авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ АЗЕРБАЙДЖАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ НЕФТЯНАЯ АКАДЕМИЯ В.А.ИБРАГИМОВ ЭЛЕМЕНТЫ ...»

-- [ Страница 3 ] --

6 При этом H ( 1, 2, 3, 4, 5) 1 1 4 4 1 1 11 ln ln ln ln ln ln 5 5 15 15 30 30 66 Таким образом, общую формулу, позволяющую подсчитать энтропию по нечеткости, можно записать в виде:

H( A ( x1 ),... A ( x N )) 1N A ( xi ) ln A ( xi ) ln N i 1 N N (4.82) A ( xi ) ln A ( xi ) N i1 i ln N A ( xi ) i N A ( xi ) ln A ( xi ) i Заметим, что метод подсчета нечеткости через энтропию зависит не непосредственно от функции принадлежности, а от их относительных значений.

Отметим, что все обычные подмножества с единст венным ненулевым элементом имеют энтропию 0, пустое же подмножество всегда имеет энтропию, равную 1.

ГЛАВА V. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ И НЕЧЕТКИЕ ГРАФЫ §1. Понятие нечетких отношений и операции над ними Нечеткие отношения (НО) играют фундаментальную роль в теории нечетких (размытых) систем.

Понятие нечёткое отношение – это обобщение чётких отношений в теории нечеткого множества. Оно может мо делировать ситуацию, где взаимодействия между элемен тами являются более или менее сильными [6]. Различаются множество типов отношений (или соответствий): эквива лентности порядка, превосходства и т.д.

Обычное неразмытое n –арное отношение R определяется как подмножество декардово произведения n – множеств (X1 X2...Xn).

R X 1 X 2... X n Поэтому по аналогии:

Определение 5.1. Если (X1 X2...Xn) есть n универсумов, то n –арным нечетким отношением (НО) в X1 X2...Xn будем называть всякое подмножество R X 1... X n, заданного с помощью его функции принадлежности R ( x1, x 2,..., x n ) : X 1 X 2... X n [0;

1] (5.1) Сравнивая понятия четких и нечетких отношений очевидно, что обычное (четкое) отношение является частным случаем нечетких отношений. Кроме того, носителем нечеткого отношения R на множестве Х называется подмножество декартово произведения Х Y вида surrR {( x / y ) / x X, y Y, R ( x, y ) 0} (5.2) Отметим, что в приложениях теории нечеткого отношения часто оказывается удобным в качестве [0;

1] брать какую-либо более общую структуру, чем [0,1].

(например – множество вещественных чисел, множество лингвистических переменных, множество m-мерных векторов и т.д.). Такой подход к определению нечеткого отношения дает возможность, во-первых, строить интересные обобщения, понятия и отношения. Во-вторых, он позволяет применить интерпретацию различных функций как нечеткое отношение для анализа свойств этих функций. В-третьих, этот подход дает возможность связать и рассматривать с единой точки зрения многие понятия и методы, применяющиеся при анализе эмпирических данных, в частности, в классическом анализе.

Кроме того, следует отметить, что в качестве частных случаев можно рассмотреть тенарное отношение – множе ство из упорядоченных троек и бинарное нечеткое отно шение – множество из упорядоченных пар.

Ограничимся рассмотрением лишь бинарных нечетких отношений.

Определение 5.2. Бинарным нечетким отношением (БНО) R между множествами X и Y будем называть всякое его подмножество R ( X Y ), заданного с помощью его функции принадлежности R ( x, y ) : ( X Y) [0,1] (5.3) Носителем БНО является:

(5.4) surrR {( x, y ) / x X, y Y, ( x, y ) 0} Домен БНО R и его ранг определяются соответственно:

sur R ( x, y ), x X (5.5) dom ( R ) x sur R ( x, y ), yY (5.6) ran ( R ) x Отметим, что когда множество Х и Y совпадают, то НБО [0,1] называется НБО на множестве Х. Такому R: X Y отношению можно поставить в соответствии вещественный граф.

Пример 5.1. Если множества Х и Y конечны, то нечеткое отношение R между ними можно представить с помощью его матрицы отношения Таблица 5. R y1 y2 y3 y4 y5 y x1 0 1 0,6 0,7 0,7 0, x2 1 1 0,8 0,9 0,6 0, x3 0,6 0,8 0,8 0,6 0,4 0, x4 0,7 0,9 0,6 0,8 1 0, Элементы R(x,y) помещены в таблице 5.1 на пересечении строк и столбцов.

Пример 5.2. Пусть E1 E 2 X, где Х=(- ;

), т.е. Х – множество всех действительных чисел. Тогда отношение y x, где х Х, y Y есть нечеткое отношение на (XY).

Отношение y x можно задать следующим образом:

0, если y x ( x, y ), если y x ХY, (x - y) Следует также отметить, что при решении многих задач отдельных отраслей науки и техники нечеткое отношение рассматривается как нечеткое ограничение, композиция, нечеткое отношение ЕСЛИ-ТО и нечеткий граф.

z ( x1, x2,..., xn ) - есть Определение 5.4. Пусть переменная на Z x1... xn. Нечетким ограничением R(z) будем называть нечеткое отношение R, которое действует как гибкое ограничение на значение переменной Z.

Определение 5.3. Проекцией нечеткого отношения R на X i1,... X i k (где i1,...ik -подпоследовательность 1,2,...n) является отношение X i1,... X i k, определенное как (5.7) proj ( X, X i1,..., X i k ) surx j x j k R ( x1,...x n ) /( x1...x x n ) xj k x i1... x ik где (j1,...jk)-подпоследовательности, дополняющаяся до (i1,...ik) в (1,2,...,n).

Первую проекцию R определяет функция принадлежности (1) R ( x) R ( x, y ) (5.8) y аналогично вторую проекцию определяет ( 2) R ( y) R ( x, y ) (5.9) x Вторая проекция первой проекции (или наоборот) бу дет называться глобальной проекцией нечеткого бинарно го отношения и обозначается:

h( R ) R ( x, y ) R ( x, y ) (5.10) xy xy При этом, если h( R ) 1, то нечеткое отношение называют нормальным, если же h( R ) 1, то – субнормальным.

Пример 5.3.

Таблица 5. R y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 Первая проекция а) x1 0,1 0,2 0,4 1 0,6 0,5 0,8 б) x2 0,6 0,4 0 0,8 0,3 0,2 0,9 0, x3 0,2 0,3 0,1 0 0 1 0,3 x4 0,5 0,4 0,9 1 0,1 0,9 1 Вторая проекция Глобальная в) г) 0,6 0,4 0,9 1 0,6 1 1 проекция (1) R ( x1 ) ( x1, y ) max[0,1;

0,2;

0,4;

1;

0,6;

0,5;

0,8] y ( 2) R ( y1 ) ( x, y1 ) max[0,1;

0,6;

0,2;

0,5] 0,6 и т.д.

x Пример 5.4. Рассмотрим отношение xRy, где R ;

y R и R ( x, y ) l K ( x y ) x В этом случае для фиксированного значения х0.

(1) l k ( x0 y) l K ( x y) R ( x01 ) R ( x0, y ) y y ( 2) ( y 0 ) 1, то h( R ) Поскольку R R () x y Рис.5. Для простоты изложения все понятия, связанные с нечетким отношением приведем для бинарного нечеткого отношения.

Определение 5.4. Носителем нечеткого бинарного отношения R называется обычное (четкое) множество упорядоченных пар (x,y), для которых функция принадлежности положительна.

S ( R) {( x, y ) / R ( x, y ) 0} (5.11) xRy, Пример 5.5. Рассмотрим отношение где x R,y R l ( y x) yx 0, R ( x, y ) yx 0 0, Тогда S ( R) {( x, y ) / 0 y x 0,46} Определение 5.5 Пусть R и Q два нечетких отношения, такие, что ( x, y ) X 1 X 2 ;

R ( x, y ) Q ( x, y ) (5.12) тогда будем говорить, что Q содержит R или R содержится в Q.

Пример 5.6. Легко показать, что R содержит Q, если:

Таблица 5. R y1 y2 y3 y4 Q y1 y2 y3 y x1 x 0,3 0,4 0 1 0,2 0,3 0 0, x2 x 0,5 0,6 0,4 0,9 0,4 0,5 0,4 0, x3 x 0,8 0,3 0,1 0,7 0,6 0,3 0 0, Определение 5.6. Объединением двух нечетких отношений R и Q называется нечеткое отношение, обозначенное через R Q или R+ Q и определенное выражением:

max R ( x, y) Q ( x, y) (5.13) ( x, y) R ( x, y ) Q ( x, y ) RQ Если же R1, R2,...,Rn –нечеткие отношения, то R1 R 2... R n ( x, y ) Ri ( x, y ) (5.14) Ri Результат объединения обозначим:

n R Ri или R Ri (5.15) i i Пример 5.7. Для нечетких отношений R и Q из примера 4.6. имеем: R Q R Таблица 5. R Q y1 y2 y3 y x1 0,3 0,4 0 x2 0,5 0,6 0,4 0, x3 0,8 0,3 0,1 0, Определение 5.7. Пересечением двух нечетких отношений R и Q называется нечеткое отношение, обозначенное R Q и определенное выражением:

Q ( x, y ) min R ( x, y ) Q ( x, y ) (5.16) R Q ( x, y ) R ( x, y ) Если же R1, R2,...,Rn –нечеткие отношения, то (5.17) R1 R2.... Rn ( x, y ) Ri ( x, y ) Ri Пример 5.8. Для нечетких отношений R и Q из примера 5.6. имеем:

RQQ Определение 5.8. Алгебраическим произведением двух нечетких отношений R и Q называется нечеткое отношение, обозначенное R Q и определенное выражением:

R Q ( x, y ) R ( x, y ) Q ( x, y ) (5.18) Пример 5.9.

Таблица 5. Таблица 5. R y1 y2 y3 y4 Q y1 y2 y3 y x1 x 0,4 0,1 0,5 0 0,3 0,2 0,6 x2 x 1 0,6 0,1 0,8 0,8 1 0,3 0, x3 x 0,2 0,1 0,3 0,9 0,5 0,2 0 0, P ( x, y ) R ( x, y ) Q ( x, y ) Если P R Q, то Таблица 5. Р y1 y2 y3 y x1 0,12 0,02 0,3 x2 0,8 0,6 0,03 0, x3 0,1 0,02 0 0, Определение 5.9.Алгебраической суммой двух нечетких отношений R и Q называется нечеткое отношение, RQ обозначенное и определенное выражением ( x, y ) R ( x, y ) Q ( x, y ) R ( x, y ) Q ( x, y ) RQ Пример 5.10. Для нечетких отношений R и Q из примера 5.9 имеем:

Если G R Q, то на основании (5.19) G ( x1, y1 ) 0,4 0,3 0,4 0,3 0,58 и т.д.

G y1 y2 y3 y x1 0,58 0,28 0,8 x2 1 1 0,37 0, x3 0,6 0,28 0,3 0, Определение 5.10. Дополнением нечеткого отношения R есть такое нечеткое отношение R, что ( x, y ) X Y R ( x, y ) R ( x, y ) 1 (5.20) Пример 8.11. Для нечеткого отношения R из примера 4. имеем:

Таблица 5. y1 y2 y3 y R x1 0,6 0,9 0,5 x2 0 0,4 0,9 0, x3 0,8 0,9 0,7 0, Определение 5.11. Дизъюнктивной суммой двух нечетких отношений R и Q называется нечеткое отношение R Q и определенная выражением R Q R Q R Q (5.21) R Q (x, y) R (x, y) Q (x, y) Q (x, y) Q (x, y) 1 (5.22) R (x, y), 1 Q (x, y) R (x, y), Q (x, y) max min, min Пример 5.12. Пусть Таблица 5.9 Таблица 5. R y1 y2 y3 y4 Q y1 y2 y3 y x1 x 0,6 0,9 0 0,4 0,9 0,4 0,2 x2 x 0,3 0,5 0,8 1 0,3 0,7 0 0, x3 x 0,1 0,8 0,3 0,7 0,5 0,1 0,4 0, Тогда Таблица 5.11 Таблица 5. y1 y2 y3 y4 Q y1 y2 y3 y R Q x1 x 0,1 0,6 0 0 0,4 0,1 0,2 0, x2 x 0,3 0,3 0,8 0,4 0,3 0,5 0 x3 x 0,1 0,9 0,3 0,2 0,2 0,1 0,4 0, Откуда Таблица 5. y1 y2 y3 y R Q x1 0,4 0,6 0,2 0, x2 0,3 0,5 0,8 0, x3 0,2 0,9 0,4 0, ~ Определение 5.12. Пусть R - нечеткое отношение.

