авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИЗВЕСТИЯ ВОРОНЕЖСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА №1 (260) ...»

-- [ Страница 14 ] --

стых компактных пусть - нормированное пространство параметров. Норму в n и пусть - нормированное пространствоНорму НормуНорму в S2) Мультиотображение подмножеств и пусть - нормированное параметров. в параметров.

нормированноепространствов пространстве R будем обо обозначатьПусть мультиотображение : [0, ] S2) Kv( ) удовлетворяет значать | обозначать | |.

будем |. |. будем обозначать | |.

| раметров. n параметров. пространство в усть - нормированное пространство параметров. Мультиотображение Норму в : удовлетворяет следующим условиям: ( ) S2) Мультиотображение е : [0, ] : Kv( ): [0,] ) Kv( ) удовлетворяет : ( ) значать | |.

пространстве Пусть мультиотображение [0, удовлетворяет F:I Rn Rm 3 Kv(Rn) иотображение ] следующим условиям:

Пусть мультиотображение Kv( )Kv( удовлетворяет удовлетворяет удовлетворяет ажение : [0, ] ем условиям: каждых xR и lL мультифунк- (,(x,u) : [0, Rследующим условиям:, ) n следующим(1) для каждого и n мультифункцияследующим R] ( ) следующим условиям: Ku(Rn) F:[0, Т] R L 3 n n ция F(измеримоеT] 3 Kv(R ) (, измеримое имеет, x, l):[0, сечение () имеет, ) для почти всех x, [0, ];

Kv(R )F(, u):I F1) для любых сечение f(t)F(t, ) l) ] ( почти ) [0, ) ( и [0,, ( ] ( ) ) для любых (, ) для каждого мультифункциядля, ):всехдля,, T];

[0, ] допускает ), мультифункция, мультифункция мультифункция,, x,: мультифункция t ( любых(, F1) ( измеримое сечение;

удовлетворяет m (F1) для ого мультифункция (,, ): [0, ] ( ) :

(1)и и [0, словиям:

F2) удовлетворяет условиям: n м:

(2) сечение)всехn[0,[0,всехдля почти всех [0, ];

для n m t ) мультиотображение (F2) для почти всех t[0, мультиотображение (,,): почти всех I, для почти для почти ] T] [0, ];

(,];

) n мультиотобра, ( () (,,жение F(t,,,):() 3 Kv(R ) полунепрерыв ое сечение ) для (, ение () (), ) для почти R имеет измеримое почти всех всех [0, ];

(, (,, ): ( ), ): ( ) (, F1) полунепрерывно F(t,, ):R R 3 Kv(Rn) ]всехдля почти всех (,,):мультиотображение (,,): ) F3’) существует такая суммируемая функция и мультиотображение [0, ] (,,):(,,): ) ) Т], (F3) существует ( ( (2) ] мультиотображение такая функция aL1[0,( допускает измеримое сечение;

[0, [0, ] мультиотображение ( ) L (3) полунепрерывно сверху;

сверху;

но сверху;

но сверху;

что существует S3) lim, ||||, равномерноравномерно относительно.

S3) lim = 0 = 0 относительно F(t, x, u)} ma(t)(1+|x|+|u|).

|(,,)| |(,,)| a:I сечение;

|(,, )| {||: (,, )} почти всехF2) дляпочти всех I;

, мультиотображение |||| |F(t, x, u)| := max{|y|:y ||для, мультиотображение F2) для ()(1 + + ) для почти всех почти всех t такая функция допускает измеримое3 R+, что (3) существует такая функция полунепрерывно сверху;

рху;

часть системы (1) G. Пусть |(,,)| )некоторое- некоторое [0, (1) обозначим обозначим (, - (, ) ].

|(, )}, )} ()(1, дляпочтивсех всех ) S3) lim, |||| = 0 равномерно относительн (,,, )| ()(1 + || +(, ) )} ()(1 + || + всехдля почти всех ( ( ) G. Пусть(,,):) (,,):

(,, )} ()(1 + || + ) для почти ция {||: {||: + || + ) для ет такая функция ||: (, линейное подпространство. Для данного управленияуправления, () линейное подпространство. Для данного, обозначим обозначим () ая функция [0,Рассмотрим задачу Коши [0, ].

].

Правую часть системыПравую [0, ]. [0, ].

Правую часть системы (1) обозначим G. Пусть Пусть почти (, (), ) п. в. [0, ] () F3’) существует такая суммируемая функция : подпростран-, что VF3’) (I, Rm) - некоторое линейное функция :

полунепрерывно сверху;

t I.

множество решений сверху;

(1), (2).

полунепрерывно задачи (0)Определение 8. Для 0 1 множество достижимости системы (1)-(3) Определение 8. Для 0 1 множество достижимости системы (1)-(3) множество решений задачи (1), (2). равномерно относительно = () подпространство. Для данного управле Правую часть системы (1) обозначим G.

), ) ( ([0,, ] п. в. (, [0, ]) п. в. [0, ] п. в., ) ) (), () задачу Коши задачу Коши задачу Коши Рассмотрим Рассмотрим [0, ] () ()(u) множестворешений задачи()(1(2). )}||) относительно к моменту определяется как решений )}{||: (,|| + ()(1 + относительно к моменту определяется, задачи (1), +, |(,,примножество, )| (, max (1), (2).

SG)| max |(, как L существует такая суммируемая, что (, (), ) п. в.

Коши () {||:

линейное 0) = Определение 7: Решением задачи Коши (), ()() данном 8. Для 0 k T m 1 множество () ( (0) = () ство. Для данного управления u V, обозначим = () называется абсолютно непрерывная функция, для(, = { (, ;

(1)-(3) относительно V к для почти всех ]{ почти всех }.( : [0, достижимости системы задачи КошиОпределение) 7: Решением данном ((*), ) = (): ) ()): 8. Для), }.1 множество дост 7: Решением задачи (), данном [0, ] задачи при данном моменту T определяется как ;

, удовлетворяющая е ением задачи(),Решениемп. в. ()Кошии(), Кошиусловию ().Определение 7: () при задачи при начальному ОпределениеКоши Коши (), данном () Множество решений включению ( Определение (**) при ]() при L называется абсолютнофункция Определение 9. [0, ] обозначимG(). = {x(T):x SGв нуле относительно к (u), u посредством, солютно функция : [0, непрерывная] удовлетворяющая (1)-(3) локально управляемауправляема определяется как ерывная непрерывная данномl : [0, функция,: n абсолютно удовлетворяющая называетсянепрерывная : [0, ]данного Определение, Система (1)-(3) локальномоменту V}. в нуле посредством задачи (), () для, удовлетворяющая, значенияудовлетво ] п. начальному условию ().условию (). [0, T] и началь ) и[0, ] и[0, ])ип. в. условию начальному условию решений (0, 1] в нуле посредством V, если для не включению ( начальномуесли для некоторого некоторого управляема в. начальному [0, ] и ().n.в.t если для (). Множество решений ряющая включению (*) Множество решений 1] Множество (0, (, ) = { (): ( удовлетворяющая R (T, V) о непрерывная функция функция x:[0, T] 3R Система 9.

)значения () обозначим значения задачи (), обозначим ().

Существует (**). Множество о существовании непрерывности условию обозначим ().

следующая обозначим ().

Определение 9. Система (1)-(3) локально Множество решений 0 (, V).

0 ) (, ).

ному для данного(). теоремарешений задачи икоторого T (0,1] для данного значения Существуетоследующая теорема о существовании и непрерывностиОпределение Система (1)-(3) локально управ данного значения (*), (**) для данного значения l L обозначим зависимости множества решений от параметра.

тва решений от параметра. Здесь обозначает обозначает внутреннюю часть множества.(0, 1] часть для некоторого Здесь внутреннюю Здесь int обозначает внутреннюю часть мно.

S(l).

рема о существовании и непрерывности 9.

0 intRG(T, ледующая теорема о существовании и непрерывности ая теорема Справедлива следующая теорема о существо существовании и непрерывности имер, [2])например, [2]) ПриМы сведём Мы сведём задачу о управляемости ([0,о локальнойк задаче о к задаче о ];

) решений от1. При выполнении условий [2]) (3)жества. () Теорема параметра (см., например, (1) (смотри, например, [2]) ений от параметра.от параметра. от параметра.

является - множеством и, более того, мультиотображение (1)-(3) задаче о локальной управляе- (, ).

зависимости множества решений зависимости множества ножества решений непрерывной если множества.

вании и (F1) - (F3) каждое S(l) C ([0, Т];

Rn) явля- системы к () каждое ииТеорема 1. При выполнении ()и, таким](3) каждое () ) мультиотображением.

условий ется R (3) каждое (3)более[0, ;

управляемости её линеаризации (1) условий (1) условий (1) образом, является ([0, ];

) - множеством и, ( того, мультиото-];

) ([0, линеаризации (смотри, полнении условий d(1) (3) каждоекаждое ()0, ];

её сверху () ([ полунепрерывно локальной управляемости ) 2]) Теорема 1. выполнении условийлокальной локальной управляемости системы (1)-(3) задачу о системы (1)-(3) управляемости,является и,множеством мультиотображение () Здесь обозначает внутреннюю часть множест Мы сведём задачу более того, -мультиотображение того, () бражение l L более полунепрерывно сверху твом и, более таким образом, является J - мультиотображе- ( ) () ( ) ( ) ножеством того, мультиотображение () () ( ) () + ( ) ( ) локальной полунепрерывно сверху и, таким образом, является - = =,+, мультиотображением. (4) (4) ри выполнении но и, образом, является - мультиотображением.

мости её линеаризации таким таким образом, является - мультиотображением.

рхусверху и, образом, является - мультиотображением.

S(l) мультиотображение (0) = 0, (0) = 0, (5) (5) более того, и, и, аким ( ) ( ), локальной управляемости её линеаризации,.

. (6) (6) нием.

Мы сведём задачу о локальной управляемости си Правую часть линеаризованной системы (4)системы (4) g. () системы(4)) + () ( Правую часть линеаризованнойчасть линеаризованной = () ( ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ () Из теории линейных Из теории линейных 0 известно, что дифференциальных уравнений = 0, Правую обозначим обозначим g.

Мы будем рассматривать задачу о локальной уравнений известно, что для любого T, ).

( (0,1], F(t, x(t), оператор сдвига сдвига y : L (I, Rm) n управляемости для возмущённой конечномер- обозначим g.

x’(t) A(t)x(t) + B(t)u(t) + (0, 1],u(t), (0, 1], оператор сдвига ной системы вида дифференциальных Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что для любогодля любо (2) : (x S )(u)x (,S ) ;

и непрерывен. (4) обоз где, G часть;

линеаризованной системы Правую : (u), линеен G 3R ;

оператор T yT (u)=x(T), где почти все t I:=[0, 1] (1) x(0)= () = (),() = (), u L([0,1], Rm) (3) Более того, для любого линейного подпростран (0, 1], оператор сдвига ства U теории линейных дифференциальных уравн Из L ([0, T], R ), следующие условия эк m где () линеен (непрерывен. Более того, Более того, для любого линейного где и ) линеен и непрерывен. для любого линейного подпространства ) следующие условия эквивалентны: (, ) подпространства ([0, ],,([0, ], ), следующие условия эквивалентны: :

, ||, ||.

для Продолжим мультиотображение с множества Продолжим мультиотображение множества ||, || следующим образом: {(,, ) сс :, || } } Продолжим мультиотображение : || {(,, ) ||,Естественные следующим образом:), ):||, || ;

науки следующим образом:, ) (,, :, ||, || } {(,, {(, || } множества,,,(,,,, ), || ||, |||| ||;

;

, ), ||, Известия ВГПУ, том 260, №1/ ( ||,,, ;

,,,, ||||, || (,, ) = (,)),,,,||,|| ;

;

(7) (, ||,,|| ;

следующим образом:

вивалентны:

,,, ||,, ||, || ;

;

,,, ||,, следующим образом:

(, ) = ( () ( (, (),=,||, ||, || ;

,, 0) ()).,, ) 0 intRg(T,U) (10),, || || Зафиксируем ( (0,1] )и линейное подпро- (,, ) =,,,,, ||, ||, ;

;

||, (, ) = ( T ) (, (0), ()).

||, || ||||, || ;

.

