авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

«Ю. Г. Смирнов Математические методы исследования задач электродинамики Монография Пенза 2009 УДК 517.6 + 621.371 ...»

-- [ Страница 4 ] --

H0 z где – функция Ханкеля, x x0 y y 2, а функции N1, бесконечно дифферен r цируемы в по совокупности аргументов, т.к. они являют 1 ся решениями уравнения Гельмгольца (1) по каждой из перемен i ных. Функция H 0 k1r является фундаментальным решением уравнения Гельмгольца u k12u 0 [73, с. 204] (параметр k1 может быть и комплексным).

Замечание. Под H 0 k1r мы понимаем однозначную анали тическую ветвь на разрезанной вдоль луча Im k1 0, Re k1 плоскости параметра k, являющуюся аналитическим продолжени k r с вещественным k 0. Точки указанного лу ем функции H 0 1 ча нас не будут интересовать, т.к. в силу теоремы 1.2 задачу (1)–(5) достаточно рассмотреть, например, только в верхней полуплоско сти параметра 2.

Для фундаментального решения имеем разложение [145] i 1 ln P r, H 0 k1r 2 r P r r 2 ln r c1 c2 r 2 o r 3, r 0, (17) из которого следует, что 2 P P r ln r O r, 2 ln r O 1.

r r Легко проверить, что первые производные функции P r по x, y, x0 или y0 непрерывны, а вторые имеют логарифмическую особенность при r 0. Теперь, подставляя (16) и (17) в формулы (15), получим следующий результат.

Лемма 1. Для функций Грина G, G справедливы представления j j 111 G j x, y, x0, y0 ln ln K x, y, x0, y0, j 2 r 2 r (18) G x, y, x, y 1 ln 1 1 ln 1 K x, y, x, y, j 2 r 2 r 0 0 j 0 x x0 y y 2 r, в которых функции K, K непрерывно j j дифференцируемы на множестве j X j X, а их вто рые производные (по любым переменным) имеют на этом множе стве самое большее – логарифмическую особенность.

Напомним, что множество X – есть совокупность конечного числа открытых интервалов, лежащих на оси y 0, поэтому точки этого множества являются внутренними точками областей, j j 1, 2.

Из леммы 1 следует, что функция G x, y, x0, y0 имеет лога j рифмическую особенность ln x x0 y 2, поэтому возмож ность предельного перехода под знаком интеграла при вычисле нии j x, 0 при выводе уравнения (12) очевидна:

G j x, y, x0, 0 j x0, y0 dx0.

lim j x, y j y y y0 Рассмотрим случай уравнения (13). Пусть y 0. Тогда все подынтегральные функции гладкие и можно дифференцировать под знаком интеграла:

x x 0 1 1 1 1 y y y0 y 2 x x 2 dx ln ln dx 2 r 2 r y c y0 c 1 cx x x0 x x0 cx arctg y arctg y 2, y 2 c x y x x y причем последнее слагаемое отсутствует, если x c. Далее рас смотрим плоскость x, y как плоскость комплексного переменно го. Обозначим z x, y, t x0, 0. Очевидно, что x x x0 dx x x y x x0 x x x0 dx0 i 2 x0 dx0, x x0 x x 2 y y где x0 1 x0 i2 x0, поэтому достаточно рассмотреть слу чай, когда подынтегральные функции вещественны. Пусть 1 t dt z t z ;

t – вещественная функция, H.

2i Тогда по формулам Сохоцкого-Племеля [141, с. 66] t dt x x x0 dx0 lim Re lim x x0 y tz 2 y 0 y Relim 2i z Re 2i x x 2 y x0 dx 2i x, x x и возможность предельного перехода под знаком интеграла уста новлена.

x0 x G j x, y, x0, 0 имеют особенность Функции, x x0 y x 2 поэтому для них также справедлив предельный переход под знаком интеграла;

функции j x, x0 особенности не имеют.

Из полученных результатов следует, что уравнения (12), (13) можно записать в следующей форме:

k12 k22 ln x x0 K11 x, x0 x0 dx 1 2 ln x x0 K12 x, x0 x0 dx0 0, x ;

(19) 2 1 K 21 x, x0 x0 dx x x K x, x x dx 0, x.

(20) 22 0 0 Для дальнейшего изложения конкретный вид функций K ij x, x0 значения не имеет. Важно лишь знать гладкость этих функций. Из формул (15)–(17) легко видеть, что основное слагае мое в этих представлениях, «отвечающее» за гладкость функций Kij, есть r ln r. Анализ этого слагаемого показывает, что ядра K1 j x, x0 непрерывно дифференцируемы в, а их вторые производные (по любым переменным) имеют логарифмическую особенность;

ядра K 2 j x, x0 непрерывны в, их первые про изводные имеют логарифмическую особенность при x x0 0.

До сих пор рассматривались точки множеств X и X, ле жащие на оси y 0. По определению точки этих множеств не мо гут находиться на. Для получения системы интегральных j уравнений (12), (13) такого рассмотрения достаточно, т.к. выпол нение условий сопряжения (3) требуется лишь во внутренних точ ках. Однако при решении системы (19), (20) важно знать пове дение функций K1 j, K 2 j x, x0 в окрестности концевых точек.

Если X (т.е. концы не лежат на границе области Q ), то для этих функций все перечисленные выше условия будут выполняться в. Если некоторые концы принадлежат Q, то функции N, x, x0 из (16) могут иметь дополнительную «неподвижную»

j особенность (см. разд. 3 этой главы, а также [101]). Мы ограничим ся случаем X, достаточным для наших целей.

Теперь докажем следующий результат.

Лемма 2. Пусть, H – некоторые фиксированные функ ции. Интегральное соотношение (20) вместе с условиями (14) эк вивалентно следующему:

2 ln x x0 K 21 x, x0 x0 dx K 22 x, x0 x0 dx0 0, x ;

(21) x где K 2 j x, x0 R j x, x0 f j x, x0, R j x, x0 K 2 j x, x0 dx – пер c вообразные K 2 j x, x0 по переменной x, 1, x, N f j x, x0 f x0 x, x j 0, x, 2 f x0 ln x x0 R1 x, x0 x dx;

x0 R2 x, x0 x dx x0, f x.

1 a2 x a2 1 x 2 Доказательство. Пусть выполнено соотношение (20) и усло вия (14). Рассмотрим функцию 2 F x ln x x0 K 21 x, x0 x0 dx K 22 x, x0 x0 dx0, x. (23) Дифференцируя (23) под знаком интеграла, в силу (20) полу чим F x 0, x, следовательно, F x C, x. По теореме Фубини о повторных интегралах [109] 2 F x x dx x0 dx0 ln x x0 K 21 x, x0 x dx C x0 dx0 K 22 x, x0 x dx x dx 0 из условий (14). Значит, F x 0, x.

Докажем обратное утверждение. Пусть (21) верно для всех то чек x. Дифференцируя (21) под знаком интеграла, получим, что выполнено (20). Но по доказанному выше всегда F x x dx x0 dx0, поэтому (14) также выполнено. Лемма доказана. # Лемма 2 означает, что система интегральных уравнений (12), (13) с дополнительными условиями (14) может быть заменена эк вивалентной системой интегральных уравнений, в которой ядра имеют логарифмические особенности:

1 2 2 k1 k2 ln x x0 K11 x, x0 x0 dx 1 1 2 ln x x0 K12 x, x0 x0 dx0 0, x ;

(24) 2 ln x x0 K 21 x, x0 x0 dx K 22 x, x0 x0 dx0 0, x.

Гладкость функции K1 j x, x0 рассматривалась выше. Пока жем, что функции K 2 j x, x0 имеют ту же гладкость. Для этого достаточно проследить преобразования по формулам (22) «основ ного» слагаемого x x0 ln x x0, которое дает особенность в про изводных. После несложных вычислений будем иметь K 21 x, x0 c x x0 ln x x0 c0 c1 x x0 c2 x x0 (25) 2 и аналогичное разложение для K 22 x, x0 (при выводе (25) исполь a a2 ln x x0 x dx ln, x0 ).

зовалась формула Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема 1. Пусть X. Тогда систему интегральных уравнений (12), (13) с дополнительными условиями (14) можно свести к эквивалентной системе (24), в которой функции K ij x, x0 C1, а их вторые производные (по любым пере менным) имеют логарифмическую особенность O ln x x0 при x x0 0 ;

x, x0.

Таким образом, нам удалось с помощью представлений (16), (17) выделить логарифмическую особенность системы (24) и, что особенно важно, описать свойства регулярной части этой системы.

§3 Эквивалентность краевой задачи и системы интегральных уравнений Докажем следующий результат.

Теорема 2. Пусть G x, y, x0, y0, G x, y, x0, y0 функции j j Грина первой и второй краевой задачи для уравнения Гельмгольца (1) с коэффициентом k 2 j 2 в области j ( j 1, 2 ), 0, j X. Тогда если существует нетривиальное решение краевой за дачи (1)–(5), то существует нетривиальное решение системы инте гральных уравнений (12)–(14). Обратно, из существования нетри виального решения задачи (12)–(14) следует существование нетри виального решения задачи (1)–(5).

Замечание. В условиях теоремы 2 предполагается, что функции Грина G, G существуют при данном значении 2.

j j Однако эти функции будут иметь счетное множество полюсов C, если их рассматривать как функции параметра j j j. При функции Грина не определены. Поэтому теорему можно назвать теоремой о спектральной эквивалентности задачи (1)– (5) и системы интегральных уравнений (12)–(14) на множестве C \.

Доказательство. В разделе 1 было показано, что система (12)– (14) есть следствие задачи (1)–(5), т.е. если пара, – нетривиаль ное решение системы (1)–(5), то пара, – также нетривиальное решение (12)–(14). Докажем обратное утверждение.

Пусть, – нетривиальное решение (12)–(14). Образуем функции x N x0 x0 t dt, x ;

(26) 1 a2 G x, y, x0, y0 x0 dx0, x, y j ;

(27) j x, y j y0 j y0 G x, y, x, y k x x dx, x, y j x, y j.(28) j 0 0 j 0 j 0 0 j За счет выбора функций Грина G, G функции j x, y, j j j x, y будут удовлетворять уравнениям Гельмгольца (1) внутри областей j и условиям (2) на границе 0. Для доказательства это го факта достаточно провести необходимые действия под знаком интеграла в (26)–(28) (в этом случае точки x, y и x0, 0 не сов падают). Далее, по формулам (18) 1 y K x, y, x0, y0 ;

G x x0 y 2 y j j y0 y0 0 y0 1 y G j x, y, x0, 0 K x, y, x0, 0.

x x0 y 2 y j y0 В плоскости комплексного переменного z x iy, z x, y, t x0, 0 по формулам Сохоцкого-Племеля будем иметь y Im ;

x x0 tz y t y x0 dx0 lim Im lim dt x x0 tz y y 0 y x lim Im 2i z Im 2i x x y для вещественных функций t, удовлетворяющих условию Гельдера H (как и выше, достаточно рассмотреть случай вещест 1 t dt венных функций t ), x ;

здесь z 2i t z. Используя граничные условия для функций Грина G, G и переходя к пре j j делу в (27), (28), получаем lim j x, y j x, 0 x, x ;

y j x, y j k 2 x j x.

lim (29) j y y y Из (29) следует, что 0, 1 2 2 k 2 x k 2 x.

k y Условие 0 удовлетворяется в силу интегрального урав нения (12), а условие 2 k 2 y k x в силу уравнения (13). Действительно, в первом случае достаточно перейти к пределу под знаком интеграла в (28);

во втором – учиты вая условия a 0, 1,, 2N, следующие из (26), проин тегрировать по частям (27):

G x, y, x, 0 x dx, x, y, j x, y 1 j j 0 0 0 j x x, y, x, 0 G x, y, x0, y0 dx0, y Gj (30) 0 j c y0 и записать рассматриваемое условие сопряжения с помощью (28), (30). Это тот же путь, который привел нас к уравнениям (12), (13).

