авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

Ю. Г. Смирнов

Математические методы

исследования задач электродинамики

Монография

Пенза 2009

УДК 517.6 + 621.371

С50

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор,

заведующий лабораторией вычислительной электродинамики

Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

А. С. Ильинский;

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (технического университета) А. Б. Самохин Смирнов, Ю. Г.

С50 Математические методы исследования задач электродинамики : монография / Ю. Г. Смирнов. – Пенза :

Информационно-издательский центр ПензГУ, 2009. – 268 с.

ISBN 978-5-94170-267- Представлены аналитические и численные методы исследования трех мерных векторных задач электродинамики. Рассматриваются как задачи ди фракции электромагнитных волн на экранах и телах (задачи с правой частью), так и задачи распространения электромагнитных волн в волноведущих струк турах (задачи на собственные значения). Изучаются методы псевдодиффе ренциальных уравнений и объемных сингулярных интегральных уравнений, гибридный метод, метод операторных пучков, метод интегральных оператор функций.

Для научных работников в области дифференциальных уравнений, ма тематической физики и теории дифракции.

УДК 517.6 + 621. ISBN 978-5-94170-267-1 © ГОУ ВПО «Пензенский государственный университет», Моим родителям: Валентине Ивановне и Геннадию Сергеевичу Смирновым СОДЕРЖАНИЕ Предисловие......................................................................................... Часть 1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ.............................. Глава 1. Метод псевдодифференциальных уравнений.......... Раздел 1. Метод псевдодифференциальных уравнений в задачах дифракции электромагнитных волн на тонких ограниченных экранах.......................................... §1 Постановка задачи дифракции.

Теорема единственности.................................................................... §2 Пространства W и W сечений векторных расслоений над............................................................ §3 Представление решений и система интегродифференциальных уравнений на экранах.......................... §4 Сведение задачи к векторному псевдодифференциальному уравнению на.................................. §5 Теоремы o фредгольмовости и разрешимости векторного псевдодифференциального уравнения.......................... §6 Гладкость обобщенных решений. Порядок сингулярности решений в окрестности угловых точек................... §7 Принцип предельного поглощения................................... Раздел 2. Сходимость методов Галеркина для уравнений с операторами, эллиптическими на подпространствах, и решение уравнения электрического поля......................... §1 Теоремы о сходимости методов Галеркина...................... §2 Сходимость метода Галеркина для уравнений с операторами, эллиптическими на подпространствах.................... §3 Метод Галеркина для уравнения электрического поля........................................................................... §4 Свойство аппроксимации подпространств базисных функций Рао-Уилтона-Глиссона....................................... §5 Метод Галеркина с безроторными и бездивергентными базисными функциями.................................... Глава 2. Метод объемных сингулярных интегральных уравнений............................................................. Раздел 1. Исследование электромагнитной задачи дифракции на диэлектрическом теле в резонаторе............ §1 Краевая задача для системы уравнений Максвелла......... §2 Тензоpная функция Грина прямоугольного резонатора... §3 Объемное сингулярное интегральное уравнение............. §4 Метод Галеркина................................................................. Раздел 2. Исследование электромагнитной задачи дифракции на диэлектрическом теле в слое........................ §1 Краевая задача дифракции................................................. §2 Тензорная функция Грина слоя......................................... §3 Объемное сингулярное интегральное уравнение............. §4 Метод Галеркина................................................................. Раздел 3. Исследование электромагнитной задачи дифракции на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе.................................................... §1 Краевая задача дифракции для системы уравнений Максвелла......................................................................... §2 Тензоpная функция Грина прямоугольного волновода... §3 Объемное сингулярное интегральное уравнение............. §4 Метод Галеркина................................................................. Глава 3. Гибридный метод........................................................... §1. Гибридный метод для электромагнитной задачи дифракции для системы уравнений Максвелла............................... §2 Гибридный метод и эллиптичность задачи дифракции для векторного уравнения Гельмгольца............................................ Часть 2. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ............. Глава 1. Метод операторных пучков....................................... Раздел 1. Задача о распространении нормальных волн в волноведущих структурах.................................................. §1 Задача о нормальных волнах волноведущей структуры........................................................................................... §2 Задача о спектре операторного пучка четвертогого порядка........................................................................ §3 Свойства спектра пучка L.......................................... §4 Теоремы о полноте системы собственных и присоединенных векторов пучка L........................................ Раздел 2. Свойства системы собственных и присоединенных волн волноведущей структуры.......... §1 Собственные и присоединенные волны.......................... §2 Полнота системы поперечных компонент собственных и присоединенных волн............................................. §3 Свойства ортогональности для собственных и присоединенных волн.................................................................... §4 О базисности системы собственных и присоединенных волн.................................................................... Глава 2. Метод оператор-функций........................................... Раздел 1. Интегральные оператор-функции, отвечающие задаче о нормальных волнах волноведущей структуры....................................................... §1 Интегральная оператор-функция, отвечающая краевой задаче на собственные значения. Теорема эквивалентности........ §2 Некоторые свойства функций Грина и интегралов типа потенциалов....................................................... §3 Эквивалентность краевой задачи и системы интегральных уравнений................................................ Раздел 2. Метод вычисления характеристических чисел и собственных векторов L-оператор-функций................... §1 Классы p. Логарифмические интегральные операторы в классах p................................................................... §2 Компактные операторы в пространствах p................. §3 Метод вычисления характеристических чисел и собственных векторов L -оператор-функций. Теорема сходимости......................................................................................... §4 Системы L -оператор-функций........................................ §5 Метод вычисления характеристических чисел и собственных векторов в задаче о нормальных волнах волноведущей структуры................................................................. Раздел 3. Свойства спектра волноведущей структуры – щелевой линии передачи........................................................ §1 Интегральные оператор-функции для щелевой линии передачи. Четные и нечетные волны................................... §2 Свойства спектра щелевой линии передачи................... Глава 3. Методы решения нелинейных краевых задач на собственные значения........................................................... Раздел 1. Задача о распространении электромагнитных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой................... §1 Постановка задачи............................................................ §2 Нелинейное интегральное уравнение............................. §3 Итерационный метод........................................................ §4 Существование решений дисперсионного уравнения... §5 Численный метод.............................................................. Раздел 2. Задача о распространении электромагнитных волн в диэлектрическом слое, заполненном нелинейной средой.......................................... §1 Постановка задачи............................................................ §2 Решение системы дифференциальных уравнений......... §3 Граничные условия и дисперсионное уравнение........... §4 Краевая задача и теоремы существования...................... §5 Предельный переход к случаю линейной среды в слое.................................................................................................. §6 Первое приближение для собственных значений задачи................................................................................ Список литературы........................................................................ Предисловие В монографии излагаются современные методы исследования трехмерных векторных задач дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих экранах и магнитодиэлектрических телах и задач о распространении электромагнитных волн в сложных вол новедущих структурах с неоднородным заполнением в линейных и нелинейных средах, которые разрабатывались автором на протя жении последних лет.

Рассматриваются следующие математические методы иссле дования задач электродинамики:

1) метод псевдодифференциальных уравнений;

2) метод объемных сингулярных интегральных уравнений;

3) гибридный метод для решения краевых задач дифракции на экранах и телах;

4) метод операторных пучков;

5) метод интегральных оператор-функций для решения нели нейных задач на собственные значения о распространении элек тромагнитных волн в сложных волноведущих структурах с неод нородным заполнением;

6) метод интегральных дисперсионных соотношений для ис следования нелинейных задач на собственные значения о распро странении электромагнитных волн в нелинейных средах.

Несмотря на то, что перечисленные методы разрабатываются для решения задач электродинамики сравнительно давно и опубли ковано большое число статей в научных журналах, они не получи ли до сих пор широкого распространения и их использование оста ется уделом узких специалистов. Одна из причин этого обстоятель ства, возможно, заключается в том, что изложение методов «раз бросано» по многим работам в различных журналах и нет книги, в которой эти методы были бы сведены воедино. Устранение этого пробела и является целью данной монографии.

Автор не ставил своей целью описать наиболее известные ме тоды решения задач электродинамики (а также выполнить сравне ние различных методов). Например, такие широко распространен ные численные методы, как конечно-разностный и метод конечных элементов, не рассматриваются в данной книге. Описанию и при менению этих методов посвящено много монографий.

Общим для всех рассматриваемых в монографии методов яв ляется сведение исходной задачи к интегральному (или интегро дифференциальному) уравнению, или интегральному соотноше нию. В этом смысле можно говорить, что все эти методы относятся к классу методов интегральных уравнений.

Существенной особенностью монографии является рассмотре ние задач в строгой математической постановке как краевых задач для системы уравнений Максвелла. Все методы демонстрируются на исследовании конкретных сложных задач электродинамики. Методы применяются для получения как аналитических, так и численных ре зультатов. Во всех задачах указанными методами получены основ ные результаты о фредгольмовости и разрешимости краевых задач, о существовании и локализации собственных значений для задач о распространении волн, о сходимости численных методов.

Монография состоит из двух частей, посвященных исследова нию краевых задач дифракции (задачи с правой частью) и (нели нейных) задач на собственные значения. Каждая часть содержит по три главы, а каждая глава – несколько разделов (разделенных на параграфы). Структура монографии фактически позволяет читать каждый раздел независимо от других разделов. В каждом разделе принята сквозная нумерация формул. Если ссылка дается на фор мулу из другого раздела этой главы, то перед номером формулы добавляется номер соответствующего раздела, а если формула со держится в другой главе, то дополнительно указывается и номер соответствующей главы. Аналогично нумеруются определения, теоремы, леммы и т.д.

Монография рассчитана на научных работников, аспирантов, студентов, специализирующихся в области исследования задач электродинамики, а также математического моделирования про цессов дифракции и распространения электромагнитных волн.

Автор надеется, что изучение методов, представленных в дан ной монографии, расширит математический кругозор исследовате лей в области электродинамики, и, возможно, позволит решить но вые сложные задачи.

