авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 14 |

«В.В. Голенков, О.Е. Елисеева, В.П. Ивашенко, В.М. Казан Н.А. Гулякина, Н.В. Беззубенок, Т.Л. Лемешева, Р.Е. Сердюков И.Б. Фоминых ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И ...»

-- [ Страница 7 ] --

Очевидно, что отношение, принадлежащее к классу множеств перестановок, однозначно определяет ся: (1) своей областью определения и (2) своей схемой, т.е. набором используемых атрибутов. Следо вательно, для построения отношения рассматриваемого класса достаточно знать его область опреде ления и его схему. При этом заметим, что мощность области определения для каждого отношения рас сматриваемого класса совпадает с количеством используемых в нем атрибутов. Заметим также, что если для заданного канторовского множества s построить его n -ную декартову степень (где n есть мощность множества s ) и после этого исключить все кортежи, имеющие кратные элементы, то полу ченное отношение будет принадлежать к классу множеств перестановок.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 7. 3. Рассмотрим семейство неориентированных отношений, не имеющих кратных связок и не имеющих связок с кратными вхождениями элементов. Для такого семейства отно шений можно построить минимальное “отношение предельного вида”, являющееся подмножеством для всех отношений, удовлетворяющих указанным выше свойствам. Для этого достаточно (1) постро ить множество, являющееся результатом объединения областей определения всех отношений, вхо дящих в состав заданного семейства неориентированных отношений, (2) для построенного множества построить семейство всевозможных его подмножеств. Указанное отношение предельного вида будем называть булеаном.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 7. 4. Рассмотрим семейство m-арных неориентированных отношений, не имеющих кратных связок и не имеющих связок с кратными вхождениями элементов. Для такого семей ства отношений также можно построить минимальное отношение предельного вида, т.е. минимальное отношение, являющееся надмножеством для всех отношений, удовлетворяющих указанным выше свойствам. Для этого необходимо (1) построить множество, являющееся объединением областей оп ределения всех отношений, входящих в состав заданного семейства неориентированных отношений, (2) для построенного множества построить семейство всевозможных его подмножеств, имеющих мощ ность, равную m. Указанное отношение предельного вида будем называть множеством сочетаний из заданного множества по m элементов.

Для семейства множеств всевозможных перестановок, семейства множеств сочетаний и семейства бу леанов в языке SCB вводятся следующие ключевые узлы: “ м н о ж е с т в о п е р е с т а н о в о к ”, “ м н о ж е с т в о с о ч е т а н и й ”, “ б у л е а н ”.

У п р а ж н е н и е 3. 3. 7. 1. Могут ли существовать разные классические отношения, у которых совпадают минимальные декартовы произведения? Если да, то приведите примеры.

1.3.8. Типология бинарных отношений и метаотношения над ними к л ю ч е в ы х s c b - у з л о в : бинарное отношение;

бинарное Идентификаторы о р и е н т и р о в а н н о е о т н о ш е н и е (к л а с с и ч е с к о е б и н а р н о е о т н о ш е н и е );

б и н а р н о е неориентированное отношение;

бинарное отношение без функций;

бинарное отношение с одной функцией;

взаимно однозначное бинарное отношение (б и н а р н о е о т н о ш е н и е с д в у м я ф у н к ц и я м и );

р е ф л е к с и в н о е б и н а р н о е о т н о ш е н и е ;

иррефлексивное бинарное отношение;

частично рефлексивное бинарное отношение;

симметричное бинарное отношение;

антисимметричное бинарное отношение;

частично симметричное бинарное отношение;

транзитивное бинарное отношение;

антитранзитивное бинарное отношение;

частично т р а н з и т и в н о е б и н а р н о е о т н о ш е н и е ;

о т н о ш е н и е э к в и в а л е н т н о с т и (рефлексивное, симметричное и транзитивное);

о т н о ш е н и е п р е д п о р я д к а (рефлексивное и транзитивное);

отношение частичного п о р я д к а (рефлексивное, антисимметричное и транзитивное);

о т н о ш е н и е л и н е й н о г о п о р я д к а (подкласс отношений частичного порядка).

О п р е д е л е н и е 3. 3. 8. 1. Функциональные (однозначные) бинарные отношения – это бинарные отношения, для которых существует по крайней мере одна унарная функция, т.е. по крайней мере один атрибут, являющийся ключом (см. пункт 3.3.5).

К числу бинарных ориентированных отношений, использующих числовые атрибуты 1 _ (быть 1-м ком понентом кортежа) и 2 _ (быть 2-м компонентом кортежа), относятся следующие уже рассмотренные выше базовые отношения языка SCB:

отношение принадлежности (множество знаков всевозможных пар принадлежности);

• отношение непринадлежности (множество знаков всевозможных пар непринадлежности);

• отношение нечёткой принадлежности (множество знаков всевозможных пар нечеткой принадлеж • ности);

универсальное бинарное ориентированное отношение с атрибутами 1 _ и 2 _ (множество знаков • всевозможных ориентированных пар неуточняемого типа).

О п р е д е л е н и е 3. 3. 8. 2. Отношение r является рефлексивным бинарным отношением в том и только в том случае, если:

1) оно является бинарным отношением со схемой { a i, a j } ;

2) для каждого х из области определения отношения r кортеж ( a i : x, a j : x ) принадлежит этому от ношению.

Примером рефлексивного бинарного отношения: является отношение с именем “ в к л ю ч е н и е м н о ж е с т в а ” (см. пункт 3.3.11).

О п р е д е л е н и е 3. 3. 8. 3. Отношение r является иррефлексивным бинарным отношением в том и только в том случае, если:

1) оно является бинарным отношением;

2) в рамках отношения r не существует ни одного кортежа, элементы (компоненты) которого бы совпадали.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 8. 4. Отношение r является частично рефлексивным бинарным отно шением в том и только в том случае, если:

1) оно является бинарным отношением;

2) в рамках отношения r существуют петли, т. е. такие кортежи, элементы (компоненты) которых совпадают (отношение r не является иррефлексивным бинарным отношением);

3) оно не является рефлексивным бинарным отношением.

150 Раздел 1. Представление основных математических структур на языке SCB О п р е д е л е н и е 3. 3. 8. 5. Отношение r является симметричным бинарным отношением в том и только в том случае, если:

1) оно является бинарным отношением со схемой { a i, a j } ;

2) для каждого кортежа ( a i : x, a j : y ) из отношения r справедливо, что кортеж ( a i : y, a j : x ) также принадлежит этому отношению ( x не совпадает с y ).

О п р е д е л е н и е 3. 3. 8. 6. Отношение r является антисимметричным бинарным отношением в том и только в том случае, если:

1) оно является бинарным отношением со схемой { a i, a j } ;

2) выполняется условие: если кортеж ( a i : x, a j : y ) принадлежит отношению r и кортеж ( a i :

y, a j : x ) также принадлежит r, то x = y.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 8. 7. Отношение r является частично симметричным бинарным отно шением в том и только в том случае, если:

1) оно является бинарным отношением со схемой { a i, a j } ;

2) существует, по крайней мере, один кортеж ( a i : x, a j : y ), принадлежащий бинарному отношению r, для которого существует кортеж ( a i : y, a j : x ), также принадлежащий отношению r ;

3) существует, по крайней мере, один кортеж ( a i : x, a j : y ), принадлежащий бинарному отноше нию r, для которого не существует кортежа ( a i : y, a j : x ), принадлежащего отношению r.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 8. 8. Отношение r является транзитивным бинарным отношением в том и только в том случае, если:

1) оно является бинарным отношением со схемой { a i, a j } ;

2) для любых x, y, z из области определения отношения r справедливо, что если кортежи ( a i : x, a j : y ) и ( a i : y, a j : z ) принадлежат отношению r, то и кортеж ( a i : x, a j : z ) также принадлежит r.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 8. 9. Отношение r является антитранзитивным бинарным отношением в том и только в том случае, если:

1) оно является бинарным отношением со схемой { a i, a j } ;

2) для любых x, y, z из области определения отношения r справедливо, что если кортежи ( a i : x, a j : y ) и ( a i : y, a j : z ) принадлежат отношению r, то не найдётся кортежа ( a i : x, a j : z ), также принадлежащего r.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 8. 1 0. Частично транзитивные отношения – это бинарные отношения, которые не являются ни транзитивными, ни антитранзитивными.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 8. 1 1. Бинарные отношения эквивалентности – это бинарные отноше ния, обладающие свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 8. 1 2. Бинарные отношения предпорядка – это бинарные отношения, обладающие свойствами рефлексивности, транзитивности.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 8. 1 3. Бинарные отношения частичного порядка – это бинарные отно шения, обладающие свойствами рефлексивности, антисимметричности, транзитивности.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 8. 1 4. Отношение r является отношением линейного порядка в том и только в том случае, если:.

оно является отношением частичного порядка с атрибутами a i и a j ;

• для любых двух разных элементов x и y из области определения отношения r имеет место • ( a i : x, a j : y ), либо отношению r принадлежность либо кортежа кортежа ( a i : y, a j : x ). То есть любые два элемента из области определения отношения r сравнимы.

Всем вышеперечисленным типам отношений в языке SCB сопоставляются ключевые узлы, обозначающие, множества отношений соответствующего типа: “ р е ф л е к с и в н о е б и н а р н о е о т н о ш е н и е ”, “ и р р е ф л е к с и в н о е б и н а р н о е о т н о ш е н и е ”, “ ч а с т и ч н о р е ф л е к с и в н о е бинарное о т н о ш е н и е ”, “ симметричное бинарное о т н о ш е н и е ”, “ антисимметричное б и н а р н о е о т н о ш е н и е ”, “ частично симметричное бинарное о т н о ш е н и е ”, “ транзитивное бинарное о т н о ш е н и е ”, “ антитранзитивное бинарное о т н о ш е н и е ”, “ частично транзитивное бинарное о т н о ш е н и е ”, “ отношение э к в и в а л е н т н о с т и ”, “ отношение п р е д п о р я д к а ”, “ о т н о ш е н и е ч а с т и ч н о г о п о р я д к а ”, “ о т н о ш е н и е л и н е й н о г о п о р я д к а ”.

