авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«Ю. Г. Смирнов Математические методы исследования задач электродинамики Монография Пенза 2009 УДК 517.6 + 621.371 ...»

-- [ Страница 2 ] --

h h h h f m x, y m x, y M f1, 1, 2 f 2, 1, 2, m 1, 2. (30) 2 2 2 Заметим, что в силу условия (28) граничные ребра в вышепри веденных оценках фигурируют лишь формально с коэффициентом перед соответствующей базисной функцией.

Случай принадлежности точки x, y одному из ребер PR, PQ, RQ также не исключается. Аналогично рассматривается вторая возможная конфигурация, когда x3 x2, y3 y1.

Таким образом, в силу произвольности выбора точки x, y и равномерности оценки (30) оценка (30) имеет место для всех точек x, y.

Пусть снова x, y PQR. Оценим разность функций div f и div, пользуясь полученными результатами. Имеем div f div div f 2 h11 f1 Ai h2 1 f 2 Ck h11 f1 B j h2 1 f 2 B j f1 f1 B j f1 Ai f 2 f 2 Ck f 2 B j x y h1 2 h2 f1 B j f1 Ai f f f 1 1 x B x x h1 Bj j f C f2 B j f f f 2 2 2 2 k, y y B y B h2 j j причем Ai B j h1 2, B j Ck h2 2. Далее находим, учитывая непре рывную дифференцируемость функций f1 и f 2 в, неравенство f h h f h div f div 1, 1, 2 1, 1, x 2 2 x f h h f h 2, 1, 2 2, 0, 2.

y 2 2 y Отсюда легко получить более грубую оценку f h h f h h div f div 2 1, 1, 2 2, 1, 2, (31) x 2 2 y 2 которая равномерна и имеет место для всех x, y.

Оценки (30) и (31) позволяют доказать теорему об аппрокси мации элементов W базисными функциями j. Пусть в прямо угольнике П выбрана равномерная прямоугольная сетка с шагом h по переменной x, и шагом h2 по переменной y. Рассмотрим конеч номерное подпространство X N span 1,..., N, являющееся ли нейной оболочкой базисных функций j j 1,..., N, где N – коли чество внутренних ребер сетки. Нетрудно проверить, что j W, X N W. Имеет место следующий результат.

h h Теорема 5. Пусть 1 M и 2 M для некоторого M. Тогда h2 h для любого W имеем inf W 0, N.

X N Если дополнительно W C 2, то верна оценка inf W C0 C 2 h1 h2, (32) X N где C0 не зависит от, h1 и h2.

Доказательство. Пусть W C 2, и N – функция, ап проксимирующая f. Выберем N следующим образом:

N N fn C j j, j где C j – середина j-го ребра, f n – нормальная составляющая к ребру функции f. Так как вложение L H 1 2 непрерывно при p p 2 [186], то g 1 2 C g p, g L p. Но g p mes p g C, если g C. Поэтому для векторной функции u имеем 1 2 2 C mes u1 u2 div u p u W C C C C 3 mes max u1.

p, u2, div u C C C Положим C1 : C 3 mes max M, 2. В силу оценок (30) и p (31) получаем 2 h h f h h f h h C1 fi, 1, 2 1, 1, 2 2, 1, 2 f N x 2 2 y 2 W i 1 2 C2 h1 h2, так как f любое число раз непрерывно дифференцируема в.

В качестве C2 можно взять C2 : C1 max max D f j, k k M 1 k 0 j k 1, 2 – мультииндекс, D 1 2. Тогда для получения k x y оценки (32) достаточно выбрать f, C0 C2. Заметим, что из условия f W C 2 следует условие (28).

Так как C0 плотно в W, то для любого 0 выберем элемент f C0 такой, что f 2. Тогда выполняется W неравенство N W f W f N 2 f N, W W где N – функция, аппроксимирующая f. Теперь для доказательства утверждения теоремы достаточно воспользоваться доказанной вы ше оценкой h1 h2, f N C0 f (33) C W для функции f, т.к. тогда правую часть (33) легко сделать меньше 2 за счет уменьшения h1 h2. # Из теорем 2 и 3 и утверждения 3 получаем сходимость метода Галеркина (14) с базисными функциями Рао-Уилтона-Глиссона с квазиоптимальной оценкой скорости сходимости (4). Точнее, верна h h Теорема 6. Пусть 1 M, 2 M для некоторого M. Тогда h2 h метод Галеркина (14) для уравнения электрического поля (19) схо дится с выбором базисных функций Рао-Уилтона-Глиссона и спра ведлива оценка скорости сходимости u uN C0 inf u, (34) W W X N где u, u N – точное и приближенные решения, а константа C0 не зависит от h1 и h2.

§5 Метод Галеркина с безроторными и бездивергентными базисными функциями Рассмотренная выше теория позволяет построить и обосновать новый численный метод Галеркина для решения уравнения Lu f.

Рассмотрим n -мерное подпространство Vn W и будем аппрокси мировать u элементами un Vn. Согласно методу Галеркина un на ходятся как решения уравнений Lun, v f, v для любых v Vn. (35) Основная трудность при решении уравнения заключается в том, что оператор L не является эллиптическим, поэтому не применимы известные результаты о сходимости проекционных методов [16]. Однако мы имеем возможность построить специ альный метод Галеркина с выбором безроторных и бездивер гентных базисных и тестовых функций и доказать его сходи мость, используя структуру главной части псевдодифференци ального оператора L [13].

Теорема 8. Пусть n -мерные подпространства Vn1 W1 и Vn2 W обладают свойством аппроксимации в W1 и W2, соответственно.

Тогда метод Галеркина (35) на подпространствах Vn : Vn1 Vn2 схо дится.

Доказательство теоремы проводится по следующей схеме. Рас смотрим разложение для оператора L (27). Поскольку операторы L и L ограничены и непрерывно обратимы, а оператор L2 компактен, то для доказательства сходимости метода Галеркина для оператора L достаточно доказать сходимость этого метода для оператора L [16]. Но сужения оператора L1 на подпространства W1 и W2 являют ся непрерывно обратимыми (при k 0 ) операторами k 2 L1 и L2, 1 соответственно. Поэтому метод Галеркина сходится для них на под пространствах W1 и W2, a следовательно, и для оператора L1 на W.

Глава 2. Метод объемных интегральных уравнений Раздел 1. Исследование электромагнитной задачи дифракции на диэлектрическом теле в резонаторе Раздел посвящен исследованию задачи дифракции стороннего электромагнитного поля на локально неоднородном теле, помещен ном в идеально проводящий параллелепипед. Актуальность работы определяется применением результатов исследования, например при решении задач дифракции в СВЧ-печах и на биологических объек тах. Для численного решения задачи возможно использование метода конечных элементов. Однако прямое применение метода конечных элементов встречает ряд трудностей. Во-первых, краевая задача для системы уравнений Максвелла не является эллиптической, поэтому «не работают» стандартные схемы доказательства сходимости про екционных методов [16]. Во-вторых, для получения приемлемой точ ности расчета поля в теле необходимо выбирать достаточно мелкую сетку, что влечет также выбор мелкой сетки и в объеме вне тела (вы бор же сетки разного масштаба внутри и вне тела ведет к серьезным вычислительным трудностям). А это, в свою очередь, учитывая трехмерный векторный характер задачи, приводит к разреженным матрицам больших порядков в методе конечных элементов.

От этих недостатков свободен метод объемных сингулярных интегральных уравнений [156]. Здесь оператор получается эллипти ческим, а интегральное уравнение решается только внутри тела (в области неоднородности). В отличие от [156], мы изучаем инте гральное уравнение, опираясь, в основном, на результаты исследо вания соответствующей краевой задачи [59] и теорему эквивалент ности краевой задачи и интегрального уравнения. На этом пути уда ется доказать теорему о существовании и единственности решений в L2 интегрального уравнения, сходимость численного метода Галер кина, получить некоторые результаты о гладкости решений.

Несмотря на то, что результаты изучения задач в разделах 1– этой главы во многом схожи, мы сформулировали их в каждом раз деле для удобства читателя. Разумеется, тензоры Грина используются разные, поэтому формулы имеют, вообще говоря, разный смысл.

Результаты раздела опубликованы в [132, 181–183].

§1 Краевая задача для системы уравнений Максвелла Рассмотрим следующую задачу дифpакции. Пусть в декарто вой системе координат P {x : 0 x1 a, 0 x2 b, 0 x3 c} – ре зонатор с идеально проводящей поверхностью P. В резонаторе расположено объемное тело Q (Q P – область), хаpактеpи зующееся постоянной магнитной проницаемостью 0 и положи тельной 3 3 -матрицей-функцией (тензором) диэлектрической проницаемости ( x). Компоненты ( x) являются ограниченными функциями в области Q, L (Q), а также 1 L (Q).

Граница Q области Q кусочно-гладкая. Точнее, следуя [59], предположим, что для каждой точки границы x0 Q существует окрестность (в R 3 ) и C 2 -диффеоморфизм этой окрестности на R 3, при котором точка x0 переходит в точку 0, а образом множест ва Q является множество одного из следующих типов (ниже ( x1, x2, x3 ) – декартовы;

(r, ), r 0, S 2 – сферические коорди наты в R 3 ). Либо x1 0 ( x0 – точка гладкости границы);

либо x1 0, x2 0 ( x0 – точка на «выходящем» ребре);

либо R 3{x1 0, x2 0} ( x0 – точка на «входящем» ребре);

либо r 0, Q, где Q S 2 – односвязная область с кусочно-гладкой границей Q ( x0 – вершина «конуса с ребрами»). В частности, ес ли Q – гладкая, то x0 – коническая точка;

если Q образована дугами больших окружностей, то x0 – вершина многогранного угла.

Пусть Q – ограниченная область, и каждая точка x Q принадле жит одному из этих типов. Тогда будем говорить, что Q – область с кусочно-гладкой границей. Будем также предполагать, что тело Q не касается стенок резонатора, Q P. В PQ среда изо тропна и однородна с постоянными 0 ( 0), 0 ( 0).

Требуется определить электромагнитное поле E, H L2 P, возбуждаемое в резонаторе сторонним полем с временной зависи мостью вида e it. Источник стороннего поля – электрический ток j0 L2 P. В области P R 3 стандартные дифференциальные опе раторы grad, div, rot понимаются в смысле обобщенных функций.

Будем искать «слабые» (обобщенные) решения системы урав нений Максвелла (ниже понятие решения будет уточнено):

rot H iE j0, E rot E i 0 H. (1) Сформулируем обобщенные краевые условия на границе P.

Если u – достаточно гладкое векторное поле в P, то через u, u будем обозначать нормальную и касательную составляющие поля u на P. В негладком случае дадим определение для равенств u 0, u 0. Пусть u L2 P;

C 3. Тогда если div u L2 P, то u 0 означает, что u,grad v div u, v v H 1 P ;

(2) если rot u L2 P, то u 0 означает, что u, rot w (rot u, w) w L2 P : rot w L2 P ;

(3) где H 1 P пространство Соболева.

