авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации УДК 51-74; 691:342; 691.327; 666.972.7 ГРНТИ 27.35.30, 28.17.23, 67.09.55 Инв. № ...»

-- [ Страница 2 ] --

При формировании КО и функционала качества КМ основным методологическим принципом является системный подход к оценке возможных решений. Сущность системного подхода заключается в том, что целесообразность тех или иных изменений объекта опреде ляется с учётом его взаимосвязей, исходя из интересов системы, составной частью которой является рассматриваемый объект.

Для оценки качества РЗКМ и управляющих воздействий в виде рецепту ры и технологии были построены и иссле дованы несколько функционалов качества.

1 вид – Ф1. Классический функцио нал. Вводится функция потерь F a, x, y, характеризующая величину отклонения ответа модели a x от правильного ответа y на произвольном объекте x X. Функция потерь отыскивается в виде F a, x, y = a x y. Функционал качества, характе ризующий среднюю ошибку a на произ Рисунок 3.20 – Функция качества вида Ф вольной выборке X m :

Q a, X m 1m F a, xi, yi. (3.6) m i В этой связи для оценки качества РЗКМ был использован функционал:

1 1 f i 2 f i 3 Ci.

Графическое отображение функционала представлено на рисунок 3.20. Для анализа функций использовалась среда MathCad, v14.

Из рисунка 3.20 видно, что функционал Ф1 помимо экстремума в середине области эксперимента имеет экстремальные значения на одном из краев области, что делает его не пригодным для использования в качестве функции качества РЗКМ, т.к. изначально область планирования эксперимента выбиралась таким образом, чтобы экстремумы уравнений ре грессий и моделей свойств лежали внут ри области планирования.

2 вид – Ф2. Функционал выби рался в виде:

1 f i 3 Ci.

2 f i Графическое отображение функ ционала представлено на рисунке 3.21.

Из рисунка 3.21 видно, что функционал Ф2 имеет ярко выраженный экстремум на одном из краев области, что делает его также непригодным для использова ния в качестве функции качества РЗКМ.

3 вид – Ф3. Функционал выби Рисунок 3.21 – Функция качества рался в виде:

вида Ф 1 f i 5 3 Ci.

3 i Графическое отображение функ f ционала представлено на рисунке 3.22. Из рисунка 3.22 видно, что функционал Ф помимо экстремума в середине области эксперимента имеет экстремальные зна чения на одном из краев области, что де лает его также непригодным для исполь зования в качестве функции качества РЗКМ.

4 вид – Ф4. В основу построения функционала была положена идея о том, что свойства РЗКМ, объединенные в группы А и С при своем увеличении вы зывают увеличение качества всей систе мы, а свойства, объединенные в группу В – снижение качества системы. Поэтому Рисунок 3.22 – Функция качества вида Ф функционал Ф4 было решено отыскивать а виде сложной дробно-рациональной функции, где в числителе находятся функции свойств групп А и С, а в знаменателе – функ f ции свойств группы В. Функционал принимался в виде:

1 f i 3 Ci.

2 f i Графическое отображение функ ционала представлено на рисунке 3.23.

Из рисунка 3.23 видно, что функционал вида Ф4 имеет ярко выраженный экс тремум в внутри области планирования эксперимента, что доказывает правиль ность предпосылок о выборе вида функционала качества.

Дальнейшее исследование функ ционала Ф4 на экстремум при заданных ограничениях позволило определить область в факторном пространстве, со ответствующую наилучшим значениям показателей основных физико механических и эксплуатационных свойств РЗКМ. Рисунок 3.23 – Функция качества вида Указанный подход позволяет Ф сформулировать следующий алгоритм синтеза композиционных материалов с регулируемыми структурой и свойствами для защиты от радиации:

1. Техническая постановка задачи и выбор технического критерия оптимизации.

2. На основе технической постановки задачи строится математическая модель объекта управления в форме системы операторных уравнений (дифференциальных, интегральных, разностных, дифференциально-разностных, дифференциально-интегральных и т.д.). Далее делается оценка области применения математических моделей. Здесь же выбираются компо ненты вектора управления, параметры системы и возмущения, устанавливаются фазовые ко ординаты. При разработке оптимальных систем указываются ограничения на компоненты f вектора управления и фазовые координаты. Так, ограничения на фазовые координаты могут дать принадлежность вектора состояния некоторому замкнутому множеству точек n-мерного пространства. Они могут определять прочность, жесткость объекта и т.д. Здесь же указыва ются ограничения на вектор управления (например, энергопотребление).

На этом же этапе определяются начальные или краевые условия, осуществляется вы бор критерия для оценки качества управления.

3. В предположении полной формализации задачи выбирается метод оптимизации.

Как правило, предполагается задание математической модели объекта применительно к вы бранному методу на его языке. Однако не исключается, когда модель подгоняется под вы бранный метод оптимизации. Например, по системе дифференциальных уравнений линейно го объекта может быть построен соответствующий функционал качества на основе корней характеристического полинома.

4. Выбор численных методов, реализующих метод оптимизации: методов решения си стем дифференциальных уравнений, определения значений функционала качества и т.д.

5. Разработка и отладка программ для решения задачи оптимизации на ЭВМ, не ис ключая корректировку численных методов для повышения точности и вычислительной эф фективности алгоритма.

6. Анализ полученных результатов оптимизации с возможной корректировкой и упрощением, как всей математической задачи, так и отдельных ее элементов. Результаты решения математической задачи являются исходной информацией для уточнения формули ровки технической задачи, и итерационный процесс может повторяться до достижения за данной точности.

Указанная последовательность может использоваться при синтезе КМ из условий по лучения требуемых кинетических процессов формирования физико-химических характери стик материалов (плотность, прочность, твердость, параметры тепловыделения, химическая и радиационная стойкость и т.д.), а также из условий максимизации функции качества РЗКМ.

3.2 Математическое моделирование объектов с распределёнными пара метрами В настоящее время нет необходимости обосновывать целесообразность тщательного планирования действий при проведении экспериментальных исследований в области мате риаловедения. При этом под "планированием" понимается решение таких задач, как оцени вание свойств вариантов проведения экспериментов, которые различаются числом испыта ний, условиями, порядком проведения действий, способами обработки данных и т.п.;

пред видение всех возможных исходов;

однозначное указание на то, как будут интерпретировать ся результаты в конкретной предметной области (параметры структуры, физико механические или эксплуатационные свойства и т.д.).

С математической точки зрения выделяются два основных аспекта содержания теории планирования эксперимента:

1. Получение точечных и интервальных оценок некоторых параметров и коэффициентов вероятностно-статистических моделей КМ.

2. Эффективное восстановление неизвестной функции нескольких переменных по экспе риментальным данным.

В проекте основное внимание будет уделяться второй задаче, существенными для ме тодологического понимания которой являются следующие моменты:

а) исходные данные представляются вектором экспериментальных значений Y, т.е. пред полагается, что на дискретные отсчеты искомой функции наложены случайные шумы и по грешности, природа которых может иметь самый разнообразный характер;

б) требуется выбрать узлы аппроксимации (интерполяции) многомерной функции таким образом, чтобы оценить параметры некоторой выбранной модели (функции);

в) требуется обеспечить устойчивость решения и адекватность модели реальному объекту – РЗКМ.

Сформулированная задача неоднозначна, так как на одном и том же наборе данных можно построить целый ряд моделей с различными формами представления и по различным критериям. Следовательно, при планировании необходимо иметь как наборы моделей, так и соответствующие критерии по их выбору.

Кроме того, задача носит ярко выраженный вероятностный характер даже в том слу чае, если она решается как детерминированная задача интерполяции, поскольку вектор Y является случайной величиной, и сама искомая функция неизвестна. Очевидно, что более ценным представляется решение в вероятностно-статистическом смысле, где требуется ре шить задачи эффективного сглаживания данных, получения статистически устойчивых ре шений, оценки уровня значимости полученного результата.

С познавательной точки зрения указанная задача приводит к получению модели КМ, которая в дальнейшем может быть использована для описательных целей, для оптимизации или прогнозирования поведения. Естественно, что это требует привлечения методологии теории моделирования и методов, которые используются при моделировании систем.

Предметная область, связанная с экспериментальным исследованием новых КМ, накладывает определенную специфику на решение рассматриваемой задачи. Первое, что усложняет задачу, связано с невозможностью использования известных из теории оптималь ных планов из-за наличия большого числа ограничений самого разнообразного характера.

Эти ограничения, были внимательно изучены, интерпретированы на языке математики и нашли свое отражение при разработке планов экспериментального исследования характери стик КМ. Второе обстоятельство, которое "упрощает" решение задачи, связано с оценкой по грешностей и функции влияния на фоне доминирующего фактора (номинальной статистиче ской характеристики преобразования). К точности оценок указанных характеристик предъ являются относительно не жесткие требования, что делает приемлемым использование таких методов аппроксимации, которые в широкой практике редко используются из-за "больших" погрешностей.