Ю. Смирнов Часть КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ Глава 1. Метод псевдодифференциальных уравнений Настоящая глава посвящена применению метода псевдодиффе ренциальных уравнений для аналитического и численного исследо вания векторных задач дифракции стороннего электромагнитного поля на идеально проводящих тонких экранах. Эти задачи являются, по существу, классическими в электродинамике. Традиционная (фи зическая) теория дифракции создавалась на протяжении нескольких столетий Х. Гюйгенсом (1690), О. Френелем (1818), Г. Гельм гольцем (1859), Г. Р. Кирхгофом (1882), Д. Лармором (1903) и дру гими авторами. Однако благодаря работам А. Пуанкаре (1892) и А. Зоммерфельда (1896) стало ясно, что в задачах дифракции элек тромагнитных волн речь идет о некоторой краевой задаче матема тической физики. В общей постановке задача состоит в нахождении решений уравнений Максвелла, удовлетворяющих определенным краевым условиям. К этому надо добавить «условия излучения»

(Зоммерфельд, 1912), состоящие в том, что вся энергия, излучаемая источником, должна уходить в бесконечность. Кроме того, следует учитывать особое поведение полей в окрестности края поверхности тонкого экрана. Первое аналитическое решение задачи дифракции на идеально проводящей полуплоскости было дано Зоммерфельдом [48]. Уже это решение позволило сделать ряд важных выводов о по ведении электромагнитного поля в ближней и дальней зоне, об осо бенности полей в окрестности края тонкого экрана, о поведении по лей на бесконечности и т.д.

Наиболее естественный подход к решению задачи дифракции электромагнитного поля на идеально проводящем тонком ограни ченном экране – сведение ее к векторному интегродифференциаль ному уравнению на экране [191]. Такой подход часто называют методом поверхностных токов. Идея метода поверхностных токов принадлежит А. Пуанкаре (в акустических (скалярных) задачах этот метод разрабатывался Релеем (1897)). Впервые векторное интег родифференциальное уравнение на экране было получено А. Мауэ в 1949 г. [19]. В наших обозначениях это уравнение имеет вид Lu : grad A div u k 2 Au f, x, (1) где div – операция «поверхностной» дивергенции;

А – интеграль ный оператор, ik x y e u y ds;

Au (2) x y u – касательное к поверхности экрана векторное поле (плотность поверхностного тока). Индекс показывает взятие касательных компонент к соответствующего поля.

Центральной проблемой при исследовании разрешимости урав нения (1) является выбор пространств для решений и для правых частей таким образом, чтобы обеспечить фредгольмовость (и, если удастся, однозначную разрешимость) этого уравнения в выбранных пространствах. Кроме того, пространство решений должно быть достаточно широким и содержать все физически допустимые поля.

Изучение уравнения (1) было начато уже в работе А. Мауэ [19]. Позднее в фундаментальной монографии [191] была доказана теорема единственности для решений уравнения (1) (и краевой за дачи дифракции), исследовано поведение дифракционных полей на бесконечности и в окрестности гладкого края экрана, получены аналитические решения задач дифракции на тонком диске и на сфере. Интересно отметить, что в случае плоского экрана авторы записали уравнение (1), используя преобразование Фурье в виде уравнения, которое теперь называют псевдодифференциальным (сами авторы назвали его псевдоинтегральным).

Начиная с конца 1940-х гг., Я. Н. Фельдом была опубликова на серия работ [188, 189], посвященных задаче дифракции на тонком экране. В этих работах предпринята попытка построения теории разрешимости краевой задачи дифракции в пространстве L1 u L1. Выбрать в качестве пространства решений уравнения (1) «традиционное» пространство L2 нельзя, по скольку оно является слишком узким и не содержит решений с требуемой особенностью в окрестности края экрана (особенность известна, например, из аналитического решения задачи дифракции на полуплоскости). В работах Я. Н. Фельда выбор пространств со гласован с поведением полей в окрестности ребра, однако нет эф фективного описания пространства образов оператора, определяе мого левой частью уравнения (1).

Особый класс составляют задачи дифракции на поверхностях вращения. При осесимметричном возбуждении стороннего электро магнитного поля они приводят к одномерным уравнениям. При не симметричном возбуждении осевая симметрия учитывается посред ством разложения в ряд Фурье по азимутной переменной решения и правой части уравнения (1). В результате подобной процедуры при ходят к необходимости решения последовательности одномерных уравнений по образующей поверхности вращения. Аналитические исследования содержатся в работах [32, 69, 86, 88]. Однако анализ задач дифракции на поверхностях вращения в конце отличается от общего случая (дифракции на экране произвольной формы), по скольку изучаются, по существу, одномерные уравнения.

Г. А. Гринбергом [79, 80] для случая плоского экрана была предложена процедура перехода от векторного интегродифферен циального уравнения (1) к векторному интегральному уравнению на экране. Метод включает в себя решение еще двух дополнитель ных краевых задач для уравнения Гельмгольца, причем одну из них – в общем виде [88]. С нашей точки зрения, такой прием не упрощает задачи. Отметим, что каких-либо выводов о разрешимости задачи дифракции на плоском экране не было сделано.

Существует два класса задач, наиболее близких к задачам ди фракции электромагнитных волн на тонких экранах. Это (вектор ные) задачи дифракции электромагнитных волн на замкнутых иде ально проводящих поверхностях и (скалярные) задачи дифракции акустических волн на незамкнутых поверхностях.

Первый класс задач отличается от рассматриваемых в настоя щей работе задач тем, что изучается дифракция на замкнутых по верхностях. Векторный характер задач сохраняется, исследуются краевые задачи для системы уравнений Максвелла. Общая теория разрешимости электромагнитных задач дифракции на замкнутых поверхностях была построена уже к концу 1960-х гг. К. Мюллер [24] смог довести до определенной завершенности эту теорию, доказав теоремы существования и единственности. Благодаря этому теория дифракции электромагнитных волн на замкнутых поверхностях по своей внутренней замкнутости стала сравнимой с теорией потен циала. Современное изложение теории разрешимости для этого класса задач имеется в монографии Д. Колтона и Р. Кресса [110].

Доказательство разрешимости краевой задачи основано на сведении ее к интегральному уравнению Фредгольма второго рода по поверх ности и опирается на теорему о «скачке» соответствующего вектор ного потенциала [110]. Уравнение рассматривается в классах Гель дера. К сожалению, эта техника не применима при исследовании задач дифракции на незамкнутых поверхностях, поскольку по тео реме о «скачке» векторный потенциал будет принимать различные значения с разных сторон, что противоречит непрерывности поля.

Поэтому для незамкнутых поверхностей можно получить только уравнение первого рода (по традиционной терминологии). Уравне ния первого рода на замкнутых поверхностях кратко рассматрива лись в [110], однако их разрешимость устанавливалась сведением к уже изученному уравнению Фредгольма второго рода.

Второй класс составляют задачи дифракции акустических волн на незамкнутых поверхностях. Несмотря на то, что эти задачи ска лярные, в них проявляется специфика задач на многообразиях с краем. Теория разрешимости для этого круга задач была построена в работах [26, 27, 50, 51] (аналогичная теория для акустических за дач дифракции на замкнутых поверхностях известна давно [117, 118];

ее современное изложение имеется в работах [6, 28, 157]).

Основным инструментом, позволяющим добиться прогресса в изу чении задач дифракции акустических волн на незамкнутых по верхностях, стала техника исследования псевдодифференциальных операторов (ПДО), действующих в пространствах Соболева.

К настоящему времени общая теория псевдодифференциаль ных операторов разработана достаточно полно и изложена в рабо тах Ю. В. Егорова и М. А. Шубина [85, 195], М. Тейлора [184], С. Ремпеля и Б. Шульце [149] и других авторов. Первое системати ческое использование этой теории в задачах дифракции, по видимому, начали Э. Стефан и В. Вендланд [50]. Ими были рас смотрены двумерные скалярные задачи дифракции на тонких экра нах и развита соответствующая теория разрешимости этих задач.

Позднее Э. Стефан [51] обобщил результаты на случай ограничен ных экранов в R3 с гладким краем. Отметим, что в рамках теории ПДО для скалярных задач этот переход осуществляется сравни тельно легко. Далее в работе [27] были рассмотрены экраны с угло выми точками и получены (численным методом) порядки сингу лярности решений в окрестности этих точек, а также введены и описаны весовые классы Соболева для самих решений.

При решении задач дифракции на незамкнутых поверхностях мы будем использовать технику исследования ПДО на многообра зиях с краем, действующих в сечениях векторных расслоений над. При этом будут специально выбраны векторные пространства Соболева, отвечающие «физическим» требованиям задачи дифрак ции. Такой подход будем называть методом псевдодифференци альных уравнений.

Имеется еще ряд задач, которые также могут быть рассмотре ны описываемым методом псевдодифференциальных уравнений.

В частности, задача дифракции электромагнитного поля на отвер стии в плоском, идеально проводящем экране. Эта задача является двойственной к тому же векторному интегродифференциальному уравнению (1). Задача дифракции на частично экранированном маг нитодиэлектрическом слое отличается от предыдущей наличием магнитодиэлектрического заполнения и дополнительной экрани рующей идеально проводящей плоскости в одном из полупро странств. Задача обычно решается с помощью введения функций Грина слоя для уравнения Гельмгольца. Основной трудностью здесь является постановка условий на бесконечности. Эти условия были сформулированы А. Г. Свешниковым [158] и П. Вернером [23] и носят название парциальных условий излучения Свешникова Вернера. Задача дифракции на частично экранированном слое так же сводится к решению уравнения на отверстии. Еще одна задача дифракции – о связи через отверстие полупространства с прямо угольным полубесконечным волноводом. В этой задаче уже не достаточно использования одной скалярной функции Грина для представления решения в цилиндрической области. Используется представление решения с помощью двух функций Грина со сме шанными граничными условиями. На бесконечности применяются условия излучения Свешникова.

