авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 ||

«РГП «ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И МЕХАНИКИ» КОМИТЕТА ПО НАУКЕ ПРИ МИНИСТЕРСТВЕ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН К.Б.Джакупов ...»

-- [ Страница 2 ] --

§13. Парадоксальное применение теоремы об изменении момента импульса. Ошибочность уравнений Навье-Стокса Напомним, следующую логическую последовательность вывода теоремы об изменении момента импульса. Здесь это очень важно. А именно, что из закона сохранения импульса отдельных материальных точек (см./7/) d (mi vi ) N Fi Fik, i 1,..., N (1) dt k 1k i вытекает, во-первых, закон сохранения импульса системы материальных точек (см./7/) d (mi vi ) N N N N dt Fi k Fik, i 1,..., N, (2) i 1 i 1 i 1 1k i где сумма внутренних сил равна нулю N N Fik 0, i 1 k 1k i поэтому для системы материальных точек теорема об изменении импульса получается в виде dN N mi vi Fi, i 1,..., N, (3) dt i 1 i во-вторых, из (1) вытекает момент импульса для каждой отдельно взятой материальной точки d N [ri, mi vi ] [ri, Fi ] [ri, Fik ], i 1,..., N, (4) dt k 1k i суммированием которых получается для моментов системы материальных точек равенство dN N N N [ri, mi vi ] [ri, Fi ] [ri, Fik ], i 1,..., N, dt i 1 i 1 i 1 k 1k i где сумма моментов внутренних сил равна нулю N N [r, F ] = i ik i 1 k 1k i В силу чего теорема об изменении момента импульса замкнутой системы материальных точек сформулировано в виде dN N [ri, mi vi ] [ri, Fi ], (5) dt i 1 i N [r, F ] - сумма моментов внешних сил.

где i i i Взяв за основу (5), точная формулировка теоремы об изме нении момента импульса в элементарном обьеме сплош ной среды была дана выше:

d [ri, mi vi ] [ri, mi Fi ] [rk, nk k ] (6) dt i k i Итак, из (1) вытекает (4) и затем (5), но не наоборот, т.е. из (5) не выводится (1). Данную последовательность рассуж дений применим к выводу теоремы об изменении момента импульса в сплошной среде в иных формулировках. Выпишем уравнение динамики сплошной среды в напряжениях x y z dv F (7) x y z dt Как было показано в индуктивном методе §4, (это уравнение является прообразом уравнения (3)). Умножая (7) векторно на радиус-вектор r, выведем прообраз теоремы моментов (5):

x y z dv [r, ] [r, F ] [r, ] (8) x y z dt Из эквивалентного преобразования (8) x y z d d [r, v ] [r, v ] [r, F ] [r, ] (9) x y z dt dt v, вытекает теорема об изменении момента импульса приходящегося на единицу объема:

x y z d d [r, v ] [r, v ] [r, F ] [r, ] (10) x y z dt dt Для несжимаемых сплошных сред const и теорема об изменении момента импульса примет форму x y z d [r, v ] [r, F ] [r, ], (11) x y z dt которая полностью совпадает с определением момента (5).

Импульс индивидуального объема равен v mv, поэтому теорема об изменении момента импульса из (8) полу чается для элементарного объема в виде x y z dv [r, ] [r, F ] [r, ] x y z dt или x y z dv [r, m ] [r, mF ] [r, ] x y z dt d dm divv, Для сжимаемых сред (t ) и dt dt и это выражение переходит в теорему об изменении момента импульса индивидуального объема для сжимаемых сред x y z d [r, mv ] [r, mF ] [r, ] (12) x y z dt Интегрирование (12) по всему объему дает выражение x y z d dt [r, v ] [r, F ] [r, x y z ] которое в принципе отличается от известной формулы /1/ d dt r,v r,F r,, (13) n приведенных в книгах Лойцянского, Седова и др. Очевидно из правильно сформулированной теоремы об изменении момента импульса (12) никак не следует вывод о симметричности тензора напряжений. Ошибочность (13) и вытекающих из нее формул исследована в предыдущих параграфах.

Итак, приведенные выше парадоксы и доказательства несим метричности тензора напряжений сплошной среды подтверж дают ошибочность гипотезы Стокса. Так как именно по этой гипотезе выведены уравнения Навье-Стокса, то, следовательно, уравнения Навье-Стокса, точнее, уравнения Стокса v v dvi p 2 Fi [ ( i j )] ( divv ), i 1,2,3, dt xi j 1 x j x j xi 3 xi 3 3 v v j 2 2 div gradT ( i ) pdivv divv dT cv 2 i 1 j 1 x j xi dt являются ошибочными.

