авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

«mИркутский государственный университет путей сообщения Институт информационных технологий и моделирования ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ...»

-- [ Страница 3 ] --

Введём в рассмотрение нелинейную по факторам, но линейную по па раметрам регрессию вида:

m y k = i g j ( xki ) + k k = 1, n, i, (2) i = g G где j - функции из некоторого заданного множества i G {g1,..., gW }. В качестве g j могут выступать, например, элементарные функции ln(x), exp(x), x, x, x, x, sin(x), cos(x) и т.д. Для определе 1 2 ния неизвестных параметров 1,..., m, как и в линейной регрессии, может быть использован метод наименьших квадратов.

Предположим, что эндогенная переменная зависит от 4 факторов, а множество G состоит из 5 элементов. Тогда при комбинировании элемен тов по факторам можно получить множество уравнений (2). Возникает во прос: сколько различных вариантов уравнения при этом возможно?

Каждый из вариантов распределения элементов представляет собой комбинацию 4 элементов из 5, отличающуюся от других комбинаций как составом элементов, так и порядком их следования, причём одни и те же элементы могут повторяться несколько раз, т.е. имеет место размещение с повторениями из 5 элементов по 4. Их число равно 5 = 625. Если имеется m независимых переменных и k элементарных функций в G, то количе ство нелинейных уравнений (альтернатив) будет равно r = k.

m После того, как построено множество вариантов уравнения (2), необ ходимо провести их верификацию, т.е. оценить степень адекватности ис следуемому процессу. В рамках анализа данных разработано большое ко личество критериев адекватности. Для проведения конкурса регрессион ных моделей будем использовать основные критерии:

критерий множественной детерминации R ;

критерий Фишера F ;

оценка дисперсии S ;

критерий Дарбина-Уотсона DW ;

средняя относительная ошибка аппроксимации E.

Итак, пусть посредством варьирования вида функции (2) и набора объясняющих переменных с учетом их преобразований построено множес тво из r вариантов M = {M 1, M 2,K, M r }, среди которых нужно выбрать наиболее приемлемый, руководствуясь значениями критериев K 1, K 2,K, K K = K i (M j ), i = 1,, j = 1, r для каждого из вариантов, то есть матрицей.

Будем считать, что для всех i = 1, лучшим вариантом по i-му крите рию является тот, который соответствует максимальному элементу i-ой строки матрицы К. Для этого элементам столбцов, соответствующих кри териям оценки дисперсии и средней относительной ошибки аппроксима ции, следует приписать знак "минус", так как известно, что min K i (M ) = max ( K i (M )).

M M Поскольку критерий DW принимает значение в интервале [0,4], и лучшим его значением является 2, следует преобразовать DW к виду DW, при DW (M ) DW = 4 DW, при DW (M ) 2.

Таким образом, необходимо выбрать лучший вариант из конечного множества альтернатив М, руководствуясь векторным критерием K = ( K 1, K 2,K, K 1 ), то есть решить задачу max K (M ).

M В теории принятия решений разработано большое количество эф фективных алгоритмов решения многокритериальных задач, многие из ко торых вполне применимы и при выборе «лучшего» варианта регрессион ной зависимости. Так как в нашем случае ЛПР(лицо, принимающее реше ние) не владеет никакой информацией о значимости критериев адекватно сти, рационально использовать метод “идеальной” точки [1]. Он состоит в следующем.

Прежде всего, элементы матрицы К нормируются по правилу:

K i (M j ) K i K i (M j ) = ~ K i+ K i, i = 1,, j = 1, r, K i = min K i ( ) K i = max K i ( ) + где,.

M M Определяются максимальные элементы K i, i = 1, в каждой строке ~ матрицы :

K i = max K i (M j ) ~.

j =1, r Таким образом, "идеальная" точка K = (K 1, K 2,K, K 1 ) представляет собой вектор, каждая компонента которого равна максимальному значе нию соответствующего критерия. Для реальных задач многокритериально го выбора "лучшего" варианта регрессионного уравнения обычно отсутст вует альтернатива, доставляющая максимум всем критериям одновремен но. Поэтому метод "идеальной" точки предполагает поиск альтернативы, образ которой в критериальном пространстве наиболее близок в некоторой K метрике (например, евклидовой) к точке :

( ) ~ i = arg min K K j (M ) j M.

j = Нетрудно видеть, что реализация метода «идеальной» точки приводит к нахождению паретовской альтернативы.

Так как реальный конкурс регрессионных моделей невозможно реали зовывать вручную, следует автоматизировать этот процесс. Необходимо создать программный комплекс (ПК), в котором пользователь вводил бы свои статистические данные, выбирал параметры конкурса, а ПК автома тически строил бы множество альтернативных вариантов уравнения и вы бирал из них лучший.

С этой целью на языке программирования Delphi был разработан про граммный комплекс КРМ. Он позволяет строить уравнения, содержащие не более 5 экзогенных переменных, и допускает использование 9 элемен тарных функций, формирующих варианты регрессий. Таким образом, мак симальное количество альтернатив, которые можно построить, равно 9 5 = 59049.

КРМ обладает достаточно простым, объяснимым интерфейсом. Ре зультаты его работы выдаются в виде отчета с подробным анализом полу ченных результатов.

Возможности программы:

- автоматическое построение нелинейных по факторам регрес сионных уравнений с заданными режимами;

- определение для каждого регрессионного уравнения заданных критериев адекватности;

- построение “лучшего” регрессионного уравнения;

- построение графика фактических и рассчитанных значений эн догенной переменной;

- формирование отчёта о результатах конкурса регрессионных моделей в Microsoft Word.

На рис. 1 представлено главное меню программы.

Вначале пользователь выбирает файл с исходными данными. Этот файл представляет собой обычный текстовый файл с расширением txt, со держащий матрицу значений исследуемого процесса. Все значения вводят ся через клавишу “Tab”, также пользователь может просто скопировать данные из таблицы Excel. Значения могут быть как отрицательными, так и положительными, как целыми, так и вещественными. Кроме числовых значений файл не должен содержать никаких других данных.

Рис. 1. Главное меню программы Для дальнейшей работы пользователь должен выбрать параметры для поиска лучшей модели (зависимую и независимые переменные, эле ментарные функции и критерии адекватности). Необходимо учесть, что для реализации конкурса нужен хотя бы один критерий адекватности и по крайней мере 2 элементарные функции. Если пользователь забудет эти ус ловия, программа автоматически выдаст сообщение об ошибке и предло жит выполнить необходимые действия.

После того, как пользователь осуществил выбор параметров нужно нажать на кнопку “ДАЛЕЕ”. Начнётся процесс поиска лучшей модели.

После того, как все варианты будут просчитаны, открывается окно с ре зультатами (рис. 2).

По ним пользователь может сделать вывод о том, какое из уравнений (линейное или лучшее нелинейное) является более адекватным.

Рассмотрим пример работы программы. В таблице 1 приведены ста тистические данные по экономике России.

Исследуем зависимость количества безработных людей в России (X5) от четырёх факторов:

- ВВП (валовой внутренний продукт) России (X1);

- цена на нефть (X2);

- средняя заработная плата по России (X3);

- курс доллара США (X4).

Для проведения конкурса были назначены все 5 критериев адекватно сти и задано множество элементарных функций G {x, x 1, x 2, x 3, x, ln( x), sin( x), cos( x)}.

Рис. 2. Результаты работы программы Таблица Статистические данные по экономике России Факторы ВВП, Цена на Средняя Курс дол- Безработ млрд. нефть, зарплата лара ные, Период вре- руб. доллары по России, США, тыс.чел.

мени США руб. руб.

1 квартал 2006г 5845,3 57,7 9397 28,12 2 квартал 2006г 6361,3 64,6 10401 27,08 3 квартал 2006г 7280,6 65,2 10949 26,83 4 квартал 2006г 7392,5 56,2 12203 26,55 1 квартал 2007г 6747,9 54 11876 26,19 2 квартал 2007г 7749,1 65,5 13037 25,88 3 квартал 2007 8826,6 72,5 13849 25,53 4 квартал 2007г 9663,7 86,2 14622 24,51 1 квартал 2008г 8838,1 93,7 15432 24,01 2 квартал 10274,7 116,9 16965 23,6 2008г 3 квартал 2008г 11647 112,4 17526 23,58 В итоге были получены следующие результаты.

Количество построенных альтернатив – 4096.

Линейное уравнение:

X5= -18291-0.5078(X1)+38.347(X2)+0.42723(X3)+716.91(X4).

Значения критериев адекватности линейного уравнения:

R=0.59068, F=1.7317, S=1.6625 10, DW=1.8454, E=5.5725%.

Лучшее уравнение:

X5= -705.78+ 3.098 10 (1/X1)-149.26(sinX2)+ 5.3248 10 (X3^3) 474.33(cosX4).

Значения критериев адекватности лучшего уравнения:

R=0.96513, F=33.213, S=14163, DW=1.9455, E=1.5922%.

Рис. 3. Значения эндогенных переменных В результате получилось, что лучшее уравнение превосходит линей ное по всем критериям, а на графике (рис. 3.) расчетные значения эндоген ной переменной практически совпадают с фактическими. Кроме того, можно сделать выводы, что при увеличении ВВП России число безработ ных обратно пропорционально уменьшается, а при увеличении средней за работной платы количество безработных растёт в кубической зависимости.

Литература 1. Носков С.И. Технология моделирования объектов с нестабильным функцио нированием и неопределённостью в данных / С.И. Носков. – Иркутск : Облин формпечать, 1996. – 320 с.

УДК 517. А.А.Бутин МЕТОДИКА СОВМЕСТНОГО УЛУЧШЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ФАЗОВЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ Постановка задачи. Пусть задан функционал I: M R - отображение некоторого множества на числовую ось и выделено подмножество D M, называемое множеством допустимых. Зададим элемент mI D. Требуется найти такой элемент mII D, на котором I(mI) I(mII). Элемент (режим, процесс) mII в дальнейшем будем называть улучшенным. Поставленная задача может выступать в качестве этапа итерационной процедуры по строения минимизирующей последовательности для I на D, а также иметь самостоятельное значение с точки зрения получения улучшенных характе ристик изучаемого объекта.

