авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

Э.Е. Тихонов

Методы прогнозирования

в условиях рынка

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Невинномысск, 2006

УДК [338.26+004.67](075.8)

Э.Е. Тихонов. Методы прогнозирования в условиях рынка:

учебное пособие. - Невинномысск, 2006. - 221 с.

В учебном пособии рассмотрены вопросы практического приме-

нения методов прогнозирования. Особенность данного издания -

рассмотрение концепций применения методов прогнозирования од-

новременно с вопросами их практической реализации в современ ных программных средствах MS Excel, Statistica, Statistica Neural Networks.

Пособие состоит из четырех частей. В первой части сделан ана литический обзор методов и моделей прогнозирования. Во второй части на примерах разобраны адаптивные методы прогнозирования, модель Уинтерса (экспоненциального сглаживания с мультиплика тивной сезонностью и линейным ростом) и модель Тейла-Вейджа. В третьей части подробно разобраны вопросы практической реализа ции линейных и нелинейных многофакторных моделей в пакете Sta tistica. В четвертой части описаны практические аспекты нейросете вого прогнозирования с использованием пакета Statistica Neural Net works. Каждый раздел заканчивается контрольными вопросами и заданиями для самостоятельной работы.

Пособие предназначено для студентов, изучающих дисциплины:

рынок ценных бумаг, менеджмент и компьютерная поддержка при нятия решений, прогнозирование и планирование в задачах произ водственного менеджмента.

Рецензенты: д-р техн. наук, проф. Н.И. Червяков д-р техн. наук, проф. В.Ф. Минаков © Северо-Кавказский государственный ISBN 5-89571-077- технический университет, © Э.Е. Тихонов, Оглавление Введение……………………………………………………………… Глава 1. Аналитический обзор моделей и методов прогнози рования………………………………………………………………. 1.1. Прогнозная экстраполяция………………………………… 1.1.1. Метод наименьших квадратов………………………. 1.1.2. Метод экспоненциального сглаживания…………… 1.1.3. Метод вероятностного моделирования……………... 1.2. Интуитивные (экспертные) методы прогнозирования…... 1.3. Корреляционный и регрессионный анализы……………... 1.4. Модели стационарных временных рядов и их идентификация………………………………………………….. 1.4.1. Модели авторегрессии порядка p (AR(p)-модели)… 1.4.2. Модели скользящего среднего порядка q (МА(q) модели)………………………………………………………. 1.4.3. Авторегрессионные модели со скользящими сред ними в остатках (ARMA(p, q)-модели)……………………. 1.5. Модели нестационарных временных рядов и их иден тификация……………………………………………………... 1.5.1. Модель авторегрессии-проинтегрированного скользящего среднего (ARIMA(p, k, q)-модель)………….

. 1.5.2. Модели рядов, содержащих сезонную компоненту.. 1.5.3. Прогнозирование на базе ARIMA-моделей………... 1.6. Адаптивные методы прогнозирования…………………… 1.7. Метод группового учета аргументов……………………… 1.8. Теория распознавания образов……………………………. 1.9. Прогнозирование с использованием нейронных сетей, искусственного интеллекта и генетических алгоритмов…….. Глава 2. Практическая реализация адаптивных методов прогнозирования…………………………………………………… 2.1. Общие положения…………………………………...……... 2.2. Полиномиальные модели временных рядов. Метод экс поненциальной средней………………………………………… 2.2.1. Адаптивная полиномиальная модель нулевого по рядка (р=0)………………………………………………... 2.2.2. Адаптивная полиномиальная модель первого по рядка (р=1)…………………………………………………. 2.2.3. Адаптивная полиномиальная модель второго по рядка (р=2)………………………………………………….. 2.3. Прогнозирование с использованием модели Уинтерса (экспоненциального сглаживания с мультипликативной се зонностью и линейным ростом)……………………………….. 2.4. Прогнозирование объема производства по модели Тейла Вейджа…………………………………………………………… Глава 3. Практическая реализация многофакторных моде лей прогнозирования………………………………………………. 3.1. Линейные многофакторные модели………………………. 3.2. Нелинейные многофакторные модели……………………. Глава 4. Нейросетевое прогнозирование экономических по казателей в пакете Statistica Neural Networks………………….. 4.1. Основные возможности пакета Statistica Neural Net works……………………………………………………………... 4.1.1. Создание набора данных…………………………….. 4.1.2. Добавление наблюдений…………………………….. 4.1.3. Удаление лишних наблюдений……………………... 4.1.4. Изменение переменных и наблюдений……………... 4.1.5. Другие возможности редактирования данных……... 4.1.6. Создание новой сети…………………………………. 4.1.7. Создание сети………………………………………… 4.1.8. Сохранение набора данных и сети………………….. 4.1.9. Обучение сети………………………………………... 4.1.10. Оптимизация обучения…………………………….. 4.1.11. Выполнение повторных прогонов…………………. 4.1.12. Ошибки для отдельных наблюдений……………… 4.2. Запуск нейронной сети…………………………………….. 4.2.1. Обработка наблюдений по одному…………………. 4.2.2. Прогон всего набора данных……………………….. 4.2.3. Тестирование на отдельном наблюдении…………... 4.3. Создание сети типа Многослойный персептрон…………. 4.3.1. Создание сети типа многослойный персептрон с помощью мастера…………………………………………… 4.4. Построение нейронной сети без мастера…………………. 4.5. Обучение сети………………………………………………. 4.5.1. Обучение методом обратного распространения ошибки 4.5.2. Обучение с помощью метода Левенберга-Маркара.. 4.5.3. Алгоритм выполнения обучения сети с помощью метода Левенберга-Маркара………………………………..

