авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 11 |

«Андрей Николаевич Колмогоров (1903–1987) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ...»

-- [ Страница 3 ] --

Элементарные преобразования и очень обильные дивизоры на проективных расслоениях над кривыми Н.П. Гушель Пусть : P (E) C – проективное расслоение, где E – векторное рас слоение над неособой неприводимой кривой C рода g над алгебраически замкнутым полем характеристики ноль. Пусть расслоение E – нормали зованное, т.е. h0 (E) = 0 и h0 (E L) = 0 для всякого обратимого пучка L над C, степени deg L 0. Обозначим через M = OP (E) (1) тавтологи ческий пучок Гротендика (по определению M E) и LP = OC (P ).

= Теми же буквами будем обозначать классы дивизоров, соответствующих этим пучкам.

Пусть E – двумерное векторное расслоение над неособой неприво димой алгебраической кривой C рода g над алгебраически замкнутым полем характеристики ноль, : X P(E) C – проективное рассло = ение над C, C0 – минимальное сечение на поверхности X. Если D – 84 Глава 2. Математика в ее многообразии дивизор из группы Пикара X, то D линейно эквивалентен aC0 + B, где B Pic C.

Одним из способов исследования условий очень обильности дивизо ров D на X является использование более слабого условия отсутствия базисных точек (свободность). Известно (см., например, [1]), что линей ная система |D| не имеет базисных точек (свободна), если h1 (X, D) = h1 (X, D y), y C, a 1, () i i где h (X, D) – размерность группы когомологий H (X, OX (D)) одномер ного локально свободного пучка OX (D), соответствующего дивизору D.

Если a = 1, то условие () является также необходимым условием сво бодности системы |D|.

В данном сообщении доказывается критерий свободности линейной системы |aC0 + B| при a 1 в случае g = 1, C0 = 1 и приводится пример линейной системы при a 2, которая свободна, но не удовле творяет условию ().

Если E – нормализованное векторное расслоение ранга 2 на C, то 2 E имеет степень e(X) = e, являющуюся инвариантом X. Сечение C0 называется минимальным, если C0 = e. Фиксируем минимальное OP (E) (1).

сечение C0 такое, что OX (C0 ) = Рассмотрим элементарное преобразование elm P с центром в точке P X. Пусть f : X X – моноидальное преобразование с центром P, – исключительная кривая преобразования f. Если Z – кривая на X, то через Z (соответственно Z ) обозначим собственный образ Z от носительно f (соответственно elm P ). Пусть Ly = 1 (y), где y = (P ), g : X X – морфизм, стягивающий Ly в точку, тогда мы имеем эле ментарное преобразование elm P = g · f 1.

Лемма 1. Если точка P лежит на минимальном сечении Z по верхности X, то собственный образ Z также минимален на поверх ности X = elm P X и e(X ) = e(X) + 1. В противном случае X имеет инвариант e 1.

Доказательство. Если Z – сечение, которое проходит (соответ ственно не проходит) через P, то Z 2 = Z 2 1 (соответственно Z 2 = Z 2 + 1). Действительно, если P Z, то Z 2 = Z 2 = (f Z )2 = Z 2 1.

Если P Z, то / Z 2 = Z 2 = (g Z Ly )2 = Z 2 1.

Гушель Н.П. Элементарные преобразования и очень обильные дивизоры на проективных расслоениях над кривыми Отсюда получим, что если P Z и Z – минимальное сечение на X, то Z – минимальное сечение на X. Следовательно, e(X ) = e(X) + 1.

Пусть через P не проходит ни одного из минимальных сечений. Если Z – сечение, имеющее наименьший индекс самопересечения среди сече ний, проходящих через P, то Z 2 C0 2 = e + 1. Действительно, если 2 предположить, что Z C0, то получим C0 Z 2 C0 + 2 и, следова 2 тельно, Z = C0 +1. С другой стороны, Z C0 + B и Z 2 = C0 +2degB.

2 2 Получаем противоречие. Итак, в этом случае e(X ) = e(X) 1.

Лемма 2. Если X – эллиптическая линейчатая поверхность с ин вариантом e = 1, то (i) каждое минимальное сечение CM на X линейно эквивалентно C0 + M, где M Pic C и degM = 0;

(ii) через каждую точку P X проходит по крайней мере одно минимальное сечение.

Доказательство. Утверждение (i) доказано в [2]. Предположим противное (ii), тогда из (1) получим, что e(X ) = 2. Однако для всякой эллиптической поверхности имеем e(X ) 1.

Теорема. Пусть X – эллиптическая линейчатая поверхность с инвариантом e = 1. Дивизор D aC0 + B свободен тогда и только тогда, когда a 0 и degB 1 a/2.

Доказательство. Если линейная система |D| не имеет базисных точек, то ее ограничение на любую не особую кривую также не имеет базисных точек. Известно [2], что линейная система | KX | = |C detE| содержит не особую эллиптическую кривую Y. Следовательно, degD|Y = a + 2degB 2.

Обратно, пусть a 0 и degB 1 a/2. Согласно лемме 2, через каждую точку P X проходит минимальное сечение поверхности X.

Следовательно, достаточно доказать, что ограничение линейной систе мы |D| на любое минимальное сечение CM свободно.

В точной последовательности групп когомологий 0 H 0 (X, DCM ) H 0 (X, D) H 0 (CM, D|CM ) H 1 (X, DCM )...

Имеем h0 (X, D CM ) = 1/2a(2b + a 1), h0 (X, D) = 1/2(a + 1)(a + 2b) и h (X, D CM ) = 0. Так как (D · CM ) = a + b a + (2 a)/2 = 1 + a/ и h0 (CM, D|CM ) = h0 (CM, L) = a + b, то L – эффективный дивизор степени a + b 2. Линейный ряд |D||CM = |L| на эллиптической кривой CM свободен при degL 2.

86 Глава 2. Математика в ее многообразии Замечания. 1) При a 2 условие () может не выполняться для некоторых свободных линейных систем |D| и, следовательно, является лишь достаточным условием свободности линейной системы | D|, то есть при a 2 из свободности |D| не вытекает порождаемость глобальными сечениями векторного расслоения (OX (D)).

Пример. Пусть X – эллиптическая линейчатая поверхность с ин вариантом e = 1, D mKX + y, y C и m 1. Так как KX 2C0 + detE, то согласно теореме линейная система |D| сво бодна. Далее h1 (X, D) = 0 (см. [2]) и h0 (X, D y) = h0 (X, mKX ) = h1 (X, mKX ) по теореме Римана-Роха. Так как h0 (X, KX ) 0, то h0 (X, mKX ) 0 при m 1 и, следовательно, h0 (X, mKX ) = h1 (X, D y) = 0.

2) При a 2 свободность линейной системы |D y| не является необходимым условием очень обильности |D|.

Пример. Пусть X – эллиптическая линейчатая поверхность с ин вариантом e = 1 и D aC0 + B. Дивизор D очень обилен тогда и только тогда, когда b (3 a)/2 (см. [2]). Для дивизора D = D y, y C имеем D aC0 +(b1)Ly, Ly = 1 (y) и b = b1 (3a)/21 = (1 a)/2, следовательно, согласно теореме, дивизор D не является сво бодным. Например, при a = 3, b 0 дивизор D = 3C0 – очень обилен, а дивизор D = D y, согласно теореме, не является свободным.

Библиографический список 1. Гушель Н.П. Очень обильные дивизоры на проективных расслоениях над кривыми // Алгебра и анализ. 1992. 4. Вып. 2. C. 116–128.

2. Homma Y. Projective normality and the dening equations of an elliptic ruled surfaces with negative invariant. Natur. Sci. Rept., Ochanomizu Univ., 1982. 33. № 1–2. P. 17–26.

Функциональные интервальные округления Т.Э. Каминский, А.Л. Крюкова 1. Введение Построенное на основе интервальной арифметики IR, множество ин тервальных округлений (I-округлений), т.е. отображений : IR IR, удовлетворяющее следующим аксиомам:

Каминский Т.Э., Крюкова А.Л. Функциональные интервальные округления О1.(A IR) (A (A));

О2. (A, B IR) (A B (A) (B));

изучалось в ряде ра О3. 2 =, бот [1, 2, 4–7]. Это множество обширно, кроме отображений, обладаю щих интуитивно понимаемыми свойствами округлений, к которым от носятся, например, регулярные округления (r-округления).

(k,l) ([a;

b]) = a ;

b+, (1) k l где a = g k g k · a, b+ = g l g l · b, g – основание системы счисления, k l k, l Z (здесь x – наибольшее целое число, не меньшее x, а [x] – целая часть x). Во множестве содержится ряд элементов, совершенно не похожих ни на регулярные округления, ни на приближения вообще, так как результат указанных отображений весьма далек от прообраза.

Примерами таких округлений являются:

(2) M ([a;

b]) = [ max (| a |, | b |) ;

max (| a |, | b |)], [a;

b], [a;

b] U =, (3) U ([a;

b]) = [min (a, u) ;

max (b, v)], [a;

b] U =, где U = [u;

v] фиксированный отрезок, содержащий 0, [, b], a, (4) [a, ], b, ([a, b]) = [a, b], в остальных случаях, где – фиксированное положительное число.

Одной из задач теории интервальных округлений является ограни чение множества, т.е. выделения в нем в определенном смысле мак симальных подмножеств, содержащих все регулярные округления, в которые не попадали бы отображения, подобные примерам (2)–(4). Од ним из бросающихся в глаза свойств регулярных округлений является тот факт, что левый (правый) конец отрезка (k, l) (A) является функ цией только левого (правого) конца отрезка A. Отображения M, U этим свойством, как легко видеть, не обладают. В настоящей заметке во множестве выделяется подмножество F I-округений, для которых указанное свойство является характеристическим. Такие I-округления естественно назвать функциональными (F -округлениями).

2. Понятие F -округления 88 Глава 2. Математика в ее многообразии Рассмотрим два множества Fi (i = 1, 2) функций R R, удовлетворя ющих условиям:

(5) f F1 (x) (f (x) x) ;

f F2 (x) (x f (x)) ;

(6) f Fi (x y f (x) f (y)) ;

(7) f, g Fi (f g = gf) ;

f Fi f 2 = f. (8) (f1 f2 – композиция отображений f1, f2 : (f1 f2 ) (x) = f2 (f1 (x))).

Легко видеть, что множества F1, F2 обладают тем свойством, что если f F1, g F2 и x y, то f (x) g (y) и, таким образом, можно при условии x y рассматривать интервал [f (x) ;

g (y)].

Определение 1. Отображение : IR IR, действующее по пра вилу (9) ([a;

a]) = [f (a) ;

g (a)], f F1, g F2, назовем функциональным округлением (F -округлением).

Разумеется, регулярные округления являются функциональными, но класс F -округлений не исчерпывается только r-округлениями. На пример, к функциональным отображениям относятся -округления – (4), нуль-кусочные округления, которые определяются следующим об разом: + a;

bl, a 0, (k, l) a ;

b, b 0, (10) 0 ([a;

b]) = k a ;

b+, a 0 b.

k l 3. Операции и алгебраические структуры F -округлений Под произведением округлений, принято понимать композицию этих отображений () (A) = ( (A)).

Теорема 1. [2] Произведения и I-округлений и являют ся I-округлениями тогда и только тогда, когда и коммутируют:

=.

Предложение 1. F -округления коммутируют друг с другом =.

Действительно, если (A) = [f1 (a) ;

g1 (a)], (A) = [f2 (a) ;

g2 (a)], то () (A) = ( (A)) = ([f1 (a) ;

g1 (a)]) = [f2 (f1 (a)) ;

g2 (g1 (a))] = [f1 (f2 (a)) ;

g1 (g2 (a))] = [f1 (f2 (a)) ;

g1 (g2 (a))] = ( (A)) = () (A).

Каминский Т.Э., Крюкова А.Л. Функциональные интервальные округления В силу теоремы 1 из предложения 1 следует, что произведение двух F -округлений является I-округлением. Кроме того, имеет место более сильное утверждение.

