авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |   ...   | 24 |

««ИНФОРМАЦИЯ И ОБРАЗОВАНИЕ: ГРАНИЦЫ КОММУНИКАЦИЙ» INFO’13 INFORMATION AND EDUCATION: BORDERS OF COMMUNICATION Министерство образования и науки Российской Федерации ...»

-- [ Страница 19 ] --

Одной из основных задач при изучении стереометрии в школе является развитие простран ственного воображения учащихся. Учителя средней школы должны быть готовы к решению этой за дачи на основе современных технологий, в том числе и базирующихся на использовании компьютера [4].

Инструментом создания обучающих программ является пакет символьной математики Maple, MATLAB, Wolfram Mathematica, который также обладает широкими графическими возможностями.

Анализ существующих математических информационных систем показал, что система Mathematica может использоваться учителем как мультимедийное средство создания наглядности при обучении геометрии, и в частности стереометрии. Для примера нужно определить вид поверхности второго по 2 2 рядка, заданной следующим уравнением: 3x y 4z 12 0. Исследуем поверхность методом сечений, определим виды сечений, полученных путем исследования систем уравнений, предвари тельно приведя уравнение к стандартному виду:

x2 y2 z 4 12 а) при пересечении поверхности плоскостью XOY получим гиперболу:

z 02 z y x y x 2 12 4 б) при пересечении поверхности плоскостью XOZ получим гиперболу:

y0 y x2 z2 z2 x 3 4 в) при пересечении поверхности плоскостью YOZ получим эллипс:

x y2 z 12 В результате исследования поверхности методом сечений получили две гиперболы и эллипс, значит, данная поверхность является однополостным гиперболоидом с осью Ох.

Анализ существующих математических информационных систем показал, что система мате матики Wolfram Mathematica может использоваться учителем как мультимедийное средство создания наглядности при обучении геометрии, и в частности стереометрии. Она позволяет учителю составить коллекцию графических файлов и видеоклипов, иллюстрирующих разрабатываемую методическую тему.

Рисунок 1 – Демонстрация модели в программе WOLFRAM MATHEMATICA Обучающие программы, использующие 3D-графику, отличаются ярким иллюстративным ма териалом, разнообразными формами подачи и оформления учебного материала, исключают «фактор примитивного копирования учебника» [4, с. 64]. Преимущество их использования состоит в том, что учитель может самостоятельно создавать на их основе систему заданий и демонстрационные мате риалы, соответствующие целям и задачам конкретного урока.

Библиографический список:

1. Магомедгаджиева А. М. Межпредметная инфокоммуникационная модель в профильной подготовке учащихся инновационных учебных заведений [Электронный ресурс] А.М. Магомедгаджие ва. – Режим доступа: http://sputnik.master-telecom.ru/Docs_35/Kongress/25.html.

2. Раков О. Н. Управление учебно-познавательной деятельностью студентов с помощью ком пьютерных систем обучения / О. Н. Раков // Применение новых технологий в образовании: материалы XVII междунар. конф. – Троицк, 2006.

3. Везиров Т. Г. Педагогические условия использования компьютерных технологий в иннова ционных учебных заведениях (при обучении математике и информатике) / Т. Г. Везиров, А. М. Маго медгаджиева // Интеграция культур в смыслосозидающем образовании: материалы всерос. конф. – Махачкала, 2002.

4. Разумова О. В. Повышение мотивации будущих учителей математики к использованию информационных технологий в профессиональной деятельности / О. В. Разумова // Применение но вых технологий в образовании: материалы XVII междунар. конф. – Троицк, 2006.

УДК 372. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО METHODS OF THE SOLUTION OF OLYMPIAD TASKS ON THE PROOF Деев М. Е., канд. физ.-мат. наук, доцент ФГБОУ ВПО «Горно-Алтайский государственный университет» (ГАГУ) Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск, mihdeev@mail.ru Аннотация. В данной статье обозначены методические приемы, апробированные в процессе подготовки школьников к математическим олимпиадам. Рассматриваются задачи на доказательство и методы их решения, приводятся примеры решения таких задач.

Ключевые слова: обучение, олимпиада, математика, доказательство, утверждение, точка, прямая, плоскость, построение.

Summary. In this article the methodical receptions approved in the course of preparation of school students to the mathematical Olympic Games are designated. Tasks on the proof and methods of their deci sion are considered, examples of the solution of such tasks are given.

Key words: training, Olympic Games, mathematics, proof, statement, point, straight line, plane, construction.

Анализируя результаты математических олимпиад школьников, мы пришли к выводу, что наиболее трудными для учащихся оказываются задачи на доказательство. Это объясняется многими причинами. Во-первых, с такими задачами учащиеся встречаются в базовом курсе школьной матема тики не так часто и, в основном, на уроках геометрии. А во-вторых, для того, чтобы строго доказать утверждение, надо иметь определенный уровень математической культуры, который приходит с опы том, в результате многочисленных упражнений. Не случайно, что абсолютное большинство заданий серьезных математических олимпиад или состоят из подобных задач, или предполагают доказатель ство в каком-либо фрагменте решения. Достаточно сказать, что в заданиях третьего этапа Всерос сийской математической олимпиады школьников 2012 года из 24 предложенных задач для 9 – классов была 21 задача на доказательство.

Набор методов доказательства, применяющихся при решении олимпиадных задач, невелик.

Это прямое доказательство, метод перебора, метод «от противного», а также метод математической индукции для задач с натуральными числами. Но дело не в том, что учащиеся не знают этих методов, а в том, что у них не сформировано понятие, что значит доказать утверждение. Чаще всего они пута ют процесс доказательства с процессом нахождения объекта, обладающего указанными свойствами, либо неявно используют в доказательстве то, что надо доказать, попадая, таким образом, в порочный круг. Самая распространенная их ошибка – это рассмотрение частных случаев и попытка на этой ос нове сделать общие выводы, которые, конечно, оказываются несостоятельными.

В процессе формирования компетенции «умение строго доказать утверждение» надо разъяс нять учащимся, что сколько бы частных случаев они ни рассматривали, сколько бы ни апеллировали к очевидности утверждения в этих случаях, общий вывод все же сделать отсюда нельзя. Для того, чтобы такой вывод сделать, существует специальный метод математической индукции, но он приме няется только тогда, когда доказываемое утверждение формулируется на множестве натуральных чисел. Специфика решения задачи на доказательство состоит в том, что здесь надо не получить ка кой-то числовой или функциональный ответ, а привести цепочку логически связанных рассуждений.

При этом, не важно, необычно или, напротив, очевидно доказанное утверждение.

Еще одна ошибка школьников состоит в том, что в процессе поиска доказательства они как бы хотят помочь себе, рассматривая в первую очередь те ситуации, в которых утверждение почти оче видно, делают какие-то симметричные чертежи, нарушая общность доказательства. Поэтому мы должны настраивать их на то, что они должны подвергать сомнению доказываемое утверждение, как бы «играть против себя», рассматривать самые общие ситуации и конструкции, в которых утвержде ние не представляется очевидным. В этих условиях можно применять некую разновидность метода перебора, который мы назвали метод исключения благоприятных случаев (метод ИБС). Его сущ ность не столько математическая, сколько психологическая: благоприятные случаи, то есть случаи, в которых утверждение очевидно, мы исключаем, они нам не интересны.

Нет сомнений, необходимо проводить целенаправленную работу по обучению школьников методике проведения доказательств математических утверждений, причем, начинать обучение с са мых простых задач, чтобы постепенно привить необходимые навыки. С этой целью нами разработан следующий комплекс задач, направленных на формирование компетенции «умение строго доказать утверждение» и решаемых методом ИБС.

Задача. Каждая точка плоскости окрашена в один из двух цветов: А или В. (Точный смысл это го условия состоит в том, что каждой точке плоскости присвоен символ А или В). Доказать:

1) Найдутся две точки одного цвета, расположенные на расстоянии 1 метр друг от друга.

Доказательство. Возьмем произвольную точку цвета А и по строим окружность радиуса 1 м с центром в этой точке. Если В В на этой окружности есть хоть одна точка цвета А, то это будет благоприятный случай для доказываемого утверждения, и мы его исключаем. Итак, на нашей окружности расположены А только точки цвета В. Но тогда найдутся две точки цвета В, расположенные на расстоянии 1 м друг от друга (составля ющие с центром окружности равносторонний треугольник).

Утверждение доказано.

2). Найдется прямоугольный треугольник с вершинами одного цвета.

Доказательство. Так как все точки плоскости окрашены в В один из двух цветов, то на ней всегда найдутся две точки В одного цвета. Для определенности будем считать, что это точки А1 и А2 цвета А. Если на этой окружности есть еще хотя бы одна точка цвета А, то это будет благоприятный А А2 случай для доказываемого утверждения, и мы его исключа ем. Тогда все точки окружности, кроме А1 и А2 – цвета В, и на любом другом диаметре В1В2 можно построить прямо угольный треугольник В1В2В3, удовлетворяющий условию задачи. Утверждение доказано.

В 3). Найдется равнобедренный треугольник с вершинами одного цвета.

