авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«Министерство образования и науки Российской Федерации УДК 51-74; 691:342; 691.327; 666.972.7 ГРНТИ 27.35.30, 28.17.23, 67.09.55 Инв. № ...»

-- [ Страница 3 ] --

Выбор обобщенного критерия эффективности производится, прежде всего, в зависи мости от поставленной задачи. А так как задачи, выполняемые композиционными материа лами, различны, то в каждом конкретном случае используется свой критерий эффективно сти, который считается наиболее целесообразным и учитывающим особенности материала и область его применения, т.е. отсутствует универсальный обобщенный критерий для любой системы.

В практике определения эффективности сложных систем нашло применение доста точно большое количество обобщенных критериев, основные из которых приведены на ри сунок 3.45. На основе приведенной классификации рассмотрим основные методы формиро вания таких критериев и дадим им сравнительную оценку.

Наиболее простой метод построения интегрального критерия заключается в том, что один из частных критериев ук принимается в качестве обобщенного, а все остальные учиты ваются в виде ограничений, определяющих область допустимых альтернатив:

E yk ;

yi yi( 0), i = 1.2…, l yi yi( 0), i = l+l, l+2, n i k где y ( 0) yi( 0), y20), yn0) – вектор, определяющий допустимые значения по всем критериям.

( ( Варианты, не укладывающиеся в заданные границы, сразу же отбрасываются как не конкурентоспособные. Естественно, что практические рекомендации будут зависеть от того, как будут выбраны ограничения на вспомогательные частные критерии. При этом задача оп тимизации формулируется как задача математического программирования:

Max [ y k (a)], A, yi ( ) yi (0) yi ( ) yi (0) i =l+1, l+2 i k.

Вид ук(а) и у(а) определяет метод программирования.

Основным недостатком данного подхода в оценке эффективности является то, что ва рианты сравниваются по одному критерию, значения других критериев, если они удовлетво ряют ограничениям, не учитываются. Достоинство – сравнительная простота построения критерия.

Рисунок 3.45. Классификация критериев оценки эффективности сложных технических систем Оценка эффективности системы по эффективности системы-эталона. Под системой эталоном понимается оптимальная, идеально функционирующая система (идеальный компо зит), которой соответствует вектор y = y10, y2, yn, где компонентами являются макси 0 мальные значения для максимизируемых и минимальные значения для минимизируемых критериев. В этом случае обобщенные критерии могут быть сформулированы в виде:

1) суммы абсолютных отклонений от идеальной альтернативы для частных критериев одной размерности l n E ( y1, y2...., yn ) ( yi( 0) yi ) ( yi yi( 0) ), i 1 i l где yi (i =1, 2,..., l) – частные критерии оптимальности, подлежащие максимизации;

yi (i = l+1, l+2,..., n) – частные критерии, подлежащие минимизации;

2) суммы относительных отклонений для частных критериев различной размерности yi( 0) yi ) yi yi( 0) l n E ( y1, y 2...., yn ) ( ( 0), yimin i l 1 yi(max) yi( 0) i 1 yi где yimin, yimax – наименьшие значения для максимизируемых и наибольшие для минимизиру емых критериев оптимальности по всему множеству вариантов;

3) наибольшего абсолютного отклонения от идеального для частных критериев одной размерности E ( y1, y2...., yn ) max yi(0) yi ;

4) наибольшего относительного отклонения от идеального для частных критериев различной размерности yi( 0) yi y j y (j0), E ( y1, y 2...., yn ) max ( 0) ;

y y min y max y ( 0) i i j i где i = 1, 2,..., l;

j = l+1, l+2...., n.

Недостатком таких критериев является то, что существует возможность компенсации, а также не учитывается ценность, полезность частных критериев yi используемых при реше нии задачи выбора варианта. Кроме того, выбор системы-эталона, т.е. лучшей из функцио нирующих систем, часто является тоже сложной задачей.

Если между параметрами системы или устройства имеется некоторая последователь ность зависимостей в виде формул, таблиц или систем алгебраических и дифференциальных уравнений, то задача оптимального проектирования состоит в том, чтобы для имеющейся совокупности добиться экстремума целевой функции (например, максимума плотности, прочности, минимума стоимости и др.) при наложении ограничений на параметры в виде Bi min Bi Bi max. Однако далеко не всегда удается найти единственную непротиворечивую функцию цели, которая связывает всю совокупность параметров. Если же такая функция и будет найдена, то чрезвычайно большая размерность пространства параметров требует очень большого объема вычислительных работ для отыскания экстремума.

Для некоторых композитов специального назначения эффективность может быть оце нена по вероятности выполнения стоящих перед ними задач. Такая оценка, как правило, ис пользуется при оценке эффективности военно-технических систем. Следует отметить, что этот критерий полностью характеризует главное назначение системы. Этот метод может быть использован и для систем невоенного назначения. Приведем пример построения данно го обобщенного критерия.

Эффективность оружия определяется как вероятность поражения цели:

P Pr Ps Pd, где Рr — надежность системы (отношение числа снарядов, достигших цели без технической неисправности к общему числу выпускаемых снарядов);

Ps — живучесть снаряда (вероят ность того, что снаряд не будет выведен из строя действиями противника);

Pd — вероятность того, что надежные снаряды, не сбитые противником, накроют цель.

Этот критерий во многих случаях может быть вычислен. Однако он односторонне оценивает систему, не связан явно с технологическими и экономическими показателями, та кими как прочность, плотность, коэффициент линейного ослабления, стоимость, экс плуатационные характеристики и др. Он может быть использован при наличии определенно го объема статистических данных, которые при разработке нового изделия, как правило, от сутствуют.

Возможно использование в качестве обобщенного критерия так же вероятность вы полнения задачи, но с учетом экономических факторов. Например, эффективность системы может определяться в самом общем виде как соотношение нанесенного (или предотвращен ного) ущерба D к затратам на нанесение (предотвращение) ущерба С: Е = D/C.

Этот критерий эффективности полностью характеризует главное назначение системы и учитывает, какой ценой достигается эффект. Однако использование подобных критериев в практических инженерных работах затруднено, так как здесь отсутствуют функциональные связи D и С с технологическими и эксплуатационными параметрами РЗКМ.

Может быть предложен способ формирования критерия предпочтения, являющийся модификацией метода последовательных уступок. Согласно предложенному способу при формировании критерия предпочтения выполняется следующая последовательность дей ствий.

1. Из совокупности частных показателей выбирается один, который в дальнейшем рассматривается как основная функция цели у1.

2. По выбранному критерию у1 производится оптимизация системы при учете только технологических ограничений. При этом определяются не только экстремальные значения у и соответствующие значения параметров оптимизации, но и величины других рабочих пока зателей, которые рассматриваются в качестве неосновных функций цели.

3. Вводится некоторая уступка у1 по основному показателю и система оп тимизируется поочередно по всем неосновным функциям цели при условии, что ограниче ния на другие критерии, кроме основного, не принимаются во внимание. Определяются лучшее yjл и худшее yjx значения каждого неосновного критерия и соответствующие им зна чения параметров оптимизации. Этот пункт может выполняться несколько раз при разных значениях у1, и при этом может оцениваться ее влияние на результаты оптимизации по не основным показателям.

4. Результаты, полученные на предыдущем шаге, используются для нормирования неосновных критериев. Вводится функциональная зависимость (уj) определяющая измене ние j-го критерия в интервале от худшего до лучшего. Эту функцию назовем функцией при надлежности. В первом приближении можно говорить о линейной зависимости, т.е.

yix yii ( y j ) x, yi yin где y ij – векторное промежуточное (текущее) значение j-го критерия.

5. После определения, таким образом, всех функций принадлежности для всей сово купности неосновных критериев можно сформировать общую функцию принадлежности:

( y) min( y2 ), ( y3 ),..., ( y2 ). (3.22) Введение общей функции принадлежности позволяет получать результаты по любо му критерию не ниже наперед заданного уровня, если этот уровень достижим в конкретных условиях.

6. Далее производится сопоставление основного критерия оптимальности функции принадлежности, объединяющей неосновные критерии, что можно выполнить несколькими способами. Рассмотрим один из них.

Вводится функция принадлежности по всем критериям. При этом лучшее значение основного критерия получается в результате частной оптимизации, а в качестве худшего значения принимается уровень, ухудшенный по отношению y1л на величину уступки.

Далее формируется функция принадлежности (y) min ( y2 ), ( y3 ),..., ( y2 ) (3.23) и осуществляется поиск варианта проекта, удовлетворяющего условию (3.23).