Следует также отметить, что при решении задач планирования эксперимента тради ционно (в довычислительную эпоху) существенное внимание уделялось упрощению алго ритмов обработки экспериментальных данных. Например, сглаживание и группировку дан ных стремились проводить на самых ранних этапах, применяли взаимообратные матрицы, акцентировали внимание на одной модели и т.п. Сейчас, в связи с развитием средств вычис лительной техники, многие из учитываемых ранее ограничений перестали быть актуальны ми, появилась возможность исследования на более широком фронте с большим числом сте пеней свободы, просмотра большего числа полиативных вариантов.

3.2.1 Разработка методологических основ построения моделей КМ по экспериментальным данным, процедуры построения моделей и методология выбора моделей при планировании эксперимента В теории планирования экспериментов существует обобщенная схема построения мо делей, которая может быть использована и для исследования характеристик КМ (рисунок 3.24). Эта блок-схема, объединенная наиболее существенными связями, состоит из ряда вза имообусловленных этапов-процедур. Рассмотрим коротко их содержание в терминах, кото рые используются в теории планирования эксперимента и измерительной технике [32, 33].

Рисунок 3.24 – Обобщенная схема построения математических моделей КМ Формулировка цели исследования – этап, суть которого должна быть, прежде всего, определена в терминах предметной области, а затем формализована на языке математики.

Существенным является, с какой целью проводится исследование, какие конкретно практические задачи решаются. Здесь возможны различные варианты:

а) задачи исследовательского и оптимизационного характера, возникающие на этапе про ектирования КМ;

б) задачи определения основных характеристик КМ;

в) задачи коррекции погрешностей изготовления КМ;

г) задачи идентификации КМ по характерным свойствам;

д) задачи оценки характеристик КМ в условиях воздействия не известных ранее факто ров.

Все перечисленные задачи имеют свою специфику, отражаемую в ограничениях и технических требованиях.

Целью исследования свойств КМ является:

а) построение реальной статической характеристики преобразования (функции преобра зования);

б) построение функции влияния внешних дестабилизирующих факторов на погрешности преобразования;

в) получение оценок погрешностей.

Перечисленные цели уточняются в зависимости от того, какие характеристики и по грешности интересуют исследователя: погрешности образца, либо погрешности совокупно сти, объединяемые понятием "тип КМ".

В формулировке целей могут присутствовать и количественные характеристики, свя занные с требованиями достоверности получаемых сведений о погрешностях. Например, мо гут быть указаны доверительные интервалы и соответствующие доверительные вероятности.

С формальной, математической точки зрения на этапе формулирования целей иссле дования удобно пользоваться кибернетическим подходом, беря за основу идею "черного ящика", т.е. идею построения модели мало или плохо изученных свойств реального объекта.

При этом входные независимые переменные x1, x2,..., xk воздействуют на каждую из выход ных зависимостей 1, 2, … m, и существует вполне определенная связь (гипотеза) между уровнями входных переменных объекта и значениями выходных переменных. Указанная связь может быть описана функциями q q(x1, x2,..., xk ), (1.1) где q 1, m, m - число выходных зависимых переменных;

– функция отклика.

Таким образом, математическая задача сводится к восстановлению k-мерной функции по ее дискретным отсчетам, поскольку эксперимент дает нам лишь конкретные числа.

В качестве независимых входных переменных могут выступать как влияющие факто ры (температура, давление прессования, концентрации веществ и т.п.), так и сама естествен ная входная величина. Единственным требованием является то, что в процессе эксперимента они должны быть установлены или измерены с определенной точностью.

Здесь важно также выделить специфику средств измерений как объекта исследований, для которых характерна одна выходная величина и может быть много выходных независи мых переменных. Но возможна и обратная ситуация, когда физически имеется ряд выходных величин, но искомой является лишь одна функция отклика. Примером первой ситуации яв ляется случай определения составляющих погрешности образца КМ (аддитивных, мульти пликативных, случайных и т. п.). При этом по экспериментальным отсчетам выходной вели чины вычисляются отсчеты исследуемых составляющих погрешности, для каждой из кото рых определяется функция отклика. Обратная ситуация типична при определении реальной характеристики преобразования совокупности свойств КМ, когда значения выходных вели чин заданном наборе входных независимых переменных xi интерпретируются как результаты дублирования опытов.

Этап выбора вида модели является центральным во всей рассматриваемой структуре – он определяет качество решения задачи исследования характеристик КМ. Выбор модели зависит от целей исследования и опирается на анализ ограничений и всевозможных априор ных сведений об объекте исследования, которые делают "черный ящик" более прозрачным – "серым".

Выбор вида модели предполагает решение трех задач:

а) выбор отклика (информативной входной переменной);

б) выбор факторов, учитываемых в модели;

в) собственно выбор вида математической модели.

При выборе отклика необходимо учитывать следующие соображения:

1. Отклик должен быть единственным. Выполнение этого требования обеспечивает по строение по результатам исследований независимой модели для каждой составляющей по грешности.

2. Отклик должен быть однозначным в статистическом смысле и выражаться одним чис лом. Это требование выполняется, когда случайные составляющие погрешности пренебре жимо малы [34, 35], а также когда в качестве отклика рассматриваются характеристики по грешности или функции влияния и когда применяются обоснованные способы обработки [36].

3. Отклик должен обуславливать выбор наиболее простой модели. Выполнение этого тре бования зависит от объекта и достоверности априорной информации о свойствах КМ.

4 Отклик должен обеспечивать условия применимости тех или иных математических ме тодов при обработке результатов эксперимента. Например, при широко применяемом ре грессионном анализе предполагается, что шумы носят аддитивный характер, и их дисперсия постоянна во всех точках области планирования. Если случайные погрешности носят муль типликативный характер и определяется реальная функция преобразования ( x1, x2,..., xk ), то данное требование не выполняется, и применение регрессионного анализа не корректно.

Но эту сложность можно обойти, если рассматривать не абсолютные, а относительные по грешности, т.е. форма представления существенно влияет на корректность использования тех или иных математических методов обработки результатов.

5. Отклик должен обеспечивать возможность усреднения результатов без возникновения систематических смещений.

Выбор факторов, учитываемых в модели, представляет собой достаточно сложную за дачу. В связи с чем кратко перечислим лишь те значимые моменты, которые следует прини мать во внимание при выборе факторов в задачах исследования погрешностей определения свойств РЗКМ.

1. Необходимо выбрать лишь те факторы, которые существенным образом влияют на ис следуемые характеристики. Такой выбор можно осуществить, опираясь на априорные сведе ния, полученные из теории, в результате испытания аналогов или по результатам предвари тельных однофакторных испытаний исследуемого объекта.

2. Факторы должны быть измеряемыми и управляемыми, т.е. должны допускать установ ку их определенных значений.

3. Совокупность факторов должна быть по возможности технически совместимой, т.е.

допускать воспроизведение дестабилизирующих факторов с помощью специальных устройств.

4. Точность воспроизведения уровней факторов должна быть значительно выше, чем точ ность измерения отклика [37]. Несоблюдение этого требования не позволяет использовать методы построения моделей, которые применяются в теории планирования эксперимента.

Собственно выбор вида математической модели предполагает определение функций, в классе которых решается задача аппроксимации функции отклика. Для успешного решения этой задачи необходимо иметь набор базовых математических моделей и способов аппрок симации с изученными свойствами, зная которые можно обоснованно принимать решения о выборе той или иной модели.

Этап выбора плана эксперимента предполагает формирование матрицы плана (либо матрицы спектра плана), выбор схемы дублирования опытов, выбор числа повторения опы тов и рандомизацию плана эксперимента. При этом определяющей потенциальные свойства плана является первая из названных процедур.

В теории планирования экспериментов при выборе плана эксперимента основопола гающим принимается "принцип оптимального планирования" [38], в соответствии с которым план эксперимента должен обладать некоторыми оптимальными свойствами с точки зрения определенного, заранее выбранного критерия оптимальности плана или совокупности по добных критериев. Критерии оптимальности могут формулироваться по-разному, но незави симо от этого они в той или иной форме отражают интуитивные представления специали стов-экспериментаторов о хорошем плане. При этом по умолчанию преследуется идея эко номизации, т.е. достижения высококачественных результатов по точности восстановления функции отклика за меньшее число опытов.

В настоящее время разработано большое количество оптимизированных спектров планов [39–42], которые позволяют определять параметры самых разнообразных функций откликов (моделей) из класса полиномиальных функций. Для этих спектров планов известны оценки точности получения коэффициентов и значения ряда критериев оптимальности. Вме сте с тем, как нетрудно показать, используя один и тот же спектр плана (но не любой произ вольный), можно на одном и том же наборе экспериментальных данных построить разнооб разные модели функции отклика – "пучок моделей". Это свойство спектров планов следует отметить особо и выделить как практически полезный критерий при выборе планов в аль тернативных ситуациях.

Проведение эксперимента следует рассматривать как комплексный этап, включаю щий в себя собственно проведение опытов согласно реализуемому плану эксперимента, предварительный анализ и редактирование получаемых данных, а также при необходимости повтор опытов в "сомнительных" точках.

