авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ АЗЕРБАЙДЖАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ НЕФТЯНАЯ АКАДЕМИЯ В.А.ИБРАГИМОВ ЭЛЕМЕНТЫ ...»

-- [ Страница 4 ] --

,наоборот, приводит к определению приведенной полино миальной формы относительно.

~~ Аналитические функции f (a, b,...) могут соответст вовать несколько приведенных полиномиальных форм.

Например, следующие две полиномиальные формы:

~~ ~~ ~ ~~ f ( a, b) a a ab ab (6.64) ~ и ~ ~ ~ ~ ~ f ( a, b) a b a b (6.65) ~ соответствует одной и той же аналитической функции, что можно проверить как на примере 6.1. Для любой аналити ческой функции характеристик нечеткого множества су ществует по крайней мере одна приведенная полиномиаль ная форма относительно и по крайней мере одна приве денная форма полиномиальная форма относительно.

Пример 6.4.

~~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ f (a,b,c) ab ac bb bc cc bc ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ f (a, b, c ) a b b c ~ Характеристические функции характеристик нечетко го множества могут быть тождественны. Достаточное ус ловие тождественности двух характеристических функций является возможность приведения их к приведенной поли номиальной форме относительно или. Необходимое и достаточное условие состоит в том, чтобы у этих функций была одна и та же таблица значений.

Теорема 6.2. Число различных приведенных полино миальных форм относительно n переменных конечно и равно верхней грани числа различных аналитических ха рактеристических функций n характеристик нечеткого множества.

Эти приведенные полиномиальные формы представ лены как элементы свободной дистрибутивной решетки с 2n образующими. С этим понятием можно ознакомится по работе [43].

Перечисление всех приведенных форм n –го числа характеристик нечеткого множества – нелегкая проблема.

Для одной переменной это тривиально. Имеем:

~~~ ~ ~ ~ a,a,a a;

a a (6.66) ~~ т.е. четыре приведенных форм. Заметим, что a a ~ нужно отметить, например, от a, поскольку ~~~ ~~ ~~~ ~~ a a a, если a a и a a a, если a a.

Для двух переменных сделать это уже очень сложно.

Рассмотрим перечень всех возможных различных ~~ приведенных полиномиальных форм f (a, b ) относительно ~ ~ ~ : (для удобства обозначим a a, b b и т.д.).

~~ 1.Формы f (a, b ), содержащие один одночлен:

~ 1 (11) а(1) 1 2 a (5) 1 2 3 a a b a a (2) 1 2 (12) a b(6) 1 2 4 aab 3 (13) b(3) 14 a b (7 ) 1 3 4 abb 4 (14) b (4) 23 a b(8) 2 3 4 a b b 24 a b (9) b b (10) b b (15) a a Здесь имеется 15 приведенных форм, состоящих из одного одночлена.

2. Аналогичным образом легко подсчитать, что число ~ форм f (a, b), содержащих два одночлена (где ни один из ~ этих одночленов не поглощает другой) равно 55;

для форм, содержащих по три одночлена и по четыре одночлена эти числа соответственно равны: 64 и 25.

~ 3.Формы f (a, b), содержащих по пять одночленов:

~ (1 2) (1 3) (а b) (a b ) (a b) (a b) (a a) (1 4) (2 3) (2 4) (1 2) (1 3) a ) (а b) (a b ) (a b) (b b ) (a (1 4) (2 3) (3 4) (1 2) (1 3) a ) (а b) (a b ) (a b ) (b b ) (a (1 4) (2 4) (3 4) a ) (а b) (a b) ( a b ) (b b ) (a (1 2) (1 3) (2 3) (2 4) (3 4) (a a ) ( a b ) (a b) ( a b ) (b b ) (1 2) (1 4) (2 3) (2 4) (3 4) (а b) ( a b ) (a b) (a b ) (b b ) (1 3) (1 4) (2 3) (2 4) (3 4) Существует шесть приведенных форм, содержащих пять одночленов.

4.Имеется одна форма, содержащая шесть одночле нов.

(1 2) (1 3) a ) (а b) (a (1 4) (2 3) b) ( a b ) (b b ) b ) (a (a (2 4) (3 4) Всего имеется 166 приведенных форм.

§3. Анализ, логическая структура и синтез характери стических функций характеристик нечеткого множества Разобьем [0;

1] на m попарно граничащих интервалов, замкнутых слева и открытых справа, кроме последнего:

[0;

1]=[0;

d1) [ 1;

2)... [ 1] (6.67) m1 m Найдем условия, при которых характеристическая функция от n характеристик f a1, a2,..., an, ai [0,1], i 1,2,..., n (6.68) k -1 k ) ( k 1, n ).

будет принадлежать интервалу [ Для достижения поставленной цели рассмотрим от дельные конкретные формы характеристической функции, зависящей от трех характеристик нечеткого множества (конкретнее характеристик трех нечетких подмножеств универсального множества).

I. Пусть ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ f (a, b, c ) (a b ) (a b c) (6.69) ~ Найдем условия, при которых ~~~ f (a, b, c ) ak (6.70) k ~ Так как правая часть (6.74) состоит из двух элемен тов, то следует брать наибольший из них.

Гипотеза 1:

~ ~ ~ ~ (a b) a b c (6.71) Из нее следует:

~~ ab (6.72) k1 k или же ~~ min(a ;

b ) (6.73) k1 k и ~ ~ min(1 a ;

1 b ) (6.74) k1 k ~~ Поскольку a и b нельзя располагать произвольно от носительно друг друга, то необходимо, чтобы ~ 1a и1 b (6.75) k1 k и ~ 1a и1 b (6.76) k k Это можно переписать в виде:

~ (6.77) a1 иb k1 k ~ (6.78) ~ или/и b a1 k k Гипотеза 2:

~~ ~~~ ab abc (6.79) Отсюда следует:

~~~ abc k1 k или же ~~~ min(a, b, c ) (6.80) k1 k или ~~ ~ min(a, b,1)c (6.81) k1 k ~~ ~ Поскольку a, b и c нельзя рассматривать произволь но относительно друг друга, то прежде всего необходимо, чтобы ~ ~ ~ a иb и 1-с k1 k1 k (6.82) ~ ~ ~ a k;

и b и 1-с k k Это можно переписать в виде:

~ ~ ~ a иb ис k1 k1 k (6.83) ~ ~ ~ a k ;

или/и b или/и с k k Наконец, эти результаты можно сгруппировать сле дующим образом:

Условие Р1:

~ ~ (a 1 и (b k 1) k 1 ) или/и (6.84) ~ ~ ~ (a и (b k 1 ) и (с 1 1) k1 k Условие Р2:

~ ~ (a 1 k ) или/и (b k) и (6.85) ~ ~ ~ (a k или/и (b k ) или/и (с 1 k) Таким образом, для выполнения (6.69) необходимо и достаточно выполнение условий Р1 и Р2.

~ ~ ~ Пример 6.4. Пусть: a =0,55;

b =0,65;

c =0,83.

Тогда имеем:

~~~ ~~ ~~ ~ f (a, b, c ) f (0,56;

0,65;

0,83) (a b ) (a b c) ~ (0,44 0,35) (0,56 0,65 0,17) 0,35 0,17 0, II. Пусть ~~~ ~~ ~~ ~ f (a, b, c ) (a b ) (a c ) c (6.86) ~ Предположим, что интервал [0,1] разбит на три ин тервала [0;

0,2), [0,2;

0,4);

[0,4;

1].

Сначала рассмотрим [0;

0,2).

Гипотеза 1.

~ ~ ~ ~~ ~ ~ a b a c;

a b c Тогда ~~ 0 a b 0,2, т.е.

~ ~ ~ 0 a 0 min(a,1 b ) 0, ~ ~ a 0 и b 0, и ~ ~ a 0,2 или b 0, Гипотеза 2.

~ ~ ~ ~~ ~ ~ a c a b;

a c c ~~ Тогда имеем: 0 a c 0, Таким образом:

~~ 0 min 1 a, c 0, ~ ~ a 1и c ~ 0,8 или/и c 0, ~ и a Гипотеза 3.

~ ~ ~~ ~ ~ c a b,c a c ~ Тогда имеем: 0 c 0, Таким образом:

~ 0 1 c 0, 0,8 c (Рассмотрим 0,2;

0,4) Гипотеза 1.

~ ~ ~ ~~ ~ ~ a b a c;

a b c ~~ 0,2 a b 0, ~ ~ a 0,2 и b 0, ~ ~ a 0,4 или/и b 0, и Гипотеза 2.

~~~ ~~ ~ ac a b;

a c c ~~ 0,2 a c 0, ~ ~ a 0,8 и c 0, ~ ~ a 0,6 и c 0, и Гипотеза 3.

~ ~ ~ ~ ~ ~ c a b;

a a c ~ 0,2 c 0, ~ c 0,8;

и c 0, и Наконец, рассмотрим интервал [0,4;

1].

Гипотеза 1.

~~~ ~~~ a b a c;

a b c ~~ 0,4 a b ~ ~ a 0,4 и b 0, a 1 или/и b и Гипотеза 2.

~ ~~ ~ ~ ~ ~ a c a b, a c c ~~ 0,4 a c ~ ~ a 0,6;

c 0, ~ ~ a 0 или/и c и Гипотеза 3.

~~ ~ ~ c a b;

c a c ~ 0,4 c ~ ~ c 0,6 и c Результаты этого примера можно перегруппировать следующим образом:

~~~ а) 0 f (a, b, c ) 0,2 выполняется, если Условие Р1(а) ~ ~ ~ или/и a 1 и c 0 или/и c 1 (6.87) a 0иb Условие Р2(а) ~ ~ a 0,2 или/и b 0,8 и (6.88) ~ ~ ~ a 0,8 или/и c 0,2 и c 0, ~~~ б) 0,2 f ( a, b, c ) 0,4 выполняется, если Условие ~ ~ P1 ( ) a 0,2 и b 0,8 или/и (6.89) a 0,8 и ~ 2 или/и ~ 0, ~ c c Условие ~ P2 ( ) a 0,4 или/и b 0,6 и (6.90) a 0,6 или/и ~ 0,4 и c 0, ~ c выполнены ~~~ в) 0,4 f (a, b, c ) 1 выполняется, если Условие Р1(в) ~ ~ a 0,4 и b 0,6 или/и (6.91) ~ ~ ~ a 0,6 и c 0,4 или/и c 0, Условие Р2(в) ~ ~ a 1 или/и b 0 и (6.92) ~ ~ ~ a 0 или/и c 1 и c выполнены.

Замечание 6.4. Можно заметить, что условия Р1 (6.84) и Р (6.89) двойственны по отношению друг другу, т.е. одно из них можно получить из другого заменой символов:

() на ( );

( ) на ();

() на ( );

( ) на (),(и) на (или/и), (или/и) на (и).

Это свойство отнюдь не случайно: это общее свойст во для всех приведенных полиномиальных формул отно сительно или.

~~~ ~~ ~~ III Пусть f ( a, b, c ) ( a b ) (b c ) ~ ~~~~ Гипотеза 1 a b b c, отсюда ~ ~ a b k1 k или (6.93) ~ ~, b ) max(a k1 k ~ ~ Поскольку a и b нельзя располагать произвольно относительно друг друга, то необходимо, чтобы ~ ~ a или/и b k1 k и (6.94) ~ ~ a иb k k Гипотеза ~ ~ ~ ~ b c a b (6.95) ~~ bc Отсюда k1 k или ~~ max(1 b, c ) k1 k Таким образом ~ ~ b1 или/и c k1 k и (6.96) ~ ~ b1 иc k k Перегруппировав полученные результаты, имеем Условие Р1(в) ~ ~ a или/и b и k1 k (6.97) b1 или/и c k1 k Условие Р2(в) ~ ~ a иb или/и k k (6.98) ~ ~ b1 иc k k Чтобы выполнялось (6.75), необходимо и достаточно выполнение (6.119) и (6.120).

Отметим, что здесь опять проявляется свойство двой ственности (или/и).

В заключении отметим, что если х-элемент универ сального множества Е и А, В,... – нечеткие подмножест ~~~ ва -уровня, то величины a, b, c,... способны принимать одно из двух значений {0;

1}. В этом случае характеристи ки нечеткого множества -уровня можно рассматривать как высказывания в четкой математической логике. При этом анализ характеристических функций характеристик нечеткого множества следует проводить по законам мате матической логики. [44], где ~ ~ ~ 1, если a ;

b ;

c,...