Последнее выражение означает, что определяется вариант, дающий максимальный уровень функции (3.22). При этом найденный вариант проекта х* должен находиться в обла сти допустимых значений параметров оптимизации.

Краткая сравнительная оценка рассмотренных выше обобщенных критериев показы вает, что определение эффективности является сложной задачей, особенно, при учете ряда частных показателей, таких как качество процесса управления, надежность, плотность, и т.д.

Как правило, эти показатели трудно аналитически связать с обобщенным критерием, что за трудняет использование таких критериев.

Однако желание учесть при сравнении вариантов систем эксплуатационные, техноло гические и экономические качества КМ все же привело к разработке достаточно простого и удобного для применения обобщенного критерия, основанного на аддитивном преобразова нии и названного обобщенным критерием практической оптимальности:

b y b y.... bn y n E 1 1 2 2, C Сn n bi yi / bi k (b1 y1 b2 y2... bn yn ) С m i i где уi = yim/уi – относительное значение показателя i-го качества;

yi – абсолютное значение показателя;

yim – максимально допустимое значение показателя;

С – стоимость системы;

Сm – максимально допустимое значение стоимости;

bi – весовой коэффициент, который отражает полезность (ценность) i-го критерия при принятии решения о выборе альтернативы.

Приведение частных показателей к безразмерной относительной форме (второе урав нение) производится для того, чтобы весовые коэффициенты bi имели одинаковую размер ность.

Предполагается, что частные показатели выбираются такими, что при их уменьшении Е увеличивается (плотность, ошибка управления и др.). Поэтому в качестве показателя надежности следует принимать не вероятность безотказной работы, а вероятность отказа.

Кроме того, некоторые параметры (а, следовательно, частные показатели) изменяются дис кретно. Также дискретно изменяется и обобщенный критерий. Поэтому может иметь место случай, когда Е отличается от оптимального. Такая система называется практически опти мальной (отсюда название рассматриваемого критерия), т.е. при наложенных ограничениях не может быть системы, имеющей большее значение Е.

Достоинством этого критерия эффективности является простота его вычисления. Он связан с назначением систем и учитывает конструктивные, эксплуатационные и экономиче ские факторы. Основная сложность при его применении заключается в определении весовых коэффициентов.

Знание весовых коэффициентов, умение их правильно находить и оперировать ими в значительной степени определяет правильный выбор варианта и, естественно, успех всей разработки системы или ее модернизации. При этом значение правильного выбора весовых коэффициентов возрастает, когда рассматривается большое количество конкурирующих си стем со многими параметрами. Поэтому весовые коэффициенты для частных показателей должны определяться не субъективно (хотя и с определенной достоверностью), а с мате матическим обоснованием. В каждом конкретном случае необходимо четко представлять, для какого класса систем определяются весовые коэффициенты, так как математическая мо дель, построенная для одного класса систем, будет иной для другого.

Если параметры, определяющие эффективность, являются функцией времени, то и значения весовых коэффициентов также являются функцией времени. Например, стоимость и надежность материала изменяют в зависимости от времени изготовления. В начале выпус ка продукции её стоимость велика, а надежность мала. По мере увеличения выпуска продук ции и отработки технологии стоимость уменьшается, а надежность растет.

Для определения весовых коэффициентов кроме построения математической модели системы необходимо также получить информацию о возможных значениях параметров и частных показателей качества конкурирующих вариантов систем.

Пусть задана функциональная зависимость эффективности системы от частных пока зателей качества E F ( y1, y2,... yn ), причем все частные показатели являются независимыми переменными. Влияние частного показателя качества на главный показатель можно опреде лить, взяв полный дифференциал функции:

E E E dE dy1 dy2... dyn. (3.24) y1 y2 yn Частные производные представляют весовые коэффициенты частных показателей ка чества y1, у2,..., уn связанных функциональной зависимостью с главным показателем Е, так как E y n показывает (при фиксированных значениях остальных показателей), как изменя ется Е при изменении yi, т.е. bi E yi, и можно уравнение (3.24) записать в виде dE b1dy1 b2 dy2... bn dyn. (3.25) Из (3.22), (3.23) и (3.25) следует, что коэффициенты веса bi, определенные из bi E yi, являются функциями многих переменных частных показателей качества уi, поскольку последние при определении bi принимались вполне определенными, т.е.

bi f ( y1, y2,... yn ).

Если рассматривается система, для которой заданы значения уi, bi можно получить подстановкой конкретных значений частных показателей качества.

Для упрощения решения задачи определения эффективности систем в большинстве случаев предполагают, что весовые коэффициенты не связаны между собой и не зависят от значений самих частных показателей качества.

Таким образом, чтобы приступить к определению bi, надо построить математическую модель эффективности как функцию частных показателей качества и стоимости в виде E F y1, y2,, yn, C. Общий алгоритм ее построения определяется следующими этапами:

1. На основании анализа исследуемого класса систем разрабатывается математическая модель работы системы в функции ее параметров и частных показателей качества.

2. Разрабатывается математическая модель стоимостных характеристик системы с уче том проектирования, внедрения, модернизации и эксплуатации.

3. Производится выбор показателя эффективности, отражающего назначение системы.

4. Анализируется характер частных показателей качества.

5. На основе результатов п. 1-4 формируется математическая модель эффективности.

Характер частных показателей качества определяет вид полученной модели эффек тивности. Она может быть детерминированной или статистической. Если частные показа тели качества являются детерминированными величинами, то по уравнениям E F y1, y2,, yn, C и bi f ( y1, y2,..., yn, C ) можно рассчитать детерминированные чис ловые значения эффективности и весовых коэффициентов, на чем и заканчивается определе ние эффективности для данной системы.

В том случае, когда частные показатели качества являются случайными величинами, модель эффективности представляется как статистическая модель. Весовые коэффициенты в этом случае являются случайными величинами, так как случайны сами значения частных по казателей качества. Для получения bi в виде постоянных значений находят математическое ожидание М(bi) и дисперсию D(bi). Последняя характеризует разброс значений данного ве сового коэффициента, а, следовательно, и разброс значений коэффициента эффективности системы:

b M (b ) M (bi ) bi g (bi ) dbi ;

D(bi ) g (bi ) dbi, i i где g(bi) — закон распределения величины bi.

Классификация методов определения весовых коэффициентов частных показателей качества, используемых при математико-статистических исследованиях, представлена на ри сунок 3.46. В каждом конкретном случае выбор метода определяется характером имеющейся информации о частных показателях качества.

Рисунок 3.46. Классификация статистических методов определения весовых коэффициентов частных показателей качества 3.3.1 Разработка и обоснование принципа систематизации нелинейных математических моделей по видам преобразования координат и метода синтеза функционально-полных, линейно-независимых наборов пакетов моделей Первый принцип подхода заключается в систематизации пакетов функций с исполь зованием простейших видов преобразований координат результативного и определённого признака. Такой подход сводит процесс выбора к сравнению ограниченного и, в то же время, функционально полного набора функций, обеспечивает эффективность сравнительного ана лиза моделей.

Если в основу систематизации и приведения ММ к линейному виду положить прямо пропорциональное X x, логарифмическое X ln x и обратно пропорциональное X 1 x преобразования, то для двух переменных при однократном их преобразовании можно полу чить девять видов функций (табл. 8.1).

Таблица 3. Базисные функции с однократным преобразованием координат, синтезированные на основе трёх простейших преобразований Преобразованные перемен № Вид ММ Исходное уравнение ные X, Y y a0 a1 x 1 Линейная x y y 1 (a0 a1 x) Обратная линейная 2 x y y ea0 a1 x Показательно-линейная ln y 3 x Линейно y a0 a1 ln x 4 y ln x логарифмическая Обратная логарифмиче- y 1 (a0 a1 ln x) 5 ln x y ская ye 0 Показательно- a a ln x ln y 6 ln x логарифмическая Линейно y a0 a1 / x 1 y гиперболическая x Обратная гиперболиче- y 1 (a0 a1 / x) 8 y ская x Показательно y ea0 a1(1/ x) 1 ln y гиперболическая x При пяти преобразованиях, взятых в качестве основных, можно синтезировать набор из 25-и линейно независимых функций (табл. 3.11).

