авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ АЗЕРБАЙДЖАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ НЕФТЯНАЯ АКАДЕМИЯ В.А.ИБРАГИМОВ ЭЛЕМЕНТЫ ...»

-- [ Страница 5 ] --

{ 15,8;

14,2} Кроме того ~ lim f ( ;

x) A(1) lim { 17 2 ;

13 2 } { 15;

15;

} 15;

x 1 ~ ~ A (0,6) A (0,2) Если представить в виде, то ~ A (0,6) { 15;

0,8;

0,8}.

~ A { A;

m L ;

m R } Найдем теперь. Имеем:

~ lim A( ) lim { 17 2 ;

13 2 } { 16,6;

13,4};

x 0, 2 0, Таким образом:

AL (0,2) AL (0,6) AR (0,6) AR (0,2) ~ Пусть нечеткая функция f (, x) (четкости [0;

1] ) опре делена при некотором значении х0 и в некоторой ее окре ~ стности и ~0 f (, x0 ).

y Если аргументу х (х - четкая, либо нечеткая переменная) дать приращение (положительное или отрицательное) х, то и функция ~ получит приращение ~, которое выра y y жается формулой:

~ = ~(, x ~ yf x ) f ( x, x 0 ) ~ Определение 6.10. Нечеткая функция f (, x0 ) называется непрерывной в точке х= х0, если она определена в точке х= х0 и некоторой ее окрестности.

~ ~ ~ y f (, x0 x) f (, x0 ) 0 (7.27) lim lim x0 x для любых 0;

1.

Или же ~ ~ lim f (, x) f (, x0 ) (7.28) x x Учитывая представление нечеткой функции в виде (7.4) и (7.5), имеем:

Определение 7.11. Нечеткую функцию f L (, x);

f R (, x) будем называть непрерывной в точке х= х0 для любого 0;

1, если lim f L (, x);

f R (, x) f L (, x0 );

f R (, x0 ) (7.29) x x Определение 7.12. Нечеткую функцию f ( x), m L (, x), m R (, x) будем называть непрерывной в точке х= х0 для любого 0;

1, если f (x0 ),mL (, x0 );

mR (, x0 ) (7.30) lim f (x);

mL (, x),mR (, x) x x Из (7.30) следует. Для того, чтобы нечеткая функция была непрерывной в точке х= х0, необходимо, чтобы чет кая функция той же структуры была непрерывна в этой точке. С точки зрения левого и правого пределов функции имеем.

~ Утверждение 6.1 Нечеткая функция f (, x) непрерывна в некоторой точке (взятой из области определения нечеткой функции) х0, если в этой точке ее левый и правый пределы совпадают.

Также как и четкая функция, нечеткая функция ~ f (, x) называется непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна во всех точках этого множества.

Кроме того, все свойства четких непрерывных функций справедливы для непрерывных нечетких функций.

Пример 7.5. Доказать непрерывность нечеткой функции ~ f (0,4;

x) [1;

3]x 2 [2;

5]x [3;

7] в точке х= Имеем:

f L (0,4, x) x 2 5 x f R (0,4;

x) 3 x 2 2 x Если m L (, x) m R (, x) для любых 0;

1, то 2x f ( x) 3,5 x При этом m L (0,4;

x) x 2 15 x 2 m R (0,4;

x) Для точки х=1 имеем:

2 lim (2 x 3,5 x 5) lim 2(1 ) 3,5(1 ) 5 3, x1 ) lim (2 x 3,5 x 5) lim 2(1 3,5(1 )5 3, x1 Аналогично легко доказать, что lim mL (0,4;

x) lim mL (0,4;

x) 4, x 10 x ~ т.е. f (0,4;

x) непрерывна в точке х=1.

Так же, как и четкие функции, нечеткие функции мо гут иметь точки разрыва первого и второго рода, которые определяют аналогично, что и точки разрыва первого и второго рода, которые определяют аналогично, что и точки разрыва для нечетких непрерывных функций справедливы следующие теоремы:

~ ~ 1) Если f1 (, x) и f 2 (, x) есть непрерывные в точке х= х нечеткие функции четкости 0;

1, то (, x) f1 (, x) f 2 (, x) есть непрерывная функция в точке 2) Произведение непрерывных двух нечетких функций есть непрерывная нечеткая функция.

3) Частное двух непрерывных нечетких функций непре рывная, если знаменатели в рассматриваемой точке не об ращается в нуль.

~ 4) Если u ~ (, x) непрерывна при х= х0 и f (, u ) непре ~ ~ (, x), то функция f [ ~ ( x)] непре рывна в точке u 0 рывна в точке х= х0.

При этом:

1) если ~ ~ ~ ~ ~~ f1 : A B1 ;

f 2 A B2, B1 ;

B2 Y, ( f1 ) ( f2 ), то f ~ ~ ~~ ( f1 f2 ) ;

( f1 f 2 ) f( ), ;

, ес f ли ( ) (6.31) 2) если ( f1 ) ( f2 ) ;

;

(), то ( f1 f2 ) max ( f1 );

( f 2 ) ( f1 f 2 ) min ( f1 );

( f 2 ) (7.32) ( f1 / f 2 ) min ( f1 );

( f 2 ) [ f ( )] (f) () §3.Дифференцирование нечеткой функции Из физического смысла производной обычной (чет кой) функции следует, что если некоторый физический процесс описывается некоторой четкой функцией, то ско рость изменения этого физического процесса так же опи сывается четкой функцией, являющейся производной от исходной четкой функции. Это означает, что степень чет кости производной от нечеткой функции с любой степе нью четкости совпадает со степенью четкости самой функции. Справедливость этого утверждения устанавлива ется так же тем, что сама операция дифференцирования является четкой операцией, т.е. если операцию дифферен цирования рассматривать как функцию (x), то ( ) 1.

Учитывая, что для нечеткой функции ~ ~ ~ ~ f (, x), ( f ) 0;

1 и ( f * ) min ( ) ( f ), то по лучим, что ~ ~ ( f* ) (f) (7.33) min(1;

) Поэтому, при введении понятия производной нечеткой функции следует учесть лишь значение степени четкости самой функции.

Определение 7.13. Предел отношения приращения нечет ~ кой функции (четкости 0;

1 f (, x) ) к приращению аргумента х при стремлении последней к нулю, будем ~ называть производной нечеткой функции f (, x) и обо значим:

~ f (,x x) f (, x) f (, x) (7.34) lim x x Учитывая представления (7.4) и (7.5) нечеткой функции, имеем:

Определение 7.14. Если нечеткая функция четкого аргу мента задана в виде (6.4), тогда для 0;

~ f (, x) { f L (, x);

f R (, x)} ~ f(,x x) f (, x) lim x x 0 (7.35) fL(, x x) f L (, x) ;

lim x x fR (, x x) f R (, x) ;

lim x x Определение 7.15. Если нечеткая функция четкого аргу мента задана в виде (6.5), тогда для (0;

1) ~ f (, x) f ( x);

m L (, x);

m R (, x) mL (, x x) m L (, x) (7.36) f (x x) f ( x) ;

lim ;

lim x x x x 0 mR (, x x) m R (, x) lim x x С геометрической точки зрения производная нечет ~ кой функции f (, x) в любой точке (четкой, либо нечет кой) х=х0 равна угловому коэффициенту касательной к ли нии, описываемой этой функцией в данной точке.

~ ~~ Пример 7.6. f ( x) x a ;

a {2;

4}.

~ ~ ~~ Найдем f (0,8;

3). Имеем: ~ f ( x) a x a 1, т.е.

y ~ {2;

4}x{1;

3} y Для х 1;

yL(0;

x)=x2;

yR(0;

x)=x y L (0;

x) 2 x;

y R (0;

x) 4 x Для простоты предположим, что левое и правое растяже ния числа 2;

4 - одинаковы, тогда ~ {a ;

a } {2;

4}, a {a;

m ;

m } {3;

1;

1} / ~ a LR L R x Следовательно, y f L (1;

x) f R (1;

x) 3x y f ( x) ) x[ 2 (1 )] y L ( ;

x) 3 ( ) x[ 2 (1 )] y R ( ;

x) 3 ( 3x 2 [3 (1 )]x[ 2 (1 )] m L (, x) )]x[ 2 (1 )] 3x m R (, x) [3 ( 2,8 x1,8 ;

f R (0,8;

x) 3,2 x 2, f L (0,8 x) m L (0,8 x) 3x 2 2,8 x1,8 ;

m R (0,8;

x) 3,2 x 2, 2 3x f (0,8;

3) {20,7;

34,4};

f L (1;

3) f R (1;

3) f (3) или ~ f (0,8;

3) {27;

6,3;

7,4} ~ Схематический график f (, x) на 1,5;

4 построен на рис.7. Отметим, что все действия над производными четких функций справедливы и для производных от нечетких функций.