Предложение 2. Произведение двух F -округлений является F округлением.

Доказательство следует из замкнутости множеств F1, F2 относи тельно умножения отображений, что, в свою очередь, сводится к не представляющей трудностей проверке для произведения f1 · f2 (f1, f Fi, i = 1, 2) условий (5)–(8).

Таким образом, имеет место Теорема 2. Алгебра F ;

· является коммутативной полугруп пой идемпотентов.

Рассмотрим далее на множествах F1, F2 соответственно операции, определяемые условиями f1, f2 F1 : (f1 + f2 ) (x) = max (f1 (x), f2 (x)), f1, f2 F2 : (f1 + f2 ) (x) = min (f1 (x), f2 (x)).

Предложение 3. Множества F1, F2 замкнуты относительно опе рации сложения: f1, f2 F1 f1 + f2 F1 ;

f1, f2 F2 f1 + f2 F2.

Доказательство сводится к несложной, но кропотливой, а от того утомительной проверке условий (5)–(8).

Зададим на множестве операцию сложения, полагая ( + ) (A) = (A) (A).

Без труда устанавливается, что сумма двух F -округлений является I-округлением, более того, справедливо Предложение 4. Сумма двух F -округлений является F -округле нием.

Действительно, ( + ) ([a;

a]) = ([a;

a])+ ([a;

a]) = [f1 (a) ;

g1 (a)] [f2 (a) ;

g2 (a)] = [max (f1 (a), f2 (a)) ;

max (g1 (a), g2 (a))], где f1, f2 F1 ;

g1, g2 F2. Окончание доказательства теперь сводится к предложению 3.

Определение 2. [8] Алгебра X, +, ·, в которой обе операции ас социативны, кроме того, сложение коммутативно, идемпотентно и вы полняются левый и правый дистрибутивные законы: x (y + z) = xy + xz, (x + y) z = xz + yz, называется идемпотентным полукольцом.

90 Глава 2. Математика в ее многообразии Предложение 5. Для F -округлений выполняются левый и правый дистрибутивные законы.

Действительно, ( (+)) (A) = (+) ( (A)) = ( (A)) ( (A)) = () (A)() (A) = ( + ) (A), то есть ( + ) = +(( + )· ·) (A) = ( ( + )) (A) = ( + ) (A) = ( + ) (A), ( + ) = +.

Таким образом, справедлива Теорема 2. Алгебра F ;

+, · является коммутативным идемпо тентным полукольцом.

Определение 3. [7] Определим объединение округлений следующим образом:

(11) (A IR) (( ) (A) = (A) (A)).

Легко видеть, что объединение двух округлений удовлетворяет ак сиомам (О.1) и (О.2), но совсем не обязано быть идемпотентным, то есть не всегда является интервальным округлением. Однако имеют ме сто включения ( ) · ( ) · =, таким образом (12) = ( ) · ( ).

Предложение 6. Если округления, коммутируют между со бой и таковы, что их объединение также округление, то их компози ция совпадает с объединением () (A) = (A) (A).

Из (О.1) и (О.2) следует, что (A IR) (A (A)) (A) ( (A)).

Запишем кратко, аналогично можно получить включение:

. Рассмотрим, тогда в силу коммутативности. С другой стороны, и, тогда ( ) · ( ). Таким образом, мы получили, что, следовательно, =.

Предложение 7. Произведение F -округлений, совпадает с объединением этих округлений.

Библиографический список 1. Каминская Э.Л., Каминский Т.Э. К теории округлений // Сб. на учных трудов МГПИ им. Ленина “Вычислительная математика и программирование”. М., 1983. С. 89–36.

Зотиков С.В. О некоторых свойствах преобразований Фурье функций из пространства LP 2. Каминский Т.Э. К теории интервальных округлений // Исследова ния по математическому анализу и методике преподавания матема тики. Вологда: Русь, 2000. С. 23–36.

3. Kaminsky T.E., Kreinovich V. Natural requirements for natural roundings lead to a hardware-independent characterization of standard rounding procedures // Notes on intuitionisic fuzzy sets. 1998. Vol. II.

№ 3. P. 57–64.

4. Каминский Т.Э., Крюкова А.Л. Дистрибутивность решетки интер вальных округлений // Тр. третьих Колмогоровских чтений. Яро славль: Изд-во ЯГПУ, 2005. С. 134–137.

5. Крюкова А.Л. О полугруппе интервальных округлений // Тр.

35-й региональной молодежной конференции 26–30 января 2004 года.

Екатеринбург, 2004. С. 34–37.

6. Крюкова А.Л. К описанию идемпотентного полукольца интерваль ных округлений // Сб. трудов молодых ученых. Череповец: ГОУ ВПО ЧГУ, 2005. С. 163–166.

7. Крюкова А.Л. Алгебраические и порядковые структуры интерваль ных округлений // Интервальный анализ / Тр. XIII Байкальской международной школы-семинара “Методы оптимизации и их при ложения”, Иркутск, Байкал, 2–8 июля 2005 г. Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2005. Т. 4. С. 56–61.

8. Соболевский А.Н. Интервальная арифметика и линейная алгебра над идемпотентными полукольцами // Доклады РАН. 1999. Т. 39.

№ 6. С. 747–749.

О некоторых свойствах преобразований Фурье функций из пространства LP С.В. Зотиков 1. Пусть на [0, 1[ заданы две произвольные ортонормированные системы функции (о.н.с.) = (k ) и = (k ). Положим для k N и для k=0 k= l N (N = {0, 1, 2... } ):

k (l + t) = t (t), где t [0;

1[.

k (l + t) = k (t), 92 Глава 2. Математика в ее многообразии Скрещенным произведением о.н.с. на о.н.с. называется функция K, определенная на R0 R0 соотношением K (x, y) = [y] (x) · [x] (y), где [a] – целая часть числа R0 (см. [1]). Легко видеть, что функция K может рассматриваться как континуальный аналог каждой из о.н.с.

и.

Если и – ограниченные о.н.с., то их скрещенное произведение K порождает для всякой функции f L1 (0;

) интегральные преоб разования вида f (x)K (x, y)dx, y R0 и f (x) = f (y)K (x, y)dy, x R0, f (y) = 0 (1) которые являются аналогами классического преобразования Фурье и которые мы называем преобразованиями Фурье функции f по отноше нию к K. Очевидно, что преобразование f является континуальным аналогом коэффициентов Фурье интегрируемой функции f по о.н.с., а преобразование f является континуальным аналогом коэффициен тов Фурье той же функции по о.н.с.. Отметим, что если имеют место соотношения (1), то при этом выполняются неравенства |f (x)| C f и x R0 :

y R0 : f (y) C f, 1 где C – абсолютная константа, зависящая от и.

Для функции f из пространства L2 [0;

+[ ее преобразования Фурье по отношению к произвольному скрещенному произведению K опре делены в работе [2] равенствами:

L L f (x) = (2) f (y) = f (x)K (x, y)dx, f (y)K (x, y)dy.

0 При этом выполняются неравенства f f 2 и f 2 f 2, кото рые являются континуальными аналогами неравенства Бесселя, связы вающего коэффициенты Фурье функции f L2 (0;

1) по любой о.н.с. с нормой функции f. Если о.н.с. является полной, то при любой о.н.с.

имеет место равенство f = f 2. Если же полной является о.н.с., Зотиков С.В. О некоторых свойствах преобразований Фурье функций из пространства LP то при любой о.н.с. выполняется равенство f = f 2 (см. теоремы = f = f в 1 и 2 в [2]). Эти равенства вместе с соотношением f 2 случае полноты обеих компонент скрещенного произведения K явля ются континуальными аналогами равенства Парсеваля, связывающего коэффициенты Фурье функции f L2 (0;

1) по полной о.н.с. с нормой этой функции.

Пусть теперь f и g – произвольные функции из пространства L2 (0;

).

Заменяя в указанных выше равенствах f на tf + g и проварьировав со ответствующим образом скаляр t, получаем континуальные аналоги по ляризованной формулы Парсеваля, которые доставляются следующими утверждениями:

Предложение 1. Если – произвольная полная о.н.с., – произ вольная о.н.с., то для любых функций f и g из пространства L2 (0;

)и их преобразований Фурье f и g по отношению к скрещенному произве дению K выполняется равенство g f (y)(y)dy = f (x)g(x)dx.

0 Предложение 2. Если – произвольная о.н.с., а – произвольная полная о.н.с., то для любых функций f и g из пространства L2 (0;

) и их преобразований Фурье f и g по отношению к K справедливо равенство (x)g (x)dx f = f (y)g(y)dy.

0 Предложение 3. Если и – произвольные полные о.н.с., то для любых функций f, g L2 (0;

) и их преобразований Фурье по отноше нию к K имеет место соотношение g f (x)g (x)dx = f (y)(y)dy = f (x)g(x)dx.

0 0 2. В заметке [3] для любой функции f из пространства LP (0;

), 1 p 2, определены ее преобразования Фурье по отношению к скре щенному произведению K, образованному ограниченными о.н.с. и 94 Глава 2. Математика в ее многообразии, следующими соотношениями:

1 q Lq L f (x)K (x, y)dx, f (x) = f (y)K (x, y)dy, где f (y) = + = 1.

p q 0 (3) При этом выполняются неравенства f p, f p, C f C f q q где C – абсолютная константа, зависящая от и. Очевидно, что соотношения (3) при p = 1 дают равенства (1), а при p = 2 – равенства (2), но лишь при условии ограниченности о.н.с. и.

Имеет место Теорема 1. Пусть и – произвольные ограниченные о.н.с., а K – их скрещенное произведение. Тогда для любых функций f и g из пространства LP (0;

), 1 p 2, и их преобразований Фурье f и g по отношению к K справедливо равенство (4) f (x)g (x)dx.

f (y)g(y)dy = 0 Доказательство. Пусть скрещенное произведение K образовано произвольными ограниченными о.н.с. и, функции f и g – произ вольные функции из пространства LP (0;

), 1 p 2, а f и g – соответствующие преобразования Фурье этих функций по отношению к K q Lq L g(y)K (x, y)dy, где f (y) = g (x) = f (x)K (x, y)dx, + = 1.

pq 0 Теперь отметим, что интегралы в обеих частях доказываемого равенства (4) существуют и сходятся абсолютно. Действительно, по условию f, g LP (0;

), 1 p 2, а в силу соотношений (3) f, g Lq (0;

), q 2, 1 + q = 1. Тогда при p = 1 оба интеграла в (4) сходятся абсолютно в p силу неравенства Гельдера, а при p = 1 – в силу ограниченности f и g.

Далее для произвольного a R0 положим a y R0.

fa (y) = f (x)K (x, y)dx, Зотиков С.В. О некоторых свойствах преобразований Фурье функций из пространства LP q L В силу определения f имеем f (y) = lim fa (y), y R0, q 2.

a+ Умножим обе части предыдущего равенства на g(y) и проинтегри руем полученное равенство по промежутку [0;

b[, где b – произвольное число из R+ :

b b a fa (y)g(y)dy = g(y) f (x)K (x, y)dxdy.

0 0 Так как оба интеграла справа берутся по конечным промежуткам, то b a b a fa (y)g(y)dy = f (x)( g(y)K (x, y)dy)dx = f (x)gb (x)dx 0 0 0 Устремляя a +, получим b a lim fa (y)g(y)dy = lim f (x)gb (x)dx, a+ a+ 0 то есть b f (y)g(y)dy = f (x)gb (x)dx.

0 Поскольку в силу определения преобразования g функции g вы полняется соотношение gb g q 0, то, переходя в последнем ра b венстве к пределу при b +, завершаем доказательство теоремы 1.

