо и соотношение m A ( x) A ( x) A ( x) conm A A dim A Следствие 4.2. Так как A B тогда и только тогда, когда A( x ) B ( x ) для A B( x ) A ( x ) для x X, то x B, т.е. функция принадлежности множества В фактически не учавствует в определении A B ( x ).

Определение 4.27. Алгебраической суммой нечетких множеств А и В будем называть множжество С, функция принадлежности которой оопределяется в виде:

x X (4.23) A B( x ) A( x ) B( x ) A ( x ) B ( x ), Пример 4.10. Если A={0,1/1;

0,4/3;

0,63/4;

0,82/5;

1/7;

0,9/8;

0,7/9;

0,5/10} и B={0,35/3;

0,5/4;

0,25/5;

0,7/6;

0,8/7;

0,2/8;

0,15/9;

0,1/10;

0,005/ 1}, тогда AB {0,1 / 1;

0,61 / 3;

0,825 / 4;

0,87 / 5;

0,7 / 6;

1 / 7;

0,92 / 8;

0,75 / 9;

0,54 / 10;

0,005 / 11} Определение 4.28. Ограниченной суммой нечетких множеств А и В будем называть множество А«+»В, функция принадлежности которой определяется в виде:

A B ( x) A ( x) B ( x )] для min[1, (4.24) x X Пример 4.11. Если A={0,2/1;

0,35/2;

0,4/3;

0,5/4;

0,7/6;

0,8/7;

0,45/8;

1/9;

0,6/10} и В={0,3/2;

0,7/3;

0,45/4;

0,4/5;

0,2/6;

0,15/7;

0,1/8;

0,05/9} Тогда A B ={0,2/1;

0,6/2;

1/3;

0,95/4;

0,4/5;

0,9/6;

0,95/7;

1/8;

1/9;

0,6/ 10} Определение 4.29. Ограниченным произведением нечетких множеств А и В будем называть нечеткое множество A B, если ее функция принадлежности определяется в виде:

A B( x ) max[ 0;

A ( x ) B ( x ) 1 ];

x X (4.25) Пример 4.12. Для нечетких множеств А и В из примера 4. AB {0 / 1;

0 / 2;

0,1 / 3;

0 / 4;

0 / 5;

0 / 6;

0 / 7;

0,05 / 8;

0,05 / 9;

0 / 10} Определение 4.30. Ограниченной разностью нечетких множеств А и В называется нечеткое множество ( A B ), функция принадлежности которой определяется в виде:

(4.26) ( x ) max[ 0;

( A ( x ) B ( x ))], xX AB Пример 4.13.

A ( 0,3a 0,5b 0,8c 0,9d m 0,8n 0,45k 0,1 p ) и B ( 0,4a 0,3b 0,5c d 0,8m 0,6n 0,3k 0,2 p 0,1q ) Определение 4.31. Симметрической разностью нечеткого множества А и В будем называть нечеткое множество ( A B ), функция принадлежности которой определяется в виде:

A B( x ) A( x ) B( x ),xX (4.27) Пример 4.14.

А={0,08/1+0,25/2+0,45/3+0,7/4+0,85/5+0,9/5+0,9/7+1/8+0, /9+0,8/10} B={0,03/5+0,09/4+0,1/5+0,25/7+0,38/7+0,38/9+0,55/10+0,7/ 1+0,9/12} ( A B )={0,08/1+0,25/2+0,42/3+0,61/4+0,75/5+0,65/7+1/8+0, 54/9+0,25/10+0,7/11++0,9/12} Определение 4.32. Декартово произведение нечетких множеств A1, A2,...An будем называть нечеткое множество ( A1 A2... An ), являющеесянечетким помножеством множества ( X 1 X 2... X n ), функция рпинадлежности которого определяется в виде:


A1 x... An ( x1,..x n ) A1 ( x1 )... An ( x n ) (4.28) Поэтому ( A1 A2... An )= ( A1 ( x1 )... An ( x n )) / x1....x n x1... xn Пример 4.15. Если X 1 X 2 { 2 4 6 8 } A1 ={0,4/2+0,7/4+1/6+0,6/8} A2 ={0,5/4+0,8/6+1/8}, тогда ( A1 A2 ) { 0,4 / 2 4 ) 0,5 /( 4 4 ) 0,5 /( 6 4 ) 0,5 /( 8 4 ) 0,4 /( 2 6 ) 0,7 /( 4 6 ) 0,8 /( 6 6 ) 0,6 /( 8 6 ) 0,4 /( 2 8 ) 0,7 /( 4 8 ) 1 /( 6 8 ) 0,6 /( 8 8 )} Определение 4.33. Опрератор F, преобразующий обычное (не нечеткое) множество в нечеткое множество, будем называть оператором увеличения нечеткости.