Множество знаков всевозможных пар принадлежности, которое будем называть отношением принад лежности, является для языка SCB базовым отношением, с помощью которого в языке SCB осущест вляется представление всех математических структур (множеств, кортежей, отношений). Таким обра зом, язык SCB осуществляет представление математических структур (в частности отношений) путем их сведения к отношению принадлежности. Оно является бинарным ориентированным отношением частично транзитивным, частично симметричным, частично рефлексивным. Отношение принадлежно сти относится к классу бинарных отношений, знаки пар которого представляются в языке SCB специ альным образом – в виде scb-дуг.

Каждое семейство знаков пар принадлежности (в частности, каждый атрибут какого-либо отношения) также представляет собой для языка SCB не что иное, как специальным образом задаваемое бинар ное ориентированное отношение, являющееся некоторым подмножеством отношения принадлежно сти. В языке SCBg знаки таких отношений изображаются графическим примитивом "кружок с плюси ком" –.

152 Раздел 1. Представление основных математических структур на языке SCB 1.3.9. Множество соответствий как метаотношение, заданное на множестве бинарных ориентированных отношений И д е н т и ф и к а т о р ы к л ю ч е в ы х s c b - у з л о в : соответствие;

отношение_ ;

атрибут_ ;

отображение, проекция_ ;

сюръекция;

однозначное соответствие аргумент_ ;

взаимно однозначное ( функциональное с о о т в е т с т в и е );

с о о т в е т с т в и е ( ф у н к ц и о н а л ь н о е о т о б р а ж е н и е );

и н ъ е к ц и я ;

б и е к ц и я (о д н о з н а ч н а я с ю р ъ е к ц и я, ф у н к ц и о н а л ь н а я с ю р ъ е к ц и я );

в з а и м н о о д н о з н а ч н о е о т о б р а ж е н и е ;

взаимно однозначная сюръекция.

Каждое конкретное соответствие между двумя множествами будем трактовать как тернарный кортеж, связывающий:

1) знак некоторого бинарного отношения – этому знаку приписывается атрибут “о т н о ш е н и е _” (быть отношением;

в данном случае речь идет только о бинарных отношениях);

2) знак пары, связывающий знак одного из заданных множеств со знаком соответствующего ему атрибута, используемого в указанном выше бинарном отношении, – в этой паре используется атрибут “а т р и б у т _” (быть атрибутом), а второй атрибут задается по умолчанию;

3) знак аналогичной пары, связывающей знак второго из заданных множеств со знаком соответствующего ему атрибута.

Множество знаков всевозможных конкретных соответствий есть не что иное, как одно из метаотноше ний, заданных на множестве всевозможных бинарных отношений (множество всевозможных бинарных отношений входит в область определения указанного метаотношения). Рассматриваемому метаотно шению присвоим имя “с о о т в е т с т в и е ” (быть соответствием).

О п р е д е л е н и е 3. 3. 9. 1. Кортеж k задает соответствие между множеством x и множест вом y, т.е. имеет место scb-конструкция:

соответствие k в том и только в том случае, если:

1) имеет место конструкция вида:

k отношение_ атрибут_ ay sx r ax sy 2) r – бинарное ориентированное отношение с атрибутами a x и a y ;

k – знак конкретного соответствия между множествами s x и s y ;

s x – множество прообразов;

s y – множество образов;

r – отношение соответствия.

3) r ( s x ( a x ) sy ( ay) ).

На scbg-тексте 3.3.9.1 приведён пример соответствия, взятый из [464] (Т а р а н Т. А. 1 9 9 8 к н О с н о в Д М ).

S C B g - т е к с т 3. 3. 9. 1. Пример изображения кортежа отношения “ с о о т в е т с т в и е ” cоответствие k отношение_ атрибут_ ax r ay x y x y r1 y x sy sx r2 y x6 x r3 y r x x y r П р и м е ч а н и е 1. В общем случае не все элементы множества s x и множества s y должны быть элементами области определения отношения r. И соответственно этому, не все элементы множества s x должны быть эле ментами проекции отношения r по атрибуту a x (см. x 1, x 4, x 6 ), а также не все элементы множества s y должны быть элементами проекции отношения r по атрибуту a y (см. y 2, y 4 ).

П р и м е ч а н и е 2. Одному элементу множества s x может соответствовать несколько элементов множества s y (см. элемент x 1 и пары r 4 и r 5 ). Аналогично этому одному элементу множества s y может соответствовать не сколько элементов множества s x (см. элемент y 3 и пары r 2 и r 3).

П р и м е ч а н и е 3. Множество s x и множество s y могут иметь общие элементы (в частности, одно из них мо жет быть подмножеством другого) и даже могут совпадать.

S C B g - т е к с т 3. 3. 9. 2. Пример изображения кортежа отношения “ с о о т в е т с т в и е ” с ис пользованием 5-мощного кортежа соответствие k область 2_ отношение_ атрибут 2_ область 1 _ атрибут 1 _ ay sx r sy ax Кортеж отношения “ с о о т в е т с т в и е ” (“ б ы т ь с о о т в е т с т в и е м ”) можно было бы Примечание.

сделать 5-мощным, явно включив в число его элементов знаки множеств s x и s y, а также знаки атрибутов a x 154 Раздел 1. Представление основных математических структур на языке SCB и a y. Но тогда пришлось бы вводить дополнительные атрибуты для увязывания a x с s x и a y с s y, на пример, как на scbg-тексте 3.3.9.2. Но у построенного таким образом отношения “ с о о т в е т с т в и е ” для ка ждого кортежа k будет существовать встречный – компоненты кортежа с атрибутами “ а т р и б у т 1 _” и “ о б л а с т ь 1 _” могут быть заменены местами с компонентами, имеющими атрибуты “ а т р и б у т 2 _” и “ о б л а с т ь 2 _”. Это обусловлено тем, что в соответствии между множествами s x и s y нет асимметрии.

Типология соответствий определяется следующими факторами:

как соотносятся между собой множество s x и множество s y (равенство, включение, строгое пе • ресечение, т.е. наличие как общих, так и не общих элементов, непересечение);

как соотносятся множества s x и s y с унарными проекциями отношения r по соответствующим • атрибутам (указанные множества могут совпадать с соответствующими унарными проекциями, а могут быть их подмножествами);

имеются ли функциональные зависимости у отношения r, и если да, то сколько (одна или две).

• О п р е д е л е н и е 3. 3. 9. 2. Отображением множества s x на множество s y будем называть такое соответствие между множеством s x и множеством s y, в котором множество s x является унар ной проекцией соответствующего бинарного отношения r по соответствующему атрибуту a x, а не надмножеством указанной унарной проекции (см. scbg-текст 3.3.9.3).

S C B g - т е к с т 3. 3. 9. 3. Запись отображения множеств на языке SCB отображение k отношение_ проекция_ атрибут_ ay sx r ax sy проекция cоответствие k атрибут_ отношение_ отношение_ ax r x атрибут_ ay y П р и м е ч а н и е. Подчеркнём, что и с формальной стороны каждое конкретное отображение k является соответ ствием, т.е. метаотношение “ о т о б р а ж е н и е ” (“ б ы т ь о т о б р а ж е н и е м ”) является подмножеством (частным случаем) метаотношения “ с о о т в е т с т в и е ” (“ б ы т ь с о о т в е т с т в и е м ”). Правда, в кортежах метаотношения “о т о б р а ж е н и е ” используется дополнительный атрибут “ п р о е к ц и я _” (“ б ы т ь п р о е к ц и е й ”), указывающий на область прообразов отображения.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 9. 3. Сюръекцией множества s x и множества s y будем называть такое соответствие между множеством s x и множеством s y, которое является одновременно отображени ем множества s x на множество s y, а также отображением множества s y на множество s x.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 9. 4. Однозначным соответствием (функциональным соответствием) из множества s x (с атрибутом a x ) во множество s y (с атрибутом a y ) будем называть такое соответ ствие между множеством s x (с атрибутом a x ) и множеством s y (с атрибутом a y ), у которого вхо дящее в его состав бинарное ориентированное отношение r имеет ключ, каковым является атрибут a x. Это значит, что компонент с атрибутом a x в кортеже, принадлежащем отношению r, однознач но определяет этот кортеж и, следовательно, однозначно определяет компонент с атрибутом a y в ука занном кортеже. Иными словами, каждому x i из множества s x соответствует не более одного y i из множества s y.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 9. 5. Взаимно однозначным соответствием множества s x и множест ва s y будем называть такое соответствие между множествами s x и s y, которое является одновре менно функциональным соответствием как от множества s x во множество s y, так и от множества s y во множество s x.

Определение 3.3.9.6. Однозначным отображением (функциональным отображени ем) множества s x на множество s y будем называть такое соответствие между s x и s y, которое:

является отображением множества s x на множество s y ;

• является однозначным соответствием из множества s x на множество s y.

• О п р е д е л е н и е 3. 3. 9. 7. Инъекцией множества x во множество y будем называть такое соответствие между x и y, которое:

является отображением множества x на множество y ;

• является однозначным соответствием из множества y во множество x.

• О п р е д е л е н и е 3. 3. 9. 8. Однозначной сюръекцией (функциональной сюръекцией) из мно жества s x во множество s y будем называть такое соответствие между s x и s y, которое:

является отображением s x на s y ;

• является отображением s y на s x ;

• является однозначным соответствием из s x в s y.

• sx sy, П р и м е ч а н и е. Если соответствие является функциональной сюръекцией из в то оно является сюръ екцией и инъекцией множества s y (!) во множество s x (!).

sx sy П р и м е ч а н и е. Функциональную сюръекцию из множества во множество называют также биекцией множества s y (!) во множество s x (!).