Следствие 1. Для любой функции f LP (0;

), 1 p 2 и ее пре образований Фурье f и f по отношению к скрещенному произведению K, образованному любыми ограниченными о.н.с. и, выполняется равенство f (x)f (x)dx.

f (y)f (y)dy = 0 Следствие 2. Если – ограниченная о.н.с., то для любых функ ций f, g LP (0;

), 1 p 2 и преобразований Фурье f, g, g, f по 96 Глава 2. Математика в ее многообразии отношению к K имеют место соотношения g (x)f (x)dx.

f (y)g(y)dy = f (x) g(x) dx, g(y)f (y) dy = 0 0 0 Следствие 3. Если – ограниченная о.н.с., то для любой функции f LP (0;

), 1 p 2, и преобразований Фурье функций f и f по отношению к K справедливы равенства:

f (x)f (x)dx.

f (y)f (y)dy = f (x) f (x) dx, f (y)f (y) dy = 0 0 0 3. Теперь заметим, что в случае, когда функции f, g L2 (0;

), требование ограниченности о.н.с. и в условии теоремы 1 можно снять. Точнее, справедлива Теорема 2. Пусть и произвольные о.н.с., а K – их скре щенное произведение. Тогда для любых функций f и g из пространства L2 (0;

) и их преобразований Фурье f, f, g и g по отношению к K имеют место соотношения (4 ) f (x)g (x)dx, f (y)g(y)dy = 0 g (5) f (x) (x)dx, f (y)(y)dy = g 0 f (x)g (x)dx = (6) f (y)g (y)dy.

0 Доказательство. Пусть скрещенное произведение K образован но произвольными о.н.с. и, функции f и g – произвольные функ ции из пространства L2 (0;

). В силу определений их преобразований Фурье по отношению к K (см. (2)) вместе с функциями f и g про странству L2 (0;

) принадлежат и их преобразования Фурье f, f, g и g. Поэтому все интегралы в доказываемых равенствах существуют и сходятся абсолютно в силу неравенства Коши для интегралов. Доказа тельство равенства (4 ) повторяет доказательство теоремы 1 с учетом Зотиков С.В. О некоторых свойствах преобразований Фурье функций из пространства LP соотношений (2), где и – произвольные о.н.с. Таким же способом доказываются соотношения (5) и (6). Кроме этого, равенство (5) можно получить из равенства (4 ) заменой в нем g на g. Равенство (6) можно получить из равенства (4 ) сначала заменой в нем f на f, затем по меняв ролями f и g, и, наконец, переходя от полученного равенства к комплексно-сопряженному равенству. Теорема 2 доказана.

Замечание 1. Из справедливости соотношения (4 ) следует, что все равенства, доставляемые следствиями 1–3 из теоремы 1, справедливы для любых функций f, g L2 (0;

) и соответствующих преобразований Фурье по отношению к K или K, где и – любые о.н.с.

Замечание 2. Используя предложения 1–3, можно установить вид равенств (5) и (6) в случаях, когда и \ или – полные о.н.с. и \ или когда =. Например, из предложения 1 и равенства (5) теоремы следует Предложение 4. Если – произвольная полная о.н.с., – произ вольная о.н.с., то для любых функций f и g из пространства L2 (0;

) и их преобразований Фурье по отношению к скрещенному произведению K выполняется соотношение g f (x) (x)dx.

f (y)(y)dy = f (x)g(x)dx = g 0 0 Библиографический список 1. Виленкин Н.Я., Зотиков С.В. О скрещенных произведениях орто нормированных систем функций // Матем. заметки. 1973. T. 13. № 3.

C. 469–480.

2. Зотиков С.В. Определение преобразования и интеграла Фурье по отношению к скрещенному произведению ортонормированных си стем функций в пространстве L2 // Применение функционального анализа в теории приближений. КГУ: Калинин, 1988. C. 26–32.

3. Зотиков С.В. О преобразовании Фурье по отношению к скрещенно му произведению ортонормированных систем функций в простран стве LP. Конструктивная теория функций. Тезисы докладов конфе ренции, посвященной 70-летию проф. В.С. Виденского. СПб., 1992.

C. 29–30.

98 Глава 2. Математика в ее многообразии О граничной задаче для системы составного типа с младшими членами Н.М. Курбатова Рассмотрим систему Ux + Vy + Wz + a11 U + a12 V + a13 W = 0, Ux + Uy Vx + a21 U + a22 V + a23 W = 0, (1) Uy + Uz Wx + a31 U + a32 V + a33 W = 0.

Характеристический определитель системы имеет вид 1 (2 + 2 + 2 + 1 2 + 2 3 ), 1 2 т.е. система (1) составного типа, если 2 + 2 2.

Относительно коэффициентов системы,, aij будем предполагать, что они являются непрерывно дифференцируемыми функциями перемен ных x, y, z.

Из второго и третьего уравнений системы (1) выразим функции U и V соответственно x V= (Ux + Uy + a21 U + a22 V + a23 W )dx + (y, z), (2) x W= (Uy + Uz + a31 U + a32 V + a33 W )dx + (y, z).

Подставляя соотношения (2) в первое уравнение системы (1), получим x Ux + (y Ux +Uxy +Uyy + a21 U +a21 Uy + a22 V + a23 W+ y y y (3) a31 a a23 Wy + z Uy + Uyz + Uzz + U + a31 Uz + V + z z a W + a33 Wz )dx + y + z + a11 U + a12 V + a13 W = 0.

z При x = x0 имеем Ux |x=x0 = y z | (4) Курбатова Н.М. О граничной задаче для системы составного типа с младшими членами Продифференцировав уравнение (3) по переменной x, имеем Uxx +Uyy +Uzz +Uxy +Uyz +(y +a11 )Ux +(a21 +z )Uy+ a31 Uz + a12 Vx + a22 Vy + a32 Vz + a13 Wx + a23 Wy + a33 Wz + (5) ( a11 + a + a31 )U + ( a12 + a22 + a32 )V + x y z x y z ( a13 + a23 + a33 )W = 0.

x y z Предположим, что a22 = a23, заменим в уравнении (5) сумму Vx +Wy ее значением из первого уравнения системы (1), а вместо Vx и Wx их значения из второго и третьего уравнений системы (1), предполагая при этом, что a23 = a32 = a11 = 0, a + a22 = 0, x y a + a33 = 0, x z получим уравнение Uxx +Uyy +Uzz +Uxy +Uyz +(y a12 +a11 a12 )Ux+ (a13 + z + a12 + a21 )Uy + (a13 + a31 )Uz + (6) (a12 a21 + a13 a31 )U = 0.

При условии, что 2 + 2 2, уравнение (6) эллиптическое.

Система уравнений (2), (4), (6) эквивалентна системе (1). Будем рас сматривать систему (1) в области D, расположенную в полупростран стве x 0, граница которой состоит из поверхности Ляпунова S, ортого нально подходящей к плоскости x = 0, и множества E части плоскости x = 0, на которую поверхность S проектируется однозначно. В области D для системы (1) рассмотрим задачу:

Найти регулярное решение системы (1), удовлетворяющее гранич ным условиям V |E = f (y, z), W |E = g(y, z), (7) U |S = h(x, y, z), Ux |E = fy gz a12 f a13 g.

Третье и четвертое соотношения (7) представляют собой смешанную задачу для эллиптического уравнения (6), которая, как известно, при a12 a21 + a13 a31 имеет единственное решение. Таким образом, функция U находится од нозначно.

100 Глава 2. Математика в ее многообразии Учитывая первое и второе условия (7) и уравнения (2),относительно функций V и W получим уравнения Вольтерра второго рода x V= (Ux + Uy + a21 U + a22 V )dx + f (y, z), x W= (Uy + Uz + a31 U + a33 W )dx + g(y, z), отсюда следует, что V и W находятся однозначно. Таким образом, спра ведлива следующая Теорема. Для системы уравнений (1) с непрерывно дифференциру емыми коэффициентами в области D при ограничениях на коэффици енты a22 = a23, a23 = a32 = a11 = 0, a + a22 = 0, x y a + a33 = 0, x z задача (7) a12 a21 + a13 a31 0, 2 + 2 2.

имеет единственное решение.

Библиографический список 1. Курбатова Н.М. Об одной системе первого порядка с постоянными коэффициентами и краевых задачах для нее // Дифференциальные операторы и их приложения: Межвузовский сборник научных работ.

Чита: ЧПИ, 1991. C. 30–36.

2. Курбатова Н.М. О граничной задаче для одной системы составно го типа. Проблемы модернизации инфраструктуры транссибирской магистрали: Сборник научных трудов. Чита: ЗабИЖТ, 2005. C. 219– 221.

3. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957. 256 с.

4. Янушаускас А.И. Об одной системе первого порядка // Сибирск.

матем. журнал, 1973. Т. 14. № 5. C. 1149–1152.

Локоть В.В. Уточнение проекционной константы (n3, n) Уточнение проекционной константы (n3, n) В.В. Локоть Пусть Y – банахово пространство и X – замкнутое подпространство Y.

Относительной проекционной константой X в Y называется число проекция Y на X}.

(X, Y ) = inf{||||, В случае конечномерных пространств Xk Yn обозначим (k, n) = sup {(Xk, Yn ) |Xk Yn }. Точное значение чисел (k, n) для k n неизвестно.

n В качестве Yn возьмем пространство l1 элементов y = {yi } с нормой n |yi |, а Xn3 = f 1 (0) g 1 (0) h1 (0), где ||y|| = i= f = (1... 1, 0... 0, 0... 0, s... s, s... s, 0... 0, r... r), g = (0... 0, 1... 1, 0... 0, s... s, 0... 0, s... s, r... r), h = (0...0, 0...0, 1...1, 0...0, s...s, s...s, r...r ) m m m m m m m n линейные функционалы, определенные на (0 s 1, 0 r 1, m l n 1 n fi yi = 0} – гиперплоскость в пространстве (0) = {y l1 |f (y) 1), f = i= l1. Аналогично определяются g 1 (0) и h1 (0).

n Мы рассматриваем случай n = 7m.

Известно, что любая проекция Yn на Xn3 имеет вид,, (y) = yf (y)g(y)h(y) при условии (1) f () = g() = h() = 1, f () = f () = g() = g() = h() = h() = 0.

Норма оператора,, вычисляется по формуле ||,, || = max Mj, n где Mj = | ij i fj i gj i hj |, (j = 1,..., n).

i= Введем обозначения:

km km km Ak = i, Bk = i, Ck = i, i=(k1)m+1 i=(k1)m+1 i=(k1)m+ (k = 1,..., 7).

102 Глава 2. Математика в ее многообразии Условия (1) примут вид:

A1 = 1 s(A4 + A5 ) rA7, A2 = s(A4 + A6 ) rA7, A3 = s(A5 + A6 ) rA7, B1 = s(B4 + B5 ) rB7, B2 = 1 s(B4 + B6 ) rB7, (2) B3 = s(B5 + B6 ) rB7, C1 = s(C4 + C5 ) rC7, C2 = s(C4 + C6 ) rC7, C3 = 1 s(C5 + C6 ) rC7.

7m Оценим Mj = |ij i fj i gj i hj |.

i= m m m 7m I. 1 j m. |ij i | + |i | ) m + (m Mj = ( j=1 j=1 i=1 i=m+ 2)A1 + m(A2 A3 + A4 + A5 A6 + A7 ).

2m 2m m 2m II. m + 1 j 2m. |i | + |ij i |+ Mj = j=m+1 j=m+1 i=1 i=m+ 7m |i | m + (m 2)B2 + m(B1 B3 + B4 B5 + B6 + B7 ).

i=2m+ 3m 3m 2m 3m III. 2m+1 j 3m. |i | + |ij i |+ Mj = j=2m+1 j=2m+1 i=1 i=2m+ 7m |i | m + (m 2)C3 + m(C1 C2 C4 + C5 + C6 + C7 ).

i=3m+ 4m 4m 3m IV. 3m + 1 j 4m. |i + i |+ Mj = (s j=3m+1 j=3m+1 i= 4m 6m 7m |ij s(i +i )|+µs |i +i |+s |i + i |) m+s(m2)(A4 + i 3m =+ i 4m =+ 6m+ B4 ) + sm(A1 + B1 + A2 + B2 A3 B3 + A7 + B7 ) + µms(A5 + B5 + A6 + B6 ), |µ| 1.

