авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 24 |

««ИНФОРМАЦИЯ И ОБРАЗОВАНИЕ: ГРАНИЦЫ КОММУНИКАЦИЙ» INFO’13 INFORMATION AND EDUCATION: BORDERS OF COMMUNICATION Министерство образования и науки Российской Федерации ...»

-- [ Страница 20 ] --

Образования понятий, переход к ним от чувственных форм отражения – сложный процесс, в ко тором применяются такие приемы умственной деятельности, как анализ, синтез, сравнение, класси фикация, обобщение, абстрагирование. Понятие – «это мысль, в которой отражаются общие, и при том существенные свойства предметов. Вместе с тем понятие не только отражают общее, но и рас членяют вещи, группируют их, классифицируют в соответствии с их различиями» [1, с. 34].

Классификация является частным случаем деления – логической операции над понятиями. Де ление – это распределение на группы тех предметов, которые мыслятся в исходном понятии. Клас сификация представляет собой многоступенчатое, разветвленное деление. В процессе классифика ции образуется система изучаемых понятий. Полезны классификации при повторении, так как при этом систематизируется изучаемый материал, ученики получают более полное представление о вза имосвязях между понятиями и о системе математических понятий.

В школьной практике многие учителя добиваются от учеников заучивания определений понятий и требуют знания их основных доказываемых свойств. Однако результаты такого обучения обычно незначительны. Это происходит потому, что большинство учащихся, применяя понятия, усвоенные в школе, опираются на малосущественные признаки, существенные же признаки понятий ученики осо знают и воспроизводят только при ответе на вопросы, требующие определения понятия. Часто уча щиеся безошибочно воспроизводят понятия, то есть обнаруживают знание его существенных призна ков, но применить эти знания на практике не могут, опираются на те случайные признаки, выделен ные благодаря непосредственному опыту. Процессом усвоения понятий можно управлять, формиро вать их с заданными качествами [2, с. 98].

Достигается это через выполнение следующей системы условий:

1. Наличие адекватного действия: оно должно быть направлено на существенные свойства.

Выбор действия определяется, прежде всего, целью усвоения понятия.

2. Знание состава используемого действия. Так, действие распознавания включает:

а) актуализацию системы необходимых и достаточных свойств понятия;

б) проверку каждого из них в предлагаемых объектах;

в) оценку полученных результатов с помощью одного из логических правил распознавания.

При раскрытии содержания действия особое внимание уделяется его ориентировочной основе, которая должна быть не только адекватной, но и полной.

3. Все элементы действия представлены во внешней, материальной (или материализованной) форме. Применительно к действию подведения под понятие это выглядит следующим образом. Си стема необходимых и достаточных признаков понятия выписывается не карточку, эти признаки мате риализуются.

4. Поэтапное формирование введенного действия. В случае использования действия подведе ния под понятие проведение его через основные этапы осуществляется следующим образом. На эта пе предварительного знакомства с действием учащемуся, после создания проблемной ситуации, рас крывают назначение действия подведения под понятие, важность проверки всей системы необходи мых и достаточных признаков, возможность получения разных результатов, все это поясняя на кон кретных случаях в материализованной форме. После этого учащемуся предлагается самому выпол нить действие.

5. Наличие пооперационного контроля при усвоении новых форм действия. Контроль лишь по конечному продукту действия не позволяет следить за содержанием и формой выполняемой учащи мися деятельности. Пооперационный контроль обеспечивает знание и того, и другого. При формиро вании понятий с помощью действия подведения под понятие в качестве операций выступает провер ка каждого признака, сравнение с логическим правилом и так далее.

Естественно, что перед формированием действия подведения под понятие необходимо уста новить исходный уровень познавательной деятельности учащихся и произвести формирование необ ходимых предварительных знаний и действий.

6. Осознанность усвоения. Все учащиеся при работе с понятиями должны правильно аргумен тировать свои действия, указывая при этом основания, на которые они опирались при ответе.

7. Уверенность учащихся в знаниях и действиях.

9. Отсутствие связанности чувственными свойствами предметов. При школьном обучении обу чающиеся лишены адекватной ориентировочной основы, поэтому они учатся дифференцировать предметы, опираясь на те их свойства, которые лежат на поверхности.

10. Обобщенность понятий и действий.

11. Прочность сформированных понятий и действий. Сформированные знания и действия не только приводят к правильным ответам, но и сохраняют все рассмотренные качества: разумность, сознательность.

Понятия являются одной из главной составляющих в содержании любого учебного предмета начальной школы, поэтому задача учителя обеспечить полноценное усвоение понятий.

Библиографический список:

1. Талызина Н. Ф. Педагогическая психология / Н. Ф.Талызина. – М.: Академия, 1998. – 288 с.

2. Ерышев А. А. Логика: курс лекций / Н. Н. Ерышев, Н. П. Лукашевич, Е. Ф. Сластенко. – 3-е изд. перераб. и доп. – К.: МАУП, 2000. – 184 с.

УДК 372. ИЗУЧЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ STUDYING OF THE TRIGONOMETRICAL EQUATIONS AND INEQUALITIES IN SCHOOL COURSE OF MATHEMATICS Кухаева Ч. А. студентка ФМФ ГАГУ Научный руководитель: Соловьева Л. А., старший преподаватель ФГБОУ ВПО «Горно-Алтайский государственный университет» (ГАГУ) Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск Аннотация. Тригонометрические уравнения и неравенства занимают одно из центральных мест в курсе математики средней школы, как по содержанию учебного материала, так и по способам учебно-познавательной деятельности.

Ключевые слова: Тригонометрические уравнения, тригонометрические неравенства, школь ный курс, математика.

Summary. The trigonometrical equations and inequalities occupy one of the central places in a course of mathematics of high school, both according to the maintenance of a training material, and on ways of educational and informative activity.

Key words: Studying, trigonometrical equations, trigonometrical inequalities, school course, mathe matics.

Тригонометрия является одним из наиболее молодых отделов элементарной математики, по лучивших окончательное оформление лишь в XVIII в., хотя отдельные идеи её относятся к глубокой древности, к античному миру и к математическому творчеству индусов (К. Птолемей, II в., Аль Батта ни, IX в., и др.). Европейские математики достигли высокой степени совершенства в вычислении таб лиц натуральных синусов и тангенсов (Региомонтанус, XV в., Ретикус и Питискус, XVI в., и др.).

Само название «тригонометрия» греческого происхождения, обозначающее «измерение тре угольников»: (тригонон) – треугольник, (метрейн) – измерение [2, c. 110].

Научная разработка тригонометрии осуществлена Л. Эйлером в его труде «Jntroductio in anal ysis infinitorum» (1748). Он создал тригонометрию как науку о функциях, дал ей аналитическое изло жение, вывел всю совокупность формул из немногих основных формул. Обозначение сторон малыми буквами и противолежащих углов – соответствующими большими буквами позволило ему упростить все формулы, внести в них ясность и стройность.

Эйлеру принадлежит мысль рассматривать тригонометрические функции как отношения со ответствующих линий к радиусу круга, т.е. как числа, причем радиус круга как «полный синус» он при нял за единицу. Эйлер получил ряд новых соотношений, установил связь тригонометрических функ ций с показателями, дал правило знаков функций для всех четвертей, получил обобщенную формулу приведения и освободил тригонометрию от многих ошибок, которые допускались почти во всех евро пейских учебниках математики.

Сочинение Л.Эйлера в дальнейшем послужило фундаментом для учебников тригонометрии.

Одно из первых руководств, «Сокращенная математика» С. Румовского (1760), отдел «Начальные основания плоской тригонометрии», начинает изложение следующим образом: «Тригонометрия плос кая есть знание через Арифметические выкладки сыскивать треугольники, которые геометрия черче ньем находит». Всё изложение сводится к решению треугольников (самые простые случаи), вычисле ния проводятся весьма сложным путём, учение о функциях отсутствует.

Таким образом, тригонометрия возникла на геометрической основе, имела геометрический язык и применялась к решению геометрических задач. Развитие алгебраической символики позволи ло записывать тригонометрические соотношения в виде формул;

применение отрицательных чисел позволило рассматривать направленные углы и дуги и распространить понятие тригонометрических линий (определенных отрезков в круге) для любых углов.

В этот период создалась база для изучения тригонометрических функций как функций число вого аргумента, основа аналитической теории тригонометрических (круговых) функций. Аналитиче ский аппарат, позволяющий вычислять значения тригонометрических функций с любой степенью точ ности, был разработан Ньютоном [4, c. 56].

Современный вид тригонометрия получила в трудах великого ученого, члена Российской ака демии наук Л. Эйлера (1707-1783). Эйлер стал рассматривать значения тригонометрических функций как числа-величины тригонометрических линий в круге, радиус которого принят за единицу («триго нометрический круг» или «единичная окружность»). Эйлер дал окончательное решение о знаках три гонометрических функций в разных четвертях, вывел все тригонометрические формулы из несколь ких основных, установил несколько неизвестных до него формул, ввел единообразные обозначения.