Конкретизируем множество D и функционал I следующим образом:

рассматривается динамическая система · A: x (t) = f(t, x(t), u(t)), (1) · где x =dx(t)/dt, t T = [tн, tк] – время, числа tн, tк – заданы, фазовая пере менная х(·) – непрерывная и кусочно-гладкая, управление u(·) – кусочно непрерывная вектор-функции времени, x = (x1, x2, …, xn), f = (f1, f2, …, fn), u = (u1, u2, …, ur), функция f (t, ·, ·) непрерывна и непрерывно дифферен цируема по (x, u) достаточное число раз. Поведение функций x(·), u(·) стес нено ограничением:

(x(t), u(t)) V(t) Rn+r, t Tv T, (2) где множество V(t) – замкнуто. Множество пар функций m = (x(·), u(·)), удовлетворяющих (1) – (2), обозначим через D. На множестве D задан подлежащий минимизации функционал tк f0(t, x(t), u(t))dt + F(x(tк)), I= (3) tн где скалярная функция f0 (соответственно, F) непрерывна и непрерывно дифференцируема по (x, u) (соответственно, по x) достаточное число раз.

Методика решения задачи улучшения элемента. Один из подходов к решению поставленной задачи заключается в достаточных условиях со вместного улучшения, являющимися модификацией условий теорем о со вместной оптимальности [1, 2] и связанных с принципом расширения В.Ф.Кротова и В.И.Гурмана [3].

Суть подхода состоит в редукции задачи I вида (1) – (3) к аналогичной по структуре (но по замыслу более простой) задаче II:

· C: y () = g(, y(), w()), T = [н, к], (4) c k+p (y(), w()) V R, (5) к g0(, y(), w())d + G(y( к).

Ic = (6) н Множество пар функций mc = (y(·), w(·)), удовлетворяющих (4) – (6), обозначим через D.

Связь между этими задачами устанавливается с помощью прямого отображения (,, ), где (t): R1 R1;

(t, x): R1+n Rk ;

(t, x, u): R1+n+r Rp, либо противоположного (,, ), где (): R1 R1;

(, y): R1+k Rn ;

(, y, w): R1+k+p Rr.

При определенных условиях на,,, g, g0, G улучшение некоторого режима в задаче сравнения (4) - (6) влечет за собой улучшение соответст вующего ему режима в исходной задаче (1) – (3).

Обозначим V = V(t)O(t) (здесь O(t) – окрестность точки (xI (t), uI(t)) V(t), V = {t, x, u: t Tv, (x, u) V (t)}. Соответственно, под знаком D по нимаем множество, состоящее из пар (x(·), u(·)), удовлетворяющих системе (1) и конечному ограничению (x(t), u(t)) V (t).

Аналогичные по смыслу ограничения введем и для задачи II: Vc (), Vc, D.

Будем предполагать, что функции,, обладают следующими свойствовами: (t) – непрерывная, кусочно-гладкая, строго монотонная и неотрицательная на T функция, (t, x) непрерывна всюду и непрерывно дифференцируема везде, искючая, возможно конечное число сечений при постоянном t, функция (t, x, u) такова, что сложная функция (t, x(t), u(t)) кусочно-непрерывна, если кусочно-непрерывна u(t). Аналогичные свойст ва имеют (), (, y), (, y, w).

Обозначим dA (t, x)/dt = t (t, x) + x (t, x)f(t, x, u) – полную произ водную от (t, x) в силу системы A и, соответственно, dC (, y)/d = (, y) + y (, y)g(, y, w) - полную производную от (, y) в силу системы C, где t,, x, y – матрицы частных производных. Пусть mI = (xI(·), uI(·)), mII = (xII(·), uII(·)) (соответственно, mIс = (yIc(·), wIc(·)), mIIс = (yIIc(·), wIIc(·))) – исходный и улучшенный процессы в задаче I (соответственно, в задаче II), Vx(t) – проекция множества V(t) на Rn.

Теорема 1. Пусть mIIс – улучшенный режим в задаче II, задача Коши для системы С при w = wII(t) имеет единственное решение и существуют такие функции (t), (t, x), (t, x, u), что · 1). dA (t,x)/dt = (t) g((t), (t, x), (t, x, u)) везде на V, исключая, возможно, конечное число сечений при постоянном t;

2). (t,xI(t)) = yI((t)), (t, xI(t), uI(t)) = wI((t)), f0(t, xI(t), uI(t)) = g0((t), yI((t)), wI((t))), t T, F(xI(tк)) = G(yI((tк)));

3). найдется элемент mII D такой, что II II II II II (tн,x (tн)) = y ((tн)), (t, x (t), u (t)) = w ((t)), t T;

4). F(x) G( (tк, x)), x Vx(tк), f0(t, x, u) g0((t), (t,x), (t, x, u)), (t, x, u) V.

Тогда mII является улучшенным элементом в задаче I.

Доказательство. В силу условий качественного характера на функции y(·), w(·), (·), (·) очевидно, что функция uII(·) кусочно-непрерывна, а xII(·) – непрерывна и кусочно-гладкая.

Далее, из условий 1 и 3 теоремы следует, что кусочно-дифференци руемая функция II(t) = (t, xII(t)) удовлетворяет тому же начальному ус ловию и тому же дифференциальному уравнению, что и функция yII((t)).

Вспоминая предположение о единственности решения задачи Коши для системы сравнения при фиксированном управлении w = wII(), прихо дим к равенству (t, xII(t)) = yII((t)), t T.

Учитывая этот факт, а также принимая во внимание условия 2 и 4 тео ремы, имеем:

tк I(mII) = f0(t, xII(t), uII(t))dt + F(xII(tк)) tн tк g0((t), yII((t)), wII((t)))dt + G(yII((tк))) tн tк g0((t), yI((t)), wI((t)))dt + G(yI((tк))) = tн tк f0(t, xI(t), uI(t))dt + F(xI(tк)) = I(mI).

tн Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть mIIс – улучшенный режим в задаче II и существуют такие функции (), (, y), (, y, w), что · 1). dC (, y)/d = () f((), (, y), (, y, w)) всюду на Vc, исклю чая, возможно, конечное число сечений при постоянном ;

2). (, yI()) = xI(()), (, yI(), wI()) = uI(()), T, F(xI((к))) = G(yI(к));

3). ( (, yII()), (, yII(), wII()) V (()), T;

4). f0((), (,yII()), (, yII(), wII())) g0(, yII(), wII())), T, F( (к,yII(к))) G(yII(к)).

Тогда элемент mII, где xII(()) = (,yII()), uII(()) = (, yII(), wII()), t = (), T, (7) является улучшенным в задаче I.

Доказательство. Из качественных условий на функции (,) вытека ет, что функция uII(·) кусочно-непрерывна, а функция xII(·) непрерывна и кусочно-гладкая.

Положим в условии 1) теоремы y = yII(·), w = wII(·).

Так как пара mIIс принадлежит множеству D, т.е. в частности, удовлетворя ет системе С, с учетом формул (7) получаем:

dC (,y)/dy=yII(),w=wII() = d (,yII())/d = dxII(())/d = · () f((), xII(()), uII(())), T, т.е. пара mII удовлетворяет дифференциальной связи задачи I. Эти факты совместно с условием 3) теоремы говорят о принадлежности элемента mII к множеству D. Далее, принимая во внимание условия 2) и 4), имеем:

tк II f0(t, xII(t), uII(t))dt + F(xII(tк)) = I(m ) = tн к · () f0((t), (,yII()), (, yII(), wII())d + F( (к,yII(к))) н к · () g0(, yII(), wII()))d + G(yII(к)) н к · () g0(, yI(), wI()))d + G(yI(к)) = н к · () f0((t), xI(()), uI(()))d + F(xI((к))) = I(mI), н откуда I(mII) I(mI).

Теорема доказана.

Замечание. Теоремы 1 и 2 являются обобщением соответствующих теорем работы [4].

Литература 1. Москаленко А.И. Достаточные условия совместной оптимальности систем// ДАН СССР. – 1977. – т.232, №3.

2. Москаленко А.И. Методы нелинейных отображений в оптимальном управле нии. – Новосибирск: Наука. – 1983. – 222с.

3. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. – М.:

Наука. – 1973. – 448с.

4. Москаленко А.И. Совместное улучшение// Новые методы улучшения управ ляемых процессов. – Новосибирск: Наука. – 1997. – с.41-46.

УДК 533.601. А.В. Данеев, Р.А. Данеев СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНЫХ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ФОРМ. I.

В основе исследований технических проблем часто лежит вариаци онный подход, являющийся универсальным средством описания физиче ских закономерностей. Его математическая парадигма основана на том, что физические явления обладают некоторыми экстремальными свойства ми, т. е. в действительности из допустимых решений реализуется стацио нарная точка некоторого функционала. Поэтому большинство законов ес тествознания, описывающих взаимодействие частиц или различных физи ческих полей, могут быть получены из условия стационарности некоторо го механического действия. Кроме того, вариационный подход лежит в ос нове многих качественных методов исследования «чистых» математиче ских задач. Поэтому концептуальная модель отдельной науки естествозна ния, как правило, опирается на две базовые сущности – объект и фунда ментальный экстремальный принцип.

Объект исследования должен иметь аксиоматическое определение.

Аксиоматика определяет концептуальную целостность, уровень общности и естественнонаучную значимость той или иной математической модели физического явления. С другой стороны, в основе преобладающего числа классических и современных исследований механики и физики лежит фундаментальный «экстремум» в форме принципа Гамильтона – «принцип наименьшего действия Гамильтона». Известны также вариационные прин ципы Мопертюи, Лагранжа, Даламбера, Якоби, Пуанкаре и другие;

в част ности, из таких принципов, как принципы Гамильтона или Даламбера, можно получить классические законы Ньютона. При этом важную роль в технических приложениях, играют обратные задачи вариационного исчис ления: существуют ли такие основные функции, что относящие к ним уравнения Эйлера-Лагранжа совпадают с заданными дифференциальными уравнениями. Другая задача такого рода: для заданного семейства функ ций (кривых, поверхностей) требуется найти такую основную функцию, что общее решение связанного с ней уравнения Эйлера-Лагранжа совпада ет с исходным семейством функций (кривых, поверхностей).