~~~ a, b, c,... (6.99) ~ ~ ~ 0, если a ;

b ;

c,...

Напомним, что в пропозиционной алгебре пропози ционные связки «И» обозначается через «ИЛИ/И» обозначается через (6.100) «дополнение» обозначается через – и утверждения с этими связками строятся в точности по тем же правилам, что и соответствующие им в булевой ал гебре. Причем соответствует, соответствует,~ соответствует -.Для представления логической структуры отношений (строгих или нестрогих неравенств), которая появляется у функций нечеткой логики, рассматриваемой на интервале [ к-1, [ к], будем использовать следующие символы.

~~ Пусть f (a, b,...) - характеристическая функция харак ~~ теристик (a, b,...).

Будем использовать следующие символы:

~~ Qa aa k ~a ~ Qa a k (6.101) ~~ Qa aa k ~~ Qa aa 1 k ~~ Пусть f (a, b,...) можно представить в приведенной ~ полиномиальной форме относительно V. Для получения логической структуры в интервале k 1, k поступим следующим образом:

~~ 1) выражение вида: a b заменим выражением Qa Qb.

Например:

~~~ a b c заменяется на Qa Qb Qc.

2) Одночлены ~f функции, объединенные символом V, заменяются одночленами Q и объединяются символом.

~~~ ~~ Например: a b c b c заменяют Qa Qb Qc Qb Qc ;

3) составляем логические выражения, двойственные полу ченным в 2), заменяя Qa на Qa, Qa - на Qa, - на, на. Например, Qa Qb Qc Qb Qc принимает вид Qa Qb Qc Qb Qc ;

4)результаты, полученные 2) и 3), объединяют символом.

Это дает логическое выражение f на интервале k 1, k.

~ Так для ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ f (a, b, c ) a b c b c ~ логическое выражение имеет вид.

Q Qa Qb Qc Qb Qc Qa Qb Qc Qb Qc (6.102) ~~ Если функция f (a, b,...) представлена в полиномиаль ~ ной форме относительно, то правила 1)-4) модифициру ются следующим образом:

~~ a b заменяется выражением 1) каждое выражение вида Qa Qb ;

2) Одночлены функции f, объединенные символом, ~ заменяется соответственно одночленом в Q, объеди ненными символом ;

3) Составляются выражения, двойственные тем, которые были получены в 2);

4) Объединяются результаты шагов 2) и 3) символом.

Пример 6.5.Пусть ~~~~ ~~ ~~~~ f (a, b, c, d ) ab bd cd (6.103) ~ Имеем:

Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q (6.104) ab bd c d ab bd cd Проиллюстрируем это на числах. Пусть k 1, k =[0,4;

0,7) (6.105) Тогда (6.105) можно записать так:

~ ~ ~ a 0,4 b 0,4 c 0, или/и ~ и или/и ~ и или/и ~ b 0,6 d 0,6 d 0, (6.106) ~ ~ a 0m 7 c 0, b 0, и или/и или/и ~ ~ ~ и b 0,3 и d 0,3 и d 0, Интересно рассмотреть логические высказывания, по Qa, Qa, Qa и Qa, которые дают достаточные условия для каждого одночлена в разложении относительно. Пока жем это на примере.

Пример 6.6. Рассмотрим (6.102). Предположим, что ;

k 0,4;

0,9 (6.107) k Уже установлено выражение Q в (6.125) Продолжим разложение (6.102), чтобы преобразовы вать это выражение в полином относительно. Для со кращения примем Qa Qb Qa Qb Имеем:

Q Qa QbQc QbQc Qa Qb Qc Qb Qc Qa QbQc QbQc Qa Qb QaQc QbQb QbQc QbQc QcQc (6.108) QaQaQbQbQc QaQaQbQc QaQbQbQc QaQbQbQcQc QaQbQbQcQc QaQbQcQcQc QaQbQbQc QaQbQcQc QbQbQbQc QbQbQcQc QbQbQcQc QbQcQcQc Каждый из этих членов достаточен. Поэтому имеем:

~ ~ ~ ~ ~ a b c b c (6.109) 0,4 0, Проверим это на примере для 1) Qa Qa Qb Qc Qc (второй одночлен) Применяя определение (6.123), получим:

Qa : a (1 0,4), следовательно, a 0, Qa : a 0, Qb : b 0, Qc : c 0, Qc : c 0, Таким образом, 0,1 a 0,6;

b 0,4;

c 0,6.

2) Qa Qb Qc Qc Qc (шестой одночлен):

Qa : a 0,6 Qc : c 0,6 Qc : c 0, Qb : b 0,4 Qc : c 0, Таким образом: 0,1 a 0,6 ;

b 0,4 ;

c 0,6 ;

Проверяя все одночлены (а число их равно 12), полу чим достаточные условия для выполнения (6.109).

Так же представляет интерес провести двойственное разложение относительно.

Обратимся к (6.102) и разложим полином относи тельно. Имеем:

~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ f a,b, c a b a c b b b c c c b c (6.110) ~ Опуская значок, получим:

Q Qa Qb Qa Qc Qb Qb Qb Qc Qc Qc (6.111) Qb Qc Qa Qb Qa Qc QbQb QbQc QcQc Qb Qc Если теперь произвести разложение по, то снова придем к соотношению (6.108).

Замечание 6.3. Если характеристика нечеткого множе ~ ства a принимает свое значение из интервала Da [ 1 ;

2 ) [0;

1], ~ ~ ~ то a 1 a принимает значение на интервале Da [1 2 ;

1 1) [0;

1) ~ ~ принимает значение из D~ Если a [0;

1) [ 2 ;

1].

a Теперь попытаемся ответить на вопрос, как для за данных характеристик нечеткого множества построить ха рактеристическую функцию, принимающую значения из [ k 1;

k ) ?

Рассмотрим случай двух характеристик нечеткого множества. Как видно из таблицы 6.3, ответ на поставлен ~~ ный вопрос не единственный. Для представления f a, b, ~ принимающей значения на интервале [ k ) можно, на k 1;

~ ~ пример, взять функцию вида a b Следует отметить, что какое бы представление мы не выбрали, должна удовлетворяться соответствующая вы бранному представлению полиномиальная форма относи тельно или и выполняться соответствующее условие типа Q.

Рассмотрим представление характеристической функ ции относительно (хотя можно рассмотреть и другие).

(6.112) Qa Qb Qa Qb т.е. с учетом обозначений (6.101) ~ ~ a a k1 k и и или/и (6.113) ~ ~ b b k1 k Решение можно представить с помощью любой дру ~~ гой функции, например, a b Qa Qb Qa Qb Таблица 6. Логическая структура основных характеристических функций двух характеристик не четкого множества для интервала k 1;

k ~ ~, b Полиномиальная форма fa Относительно Относительно ~ ~ ~b Qa Qa Qb Qa Qb Qb Qa Qb Qa Qb (6.135) a ~ ~ Qa Qa Qb Qa Qb Qb Qa Qb Qa Qb (6.136) a b ~ ~ Qa Qa Qb Qa Qb Qb Qa Qb Qa Qb (6.137) a b ~ ~ Qa Qa Qb Qa Qb Qb Qa Qb Qa Qb (6.138) a b ~ ~ Qa Qa Qb Qa Qb Qb Qa Qb Qa Qb (6.139) a b ~ ~ Qa Qa Qb Qa Qb Qb Qa Qb Qa Qb (6.140) a b ~ ~ Qa Qa Qa Qb ~ ~ Qa Qa Qa Qb Qa Qa Qb Qb a b a b (6.141) Qa Qb Qb Qb Qa Qa Qb Qb Qa Qb Qb Qb Qa Qb Qa Qb Qa Qa Qa Qb Qa Qa Qb Qb Qa Qa Qb Qb Qa Qb Qb Qb ~ ~ ~ ~ Qa Qb Qb Qa Qa Qa Qb Qb Qa Qa Qb Qb a b a b (6.142) Qa Qb Qa Qa Qa Qa Qa Qb Qa Qa Qa Qb Qa Qb Qb Qb Qa Qb Qb Qb Qb Qb Qa Qb Qa Qa Qb Qb Qa Qa Qb Qb и таким образом ~ ~ a1 a k1 k и и или/и ~ ~ b1 b k1 k Вернемся к (6.102). Пусть заданы верхнее и нижнее ~~ пределы для a и b.

~ ~ a a и и или/и (6.114) ~ ~ b b 2 Введем коэффициенты согласования ij k 1;

k 1;

k ;

22 k;

(6.115) 11 1 12 2 21 3 ~ ~ Чтобы технически реализовать функцию f (a, b ), ко торая принимает значения из интервала [ k 1, k ), когда ~~ a и b изменяются соответственно в интервалах [ ;

) и 1 [ 2 ;

4 ), можно построить схему, аналогичную изобра женной на рис.6.1. Для элементов этого типа будем ис пользовать следующие символы:

ij -устройство параметрического согласования для вос становления k 1 и k ;

И – логический элемент реализации и;

ИЛИ/И – логический элемент, реализующий или/и;

НЕ - логический элемент, реализующий отрицание;

k 1 - устройство, задающее нижний предел;

k- устройство, задающее верхний предел.

~~ Блок сравнения k 1 f (a, b ) ~~ Рис. 6.1. Блок сравнения f (a, b ) k НЕ к- ИЛИ/И НЕ Рис. 6.2.

Пример 6.7. Осуществим синтез схемы при условии ~~ f (a, b ) (6.116) k1 k используя для этого представление функции ~~ ~ ~ ~ ~ f (a, b ) a b a b (6.117) (6.118) Q Qa Qb Qa Qb Qa Qb Qa Qb Это можно представить в виде:

~ ~ a a k1 k или/и ~ ~ b1 b и и k1 k и ~ ~ a a k k и ~ ~ b1 b или/и или/и k k Если пределы таковы, что ~ ~ a a или/и ~ ~ b и b и 2 и ~ ~ a a 5 и, то ~ ~ или b b или/и 6 можно видеть, что 1 k1 k1 k1 k ;

;

;

;

11 12 13 1 2 3 4 (6.119) 1 k k k k ;

;

;

;

31 22 23 5 6 7 Следовательно, получим схему на рис. 6.2.

Аналогичным способом можно осуществить синтез схемы при выполнении условия (6.116) для характеристической функции, зависящей от трех и более (конечного) числа ха рактеристик нечеткого множества.

~~ Замечание 6.4. Если любую функцию f (a, b,...) можно взять за основу разложения Q в полиномиальную форму относительно, в которой каждый одночлен содержит только элементы Qx или/и Q x, или/и Q x или/и Q x, связан ные, то реализацию функции можно обеспечить техно логической схемой, которая содержит только И и НЕ. Но по теореме де Моргана можно написать:

QQ QQ (6.120) QQ QQ (6.121) Поэтому, используя условия типа Q, можно провести разложение, идентичное тому, которое дает полиномиаль ную форму по, при этом Q заменяется на Q, на и на. Следовательно, можно получить ИЛИ/И и НЕ. В дей ствительности можно использовать чрезвычайно разнооб разные комбинации операторов, как это принято у разра ботчиков ЭВМ.

Точно так же можно использовать только один опера тор, например, Шеффера или Пирса, т.е.