Последние три задачи принадлежат классу задач о связи объе мов через отверстие. Все они приводят к одному типу интегродиф ференциальных уравнений на отверстии. Теория разрешимости для этого круга задач также была построена методом псевдодифферен циальных уравнений [12, 95].

Раздел 1. Метод псевдодифференциальных уравнений в задачах дифракции электромагнитных волн на тонких ограниченных экранах В данном разделе исследуется векторная задача дифракции стороннего электромагнитного поля на системе ограниченных иде ально проводящих экранов произвольной формы. Основная идея изучения задачи заключается в переходе к анализу некоторого псевдодифференциального оператора на. Поверхность естест венным образом рассматривается как подмногообразие с краем не которого объемлющего многообразия М с римановой метрикой.

Используется техника исследования псевдодифференциальных операторов на многообразиях в пространствах Соболева сечений векторных расслоений, т.к. приходится иметь дело с пространства ми касательных векторов, определенных в каждой точке поверхно сти, т.е. с касательным расслоением. Пространства решений и об разов (W и W) состоят из сечений векторных расслоений над.

Для анализа дифференциальных и псевдодифференциальных опе раторов на используется исчисление символов ПДО, действую щих в сечениях векторных расслоений [140, 149].

В §1 рассматривается квазиклассическая постановка задачи дифракции. Она отличается от общепринятой тем, что в ней не кон кретизируется поведение решений в окрестности ребер и угловых точек экрана, а ставится общее условие принадлежности рассеян ного поля пространству L loc R 3 – условие конечности энергии в любом ограниченном объеме. Такой подход объясняется тем, что в дальнейшем будут изучаться обобщенные решения интегродиффе ренциального уравнения на экране, и постановка дополнительных условий на «ребре» будет излишне сужать пространство решений.

В то же время нет необходимости рассматривать обобщенные ре шения во всем пространстве R 3, т.к. без труда доказывается, что рассеянное поле будет гладким всюду вне экрана и непрерывным вплоть до поверхности экрана с каждой стороны, исключая точки его границы. Такая постановка позволяет избежать ненужных ус ложнений, связанных с обобщенными решениями, при построении и анализе векторных потенциалов. Приводится теорема единствен ности для задачи дифракции.

В §2 вводятся векторные пространства распределений W и W, в которых будет изучаться интегродифференциальное уравнение на экране. Доказываются предложения, описывающие основные свой ства этих пространств, наиболее важное из которых – разложение W в прямую сумму ортогональных подпространств W1 и W2 (для W – W1 и W2), позволяющее в дальнейшем получить диагональное рас щепление главной части ПДО и исследовать его свойства.

В §3 исследуется представление полей в виде векторного по тенциала и выводится основное интегродифференциальное уравне ние на экране. Решение задачи дифракции с помощью введения векторных потенциалов не только естественно и удобно с теорети ческой точки зрения, но и наиболее важно для приложений, по скольку именно этот путь чаще всего используется для получения практических численных результатов.

В §4 интегродифференциальное уравнение рассматривается как псевдодифференциальное (ПД). Особенностью этого уравнения является то, что главный (формально) матричный символ оказыва ется вырожденным, и поэтому изучение уравнения на декартовом произведении двух экземпляров некоторого пространства крайне неудобно. Обойти эту трудность удается, рассматривая уравнение на «несимметричном» пространстве W, согласованном с квадра тичной формой псевдодифференциального оператора. Определяет ся обобщенное решение u W ПД-уравнения.

Центральным является §5. Здесь производится диагональное расщепление главной части ПДО на подпространствах W1 и W2.

Этот момент является ключевым при анализе свойств оператора.

При рассмотрении сужения ПДО на W1 и W2 выясняется структура полного символа оператора и доказывается фредгольмовость опе ратора с нулевым индексом в пространствах W W. Значение этих результатов выходит далеко за рамки доказываемых ниже тео рем о разрешимости уравнения. Знание структуры ПДО является очень важным при выборе численного метода решения ПД уравнения, базисных и пробных функций в методе Галеркина, при анализе сходимости численного алгоритма и т.д.

Одним из приложений полученных результатов является вы яснение вопроса о гладкости обобщенных решений при гладких правых частях в ПД-уравнении, который рассматривается в §6. Наи более интересен для практических приложений вопрос о порядке сингулярности решения ПД-уравнения в окрестности границы и ее угловых точек. Основываясь на сведении общего векторного ПД-уравнения к двум уравнениям вида 1 u f и используя 1/ результаты относительно решении таких уравнений в весовых клас сах Соболева [27], можно установить величину порядка сингулярно сти решения в окрестности точек границы в векторной задаче.

В §7 изучается зависимость решений ПД уравнения и исход ной задачи дифракции от параметра k. Доказывается справедли вость принципа предельного поглощения.

Результаты раздела опубликованы в работах [12, 40, 43, 44, 95, 96, 150, 151, 162, 164, 166–168, 171, 172, 175].

§1 Постановка задачи дифракции. Теорема единственности Пусть М – замкнутая связная ориентированная поверхность в R класса C. Пусть M,, i j (i j) – i объединение конечного числа связных ориентированных незамк нутых и непересекающихся поверхностей класса C в 3. Край j j \ j поверхности j есть кусочно-гладкая кривая без то чек самопересечения, состоящая из конечного числа простых дуг класса C, сходящихся под углами, отличными от нулевого:

Г j.

j Задача дифракции стороннего монохроматического электро магнитного поля Е0, Н0 на бесконечно тонком идеально прово дящем экране, расположенном в свободном пространстве с волновым числом k, k 2 2 i1, Im k 0 k 0, состоит в определении рассеянного электромагнитного поля:

E, H C 2 R 3 \ C M \ Г C M \ Г, (3) 0 удовлетворяющего однородным уравнениям Максвелла:

rot H ikE, rot E ikH, x R 3 \ ;

(4) краевым условиям для касательных составляющих электрического поля на поверхности экрана:

E E ;

(5) условиям конечности энергии в любом ограниченном объеме про странства:

E, H L2 R 3 ;

(6) loc условиям на бесконечности:

E, H o r 1, r : x при Im k 0;

(7) H e r E o r 1, E e r H o r 1, E, H O r 1, r при Im k 0 (8) (условия Сильвера-Мюллера [110]). Здесь e r x x, означает векторное произведение;

Г : x : x y, y Г. Электромаг нитные поля гармонически зависят от времени (множитель exp it опущен);

0 – круговая частота;

0, 0 – диэлек трическая и магнитная проницаемости;

0 – проводимость сре ды;

M и M – соответственно, внешность и внутренность поверх ности M. Через будем обозначать единичный вектор внешней нормали к M. Для полного поля Eполн E0 E, H полн H 0 H.

Будем предполагать, что все источники падающего поля нахо дятся вне экрана так, что для некоторого E0 C, x : x y, y, (9) откуда следует, что E0 C. (10) Обычно падающее поле – это либо плоская волна, либо элек трический или магнитный диполь [63], расположенный вне.

В этих случаях условия (9), (10) выполнены. Поле E0, H 0 является решением системы уравнений Максвелла в свободном пространст ве без экрана.

Определение 1. Решение E, H задачи (4)–(8), удовлетворяю щее условию (3), будем называть квазиклассическим.

Такое название обусловлено тем, что, во-первых, как и в клас сической постановке, разыскивается гладкое, непрерывное вплоть до (с каждой стороны) решение, а во-вторых, в (3)–(8) не кон кретизируется поведение решения в окрестности Г, и ставится об щее условие (6) (решение задачи не будет непрерывным вплоть до ;

в окрестности Г функции E, H имеют особенность). Часто ус ловие (6) заменяют более жесткими условиями Мейкснера [136], указывая порядок особенности компонент поля в окрестности «ребра». Но в окрестности угловых точек границы Г такие условия неизвестны (они будут обсуждаться в §6).

Условия (8) на бесконечности эквивалентны условиям Зом мерфельда Im k 0, k 0 :

E E E ik o r 1, O r 1, r, (11) r H H H которые иногда легче проверить. Доказательство этого утвержде ния имеется в [110]. Условия (7), (8), (11) выполняются равномерно по всем направлениям e r.

Имеет место теорема единственности для задачи (3)–(8). Доказа тельство опирается на энергетическое тождество, получаемое с по мощью леммы Лоренца. Однако обычно эта лемма устанавливается для гладких E, H [92], в то время как в нашем случае поля E, H бу дут иметь особенности в окрестности Г. Обобщение результатов на этот случай не совсем элементарно и представлено в [12, 95].

Теорема 1. Задача (3)–(8) при Im k 0, k 0 имеет не более одного решения.

§2 Пространства W и W сечений векторных расслоений над Пусть M – замкнутая связная ориентированная поверхность в R класса C (замкнутая поверхность – это двумерное компактное многообразие без края). Пусть M – подмногообразие с краем многообразия M, не обязательно связное, с конечным числом ком понент связности, каждая из которых имеет размерность два.

Предполагаем, что край Г : – кусочно-гладкая кривая без то чек самопересечения класса C.

Обозначим через TM касательное расслоение над M со стан дартным скалярным произведением в слое Tx M (касательной плос кости). Фиксируем U {U } – конечное покрытие M координат ными окрестностями, : U V R 2 – локальные карты, – подчиненное покрытию U разбиение единицы. Для всякого глад кого сечения u C M расслоения TM введем функции [144] u u C0 V, u u1, u, отождествляя множество U с его образом в R 2. Для скалярной функции g C ( M ) полагаем g g. Определяем пространство Соболева H s M как пополнение C M по норме s для лю бого s R, где, g u s u g 2 2 2 u 1.

s s s s Скалярное произведение и норма в H s R 2 определяются обычным образом:

2s u v d, u s u, u s ;

: u, v s 2 2.