Из этого определения следут, что если оператор увеличения нечеткости F действует на нечеткое подмножество универсального множества Х, то полученное множество F(A,K), где К-ядро оператора F, также есть нечеткое множество вида:

F ( A, K ) ( x ) / K( x ) (4.29) A x То есть, результатом действия оператора F на одноточеченое множество {1/x} есть K( x ) F(1 / x,K ) Пример 4.16.

X={1+2+3+4};

A={0,8/1+0,6/2} K(1)=1/1+0,4/2;

K(2)=1/2+0,4/1+0,4/ Из определения 4.30 следует, что оператор увеличения не четкости является оператором сжатия (сужения или кон центрации) нечеткого множества.

Определение 4.34. Если A1, A2,...An - нечеткое множество в X 1, X 2,..., X n соответственно, то кортезитивным произведением нечеткого множества в пространстве ( X 1, X 2,..., X n ), функция принадлежности которого определяется в виде:

( xn )] или же ( x1, x2,...xn ) ( x1 ),....

A, A2... An A1 An (4.30) ( x1, x2,...xn ) ( x1 ), ( x2 ),.... ( xn ) A, A2... An A1 A2 An Пример 4.17.

А={20/0,1+21/0,3+22/0,4} В={60/0,33+65/0,45+70/0,78} R A B ( 20 60 ) ( 20 65 ) ( 20 70 ) / 0, [( 21 60 ) ( 21 65 ) ( 21 70 )] / 0,3 ( 22 60 )0, ( 22 65 ) / 0,45 ( 22 70 ) / 0, Иллюстрация основных операций над нечеткое множество приведено в таблице 4.1.

Отметим, что определение операций дополнение, объединение, пересечение и т.д. для нечеткого множества типа 2 сопровождается с использованием принципа обобщения. Однако удобнее выполнить это в два этапа:

сначала обобщить это определение для нечеткого множества типа 1 на нечеткие множества, значений функции принадлежности которых являются интервалы, а затем используя принцип обощения в форме множеств уровня перейти от интервалов к нечетким множествам.

Проиллюстрируем этот метод на примере обощения понятия пересечения на нечеткое множество типа 2.

Пусть А и В есть нечеткие подмножества типа множества Х. Тогда ( x ) min[ 0;

( (x) ( x ))], x X AB A B A( x ) и B ( x ) есть интервалы на [0;

1], т.е.если для Если фиксированного x A( x ) [ a1 ;

b1 ] и B ( x ) [ a 2 ;

b2 ], где a1, a2, b1, b2 зависят от x, то применяя принцип обощения [5] к функции (min) получим:

min([ a1 ;

b1 ];

[ a 2 ;

b2 ]) [min( a1 ;

a 2 ), min( b1 ;

b2 )] (4.31) В А АВ Х Рис.4. Таблица 4. № Название операций и симво- Символическая запись Графическое представление лическая запись (в классе) (в классе) (x) 1. Дополнение A X\ A(1 ) ( x) 1 ( x);

x X [ 0;

] (x ) (x) НЕ x (x) 2. Пересечение (минимум;

A3 ( ) A1 ( ) A2 ( ) невзаимодействующие [0;

1] переменные) 3(x) 2(x) И 1 ( x) 2 ( x) (И, …, И) 1 x;

2 x min xX 1 ( x) 2 ( x) min х 3. Объединение (максимум;

A3 ( ) A1 ( ) A2 ( ) невзаимодействующие [0;

1] переменные) 3 ( x) 2x ИЛИ (ЛИБО….ЛИБО) max 1 x ;

2 x xX O (x) 4. Ограниченное A3 A1 A 1 произведение [ 0;

1] 1 1 3 ( x) x 1 2 [0;

1] x x max 1 И 1 1 ( x) xX 2 ( x) 3 ( x) х (x) 5. Ограниченная сумма A3 ( ) A1 A 1 1 1 3 ( x) 2x [ 0;

1] 1 [0;

1] x x min 1, 1 ИЛИ xX 3 ( x) 2 ( x) 1 ( x) x 6. Алгебраическое произведение (x) 3 ( x) 2x A3 ( ) A1 A 1 x 2x [ 0;

1] [0;

1] [0;

1] 1 ( x) 2 ( x) 1 ( x) 2 ( x) x (x) 7. Алгебраическая сумма A3 ( ) A1 A 1 1 2 1 2 [ 0;

1] ( x) x 1 [0;

1] ИЛИ 1 ( x) x x 1 x 2x 2 ( x) [0;

1] x 8. Разность (x) A3 ( ) A1 A 1 3 ( x) x x 1 1 2 [ 0;

1] 1 ( x) [0;

1] x x max 0;

1 2 ( x) xX 1 ( x) 2 ( x) x 9. Концентрирование очень (x) 3 ( x) x xX (x) x Таким образом, если значения функции принадлеж ности подмножеств А и В есть интервалы на [0;

1], то пере сечение этих множеств имеет функцию принадлежности, значения которой так же явялются интервалом.