Доказательство. Пусть точки А1 и А2 – одного цвета, для m определенности, цвета А. Отметим середину С отрезка А1А В2 и проведем к нему серединный перпендикуляр т. Если на нем есть хоть одна точка цвета А, то искомый треугольник существует. Исключим этот случай. Тогда все точки прямой А2 n С т, за исключением разве лишь точки С, имеют цвет В. Выбе рем две точки В1 и В2, симметричные относительно прямой А1 А1А2 = п. Если на прямой п найдется хотя бы одна точка цвета В, то искомый треугольник найдется. Исключая и этот В1 Х случай, получим, что все точки прямой п (кроме точки С) имеют цвет А, а все точки прямой т – цвет В.

Теперь рассмотрим любую точку Х, не лежащую на прямых т и п. Если она цвета А, то по строим равнобедренный треугольник с основанием на прямой п и вершиной Х, если же – цвета В, то основание будет лежать на прямой т. Утверждение доказано.

4). На любой прямой найдется отрезок, концы и середина которого окрашены в один цвет.

Y А1 Z А X Доказательство. Пусть точки А1 и А2 – одного цвета, для определенности, цвета А. Рассмотрим точку Х, симмет ричную точке А2 относительно А1. Если она – цвета А, то искомый отрезок существует. Исключим этот случай.

Итак, точка Х должна иметь цвет В. По той же причине цвет В будет иметь и точка Y, симмет ричная точке А1 относительно А2. А теперь рассмотрим точку Z – середину отрезка ХY. Если она име ет цвет А, то искомый отрезок А1А2, а если цвет В, то – отрезок ХY. Утверждение доказано.

Пользуясь методом ИБС и доказанными утверждениями, можно далее доказать:

5). Найдутся три точки одного цвета, расположенные в виде буквы «Г».

6). Найдется треугольник, у которого три вершины и основание одной медианы – одного цвета.

7). Найдутся четыре точки одного цвета, расположенные в виде буквы «Т».

8). Существует равносторонний треугольник с вершинами одного цвета.

9). Существует равнобедренный прямоугольный треугольник с вершинами одного цвета.

10). Существует прямоугольный треугольник с углами 30°, 60°, 90° и вершинами одного цвета.

11). Существует прямоугольник с вершинами одного цвета.

Апробация данного комплекса задач началась в 2011/12 учебном году в 9–11 классах Респуб ликанского классического лицея и 11 классе Республиканской национальной гимназии им. В. К. Пла каса г. Горно-Алтайска, Республики Алтай на спецкурсах и факультативах [1;

2].

Решение олимпиадных задач на доказательство – сложный процесс, требующий нестандарт ного мышления и хорошей математической подготовки. Но он может доставлять человеку эстетиче ское наслаждение, и в этом смысле он сродни искусству. Процесс отыскания решения красивой олимпиадной задачи показывает логическую стройность и красоту математики и способствует повы шению интереса обучающихся к предмету.

Библиографический список:

1. Деев М. Е. Математические олимпиады школьников как средство повышения интереса к предмету / М. Е. Деев // Информация и образование: границы коммуникаций (INFO’11): сб. науч. тр.:

под ред. А.А. Темербековой. № 3(11). – Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2011. – С. 230-233.

2. Деев М. Е. Формирование компетенции «умение строго доказать утверждение» как состав ная часть подготовки школьников к математическим олимпиадам / М. Е. Деев // Информация и обра зование: границы коммуникаций (INFO’12): сб. науч. тр. / под ред. А. А. Темербековой.– № 4 (12). – Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2012. – С. 39-41.

УДК 373. АКТИВНЫЕ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ ACTIVE FORMS OF EDUCATION TO MATHEMATICS Олимов А. С., студент Научный руководитель Темербекова А. А., д-р пед. наук, профессор ФГБОУ ВПО «Горно-Алтайский государственный университет» (ГАГУ) Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск Аннотация. В статье представлены активные формы обучения, способствующие, по мнения автора, активизации процесса обучения математике. Рассмотрены преимуществаактивных форм обучения математике по сравнению с традиционными.

Ключевые слова: обучение, математика, конкурсы, дидактическая игра, конструирование, проекты, творчество, качество.

Summary. The active forms of education promoting are presented to mathematics in article, on opin ions of the author, activisation of process of training. Are considered preimushchestvaaktivny forms of edu cation to mathematics in comparison with traditional.

Key words: training, mathematics, competitions, didactic game, designing, projects, creativity, quality.

Современное образование направлено на развитие интереса детей к математике, формиро вание у них творческого потенциала и проявление активной самостоятельности. Существуют множе ство активных форм обучения математике, некоторая часть которых представлена на рисунке 1.

Математические игры и конкурсы Математические олимпиады Активные формы обучения математике Дистанционные физико-математические школы Творческие проекты Рисунок 1 – Виды активных форм обучения 1. Математические игры и конкурсы. Занятия можно планировать таким образом, чтобы кроме выдачи основного материала на них были также игры и конкурсы: во-первых, дети в свободной об становке будут лучше работать;

во-вторых, в процессе игры лучше усваивается учебный материал;

в-третьих, у детей во время конкурсов будет вырабатываться дух соревновательности, что способ ствует запоминаю материала и улучшению работоспособности;

в-четвертых, многие дети в играх и конкурсах используют творческие решения, которые не могут использовать в процессе обычного уро ка.

2. Математические олимпиады. В последние годы большое распространение, как одна из форм активизации научного творчества студентов и школьников, получили школьные олимпиады по математике. Предлагаемые на таких олимпиадах задачи носят нестандартный характер и требуют от школьника не только прочных знаний по программе, но и изобретательного, творческого подхода;

как правило, они иллюстрируют и реализуют в упрошенной форме ту или иную математическую идею [1].

3. Дистанционные физико-математические школы. В настоящее время очень часто практику ется дистанционное обучение в физико-математических школах. Задачи школы:

1) реализация программ дополнительного образования школьников по предметам физико математического цикла;

2) предоставление учащимся учреждений общего образования дополнительных возможно стей для освоения основных курсов математики, информатики и физики, подготовки к предметным олимпиадам школьников различного уровня;

3) привитие навыков самостоятельной исследовательской деятельности;

4) выявление и развитие математических способностей, формирование математической культуры;

5) профессиональная ориентация обучающихся;

6) создание условий для повышения конкурентоспособности выпускников общеобразователь ных учреждений при вступительных испытаниях в учреждениях высшего профессионального образо вания;

7) создание условий для повышения квалификации и педагогического мастерства педагогов, работающих со способными и одаренными детьми, проявившими интерес к предметам физико математического цикла [2].

4. Творческие проекты. Существуют 3 вида проектов, они представлены на рисунке 2.

1. Моделирование Творческие проекты 2. Прогнозирование 3. Конструирование Рисунок 2 – Виды проектов 1) Математическое моделирование. С середины XX в. в самых различных областях человече ской деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ.

Математическая модель – это приближенное описание какого-либо класса явлений или объ ектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования – исследовать эти объек ты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование – это еще и метод позна ния окружающего мира, дающий возможность управлять им [3].

2) Прогнозирование. Основное условие необходимости в прогнозах – это недостаток исходных данных. Для предсказания будущего данных всегда не хватает, однако и при решении задач в насто ящем времени данных очень часто не хватает. По мере сокращения объемов недостающих данных прогнозы уточняются, при полноте исходных данных прогноз замещается обычным расчетом с неко торой погрешностью.

Прогнозы делятся по срокам: краткосрочные, среднесрочные, долгосрочные, дальнесрочные;

по масштабу: личные, на уровне предприятия (организации), местные, региональные, отраслевые, страновые, мировые (глобальные).

3) Конструирование. Основная цель состоит в том, чтобы заложить начальные геометриче ские представления, развивать логическое мышление и пространственные представления, сформи ровать начальные элементы конструкторского мышления, т.е. научить анализировать представлен ный объект невысокой степени сложности, мысленно расчленяя его на основные составные части для детального исследования, собрать предложенный объект из частей, выбрав их из общего числа предлагаемых деталей, усовершенствовать объект по заданным условиям, по описанию его функци ональных свойств, научить определять последовательность операции при изготовлении того или ино го изделия.

Основными задачами конструирования являются:

1. Привлечение интереса к изучению предмета математики.

2. Изучение основных понятий, формирующих базу знаний математического материала с целью обобщения и систематизации ранее полученных навыков и упрощения процесса изучения ма тематического курса в дальнейшем.

3. Организация самостоятельной работы обучающихся по изучению нового материала, раз витие творческих способностей и повышение познавательного уровня учащихся [4].

Таким образом, рассмотренные выше активные формы обучения математике являются, на наш взгляд, ведущими в современном школьном математическом образовании, так как они имеют практическую направленность и повышают активность обучения математике.

Библиографический список:

1. Подколзин А. С. Задачи студенческих олимпиад по математике / А. С. Подколзин, В. А. Садовничий. – М., 1978.

2. Дистанционная физико-математическая школа [Электронный ресурс]. Режим доступа:

www.fmf.gasu.ru. Дата обращения: 10.02.2013.