Таким образом, вариационные подходы сделали возможным вывод большой группы физических законов, по существу из одного общего экс темального принципа, приведя к формулировке различных оптимальных решений в других областях. Особенно плодотворным оказалось их исполь зование при исследовании прикладных задач в аэрокосмической области, поскольку проектирование летательных аппаратов (ЛА), предназначенных для движения в атмосфере со сверхзвуковыми скоростями, выдвинуло не обходимость выбора оптимальных форм ЛА. Ведь правильно выбранная геометрия позволяет, с одной стороны, существенно уменьшить лобовое сопротивление, вес, расход горючего и радиолокационную видимость ЛА, тепловые потоки к поверхности аппарата, а с другой, увеличить аэродина мическое качество, полезный объем и т. д.

К настоящему времени сформулированы основные конструктивные требования к оптимальным формам сверхзвуковых ЛА [1, 2]. Установлено, что оптимальные формы получаются при варьировании таких геометрических величин как длина аппарата, форма донного сечения, объем и др. Поэтому эти параметры, как правило, включаются в формулировки задач теории оптимальных аэродинамических форм. Задачи проектирования внешних форм, обеспечивающих наилучшие аэродинамические характеристики при сверхзвуковых скоростях полета, требуют решения различных сложных газодинамических проблем. Их решение приводит к вариационным задачам на экстремум функционалов, выражающих аэродинамические характеристики оптимизируемых тел.

Однако, в общем виде, даже при использовании уравнений идеального газа, эти задачи являются чрезвычайно сложными. Поэтому, для получения экстремальных решений в аналитическом виде, широко используются приближенные теории, позволяющие определить местные коэффициенты давления и трения от формы поверхности искомых тел ЛА. И хотя в настоящее время этом направлении достигнуты значительные успехи, необходимо отметить, что к сожалению, в данной постановке задачи оптимизации форм тел, обтекаемых сверхзвуковыми потоками газа, не всегда сводятся к стандартным задачам вариационного исчисления.

Некоторые результаты по оптимизации аэродинамических форм были получены еще до появления вариационных методов. Например, Ньютоном была решена задача отыскания поверхности тела вращения минимального сопротивления при заданных длине тела и диаметре донного сечения [3]. Из работ довоенного периода следует отметить работу М. Мунка [4], в которой определялось крыло минимального индуктивного сопротивления при заданных подъемной силе и размаху крыла, и работу Т. Кармана [5], где была найдена оптимальная форма носовой части вращения с заданными длиной и диаметром донного сечения в сверхзвуковом линеаризованном потоке газа. Но большинство результатов теории оптимальных форм, обтекаемых потоками газа при М 1, появились в печати в последние десятилетия в связи с бурным развитием авиационной и ракетной техники.

В современных исследованиях вид оптимизируемых функционалов, а также граничные и изопериметрические условия, накладываемые на формы тел при решении вариационных задач газовой динамики, отличаются большим разнообразием. Во-первых, это обусловлено различием режимов обтекания и использованием в связи с этим различных теорий для расчета аэродинамических сил (линеаризованная теория, теория Ньютона, свободно-молекулярное течение и др.). Во вторых, это связано со спецификой классов тел, среди которых ищется оптимум (плоские профили, крылья, тела вращения и т.д.), что требует различного математического описания. Например, по линейной теории волновое сопротивление плоского профиля представляется однократным интегралом, тогда как в случае тела вращения - двукратным интегралом (так как коэффициент давления не является функцией местного угла атаки элемента поверхности). В-третьих, многообразие задач зависит от того, какие именно характеристики определяются, а также от дополнительных граничных и изопериметрических условий, накладываемых при решении вариационных задач, что связано со спецификой назначения летательных аппаратов, конструкторскими ограничениями, требованием прочности и т.д.

В большей части работ по теории оптимальных аэродинамических форм поток газа, обтекающий тело, относится к гиперзвуковому диапазону скоростей. Это определяет важность работ по оптимизации форм тел, обтекаемых сверхзвуковыми потоками с числами Маха, не слишком превосходящими единицу.

Обсудим более подробно результаты исследований по оптимизации форм тел минимального сопротивления и минимального аэродинамического нагрева в сверхзвуковых и гиперзвуковых потоках газа.

1. Оптимизация форм тел в сверхзвуковом потоке. Задачи оптимизации форм тел, обтекаемых сверхзвуковыми потоками газа ставятся в двух постановках:

1) на основе приближенных постановок вариационных задач;

2) на основе уравнений газовой динамики.

Работы первой группы основываются на том факте, что при числах Маха, не слишком близких к единице и не слишком больших по сравнению с ней, для оценки аэродинамических сил, действующих на относительно тонкое тело, можно использовать теорию малых возмущений. В этом случае нелинейная система уравнений движения газа заменяется линейной и, применяя метод суперпозиции, удается получить общее решение для аэродинамических сил, действующих на плоское или осесимметрическое тело. Поэтому во многих случаях возможно получить аналитические выражения для оптимальных форм тел и соответствующие им аэродинамические коэффициенты.

Впервые такой подход был применен Т. Карманом в 1939 году в работе [5], где в рамках линейной теории обтекания тел вращения сверхзвуковым потоком газа рассмотрена задача об оптимальной форме тела вращения с донным срезом и с минимальным коэффициентом волнового сопротивления при заданном отношении радиуса основания к длине тела. В этой работе был найден оптимальный обвод такого тела вращения с равной нулю производной площади поперечного сечения у основания S’(1) (все координаты отнесены к длине тела). Граничное условие S’ (1) = 0 приводит к аналогии между волновым сопротивлением тела вращения и индуктивным сопротивлением несущей линии и позволяет воспользоваться решением задачи об оптимальном распределении циркуляции по размаху крыла минимального индуктивного сопротивления. Полученное экстремальное решение изучаемой задачи, называемое оживалом Кармана, следует при эллиптическом распределении источников S’(x) вдоль оси тела. В дальнейшем это решение явилось основой для последующих исследований по оптимизации форм тел в сверхзвуковых линеаризованных течениях. Как правило, решение таких задач сводится к решению интегро-дифференциальных уравнений необходимого условия экстремума в виду того, что выражения для аэродинамических характеристик, таких как волновое сопротивление, аэродинамическое качество и др., тел вращения, обтекаемых сверхзвуковым потоком под нулевым углом атаки, содержат сингулярный двойной интеграл. Наиболее крупный вклад в изучение вариационных задач оптимизации форм тел в рамках линейной теории среди зарубежных ученых внесли К. Феррари, В.

Хаак, В.Р. Сирс, М.Дж. Лайтхилл, М.К Адамс, Х.М. Паркер [6-11] и др.

Из работ отечественных ученых по данному вопросу следует отметить работы Васильченко В.Н., Николаева В.С., Притуло М.Ф., Никольского А.А., Тумашева Г.Г. [12-16].

Как упоминалось выше для линеаризованного сверхзвукового течения Т.Карману удалось получить функционалы волнового сопро тивления в виде явной зависимости от геометрии тела [5]. Приведем краткий вывод этих функционалов.

y М yc yм l X Рис. 1.

Рассмотрим прямоугольную систему координат Oxy (рис. 1), в которой плоскость (x,y) совпадает с меридиональным сечением тела вращения, x и y - соответственно осевая и радиальная координаты, отнесенные к характерной длине l (в качестве последней можно взять длину тела или длину носовой части тела). Функция тока действительного течения и безразмерная функция тока возмущенного течения в выбранной координатной системе связаны соотношением [1] = 0 U l2 ( - y2 / 2).

Здесь 0 - плотность невозмущенного потока. Тогда осевая vx и радиальная vx компоненты невозмущенной скорости можно выразить через следующим образом vx = y / (2 y), vy = x / y, где = M 1. Моделируя тело источниками, непрерывно распределен ными по его оси симметрии с интенсивностью u(x), получаем следующие зависимости z F(,x,y)d, z 1, = F(,x,y)d, z 1, = где z = x - y, F(,x,y) = (x - ) u() /g(,x,y), g(,x,y) = ( x ) 2 ( y ) 2.

Ввиду того, что u(0)=0, безразмерные компоненты скорости выражаются через функцию u(x) при помощи следующих формул z vx = u ( ) g (, x. y )d, z 1, & (1) z vy = ( x )u ( ) g (, x, y )d, z 1.

& Учитывая, что функция тока Ф вдоль линии тока постоянна, найдем уравнение меридионального сечения y 2 ( x) z = ( x )u ( ) g (, x, y )d, z 1. (2) 2 Волновое сопротивление замкнутого осесимметрического тела можно определить интегрированием произведения компоненты скорости вдоль цилиндрической поверхности радиуса yк заключающей тело v x ( x, y к )v y ( x, y к )dx.

RB3 = -4ql yк (3) y к Коэффициент волнового сопротивления определяется так, СXB3 = RB3 / (ql2y2m), (4) где ym - максимальный радиус тела. Тогда из (1) и (4) при yк 0 получаем u ( )u ( ) ln dd.

CXB3 y m/2 = - (5) && Для замкнутого тела распределение источников такого, что u(0)=0, u(1)=0. (6) Формула (5) по структуре совпадает с выражением для индуктивного сопротивления крыла.

Волновое сопротивление лобовой поверхности осесимметричного те ла (рис. 2) определяется следующим образом Rвд = - ql yд v x ( x, y д )v y ( x, y д )dx, (7) yд где yд - радиус донного сечения. Подставляя (1) в (7) получим выражение для коэффициента волнового сопротивления 2 zд z д (1 )(1 )( y д ) С xb y д = u ( )u ( )arch d d, (8) y д ( ) 2 где zд = 1-yд. Эти соотношения были впервые получены К. Феррари и Х.

Паркером [11].

М yg l Рис.2.

На основе функционала (5) был решен ряд экстремальных задач. Наи более известны задачи оптимизации тонкого тела с:

а) заданными длиной и объемом;

б) заданными длиной и положением промежуточной точки x = 0,5.