О п р е д е л е н и е 3. 3. 9. 9. Взаимно однозначное отображение s x в s y – это:

взаимно однозначное соответствие s x и s y ;

• отображение s x на s y.

• О п р е д е л е н и е 3. 3. 9. 1 0. Взаимно однозначная сюръекция – это:

взаимно однозначное соответствие s x и s y ;

• сюръекция s x и s y.

• Для каждого из вышеперечисленных классов соответствий в языке SCB вводятся ключевые узлы:

“ с ю р ъ е к ц и я ”, “ ф у н к ц и о н а л ь н о е с о о т в е т с т в и е ”, “ в з а и м н о ф у н к ц и о н а л ь н о е с о о т в е т с т в и е ”, “ ф у н к ц и о н а л ь н о е о т о б р а ж е н и е ” и т.д.

156 Раздел 1. Представление основных математических структур на языке SCB 1.3.10. Типология тернарных отношений и метаотношения над ними К л ю ч е в ы е п о н я т и я : тернарное отношение;

коммутативное классическое тернарное от ношение;

ассоциативное тернарное отношение;

тернарное отношение с одной функцией;

тер нарное отношение с двумя функциями;

тернарное отношение с тремя функциями;

коммутатив ное отношение;

некоммутативное отношение;

ассоциативное отношение;

неассоциативное от ношение;

дистрибутивность.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 0. 1. Коммутативное классическое тернарное отношение – это отно шение, у которого для каждого кортежа вида ( x, y, z ) имеется кортеж вида ( у, x, z ).

Примером коммутативного классического тернарного отношения является классический вариант отно шения сложения (см. “ с л о ж е н и е - 1 ” в пункте 3.3.3). Общее определение коммутативного отношения (необязательно тернарного и необязательно классического) также приведено в пункте 3.3.3.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 0. 2. Ассоциативное тернарное отношение – это отношение, у которо го для каждой пары кортежей вида:

( a1 : x, a2 : y, a3 : xy ), ( a1 : xу, a2 : z, a3 : xyz ) имеются кортежи вида:

( a1 : у, a2 : z, a3 : yz ), ( a1 : x, a2 : yz, a3 : yz ).

К числу метаотношений, заданных на множестве тернарных отношений, относится метаотношение “д и с т р и б у т и в н о с т ь ” (см. пункт 3.3.13).

Упражнения к пункту 3.3.10.

У п р а ж н е н и е 3. 3. 1 0. 1. Являются ли функции, соответствующие тернарным отношениям, операциями?

У п р а ж н е н и е 3. 3. 1 0. 2. Может ли ассоциативное отношение быть некоммутативным?

У п р а ж н е н и е 3. 3. 1 0. 3. Может ли коммутативное отношение быть неассоциативным?

1.3.11. Отношения над множествами И д е н т и ф и к а т о р ы к л ю ч е в ы х s c b - у з л о в : включение множества, строгое включение множества, равенство множеств, эквивалентность множеств по совпадению элементов, пара пересекающихся множеств, объединение множеств, соединение множеств, разбиение множества, пересечение множеств, разность множеств, симметрическая разность множеств.

Каждое отношение, принадлежащее к классу отношений над множествами, характерно тем, что в его область определения входят знаки всевозможных множеств.

В подразделе 3.1 были рассмотрены основные соотношения между множествами, а также было рас смотрено описание этих соотношений в языке SCBs. Сейчас мы рассмотрим трактовку этих соотноше ний в графическом реляционном языке SCBg. Для этого необходимо всем основным теоретико множественным соотношениям поставить в соответствие определенные отношения над множествами.

К числу бинарных отношений над множествами принадлежат отношения, которым поставим в соответ ствие следующие идентификаторы (здесь используется синтаксис языка SCBs):

включение множества • = б ы т ь в к л ю ч е н и е м о д н о г о м н о ж е с т в а /* подмножества */ в д р у г о е /* надмноже ство */ = Множество всевозможных ориентированных пар, каждая из которых связывает некоторое множество с его подмножеством = теоретико-множественное включение;

строгое включение множества • = б ы т ь с т р о г и м в к л ю ч е н и е м о д н о г о м н о ж е с т в а /* собственного подмножества */ в д р у г о е /* надмножество */ = Множество всевозможных ориентированных пар, каждая из которых связывает некоторое множество с его собственным подмножеством = теоретико-множественное строгое включение;

равенство множеств • = быть равными множествами = Множество всевозможных неориентированных пар, каждая из которых связывает равные друг другу множества = теоретико-множественное равенство;

эквивалентность множеств по совпадению элементов • = множества с одинаковыми элементами = быть парой множеств, имеющих одинаковые элементы = Множество всевозможных неориентированных пар, каждая из которых связывает множества с одинаковыми элементами;

пара пересекающихся множеств • = быть парой пересекающихся множеств = Множество всевозможных неориентированных пар, каждая из которых связывает два пересекающихся множества;

Нельзя также забывать, что к числу бинарных отношений над множествами относятся следующие базовые для языка SCB отношения:

Отношение принадлежности • = Множество всевозможных знаков пар принадлежности = пара принадлежности = Принадлежность;

Отношение непринадлежности • = Множество всевозможных знаков пар не являющихся парами принадлежности = Множество всевозможных знаков пар непринадлежности = пара непринадлежности;

В языке SCB знак пары принадлежности называется scb-дугой и изображается (в языке SCBg) линией со стрелкой. В языке SCB знак пары непринадлежности будем называть негативной scb-дугой и изображать (в языке SCBg) перечеркнутой линией со стрелкой. Следует особо подчерк нуть то, что отношение непринадлежности является удобным средством представления (изображения) множеств, каждое из которых состоит из каких угодно элементов, кроме "неэлементов" некоторого за данного множества. Множество указанного вида будем называть отрицанием заданного множества, дополнением заданного множества до некоторого условного универсального множества или негатив ным множеством по отношению к заданному множеству. Итак, принадлежность некоторого элемента x множеству, которое является отрицанием (универсальным дополнением) множества s, изображается в языке SCB путем проведения пары непринадлежности из s в x. Таким способом, в частности, пред ставляются и "отрицательные" отношения:

н е включение множества;

• н е б ы т ь с т р о г и м в к л ю ч е н и е м м н о ж е с т в а /* не путать с нестрогим включением */;

• н е равенство множеств;

• н е быть множествами с одинаковыми элементами;

• п а р а н е пересекающихся множеств.

• К числу тернарных отношений над множествами принадлежат отношения, которым поставим в соот ветствие следующие идентификаторы:

158 Раздел 1. Представление основных математических структур на языке SCB объединение множеств • = объединение = множество ориентированных троек, каждая из которых связывает некоторые два множества с результатом их объединения = теоретико-множественное объединение;

соединение множеств • = множество ориентированных троек, каждая из которых связывает некоторые два множества с результатом их соединения;

разбиение множества • = разбиение = множество ориентированных троек, каждая из которых связывает некоторые два непересекающихся множества с результатом их объединения;

пересечение множеств • = множество ориентированных троек, каждая из которых связывает некоторые два множества с результатом их пересечения = теоретико-множественное пересечение;

разность множеств • = множество ориентированных троек, каждая из которых связывает н е к о т о р ы е д в а м н о ж е с т в а /* уменьшаемое и вычитаемое */ с и х р а з н о с т ь ю = теоретико-множественная разность;

симметрическая разность множеств • = множество ориентированных троек, каждая из которых связывает некоторые два множества с их симметрической разностью = теоретико-множественная симметрическая разность.

Подчеркнем, что некоторые из перечисленных отношений целесообразно обобщить, разрешив исполь зование связок произвольной мощности. Так, например, отношение “ р а в е н с т в о м н о ж е с т в ” будем трактовать как множество неориентированных • связок, каждая из которых представляет собой семейство из произвольного числа равных друг другу множеств;

отношение “ м н о ж е с т в о с о д и н а к о в ы м и э л е м е н т а м и ” будем трактовать как множество • неориентированных связок, каждая из которых представляет собой семейство из произвольного числа множеств, имеющих по крайней мере один общий для них всех элемент;

отношение “ о б ъ е д и н е н и е м н о ж е с т в ” будем трактовать как множество ориентированных • связок, каждая из которых связывает некоторый набор из произвольного числа множеств с резуль татом их объединения;

отношение “ с о е д и н е н и е м н о ж е с т в ” будем трактовать как множество ориентированных свя • зок, каждая из которых связывает некоторый набор из произвольного числа множеств с результа том их соединения;

отношение “ р а з б и е н и е м н о ж е с т в а ” будем трактовать как множество ориентированных свя • зок, каждая из которых связывает некоторый набор из произвольного числа попарно непересе кающихся множеств с результатом их объединения;

отношение “ п е р е с е ч е н и е м н о ж е с т в ” будем трактовать как множество ориентированных • связок, каждая из которых связывает некоторый набор из произвольного числа множеств с резуль татом их пересечения.

Кроме этого введем ещё одно отношение со связками различной мощности:

отношение “ п о п а р н о н е п е р е с е к а ю щ и е с я м н о ж е с т в а ”, которое будем трактовать как • множество неориентированных связок, каждая из которых представляет собой семейство из про извольного числа попарно непересекающихся множеств. Заметим, что 2-мощный вариант связок рассматриваемого отношения является вырожденным и может быть выражен с помощью отноше ния непринадлежности, т.е. путем отрицания принадлежности этой связки к отношению “ п е р е с е к а ю щ и е с я м н о ж е с т в а ”.