Пусть теперь для каждого x X, A (x) и B (x) есть нечеткие подмножества множества [0;

1]. Для простоты предположим, что эти подмножества выпуклы, т.е. множество уровня есть интервалы. Иными словами, предположим, что для каждого [ 0;

1 ] множества -уровня нечетких подмножеств А и В описываются функциями A (x ) и A (x ), принадлежности значениями которых являются интервалы.

Х Рис. 4. Применяя принцип обощения в форме A A к множествам -уровня нечетких подмножеств А и В называется множество, функция принадлежности которого A B определяется в виде:

x Xи [0;

] (4.32) ( x ) min( ( x) ( x )), AB A B При этом ( A B ) (A B) В заключении приведем перечень свойств множества нечетких подмножеств.

Если А, В, С –нечеткие подмножества универсального множества Х, то справедливы следующие свойства ABBA -коммутативность ABBA ( A B) C A ( B C ) ассоциативность ( A B) C A ( B C ) AAA идемпотентность AAA (A (B C) ( A B) (A C) дистрибутивность A (B C) ( A B) (A C) A где -обычное множество, таоке, что xi E, ( xi ) 0, A A, A E A, где Е-обычное множсетво, такое, что xi E, E ( xi ) A E E ( A) A -инволюция A B A B -теорема деструкция Моргана для A B A B нечетких множеств.

Отметим, что в отличии от обычных (четких множеств) Для нечетких множеств не выполняются условия AA иA A E §3 Принцип обобщения Принцип обобщения как одна из основных идей теории нечетких множеств имеет эвристический характер и позволяет расширить область определения исходного отображения на класс нечетких множеств, а также обощить определения операций над нечетким множеством типа 2 и выше [29-31]. Оно, в сущности, представляет со бой основное равенство, позволяющее расширить область определения отображения или отношения, включив в нее наряду с точками произвольные нечеткие подмножества универсального множества Х.

: X Y -заданное отображение, а А - не Пусть четкое множество в У с функцией принадлежности B ( y) sur A ( x ), yY x ( y) {x X ( x) y}. В случае нечеткого где : X Y имеем:

отображения B ( y ) sur min{ A ( x ), ( x, y ) (4.33) xX A X подмножество Конкретное, если вида:

A{ 1/x / x2 n / xn }.

..... Тогда принцип обобщения утверждает, что ( A) { 1/x / x2 / xn }..... n (4.34) ( x1 ) ( x2 )..... ( xn ) n 1 Итак, образ множества А можно получить, зная образы элементов при этом отображении.

Пример 3.18. Пусть Х={1+2+….+10} -оператор возведения в куб, А={1/1+1/2+0,8/3+0,6/4+0,4/5}. Тогда учитывая (4.34) имеем:

( A ) { 1 / 1 1 / 8 0,8 / 27 0,6 / 64 0,4 / 125 } Если носитель нечеткого множества имеет мощность континиум, то A A ( x) / x x X (4.35) x При этом принцип обобщения означает следующее:

( A) A ( x) / x) A ( x) / ( x) ( (4.36) x y (x ) точки множества При этом необходимо учесть, что y A (x ) -степень принадлежности (x) -нечеткому a подмножеству ( A) множества У.

В некоторых случаях принцип обобщения удобно использовать в другой форме, которая получается из (4.36) путем разложения А не на одноточечные нечеткие множества, а на соответствующие ему множества уровней:

A A В этом случае принцип обобщения выражаются в следующей форме:

1 ( A) A) (A ) ( (4.37) 0 Если носитель А имеет мощность континиум, то ( A) A (A ) (4.38) Замечание 4.3. Принцип обобщения в форме (4.41) позволяет расширить область определения отображения, включив в себя наряду с точками и произвольные нечеткие подмножества множества Х. Принцип обобщения в форме (4.38) позволяет рассмотреть область определения отображения, включив в нее наряду с обычными (не нечеткими) подмножествами Х произвольные нечеткие подмножества Х.

Следует отметить, что (4.36) и (4.38) эквивалентны, поскольку (4.38) вытекает из (4.36), если перегруппировать члены в различные множества А.

Замечание 4.4. Принцип обобщения аналогичен принципу суперпозиции для линейных систем, согласно которму, если L-линейная система и x1, x2,..., xn -входные сигналы, то откликом (изображением, образом) системы L на любую линейную комбинацию x 1 x1 2 x2... n xn, где i (i 1, n) -постоянные коэффициенты, являются:

L( x) L( 1 x1 2 x2 n xn )...

(4.39) 1 L( x1 ) 2 L( x2 ) n L( xn )...

Существенное различие между (4.39) и (4.34) состоит в том, что в (4.34) знак (+) означает объединение, а не арифметическую сумму и не ограничивается только линейным отображением.