Q1 Q1 Q Q2 (6.122) или Q1 Q2 Q1 Q (6.123) Так как в техническом отношении это часто оказывается неудобным, поэтому представляет интерес в техническом отношении анализ смешанных схем.

Называемая примарными условиями типа:

~~ f (a, b,...) (6.124) k и дуальными условия типа:

~~ f (a, b,...) k (6.125) можно оперировать сразу смешанными схемами, для кото рых ~~ ~~ f1 (a, b,...) и f 2 (a, b,...) k (6.126) k Для сборки такой схемы достаточно использовать опера тор И.

Пример 6.8. Реализуем ~ ~~ ~ f1 (a, b,...) = a b (6.127) k и ~~ ~~ ~~~ (a b ) (b c ) f 2 (a, b, c ) (6.128) k Для f1 примарные условия имеют вид:

Qa Qb (6.129) т.е.

~ a1 k ~ b и k ~~ ~ a bc Н I к- И И ИЛИ/И к И Н ИЛИ/И Рис.6.3.

Для f2 дуальные условия имеют вид:

Qa Qb Qb Q c ~ a b 1- k k т.е. и (6.130) ~ ~ c или/и или/и b k k Соединяя (6.129) и (6.130) конъюктивной связкой И, окон чательно приходим к синтезированной схеме, изображен ной на рис.6.3. Таким образом, схема на рис.5.3 обеспечи вает одновременно выполнение условий ~~~~ bc ~~ a bиa b (5.131) k1 k при подходящем выборе коэффициентов ij. Эти результа ты допускают различные обобщения.

§4 Композиция интервалов Пусть ~ ~ [a1, a2 ] и b Db [b1, b2 ) a Da (6.132) ~ ~ a b Da [a1 b1, a 2 b2 ] Тогда легко видеть, что b и ~ ~ a b Da b [a1 b1 ;

a 2 b2 ) (6.133) Пример 6.9. Пусть Da [0,5;

0,8) и Db [0,3;

0,7) Очевидно, что Da b [0,5 0,3;

0,8 0,7) [0,3;

0,7) Da b [0,5 0,3;

0,8 0,7) [0,5 0,8).

В случае свойств (6.8) и (6.9) аналогично можно показать, что если:

~ ~ ~ a Da [a1 ;

a 2 );

b Db [b1 ;

b2 ) и c Dc [c1 ;

c 2 ), (6.134) то ~ ~ ~ a b c Da [a1 b1 c1 ;

a 2 b2 c2 ) bc и (6.135) ~~ ~ a b c Da b c [a1 b1 c1 ;

a 2 b2 c 2 ) Интересно рассмотреть случай, когда нечёткие перемен ные принимают свои значения в дополнении к интервалу.

Если Da [0;

a1 ) [a 2 ;

1] и Db [0;

b1 ) [b2 ;

1] (6.136) то получим следующие результаты:

~~ ~ ~~ ~ для f (a ;

b ) a b ;

a Da ;

b Db имеем:

Da b [0, a1 b2 ) [a 2 b1 ;

b2 ) для ~~ ~~ ~ ~ ~ f (a, b ) a b ;

a Da ;

b Db имеем: Da b [0;

a1 b2 ) [a 2 b1 ;

b2 ) В таблице 6.2 приведены основные случаи, когда Da [a1 ;

a 2 ) и Db [b1 ;

b2 ) Конечно, нет основания путать Da с Da, где Da [0;

a1 ) [a1 ;

1], а Da (1 a 2 ;

1 a1 ] (6.137) и, наконец, Da [0,1 a 2 ] [1 a1 ;

1].

Пример 6.10. Найти область определения ~~ ~ ~ f (a, b ) a b, зная, что Da [a1 ;

a 2 ) и Db [b1 ;

b2 ).

Из (6.135) и (6.136), используя (6.137), имеем:

Таблица 6. Восемь основных случаев Da [a1 ;

a 2 ) и Db [b1 ;

b2 ) ~~ f (a, b ) Область Область Область определе ~~ определе- определе- ния f (a, b ) ~ ~ ния a ния b Da Db [a1 b1 ;

a 2 b2 ) (6.169) [0;

a1 b2 ) [a 2 b1 ;

b2 ) (6.170) Db Da ~~ ab Da [0;

b1 b2 ) [b2 a1 ;

a 2 ) (6.171) Db [0;

a1 b1 ) [a 2 b1 ;

1] (6.172) Da Db Da Db [a1 b1 ;

a 2 b2 ) (6.173) Db [b1, a1 b2 ) [a 2 b1 ;

1] (6.174) Da ~~ ab [a1, b1 a 2 ) [b2 a1 ;

1] (6.175) Da Db [0;

a1 b1 ) [a 2 b2 ;

1] (6.176) Da Db ((1 a 2 ) b1 ;

(1 a1 ) b2 ] 1 a 2 b1 и 1 a1 b [(1 a 2 ) b1 ;

(1 a1 ) b2 ] 1 a 2 b1 и 1 a1 b Da b ((1 a 2 ) b1 ;

(1 a1 ) b2 ) 1 a 2 b1 и 1 a1 b [(1 a 2 b1 ;

(1 a1 ) b2 ) 1 a 2 b1 и 1 a1 b Таким образом, ((1 a 2 );

(1 a1 ), если 1 a 2 b1 и 1 a1 b [b1 ;

1 a1 ), если (1 a 2 ) b1 и 1 a1 b Da b ((1 a 2 ;

b2 ), если 1 a1 b1 и 1 a1 b [b1 ;

b2 ), если 1 a 2 b1 и 1 a1 b Наконец, рассмотрим случай дискретной функции принадлежности. Предположим, что 0;

1 разбит на равных частей, определяющих 11 дискретных значений.

M {0;

0,1;

0,2;

0,3;

0,4;

0,5;

0,6;

0,7;

0,8;

0,9;

1} В этом случае для функций, подлежащих рассмотре нию, удобно составить таблицы, которые в теории нечёт кой логики для характеристических функций характери стик нечёткого множества играют роль, аналогичную роли таблиц истинности при изучении функций булевых пере менных. Но теперь вместо двух значений переменной из булевой алгебры приходится иметь дело с большим чис лом значений – от 0 до 1 и с законами (5.6)-(5.20).

Посмотрим, как применяются эти таблицы.

~~ ~ ~ Пример 5.11. Пусть f (a, b ) a b, где ~ ~ a {0,3;

0,4;

0,5;

0,6};

b {0,1;

0,2} {0,7;

0,8;

0,9} Изучение заштрихованной части таблицы 6.4 показывает, ~~ что a b {0,1;

0,2} {0,7;

0,8;

0,9} Таблица 6. ~ 7 8 ~ 12 3456 a b 0 0 12 3456 789 1 0 12 3456 789 2 0 12 3456 789 3 0 12 3456 777 4 0 12 3456 666 5 0 12 3455 555 6 0 12 3455 444 7 0 12 33 3 3 333 8 0 12 22 2 2 222 9 0 11 11 1 1 111 1 0 00 00 0 0 000 Изучение заштрихованной части таблицы 6.4 показывает, что ~~ a b 0,1;

0,2 0,4;

0,5;

0,6;

0, ~~~ ~~~~ Пример 6.12. Пусть f (a, b, c ) (a b c ) c, где ~ ~ a {0,3;

0,4;

0,5} b {0,1;

0,2} {0,6} и ~ c {0;

0,1} {0,7;

0,8;

0,9;

1} ~~~ Сначала предположим d a b и рассчитаем область оп ~ ределения d с помощью таблицы на рис.6.5 (которая представляет собой транспортированную таблицу на рис.5.4) Найдем ~~~ d a b {0,3;

0,4;

0,5} Затем найдем область определения ~~~~~~ dcabc Таблица 6. ~ ~ ~ 12 6 7 8 9 d a b 0 0 0 0 000 0 0 00 1 1 11 111 1 1 11 2 2 22 222 2 2 21 3 3 33 333 3 3 21 4 4 12 444 4 3 21 5 5 55 55 5 4 3 21 6 6 66 665 4 3 21 7 7 77 765 4 3 21 8 8 88 765 4 3 21 9 9 98 765 4 3 21 1 1 98 765 4 3 21 С помощью таблицы на рис.6.6 находим ~~~~~~ d c a b c {0;

0,1} {0,3;

0,4;

0,5} Наконец, с помощью таблицы на рис.6.7 найдем область ~~~ определения f {a, b, c } ~~~ f {a, b, c } {0;

0,1;

0,2;

0,3;

0,4;

0,5} {0,9;

1} ~~~ dab Таблица 6. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 0 1 2 3 3 3 3 3 3 3 4 0 1 2 3 4 4 4 4 4 4 5 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 6 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 7 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Таблица 6. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 2 3 3 3 3 3 3 3 4 1 1 2 3 4 4 4 4 4 4 5 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 6 1 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 7 7 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 §5. Нечёткие утверждения и их функциональное представление В отличии от формальной логики нечёткая логика опирается не на таблицы истинности, а на операции, про изводимые на нечётких подмножествах.

Высказывания нечёткой логики, как и высказывания формальной логики, явно или неявно связаны с теорией нечётких и соответственно формальных множеств.

Операциям, и (пересечение, объединение и до полнение) в формальной логике соответствуют связки, и (коньюнкция «И», дизьюнкция (или/и), отрицание «не»).

Период к нечётким связкам, и соответствующей нечёткой олгики не представляет каких-либо трудностей, поскольку мы определили соответствующее множество операций в §2, III гл.

Однако необходимо уделить внимание другим связ кам: импликации, метаимпликации, логической эквива лентности.

Перейдем к обзору этих понятий, сначала в формаль ной,а затем в нечёткой логике.

Рассмотрим два формальных утверждения, Q и.

Составному утверждению Q ведёт (соответствует ) соответствует таблица 6.8.

Q Таблица 6. Q Q ложно ложно истинно ложно истинно истинно истинно ложно ложно истинно истинно истинно Если утверждению Q поставить в соответствие мно жество А, а утверждению - множество В, то составному утверждение, Q влечет ставится в соответствие множе ство A B.

Теперь рассмотрим составное утверждение «Q» мета имплицирует обозначается Q.

Этой метаимпликации придаётся следующий смысл:

когда Q истинно, всегда истинно ( к счастью здесь со храняется правило силлогизма), но ничего нельзя утвер ждать, когда Q ложно;

в этом случае может быть как истинно, так и ложно. Таким образом, высказывание вроде «если море станет сладким сиропом, я превращусь в сиро пу» - корректно, поскольку море, увы, непригодно для пи тья и, конечно, не станет сладким сиропом. Поэтому связка и утверждение Q = сводится к следующему: если Q истинно, то есть необходимо истинное утверждение.

Поэтому следует остерегаться смещения Q и.

Q Первое есть операция логики:

Q Q (в одних обозначениях) (6.138) ( Q ) ( ) (в других обозначениях) Q Второе – маталогическая операция, которая может не сводиться к (6.138). Однако привычно метаимпликацию называть импликацией путает обе термина. Составное ут верждение Q не является отношением причины и следствия и не доказывает справедливость по отноше нию Q, но именно так трактуется метаимпликация Q.

Можно привести ложный парадокс, связанный с вве дённым нами понятием импликации, который мы сформи руем следующим образом:

поскольку проанализировать утверждения Q и можно лишь тогда, когда известно их содержание, о кото ром у нас не имеется никаких сведений, и единственно доступные нам данные – это логические значения этих вы сказываний, то импликация Q не может быть отношени ем причины и следствия.

Однако, если апприории известно, что Q истин но, то можно заключить, что - истинно.

Приведем пример, взятый из [43]. Пусть Q и есть следующие утверждения, которые будем рассматривать, используя таблицу 6.4.