Таблица 3. Базисные функции с однократным преобразованием координат, синтезированные на основе пяти простейших преобразований Преобразованные пере менные № Вид ММ Исходное уравнение Y X y a0 a1 x Линейная 1 y x a y a0 Линейно-гиперболическая 2 y x x Линейно y a0 a1 ln x ln x 3 y логарифмическая Преобразованные пере менные № Вид ММ Исходное уравнение Y X Линейно y a0 a1 e x ex 4 y экспоненциальная y a0 a1 x n Линейно-показательная xn 5 y y Обратная линейная 6 x a0 a1 x y y Обратная гиперболиче- 1 7 a a0 1 y ская x x Обратная логарифмиче- y a0 a1 ln x y ская ln x Обратно- y ex a0 a1 e x экспоненциальная y 1 y Обратно-степенная xn a0 a1 x n y y ea0 a1 x Показательно-линейная ln y 11 x Показательно- a0 a1 ln y гиперболическая ye x x ye 0 Показательно- a a ln x ln y 13 ln x логарифмическая x y ea0 a1e Бипоказательная ex ln y n у еa0 a1 x Показательно-степенная xn ln y Логарифмическо y ln a0 a1 x ey 16 x линейная a Логарифмическо y ln a0 1 ey гиперболическая x x y ln a0 a1 ln x Билогарифмическая ey 18 ln x Логарифмическо- y ln a0 a1 e x ey ex экспоненциальная y ln a0 a1 x n Логарифмическо ey xn степенная y n a0 a1 x yn Степенная-линейная 21 x Степенная гиперболиче- a y n a0 1 yn ская x x Степенная Y n a0 a1 ln( x) yn ln x логарифмическая Степенная yn y a0 a1 e x ex экспоненциальная yn y n a0 a1 x n Бистепенная xn Рассмотрим реализацию этого принципа на примере обработки экспериментальных данных, приведённых в книге Е.М. Кудрявцева [55], и проведём сравнительный анализ полу ченных результатов.

В табл. 3.12 приведён результат выбора вида ММ при использовании трёх простей ших преобразований координат. Функция, представленная в книге Е.М. Кудрявцева в каче стве лучшей, подчёркнута.

Как видно из таблицы, функция, выбранная в книге [55] в качестве лучшей по крите рию остаточной дисперсии при использовании систематизированного набора, оказалась только второй. Причём величины остаточной дисперсии и относительной ошибки для луч шей модели, соответственно, в 1.67 и 1.19 раза меньше, чем для второй модели. Кроме того, структура “лучшей” математической модели наиболее полно отражает сущность физических явлений, протекающих в КМ как объектах управления.

Таблица 3. Функции, относительная ошибка которых не превышает 10 %, полученные из предложенного набора на основе трёх преобразований координат № Вид ММ Отн. ошиб. Ост. дисперс. Сред. кв. откл.

2.1811.087 1 2.7776 0.0706 0. Y e X Y 2 3.2949 0.1179 0. 0.095 0. X 3 Y 8.254 5.387 4.3914 0.1309 0. X 4 Y 3.284 2.265 ln X 4.3667 0.1378 0. 1.20.441ln X 5 7.8329 0.4152 0. Y e Использование системы ММ, синтезированных на основе пяти перечисленных выше преобразований позволяет получить дополнительную функцию, превосходящую ранее вы бранные по точности (табл. 3.13).

Таблица 3. Функции, относительная ошибка которых не превышает 10 %, полученные из предложенного набора на основе пяти преобразований координат № Вид ММ Отн. ошиб. Ост. дисперс. Сред. кв. откл.

1 Y 9.379 25.027 ln X 2.3768 0.0602 0. 2.1811.087 2.7776 0.0706 0. Y e X 3 Y 1 3.2949 0.1179 0. 0.095 0. X 4 Y 8.254 5.387 4.3914 0.1309 0. X Y 3.284 2.265 ln X 5 4.3667 0.1378 0. 6 Y 63.606 57.291 6.775 0.2575 0. X 1.20.441ln X 7 7.8329 0.4152 0. Y e Относительная дисперсия для этой модели меньше в 1.96 раза, а относительная ошиб ка в 1.39 раза по сравнению с обратно-гиперболической моделью. Обратно-гиперболическая ММ, выбранная в книге, перемещается на третье место, а количество моделей с относитель ной ошибкой, не превышающей 10%, увеличивается с пяти до семи.

На рисунке 3.47 представлены графики выбранных зависимостей и распределение от клонений в каждой экспериментальной точке, из которых видно, что максимальное отклоне 2.1811.087 ние для функции Y 9.379 25.027 ln X равно 0.364, для Y e X – 0.384, а для модели Y, выбранной в книге [55], – 0.492. При этом равномерность 0.095 0. X распределений погрешностей в каждой точке увеличивается с повышением точности модели.

Таким образом, принцип систематизации на основе преобразований координат позво ляет расширить спектр анализируемых функций и обеспечить требования функциональной полноты и линейной независимости к системе моделей. Это даёт возможность при реализа ции предложенных процедур построения математических моделей на ЭВМ исключить срав нения синтезированных на основе однотипных преобразований координат функциональных зависимостей, повысить достоверность выбора структуры модели за счёт использования функционально полного базового набора, увеличить точность выбираемых моделей, сокра тить время выбора.

Кроме того, в результате поиска модели мы находим преобразования координат, поз воляющие приводить зависимость к линейному виду. Это, в свою очередь, заметно упрощает дальнейшее использование этих зависимостей для различных исследований.

3.3.2 Методология структурно-параметрического синтеза математических моделей композиционных материалов в преобразованных координатах Существенное расширение типов ММ достигается введением многоуровневого пре образования переменных x и y, путём использования в качестве x и y различных функций.

Многоуровневый подход состоит в многократном применении заданных функциональных преобразований к результативному и определённому признакам и сочетает в себе:

синтез линейно независимых ММ на основе преобразования координат, выбор пакета линейно зависимых ММ, удовлетворяющих заданному критерию (ми нимуму остаточной дисперсии или относительной погрешности), нахождение из выбранного пакета математической модели с наиболее удобной фор мой записи.

Например, если принять y y 2, x x 2, то линейная зависимость трансформируется в 1 x y a0 a1 x 2, а функции y и y перейдут, соответственно, в выра a0 a1x a0 a1x a0 x a 1 x жения y и y или y или y.

2 2 a0 a1 x a0 a1 x 1 a1 x a0 a1 x При необходимости получения квадратичной зависимости достаточно принять x x y y x, или y y в уравнении y a0 a1 x. В результате получим ММ или y a0 a1 x 2 или y a0 x a1 x 2, или y a02 2 a0 a1 x a12 x 2.

а) б) в) Рисунок 3.47 – Графики зависимостей 2.1811.087 а) Y 9.379 25.027 ln X ;

б) Y e X ;

в) Y 0.095 0. X и их отклонений от экспериментальных данных Уравнение вида y k 1 e a x a, описывающее переходные процессы в тех нологических объектах управления, такие как кинетика набора прочности КМ, кинетика кон тракции и усадки КМ, реологические характеристики КМ и т.д., получается, если вместо y в x математической модели y a0 a1 принять величину (k y) k, а уравнение y a0 a1 x n подстановкой в линейную функцию переменной x x n.

x a0 a1 x Уравнение вида y e может быть получено при x x2, если для функ y x ции провести дополнительно двойное преобразование координаты a0 a1x y ln y (сначала y ln y,затем y y 2 ), а уравнение вида y arctg x a0 a1 x 2 – если для той же функции провести двойное преобразование координаты y tg y (сна чала y tg y, затем y y 2 ).

Некоторые модели, полученные на основе многоуровневого преобразования коорди нат, в качестве примера представлены в таблице (табл. 3.14).

Ниже (табл. 3.15) приведён набор функций, получающийся при двукратном примене нии трёх простейших преобразований: прямо -, обратно пропорционального и логарифмиче ского к результативному и определённому признакам, из которого видно, что даже при ис пользовании минимального набора преобразований, спектр моделей, между которыми будет проходить выбор, значительно увеличивается.

Таким образом, расширяя базовый набор, добавляя смешанные преобразования и применяя многократное преобразование координат, можно получить практически любой вид ММ при использовании ограниченного числа стандартных функций. Кроме того, что нема ловажно, такой подход позволяет проводить синтез функциональных наборов на ЭВМ без участия человека, а следовательно, автоматизировать наиболее трудный и нерешённый до настоящего времени этап – синтеза и выбора вида математических моделей.

