авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Саратовский государственный технический университет

имени Гагарина Ю.А.»

На правах рукописи

ПЛАКСИНА ИРИНА ВЛАДИМИРОВНА

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ГИДРОУПРУГОСТИ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ТРУБЫ КОЛЬЦЕВОГО

ПРОФИЛЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ПЕРЕПАДА

ДАВЛЕНИЯ 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Кондратов Д.В.

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, доцент Кузнецова Е.Л.

Саратов Содержание ВВЕДЕНИЕ................................................................................................................. 1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ............... 1.1 Основные положения и допущения............................................................... 1.2 Описание объекта исследования.................................................................... 1.3 Математическая модель................................................................................... 1.4 Переход к безразмерным переменным.......................................................... 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ГИДРОУПРУГОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ТРУБЫ КОЛЬЦЕВОГО ПРОФИЛЯ С АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИМ ВНУТРЕННИМ ЦИЛИНДРОМ.................................................... 2.1 Метод решения задачи гидроупругости........................................................ 2.2 Решение уравнений динамики жидкости...................................................... 2.3 Решение уравнений динамики внешней упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки............................................................ 2.4 Определение выражения для давления в слое жидкости............................. 2.5 Исследование математической модели.......................................................... 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ГИДРОУПРУГОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ТРУБЫ КОЛЬЦЕВОГО ПРОФИЛЯ С УПРУГОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ РЕГУЛЯРНОЙ ВНУТРЕННЕЙ ОБОЛОЧКОЙ.

....... 3.1 Основные положения и допущения............................................................... 3.2 Математическая модель................................................................................... 3.3 Метод решение гидроупругости..................................................................... 3.4 Исследование построенной математической модели................................... 3.5 Применение экспериментального закона уменьшения толщины............. 3.6 Сравнение с численным методом................................................................. ЗАКЛЮЧЕНИЕ..................................................................................................... СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.............................................. ПРИЛОЖЕНИЕ..................................................................................................... Введение Актуальность работы. Современные требования машино- и агрегатостроения диктуют проблемы уменьшения общего веса конструкции, при этом элементы конструкции должны сохранять износоустойчивость при различных внешних воздействиях, вызванных различным факторами. Одно из решений задачи уменьшения веса конструкции может быть получено при использовании тонкостенных конструкций, а поддержание устойчивости к внешним воздействиям может решаться как использованием жидкости для демпфирования колебаний, так и использованием конструктивных решений, таких как использование ребер жесткости. В настоящее время в различных отраслях науки и техники, в частности в ракетно-космических системах, в железнодорожном, авиационном и автомобильном транспорте, широко применяются конструкции, состоящие из соосных тонкостенных оболочек, как геометрически регулярных, так и геометрически нерегулярных, и вязкой несжимаемой жидкостью между ними. [4-12, 28, 30-32, 45-51, 59-63, 81-84, 88 91, 93-129, 136-164, 172, 192-200, 203-206, 210-212, 214, 215, 217-221, 223-228, 230-231, 247-248, 254] Таким образом, построение математических моделей, позволяющих исследовать динамику взаимодействия геометрически регулярных и геометрически нерегулярных цилиндрических оболочек со слоем вязкой несжимаемой жидкости представляет собой актуальную задачу, которая несомненно имеет научный и практический интерес.

В развитие механики для упругих элементов конструкций, состоящих из нескольких слоев внесли большой вклад работы таких авторов, как К.П. Андрейченко, В.В. Болотин, А.С. Вольмир, А.Л. Гольденвейзер, А.Г. Горшков, Э.И. Григолюк, М.А. Ильгамов, С.Ф. Коновалов, Л.И. Могилевич, Ф.Н. Шклярчук и др. [4-12, 21, 28, 30-32, 36-46, 48-52, 59-64, 81-84, 89-91, 116-119, 137-167, 208-221].

Создание математических моделей, которые исследуют динамические задачи гидроупругости, использующие однородные упругие элементы показано в работах К.П. Андрейченко, А.С. Вольмира, Э.И. Григолюка, А.Г. Горшкова, М.А. Ильгамова, С.Ф. Коновалов, Л.И. Могилевича, В.И. Морозова, В.С. Попова, И.М. Рапопорта, A.D. Lucey и др. [2-12, 14-16, 19, 25, 26, 28, 30, 32, 40-45, 47-52, 54, 65-73, 81-84, 88-90, 116-119, 123, 128, 131, 135, 137-171, 192-200, 202, 232-234, 236-238, 240-243, 245, 246, 249-251, 253]. Практически во всех работах по этому направлению исследуется динамика упругих элементов конструкций, являющиеся однородными и заполненные жидкостью, а также динамика данных конструкций в акустической среде.

Исследованиями вопросов создания математических моделей и динамических процессов в конструкциях, которые состоят из тонкостенных элементов и вязкой несжимаемой жидкости под действием вибрации, занимались: Н.Н. Иванченко, А.С. Орлин [55], М.Д. Никитин [75], М.Г. Круглов [56], С.Г. Роганов, К.П. Андрейченко [4-12], А.А. Скуридин [75], М.М. Чурсин, И.С. Полипанов [85], Л.И. Могилевич [137-167], А.А. Симдянкин [210-212], Д.А. Индейцев [85], С.К. Соколов [85], Р.М. Петриченко [174], В.С. Попов [192 200], Д.В. Кондратов [93-111]. Вопросами создания математических моделей существующих конструкций, когда на слой жидкости в таких конструкциях действует перепад давления, занимались такие ученые, как Л.Г. Лойцянский, М.А. Ильгамов [81-84], И.С. Громека [53], Н.А. Слезкин [213], J.R. Womersley [252] и другие.

Ранее были проведены исследования по ламинарным движениям жидкости, которая являлась вязкой и несжимаемой в цилиндрической трубе, являющейся абсолютно жесткой и бесконечно длинной. При действии на жидкость гармонического перепада давления исследования проводил И.С. Громека при действии внезапно приложенное давление [53], – Н.А. Слезкиным [213]. Задачами воздействия вибрации на погрешность поплавковых маятниковых акселерометров c учетом упругой податливости корпусов занимались К.П. Андрейченко [4-12] и Л.И. Могилевич [137-167].

Ранее рассматривалась задача для двух упругих соосных цилиндрических оболочек, жестко защемленными и их частные случаи, когда только одна из оболочек являлась упругой. При этом решение уравнений динамики упругих оболочек представлялось в виде линейной комбинации многочленов по продольной координате и решалось методом Бубнова-Галеркина в 1-ом приближении. В частности, исследованием ДВС с водяным охлаждением, абсолютно жестким блоком цилиндра двигателя и упругой гильзой цилиндра занимались Могилевич Л.И. [137-167] и Попов В.С. [192-200].

Попова А.А. и Могилевич Л.И. проводили исследования в конечной ребристой трубе, но не кольцевой. Кондратов Д.В. [93-111] и Могилевич Л.И.

занимались исследованием двух соосных упругих гладких [137-167] цилиндрических оболочек с жестким защимлением. Кондратова Ю.Н. [112-115] и Л.И. Могилевич занимались исследованием двух соосных упругих гладких цилиндрических оболочек со свободным опиранием на торцах.

Однако во всех этих работах не были рассмотрены вопросы по учету инерции движения вязкой жидкости, а также вопросы упругости внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки при учете в механической системе на концах свободного опирания.

Целью работы является построение математических моделей для исследования поведения механических систем, состоящих из двух соосных цилиндрических оболочек конечной длины, свободно опертых на концах, внешняя из которых является упругой геометрически нерегулярной оболочкой, а внутренняя – либо абсолютно жесткий цилиндр, либо геометрически регулярная упругая цилиндрическая оболочка, взаимодействующих со слоем вязкой несжимаемой жидкости с учетом инерции ее движения, находящейся между ними, при воздействии гармонически меняющегося перепада давления жидкости.

Задачи, необходимые решить для достижения поставленной цели:

1. Разработка и исследование математических моделей для сложных механических систем, состоящих из двух соосных упругих цилиндрических оболочек конечной длины, свободно опертых на концах, внешняя из которых является геометрически нерегулярной, а внутренняя –либо абсолютно жесткий цилиндр либо геометрически регулярная упругая цилиндрическая оболочка, содержащих сдавливаемый слой вязкой несжимаемой жидкости между ними, в условиях воздействия гармонического по времени давления на торцах.

2. Определение на основе построенных математических моделей амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик для внешней геометрически нерегулярной оболочки в условиях гармонического давления на торцах.

3. Численное исследование построенных математических моделей.

Научная новизна работы состоит в следующих положениях:

1. Предложена новая математическая модель механической системы, состоящей из двух соосных цилиндрических оболочек конечной длины, со свободным опиранием по торцам, внешняя из которых является геометрически нерегулярной, а внутренняя – абсолютно жесткий цилиндр, содержащих слой вязкой несжимаемой жидкости между ними при воздействии гармонически по времени изменяющегося давления на концах механической системы, отличающаяся от известных моделей одновременным учетом инерции движения жидкости, упругости внешней оболочки конечной длины, имеющей ребра жесткости, и учета свободного опирания оболочки на концах механической системы. Математическая модель представляет собой связанную систему дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих динамику упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки и жидкости с соответствующими граничными условиями.

2. Предложена новая математическая модель механической системы с упругими внешней геометрически нерегулярной и внутренней геометрически регулярной оболочками при гармонически изменяющегося давления на концах механической системы, отличающаяся от известных моделей одновременным учетом инерции движения жидкости, упругости внешней оболочки конечной длины, имеющей ребра жесткости, и внутренней геометрически регулярной оболочки конечной длины, а также учетом свободного опирания оболочек на концах механической системы.

3. Предложен метод исследования математических моделей механической системы с внешней геометрически нерегулярной упругой цилиндрической оболочкой, свободно опираемой на концах механической системы, и внутренним либо абсолютно жестким цилиндром либо упругой геометрически регулярной цилиндрической оболочки, при воздействии гармонически изменяющегося давления на концах механической системы, учитывающая упругую податливость упругих геометрически регулярной и геометрически нерегулярной оболочек и инерцию движения вязкой несжимаемой жидкости. Учет свободного опирания оболочек на концах определил вид решения уравнений динамики упругих геометрически регулярной и геометрически нерегулярной цилиндрических оболочек в виде бесконечных тригонометрических рядов по продольной координате, которые описывают нечетные и четные параметры и явления по этой координате.

4. Разработан проблемно-ориентированный программный комплекс, который позволяет производить расчет значений резонансных частот и величин амплитудно-частотных характеристик прогибов оболочек, в предложенных математических моделях, и рассчитать гидродинамическое давление в слое жидкости, а также, с использованием экспериментально полученного закона кавитационного истоньшения оболочек, произвести моделирование поведения величин амплитудно-частотных характеристик прогибов оболочек, в зависимости от времени работы.

5. Построенные новые математические модели позволили в широком диапазоне параметров исследовать влияние параметров жидкости и размеров механической системы на амплитудно-частотные характеристики оболочек.

Показано, что учет инерции движения жидкости, уменьшение вязкости жидкости, увеличение ширины слоя жидкости, уменьшение толщины внешней оболочки увеличивают величины АЧХ на резонансных частотах, в тоже время изменение мест расположения ребер жесткости, увеличение количества ребер жесткости на внешней оболочке уменьшает величины АЧХ на резонансных частотах. Кроме того изменение параметров системы позволяет смещать резонансные частоты по шкале частот, а значит дает возможность не только уменьшить АЧХ на резонансных частотах, но и сдвинуть сами величины резонансных частот из области рабочих частот механической системы, тем самым уменьшив негативное влияние на конструкцию.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением классических математических методов и известных методов возмущений для расчета, использованием апробированных и основополагающих принципов и подходов механики деформируемого твердого тела и механики жидкости. Полученные результаты не противоречат имеющимся физическим представлениям и известным экспериментальным данным.

