авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

РГП «ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И МЕХАНИКИ»

КОМИТЕТА ПО НАУКЕ ПРИ МИНИСТЕРСТВЕ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

К.Б.Джакупов

КОРРЕКЦИИ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ

ПАРАДОКСОВ МЕХАНИКИ

СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Алматы

2009

УДК 532.516

ББК 22.5

Д 40

Рекомендовано к изданию

РГП «Институт математики, информатики и механики»

Р е ц е н з е н т ы:

доктор физико-математических наук, академик НАН РК Т.Ш.Кальменов;

доктор физико-математических наук, профессор М.T.Дженалиев Джакупов Кенес Бажкенович Д 40 Коррекции теоретических парадоксов механики сплошных сред – Алматы: Типография «K2», 2009. – 270с.

ISBN 978-601-0288-5 В монографии приводятся парадоксы гипотез Стокса и Навье-Коши-Ламе.

Теоретически обоснованы новые уравнения динамики вязких жидкостей, теории упругости. Рекомендуется студентам, магистрантам, аспирантам, докторантам и исследователям, специализирующимся в области гидроаэромеханики и теории упругости.

Д 00( 05) ББК 22. © Джакупов К.Б.

ISBN 978-601-0288- © Типография «K2»

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ…………………………………………………............... Гл.1.ОШИБОЧНОСТЬ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА. НОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ВЯЗКОГО ГАЗА................................... §1. Парадоксы формул Эйлера, Лейбница……………….………….…... §2. Парадоксы деформационного движения элементарного объема сплошной среды……………………………………....……………... §3. Парадоксы интегрального вывода уравнений динамики сплошной среды……………………………………………………... §4. Индуктивный метод……………..….………..…...…… ……….….. §5. Парадоксы первой теоремы Гельмгольца………..…….…………... §6. Парадоксы гипотезы Стокса. ………...……………………..…….. §7. Несимметричный тензор напряжений Ньютона. Парадоксы определения вязких нормальных напряжений связаны с гипотезами о давлении и с законом Паскаля для идеальных жидкостей….….. §8. Предпосылки ошибочного вывода о симметричности тензора напряжений..…………………. …………………………...…...……. §9. Из теоремы об изменении момента количеств движений не следует симметричность тензора напряжений……………………………… §10. Тензор напряжений сплошной среды не симметричен………...... §11. Парадоксы Бэтчелора……………………………………………… §12. Аналог гипотезы Стокса.

Антисимметричный тензор напряжений…………………………………………………….....…. §13. Парадоксальное применение теоремы об изменении момента импульса. Ошибочность уравнений Навье-Стокса...................... §14. Новые уравнения динамики вязкой жидкости с несимметричным тензором напряжений Ньютона vi ji ( н ) [ p ( / 3 ' )divv ] ji, i, j 1,2,3............ x j §15. Новые уравнения динамики вязкой жидкости в цилиндрических координатах с несимметричным тензором напряжений Ньютона н [ p ( / 3 ' )divv ]E S ………………………….. §16. Новые уравнения динамики вязкой жидкости в сферических координатах с несимметричным тензором напряжений Ньютона н [ p ( / 3 ' )divv ]E S …………………………... Гл.2. ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ ДЕФОРМАЦИЙ И УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-КОШИ-ЛАМЕ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ………………..... §1. Парадоксы теории деформаций…………………………………...... §2. Альтернативное представление относительного перемещения.….. §3. Парадоксы гипотезы Навье-Коши-Ламе………………………….. §4. Парадоксы закона Гука для симметричного тензора напряжений Навье-Коши-Ламе……………………………................................... §5. Уравнения теории упругости для несимметричного тензора напряжений…………………………………………................................ Влияние выдува из туннели на перенос примеси в моменты времени n=18400, n=31200, n=54800, сетка500x150, Re=80000, число Маха Mx=0.05, =0. ПРЕДИСЛОВИЕ Книга составлена на основе прочитанных автором в течение многих лет лекций по «Механике сплошной среды» и «Вычислительной меха нике» на механико-математическом факультете Казахского Национа льного Университета им.аль-Фараби. Содержание книги отражает сов ременное критическое осмысление ряда устоявшихся фундаменталь ных принципов и основных понятий механики континуума, в том чис ле гидродинамики, а также отдельных аспектов практических прило жений. Только чрезвычайной актуальностью рассматриваемых здесь проблем мотивируется сведение их в одной книге с целью привлечь к ним должного внимания, тем более, что преподавание многих универ ситетских курсов, как правило, начинается с изложения этих основных понятий и принципов. Кратко укажем на некоторые из них. Это: неад екватное применение формулы Эйлера-Лейбница при выводе уравне ний динамики в напряжениях и других уравнений сплошной среды;

представление ряда Тейлора (неполного дифференциала) с разделени ем на симметричную и антисимметричную частей (что в некоторых учебниках формулируется как первая теорема Гельмгольца);

неправи льная трактовка теоремы об изменении момента количеств движений системы частиц применительно к произвольному объему сплошной среды, что послужило причиной ложного теоретического утверждения о «симметричности» тензора напряжений в сплошной среде. Именно ложная симметричность тензора напряжений и входящий составной частью в ряд Тейлора симметричный тензор скоростей деформаций были положены Стоксом в основу гипотезы об обобщенном законе Ньютона, ошибочность которого здесь доказывается. Поэтому сфор мулированные в 1845г. уравнения Стокса являются неверными, по этой причине они не могут быть использованы в качестве математиче ских моделей течений сжимаемого вязкого газа, несжимаемой жидкос ти с переменной вязкостью.

Разумеется, логичной является, с точки зрения несимметричности тензора напряжений, необходимость пересмотра уравнений Навье Коши-Ламе в теории упругости.

Основные результаты доложены на семинарах по механике, на Международных научных конференциях и съездах по математике и механике, состоявшихся в Казахском Национальном университете им.

Аль-Фараби в 2006-2011г.г., Всероссийской конференции по матема тике и механике, посвященной 60-летию механико-математического факультета Томского университета 22-24 сент.2008г. г.Томск.

Гл.-1. ОШИБОЧНОСТЬ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА.

НОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ВЯЗКОГО ГАЗА Уравнения движения вязких жидкостей выводили французские ученые: в 1821г. Навье, в 1831г. Пуассон и 1843г. Сен-Венан. В 1845г. великий английский физик Стокс предположил сущес твование линейной зависимости напряжений от компонент сим метричного тензора скоростей деформаций и на их основе вывел уравнения динамики вязкого газа, названные в последующем уравнениями Стокса в отличие от уравнений Навье несжимае мой вязкой жидкости с постоянной вязкостью. Из-за отсутствия должного теоретического обоснования данной Стоксом зависи мости Л.Д.Ландау назвал ее гипотезой Стокса. Гипотеза Сток са приводит к парадоксальным явлениям, противоречащим фи зической сущности напряжений, что вызвало сомнения в прави льности построения на ее основе самих уравнений Стокса. Тща тельные исследования выявили коренную ошибку гипотезы.

Она заключается в том, что Стокс из ряда Тейлора v (r r, t ) v (r, t ) + S r, преобразованного к виду v (r r, t ) v (r, t ) + Sr Sr, для определения тензора вязких напряжений использовал только одну часть тензора пе ремещений S S S, а именно симметричный тензор скорос тей деформаций S, при этом пренебрегая его антисимметрич ной частью S, которое характеризует составную часть дви жения, а именно - не менее важное вращательное движение среды. Разумеется, такое пренебрежение парадоксально и алогично. Ошибка гипотезы Стокса связана в определенной мере с укоренившимся в теоретической физике ошибочным положением, по которому тензор напряжений сплошной среды всегда симметричен, (вывод симметричности тензора на пряжений из теоремы об изменении момента количеств движе ния содержится почти во всех учебниках и монографиях /1/,/2/, /3/,/4/ и др.) Возникла настоятельная необходимость в теоретическом обос новании в общем случае несимметричности тензора напряже ний сплошной среды, в том числе несимметричности тензора вязких напряжений, и, как следствие всего этого, обоснование ошибочности уравнений Стокса.

Результатом проведенных в данной главе исследований явля ются новые уравнения динамики газа и жидкости с переменной вязкостью с несимметричным тензором напряжений Нъютона.

Нетрудно было видеть, что проблемы гипотезы Стокса и сим метричности тензора напряжений тесно связаны с парадоксаль ными применениями основополагающих математических фор мул, в связи с чем их пересмотр здесь чрезвычайно необходим и целесообразен.

§1. Парадоксы формул Эйлера, Лейбница В /1/ приведен гидродинамический вывод индивидуальной производной по времени для объема сплошной среды, ограниченного поверхностью :

d t (v, n ), (1) dt именуемой в /1/ формулой Эйлера.

Здесь и в дальнейшем, следуя /1/, обозначаются: символом r = xi yj zk произвольные бесконечно малые отрезки, проводимые в пространстве в данный момент времени в задан ной точке среды, символом dr = dxi dyj dzk - элементар ные перемещения частиц жидкости, происходящие за бесконеч но малый промежуток времени dt, v ui vj wk - вектор скорости, так же v v1i v2 j v3 k. В /2/ выводится формула d t (v, n), (2) dt используемая в /3/ как формула Лейбница. Ставится вопрос:

какая из этих двух формул верная? Ответ на этот вопрос можно дать только на основании определения производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента. Для дифференцируемой подынтегральной функции v по x,y,z, по теореме Остроградского-Гаусса правая часть формулы Лейбни ца (2) сводится к объемному интегралу d [ t div(v )], (3) dt В дальнейшем весьма часто будет применяться формула скорости относительного объемного расширения бесконечно малого индивидуального объема среды из /1/:

d divv ( 4) dt Вывод данного выражения содержится в /1/, другое доказатель ство (4) дано здесь в §2. Парадоксы связаны с тем, что относи тельно выбора области интегрирования существуют два подхода.

Первый подход. Применен Cедовым Л.И. в /2/, где в силу (4) считается, что объем сплошной среды является движущейся областью, т.е. является функцией времени (t ), как сумма индивидуальных объемов (t ), зависящих от времени. Пусть в момент времени t t движущийся объем занимает положение ' (t t ). Исходя из этого, Cедов Л.И. в /2/ составляет отношение приращений d dt lim { ( x, y, z, t t ) ( x, y, z, t ) (t )}, t ' t откуда в пределе получается формула Лейбница (2). Но в этом составленном Седовым выражении только функция и объем ' (t t ) взяты на момент времени t t, не учтена зави симость (t t ). Если учитывать эту зависимость от времени, то по Седову отношение приращений должно быть составлено в форме lim t ( x, y, z, t t ) (t t ) (5) d dt t 0 ', ( x, y, z, t ) (t ) откуда в пределе получается выражение lim t ( x, y, z, t t ) (t t ) ( x, y, z, t ) (t ) d dt t 0 ' ( x, y, z, t t ) (t t ) ( x, y, z, t t ) (t t ) lim t t 0 ' ( x, y, z, t t ) (t t ) ( x, y, z, t ) (t ) lim ( x, y, z, t t ) (t t ) ( x, y, z, t t ) (t t ) t 0 t ' ( x, y, z, t ) (t ) (v, n ) ( ), (6) t в силу того, что в области ' элементарный объем равен (t t ) (r, n), поэтому образуется скорость r v и ', n орт внешней нормали к.

lim t 0 t Итак, из (6) вытекает формула d t ( ) (v, n ), (7) dt что, очевидно, отличается от формул Эйлера (1) и Лейбница (2).

