авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 11 |

«Андрей Николаевич Колмогоров (1903–1987) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ...»

-- [ Страница 4 ] --

Систему координат R = (A1, A2, A3, E) пространства P3 выберем так, чтобы прямая l имела уравнения x2 = x3 = 0, прямая p – уравнения x1 = x4 = 0, кривая L – уравнения x1 : x2 : x3 : x4 = 3 : 2 µ : µ2 : µ3, а точка S совпала с единичной точкой E. При этом уравнения преобра зований T и T 1 будут иметь вид:

T : x : x : x : x = (x2 x1 )(x3 x4 )(x4 x1 )[(x2 x1 )2 (x3 x4 )2 ]x1 :

1 2 3 (x2 x1 )[(x2 x1 )(x3 x4 )(x4 x1 )(x1 x3 x2 x4 ) (x2 x3 )(x4 (x2 x1 ) x1 (x3 x4 )3 )] : (x3 x4 )[(x2 x1 )(x3 x4 )(x4 x1 )(x1 x3 x2 x4 ) (x x3 )(x4 (x2 x1 )3 x1 (x3 x4 )3 )] : (x2 x1 )(x3 x4 )(x4 x1 )[(x2 x1 ) (x3 x4 )2 ]x4 ;

T 1 : x1 : x2 : x3 : x4 = (x x )(x x3 x3 x )x : (x x x x )(x x 2 3 13 24 1 24 13 x3 x ) + x x (x x )(x x x2 + x2 x x )x : (x x x x )(x x 24 23 1 4 13 2 3 24 2 24 13 x3 x )+x x (x x )(x x x2 +x2 x x )x : (x x )(x x3 x3 x )x.

24 23 1 4 13 2 3 24 2 2 3 13 24 Виноградов В.Л. Об одном способе задания преобразований пространства P Вторая P -система преобразования T имеет уравнение (x x )2 (x 2 3 x )(x x3 x3 x )(x2 x +x x2 x2 x x x2 ) = 0. Первая F -система ин 4 13 24 24 13 23 цидентна квадрике Q. В ее состав входят: четырехкратная F -прямая p – ось пучка {} (проектирование 1 переводит прямую p в себя, а пря мые конгруэнции G(1, 3), проектирующие точки этой прямой, образуют линейчатую поверхность четвертого порядка с трехкратной прямой l и уравнением x x3 x3 x = 0);

трехкратная F -прямая l – ось конгру 13 энции G(1, 3) (плоскость пучка {}, проходящая через произвольную точку L прямой l, пересекает кривую L в трех точках L1, L2, L3 ;

про ектирование 1 переводит точку L в себя, а прямые LL1, LL2, LL3 яв ляются проектирующими прямыми точки L в проектировании 2, и так как эти прямые принадлежат плоскости, то они являются P -кривой точки L;

когда точка L описывает прямую l, эта кривая описывает по верхность с уравнением x2 x x x2 x2 x x x2 = 0, которая и явля 24 13 23 ется P -поверхностью F -прямой l);

изолированная F -точка E23 (0, 1, 1, 0) – точка пересечения прямых p и SE14, где E14 (1, 0, 0, 1) (проектирова ние 1 отображает точку E23 в прямую SE23, а прямые конгруэнции G, проектирующие точки этой прямой, заполняют плоскость A1 A2 E с уравнением x x = 0, которая и является P -плоскостью F -точки 2 E23 );

изолированная F -точка S(1.1.1.1) – центр проектирования 1 (в качестве образа точки S в отображении 1 можно рассматривать лю бую точку квадрики Q, а образы точек квадрики Q в отображении заполняют плоскость x x = 0, которая и является P -поверхностью 1 F -точки. В состав второй F -системы преобразования T входит ось l кон груэнции G в качестве пятикратной F -прямой (произвольная плоскость {} пересекает l в точке L;

проектирующие прямые отображения 2 этой точки образуют коническую поверхность третьего порядка;

эта поверхность пересекает Q по кривой шестого порядка, которая распа дается на прямую l и кривую пятого порядка L5 ;

эта кривая в отобра жении 2 проектируется на плоскость в кривую L, которая является P -элементом F -точки L;

когда плоскость описывает пучок {}, кривая L описывает поверхность с уравнением (x2 x1 )(x3 x4 )(x4 x1 )(x1 x x2 x4 ) (x2 x3 )[x4 (x2 x1 )3 x1 (x3 x4 )3 ] = 0, которая и является P поверхностью F -прямой l).

4. Общий случай.

Пусть в данной системе координат элементы, задающие преобразо вание пространства, имеют уравнения: квадрика Q: x1 x3 x2 x4 = 0, ось p пучка плоскостей {} : x1 = x3 = 0, ось l конгруэнции G(1, m) :

x2 = x4 = 0, направляющая L конгруэнции – параметрические урав нения x1 : x2 : x3 : x4 = t2 m2 (t) : tm2 (t)µ : tµm1 : µm (здесь m2 (t) – однородный полином степени m 2 от t), S(1, 1, 1, 1). Тогда преобразования T и T 1 имеют уравнения:

130 Глава 2. Математика в ее многообразии T : x : x : x : x = x1 [(x2 x3 )2 (x3 x4 )m2 (x2 x3 ) + (x1 x2 )(x 1 2 3 x4 )m ] : (x2 x3 ){[x3 (x2 x3 )(x1 x2 ) + (x1 x3 )(x1 x3 x2 x4 )(x x4 )]m2 (x2 x3 ) + x1 (x1 x2 )(x2 x3 )(x1 x4 )m1 } : x3 (x2 x3 )[(x x3 )2 (x3 x4 )m2 (x2 x3 ) + (x1 x2 )(x1 x4 )m : x3 [(x2 x3 )3 (x x4 )m2 (x2 x3 ) + (x1 x2 )(x1 x4 )m+1 ];

T 1 : x1 : x2 : x3 : x4 = x x [(x3 + x x x x x2 + x x2 )m2 (x ) + 13 3 234 14 34 (x x x x )xm1 ] : x2 {[(x x x x x2 + x x x x x2 x2 x + 13 24 3 234 13 123 23 x x x )]m2 (x ) x x (x x x x )xm1 } : x2 [(x x x x3 x x2 + 134 3 13 24 13 3 234 3 x x2 )m2 (x ) + (x x x x )xm1 ] : x (x x2 x x x3 + x x2 x 34 3 13 24 3 2 34 13 1 x3 x x x3 + x x3 )m2 (x ) + (x x x x + x2 x2 + x x x2 x x x 34 14 34 3 1234 13 12 4 23 x2 x x + x x2 x )xm1.

134 1 34 Ось p пучка плоскостей {}является F -прямой первого вида преоб разования T, P -элементом которой является поверхность порядка m+2, распадающаяся на плоскость x3 = 0 (P -элемент изолированной F -точки A4 (0, 0, 0, 1)) и линейчатую поверхность с уравнением (x2 x3 x4 x3 x1 x2 + x3 x2 )m2 (x3 ) + (x1 x3 x2 x4 )xm1 = 0, образованную бисекан 4 4 тами коники k2 = Q A2 A4 S и кривой L.

Если в качестве оси p пучка {} взять прямую x1 x2 = x1 x3 = 0, в качестве S – точку (0, 0, 1, 0), а все остальное – как и ранее (в дан ном случае прямые p и l – скрещивающиеся), то преобразование имеет уравнения:

T : x : x : x : x = x2 [(x3 + x2 x2 x2 x3 + x2 x4 x1 x2 x3 )m2 (x2 ) 1 2 3 4 1 1 1 xm+1 ] : x1 x2 [(x1 x2 +x2 x2 x3 +x2 x4 x1 x3 )m2 (x2 )x1 x2 ] : x2 x4 [(x1 + m 2 m1 m x2 x3 )m2 (x2 ) x1 ] + x2 (x2 x4 x1 x3 )x1 : x1 x2 x4 [(x1 + x m m2 m (x2 ) x1 ] + (x2 x4 x1 x3 )x1 ;

x3 ) T 1 : x1 : x2 : x3 : x4 = x x (x x )(x x x x )m2 (x ) : x2 (x 34 2 1 14 23 3 3 x )(x x x x )m2 (x ) : x (x x x x )(x2 +x x x x x )m2 (x ) :

1 14 23 3 3 14 23 3 24 13 34 x (x x )[x (x2 x2 )m2 (x ) (x x x x )xm1 ].

4 2 1 3 4 3 3 13 24 Ось p пучка {} входит в состав F -системы преобразования T с P поверхностью x3 (x3 x4 )·(x1 x4 x2 x3 )m2 (x3 ) = 0 и в состав F -системы преобразования T 1 с P -поверхностью x2 [(x2 + x1 x2 x2 x4 )m2 (x2 ) xm ] = 0.

О геометрии второй канонической связности LCAS-многообразий И.А. Мухометзянова Пусть (M, g) – 2n + 1-мерное риманово многообразие, X (M ) – модуль гладких векторных полей на M, – оператор Кошуля римановой связ ности метрики g.

Мухометзянова И.А. О геометрии второй канонической связности LCAS-многообразий Определение 1. Почти контактной метрической структурой (AC структурой ) на M называется совокупность {,,, g} – тензорных по лей на M, где g =, – риманова метрика, – тензор типа (1, 1), ко торый называется структурным оператором, – структурный вектор, – контактная 1-форма:

() = 0, = 0, 2 = id +, (X) =, X, X, Y = X, Y (X)(Y ), X, Y X (M ).

Фундаментальной формой AC-структуры называется кососиммет ричный дважды ковариантный тензор (X, Y ) = X, Y.

Известно [1], что если фундаментальная форма удовлетворяет усло вию d =, то почти контактная метрическая структура называет ся контактной метрической структурой или почти сасакиевой (коро че AS-) структурой на M. Если к тому же – форма Киллинга, т.е.

j ()i + i ()j = 0, где i, j = 0, 2n, то AC-структура называется К контактной. А если присоединенная Q-алгебра этого многообразия абе лева [2], то это многообразие называется многообразием келерова типа.

Переход от AC-структуры {,,, g} к AC-структуре {, e, e, e2 g} называется конформным преобразованием структуры, где – функция на M, называемая определяющей функцией преобразова ния. Если = const, то конформное преобразование называется гомо тетией.

Определение 2. AC-структура называется локально конформно почти сасакиевой (короче, LCAS-) структурой, если в некоторой окрест ности каждой точки многообразия эта структура допускает конформное преобразование в почти сасакиеву структуру.

Определение 3. LCAS - многообразие назовем обобщенным L-мно гообразием, если X L = X() = 0.

Тождество X() = 0, X L = a = 0.

Теорема 1. Пусть D–LCAS-структура. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) D–нормальная AC-структура, 2) D локально конформно сасакиева обобщенная Lструктура.

Определение 4. Связность на M называется полусимметриче ской, если ее тензор кручения S имеет вид [4]:

1) S(X, Y ) = (X)Y (Y )X, где 1 (M ) – дифференциальная 1 форма на M, 2) g = 0. (1) В частности, если = 0, то –риманова связность.