~ Обычным (четким) отношением, близким к R будем называть четкое отношение R, которое определяется выражением:

0, если ~ ( x, y ) 0, R R ( x, y ) 1, если ~ ( x, y ) 0,5 (5.23) R 0 или 1, если ~ ( x, y ) 0, R Это определение пригодно для любых универсальных множеств Х и Y, образующих Х Y и независимо от того, конечным или нет.

Пример 5.13. По договоренности принимают ~ ( x, y ) 0,5 = ~ ( x, y ) 0. Поэтому R R Таблица 5.14 Таблица 5. ~ y1 y2 y3 y4 Q y1 y2 y3 y R x1 x 0,4 0,7 0,6 0,2 0 1 1 x2 x 0,9 0,5 0,7 0,9 1 0 1 x3 x 0,2 0,1 0,8 0 0 0 1 Отметим, что для случая нечеткого множества анало гично определяются неразмытые (четкие) множества, бли жайшие к размытым нечетким множествам.

§2. Нечеткие графы Понятие графа так же, как соответствия и отношения играют важную роль в приближениях математики. Их можно обобщить на случай нечетких подмножеств. При этом обнаруживаются их новые интересные свойства.

Прежде чем ввести понятие нечеткого графа, выясним что же собой представляет граф? Любой граф состоит из двух групп элементов: точек и стрелок, соединяющих эти точки. Точки могут b a c d Рис.5. изображаться на плоскости, хотя могут и не иметь такой определенной «физической» связки. В частности, стрелки могут изображаться линиями, соединяющими пары точек.

Например, для графа, изображенного линиями, сое диняющими пары точек. Например, для графа, изображен ного на рис.5.1, точки помечены буквами а,b, c,d, а стрелки буквами,,,,,. Отметим, что имеются две стрелки и, которые идут из точки b в точку d, т.е. имеет началом точку b и концом точку d.

Тот же самый граф можно было бы задать не рисун ком, а просто пересечением стрелок (c, a), (a, b), (b, d ), (b, d );

(c, d );

(c, b);

представленных упорядоченными парами точек, где первая точка пары определяет начало соответствующей стрелки, а вторая ее конец. Придерживаясь стандартных терминологии точки графа, будем называть вершинами, а стрелки графа – дугами.

Дадим формальное определение графа.

Определение 5.13. Граф – это совокупность множества Х, элементы которого называются вершинами и множество А упорядоченных пар вершин, элементы которого называются дугами и обозначается как (Х,А).

Предполагается, что множество Х и множество А – содержат конечное число элементов.

В случае, когда две вершины соединяются двумя дугами (как на рис.5.1) можно обозначить (b, d )1 ;

(b, d ) 2.

Кроме того:

1) Дуга, начальная и конечная вершина которой совпадает, называется петлей;

2) Две вершины будем называть соседними, если есть их соединяющая дуга;

3) Любая последовательность дуг 1, 2,..., n, концевыми точками которых являются соседние вершины (для дуги i концевые вершины xi xi 1 ) называется цепью;

4) Длиной цепи называется число дуг, входящих в нее;

5) Циклом называется цепь, у которой начальная и конечная вершины совпадают;

6) Контуром называется путь, у которого начальная и конечная вершины совпадают;

а b c d ф l Рис.5. 6) Контуром называется путь, у которого начальная и конечная вершины совпадают.

На рис. 5.3 - является петлей;

b и c – соседние вершины;

последовательность,,,, - образует цепь длиной 5;

дуги,, - образуют контур длины 3.

Наконец, 7) будем говорить, что две дуги инцидентны друг другу, если обе они инцидентны одной и той же вершине;

8) Вершина и дуга инцидентны друг другу, если вершина для этой дуги является концевой или начальной точкой;

9) Цепь, путь, цикл или контур называется простым, если ни одна вершина не инцидентна более чем двум входящим в нее дугам (т.е. если цепь, путь, цикл или контур не содержат внутри себя циклов). На рисунке 5.3. цепь (, ) – простая, а цепь вершина (,, ) – не является простым, а цикл (,,, ) – не является простым циклом.

Определение 5.14. Граф называется связанным, если в нем для каждой пары вершин найдется соединяющая их цепь.

Графы 5.2 и 5.3 являются связанными. Кроме того, любой граф можно рассматривать как некоторую совокупность связанных графов.

Пусть Х есть некоторое подмножество множества Х, содержащее вершины графа G(Х,А). Граф, множество вершин которого совпадают с X, а множество дуг включают все дуги множества А с концевыми вершинами в X называется подграфом графа G, порожденным X.

Например, для графа на рис.5.3. имеем:

a b c b c d ф ф Рис.5.4 Подграф, Рис.5.5 Подграф порожденный вершинами (а,b,c) порожденный подмножеством дуг,, Определение 5.15. Совокупность дуг называется деревом, если она удовлетворяет следующим ус ловиям:

1) порождает связный подграф;

2) не содержит циклов.

В графе на рис.5.2 совокупности {,, };

{,, };

{,, };

{, };

{, };

{ };

{ } (5.24) образуют дерево.

Следует отметить, что дерево, состоящее из (n-1) дуги должно включать n вершин.

Определение 5.16. Любая совокупность дуг, не содержащая циклов, называется лесом.

Определение 5.17. Любое дерево, образованное совокупностью его дуг, включающих все вершины графа, называется покрывающим деревом графа.

В графе 5.2 {,, } образует покрывающее дерево.

Пусть G – произвольный граф без петель, состоящий из «m» строк, каждая из которых соответствует определенной вершине и «n» - столбцов, каждая из которых соответствует определенной дуге. Обозначим через g ij элементы G, матрицы которая определяется следующим образом.

1 если, вeршина которой соответствует i - я строка, является началом для дуги, соответствующий j - му столбцу.

g ij -1 если, вершина которой соответствует (5.25) i - я строка, является конечной для дуги, соответствующий j - му столбцу.

0 во всех других случаях.

При этом матрица G называется матрицей графа G.

Матрица графа, изображенного на рис.5.2 имеет следующий вид:

Таблица 5. G a 1 0 0 -1 0 b -1 1 1 0 0 c 0 0 0 1 -1 - d 0 -1 -1 0 0 Теперь, обобщая понятие графа в терминах определе ния 5.14, можно принять следующее понятие нечеткого графа.

Определение 5.18. Нечеткий граф – это совокупность нечеткого множества Х универсального множества под Е, элементы которого называются вершинами и Н множества А упорядоченных пар вершин, элементы которого называются дугами (пунктирными линиями).

Нечеткий граф также можно обозначить как (Х,А).

При этом нечеткость элементов множества А означает нечеткую связь между элементами множества Х. Это означает, что если множество Х даже будет четким множеством, а связь между его элементами (дуги связи, образующие пары вершин) будет нечеткой, то G(X,A) также называется нечетким графом.

Следует отметить, что понятие нечеткого графа вплотную связано с понятием нечеткого отношения, поэтому аналогично понятию бинарного нечеткого отношения, если Е – обычное (четкое) множество узлов, то нечеткий граф определяется как G ( xi, x j ) {( xi, x j ), G ( xi, x j ) 0, ( xi, x j ) E} (5.26) Если же Е – нечеткое множество, то нечеткий граф определяется аналогично нечетким отношением.

Пример 5.14. E {x1 x 2 x3 x 4 }. Тогда нечеткий граф может быть определен как G ( xi, x j ) {( x1 x 2 ) / 0,4;

( x1, x3 ) / 0,6;

( x1, x 4 ) / 1;

( x 2, x1 ) / 0,9;

( x3, x1 ) / 0,2;

( x3, x 2 ) / 0,7;

( x 4 x3 ) / 0,8} Таким образом, сравнивая понятия четкого и нечеткого графов, можно прийти к следующему выводу:

1) если в (5.26) G ( xi x j ) 1, то G -четкий граф ( xi x j ) 1, то G - нечеткий граф 2) если в (5.26) 0 G При этом в терминах определений 5.14 и 5. для четких графов А={0;

1}, а для нечетких графов А=[0;

1] Поэтому все выше приведенные понятия для четких графов применимы (справедливы) и для нечетких графов.

Говоря о связи между отношением и графом (будь обе четкие или нечеткие), следует отметить, что оба они представляют собой совокупность множества элементов (точек) и множества отдель ных совокупностей (связей) этих элементов. Од нако отличие графа отношения (четкого, либо не четкого) заключается в том. что для отношения не играет роль. направление связи между элемента ми, образующие их совокупности, когда для графа она играет важную роль.

Пример 5.15. Пусть Е = {х1х2х3х4} и пусть нечеткое отношение R ( xi x j ) {( x1 x 2 ) / 0,6;

( x1 x3 ) / 0,4;

( x1 x 4 ) / 1;

( x 2 x1 ) / 0,9;

( x3 x 2 ) / 0,2;

( x3 x1 ) / 0,7;

( x 4 x3 ) / 0,8} и G ( xi x j ) {( x1 x 2 ) / 0,6;

( x1 x3 ) / 0,4;

( x1 x 4 ) / 1;

( x 2 x1 ) / 0,9;

( x3 x1 ) / 0,7;

( x 4 x3 ) / 0,8;

} Построим их матрицы. Учитывая (5.24), имеем:

Таб R x1 x2 x3 x лица 5. x1 0 0,6 0,4 R x1 x2 x3 x x2 -0,9 0 0 0 0,6 0,4 а) б) x -0,7 -0,2 0 x2 0,9 0 0 x4 0 0 0,8 x3 0,7 0,2 0 x4 0 0 0,6 По аналогии с нечеткими отношениями определяется множество уровней нечеткого графа, т.е.

(xi x j ) E E (5.27) G (xi x j ) {xi x j }, (xi x j ) Пример 5.16. Для нечеткого графа примера 5.15. Рис.5. Нечеткий подграф уровня а = 0,6 будет:

R x1 x2 x3 x x1 0 0,6 0 x2 -0,9 0 0 x3 -0,7 0,2 0 x4 0 0 -0,8 Рис.5. Учитывая, что понятие прямого произведения двух множеств Е1 Е2 можно обобщить для произведения множеств Е1 Е2 … Еn имеем:

Определение 5.19. Нечетким графом называется нечеткое подмножество G E1 E 2... E n такое, что (0,1] (5.28) ( x1, x2,...xn ) E1 E2...En, G ( x1, x2,...xn ) Пример 5.17. E1 {x1, x2 };

E 2 { y1, y 2 };

E3 {z1, z 2 } ;

G {( x1, y1, z1 ) / 0,4;

( x1, y1, z 2 ) / 0,3 ( x1 y 2 z1 ) / 0,9;

( x1, y 2, z 2 ) / 1;

( x2 y1 z 2 ) / 0,2;

( x2 y 2 z1 ) / 0,7} есть граф в Е1 Е2 … Е3 А – есть множество ограниченных гиперповерхностей (n-1)-го порядка.

Из данного примера следует, что если пользоваться понятием (определением 5.13 или 5.18) графа, то для графа (четкого либо нечеткого) в E1 E 2 E3 А - есть множество ограниченных гиперповерхностей (n-1)-го порядка.

Таким образом, проведя резюме, можно принять следующее определение графа.

Определение 5.20. Граф - это геометрическое (гра фическое) представление отношений. При этом нечеткий граф- это графическое представление нечетких отношений.

Поэтому все свойства нечетких отношений спра ведливы и для нечетких графов.

§3. Композиция двух нечетких отношений Определение 5.21 - Если R1 X Y и R2 Y X нечеткие отношения, то композицией (mах-min) отношений R1 и R2 будем называть отношение, определяемое выражением:

R2 R1 ( x, z ) R1 ( x, y ) R2 ( y, z )] [ (5.29) y R1 ( x, y ) R1 ( x, y ) max min y и обозначенное R2 R1, где х Х;

y Y;

;

z Z.

Пример 5. 18. Рассмотрим два нечетких отношения R1 и R2, где х,y, z R+.

Пусть K ( x y) R1 ( x, y ) k (5.30) K ( y z) ( y, z ) k R Определим R2 R1 (x,y) Рассмотрим два значения х = а, y=b.Функции принадлежности непрерывны на [0;

] на [0;

со). В соответствии с (5.30) имеем:

k ( a y )2 ( y b ) R2 R1 ( a, b) V R1 ( a, y) R2 ( y, b) V y y k (a y) 2 k ( y b) e e a b y ab y k (a y) e..

aa b b y Рис. 5. Композиция R1 и R2 посредством (max-min) оператора представлена на рис.5.7. Легко видеть, что 2 ab ab ka ka 2 e e R2 R1 ( a, b) и для произвольных значений х и z имеем:

( x z) ka e R2 R1 ( a, b) Пример 5.19.