Именно в его трудах впервые встречаются записи. Он также открыл связь между тригонометрическими и показательной функциями от комплексного аргумента. На осно вании работ Л. Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.

Аналитическое (не зависящее от геометрии) построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, получило завершение в трудах великого русского ученого Н. И. Лобачевского.

Современная точка зрения на тригонометрические функции как на функции числового аргу мента во многом обусловлена развитием физики, механики, техники. Эти функции легли в основу ма тематического аппарата, при помощи которого изучаются различные периодические процессы: коле бательные движения, распространение волн, движения механизмов, колебание переменного элек трического тока.

Как показал Ж. Фурье (1768-1830), всякое периодическое движение с любой степенью точно сти можно представить в виде суммы простейших синусоидальных (гармонических) колебаний.

Шаг вперёд делает академик М. В. Остроградский в 1851 г. В своём конспекте по тригономет рии для руководства в военно-учебных заведениях он выступает как сторонник определения триго нометрических функций, на первом этапе их изучения, как отношений сторон в прямоугольном тре угольнике с последующим обобщением их определения и распространением его на углы любой вели чины [5, c. 87].

Библиографический список:

1. Аджоева А. Тригонометрические уравнения / А. Аджоева // Математика. Приложение к газе те «Первое сентября». – 2001. – № 33.

2. Ардова И. А. Модульный урок в X классе по теме «Решение тригонометрических уравне ний» / И. А. Ардова, И. В. Ромашка // Математика в школе. – 2001. – № 4. – С. 28-32.

3. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа. 10-11: учебное пособие для 10-11 кл. средней школы / М. И. Башмаков. – М.: Просвещение, 1998. – 335 с.: ил.

4. Водинчар М. И. Метод концентрических окружностей для систем тригонометрических нера венств / М. И. Водинчар [и др.] // Математика в школе, 1999. – № 4. – С. 73-77.

5. Гилемханов Р. Г. Освободимся от лишней работы (при решении однородных триг. уравне ний) / Р. Г. Гилемханов // Математика в школе. - 2000. – № 10. – С. 9.

УДК 372. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИНТЕРАКТИВНОЙ ДОСКИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЛИНИИ В 7-9 КЛАССАХ METHODICAL FEATURES OF USE OF THE INTERACTIVE BOARD WHEN STUDYING THE FUNCTIONAL LINE IN 7-9 CLASSES Жулаев Н. А., студент Научный руководитель: Соловьева Л. А., старший преподаватель ФГБОУ ВПО «Горно-Алтайский государственный университет» (ГАГУ) Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск, Wot1902@ya.ru Аннотация. В работе рассмотрен вопрос о внедрении инновационных технологий в образо вании, раскрыто значение принципа наглядности в обучении, рассмотрены возможности внедрения компьютерных технологий на примере изучения темы «Функциональная линия», отражены три основ ных направления развертывания функциональной линии в школьном курсе математики.

Ключевые слова: информационные и коммуникационные технологии, использование интер активной доски, функция, методические рекомендации.

Summary. In work the question of introduction of innovative technologies in education is considered, value of the principle of presentation in training is opened, possibilities of introduction of computer technolo gies on the example of subject «Functional Line» studying are considered, three main directions of expan sion of the functional line in a school course of mathematics are reflected.

Key words: information and communication technologies, use of an interactive board, function, me thodical recommendations.

Статья посвящена развитию и применению новых информационных и коммуникационных тех нологий в школьном образовании, обсуждаемых на страницах всех методических газет и журналов.

При этом не каждому учителю, безусловно, очевидна целесообразность применения информацион ных технологий для обучения в школе. Богатейшие возможности представления информации на ком пьютере позволяют изменять и неограниченно дополнять образование. Как показывает опыт, выпол нение любого задания, упражнения с помощью компьютера создает возможность для повышения ин тенсивности урока;

использование вариативного материала и различных режимов работы способ ствует индивидуализации обучения. Таким образом, информационные технологии в совокупности с правильно подобранными технологиями обучения создают необходимый уровень качества, диффе ренциации обучения.

В настоящее время активно начинают применяться средства информатизации образования.

Они могут способствовать более глубокому и осознанному усвоению изучаемого материала. Однако учителя, в том числе учителя математики, не всегда знают об эффективности тех или иных средств информатизации образовании. Появление в современной школе интерактивной досок требует от учи телей не только их использования, но использования эффективного и целесообразного, для обучения своему предмету.

В связи с новыми открытиями в сфере визуального мышления человека и свойств его памяти принцип наглядности в дидактике, начиная с XVII века, вызывает огромный интерес у многих психоло гов и педагогов. Впервые теоретически обосновал данный принцип чешский педагог Я.А. Коменский, который выдвинул требование учить людей познавать сами вещи, а не только чужие свидетельства о них, по следующим правилам: «от близкого к далекому», «от простого к сложному», «от более просто го к более трудному», «от известного к неизвестному».

Любая наглядность связана с чувственным отражением действительности. Существует три формы чувственного отражения: ощущения, восприятия, представления. При этом следует обратить внимание, что даже простые ощущения появляются не в рецепторах, а коре головного мозга. Исполь зуя любую наглядность в учебном процессе, мы не должны упускать из вида, что «образу» свой ственно не совпадение с объектом, а лишь его соответствие объекту. «Образ» – это не зеркальная копия вещи, а нечто, соответствующее ей, согласующееся с ней и не более того.

Одной из задач в современных условиях является внедрение информационных технологий на всех уровнях образовательной системы и информационное наполнение компьютерных сетей систе мы образования. В истории информатизации образования выделяют следующие этапы.

Период с начала 50-х и до начала 70-х годов принято считать первым этапом на пути внедре ния компьютерных обучающих средств в процесс образования. Использование компьютерных средств в этот период не повысила эффективность обучения, поскольку не изменилась традиционная система организации обучения и отсутствовала возможность персонального доступа обучаемого к компьютеру. Компьютерные программы использовались лишь в качестве тренажеров и контролиру ющих средств.

Второй этап относится к 70-80 годам и связан с внедрением персональных компьютеров в об разовательные системы. Помимо контролирующих программ появляются программы информацион ного характера, что способствовало развитию новых форм обучения.

Третий этап датируется 80-90 годами и характеризуется расширением парка персональных компьютеров. Именно третий этап дает начало инновационному обучению с помощью компьютеров, превосходящему традиционные образовательные технологии. На этом этапе компьютеризация обу чения используется в качестве поддержки самостоятельной работы.

Начиная с 2000 года можно выделить четвертый этап в развитии информатизации образова ния. Этот этап связан с активным развитием сетевых технологий доступа к образовательным ресур сам и объединением информационных, обучающих и контролирующих программ в виртуальные кур сы, обеспечивающие открытость образовательных процессов [1].

Поэтому на рубеже тысячелетий образование превращается в один из источников самых цен ных стратегических ресурсов – человеческого капитала и знаний, что, в конечном счете, определяет общий уровень развития общества. И главным ускорителем его развития становится информатиза ция. Информатизация общества, в свою очередь, практически невозможна без компьютеризации си стемы образования, в силу чего эта проблема по своей значимости выходит сейчас на первое место в педагогической науке. Приоритетность этой проблемы усиливается еще и тем, что она является принципиально новой. Возникнув вместе с появлением компьютера формируя свою научную базу од новременно во всех необходимых сферах – философии, психологии, педагогике и методике. Это об стоятельство, в сочетании с крайней практической необходимостью, придает проблеме компьютери зации образования повышенную актуальность, выводит ее на первое место в группе первоочередных задач современной педагогики [2].

Как правило, учителя с опаской и осторожностью относятся к активному вмешательству ком пьютерной техники в привычный ход урока. С одной стороны, такой консерватизм вполне понятен и даже в некоторой степени полезен для людей этой профессии, но с другой – нет предела совершен ству, и неразумно противиться процессу, направленному на развитие качеств ума учащихся, увели чение набора форм работ и облегчения нелегкого учительского труда.

Известно, как важна индивидуализация обучения. Но при традиционной классно-урочной си стеме возможности индивидуализации обучения очень ограничены. На практике же выходит, что-то объяснение, которое доступно для одних учащихся, для других – недостаточно, а третьим, наоборот, кажется очень подробным. Интерактивные доски позволяют активизировать внимание учащихся.

Вместе с тем появляются их новые возможности, позволяющие учитывать уровень развития познава тельных процессов учащихся при постановке учебных задач и вопросов, при оказании им помощи.

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием функции, его изучение в со временной методике математики организовано в содержательно-методическую линию, функциональ ную линию. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятия функции, способы задания функции, график функции, свойства функций и их элементарное исследование. Выделенным обла стям возникновения и функционирования указанных понятий в алгебре соответствуют три основных направления развертывания функциональной линии в школьном курсе математики.

Функциональная линия тесно связана также и с линией уравнений, неравенств и их систем.