3. Математическое моделирование [Электронный ресурс]. Режим доступа:

www.mat.1septemder.ru. Дата обращения: 12.01.2013.

4. Прогнозирование. Конструирование [Электронный ресурс]. Режим доступа:

www.wikipedia.ru. Дата обращения: 12.12.2012.

УДК 378. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЕТЕНТНОСТНОГО ПОДХОДА В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ USE OF COMPETENCE-BASED APPROACH IN THE COURSE OF TRAINING IN THE MATHEMATICAL ANALYSIS OF FUTURE MATHEMATICS TEACHERS Жукова О. Г., старший преподаватель ФГБОУ ВПО «Горно-Алтайский государственный университет» (ГАГУ) Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск, olga_gukova@list.ru Аннотация. В статье рассматриваются возможности компетентностного подхода при обуче нии студентов педагогического направления математическому анализу.

Ключевые слова: компетентностный подход, компетенция, профессиональная компетенция.

Summary: In article possibilities of competence-based approach are considered when training stu dents of the pedagogical direction in the mathematical analysis.

Key words: competence-based approach, competence, professional competence.

В настоящее время на основании действующего Закона «Об образовании в Российской Феде рации» в условиях перехода к уровневой системе высшего профессионального образования резуль татом подготовки выпускников по различным направлениям бакалавриата является сформирован ность их общекультурных и профессиональных компетенций.

Под термином «компетенция» понимается способность применять знания, умения, успешно действовать на основе практического опыта при решении задач общего рода, а также в определенной широкой области.

Компетентностный подход – это ориентация учебного процесса на приобретение будущими выпускниками вуза вышеуказанных способностей, что чрезвычайно необходимо для успешного осу ществления их будущей профессиональной деятельности. Можно также выделить понятие профес сиональная компетенция – способность успешно действовать на основе практического опыта, умения и знаний при решении профессиональных задач.

С позиций компетентностного подхода уровень образованности определяется способностью решать проблемы различной сложности на основе имеющихся знаний. Следует отметить, что компе тентностный подход не отрицает значения знаний, но он акцентирует внимание на способности ис пользовать полученные знания.

При постановке целей занятия традиционным способом мы отвечаем на вопрос: что нового узнает студент (или ученик) на этом занятии?

Во втором случае предполагается ответ на вопрос, чему научится студент (или ученик) и где сможет это применить. При таком подходе учебная деятельность приобретает, на наш взгляд, иссле довательский и практико-ориентированный характер. А это очень важно, так как именно при обучении математике, а особенно такому важному разделу, как математический анализ, формируются качества мышления, необходимые будущему учителю для использования в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

В условиях реализации компетентностного подхода обучение студентов математическому анализу должно приобретать деятельностный характер. В этих условиях необходимо использовать интерактивные формы обучения, предполагающие широкое взаимодействие студентов не только с преподавателем, но и друг с другом.

В этом случае студенты, опираясь на полученные знания и свои возможности, самостоятель но и активно решают поставленные задачи, участвуют в дискуссиях, овладевают приемами доказа тельного обоснования своего мнения.

Так, например, при подготовке студентов Горно-Алтайского государственного университета по направлению 050100.62 «Педагогическое образование» профиль «Математика» в 1 семестре на за нятиях по математическому анализу используются следующие интерактивные формы обучения, за нимающие примерно 30% времени занятия. Соответственно предметным темам, их формы пред ставлены ниже в таблице 1.

Как показывает образовательная практика, компетентностный подход в образовании, в том числе и в преподавании математического анализа, позволяет повысить эффективность результатов обучения, прежде всего, за счет более глубокой и разносторонней основы для конкретных професси ональных знаний, их повышенной вариативности использования на основе творческого подхода.

Таблица 1 – Интерактивные формы обучения по дисциплине «Математический анализ», используемые при обучении студентов 1 курса 050100.62 Педагогическое образование Профиль Математика Тема занятия Форма проведения Количество часов Бесконечно малые и бесконечно большие по- Мозговой штурм следовательности.

Вычисление предела функции. Проблемная лекция Замечательные пределы. Мозговой штурм Эквивалентные бесконечно малые функции и Мозговой штурм их применение к вычислению пределов.

Возрастание и убывание функций. Экстрему- Разбор конкретных ситуаций мы.

Наибольшее и наименьшее значение функции Разбор конкретных ситуаций на отрезке.

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Разбор конкретных ситуаций Полное исследование функции и построение Проблемная лекция ее графика.

Модернизация системы высшего профессионального образования, сопровождающаяся пере ходом на новые образовательные стандарты и повсеместным внедрением идей компетентностного подхода, требует от преподавателя вуза пересмотра используемых ранее методов и приемов обуче ния, форм организации учебного процесса с целью повышения эффективности обучения.

При подготовке студентов Горно-Алтайского государственного университета по направлению 050100.62 «Педагогическое образование» профиль «Математика» большая роль отводится препода вателям дисциплины «Математический анализ», ведь они закладывают основу математической куль туры будущих учителей математики. На преподавателя этой вузовской дисциплины в условиях мо дернизации системы образования возлагается большая ответственность – подготовить для школ вы сококвалифицированных специалистов. Подготовка будущих учителей математики в современном обществе требует от преподавателя вуза разработки такого комплекса лекций и практических занятий по математическому анализу, в результате освоения которого, в комплексе с результатами изучения дисциплины «Методика преподавания математики», у студентов сформируется и разовьется умение методически и математически грамотно и эффективно строить школьный урок.

В школьном курсе математики элементы математического анализа занимают одну из основ ных позиций, в связи с этим, есть необходимость пересмотреть подходы к математической подготов ке будущего учителя математики. Если преподаватель математического анализа, одной из основных математических дисциплин подготовки учителя, будет строить свои занятия принципиально по новому, то это, с одной стороны, приведет к повышению качества усвоения этой сложной дисципли ны, а с другой – послужит примером будущим учителям при проведении их собственных уроков во время педагогической практики или в настоящей профессиональной деятельности.

Таким образом, во время обучения в высшем учебном заведении студент, а именно будущий учитель математики, является объектом реализации компетентностного подхода, а по окончании профессиональной подготовки в вузе ему предстоит реализация этого подхода в своей педагогиче ской деятельности.

Компетентностный подход при изучении математического анализа может быть очень эффек тивным, поскольку при таком подходе к обучению акцент делается не на запоминание энциклопеди ческого набора знаний, а на овладение фундаментальными умениями анализа, понимания, принятия решений. Основная идея этого подхода заключаются в том, что главный результат образования – это не отдельные знания, умения и навыки, а способность и готовность человека использовать их в прак тической деятельности и повседневной жизни. А в изучении математического анализа в первую оче редь важна как раз практическая сторона изучаемых вопросов. Таким образом, математический ана лиз – это естественно подходящий раздел математики для применения компетентностного подхода.

Преподаватель вуза на занятиях по математическому анализу должен дать понять студентам – будущим учителям, что цель обучения школьников элементам математического анализа состоит не только в изучении теоретических знаний, а в целенаправленном развитии у детей идеи о том, что в природе и обществе существуют математические закономерности, что отражает связь школьного курса математики с окружающей действительностью.

Кроме того, преподаватель вуза при реализации компетентностного подхода на своих заняти ях должен включать студентов в разнообразные виды деятельности, развивающие у них различные способности, учить высказывать свое понимание проблемы, поощрять самостоятельные рассужде ния. Студенты, усвоившие данный подход, будут активно использовать его в своей собственной педа гогической деятельности. Например, при изучении функциональной зависимости, учителю необходи мо так организовать учебный процесс, поставить проблему, подготовить вопросы, чтобы учащиеся, исходя из своих наблюдений в жизни, в ходе рассуждений пришли к выводу, что в природе многие явления и процессы взаимосвязаны между собой, причем именно функционально.

Таким образом, будущие учителя математики должны понимать, что компетентностное обуче ние становится перспективным, так как учебная деятельность приобретает исследовательский и практико-ориентированный характер. Реализация компетентностного подхода при изучении элемен тов математического анализа способствует активизации познавательной деятельности учащихся, по вышению интереса к данному материалу, способствует самостоятельному приобретению конкретных умений, навыков учебной и мыслительной деятельности.

Библиографический список:

1. Бермус А. Г. Проблемы и перспективы реализации компетентностного подхода в образова ния [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.bestreferat.ru/referat-78164.html.

2. Веселовская Н. С. Компетентностный подход в образовании – основа подготовки высоко квалифицированного специалиста / Н. С. Веселовская. – Омск. 2004.

3. Зимняя И. А. Ключевые компетенции – новая парадигма результата современного образо вания [Электронный ресурс] // Интернет-журнал «Эйдос». – 2006. Режим доступа:

http://www.eidos.ru/journal/2006/0505.htm.

4. Серякова С.Б. Компетентностный подход как направление модернизации российского обра зования / С.Б. Серякова // Пед. образование и наука: науч.-метод. журн. – 2004. – №1.

5. Хуторской А.В. Ключевые компетенции и образовательные стандарты [Электронный ресурс] // Интернет-журнал «Эйдос». – 2002. Режим доступа: http://eidos.ru/journal/2002/0423.htm.