Ниже приводятся определения перечисленных отношений с использованием средств языка SCB, а также примеры использования этих отношений для записи соответствующих соотношений между мно жествами.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 1. 1. Определение отношения “ в к л ю ч е н и е м н о ж е с т в а ”. Будем го в к л ю ч е н и е м н о ж е с т в а ;

в том и только в том случае, если:

ворить, что k k ( н а д _ : s 1, п о д _ : s 2 ) ;

, т.е. k – 2-мощный кортеж с атрибутом “ н а д _” (быть над • множеством) и атрибутом “ п о д _” (быть подмножеством);

x ;

существует конструкция вида s 1 x ;

, т.е. каждый для каждой конструкции вида s • элемент множества s 2 является и элементом множества s 1. Точнее, каждому вхождению како го-либо элемента во множество s 2 соответствует вхождение этого же элемента во множество s 1.

x;

для каждого x количество конструкций вида s 2 не превышает количества конструкций • x ;

. То есть каждый элемент множества s 1 либо вообще не входит в число эле вида s ментов множества s 2, либо входит с меньшей кратностью, либо входит с равной кратностью (но не с большей кратностью).

В рамках кортежа, принадлежащего отношению “ в к л ю ч е н и е м н о ж е с т в а ”, компонент с атрибу том “ н а д _” будем называть надмножеством, а компонент с атрибутом “ п о д _” – подмножеством.

Отношение “ в к л ю ч е н и е м н о ж е с т в а ” является: бинарным, ориентированным, классическим, без функций, рефлексивным, антисимметричным, транзитивным.

На scb-текстах 3.3.11.1 и 3.3.11.2 приведены примеры использования отношения “ в к л ю ч е н и е м н о ж е с т в а ” для изображения соотношений включения и невключения множества, приведенных в таблице 3.1.1.

S C B - т е к с т 3. 3. 1 1. 1. Варианты изображения соотношения нестрогого включения множества s 2 во множество s включение множества s1 s над_ под_ включение множества ( над_ : s1, под_ : s2 ) ;

s s S C B - т е к с т 3. 3. 1 1. 2. Варианты изображения соотношения нестрогого невключения множества s 2 во множество s включение множества s1 s над_ под_ включение множества ( над_ : s1, под_ : s2 ) ;

s s 160 Раздел 1. Представление основных математических структур на языке SCB О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 1. 2. Определение отношения “ с т р о г о е в к л ю ч е н и е м н о ж е с т с т р о г о е в к л ю ч е н и е м н о ж е с т в а ;

в том и только в том слу в а ”. Будем говорить, что k чае, если:

k ( над_ : s1, под_ : s2 ) ;

• включение множества ;

k • существует по крайней мере один элемент x, для которого справедливо следующее:

• x;

s • • имеет место следующая дизъюнкция:

x;

либо не существует конструкций вида s • x ;

больше, чем количество конструкций вида либо количество конструкций вида s • x ;

(т.е. число позитивных scb-дуг, проведенных из s 1 в x, больше числа позитив s ных scb-дуг, проведенных из s 2 в x ).

На scb-текстах 3.3.11.3 и 3.3.11.4 приведены примеры использования отношения “ с т р о г о е в к л ю ч е н и е м н о ж е с т в а ” для изображения соотношений строгого включения и невключения множества, приведенных в табл. 3.1.1.

S C B - т е к с т 3. 3. 1 1. 3. Варианты изображения соотношения строгого включения множества s во множество s строгое включение множества s1 s над_ под_ строгое включение множества ( над_ : s1, под_ : s2 ) ;

s s S C B - т е к с т 3. 3. 1 1. 4. Варианты изображения соотношения строгого невключения множества s 2 во множество s строгое включение множества s1 s над_ под_ строгое включение множества ( над_ : s1, под_ : s2 ) ;

s s Определение метаотношения “ с е м е й с т в о в л о ж е н н ы х Определение 3.3.11.3.

с е м е й с т в о в л о ж е н н ы х м н о ж е с т в ;

в том и только м н о ж е с т в ”. Будем говорить, что k в том случае, если:

множество k имеет по крайней мере два элемента;

• x 1, x 2 ;

имеет место для каждой конструкции вида k • ( над_ : x1, под_ : x2 ) ;

либо конструкция вида в к л ю ч е н и е м н о ж е с т в а • ( над_ : x2, под_ : x1 ) ;

либо конструкция вида в к л ю ч е н и е м н о ж е с т в а • Таким образом, отношение “ с е м е й с т в о в л о ж е н н ы х м н о ж е с т в ” представляет собой неори ентированное отношение со связками разной мощности.

Определение 3. 3. 1 1. 4. Минимальным в семействе вложенных множеств будем называть такое множество, которое включено во все остальные множества указанного семейства.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 1. 5. Определение отношения “ р а в е н с т в о м н о ж е с т в ”.

р а в е н с т в о м н о ж е с т в ;

в том и только в том случае, если:

Будем говорить, что k k { s1, s2, …, sn } ;

• для каждой пары множеств { s i, s j } из семейства множеств { s 1, s 2, …, s n } имеет место • следующее:

над_ : si, под_ : sj ) включение множества ;

•( над_ : sj, под_ : si ) включение множества ;

•( Иначе говоря, равные множества – это множества, состоящие из одинаковых элементов, каждый из которых имеет одинаковое количество вхождений во все указанные множества.

На scb-текстах 3.3.11.5 и 3.3.11.6 приведены примеры использования отношения “ р а в е н с т в о м н о ж е с т в ” для изображения соотношений равенства и неравенства множеств, приведенных в табл. 3.1.1.

S C B - т е к с т 3. 3. 1 1. 5. Варианты изображения равенства множеств s 2 и s s1 s равенство множеств s s равенство множеств { s1, s2 } ;

S C B - т е к с т 3. 3. 1 1. 6. Варианты изображения неравенства множеств s 2 и s s1 s равенство множеств s s равенство множеств { s1, s2 } ;

Определение отношения “ м н о ж е с т в а с о д и н а к о в ы м и Определение 3.3.11.6.

множества с одинаковыми элементами ;

в э л е м е н т а м и ”. Будем говорить, что k том и только в том случае, если:

k { s1, s2, …, sn } ;

• для каждой пары множеств { s i, s j } из семейства множеств { s 1, s 2, …, s n } имеет место • следующее:

x ;

существует конструкция вида s j x ;

, т.е. каждый si • для каждой конструкции вида элемент множества s i является также и элементом множества s j (при этом кратность вхожде ния этого элемента в s i и в s j не учитывается) ;

162 Раздел 1. Представление основных математических структур на языке SCB x ;

существует конструкция вида s i x ;

.

sj • для каждой конструкции вида На scb-текстах 3.3.11.7 и 3.3.11.8 приведены примеры использования отношения “ м н о ж е с т в а с о д и н а к о в ы м и э л е м е н т а м и ” для изображения соответствующих соотношений, приведенных в таблице 3.1.1.

S C B - т е к с т 3. 3. 1 1. 7. Варианты изображения множеств с одинаковыми элементами s1 s множества с одинаковыми элементами множества с одинаковыми s s { s1, s2 } ;

элементами S C B - т е к с т 3. 3. 1 1. 8. Варианты изображения множеств с неодинаковыми элементами s1 s множества с одинаковыми элементами множества с одинаковыми s s { s1, s2 } ;

элементами О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 1. 7. Определение отношения “ п е р е с е к а ю щ и е с я м н о ж е с т в а ”.

п е р е с е к а ю щ и е с я м н о ж е с т в а ;

в том и только в том случае, если:

Будем говорить, что k k { s1, s2, …, sn } ;

• существует x такой, что для каждого множества s i из семейства { s 1, s 2, …, s n } имеет ме • x;

.

сто конструкция s i На scb-текстах 3.3.11.9 и 3.3.11.10 приведены примеры использования отношения “ п е р е с е к а ю щ и е с я м н о ж е с т в а ” для изображения соответствующих соотношений, приведен ных в табл. 3.1.1.

S C B - т е к с т 3. 3. 1 1. 9. Варианты изображения пересекающихся множеств s1 s пересекающиеся множества пересекающиеся множества s s { s1, s2 } ;

164 Раздел 1. Представление основных математических структур на языке SCB S C B - т е к с т 3. 3. 1 1. 1 0. Варианты изображения непересекающихся множеств s1 s пересекающиеся множества пересекающиеся множества s s { s1, s2 } ;

О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 1. 8. Определение отношения “ О т н о ш е н и е н е п р и н а д л е ж н о с т и ”. Синонимичными идентификаторами этого отношения являются также “ п а р а н е п р и н а д л е ж н о с т и ”, “ б ы т ь п а р о й н е п р и н а д л е ж н о с т и ” (см. подраздел 2.6). Будем го ворить, что знак ориентированной (упорядоченной) пары ( s 1, s 2 ) является элементом отношения непринадлежности в том и только в том случае, если не существует ни одной пары принадлежности вида s 1 s2.

Пары отношения непринадлежности называются парами непринадлежности и изображаются scbg-конструкциями и scbs-конструкциями следующего вида:

s s s2;

s1;

s1 s См. также подразделы 2.3, 2.4, 2.5.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 1. 9. Определение отношения “ о б ъ е д и н е н и е м н о ж е с т в ”. Будем о б ъ е д и н е н и е м н о ж е с т в ;

в том и только в том случае, если:

говорить, что k k ( { s1, s2, …, sn }, объединение_ : sm ) ;

• e ;

(где s i есть элемент множества k, не отмеченный ат для каждой конструкции вида s i • e;

рибутом “ о б ъ е д и н е н и е _”) существует конструкция s m e ;

существует по крайней мере одно множество s i из се для каждой конструкции вида s m • мейства { s 1, s 2, …, s n } такое, что s i e;

e ;

имеет место следующее:

для каждой конструкции вида s m • пусть x 1 есть кратность вхождения элемента e во множество s 1 (т.е. количество вхождений e в s 1 ), x 2 – количество вхождений e в s 2 и т. д., x n – количество вхождений e в s n и пусть x m a x – максимальное из этих чисел, тогда количество вхождений указанного элемента e во множество s m равняется x m a x.

П р и м е ч а н и е. Если элемент е не входит в число элементов множества si, то количество вхождений этого элемента в указанное множество считается равным нулю.