132 Глава 2. Математика в ее многообразии Теорема 2. Пусть 1 (M ) – произвольная дифференциальная 1 форма на M, тогда существует и при том только одна полусиммет рическая связность на M, для которой выполняются соотношения (1).

Доказательство. Пусть T – тензор типа (2, 1) аффинной деформа ции связности и, то есть X Y = X Y + T (X, Y ). (2) Согласно (1) S(X, Y ) = X Y Y X [X, Y ] = (X)Y (Y )X.

С учетом (2), имеем S(X, Y ) = X Y Y X [X, Y ] = = X Y + T (X, Y ) Y X T (Y, X) [X, Y ] = (X)Y (Y )X, то есть (X Y Y X [X, Y ]) + T (X, Y ) T (Y, X) = (X)Y (Y )X и так как –риманова связность, имеем T (X, Y ) T (Y, X) = (X)Y (Y )X. (3) С другой стороны, X (g)(Y, Z) = 0, следовательно X (g(Y, Z)) = g(X Y, Z) + g(Y, X Z).

С учетом (2), имеем X(g(Y, Z)) g(X Y, Z) g(Y, X Z) = g(T (X, Y ), Z) + g(Y, T (X, Z)).

Так как g = 0, имеем g(T (X, Y ), Z) + g(Y, T (X, Z)) = или T (X, Y ), Z + Y, T (X, Z) = 0. (4) Мухометзянова И.А. О геометрии второй канонической связности LCAS-многообразий Сделаем замену X Y Z X T (Y, Z), X + Z, T (Y, X) = 0. (5) Сделаем замену X Y Z X T (Z, X), Y + X, T (Z, Y ) = 0. (6) Почленно сложим тождества (4) и (5) и почленно вычтем тождество (6):

T (X, Y ) + T (Y, X), Z + T (Y, Z) T (Z, Y ), X + T (X, Z) T (Z, X), Y = 0.

С учетом (3), имеем T (X, Y ) + T (Y, X), Z + (Y )Z (Z)Y, X + (X)Z (Z)X, Y = или T (X, Y ) + T (Y, X), Z = (X) Y, Z + (Z) X, Y (Y ) Z, X + (Z) Y, X.

Умножим равенство (3) на Z, имеем T (X, Y ) T (Y, X), Z = (X) Y, Z (Y ) X, Z.

Складывая два последних равенства, получим T (X, Y ), Z = (Z) X, Y (Y ) X, Z, Z X (M ).

Таким образом, T (X, Y ) = (Y )X+ X, Y, где -вектор, дуальный 1-форме.

Обратно, пусть T (X, Y ) = (Y )X+ X, Y.

Тогда в связности = + T имеем 1) g = 0, 2) S(X, Y ) = T (X, Y ) T (Y, X) = (Y )X+ X, Y + (X)Y Y, X = (X)Y (Y )X.

Теорема доказана.

134 Глава 2. Математика в ее многообразии Для LCAS-многообразия канонически определена полусимметриче ская связность:

X Y = X Y (d)(Y )X+ X, Y grad().

Назовем ее 2-й канонической связностью.

Теорема 3. Тензор S кручения 2-й канонической связности LCAS многообразия M удовлетворяет любому из тождеств:

S(X, Y ) = 0, 2 S(2 X, ) + S(X, ) = 0, 2 S(2 X, 2 Y ) + 2 S(X, Y ) S(2 X, Y ) S(X, 2 Y ) = 0, X, Y X (M ).

Теорема 4. LCAS-многообразие M локально конформно обобщен ному L-многообразию тогда и только тогда, когда тензор S кручения 2-й канонической связности удовлетворяет любому из тождеств:

S(2 X, Y ) + S(X, 2 Y ) = 0, 2 S(X, Y ) S(X, 2 Y ) = 0, S(, X) = 0, X, Y X (M ).

Теорема 5. Определяющая функция конформного преобразования исходной структуры в AC-структуру является первым интегралом поля характеристического вектора тогда и только тогда, когда тензор S кручения 2-й канонической связности удовлетворяет тождеству:

2 S(2 X, ) + S(X, ) = 0, X X (M ).

Библиографический список 1. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. М.: МПГУ, 2003.

2. Кириченко В.Ф. Аксиома Ф-голоморфных плоскостей в контактной метрической геометрии // Известия Академии Наук СССР. Серия математическая.1984. Т. 48. № 4. С. 711–734.

3. Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий. Математический сборник, 2002.

V. 193. № 8. C. 71– 4. Pandey P.N. Dubey Sudhit Rumar. Almost Grayan manifold admitting semi-symmetric metric connection.Tensor, N.S., Vol. 65 (2004). P. 143– 152.

Зыкова Е.А. Примеры полных систем функций, не являющихся представляющими системами Примеры полных систем функций, не являющихся представляющими системами Е.А. Зыкова В предлагаемой статье мы приводим простые примеры систем функций, которые являются полными, но не являются системами представления.

Пусть E сепарабельное банахово пространство, {ei } – базис про i= странства E.

Прямо из определения базиса следует, что выполняются неравенства ek x k 0, lim k 0 0.

inf (1) k x(ek+1,...) Наряду с базисами в геометрической теории банаховых пространств важную роль играют так называемые полные системы и системы пред ставления. Напомним определение системы представления.

Определение 1. Система элементов {xn } сепарабельного про n= странства E называется системой представления в E, если для любого элемента f E существует ряд ck xk, такой, что k= n f lim ck xk = 0.

n k=1 E Покажем, что в каждом банаховом пространстве с базисом существу ют полные системы, которые не являются системами представления.

Зафиксируем базис {ei } в пространстве E и определим систему i= {n } с помощью равенств:

1 = e1 + 2 e2, 2 = 2 e2 + 1 e3, 3 = 1 e3 + e4, 4 = e4 + 1 e5,...

3n+1 = e3n+1 + 3n+2 e3n+2, 1 3n+2 = 3n+2 e3n+2 + 3n+3 e3n+3, 3(n+1) = 3n+3 e3n+3 + e3n+4,...

136 Глава 2. Математика в ее многообразии Покажем, что система {n } полная, т.е. что каждый элемент f n= E можно приблизить с любой степенью точности линейной оболочкой системы {n }.

Начнем с e1. Покажем, что для любого 0 существует сумма n di i, такая что i= n e1 di i.

i= Для этого выберем число n = 3k и положим di = (1)i1, i = 1, n.

Тогда получим n n (1)i1 i = e1 di i = e i=1 i= 1 1 1 = e1 (e1 + e2 ) + ( e2 + e3 ) ( e3 + e4 )... = 2 2 3 11 11 e3 ( + )...en+1 (1)n1 q = en+1 (1)n = e1 e1 e2.

22 33 n+ Таким образом, мы получаем, что если n = 3k, k N, то n 1 n (1)i1 i = en+1 (1)n e1 0.

n+ i= Аналогичным образом можно показать, что каждый элмент ek мож но приблизить с любой степенью точности линейной оболочкой системы {n }. Поскольку система {ek } является базисом пространства E, n=1 k= то и система {n } будет полной в E.

n= Покажем теперь, что не существует ни одного ряда по системе {i }, i= такого, что e1 = di i.

i= Предположим противное, что такой ряд нашелся, т.е.

n e1 = lim di i. (2) n i= n 1 1 1 e1 di i = e1 d1 (e1 + e 2 ) d2 ( e 2 + e 3 ) d3 ( e 3 + e 4 )...

2 2 3 i= Тимофеева Н.В. Универсальное семейство подсхем компактификации в схеме Гильберта пространства модулей стабильных 2-векторных расслоений на поверхности Используя условие (1), получим:

1 1 1 e1 d1 (e1 + e2 ) d2 ( e2 + e3 ) d3 ( e3 + e4 )... |1 d1 |1.

2 2 3 Из условия (2) следует, что d1 = 1. Тогда n 1 1 1 e1 di i = e2 d2 ( e2 + e3 ) d3 ( e3 + e4 )...

2 2 3 i= Снова используем условие (1), получим 1 1 1 1 e2 d2 ( e2 + e3 ) d3 ( e3 + e4 )... |1 + d2 |2.

2 2 3 3 Из условия (2) следует, что d2 = 1. Продолжая действовать анало гичным образом, получаем, что di = (1)i1, i = 1, n.

Таким образом, мы показали, что если и существует ряд, представ (1)i1 i.

ляющий e1, то он может быть только следующего вида:

i= Покажем, что этот ряд расходится. Положим n = 3k, k N. Тогда an = a3k = (1)3k1 ( e3k + e3k+1 ).

3k Получаем, что an 0 при n. Так как общий член ряда не стре (1)i1 i расходится.

мится к нулю с ростом n, то ряд i= {n } Мы показали, что система является полной, но не является n= системой представления.

Автор выражает благодарность своему научному рукововдителю Е.И. Бережному за постановку задачи.

Универсальное семейство подсхем компактификации в схеме Гильберта пространства модулей стабильных 2-векторных расслоений на поверхности Н.В. Тимофеева Предварительные сведения. В настоящей статье изучается структу ра универсального семейства поверхностей над новой компактификаци ей тонкого многообразия модулей стабильных 2-векторных расслоений, 138 Глава 2. Математика в ее многообразии с классами Чженя c1, c2, на поверхности. Пусть S – гладкая проективная неприводимая поверхность над полем C, H P ic S – класс поляризации, M0 – многообразие модулей стабильных по Гизекеру [1] 2-векторных расслоений с классами Чженя c1, c2 на поверхности S, M – его компак тификация Гизекера-Маруямы. Считаем, что классы c1, c2 таковы, что многообразие M является тонким и не содержит строго полустабиль ных пучков [2], [3]. Пусть E – универсальный пучок на произведении Y = M S. Автором показано, что его гомологическая размерность равна 1. Для дальнейшего необходима локально свободная резольвента пучка E:

0 E1 E0 E 0. (1) Обозначим за Y раздутие схемы Y в пучке нулевых идеалов Фиттинга I = Fitt0 E xt1 Y (E, OY ), : Y Y – соответствующий морфизм. Много O образие Y обладает локально свободным пучком E ранга 2, причем его ограничение на открытое подмножество Y0 = M0 S равно E|Y0. Откры тое подмножество Y0 обладает вложением в грассманиан G двумерных подпространств векторного пространства H 0 (E L) для некоторого очень обильного пучка L P ic Y, причем образы слоев {y} S для всех y M0 имеют постоянный многочлен Гильберта P (k). Тогда опреде лено индуцированное вложение базы M0 в схему Гильберта H подсхем в грассманиане G, имеющих многочлен Гильберта, равный P (k). Ком пактификация M строится как замыкание образа многообразия M0 при вложении в схему Гильберта H. Пусть Z H G – универсальное се мейство подсхем, соответствующее схеме Гильберта H, Y = Z H M – его ограничение на подсхему M, p1 : Y M – естественная проекция.