Практическая ценность и реализация результатов. Полученные в диссертации результаты, могут найти применение при моделировании динамических процессов в сложных механических системах, состоящих из упругих цилиндрических геометрически регулярных и геометрически нерегулярных оболочек конечной длины, вязкой несжимаемой жидкости и абсолютно жестких тел, таких как силовые цилиндры, элементы конструкций жидкостных ракетных двигателей, системы подачи топлива и смазки, двигатели внутреннего сгорания с водяным охлаждением. Разработанные математические модели позволят уже на этапе проектирования, исходя из известных параметров работы механической системы и задаваемых требований прочности и износоустойчивости, выбрать наиболее оптимальные параметры системы.

Аналитическое решение, полученное в работе, позволит при использовании компьютерной техники существенно увеличить скорость расчетов. Кроме того, разработанный программный комплекс дает возможность определение влияния различных факторов на динамику механической системы.

Приведенные в работе математические модели и результаты их исследования можно использовать для исследования цилиндров двигателей внутреннего сгорания, для определения резонансных частот элементов трубопроводных систем, систем смазки и подачи топлива. Все аналитические и численные вычисления выполнены в системе Waterloo Maple 12 (государственный контракт №71-190А/6 от 18.11.2008).

Результаты диссертационной работы использованы:

в гранте РФФИ 12-01-31154-мол_а.

1.

в гранте Президента МД-1025.2012.8.

2.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Международных научных конференциях "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-25, ММТТ-26 (2012, 2013);

Международной конференции "Компьютерные науки и информационные технологии" (2012);

IX Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (2012);

II Всероссийской конференции "Критические технологии вычислительных систем" (2013), а также на семинарах кафедры "Прикладная математика и системный анализ".

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 16 научных работ [175-190] из них 3 работы опубликованы в периодических научных изданиях, рекомендуемых ВАК РФ для публикации основных результатов кандидатских и докторских диссертаций [175, 176, 186].

На защиту выносятся следующие положения:

Сформулированые в безразмерном виде задачи гидроупругости 1.

механических систем, включающие внешнюю упругую геометрически нерегулярную цилиндрическую оболочку конечной длины, свободно опираемую на концах, содержащую вязкую несжимаемую жидкость и соосный с оболочкой абсолютно жесткий неподвижный цилиндр либо соосную упругую геометрически регелярную цилиндрическую оболочку, при воздействии на них гармонического по времени перепада давления Представленные в работе математические модели могут быть использованы для описания трубопроводов кольцевого профиля, систем подачи топлива и смазки, двигателей внутреннего сгорания с водяным охлаждением, силовых цилиндров.

Определены амплитудно-частотные, фазочастотные характеристики 2.

и коэффициенты динамичности колебательной системы геометрически нерегулярная оболочка-жидкость и геометрически нерегулярная оболочка жидкость-геометрически регулярная оболочка, а также резонансные частоты в предположении гармонического закона изменения давления жидкости на концах механической системы.

Построен проблемно-ориентированный комплекс, который 3.

позволяет рассчитать для описанных в работе математических моделей величину резонансных частот АЧХ прогибов оболочек, определить величину гидродинамического давления на резонансных частотах. Кроме того построенный комплекс служит для моделирования поведения АЧХ прогибов упругих оболочек механической системы в зависимости от времени работы с учетом закона кавитационного истоньшения оболочек полученного экспериментально.Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

В первой главе рассматривается механическая система, которая состоит из двух соосных цилиндрических оболочек, имеющих конечную длину, свободно опертых на концах, внешняя оболочка из которых является геометрически нерегулярной, а внутренняя – абсолютно жесткий цилиндр, сдавливающих слой вязкой несжимаемой жидкости, при воздействии на систему гармонически меняющегося давления жидкости. Были сформулированы основные положения и допущения, описан объект исследования, построена математическая модель для решения данной системы.

Сформулированы основные уравнения гидроупругости для внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки, сделан переход к безразмерным переменным и выявлены малые параметры, которые позволяют линеаризовать задачу.

Во второй главе приводится решение построенной в первой главе математической модели. В результате решения находятся выражения для прогибов внешней геометрически нерегулярной упругой цилиндрической оболочки. Найдены амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики внешней упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки.

Были определены формулы для давления в слое жидкости. Была произведена оценка точности построенной математической модели. Найдены резонансные частоты. Показано, что изменениями размеров механической системы, параметров жидкости, параметров материала оболочки, а также параметров ребер жесткости можно добиться нужного диапазона рабочих частот.

В третьей главе рассматривается более сложная механическая модель, отличающаяся от описанной в первой главе тем, что вместо внутреннего абсолютно жесткого цилиндра рассматривается упругая геометрически регулярная цилиндрическая оболочка, свободно опираемая на концах, при воздействии на систему гармонически изменяющегося давления жидкости.

Определены амплитудно-частотные характеристики и фазочастотные характеристики внешней геометрически нерегулярной и внутренней геометрически регулярной оболочек. Произведено численное решение амплитудно-частотных характеристик для математической модели, когда внешняя оболочка является геометрически нерегулярной упругой оболочкой, а внутренняя геометрически регулярной упругой оболочкой. Также показано, что изменением размеров механической системы, параметров жидкости или параметров материала оболочки, а также параметрами ребер жесткости можно добиться нужного диапазона рабочих частот. Рассмотрен экспериментальный закон кавитационного истоньшения оболочек, с помощью которого произведено моделироване поведения АЧХ прогибов упругих оболочек механической системы в зависимости от времени работы. Было проведено сравнение результатов полученных аналитически и методом конечных элементов, которое показало, что результат полученный методом конечных элементов согласуется с результатами, полученными аналитически.

1. Постановка проблемы и основные положения 1.1 Основные положения и допущения На современном этапе развития техники стоит острая необходимость уменьшения веса различных конструкций. Однако современные конструкции должны выдерживать определенные нагрузки при различных воздействиях. В связи с этим, в промышленности, автомобильном, авиационном и железнодорожном транспорте, ракетокосмических системах часто используются сложные механические системы, которые состоят из двух оболочек цилиндрической формы, помещенных одна в другую, и между ними расположена жидкость. Примерами таких моделей могут служить телескопические шасси, жидкостные ракетные двигатели (ЖРД), плунжерная пара с полым плунжером и т.д. [17-18, 22, 27-28, 33,47, 55-64, 74-80, 85, 137, 139-140, 163-164, 173-174, 191-200, 210-212, 244]. Нетрудно видеть, что не в плунжерной паре, не в ЖРД по технологическим особенностям некоторые оболочки (внешнюю или внутреннюю) нельзя принимать за абсолютно жесткие оболочки, т.к. эти элементы должны быть в достаточной мере тонкими. Вязкая несжимаемая жидкость, расположенная между оболочками в таких моделях может предназначаться не только для демпфирования собственных колебаний оболочек, но и для их охлаждения. За счет вязкости жидкости происходит демпфирование, и колебания упругих оболочек подавляются. Жидкость можно считать несжимаемой за счет отсутствия больших скоростей и перепадов давления. Кроме того, упругие элементы конструкции могут быть подкреплены различными ребрами жесткости. Ребра жесткости могут быть необходимы как для гарантии конструкции необходимой жесткости, так и для отвода тепла или для закрепления с помощью ребер других элементов конструкции.

1.2 Описание объекта исследования Рассмотрим общую механическую модель, представленную на рис. 1.1 и рис. 1.2.

Внешняя оболочка является упругой цилиндрической геометрически нерегулярной оболочкой. Внутреннюю оболочку будем считать абсолютно жестким цилиндром. Между указанными цилиндрическими оболочками располагается вязкая несжимаемая жидкость. Радиус срединной поверхности внешней ребристой оболочки равен R а ее толщина в местах, где ребра жесткости отсутствуют, равна h0. Длины цилиндрических оболочек l – одинаковые, а упругие перемещения внешней ребристой оболочки намного меньше ширины цилиндрической щели. Течение жидкости осуществляется под действием давления, являющимся переменным по времени. Ширина = R1 R2 R2 цилиндрической щели кольцевого сечения, образованная двумя оболочками намного меньше, чем внешний радиус R2 внутренней оболочки и внутренний радиус R1 внешней оболочки. Радиус срединной h0 = 2(R R1 ) поверхности значительно больше толщины внешней R оболочки. Перемещение на торцах внутренней оболочки относительно внешней оболочки отсутствует. Полагаем, что рассматриваемая механическая система термостабилизирована.

Для слоя жидкости при изучении динамики механической системы, которая находится между внутренней и внешней оболочками, принимается модель вязкой несжимаемой жидкости. Именно учет вязкости обеспечивает демпфирующие свойства, что при резонансе не позволяет образоваться бесконечно большим прогибам упругой оболочки. Жидкость считается несжимаемой исходя из того, что скорость ее течения значительно меньше скорости звука (число Маха гораздо меньше единицы). Учет сжимаемости был бы необходим в том случае, если бы внешний источник, создающий вибрацию, Рис. 1.1 Механическая модель Рис. 1.2 Механическая модель в разрезе приводил бы к такой частоте колебания, что скорость течения жидкости в трубе была бы сравнима со скоростью звука (когда число Маха не менее 0,4). Но обычно внешний источник вибраций не дает такие частоты колебаний или перепад давления не настолько велик, что скорость движения жидкости в зазоре мала и можно считать жидкость несжимаемой.

Жидкость, используемая в существующих действительных механических системах, может пониматься как ньютоновская [28-29, 33, 120-122, 213, 225, 235, 253, 254].

Следовательно, модель рассматриваемой механической системы представляет собой трубу кольцевого сечения, образованную двумя цилиндрическими оболочками конечной длины, свободно опираемые по торцам, где внутренняя оболочка представляет собой абсолютно жесткий цилиндр, а внешняя оболочка – упругую геометрически нерегулярную оболочку, взаимодействующие между собой через слой вязкой несжимаемой жидкости на который действует гармоническое по времени перепад давления.

1.3 Математическая модель Для рассматриваемой механической системы строим математическую модель. Для этого вводится система координат O1 x1 y1 z1, которая связана с основанием, с прикрепленной к нему механической системой, то есть центр системы координат находится в геометрическом центре соосных O цилиндрических оболочек в невозмущенном состоянии. Считаем, что отсутствует составляющая виброускорения вдоль оси O1 y1. Обозначим через виброускорение основания. Вспомогательно, введем еще 0, xz цилиндрическую систему координат r,, y (где nr, n, j – являются ортами цилиндрической системы), которая будет соответствовать требованиям: ее полюс должен совпадать с O1 и должны совпадать направления осей O1 y1, Oy декартовой и цилиндрической систем координат (Рис. 1.3).

Рис. 1.3 Цилиндрическая система координат Поскольку рассматриваемая модель относительно оси Oy является симметричной, то можно рассматривать случай осесимметричный, тем самым упростив постановку данной задачи.

Рассмотрим движение вязкой несжимаемой жидкости, которая расположена между двумя упругими соосными цилиндрическими оболочками [222].