Rg(T,U) = Rn (8),,,,,,, ||, () (), (V ),–пространство абсолютно непрерывныхфункций. || (10) AC –пространство абсолютно непрерывных функций.(),,, )=0), ()).,, ||, || ;

странство AC ()). T], R ).

Здесь 0 L ([0, Рассмотрим следующий, ) = ( оператор (( (,) ( || ||, ) = ( линейный,,,,, ||, || ;

,,,||,,,||, ||, ||.

Нетрудно видеть, что оператор непрерывен.

дно видеть,j:AC([0, T]);

непрерывен. абсолютно видеть, что : функций. || ( ) удовлетворяетусловиям (F1),, ||.

чтоЗдесь AC –пространство Нетрудно непрерывных, ||, || || m (10) || (10), j(x,u) = (x’- A( )u - B( )u, dim x(T)) и линейная система (4)-(6),,,, ||, глобально непрерывен. Лемма 1. Пусть x(0), оператора непрерывен. ограниченности,,управляема в ||. = (F2), также условию ма 1. Пусть dimтом смысле, что система (4)-(6) Нетрудно видеть, Нетрудно видеть,, ||), ||.

что в что ( удовлетворяетусловиям (F ютно непрерывных функций.

глобально управляема : || || : || || = и линейная оператор Rn) V 3 L1([0,T];

Rn) Rn Rn (9) Нетрудно видеть, что ( ) удовлетворяетусловиям (F1), мысле, что система (4)-(6) глобально управляема в а также условию (,, ) | || + || (10) | глобально управляема в Лемма 1. Пусть dim = и линейная система(4)-(6) ( ) удовлетворяетусловиям (14) Нетрудно видеть, что Нетрудно видеть,. : : ( ) удовлетворяетусловиям (F1), Нетрудновидеть, что ( ) = что том смысле, что ) =.

( Здесь AC обозначает пространство абсолютно (F2), аатакже условию ограниченности || || (F2), ограниченности Лемма 1. Пусть dimV = n и линейная, ловию ограниченности || + || (F2), также условию. | (,, ) | линейная ограниченности + (F2), а также условию ограниченности | (,, ) | (F1), непрерывных функций.

( ) = Тогда оператор - линейный изоморфизм..

. глобально управляема в том смысле, ) = Нетрудно видеть, что оператор j непрерывен. удовлетворяет условиям (F1), (F2), а также ус ( что оператор - линейный изоморфизм.

Рассмотрим теперь, (,, ) || ||семейство дифференциальных (14) для всех | (,, ) ||+ || для всех, однопараметрическое + ||.| ( для всех система (14) зоморфизм. Тогда оператор j -- линейный изоморфизм.

(4)-(6) всех заданы. однопараметрическое, Тогда,. (14) yТ(V) Доказательство Доказательство 0, ];

), для всех, для всех x того, что.семейство дифференциальных для Рассмотрим теперь. в силу Rn, u Rm = Rn (14) ([ Пусть, Рассмотрим теперь однопараметрическое семейство дифференциальных Тогда оператор линейныйвключений вида 0, ];

, 1 изоморфизм, найдётся единственное управление ()() +, (), (), ([ ) изоморфизм.

линейный Rn), x, x Rn заданы. Тогда, в силу мейство дифференциальных Пусть, заданы. Тогда, в силу того, чтовида Рассмотрим теперь однопараметрическое се включений () ()() + такое что азательство.

заданы. Пусть ([того,;

что )управление такоеТогда, в силу того, что Тогда, в силу 0, ], -, заданы. что ный изоморфизм, найдётся единственное Рассмотрим теперь однопараметрическое семейство дифференциальных Доказательство ся единственное управление изоморфизм, [0,1]. = () (()()()() )() +, )(), ((15) (15), вида. () )() + + ( + что ), включений () Рассмотрим теперь однопараметрическое семейство дифференциальных (15) линейный изоморфизм, Vтакое, единственное управление такое, (), (, что найдётся включений вида f L ([0,T];

включений вида () = u 0. другой стороны, ясно, что задача ( ) = часть I,l()+ (()как +(,, ((Тогдаиз условий (S1) и такое включенийвида Обозначим [0,1].()семейства (15) () +, ). ),(( )),, правую() (( )) [0,1].) () ),, того, что yТ - линейный _ () + ( единственное управление. найдётся что, ( ) = yС _ ) =, [0,1].. t С другой стороны, ясно, что )(14) вытекает оценка (Обозначим правую часть семейства (15) как ( =, + ()H ) + u).Тогда из (15) как (S1) (14) Тогда из условий (S задача ) ( ) ( ( ) (15) С () = () () + ( () + задача [0,1].правую l(t, x,семейства (15) условий, ). и, ).вытекает (S1) и другой стороны, ясно, что,) [0,1]. правую часть семействакак (, (, ) (0) Обозначим (15) гой стороны, ясно, что x1. (u ( Обозначим задача =.

Т (14) вытекает оценка (,, )| 1 + ()(|| + ||) (() + 0)=.() () () + () дача ) Обозначимправую) (|| семейства (15) как (,, ). Тогда из(16) = (14) ( + оценка) (t, x, u)|m(1+ m(t))(|х|+|u|), ). Тогда изусловий (S1) и () вытекает ( H семейства (15) как (, (иОбозначими)правуючасть + () часть Тогда из условий имеет единственное.

оценка | (,, )| 1m () + (|| + ||) (0) (14) вытекаетоценка имеет единственное решение.=.

условий(16) и единственноеВ предположениях Леммы 1,применяя, оценка (14)вытекает.

, теоре- t (, ()|, 1 ()(|| ||), n u + R + часть (S1) |I, (()() + ()) ) (()()), В предположениях Леммы 1, применяя теорему БанахаR+ обратном+ ()) (()()), x ) () решение.

му Банаха об обратном операторе, мы получаем, ( () + ( l едположениях Леммыединственное решение.найдётся такая константа 0,что ()(|| + ||) найдётся такая константа что0 теперь, Возьмёмчтобы1+ (0,1] так, чтобы |. (,, теперь + | так, )| ( решение.

что операторе, мы получаем, CВозьмём, (0,1](,, )| 1 T ()(|| + ||) (16),,.

об применяя теорему Банаха об такая константа 0,где ()- функцияподлинейного роста (18),торе, мы получаем, что найдётся обратном где ()- функциятеорему Банаха об обратном (F3’). роста (F3’).

имеет 1, применяя теорему Банаха об обратном (16),,такая( (0,1] +|(0)| () Возьмём. ) айдётся такая + получаем, что, ()(теперьконстанта чтобы что | ()|), для константа 0, что | (,теперь.) (| так, 0, ) (16) операторе, (мы ( ( ()()) найдётсяЗафиксируем так,+ ()+ [0,1] и Возьмём + ()|),(0,1] 1 (0, ]. Для что | + |(0)| | (0, для [0,1] и положим положим из условия подлинейного + ( | ) ) ( ) чтобы x ([0, ], ) и. Зафиксируем ].

В предположениях Леммы 1, применяя из условия ) ( ) ( )| + |(0)| + | (Возьмём теперь (0,1] так,чтобы ([0,) и. + ( | () длятеперь () ( )|чтобы (+ ()), для Возьмём ) () (0,1] так, + |(0)| )() )|), ( ( ], ( 1 + ( ) | | ( + управляемости[,] :} ()} (17) (), 1 = ([,] = ((()()) ) {|, Мы можем теперь сформулировать основную теорему ) {| : ) Для (17) и и теорему об управляемости ( () + ()) + ()() ( ), (18) x ([0, ] ) ожем теперь сформулировать, основную.

и 1 + (() 1 + ) () 1 ( (17) об (18) где () (17) системы (1)-(3). (17) = {| = {|[,] : }.

и Зафиксируем [,] : }.

и мы (1)-(3)..) обфункция из условия подлинейного вать основную теорему об управляемости a( Мы можем теперь сформулировать основную теорему - управляемости где условия Зафиксируем (0, ]. Для [0,1] и положим Мы можем2. Пустьсформулировать удовлетворяет условиямподлинейного и Теорема теперь система (1)-(3) основнуюфункция из (F3’). (S1)-(S3) роста (F3’).

3) удовлетворяет условиям (S1)-(S3) и(1)-(3) удовлетворя- ) T (0, T ].(S1)-(S3)[0, 1] и u V положим (;

роста системы (1)-(3).

2. (;

V L (1)-(3) удовлетворяет условиям Для Пусть и ) ма 2. Пусть теорему (1)-(3) удовлетворяет условиям (S1)-(S3) и система об управляемости системы (1)-(3).

( ное линейное подпространство. Тогда найдётся ST(l, u)= {x|[0,T]что для ()} (, ) = {|x : l (u)} (0,1] такое, Теорема 2. Пусть система ;

- ) Теорема (S1)-(S3)система (I, Rm)Теоремы 1, мультиотображениеl и йное подпространство. ), если что для (0,1] такое,(0,T(], любого ={u|[0,T]:V V}. V] ( [0;

];

) Тогда найдётся любого T что 0для ) и V: [0,1] u [0,1] [0;

;

) : [,] SH любого ;

: ( В силу - линей- Теоремы 1, мультиотображение В силу T ет условиям (0, огда найдётся-(T, V) что любого }.

, ), если если 0 intRg, { : для [,] и (12) подпространство. Тогда найдётся (0,1] такое, мультиотображением.

(0,1] такое, 1, мультиотображение линейное подпространство. Тогда найдётся -В силу Теоремычто для любого T0 (0,1] такое, 0 - Является Является (, ),S :[0,1] V 3K(C[0,T];

R(12) Т= {|[,] : }. n) 0 (0,G0 (, ), || e}).

), если условия обозначает что найдётся 0, то, для любого e 0, ательство. Из(Здесь (S3) вытекает, характеристическую такое,T что J-мультиотображением.

(12) и ), и траекторию (, рассматривать на ( траекторию u V и мы будем ) УправлениеУправлениеУправление (, )траекторию мы будем рассматривать мультиотображением.

0 функцию множества). 0, (, ), для любого intR (T, {u V: || uc[0,T] 0, (12) |(,, )| || + || я любого 0, промежутке [0;

мультиотображение и, взятыми в пространствах В силу Теоремы 1, ](13) с нормами T промежутке [0;

] Доказательство. Из условия (S3) вытекает, с нормами (l,u)и будем рассматривать на про x ST мы, взятыми в пространствах является то, ( межутке [0, ], с ) соответственно.

) ( [0;

T] нормами ||u|| и ||x||, взятыми в [0, ], ) и[0,(], и)соответственно. [0;

Rm;

) ) C([0,T], Rn) со [0, ], что то, для любого такое, что ( (12) : [0,1] V ( ] найдётся d 0, 0,, ||, || x, u)||x|+|u| |F(t,.

ответственно. (, ) мы, в силу (16) будем иметь оценк Для F с множе-любой траектории) Для (, траектории x S будем мы, в оценку Является - мультиотображением.

Продолжим мультиотображение любой траектории любой мы, в силу (16) T(l, u) иметь силу при лжим мультиотображение с множества (13) пространствах L ([0,T], и [0;

]:(16) будем иметь оценку при t [0, T]:

[0;

]:

для t I, |x| m d, |u| m d Для Управление и траекторию (, ) мы будем рассматривать на {(,, ) : ||, || } промежутке[0;

] с нормами и, взятыми в пространствах ства |()| + ( )(| ()| |()| 1 ([0,() )1 )|+|()|) + |()|) ([0, ], ) и + ], ( (| соответственно.