Уравнения вязкой несжимаемой жидкости, построенные Навье по несимметричному тензору напряжений Ньютона н, v [ (v, )v ] p v F, (, v ) t являются правильными.

§14. Новые уравнения динамики вязкой жидкости с несимметричным тензором напряжений Ньютона vi ji ( н ) [ p ( ' )divv ] ji, i, j 1,2, x j Подставляя компоненты тензора Ньютона, приведенные в §7 в декартовых координатах, в общее уравнение в напряжени ях и проецируя на оси координат имеем новые уравнения дина мики вязкой жидкости (Джакупов К.Б./8/):

u u u u p ( u v w ) t x y z x u u u 1 ( ) ( ) ( ) [( ' )divv ] Fx, x x y y z z x v v v v p ( u v w ) t x y z y v v v 1 ( ) ( ) ( ) [( ' )divv ] Fy, x x y y z z y w w w w p ( u v w ) t x y z z w w w 1 ( ) ( ) ( ) [( ' )divv ] Fz x x y y z z z из общего уравнения баланса энергий получается уравнение теплопроводности T T T T cv ( u v w ) t x y z T T T 1 ( ) ( ) ( ) pdivv ( ' )(divv ) x x y y z z u u u v [( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) x y z x v v w w w ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ] (2) y z x y z В несжимаемой жидкости const, divv 0 :

u u u u p ( u v w ) t x y z x u u u ( ) ( ) ( ) Fx, x x y y z z v v v v p ( u v w ) t x y z y v v v ( ) ( ) ( ) Fy, x x y y z z w w w w p ( u v w ) (3) t x y z z w w w ( ) ( ) ( ) Fz, x x y y z z T T T T T T T cv ( u v w ) ( ) ( ) ( ) t x y z x x y y z z u u u v [( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) x y z x v v w w w ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ] (4) y z x y z Вывод уравнений Навье несжимаемой жидкости 3 2vi dvi p Fi 2, i 1,2,, (5) dt xi j 1 x j из уравнений Стокса при постоянной вязкости v j vi p dvi Fi ), i 1,2,3, ( xi j 1 x j x j xi dt как известно, использует уравнение неразрывности divv 0 /1/.

Если же в потоке имеются дискретно расположенные источни ки или стоки с удельными мощностями J, то divv J будет разрывной недифференцируемой функцией, поэтому вывод указанных уравнений в виде (5) невозможен, тогда как (5) из новых уравнений (3) получается без использования уравнения неразрывности divv 0.

В отличие от уравнений Навье-Стокса в уравнениях (1) содержится на 9 производных меньше в трехмерном случае и на 4 в двумерном. Кроме того, уравнения (1) удобно записываются в дивергентном виде:

vi p div ( vi v ) t xi 1 Fi div ( gradvi ) [( ' )divv ], i 1,2,3 (6) xi Если в правой части этого уравнения положить divv 0, получается аналогичная дивергентная запись уравнений (3) несжимаемой жидкости.

Краткое выражение уравнения баланса энергий для несимметричного тензора v dT (, T ) ( i )2 p(, v ) ( ' )(, v )2 (7) cv i 1 j 1 x j dt в дивергентной записи подобно уравнению динамики (6) T div ( Tv )] div (gradT ) cv [ t vi 2 1 3 ( ) pdivv ( ' )(divv ) x j i 1 j В новых уравнениях динамики привлекают внимание диссипативные члены div ( gradvi ), i=1,2,3, которые по структуре аналогичны диссипативному члену в уравнении баланса энергий div (gradT ), вытекающему из закона cp Фурье. Число Прандтля Pr связывает вязкость с теплопроводностью среды, что подчеркивает единую сущность молекулярного переноса субстанций, которыми в одном случае является температура Т, в других случаях компоненты скорости vi, i 1,2,3 или концентрации Cm по закону Фика.