Q – Наполеон умер на острове Святая Елена (истино);

- Версингеторикс носил усы (никто не уверен);

- истино, если истино;

Q Q - два плюс два равно пять (ложно);

- 12-простое число (ложно);

- истино;

Q - Луна сделана из швейцарского сыра (ложно);

Q Z 17 - простое число (истино);

- истино;

Q Q 17 - простое число (истино);

-16 – простое число (ложно) - истино Q Таблица 6. Q Q ложно ложно истино ложно истино истино истино ложно ложно истино истино истино Логическая эквивалентность менее двухсмысленна. Опре делим её, используя таблицу истинности 6.10.

Подобно импликации, логическая эквивалентность не учитывает содержания двух утверждений в причинном от ношении.

Составленному высказыванию для подмножества А, связанного с Q и подмножества В, связанного с соот ветствует множественная операция ( A B ) ( A B ) Таблица 6. Q Q ложно ложно истино ложно истино ложно истино ложно ложно истино истино истино Вместо метаэквивалентности обычно просто об экви валетности – это значит, что Q метаимплицирует им плицирет Q. Такая симметрия определения приводит к таблице истинности, идентичной таблицы истинности для логической связи «эквивалентно». Q. Поэтому можно отождествлять эти понятия, не опасаясь возникновения двухсмысленности.

Нечёткие утверждения типа нечёткой импликации и нечёткой эквивалентности определяют относительно опе раций ~ ~ ~ ~ ~ ~ A B и (A B) (A B ) соответственно.

Для определения метаимпликации в нечёткой логике используем понятие бинарного отношения. На рис. 6.4:

Если х=х1, то y=y3 и т.д.

Таблица 6...y Е x1 y1 y2 y3 y4 y5 y x.

1 Е x1 0 0 1 0 0.y x. x2 0 0 0 0 1.y x3 0 1 0 0 0 x.

.y x.

x4 1 0 0 0 0 x5 0 0 0 1 0.y x6 0 0 1 0 0 x..y x7 1 0 0 0 0 x.

6 x8 0 0 0 1 0 x.

Рис.6. В таблице 6.12 элементу множества Е1 соответствует нечёткое подмножество Е2.

если х=х1, то ~ B { y1 / 0,7;

y 2 / 0,4;

y 3 / 1;

y 4 / 0,3;

y 5 / 1;

y 6 / 0,8} если х=х5, то ~ B { y1 / 0,1;

y 2 / 0,4;

y 3 / 0,7;

y 4 / 0,9;

y 5 / 0,3;

y 6 / 0,6} Таблица 6. Е y1 y2 y3 y4 y5 y Е x1 0,7 0,4 1 0,3 0,9 0, x2 0,3 0,8 0,6 0,5 1 0, x3 0,4 0,9 0,3 1 0,1 0, x4 0,9 1 0,8 0,2 0,6 x5 0,1 0,4 0,7 0,9 0,3 0, x6 1 0,2 0,4 1 0,7 0, Рассмотрим теперь пример построения нечёткого ~ подмножества B, соответствующее нечёткому подмно жеству A, определённого как:

max min( ~ ( y // x), A ( x)) (6.139) ~ Пример 6.13. Пусть A {x1 / 0,4, x 2 / 0,3;

x3 / 0,6;

x 4 / 0,8;

x5 / 0,8;

x6 / 0,1}, используя нечёткое отношение 5.9 найдем нечеткое под ~ множество B E 2. Последовательно имеем:

( y1 ) max min(0,7;

0,4), min(0,3;

0,3), min(0,4;

0,6), ~ min(0,9;

0,8), min(0,1;

0,8), min(1;

0,1) max(0,4;

0,3;

0,4;

0,8;

0,1;

0,1) 0, ( y 2 ) max min(0,4;

0,4), min(0,8;

0,3), min(0,9;

0,6), min(1;

0,8);

min(0,4;

0,8);

min(0,2;

0,1) max 0,4;

0,3;

0,6;

0,8;

0,4;

0,1) 0, ~ ( y3 ) max 0,4;

0,3;

0,3;

0,8;

0,7;

0,1 0, ( y4 ) max 0,3;

0,3;

0,6;

0,2;

0,8;

0,1 0,8 ~ ( y5 ) max 0,4;

0,3;

0,1;

0,6;

0,3;

0,1 0,6 ~ ( y6 ) max 0,4;

0,3;

0,3;

0,8;

0,6;

0,6 0, ~ Таким образом, имеем:

~ B { y1 / 0,8;

y 2 / 0,8;

y 3 / 0,8;

y 4 / 0,8;

y 5 / 0,6;

y 6 / 0,8} Если ( ) соответствует (max-min), то имеем:

y1 y2 y3 y4 y5 y x1 0,7 0,4 1 0,3 0,9 0, x1 x2 x3 x4 x5 x6 x2 0,3 0,8 0.6 0,5 1 0, x 0,4 0,3 0,6 0,8 0,8 0,1 0,4 0,9 0,3 1 0,1 0,3 = x4 0,9 1 0,8 0,2 0,6 x5 0,1 0,4 0,7 0,9 0,3 0, x6 1 0,2 0,4 1 0,7 0, x1 x2 x3 x4 x5 x = 0,4 0,3 0,6 0,8 0,8 0, Итак, мы показали, что рассматриваемое утверждение «ес ли-то» хорошо соответствует тому, что используется при формальных отношениях.

Обращаясь к рис.5.8, имеем: если ~ A {x1 / 0;

x 2 / 0;

x3 / 1;

x 4 / 0;

x5 / 0;

x6 / 0;

x7 / 0;

x8 / 0} т.е.

A {x3 }, то ~ ~ B { y1 / 0;

y 2 / 1;

y 3 / 0;

y 4 / 0;

y 5 / 0;

y 6 / 0}, т.е. B { y 2 }.

~ Это можно записать в виде: если A {x3 }, то ~ B { y 2 }, или же, если x x3, то y y 2.

Сделаем сводку всех утверждений, установленных до сих пор: нечёткая коньюнкция (нечёткое и) определяется как ~~ A B, нечёткая дизьюнкция (нечёткое или) определяется ~~ как A B, нечёткое отрицание (нечёткое не) определяется ~~ ~ как A, нечёткая импликация определяется как A B, не чёткая эквивалентность определяется как:

~~ ~~ AB A B, нечёткая, если, то определяется как:

( y) ( y // x), ( x) (нечёткая импликация).

max min ~ ~ ~ B B A x Это последнее утверждение, скорее всего, относится не к нечёткой логике, а к нечёткой металогике.

§6. Многозначная и нечёткозначная логики В зависимости от способов введения операций Таблица 6. Название связки Обозначе- Нечёткая логика Нечёткая логи- Вероятностная ние связки с максимальны- ка с ограни- нечёткая логика ми операциями ченными опе рациями ~ mах (а, 1-а) 1 1-а(1-а) тавтология A min(a,1-a) 0 a(1-a) противоречие A ~ 1-а 1-а 1-а отрицание A ~~ mах (а, b) min(1,a+b) a+b-ab дизьюнкция AB ~~ min(а, b) mах(0,а+b-1) a,b коньюнкция AB ~ ~ mах(1-a;

b) min(1,1-(a+b)) (1-a+ab) импликация A B ~ ~ min[max(1-a,b);

(1-a+ab)(1-b+ab) эквивалентность A B 1- a b max(a,1-b)] ~~ Штрих Шеффера AB mах(1-a;

1-b) min(1,1-a+1-b) 1-ab mах[min(1-a-b), Исключающее ~~ ab 1-(1-a+ab)(1-b+ab) A exB min(a,1-b)] «ИЛИ»

~~ Стрелка Пирса min[(1-a,(1-b)] mах(01-a-b) (1-a)(1-b) AB объединения и пересечения нечёткого множества сущест вуют три основных теории нечётких множеств. Если (E ) - множество нечётких подмножеств Е с обычными максимальными операциями объединения ( ) и пересече ния ( ), то множество ( A), как множество отображений из Е в [0,1], является дистрибутивной решёткой с псевдо дополнением ( E ),,,. В качестве объединения и пе ресечения можно взять вероятностные операторы (алгеб раические операции в таблице 6.12).

Наконец, используя операторы ограниченной суммы ( ) и произведения и обычное псевдодополнение, по лучаем недистрибутивную решётку с дополнением,,,.

~~ ~ ~ ~~ ~ ~ Отметим, что A, B ( E );

A B A B A B ;

и ~~~~~~ A B A €B A B.

Каждой из этих теорий соответствует многозначная логика, связки для которой приведены в таблице 6.6, где A ( x) a;

B ( x) b.

Следует отметить, что результаты, приведённые в таб лице 6.13. Кроме так называемой вероятностной нечёткой логики полностью освещены в предыдущем §5 главы 6.

В логике, связанной с (E ), €,,, которую часто на зывают вероятностной нечёткой логикой операции ~ ~ ( x) ~ ( x) ~ ( x ) ~ ( x ), ~ B ( x) B AB A A, (6.140) ~ ~ ( x) ~ ( x) ~ ( x) B AB A являются коммутативным, ассоциативными, но не идемпотентными и не дистрибутивными относительно друг друга, т.е., учитывая (6.1), имеем:

a b ba коммутативность a €b b €a a (b c) (a b)c ассоциативность a € (b € a) (a € b) € c aa a не импотентность a €a a a(b € c) ab ac не дистрибутивно a b c (a b)(a c) Следует также отметить, что связки «ех,|, » всегда выражаются как отрицания, и соответственно;

таф талогия и противоречие определены как ~ ~ ~~ ~ ~ A A A ;

A A A. В более общем виде ~~ ~~ ~~ AB ( A A ) ( B B ) ~~ ~~ ~~ AB ( A A ) ( B B ) Альтернативный подход к описанию нечётких логик предложен в [45,46,47,48] В [5] введено понятие лингвистической переменной, которая характеризуется набором X, T ( X ),, G, M, в кото ром Х – название переменной, Т(Х) – терм-множество пе ременной Х, т.е. множество лингвистических значений пе ременной, причём каждое из таких значений является не чёткой переменной Х со значениями из универсального множества с базовой переменной и, G- синтаксическое правило (имеющее обычно форму грамматики), порож дающее названия Х значений переменной Х, а М – семан тическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечёткой переменной её смысл М(Х), т.е. нечёткое под множество универсального множества. Конкретнее на звание Х, порожденное синтаксическим правилом G назы вается термом.

Трактовка истинности, как лингвистической перемен ной, приводит к нечёткой логике со значениями «истин ный», «очень истинный», «совершенно истинный», «более или менее истинный», «не очень истинный», «ложный» и т.д., т.е. к нечёткозначной логике, на которой основана тео рия приближённых рассуждений 48. В таблице 6.12 при ведён пример лингвистических значений истинности: «ис тино» с функцией приандлежности S(, 1) / 2,1, и [0,1], «ложно»=ant, («истинно») и «сомнительно» с c S, ( 0,5) / 2,0, на 0;

0,5 и c aut ( S (, ( 0,5) / 2;

0,5)) на 0,5;

1, [0;

0,5]. Определение S- функции содержится в гл. 50.

Вообще говоря, можно рассмотреть логическую систему Z {P, L, T ), где Р – множество высказываний, L- решётка и Т – отображение T :P L, которое присваивает каждому Р Р его значение истинно сти T ( P ) L. Истинностное отображение должно удовле творять следующим свойствам:

а) T ( p q ) T ( p ) T (q ) б) T ( p q ) T ( p ) T (q ), (6.141) а также в) T ( P ) T ( P) 1, – a в б – – – 0, – – –.|..| – | | | | | | X 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1, Рис. 6. Функция принадлежности лингвистических значений истинности:

- «ложно»;

- «сомнительно»;

в- «истинно».

Для лингвистической переменной использована L [0,1] { f : [0,1] [0,1]} в качестве множества истин ности. Поэтому, истинозначное отображение записывается в виде:

([0,1]) и аксиомы а), б) и в) будут выполнены.