~ ~ ~ ~ 1) f ( x) g ( x) x f ( x) g ( x) ~~ ~ ~ ~ ~ 2) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ~ ~ ~ ~ ~ f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) f ( x) 3) ~ ~ [ g ( x)] g ( x) ~ если всюду g ( x) ~ ~~ ~~ ~ 4) Если ~ f (u ), u ~ ( x), то f f ~ U соотношение y x u x 1)-4) справедливы для любых (0;

1). При этом следует учесть, что четкость производной (от алгебраической сум мы, частного и произведения) совпадает с четкостью ре зультатов, соответствующих операций над самими нечет кими функциями, а четкость производной сложной функ ции равна четкости самой нечеткой сложной функции.

x 0 1 1,5 2 3 4 Рис. 7. На рис. 7.5. приведена геометрическая интерпретация про изводной нечеткой функции. Наряду с этим, легко дока зать, что как понятия дифференцируемости также и все теоремы о дифференцируемых четких функциях справед ливы и для нечетких функций, как с четким так же и с не четким аргументом.

y y=fR(x) y=f(x) а) yL=fL(x) R L x 0 x Производная нечеткой функции с нечетким аргументом y ~ yR= f ( х ) y=f(x) б) ~ yL= f ( х ) R L x х L0 x0 х R Рис.7.5.Производная нечеткой функции с четким аргументом Аналогично понятию дифференциала четкой функ ции можно ввести понятие дифференциала нечеткой функции как четкого, так же и нечеткого аргумента.

Определение 7.15. Рассмотрим приращение нечеткой ~ функции f (, x), [0;

1], соответствующее приращению аргумента х.

~ При этом: 1) если f (, x) { f L (, x);

f R (, x)}, то f (, x) { f L (, x);

f R (, x)} (7.37) {f (,x x) f L (, x), f R (, x x) f R (, x)} ~ 2) если f (, x) { f ( x), m L (, x), m R (, x)}, то f (, x) { f ( x);

m L (, x);

m R (, x)} (7.38) { f (x x) f ( x), m L (, x x) m L (, x);

m R (, x x) m R (, x)} В силу определения производной нечеткой функции представления переменной величины в виде суммы ее пре дельного значения и бесконечно малой величины из (7.37) и (7.38) имеем:

~ f (, x) { f L (, x);

x x;

f R (, x) x x} (7.39) L R ~ f (, x) { f ( x) x m L (, x) x x;

x;

L (7.40) m R (, x) x x} R При этом линейную часть приращения нечеткой функции относительно приращения ее аргумента (четкого, либо нечеткого) будем называть главной частью прираще ния, либо дифференциалом нечеткой функции.

Для вычисления дифференциала нечеткой функции имеем:

~ df (, x) f x (, x)dx { f L (, x)dx;

f R (, x)dx} (7.41) либо ~ df (, x) f x (, x)dx { f L (, x)dx;

f R (, x)dx} (7.42) Так же как и для четких функций с геометрической точки ~ зрения, дифференциал нечеткой функции f (, x) для лю бых 0;

1, соответствующее приращению аргумента ( х) равен приращению по касательной к кривой (описы ваемой этой функцией) в точке касания, соответствующее приращению аргумента.

y ~ df R (, x ) df(x) ~ df L (, x ) x x+ x 0 x Рис. 7. §4. Экстремум нечеткой функции Следует иметь в виду, что:

1) нечеткий максимум, т.е. максимум нечеткой функции ~ f ( x) определяется как ~ ~ ~ f max ( x) max f ( x) sur max f (, x) (7.43) xX [ 0;

1] x X 2) нечеткий минимум, т.е. минимум нечеткой функции ~ f ( x) определяется как ~ ~ ~ f min ( x) min f ( x) inf min f (, x) (7.44) xX [ 0;

1] x X Поэтому, учитывая, что для любого уровня четкости не ~ четкой функции f ( x) ~ ~ f L (, x) f R (, x) (7.45) можно принять следующие определения экстремума (мак симума и минимума) нечеткой функции.

~ Определение 7.16. Нечеткая функция f (, x), 0;

1 в точке х0 Х имеет максимум, если значение функции ~ f R (, x) в точке х= х0 больше, чем ее значение во всех точках множества Х.

В терминах приращения аргумента нечеткая функция ~ f (, x) в точке х= х0 имеет максимум, если для любых х в этой точке ~ ~ f R (, x0 x) f R (, x0 ) (7.46) ~ Определение 7.17. Нечеткая функция f (, x), 0;

1 в точке х1 Х принимает значение минимума, если значения ~ функции f L (, x) в точке х=х1 меньше, чем ее значения во всех оставшихся точках множества Х.

В терминах приращения аргумента, нечеткая функ ~ ция f (, x) в точке х=х1, имеет минимум, если для любых х в точке х=х1.

f L (, x1 x) f L (, x1 ) (7.47) Из приведенных понятий экстремума нечеткой функции следует, что при сужении нечеткой функции эти определении совпадают с определениями соответствую щих понятий для четких функций той же структуры, что и данная нечеткая функция.

Поэтому теоремы о необходимом и достаточном ус ловия экстремума четкой функции справедливы и для не четкой функций. Кроме того, при нахождении стационар ных точек нечеткой функции в силу теоремы о необходи мом условии экстремума функции одной переменной следует найти корни нечеткого уравнения ~ f (, x) 0 (7.48) Ввиду того, что корнями уравнения (7.48) будут не четкие величины (в частности, нечеткие числа), то каза лось бы, что при применении теоремы о достаточном ус ~ ловии экстремума следует определять значения f L (, x) и ~ f R (, x), найденных из (7.48), нечетких значениях. Но это не так. Дело в том, что если (в частности) в точке ~ ( ) x ;

m ( );

m ( ) функция принимает значение x0 L0 R максимума, то мы должны будем сравнить значения f R x0 m L0 ;

f R x0 и f R x0 m R0 и взять ве личину ~ (7.49) max f ;

x sur f R x0 ;

f R x0 m L0, f R x0 m R xX С другой стороны, так как для любого фиксированного значения [0;

1] (любого уровня четкости) каждая из функций f L, x и f R, x описывает конкретные линии на координатной плоскости, то (очевидно, что) стационар ные точки для каждой из функций f L, x и f R, x будут различны. Поэтому:

1) если f, x f L, x ;

f R, x, то для определения стационарных точек нечеткой функции следует решить уравнения:

fL, x 0 и fR, x 0 (7.50) и взять ~ max f, x max f R,x 0 (7.51) xX ~ min f, x min f L,x 0 (7.52) xX ~ 2. Если f, x f x ;

mL, x ;

mR, то для определе ния стационарных точек нечетких функции следует ре шить уравнения:

f ( x ) 0 ;

mL, x 0 и m R, x 0 (7.53) и взять ~ max f, x max f x mR, x (7.54) xX ~ min f, x min f x m L, x (7.55) xX xX Геометрический смысл экстремума нечеткой функции ~ f, x иллюстрируется на рис. 7.7.

y ~ max f (, х ) fR(,x) f(x) fL(,x) minf(,x) хL1x1 х х L2x2 х R2 b x 0 a R Рис.7. Пример 7.7. Найти максимум и минимум нечеткой функ ции с четкостью =0,6, заданной в виде:

~ f ( x ) [1;

3] x 3 [3;

5] x 2 [ 3;