Если принять X={x1, x2, x3};

Y={y1, y2, y3, y5} и Z={z1, z2, z3, z4} и матрицы R1 и R2 имеют вид:

Таблица 5. R R z1 z2 z3 z y1 y2 y3 y4 y y1 0,8 0 0,4 0, x1 0,2 0,3 1 0 0, y2 0,3 1 0,6 x2 0,4 0,6 0 0,8 0, y3 0,7 0,9 0,4 x3 0,7 0,2 0 0 0, y4 0,1 0,9 1 0, а) б) Тогда Таблица 5. R R1 R z1 z2 z3 z x1 0,7 0,9 0,6 0, x2 0,4 0,6 0,6 0, x3 0,7 0,7 0,7 0, в) Отметим, что существует (max_*) композиции, среди которых наиболее важное внимание заслуживает (max_*), где *-есть умножение и она обозначается знаком ;

тогда ( x, z ) V R1 ( x, y ) ( y, z ) (5.30) R1 R 2 R y Пример 5.20. Для данных примера 5.19 имеем:

Таблица 5. R1 R z1 z2 z3 z x1 0,7 0,9 0,6 0, x2 0,32 0,6 0,5 0, x3 0,72 0,63 0,7 0, Определение 5.22. Обычным подмножеством -уровня нечеткого отношения R X X будем называть обычное подмножество G {( x, y ) / R ( x, y ) } (5.31) где G -нечеткий граф -уровня.

Пример 5.21. Рассмотрим нечеткое отношение, определенное формулой R ( x, y ) 1 y 1x Подмножество уровня 0,6 определяется условием 1 0, y 1x или же x 2 y 2 1,5 1, Это подмножество есть внешность круга r=1,5 с центром в начале координат.

Пример 5.22. Пусть Рис.5. Таблица 5. R y1 y2 y3 y4 y x1 0,4 0,6 0,9 1 x2 1 0,3 0,6 0,2 0, x3 0,3 0,4 0,5 0,8 0, x4 0,6 0,2 0,1 0,6 0, Тогда G0,6 {( x1 y 2 );

( x1 y3 ), ( x1 y 4 ), ( x2 y1 );

( x2 y3 ), ( x3 y 4 ), ( x3 y5 );

( x4 y1 ), ( x4 y1 ), ( x4 y 4 ), ( x4 y5 )} Обычное подмножество G можно определить другим способом с помощью обычного отношения R, такого, что ( x, y ) 1, если R ( x, y ) R (5.32) ( x, y ) R ( x, y ) 0, если R Применяя данные примера 5.22, имеем:

Таблица 5. R y1 y2 y3 y4 y x1 0 1 1 1 x2 1 0 1 0 x3 0 0 0 1 R0,6= x4 1 0 0 1 Так же как и для нечетких множеств справедливо свойство:

G G или, что то же самое 1 2 2 R R (5.33) 2 Теорема декомпозиции. Любое нечеткое отношение R можно представить в виде:

R V R,0 1, (5.34) где R ( x, y ) 1, если ( x, y ) (5.35) R R ( x, y ) 0, если R - означает, что все элементы Здесь запись обычного отношения умножаются на.

Доказательство. Функцию принадлежности для отношения R, определенного в (5.34) можно записать в виде:

(5.36) ( x, y ) V ( x, y ) V R ( x, y ) VR R R Пример 5. Таблица 5. 1 1 0 0,4 0,7 0 0,9 =V 0,4 1 1 1 0,5 1 0, 1 1 0 0,8 0,7 0 0 1 0 0 1 0 ;

0,6 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 ;

0, 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ;

0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 Ri Справедливо утверждение: обычные отношения, ближайшие нечетким отношением Ri(i=1, n ), то ( в частности) где R обозначает (max-min) композицию Пример 5.24.

Таблица 5. R y1 y2 y3 y4 y а) x1 0,1 0,2 0 1 0, x2 0,3 0,5 0 0,2 x3 0,8 0 1 0,4 0, R z1 z2 z3 z y1 0,9 0 0,3 0, y2 0,2 1 0,8 y3 0,8 0 0,7 б) y4 0,4 0,2 0,3 0, y5 0 1 R z1 z2 z3 z x1 0 1 0 в) x2 0 1 0 x3 1 0 1 R y1 y2 y3 y4 y x1 0 0 0 1 г) x 0 0 0 0 x3 1 0 1 0 R y1 y2 y3 y4 y д) x1 0 0 0 1 x2 0 0 0 0 x3 1 0 1 0 §4. Свойства нечетких отношений Различие типы нечетких отношений определяются с помощью свойств аналогичных свойствам обычных отно шений. В качестве основных свойств нечетких отношений рассмотрим свойства, имеющие такую же алгебраическую запись, что и обычные отношения.

1. Нечеткое отношение R называется симметричным, если R=R-1, R(x,y)=R(y,x), x,y X, x y (5.38) Пример 5.25. Если R –бинарное нечеткое отношение, заданное в виде:

Таблица 5. R y1 y2 y3 y4 y x1 0,2 0,4 0,1 0,7 0, x2 0,4 0,9 0,5 1 x3 0,1 0,5 0,6 0,4 0, x4 0,7 1 0,4 1 0, x5 0,3 0 0,9 0,6 0, то оно сисмметрично.

2. Нечеткое отношение R называется антисимметричной, если R R E, R ( x, y ) R ( x, y ) 0, x, y X (5.39) или же R ( x, y ) R ( y, x) R ( x, y ) R ( y, x) или Пример 5.26. Нечеткое бинарное отношение R, заданное в виде:

Таблица 5. R y1 y2 y3 y4 y x1 0,3 0 0 0,8 x2 0,8 0,1 0 0,7 0, x3 0,6 0,4 0,2 0,5 0, x4 0,1 0,4 0,6 0 x5 0 0,4 0,6 0 0, то оно антисимметрично.

3. Совершенная антисимметрия Л.А.Заде определяет антисимметрию иным способом, которую будем называть совершенной антисимметрией.

Совершенно антисиммметричным отношением называется такое отношение, что ( x, y ) E E и x y и R ( x, y ) 0 R ( y, x) 0 (5.40) R ( x, y ) 0 и Л.А.Заде дает другое определение:

R ( y, x) 0 R ( y, x) 0.

Справедливо устверждение. Любое совершенное антисимметричное отношение является антисимметричным отношением.

4. Нечеткое отношение R называется антисимметричной, если R R1 ;

R ( x, y ) R ( y, x) 0, x, y X (5.41) Пример 5.27. Нечеткое отношение R-антисимметрично.

Таблица 5. R y1 y2 y3 y4 y x1 0 0,8 0 0,3 x2 0 0 0,4 0 x3 0,6 0 0 0,2 0, x4 0 0,8 0 0 0, x5 0,9 0,1 0 0 5. Нечеткое отношение R- рефлексивно, если x Х;

R ( x, x ) 1 (5.42) Пример 5.28. Нечеткое бинарное отношение R рефлексивно, если оно задано в виде:

Таблица 5. R y1 y2 y3 y4 y x1 1 0 0,4 0,2 x2 0 1 0,5 0,7 0, x3 0,4 0,5 1 0,6 0, x4 0,6 0 0,2 1 x5 1 0,4 0,8 0,9 6. Нечеткое отношение R- слабо рефлексивно, если (5.43) R ( x, y ) R ( x, x), x X Это равносильное тому, что R ( x, y ) R ( x, x ), x X (5.44) Пример 5.29.

Таблица 5. R y1 y2 y3 y4 y x1 1 0,4 0,8 0,2 0, x2 0,5 1 0,6 0,4 0, x3 0,8 0,5 1 0,6 0, x4 0,4 0,1 0,5 0,8 0, x5 0 0,9 0,7 0,1 Нечеткое отношение R –слабо рефлексивно.

7. Нечеткое отношение R называется сильно рефлексив ной, если R ( x, x ) 1, R ( x, y ) 1, x X (5.45) Пример 5.30.

Таблица 5. R y1 y2 y3 y4 y x1 1 0,7 0,4 0,1 0, x2 0,8 1 0,6 0,3 0, x3 0,6 0,8 1 0 0, x4 0 0,2 0,3 1 0, x5 0,7 0,6 0,4 0,1 Нечеткое отношение R-сильно рефлексивно.

8. Нечеткое отношение R-антирефлексивно, если R ( x, x ) x X 0, (5.46) Пример 5.31.

Таблица 5. R y1 y2 y3 y x1 1 0,9 0,5 0, x2 0,8 0 0 x3 0,6 1 0 0, x4 0,7 0,8 0,4 Нечеткое отношение R-антирефлексивно.

9. Нечеткое отношение R-слабо антирефлексивно, если R ( x, x ) R ( x, y ), x X (5.47) 10. Нечеткое отношение R –сильно антирефлексивно, если (5.48) R ( x, x) 0;

0 R ( x, y ), x, y X Пример 5.32.

Таблица R R 5. y1 y2 y3 y4 y1 y2 y3 y x1 0 0,4 0,6 0 x1 1 0 0 x2 0,2 0 0,7 1 x2 0 1 1 x3 0,1 0,5 0,1 0,9 x3 1 0 1 x4 0,3 0,1 0,8 0 x4 0 0 0 а) б) R –слабо рефлексивно R –сильно рефлексивно 11. Нечеткое отношение R удовлетворяет условию транзи тивности, если для x, y, z X R ( x, z ) R ( x, y ), R ( y, z ) max min (5.49) Это отношение можно записать в виде:

T R ( x, z ) V R ( x, y ) R ( y, z ) (5.50) y где V-максимальное из значений, а -минимальное из значений. 0, Пример 5.33. x 0, Таблица 5. R 0,4 0, y1 y2 y3 y x1 0,2 1 0,4 0,4 x2 0, x4 x2 0 0,6 0,3 1 0, x3 0 1 0,3 x x4 0,1 1 1 0,1 0, Рис. 5. Это нечеткое отношение транзитивно. Роведем полную проверку:

Дуга ( x1 x2 ) ( x1 x1 ) ( x1 x1 ) 0,2 0,2 0, ( x1 x2 ) ( x2 x1 ) 1 0 ( x1 x3 ) ( x3 x1 ) 0,4 0 ( x1 x4 ) ( x4 x1 ) 0,4 0,1 0, 0,2;

( x1, x1 ) 0,2 0, max 0,2;

0;

0, Дуга ( x1 x2 ) ( x1 x1 ) ( x1 x1 ) 0,2 1 0, ( x1 x2 ) ( x2 x2 ) 1 0,6 0, ( x1 x3 ) ( x3 x2 ) 0,4 1 0, ( x1 x4 ) ( x4 x2 ) 0,4 1 0, max 0,2;

0,6;

0,4;

0,4 0,6;

( x1, x2 ) 1 0, Дуга ( x1 x3 ) ( x1 x1 ) ( x1 x3 ) 0,2 0,4 0, ( x1 x2 ) ( x2 x3 ) 1 0,3 0, ( x1 x3 ) ( x3 x3 ) 0,4 0,3 0, ( x1 x4 ) ( x4 x3 ) 0,4 1 0, ( x1, x3 ) 0,4 0, max 0,2;

0,3;

0,3;

0,4 0,4;

Дуга ( x1 x4 ) ( x1 x1 ) ( x1 x4 ) 0,2 0,4 0, ( x1 x2 ) ( x2 x34 ) 1 0 ( x1 x3 ) ( x3 x4 ) 0,4 0 ( x1 x4 ) ( x4 x4 ) 0,4 0,1 0, ( x1, x4 ) 0,4 0, max 0,2;

0 ;

0,1 0,2;

Дуга ( x2 x1 ) ( x2 x1 ) ( x1 x1 ) 0 0,2 ( x2 x2 ) ( x2 x1 ) 0,6 0 ( x2 x3 ) ( x3 x1 ) 0,3 0 ( x2 x4 ) ( x4 x1 ) 0 0,1 max 0;

0 ;

0;

0 0;

( x2, x1 ) 0 Проведя аналогичным образом подсчеты для дуг ( x2 x2 ) ;

( x2 x3 ) ;

( x2 x4 ) ;

( x3 x1 ) ;

( x3 x2 ) ;

( x3 x4 ) ;

( x4 x1 );

( x4 x2 );

( x 4 x3 ) и ( x4 x4 ), легко доказать, что взятое нечеткое отношение R удовлетворяет (5.47) и (5.48), т.е. оно транзитивно.

12. Нечеткое отношение R удовлетворяет условию слабой транзитивности, если из R ( x, y ) 0;

R ( y, z ) 0 следует R ( x, z ) 13. Нечеткое отношение R удовлетворяет условию сильной транзитивности, если из R ( x, y ) 0;

R ( y, z ) 0 следует, что R ( x, y ) 0;

R ( x, y ) R ( y, z ) 14. Нечеткое отношение R удовлетворяет условию сверхсильной транзитивности, если совместно с ( ) выполнено условие:

R ( x, y ) 0;

R ( y, z ) 0 R ( x, z ) R ( x, y ) R ( y, z ) 15.Нечеткое отношение R удовлетворяет условию ультраметрической транзитивности, если из R ( x, y ) 0 ;

0;

R ( x, y ) R ( y, z ) R ( x, z ) R ( x, y ) R ( y, z ) 16.