5m 5m 3m V. 4m + 1 5m. |i + i |+ j Mj = (s j=4m+1 j=4m+1 i= 5m 4m 6m |ij s(i + i )| + µs |i + i | + |i + i |)+ i=4m+1 i=3m+1 i=5m+ 7m |i + i | m + s(m 2)(A5 + C5 ) + sm(A1 + C1 A2 C2 + s 6m+ A3 + C3 + A7 + C7 ) + µms(A4 + C4 + A6 + C6 ).

6m 3m 6m VI. 5m + 1 j 6m. |i +i |+ |ij s(i +i )|+ s j= + 5m 1 i = i 5m =+ 5m 7m |i + i | + s |i + i | ) m+s(m2)(B6 +C6 )+sm(B µms i=3m+1 6m+ Локоть В.В. Уточнение проекционной константы (n3, n) C1 + B2 + C2 + B3 + C3 + B7 + C7 ) + µms(B4 + C4 + B5 + C5 ).

7m 7m 6m VII. 6m + 1 j 7m. |i + i + i |+ Mj = (r j=6m+1 j=6m+1 i= 7m |ij r(i + i + i )| m + r(m 2)(A7 + B7 + C7 ) + mr(A1 + B1 + i=6m+ C1 +A2 +B2 +C2 +A3 +B3 +C3 +A4 +B4 +C4 +A5 +B5 +C5 +A6 +B6 +C6 ).

Используя равенства (2), получим:

I – III. 1 j 3m.

3m 3m|||| Mj 3m + (m 2)(A1 + B2 + C3 ) j= m(A2 +A3 +B1 +B3 +C1 +C2)+m(A4 +A5 +B4 +B6 +C5 +C6) m(A6 +B5 +C4) = 3m+(m2)(3s(A4 +A5 +B4 +B6 +C5 +C6) (3) r(A7 + B7 + C7 )) + m(s(A4 + A5 + B4 + B6 + C5 + C6 )+ 2s(A6 +B5 +C4)+2r(A7 +B7 +C7)+m(A4 +A5 +B4 +B6 +C5 +C6) m(A6 + B5 + C4 ) + m(A7 + B7 + C7 ) = 6(m 1) + (m + 2s)u+ m(2s 1)v + (mr + m + 2r)w, где u = A4 + A5 + B4 + B6 + C5 + C6, v = A6 + B5 + C4, w = A7 + B7 + C7.

IV – VI. 3m + 1 j 6m.

3m|||| 3m + 2ms(A1 + B2 + C3 ) + s((m 2) + µm)· ·(A4 + A5 + B4 + B6 + C5 + C6 ) + 2sm(A7 + B7 + C7 )+ (4) 2µms(A6 + B5 + C4 ) = 3m(1 + 2s) + s(m 2ms + µm)u + 2µmsv + 2sm(1 r)w.

VII. 6m + 1 j 7m.

m|||| m + r(m 2)(A7 + B7 + C7 ) + mr(3 (2s 1)· ·(A4 + A5 + B4 + B6 + C5 + C6 ) (2s 1)(A6 + B5 + C4 ) (5) 3r(A7 + B7 + C7 ) = m(1 + 3r) + mr(1 2s)u+ mr(1 2s)v + r(m 2 3mr)w.

Умножим левые и правые части неравенств (3)–(5) на положитель ные числа k, l, p (соответственно) и сложим их. Получим (3k+3l+p)m|||| 6(m1)k+3m(2s+1)l+m(3r+1)p+ +((m + 2s)k + s(m 2 2ms + µm)l + mr(1 2s)p)u+ (6) (m(2s 1)k + 2µmsl + mr(1 2s)p)v+ +((mr + m + 2r)k + 2sm(1 r)l + r(m 2 3mr)p)w.

104 Глава 2. Математика в ее многообразии Подберем k, l, p и µ таким образом, чтобы коэффициенты при u, v и w обратились в нуль. Решая систему (m + 2s)k + s(m 2 2ms + µm)l + mr(1 2s)p = 0, m(2s 1)k + 2µmsl + mr(1 2s)p = 0, (mr + m + 2r)k + 2ms(1 r)l + r(m 2 3mr)p = 0, получим: l = r(m2 (5r 4rs1)+m(4rs+r 4s+3)+4s), p = 2s(m2 (2rs 2r + 1) + m(2s + 1) + 2r), k = 2sr(m2 (2s 1)r + m(3r + 2s 2) + 2), (2s 1)(1 r)(m2 + 3m 2) µ=.

m2 (5r 4rs 1) + m(4rs 4s + r + 3) + 4s При выполнении условий r(54s) 1, 2s 1, 2r(1s) 1, r(2s) s числа k, l, p положительны, а µ [0;

1]. Неравенство (6) примет вид (3k + 3l + p)m|||| 6(m 1)k + 3m(1 + 2s)l + m(3r + 1)p, откуда 6(m1)k+3m(2s+1)l+m(3r+1)p P (m, r, s) |||| = 1+ = (m, r, s), m(3k + 3l + p) Q(m, r, s) где P (m, r, s) = 12rs(m3 r + m2 (3r + 1) + m(3 2r) 2), а Q(m, r, s) = m3 (3r 2 (4s2 6s + 5) + r(4s2 4s 3) + 2s) + m2 (3r 2 (10s + 1) + 3r(4s 8s + 3) + 2s(2s + 1)) + 28mrs.

Эта оценка точная. Она означает, что существуют i, i, i, при ко торых Mj = (m, r, s) для любых 1 j 7m. В силу громоздкости формул для вычисления i, i, i мы их не приводим. Таким образом, 7m (X7m3, l1 ) = (m, r, s), а (7m 3, 7m) (m, r, s). В [1] рассмат r 1 и 4s2 3(m, r, s) ривался случай r = 1. При 4s22s +2s+ (m, 1, s), следовательно, полученный результат улучшает оценку(7m 3, 7m) снизу.

Библиографический список 1. Локоть В.В. О проекционной константе (n 3, n) // Теоретиче ские и методические проблемы обучения в школе и вузе (математи ка, информатика): Межвузовский сборник научных трудов. СПб.– Мурманск, 2005. C. 45–48.

Большаков Ю.И. Критерий существования H-полярного разложения матрицы Критерий существования H-полярного разложения матрицы Ю.И. Большаков В работах [1] и [2] доказаны критерии существования H–полярного раз ложения матрицы X Fnn над полями F = R и F = C соответственно, т.е. найдены необходимые и достаточные условия представления матри цы X Fnn в виде:

X = U A, (1) где U – H-унитарная, (U [] U = I,) A – H–самосопряженная (A[] = A).

Oперация [] определена на Fnn соотношением: X [] = H 1 X H. Здесь H = H, det H = 0 – фиксированная эрмитова матрица, X – произ вольная n n – матрица с элементами из F. Приведем соответствующий результат из работы [2].

Теорема 1. Пусть F = C. Тогда (i) Для любого отрицательного собственного числа матрицы X []X та часть канонической формы (X [] X, H), которая этому соответ ствует, может быть представлена в виде:

(diag (Ai )m, diag (Hi )m ), (2) i=1 i= где для всех i = 1, 2,..., m Jki () 0 Q ki Ai =, Hi =, (3) Qki 0 Jki () (В матрице Qp все элементы равны нулю, за исключением единиц, рас положенных на побочной диагонали матрицы, т.е. qij = i+j,p+1 ).

(ii) Часть канонической формы (X [] X, H), отвечающая нулевому собственному числу, может быть представлена в виде:

(diag (Bi )m, diag (Hi )m ), (4) i=0 i= где B0 = Ok0 k0, H0 = Ip0 In0, p0 + n0 = k0, а для i = 1, 2,..., m пара (Hi, Bi ) имеет одну из следующих двух форм:

Jki (0) 0 Q ki, ki 1, Bi =, Hi = (5) Qki 0 Jki (0) или Jki (0) 0 Q ki Bi =, H i = i, (6) Qki 0 Jki 1 (0) где i = 1 или i = 1, ki 1.

106 Глава 2. Математика в ее многообразии (iii) Пусть (ii) имеет место. Обозначим базис, отвечающий ниль потентной части (X [] X, H), символом {eij }m, lij=1, (7) i=0, где l0 = k0, а параметр li суть размер матрицы Bi при i 1.

В этих обозначениях Span {ei,1 + ei,ki +1 |li = 2ki, i = 1, 2,..., m} Ker X = Span {ei,1 |li = 2ki 1, i = 1, 2,..., m} (8) Span {e0,j }k0.

j= Приведем более эффективный критерий существования H-полярно го разложения матрицы X. С этой целью введем понятие цепи нильпо тентной матрицы.

p Определение 1. Пусть A = Jmi (0) – нильпотентная матри i= ца, составленная из жордановых блоков Jmi (0) c m1 m2... mp.

s Всякую ее подматрицу A0 = Jmi (0) назовем цепью, если разность i= mi mi+1 = 0 или mi mi+1 = 1, i = 1, 2,..., s 1. Блоки Jmi – звенья цепи, mi – их длины.

Определение 2. Цепь A0, определенную матрицей A, назовем мак симальной, если к ней нельзя добавить ни одного звена из A так, чтобы вновь полученное объединение давало бы вновь цепь.

Очевидно, что всякая нильпотентная матрица A однозначно разби вается в дизъюнктивное объединение максимальных цепей, т.е. таких, что ни одна их пара не имеет общих звеньев.

Лемма 1. Для того, чтобы матричное уравнение X 2 = A с за данной нильпотентной матрицей A имело бы решение, необходимо и достаточно, чтобы каждая максимальная цепь матрицы A, не содер жащая звеньев длины 1, состояла бы из четного числа звеньев.

Доказательство этой леммы имеется в работе [3].

Не нарушая общности в рассуждениях, мы будем считать, что ниль потентная матрица X [] X представляет собой одну максимальную цепь.

Тройка (X [] X, H, Ker X) характеризуется 3 2s–целочисленной мат рицей 0 0 n1 n2... ns l1 l2... ls K = k1 k2... k s l 1 l 2... l s + + + + + +. (9) k1 k2... k s l 1 l 2... l s Большаков Ю.И. Критерий существования H-полярного разложения матрицы + Здесь kj (kj ) жордановых клеток матрицы X [] X c j = 1(j = 1) + имеют размер nj nj, j = 1, 2,..., s. Параметры lt, lt, lt, характери зующие подпространство Ker X, удовлетворяют системе неравенств + 0 + lt + lt kt, lt + lt kt, t = 1, 2,..., s. (10) + Здесь (lt ) – число векторов подпространства KerX, являющихся lt собственными векторами той нильпотентной части жордановой матри + цы X [ ]X, которая отвечает kt (kt ) клеткам размера nt nt и = ( = 1);

lt – число векторов подпространства Ker X, являющихся сум мами пар векторов, при этом первая компонента пары берется из числа + kt, а вторая – из числа kt. Кроме того, n1 n2... ns.

[] Но, поскольку X X – цепь, то n1 = p, n2 = p1, n3 = p2,..., ns = p s + 1. Более того, поскольку цепь X [] X удовлетворяет условиям (ii) и (iii) теоремы 1, то при = 1 (т.е. для первых двух строк матрицы K) должны иметь место те соотношения между параметрами матрицы K, которые указаны в следующей таблице:

Размер клет- Число кле- Число клеток Число клеток дан ки ток одного одного разме- ного размера, под размера, до ра, оставшихся лежащих объедине объединения после их нию с клетками на их в пары объединения единицу меньшего в пары с размера и = клетками того же размера с = + + + + 0 k1 l 1 l 1 = k1 l n1 = p k + + + + + + + 0 n2 = p 1 k2 l 1 k2 l 1 l 2 l 2 = k2 l 1 l + + + +0 + + + n3 = p 2 k3 l 2 k3 l 2 l 3 l 3 = k3 l 2 l + + + + + + + 0 n4 = p 3 k4 l 3 k4 l 3 l 4 l 4 = k4 l 3 l............