Обоснование всех предельных переходов дано в §2.

Остается установить справедливость оценок (4). Пусть a – уг ловая точка или ребро;

a 0. Если a, то оценки (4) получа ются из результатов о гладкости решений однородных эллиптиче ских уравнений с однородными граничными условиями в окрест ности угловой точки [111] (в [111] доказаны более сильные оценки, а также приведены разложения решения в окрестности точки a ).

Рассмотрим случай острого ребра a. В этом случае для глав j j j j ных частей производных,,, справедливо x y x y представление t dt x x 1 x0 dx0 Re x x0 2 y, tz или t dt 1 y x0 dx0 Im x x0 2 y, tz где z x iy, z x, y, t x0, 0, причем функция t H пред ставима в виде t t, 1, H, a t в окрестности точки a. Эти представления позволяют воспользо ваться результатами о поведении интеграла типа Коши вблизи концов линии интегрирования. Согласно [141] для 1 t dt z 2i t z верна оценка a 1 c z, 0, (31) 2sin z a za причем точка z может находиться и на линии интегрирования.

Из (31) непосредственно следуют оценки (4) для,.

j x, y Для функций главная часть имеет вид 1 y x x 2 y 2 x0 dx0, поэтому, как и выше, достаточно рас смотреть интеграл типа Коши 1 t dt ;

z x, y, t x0, 0.

z 2i t z Функция t удовлетворяет условию Гельдера на. Дейст вительно, пусть t1, t2. По формулам (26) будем иметь t2 t dt t2 t1 t dt C1 a t t a2 t1 t1 1 C2 t1 t2 C2 t1 t2, 1 0.

Далее дополним до гладкого замкнутого контура S и положим t, t ;

t 0, t, t S.

Так определенная функция t, очевидно, также удовлетво ряет условию Гельдера H на S. Тогда по теореме о поведении ин теграла типа Коши вблизи линии интегрирования [141, с. 85] 1 t dt 1 t dt z2 z t z2 2i t z1 C z2 z 2i для любых z1, z2, лежащих внутри или на контуре S, причем под z при z S понимается соответствующее граничное значение.

Выбирая в качестве z1 точку a, z2 z, получим оценку y x0 dx0 Im 2i z a x x y 2 z a 2c z a 2c, из которой следует, что const, 0 1, в окрестности реб ра a. Ограниченность в окрестности ребра a очевидна. Теорема доказана.

Доказанная теорема в сочетании с теоремой 1 позволяет ут верждать, что краевая задача (1)–(5) эквивалентна системе инте гральных уравнений с логарифмической особенностью в ядрах (24). Такие системы будут рассмотрены в следующем разделе.

Раздел 2. Метод вычисления характеристических чисел и собственных векторов L-оператор-функций В разделе 1 задача о нормальных волнах была сведена к нели нейной задаче на собственные значения для системы интегральных уравнений с логарифмической особенностью в ядрах. В настоящем разделе предлагается и обосновывается численный метод опреде ления характеристических чисел и собственных векторов задачи.

Такие методы представляют и самостоятельный интерес, поэтому изложение ведется в общем виде, а потом рассматривается кон кретная задача о нормальных волнах волноведущей структуры.

В разделе предлагается и обосновывается численный метод нахождения характеристических чисел и собственных векторов нелинейной задачи на собственные значения для системы инте гральных оператор-функций с логарифмической особенностью в ядрах. В пространствах, естественно связанных с численным ме тодом, изучается специальный класс таких систем, названных L -оператор-функциями. Такие оператор-функции характеризуются возможностью выделения главной обратимой части системы;

ком пактная часть допускает равномерную аппроксимацию оператора ми конечного ранга. Проекционный метод основан на разложении решений по собственным функциям главной части оператора сис темы. Приближенные характеристические числа и собственные векторы находятся как решения уже конечномерной алгебраиче ской задачи, которая приводит к трансцендентному уравнению от носительно спектрального параметра. На основе теории дискрет ной сходимости [61, 62] доказываются теоремы о сходимости при ближенных характеристических чисел и собственных векторов к точным для систем, голоморфно зависящих от спектрального пара метра. В конце главы результаты обобщаются на случай конечно мероморфных фредгольмовых оператор-функций.

Результаты раздела опубликованы в работах [3, 40, 98].

§1 Классы p. Логарифмические интегральные операторы в классах p Здесь будут изучены свойства логарифмических интегральных операторов в некоторых специальных классах p, естественно связанных с рассматриваемым в этой главе численным методом.

Пусть hp – пространство последовательностей комплексных чисел k таких, что 0 k k p ;

p 0.

(1) 2 k Пространства hp, наделенные скалярным произведением 0 k k k p,, p (2) 2 k превращаются в (сепарабельные) гильбертовы пространства.

Рассмотрим классы функций, заданных на отрезке [–1, 1]:

p : t k Tk t, hp, (3) 2 k Tn t cos n arccos t – многочлены Чебышева первого рода. Эти пространства также становятся гильбертовыми, если определить скалярные произведения по формуле 0 k k k p,, p, p 2 k 0 k Tk t, t 0 k Tk t.

t (4) 2 k 1 2 k Ясно, что p изоморфно hp.

Хорошо известно, что [109] 0 L2 1, 1 ;

1 t.

Утверждение 1.

2 W21 : L2 1, 1 ;

1 t.

Доказательство. Пусть 2. Тогда 0 2 dt t k Tk t, k Tk t t, 2 k 1 1 t и последовательность k такова, что 0 k k 2. Следова 2 k тельно, по теореме Рисса-Фишера [109] существует такой элемент 2 f L2 1, 1, 1 t, что его коэффициенты Фурье по ортогональ ной системе функций Чебышева второго рода U n x sin n arccos x, 2 dx. Поскольку f x ин n 1, равны n n, n k U n x f x 1 1 x f t dt x 2, функция F x тегрируема с весом 1 x, представ 1 1 t ляющая собой неопределенный интеграл от суммируемой функции, абсолютно непрерывна, и ее производная F x f x 1 x почти всюду непрерывна [109]. Тогда 1 2 dx 1U n x f x 1 x 2 1U n x F x dx 1 2 2 dx U n x F x dx n Tn x F x, 1 1 1 x поэтому dt t F t T t 0, k 1, k 1 t f t t F t const, F t t, 1 t 2 и, следовательно, L2 1, 1;

1 t.

Обратно, пусть W2. Ее ряд Фурье-Чебышева 0 2 dt t k Tk t, k t Tk t, k 0.

2 k 1 1 t Разложение по системе функций U n x, образующих базис в 2 L2 1, 1;

1 x, дает 1 2 k U n x x dx U n x x dx 1 2 dx n Tn x x n n.

1 1 x Теперь, применяя неравенство Бесселя [109] к k, получим, что h2. Утверждение доказано. # Приведем еще одну характеристику пространства 2.

Утверждение 2. Функции из 2 удовлетворяют условию Гель дера с показателем,.

Доказательство. Докажем, что x y C x y 4, 1 x, y 1, 2.

Отсюда будет следовать справедливость условия Гельдера при всех 0. Прежде всего заметим, что Tn x 1, 2 2 nTn x n 6 n n, и ряд из непрерывных n1 n 1 n функций Tn x сходится равномерно, поэтому C 1, 1. Далее, n T x T y cos n cos n 2 sin n n n n n n 1 n 1 n sin n 2 2 n n 1 2 2 2 4 8 14 2 cos cos C x y.

Утверждение доказано. # Будем рассматривать логарифмический оператор, определяе мый формулой ds L ln x s s, p. (5) 1 s Свойства этого оператора в классах p определяются сле дующей леммой.

Лемма 1. Полиномы Чебышева Tn t являются собственными функциями оператора L и справедливы следующие выражения:

1 ds 1 ds ln x s Tn s Tn x, n 1 ;

ln x s ln 2.

1 s2 n 1 s 1 Доказательство имеется в [97] и мы не будем здесь его повторять.

Из леммы 1 сразу следует Теорема 1. Оператор L : p p 2, p 0, непрерывно обратим.

Доказательство. Действительно, в силу леммы 1 для p, t k Tk t, L, 2 k имеем 0 k Tk t, 0 0 ln 2, k k, t (6) k 2 k откуда непосредственно получаем утверждение теоремы. # Замечание. Формулы, приведенные выше, по существу, зада ют обратный оператор:

L1 : p 2 p, L1.

§2 Компактные операторы в пространствах p Пусть оператор K задан формулой ds K K x, s s. (6) 1 s Рассмотрим следующий вопрос: при каких условиях, налагае мых на ядро K x, s, этот оператор, действующий из p в p2, будет компактным? Ниже рассматривается случай четных p 0.

Теорема 2. Пусть p – четно, 0 p p, и выполнены условия K x, s C p 2 1, 1 1, 1, p 1 K x, s L2 1, 1 1, 1 ;

1 x 2 1 s 1, (7) D 2 2 где через D обозначена производная степени, D 1 2, x1 x 1 2. Тогда формула (6) определяет компактный оператор K : p p 2.

Доказательство. Фиксируем p, 0 p p. Обозначим через PN и QN проекторы, действующие по формулам:

0 N PN k Tk t, PN : p p, 2 k 0 N k Tk t, QN : p 2 p 2, QN (8) 2 k где и те же, что и в (4), и рассмотрим конечномерные опера торы K N QN KPN, N 1, 2, Если K, то k ank k, n 0, 1 0 k k dxds ank 2 K x, s Tn x Tk x. (9) 1 x 1 s 2 2 1 Аналогично, для K N имеем N K N, k ank k, n N ;

k 0, n N. (10) k Предположим, что для коэффициентов ank выполнено условие a n p 2 ank C 2.

2 (11) 0k k 0 k 0 n Тогда по неравенству Коши-Буняковского получим 0 n n p K p 2 n 0 a0 k ank n p 2 2 k 0 k 0 n 2 C2 C2, p p следовательно, K : p p 2 и K C. Далее, 2 N a k n a K K N p 2 p k 0k nk 2 k N 1 n 1 k N n 1 ank k p n N 1 k 0 0k 0 a0 k n ank n p 2 ank 2 2 p k N 1 k N 1 n 1 n N 1 k в силу (11), поэтому K есть предел по норме последовательности конечномерных операторов K K N 0, N, и компакт ность доказана. Таким образом, достаточно установить справед ливость (11).