Таблица 3. Примеры многоуровневого преобразования Функция Преобразования по № исходная получаемая X Y y a0 a1 x y y y a0 a1 x 2 x x 1 y y y y x x a0 a1x a0 a1 x x x y y y y x x a0 a1x a0 a1 x y a0 a1 x y a0 a1 x 2 – x x y a0 a1 x y a0 a1 x n – x xn y k 1 e a x a x (k y ) k y a0 a1 – x a a x x y y ln y, y y x x 7 y e a0 a1x y tg y, x a0 a1 x y y arctg x – a0 a1x y y Синтезированный функциональный набор (табл. 3.15) обладает функциональной пол нотой и линейной независимостью, а каждую модель из этого набора можно представить как пакет линейно зависимых функций, т.е. функций, полученных на основе одинаковых преоб разований. Такой подход позволяет учитывать в получаемых зависимостях природу модели руемого объекта и, в то же время, исключает при выборе операцию сравнения одинаковых функций.

Например, при исследовании резьбовых соединений на самоотвинчивание в практике машиностроения зависимость силы затяжки от числа нагружений удобно представлять в ви де:

m N C (3.26) где – сила затяжки, N – число нагружений, а С и m – параметры кривой самотвинчива ния. Естественно, что в синтезируемом наборе мы не найдём подобной функции, в силу спе цифики формы её записи. Для того чтобы привести эту функцию к стандартному виду, необ ходим ряд следующих преобразований.

Таблица 3. Модели с двукратным преобразованием координат Преобразования Исходная № Получаемая функция функция X Y y a0 a1ln x ln y 1 ln x a0 a1 x ye y 1 ln y 2 a0 a a0 a1 x x ye x a0 a1 x y ea0 a1 x y ee ln y x a0 a1ln x y ea0 a1 x ln y y ee 4 ln x a0 a y ea0 a1 x 1 ln y 5 x y ee x y a0 a1 ln ln x y a0 a1 ln x y 6 ln x y y a0 a1 ln x a0 a1 ln ln x 7 ln x y a a ln ln x y a0 a1 ln x ln y 8 ln x ye 0 y ln y x y e a0 a1 x a0 a1 ln x y a0 a1ln ln x ln y 10 ln x a0 a1 ln x ye a0 a1ln ln x ye 0 a a ln x ln y 11 ln x y ee y a0 a a y a0 1 y 12 ln x ln x x y a y a0 1 13 a0 a y x ln x ln x a0 a a y a0 1 ln x ln y 14 ln x x ye Преобразования Исходная № Получаемая функция функция X Y y 1 a0 a 15 a a0 1 y ln x ln x x ye 1 a0 a a0 a1 ln x ln y 16 ln x ye y ee x Прологарифмируем обе части выражения (3.26):

m ln ln N ln C, запишем полученное уравнение относительно результативного признака :

ln C ln ln N m m и приведём его к принятому виду (табл. 3.10):

y e 0 1, a a ln x (3.27) ln C где y, a0, a1.

m m Как видно из рассмотренного примера, для того чтобы выбрать модель (99), не нужно включать её в контур процедуры сравнения, достаточно просто пересчитать коэффициенты функции (3.27) из стандартного набора по выражениям:

m, C ea0 m.

a Ниже (табл. 3.16) приведены некоторые линейно зависимые функции из пакета пока зательной функции.

Таблица 3. Математические модели показательной функции Параметры ММ Преобразованное уравнение Исходное № Основание Y A0 A X уравнение 1 a1 a Y ln a0 ln a1 X x y a0 a1 e A0 e A a y a1(a0 x) A Y a0 ln a1 ln a1 X e A a 2 A A y a0 N a1 x Y ln a0 a1 ln N X e A 3 N ln N y N 0 A A a a x Y a0 ln N a1 ln N X 4 N ln N ln N y a0 ea1 x Y ln a0 a1 X e A0 A 5 e y e 0 a a x Y a0 a1 X A0 A 6 e A y a0 2a1 x Y ln a0 a1 ln 2 X e A 7 ln y 2 0 A A a a x Y a0 ln 2 a1 ln 2 X 8 ln ln A y a0 10a1 x Y ln a0 a1 ln10 X e A 9 ln y 10 0 A A a a x Y a0 ln10 a1 ln10 X 10 ln ln При использовании принципа многократного преобразования координат для обработ ки экспериментальных данных, приведённых в книге Е.М. Кудрявцева [55], были получены следующие результаты (рисунок 3.48).

Рисунок 3.48 – Результат выбора ММ Функция, выбранная в книге [55] по критерию минимума остаточной дисперсии, за нимает 10-место среди функций, синтезированных на основе двукратных преобразований, и лишь 29-е место при трёхкратных преобразованиях.

Как уже отмечалось ранее, требования к оценкам ММ формулируются с помощью трёх следующих свойств: состоятельности, несмещённости и эффективности.

Аппроксимация многих зависимостей приводит к необходимости использования раз личных преобразований над результативным y и определённым признаком x. Например, для 1 x получения ММ вида y или y требуется использование обратно про a0 a1 x a0 a1 x порционального преобразования координат. Функциональное преобразование каждой точки координаты x не меняет закон распределения погрешности. В то же время, функциональное преобразование координаты y ведёт к изменению этого закона. Поэтому расчёт оценок ММ по методу наименьших квадратов (МНК) в преобразованных по результативному признаку y координатах не позволяет получить наиболее достоверные оценки, т.к. закон распределения погрешности при преобразовании координаты y изменяется.

Действительно, расчёт оценок параметров нелинейных ММ с функциональным пре образованием результативного признака y по методу наименьших квадратов (МНК) в соот ветствии с выражением n Q yi yim min, yi a0 a1 xi, m i где yim – значение результативного признака в i-ой точке, рассчитанной по модели, приводит к наиболее вероятным оценкам параметров модели a0 и a1 при условии нормального рас пределения отклонений i yi yim в преобразованных координатах. При этом закон из менения отклонений i yi yim в непреобразованных координатах отличается от нор o мального.

Метод реверсивного преобразования координат (РПК), позволяет получать эффек тивные оценки в преобразованных координатах и состоит в управлении законом распределе ния исходных данных с помощью весовых коэффициентов pi. Весовой коэффициент каждой экспериментальной точки либо усиливает, либо уменьшает её конечное влияние на вычисле ние коэффициентов модели:

n n n n pi yi pi xi 2 pi yi xi pi xi a0 i 1 i 1 i 1 i 1, n n n pi pi xi 2 pi xi i 1 i 1 i 1 (3.28) n n n n pi pi yi xi pi xi pi yi a1 i 1 i 1 i 1 i 1.

n n n pi pi xi 2 pi xi i 1 i 1 i 1 Поэтому с помощью изменения весов каждой точки имеется возможность корректи ровать закон распределения отклонений от модели в преобразованных координатах с учётом их нормального распределения в непреобразованных координатах.

Значения весовых коэффициентов в каждой экспериментальной точке i рассчиты ваются по следующему выражению:

yi yim o i i.

i yi yi m В соответствии с методом оценки, a0 и a1 находят из условия минимума суммы квадратов произведений весовых коэффициентов i на отклонения в каждой i-ой точке:

n Q i yi yim min.

i Введённые весовые коэффициенты i, учитывающие закон распределения отклоне o ний i, позволяют проводить расчёт оценок параметров ММ в преобразованных координа o тах из условия минимума суммы квадратов отклонений i в непреобразованных координа n тах: Q yi yim min.

i Данный метод может быть реализован посредством следующего алгоритма:

1) при весах pi, равных единице, по методу наименьших квадратов в преобразованных координатах находят оценки параметров a0, a1 ;

i в 2) рассчитывают абсолютную погрешность преобразованных координатах i abs yi a0 a1 xi для каждой точки;

3) учитывая преобразования координат, переводят значения результативного признака, рассчитанного по модели yim a0 a1 xi и взятого из набора экспериментальных дан ных y в базис непреобразованных координат yim, xi соответственно;

4) вычисляют значения абсолютной погрешности в точках в непреобразованных коорди натах i abs xi yim ;

o o корректируют веса, подбирая значение степени в соот 5) по выражению pi i i ветствии с минимумом квадратов отклонений экспериментальных данных от модели в не преобразованных координатах. Для нахождения степени можно воспользоваться любым из методов одномерной оптимизации (золотого сечения, Фибоначчи, дихотомии, последова тельного поиска и др.);

6) по методу наименьших квадратов, с учётом полученных весов, используя выражения (3.28), находят скорректированные оценки параметров.