Имеет место коммутативная диаграмма j G Y Y pZ p2 hY Z Y M pZ p1 h H M с нижним расслоенным квадратом, в которой p2 – проекция, индуциро ванная проекцией pZ универсальной подсхемы, : M M – регуляр ный бирациональный морфизм компактификации M на компактифика цию Гизекера-Маруямы. Универсальное семейство подсхем Y снабже но локально свободным пучком E и содержит открытое подмножество, Тимофеева Н.В. Универсальное семейство подсхем компактификации в схеме Гильберта пространства модулей стабильных 2-векторных расслоений на поверхности изоморфное Y0, причем p2 E|Y0 = E|Y0. Теперь рассмотрим сквозное отображение (idM,p2 ) (idM,) (idM, p2 ) : M Y M Y M Y, p id 1 Y M Y, определяемое композицией Y diag Y и вложение Y (p1,idY ) Y M Y диагонального вложения и проекции первого сомно жителя. Введем обозначения := (idM, p2 )(), = (idM, )(), пусть Y – замкнутое вложение. Здесь и определяются как i : M схемные образы соответствующих морфизмов. Имеют место изоморфиз мы Y и M S. Автором доказано, что имеет место равенство = = (idM, p2 ) (OM E (p2 ) OY (D))) | = (OM E)|, (2) где D – класс дивизоров на схеме Y.

Предложение 1. В диаграмме (idM,) M Y M Y i, где вертикальные стрелки – замкнутые вложения, := (idM, )| – морфизм раздутия пучка идеалов J := (i (OM I)) · O.

Доказательство. Образуем расслоенное произведение 1 := Y Y, и пусть i1 : 1 M Y – его вложение. Тогда, по универсальности расслоенного произведения, существует единственный морфизм r :

1, включающийся в коммутативный треугольник:

r i i M Y.

Теперь обозначим за раздутие схемы в пучке идеалов J := (i1 (OM I)) · O ;

пусть : – морфизм раздутия. Согласно универсальному свойству раздутий [4, II, Предложение 7.15], существует единственный морфизм (замкнутое вложение) i : M Y, делаю щий коммутативной диаграмму (idM,) M Y M Y i i.

140 Глава 2. Математика в ее многообразии Тогда, по универсальности расслоенного произведения, существует един ственный морфизм s : 1, включающийся в коммутативный тре угольник s i i M Y.

Лемма 2. Пусть в коммутативной диаграмме h X Z f g Y морфизм h – замкнутое вложение, морфизм g отделим. Тогда f – за мкнутое вложение.

Доказательство. Образуем расслоенное произведение X Z Y и рассмотрим морфизмы idX f : X X Z Y и (f, idY ) : X Z Y Y Z Y, индуцированные тождественными отображениями на X и на Y и морфизмом f. В расслоенной диаграмме idX f pr X Z Y X X f (f, idY ) f diag pr Y Z Y Y Y diag – замкнутое вложение, согласно отделимости морфизма g. Тогда морфизм idX f – замкнутое вложение. Морфизм h : X Z Y Y, полученный из морфизма h заменой базы, также является замкнутым вложением. Композиция h (idX f ) может быть представлена в виде h (idX f ) = f pr1 (idX f ) = f idX = f, что и доказывает лемму.

Согласно лемме 2, морфизмы r и s – замкнутые вложения. Заметим далее, что схемы и содержат совпадающие открытые подмноже ства, изоморфные M0 S. Схема приведена и не приводима по постро ению;

схема приведена и не приводима как раздутие целой схемы.

Отсюда следует, что =, и =, что и доказывает предложение.

Замечание. Схема является неприводимой компонентой схемы 1. В самом деле, схемы и 1 обладают совпадающими открытыми подмножествами, изоморфными M0 S, причем схема приведена и не приводима.

Тимофеева Н.В. Универсальное семейство подсхем компактификации в схеме Гильберта пространства модулей стабильных 2-векторных расслоений на поверхности Предложение 3. Справедливо равенство J = Fitt0 E xt1 (((idM, p2 ) (OM E (p2 ) OY (D))) |, O ).

O Доказательство. Согласно (2), E xt1 (((idM, p2 ) (OM E (p2 ) OY (D))) |, O ) = O E xt1 (i (OM E), i OM Y ).

O Здесь использовано соотношение O = i OM Y. Заметим, что, cогласно [4, III, Предл. 9.2 b], i (OM E) является плоским над M пучком OM S модулей.

Убедимся в справедливости первого из следующих равенств (второе очевидно):

E xt1 (OM E|, O ) = i E xt1 M Y (OM E, OM Y ) = O O i (OM E xt1 Y (E, OY )).

O После тензорного умножения точной последовательности (1) на пучок OM и ограничения на подсхему имеем точную тройку O -пучков:

0 OM E1 | OM E0 | OM E| 0.

Точность слева следует из того факта, что пучок OM E1 | не имеет кручения. Применяя функтор HomO (·, O ), получим точную последо вательность 0 HomO (OM E|, O ) HomO (OM E0 |, O ) HomO (OM E1 |, O ) E xt1 (OM E|, O ) O E xt1 (OM E0 |, O ) E xt1 (OM E1 |, O ).

O O С другой стороны, применение к точной тройке (1) тензорного умно жения и функтора HomOM Y (·, OM Y ) приводит к точной последова тельности 0 HomOM Y (OM E, OM Y ) HomOM Y (OM E0, OM Y ) HomOM Y (OM E1, OM Y ) E xt1 M Y (OM E, OM Y ) O 142 Глава 2. Математика в ее многообразии E xt1 M Y (OM E0, OM Y ).

O Заметим, что в силу локальной свободы пучка E0 пучок E xt1 M Y (OM O E0, OM Y ) = 0. Теперь применим функтор i и получим комплекс 0 i HomOM Y (OM E, OM Y ) i HomOM Y (OM E0, OM Y ) i HomOM Y (OM E1, OM Y ) i E xt1 M Y (OM E, OM Y ) 0, O точный в последнем члене.

Рассмотрим морфизмы замены базы r : i HomOM Y (OM E, OM Y ) HomO (OM E |, O ), = 0, 1.

Нетрудно проверить, что для любого конечно представимого A- модуля M и любой A-алгебры B отображение r : HomA (M, A) A B HomB (M A B, B) – эпиморфизм.

Слой пучка i HomOM Y (OM E, OM Y ) в произвольной точке x равен:

(i HomOM Y (OM E, OM Y ))x = (HomOM Y (OM E, OM Y ))x OM Y,x O,x = HomOM Y,x ((OM E )x, OM Y,x ) OM Y,x O,x.

Слой в точке x пучка HomO (OM E |, O ) равен (HomO (OM E |, O ))x = HomO,x ((OM E |)x, O,x ).

Сравнивая послойно ранги рассмотренных локально свободных пуч ков, заключаем, что r – изоморфизм. Итак, имеем коммутативную диа грамму 0 i HomOM Y (OM E, OM Y ) HomO (OM E|, O ) i HomOM Y (OM E0, OM Y ) HomO (OM E0 |, O ) == i HomOM Y (OM E1, OM Y ) HomO (OM E1 |, O ) == i E xt1 M Y (OM E, OM Y ) E xt1 (OM E|, O ) O O E xt1 (OM E0 |, O ) O Тимофеева Н.В. Универсальное семейство подсхем компактификации в схеме Гильберта пространства модулей стабильных 2-векторных расслоений на поверхности с точным левым столбцом. Слой пучка E xt1 (OM E0 |, O ) равен O E xt1 (OM E0 |, O )x = Ext1,x ((OM E0 | )x, O,x ) = 0, поскольку в O O аргументах стоят свободные модули. Таким образом, имеем изоморфизм коядер E xt1 (OM E|, O ) i E xt1 M Y (OM E, OM Y ).

= O O Далее, по доказанному, E xt1 (OM E|, O ) = i (OM E xt1 Y (E, OY )).

O O Отсюда для пучка идеалов Фиттинга получаем:

Fitt0 (E xt1 (OM E|, O )) = Fitt0 (i (OM E xt1 Y (E, OY ))) O O = i1 (Fitt0 (OM (E xt1 Y (E, OY )))) · O = i1 (OM I) · O.

O Предложение 3 доказано.

Итак, проекция p1 : Y M может быть представлена в виде компо зиции согласно диаграмме Y p1 (3) M.

Введем морфизмы вложения слоев iy : {} S и iy : {} S y y Y для y = (). Тогда по свойству универсальности раздутий [4, II, y Предложение 7.15] коммутативна диаграмма Sy y iy {} S, y где символом Sy обозначено раздутие слоя {} S в пучке идеалов y i1 J · O{y}S, y – соответствующий морфизм раздутия. Теперь образу y ем расслоенное произведение ({} S);

пусть ({} S) y y – соответствующее замкнутое вложение. Тогда по универсальности рас слоенного произведения существует единственный морфизм t : Sy ({} S), делающий коммутативным треугольник y Sy t ({} S).

y 144 Глава 2. Математика в ее многообразии По лемме 2, t – замкнутое вложение. Комбинируя диаграмму (3) и фор мирование расслоенного произведения ({} S), заключаем, что y ({} S) – слой проекции p1 и, следовательно, является поверх y ностью. При этом Sy – компонента в ({} S) и, следовательно, в y слое проекции p1.

Преобразуем пучок идеалов i1 J · O{y}S = i1 (i1 (OM I) · O ) · y y O{y}S = (iy i )1 (OM I) · O{y}S = ky i1 I · O{y}S = ky y Fitt0 (i E xt1 Y (E, OY )). Применяя к точной тройке (1) функторы i, y y O HomOY (·, OY ) и HomOS (·, OS ) и обозначая символом Ey пучок, соот ветствующий точке y M, приходим к равенству i E xt1 Y (E, OY ) = E xt1 {y}S (Ey, O{y}S ).

O O y Таким образом, поверхноcть Sy изоморфна раздутию поверхности S в пучке идеалов Фиттинга Fitt E xt1 {y}S (Ey, O{y}S ) = Fitt0 E xt1 S (Ey, OS ).

O O Итак, доказана Теорема. Проекция p1 : Y M разлагается в композицию Y M морфизма раздутия в пучке идеалов J = Fitt0 E xt1 (((idM, p2 ) (OM E (p2 ) OY (D))) |, O ), O где M S, и проекции на сомножитель : M S M. При этом = \M0 содержит компо слой проекции p1 над специальной точкой y M ненту, изоморфную раздутию поверхности S в пучке идеалов Fitt0 E xt1 S (Ey, OS ). Слой проекции p1 над точкой y M0 изоморфен O поверхности S.

Библиографический список 1. Gieseker D. On the moduli of vector bundles on an algebraic surface // Ann. of Math, 106(1977), P. 45–60.

2. Maruyama M. Moduli of stable sheaves, II // J. Math. Kyoto Univ.

(JMKYAZ) 1978. V. 18–3. P. 557–614.

3. Huybrechts D., Lehn M. Geometry of Moduli Spaces of Sheaves. Publ.

of Max-Planck-Inst. fr Mathematik, Bonn. Vieweg, 1997.

u 4. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1981.