Следует отметить, что во многих приложениях принципа обобщения возникает следующая проблема.

Имеется функция n-переменных f : x1 x2... xn y n нечеткое множество (отноше ние) А в X 1 X 2... X n, характеризующаяся функ цией принадлежности A(x1,... n) (xi Xi, i 1 n).

x, Непосредственное применение принципа обобщения (4.36) в этом случае дает:

f ( A) f A ( x1,...xn ) / x1,...xn ( x1... x n ) (4.40) A ( x1,..., xn ) / f ( x1,...xn ) y Однако во многих случаях нам бывает известно не само A1, A2,... An на множество А, а его проекции X 1, X 2,..., X n соответственно. В связи с этим возникает вопрос: как выражение для A следует использовать в (4.39)?

В этих случаях, если особенно не оговорено, будем предполагать, что функция принадлжености отноошения А имеет вид:

( x1,..., x n ) ( x1 ) ( x 2 )..... ( xn ) A1 A A A (4.41) n 1 min A ( x i ) i -функции принадлежности отношения Ai. Т.е. А где Ai есть наибольшее множество, проекции которого на X 1, X 2,..., X n суть A1, A2,... An соответственно.

Пример 4.19. Пусть X 1 X 2 {1 2.... 10} и A1 {примерно 2} {0,6 / 1 1 / 2 0,6 / 3} A2 {примерно 6} {0,8 / 5 1 / 6 0,7 / 7} f-операция возведения в квадрат.

f ( x1, x 2 ) x1 x 2 -арифметическое произведение. Используя (4.41) и применяя принцип обобщения (4.41) имеем:


2 6 {0,6 / 1 1 / 2 0,6 / 3} {0,8 / 5 1 / 6 0,7 / 7} {0,6 / 5 0,6 / 6 0,6 / 7 0,8 / 10 1 / 12 0,7 / 0,6 / 15 0,6 / 18 / 0,6 / 21} §4 Размытые нечеткие множества В [18] было предложено ввести в рассмотрение пока затель неопределенности, который можно использовать для оценки классификации объектов, описываемых нечет ким множеством. Там же были сформулированы основные свойства, которыми должен удовлетворять такой показа тель, называемый показателем размытости нечетких мно жеств. В качестве этого показателя был предложен функ ционал, аналогичный шенновской энтропии в теории ин формации. В настоящее время существует большое коли чество работ, в которых рассматриваются различные под ходы к определению показателя размытости нечетких множеств, обсуждаются их способы и возможные прило жения [4, 5, 8, 19, 22, 29, 50, 71].

Можно выделить несколько аспектов, связанных с понятием показателя размытости нечетких множеств: 1) интерпретация показателя размытости как показателя внутренней неопределенности, двусмысленности, проти воположности, обусловленных неполной, частичной при надлежностью объектов множеству;

2) интерпретация по казателя размытости, как мера отличия нечеткого множе ства от обычного множества;

3) существование нетриви ального показателя размытости, удовлетворяющего опре деленным свойствам, оказывается тесно связанным со свойствами самой алгебры нечеткое множество и характе ризующее как алгебраическую структуру. Рассмотрим ос новные результаты, связанные с понятием показателя раз мытости нечеткого множества в соответствии этих трех аспектов.

I. Аксиоматический подход к определению показателей размытости нечеткого множества Основные свойства, которым должны удовлетворятт показатели размытости нечеткого множества сформулированы в [16]. Можно привести список множест ва работ, в которых приведены различные модификации и дополнения этих свойств, положенные в основу аксиома тического определения показателя размытости нечеткого множества.

Показатель размытости нечеткого множества можно определить как меру внутренней неопределенности, дву смысленности объектов множества Х по отношению к не которому свойству А, характеризующему эти объекты и определяющему в Х нечеткое множество объектов А. Если некоторый объект x X обладает свойством А, но лишь в A ( x ) 1, то внутренняя неопреде частичной мере ленность, двусмысленность объекта х по отношению к свойству А проявляется в том, что он, хотя и в разной сте пени принадлежит сразу двум противоположным классам:

классу объектов, обладающих свойством “А” и классу объ ектов, не обладающих свойству “А”. Эта двусмысленность объекта х по отношению к свойству “А” максимальна, ко гда степень принадлежности объекта х обеим классам “А” и “не А” равны, т.е.

A ( x) 0,5;

неA ( x ) A ( x) 1 0,5 0,5.

И наоборот, двусмысленность объекта минимальна, когда объект принадлежит только к одному из этих классов, т.е.