Одна из важнейших таких связей – приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений, к ис следованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функ ций, их корней, промежутков знакопостоянства и т.д.). С другой стороны, функциональная линия ока зывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения.

Интерактивная доска – сенсорный экран, подсоединенный к компьютеру, изображение с кото рого передает на доску через проектор. Достаточно только прикоснуться к поверхности доски, чтобы начать работу. Специальное программное обеспечение позволяет работать с текстами и объектами, делать записи от руки прямо поверх открытых документов и сохранять информацию. Начиная с 7-го класса средней школы, идёт постепенное изучение понятий функциональной линии, а также свойств функций и функциональной зависимостей. Рассматриваются различные классы функций: начиная с простейших линейных функций и их графиков, затем следуют квадратичные функции, функции об ратной пропорциональности и дробно-линейные функции.

Библиографический список:

1. Высоцкий И. Н. Компьютер в образовании / И. Н. Высоцкий // Информатика и образование.

– 2000. – № 1. – С. 86-87.

2. Машбиц Е. И. Компьютеризация обучения: проблемы и перспективы / Е. И. Машбиц. – М.:

Знание, 1986.

УДК 372. ИЗУЧЕНИЕ СИММЕТРИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКЕ SYMMETRY STUDYING IN THE SCHOOL COURSE TO MATHEMATICS Мурадов В. М., студент Научный руководитель: Чугунова И. В., канд. пед. наук, доцент ФГБОУ ВПО «Горно-Алтайский государственный университет» (ГАГУ) Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск, 21047@mail.ru Аннотация. В данной статье рассмотрены проблемы изучения курса симметрии в школьном курсе математики, представлены примеры того, что симметрия встречается, как в обычной жизни, так и в природе.

Ключевые слова: урок, симметрия, искусство, геометрическая фигура, обучение, математи ка, форма обучения.

Summary. In this article problems of studying of a course of symmetry in a school course of mathe matics are considered, examples of are presented that symmetry meets, both in usual life, and in the nature.

Key words: lesson, symmetry, art, geometrical figure, training, mathematics, form of education.

Академик А. В. Шубников, посвятивший изучению симметрии всю свою долгую жизнь, говорил:

«Изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии и осуществляло её в рисунке и в предметах быта. Надо полагать, что применение симметрии в первобытном производстве определялось не только эстетическими мо тивами, но в известной мере и уверенностью человека в большей пригодности для практики правиль ных форм» [1, с. 182].

Под симметрией (от греч. symmetria – соразмерность) в широком смысле понимают правиль ность в строении тела и фигуры. Учение о симметрии представляет собой большую и важную ветвь тесно связанную с науками разных отраслей. С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архи тектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. Симметричны мно гие детали механизмов, например, зубчатые колеса.

Заметим также, что симметрия широко используется в искусстве, особенно в европейском. Но в некоторых восточных культурах, например в японской, также широко используется асимметрия. Та кая, подчеркнуто асимметричная структура, свойственна, в частности, канону дзэнского сада камней.

Аналогичный принцип относится у японцев и к построению изображения на картине, которое должно быть сдвинуто к краю и занимает сравнительно небольшую площадь, уравновешиваясь более значи тельным свободным полем, символизирующим беспредельность мира.

Нам это было интересно, потому что данная тема затрагивает не только математику, хотя она и лежит в её основе, но и другие области науки, техники, природы. Симметрия, как нам кажется, явля ется фундаментом природы, представление о котором слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений людей. Мы обратили внимание на то, что во многих вещах, в основе красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все её виды – от простейших и самых сложных.

Можно говорить о симметрии, как о гармонии пропорций, как о «соразмерности», регулярности и упо рядоченности. Нам захотелось узнать больше не только об особенностях симметрии, но и о том, как она проявляется в тех или иных живых организмах, в неживой природе, как она себя ведет в матема тике и существует ли асимметрия. Симметрия воспринимается нами как элемент красоты вообще и красоты природы в частности. Математики вкладывают в понятие симметрия точный математический смысл, рассматривают специальные виды симметрии и в результате симметрия становится мощным средством математических исследований. Итак, геометрический объект считается симметричным, если с ним можно сделать что-то такое, после чего он останется неизменным. И если говорить о гео метрических объектах, то симметрию можно будет называть геометрической.

Например, пятиконечная звезда, будучи повёрнута на 72° (360°: 5), займёт первоначальное по ложение. Легко вообразить, какая бы царила на Земле неразбериха, если бы симметрия была нару шена: вещи бы были непонятной формы. Таким образом, общим для всех них (геометрических объек тов) принципом симметрии пронизаны многообразные физические и биологические законы гравита ции, электричества и магнетизма, ядерных взаимодействий, наследственности, начиная от текстиль ного производства, кончая тонкими вопросами строения вещества.

Библиографический список:

1. Шубников А. В. Учение о симметрии как основной метод естествознания / А. В. Шубников // Труды ноябрьской юбилейной сессии АН СССР. – Л., 1933. – С.181-193.

УДК 378.046. РАЗВИТИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ КАК РЕСУРС РАЗВИТИЯ ЕГО ПРОФЕССИОНАЛИЗМА DEVELOPMENT OF PROFESSIONAL COMPETENCE MATHEMATICS TEACHER AS RESOURCE OF DEVELOPMENT OF ITS PROFESSIONALISM Темербекова А. А., д-р пед. наук, профессор Байгонакова Г. А., старший преподаватель ФГБОУ ВПО «Горно-Алтайский государственный университет» (ГАГУ) Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск, tealbina@yandex.ru, galyaab@mail.ru Аннотация. В статье рассмотрены пути повышения профессионализма учителя матема тики через систему повышения квалификации. Представлен опыт организации подготовки учителя к итоговой государственной аттестации школьников по математике.

Ключевые слова: образование, обучение, математика, компетентность, профессиональ ная компетентность.

Summary. In article ways of increase of professionalism of the mathematics teacher through pro fessional development system are considered. Experience of the organization of preparation of the teacher to total state certification of school students for mathematics is presented.

Key words: education, training, mathematics, competence, professional competence.

Модернизация российского образования, а также изучение национальных и мировых направ лений развития системы подготовки и переподготовки кадров приводят к необходимости установле ния причинно-следственных связей, проявляющихся в форме ведущих принципов современного об разования, направленных на формирование их профессиональной компетентности. Принципы явля ются исходными положениями в организации данного процесса и одновременно результатами разви тия нового научного знания: целеполагания;

субъектности;

ориентации на ценностное отношение к информации;

вариативности;

диалогичности;

интерактивного обучения;

обратной связи;

индивидуа лизации.

Система формирования профессиональной компетентности учителя в условиях интерактив ных технологий позволяют рассматривать ее, с одной стороны, как часть традиционной образова тельной системы, а, с другой – как самостоятельную систему, направленную на развитие активной творческой деятельности учителя в работе с профессиональной информацией и использованию ее в профессиональной деятельности.

Качественное улучшение обучения школьников напрямую связано с уровнем профессиона лизма учителя.На сегодняшний день основной в системе образования Республики Алтай является проблема подготовки кадров для школы. Основную функцию в этом направлении осуществляет Гор но-Алтайский государственный университет, обладающий богатым научным и научно-методическим потенциалом. Однако проблема решается достаточно сложно, в школах по-прежнему не хватает школьных учителей-математики.

Следует выделить наиболее значимые проблемы в системе повышения квалификации учите ля математики. Наблюдаются: замкнутость и безальтернативность повышения квалификации учите лей, недостаточная материально-техническая база системы повышения квалификации;

преоблада ние информационно-инструктивного характера ведения занятий на курсах. Существующие системы подготовки учителя в рамках регионального образования ограничиваются Республиканским институ том повышения квалификации учителей (РИПКРО). Перспективным структурным элементом регио нальной системы дополнительного профессионального образования является, на наш взгляд, Отдел непрерывного образования на базе Горно-Алтайского государственного университета, научно исследовательские лаборатории и другие структурные подразделения университета.

Проблемы подготовки и переподготовки кадров выявили недостаточную психолого педагогическую подготовленность учителей к проведению итоговых аттестационных мероприятий со школьниками. Так, анализ образовательной практики в Республике Алтай показал, что учителя в ка честве критериев (параметров) учебной деятельности называют: успеваемость, содержание изучае мой темы, уровень усвоения учебного материала. Это говорит о системных проблемах в среде учи Статья выполнена при поддержке РГНФ (номер проекта 13-16-04501), РФФИ (номер проекта 13-01-06810).

тельского корпуса в определении психолого-педагогической структуры технологии обучения и вос приятия процесса обучения как системы.

Следствием такого явления является тот факт, что в понятие «конечный результат обучения»

учителя математики не вкладывают такие характеристики развития личности в процессе обучения, как приобретенные приемы деятельности, мотивы, установки, способы изменения себя, рост само стоятельности, то есть всего того, что позволяет школьнику стать активным субъектом процесса обу чения и саморазвития в предметной области.