На scb-тексте 3.3.11.11 приведены примеры использования отношения “ о б ъ е д и н е н и е м н о ж е с т в ” для изображения соответствующего соотношения, приведенного в таблице 3.1.1.

S C B - т е к с т 3. 3. 1 1. 1 1. Варианты изображения отношения объединения множеств объединение множеств ( s1 s2) объединение_ объединение множеств ( { s1, s2 }, (s s) объединение_ : ( s1 s2 ) ) ;

s s О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 1. 1 0. Определение отношения “ с о е д и н е н и е м н о ж е с т в ”.

с о е д и н е н и е м н о ж е с т в ;

в том и только в том случае, если:

Будем говорить, что k k ( s1, s2, …, sn, соединение_ : sm ) ;

• e;

si si для каждой конструкции вида (где есть множество из семейства • { s 1, s 2, …, s n } ) существует конструкция s m e;

e ;

существует множество s i sm для каждой конструкции вида из семейства • { s 1, s 2, …, s n } такое, что s i e;

для каждого элемента e имеет место следующее:

• пусть x 1 – количество вхождений e в s 1, x 2 – количество вхождений e в s 2 и т. д. x e n – количество вхождений e в s n, n xi.

тогда количество вхождений e в s m равно i = На scb-тексте 3.3.11.12 приведены примеры использования отношения “ с о е д и н е н и е м н о ж е с т в ” для изображения соответствующего соотношения, приведенного в табл. 3.1.1.

S C B - т е к с т 3. 3. 1 1. 1 2. Варианты изображения отношения соединения множеств cоединение множеств ( s1 s2) соединение множеств cоединение_ ( s1, s2, соединение_ : ( s1 s2) ) ;

s s (s s) О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 1. 1 1. Определение отношения “ р а з б и е н и е м н о ж е с т в ”.

р а з б и е н и е м н о ж е с т в ;

в том и только в том случае, если:

Будем говорить, что k k ( { s1, s2, …, sn }, объединение_ : sm ) ;

k объединение множеств;

• для каждой пары множеств { s i, s j } из семейства { s 1, s 2, …, s n } • e;

sj e ;

, т.е. не существует общих элементов у не существует e такого, что s i множеств s i и s j.

Отношение разбиения играет очень важную роль при представлении знаний – с его помощью осущест вляется классификация самых различных понятий. При представлении отношения разбиения можно 166 Раздел 1. Представление основных математических структур на языке SCB явно не вводить знак этого отношения, а пользоваться знаком отношения объединения и знаком отно шения “ н е п е р е с е к а ю щ и е с я м н о ж е с т в а ” (см. scb-текст 3.3.11.13).

S C B - т е к с т 3. 3. 1 1. 1 3. Формальная запись на языке SCB типологии множеств, которая приве дена в таблице 2.1. множество объединение_ объединение непересекающиеся нормализованность множества нормализованное множество ненормализованное множество 3. 3. 1 1. 1 2. Определение отношения “ п е р е с е ч е н и е м н о ж е с т в ”.

Определение п е р е с е ч е н и е м н о ж е с т в ;

в том и только в том случае, если:

Будем говорить, что k k ( s1, s2, …, sn, пересечение_ : sm ) ;

• для каждой конструкции вида s 1, s 2, …, s n e ;

существует конструкция вида s m e;

• e ;

следует s 1, s 2, …, s n sm;

и наоборот: из s m • для каждого e, являющегося элементом множества s m, имеет место следующее:

• пусть x 1 – количество вхождений e в s 1, x 2 – количество вхождений e в s 2 и т.д., x n – ко личество вхождений e в s n, x m i n – минимальное из перечисленных чисел, тогда количество вхождений e в s m равно x m i n.

На scb-тексте 3.3.11.14 приведены примеры использования отношения “ п е р е с е ч е н и е мно ж е с т в ” для изображения соответствующего соотношения, приведенного в табл. 3.1.1.

S C B - т е к с т 3. 3. 1 1. 1 4. Варианты изображения отношения пересечения множеств пересечение множеств (s 1 s2) пересечение_ пересечение множеств ( s1, s2, пересечение_ : ( s1 s2) ) ;

s s (s s) О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 1. 1 3. Определение отношения “ р а з н о с т ь м н о ж е с т в ”.

р а з н о с т ь м н о ж е с т в ;

в том и только в том случае, если:

Будем говорить, что k k ( уменьшаемое_ : s1, вычитаемое_ : s2, разность_ : s3 ) ;

• e;

s2 e ;

существует одна и только одна конструкция для каждой конструкции вида s • e ;

, т.е. каждый элемент множества s 1, не являющийся элементом множества s 2, вида s входит в число элементов множества s 3, причем указанный элемент входит в s 1 и в s с одинаковой кратностью;

каждый элемент e, который входит в s 1 с кратностью x 1, а в s 2 – с кратностью x 2 и при этом • x 2 x 1, не входит во множество s 3 ;

каждый элемент e, который входит в s 1 с кратностью x 1, а в s 2 – с кратностью x 2 и при этом • x 2 x 1, входит во множество s 3 с кратностью (x 1 - x 2 );

каждый элемент e, входящий в s 3 с кратностью x 3, входит во множество s 1 с кратностью • (x 3 + x 2 ), где x 2 – кратность вхождения этого элемента во множество s 2. Напомним при этом, что кратность, равная нулю, означает отсутствие вхождения элемента во множество.

На scb-тексте 3.3.11.15 приведены примеры использования отношения “ р а з н о с т ь м н о ж е с т в ” для изображения соответствующего соотношения, приведенного в табл. 3.1.1.

S C B - т е к с т 3. 3. 1 1. 1 5. Варианты изображения отношения разности множеств разность множеств ( s1 s2) уменьшаемое_ разность_ разность множеств вычитаемое_ ( уменьшаемое_ : s1, вычитаемое_ : s2, s s (s s) : (s 1 s 2 ) ) ;

разность_ О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 1. 1 4. Определение отношения “ с и м м е т р и ч е с к а я р а з н о с т ь с и м м е т р и ч е с к а я р а з н о с т ь м н о ж е с т в ;

в том и м н о ж е с т в ”. Будем говорить, что k только в том случае, если существует конструкция вида:

k ( s1, s2, разность_ : s3 ) ;

( { s1, s2 }, объединение_ : sy ) объединение множеств ;

( s1, s2, пересечение_ : sp ) пересечение множеств ;

( у м е н ь ш а е м о е _: s y, в ы ч и т а е м о е _: s p, р а з н о с т ь _: s 3 ) разность множеств;

.

На scb-тексте 3.3.11.16 приведены примеры использования отношения “ с и м м е т р и ч е с к а я р а з н о с т ь м н о ж е с т в ” для изображения соответствующего соотношения, приведенного в табл. 3.1.1.

SCB-текст 3. 3. 1 1. 1 6. Варианты изображения отношения симметрической разности мно жеств симметрическая разность множеств ( s1 s2) симметрическая разность_ симметрическая разность множеств ( s1, s2, симметрическая s (s s s) разность_ : ( s1 s2) ) ;

“ семейство попарно Определение 3.3.11.15. Определение отношения н е п е р е с е к а ю щ и х с я м н о ж е с т в ”. Будем говорить, что с е м е й с т в о п о п а р н о н е п е р е с е к а ю щ и х с я м н о ж е с т в ;

в том и только в том случае, k если:

k { s1, s2, …, sn } ;

• 168 Раздел 1. Представление основных математических структур на языке SCB для каждой пары множеств { s i, s j } из семейства множеств { s 1, s 2, …, s n } • e;

sj e ;

, т.е. не существует общих элементов у мно не существует e такого, что s i жеств s i и s j.

Заметим при этом, что имеет место синонимия следующих идентификаторов:

попарно непересекающиеся множества семейство попарно непересекающихся множеств ;

П р и м е ч а н и е. Следует четко отличать следующие понятия:

• отношение синонимии (множество знаков пар синонимии, множество знаков пар равенства знаков);

• отношение эквивалентности множеств по набору элементов;

• отношение равенства множеств (множество знаков пар равенства множеств);

• отношение равенства кортежей;

• отношение равномощности множеств (отношение эквивалентности множеств по мощности);

• отношение эквивалентности множеств по количеству элементов.

Завершая рассмотрение отношений над множествами, приведем некоторые теоретико-множественные соотношения между введенными нами отношениями.

включение множества строгое включение множества ;

равенство множеств ;

строгое включение множества равенство множеств множества с одинаковыми элементами ;

разбиение множества объединение множеств ;

разбиение множества соединение множеств ;

соединение множеств ;

.

объединение множеств П р и м е ч а н и е. Могут ли пересекаться два ориентированных отношения, которые имеют разные схемы (разные наборы атрибутов)? Да, поскольку каждое отношение, "зная" свою схему, имеет возможность учитывать только свои атрибуты, т.е. атрибуты, входящие в его схему. Поэтому связки разных отношений, являющиеся равными мно жествами, целесообразно "склеивать" независимо от распределения атрибутов. При этом надо внимательно сле дить за теми атрибутами, которые являются общими для отношений, связки которых склеиваются. Связки, являю щиеся равными множествами и даже равными кортежами, целесообразно сохранять только в рамках одного отно шения (кратные связки, встречные связки).

1.3.12. Отношения над кортежами И д е н т и ф и к а т о р ы к л ю ч е в ы х s c b - у з л о в : включение кортежа, пересечение кортежей, равенство кортежей, встречные кортежи.