Сорокина М.Е. Об универсальном семействе полустабильных пучков ранга 2 с c1 = 0, c2 = 2 на поверхности F Об универсальном семействе полустабильных пучков ранга 2 с c1 = 0, c2 = 2 на поверхности F М.Е. Сорокина Введение Настоящая статья посвящена доказательству одного геометрического результата, связанного с описанием многообразия модулей M = MS (0, 2) полустабильных пучков ранга 2 без кручения на поверхности Хирцебру ха S = P(OP1 OP1 (1)) с классами Черна c1 = 0, c2 = 2. Для реализации этого многообразия модулей как фактора в смысле геометрической тео рии инвариантов (GIT-фактора) используется аналогичная реализация многообразия M = MP2 (0, 2) полустабильных пучков ранга 2 без круче ния на P2 с классами Черна c1 = 0, c2 = 2 как GIT-фактора G//P GL(3), где G – подходящее открытое множество грассманниана G(2, 6). Так как S получается из P2 бирациональным морфизмом : S P2 раздутия в точке x0, то естественно ожидать, что MS (0, 2) может быть реализо вано как GIT-фактор G//SL(3), где G – подходящая бирациональная перестройка многообразия G. Искомое многообразие G получается из G как композиция двух раздутий, необходимых для построения универ сального семейства пучков на S G, классы S-эквивалентности которых представлены точками многообразия MS (0, 2).

Цель настоящей статьи – доказательство гладкости многообразия G (см. теорему 1) и другого интересного геометрического факта о том, что центр второго раздутия на неособом многообразии, дающего многообра зие G, имеет особенности (см. замечание 1). Всюду в статье мы работаем над алгебраически замкнутым основным полем k характеристики 0 (на пример, k = C).

Построение многообразия M=MP2 (2) и описание проекции p:GM В этом параграфе мы рассмотрим некоторые конструкции, связанные с многообразием M = MP2 (0, 2). Напомним (см., например, [4)], что M изоморфно |O2 (2)| P5. При этом граница M := M \ MP2 (0, 2) мно P гообразия M как множество состоит из точек, соответствующих клас сам изоморфизма не локально свободных пучков, и изоморфна S 2 P2.

Пусть [E] M. Тогда [E] = [Ix1 Ix2 ], где Ixi - пучок идеалов точ ки xi, i = 1, 2, и множеству представителей этого класса можно со поставить два множества расширений: {0 Ix1 E Ix2 0}, если SingE x1, и {0 Ix2 E Ix1 0}, если SingE x2.

В M S 2 P2 рассмотрим подмножество Sing(S 2 P2 ) точек [Ix1 Ix2 ], 146 Глава 2. Математика в ее многообразии таких, что x1 = x2, изоморфное P2. Тогда образ v(P2 ) вложения Веро незе v : P2 |O2 (2)| - поверхность Веронезе в P5, а S 2 P2 реализу P ется как многообразие хорд поверхности V. Обозначим через P2 0 при-x веденную подсхему в M, изоморфную P2, точками которой являются классы пучков, имеющих особенность в точке x0. Нетрудно видеть, что P2 0 PTv(x0 ) V - проективная плоскость в P5, касательная в точке v(x0 ) x к поверхности V. Рассмотрим раздутие : M M в подсхеме P2 0. M x есть многообразие модулей MS (0, 2) полустабильных когерентных пуч ков без кручения ранга 2 c c1 = 0, c2 = 2 на S. (Мы вернемся к этому раздутию в следующем разделе.) Далее, пусть [E] M – произвольная точка и E [E]. Как из вестно (см. [1, 2]), пучок E задается точной тройкой 0 K OP2 (1) H P2 (1) E 0, в которой K и H - векторные пространства размерности 2, P2 = P(V ) и морфизм таков, что (i) a := h0 ((1)) : K H V - вложение и (ii) для любого ненулевого собственного подпространства H в H и подпространства K := a1 (H V ) = K (H V ) в K выполняется неравенство dimK /dimK dimH /dimH.

Для пространств указанной размерности это означает, что dimK 1, H V. Гомоморфизмы a Hom(K, H V ), удовлетворяю т.е. K щие (i) и (ii), составляют подмножество, которое будем обозначать че рез M. Пусть Gr := Gr(1, P (H V )) - грассманово многообразие 1 подпространств в P (H V ). Сопоставляя точке a M проективную прямую L = P (Im(a)) P (H V ), получим морфизм : M Gr, об раз G которого - плотное открытое подмножество в Gr. Нетрудно ви деть, что : M G – главное GL(K)-расслоение, а M = G//SL(H) – хороший фактор по действию группы SL(H).

Изучим строение морфизма p : G M. Вложим по Плюккеру грас сманово многообразие Gr в P14 = P (2 (H V )). Для образов много образий Gr и G в P14 будем использовать те же обозначения Gr и G. Рассмотрим рациональную линейную проекцию p0 : P14 P5 = 2 2 8 2 P ( H S V ) с центром в P0 := P (S H V ), существующую в силу разложения 2 (H V ) = 2 H S 2 V S 2 H 2 V. Тогда мор физм p : G P5 – это ограничение проекции p0 на многообразие G Gr. Кроме того, G = Gr \ Gr P8, что непосредственно полу чаем из описания G. По определению M, пространство L = P (a(K)), где a - вложение K H V, рассматриваемое как точка грассма ниана Gr, лежит в центре проекции p0, если оно лежит в плоскости P ( V ) для некоторого ненулевого вектора H. Таким обра зом, если s1,2 : P (H) P (V ) P (H V ) = P5 – вложение Сегре, S1,2 – Сорокина М.Е. Об универсальном семействе полустабильных пучков ранга 2 с c1 = 0, c2 = 2 на поверхности F образ этого вложения и |2,1| (S1,2 ) – вложение S1,2 в Gr посредством ли нейного ряда OP1 (1)OP2 (2), то |2,1| (S1,2 ) = Gr P8 – центр проекции p0 |Gr.

Далее будем использовать обозначения CL := p0 (L) для образа точ ки L Gr в P5 и E = EL для пучка E = coker, поскольку класс изоморфизма данного пучка зависит лишь от точки L G.

Пусть E = EL – локально свободный пучок на P2, а следователь но, стабилен. Для такого пучка в (ii) выполняется строгое неравенство dimK /dimK dimH /dimH, поэтому dimK (H V ) = 0. Таким об разом, прямая L P5 не пересекает многообразие Сегре S1,2.

Приведем здесь некоторые классические утверждения (см. [3]). Рас s1, idi смотрим вложение qP1 : P1 P1 P1 P2 P5, индуцируемое вложе нием i : P1 P2, и пусть Q(P1 ) = ImqP1. Тогда 1) SpanQ(P1 ) = P5.

P1 P 2) Для любой точки x P5 \ S1,2 существует единственная прямая P (x) P2, такая, что SpanQ(P1 ) содержит x.

3) Если точка L Gr такова, что соответствующая прямая L P не пересекает S1,2, то прямые P1 (x) для всех x L огибают конику в P2 : CL = P1 (x) P2.

xL Нетрудно проверить, что для L P5 коника CL совпадает с коникой C(EL ) прямых подскока пучка EL.

Пусть пучок EL включается в точную тройку 0 Ix1 EL Ix2 0. Тогда прямая L пересекает многообразие S1,2 в точке v P (H V ), где v – некоторый вектор в V. При этом x1 = v P2.

Пучку EL в этом случае соответствует распавшаяся коника C(EL ) = x1 x2 в P2.

Если EL имеет особенность только в точке x1, то вторую точку x можно получить следующим образом. Пучок идеалов точки x1 на P включается в точную тройку 0 k OP2 (1) P2 (1) Ix1 0, в которой k – одномерное подпространство в K, а вложение задается умножением на v. Тогда для факторпучка Ix2 пучка EL имеется резольвента 0 K/k OP2 (1) H/ P2 (1) Ix2 0, в ко торой вложение задается умножением на некоторый вектор H/ w.

При этом x2 = w. Точку x2 можно получить также с точки зрения геометрии. Рассмотрим в P (H V ) трехмерное пространство P3 (L) := Span(L, V ). Нетрудно видеть, что существует единственная пря мая P1 = P (H w), такая, что P3 (L) = Span( V, H w ), и тогда w – это x2.

Если пучок EL имеет особенности SingEL = x1 x2, где x1 = v, x2 = w (в этом случае тройка 0 Ix1 EL Ix2 0 распадает 148 Глава 2. Математика в ее многообразии ся), то L Gr пересекает S1,2 в двух точках: 1 v и 2 w.

Здесь также C(EL ) = x1 x2 – распавшаяся коника.

Рассмотрим строение слоя проекции p : G M над точкой [Ix Ix2 ]. Пусть сначала x1 = x2. Как и раньше, x1 = v, x2 = w. На прямой P (H)x1 возьмем произвольную точку y = v и проведем через нее плоскость V. Пусть P3 (y) := Span( V, P (H)x2 ).

В пространстве P3 (y) рассмотрим связку A(y) прямых, проходящих че рез точку y. Это плоскость в грассманиане Gr. Множество таких плоско стей грассманиана, получающихся при перемещении точки y по прямой P (H) x1, при проекции p0 отображается в точку [E] = [Ix1 Ix2 ].

Аналогично строятся связки прямых для y = w P (H) x2 в Span( V, P (H) x1 ). Так как класс [E] содержит расширения двух видов: 0 Ix1 E Ix2 0 и 0 Ix2 E Ix1 0, то слой над точкой [Ix1 Ix2 ] состоит из двух компонент Y1 (x1, x2 ) (A(y) \ (A(y) P8 )) и Y2 (x1, x2 ) := Y2 (x1, x2 ), где Y1 (x1, x2 ) := yP (H)x (A(y) \ (A(y) P8 )). При этом Y1 (x1, x2 ) Y2 (x1, x2 ) есть мно yP (H)x жество прямых, пересекающих одновременно P (H) x1 и P (H) x2.

При x1 = x2 компоненты Y1 (x1, x2 ) и Y2 (x1, x2 ) совпадают, Y1 (x1, x2 ) – конус с вершиной SingY1 (x1, x2 ) = {P (H) x1 }, которая является за мкнутой орбитой группы SL(2, H).

В случае [E] P2 0 введем для удобства новые обозначения. Пусть x v = x0, w = x1. Тогда {L G|L S1,2 = Y0 (x0, x1 ) := P (H) v, P (H w) S1,2 Span(L, V )}, {L G|L S1,2 = Y1 (x0, x1 ) := P (H) w, P (H v) S1,2 Span(L, V )} – компоненты слоя проекции p над точкой [Ix0 Ix1 ] = [E]. Обозначим Y0 := Y0 (x0, x1 ) и Y1 := Y1 (x0, x1 ). Подмногообразия Y0 и Y x1 P2 x1 P имеют коразмерность 3 в G, и p1 (P2 0 ) = Y0 Y1.

x Mногообразие G, его гладкость Рассмотрим многообразие G, определяемое цепочкой отображений:

G G G, 0 где 0 - раздутие G с центром Y0, а 1 - раздутие G с центром Y1 = 0 (Y1 ). G служит базой универсального семейства полустабильных ко герентных пучков без кручения ранга 2 с c1 = 0, c2 = 2 на S, полу чаемого применением перестройки Маруямы к обратному образу пучка Сорокина М.Е. Об универсальном семействе полустабильных пучков ранга 2 с c1 = 0, c2 = 2 на поверхности F E, описанного в предыдущем параграфе, при морфизме 1 0 :

G S G P2.