В Республике Алтай под руководством Управления образованием Администрации г. Горно Алтайска с учителями математики была проведена научно-методическая работа, ориентированная на развитие профессиональной компетентности учителей. Первоначально было проведено начальное тестирование, в котором приняли участие учителя математики школ города г. Горно-Алтайска. Про педевтическая перед проведением семинаров-практикумов работа ограничила круг проблемных учебных тем, сориентировав тестируемых учителей математики на рассмотрение психолого педагогических и методических особенностей преподавания школьных математических тем, практи ческих приемов и способов обучения школьников математическим дисциплинам, а также мотивиро вала слушателей повышения квалификации на активную предметную работу.

Согласно примерной шкалы перевода первичных баллов в тестовые, ссылаясь на официаль ный сайт: http://4ege.ru/materials_podgotovka/2797-perevod-ballov-ege-v-ocenki.html, были определены первичные баллы и оценки по набранным баллам. Первичное тестирование показало, что 35,50% респондентов набрали от 65 до 100 баллов, 45% тестирующихся – от 47 до 64 баллов.

По каждому заданию были построены типовые диаграммы. По результатам тестирования определены проблемные темы, вызвавшие у тестирующихся наибольшие затруднения. К ним относятся:

– Преобразования тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнения и нера венства. Решение тригонометрических уравнений и неравенств (C1).

– Планиметрические задачи. Свойства геометрических фигур на плоскости. Исследование геометрических мест точек (C2).

– Решение задач высокого уровня сложности. Неравенства с модулем. Преобразование вы ражений, включающих операцию логарифмирования. Логарифмические уравнения и неравенства (C3).

– Решение задач высокого уровня сложности. Стереометрические задачи. Построения в про странстве. Объемы и площади поверхностей многогранников (C4).

– Решение задач высокого уровня сложности. Уравнения и неравенства с параметром. Мето ды решения уравнений и неравенств с параметрами (C5).

– Решение задач высокого уровня сложности. Решение уравнений в целых числах. Алгебраи ческие задачи. Исследовательские задачи (C6).

Разработана программа семинаров-практикумов для учителей школ города г. Горно-Алтайска.

В программе по каждому типу заданий: общие подходы и различные методы решения задач;

ошибки, допускаемые учащимися при выполнении определенного типа заданий, раскрытие возможных путей их избежания;

способы и приемы проверки правильности решения;

ресурсы, используемые при под готовке школьников к ЕГЭ;

дидактические материалы в помощь учителю и ученику.

Формирование профессиональных качеств учителей математики проводилось на базе Горно Алтайского государственного университета. Курсы осуществлялись по программе «Организация и проведение итоговой государственной аттестации по математике школьников 9-х и 11-х классов».

Программа была рассчитана на 36 часов. Основную нагрузку в этой работе приняла на себя кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики. В рамках проведенных семинаров практикумов прошли обучение две группы учителей. На курсах работали преподаватели: Давыдкин И. Б., к.ф.-м.н., доцент кафедры математического анализа;

Темербекова А. А., д.п.н., зав. кафедрой АГиМПМ;

Деев М. Е., к.ф.-м. н., доцент кафедры АГиМПМ;

Пахаева Н. А., доцент кафедры АГиМПМ;

Байгонакова Г.А., старший преподаватель кафедры АГиМПМ.

На семинарах-практикумах обучающиеся, наряду с традиционными учебными тематиками по лучили знания по методическим особенностям преподавания отдельных школьных дисциплин, например, методы исследования функций, практическая направленность темы производная: дей f ( x ) 0, ствия с функциями, экстремумы, максимальное и минимальное значение функции: k=tg= методы, измерений геометрических величин, методы работы с лементами теории вероятностей, планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи), уравнения и не равенства с параметрами, графический способ решения задач с параметром, различные способы решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, сложные исследовательские задачи, по строение простейших математических моделей, комплексные стереометрические задачи. Разные ме тоды (арифметический, геометрический, векторно-координатный и др.) для решения комплексных стереометрических задач, прикладные (физические, астрономические, экономические и др.) задачи, практические расчёты по формулам.

Сравнительную характеристику результатов тестирования можно посмотреть на рисунке 1.

Так, если при первом тестирований хорошие и отличные результаты получены у 83,64% тестируемых, то на конечном этапе тестирования такие результаты достигнуты у 97% обучающихся на семинарах практикумах учителей.

Рисунок 1 – Сравнительная характеристика тестов На указанной ниже диаграмме (рис. 2) реально видна положительная динамика, согласно которой можно сделать вывод об эффективности проведенной научно-методической работы с городскими учителями математики. В перспективе предполагается данный опыт распространить на проведение таких же семинаров-практикумов для чителей математики районных школ республики.

Рисунок 2 – Результаты тестирования О результативности курсов можно судить по полученным по анкетировании ответам. Так, на вопрос «Что понравились на курсах?» респонденты отмечают: высокий профессионализм преподава тельского состава – 67,80%, хорошую организацию – 42,80%, продуктивное общение в профессио нальной среде – 82,10%, возможность выразить свои идеи, пожелания, проекты – 17,80%.

Проведенная совместно с администрацией управления образованием г. Горно-Алтайска ра бота показала не только перспективные направления ее дальнейшего развития, но и высветила про блемы, от решения которых зависит дальнейшая успешная подготовка школьников к итоговой госу дарственной аттестации в 9 и 11 классов.

Кроме того, считаем существенно важным предоставить школьному учителю математики сво боду выбора как образовательной программы повышения квалификации, так и образовательного учреждения, на базе которого должно проходить дополнительное профессиональное образование.

Статья выполнена при поддержке РГНФ Региональный конкурс «Российское могущество при растать будет Сибирью и Ледовитым океаном» (номер проекта 13-16-04501) и при поддержке РФФИ (номер проекта 13-01-06810).

УДК 519. К ВОПРОСУ ОСРЕДНЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ РЕШЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ TO THE QUESTION OF AVERAGING AND RESEARCH OF SOLUTIONS OF THE CASUAL PARABOLIC EQUATIONS Аканбай Н., канд. физ.-мат. наук, профессор Базарбек М. М., магистрант Казахский национальный университет им. Аль-фараби Республика Казахстан, г. Алматы Аннотация. Данная работа посвящена изложению и фактическому пременению одного из таких методов для случайных параболических уравнений.

Ключевые слова: исследование, уравнение, дифференциальное Summary. This work is devoted to a statement and the actual application of one of such methods for the casual parabolic equations.

Key words: research, equation, differential equation, decision, casual parabolic equation, space.

Общеизвестно, какую роль играет в математической физике дифференциальные уравнения с частными производными (обычно их так и называют уравнениями математической физики). Что каса ется случайных уравнений с частными производными, то также хорошо известно, что именно такие уравнения наиболее полно и точно отражают природу физических явлений и те неопределенности, которые присущи им.

Основными проблемами в теории случайных уравнений являются вопросы существования, единственности и измеримости решений. Эти проблемы важны прежде всего с теоретической точки зрения. Для приложений полученное формальное решение случайного уравнения не столь уж важно, потому что зачастую он несет в себе мало информации. Одним из важных задач при этом является задача определения различных вероятностно-статистических характеристик, в частности математического ожидания (среднего значения) найденного решения. Вместе с тем в очень редких случаях удается напрямую найти искомое математическое ожидание. Поэтому приходится прибегнут к тем или иным способам, чтобы найти это осредненное решение.

Данная работа посвящена изложению и фактическому пременению одного из таких методов для случайных параболических уравнений. Приведем сначала ряд известных фактов из теории случайных процессов и параболических уравнений.

Пусть в банаховом пространстве E задана полугруппа ограниченных линейных операторов,0, =E (тождественный оператор). Тогда инфинитезимальным оператором этой t полугруппы операторов (обозначим его через A) называется предел в смыс ле сходимости по норме ( f -область определения A, если существует вышеуказанной предел).

Таким образом, Af = ( ). Ясно, что -линейное подпространство(хотя, во обще говоря, незамкнутое), A- линейный оператор.

Далее, пусть,t 0,-однородный марковский процесс, P(t,x ) - его переходная функция ( x X- пространство значений, -сигма алгебра на X, причем предполагается, что в Х все одноточечные множества измеримы). К этим однородным переходным функциям поставим в соответствие операторы соотношением: f(x)= где f(x) –пространство -измеримыхфункций с нормой =.

Это семейство операторов образуют однопараметрическую полугруппу операторов.

С другой стороны, известно, что условное математическое ожидание процесса f( ), взятое при условия =x (обозначим это условное математическое ожидание через, через M обозначим обычное (безусловное) математическое ожидание) выражается через переходную функцию однород ного процесса следующим образом:

) =x)= = M(f( f(y (t,x,dy).

Таким образом, вспомнив, какую норму мы рассматриваем в пространстве, определение A можем переписать в следующем виде: Af(x)= ( (x)-f(x))= ( -f(x)), причем f, если этот предел равномерен по х.