О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 2. 1. Определение отношения ”в к л ю ч е н и е к о р т е ж а ”. Кортеж k i включает в себя кортеж k j (т.е. является его подкортежем) в том и только в том случае, если каждый элемент кортежа k j входит в кортеж k i под тем же атрибутом.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 2. 2. Определение отношения ”п е р е с е ч е н и е к о р т е ж е й ”. Кортеж k e является результатом пересечения кортежей k i и k j в том и только в том случае, если каж дый элемент кортежа k e входит в кортеж k i и кортеж k j под тем же атрибутом.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 2. 3. Определение отношения ”р а в е н с т в о к о р т е ж е й ”. Будем го ворить, что кортеж k i равен кортежу k j в том и только в том случае, если:

указанные кортежи являются равными множествами;

• существует взаимно однозначное соответствие, которое каждому вхождению элемента в кортеж • k i ставит в соответствие вхождение этого же элемента, но в кортеж k j, причём с теми же атри бутами и, наоборот, каждому вхождению элемента в кортеж k j ставит в соответствие вхождение этого же элемента в кортеж k i, причём с теми же атрибутами.

Напомним, что вхождение элемента в кортеж может вообще не иметь атрибута, может иметь один ат рибут, может иметь несколько атрибутов.

Равные кортежи будем также называть кратными кортежами. Частным случаем равных кортежей яв ляются кратные пары принадлежности.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 2. 4. Определение отношения ”в с т р е ч н ы е к о р т е ж и ”. Кортежи, являющиеся равными множествами, но не являющиеся равными кортежами, будем называть встреч ными кортежами.

1.3.13. Отношения над отношениями К л ю ч е в ы е п о н я т и я и и д е н т и ф и к а т о р ы к л ю ч е в ы х s c b - у з л о в : метаот ношений, с х е м а о т н о ш е н и я, о т н о ш е н и е _, а т р и б у т п о у м о л ч а н и ю, о бл а с т ь определения, домен, проекция отношения, функциональная зависимость, ключевая функциональная зависимость.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 3. 1. Будем считать, что отношение r относится к классу отношений над отношениями (к классу метаотношений) в том и только в том случае, если:

в область определения отношения r входят либо знаки всевозможных отношений, либо знаки • всех отношений некоторого класса;

в состав каждой связки отношения r входит знак некоторого отношения.

• Анализ области определения метаотношений позволяет выделить следующие классы таких отноше ний:

отношения над всевозможными отношениями;

• отношения над классическими отношениями;

• отношения над ориентированными отношениями;

• отношения над неориентированными отношениями;

• отношения над бинарными ориентированными отношениями;

• отношения над бинарными неориентированными отношениями • и т.д.

• Выше при рассмотрении типологии отношений мы ввели целый ряд понятий, формальное уточнение которых требует введения метаотношений, соответствующих этим понятиям. К числу указанных поня тий относятся такие понятия, как схема отношения (см. пункт 3.3.3), проекция отношения (см. пункт 3.3.4), домен, функциональная зависимость, ключевая функциональная зависимость, функция, алгебраическая операция (см. пункт 3.3.5). Каждому из перечисленных понятий поставим в соответ ствие метаотношение, которое в языке SCB будет обозначаться определенным scb-узлом. Таким об разом будут введены scb-узлы со следующими идентификаторами:

”с х е м а о т н о ш е н и я ” ;

• ”о б л а с т ь о п р е д е л е н и я ” ;

• ”д о м е н ” ;

• ”п р о е к ц и я о т н о ш е н и я ” ;

• ”ф у н к ц и о н а л ь н а я з а в и с и м о с т ь ” ;

• ”к л ю ч е в а я ф у н к ц и о н а л ь н а я з а в и с и м о с т ь ” ;

• ”ф у н к ц и я ” ;

• ”а л г е б р а и ч е с к а я о п е р а ц и я ”.

• Перейдем к более строгому определению этих понятий, приближая тексты самих определений к их за писи на формальном логическом языке, который будет построен на основе языка SCB и подробно рас смотрен в разделе 5.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 3. 2. Определение метаотношения ”с х е м а о т н о ш е н и я ”, являю щегося уточнением понятия схемы отношения (см. пункт 3.3.3). Будем говорить, что множество k ”с х е м а о т н о ш е н и я ”, принадлежит метаотношению т.е. имеет место конструкция схема отношения ;

k в том и только в том случае, если:

170 Раздел 1. Представление основных математических структур на языке SCB множество k является кортежем;

• о т н о ш е н и е _ : r i ;

где существует конструкция вида: k • r i – знак множества, трактуемого в рамках кортежа как некое рассматриваемое ориентированное отношение, о т н о ш е н и е _ – знак атрибута, указывающего на рассматриваемое отношение (в данном случае на отношение r i );

все остальные элементы кортежа k отмечаются атрибутом, задаваемым по умолчанию, и трак • туются как знаки атрибутов, используемых в кортежах ориентированного отношения r i, – указан ные знаки атрибутов будем называть элементами схемы отношения r i ;

в кортеже k перечислены все элементы схемы отношения r i, т.е. все атрибуты, используемые в • этом отношении. При этом если в отношении r i используется атрибут, задаваемый по умолчанию, то он должен быть явно указан следующим образом:

а т р и б у т п о у м о л ч а н и ю ;

, где узел с идентификатором ”а т р и б у т п о k у м о л ч а н и ю ” является знаком атрибута, задаваемого по умолчанию;

никаких других элементов кортеж k не содержит.

• Итак, уточнением понятия схемы отношения (см. пункт 3.3.3) является метаотношение с именем ”с х е м а о т н о ш е н и я ” (быть схемой отношения), связки которого являются кортежами, которые имеют мощность от 2 и выше и которые используют атрибут ”о т н о ш е н и е _” (быть отношением) и атрибут, задаваемый по умолчанию (см. scbg-текст 3.3.13.1). Примеры использования метаотношения ”с х е м а о т н о ш е н и я ” приведены на scbg-текстах 3.3.13.2 и 3.3.13.3.

S C B g - т е к с т 3. 3. 1 3. 1. Общий вид схема отношения отношения ” с х е м а о т н о ш е н и я ” Здесь r – знак некоторого отношения a1, a2, …, an – знаки всех тех и только тех атрибутов, которые используются в связках отношения r.

…a a a r П р и м е ч а н и е 1. Метаотношение “с х е м а отношения” можно было бы определить и по-другому:

без атрибута, задаваемого по умолчанию, т.е. с явным введением атрибута “б ы т ь элементом схемы • о т н о ш е н и я _”;

• трактовать это метаотношение как бинарное с явным введением знака схемы рассматриваемого отношения.

П р и м е ч а н и е 2. Один и тот же кортеж может входить в состав нескольких отношений с разными схемами. Это означает, что в кортежах, принадлежащих заданному отношению, могут использоваться не только атрибуты, вхо дящие в схему этого отношения. Но такие атрибуты в рамках указанного отношения не учитываются. Из всего это го следует также то, что атрибут, задаваемый по умолчанию, соответствует либо тем элементам кортежей, рас сматриваемого отношения, которые не отмечены атрибутами, входящими в схему этого отношения (т.е. элемен там кортежей, которые вообще никаким атрибутом не отмечены), либо тем элементам кортежей, которые отмечены только атрибутами, не входящими в схему рассматриваемого отношения.

S C B g - т е к с т 3. 3. 1 3. 2. Пример ис- схема отношения пользования отношения ” с х е м а о т н о ш е н и я ” для отношения ” с л о ж е н и е ” сложение сумма_ слагаемое_ SCBg-текст 3.3.13.3. схема отношения Схема метаотношения ” с х е ма отношения” атрибут по умолчанию_ О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 3. 3. Определение метаотношения “о б л а с т ь о п р е д е л е н и я ”, яв ляющегося уточнением понятия области определения (см. в пункте 3.3.3). Будем утверждать, что о б л а с т ь о п р е д е л е н и я ;

в том и только в том случае, если:

k k ( отношение_ : r, область определения_ : p ) ;

• x ;

существует конструкция p x ;

, т.е. каждый для каждой конструкции вида r c • r является элементом множества p ;

элемент каждой связки отношения x ;

существует конструкция x;

и наоборот, для каждой конструкции вида p r c • Примеры использования метаотношения “о б л а с т ь о п р е д е л е н и я ” приведены на scbg-текстах 3.3.13.4 и 3.3.13.5.

SCBg-текст 3.3.13.4. область определения Пример связки метаотношения “о б л а с т ь о п р е д е л е н и я ”, которая означает, что областью определения отношения область определения_ “с л о ж е н и е ” является мно жество всевозможных чисел сложение число S C B g - т е к с т 3. 3. 1 3. 5. Пример связки метаотношения “о б л а с т ь о п р е д е л е н и я ”, которая означает, что областью определения отношения “о б л а с т ь о п р е д е л е н и я ” является множество знаков всевозможных множеств (куда входят, в частности, и знаки отношений) область определения область определения_ множество О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 3. 4. Определение метаотношения “ д о м е н ”, являющегося уточнени д о м е н ;

в том и только в том ем понятия домена (унарной проекции). Будем утверждать, что k случае, если:

k ( отношение_ : r, домен_ : p, атрибут_ : a ) ;

• a : x ;

, существует конструкция p x ;

, т.е. каж для каждой конструкции вида r c • r, имеющий атрибут a, является элементом множества дый элемент каждой связки отношения p;

x;

, p и, наоборот, для каждой конструкции вида существует конструкция • a : x;

;

r c к а н т о р о в с к о е мн о ж е с т в о ;

, т.е. множество p не содержит кратных элементов, p • y, y;

.

следовательно, не существует такого y, что p 172 Раздел 1. Представление основных математических структур на языке SCB П р и м е ч а н и е. Таким образом, для неориентированных отношений домен получить невозможно, т.к. в этих от ношениях нет атрибутов.


Примеры использования метаотношения “д о м е н ” приведены на scbg-текстах 3.3.13.6 и 3.3.13.7.