УДК 372. РАЗВИТИЕ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ ПОСРЕДСТВОМ РЕШЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ DEVELOPMENT OF LOGICAL THINKING OF SCHOOL STUDENTS BY MEANS OF THE SOLUTION OF LOGICAL TASKS Соловьева Л. А., старший преподаватель ФГБОУ ВПО «Горно-Алтайский государственный университет» (ГАГУ) Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск, solov-la@yandex.ru Аннотация. В статье рассмотрены возможности развития логического мышления при реше нии творческих (логических) задач, разобраны некоторые методы решения таких задач.

Ключевые слова: логическое мышление, логические задачи, методы решения логических задач.

Summary. In article possibilities of development of logical thinking are considered at the solution of creative (logical) tasks, some methods of the solution of such tasks are sorted.

Key words: logical thinking, logical tasks, methods of the solution of logical tasks.

Развитие логического мышления является одной из основных задач всестороннего развития детей. Развитое мышление дает возможность отделять существенное от второстепенного, находить взаимосвязи между объектами и явлениями, строить умозаключения, искать и находить подтвержде ния или опровержения утверждений. Широкие возможности в плане развития логического мышления дает решение логических задач. От обычных они отличаются тем, что не требуют вычислений, а ре шаются с помощью рассуждений. Решение логических задач формирует у учащихся умения высказы вать предположения, проверять их достоверность, логически обосновывать. Проговаривание с целью доказательства, способствует развитию речи учащихся, выработке умения делать выводы из посы лок, строить умозаключения. Выполняя творческие задания, учащиеся анализируют условия, выде ляют существенное в предложенной ситуации, соотносят данные и искомое, выделяют связи между ними.

При решении любой задачи могут быть выделены следующие этапы:

1. Анализ условия задачи (выделение исходных данных).

2. Поиск метода решения.

3. Символическая запись задачи.

4. Рассуждения и пояснения к решению.

5. Анализ полученных результатов и запись ответа.

Существуют различные способы решения таких задач: непосредственно метод рассуждений, метод графов, метод таблиц, метод кругов Эйлера-Венна, алгебраический метод. Рассмотрим неко торые из них.

Рассуждениями решаются самые простые логические задачи. Идея метода состоит в том, что рассуждения проводятся с последовательным использованием всех условия задачи, они приводят к выводу, который и будет являться ответом задачи.

Назовем графом множество линий, соединяющих пары точек Метод графов:

ства. Точки называются вершинами графа, линии — ребрами графа. Идея метода заключается в оформлении условий задачи и последующих рассуждений на чертеже Задача 1. Красный, синий, желтый и зеленый карандаши лежат в четырех коробках по одному.

Цвет карандаша отличается от цвета коробки. Известно, что зеленый карандаш лежит в синей короб ке, а красный не лежит в желтой. В какой коробке лежит каждый карандаш?

Для решения задачи обозначим кружками карандаши и коробки. Сплошная линия будет обо значать, что карандаш лежит в соответствующей коробке, а пунктирная, что не лежит. Тогда с учетом условий задачи строим граф, он представлен на рисунке К С Ж З Карандаши Коробки К С Ж З Рисунок 1 – Схема задачи на метод графов Так как в синей коробке лежит зеленый карандаш, то красный и желтый (ну и, конечно же, си ний) карандаши в этой коробке не находятся (отмечаем это на графе пунктирными линиями). Таким образом, красного карандаша нет в красной, в желтой и в синей коробках, следовательно, он лежит в зеленой коробке, а желтый в красной (на графе отмечаем сплошной линией). Тогда желтая коробка занята синим карандашом. Ход рассуждений представлен на рисунке 2.

К С Ж З Карандаши Коробки К С Ж З Рисунок 2 – Схема нахождения ответа задачи, решаемой по методу графов Таким образом, из каждой точки выходят одна сплошная линия и три пунктирные. Получился граф, дающий решение задачи. В ответе получим, что красный карандаш лежит в зеленой коробке, синий в желтой, желтый в красной, а зеленый в синей.

Метод таблиц. Идея метода заключается в оформлении условий задачи, а затем результа тов логических рассуждений в виде таблицы.

Задача 2. Три клоуна Бим, Бам и Бом вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках.

Их туфли были тех же цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни ру башка не были красными. Бам был в зеленых туфлях, а в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

Решение. Составим таблицу, в столбцах которой отметим возможные цвета рубашек и ту фель клоунов знаком «». Будем заполнять таблицу, используя условия задачи. Туфли и рубашка Бома не являются красными, отметим соответствующие ячейки таблицы знаком «–». Туфли Бама зе леные, а рубашка не является зеленой. Ставим знак «+» в клетку строки «Бам» и столбца «Зеленый»

для цвета туфель, и знак «» в клетку строки «Бам» и столбца «Зеленый» для цвета туфель. Следо вательно, у Бима и Бома туфли уже не могут быть зелеными, так же как не могут быть туфли Бама синими или красными. Отмечаем эти выводы в соответствующих ячейках. Из таблицы, заполненной на этом этапе, видим, что синие туфли могут быть только у Бома, а, следовательно, туфли Бима красные. Правая часть таблицы заполнена, мы установили цвета обуви клоунов. Цвет рубашки Бима совпадает с цветом его туфель и является красным. Теперь легко устанавливается владелец зеленой рубашки – Бом. Бам, в таком случае, одет в рубашку синего цвета.

Бим одет в красную рубашку и красные туфли, Бам в синей рубашке и зеленых туфлях, Бом в зеленой рубашке и туфлях синего цвета.

Цвет рубашки Цвет туфель Красный Зеленый Синий Красный Зеленый Синий Бим + + Бам + + Бом + + Метод кругов Эйлера-Венна. Задачи, которые можно решить с помощью кругов Эйлера Венна нельзя решить иначе, по сравнению с табличным методом или при помощи графов. Этот спо соб решать задачи придумал в XVIII в. великий Леонард Эйлер Метод кругов Эйлера-Венна позволя ет графически решать математические задачи на основе применения теории множеств.

Задача 3: Ребята из одного класса посещают три кружка: математический, физический и хи мический. Некоторые из ребят ходят в два, а то и в три кружка В математическом кружке занимаются 18 человек, в физическом – 14, в химическом – 10, в математическом и физическом – 8, в математи ческом и химическом – 5, в физическом и химическом – 3, а все три кружка посещают 2 человека.

Сколько ребят не записаны ни в один кружок, если всего в классе 36 человек?

На рисунке 3 большой круг изображает множество учеников класса. Внутри этого круга распо ложены три круга меньшего диаметра: эти круги изображают множества членов математического, физического, и химического кружков и обозначены соответственно буквами М, Ф и Х.

Общая часть всех трех кругов обозначена МФХ, она соответствует множеству ребят, посе щающих все три кружка. Через МФХ обозначена область, которая изображает множество ребят, по сещающих математический и физический кружки, но не посещающих химический кружок. Так же представлены и все остальные области.

В область МФХ впишем число 2, так как все три кружка посещают 2 человека. Далее извест но, что ребят, посещающих математические и физические кружки, было 8, значит в область МФ надо вписать число 8. Но область МФ состоит из двух частей: МФХ и МФХ, причем в МФХ входят два че ловека, тогда на долю МФХ остается 6. Аналогично рассматривая область МХ, состоящую также из двух частей, получим, что на область МХФ приходится 3 человека. Рассмотрим теперь область М, которая соответствует 18 членам математического кружка. Она состоит из четырех частей. Количе ственный состав трех частей этой области уже найден (2, 3 и 6), поэтому на четвертую часть прихо дится 18 – (2 + 3 + 6) = 7 человек. Рассуждая аналогично, вычислим количественный состав других областей, что представлено на рисунке 4. Складывая все числа, записанные внутри кругов М, Ф, Х, найдем число ребят, посещающих хотя бы один кружок: 3 + 2 + 6 + 7 + 5 + 1 + 4 = 28. Следовательно, ребят, не посещающих никаких кружков, будет 8.

Ф М М Ф 7 МФХ МФХ ФХМ [ МФХ ФХМ МХФ [[ ХМФ Х Х Рисунок 3 Рисунок Таким образом, решение логических задач способствует развитию памяти, внимания, речи;

развивает интуицию, нестандартное, творческое мышление;

повышают интерес не только к конечно му результатам работы, но и к самому процессу познания.

Библиографический список:

1. Гетманова А. Д. Логические основы математики / А.Д.Гетманова. – М.: Дрофа, 2006. – 175 с.

УДК 372. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОДГОТОВКА ШКОЛЬНИКОВ К ЕГЭ:

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ MATHEMATICAL PREPARATION OF SCHOOL STUDENTS FOR UNIFIED STATE EXAMINATION:

TECHNIQUE OF OPREDELENIYA SQUARE OF THE FLAT FIGURE Темербекова А. А., д-р пед. наук, проф.