Рассмотрим функции p f 0 x, s K x, s, f q x, s 1 x 2 f q1 x, s, 0 q 1.

x По условию все функции принадлежат пространству 1 L2 1, 1 1, 1 ;

1 x 1 s 2, 2 p а функции f q, 0 q, непрерывны. Разложим функции f q по базисам Tn x Tk s и U n x Tk s в пространстве 1 L2 1, 1 1, 1 ;

1 x 2 1 s :

2 1 f q x, s bnk Tn x Tk s, q n 0 k 0 1 0 n 1 0 k 4 dxds 2 f q x, s Tn x Tk s q bnk 1 1 1 x2 1 s 4 Tk s ds 1 f q1 x, s Tn x dx 1 1 s 2 1 x 4n dxds 2 f q 1 x, s U n x Tk s ncnk, q 2;

(12) q 1 1 1 x2 1 s f q x, s cnk U n x Tk s, q n 1 k 0 1 0 k 4 dxds 2 f q x, s U n x Tk s q cnk 1 1 1 x 1 s 2 4n dxds 2 f q 1 x, s Tn x Tk s nbnk, q 1. (13) q 1 1 1 x2 1 s Отсюда следует, что при n 1 2 1 p p p нечетно, n bnk, 1 0 ank bnk 2 p 1 n 2 1c p 21, p четно.

2 nk Но в силу неравенства Бесселя [109] 8 dxds b x, s p 2, fp nk 1 x 1 s 2 n 1 k 0 1 1 8 dxds c x, s p 2, fp nk 1 x 1 s 2 n 1 k 0 1 1 поэтому 2 dxds n x, s p 2. (14) ank fp 1 x 1 s 2 n 1 k 0 1 1 При n 0 также из неравенства Бесселя имеем dx ds a0k 4 K x, s 4 max K x, s. (15) 1 x2 1 s2 1 x, s k 0 1 Оценки (14), (15) доказывают неравенство (11), а вместе с ним и теорему 2. # Попутно мы получили следующий результат.

Утверждение 3. Если выполнены условия теоремы 2, а опера торы K N QN KPN определены соотношениями (8), то K K N 0, N и верны оценки 2 dxds x, s 4 max K x, s C 2, 2 K KN fp 1 x2 1 s2 1 x, s 1 1 причем, C 2 не зависит от p, 0 p p.

Оператор K будет компактным и при менее сильных ограни чениях на ядро K x, s, но мы не стремились получить точный ре зультат. Нам было важно аппроксимировать оператор K конечно мерными операторами K N и получить оценки (16), которые будут играть важную роль при доказательстве теорем сходимости.

§3 Метод вычисления характеристических чисел и собственных векторов L -оператор-функций. Теорема сходимости Дадим следующее определение.

Определение 1. Оператор-функцию A : p p 2, заданную в некоторой области G комплексной плоскости G C, будем называть L -оператор-функцией, если она представима в виде A K L 1 ds ds K x, s;

s ln x s s, (17) 1 s 1 s 2 1 где K – компактный оператор при любом G.

Обозначим через A множество точек области G, в которых о.-ф. A непрерывно обратима, а через A – множество точек G \ A. Это, соответственно, резольвентное множество и спектр о.-ф. A в области G. Напомним, что A – линейный ограни ченный оператор при всяком фиксированном G.

Теорема 3. Пусть L -оператор-функция голоморфна в облас ти G и A. Тогда A фредгольмова в G и спектр A состоит из изолированного множества х.ч. конечной алгебраиче ской кратности, предельные точки которого могут находиться лишь на границе области G.

Доказательство. Фредгольмовость A следует из теоремы 1 и теоремы Рисса о сумме обратимого и компактного операторов [105].

Утверждения о спектре фредгольмовой голоморфной о.-ф. A при A хорошо известны и имеются, например, в [78]. # Итак, при выполнении условий теоремы 3 спектр L -оператор функций состоит из изолированных х.ч. в G. Пусть 0 G – х.ч.

A, а 0 собственный вектор, отвечающий 0, A 0 0 0. Рас смотрим о.-ф.

AN QN A PN, (18) где операторы PN и QN определены в (8). Естественно ожидать, что при достаточно больших N в окрестности х.ч. будет находиться х.ч. N о.-ф. AN :

AN N N 0, N 0, (19) а среди всех собственных векторов N найдется подпоследова тельность, сходящаяся к 0. В этом случае приближенные х.ч. N и собственные векторы N уже можно находить, решая конечно мерную алгебраическую задачу (20), (19) det AN 0, (20) где под AN в (20) понимается матрица коэффициентов. Ниже будет доказано, что при некоторых ограничениях такая схема ре шения задачи действительно может быть реализована.

Замечание. Проекционный метод Галеркина с выбором в каче стве базисных функций полиномов Чебышева неоднократно приме нялся к решению интегральных уравнений и исследовался на схо димость. Но в данном случае мы имеем дело с нелинейной задачей на собственные значения в области G. Многие авторы ошибочно полагают, что доказательства в «стационарном» случае (когда опе раторы не зависят от или фиксирован) достаточно для обосно вания метода. Однако без каких-либо предположений о зависимости A от параметра сходимость N может не иметь места.

Для доказательства теоремы сходимости используем результа ты работ [61, 62]. Определим конечномерные пространства N PN p Im PN p ;

N 2 QN p 2 Im QN p 2 ;

p p нормы в N, N 2 индуцированы нормами в p и p2 и обозна p p чаются теми же символами,. Здесь и далее не делается p p различий в обозначении элементов N N и N PN p, а p также в обозначении операторов AN QN APN AN : N N2 и AN : p p 2.

p p AN. Зависимость от, где она Отметим, что AN N N 2 p p p p несущественна, будем опускать.

An, Определение 2 [61]. Последовательность операторов n N, An : n n 2 называется собственно сходящейся к опера p p тору A : p p 2, если выполнены следующие два условия:

1) xn n, xn x, n N An xn Ax, n N ;

p 2) xn const, n N, An xn компактна, следовательно, xn, n N, компактна (последовательность компактна, если всякая ее бесконечная подпоследовательность содержит другую сходящуюся подпоследовательность).

Замечание. В работах [61, 62] вводилось понятие P - и Q сходимости, которые в данном случае совпадают с обычной схо димостью в пространствах p и p2.

Обозначим через AN множество G \ | G, AN1 : N2 N.

p p Теорема 4. Пусть p четно, p 0 ;

функция K x, s;

голо морфна в области G по переменной и выполнены условия (7) по переменным x, s. Тогда, если A, то для х.ч. и собственных векторов о.-ф. A и An, определенных соотношениями (17), (18), справедливы следующие утверждения (i) 0 A n0, n : n An, n 0, n n0, n N ;

(ii) n An, n 0 G, n N N 0 A ;

const, An n xn 0, n 0 G, xn, n N (iii) xn p компактна;

An n xn 0, xn x0, n 0 G, 1, (iv) xn p 1, A 0 x0 0.

n N N x0 p Доказательство. Как следует из теорем 1, 2 в [61], для доказа тельства перечисленных утверждений достаточно установить, что 1) A, An голоморфны в G;

2) A фредгольмова в G;

3) An равномерно ограничены по n и на каждом компак те K 0 G ;

4) An A собственно для любого G.

Рассмотрим коэффициенты 2 dxds ank ank 2 K x, s;

Tn x Tk s.

1 x 1 s 2 1 Голоморфность ank в G очевидна. Из оценки (16) следует, что K n, K ограничены в окрестности каждой точки G. Со гласно [106, с. 459], из голоморфности ank и ограниченности K n, K в окрестности каждой точки G следует голо морфность о.-ф. K n и K в G. Из той же оценки (16) получает ся равномерная ограниченность An по n и на каждом компакте K 0 G. Фредгольмовость A установлена в теореме 3. Остается доказать собственную сходимость An A, G, n N.

Пусть xn n. Тогда p I Qn Ax An xn Ax An xn Qn Ax p2 p2 p I Qn Ax A xn x 0, p p 0, n.

если xn x p Далее, пусть xn c, n N, An xn компактна. Тогда для лю бого N N существует N N и y p 2 такие, что An xn y, n N, An xn Ln xn K n xn y ;

Ln Qn LPn. Поскольку пространст во p гильбертово, то из ограниченной последовательности xn, n N, можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность xn, n N N, которую компактный оператор K переводит в сильно сходящуюся Kxn, n N, Kxn u p 2. Но K n xn Kxn K n K xn, K n K xn в силу Утверждения 3, поэтому K n xn u, n N Ln xn v y u xn L1v, n N, так как 0, n, n N.

xn L1v L1 Lxn v L1 Ln xn v p2 p p Теорема доказана. # Теорема 4 обосновывает метод вычисления х.ч. и собственных векторов, предложенный выше. В работе [61] имеются оценки ско рости сходимости n к 0 и xn к ядру ker A 0, однако они не яв ляются конструктивными, поэтому мы не будем их приводить.

§4 Системы L -оператор-функций До сих пор рассматривался случай одного уравнения (17). Но задача о нормальных волнах приводит к системе уравнений вида (17), причем состоит из нескольких интервалов. Ниже дается обобщение метода вычисления х.ч. и собственных векторов для систем L -оператор-функций.

Пусть Fp p p – декартово произведение m экземп m раз p ляров пространства со скалярным произведением m i, i p, где 1,, m Fp, 1,, m Fp ;

, p i i, i p. Определим проекторы PN PN 1,, PN m, QN QN 1,, QN m, Fp 2, (21) переводящие пространства Fp и Fp 2 в конечномерные подпро странства FpN PN Fp и FpN 2 QN Fp 2 с индуцированным скалярным произведением и нормой.

Теперь рассмотрим систему L -оператор-функций, задаваемую операторной матрицей Aij :

A L K : Fp Fp 2, G, m m L i Lij j, K i Kij j, i 1,, m ;

j 1 j ds Lij ij ln x s s, (22) 1 s ij – комплексные функции переменного ;

ds ;

AN QN A PN, N 1, 2, K ij K ij x, s;

s 1 s Для произвольного оператора B : Fp Fp 2 имеем B B, B p2 p 2 m m m m m m Bij j Bij j Bij, p p i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j p следовательно, для нормы оператора B верна оценка m m B Bij. (23) i 1 j Из формулы (23) следует, что если для каждой функции K ij x, s;

выполнены условия (7), то m m cij, (24) 2 0, K N QN KPN, N, K N K KN K i 1 j где cij cij имеют тот же смысл, что и в (16).

Предположим, что det ij 0, G. Тогда у матрицы ij существует обратная 1, коэффициенты кото ij, L рой обозначим через оператор обратим, L1 1 L1, справедлива оценка m m L ij L1.

2 (25) i 1 j В этом случае о.-ф. A L K будет фредгольмовой.