T :P Нечёткозначная логика описывается теорией нечёт ких множеств типа 2, значения функций принадлежности которых являются нечёткие числа (см.гл.III). Семантиче ские правила для вычисления функций истинности для от рицания, коньюнкции и дизьюнкции записываются сле дующим образом:

T2 ( P ) 1 - Т2(Р)= ant (Т2(Р)) T2 ( P Q) min (T2 ( P), T2 (Q)) (6.142) T2 ( P Q) max(T2 ( P), T2 (Q)) ~ ~ где Т2(Р)- нечёткое число на- 0;

1, –, max, min - расши ренные операции отрицания, максимума и минимума соот ветственно.

Через функции принадлежности определения для ~ ~ max, min, имеем:

max ( z ) sur ( x), ( y) min P Q z max( x, y ) PQ (6.143) ( z) sur min ( x), ( y) P Q min z min( x, y ) ( P,Q ) Аналогично с помощью принципа обобщения полу чаются семантические правила для других логических свя зок (см. табл.6.13). Так для связок логики ( ( x),,, ) имеет место следующие формулы:

~ а) для импликации T2 ( P Q) max (1 T2 ( P), T2 (Q)) б) для эквивалентности ~ ~ ~ T2 ( P Q) min[max (1 T2 ( P ), T2 (Q)), max (1 T2 (Q), T2 ( P )) в) для исключающего «ИЛИ»

~ ~ T2 ( PexQ) max (min (1 T2 ( P), T2 (Q)), min(1 T2 (Q), T2 ( P))] 2) для тафтологии:

~ T2 ( P) max (T2 ( P ),1 T2 ( P ));

д)для противоречия:

~ T2 ( P ) min (T2 ( P),1 T2 ( P));

Пример 5.14. Если Р «сомнительно», а Q «истинно», то T2 ( P Q) max(aut («сомнительно»), «(истинно) ~ «истинно»;

~ T2 ( P Q) max(aut «истинно», «сомнительно» ~ «сомнительно», Т2(Р Q)= «сомнительно».

~ ~ Для расширенных операций max и min выполняются свойства коммутативности, ассоциативности, иденпотент ности, взаимной дистрибутивности, а также законы по глощения и Де Моргана.

§7 Теория нечётких подмножеств и теория вероятностей При первичном знакомстве с понятием нечётких мно жеств, многие спрашивают: «Что интересного в теории не чётких подмножеств? Ведь всему этому хорошо служит теория вероятностей.» У этих теорий действительно есть несколько общих аспектов, но существуют доводы, что эти теории следует различать. Поэтому выясним, чем отлича ются эти теории друг от друга.

Приведём сначала теоретическое определение веро ятности.

Пусть Х – конечное универсальное множество ( X ) множество всех его подмножеств. D – подмножество ( X ) обязательно содержащее Х.

Определение 6.11. Подмножество (или семейство) D будем называть вероятностным семейством подмножеств множества Х, если выполняются следующие два условия:

а) A D: A D (6.144) б) D и B D;

A A B D;

Например, пусть X {x1, x 2, x3, x 4 } и D {,x2,x3,(x2,x3),(x1,x4),(x1x2x4),(x1x3x4),X} (6.145) Легко доказать, что для всех элементов семейства (6.145) удовлетворяют условиям (6.144).

Свойства (6.144) влекут за собой выполнение сле дующих свойств:

в) D (6.146) г) A и B :А-В=А B D Отметим, что вероятностное семейство «D» образует кольцо относительно (дизьюнктивности суммы) взятия симметрической разности от двух множеств, которая рас сматривается как адитивная операция кольца и мультипли кативной операции - пересечения двух множеств.

( A B )C A ( B C ) +A A AA существование противоположного элемента A B B A - коммутативность ( A B) C A ( B C ) ( A B) C ( A C ) ( B C ) C ( A B ) (C A) (C B ) Следовательно, ( D,, ) -кольцо.

Определение 6.12. Подмножество ( X ) называет ся вероятностно-базисным семейством множества Х, если используя операции дополнения и объединения (6.144), из него можно получить любое подмножество вероятност ного семейства D (X ).

При этом говорят, что F порождает D или F – генера тор D.

Легко видеть, что F={x1,x4},x2,x3} – есть генератор (6.145).

Отметим также, что для бесконечного универсаль ного множества (счётного или несчётного) условия (6.144) заменяется условием:

а) A D : A D (6.147) е) { A1, A2,..., An,...} D A1 A2... An...D Определение 6.13. Пусть дано вероятностное семей ство D ( X ). Вероятностью называется однозначное отображение D в R+, обладающее следующими свойства ми:

ж) A D : Pr( A) з) A D : B D : A B = =Pr(A B)=Pr(A)+Pr(B) u) Pr (X)= где Рr(Z)- образ элемента Z D в R+ Аксиомы (6.144) и (6.146) или (6.145) и (6.146) каж дому элементу из семейства D ( X ) ставят в соответст вие неотрицательное число меньше или равно 1.

Исходя из аксиом (6.144) и (6.146) легко доказать следующие свойства вероятностей:

Рr ( )= Pr( A )=1-Pr(A) (6.148) Pr(A)+Pr(B)=Pr(A B)+Pr(A B) B A=pr(B) Pr(A) Обращаясь к понятию нечёткого подмножества сле дует подчеркнуть следующий важный момент: «недоста точно с каждым подмножеством связать число P [0;

1] и называть Р – вероятностью, необходимо, чтобы подмноже ство и Р удовлетворяли аксиомам (6.144) и (6.146)».

Установим теперь различие между вероятностной концепцией для нечётких и для чётких подмножеств.

Рассмотрим простой пример.

Пример 6.15. Пусть Х={x1, x2,x3, x4} Определим нечёткое подмножество, приписывая ка ждому элементу значение функции принадлежности:

~ A {( x1 / 0,3);

( x 2 / 0,7);

( x3 / 1)} В теории вероятности число P [0;

1] приписываются обычным подмножествам, составляющим вероятностное свойство. Если в качестве «D» выбрать (6.145), то можно, например, записать Рr ( )=0;

рr(х2)=0,2;

рr(х3)=0,3;

рr(х1,х4)=0,5;

рr(х1х2х4)=0,7;

рr(х1х3х4)=0,8, pr(х4х3)=0,5;

pr(X)= Очевидно, что все эти вероятности удовлетворяют (6.188).

Как видно, эти два подхода совершенно различны.

Можно представить себе, что вероятности приписаны нечётким подмножествам некоторого универсального множества, элементы которого, в свою очередь, есть не чёткие подмножества другого универсального множества.

Можно представить себе и теорию вероятностей не чётких событий.

Очевидно, что надо проводить различие между двумя теориями: теорией нечётких подмножеств и теорией веро ятностей обычных подмножеств.

Наряду с этим следует отметить, что а) сходство теории вероятностей и теории нечётких множеств заключается в том, что и значения вероятностей принадлежности элемента х некоторому множеству А и значения функции принадлежности элемента х нечёткому ~ множеству A изменяются на [0;

1].

Кроме того, все аксиомы вероятностей множества случайных событий (случайных величин) справедливы и для функции принадлежности нечётких множеств, если противоположному случайному событию в теории вероят ностей в теории нечёткого множества соответствует до полнение нечёткого множества;

б) различие этих теорий заключается в основном том, что функция принадлежности A (x) определяет степень принадлежности элемента х множеству А и если A ( x) 0 1, то при любом таком значении A (x) элемент х принадлежит множеству А (т.е. говоря в терминах слу чайных событий оно есть достоверное событие), если же вероятность того, что х принадлежит множеству А прини мает значение 0 PA ( x) 1, то событие, что х А есть слу чайное событие и поэтому несмотря на то, что 0 PA ( x) 1 возможно, что х и не примет значение из А, т.е. x A.

Кроме того, следует отметить, что с точки зрения теории меры вероятностная трактовка нечеткого множест ва является несправедливым, поскольку понятие вероятно стной меры является сужением понятия нечёткой меры.

С точки зрения теории отображений P : [0,1] и [0,1] - совершенно разные объекты. Вероятность ( x) : X Р определяется в -алгебре и является функцией множе ства, а (x) - есть обычная функция, областью определе ния которой является множество Х. Поэтому понятия веро ятности нечёткого множества не имеет смысла сравнивать на одном уровне абстрагирования.

Если Х – конечное множество, очевидно, можно сравнивать Р({х}) с A (x) :

P({x}) 1 и ( x) A xX xX В случае, когда Х R, приходится сталкиваться со следующими трудностями.

b Для (a, b] R, P((a, b]) P( x)dx a где P (x) - плотность вероятности. При этом очевид но, что x R : P ({x}) 0, когда Р(х) 0.

Нетрудно увидеть, что понятие плотности вероятно сти и функция принадлежности сравнимы. В то время, как вероятностная мера является шкалой для измерения неоп ределённости типа случайности, а нечёткой множество [58-63] являются субъективными шкалами для нечёткости.

§8. Законы нечёткой композиции Пусть Е – универсальное множество. Также как и в §7, обозначим через (E ) множество нечётких подмно жеств множества Е. В [23] кстановдено, что если n=cardE и m=cardM-конечны, то (E ) - конечно, где М=[0,1]ерь можно определить законы композиции.

Определение 6.14. Отображение из (Е) (E ) в ~~ ~ ~ (E ), т.е. каждой упорядоченной паре ( A, B ), ( A E, B E ) поставить в соответствие единственное нечёткое подмно ~ жество C E, будем называть законом нечёткой внут ренней композиции на (E ).

Определение 6.15. Пусть Е1,Е2 и Е3 – три универсаль ных множества. Если каждой упорядоченной паре (А1,А2), А1 Е1, А2 Е2 можно поставить в соответствие одно и только одно подмножество А3 Е3, то это соответствие на зывается законом внешней нечёткой композиции при ус ловии, что Е3 Е1 или (и) Е3 Е2.

Если же Е1=Е2=Е3, то имеем закон внутренней ком позиции.

Если m и n конечные, то посредством этих условий описывают конечную групоид (и бесконечный) групоид, если m или(и) n – не конечно.

Пример 5.16. Пусть Е={A,B} и М={0,,1} 1 (E) A / 0;

B / 0, A / 0, B /, A/, B/0, 2 1 A/, B/,... A / 1, B / 2 ~ Для упрощения записи для X E вместо A / ~ ( A), B / ~ ( B) будем писать ~ ( A), ~ ( B ). Та x x x x ким образом, получим следующий группоид:

Таблица 6. 1 1 11 1 (Е) 0;

0 0;

;

0 ;

;

;

1 1;

0;

1 1;

(Е) 2 2 22 2 1 11 1 1 ;

0 ;

1;

0;

1 0;

1 1;

1;

1 1;

(0;

0) 0;

2 22 2 2 1 1 1 1 0;

0;

;

0 ;

1 ;

;

1,0 0;

0 1;

0 0;

2 2 2 2 1 1 1 1 ;

0 1;

0;

0;

1 1;

;

0;

0 1;

1 1;

1 1;

2 2 2 2 1 1 0;

;

;

1 1;

0 1;

0 ;

1;

1 0;

0 1;

1 2 0;

2 11 1 1 1 1 1 1 ;

0;

0;

;

0 ;

0 1;

0 ;

0 1;

1;

0;

22 2 2 2 2 2 2 1 11 11 ;

0 0;

0 ;

;

1;

1 ;

1;

0 0;

1 1;

0 0;

2 22 22 1 11 1 1 ;

1 0;

0 ;

0;

;

1 1;

0;

1 1;

0 1;

0 1: 2 22 2 2 1 1 1 1 1 1;

;

1 0;

1;

;

1 0:0 0;

;

0:0 0;

2 2 2 2 2 11 1 1 ;

0;

1 ;

1 0;

1;

1;

1 0;

1 1;

1 1;

0 1;

22 2 2 Для построения нечёткого группоида достаточно за дать универсальное множество Е. Конечное или нет, обра зовать (E ) явно или нет и определить закон, который ка ~~ ждой упорядоченной паре нечётких подмножеств ( A B ) ставит в соответствие одно и только одно нечёткое под ~~~~ множество c ( A, B, C E ).