Тогда для вязкой несжимаемой жидкости в выбранной системе координат r,, y, которая жестко связанной с центром координат, учитывая переносное движение основания уравнения Навье – Стокса и уравнение неразрывности для осесимметричного случая в скалярном виде примут вид [143, 144, 147, 149]:

2V 1 Vk 2Vk Vr Vk V V 1 p + 2k + + 2 2, + Vr k + V y k = (1.1) r r t r y k r r y Vr Vr V y ++ = 0.

r y r Где k = r или y ;

= 1 при k = r, = 0 при k = y ;

y – координата, проходящая вдоль оси симметрии Oy ;

p – давление вязкой несжимаемой жидкости;

V y, Vr – в цилиндрической системе координат (nr, j ) в которой начало O расположено в центре внутренней оболочки являются компонентами вектора скорости жидкости;

t – время;

– кинематический коэффициент вязкости;

r – расстояние от оси Oy ;

– плотность жидкости.

Граничные условия для цилиндрической системы координат на непроницаемой поверхности внешней и внутренней оболочек в цилиндрическом зазоре для системы уравнений (1.1) выглядят так Vr = u3 t, V y = u1 t при r = R2 + + u3 ;

` (1.2) Vr = 0, V y = 0 при r = R2 ;

u1 = u1 ( y,, t ) – упругое продольное перемещение оболочки, которое является положительным в направлении n s, противоположным направлению j ;

u3 = u3 ( y,, t ) – прогиб оболочки, который является положительным в направлении n, совпадающим с nr и противоположным направлению к центру кривизны;

Также на торцах механической системы вводятся необходимые условия для давления:

p = pT при y = l 2, (1.3) + p = pT при y = l 2, + где pT, pT – давление на торцах.

Внешняя поверхность внешней оболочки трубы представляет собой геометрически нерегулярную оболочку, имеющую n ребер жесткости у которых высота изменяется ступенчато. Ребра являются внешними шпангоутами.

Крепление геометрически нерегулярной оболочки на торцах имеет свободное опирание.

Ребра жесткости определяются длиной * j, высотой h pj и своей продольной координатой начала ребра y j. Если двигаться вдоль оболочки, то высота ребра будет меняться скачкообразно. Т.к. внутренняя поверхность оболочки гладкая, то нормальная к координатной поверхности координата z h этой оболочки является постоянной z1 =.

Также в тех частях внешней поверхности оболочки, где нет ребер h жесткости, она постоянна z 2 =, а ребра, которые расположены вдоль оси Oy в точках y j ( j = 1,2,..., n), ограниченны по высоте поверхностями h h pj.

z 2 = h pj h0 = 1 h pj Таким образом, получается, что внешняя оболочка имеет разрывы в точках оси Oy и в связи с этим возникает трудность в ее описании. Можно воспользоваться единичной функцией Хевисайда Г ( y ), которая определяется как 0, если y Г ( y) = 1, если y Тогда изменения высоты ребра имеющий ступенчатый характер можно представить по продольной координате с помощью разностей функций Хевисайда. Тогда внешнюю поверхность оболочки можно описать с помощью общего уравнения:

h h0 n + 1 0 hpj yj, z2 = 2 j =1 hpj где yj = ( y y j ) ( y y j 0* j ), ( y ) – единичная функция Хевисайда по продольной координате;

- точка, когда по продольной координате yj появляется ребро.

Чтобы вывести уравнения динамики ребристой оболочки применяется вариационный интегральный принцип Гамильтона. Принцип Гамильтона в цилиндрической системе координат можно записать в виде:

t 1 [L + (q, u )]dt = 0, t (1.4) 1 z u z u z ( s sz + z + s yz )dzd, L = 0 (1.5), 2 z t t где 0 – плотность материала оболочки;

L – функция Лагранжа;

q – является вектором поверхностных усилий;

u z – вектор упругих перемещений точек оболочки, которые находятся на расстоянии z от координатной поверхности;

yz, z, yz – являются компонентами тензора упругой деформации;

y,, y – являются компонентами тензора напряжений;

u = u1n y + u2 n + u3 n – вектор упругих перемещений координатной поверхности оболочки ( n y, n, n – являются продольным и окружным направлениями в координатной поверхности оболочки и нормаль к ней);

d = Rdds.

Согласно гипотезам Кирхгофа-Лява, имеем:

u u = u1 n y + u2 n + u3 n, u1 = u1 z z z z z, y 1 u3 u u2 = u2 z, u3 = u3, z z (1.6) R R ( yz + µ0 z ), = E 2 ( z + µ0 yz ), y = E yz, E y = 2(1 + µ 0 ) 1 µ0 1 µ 1 2u3 u 1 u 2 u 2 u u z 2, = = + z 2 2, z z R R R y y y 2 2u3 u 1 u1 u yz = z, + R y y R y где µ 0 – коэффициент Пуассона, Е – модуль Юнга материала оболочки.

l l 0 2 ) ( y, Для оболочки уравнение (1.4) после 2 преобразования функции Лагранжа (1.5), в соответствии с уравнениями (1.6), и интегрирования по z можно записать в виде:

N1p S p 2u t1 n + Rq y Rh0 0 21 1 + k1 j yj u1 + y + R t t j = S p N 2p 1 M 2p H p + R + + +2 + Rq (1.7) R y y 2 M 1p 1 2 M 2p 2u2 H p n 1 + k1 j yj u 2 + R Rh0 0 +2 + R 2 y t 2 y j = 2 u3 n N + Rqn Rh0 0 2 1 + k1 j yj u3 dyddt p t j = l u H p M 1p t1 RN1pu1 + (RS p + H p )u2 + R u3 RM 1p 3 d dt +2 y l y t l 1 M 2p H p p 1 p [S u1 + N 2 + M 2 u2 + t1 R + 2 y u p R t l l u u 2 u t 1 M 2p 3 dydt + 2 H pu3 dt + Rh 0 1 u1 + 0 2 u2 + t t 0 R t 0 l t u n + 0 3 u3 1 + k1 j yj dyd = 0, t t j = Eh0 n n y 1 + k1 j yj + 2 y h0 k2 j yj ;

где S p = 2(1 + µ0 ) j =1 j = Eh03 n y 1 + k3 j yj + H= p 12(1 + µ0 ) j = Eh0 n y h0 k2 j yj ;

+ 2(1 + µ0 ) j = Eh0 n ( y + µ0 )1 + k1 j yj + N= p 1 µ0 j = + ( y + µ0 )h0 k2 j yj ;

n j = Eh0 n ( + µ0 y )1 + k1 j yj + N= p 1 µ0 j = n + ( + µ0 y )h0 k2 j yj, j = Eh03 n ( y + µ0 )1 + k3 j yj + M 1p = 12(1 µ0 ) j = ( y + µ0 )h0 k2 j yj, Eh0 n + 1 µ02 j = Eh03 n ( + µ0 y )1 + k3 j yj + M= p 12(1 µ0 ) 2 j = ( + µ0 y )h0 k2 j yi, Eh0 n + 1 µ02 i = h h h 1 h0 pj, k 2 j = 1 0 pj2, k1 j = h 2h hpj h0 pj h 1 h0 4 2 h0 + h0 pj, k3 j = h pj h pj h h pj где y,, y, y,, y являются компонентами деформации координатной поверхности оболочки, которые связаны следующими соотношениями с компонентами вектора перемещений:

1 u2 u1 u2 1 u1 2 u y = ;

= + u2 ;

y = ;

y = 2 ;

+ R y R y y 1 u2 2u3 1 u2 2u = 2, y =.

R 2 R y y Из вариационного уравнения (1.7) получаем необходимые уравнения динамики упругой геометрически нерегулярной оболочки и соответствующие краевые условия. Три уравнения динамики оболочки получаются, если в первом интеграле обратить в нуль коэффициенты при независимых вариациях.

Остальные члены уравнения (1.7) определяют краевые условия задачи.

В случае осесимметричной деформации ребристой оболочки уравнения имеют вид [6]:

N1p 2u n h0 0 21 1 + k1 j yj = q y, (1.8) y t j = 2 M 1p 1 p 2u n N 2 h0 0 22 1 + k1 j yj = qn, y t R j = где зависимости обобщенных сил N1p, N2p и обобщенного момента M1p от перемещений имеют вид Eh0 u1 1 u2 n n + µ0 u2 1 + k1 j yj h0 k2 j yj, N= p (1.9) 1 µ0 y y R 1 j =1 j = Eh0 1 u1 2W n n 1 + k1 j yj µ0 y 2 h0 k2 j yj ;

u3 + µ N= p 1 µ0 R y j =1 j = Eh0 u Eh03 2u3 1n n + µ0 u3 h0 k2 j yj, 1 + k3 j yj + M = p R j = 1 µ0 y 12(1 µ02 ) y j = и для перемещений на торцах граничные условия имеют вид 2 u u1 l l = 0 при y = и y =.

= 0, u3 = 0, (1.10) y y 2 Подставляя (1.9) в (1.8) окончательно получим уравнения динамики ребристой оболочки, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява, в цилиндрической системе координат при осесимметричной деформации:

Eh0 u1 u3 u3 n n µ 0 1 + k1 j yj + h0 k 2 j yj = (1.11) 1 µ 02 y y y R j =1 j = 2u1 n 1 + k1 j yj q y, = h0 0 t 2 j = 2 Eh03 Eh0 u1 u n 2 u3 n 1 + k3 j yj + µ 0 3 h0 k 2 j yj + y 2 12(1 µ 02 ) y 2 j =1 1 µ 0 y R j = u3 u1 2 u3 n 1 Eh0 n 1 + k1 j yj µ 0 h0 k 2 j yj = µ + y R 1 µ 02 y 2 j = R j = 2 u3 n 1 + k1 j yj + qn, = h0 0 t j = h pj h0 hpj h0 h0 h02 hpj 2 h где k1 j = 1 0.

h k2 j = 1 h 2h 2 k3 j = 1 h 4 2 h + h 2 h,, h pj pj pj pj 0 0 pj yj = ( y y j ) ( y y j 0 j *), ( y ) Здесь является единичной – функцией Хевисайда по продольной координате y ;

0 – коэффициент Пуассона материала оболочки;

y j – является точкой, когда ребро появляется по продольной координате;

0 – плотность материала оболочки;

E – модуль Юнга материала оболочки.

Граничные условия свободного опирания внешней геометрически нерегулярной оболочки имеют вид [36, 37, 46]:

2 u u1 l = 0 при y = ±.

= 0, u3 = 0, (1.12) y y Поверхностная нагрузка представляется напряжением, которое действует со стороны жидкости ^ ^ q y = pry cos ( n, nr )+ p yy cos ( n, j ), (1.13) r = R2 + + u ^ ^ q n = p rr cos (n, nr )+ p ry cos (n, j ), r = R2 + + u где n – является единичным вектором нормали к срединной поверхности оболочки;

nr, j – единичные векторы введенной цилиндрической системы координат.

2 h h pj h pj 1 h0 4 2 h0 + h0 pj, h h k1 j = 1 0, k 2 j = 1 0,k = h h 2h 2 3 j h h h pj h pj h 2 0 pj pj pj V V V y Vr, p ry = r +, p yy = p + 2 y, p rr = p + 2 y r r y R2 + + u 3 R + + u3 u ^ ^ cos (n, nr ) =, cos (n, j ) = 2, y N N u N = ( R2 + + u 3 ) 1+ 3.

y Таким образом, нашли математическую модель механической системы, которая состоит из двух соосных цилиндрических оболочек, внешняя из которых является упругой геометрически нерегулярной оболочкой, а внутренняя – абсолютно жесткий цилиндр, взаимодействующих между собой посредством слоя вязкой несжимаемой жидкости при существовании приложенного на торцах гармонического по времени перепада давления.

Математическая модель построенной механической системы имеет вид связанной системы уравнений, которая включает в себя нелинейные уравнения в частных производных Навье–Стокса и уравнение неразрывности (которые необходимы, чтобы описать динамику жидкости, расположенную между цилиндрическими оболочками), уравнения в частных производных, которые описывают динамику упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки оболочек, полученные исходя из гипотез Кирхгофа–Лява с использование вариационного принципа Гамильтона и соответствующие им граничные условия.