R( y, z ) Нечеткое отношение R удовлетворяет условию линейной транзитивности, если из R ( x, y ) 0;

R ( y, z ) 0 R ( x, z ) R ( x, y ) R ( x, z ) 17. Нечеткое отношение R удовлетворяет условию метрической транзитивности, если из R ( x, y ) 0;

R ( y, z ) 0 R ( x, y ) R( y, z ) R ( x, z ) R ( x, y ) R ( y, z ) 18. Нечеткое отношение R удовлетворяет условию отрицательной транзитивности, если из R ( x, y ) 0;

R ( y, z ) 0 R ( x, y ) 19. Нечеткое отношение R удовлетворяет условию квазисерийности, если из R ( x, y ) 0;

R ( y, z ) 0 R ( x, z ) R ( y, z ) 20. Нечеткое отношение R ациклической, если x0, x1,..., xn X ;

из R ( x0, x1 ) 0;

R( x1, x2 ) 0,..., R( xn 1, xn ) 0 следует, что R ( x0, x n ) Другие формулировки свойств нечеткого отношения можно найти в 32, 37, В заключении введем понятие транзитивности замыкания нечеткого отношения.

Определение 5.23. Транзитивным замыканием нечеткого отношение Rk R1 R € R...... (5.51) Rk где нечеткое отношение R k определяется как R, (к=1,2,…) € R Теорема 5.1. Транзитивное нечеткое замыкание любого нечеткого отношения R транзитивно им является наименьшим транзитивным отношением, включающим R, € т.е. R R и для любого нечеткого транзитивного € отношения Т такого, что R T, следует R T.

Из этой теоремы следует, что R транзитивно тогда и € только тогда, когда R R.

Если множество Х состоит из n элементов, то Rn R € R R... (5.52) В случае, когда R рефлексивно, то Rn Rn Rn R2 1 R...

Откуда следует, что R R n 1.

€ Весьма полезным фактом является то, что -уровень транзитивности замыкания соответствующего -уровня:

€ € R R для всех (5.53) [0;

1] Свойства операции транзитивного замыкания под робно рассматриваются в 32;

37;

Пример 5.34. Рассмотрим нечеткое отношение, представленное в виде Таблица 5. R R y1 y2 y3 y y1 y2 y3 y x1 0,6 1 0,6 0, x1 0,6 0,4 1 0, тогда x2 0,6 0,7 0,3 0, x2 0,1 0,7 0,3 0, x3 0,1 0,7 0,4 0, x3 0 1 0,4 0, x4 0,6 0,4 0,6 0, x4 0,6 0,3 0 0, а) б) Далее имеем:

Таблица 5. R3 R y1 y2 y3 y4 y1 y2 y3 y x1 0,6 0,7 0,6 0,8 x1 0,6 0,7 0,6 0, и x2 0,6 0,7 0,6 0,8 x2 0,6 0,7 0,3 0, x3 0,6 0,7 0,4 0,8 x3 0,6 0,7 0,4 0, x4 0,6 0,6 0,6 0,9 x4 0,6 0,6 0,6 0, а) б) Мы видим, что R 4 R 3 и поэтому вычисления можно прекратить. При этом Таблица 5. R R y1 y2 y3 y y1 y2 y3 y x1 0,6 0,7 0,6 0, x1 0,6 0,4 0,1 0, x2 0,6 0,7 0,6 0, x2 0,1 0,7 0,3 0, x3 0,6 0,6 0,4 0, x3 0 1 0,4 0, x4 0,6 0,6 0,6 0, x4 0,6 0,3 0 0, а) б) R y1 y2 y3 y x1 0,6 0,7 0,6 0, x2 0,6 0,7 0,6 0, x3 0,6 1 0,4 0, x4 0,6 0,3 0,6 0, Поскольку R R, то это нечеткое отношение не транзитивно.

Пример 5.35. Проведя аналогичные подсчеты легко показать, что нечеткое отношение R, заданное в виде Таблица 5. R y1 y2 y3 является транзитивным нечетким x1 0,6 0,7 0,6 отношением x2 0,6 0,7 0, x3 0,6 1 0, Пример 5.36. Пусть заданы два нечетких отношения Таблица 5. R R y1 y2 y3 y y1 y2 y3 y x1 0,7 0 0 x1 0,5 0,9 0 0, x2 0,8 1 0,6 x2 0 0,7 0 x3 0 0 0,5 x3 0 1 0,1 x4 0 0 0,2 x4 0 1 0,4 x5 0,8 1 0,6 x5 0,7 0.9 0 0, а) б) 2 Легко доказать, что R1 R1 и R2 R2, т.е. R1 и R2 транзитивные нечеткие отношения. Подсчитав R2 R1 и R2 R1 2 легко убедиться, что R2 R1 2 R1 R2 не выполняется и следовательно R1 R2 - не транзитивно.

Отсюда следует, что композиция двух транзитивных отношений не всегда транзитивное отношение.

§5. Классификация нечетких отношений Все типы нечетких отношений в зависимости от свойств, которыми они обладают, могут быть разделены на три класса: 1) симметричные отношения, которые обычно характеризуют сходство или различие между объектами множества Х и представляются с помощью взвешенного графа с неориентированными дугами;

2) антисимметрич ные отношения, которые задаются на множестве отноше ние упорядоченности, доминирование подчиненности. Им соответствуют ориентированные взвешенные графы с од носторонней ориентацией дуг;

3) класс отношений состоит из всех остальных отношений, которым соответствуют взвешенные графы с двухсторонней ориентацией дуг, при чем веса противоположно направленных дуг в общем слу чае могут не совпадать.

Отношения каждого из классов, в зависимости от выполнения условий рефлексивности или антирефлексивности, могут быть разделены на подклассы.

Рассмотрим конкретные нечеткие отношения.

1. Нечеткое отношение предпорядка.

Определение 5.24. Нечеткое отношение предпорядка называется бинарное нечеткое отношение, обладающее свойством транзитивности и рефлексивности.

Сначала рассмотрим важную теорему.

Теорема 5.2. Если R- транзитивно и рефлексивно (т.е.

предпорядок), то Rk R к=1,2,2,… (5.51) Доказательство. Из определения транзитивности R ( x, x ) 1 и поскольку R R R, то (5.49), елси согласно (5.29)имеем:

( x, z ) V R ( x, y ) R ( y, z ) (5.52) R2 y Правая часть содержит два равных члена R ( x, x ) R ( x, z ) R ( x, z ) R ( z, z ) R ( x, z ) (5.53) Поскольку в силу рефлексивности R ( x, x ) R ( z, z ) Напомним, что R-транзитивное отношение, т.е.

R ( x, z ) V R ( x, y ) R ( y, z ) y R ( x, z ) и поэтому не меньше, чем R ( x, z ) -значение R ( x, y ) R ( y, z ). Следовательно, правой части (5.52)и поэтому R2 R (5.54) Теорема 5.3. Если R-предпорядок, то R... R k R2 € R Доказательство. Это следует из теоремы 5.2, формул (5.48) и (5.54).

Пример 5.37. Рассмотрим предпорядок E {x1 x2 x3 x4 x5 } Таблица 5. R y1 y2 y3 y4 y x1 1 0,7 0,8 0,5 0, x2 0 1 0,3 0 0, x3 0 0,7 1 0 0, x4 0,6 1 0,9 1 0, x5 0 0 0 0 Рис.5. Так как R( x, x) 1, то R-рефлексивно. Докажем, что R2 R. В силу (5.52) имеем:

Дуга ( x1 x1 ) ( x1 x1 ) ( x1 x1 ) 1 1 ( x1 x 2 ) ( x 2 x1 ) 0,7 0 ( x1 x3 ) ( x3 x1 ) 0,8 0 ( x1 x4 ) ( x4 x1 ) 0,5 0,6 0, ( x1 x5 ) ( x5 x1 ) 0,5 0 ( x1, x1 ) max 1;

0 ;

0;

0;

0,5;

0 1;

Дуга ( x1 x2 ) ( x1 x1 ) ( x1 x2 ) 1 0,7 0, ( x1 x2 ) ( x2 x2 ) 0,7 1 0, ( x1 x3 ) ( x3 x2 ) 0,8 0,7 0, ( x1 x4 ) ( x4 x2 ) 0,5 1 0, ( x1 x5 ) ( x5 x2 ) 0,5 0 max 0,7 ;

0,7;

0,7;

0,5;

0 0,7;

Дуга ( x1 x3 ) ( x1 x1 ) ( x1 x3 ) 1 0,8 0, ( x1 x2 ) ( x2 x3 ) 0,7 0,3 0, ( x1 x3 ) ( x3 x13 ) 0,8 1 0, ( x1 x4 ) ( x4 x3 ) 0,5 0,9 0, ( x1 x5 ) ( x5 x3 ) 0,5 0 ( x1, x3 ) 0, max 0,8 ;

0,3;

0,8;

0,5;

0 0,8;

Дуга ( x1 x4 ) ( x1 x1 ) ( x1 x4 ) 1 0,5 0, ( x1 x2 ) ( x2 x4 ) 0,7 0 ( x1 x3 ) ( x3 x4 ) 0,8 0 ( x1 x4 ) ( x4 x4 ) 0,5 1 0, ( x1 x5 ) ( x5 x4 ) 0,5 0 ( x1, x4 ) 0, max 0,5 ;

0;

0;

0,5;

0 0,5;

Дуга ( x1 x5 ) ( x1 x1 ) ( x1 x5 ) 1 0,5 0, ( x1 x2 ) ( x2 x5 ) 0,7 0,2 0, ( x1 x3 ) ( x3 x5 ) 0,8 0,2 0, ( x1 x4 ) ( x4 x5 ) 0,5 0,6 0, ( x1 x5 ) ( x5 x5 ) 0,5 1 0, ( x1, x5 ) 0, max 0,5 ;

0,2;

0,2;

0,5;

0,5 0,5;

Дуга ( x2 x1 ) ( x2 x1 ) ( x1 x1 ) 0 1 ( x2 x2 ) ( x2 x1 ) 1 0 ( x2 x3 ) ( x3 x1 ) 0,3 0 ( x2 x4 ) ( x4 x1 ) 0 0,6 ( x2 x5 ) ( x5 x1 ) 0,2 0 max 0 ;

0;

0;

0;

0 0;

( x2, x1 ) Дуга ( x 2 x 2 ) ( x2 x1 ) ( x1 x2 ) 0 0,7 ( x2 x2 ) ( x2 x2 ) 1 1 ( x2 x3 ) ( x3 x2 ) 0,3 0,7 0, ( x2 x4 ) ( x4 x2 ) 0 1 ( x2 x5 ) ( x5 x2 ) 0,2 0 ( x2, x2 ) max 0 ;

1;

0,3;

0;

0 1;

Продолжая подсчеты получаем, что R2 R II. Нечеткое отношение подобия Определение 5.25. Отношение подобия или нечеткое отношение эквивалентности называется нечеткое бинарное отношение, обладающее свойствами: транзитивности, рефлексивности и симметричности. Очевидно, что это симметричный предпорядок.

Пример 5.38.

Таблица 5. R y1 y2 y3 y4 y x1 1 0,9 0,7 0,8 0, x2 0,9 1 0,7 0,8 x3 0,7 0,7 1 0,7 0, x4 0,8 0,8 0,7 1 0, x5 0,9 1 0,7 0,8 Рис.5. Из рисунка 5.12. видно, что нечеткое отношение R симметрично, главная диагональ состоит из единиц, поэтому R-рефлексивно и применяя (5.52) легко доказать, что R R, т.е. R- транзитивно.

Справедлива теорема 5.4. Пусть R E1 E2 есть отношение подобия. Пусть также x, y, z E. Положим R ( x, y ) R ( y, x ) a;

R ( x, z ) R ( z, x ) c, (5.55) R ( y, z ) R ( z, y) b Тогда c a;

или a c;

или a c a (5.56) Иными словами из величин a, b, c по крайней мере две величины равны друг другу, а третья больше двух других.

Теорема 5.5. (теорема декомпозиция для отношений подобия). Пусть R – отношение подобия в Е Е.

Тогда R можно разложить так:

R V R,0 R2 R 1 при 1 Приведем декомпозицию отношения R примера 5.38.