Обозначим u |P : u, u |P : u.

Для E, H должны выполняться краевые условия на стенках ре зонатора:

E |P 0, H |P 0. (4) Если выполняются уравнения Максвелла, то второе условие в (4) следует из первого, и его можно опустить. Но если рассматри вать оператор Максвелла, порождаемый левой частью (1), то надо ставить оба условия.

Для u H 1 P существуют граничные значения из простран ства H 1/ 2 P в смысле теории следов. Почти везде на P опреде лен вектор нормали. Поэтому можно говорить о равенствах следов u 0, u 0, что будет равносильно этим равенствам в смысле данного выше определения.

Пусть также E0 и H 0 – решения рассматриваемой краевойза дачи в отсутствие неоднородного тела Q, x 0 I, x P ( I – единичный тензор):

rot H 0 i0 E0 j0, rot E0 i 0 H 0 (5) E с краевыми условиями E0 |P 0, H |P 0.

(6) Эти решения могут быть выражены аналитически через j0 E с помощью введенного в §2 тензора Грина прямоугольного парал лелепипеда. Ниже нам понадобятся результаты исследования опе ратора Максвелла в L2 [59].

Через H 0 P обозначим замыкание в H 1 класса C0 P. В ска лярном и векторном случаях мы используем одинаковые обозначения.

В L2 P;

C 3 рассмотрим подпространства:

G0 G0 P grad : H 0 P, G1 G1 P grad : H 1 P.

Через будем также обозначать ограниченный в L2 P;

C оператор умножения на матрицу x. В L2 P;

C 3 введем новое скалярное произведение, ;

оно порождает норму, эквива. Возникающее при этом гильбертово простран лентную норме ство обозначим через L2 L2 P;

C 3,. Алгебраически и тополо гически пространства L2 P;

C 3, при разных совпадают.

«Соленоидальные» подпространства J 0,, J1, вводятся с по мощью ортогонального разложения (разложения Вейля):

L2 G0 J 0,, L2 G1 J1,. (7) Если x I, будем опускать индекс.

Отметим, что если H 0 P, то grad 0. Если u J1,, то u 0.

Рассмотрим класс векторных полей:

F {u L2 ( P) : div(u ) L2 ( P );

rot u L2 ( P )}.

Относительно обычных линейных операций и скалярного про изведения, определяемого нормой u F rot u div u u L, 2 (8) класс F представляет собой полное гильбертово пространство.

В F выделяются замкнутые (относительно нормы (8)) подпро странства:

F0, u F : u 0, F1, u F : u 0.

Обозначим 0, F0, J 0,, 1, F1, J1,.

Через l обозначим блочно-диагональную 66-матрицу с бло ками, 0 I. Пространство L2 P;

C 6, 1 со скалярным произведе нием l, представим в виде L2 (l ) L2 P;

C 3, L2 P;

C 3, 0. (9) Другое разложение для L2 l порождается разложениями (7).

Пусть G G0 l G1, J l J 0, l J1. (10) Тогда L2 l J l G. (11) В пространстве L2 P;

C 3 рассмотрим операторы 1, 0, за даваемые выражением rot на областях определения:

Dom 1 u L2 P : rot u L2 P, Dom 0 u Dom 1 : u 0.

Лемма 1 [59]. В пространстве L2 l самосопряжен блочный (относительно разложения (9)) оператор:

i Ml. (12) i 0 10 Так как G Ker M l, то разложение (11) приводит [106] опера тор (12). Обозначим через M l его часть, действующую в J l.

Имеет место следующее описание оператора M l. Рассмотрим операторы R0,l u 0 1rot u, Dom R0,l 0,1, R1,l u 1rot u, Dom R1,l 1,1.

Блочный относительно разложения (10) оператор 0 iR1,l Ml iR0,l самосопряжен в J l и совпадает с действующей в J l частью опера тора M l.

Лемма 2 [59]. Спектр M l оператора M l дискретен.

Дискретность спектра самосопряженного оператора равно сильна компактности его резольвенты [106]. Пусть M l = M l 0 – спектр M l.

Теперь мы можем рассмотреть вопрос о разрешимости краевой задачи (1), (4). Запишем эту систему в виде 0T M l u u j 0, u : E, H, j 0 : i 1 jE, 0.

T Пусть j 0 j0 l j1, u u0 l u1. Тогда получаем M l u0 u0 j0, u1 j1 0.

Отсюда следует Утверждение 1. При M l краевая задача для системы уравнений Максвелла (1), (4) имеет единственное решение E, H L2 P при любом j0 L2 P.

E Аналогично, пусть M l0 M 1 0 – спектр M l0 опера тора при 0 I всюду в P. Тогда верно Утверждение 2. При M l0 краевая задача для системы уравнений Максвелла (5), (6) имеет единственное решение E0, H 0 L2 P при любом j0 L2 P ;

E 2 2 n m k M nmk : nmk, n 0, m 0, k 0.

0 l a b c Имеют место результаты о гладкости решений задач (5), (6) и (1), (4) при более гладких данных [59]. Сформулируем один из та ких результатов.

Утверждение 3. Пусть j0 H 1 P. Тогда E0, H 0 H 1 P.

E C1 Q.

Q C 2, Пусть, кроме того, Тогда сужения E Q, H Q H 1 Q и E P \Q, H P \Q H 1 P \ Q. Кроме того, справед ливы условия сопряжения на Q :

E Q 0, H Q 0, где [ ] означает разность следов с разных сторон Q.

В предположениях утверждения 3 краевые условия на P и условия сопряжения на Q понимаются в смысле равенства следов элементов из H 1/ 2 P и H 1/ 2 Q. Ясно, что при первоначальных общих предположениях о тензоре такие условия сопряжения не имеют смысла.

§2 Тензоpная функция Грина прямоугольного резонатора Построим диагональный тензор Грина G, компоненты которо E го являются фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца в P с коэффициентом k02 2 0 0 и удовлетворяют краевым усло виям первого или второго рода на P, обеспечивающим обращение в нуль тангенциальных составляющих напряженности электриче ского поля на стенках резонатора. Его компоненты имеют вид 2 1 0 n n m n GE y cos x1 sin x2 cos n 0 m 1 ab nm sh nm c a b a m sh nm x3 sh nm c y3, x3 y sin y sh nm y3 sh nm c x3, x3 y3 ;

b 2 1 0 m n m n GE y sin x1 cos x2 sin ab nm sh nm c a b a n 1 m m sh nm x3 sh nm c y3, x3 y cos y sh nm y3 sh nm c x3, x3 y3 ;

b n m n GE y sin x1 sin x2 sin ab nm sh nm c a b a n 1 m m ch nm x3 ch nm c y3, x3 y sin y ch nm y3 ch nm c x3, x3 y3.

b 2 n m В этих выражениях nm k0, при этом ветвь a b квадратного корня выбирается так, чтобы Im nm 0.

Запишем GE с выделенной особенностью при x = y:

ik x y 1e g 1 x, y, x, y P, G E 4 x y где функция g 1 C Q P [95, с. 132]. Аналогичные представле 2 ния справедливы и для функций GE, GE. Отсюда и в силу симмет рии функций Грина GE x, y GE y, x m 1, 2, 3 имеем m m Утверждение 4. Тензор Грина GE допускает представление ik x y 1e I g x, y, GE x, y P, 4 x y где матрица-функция (тензор) g C Q P и g C P Q.

Такое представление функции Грина удобно для теоретическо го исследования задачи дифракции, но непригодно для численных расчетов, т.к. не содержит алгоритма вычисления g. В работах [95,182] изложен и протестирован конструктивный метод выделе ния особенности, позволяющий корректно вычислять значения функции Грина вблизи особых точек.

Отметим, что функции Грина имеют единственную особен ik x y 1e ность вида и не имеют других особенностей в силу сде 4 x y ланного нами предположения о том, что тело не касается поверх ности резонатора.

§3 Объемное сингулярное интегральное уравнение Наша ближайшая цель – свести краевую задачу к объемному сингулярному интегральному уравнению и доказать теорему экви валентности.

Пусть M l0 M l. Тогда решения краевых задач (1)– (4) и (5)–(6) существуют и единственны. Перепишем (1) в эквива лентной форме:

rot H i 0 E jE, rot E i 0 H, (13) где jE j0 jE.

p E В последнем равенстве jE i ( x) 0 I E – электрический p ток поляризации.

Нетрудно проверить, что решение краевой задачи (4), (13) имеет вид E i 0 A E grad div A E, H rot A E, (14) i где A E GE r jE y dy – (15) P векторный потенциал электрического тока. Потенциал A E удовле творяет уравнению A E k02 A E jE. Таким образом, потенциал A E есть свертка с тензором Грина прямоугольного резонатора для уравнения Гельмгольца, обеспечивающего выполнение требуемых краевых условий для полей.

Однако формулы (14) не дают явного решения задачи (4), (13), т.к. ток jE зависит от E. Из соотношений (13)–(15) для поля E сле дует интегродифференциальное уравнение:

y E x E x k0 GE r I E y dy 0 Q y grad div GE r I E y dy, x Q. (16) Q Кроме того, y E x E x k GE r I E y dy 0 Q y grad div GE r I E y dy, x P \ Q. (17) Q Формула (17) дает представление решения E x в области P\Q, если E y, y Q – решение уравнения (16). Поле H выража ется через решение (16) в виде y H x H x i0 rot GE r I E y dy, x P.

Q Сведем полученное выше интегродифференциальное уравне ние к объемному векторному сингулярному интегральному урав нению [138, 139].

Представим функцию Грина в виде GE r G0 (r ) G1 r G2 r, r x y ;

eik0r 1 I, G2 r diag g 1, g 2, g 3.

G0 r I, G1 r 4r 4r yx Пусть. Сформулируем важное утверждение о диф r ференцировании интегральных операторов, ядро которых имеет особенность порядка 1/ r 2.

Лемма 3 [139]. Пусть функция x, имеет в Q непрерыв ные первые производные по декартовым координатам точек x и, а u L2 Q. Тогда интеграл x, u y dy ( x) r Q имеет обобщенные производные / xk L2 Q, k 1,2,3. Эти производные определяются из формул x, u y dy u x x, cos k dS, v. p. xk xk r Q S где k – угол между вектором r, направленным от точки x к y, и ортом, который соответствует координате xk.