+ + + + + + + ks1 ls2 ks1 ls2 ls1 ls1 = ks1 ls ns1 = ps+ ls + + + + 0 + Если ks ls1 ks ls1 ls = ns = ls = ps+1 + + + + + 0 + + Если ns = ks ls1 ks ls1 ls ls = ks ls1 ls ps+1 = 108 Глава 2. Математика в ее многообразии + Заметим, что символ ls в последней стрoке суть число клеток раз мера 1 1 и = 1, отвечающих Ker X.

Аналогичная таблица строится для = 1 с соответствующими за менами верхних индексов “+” на “-” и = 1 на = 1 и обратно, а соответствующие соотношения относятся к 1-й и 3-й строкам матрицы K.

t (1)tj (kj lj ), t = + + Легко видеть, что если ns = 1, то lt = j= + 1, 2,..., s, если ns 1, то lt имеет тот же вид, что и в предыдущем + случае, для t s 1, ls = 0. И мы приходим к следующему крите рию H-полярного разложения, который дает необходимые и достаточ ные условия возможности представления нильпотентной части матрицы X [] X в том виде, в котором они указаны в пунктах (ii) и (iii) теоремы 1.

Теорема 2. Пусть H – невырожденная комплексная самосопря женная n n-матрица и пусть для заданной матрицы X Cnn матрица X [] X представляет собой цепь, состоящую из четного чис ла нильпотентных звеньев, если цепь не содержит звеньев длины 1, и без ограничения на их количество, если цепь содержит звенья дли ны 1. При этом тройка (X [] X, H, Ker X) определена целочисленной матрицей K вида (9) с натуральными nj = p j + 1, j = 1, 2,..., s.

Тогда матрица X допускает H-полярное разложение тогда и толь ко тогда, когда целочисленные параметры, составляющие матрицу K, удовлетворяют системе + + + kt = lt + lt1 + lt (11) kt = lt + lt1 + lt, t = 1, 2,... s, + если ns = 1. Здесь l0 = l0 = 0. Если же ns 1, то исключением в + формуле (11) будут служить лишь параметры ks и ks, для которых + ls = ls = 0.

Библиографический список 1. Большаков Ю.И. Псевдополярное разложение линейного операто ра // Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Ярославль:

ЯрГУ, 1994. С. 23–32.

2. Yu. Bolshakov, C.V.M. van der Mee, A.C.M. Ran, B. Reichstein and L. Rodman. Polar decomposition in nite dimensional indenite scalar product spaces: General theory, Linear Algebra Appl. 261: 91–141 (1997).

Дьячкова М.В. Расслоение сферы, индуцируемое главным расслоением 3-алгебры второго типа, и его полуконформная интерпретация 3. Большаков Ю.И. Матричное уравнение X 2 = A // Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Ярославль: ЯрГУ, 1990. С. 21–25.

Расслоение сферы, индуцируемое главным расслоением 3 алгебры второго типа, и его полуконформная интерпретация М.В. Дьячкова Введение. Пусть A – ассоциативная унитальная алгебра размерности n с умножением xy, G A – множество ее обратимых элементов. Как известно, это группа Ли с тем же умножением. Пусть B – униталь ная подалгебра алгебры A и H B – множество ее обратимых эле ментов. Тогда H – подгруппа Ли группы G. Рассмотрим факторпро странство G/H правых смежных классов. Тогда расслоение (G,, M = G/H), где – каноническая проекция, есть главное расслоение со струк турной группой H [5]. Как известно [2], существует только три типа 3-мерных ассоциативных унитальных неприводимых алгебр. Все уни тальные подалгебры этих алгебр и соответствующие главные рассло ения найдены Н.Е.Беловой в работе [1]. Рассмотрим 3-алгебру второ го типа, базисные единицы которой умножаются следующим образом:

e2 = 1;

e1 e2 = e2 e1 = e2 ;

e2 = 0. Элементы алгебры в этом базисе 1 имеют вид x = x0 + x1 e1 + x2 e2.

Рассмотрим для нее билинейную форму (1) (x, y) =(xy + yx).

Она равна (x, y) = x0 y0 x1 y1, принимает вещественные значения и определяет вырожденное скалярное произведение. Тем самым эта ал гебра имеет структуру полуевклидова векторного пространства ранга 2.

Целью настоящей работы является рассмотрение расслоения, опре деляемого подалгеброй указанной алгебры, и изучение расслоения, ин дуцированного на полуевклидовой сфере этого пространства. Затем мы рассматриваем полуконформную интерпретацию этого расслоения.

Это некоммутативная алгебра. Умножение элементов имеет вид xy = x0 y0 + x1 y1 + (x0 y1 + x1 y0 )e1 + (x2 (y0 y1 ) + (x0 + x1 )y2 )e2, (2) а обратный элемент находится по формуле x 0 x 1 e1 x 2 e x1 = (3).

(x0 )2 (x1 ) 110 Глава 2. Математика в ее многообразии Подмножество обратимых элементов есть G = {x A | (x0 )2 (x1 )2 = 0}. Это некоммутативная группа Ли, многообразие которой есть R3 без двух пересекающихся 2-плоскостей. Она состоит, следовательно, из че тырех связных компонент.

Теорема (Белова Н.Е. [1]). Любая 2-плоскость, содержащая едини цу алгебры A, является 2-подалгеброй, изоморфной либо алгебре двой ных, либо алгебре дуальных чисел.

I. Расслоение, определяемое подалгеброй двойных чисел Рассмотрим подалгебру B = R(e1 ) с базисом {1, e1 } – 2-алгебру двой ных чисел. Множество ее обратимых элементов H1 = {x0 +x1 e1 R(e1 ) | x2 x2 = 0} есть подгруппа Ли группы G – 2-плоскость без пары пере 0 секающихся прямых. Рассмотрим далее пространство правых смежных классов по этой подгруппе и соответствующее расслоение. Тогда спра ведлива Теорема (Белова Н.Е. [1]). Расслоение (G,, G/H1 ) определяется формулой x (4) (x) = x0 + x и является главным тривиальным расслоением над вещественной пря мой R с типовым слоем – 2-плоскостью без пары пересекающихся пря мых и структурной группой H1.

Следовательно, многообразие группы G диффеоморфно произведе нию R H1.

Найдем уравнения слоев. Положив (x) = u, получим (5) u(x0 + x1 ) x2 = 0.

Это однопараметрическое семейство 2-плоскостей, расслаивающих груп пу G, которое в R3 изображается пучком плоскостей с осью, определяе мой системой уравнений x0 + x1 = 0, x2 = 0. Естественно, в этих плоско стях надо исключить точки их пересечения с плоскостями x0 ± x1 = 0.

Они имеют координаты (t, t, 0) и (t, t, 2ut). Отметим, что если расши рить базу расслоения до проективной прямой, то в семейство (5) вклю чается и плоскость x0 + x1 = 0.

Аналогично происходит расслоение группы на левые смежные клас сы с проекцией x (x) = (6).

x0 x Рассмотрим левые сдвиги x = ax на группе G.

Дьячкова М.В. Расслоение сферы, индуцируемое главным расслоением 3-алгебры второго типа, и его полуконформная интерпретация Теорема. Левые сдвиги образуют 3-параметрическую группу Ли линейных преобразований. Они сохраняют слои тогда и только тогда, когда a H1.

Доказательство. Полагая a = (a0, a1, a2 ), где a2 a2 = 0, и исполь 0 зуя формулу (2), получим 3-параметрическую группу линейных преоб разований с матрицей a0 a1 L(a) = a1 (7) a0 a2 a2 a0 + a и определителем detL(a) = (a2 a2 )(a0 + a1 ). Эта группа состоит из 0 четырех связных компонент, которые соответствуют различным комби нациям знаков выражений a0 + a1 и |a|2 = a2 a2. Преобразования 0 этой группы, вообще говоря, не сохраняют расслоение. Они оставля ют слои инвариантными тогда и только тогда, когда выполнено условие (x) = (x ). В силу (4) и (7) это условие имеет место только при a2 = 0.

Следовательно, левые сдвиги сводятся к действию структурной группы.

Рассмотрим теперь множество правых сдвигов x = xb.

Теорема. Правые сдвиги образуют 3-параметрическую группу Ли линейных преобразований. Они сохраняют расслоение и индуцируют на базе 2-параметрическую группу аффинных преобразований.

Доказательство. Так как правые сдвиги преобразуют правые смеж ные классы в правые смежные классы (H1 x)b = H1 (xb) и перестановоч ны с левыми сдвигами, в частности, с действием структурной группы, то они являются автоморфизмами расслоения. Учитывая формулу (2), получим 3-параметрическую группу линейных преобразований с матри цей b0 b1 R(b) = b1 b0. (8) b2 b2 b0 b Преобразуя слои, правые сдвиги индуцируют на базе расслоения неко торую 2-параметрическую группу. Найдем ее преобразования. Положив (x) = u, (x ) = u и используя формулы (4) и (8), получим u = u +, (b) b0 b где = = 0, = (b). Это группа аффинных преобразова = (b) b0 +b ний.

112 Глава 2. Математика в ее многообразии Теорема. Всякое вращение первого и второго рода полуевклидова пространства может быть представлено соответственно в виде x = axb x = axb или (9) при |a|2 = ±1, |b|2 = ±1.

Доказательство. Так как в обоих случаях |x |2 = ±|x|2, то преоб разования (9) образуют 4-параметрическую группу вращений первого и второго рода полуевклидова пространства. Поэтому она является под группой в группе всех вращений этого пространства. Но оператор A любого вращения сохраняет скалярное произведение и, следовательно, определяется условием AT A =, где 1 A1 A1 A1 1 0 2 A = A1 A2 A3, = 0 1 0.

2 A3 A3 A3 0 0 1 2 Из этого условия следует, что можно положить A1 = 1 ch ;

A2 = sh ;

A1 = sh ;

A2 = 2 ch ;

A1 = t;

A2 = 3 t, 1 1 2 2 3 где 1, 2, 3 = ±1. Подставляя в условие новые переменные, получаем, что t = 0. Таким образом, операторы A образуют 4-параметрическую группу вращений с матрицами 1 ch 1 2 sh A = sh 2 ch A3 A3 A 1 2 и определителем detA = 1 2 A3 = 0. Она состоит из четырех связных компонент.

Применяя формулы (7) и (8), найдем преобразования x = axb. Их матрицы имееют вид a 0 b0 + a 1 b1 a 0 b1 + a 1 b0 B=, a 0 b1 + a 1 b0 a 0 b0 + a 1 b1 (a0 +a1)b2 +a2 (b0 b1) (a0 +a1)b2 a2 (b0 b1) (a0 +a1)(b0 b1) и так как |a|2 = a2 a2 = ±1, |b|2 = b2 b2 = ±1, то detB = ±(a0 + 0 1 0 a1 )(b0 b1 ) = 0. Аналогично определяются матрицы преобразований x = axb.

Так как все связные компоненты группы вращений диффеоморфны, то теорему достаточно доказать лишь для связных компонент единицы, Дьячкова М.В. Расслоение сферы, индуцируемое главным расслоением 3-алгебры второго типа, и его полуконформная интерпретация то есть, когда в матрице A 1 = 2 = 1. В этом случае элементы матрицы B выражаются через элементы матрицы A следующим образом:

3 2 +A3 ) a2 = (A3 exp +1) ;

b2 = (exp 0 0 ;

3 | exp 4|A3 | exp 4|A 3 (exp A3 ) (A3 exp 1) 2 a = 4|A3 | exp ;

b = 4|A3 | exp ;

1 3 a2 = A3 A3 ;

b2 = A3 +A3.