либо A ( x ) 1 неA ( x ) 0, либо A ( x ) 0;

неA ( x ) 1. Таким образом, глобальный показатель раз мытости нечеткого множества можно определить в виде функционала F ( x ) R, удовлетворяющего следующим условиям:

1. d(A)=0 тогда и только тогда, когда А-обычное множество;

2. d(A) принимает максимальное значение тогда и только тогда, когда A ( x ) 0,5;

x X 3. d(A)d(B), если А является заострением B : A B, т.е. A ( x ) B ( x ) при B ( x ) 0,5;

A ( x ) B ( x) при B ( x ) 0,5;

и B (x ) любое при B ( x ) 0,5;

4. d(A)=d( A ) (симметричность по отношению к 0,5);

5. d ( A B ) d ( A B ) d ( A) d ( B ), т.е. d-является оценкой на решетке F(x). (где всюду d-нечеткий квантор-степень отличия нечеткости от четкости или же показатель размытости).

Условие 4 представляется достаточно естейственным, а условие 5 приводит к адитивности показателя размытости d.

В[25] установлено, что условие 5 при конечном Х выпол няется для любой функции d : F ( x) R тогда и только тогда, когда d – допускает представление N d ( A) Ti A ( xi ) (4.42) i Ti ( y ) -вещественнозначные функции от y [0;

1] и N – где число элементов множества X {x1, x 2,..., x n }.

В [25], [26] предлагается усилить условие и потребовать наряду с условиями 1 и 2 строгого возрастания d. В условии 3 d ( A) d (B ), если А является заострением В и A B. Тогда услови 2 окажется лишним, так как оно следует из условия 3, а из условия 3 и 5 следует, что условие 1 можно заменить на более простое: d ( )=0, т.е.

( )=0 для всех x X. Условия 5 и 6 d ( )= эквивалентны условию d ( A B ) d ( A) d ( B ), если A B.

q.7.

Итак, показатель размытости можно рассматривать как адаптивный (услови 7), симметричный условию 4 и строго возрастающий с увеличением размытости нечеткого множества (3) – функсионал, определенный на F (x).

Можно показать, что определенный на F (x) вещественный функционал является показателем размытости на F (x) тогда и только тогда, клгда он допускает представление (4.42), где для всех j {1,2,...N }Ti ( y ) вещественные функции от y [0;

1] такие, что Ti (0) 0;

Ti ( y ) Ti (1 y ), Ti ( y ) -строго возрастает на интервале [0;

0,5].

Здесь предполагается, что X {x1, x 2,..., x N }. По аналгогии с шенновской энтропией теории информации в [24] вводится логарифмическая энтропия нечеткого множества.

N d ( A) K S ( A ( xi )) (4.43) j где S-функция Шеннона (4.44) S ( y) y ln y (1 y ) ln(1 y ) и К-положительная константа. В (4.44) полагается, что S (0) S (1) 0.

В [10] исследуются также свойства показателя размытости (3.42), в котором Ti ( y ) имеет вид:

Ti ( y ) h( y ) h(1 y ) (4.45) где h( y ) -непрерывные и строго вогнутые функции в интервале [0;

1] такие, что 0. Этот показатель размытости связан lim h( y ) lim h( y ) y y 0 N с мощностью нечеткого множества P ( A) A ( xi ) сле i дующим образом d ( A) NT ( P ( A) / N ) В (4.45) функции h могут быть записаны в виде h( y ) yL(1 / y ), где L-непрерывная вогнутая функция в (1;

+ ).

Выбор L( y ) ln( y ) приводит к (4.43), а выбор L( y ) 1 1 / y приводит к функционалу N d ( A) A ( xi )[1 A ( xi )] (4.46) i Если моменты нечеткого множества определить в виде [10]:

1N K K M h ( A) A ( xi )[1 A ( xi )] A ( xi )] A ( xi ) [1, 2i K 1,2,....,, то показатель размытости (4.46) будет моментом первого порядка, логарифмическая энтропия может может быть выражена через моменты следующим образом:

M k ( A) d ( A) 2 (4.47) k1 K Если отказаться от условия адитивности 5, то показатель размытости может быть задан как монотонно возрастаю щая функция d ( A) F Ti ( A ( xi )) (4.48) k Выбор конкретного показателя размытости зависит от условий задачи.

В [10], [16] рассмотрена связь между показателями размытости нечеткого множества и неопределенностью, возникающей при принятии решения, к какому из двух классов “А” или “не А” отнести объекты множества Х.

Пример 4.20. Определить показатель размытости нечетко го множества.

A {1 / 0,2 3 / 0,4 4 / 0,8 5 / 0,9 6 / 7 / 0,6 8 / 0,4 9 / 0,3 10 / 0,1} На основании (4.46) имеем:

d ( A) 0,2 0,8 0,4 0,6 0,8 0,2 0,9 0,1 1 0,6 0,4 0,4 0,6 0,3 0,7 0,1 0,9 1, В эвклидовом пространстве на основании (4.48) имеем:

dA 0,2 2 0,4 2 0,2 2 0,12 0,4 2 0,4 2 0,32 0, 0, II. Метрический подход к определению показателя размытости нечеткого множества.