Если же det ij 0 0, 0 G, то обратного оператора L1 0 не существует, dim ker L 0, оператор A 0 не мо жет быть фредгольмовым, и, следовательно, 0 A. При этом 0 может и не быть характеристическим числом, т.е. ker A 0.

Определение 3. Точки 0 G, при которых det ij 0 0, будем называть точками вырождения системы (22), а их совокуп ность обозначать через G0 ;

G0 A.

Теорема 5. Пусть p четно, p 0, функции ij, K ij x, s;

голоморфны в области G (по переменной ) и все функции K ij x, s;

удовлетворяют условиям (7) по переменным x, s. Тогда, если A, то A фредгольмова в области G \ G0, и спектр A в этой области состоит из изолированного множества ха рактеристических чисел конечной алгебраической кратности, пре дельные точки которого могут находиться лишь на границе облас ти G \ G0 ;

для х.ч. и собственных векторов о.-ф. A, AN в об ласти G \ G0 справедливы все утверждения о сходимости (i)–(iv) из теоремы 4 (при этом предполагается, что о.-ф. A и AN оп ределены соотношениями (22), и рассмотрения ведутся в простран ствах Fp ). Кроме того, G0 A, и всякий компакт K 0 G со держит не более конечного числа точек вырождения.

Доказательство. В доказательстве нуждается лишь последнее утверждение и утверждения о сходимости. Утверждения (i)–(iv) доказываются совершенно аналогично случаю одного уравнения;

необходимо лишь учесть оценки (24), (25). Утверждение о том, что всякий компакт K 0 G содержит не более конечного числа точек вырождения, следует из теоремы единственности [130], согласно которой однозначная аналитическая функция det ij в области G, не равная тождественно нулю (иначе было бы A ), не может иметь последовательность нулей, сходящуюся к какой-либо конечной точке 0 G. Теорема доказана. # §5 Метод вычисления характеристических чисел и собственных векторов в задаче о нормальных волнах волноведущей структуры Рассмотрим систему (1.24), возникающую при исследовании задачи о нормальных волнах волноведущей структуры. Систему (1.24) запишем в следующем виде 2 k1 k2 N ln x x0 K11 x, x0 j x0 p j x0 dx j 1 j 1 2 ln x x0 K12 x, x0 j x0 p j x0 dx0 0, j x i, i 1,, N ;

N ln x x0 K 21 x, x0 j x0 p j x0 dx j 1 j K 22 x, x0 x0 p j x0 dx0 0, x i, i 1,, N. (26) j j Здесь pv, N – число интервалов j, a2v x0 x0 a2v N j.

j Как показано в [104], всякое решение системы (1.12)–(1.14) (или (1.24)), удовлетворяющее условию Гельдера H (1.5) с пока зателем 1, удовлетворяет этому же условию с показателем 1 2, поэтому можно считать, например, что функции j ( x0 ), j ( x0 ), в (26) непрерывны в j.

Переведем с помощью замены переменных интервалы j в интервал 1, 1 и образуем функции j 1 ij k12 k22 ln x j x0j 2 2 ij k1 k2 ln 11 K x j, x j, i, j 1,..., N ;

ij 1 2 ln j 1 ij 1 2 ln x j x0j K ij t, t0 K12 x j, x0j, i 1,..., N, j N 1,..., 2 N ;

j 2 1 ij ln x j x0j K 21 x j, x0j, 2ij ln i N 1,..., 2 N, j 1,..., N ;

K 22 x, x0, j j i N 1,..., 2 N, j N 1,..., 2 N ;

где a2i a2i 1 a2i a2i xi xi t t, t 1, 1, 2 a a2i 1 a2i a2i x0 x0 t 2i t0, t0 1, 1, i i (27) 2 j – длина интервала j ;

ij – символ Кронекера.

Далее образуем коэффициенты:

k12 k22, 1 i j N, 1 2, 1 i N, j N i, ij (28) 2, 1 j N, i j N, 0, в остальных случаях, и введем вектор неизвестных функций:

t0 1 x0 t0,, x0 t0, 1 x0 t0,, x0 t0, 1 N 1 N N N t0 1, 1.

Тогда систему (26) можно записать в виде (22) с неизвестной вектор-функцией t0, ядрами K ij t, t0 и коэффициентами ij ;

порядок системы m 2 N. Нетрудно проверить, что det ij 1 21 N N 0.

(29) Отметим, что в этом случае определитель не зависит от.

В силу теоремы 1.1 условия (7) выполнены для всех функций K ij t, t0, при p 0 и p 2, поэтому задачу (26) можно рассматри вать либо в пространствах F0, F2, либо в F2, F4. Тем не менее. это не приводит к неоднозначности.

Лемма 2. Всякое решение системы (26), принадлежащее про странству F0, принадлежит F2.

Доказательство. Пусть выполнено (26) и F0. Тогда, как сле дует из Теоремы 2, K будет непрерывным оператором из F0 в F4, K : F F. Следовательно, систему (26) можно записать в виде 0 L f, F0, где через f обозначено значение K на элементе f K, f F4.

Но оператор L непрерывно обратим и 1 L1 : F4 F2, по этому F2. Лемма доказана. # Из леммы 2 следует, что можно, не ограничивая общности, рассматривать систему (26) сразу в пространствах F2, F4.

Условие непустоты резольвентного множества задачи (26) лег ко получается из результатов главы 1. В самом деле, в главе 1 было доказано (теорема 1.1.1), что все точки, лежащие вне некоторой полосы l, являются регулярными точками пучка L, т.е крае вая задача (1.1)–(1.5) при этих имеет только тривиальное реше ние. Отсюда в силу теоремы 1.2 получаем, что при этих, если только 2 не совпадает с полюсом функции Грина, задачи (1.24) (или (26)) также имеет лишь тривиальное решение, поэтому из фредгольмовости A заключаем, что в этих точках существует ограниченный оператор A1 : F4 F2 и A.

Свойства функций K ij t, t0 K ij t, t0 ;

в зависимости от ком плексного параметра будут подробно рассмотрены для случая прямоугольников j в разделе 3. В частности, будет показано, что эти функции являются мероморфными в C. В связи с этим сфор мулируем полученные результаты в следующей форме.

Теорема 6. Пусть о.-ф. A : F2 F4, отвечающая системе интегральных уравнений (26), конечномероморфна в C, а в окре стности полюсов справедливо разложение (1.26), причем оператор A0 в этом разложении фредгольмов. Тогда A фредгольмова во всей комплексной плоскости, и спектр A в C состоит из изо лированного множества характеристических чисел конечной ал гебраической кратности с единственно возможной предельной точкой в бесконечности. Точки вырождения отсутствуют. В об ласти голоморфности A для х.ч. и собственных векторов ко нечномерных о.-ф. AN, построенных по правилам (21), (22), справедливы все утверждения о сходимости (i)–(ii) из теоремы 4.

Доказательство. По сравнению с теоремой 5 новым здесь яв ляется утверждение о предельных точках A, а также об отсут ствии точек вырождения;

кроме того, снято ограничение A.

Первое из этих свойств следует из результатов работы [78], а ос тальные доказаны выше. # Утверждение о том, что полюса (лежащие на границе области голоморфности) не могут быть предельными точками множества х.ч., является весьма существенным для применения численного метода, т.к. наличие предельных точек заметно осложнило бы рас чет х.ч. в окрестности этих точек.

В заключение докажем, что условию (1.5) удовлетворяет вся кое решение задачи (1.1)–(1.4). Действительно, задача (1.1)–(1.4) приводит к системе интегральных уравнений (26) с логарифмиче скими особенностями в ядрах (при выводе этой системы примене ния сингулярных интегралов можно избежать, проинтегрировав по x последнее условие в (1.3)). В силу оценок (1.4) можно считать, что j, j L2. Учитывая гладкость ядер K ij t, t0, из результатов работы [190] заключаем, что функции, W 1. Остается j j 2 применить утверждение 2, из которого следует справедливость ус ловия Гельдера для функции j, j с показателем 0 1 4 1, что и требовалось доказать.

Раздел 3. Свойства спектра волноведущей структуры – щелевой линии передачи В разделе приводятся результаты исследования спектра для конкретной волноведущей структуры щелевой линии передачи.

Приводится конкретный вид системы интегральных уравнений.

Дается определение четных и нечетных волн для симметричных структур. Исследуются свойства систем в зависимости от спек трального параметра. Доказывается, что оператор-функции, отве чающие этим системам, являются конечномероморфными и фред гольмовыми во всей комплексной плоскости. Отсюда делается важный вывод об изолированности любого характеристического числа и об отсутствии конечных предельных точек множества ха рактеристических чисел.

В данном разделе методы, изложенные в разделах 1, 2, приме няются для анализа спектральных характеристик конкретной вол новедущей структуры – щелевой линии передачи. Для этой волно ведущей структуры возможно построение соответствующих функ ций Грина в явном виде. Аналитически выделяется логарифмиче ская особенность для следов функций Грина (в разделе 1 метод вы деления особенности не был конструктивным). Выписываются яв ные формулы проекционного метода, изложенного в разделе 2, для щелевой линии передачи.

Результаты раздела (а также результаты конкретных расчетов и особенности численной реализации метода) содержатся в работах [3, 45, 97–100, 160].

§1 Интегральные оператор-функции для щелевой линии передачи. Четные и нечетные волны Рассмотрим щелевую линию передачи, поперечное сечение которой изображено на рис. 4. В этом случае j – прямоугольник со сторонами a j, b j, a a N v, 2, 2, a2 a1 ;

2 v коэффициент j в j, Im j 0, j 1 ;

j 1, 2.

y b 1 a a 1 v N a a1 x 2 2 N v b2 v Рис. 4 Поперечное сечение щелевой линии передачи Задача о нормальных волнах (1.1)–(1.5) для волноведущей структуры может быть сведена к эквивалентной спектральной за даче для оператор-функции, определяемой системой интегральных уравнений (1.12)–(1.14). Такой подход осуществим лишь тогда, ко гда известен явный вид функций Грина первой и второй краевой задачи для уравнения Гельмгольца u k 2u 0 в областях j.

j В данном случае для функции Грина хорошо известны представле ния в виде двойных рядов [90, 91, 119]:

G x, y, x0, y j n n a j my aj my x 2 sin a x0 2 sin b sin b sin aj 4 j j j ;

2 a jbj n m n 1 m kj a b j j G x, y, x0, y j n n a a my my x j cos x0 j cos cos cos aj 2 aj 2 bj bj 4 ;

(1) n 2 m 2 a jbj n 0 m 1 0 n 1 0 m k a j bj j k 2 j, kl – символ Кронекера.

j Эти функции определены во всей комплексной плоскости, за 2 n m, n 0, исключением множества полюсов nm j j a b j j m 0 ;

1 2, j nm.

j n, m G x, y, x0, y0, G x, y, x0, y0, Рассмотрим функции j j y0 y0 фигурирующие в интегральных представлениях (1.6), (1.7) и пре n образуем их, суммируя ряды по индексу m n k j : j aj G x, y, x0, y0 j j y0 aj y0 sh n b j y j n n a a sin x j sin x0 j, y 0;

(2) sh nb j j aj 2 aj n G x, y, x0,0 j aj ch n b j y j n n a a cos x j cos x0 j, y 0. (3) nj sh nj b j n 0 1 0 n aj 2 aj Отметим, что несмотря на радикалы, присутствующие в (2), (3), коэффициенты рядов не имеют точек ветвления и являются ме роморфными функциями в C.