1.4 Переход к безразмерным переменным Чтобы решить выведенную связанную систему уравнений (1.1)-(1.3), (1.11), (1.12) необходимо осуществить переход к безразмерным переменным.

Выберем следующие безразмерные переменные (r R2 ), =, = t, = 2 y, = l = l 2R wm ) l ( (1) Vr = wm u,, V y = u ;

(1.14) 2 R 2 (1) (1) (1) (1) (1) (1) = wm U 3, Re = u1 = um U 1, u3, = 1, R wm ) ( E (1) () (1) = 1 ;

c (1) )) ( =, i = 1, 2.

0 1 (µ (1) (1) При этом в слое жидкости редуцированное давление для цилиндрического зазора будет иметь вид:

wm ) ( p = p0 + R2 P. (1.14) Re Выбранный набор безразмерных переменных, согласно –теореме (теореме Бакингема), не является однозначным. В выведенной системе безразмерных переменных можно найти 4 безразмерные параметры подобия:

, (1),, Re. Используемое в работе колебательное число Рейнольдса ( Re) представляет собой критерий подобия, введенный Л.Г. Лойцянским [149], и V находится как произведение классического числа Рейнольдса R = на число Струхаля Sh =.

V Считаем, что отношение к R2 в исследуемой сложной механической системе очень мало. Величина представляет собой малый параметр, характеризующий относительную ширину слоя вязкой несжимаемой жидкости, находящейся между внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки и внутренним абсолютно жестким цилиндром.

Введение малого параметра позволит упростить постановку связанной задачи гидроупругости (1.1)–(1.3), (1.11), (1.12).

Тогда уравнения динамики вязкой несжимаемой жидкости (1.1) в безразмерных переменных (1.14) с учетом малости параметра (в нулевом приближении по ) будут иметь вид:

P = 0, (1.15) u u u 2 R 2 P u (1) + u l + 2, = + u Re u u + = 0.

Граничные условия (1.2), (1.3) в безразмерных переменных (1.14) на непроницаемых поверхностях с учетом малости параметра запишутся в виде:

U 31) ( ;

u = 0 при = 1 + (1)U 31) ;

( u = (1.16) u = 0 ;

u = 0 ;

u = 0 при = 0, P = P + при = 1, P = P при = 1.

где P + = Pm + sin, P = Pm sin – гармонические функции времени.

Уравнения динамики внешней упругой геометрически нерегулярной оболочки (1.11) учетом условия 1 запишутся в виде:

um ) 1 2U1(1) ( 1 R2 U 31) ( n 1 + k1 j yj + (1) 2 µ w 2 R (1) j =1 m (1) (1) 1 R2 (1) um 1 U 1 n U k + µ (1) w R (1) 3 j =1 1 j yj m h01) 1 3U 31) n ( ( 1 R2 (1) 1 n 3 k 2 j yj + µ0 R (1) U 3 k1 j yj = + R2 j = j = um ) R2 2 2U 1(1) (1 2 n 1 + k1 j yj wm ) c 2 2 ( j = (h( ) ) 1 4U 31) n ( 3U 31) n ( 2U 31) n ( k3 j yj + k3 j yj + k3 j yj + 4 4 j =1 3 j =1 2 j = 12 R2 h01) um ) 1 3U1(1) ( (1 2 (1) n ( R 1 U µ01) (2 ) 2 k 2 j yj + (1) + (1.17) R2 wm 3 R 1 2 j = h01) um ) 1 2U1(1) ( (1 (1) (1) R2 1 U 3 n k 2 j yj + (1) 2 µ0 (1) + R2 wm 2 R j = h01) um ) 1 U1(1) ( (1 n (1) R2 (1) µ0 (1) U 3 2 k 2 j yj + (1) + R2 wm j = R (1) (1) R2 R2 (1) (1) um 1 U n 1 + k1 j yj + (1) (1) U 3 µ0 (1) R R wm j = h01) 1 2U 31) n ( ( µ01) ( k2 j yj = R2 2 2 j =1 um ) R2 2 2U 31) (1 ( 2 n + (1) (1)R21) 2 qn1), ( 1 + k1 j yj (1) ( wm 0 h0 c wm c j = Условия свободного опирания внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки на концах механической системы запишутся в виде U1(i ) 2U 3i ) ( = 0, U 3i ) = 0, ( = 0 при = ±1. (1.18) Таким образом, получили задачу гидроупругости внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки конечной длины свободно опираемой на концах, взаимодействующей со сдавливаемым слоем вязкой несжимаемой жидкости. Решением указанной задачи будут являться выражения для компонент скорости жидкости, гидродинамического давления и перемещений внешней упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки.

2. Решение задачи гидроупругости геометрически нерегулярной трубы кольцевого профиля с абсолютно жестким внутренним цилиндром 2.1 Метод решения задачи гидроупругости Решение, поставленной в первой главе задачи гидроупругости, будем осуществлять методом возмущений [24, 120] совместно с методом заданных форм [45, 48-52]. Будем предполагать, что относительный прогиб внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки (1) является малым параметром задачи, т.е. является величиной значительно меньше единицы.

Данное предположение будет проверено расчетами в конце исследования.

Кроме того, малость относительного прогиба оболочки действительно имеет место быть применительно к реально существующим механическим системам, применяемым в различных отраслях науки и техники. Введенный малый параметр (1) позволяет линеаризовать задачу.

Решение получившейся линейной задачи будет определяться частным решением неоднородных линейных уравнений, которые представляются как гармонические функции по времени имеющие коэффициенты, зависящие от координат [38, 39]. Заметим, что общее решение однородного уравнения для данного случая может не рассматриваться из-за наличия в системе вязкой несжимаемой жидкости. Это означает, что не исследуется переходный процесс.

Присутствие демпфирования ведет к тому, что через какой-то промежуток времени переходный процесс быстро затухает, вследствие чего начальные условия перестают влиять на колебания и появляются только постоянные (периодические или гармонические) вынужденные колебания. Таким образом, если процессы более длительные, чем переходный процесс, тогда общее решение однородных уравнений и соответствующих им начальных условий можно не учитывать изначально [11, 20, 23].

Рассмотрим задачу гидроупругости (1.15)- (1.18).

Так как в задачу гидродинамики включен малый параметр (1) 1, который характеризует относительный прогиб внешней оболочки, то решение можно представить с помощью асимптотического разложения по степеням малого параметра (1) :

P = P0 + (1) P +..., (2.1) u = u0 + (1)u1 +..., u = u 0 + (1)u1 +..., u = u 0 + (1)u1 +..., U 1(1) = U 10) + (1)U 11) +..., U 21) = U 20) + (1)U 21) +..., U 31) = U 30) + (1)U 31) +....

(1 (1 ( (1 (1 ( (1 ( Подставляя выражения в уравнения (1.15), с (2.1) (1.17) соответствующими граничными условиями (1.16), (118) и приравняв к нулю стоящие при соответствующих степенях (1) коэффициенты, получим в нулевом приближении по (1) уравнения динамики вязкой несжимаемой жидкости [121, 122, 125, 127] P = 0, u 1 P0 u +2 = 0, (2.2) Re u 0 u + = 0;

и новые граничные условия на непроницаемых поверхностях U 30) ( ;

u 0 = 0 при = 1, = u u 0 = 0 ;

u 0 = 0 при = 0, (2.3) P0 = P + при = 1, P0 = P при = 1.

(1) В нулевом приближении по уравнения динамики внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки запишутся в виде:

um ) 1 2U1(1) ( 1 R2 U 31) ( n 1 + k1 j yj + (1) 2 µ w 2 R (1) j =1 m (1) (1) 1 R2 (1) um 1 U 1 n U k + µ (1) w R (1) 3 j =1 1 j yj m h01) 1 3U 31) n ( ( 1 R2 (1) 1 n k2 j yj + µ0 R(1) U 3 k1 j yj = + R2 3 j =1 j = um ) R2 2 2U 1(1) (1 2 n 1 + k1 j yj wm ) c 2 2 ( j = (h( ) ) 1 4U 31) n ( 3U 31) n ( 2U 31) n ( k3 j yj + 3 k3 j yj + 2 k3 j yj + 4 4 j = 12 R2 j =1 j = h01) um ) 1 3U1(1) ( (1 2 (1) n (1) R2 1 U k 2 j yj + (1 µ0 (1) + (2.4) R2 wm ) 3 3 R 2 j = h01) um ) 1 2U1(1) ( (1 (1) (1) R2 1 U 3 n k 2 j yj + (1) 2 µ0 (1) + R2 wm 2 R j = h01) um ) 1 U1(1) ( ( (1) n (1) R µ0 (1) U 3 2 k 2 j yj + (1) + R2 wm R j = (1) (1) R2 R2 (1) (1) um 1 U n 1 + k1 j yj + (1) (1) U 3 µ0 (1) R R wm j = h01) 1 2U 31) n ( ( µ01) ( k2 j yj = R2 2 2 j =1 u m ) R2 2 2U 31) (1 ( (1) 1 + k1 j yj + 11) (1)R21) 2 p0 + R2 wm P.

2 n = (1) w( h( c 2 Re wm c 2 j =1 m 0 Граничные условия свободного опирания на концах внешней оболочки запишутся в виде U1(i ) 2U 3i ) ( = 0, U 3i ) = 0, ( = 0 при = ±1. (2.5) 2.2 Решение уравнений динамики жидкости Предположим, что на концах механической системы давление жидкости меняется по гармоническому от времени закону. Данное предположение означает, что если изменение давления происходит не по гармоническому закону, то такое изменение давления может быть представлено в виде в ряда Фурье и затем найдены все необходимые неизвестные параметры жидкости и оболочки, такие как давление в слое жидкости, компоненты скорости жидкости и компоненты упругих перемещений геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки.

Будем решать уравнения динамики жидкости (2.2) в предположении, что форма перемещений внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки неизвестна и будет найдена при решении уравнений динамики внешней упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки.

Тогда найденные для компонент скорости жидкости и гидродинамического давления будут иметь вид:

2 P P L2 ( )d + L1 ( )d, u = 2 2 0 P L2 ( )P + L1 ( ), u = (2.6) 2 2 2 2 (1) ( ) ( ) 1+ ( 1) 2 2 U 3 + + P= P +P + P P 1 2 2 ] ] 2 2 (1) (1) (1) U 3 dd 2 2 U 3 + + 12 U 3 dd где {[1 F1 ()]A + F2 () B 4 F4 ()C};

L1 () = 2A L2 () = {F3 () A F4 () B 4 F2 ()C};

F1 ( ) = ch cos, A 1 F2 () = (ch sin + sh cos ), F3 () = sh sin, F4 () = (ch sin sh cos ), = A = F 2 2 ( ) + 4 F 4 2 ( ),, B = 4 F3 () F4 () + F1 () F2 () F2 (), C = F2 () F3 () F1 () F4 () + F4 (), d 1 f Fi ( ) = Fi ( ) =1, (c1 c2 ), i = 1,4 ;

= = 2 2 d = 1+,, d + f2 6 d + f sh sin (c1 + c2 ), c1 = f=, c2 =, ch + cos ch + cos 1 1 L1 ( )d = 2 d, L2 ()d = 2 f.

0 2.3 Решение уравнений динамики внешней упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки Для решения уравнений динамики упругой цилиндрической геометрически нерегулярной оболочки необходимо выбрать вид решения.