ФГБОУ ВПО «Горно-Алтайский государственный университет» (ГАГУ) Россия, Республика Алтайц, г. Горно-Алтайск, tealbina@yandex.ru Аннотация. В статье рассматриваются различные подходы к определению площади плоской фигуры, даются разные подходы к подготовке школьников по математике и выполнению заданий на вычисление площади фигуры с использованием формул, методом суммирования, методом исключе ния и по формуле Пика.

Summary. In article various approaches to determination of the area of a flat figure are considered, different approaches to preparation of school students on mathematics and performance of tasks for calcula tion of the area of a figure with use of formulas, a summation method, by process of elimination and on the Peak formula are given.

Ключевые слова: обучение, математика, планиметрия, площадь фигуры, многоугольник, сторона, формула, сумма, метод.

Key words: training, mathematics, planimetriya, figure area, polygon, party, formula, sum, method.

Современные условия развития общества рассматривают образование как социальный ин ститут, постоянно повышающий свой статус и кардинально изменяющий содержание обучения и учебную и образовательную деятельность.

Модернизация образования в русле компетентностного подхода усилила ориентацию на ба зовые знания как ключевые рычаги развития личности и общества в целом. Компетентностные осно вы развития логического мышления школьников формируются в процессе математической подготов ки выпускника школы. Рассмотрим далее пример формирования комплексных ключевых компетенций при выполнении одного из базовых заданий ЕГЭ по математике: задание на вычисление площади треугольника, четырёхугольника, круга и его частей, в том числе по данным рисунка, представляюще го собой изображение фигуры, площадь которой требуется найти, на координатной плоскости или клетчатой бумаге (сетке) со стороной клетки.

Задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры рас крывают способность обучающихся применять специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Наличие таких задач в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ и ГИА ориен тирует школьников на формирование практической направленности математического знания. Следу ет отметить, что для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных спо собов и приёмов, что обуславливает, в конечном счете, их ценность для развития умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, развивать мыслительные навыки и приемы.

В процессе подготовки школьников к решению задачи на нахождение площади плоской фигу ры каждый учитель систематизирует знания и формирует предметную базу: формулы площадей фи гур (квадрат, прямоугольник, треугольник, трапеция, параллелограмм, четырёхугольник, круг, сектор круга);

теорема Пифагора;

теорема косинусов;

теорема о сумме углов треугольника;

понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике;

решение квадратного уравнения;

формулы для решения треугольника (отношения высот, медиан, формулы связи радиусов вписанной и описанной окружности с его площадью);

формулу для нахождения длины отрезка на координатной плоскости;

формулу, формула Пика, которую не обязательно, но желательно знать и др.

Чрезвычайно важно при таком большом объеме формул уметь использовать именно ту, кото рая предназначена для решения конкретной задачи. С целью проверки правильности решения можно ориентироваться не только на разные формулы, но и на различные методы, способы и приемы нахождения площади плоской фигуры. Решение такой задачи двумя различными способами, а также проверка с помощью прикидки (ориентировочного подсчета клеточек сетки) дадут гарантию верного решения задачи.

Таким образом, площадь треугольника можно найти разными способами:

1) по формулам, здесь вычисление площади искомой фигуры путем подстановки длин ее сторон в соответствующую формулу;

2) методом суммирования (иначе метод разрезания, метод «ножниц»): поиск площади через сумму площадей вспомогательных кусочков. Последовательность действий сводится к разбиению главной фигуры на несколько составляющих ее областей и затем последовательное их сложение.

Здесь рассмотрим трангуляцию многоугольника: любой многоугольник с вершинами в узлах сетки может быть триангулирован – разбит на «простые» треугольники.

Пусть на плоскости задан некоторый многоугольник и некоторое конечное множество К точек, лежащих внутри многоугольника и на его границе (причём все вершины многоугольника принадлежат множеству К).

Триангуляцией с вершинами К называется разбиение данного многоугольника на треугольни ки с вершинами в множестве К такое, что каждая точка из К служит вершиной каждому из тех тре угольников триангуляции, которым эта точка принадлежит (то есть точки из К не попадают внутрь или на стороны треугольников. Разбиение многоугольника на части представлено на рисунке 1.

Рисунок 1 – Разбиение многоугольника Любой n-угольник можно разрезать диагоналями на треугольники, причём количество тре угольников будет равно n – 2 (это разбиение – триангуляция с вершинами в вершинах n-угольника).

3) Метод исключения: поиск площади пограничной фигуры – удобного прямоугольника или квадрата с хорошо определяемыми длинами сторон, а затем исключение из площади лишних площа дей, не входящих в исходную фигуру.

4) Формула Пика. Использование формулы Пика позволяет вычислять любые площади че рез подсчет количества вершин на сторонах фигуры и внутри нее. Формула Пика (иначе теорема Пи ка, 1899 г.) названа именем ее автора. Ее открыл Георг Александр Пик (нем. Georg Alexander Pick (1859-1942 гг.) – австрийский математик [1]. Она представляет собой классический результат комби наторной геометрии и геометрии чисел. Теорема Пика, или теорема Шварца-Пика, инвариантная форма леммы Шварца, – обобщение леммы Шварца.

Рассмотрим невырожденный простой целочисленный многоугольник (т.е. он связный — лю бые две его точки могут быть соединены непрерывной кривой, целиком в нем содержащейся, и все его вершины имеют целые координаты, его граница — связная ломаная без самопересечений, и он имеет ненулевую площадь).

Формула Пика позволяет найти площадь любого многоугольника, вершинами которого являются узлы клеток. Часть узлов он содержит на своих сторонах. Итак, теорема Пика:

Г S В Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна:, где В – количе ство целочисленных точек внутри многоугольника, а Г – количество целочисленных точек на границе многоугольника. В частности, площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна. Например, необходимо найти площадь трапеции ABCD, изображенной на рисунке 2.

Найдем количество узлов, лежащих на сторонах трапеции: Г = 8. Количество узлов внутри: В = 7.

Тогда площадь находится по формуле Пика:

Г S В 1 7 1 10.

2 С целью проверки правильности решения можно найти основания, сложить их, затем умножить на высоту, т.е.

использовать формулу нахождения площади трапеции.

Иначе можно подсчитать площадь плоской фигуры Рисунок 2 – Счет узлов трапеции непосредственным подсчетом клеток через достраивание фигуры до прямоугольника. Проверочные действия можно ввести в систему. Для этого необходимо научить школьников составлять проверяющие таблицы.

Приведем пример: На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треуголь ник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. Строим проверяющую таблицу.

Рисунок По формуле геометрии По формуле Пика Г S аh S В 2 Г = 12;

B = 10. S = 10 +12/2 – 1 = S = 1/265 = Рассмотренный выше прием усиливает мотивацию обучения и может быть использован для воспитания устойчивого интереса к предмету геометрии в связи с практической пользой формулы Пика для сдачи ЕГЭ.

В настоящее время, в связи с включением вопросов вычисления на клетчатой бумаге в содежание материалов ЕГЭ, обозначенная тема переросла в практикоориентированную тему. От обучающихся при вычислении площадей фигур требуется творческий подход и смекалка. Учителя практики предлагают довольно большой банк заданий, способствующих формированию навыков вычисления плошадей фигур [2;

3;

4]. Практическая подготовка и решение достаточно большого числа задач на нахождение площадей фигур на клетчатой бумаге формируют у школьников широту и глубину использования всех возможных учебных ресурсов, а также навык и быстроту решения задач практического содержания.

Библиографический список:

1. Пик Георг. Википедия [Электронный ресурс]. Режим доступа:

http://ru.wikipedia.org/wiki/Георг_Пик.

2. Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге / В. А. Смирнов, И. М. Смирнова. – М. : Изд во МЦНМО. – 2009. – 264 с.

3. Вавилов В. В. Многоугольники на решетках / В. В. Вавилов, А. В. Устинов. – М.: МЦНМО, 2006. – 72 с.

4. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии / В. В. Прасолов. – 5-е изд., испр.и доп. – М.: МЦН МО: ОАО «Московские учебники», 2006. – 640 с.

УДК 372. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ ТВОРЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ ОБУЧАЮЩИХСЯ TASKS ON THE PROOF AS MEANS FORMATIONS OF CREATIVE ABILITIES BEING TRAINED Деев М. Е., канд. физ.-мат. наук, доцент ФГБОУ ВПО «Горно-Алтайский государственный университет» (ГАГУ) Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск, mihdeev@mail.ru Аннотация. В статье рассматриваются задачи на доказательство и методы их решения, ана лизируются ошибки, которые допускают школьники на математических олимпиадах, даются рекомен дации учителям математики и школьникам по формированию умению решать задачи на доказатель ство.

Ключевые слова: мышление, обучение, математика, доказательство, метод, творческие спо собности, теорема, утверждение.

Summary. In article tasks on the proof and methods of their decision are considered, mistakes which are made by school students on the mathematical Olympic Games are analyzed, recommendations to mathematics teachers and school students on formation to ability to solve problems on the proof are made.

Key words: thinking, training, mathematics, proof, method, creative abilities, theorem, statement.