В качестве первообразной функции (2) по переменной x0 вы берем функцию j G x, y, x0,0 j sh n b j y j n n a a sin x j cos x0 j, y 0. (4) n sh nj b j aj 2 aj n В этом случае система интегральных уравнений (1.12)–(1.14) за пишется так:

k 2G x,0, x,0 k 2G x,0, x,0 x dx 1 1 0 2 2 0 0 1G1 x,0, x0,0 2G2 x,0, x0,0 x0 dx0 0, x ;

(5) G1 x,0, x0,0 G2 x,0, x0,0 x0 dx 11 x, x0 2 2 x, x0 x0 dx0 0, x ;

(6) x dx 0, 1,..., N ;

(7) 0 где G x,0, x0,0 j aj cth n b j j n n aj aj cos x cos x0, n 0 1 0 n nj aj 2 aj G x,0, x0,0 j aj n cth nb j j n n a a sin x j cos x0 j ;

nj aj 2 aj n j x, x0 cth n b j j n n a a sin x j cos x0 j.

n n j aj 2 aj n Если множество симметрично относительно нуля, то систе ма (5)–(7) распадается на две независимые системы. Действитель но, пусть x0 x0 x0, x0 x0 x0 – разложе ние на нечетную и четную компоненты, и пусть выполнено (5)–(7).

Тогда в уравнениях (5), (6) в слагаемых с нечетным индексом n ос танутся только функции x0, x0, а в слагаемых с четным n – функции x0, x0. Но в уравнении (5) ряд, образованный только нечетными слагаемыми, есть нечетная функция переменной x, а ряд с четными слагаемыми – четная, поэтому равенство нулю при всех x будет иметь место тогда и только тогда, когда обе эти функции тождественно равны нулю. Аналогично для уравне ния (6) с той лишь разницей, что здесь четные функции переводят ся в нечетные, а нечетные – в четные. При таком разделении ядра систем несколько упрощаются:

– в нечетном случае:

k 2G x,0, x,0 k 2G x,0, x,0 x dx 1 1 0 2 2 0 0 1G1 x,0, x0,0 2G2 x,0, x0,0 x0 dx0 0, x ;

G1 x,0, x0,0 G2 x,0, x0,0 x0 dx x, x x, x x dx 0, x ;

(8) 1 1 0 2 2 0 0 cth nj b j nx nx sin a sin a G j x,0, x0,0, nj aj n j j nx0 cth n b j j 2 nx G j G j, j x, x0 cos sin, x n n nj aj aj – суммирование ведется только по нечетным индексам;

n k G x,0, x,0 k G x,0, x,0 x dx 2 1 1 0 2 2 0 0 1G1 x,0, x0,0 2G2 x,0, x0,0 x0 dx0 0, x ;

G x,0, x,0 G x,0, x,0 x dx 1 0 2 0 0 11 x, x0 2 x, x0 x0 dx0 0, x ;

(9) x dx 0, v 1,..., N ;

0 v – в четном случае:

cth nj b j 1 cos nx cos nx G x,0, x0,0, j nj aj aj aj n0 0n nx0 cth n b j j 2 nx G j G, x, x0 sin cos, j j x n n nj aj aj – суммирование ведется по четным индексам.

n Если системы (8), (9) рассматривать в пространствах p t ' nTn t, hp, n t '' nTn t 0, hp, p (10) n то свойство фредгольмовости этих систем сохраняется.

Определение 1. Решения систем (8) и (9) (и построенные по формулам (1)–(3), (1.6)–(1.8) поля E и H) будем называть соот ветственно нечетными и четными волнами структуры.

Такое определение согласуется с общепринятым [100]. Отме тим, что разбиение общего случая (5)–(7) на две независимые сис темы (8) и (9) в два раза сокращает объем вычислений, производи мых при расчетах характеристического числа.

§2 Свойства спектра щелевой линии передачи Общие свойства спектра щелевой линии передачи описывают ся теоремами 1.1.1–1.1.3. Здесь мы докажем теорему, дополняю щую результаты главы 1.

Нелинейные задачи на собственные значения (5)–(9) можно рассматривать не только в области голоморфности соответствую щей оператор-функции, но также и в полюсах. По определению полюс 0 является характеристическим числом о.-ф. A, если существует голоморфная в окрестности 0 вектор-функция такая, что A голоморфна в окрестности 0 и 0 0 [78]. Такой подход позволяет рассматривать задачу на собственные значения во всей комплексной плоскости. Ниже мы установим конечномероморфность и фредгольмовость в C опера тор-функций, отвечающих системам (5)–(9).

Рассмотрим ядро nx0 cth nb j nx 2 G x,0, x0,0, 0 x, x0 a, cos cos a j n 0 1 0 n n aj aj и выделим его главную часть, содержащую особенность x x0 1 x x G x,0, x0,0 ln 2sin ln 2sin 2a 2a cth b k 2 nx0 cth n b a nx cos.

cos a n n a a n 0 a k 2 n m Если, то в некоторой окрестности точки a b при достаточно большом n, n n0, для коэффициентов оставше гося ряда справедливы оценки n sh nb k cth nb a c a 3;

n n n n n n n cth nb a a cth nb cth nb c 1 b 3, (11) 2 2 sh 2 nb n n n n из которых следует возможность почленного дифференцирования ряда и голоморфность функции, образуемой этим рядом, в окрест ности точки. Здесь так же, как и выше, коэффициенты ряда – ме роморфные функции параметра, причем все полюса лежат левее точки на вещественной оси.

Для слагаемых главной части можно записать x x0 1 x x ln 2sin ln 2sin 2a 2a 1 1 ln x x0 ln x x0 ln 2a x x0 N x, x0, где N x, x0 бесконечно дифференцируема по переменным x, x0.

Если 0 x, x0 a, то второе и третье слагаемые не дают особенно сти;

в противном случае имеет место «неподвижная» особенность при x x0 0, x x0 a.

Далее рассмотрим интегральную о.-ф. M в окрестности полюса l M G x,0, x0,0 x0 dl, 0 l1 l2 a;

l l l l l dx, t 1 2 2 1 t 2.

dl (12) l2 x0 x0 l1 2 Пусть 0 – полюс функции G x,0, x0,0, 0. Ясно, что существует конечное число пар индексов n1, m1,..., ns, ms, s 1, при которых n1m1... ns ms 0. Перепишем (12), группируя сла гаемые, содержащие полюс, и выделим логарифмическую особен ность в оставшейся части ряда, получим представление l M ln x x0 x0 dl l l nx nx 41 1 n m m 1 1 cos a cos a 0 x0 dl ab 0 n1,..., s 1,..., s 0n 0m l l K 0 x, x0, x0 dl L Ts K 0, (13) l где Ts Ts 0 – конечномерный оператор;

L – обратимый опера тор, а K – компактный оператор (в силу теоремы 2.2), причем 0 о.-ф. K 0 голоморфна в некоторой окрестности точки 0. Из представления (13) следует, что о.-ф. M конечномероморфна и фредгольмова во всей комплексной плоскости, т.к. фредгольмо вость в области голоморфности была доказана в разделе 2.

Результаты, полученные для скалярной о.-ф. M легко пере носятся на случай систем (5)–(9). Для этого по формулам (1.21), (1.22) приведем указанные системы к логарифмическому виду и раз ложим соответствующую оператор-функцию в ряд Лорана в окрест ности полюса. В результате этих действий аналогично (13) получим 1 j j A j, A j Tnm Lnm (14) i,nm nm nm j i где оператор T конечномерен, L – фредгольмов, а оставшийся ряд j j nm nm сходится по норме в некоторой окрестности точки nm. Голоморфность j A в точках, отличных от полюсов, сразу следует из оценок (11).

Таким образом, системы (5)–(9) могут быть сведены к конеч номероморфным о.-ф., для которых спектральная задача рассмат ривается уже во всей комплексной плоскости и справедливы все утверждения теоремы 2.6.

Мы не будем рассматривать вопрос о спектральной эквивалент ности задачи (5)–(7) и исходной краевой задачи при nm, но j отметим, что утверждение об изолированности спектра во всей ком плексной плоскости сохраняет силу в любом случае.

Сформулируем этот наиболее важный для численных расчетов факт в виде теоремы.

Теорема 1. Спектр щелевой линии передачи представляет со бой изолированное множество в C.

Глава 3. Методы решения нелинейных краевых задач на собственные значения Раздел 1. Задача о распространении электромагнитных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой Распространение светового луча в однородной нелинейной среде или в волноведущей структуре с нелинейной средой, описы ваемой по закону Керра, активно исследуется в течение последних двух десятилетий [33–35, 37, 38]. Эффекты самофокусировки и «са моканализации» луча в лазерах и оптоэлектронных устройствах также изучаются и применяются на практике [2, 142]. При распро странении резко неоднородной волны – «луча» лазера, в опреде ленных условиях волновому процессу сопутствует образование ка нала, направляющего его энергию. В этом случае процесс распро странения волны происходит подобно распространению волны в диэлектрическом волноводе с нелинейной средой, описываемой по закону Керра. Распространение ТЕ-поляризованных волн в трех слойной среде без потерь, один из слоев которой заполнен нели нейной средой, подробно исследовано в [33–35, 37]. В этих работах были получены аналитические решения соответствующих диффе ренциальных уравнений, выраженные с помощью эллиптических функций, а также представлены численные результаты расчетов.

Однако при изучении других структур, например круглого диэлек трического волновода, уже не удается получить аналитические ре шения, но возможно применение численных методов. Кроме того, для анализа вопроса о существовании и единственности решений краевой задачи приходится привлекать методы функционального анализа исследования нелинейных операторов.

В этом разделе изучаются электромагнитные волны, распро страняющиеся в диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненного средой с нелинейностью, выраженной законом Кер ра. Проблема сводится к нелинейному интегральному уравнению с ядром в виде функции Грина для уравнения Бесселя. Существова ние распространяющихся ТЕ-поляризованных волн доказывается с помощью принципа Шаудера и методом сжимающих отображений.

Для численного решения задачи предложен итерационный алго ритм, доказана его сходимость. Доказано существование корней дисперсионного уравнения – постоянных распространения волно вода. Получены условия, когда могут распространяться несколько волн, указаны области локализации соответствующих постоянных распространения.

Результаты раздела опубликованы в работах [36, 46, 169, 176– 178, 180].

§1 Постановка задачи Рассмотрим задачу о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода. Пусть все трехмерное пространство R3 заполнено изотропной средой без источников с 1 = const. В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод одно родного заполнения с образующей, параллельной оси Оz, и попе речным сечением W : x : x12 x2 R 2. Пусть диэлектрическая проницаемость 2 внутри цилиндра определяется по закону Керра:

2 f a f E, где и 2 – вещественные положительные константы. Здесь 2 – постоянная составляющая проницаемости ;

– коэффициенты не линейности.