Имеем:

Таблица 5. R R0, x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x x1 1 0,9 0,7 0,8 0,9 x1 1 1 1 1 x2 0,9 1 0,7 0,8 1 x2 1 1 1 1 x3 0.7 0,7 1 0,7 0,7 x3 1 1 1 1 x4 0,8 0,8 0,7 1 0,8 x4 1 1 1 1 x5 0,9 1 0,7 0,8 1 x5 1 1 1 1 а) б) R0,8 R0, x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x x1 1 1 0 1 1 x1 1 1 0 0 x2 1 1 0 1 1 x2 1 1 0 0 x3 0 0 1 0 0 x3 0 0 1 0 x4 1 1 0 1 1 x4 0 0 0 1 x5 1 1 0 1 1 x5 1 1 0 0 в) г) R x1 x2 x3 x4 x x1 1 0 0 0 x2 0 1 0 0 x3 0 0 1 0 x4 0 0 0 1 x5 0 1 0 0 д) III. Нечеткое отношение порядка.

Определение 5.26. Нечетким отношением порядка называется бинарное отношение, которое: 1) рефлексивно (согласно (5.43)), 2) транзитивно (согласно (5.50)), 3) антисимметрично (согласно (5.42)).

Можно также дать следующее определение:

антисимметричное нечеткое отношение предпорядка называется нечетким отношением порядка.

Пример 5.39. Легко проверить, что нечеткое отношение К рефлексивно, транзитивно и антисимметрично.

R x1 x2 x3 x x1 1 0,7 0 x2 0,3 1 0 x3 0,4 0,5 1 0, x4 0 0 0 Теорема 5.6. Каждое нечеткое отношение порядка индуцирует порядок (в смысле теории множеств) на своем универсуме посредством отношения.

(5.57) R ( x, y ) R ( y, x) Этот порядок будем обозначать y x.

Доказательство.

Достаточно рассмотреть обычный антисимметричный граф, связанный с данным нечетким отношением порядка.

Определение 5.27. Нечеткое отношение называется полным порядком (или полностью упорядоченным нечетким отношением), если соответствующий ему обычный граф представляет полный порядок.

Кроме того, (по Л.Заде) оно называется отношением линейного порядка, если этот порядок совершенный.

Линейный порядок можно определить с помощью более строгого условия антисимметричности.

Пример 5.40.

Таблица 5. R x1 x2 x3 x x1 1 1 1 0, x2 0 1 0 x3 0 0,8 1 x4 0 0 0 Рис.5. Используя обозначение y x, если ~ R ( x, y ) R ( y, x) имеем x4 x 2 x3 x ~ Отметим, что различаются также нечеткое отношение строгого и нестрогого порядка. При этом: транзитивное, антирефлексивное и антисимметричное нечеткое отноше ние называется нечеткое отношение строгого порядка, а транзитивное, рефлексивное и антисимметричное нечеткое отношение называется нечеткое отношение нестрогого по рядка.

Пример 5.41. Рассмотрим xRy, где x, y R 0, если y x, если y x R ( x, y ) ( y x) Это отношение представляет собой строгий и совершенный порядок и при х=y;

R ( x, y ) 0.

IV. Отношение различия Определение 5.28. Нечеткое бинарное отношение, удовлетворяющее свойствам транзитивности, антирефлексивности и симметричности называется нечетким отношением различия, т.е. R - есть нечеткое отношение различия, если:

1) (5.58) ( x, y ), ( y, z ), ( x, z ) E E R ( x, z ) R ( x, y ) R ( y, z ) -(min-max) y ( x, y ) E E;

R ( x, x ) 2) 0 (5.59) ( x, y ) E E ;

R ( x, x ) R ( y, x) 3) (5.60) Сравнивая свойства отношения подобия со свойствами отношения различия, убеждаемся, что справедливое для нечеткого отношения подобие условия транзитивности (max-min), а условие рефлексивности на условие антирефлексивности.

Это означает, что нечеткое отношение различия яв ляется дополнением по отношению к нечеткому отноше нию подобия. В терминах теории вероятностей это следует понимать как два противоположных события.

Пример 5.41. Пусть R задано в виде Таблица 5. R х1 х2 х3 х4 х x1 0 0,1 0,3 0,2 0, x2 0,1 0 0,3 0,2 x3 0,3 0.3 0 0,3 0, x4 0,2 0,2 0,3 0 0, x5 0,1 0 0,3 0,2 Рис.5. Отметим, что приведенное нечеткое отношение R совпадает с отношением подобия R в примере 5.38.

В качестве упражнения проверим (5.58) для нескольких пар элементов. Дуга (х1х2) ( x1 x1 ) ( x1, x 2 ) 0 0,1 0, ( x1 x 2 ) ( x 2, x 2 ) 0,1 0 0, ( x1 x3 ) ( x3, x 2 ) 0,3 0,3 0, ( x1 x 4 ) ( x 4, x 2 ) 0,2 0,2 0, ( x1 x1 ) ( x5, x 2 ) 0,1 0,1 0, min[0,1;

0,1;

0,3;

0,2;

0,1] 0,1;

R ( x1 x 2 ) 0, Дуга (х1х3) ( x1 x1 ) ( x1, x3 ) 0 0,3 0, ( x1 x 2 ) ( x 2, x3 ) 0,1 0,3 0, ( x1 x3 ) ( x3, x3 ) 0,3 0 0, ( x1 x 4 ) ( x 4, x3 ) 0,2 0,3 0, ( x1 x5 ) ( x5, x3 ) 0,1 0,3 0, min[0,3;

0,3;

0,3;

0,3;

0,3] 0,3;

R ( x1 x3 ) 0, и т.д.

V. Отношение сходства Определение 5.29. Рефлексивное и симметричное нечеткое отношение называется нечеткое отношение сходства, т.е.

если R – есть нечеткое отношение сходства, то ( x, y ) E E;

R ( x, x ) R ( x, y ) R ( y, x) 1и Пример 5.42. Нечеткое отношение R является отношением сходства, так как оно рефлексивно и симметрично. Легко показать, что оно не транзитивно.

Таблица 5. х1 х2 х3 х4 х R x1 1 0,1 0,8 0,2 0. x2 0,1 1 0 0,3 x3 0,8 0 1 0,7 x4 0.2 0,3 0,7 1 0, Отметим, что 1) x5 0,3 1 0 0,6 (min-max) – расстояние на отношении сходства.

Если R есть отношение сходства, то его транзитивное € замыкание R есть отношение подобия. В таком случае понятие (min-max) – расстояние, порожденного R можно € определить через расстояние, порожденного R d R ( x, y ) 1 € ( x, y ) (5.61) R Пример 5.43. Рассмотрим нечеткое отношение R из примера 5.42. С помощью композиционной формулы € (5.29) можно подсчитать транзитивное замыкание R. При этом получим:

Таблица 5. х1 х2 х3 х4 х5 х1 х2 х3 х4 х R2 R x1 x 1 0,6 0,8 0,7 0,6 0 0,4 0,2 0,3 0, x2 x 0,6 1 0,6 0,6 1 0,4 1 0,4 0,4 x3 x 0,8 0,6 1 0,7 0,6 0,2 0,4 0 0,3 0, x4 x 0,7 0,6 0,7 1 0,6 0,3 0,4 0,3 0 0, x5 x 0,6 1 0,6 0,6 1 0,4 0 0,4 0,4 а) б) € Далее определяем R, так, что € ( x, y ) € ( x, y ) 1 (5.62) R R Наконец, имеем: d € ( x1, x 2 ) 0,4;

d € ( x1, x3 ) 0,2, R R d € ( x1, x 4 ) 0,3......, d € ( x3, x 4 ) 0,3,...... и т.д.

R R 2) (max-.) – транзитивное замыкание для отношения сходства Пусть R – отношение сходства. В некоторых случаях предпочтительнее измерить расстояние между элементами с помощью (max-.) ( x, z ) R ( x, y ) R ( y, z )] [ (5.63) R2 y (max-.)- транзитивное замыкание отношения определяется как x x R2 R 3...

€ R R (5.64) где R k R R...R (к=1,2,3,...) к-раз и К напоминает нам, что мы Здесь точка над имеем дело с (max-.) композицией.

Пример 5.44. Рассмотрим отношение сходства R из примера 5.42. Для этого нечеткого отношения имеем:

Таблица 5. х1 х2 х3 х4 х5 R 3 х1 х2 х3 х4 х R x1 x 1 0,3 0,8 0,56 0,3 1 0,3 0,8 0,56 0, x2 x 0,3 1 0,21 0,6 1 0,3 1 0,42 0,6 x3 x 0,8 0,21 1 0,7 0,42 0,8 0,42 1 0,7 0, x4 x 0,56 0,6 0,7 1 0,6 0,56 0,6 0,7 1 0, x5 x 0,3 1 0,42 0,6 1 0,336 1 0,42 0,6 а) б) Продолжая подсчеты легко доказать, что R R1 R 2 R 3 R 4 R € 3) (min-sum)-расстояние на отношении сходства Определение 5.30. (min-sum)- расстоянием будем называть величину R ( x, y ) € ( x, y ) (5.65) R Докажем, что эта функция удовлетворяет аксиомам расстояния 1) R ( x, y ) 0, так как R ( x, y ) [0,1] € R ( x, y ) R ( y, x), 2) поскольку нечеткое отношение € R симметрично.

€ 3) R ( x, x) 0, поскольку нечеткое отношение R рефлексивно, откуда следует, что € ( x, x) 0.

R 4) Докажем справедливость условия:

R ( x, y ) R ( y, z ) R ( x, z ) Имеем:

€ ( x, z ) € ( x, y ) € ( y, z ) R R R Откуда следует:

( x, z ) V 1 ( x, y ) ( y, z ) 1 € € € R R R y V1 ( x, y ) ( y, z ) ( x, y ) ( y, z ) € € € € R R R R y Это дает ( x, z ) ( x, y ) ( y, z ) Откуда на основании € € € R R R y (5.65) следует справедливость (5.66).

Пример 5.45. Рассмотрим опять пример 5.42. В примере € 5.44 подсчитано (max- ), т.е. R. Теперь (min-sum) – € расстояние будет задаваться нечеткое отношение R, для которого R ( x, y ) ( x, y ) 1 € ( x, y ) (5.66) € R R Учитывая, что Таблица 5. х1 х2 х3 х4 х5 Так ( x3 x5 ) =0, € R x1 0 0,664 0,2 0,44 0,664 ( x4, x2 ) =0,4 и. т.д.

x2 0,664 0 0,58 0,4 x3 0,2 0,58 0 0,3 0, x4 0,44 0,4 0,3 0 0, x5 0,664 0 0,58 0,4 Теорема 5.7. Пусть R – нечеткое отношение сходства.

Тогда всегда справедливо включение € € R R (5.67) т.е.

x,y;

d(x,y) (5.68) ( x, y ) Доказательство.

По условию (max-min) – транзитивности имеем:

R ( x, z ) R ( x, y ) R ( y, z ) y По условию (max- ) транзитивности имеем:

R ( x, x ) R ( x, y ) R ( y, z ) y но согласно условию a b a b, если a, b [0,1].

R ( x, y ) R ( y, z ) R ( x, y ) R ( y, z ) Откуда следует:

R ( x, y ) R ( y, z ) R ( x, y ) R ( y, z ) (5.69) y y max min т.е. R R R R, где - означает (max- ) – композиция, а - означает (max €€ min) – композиция. Отсюда R R и следовательно € € R R.

VI. Отношение несходства Определение 5.31. Антирефлексивное симметричное отношение называется отношением несходства, т.е. если R – отношение несходства, то 1) ( x, x) E E R ( x, x) 2) ( x, y ) E E R ( x, y ) R ( y, x) Справедливо свойство: Если R – отношение сходства, то R - отношение несходства и наоборот.

€ Теорема 5.8. Если R есть (max-min) –транзитивное € замыкание отношения сходства R, то R есть (min -max) – транзитивное замыкание соответствующего отношения несходства.

Доказательство. (max-min) транзитивное замыкание выражается непосредством (5.29) и (5.21).

Поэтому R R R 2 R 3... и € ( x, y ) R ( x, y ) R ( y, z ) (5.70) RR y Тогда транзитивное замыкание (min-max) записывается в виде:

R R ( R R) ( R R R)... (5.71) € R Пусть отношение сходства, R- отношение подобия, R - отношение несходства и R - отношение различия.

Тогда € R R (5.72) Действительно, ранее установлено, что если R- (max min) транзитивность, то R (min max) - транзитивность.

Покажем теперь, что RR RR (5.73) (max min) (min max) Имеем:

R R ( x, z ) R ( x, y) R ( y, z ) y ( x, z ) 1 R R ( x, z ) R ( x, y) R ( y, z ) RR R R ( x, y) R ( y, z ) R R ( x, z ) y т.е. справедливо (5.73) Теперь R2 R € R R R ( R R) ( R R R )...

...

R ( R R ) ( R R R )... R (согласно (5.73)).