Формирование творческого математического мышления молодежи является одной из акту альных проблем математического образования. В последнее время, в связи с введением Единого государственного экзамена, этой проблеме уделяется очень мало внимания, так как процесс обуче ния теперь направлен на заучивание формул, схем и алгоритмов решения стандартных задач. Этим же объясняется и тот факт, что большинство учащихся не умеют доказывать, причем не могут даже воспроизвести готовое доказательство, не говоря уже о том, чтобы его придумать.


Французский математик Анри Пуанкаре [2] отмечал, что «математическое творчество состоит не в создании новых комбинаций с помощью уже известных математических объектов, а в том, чтобы не создавать бесполезных комбинаций, а строить такие, которые оказываются полезными;

а их ни чтожное меньшинство».

Следует признать также, что не всякий способен на творчество, но творческое мышление можно развивать и совершенствовать. Любой учитель математики приведет много примеров, когда ученик, хорошо справляющийся со школьной программой, получает нули на математических олимпи адах. Поэтому научить школьников доказывать утверждения – настолько сложная задача, что в отве денное программой время зачастую оказывается невыполнимой.

Практика проведения математических олимпиад показывает, что многие учащиеся не пони мают самой сути доказательства: установить истинность утверждения сразу для всей бесконечной совокупности рассматриваемых объектов, удовлетворяющих условию теоремы. Особенно четко это проявляется при доказательстве геометрических теорем.

Как отмечает З.И. Слепкань [3], при геометрических доказательствах учащимся трудно понять, что «доказывается теорема для определенной одной фигуры, но справедлива эта теорема для всех возможных аналогичных случаев». И получается, что, с одной стороны, чертеж помогает провести доказательство, а с другой – возникает соблазн использовать наглядность чертежа, как аргумент до казательства без теоретического обоснования.

Набор методов доказательства, применяющихся при решении алгебраических задач, невелик.

Это: прямое доказательство, метод «от противного», а также метод математической индукции для задач с натуральными числами. Но дело не в том, что учащиеся не знают этих методов, а в том, что у них не сформировано понятие, что значит доказать утверждение.

Чаще всего они путают процесс доказательства с процессом нахождением объекта, облада ющего указанными свойствами, либо неявно используют в доказательстве то, что надо доказать, по падая, таким образом, в порочный круг.

В качестве иллюстрации сказанного выше, приведем пример из практики. В 2011 году на ма тематической олимпиаде школьников г. Горно-Алтайска была предложена задача: «Сколько положи тельных членов содержит последовательность Sin 1°, Sin 10°, Sin 100°, Sin 1000°, Sin 10000°, …?».

Учащиеся быстро сообразили, что Sin 1° 0, Sin 10° 0, Sin 100° 0. Отбрасывая периоды в 360°, установили, что Sin 1000° = Sin 280°, Sin 10000° = Sin 280°, а Sin 280° 0. Поэтому последователь ность содержит три положительных члена. Ответ, конечно, правильный, но где гарантия, что, отбра 10 n, сывая периоды в числе при любом п мы будем получать 280°? Поэтому для полного решения n надо было методом математической индукции доказать, что число 10 280 делится нацело на для всех n 3.

При разборе этой или других подобных задач надо разъяснять учащимся, что сколько бы частных случаев они ни рассматривали, сколько бы ни апеллировали к очевидности утверждения в этих конкретных случаях, общий вывод все же сделать отсюда нельзя.

Еще одна ошибка школьников состоит в том, что в процессе поиска доказательства они как бы хотят помочь себе, рассматривая в первую очередь те ситуации, в которых утверждение почти оче видно, делают какие-то симметричные чертежи, нарушая общность доказательства. Поэтому мы должны настраивать их на то, что они должны подвергать сомнению доказываемое утверждение, как бы «играть против себя», рассматривать самые общие ситуации и конструкции, в которых утвержде ние не представляется очевидным.

В этих условиях можно применять некую разновидность метода перебора, который мы назва ли методом исключения благоприятных случаев. Его сущность состоит в том, что благоприятные случаи, то есть случаи, в которых утверждение очевидно, мы исключаем. И так действуем до тех пор, пока все рассматриваемые случаи окажутся благоприятными.

Для тренинга данного метода нами разработан следующий комплекс задач, направленный на формирование умения доказывать.

Задачи 1 – 10. Все точки плоскости окрашены в два цвета. (Точный смысл этого условия со стоит в том, что каждой точке плоскости присвоен символ А или В). Доказать:

1. Найдутся две точки одного цвета на расстоянии 1 м друг от друга.

2. Найдется прямоугольный треугольник с вершинами одного цвета.

3. Найдется равнобедренный треугольник с вершинами одного цвета.

4. На любой прямой, лежащей в этой плоскости, найдется отрезок, концы и середина которого окрашены в один цвет.

5. Найдутся три точки одного цвета, расположенные в виде буквы «Г».

6. Найдется треугольник, у которого три вершины и основание одной медианы – одного цвета.

7. Найдутся четыре точки одного цвета, расположенные в виде буквы «Т».

8. Существует равносторонний треугольник с вершинами одного цвета.

9. Существует равнобедренный прямоугольный треугольник с вершинами одного цвета.

10. Существует прямоугольный треугольник с углами 30°, 60°, 90° и вершинами одного цвета.

Приведем решение задачи 4, которая является здесь базовой и позволяет использовать ее при решении других задач. Итак, надо доказать, что на любой прямой найдется отрезок, концы и се редина которого окрашены в один цвет.

Доказательство. Пусть точки А1 и А2 – одного цвета, для Y определенности, цвета А. Рассмотрим точку Х, симметричную А1 Z А X точке А2 относительно А1. Если она – цвета А, то искомый от резок существует. Исключим этот случай. Итак, точка Х долж на иметь цвет В. По той же причине цвет В.

будет иметь и точка Y, симметричная точке А1 относительно А2. А теперь рассмотрим точку Z – сере дину отрезка ХY. Если она имеет цвет А, то искомый отрезок А1А2, а если цвет В, то – отрезок ХY.

Утверждение доказано.

Библиографический список:

1. Деев М.Е. Формирование компетенции «умение строго доказать утверждение» как состав ная часть подготовки школьников к математическим олимпиадам / М.Е. Деев // Информация и обра зование: границы коммуникаций (INFO’12). – Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2012. – №4(12) – С. 39-41.

2. Пуанкаре А. О науке / А. Пуанкаре. – М.: Наука, 1989. – С. 399-414.

3. Слепкань З. И. Психолого-педагогические основы обучения математике: метод. пособие / З. И. Слепкань. – К.: Рад. школа, 1983. – 192 с.

УДК ОПТИМИЗАЦИЯ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ OPTIMIZATION OF THE ORGANIZATION OF INDEPENDENT WORK OF STUDENTS Новичихина Т. И., канд. физ.-мат. наук, доц.

Харламов И. С., канд. биол. наук, доц.

Голубь П. Д., канд. физ.-мат. наук, проф.

ФГБОУ ВПО «Алтайская государственная педагогическая академия»

Россия, Альтайский край, г. Барнаул isharlamov@gmail.com, genphys@altai.uni.ru Аннотация. В работе рассмотрены основные изменения в организации и контроле самостоя тельной работы студентов при переходе на ФГОС-3.

Ключевые слова: самостоятельная работа, контроль, ФГОС-3.

Summary. In work the basic changes in organization and control of independent work of the stu dents are considered at transition to FSES-3.

Key words: independent work, control, FSES-3.

Самостоятельная работа является одним из видов учебных занятий студентов. В учебном процессе высшего профессионального образования выделяют два вида самостоятельной работы:

аудиторную и внеаудиторную. Аудиторная самостоятельная работа студентов выполняется на учеб ных занятиях под непосредственным руководством преподавателя и по его заданию. Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется студентом по заданию преподавателя, но без его непосред ственного участия. Согласно стандартам профессионального образования третьего поколения имен но внеаудиторной самостоятельной работе отводится чрезвычайно важная роль. Студентам предла гается освоить более половины учебного материала самостоятельно. Перед преподавателями ста вится задача – направить деятельность студентов в нужное русло и проконтролировать результат этой деятельности.

Преподаватель становится консультантом в процессе освоения студентом учебной дисципли ны, на которого возложен текущий, промежуточный и итоговый контроль сформированных компетен ций. Естественно, возникает вопрос – как за предлагаемый минимум часов, отводимый на контроль самостоятельной работы студентов (который, почему-то рассчитывается от количества часов, отво димых на аудиторные занятия), проверить весь объем материала, предлагаемый для самостоятель ного изучения? Конечно, в каких-то вопросах может выручить тестирование, однако, как показывает опыт, оно может применяться только для промежуточного контроля и в очень ограниченном круге проверяемого материала (например, даты событий или правописание слов и т. п.). Применение те стирования в более широком масштабе, в частности при изучении курса общей физики, приводит к отсутствию у студентов необходимых для профессиональной деятельности знаний, умений и навыков (например, знания основных законов, изучаемой науки, умения применять эти законы на практике, навыка самостоятельного формулирования ответов на поставленный вопрос и т. д.). Применение традиционных форм контроля самостоятельной работы студентов, например, проведение контроль ных работ, приводит к увеличению нагрузки на преподавателя, (часы на проверку контрольных работ по стандарту третьего поколения не предусмотрены).