Применяя лемму 3 о дифференцировании интеграла с ядром, имеющим слабую особенность, придем к представлению 1 2 1 U n y dy v. p. U n y dy lnU n x.

xl Q xn 4r xl xn 4r Q Используя полученные соотношения, переходим от интег родифференциального уравнения (16) к векторному сингулярному интегральному уравнению:

1 x y E x I E x v. p. 1 x, y I E y dy 3 0 Q y y x, y I E y dy 2 x, y I E y dy E0 x. (18) 0 Q Q Здесь тензоры, 1, 2 имеют вид x, y k02GE r,grad grad G0 r ;

1 x, y,grad grad G1 r ;

2 g j r 2 x, y ij x x.

i j Вопрос о разрешимости уравнения (18) и об эквивалентности краевой задачи дифракции и сингулярного интегрального уравне ния устанавливается в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть тело Q с кусочно-гладкой границей Q ха рактеризуется положительным тензором диэлектрической прони цаемости L Q и 1 L Q. Пусть M l0 M l, а E, H и E0, H 0 – решения краевых задач (1), (4)–(6). Тогда существу ет и единственно решение E L2 Q уравнения (18). Обратно, если E L2 Q – решение интегрального уравнения (18), то формулы (13)–(17) дают решение краевой задачи для системы уравнений Мак свелла (1), удовлетворяющее условию (4).

§4 Метод Галеркина Одним из наиболее эффективных методов численного решения интегральных уравнений является метод Галеркина.

Для уравнения A f,, f X в гильбертовом пространстве X метод формулируется следующим образом. Пусть конечномерные подпространства X n X являются линейными оболочками базисных функций: X n span {v1,, vn }, Pn : X X n – ортопроекторы. По требуем, чтобы для {vk } выполнялось условие аппроксимации:

X lim inf 0. (19) n X n Метод Галеркина записывается следующим образом:

An, vl X f, vl X, l 1,, n, где (, ) X – скалярное произведение в X. Представив приближен n ное решение в виде n ck vk, получим систему линейных алгеб k раических уравнений для отыскания неизвестных коэффициентов ck :

n c Av, v f, vl X, l 1,, n. (20) k k l X k Рассмотрим вопрос о сходимости метода Галеркина для урав нения электрического поля (18). Сформулируем лемму.

Лемма 4 [16]. Предположим, что A : X X есть ограниченный оператор, имеющий ограниченный обратный, и что проекционный ме тод сходится для A. Пусть B – линейный ограниченный оператор, A + B инъективен. Оператор B удовлетворяет любому из двух условий:

a) sup An 1 Pn B q 1;

б) B компактен.

nN Тогда проекционный метод также сходится для оператора A + B.

Перепишем интегральное уравнение (18) для электрического поля в виде I S K E E0, (21) где операторы S и K определяются в соответствии с (18):

1 x y SE x I E x v. p. 1 x, y I E y dy;

3 0 Q y y KE x x, y I E y dy 2 x, y I E y dy.

0 Q Q Теорема 2. Пусть тензор диэлектрической проницаемости таков, что 1/ 3 x 2 ess sup ln ln, l,n1 0 xQ и выполнено условие аппроксимации (19). Тогда уравнение (21) од нозначно разрешимо для любой правой части, E0 L2 Q и метод Галеркина сходится для уравнения (18).

Вернемся теперь к вопросу о построении схемы Галеркина для рассматриваемой задачи дифракции. Будем формулировать метод не для сингулярного интегрального уравнения (18), а для интегро дифференциального уравнения (16). Этот подход оказывается эф фективным в силу более удобного представления интегралов. Бу x I обратима в Q, дем предполагать, что матрица x I L Q, I – единичная матрица.

0 x x Введя обозначения I, J : I E, перей 0 дем от (16) к следующему уравнению:

AJ J x k0 GE J y dy grad div GE J y dy E0 x.

Q Q Представим это уравнение в виде системы трех скалярных уравнений:

li J i x k02 GE x, y J l y dy div x GE x, y J y dy l xl i 1 Q Q E 0l x, l 1, 2, 3.

Определим компоненты приближенного решения J таким об разом:

N N N J ak f J bk f J ck f k3 x, x, x, 1 1 2 2 k k k 1 k 1 k где f ki – базисные функции-«крышки», существенно зависящие лишь от переменной xi.

Ниже проводится построение функций f k1. Будем считать, что Q – параллелепипед: Q x : a1 x1 a2, b1 x2 b2, c1 x3 c2, Q P. Разобьем Q параллелепипедами:

1 x : x1,k 1 x1 x1,k 1, x2,l xl x2,l 1, x3,m x3 x3,m1 ;

klm a2 a1 b b c c x1,k a1 k, x2,l b1 2 2 1 l, x3,k c1 2 2 1 m, n n n где k 1,, n 1;

l, m 1,, n 2 1.

Обозначив h1 : | x1,k x1,k 1 |, получим формулы для f klm :

1 1 x1 x1,k, x klm, h f klm 0, x 1.

klm 2 Функции f klm, f klm, зависящие от переменных x2 и x3, соответ ственно, определяются аналогичными соотношениями. Построен ное множество базисных функций удовлетворяет требуемому усло вию аппроксимации в L2 [131].

Перенумеруем базисные функции f k1, f k2, f k3, k 1,, N.

Расширенную матрицу для нахождения неизвестных коэффициен тов ak, bk, ck удобно представить в блочной форме:

A11 A13 B A A23 B2, A21 A A A33 B A 31 элементы колонок Bk и матриц Akl определяются из соотношений k Akl kl f jl, f i k kl k02 GE x, y f jl y dy, fi k ij Q k l G x, y f j y dy, fi, xk xk Q Bki E0k, fi k, k, l = 1, 2, 3;

i, j = 1, …, N.

Здесь функция G имеет вид n m n m G y sin x1 sin x2 sin y1 sin ab nm sh nm c a b a b n 1 m sh nm x3 sh nm c y3, x3 y3, sh nm y3 sh nm c x3, x3 y3.

Часто интерес представляют задачи рассеяния в среде, харак теризующейся постоянной во всем объеме резонатора диэлектри ческой проницаемостью ( 0 I ) и тензорной магнитной прони цаемостью в Q (вне Q 0 I ). В этом случае краевая задача сводится к объемному сингулярному интегральному уравнению (такого же типа) для магнитного поля и выражению для электриче ского поля через решение этого уравнения:

y H ( x) H 0 x k02 GH r I H y dy Q y grad div GH r I H y dy, x Q;

Q y E x E x i 0 rot GH r I H y dy, x P.

Q В последних формулах GH x, y – тензорная функция Грина прямоугольного резонатора, отвечающая произвольному распреде лению источников магнитного поля. Как и для рассматривавшейся функции Грина GE x, y, имеет место представление в виде суммы сингулярного слагаемого того же вида и гладкой функции. Следо вательно, для задачи о возбуждении резонатора магнитным током верны все теоремы, сформулированные выше.

Раздел 2. Исследование электромагнитной задачи дифракции на диэлектрическом теле в слое Раздел посвящен исследованию задачи дифракции стороннего электромагнитного поля на локально-неоднородном теле, поме щенного в слой с идеально проводящими стенками. Для численно го решения задачи возможно использовать метод конечных эле ментов. Однако прямое применение метода конечных элементов встречает ряд трудностей: краевая задача для системы уравнений Максвелла не является эллиптической, поэтому не работают стан дартные схемы доказательства сходимости проекционных методов [16];

для получения приемлемой точности расчета поля в теле не обходимо брать достаточно мелкую сетку, что влечет выбор такой же сетки в объеме вне тела, что в полной мере невозможно, т.к.

объем неограничен, кроме того, различные сетки в этом случае ве дут к неверным результатам. Все это, если учитывать трехмерный векторный характер задачи, приводит к разреженным матрицам очень больших порядков в методе конечных элементов.

От этих недостатков свободен метод объемных сингулярных интегральных уравнений. Здесь оператор получается эллиптиче ским, а интегральное уравнение решается только внутри тела (в об ласти неоднородности).

Результаты раздела опубликованы в работе [72].

§1 Краевая задача дифракции Рассмотрим краевую задачу дифракции. Пусть в декартовой сис теме координат P : x : 0 x3 1 – слой. Экраны 1 x : x3 0, 2 x : x3 1 считаются бесконечно тонкими и идеально прово дящими 1 2. В слое расположено объемное тело Q (такое, что Q P ), характеризуемое постоянной магнитной проницаемо стью 0 и положительным трехмерным тензором (матрицей функ цией) диэлектрической проницаемости x. Компоненты x яв ляются ограниченными функциями в области Q, L Q, а 1 L Q.

Граница Q области Q – кусочно-гладкая. Тело Q не касается границ слоя Q. В P \ Q среда изотропна и однородна с по стоянными 0 0, 0 0.

Требуется определить электромагнитное поле E, H L2,loc P, возбуждаемое в резонаторе сторонним полем с временной зависи мостью вида e i t. Источник стороннего поля – электрический ток j0 L2,loc P. В области P R 3 стандартные дифференциальные E операторы grad, div, rot понимаются в смысле обобщенных функций.

Будем искать «слабые» (обобщенные) решения системы урав нений Максвелла:

rot H iE j0, E rot E i 0 H. (1) Краевые условия для касательных к поверхности состав ляющих электрического поля имеют вид E 0. (2) Должны выполняться условия конечности энергии в любом ограниченном объеме: E, H L2 P.

loc Запишем условия на бесконечности:

1) при Im 0 0, Im 0 0, E, H o 1 2, : x равно мерно по всем направлениям x по x3 ;

2) при Im 0 0, Im 0 0, 0 0, 0 0 потребуем, чтобы ко эффициенты Фурье c un x 2 u x cos nx3dx 3 ;

c vn x 2 v x sin nx3dx 3, n 0, (3) для компонент u E или H, v H или E удовлетворяли усло виям un un un 1, :

v ikn v o( ), v O (4) n n n – при kn k 2 2 n 2 0 ( kn 0, если k n, kn 0, если k n ), un v O 1, ;

(5) n – при kn un un 1 o 2 o 2, ;

, (6) v vn n – при Im kn 0 равномерно по n и по всем направлениям x ;

e3 0, 0, 1, 0.

Здесь условия (4) – условия Зоммерфельда для двумерной ог раниченной области;

(5) – условие на бесконечности для двумерно го уравнения Лапласа. Эти условия накладываются лишь на конеч ное число коэффициентов Фурье, поэтому равномерность по n для них не требуется.

§2 Тензорная функция Грина слоя Компоненты диагонального тензора Грина G diag G1, G2, G определяются как решения уравнения Гельмгольца:

Gi k 2Gi x y y P, i 1, 2, 3.

С краевыми условиями I и II рода G3 G G1,2 0 и G1, x3 x x3 0 x x3 0 x3 условия на бесконечности [23] для n g n ikn g n o 1 2, g n O 1 2, (7) kn k 2 2 n 2, Im kn 0, (8) k n, k n, kn 0, kn 0, если если где g n 2 G x, y cos nx3dx 3, : x12 x 1/ равномерно по всем направлениям x, x x1, x2, и равномерно по у из любого огра ниченного подмножества в P. Условия (7), (8) являются условиями Зоммерфельда в двумерной ограниченной области. Коэффициенты Фурье являются решениями двумерного уравнения Гельмгольца с параметром kn в области 0 для некоторого 0. Из (7) видно, g что g n и n экспоненциально убывают при, если Im kn 0.