7] x 3 5x 2 Имеем: f L (0;

x ) f R (0;

x ) 3 x 3 3 x 2 Если нечеткие коэффициенты и свободный член есть нечеткие числа, имеющие одинаковые растяжения, то 2x3 4x f L (1;

x ) f R (1;

x ) f ( x) Тогда )] x 3 [ 4 (1 )] x 2 [2 ( f L (, x) [2 (1 )5] 3 f R (, x ) [2 (1 )] x )] x [ 4 (1 [2 (1 )] f L (0,6;

x ) 16 x 3 4,4 x Отсюда 2,4 x 3 3,6 x f R (0,6;

x ) Используя необходимое и достаточное условие экс тремума для f L (0,6;

x ), f R (0,6;

x ) и f (1;

x ), получим:

4,8 x 2 8,8 x 0 x1 0;

x 1) f L (0,6, x ) f L (0,6;

x ) 9,6 x 8,8 f L (0,6;

0) 0;

f L 0,6;

8,8 8,8 max f L (0,6;

x ) f L (0,6;

0) 0;

xX min f L (0,6;

x ) f L 0,6;

4, xX 7,2x 2) f R (0,6;

x ) 7,2x 0;

x 1 0;

x 2 f R (0,6;

x ) 14,4 x 7, 2 f LR (0,6;

0) 7,2 0;

f R 0,6;

1 7, 2 max f R (0,6;

x ) f R (0,6;

0) xX min f R (0,6;

x ) f R 0,6;

1 2, xX Таким образом, ~ ~ max f (0,6;

x ) 4;

min f (0,6;

x ) 4, xX xX 6x f ( x) 8x 0;

x1 0;

x 3) f ( x ) 12 x 8;

f (0) 0;

f 8 8 max f ( x ) f ( 0) 2;

min f ( x ) 0, xX xX Из вычислений видно, что для каждой из линий f L (, x ), f R (, x ) и f (x ) - стационарные точки, вообще говоря, различны.

Аналогичным способом, легко показать, что если ~ f ( x ) {f ( x ), m L ( x ), m R ( x )}, то критические точки для m L ( x ) и m R ( x ) будут различны и будут отличаться от критических точек функции f ( x ). Поэтому для нахожде ~ ния экстремальных значений f ( ;

x ) для (0;

1) необ ~ ходимо сначала функцию f ( ;

x ) привести к виду ~ f ( ;

x ) f L (, x );

f R (, x ) для конкретного (желаемого) значения (0;

1), а затем на основании (7.31) и (7.32) найти экстремальные значения нечеткой функции.

§5. Интегрирование нечетких функций Из понятия неопределенного интеграла для четких функций следует, что операция интегрирования является обратной операцией операции дифференцирования, т.е.

операции вычисления производной. Но, так как операция дифференцирования является четкой операцией, то и опе рация интегрирования есть четкая операция. Поэтому, пер вообразная нечеткой функции имеет ту же степень четко сти, что и сама нечеткая функция. И если учесть, что опре деленный интеграл вычисляется по формуле Ньютона Лейбница, на основании которого определенный интеграл по [а, b] от четкой функции равен приращению первооб разной на этом отрезке прямой, то степень четкости нечет кой величины (равной значению определенного интеграла нечеткой функции по четкому [а, b] равна степени четко сти интегрируемой нечеткой функции. Если же нечеткая функция интегрируется по нечеткому интервалу, то сте пень четкости результата интегрирования будет (вообще говоря) меньше степени четкости интегрируемой функции.

~ Рассмотрим нечеткую функцию f (, x ), (0,1), четкого аргумента, непрерывного на [а, b].

Определение 7.18. Предел, к которому стремится ин тегральная сумма ~ n Sn f (, x i ) x i, при max x i i (где x i x i 1 x i, a x 0, x 1,..., x n b;

x i [ x i ;

x i 1 ] ), (если этот предел конечен для [0;

1] ) будем называть ~ определенным интегралом нечеткой функции f (, x ) по [а, b] и обозначим b ~ ~ n (7.56) J( ) f (, x )dx lim f (, xi ) xi max x i i a ~ Если: 1) f (, x ) f L (, x );

f R (, x ), где f L (, x ) и f R (, x ), интегрируемые на [а, b] четкие функции, то b b b ~ f (, x )dx f L (, x )dx;

f R (, x )dx (7.57) a a a ~ 2) f (, x ) f ( x ), m L (, x );

m R (, x ), где f ( x ), m L ( ;

x ) и m R ( ;

x ) интегрируемые на [а, b] четкие функ ции, то b b b b ~ f (, x)dx f (, x)dx;

mL (, x)dx;

mR (, x)dx (7.58) a a a a Также, как и для четких функций, для определенных интегралов от нечетких функций справедливы следующие свойства:

b b ~~ ~~ 1) c f (, x )dx c f (, x )dx, для (0;

1) a a b b b ~ ~ ~ 2) f1 (, x ) f 2 (, x ) dx f1 (, x ) f 2 (, x )dx a a a b a ~ ~ 3) f (, x )dx f (, x )dx a b b ~ 4) f (, x )dx a ~ 5) Если на [a,b], (где ab) нечеткие функции f (, x ) и ~ (, x ) для (0,1) удовлетворяют условию g b b ~ ~ ~ ~ f (, x) g (, x ), то f (, x )dx g (, x )dx a a 6) Если m( ) и M ( ) - наименьшее и наибольшее значе ~ ния функции f (, x ) на [a,b] и ab, то b ~ m( )(b a ) f (, x )dx M ( )(b a ) a ~ 7) Если нечеткая функция f (, x ), (0;

1) непрерывна на отрезке [0,1], то на этом отрезке найдется такая точка х=, что справедливо равенство:

b ~ ~ f (, x )dx f (, ) (b a ) (7.59) a Кроме этого, для вычисления определенного интеграла не четкой функции справедлива формула Ньютона-Лейбница:

для любого (0;

1) b ~ ~ ~ ~ F (, x ) b F (, b) F (, a ) f (, x )dx (7.60) a a При этом, если нечеткая функция задается в виде (7.4) или (7.5), то b b b ~ f (, x )dx f L (, x )dx;

f R (, x )dx (7.61) a a a FL (, b) FL (, a ) b b b b ~ f (, x )dx f ( x )dx, m L (, x )dx;

m R (, x )dx (7.62) a a a a F ( b) F ( a );

M L (, b) M L (, a );

M R (, b) M R (, a ) ~ Следует отметить, что если f (, x ) интегрируется по от ~ ~ резку [~ ( );

b ( )] (где ~ ( ) и b ( ) - нечеткие числа четко a a ~ b~ (01) ), то значение J f (, x )dx представляет со сти a( ) ~ бой величину (нечеткое число) четкости ( J ).

С геометрической точки зрения это означает: определен ~ ный интеграл от нечеткой функции f (, x ) 0, четкости (0,1) по отрезку а( );

b( ) численно равен площади ~ криволинейной трапеции с основаниями ~ ~ ( );

~ b ( ) xa x ~ высотой, равной длине отрезка [~ ( );

b ( )] и боковой сто a ~ роной, описываемой нечеткой функцией ~ f (, x ) y f(x) fR(,x) f(x) fL(,x) 0 aL a aR bL b x bR Рис.7. Пример 7.8.