Метод реверсивного преобразования координат положен в основу программы для определения оценок ММ в разработанном программном комплексе. Для того чтобы нагляд нее показать его работу, ниже (листинг 3) приведён пример реализации этого метода в си стеме Mathcad 7.0. При оценке эффективности и точности метода РПК, наряду с ним и мето дом наименьших квадратов в преобразованных координатах, использовался метод оптимиза ции покоординатного спуска и полиномиальной аппроксимации по каждой переменной (ПСПА). В качестве метода одномерной оптимизации, позволяющего рассчитывать степени при весах, в программе используется метод Фибоначчи, который позволяет достичь макси мального быстродействия при известных границах поиска.

Листинг Параметрическая идентификация ММ: y=A*e^(K*x) Экс периментальные данные:

T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X 01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 T 18 19 20 21 X 0 19 20 21 22 T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Y 0 5 3 7 8 3 4 11 9 13 8 12 10 15 13 16 15 14 T 18 19 20 21 Y 0 15 13 18 19 0 Преобразование координат: i n Yp i ln Yi intercept X Yp ) ( A 4. Коэффициенты по МНК: A e slope( X Yp ) K 0. K Расчёт параметров новым ме тодом (РПК) Рассчитываем оценки параметров по МНК interc ept( X Yp ) A1 slope( X Yp ) A в преобразованных координатах Вычис ляем значение модели в точках в A1 Xi Ypm i A преобразованных координатах Ypm i Переводим значения модели в точках в Ym i e непреобразованные координаты Ppgi Ypm i Yp i Рассчитываем отклонения точек от модели в преобразованных и непреобразованных координатах Pgi Ym i Yi Pgi Pi Вычис ляем первоначальные значения весов Ppgi Продолжение листинга Процедуры МНК с весовыми коэффициентами n n n n pi xi pi yi pi yixi pixi i i i i 0 0 0 a0 ( x y p n) n n n pi xi pixi pi i 0 i i 0 n n n n pi pi yixi pixi pi yi i i i i 0 0 0 a1 ( x y p n) n n n pi xi pixi pi i 0 i i 0 Процедуры задания обратных преобразований координат Обратное преобразование:

y TransY1( y n) Ye Y TransX1( x n) x Эти процедуры задаютс я в завис имости от видов преобразований координат и могут включать в себя прос тейшие функциональные преобразования, совокупности преобразований и различные итерационные алгоритмы.

Продолжение листинга Расчёт степени при весах Задание функции, определяющей значение среднеквадратического отклонения экспериментальных данных от модели в непреобразованных координатах с учётом весов minpogr( X Y y p n ) for i 0 n pti pi a0 ( X y pt n ) A a1 ( X y pt n ) A pk for i 0 n A1 Xi Ypm i A Ym i TransY1 Ypm i pk pk Ym i Yi pk pk n pk Расчёт весов методом Фибоначчи Fibon( N ) F0 Процедура вычис ления чисел Фибоначчи F1 for i 2 N Fi Fi Fi 1 F Продолжение листинга p ower( X Y n N ) fo r i 0 n yi ln Yi in tercept( X y ) A slo p e X y ) A1 ( fo r i 0 n A1 Xi Yp mi A Ymi Tran sY1 Yp mi PPgi Yp mi yi Pgi Ymi Yi Pgi pi PPgi a b e 0.0 0 0 0 F Fib on N ) ( F F N FN FN FN N a) e 1 1 2 x a (b FN FN minp o grX Y y p n x) FY ( fo r i 1 N z a x b minp o grX Y y p n z ) FZ ( de b a FFZ FZ FFY FY if FFZ FFY x if z x b a x if z x x z FY FZ if FFZ FFY z if z x a b z if z x a b Rez fo r i 0 n Rez p ti pi a0 ( X y p t n ) Rez a1 ( X y p t n ) Rez Rez3 a b Rez Продолжение листинга 1. 0. 1 power( X Y n 20) 1 1.4009758391 1. 0. Возводим веса в найденную с тепень: Psti Pi 0 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Pst Рассчитываем оценки параметров при найденных вес ах:

a1 ( X Yp Pst n ) A1 0.0499903537 A1 KK 0. A1 KK A a0 ( X Yp Pst n ) A0 1.7940497538 AA AA 6. A0 e Строим ММ в непреобразованных координатах:

MHKBK MHK KK X K X i i AAe A e Y1 i Y2 i Y i Y i Y i 0 5 10 15 20 i Окончание листинга Рассчитываем с реднеквадратические отклонения точек от моделей, параметры которой найдены двумя методами:

MHK n Y2 i Yi i= 2. n MHBK n Y1 i Yi i= 2. n Влияние с тепени на среднеквадратичес кое отклонение 1 j j 1j minpogr X Y Yp P n 1j Pogj 9. 9. 9. 8. 8. 8. 8. 7. 7. 7. 7. 6. 6. Pog 6. j 5. 5. 5. 4. 4. 4. 4. 3. 3. 3. 3. 2. 2. 2. 01 234 567 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 j Поскольку процедура выбора вида математической модели предполагает сравнение между собой большого числа линейно независимых функций, а следовательно, и вычисление параметров для каждой ММ в процессе структурной идентификации, использование методов многомерной оптимизации для определения оценок параметров оказывается дорогостоящим с точки зрения вычислительных затрат. Кроме того, при некоторых комбинациях результа тивного и определённого признаков такие методы требуют установки дополнительных усло вий, что затрудняет их программирование. Способ расчёта оценок параметров ММ по мето ду РПК свободен от вышеперечисленных недостатков. Так, например, трёхуровневый выбор математической модели с использованием метода расчёта оценок ПСПА для двадцати экспе риментальных точек при применении ЭВМ класса P5/16 занимает 1 час 40 минут, в то время как расчёт с применением предложенного метода – 20 секунд, что сравнимо со временем, затраченным на поиск при использовании метода наименьших квадратов в преобразованных координатах – 18 секунд.

Общая структурная схема построения математической модели представлена на ри сунке (рисунок 3.49) и включает в себя следующие процедуры.

1. Синтез функционально полных пакетов ММ, т.е. формирование множества моделей второго ранга неопределённости М 1 М 2. Наборы пакетов моделей задаются видом и уровнем преобразования координат.

2. Предварительная обработка экспериментально-статистической информации, включа ющая нормировку, сглаживание и преобразование исходных данных в соответствии с вы бранными видами и уровнем координатных преобразований.

3. Структурная М 1 М 2 М 2 и параметрическая М 2 М 3 М 3 иден тификация математических моделей.

4. Ранжирование пакетов математических моделей по заданному критерию (минимум среднеквадратического отклонения или относительной ошибки).

5. Накопление пакетов полученных математических моделей и исходных данных.

6. Получение однофакторных и многофакторных моделей удобной формы записи, описы вающих общие закономерности рассматриваемых явлений.

Рассмотренные принципы систематизации и многоуровневого преобразования коор динат – являются основой синтеза функционально полных линейно независимых набо ров пакетов математических моделей в первом блоке.

Применение численного метода расчета оценок параметров моделей на основе, пре образованной во втором блоке в соответствии с заданными видами и уровнем преобразова ния координат, экспериментальными данными обеспечивает получение состоятельных, не смещенных и эффективных оценок при структурной и параметрической идентификации ма тематических моделей (блок 3).

Накопленная в блоке 5 экспериментально-статистическая информация и ранжирован ные в блоке 4 пакеты моделей используются на заключительном этапе построения математи ческих моделей в блоке 6.

В блоке 6 решаются четыре основные задачи:

получение однофакторной математической модели удобной формы записи (выбор из пакета линейно зависимых моделей модели удобной формы записи);

выбор единой системы координат для результативного признака Y и синтез многофак торных моделей по совокупности однофакторных экспериментов;

выбор общих оценок параметров моделей по совокупности разнородных экспериментов с однотипными переменными;

пересчет оценок параметров математических моделей для выбранной структуры и фор мы.

M 1 M M 1 M Синтез Выбор Ранжирование функционально преобразований пакетов по полного, линейно координат заданному Выбор пакета независимого критерию набора пакетов M 1 Пакет 2 Пакет 3 Пакет ……. …….