Тело, соответствующее первому случаю называется телом Сирса Хаака, а во втором случае - тело Лайтхилла. Тело Сирса-Хаака симметрично относительно линии x = 0,5, коэффициент сопротивления равен CXB3 = 24V, а геометрия меридионального сечения выражается в виде y = ym[4x(1-x)]3/4, (9) где ym = 16V /(3 2 ). Тело Лайтхилла характеризуется тем, что не имеет особенностей в средней точке и имеет здесь равный нулю наклон касательной, коэффициент сопротивления СXB3 = 4y0, а уравнение меридионального сечения записывается следующим образом 1/ y = y0 2 x(1 x) (1 2 x) 2 arch. (10) 1 2x К. Феррари [6] получил решение для задачи с заданными длиной, объ емом и положением промежуточной точки. Т. Карманом в [5] было полу чено оптимальное тонкое тело вращения с заданными длиной и диаметром донного сечения (оживало Кармана), имеющее коэффициент волнового сопротивления СXB3 = 4y2д. Геометрия меридионального сечения оживала Кармана выражается формулой [ ]}.

{ y = yд (2 / ) arcsin x (1 2 x) x(1 x) (11) Для функционала (8) известны решения с заданными длиной, диаметром донного сечения и объемом [1].

В работе [12] В.В. Васильченко рассмотрел задачу о форме тела вра щения с донным срезом и с минимальным волновым сопротивлением при заданном отношении радиуса донного сечения к длине тела. Им же были получены выгодные по сравнению с оживалом Кармана формы (из-за от каза от граничного условия S’(1) = 0) в классе степенных тел вращения.

Результаты исследований подтверждены экспериментом [12]. Выигрыши получены в результате большого наполнения его при больших скоростях потока. В [13] показано, что для уточнения оптимальных форм, получен ных по линейной теории, необходимо в первую очередь, более точно удов летворить условию не протекания, что позволяет сделать качественные выводы об уменьшении волнового сопротивления. Поправка второго при ближения, найденная в результате решения задачи методом малого пара метра, позволяет повысить точность вычисления волнового сопротивления тела вращения.

В работе Коробейникова Н.П. [17] в рамках теории тонкого тела приводятся формулы для расчета давления и коэффициента волнового сопротивления для некоторых тел вращения (тела вращения с образующей в виде полинома третьей степени, тело Сирса-Хаака, тело Хаака Адамса). Уравнение контуров таких тел определяется по условию минимума сопротивления при заданных длине и объеме, или при заданных длине, объеме и площади донного среза.

На основе линеаризованной сверхзвуковой теории решено большое число вариационных задач с различными граничными и изопери метрическими условиями и для других конфигураций. Так, Николаевым В.С. в работе [14] был рассмотрен ряд экстремальных задач об оптимальной форме тонкого профиля с заданными длиной хорды и смоченной площадью в предположении центра масс профиля с его геометрическим центром инерции и центром давления. Определены формы нижней и верхней поверхностей профиля с острыми передней и задней кромками, имеющего минимальное сопротивление при заданной подъемной силе, либо максимальное аэродинамическое качество.

Более полную библиографию работ по определению форм в сверхзвуковых линеаризованных потоках можно найти в [1, 18].

К настоящему времени опубликовано значительное число работ, посвященных точному решению вариационных задач сверхзвуковой га зовой динамики невязкого газа. Никольский А.А. в [15] рассмотрел постановку вариационной задачи для функций на контрольном контуре, состоящем из характеристик уравнений газовой динамики. В этом случае функционал, составляющий сопротивление тела, выписывается явно. После определения функций на контрольном контуре остается решить задачу Гурса с конкретными данными на характеристиках. В дальнейшем эта идея оказалась очень плодотворной и использовалась в работах Ю.Д. Шмыглевского, Л.Е. Стернина, А.Н. Крайко др. [19-21].

Наиболее общим методом решения вариационных задач в точной постановке для уравнений газовой динамики является общий метод множителя Лагранжа. В этом методе вариационные задачи формули руются непосредственно на искомом контуре, а все дополнительные связи включаются при помощи неопределенных множителей во вспомо гательный функционал. Используя этот метод, К. Гудерлеем, Армитейджем, Е.М. Валентином [22], А.Н. Крайко [21] и др. был разрешен ряд проблем о построении тел минимального волнового сопротивления и сопел максимальной тяги для сверхзвукового невязкого и теплопроводного газа.

Вопросы аэродинамики и оптимизации сверхзвуковых форм рас сматривались также в работах [23-28].

2. Оптимизация формы тел в гиперзвуковом потоке. При обтекании тел гиперзвуковыми потоками газа, то есть течениями, у которых число Маха невозмущенного потока достаточно велико по сравнению с единицей, ударная волна располагается близко к поверхности тела, и чем больше число Маха, тем больше ударная волна приближается к телу. При очень больших числах Маха модель гиперзвукового течения может быть получена в первом приближении на основе предположения, что ударная волна совпадает с поверхностью тела по крайней мере в его передней части. В этом случае частицы, пересекающие ударный слой, сохраняют тангенциальную составляющую скорости, но теряют нормальную составляющую. Эта модель течения получила название модель течения Ньютона. То, что обтекание тел гиперзвуковыми потоками газа достаточно точно описывает модель течения Ньютона, показано, например, в работах [29 30]. Это обстоятельство и простота этой модели обусловили большой интерес к вариационным задачам гиперзвуковой аэродинамики при обтекании тел ньютоновским потоком.

По теории Ньютона местный коэффициент давления зависит только от ориентации элемента тела, вследствие чего аэродинамические характери стики (сопротивление, подъемная сила и др.) могут быть просто выражены через геометрию тела. Коэффициент давления определяется формулой [31] Cp = k sin2, (12) где - местный угол наклона контура тела по отношению к направлению невозмущенного потока, коэффициент k = 2. Тогда коэффициент волнового сопротивления тела вращения определится следующим соотношением y ( x) y 3 ( x) & CXB = 2k dx. (13) 1 + y 2 ( x) & Первой вариационной задачей на основе формулы (1.13) была задача оптимизации формы тонкого тела вращения, обладающего минимальным аэродинамическим сопротивлением при заданном диаметре донного сечения r и длине тела l. Эта задача была решена И.Ньютоном в 1687 г. [3] и решение ее приводит к следующей формуле y(x) = x3/4. (14) Оптимальные формы тел вращения при гиперзвуковых скоростях для различных постановок подробно рассмотрены в работах [1, 18, 29]. К достоинствам решения таких задач относится то, что в большинстве случаев можно получить аналитические результаты. Приведем некоторые из них: если задан диаметр тонкого тела вращения, то экстремаль представляется степенной функцией;

если задана длина, то экстремаль - решение Ньютона (14);

если задан объем, то показатель равен 3/2. Если же диаметр миделя m не задан, то экстремаль не является степенной функцией и наклон экстремали стремится к нулю. В случае задания длины тела вращения экстремаль имеет затупление в носке, если же длина произвольна, то в начальной точке будет конечный наклон.

Миеле А., Халл Д., Гродзовский Г.Л. и др. исследовали случаи задания большого количества геометрических величин.

Если относительная толщина тела очень мала, то величина со противления трения будет иметь тот же порядок, что и волновое сопротивление. В [1], [18] и др. рассмотрены различные постановки эадач о телах вращения минимальной суммы волнового сопротивления и сопротивления трения. Коэффициент трения вдоль контура рассматривается либо постоянным, либо переменным по некоторому закону. Если задана только одна геометрическая величина (диаметр или объем), то существует единственное решение и сопротивление трения составляет более половины общего сопротивления. В случае задания двух геометрических величин существует семейство решений, зависящий от параметра трения. Здесь возможны два случая в зависимости от того, является ли параметр трения докритическим или сверхкритическим. Если заданы диаметр и длина тела, то решение дают тела класса l ( тела, составленные из дуги регулярной формы) для сверхкритических параметров трения и тела класса II (тела, составленные из острия, переходящего в дугу регулярной формы) для сверхкритических параметров трения. Для других случаев задания геометрических величин возможны и другие решения: тела, составленные из дуги регулярной формы и цилиндра;

тела, составленные из острия, дуги регулярной формы и цилиндра.

Гродзовский Г.Л., Благосклонов В.И., Русанов В.В., Нажесткина Э.Н.

[29, 32-33] решили ряд вариационных задач по определению оптимальных форм степенной формы при минимальном коэффициенте лобового сопротивления имеют также малый коэффициент теплопередачи.

Экспериментальный характер формулы давления Ньютона позволяет получить только качественные оценки на рассчитанную форму тела, так как условия, при которых может быть использована эта формула выпол няются не всегда. Это обстоятельство привело к тому, что появились раз личные поправки Ньютона, например, модели течения Ньютона-Лиза, мо дель течения, основанная на модифицированной формуле Ньютона (в (12) коэффициент k равен 2,091 [29]). По теории Ньютона-Буземана существует два типа оптимальных форм: абсолютный оптимальный контур с "ньюто новским тянущим капотом" и относительный оптимальный контур, со стоящий из двух дуг: вдоль одной коэффициент давления положителен (регулярная форма), а вдоль другой - равен нулю (свободный слой). Сво бодный слой представляет собой оторвавшийся от тела ударный слой Ньютона. В монографии Хейза У.Д. и Пробстина Р.Ф. [34] утверждается, что относительный оптимальный контур может состоять из носовой части, создающей положительное давление, и свободного слоя, который следует за носовой частью и касается кормовой части тела. В этом случае показы вается, что носовая часть должна иметь профиль абсолютного оптималь ного контура. В своей книге Хейз и Пробстин на основе формулы Ньюто на-Буземана определили оптимальную форму тела вращения с заданными толщиной и длиной. В [2] обсуждаются некоторые вопросы применения модификаций формулы Ньютона и получен ряд важных результатов. В ра ботах Миеле (см., например, [1]) получены решения и в случае заданных значений смоченной поверхности и объема. Во всех этих работах знание наклона образующей в концевой точке свободно и подлежит определению из решения вариационной задачи, а экстремальные решения независимо от граничных условий имеют разрывы кривизны. Разрыв находится в точке перехода от регулярной формы к свободному слою и приводит к разрыву центростремительного ускорения, а следовательно, и коэффициента давле ния.