Через u обозначено преобразование Фурье распределения u.

Здесь и всюду ниже, где не указана область интегрирования, под разумевается интеграл по R 2. В дальнейшем нас будут интересо вать, главным образом, пространства вектор-функций, поэтому че рез u, v будем обозначать векторы u u1, u2, v v1, v2 и т.д.

T T При этом в записи u H s символ H s уже понимается как декарто во произведение двух экземпляров пространства H s со скалярным произведением и нормой:

2s u, v s u1, v1 s u2, v2 s u v d, 2s u 2 2 u s u1 s u2 d.

s Сохраним те же обозначения для пространств в векторном случае, т.к. во всех ситуациях из контекста ясно, о каком простран стве идет речь. Для другого покрытия, другого разбиения единицы и других карт получится эквивалентная норма. Таким образом, пространство H s M определено корректно.

Положим для любого s R [149] H s : u : u H s M ;

H s : u H s M : supp u.

Пространство H s может быть получено замыканием C0 по норме s. Отметим, что обозначения для H s в ска лярном и векторном случае совпадают. Однако из контекста всегда ясно, о каком пространстве идет речь.

Определим операции «поверхностной дивергенции и градиен та». Будем считать, что покрытие U и локальные карты выбраны так, что первая квадратичная форма поверхности U U в локальных ко dx dx2 ;

G G (этого все ординатах имеет вид dl 2 G x1, x2 2 гда можно добиться [143, с. 111]). Положим в каждой U U :

;

1 u1 G u2 G div u G x1 x 1 g g grad g e1 e2.

x1 x G Тогда для u C0, g C0 :

div u div u, grad g grad g, где u u, g g.

Далее определим гильбертово пространство W W как пополнение C0 по норме W 2 2 u div u u 1/ 2 1/ W со скалярным произведением u, v W u, v 1/2 div 1/2.

u, div v Wi 0 i 1, 2 :

Пусть Wi есть замыкание по норме W W1 W10, где W10 : u C0 : div u 0 ;

W2 W20, где W20 : u C0 : u grad h, h C0.

Следующие предложения описывают свойства пространства W [12, 95].

Предложение 1. Пространство W разлагается в прямую сум му замкнутых подпространств W1 и W2:

W W1 W2.

Предложение 2.

W u H 1/2 : div u H 1/2.

Предложение 3. Имеют место непрерывные вложения H 1/ 2 W H 1/ 2 и оценки норм u C0 u.

u 1/ 2 W 1/ Кроме того, u u 1/ W для u W1, u C2 u C1 u W 1/ 2 1/ для u W2.

Введем операции, определяемые в локальных координатах в окрестности U U следующим образом:

;

1 u1 G u2 G rot v u G x1 x 1 g g grad g e1 e2 ;

G x2 x в общем случае для u u, g g :

rot v u rot v u ;

grad g grad g.

Рассмотрим разложение u u1 u2, u1 W1, u2 W2, более подробно. Всякий элемент u C0 представим в виде u 1 P u Pu grad g grad h grad 1 rot v u grad 1 div u.

Действие проекторов P и (1 – P) на всем W доопределяется по непрерывности. Очевидно, что div grad g 0 ;

rot v grad h 0.

Ниже используются две формулы, являющиеся следствием общей формулы Стокса [143]:

u grad b ds div u b ds;

(12) M M u grad b ds rot u b ds;

(13) v M M u, b C M.

Формулы (12), (13) могут быть получены с помощью перехода к локальным координатам.

Следующие предложения описывают свойства пространства W W – антидвойственного к W [12, 95].

Предложение 4.

: f H 1/2 M, rot v f H 1/2 M ;

W f H 1/ 2 W H 1/ 2.

Замечание 1. C плотно в W.

Предложение 5. Пространство W разлагается в прямую сумму замкнутых подпространств:

W W 1 W 2, где W 1 : f W : div f 0, W 2 : f W : rot v f 0.

Отметим, что все результаты §2 остаются в силе, если вместо подмногообразия с краем рассматривать многообразие без края М.

§3 Представление решений и система интегродифференциальных уравнений на экранах Будем искать решение задачи (3)–(8) в виде векторного потен циала:

E ik 1 grad div A1u k 2 A1u ;

(14) H rot A1u ;

(15) ik x y 1e x x1, x2, x3.

u y ds;

A1u (16) 4 x y Здесь u(y) – касательное векторное поле, заданное на ;

u y v y 0 для всех y, где v(y) – единичный вектор нор мали к в точке y. Физический смысл u – плотность поверхност ного тока на.

Будем предполагать, что u удовлетворяет условиям u W ;

(17) u, div u C1. (18) Переходя к локальным координатам, нетрудно доказать, что A1u C R 3 \.

Как показано в [6], оператор А1 действует непрерывно в про странствах A : H 1/ 2 H 1 R 3.

1 loc Нетрудно доказать, что div A1u A1 div u, x, u W.

Это равенство достаточно доказать для функций u C0 в силу плотности этого множества в W и в H 1/ 2. При этом бу дем иметь A1 div u H loc R 3.

Если u удовлетворяет условиям (17), (18), то (14) эквивалентно E ik 1 grad A1 div u k 2 A1u, x R 3 \. (19) Поля E, H C R 3 \, определяемые по формулам (14), (15) (или (19)), удовлетворяют уравнениям Максвелла (4) в R 3 \ и ус ловиям на бесконечности (7), (8) (или (11)). Это сразу следует из свойств ядра в интегральном представлении (16) и выбора E, H в виде (14), (15).

Имеют место утверждения для предельных значений E и H, когда точка x опускается на. Пусть x. Тогда касательные компоненты поля E и нормальная компонента поля H непрерывны вплоть до (исключая точки края Г). Точнее, lim x E x x t x E x;

t lim x H x x t x H x, x.

t Для нормальной компоненты поля E и касательных компонент поля H имеем формулы i lim x E x x t div u x x E x, (20) 2k t lim x H x x t u x x H x, x, (21) t где i eik x y ik x y 2e E x div u y ds k u y ds ;

grad x xy 4k x y xx eik x y H x u y ds, xy rot x 4 xx а сингулярные интегралы понимаются в смысле главного значения по Коши.

Из (21) получаем u x v x H x, x, (22) означает разность предельных значений при t 0 и где t 0, x x x t, в точках x. Эта формула объясняет фи зический смысл u.

Доопределим касательные составляющие поля H и нормаль ную компоненту поля E с каждой стороны по формулам (20), (21). Тогда E, H будут непрерывны (с каждой стороны) в точках, и условие (3) выполняется. Краевое условие (5) приводит к ин тегродифференциальному уравнению для u. Опуская точку x 1 на, из (8) и (9), будем иметь grad A div u k 2 Au f ;

x ;

(23) ik x y e u y ds, Au : Au ;

Au (24) x y f 4ikE0 ;

f C. (25) Как было показано выше, A1u H loc R 3, u H 2.

(26) Тогда из (15), (16), (19) находим, что E, H L2 R 3 при loc u W, и условие (6) конечности энергии в любом ограниченном объеме также выполнимо.

Таким образом, если u является решением (23) и удовлетворя ет условиям (17), (18), то формулы (14)–(16) (или (19)) дают квази классическое решение задачи (3)–(8) на. Кроме того, если u – нетривиальное решение, то, в силу (22), E, H – также нетривиаль ное решение (3)–(8). Тогда из теоремы единственности следует Теорема 2. Уравнение (23) имеет не более одного решения, удовлетворяющего условиям (17), (18).

x x1, x2, x3 – точка в R 3, а x – точка на экране (с локальными координатами).

В следующих параграфах будет доказано, что при Im k 0, r 0 уравнение (23) всегда разрешимо. Поэтому формулы (14)–(16), (19) дают (единственное) решение задачи (3)–(8). Тем самым будет установлено, что всякое решение (3)–(8) представимо в виде векторного потенциала.

§4 Сведение задачи к векторному псевдодифференциальному уравнению на Рассмотрим ядро интегрального оператора (24). Фиксируем, U U, V V. Пусть 1 : V U, x 1 x U, x x1, x2 V – локальные координаты на U ;

x x1, x 2, x 3. Имеем x y 1 x 1 x0 x, x0 x x0, где x, x0 C V V (т.к. поверхность класса C ) и x, x0 0 при x, x0 V ;

кроме того, x, x0 x0, x. Далее, x, x0 x0 x, x0, x0 : x0, x0, C V V, причем x0, x0 0 при x0 V. Тогда e 0 ik x, x x x ik x y e x y x, x0 x x x x x, x x x e x x0 1 x, x0 2 x, x0, e 0 x0 x x0 x x где 1, 1, 2 C V V, 1 x0, x0 0 при x0 V.

Дифференциал площади на поверхности U представим в виде ds G x dx, G x G x0 Q x, x0, G C V, Q C V V ;

Q x, x0 : G x G x0 и Q x0, x0 0 при x0 V.

Объединяя все формулы, можно записать G x0 e e 0 x x ik x, x x x G ( x) x, x0 x x0 x0 x x B x0 x, x0 x x0 x x x x F x x x e e 0 x x0 xx x x0 x x x x0 1 x, x0 2 x, x0, (27) где G, C (V ), G x0 0, x0 0 при x0 V ;

вектор и матри ца B, F C V, а функции 1, 2 С V V.

Будем рассматривать операторы A (действующий на функции) и A (действующий в сечениях векторных расслоений) как псевдо дифференциальные операторы на многообразии M или, в зави симости от ситуации. Для любой координатной окрестности U U и, соответственно, V V, определим ограничение A и A на V по формулам AV pV AqV : C0 V C V, AV pV A qV : C0 V C V, где qV : C0 V C M – естественное вложение (продолжение нулем вне V ), а pV : C0 M C V – оператор ограничения, пе реводящий f в f V. Здесь не делается различия в обозначениях для операторов qV, pV и пространств C0, C в «скалярном» и «век торном» случае. Если AV и AV превращаются в скалярный и мат ричный ПДО, то A и A – ПДО на многообразии M [85] или на, если рассматривать ограничение A и A на :

A : C0 C, A : C0 C.