Пример 5.46. Отношение несходства R Таблица 5. х1 х2 х3 х4 х R x1 0 0,7 0,4 0,9 0, x2 0,7 0 0,6 0,2 0, x3 0,4 0,6 0 0,4 0, x4 0,9 0,2 0,4 0 0, x5 0,1 0,3 1 0,5 VII. Нечеткое отношение ЕСЛИ-ТО Пусть А и В нечеткие подмножества на универсумах Х и Y. Для связи нечетких подмножеств А и В зададим на различных областях рассуждений Х и Y вводится понятие нечеткого условного утверждения (лингвистической импликации), т.е. А== при «ЕСЛИ А ТО В» [1].

Полученное импликацией отношение R выражается в терминах кортезитивного произведения подмножеств А и В, обозначенное как с функцией R AB принадлежности X ;

y Y (5.74) R ( x, y ) A B ( x, y ) A ( x) B ( y ), x min (смотри определение 4.35, пример 4.16) Может также встретиться вложение нечеткого отно шения. В этом случае имеем нечеткое отношение «ЕСЛИ А, ТО ЕСЛИ В, ТО С». При этом нечеткое отношение (5.75) R A (B C) A B C Нечеткая импликация может состоять из двух (или n го – конечного числа) импликаций;

соединяющихся с помощью соединений «ИЛИ (ИНАЧЕ)», «И» и т.д.

Пример 5.47. Пусть даны импликации ЕСЛИ Аi, ТО Bi (i 1, n), где Аi, - нечеткие подмножества из Y.

Результаты нечеткого отношения R вычисляется как объединение отдельных нечетких отношений Ri (i 1, n).

n n (5.76) R Ri Ai Bi i1 i причем R ( x, y ) max min Ai ( x), Bi ( y ) (5.77) i §6. Путь в конечном нечетком графе Рассмотрим в конечном графе G EE упорядоченный набор из r-элементов с повторениями или без повторения C ( x1, x 2,..., x r ), (5.78) где x k E (k 1, r ), при условии ( xi k, x i ) : R ( xi k xi k 1 ) 0 (k 1, (r 1)) (5.79) k Упорядоченную ломанную (5.79) будем называть путем из х1 в х r в графе G (или в отношении R).

С каждым видом пути (х1, х2,..., хr) будем связывать величину, определенную выражением l ( xi1, xi2,..., xi ) R ( xi1, xi2 R ( xi2, xi3 ) ) r (5.80) R ( xir x)... 1 iR Теперь рассмотрим все всевозможные пути, сущест вующие между двумя произвольными элементами xi x j E.

Пусть С ( xi x j ) - множество таких путей. Определим сильнейший путь C ( xi x j ) как l ( xi, x j ) l ( xi1 xi, xi2 xir xj) (5.81) xi x j При этом длиной пути l ( xi x j ) будем называть число на единицу меньше числа элементов, определяющих путь.

Рассмотрим несколько теорем.


Теорема 5.9. Если R E E, то * ( x, y ) E E;

R ( x, y ) l k ( x, y ) (5.82) где l k ( x, y ) - сильнейший путь длиной «К», существующий между x и y.

Доказательство. Достаточно рассмотреть (5.80) и (5.81), с одной стороны, и композицию R R.... R - с другой стороны, то получим справедливость (5.82). Фактически речь идет об одной и той же (max-min) - операции, представленной двумя различными способами.

€ Теорема 5.10. Пусть R - транзитивное замыкание R, тогда ( x, y ) E E ;

R ( x, y ) l ( x, y ) (5.83) € Доказательство. Справедливо (5.83) следует из € определений R и l ( x, y ).

Теорема 5.11. Пусть n=card E. Если К-длина пути из xi в xj и k n, то некоторые элементы пути входят в него более одного раза, причем в этом пути имеется, по крайней мере, один контур (замкнутый путь). Если этот (или эти) контур (ы) удалить, то полученный путь будет меньше или равен n;

можно также установить, что * li* l k ( x, y ) n ( x, y ) (5.84) E E и n=card Е, тогда Теорема 5.12. Если R Rn R € R R... (5.85) Доказательство. Утверждение теоремы непосредственно следует из теоремы (5.10).

Пример 5.48. Рассмотрим отношение R.

Таблица 5. х1 х2 х3 х4 х R x1 0 0,9 0,4 1 x2 0 1 0 0,5 x3 0,6 0 0 0 0, x4 0 0,8 0 1 x5 0,4 0 0,8 0 Рис.5. Определим сильный путь между различными элементами нечеткого множества Е {x1 x 2 x3 x 4 x5 }.

Приведем результаты подсчетов на основании теоремы (5.10).

Таблица 5. R R R 2 х1 х2 х3 х4 х5 х1 х2 х3 х4 х R R x1 x 0,4 0,9 0 1 0,4 0,4 0,9 0,4 1 0, x2 x 0 1 0 0,5 0 0 1 0 0,5 x3 x 0,4 0,6 0,7 0,6 0 0,6 0,6 0,7 0,6 0, x4 x 0 0,8 0 1 0 0 0,8 0 1 x5 x 0,6 0,4 0,4 0,4 0,7 0,6 0,4 0,8 0,4 0, а) б) R R2 R R 3 х1 х2 х3 х4 х5 х1 х2 х3 х4 х x1 x 0,4 0,9 0,4 1 0 0,4 0,9 0,4 1 0, x2 x 0 1 0 0,5 0 0 1 0 0,5 x3 x 0,6 0,6 0,4 0,6 0,7 0,6 0,6 0,7 0,6 0, x4 x 0 0,8 0 1 0 0 0,8 0 1 x5 x 0,4 0,6 0,7 0,6 0,4 0,6 0,6 0,8 0,6 0, в) г) R4 R2 R3 R R 0,4 0,9 0,4 1 0,4 0,4 0,9 0,4 1 0, 0 1 0 0,5 0 0 1 0 0,5 0,4 0,6 0,7 0,6 0,4 0,6 0,6 0,7 0,6 0, 0 0,8 0 1 0 0 0,8 0 1 0,6 0,6 0,4 0,6 0,7 0,6 0,6 0,8 0,6 0, д) е) R€ R 0,4 0,9 0,4 1 0,4 0,4 0,9 0,4 1 0, 0 1 0 0,5 0 0 1 0 0,5 0,4 0,6 0,7 0,6 0,4 0,6 0,6 0,7 0,6 0, 0 0,8 0 1 0 0 0,8 0 1 0,6 0,6 0,4 0,6 0,7 0,6 0,6 0,8 0,6 0, R R2 R3 R4 R € R ж) з) Проведем подробный подсчет величины пути l1 ( x3, x 4 ). 36, 1) l1 ( x3, x 4 ) l ( x3, x1 ) l ( x1, x 4 ) 0,6 1 0, 2) l 2 ( x3, x 4 ) l ( x3, x5 ) l ( x5, x ) l ( x1 x1 ) 0,7 0,4 1 0, 3) l3 ( x3, x 4 ) l ( x3, x1 ) l ( x1, x 2 ) l ( x 2 x 4 ) 0,6 0,9 0,5 0, 4) l 4 ( x3, x 4 ) l ( x3, x5 ) l ( x5, x1 ) l ( x1 x 2 ) l 2 ( x 2 x 4 ) = =0,7 0,4 0,9 0,5=0, Таким образом, l * ( x3, x 4 ) l1 ( x3, x 4 ) l 2 ( x3, x 4 ) l 3 ( x3 x 4 ) l 4 ( x3 x 4 ) 0,6 0,4 0,5 0,4 0, С другой стороны ранее подсчитано, что € ( x, x ) 0,6. Отсюда следует подтверждение R справедливости теоремы (5.10).

Отметим, что здесь отброшены замкнутые контуры l ( x3, x1, x3 );

l ( x 4, x 4 ) и l ( x 2 x 2 ) и l ( x 4, x 2, x 4 ).

Легко проверить, что и при учете этих замкнутых контуров l * ( x3, x 4 ) 0, §7.Разложение на максимальные подотношения подобия Проблема разложения отношения сходства на макси мальные подотношения подобия, когда отношение сходст ва (или соответствующее понятие расстояния) не позволя ют получить классы подобия для расстояний меньших или равных заданному, связана с проблемой получения обык новенных максимальных плоских подграфов соответст вующих обычного графа.

Рассмотрим алгоритмы получения максимальных полных подматриц или главных подматриц.

I. Алгоритм Мальгранжа. Описание этого алгоритма требует введения некоторых понятий.

Определение 5.32. Полной подматрицей будем называть подматрицу, все элементы которой равные единице.

Определение 5.33. основной подматрицей или же макси мальной полной подматрицей будем называть полную подматрицу, которая не содержит другую полную под матрицу.

Определение 5.34. Покрытием булевой матрицы будем называть множество полных подматриц, которые покрывают все единичные значения этой матрицы.

Пример 5.49. Для матрицы M имеем следующие основные подмножества:

Таблица 5. y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y x1 0 1 0 1 1 1 0 x2 0 0 1 0 0 1 0 M x3 1 0 0 0 1 0 0 x4 0 1 0 0 0 0 0 x5 1 0 0 0 0 1 1 x6 1 1 0 1 1 1 0 y1 y2 y4 y5 y y2 y4 y5 y6 y x6 1111 x1 1111 y y y2 y4 y5 y x1 x1 x1 x3 x2 x6 x5 x5 x6 - y3 y y y1 y6 y7 y x2 x3 x5 х5 x6 y y1 y5 y x3 x3 х4 x6 Пусть К – множество строк, j-множество столбцов булевой матрицы. Каждая полная подматрица определяется упорядоченной парой обычных подмножеств K p J q, где K p K j J q J. Можно показать, что операции и, которые двум полным подмножествам булевой матрицы M, скажем M 1 определяется посредством K1 J M1 M 2 K2J M1 M 2 M - определенный упорядоченной парой K1 K 2, J 1 J M1 M2 M -определенный упорядоченной парой K1 K 2, J1 J 2 - есть внутренние операции на множестве М полных подмножеств матрицы M.

Для формирования всех полных матриц покрытия C M 1, M 2,..., M p (5.87) следует придерживаться следующих правил 1. Вычеркиваются все матрицы M r, содержащиеся в других матрицах покрытия С.

2. К покрытию С добавляются подматрицы, полученные применением операций и, ко всем парам матриц M r и M j, входящих в покрытие (кроме полных подматриц, которые уже содержатся в подматрицах покрытия С, что исключает бесконечный процесс).

Пример 5.50. Найти основные подматрицы булевой матрицы таблицы 5.42.

Этап 1. Выберем покрытие y2 y4 y5 y6 y х1 1 1 1 1 M1 ;

y3 y х2 M2 ;

y1 y5 y M3 ;

х3 1 1 y M4 х4 1 ;

y1 y6 y7 y х5 1111;

M y1 y2 y4 y5 y M6 1;

х6 Этап 2 (второе правило) Подсчитаем объединения и пересечения:

K1 K2 x1 ;

x 2 ;

J1 J2 y K1 K3 x1 ;

x3 ;

J1 J3 y 5, y K1 K4 x1 ;

x 4 ;

J1 J4 y K1 K5 x1 ;

x5 ;

J1 J5 y 6, y K1 K6 x1 ;

x6 ;

J1 J6 y 2, y 4, y5, y y6 y5 y х1 х 1 ;

M8 11;

M х2 х 1 y2 y6 y х1 1 ;

M 10 х1 11;

M х4 1 х5 y2 y4 y5 y х1 1 1 1 1 ;

M х6 1 1 1 K2 K3 x 2 ;

x3 ;

J 2 J y K2 K4 x2 ;

x4 ;

J 2 J х2 х6 M K 21 K5 x 2 ;

x5 ;

J 2 J5 y y х2 K2 K6 x 2 ;

x6 ;

J 2 J6 y6 M х6 y1 y K3 K4 x3 ;

x 4 ;

J 3 J х3 K3 K5 x3 ;

x5 ;

J 3 J5 y1 ;

y8 M х5 y1 y х3 1 K3 K6 x3 ;

x 6 ;

J 3 J6 y1 ;

y5 M х6 1 y K4 K5 x 4 ;

x5 ;

J 4 J х1 K4 K6 x 4 ;

x6 ;

J 4 J6 y2 M х6 y1 y х15 1 K5 K6 x5 ;

x 6 ;

J 5 J6 y1 ;

y 6 M х0 1 Этап 3 (первое правило). Выпишем новое покрытие C M 1, M 2, M 3, M 5, M 6, M 7, M 8, M 9, M 10, (5.86) M 11, M 12, M 13, M 14, M 15, M 16, M M4 содержится в M Этап 4. (Второе правило). Подсчитаем объедине ния и пересечения.