Г.И.Майкапар [35] показал, что тело пирамидальной формы имеет меньшее сопротивление, чем круговое с такой же длиной и объемом.

Гонором А.Л. и Черным Г.Г. [27] рассмотрена задача определения поперечного контура тела, образованного гомотетическими поверхностями, с заданными длиной и радиусом миделя. Продольное сечение тела бралось степенным с показателем 3/4. Было получено, что поперечный контур тела, дающего существенный выигрыш в сопротивлении, имеет звездообразный вид. При этом выигрыш в сопротивлении определяется тем, что мощная головная ударная сила, возникающая перед телом вращения, заменяется системой скачков слабой интенсивности, образованной при обтекании ребристых поверхностей.

Холявко В.И. в [36] рассмотрел задачу построения конического тела с минимальным сопротивлением давления боковой поверхности при заданных основании и высоте. Им было получено следующее: чтобы тело имело минимальное сопротивление, высота должна проходить через точку пересечения осей симметрии основания.

При использовании неосесимметричных головных частей встает проблема соединения носовой части тела с корпусом летательного аппарата, который, как правило, имеет плавные обводы. Если контур миделевого сечения является окружностью, то такая задача в классе линейчатых поверхностей специального вида решена А.А. Гусаровым, В.М. Дворецким, М.Я. Ивановым, В.А. Левиным, Г.Г. Черным в работе [37].

Важным классом пространственных задач также являются иссле дования об оптимальных формах тонких крыльев. Среди ученых, за нимающихся такими задачами следует выделить Д. Халла, А. Миеле, Дж.

Коула, Г.И. Майкапара [1, 35] и др. В работе Г.И.Майкапара [35] рассматривается задача выбора формы и размеров крыла минимального сопротивления при заданных подъемной силе, объеме и других связях.

Показано, что существует относительная толщина крыла, при которой аэродинамическое качество при заданном сопротивлении достигает наибольшей величины. Сферический сегмент не всегда является оптимальной формой передней кромки в окрестности критической точки.

В рассмотренных работах оптимальные аэродинамические формы |.

В модели диффузного отражения молекулы, ударяющиеся о по верхность, захватываются ею, а потом реэммитируются с максвелловским распределением скорости. С использованием этой модели в работах А.

Миеле, Р. Притчарда, У.Д. Хейза, Р.Ф. Пробстина, Х. Тана и других [1, 34] решены задачи определения контура тела вращения с минимальным со противлением и различными сочетаниями ограничений на длину, диаметр донного сечения, объем и смачиваемую поверхность.

Вопросы аэродинамики и оптимизации гиперзвуковых форм рас сматривались также в работах [38-42] и др.

3. Форма тел с минимальным тепловым потоком к их поверхности. При обтекании тел потоками газа с гиперзвуковыми скоростями одной из существующих проблем является аэродинамический нагрев их поверхностей за счет конвективного и радиационного тепловых потоков от газа, прошедшего через сильную ударную волну. Ввиду сильного разрушающего действия этого нагрева важной задачей является выбор аэродинамической формы летательного аппарата, обеспечивающей минимальный приток тепла к его поверхности.

Проблеме нахождения оптимальной формы тела из условия мини мального полного по его боковой поверхности потока тепла - кон вективного или радиационного - посвящены работы Левина В.А., Пи люгина Н.Н., Деева А.А., Кочанова В.Г., Гильман О.А., Панченкова А.Н., Гродзовского Г.А., Белянина Н.М. и др. [29, 43-45, 47]. Более полная библиография работ по этому направлению приведена [23, 46]. Часто искомая форма тела находится в классе степенных форм [29, 43-44]. Так в [29] задача рассматривается в классе тонких степенных тел вращения.

Установлено, что такие степенные тела вращения минимального сопротивления при больших сверхзвуковых скоростях имеют также малый коэффициент теплопередачи, значительно меньший, чем у конических тел. В работе [44] Деева А.А., Левина В.А. и Пилюгина Н.Н.

найдена оптимальная форма тела с заданными объемом, длиной и диаметром донного сечения для тел конической формы и тел оптимальных в степенном классе. Однако, как показано Гильман О.А. и Панченковым А.Н. [47], для степенных форм в случае минимизации нагрева положение менее благоприятно по сравнению с задачами волнового сопротивления осесимметричных тел. В этой работе изучен вопрос о границах применимости степенных форм. Существуют зоны, где степенные формы дают хорошее приближение к точным оптимальным решениям и зоны,где различия между ними оказываются существенными (так, в некоторых случаях можно получить выигрыш порядка процентов).

В работе [48] Кочановым В.Г., Левиным В.А. и Пилюгиным Н.Н. рас смотрена задача об оптимальной форме осесимметричного тела по мини муму суммарного по боковой поверхности конвективного теплового пото ка. Установлены законы подобия тепловых потоков, позволяющие произ водить перерасчет на геометрически подобных тела. Решены вариацион ные задачи о теле минимального теплового потока при различных комби нациях длины, радиуса миделя и объема тела. В работе получено хорошее совпадение найденных оптимальных форм с контурами, полученными численными методами другими авторами.

Задачам определения формы осесимметричного тела из условия наименьшего теплового потока посвящены также работы Белянина Н.М., Гродзовского Г.Л., Перминова В.Д., Солодкина Е.Е. Существуют и такие режимы обтекания, при которых радиационная составляющая становится преобладающей в суммарном тепловом потоке к телу.

В [44] Деев А.А., Левин В.А. и Пилюгин Н.Н. при некоторых допу щениях получили выражение для полного радиационного потока тела по лобовой поверхности осесимметричного тела, летящего в газе с гиперзву ковой скоростью. Там же при заданных размерах тела приведено аналити ческое решение вариационной задачи в классе тонких тел и в случае силь но излучающего газа. В последующих своих работах этими авторами ме тодом локальных вариаций численно решена поставленная в [48] вариаци онная задача для тел произвольных размеров. Выяснено влияние опреде ляющих параметров, приведено сравнение численных и предельных ана литических решений. В [44] определяются формы тел вращения с мини мальным радиационным тепловым потоком к нему при разных изопери метрических условиях в классе тонких степенных тел. Сравнение форм минимального лучистого потока при задании различных изопериметриче ских условий показывает, что оптимальное тело при заданных длине l и объеме V является наиболее затупленным. а тело при заданных радиусе r и объеме V - наиболее заостренным. Сравнение коэффициентов лучистого теплообмена найденных оптимальных тел и острого конуса показало, что в ряде типичных случаев использование оптимальной формы тела позволяет снизить суммарный поток тепла к телу до 80%. Оптимальная по теплопе редаче форма плоского или осесимметричного тела заданных размеров с минимальным значением температуры поверхности тела при ламинар ном режиме обтекания тела определялась Н.М. Беляниным в [43]. Рас сматривается случай, когда определяющими являются конвективная теп лопередача и излучение с поверхности тела. Для нахождения связи между конвективным тепловым удельным потоком и газодинамическими пара метрами используется метод локальной автомодельности и уравнение в интегральной форме. Удельный лучистый тепловой поток предполагается постоянным, а давление на поверхности тела определяется по формуле Ньютона. Функционал соответствующей вариационной задачи после неко торых упрощений записывается в явном виде и допускает аналитическое решение. Оптимальными по тепловому режиму формами оказались: для плоского случая - клин с плоским затуплением, для осесимметричного случая - форма тела, состоящая из плоского переднего торца и пологой бо ковой поверхности. Этот вывод подтвержден также экспериментально.

Результаты решений вариационных задач по определению опти мальной формы осесимметричного тела из условия минимального тепло вого потока к поверхности показали, что оптимальные тела часто имеют плоские торцы значительных размеров и поэтому достаточно большое волновое сопротивление. Это послужило основанием для того, чтобы по лучить такие оптимальные тела, у которых тепловой поток к поверхности был бы несколько большим, но волновое сопротивление меньшим, чем у тела с плоским торцом. В работе Гильман О.А. и Панченкова А.Н. [47] ис следована задача о нахождении формы тела минимального нагрева за счет лучистого теплового потока и работы сил волнового сопротивления в ги перзвуковом ньютоновском газе. Фюреем в [45] поставлена задача об оп ределении контура тела суммарного минимального нагрева за счет лучи стого и конвективного тепловых потоков и волнового сопротивления. Для нахождения распределения лучистого потока по телу использовались ги перзвуковое решение уравнений, описывающих течение невязкого объем ного излучающего газа в ударном слое. Для распределения конвективного потока тепла к телу использовалась формула Лиза для ламинарного режи ма обтекания.

Численное решение получено для заданного значения параметра t = l/r = 3,0 на основе принципа максимума Понтрягина. Оптимальная форма те ла приведена для одного рассчитанного случая и близка к острому конусу.

Все рассмотренные выше работы посвящены решению вариационных задач при неизменных внешних условиях обтекания или в данной точке траектории движения тела. Более общая постановка вариационных задач рассмотрена Деевым А.А., Левиным В.А. и Пилюгиным Н.Н. в ряде их со вместных работ. Здесь определяется оптимальная форма тела из условия минимума полного радиационного теплового потока к телу по всей траек тории движения в атмосфере с учетом разных изопериметрических усло вий. При этом исследуемый функционал является функцией от функцио налов, определяющих тепловой поток и сопротивление тела.

Литература 1. Теория оптимальных аэродинамических форм / Под ред. А.Миеле. - М.: Мир, 1969. - 507 с.


2. Панченков А.Н., Ружников Г.М., Данеев А.В. и др. Асимптотические методы в задачах оптимального проектирования и управления движением. – Новосибирск:

Наука, 1999. – 271 с.

3. Ньютон И. Математические начала натуральной философии // Собрание трудов академика Крылова, т. VII. - М.- Л., 1936. - 696 с.

4. Munc M. The minimum induced drag of aerofoils // NASA Rept. 121. - 1921.

5. Карман Т. Проблема сопротивления сжимаемой жидкости // Газовая динамика.