Общим правилом считается, что эксперимент должен проводиться тщательно и скру пулезно, что полностью относится и к многофакторным экспериментам.

Этап обработки результатов эксперимента. Смысловое содержание данного этапа определяется на этапах выбора модели и планирования эксперимента. На этом этапе лишь реализуются процедуры по расчету и оцениванию значимости параметров выбранных моде лей.

Проверка адекватности модели в теории планирования эксперимента по сути дела сводится к определению остаточной дисперсии или дисперсии адекватности, которая опре деляется по формуле:

(Yi Yim ) Dад (3.7) nl i где Yi – значения отклика, полученные из эксперимента в i-той точке области планирования;

Yim– соответствующие отсчеты, полученные по модели со статистически значимыми пара метрами;

n – число опытов (строк) спектра плана, l – число значимых параметров.

Неудобство оценки (3.7) состоит в том, что она зависит от числа параметров модели, поэтому ее принято относить на один "свободный" опыт и оценивать адекватность по крите рию Фишера [43].

Подобный подход, очевидно, является условным, следствием определенного согла шения, которое не всегда удовлетворяет серьезных исследователей. Действительно, лучше критерия, чем практика, трудно придумать, и только на практике можно точно оценить адек ватность модели. Последнее означает, что необходимо проведение дополнительных опытов и желательно в точках, не совпадающих с точками спектра плана для проверки адекватности модели и оценки ее предсказательных свойств.

Компромиссом может служить метод самоорганизации модели в его наиболее распро страненной форме, называемой критерием минимума смещения [44]:

(Yma Ymb ) i i K см i Y 2i i где Yma и Ymb – выходные величины моделей, оценки коэффициентов которых получены по выборкам Л и В. Сравнение по критерию Ксы двух конкурирующих моделей не дает одно значного выбора, но позволяет достаточно уверенно делать вывод о качестве моделирования при использовании модели одного типа.

Если модель оценена как формально адекватная, на этапе интерпретации решается аналогичная задача, но в терминах композиционного материаловедения. В противном случае повторяются этапы 1, 2 и 4 (см. рисунок 3.24): пересматриваются и уточняются цели, осу ществляется поиск более удобных и "гибких" моделей, корректируются или дополняются спектры эксперимента.

Классификация моделей Поставленный вопрос следует рассматривать с двух точек зрения. Во-первых, с точки зрения измерительной техники и теории измерений, где при моделировании погрешностей средств измерения (СИ) важнейшим является механизм проявления и влияния тех или иных факторов и самой преобразуемой величины на погрешность преобразования. Во-вторых, с точки зрения теории планирования эксперимента и теории моделирования систем, где нара ботана своя методология, результаты которой следует применить к исследованию средств измерений свойств КМ.

В измерительной технике вопрос представления погрешностей в виде формул (мате матических моделей) является центральным. Существует много мнений по поводу того, как и каким образом осуществляется композиция погрешностей, обусловленных наличием раз нообразных влияющих факторов (источников погрешности) [45–47].

Большинство исследователей при моделировании статических погрешностей опира ются на следующие гипотезы [48]:

1. Характерные составляющие погрешностей являются независимыми.

2. Функции влияния (в том числе функциональные зависимости погрешностей от уровней входной величины) являются независимыми.

3. Погрешности отдельных элементарных преобразователей (блоков и каналов) являются независимыми составляющими погрешностей (многоблочных) измерительных систем.

4. Функциональные зависимости систематических погрешностей отдельных блоков от уровней входной величины и влияющих факторов являются линейными.

Как рабочие гипотезы, перечисленные предположения имеют достаточно узкую об ласть применения, где их можно логически обосновать, но для построения простых моделей первого приближения они оказываются конструктивными и плодотворными. В соответствии со сказанным используется следующая макромодель погрешности:

c доп доп, – основная случайная погрешность, доп где с – основная систематическая погрешность, – дополнительная погрешность от дестабилизирующих факторов, доп – дополнительная случайная погрешность.

Основная систематическая погрешность с, если ее интерпретировать как детермини рованную составляющую (при фиксированных xbx и значениях факторов x1...xk ), может быть представлена моделью c x ( xвх ) ci ( xi ) cij ( xi, x j ), (3.8) i i j где x ( xвх ) A0 A1 xвх A2 xвх Aвх x – реальная функция влияния входной величины Хвх, опи 2 сывающая по сути дела погрешность нуля А0, погрешность чувствительности А1 и погреш ность нелинейности А2 и А3 (полином третьей степени задается согласно ГОСТ 8.009-84);

ci ( xi ) – совокупность функций влияния внешних дестабилизирующих факторов;

cij ( xi, x j ) – совокупность функций совместного влияния.

Модель (3.8), очевидно, может быть использована в исследовательских целях для ми нимизации погрешностей измерительной аппаратуры или для целей коррекции погрешно x, ci cij.

стей в процессе проведения натурного эксперимента по известным и Относительно основной случайной погрешности принимается гипотеза о том, что она имеет нулевое математическое ожидание. Размер погрешности оценивается ее дисперси ей, для которой используется модель:

D{} D( xвх ) Di ( xi ) Dij ( xi, x j ) (3.9) i i j где D( xвх ) – функция дисперсии в зависимости от входной величины, Di ( xi ) – совокупность функций влияния факторов на дисперсию, Dij ( xi, x j ) – совокупность функций совместного влияния на дисперсию пар факторов. Данная модель строится из предположения о независи мости компонент.

Систематическая дополнительная погрешность доп, если продолжить ту же логику, может быть представлена моделью доп дi ( xвх, xi ) дij ( xi, x j ), i i j где дi ( xвх, xi ) – совокупность функций совместного влияния входной величины и деста билизирующих факторов, дij ( xi, x j ) – совокупность функций совместного влияния де стабилизирующих факторов.

По аналогии с (3.9) строится модель и для оценки дополнительной случайной по грешности:

D{ доп} Dдi ( xвх, xi ) Dдij ( xi, x j ), i i j которая не требует пояснений.

Во всех приведенных моделях, в общем случае, вид функций влияния не определен. В законодательной метрологии [33, 34] имеются указания рекомендательного характера о том, что эти функции должны быть линейными (за исключением k). Фактически в большинстве случаев функции влияния носят явно нелинейный характер. Вот почему следует обратиться к опыту теории планирования эксперимента и теории моделирования систем, т.е. абстрагиро ваться от описанных выше моделей, которые хороши для исследовательских целей, и рас сматривать задачу с позиции "черного ящика", но имея ввиду применимость перечисленных теорий к решению задачи исследования свойств КМ.

Математическая модель объекта исследования это определенная фраза на языке математики, содержательно отражающая те или иные свойства изучаемого объекта, в част ности структуру и количественные связи, его характеризующие [38]. Если смотреть на моде лирование прагматически, то нельзя не согласиться с тем, что основной целью, с которой строятся модели, является предсказание свойств объекта в тех точках области исследования, которые не попали в экспериментальные данные. Такие модели в силу интерполяционного характера задачи и наличия шумов в экспериментальных данных носят вероятностно статистический характер. По ним нельзя предсказать точное значение отклика в каждом опыте, но с помощью соответствующей статистической модели можно указать, вокруг како го центра будут группироваться значения отклика при данном сочетании значений факторов и какова будет степень разброса.

Математические модели можно разделить на две большие группы по способу исполь зования исходных данных для определения функции отклика.

К первой группе относятся модели, которые условно можно назвать модели численно аппроксимирующего типа. В этих моделях для вычисления значений функции отклика Y при координатах факторов x всякий раз требуется использовать информацию о значениях узлов xi и откликов Yi, получаемых соответственно из спектра плана и эксперимента, т.е.

Y fa ( xi, Yi, x).

Подобные модели, очевидно, предполагают сложные вычисления, но они являются реальной альтернативой тем методам моделирования, которые используются в теории пла нирования эксперимента. По смысловому содержанию рассматриваемые модели, по сути, представляют собой известные в численных методах математики формулы интерполяции и аппроксимации функций по дискретным отсчетам.

Вторая группа представляет параметрические модели Y fп (, x), (3.10) где – вектор параметров модели, которые вычисляются по значениям xi и Yi, т.е.

m ( xi, Yi ).

В этом случае сложные вычисления по определению выполняются один раз при построении модели, и в дальнейшем работа по прогнозированию, оценке параметров и т.п.

ведется с помощью относительно простой формулы (модели) (3.10).

В свою очередь параметрические модели из-за их разнообразия можно классифициро вать по двум признакам:

1. По виду процедур получения параметров модели разделяются на параметрические мо дели прямого расчета, композиционные параметрические модели и алгоритмические (самонастраивающиеся) модели.

2. По виду (форме) представления функции воздействия факторов модели разделяются на аддитивные, мультипликативные и рационального вида.

Поясним подробнее содержание и смысл каждого из названных подклассов парамет рических моделей.

Процедура получения параметрических моделей прямого расчета поясняется рисун ком 3.25, где по данным эксперимента для "пучка моделей" осуществляется расчет парамет ров, а затем из ряда моделей выбирается одна рабочая модель.