1 2 1 2(b0 b1 ) 2(a0 +a1 ) Отображение f : B A – гомоморфизм, и поэтому прообразом еди ничной матрицы E является матрица B, в которой a0 = b0 =, a1 = a2 = b1 = b2 = 0, где = ±1. Таким образом, 4-параметрическая груп па вращений первого и второго рода (9) полуевклидова пространства двулистно накрывает группу всех вращений A.


Введем в полуевклидовом пространстве координаты (u,, ), адап тированные к расслоению, где u – базисная,, – слоевые координаты.

Базисная координата u определяется уравнением (5). Полуевклидово пространство G состоит из четырех связных компонент, в двух из кото рых модуль является вещественным числом, а в двух других - мнимым.

Если |x|2 0, то выберем = ± x2 x2 = 0, где знак числа равен 0 знаку x0 [6]. Таким образом, x2 x2 = 2. Отсюда следует, что можно по 0 ложить x0 = ch ;

x1 = sh. Из полученных выражений и уравнения (5) находим x2 = u exp. Таким образом, координаты, адаптированные к расслоению, в этом случае имеют вид:

(10) x0 = ch ;

x1 = sh ;

x2 = u exp, где R0, u, R.

Если |x|2 0, то положим = ± x2 x2, где знак числа равен 1 знаку x1. Аналогичными рассуждениями получим координаты, адап тированные к расслоению, в тех компонентах связности, где модуль – мнимое число (11) x0 = sh ;

x1 = ch ;

x2 = u exp, В адаптированных координатах уравнения слоев (5) имеют вид: u = C, C = const.

Структурная группа расслоения действует следующим образом:

u = u;

= ;

= +, (12) где (u,, ) - адаптированные координаты элемента x пространства G, на который действует элемент структурной группы a(0,, ). В зависи мости от того, к каким компонентам связности принадлежат элементы 114 Глава 2. Математика в ее многообразии a и x в преобразовании x = ax левого сдвига, полученные координаты (u,, ) представляются в виде (10) или (11). А также, учитывая знак, получаем 4 связные компоненты этой группы.

II. Расслоение полуевклидовой сферы Как уже было отмечено, в алгебре A второго типа скалярное произ ведение имеет вид (x, y) = x0 y0 x1 y1, так что A является 3-мерным по луевклидовым пространством ранга 2. Элементы алгебры A, скалярные квадраты которых равны единице: |x|2 = 1, образуют полуевклидову сферу (полусферу) единичного радиуса S 2 (1) = {x A | x2 x2 = 1}, 0 которая изображается в R3 гиперболическим цилиндром и состоит из двух полостей. Элементы алгебры мнимоединичного модуля: |x|2 = 1, образуют полуевклидову сферу S 2 (1) мнимоединичного радиуса. Она аналогична предыдущей, и поэтому достаточно рассмотреть только пер вый случай.

Рассмотрим ограничение расслоения (G,, R) на сферу S 2 (1), т. е.

расслоение : S 2 (1) R. Его слои суть пересечения этой сферы 2 плоскостями (5).

Ограничение группы H1 двойных чисел на полусферу S 2 (1) есть под группа Ли двойных чисел единичного модуля S1 = {a0 + a1 e1 H1 | a2 a2 = 1}. Эта группа содержит две связные компоненты и в R 0 изображается гиперболой.

Теорема. Расслоение (S 2 (1),, R) есть главное расслоение группы S 2 (1) на правые смежные классы по подгруппе Ли S1.

Доказательство. Пусть x и y – две точки полусферы, принадле жащие одному слою в (G,, R). Так как это главное расслоение, то су ществует единственный элемент a H1 : y = ax. Тогда |y|2 = |a|2 |x|2, и, следовательно, |a|2 = 1, т. е. a S1.

Введем на S 2 (1) координаты, адаптированные к расслоению. Если x S 2 (1), то из (10) получим =, = ±1. Тогда параметриче ское уравнение полусферы, отнесенной к адаптированным координатам (u, ), представимо в виде:

(13) r(u, ) = (ch, sh, u exp ), где u – базисная, – слоевая координаты. Разным значениям соответ ствуют разные полости полусферы S 2 (1).

Найдем действие структурной группы S1 на полусфере. Учитывая (12) и то, что элементы полусферы a и x имееют адаптированные коор динаты a(0, 1, ), x(u,, ), получим:

Дьячкова М.В. Расслоение сферы, индуцируемое главным расслоением 3-алгебры второго типа, и его полуконформная интерпретация u = u;

= 1 ;

= +.

Эта группа состоит из двух связных компонент.

Найдем метрику полусферы, отнесенной к адаптированным коорди натам. Подсчитывая компоненты матрицы метрического тензора, полу чим 0 (gij ) =, rank = 0 и, следовательно, ds2 = d2. (14) III. Полуконформная модель расслоения (S 2 (1),, R).

Построим полуконформную модель расслоения (S 2 (1),, R). Для это го рассмотрим стереографическую проекцию сферы S 2 (1) из точки N (1, 0, 0) S 2 (1) (полюса) на экваториальную плоскость R2 с урав нением x0 = 0. Представим стереографическое отображение в коорди натном виде. Для этого найдем уравнение прямой, проходящей через полюс, и произвольную точку сферы. При пересечении этой прямой с экваториальной плоскостью получаем формулы стереографического отображения f : S 2 (1) R2 при x0 = 1:

x1 x (15) x= ;

y=, x0 + 1 x0 + где (x, y) R2, (x0, x1, x2 ) – координаты точки на S 2 (1). Обратное отоб ражение f 1 : R2 S 2 (1) при x = ±1 имеет вид:

1 + x2 2x 2y (16) x0 = ;

x1 = ;

x2 =.

1 x2 1 x2 1 x Если в формулы (15) подставить (13), то возникает зависимость ко ординат x, y с адаптированными координатами u, на полусфере:

sh u exp f: x= ;

y=.

ch + ch + Отображение, обратное к данному, имеет вид:

1+x 2y (17) = ln ;

u=.

(1 + x) 1x Стереографическое отображение f есть диффеоморфизм, если до полнить R2 до полуконформной плоскости C 2 бесконечно удаленной 116 Глава 2. Математика в ее многообразии точкой и идеальной прямой, проходящей через нее. Эта бесконечно уда ленная точка соответствует точке N. Идеальная прямая является об разом прямолинейной образующей полусферы S 2 (1), проходящей через полюс: x0 = 1, x1 = 0 [4]. При этом из R2 необходимо исключить пря мые x = ±1.

Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму f S 2 (1) C p R Отображение p = f 1 : C 2 R определяется с помощью этой диа граммы. Найдем координатное выражение этого отображения 1 + x2 2x 2y p(x, y) =,,.

1 x2 1 x2 1 x В результате проекция p принимает вид:

2y u=.

(x + 1) Таким образом, p : C 2 R есть главное расслоение с базой R и струк турной группой S1.

Теорема. Отображение f : S 2 (1) C 2 является конформным.

Доказательство. Метрика в G индуцирует метрику в C 2. В коор динатах x, y она имеет вид ds2 = dx2. (18) Найдем метрику полусферы, соответствующую метрике в C 2. С помо щью формул (17) получим d = x2 1. Поэтому, согласно формулам (14) и (18), ds1 = (x2 1)2 ds. Плоскость C 2 c такой метрикой назовем полу 2 конформной. Таким образом, линейный элемент полусферы отличается от линейного элемента полуплоскости на конформный множитель, по этому отображение f конформное.

Найдем уравнения слоев в C2. В адаптированных координатах (13) 1 параметрическое семейство слоев расслоения (S 2 (1),, R) задается урав нениями: u = C, C R. Используя формулу (16), получим образ этого семейства при отображении f C (x + 1)2.

y= Бондаренко Ю.В. Конусы функций с одним и двумя условиями монотонности Таким образом, полуконформная плоскость расслаивается 1-параметри ческим семейством кривых, изображаемых параболами с осью симмет рии x = 1 и с вершиной в точке (1, 0).

Библиографический список 1. Белова Н.Е. Расслоения алгебр размерности 3 // Казанск.

ун-т. Казань, 1999. 9 с. Деп. в ВИНИТИ 11.10.99. № 3036– В99.

2. Вишневский В.В, Широков А.П., Шурыгин В.В. Простран ства над алгебрами. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985.

263 с.

3. Кузьмина И.А., Шапуков Б.Н. Конформная и эллиптиче ская модели расслоения Хопфа // Казань: Изд-во Казанск.

мат. общ-ва. Труды геометр. семин. 2003. Вып. 24. С. 81–98.

4. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М.: Наука.

1966. 746 с.

5. Шапуков Б.Н. Задачи по группам Ли и их приложениям.

М: РХД, 2002. 255 с.

6. Яглом И.М. Принцип относительности Галилея и неевкли дова геометрия. М.: Наука. 1969. 304 с.

Конусы функций с одним и двумя условиями монотонности Ю.В. Бондаренко В настоящей статье рассматривается конус функций с двумя условиями убывания. Даны необходимые и достаточные условия для того, чтобы конус с двумя условиями убывания совпадал с конусом с одним услови ем убывания. Выписаны крайние функции конусов с двумя условиями убывания и найдено представление произвольной функции из конуса через крайние функции этого конуса.

Определение 1. Пусть задана положительная функция (t) на R+ = {t R : t o}. Символом K( ) (соответственно, K( )) будем обозначать множество неотрицательных измеримых функций на R+, для каждой из которых выполнено условие:

t 0, h 0 x(t + h) · (t + h) x(t) · (t) 118 Глава 2. Математика в ее многообразии (соответственно t 0, h 0 x(t + h) · (t + h) x(t) · (t).

Определение 2. Пусть заданы две положительные функции 1 (t), 2 (t) на R+. Символами K(1, 2 ) (соответственно K(1, 2 )) будем обозначать множество неотрицательных измеримых функций на R+, для каждой из которых выполнены условия:

t 0, h 0 x(t + h) · 1 (t + h) x(t) · 1 (t), t 0, h 0 x(t + h) · 2 (t + h) x(t) · 2 (t), (соответственно t 0, h 0 x(t + h) · 1 (t + h) x(t) · 1 (t), t 0, h 0 x(t + h) · 2 (t + h) x(t) · 2 (t)).

Определение 3. Пусть заданы две положительные функции 1 (t), 2 (t) на R+. Символом K(1, 2 ) будем обозначать множество неот рицательных измеримых функций на R+, для каждой из которых вы полнены условия:

t 0, h 0 x(t + h) · 1 (t + h) x(t) · 1 (t), t 0, h 0 x(t + h) · 2 (t + h) x(t) · 2 (t).

Рассмотрим сначала конус K( ).

Отметим, что какова бы ни была функция, конус K( ) всегда содержит ненулевые элементы, например, функцию (t).

Следующая теорема описывает все крайние лучи конуса K(, ).

Теорема 1. Пусть фиксирована функция (t). Для того, чтобы функция была крайней в конусе K(, ) необходимо и достаточно, чтобы нашлись числа a, t0 0 такие, что эта функция имеет вид:

(t), если 0 t t0, 0 (t) = a если t t0, 0, или если 0 t t0,, (t) 1 (t) = a если t t0.

0, Бондаренко Ю.В. Конусы функций с одним и двумя условиями монотонности Доказательство. Докажем достаточность, причем мы разберем толь ко случай функции 0. Итак, пусть при всех t 0 выполнено равенство x0 (t) + x1 (t) 0 (t) =, где функции x0, x1 лежат в конусе K(, ).


Поскольку все функции из конуса K(, ) неотрицательны, то при всех t t0 справедливы равенства 0 (t) = x0 (t) = x1 (t) 0.

Пусть теперь t t0. Тогда, умножая равенство x0 (t) + x1 (t) 0 (t) = на (t), получим, что при всех t t0 верно соотношение 2a (t)x0 (t) + (t)x1 (t).

Поскольку правая часть есть сумма невозрастающих функций, а левая часть есть константа, то каждое слагаемое в правой части есть константа и, следовательно, выполняются равенства 1 x0 (t) b1 x1 (t) b ;

, (t) (t) где (b1 + b2 )/2 = a.