M 2 M N 1 N Пакет N Расчёт оценок M Выбор уровня преобразований 1 Первичная обработка экспериментально-статистической информации Исходные данные Накопление пакетов полученных математических X Y моделей и исходных данных Искомая математическая модель Перерасчёт оценок параметров Выбор общих закономерностей ММ Выбор из ранжированных пакетов моделей удобной формы записи Выбор единой системы Синтез многофакторной модели координат Y 6 Рисунок 3.49 – Схема построения стохастических математических моделей 3.3.3 Разработка методики свертывания однофакторных моделей в многофакторные В настоящее время в практике композиционного материаловедения наиболее широко используются однофакторные эксперименты, в то же время технология РЗКМ и управление структурой и свойствами определяются совокупностью ряда факторов. Это определяет необ ходимость использования результатов однофакторных экспериментов при анализе, синтезе, оптимизации и управлении процессами структурообразования РЗКМ. Как правило, построе ние многофакторных математических моделей связано с большим объёмом эксперименталь ных исследований, а следовательно, со значительными временными и материальными затра тами. Предлагаемая в работе методика позволяет сократить количество необходимых иссле дований, повысить точность ММ, а также дает возможность использовать при построении многофакторных ММ уже накопленный однофакторный экспериментально-статистический материал.

Так, например, в практике исследования процессов структурообразования и эксплу атационных свойств РЗКМ наибольшее распространение находят методы экспериментально го изучения и анализа однофакторных. Однако при определении оптимальных режимов син теза КМ и кинетических параметров структуры и свойств РЗКМ необходим учет влияния всех факторов, что более удобно проводить на основе многофакторных математических мо делей (ММ). Поэтому возникает потребность в составлении многофакторной ММ по одно факторным зависимостям.

Предлагаемая методика состоит в следующем.

1. Многофакторная математическая модель ищется в виде:

n y 0 ai xi i 1, где у – значение результативного признака;

хi – значение i-го параметра или фактора;

ai – оценка i-го коэффициента математической модели;

n – количество факторов.

2. На основе анализа физико-химических явлений и корреляционно-регрессионного ана лиза проводят обработку однофакторных зависимостей и выбирают для каждого фактора (параметра) вид преобразования координат, приводящий исходные ММ к линейным. При этом вид преобразования выходной координаты (результативного признака у) выбирают одинаковым для всего семейства однофакторных зависимостей.


3. Для каждого параметра хi при заданных других факторах xj с использованием метода наименьших квадратов проводят расчет однофакторных зависимостей yi f ( xi ) для x j x jo, где j i и i, j 1, n.

4. Исходя из условий экспериментального получения однофакторных зависимостей или удобства анализа выбирают базисную точку х10, х20, …, хno.

5. Определяют значение коэффициента а0 для многофакторной модели из условия равен n ства многофакторной y ao ai ( xi xio ) и однофакторных моделей yi = a0i + aixi i i 1, n для одинаковых xi и других параметрах xj – соответствующих их значениям для данной однофакторной зависимости. Значение а0 выбирают как среднее из n полученных.

6. Принимают коэффициенты для каждого фактора многофакторных зависимостей рав ными соответствующим коэффициентам для однофакторных зависимостей и составляют многофакторную математическую модель.

В последующем данная методика будет использоваться при построении целевой функции и функционала качества РЗКМ.

На основе проведенных исследований, предложен алгоритм синтеза многофакторных математических моделей композитов и обобщенная схема математического моделирования композитов специального назначения (рисунок 3.50).

Декомпозиция Представление КМ как объекта моделирования и исследования Иерархия критериев качества КМ Формулировка задач моделирования на Постановка задач моделирования каждом структурном уровне КМ Методология построения математических моделей композитов Принцип стратифицированного моделирования Принцип моделирования на основе многоуровневых преобразований координат Принцип многофакторного моделирования на базе однофакторных моделей Методика построения стохастических Методика построения многофакторных моделей структурных уровней КМ моделей структурных уровней КМ Корреляционно-регрессионный Структурно-параметрический анализ, статистический анализ синтез многофакторной модели Выбор многоуровневых Линеаризация ММ на основе преобразований координат многоуровневых преобразований координат Структурно-параметрический синтез математической модели Построение многофакторной ММ на основе «пучка» функций по краевым точкам Получение несмещенных, эффективных и состоятельных оценок ММ КМ Оптимизация многофакторного функционала качества КМ 4 Имитационное и компьютерное моделирование структурообразования КМ, численные решения 5 Многокритериальный структурно параметрический синтез КМ с заданными параметрами структуры и свойств Рисунок 3.50 Обобщённая схема математического моделирования композитов Алгоритм синтеза многофакторных математических моделей композитов вклю чает в себя следующие процедуры.

1. Синтез функционально полных пакетов ММ, т.е. формирование множества моделей второго ранга неопределённости. Наборы пакетов моделей задаются видом и уровнем преоб разования координат.

2. Предварительная обработка экспериментально-статистической информации, включа ющая нормировку, сглаживание и преобразование исходных данных в соответствии с вы бранными видами и уровнем координатных преобразований.

3. Структурная и параметрическая идентификация математических моделей.

4. Ранжирование пакетов математических моделей по заданному критерию (минимум среднеквадратического отклонения или относительной ошибки).

5. Накопление пакетов полученных математических моделей и исходных данных.

6. Получение однофакторных и моделей удобной формы записи, описывающих законо мерности формирования эксплуатационных свойств и параметров структуры композита.

7. Структурно-параметрический синтез многофакторных математических моделей компо зитов.

8. Линеаризация ММ КМ на основе многоуровневых преобразований координат.

9. Ранжирование пакетов многофакторных математических моделей по заданному крите рию (минимум среднеквадратического отклонения или относительной ошибки).

10. Построение многофакторной ММ свойства или параметра структуры в зависимости от всех структурно-чувствительных параметров композита на основе «пучка» функций по крае вым точкам факторного пространства.

Данный алгоритм синтеза многофакторных моделей лег в основу комплекса программ моделирования КМ для защиты от радиации и системы компьютерно-имитационного моде лирования и синтеза радиационно-защитных композитов.

В последующем, из полученных многофакторных математических моделей строятся функционалы качества, на основе которых выполняется многокритериальный синтез компо зитов специального назначения.

3.4 Обобщение и оценка результатов исследований III этапа Основной целью работы является создание новых наномодифицированных радиаци онно-защитных композиционных материалов при помощи обобщения и разработки научных основ математического моделирования и многокритериального синтеза композиционных наноматериалов, исследования и оценки возможности использования предложенной теории для решения задач математического моделирования, анализа, синтеза композиционных наноматериалов специального назначения, разработки методов и алгоритмов структурно параметрического синтеза математических моделей, создания комплекса программ, обеспе чивающего повышение эффективности обработки экспериментально-статистической инфор мации.

Анализ тенденций развития и современного состояния теории и практики построения математических моделей показал, что проблема теоретического обобщения и разработки но вых методов и алгоритмов построения ММ, создания комплексов программ, повышающих эффективность обработки экспериментально-статистической информации, актуальна.

Методы обработки экспериментальных данных в преобразованных координатах при водят к расчёту неэффективных и несостоятельных оценок параметров моделей.

Всё многообразие задач, приводящих к построению математических моделей по экс периментальным данным, наталкивается на проблему одновременно быстрого и точного по строения нелинейных моделей объектов. Многообразие исследуемых закономерностей ре альных объектов требует расширения наборов возможных функциональных зависимостей.

Сложность синтеза структуры ММ связана с неопределённостью и бессистемностью существующих наборов функциональных зависимостей, что затрудняет автоматизацию это го этапа построения модели и обуславливает необходимость систематизации моделей.

Все задачи структурной и параметрической идентификации ММ целесообразно ре шать с единых позиций, что обуславливает необходимость разработки единого подхода, принципов и методов построения нелинейных математических моделей обработки экспери ментально-статистической информации.

В результате выполнения работ по III этапу были построены и проанализированы ма тематические модели микроуровня композитов;

дано математическое описание внешних воздействий и структурных уровней нанокомпозитов;

выполнена декомпозиция систем, по строены иерархические структуры систем и подсистем, разработаны алгоритмы многокрите риального синтеза нанокомпозитов с заданными структурой и свойствами;

разработаны ме тодологические основы построения моделей композитов по экспериментальным данным, процедур построения моделей и методики выбора моделей при планировании эксперимента;

определения внутренних и внешних критериев выбора моделей, методологии построения моделей в виде рациональных функций;

сформулирован общий подход к построению мате матических моделей нанокомпозитов с распределенными параметрами по эксперименталь ным данным;

разработан и обоснован принцип систематизации нелинейных математических моделей по видам преобразования координат и метод синтеза функционально-полных, ли нейно-независимых наборов пакетов моделей, каждый из которых объединяет математиче ские модели, отражающие физические закономерности исследуемого объекта – композици онного наноматериала;

разработаны методики свертывания однофакторных моделей в мно гофакторные модели.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Несмотря на различие рассмотренных задач, приводящих к построению моделей, сре ди которых выделены задачи получения однофакторных и многофакторных моделей, иден тификации статических и динамических детерминированных моделей, обучения нейронных сетей, моделей с нечёткой логикой и пробит/логит моделей, идентификации ММ в контурах управления адаптивных и интеллектуальных систем управления, все их объединяют пробле мы, связанные с построением нелинейных моделей.