Необходимо рациональное использование всех методов контроля, как в письменной, так и в устной или смешанной формах, с представлением продукта творческой деятельности студента. В ка честве форм и методов контроля внеаудиторной самостоятельной работы студентов могут быть ис пользованы в первую очередь практические и семинарские занятия, лабораторные занятия, индиви дуальные задания, коллоквиумы, самоотчеты, зачеты и т. д.


Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы, как любой учебной деятельности, являются: уровень освоения студентом учебного материала, умения студента исполь зовать теоретические знания на практике, сформированность общеучебных умений, обоснованность и четкость при ответе на поставленный вопрос, оформление работы в соответствии с требованиями.

Следовательно, для увеличения продуктивности обучения, необходима оптимизация не только форм контроля, но и заданий для внеаудиторной самостоятельной работы. Для этой цели оказывается важным использовать дифференцированный подход к студентам. После нескольких практических занятий преподаватели, как правило, реально оценивают уровень подготовленности большинства студентов, поэтому уровень сложности заданий для разных студентов может быть различным. Это оптимизирует проверку преподавателем индивидуальных заданий. Возможен и другой подход, когда студенты сами выбирают себе задания по уровню сложности (на определенное количество баллов).

Этот подход интересен тем, что кроме формирования профессиональных компетенций происходит «выравнивание» самооценки личности. Студенты начинают реально оценивать свои способности к той или иной деятельности.

Самостоятельная работа может осуществляться индивидуально или группами студентов, в зависимости от цели, объема, конкретной тематики самостоятельной работы, уровня сложности, уровня умений студентов. Важной является каждая форма организации самостоятельной работы.

При этом индивидуальная форма часто переходит в смешанную или групповую, так при подготовке к практическому занятию по решению задач возникающие затруднения часто устраняются путем «моз гового штурма» заинтересованных в этом студентов. Групповая же работа, например, в студенческих научных обществах складывается из индивидуальной работы каждого члена такого общества. Формы самостоятельной работы студентов определяются содержанием учебной дисциплины и степенью подготовленности студентов. Они могут быть тесно связаны с теоретическими курсами и иметь как учебный, так и учебно-исследовательский характер.

Для организации самостоятельной работы студентов необходимо выполнение следующих условий: готовность студентов к самостоятельным действиям, присутствие мотива к получению зна ний, наличие и доступность необходимого учебного, научного, учебно-методического и справочного материала, система регулярного контроля качества выполненной работы, наличие консультаций пре подавателей.

Совершенно естественным является тот факт, что вид, формы и содержание, а также формы контроля самостоятельной работы студентов выбирает ведущий преподаватель при разработке учебной программы дисциплины и составлении технологической карты на основе учебного плана и государственного стандарта направления профессиональной подготовки выпускника вуза.

На кафедре физики и методики обучения физике АлтГПА для организации контроля студентов предприняты следующие шаги: разработаны и изданы рабочие тетради практически по всем темам изучаемого материала, опубликованы учебно-методические пособия для студентов с методическими рекомендациями по самостоятельному изучению программного материала, в том числе сборники за дач для самостоятельной работы с примерами их решения и ответами для самоконтроля. Изданы краткий курс лекций по дисциплинам, включающий в себя вопросы для самоподготовки, тестовые за дания для самоконтроля и критерии самооценки для студентов. Эти материалы позволяют оптимизи ровать работу студентов и преподавателей в процессе обучения.

УДК 372. НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ NON-STANDARD TASKS IN MATHEMATICS Курусканова Л. С., студент Научный руководитель: Деев М. Е., канд. Физ.-мат. наук, доцент ФГБОУ ВПО «Горно-Алтайский государственный университет» (ГАГУ) Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск, milaya_lar@mail.ru Аннотация. В статье рассмотрены некоторые вопросы усвоения решения нестандартных за дач по математике.

Ключевые слова: нестандартные задачи, уравнения, понимание, параметры.

Summary. In article some questions of assimilation of the solution of non-standard tasks of mathemat ics are considered.

Key words: non-standard tasks, equations, understanding, parameters.

В методической литературе рассматривается три уровня, познания математики:

1) уровень общих знаний: определение понятий, свойства объектов, основные алгоритмы и т.п.;

2) уровень понимания: умение выделить составляющие понятия, объяснить между ними связи, использовать в конкретной ситуации определенные алгоритмы или их комбинацию;

3) компетентный уровень: умение применить свои знания в незнакомой ситуации, способность эффективно решать проблемные ситуации, овладевать новой информацией для успешного примене ния ее в конкретных условиях.

Цель учителя математики – развить у учащихся интерес к предмету, пространственное вооб ражение, интеллектуальные и творческие способности, интуицию, умение анализировать, сравни вать, находить закономерности, доказывать, опровергать, размышлять, искать пути решения про блем.

Современное математическое образование связано не только с приобретением теоретиче ских знаний и их применением в практической деятельности, но и с осмыслением и принятием реше ний в самых разных жизненных ситуациях. В современной школе акценты смещаются со знаний на компетентный подход к образованию, поэтому перед учителем стоит задача не только в том, чтобы передать учащимся знания, умения и навыки, соответствующие программе, но и в том, чтобы подго товить их самостоятельно принимать решения и действовать в новых условиях и нестандартных си туациях, решать проблемы, овладевать навыками на более высоком уровне.

Мы убедились в этом: во-первых, при подготовке учащихся к единому государственному экза мену по математике.

Анализируя сборник «Экзаменационные материалы для подготовки к ЕГЭ по математике»

сразу же обращается внимание на задачи, которые не встречаются в школьном учебнике, не являют ся типичными, не знакомы учащимся. Это нестандартные текстовые задачи, задачи с параметрами, неоднородные уравнения и системы уравнений и неравенств, комбинированные геометрические за дачи и другие задания. Конечно же столкнулась с тем, что такие задачи мои ученики не умеют ре шать, потому что аналогичные задачи практически не встречались.

При анализе спецификации экзаменационной работы выявила следующее: хотя основными документами, определяющими содержание экзаменационной работы являются Обязательный мини мум содержания основного общего и среднего (полного) общего образования по предмету, а так же Программы для общеобразовательных школ, и в первой части работы содержатся задания базового уровня, при выполнении которых от учащихся требуется применить свои знания в знакомой ситуации, то уже во второй части содержатся задания повышенного уровня, при решении которых от учащихся требуется применить свои знания в измененной ситуации, а в третью часть включены три самых сложных задания, при решении которых учащимся надо применить свои знания в новой ситуации.

При решении задач из этой части от учащихся требуется проанализировать ситуацию, самостоятель но разработать ее математическую модель и способ решения, провести обоснование, доказательство и математически грамотно записать полученное решение.

Развитие креативного мышления позволяет реализовать человеку свой творческий потенци ал, свою индивидуальность, а помочь и поддержать в этом может учитель.

Креативность – способность порождать необычные идеи, отклонение от традиционных схем мышления, быстро решать проблемные ситуации.(словарь практического психолога).

П.Торрес под креативностью понимает « … копать глубже, смотреть лучше, исправлять ошибки, нырять в глубину, беседовать с кошкой, проходить сквозь стену, зажигать солнце, строить замок на песке, приветствовать будущее».

Д. Гильфорт определил 4 особенности креативного мышления:

– Оригинальность и необычность высказываний, стремление к новизне;

– Семантическая гибкость мышления (способность видеть объект под разными углами зрения) – Образная адаптивная гибкости (способность изменить восприятие объекта таким образом, чтобы видеть его новые или скрытые стороны);

– Способность продуцировать разнообразные идеи, чтобы активировать творческое мышле ние младших школьников (он рекомендует использовать « Мозговой штурм»).

К сожалению, в современной школе, особенно по традиционной программе, развитию креа тивного мышления детей уделяется пока ещё крайне мало времени. Одной из форм его развития яв ляются творческие задачи. Они реализуют следующие цели:

– развитие творческих качеств и познавательной активности учащихся на уроках математики, способность самостоятельно мыслить, умение планировать свою деятельности;

– формирование беглости мышления, гибкости ума, любознательности, нестандартного мыш ления;

– создание у ребенка достаточно широкого и яркого представления о мире, в котором он живет.

– воспитание доверия к собственным силам и интерес к другому мнению, отстаивание своих нравственных позиций.

Опыт показывает, что уроки математики очень оживляют учебные задания творческого харак тера, связанные с их составлением и преобразованием, способствующие реализации не только обра зовательных, но и развивающих целей. Использование творческих заданий отличается тем, что при нимает форму игровой деятельности, что очень привлекательно именно для младшего школьника.

Успех при выполнении задания пробуждает интерес к учебе, создается эмоциональный положитель ный фон.

Можно ли добиться того, чтобы ребёнок стал «умнее», «способнее», «одареннее»? Конечно, если развитием умственных способностей заниматься так же регулярно, как тренируются в развитии выносливости, силы и других подобных качеств. Если ребёнок постоянно тренирует свой ум, решает трудные задачи, действует активно, самостоятельно находит верные решения в нестандартных ситу ациях – результат обязательно будет.