~ b( ) ~ f (, x )dx, где =0,8;

=0, ~( ) a ~ [a;

b] [ 1;

2];

f ( x ) [ 2;

1]x 2 [3;

5] 2x 2 5;

f R (0;

x ) x 2 Имеем: f L (0;

x ) 0,5x 2 f L (1;

x ) f R (1;

x ) f ( x ) f L ( ;

x ) [ 0,5 (1 )1,5]x 2 [ 4 (1 )] f R (, x ) [ 0,5 (1 )1,5]x 2 [ 4 (1 )] Тогда 0,8x 2 4, f L (0,8;

x ) 0,2x 2 3, f R (0,8;

x ) 2 0,8 J L (0,8) f L (0,8;

x )dx ( 0,8x 4,2)dx x 4,2 x 1 1 6,4 0, 8,4 4,2 1, 3 2 ( 0,2 x J R (0,8) f R (0,8;

x )dx 3,8)dx 1 0,2 x 3,8x 1, 3 J J L (1) J R (1) ( 0,5x 4)dx x 4x 13, 1 Таким образом, ~ 2~ J f (0,8x )dx { 1,5;

12} { 13,5;

1,5;

1,5} Далее имеем:

~ ~ ( ) ~ (0,6) a a 1 (0,6) { 1,4;

0,6} ~ ~ ~ b ( ) b (0,6) 2 (0,6) {1,6;

2,4}. Тогда 1, 1, 0,8 J L (a L ;

b L ) ( 0,8x 4,2)dx x 4,2 x 13, 1, 4 1, 2, 0,8 J L (a R b R ) ( 0,8x 42)dx x 4,2 x 16, 0,6 0, 1, 1, 0,2 J R (a L, b L ) ( 0,2 x 38)dx x 3,8x 11, 1, 4 1, 2, 2, 0,2 J R (a R b R ) ( 0,2 x 3,8)dx x 3,8x 12, 0,6 0, Таким образом, ~ ~ J (0,8;

0.6) J f 0,8, [ 1 / 0,6;

2 / 0,6] { 16,35;

11,86} { 13,5;

2,85;

1,64} Из рисунка 7.8. следует, что для более точного вы числение определенного интеграла от нечеткой функции ~ ~ f (, x ) по нечеткому интервалу [~ ( );

b (b)] необходимо a ~ (если ~ ( ) b ( ) ) вычислить a J L (a R b L ) и J R (a L b R ) Имеем:

1, 1, J L (a R ;

b L ) 0,8x 4,2 dx x 4,2 x 9, 0,6 0, 2, 2, J R (a L ;

b R ) 0,2 x 3,8 dx x 3,8x 15, 1, 4 1, Таким образом, ввиду того, что полученные результаты отрицательны, получаем:

~ ~ J (0,8;

0,6) J (f 0,8 ;

1 / 0,6;

2 / 0,6) { 15,611;

9,671} { 13,5;

2,111;

3,829} §6. Нечёткие меры и нечёткие интегралы Во всех монографиях по нечётким множествам под понятием «нечёткая мера», принимается. Понятие нечёткой меры, приведённой [58, 62], т.е.

Пусть Х – произвольное множество, а - поле боре левских множеств (множества покрытий) ( -алгебра) для Х.

Определение 7.19. Функция g( ), определённая в виде [0;

1] называется нечёткой мерой, если она удовле g:

творяет следующим условиям:

1) g( )=0 (ограниченность) 2) g(X)= (7.63) 3) если А, В и А В, то g(A) g(B)(монотонность) 4) Если Аn является монотонной последовательностью, то lim g ( An ) g ( lim An ) (непрерывность) n n Но по сути дела чёткая функция множества g( ) определяет неаддитивную чёткую меру (квазимеру) на обычном множестве Х.

Если сравнить определение 7.19 с определением меры в [64], то заметим, что эти определения различаются тем, что числовая функция g ( ) : [0;

1] заменена на R, где R – действительное числовую функцию g ( ) :

числовое множество.

Если Х – конечное множество, очевидно, можно срав нивать P({x}) с A ( x ) :

P {x} 1 и A (x) 1.

xX xX В случае, когда X R, приходится сталкиваться со следующими трудностями.

b Для (a, b] R, P (a P( x )dx, x b) a где Р(х) – плотность вероятности. При этом, очевидно, что x R : P {x} 0, когда P( x ) 0.

Нетрудно увидеть, что понятие плотности вероятно сти и функция принадлежности сравнимы. В то время, как вероятностная мера является шкалой для измерения неоп ределенности типа случайности, а нечеткое множество 58 63 являются субъективными шкалами для нечеткости.

С другой стороны, если учесть, что мерой (обычной чёткой мерой) отрезка на прямой равна его длине (является мера множества Лебега), то для нечёткого интервала (нечёткого отрезка прямой) – его длина является нечёткой величиной (нечётким числом).

Всвязи с выше изложенным под понятием нечёткой меры, в общем случае, следует придерживаться следующего понятия:

Определение 7.20. Нечёткозначная числовая функция g : A R (где R – нечёткое подмножество числового множества R) называется нечёткой мерой, если:

1 g ( A) 0 для любого А А, g ( ) 0 ;

2g An g An, где Аn A, (n=1,2,…,) n n 3 если Аi,Aj A и Ai Aj, то g ( Ai ) g ( A j ) (монотонность);

4 если Аn A является монотонной последовательностью, то lim g ( An ) g ( lim An ) (непрерывность).

n n Из введенного определения нечёткой меры следует, что если А есть нечёткое множество, то g ( ), вообще говоря, есть чёткая функция, в противном случае g ( ) нечёткая функция.

С другой стороны, учитывая, что любые два нечётких подмножества, содержащие одни и те же элементы одного и того же универсального множества Х с различными степенями чёткости, отличаются друг от друга степенью (уровнем) нечёткости, то мера нечёткого множества зависит от значений уровня нечёткости данного нечёткого множества.

Кроме того, сравнивая (3, 7.20) и (3, 7.63) убеждаемся в том, что нечёткая мера (мера нечёткого множества) является однопараметрическим расширением обычной чёткой меры (меры чёткого множества).

Всвязи с изложенным, при определении нечёткой меры следует конкретизировать с какой степенью чёткости определяется нечёткая мера.

Определение 7.21. Нечёткозначная числовая функция g :A R называется нечёткой мерой -уровня (где (0;

1)), если:

1. g ( A) 0 для любого A A ;

g ( ) 0 ;

2. g An g ( An ), где An A, (n=1,2,..), n n Ai Aj, при i j;

(7.65) 3. Если Ai, A j A и Ai A j, то g ( A) g ( Aj ) монотонность.

4. Если { An } An - монотонная последовательность, то lim g ( An ) g lim An n n В силу (3.7) и 3 следует, что g 1 ( A) g 2 ( A) для 1, 2 (0;

1] при 1 (7.66) Следует отметить, что в общем случае как для чёткой, так и для нечёткой меры условие аддитивности не g A B g ( A) g ( B) выполняется, т.е.: для (0;

1] влечёт за собой A, A : g (A ) max g ( A), g ( ) (7.67) A, A : g (A ) min( g ( A), g ( )) При решении практических задач моделирования с использованием аппарата теории нечётких мер, для управления вычислительных алгоритмов на ЭВМ, удобно аппроксимировать нечёткие меры. Для этой цели (§2, гл.I).

В частности, bL ( ) a L ( ) g ([a, b]) (7.68) bR ( ) a R ( ) Если при этом =1, то нечёткая мера (6.48) совпадает с чёткой мерой по Лебегу.

Основные свойства нечётких мер рассмотрим на примере метрики Сугено (6.43). Для построения нечётких мер в [58], [62] используются следующие -правила. Пусть А, В ;

А В=.

Тогда g ( A B) g ( A) g ( B) g ( A) g ( B) (7.69) В случае A B X условие (6.49) будем называть условием нормировки для g мер. Очевидно, что если A X \ A, A, то из (6.49) следует 1 g ( A) g ( A) (7.70) 1 g ( A) Формула (7.70) определяет класс -дополнений Сугено [61].

При 0 имеем класс супераддитивных мер, а при 0 получаем класс субаддитивных мер.

В общем случае, когда А и В – произвольные непересекающиеся подмножества множества Х, т.е. А,В, А В= выражение (6.49) принимает вид.

g ( A) g ( B) g ( A B) g ( A) g ( B) (7.71) gA B 1 g ( A B) Если Х=, то g -меру можно построить непрерывной функции h(x), удовлетворяющее следующим свойствам:

1. если x y, то h( x) h( y ), x, y 2. lim h( x) 0;

lim h( x) x x Функция h –называется нечёткой функцией распределения.

Таким образом, нечёткую меру на (R ) можно построить в виде:

h(b) h(a ) g a;

b (7.72) 1 h( a ) Следует отметить, что выражение g(A) представляет собой меру, характеризующую степень нечёткости А, т.е.

оценку нечёткости суждений «Х А».

Все нечёткие меры можно разделить на два класса:

супераддитивные и субаддитивные.

I. Супераддитивные меры 1) Функция доверия.

Определение 7.22. Мера, удовлетворяющая следую щим условиям, называется функцией доверия: 65 :

1. b( ) 0;

b( x) 1;

A b( A) ;

n 2. A1,..., An : b A1 An b( Ai ) (7.73)...

i 1 n 1 b A b Ai Aj A2 An...

ij 2, имеем:

Следует отметить, что при A, B :b A B b( A) b( B) b( A B) В 66;

67 приведены другие определения этой меры.