А если пойти дальше и учесть, что в движущемся объеме ' (t t ) на момент времени t t и координаты частиц x, y, z поменяют места на x(t t ), y(t t ), z(t t ), то отношение приращений должно иметь вид lim t ( x(t t ), y(t t ), z(t t ), t t ) (t t ) d dt t 0 ', ( x, y, z, t ) (t ) откуда после преобразований получается в пределе lim t ( x(t t ), y(t t ), z(t t ), t t ) (t t ) d dt t 0 ' ( x(t t ), y(t t ), z (t t ), t t ) (t t ) ( x(t t ), y(t t ), z (t t ), t t ) (t t ) ( x, y, z, t ) (t ) ( x(t t ), y(t t ), z(t t ), t t ) (t t ) lim t t 0 ' [( x(t t ), y(t t ), z (t t ), t t ) (t t ) ( x, y, z, t ) (t )] d (v, n ) dt ( ), (8) Итак, из (8) вытекает иная формула производной по времени d d dt ( ) (v, n), (9) dt что отличается от формул Эйлера (1), Лейбница (2) и (7).

Второй подход. Применен Лойцянским Л.Г. в /1/. Считается, что объем является фиксированной областью сплошной среды, т.е. не является функцией времени ' const.

Парадокс здесь состоит в том, что область интегрирования должен быть суммой индивидуальных объемов (t ), const.

зависящих от времени в силу (4) Отношение приращений во втором подходе будет такое lim t ( x(t t ), y(t t ), z(t t ), t t ) (t t ) d dt t 0, ( x, y, z, t ) (t ) (10) где область интегрирования не изменяется во времени в силу ' const. Из (10) после аналогичных преобразований получается в пределе lim t ( x(t t ), y(t t ), z(t t ), t t ) (t t ) d dt t 0 ( x, y, z, t ) (t ) lim [( x(t t ), y(t t ), t t z(t t ), t t ) (t t ) ( x, y, z, t ) (t )] d ( ) dt В результате для фиксированного объема ' const получается формула d d dt dt ( ), (11) т.е. дифференцирование можно внести под знак интеграла.

Таким образом, в зависимости от подхода к вычислению полной производной по времени получаются 5 различных выражений: (1), (2), (7), (9), (11).

Дело в том, что в /1/, /2/,/3/,/4/, /5/ и т.п. для раскрытия d dt применяются формулы (3) или выражений типа (11), что в этих учебниках составляет основу дедуктивного метода вывода дифференциальных уравнений динамики, баланса энергий, уравнения неразрывности и др.

Именно дедуктивным методом получено известное дифференциальное соотношение для моментов dv [r, ] [r, F ] [r, j ] 0, j 1 x j dt из которого выводится ошибочное положение о симметричнос ти тензора напряжений сплошной среды.

d dt не В индуктивном методе производные типа применяются и доказывается неравенство нулю:

dv [r, ] [r, F ] [r, j ] 0, j 1 x j dt тем самым обосновывается положение о несимметричности тензора напряжений сплошной среды.

§2.Парадоксы деформационного движения элементарного объема сплошной среды Как известно, в механике сплошной среды фигурирует симмет рический тензор скоростей деформаций S /1/,/2/,/3/,/4. Целью параграфа является доказательство того, что несимметрический тензор перемещения S обладает такими же свойствами.

В теории деформационного движения элементарного объема и с целью установления реологических законов динамики вязкой сплошной среды широко используется ряд Тейлора v v v v (r r, t ) v (r, t ) x y z, x y z в фиксированный момент времени t. (Собственно говоря, вся теоретическая механика использует ряд Тейлора как принцип виртуальных перемещений точки) Ряд Тейлора в матрично-векторной форме имеет вид v (r r, t ) v (r, t ) + S r, (1) где стоит матрица, именуемая в дальнейшем тензором перемещения:

u u u x y z x i v v v, r y j S x y z z k w w w x y z Обозначая элементы этой матрицы S xx u / x, S yx u / y, S zx u / z, S yy v / y, S xy v / x, S zz w / z, S yz w / y, S xz w / x, S zy v / z, можно записать тензор перемещения, по аналогии с известным в гидромеханике тензором скоростей деформаций S,в виде:

S xx S yx S zx S S xy S yy S zy S xz S yz S zz Следуя /1/, введем три скорости e x, e y, e z относительного r1 (x,0,0), удлинения жидких элементарных векторов r2 (0, y,0), r3 (0,0, z), расположенных вдоль осей прямоуголь ной системы координат с началом в некоторой точке М:

1d 1d 1d (x), e y (y), e z (z ) ex (2) x dt y dt z dt xy, yz, zx и три скорости скошения координатных углов между осями, которые до деформации были равны / 2. Из скалярных произведений вытекают косинусы этих углов cos xy (r, r2 ) /(xy ), cos yz (r2, r3 ) /(zy ), (3) cos zx (r3, r ) /(xz ) Производные по времени от этих углов обозначаются xy xy / t, yz yz / t, zx zx / t В основу определения кинематического смысла компонент тензора перемещения S полагается соотношение d dr (r ) ( ) v, (4) dt dt которое вытекает из равенств:

dr1 dr d d (r ) (r1 r ) v (r1 ) v (r ) v dt dt dt dt Имея в виду r1 r r, формула (1) представляется в виде v S r (5) После подстановки (4) в (5) получaeтся равенство d (r ) S r (6) dt r Полагая в нем последовательно равным r1 (x,0,0), r2 (0, y,0), r3 (0,0, z) и проектируя на три оси координат, найдем d d d (y ) S yy y, (z ) S zzz, (x) S xx x, dt dt dt что согласно (2) дает связь S xx ex, S yy ey, S zz ez, e x u / x, e y v / y, e z w / z, (7) откуда вытекают равенства диагональных компонент тензора перемещения S соответственно скоростям относительных удлинений элементарных отрезков, расположенных вдоль осей координат и имеющих начало в данной точке потока.

Вычислим производные по t от обеих частей равенств (3):

d xy 1 d (r1, r2 ) d sin xy (r1, r2 ) ( ), xy dt xy dt dt d yz 1 d (r2, r3 ) d sin yz (r2, r3 ) ( ), zy dt zy dt dt (8) d zx 1 d (r3, r1 ) d sin zx (r3, r1 ) ( ) xz dt xz dt dt Эти равенства в /1/ применяются в момент времени t t 0, соответствующий начальному недеформированному состоянию элементарного объема, когда xy yz zx, (r1, r2 ) 0, (r2, r3 ) 0, (r3, r1 ) Будем иметь из (8), ибо синусы прямых углов равны 1:

1d xy xy / t (r, r2 ), xy dt 1d yz yz / t (r2, r3 ), yz dt 1d zx zx / t (r3, r1 ) (9) zx dt Используя (6) и правила вычисления тройных скалярно-вектор ных произведений и произведений матрицы на вектор, имеем d d d (r1, r2 ) (r1 )r2 r1 (r2 ) ((S r1 ), r2 ) (r1, ( S r2 )) dt dt dt ( S r1 ) y y x( S r2 ) x S xy xy S yx yx ( S xy S yx )xy, d d (r2, r3 ) (S yz S zy )zy, (r3, r1 ) (S xz S zx )zx, dt dt откуда следуют в силу (9) равенства xy S xy S yx, yz S zy S yz, zx S xz S zx (10) В /1/, /2/,/3/ и др., сообразуясь с формулой первой теоремы Гельмгольца, вводится тензор скоростей деформаций u 1 u w 1 u v ) ( ) ( x 2 y x 2 z x v 1 ( v u ) 1 v w (11) S ( ) 2 x y y y 2 z w 1 w u 1 w v 2 ( x z ) z ( ) 2 y z Наряду с этим вводится антисимметричный тензор 1 u w 1 u v 0 ) ( ) ( 2 y x 2 z x 1 v u 1 v w S ( ) ) 0 ( 2 x y 2 z y 1 w u 1 w v ( ) ( ) 2 x z 2 y z В сумме имеет место равенство S S S.

Используя иное представление (первая теорема Гельмгольца) d (r ) xr Sr, rotv dt в /1/ получены соотношения, аналогичные (7) и (10):

S xx e x, S yy e y, S zz e z, e x u / x, e y v / y, e z w / z, d d (r1, r2 ) ( S xy S yx )xy, (r2, r3 ) ( S yz S yz )zy, dt dt d (r3, r1 ) ( S zx S xz )zx, (12) dt В силу симметричности тензора скоростей деформаций имеют место равенства 1 S xy S yx xy, S yz S zy yz, S zx S xz zx (13) 2 2 Парадоксально то, что как из (13) так и из (10) вытекают одинаковые равенства v u v w w u xy, yz, zx x y z y x z несмотря на разительное отличие друг от друга тензоров S и S !

Рассмотрим скорость относительного объемного расширения среды в данной ее точке 1d ( ), dt - элементарный «жидкий» объем среды, определяемый тройным скалярно-векторным произведением элементарных координатных векторов r1 (x,0,0), r2 (0, y,0), r3 (0,0, z) : =( r1,[r2, r3 ] ) Вычисляя индивидуальную производную по времени, имеем 1d 1d ( r1,[r2, r3 ] )= ( ) = dt dt 1d 1d (r1 ),[r2, r3 ] )+ (r2 ),[r3, r1 ] )+ = ( ( dt dt 1d (r3 ),[r1, r2 ] ) + ( dt Для элементарного параллелепипеда = x y z и по известному свойству единичных векторов осей координат i, j, k, а также в силу представлений r1 xi 0 j 0k, r2 0i yj 0k, r3 0i 0 j zk получается [r2, r3 ] 1 r2 r3 1 i [, ] [ j, k ], x y z x x [r3, r1 ] j [r1, r2 ] k,, y z в силу чего предыдущее равенство перейдет в следующее 1d ( ) = dt 1 d 1d 1 d (r1 )) (r2 )) (r3 )) (i, ( j, (k, x y z dt dt dt Используя вновь равенство (6), согласно которому d d d (r1 ) S r1, (r2 ) S r2, (r3 ) S r3, dt dt dt в форме определим искомое выражение 1 d ( ) = 1 (i, S r ) 1 ( j, S r ) 1 (k, S r ), x y z dt 1 2 где скалярные произведения равны u 1 (i, S r ) S xx, x x v 1 ( j, S r2 ) S yy, y y 1 w ( k, S r3 ) S zz z z Окончательно находим u v w 1d ( ) = S xx S yy S zz =div v, (14) dt x y z т.е. скорость относительного объемного расширения элементарного объема среды в данной ее точке равна дивергенции вектора скорости в этой точке или сумме скоростей относительных удлинений ex e y ez Таким образом, с применением тензора перемещения S уста новлена использованная выше формула (4) §1. Она непосред ственно вытекает из (14):

1 d ( ) = divv (15) dt или в эйлеровых переменных ( ) ( ) ( ) ( ) divv u v w t x y z и выражает быстроту изменения элементарного объема среды во времени при заданном ее движении.