K1 K12 x1 ;

x 2, x5 J1 J 12 y6 M K1 K13 x1 ;

x 2, x6 J1 J 13 y6 M K1 K14 x1 ;

x3, x5 J1 J 14 y8 M K1 K15 x1 ;

x3, x6 J1 J 15 y5 M K1 K16 x1 ;

x 4, x6 J1 J 16 y2 M K1 K17 x1 ;

x5, x6 J1 J 17 y6 M Этап 5. (Первое правило) Выпишем все покрытия C M 1, M 2, M 3, M 5, M 6, M 8, M 10, M 11, M 14, M 15, M 17, M 18, M 19, M 20, M 21, M 22, M Этап 6. (Втрое правило). Подсчитаем объединения и пересечения K18 K13 x1 ;

x 2, x5 ;

x6 J 18 J 19 y6 M K18 K 20 x1 ;

x 2, x3 ;

x5 ;

x6 J 18 J K18 K 21 x1 ;

x 2, x3 ;

x5 ;

x6 J 18 J K18 K 22 x1 ;

x 2, x 4 ;

x5 ;

x6 J 18 J K18 K 23 x1 ;

x 2, x5 ;

x6 J 18 J 23 y6 M M 24 M Поэтому Этап 7. (Первое правило). Выпишем все покрытия C M 1, M 2, M 3, M 5, M 6, M 8, M 10, M 11, M 14, (5.87) M 15, M 17, M 19, M 20, M 22, M Перейдем теперь к нахождению максимального по дотношения подобия с помощью алгоритма Мальгранжа.

В качестве примера рассмотрим обычный симметричный граф на рис. 5.12.

Таблица 5. х1 х2 х3 х4 х5 х 6 х1 х4 х6 х2 х3 х x1 x 1 1 1 1 0 1 5 1 1 1 1 1 0 x2 x 1 1 0 1 0 1 4 1 1 1 1 1 0 x3 x 1 0 1 1 0 0 3 1 1 1 1 0 1 x4 x 1 1 1 1 0 1 5 1 1 1 1 0 0 x5 x 0 0 0 0 1 1 2 1 1 0 0 1 0 x6 x 1 1 0 1 1 1 5 0 0 1 0 0 1 a) b) в) Рис.5. Найдем основные подматрицы соответствующей бу левой матрицы (рис.5.14), которые составят ее покрытие.

Повторяя рассуждения, проведенные в примере 5.50, получим:

C M 1, M 6, M 7, M 8, M 9, M 10, M 11 (5.88) При получении (5.88) исключены подматрицы M 2, M3, M7 M и как содержащиеся в других подпокрытиях этого покрытия.

§8. Обратная задача для нечетких отношений При моделировании нечетких систем часто возникает необходимость определения входных лингвистических переменных по заданным вы ходным при наличии нечетких рассуждений. К та ким задачам относится ряд задач диагностики не четких систем, задачи оптимального управления нечеткой системой при заданном нечетком целе вом множестве, характеризующем критерий каче ства системы и т.д.

Рассмотрим два подхода к решению задач для нечетких отношений с применением и - ком позиции и с применением и - композиции.

В §3 приведено понятие композиции нечеткие отношений. По аналогии приведем понятие композиции.

Определение 4.35. Если R1 X Y R2 Y Z - не четкие отношения, то - композицией отношений R1 и R2 будем называть отношение, определенное с помощью функции принадлежности ( x, z ) R1 ( x, y ) Z R 2 ( y, z ) R1 R yY (5.89) где a, b [0,1], операция определяется как 1, если а b c ab b, если a b (5.90) Отметим, что если a, b [0,1], c a b является наибольшим элементом в [0,1] таким, что a c b, то справедливо неравенство a ( a b ) b. Если a, b, d [0,1], то легко проверить, что a (a b) a d и a (b d ) a b, а также a (а и ) b.

Используя данные соотношения, можно дока зать следующие свойства нечетких отношений:

R2 1 ( R1 R2 ) R (5.91) R1 ( R1 R2 ) R (5.92) R2 1 ( R1 R2 ) R2 R1 R2 (5.93) (5.94) R1 (R R1 R2 R1 R В работе [26] показано, что обратное решение задачи для нечетких отношений базируется на двух теоремах.


Теорема 5.13. Пусть R1 X Y, R1 R2 X,z Y Z - множество нечеткие отношения, то если нечетких отношений R2, то, тогда и только тогда, когда R2 R1 1 R1 R2 является наибольшим элементом.

Теорема 5.14. Пусть R1 R2 X, Z и R2 Y Z X, Y - множество нечеткие отношения: тогда, если нечетких отношений, то 0 тогда и только тогда, когда R2 R1 R1 R2 1 ;

R2 – является наибольшим элементом.

Если композиция нечетких отношений определяется через минимакс, то рассмотренные теоремы могут быть заменены двойственными.

Определение 5.36. Если R1 X Y ;

R2 Y Z нечеткие отношения, то -композицией двойственной композицией будем называть нечеткое отношение Q R1 R2, Q X Z, нечетких отношений R1 и R2, которое определяется с помощью функции принадлежности Q ( x, z ) R1 ( x, y ) R2 ( y, z ), (5.95) yY где a, b [0,1] операция определяется как b, если a b c ab 0, если a b Двойственные теоремы для -композиции можно сформулировать следующим образом.

Теорема 5.15. Пусть R1 и Q – нечеткие отношения, тогда если F Y Z - множество нечетких отношений R2 F таких, что R1 R2 Q, то F 0 тогда и только R2 R2 Q 1 ;

R2 F € тогда, когда является наименьшим элементом F.

Теорема 5.16. Пусть Q X Z и R2 Y Z нечеткие отношения, тогда, если F X Y - множество нечетких отношений, таких что R1 R2 Q, то F 0 тогда и только тогда, когда R2 R1 Q € € F, Q является наименьшим значением.

Из теорем 5.13, 5.14 видно, что -композиция позволяет определить верхнюю грань подмножества решений обратной задачи для нечеткого отношения.

Нижняя граница решений определяется с помощью композиции.

Определение 5.37. Если R1 X Y, R2 YZ нечеткие отношения, то -композицией Q R1 R2, Q X Z нечетких отношений R1 и R определяется через функции принадлежности Q ( x, z ) R1 ( x, y ) R2 ( y, z ), (5.96) yY где a, b [0,1] операция определяется как 0, если a b c ab, если a b X Z может быть найдена из Нижняя грань условия R1 R R2 1 Q € (5.97) Рассмотрим второй подход к решению обратной задачи для нечетких отношений [64].

X {xi (i 1, m)};

Y y j ( j 1, n) - счетные Пусть множества, аij, bj и rij- степени принадлежности элементов нечеткого множества А,В и нечеткого отношения R соответственно. Композиционное правило вывода имеет вид:

(5.98) АR B Введем понятия и - композиций.

Пусть Р,q [0,1], тогда -композицию определим соотношением:

q, если p q pq (q,1], если p q, если p q а -композицию из условия [0;

q), если p q pq [q,1], если p q Пусть rij ~ b j, а U ij rij b j ;

ij U ij, если i {i / U ij } k ij, если i {i / U ij } Тогда функция принадлежности нечеткого ~ ~ подмножества ai будет лежать в интервале a, который определяется из условия:

~ ~ a k, где a kK ~ ak k k k ;

K k / i, ij,..., nj ij ij iJ ij ~ Нетрудно показать, что i (1, n);

ai ai ~ Кроме того, верхняя и нижняя грани a совпадают с верхней и нижней гранями ~~ € a и a вычисленных с помощью и - композиций ~~ ~ € € a (R B) a a = R B и ~ -композиций удобно в случае, Применение когда нечеткое отношение R имеет малую размерность. В схеме нечетких рассуждений удобно принять и композиции, позволяющие определить не нечеткими матрицами, а векторными значениями функций принадлежности.

Пример 5.52. Пусть задана система нечетких рассуждений:

Если a11, a12,..., a1m, то b1 иначе a 21, a 22,..., a 2m, то b2 иначе.................................................

an1, an2,..., anm,то bn иначе, где aij h j - значения контролируемых Л.П., ui W значения исправляемых Л.П., bi - значения выходных Л.П.

Пусть также определено множество управляемых значений Л.П. на базовом множестве Z.

Значениям Л.П. aij, bi, ui соответствуют нечеткие подмножества Xj, Y, ui Z, ui : Z [0,1] Aij Bi Приведенная схема нечетких рассуждений может соответствовать, например, описанию процесса лечения больного. Здесь Ui – нечеткие подмножества, элементами Aij -параметры, которых являются виды терапии.

Bi -нечеткие характеризующие состояние больного;

интегральные оценки состояния больного – критерий качества болезни. В качестве таких критериев могут использоваться типы оценок самочувствия. Пусть требуется перевести больного в новое состояние B желаемое значение нечеткого критерия. При этом необходимо определить, к какому виду терапии наиболее чувствителен больной. В данном случае степень нечувствительности больного будет оцениваться разницей ~ ~ € между верхней u и нижней u границами множества нечетких подмножеств F Z, являющейся решением обратной задачи в соответствии с нечеткой информацией, содержащейся в схеме нечетких рассуждений Л.П. Следует отметить, что на управляемые Л.П. можно положить Z. Композиционное правило нечеткое ограничение в данном случае примет вид:

(5.99) B Cj Aij Bi U U i Bi ij jj U Z, Cj Xj где нечеткие подмножества, соответствующие новым значениям Л.П., u W,c j hj.

Используя основные свойства нечеткого множества можно показать, что B UR (5.100) где R Ui Bi, Poss Aij C j i ij ij Bi y, Bi i Bi Bi ~ ~ € В данном случае нечеткие подмножества u и u можно определить с помощью и - композиций, но для этого необходимо определить нечеткое отношение R.

~ ~ € Рассмотрим метод вычисления u и uс помощью и -композиций из теоремы 4.14 имеем:

~ u RB Ui Bi B (5.101) iI Ui B i iI и поскольку Bi B, RB Ui Bi B Ui iI iI то ~ ~ ~ ~ € u u Ui Bi B u u (5.102) iI i I ;

Bi Если являются детерминированными значениями или одноэлементными множествами, имеющими функцию принадлежности, равную 1, то i I ;

Bi B Bi B Bi B Рассмотренные методы решений обратной задачи с помощью и -композиций могут применяться при анализе чувствительности логико-лингвистических моделей.

ГЛАВА VI. НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА Логика – есть представление механизмов мышления, которая всегда строга и может быть формальной, но не не четкой. Математики, исследовавшие эти механизмы мыш ления, установили, что существует не одна логика (напри мер, Булева), а столько, сколько мы пожелаем, так как всё определяется выбором соответствующей системы аксиом.

При этом все утверждения, построенные на этой основе, должны строго, без противоречия увязаны друг с другом согласно правилам, утвержденные в этой системе аксиом.

Следует отметить, что если булева алгебра связана с булевой теорией на четких множествах, то нечеткая логика связана с теорией нечетких множеств. Поэтому, если в ка честве элементов (переменных) четкого множества, на ко тором при помощи четких операций (в частности, опера ций сложения, умножения и отрицания) строится четкая логика (в частности, четкая алгебра Буля), берутся произ вольные четкие высказывания, то в качестве элементов (переменных) нечеткого множества, на котором при по мощи (также) четких операций строится нечеткая логика можно взять значения функций принадлежности (характе ристических функций) элементов нечетких множеств. При этом, если высказывания принимают одно из двух значе ний И (истина) и Л (ложь) (которым в математической ло гике сопоставляются численные значения «1» или «0»), то характеристические функции нечетких множеств могут принимать значения из 0,1. Поэтому в отличии от четкой логики, в нечеткой логике значения характеристических функций нечетких множеств можно рассматривать как вы сказывания, принимающие значения (нечеткой истины) НИ и (нечеткой лжи) НЛ, которым в нечеткой математиче ской логике сопоставляются значения из 0;

0,5) для НЛ и 0,5;

1 для НИ. Эти понятия будут более конкретизирова ны, если в качестве нечетких множеств рассматривать не четкие множества конкретного -уровня ( 0,1 ). При этом эстетике -уровня сопоставляются значения из ;

1, а лжи -уровня сопоставляется значение из 0;

).

§1. Равносильность формул алгебры характеристик нечеткого множества Пусть х- элемент универсального множества Е и А, В, … - нечеткие подмножества этого универсального множе ства и пусть ~ ~~ ~ a ( x), b ( x),...;

a, b,... [0,1] (6.1) A B ~~ При этом величины a, b,... во всей главе будем назы вать характеристиками нечеткого множества. В соответст вии с главой III определяются операций (логические опе ~~ рации) на величине a, b … ~~ ~~ a b min (a, b ) (6.2) ~~ ~~ a b max (a, b ) (6.3) ~ ~ a1a (6.4) ~ ~ ~ ~ ~ ~ a b (a b) (a b) (6.5) Определение 6.1. Всякую характеристику нечеткого множества, состоящую из некоторых исходных характери стик нечеткого множества посредством применения логи ческих операций (6.2)-(6.5) будем называть формулой ал гебры характеристик нечеткого множества.