Пример 6.17.

~~~~ A B A B, т.е.

( x), ( x) ( x) ( x) min (6.149) ~~ ~ ~ ~ ~ B AB A A Рассмотрим пример нечёткой внешней композиции.

Пример 6.18 Пусть E1{ A;

B;

C};

cordE1 M1 0;

;

;

;

1 cardM 1 E2 a;

b;

c;

d cardE 2 M2 cardM 0;

;

1 E3 cardE ;

M3 cardM 3 0;

;

;

~ ~ Пусть A1 E1 и A2 E 2 каждой упорядоченной паре ~~ ( A1 A2 ) поставим в соответствие одно и только одно под множество A3 E3 с помощью таблицы. А именно, пусть, обозначается 1 ;

1 ;

1 ~ A1 A/, B /, c / 4 2 (6.150) ~ a / 0, B /, c / 0, (d / 1) обозначается 0;

;

0;

A Предположим, что таблица этим двум подмножествам ста вит в соответствие третье подмножество ~ A3 / ;

/ 1 обозначается 1 / 3;

таблица будет содержать 53 34=125 81 случаев. На рис.

6.12 приведён небольшой фрагмент этой таблицы.

Пример 6.19. рассмотрим предыдущий пример для закона ( x) ( y) () ~ ~ ~ A1 A A3 xy (6.151) ( x) ( y) () ~ ~ ~ A3 A1 A xy Получим другую композиционную таблицу, на основе ко ~ ~ ~ ~ торой вычислим элемент ( E1 ) ( E 2 ). Пусть A1 и A2 за даны (6.150) ……. ……..

( E2 ) 11 1 0;


;

0;

0;

;

0;

1 0;

;

1;

( E1 ) 22 2 ….. …… 11 1 1 ;

;

0 0;

;

1;

;

1;

;

42 3 3 …. …..

11 2 22 ;

1;

;

;

1 ;

;

42 3 33 …. …… 0;

1 2 ’;

1;

1 0;

1;

4 3 ……… …. ……… ……… ………. …….

Рис. 6. Имеем:

1 1 11 () 0;

;

0;

1, ~ A 4 4 24 x y 1 1 11 1 0, ;

0, 1, 1 0;

1 ;

1 0;

1 2 2 22 2 111 111 11 ;

;

;

1 ;

;

;

1 1;

1;

1;

1 ;

;

424 222 42 x y y y x 1 1 11 () 0;

;

0;

~ A 4 4 24 xy y 1 1 11 1 0;

;

0;

1 1 0, 1,1 0;

1 2 2 22 2 y y 11 11 1 0;

;

0;

0;

;

0;

0;

;

0;

1 ;

;

1 44 22 2 x y y y x Таким образом, () ;

() A3 A 1 ~ A1 A/, B /, C / Подмножеством и 4 ~ A2 a/0, b/, C / 0, d / ~ соответствует A3 /, / Замечание. Пусть в общем случае М1 связано с Е1;

М2 свя зано с Е3.

~ ~ ~ Если ( E3 ) формируется из ( E1 ) и ( E 2 ) посредством формулы композиции (6.152). Так для примера (6.19) оче видно, что ~ ( x, y ) ~ ( x) ~ ( y) (6.152) A A A 3 1 то M 3 будет выведено из M 1 и M 2 посредством формулы композиции (6.152). Так для примера (5.19) очевидно, что M 3 M 1 M 2 M 1 {0,,,,1} Разумеется (6.152) не может рассматриваться как общая формула.

В §6 показано, как компонуются интервалы для опе раций и. Аналогичные процедуры можно применить для других случаев.

Пример 6.20. Построим нечёткий граф, вершины которого – нечёткие подмножества, этим будет определён закон внешней композиции.

~ ~ Пусть A E, B E ~~ ~ ~ Каждой упорядоченной паре A, B E ( E ) будет по ставлен в соответствие элемент, обозначенный ~ ~ ~~ A B A, B Элемент С принимает свои значения во множестве F, определенной операцией.

Предположим, например, что Е={a,b} и M 0,, и, что ~~ C A, B ~ (a) ~ (a) ~ (b) ~ (b) (6.153) B B A A Эта функция определяет значение «С» в FM 0;

;

Полученный нечёткий граф представлен на рис.6.13.

таким способом можно строить нечёткие графы, которые обладают специфическими свойствами, обусловленными их построением.

Таблица 6. 1 1 11 0;

;

0 ;

;

1;

0 ;

1;

(0;

0) 2 (0;

1) (1;

1) 2 22 (0;

0 0 0 0 0 0 0 0 ) 1 1 1 1 1 0;

0 0 2 2 2 2 2 1 0;

0 1 0 1 0 2 2 1 1 1 1 1 ;

0 0 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ;

2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ;

0 2 2 2 2 2 2 1 1 (1,0) 0 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1;

0 1 1 2 2 2 2 1 1 (1;

1) 0 1 1 1 1 2 2 Достоинство представления внешнего закона нечёт кой композиции в виде нечёткого графа состоит в том, что элементы (вершины графа) – нечёткие подмножества од ного и того же универсального множества.

Возвращаясь к группоидам, рассмотрим основные свойства нечётких группоидов.

Пусть есть закон внутренней композиции нечёткого группоида, обозначим группоид через (E ),.

1) Если для всех упорядоченных пар ~~ ~ A, B (E) ( E ) выполняется условие ~~ ~~ AB B A, (6.154) то говорят, что закон внутренней нечёткой композиции коммутативен, а также говорят, что группоид коммутати вен. Например, группоид на рис.5.13 коммутативен, в то же время на рис. 6.11 – не коммутативен.

Исходя из понятия коммутативности закона для нечётких подмножеств, можно заключить, что если ( x) ( x) ( x) ~~ ~ ~ B AB A то из коммутативности следует коммутативность для и наоборот.

~~~ ~~~~~~ 2) Если A, B, C E : A B C A B C, то говорят, что закон ассоциативный, а также группоид ассоциативен.

3) Нечёткий группоид имеет единичный элемент.

Определение 6.16. будем говорить, что нечёткий группоид ~ с законом коммутации обладает левой единицей 1, если ~ ~~~ A E : 1 A A, правой единицей, если ~ ~~ ~ A E:A 1 A (6.155) и имеет единицу, если ~ ~~ ~~ ~ A E:1 A A1 A Например.

1 Для x 0;

;

1 и y 0;

;

1 (1;

1) (1;

1)=(х,у) 2 Поэтому (1:1) одновременно является левой и правой еди ницей, т.е. просто единицей группоида примера (5.16).

4) Рассмотрим закон, для которого существует единичный ~~ элемент l и пусть a и a Е.

Если a a l, то говорят, что элемент a есть левый об ратный элемент для «а», если a a l, то говорят, что a есть правый обратный элемент для а. Наконец, если a = a, то a а a =l и говорят, что a есть обратный элемент для а. Очевидно, что имеется только один элемент, который в композиции с самим собой даёт (1,1). Это элемент (1,1).

Для всех остальных элементов, таких, что (a, b) (1;

1) и (a, b ) (1;

1) имеем (a, b) (a, b ) (1;

1) Следовательно, в группоиде не каждый элемент имеет об ратного.

В более общем случае, когда в качестве закона исполь зуется или, обратный элемент не существует.

5) Пусть и представляет собой два закона внутренней композиций, определённых на одном и том же множестве Е. Если ~~~ ~~ ~~ ~~ A, B, C E : A B C A B A C, то говорят, что закон дистрибутивен слева относительно закона.

Аналогично, вводится понятие дистрибутивности справа.

Если закон дистрибутивен относительно другого закона и слева и справа, то говорят, что он дистрибутивен от носительно. Тогда ~~~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ABCD AC AD BC BD Например, закон дистрибутивен относительно и на оборот, закон дистрибутивен относительно. Для за кона ~~~~ ~~ AB AB AB относительно или свойство дистрибутивности не имеет место.

6) Пусть D (E ), причем (E ) наделено законом. Ес ~~ ли для каждой упорядоченной пары A, B D D, ~~ A B D, то говорят, что D относительно.

Например, подмножество D1,,0, 1,0, замк (0,0), 0;

нуто относительно. Это можно видеть на рис.6.11. С другой стороны, подмноже ство (1;

1) 11 1 D2 0;

, ;

0, ;

1, 1;

1 1;

22 2 ;

1 не замкнуто относительно. Такое же правило приме- 11 (1;

0) (0;

1) ;

нимо и для операции, но только следует рассмотреть 1 ;

верхние границы. Например, 0;

подмножество D1 не замк- (0;

0) нуто относительно,а Рис.6. подмножество D2 - замкну то.

~ Определение 6.17. Любое подмножество D ( E ), замк нутое относительно закона будем называть подгруппои дом группоида (Е, ) и обозначим (D E, ). Например, D1 – подгруппоид группоида (рис.5.17) относительно закона, а D2 – подгруппоид относительно закона.

Определение 6.18. Ассоциативный нечёткий группоид, имеющий единицу, будем называть нечётким моноидом.

Если моноид обладает свойством коммутативности, то его будем называть коммутативным мономидом.

Все следующие нечёткие группоиды, определённые с по мощью их функцией принадлежности, являются моноида ми.

~~ ~ 1. ( E ),, где A B ( x) ~ ( x) ~ ( x ), A, B E ~~ B B Ассоциативность группоида очевидно. Единицей служит множество Е.

~~ ~ 2. ( E ), где A B ( x) ~ ( x) ~ ( x ), A, B E ~~ B A ~ Ассоциативность группоида ( E ) очевидно. Единицей служит множество.

~~ ~ 3. ( E ),, где A B ( x) ~ ( x) ~ ( x ), A, B E, ассо ~~ B A циативен с единицей Е.

~ 4. ( E ), €, где ~~ ~ ~ ( x) ~ ( x) ~ ( x) ~ ( x) ~ ( x ), A, B E A €B B A A A ~ 5. ( E ),, где A B ( x) ~ ( x) ~ ( x) ~~ B A ~~ ~ ( x) ~ ( x ), A, B E ассоциативно с единицей B A.

Рассмотрим пример нечёткого группоида, который не яв ляется моноидом.

~ ~ Пример 6.21. Пусть A и B определяется соотношением ~ ~ ( x) ~ ( x) ~ ( x) B AB A иc ( x) и обозначим Положим a ~ ( x ), b ~ ( x) ~ c B A a b a b. Легко показать, что (a b) c c), a (b т.е. a b c abc В частности, если а=0,4, b=0,7, c=0,8, то abc 0,4 0,7 0,8 0,3 0,8 0, 0,4 0,7 0,8 0,4 0,1 0, Этот коммутативный группоид не моноид, поскольку не обладает свойством ассоциативности.

~ Определение 6.19. Пусть ( E ), - нечёткий моноид и ~ ( E ) - замкнуто относительно закона, тогда D будем D называть нечётким подмоноидом моноида и обозначим (D, ).