2) Согласованная функция доверия.

Понятие согласованной функции доверия базируется на определении ядра C {B X m( B) 0} полностью упорядоченного по вложенности. Поэтому любая функция носителя является согласованной функцией доверия. В согласованная функция доверия определяется с помощью следующих аксиом:

1) b( ) 0;

b( X ) 2) b A B = min b( A), b( B) ;

A При этом min b( A), B( A ) 0;

b, B;

b A B max b( A), b( B) II. Субаддитивные меры. К ним относятся мера правдоподобия, мера возможности, мера вероятности и другие.

Определение 7.23. Если b( ) есть функция уверенности, то мера правдоподобия множества А из Х определяется в как DI ( A) 1 b( A ) (7.74) Мера правдоподобия удовлетворяет следующим ак сиомам:

1) PI ( ) 0;

PI ( X ) 2) A1,..., An X ;

PI A1 An...

(7.75) n PI Ai PI ( Ai A j )...

i1 ij n PI A1 An 1...

В 67 приведён иной способ определения функции правдоподобия.

Определение 7.24. Если m( ) есть нечёткая мера, удовлетворяющая свойствам:

m( ) m( A) 1 (полное доверие), тогда 0;

A A : PI ( A) m( B ) (7.76) BA является мерой правдоподобия.

Меры правдоподобия называют также верхними вероятностями. Очевидно, что эти два определения эквивалентны.

Справедливо утверждение: если g1 ( ) и g 2 ( ) две меры : g1 ( A) g 2 ( A ) 1, то g A такие, что является функцией доверия тогда и только тогда, когда g 2 - есть мера правдоподобия.

Определение 7.25. Мерой возможности 69 называется функция П: 0,1, удовлетворяющая следующим условиям:

1) П( )=0;

П(Х)= (7.77) i N, Ai X, Ai sub Ai 2) iN iN N - множество натуральных чисел.

Мера возможности может быть построена с помощью распределения возможности (х), являющейся функцией : 0;

1 такой,что sur ( x) 1. Нетрудно увидеть, что xX A ( A) sur ( x). Очевидно, что для счётного :

xA множества ( x) ( x).

Любая мера возможности является нечёткой мерой тогда и только тогда, когда существует функция распределения f такая, что sur f ( x) 1.

xX Если g1 ( A) g 2 ( A ) 1 и g1 ( ) - согласованная функция доверия, то g 2 ( ) -есть мера возможности.

Определение 7.26. Нечёткая мера g=P называется вероятностной мерой, если:

1) A ;

P ( A) [0;

1];

P ( ) 0;

P ( X ) 2) i N ;

Ai и i j : Ai A j, то (7.78) P Ai P ( Ai ) iN iN Вероятностная мера является частным случаем меры правдоподобия ( =0).

Определение 7.27. Нечёткая меры g называется g -мерой, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) g ( X ) 1;

g ( ) и i j;

Ai Aj 2) i N ;

A g Ai g ( Ai ) g ( Ai ) 1 (7.79) iN iN iN где 0;

иA B, g ( A) g ( B) 3) A, B Отметим, что g - мера является расширением меры Цукамото 62, для которой [0,1]. Очевидно, что при =0 g - мера становится мерой возможности, а при =1 – вероятностной мерой. Если 1, то g -мера описывает неопределённость, отличающуюся по своим свойствам от вероятности или возможности.

В случае счётного множества Х условие нормировки для g - меры имеет вид:

g (X ) g gi 1 1 (7.80) iN iN где g i g {xi } для x X, i N.

Решение многих задач нахождения значения g меры для случая множества действительны чисел на много упрощается, если применить аппроксимации с помощью функций (S-L) типа.

Определение 7.28. Функция SL( ) называется функцией (S-L) типа, тогда и только тогда, когда [0;

1], x R : SL( x) SL( x);

SL(0) S, S причём SL( )- монотонно убывает на R+.

P Например, SL( x) S max 0;

1 x ;

P SL( x ) Seр x, P Определение 7.29. Нечёткая плотностью SL-типа называется нечёткая плотность g : X [0;

1] такая, что ax SL при x a ;

mL mL xa g ( x) SL при x a ;

mR (7.81) mR S, если x [a ;

a ] где mR, mL –правый и левый растяжения, L, L функции (L-R)-типа.

Очевидно, что если L L L, то a xxa g ( x) SL L a( x) mL mR Можно показать, что [a, b] X b g a;

b sur g ( x) (1 g ( x)dx ) x [ a,b ] a ax xa ~b S1 L inf La mL mR x [ a,b ] где b ~b La x / mL x a / mR 0 dx La a Нетрудно увидеть, что 0, если a, a [ a, b] ax xa ab, если b a inf 0 (7.82) mL mR mL aa, если a a mR Параметр нормировки g -меры может быть найден из условия (7.82) по формуле:

n n n gi gi gi (7.83) i1 i i Параметр S определяется как:

S arg sur g {x} (7.84) xX При этом, если предположить, что нечёткая мера на элементарном подмножестве равна значению нечёткой плотности в точке, принадлежащей этому подмножеству, т.е. g ( i ) g {x}, где g ( i ) -нечёткая мера, в случае (S-L)- аппроксимации получим:

g( S (1 ) sur L(a ( x)) L(a ( xi ))dx i) (7.85) xX i В простейшем случае оценивание параметров (S-L) функции следует производить, используя функционал вида:

1/ h SL a ( xi ) g i { xi } (7.86) xi X Рассмотренные методы аппроксимации позволяют упростить процедуры вычисления нечётких мер при определении значений нечётких интегралов в различных алгоритмах.

Определение 7.30. нечётким интегралом от функции [0;

1] на множестве А Х по нечёткой мере g будем h: X называть f h( x ) g sur gA H (7.87) [ 0;

1] A где H {x / h( x ) } 58-61.

Если (X ) - множество нечётких подмножеств универсального множества Х, а понятие нечёткого подмножества включает в себя понятие чёткого подмножества, то ( X ) является нечётким расширением ;

(X ).

~ Определение 7.31. Функция множества g, определяется в виде:

~ g ( A) g (7.88) A A для A x, A ( x) ( X ) называется расширением g, A на ( X ).

Определение 7.32. Нечётким интегралом от функции ( X ) по [0;

1] на нечётком множестве h: X A нечёткой мере g будем называть:

f f h( x ) g A ( x )h ( x ) g (7.89) A A Отметим, что для описания различных видов неопределённостей в теории нечётких мер используется общее понятие «степень нечёткости», которое включает в себя «степень важности», «степень уверенности» и «степень принадлежности» в теории нечёткого множества.

Если степень принадлежности х0 Е равна g ( x0, E ), а вместо Е взято нечёткое подмножество A ( X ), то f g x0, A A ( x) g x0, A ( x0 ) X Отметим основные свойства нечётких интегралов 58-61.

[0;

1], E, F X. Тогда, если h : X Пусть [0;

1], то f f h) g hg ( E E f f h) g hg ( E E f f f ( h1 h2 ) g h1 g h2 g E E E f f f ( h1 h2 ) g h1 g h2 g E E E f f f hg hg hg EF E F f f f hg hg hg EF E F Кроме того, fh g M A тогда и только тогда, когда g A FM M g A FM 0, где FM x / h M и FM 0 x/h M Легко показать, что понятие нечёткого интеграла сходно с понятием интеграла Лебега. Для этого рассмотрим разбиение множества Х на непересекающиеся подмножества Еi:

n j.

X Ei ;

Ei Ej,i i n Пусть h( x) i f Ei ( x), где [0;

1], Ei, а f Ei i характеристическая функция множества Еi:

Пусть l – есть мера Лебега. Интеграл Лебега то функции h по множеству A определяется как n f hdl il A Ei (7.91) i A n. Пусть Fi Ei Ei 1... E n.

где 1 2...