§3. Парадоксы интегрального вывода уравнений динамики сплошной среды В /1/, /2/, /3/, /4/ применяется интегрирование по объему, таким образом, уравнения динамики сплошной среды выводятся дедуктивным методом. Именно применение дедуктивного метода привело к ложному положению o симметричности тензора напряжений. Отправным пунктом является закон изменения импульса (или количества движений) для системы mi и скоростями vi :

точек с массами dN pi N fi, (1) dt i 1 i pi = (vi mi ) - импульс (количество движения) час где тицы с массой mi, движущейся под действием результи рующих сил f i, в которые входят все силы, действующие на частицу с номером i, как внешние так и внутренние силы взаимодействия частиц между собой. При суммировании эти внутренние силы по третьему закону Ньютона сокращаются попарно (см. /7/).

В дедуктивном методе закон (1) применяется к произволь ному объему с поверхностью, внешняя нормаль к кото рой обозначена n. Закон изменения импульса записывается для произвольного объема в виде:

d v F n (2) dt В /1/ преобразование левой части (2) осуществляется по формуле (11) §1:

d d v dt (v ), dt а в /2/ применяется формула Лейбница. Очевидно, в интеграль ном выводе уравнений динамики сплошной среды возникают d v или производной от проблемы с вычислениями dt d [r, v ] и т.п., на что было указано в виде моментов dt формул в §1. Удачные применения формул Лейбница или (11) §1 связаны с тем, что уравнения динамики сплошной среды должны были соответствовать теореме об изменении импульса или 2 закону Ньютона.

Первое, что обращает внимание, в поверхностном интеграле в (2) учтены только силы, действующие на частицы, располо женные на поверхности объема, т.е. не учтены внутрен, действующие на частицы поверхнос ние напряжения n, ти индивидуального объема содержащего массу m m совокупности частиц, С учетом этих сил i i интегральное выражение должно иметь исходный вид d dt v F (2а) n A действует B Далее, объем на другой объем с и, наоборот, объем B действует с силой f A n A на объем A, то по 3 закону Ньютона силой f B n B имеет место равенство f A f B. В результате сокращения этих сил при суммировании имеет место равенство, (*) n n т.е. такое должно быть обоснование (2). Из правильно состав ленного выражения (2а), если применить к левой части формулу Лейбница или формулу (11) §1, выводится уравнение динамики сплошной среды в напряжениях, то есть нет необходимости пе рехода к формуле (2).

В теореме об изменении момента количеств движений d [r, v ] [r, F ] [r, n ] (3) dt которая применена в /1/ к объему аналогично (2), равенство типа (*) не имеет места. Согласно приведенным выше рассуж дениям правильно составленная теорема об изменении момента количеств движений (импульса) имеет вид d [r, v ] [r, F ] [r, n ] (3а) dt Из (3) выводится равенство, используемое в /1/ и др., dv [r, ] [r, F ] [r, j ] j 1 x j dt со всеми вытекающими отсюда противоречиями о симметрич ности тензора напряжений сплошной среды. Из правильно составленного выражения (3а) получается соотношение 3 j dv [r, ] [r, F ] [r, ] 0, j 1 x j dt из которого следует уравнение динамики в напряжениях 3 j dv F, j 1 x j dt следовательно, не возникает вопрос о симметричности тензора напряжений, что имело место в неправильной формулировке (3).

Другой парадокс состоит в том, что для вывода фундаменталь ных уравнений механики сплошной среды нет никакой необхо димости в интегральных формулах типа (2), (3). Покажем это.

Пусть масса индивидуального объема равна m, F - плотность массовых сил, n - напряжение, плотность.

Теорему об изменении импульса нужно сформулировать не посредственно для объема, имея в виду, что главная повер хностная сила, действующая на поверхность объема n равна, главная массовая сила, действующая на объем, равна Fm :

d (v m) Fm n (4) dt Далее, по теореме Остроградского-Гаусса осуществляется переход к объемному интегралу x y z n ( x y z ) ', ' По теореме о среднем значении определенного интеграла и малости индивидуального объема получается x y z x y z ( x y z ) ' ( x y z ) ' y z ), ( x x y z следовательно, имеет место равенство n = ( x y z ) (5) x y z m в (4), находим Подставляя (5) и x y z d (v ) F ( ) (6) x y z dt Левая часть (6) преобразовывается на основании формулы (4) §1 и уравнения неразрывности d / dt divv 0 :

d dv v divv v dt dt x y z ), = F + ( x y z получается классическое откуда после сокращений уравнение динамики сплошной среды в напряжениях x y z dv F x y z dt §4. Индуктивный метод Индуктивный метод (от частного к общему) свободен от ука занных выше недостатков, потому как используется понятие частицы сплошной среды. «Жидкий » индивидуальный объем составлен именно из этих частиц с массами mi и ско ростями vi. (Если бы с самого начала развития механики сплошных сред применялся индуктивный метод, то проблемы симметричности тензора напряжений не было бы! В связи с чем здесь достаточно подробно излагается этот физичный метод.) Предполагается в силу сплошности среды, что в mi m, среднемассовая содержится сумма частиц i определяется как отношения /2/ скорость v объема v mi vi / mi mi vi / m, аналогично определяется i i i, как среднемассовая сила, действующая на F mi Fi / mi mi Fi / m, откуда vm mi vi, i i i i Fm mi Fi, плотность m /, m mi.

i i Теорема об изменении импульса системы материальных точек применяется к элементарному объему сплошной среды, в mi, а не к которой находится совокупность частиц i, собственно говоря, в этом конечному объему заключается вся суть индуктивного метода:

d mi vi Fi mi nk k, (1) dt i k i n nk k где - результирующая поверхностная сила, k действующая на элементарную поверхность, причем k, k участок поверхности, которую занима k nk, mk ет частица, находящаяся под действием напряжения.

Формула (1) в эквивалентной записи принимает уже использо ванный выше вид d (v m) Fm, (2) n dt откуда получается, как было показано, уравнение динамики сплошной среды в напряжениях.

Можно поступить проще, не применяя теорему о среднем ин теграла, а пользуясь предельным переходом xyz 0, если в качестве элементарного объема xyz взять параллелепипед с гранями x x x, y y y, z z z.

2 1 2 1 2 Закон изменения импульса для параллелепипеда с суммой mi m записывается с учетом массовых и частиц i поверхностных сил, действующих на.

В результате в приложении к параллелепипеду теорема об изменении импульса примет вид, который аналогичен (2):

d (v m) Fm ( x2 x1 )yz (3) dt ( y 2 y1 )xz ( z 2 z1 )xy, vm mi vi, Fm mi Fi, n nk k.

где i k i Сравнение (3) с (2) показывает, что поверхностный интеграл для параллелепипеда вычисляется по его граням (yz)1 (yz) 2 (xz)1 (xz) 2 (xy)1 (xz) В результате получается следующее значение интеграла ( x2 x1 )yz ( y 2 y1 )xz k nk k ( z 2 z1 )xy d divv и равенство напряжений Используя формулу dt x1 x1, y1 y1, z1 z1, (4) поделив на объем xyz,, приходим к выражению dv d v divv F x 2 x1 / x dt dt y 2 y1 / y z 2 z1 / z (5) Очевидно, предельный переход в (5) x 0, y 0, z 0, дает уравнение динамики сплошной среды в напряжениях dv d v divv F x y z (6) x y z dt dt При равенстве нулю уравнения неразрывности (нет источников d и стоков) divv dt данное уравнение (6) точно совпадает с уравнением (10) из §3.

Здесь не используются теорема Остроградского-Гаусса и теорема о среднем интеграла.

Уравнение баланса энергий выводится таким же способом.

Для элементарного параллелепипеда xyz сплош ной среды закон сохранения энергий формулируется в виде 2 d [( E v / 2)m] ( Fm, v ) [( x 2, v x2 ) ( x1, v x1 )]yz dt [( y 2, v y2 ) ( y1, v y1 )]zx [( z 2, v z2 ) ( z1, v z1 )]xy (q x 2 q x 1 )yz (q y 2 q y 1 )zx (q z 2 q z 1 )xy Qm (7) где v xm, m 1,2 - значения вектора скорости на площадках q q x i q y j q z k yz в сечениях x1, x 2 и т.п., вектор потока тепла, ( E v / 2)m -полная энергия объема, Fm, v - мощность массовой силы, а это выражение [( x 2, v x2 ) ( x1, v x1 )]yz [( y 2, v y2 ) ( y1, v y1 )]zx [( z 2, v z ) ( z1, v z )]xy 2 дает сумму мощностей поверхностных сил, действующих на пары граней yz, zx, xy параллелепипеда, сумма (q x 2 q x 1 )yz (q y 2 q y 1 )zx (q z 2 q z 1 )xy - есть потоки тепла через эти грани, Qm мощность источника или потребителя энергии в объеме.

Поделив обе части (7) на xyz и стягивая параллелепипед x 0, y 0, z 0 к точке, приходим к уравнению баланса энергий в сплошной среде:

d 2 2 d divv ) ( E v / 2) ( E v / 2)( (8) dt dt ( F, v ) ( x, v ) ( y, v ) ( z, v ) divq Q, x y z из которого по закону Фурье q gradT и dE cv dT, получается уравнение притока тепла для несимметричного тензора напряжений Ньютона /8/ в виде v 1 div gradT ( i ) 2 pdivv ( ' )divv dT cv i 1 j 1 x j dt (Энергия тепла, проходящая через площадку в единицу времени, равна (q, n ) ). Изложенный выше индуктивный подход обладает прямой связью с основными законами физики.

Следует отметить, что уравнение неразрывности (6) выведено в /1/ из закона сохранения материи индуктивным методом. По закону сохранения материи масса m индивидуального объема есть величина постоянная m =const, поэтому dm d ( ) d ( ) d 0, 0, 0 (9) dt dt dt dt d divv из (9) вытекает выражение В силу dt d divv 0, dt откуда, сокращая, приходим к уравнению неразрывности d divv dt Целью вышеизложенных двух параграфов было обоснование того, что для вывода основных уравнений можно не применять дедуктивный метод.

Как это показано в §3, при выводе ложной симметричности тензора напряжений сплошной среды традиционно используется дедуктивный метод.