Показатель размытости нечеткого множества можно определить как меру отличия нечеткого множества от бли жайшего к нему обычного неразмытого множества с по мощью метрики, введенной в (x) [44, 55]. Другой способ задания показателя размытости множества с помощью мет рики – это определение его с помощью расстояния до мак симального размытого множества. A0,5;

A (x) 0,5, x X 0, и расстояния между нечетким множествами его дополне нием. Оказывается, эти подходы имеют много общего ме жду собой и определяемый с помощью метрики показатель размытости обладает многими ранее сформулированными свойствами.

~ Определение 4.35. Множество, ближайший к множеству A называется неразмытое множество А такое, что A ( x) 1 при A ( x ) 0,5. При A ( x) 0 при A ( x) 0,5 ~ этом Определение 3.36. Показатель размытости называется функционал 2N d ( A) ~ ( xi ) A ( xi ), (4.49) Ni 1 A который может быть представлен в виде:

2N d ( A) ( xi ) Ni 1 A A Если вместо расстояния Хемминга в (4.49) использовать евклидово расстояние, то:

2 N (4.50) d ( A) ( xi ) ( xi ) A A N i Здесь А и A -соответственно четкие множества, ближайшие к нечеткому множеству слева и справа.

Показатели (4.49) и (4.50) соответственно, вид (4.42) и (4.48) и удовлетворяют соответственно свойствам показателя размытости. В случае произвольной метрики.

d ( A) ( A, A) удовлетворяет свойтсвам условия 1 и условия 3.

Показатель размытости можно задать с помощью расстояния между нечетким множеством и его дополнением.

d ( A) K [ (, B) ( A, A )] xX ( A, A ) где В(х)=1, и в случае метрики Хемминга имеет вид:

N N ( A, A ) A ( xi ) A ( xi ) A ( xi ) 2 i1 i В общем случае такой показатель размытости удовлетворяет свойствам условий 1-4.

Показатель размытости можно задать функционалом [25,26].

d ( A) (, B) ( A, A0,5 ), который в общем случае удовлетворяет лишь свойствам 1, 2, 3.

Следует отметить, что свойства 1 и 2 в зависимости от определения показателя размытости не выполняеися для метрики.

( A, B) sur ( xi ) ( xi ) A B xX Пример 4.21.

Для A {x1 / 0,3 x2 / 0,8 x3 / 1 x4 / 0,6} и B {x1 / 0,8 x2 / 0,1 x3 / 0,1 x4 / 0} d ( A, B) 0,3 0,8 0,8 0,1 1 0,1 0,6 0 2, III. Другие подходы к определению показателей размытости В [26] предложено обобщение понятия неопределен ности на случай М-ортогональных свойств, т.е. таких M A j ( j 1, M ), ( x ) 1.

что Обычный показа Aj j тель размытости получается при М=2. Этот обобщенный показатель неопределенности описывается для каждого x X с помощью (4.45):

M (4.51) M ( x) ( x)) ( Aj j Этот показатель может использоваться при анализе процессов принятия решений на основе описания объектов с помощью М-ортогональных свойств.

Интересный вариант аксиоматизации показателей размытости предложен в [39], где рассмотрен класс С, дополненнный в алгебре нечетких множеств, введено понятие равновесного значения с(х)=х и дана расширенная интерпритация условия 3.

Условие 3‘. A B, если A ( x) C( A ( x )) B ( x) C( A ( x )) Для случая L-нечетких множеств, когда L-векторная решетка, показатель размытости (4.42) может быть представлено в виде:

d1 ( A) d 2 ( A) d ( A)..........

d k ( A) K d ( x) d j ( A), d ( Aj ) или его свертки где j показатель размытости нечеткого множества d ( A j ) на случай произвольного множества Х даются в работах [19, 8, 42]. Эти подходы основаны на понятиях сходящихся рядов, интеграла по мере и нечеткого интеграла.

В отдельную группу следует выделить показатели неопределенности в ситуации принятия решения, основанные на понятии мощности подмножества уровня нечеткого множества, A {x X / ( x) } Примерами могут служить max T( d A) A и двойственный ему показатель An ( 1 T( A) A), а так же показатель неопределенности W( log 2 A d A) и связанная с ним мера прироста информации.

B g( B) W( B) W( d A, A) log 2, A где A {x X ;

A };

B {x X;

B } IV. Решетка нечеткого множества и связь показателя размытости с алгебраическими свойствами.

Определение 4.37. Пусть Е-универсальное множество.