Функции Грина могут быть представлены в одной из следую щих форм [23]:

i sin jx3 sin jy3 H 0 k x y, G1 x, y G2 x, y 2 j 1 i 1 1 G3 x, y H 0 k x y cos jx3 cos jy3 H 0 k x y 2 2 j для x y.

Или 1 e ik x y* 2 je ik x y 2 je e G1,2 x, y, 4 j x y 2 je3 x y* 2 je3 1 e ik x y* 2 je ik x y 2 je e G3 x, y, (9) 4 j x y 2 je3 x y* 2 je3 e3 0, 0, 1, H 0 z – функция Ханкеля нулевого порядка первого (1) рода.

Выделим особенность при x y 0 :

ik x y 1e sin kx3 sin ky3 ln 1 e 2ik A1 x, y ;

G1 x, y G2 x, y 4 x y ik x y 1e cos kx3 cos ky3 ln 1 e 2ik A2 x, y, G3 x, y 4 x y где ik x y* 1e A1 x, y 4 x y * eik x y 2 je * 1 e ik x y 2 je3 ik x y 2 j ik x y 2 j e33 e, x y * 2 je 2 j 4 j x y 2 je3 2j j ik x y* 1e A2 ( x, y ) 4 x y * eik x y 2 je * 1 e ik x y 2 je3 ik x y 2 j ik x y 2 j e33 e.

x y * 2 je 2 j 4 j x y 2 je3 2j j Здесь ln z обозначает аналитическое продолжение вещест венной функции ln t, t 0, на множество C \ i, 0 ;

для коэф фициентов a lj x, y ряда Al x, y и их производных любого пряд ка по xi, yi справедливы равномерные на каждом компакте R 2 оценки [23] D a j x, y Ca j 2, x, y. Откуда следует, что Al C l 1, 2.

Из представления (9) получаем, что Gi x, y, k аналитичны по k в C (при Im k 0 ). Обозначим через множество значений k, при которых функции Грина Gi не определены:

: k : k n, n Z.

Тогда, как показано в [23], Gi непрерывно дифференцируема по x j, y j любое число раз в P P и непрерывна по k в C \.

§3 Объемное сингулярное интегральное уравнение Перепишем (1) в эквивалентной форме:

rot H i0E jE ;

rot E i 0 H, где jE j0 jE, jE i x I E – электрический ток поляризации.

p p E Решение краевой задачи имеет вид E i 0 A E grad div A E, H rot A E, i где A E GE r jE y dy – векторный потенциал электрического P тока. Потенциал A E удовлетворяет уравнению A E k02 A E jE.

Таким образом, потенциал A E представляет собой свертку с тензором Грина для уравнения Гельмгольца, обеспечивающую вы полнение требуемых краевых условий для полей.

Для поля Е следует интегродифференциальное уравнение:

y E x E x k0 GE I E y dy 0 0 Q y I E y dy, x Q.

grad div GE (10) 0 Q Кроме того, y E x E x k GE I E y dy 0 Q y I E y dy, x P \ Q.

grad div GE (11) Q Формула (11) дает представление решения E x в области x P \ Q, если E y y Q – решение уравнения (10). Поле Н вы ражается через решение (11) в виде y H x H x i0 rot GE I E y dy, x P.

Q Сведем полученное интегродифференциальное уравнение к объемному векторному сингулярному интегральному уравнению.

Представим функцию Грина в виде GE r G0 r G1 r G2 r, r x y ;

eik0r I, G1 r G0 r I;

4r 4r G2 r diag g 1, g 2, g 3.

Отметим, что тензор G2 отличается от аналогичного тензора в разделе 1 данной главы.

Рассмотрим второй интеграл в уравнении (10) для электриче ского поля и исследуем вопрос о возможности внесения операции grad div под интегралы G r U y dy.

В декартовой системе координат 3 xl xn grad div GE r U y dy Gn r U n y dy, l 1, 2, 3.

n1 l Q Q Для функции G0 внесение второй производной под знак инте грала возможно, т.к. функция и ее первая производная имеют слабую особенность. Это верно и для G2 r в силу гладкости g k k 1, 2, 3.

Применяя лемму 3 к сингулярному интегралу с ядром, xn 4r придем к представлению 1 2 1 xn 4r U n y dy v. p.Q xl xn 4r U n y 3 lnU n x, xl Q ln – символ Кронекера.

Используя полученные соотношения, переходим от интегро дифференциального уравнения к векторному сингулярному урав нению:

1 x y E x I E x v. p. 1 x, y I E y dy 3 0 0 Q y x, y I E y dy 0 Q y 2 x, y I E y dy E0 x. (12) Q Здесь тензоры, 1, 2 имеют вид x, y k02GE r,grad grad G0 r ;

2 g j r 1 x, y,grad grad G1 r ;

2 ( x, y ).

xi x j i, j §4 Метод Галеркина Одним из наиболее эффективных методов численного решения интегральных уравнений является метод Галеркина.

Перепишем интегральное уравнение (12) в виде I S K E E0, (13) где операторы S и K определяются как 1 x y SE x I E x v. p. 1 x, y I E y dy ;

3 0 Q y KE x x, y I E y dy 0 Q y 2 x, y I E y dy.

0 Q Теорема 1 [181]. Пусть тензор диэлектрической проницаемо сти таков, что 1/ 3 x 2 ess sup ln ln, l,n1 xQ и выполнено условие аппроксимации (1.19). Тогда уравнение (13) однозначно разрешимо для любой правой части E0 L2 Q, и ме тод Галеркина для него сходится.

Построим схему Галеркина для рассматриваемой задачи ди фракции. Предположим, что матрица I обратима в Q, 1 I L Q, I – единичная матрица.

1 Введем обозначения: I, j I E.

Получим уравнение Aj j x k02 GE j y dy grad div GE j y dy E0 x.

Q Q Представим это уравнение в виде системы трех скалярных уравнений:

li j i x k02 G l E j l y dy div GE j y dy xl i 1 Q xQ E l 0 x, l 1, 2, 3.

Определим компоненты приближенного решения j следую щим образом:

N N N j ak f j bk f j ck f k3 x, x, x, 1 1 2 2 k k k 1 k 1 k где f ki – базисные функции-«крышки», существенно зависящие от переменной xi.

Построим функции f k1. Будем считать, что Q – параллелепи пед: Q x : a1 x1 a2, b1 x2 b2, c1 x3 c2, Q P. Разобьем Q параллелепипедами:

1klm x : x1,k 1 x1 x1,k 1, x2,l x2 x2,l 1, x3,m x3 x3,m1 ;

a2 a1 b b c c x1,k a1 k, x2,m b1 2 2 1 l, x3,m c1 2 2 1 m, n n n где k 1, 2,..., n 1, l, m 0, 1,..., n / 2 1.

Обозначим h1 x1,k x1,k 1, получим формулы для f klm :

1 1 1 x1 x1,k, x klm, h f klm 0, x klm.

2 Функции f klm, f klm, зависящие от переменных x2, x3, соответ ственно, определяются аналогичными соотношениями. Так как 0, f klm 0, f klm 0, (14) 1 2 f klm x1 x1, k 1, x1, k 1 x2 x2,l 1, x2,l 1 x3 x3, m 1, x3, m то каждая компонента вектора приближенного решения обращает ся в нуль на одной из граней Q. Тем не менее, построенное множе ство базисных функций удовлетворяет требуемому условию ап проксимации в L2 [131]. Введем сквозную нумерацию для функций f ki : f k1, f k2, f k3, k 1, 2,..., N, N n3 n 2.

Расширенную матрицу для определения неизвестных коэффи циентов ak, bk, ck удобно представить в блочной форме:

A11 A12 A13 B A21 A22 A23 B2.

A 31 A32 A33 B Элементы матрицы Akl и колонки Bk определяются из соот ношений Bki E0k, fi k ;

Akl kl f jl, f i k kl k02 Gk x, y f jl y dy, fi k x ij Q Gk x, y f jl y dy, fi k x, xk xl (15) Q k, l 1, 2, 3;

i, j 1, 2,..., N.

Преобразуем второе скалярное произведение в (15), применяя к внешнему интегралу формулу интегрирования по частям:

Gk x, y f jl y dy, fi k x xk xl Q k Gk x, y f jl y dy, fi x.

xl xk Q Поверхностные интегралы отсутствуют в силу условия (14).

Перепишем (15), используя соотношение Akl kl f jl, f i k ij k kl k02 Gk x, y f jl y dy, fi k x Gk x, y f jl y dy, fi x, xl xk Q Q или записывая явно скалярные произведения по носителям базис ных функций:

G x, y f y f x dydx Akl kl f jl fi k dx kl k ij l k k j i lj ik ik lj k Gk x, y f jl y fi x dydx.

xl xk ik lj Раздел 3. Исследование электромагнитной задачи дифракции на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе Раздел посвящен исследованию задачи дифракции электро магнитной волны на диэлектрическом теле произвольной геомет рической формы, помещенном в прямоугольный волновод с иде ально проводящими стенками.

Рассматривается трехмерная векторная задача в полной элек тродинамической постановке. Решение таких задач является в на стоящее время одной из самых актуальных проблем в электродина мике. Решение этих задач с приемлемой для практики точностью на электродинамическом уровне строгости математическими методами требует очень большого объема вычислений и часто невозможно даже на самых современных суперкомпьютерах. Особенно остро стоит проблема решения обратных электродинамических задач на сложной системе тел в резонансном диапазоне частот [132, 173].

При решении рассматриваемых задач конечно-разностные методы и методы конечных элементов встречают принципиаль ные трудности: область, в которой решается задача, должна быть сделана конечной. Такая редукция области приводит к появлению неконтролируемой ошибки, причем размеры области для ее умень шения должны быть достаточно велики. Конечно-разностные ме тоды и методы конечных элементов в такой ситуации обычно приводят к очень большим, но разреженным матрицам в системах линейных алгебраических уравнений (порядка 109 и более).

От этих недостатков свободен метод объемных сингулярных интегральных уравнений [156, 181]. Здесь оператор получается эл липтическим, а интегральное уравнение решается только внутри тела (в области неоднородности). В отличие от [156], мы изучаем интегральное уравнение, опираясь в основном на результаты иссле дования соответствующей краевой задачи и теорему эквивалентно сти краевой задачи и интегрального уравнения. На этом пути удает ся доказать теорему о существовании и единственности решений в L2 интегрального уравнения, сходимость численного метода Галер кина, получить некоторые результаты о гладкости решений. После дискретизации получается конечномерная система уравнений с плотной (заполненной) матрицей. Таким образом, второй путь при водит к необходимости решать системы уравнений с плотными мат рицами, но существенно меньших порядков (103–104).