Исходными характеристиками нечеткого множества могут быть значения функций принадлежности элементов нечетких подмножеств заданного универсального множе ства.

Используя свойства множества нечетких подмно жеств можно записать следующие равносильности:

~~~~ (6.6) abab коммуникативность ~~~~ (6.7) abab ~~ ~~ ~~ (6.8) (a b ) c a (b c ассоциативность ~~~ ~~ (6.9) ~ (a b ) c a (b c ) ~~~ (6.10) aaa ~ a a иденпотентность (6.11) ~ a ~~ ~ ~ ~ ~~ (6.12) a (b c ) (a b ) (a c дистрибутивность (6.13) ~ ~ ~~ ~ ~ ~~ a (b c ) (a b ) (a c ) ~ a00 (6.14) ~ a0 (6.15) ~ ~ a1 a (6.16) ~ a1 (6.17) ~ ~ a a (6.18) ~~~ ~ (6.19) abab теоремы де Моргана (6.20) ~~~~ abab Доказательства всех этих формул тривиальны, за исключе нием формул (6.12), (6.13), (6.19) и (6.20).

~~ Докажем (6.12). Предположим, что значения величин a, b ~ и c могут находиться в отношениях, определяемых сле дующими тремя различными порядками:

~~~ ~~~ 1) 0 a b c 1 ;

2) 0 b c a 1 и ~~~ 3) 0 c a b 1 (6.21) Имеем:

~ ~~ ~~ ~ ~~ ~ 1) a (b c ) min [a, max (b, c )] min (a, c ) a (6.22) ~~ ~~ ~ (~ ~~ a~ ~ ~ a (6.23) (a b ) (a c ) max [min a,b ),min(a, c ) max(, a) ~ ~~ ~~ ~ ~~ ~ 2) a (b c ) min [a, max (b, c )] min (a, c ) c (6.24) ~~ ~~ ~ ~ (~ ~~ b~ ~ c (6.25) (a b) (a c ) max [min a, b),min(a, c ) max(, c ) ~~ ~ ~~ ~~ ~ ~ 3) a (b c ) min [a, max (b, c )] min (a, b ) a (6.26) ~~ ~~ [min~ ~ (~ ~ a~ ~ ~ (6.27) (a b) (a c) max (a,c),min a,c) max(,c) a Аналогично, можно доказать справедливость формулы (6.13).

Докажем теорему де Моргана (6.19).

Пусть ~ ~ ~ max [ 1 a, 1 b ] 1 a (6.28) ~~ ~ min a, b a (6.29) ~ ~~ ~ ~ ~ max [ 1 a, 1 b ] min [a, b ] 1 a a1 (6.30) Тогда ~ ~~ ~ max [ 1 a, 1 b ] 1 min [a, b ] (6.31) или ~~ ~~ ab ab (6.32) Замечание 6.1. За исключением двух свойств ~~ ~~ aa 0 a a 1, и (6.33) ~ ~ для которых, кроме случая a 0 или a 1, соответст вующие соотношения для нечеткого множества не выпол няются, т.е., кроме свойства (6.6)-(6.20) ~ ~ ~ ~ a 0иa a a составляют все свойства бинарной булевой алгебры.

Из-за этих исключений структура, определяемая на мно ~ ~ жестве переменных a, b,... операциями «, и -» не мо жет рассматриваться как алгебра в том смысле, в каком этот термин употребляется в современной математике. По этому, следует отдавать себе отчет в том, что слова «ал гебра» как и многие другие математические термины не всегда употребляются в одном и том же смысле.

Отметим также законы двойственности.

Определение 6.2. Операции и будем называть двойст венными друг от друга.

Определение 6.3. формулы m и m*, будем называть двой ственными, если одна получается из другой заменой каж дой операции на двойственную.

§2. Характеристическая функция характеристик не четкого множества и ее полиномиальные формы ~~ Определение 6.4. Функцию f (a, b,...), зависящую от ха рактеристик нечеткого множества, будем называть харак теристической функцией характеристических переменных, если областью значений является отрезок [0;

1], т.е., если ~~ f (a, b,...) 1 (6.34) ~~ Теорема 6.1. Если f (a, b,...) зависит от характеристик не четкого множества, связанных между собой операциями «, или -», то она удовлетворяет условию (6.34).

Доказательство. Утверждение теоремы очевидно, так как в силу справедливости соотношений (6.6)-(5.20) применение ~~ к a, b,... [0,1] операций «, или -» не может дать резуль тат, выходящий из [0,1].

В отличии от булевых функций, для систематическо го анализа характеристических функций от характеристик нечеткого множества нельзя воспользоваться методом со поставления таблиц истинности. Они не поддаются упро щению так легко, как булевы функции, поскольку не обла дают свойствами (6.33). По этой же причине эти функции нельзя представить в нормальной дизъюнктивной форме (с помощью минитермов) или в нормальной конъюнктивной форме (с помощью минитермов). Но иногда с помощью свойств (6.6)-(6.20) можно провести определенное число упрощений характеристической функции характеристик нечеткого множества.

Рассмотрим несколько примеров таких упрощений:

~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ 1) f (a, b ) a (a b ) a (1, b ) a 1 a (6.35) ~~ ~ ~ (a b ) a - это так назы согласно (6.12) и (6.16). Итак a ваемое свойство поглощения.

~ ~~ ~ Аналогично можно показать, что a (a b ) a -это двойственная форма свойства поглощения.

~~~ ~~~ ~ ~~ ~ ~~ 2) f (a, b, c ) (a b c ) [a (b c )] a (b c ) ~~~ ~~ ~~ ~ ~~ (a b c) (a b) (a c) a (b c) ~~ ~~ ~ (b c) (b c) a (6.36) согласно свойству поглощения для (1) и (5) и для (2) - (4).

Заметим, что различных булевых функций при n различ ных переменных равно 2(2n). В случае n-го числа характе ристик нечеткого множества, число характеристических функций, составленных произвольным образом из этих n переменных операций «, и »также конечно.

Замечание 6.2. Операцию можно выразить через опера цию и операцию и наоборот. Действительно:

~~ ~~ ~~ ~ ~ a b min(a, b ) 1 max(a b ) a b (6.37) Это другой способ представления закона (6.19). То же можно сделать для второго закона де Моргана (6.20).

Таким образом, достаточно использовать операторы « и » или операторы « и », чтобы представить любую ха рактеристическую функцию характеристик нечеткого множества, содержащую символы «, и », хотя выраже ния становятся очень громоздкими.

Следует отметить, что в булевой алгебре для того, чтобы представить произвольную булеву функцию, достаточно одного оператора.

Рассмотрим оператор Шеффера:

ab a b a b (6.38) Поскольку (6.39) ab ab (a a) b b (6.40) aa a b ( a b) ( a b) a (a a) (6.41) Оператор Пирса:

a b a b a b (6.42) a b a b ( a b) ( a b) (6.43) ab a b (a a) (b b) (6.44) a a a От булевых функций, использующих оператор пирса, можно перейти к выражениям, содержащим оператор Шеффера и наоборот:

a b ab ab (a a ) (b b) (a a ) (b b) (a a ) (b b) (6.45) ab a b a b (a b) (a b) (6.46) (a b) (a b) (a b) (a b) Для характеристик нечеткого множества определяем также операторы:

~~~~~~ ababab Шеффера: (6.47) ~~~~~ ~ ababab Пирса:

Любую характеристическую функцию характеристик не четкого множества можно записать с помощью только од ного из этих операторов. Имеем:

~~ ~~ ~~ ~~ 1) a b ab aa bb (6.48) ~~ ~~ ~~ ~~ ab ab ab ab (6.49) ~ ~~ a aa (6.50) ~~~~~~ ab ~~ 2) a b a b a b (6.51) ~~~~~~ ~~ abab aa bb (6.52) ~~~ aaa (6.53) Используя формулы (6.45) и (6.46) можно перейти от опе ратора Пирса к оператору Шеффера и наоборот.

В качестве примера рассмотрим, как записать не слишком сложную характеристическую функцию нечеткого множе ства, используя, оператор Шеффера:

~~~ ~ ~~ ~~ ~~ ~~ f (a, b, c ) a bc aa bb cc ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ aa bb cc cc aa bb cc cc (6.54) ~~ ~~ ~~ ~~ aa bb cc cc Это очень сложное выражение для такой простой функции ~~ ~ как a b c Для изучения булевых бинарных функций можно исполь зовать так называемую таблицу истинности, в которой би нарным переменным придаются все возможные значения и выписываются соответствующие значения функции.

Чтобы изучить характеристическую функцию, зависящую ~ от одной характеристики нечеткого множества a, рас смотрим ее значение в следующих двух случаях:

~~~~ a a, a a (6.55) Для изучения характеристической функции двух перемен ~~ ных a и b рассмотрим ее значение в следующих восьми случаях:

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ a b b a;

a b b a;

a b b a;

~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ a b b a;

b a a b ;

b a a b ;

(6.56) ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ b a a b;

b a a b Для изучения характеристической функции, зависящей от ~~ ~ трех характеристик a, b и c рассматривается 48 случаев, выписанных для экономии места без знака и символа ~.

Наконец, для изучения функции n переменных рассматри вается Pn 2n случаев, где Pn n!

Рассматривая соотношения (6.55), (6.56) можно установить эффект аксимметриии, возникающей из-за того, что, если ~ ~, то ~ ~ xy yx Пример 6.1. Перечислим значения функции ~~ ~~~ ~~ f a,b aa abb Представим результаты в таблице 6. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ a a a a a b b a b b ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ a b a a a a b ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ a b a a a a b ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ a a a a a b b ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ a a a a a b b ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ a b a b b b b ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ a b a b b b b ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ a a b b b b b ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ a a b b b b b Определение 6.5. Функции f1 и f2 от характеристик нечетко го множества будем называть равносильными (тождест венными), если они имеют одну и ту же таблицу значений, включающие всевозможные случаи.

Определение 6.6. Операции, проводимые над характери стиками нечеткого множества от «, и » будем называть смешанными операциями. В число таких операций входят:

Умножение:

a b, (6.57) для которого легко проверить, справедливость свойства:

если ~ ~ a [0,1], b [0,1], то a b [0,1] (6.58) и суммирование ~~ ~ ~ ~~ a €b a b ab (6.59) Здесь тоже сохранятся свойства (5.60).

Определение 6.7. Характеристическую функцию от харак теристик нечеткого множества, полученную в результате подтверждения характеристик нечеткого множества сме шанным операциям будем называть смешанной функцией характеристик нечеткого множества.

Например:

~~~ ~~ ~~ ~~ a €b a €c b €c f a,b, c (6.60) есть смешанная характеристическая функция характери стик нечеткого множества.

Замечание 6.3. С помощью таблицы перечисления для n переменных можно определить N 2n n! 2 n (6.61) различных характеристических функций от характеристик нечеткого множества. Таким образом, при n 1;

N 21 2! n 2;

N 22 3! 6 n 3;

N 4! 2 n 4;

N Только незначительную часть всех этих функций со ставляют характеристические функции характеристик не четкого множества, представленные с помощью операций ~~ ~~ и на переменных a, b,..., a, b,...

Определение 6.8. Характеристическую функцию характе ристик нечеткого множества будем называть аналитиче ской, если ее можно выразить, используя лишь операции ~~ ~~ и, а переменные a, b,... и обозначим f a, b,....

С помощью двойственных законов дистрибутивности (6.12), (6.13) любую характеристическую функцию харак ~~ теристик нечеткого множества f a, b,... можно предста вить в полиномиальной форме относительно операций и.

Пример 6.2. Пусть ~~~ a b ~~ abc~~~ f a,b,c (6.62) Эта функция записана в полиномиальной форме от носительно.

Используя закон (6.13), функцию (6.62) можно пре образовать в полиномиальную форму относительно.

~~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ f a,b, c aa ab ac ba bb b c (6.63) Пример 6.3.

~~~ ~~ ~~~ ~~ ~ ~ f a,b,c ab c abc ab c Поскольку третий член поглощается вторым, исполь зуя закон (6.12), получим выражение:

~~~ ~~ ~~ f a,b,c ac b c, которое дает полиномиальную форму относительно.

Определение 6.9. Пусть характеристическая функция ~~ от характеристик нечеткого множества f a, b,... выража ется в полиномиальной форме относительно. Одночлен такой полиномиальной формы называют максимальным (собственным), если он не поглощается никаким другим одночленом этой полиномиальной формы. Аналогичное определение дается относительно.

Определение 6.10. Всякая полиномиальная форма от носительно, состоящая только из максимальных одно членов по, называется приведенной полиномиальной формой относительно.

Замена в примере (6.2) на и в примере 6.3.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.