Композиционные параметрические модели строятся в два этапа (рисунок 3.26). Сна чала, как и для простых параметрических моделей, осуществляется прямой расчет парамет ров модели и оценка качества модели, включающая сравнение данных прогнозирования по модели с экспериментальными данными. Если качество модели оказывается неудовлетвори тельным, то производится уточнение модели с привлечением дополнительных эксперимен тальных данных. Для построения таких моделей используются специальные композицион ные планы эксперимента [38], в спектры планов которых в качестве составной части входят точки спектра плана, реализованного при построении более простой модели. При этом оче видно, в использованных точках спектра плана нет необходимости проводить опыты еще раз, чем достигается экономия количества опытов. Композиционность плана есть важное условие эффективности практической реализации принципа постепенного усложнения моде лей.

При построении алгоритмических (самонастраивающихся) моделей используется не сколько иной подход. На первом этапе (рисунок 3.27) осуществляется задание класса моде лей (функций), в котором строится искомая модель. Далее осуществляется выбор суще ственных параметров модели и их расчет на основе экспериментальных данных. При неудо влетворительной оценке качества модели задаются другие параметры, и цикл расчета пара метров повторяется. Следует отметить, что при построении алгоритмических моделей реали зуются специальные методы целенаправленного перебора моделей для выявления наилуч шей по каким-либо критериям [49].

По виду представления функции взаимодействия факторов наибольшее распростра нение получили аддитивные модели (или регрессионные модели, линейные по параметрам) [38]:

d Y i f i ( x) F T, (3.11) i где F f0 ( x), f1 ( x),... f d ( x) – вектор-строка базисных функций факторов, не зависящих T от параметров модели, T 0, 1,..., d вектор параметров модели. Подобные модели можно интерпретировать как разложение неизвестной функции отклика в ряд по некоторой системе базисных функций.

Рисунок 3.25 – Схема получения параметрической модели прямого расчета Рисунок 3.26 – Схема получения композиционной параметрической модели Рисунок 3.27 – Схема получения алгоритмической параметрической модели Наиболее часто в качестве базисных функций используются:

а) системы ортогональных полиномов того или иного класса (полиномов Чебышева, Эр мита, Лежандра и т.п.);

б) тригонометрические функции:

f0 ( x) 1, f1 ( x) cos 1 ( x),... f n ( x) cos n ( x);

f n 1 ( x) sin 1 ( x), f 2 n ( x) sin n ( x);

частным случаем которых является разложение в ряд Фурье, ряды Виленкина-Крестенсона и т.п.;

в) полиномиальные функции:

k d i x j, f i ( x1, x2,..., xk ) ij i 0 j где каждое слагаемое можно представить в виде одночлена x11 x22...xkk, в котором a1, a2, …, ak – степени переменных, принимающие значения из множества неот рицательных целых чисел.

Достоинством аддитивных моделей (3.11) является то, что для их построения можно использовать хорошо разработанные методы линейной алгебры, которые позволяют полу чать устойчивые решения.

Для мультипликативных моделей функцию взаимодействия факторов в общем виде можно представить в следующей форме:

k f Y ( xi ). (3.12) mi i В данном случае осуществляется искусственное расщепление функций влияния раз личных факторов. Подобный прием применяется в измерительной технике в виде поправоч ных коэффициентов, учитывающих дополнительные погрешности. Например, приняв в каче стве f mi ( xi ) степенные многочлены, согласно (3.12) и (3.8), модель функции преобразова ния можно представить в следующем виде:

m Y ( A0 A1 xвх A2 xвх A3 xвх ) ( 0i 1i xi ).

2 i Рассматриваемая модель обладает следующими очевидными свойствами:

а) соответствует форме представления, заданной нормативной метрологией;

б) позволяет представлять результат в более компактной форме по сравнению с аддитив ными моделями;

в) каждый из сомножителей может быть точно определен с точностью до некоторой кон станты по результатам однофакторных испытаний;

г) показывает, при каких условиях нужно вести калибровку и настройку СИ;

д) позволяет достаточно просто определить предельные точностные характеристики.

В качестве главного негативного свойства мультипликативных моделей следует отме тить ее жесткость, невозможность моделировать влияние факторов на аддитивные и нели нейные параметры функции отклика. Следовательно, основной областью применения муль типликативных моделей являются случаи, когда влияющие факторы вызывают существен ные мультипликативные погрешности.

Альтернативой аддитивным и мультипликативным моделям служат модели в виде рациональных и дробно-рациональных функций. Интерес к ним и выделение их в от дельный подкласс связано с тем, что, как показывает практика анализа погрешностей изме рения эксплуатационных свойств КМ, поведение погрешностей часто описывается рацио нальными функциями. Это видно из простейшего примера функции преобразования некото рого измерительного прибора:

x Y S, xоп где S – чувствительность, xоп – опорная величина (мера). Если значение меры зависит от вли яющих факторов, то функция преобразования будет рациональной:

x Y S, 1 f ( x) xоп где X – вектор влияющих факторов.

Методология выбора моделей при планировании эксперимента. Вопросы методо логии моделирования систем по экспериментальным данным, куда естественно входят и ас пекты выбора моделей, подробно рассмотрены в работе Ивахненко и Юрачковского [44].

Однако в настоящей работе предпринимается попытка создания математического аппарата моделирования РЗКМ по экспериментальным данным, рассматривая композит – как слож ную техническую систему, но с учетом специфики, связанной, с задачей планирования экс перимента и использования рациональных функций для моделирования параметров структу ры и свойств РЗКМ.

Создание адекватных математических моделей по экспериментальным данным прак тически во всех случаях представляется искусством, где успех во многом предопределяется опытом и интуицией разработчика. При этом существует два подхода (способа) к выбору моделей. Первый способ предполагает использование интерактивных (человеко-машинных) алгоритмов, таких, как метод экспертных оценок, диалоговый режим человек-машина, со временный субъективный (системный) анализ, где множество переменных, уравнения эле ментов и границы изменения аргументов назначает модельер независимо от информацион ных свойств выборки данных наблюдений и априорных сведений об изучаемом объекте.

Второй способ предусматривает применение самоорганизующихся моделей, что не отменяет экспертов и модельеров, не уводит их от ЭВМ, а отводит им особое место: они лишь указы вают критерии выбора весьма общего вида и интерпретируют модели, рекомендуемые ЭВМ как лучшие. И тот и другой способы, несмотря на их различия, по целому ряду процедур (или подзадач) совпадают. Общее, что объединяет данные подходы, заключается в необхо димости дать ответы на одни и те же вопросы, которые связаны с методикой и критериями выбора моделей. Вот эти вопросы:

1. С какими целями строится модель?

2. Какой сложности должна быть модель?

3. Какого типа должна быть модель – физически обусловленной или абстрактной?

4. Какие критерии использовать для отбора моделей-претендентов – внешние или внут ренние?

Рассмотрим, какие варианты ответов существуют для данных вопросов с учетом спе цифики теории планирования эксперимента при моделировании параметров структуры и свойств РЗКМ.

При ответе на первый вопрос в теории планирования эксперимента возможны два ос новных варианта:

1. Модель строится с целью получения информации об исследуемом объекте. В дальней шем она будет использоваться для предсказания его поведения при значениях влияющих факторов, которые не задавались (или не измерялись) в ходе эксперимента. Например, при аттестации средств измерений необходимо получить функцию влияния источников по грешностей. Проводится активный эксперимент, в ряде детерминированных точек задаются значения влияющих факторов (температуры, влажности и т.п.), по экспериментальным дан ным строится функция влияния, имея которую, и, зная статистические характеристики вли яющих факторов в реальных условиях эксплуатации, можно оценить в статистическом смысле параметры погрешностей средств измерений.

В рассматриваемом случае нет ограничений на вид модели, моделей может быть несколько и соответственно необходимо выбирать модели по каким-либо критериям.

2. Модель строится с целью оптимизации состояния объекта. При этом в качестве един ственной входной величины рассматривается критерий оптимальности (целевая функция), зависящий от входных параметров объекта. В этом случае целевая функция, по сути, заменя ет модель. Потребность в достаточно точной модели как бы отпадает, поскольку в итераци онной процедуре оптимизации модель предсказывает направление смещения области экспе римента в сторону оптимума, где производится сужение диапазона варьируемых параметров и экспериментальное уточнение положения оптимума.

Вопрос, касающийся сложности модели, представляется наиболее трудным. Доста точно перечислить лишь основные параметры, которые влияют и принимаются во внимание при оценке сложности модели:

- число влияющих факторов (входных независимых переменных);

- объем исходных данных;

- степень влияния шумов, наложенных на исходные данные.

Сложность модели обычно определяется числом отличных от нуля коэффициентов, подлежащих оцениванию по методу наименьших квадратов (p2). Но это определение весьма условно. Например, чем больше число и степень слагаемых полиномиальной модели, тем больше сложность ее структуры. С другой стороны, если истинная зависимость описывается, скажем, экспонентой, то достаточно определить, лишь три коэффициента.