§15. Новые уравнения динамики вязкой жидкости в цилиндрических координатах с несимметричным тензором напряжений Ньютона н [ p (1/ 3 ' )divv ]E S Вывод аналогичных уравнений в цилиндрической и сферической системах координат не вызывает особых затруднений, только надо учесть несимметричность напряжений в этих системах (Джакупов К.Б. /8/). В цилиндрической системе для постоянной вязкости const и плотности уравнения динамики совпадают с известными уравнениями Навье-Стокса /3/, в случае переменных вязкости и плотности выводятся подстановкой приведенных в §7 несимметричных напряжений vr v v v r ( ), r, zr r, r r z r v z v v z rz, z, z.

r r z v rr [ p ( ' )divv ] r, r 1 v vr [ p ( ' )divv ] ( ), r 3 r vz zz [ p ( ' )divv ], z в уравнения динамики сплошной среды (Лыков А.В./3/):

v v 2 1 (r rr ) vr v v v ( vr r r vz r ) r r t z r r r 1 r zr Fr, r z r v v v v v v v ( vr v z r ) r r t z r 1 (r r ) 1 z F, 2 r r z r v v v v z v ( z vr z vz z ) r t r z 1 (r rz ) 1 z zz Fz, r r r z уравнение баланса энергий принимает вид T T v T T 1 T cv ( (r ) vr vz ) r t r z r r r 1 T T 2 ( ) ( ) v, r z z v 1 v vr 2 vz 2 vr v [( r ) 2 ( ) ( ) ( ) r r r z z v 1 vr 2 v v ( z )2 ( ) ( )+ r r r r v 2 1 vz 2 ) ] pdivv ( ' )(divv ) ( ) ( r z §16. Новые уравнения динамики вязкой жидкости в сферических координатах с несимметричным тензором напряжений Ньютона н [ p (1/ 3 ' )divv ]E S Компоненты несимметричного тензора напряжений по закону Ньютона имеют вид (Джакупов К.Б./8 /):

1 v vr v ctg [ p ( ' )divv ] ( ), r sin r 3 r v rr [ p ( ' )divv ] r, r 1 v vr [ p ( ' )divv ] ( ), r 3 r 1 vr v v v, r r ( ), r ( ), r r sin r r r r sin v vr 1 v,, r ( ), r sin r sin r 1 r 2 vr 1 v sin 1 v divv 2, r sin r sin r r подставляются в уравнения динамики в напряжениях (Лыков А.В. /3/):

v vr v v 2 vr vr v vr ( vr ) r r r sin t r ( r sin ) 1 (r 2 rr ) 2 r sin r r r Fr, r sin r v vr v v ctg v v v v v ( vr ) r r r sin t r r 1 (r 2 r ) 1 ( sin ) r sin r r 1 r r ctg F, r sin r r v v v v v v v vr v v ( ctg ) vr r r r sin t r r 1 (r r ) 1 2 r r sin r r r r 2ctg ( ) Fr, r r в уравнении баланса энергий для несимметричного тензора 1 v vr v ctg vr 2 1 v vr v {( ) ( ) ( ) r r r sin r r r 1 vr 2 sin v 2 1 v v ( )]2 ( [r ( )] ( ) [ ) r r sin r sin r r 1 vr 2 v 1 ) [r ( )]2 } pdivv ( ' )(divv ) ( r sin r r Примечание. В силу произвольности выбора второго коэффи циента вязкости для ' / 3 данные уравнения сократятся не менее чем на 12 производных.

Литература 1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: “Hаука”, 1973г..С.847.

2. Седов Л.И. Механика сплошной среды.- Т.1. М.: “Hаука”, 1973г..С.536.

3. Лыков А.В.Тепломассобмен. - М.: «Энергия»,1972г. С.560.

4. George E. Mase. Theory and Problems of Continium Mechanics.

Schaum’s Outline Series. MCGRAW-HILL BOOK COMPANI.

New York, St. Louis, San Francisco, London, Sydney, Toronto, Mexico and Panama 1970.

5. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: «Мир», 1973г. С.763.

6. Шлихтинг Г.Теория пограничного слоя. - М.. Изд-во “Наука”.

1974г.С.711.

7. Савелъев И.В.Курс общей физики.- Т.1. М.: “Hаука”, 1977г.

8. Джакупов К.Б. Простые разностные схемы для уравнений гидроаэро-термодинамики.-Алматы: Изд-во КазНУ им.Аль Фараби, 2004г. С.246.

9. Ландау Л. Д., Лифщиц Е.М. Теоретическая физика.Т.6.

Гидродинамика. - М.: “Hаука”, 1973г. С.742.

10. Джакупов К.Б. О несимметричности тензора напряжений// Междунар. науч.конф. «Пробл.теор. прикл.мех.» Алматы, 1- марта 2006г., посвящ. 75-лет. акад. Джолдасбекова У.А.

11. Джакупов К.Б. О первой теореме Гельмгольца// Междунар.