Достаточность доказана.

Докажем необходимость. Предположим, что функция (t) является крайним лучом в конусе K(, ), то есть из равенства x0 (t) + x1 (t) (t) = следует, что x0 (t) a(t);

x2 (t) b(t), причем (a + b)/2.

Умножим функцию (t) на функцию (t) и положим 0 (t) = (t) · (t). Тогда функция 0 (t) не возрастает. Положим m1 = supt0 0 (t) = 0 (0), m2 = inf t0 0 (t) = limt 0 (t). Покажем, что не существует точки t1 (0, ) такой, что выполняются неравенства m2 0 (t0 ) m1.

Предположим противное. Если существует точка t1 (0, ), в кото рой выполняется неравенство m2 0 (t1 ) m1, то положим 120 Глава 2. Математика в ее многообразии 0 (t)+0 (t1 ) если 0 t t1,, a x0 (t) = (t) если t t 0 (t), и 0 (t)0 (t1 ) если 0 t t1,, a x0 (t) = (t) если t t1.

0 (t), Тогда обе эти функции, x0 и x1, лежат в конусе K(, ), и прямо из определения следует, что справедливо равенство x0 (t) + x1 (t) 0 (t).

Из того, что функция 0 (t) является крайней, следует, что при 0 t t выполняются соотношения 0 (t) 0 (t1 ) 0 (t) 0 (t1 ) 0 (t) =, 0 (t) = 2 и, 0;

1 = +.

Из этих соотношений следует, что при 0 t t1 выполнено равен ство 0 (t) 0 (t1 ).

Противоречие.

Итак, функция 0 (t) принимает лишь два значения a b 0. По кажем, что b = 0. Опять предположим противное. Пусть 0 (t) a, при t [0, t1 ] и 0 (t) b, при t t1. Положим если 0 t t1, a, x0 (t) = (t) b + ab, если t t и если 0 t t1, a, x1 (t) = (t) ab если t t1.

b, Тогда обе эти функции, x0 и x1, лежат в конусе K(, ), и прямо из определения следует, что справедливо равенство x0 (t) + x1 (t) 0 (t).

Бондаренко Ю.В. Конусы функций с одним и двумя условиями монотонности Из того, что функция 0 (t) является крайней, следует, что при 0 t t выполняются соотношения 0 (t) 0 (t1 ) 0 (t) =, 0 (t) 0 (t1 ) 0 (t) = и, 0;

1 = +.

Из этих соотношений следует, что при 0 t t1 выполнено равен ство 0 (t) 0 (t1 ).

Противоречие.

Таким образом, теорема доказана.

Теорема 2. Пусть заданы две функции 1, 2, по которым постро ены два конуса K(1, ), K(2, ). Для того, чтобы выполнялось вло жение K(1, ) K(2, ), необходимо и достаточно, чтобы для всех t 0 и h 0 выполнялось соотношение 2 (t + h) 2 (t), (2) 1 (t + h) 1 (t) 2 (t) то есть функция не возрастает.

1 (t) Доказательство. Теперь мы переходим к изучению различных опе раций над конусами K(1, ), K(2, ). Первая теорема дает необходи мые и достаточные условия для того, чтобы объединение конусов было конусом.

Теорема 3. Пусть задано две функции 1, 2, по которым постро ено два конуса K(1, ), K(2, ). Множество K(1, ) K(2, ) явля ется конусом тогда и только тогда, когда выполнено одно из соотно шений 1 (t + h) 1 (t) 2 (t + h) 2 (t),. (3) 2 (t + h) 2 (t) 1 (t + h) 1 (t) В первом случае верно равенство K(1, ) K(2, ) = K(1, ), (4) а во втором справедливо равенство K(1, ) K(2, ) = K(2, ). (5) 122 Глава 2. Математика в ее многообразии Доказательство. Если выполнено одно из соотношений (3), то оче видно, что объединение конусов будет конусом и равенство (4) будет выполнено.

Пусть теперь K(1, ) K(2, ) является конусом. Очевидно, что выполняются соотношения K(1, ) K(1, ) K(2, ), 1 (t) K(2, ) K(1, ) K(2, ).

2 (t) Поскольку множество K(1, ) K(2, ) является конусом, то 1 K(1, ) K(2, ), + 1 (t) 2 (t) и значит, выполняется одно (или оба сразу) из соотношений 1 1 1 (t) ) · 1 (t) = 1 +, ( + 1 (t) 2 (t) 2 (t) 1 1 2 (t) ) · 2 (t) = 1 +.

( + 1 (t) 2 (t) 1 (t) Отсюда следует, что выполняются условия (3)–(5).

Теорема доказана.

Библиографический список 1. Бережной Е.И. Точные оценки операторов на конусах в идеальных пространствах // Труды МИАН им.В.А. Стеклова. 1993. Т. 204. С. 3– 36.

2. Красносельский М.А. Положительные решения операторных урав нений. М.: Физматлит, 1962.

3. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

Об одном способе задания преобразований пространства P В.Л. Виноградов В работе изучен класс преобразований пространства P3, порождаемых композицией стереографического и косого проектирований квадрики на плоскость и имеющих пучок слабо инвариантных плоскостей.

Виноградов В.Л. Об одном способе задания преобразований пространства P В пространстве P3 рассмотрим вещественную квадрику Q, точку S квадрики, плоскость (S ) и конгруэнцию G(1, m) первого порядка / класса m прямых.

Определим следующее преобразование f плоскости. Произволь ной точке M поставим в соответствие точку M, где M = t, t G(1, m), M1 t, M1 = SM Q, S = M1. Итак, f = 2 1, где – проектирование точек квадрики Q на плоскость из центра S (сте реографическое проектирование квадрики на плоскость из центра S), 2 – проектирование точек квадрики на плоскость посредством прямых конгруэнции G(1, m) (косое проектирование квадрики на плоскость).

Известно, что конгруэнция G(1, m) образована прямыми, пересека ющими фиксированную прямую l и кривую L порядка m, для которой l является (m 1)-секантой. Если l Q, то определено преобразование f 1 = 1 1.

Рассматривая в пространстве P3 пучок {} плоскостей с осью p и задавая указанным способом преобразование f в каждой плоскости это го пучка, получим некоторое преобразование T пространства P3. Вид преобразований f в плоскостях пучка {}, а следовательно, и вид пре образования T пространства зависит от типа квадрики Q и взаимного расположения S, l, p, L.

Рассмотрим отдельные случаи в зависимости от класса m конгруэн ции G.

1. m = 0.

В данном случае конгруэнция G вырождается в связку прямых и 2, как и 1, является стереографическим проектированием. Центр S0 этой связки должен принадлежать квадрике Q (в противном случае преобра зование f 1 было бы одно-двузначным), и преобразование f в плоскости определяется так: M, SM Q = M1, M1 = S;

S0 M1 = M ;

f (M ) = M. Легко убедиться, что f – квадратичное преобразование.

Действительно, проектирование 1 произвольную прямую d плоско сти переводит в конику k2 = Q (S, d), которая проектируется из S на в виде коники k2, то есть f (d) = k2.

Пусть и 0 – касательные плоскости к квадрике Q соответственно в точках S и S0 ;

= s, 0 = s0, SS0 = P. Свойства пре образования T пространства, расслаивающегося на преобразования f в плоскостях пучка {}, зависят от типа квадрики Q и расположения оси p пучка относительно прямой SS0 и прямой q = 0.

Пусть квадрика Q – овальная. Из способа задания преобразования f следует, что P – фундаментальная точка преобразований f и f 1 ;

в 124 Глава 2. Математика в ее многообразии первом случае P -элементом этой точки является прямая s0, а во втором – прямая s. Других F -элементов преобразования f и f 1 не имеют.

Если ось p пучка {} имеет общее расположение относительно q и SS0, то преобразование T пространства является кубическим. Дей ствительно, прямая p принадлежит F -системе преобразования T, ее P поверхностью является конус K2 второго порядка с вершиной S0 и на правляющей k2 = (S, p) Q. Итак, образ произвольной плоскости пучка {} распадается на эту плоскость и конус K2, а следовательно, поря док преобразования T равен 3. Если p является бисекантой прямых q и SS0, то конус вырождается в плоскость (S, p), а следовательно, порядок преобразования T равен 2.

Если p совпадает с q, то преобразование T является кубической ин волюцией.

Рассмотрим уравнения преобразования T. В качестве Q возьмем квадрику с уравнением x2 + x2 x3 x4 = 0. Тогда вершины A3 (0, 0, 1, 0) 1 и A4 (0, 0, 0, 1) координатного тетраэдра принадлежат Q (примем их за центры S и S0 проектирований 1 и 2 ), а вершины A1 (1, 0, 0, 0) и A2 (0, 1, 0, 0) принадлежат прямой q. Если ось p пучка {} имеет об щее расположение относительно SS0 и q, например, совпадает с пря мой E23 E14, где E23 (0, 1, 1, 0) и E14 (1, 0, 0, 1), то преобразования T и T имеют уравнения:

T3 : x : x : x : x = (x2 x3 )x1 x4 : (x2 x3 )x2 x4 : (x2 x3 ) :

1 2 3 [(x2 + x2 x3 x4 )(x1 x4 ) + (x2 x3 )x2 ];

1 2 T3 : x1 : x2 : x3 : x4 = (x x )x x : (x x )x x : [(x x )x2 + 1 2 13 1 4 23 1 4 (x2 + x2 x x )(x x )] : (x2 + x2 )(x x ).

1 2 34 2 3 1 2 1 Если p является бисекантой прямых SS0 и q, например, совпадает с прямой E12 E34, где E12 (1, 1, 0, 0) и E34 (0, 0, 1, 1), то имеем:

T2 : x : x : x : x = x1 x4 : x2 x4 : (x2 + x2 ) : [(x4 x3 )x4 + (x2 + x2 )];

1 2 3 4 1 2 1 T2 : x1 : x2 : x3 : x4 = x x : x x : [(x x )x + (x2 + x2 )] : (x2 + x2 ).

13 23 3 4 3 1 2 1 Если p совпадает с q, то преобразование является кубической инво люцией I33 с уравнениями:

I33 : x : x : x : x = x1 x3 x4 : x2 x3 x4 : (x2 + x2 )x3 : (x2 + x2 )x4.

1 2 3 4 1 2 1 Рассмотрим случай, когда квадрика Q линейчатая. Пусть l1 и l1, l2 и l2 – прямолинейные образующие квадрики Q, проходящие, соответствен но, через S и S0. Преобразование f (f 1 ) в плоскости имеет три фунда ментальные точки: L1 = l1, L = l1, и P (L2 = l2, L = l2 и P ), 1 их P -элементами являются, соответственно, прямые (l1, p), (l1, p), L1 L ((l2, p), (l2, p), L2 L ). Прямые l1 и l1 (l2 и l2 ) входят в состав 1 P -системы преобразования T (T 1 ), их P -элементами являются, соот Виноградов В.Л. Об одном способе задания преобразований пространства P ветственно, плоскости (l1, SS0 ) и (l2, SS0 ) ((l1, SS0 ) и (l2, SS0 )). Как и выше, можно показать, что: 1) если ось p пучка {} имеет произвольное расположение относительно SS0 и q, то T – кубическое преобразование;

2) если p пересекает SS0, то T – квадратичное;

3) если p совпадает с q, то T – кубическая инволюция.

Если в качестве Q взять квадрику x1 x3 x2 x4 = 0, а центры S и S0 проектирований поместить в точки A4 (0, 0, 0, 1) и A2 (0, 1, 0, 0), то уравнения преобразований T и T 1 имеют вид:

1) T : x : x : x : x = x1 x2 (x3 x4 ) : [(x1 x2 )(x1 x3 x2 x4)+ x2 (x 1 2 3 4 x4 )] : x2 x3 (x3 x4 ) : x1 x3 (x3 x4 ). (В данном случае ось p пучка {} имеет уравнения x1 x2 = 0, x3 x4 = 0 и является бисекантой пары прямолинейных образующих различных семейств квадрики, проходя щих через S и S0 ;

конус K2 распадается на пару плоскостей x1 = 0 и x3 x4 = 0).