SCBg-текст 3. 3. 1 3. 6. Пример домен связки метаотношения “д о м е н ”, которая означает, что доменом отношения “с л о ж е н и е ” по атрибуту “с у м м а _” яв- домен_ ляется множество всевозможных чисел атрибут_ сложение сумма_ число S C B g - т е к с т 3. 3. 1 3. 7. При домен мер связки метаотношения “д о м е н ”, которая означает, что доме ном отношения “д о м е н ” по атрибу- домен_ ту “о т н о ш е н и е _” является мно жество знаков всевозможных ориен тированных отношений ориентированное отношение В пункте 3.3.7 в язык SCBs был введен способ условного обозначения декартовых произведений. С помощью метаотношения “с х е м а о т н о ш е н и я ” и метаотношения “д о м е н ” можно построить scbg-конструкцию, эквивалентную указанному обозначению декартовых произведений (см. scbg-текст 3.3.13.8).

S C B g - т е к с т 3. 3. 1 3. 8. Пример представления декартова произведения с использованием ме таотношений “с х е м а о т н о ш е н и я ” и “д о м е н ” ( x1 ( a1) x2 ( a2) ) d ;

декартово произведение домен домен_ x бинарное отношение d атрибут_ a x a схема отношения П р и м е ч а н и е. Декартово произведение вида ( x 1 ( a 1 ) x 2 ( a 2 ) ) можно трактовать как объединение все возможных бинарных ориентированных отношений, в которых атрибуты a 1 и a 2 составляют схему этих отноше ний, а множества x 1 и x 2 являются доменами этих отношений соответственно по атрибуту a 1 и по атрибуту a 2.

О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 3. 5. Определение метаотношения “п р о е к ц и я о т н о ш е н и я ”, яв ляющегося уточнением понятия неунарной проекции (см. пункт 3.3.4).

п р о е к ц и я о т н о ш е н и я ;

в том и только в том случае, если:

Будем утверждать, что k отношение_ : r, проекция_ : p, атрибут_ : a1, атрибут_ : a2, …, k 1) атрибут_ : an ;

c ;

, в которой каждой конструкции k атрибут_ : ai ;

для каждой конструкции вида r 2) a i : x ;

, (т.е. в кортеже c используются все атрибуты, перечис соответствует конструкция c ленные в кортеже k, существует одна конструкция вида:

c p ;

, для которой:

p aj : y ;

k а т р и б у т _ : a j ;

соответствует каждой конструкции вида r c • a j : y ;

, (т.е. в кортеж c p включаются все компоненты кортежа c, конструкция c p имеющие атрибуты, перечисленные в кортеже k );

y ;

соответствует конструкция cp gj а также каждой конструкции вида • gj ;

r aj : y ;

k а т р и б у т _ : a j ;

(т.е. в кортеж c p включаются aj c только компоненты кортежа c, имеющие атрибуты, перечисленные в кортеже k );

c p ;

существует конструкция:

и, наоборот, для каждой конструкции вида p 3) c ;

, для которой:

r aj : y ;

имеет место то, что каждой конструкции вида r c • а т р и б у т _ : a j ;

соответствует конструкция c p a j : y ;

(т.е. в кортеж c p k включаются все компоненты кортежа c, имеющие атрибуты, перечисленные в кортеже k );

y ;

соответствует конструкция имеет место то, что каждой конструкции c p gj • gj ;

aj : y ;

k а т р и б у т _ : a j ;

(т.е. в кортеж c p включа aj r c ются только компоненты кортежа c, имеющие атрибуты, перечисленные в кортеже k );

174 Раздел 1. Представление основных математических структур на языке SCB не существует такого z, что z, z p ;

(т.е. p не содержит кратных элементов и, следовательно, 4) является канторовским множеством);

z1, z2 p ;

справедлива следующая конструкция:

5) для каждой конструкции вида { z1, z2 } р а в е н с т в о к о р т е ж е й ;

(т.е. множество p представляет собой отношение, не имеющее кратных связок).

“ф у н к ц и о н а л ь н а я Определение 3.3.13.6. Определение метаотношения з а в и с и м о с т ь ”, менее строгое определение этого понятия см. в пункте 3.3.5. Будем утверждать, что ф у н к ц и о н а л ь н а я з а в и с и м о с т ь ;

в том и только в том случае, если:

k отношение_ : r ;

1) k аргумент_ : axi ;

существует по крайней мере одна конструкция вида k 2) результат_ : ayi ;

существует по крайней мере одна конструкция вида k 3) аргумент_ : axi, результат_ : axi ;

не существует ни одной конструкции вида k 4) 5) не существует ни одной конструкции вида axi, аргумент_, результат_ gj ;

k gj для всех c 1 и c 2 имеет место следующая импликация:

6) c 1, c 2 ;

, у которой для всех a x i и x i имеет r если существует конструкция вида • место импликация:

аргумент_ : axi ;

c1 axi : xi ;

если имеет место конструкция вида k • аргумент_ : axi ;

axi : xi ;

то имеет место конструкция вида k c • то для всех a y i и y i имеет место следующая импликация:

• аргумент_ : ayi ;

c1 ayi : yi ;

если имеет место конструкция вида k • аргумент_ : ayi ;

c1 ayi : yi ;

.

то имеет место конструкция вида k • О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 3. 7. Определение метаотношения “к л ю ч е в а я ф у н к ц и о н а л ь н а я з а в и с и м о с т ь ”, менее строгое определение этого понятия см. в пункте 3.3.5.

ключевая функциональная зависимость ;

Конструкция вида k эквивалентна конструкции:

функциональная зависимость ;

k отношение_ : r ;

k отношение_ : r ;

, схема отношения kс для которой справедливо импликативное высказывание:

если существует конструкция вида • a ;

отношение_ g;

, kc g то справедливо строгое дизъюнктивное высказывание:

• • либо существует конструкция вида аргумент_ : a ;

k • либо существует конструкция вида результат_ : a ;

k О п р е д е л е н и е 3. 3. 1 3. 8. Определение метаотношения “ф у н к ц и я ”.

функция ;

Конструкция вида k эквивалентна конструкции:

ключевая функциональная зависимость ;

k отношение_ : r ;

k ay ;

, результат_ для которой:

существует единственная конструкция:

• результат_ : ai ;

/* Для a i = a y */ k имеет место импликация:

• c;

, k • если дана конструкция вида ay : yi ;

c • то существует единственная конструкция имеет место импликация:

• • если дана конструкция вида отношение_ : r ;

проекция_ : p ;

проекция kp у которой:

• существует конструкция:

атрибут_ : ai ;

атрибут_ : aj ;

kp /* Т.е. существует по крайней мере проекция отношения с двумя атрибутами, по которым берется */ /* проекция отношения r. Следовательно, речь идет о неунарной проекции. */ • конструкция вида атрибут_ : ax ;

kp эквивалентна конструкции:

аргумент_ : ax ;

kp /*Т.е. каждый атрибут, по которому берется проекция отношения r, является */ /* атрибутом-аргументом функциональной зависимости. И наоборот. */ • то справедлива конструкция вида декартово произведение ;

p К числу метаотношений над классическими отношениями (т.е. к числу метаотношений, которые не рас пространяются на область всевозможных отношений), в частности, относятся:

метаотношение “м и н и м а л ь н о е д е к а р т о в о п р о и з в е д е н и е ” – это метаотношение, которое • является подмножеством метаотношения “в к л ю ч е н и е м н о ж е с т в а ” и которое связывает ка ждое классическое отношение с таким декартовым произведением, которое является его мини мальным надмножеством (т.е. таким декартовым произведением, для которого не существует дру гого декартова произведения, которое было бы подмножеством первого и надмножеством рас сматриваемого классического отношения);

метаотношение “д о п о л н е н и е д о д е к а р т о в а п р о и з в е д е н и я ” – это метаотношение, кото • рое является подмножеством метаотношения “р а з б и е н и е м н о ж е с т в а ” и которое связывает каждое классическое отношение с его минимальным декартовым произведением и с разностью минимального декартова произведения и рассматриваемого классического отношения;

метаотношение “с о е д и н е н и е о т н о ш е н и й ” – это тернарное метаотношение, каждый кортеж • которого связывает два классических отношения, имеющих один общий атрибут, с классическим отношением, каждый кортеж которого есть результат объединения одного из кортежей, принадле жащих первому исходному отношению, и одного из кортежей, принадлежащих второму исходному отношению (при этом в объединяемых кортежах компоненты, имеющие общий для исходных от ношений атрибут, должны совпадать).

Очевидно, что для каждого классического отношения существует единственное минимальное декарто во произведение и единственное дополнение до этого минимального декартова произведения.

Очевидно также, что если два соединяемых классических отношения будут являться соответственно m -арным и n -арным, то классическое отношение, полученное в результате их соединения по указан ному (общему) атрибуту, будет ( m + n - 1 )-арным.

Очевидно также, что если взять проекцию отношения, полученного в результате соединения отноше ний r 1 и r 2, по всем атрибутам, входящим в схему отношения r 1, то получим само это отношение r 1.

Метаотношения над бинарными классическими отношениями рассматривались выше. Перечислим не которые из них:

метаотношение “п р о и з в е д е н и е б и н а р н ы х о т н о ш е н и й ” – это метаотношение, каждый • кортеж которого имеет вид ( { r 1, a 1 }, { r 2, a 2 }, п р о и з в е д е н и е _ : r 3 ), где r 1, r 2, r 3 – бинарные классические отношения с одинаковыми схемами { a 1, a 2 }, при этом конструкция ( a 1 : x 1, a 2 : x 2 ) ;

имеет место тогда и только тогда, когда существует z такой, что r ( a1 : x1, a2 : z ) ;

r2 ( a 1 : z, a 2 : x 2 ) ;

[464] (Т а р а н Т. А. 1 9 9 8 к н r О с н о в Д М );

метаотношение “т р а н з и т и в н о е з а м ы к а н и е ” [464] (Т а р а н Т. А. 1 9 9 8 к н - О с н о в Д М );

• метаотношение “с о о т в е т с т в и е ” и различные подмножества этого метаотношения.