Предположим, что для каждой пары обычных подмножеств {xi, x j } множества Е существует один и {xi, x j } и только один элемент Е-нижняя граница существует один и только один элемент Е-верхняя граница {xi, x j }. В этом случае говорят, что Е-решетка или сетчатое множество [23, 43].

xi x j и xi x j -нижняя и верхняя границы Если {xi, x j }, то определение решетки можно записать:

( X i ), ( X j ), ( X i E и ( X j E) !Xk Xi X j и Xk E (4.52) !Xi Xi X j Xj E и Решетка обладает следующими свойствами:

AB BA коммутативность (4.53) AB BA A ( B C ) ( A B) C ассоциативность (4.54) A ( B C ) ( A B) C AA A идемпотентность (4.55) AA A A ( A B) A поглощение (4.56) A ( A B) A Определение 4.38. Решетка Е называется молярной, если для трех произвольных элементов X 1, X 2 и X 3 E ( X1 X3) ( X 1 ( X 2 X 3 )) (( X 1 X 2 ) X 3 ) (4.57) ‘~ где -означает отношение порядка на решетке.

~ Определение 4.39. Решетку Е будем называть дистрибутивной, елси выполняются условия:

X1, X 2, X 3 E X1 ( X 2 X 3 ) ( X1 X 2 ) ( X1 X 3 ) (4.58) X1 ( X 2 X 3 ) ( X1 X 2 ) ( X1 X 3 ).

Например: Е. F.

D.E.D..

В В.C.

. A A Рис.4. Решетка на рис.4.4 А модулярна. Проверим длщя АВ и С.

Имеем А С ~ A (B C) AA A;

( A B) C BC A Можно проверить, что рештка на рис. б дистрибутивна.

Определение 4.40. Пусть V-нижняя граница решетки Е, а элемент U-верхняя граница. Тогда элемент X j называется X i, если:

дополнением элемента Xi X j V и Xi X j U (4.59) X i дополнительный элемент элемента Обозначим через X i. Дополнение X i (если оно существует) не обязательно единственно.

Определение 4.41. Решетка Е называется решеткой с дополнением, если:

1) она обладает единственным элементом 0 inf( E ) и единственным элементом U sur (E ), 2) каждый X i E обладает по крайней мере одним дополнением Е.

Определение 4.42. Решетка, которая дистрибутивна и с дополнением, называется булевой, т.е. удовлетворяет слледующим свойствам булевой рештки:

1) для каждого элемента существует одно и только одно дополение;

Xi Xi = Xi;

2) для каждого имеем 3) X i X j X i X j ;

X i X j X i X j ;

(4.60) 4) каждая конечная булева решетка изоморф на решетке множества всех подмножеств относительно включения и наоборот.

Определение 4.43. Пусть A1, A2,..... An -множество, каждое из которых вполне упорядочено отношением.

Произведение множеств A1, A2,..... An упорядочено и образует решетку, называемую векторной решеткой, а отношение порядка на ней является отношением доменирования ( доменирует, если ) тогда и ~ только тогда, когда K1 K1, K 2 K 2,......K n K n, где ( K1, K 2,.....K n ) и ( K1, K 2,....K n ) (4.61) На рис. 4.5 изображена векторная решетка, образованная произведением множеств:

A { A1 A2 }, B {B1, B2, B3 } и C {C1, C2, C3 } Рис. 4. 132 означает ( A1B3C2 ) Отметим, что каждая векторная решетка дистрибутивна, но не имеет дополнений.

Произведение двух решеток есть решетка, т.е., если Е1 решетка, Е2-решетка, то E1 E2 -решетка.

E1 { A, B, C, D, E, F }, Например, имеем E2 {,,,, }и F E B A, F E C A, F E D A,,, то ( F, ) ( F ) ( FB) ( F );

( F ) ( E ) и т.д.

Существование показателя размытости тесно связано со свойтсвами алгебры нечеткого множества Заде. Для алгебры обычных множеств показатель размытости со свойствами условий 3, 4, 7 выражается в тривиальный показатель, всюду равный нулю. Для более общих алгебр такой показатель просто не существует.

Сначала установим соотношения, существующие между произвольными метриками и показателями размытости, а так же связь между свойствами показателя размытости и свойствами алгебры нечеткого множества.

Определение 4.44. Положительной оценкой на решетке F (x) называется функция нечеткого множества : F ( x) R, если она удовлетворяет свойству ( A B) ( A B) ( A) ( B) (4.62) A B следует и условию: из ( A) ( B) (4.63) F (x) Положительная оценка определяет наметрику:

( A, B) ( A B) ( A B) (4.64) Определение 4.45 Решетка F (x) с положительной оценкой и метрической решеткой нечеткого множества.

Определение 4.46. Метрика называется симметричной, если она удовлетворяет условию ( A, B) ( A, B ) (4.65) Так как в алгебре нечетких множеств выполняются законы Деструкция Моргана A B A B;

A B A B;

(4.66) то из (4.62), (4.64) и (4.66) следует, что метрика является симметричной тогда и только тогда, когда она определяется симметричной оценкой, т.е.