Определим действие оператора A на C0. Поскольку тре буется знать лишь значения Au в точках x (или x M ), то ис пользуем представление для AV в виде a0 x0 x x0 x x B x0 x x u x dx e 0 u x dx AV u e x x0 x x V V x x x x x x x x0 F x0 x x u x dx e x x x x0 x x0 1 x0, x x0 u x dx V x x0 2 x0, x x0 u x dx;

(28) V G x G x0, a0 ( x0 ) :

x t 1 при t R, t 0 при t 2 R – бесконечно дифференци руемая «функция-срезка», а R выбрано столь большим, чтобы x x0 1 x, x0 V.

при Кроме того, в (28) x, x x x, x, x, x V ;

функции С V R i 0 0 i 0 0 i гладко продолжены на R по второму аргументу. Очевидно, что формулы (24) и (28) порождают один и тот же оператор при x, x0 V, и его определение не зависит от выбора функции.

Каждое слагаемое в (28) есть интегральный оператор типа свертки. Вычислим преобразование Фурье ядер первых трех опера торов и обозначим через b1 x0, и b2 x0, преобразования Фурье функций x x 1 x0, x и x 2 x0, x по аргументу x. Тогда (28) можно переписать в виде a0 x0 B x0 u eix0 d i u eix0 d AV u trF x0 3 F x0 u eix0 d b1 x0, u eix0 d b2 x0, u eix0 d, (29) где u – преобразование Фурье функции u С0 V, а символы b1, b2 С V R 2 – преобразования Фурье финитных функций.

Формула (29) определяет ПДО AV : С0 V С V порядка –1 с положительно однородным (по ) главным символом a0 x0.

Очевидно, что последнее слагаемое в (28) (или в (29)) дает оператор с бесконечно гладким ядром, т.е. принадлежит классу L V [85, 149]. Для функции b1 x0, имеем следующую оценку:

x0 b1 x0, CK, p,q 2 q pq (30) для любого компакта K V и любых мультииндексов p, q. Из (30) следует, что b1 S 2 V, и четвертое слагаемое в (29) есть ПДО класса L2 V [85, 149].

Таким образом, для ПДО AV верно представление AV u AV u BV u aV x0, u eix0 d 1 a0 x0 u eix0 d bV x0, u eix0 d ;

(31) aV x0, : a0 x0 bV x0,, где символ bV S 2 V и BV L2 V.

Рассмотрим оператор A, образованный с помощью «склейки»

по формуле Au A u, (32) или Au A0u Bu A u B u, (33) где A AV, A AV, B BV при V V ;

1, а функции 0 таковы, что supp V,. Оператор A : С0 С.

Поскольку ядро оператора A в (24) имеет особенность только при x y, A отличается от A на оператор с бесконечно гладким ядром:

A A K, K L.

(34) осуществляет изоморфизм H 1 2 M на ПДО с символом H 1 2 M [140]. Так как функция a0 x0 0 в любой координатной окрестности, С плотно в H 1 2, и H 1 2 антидвойст венно к H 1 2, то оператор A0 продолжается по непрерывности до ограниченного, непрерывно обратимого оператора A0 : H 1 2 H 1 2.

Тогда в силу (33) и (34) оператор A : H 1 2 H 1 2 будет ограниченным фредгольмовым оператором с нулевым ин дексом.

Для анализа свойств оператора A рассмотрим его ограниче ние AV на V. Пусть ei x i 1, 2 – базисные орты локальной сис темы координат на поверхности U. Действие AV на u С0 V в локальных координатах можно представить в виде AV u e j x0 AV ui x0, ij i, j где e 0 ik x, x x x Eij x, x0 ui x x dx ;

A ij x, x0 x x V V Eij x, x0 : ei x e j x0, ui x : u x ei x, причем Eij С V V, Eij x0, x0 ij ( ij – символ Кронеккера).

ij Если AV – ПДО на V, то AV превращается в матричный ПДО, и, следовательно, A – ПДО на многообразии.

ij Ядра интегральных операторов AV отличаются от ядра инте грального оператора A только сомножителями Eij x, x0, поэтому анализ этих операторов полностью аналогичен анализу оператора A. Приведем лишь окончательное представление для AV, соответ ствующее (31):

0 AV u AV u BV u aV x0, u eix0 d 1 a0 x0 u eix0 d bV x0, u eix0 d, (35) где aV : a0 x0 I bV x0, ( I – единичная матрица);

матрицы aV aV x0, i2, j 1, a0 x0 I, bV bV x0, i2, j 1 – ij ij полные символы ПДО AV, AV, BV ;

bV S 2 V, BV L2 V, u где – преобразование Фурье вектор-функции u u1, u 2 С0 V. Отметим также диагональную структуру мат ричного символа оператора AV.

Определим оператор A, образованный с помощью «склейки»

по формуле Au A u, (36) или, в подробной записи, Au A0u Bu A u B u, (37) 0 0 где A AV, A AV, B BV при V V.

Оператор A отличается от A на оператор с бесконечно глад ким ядром:

A A K, K L. (38) Повторяя рассуждения, приведенные при анализе оператора A и используя диагональность матричных символов операторов AV, находим, что оператор A0 : H 1 2 H 1 2 непрерывно обратим.

Тогда в силу (37) и (38) A : H 1 2 H 1 2 будет ограниченным фредгольмовым оператором с нулевым ин дексом.

Перейдем к изучению оператора, определяемого левой частью формулы (23):

Lu : grad A div u k 2 Au. (39) Поскольку оператор L будет рассматриваться из W в W, а С плотно в W, достаточно определить L на С0 и доказать его ограниченность в указанных пространствах. Тогда действие L на всем W доопределяется по непрерывности.

Квадратичная форма оператора L имеет вид Lu, u Lu u ds grad A div u u ds k 2 Au u ds. (40) С помощью формул векторного анализа и теоремы Стокса получаем Lu, u A div u, div u k 2 Au, u. (41) В силу определения пространства W ограниченность формы (41) в W будет доказана, если будет установлена ограниченность квадратичных форм Au, u и A u, u на H 2. В свою очередь, ввиду (34) (38), достаточно доказать ограниченность форм Au, u и Au, u. Докажем ограниченность формы Au, u ;

доказательство ограниченности формы Au, u совершенно аналогично.

Для формы Au, u имеем Au, u A u, u A u, v, где v : u, supp v V, supp u V.

Остается доказать ограниченность формы A u, v. Но в ло кальных координатах оператор A есть эллиптический ПДО по рядка –1 класса L1 V, который ограничен из H 1 2 V в H 1 2 V, и, следовательно, форма A u, v также ограничена на H 1 2 V.

Ограниченность квадратичной формы оператора L на W вле чет ограниченность полуторалинейной формы Lu, v на W и по зволяет рассматривать оператор L как ограниченный оператор L : W W, где W – антидвойственное пространство к W [106].

Теперь (23) можно рассматривать как векторное псевдодиффе ренциальное уравнение:

Lu f, u W, f С W. (42) При этом равенство в (42) понимается в смысле распределе ний. Точнее, дадим Определение 2. Элемент u W будем называть обобщенным решением уравнения (42) (или (23)), если для любых v С0 вы полняется вариационное соотношение A div u, div v k 2 Au, v f, v. (43) §5 Теоремы o фредгольмовости и разрешимости векторного псевдодифференциального уравнения Ниже будет доказано, что L : W W – фредгольмов оператор с нулевым индексом. Для этого достаточно представить L в виде суммы непрерывно обратимого и компактного операторов.


Запишем (39) в виде Lu L1u k 2 L2u, (44) где L1u : grad A div u, L2u : Au, и рассмотрим действие операторов L1 и L2 на подпространствах W и W2. В силу предложений 1, 5 для оператора L имеет место мат ричное разложение:

0 0 W1 W L1 :, (45) 0 L1 W2 W где L1 : W2 W 2 – ограниченный оператор. Для оператора L2 :

L11 L12 W1 W L2 :, (46) L21 L22 W2 W где Lij : Wi W j – ограниченные операторы. Нормы на Wi и W j индуцированы нормами на W и W.

Лемма 1. Оператор L0 : Wi W j компактен, если существует такое s R, что C u, s 3 2 j ;

i, j 1, 2.

L0u (47) H s H i 3 По формулам (33), (34) для оператора L1 имеем представление L1u grad A0 div u grad B K div u L1 u L1 u. (48) (1) (2) Так как B – ПДО порядка –2, a K – оператор с бесконечно гладким ядром, то для L1 выполняются условия леммы 1 с i j 2, s 1 2, и оператор L1 компактен. Квадратичная форма оператора L1 коэрцетивна на W2 :

L u, u A div u, div u C div u 2 C1 u W, u W2.

1 1 Отсюда следует [106], что L1 непрерывно обратим. Таким об разом, L1 – фредгольмов и ind L1 0.

Далее, поскольку L2 – ПДО порядка –1, то для операторов Lij, ij 1 (т.е. для L12, L21, L22 ) выполняются условия леммы 1 с s i 1 2 ;

эти операторы также компактны. Рассмотрим оператор L11 :

L11 L11 L11, 1 (49) где L11 : p 1 P qA0 1 P, L11 : p 1 P q B K 1 P.

1 Оператор B K – ПДО порядка –2, поэтому для L11 выполня ются условия Леммы 1 с i j 1, s 3 2, и, следовательно, L тоже компактен.

Квадратичная форма оператора L11 коэрцетивна на W1 :

L11u, u A0u, u C u 1 2 C u W, u W1, 1 2 поэтому [106] L11 непрерывно обратим. Тем самым установлена фредгольмовость оператора L11 и ind L11 0.