Как известно, неспособных детей нет, нужно просто помочь ребёнку развить его способности, сделать процесс увлекательным и интересным. Главное начать как можно раньше и результат можно будет увидеть уже в конце 1 класса. Постоянно возникает вопрос «Нужна ли олимпиада по математи ке в начальной школе?» Необходима. Но как в условиях традиционной программы подготовить де тей? Нельзя ограничивать детей школьной программой. Надо раскрепостить мышление ученика, ис пользовать те богатейшие возможности, которые дала ему природа. Поэтому можно даже на уроке найти 5–10 минут на решение нестандартных задач, развивающих логику и смекалку, направленных на развитие творчества ребенка.

Такие занятия помогают сформулировать собственную точку зрения, воспитывают в детях до верие к собственным силам и интерес к другому мнению, учат культуре общения. Очень хорошо если этому можно посвятить целый урок. Способствует развитию креативности и факультативные занятия.

Немало важной ступенью в развитии креативного мышления является обучение решению задач по знавательного, поискового и творческого характера.

Библиографический список:

1. Антипов И. Н. Символы, обозначения, понятия школьного курса математики / И. Н. Антипов, Шварцбург Л. C. – М.: Просвещение, 1990. – 237 с.

2. Ветров А. А. Семиотика и ее основные проблемы / А. А. Ветров. – М.: Политиздат 1968.- 196с.

3. Гельфман Э. Г. Знакомимся с алгеброй / Э. Г. Гельфман [и др.]. – Томск: Издательство Том ского университета, 1993. – 56 с.

4. Саламатова Г. И. Воображение как компонент творчества при изучении математики / Г. И.

Саламатова // Начальная школа. Плюс до и после. – 2004. - № 9. – С. 47-48.

5. Бушаева Л. С. Активизация творческого мышления младших школьников / Л. С. Бушуева // Начальная школа. Плюс до и после. – 2006. – №4. – С. 33-36.

6. Холодова О. В. Юным умникам и умницам: Задания по развитию творческих способностей:

методическое пособие. 1 класс / О. В. Холодов. – 2 изд. – М.: Росткнига, 2005.

УДК 372. ПРОБЛЕМЫ УСВОЕНИЯ ЯЗЫКА МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ PROBLEMS OF LANGUAGE ACQUISITION OF SCHOOL Шипилова Т. В., студент Научный руководитель: Пуркина В. Ф., канд. пед. наук, доцент ФГБОУ ВПО «Горно-Алтайский государственный университет» (ГАГУ) Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск, sipilovatata@mail.ru Аннотация. В статье рассмотрены некоторые проблемы усвоения языка школьной матема тики в процессе обучения школьников математике.

Ключевые слова: знаковая система, семиотика, семантика, синтактика, прагматика.

Summary. The paper considers some of the problems of learning a language school mathematics students in learning mathematics.

Key words: system of signs, semiotics, semantics, syntactics, pragmatics.

Математика это не только предмет, но и язык, без которого не может обойтись ни одна наука. В последние годы, в научно-методической литературе, все более широкое признание получает тезис о том, что школьный предмет математика очень близок к филологическим предметам (А. Г. Мордкович).

Действительно, математика – наука о математических моделях. Модели строятся из определенных знаков (цифр, букв, символов, графиков и т.д.), по определенным правилам (синтаксис) и имеет опре деленный смысл (семантику), как и знаки любого естественного языка, и потому могут изучаться с се миотической точки зрения.

К сожалению, в настоящее время в школе изучение математики сводится к заучиванию опре деленных формул и применению их для решения типовых задач, при этом обучающиеся часто не по нимают их смысла, т.е. семантику языка школьной математики, это негативно сказывается на каче стве и уровне их подготовки в области математики. В научно-методической литературе и практике данная проблема недостаточно освещена, и это лишь подчеркивает ее актуальность и необходимость дополнительного рассмотрения.

Повышение уровня языковой культуры школьной математики у обучающихся, существенно по высит процент успеваемости. Необходимо рассматривать язык школьной математики, как знаковую систему, включающую в себя, знаковую систему естественных языков и специальных знаковых кон струкций, чтобы раскрыть семиотический аспект знаковых систем школьной математики и показать его роль в процессе обучения. Для этого необходимо:

1. Рассмотреть развитие представления о знаках и языках.

2. Раскрыть особенности языка школьной математики.

3. Описать синтаксис и раскрыть общую семантику языка школьной алгебры.

4. Провести семиотический анализ базовых понятий школьной алгебры.

Вопросы, связанные с природой знаковых систем и с возникновением языков общения, с древ нейших времен интересовали лингвистов и философов. Еще в IV в. до н.э., древнегреческий философ Платон (427-347 гг. до н.э.), говоря о происхождении слов (имен, названий), сравнивал язык с инстру ментом: «... имя есть некое орудие обучения и распределения сущностей, как, скажем, челнок — ору дие распределения нити».

В Средние века возобладала теория божественного происхождения языка. В практическом плане теория божественного происхождения языка проявлялась в многочисленных попытках поиска некоего божественного языка (праязыка), якобы существовавшего до вавилонского столпотворения. В конце XVII - начале XVIII в. Рене Декарт (1596-1650), отвергал идею божественного происхождения языка. Предпосылкой для развития языка как орудия мышления Декарт считал врожденные, имеющи еся у человека от рождения, представления или идеи.

Немецкий философ и математик Готфрид Лейбниц (1646-1716) создал теорию исторического происхождения языков, развил учение о происхождении названий. В конце XIX – начале XX в. возник ло новое направления, получившего название лингвистический структурализм. Основоположником структурной лингвистики принято считать швейцарского языковеда Фердинанда де Соссюра (1857 1913), который высказал ряд принципиальных положений, оказавших значительное влияние на даль нейшее развитие науки о знаках.

В частности, он выделил три основных аспекта изучения знака и знаковой системы: синтакти ку – внутренние, структурные свойства знаковых систем, правильность построения знаков, семантику – отношение знаков к обозначаемому (содержание знаков) и прагматику – полезность, ценность знака с точки зрения пользователя – интерпретатора знака. Соссюр пришел к заключению, что лингвистика может рассматриваться как составная часть науки, названной им семиологией (современное название – семиотика), целью которой является изучение природы знаков и законов, ими управляющих.

Окончательно наука, изучающая любые системы знаков, применяемых в человеческих обще ствах, сформировалась благодаря работам американского математика Чарльза Пирса (1839-1914), который, собственно, и предложил для нее название семиотика. Пирс создал классификацию знаков, разделив их на три группы.

К первой он отнес иконические знаки, то есть имеющие сходство с обозначаемым;

символь ные, которые не имеют ничего общего с обозначаемым, это большинство слов любого разговорного языка;

индексальные знаки, связаны с обозначаемым по смежности, то есть не будучи похожими на обозначаемый предмет, они тем не менее вызывают определенные ассоциации с ним.

Всякое научное знание формируется, получает свое выражение и определяется в определен ных знаковых системах. Знаки в процессе формирования понятий являются средством фиксации элементов структуры этих понятий.

Структура понятий отражается в структуре соответствующей знаковой системе. Благодаря этому удается фиксировать содержание знания, выразив его в устной форме.

Следует также отметить, что знаки служат не только средством фиксации знания, но и явля ются орудием его добывания и развития.

Таким образом, в процессе познавательной деятельности формирования того или иного поня тия неразрывно связано с изучениями знаковых систем, с выяснением их функций. Благодаря знакам, познание движется от конкретного содержания к его формальному выражению, от простого к сложно му, находя с каждым рабом все большую сферу своего применения в науке, технике.

Библиографический список:

1. Антипов И. Н. Символы, обозначения, понятия школьного курса математики / И. Н. Антипов, Л. C. Шварцбург– М.: Просвещение, 1990. – 237 с.

2. Ветров А. А. Семиотика и ее основные проблемы / А. А. Ветров. – М.: Политиздат 1968. – 196 с.

3. Гельфман Э. Г. Знакомимся с алгеброй / Э. Г. Гельфман [и др.]. – Томск: Издательство Томского университета, 1993. – 56 с.

УДК 372. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДИКА ИХ ИЗУЧЕНИЯ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ MATHEMATICAL CONCEPTS AND TECHNIQUE OF THEIR STUDYING OF THE SCHOOL COURSE Калкина С. О., студент ОЗО ФМФ ГАГУ Научный руководитель: Пахаева Н. А., доцент ФГБОУ ВПО «Горно-Алтайский государственный университет» (ГАГУ) Республика Алтай, г. Горно-Алтайск, kalkina@yandex.ru Аннотация. В статье представлены математические понятия и их классификации.

Ключевые слова: понимание и формирование математических понятий, классификации понятий.

Summary. Mathematical concepts and their classifications are presented in article.

Key words: understanding and formation of mathematical concepts, classifications of concepts.

В системе знаний об объектах и предметах окружающей действительности понятия служат опорным моментом в ее познании и являются своеобразным итогом познания. Поэтому понятия яв ляются одной из главных составляющих в содержании любого учебного предмета, в том числе – предметов начальной школы.



Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |   ...   | 24 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.