Тогда определяя h( x) max min i, f Fi ( x), получим i 1,n следующее выражение для нечёткого множества:

f h( x ) g ( ) ig A Fi max min (7.92) i 1,n A В заключении приведём экспериментальное определение нечёткой меры 70. Пусть существует «m»

объектов и пусть h j : K [0;

1] - оценка j-го объекта, а lj – общая оценка, получаемая из (5.8), (5.9), либо аналогичных операций над нечёткими числами. Предъявляя индивиду объекты и их частные оценки, можно получить его субъективные оценки «dj» из 0;

1 для всех объектов.

Обозначим l max{l j };

l min {l j } и аналогично d и d.

Проводя нормализацию l j j 1, m, имеем:

d d dl dl Wj lj l l l l Субъективная нечёткая мера может быть получена при условии минимума критерия 1m dj wj (7.94) mi ГЛАВА VIII. НЕЧЕТКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ §1. Нечеткие линейные дифференциальные уравения первого порядка Определение 8.1 Нечетким дифференциальным уравнением будем называть дифференциальное уравнение, хотя бы один из коэффициентов которого есть нечеткая функция, либо нечеткое число.

Так как понятие нечеткого диффреенциального урав нения ен связано не с его порядком, не с его линейностью и не с ее однородностью, то все основные понятия (раз личных видов решений дифференциальных уравнений с четкими коэффициентами) справделивы для дифференци альных уравнений с нечеткими коэффициентами. При этом их решения являются нечеткими функциями, либо семей ством нечетких функций.

Следует отметить, что так как решение нечеткого уравнения есть нечеткая функция, то и начальные условия, при которых ищется частное решение, являются нечеткими величинами.

Для конкретности приведем все основные понятия для нечеткого дифференциального уравнения первого по рядка.

Определение 7.2. Диффреницальное уравнение (8.1) будем называть нечетким дифференциальным уравеннием первого порядка, если есть нечеткая функция.


Определение 8.3. Нечеткую функцию, зависящая от переменной дифференцирования и произвольной постоян ной (четкой либо нечеткой) будем называть общим ре шением уравнения (7.1), если:

1) если она удоалетворяет данному уравнениею при любых значениях ;

2) Каково бы ни было начальное условие (8.2) всегда можно найти такое значение, что функция удовлетворяло начальному условию Определение 8.4. Частным нечетким решением уравнения (8.1), удовлетворяющего начальному условию (8.2) будем называть нечеткую функцию которая удовлетворяет уравнению (8.1) и входит в се мейство общего решения этого уравнения, т.е. существует такое нечеткое значение нечеткой постоянной, что Аналогично можно ввести поянтие особого нечеткого ре шения уравенния (8.1).

Как и в случае четких линейных дифференциальных урав нений, нечеткие линейные дифференциальные уравнения n-го порядка можно выразить в виде:

(8.3) где аk могут быть как постоянные (нечеткие числа), так и переменные (нечеткие величины);

- может быть как четкой, так и нечеткой функцией.

Отметим, что все методы решения различных типов обыкновенных дифференциальных уравнений с четкими коэффициентами справедливы и для аналогичных диф ференциальных уравнений с нечеткими коэффициентами.

Для применения известных методов решения диффе реницальных уравнений с четкими коэффициентами к ре шению уравнений с нечеткими коэффициентами той же структуры наиболее удобным (так же и при решении не четких алгебраических уравнений) является сведение эитх уравнений к интервальным дифференциальным уравнени ям.

Проиллюстрируем решение нечетких линейных диф ференциальных уравнений первого и второго порядкы на конкретных примерах.

Пример 8. Пусть. Тогда на основания правила деления нечетких чисел (1.46) имеем:

. Тогда имеем:

Откуда,тогда Следовательно, Легко показать, что для.

Для случая задачи оши для уравнения с четкими ко эффициентами и четким начальным условием:

При этом для любого -уровня имеем:

Докажем, что для имеем:

для любых х (- ;

) и 0,1. Поэтому и, возрастающие функции. Но так как и для, то на [0,1] и лишь / В частности, для =0,8, имеем:

Отметим, что учитывая теорему о возрастании и убы вании функций одной переменной, легко доказать, что от носительно параметра [0,1] функция монотонно убывает. Кроме этого, если у(х) – возрастающая функция, то и функции и для любого [0,1] – воз растающие функции и наоборот.

Рис.8. Наконец, для любого конечного n,если,если Таким образом, для решения нечетких линейных дифференциальных управлений можно воспользоваться одним из следующих способов:

I. Составить и решить четкое дифференциальное уравне ние, соответствующее данному нечеткому дифференци альному уравнению.

II. Представить нечеткое дифференциальное уравнение и нечеткие начальные условия в интервальной форме и ре шив полученую задачу найти решение поставленной зада чи в виде функций (L-R)-типа для любого [0,1].

III. Решить соответсвующее четкое дифференциальное уравнение с четкими начальными условиями:

3) Подставить в найденную четкую функцию (решение четкой задачи) вместо четких коэффициентов задан ные соответствующие нечеткие коэффициенты { } и по лучить нечеткую функцию, являющуюся решением зада нонго нечеткого уравнения с нечеткими начальными усло виями для любых [0,1]. При этом при необходимости полученное нечеткое решение можно представить в интер вальной форме.

Пример 7. y {5;

0,2;

0,3} y {6;

0,2;

0,1} y {2;

0,2;

0,1}x {3;

0,2;

0,3} ~ {2;

0,2;

0,1}~ y y x0 x Решение:

1.1. Решим четкую задачу Коши.

y 5 y 6 y 2 x 3;

y x 2;

y x k2 5k 0;

k1 6;

k 6 6x x y c1e c 2 e ;

y* Ax B Проведя элементарные подсчеты и учитывая начальные условия, получаем:

Представим нечеткую задачу Коши в интервальной форме и найдем ее решение y 5,2 y 6,2 y 18 x 3,3 y x 0 2,1;

y x 0 y 4,7 y 5,9 y 2,1x 28 yx 1,8;

y x k2 k1 6,37;

k 2 0, 5,2k 6,2 k2 k1 5,73;

k 2 1, 4,7 k 5,9 Учитывая начальные условия, находим решение за дачи в интервальной форме:

0,89 x 0,37e 6, yR 1,1e 0,29 x 0, ~ y 5, 73 x 1, 03 x yR 0,13e 1,08e 0,356 x 0, II. y 5y 6y 2 x 3;

y x 2;

y x 0,22e 6 x 1,01e x 0,33 x 0, y Учитывая правило действий над нечеткими числами, имеем:

Следовательно, y R 1,192e 6, 2 1,84e 0,98 x 0,324 x 7, ~y y L 0,76e 5,9 x 0,68e 1, 03 x 0,339 x 6, Из примера следует, что при решении нечетких дифферен циальных уравнений наиболее эффективным является спо соб применения интервальных дифференциальных уравне ний.

§2.Система нечетких дифференциальных уравнением первого порядка Определение 8.5 Систему дифференциальных, содержа щую хотя бы одно нечеткое дифференциальное уравнение, будем называть нечеткой истемой дифференциальных ура венний и обозначим:

(8.5) Для случая нечетких линейнхы дифференциальных уравнений первого порядка имеем:

n dy1 ~ ~ aij y i f1 ( x) dx j n dy 2 ~ ~ aij y i f 2 ( x) dx (8.6) j...................................

n dy n ~ ~ aij y i f n ( x) dx j Следует отметить, что: 1) могут быть и четким и нечетким функциями;

2) понятие решений системы нечет ких дифференциальных уравнений определяются анало гично, что и решения аналогичных систем с четими диф ференциальными уравнениями.

В частности, решение системы (7.6) следует искать следующим образом:

1) привести заданную систему нечетких уравнений к сис теме интервальных уравнений;

2) В зависимости от типа полученных систем четких диф ференциальных уравнений применяем тот или иной способ решения системы дифференциальных уравнений.