Известен следующий результат [1, с. 206;

2].

Пусть - равномерно стохастически непрерывный марковский процесс на метрическом фазовом пространстве X, A-его инфинитезимальный оператор, c-ограниченная равномерно непре рывная функция, g =. Тогда функция u(t,x), определяемая фор мулой (1) является единственным, растущим не быстрее, чем экспонента решением задачи =Au(t,x)+c(x)u(t,x)+g(x), u(0,x)=g(x). (2) Формула (1) позволяет получить соответствующие осредненные уравнения для уравнений вида (2).

В качестве применения представления (2) в данной работе мы покажем, как можно получит уравнение для среднего температурного поля в так называемом короткокоррелированном течений.

Итак, рассмотрим уравнение температурного поля =, T(0,x)=. (3) Здесь t -оператор Лапласа, -постоянный коэффициент молеку 0, x, лярной температуропроводности, =( заданное несжимае мое ( = =0 ) случайное поле скоростей с нулевым средним, T(t,x ) температурное поле,, (, )= (здесь и далее по повторяющимся индексам производится суммирование), -начальное ( вообще говоря, случайное и независящее от ) температурное поле.

Поськольку случайное поле скоростей, то предполагается, что оно зависит дополнительно от элементарного события (, где (, ) -некоторое вероятностное пространство), которое индексирует реализации поля скорости. Выражение « заданное случайное поле скоростей» означает, что нам известны все нужные в последующем веро ятностные характеристики поля скорости. Кроме того предполагаем, что поле обладает всеми нам нужными свойствами гладкости по пространственной переменной и имеет короткокоррелиро ванную по времени корреляцию. Такое поле скоростей удобно представлять как предел скоростей (t,x), которые постоянны по t на интервалах длины t: (0, t), ( t,2 t),…, и независимы на раз ных таких интервалах. Поэтому при малых поле (t,x) имеет порядок : (t,x), 0, где, -характерный масштаб длины, -характерная ско рость. В сделанных предположениях при - корреляционный тензор (4) где -дельта-функция. В дальнейшем для простоты размерный множитель 2 будем опускать.

Рассмотрим стоящий в правой части уравнения (3) оператор, (5) и покажем, что этот оператор является инфинитезимальным оператором марковского процесса s), 0, определяемого как решение стохастического (по многомерному винеровскому процессу (s)) дифференциального уравнения s) = (s)- (t-s, 0) =x. ds, (6) Отметим, что существование, единственность (п.н) и марковость решения уравнения (5) выте кают из сделанных выше предположений относительно (t,x) и из известных результатов теории стахостических дифференциальных уравнений [1;

2].

Действительно, интегрируя (6) по от 0 до и оставляя только члены до порядка (с учетом последующего применения оператора ), и учитывая, что i –ая компонента винеровского процесса, имеем ), = - +o( ( ) =2 ( ) +o( ).

( ) Следовательно, для любой непрерывной и равномерно ограниченной вместе со своими част ными производными первого и второго порядков функции g(x) = + +2 +o( ).

Но =, где - символ Кронекера. Из последного соотношения получим:

= Ag(x), где оператор А определен соотношением (5), т.е. А действительно является инфинитезимальным оператором процесса (см. уравнение(6)). Теперь, согласно формуле (1), решение уравнения (3) можем записывать в виде:

. (8) Обозначим через угловые скобки операцию взятия математического ожидания по полю скоростей. Пусть (t,x)= (t,x). Для получения уравнения среднего температурного поля запишем (t,x) в момент времени t+ t: (t+ t,x)=.

Обозначая через наименьшую сигма-алгебру, порожденную событиями вида, где -борелевская сигма-алгебра на, и используя марковость процесса и свойствами условного математического ожидания можем писать:

= = = (9) Разложим в (9) функцию по пространственной координате в окрестности точ ки =x. При этом, памятуя о том, что в последующем нам нужно выполнять усреднение, при соответствующих к (7) разложениях будем оставлять члены порядка согласно условиям (4), т.е. учтем, что (напомним, что по предположению =0, а размерной множи тель опущен) =. ( ) Итак, имеем:

= -s,x)ds + + o( ), ( ) + = -u,x)du+ - -s,x)ds ). ( ) + - +o( Тогда из (9) получим:

= + + + +o( ), (10) где величины, к которым применяется оператор, определены соотношениями ( ), ( ).

В соотношении (10) осреднение будем проводит в два этапа-сначала от 0 до t (при этом усредняется только T(t,x)), затем от до t+ (здесь усредняются только слагаемые, связанные с ( )). Тогда, с учетом свойств винеровского процесса, отсутствие средней скорости и незави симость (t) и (t,x), получим = ), +o( =2 + + ).

duds +o( Подставляя последние соотношения в (10), после переносив t,x) в левую часть (10), разде лив обе части полученного выражения на и переходя к пределу при, для среднего тем пературного поля (t,x) получим следующее уравнение:

, (11) В (11) коэффициенты определены соотношениями ( ), =, по тому что в силу несжимаемости поля скорости:

= = Если отказаться от условия отсутствия средней скорости и = (t,x), то в правую часть уравнения (11) добавляется слагаемое (,).

Таким же способом можно получить уравнения для одновременных моментов более высоких порядков:, и т.п. В некоторых частных случаях уравнение (11) явно решается. Например, если поле (t,x) однородное по пространственной переменной, то уравнение (11) является уравнением с постоянными коэффициентами и решается хорошо известны ми методами. Удается более подробно анализировать решение уравнения (11) и в случаях так назы ваемых изотропных и изотропных отражательно-симметричных по пространственной координате те чений [1;

3].

Вообще представление (1) решений случайных параболических уравнений можно использо вать не только для осреднения таких уравнений, но также и для нахождения асимптотических рас пределений решений, а также для решения других задач, связанных с параболическими уравнениями.

Аналогичные (1) формулы имеют место и для параболических систем [4].

Библиографический список:

1. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов / А. Д. Вентцель. – М.: Наука, 1975. – 320 с.

2. Гихман И. И. Введение в теорию случайных процессов / И. И. Гихман, А. В. Скороход. – М.:

Наука,1977. – 568 с.

3. Монин А. С. Статистическая гидромеханика / А. С. Монин, А. М. Яглом. – М.: Наука, 1967. –.

Ч. 2. – 720 с.

4. Аканбаев Н. Некоторые задачи теории магнитных полей в случайных средах: автореф. дис.

… канд. физ.-мат. наук. / Н. Аканбаев. – М.: Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова,1987. – 20 с.

УДК 372. ЗАДАНИЯ НА ФОРМИРОВАНИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ДЕЙСТВИЙ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ TASKS FOR FORMATION OF INFORMATIVE UNIVERSAL ACTIONS AT MATHEMATICS LESSONS Сухоносенко М. Н., старший преподаватель ФГБОУ ВПО «Новосибирский государственный педагогический университет»

Россия, Новосибирская область, г. Новосибирск mlev@ngs.ru Аннотация. В данной статье приведены примеры задач, в ходе решения которых формиру ются познавательные универсальные действия, и некоторые аспекты методики работы с ними на уроке математики.

Ключевые слова: познавательные универсальные действия, задача исследовательского ха рактера, индуктивные рассуждения.

Summary. This article includes the examples of exercises, in the course of solving which the univer sal cognitive actions are formed, and some aspects of methods of working with them on the math lesson.

Key words: universal cognitive actions, research task, inductive reasoning.

Совершенствование учебного процесса в условиях реализации ФГОС обусловлено иначе сформулированными целями обучения и требованиями к результатам обучения. Изучение математи ки в основной школе подчинено достижению целей в трех направлениях: личностном, метапредмет ном и предметном. Цели в направлении личностного развития сопоставимы с воспитательными и развивающими целями обучения математике, цели предметного направления – с обучающими целя ми и поэтому более знакомы учителям математики, а вот цели в метапредметном направлении ран нее не выделялись в отдельную группу целей. Достижению этих целей способствует формирование универсальных учебных действий (УУД). В педагогической и методической литературе выделяют ви ды универсальных действий: личностные действия, регулятивные действия, познавательные универ сальные действия и коммуникативные действия.

Под познавательными универсальными действиями можно понимать действия способствую щие пониманию, усвоению и применению учебного материала любой области знания. В состав по знавательных универсальных действий входят общеучебные, логические действия и действия по по становке и решению проблемы. Формирование познавательных универсальных действий может быть осуществлено в процессе решения на уроках математики задач исследовательского характера.

Рассмотрим задачу-исследование из учебника Математика-5 «Запишите степени числа 2.

Подметьте закономерность. Какой цифрой оканчивается число 2 ?». Для решения этой задачи мож но использовать индуктивные рассуждения. Учащиеся вычисляют и записывают последовательно степени числа 2, начиная с первой степени. Записи на доске можно упорядочить в следующем виде:


1 5 2 =2;

2 =32;

2 =512;

2 6 2 =4;

2 =64;

2 =1024;

3 7 2 =8;

2 =128;

2 =2048;

4 8 2 =16;

2 =256;

2 =4096 и т.д.