Объединяя полученные результаты с учетом формул (44)–(49), находим, что имеет место матричное представление для L в виде k 2 L 0 k 2 L k 2 L L L1 L2, (50) 1 0 L1 k L21 L1 k L22 где оператор L2 компактен, а оператор L1 непрерывно обратим при k 0, поскольку операторы L11, L1 непрерывно обратимы. Отсю 1 да получаем следующее утверждение.

Теорема 3. Оператор L L k : W W является фредголь мовым при k 0 и ind L k 0.

Замечание 2. При k 0 оператор L 0 фредгольмовым не бу дет, т.к. W1 ker L1, dimW1.

Замечание 3. Выше было установлено, что L11 и L1 – равно 1 мерно положительные операторы. Матричное разложение опе ратора L1 в (50) показывает, что главная часть оператора L (оператор L1 ) не будет положительно определенным или отрица тельно определенным оператором при Re k 0, однако L1 коэрце тивен при Im k 0 :

, u W.

( L1u, u ) C u W При Im k 0, k 0 оператор L1, очевидно, коэрцетивным не будет.

Ha основе теорем 2 и 3 при Im k 0, k 0, можно получить более сильный результат об однозначной разрешимости уравнения (23) (или (42)). Для этого нам потребуются утверждения о гладко сти решений уравнения (42) в при f C.

Пусть f f 1 f 2, f 1 W 1, f 2 W 2, f C. Запишем уравнение (42) с учетом матричного представления (50) в виде сис темы из двух уравнений k 0 :

L11 u1 L11 u1 L12u2 k 2 f 1 ;

1 (51) L1 u2 L1 u2 k 2 L21u1 k 2 L22u2 f 2, 1 (52) где u1 W1, u2 W2, u u1 u2.

Операторы Lij : Wi W j ij 1 являются ПДО порядка – класса L1, L11 : W1 W 1 – ПДО порядка –2 класса L2, L1 : W2 W 2 – ПДО порядка 0 класса L0. Обозначим правую 1 часть в (51) и (52) через g и g. Тогда будем иметь ;

L11 u1 g, g H 1 1 (53).

L1 u2 g, g H 1 2 (54) Оператор L11 : W1 W 1 есть эллиптический классический ПДО порядка –1 класса L1 с главным символом a0 x, a0 x I.

кл Главный символ a0 a0 x, оператора при любом ненулевом элементе x, T M кокасательного расслоения T M задает ото бражение слоев a0 x, : Wx Wx, так что в целом получается отображение расслоений a0 : W W, где 0 : T M \ O M – каноническая проекция 0 кокасательного расслоения без нулевого сечения на базу M ;

W, 0W – индуцированные расслоения со слоями Wx, Wx над каждой точкой x, T M \ O.

Рассмотрим оператор L : W W 2, L u : grad A0 div u.

1 1 Этот оператор представляет собой композицию операторов div, A0, grad, два из которых дифференциальные, а оператор A0 – ска лярный ПДО с главным символом a0 x, который является корректно определенной функцией на кокасательном расслоении T M. Согласно теореме о композиции классических ПДО [85, 149], главный символ 0 оператора L1 находится как произведение главных символов этих операторов, что дает 1 0 x,. (55) a0 x 2 1 Отметим, что формально символ (55) является вырожденным при всех R 2, т.к. определитель матрицы в (55) тождественно равен нулю.

Однако оператор L1 действует на подпространстве W2, т.е. на элементы u такие, что rot u 0. Оператор L1 действует на под пространствах W2 W 2 как эллиптический классический ПДО по рядка 1 класса L1кл с главным символом a0 1 x I. Таким образом, L11 a0 1 2 : W1 W 1, L1 a0 11 2 : W2 W 2, (56) понимая под 1 2 классические ПДО с главными символами.

Утверждение 1. Если u W – решение уравнения (23) с глад кой правой частью f C, то u С.

Теорема 4. При Im k 0, k 0 оператор L k : W W не прерывно обратим.

Следствие 1. При Im k 0, k 0 обобщенное решение u W уравнения (23) (или (42)) существует u единственно при любой правой части f W (в частности, при f C ).

Подведем итог исследованию разрешимости задачи дифракции на системе ограниченных экранов произвольной формы.

Теорема 5. Задача (3)–(8) при Im k 0, k 0 имеет единст венное решение при любых E0, H 0, удовлетворяющих условию (9).

Следствие 2. Любое решение задачи (3)–(8) при Im k 0, k 0, представимо в виде векторного потенциала (14)–(16) с функцией u, удовлетворяющей условиям (17), (18).

§6 Гладкость обобщенных решений. Порядок сингулярности решений в окрестности угловых точек Изучение гладкости обобщенных решений в окрестности границы (включая граничные точки) является значительно более сложным, особенно в окрестности угловых точек границы. Для ПДО 1 2 точные результаты были получены в [27]. Ниже мы применим результаты работы [27] для получения оценок порядка сингулярности решения в окрестности угловых точек. При этом рассмотрим два случая: поведение решения в окрестности угло вой части границы и поведение решения в окрестности угло вой точки.

Перейдем к анализу гладкости решения уравнения Lu f, u W, f C. Имеем [12, 95] наилучший результат в невесо вых классах Соболева:

u1 H, u2 H 1, 0 – произвольно малое число. Отсюда видно, что существует след, u2 H причем 0, u т.к. продолжение u2 нулем вне является непрерывным в норме 1.

Если граница гладкая, то [12, 95] получаем, что функция u в окрестности границы имеет сингулярность вида g 1 H 1.

x g1 t, u1 ~ (57) Далее находим, что u2 в окрестности имеет особенность:

u2 ~ 1 2 x g 2 t x g 2 t, g 2 H 3, g 2 H.

(58) Если граница имеет угловые точки, то поведение u1, u2 в окре стности любого гладкого куска границы (отстоящего на по ложительное расстояние от угловых точек) имеет тот же вид (57), (58), где надо заменить на. Этот результат получается, если «срезать» и в окрестности [27].

Далее, пусть n n t – внешняя нормаль к границе в точке t. В окрестности гладкого куска имеет место [12, 95] Утверждение 2. Если – гладкая кривая, то u n 0 как элемент пространства H. Если – гладкий кусок, от стоящий на положительное расстояние от угловых точек, то u n 0 как элемент пространства H 2.

Перейдем к анализу сингулярности u в окрестности угловой точки P. Пусть P – внутренний (по отношению к ) угол, под которым пересекаются две гладкие дуги границы в точке P, 0 P 2, P. Поскольку u2 0, то сингулярность может быть только у функции u1. Отобразим диффеоморфно окре стность точки P на -окрестность начала координат так, чтобы ду ги, образующие угол, перешли в прямолинейные лучи 0, в полярных координатах ( r, ) в этой -окрестности. Как следует из [27], сингулярность в окрестности точки P будет иметь вид u1 ~ r 1 2 1, r 0, (59) где v – гладкая и ограниченная функция на 0,.

Показатель сингулярности в (59) определяется величиной угла, однако вычисляется лишь приближенно численными методами (например, как решение трансцендентного уравнения (4.1) в [27]). Известно два предельных результата для [27]:

lim 0, lim 1, 2 0 причем ~ 1 ln при 0.

В заключение §6 приведем таблицу приближенных значений для, вычисленных в [27]. Из представленного выше анализа ясно, что показатель сингулярности для и в окрестности угловой точки совпадает с (табл. 1).

Таблица Таблица приближенных значений для 0 0,0500 0,1161 0,1250 0,2500 0,3750 0, 1,0000 0,8705 0,8350 0,8317 0,7820 0,7384 0, 0,6250 0,7500 0,8750 0,9000 0,9500 1,0000 1, 0,6517 0,6057 0,5561 0,5456 0,5243 0,5022 0, 1,2500 1,3750 1,5000 1,6250 1,7500 1,8750 2, 0,3799 0,3073 0,2277 0,1444 0,0702 0,0281 §7 Принцип предельного поглощения Полученные в предыдущих параграфах утверждения о свойст вах задачи дифракции на позволяют установить ряд важных ре зультатов, касающихся зависимости решений задачи от параметра k. Прежде всего это относится к предельному переходу в задаче дифракции при k k0, где k – комплексное число, Im k 0, а k0 – вещественное, Im k0 0, k0 0. Если для получения решения воз можен предельный переход при k k0, то говорят, что справедлив «принцип предельного поглощения». Принцип предельного по глощения может быть сформулирован как в форме предельного пе рехода для решения u u k уравнения на (23), так и в виде предельного перехода для рассеянного поля E E k, H H k.

B любом случае предполагается, что падающее поле E0 E0 k, H 0 H 0 k непрерывно зависит от k (что обычно выполняется на практике). Достаточно считать, что такая зависимость имеет место только в окрестности рассматриваемой точки k0, причем для k c положительной мнимой частью Im k 0, k k0. Ниже будут приведены точные формулировки условия на падающее поле.


Основой для доказательства принципа предельного поглоще ния является теорема 4 и аналитическая зависимость оператор функции L k от параметра k C. Под аналитичностью (голо морфностью) понимается дифференцируемость по норме оператор функции в каждой точке области аналитичности.

Утверждение 3. Оператор-функция L k : W W является аналитической (голоморфной) при всех k C.

Утверждение 4. Оператор-функция L1 k : W W является аналитической (голоморфной) в C (при Im k 0 ) и непрерывной в C \ 0 (при Im k 0, k 0 ).

Теорема 6. Пусть k0 0, Im k0 0, Im k 0. Тогда если f k f k0 при k k0, то u k u k0, k k0, где W W u k и u k0 – решения уравнения (23) при k и k0, соответственно.

Теорема 7. Пусть k0 0, Im k0 0, Im k 0. Тогда если f k f k0 при k k0, то E k E k0, H k H k W в L2 R 3 при k k0, где E k, H k и E k0, H k0 решения за loc дачи (3)–(8) при k и k0, соответственно.