Требуется отыскать поверхностные волны, распространяю щиеся вдоль образующей волновода, т.е. собственные волны структуры. Электромагнитное поле Е, Н удовлетворяет системе уравнений Максвелла:

rot H i E;

(1) rot Е i Н, (2) условиям непрерывности касательных составляющих поля Н и Е при переходе через границу волновода и условиям затухания поля на бесконечности.


Перейдем к цилиндрической системе координат (,, z). Тогда уравнения Максвелла примут вид 1 EZ E iH ;

(3) z E EZ iH ;

(4) z 1 E E iH Z ;

(5) 1 H Z H iE ;

(6) z H H Z iE ;

(7) z 1 H H iEZ. (8) В случае ТЕ-поляризации предположим, что E 0;

E ;

0, H H ;

0;

H z. В результате уравнения (3)–(8) приведутся к виду E iH ;

(9) z E iH Z ;

(10) 1 H Z 0;

(11) H H Z iE ;

(12) z 1 H 0. (13) Из уравнений (11) и (13) следует, что H z H z, z и H H, z не зависят от. Из уравнений (9) и (10) находим 1 E 1 E.

H, HZ (14) i z i Подстановка Н и Нz в (12) дает E E z 2 E 0.

(15) Решение задачи будем искать в форме осесимметричных волн E, z u eiz. Таким образом, (15) может быть перепи сано в виде 1 u u 0, 2 (16) где производная означает дифференцирование по. Во внешней области, учитывая, что = 1, получаем уравнение Бесселя:

1 u u 2 u k 2u 0, R, (17) где k2 = 21 – 2.

Внутри волновода, где = 2 + Е2, получаем кубическое нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка:

1 и и 2 и k 2и 0, R, (18) где = 2, k2 = 22 – 2. Условия сопряжения на поверхности волновода преобразуется к виду E R 0 и H z R 0, что дает u R 0 и u R 0, (19) где v R v R 0 v R 0 – скачок предельных значений функ ции в точке R. Спектральным параметром задачи является.

Сформулируем теперь краевую задачу на собственные значе ния, к которой свелась исходная задача о распространяющихся по верхностных волнах цилиндрического волновода. Требуется оты скать ненулевую функцию u и соответствующие собственные значения такие, что u удовлетворяет уравнениям (17), (18), условиям сопряжения (19) и условиям экспоненциального убыва ния функции u на бесконечности при.

Запишем решение уравнения Бесселя (17) в виде u C1 H1 k, R, (20) где С1 – константа, H1 – функция Ханкеля. Если Re k = 0, то u C1 K1 k, R, (21) где K1 – функция Макдонольда. Условия выполняются, потому что K1 k 0 экспоненциально, в то время как. Обозначим электрическую составляющую поля на границе волновода через Е0, E0 C1K1 k.

§2 Нелинейное интегральное уравнение Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение (18), записан ное в виде 2 u k u u 3 0, (22) и линейное уравнение Бесселя u u k 2 u 0. (23) Перепишем последнее уравнение в операторной форме:

d 2 d Lu 0, L k. (24) d d Построим функцию Грина для краевой задачи LG 0, 0 0 R G G 0 в виде (см., например, [49]) G, J1 k J1 k 0 N1 kR J1 k N1 k, 0, 0 R, (25) J1 kR 2 где min, 0, max, 0. (26) Функция Грина существует при таких значениях параметров, что J1 kR 0.

Запишем уравнение (18) в операторном виде:

Lu aB u 0, B u u 3. (27) Используя вторую формулу Грина R R Lu uL d u u d (28) 0 R u R R R u R и полагая = G, получаем R GLu uLG d R u R 0 G R, G R, u R 0 0 Ru R 0 G R, 0. (29) Используя уравнение (27), имеем R GLu uLG d R u R 0 G R, G R, u R 0 0 Ru R 0 G R, 0, (30) получаем интегральное представление решения u 0 уравнения (18) на интервале 0, R :

R u 0 G, 0 u 3 d Ru R 0 G R, 0, 0 0 R. (31) Принимая во внимание условия сопряжения u R 0 u R 0, перепишем уравнение (31) в виде R u 0 G, 0 u 3 d f 0, 0 0 R, (32) где f 0 Rи R 0 G R, 0, (33) 1 J1 k G R, 0. (34) kR J1 kR Из уравнения (32) и условий сопряжения u R 0 u R следует дисперсионное соотношение R u R 0 G, R u 3 d Ru R 0 G R, R. (35) Положим N, 0 G, 0 и рассмотрим интегральное уравнение на интервале C 0, R [185]:

R u 0 N, 0 u 3 d f 0. (36) Предполагается, что f C 0, R и J1 kR 0. Нетрудно ви деть, что ядро N, 0 является непрерывной функцией в квад рате 0, 0 R.

Рассмотрим в C 0, R линейный интегральный оператор R N N, 0 d. (37) Он ограничен, вполне непрерывен и R N max N, 0 d. (38) 00, R Поскольку нелинейный оператор B0 u u 3 ограничен и непрерывен в C 0, R, то нелинейный оператор R F u N, 0 u 3 d f 0 (39) является вполне непрерывным на каждом ограниченном в C 0, R множестве.

В последующих рассуждениях нам понадобится следующее вспомогательное числовое кубическое уравнение:

N r3 f r, (40) где норма оператора N 0 определяется формулой (39), а f 0.

f (41) max 0 0, R Рассмотрим уравнение r N r3 f (42) и функцию y r : r N r 3. (43) Функция y r имеет только одну положительную точку мак симума:

rmax, (44) 3N значение функции в которой равно ymax y rmax. (45) 33N Тогда, при условии 2 0 f 33N уравнение (42) имеет два неотрицательных корня r и r*, r r*, удовлетворяющих неравенствам 0 r* ;

(46) 3N 1 r*. (47) 3N N Эти корни нетрудно выписать как решения кубического урав нения f r3 r 0. (48) N N Имеем 3 3 arccos f N 2 cos r* 2 ;

(49) 3N 3 3 arccos f N 2 2.

cos r* 2 (50) 3N Если 1 2 f 0, то r 0 и r ;

0 f, 33N N то r*. (51) 3N 2 1 2 При f имеем r* r *.

33N 33N Итак, доказано следующее утверждение.

Лемма 1. Если выполняется неравенство 2 0 f, (52) 33N то уравнение (40) имеет два неотрицательных решения r* и r *, r* r *.

Используя принцип Шаудера [53, 185], можно доказать, что 2 для каждого f S 0 C 0, R, где, существует ре 3 3N шение u уравнения (36) внутри шара S * Sr* 0.

Лемма 2. Если f, то уравнение (36) имеет, по 3 3N крайней мере, одно решение и u r.

Доказательство. Так как F u абсолютно непрерывен, необ ходимо только проверить, что F переводит шар в себя. Предполо жим, что и S*. Используя (37)–(39), получаем F u N u f N r f r.

Это означает, что FS* S*. Лемма доказана. # Теперь докажем, что если выполняется условие (42), то (37) имеет единственное решение и в шаре S* S r*.

Теорема 1. Если А, где 2 A (53) 3f 3 N и R N 0 max G, 0 d, то уравнение (36) имеет единственное решение и, являющееся не прерывной функцией:

u C 0, R, u r.

Доказательство. Если и S, то F u N u f N r f r.

Если и1, и2 S, то R N, u u d F u1 F u2 3 Nr2 u1 u2.

3 0 1 Так как A, то f 0 удовлетворяет условию (52). Поэтому выполняется неравенство (51), откуда 3 N r*2 1.

Следовательно, F отображает S в себя и является сжимающим оператором на S. Поэтому уравнение (36) имеет единственное ре шение в S. Теорема доказана. # Отметим, что А 0 и не зависит от.

В дальнейшем нам понадобится утверждение о зависимости решений интегрального уравнения (36) от параметра.

Теорема 2. Пусть ядро N и правая часть f интегрального уравнения (36) непрерывно зависят от параметра 0, N,, 0 C 0 0, R 0, R, f, 0 C 0 0, R, на не котором отрезке 0 вещественной числовой оси. Пусть также 2 0 f. (54) 3 3 N Тогда решения u, уравнения (36) при 0 существу ют, единственны и непрерывно зависят от параметра, u, C 0 0, R.

Доказательство. Рассмотрим уравнение R u 0, N,, 0 u 3, d f 0,. (55) Существование и единственность решений u при условиях теоремы 2 следует из теоремы 1. # Докажем непрерывную зависимость этих решений от параметра.

Нетрудно видеть из формулы (49), что r* непрерывно зави сит от на отрезке 0. Пусть r0 max r*, и максимум достигает ся в точке 0, r* r0.

Далее, пусть Q max 3r*2 N (), и максимум достигается в точке 0, Q 3r*2 N. Тогда Q 1 в силу условия (54) теоремы.

Предположим сначала, что u u. Тогда имеют место следующие оценки:

u 0, u 0, R N,, 0 u 3, d R N,, 0 u 3, d f 0, f 0, R N,, 0 N,, 0 u 0,, d R N,, 0 u 3, u 3, d f 0, f 0, R N,, N,, d u 0 u u u u u u 2 R N,, 0 d f f r03 N N u u 3r*2 N f f.

Отсюда получаем, что u u r03 N N f f, 1 3r* N и u u (56) r03 N N f f, 1 Q где Q и r0 не зависят от.

Пусть теперь u u. Тогда все предыдущие оцен ки остаются в силе, если заменить аргументы на +, а + на. Таким образом, оценка (56) также остается в силе, откуда сле дует утверждение теоремы. Теорема доказана. # §3 Итерационный метод Приближенные решения иn интегрального уравнения (36), представимого в виде u F u, могут быть определены итераци онным процессом un1 F un, n = 0, 1,..., R u0 0, un1 G, 0 un dp f, n 0, 1,...

(57) Последовательность un равномерно сходится к решению u уравнения (36) вследствие того, что F u – сжимающий оператор.

Известна также оценка для скорости сходимости итерационного алгоритма (57). Сформулируем эти результаты в виде следующего утверждения.

Утверждение 1. Последовательность приближенных решений un уравнения (36), определяемых посредством итерационного алго ритма (57), существует и сходится в норме пространства C 0, R к (единственному) точному решению и этого уравнения, и верна оценка скорости сходимости:

qn f u0, n, un u (58) 1 q где q : 3 Nr*2 1 – коэффициент сжатия отображения F.

§4 Существование решений дисперсионного уравнения Вводя безразмерные переменные и постоянные k0, z k0 z, R k0 R, / 0, / 0 1, k2 2 2, k1 2 2 2 1, / k0, C12 / 0, u u / C1, k0 2 0 0, опуская тильду и принимая во внимание (21), дисперсионное соот ношение (35) может быть представлено в нормализованной форме:

R K1 k1 R K1 k1 R k1 RG R, R G, R u 3 d. (59) Из выражения (34) и свойств цилиндрических функций следу ет, что 1 J1 k 2 R G R, R ;

k2 R J1 k 2 R k2 RJ1 k2 R J1 k2 R k2 RJ 0 k2 R ;

k1 RK1 k1 R k1 RK 0 k1 R K1 k1 R.