следующим образом:

любой траектории 1 (, ()в 1 +(16)1)+ иметь оценку )| ()| ) + будем | ( + ( + мы, силу ( (+) 1 )| при (,, ),, ||, || Для;

ющим образом:

[0;

]:

,,,, ||, || ;

|| |()| 1 + ()(|()| + |()|) (,, ) =,, ||,, ||, ;

1 )1 () = = || Применяя неравенствонеравенство мы получаем получаем Применяя Гронуолла, Гронуолла, мы ( + () + () (19) Это мультиотображение задаёт деформацию - мультиотображений, так Это мультиотображение задаёт деформацию - мультиотображений, так как как [0;

]:

|()| 1 + ()(| (Это мультиотображение задаёт деформацию}. - мультиотображения (, )| + |()|) представляет собой композицию - мультиотображен представляет собой композицию - му представляет собой задаёт деформацию мультиотображения так как представляет представляет собой - min {, композицию мультиотображений, так ка Это мультиотображение собой композицию мультиотображений,(, ) (, ) и композицию - - - мультиотображений, и мультиотображения так как представляетнепрерывного однозначного отображения (, ) и отображе собой композицию - мультиотображения )(| ()| + |()|)Это мультиотображение задаёт деформацию Известия ВГПУ, )(| )| + собой композицию -замкнутый шар радиуса (, (, )в нуле. Рассмотрим 260, непрерывного однозначного- мультиотображения центром и 1 + ()(| ()| 1 |()|) (№1/2013непрерывного 1 + ()отображения ( томпредставляетВозьмём однозначного)| |()| + + представляет |()|) непрерывного Естественные науки мультиотображения с ) и 1 + () + однозначного отображения собой композицию | ( отображения 1 + ) + 1 + )| (однозначного задаёт деформацию ] заданное,] : ([0, ];

) : [0, отображения (0, ];

[ - ;

) ([0, ;

непрерывногоГронуолла (см. напри-отображения :как 0, ) ), :, как ) так, как (, непрерывного однозначного : [0,1] ( мультиотображений, непрерывного однозначного отображения непрерывного однозначного ( ( )| : [ ( [ Применяя неравенство+3.2.5), +()получаем ()| ()|деформацию 0, ]мультиотображений, так как заданное: ( ;

), 1 + () 1 ()| ()| + 1 + мы + мер, [1], ЛеммаГронуолла, мы получаемкомпозицию (мультиотображения(,( (, ) и Это мультиотображение задаёт ][0,,];

) =)-:, ) = (). ) = (). ( [0,( - ) {( ) : ;

, ( ) )}. ( мультиотображение : ( Это мультиотображение однозначного отображения ( - мультиотображений, так как ( ) = (). (). (, = непрерывногособой композициюЭтомультиотображения задаёт ) и Это мультиотображение задаёт - мультиотображение Применяя неравенство деформацию ) = ().

представляет собой о Гронуолла, Гронуолла, ) мультиотображение(задаёт ) = (). эта - невырождена на границе, то е представляет собойдеформация -( деформацию границекакневырождена невыро = мультиотображений, так именяя неравенство 1 + ( мы получаем = CJ ().деформация мультиотображений, так что эта ) ( - мультиотображения, представля Это Покажем, чтоПокажем,Покажем, - Покажем, что(,то деформация границ композицию [ эта]невырождена на границе)есть как деформация ;

) надеформацияэта, то () уолла, мы получаем : собой невырождена - границе, то есть невырождена 0, представляет ) () =ЭтоПокажем, что эта эта деформациякомпозицию, J намультиотображения Покажем, что Следовательно, + ()непрерывного =композицию T(l,(19)и ] мультиотображения (,0) и (, = что однозначного S - мультиотображения, то есть ) представляет эта собойневырождена -непрерывного то есть и деформацию Покажем, этадеформация для любой траектории(, (, ) 0(, )(, мы получаем (19) 1 + () 1 условиеПокажем, влечёт деформация невырождена ),однозначного отображе- ) () собой композицию непрерывного однозначного отображения что мультиотображений, такесть накак представляет : ([0, ;

границе что (19) отображения, u) на на границе () и мультиотображение задаёт деформацию непрерывного же оценка справедлива 0 ) (, ). длянепрерывного, то та однозначного (0 и для (, ) ) = ().

(19) влечёт Но если любойтраектории и однозначного отображения ет едовательно, Следовательно, справедлива ||u||для любой траектории,)(=];

) всех : ([0, и траекториито та же оценка траекториитраектории для всех ( ( ), ) ие,условие (1)-(3).для любойвсех такой траекторииимеем (). влечёт влечёт для x md влечёт системы самомделе, для ||x||md для любой В для всех и для S (l, u). Покажем,для всех иTдля : ([для];

[0,, деформация невырождена]на границе,, то есть : ( ) ;

) нияотображения В самом)деле,, Vтраектории,то та же оценка справедлива и 0, ( ) = ().

(иНо ] u тота же||u||,имеем же оценка спра,. [0;

если такой и оценка справедлива Но если T и md то та оценку для для, аектории системы (1)-(3). Втакой всех длячтоимеем оценку имеем оценку) (,[) границе [0,1]) 0,1] ) (, ) условие (, [ (, для всех оценку (1)-(3). В самом деле, для самомтраектории эта деформация невырожденана 0,1], то есть (, ( )0,1] [ 0 ) =, = ().

() ( (, ) [0,1] что эта ().

при и [0;

] мом деле, для такой траекторииимеем оценку|()|, [0,1] границе, то есть |()| |()() + ( )()| + (, ) для при t [0, T] Покажем, что эта деформация и0,1 она определяет гомотопию - мультиотображ и таким образомобразом она определяет гомотопию - мульт ()() + ()()| + |()|, и таким образом, ) определяет, ) этанамультиотображений. В иПокажем, что она ( она [ 0невырождена деформация невырождена определяет ] что для всех деле, таким ( Покажем, такой траектории дляТогда что эта деформация )|определяет гомотопию - мультиотображений. В и таким образом деформация гомотопию - границе, то есть ведлива и для траектории системы (1)-(3). В са эта )(| ( невырождена на границе, тотакое и всех |()| образом она +Покажем, гомотопию - мультиотображений. В [0, 0 найдётся предположении противного, Покажем, и таким ( предположении противного, найдётся есть (, (), ()), [0, () |()() + ()()|].+ ()()| + |()|, таким предположении противного, (, есть и[0,1], что что гомотопиютакое)такое В В[0,1], невырождена на таким образом она определяет гомо и для образомопределяетпротивного, -dB, то мультиотображений.[0,1], что противного, найдётся мультиотображений.и |()| |()() |()|, она определяетнапредположениитакое и найдётся такое найдётся образомпредположении гомотопию найдётся границе и таким + предположении и (), (),) ) + ]. Тогда|()|) ) )противного, ((, ) такое (, ) ) [, 0(] |) ()) ((1[0, |()| +предположении(| ((()|)++) +найдётся+ 00,1) и ( что) (, ). +, [0, ]. Тогда |()| ( (| ( |()| ( | 0 [0,1],,0.

противного, (), u(s)), противного, найдётся такое 0 ) ). что 0 (,и (., [0,1], ( всех она )(1 |()|)++()| (. длявсех)) + ) ++ (, всех0,1] мультиотображений. В )|и таким образом ( определяет для) [ 0, ).

предположении + + ( +|()|) для( всех(((( +она() гомотопию ( (( + ]. Тогда |()|) ) ( ), )(1 [0, |()| |()| (| )| +, Тогда |()| означает,Это|0 ( (траекториясуществует такая траектория ())Это ( (| ( означает,, (.(| )])+ такая траектория где () ]. (),Это означает,]. )Тогда)|()| 0Это))существует означает, что существует такая тр существует ),[ ( траектория, (), ()), [0, ( что + означает, | Это, что 0,1 где f(s) F (s, x(s),для всех [0,t].

, [0, что существует такая такая. что s таким образомпротивного, найдётся такое и [0,1], что В и () +используяона определяет гомотопию[-]мультиотображений.

)| +)| ()|)|. Гронуолла, () +(18), получаем: (, ) 0, ( () +|()|) + ()()неравенство ( Это ( () +что ) + таким образом она определяет гомотопию ( | (.

( ( и ) [ ()] + (1 |()|) + )означает, что|()|) такая (траектория) + (, ), (, ), Это (|( )|таким образом она определяет 0,1+ ( и, а, применяя + |()| + |()|) ( + ) существует такая траектория ( (, ), ),Этои(1 + что [0,противного, найдётся(такое()-, ), [0,1], В ]. Тогда |()| () ( (означает, |()| + существует CJ - мультиотображений. Впредположении про- предположении (| +, предположении )]. Тогда |()| )(| | + мультиотображений.

яя|()|() ()|))|Тогда,)+ ((18),)() ()()тивного,)| такое ) (,u0 ),dB l0 [0,1], чтоВ )неравенство(Гронуолла,.используя]. получаем: + ()0 ( (.такое, неравенство (, ]. ()) |()|, Тогда |()| где() +), Гронуолла, (), () получаем:)| ( (| ( (), ()где [0, что означает, существует такая траектория. ) (), ( [0, + ( ( ( + ()таким таким образом она определяет гомотопию - мультиотображений.

гомотопию - и и [0,1], что [0, ]. ( ( + | )| + (1+ ) ( () )+( она. определяетнайдётся и предположении противного,. найдётсямультиотображений. В,()|) +,|()| +|()|))| |()|)) + )(,((,+) + ]. Тогда |()|)(1 +(|()|+что((| (+)|( (что+ ( ),).. что (),)(1 |()| (Тогда |()| + ) ( что + 0 () + ( означает, что существует ) ),),такое гомотопию ( ()) + )(| Эточто |()| + |()|) ( такаятраектория и [0,1], что ( ( ) тво ( ++ |()| + (18),получаем: (18), получаем:

|()|) используя предположении ( [0, ) )Снова,)применяя)))()() используя (18), (,) и [0,1], что используяобразом и (18), именяя].(Тогда ) что)(| () |+ Гронуолла,. найдётсяозначает, что. существует ( ( используя (неравенство неравенствоГронуолла, ) что противного, Гронуолла, ( ( |()|)Это означает, что существует рия 0 получаем:

. (1 |()| + ) + ( ( ()|) ()+)(+() (.+( (+ ()|) ()| (). + такая траектория ) = 0. () = 0. () = 0.

образом, | )| + ()() +( (( ))(+| ) +.

( ()() + + () )|.

(, 0,) (,) ) ( = ), (,()0.что. 0.

предположении противного, найдётся ( 0 ()() = Это такое )++ ) + ()(()() ()() () + () + | |()|) что такая траекто. ( ( () () )|(18),)) (неравенство(что существует такая мы имееммы.

) используя+ применяя= ( ).

,нуолла, | (. получаем:означает, )) +Согласно Согласно 0.

( ) + Это )) (, (, ) Снова, ( неравенство Гронуолла ( ) = ) ( ( траектория няя Снова,пользуя (18), получаем: (Согласномы имеем).(19), = (19),), имеем (19), мы имеем неравенство Гронуолла, + Гронуолла, используя (имеем 0. получаем:

Снова, применяя используя + Гронуолла, ис- получаем:, Согласно применяя ) Согласно (19), (19), мы (18), ( )| |.

.

(18), получаем:

нуолла,используя ) ) =используя(19),()() (20) Согласно(19), ), = = яя неравенство (, (18), получаем:) ) (18), мы имеем (, =, ( (, азом, (Таким образом, (, (20).