Далее, пусть Y0 – исключительный дивизор раздутия 0, D1 – исклю чительный дивизор раздутия 1 и D0 = 1 (Y0 ). Рассмотрим раздутие : M M с центром в Px0 (см. начало §1), и пусть D := 1 (P2 0 ) - ис x ключительный дивизор раздутия. Поскольку D0 D1 = (0 1 )1 (Y Y1 ), то в силу универсальности раздутий [5. Предл. 7.14] существует проекция p : G M такая, что p D = D0 + D1 в PicG. p : G M – хороший GIT-фактор по действию группы SL(H).

В этом параграфе мы доказываем гладкость многообразия G. Для этого на грассмановом многообразии Gr рассмотрим точную последова тельность (1) 0 S2 H V OGr Q4 0, в которой S2 – тавтологическое подрасслоение ранга 2, Q4 – универ сальное факторрасслоение ранга 4. Известно, что T Gr = S2 Q HomOG (S2, Q4 ). Пусть lx0 = P (H) x0 P (H) P (V ) – прямая на многообразии Сегре. Ограничивая последовательность (1) на точку y = {lx0 } Gr, получим:

iy y (2) 0 S2 (y) H V Q4 (y) 0.

Ограничим последовательность Эйлера для проективного пространства P14 на Gr, а затем на точку y и включим ее в коммутативную диаграмму:

0 y y NGr/P14 (1)|y NGr/P14 (1)|y y y G 2 (H V ) OGr |y G OGr (1)|y G TP14 (1)|Gr |y G 0 y y G Ty (1) G OGr (1)|y G Ty Gr(1) G 0.

0 y y (3) 0 Здесь P (Ty ) = PTy Gr - проективное касательное пространство к Gr в точке y в P14.

150 Глава 2. Математика в ее многообразии Рассмотрим теперь вторую внешнюю степень последовательности (2). Получим коммутативную диаграмму 0 y y 2 Q4 (y) 2 Q4 (y) y y y 2 iy G coker(2 iy ) G 2 S2 (y) G 2 (H V ) G y y G ker(2 y ) G 2 S2 (y) G 0, G Hom(S2 (y), Q4 (y)) 0 y y (4) 0 которая точна. Так как OGr (1) = S2, то диаграммы (3) и (4) совпа дают. В частности, Ty = ker 2 y.

Многообразие Y0 есть множество прямых в G, имеющих с прямой lx непустое пересечение. Все такие прямые составляют конус над многооб разием Сегре S1,3, т.е. Y0 – это пересечение многообразия G с проектив ным касательным пространством к грассманиану Gr в точке y = {lx0 }.

Пусть : P14 P5 = P (2 Q4 (y)) – линейная проекция из центра Py := PTy Gr, Py : P14 P14 – раздутие P14 с центром в Py. Тогда определен регулярный морфизм : P14 P5, делающий коммутатив ной диаграмму:

Py P14 o P  {{ {{  {{  }{{ P5.

Слои морфизма – проективные пространства, изоморфные P9. Так как Y0 = Py Gr, то имеем диаграмму раздутий Y o n Nn Gr NGr {{ zz {{ zz zz {{ }zz }{{ Py o P14 P P P Gr PP P P P P@  P5, Сорокина М.Е. Об универсальном семействе полустабильных пучков ранга 2 с c1 = 0, c2 = 2 на поверхности F в которой Y0 : Gr Gr – раздутие грассманова многообразия Gr в Y и Gr = |Gr. Пусть z – точка в Gr, z = 2 S2 (z). Если эта точка имеет ненулевой образ в 2 Q4 (y), то этот образ представляет собой бивектор.

Следовательно, (Gr ) = {Cv P (2 Q4 (y))|rkv = 2} = Gr(1, P3 ) – квад y рика Плюккера. При этом для любой точки v Gr(1, P3 ) ее прообраз y при этом отображении есть Gr (v) = Gr(1, P3 ), где P3 := Span(v, lx0 ).

v v Таким образом, получено расслоение Gr : Gr Gr(1, P (2 Q4 (y))) со слоем, изоморфным Gr(1, 3), т.е. гладкий морфизм с гладкой базой.

Поэтому Gr неособо.

Из описания Y1 нетрудно видеть, что по многообразию Сегре S1,2 и прямой y = lx0 на нем определена коника Cy в P (2 Q4 (y)), такая, что Y1 = Gr (Cy ). Следовательно, Y1 неособо. Если теперь Gr - раздутие Gr вдоль Y1, то Gr неособо.

Таким образом, доказана следующая Теорема 1. Многообразие G неособо.

Замечание 1. В прообразе Gr (x) каждой точки x коники Cy со держатся и прямые, пересекающие прямую lx0. Они образуют касатель ный конус над квадрикой P1 P1. Так как все такие прямые составляют Y0 Y1, то Y0 Y1 есть одномерное семейство конусов над квадрикой.

Дивизор D1 расслоен над Y1 со слоем P2. Тогда пересечение D0 D1, имеющее коразмерность 2 в G, – это расслоение над одномерным семей ством конусов со слоем P2, т.е. особо.

Библиографический список 1. Barth W. Moduli of vector bundles on the projective plane. Invent. Math.

42 (1977). P. 63–91.

2. Le Potier J. Fibres stables de rang 2 sur P2 (C). Math. Ann. 241 (1979).

P. 217–256.

3. Room T.G. The geometry of determinantal loci. Cambridge: Univ. Press, 1938.

4. Оконек К., Шнейдер М., Шпиндлер Х. Векторные расслоения на комплексных проективных пространствах. М.: Мир, 1984.

5. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1981.

152 Глава 2. Математика в ее многообразии Полиномиальное квантование на пара-эрмитовых пространствах с псевдоортогональной группой движений С.В. Цыкина Мы рассматриваем полиномиальное квантование (это – некоторый вари ант квантования в духе Березина) на пара-эрмитовых симметрических пространствах G/H с псевдоортогональной группой движений G = SO0 (p, q). Конструкция квантования на произвольных пара-эрми товых пространствах была предложена в [2]. В случае полиномиально го квантования ковариантные и контравариантные символы являются многочленами на G/H. Мы вводим умножение ковариантных символов, устанавливаем принцип соответствия, изучаем преобразование Берези на. Полиномиальное квантование на пара-эрмитовых симметрических пространствах ранга 1 было построено в [3]. Наши пространства G/H с группой G = SO0 (p, q) имеют ранг 2.

Псевдоортогональная группа и ее алгебра Ли Введем в пространстве Rn следующую билинейную форму:

n (1) [x, y] = i x i yi, i= где 1 =... = p = 1, p+1 =... = n = 1, и x = (x1,..., xn ), y = (y1,..., yn ) – векторы из Rn. Пусть G есть группа SO0 (p, q) – связ ная компонента единицы в группе линейных преобразований с опреде лителем 1 пространства Rn, сохраняющих билинейную форму [x, y]. Мы будем считать, что G действует в Rn справа: x xg, так что векторы x из Rn будем записывать в виде строки. Мы рассмотрим общий случай p 1, q 1.

Будем записывать матрицы g G в блочном виде, отвечающем раз биению n = 1 + (n 2) + 1. Подгруппа H в G образована матрицами h = 0 v 0, (2) где 2 2 = 1, v SO(p 1, q 1). Она состоит из двух связных кус ков. Связная компонента единицы He, содержащая единичную матрицу, Цыкина С.В. Полиномиальное квантование на пара-эрмитовых пространствах с псевдоортогональной группой движений состоит из матриц (2), где = cht, = sht. Таким образом, He = SO0 (1, 1) SO0 (p 1, q 1).

Алгебра Ли g группы G состоит из вещественных матриц X порядка X I + IX = 0, удовлетворяющих условию где n, I = diag {1,..., n }. Размеpность алгебры g равна n(n 1)/2. Пусть Z0 = 0 0 0. (3) Подгруппа H является стационарной подгруппой матрицы Z0 в при соединенном представлении, так что многообразие G/H есть как раз G-орбита в алгебре g, содержащая Z0.

Оператор ad Z0 имеет три собственных значения: 1, 0, +1. Алгебра Ли g распадается в прямую сумму соответствующих собственных под пространств g = q + h + q+.

Алгебра Ли h и подпространства q и q+ состоят, соответственно, из матриц 00t 0 0 0 0 u 0, X :, Y : 0, 0 t00 0 здесь u – матрица из алгебры Ли группы SO0 (p 1, q 1),, – векторы строки из Rn2. Размерность обоих пространств q± равна n 2, раз мерность алгебры h равна 1 + (n 2)(n 3)/2. Подгруппа H сохраняет подпространства q и q+.

Рассмотрим в G подгруппы Q = exp q, Q+ = exp q+. Подгруппы P = HQ± = Q± H являются максимальными параболическими подгруп ± пами в G.

Представления группы G, связанные с конусом Пусть C – конус [x, x] = 0, x = 0 в Rn. Группа G действует на нем тран зитивно. Возьмем в конусе следующие две точки: s+ = (1, 0,..., 0, 1), s = (1, 0,..., 0, 1). Рассмотрим следующие сечения конуса:

+ = {x1 + xn = 2} = {[x, s ] = 2}, = {x1 xn = 2} = {[x, s+ ] = 2}.

Точки s+, s принадлежат +,, соответственно.

154 Глава 2. Математика в ее многообразии Сечения ± пересекаются один раз почти с каждой образующей ко нуса C. Поэтому линейное действие группы G на конусе дает следующие действия на и +, соответственно:

· xg, x, (4) x = [xg, s+ ] · xg, x +. (5) x = [xg, s ] Стационарными подгруппами в группе G точек s и s+ + служат подгруппы P + = Q+ H и P = Q H, соответственно. Группы Q и Q+ действуют просто транзитивно на и +. Это позволяет вве сти координаты на и + с помощью координат = (2,..., n1 ) из q и = (2,..., n1 ) из q+. В пространстве Rn2 векторов = (2,..., n1 ) введем билинейную форму:

n, = i i i.

i= Для точек u и v + положим:

u() = s eX = (1 +,, 2, 1 +, ), (6) u = + Y (7) = (1 +,, 2, 1, ).

v = v() = s e Пусть C, = 0, 1. Обозначим через D, (C) пространство функ ций f класса C однородных “степени, ”, то есть f (tx) = t, f (x), x C, t R = R \ {0}.

Мы используем обозначение t, = |t| sgn t. Представление T, группы G действует в этом пространстве сдвигами: (T, (g)f ) = f (xg).