науч.конф. «Пробл.теор. прикл.мех.» Алматы, 1-2 марта 2006г., посвящ. 75-лет. акад. Джолдасбекова У.А.

12. Джакупов К.Б. Тензор напряжений сплошной среды не симметричен// Всероссийская конференция по математике и механике, посвященной 60-летию механико-математического факультета Томского университета, 22-24 сент.2008г.,г.Томск.

13. Джакупов К.Б. Новые уравнения динамики вязкой жидкости // Всероссийская конференции по математике и механике, посвященной 60-летию механико-математического факультета Томского университета, 22-24 сент.2008г.,г.Томск.

14. Batchelor G.K. An introduction to fluid dynamics. Cambr. Univ.

Press. 1967.

Гл.-2. ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ ДЕФОРМАЦИЙ И УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-КОШИ-ЛАМЕ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ §1. Парадоксы теории деформаций На стр.64 в «Механике сплошной среды, т.1» Л.И.Седова, в параграфе «О зависимости векторов базиса сопутствующей системы от времени» утверждается: «…Действительно, при движении деформируемого тела расстояния между его точками М и М’ меняются. Координатные линии сопутствующей сис темы координат деформируются, и векторы базиса эi меняют ся со временем так, что меняются и их величины и углы между ними…». Напомним, что в «Основном курсе теорети ческой механики, ч.1» Н.Н.Бухгольца для переменного вектора a a x i a y j a z k, с изменяющимся во времени базисом i, j, k подвижной связанной с телом сопутствующей системы координат Oxyz, производная по времени определяется так:

da da x da y da z di dj dk i j k ax ay az, dt dt dt dt dt dt dt dj dk di [, i ], [, j ], [, k ], далее по формуле Эйлера dt dt dt - угловая скорость вращения. Сокращая на dt, получаем da da x i da y j da z k a x di a y dj a z dk (1) Поэтому на стр. 65 в том же параграфе «О зависимости векторов базиса сопутствующей системы от времени»

цитируемой книги Седова /1/ выражения dr d i эi и dr ' d i эi, (2) противоречат формуле (1), следовательно, должны быть заменены на соответствующие формуле (1) выражения dr d i эi i dэi, dr ' d i эi, i dэi, (3) со всеми вытекающими отсюда последствиями в теории дефор маций. Собственно говоря, сомнительность формулы (2) с точ ки зрения формулы (1) подтверждается положением о том, что «… и векторы базиса эi меняются со временем так, что ме няются и их величины и углы между ними…», ибо эi,, i=1,2, – векторы базиса в начальный момент времени t 0, эi, i=1,2,3 векторы базиса в текущий момент времени t, а также r и r ', как сказано, переменные величины.

По Седову /1/ для представлений (2) положено | dr | ds g ij d i d j, g ij эi э j, (4) | dr ' | ds' g ij d i d j, g 'ij эi, э,j, очевидно, для правильных представлений (3) вместо (4) получа ются совершенно иные выражения, так как будет | dr | (d i эi i dэi, d i эi i dэ ) 2, | dr '| (d i эi, i dэi,, d i эi, i dэi, ) 2 (5) На основании (4) в дальнейшем выводится формула /1/:

ij ( i w j j wi i wk j wk ) (6) i wk j wk в (6) принято Произведение производных считать малой величиной и оно отбрасывается, тем самым (6) упрощается до следующего известного выражения тензора перемещений 1 w j wi ij ( i, j 1,2,3, ), (7) 2 xi x j Если i wk j wk не мало, то (7) не имеет места. Очевидно, в силу (5) вместо (6) и (7) будут совершенно другие соотношения. (С точки зрения здравого смысла формула (6) абсурдна, если бы w j и x j имели различные размерности, например, [ w j ] =m/c, a [ x j ]=m). Совершенно аналогичное обстоятельство имеет место быть и в книге Дж. Мейза «Теория и задачи механики сплошных сред», если привести обозначения dx= dr, Мейза в соответствие с обозначениями Седова:

dX= dr ', x1, 2 x2, 3 x3, ij Eij, wi ui, w=u и т.д. Формула (6) в /2/ имеет вид 1 u i u j u k u k Eij ( ) (8) 2 x j xi xi x j Таким образом, замечания (2) и (3), (5) относятся и к выводу формулы (8). Считается, что в (8) градиенты малы по сравнению с единицей и их можно отбросить. Собственно говоря, и это совершенно очевидно, отбрасывание градиентов uk uk i wk j wk и связано с подгонкой (7) к ложной xi x j симметричности тензора напряжений сплошной среды. Тензор напряжений сплошной среды в общем случае несимметричен (см. гл.1).