Такой метод является достаточно традиционным в механике деформируемого твердого тела. Исходя из вида граничных условий (2.5) и полученного решения решение (2.6), вид упругих перемещений внешне упругой оболочки можно выбрать в следующем виде:

( ) ( ) 2k (1) u1 = u m U 1 = u110 k + u11)k ( ) sin + u120 k + u12)k ( ) cos k, (1) (1) (1) (1 (1) ( k =1 ( ) ( ) 2k (1) u3 = wm U 3 = u310 k + u31)k ( ) cos + u320 k + u32)k ( ) sin k. (2.7) (1) (1) (1) (1 (1) ( k =1 При этом будем считать, что коэффициенты u11), u12), u31) и u32) – гармонические (i (i (i (i (i ) (i ) (i ) (i ) функции по безразмерного времени, а u110, u120, u310 и u320 не зависят от.

Подставляя (2.6) и (2.7) в уравнения динамики внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки (2.4), а также в граничные условия (2.5), получим систему интегродифференциальных уравнений, решением которой будут выражения для коэффициентов (2.7). Приравняем при соответствующих тригонометрических функциях имеющиеся коэффициенты, получаем систему алгебраических уравнений следующего вида:

At X = B, где At – размерности 8n 8n составленная из коэффициентов при неизвестных u11)k sin u11k, u12)k sin u11k, u31)k sin u11k, u32)k sin u11k, u11)k cos u11k, u12)k cos u11k, (1 (1 (1 ( (1 ( u31)k cos u11k, u32)k cos u11k, k = 1..n, где n – количество слагаемых рядов (2.7).

( ( Вектор – столбец X = [ u31)k sin u11k, u31)k cos u11k, u32)k sin u11k, u32)k cos u11k, (1 (1 ( ( u11)k sin u11k, u11)k cos u11k, u12)k sin u11k, u12)k cos u11k ]. Столбец B – столбец (1 ( (1 ( свободных членов системы. Следует отметить, что при увеличении количества слагаемых в рядах, описывающих перемещение оболочек (2.7) будет расти порядок матрицы At, что будет увеличивать время и трудоемкость вычисления соответствующих выражений. Коэффициенты матрицы для одного At слагаемого рядов (2.7) равны:

1 1 1 1 1 + (1) + 1 + + 2 + + + 2 + 2 +, At11 = 48 + R2 + + (c ( ) ) 01) h ( Re () (R ( ) ) (1) (1) (1) 2 Kk 1 h0 µ 0 K 2 k 2 1 h0 K 3 k + At 21 = R2 + (c ) () R (1) () (1) 2 4 4 R 12 2 R 1 8 R2 2 2 2 w + R2, n K1 = k1 j ( f1 (q1 ) f1 (w1 )), + + ()() () (1) c (1) 2 01)h01) Re c (1) (( R 2 j = K 2 = k 2 j ( f 2 (q2 ) f 2 (w2 )), f1 (q1 ) = sin (q1 ) + q1, f1 (w1 ) = sin (w1 ) + w1, n j = K 3 = k 3 j ( f 3 (q3 ) f 3 (w3 )), f 2 (q 2 ) = 3 sin (q 2 ) + q 2, f 2 (w2 ) = 3 sin (w2 ) + w2, n j = f 3 (q3 ) = 5 sin (q3 ) + q3, f 3 (w3 ) = 5 sin (w3 ) + w3, At 31 = 0, () () (1) (1) (1) 2 1 2 2 R (1) Kk 1 h0 µ0 K 5 k 2 1 h0 K 6 k At 41 = R2 +1 + +, () () R (1) 3 c (1) 2 (1) 2 12 4 R R 1 3 f 4 (q1 ) = 3 cos q1 + cos q1, K 4 = k1 j ( f 4 (q1 ) f 4 (w1 )), n 2 2 j = 1 3 f 4 (w1 ) = 3 cos w1 + cos w1, K 5 = k 2 j ( f 5 (q2 ) f 5 (w2 )), n 2 2 j = 1 3 f 5 (q2 ) = 9 cos q2 + 11cos q2, f 5 (w2 ) = 9 cos w2 + 11cos w2, 2 2 1 3 f 6 (q3 ) = 3 cos q3 + 5 cos q3, K 6 = k 3 j ( f 6 (q3 ) f 6 (w3 )), n 2 2 j = 1 3 f 6 (w3 ) = 3 cos w3 + 5 cos w3, At51 = 0, 2 2 (1) 1 µ 0 R2 K 7 k1 1 h0 K 8 k 2 1 µ 0R2 n k1 j ( f 7 (q1 ) f 7 (w1 )), At61 = + + K7 =, 4 R (1) 2 R (1) 16 3 R2 j = K 8 = k 2 j ( f 8 (q2 ) f 8 (w2 )), f 7 (q1 ) = sin (q1 ) q1, f 7 (w1 ) = sin (w1 ) w1, n j = f 8 (q2 ) = sin (q2 ) q2, f 8 (w2 ) = sin (w2 ) w2, At71 = 0, (1) 1 R2 µ 0 K 9 k1 1 h0 K10 k 2 n k1 j ( f 9 (q1 ) f 9 (w1 )), At81 = K9 =, 6 R (1) 24 3 R2 j = 3 1 f 9 (q1 ) = cos q1 3 cos q1, f 9 (w1 ) = cos w1 3 cos w1, 2 2 K10 = k 2 j ( f10 (q2 ) f10 (w2 )), f10 (q2 ) = 3 cos q2 cos q2, n j = 1 3 f10 (w2 ) = 3 cos w2 cos w2, At12 = At 21, 2 2 1 1 1 1 1 + (1) + 1 + + 2 + + + 2 + 2 +, At 22 = 48 + R2 + + (c ( ) ) 01) h ( Re At32 = At 41, At 42 = 0, At52 = At61, At62 = 0, At72 = At81, At82 = 0, At13 = 0, () () (1) (1) (1) 2 1 2 2 R (1) Kk 1 h0 µ0 K11k 2 1 h0 K12 k = R2 +1 + + 2, At () () R (1) 3 c (1) 2 (1) 2 12 4 R R 1 3 f11 (q2 ) = 27 cos q2 + 17 cos q2, K11 = k 2 j ( f11 (q2 ) f11 (w2 )), n 2 2 j = 1 3 f11 (w2 ) = 27 cos w2 + 17 cos w2, K12 = k 3 j ( f12 (q3 ) f12 (w3 )), n 2 2 j = 1 3 f12 (q3 ) = 15 cos q3 + 13 cos q3, f12 (w3 ) = 15 cos w3 + 13 cos w3, 2 2 1 1 1 1 1 + (1) + 1 + + 2 + + + 2 + 2 +, At33 = 12 + R2 + + (c ( ) ) 01) h ( Re () (R ( ) ) (1) (1) (1) 2 Kk 1 h0 µ0 K14 k 2 1 h0 K15 k + = R2 + + + 13 At (c ) () R (1) () (1) 2 2 4 R 12 4 R 2 R2 2 2 2 w R2, n K13 = k1 j ( f13 (q1 ) f13 (w1 )), + + + ()() () (1) 2 2 (1)h (1) Re c (1) R (1) j = c f13 (q1 ) = sin (2q1 ) 2q1, f13 (w1 ) = sin (2w1 ) 2w1, K14 = k 2 j ( f14 (q2 ) f14 (w2 )), n j = f14 (w2 ) = 3 sin (2w2 ) 2w2, f14 (q2 ) = 3 sin (2q2 ) 2q2, K15 = k 3 j ( f15 (q3 ) f15 (w3 )), f15 (q3 ) = 5 sin (2q3 ) 2q3, n j = (1) 1 R2 µ 0 K 9 k1 1 h0 K10 k f15 (w3 ) = 5 sin (2w3 ) 2w3, = + At53 = 0,, At 3 R (1) 3 3 R (1) 1 µ 0 R2 K16 k1 1 h0 K17 k 2 µ 0R = + At73 = 0,, At 4 R (1) R (1) 4 3 R n k1 j ( f16 (q1 ) f16 (w1 )), f16 (q1 ) = sin (2q1 ) + 2q1, K16 = j = n k 2 j ( f17 (q2 ) f17 (w2 )), f16 (w1 ) = sin (2w1 ) + 2w1, K17 = j = f17 (q2 ) = sin (2q2 ) + 2q2, f17 (w2 ) = sin (2w2 ) + 2w2, At14 = At 23, At 24 = 0, At34 = At 43, 1 1 1 1 1 + (1) + 1 + + 2 + + + 2 + 2 +, At 44 = 12 + R2 + + (c ( ) ) 01) h ( Re At54 = At63, At64 = 0, At74 = At83, At84 = 0, At15 = 0, (1) (1) 2 (1) 1 µ 0 R2 K1k1 1 h0 K18 k 2 1 µ 0 R2 n k 2 j ( f18 (q2 ) f18 (w2 )), = + K18 =, At 4 R (1) 2 R (1) 16 3 R2 j = f18 (q2 ) = 5 sin (q2 ) + q2, f18 (w2 ) = 5 sin (w2 ) + w2, At35 = 0, (1) (1) 1 R2 µ 0 K 4 k1 1 h0 K19 k 2 n k 2 j ( f19 (q2 ) f19 (w2 )), = K19 =, At 6 R (1) R2 12 j = 1 3 1 3 f19 (q2 ) = 3 cos q2 + 5 cos q2, f19 (w2 ) = 3 cos w2 + 5 cos w2, 2 2 2 2 1 4 R2 2 2 1 4 R2 2 2 2 2 K 7 k1 2 = + At55 = 0, At75 = 0,, At () () 8 c (1) 2 2 4 (1) c 4 R 2 2 + k1 2 2 2 K 9 + 1 + 2 +, 1 1 At85 = () (1) c (1) (1) 2 (1) 1 µ 0 R2 K1k1 1 h0 K18 k 2 1 µ 0 R =, At 26 = 0, At36 = At 45, At 46 = 0, At 4 R (1) 2 R (1) 16 3 R At56 = At65, At66 = 0, At76 = At85, At86 = 0, At17 = 0, (1) (1) 1 µ 0 R2 K 4 k1 1 h0 K 20 k 2 n k 2 j ( f 20 (q2 ) f 20 (w2 )), = + K 20 =, At 3 R (1) 3 R 12 j = 3 1 f 20 (w2 ) = 15 cos w2 + 13 cos w2, f 20 (q2 ) = 15 cos q2 + 13 cos q2, 2 2 (1) (1) 2 (1) 1 µ 0 R2 K13 k1 1 h0 K 21k 2 µ 0 R = + + At37 = 0,, At R (1) R (1) 4 3 R n k 2 j ( f 21 (q2 ) f 21 (w2 )), f 21 (q2 ) = 5 sin (2q2 ) 2q2, K 21 = j = f 21 (w2 ) = 5 sin (2w2 ) 2w2, At57 = 0, R 2 2 = + k1 2 2 2 K 9 + 1 + 2 +, 1 1 At77 = 0, At () (1) c 1 R2 2 2 R 2 2 2 2 K16 k1 2 2 = + At18 = At 27, At 28 = 0,, At () () 4 c (1) 2 2 (1) c R 2 2 2 2 1 1 K 9 + 1 + 2 +, At68 = 0, = + k1 + At38 = At 47, At 48 = 0, At () (1) 2 c At78 = At87, At88 = 0.