~ Пример 6.22. Рассмотрим моноид ( E ), на рис. 6.12 (а) Таблица 6. 1 1 ;

0;

(0;

0) ;

0 ;

1 2 22 ;

1 1 ;

(0;

0) (0;

0) ;

0;

;

2 2 ;

11 1 1 1 ;

0;

;

;

0;

0;

2 2 2 ;

1 1 1 0;

;

0 ;

;

;

;

0 ;

2 22 2 (0;

0) 11 11 ;

;

11 11 ;

;

;

;

22 Рис. 6. 1 1 1 1 1 ;

1 ;

1 ;

1 ;

1 ;

1 ;

2 2 2 2 2 Подмоноиды этого моноида представлены на рис.6.13 и 6.14. Причем 1 1 D1 ;

1 ;

D (0,0), (0;

0), 0;

, 1;

2 2 ;

1 ;

(0;

0) (0;

0) (0;

0) ;

1 1 ;

1 ;

1 ;

2 2 (0;

0) Рис.6. 1 1;

0;

(0;

0) 1;

1;

(0;

0) (0;

0) 0;

2 1 1 1;

0;

0;

0;

2 2 2 0;

1 1 1 1;

1;

1;

1;

2 2 2 (0;

0) Рис.6. Известно, что группа представляет собой моноид, в котором для каждого элемента существует и притом един ственный обратный элемент.

Можно задать следующий вопрос: существуют ли реально группы, которые являются нечёткими, если рассматривать операции,,, €, ?

Рассмотрим операции (минимум), (максимум), (произведение), € (алгебраическая сумма), (дизьюк тивная сумма). Каждая из этих операций ассоциативна и для каждого существует единица, роль которой в зависи мости от случая играет 0 и 1;

однако почти одинаково для каждой из этих операций не существует обратный элемент.

. Пусть (a,b) M M, где Рассмотрим операцию M [0;

1], 0 a b 1. Единицей для операции служит 1.

Существует ли такое а или b, что а b=1? Нет, не сущест вует, поскольку, а b=а1.

С другой стороны, если взять М={0;

1}, то групповая структура возможна.

0 1 0 1 01 0 0 0 0 0 1 001 1 0 1 1 1 1 110 Это не Это не группа. Это группа. Это группа.


группа. Единичный Единичный Единичный Единичный элемент 0, но элемент 0. 0 элемент 1, элемент 1, 1 не имеет об- есть обратный – обратный но 0 не ратного. элемент 0, 1- элемент 0, имеет об- обратный эле- имеет об ратного мент для 1. ратный элемента. элемент 1.

ГЛАВА VII. НЕЧЕТКИЙ АНАЛИЗ §1. Нечеткая функция Всвязи с тем, что в классической математике функцию следует рассматривать как зависимую переменную. Преж де чем, чтобы введем понятие нечеткой переменной.

Следуя Л.Заде [5] имеем следующее.

Определение 7.1. Нечеткой переменной будем называть переменную, которая характеризуется тройкой (Х,Е, R(х, )), где Х - название переменной, Е – универсальное мно жество (конечное или бесконечное, -общее название эле ментов множества Е, R(х, )- нечеткое ограничение на зна чения переменной, обусловленное х.

Как и в случае обычных нечетких переменных вместо R(х,) будем, как правило, писать сокращенно R(х), где х общее название значений переменной Х.

Уравнение назначения для х имеет вид:

Х=х:R(x) (7.1) или, что эквивалентно х=, R(x) и отражает то, что эле менту х назначается значение с учетом ограничения R(x).

Определение 7.2. Степень, с которой удовлетворяется ра венство (7.1) будем называть совместимостью значения с R(x) и обозначать С()= ( x), E (7.2) R( x) Замечание. Важно отметить, что совместимость значения не есть вероятность значения. Совместимость с R(x) – это лишь мера того, насколько значение удовлетворяет ограничению R(x). Она не имеет никакого отношения к то му, насколько вероятно или не вероятно это значение.

Пример 7.1. Рассмотрим нечеткую переменную, именуе мую бюджет.

Пусть Е=[0, ), R(x) определяется следующим образом:

1000 1/ x R(бюджет)= 0 Тогда в уравнении назначения бюджет=1100: R (бюджет).

Совместимость значения 1100 с ограничением R (бюджет) равна С(1100)= (1100) 0, R (бюджет) C(х) 1 0,8 0 1000 Рис.7. Функция совместимости нечеткой переменной (бюджет).

С другой стороны, исходя из понятия области изменения обычной (четкой) переменной можно ввести (и придержи ваться) следующее понятие нечеткой переменной.

Определение 7.3. Независимую переменную, область изме нения которой есть нечеткое множество, будем называть нечеткой переменной.

При этом, если учесть определение нечеткого мно жества (4.3), то легко установить эквивалентность опреде лений (7.1) и (7.3).

Действительно: если ~ -нечеткое множество и в то же вре x мя является областью изменения нечеткой переменной х, то это означает, что х принимает нечеткое значение ~ {x, ( x) 0, x X }. Теперь, если в качестве нечеткого x ~ x ограничения на значение переменной х взять, ( x) 0, то ~ x из определения 7.3 получаем определение (7.1). Проведя обратное рассуждение, из определения (7.1) получим оп ределение (7.3).

Перейдем теперь к введению понятия нечеткой функции.

Следует отметить, что различными авторами моно графий по нечетким множествам 6,7 приводится понятие нечеткой функции. Но при ознакомлении с этими поня тиями убеждаемся, что во всех случаях приведенные опре деления нечеткой функции расплывчатые, т.е. эти опреде ления либо неоднозначно характеризуют сущность нечет кой функции, либо почти совпадают с понятием четкой функции. Это связано с тем, что при введении понятия не четкой функции следует придерживаться сущности терми на функции и не путать его с понятием области определе ния функции.

Как известно, функция – это соответствие f:X Y, которое каждому элементу х Х сопоставляет единствен ный элемент y Y. При этом Х- область определения функции у=f(x), Y-область значений этой функции.

Приведенное определение функции одной перемен ной не характеризует степень ее четкости. Поэтому возни кает необходимость привести четкие определения как чет кой, так и не четкой функции.

Определение 7.4. Функцию у=f(x) будем называть четкой, если каждому четкому элементу х Х сопоставляет единст венный четкий элемент y Y.

~ Определение 7.5. Функцию ~ f ( x), будем называть не y четкой функцией, если каждому четкому х Х сопоставля ~ ~ ет нечеткий элемент ~ Y. Где Y -нечеткое подмножество y некоторого универсального множества Y.

Из этого определения следует, что нечеткая функция отли чается от четкой тем, что при действии четкой функции на элемент заданного множества, он отображается на элемент той же четкости другого множества, а при действии нечет кой функции четкость отображения изменяется, т.е. если ~ f и f соответственно четкая и нечеткая функции, ото ~ бражающие А Х в В Y и B Y соответственно, то ~ ( y) ( y ). Подмножества В и B состоят из элементов ~ B B у Y, которые входят в В с разными значениями функции принадлежности.

Следует различать два вида нечетких функций:

~ 1) нечеткая функция с четким аргументом ~ f ( x) y 2) нечеткая функция с нечетким аргументом ~ ~ ( x),области определения которых есть соот yf ветственно четкое и нечеткое множества.

Следует отметить, что каждая из указанных типов нечетких функций (также как и четкое функция) может быть действительной функцией действительной перемен ной, комплексной функцией с действительной и комплекс ной переменной, а также однозначной и многозначной.

Также как и четкая функция, нечеткая функция мо жет быть задана тремя способами: аналитический, таблич ным и графическим способами.

I. Аналитическим называется способ, когда функция задается в виде аналитического вы ражения. [56] Определение 7.6. Аналитическим выражением назы вается символическое обозначение совокупности извест ных математических операций, которые производятся в определенной последовательности над числами и буквами, обозначающими постоянные и переменные величины.

Из определения аналитического выражения следует, ~ что если функция ~ f ( x) - нечеткая функция, то извест y ные математические операции (в определенной последова тельности) производятся над нечеткими постоянными и переменными величинами. При этом каждое число и каж дая буквенная величина может иметь различные значения функции принадлежности (могут входить в выражение функции с различной степенью четкости), что может соот ветствовать выполнению нечетких математических дейст вий. Поэтому, если нечеткая функция f (как действие на ее аргумент) есть сложная функция, т.е. состоит из элемен тарных функций (элементарных действий) { n} с функ циями принадлежности ( n), то (f) min ( n) (7.3) nN где - степень четкости f;

N – количество элементарных математических действий, из которых состоит действие функции f на ее аргумент. Наряду с этим, следует иметь ввиду, что если нечеткая функция действительной пере менной является сложной нечеткой функцией, промежу точный аргумент которой есть нечеткая функция, то про межуточный аргумент рассматривается как нечеткая функция четкого аргумента, а основная функция – как не четкая функция нечеткого аргумента.

II Табличный способ задания нечеткой функции заключа ется в том, что двустрочная (двухстолбцовая) таблица. На первой из которых задаются значения аргумента вместе со значениями их степени четкости (т.е. со значениями функ ций принадлежности значений функций принадлежности значений аргумента их области определения нечеткой функции), а на второй – соответствующие значения нечет кой функции вместе с их степенями четкости (т.е. со зна чениями функции принадлежности этих значений области изменения нечеткой функции).

III.Графический способ задания нечеткой функции одной переменной заключается в том, что на координатной плос кости задаются два однопараметрических семейства ли ний, зависящих от одного и того же параметра (где уровень или степень четкости нечеткой функции).

Причем линии обеих семейств, соответствующих од ному и тому значению расположены относительно ли нии (описываемой четкой функцией той же структуры, что и нечеткая функция) соответствующей значению парамет ра =1.

Наряду с этим из представления нечеткого числа следует, что при каждом значении аргумента нечеткой функции, значение, принимаемое ею, принадлежит интер валу, центр которого соответствует значению четкой функции той же структуры, что и данная нечеткая функция при том же значении аргумента, а радиус интервала равен длине левого (правого) растяжения нечеткого числа. По этому график нечеткой функции одной переменной пред ставляет собой линию, целиком лежащую внутри полосы, осью симметрии которой есть линия, описываемая четкой функцией той же структуры, что и сама нечеткая функция.

Но так как функция, описывающая на плоскости некото рую плоскую полосу есть ничто иное как интервальная функция, зависящая от непрерывного параметра, то нечет кую функцию L-R-типа можно рассматривать как интер вальную функцию непрерывного параметра при его фик сированном значении. При этом фиксированное значение параметра равно значению степени четкости нечеткой ( f ).

функции:

y Как известно из интервального анализа [57] интер вальнозначная функция представляется тремя способами:

1) с помощью математических операций над нечеткими числами и переменными (аналогично классическим представлением четких функций);

2) с помощью двух функций, зависящих от параметра « »

и четкого аргумента, образующую левый и правый пределы интервала изменения значений нечеткой функции при фиксированном значении « ».

f L (, x);

f R (, x);

x X, (0,1) f L (, x);

f R (, x) f L (0;

x);

f R (0, x) (7.4) f L (1, x) f R (1, x) f ( x) где f(x) – четкая функция той же структуры, что и пред ставляемая нечеткая функция;

3) с помощью четкой функции той же структуры, что и представляемая нечеткая функция и функций от клонения от нечеткой функции, т.е.

~ f (, x) { f ( x), m L (, x), m R (, x)} (7.5) где m L (, x) f ( x) f L (, x);

m R (, x) f R (, x) f ( x) (7.6) Отметим, что задача о представлении нечеткой функции с двумя граничными вещественными (четкими) функциями состоит в нахождении представления ~ f (, x) { f L (, x);

f R (, x)} (7.7) В 57 доказывается, что всякую однозначную интерваль ~ ную функцию f (, x) единственным образом можно пред ставить через граничные вещественные функции f L (, x) и f R (, x).

Поэтому из интервальнозначности нечетких функций следует, что всякую нечеткую функцию можно предста вить через граничные вещественные функции, которыми являются функции f L (, x) и f R (, x).

Проиллюстрируем представление нечеткой функции четкого аргумента на рациональной функции в виде квад ратного трехчлена.

~ f ( x) f R (, x) f R (0, x) f (x) f L (, x) f L (, x) x а b Рис.7.2 Интервальная нечеткая функция ~ ~ ~ ~ ~ X 2 a1 x a 2 ;

a1 (a L1 ;

a R1 );

a 2 {a L2 ;

a R2 } f ( x) ~~ ~ ~ на отрезке a ;

b, где a {a L ;

a R };

b {bL ;

bR }.