Внимательно рассматривая записи, учащиеся понимают, что есть какая-то закономерность, которую надо отыскать. Учащиеся могут заметить, что последними цифрами в степенях числа 2 могут быть всего четыре цифры, именно – 2, 4, 8 и 6;

эти цифры на конце числа появляются именно в таком ую ую ую порядке 2, 4, 8, 6;

цифра 2 в записи числа появляется при возведении в 1, 5, 9 и т.д. степень, ую ую ую цифра 4 – при возведении во 2, 6, 10 и т.д. степень.

Результаты рассуждений можно занести в следующую таблицу.

Последняя Показатель степени Деление показателя степени на Остаток от деле цифра в 4 ния показателя аписи числа степени на 1 : 4 = 0 (остаток 1) 5 : 4 = 1 (остаток 1) 2 1, 5, 9, … 9 : 4 = 2 (остаток 1) 2 : 4 = 0 (остаток 2) 6 : 4 = 1 (остаток 2) 4 2, 6, 10, … 10 : 4 = 2 (остаток 2) 3 : 4 = 0 (остаток 3) 7 : 4 = 1 (остаток 3) 8 3, 7, 11, … 11 : 4 = 3 (остаток 3) 4 : 4 = 1 (остаток 0) 8 : 4 = 2 (остаток 0) 6 4, 8, 12, … 12 : 4 = 3 (остаток 0) Итак, последними цифрами в степенях числа 2 могут быть только четыре цифры: 2, 4, 8, 6.

Цифрой 2 оканчивается степень, показатель которой при делении на 4 дает остаток 1;

цифрой оканчивается степень, показатель которой при делении на 4 дает остаток 2;

цифрой 8 оканчивается степень, показатель которой при делении на 4 дает остаток 3;

цифрой 6 оканчивается степень, пока затель которой нацело делится на 4.

Используя полученный общий вывод, получаем ответ на главный вопрос задачи: 2 оканчи вается цифрой 6, так как 32 делится на 4 без остатка.

Ответ: 2 оканчивается цифрой 6.

Рассмотрим еще одну задачу: «Продолжите ряд выражений: 1 9 + 2, 12 9 + 3, 123 9 + 4, подметив способ их образования. Найдите значения каждого выражения. Заметьте лю бопытную особенность».

Учащиеся подмечают способ образования выражений: первый множитель получается припи сыванием справа следующего однозначного натурального числа, второй множитель остается без из менений, а второе слагаемое это число, следующее за последней цифрой в записи первого множите ля. Составляя новые выражения и вычисляя их значения, учащиеся формулируют подмеченную осо бенность: значение выражения, составленного по такому правилу равно числу, записанному с помо щью единиц, количество знаков в числе равно второму слагаемому в выражении. Учащиеся замеча ют, что таких равенств не так много и перебрав все они доказали высказанное суждение. Далее мож но предложить продолжить цепочку выражений. Чтобы выяснить, как продолжить составление выра жений, предложим решить уравнение х Получают решение х = 1234567900. Это решение пока не дает возможности высказать предположение. Решая следую щее уравнение y, учащиеся получают результат y = 12345679011. На этом этапе некоторые могут высказать более правдоподобные предположения. Для уточнения пред положения решают еще одно уравнений z, получают решение z = 123456790122. Сейчас уже большинство учащихся увидели закономерность составления первого множителя в выражении, можно переходить к обоснованию полученного суждения. Работа с этой за дачей может быть продолжена.

В процессе решения такого типа задач учащиеся приобретают опыт построения логической цепи рассуждений, а именно, индуктивных и дедуктивных рассуждений. В ходе решения формируют ся представления о различии гипотезы и математического факта, умения выдвигать гипотезу и ее обосновывать доступными средствами. Все это является составляющими логических познавательных универсальных действий.

Библиографический список:

1. Асмолов А. Г. Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе : от действия к мысли: пособие для учителя / А. Г. Асмолов [и др.] / под ред. А. Г. Асмолова. – М.: Про свещение, 2008.

2. Бунимович Е. А. Математика. Арифметика. Геометрия. 5 класс: учебник для общеобразо вательных учреждений с приложением на электронном носителе / Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева и др.: Рос. акад. наук, Рос. акад. образования. – М. : Просвещение, 2012. – 240 с.

3. Цукарь А. Я. Математика 5-6. Задания образного и исследовательского характера / А. Я. Цукарь. – Новосибирск: НГПУ, 1997. – 140 с.

УДК 372. ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАНИЯ НА ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКОВ CONTEST TASK USE GEOMETRIC PROPERTY OF CONVEX POLYHEDRA Кудина Е. С., ассистент Сыяпова Л. К., студент ФГБОУ ВПО «Горно-Алтайский государственный университет» (ГАГУ) Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск, ek_popova@bk.ru Аннотация. Статья посвящена геометрическим свойствам выпуклых многогранников и их приложению при решении олимпиадных задач.

Ключевые слова: Выпуклые тела, выпуклые многогранники, олимпиадные задачи.

Summary. Article focuses on the geometrical properties of convex polyhedra and the application of these properties in solving Olympiad problems.

Key words: Convex body, convex polyhedra, Olympiad problems.

Математические знания необходимы для комплексной и целостной подготовки профессио нального выпускника ВУЗа. Особое значение для выпускников физико-математических специально стей имеет комплекс геометрических знаний студентов вузов.

Геометрия как дисциплина занимает значительное место в системе формирования интеллек туальной и творческой личности выпускника, обладающей огромным гуманитарным и мировоззренче ским потенциалом. Она, как ни какая другая, развивает логическое мышление и пространственное воображение, имеет большие возможности для показа силы научных методов в познании окружаю щего мира, выяснения процесса формирования понятий и путей возникновения, представляет важ ную составляющую математики и является одним из основных компонентов общечеловеческой куль туры.

Помимо этого, геометрия как наука довольно противоречива. Это касается и того, что задачи геометрии имеют большое практическое применение, а также и того, что в геометрии рассматривают ся идеальные объекты, которые в действительности не существуют, однако те результаты, которые получены для этих идеальных объектов находят своё применение в практической деятельности уже для реальных объектов. Для большинства студентов и школьников, именно задачи геометрии явля ются, на их взгляд, наиболее трудными, хотя именно задачи геометрии имеют наглядный простран ственный характер, в отличие от задач других математических дисциплин. Развитие пространствен ного воображения – немаловажный фактор, ведь пространственное воображение позволяет сопо ставлять реальные и абстрактные понятия, оперировать образами, создавать новые виртуальные объекты и проецирование на плоскость. А именно, задания, ориентированные на наглядные про странственные представления и вызывают наибольшие трудности у большинства учащихся.

Выпуклые многогранники привлекали интерес многих математиков с давних времен. В насто ящее время теория многогранников как раздел не исчерпана, многие ученые в различных областях современной математики используют теорию многогранников в своих исследованиях, есть много проблем и гипотез, связанных с данной теорией, заставляющих многих математиков неизменно хоть иногда с ними сталкиваться. На данный момент в теории выпуклых многогранников открытыми оста ются следующие математические проблемы:

1. У любого ли выпуклого многогранника существует развёртка без самопересечений?

2. Какой наибольший и наименьший объём может иметь многогранник, площади граней кото рого равны положительным действительным числам S0, S1, … Sn?

3. Во сколько раз объём невыпуклого многогранника может превосходить объём выпуклого многогранника, составленного из тех же граней?

Изучение многогранников в школьном курсе является важнейшей частью курса стереометрии.

Они дают богатый задачный материал, как при изучении самой темы «Многогранники», так и при изу чении последующих тем стереометрии. Практика показывает, что решение задач - наиболее эффек тивная форма учебной деятельности учащихся, способствующая развитию познавательной активно сти и интереса к изучаемому материалу. Решение же олимпиадных задач служит хорошей подготов кой к будущей научной деятельности, заостряет интеллект. Эти задачи, интересные и сами по себе, а также служат материалом для описания ряда общематематических идей решения задач. Большин ство заданий, связанных с выпуклыми многоугольниками решаются непосредственно через примене ние определения и свойств выпуклых многоугольников. Например, задача: У выпуклого многогранни ка все грани - правильные пятиугольники или правильные шестиугольники. Сколько среди этих граней пятиугольников? Данная задача решается по формуле Эйлера, связывающей число вершин, граней и ребер выпуклого многогранника.

Рассмотрим основные свойства выпуклых многогранников.

Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Свойство 2. Выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника.

Свойство 3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Для выпуклых многогранников имеет место свойство, связывающее число его вершин, ребер и граней, доказанное в 1752 году Леонардом Эйлером, и получившее название теоремы Эйлера.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство: В – Р + Г = 2, где В – число вершин, Р – число ребер и Г – число граней данного многогранника.

Свойство 4. В любом выпуклом многограннике найдется грань с числом ребер меньшим или равным пяти.