Как показано в работе [49], при постепенном повышении сложности моделей, претен дующих на выбор, критерий р2 вначале уменьшается, проходит через минимум, а затем начинает увеличиваться. Минимум критерия определяет модель оптимальной структуры – в этом состоит принцип самоорганизации. Искать оптимальную модель в области переуслож ненных моделей уже бессмысленно.

При реализации полнофакторных экспериментов типа 2 число влияющих факторов k определяет максимальное число коэффициентов 2k, но получаемая в итоге модель может быть существенно проще из-за равенства нулю целого ряда коэффициентов.

Объем исходных экспериментальных данных, связанный как с числом учитываемых влияющих факторов, так и с числом повторных экспериментов, проводимых для повышения достоверности измерений, при увеличении позволяет строить более сложные и точные моде ли, поскольку имеется возможность уменьшить влияние случайных погрешностей за счет усреднения. Если же в эксперименте получаются слишком зашумленные данные, то тем проще получается модель оптимальной сложности.

В общем случае, и в связи с выбором моделей в виде рациональных функций, ставит ся вопрос о выборе типа моделей, максимально учитывающих априорные сведения об иссле дуемом объекте. Другими словами, данный вопрос можно представить как вопрос об эффек тивности использования априорных сведений об исследуемом объекте. В такой ситуации имеется две возможности: либо строить физически обусловленные модели, либо – абстракт ные математические модели, которые формально описывают свойства реальных объектов и никак не могут быть физически интерпретируемы.

Использование и, главным образом, создание физически обусловленных моделей это удел либо специалистов, либо группы ученых, которые, объединенные общей идеей, могут создать формальную (либо формализованную) модель на основе знания механизма работы описываемого объекта. Но чаще всего моделированием занимаются люди, для которых объ ект моделирования представляется с чисто внешней стороны и которые видят успех дела в скоротечном предсказании поведения объекта. В первом случае наиболее эффективно ис пользуются априорные сведения об объекте исследования, и не требуется получение боль шого числа экспериментальных данных. Второй случай, даже если он и использует теорию планирования эксперимента для минимизации затрат времени и средств, все равно требует большого объема экспериментальных данных.

Физически обусловленные модели:

- содержат полный информационный базис (все факторы);

- отражают механизм действия объекта наблюдения;

- обычно связывают мгновенные значения переменных (факторов);

- используют истинные опорную функцию и класс уравнений;

- содержат легко интерпретируемые (физически объяснимые) коэффициенты.

Абстрактные модели характеризуются тем, что:

- не обязательно содержат или учитывают все факторы — некоторые могут отсутствовать или заменяться другими, коррелированными с ними переменными;

- не отражают механизма действия объекта наблюдения;

- могут связывать одновременно мгновенные и усредненные значения факторов с различ ными интервалами усреднения;

- опорная функция, выражающая точную физическую закономерность, может быть ап проксимирована другой, достаточно сложной функцией;

- не поддаются простой интерпретации (физическому или логическому объяснению).

Области применения моделей различны. Физически обусловленные модели рекомен дуют использовать, во-первых, для точных кратковременных прогнозов и для познаватель ных целей, во-вторых, для различного качественного прогноза отдаленного будущего. Аб страктные модели лучше подходят для долгосрочного количественного прогнозирования процессов при помощи простых нефизических моделей.

Стоит отметить, что существуют две основных возможности выбора критериев, кото рые главным образом связаны с наличием того или иного объема исходных эксперименталь ных данных (или возможностью их получения). Первая альтернатива связана с использова нием внешних критериев, которые основаны на использовании некоторой дополнительной информации, например, на свежих данных, не учитывающихся при оценивании моделей.

Внешний критерий можно получить, например, если часть данных использовать только для сравнения между собой моделей-претендентов. Такой критерий называют критерием регу лярности.

Известны и другие внешние критерии, например, информационный критерий Аканке [50], критерий эмпирического риска Вапника [51]. Эти модели хороши при малых уровнях шумов в данных. Существует критерий непротиворечивости моделей [51]. Этот критерий требует, чтобы модель, которая получена по крайней мере по двум выборкам, давала бы на всех данных (т.е. на суммарной выборке) почти один и тот же результат идентификации или прогноза.

В тех случаях, когда сравнение моделей-претендентов ведется без привлечения по сторонней информации, имеет место использование внутренних критериев. Например, моде ли сравниваются на предмет обеспечения минимума среднеквадратической ошибки по от ношению к экспериментальным данным. По внутренним критериям "чем сложнее модель, тем она точнее".

Все перечисленные критерии имеют формализованные математические формы, кото рые рассмотрены в следующих подразделах.

3.2.2 Определение внутренних и внешних критериев выбора моделей В данной работе предлагаются упрощенные критерии выбора моделей из "пучка" функций. Рассмотрим их на конкретном примере.

В данном примере используются, во-первых, 6 моделей результатов подбора опти мального гранулометрического состава РЗКМ, которые отобраны исходя из известной (условно) теоретической модели, характеризуемой наличием слагаемого b1x1 в знаменателе;

во-вторых, для сравнения и выбора моделей используются 9 точек внутри области планиро вания. Соответствующие значения функций отклика, полученные в данных точках, приведе ны в таблице 3.4.

На рисунке 3.28 показана область планирования, на которой: () – узлы интерполяции, т.е. исходные точки для построения моделей;

(*) – координаты точек согласно таблице 3.4.

Таблица 3. Координаты точек Функции отклика Номер точки 1 11 13 3 x1 x2 y y y y y y 1 0,5 0,5 -2,366 -1,79 -2,291 -2,292 -2,292 -1, 2 -0,5 0,5 2,368 1,8 2,296 2,294 2,294 1, 3 0,5 -0,5 -2,899 -4,25 -2,807 -2,809 -2,809 -4, 4 -0,5 -0,5 2,901 4,24 2,813 2,811 2,811 4, 5 0 0 0,0009 0,003 0,003 0,0009 0,001 0, 6 1 0 -5,266 0,003 -5,05 -5,05 -5,05 0, 7 0 1 0,001 0,0005 0,003 0,001 0,0009 0, 8 1 0 5,268 0,003 5,052 5,052 5,052 0, 9 0 -1 0,0006 -0,0008 0,004 0,0006 0,001 0, Рисунок 3.28 – Область планирования:

– узлы интерполяции;

* – координаты проверочных точек В общем случае число точек внутри области определения может быть больше и соот ветствующие расположения другими. Как следует из таблицы 3.4, разброс значений функ ций-претендентов в рассматриваемых точках относительно небольшой. Исключение пред ставляют функции y(3) и y(17), значения которых в ряде точек явно отличаются от остальных значений, что связано с конечной точностью вычислений, которая не позволяет корректно раскрыть неопределенность типа 0/0. Данный характерный случай указывает на сложность применения моделей в виде рациональных функций. В качестве выхода из изложенной ситу ации можно либо исключить модель с особенностями из рассмотрения, либо исключить из рассмотрения точку с разрывом, либо увеличить точность вычислений или разрешить не определенность типа 0/0 аналитически.

В качестве внутреннего критерия будем использовать простейший точечный крите рий, который предусматривает сравнение поведения функций в нуле, т.е. в точке с координа тами x1 = x2 = 0 (пятая строка в таблице 3.4). В соответствии с критерием функции ранжиру ем по мере их удаления относительно некоторой оценки их среднего либо математического ожидания, либо медианы. В рассматриваемом примере математическое ожидание равно 0,0018, следовательно, в порядке убывания приоритета модели-претенденты расставляются в следующей последовательности по их номерам: 13, 1, 11, 5. Однако данный критерий имеет недостатки.

Для оценки моделей в системе компьютерного и имитационного моделирования КМ предлагается интегральный критерий, предусматривающий исследование рассеяния пучка функций-претендентов по ряду точек внутри области определения. В качестве оценки меры отклонения функций друг от друга используем сумму квадратов отклонений:

S y k y k, 9 j i (3.12) k где для нашего примера S – оценка отклонения i и j функций по девяти точкам k 1,9.

В таблице 3.5 приведены значения отклонений между функциями-претендентами и в последней строке вычислены значения оценок отклонений всех функций относительно неко торой i-й функции (суммы S по столбцам).

Таблица 3. 1 13 Функция y y y y y 0 0,1204 0,1205 0, 2,6 10-5 7,7 10- 0,1204 y 2,6 10-5 3,1 10- y 0,1205 7,7 10-7 3,1 10- 0,1204 y S 0,3613 0,12044 0,1205 0, i Суть критерия заключается в том, что если некоторая функция лежит в центре рас пределения пучка, то отклонение других функций-претендентов будет минимальным.

В соответствии с этим, согласно таблице 3.5, функции-претенденты можно проран жировать следующим образом: 13, 11, 5, 1. И в этом случае, как и в предыдущем, классиче ская полиномиальная функция y(1) не является наилучшей.