§5. Парадоксы первой теоремы Гельмгольца Известно /1/, что Гельмгольц, исключив давление р из уравне ний Навье-Стокса несжимаемой жидкости /1/, получил урав нение для ротора скорости w v u w v u rotv ( )i ( ) j + ( )k y z x y z x Имея в виду, что размерность rotv совпадает с размернос тью угловой скорости, Гельмгольц попытался связать их с помощью формулы скорости для точек твердого тела /1/:

v v0, r r0, (1) где v0, r скорость и радиус-вектор полюса, относительно которого в данный момент происходит мгновенное вращение тела. Попытка выразить компоненты угловой скорости xi y j z k через компоненты линейной скорости v = ui vj wk привела Гельмгольца к решению относитель но x, y, z линейной алгебраической системы u u 0 y ( z z 0 ) z ( y y0 ), v v0 z ( x x0 ) x ( z z0 ), (2) w w0 x ( y y0 ) y ( x x0 ), определитель которой равен нулю, поэтому данная система при заданных u u u 0, v v v0, w w w0, x x x0, y y y0, z z z имеет бесчисленное множество решений, что в первую очередь следует из равенства, r r0 r r0 sin ;

v v0 совместность системы вытекает из условия ортогональности v v0 к r r0 : ( v, r r0 )=0. В самом деле, если в качестве выбрать x, исходной произвольной переменной то множество решений системы (2) записывается в виде v z y w z x, y x (3) x x x x Гельмгольц (или Лойцянский в /1/?) поступают совершенно по иному. Дифференцируется (2) по x,y,z, полагая постоянными v0, r0,, в результате для компонент угловой скорости твердого тела были получены выражения:

v w u x,y, z, z x y w u v x, y, z (4) y z x Парадоксально, что применение метода (4) Гельмгольца (или Лойцянского?) к решению системы линейных уравнений N aij x j bi, i 1,..., N i дает значения искомых величин в форме bi xj, j 1,..., N, i 1,..., N, т.е. получаются N*N aij значений искомых неизвестных xj вместо положенных N.

Очевидно, из них можно образовать любые комбинации типа bm x j ( m, j 1,..., N, ) a mj m m m m - произвольные числа. В данном случае где системы (4) этим фактом можно воспользоваться следующим образом.

Умножив верхнюю строчку на n - нижнюю строчку на m, сложив и поделив их на m+n 0, найдем значения m w n v x, m n y m n z m u n w y, m n z m n x (5) m v n u z m n x m n y Гельмгольц (Лойцянский?) из этого бесчисленного многообра зия компонент угловой скорости использовал только одну совокупность, получающуюся из (5) при m=n=1:

w v u w 2 x, (rotv ) y 2 y, (rotv ) x y z z x v u 2 z, (rotv ) z (6) x y где использовано известное выражение ротора скорости.

Очевидно, ни при каких значениях m, n выражения (5) x, y, z не совпадают с решениями (3) системы (2).

Если даже взять в качестве значения свободной переменной 1 w v x ( ), 2 y z подставляя его в найденные решения (3) системы (2) v z v 1 w v z 1 v u z x ( ) ( ), x x x 2 y z x 2 x y y w 1 w v y w 1 u w y x ( ) ( ) x x 2 y z x x 2 z x убеждаемся в том, что формулы Гельмгольца (6) ) не являют ся решениями системы (2), ч.т.д. Парадоксальный факт, ис пользуя неправильное решение (6) Гельмгольц (Лойцянский?) вместо формулы (1) обращается к выражению v v0 [ rotv, r r0, (7) которое ничего общего с формулой скорости твердого тела (1) не имеет, потому что (6) не является решением системы (2).

В силу того, что формулы Гельмгольца (6) не являются решениями системы (2) данное выражение вовсе не эквивалентно формуле (1) скорости точки твердого тела! (Эта формула вообще ошибочна, она не годится для расчета скорости точек твердого тела.) Тем ни менее, данное выражение стало в дальнейшем прообразом первой теоремы Гельмгольца, на которой остановимся более подробно.

Первая теорема Гельмгольца выводится из приближенной формулы, представляющей члены с первыми производными ряда Тейлора в виде v (r r, t ) v (r, t ) S r (8) Гельмгольц по аналогии с неправильным выражением (7) пре образовал (8) к эквивалентному виду (см./1/):

v (r r, t ) v (r, t ) rotv, r Sr, (9) введя тензор скоростей деформаций S. Формула (9) является содержанием первой теоремы Гельмгольца. Сравнивая (9) с ошибочным выражением (7), Гельмгольц объявляет S r деформационным смещением. Если иметь в виду, что выра жение v v0 [ rotv, r r0 в отдельности вообще не име ет никакого физического смысла, в отличие от скорости точки твердого тела v v0, r r0, то сформулиро ванное понятие деформационного смещения является весьма сомнительным с физической точки зрения.

Более содержательным является перемещение S r в (8) и в силу результатов (7), (9), (10) §2 это произведение можно объявить деформационным смещением. Покажем, что ряду Тейлора (8) можно придать бесконечное число форм, содержащих rotv, тем самым будет доказано, что имеет место бесконечное число «деформационных смещений» типа гельмгольцевских S r. С этой целью запишем ряд Тейлора (8) в проекциях на оси координат:

u u u u ( x x, y y, z z, t ) u ( x, y, z, t ) x y z, x y z v v v v( x x, y y, z z, t ) v( x, y, z, t ) x y z, (10) x y z w w w w( x x, y y, z z, t ) w( x, y, z, t ) x y z x y z Эквивалентное преобразование ряда Тейлора (10) имеет вид:

u b 1 v u u ( x x, y y, z z, t ) u ( x, y, z, t ) x ( )y x b x y b 1 u w b 1 v 1 u b 1 w 1 u ( )z ( )y ( )z, b z x b x b y b x b z b 1 v u v v( x x, y y, z z, t ) v( x, y, z, t ) ( )x y b x y y b 1 w v b 1 u 1 v b 1 w 1 v ( )z ( )x ( )z, (11) b y z b y b x b y b z b 1 u w w( x x, y y, z z, t ) w( x, y, z, t ) ( )x b z x b 1 w v w b 1 u 1 w b 1 v 1 w ( )y z ( )x ( )y, b y z z b z b x b z b y По аналогии с представлением Гельмгольца (9) ряд Тейлора (11) можно записать в векторном виде:

b rotv,r Sbr, v (r r, t ) v (r, t ) (12) b используя очевидное матрично-векторное представление u b 1 v 1 u b 1 w 1 u,, x b x b y b x b z x i b 1 u 1 v, v, b 1 w 1 v, r y, (13) Sb j b y b x y b y b z z k b 1 u 1 w b 1 v 1 w w,, b z b x b z b y z b=const, b 0, | b |. При b=2 из (12) получается первая теорема Гельмгольца (9), ибо S2 S, т.е. тензор S 2 равен тензору скоростей деформаций, при b=1 универсальная формула (12) переходит в ряд Тейлора в исходной записи (8), т.к. S1 S, т.е. S1 равен матрице перемещения. Всюду выше ротор скорости имеет компоненты w v u w v u (rotv ) x, (rotv ) y, (rotv ) z (14) y z x y z x Поэтому разложению в ряд Тейлора (10) можно придать другой эквивалентный вид:

u u ( x x, y y, z z, t ) u ( x, y, z, t ) x x v u u w v w )y ( )z y z, ( x y z x x x v u v( x x, y y, z z, t ) v( x, y, z, t ) ( )x x y v w v u w y ( )z x z, y y z y y u w w( x x, y y, z z, t ) w( x, y, z, t ) ( )x z x w v w u v )y z x y ( (15) y z z z z По аналогии с (12) проекции (15) свертываются в выражение v (r r, t ) v (r, t ) rotv, r r S, (16) где S несимметричная матрица перемещения из §1, в r S строки умножаются на столбцы. Гельмгольц вихрем скорости назвал формулу rotv, (17) исходя из ложного представления (7), о чем шла речь выше.

Как известно /1/, /4/, ротор скорости в гидродинамике связан, в первую очередь, с циркуляцией скорости:

( rotv, n ) lim ( v, dr ), (18) 0 Г и компоненты rot v в указанном в (14) виде получаются именно из этого определения (18), поэтому для вихря скорости должна использоваться формула rotv. Если исходить из определения Гельмгольца, то деформационными смещениями являются Sbr, входящие в универсальную формулу (12).

§6. Парадоксы гипотезы Стокса 10. Гипотеза Стокса основана на неверной формуле Гельмгольца v v0 [1 / 2rotv, (r r0 )] В §5 приведена эта ошибочная формула Гельмгольца, на осно вании которой разложение в ряд Тейлора сформулировано в виде первой теоремы Гельмгольца /1/:

v (r r, t ) v (r, t ) rotv, r Sr Далее, Стокс, приняв в этом ряду Тейлора слагаемое Sr за деформационное смещение, происходящее под действием поверхностных сил, гипотетически предположил, что каса тельные напряжения должны быть пропорциональными удвоенным значениям компонент тензора скоростей :

деформаций S ji (c ) 2S ji, i j, благодаря чему, касательные напряжения получились симмет ричными в силу симметричности матрицы S. Стокс пренебрег равноправным членом ряда Тейлора (в этом главная ошибка rotv, r Sr.

этой гипотезы):

Свою гипотезу Стокс (другое название - обобщенный закон Ньютона /1/), оформил для течений вязких жидкостей и газов в тензорном виде c ( p divv ) E 2S (1) В индексных обозначениях компоненты тензора напряжений c записываются короче vi ii ( c ) ( p divv ) 2, i 1,2,3, xi vi v j ji ( c ) ( ), i j, (2) x j xi и симметричность тензора напряжений в виде ij(c) ji(c), i j, i, j 1,2,3, (3) Обращает внимание то обстоятельство, что в нормальные напряжения диагональные элементы тензора S входят с удвоенным значением, что связано с подгонкой касательных v s ns напряжений (2) под закон трения Ньютона.

n Например, закон трения Ньютона при vs u, n y, s x дает u формулу yx ( н ), а по гипотезе Стокса (2) получается y u v yx ( c ) ( ). Очевидное несовпадение связано со вклю y x v чением парадоксального лишнего члена. (Кстати, на не x обоснованность гипотезы Стокса указывал Л.Д.Ландау.) vi Возникает вопрос об адекватности члена 2 в нормальном xi напряжении в том смысле, что выбор коэффициента «2»

обоснован только гипотезой Стокса (1), по которой должно выполняться искусственно созданное равенство ji ( c ) 2S ji, i j (4) В предыдущем параграфе § 5 для ряда Тейлора v (r r, t ) v (r, t ) S r было приведено бесчисленное множество эквивалентных фор мулировок, содержащих ротор скорости:

b rotv,r Sbr v (r r, t ) v (r, t ) (5) b Если следовать логике гипотезы Стокса, то напряжения, выбранные из соображений их пропорциональности компо нентам тензора Sb, будут определяться в виде u xx ( p b / 3divv ) b, x v yy ( p b / 3divv ) b, y w zz ( p b / 3divv ) b, z b 1 v 1 u b 1 v 1 w yx ( ), yz ( ), b x b y b z b y b 1 u 1 v b 1 u 1 w xy ( ), xz ( ), b y b x b z b x b 1 w 1 u b 1 w 1 v zx ( ), zy ( ) b x b z b y b z Для b 2 касательные напряжения несимметричны, сим метричность имеет место только при b=2, когда S2 S. Оче видно также, что при b=1 матрица (6) переходит в матрицу перемещения S1 S.