+ )) ( (19), ) +имеем + ((20) ()()=. Согласно( мы ()( ).()()..

ииспользуя (18), юбого подмножества()(). получаем:

)) ) = ( ( ( ) неравенство Гронуолла, + () (18), ) +() + ) =.(,.

во ( () используя + получаем:

что ) Гронуолла, Согласно (, ), =),.

0.

что Это означает, что существует такая траектория ( Это означает, что существуетимеем траектория мы имеем Согласно (19), мы такая множества) = (, ) (,, ) =Тогда из ) (20) из (22) из (21) ножества ) ) ( + ) ( ) ( }.(20). (21) и (22)(21) (22) получаем (, ((+ )) (, {=что : ) ()() (22)получаем= (21) ии. получаеми (22) получаем ()() ). (, Тогда ) ( + Таким образом, ТогдаТогда из (21) и = из= 0. ( получаем (20) () + { ) :()() (19), мы (21) и (22) получаем ( ) что }.Тогда из имеем + что. Согласно из (21) и (22) получаем,ловия (12) любого найдётся }. (22) получаем (, ) (||, ()| (20)() ()||| + вытекает, : Тогда такое n-мерное подмножество ) = 0.

(21) и (22) ) = (, { чтоподмножества (20) мы получаем Тогда.

,о подмножества) (, Тогда изи ) (19),(, ) = образом,из (21) ) + |()|)()0. ()|( + ( ( ) = Согласно = имеем) (20) +(|()|| ()| + +), | +. ( Тогда | || | () | () (, (, ()| м, Таким образом, (, + ) 0. =(20) = ( + ), | ) { что: найдётся }. n-мерное подмножество |, (|= вытекает, что найдётся{такое Согласно (19), имеем| | вытекает, :n-мерное }. мы, () такое подмножество + ),, ) { : | ()| (. + ), | }. ()| для ) = (, )(, ) подмножества + () ( одмножества любого = Тогда)из(21) (19), что противоречие.( даёт ), = (22) получаем что противоречие.

для любого подмножества (чтодаёт даёт(20) имеем = что + противоречие.

Согласнои противоречие.

+ даёт даёт Таким (, ) = для любого подмножествачто.противоречие.

(,n-мерное подмножествоимеем ) Согласно (19), мы мы, что найдётся такое найдётся такое n-мерное подмножество, =.

множества }.{( (12): вытекает, (21) (22) такое }. даёт противоречие., подмножество я :вытекает, что (12) Из (20) (20), применяя Лемму(и используя(11),}. и { получаем свойствасвойства В степени, получаем даёт.из мы получаем для что ||гомотопическойсвойства гомотопической ин 1 что) чтодаёт{ силу свойства гомотопической = гомотопической инвариант-степени, по ) == Тогдапротиворечие. :В любых() ()|инвариантности.

противоречие. }. В силусвойства гомотопической инвариантности ст для.

n-мерное свойства гомотопической инвариантности инвариантности : силу | ( В + = силу + ),.степени, получаем что найдётся даёт противоречие.

условия дётся, Из условия :(12) вытекает,,и (22) получаем | () ()|получаем, степени, получаем такое n-мерное Тогда В силу свойства n-мерное подмножество ), : [0,1]:подмножество}.что найдётся такое гомотопической инвариантности условия вытекает, Из }. (12) вытекает, (21) найдётся та- ности степени, { n-мерное подмножество, || из что я Лемму (ичто найдётся подпространство такое(22) подмножество deg( (( ( получаем), (0,),((. 1,), ), ) Лемму 1 кое =. (11),(мы силу свойствалюбых, deg( (1,), ) степени,0, ( deg,( ) deg ( ( 1 и используя В такое получаем для и получаеминвариантности (, ( )=) ) степени,,) ) ) ) ) Из условия n-мерное силу)чтоиз(21) гомотопической.инвариантности deg=,( 1, + 1, = deg 0, { (12) вытекает, свойстваиз (21) получаем ( | () ) =()| (deg получаем.

: n }. Тогдадаёт противоречие. = deg (1,), || 0,)deg., любых В используя (11),мы=Тогда для гомотопической В получаем V + ) что что.

и (22) ( T что В силу силу что найдётся такое n-мерное подмножество deg (1,), ) = deg( (0,), ). ( (21) ( + ), [0,1]: n-мерное.

)вытекает, yT (V0)=R + ( (| + + ),, что [0,1]:

,ётся такое что подмножество, |()| любых deg deg 1,, ()|(, ).

и используя (11), используя (11), мы| и) используялюбых Ноdeg( и()|0,) (0,)поскольку -игомеоморфизм- на св 2) именяя = такоемы получаемЛемму получаем ) (,(11),((получаем0,поскольку,).0,)на своюгомеомор-значений, т Лемму (0, ( = поскольку|)= ( |()| гомеоморфизм ), даёт и используя )Но ( ) Но | deg= Но ( ( ) то найдётся Тогда, применяячтоНо противоречие. (1, поскольку=для любыхипоскольку область на свою тогоме. Тогда, применяя 1 Но ) = ( (11), и,. 0,)= -| гомеоморфизм -свою - область ) ( ) Лемму 1 и n-мерное подмножество 0,для+ ) ()|- гомеоморфизм = +поскольку облас найдётся V n-мерное ( область на и мы 0,) и физм инвариантности степени,то область значений, т гомотопической на свою гомеоморфизм + получаем для мы получаем( ) = В силу S)+. V, поскольку - значений, свою ), значений, для любых x ( на свойства u = (21) [0,1]:, )| + Но T ( =.

, l (, ( |)| даёт (),), = 0 (21) + [0,1]: ( | ( (что + |()| |()| u), + ), [0,1]:=противоречие. - гомеоморфизм насвоюобласть)значений, то) ьзуя(11), Тогда, Но ) =любых )свойства гомотопической инвариантности deg( (1,, (= 1,, ||deg( ( (0,. (0, и и посколькугомеоморфизм1, ( ) | =|степени, получаем1,) = | deg ) | ( = 1, и мы получаем дляНо ) силуи используя (11), -мы | поскольку Лемму применяя ( +что мы), противоречие. получаем 1,deg(|для ) ( ),,,) |. 1, ) ) |= ( (1,) няя )= (и | ()Лемму ииспользуя противоречие.(получаем (deg,(1,0,)1,,|)= 1, deg свою область значений, то ( 1 используя (11), даёт 1даёт (11), (21) deg ( для,любых любых ) = |()| силу свойства гомотопической инвариантности любых deg( (l, + ( + () В ()| + ).

Тогда, )=. | ( (|получаем|()|), (21) (), (), [0,1]: + ( | ()|(+ |()|),) = по | | deg по (1,),=deg( ( ), ).

Лемму мы получаем любых по свойству гомотопической)степени. 1,0,степени. степени.

(11), ), (,, (11), мы получаем для любыхdeg( (1, свойству| гомотопической = 1, ьзуя (,1 и используя [0,1]: по(свойству гомотопической по гомотопическойсвойству гомотопической степени.

я, [0,1]: где ), для, Применяя свойство по свойству),свойству топологической степени.

инвариантности |области, получаем на применяя 1 В что.

Носилу0,) =свойству гомотопической степени. наинвариантности Лемму В силу и поскольку - гомеоморфизм для мы условия() ( ( (), () что Применяя 0 0 ( (1, ) = deg((,, получаем области, чётом | ((11), мы,, (),для ).).свойства гомотопической 1,), что свойствостепени, получаем, ([0,1]: () мы получаем, любых,свойство(инвариантности области,) ).

используя где(S3), |()|), В() найдётся deg такое, (21) по | ( гомотопической | ()(21) |()|= (0,)(21)область значений, то степени, получаем (21) )| + получаем свойству (21) гомотопической степени. ) ),.

+ по ( Но )(0,) = ( степени. - + + поскольку | ), свойству |()|| ()| + |()|гомеоморфизм на свою + | + ( и), степени.

С(), ()). найдётсямы||0 что такое, (1,),(),)1,) 0,), ). ),( ) ).

учётом условия (S3), ||,получаем, deg( | deg 1,1, ( ( == (0,,.

най- что(0 ( ),deg = |deg1, deg ( = ) ) ( ( по свойства гомотопической инвариантности степени, получаем то инвариантности свою область значений, получаем, овия (S3), (,получаем,что(найдётся0,) поскольку вия() мы+ + ()что| (Но ()0.= и (,такое,()). - гомеоморфизм на свою область значений, то (S3), мы | ( (,, )| +|()|), (), (21)(22) ( |дётся d1|()|),d,)| ( равенство (20), получаем Применяя (где, 0 |1 такое, что ) (), ) d Применяя (), | deg( (1,), ) | = 1, (20), получаем получаем (21) (21) получаем,| мы получаем, (0, ( ) и (21) и (22) (20), найдётся Но мы 0, =поскольку - deg( 1,) где ( | ()| +||||по свойству гомотопической степени. гомеоморфизм на свою область значений, то |()|), мы (|| |что, |)|Пусть,0 (S3),)Применяя равенствотакое, получаем, ) = своючто = такое, что поскольку || Но что,, (),,С(учётом ( 0таково, что (22) ())0 (, ) 1, условия (S3),,,,. что найдётся, (,что найдётся что 0( |, такое, 0 ()). ) условия ( |, || || по свойству()(), ()). (), (), (), ()) гомотопической степени.

(). (, ( (1, (1,), ) | = 1, | deg(, Используя равенство |||,.|. для.t | (, 0,| |u|d1|| что таково, |что | degзавершая ) | = 1, (, ), ||| степени.)0 доказательство.

гомеоморфизм на область значений, то (, найдётсяI, 0, ) | свойству20 ) Пусть (,таково, |что ) |x|d1 min.{, (22) ) получаем, (22) ||||,(, Пусть 0 таково, что,|| (), мы min {e, d (),по такое, }. гомотопической Отметим, что (22) С, 1 найдётся, 0 что ()) чаем, что ()учётом условия (S3), доказательство.найдётся () словияС учётомполучаем,}.чтомы мы| (,, |, 0что, такое,что (S3), d2 условия (S3), завершая получаем, такое, 0 такое, что теорема обоб. Пусть d., () |||(), ()). V0 -свойству гомотопической степени. некоторые результаты работы [5].

(, Возьмём B овия (S3),||для,,в|| что}.таково,что ||0|||| что ьмём что, сцентром minшар,|0}. такое,. что даннаяв нуле. обобщает некоторые результаты работы [5].

.)| мы получаем, {, (22) Пусть такое, min || | 0 таково, чтопорадиусазавершая радиуса d2 Рассмотрим ||Пусть найдётся 0 {,найдётся,с0 || теорема Данная работа поддержана грантами РФФИ 11 аем, (22). Пусть | Отметим, ( -замкнутый Рассмотрим мультиотображе, | (,,, (, )|,, что таково, что нуле. || )| 0 | ( | )| данная получаем, что найдётся,, заданное как (22) 01-00328 и 12-01-00392.

замкнутый шаргомотопической степени.

по свойству доказательство.

иотображение : [0,1] ), работа поддержана грантами РФФИ 11-01-00328 и 12-01-00392.

щает ) ||| шар радиуса |minДанная в в нуле. Рассмотрим -замкнутыйшаррадиуса||{, Отметим, данная теорема обобщает некоторые результаты работы [5].

| min {, }. с центром нуле. Рассмотрим центром -замкнутый|,, (22)}.

получаем, что найдётся, | 0 таково,(что )| min(22) }.

{, | с центром (22),:)| Пусть(,,),=таково, (22) 0 )}. 0 таково, что грантами РФФИ 11-01-00328 и 12-01-00392.

ение,[0,1]для({( как (, таково, что ||[0,1] ||, || ) 0 заданное Данная поддержана ||||, || ) чтоПусть работа,. || заданное как (22) такое,. Пусть :.