• 176 Раздел 1. Представление основных математических структур на языке SCB Каждому отношению эквивалентности можно поставить в соответствие фактормножество, осуществ ляющее разбиение области определения этого отношения на классы эквивалентности. Связь между отношением эквивалентности r и соответствующим ему фактормножеством f задается с помощью бинарного ориентированного метаотношения, которому припишем идентификатор “ф а к т о р и з а ц и я ”(см. scb-текст 3.3.13.9).

S C B - т е к с т 3. 3. 1 3. 9. Отношение “ф а к т о р и з а ц и я ” r отношение эквивалентности факторизация фактормножество_ фактормножество f При этом имеют место следующие синонимичные соотношения идентификаторов:

фактормножество попарно непересекающиеся множества семейство попарно непересекающихся множеств ;

Семантически фактормножество представляет собой не что иное, как один из возможных признаков (свойств) классификации множества, являющегося областью определения соответствующего отноше ния эвивалентности (см. scb-текст 3.3.13.10).

S C B - т е к с т 3. 3. 1 3. 1 0. Классификации множества, являющегося областью определения соот ветствующего отношения эвивалентности r отношение эквивалентности отношение_ область определения область определения_ объединение_ объединение f фактормножество С формальной точки зрения каждое фактормножество можно трактовать как неориентированное отно шение, связки которого имеют нефиксированную и часто достаточно большую мощность. Элементами каждой такой связки являются все те и только те объекты, которые в определенном смысле эквива лентны некоторому заданному объекту.

Упражнения к пункту 3.3.13.

Упражнение 3. 3. 1 3. 1. Можно ли говорить о неунарной проекции неклассического отно шения?

У п р а ж н е н и е 3. 3. 1 3. 2. Можно ли говорить о функциональной зависимости для некласси ческого отношения?

У п р а ж н е н и е 3. 3. 1 3. 3. Существует ли хотя бы одно отношение, которому соответствует несколько функциональных зависимостей (несколько ключей), или несколько функций, или несколько операций? Если да, то приведите примеры.

У п р а ж н е н и е 3. 3. 1 3. 4. Чем отличаются:

функциональная зависимость от ключевой зависимости;

• ключевая зависимость от функции;

• функция от операции?

• 1.3.14. Числовые отношения К числу отношений, заданных на множестве чисел, можно отнести следующие:

“п о р я д о к ч и с е л ” – бинарное ориентированное отношение с атрибутом “ м е н ь ш е и л и • р а в н о _” и атрибутом “б о л ь ш е и л и р а в н о _”;

“с т р о г и й п о р я д о к ч и с е л ” – бинарное ориентированное отношение с атрибутом “м е н ь ш е _” • и атрибутом “б о л ь ш е _”;

“п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ц е л ы х ч и с е л ” – бинарное ориентированное антисимметричное от • ношение, использующее атрибут “п р е д ш е с т в у ю щ е е _” и атрибут “с л е д у ю щ е е _”, заданное на множестве целых чисел. Каждый кортеж этого отношения связывает два целых числа, первое из которых непосредственно предшествует второму, а второе – непосредственно следует за пер вым (т.е. является результатом прибавления единицы к первому числу);

“а р и ф м е т и ч е с к о е о т р и ц а н и е ” – бинарное неориентированное отношение;

• “ч и с л о в о й м о д у л ь ” – бинарное ориентированное отношение с атрибутом “м о д у л ь _” и с ат • рибутом, задаваемым по умолчанию;

“ц е л а я ч а с т ь ч и с л а ” – бинарное ориентированное отношение с атрибутом “ц е л о е _” и с ат • рибутом, задаваемым по умолчанию;

“с л о ж е н и е ” – ориентированное отношение со связками разной мощности (но не менее 3) и с • атрибутами “с у м м а _” и “с л а г а е м о е _” (последний атрибут может задаваться по умолчанию);

“у м н о ж е н и е ” – ориентированное отношение со связками разной мощности (но не менее 3) и с • атрибутами “п р о и з в е д е н и е _” и “с о м н о ж и т е л ь _” (последний атрибут может задаваться по умолчанию);

“с т е п е н ь ” – классическое тернарное отношение с атрибутами “к о р е н ь _” (основание степени), • “л о г а р и ф м _” (показатель степени), “с т е п е н ь _” (результат возведения в степень);

“ф а к т о р и а л ” – классическое бинарное отношение с атрибутами “ф а к т о р и а л _” и • “о с н о в а н и е _” ;

“s i n ” – классическое бинарное отношение с атрибутами “s i n _” и “a r c s i n _” ;

• “c o s ” – классическое бинарное отношение с атрибутами “c o s _” и “a r c c o s _” ;

• “t g ” – классическое бинарное отношение с атрибутами “t g _” и “a r c t g _” ;

• “c t g ” – классическое бинарное отношение с атрибутами “c t g _” и “a r c c t g _”.

• П р и м е ч а н и е. Следует четко отличать числовые отношения и действия, направленные на вычисление неизвест ных чисел, связанных указанными отношениями между собой и с известными числами. В частности, элементарным таким действием является вычисление неизвестного числа, для которого существует кортеж одного из указанных отношений, связывающий вычисляемое число только с известными числами. При этом одному отношению может соответствовать несколько таких действий. Например, отношению “с л о ж е н и е ” соответствуют действие сложе ния и действие вычитания, отношению “с т е п е н ь ” – действие вычисления корня, действие вычисления лога рифма, действие возведения в степень.

Рассмотрим возможные варианты изображения кортежей для некоторых из перечисленных отношений, вводя для их записи в язык SCBs новые разделители (см. scb-тексты 3.3.14.1 – 3.3.14.8) и новые виды сложных scb-идентификаторов.

178 Раздел 1. Представление основных математических структур на языке SCB S C B - т е к с т 3. 3. 1 4. 1. Варианты изображения отношения нестрогого порядка чисел порядок чисел порядок чисел ( меньше или равно_ : x, больше или равно_ : у ) ;

меньше или равно_ больше или равно_ xy;

/* или y x ;

*/ /* Здесь введены новые разделители y x “ ” и “ ”, обозначающие неиденти фицируемую связку отношения “п о р я д о к ч и с е л ” */ S C B - т е к с т 3. 3. 1 4. 2. Варианты изображения отношения строгого порядка чисел строгий порядок чисел ( меньше_ : x, больше_ : у ) ;

строгий порядок чисел меньше_ больше_ xy;

/* или y x ;

*/ /* Здесь введены новые разделители y “ ” и “ ”, обозначающие неиденти- x фицируемую связку отношения “ с т р о г и й п о р я д о к ч и с е л ” */ S C B - т е к с т 3. 3. 1 4. 3. Варианты изображения отношения арифметического отрицания арифметическое отрицание { x, у };

арифметическое отрицание x=( y ) ;

/* или y = ( x ) ;

*/ y x /* Сложный идентификатор вида ( y) обозначает число, являющееся результа том арифметического отрицания числа x */ SCB-текст 3. 3. 1 4. 4. Варианты изображения отношения арифметического сложения и вычитания сложение ( x, у, сумма_ : z ) ;

сложение сумма_ z = ( x +y );

/* или z = ( y + x ) ;

*/ y z x /* Сложный идентификатор вида ( y + x ) обозначает число, являющее x у ся результатом сложения чисел и */ x = ( z - y) ;

y = ( z - x ) ;

*/ /* или /* Сложный идентификатор вида ( z - y ) обозначает число, являющееся результатом вычитания числа у из z - x ) */ – уменьшаемым. Аналогично – ( z. При этом число у z числа называют вычитаемым, а число 180 Раздел 1. Представление основных математических структур на языке SCB SCB-текст 3. 3. 1 4. 5. Варианты изображения отношения арифметического умножения и деления умножение ( x, у, произведение_ : z ) ;

умножение произведение_ y z = ( x • y) ;

z x /* или z = ( y • x ) ;

*/ /* Сложный идентификатор вида ( y • x ) обозначает число, являющееся результатом умножения чисел x и у */ x = ( z / y) ;

/* или y = ( z / x ) ;

*/ /* Сложный идентификатор вида ( z / y ) обозначает число, являющееся результатом деления числа z на z / x ) */ – делителем. Аналогично – ( y z у число. При этом число называют делимым, а число S C B - т е к с т 3. 3. 1 4. 6. Варианты изображения отношения “ с т е п е н ь ” степень :a, ( корень_ логарифм_ : n, степень_ : z ) ;

степень корень_ z = ( a n) ;

степень_ /* логарифм_ Сложный идентификатор вида ( a n) обозначает число, являющееся результатом возведения числа a в n-ую z a n степень. При этом число a называют ос нованием степени, число n – показателем степени, а число z – степенью. В матема тической литературе рассматриваемый n сложный идентификатор имеет вид a.

*/ a = ( n z );

/* Сложный идентификатор вида ( a n ) обозначает число, являющееся результатом извлечения корня n-ой степени из числа z. При этом число z называют подкоренным числом, число n – показателем корня, а число a– n корнем. В математической литературе рассматриваемый сложный идентификатор имеет вид z. */ n = log ( a, z ) ;

/* Сложный идентификатор вида log ( a, z ) обозначает число, являющееся результатом взятия логарифма числа z по снованию a. При этом число a называют основанием логарифма, число z – логарифмируемым числом, а число n – логарифмом. В математической литературе рассматриваемый сложный идентификатор имеет вид l o g a z. */ 182 Раздел 1. Представление основных математических структур на языке SCB S C B - т е к с т 3. 3. 1 4. 7. Варианты изображения отношения “ ф а к т о р и а л ” факториал ( основание_ : x, факториал_ : y ) ;

факториал основание_ факториал_ y = ( x!) ;

/* Сложный идентификатор вида ( x! ) y x обозначает число, являющееся результа том вычисления факториала от числа x.

*/ S C B - т е к с т 3. 3. 1 4. 8. Варианты изображения отношения “ s i n ” sin ( arcsin_ : x, sin_ : y ) ;

sin arcsin_ sin_ y = sin ( x) ;



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 14 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.