Имеется бесконечное число вязких течений (здесь приводят ся лишь некоторые из них), в которых симметричность напря жений Стокса (3) противоречит фундаментальному закону v s ns трения Ньютона, где n поперечное к s n направление, v s (v, s ) - проекция скорости на направление орта s, ns - касательное напряжение.

20. Парадокс гипотезы Стокса S 2 S в течениях Пуазейля и Куэтта В ламинарном течении между параллельными непроницаемы ми и недеформируемыми стенками канала (течение Пуазейля), скорости определяются как решение уравнения d 2u dp 2, u ( b ) 0, dx dy в виде зависимостей 1 dp 2 dp (b y 2 ), ( const ), v 0, u 2 dx dx (здесь v1 u, v2 v, v3 w, x1 x, x2 y, x3 z ).

В этом течении продольное касательное напряжение в направ u v dp лении х по формуле (2) равно yx(c ) ( ) y.В y x dx v 0, силу того, что нет течения по поперечному направлению а значит производная равна нулю v / x 0, по закону тре ния Ньютона поперечное касательное напряжение в направле лении y тоже будет равно нулю: xy ( н ) v / x 0, что вполне объяснимо отсутствием поперечного течения в нап равлении y, т.к. v 0 по всему каналу. По гипотезе Стокса о yx(c) xy (c), симметричности касательных напряжений получается парадокс, заключающийся в том, что поперечное касательное напряжение не равно нулю, ибо dp xy (c ) yx(c ) y 0, dx что вступает в противоречие с фундаментальным законом тре ния Ньютона, по которому, как было выше доказано, попереч xy ( н) 0.

ное касательное напряжение равно нулю Т.о. в течении Пуазейля поперечные и продольные касательные напряжения не равны между собой, т.е. их симметричность относительно левой главной диагонали тензора напряжений c в виде (2) не имеет места. Это противоречие совершенно аналогично излагаемому ниже парадоксу с касательными напряжениями по Стоксу (2) в течении Хагена-Пуазейля в трубе. Для течения Куэтта несимметричность касательных напряжений устанавливается аналогично.

S 30. Парадокс гипотезы Стокса S 2 в произвольных течениях Для бесконечного числа течений симметричные касательные напряжения Стокса (2) имеют нулевые значения, т.е. во всех точках потока равны нулю vi v j ji ( c ) ( ) 0, i j, i 1,2,3, j 1,2, x j xi Ограничимся приведением небольшого перечня течений с компонентами скоростей, в которых этот факт имеет место:

1) u=F(sin k1 x cos k1 y ), v=F(-cos k1 x sin k1 y ), 2) u= U(sin k 2 x cos k 2 y -cos k 2 x sin k 2 y ), v= U(sin k 2 x cos k 2 y -cos k 2 x sin k 2 y ), 3) u=W(-cos k3 x sin k3 y ),v=W(sin k3 x cos k3 y ), 4) u=Q(sin k4 x sin k 4 y ),v=Q(cos k4 x cos k 4 y ), 5)u=T(sin k5 x sin k5 y ),v=T(cos k5 x cos k5 y ), 6) ux=M(sin k 6 x sin k 6 y +cos k 6 y cos k 6 x ), v=M(sin k 6 x sin k 6 y +cos k 6 y cos k 6 x ), k7 ( x y ) k7 ( x y ) 7)u =S( e v=-S( e ), ), для трехмерных течений ky kz kx 8)u=D(( e 8 - e 8 ) e 8 ), kz kx ky v=D(( e 8 - e 8 ) e 8 ), kx ky kz w=D(( e 8 - e 8 ) e 8 ), где коэффициенты ki const, i 1,2,3,4,5,6,7,8 выбираются ki.

произвольно из бесконечного интервала Стоящие здесь дифференцируемые функции F,U,W,Q,T, M,S,D также произвольны в выборе. Очевидно, из указанного перечня можно образовать новые любые линейные комбинации типа u=F+U, v=F+U и т.д.. Поля скоростей 1-7 соответствуют плоским течениям и удовлетворяют двумерному уравнению u v 0, поля cкоростей 8) удовлетворяют неразрывности x y u v w 0.

трехмерному уравнению неразрывности x y z Для всех этих течений касательные напряжения Стокса тождественно равны нулю во всех точках потоков:

vi v j ji ( c ) ij ( c ) ( ) 0, i j, i 1,2,3, j 1,2, x j xi Для сжимаемого газа число течений, в которых имеют место ijc jic 0, i j, нулевые напряжения Стокса бесконечно возрастает из-за присутствия в уравнении неразрыв ности переменной плотности. Таким образом, в течениях с компонентами скоростей типа 1,2,3,4,5,6,7,8 симметричные ji (c ) 0, i j напряжения (2) обращаются в нули и полу чается так, что движение вязкой жидкости происходит без трения, что противоречит фундаментальному закону Ньютона ns vs / n. Нетрудно вычислить по этой формуле, что касательные напряжения в указанных течениях не равны нулю vi ji(н) 0, i j (6) x j 40. Парадокс гипотезы Стокса S 2 S в течении Хагена Пуазейля в круглой трубе Ламинарное течение вязкой жидкости в круглой трубе (см./1/) в цилиндрических координатах имеет скорости 1 dp 2 2 dp Vz (a r ),Vr 0,V 0, const, 4 dz dz где a радиус трубы, z - осевая, r - радиальная координаты.

По гипотезе Стокса (2) симметричные касательные напряже ния равны между собой и вычисляются по формуле /1/ Vr Vz 1 dp zr ( c ) rz ( c ) ( ) r (7) z r 2 dz Рассмотрим течение в положительном направлении оси z, оно возникает при падении давления dp const 0.

dz При этом по формуле (7) продольные касательные напряже rz(c ) 0, по гипотезе ния отрицательны Стокса (хотя течение в поперечном направлении r отсутствует) в силу сим метричности (3) существуют и являются отрицательными по перечные касательные напряжения zr(c) rz(c), zr(c) их направления показаны на рис.1.

z z ось симметрии трубы 0 z V z zr( н) rz(c) V z dp dz zr(c) rz(н) +a стенка трубы r Рис. По фундаментальному закону трения Ньютона поперечные касательные напряжения равны нулю zr ( н) vr / z 0, ибо vr 0, продольные касательные напряжения отрицательны rz( н ) vz / r 1/ 2(dp / dz )r 0, причем как касательное напряжение по гипотезе Стокса так rz(c) 0, и касательное напряжение по формуле Ньютона rz(н) 0 имеют одинаковые направления против течения.

При положительном градиенте dp / dz 0 жидкость в трубе течет в отрицательном направлении оси z (справа налево), касательные напряжения меняют знаки в силу (7) rz(c) 0, zr(c) 0, по закону трения Ньютона vr rz( н) 0, zr( н) z и течение будет в направлении “ z ”, что отражено на рис.2.

z z ось симметрии трубы dp Vz dz Vz rz(c ) 0 zr( н) 0 rz( н ) zr(c ) стенка трубы +a r Рис. Разворот рис.2 на 180 o приводит к рис.3, на котором показано, что течение в трубе направлено в ту же сторону, что и на рис.1.

Противоречие заключается в расположении не равного нулю zr(c ), касательного напряжения по гипотезе Стокса которое на рис. 3 направленo к стенке трубы, а на рис. направленo к оси трубы при одинаковой направленности rz(c ) течения, тогда как напряжение в обоих случаях направленo против течения!

Напротив, по закону Ньютона касательное напряжение равно нулю:

vr zr( н) 0, z vr т.к. из-за отсутствия радиального течения.

z z ось симметрии трубы rz(н) V V z z zr(c) zr(н) rz(c) dp dz стенка трубы +a r Рис. Очевидно, для несимметричного тензора (6) противоречия, подтвержденного рисунками.1-3, не возникает, в то время как для симметричного тензора напряжений Стокса (2) имеет место указанный на рисунках 1,2,3 парадокс.

Аналогичный парадокс с направлениями симметричных стоксовых касательных напряжений, очевидно, получается в течениях Пуазейля и Куэтта.

§7. Несимметрический тензор напряжений Ньютона.

Парадоксы определения вязких нормальных напряжений связаны с гипотезами о давлении и с законом Паскаля для идеальных жидкостей Закон линейной зависимости напряжений от скоростей дефор маций, предложенный Стоксом в 1845г. как неадекватное обобщение закона трения Ньютона, можно связать с формулой Гельмгольца или рядом Тейлора, (что одно и то же):

v (r r, t ) v (r, t ) rotv, r Sr (1) эквивалентная запись (1) имеет вид:

v Sr Sr Эту формулу необходимо представить в раскрытом виде 1 vi v j 1 v v j vi [ ( )]x j, i 1,2,3 (2) ) ( i j 1 2 x j xi 2 x j xi Отнеся (2) к бесконечно малому отрезку времени t, получа ем конвективную составляющую ускорения 1 v v x 1 v v vi [ ( i j ) ( i j )] j, i 1,2, t 2 x j xi t j 1 2 x j xi На основании (2) Стокс выдвинул гипотезу о том, что напря жения пропорциональны удвоенному деформационному сме щению 2 S r. Гипотеза была сформулирована в виде обоб щенного закона Ньютона (другое название - закон Стокса) с симметричным тензором напряжений vi v j ji (c ) ( p divv ) ij ( ), i, j 1,2,3, (3) x j xi где ij - символ Кронекера.

Как было отмечено, появление множителя «2» в 2 S r связано с подгонкой касательного напряжения по Стоксу (3) vi v j ji ( c ) ( ), i j к закону трения Ньютона (6) §6:

x j xi vi ji ( н), i j. В связи с этим ставится вопрос: если x j напряжения (3) вызваны деформационными смещениями v j 1 vi 2 ( x )x j, то какие же напряжения создают xi j 1 j rotv,r или стоящие в (2) вращательные смещения v j 1 vi 2 ( x )x j ? Тем более, что во вращательное xi j 1 j vi v j движение входят те же градиенты, что стоят и в, x j xi v j x j 1 vi ji (c ), i j, более того 2 ( x является составной ) xi t j 1 j частью конвективного ускорения!

Парадоксальное пренебрежение Стоксом этими силами мотивировано подгонкой гипотезы (3) к ошибочному положению о симметричности тензора напряжений.

(Несимметричность тензора напряжений сплошной среды будет строго доказано в нижеследующих параграфах.) Ответом на поставленный выше вопрос является настоятельная необходимость учета напряжений 1 vi v j * ( ), 2 x j xi ji образованными вращательными смещениями среды, наравне с напряжениями 1 vi v j ** ( ), 2 x j xi ji образованными в потоке деформационными смещениями, т.е.

нельзя пренебрегать столь важной составляющей общего rotv,r Sr.