Можно использовать и другой принцип ранжирования, который заключается в том, что по данным таблицы 3.5 последовательно выписываются значения оценок расстояний между функциями в порядке возрастания (таблица 3.6). Далее выписываются номера функ ций, которые составляют пару для соответствующих оценок расстояний. Для каждой функ ции-претендента определяется сумма мест в списке. Например, для y(1), занимающей места 4, 5 и 6, сумма мест N 1 15. Для остальных функций: N 5 11, N 11 9, N 13 7. В соответствии с суммой мест функции-претенденты можно проранжировать следующим образом: 13, 11, 5, 1. Практика применения данного мажоритарного критерия показывает, что он дает результат, мало отличающийся от результатов интегрального кри терия.

Комбинацию факторов, воздействующих на КМ, можно рассматривать, как точку в факторном пространстве. Причем, с позиций математики, свойства такого пространства мо гут быть самыми различными: формализуемыми, например, при непрерывных количествен ных факторах в виде евклидова или гильбертова пространств и не формализуемыми, напри мер, когда фактор задается по шкале реперов и при этом говорить о каких-либо метрических соотношениях в факторном пространстве бессмысленно.

Таблица 3. Номер места Номера функций S 7,7 10- 1 11, 2,6 10- 2 5, 3,1 10- 3 5, 4 0,1204 1, 5 0,1204 1, 6 0,1205 1, Учитывая специфику физических явлений при структурообразовании КМ, будем рас сматривать лишь те факторы, которые можно представить в евклидовом пространстве. Каче ственные отношения, существующие в факторном пространстве, можно пояснить с помо щью диаграммы Венна, приведенной на рисунке 3.29, где Е – объективное множество всех физических факторов, существующих в природе. Оно включает в себя F-множество факто ров, влияющих на исследуемый объект, которое, в свою очередь, содержит G-множество факторов, активно учитываемых при планировании эксперимента и составляющих область определения функции отклика. В области определения G выделяется множество значений факторов Н, являющихся областью планирования, размер которой определяется условиями эксплуатации РЗКМ или задачами исследования. Множество L+H представляет собой то множество значений факторов, которое реально апостериорно влияет на результаты экспе римента, где L – множество факторов, не учитываемых в математических моделях при пла нировании эксперимента.

Рисунок 3.29 – Диаграмма Венна интерпретации ограничений в области планирования эксперимента В практических задачах области определения факторов ограничены. Ограничения здесь могут быть только принципиального характера, обусловленного физическими свой ствами материи, т.е. такие ограничения, которые не могут быть нарушены ни при каких об стоятельствах. Например, если фактор – давление, то нижним пределом будет нуль, т.е. аб солютный вакуум, если фактор – температура, то нижний предел – абсолютный нуль.

Список факторов с подобными свойствами достаточно обширен: концентрация, виб рация и давление, напряженность магнитного и электрического полей и т.п. Существуют факторы, принципиально ограниченные как снизу, так и сверху, например, наличие приме сей интересующих веществ в окружающей среде или материале.

В свою очередь размер области планирования (ее границы) задается требованиями технических условий, в которых эксплуатируется композит, а также целями и задачами ис следования. Как показывает практика, не во всех точках области планирования возможно ак тивное воспроизведение эксперимента по получению значений функции отклика. Здесь воз никают ограничения технико-экономического характера, обусловленные дефицитностью приборов и материалов, стоимостью оборудования, отсутствием необходимых приборов, временем проведения эксперимента, невозможностью практической реализации экспери мента и пр.

Характерным примером может служить случай, когда в качестве дестабилизирующих факторов выступают климатические воздействия (температура, влажность и т.п.), вибрации и линейные ускорения. В такой ситуации невозможна реализация даже умозрительного многофакторного эксперимента, поскольку в единый комплекс необходимо объединить та кие установки, как центрифугу, вибростенд и климатическую камеру. Возникающие при этом технические трудности более чем очевидны.

Разрешение указанного эксперимента следует искать в иной постановке задачи, а именно, в восстановлении многофакторной функции отклика по результатам двухфак торных и однофакторных экспериментов. При этом обобщается решение задачи интерпо ляции, которая традиционно формулируется как задача восстановления функции по извест ным ее значениям в некоторых узлах. В рассматриваемой ситуации имеется возможность получать информацию о функции отклика в некоторых сечениях, которые могут иметь вид линий, кривых, плоскостей и т.п. Например, на рисунке 3.30 для случая построения трехфак торной модели условно представлены сечения в виде линий ab и cd, вдоль которых можно получить значения функции отклика путем однофакторных экспериментов, и в виде плоско го сечения efgh, в котором поведение функции отклика получается с помощью двухфактор ного эксперимента. Таким образом, предлагается задача восстановления не по точкам, а по функциям в известных сечениях.

Следует отметить, что по каждому из сечений функции, естественно, получаются по точкам (такова специфика экспериментальных данных). Но количество таких точек, как пра вило, может быть достаточным для корректного проведения процедур усреднения и сглажи вания с целью определения функций отклика в сечениях.

Рисунок 3.30 – Варианты сечений в области планирования трехфакторного эксперимента Ограничения на область планирования эксперимента могут быть обусловлены и апри орными сведениями о корреляционных свойствах дестабилизирующих факторов. При нали чии корреляции факторов резко сужается область планирования. Например, в случае жест кой корреляции двух факторов область планирования вырождается в линию. На рисунке 3.31 приведен пример поля разброса факторов x1 и x2 (реологические параметры композитов – удельная поверхность наполнителя и объемная степень наполнения), где ab – регрессион ная линия, относительно которой показана (при коэффициенте корреляции v = 0,98) зона ± 2 отклонения факторов от жестко коррелированной зависимости.

Рисунок 3.31 – Поле разброса при корреляции двух факторов В случае трехфакторной области определения и наличии корреляции между двумя факторами область планирования (при положительной корреляции) имеет вид, показанный на рисунке 3.32.

Рисунок 3.32 – Область планирования при корреляции факторов x2 и x В данном случае требуется как можно точнее восстановить функцию отклика в сече нии 1-7-8-2. При этом необходимо корректно выбирать модель и соответствующий спектр плана, поскольку ограничения в области планирования не упрощают, а усложняют задачу планирования эксперимента. Так, если коррелированны два фактора x2 и x3, в модели Y a0 a1x1 a2 x2 a3 x3 a4 x1x2 a5 x1x3 a6 x2 x3 a7 x1x2 x3, (3.13) сделаем замену x2 x3 x :

Y a0 a1x1 a2 a3 x a4 a5 x1x a6 x 2 a7 x1x 2. (3.14) Как видно из выражения (3.14), учитывая корреляцию, требуется строить план экспе римента, исходя из необходимости построения модели 2-го порядка.

Упрощение сводится к тому, что требуется определить 6 коэффициентов вместо 8, но построение моделей высокого порядка также имеет свои сложности.

3.2.3 Разработка и обоснование методологии построения моделей в виде рациональных функций С математической точки зрения рациональные функции обладают целым рядом пре имуществ:

- фундаментальным свойством оставаться рациональной при переносе и растяжении независимой переменной;

- рациональными функциями можно приближать такие функции, которые принимают бесконечные значения для конечных значений аргументов;

- рациональные функции удобно применять при больших диапазонах изменения зна чений аргументов;

- рациональные функции легко и быстро считаются на ЭВМ [52].

Рациональные функции позволяют описать сложную зависимость с помощью мень шего числа коэффициентов.

Характерной особенностью излагаемой в данной главе методики является то, что все модели в виде рациональных функций будут строиться на одном и том же наборе экспери ментальных данных, т.е. решение будет получаться не в виде одной модели (функции), а в виде так называемого «пучка функций».

В связи с изложенным, возникает задача построения моделей свойств РЗКМ по крае вым точкам области планирования, которые располагаются на ребрах n-мерного гиперкуба.

При этом за основу принимаются хорошо изученные и широко распространенные планы полнофакторных экспериментов типа 2k, которые модифицируются с учетом указанных ограничений. Проектируемые таким образом планы являются асимптотическими к 2 k планам, и это имеет тот смысл, что при определенных условиях модифицированные планы совпадают с классическими планами типа 2k, и их свойства по эффективности приближаются к указанным планам. Планы полнофакторного эксперимента типа 2 k служат базой для срав нения.

Для обобщения асимптотических планов типа 2k рассмотрим случаи 23. При этом, как и в планах 22 значения Y будут измеряться только в точках, находящихся на ребрах куба, ко торый задает в данном случае область планирования.

Так при фиксированных x2 и x3 и переменном x1 = имеем * * * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A31. A A. (3.15) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a 0 a1 a 2 a 3 a 4 a5 a6 a Внизу указаны коэффициенты функции отклика согласно Y a0 a1x.