ние, | ( шар радиуса ( ), : ние что тый -замкнутый с центром в нуле. центром в нуле. Рассмотрим 0 таково, шар радиуса с || {,. Пусть,min }. что min -замкнутый шар радиуса с}.

Возьмём таково, что 0 {, }.

,1],,[0,1] {(:)( ), (, min{, }. {, мультиотображение заданное как min ( ( ) заданное как : [0,1] = ( бражение( таково, ) : (, )}. ( ), заданное как : )), = что )}.

{ для. Пусть Рассмотрим центром в нуле. Рассмотрим радиуса с Возьмём min {, -замкнутый шар радиуса с центром в нуле. Рассмотрим -замкнутый радиуса }.с центром в нуле. Рассмотрим min {, }.центром в нуле. Рассмотрим, )Возьмём шар)(, шар радиуса с центром в нуле. Рассмотрим {():

( {(): ( -замкнутый (, )}.

= )}.

( заданноекак = ), min {,,}. (, ) = {():Гельман )}.

(, Литература:

ажение : [0,1] радиуса Рассмотримв Ю.Г., ), заданное какМышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение радиуса с центром в( [0,1]: какнуле.( мультиотображение : с центром [0,1] -замкнутый шар нуле.), заданное ( ), Рассмотрим Литература:

мультиотображение 1. Борисович заданное как Б.Д., Известия ВГПУ, том 260, №1/2013 Естественные науки СПИСОК ЛИТЕРаТУРы:

1. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Борисович Ю.Г. и др. - Москва: Либроком, 2010. - 2 издание.

2. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach spaces. Berlin-New York, Walter de Gruyter, 2001.

3. Corniewicz L. Topological fixed point theory of multivalued mappings. Second edition. Dordrecht, Springer. 2006.

4. Obukhovskii V., Zecca P., Loi N., Kornev S., Method of guiding functions in problems of nonlinear analysis, Lecture Notes in Math. 2076, Berlin, Springer, 2013.

5. Kryszewski W., Plaskacz S. Topological methods for the local controllability of nonlinear systems.

SIAM J. Control and Optimiz. 32, N1, 1994, с. 213-223.

сюрьективный оператор.

Определение 1. Будем говорить, что операт Известия ВГПУ, том 260, №1/2013 Естественные науки квазиобратимым, если существует правое обрат УДК отображение p : E 2 E1,то есть A( p ( y )) y для любого ТЕОРЕМА БОРСУКА-УЛАМА ДЛЯ КВАЗИОБРАТИМЫХэтом случае отображение В p будем называть ОПЕРАТОРОВ отображению A.

Лемма 1. Если A является квазиобратимым опера ГУБИНА Светлана Сергеевна, существует нечетное правое обратное отображение.

аспирантка кафедры высшей математики Воронежский государственный педагогический университет Доказательство. Рассмотрим отображение p : E АннотАция. В настоящей статье рассматривается новый вариант бесконечномер A( p ( )) y.

ной теоремы Борсука-Улама, в которойyсюрьективный оператор А является квазиобра тимым.

Ключевые словА: квазиобратимыйОпределимсюрьективный отображение q : E 2 E оператор;

непрерывное оператор;

нечетное след отображение.

p ( y ) p ( y ) q( y).

guBiNa s.s., postgraduate student of the department of higher mathematics – банаховы пространства, A : D ( University E 2 – линейный Voronezh State Pedagogical A) E1 1 Нетрудно видеть, что A( q ( y )) A( p ( y )) A( p ( y )) E 2 – банаховы пространства, A : D ( A) E1 E 2 – линейный атор. 2 Borsuk-ulaM ThEorEM For Quasi-rEvErsiBlE oPEraTors – банаховы пространства, A : D ( A) E1 E 2 – линейный ератор. Будем говорить,article describes a new version of the infinite-dimentional theorem y ) p ( y ) p( 1. что оператор A является aBsTraCT. The Очевидно, также, что q ( y ) of Borsuk-q ( y ), с атор. существует что оператор A is непрерывное ие 1. Будем words: the surjective обратное quasireversible.

Ulam in which operator говорить, quasireversible operator;

surjective operator;

odd display.

является если kEy правое существуетp ( y )) для оператор E.A отображение, что и доказывает лемму.

нечетное, 1.,то естьговорить, y что любого непрерывное является если Будем A( правое обратное y E 2 1 Нам и доказывает лемму.

понадобятся следующие леммы (см. [1]).

: E 2если1,то есть A( p ( y )) – банаховы пространства, E существует y правое обратное непрерывное для любого y E 2.

Пусть E1, E ае отображение E1 E2 – линейный сюрьективный A:D(A) p будем называть квазиобратным понадобятся следующие леммы (см. [1]).

Нам к оператор.A( p ( y )) y для любого y E. Пусть Пусть банахово пространство, 0=E E 1 R 1. Норм E – E – банахово пространство,E E 0 R.

учае E1,то есть p будем называть квазиобратным к Норму в E0 определим по правилу:

2 отображение Определение 1. Будем говорить, что оператор A является квазиобратимым, если существу.ае отображение обратное непрерывное отображението у|| || x || t.

ет правое p будем называть квазиобратным, tк || ли A является E, то есть A(p(y))=y для любого yправилу: него по 2 (x ) квазиобратимым оператором,.

p:E2 1 E Еслиправое обратное отображение.

ое A являетсяквазиобратным к отображению A. у него странстве E–, а сфера E - вполне непрерывное квазиобратимым оператором, то Пусть Пусть S(0) – сфера радиуса r в банаховом про радиуса r в банаховом пр В этом случае отображение p будем назы- S (0) вать f: S(0) ли правое обратное Если A является оператором,такое, - него во. является квазиобратимым p : E 2 ES (0) тоEу что тное AРассмотрим1. отображение. квазиобратимым нечетное отображение.

Лемма Рассмотримнепрерывное нечетное отображение.

вполне уравнение оператором,отображение f : то у него существует нечетное правое обратное отображение. f(x,t)=x (1) ное правое обратное отображение.

ьство. Рассмотрим отображение p : E 2 E1отображение такое, что Рассмотрим уравнение Лемма 2. При сделанных предположениях Доказательство. Рассмотрим p:E2 E1 такое, что A(p(y))=y. уравнение (1) имеет решение.

тво. Рассмотрим отображение p : E 2 Доказательство. Пусть B Пусть B – единичныйвшар в E1 такое,Доказательство. – единичный шар пространстве E что f ( x, t ) x.

Доказательство. S – единичнаясфера. Рассмо- в простра Определим непрерывное отображение прерывное отображение q :образом: 1 следующим образом:

q:E2 E1 следующим E 2 E пространстве E, Пусть B – единичный шар непрерывное отображение q :(E 2 y E1 следующим образом:сфера. сфера. Рассмотрим определенное усло-g,: B опреде единичная трим отображение g:Bотображение Рассмотрим E, g :B E единичная 2. При сделанных отображение Лемма предположениях E, урав p( y) p ) вием:

q( y). условием: g образом:

епрерывное отображение q : E 2 E1 следующим( x ) 1 || (xx|| ). || x ||2 ).

решение. f gx,x ) f, ( p ( y ) p (2 y ) условием: ( q( y).

Нетрудноp (12) p ( y ) Это отображение является нечетным на сфере и S 1 1 y видеть, что y ( Это)Этоyотображение является нечетным на сфере сфере y отображение является нечетным на еть, что A(( y )y.

q q ( )) A( p ( y )) A( p ( y )).

22 1 2 непрерывным.2Следовательно, по теореме о нечетном тео- (см., нап 2 S и вполне непрерывным. Следовательно, по поле 1 1 идеть, что A( q ( y )) A( p ( y )) A( p ( y )) y ( yнепрерывным.нечетном поле (см., по теореме о отобра.

y. реме о Следовательно, например, [2]) нечетном поле ( ) 2p 1 y ) p2( y ) 1 2[2]) отображение g g имеет неподвижную точку. Пусть точка x0 яв ( 1 жение имеет неподвижную точку. Пусть точка кже, что A( (yy )) еть, что q q ) следовательноявляется g имеет неподвижную точку. Пусть точк [2])( x qy.– неподвижной точкой отображения A q ( y ), A( p ( y )) ( p ( y )) y отображение y0) p 2) p2 y ) 2 2 2 g, тогда точка (x0, t0) является решениемxуравне y Очевидно,( также,(что q ( y ), следовательно q – точкой отображения g, тогдаg точка ( точка является реш неподвижной ния (1), где,t ) также, что q ( y ) неподвижной точкой отображения, тогда 0 0 ( x0, t0 ) явля 2 y ) p( y) ие, что и доказывает лемму.

p( кже, что q ( y ) q ( y ), следовательно t –1 || x ||2.. Лемма доказана.

уравнения (1), где 0q Лемма доказана.

ение, что и доказывает лемму. [1]). уравненияНам также будет необходима следующая лем (1), где t 1 || x ||2. Лемма доказана.

тся следующие леммы (см. Нам также будет необходима следующая лемма.

следовательно, q– нечетное отображение, что ма.

ние, что и доказывает(см. [1]).E R бятся следующие леммы лемму.

нахово пространство,для связи с автором:.rydanova_vrn@mail.ru0 определим будет необходима следующая лемма.

Норму в E Нам также E Пусть S n 1 – единичная сфера в R n, X - n компактное метри а) Информация – единичная сфера в R, X223 компактно ятся следующие леммы (см.R[1]).

банахово пространство, E 0 E. Норму в E0 определимПусть S n 2 || x || t.

пространство с непрерывной инволюцией T, то есть T : X X и T анахово2 пространство, E 0 E R 1. Норму в пространство с непрерывной инволюцией T, то есть T : X E0 определим на S. Это уравнение имеет решение в силу леммы 2, то есть существует (0 b ) ) y0y.

точка ( y 0, t0 ) S, такая что g ( q ( y 0 ) ( ty,yt,)t y Это уравнение 0имеетрешение0,томсилу леммы Естественные существует Известия ВГПУ, 260, №1/ 2,то y, tестьнауки на S S..Это уравнение zимеетy 0 )решение(вyвсилуy леммы 2, тоесть y существует на Заметим, что q ( t0 b тогда ( ),t) Пусть S – единичная сфера, t )R,SX такая что g ( q ( y ) t b ) точка ( y 0 в,, - ком-. ется(относительноyкомпактным.


0.

n n- пактное метрическоеточка.( y 0, t 0 ) уравнение что g (ПустьzS)0–)||вz 0y||имеет 0сфера в. E. Рассмотрим Это yуравнениесилу rz ) на S Это сSнепрерыв-S b единичная решение в есть существует то такая имеет qрешение y 2, то силу леммы 2, на 0.f ( леммы g( t 0) 0 0 пространство 0 T:XX и T (x)=x y ) t b a(y,t) = на || ной инволюцией T, то есть Заметим, что z q ( уравнение0, тогда y || z 0S. Это уравнение имеет r точка y(решение S,,t такаяyчто 2,(то есть существует точ y0.

y 0(,q0(b ) в силу g q ( y 0 ) t 0 b ) 0 t ) 0 тогда точкаЗаметим, S не имеет ( y, t ) что z для любого x X. Пусть инволюция T, такая что0 ) t 0 y b ) леммы 0 q(.

g 0 0 0 0 ка (y0,trz 0 S, такая что g(q(y )+t b) = y0.

r неподвижных точек на X. ) Лемма 3. Если dim(X)m n-1, то существуетq (Заметим, что0z 0 0z0f (rz0y.0)+t0bb 0, 0, тогда f (( 0 ) z || yrz Отсюда следует, что)Заметим,|| || =q(y00 ) ) 0 0. Заметим, что z 0 ) |||| ty y.0 тогда 0,zтогда q ( 0 ) y 0 g gz||z)0 что zf0(|| (t 0 b z 0 || непрерывное отображение g:XSn-1 такое, что rr || || 0z 0 || 0 z || g(Tx)=-g(x) для любого x X. || z || t 0 g z () || z 0 || b ) rz rz Простое доказательство этой другой стороны, A(g 0rz0 ) A( q ( 0y 0 ) f0 )) y 0.