- М.-Л.: ГОНТИ, 1939. - С. 222-227.

6. Ferrari C. On the determination of the external form of the asisymmetric duct of minimum drag in linearized supersonic flow for given conditions imposed on the me ridian contours // Memorie della Academia della Sciense di Torino, 1975.

7. Haac W. Projectile shapes for smallest wave drag // Brown university, Graduate Di vision of Applied Mathematics. - 1968. - Translation № A9-T-3.

8. Sears W.R. On projectiles of minimum wave drag // Quart. Appl. Math. - 1967. - 4. № 4.

9. Lighthill M.G. Supersonic flow past bodies of revolution // ARS, RM. - 1965. - № 2003.

10. Adams M.S. Determination of shapes of boattail bodies of revolution for minimum drag // NASA. - 1971. - TN № 2550.

11. Parker H.M. Minimum-drag ducted and pointed bodies of revolutionbased on lin earized supersonic theory // NASA, Report № 1213. - 1976.

12. Васильченко В.И. Оптимальные формы тел вращения в линеаризованном сверхзвуковом течении // Труды ЦАГИ им. Н.Е.Жуковского. – 1995. - Вып. 1666. – С. 20-28.

13. Васильченко В.И., Притуло М.Ф. Высшие приближения к точному решению задачи обтекания тела вращения сверхзвуковым потоком газа // Труды ЦАГИ им.

Н.Е.Жуковского. –1995. - Вып. 1666. – С. 29-41.

14. Николаев В.С. Оптимальные профили в сверхзвуковом потоке с заданной площадью и запасом устойчивости // Ученые записки ЦАГИ. - 1987. – Т. IX, № 1.

– С. 19-24.

15. Никольский А.А. О телах вращения с протоком, обладающих наименьшим волновым сопротивлением в сверхзвуковом потоке // Сборник теоретических ра бот по аэродинамике. - М. – 1977. – С. 56-63.

16. Тумашев Г.Г. Одна обратная задача теории сверхзвуковых течений газа // Изв.

вузов, сер. мат. – 1998. - № 12.- С. 99-104.

17. Коробейников Н.П. Расчет аэродинамических характеристик тонких тел вра щения, обтекаемых сверхзвуковым потоком под нулевым углом атаки // Задачи аэродинамики тел пространственной конфигурации. - Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1992. - С. 120-135.

18. Оптимальные аэродинамические формы в сверхзвуковом и гиперзвуковом по токах / Сост. Николаев В.С., Перминов В.Д., Огородникова З.С. - М.: СНТИ ЦА ГИ им. Н.Е.Жуковского. - № 339, 1981. - 108 с.

19. Шмыглевский Ю.Д. Некоторые вариационные задачи. - М.: ВЦ АН СССР, 1973. - 143 с.

20. Стернин Л.Е. О границе области существования безударных оптимальных со пел // ДАН СССР, 1991.- Т. 139, № 2. – С. 335-336.

21. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. - М.: Наука, 1979. - с.

22. Guderley K.G., Armitage., Valentine E.M. Nose and inlet shapes of minimum drag in supersonic flow // IAS Paper. - 1972. - № 116.

23. Аргучинцева М.А., Данеев А.В. Оптимизация внешней геометрии летательно го аппарата в задачах сверхзвуковой аэродинамики. – Иркутск, 2003. – 297 с.

24. Беляева Т.В., Данеев А.В. Моделирование некоторых течений сжимаемого газа // Асимптотические методы в динамике систем. – Иркутск: Вост. Сиб. фил-л СО АН СССР, 1998. - С. 123-127.

25. Беляева Т.В., Данеев А.В. Задачи оптимизации внешней геометрии тел враще ния в сверхзвуковых потоках газа // Аэротермодинамика воздушно-космических систем. – М.: ЦАГИ, 1997. - С. 242-253.

26. Вандерплаац Г. Оптимизация конструкций;

прошлое, настоящее и будущее // Аэрокосмическая техника. – 1983. - Т.1. - № 2. - С. 129-140.

27. Гонор А.Л., Черный Г.Г. О телах наименьшего сопротивления при больших сверхзвуковых скоростях // Изв. АН СССР, ОТН. – 1957. – № 7.

28. Нильсен Дж. Аэродинамика снарядов: прошлое, настоящее, будущее // Ракет ная техника и космонавтика. – 1991. – Т. 19, № 3. – С.162-177.

29. Аэродинамика сверхзвукового обтекания тел вращения степенной формы / Под. ред. Гродзовского Г.Л. - М.: Машиностроение, 1975. - 184 с.

30. Eggers A.J., Resnicoff M.M., Dennis D.N. Bodies of revolution having minimum drag at high supersonic airspeeds // NASA. - 1967. - Rep. № 1306.

31. Швец А.И. Сверхзвуковые летательные аппараты. - М.: Изд-во МГУ, 1998. 240 с.

32. Русанов В.В., Нажесткина Э.Н. Волновое сопротивления тела вращения сте пенной формы (осесимметричное обтекание). - М., 1992. - 28 с. - (Препринт АН СССР. ИПМ;

№ 33).

33. Благосклонов В.И., Гродзовский Г.Л. Осесимметричное обтекание тел враще ния степенной формы при сверхзвуковых скоростях набегающего потока // Уче ные записки ЦАГИ, т. V. – 1994. - № 6. - С. 17-21.

34. Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. - М.: ИЛ, 1962. - с.

35. Майкапар Г.И. О наивыгодной форме несущих тел при гиперзвуковых скоро стях // Изв. АН СССР, МЖГ. – 1977, № 2. – С.38-47.

36. Холявко В.И. Решение одной экстремальной задачи гиперзвуковой аэродина мики // Самолетостроение. Техника воздушного флота. - Харьков. – 1988. - Вып.

55. – С.29-34.

37. Гусаров А.А., Дворецкий В.М., Иванов М.Я. и др. Теоретическое и экспери ментальное исследование аэродинамических характеристик пространственных тел // Изв. АН СССР, МЖГ. – 1979. - № 3. – С. 97-102.

38. Бердичевский В.Л. О форме тела минимального сопротивления в гиперзвуко вом потоке газа // Вестник МГУ, сер. Мат., Мех. – 1975. - № 3. - С. 90-96.

39. Панченков А.Н. Уравнение Гамильтона - Якоби в некорректных экстремаль ных задачах механики // Гидродинамика и оптимальное проектирование транс портных средств. – Горький: ГПИ, 1995. – С. 4-22.

40. Эшли Х. Оптимизация в авиации // Аэрокосмическая техника. – 1983. – Т.1, № 4. – С.161-165.

41. Camarero R. Minimum drag contours in frictionless \ hypersonic flow with specified frontal area // Can. Aeronaut. and Space J. - 1978. - 24. - P. 370-380.

42. Pinebrook Wm.e., Dalton Ch. Drag minimization on a body of revol through evolu tion // Comput. Math. Appl. Mech. and Eng. - 1983. - 39. - № 2. - P.179-197.

43. Белянин Н.М. Определение формы тела с минимальным тепловым потоком при ламинарном режиме в погранслое // Изв. АН СССР, МЖГ. – 1967. – № 6. - С.

37-45.

44. Деев А.А., Левин В.А., Пилюгин Н.Н. Форма тонкого тела с минимальным ра диационным тепловым потоком к его поверхности при различных изопериметри ческих условиях // Аэродинамика гиперзвуковых течений при наличии вдува. М.: МГУ, 1979. – С. 160-166.

45. Furey R.i. Minimum energy hypersonic nose and leading elge shapes // AIAA Paper.

- 1990. - № 70 - 825.

46. Журавлева Г.С., Данеев А.В., Пилюгин А.Н. Аэродинамика и теплообмен за тупленных тел в сверхзвуковых потоках газа при различных режимах обтекания. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2000. – 201 с.

47. Гильман О.А., Панченков А.Н. Некорректная экстремальная задача лучистого нагрева осесимметричного тела // Асимптотические методы в динамике систем. – Иркутск: Вост. Сиб. фил-л СО АН СССР, 1995. - С. 108-133.

48. Кочанов В.Г., Левин В.А., Пилюгин Н.Н. Форма осесимметричного тела, оп тимальная по условиям конвективной теплопередачи, при ламинарном и турбу лентном режимах обтекания // Неравновесные течения газа и оптимальные формы тел в сверхзвуковом потоке. - М.: МГУ, 1978. – С. 5-27.

УДК 519.6: Ю.М.Краковский, С.Г.Калиновский, А.С.Селиванов МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПО МОДЕЛИРОВА НИЮ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ПРИ ВЕРОЯТНОСТНОМ АНАЛИЗЕ БЕЗУБЫТОЧНОСТИ Введение Ценообразование на основе анализа безубыточности и обеспечения целевой прибыли известен в литературе как стоимостной анализ безубы точности [1], иногда его называют CVP-анализ (затраты, объем, прибыль).

Главными элементами этого метода являются нахождение точки критиче ского объема производства (точки безубыточности) и определение объема продаж, обеспечивающего необходимый размер прибыли.

Введем такие обозначения: q – объем продаж в н.е. (натуральных еди ницах);

x – переменные затраты на единицу продукции в руб./н.е.;

y – вы ручка на единицу продукции в руб./н.е.;

k - постоянные затраты, руб.;

G – выручка при продаже q единиц продукции, руб, G=y·q;

V – общие затраты при производстве q единиц продукции, руб. Для анализа безубыточности V=fv(q,x)+k, где fv(q,x) – переменные затраты (рис. 1).

Анализ безубыточности G V Точка безубыточности Затраты и доходы Прибыль Доход 4 Общие Переменные 3 затраты затраты Убыточность Постоянные затраты q 0 q Объем Рис. 1. Анализ безубыточности На практике переменные затраты, выручка и постоянные затраты счи тают детерминированными величинами, что позволяет относительно про сто найти точку безубыточности, а далее определить объем производства, обеспечивающий требуемую прибыль.

С другой стороны предприятие функционирует в условиях неопреде ленности, особенно на этапе планирования, поэтому вполне обосновано считать издержки и выручку случайными величинами. Поэтому такой под ход также существует на практике и описан в литературе, например [2,3].