~ Тогда, учитывая, что для любого из чисел a aL ( ) a (1 )a L ;

a R ( ) a (1 )a R имеем:

~ ~ ~ x 2 a1 ( ) x a 2 ( ) {x 2 a L1 ( ) x a L2 ( )} ;

f (, x) ( ) ( ) x2 aR aR 1 x (a1 (1 )a L1 ) x (a 2 )a L2 );

( x2 ( xa1 )a R1 ) x (a 2 )a R2 ) (1 ( т.е.

X f L (, x) (a1 (1 )a L1 ) x (a 2 )a L2 ) ( (7.8) X f R (, x) ( a1 (1 )a R1 ) x ( a 2 )a R2 ) ( Отметим, что так как любое значение из левого рас ширения нечеткого числа меньше любого значения из его правого расширения, то в зависимости от знака коэффици ~ ~ ентов в a1 ( ) и a 2 ( ) выражения (7.8) должны быть тако ~~ вы для любого x [a, b ] и любых [0,1] f L (, x) f R (, x) (7.9) Следует отметить, что если степень четкости функции ~ ( f ), а ( x1 ) f есть, то степень четкости элемен ~ A B та y1 f ( x1 ) есть ( y1 ) (7.10) ~ B ~ где B -нечеткое подмножество универсального множества ~ Y. Поэтому, для любых, [0,1] и x A X для моно тонно возрастающей нечеткой функции f L (, x L ( )) f L (, x) f ( x) f ( x) f R (, x) f R (, x R ( )) Из соотношения (7.9) следует, что график функции f L (, x) лежит ниже графика функции f R (, x) для (0,1), а при =1 графики этих функций совпадают и образуют график четкой функции той же структуры, т.е.

график функции y=f(x).

~ Представим теперь нечеткую функцию f (, x) третьим способом.

Из (7.8) имеем:

x fL (1, x) f R (1, x) f ( x) a1 x a 2 (7.11) m L (, x) f ( x) f L (, x) ) (a L x a L2 ) (1 (7.12) m R (, x) f R (, x) f ( x) ) (a R1 x a R2 ) (7.13) ( При этом ~ f (, x) { f ( x);

m L (, x), m R (, x)} (7.14) Следует отметить, что 1) если m L ( x) m R ( x), то f ( x) f L ( x) f R ( x) (7.15) 2) если m L ( x) m R ( x), то следует взять f L ( x) m R ( x) f R ( x)m L ( x) f ( x) (7.16) m L ( x) m R ( x) Пример 7.2. Рассмотрим нечеткую функцию четкого аргу мента.

~ f ( x) X 3 [1;

4] X 2 [3;

5]x [6;

9] на [a, b] [0;

5] ~ Представим f ( x) вторым и третьим способами и по строим ее схематический график.

Имеем, пусть коэффициент заданной нечеткой функ ции есть нечеткие числа, которые имеют одинаковые ле вые и правые растяжения. Тогда, на основании (7.15) x3 2,5 x 2 4 x 7, f ( x) x3 4 x 2 3 x f L ( x) f R ( x) x3 x 2 5 x Тогда ~ f ( x) {x 3 4 x 2 3x 9;

x 3 x2 5 x 6} m L ( x) 1,5 x 2 x 1, m R ( x) 1,5 x 2 x 1, Поэтому, ~ f ( x) {x 3 2,5 x 2 4 x 7,5;

1,5 x 2 x 1,5} Для любых [0,1] x3 )1,5) x f L (, x) )) x (7,5 ( (2,5 (1 (4 (1 )1,5) x3 )1,5) x f R (, x) )) x (7,5 ( (2,5 (1 (4 (1 )1,5) )1,5 x m L (, x) f ( x) f L (, x) ) x ( (1 (1 )1, )1,5 x 2 ( m R (, x) (1 ) x (1 )1, m L (, x) m R (, x) ‘ ~ Приведем геометрическую интерпретацию f ( x) на 0;

5.

.

f(x) fR(0,x) 90 fR(,x) 80.

70 f(x)=f(1,x) 60. fL( 50 -,x) 40.

30 20 - fL(0,x) 10 x 0 1 2 3 0, Рис.7. Из рис. 7.3 очевидно, что значение = (f) монотонно уменьшается с увеличением расстояния от графика четкой функции 9являющейся ядром нечеткой функции).

В 57 введены понятия интервального расширения четкой функции и сужения интервальной функции.

Для нечеткой функции аналогичным образом можно ввести понятия сужения и расширения нечеткой функции, т.е.

1) Сужение нечеткой функции ~ Rs f (, ~ ) f (, x) (7.17) x ~ ~ x x 2) интервальное расширение нечеткой функции ~ Dif (, x) f ( ~, ~ ) x (7.18) ~ ~ x x где f(,x) – наиболее четкое значение нечеткой функции.

Пример 7.3. Найдем сужение нечеткой функции (приве денной в примере 6.2) до уровня =0, Имеем:

Rs {x 3 )1,5) x Rs f L (, x) (2,5 ( 0,9 0, )) x (7,5 ( (4 (1 )1,5)} x3 2,65 x 2 3,9 x 7, Rs {x 3 )1,5) x Rs f R (, x) (2,5 ( 0,9 0, )) x (7,5 ( (4 (1 )1,5)} x 3 2,35 x 2 4,1x 7, Следовательно, ~ f (0,9;

x) {x 3 2,65 x 2 3,9 x 7,65;

x 3 2,35 x 2 4,1x 7,35} Di {x 3 )1,5) x Di f L (, x) (2,5 ( 0,1 0, x3 3,85 x )) x (7,5 (1 3,1x 8, (4 (1 )1,5)} 2 Di f R (, x) Di {x )1,5) x (2,5 ( 0,1 0, )1,5)} x 3 1,15 x 2 4,9 x 6, )) x (7,5 ( (4 ( Следовательно, ~ f (0,1;

x) {x 3 3,85 x 2 3,1x 8,85;

x 3 1,15 x 3 4,9 x 6,15} Аналогично рассматриваются примеры сужения и расши рения нечеткой функции нечеткого аргумента.

§2 Предел и непрерывность нечеткой функции.

Рассмотрим изменение нечеткой функции при стремлении ее аргумента к конечному значению, либо к бесконечности.

Так как на множестве нечетких функций, определяе мых на одном и том же множестве (в одном и том же ин тервале), каждая из нечетких функций отличается от дру гих нечетких функций значением степени нечеткости (уровень нечеткости), то говоря о понятиях предела и не прерывности нечеткой функции, следует конкретизировать для каких нечетких функций вводятся эти понятия.

~ Определение 7.7 Пусть нечеткая функция f (, x) опреде лена в некоторой окрестности точки а или в некоторых ~ точках этой окрестности. Нечеткую величину A( ) будем ~ называть пределом функции f (, x) четкости в точке =а, если для любого 0, как бы оно мало ни было, можно указать такое положительное число, что для всех х, от от а и удовлетворяющих личных неравенству xa имеет место неравенство f (, x) A( ) (7.19) ~ ~ и обозначим l im f (, x) A( ) xa Учитывая, что для любого нечеткого числа (нечеткой ве личины) его любое значение из левого расширения меньше любого значения из его правого расширения, говоря о пре деле нечеткой функции, следует иметь ввиду, что речь конкретно идет о выполнении соотношений ~ ~ lim f L (, x) AL ( ) (7.20) x a или ~ ~ lim f R (, x) AR ( ) (7.21) x a Замечание. Также как и для четких функций для нечетких ~ ~ функций f L (, x) и f R (, x) и любого [0,1] справедли ва теорема существования пределов нечетких. Т.е. спра ведлива Теорема 7.1. Если существует равные друг другу пределы ~ ~ слева и справа для нечеткой функции f L (, x) f R (, x) при х а, то существует предел (7.20) (7.21) и обратно (7.20) (7.21), то существуют равные друг другу пределы ~ ~ слева и справа для нечетких функций f L (, x) f R (, x).

~ Определение 7.8. Если f (, x) стремится к пределу ~ ~ A1 ( ) при х а и х а, то A1 ( ) называется пределом не ~ четкой функции f (, x) слева в точке а.

~ ~ Если же f (, x) стремится к пределу A2 ( ) при х а и ~ ~ х а, то A2 ( ) называется пределом f (, x) в точке х=а справа.

Эти пределы обозначаются соответственно:

~ ~ lim f (, x) A1 ( ) x a и ~ ~ lim f (, x) A2 ( ) (7.22) x a Эти понятия вводятся для любых [0,1].

Следует отметить, что все приведенные понятия можно ввести и для случая, когда х, т.е.

~ Определение 7.9. Нечеткая функция f (, x), [0,1] ~ стремится к пределу A( ) при х, если для каждого произвольно малого 0 и любого достаточно большого положительного N существуют значения х, такие, что при ~ ~ x N, f (, x) A( ) и обозначается:

~ ~ lim f (, x) A( ).

x Кроме того, так как результат предельного значения не за висит от способа перехода к пределу, то независимо от то го, является ли область определения нечеткой функции четким или нечетким множеством (что соответствует тому, что взятая нечеткая функция четкого или нечеткого аргу мента) приведенные выше понятия пределов нечеткой функции сохраняются без изменения.

Отметим, что 1) если нечеткая функция (также, как и нечеткое число) является нечеткой функцией L-R – типа, т.е.

~ f (, x) { f L (, x);

f R (, x)} (7.23) причем выполняются (7.22), то ~ lim f (, x) lim f L (, x);

lim f R (, x) (7.24) x a x a x a ~ { AL ( );

AR ( )} A( ) ~ f (, x ) { f ( x );

m L (, x );

m R (, x )} 2) если ~ (7.25) f (, x ) { f ( x );

m L (, x );

m R (, x )} где f(х)- четкая функция той же структуры, что и ~ f (, x);

m L (, x) и m R (, x) - функции отклонения ~ f (, x) от f(х), то ~ limf (, x) {limf (x);

limmL(, x);

limmR(, x)} {A mL mR}(. ;

7) xa xa xa xa Отсюда следует утверждение. Для того, чтобы нечеткая функция имела ограниченный предел необходимо, чтобы четкая функция той же структуры имела конечеый предел.

Следует также отметить, что все основные теоремы о пределах четких функций справедливы и для пределов не четких функций, т.е.

n n ~ ~ f i (, x) lim f i (, x) lim x ai 1 i 1x a 1.

~ ~ ~ ~ lim f1 (, x) f 2 (, x) lim f1 (, x) lim f 2 (, x) x a x a x a 2.

~ ~ f (, x) C l lim f (, x) lim xa Следствие 7.1. x a с ~ ~ lim f (, x) f (, x) x a lim ~ lim ~ ~ 3. x a g (, x) x a g (, x) если всюду g (, x) 4. Если на множестве, содержащей точку х=а ~ ~ ~ ~ f (, x) g (, x), то lim f (, x) lim g (, x) x a x a для любых 0;

1.

Следствие 7.2. Для любых 0;

~ ~ lim f L (, x) lim f R (, x) x a x a Следствие 7.3. Для любых 1 2;

1, 0;

~ ~ lim f L ( 1, x) lim f L ( 2, x) x a x a и ~ ~ lim f R ( 1, x) lim f R ( 2, x) x a x a Пример 7.4.

lim {x 3 [1;

4]x 2 [3;

5]x [6;

9]} x lim {x 3 )1,5) x [4 (1 )]x (2,5 ( x )1,5];

x 3 [2,5 (1 )1,5]x [7,5 ( )]x [7,5 ( _[4 (1 )1,5] ~ { 17 2 ;

13 2 } A( ) ~ ~ lim f ( ;

x) lim A( ) lim { 17 2 ;

13 2 } x 1 0, 6 0, ~ A(0;

6);



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.