С леммы содер- A ( q0.y r A (tf0 z y 0). ( z () ( b ) rz 0 ) r r y 0.z || ) y z || 0 || Отсюда следует, что f Отсюда следует, что f ( ( || z 0 ) ||rz 0 || 0.|| || || z || y жится в [2].

Значит, || z 0 || Пусть E1, E2 – два банаховых пространства, rz 0 r A:D(A) E1 E2 – квазиобратимый оператор. ОтсюдаA)( q ( y r) ty fA(( q ( y )) A (t 0. y.

rz 0 следует, что b.

y ) Отсюда следует, что Отсюда следует, что( (f A( ( 0 0).

СС другой стороны,AAz 0z)0||) z 0 || qrzy|| )0) ||0r A( q||( z 00 )) ||(z00b|| ) y 0. ( b t (b0 ) ) y. y || A t другой стороны, 0) A( 0 z Следуя [3], дадим следующее определение.

С другой0стороны,0 || || z || || z Значит, Определение 2. Будем говорить, что отобра- С другой стороны, b) =zA(q(y0())(+0A(t0b) )= y0. ( q ( y 0 )) A (t 0 b Значит, стороны, A( z 0 ) 0)=A(q(y0)+t0) A(A0 q ( yA))q y ()t0b y 0.A A t) () A( q ( y 0 ) t 0 A(z жение f вполне непрерывноС другой A (или b b по модулю Пусть Значит, rz 0 r A-вполне непрерывно), если оно непрерывно и Значит, rz r AA( || z rz ( || z ) y 0.0. )y ( 0 )) ( Значит, для любого ограниченного множества V E2 и || 0 || z 0 || || z 0 || || E1. rz x0 0 S r (0) любого ограниченного множества B X множе- r ство f(B A-1 E – непрерывное отображение. Рассмотримrz 0|| z 0 ( r ) y. A( || ) y0.

)( Пусть f : D ( f ) E1(V))2 является компактным.

Пусть A( ) || z 0 || || z 0 || Пусть непрерывных Рассмотрим сть f : D ( f )Основные 2свойства A - вполнеотображение.

E1 E – непрерывное || z || z 0 || Пусть 0 || следующееотображений содержатся в [4]. Тогда f ( x0 ) A( x0 ), то есть 0точка x0 является решением уравнения (2).

уравнение: rz Пусть Sr(0) – сфера радиуса r с центром в нуле Пусть rz 0 S(0) E1.

x0x0 z || S r r (0) E1.

Пусть ее уравнение:

A, ) f ( x ).Это и доказывает первую часть||теоремы. (2)z 0 пространства E1( xотображение f:Sr(0)E2 явля- || || rz (2) A( x ) f ( x ). rz ется A - вполне непрерывным нечетным отобра- x S r (0) E1.

Обозначим N ( A, f ) множество решенийПриведемAAx x)0,,то x0естьточка =x A(x E1.теоремы, связанной с оценкой Тогда f ( x x)0 (2). ( ( ) тоесть f(x0 S r (0)являетсярешениемявляется Тогда точка является ||решением уравнения (2).

f( уравнения ) доказательство второйx0части 0есть z 0 || x0 уравнения (2).

) ), то Тогда жением. точка || z 0 || Пусть f:D(f) E E2– непрерывное отобра- решением уравнения (2). Это и доказывает пер означим N ( A, f ) множество1 решений уравнения (2). 0 0 жение. Если dim( Ker следующее уравнение первуюТогда f f) (. ) A( x размерности множества часть Теорема 1. Рассмотрим ( A)) 1, и доказывает(2) на сфере (SAчастьxтеоремы.), то есть точка x0 является решение Это то уравнение:

Это и доказывает первую часть (0)теоремы.x0 0является решением уравнения (2).

N вуюr, теоремы.

орема 1. Если dim( Ker ( A)) 1, тоТогда f ( x0 )(2) Aна0 )сфере S r (0) доказательство второй части теоре уравнение (2), тоПриведем есть точка (x A(x) = f(x).

имеет непустое множество решений и dim( N ( AПусть доказательствосвязанной частиE теоремы,связанной сиоценкой Обозначим N(A, f) множество,решенийKer ( A ))и 1доказывает первую: часть размерности множе-оценкой Приведемотображение q :второй 1 и оценкой E1 такие же, как с в первой доказательство второй связанной.

f )) dim( урав- мы, E 2 E с g 2 теоремы.

Это Это иПриведемdim( Ker ( A )) 1. N(A, f). части теоремы, нения (2). решений и dim( Nдоказывает первую часть теоремы.

епустое множество ( A, f )) ства Доказательство. 1.Пусть dim(Ker(A))l1множества Nнечетным. отображение q:что E1Kerg:AE2 n 1. Тогда Если размерности q, множества N AA, ). число n такое, E2 второй части теоремы, связа размерности то уравне- Приведем доказательство dim( и ( )) E ff) (, Пусть отображение теоремы. Рассмотрим является части Теорема Приведем является (такие второй и в первой части теоремы. с оценкой казательство.(2) Пусть отображениенепустоедоказательство же, как части теоремы, связаннойРас нечетным ние на сфере Sr(0) имеет множе q ство решений и dim(N(A, f)) l к оператору A (см. смотрим независимыечто) dim(Ker(A))l n+1. Ker существуютотображениеAq :1). EE1ии n : EE 2 ( E.такие же, как и в первой Пусть единичные :

непрерывным правым обратным отображением dim(Ker(A))-1. леммуEE 2 число g gтакое, Eвектора же,eкак,..., eпервой( A). :

размерности множества Тогда множества NA, 1f 1такие e0, 1, e2 неза размерности Пусть отображение линейно Доказательство. Пусть отображение q явля- N (q, f 2. существуют 2 единичные линейно и в n ) вным правым обратным отображением к оператору A (см. лемму 1). Докажем нечетным непрерывным( A, теоремы.этого1 рассмотрим отображениечто... en EKer(A). n 1.EТогда же, ется непустоту множествачасти f ), для Рассмотрим число n n такое, 1, q 2: E Ker ( A)) : Пусть N правым обратным n висимые вектора e0, e e dim(, Пусть E такие A как 1. такие и отображениеE=E22R1R такое, что dim( Ker1(же,g n 2 первой EE кажем непустоту множества части Пусть E 1). R Rрассмотрим n n,ОпределимОпределим))отображе- 1 E 2, N A, теоремы. Рассмотрим0: числоR 1. и E0=E22Rn.E1 отображение и: в Тогда Пустьдля отображением к оператору ( A(см.,лемму Eэтого q E E E g:E f) отображение Докажем, непустоту существуют единичные линейно независимые вектора e, e, e,..., e Ker ( A).

g : E1 E 2 определенное условием: N(A, f), для ние a: E E2, множества части теоремы. Рассмотрим (число nРассмотримчислоe j e,такое, n Тогда).

части теоремы. такое, что dim( Ker 1 )) 2 n что dim( ение g : E1 этого рассмотрим отображение g:E1E2, опреде-линейно,независимыевектора ze0,0n(1 Ae2,..., e 1. Ker ( AKer ( A) E 2, определенное существуют единичные n условием: n y t, g ( q ( y ) te z) ), j ленное условием:x || rx || ), Пусть x EE2 R существуют R.. Определим отображение : Eвектора e, e, e 1 R, E отображение,..., e E,.

n n если E 0, E n E2 2 единичные линейно независимые Ker f( j || x || r rx ||существуют единичные линейноR (zОпределим Rn t R e., e1, e2 : E n E 2,2 ( A) 0 x || Пусть E 0,2 R R, E0 где независимые вектора 1 0 Очевидно, что n f (, z,..., z ), ), если x z= g ( x) || ( z1, z 2,..., z1 ) nR,это E. EОчевидно, чтоn R n. Определим отображение x || где z это отображение является r n R 1 1 t отображение nn Пусть, t z ) n.2 Rq yявляется нечетным и A-вполне E,, )R ( ( (, E ( E, z gq ( y )R te0 E2z zej e),), n 0, если x 0.

g ( x) n Пусть E E2 R R, E y,yt 2 gОпределимотображение : E ) te 1j 1 j j j 0( непрерывным.

0, если x 0. нечетным и A -вполне непрерывным. Пусть S – единичная сфера в пространстве E.n j Рассмотрим на S уравнение, g ( q ( y ) te0 z j e j ), n y, t zz ) ), ( Заметим, что это отображение где zявляется A..., z – единичная, g ( q вy ) teчто j e j отображение являетсяS (Пусть, -вполнеRR, yRt.z )Очевидно, также ( z, z S ) непрерывным.сфера ( пространстве E. Рассмотрим на это t (R 1. Очевидно, что это отображение является, n это где z Заметим, что z1,1z,2..., z n n явля- t A1(y, t, z) n метим, что это отображение также является2также) непрерывным. = a1(y, t, z), j отображение A -вполне, j (3) Действительно, Апусть V непрерывным. Действительно, в E 2 и 1(y, t, z) = n z) – естественное проекти - вполне – ограниченное подмножество ется уравнение -вполне nнепрерывным.n ) R (y, t 1.

где A нечетным 1,иAA..., нечетным тельно, пусть VV– ограниченное подмножествоz nв) 2Rи, z tрованиеОчевидно,, что RэтоE0, а отображениеэто отобра – ограниченное( zиподмножество в z1 Ez 2,..., zподпространство Очевидно, что является где (, z 2,-вполне непрерывным. и где z R 1.2 на отображение E пусть a1 ( y,сфера в( y, t, z ), (B. Тогда B ( BR (0) B D ( A ))R(0) D(A)). Тогда определено условием:

единичная и t,At, A1 z) Пусть S S –– единичнаяaсфераz) 1 (a(y, t, z), z).

Пусть нечетным 1(y, -вполне непрерывным.. Рассмотрим на S(3) пространстве E нечетным и A -вполне непрерывным.в=пространстве E. Рассмотрим на S 0) D ( A )). Тогда g ( B A (V )) C {tu : t уравнениеf ( S r (0) A (V ))}.

[0, R / r ], u 1 В силу доказанного, в первой части теоремы уравнениеf ( S (0) Aединичная сфера(3) единичная сфера. вРассмотрим на ES. Ра Пусть S – в имеет решение. E пространстве уравнение Пусть r S – (V ))}. пространстве g ( B A (V )) C {tu : t [0, R / r ], u 1 Так как множество C является относительно A ( y, t,то) ( y, t,что Так как множество C является относительно компактным, z Покажем, множество решений z ), (3) уравнение z к как множество C тоявляется относительно компактным,a1) 1 ( ySt уравнения (3) имеет размерность A-1(V)) является компакт- A1 (1N(A1,) то 1,, z ), y, t, (3) g(B уравнение компактным, g ( B A 1 (Vным множеством. большую или равную n. Для этого предположим )) является компактным множеством. A1 ( y, t,, a 1 ( y, t, Пусть вектор bKer(A) и b 0. Пусть A противное, пустьzdim(N(A1z ) ))mn-1. z ), 1 ( y, t, z ) 1 ( y, t, ), (3) (V )) является компактным множеством.


E=E2R1. b Ker (Рассмотрим Пусть отображениеРассмотрим В силу того, что A1 – линейный оператор и Пусть вектор A) и b 0. E2 R.

E a:E E2, a(y,t) = g(q(y)+tb).