§2. Альтернативное представление относительного перемещения du В обозначениях Дж.Мейза /2/ вектор относительного переме щения du (в книге Л.И.Седова /1/ обозначено dw) вводится как разность векторов начального положения точки Q0 и конечного ( Q0 ) -u ( P0 ).

положения той же точки P0 : du=u ( P0 ) Разложение u в ряд Тейлора в окрестности точки P0 дает du=Кdx, или в покомпонентной записи (неполный дифференциал) u i du i dx j, i=1,2,3 (1) x j (по индексу j производится суммирование от 1 до 3).

Обратим внимание на то, что тензор К несимметричен:

u1 u1 u x1 x 2 x u 2 u 2 u K (2) x1 x 2 x u 3 u 3 u x1 x 2 x В /1/-/3/ по традиции разложение (1) приводится к виду 1 u u j 1 u u j du i [ ( i ) ( i )]dx j, (3) 2 x j xi 2 x j xi или в обозначениях Седова /1/ 1 w w j 1 w w j dwi [ ( i ) ( i )]dx j 2 x j xi 2 x j xi Первая сумма в (3) представляется эйлеровым тензором линейной деформации u1 1 u1 u u 2 1 u ) ( )( x1 2 x2 x1 2 x3 x Е 1 ( u1 u 2 ) u 2 1 ( u3 u 2 ) (4) 2 x2 x1 x2 2 x2 x 1 ( u1 u3 ) 1 ( u3 u 2 ) u 2 x x3 x x1 2 x Это симметрическая матрица;

вторая часть в (3) есть компо поненты эйлерова тензора линейного поворота 1 u u j ij ( i ) (5) 2 x j xi Они же являются и компонентами антисимметричного тензора 1 u1 u u2 1 u 0 ( ) )( 2 x2 x1 2 x3 x R= 1 ( u2 u1 )0 1 ( u2 u3 ) 2 x1 x2 2 x3 x 1 u u1 1 u3 u ( ) )( 2 x x3 2 x2 x Очевидно, ряд Тейлора представляется двояко в виде (1) и (3):

du=Кdx и du=Еdx+ [rotu,dx] (6) или с помощью антисимметричной матрицы в виде du=Еdx+ Rdx] (7) Кроме (6), (7) имеется бесконечное число различных форм представлений ряда Тейлора (1). С этой целью введем семейство однопараметрических матриц u1 b 1 u2 1 u1 b 1 u3 1 u,, x1 b x1 b x2 b x1 b x Сb = b 1 u1 1 u2 u2 b 1 u3 1 u2 (8),, b x b x1 x2 b x2 b x b 1 u 1 u3 b 1 u2 1 u3 u b x b x, b x b x, x 1 2 3 Ряд Тейлора (1) с применением матриц (8) имеет бесконечное число альтернативных или универсальных представлений b С b dx+ [rotu,dx], b 0, | b | du = (9) b С 1 =К, С 2 =Е и т.д.

При b=1 получается при b=2 получается §3. Парадоксы гипотезы Навье-Коши-Ламе Для применения закона Гука в теории твердого деформируемо го тела используется гипотеза Навье-Коши-Ламе /2/ о том, что в ряде Тейлора (или неполного дифференциала) 1 u u j 1 u u j du i [ ( i ) ( i )]dx j (1) 2 x j xi 2 x j xi для определения компонент тензора напряжений достаточно только первой половины этого ряда 1 u i u j du i ( )dx j, (2) 2 x j xi второй половиной ряда пренебрегается, полагая 1 u i u j ) 0, ( (3) 2 x j xi хотя оба эти выражения состоят из одних и тех же градиентов.

В результате по гипотезе Навье-Коши-Ламе закон Гука был определен и щироко используется в виде 1 ui u j ji ij divu 2 ji, ji ( ), i, j 1,2,3, (4) 2 x j xi 0, i j,,, коэффициенты Ламе, ij ji. Тем где ij 1, i j, самым по (4) утверждается, что силы, деформирующие тело, создают только линейную деформацию Еdx. По гипотезе Навье-Коши-Ламе эйлеров линейный поворот приравнивается к нулю [rotu,dx]=Rdx=0, что конкретно выражается в силу (3) как равенство нулю ротора перемещения (см.Лурье /3/):

rotu=0 (5) (В частности, условие разрешимости А.Н.Коновалова имеет вид /4/ rotudM 0 ) D Следовательно, формула (1) обрезается и принимает укороченный вид (2), далекий от ряда Тейлора:

du=Еdx (6) Разумеется, указанный парадокс связан с подгонкой (4) к формуле эйлерова тензора конечных деформаций 1 u i u j u k u k Eij ( ), 2 x j xi xi x j в котором по теории малых деформаций отбрасываются произ uk uk ведения, могушие быть и совсем немалыми, и xi x j предлагается сомнительная формула 1 u i u j Eij ( ) 2 x j xi Итак, если следовать гипотезе Навье-Коши-Ламе, по которой rotu=0, то из представления ряда Тейлора в универсальной форме b [rotu,dx], b 0, | b | du = С b dx+ (7) b выпадает второе слагаемое и, исходя из выражения du = С b dx, (8) закон Гука по логике должен быть определен в виде 1 ui b 1 u j ji ij divu b ji, ji, b 0, | b | (9) b x j b xi В формулах (4) Навье-Коши-Ламе тензор напряжений симметричен, в формулах (7) имеет место бесконечное число несимметричных тензоров напряжений при b 2.


Формула (7) есть ряд Тейлора при любых значениях b 0, в том числе и для b 1. Закон Гука (9) сформулирован для представления (8), получающегося из (7) при rotu=0, и для b 1 принимает вид u ji ij divu ji, ji i, i, j=1,2,3, (10) x j а так как при b 1 имеет место быть С 1 =К, то закон Гука (10) соответствует полному ряду Тейлора du=Кdx!

Главный парадокс гипотезы Навье-Коши-Ламе состоит в следующем. Согласно этой гипотезе имеют место эквива лентные равенства (3) или (5), откуда вытекают равенства нулю компонент ротора u i u j u i u j 0, i, j 1,2,3 или,i, j=1,2,3 (11) x j xi x j xi Напряжения (4), построенные по гипотезе Навье-Коши-Ламе, можно представить так 1 u u u 1 u u ji ij divu 2 ji, ji ( i j ) i ( i j ), 2 x j xi x j 2 x j xi которые в силу равенств (11) переходят к формулам (10):

u ji ij divu ji, ji i, i, j=1,2,3 (12) x j и являются симметричными в силу вторых равенств (11).

Снова получается закон Гука в форме (10)! Главный парадокс заключается еще и в том, что решения уравнений Навье-Коши-Ламе 2u 0 2 0 F ( ) graddivu u (13) t должно удовлетворять равенствам (11). Исследуем этот во прос. С этой целью применим операцию rot к уравнению (13):

2 rotu 0 0 rotF rotu, (14) t т.к. rotgraddivu 0.

Теорема 1. В нестационарных задачах теории упругости rotu 0, следовательно, гипотеза Навье-Коши-Ламе (4) неверна, тензор напряжений не может быть симметричным.

Очевидно, для rotF 0 уравнение (14) имеет ненулевое решение rotu 0, поэтому гипотеза Навье-Коши-Ламе неверна, а это значит, что тензор напряжений надо определять по формуле (10) с несимметричным тензором напряжений.

Пусть rotF 0. Тогда уравнение (14) примет вид 2 rotu 0 rotu (15) t Это волновое уравнение имеет общее ненулевое решение rotu (sin x1 sin x 2 sin x3 sin 3 t )i (sin x1 sin x 2 sin x3 sin 3 t )i2 (16) (sin x1 sin x 2 sin x3 sin 3 t )i3 следовательно, гипотеза Навье-Коши-Ламе снова неверна!

Рассмотрим уравнение упругого равновесия, полученное по гипотезе Навье-Коши-Ламе:

0 F ( ) graddivu u 0(17) Операция ротор (17) дает уравнение эллиптического типа относительно rotu :

0 rotF rotu =0 (18) Теорема 2. Если rotF 0, то уравнение (18) имеет ненулевое решение rotu 0, следовательно, в задачах упругого равно весия гипотеза Навье-Коши-Ламе неверна, тензор напря жений не может быть симметричным.

Доказательство очевидное.

Пусть теперь массовые силы таковы, что rotF 0. Тогда уравнение (18) перейдет в однородное эллиптическое уравнение rotu 0, которое имеет нулевое решение rotu =0 (19) Теорема 3. В задачах упругого равновесия гипотеза Навье Коши-Ламе верна, если rotF 0, т.е. rotu =0, следователь но, тензор напряжений может быть симметричным. Вектор перемещения имеет потенциал.