Рассмотрим теперь представление T, в функциях на сечениях ± конуса C. Ограничения функций из D, (C) на сечение ± образуют некоторое пространство D, (± ) функций f на ±. Оно содержится в C (± ) и содержит D(± ). В координатах, представление T, группы G действует по формулам, f ( · g) [ug, s+ ] (8) (T, (g)f ) () =,, f ( · g) [vg, s ] (9) (T, (g)f ) () =, Цыкина С.В. Полиномиальное квантование на пара-эрмитовых пространствах с псевдоортогональной группой движений где u = u(), v = v(), см. (6), (7), действия · g и · g порож даются формулами (4), (5).

Определим в D, (± ) оператор A, следующим образом:

N (, )2n, f ()d, (10) (A, f )() = R n где N (, ) = 1 2, +,, = [u(), v()].

Функция N (, ) есть многочлен от, степени 2 отдельно по и по.

Оператор A, сплетает представления T, и T2n,, действующие в функциях на разных сечениях. В (10) можно заменить на и наоборот.

Для оператора A, справедливо соотношение:

A2n, A, = 0 (, )E, где (+1)(3n) +p 0 (, ) = 23 n3 · sin · sin · n 2 (2+n2) sin + ++q ++n · sin sin.

2 Пространство G/H.

Рассмотрим реализации пространства G/H. Ранее было сказано, что пространство G/H есть орбита группы в присоединенном представле нии, содержащая точку Z0, см. (3). Размерность пространства G/H рав на 2n 4.

Более удобно рассматривать другую реализацию. Пусть множе ство матриц z ранга 1 и со следом 1, а именно:

y x (11) z=, [x, y] где x, y C, y = Iy. Присоединенное действие z g 1 zg сохраняет, что позволяет рассматривать многообразие как реализацию простран ства G/H.

Возьмем в (11) в качестве векторов x, y C векторы u = u() и v = v() из сечений и + конуса C, соответственно. Получаем вложение + G/H, 156 Глава 2. Математика в ее многообразии задаваемое формулой v u (12) z = z(, ) =, u = u(), v = v().

[u, v] Отображение (u, v) z, задаваемое формулой (12), определено для, Rn2, для которых N (, ) = 0, поскольку [u, v] = 2N (, ).

Векторы, Rn2 с условием N (, ) = 0 являются локальными координатами на. Присоединенное действие группы G на порожда ется ее действием на и.

Пусть D(G/H) обозначает алгебру дифференциальных операторов на G/H, инвариантных относительно G. Эта алгебра порождается дву мя операторами (операторами Лапласа) 1 и 2 второго и четвертого порядка соответственно. Явные выражения этих операторов достаточно громоздки. Напишем явные выражения лишь для их радиальных частей 0 1 и 2 в орисферической системе координат. Эта система координат строится так. Возьмем в q = q+ + q картановское подпространство a, которое состоит из матриц 0 0 0 t1 0 0 0 0 t At = 0 0 0 0 0, t = (t1, t2 ).

t1 0 0 0 0 t2 0 0 Пусть n – соответствующая положительная корневая подалгебра. Пусть A = exp a, N = exp n. Подействуем на z 0 = z(0, 0) сначала группой A, затем N. Получим орисферические координаты в некоторой окрестно сти точки z 0.

На функциях, зависящих только от t = (t1, t2 ), дифференциальный оператор D из D(G/H) порождает свою радиальную часть D:

Df =D F.

Оказывается, что радиальные части операторов Лапласа являются диф ференциальными операторами с постоянными коэффициентами. Введем операторы + (n 4)2, + 2(n 3) D1 = + + t1 t2 t1 t 2(n 4).

D2 = + t1 t2 t1 t Цыкина С.В. Полиномиальное квантование на пара-эрмитовых пространствах с псевдоортогональной группой движений Теоpема. Имеем (D1 + D2 + 2(n 4) (n 4)2 ), 1 = D1 D2 + 2(n 4)3.

2 = Полиномиальное квантование на G/H Мы следуем схеме из [2]. В качестве пеpеполненной системы мы беpем ядpо (, ) =, (, ) = N (, ), сплетающего оператора A2n,.

Аналогом пpостpанства Фока служит пpостpанство функций ().

В качестве исходной алгебpы опеpатоpов мы беpем алгебpу опеpа тоpов D = T, (X), где X пpинадлежит унивеpсальной обеpтывающей алгебpе алгебpы Ли g. Коваpиантный символ F (, ) опеpатоpа D мы опpеделяем фоpмулой:

F (, ) = D (, ), (, ) где D означает, что опеpатоp D действует на (, ) как на функцию от. Эти коваpиантные символы на самом деле не зависят от. Они являются функциями на G/H. Больше того, они являются многочлена ми на G/H (т.е. огpаничениями на G/H многочленов на пространстве матриц z, см. (11)).

Для общего положения пpостpанство A ковариантных символов есть пpостpанство S(G/H) всех многочленов на G/H.

Дальше теоpия pазвивается по схеме Беpезина. А именно, отобpаже ние D F, сопоставляющее опеpатоpу его коваpиантный символ, явля ется g–эквиваpиантным, для общего положения опеpатоp восстанав ливается по своему коваpиантному символу:

(, v) (13) (D)() = c(, ) F (, v) (u) dx(u, v), (u, v) где c = 0 (, )1.

Умножение опеpатоpов поpождает умножение (обозначим его ) ко ваpиантных символов. Пусть F1, F2 - ковариантные символы операторов D1, D2 соответственно. Имеем F1 F2 = (D1 ) (F2 ).

158 Глава 2. Математика в ее многообразии Умножение задается интегpалом (F1 F2 )(, ) = F1 (, v)F2 (u, )B(, ;

u, v) dx(u, v), где dx(u, v) – инвариантная мера на G/H, (, v)(u, ) B(, ;


u, v) = c.

(, )(u, v) Назовем это ядpо B ядpом Беpезина.

Таким обpазом, пpостpанства A оказываются ассоциативными ал гебpами с единицей относительно умножения.

С дpугой стоpоны, мы можем опpеделить контpаваpиантные сим волы операторов. Функция F (, ) есть контpаваpиантный символ для следующего опеpатоpа A (действующего на функции ()):

(, v) (A)() = c(, ) F (u, v) (u) dx(u, v).

(u, v) Заметим, что отличие от (13) имеется только в пеpвом аpгументе функ ции F. Контpаваpиантный символ можно восстановить по соответству ющему оператору.

Таким обpазом, мы получили два отобpажения D F (“ко”) и F A (“контpа”), связывающие опеpатоpы D и A, действующие в функциях от, и многочлены F на G/H.

Пеpеход от контpаваpиантного символа опеpатоpа к его коваpиант ному символу является интегpальным опеpатоpом с ядpом Беpезина.

Назовем B пpеобpазованием Беpезина. Оно может быть выpажено чеpез опеpатоpы Лапласа на G/H. А именно:

( + n 2 + a+b )( + 1 a+b )( + n + ab )( + n ab 1 ) 2 2 2 2 2 B= n )( + n 1) ( + n 2)( + 1)( + 2 где a, b – некоторые переменные, и надо считать D1 = (a + b)2 + 2(n 3)(a + b) + (n 4), D2 = (a b)2 + 2(a b) 2(n 4).

На конечномерных подпространствах в S(G/H) преобразование Бере зина есть дифференциальный оператор.

Цыкина С.В. Полиномиальное квантование на пара-эрмитовых пространствах с псевдоортогональной группой движений Пусть. Пеpвые два члена асимптотического pазложения преобразования Березина B таковы:

(14) B 1 1.

Из соотношения (14) вытекает пpинцип соответствия (в качестве “посто янной Планка” надо взять h = 1/):

(15) F1 F2 F1 F2, (16) (F1 F2 F2 F1 ) {F1, F2 }, пpи. В пpавых частях (15) и (16) стоят, соответственно, обыч ное поточечное умножение и скобка Пуассона.

Библиографический список 1. Беpезин Ф.А. Квантование в комплексных симметpических пpо стpанствах // Изв. Акад. Наук. СССР. Сеp. мат., 1975. T. 39. № 2.

C. 363–402.

2. Molchanov V.F. Quantization on para-Hermitian symmetric spaces, Amer. Math. Soc. Transl, Ser. 2 (Adv. Math. Sci.–31), 1996. V. 175.

P. 81–95.

3. Molchanov V.F., Volotova N.B. Polynomial quantization on rank one para-Hermitian symmetric spaces. Acta Appl. Math., 2004. V. 81.

Nos. 1–3. P. 215–232.

4. Molchanov V.F., Volotova N.B. Finite dimensional analysis and polynomial quantization on a hyperboloid of one sheet // Вестник Там бовского унивеpситета, 1998. T. 3. Вып. 1. C. 65–78.

Глава Теория и методика обучения математике в школе и вузе Математическая модель понятия аналогии и некоторые ее следствия А.Л. Жохов В статье дается вариант формализации понятия “аналогия” на базе 1), разработанной в [10, 12, 15] математической экспликации отношения сходства и аналогии, и 2) возможности и целесообразности интерпре тировать математические конструкции различного уровня абстракции как алгебраические системы [5] и др. На множестве таких объектов да лее как раз и определяется отношение аналогии. Их выбор объясняется, прежде всего, широким распространением алгебраических систем в ма тематике в качестве математических моделей соответствующих теорий [4, 6, 11]. Кроме того, подобная математическая модель аналогии позво ляет в определенных ситуациях почти формально применять ее, напри мер, подобно методу математической индукции в ситуациях обучения математике и методам ее постижения.

Обучение каждого человека умелому использованию аналогии мо жет рассматриваться как важный шаг на пути развития его творческих способностей. Но до тех пор, пока владение аналогией будет достояни ем лишь интуиции отдельных личностей, вряд ли обучение ей может быть сколько-нибудь эффективным. Необходимо раздвинуть границы интуиции, сделав аналогию предметом специального исследования и, тем самым, выявить ее внутренние эвристические ресурсы. Формализа ция понятия аналогии и представляется способом такого “раздвижения границ”.

В науке известны три основные точки зрения: аналогия – это: 1) от ношение особого рода сходства между объектами [7, 1];

2) вид умоза ключения, перенос информации с вспомогательного объекта (модели) на изучаемый объект (оригинал) [9, 13];

3) один из эвристических ме тодов познания (обучения), в основе которого лежит сходство между двумя объектами [3, 14].

Наметим ход дальнейших построений. Будем стремиться к тому, что бы аналогия оказалась частным случаем сходства и была в обобщенном Жохов А.Л. Математическая модель понятия аналогии и некоторые ее следствия виде построена на множестве систем, т.е., на первых порах, без обраще ния к логическому анализу списка аксиом, характеризующих эти систе мы.

Исходным для нас является понятие алгебраической системы (в даль нейшем – просто система) типа, определяемое известным способом (например, как в [6] или [12]). Будем пользоваться укороченным обозна чением системы:

A = A;

F ;

P = A;

. (1) Здесь A – множество-носитель системы, F и P – множества всех главных, соответственно, операций и отношений, заданных на множе стве A, характеризующихся, как обычно, числом аргументных мест (ар ностью) и упорядоченных в соответствии с нумерацией, выбранной для данной системы. Если два последних множества не требуется отделять друг от друга, то в обозначении системы допускается использовать их объединение = F P. Для произвольной системы будем считать известными понятия тип и его порядок (, ). Множество всевоз можных систем подобного рода будем обозначать E.