Решая описанную выше систему линейных уравнений, получим ранее неизвестные коэффициенты в выражениях прогиба внешней геометрически нерегулярной оболочки (2.7), тогда итоговые выражения для прогиба внешней оболочки в размерном виде примет вид:

( ) ( ) ( ) Det12 + Det 2 d+ (1) (1) (1) cos p + + p + sin p + p, u31 = w31 sin + u 31 = d D ( ) Deter12 + Deter (1) (1) (1) u32 = w32 sin + u 32 = (2.8) D ( ) ( ) d+ cos p + p + sin p p, d wm ) 2 ± ( ± p, p+ где –давления, имеющие размеры, которые p = R2 P, Re P, P+, сопоставимы соответствующим давлениям являющимися безразмерными, а фазочастотные характеристики (ФЧХ) принимают вид:

Det1 Deter = arctg, = arctg Det2 Deter Получаем из уравнений для прогибов внешней оболочки (2.8) соответствующие амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) прогибов внешней оболочки Det12 + Det2 Deter12 + Deter A31 ( ) =, A32 ( ) = (1) (1), (2.9) D1 D где (R ( ) ) (R ( ) ) (R ( ) ) 12 12 Det1 = (1) (1) (1) a11, Det 2 = (1) (1) (1) a31, Deter1 = (1) (1) (1) c11), (1) (1) ( c 0 h0 c 0 h0 c 0 h (R ( ) ) Deter2 = (1) (1) (1) c31), ( c 0 h ( ) + (a ( )a ( ) ) + 4w B ( )a ( ) (a ( ) ) + 2a ( )a ( ) (a ( ) ) + 4w (B ( )a ( ) ) + D1 = a11)b33) (i (i 2 i2 i2 i2 i i 2 i i i i 24 i 11 33 0 33 11 11 33 13 0 + 4 w B ( )a ( ) (a ( ) ) + (a ( ) ) ;

i2 i 2 i i 0 11 13 D = (c ( )d ( ) ) + (c ( )c ( ) ) + 4w B ( )c ( ) (c ( ) ) + 2c ( )c ( ) (c ( ) ) + 4w (B ( )c ( ) ) + i2 i2 i2 i2 i i i 2 i i i i 24 i 2 11 33 11 33 00 33 11 11 33 13 00 + 4 w B ( )c ( ) (c ( ) ) + (c ( ) ), i2 i 2 i i 00 11 13 At a31) = a13), (1 ( a33) = At 23 At 32 + At18 At 36, ( a11) = At 38, ( a13) = At (, At At11 At b33) = 12 B01) (1 (, B01) = At 21 At 52 At 54, c11) = At16, c13) = At 54 22, c31) = c13), ( ( (1 (1 ( At 33 At At c33) = At 52 At 72 + At 78 At 76, d 33) = 12 B00) (1 ( (, B00) = At 34 At 65 At 58.

( At 2.4 Определение выражения для давления в слое жидкости Для продолжения дальнейшего изучения необходимо найти для гидродинамического давления, находящегося в слое жидкости окончательное выражение.

Подставляя (2.6), (2.7) в уравнения (2.5) находим итоговую формулу для гидродинамического давления в слое жидкости, имеющую размерный вид:

R2 wm ) 2 1 + ( ( ) ( )+ + p = p0 + P +P + P P Re 2 (12v )2 + (2 2 w)A31) () 1 ( + (1) k =1 wm ( ) 2k 1 + pm + pm sin ( + + 31 )+ cos (2.10) (2k 1) 2 ( ) (12v ) sin (k )sin ( + + 32 )}, (2 ) + (1) 2 + 2 w A 2 k k =1 wm A31) ()sin A32) ()sin (1 ( 12v где = arctg 2, 1 = arctg (1), 2 = arctg (1).

A31 () cos A32 () cos 2 w Таким образом, получаем из (2.10) для давления слоя жидкости амплитудно-частотные характеристики и фазочастотные характеристики ( ) A( ) (), R2 2 Ad1 () = (12v ) + 2 2 w 2 (2k 1) Re ( ) A( ) (), 1 R2 Ad 2 () = (12v ) + 2 2 w 2 (2.10) k Re Fzi () = + i, i = 1, 2.

2.5 Исследование математической модели Для исследования модели первоначально необходимо решить вопрос о оценки точности построенной математической модели, так как увеличение количества слагаемых рядов (2.7), описывающих упругие перемещения внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки, значительно увеличивает время счета и трудоемкость. Поэтому необходимо определить количество слагаемых в ряде (2.7) достаточных для дальнейшего исследования построенной математической модели.

Для решения поставленной задачи произведем, получим решения задачи с одним, двумя и десятью слагаемыми ряда.

Расчеты показали, что при увеличении количества слагаемых в ряде (2.7) происходит увеличение резонансных частот прогиба внешней геометрически нерегулярной оболочки (Рис. 2.1). Однако увеличение количества слагаемых никак не сказывается на первую резонансную частоту, а добавляет только последующие резонансы, которые меньше, чем величина первого резонанса.

Таким образом, можно считать, что именно первое слагаемое ряда (2.7) определяет максимальную величину (главный тон) прогиба оболочки, а остальные (полутона) лишь добавляют незначительные колебания на более высоких частотах.

Данный вывод справедлив для вычислений с любым количеством ребер жесткости и их расположением на внешней оболочки трубы.

Расчеты производились для модели с параметрами:

R2 =210-1 м, l =2010-1 м, =210-2 м, =103 кг/м3, =10-4 м2/с, h01) =10-2 м, E (1) =1,61011 Па, µ(1) =0,25, (1) =7,4103 кг/м3, j = 0,02 м, ( 0 h рj = 2,2h 0.

Введем в рассмотрение коэффициенты динамичности K 31) () = A31) () A31) (0 ), K 32) () = A32) () A32) (0 ), которые определяют величину (1 (1 (1 (1 (1 ( прогиба, если сравнивать со статическим прогибом ( = 0 ) АЧХ.

Для понимания физического явления приведем в таблицах только те резонансные частоты, которые имеют значения коэффициентов динамичности больше единицы. Такие резонансные частоты будем называть значащими.

Следует отметить, что учет инерции движения жидкости в построенной математической модели приводит к тому, что функции определяющая поведение амплитудно-частотной характеристики ведет себя не монотонно [86, 87, 229]. Немонотонность поведения амплитудно-частотной характеристики приводит к тому, что возникает большое количество резонансных частот, при Рис. 2.1 Графики АЧХ прогибов первого слагаемого ряда, суммы первых двух слагаемых ряда, суммы 4 слагаемых ряда при = 1 2 в логарифмической шкале этом значительное число получившихся резонансных частот имеют малое значение коэффициента динамичности. Такие резонансные частоты оказывают незначительное влияние на функционирование всей механической системы, а значит их можно не рассматривать.

Таким образом, в таблицах представлены все резонансные частоты, которые имеют значимость, с большими коэффициентами динамичности.

Следует отметить, что все расчеты производились в диапазоне от 0 до 20 Гц. Для каждого конкретного агрегаты или системы наблюдается свой рабочий диапазон, который может быть значительно меньше. Все остальные значения амплитудно-частотной характеристики, кроме как на резонансных частотах, находятся около нуля, при этом при увеличении частоты стремятся к нулю.

Резонансные частоты, имеющие точные значения и величины АЧХ следует смотреть в таблицах 2.1-2.12.

Расчеты показали, что уменьшая ширину цилиндрического зазора, уменьшаются соответственно амплитуды АЧХ, поскольку на оболочку начинает действовать меньшее сопротивление в связи с уменьшением присоединенной массы (Таблицы 2.2, 2.6, 2.10).

Уменьшение толщины внешней оболочки приводит к увеличению амплитуд АЧХ, так как уменьшается жесткость конструкции (Таблица 2.3, 2.7, 2.11).

Значительное увеличение (уменьшение) вязкости жидкости приводит к значительному увеличению (уменьшению) величины АЧХ на резонансных частотах в связи с увеличением (уменьшением) демпфирующих свойств жидкости (Таблица 2.4, 2.8, 2.12).

В таблице 2.13 приведены значения АЧХ для прогиба, коэффициент динамичности для прогиба, АЧХ для давления и ФЧХ для давления на резонансных частотах для прогиба. Давление насыщенного пара (при котором возникает кавитация) 0,2 105 Па. Жирным шрифтом выделены резонансные частоты, на которых возможна кавитация (если p0 = 105 Па).


Увеличение количества ребер жесткости приводит к увеличению общей жесткости системы, а, следовательно, резонансные частоты будут появляться в области более высоких частот, а величины амплитудно-частотных характеристик будут меньше по значению. В таблицах 3.14-3.16 приведены результаты расчетов, когда в конструкции два ребра для слагаемого ряда (2.7) k = 1, k = 2 и k = 3. В таблицах 3.17-3.19 приведены результаты расчетов, когда в конструкции три ребра для слагаемого ряда (2.7) k = 1, k = 2 и k = 3.

Таким образом, изменением размеров механической системы, параметров жидкости или параметров материала оболочки, а также параметрами ребер жесткости можно добиться нужного диапазона рабочих частот.

Таблица 2. Исходные параметры для трубы кольцевого профиля, когда упругой является внешняя оболочка, а внутренняя – абсолютно жесткой при k = Fz1 (), ед.

Частота A31) (), м/Ра K 31) () (1 ( Ad1 (),рад/с 1913 9,25E-10 6,05E+01 2,89E+00 -4,96E- 10071 7,50E-11 4,96E+00 7,84E-01 -4,82E- Fz2 (), ед.

Частота A32 (), м/Ра K 32 () Ad 2 () (1) (1),рад/с 3789 6,70E-10 8,77E+01 1,21E+00 -4,98E- 20141 5,31E-11 7,01E+00 1,20E+00 -4,87E- Таблица 2. Показания резонансных частот, значений АЧХ, коэффициентов динамичности, давления и значений ФЧХ при уменьшении в два раза ширины цилиндрической щели ( =110-2 м) для трубы кольцевого профиля, когда упругой является внешняя оболочка, а внутренняя – абсолютно жесткой при k = Частота Fz1 (), ед.

A31) (), м/Ра K 31) () (1 ( Ad1 (),рад/с 1355 3,80E-10 2,51E+01 4,45E+00 -4,83E- 10064 1,92E-11 1,25E+00 7,79E-01 -4,99E- Fz2 (), ед.

Частота A32) (), м/Ра K 32) () Ad 2 () (1 (,рад/с 2697 2,71E-10 3,58E+01 1,69E+00 -4,92E- 20129 1,36E-11 1,77E+00 1,70E+00 -4,98E- Таблица 2. Показания резонансных частот, значений АЧХ, коэффициентов динамичности, давления и значений ФЧХ при уменьшении в два раза толщины внешней оболочки ( h01) =510-3 м) ( для трубы кольцевого профиля, когда упругой является внешняя оболочка, а внутренняя – абсолютно жесткой при k = Частота Fz1 (), ед.

A31) (), м/Ра K 31) () (1 ( Ad1 (),рад/с 1913 9,07E-10 5,99E+01 1,05E+00 -4,81E- 10071 7,66E-11 5,01E+00 6,83E-01 -4,97E- Fz2 (), ед.

Частота A32 (), м/Ра K 32 () Ad 2 () (1) (1),рад/с 3789 6,50E-10 8,60E+01 4,94E-01 -4,88E- 20141 5,42E-11 7,09E+00 4,94E-01 -4,97E- Таблица 2. Показания резонансных частот, значений АЧХ, коэффициентов динамичности, давления и значений ФЧХ при уменьшении в 100 раз вязкости жидкости ( =10-6 м) для трубы кольцевого профиля, когда упругой является внешняя оболочка, а внутренняя – абсолютно жесткой при k = Частота Fz1 (), ед.

A31) (), м/Ра K 31) () (1 ( Ad1 (),рад/с 1913 9,06E-09 5,99E+02 2,95E+00 -4,80E- 10071 7,66E-10 5,01E+01 7,68E-01 -4,95E- Fz2 (), ед.