Существует много алгоритмов и пакетов прикладных про грамм, реализующих процедуру численного решения интегральных или интегродифференциальных уравнений. Однако при этом, во первых, не учитываются последние достижения в области исследо вания таких классов уравнений и численных методов их решения;

во-вторых, не учитывается специфика решения таких задач метода ми параллельных вычислений на кластере. Точнее, матрицы систем линейных алгебраических уравнений, возникающие при примене нии численных методов типа метода Галеркина, имеют специаль ную блочно-теплицевую структуру, а элементы матрицы формиру ются в результате счета интегралов, вычисление которых может быть осуществлено независимо и параллельно. Учет этих факторов делает возможным и актуальным применение методов параллель ных вычислений для решения трехмерных векторных задач элек тродинамики на вычислительных кластерах и суперкомпьютерах.

Результаты раздела опубликованы в работе [15, 42, 173].

§1 Краевая задача дифракции для системы уравнений Максвелла Рассмотpим следующую задачу дифpакции. Пусть в декарто вой системе координат P x : 0 x1 a, 0 x2 b, x3 – волновод с идеально проводящей поверхностью P. В волноводе расположено объемное тело Q (Q P – область), хаpак теpизующееся постоянной магнитной пpоницаемостью 0 и поло жительной 3 3 -матрицей-функцией (тензором) диэлектрической проницаемости x. Компоненты x являются ограниченными функциями в области Q, L Q, а также 1 L Q.

Граница Q области Q кусочно-гладкая. Будем также предпола гать, что тело Q не касается стенок волновода, Q P. В P \ Q среда изотропна и однородна с постоянными 0 0, 0 0.

Требуется определить электромагнитное поле E, H L2,loc P, возбуждаемое в волноводе сторонним полем с временной зависимостью вида e it. Источник стороннего поля – электрический ток j0 L2,loc P. В области P R 3 стандартные дифференциальные операторы grad, div, rot понимаются в смыс ле обобщенных функций.

Будем искать «слабые» (обобщенные) решения системы урав нений Максвелла (ниже понятие решения будет уточнено):

rot H iE j0 ;

E rot E i 0 H. (1) Эти решения должны удовлетворять условиям на бесконечно сти [95]: поля E и H при x3 C для достаточно больших C имеют представление (+ соответствует, – соответствует ):

p p e3 i p 2 p 1 E R p e p i x H i0 2 p e p i 0 2 p e i p x Qp e, (2) e i 2 p p3 p p p где p k02 p, Im p 0 или Im p 0, k p 0 и p, j j j j j p x1, x2 ;

p, p x1, x2 k02 2 0 0 – полная система собст венных значений и ортонормированных в L2 собственных функций двумерного оператора Лапласа в прямоугольнике : x1, x2 : 0 x1 a,0 x2 b с условиями Дирихле и Неймана, соответственно, и 2 e1 x1 e 2 x2. Для коэффициентов раз ложений (2) имеют место оценки R p, Qp O p m, p, (3) для всех m N.

С физической точки зрения условия (2) означают, что рассеян ное поле является суперпозицией нормальных волн, расходящихся от тела. Условия (3) обеспечивают экспоненциальную сходимость рядов (2), а также возможность их почленного дифференцирования по xj любое число раз.

Для E, H должны выполняться краевые условия на стенках волновода:

E P 0, H P 0. (6) Если выполняются уравнения Максвелла, то второе условие в (6) следует из первого, и его можно опустить. Но если рассматри вать оператор Максвелла, порождаемый левой частью (1), то надо ставить оба условия.

Для u H 1 P существуют граничные значения из простран ства H 1/ 2 P в смысле теории следов. Почти везде на P опреде лен вектор нормали. Поэтому можно говорить о равенствах следов u 0, u 0, что будет равносильно этим равенствам в смысле данного выше определения.

Пусть также E0 и H 0 – решения рассматриваемой краевойза дачи в отсутствие неоднородного тела Q, x 0 I, x P ( I – единичный тензор):

rot H 0 i 0 E0 j0, rot E0 i 0 H 0 (7) E с краевыми условиями 0, H 0 0.

E0 (8) P P Эти решения могут быть выражены аналитически через j0 E с помощью введенного в §2 тензора Грина. Решения не обязаны удовлетворять условиям на бесконечности. Например, E0 и H 0 мо гут быть ТМ- или ТЕ-модой этого волновода.

Имеют место результаты о гладкости решений задач (1)–(6) и (7)–(8) при более гладких данных [181]. Сформулируем один из та ких результатов.

Утверждение 1. Пусть j0 H loc P. Тогда E0, H 0 H loc P.

1 E Пусть, кроме того, Q C 2, C1 Q, тогда сужения E Q, H Q H 1 Q и E P \Q, H P \Q H loc P \ Q. Кроме того, справед ливы условия сопряжения на Q :

E Q 0, H Q 0, где [ ] означает разность следов с разных сторон Q.

В предположениях утверждения 1 краевые условия на P и условия сопряжения на Q понимаются в смысле равенства следов элементов из H loc2 P и H 1/ 2 Q. Ясно, что при первоначальных 1/ общих предположениях о тензоре такие условия сопряжения не имеют смысла.

§2 Тензоpная функция Грина прямоугольного волновода Построим диагональный тензор Грина GE, компоненты кото рого являются фундаментальными решениями уравнения Гельм гольца в P с коэффициентом k02 2 0 0 и удовлетворяют крае вым условиям первого или второго рода на P, обеспечивающим обращение в нуль тангенциальных составляющих напряженности электрического поля на стенках волновода. Его компоненты име ют вид [95] G n 0 m 1 ab 1 0 n nm E n m n m nm x3 y cos ;

x1 sin x2 cos y1 sin y2 e a b a b G n 1 m 0 ab 1 0 m nm E m nm x3 y n m n sin x1 cos ;

x2 sin y1 cos y2 e a b a b G E n 1 m 1 ab nm n m n m nm x3 y sin. (9) x1 sin x2 sin y1 sin y2 e a b a b 2 n m В этих выражениях nm k0, при этом ветвь a b квадратного корня выбирается так, чтобы Im nm 0.

Запишем GE с выделенной особенностью при x y :

m ik x y 1e g m x, y, x, y P, Gm (10) E 4 x y где функция g m C Q P [95, с. 132]. Отсюда и в силу симмет рии функций Грина GE x, y GE y, x m 1, 2,3 имеем m m Утверждение 2. Тензор Грина GE допускает представление ik x y 1e I g x, y, x, y P, GE (11) 4 x y где матрица-функция (тензор) g C Q P и g C P Q.

Такое представление функции Грина удобно для теоретическо го исследования задачи дифракции, но непригодно для численных расчетов, т.к. не содержит алгоритма вычисления g. В работе [95] изложен конструктивный метод выделения особенности, позво ляющий корректно вычислять значения функции Грина вблизи особых точек.

Отметим, что функции Грина имеют единственную особен ik x y 1e ность вида и не имеют других особенностей в силу сде 4 x y ланного нами предположения о том, что тело не касается поверх ности волновода.

§3 Объемное сингулярное интегральное уравнение Наша ближайшая цель – свести краевую задачу к объемному сингулярному интегральному уравнению и доказать теорему экви валентности.

Пусть решения краевых задач (1)–(6) и (7), (8) существуют и единственны. Перепишем (1) в эквивалентной форме:

rot H i0 E jE, rot E i 0 H, (12) где jE j0 jE.

p (13) E В последнем равенстве jE i x 0 I E – электрический p ток поляризации.

Нетрудно проверить, что решение краевой задачи (6), (12) имеет вид E i 0 A E grad div A E, H rot A E, (14) i где A E GE r jE y dy – (15) P векторный потенциал электрического тока. Потенциал A E удовле творяет уравнению A E k02 A E jE. (16) Таким образом, потенциал A E есть свертка с тензором Грина прямоугольного волновода для уравнения Гельмгольца, обеспечи вающей выполнение требуемых краевых условий для полей.

Однако формулы (14) не дают явного решения задачи (6), (12), т.к. ток jE зависит от E. Из соотношений (13)–(15) для поля E сле дует интегродифференциальное уравнение y E x E x k0 GE r I E y dy 0 Q y grad div GE r I E y dy, x Q. (17) Q Кроме того, y E x E x k0 GE r I E y dy 0 Q y grad div GE r I E y dy, x P \ Q. (18) Q Формула (18) дает представление решения E x в области P \ Q, если E y, y Q – решение уравнения (17). Поле H выра жается через решение (17) в виде y H x H 0 x i0 rot GE r I E y dy, x P. (19) Q Сведем полученное выше интегродифференциальное уравнение к объемному векторному сингулярному интегральному уравнению.

Представим функцию Грина в виде GE r G0 r G1 r G2 r, r x y ;

(20) eik0r 1 I, G2 r diag g 1, g 2, g 3. (21) G0 r I, G1 r 4r 4r Отметим, что тензор G2 отличается от аналогичных тензоров в разделах 1 и 2.

Применяя лемму 3 о дифференцировании интеграла с ядром, имеющим слабую особенность, придем к представлению:

1 2 1 xn 4r U n ( y)dy v. p.Q xl xn 4r U n ( y)dy 3 lnU n ( x). (22) xl Q Используя полученные соотношения, переходим от интегро дифференциального уравнения (16) к векторному сингулярному интегральному уравнению:

1 x y E x I E x v. p. 1 x, y I E y dy 3 0 Q y y x, y I E y dy 2 x, y I E y dy E0 x. (23) 0 Q Q Здесь тензоры, 1, 2 имеют вид x, y k02GE r,grad grad G0 r, (24) 1 x, y,grad grad G1 r, (25) 2 g j r 2 x, y ij x x. (26) i j Вопрос о разрешимости уравнения (23) и об эквивалентности краевой задачи дифракции и сингулярного интегрального уравне ния устанавливается в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть тело Q с кусочно-гладкой границей Q ха рактеризуется положительным тензором диэлектрической про ницаемости L Q и 1 L Q. Пусть E, H и E0, H 0 – един ственные решения краевых задач (1)–(6) и (7), (8), соответствен но. Тогда существует и единственно решение E L2 Q уравнения (23). Обратно, если E L2 Q – решение интегрального уравнения (23), то формулы (13)–(15), (17)–(19) дают решение краевой зада чи для системы уравнений Максвелла (1), удовлетворяющее усло вию (6).

§4 Метод Галеркина Одним из наиболее эффективных методов численного решения интегральных уравнений является метод Галеркина.

Перепишем интегральное уравнение (23) для электрического поля в виде I S K E E0, (27) где операторы S и K определяются в соответствии с (23):

1 x y SE x I E x v. p. 1 x, y I E y dy;

3 0 Q y KE x x, y I E y dy Q y 2 x, y I E y dy. (28) Q Применяя лемму 1, получаем следующий результат.