Аналогично можно составить планы, в которых x2 = :

* * * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A32. A A (3.16) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a 0 a1 a 2 a 3 a 4 a5 a6 a и варьируется x3 = :

* * * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A33. A A. (3.17) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a 0 a1 a 2 a 3 a 4 a5 a6 a Из выражений (3.15) – (3.17) следует алгоритм синтеза многофакторных математиче ских моделей свойств композитов специального назначения по краевым точкам из «пучка»


функций [53]:

1) матрица базисных функций и соответствующий спектр плана для любого числа пере менных строится путем кронекеровского произведения матриц Адамара и матрицы 1, причем место сомножителя указывает на номер переменной, по которой определя ются краевые точки;

2) те коэффициенты, которые соответствуют уравновешиваемым столбцам, определяется с погрешностью 1 2, что учитывается при усреднении;

3) если задаются краевые точки по двум факторам и более, то матрица базисных функций получается аналогично с помощью кронекеровского произведения путем включения соот ветствующих сомножителей вида 1 i, где i – номер фактора.

1 i 3.2.4 Формулировка общего подхода к построению математических мо делей КМ с распределенными параметрами по эксперименталь ным данным Одним из наиболее трудоёмких и нерешённых до настоящего времени в материалове дении этапов обработки экспериментально-статистической информации является синтез ММ и выбор вида функциональных зависимостей. Общие формализованные методы такого вы бора до настоящего времени не разработаны. Аппроксимация полиноминальными моделями не отражает физической сущности протекающих в КМ процессов и не является адекватной при математическом описании структур строительных материалов. Поэтому в данной работе предпринята попытка решения задач систематизации функциональных зависимостей, синте за функционально полных и линейно независимых наборов функций, нахождения эффектив ных оценок, а также разработки методов и методик построения и выбора вида ММ для КМ специального назначения.

Предлагается общий подход построения стохастических ММ, основу которого со ставляют три следующих [53]:

систематизация ММ (базисных функций) по видам преобразования координат;

многоуровневый синтез и выбор пакетов функциональных зависимостей;

получение состоятельных, несмещённых и эффективных оценок ММ в преобразованных координатах.

Построение ММ нелинейных моделей на основе экспериментально-статистической информации включает этап выбора модели, т.е. определение её структуры. В работе ставится задача создания системы автоматизированного выбора структуры нелинейной модели, что определяет необходимость автоматического подбора нужной функциональной зависимости по совокупности экспериментальных данных. Для этого предлагается выбор моделей прово дить на базе системы функций с заданным набором преобразования координат.

Определим основные требования к системе математических моделей на заданном наборе нелинейных преобразований координат.

Для обеспечения автоматического выбора структуры ММ совокупность моделей должна удовлетворять двум противоречивым требованиям: содержать все возможные ММ с использованием заданных функциональных преобразований и не иметь моделей с одинако выми типами функциональных преобразований.

Совокупность моделей на заданном наборе нелинейных преобразований координат, удовлетворяющих сформулированным требованиям, назовём функционально полным набором моделей.

Таким образом, под функционально полным набором математических моделей будем понимать совокупность моделей, объединяющих все возможные математические модели, которые могут быть синтезированы на заданном наборе нелинейных преобразований коор динат и одновременно среди которых нет хотя бы одной пары функций, получаемой с ис пользованием одних и тех же преобразований координат.

Предложенный метод структурно-параметрического синтеза моделей по видам преобразования координат состоит в формировании функционально-полных наборов пакетов ММ по заданным видам функциональных преобразований ( x) и ( y) определённого x и результативного y признаков:

y y a0 a1 x, x и в организации для каждого пакета множества линейно-зависимых ММ:

1 a0 a1 x fi (a0 a1x), наиболее полно отражающих физические закономерности исследуемого объекта.

Таким образом, предлагаемый метод синтеза ММ может быть представлен следую щими преобразованиями y y a0 a1 x fi (a0 a1x) 1. (3.18) x При автоматизированном синтезе функционально полных наборов линейно независи мых ММ с использованием n видов преобразования координат возможно построение n2 од нофакторных моделей.

С целью расширения набора функций и возможностей учёта различных нелинейно стей в моделях предлагается проводить синтез моделей с многократным использованием од них и тех же видов преобразования координат:

n n 1(...2 1( y ) 1 1 y n...2 1 a0 a1 x. (3.19) m m1(... 2 1( x) Здесь n и m – количество уровней преобразований результативного и определённого признаков.

Как уже отмечалось, одной из основных проблем построения моделей с использова нием известных методов определения параметров моделей в преобразованных координатах является неэффективность получаемых оценок ММ. Следовательно, для обеспечения по строения ММ в преобразованных координатах необходимо разработать метод расчёта пара метров преобразованных нелинейных ММ, обеспечивающий эффективность, состоятель ность и несмещённость оценок моделей в непреобразованных координатах.

Покажем методику построения многофакторных моделей эксплуатационных свойств КМ на двух примерах: в случае двух независимых факторов (корреляционная связь отсут ствует) и в случае двух факторов с сильной корреляционной связью.

Пример 1. Построение многофакторной зависимости предела прочности при сжатии КМ R(Сотв, Смод) от концентраций отвердителя и модификатора.

Экспериментальные данные приведены в таблицах 3.7 – 3.8 и на рисунках 3.33 – 3.34.

Аппроксимация экспериментальных данных проводилась согласно изложенной выше методике при помощи специально разработанного комплекса программ, основу которого со ставляет структурно-параметрический синтез математических моделей в преобразованных координатах. Результаты аппроксимации показаны на рисунках 3.35 – 3.36.

Таблица 3. R, 122,8 126,01 128,25 129,52 129,83 129,2 128,0 125,69 122,29 114, МПа Сотв % 5 7,5 10 12,5 15 18 20 22,5 25 Таблица 3. R, МПа 128,61 127,05 125,49 123,93 122,37 120,81 119,25 117, Смод % 1 3 5 7 9 11 13 Для построения многофакторной модели были выбраны аппроксимирующие зависи мости в виде y x A e x при однократном преобразовании координат. Многофакторная модель отыскивалась в виде:

R X 1, X 2 B0 B1 X 1* B2 X 2* B3 X 1* X 2*, (3.20) Х1 Х где Х1* – е, Х2* – е.

132 Прочность, МПа Прочность, МПа 124 118 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 10 15 20 25 Концентрация модификатора, % Концентрация отвердителя, % Рисунок 3.33 – Усредненная Рисунок 3.34 – Усредненная экспериментальная зависимость прочности экспериментальная зависимость прочности от от конц. отвердителя конц. модификатора Рисунок 3.35 – Результат аппроксимации зависимости прочности КМ от концентрации модификатора Рисунок 3.36 – Результат аппроксимации зависимости прочности КМ от концентрации отвердителя Коэффициенты многофакторной модели отыскивались согласно листингу 1 в системе Mathcad 13.

Листинг Графическое отображение многофакторной зависимости прочности от концентраций отвердителя и модификатора показано на рисунке 3.37.

126, 124, 122, Прочность КМ, МПа 120, 118, 116, 114, 112, 5 110, Концентрация 12 отвердителя, % 34 9 10 11 13 Концентрация модификатора, % Рисунок 3.37 – Многофакторная зависимость прочности КМ от концентраций отвердителя и модификатора Полученная многофакторная зависимость позволяет исследовать процессы пластифи кации и структурообразования радиационно-защитных композитов и провести выбор рецеп турно-технологических параметров синтеза мастики (микроуровня моделирования КМ).

Пример 2. Построение многофакторной зависимости предельного напряжения сдвига КМ (t, f) от времени твердения (t) и объёмной степени наполнения (f) при сильной корре ляционной связи между факторами.

Экспериментальные данные приведены в таблице 3.9 и на рисунках 3.38 – 3.39.

Таблица 3. 5 10 15 20 25 30 0,19 40 50 170 1200 2400 4800 0,54 90 100 130 200 600 1200 0,7 120 130 150 180 250 480 0,78 140 160 220 290 400 640 0,82 140 170 250 330 440 700 Цветом в таблице 3.9 выделены диапазоны данных, по которым строилась многофак торная зависимость.

180 Предельное напряжение сдвига, г/см Предельное напряжение сдвига, г/см 120 60 0 5 10 15 20 25 30 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0, Время твердения, мин Объемная степень наполнения Рисунок 3.38 – Усредненная Рисунок 3.39 – Усредненная экспериментальная зависимость предельного экспериментальная зависимость предельного напряжения сдвига КМ (f) от объёмной напряжения сдвига КМ (t) от времени твер степени наполнения дения На рисунке 3.40 показана поверхность, построенная по массиву экспериментальных данных.

Предельное напряжение сдвига, г/см 0, 0,7 Объемная степень 0,82 наполнения Время твердения, мин Рисунок 3.40 – Графическое изображение экспериментальных данных Аппроксимация экспериментальных данных проводилась согласно изложенной выше методологии при помощи специально разработанного комплекса программ, основу которого составляет структурно-параметрический синтез математических моделей в преобразованных координатах.

Результаты аппроксимации показаны на рисунках 3.41 – 3.42.

Рисунок 3.41 – Результат аппроксимации зависимости предельного напряжения сдвига (f) от объёмной степени наполнения Рисунок 3.42 – Результат аппроксимации зависимости предельного напряжения сдвига (t) от времени твердения Для построения многофакторной модели были выбраны аппроксимирующие зависи 4,3220,003t мости в виде f e 3,5451,938 f от степени наполнения и t e от времени при однократном преобразовании координат.