Частота Ad 2 () A32 (), м/Ра K 32 () (1) (1),рад/с 3789 6,50E-09 8,60E+02 1,20E+00 -4,85E- 20141 5,42E-10 7,09E+01 1,20E+00 -4,95E- Таблица 2. Исходные параметры для трубы кольцевого профиля, когда упругой является внешняя оболочка, а внутренняя – абсолютно жесткой при k = Fz1 (), ед.

Частота A31) (), м/Ра K 31) () (1 ( Ad1 (),рад/с 5,33E+03 5,92E-10 1,06E+02 9,94E-01 5,01E- 3,02E+04 4,38E-11 7.86E+00 2,43E-01 5,01E- Fz2 (), ед.

Частота A32 (), м/Ра (1) Ad 2 () K 32 () (1),рад/с 6,96E+03 5,39E-10 1,25E+02 5,98E-01 5,02E- 4,03E+04 3,79E-11 8,99E+00 5,97E-01 5,01E- Таблица 2. Показания резонансных частот, значений АЧХ, коэффициентов динамичности, давления и значений ФЧХ при уменьшении в два раза ширины цилиндрической щели ( =110-2 м) для трубы кольцевого профиля, когда упругой является внешняя оболочка, а внутренняя – абсолютно жесткой при k = Частота Fz1 (), ед.

A31) (), м/Ра K 31) () (1 ( Ad1 (),рад/с 3,81E+03 2,45E-10 4,46E+01 1,54E+00 5,02E- 3,02E+04 1,10E-11 1,95E+00 2,61E-01 5,03E- Fz 2 ( ), ед.

Частота A32) ( ), м/Ра (1 K 32) ( ) (1 Ad 2 ( ),рад/с 5,04E+03 2,14E-10 5,08E+01 8,79E-01 5,04E- 4,03E+04 9,58E-12 2,30E+00 8,54E-01 5,02E- Таблица 2. Показания резонансных частот, значений АЧХ, коэффициентов динамичности, давления и значений ФЧХ при уменьшении в два раза толщины внешней оболочки ( h01) =510-3 м) ( для трубы кольцевого профиля, когда упругой является внешняя оболочка, а внутренняя – абсолютно жесткой при k = Частота Fz1 (), ед.

A31) (), м/Ра K 31) () (1 ( Ad1 (),рад/с 5,33E+03 5,85E-10 1,08E+02 3,45E-01 5,01E- 3,02E+04 4,38E-11 8,02E+00 2,25E-01 5,01E- Fz 2 ( ), ед.

Частота A32) ( ), м/Ра (1 Ad 2 () K 32 () (1),рад/с 6,96E+03 5,28E-10 1,25E+02 2,53E-01 5,02E- 4,03E+04 3,75E-11 9,28E+00 2,48E-01 5,01E- Таблица 2. Показания резонансных частот, значений АЧХ, коэффициентов динамичности, давления и значений ФЧХ при уменьшении в 100 раз вязкости жидкости ( =10-6 м) для трубы кольцевого профиля, когда упругой является внешняя оболочка, а внутренняя – абсолютно жесткой при k = Частота Fz1 (), ед.

A31) (), м/Ра K 31) () (1 ( Ad1 (),рад/с 5,33E+03 5,98E-09 1,07E+03 9,65E-01 5,00E- 3,02E+04 4,47E-10 7,94E+01 2,51E-01 5,00E- Fz2 (), ед.

Частота A32 (), м/Ра (1) Ad 2 () K 32 () (1),рад/с 6,96E+03 5,23E-09 1,29E+03 5,86E-01 5,00E- 4,03E+04 3,79E-10 9,28E+01 5,85E-01 5,00E- Таблица 2. Исходные параметры для трубы кольцевого профиля, когда упругой является внешняя оболочка, а внутренняя – абсолютно жесткой при k = 3 (исходный случай) Fz1 (), ед.

Частота A31) (), м/Ра K 31) () (1 ( Ad1 (),рад/с 8,49E+03 4,95E-10 1,46E+02 5,45E-01 5,01E- 5,03E+04 3,43E-11 1,04E+01 1,33E-01 5,01E- Fz 2 ( ), ед.

Частота A32) ( ), м/Ра (1 Ad 2 () K 32 () (1),рад/с 9,91E+03 4,76E-10 1,69E+02 3,52E-01 5,01E- 6,04E+04 3,16E-11 1,12E+01 3,49E-01 5,01E- Таблица 2. Показания резонансных частот, значений АЧХ, коэффициентов динамичности, давления и значений ФЧХ при уменьшении в два раза ширины цилиндрической щели ( =110-2 м) для трубы кольцевого профиля, когда упругой является внешняя оболочка, а внутренняя – абсолютно жесткой при k = Частота Fz1 (), ед.

A31) (), м/Ра K 31) () (1 ( Ad1 (),рад/с 6,22E+03 1,99E-10 5,92E+01 9,11E-01 5,02E- 5,03E+04 8,40E-12 2,60E+00 1,46E-01 5,02E- Fz 2 ( ), ед.

Частота A32) ( ), м/Ра (1 Ad 2 () K 32) () (,рад/с 7,37E+03 1,82E-10 6,72E+01 5,46E-01 5,03E- 6,04E+04 7,75E-12 2,78E+00 5,54E-01 5,02E- Таблица 2. Показания резонансных частот, значений АЧХ, коэффициентов динамичности, давления и значений ФЧХ при уменьшении в два раза толщины внешней оболочки ( h01) =510-3 м) ( для трубы кольцевого профиля, когда упругой является внешняя оболочка, а внутренняя – абсолютно жесткой при k = Частота Fz1 (), ед.

A31) (), м/Ра K 31) () (1 ( Ad1 (),рад/с 8,49E+03 5,00E-10 1,47E+02 2,01E-01 5,01E- 5,03E+04 3,36E-11 1,03E+01 1,32E-01 5,01E- Fz 2 ( ), ед.

Частота A32) ( ), м/Ра (1 Ad 2 () K 32 () (1),рад/с 9,91E+03 4,76E-10 1,71E+02 1,64E-01 5,01E- 6,04E+04 3,10E-11 1,12E+01 1,65E-01 5,01E- Таблица 2. Показания резонансных частот, значений АЧХ, коэффициентов динамичности, давления и значений ФЧХ при уменьшении в 100 раз вязкости жидкости ( =10-6 м) для трубы кольцевого профиля, когда упругой является внешняя оболочка, а внутренняя – абсолютно жесткой при k = Частота Fz1 (), ед.

A31) (), м/Ра K 31) () (1 ( Ad1 (),рад/с 8,49E+03 4,90E-09 1,49E+03 5,40E-01 5,00E- 5,03E+04 3,36E-10 1,04E+02 1,36E-01 5,00E- Fz 2 ( ), ед.

Частота A32) ( ), м/Ра (1 Ad 2 () K 32) () (,рад/с 9,91E+03 4,76E-09 1,67E+03 3,60E-01 5,00E- 6,04E+04 3,10E-10 1,12E+02 3,56E-01 5,00E- Таблица 2. Показания резонансных частот, при которых достигается давление насыщенного пара для модели, когда внешняя упругая оболочка, а внутренняя – абсолютно жесткая Частота Fz1 (), ед.

A31) (), м/Ра K 31) () (1 ( Ad1 (),рад/с 1,86E-09 4,95E+01 -5,02E- 1218 2,62E+ 7,83E-11 2,09E+00 -5,02E- 10059 3,43E+ Fz2 (), ед.

Частота Ad 2 () A32) (), м/Ра K 32) () (1 (,рад/с 2365 1,37E-09 6,97E+01 1,97E-01 -5,04E- 20126 5,53E-11 2,81E+00 1,97E-01 -5,02E- Таблица 2. Показания резонансных частот, значений АЧХ, коэффициентов динамичности, давления и значений ФЧХ для трубы кольцевого профиля, когда упругой является внешняя оболочка, а внутренняя – абсолютно жесткой при k = 1, при этом внешняя труба имеет два ребра жесткости Fz1 (), ед.

Частота A31) (), м/Ра K 31) () (1 ( Ad1 (),рад/с 2180 7,77E-10 5,09E+01 2,43E+00 -4,17E- 11481 6,23E-11 4,12E+00 6,51E-01 -4,00E- Fz 2 ( ), ед.

Частота A(1) ( ), м/Ра Ad 2 () K 32 () (1),рад/с 4433 5,77E-10 7,55E+01 1,04E+00 -4,28E- 24169 4,40E-11 5,82E+00 9,93E-01 -4,04E- Таблица 2. Показания резонансных частот, значений АЧХ, коэффициентов динамичности, давления и значений ФЧХ для трубы кольцевого профиля, когда упругой является внешняя оболочка, а внутренняя – абсолютно жесткой при k = 2, при этом внешняя труба имеет два ребра жесткости Fz1 (), ед.

Частота A31) (), м/Ра K 31) () (1 ( Ad1 (),рад/с 6390 5,32E-10 9,56E+01 8,95E-01 4,51E- 35946 3,63E-11 6,52E+00 2,02E-01 4,16E- Fz 2 ( ), ед.

Частота A(1) ( ), м/Ра Ad 2 () K 32 () (1),рад/с 8070 4,53E-10 1,05E+02 5,02E-01 4,21E- 47120 3,30E-11 7,82E+00 5,20E-01 4,36E- Таблица 2. Показания резонансных частот, значений АЧХ, коэффициентов динамичности, давления и значений ФЧХ для трубы кольцевого профиля, когда упругой является внешняя оболочка, а внутренняя – абсолютно жесткой при k = 3, при этом внешняя труба имеет два ребра жесткости Fz1 (), ед.

Частота A31) (), м/Ра K 31) () (1 ( Ad1 (),рад/с 9505 4,06E-10 1,19E+02 4,47E-01 4,11E- 58897 2,81E-11 8,53E+00 1,09E-01 4,11E- Fz 2 ( ), ед.

Частота A(1) ( ), м/Ра Ad 2 () K 32 () (1),рад/с 11594 3,95E-10 1,40E+02 2,92E-01 4,16E- 70673 2,62E-11 9,31E+00 2,90E-01 4,16E- Таблица 2. Показания резонансных частот, значений АЧХ, коэффициентов динамичности, давления и значений ФЧХ для трубы кольцевого профиля, когда упругой является внешняя оболочка, а внутренняя – абсолютно жесткой при k = 1, при этом внешняя труба имеет три ребра жесткости Fz1 (), ед.

Частота A31) (), м/Ра K 31) () (1 ( Ad1 (),рад/с 2551 6,61E-10 4,32E+01 2,06E+00 -4,17E- 12858 5,29E-11 3,50E+00 5,53E-01 -4,00E- Fz 2 ( ), ед.

Частота A(1) ( ), м/Ра Ad 2 () K 32 () (1),рад/с 5276 4,96E-10 6,49E+01 8,94E-01 -4,28E- 28278 3,61E-11 4,77E+00 8,14E-01 -4,04E- Таблица 2. Показания резонансных частот, значений АЧХ, коэффициентов динамичности, давления и значений ФЧХ для трубы кольцевого профиля, когда упругой является внешняя оболочка, а внутренняя – абсолютно жесткой при k = 2, при этом внешняя труба имеет три ребра жесткости Fz1 (), ед.

Частота A31) (), м/Ра K 31) () (1 ( Ad1 (),рад/с 7093 4,47E-10 8,03E+01 7,51E-01 4,51E- 40619 2,91E-11 5,22E+00 1,62E-01 4,16E- Fz 2 ( ), ед.