В существующих комплексах программ для построения нелинейных моделей исполь зуют либо оптимизационные процедуры, либо аналитические выражения для линейных мо делей в преобразованных координатах.

Построение ММ в преобразованных координатах обладает высоким быстродействи ем, но приводит к получению смещённых, несостоятельных и неэффективных оценок моде ли.

Построение моделей с использованием оптимизационных процедур позволяет полу чить несмещённые, состоятельные и эффективные оценки с высокой точностью, но ведёт к значительным затратам времени.

В данной работе поставлена задача разработки методов и комплекса программ, обес печивающих одновременно высокую точность и высокое быстродействие построения нели нейных моделей структур и свойств наномодифицированных композиционных материалов специального назначения.

Построение многофакторных зависимостей связано с необходимостью проведения дорогостоящих экспериментов, а решение задачи построения многофакторных зависимостей по однофакторным нельзя признать удовлетворительным и завершённым.

Существует настоятельная потребность решения проблемы поиска единых законо мерностей явлений по совокупности разнородных экспериментов, которая также связана с выбором структуры модели и не находит своего решения в существующих комплексах про грамм.

Таким образом, анализ состояния вопроса и тенденций развития методов построения математических моделей по экспериментальным данным, выполненный в данном разделе, позволяет сделать вывод об актуальности и необходимости теоретического обобщения и разработки новых методов и алгоритмов построения математических моделей, создания комплекса программ, обеспечивающих повышение эффективности обработки эксперимен тально-статистической информации.

Помимо этого, анализ состояния вопроса позволяет констатировать следующее:

1. Проблема теоретического обобщения и разработки новых методов и алгоритмов по строения ММ наномодифицированных композиционных материалов специального назначения, создания комплексов программ, повышающих эффективность обработки экспериментально-статистической информации при синтезе КМ, актуальна.

2. Существующие методы обработки экспериментальных данных в преобразованных ко ординатах приводят к расчёту неэффективных и несостоятельных оценок параметров моделей КМ.

3. Всё многообразие задач, приводящих к построению математических моделей по экспе риментальным данным, наталкивается на проблему одновременно быстрого и точного построения нелинейных моделей КМ.

4. Многообразие исследуемых закономерностей структурообразования КМ требует рас ширения наборов возможных функциональных зависимостей.

5. Сложность синтеза структуры ММ РЗКМ связана с неопределённостью и бессистемно стью существующих наборов функциональных зависимостей, что затрудняет автомати зацию этого этапа построения модели и обуславливает необходимость систематизации моделей.

Все задачи структурной и параметрической идентификации ММ РЗНКМ целесооб разно решать с единых позиций, что обуславливает необходимость разработки единого под хода, принципов и методов построения нелинейных математических моделей обработки экс периментально-статистической информации.

Несмотря на различный характер перечисленных задач решать их целесообразно с единых методологических позиций на основе системного подхода и единых принципов и методов, что потребует обобщения и разработки научных основ многокритериального синте за строительных материалов с заданными структурой и свойствами, исследования и оценки разработанного подхода при решении задач моделирования, анализа, синтеза композицион ных строительных материалов для защиты от радиации.

В результате выполнения работ по III этапу были получены следующие результаты:

1. Разработан комплексный метод многофакторного моделирования, включающий в себя три компонента: построение многофакторных нелинейных моделей на основе много уровневых преобразований координат, структурно-параметрический синтез математи ческих моделей в преобразованных координатах, построение многофакторных нели нейных моделей на основе выбора моделей по краевым точкам.

2. По результатам анализа методов математического систематизирован набор функций, описывающий основные параметры структуры и эксплуатационные свойства КМ для защиты от радиации.

3. По результатам анализа функциональных зависимостей с разработанного комплексного метода в качестве базовых выбраны 5 основных преобразований: линейное, гиперболи ческое, логарифмическое, экспоненциальное, степенное и синтезирован набор из линейно независимых функций, который обеспечивает выбор ММ из ограниченного и в то же время функционально полного набора функций, исключающего сравнение оди наковых моделей с различной формой записи.

4. Доказано, что синтезированный функциональный набор обладает функциональной полнотой и линейной независимостью, а каждую модель из этого набора можно пред ставить как пакет линейно-зависимых функций, т.е. функций, полученных на основе одинаковых преобразований. Такой подход позволяет учитывать в получаемых зависи мостях, природу композиционного материала, и в то же время исключает при выборе операцию сравнения одинаковых функций.

5. С целью обеспечения состоятельности, эффективности и несмещенности оценок синте зируемых моделей КМ обосновано применение метода реверсивного преобразования координат (РПК), заключающегося в расчете параметров оценок ММ КМ в системах преобразованных координат по критерию, задаваемому в непреобразованных коорди натах.

6. Обоснованы внутренние и внешние критерии выбора многофакторный ММ КМ из «пучка» функций и разработана методика синтеза ММ в многофакторном простран стве.

7. Разработан обобщенный численный алгоритм математического моделирования КМ в многофакторном пространстве, составляющий основу системы компьютерно имитационного моделирования КМ специального назначения.

8. Для оценки эффективности КМ при моделировании введен критерий практической оптимальности. При разработанной классификации систем по функциональным эле ментам и использовании достоверных данных их средних стоимостей погрешность ме тода не превышает 10%.

9. В соответствии с введенной иерархией критериев и выделенными комплексами решае мых частных задач построена иерархическая структура системы – материала с оценка ми её элементов, которая принята за основу перспективного моделирования всего ком позита и отдельных систем. В основу оценок качества моделируемого КМ положена многоуровневая структура критериев качества КМ.

10. Установлено, что для топологически подобных структурных уровней, то есть содержа щих дисперсные фазы, критерием оптимальности является подвижность смеси, при структурообразовании которых реализуется принцип совмещения структур опти мальный по выбранному показателю качества материал (структурный уровень) полу чают из неоптимальных предыдущих структурных уровней. Для материалов, не содер жащих дисперсные фазы, в качестве критерия оптимальности принята прочность.

11. Показано, что формирование критериев оптимальности и функционала качества компо зита обеспечивается видом кинетических процессов формирования основных физико механических характеристик композиционных материалов (прочность, модуль упруго сти, контракция и усадка, нарастание внутренних напряжений, химическая стойкость, водопоглощение и водостойкость и т.д.) на основе решения сначала общей, а затем частной задачи идентификации. Для построения целевой функции качества предложено объединение свойств КМ в функциональные группы, внутри которых свойства зависят от одних и тех же факторов, а между группами зависимость минимальна.

12. Разработан функционал качества КМ в виде дробно-рациональной функции, в числите ле которой объединены функции свойств, при своем увеличении вызывающие увели чение качества всей системы, а в знаменателе функции свойств, вызывающие сниже ние качества системы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ Прошин, А.П. Разработка и управление качеством строительных материалов с регу 1.

лируемыми структурой и свойствами для защиты от радиации / А.П. Прошин, А.М.

Данилов, А.Н. Бормотов, И.А. Гарькина, Е.В. Королев // Идентификация систем и за дачи управления SICPRO`03: Труды II Международной конференции. М. : Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2003. С. 2437 – 2460.

Розенблют, А. Роль моделей в науке. / А. Розенблют, Н. Винер // В кн. Модели в науке 2.

и технике. – Л., 1984. – С. 171 – 175.

Ваграмян, А.Т., Методы исследования электроосаждения металлов / А.Т. Ваграмян, 3.

З.С. Соловьёва. – М. : АН СССР, I960. – 448 с.

Вартофский, М. Модели. Репрезентация и научное понимание. – М., 1988. – 37 с.

4.

Волкова, В.Н. Основы теории систем и системного анализа / В.Н. Волкова, А.А. Де 5.

нисов. – СПб : Изд-во СПбГТУ, 2001. – 512 с.

Глинский, Б.А. Моделирование как метод научного исследования / Б.А. Глинский, 6.

Б.С. Грязное. – М. : Наука, 1965. – 245 с.

Глушков, В.М. Моделирование развивающих систем / В.М. Глушков, А.С. Иванов, 7.