Однако есть и такие задачи, для решения которых достаточно смекалки, логики и простран ственного воображения. Другие задачи требуют некоторого опыта, интуиции и наблюдательности.

Чтобы решить наиболее трудные задачи потребуется умение организовать работу над задачей (про яснить ситуацию, выявить круг идей, подобрать удобный «язык») и владеть определённой техникой.


Перейдем к рассмотрению самих заданий.

Задача 1: Доказать, что у всякого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинако вым числом сторон.

Доказательство: Докажем методом от противного.

Построим произвольный выпуклый многогранник. Пред положим, что у этого многогранника нет ни каких двух граней с Г одинаковым числом сторон.

Выберем среди граней ту, у которой наибольшее число сторон, обозначим её Г. Пусть оно равно n. Тогда у всех осталь ных граней число сторон строго меньше n. Одновременно вы полняется и то, что количество оставшихся граней тоже строго меньше n, даже строго меньше (n-3). С другой стороны, к грани Г примыкают ровно n других граней многогранника. Мы получили противоречие. Стало быть, какие-то две грани обязательно имеют равное число сторон.

Задача 2: Каждая грань выпуклого многогранника — многоугольник с чётным числом сторон. Обязательно ли его рёбра можно раскрасить в два цвета так, чтобы у любой грани было поровну рёбер разных цветов?

Решение: Пусть ребра выпуклого многогранника, удовле творяющего условию задачи, покрашены подобным образом.

Тогда, если i-м (i = 1, 2) цветом покрашено хi ребер, то число сторон с окраской такого цвета (по всем граням) равно 2хi. Вос пользовавшись тем, что у любой грани поровну рёбер разных цветов, получим: 2х1 = 2х2, т. е. х1 = х2 и общее число рёбер х1 + х2 чётно.

Таким образом, мы получили, что задача выполняется только для случая, когда общее число ребёр чётно, в противном случае подобная раскраска рёбер не возможно. Например, для многогранника с числом граней равным 7, у которого одна грань с числом рёбер равным 6, а все остальные – с число 4.

Задача 3 (задача о пчелиной ячейке): Пчелы – удивительные творения природы. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, то станет видна сеть равных друг другу правильных шестиугольников. Почему пчелы строят соты именно так?

Решение: Из правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр у правильных шестиугольников. Поэтому, мудрые пчелы экономят воск и время для построения сот.

Задача 4: По рёбрам выпуклого многогранника с 2003 вершинами проведена замкнутая ломаная, проходящая через каждую вершину ровно один раз. Докажите, что в каждой из частей, на которые эта ломаная делит поверхность многогранника, количество граней с нечётным числом сторон нечётно.

Решение: Выберем произвольную часть данной ломаной. Рассмотрим сумму a1 a2... an, где ai – количество сторон i-й грани.

Каждое ребро многогранника, по которому ломаная не проходит, посчитано в этой сумме дважды и поэтому чётность суммы не зависит от числа таких рёбер. Каждое ребро, через которое проходит ломаная, входит в сумму ровно один раз. Таких рёбер 2003, поэтому вся сумма нечётна.

Если бы количество граней с нечётным числом сторон было чётно, то рассмотренная сум ма также была бы чётна. Значит, это количество нечётно.

Задача 5: Грани выпуклого многогранника — подобные треугольники. Докажите, что много гранник имеет две пары равных граней (одну пару равных граней и еще одну пару равных граней) Решение: Грани, которые прилежат к наибольшему ребру и, соответственно, к наименьше му, будут равными. Если какая-то из граней входит в обе пары, то наибольшее и наименьшее реб ро входят в одну грань. Но тогда любая грань не может быть больше этой (иначе там найдется большее ребро) и, аналогично, не может быть меньше. Значит, все грани равны, и найдутся две непересекающиеся пары равных граней.

Библиографический список:

1. Александров А. Д. Выпуклые многогранники / А. Д. Александров. – М.: Государственное из дательство технико-теоритической литературы, 1950. – 428 с.

2. Люстерник Л. А. Выпуклые фигуры и многогранники / Л. А. Люстерник. – М.: Государствен ное издательство технико-теоритической литературы, 1956. – 212 с.

3. Смирнова И. М. Многогранники [Электронный ресурс] / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Ре жим доступа: http://geometry2006.narod.ru/Art/Lecture6.htm.

4. Долбин Н. П. Жемчужины теории многогранников / Н. П. Долбин. – М.: МЦНМО, 2000. – 40 с.

5. Открытые математические проблемы [Электронный ресурс] // Википедия. Режим доступа:

http://ru.wikipedia.org/wiki/Открытые_математические_проблемы.

6. Задачи [Электронный ресурс] / МЦНМО, Проект осуществляется при поддержке Департа мента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП «Кадры», 2004 2012. Режим доступа: http://www.problems.ru/view_by_subject_new.php?parent=196.

УДК 372. ФОРМИРОВАНИЕ НАУЧНЫХ МЕТОДОВ И ПРИЕМОВ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ КАК ОСНОВА РЕАЛИЗАЦИИ КОМПЕТЕНТНОСТНОГО ПОДХОДА FORMATION OF SCIENTIFIC METHODS AND RECEPTIONS INFORMATIVE ACTIVITY AS BASIS OF REALIZATION OF COMPETENCE-BASED APPROACH Рупасова Г. Б., канд. пед. наук, доцент ФГБОУ ВПО «Горно-Алтайский государственный университет» (ГАГУ) Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск, guly.rup@yandex.ru Аннотация. В соответствии с новым Госстандартом для реализации компетентностной па радигмы необходимы, как минимум, два условия: смещение акцентов: с предмета – на человека, с профессиональной подготовки – на образование;

субъектная позиция в процессе обучения через диалог, активные и интерактивные методы обучения. Принципы развивающего обучения и формиро вание методов и приемов продуктивной познавательной деятельности рассматриваются в статье как основной способ реализации компетентностного подхода в вузе.

Ключевые слова: компетенция;

компетентность;

развивающее обучение;

приемы и методы продуктивного и творческого мышления;

нормативные, сущностные и процессуальные функции при емов познавательной деятельности;

профессиональная рефлексия.

Summary. In accordance with the new State Standard for the implementation of competency-based paradigm requires a minimum of two conditions: a shift of emphasis: on the subject - the man with the train ing - to education, subject position in the learning process through dialogue, active and interactive teaching methods. The principles of developmental education and the formation of productive methods and tech niques of cognitive activity are discussed in the article as the main way to implement the competency ap proach in high school.

Key words: competence, competence, developing training, techniques and methods of productive and creative thinking, regulatory, and procedural functions essential techniques of cognitive activity, profes sional reflection.

В настоящее время в основе профессионального вузовского преподавания лежит технократическая парадигма, предполагающая предметоцентризм (предмет преподавания, учебная дисциплина как ценность) и нормативный подход (достижение требований стандарта как цель).

Однако требования стандарта претерпели изменения.

В соответствии с новым Госстандартом для реализации компетентностной парадигмы необходимы, как минимум, два условия: смещение акцентов: с предмета – на человека, с профессиональной подготовки – на образование;

субъектная позиция в процессе обучения через диалог, активные и интерактивные методы.

Эти требования как нельзя лучше сочетаются с основными принципами системы развивающего обучения. Так как сущность тех или иных методов в значительной степени зависит от используемой педагогической системы и методы развивающего обучения должны быть рефлексивно личностными регулятивами, позволяющими решать проблему формирования нового типа мышления – мышления компетентного специалиста.

Известно, что традиционная педагогика требует выработки у учащихся знаний, умений и навыков («ЗУН»). Обучающийся должен:

– во-первых, обладать необходимой теоретической информацией (знания);

– во-вторых, быть в состоянии применять ее на практике (умения);

– в-третьих, довести это применение до автоматизма (навык).

Компетенции же выражают идущие в мировом образовании процессы – переход от понятия «квалификация» к понятиям «результат обучения» и «компетентность».

Под компетенцией понимают обладание, наряду со знаниями, умениями и навыками, еще и способность максимально эффективно вести себя в ситуациях, которые порождает профессиональная деятельность и которые не всегда можно предсказать теоретически.

Поскольку ведущие позиции в образовании по прежнему занимает традиционное обучение, то, на наш взгляд, формирование компетенций не может быть осуществлено в полной мере и долгое время будет иметь декларативный характер. Дело в том, что в традиционном обучении нет потребности в формировании методов и приемов познавательной деятельности, так как в его основе лежит репродуктивный метод обучения. Компетенция – это больше, чем просто ЗУН.

Компетенции выражают результаты обучения – конкретные достижения студентов (выпускников). Они определяют, что будет способен делать студент (выпускник) по завершении всей или части образовательной программы. Компетентностный подход к образовательному процессу – подход, акцентированный на результатах образования, выраженных в форме компетенций. Этот подход предполагает активное влияние на содержание и осуществление образовательного процесса в вузе. Задачи такого похода хорошо согласуются с задачами развивающего обучения. Именно эта образовательная система ставит основной своей задачей формирование методов и приемов познания для получения новых знаний, то есть знания уже не являются объектом усвоения, а выступают как средства для усвоения нового способа учебной деятельности. Но тогда в обучении наряду с процессами усвоения знаний должен функционировать и целенаправленный процесс конструирования новых знаний.