Частота A(1) ( ), м/Ра Ad 2 () K 32 () (1),рад/с 9684 3,80E-10 8,84E+01 4,22E-01 4,21E- 52304 2,84E-11 6,73E+00 4,47E-01 4,36E- Таблица 2. Показания резонансных частот, значений АЧХ, коэффициентов динамичности, давления и значений ФЧХ для трубы кольцевого профиля, когда упругой является внешняя оболочка, а внутренняя – абсолютно жесткой при k = 3, при этом внешняя труба имеет три ребра жесткости Fz1 (), ед.

Частота A31) (), м/Ра K 31) () (1 ( Ad1 (),рад/с 10931 3,25E-10 9,55E+01 3,58E-01 4,11E- 67143 2,47E-11 7,50E+00 9,58E-02 4,11E- Fz 2 ( ), ед.

Частота A(1) ( ), м/Ра Ad 2 () K 32 () (1),рад/с 12753 3,36E-10 1,19E+02 2,48E-01 4,16E- 79860 2,31E-11 8,19E+00 2,55E-01 4,16E- 3. Решение задачи гидроупругости геометрически нерегулярной трубы кольцевого профиля с упругой геометрически регулярной внутренней оболочкой 3.1 Основные положения и допущения Ограничение, поставленное в первой главе, что внутренний цилиндр является абсолютной жестким, является достаточно сильным ограничение на применение построенной модели. Однако на практике внутренняя оболочка не всегда может быть абсолютно жесткой, как это бывает в плунжерной паре с полым плунжером. Кроме того, в отдельных случаях внутренняя оболочка технологически не может быть абсолютно жесткой, например, в двигателях внутреннего сгорания с водяным охлаждением или в системах подогрева топлива авиационного и ракетного транспорта [17-18, 22, 28, 33, 55-56, 59-61, 85, 137, 163-164, 174, 195-199]. Поэтому рассмотрим модель механической системы рассмотренной ранее с упругой внутренней оболочкой. Все остальные допущения о перемещениях оболочек, термостабилизации оставляем в силе и для этого случая.

Таким образом, рассмотрим механическую модель состоящую из двух упругих соосных цилиндрических оболочек свободно опертых на концах, внешняя из которых 1 является геометрически нерегулярной, а внутренняя 2 – геометрически регулярной, которые взаимодействуют со слоем жидкости 3, являющейся вязкой и несжимаемой, расположенной между оболочками при воздействии гармонического давления на концах механической системы (Рис.

1.1).

3.2 Математическая модель Для данного случая математическая модель будет представлять собой уравнения динамики жидкости, динамики внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки, динамики внутренней геометрически регулярной цилиндрической оболочки и соответствующие граничные условия [132-135].

Уравнения динамики жидкости в размерных переменных имеют в вид аналогичный уравнениям (1.1):

2Vk 1 Vk 2Vk Vr Vk Vk Vk 1 p + 2 + + 2 2, + Vr + Vy = (3.1) r r t r y k r r y Vr Vr V y ++ = 0.

r y r Граничные условия на непроницаемых поверхностях каждой из оболочек запишутся в виде:

u3 u, V y = 1 при r = R2 + + u3, Vr = (3.2) t t u32 ) ( u12 ) ( при r = R2 + u32 ), ( Vr =, Vy = t t u12 ) = u12 ) ( y,, t ) ( ( где упругое продольное перемещение внутренней – геометрически регулярной оболочки, которое является положительным в направлении n s, противоположным направлению j ;

u32 ) = u32 ) ( y,, t ) – прогиб внутренней геометрически регулярной оболочки, ( ( который является положительным в направлении n, совпадающим с nr и противоположным направлению к центру кривизны;

Также для механической системы на торцах вводятся необходимые условия для давления жидкости:

p = pT при y = l 2, (3.3) + p = pT при y = l 2, + где pT, pT – давление на торцах.

Уравнения динамики внешней геометрически нерегулярной оболочки, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява при осесимметричной деформации имеют тот же вид, что и в первой главе:

Eh0 u1 u u3 n n µ 0 3 1 + k1 j yj + h0 k 2 j yj = (3.4) 1 µ0 y y y R 2 j =1 j = 2u1 n = h0 0 2 1 + k1 j yj q y, t j = 2 Eh03 u1 u n 2 u3 Eh n 1 + k3 j yj + µ 0 3 h0 k 2 j yj + y y 2 12(1 µ 02 ) y 2 j =1 1 µ R j = 1 Eh0 u3 u1 2 u3 n n 1 + k1 j yj µ 0 y 2 h0 k 2 j yj = µ + R 1 µ 0 R y j =1 j = 2 u3 n = h0 0 2 1 + k1 j yj + qn, t j = h pj h h0 hpj h0 h02 hpj 2 h где k1 j = 1 0.

h k2 j = 1 h 2h 2 k3 j = 1 h 4 2 h + h 2 h,, h pj pj pj 0 pj 0 pj Граничные условия свободного опирания внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки не концах имеет вид:

2 u u1 l = 0 при y = ±.

= 0, u3 = 0, (3.5) y y2 Уравнения динамики внутренней упругой геометрически регулярной цилиндрической оболочки, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява запишем в виде:

( )[ µ (2 ) u (2 ) 1 µ (2 ) 2u12 ) ( ] + 02 ) 3 = (2 ) 0 (2 ) 02 )h02 )WOs ) qs2 ) ;

(( (2 ( ( y y R E h µ 02 ) u12 ) u32 ) ( ( 4 u32 ) ( ( ( ) (R ) + (2 ) + a02 ) ( (2 ) 2 (2 ) = (3.6) y y R R ( )[ 1 µ 02 ) ( ] = (2 ) (2 ) 02 )h02 )WOn ) + qn2 ), (( (2 ( E h где h02 ), E (2 ), µ 02 ), R (2 ), 02 ) – толщина оболочки, модуль Юнга, коэффициент ( ( ( Пуассона, радиус срединной поверхности, плотность материала соответственно для внутренней оболочки WOS ), WOn ) – проекции абсолютного ускорения единицы площади срединной (2 ( 2u ( 2) поверхности оболочек, на оси ns, n (продольное направление в = WO( 2 ) t серединной поверхности оболочки и направление по нормали к оболочке), представленные в виде:

2 u12 ) ( WOS ) = (, t 2 u32 ) ( (2 ) =,.

WOn t На поверхностях оболочек напряжения исходящие от слоя жидкости можно записать в виде:

[ ] qs2 ) = Pry cos (2 ) (n, nr ) + Pyy cos (2 ) (n, j ) ( ;

r = r(2 ) [ ] qn2 ) = Prr cos (2 ) (n, nr ) + Pry cos (2 ) (n, j ) ( ;

r = r(2 ) r (2 ) = R2 + u32 ), ( Vy Vr Vr ;

Pry = r + y ;

Prr = p + 2 r r (2 ) u32 ) ( r (2 ) Vy ;

cos (n, nr ) = (2 ) ;

cos (n, j ) = (2 ) (2 ) (2 ) Pyy = p + 2 ;

y y N N (h ( ) ) (2 ) 2 u32 ) ( 2 ( ) = () () (2 ) (2 ) =r 1 + ;

a.

N 12(R ) y Граничные условия свободного опирания внутренней геометрически регулярной цилиндрической оболочки имеют вид:

2 u32 ) ( u12 ) ( l (2 ) = 0 при y = ±.

= 0, u3 = 0, (3.7) y y Таким образом, получим математическую постановку задачи гидроупругости для трубы кольцевого профиля с внешней упругой цилиндрической геометрически нерегулярной и внутренней упругой цилиндрической геометрически регулярной оболочками свободно опертых на концах при воздействии давления.

3.3 Метод решение гидроупругости Полученная задача гидроупругости решается описанным ранее методом, а именно, переходом к безразмерным переменным:

(r R2 ), =, = t, = 2 y, = wm ) l ( l (1), Vr = wm u, V y = = u ;

(3.8) 2 R l 2R w (i ) w( 2 ) 2 u1i ) = um )U1(i ), u3i ) = wm )U 3i ), Re = ( (i ( (i ( 1, (i ) = m 1;

(2 ) = m ) (1) ;

, = ( R2 wm E (i ) wm ) ( (c ) 2* j (i ) ( )) (, p = p0 + R =, i = 1, 2, j = P.

Re (i ) (i ) 0 1 µ 0 l Тогда переходя к безразмерным переменным (3.8) и применяя метод возмущений по малым параметрам, как и ранее характеризующему относительную ширину слоя жидкости, и (1), (2 ) – характеризующих относительные прогибы внешней геометрически нерегулярной и внутренней геометрически регулярной цилиндрических оболочек соответственно, получим постановку задачи в нулевом приближении по и (1).

В этом случае задача будет иметь вид:

уравнения динамики жидкости P = 0, u 1 P0 u +2 = 0, (3.9) Re u 0 u + = 0;

граничные условия, характеризующие прилипание жидкости к поверхностям оболочек и условия на торцах данной механической системы для давления в слое несжимаемой вязкой жидкости:

U 31) (, u = 0 при = u = wm2 ) U 32 ) ( (, u = 0 при = u = (1) (3.10) wm P = P + при = 1, P = P при = 1, где P + = Pm + sin, P = Pm sin – гармонические функции времени;

уравнения динамики внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки:

um ) 1 2U1(1) ( 1 R2 U 31) ( n 1 + k1 j yj + (1) 2 µ w 2 R (1) j =1 m (1) (1) 1 R2 (1) um 1 U 1 n U k + µ (1) w R (1) 3 j =1 1 j yj m h01) 1 3U 31) n ( ( 1 R2 (1) 1 n k2 j yj + µ0 R(1) U 3 k1 j yj = + R2 3 j = j = um ) R2 2 2U 1(1) (1 2 n 1 + k1 j yj wm ) c 2 2 ( j = (h( ) ) 1 4U 31) n ( 3U 31) n ( 2U 31) n ( k3 j yj + 3 k3 j yj + 2 k3 j yj + 4 4 j =1 12 R2 j =1 j = h01) um ) 1 3U1(1) ( (1 2 (1) n (1) R2 1 U k 2 j yj + (1) 3 µ0 (1) + (3.11) R2 wm 3 R 2 j = h01) um ) 1 2U1(1) ( (1 (1) (1) R2 1 U 3 n k 2 j yj + (1) 2 µ0 (1) + R2 wm 2 R j = h01) um ) 1 U1(1) ( ( (1) n (1) R µ0 (1) U 3 2 k 2 j yj + (1 + R2 wm ) R j = (1) (1) R2 R2 (1) (1) um 1 U n 1 + k1 j yj + (1) (1) U 3 µ0 (1) R R wm j = (1) 1 2U 31) n ( (1) h µ0 k 2 j yj = R2 2 2 j =1 u m ) R2 2 2U 31) (1 ( (1) 1 + k1 j yj + 11) (1)R21) 2 p0 + R2 wm P ;

2 n = w( h( c wm ) c ( Re j =1 m 0 уравнения динамики внутренней геометрически регулярной цилиндрической оболочки () (2 ) 2 R (2 ) (2 ) 2U 1(2 ) (2 ) R (2 ) 2 (2 ) 2U 1(2 ) 2 (2 ) U (2 ) 2 R um µ0 = 0, (3.12) wm um () l c (2 ) 2 l () U 32 ) R (2 ) 2 (2 ) 2U 32 ) ( ( (2 ) (2 ) (2 ) 4 2 2R ( ) (2 ) (2 ) U (2 ) 2 R + wm2 )U 32 ) + a02 ) ( ( ( wm µ0 + = um wm () (2 ) 4 l l c (R( ) ) R2 wm2 ) ( = ( 1) P, p + ( )h ( ) (c ( ) ) 2 0 Re 2 2 0 граничные условия свободного опирания для упругих перемещений внутренней и внешней оболочек:

2U 3i ) ( U1(i ) (i ) = 0 при = ±1, i = 1, 2.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.