Теорема 2. Пусть однородное уравнение (27) имеет только тривиальное решение и тензор диэлектрической проницаемости таков, что 2 1/ 3 x ess sup ln ln 1, (29) l,n1 xQ и выполнено условие аппроксимации (1.19). Тогда уравнение (27) однозначно разрешимо для любой правой части E0 L2 Q и ме тод Галеркина сходится для уравнения (27).

Вернемся теперь к вопросу о построении схемы Галеркина для рассматриваемой задачи дифракции. Будем формулировать метод не для сингулярного интегрального уравнения (23), а для интегро дифференциального уравнения (17). Этот подход оказывается эф фективным в силу более удобного представления интегралов. Бу x I обратима в Q, дем предполагать, что матрица x I L Q, I – единичная матрица.

0 Введя обозначения x x I, J : I E, (30) 0 перейдем от (17) к следующему уравнению:


div x GE x, y J y dy E 0l x, l 1, 2,3.

(31) xl Q Представим это уравнение в виде системы трех скалярных уравнений:

J x k G x, y J y dy i 2 l l li 0 E i 1 Q AJ J x k02 GE J y dy grad div GE J y dy E0 x. (32) Q Q Определим компоненты приближенного решения J :

N N N J ai f i x, J bi f i J ci fi 3 x, x, 1 1 2 2 (33) i 1 i 1 i где f i k – базисные функции-«кpышки», существенно зависящие лишь от переменной xk.

Ниже проводится построение функций fi1. Будем считать, что Q – параллелепипед:

Q x : a1 x1 a2, b1 x2 b2, c1 x3 c2, Q P.

Разобьем Q параллелепипедами 1 x : x1,i 1 x1 x1,i 1, x2, j x2 x2, j 1, x3,m x3 x3,m1 ;

ijm a2 a1 b b c c x1,i a1 i, x2, j b1 2 2 1 j, x3,m c1 2 2 1 m, n n n где i 1,, n 1;

j, m 1,, n / 2 1.

Обозначив h1 :| x1, i x1, i 1 |, получим формулы для fijm :

1 1 x1 x1,i, x ijm ;

h f ijm 0, x 1.

ijm 2 Функции fijm, fijm, зависящие от переменных x2 и x3 соответ ственно, определяются аналогичными соотношениями. Построен ное множество базисных функций удовлетворяет требуемому ус ловию аппроксимации в L2 [131].

Перенумеруем базисные функции fi1, fi 2, fi 3, i 1,..., N.

Расширенную матрицу для нахождения неизвестных коэффи циентов ai, bi, ci удобно представить в блочной форме:

A11 A12 A13 B A23 B2, A21 A A A33 B 31 A32 элементы колонок Bk и матриц Akl определяются из соотношений:

Bik E0k, fi k ;

k Aij kl f jl, f i k kl k02 GE x, y f jl y dy, fi k kl Q k l G x, y f j y dy, fi, xk xk Q k, l 1, 2,3;

i, j 1,..., N.

Здесь функция G имеет вид 1 ab G n 1 m nm n m n m nm x3 y sin x1 sin x2 sin y1 sin y2 e.

a b a b Часто интерес представляют задачи рассеяния в среде, харак теризующейся постоянной вовсем объеме волновода диэлектриче ской проницаемостью ( 0 I ) и тензорной магнитной проницае мостью в Q (вне Q 0 I ). В этом случае краевая задача сво дится к объемному сингулярному интегральному уравнению (тако го же типа) для магнитного поля и выражению для электрического поля через решение этого уравнения y H x H x k0 GH r I H y dy 0 Q y grad div GH r I H y dy, x Q;

Q y E x E x i 0 rot GH r I H y dy, x P.

Q В последних формулах GH x, y – тензорная функция Грина прямоугольного волновода, отвечающая произвольному распреде лению источников магнитного поля. Как и для рассматривавшейся функции Грина GE x, y, имеет место представление в виде суммы сингулярного слагаемого того же вида и гладкой функции. Следо вательно, для задачи о возбуждении волновода магнитным током верны все теоремы, сформулированные выше.

Глава 3. Гибридный метод Гибридные методы стали в последнее время все чаще использо ваться для решения внешних электромагнитных задач дифракции на системе диэлектрических и идеально проводящих тел [9, 31]. Суть гибридного метода решения задачи дифракции заключается в сле дующем. Выбирается фиктивная замкнутая поверхность, содержа щая систему диэлектрических и идеально проводящих тел. Вне этой поверхности решение задачи выписывается в явном виде с помо щью поверхностных потенциалов. Внутри поверхности задача ре шается каким-либо методом, а затем решения вне и внутри поверх ности «сшиваются» с помощью условий сопряжения. В результате, кроме уравнений внутри фиктивной поверхности (в объеме), возни кают дополнительные поверхностные уравнения на фиктивной по верхности, что и обусловило название метода как гибридного.

Метод позволяет перейти от решения внешней задачи дифрак ции к решению внутренней задачи с некоторыми дополнительными поверхностными уравнениями. Основным преимуществом данного метода является его универсальность для решения задач дифрак ции на системе ограниченных тел. Одним из главных недостатков метода является неэллиптичность оператора задачи при решении дифракции электромагнитной волны.

Цель настоящей главы состоит в новой формулировке гибрид ного метода таким образом, чтобы в результате получить эллип тичный оператор задачи. Теоретические основы такого подхода были разработаны в [7].

Как известно [16], для получения приближенного решения уравнения с эллиптическим оператором удобно использовать ме тод Галеркина. При этом необходимым и достаточным условием сходимости метода Галеркина является свойство аппроксимации.

Пусть H – гильбертово пространство, Н – антидвойственное к H [16, 186], А: Н Н – линейный ограниченный инъективный оператор. Пусть H n H – последовательность подпространств (n = 1, 2,...), предельно плотных в Н, т.е. обладающих следующим свойством аппроксимации:

inf 0, n, (1) H n для всех Н. Ниже мы всегда предполагаем, что свойство (1) для H n выполнено (это необходимое условие сходимости метода Га леркина).

Рассмотрим операторное уравнение A f, H, f H, (2) и схему метода Галеркина для приближенного решения этого урав нения:

Аn, g f, g для всех g Hn, (3) где n H n – приближенное решение. Будем считать, что размер ность подпространств H n равна п: dim H n = n. Здесь, означа ет отношение двойственности между пространствами H и Н.

Условие эллиптичности является достаточным условием схо димости метода Галеркина (при выполнении необходимого усло вия – свойства аппроксимации (1)). В этом случае базисные функ ции в методе Галеркина можно выбирать любыми, лишь бы они удовлетворяли свойству аппроксимации, т.е. их линейные оболоч ки H n удовлетворяли свойству (1). Как будет показано ниже, это обстоятельство в гибридных методах позволяет выбирать базисные функции на поверхности и в объемной области независимо друг от друга (согласование поверхностных и объемных базисных функций является одной из основных трудностей в гибридных методах [9]).

Из вышесказанного следует, что необходимо стремиться к та ким постановкам электродинамических задач, в которых оператор А будет эллиптическим. Тогда вопрос о сходимости метода Галер кина будет сводиться к выбору базисных функций, обладающих свойством аппроксимации.

Ниже предлагается использовать гибридную формулировку задачи с представлением поля во внешней области с помощью функции Грина. Естественно, фиктивная поверхность S выбирается таким образом, чтобы было возможно построить функцию Грина во внешности S. Поэтому в работе выбрана сфера, хотя все резуль таты (об эллиптичности задачи) остаются в силе и для произволь ной кусочно-гладкой поверхности S.

Результаты главы опубликованы в работах [159, 161].

§1 Гибридный метод для электромагнитной задачи дифракции для системы уравнений Максвелла В данном параграфе рассматривается векторная задача дифрак ции стороннего электромагнитного поля на системе идеально прово дящих тел. Конечная область пространства заполнена средой с ку сочно-непрерывными диэлектрической и магнитной проницаемостя ми x и x. Используется традиционная постановка для системы уравнений Максвелла. Эта задача была рассмотрена, например, в [9].

Ниже доказывается, что такая постановка задачи дифракции приводит к неэллиптическому оператору, отвечающему гибридной формулировке задачи. Точнее, устанавливается, что основной опе ратор («блок») в блочной операторной матрице, отвечающий урав нению в объеме, не будет эллиптическим. Отсюда следует, что и полный оператор задачи также не будет эллиптическим. Поэтому, с нашей точки зрения, постановку задачи, основанную на системе уравнений Максвелла, следует «отвергнуть». Отметим, что неэл липтичность задачи в данном случае не связана с поверхностными уравнениями, неиспользованием функций Грина и т.д.

Пусть R 3 – система ограниченных непересекающихся тел с кусочно-гладкими (замкнутыми) граничными поверхностями.

Пусть S – замкнутая гладкая поверхность, содержащая так, что бы S. Обозначим внешность S через V, а внутреннюю часть S без – через V ;

R 3 V V S.

Пусть в области задано падающее поле V E0 ( x), H 0 x, x V. Требуется определить полное поле E(x), H(x), которое имеет вид E x E ( x) E0 ( x), H x H 0 x, x V ;

(6) H x, H x x V.

E ( x), В силу представления (6) все условия в V будут только однород ными.

Параметры среды в V описываются функциями x и x, которые предполагаются кусочно-постоянными. В области V ве щественные положительные константы 0, 0 ;

0 – круговая частота. Поверхности разрыва x и x предполагаются кусочно гладкими и обозначены через Г.

Рассмотрим следующую краевую задачу для систем уравнений Максвелла:

rot E iH, rot H iE, x V ;

(7) rot E i 0 H, rot H i0E, x V ;

(8) E д 0, (9) E Г 0, (10) H Г 0;

(11) E S 0;

(12) H S 0;

(13) e r e r H o r 1, er E (14) при r x ( e r – единичный вектор, e r x x ). Здесь индекс означает взятие касательных к поверхности, составляющих вектор ное поля, а скобки – разность следов функции с разных сторон поверхности.

В области V запишем слабую (вариационную) формулировку задачи для определения E, H:

1 1 rot H rot t H t dx V i t E n dS 0 t L2, rot V. (15) S Решение E, H ищем в пространстве L2, rot V E, H L2 V, rot E, rot H L2 V.

Если к (15) добавить второе уравнение в (7) rot H iE, (16) то вариационная формулировка задачи будет эквивалентна уравне ниям (7), краевым условиям (9), условиям сопряжения (10), (11), понимаемым в смысле распределений.

В области V запишем интегральное представление для полей E, H :

E x rot M 0 y Ф x, y dS y 0 S rot rot J 0 y Ф x, y dS y ;

(17) ik0 S H x rot J 0 y Ф x, y dS y S rot rot M 0 y Ф x, y dS y, (18) ik0 S где M 0 y n y E S, J 0 y n y H S – неизвестные маг нитный и электрический поверхностные токи;

п – внешняя нор маль к V ;

ik x y e x, y, k0 0 0, 0 0 0.