Доказательство уже дано в виде (19). Потенциал вводится по формуле u grad, (20) ибо rotu rotgrad 0. И в этом случае тензор напряжений определяется в виде (10), симметрия имеет место из-за (19), что приводит к равенствам (11).


Итак, согласно теоремам 1,2,3 тензор напряжений должен ui иметь вид (10): ji ij divu ji, ji, i, j=1,2,3.

x j По гипотезе Навье-Коши-Ламе силы, действующие на тело, создают только линейную деформацию Еdx, в результате получается, как сказано, искаженное выражение 1 u i u j du i ( )dx j, du=Еdx, 2 x j xi ничего общего не имеющего с рядом Тейлора (1) du=Кdx. Отказ от гипотезы Навье-Коши-Ламе означает, что если исходить из формулы ряда Тейлора du=Еdx+ [rotu,dx], то необходимо учитывать также силы напряжений, вызы вающие и эйлеров линейный поворот. С этой целью обоз начим через * - напряжения, пропорциональные эйлеровым ji деформациям, через ** - напряжения, пропор линейным ji циональные эйлеровым линейным поворотам:

u j u j ui ui * ), ** ( ( ) (21) 2 x j xi 2 x j xi ji ji По закону Гука суммарная сила будет равна ji ij divw * ** ji ji После подстановки * и ** получается ji ji ui ji ij divu, i, j=1,2,3, (22) x j 0, i j,,, коэффициенты Ламе.

ij где 1, i j, Тензор напряжений в (22) несимметричен ij ji, i j, ибо здесь не предполагается заранее равенство нулю (11) компонент вектора rotu. Итак, тензор напряжений (22) снова совпадает с тензорами (12) и (10).

Несимметричность тензора напряжений в динамике сплош ной среды доказано автором в гл.1. Данное там строгое доказательство легко переносится и на деформируемые тела в теории упругости. В монографии Лурье А.И. /3/ и др.

симметричность тензора напряжений в теории упругости устанавливается для состояния упругого равновесия x y z F (22а) x y z Аналогично Седову и Лойцянскому составляется уравнение момента сил в неправильной форме [r, F ] r, n ] 0, из которого в силу получается соотношение [r, x ] [r, y ] [r, z ] [r, F ] 0, (23) x y z на основании чего Лурье и др. авторы делают вывод о симмет ричности тензора напряжений в упругой среде. Критика такого дедуктивного метода дана в гл.1. Там же дано обоснование правильной формулы момента сил в виде [r, F ] [r, n ] 0, откуда получается не совпадающее с (23) соотношение x y z ] [r, F ] 0, [r, x y z из которого следует уравнение упругого равновесия (22а), но не следует симметричность тензора напряжений.

Поэтому надо положить, опираясь на вышеприведенные фак ты, что и касательные напряжения ij ji, j i (в декартовых координатах xy yx, xz zx, zy zy ) в общем случае не равны друг другу. Равенство касательных напряжений - симмет ричность тензора напряжений - в какой-либо точке сплошной u i u j среды, т.е. выполнение равенств (11),i, j=1,2, x j xi попросту означает тот факт, согласно результатам §8 гл.-1, что в данной точке момент главной (результирующей) силы совпал с главным моментом сил, т.е. с результирующим моментов сил.

Таким образом, само собою назрела необходимость пере смотра уравнений динамики деформируемого твердого тела, иначе говоря, уравнений Навье-Коши-Ламе.

§4. Парадоксы закона Гука для симметричного тензора напряжений Навье-Коши-Ламе Рассмотрим, например, уравнения упругого равновесия (17) § для двумерного случая, когда сила F 0i1 0i2 F3i3 перпен дикулярна плоскости ( x1, x2 ), и запишем (17) в проекциях ( ) divu uk 0, k 1,2,3, (24) xk или более подробно для двумерной задачи u1 u2 u u ) ( k i ) 0, k 1,2 (25) ( xk x1 x2 i 1 xi xi xk Для бесконечного числа перемещений, т.е. решений системы уравнений (25), симметричные касательные напряжения гипотезы Навье-Коши-Ламе имеют нулевые значения, т.е. во всех точках тела равны нулю ui u j ij ji ( ) 0, i, j 1,2, в то время как x j xi нормальные напряжения отличны от нуля ii 2 ii 0, Ограничимся приведением небольшого перечня перемещений, в которых этот факт имеет место (ради краткости, обозначено u1 u, u2 v, x1 x, x2 y, u3 w, x3 z) :