Для дальнейшего вводятся следующие вспомогательные понятия.

Операции и отношения, рассматриваемые на заданном множестве и указанные в обозначении данной системы, будем называть главны ми в отличие от тех, которые еще могут быть рассмотрены на этом же множестве. Систему A = A,, назовем вторичной для F P системы A = A;

F ;

P, если 1) A =, A A;

2) все операции, рассматриваемые на A, порождены, индуцированы некоторыми опе рациями, определенными на A, в том смысле, что они взяты из F, но остаются также операциями и на “новом” множестве A ;

3) все отношения из являются своеобразными сужениями некоторых от P ношений из P на множество A ;

4) других операций и отношений мно жества F и P не содержат. Наконец, вторичную систему A назо вем подсистемой A, если F = и P =. Ясно, что тип вто F P ричных систем и подсистем, вообще говоря, не обязан совпадать с ти пом исходной (порождающей) системы. Приведем очевидные примеры:

для системы R, +,, ·, :, 0, 1, вторичными будут системы N, +, ·, ;

Q, +,, ·, :, 0, 1,, причем первая из них не будет подсистемой, а вто рая является таковой.

Определение 1. Системы A1 и A2 типов 1 и 2 называются кон тактирующими, если для них существуют вторичные системы A и A, имеющие один и тот же тип (т.е. 1 = 2 = ).

В качестве тривиальных примеров контактирующих систем можно назвать любые однотипные системы, любую систему и ей вторичную.

162 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе Другими примерами контактирующих систем будут, например, такие:

система R,+,·,0,1, и любая из систем F,, B,+,0,, C,+,·,0,1,i, где F – множество отображений плоскости с операцией – компози ция отображений;

B – множество направленных отрезков плоскости с операцией сложения, выделенным нейтральным элементом и отношени ем эквивалентности таких отрезков, C – множество комплексных чисел, i – мнимая единица.

Определение 2. Система A называется коррелирущей с системой B или находящейся с ней в отношении корреляции (греч. – каппа), если существуют однотипные системы A и B, вторичные для данных, и такие, что отображение f : A B является в общем случае гомоморфизмом1.

Отношение корреляции определено как специфическое подмноже ство декартова квадрата E E, где через E обозначено множество все возможных систем вида (1). Можно показать, что верна Теорема 1. Отношение на множестве E E рефлексивно и сим метрично.

Примером коррелирующих систем является любая пара из приведен ных выше контактирующих систем. В частности, для F, и B, +, 0, изоморфными вторичными системами будут T, и B, +, где T – множество параллельных переносов плоскости, B – подмно жество направленных отрезков, состоящее из единственных представи телей каждого фактор-множества B/ (таким множеством может быть множество B0 направленных отрезков с общим началом в точке O – начале координат). Напротив, некоррелирующими системами будут, на пример, G, и B, + ;

G, и B, +, 0,, где B и B – ранее уже встречавшиеся множества, а G – множество прямых плоскости с за данным на нем отношением перпендикулярности. При этом вторая пара – пример контактирующих систем.

Из определений 1, 2 следует, что контактируемость является лишь необходимым условием коррелируемости систем. Имеет место следую щая 1 Напомним определение довольно редко встречающегося понятия гомоморфизма: гомоморфизм : A B называется -гомоморфизмом из A в B (A и B – однотипные системы), если выполняются условия: для любой операции F и любого отношения P системы A и соответствую щих им операции G и отношения Q из системы B имеют место соотно шения: 1) F (x1, x2,..., x ) = G (x1, x2,..., x );

2) P (x1, x2,..., x ) Q (x1, x2,..., x ). В зависимости от вида определяются -моно-, -эпи и -изоморфизмы.

Жохов А.Л. Математическая модель понятия аналогии и некоторые ее следствия Теорема 2. Чтобы две системы A и B коррелировали, необходи мо и достаточно, чтобы существовали системы A и B, вторичные данным и изоморфные между собой.

Интуитивные представления об аналогии систем в какой-то мере уже уточняются определением отношения и теоремами 1, 2. В то же вре мя корреляция – все еще слишком “размытое” отношение типа сходства:

на практике аналогией пользуются более целенаправленно, имея в ви ду некоторый вполне определенный объект исследования. Такой объ ект принято называть оригиналом, а ему аналогичные вспомогательные объекты – моделями оригинала, так что оригинал является как бы “цен тральной фигурой” процесса познания. Такое положение вещей далее как раз и нашло свое отражение.


Зафиксируем некоторую систему A из E и рассмотрим множество EA всех систем, находящихся с A в отношении. В общем случае EA E.

Определение 3. Аналогией на множестве систем E назовем сужение отношения на множество EA : (A1, A2 E) A1 A2 A1 A A2 A A1 A2. Иными словами, две системы аналогичны тогда и только тогда по определению, когда они коррелируют с фиксированной системой A и между собой.

На первый взгляд может показаться, что так определенное отноше ние аналогии в силу фиксирования A не является бинарным отноше нием на E. Однако это не так, поскольку единственное отличие отно шения от состоит в ограничении множества всех коррелирующих друг с другом систем посредством фиксации некоторой произвольной системы A, которую естественно назвать оригиналом. Тогда множество его моделей обозначим EA.

Отношения и обладают свойствами рефлексивности и симмет ричности, так что это отношения типа толерантности [4, 10]. Отношение толерантности на множестве X задает пространство толерантности X,. В нем можно выделить так называемые классы толерантно сти, имеющие в общем случае непустое пересечение. Введем соответ ствующие понятия для пространств E, и EA,. Эти понятия имеют и специфические свойства.

Определение 4. Множество K E называется классом корре ляции (соответственно, классом аналогии K в EA ), если выполне ны условия:

1) (A1, A2 K ) A1 A2 ;

2) (B E) (A K ) BA B K ;

1 ) (A1, A2 K ) A1 A2 ;

2 ) (B EA ) (A K ) BA B K.

164 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе Второе из этих условий является выражением максимальности клас са, то есть если некоторое множество L E (или из EA ) содержит какой-нибудь класс (K L), то оно уже не обладает свойством 1 (со ответственно – 1 ).

Как следует из определений 5, 6, для построения пространства ана логии для оригинала A достаточно в системе E, зафиксировать A и найти все системы, коррелирующие с ней и между собой. Дальнейшее исследование свойств отношения и пространства аналогии можно вести по пути, намеченному в [10].

Среди всевозможных классов аналогии в пространстве EA, целе сообразно выделить такие, все элементы которых “отражают” одну и ту же группу свойств оригинала. Тогда имеет смысл говорить об отноше нии C, которое является фактически сужением общего отношения, а именно:

Определение 5. Для систем B, C, D из EA систему D назовем C аналогичной B (DC B), если и только если DB и существуют вторич ные системы D и B, являющиеся -гомоморфными образами системы C.

Нетрудно доказать, что отношение C бинарно, рефлексивно и сим метрично, но все еще в общем случае не транзитивно, т.е. является отно шением толерантности на EA. Далее можно выделить так называемые предклассы и ядра аналогии, структурирующие поле аналогии и зада ющие границы аналогии по некоторому набору главных характеристик системы-оригинала.

Возникают вопросы по поводу введенной выше теоретической моде ли: 1) какова ее целесообразность и польза, хотя бы для приложений;

2) каким может быть дальнейшее развитие намеченной теории?

Ограничимся лишь кратким описанием возможных ответов.

Построенный теоретический аппарат позволяет выделить следую щие действия для получения объектов, аналогичных уже известному (эти действия стали основой построения методики систематического при менения аналогии – см. [5] и др.): а) запись данного объекта с использо ванием какого-либо иного набора символов или других средств (кода за писи информации – подробнее в [15]);

б) сужение или расширение набо ра главных отношений изучаемого объекта-системы, либо сужение или расширение множества-носителя этой системы;

в) построение объекта аналога с использованием одного из видов морфизмов;

г) переход к но вой интерпретации теории, в рамках которой задан объект-оригинал.

Знание отмеченных способов построения объектов, аналогичных дан ному, позволяет, как представляется, с большей основательностью не только четко определять и устанавливать интуитивно воспринимаемое сходство объектов, но и наметить границы аналогии. Кроме того, это же Жохов А.Л. Математическая модель понятия аналогии и некоторые ее следствия позволяет перевести рассуждения по аналогии из ранга правдоподобных в доказательные, а полученным выводам в границах их применимости придать статус аподиктической очевидности и, следовательно, надежно сти [16]. Наконец, рассмотренные действия и средства в руках знающего человека становятся в достаточной мере простым, гибким и алгоритми зированным способом построения объектов, аналогичных данному. Это оказывается полезным, по меньшей мере, в обучении и в индивидуаль ном познании математики.

Дальнейшее развитие намеченного в статье теоретического аппарата аналогии может идти в следующих направлениях:

1) развитие самого математического аппарата, в частности, в плане более подробного описания свойств ядер аналогии и т.д.;

2) приложение данного аппарата к анализу различных математиче ских теорий, аналогия которых лишь угадывается;

3) развитие какой-либо известной теории с использованием описан ного аппарата аналогии.

На мой взгляд, эти направления заслуживают внимания и могут стать предметом дальнейшей работы, причем как интересное сравни тельно элементарное введение в современную математику, так и в при ложения аналогии, например, в обучении математике.

Библиографический список 1. Болтянский В.Г. Формула наглядности – изоморфизм плюс просто та // Советская педагогика. 1970. № 5. C. 43–48.

2. Болтянский В.Г. Аналогия – общность аксиоматики // Советская педагогика. 1975. № 1. C. 73–78.

3. Бурбаки Н. Архитектура математики // Математическое просвеще ние. 1960. № 5. C. 58–70.

4. Зиман Э., Бьюнеман. Толерантные пространства и мозг. На пути к теоретической биологии. Пролегомены. М.: Мир, 1970. C. 134–144.

5. Жохов А.Л. Застосування аналогi при навчаннi розв’язуванню за “ дач // Методика викладання математики: Респ. науч.-метод. сб.:

Вып. 14 / Под ред. Г.П. Бевза. Ки Рад. шк., 1983. С. 26–33.

“в:

6. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

7. Пойа Д. Как решать задачу? М.: Учпедгиз, 1966. 207 с.

8. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения, 2-е изд. М.:

Наука, 1975.

9. Уемов А.И. Аналогия в практике научного исследования. М.: Наука, 1970. 264 с.

10. Шрейдер Ю.А. Равенство. Сходство. Порядок. М.: Наука, 1971.

256 с.

166 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе 11. Шрейдер Ю.А. Модели в лингвистике и математике // Математиче ская лингвистика. М.: Наука, 1973. С. 63–83.

12. Шрейдер Ю.А., Шаров А.А. Системы и модели. М.: Радио и связь, 1982. 152 с.

13. Эмпахер А. Сила аналогии. М., 1965.

14. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.М. Аналогия в задачах (Укрупнение ди дактических единиц во внеклассной работе по математике). Элиста:

Калмыц. кн. изд-во, 1989. 187 с.

15. Жохов А.Л. 1) В поисках трансцендентальных оснований // Мате матика. Образование. Культура: Сб. трудов по материалам I Между народной конфер. 22–24 октября 2003 г. Тольятти: ТГУ, 2004. Ч. 1.

С. 96–101;

2) О некоторых новых методических понятиях. Статья.

Там же. С. 104–110.

16. Перминов В.Я. Философия и основания математики. М.: Прогресс Традиция, 2001. 320 с.

Проектирование целей обучения математике в школе и вузе в терминах ключевых компетентностей О.Б. Епишева, Е.Е. Волкова Компетентностный подход в профессиональном образовании означа ет рассмотрение и определение психологических и педагогических путей развития личности в русле ее профессиональной пригодности и рассмат ривается сегодня как естественный этап его обновления и повышения качества [3]. В самой общей степени он соотносится с проблемой несоот ветствия целей, содержания и методов российского образования, а также его оценки потребностям современной экономики и цивилизации (“заказ чика” образования);

но главная его проблема – в неэффективности всей системы образования, проявляющейся в том, что не видно результата, значимого вне самой системы образования.

Поэтому компетентностный подход акцентирует внимание на резуль татах образования, значимых за его пределами, т.е. не на сумме усвоен ной обучаемыми информации, а на способности выпускника учебного за ведения самостоятельно действовать в различных (профессиональных, жизненных, проблемных) ситуациях [3. C. 12–13].

Компетенции как результаты образования рассматриваются, соглас но стратегии, как главные целевые установки в разработке и реализации ГОС ВПО 3-го поколения, как интегрирующие начала “модели выпуск ника”, связывающей его будущую квалификацию и междисциплинар Епишева О.Б., Волкова Е.Е. Проектирование целей обучения математике в школе и вузе в терминах ключевых компетентностей ные требования к результату образовательного процесса. От проекти рования результатов образования, выраженных в форме компетенций, следует идти к проектированию содержания образования и его уровней.

В то же время за формирование тех или иных компетенций не могут “отвечать” отдельные учебные дисциплины или даже образовательные программы;

компетенции – это также результат образовательных тех нологий, методов, организационных форм и т.д.

В разрабатываемых в настоящее время Государственных стандар тах высшего профессионального образования 3-го поколения в разделе 1 (общая характеристика направления подготовки по конкретной спе циальности) отмечаются необходимые общие и специальные (професси ональные) компетенции выпускников по категориям: 1) общие (инвари антные к области деятельности) – общенаучные, социально-личностные, гуманитарные, коммуникативные;

экономические, организационно-упра вленческие;

2) профессиональные – общепрофессиональные (теоретиче ские, практические, системные);

специальные профессионально-профи лированные (теоретические, практические, системные) – в соответствии с профилизацией. Их содержание раскрывается в виде компетенций в разделе 3 (требования к результатам обучения) как требования к обя зательному минимуму содержания и срокам освоения основных образо вательных программ) [1].

Ориентация на компетенции в проектировании ГОС ВПО способ ствует, по мнению разработчиков, повышению качества учебных про грамм (при одновременном проектировании академических знаний и компетенций), развертыванию диверсификации профессионального об разования, усилению личностной направленности образовательного про цесса, расширению возможностей вузов к опережающей адаптации вы пускников в будущей профессиональной деятельности, гармонизации со всеобъемлющей структурой квалификаций европейского пространства высшего образования [1]. Таким образом, по нашему мнению, они могут служить и ориентиром в проектировании стандартов (целей-результатов) всех предшествующих ступеней профессионального образования про фильных классов общеобразовательной школы, учреждений НПО и СПО с учетом уровня данной ступени профессионального образования.

В педагогических исследованиях выделены уровни профессиональ ной компетентности, которые можно обобщить следующим образом:

1-й уровень (операционный) – профессиональная грамотность (ми нимальная), профессиональная ориентация личности на данную область профессиональной деятельности;

подготовленность к дальнейшему об 168 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе разованию;

на практике – работник-исполнитель (рабочие профессии, инженеры массовых профессий);

2-й уровень (тактический): профессиональная образованность – вла дение необходимым максимумом профессиональной грамотности;

готов ность к дальнейшему профессиональному обучению;

на практике – ак тивный работник (рабочие профессии высокой квалификации, инжене ры высокой квалификации для наукоемких областей);

3-й уровень (стратегический): собственно профессиональная компе тентность специалиста, опыт и индивидуальные способности челове ка, его мотивированное стремление к непрерывному самообразованию и самосовершенствованию, творческое и ответственное отношение к де лу;

на практике – творческий работник (инженер-исследователь для научно-технического обеспечения производства);

4-й уровень (творческий): профессиональная культура;

на практи ке – научный работник для научного обеспечения научно-технического прогресса (например, в материальном производстве).

Э.Ф. Зеер выделяет соответствующие уровни профессиональной ком петентности: 1) “ремесленник”, нацелен в основном на выполнение дей ствий и операций;

2) “специалист”, действия которого осмысленны, про фессиональны;

3) “профессионал”, способный на вариативность профес сиональных действий и операций [2. C. 137–138].

В процессе обучения общеобразовательным дисциплинам в профиль ной школе и учреждениях профессионального образования возможно проектирование целей обучения, “работающих” на формирование общих (инвариантных к области деятельности) общенаучных, социально-лич ностных, гуманитарных, коммуникативных, экономических, органи зационно-управленческих и других компетенций, достижение которых возможно средствами данной дисциплины (по выделенным В.Д. Шадри ковым блокам – профессиональные знания, профессиональные умения и профессионально важные качества личности [4]). В обучении математи ке – это знания и умения, связанные с использованием математических методов в профессиональной деятельности, и профессионально важные качества личности, связанные с занятием математикой и методами ее изучения. В таблице показан возможный вариант технологического про ектирования целей обучения математике в вузе технического профиля, который может быть адаптирован и конкретизирован на соответствую щем уровне и для профильных классов, учреждений НПО и СПО этого же профиля.

Епишева О.Б., Волкова Е.Е. Проектирование целей обучения математике в школе и вузе в терминах ключевых компетентностей Профессиональные компе- Цели обучения математике тенции Профессиональные математические знания Инженер знает Студент знает Теоретические инженерные и ма- Основные математические моде тематические модели основных ли, принципы, методы и обобщен процессов и систем производ- ные способы их построения и ис ственной деятельности следования Профессиональные математические умения Инженер Студент Решает инженерные задачи, осу- Самостоятельно использует ос ществляет поиск и анализ ин- новную и дополнительную мате формации (заданной в различ- матическую литературу, компью ной форме), работает со специ- тер для решения задач;

стро альной литературой, определяет ит математические модели про и формулирует проблему, стро- стейших технических объектов и ит математические модели объ- процессов, производит расчеты ектов производственной деятель- в рамках построенной модели и ности, обрабатывает результаты оценивает точность расчета, ре исследований с помощью мате- шает типовые и прикладные ма матических методов;

находит ре- тематические задачи в нестан шения в условиях неопределенно- дартных ситуациях (с профес сти, строит схемы конструкций, сиональным, социальным, реги работает с чертежом, графиком;

ональным, экологическим, гума участвует в проектировании си- нитарным содержанием) с выбо стем или процессов и их компо- ром и использованием для их нентов с учетом вопросов здра- решения необходимых знаний;

с воохранения, безопасности, куль- неопределенностью поиска реше турных, социальных, экологиче- ния;

строит схематические чер ских аспектов и использования тежи к задачам, графики функ соответствующих ресурсов;

раз- ций, заданных различными спо рабатывает обобщенные вариан- собами;

перестраивает известные ты решения проблем, анализиру- и находит новые способы реше ет и перестраивает их, прогно- ния математических задач, выде зирует возможные последствия;

ляет идеи и методы рассуждений, проводит исследования задач, си- обобщает и систематизирует их;

стематизирует, находит и выби- проводит исследование решения рает необходимые данные из баз задачи и эксперимент для получе данных и специальной литерату- ния оптимального способа реше ры;

проектирует и проводит ис- ния и его обоснования, строит на следования и эксперименты для этой основе последовательность получения обоснованных выводов целесообразных действий по ре и оптимального решения шению задачи.

170 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе Профессионально важные качества личности Инженер Студент Использует приемы техниче- Использует разносторонний ана ского (системного, научного, лиз и различные стратегии ре оперативного, аналитического, шения математических задач, со логического, пространственного, ставляет алгоритмы деятельно наглядно-практического, обоб- сти, быстро перерабатывает ин щенного, образно-интуитивного) формацию и применяет ее в раз разносторонний личных условиях, использует ре мышления, анализ технических объектов флексию своей мыслительной де ятельности Обладает техническим пред- Создает точные и устойчивые ставлением и воображением пространственные образы мате – воспроизводит объемные фор- матических объектов и связи мы и размеры объектов и частей между ними, преобразует и ис технического устройства, их пользует эту информацию в усво связи и отношения, проявляет ении математики.

конструкторскую фантазию Проявляет особенности памяти – Использует произвольное не только запоминание, но и ис- словесно-логическое запоми ключение из памяти (“сбрасыва- нание и воспроизведение, ра ние”), забывание ненужной (уже циональную группировку и использованной) информации. другие приемы рационального запоминания.

Проявляет особенности воспри- Использует приемы организации ятия – формирование оператив- целостного, осмысленного, изби ной модели воспринимаемой ин- рательного, константного воспри формации на основе ее обнаруже- ятия.

ния, различения и опознания.

Владеет профессиональной ре- Правильно выбирает термины и чью – владеет технической тер- символы для формулировки ал минологией, правилами разра- горитмов математического реше ботки, оформления и использова- ния и оформления решения при ния технической документации, кладных задач.

разработки инструкций и презен таций.

Проявляет мотивы и интерес в Осознает цели и вырабатывает профессиональной деятельности, мотивы изучения математики с осознает необходимость и выра- точки зрения ее роли в будущей батывает умения самостоятельно профессиональной деятельности;

учиться и повышать квалифи- использует личный план самооб кацию в течение всей жизни разования, путей и средств его ре ализации, приемы самообучения.

Епишева О.Б., Волкова Е.Е. Проектирование целей обучения математике в школе и вузе в терминах ключевых компетентностей Владеет коммуникативными Проявляет коммуникативные умениями – придерживается умения в коллективной и груп норм поведения в производствен- повой учебной деятельности;

ных ситуациях, в ситуациях следует этике и нормам поведе общения, в конфликтных и др. ния в учебной деятельности.

ситуациях;

толерантен в общении с людьми.

Осознает мировоззренческие Понимает, что возникновение и аспекты профессиональной дея- развитие математики связано с тельности – роль производствен- практической деятельностью лю ной деятельности в развитии об- дей;

математические понятия и щества и человека. их свойства – это модели раз личных объектов и процессов ре ального мира;

математика – ме тод познания и описания реаль ной действительности и создания общей картины мира.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 11 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.