движения, как В результате этого суммарная сила определяется уже в виде ji ( н ) ( p divv ) ji * **, ji ji что после подстановки ij, ij приводит к несимметрическому * ** тензору напряжений vi ji ( н ) ( p divv ) ij, i, j 1,2,3 (4) x j Эта формула автоматически соответствует как ряду Тейлора v j vs v j xi так и закону трения Ньютона ns xi n i и дает несимметричные значения касательных напряжений vi (6) §6: ji ( н), i j. В декартовых координатах это x j будет так:


u v w yx( н) xy ( н) xz ( н),,, y x x w u v yz ( н) zx( н) zy( н),,.

y z z Нормальные напряжения, в силу равенств (7) §2, равны S xx ex, S yy ey, S zz ez, ex u / x, ey v / y, ez w / z, u v 1 xx(н) ( p divv ) +, yy ( н ) ( p divv ), x y 3 zz ( н ) ( p divv ) w, z где, в отличие от нормальных напряжений гипотезы Стокса, стоит 1/ 3divv, (попытка обоснования этой формулы пред принята А.В.Лыковым в /3/).

Парадоксы определения вязких нормальных напряжений Первая гипотеза о давлении гласит: среднеарифметическое значение вязких нормальных напряжений должно быть равно давлению со знаком минус (см. /1 /):

xx ( н ) yy ( н ) zz( н ) p (5) В силу данной гипотезы в нормальные напряжения в законе Стокса (3) был искусственно включен член 2 / 3divv и в (4) по аналогии включен 1/ 3divv. Эти искусственные гипотетические включения обеспечивают безусловное выполнение гипотезы о давлении (5).

Известно, что гипотеза (5) для идеальных жидкостей является pn, безусловно выполняется для несжи законом Паскаля pn маемых вязких жидкостей divv 0, даже если нормальные на пряжения в них определить с произвольным коэффициентом :

vi ii p, i 1,2,3, (6) xi а касательные напряжения определить по закону Ньютона v ji i, i j x j При =0 в (6), ii p, i 1,2,3, вытекает закон Паскаля.

При значении нормальные и касательные напряжения определяются единой записью vi ji p ij, i, j 1,2,3, (7) x j т.е. имеет место канонический несимметричный тензор pE S (8) Если в определении вязких нормальных напряжений исходить из первой гипотезы (5), то налицо произвол, связанный с. (Вполне возможно, что при выбором коэффициента моделировании турбулентных течений это обстоятельство может сыграть немаловажную роль) Вторая гипотеза о давлении гласит: что нормальные divv 0 должны напряжения в сжимаемом газе удовлетворять уравнению xx ( н ) yy ( н ) zz( н ) p ' divv, (9) где произвольный коэффициент ' (для его выбора нет каких либо физических обоснований) объявляется коэффициентом объемной вязкости или вторым коэффициентом вязкости.

Нетрудно вычислить, что вторая гипотеза выполняется для нормальных напряжений вида vi ii ( н ) [ p ( ' )divv ], i 1,2,3, (10) xi т.е. несимметричный тензор напряжений оформляется в виде vi ji ( н ) [ p ( ' )divv ] ij, i, j 1,2,3, (11) x j н [ p ( ' )divv )]E S (12) Как сказано, имеется определенный произвол в выборе множи теля '. Распоряжаясь данным произволом, положим ', благодаря чему нормальные напряжения (10) в сжимаемых газах divv 0 примут вид vi ii p, i 1,2,3, (13) xi совпадающий с нормальными напряжениями в несжимаемых divv 0 жидкостях (7), т.е. (12) перейдет в (8) и будет иметь место единый реологический закон как для несжимаемых жидкостей так и для сжимаемых газов:

vi pE S, ji p ij, i, j 1,2,3 (14) x j Лишь гипотеза (9) примет иную форму xx ( н ) yy ( н ) zz( н ) p divv, (15) 3 которая соответствует нормальным напряжениям (13)!

В случае несжимаемых жидкостей с divv 0 гипотеза (15) автоматически переходит в закон Паскаля.

Тем самым показано: 1) что включение комплексов 1/ 3divv или 2 / 3divv есть некая совершенно очевидная подгонка вязких нормальных напряжений к гипотезе о давлении (5);

2) формулы нормальных напряжений зависят от вида гипотезы о давлении.

Отказ от искусственных добавок типа 2 / 3divv, 1/ 3divv, (2 / 3 ' )divv, (1 / 3 ' )divv, значительно упрощает тензор напряжений, следовательно, и уравнения динамики вязкого сжимаемого газа с divv 0.

Приведенные выше парадоксы с гипотезами о давлении и рео логический закон Ньютона (14) позволяют сделать вывод:

пропорциональность вязкой части нормальных напряжений диагональным элементам тензора перемещения S, обоснована законом трения Ньютона, в силу которого касательные напряжения пропорциональны недиагональным элементам тензора S.

Реологический закон Ньютона (14) освобождает уравнения динамики вязких сжимаемых газов в диссипативной части от смешанных производных, в связи с этим на 12 производных сокрашаются трехмерные уравнения, а если сравнивать с уравнениями Навье-Стокса, то в общей сумме в новых уравнениях на 18 производных меньше содержится по сравнению с уравнениями Навье-Стокса. Кроме того, наличие смешанных производных влияет на тип уравнений, т.е. на квазипараболичность, создает определенные трудности при исследовании устойчивости разностных схем для численного их решения.

В §5 было отмечено, что в универсальной формуле b rotv,r Sbr v (r r, t ) v (r, t ) b S1 S, поэтому при b=1 стоит матрица переход к тензору перемещения S совершается при b= v (r r, t ) v (r, t ) S r тем самым доказывается, что для построения тензора напря жений Ньютона нет особой необходимости в первой тео реме Гельмгольца, следует непосредственно исходить из v (r r, t ) v (r, t ) S r.

ряда Тейлора Разделение ряда Тейлора на симметричную S r и антисимм 1/ 2 rotv, r части напрямую связано с етричную построением симметричного тензора напряжений сплошной среды и теорией деформаций (этот вопрос рассматривается здесь в гл.9 ).

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифщиц в /10/ в качестве дополнительно го требования к реологическому закону сплошной среды выдви нули следующее условие: «… во вращающейся как твердое те ло вокруг оси с постоянной угловой скоростью вязкой жидкос ти все касательные напряжения должны обращаться в нули».

Напряжения (6) удовлетворяют этому требованию. Действи тельно, в цилиндрической системе r,, z /1/, ньютоновские напряжения (7) имеют вид vr v v v r ( ), r, zr r, r r z r vz v v rz z, z, z, r r z v rr [ p ( ' )divv ] r, r 1 v vr [ p ( ' )divv ] ( ), r 3 r v z zz [ p ( ' )divv ], z 1 (rvr ) vz 1 v divv, r r r z для жидкости divv 0, вращающейся с постоянной угловой скоростью, скорости равны ( - угол между и r ):

vr 0, vz 0, v, r r sin r sin, следовательно, равны нулю все касательные напряжения rz 0, zr 0, r 0, r 0, z 0, z 0.

§8. Предпосылки ошибочного вывода о симметричности тензора напряжений Рассмотрим систему материальных точек с массами mi, i=1,2,…,N и с радиус - векторами ri, i=1,2,…,N, на которые действуют силы Fi, i 1,2,..., N. Результирующая (главная) F.

сила равна F * i i Момент* результирующей (главной) силы равен M c [rc, F ], где rc mi ri / mi - радиус-вектор центра i i масс, обозначаемый в дальнейшем просто rc r ;

а результиру M [ri, Fi ].

ющий (главный) момент равен i Теорема 1. Для системы материальных точек момент результирующей силы не равен в общем случае результирующему моменту: M c M.

Действительно, имеет место очевидное неравенство m r ii, F ] [r, F ], i [ m i i i i i i i кроме этого, простейшим примером, являются лежащие на одной прямой противоположно направленные силы F1 F2, суммарная сила здесь равна нулю:

F * F1 F2 0, поэтому M c 0, в то время как результирующий (главный) момент не равен нулю, если векторы r1 r2 и F1 не параллельны между собой:

M [r1, F1 ] [r2, F2 ] [r1 r2, F1 ] (1) Теорема 2. Для заданных взаимно перпендикулярных векторов QF существует бесконечное число векторов * * * r x i y j z k, * для которых имеет место * равенство [r, F ] Q. Если заданы взаимно перпендикулярные векторы Q r *, то существует бесконечное число векторов F *, для которых имеет место это равенство.

Действительно, данное уравнение, решаемое относительно x, y*, z *, имеет определитель, равный нулю * y * Fz z * Fy Qx, z * Fx x* Fz Qy, x * Fy y * Fx Qz, (2) где F Fx i Fy j Fz k, Q Qxi Qy j Qz k Из равенства (r *, Q) 0, вытекает выражение x Qx y Qy z Qz 0, * * * которое представляется в виде y * Q y z * Qz x * Qx и решается совместно с первым уравнением данной системы (2). В результате получается бесконечное множество решений Qx (Qz x*Fy ) Qx ( x*Fz Qy ) y* z*,.

FyQy FzQz FyQy FzQz Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Теорема 3. Для заданного вектора Q можно найти бесконечное число векторов r * и F, для которых имеет место равенство [r *, F ] Q.

В этой теореме система (2) решается совместно с уравнениями ( r *, Q) 0 и ( F, Q ) 0, *** в результате для 6 искомых величин x, y, z, Fx, Fy, Fz получается 5 уравнений, т.е. 5 неизвестных будут выражены через шестую неизвестную, например, как в теореме 2, через x *.

Результирующая сила стоит в правой части уравнения динамики (10) §3, где ради краткости напряжения обозначим нижними индексами x 1, y 2, z 3, Умножая (10) §3 векторно на r, находим моменты dv ] r, F [r, j (3) j 1 x j dt Очевидно, в (3) момент главной силы равен 3 (4) j M c r, F x j j Во-первых, симметричность тензора напряжений в /1/ выво дится из теоремы об изменении момента импульса (момента количества движения), записанного в интегральном виде d [r, v ] [r, F ] [r, n ], dt с внесением дифференцирования в левой части под интеграл d dt [r, v ] [r, F ] [r, n ], (5) что неправомерно, если объем (t ) зависит от времени. Что касается правой части этого выражения, то в силу формулы (3) §3 имеет место правильно составленное выражение d [r, v ] [r, F ] [r, n ] dt Из сформулированной таким образом теоремы (5) в /1/, аналогично в других учебниках, получено неверное в общем случае соотношение dv [r, ] [r, F ] [r, j ] (6) x j dt j Несоответствие выражение (6) фундаментальной теореме об изменении момента импульса системы частиц рассматривается ниже в §9. В правой части (6) стоит результирующий (главный) момент M [r, F ] [r, j ] (7) j 1 x j потому что (7) выводится из соотношения 3 d [r, v ] [r, F ] [r, j cos(n x j )], (8) dt, j где в правой части стоит суммарный (в виде тройного интегра r, F ла) главный момент массовых сил и главный 3 [r, j cos(n x j )],, момент поверхностных сил j r.

очевидно, имеющие различные радиус-вектора Дифференцированием (7) приводится к виду 3 j r M [r, F ] [, j ], (9) j 1 x j j 1 x j В силу (4) главный момент (9) представляется в форме r M M c [, j ], (10) j 1 x j Mc M По теореме 1 эти моменты неравны между собой:.


В /1/ и др. учебниках традиционно полагается равенство этих моментов, что возможно только при равенстве нулю последнего члена в (10):

r [ x, j ] 0 (11) j 1 j Для того чтобы момент результирующих сил M c равнялся результирующему моменту M условие (11) должно выполняться в каждой точке сплошной среды.