Этот подход называют вероятностным анализом безубыточности. При ве роятностном подходе точка безубыточности и прибыль становятся случай ными величинами и это надо учитывать при анализе производственных си туаций.

Для получения практических результатов используют аппарат теории вероятностей и численные методы интегрирования, что приводит к высо кой трудоемкости вычислений и недостаточной точности, особенно в слу чае, когда диапазон значений случайной величины конечен.

Нами предлагается имитационно-аналитический подход, который на наш взгляд устраняет перечисленные выше недостатки [4]. Особенностью предлагаемого нами имитационно-аналитического моделирования по сравнению с численно-аналитическим подходом [3] является существенная гибкость метода без потери точности.


Дело в том, что метод имитационного моделирования, как раздел ма тематического моделирования, относится к численным методам. В связи с этим он обладает положительными и отрицательными свойствами этого класса методов и по сравнению с численно-аналитическим подходом он значительно менее трудоемок. При этом подходе можно расширять число законов для описания случайных величин, усложнять модель затрат и по лучать при этом достаточную для практики точность за приемлемое время.

В нашем исследовании законы распределений случайных величин выбираются из следующего набора:

1) нормальный закон;

2) усеченный нормальный закон на интервале (0, );

3) бета-распределение на интервале (a, b);

4) гамма-распределение;

5) логарифмически-нормальное распределение;

6) распределение Бирнбаума –Саундерса.

Выбор бета-распределения связан с наличием двух параметров фор мы, что обеспечивает ему большую гибкость.

Нормальный закон при определенном соотношении между математи ческим ожиданием и среднеквадратическим отклонением удовлетворяет условию положительности точки безубыточности. Для практики вполне достаточно, чтобы это соотношение было больше 3,5. Поэтому нормаль ный закон также может быть моделью для наших случайных величин.

Для остальных законов значения случайной величины принадлежат интервалу (0, ).

При решении задач методом имитационного моделирования возникает не обходимость получать на ЭВМ последовательности выборочных значений случайной величины с заданным распределением. Такой процесс принято называть моделированием случайной величины.

Моделирование случайной величины Если задана функция распределения F(x), то алгоритм моделирова ния случайной величины получается из уравнения F(x) = r, r R ( 0,1 ). (1) Запись r R(0,1) означает, что r - это независимое значение псевдо случайной величины равномерно распределенной на интервале (0,1). Про граммы или функции, моделирующие эти значения, имеются во всех сис темах программирования.

Если задана плотность распределения вероятностей f(x), axb, то предварительно необходимо найти функцию распределения x F ( x) = f ( u ) du, (2) a а затем решить уравнение (1).

v Пусть x - математическое ожидание Dх – дисперсия;

х – среднеквад ратическое отклонение. Приведем алгоритмы моделирования случайных величин, которые могут использоваться в CVP-анализе.

Алгоритмы моделирования случайных величин зависят от параметров, которые надо получать исходя из значений числовых характеристик.

Нормальный закон N ( x, ) Алгоритм моделирования x = x + z, (3) где z – значение нормированной нормально распределенной случайной ве личины. Мы для этой величины предлагаем два алгоритма моделирования:

а) метод, использующий центральную предельную теорему z = ri 6;

(4) i = б) обратный метод Бокса и Малера z = 2 ln(r ) cos(2 r ). (5) 1 G (,) – гамма-распределение ( x) 1e x, x 0,, 0, f ( x) = (6) ( ) где Г(.) - гамма-функция.

Математическое ожидание и дисперсия равны x = / ;

Dx = / 2. (7) Решая систему уравнений (7), найдем значения параметров s = x 2 / Dx ;

= x / Dx. (8) При моделировании возможны три случая:

а) 0 1 :

a = r11/ ;

b = r2 /(1 ) ;

c = a + b.

Если c 1, то d = a / c, d ln(r2 ) x=. (9) Иначе повторяют моделирование r и r2.

б) 1 5 :

[ ] – целая часть ;

a a = [ ];

b = a;

c = ( / a ) ln ri.

i = Если ra +1 (c / ) exp(b(c / 1)), то пересчитать c, иначе:

b x = c/. (10) в) 5:

a = [ ] ;

b = a, если r b, то a x = ln ri /, (11) i = иначе a + x = ln ri /. (12) i = При =1,2,...,n (целое) гамма-распределение называют распределением Эрланга -го порядка для которого - число слагаемых независимых слу чайных величин, имеющих показательное распределение с параметром.

Для целого Г ( ) =(-1)!.

При =1 гамма-распределение является и показательным с параметром.

Для этого закона алгоритм моделирования x=-ln(r)/. (13) Для распределения Эрланга алгоритм моделирования имеет вид x = ln ri /. (14) i = Бета-распределение B (, ) на интервале (a,b) ( + ) 1 ya b y f (y) = ;

(15) (b a )( )( ) b a ba числовые характеристики (b a ) ;

D (b a ) y =a+ =, (16) ( + )2 ( + + 1) y + где () – гамма-функция.

Так как, 0, то 0 Dx ( x a)( b x ).

Значения параметров m[m(1 m) D ] (1 m)[m(1 m) D ] = ;

= ;

D D x a Dx.

m= ;

D= ba (b a ) 1) При = = 1 бета-распределение является равномерным законом R ( a, b). Для этого закона x = a + (b a )r, (17) 2) При моделировании случайной величины с законом B(, ) сначала мо делируют нормированное на (0,1) значение, а затем преобразуют его на интервал (a,b) аналогично (17).

Для бета-распределения на интервале (0,1) мы рекомендуем алгоритм, ос нованный на взаимосвязи бета- и гамма-распределений C = G(,1) ;

D = G(,1) ;

E = C+ D, где G() – гамма-распределение, x = C / E, 0 x 1. (18) Далее значение (18) пересчитывают на интервал (a, b) аналогично (17).

LN (, ) – логарифмически нормальное распределение, Если случайная величина Y=lnХ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией 2, то случайная величина Х имеет LN (, ) – распределение:

F(х)= Ф[(lnt- )/], х0 (19) где Ф(.) – интеграл вероятности (28);

f (х)= [1 /( 2 х)]exp[- (lnх- )2/ 22], х0;

_ Dх= exp(2+2)[exp(2 ) – 1].

x = exp(+ /2);

(20) Отсюда _ _ = ln x - 2/2;

= ln(1 + D x / x ). (21) Алгоритм моделирования x = e y, y N(, ). (22) Распределение Бирнбаума-Саундерса BS(, ) x + ( x) ], x 0,, 0 ;

(23) f( x) = exp[ 2x 2 2x x = / + 1 /(2 2 );

D x = / 3 + 5 /(4 4 ) ;

(24) Значения параметров 1/ x + ( x 2 + 3D )1 / = ;

= x 0,5 /.

x (25) 2Dx Алгоритм моделирования 1 z z 1 z +, Z N(0,1).

x= + + (26) 2 При моделировании нормированного нормального распределения Z N(0,1) рекомендуется алгоритм (4) или (5).

UN(,)- усеченное нормальное распределение, х0, 0:

F(х)=k{Ф[(х-)/]- Ф[-/]}, х0, (27) где коэффициент нормировки k=[1- Ф(-/)]-1;

интеграл вероятности (функция Лапласа) x Ф(x) = (1/ 2 ) exp(t 2 / 2)dt ;

(28), – математическое ожидание и дисперсия нормального закона;

f (х)=k/ 2 exp[-(х-)2/22], х0;

_ x = + k / 2 exp( 2 / 2 2 );

. (29) D x = 2 k / 2 [ + k / 2 exp( 2 / 2 2 )] exp( 2 / 2 2 ) Алгоритм моделирования 1. Моделируется значение случайной величины, имеющей нормаль ный закон.

2. Если это значение положительное, то оно попадает в выборку, ина че оно теряется и мы переходим к п.1.

Замечание: При моделировании нормированного нормального рас пределения Z N(0,1) рекомендуется алгоритм (4) или (5).

Литература 1. Картышов С.В. Marketing Expert – система поддержки принятия решений на всех этапах разработки стратегического и тактического планов маркетинга и кон троля за их реализацией // Маркетинг и маркетинговые исследования в России, №4 (10), 1997. с. 24-39.

2. Шим К., Сигел Г. Методы управления стоимостью и анализа затрат. М.: Фи нансы и статистика, 1996. 342 с.

3. Щербинин В.П. Модели безубыточности производства // Аудит и финансовый анализ. М.: ООО «ДСМ Пресс», 2007. №5. с. 229-235.

4. Краковский Ю.М., Карнаухова В.К. Прогнозирование численности студентов с использованием экспертной информации. // Современные технологии. Систем ный анализ. Моделирование. Иркутск: ИрГУПС, 2004. №2. с. 136-141.

УДК 510.22:624. Н.А. Кузнецов ОЦЕНКА ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЕСТВ В статье говорится о необходимости создания математической модели и программно-алгоритмического обеспечения, позволяющих сделать пред варительную оценку технического состояния железобетонной строитель ной конструкции, с использованием аппарата теории нечетких множеств.

Показана целесообразность использования данной теории, которая может найти применение в соответствующих системах поддержки принятия ре шений для специалистов в области строительства и пожарной безопасно сти.

В настоящее время железобетонные конструкции являются наиболее широко используемыми в практике современного строительства. Они вы полняют роль несущих и ограждающих элементов в зданиях различного назначения в виде колонн, ригелей, плит покрытий и перекрытий и т.д. Это связано, прежде всего, с прочностными характеристиками железобетона, его высокой огнестойкостью, долговечностью, стойкостью против атмо сферных воздействий, высокой сопротивляемостью к динамическим на грузкам и т.д.

Однако, строительные конструкции, в частности и железобетонные, на всем протяжении своего существования должны иметь несущую способ ность и огнестойкость, соответствующие требованиям строительных норм.