сть вектор Очевидно, )этои отображение является 2нечет- Рассмотрим a )a является нечетным, множе отображение b 0. Пусть E R 1.

b Ker ( A E ство N(A1, 1 S непусто и является симме отображение : E E 2, ( y, tчтоgоноyвполне непрерывно.

( q ( ) tb ).

) ным. Проверим, тричным относительно нуля пространства E.

ение : E Пусть (V=V g [a, y ) tb ).

E2, y, t ) ( q ( c] – ограниченное множе- Так как отображение a:S E является впол Очевидно, вэто тогда множество ство E, отображение является нечетным. Проверим, что непрерывным (см. [5]) и оператор A1 имеет оно 1 не евидно, это Vотображение являетсятакже ограничено и ядро размерности 1, то множество N(A, a ) нечетным. Проверим, что оно =q(y)+tb:(y,t) V вполне непрерывно. 2 V A (V1). В силу A - полной непрерывности будет компактным. Тогда в силу леммы 3 су - епрерывно. 2 отображения g получаем, что множество A тогда Пусть V V1 [ a, c ] – ограниченное множество в E, явля- множество непрерывное нечетное отображение ществует сть V V1 [ a, c ] – ограниченное множество в E, тогда множество V2 y ) tb : ( y, t ) V также ограничено и V2 A 1 (V1 ). В силу A -полной q( ) tb : ( y, t ) V также ограничено и V 2 A 1 (V1 ). В силу A -полной непрерывности отображения g получаем, что множество A является не непрерывным (см. ([5]) 1и оператор A1 имеет ядро1 размерности 1, то существует множество N A1, ) будет компактным. Тогда в силу леммы рерывное нечетное отображение : N ( A1, 11) S n R n. Рассмотрим ое нечетное отображение : N ( A1, 1 ) S n R n. Рассмотрим n ество N ( A1, 1 ) будет нечетное отображениесилу N ( A1, 1 ) 3 существует Рассмотрим непрерывное компактным. Тогда в : леммы S n 1 R.

гозначное отображение n: S260, R n, определенное условием:

№1/ ое отображение :ВГПУ,R, определенное Естественные1 науки условием:

Известия S том ерывноемногозначное отображение :: N ( A1,R 1,) определенное Рассмотрим нечетное отображение S S n R n. условием:

n ( y, t, z ), ( y, t, z ) N ( A, ), если g:N(At1(, zat z), Sn-1 nRny,Рассмотрим многознач- свою область значений. Действительно, если ( y,, y) 1, если (. t, z ) zN ( A1, 1 ), (,) 1 ( y отображение :nS f:S, ( yt,,tz ) N если услови- ( (y t0, означное, t, z ) отображение R R(ny,определенное ). y, t, z ) N t A1,0, 1 ), z0) = t (y1, t1, z1), то существует такое чис определенное условием:

,, ), ( A, n R (,y, tесли ное, z), 1 ). 1 ем: R, если ( y, t, z ) RN, ( A1если ( y, t, z ) N ( A, ло l, что n 1 ).

Очевидно, ( что z это ( y, t, z ), еслиимеетt, выпуклые 1замкнутые образы, ( y, z ) N ( A1, ), t, ) отображение идно, что этоy,отображение имеет выпуклые замкнутые образы, n n Очевидно,, если ( y, t, z ) N ( A1, 1 ).

n что это отображение имеет выпуклые замкнутые образы, R ется нечетным и полунепрерывным снизу, так как множество y N (+ t,e + z j = (q ( y1 ) + t1e0 + z e ).

0 q( ) A ) ej четным и полунепрерывным снизу, так как множество N ( A1, 10) 10 01 j 1 = 1 j j Очевидно,замкнутые образы,полунепрерывным снизу, так как множество N ( A1, 1 ) является это отображение что нечетным и является нечетным и полу Очевидно, что это отображение имеет выпуклые j = ется компактным. Следовательно,имеет выпуклые замкнутые образы, в силу теоремы Майкла существует омпактным.непрерывным снизу,силукак множество N(Aсуществует Следовательно, в так теоремы Майкла, Тогда тся нечетным и компактным. Следовательно, в силу 1теоремы Майкла существует является рерывное сечениеполунепрерывным снизу, так как множество N ( A1, 1 ) n: S R n отображения.

a : S R отображения.

ое сечение 1) является компактным. Следовательно, в n непрерывное сечение : S R n отображения.

тся компактным.S Следовательно, в силу теоремы Майкла существует ) =(t1 t0 )e0 + ( z j z j )e j Ker ( A).

q( y0 ) q( y1 1 силу теоремы Майкла существует непрерывное Рассмотрим n: j:S Rn отображения f.

сечение R :

n отрим : S R :

j = Рассмотрим : S R n :

Рассмотрим ерывное сечение : S R nотображения( y., t, z ) Из этого включения видно, что l=1 и ( y, t, z) ( y, t, z) ( y, t, z ) ( y, t, z ).

(y, t, z ) = (y, t, z ). Так как множество,) 2 (., t, z ) ( y, t, z ) 0 0 Рассмотрим (,: tS zR n :

y y ( 2 y, t, z ). 1 1 N(A1, a1)компактно, то отображение t являет Тогда ся гомеоморфизмом на свою область значений и Тогда ( y, t, z ) ( y, t, z ) ( y, t, z ). t (N(A1, a1)) N(A, a).

Тогда ( y, t, z ) ( y, t, z ) 2 Следовательно, в силу монотонности тополо ( y,,( zy),, z ) ( y, t, z ) ( y, t, z ).

t t ( y, t, z ) ( yt(, y,z, z ). ( y, t, z ), t ) 2 гической размерности справедливы неравен Тогда ( y,2 t, z ) ( y, t, z ).

ства:

то есть – является нечетным – является нечетным отображением. отображением.

сть является нечетным отображением. ) ( y, t, z ) ( опреде ( y, t, z (,, является нечетным y:S E0, y, t n dim( N ( A1, 1 )) dim( ( N ( A1, 1 ))) dim( N ( A, )).

Рассмотрим = то естьy t– z ) отображениеотображением., z ).

ленное соотношением ть – является t, z)S= E(y,определенноеt,соотношением им отображение нечетным,отображением. z)) E.

: (a 0 t, z), ассмотрим y(y, (y, соотношением Так как число n было выбрано произвольно, отображение : S Ez - определенное 0, В силу сделанных построений уравнение то dim(N(A, a))ldim(Ker(A))-1.

( y, t, z ) ( ( y, t, z ), z ( y, t, z )) E0.

Теорема доказана.

A1(y,( yt,t, z ) ( ( y, t, z ), t, ( y не z )) E0. решений, z) = y(y, z z), t, имеет Рассмотрим следствие теоремы 1.

анных построений Действительно,, t,если Ay (y, z ) tне имеет на S. уравнение A1 ( y z ) ( 1, t, 0, z0) = Пусть E1, E2,..., En+1 – банаховы пространства, илу сделанных построений уравнениеy A1 (z,= z)0- (yy, t,, z ), имеет y t, z (, z ) не y(y0, t0, z0), то a(y0, t0, z0) = 0 и 0 0 0 t0 0 Ai:D(Ai) EiEi+1 – замкнутые линейные сю. Действительно, (y еслиz ) A1 (0.,Тогда, с одной, z 0 ), то y t, z 0 ) ( y0, t на S. то есть 0, t0, 0 = 0 0 A1 ( y 0, t0, z 0 )0 стороны,0 ), рьективные операторы, i = 1, 2,..., n.

Действительно, если то ( y0, t0, z a(y,, t, z0) = (y0, z ) = A1(y, t0, z0), то есть Рассмотрим оператор C=An An-1... A1. Обла ( y 0, t 0 0 z 0 )0, то есть ( y 00, t0, z 0 ) 0 0 Тогда, с одной.

z z ) y 0 0и z (yz, t0, ( ) tN(A,, a ), с другой0стороны0. (y0, t0, z0)с одной определения этого отображения является стью z0 y 0, 0, z 0 ) то есть ( y, t0, z 0 ) Тогда, 0 00 1 1 множество D(C) = A1-1(A2-1(...(An-1-1(D(An)))...)).

( = A1 ( y 0, t 0, z 0 ), то есть(yy,,tt0,, z00) NN(A11,) aс). Полу y 0, z 0 ) 0, следовательно, ( 0 0 0 z ) ( A1,, 1 другой z0 ) ( y0 ( A1 ( y 0, t0, z 0 ), то есть ( y0, t0, z0 ) N ( A1, 1 ), с другой Композиция конечного числа замкнутых ли, t 0, z0 ) y0, z0 ) ченное противоречие и доказывает неравенство нейных сюрьективных операторов является ква, z 0 ) 0, следовательно,))ln.t0, z0 ) N ( A1, 1 ). Полученное ( y0, ( y 0, t0, z 0 )dim(N(A1, a1 зиобратимым отображением, то есть C – квази 0, следовательно, ( y0, t0, z0 ) N ( A1, 1 ). Полученное обратимый оператор (см. [5]).

Рассмотрим отображение казывает неравенство dim( N ( A, 1 )) n.

ечие и доказывает неравенство 1dim( N ( A1, 1 )) n. Пусть Sr(0) – сфера радиуса r с центром в нуле пространства E1, отображение f:Sr(0)En – C отображение : N ( A1, ) S [0] E, смотрим отображение 1: N ( A1, 1 ) 1 [0] E1, S вполне непрерывное нечетное отображение. Рас смотрим уравнение n ( q ( y ) te0 z j e j ) n C(x) = f(x) (4) ( q ( y)1 te0 z j e j ) Тогда справедливо следующее следствие.

j ( y, t, z ). j ( y, t, z ).

n Если dim(Ker(C))l1, Следствие.

|| q ( y ) te0 z j e j || n || q ( y1 te0 z j e j || ) то уравнение (4) на сфере Sr(0) име j ет непустое множество решений и j жение является биективным на является биективным на dim(Ker(N(C, f)))l dim(Ker(C))-1.

свою область значений.

отображениеЭто отображение является биективным на свою область значений. Доказательство вытекает из теоремы 1.

ли ( y 0, t0, z 0 ) ( y1, t1, z1 ), то существует такое число, что ельно, если ( y 0, t0, z 0 ) ( y1, t1, z1 ), то существует такое число, что СПИСОК ЛИТЕРаТУРы:

n n ( y 0 ) t 0 e0 z j 0 e j n ( q ( y1 ) t1e0 z j1e j ). n q ( y 0 ) t 0 e0 z 1.eРыданова1j) 1 t1eТеорема e j ).

z j Борсука-Улама для квазиобратимых операторов / С.С. Рыданова // Ма j (q ( y 1 С. С. 0 j j j j 1 териалы Воронежской зимн. матем. шк. С.Г. Крейна. –Воронеж: ВГУ, 2012. - С. 193-195.

2. Izydorek M. The Bourgin-Yang theorem for multi-valued maps in the nonsymmetric case. Zeszyty да Nauk. Wydz. Mat. Fiz. Chem., Mat., Gdansk. 1987. V. 6. P. 37-41.

n 3. Гельман Б.Д. Бесконечномерная версия теоремы Борсука-Улама. Функциональный анализ и его 0 ) q ( y1 ) ( t1 t 0 ) e0 приложения / Ker ( A ).

( z 1 zn0 ) e q ( y 0 ) q ( y1 ) ( t1 j1t 0 ) e0j j ( j zБ.Д. 0Гельман. –A ). 2004. - Т.38. - Вып. 4. - С. 1-5.

j z j ) e j Ker ( 4. ГубинаС.С. Уравнения с A-вполне непрерывными отображениями / С.С. Губина // Материалы j международной научно-методической конференции «Некоторые вопросы анализа, алгебра, геоме лючения видно, что трии и ( y 0, t0, z 0 ) ( y1, t, z1 ). Так как Воронеж:

1 и этого включения видно, что математическогоz1образования». -Так как НаУКа-ЮНИПРЕСС. - С. 117-121.