Теорема 4. Условие (11) выполняется при следующих трех ситуациях:

1.Напряжения параллельны координатным осям:

r j ||, j 1,2,3.

x j 2.Компоненты напряжений симметричны:

ij ji, i, j 1,2,3. (12) Таким образом, симметричность тензора напряжений (12) и вытекающая из нее симметричность напряжений противоречат теореме 1, что подтверждается приведенными в §6 примерами 1-8 и перечнем парадоксов. Отсюда следует логический вывод о том, что симметричность тензора напряжений по гипотезе Стокса не есть физическое свойство среды, а является следствием искусственного M приравнивания главного момента моменту главной Mc, силы т.е. математическое условие равенства этих моментов в том смысле, что если в некоторой точке потока выполняются одновременно условия (12), то момент глав ной силы становится равным главному моменту Mc M, если эти условия (13) не выполняются, то они неравны друг другу: M c M. Следовательно, неправильно применена теорема об изменении момента импульса к произ вольному объему сплошной среды, о чем было сказано в §3, ибо это приравнивание произошло вследствие приравнивания левых частей выражений (3) и (6). Тензор напряжений несим метричен в общем случае, о несимметричности для отдельных течений было указано в /3/. Является обоснованным вывод: для вязких сред справедлив реологический закон Ньютона с несимметричными касательными напряжениями §7, так как гипотеза Стокса приводит к вышеуказанным противоречиям.

§9. Из теоремы об изменении момента количеств движений не следует симметричность тензора напряжений Для системы материальных точек с массами mi, движущихся со скоростями v i и на которых действуют силы Fi, теорема об изменении момента импульса имеет вид /5/:

dN N [ri, mi vi ] [ri, Fi ] (1) dt i 1 i xyz Для взятого в виде параллелепипеда объема индивидуальных частиц сплошной среды, радиус-вектор rm направляется в точку приложения результирующей массовой силы Fm, соответственно, радиус-вектора результирующих поверхностных сил направлены в точки их действия на каждой грани параллелепипеда:

r x 2 x 2, r x 1 x1, r y 2 y 2, r y 1 y1, r z 2 z 2, r z 1 z1.

В силу этого по фундаментальной теореме (1) для xyz главный момент сил будет представлен в виде M * [rm, mF ] [r x 2, x 2yz ] + [r x 1, x1yz ] + [r y 2, y 2zx] [r y 1, y1zx] + + [r z 2, z 2xy] + [r z 1, z1xy ] (2) Результирующая же сила стоит в правой части (3) §4 и равна Fрез Fm ( x2 x1 )yz ( y 2 y1 )xz ( z 2 z1 )xy Очевидно, по теореме 1 момент главной силы не равен [r, Fрез ] M *.

главному моменту сил: Рассмотрим более подробно подынтегральное выражение в левой части (8) r, v, равное r,mv и представляющее собой d § dt момент главного импульса mv массы m, где m, индивидуальный объем, в котором находится масса m i i vi, т.е. существует причем каждая частица обладает скоростью ri mi vi, i 1,2,..., в силу чего главный соответствие момент векторов системы частиц объема будет равен [ri, mi vi ]. По теореме 1 он не равен моменту главного i [r, m v ] [r, mv ], импульса [r, mv ] : i ii i ибо mi ri m v ii r, mv = i m, mi, i i m i i i i следовательно, равенство между ними возможно только при выполнении условий теорем 2 или 3. При предельном переходе r в рассматриваемом выражении r, mv является конкретным радиус-вектором точки сплошной среды, значит, dv по теореме 3 будет произвольным вектором, поэтому dt dv [r, dt ], которое получено равенство между интегрированием по всему объему сплошной среды обеих частей (3) § 3 j dv [r, dt ] [r, F x j ], j d dt [r, v ] и невозможно, тем самым обосновано неравенство в силу зависимости (t ) d d [r, v ] dt [r, v ], dt а правая часть преобразуется к выражению dm d dr [r, v m] [, v m] [r, m ] [r, v ] = dv dt dt dt dt dm [r, m ] [r, v ] dv dt dt Совершенно аналогичные выводы надо сделать и для момента массовых сил [r, mF ], ибо F есть результирующая всех сил Fi в объеме, действующих на частицы mi сплошной среды, причем m mi, F mi Fi / mi mi Fi m i i i i По теореме 1 [r, mF ] [ri, mi F ], поэтому для конкрет i кретного вектора r по теореме 3 равенство [r, mF * ] [ri, mi F ] i возможно только для такого вектора F *, который не будет в * общем случае равен истинному F : F F, т.е. в правой части (7) §8 стоит на самом деле F *, являющийся совершен но произвольным вектором. Классическая формула из /1/ d [r, v m] [r, Fm] [r, n ] (3) dt в силу указанных выше причин не соответствует фундамен тальной теореме об изменении момента импульса (1).

Действительно, теорема об изменении момента импульса dN N [ri, mi vi ] [ri, fi ] dt i 1 i в виде должна быть написана в индивидуальном объеме d [ri, mivi ] [ri, mi Fi ] [rk, nk k ], dt i k i следовательно, для объема в виде тройного интеграла d dt [ri, mi vi ] [ri, mi Fi ] [rk, nk k ] (4) k i i Согласно теоремам 2, 3, между соответствующими членами выражений (3) и (4) нельзя ставить знак равенства, т.е. имеют место очевидные неравенства d d [r, v m] [ri, mi vi ], [r, Fm] [ri, mi Fi ], dt dt i i ] [rk, nk k ], [r, (5) n k которые подтверждают различие выражений (3) и (4). Надо иметь в виду то обстоятельство, что подвижная система коорди нат, имеющая начало в центре массы m mi, следователь i но, движущаяся с ускорением dv dt 0, будет неинерциаль ной системой. Здесь в (5), как и ранее n nk k k главная поверхностная сила, действующая на, при k k, k участок поверхности, которую зани чем mk мает частица, находящаяся под действием напряжения nk, векторы rk направлены mk, лежащие на частицы на поверхности, ч.т.д.

Из (4) по указанным выше обстоятельствам уже не следует ij ji, j i, симметричность тензора напряжений, т.е.

т.к. в обеих частях (4) стоят главные моменты, по теореме не равные моментам результирующих векторов в (3).

§10. Тензор напряжений сплошной среды не симметричен Покажем детально еще раз ошибочность равенства (6) §8, широко применяемого в /1/,/2/,/3/,/4/ для доказательства сим метричности тензора напряжений. Представим его в виде dv [r, ] [r, F ] [r, j ] 0 (6) j 1 x j dt Из этого выражения теоретически получена симметрич ность тензора напряжений сплошной среды и, как следствие этого, подгонка симметричности касательных напряжений вязкой жидкости в гипотезе Стокса /1/.

Докажем, что на самом деле левая часть (6) не равна нулю:

dv [r, ] [r, F ] [r, j ] j 1 x j dt С этой целью сформулируем теорему об изменении моментов импульсов (количеств движений) для индивидуального обьема сплошной среды:

d [ri, mi vi ] [ri, mi Fi ] [rk, nk k ] (7) dt i k i Между векторами r в (86) и ri, rk в (7) имеет место связь ri r ri ', rk r rk ', откуда вытекает связь и между скоростями dri dr dri ' vi v vi ', dt dt dt Подставляя их в (7), найдем d [r ri ' ', mi (v vi ' )] [r ri ', mi Fi ] dt i i [r rk ', nk k ] (8) k Проделаем необходимые преобразования d d d [r ri' ', mi (v vi ' ] dt [r, miv ] dt [r, mivi '] dt i i i d d d d [ri ', mi v ] [ri ', mi vi ' ] [r, mv ] [r, mi vi '] dt i dt i dt dt i d d [ri ', mi v ] dt [ri ', mi vi ' ] dt i i m mi. Имея в виду Здесь в объеме учтено i d divv, проделаем следующие преобразования dt dm d dr dv [r, mv ] [, mv ] [r, m ] [r, v] dt dt dt dt d ( ) dr dv dv [, v ] [r, v ] [r, ] [r, ] dt dt dt dt d d dv [r, ( )v ] [r, ] dt dt dt d dv [r, ( divv )v ] [r, ] dt dt dr, v ] =0 и равенство Здесь использовано равенство [ dt d нулю уравнения неразрывности: divv 0.

dt Окончательно имеем r ri', mi (v vi ' = [r, dt ] + d dv dt i d d + [r, mi vi '] [ri ', mi v ] ri ', mi vi ' d (9) dt dt i dt i i Далее в правой части (8) [r ri ', mi Fi ] [r, mi Fi ] [ri ', mi Fi ] i i i [r, Fm] [ri ', mi Fi ] [r, F ] [ri ', mi Fi ], i i [r rk ', nk k ] [r, nk k ] [rk ', nk k ] k k k где по теореме Остроградского-Гаусса и теореме о среднем для элементарного объема имеют место преобразования [r, k ] [r, nk k ] [r, n ] nk k k [r, j ] [r, j ] ' x j x j j j В результате этих преобразований (8) примет вид d d d [r, ] + [r, mi vi '] [ri ', mi v ] [ri ', mi vi ' ] = dv dt dt dt i dt i i 3 [ r, ] + rk ', nk k = [r, F ] [ri ', mi Fi ] + j x j j 1 i k и проделав перегруппиров Поделив это выражение на ку, получаем dv [r, ] [r, F ] [r, j ] j 1 x j dt 1 d d d { [r, mi vi '] [ri ', mi v ] [ri ', mi vi ' ]} = dt dt i dt i i [rk ', nk k ]) ([ri ', mi Fi ] + (10) k i Правая часть (10) не равна нулю 1 d d { [r, mi vi '] [ri ', mi v ] ri ', mi vi '} d dt dt i dt i i [r ', ]) 1 ( [r ', m F ] k +, (11) nk k i ii k i что и требовалось доказать.

Следовательно, уравнение (6), которое применяется в учебниках Лойцянского /1/ и Седова /2/ в качестве теоремы об изменении момента импульса ошибочно. Очевидно из (10), что в формуле (6) Лойцянского /1/ и Седова /2/ не может стоять знак равенства. На самом деле в силу (10) имеет место быть неравенство:

dv [r, ] [r, F ] [r, j ] j 1 x j dt Общеизвестно, что теоретический вывод о симметричности тензора напряжений устанавливается исходя из равенства (6).

Так как (6) не имеет места в силу (10), то и нет в общем случае симметричности тензора напряжений в сплошной среде, что требовалось доказать.