В процессе изготовления, возведения, эксплуатации конструкций в них формируются разного рода повреждения и дефекты, приводящие к откло нениям от исходного (проектного) состояния. Как показывают практика, повреждения железобетонных конструкций зависит от большого числа факторов: окружающей среды (влажности, температуры, агрессивных га зов, жидких агрессивных сред), свойств бетона и арматуры, конструктив ных решений (вида, количества, расположения арматуры, вида и уровня напряженного состояния в бетоне и арматуре). Из-за перечисленных фак торов, во время эксплуатации здания происходит постепенная утрата кон струкциями своих эксплуатационных качеств, т.е. снижается несущая спо собность конструкций, в том числе определенная доля их огнестойкости.

Особенно это характерно для зданий производственного назначения. Из вышесказанного, очевидно, что огнестойкость конструкций зависит от их технического состояния в процессе эксплуатации. Оценка технического состояния эксплуатируемых конструкций проводится на основе результа тов их обследования [1].

В работе предлагается рассматривать данную предметную область на основе теории нечетких множеств. Целесообразность использования именно теории нечетких множеств обусловлена тем, что эксперты при оценивании часто используют такие термины, как «незначительные по вреждения», «низкая прочность», «отсутствует коррозия арматуры» и т.п., что хорошо формализуется в этой теории [2].

Согласно [1], оценку технического состояния конструкций будем осуществлять по внешним признакам, учитывая следующие факторы:

повреждения бетона (наличие трещин, сколов, разрушений и т.д.);

остаточная прочность бетона;

коррозия арматуры.

Для описания модели, оценивающей техническое состояние железобе тонных конструкций и основанной на их визуальном обследовании, опери руем следующими лингвистическими переменными: «повреждения бето на», «прочность бетона», «коррозия арматуры», «техническое состояние конструкции».

Опишем входные и выходные лингвистические переменные, их зна чения и функции принадлежности для оценки технического состояния же лезобетонных конструкций. Форму кривых для задания функций принад лежности выберем из класса треугольной и трапецеидальной функций.

Входные лингвистические переменные:

ПБ – повреждения бетона, R – прочность бетона, КА – коррозия ар матуры.

Выходная лингвистическая переменная:

ТСК – техническое состояние конструкции.

Переменная «ПБ» может принимать значения «отсутствуют», «не значительные», «сильные», «аварийные», в зависимости от степени повре ждений, %.

Функция принадлежности для данной переменной представлена на рис.1.

1 отсутствуют незначительные 0, сильные аварийные 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Степень повреж дения,% Рис.1. Функция принадлежности повреждения бетона Для лингвистической переменной «R» определим следующие термы (значения):

высокая (без потери прочности, потеря составляет не более 5%) средняя (потеря прочности не более 10%) низкая (потеря прочности не более 30%) очень низкая (потеря прочности более 30%) Построим функцию принадлежности (рис.2) в зависимости от потери прочности, %:

высокая средняя 0, низкая очень низкая 0 3 5 7 8 10 12 25 30 35 40 Потеря прочности бетона, % Рис. 2. – Функция принадлежности прочности бетона Ориентировочную оценку прочности бетона можно произвести по из вестным методикам [1, 3].

Состояние арматуры опишем через лингвистическую переменную «КА», основываясь на потере (уменьшении) площади сечения в результате коррозии, и принимающей следующие значения:

отсутствует (нет потери сечения);

слабая (потеря сечения не более 5%);

средняя (потеря сечения от 5% до 15%);

сильная (потеря сечения более 15%).

Построим функцию принадлежности (рис. 3), в зависимости от потери сечения арматуры в результате коррозии, %:

отсутствует слабая 0, средняя сильная 0 1 3 5 7 13 15 17 Потеря сечения арматуры, % Рис. 3. Функция принадлежности коррозии арматуры Выходная переменная «ТСК» будет принимать значения «нормаль ное», «удовлетворительное», «неудовлетворительное», «аварийное».

Функция принадлежности для переменной «ТСК» показана на рис. 4.

Шкалу значений представим в виде степени повреждения (изношенности) железобетонной конструкции.

аварийное неудовлетворительное 1 удовлетворительное нормальное 0, 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Степень повреждения контрукции, % Рис. 4. – Функция принадлежности состояния конструкции Для описания математической модели были сформулированы прави ла, использующие упомянутые лингвистические переменные. Эти правила формируют выходное значение исходя из величин входных параметров.

Управляющие правила, связывающие лингвистические значения входных и выходных переменных, имеют вид: «Если повреждения бетона = Аi и, если прочность бетона = Вi и, если коррозия арматуры = Ci, то тех ническое состояние конструкции равно Di, где Аi, Вi, Сi, Di – перечислен ные выше лингвистические значения.

Созданная математическая модель дает возможность дать оценку тех нического состояния железобетонной конструкции с учетом срока экс плуатации. На базе построенной модели была написана программа, позво ляющая произвести необходимые вычисления. Так в 2008 году была про ведена апробация разработанного программного обеспечения на конструк циях одного из производственного корпуса ОАО «Саянскхимпласт». По результатам обследования железобетонных конструкций, с учетом разра ботанной математической модели по оценке технического состояния, был сделан вывод, что у несущих железобетонных конструкций повреждения бетона были сильные, прочность бетона низкая, коррозия арматуры сред няя, т.е. их состояние неудовлетворительное, что в дальнейшем было под тверждено экспертизой, проведенной сторонней организацией. По резуль татам вычислений степень повреждения конструкций составила 27,7% Литература 1. Пособие по обследованию строительных конструкций зданий/ АО «ЦНИИ ПРОМЗДАНИЙ». – М.: Стройиздат, 1997 г.

2. Приложения теории нечетких множеств/ И.Г. Перфильева/ВИНИТИ., 1990. – 151 с.

3. Реконструкция зданий и сооружений/ А.Л. Шагин, Ю.В. Бондаренко, Д.Ф.

Гончаренко, В.Б. Гончаров;

Под. Ред. А.Л. Шагина: Учебное пособие для строит. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1991. – 352 с. с ил.

УДК Г.Е. Лустенберг АНАЛИЗ АКТИВНЫХ ФИЛЬТРОВ МЕТОДАМИ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ Активные фильтры являются одними из самых распространенных устройств аналоговой информационной электроники. Они применяются для формирования частотных характеристик усилителей, измерительных трактов, каналов связи и других схем формирования сигналов. Современ ные активные фильтры состоят из резисторов, конденсаторов и операци онных усилителей в интегральном исполнении.

Теория синтеза и анализа активных фильтров хорошо разработана [1,2]. В настоящее время программные средства синтеза существуют, как в виде автономных продуктов, так и в качестве подсистем программ схемо технического моделирования. Заключительным этапом разработки фильт ра является его анализ с целью проверки соответствия результатов синтеза техническому заданию. Здесь часто возникают следующие затруднения:

1) автономные программные средства синтеза, как правило, вообще не предусматривают какой-либо верификации результата. В лучшем случае генерируется код на языке SPICE, который предлагается загрузить в сис тему схемотехнического моделирования (PSpice, Micro-Cap, Multisim );

2) подсистемы синтеза активных фильтров современных программ схемотехнического моделирования генерируют схему непосредственно на рабочем поле. Численное моделирование позволяет убедиться в степени адекватности синтезированного фильтра. Но численные методы дают ре шение только для конкретных значений параметров и затрудняют анализ и обобщение результатов при их изменении. Численным методам свойствен ны специфические погрешности, что также может поставить под сомнение весь процесс верификации. Например, при анализе узкополосных фильт ров с помощью любого SPICE-симулятора для его корректной работы тре буется предварительная настройка вычислительного ядра [3, с. 164].

Из вышеизложенного следует, что для анализа активных фильтров желательно использование программных средств, работающих непосред ственно с формулами. Такие математические пакеты получили название систем символьной математики или компьютерной алгебры. Их преиму щество состоит не только в получении решений в аналитической форме, но и в отсутствии вычислительной погрешности. Лидирующую позицию в данной области занимает система Maple [4].

Применение Maple позволяет осуществить полный цикл анализа ха рактеристик активного фильтра:

• формирование операторных уравнений;

• определение передаточных функций;

• вычисление частотных, импульсных и переходных характеристик и представление результатов в графической форме;

• получение функций чувствительности характеристик фильтра к из менению параметров электронных компонентов;

• определение динамической реакции фильтра на сложное входное воздействие.

Рассмотрим применение системы Maple на примере анализа полосно задерживающего высокодобротного фильтра (рис. 1) [2, с. 73]. Приведен ные числовые значения параметров соответствуют частоте режекции 2400 Гц.

DA DA1 C R1 6 R2 R4 4 R uвых C7 R7 R 1 uвх Рис. 1. Схема полосно-задерживающего высокодобротного фильтра:

R1= R2= 1600 Ом, R4= 212077 Ом, R5= 1600 Ом, R7= R8=1178930 Ом, С3= С7= 3,6 нФ, DA1, DA2 – идеальные операционные усилители Операторные уравнения схемы по Лапласу могут быть сформированы с помощью Maple в результате процедур, описанных в [5]. Применение ба зиса узловых потенциалов приводит к следующему уравнению в матрич ной форме:

YV = Iу, (1) где Y – квадратная матрица узловых проводимостей;

V – вектор-столбец неизвестных узловых потенциалов;

Iу – вектор-столбец узловых токов.

Для рассматриваемой схемы данное уравнение принимает вид:

Y2 + Y5 Y2 V2 ( s ) 0 Y5 U вх ( s ) s C3 Y1 V5 ( s ) =, (2) Y1 + s C3 s C7 + Y4 + Y7 + Y8 Y4 0 V6 ( s ) ( s C7 + Y7 ) U вх ( s ) где Yi = ( Ri ) 1 – проводимость i-го резистора;

s – оператор Лапласа;

V2 ( s),V5 ( s),V6 ( s) – операторные изображения неизвестных узловых потен циалов узлов 2, 5 и 6;

U вх (s ) – операторное изображение входного сигнала.

В результате решения системы уравнений (2) следует найти переда точную функцию по напряжению между выходом и входом V ( s ) U вых ( s ) K ( s) = 6 =. (3) U вх ( s ) U вх ( s ) Для установившегося гармонического режима с круговой частотой подстановка s = j приводит к выражению комплексного коэффициента передачи K ( j ) = K ( ) e j ( ) = A( ) + j B( ), (4) где K ( ) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.