4 x y Здесь в M 0 H 1 2 S, J 0 H 1 2 S – касательные векторные поля (точнее, сечения векторных расслоений над S 95, 167). Опре деления и свойства пространств HS изложены, например, в 186.

Из равенства (13) имеем J 0 n U dS n H 0 n U dS n H (19) S S для любой функции n U H 1 2 S. Условие (19) эквивалентно (13).


Кроме того, из (12) имеем n M 0 t dS E0 n t dS, E (20) S S S S или, что эквивалентно, M 0 E n E0 n. (21) Тогда вместо (15) получаем 1 1 rot H rot t H t dx i M 0 tdS i E n tdS. (22) 2 V S S Из формул (17), (18) с помощью векторной функции Грина можно получить выражение для J0 через М0:

eik0 x y J 0 x Dx K x, y M 0 y dS, (23) 4 x y S где Dx – некоторый дифференциальный оператор.

Введем новые неизвестные функции:

M M 0 E0 n S, J J 0 n H 0. (24) S Тогда уравнение (22) преобразуется к виду 1 1 rot H rot t H t dx i M t dS 0;

(25) V S уравнение (20) – к виду n trH J n U dS 0;

(26) S уравнение (23) – к виду eik0 x y J x Dx K x, y M y dS y f x, (27) 4 x y S где eik0 x y K x, y E0 n S dS.

f x n H (28) 4 x y S S Квадратичная форма оператора А, определяемого первым ин тегралом в (22), 1 1 a H, t rot H rot t H t dx, (29) V согласно формулам a H, t AH, t t L2, rot V ;

(30) A : L2, Rot V L2, Rot V, (31) не является коэрцитивной. Действительно, если rot H = 0, то фор мула (28) отрицательно определена (при вещественных и ), а при rot H 0 и малых – положительно определена. Отсюда сле дует, что оператор А, а значит и полный оператор для всей задачи, не будет сильно эллиптическим.

Таким образом, для получения свойства эллиптичности, необ ходимо изменять постановку задачи и переходить от краевой зада чи для системы уравнений Максвелла к эквивалентной краевой за даче (другой путь состоит в том, чтобы получать «расщепление»

оператора на подпространствах, аналогичное поверхностным урав нениям электрического поля 95, 167).

§2 Гибридный метод и эллиптичность задачи дифракции для векторного уравнения Гельмгольца В данном параграфе рассматривается та же задача, что и в §1.

Отличие состоит в том, что здесь рассматриваем не систему урав нений Максвелла, а систему уравнений Гельмгольца. Эти задачи эквивалентны, но вторая приводит к эллиптическому оператору, отвечающему исходной краевой задаче. Докажем лишь эллиптич ность основного оператора в операторной матрице, поскольку эл липтичность задачи сопряжения доказана в 7, а из эллиптичности краевой задачи сопряжения следует эллиптичность гибридной формулировки с использованием функций Грина.

Пусть R 3 – система ограниченных непересекающихся тел с кусочно-гладкими (замкнутыми) граничными поверхностями.

Пусть S – замкнутая поверхность, содержащая так, чтобы S. Обозначим внешность S через V, а внутренность S без – через V ;

R 3 V V S.

Рассмотрим задачу (6)–(13) с условиями излучения, E, при x.

1 0e r H k0E o x O x (32) Основная идея следующих построений состоит в том, чтобы изменить условия сопряжения на S и Г таким образом, чтобы пре образовать уравнения в области V и на поверхности S и получить сильно эллиптический оператор. При этом исходная краевая задача сводится к эквивалентной краевой задаче. Эта идея предложена в 7. Будем считать,, k кусочно-постоянными во всем простран стве R3.

Предположим, что Re j 0, Im j 0, j 0. (33) Введем следующие условия сопряжения:

E 0;

(34) n rot E 0;

(35) En 0;

(36) div E 0, (37) где S Г, j в области V, а индекс п означает взятие нор мальной к поверхности составляющей векторного поля. Краевые условия на запишем в виде E 0;

(38) div E 0, (39) где под div понимается поверхностная дивергенция. Выберем. Тогда, как показано в 7, задача (6)–(14) будет эквива лентна задаче E k 2 E 0 в V–;

(40) E k02 E 0 в V+ (41) с краевыми условиями (38), (39), условиями сопряжения (34)–(37) и условиями излучения при x.

e r rot E e r div E ik0 E0 o x (42) Докажем следующую теорему эквивалентности.

Теорема 1. Если Е, Н – решение краевой задачи (6)–(14), то Е, Н – решение краевой задачи (34)–(42). И наоборот: если Е, Н – решение краевой задачи (34)–(42), Е, Н – решение краевой задачи (6)–(14).

Доказательство. Рассмотрим краевую задачу (6)–(14). Из уравнений (7) и (8) получаем rot i rot E iE 0, x V ;

rot E i E rot i 0, x V, что влечет (поскольку кусочно-постоянно в V–, а 0 постоянно в V+) выполнение уравнений (40) и (41). Хорошо известно 110, что уравнения Максвелла (7) и (8) приводят к уравнениям div E в V–, div E 0 в V+. Таким образом, условия (37) и (39) удовлетво ряются автоматически. Условие (34) следует из (10) и (12), а усло вие (35) следует из уравнений (7), (8) и из условий (11) и (13). Ус ловие (38) совпадает с условием (9).

Далее, как показано в 110, условие излучения (32) эквива лентно условию (14). Тогда, принимая во внимание, что div E в V+, получаем (32) из (42).

Остается проверить только условие (36). Для произвольной пробной функции C0 R 3 имеем 0 grad n H ds grad rot Hdx V V grad Edx i n E ds i V V и, следовательно, E n 0. Таким образом, все условия (34)–(42) выполняются.

Докажем обратное утверждение. Пусть условия (34)–(42) вы полняются. Так как Е0 – электрическое поле, то div E 0 в V+. По ложим H i rot E в V–;

H i 0 rot E в V+.

Условие (9) совпадает с (38), а условия (10) и (12) совпадают с (34). Условия (11) и (13) следуют из (35). Условие излучения (14) эк вивалентно условию (32), условие (32) следует из (42), если divE+ = 0.

Уравнения (7) и (8) удовлетворяются в силу (40) и (41), если divE = 0 в V–, а divE+ = 0 в V+, в то же время, 1 1 1 rot E E, rot rot E E.

rot i i i 0 i Следовательно, для завершения доказательства достаточно по казать, что divE 0 в V–, а divE+ 0 в V+.

Пусть v div E в V V, k 2 2.

k Тогда скалярная функция v удовлетворяет в V V уравнению Гельмгольца v k 2 v 0, x V V, (43) с условиями сопряжения на поверхностях раздела сред (в силу (37)) v 0, (44) краевым условиям на v 0, (45) и условиям Зоммерфельда (в силу(42)), v O x, для x.

1 e r grad v ik0 v o x (46) Кроме того, функция v удовлетворяет также второму условию сопряжения в форме v n 0. (47) Действительно, рассмотрим функцию E E grad v в V V.

Тогда div E div E v k 2 v k 2 v 0.

Следовательно, 1 rot H rot rot E iE.

i Таким образом, пара функций E, H удовлетворяет уравнени ям Максвелла (7), (8) и условиям сопряжения n H 0. Как и выше, отсюда заключаем, что n E 0, так что, принимая во внимание (36), получаем условие (47).

Таким образом, имеем однородную краевую задачу сопряжения (43)–(47) относительно функции v. Однако известно (утверждение [8]), что эта краевая задача имеет только тривиальное решение. Сле довательно, v 0 в V V, что и завершает доказательство. # В области V– запишем «слабую» (вариационную) формулиров ку задачи Е H i rot E :

rot E rot t div E div t dx V 1 t n rot E n div E dS 0, (48) S t H V, где H V E L2 V rot E L2 V, div E L2 V : E 0.

Так как полуторалинейная форма rot E rot t div E div t dx a E, t V является коэрцитивной на пространстве H 1 V, оператор рассмат риваемой краевой задачи будет сильно эллиптическим [5, 7].

Используя функцию Грина GD(x, y), получаем следующее представление для поля Е+(x), во внешности сферы [110]:

E x grad y GD x, y E y n y dS y, x R. (49) S S Явный вид функции GD представлен ниже.

Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца во внешности сферы определяется как решение краевой задачи:

G k02GD x x0, x0 R ;

(50) 0;

(51) GD r R 1 GD GD O, ik0GD o, r. (52) r r r Здесь GD GD x, x0 GD x0, x, r x. В сферических ко ординатах имеем GD GD r,, ;

r0, 0, 0.

Функция GD представляется в виде ik x x 1e0 GD x, x0 g D x, x0, (53) 4 x x где gD(x, x0) = gD(x0, x) не имеет особенности при x x0 0. Для функции gD получаем краевую задачу:

g D k02 g D 0, x0 R ;

(54) 1 eik0 x x0 gD ;

(55) 4 x x r R r R r ik0 g D o 1 r, g D O 1 r, r. (56) Обозначим eik0 x x0 x, x0.

4 x x rR Ищем g D x, x0 в виде H n1 2 k0 r H n1 2 k0 r 1 n g D x, x0 cn, Yn j 0, 0, Yn j k0 r k0 r n 0 j n где H z – функция Ханкеля I рода порядка ;

Yn, j – сфе рические нормированные функции [110];

cn cn R0 не зависят от r,,, r0, 0, 0. Условия (56) и уравнение (54) удовлетворяются «автоматически».

ik x x e0 Для функции имеем разложение [110]:

4 x x ik x x e0 4 x x J n1 2 k0 r H n1 2 k0 r n ik0 cn, Yn j 0, 0, r0 r. (57) Yn j k0 r k0 r n 0 j n Из условия (55) находим коэффициенты сп:

J n1 2 k0 r H n11 2 k0 r.

cn ik k0 r k0 r r R r R Введем сферические функции Бесселя и Ханкеля:

jn z J n1 2 z z;

(58) hn z H n1 2 z 1 z. (59) Тогда функцию Грина GD(x, x0) можно записать в форме ik x x e0 GD 4 x x jn k0 R n ik0 hn k0 r hn k0 r0 Yn, Yn j 0, 0 (60) j 1 k0 R hn n 0 j n или в виде j k R 1 n GD x, x0 ik0 jn k0 r n 0 hn k0 r hn k0 R (61) n 0 j n hn k0 r0 Yn, Yn j 0, 0, r0 r.

j Представление (60) имеет место при любых x, x0 R. Пред ставление (61) справедливо только при r0 r ;

если r0 r, то следу ет поменять местами r r0.