1 и ( y 0, t0, 0 ) ( y1, t1, z1 ).

5. Гельман Б.Д. Об операторных уравнениях с сюрьективными операторами / Б.Д. Гельман, С.С.

компактно, Рыданова // Вестник ВГУ, серия: физика, математика. – 2012. - №2. - С.93-98.

то отображение является A1, 1 ) о компактно, то отображение является N ( A1, 1 ) 6. Гельман Б.Д. Об одном классе операторных уравнений. Математические заметки / Б.Д. Гель на свою область значений и - 2001. - 1 )) -N ( A, ).

ман. ( N ( A, N (, - N ( A, ) физмом на свою область значений 1и Т.(70. A1№4.)) С. 544-552.. 7. Губина С.С. Об одном приложении теоремы Борсука-Улама / С.С. Губина // Материалы Воро но, в силу монотонности топологической размерности методы теории функций и смежные проблемы”. - Воро нежской зимн. матем. шк. “Современные довательно, в силу монотонности топологической размерности неж: ВГУ, 2013. - С. 66-67.

венства:

вы неравенства: im( N ( A1, 1 )) dim( ( N ( A1, 1 ))) dim( N ( A, )).

n dim( N ( A1, 1 )) dim( ( N ( A1, 1 ))) dim( N ( A, )).

о n было выбрано произвольно, то как число n было выбрано произвольно, то Известия ВГПУ, том 260, №1/2013 Естественные науки УДК 519. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ В ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ МИЛОВСКАЯ Людмила Серафимовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики и методики препо давания математики Воронежский государственный педагогический университет АннотАция. В работе исследуется устойчивость в первом приближении некоторых нелинейных разностных систем. 2 Ключевые словА: конечные разности, устойчивость., t T.

В области x В области x области t x.,, T. T.

В области В, t T.T x, В области x t t Используем сетку Milovskaya l.s, Используем сетку Используем сетку Используем сетку Используем сетку cand. sci. phys. and math., docent of of the department k computerscience ;

and,,... x i h, t of. h x, t, i. N k methods of x xi ih, h, t k.x. hi ttxk,t.,h i.x;

x,k;

t,k,,.,...k. N,,...,,...

t k i h, x,, t. i N N i N ;

.

h x h, k, t i ;

k mathematic teaching,,...

h Рассмотрим разностную систему.

Voronezh State Pedagogical University Рассмотрим разностную систему. систему.

Рассмотрим разностную Рассмотрим разностную систему. Рассмотрим разностную систему.

a FirsT aPProXiMaTioN oF NoNliNEarU ik U U,kU ikP f U,P PPa U, P b P i U P P U i,k U sysTEMsik P i,k P r i r,k ik f Ur i,r,k, ha U brU i r,k b U rU i (2) (2) (2) f i,U tU a U, h r,k U i,k asr sbsrU ir,ki r,,rr s i r,(2) U U kr,U i r i r a U f UU i,, r r fii,,,,,ik k, k AbstrAct. This paper investigates the fist-approximation stabilityk hr sk h r r i r,k t t hs h hr s finite- ik k h i,k t t r some nonlinearb (2),k k s r h rs h ofr s r U i ok U,U ;

.

difference systems.

U iU ok kU Nk ok, U Nkk ;

UNk.

i, U U okU i ii;

, U Nk i,k;

k.

i, i i,k k U Nk i U ok i, k k.

i U i k.

,k ;

, Key words: finite-difference, stability i Введем обозначения Введем обозначения Введем обозначения обозначения Введем обозначения Введем Введем обозначения U 2 U 2 2U 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Du U 2 fU U,,U U (3) Du U fU,U U, f U 2 U,x U x 2 U (3),U При решении нелинейных краевых задач раз,t U (3) (3) Du Du U,f U, 2, Du f (3) t t t x xx x xx x x t ностными методами возникает ряд трудностей, (3) связанных как с необходимостью решать не U U P P линейные алгебраические системы с большим f U i,k,P PParU i r,k, brU i r,k (4) (4) U i,k U U ik Ui,k,kU ik ikP P Lu i P P P (4) Lu Lu a,k i, srb U s,k U i,k f fUU i,ik,, U ika UriU,r,k, harU i Ukr, i r,k brU i r(4) U k f U, b, i,r fi,U i,h, h airUh,h brU i r,k(4) h s k k h s sr r,ki r k, h ik Lu числом неизвестных, так и с необходимостью Lu k (4) h r h исследовать качественные характеристики ис- s s s s s 2. Исследование аппроксимации.

пользуемых конечно-разностных схем. Поэтому 2. 2. Исследование аппроксимации.

2. Исследование аппроксимации.

Исследование аппроксимации.

неудивительно, что подобные задачи решаются 2. Исследование аппроксимации. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ АППРОКСИМАцИИ.

моделей. При Разложимв в окрестностиUточки x tокрестности точки (4), Разложим в ряд в ряд в окрестности точки xi, t. Сравним (3) и (4), Ui k Разложим ряд U,k в окрестности точки,k+1 в i, tk. Сравним (3) и с помощью некоторых линейных Разложим в в ряд U iРазложимi,k,вокрестности,xточкиСравним kСравним (3) и (4), Разложим вСравним,k(3)виокрестности точки. xi(3) k и. (4), k. x, tk, t Сравним (3) и ряд U U i+ t ряд i (4), iполучим i следующий (x,ik,следующий вывод.

i ).tk этом встает вопрос о том, как связаны такие ка- получим получим следующий вывод.

устойчивость,получим вывод. вывод.

получимследующий вывод.

чества разностных схем какполучим следующий вывод. ап следующий проксимация, сходимость для линеаризованной P Если P P P P P P Если P r Pr br r a ;

P ra ;

, P;

P P PP rb, схемы с соответствующими характеристиками ;

Еслиrar rra br то P Если ar ;

Еслиara r;

ra;

;

rbr;

,r ;

sr rbr ;

;

, b s rb s, то r s,s;

brs;

,s, P P Если a rb, то P P то исходного нелинейного оригинала. Попробуем s r s r s ra bs r;

,,тото r s s s s s Lui DU i, k O r h.

s s s s установить такую связь для некоторого класса DUki LuO r hiDU LuLu, DU i,Lu,ik,k r h.O r O.r h.

DU.. h i, O, k, k нелинейных разностных систем, аппроксимиру- ik k i,k ющих следующую краевую задачу. i, k На границах погрешность аппроксимации равна нулю. Значит, задача (2) На границах погрешностьпогрешность аппроксимации равнаЗначит,Значит, (2) На границах погрешность аппроксимации равна задача аппроксимации равна нулю. нулю. задача (2) На границах погрешность аппроксимации равна задача (2) На границах погрешность аппроксимации равна нулю. Значит, нулю. Значит, задач Нанулю. Значит, задача (2) аппроксимирует задачу границах V 2V V аппроксимирует задачу (1) с порядком O( h).

= f V,, аппроксимирует задачу (1)порядком(1) сO(h) h). O( h).

аппроксимируетпорядком(1).

(1) (1) с сспорядком( задачу O порядком аппроксимирует аппроксимирует задачу O(t+h).

задачу (1) с порядком O( h).

x x t 3. Линеаризация задачи (2).

3. Линеаризация задачи (2). задачи (2).

3. Линеаризация задачи (2).

3. Линеаризация задачи (2). 3. Линеаризация V (0, t ) =, t ) =Разложимx). РазложимЛИНЕАРИЗАцИЯ в начальных начальныхПолучимПолучим 2 (t );

V ( x,0 ) = 3. вфункцию fокрестностиЗАДАЧИ (2).

1 (t );

V (l ( функцию f ряды в в fряды в окрестности начальных данных. Получим Разложим функцию в ряды окрестности данных.

данных.

Разложим функцию fРазложимокрестности начальных в окрестности данных. Пол в ряды в функцию f ввокрестности начальных ряды данных. Получим Разложим функцию f в ряды В области x, t T. систему Здесь f C2, j, y1, y2 C. систему систему систему систему Используем сетку U i,k U ik f U,...U f U,...U N, В области 0mxml, 0mtmT.

U,...

x i h, t h=Dx, t=Dt,, i=0..t N;

. N ;

k,,...i,k ik f fi Uik,fif U,...UNN,, fUN UU,,......,,...

UUik U i,...U N, U U,U kU Используем сетку x = i h, t = kU t. U i,k U U ik f U,...U N f,U,...U, U U, U...

Ui,...U UN i fi U,... N,,k k,k,N,k U,k U,...

k. h x, i k=0,1,... U,,... ik N, U,k UU,k U,k U Рассмотрим разностную систему.,k Рассмотрим разностную систему.,k f U,...U N, f U,...U N,f U,...U N, U N, U N Ri U,k,...U Pf U,...U N, UU N U,NU,N,RkU N,k,,...,Ri N,,kk,... N, kN, k f NU,,kkU,NkNU, iUUUNU NUUR U,k,...U N,k R,...U U i,k U ik,...

P UkN, ik,k,, i U f U i,k, arU i r,k, brU i,U N, k (2) U, k N k U N, k r k t hr hr U N k N s s, U o,k Nk i,U, U 1 или U o U Nk k,2U, U1 2 k i ik 1 2или,,k UNk 1k U U o, U i ok U Nk o,k,k 1k, Nk U o,2kk Nk или, 2U, U 1 i или или 1ik, U 1 k k k U i, U. k i,k ;

Введем обозначения Информация для связи с автором: shkatovanm@yandex.ru U 2U U Du f U,, (3) x x t ij i,k ik auU,k... ai, N U N,k di ki использования. доказательство этого утверждения, приве Опуская (5) ik U i,k U U i k auU,k... ai, N U N,k di Опуская доказательство этого утверждения,утверждения, пример Опуская доказательство этого приве ki использования.(5) 5. Пример исследования устойчивостиприведем приближ U ik в первом U i,k U,U ok 1k,auU,k...k aUNi di ki 2, i, UЕстественные науки 1,k (5) N.

ik, Nk том auU,k ai, N U N,k diиспользования.

ki Известия ВГПУ,... 260, №1/2013 (5) использования. исследования устойчивости в первом приближ 5. Пример краевую задачу U Рассмотрим 1k, U Nk 2 k, U i 1.

начальных U i i1,0 d f i U 5. Пример исследования устойчивости в первом приближе f U1,0, U U oЗдесь1k, данных....U N f o,k N.

U o,k Nkaij Nk, U i2 kПолучим 1систему 5. Пример исследования устойчивости в первом приближении. Рассмотрим краевую задачу 1., 1,kk, U i 2k 2U j, U Здесь f i U1,0U jNk1,0 i j fU j, k...U, 1 i U 2 2 краевую задачу N f i f U j, Рассмотрим Здесь aij f i U1,0...U N 1,0, d i Рассмотрим краевую x U задачу U t Здесьf i U1,0...UU 0, N Здесь a 1, ij..., N 1,U jj,,k,1 d1,... f i i UUk j 2U 2 2 U, d i U,i U j, f fj N i a k N 1, ji jjU U (0, t ) xU Ut) 0;

U ( x, 0) ( x).

t U U k 1 i (, ij, k, U j,k 1 j U j, k U i 1,..., N 1, k 0, 1,...

Рассмотримнаряду с (5) соответствующую 2 ей линейную разностную Ut(0, t )x U (, t ) 0;

U ( x, 0) ( x).

t x 1,..., N 1, 0, 1,...

i k аппроксимируем предложенную задачу разностной систе Аппроксимируем предложенную задачу раз i 1,..., N задачу наряду с (5) соответствующую ей линейную разностную k краевую 1, 0, 1,...

Рассмотрим наряду с (5) соответствующую ) U (,U (0, t ) U U (, t ) ( x)U ( x, 0) ( x).

U (0, t ей 0;



Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.