T 1 : x1 : x2 : x3 : x4 = x x (x x ) : x x (x x ) : x x (x x ) :

14 1 2 13 1 2 34 1 [(x x )(x x x x ) + x2 (x x ).

3 4 13 24 4 1 2) Если p – бисеканта прямых SS0 и q совпадает с прямой E24 E (E24 (0, 1, 0, 1), E13 (1, 0, 1, 0)) и имеет, следовательно, уравнения x2 x4 = 0, x1 x3 = 0, то имеем:

T : x : x : x : x = x1 x2 : (x1 x3 x2 x4 + x2 ) : x2 x3 : x1 x3 ;

1 2 3 4 T 1 : x1 : x2 : x3 : x4 = x x : x x : x x : (x x x x + x2 ).

14 13 34 13 24 Преобразование T – центральное. Центр связки E24 инвариантных прямых является изолированной F -точкой с P -поверхностью x4 = (x2 = 0 – в преобразовании T 1 ).

3) p = q (q = 0 и имеет уравнения x2= x4 = 0). Преобразование является кубической инволюцией и имеет уравнения:

I33 : x : x : x : x = x1 x2 x4 : x1 x2 x3 : x2 x3 x4 : x1 x3 x4.

1 2 3 Это преобразование является преобразованием тетраэдрального ти па: фиксированная кривая пересечения двух гомалоидов (F -кривая преобразования) распадается на шесть прямых, являющихся ребрами координатного тетраэдра. Каждой точке каждой из прямых A1 A3 и A2 A4 соответствует вся эта прямая, а каждой точке каждой из пря мых A1 A2, A2 A3, A3 A4 и A1 A4 соответствуют все точки прямых SA3 A4, A1 A4, A1 A2 и A2 A3 соответственно. Вершины A1, A2, A3 и A4 являются изолированными F -точками с P -поверхностями x3 = 0, x4 = 0, x1 = 0 и x2 = 0 соответственно.

2. m = 1.

Пусть l и m – направляющие конгруэнции G(1, 1). Одна из них, на пример, l, как и центр проектирования S, должны принадлежать квад рике Q, так как в противном случае преобразование f не будет взаимно однозначным для любой точки плоскости.

126 Глава 2. Математика в ее многообразии Существенно различными являются следующие случаи.

1) S l. Преобразование f в плоскости является кубическим. Дей / ствительно, произвольная прямая d проектируется из S на квадрику Q в конику k2. Известно, что если l, m и k2 не имеют общих точек, то прямые конгруэнции G(1, 1), косо проектирующие точки коники k2, образуют линейчатую поверхность V4 четвертого порядка. Но в данном случае k и l имеют общую точку S1, поэтому V4 распадается на плоскость (S, m) и поверхность третьего порядка V3. Образом прямой d в преобразовании f является кривая третьего порядка, по которой поверхность V3 пересека ет плоскость. Найдем F -систему преобразований f и f 1. Обозначим через s1 и s2 квадрики Q, инцидентные S, причем s1 и l – образующие одной серии;

s1 = B1, s2 = B2, l = B3, m = C. Точки Bi – фундаментальные точки преобразования f : B2 и B3 – простые F точки, их P -элементами являются соответственно прямые B2 B3 и B3 C;

B1 – двукратная F -точка, ее P -элементом является коника, по которой плоскость пересекает линейчатую квадрику, содержащую прямые s1, l и m. К фундаментальным относятся и точки M и N, которые явля ются проекциями на плоскость точек M1 и N1 пересечения прямой m с квадрикой Q;

их P -элементами являются прямые пересечения плос кости с плоскостями (M1, l) и (N1, l). F -система преобразования f состоит из простых F -точек C (P -прямая – проекция из S на прямой пересечения плоскости (C, l) с квадрикой Q), C1 = m1 и C2 = m2, где m1 и m2 – образующие квадрики, проходящие соответственно через точки M1 и N1 и пересекающие образующую l (P -прямыми являются соответственно B1 C1 и B1 C2 ), D = t, где t – прямая конгруэнции G (P -прямая B1 B2 ), и двукратной F -точки B3 (P -элемент – коника, яв ляющаяся проекцией из S на коники, по которой плоскость (B3, m) пересекает Q).

Найдем фундаментальную систему преобразований T и T 1 про странства с пучком {} слабо-инвариантных плоскостей, в каждой из которых задано преобразование f. В состав F -кривой преобразования T входят: однократные прямые s, SM1 и SN1 (P -элементами являют ся, соответственно, плоскости (s2, l), (M1, l), (N1, l)), двукратная прямая s1 (P -поверхность – линейчатая квадрика, определяемая прямыми s1, l и m), трехкратная прямая p (P -поверхность – линейчатая поверхность третьего порядка V3 );

F -кривая преобразования T 1 состоит из одно кратных прямых m1, m2 и l (с P -поверхностями – плоскостями, опреде ляемыми парами прямых l и m1, l и m2, s1 и s2 ), двукратных прямых l и m и трехкратной прямой p.

Для получения уравнений преобразований T и T 1 введем в про странстве P3 проективную систему координат, в которой квадрика Q Виноградов В.Л. Об одном способе задания преобразований пространства P имеет уравнение x2 + x2 x2 x2 = 0, а прямые l, m и p – соответ 1 2 3 ственно уравнения x1 + x4 = x2 x3 = 0, x1 = x2 = 0, x3 = x4 = 0;

за S примем точку (1, 0, 0, 1). Тогда уравнения преобразования T (T 1 ) имеют вид:

T : x : x : x : x = [x2 x2 (x1 x4 )2 ][x4 (x1 x4 ) x3 (x2 + x3 )] :

1 2 3 4 2 2x2 (x1 x4 )[x3 (x2 + x3 ) x4 (x1 x4 )] : x3 (x1 x4 )[(x2 + x3 )2 + (x1 x4 )2 :

x4 (x1 x4 )[(x2 + x3 )2 + (x1 x4 )2 ];

T 1 : x1 : x2 : x3 : x4 = [2x x (x2 +x2 x x x x )+x x (x2 +x2 x 13 3 4 14 23 24 3 4 x2 )] : x x [(x +x )+(x x )2 ] : x [2x (x2 +x2 x x +x x )+x (x2 + 2 23 1 4 2 3 3 3 1 2 23 14 2 x2 x2 x2 )] : x [2(x (x2 + x2 x x + x x ) + x (x2 + x2 x2 x2 )].

4 1 2 4 3 1 2 23 14 2 3 4 1 Преобразования f и f 1 в плоскостях пучка {} имеют уравнения:

f : x : x : x : x = [x2 x2 (x1 x3 )2 ](x1 x2 2x3 ) : 2x2 (x1 x3 )(x2 + 1 2 3 4 2 2x3 x1 ) : (x1 x3 )[(x2 + x3 )2 + (x1 x3 )2 ];

f 1 : x1 : x2 : x3 = [2x x (2x + x x ) + x (2x2 x2 x2 )] : x [(x + 13 3 1 2 2 3 1 2 2 x2 + (x x )2 ] : 2x (x2 + x2 x x + x x ) + x (2x2 x2 x2 ).

3 2 3 3 1 2 23 13 2 3 1 2) S l. В качестве S возьмем точку (0, 1, 1, 0). Тогда уравнения имеют вид:

T : x : x : x : x = 2x1 (x1 +x4 )(x3 x2 ) : {(x2 x3 )[(x2 x2 )+(x2 x2 )]+ 1 2 3 4 2 3 1 (x1 +x4 )[(x2 x2 )(x2 x3 )2 ]} : 2x3 (x1 +x4 )(x3 x2 ) : 2x4 (x1 +x4 )(x3 x2 );

1 T 1 : x1 : x2 : x3 : x4 = x x [(x + x )2 + (x x )2 ] : x x (x2 + x2 x 14 1 4 2 3 13 1 2 x2 )+x x (x2 +x2 +x x x x ) : [(x2 +x2 x2 x2 )x +2x (x2 +x2 + 4 24 1 2 14 23 1 2 3 4 1 4 1 x x x x )]x : [(x2 + x2 x2 x2 )x + 2x (x2 + x2 + x x x x )]x.

14 23 3 1 2 3 4 1 4 1 2 14 23 Из уравнений непосредственно следует, что в состав F -системы пре образования T входят: прямая l в качестве двукратной F -прямой с P поверхностью x2 + x2 + x1 x4 x2 x3 = 0 (линейчатая полуквадрика с 1 направляющими l и m);

простая F -прямая l1 – образующая квадрики Q, проходящая через S и отличная от l, с P -плоскостью x2 x3 = 0 (ка сательная плоскость к квадрике Q в точке S);

трехкратная F -прямая p с P -поверхностью (x2 + x2 x2 x2 )x1 + 2x4 (x2 + x2 + x1 x4 x2 x3 ) = 0.

1 2 3 4 1 Отдельно рассмотрим случай, когда S m, то есть S – одна из точек пересечения прямой m с квадрикой Q. Если m имеет уравнения x1 = x3 = 0 и S(0, 1, 0, 1), а остальное – как и ранее, то:

T : x : x : x : x = x1 (x2 x2 x2 + x2 ) : [(x1 + x3 + x4 )(x2 + x2 x 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 x2 ) + 2x2 (x2 x2 ) : x3 (x2 x2 x2 x2 ) : x4 (x2 x2 x2 + x2 );

4 4 2 1 2 3 4 1 2 3 T 1 : x1 : x2 : x3 : x4 = x [(x + x )2 (x x )2 ] : (x + x + x )(x2 + 1 1 4 2 3 1 3 4 x2 x2 x2 ) + 2x (x2 x2 + x x + x x ) : x [(x + x )2 (x x )2 ] :

4 1 2 2 1 3 23 14 3 1 4 2 2 x4 [(x1 + x4 ) (x2 x3 ) ].

128 Глава 2. Математика в ее многообразии В состав F -системы этого преобразования входят: простые F -прямые m и s1 (образующая квадрики Q, проходящая через S и не пересекаю щая l) с P -плоскостями (l, M0 ) и (s1, M0 ), где M0 m Q, M0 = S;

двукратные F -прямые l и p. P -поверхностью прямой l является линей чатая полуквадрика с направляющими l, m и p. Найдем P -поверхность прямой p. В данном случае p пересекает прямую m. Поэтому проекцией прямой p из центра S на квадрику Q является коника k2, пересекающая дважды прямую m (в точках S и M0 ) и один раз – прямую l. Следова тельно, прямые конгруэнции G, проектирующие конику k2, заполняют плоскость (p, S). Эта плоскость пересекает любую плоскость пучка{}по прямой p. Итак, T (p) = p. Но на прямой p находятся две изолирован ные F -точки: P1 = m p, P2 = p, где – касательная плоскость к квадрике Q в точке S;

P -поверхностями этих точек являются, соот ветственно, плоскости (l, M0 ) и (l, S), которые имеют в данной системе координат уравнения x1 + x2 x3 + x4 = 0 и x1 x2 + x3 + x4 = 0 (это непосредственно следует из уравнений преобразования: два последних уравнения имеют общий множитель, приравняв который к нулю, по лучим уравнение P -поверхности тех F -элементов, которые инцидентны оси p расслаивающего пучка).

3. m = 3.

Пусть l – ось конгруэнции G(1, 3), L – направляющая конгруэнции, то есть L – кривая третьего порядка пространства P3 (нормкривая), для которой прямая l является бисекантой. При этом ось конгруэнции должна быть образующей линейчатой квадрики Q. Pассмотрим случай, когда ось пучка {} тоже принадлежит квадрике, причем l и p при надлежат одному семейству прямолинейных образующих квадрики. За центр S проектирования возьмем точку, принадлежащую L и не при надлежащую прямым l и p.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 11 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.