Подставляя эти формулы в (59), мы можем переписать диспер сионное соотношение в другой форме:

k2 RK1 k1 R J 0 k2 R k1 R0 K 0 k1 R J1 k2 R R J1 k 2 u 3 d, (60) или иначе g F, (61) где g k2 RK1 k1 R J 0 k2 R k1 RK 0 k1 R J1 k2 R, (62) R F J1 k2 u 3 d. (63) Нули функции g F – это значения, для кото рых существует нетривиальное решение задачи Р, сформулирован ной ранее. Следующее утверждение дает достаточные условия су ществования нулей функции Ф.

Пусть j0m – m-й положительный корень функции Бесселя J0;

j1m – m-й положительный корень функции Бесселя J1;

j1m – m-й положи тельный корень функции Бесселя J1 ;

m = 1, 2,...

Мы имеем j11 = 1,841..., j01 = 2,405..., j11 = 3,832..., j12 = 5,331..., j02 = 5,520..., j12 = 7,016..., j13 = 8,536..., j03 = 8,654..., j13 = 10,173..., j14 = 11,706..., j04 = 11,792..., j14 = 13,324....

Введем обозначения 1m 2 j12m R 2 ;

2 m 2 j0 m R 2, m = 1, 2,...


Теорема 3. Пусть 1, 2 и – три числа, удовлетворяющие ус ловиям 2 1 0 и 0 0, где min g li 0 min min A, 1l 2,1im, (64) 0,3R 2 max r* и выполняются условия 1m 1 (65) при m = 1, 2, 3 или 4. Тогда существует по крайней мере m значе ний i, i = 1,..., m, таких, что задача Р имеет ненулевое решение.

Доказательство. Пусть = 2, m i 1i, 2i, i i и u r* r*.

Так как j1i для i = 1, 2, 3, 4, то функция Грина (25) сущест вует для 2. Из формулы (53) и свойств функции Грина следу ет, что A A – непрерывная относительно функция на про межутке,. Пусть A0 min A и 0. Согласно теоре ме 1, существует единственное решение u u уравнения (27) для каждого, причем это решение – непрерывная функция, u r* r*. Пусть r0 max r* ( ). Так как J1 x 0,6 при неот рицательных x, то, используя простейшую оценку интеграла (63), мы получаем, что F ( ) 0,3R 2 r03.

Согласно свойствам функций Макдональда, K 0 x и K1 x – положительны при положительных x. Функция g также поло жительна относительно, g 1i g 2i 0, i = 1,..., m. Таким об разом, g 0 имеет корень 0i на интервале i, 1i 0i 2i.

Обозначим M 1 min g 1i, M 2 min g 2i, M min M 1, M 2 ;

1i m 1i m M 0 не зависит от.

M Если, то 0,3R 2 r g F g F 0.

1i 1i 2i 2i Так как g F – тоже положительная функция, то уравне ние g F 0 имеет корень i на интервале i, 1i i 2i. Мы M можем выбрать 0 таким образом, что 0 min A0,. Тео 0,3R 2 r рема доказана. # Из теоремы 3 следует, что при условиях, сформулированных выше, существуют осесимметричные распространяющиеся ТЕ-поля ризованные волны без затухания в цилиндрических диэлектриче ских волноводах кругового сечения, заполненных немагнитной, изотропной средой с нелинейностью, выраженной законом Керра.

Этот результат обобщает известное соответствующее утверждение для диэлектрических волноводов круглого сечения с заполнением линейной средой (при = 0).

§5 Численный метод Для численного решения задачи предложим метод отыскания приближенных решений. На практике, как правило, интересуются постоянными распространения волноведущей структуры, т.е. такими (собственными) значениями (или, соответственно, ), при которых существуют нетривиальные решения краевой задачи Р. Ответ на во прос о существовании и локализации собственных значений дает теорема 3. Рассмотрим метод приближенного определения таких.

Пусть собственные значения ищутся на отрезке A1, A2 (выбор которого может быть сделан с помощью результатов теоремы 3 или исходя из практических соображений). Введем на этом отрезке сетку с узлами, причем A1 j A2 A1 N, j = 0, …, N, где N удовлетво j ряет условию А2 – А1 N, если собственное значение требуется найти с точностью. Вычисляем значения функции Ф в узлах, j причем при каждом решаем интегральное уравнение (36) с по j мощью итерационного алгоритма (57) с требуемой точностью. Далее определяем перемену знака в последовательности чисел. Ес j 0, то приближенно полагаем ли j j1 j j 2.

Раздел 2. Задача о распространении электромагнитных волн в диэлектрическом слое, заполненном нелинейной средой Изучение задач распространения электромагнитных волн в не линейных средах актуально в связи с тем, что эти явления находят широкое применение в физике плазмы, в современной микроэлек тронике, в оптике, в лазерной технике. К таким задачам относится распространение волн в волноведущих структурах и, в частности, в диэлектрическом слое. Математические модели для таких задач и некоторые результаты представлены в работах [10, 14, 17, 18]. Эти модели приводят к краевым задачам на собственные значения для систем дифференциальных уравнений, в которые спектральный параметр входит нелинейным образом. Изучение таких задач пред ставляет большие трудности в связи с тем, что не удается приме нить известные методы исследования спектральных задач.

Необходимо отметить, что подобные задачи представляют со бой именно краевые задачи на собственные значения. Это связано с тем, что главный интерес представляет нахождение тех значений спектрального параметра (по сути, собственных чисел), при кото рых волна в указанной структуре распространяется. Таким обра зом, в таких задачах необходимо акцентировать внимание на разы скании дисперсионных уравнений, а не на поисках решений самих дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемое яв ление. С математической точки зрения дисперсионное уравнение является уравнением относительно спектрального параметра, ана лиз которого позволяет делать заключение о существовании реше ний краевой задачи на собственные значения.

Наиболее изучены явления распространения ТЕ-поляризованных электромагнитных волн. Результаты, связанные с распростране нием ТЕ-поляризованных волн в нелинейном диэлектрическом слое, представлены в работах H.-W. Shurmann, В. С. Серова и Ю. В. Шестопалова [33–35, 37]. В работах [14, 17] изложены ре зультаты по распространению ТМ-поляризованных волн в нели нейном диэлектрическом полубесконечном слое. В работе [18] получен первый интеграл исследуемой в настоящем разделе сис темы дифференциальных уравнений, описывающий закон сохра нения. Однако полного аналитического решения задачи распро странения ТМ-поляризованных волн в нелинейном диэлектриче ском слое не было получено. Не было выписано дисперсионное уравнение для постоянных распространения ТМ-поляризованных электромагнитных волн.

Впервые уравнения, описывающие распространение волн в не линейной среде, с нелинейностью, выраженной законом Керра, были выведены в 1971–1972 гг. в пионерских работах П. Н. Елеонского и В. П. Силина (см., например, [10]).

Результаты раздела опубликованы в работах [64–68, 179].

§1 Постановка задачи Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через од нородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой с не линейностью типа Керра, расположенный между двумя полубеско нечными полупространствами x 0 и x h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немаг нитной средой без источников и имеют постоянную диэлектриче скую проницаемость 1 0 и 3 0 соответственно, где 0 – ди электрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду 0 ;

где 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Электрическое поле гармонически зависит от времени t:

E x, y, z, t E x, y, z cos t E x, y, z sin t, H x, y, z, t H x, y, z cos t H x, y, z sin t, удовлетворяет уравнениям Максвелла rotH iE, (1) rotE iH, где E x, y, z E x, y, z iE x, y, z, H x, y, z H x, y, z iH x, y, z есть комплексные амплитуды.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается за коном Керра 2 a E, где a и 2 max 1, 3 – положитель ные константы. Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве. Временной множитель везде ниже опущен.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет уравнениям Мак свелла (1), условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x 0, x h и условию из лучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциаль но затухает при x в областях x 0 и x h.

E Ex, 0, Ez, Рассмотрим ТМ-поляризованные волны H 0, H y, 0. В результате система (1) примет вид Ez y 0;

Ex Ez z x iH y ;

Ex 0;

(2) y H y iEx ;

z H y iEz.

x Из первого и третьего уравнений системы (2) следует, что Ez Ez x, z и Ex Ex x, z не зависят от y. Поскольку H y выра жается через Ex и Ez, то H y также не зависит от y.

... и, предполагая, что компоненты поля Обозначим x H y H y x, z H y x eiz, гармонически зависят от z, Ex Ex x, z Ex x eiz, Ez Ez x, z Ez x eiz, получаем сис тему уравнений i Ex x Ez x iH y x ;

H x iEz x ;

(3) y i H y x iEx x, из которой следует, что iEx x Ez x, H y x (4) i здесь – неизвестный спектральный параметр – постоянная рас пространения электромагнитной волны.

Дифференцируя выражение (4) и используя второе и третье уравнения системы (3), получим iEx x Ez x Ez x ;

(5) iEx x Ez x iEx x.

2 Введем обозначения k 2 20 с 0 и выполним норми d d k,, j j ровку в соответствии с формулами x kx, dx dx k a (j = 1, 2, 3), a. Переобозначаем Ez Z x, iEx X x и, опус кая значок тильды, систему (5) приведем к виду Z X Z ;

(6) Z X X.

Будем искать действительные решения X x, Z x для систе мы (6), полагая действительным (так что E не зависит от z), где 1, x 0;

2 a X 2 Z 2, 0 x h;

(7) 3, x h.

Также будем полагать, что функции X x, Z x дифференци руемы в слое так, что X x C ;

0 C 0;

h h;

C 1 ;

0 C 1 0;

h C1 h;

и Z x C ;

C 2 ;

0 C 2 0;

h C 2 h;

.

Такие условия гладкости следуют из условий непрерывности касательных составляющих поля на границах раздела сред.

Будем искать такие, что max 1, 3 2 2.

§2 Решение системы дифференциальных уравнений Для 1 в полупространстве x 0 получаем общее решение:

X x A exp x 2, (8) Z x 1 A exp x 2 1, где принято во внимание условие на бесконечности.

Для 3 в полупространстве x h имеем X x B exp x h 2, (9) Z x 3 B exp x h 2 3, в соответствии с условием на бесконечности. В решениях (8) и (9) константы A и B будут определяться граничными условиями.

Внутри слоя 0 x h система (6) принимает вид d 2Z dX dx 2 dx 2 a X Z Z ;

2 (10) dZ X 1 2 a X 2 Z 2 X.

dx Систему (10) можно привести к виду dX 2a 2 a X Z X 2 a X Z 2 2 2 2 2 2 Z;

2 3aX 2 aZ dx (11) dZ 2 2 a X 2 Z 2 X.

dx Из системы (11) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение:

2 a X 2 Z 2 Z dX 2 3aX aZ 2aXZ 2 2. (12) 2 2 a X 2 Z 2 X dZ Уравнение (12) является уравнением в полных дифференциа лах, его решение имеет вид 6C1 3 2 2 a X 2 Z 2 2 2 a X 2 Z 2 aZ 2 2. (13) 2 2 a X 2 Z 2 2 2 2 a X 2 Z Введем новые переменные:

, x X x x.