Примечание. В состоянии равновесия скорости всех частиц dv i, v 0, 0, уравнение жидкости равны нулю vi dt равновесия сплошной среды 3 j F 0, (12) j 1 x j является равенством нулю главной силы (см. §8), кроме того, выражение (11) будет равно нулю 1 d d d { [r, mi vi '] [ri ', mi v ] [ri ', mi vi ' ]} 0 (13) dt dt i dt i i По фундаментальному определению момента количеств движе ния (7) будет равно нулю в правой части (10) и выражение [ri ', mi Fi ] [r 1( ', nk k ]) 0 (14) k k i В силу равенств (13) и (14) в состоянии равновесия будет иметь место равенство нулю главного момента сил M [r, F ] [r, j ] 0 (15) j 1 x j Из (12) вытекает равенство нулю момента главной силы:

3 j M c [r, F ]0 (16) j 1 x j По теореме 1 §8 в общем случае они не равны между собой по определению: M c M. Их равенство M c M имеет место при условиях теоремы 4:

1.Напряжения параллельны координатным осям:

r ij ||, j 1,2,3.

x j 2.Компоненты напряжений симметричны:

ij ji, i, j 1,2,3. (17) Отсюда следует логический вывод о том, что симметри чность тензора напряжений сплошной среды даже в состо янии равновесия не есть физическое свойство среды, а яв ляется следствием искусственного приравнивания главного M моменту главной силы M c, т.е. математи момента ческое условие равенства этих моментов в том смысле, что если в некоторой точке выполняются одновременно условия (17), то момент главной силы становится равным Mc M главному моменту, если эти условия (17) не выполняются, то они неравны друг другу: M c M.

§11. Парадоксы Бэтчелора Очевидно, что Дж. Бэтчелору было известно устоявшееся более века в механике сплошной среды утверждение о симметричности тензора напряжений. Данный ложный факт Бэтчелор решил обосновать следующим образом. Цитируем из /5/ : «…можно показать, что не все девять компонент тензора напряжений независимы. На этот раз рассмотрим моменты различных сил, действующих на жидкость в объеме V произвольной формы;

i я компонента полного момента относительно точки O внутри этого объема, возникающего за счет действия поверхностных сил на границе объема, равна r kl nl dA, ijk j r радиус-вектор элемента ndA относительно точки O. Этот интеграл где по замкнутой поверхности A можно преобразовать по теореме Остроградско го-Гаусса в интеграл по объему V ( rj kl ) kl ijk rj kl nl dA ijk rl dV ijk ( kj rj rl )dV (1.3.6) Если теперь объем V устремить к нулю таким образом, чтобы конфигурация, создаваемая границей A объема и неподвижной точкой O в нем, сохраняла ту же самую форму, то первый член в правой части равенства (1.3.6) будет стремиться к нулю как объем V, а второй член будет стремиться к нулю быс V трее, а именно как. Полный момент массовых сил относительно точки O, приложенный к элементу жидкости, составляет, очевидно, величину по рядка V 3, когда V мало, поэтому в объеме V одновременно имеет место также скорость изменения момента количества движения жидкости. Следова kj dV, тельно, интеграл очевидно, представляет собой величину более ijk высокого порядка по сравнению с другими членами уравнения момента для объема V, и вследствие этого он должен тождественно обращаться в нуль.

V O Это возможно при любом выборе положения точки и формы объема, ij когда величина представляет непрерывную функцию х, если только ijk kj 0 (1.3.7) всюду внутри жидкости;

… Из (1.3.7) следует, что тензор напряжений симмет ij ji, ричен, т.е. и имеет только шесть независимых компонент….»

В (1.3.6) утверждение «…Полный момент массовых сил относительно O, точки приложенный к элементу жидкости, составляет, очевидно, величину порядка V, когда V мало, поэтому в объеме V одновременно имеет место также скорость изменения момента количества движения жидкости…» подразумевает использование в правой части (1.3.6) уравнений динамики сплошной среды в напряжениях kl dv k Fk, rl dt в результате (1.3.6) принимает дедуктивный вид dvk ijk rj kl nl dA ijk ( kj rj [ dt Fk ])dV Данные здесь оценки отдельных членов «…порядка V …» легко если объем V есть сфера радиуса устанавливаются, r r r x2 y2 z2 с центром в точке O, j j изображенная на рисунке.

1 V r 3, A 4r 2 и r ( ) 3 V 3. Чтобы Для сферы опровергнуть вытекающее из (1.3.7) утверждение Бэтчелора о симметричности тензора напряжений ij ji, достаточно рассмотреть данный случай. Очевидно, оценки «…порядка V …» подразумевают применение теоремы о среднем интеграла, вследствие чего имеют место равенства r kl nl dA [ ijk rj kl nl ]ср A, ijk kj dV [ ijk kj ]ср V, ijk j dvk dv r [ Fk ]dV [ ijk rj ( k Fk )]ср V ijk j dt dt После подстановки V r, A 4r 2 из (1.3.6) получается [ ijk rj kl nl ]ср 4r 2 [ ijk kj ]ср r dvk [ ijk rj ( Fk )]ср r (1) dt Формула (1) легко обобщается на объем V произвольной фор мы, если положить поверхность A k A reff, объем V kV reff :

2 [ ijk rj kl nl ]ср k Areff [ ijk kj ]ср kV reff 2 (2) dvk [ ijk rj ( Fk )]ср kV reff dt Первый парадокс Бэтчелора содержится в формулах (1) и (2).

Проделав очевидные сокращения 4r 2 и reff, получаем dv 1 [ ijk rj kl nl ]ср [ ijk kj ]ср r [ ijk rj ( k Fk )]ср r, (3) 3 dt dvk [ ijk rj kl nl ]ср k A [ ijk kj ]ср kV reff [ ijk rj ( Fk )]ср kV reff (4) dt По Бэтчелору «…Если теперь объем V устремить к нулю…», что экви валентно устремлению к нулю радиусов r 0,r eff 0, то из (3) и (4) вытекают соответственно равенства 0=0, т.к. при этом в левых частях r j 0, j, то есть никоим образом не получается формула (1.3.7) Бэтчелора, следовательно, тензор напряжений сплошной среды не симметричен ij ji.

Второй парадокс Бэтчелора состоит в следующем.

r Очевидно, | rj | r 2 r.

На основании этого в i i 1,i j формуле (3) произведем оценку, положив | rj | r, именно при этом получается оценка V 3 по Бэтчелору полного момента массовых сил (нижний значок [...]ср опустим):

dvk 4 ijk kl nl 4r 3 ijk kj r 3 ijk ( Fk ) r 3 dt r имеет место После сокращения dvk 3 ijk kl nl ijk kj ijk ( Fk )r dt Устремим объем V к нулю, то есть r к точке O, тем самым r 0. Получается 3 ijk kl nl ijk kj (5) Но левая часть 3 ijk kl nl формулы (5) по определению не равна 3 ijk kl nl 0, нулю: следовательно, формула (1.3.7) Бэтчелора не равна нулю ijk kj 0 ! Тем самым доказана несимметричность тензора напряжений сплошной среды ij ji.

В предыдущих параграфах настоящей книги была дана крити ка дедуктивного подхода Седова Л.И., George E. Mase, Лойцян ского Л.Г., использовавших интегральные формулы d dt [ R, v V ] [ R, FV ] [ R, nA], (6) V V A d dt [ R, v V ] [ R, FV ] [ R, nA] (7) V V A для доказательства симметричности тензора напряжений сплош ной среды, которая неизбежно вытекает из получающегося из (6) и (7) соотношения dv [ R, ] [ R, F ] [ R, k ] 0, (8) k 1 x k dt ошибочность которого установлена в §10, причем для вывода уравнения (8) из интегральных формул (6) или (7) исполь dR v. Более того, радиус-вектор R зуется физическая связь dt не стремится к нулю, может принимать любые значения R 0.

В дедуктивном подходе Бэтчелора из рисунка видно, что для произвольно расположенного объема V имеет место dr dR v неравенство, и только в случае совпадения точки dt dt O с началом системы координат 0 имеет место равенство dr v, ибо в этом случае будет r R.

dt Основной парадокс Бэтчелора состоит в устремлении к нулю произвольного объема V, что равносильно в случае сферы устр емлению к нулю радиуса r 0 или reff 0. В дедуктивном методе Седова Л.И., George E. Mase, Лойцянского Л.Г. и др.

объем V произвольный, причем R 0. По определению момен та любого вектора M [r, f ], если плечо равно нулю r 0, то и момент равен нулю: M 0, следовательно, использование для доказательства симметричности тензора напряжений ij ji нулевого момента M 0 ошибочнo.

§12. Аналог гипотезы Стокса. Антисимметричный тензор напряжений В §7 был поставлен абсолютно логичный вопрос: если по гипотезе Стокса симметричные напряжения vi v j ji (c ) ( p 2 / 3divv ) ij ( ), i, j 1,2,3 (1) x j xi вызваны деформационными смещениями v j 1 vi 2 ( x )x j, xi j 1 j то какие же напряжения создают стоящие в ряду Тейлора (в конвективном ускорении) 1 vi v j 1 v v vi [ ( ) ( i j )]x j, i 1,2, (2) 2 x j xi 2 x j xi j 1 vi v j rotv,r или ( )x j ?

вращательные смещения j 1 2 x j xi Чтобы ответить на этот вопрос выдвигается по аналогии с ги потезой Стокса альтернативная гипотеза: пусть касательные напряжения будут пропорциональны компонентам вращатель ного смещения, т.е. имеют место антисимметричные (кососим 1 vi v j метричные) напряжения * ( ), следовательно, 2 x j xi ji альтернативный тензор напряжений будет иметь вид vi v j ( Alt ) pE 2S, ji ( Alt ) p ij ( ), i, j 1,2,3 (3) x j xi Подставляя (3) в уравнения динамики в напряжениях 3 j dvi dv F Fi ji, i 1,2,3,, j 1 x j j 1 x j dt dt получаем альтернативные уравнения динамики вязкой жидкости:

v dvi p v Fi [ ( i j )], i 1,2,3 (4) xi j 1 x j x j xi dt Нормальные напряжения ii ( Alt ) p, i 1,2,3 соответствуют закону Паскаля. Представляют интерес следующие факты. При вязкости const уравнения (4) приводятся к виду 3 v j dvi p 2v Fi 2i ( ), i 1,2,3, (5) dt xi j 1 x j xi j 1 x j откуда для несжимаемой жидкости без источников в силу 3 v divv j уравнения неразрывности получаются j 1 x j уравнения Навье несжимаемой жидкости dvi p 2v Fi 2i, i 1,2, (6) dt xi j 1 x j Эти же уравнения Навье получаются и из уравнений Стокса с симметричными напряжениями (1):

v v dvi p 2 Fi ( ( i j )) ( divv ), i 1,2,3, (7) dt xi j 1 x j x j xi 3 xi и эти же уравнения (6) получаются из уравнений динамики с несимметричными напряжениями Ньютона §12:

vi ji ( н ) [ p ( ' )divv ] ij, i, j 1,2,3, (8) x j dvi p v Fi ( i ) [( / 3 ' )divv ], i 1,2, dt xi j 1 x j x j xi Но гипотеза Стокса (1) приводит к указанным выше парадок сам, ибо, как это доказано, тензор напряжений сплошной среды в общем случае несимметричен, а при альтернативной гипотезе уравнения (4) в общем случае переменной вязкости const теряют свойство эллиптичности. Эти два обстоя тельства подтверждают адекватность несимметричного тензора напряжений Ньютона (8) течениям вязких жидкостей.



Pages:   || 2 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.