Многофакторная модель отыскивалась в виде:

ln X 1, X 2 B0 B1 X 1* B2 X 2* B3 X 1* X 2*, (3.21) где Х1* – (3,545+1,938Х1), Х2* – (4,322+0,003Х2 ).

Коэффициенты многофакторной модели отыскивались согласно листингу 2 в системе Mathcad 13.

Листинг Графическое отображение многофакторной зависимости предельного напряжения сдвига (t, f) от времени твердения и объёмной степени наполнения показано на рисунке 3.43.

Предельное напряжение сдвига, г/см 0, 0, 0, 0, 0, Объемная степень 0,7 наполения 0,8 11 Время твердения, мин Рисунок 3.43 – Многофакторная зависимость предельного напряжения сдвига (t, f) от вре мени твердения и объёмной степени наполнения Полученная многофакторная зависимость позволяет провести адекватное математи ческое моделирование реологических процессов в КМ и исследовать механизмы структуро образования радиационно-защитных композитов, на основании которых провести выбор ре цептурно-технологических параметров синтеза конгломерата (макроуровня моделирования КМ) композита. В последующем данная модель будет использована в системе компьютерно го и имитационного моделирования и синтеза радиационно-защитных композитов.

3.3 Системный анализ при решении задач управления качеством техно логических процессов. Методика свертывания однофакторных моде лей в многофакторную модель Современный подход к решению технологических задач основан на принципах си стемного анализа. Согласно этим принципам технологический процесс рассматривается как сложная система, состоящая из элементов различных уровней детализации: от атомного до отдельного процесса. Система состоит из взаимодействующих элементов. Сущность системы невозможно понять, рассматривая только свойства элементов;

для нее существен как способ взаимодействия элементов, так и взаимодействие элементов или системы с окружающей средой.

При анализе технологического производства принято выделять несколько уровней иерархии, между которыми существуют отношения соподчиненности. На первом уровне располагаются элементарные процессы технологии (химические, массообменные, тепловые, механические, гидромеханические), на более высоких – элементы, которые выделяются по какому-либо признаку, например, по административно-хозяйственному или производствен ному (цеха, производства, предприятия и т. д.). При анализе отдельного процесса в качестве элементов или ступеней иерархии могут выступать явления, в совокупности определяющие целевую функцию процесса, например, химическое превращение, теплообмен и т.д. Основ ная идея системного анализа состоит в применении общих принципов разделения (декомпо зиции) системы на отдельные элементы и установление связей между ними, в определении цели исследования и установления этапов для достижения этой цели.

Системный подход к исследованию технологических процессов имеет цель получения оценок функционирования процесса на любом уровне декомпозиции и осуществляется в не сколько этапов. Отдельный элемент системы в зависимости от поставленной цели может рассматриваться как отдельная система с более детализованными уровнями декомпозиции.

Можно выделить четыре основных этапа системного исследования процесса.

1. Смысловой и качественный анализы объекта, производимые для выявления уров ней декомпозиции, отдельных элементов и связей между ними. Установление уровней иерархии и выбор элементов осуществляются исходя из общей цели исследования и степени изученности процесса.

2. Формализация имеющихся знаний об элементах и их взаимодействии и представле ние этих знаний в виде математических моделей (структурная идентификация). Источником знаний обычно служат фундаментальные законы и экспериментальные данные. В математи ческой модели формализуется рассматриваемый процесс, устанавливаются математические связи между входными и выходными параметрами.

3. Математическое моделирование процесса и определение адекватности модели.

Адекватность, то есть соответствие результатов моделирования экспериментальным данным, определяется уровнем знаний о процессе и обоснованностью принятых допущений. Матема тическая модель представляет собой совокупность математического описания и алгоритма решения, доведенную до конкретной реализации (программы на ЭВМ).

4. Идентификация математических моделей элементов. Математические модели сложных процессов (состоящих из нескольких элементарных) являются системами уравне ний, представляющих детерминированные фундаментальные законы, отражающие только общий характер явления при совокупности ограничений и допущений. Реальные условия протекания процессов далеки от «идеальных» и поэтому модели содержат коэффициенты (параметры модели), определяемые экспериментально.

При рассмотрении технологического процесса, как сложной системы, необходимо провести декомпозицию и установить связи между элементами и окружающей средой. Де композицию проводят по разделению процесса на основные операции (элементы): подготов ка материалов, смешение компонентов, формование полуфабриката, тепловая обработка и дополнительные операции.

Элементы в системе находятся в определенных отношениях (связи) между собой и окружающей средой. Связи подразделяются на входы или факторы, оказывающие влияние на функционирование элемента (системы), и выходы или отклики, являющиеся воздействием элемента (системы) на окружающую среду (рисунок 3.44).

Контролируемые и регулируемые входы (вектор H ) – управляющие факторы.

Контролируемые и нерегулируемые входы (вектор X ) – известные факторы, но не из меняемые произвольно (нерегулиру емость входов может быть связана с Внешние связи трудностью регулирования).

H, Z, X, Y Неконтролируемые факторы Входы Выходы (вектор Z ) – воздействия на систе Y H, Z, X му, которые находятся вне контроля.

Причины неконтролируемо Неконтролируемые (шум) сти факторов различны:

Контролируемые 1) недостаточная изученность Z H, X процесса (неизвестно, что данный фактор существенно влияет на функционирование системы);

Нерегулируемые Регулируемые 2) не умение контролировать выделенный фактор (индивидуаль H X ность и душевное состояние челове ка, работающего с системой);

Рисунок 3.44. Классификация внешних связей 3) значительное количество малозначимых факторов, суммарное воздействие которых оказывается существенным для системы. Влияние этих факторов имеет случайный характер.

Определенная последовательность в выполнении основных операций (элементы) в технологическом процессе (система) предполагает наличие очевидной взаимосвязи между элементами: отклики предыдущего элемента представляют входы последующего. Выход предыдущего элемента может быть как управляемым, так и неуправляемым входом после дующего элемента.

Математическое описание функционирования системы в общем виде представляют системой уравнений yi yi H, X, Z.

Принципиально каждое уравнение системы определяет зависимость i-го выхода от всех входных воздействий. Так как установить влияние неконтролируемых факторов Z не возможно математическую модель упрощают (оценка «шума» (влияние фактора Z ) выделя ется в самостоятельную задачу) yi yi H, X.

Последнюю математическую модель можно получить двумя различными способами.

1. Структурный подход базируется на записи модели процесса с помощью фундамен тальных законов. Такой подход применяется для хорошо изученных систем.

2. Эмпирический подход (или метод «черного ящика»), основанный на определении моде ли функционирования системы только на экспериментальных данных. Этот подход исполь зуется при исследовании сложных систем, теоретическое описание которых ограничено или невозможно.

В качестве элементарного образования служит образец материала, свойства которого определяются как свойствами составляющих компонентов, так и присущих материалу (си стеме) интегративным свойствам. Откуда следует, что без целостного системного подхода невозможно изучение материала с целью прогноза возможности его практической эксплуа тации.

Отличительной особенностью композиционных материалов от механической смеси компонентов (свойства которой определяются как сумма свойств компонентов) является наличие границы раздела фаз, определяющей интенсивность процессов структурообразова ния и свойства материала (системы). На границе раздела фаз формируется контактный слой, обеспечивающий сцепление компонентов (адгезионную прочность – новое интегративное свойство, которым не обладают входящие в систему элементы) и свойства материала. Объ единение компонентов приводит к образованию на границе раздела фаз слоев с измененны ми свойствами (сольватный слой), оказывающими влияние на процессы формирования свойств системы, отличных от характеристик компонентов (например, процессы твердения цемента в большом объеме отличаются от процессов в тонких слоях на границе раздела фаз).

Таким образом, при изучении КМ, налицо наличие парадокса целостности. С одной стороны, оценку и анализ КМ можно производить лишь на основе рассмотрения материала как целостной и единой системы;

с другой стороны – изучение материала невозможно без анализа ее частей. Именно поэтому исследования структуры и свойств материала осуществ ляются на основе изготовления опытных образцов и изучении межэлементных связей при сохранении целостности системы.

Во многих случаях целостность системы подразумевает, что изменение любого эле мента системы оказывает воздействие на другие ее элементы и ведет к изменению всей си стемы, поэтому часто невозможно разложить целостную систему на отдельные компоненты таким образом, чтобы не потерять ее интегративных свойств.

Обобщенные критерии оценки эффективности КМ. В настоящее время достаточно много частных критериев для оценки и сравнения КМ. В большинстве случаев они противо речивы в силу многостороннего характера поведения системы (материала) и множества ее свойств. Кроме того, ряд критериев практически невозможно представить аналитически, т.е.

они дают лишь качественную оценку.

Несмотря на отмеченные особенности частных критериев, оценку и сравнение КМ целесообразно производить, используя интегральные (обобщенные) критерии, в которых учитывается ряд наиболее важных частных критериев.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.