Пример 8.3.

dx ~ ~ 2x y Xt0 dt dx ~ ~ ~ 3x 4 y yt0 dt где Решение.Пусть Выпишем нечеткую задачу Коши в интервальной форме и решим ее. Имеем:

dX R 2,1X R 1,3 y R XR 4, t dt dy R 3,3 X R 4,3 y R yR 1, t dt yR X R 2,1X R 1, XR 6,4 X R 5,6 X R C R1 e 5, 46t C R2 e1, 05t XR 3,26C R1 e 5, 46t 1,02C R2 e1, 05t yR Аналогично, dX L 1,8 X L 0,8 y L XL 3, t dt dy L 2,9 X L 3,8 y L yL 0, t dt C L1 e 4, 62t C L2 e 0,98t XL 3,53C L1 e 4, 62t 1,1C L2 e 0,98t yL Учитывая начальные условия, имеем:

Таким образом, решение нечеткой задачи Коши в ин тервальной форме будет:

Для сведения решения нечеткой задачи Коши к виду ~ { X ;

~} {{ X ;

m X L ;

m X R }, { y;

m y L ;

m y R }} y Следует выписать четкую задачу Коши. Имеем:

dx 2x y Xt0 dt dy 3x 4 y y t 0 dt Откуда:

x 1,25e 5t 2,75e t 3,75e 5t 2,75e t y Сравнивая полученные результаты, убеждаемся, что ~ X (t ) X (t ) и y (t ) ~ (t ).

y Учитывая свойство выпуклости нечетких величин, для любого [0;

1] имеем:

X L (, t) ~ X (, t) X R (, t) ) 0, 38 ]t ) 0, 02 ]t )0,17]e [5 ( )0,03]e [1 ( [1,25 (1 [2,75 ( ) 0, 46 ]t ) 0, 02 ]t )0,08e [5 ( )0,22]e [1 ( 1,25 (1 [2,75 ( yL (, t) ~(, t ) y yR (, t) ) 0, 38 ]t 00, 02 ]t )0,22]e [5 ( )0,02]e [1 ( [3,75 (1 [2,75 ( ) 0, 46 ]t ) 90, 05 ]t )0,59]e [5 ( )0,29]e [1 ( [3,75 (1 [2,75 ( ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ~ A - нечеткое множество - множество нечетких подмножеств X G - нечеткая грамматика g -нечеткая мера N -множество натуральных чисел Р -отношение порядка - множество обычных подмножеств множества X - множество действительных чисел -множество неотрицательньрс действительньк чисел ~ R - транзитивное замыкание отношения R - отношение Т - функция истинности U - универсальное множество Аа - множество уровня а нечеткого множества A b - функдия принадлежности;


нечеткое множество - метрика - Декартово произведение - строгое включение - включение - пересечение - объединение \ - разность множеств A - дополнение множества А - пустое множество ° - композиция отображений;

композиция отношений U - ограниченное объединение U - ограниченное пересечение - знак объединения H - нечеткое отображение - отображение;

импликация - приближенное равенство - равенство, приближенное снизу - равенство, приближенное сверху f - нечеткий интеграл - символ предпочтения * - бинарная операция - операция max, конъюнкция - операция min;

дизъюнкция - расширенная сумма - расширенное умножение - расширенная разность :

- расширенное деление - расширенная бинарная операция ~ max - расширенный максимум ~ min - расширенный минимум ~ -расширенная дизъюнкция ~ - расширенная конъюнкция ~ - алгебраическая сумма - алгебраическое произведение - ограниченная сумма - ограниченное произведение = - если..., то;

семантическое следствие;

композиция отношений, определяемая импликацией -Тогда и только тогда, когда...;

семантическая эквивалентность - эквивалентность - стрелка Пирса - стрелка Шеффера - отрицание - отрицание А ЛИТЕРАТУРА 1. Алиев Р.А., Алиев P.P. Sof Computing Нечеткие множества и системы. Баку, 1996. С. 182.

2. Albert Р. The algebra of fuzzy logic - Fuzzy Sets and Systems. 1978. P.203-230.

3. Бакельман И.Я. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Москва, 1976.

4. Батыршин И.З. О мерах энтропии размытых множеств - В кн Исследование операций и аналитическое проектирование в технике, Вып. 1, Казань КАН, 1978. С.40-45.

5. Батыршин ИЗ. О некоторых свойствах мер невероятностной энтропии размытых множеств. В кн.Прикладной многомерный статистический анализ. М. Наука, 1978. С. 345-348.

6. Батыршин И.З. Управление при наличии расплывчатых категорий Тезисы III научно технического семинара. Пермь.НИИУМС, 1980.

С.27-29.

7. Батыршин И.З. О транзитивности размытых упорядочений. В книге «Исследование операций и аналитическое проектирование». КАИ, 1979. С.67 73.

8. Balte N., Trillas Е. Entropy and fuzzy integral – jurnal of Mathematical Analysis and Applications 1979v69.

P. 469-474.

9. Banon G. Distinction between several subsets of fuzzy measures.-Fuzzy sets and systems, 1981 V.5 P.291-306.

10. Capocelli R., De Luca A.Fuzzy sets and decision theory.

Information and Control 1973 V 23 P 44- 11. Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств. М. Мир, 1983. С. 152.

12. Гасанов Г.С. Нечеткая математика в моделях управления. Элм. Баку, 1997. С.398.

13. Goguen J.L. Fazzy Sets. Jurnal of Mathematical Analysis and Application, 1967 V18. P. 145-174.

14. Dombi J. Ageneral class of fuzzy operations, the De Morgan chass of fuzzy operators and fuzziness measures induced by fuzzy operators. Fuzzy Sets and Systems. 1982. v8. P. 149-163.

15. Dubois D., Prade H. Fuzzy sets and systems. Theory and applications. - New York Academic Press, 1980.

393 P.

16. Dubois D., Prade H. New results about properties and semantics of fuzzy-set-theoretic operators, -In: Fuzzy Sets/Ed. By P.P. Wang and S.K.Change N.Y.;

Plenum Press 1980,P.59- 17. De Luca A.Termini S. Entropy of L.fuzzy sets. Information and control, 1974: V.24. P. 55-73.

18. De Luca A. Termini S. Agebraoc properties of fuzzy sets -Journal of Mathematical. Analysis and Applications, 1972 V20. P.301- 19. De Luca a. Termini S. On the convergence of entropy measures of fuzzy sets. Kybernetes 1977 V.6. P.2I9 227.

20. Dempster A.P. Upper and lower probabilitiesties induced by multi-Valued mappung.-Ann.Math.Statist.

1967. V.38.P.325-339.

21. Dubois D.Prade H. Operations in fuzzy-valued logied logic inform and Control, 1979 V 43. P.224- 22. Ebanks B.R. On measures of fuzziness and their representation. - Jurnal of Mathematical Analisis and Application, 1983 V.94, p.24- 23. Flovd R.W. Non deterministic Algorithms Jour. Assoc.

Comput. Machinary Vol 14, p. 136-644, 24. Yager R.R. Fuzzy equations.- In: Proc. OfEEE Int. Conf Decision and Control, 1977, p.596- 25. Yager F.F. On solving fuzzy mathematical relationships.

- Information and Control. 1970 V. 41 №1, p.29- 26. Yager R.R. Validation of fazzy linguistic models.J. of Cybernetics, 1978. V.8, p.17- 27. Yager R.R. A note on fuzzyments in a dtandarted uncertainty logic. IEEE Trans. On Systems Man and Cybernetics, 1979 V. SMC-9, №7, p.388- 28. Журид Б. A., Силов В.Б. Метод построения логико лингвистических, моделей интеллектуальных, роботов. Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1983 г., №5, с.188- 29. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. Пер. с англ. М.Мир, 1976, с. 30. Заде Л.А. Размытые множества и их применение в распознании образов и клacтep-aнaJшзe. В кн. Клас сификация и кластер. М.Мир, 1980 г., с.208- 31. Заде Л.Л. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений. В кн. Математика сегодня. М.Знание, 1974 г.

32. Zadeh L.A. Fuzzy sets - Information and Control. 1965, V.8., P.- 33. Zadeh L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility. - Fuzzy sets and systems, 1978,№1, p.3- 34. Zadeh L.A. Similarity relations and fuzzy orderings. Information Sciences. 1971 V 3p. 177-200 35.

35. Zimmerman H.J. Fuzzy set. Theory and its applications.

Second revised Edfton 1990, p. 36. Ибрагимов B.A. Дифференцирование нечеткой функции и ее экстремум АГНА. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений и функционального анализа. Баку, 37. Ибрагимов В. А Нечеткая функция, ее предел и не прерывность. АГНА. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений и функционального анализа. Баку, 2003г.