Методы в своей основе должны содержать внутреннюю программу соответствующей познавательной деятельности, а значит, имеет смысл для методов и приемов познавательной деятельности разработать сущностные, нормативные и процессуальные функции, позволяющие дидактизировать эти научные методы, выработать технологию их формирования.

Такая разработка, на наш взгляд, даст преподавателю своеобразный регулятив для организации самостоятельной познавательной деятельности студентов и в зависимости от того, какие научные методы окажутся при этом предпочтительными, будет формироваться тот или иной тип мышления. Таким образом, существенным моментом при формировании определенного типа мышления у студентов педагогических вузов должна быть профессиональная рефлексия. Направленность на осмысление и осознание своей деятельности и ее содержательной основы характеризует продуктивную и творческую личность. Таким образом, формирование научных методов познания в учебном процессе, является дополнительным резервом для развития продуктивного мышления, если оно будет дидактически обеспеченным И это тем более актуально, поскольку компетенции – интегральная характеристика обучающегося, т.е. динамичная совокупность знаний, умений, навыков, способностей и личностных качеств, которую студент обязан продемонстрировать после завершения части или всей образовательной программы.

Компетенция – сложное понятие, в структуру которого входят: когнитивный компонент (знания, опыт);

функциональный компонент (умения, владение);

ценностно-этический компонент (отношение к осуществляемой деятельности). Мы рассмотрели в своих исследованиях сущностные, нормативные и процессуальные функции методов и приемов познавательной деятельности студентов.

При этом не ставилась задача полностью раскрыть сущностный, нормативный и процессуальный аспекты всех рассматриваемых методов познавательной деятельности. Мы постарались выделить те аспекты, которые необходимы при исследовании реализации идеи формирования наряду с предметными знаниями методов и приемов познавательной деятельности в учебном процессе высшей школы.

Разработанная нами поэтапная методика использования приемов продуктивного мышления в процессе обучения студентов общей физике в педвузе, состоит в следующем:

процесс учения является основным в обучении и рассматривается как деятельность, направленная на развитие продуктивного и творческого мышления;

задачей обучения является формирование познавательной деятельности, направленной не только на предметные, но и на методологические знания, рассматриваемые как средства обучения фи зике и как элементы содержания образования, которые усваиваются студентами в процессе обучения;

решающую роль в формировании предметных, методологических и профессиональных знаний играет ориентировочная основа деятельности, представляющая собой систему указаний (ориентиров), даваемых преподавателем;

за основание классификации методов преподавания и учения принимается уровень про блемности усвоения знаний и уровень эффективности учения, поэтому в основу методики положены бинарные методы М.И. Махмутова, представляющие собой взаимосвязаннее сочетание методов пре подавания и учения, составляющие систему, обеспечивающую реализацию идеи развивающего обу чения на практике;

выделяются четыре этапа обучения, в которых методы обучения располагаются в порядке понижения числа задаваемых указаний преподавателя. Получается следующая последовательность методов преподавания и учения: информационно-сообщающий метод преподавания (исполнитель ский метод учения);

объяснительный метод преподавания (репродуктивный метод учения);

инструк тивно-практический метод преподавания (продуктивно-практический метод учения);

объяснительно побуждающий метод преподавания (частично-поисковый метод учения);

побуждающий метод препо давания (поисковый метод учения). Такая последовательность методов обучения систематизирована по уровню самостоятельной деятельности и творческой активности студентов. Тем самым реализует ся принцип многообразия методов обучения не ради самого многообразия, а с целью охвата всех сторон педагогического процесса. Поэтому и методы преподавания и методы учения отражают все основные цели развивающего образования;

при переходе от одного этапа к другому изменяется не только число ориентиров, но и научный характер их содержания. Если на первом этапе студентам даются предписания к выполне нию отдельных операций и действий, касающихся частных вопросов курса физики, то при исследова тельском обучении ориентиры представляются в виде обобщенных предметных знаний и способов, приемов получения новых знаний;

при реализации методики используются различные формы обучения студентов: лекции;

семинарские, практические и лабораторные занятия;

ИРС и НИРС;

имитационные игры и др.

Чтобы создать четкое представление того, как знание методов и приемов познавательной де ятельности способствуют формированию компетенций, полезно будет рассмотреть их виды.

В стандартах разных специальностей – различное количество компетенций, но они делятся на общекультурные (ОК) и профессиональные (ПК). Общекультурные компетенции – универсальные, их можно разделить на личностные, социальные и общенаучные: личностные (владение основами наук о человеке, способность оценить достоинства и недостатки собственной деятельности, стремление к нравственному и физическому совершенствованию, способность постоянно учиться);

социальные (принятие моральных и правовых норм, знание языков, этика поведения и общения, опыт взаимодей ствия с членами общества, умение работать в коллективе, решать другие коммуникативные задачи);

общенаучные (целостная система знаний, представление о картине мира, способность и стремление познать его, сохранять и совершенствовать, умение жить в гармонии с миром и др.).

Профессиональные компетенции относятся к видам профессиональной деятельности, зафик сированным в ФГОС, основаны на понимании выпускником назначения своей профессии, стремлении и способности осуществлять на практике решение профессиональных задач, определенных квалифи кационными требованиями. Они значительно различаются по разным специальностям.

Все выше приведенные компетенции моожно сформировать. Для реализации этой цели при обучении студентов общей физике предлагается комплекс следующих дидактических средств:

функциональная структура модели учебного процесса;

обобщенный план формирования диалектического мышления студентов;

комплекс приемов продуктивного и творческого мышления, который должен быть усвоен студентами к концу обучения в педвузе;

планы (вводной лекции по курсу общей физики, обобщенный план лекций, лабораторных, семинарских и практических занятий);

программа спецкурса;

проект реализации базовых функций управления в системе РО в рамках методики формирования учителя физики в педвузе;

виды организации диалоговой познавательной деятельности преподавателя и студентов, различающиеся по уровню эвристичности;

обобщенный план дидактических требований к формированию методологических знаний, направленных на развитие продуктивного мышления студентов;

основные виды деятельности преподавателя и студентов;

структурно-логические схемы развития физических понятий и теорий;

дидактический материал для составления диалоговых и полилоговых задач, диалоговые и полилоговые задачи и др.

УДК 372. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ TECHNIQUE OF STUDYING OF SYSTEMS OF THE LINEAR EQUATIONS AND INEQUALITIES IN THE SCHOOL COURSE OF MATHEMATICS Гиганова И. А., учитель математики Научный руководитель: Темербекова А. А., д-р пед. наук, профессор ФГБОУ ВПО «Горно-Алтайский государственный университет»

Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск, irinka-gornij@mail.ru Аннотация. В статье рассмотрены некоторые способы решения систем линейных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Ключевые слова: уравнения, системы уравнений, способы решения систем линейных урав нений.

Summary. In article some ways of the decision of systems of the linear equations and inequalities in a school course of mathematics are considered.

Key words: equations, systems of the equations, ways of the decision of systems of the linear equations.

В математике решить систему – это значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

Две системы уравнений называются равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй системы и каждое решение второй системы является решением первой системы или они обе не имеют решений [1]. Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной x y x y скобки, например.

При решении линейных систем используются следующие методы: метод подстановки, графи ческий метод и метод сложения, способ сравнения.

Графический способ решения системы считается очень наглядным, однако следует заметить, что решения получаются приближенными. Рассмотрим алгебраические способы решения.

Рассмотрим на примере метод подстановки [2]. Пусть требуется решить систему уравнений методом подстановки.

2 x 3 y 3x y Способ подстановки состоит в следующем:

1. Выражаем одну из переменных через другую, в одном из уравнений системы:

у = 3х + 9.

2. Подставим выражение (3х+9) вместо у в первое уравнение:

2х + 3(3х + 9).

3. Далее, решая полученное уравнение, находим x: 2х + 9х + 27 = 5.

4. Зная x, находим у = 3·(2) + 9 = Обратим внимание на то, как должен оформляться описанный алгоритм решения:

2 x 33x 9 2 x 3 y 3x y 9 y 3x 9 11x 2 x 9 x 27 x x y 3x 9 y 3 2 y 3x 9 y 3.

В ответе получаем пару (2;

3), которая и является решением системы уравнений.

Рассмотрим далее способ сложения. Например, рассмотрим систему уравнений, в которой коэффициенты при одной из переменных одинаковы:

2 x 3 y 5 x 3 y Вычтем из второго уравнения первое:

2 x 3 y 1 3x 6 x 5 x 3 y 7 2 x 3 y 1 2 2 3 y x 2 x 3 y 3 y В ответе получаем пару (2;

– 1), которая является решением системы уравнений.



Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 24 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.