2 a X x Z x 2 x (14) Z x 2 0 2 4 2 Обозначим 0 2. Тогда X,Z.

a 2 2 2 a 2 2 Система (11) и уравнение (13) в этих переменных примут вид 2 0 2 d, 2 2 2 2 2 dx (15) d 2 2 2 ;

dx 2 2 2 C. (16) C1 32 23 2 2 Уравнение (16) есть алгебраическое уравнение четвертой сте пени относительно. Его решение может быть выписано явно по формулам Кардано-Феррари [112].

§3 Граничные условия и дисперсионное уравнение Для того чтобы выписать дисперсионные уравнения для по стоянных распространения электромагнитных волн, необходимо найти значения 0, h.

Из непрерывности касательных составляющих полей E и H, получаем Z h Ez h 0 Ez ;

Z 0 Ez 0 0 Ez ;

h (17) X h Z h iH y h 0 H y ;

X 0 Z 0 iH y 0 H y, h где константа Ez считается известной, и тогда h 3 H y Ez h, H y Ez h. (18) 3 2 В соответствии с (7) в слое 2 a X 2 x Z 2 x X x.

Z x X x (19) Комбинируя (14), (16), (17) и (19), получаем X 2 h 2 h C ;

(20) C1 32 h 23 h 2 h 2 h E h z X h H, 1 2 2 a X h Ez h h (21) y где h Hy X h. (22) h Решая уравнение (21) относительно X h, получаем h h 2 a Ez H y h X h 0.

(23) X a a 2 a Ez h Величина неотрицательна, и, следовательно, a уравнение (23) имеет, по крайней мере, один действительный ко рень, который мы и будем рассматривать:

H h 3 1 2 2 X h h Hy h y Ez 2a 27 a 4 a H h 3 1 2 2 h Hy h y.

Ez 2a 27 a 4 a h Hy Таким образом, h. Используя (18) и (22), найдем X h Ez h X h. (24) h 2 Из уравнений (20) и (24) имеем 2 3 h 2 h h C1 h. (25) 3 2 2 3 2 h Если C1 0, то уравнение (16), рассматриваемое как уравнение относительно h, будет иметь положительный корень. Легко по казать, что C1 строго больше нуля. В самом деле, из выражения (25) видно, что при h 2 C1 0, т.к. всегда h 0 1 и 3 0. Рассмотрим случай h 0, 2. Приводя к общему знаменателю выражение (25) и, где необходимо, заменяя h 0, где 0 1, приходим к выражению 2 2 3 3 h 3 2 h 1 C1 h 3 2 2 3 2 h с положительной правой частью.

Известно, что составляющие электромагнитного поля X x и Z x непрерывны на границе раздела сред. Тогда функция x также непрерывна на границе раздела сред в точках x таких, что Z x 0. Тогда, используя (8) и (9), имеем 0 ;

h 0 0. (26) 1 2 Из положительности правой части второго уравнения системы (15) ясно, что функция x монотонно возрастает на интервале 0;

h. Учитывая знаки выражений (26), получаем, что функция x не может быть дифференцируемой на всем интервале 0;

h, а необходимо имеет точку разрыва. Пусть это будет x 0;

h. Из (16) ясно, что x таково, что x является корнем уравнения C1 3 * 2 * 2* 2 * 0 0. Причем x* 0 и 2 x* 0.

Обозначим f f, 2 где, выраженное из уравнения (16). В общем случае функ ция x на промежутке 0, h имеет несколько точек x0, x1,..., xN, в которых она обращается в бесконечность, причем x0 0 x1 0... xN 0, x0 0 x1 0... xN 0. (27) Ниже будет доказано, что число таких точек конечно для лю бого h.

Будем искать решения на каждом отрезке 0, x0, x0, x1,..., xN, h :

x fd x c0, 0 x x0 ;

x x fd x ci 1, xi x xi 1, где i 0, N 1 ;

xi x fd x cN 1, xN x h. (28) xN Из уравнений (28), учитывая (27), подставляя x 0, x xi 1, x xN в первое, второе и третье уравнения (28), найдем необходи мые константы c1, c2,..., cN 1 :

c0 fd ;

ci 1 fd xi 1, где i 0, N 1 ;

h cN 1 fd h. (29) С учетом (29) уравнения (28) примут вид x0 fd x fd, 0 x x0 ;

x x fd x fd xi 1, xi x xi 1, где i 0, N 1 ;

xi x h fd x fd h, xN x h. (30) xN fd T. Из формул (30) следует, что Введем обозначение xi 1 xi T 0, где i 0, N 1. Отсюда следует, что число точек, в которых функция x обращается в бесконечность, конечно на интервале 0;

h. Теперь, полагая в уравнениях (30) x таковым (т.е.

подставляя x x0, x xi, x xN в первое, второе и третье уравне ния (30)), чтобы все интегралы слева обратились в нуль, сложим все уравнения (30), получим h 0 x0 fd x0 T x1... xN 1 T xN xN fd h. (31) 0 Из выражения (31) окончательно получаем 2 fd N 1 T h, (32) 2 где N 0 и является целым числом.

Формула (32) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого h. Надо отметить, что когда N 0, то возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать отно сительно каждое из получающихся уравнений. Все полученные будут составлять множество постоянных распространения, на которых и только на которых будут распространяться волны в слое при данном h. На самом деле N будет принимать все целые значе h ния от 0 до, где – целая часть числа.

T fd сходится в силу того, Также необходимо заметить, что M что функцию f можно мажорировать функцией, где m 1 M max x, а m min x 1. То что функция x имеет ко x0, h x0, h нечные минимум и максимум, ясно из ограниченности функций X x и Z x.

Если рассматривать первое уравнение системы (15) совместно с первым интегралом, то это уравнение можно проинтегрировать, и это приведет к так называемым гиперэллиптическим интегралам (это один из простых примеров абелевых интегралов). Если расши рить область определения независимого переменного x на всю комплексную плоскость, то можно рассматривать функции, обрат ные к этим интегралам, которые и будут решениями системы (15).

Это гиперэллиптические функции, принадлежащие классу абеле вых функций, которые являются мероморфными периодическими функциями. А поскольку функция выражается через алгебраи чески, то она также является мероморфной периодической функци ей. Таким образом, точка разрыва x является одним из полюсов функции. Интеграл, стоящий в уравнении (32), является более общим абелевым интегралом [57, 129].

§4 Краевая задача и теоремы существования Условия сопряжения для компонент поля E дают X x0 0, X xh 0, Z x0 0, Z xh 0. (33) Будем считать, что функции X x и Z x также удовлетворяют условию 1 X x O и Z x O при x. (34) x x d dx 0 X x F X x, Z x D Пусть и и Z x d 0 dx G F, G F, 1, где X x и Z x являются искомыми G2 F, функциями, а G1 и G2 являются правыми частями уравнений сис темы (11). Число является спектральным параметром. Также X x будем рассматривать вектор-столбец N x. Перепи Z x шем задачу, используя введенные обозначения.

X Для полупространства x 0, 1, N 1 получаем Z 0 DF 2 F 0. (35) 1 2 a X 2 Z 2 X Внутри слоя 0 x h, 2 a E, N, Z и система принимает вид L F, DF G F, 0. (36) X Для полупространства x h, 3, N 3 получаем Z 0 DF 2 F 0. (37) 3 Условия сопряжения (33) приводят к условиям N x x 0 0, N x x h 0, (38) где f x x x lim f x lim f x, что для вектора обозначает 0 x x0 0 x x0 переход к пределу по каждой компоненте вектора.

Сформулируем краевую задачу (задачу сопряжения). Требует ся найти ненулевой вектор F и соответствующие собственные значения такие, что F удовлетворяет уравнениям (35)–(37) и ус ловиям сопряжения (38). Кроме того, компоненты вектора F удов летворяют условию (34).

L F, из формулы (36) является нелинейной оператор функцией нелинейно зависящей от спектрального параметра. Спек тральная теория для линейных оператор-функций, нелинейно зави сящих от спектрального параметра, разработана в [76]. На данный момент не существует общей спектральной теории нелинейных оператор-функций нелинейно зависящих от спектрального пара метра. Поэтому краевые задачи, приводящие к исследованию таких оператор-функций, в большинстве случаев не удается решить из вестными методами.

Определение 1. Число 0, при котором существует нену левое решение F задачи (35)–(37) при условиях (34) и (38), будем называть собственным значением задачи. Решение F, которое соответствует собственному значению, будем называть собст венным вектором задачи, а компоненты X x и Z x вектора F – собственными функциями.

Определение 1 является неклассическим аналогом известного оп ределения характеристического числа линейной оператор-функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра [76]. Введенное определение 1 является, с одной стороны, распространением клас сического определения собственного значения на случай нели нейной оператор-функции, нелинейно зависящей от спектрально го параметра, с другой стороны, соответствует физической приро де задачи.

Теорема 1. Краевая задача на собственные значения (35)–(37) с условиями (34) и (38) имеет решение – собственное значение, то гда и только тогда, когда это собственное значение является ре шением дисперсионного уравнения (32).

Доказательство. Достаточность. Очевидно, что, найдя ре шение дисперсионного уравнения (32), мы сможем найти функ ции x и x из системы (15) и первого интеграла (16). Зная функции x и x и пользуясь формулами (14), найдем 0 X x и Z x 2 2. (39) 2 2 2 a a Вопрос о выборе знака является существенным, и поэтому ос тановимся на нем подробнее. Нам известно поведение функции X : функция является монотонно возрастающей, если Z x x таково, что x 0, то x 0 0, x 0 0, и если x x таково, что x, то x 0 0 и x 0 0.

Других точек перемен знака у функции нет. Из краевых условий следует, что Z h Ez h (0). Учтем, что если 0, то функции X и Z имеют одинаковые знаки, а если 0, то X и Z имеют раз ные знаки и, помня о том, что X и Z – гладкие функции, выбираем соответствующие знаки в выражениях (39).

Необходимость. Из способа получения дисперсионного урав нения (32) из системы (15) следует, что собственное значение крае вой задачи является решением дисперсионного уравнения. # Также необходимо заметить, что собственные функции, отве чающие собственному значению 0, легко могут быть найдены численно из системы (11), например, методом Рунге-Кутты.

На основе полученных результатов сформулируем теоремы о существовании и локализации собственных значений рассматри ваемой краевой задачи. Пусть функция J J a,, N обозначает правую часть дисперсионного уравнения (32). Ясно, что для любого целого неотрицательного конечного N J a,, N, J a,, N 0, inf sup 2 max 1, 3, 2 2 max 1, 3, более того, из самого вида дисперсионного уравнения следует, что при уменьшении N значения нижней и верхней грани уменьшаются, а при увеличении N – увеличиваются.

Теорема 2. Пусть J a,, 0, h h1 J a,, 0.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.