1) u=F(sin k1 x cos k1 y ), v=F(-cos k1 x sin k1 y ), 2) u= U(sin k 2 x cos k 2 y -cos k 2 x sin k 2 y ), v= U(sin k 2 x cos k 2 y -cos k 2 x sin k 2 y ), 3) u=W(-cos k3 x sin k3 y ),v=W(sin k3 x cos k3 y ), 4) u=Q(sin k 4 x sin k 4 y ),v=Q(cos k 4 x cos k 4 y ), 5) u=T(sin k5 x sin k5 y ),v=T(cos k5 x cos k5 y ), (26) 6) u=M(sin k 6 x sin k 6 y +cos k 6 y cos k 6 x ), v=M(sin k 6 x sin k 6 y +cos k 6 y cos k 6 x ), k x y k x y 7)u =S( e 7 v=-S( e ), ), для трехмерных перемещений при отсутствии массовых сил ky kz kx kz kx ky 8)u=D(( e 8 - e 8 ) e 8 ), v=D(( e 8 - e 8 ) e 8 ), (27) k8 x k8 y k8 z коэффициенты ki const, ), где w=D(( e -e )e i 1,2,3,4,5,6,7,8, выбираются произвольно из бесконечного интервала ki. Стоящие здесь дифференцируемые функции F,U,W,Q,T,M,S,D также произвольны в выборе. Оче видно, из указанного перечня можно образовать новые любые линейные комбинации типа u=F+U, v=F+U и т.д. Поля 1-7 в (26) соответствуют плоским перемещениям, являются решениями u v 0, уравнений (25), т.к. обращают дивергенцию в нуль x y поля перемещений 8) в (27) обращают трехмерную диверген u v w 0, симметричные касательные цию в нуль x y z u j ui напряжения равны нулю ji ( ) 0, i j, (i, j ), xi x j ii 2ii 0, i 1,2,3.

нормальные напряжения не равны нулю Следует заметить, что частные решения (26), (27) уравнений упругого равновесия (24), являются также частными решениями уравнений с несимметричным тензором напряжений divu uk 0, k 1,2,3, но здесь несимметричные xk u касательные напряжения ji i 0, ij ji, i j уже не x j равны нулю, что вполне физично.

§5. Уравнения теории упругости для несимметричного тензора напряжений Уравнения теории упругости в форме Навье-Коши-Ламе для симметричного тензора напряжений даны в /1/-/3/:

2u 0 2 0 F ( ) graddivu u, (1) t u ui vj wk - вектор перемещения, u1 u, u 2 v, u3 w.

Выше было обосновано, что если действующие на частицы де формируемого тела силы перемещают их на du=Кdx, то соответ ствующие компоненты тензора напряжений должны быть по закону Гука пропорциональными компонентам несимметрич ного тензора перемешений К.

Закон Гука для несимметричного тензора напряжений дан в § ui ji ij divu ji, ji, i, j 1,2,3 (2) x j Уравнения динамики получаются подстановкой (2) в уравнения 2 ui 0 2 0 Fi, i 1,2, ji j 1 x j t и для несимметричного тензора напряжений (2) получается 2u 0 2 0 F graddivu u (3) t Проекции (3) на оси координат образуют систему из 3-х скалярных уравнений гиперболического типа 2u u v w 2u 2u 2u 0 0 Fx ( ) ( 2 2 2 ), x x y z t 2 x y z 2v u v w 2v 2v 2v 0 0 Fy ( ) ( 2 2 2 ), (4) t 2 y x y z x y z 2w u v w 2w 2w 2w 0 0 Fz ( ) ( 2 2 2 ) z x y z t 2 x y z Далее излагаются численные методы решения задач теории упругости в перемещениях.

Примечание. Условиями совместности компонент несиммет ричного тензора перемещений являются 2 j 2 j 2i 2 i x j x x x j xi x x xi 2j 2 j 2 i 2 i x j x x x j xi x x xi Литература 1. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред.-М.:Мир, 1974г., 318с.

2. Седов Л.И. Механика сплошной среды,т.1- М.:«Наука»,1973г.

3. Лурье А.И. Теория упругости. - М.: «Наука»,1970г., 984с.

4. Коновалов А.Н. Численное решение задач теории упругости. Новосибирск: НГУ, 1969г. С.91.

5. Джакупов К.Б. О несимметричности тензора напряжений// Междунар. науч.конф. «Пробл.теор. прикл.мех.» Алматы, 1- марта 2006г., посвящ. 75-лет. акад. Джолдасбекова У.А.



Pages:     | 1 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.