38. Goguen JA.L - fuzzy sets. Jurnal of Mathematical Analysis and Applications 1967 V 18, p.145- 39. Higashi M., Klir G.J. On measures of fuzziness and fuzzy conplements. - International jornal of General Systems, 1982 V 8, P. 169- 40. Hirota K. Concept of probabilistic sets. PSS45, 1981.

p.31-46,P. 169- 41. John N. Mordeson. Prechand S. Nair "Fuzzy Mathematics" with 20 Figures and 9 Tables 42. Knoptmacher J. On measure of fuzziness - Jurnal of Ma thematical Analysis and application 1975 V 49. p.

529- 43. Killing R. Fuzzy Planner. Tech. Peport №168 Comput Science Depart Univ of Wisconsin Febr 44. Kaufman A- Introduction to the theory of fuzzy subsets.

V. 1-N.Y. Academic Press, 1975, 643 p.

45. Kitajima S& Isai K.- Method of Learnin Control varing Search Domain by fuzzy Avtomata. Japan - US Seminar. Florida, Octs 46. Kalmanson Ds Reacherche cardio - Vaskulaire of theorie des ensembles Flous. La Nouvelle Press Medicate. №2, 40.pp.2757-2760 Nov. 47. Capocelli R., De Luca A. Fuzzy sets and decision theory-Information and Control, 1973 V23, p.446- 48. Klement E.P. Construction of fuzzy a - algebras using triangular norm,- Journal of Mathematical Analysis and Applications 1982 V.85, p.543- 49. Корман A. Введение в теорию нечётких множеств.

М.Радио и связь, 1982 г, с. 50. Loo S.G. Meassures of fuzziness.-Cybemetica. 1977.

V3.p.201- 51. Lower R. On fuzzy complements - Information Sciences, 1978, V.14, p.l07-1l 52. Л.А.Люстерник, В.И.Соболев «Краткий курс функ ционального анализа», Москва, 53. Мае Vicar - Whelan P.J. Fuzzy logic and alternative approach - In. Proc of gth int.symp. on Multiple – Valued Logics Bath. N.V. 1979p 152- 54. Mizumoto M. Tanaka K. Some properties of fuzzy sets of type 2 - Inform Contrl. 1976, V.31, p. 312- 55. Нариняки A.C. Недоопределенные множества – Проект ВОСТОК, Вып 4. Новосибирск, ВЦ. СО. АН СССР, 1980-27 с.

56. Negoita C.V., Ralescu D.L. Applications of fuzzy sets to system analysis. - Basel: Birkhauser Verlag 197-190 p.

57. Novak V. Fuzzy sets - The aprocsimation of semisets.

Port 1 BUSERAL, 1983,Niver №13,p. 15- 58. Нечеткие множества в моделях управления и искус ственного интеллекта. Под.ред. Д.А.Поспелова, М.1986 г.

59. Novak V. А note on foundations of fuzzy sets.

BUSEFAL 1983 Ete, №15 p.5- 60. Новиков П.С. Элементы математической логики, Москва, 61. Norwich А М., Turksen I.B А model for the measurement of memberahip an conseguences of its empirical implementation. FSS 12. 1984. p. 1- 62. Пискунов H.C. Дифференциальное и интегральное исчисление. T.l, 1986г.

63. Салимов Я.Ш., Ибрагимов В.А., Алиев Ф.Г. Понятие нечеткого числа и нечеткой точки. Milli aviasiya aka demiyasmm elmi srlri №2, 2004 il 64. Sugeno М. Terano Т. An approach to the identification of human characteristics by arrluing the fuzzy integral. In:Proc of 3-rd IF AC Symposium on Identification and System Parameter Estimation. Hague 1973, Part 2.

P.1064- 65. Skala H.J. On many - Valued logics fuzzy sets, fuzzy logics and their applications Fuzzy Sets and Systems 197S, V.I.p.129- 66. Shafer G. A mathematical theory of evidence.- Princeton, New York: Pronceton University Press, 67. Sugeno M. Fuzzy measure and fuzzy integral - Trans.

SICE. 1972 V8 №2.p.95- 68. Sugeno M. Inverse operation of fuzzy integral and conditional fuzzy measures. - Trans. SICE. 1975 VII №1.

p.32- 69. Sugeno M. Fuzzy decision-making problems - Trans SICE, 1975 VII №6, p.85- 70. Sugeno M. Fuzzy measures and fuzzy integrals a survey – In: Fuzzy Automata and Decision Processes/ED by M.M.Cupta, G.Saridis, B.R.Gaines. Amsterdam: North Holland, 1977,p.89-I 71. Trillae E., Riera T. Entrapies of finite fuzzy sets.

Information Sciences, 1978 vl5, p.159- 72. Tsukamoto Y. Identification of preference measure by means of fuzzy integrals. - Ann. Conf of JORS, 1972, p.131- 73. Tsukamoto Y., Cupta M.M., Nikitoruk P.N. On density of fuzzy measure.-In Fuzzy Set and Possibility Theory/Ed by R.R.Yager. New York. Pergamon POress, 1982,p.l33- 74. Tsukamoto Y. Tashiro T. Method of solution to fuzzy inverse problem.-Trans SICE 1979 vl5, p.21- 75. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск.

Наука 1981. С. ОГЛАВЛЕНИЕ От автора....................................................................... ПРЕДИСЛОВИЕ............................................................ ГЛАВА I. НЕЧЕТКАЯ АРИФМЕТИКА........................ §1.Нечеткие числа и операции над ними.................... §2. Нечеткие числа L-R типа и действия над ними.... §3. Сравнение нечетких чисел..................................... ГЛАВА II.НЕЧЕТКАЯ АЛГЕБРА.................................. §1.Теоретическое обоснование нечетких уравнений... §2.Нечеткие линейные алгебраические уравнения...... §3.Нечеткие квадратные уравнения................................. §4.Система нечетких линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными.............................. ГЛАВА III. НЕЧЕТКАЯ ГЕОМЕТРИЯ........................... §1. Нечеткие точки............................................................ §2.Нечеткие линии и нечеткие поверхности.................. §3.Нечеткие углы.............................................................. §4.Нечеткие многоугольники........................................... ГЛАВА IV. Нечеткие множества..................................... §1.Понятие нечетких множеств....................................... §2.Операции на нечеткими множествами...................... §3.Принцип обобщения..................................................... §4.Размытые нечеткие множества.................................... ГЛАВА V.НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ И НЕЧЕТКИЕ ГРАФЫ............................................................. §1.Понятие нечетких отношений и операции над ними §2.Нечеткий граф............................................................... §3.Композиция двух нечетких отношений..................... §4.Свойства нечетких отношений................................... §5. Классификация нечетких отношений........................ §6.Пусть в конечном нечетком графе............................. §7. Разложение на максимальные подотношения подобия......................................................................... §8.Обратная задача для нечетких отношений................. ГЛАВА VI. НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА.................................. §1.Равносильность формул алгебры характеристик нечеткого множества.................................................... §2.Характеристическая функция характеристик нечеткого множества................................................... §3. Анализ характеристических функций характеристик нечеткого множества......................... §4.Композиция интервалов.............................................. §5. Нечеткие утверждения и их функциональные представления............................................................. §6.Многозначная и нечеткозначная логика.................... §7.Теория нечетких подмножеств и теория вероятности.................................................................. §8.Законы нечеткой композиции.................................... ГЛАВА VII.НЕЧЕТКИЙ АНАЛИЗ............................... §1.Нечеткие функции....................................................... §2.Предел и непрерывность нечеткой функции............ §3.Дифференцирование нечеткой функции................... §4.Экстремум нечеткой функции.................................... §5.Интегрирование нечетких функций........................... §6.Нечеткая мера и нечеткий интеграл........................... ГЛАВА VIII.НЕЧЕТКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.............................................. §1.Нечеткие линейные дифференциальные уравнения первого порядка........................................................... §2.Система нечетких дифференциальных уравнений первого порядка.......................................................... ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ....................................... ЛИТЕРАТУРА...................................................................

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.