Замечание 4. Условие f k f k0 будет выполнено, ес W ли функции f x;

k и f x;

k / x j непрерывно зависят от пара метра k в полуокрестности точки k0, точнее при k k0, Im k 0. Это следует из того, что норма в C1 сильнее нормы в W, C1 f C2 f, f C W согласно теоремам вложения [184] и предложению 4.

Таким образом, в теоремах 6, 7 установлен принцип предель ного поглощения для задачи дифракции на. С физической точки зрения, этот принцип означает непрерывную зависимость решения задачи от проводимости в среде 0, поэтому для построения решения в среде «без поглощения» 0 иногда искусственно вводят малый параметр 0 («поглощение»), а затем переходят к пределу при 0 или получают приближенное решение.

Раздел 2. Сходимость методов Галеркина для уравнений с операторами, эллиптическими на подпространствах, и решение уравнения электрического поля Задача дифракции электромагнитной волны на идеально про водящем тонком ограниченном экране является классической в электродинамике. Наиболее естественный подход к решению этой задачи – сведение ее к векторному интегродифференциальному уравнению на поверхности экрана [19, 191], к так называемому уравнению электрического поля. Теория разрешимости краевой за дачи дифракции для системы уравнений Максвелла и уравнения электрического поля построена в работах [167, 171, 172] (подроб ное изложение имеется в [12, 95]). В частности, в этих работах по казано, что (единственное) решение краевой задачи выражается че рез векторные потенциалы от (единственного) решения уравнения электрического поля. В этом смысле можно говорить о том, что краевая задача эквивалентно сводится к решению уравнения элек трического поля.

Несмотря на большое количество разработанных и применяе мых на практике численных методов решения этой задачи [4, 11, 20, 21, 22, 52, 56, 74, 83, 187], они остаются теоретически не вполне обоснованными. Для них не доказаны теоремы о сходимости, не получены оценки скорости сходимости. Основная трудность со стоит в том, что, как доказано в [171], оператор уравнения не явля ется эллиптическим, и поэтому известные результаты о сходимости проекционных методов для решения уравнений с эллиптическими операторами [6, 16] непосредственно нельзя применить. Ниже бу дет показано, что результаты о сходимости могут быть перенесены на специальный класс неэллиптических операторов, к которому принадлежит и оператор уравнения электрического поля.

Рассматривается численный метод Галеркина для решения ин тегродифференциального уравнения на экране, основанный на спе циальном выборе безроторных и бездивергентных базисных и тес товых функций. Представлена теорема о сходимости метода Га леркина. Теоремы этого раздела являются математически строгими результатами о сходимости численного метода для решения урав нения на экране.

Результаты раздела опубликованы в работах [13, 55, 133–135, 170].

§1 Теоремы о сходимости методов Галеркина Для удобства дальнейшего изложения приведем основные ут верждения о сходимости методов Галеркина для уравнений с эл липтическими операторами [6, 16].

Рассмотрим приближенное решение линейных операторных уравнений с помощью проектирования их на подпространства, ко торые будем считать имеющими конечную размерность. Ниже все операторы предполагаются линейными.

Определение 1. Пусть X и Y – гильбертовы пространства и A : X Y – ограниченный инъективный оператор. Пусть X n X и Yn Y – две последовательности подпространств с условиями dim X n dim Yn n, и пусть Pn : Y Yn – проекционные операторы.

Рассмотрим проекционный метод, образованный посредством X n и Pn, который аппроксимирует уравнение A f (1) с помощью приближенного уравнения Pn An Pn f. (2) Этот проекционный метод называется сходящимся для опера тора A, если существует число N такое, что для каждого f Im A ( Im A – образ оператора A) приближенное уравнение (2) имеет единственное решение n X n для всех n N, и если эти решения сходятся n при n к единственному решению уравне ния (1).

В общем случае можно ожидать сходимость метода только то гда, когда подпространства X n предельно плотны в X:

inf 0, n (3) X n для всех X. Свойство (3) называют также свойством аппрокси мации (произвольный элемент из X может быть аппроксимирован элементами из подпространства X n с любой точностью в норме пространства X). В последующем анализе будем всегда пред полагать, что это условие выполняется.

Если проекционный метод сходится, то верна оценка скорости сходимости [6, 16] n M inf (4) X n для некоторой константы M. Оценка (4) называется квазиопти мальной. Она показывает, что ошибка в проекционном методе оп ределяется тем, как хорошо точное решение может быть аппрокси мировано с помощью элементов подпространств X n в норме про странства X.

Утверждение 1 [6, 16]. Предположим, что A : X Y – есть ограниченный оператор, имеющий ограниченный обратный A1 : X Y, и что проекционный метод (2) является сходящимся для A. Пусть оператор K : X Y компактен и A + K – инъекти вен. Тогда проекционный метод (2) сходится для оператора A + K.

Для операторных уравнений в гильбертовых пространствах проекционный метод, строящийся с помощью ортопроекторов на конечномерные подпространства, приводит к методу Галеркина.

Пусть A : X Y – инъективный линейный ограниченный опера тор, и пусть Pn : Y Yn – последовательность ортопроекторов. То гда n X n будет приближенным решением уравнения A f с помощью проекционного метода, образованного посредством вы бора пространств X n и проекторов Pn, тогда и только тогда, когда An, g Y f, g Y g Yn, (5) где, Y скалярное произведение в Y. Уравнение (5) называют уравнением Галеркина.

Будем рассматривать случай, когда Y X, где X – антидвой ственное пространство к X (пространство антилинейных ограни ченных функционалов над X) относительно некоторой ограничен ной полуторалинейной формы,.

Замечание 1. Все результаты этого параграфа остаются в силе, если взять Y = X, но для уравнения электрического поля необходи мо рассмотреть случай Y X.

Рассмотрим метод Галеркина, образованный с помощью под пространств X n X, n X n :

An, f, X n. (6) Если J : X X – оператор, осуществляющий изоморфизм ме жду X и X, то (6) эквивалентно уравнениям An, J Y f, J Y для любого X n или уравнениям (5), где, Y – скалярное про изведение в Y X, g J, Yn JX n. Таким образом, метод Га леркина (6) эквивалентен методу Галеркина (5).

Определение 2. Оператор A : X X будем называть коэр цитивным, если существует константа C ( 0) такая, что выпол няется условие A, C (7) для любого X.

Замечание 2. Если выполняется условие Re A, C (8) для любого X или условие Im A, C (9) для любого X, то справедливо и (7), поэтому оператор в этих случаях также будет коэрцитивным.

Определение 3. Оператор A : X X будем называть эллип тическим, если существует компактный оператор K : X X такой, что оператор A +K – коэрцитивный.

Иногда перечисленные выше неравенства записывают для оператора A + K, тогда они называются неравенствами Гординга.

Утверждение 2 [6, 16]. Пусть A : X X – коэрцитивный оператор и подпространства X n X обладают свойством ап проксимации. Тогда метод Галеркина (6) сходится.

Утверждение 3 [6, 16]. Пусть A : X X – инъективный эл липтический оператор и подпространства X n X обладают свойством аппроксимации. Тогда метод Галеркина (6) сходится.

Таким образом, для сходимости метода Галеркина для уравне ния с инъективным эллиптическим оператором необходимо и дос таточно выполнение условия аппроксимации и, если метод сходит ся, верна квазиоптимальная оценка скорости сходимости.

§2 Сходимость метода Галеркина для уравнений с операторами, эллиптическими на подпространствах В этом параграфе представлены результаты о сходимости мето дов Галеркина для класса уравнений с неэллиптическими оператора ми. Как будет видно, они полностью аналогичны результатам о схо димости методов для уравнений с эллиптическими операторами.

Дадим определение оператора, эллиптического на подпро странствах. Пусть гильбертово пространство X разложено в пря мую сумму m, m 1 (замкнутых) подпространств X X 1... X m, а его антидвойственное пространство X также имеет разложение X X 1... X m. Скобками, будем обозначать отношение антидвойственности на паре пространств X и X, а также его суже ние на подпространства X j и X j j 1,..., m. Пусть линейный ог раниченный оператор A : X X обладает свойством A : X j X j, j 1,..., m. Другими словами, оператор A имеет диагональное раз ложение на подпространствах X j X j, j 1,..., m.

Определение 4. Оператор A : X X будем называть коэрци тивным на подпространствах, если существуют константы C1,..., Cm ( 0) такие, что выполняется условие A, C j (10) для любого X j, j 1,..., m.

Замечание 3. Если выполняется условие Re A, C j (11) для любого X j, j 1,..., m, или условие Im A, C (12) для любого X j, j 1,..., m, то справедливо и (10), поэтому оператор в этих случаях также будет коэрцитивным на подпро странствах.

Определение 5. Оператор A : X X будем называть эллип тическим на подпространствах, если существует компактный оператор K : X X такой, что оператор A + K – коэрцитивный на подпространствах.

При m = 1 определения 4 и 5 совпадают с определениями 2 и коэрцитивного и эллиптического операторов.

Легко видеть, что коэрцитивные на подпространствах и эл липтические на подпространствах операторы в общем случае не являются, соответственно, коэрцитивными и эллиптическими операторами. Простым примером может служить оператор при m = 2, который является положительно определенным на подпро странстве X 1 и отрицательно определенным на подпространстве 2 X 2, т.е. A, C1 для любого X 1 и A, C2 для любого X 2.

Теорема 1. Коэрцитивный на подпространствах оператор A имеет ограниченный обратный A1 : X X.

Доказательство. Сужение Aj оператора A на X j есть коэрцитив ный оператор Aj : X j X j, который, имеет ограниченный обратный A1 : X j X j, поэтому уравнение A f однозначно разрешимо для j любого f X : f f 1... f m, j A1 f j, 1... m. # j Имеет место Следствие 1. Эллиптический на подпространствах оператор фредгольмов с индексом 0.