удовлетворяющей условию ( A) ( A) ( B) () (4.67) В [25], [26] доказаны:

Теорема 4.1. В метрической решетке нечетких множеств функционалы d ( A) 2 K [ ( B) ( A A )] (4.68) d ( A) 2 K [ ( A A ) ( )] (4.69) d ( A) K [ (, B) ( A, A )] (4.70) удовлетворяют свойствам условий 3,4,7 и они попарно тождественны тогда и только тогда, когда положительная оценка симметрична.

Теорема 4.2. Если -симметричная метрика, то функционал d ( A) K [ (0, B) 2 ( A, A0,5 )] (4.71) удовлетворяет свойствам условий q3, q4, q7 и тождественно функционалам (4.68)-(4.70), причем для любого показателя размытости, введенного в F (x) и удовлетворяющего свойствам условий q3, q4, q7 существет единственная согласованная с ним соотношение (4.51) симметричная метрика.

Примером симметричной оценки на решетке нечеткого множества может служить энергия нечеткого множества N E ( A) A ( xi ), i i которая определяет симметричную метрику N ( A, B) A ( xi ) B ( xi ) (4.72) i i и согласованную с нею меру энтропии:

d ( A) E( A A) N A ( xi ), A ( xi ) 2 min 1 (4.73) i i N N A ( xi ) 2 0, i i i1 i Сформуоируем усорвия, аналогичные условиям 3,4,7 для произвольных алгебр Деструкция Моргана ( Lm, U,, ).

Условие 7 удобнее записать в виде условий 5 и 6.[27] d( ) А.1.

d (a) d ( A ) А.2.

d ( A) d ( B), если A A B B А.3.

d ( A B ) d ( A B ) d ( A) d ( B ) А.4.

Теорема 4.3. На метрической алгебре Деструкция Моргана Lm с положительной оценкой может быть задана функ ция d, удовлетворяющая условиям А1-А4, тогда ти только тогда, когда Lm является булевой алгеброй. Функции (4.68)-(4.70), определенные на Lm, удовлетворяют услови ям А1-А4. Они попарно тождественны тогда и только то гда, когда оценка симметрична. Однако симметрична тогда и только тогда, когда определенная ею метрика сим метрична.

Наконец, следует отметить, что показатель размыто сти так же принято называть индексом нечеткости. [23] Причем, кроме (4.49)и (4.50) относительно расстоя ний Хемминга пользуются и квадратичным индексом не четкости, обозначив их 2~ ~ (4.74) ( A) d ( A, A) n ~ ~ (4.75) ( A) ( A, A) Число 2 появилось в числителе для того, чтобы получить ( A) 1 и 0 ( A) 1, так как 1 ~ ~ 0 d ( A, A) ( A, A) и 2 Например, по формуле (4.74) имеем:

b ~ ( A) ~ ( x) A ( x ) dx, а ближайшее обычное A b aa множество на рис.4. Рис.4. Пример 4. A {x1 / 0,6;

x2 / 0,2;

x3 / 0,5;

x4 / 1;

x5 / 0,7} A A {x1 / 0,4;

x2 / 0,8;

x3 / 0,5;

x4 / 0;

x5 / 0,3} Нечеткое подмножество с функцией принадлежности 2 A A ( x) иногда называют векторным индиктаором нечеткости. Таким образом, для A {x1 / 0,4;

x2 / 0,8;

x3 / 0,5;

x4 / 0;

x5 / 0,3} имеем векторный индекс нечеткости {x1 / 0,8;

x2 / 0,4;

x3 / 1;

x4 / 0;

x5 / 0,6} и ( A) 0, V. Оценка нечеткости через энтропию.

Как известно, энтропия системы измеряет степень беспорядка компонентов системы отностительно вероятностей состояния.

Рассмотрим конечное универсальное множество.

1, 2,...., N Рассмотрим N состояний системы, с которыми связаны вероятности P, P2,...., PN.

Тогда энтропия системы определяется выражением N H ( P1, P2,...., PN ) =- P ln P (4.76) i Легко показать, что H min 0 при P 1, N ) 1( (4.77) и Pi 0, i.

при P P2.... PN 1/ N, H max ln N (4.78) Если воспользоваться формулой 1N H ( P, P2,...., PN ) =- Pi ln Pi (4.79) ln N i то энтропия будет величиной, изменяющейся между 0 и 1.

H min 0;

H max 1 (4.80) Рассмотрим на примере, как использовать это понятие для оценки нечеткости подмножества.

Пусть A {x1 / 0,6;

x2 / 0,8;

x3 / 0,1;

x4 / 0,5;

x5 / 1} Пусть A ( xi ) A ( xi ) (4.81) A ( xi ) i 1 4 A ( x1 ) ;

A ( x2 ) A ( x3 ) ;

;

5 15 Тогда 1 A ( x4 ) ;

A ( x5 ) ;



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.