Введем неизвестные функции:

0 x E x n x S, x S, 0 x E x n x S, x S 0 0. (62) Тогда E x grad y GD x, y 0 y dS y S grad y GD x, y 0 y dS y, x R. (63) S Поскольку GD x, y grad y GD x, y n y, n y yS то GD E x x, y n y 0 y dS y n y S GD x, y n y 0 y dS y, x R.

n y S Далее, GD GD x, y n x x, y, grad x nx n y n y xS xS если xy;

x S и y S. Тогда получаем уравнения G x, y divE x grad x D n y 0 y dS y n y S G x, y n y 0 y dS y, x R, grad x D (64) n y S GD x, y rot E x grad x n y 0 y dS y n y S G x, y n y 0 y dS y, x R.

grad x D (65) n y S Обозначим 2GD x, y J x, y, x, y S. (66) nx n y Отметим, что J(x, y) = J(y, x) и функция J является симметрич ной относительно x и y, поскольку функция Грина GD(y, x) также симметрична относительно x и y.

Таким образом, имеем t x n x rot E x n x divE x S dS x S S rot E x S t x n x t x n x div E x S dS x S rot E x S U x u x div E x S dS x S J x, y n x U x n y 0 y SS J x, y n x U x n y y J x, y n y 0 y n x u x J x, y n x u x n y 0 y dS x dS y, где U x t x n x, u x t x n x ;

t(x) – векторное поле.

Любое векторное поле V(x) на поверхности S может быть представлено через касательную и нормальную составляющие в форме [7]:

V x Vn x V x n n V x n n V x.

Введем оператор следа на поверхности S:

trV x V x S V x, xS (след различен с разных сторон поверхности S). Тогда n x u x tn x ;

n x U x n n t x t x ;

n x 0 x E x n ;

n x 0 x n n E x E x, и, следовательно, t x n x rot E x n x divE x S dS x S S J x, y tr E y tr t x dS x dS y. (67) SS Из условий сопряжения (34) и (36) на поверхности S (они на зываются «главными» условиями) следует tr E tr E tr E0, или tr E tr E tr E0, (68) и r – относительная диэлектрическая проницае где r 0 мость в V– (в окрестности поверхности S), а 0 E n r E n E.

tr E r 1 E 0 Используя соотношение (68), исключаем функцию E+(y) из уравнения (67) и получаем соотношение t x n x rot E x S n x divE x S dS x S 1 J x, y tr E y tr t x dS x dS y SS 1 J x, y tr E0 y tr t x dS x dS y.

(69) SS Принимая во внимание условия сопряжения (35) и (37) окон чательно получаем вариационное соотношение rot E rot t div E div t k E t dx V 1 J x, y tr E y tr t x dS x dS y SS 1 J x, y tr E0 y tr t x dS x dS y t H V, (70) SS где Е = Е–. Это уравнение определяет электрическое поле Е в V–.

Запишем уравнение (63) в следующей форме:

a E, t j tr E, tr t j tr E0, tr t t H V, (71) где полуторалинейные формы а и j определяются посредством формул a E, t rot E rot t div E div t k 2 E t dx ;

V j Q, q J x, y Q y q x dS x dS y.

SS Определим операторы A и J A : H V H V ;

J : TH V TH V следующим образом:

a E, t AE, t t H V, E H V ;

j Q, q JQ, q q TH V, Q TH V.

Здесь H V – антидвойственное к H V пространство;

TH V – пространство следов элементов из H V ;

TH V – ан тидвойственное к нему пространство. Скобки (, ) и, обозна чают соотношения двойственности на паре пространств H ' V, H V и TH ' V, TH V соответственно.

Обозначим оператор следа через Т:

TE tr E, который является ограниченным в пространствах T : H V TH V.

Сопряженный оператор Т также ограничен:

T : TH ' V H ' V.

Введем новую неизвестную функцию (векторное поле на S) по формуле tr E. (72) Тогда уравнение (71) можно переписать в виде AE, t J, Tt JF0, Tt t H V, (73) где F0 = tr E0, или в операторной форме:

AE T J T JF0. (74) Соотношение (72) дает TE 0. (75) Домножив (75) на оператор J : TH ' V TH V, получим J TE J 0. (76) Оператор J ограничен и фредгольмов в силу сильной эллип тичности оператора J [7] и является непрерывно обратимым, по скольку внешняя задача Дирихле для сферы для уравнения Гельм гольца имеет единственное решение. Поэтому из (76) следует так же (75), и эти уравнения эквивалентны.

Теперь уравнения (74) и (76) можно объединить в общее урав нение с матричным блочным оператором:

A T J E T JF, (77) J J T или, эквивалентно, A0 X F, A0 : H H, (78) где A T J T JF E A0, X, F. (79) J T J Здесь H H V TH V, H H V TH V – декартово произведение пространств. Запишем выражение для квадратичной формы оператора А0:

X H H AE, E T J, E J TE, J, A0 X, AE, E J, TE TE, J, J AE, E J, TE J, TE J, и Re A0 X, X H H Re AE, E Re J,. (80) Как отмечалось выше, А – эллиптический оператор, J – также эллиптический оператор (см. доказательство в [7]). Следовательно, полный оператор задачи А0 будет также эллиптическим, поскольку следующие оценки имеют место:

Re A K A E, E (81) Re J K J, A E 2 J H V TH V с некоторыми компактными операторами K A : H V H V, K J : TH V TH V, A 0, J 0.

Операторное уравнение (78) можно записать в виде вариаци онного соотношения A0 X, Y H H F, Y H H Y H (82) или более подробно:

AE, t J, Tt Jv, TE Jv, F0, Tt t H V, v TH V. (83) Итак, предлагаемый метод базируется на вариационном соот ношении (83), которое определяет эллиптический оператор. Для применения метода Галеркина к решению задачи выбираем базис ные функции ei i 1 H V, l l 1 TH V для представления N M приближенного решения ЕN, ФМ в форме N M E i ei, l l N M i 1 l и решаем следующие уравнения:

AE, e j J M, Te j J m, TE N N J m, M JF0, Te j, (84) j 1, 2,, N, m 1, 2,, M.

Матрица системы линейных уравнений (84) имеет вид A aij N M, где коэффициенты определяются по формулам i, j rot e rot e div ei div e j k 2ei e j dx, i, j 1, 2,, N ;

aij i j V 1 J x, y y tr e x dS dS, i xy j SS i N 1,, N M, j 1, 2,, N ;

J x, y tr ei y j x dS x dS y, aij S S (85) i 1, 2,, N, j N 1,, N M ;

1 J x, y i y j x dS x dS y, SS i, j N 1,, N M, а коэффициенты правой части f определяются посредством соот ношений f f j N M, f j 0, j N 1,, N M, j f j 1 J x, y tr E0 y tr e j x dS x dS y, j 1, 2,, N.

SS Тогда (84) эквивалентно системе линейных алгебраических уравнений Ab f, (86) где b = (1,..., N;

1,..., M)T – столбец неизвестных.

Сходимость метода Галеркина в этом случае следует из эллип тичности оператора задачи и свойства аппроксимации для базис ных функций.

Мы не обсуждаем выбор конкретных базисных функций и не приводим результаты численных расчетов. Здесь укажем лишь об щие свойства численного метода в рамках предлагаемого подхода.

Полный оператор задачи становится эллиптическим. С помо щью введения функции Грина удается исключить одно поверхно стное уравнение на S. Таким образом, количество неизвестных при решении внешней краевой задачи уменьшается. Это приводит к снижению размерности результирующей матрицы, отсутствию сложностей, связанных с согласованием поверхностных и объем ных элементов. От объемных и поверхностных базисных функций требуется лишь свойство аппроксимации в соответствующем про странстве. Свойство комплексной симметричности (не самосопря жености!) основного разреженного блока матрицы сохраняется.

Гарантируется сходимость метода Галеркина.

Использование функции Грина незначительно усложняет зада чу вычисления поверхностных интегралов, т.к. она имеет простой вид. Особенность функции Грина выделена аналитически. Остаток (в виде ряда) представляет собой функцию без особенности, по этому затраты, связанные с вычислением поверхностных интегра лов, практически не возрастают.

Отметим, что в указанном подходе имеется возможность ис ключить поверхностное уравнение на S и решать сразу вариацион ное уравнение (70), рассматривая на S следы объемных элементов.

При этом малый «плотный» блок матрицы, отвечающий поверхно стному уравнению, рассредоточивается в большом «разреженном»

блоке, размерность матрицы уменьшается. Однако вопрос об эф фективности такого приема может быть решен только численно в результате сравнения конкретных расчетов.

Часть ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ Обширный класс векторных задач электродинамики – это спектральные задачи о распространении электромагнитных волн в волноведущих структурах. Применение в радиотехнике и элек тронике в качестве волноведущих структур волноводов сложных поперечных сечений, микрополосковых и щелевых линий передачи потребовало построения математических моделей процессов рас пространения электромагнитных волн в таких устройствах. При этом возникла необходимость исследования нового широкого класса задач электродинамики, характеризующихся сложной гео метрией граничных незамкнутых поверхностей, неоднородным ди электрическим заполнением и наличием бесконечно тонких метал лических ребер (пластин) в структуре. Первейшей задачей здесь является описание свойств нормальных электромагнитных волн, которые могут распространяться в таких структурах.

При исследовании процессов распространения волн в волнове дущих структурах с неоднородным заполнением возникают краевые задачи на собственные значения для систем уравнений эллиптиче ского типа с разрывными коэффициентами. На линиях (поверхно стях) разрыва коэффициентов ставятся дополнительные условия, называемые условиями сопряжения. В простейших задачах спек тральный параметр присутствует лишь в уравнениях и не входит в условия сопряжения, в результате возникает задача на собственные значения для некоторого самосопряженного оператора. Однако при анализе достаточно сложных моделей спектральный параметр уже входит не только в уравнения, но и в условия сопряжения, причем нелинейно. Задача оказывается несамосопряженной.

Проводились многочисленные исследования данного круга за дач. Главное внимание было уделено получению практических ре зультатов – расчету характеристик основной волны структуры, представляющей наибольший интерес с физической точки зрения, а также нескольких высших типов волн.

Численные методы расчета параметров различных типов вол новедущих структур изложены в монографиях и обзорных работах [75, 81, 84, 87, 104, 121, 192].

Однако следует сказать, что большинство используемых мето дов не получило до сих пор серьезного математического обоснова ния. Несмотря на большое количество работ, долгое время остава лись недоказанными теоремы о существовании хотя бы одной точ ки спектра и о дискретности спектра задачи, необходимые для строгого обоснования математической модели. Не выяснены до конца вопросы, связанные со сходимостью методов. Практически отсутствуют результаты о распределении характеристических чи сел в комплексной плоскости. Не исследуются такие свойства сис темы собственных и присоединенных волн, как полнота и базис ность, необходимые для задач возбуждения и при моделировании неоднородностей в структурах.

Исследование этого круга вопросов требует привлечения но вых теоретических методов. Дело в том, что задача о распростра нении электромагнитных волн в волноведущих структурах так или иначе сводится к изучению сложной оператор-функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра, что весьма затруднительно традиционными методами теории дифракции.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.