Смысл введения эллиптических на подпространствах операто ров заключается в том, что на класс уравнений с такими операто рами удается перенести результаты о сходимости метода Галерки на, справедливые для уравнений с эллиптическими операторами.

Рассмотрим уравнение A f (13) и n-мерные подпространства X n X.

Будем проводить аппроксимации элементами n X n, где X n X n... X n – прямая сумма ортогональных подпространств;

1 m X n span e1i,..., en – линейные оболочки векторов;

ek e1... ek, m i i k ek X i, а e k k 1 – произвольный базис в X n X n X n. Методом n i Галеркина находим n из системы уравнений An, f, X n. (14) Теорема 2. Пусть A – инъективный оператор, эллиптический на подпространствах. Пусть n-мерные подпространства X n об ладают свойством аппроксимации в X. Тогда метод Галеркина (14) на подпространствах X n сходится для уравнения (13) и верна квазиоптимальная оценка скорости сходимости (4).

Доказательство. В силу определения 5 оператора, эллиптическо го на подпространствах, и утверждения 1 достаточно доказать сходи мость метода Галеркина для оператора, коэрцитивного на подпро странствах. Пусть A – коэрцитивный на подпространствах оператор.# Пусть X, X n и, выполняется свойство аппроксимации inf 0, n, (15) X n а также n X n X n... X n, где X n X i. Если 1... m, 1 m i 1... m, i, i X i, то 2 1 1... m m. (16) 2 Следовательно, i i. Из (15) имеем, что для лю бого X и любого 0 существуют n и X n такие, что, поэтому из (16) следует, что для любого j X i суще ствуют n и i X n такие, что i i (действительно, для это i го достаточно взять i ). Поэтому inf i i i 0, n i X n i 1,..., m, i т.е. подпространства X n также обладают свойствами аппроксимации в X i.

Так как оператор A имеет диагональное разложение на под пространствах X i X i, и сужения Ai : X i X i в силу (10) явля ются коэрцитивными операторами, то схема метода Галеркина (14) распадается на m схем для уравнений с коэрцитивными оператора ми Ai i 1,..., m :

Ai in, f i, X n.

i (17) Следовательно, в силу утверждения 2 методы Галеркина (17) сходятся, т.е. in i 0, n, где i удовлетворяют урав нениям Ai i f i, i 1,..., m. (18) n 0, n ;

1... m, Отсюда получаем, что n 1... m. Таким образом, сходимость метода Галеркина до n n казана. Квазиоптимальная оценка скорости сходимости (4) следует из сходимости метода Галеркина.

§3 Метод Галеркина для уравнения электрического поля В работах [95, 171] было доказано, что задача дифракции элек тромагнитной волны на экране эквивалентно сводится к реше нию интегродифференциального уравнения электрического поля (которое в [95, 171] рассматривается как псевдодифференциальное) grad A div u k 2 Au f ;

x ;

(19) ik x y e u y ds, Au : Au ;

Au (20) x y f 4ik E0 ;

f C. (21) Здесь grad : grad x x x grad x ;

(22) Au x : Au x x x Au x ;

(23) E0 x : E 0 x x x E 0 x, (24) где grad x – обычная операция градиента в R 3, а x – нормаль к поверхности в точке x.

Перейдем к рассмотрению оператора, определяемого левой ча стью формулы (19) Lu : grad A div u k 2 Au. (25) В работах [95, 171] доказано, что L : W W – непрерывно об ратимый оператор.

Для оператора L имеем L12 W1 W L L 11, (26) :

L22 W2 W L21 где Lij : Wi W j – ограниченные операторы. Нормы на Wi и W j индуцированы нормами на W и W.

Имеет место матричное представление для L в виде k 2 L 0 K11 K L L L 1, (27) 1 K K L2 21 где операторы K ij компактны, квадратичная форма оператора L положительно определена на W1 :

L1 u, u C1 u, u W1, W а квадратичная форма оператора L2 положительно определена на W2 :

L2 u, u C2 u, u W2.

W Теорема 3. Оператор L L k : W W является инъектив ным и эллиптическим на подпространствах при k 0.

Замечание 4. При k = 0 оператор L(0) не будет фредгольмо вым (а, следовательно, и эллиптическим на подпространствах), т.к. W1 ker L1, dimW1.

Замечание 5. Матричное разложение оператора L1 в (27) по казывает, что «главная часть» оператора L (оператор L1 ) не бу дет положительно-определенным или отрицательно-определенным оператором при Re k 0, однако L1 коэрцитивен при Im k 0 :

, u W.

L1u, u C u W При Im k 0, k 0, оператор L1, очевидно, коэрцитивным не будет.

Из теорем 2 и 3 вытекает Теорема 4. При k 0 метод Галеркина для оператора L L k : W W сходится.

§4 Свойство аппроксимации подпространств базисных функций Рао-Уилтона-Глиссона В качестве приложения полученных результатов докажем схо димость метода Галеркина (14) для решения уравнения электриче ского поля, основанного на выборе базисных функций RWG, т.е.

функций Рао-Уилтона-Глиссона [29]. В электродинамике за этими функциями закрепилось название функций Рао-Уилтона-Глиссона, хотя они были введены раньше в работе [30] и подробно исследова ны в фундаментальной статье [25] (где рассмотрены свойства и дру гих аналогичных функций более высокого порядка, но не в про странстве W). Как следует из теоремы 4, для доказательства сходи мости метода Галеркина решения уравнения электрического поля и получения оценок скорости сходимости необходимо доказать свой ство аппроксимации любой функции из пространства W функциями Рао-Уилтона-Глиссона. Будем рассматривать случай, когда экран представляет собой прямоугольник : 0, a 0, b, и выберем в прямоугольнике П равномерную прямоугольную сетку с шагами h1 и h2 по осям x и y с узлами M ij xi, y j, xi ih1, y j jh a b i 0,..., N1, j 0,..., N 2, h1, h2.

N1 N Рассмотрим вопрос об аппроксимации в прямоугольнике П не прерывно-дифференцируемой (векторной) функции f x, y f1 x, y, f 2 x, y, f C1 f1 C1, f 2 C1, удовлетворяющей условиям f1 x0 f1 xa 0, f 2 f2 0, (28) y 0 y b базисными функциями j x, y по методу Рао-Уилтона-Глиссона.

Функции Рао-Уилтона-Глиссона ассоциированы с ребрами («ре берные функции») – каждому ребру отвечает одна функция, кото рая отлична от нуля только в двух треугольниках, имеющих это ребро своей стороной. Пусть треугольники T j и T j имеют общую и x, y – вершины сторону – ребро с номером j, а x1, y j j j j 2 треугольников T j и T j, соответственно, не принадлежащие ребру j.

Базисную функцию j x, y, отвечающую ребру j, определим по правилу:

lj, x, y T j, x x1, y y j j 2S j j x, y (29) x j x, y j y l j, x, y T, 2 2S 2 j j и j 0 вне треугольников T j, T j. Здесь l j – длина j-го ребра;

S – j площадь треугольников T j ;

C j – середина ребра с номером j.

Нормирование функций j x, y выполнено так, что нормаль ная составляющая (к ребру) этих функций в середине ребра равна 1, т.е. j C j 1. Отметим важное свойство функций j : их нор n мальные составляющие на границе T j носителя T j T j T j рав ны нулю, j 0.

n T j Пусть x, y j j x, y, x, y 1 x, y, 2 x, y, j тогда коэффициент j равен нормальной составляющей функции в середине ребра: j n C j. Будем аппроксимировать функ цию f x, y функцией x, y, выбирая коэффициенты j из ус f n C j n C j, т.е. x, y fn C j j x, y. Оценим ловия j разность fi x, y i x, y в прямоугольнике П;

i = 1, 2. Рассмот рим разность f1 x, y 1 x, y для первых компонент (для вторых компонент разность оценивается аналогично). Пусть Ck – середина вертикального ребра с номером k, ближайшая к точке x, y.

Если точка Ck не единственная ближайшая, то можно взять любую из них.

Обозначим через g,, модуль непрерывности функции g в прямоугольнике П:

g,, : sup g x, y g x, y : x x, y y.

Рассмотрим один из треугольников T сетки, например PQR, где P x1, y1, Q x2, y2, R x3, y3, причем x3 x1, y3 y2, x2 x1 h1, y2 y1 h2. Пусть ребра PR, PQ, RQ имеют номера i, j, k, соответственно, а точки Ai, B j, Ck – середины этих ребер.

Нормали в этих точках имеют координаты:

h h n Ai 1, 0, n Ck 0, 1, n B j.

, h2 h2 h12 h 1 Оценим разность функций f и в точке x, y при условии, что она принадлежит треугольнику PQR;

x, y PQR. Тогда имеем f x, y x, y f x, y f1 Ai i x, y f 2 Ck k x, y f n B j j x, y f x, y h11 f1 Ai i x2 x, y2 y h2 1 f 2 Ck k x x1, y y T T h11 f1 B j h2 1 f 2 B j x x3, y y3, T откуда покоординатно имеем f1 x, y 1 x, y f1 x, y 1 f1 Ai 1 1 f1 B j x1 x f 2 Ck f 2 B j, h f 2 x, y 2 x, y f 2 x, y 2 f 2 B j 1 2 f 2 Ck y y f1 Ai f1 B j, h где 1 : h11 x2 x, 2 : h2 1 y2 y, 0 1 1, 0 2 1.

Учитывая, что непрерывная в T функция достигает любого своего промежуточного значения в некоторой точке из T, получа ем, следующее:

h h h h f1 x, y 1 x, y f1, 1, 2 1 f 2, 0, 2 ;

2 2 h2 h h h h f 2 x, y 2 x, y f 2, 1, 2 2 f1, 1, 0.

2 2 h1 h1 h M 1, то легко получить более гру M и 2 M Если h2 h бую оценку:



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.