К.А. Яненко. – М. : Наука, 1983. – 276 с.

Замков, О.О. Математические методы в экономике / О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, 8.

Ю.Н. Черемных. – М. : МГУ, «ДИС», 1998. – 368 с.

Кафаров, В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. Изд. 3-е, пе 9.

рераб. и доп. – М. : Химия, 1976. – 464 с. : ил.

Курдюмов, С.П. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем / В кн.: Наука, 10.

технология, вычислительный эксперимент. – М. : Наука, 1993. – С. 6 – 32.

Малинецкий, Г.Г. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. – М. : Наука, 1997.

11.

– 255 с.

Пикина, Г.А. Математические модели теплоэнергетических объектов. / Под. ред. Э.К.

12.

Аракеляна. – М. : Изд-во МЭИ, 1997. – 137 с.

Хинчин, А.Я. Математическое моделирование жизненных процессов. – М. : Мысль, 13.

1968. – 284 с.

Пупков, К.А. Методы анализа, синтеза и оптимизации нестационарных систем авто 14.

матического управления / К.А. Пупков, Н.Д. Егупов, В.Г. Коньков, Л.Т. Милов, А.И.

Трофимов ;

Под ред. Н.Д. Егупова. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. – с.

Мэтьюз, Дж. Математические методы в физике / Дж. Мэтьюз, Р.Уокер. – М. : Атомиз 15.

дат, 1972. – 392 с.

Плотинский, Ю.М. Теоретические и эмпирические модели социальных процессов. – 16.

М. : Логос, 1998. – 280 с.

Справочное пособие по сопротивлению материалов / Под общ. ред. М.М. Рудицына. – 17.

Минск : Вышэйш. шк., 1970. – 628 с.

Тощенко, А.И. Социология. – М. : Юрист, 1993. – 324 с.

18.

19. Abraham, B., & Ledolter, J. (1983). Statistical methods for forecasting. New York: Wiley.

20. Browne, M.W., & DuToit, S.H.C. (1992). Automated fitting of nonstandard models. Multi variate Behavioral Research, 27, pp. 269 – 300.

Darlington, R.B. (1990). Regression and linear models. New York: McGraw – Hill.

21.

Соломатов, В.И. Элементы общей теории композиционных строительных материалов 22.

// Успехи строительного материаловедения: Материалы юбилейной конференции. – М. : МИИТ, 2001. – С. 41 – 56.

Прошин, А.П. Моделирование процессов структурообразования дисперсных систем / 23.

А.П. Прошин, А.М. Данилов, А.Н. Бормотов, Е.В. Королев, В.А. Смирнов // Иденти фикация систем и задачи управления SICPRO`05: Труды Международной конферен ции. – М. : Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2004. С. – 724.

Прошина, Н.Н. Структурно-параметрический синтез математических моделей в зада 24.

чах обработки экспериментально-статистической информации: дис…. канд. техн.

наук: 05.13.18 / Прошина Наталья Николаевна. – Пенза, 2005. – 219 с.

Бормотов А.Н., Прошин А.П., Данилов А.М. Разработка и управление качеством 25.

эпоксидных композитов для защиты от радиации: Монография. – Пенза: ПГУАС, 2004. – 205 с.

Бормотов А.Н., Прошин А.П., Баженов Ю.М., Данилов А.М., Соколова Ю.А. Поли 26.

мерные композиционные материалы для защиты от радиации: Монография. – М.:

«Палеотип», 2006. – 270 с.

Бормотов, А.Н. Пластифицированные эпоксидные композиты повышенной плотности 27.

для защиты от радиации: дисс… канд. техн. наук: 05.23.05: защищена 21.12.1999:

утверждена 15.05.2000 / Бормотов Алексей Николаевич. – Пенза, 1999. – 195 с.

Бормотов А.Н., Королев Е.В., Преснякова О.В. Реологические свойства глетглицери 28.

новых мастик специального назначения. / Материалы 10-х Академических Чтений РААСН. – Казань, Изд-во КГАСУ, 2006. – 124-126 с.

Бормотов А.Н., Королев Е.В., Преснякова О.В. Оптимизация реологических свойств 29.

глетглицериновых мастик специального назначения. / Материалы XIII–го Междуна родного семинара Азиатско-Тихоокеанской академии материалов. – Новосибирск, 2006.

Бормотов А.Н., Королев Е.В., Иноземцев С.С., Иноземцев А.С. Оптимизация структу 30.

ры глетглицеринового цемента / Материалы Международной научно-технической конференции: Актуальные вопросы современного строительства. – Пенза: ПГУАС, 2007. – С. 66-71.

Бормотов А.Н., Прошин И.А. Моделирование реологических процессов в глетглице 31.

риновых композитах / Сборник «Механика и процессы управления. Итоги диссерта ционных исследований», серия Избранные труды Уральского семинара. – Екатерин бург: УрО РАН, 2009. – 224 с.

ГОСТ 24026-80. Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Терми 32.

ны и определения. – М.: Изд-во стандартов, 1980. – 22 с.

ГОСТ 8.009-84 ГСИ. Нормируемые метрологические характеристики средств измере 33.

ний. – М.: Изд-во стандартов, 1984. – 18 с.

Бурдун Г.Д., Марков Б.Н. Основы метрологии. – М.: Изд-во стандартов, 1985. – 256 с.

34.

Рейх Н.Н., Тупиченков А.А., Цейтлин В.Г. Метрологическое обеспечение производ 35.

ства. – М.: Изд-во стандартов, 1987. – 248 с.

Методический материал по применению ГОСТ 8.009-84. – М.: Изд-во стандартов, 36.

1985. – С. 43-132.

Плескунин В.И., Воронина Е.Д. Теоретические основы организации и анализа выбо 37.

рочных данных в эксперименте / Под ред. А.В. Башарина. – Л.: Изд-во Ленинградско го ун-та, 1979. – 232 с.

Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента. – Минск: Изд-во 38.

БГУ, 1982. – 302 с.

Голикова Т.И., Панченко Л.А., Фридман М.З. Каталог планов второго порядка. – 39.

М.: Изд-во МГУ, 1975. – 217 с.

Драйпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. – М.: Мир, 1973. – 517 с.

40.

Налимов В.В., Чернова Н.А. Статистические методы планирования экстремальных 41.

экспериментов. – М.: Наука, 1965. – 148 с.

Таблицы планов эксперимента для факторных полиномиальных моделей: Справочное 42.

издание / Бродский В.З., Бродский Л.И., Голикова Т.И. и др. – М.: Металлургия, 1982.

– 752 с.

Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента, в технике и науке:

43.

Методы обработки данных: Пер. с англ. – М.: Мир, 1980. – 610 с.

44. Ивахненко А.Г., Юрачковский Ю.П. Моделирование сложных систем по эксперимен тальным данным. – М.: Радио и связь, 1987. – 120 с.

45. Новицкий П. В. Основы информационной теории измерительных устройств. – Л.:

Энергия, 1968. – 316 с.

46. Райе Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение. – М.: Мир, 1984. – 264 с.

47. Цветков Э.И. Методические погрешности статистических измерений. – Л.: Энерго атомиздат, 1984. – 190 с.

48. Мусин И.А. Планирование эксперимента при моделировании погрешностей средств измерений. – М.: Изд-во стандартов, 1989. – 136 с.

49. Ивахненко А.Г., Мюллер И.А. Самоорганизация прогнозирующих моделей. – Киев:

Техника, 1984. – 350 с.

50. Современные методы идентификации систем / Пол ред. П. Эйкхофа. Пер. с англ. – М.:

Мир, 1983. – 397 с.

51. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей. / Под ред. В.Н. Вапника. — М.: Наука, 1984. — 814 с.

52. Хемминг Р. В. Численные методы для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1972. – 400 с.

53. Бормотов, А.Н. Математическое моделирование и многокритериальный синтез ком позиционных материалов / А.Н. Бормотов, И.А. Прошин, Е.В. Королёв. – Пенза :

ПГТА, 2011. – 354 с.

54. Прошин, И.А. Математическое моделирование в исследованиях автоматизированных систем управления / И.А. Прошин, Д.И. Прошин, Р.Д. Прошина. – Пенза : ПГТА, 2010. – 470 с.

55. Кудрявцев Е.М. Основы автоматизации проектирования машин: Учебник для студен тов вузов по специальности "Подъёмно–транспортные, строительные дорожные ма шины и оборудование". – М.: Машиностроение, 1993. – 336 с.: ил.



Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.