4.6. Генетические алгоритмы отбора входных данных………. 4.7. Применение нейронных сетей в задачах прогнозирования и проблемы идентификации моделей про гнозирования на нейронных сетях……………………….……. 4.7.1. Сравнительный анализ нейронных сетей.…………. 4.7.2. Исследование нейросетевых структур для курсов акций ОАО «Ростелеком», ОАО «Лукойл», «Сбер банк»…………………………………………………………. 4.8. Сравнительная оценка классических и нейросетевых ме тодов прогнозирования…………………………………………. Литература…………………………………………………………… Приложения…………………………………………………………. Введение Развитие прогностики как науки в последние десятилетия при вело к созданию множества методов, процедур, приемов прогнози рования, неравноценных по своему значению. По оценкам зарубеж ных и отечественных систематиков прогностики уже насчитывается свыше ста методов прогнозирования, в связи с чем перед специали стами возникает задача выбора методов, которые давали бы адек ватные прогнозы для изучаемых процессов или систем [19, 27].

Для тех, кто не является специалистами в прикладной математи ке, эконометрике, статистике, применение большинства методов прогнозирования вызывает трудности при их реализации с целью получения качественных и точных прогнозов. В связи с этим, каж дый метод рассмотрен очень подробно с приведением рекомендаций по практическому применению.

Особенностью данного пособия является рассмотрение тонко стей применения того или иного метода. Учебное пособие разделено на четыре части, в каждой из которых рассмотрен свой класс мето дов прогнозирования.

В первой части рассмотрены теоретические аспекты построения и применения методов и алгоритмов прогнозирования. Приведена классификация наиболее распространенных методов.

Во второй части рассмотрены классические адаптивные модели прогнозирования, реализованные в MS Excel. Несмотря на то, что они программно реализованы в некоторых статистических и эконо метрических пакетах прикладных программ, предложен именно ручной счет, освоив который гораздо легче понимать принципы и специфику данных методов прогнозирования.

В третьей части основное внимание уделено применению клас сических нелинейных многофакторных моделей прогнозирования.

Совершено очевидно, что сложные нелинейные многофакторные модели невозможно просчитать вручную, поэтому подробно рас сматривается возможность применения пакета Statistica для этих це лей.

В четвертой части рассмотрены нейросетевые методы прогнози рования и особенности их построения. Многие источники подробно рассматривают теорию нейронных сетей, опуская описание практи ческого их использования.

Для понимания того, какие преимущества дают предлагаемые методы анализа данных и прогнозирования, необходимо указать на три принципиальные проблемы, возникающие при прогнозирова нии.

Первая проблема – это определение необходимых и достаточных параметров для оценки состояния исследуемой предметной области.

Вторая проблема заключается в так называемом «проклятье раз мерности». Желание учесть в модели как можно больше показателей и критериев оценки может привести к тому, что требуемая для ее решения компьютерная система вплотную приблизится к «пределу Тьюринга» (ограничению на быстродействие и размеры вычисли тельного комплекса в зависимости от количества информации, об рабатываемой в единицу времени).

Третья проблема – наличие феномена «надсистемности». Взаи модействующие системы образуют систему более высокого уровня, обладающую собственными свойствами, что делает принципиально недостижимой возможность надсистемного отображения и целевых функций с точки зрения систем, входящих в состав надсистемы.

Для преодоления перечисленных проблем делаются попытки применения таких разделов современной фундаментальной и вы числительной математики, как нейрокомпьютеры, теория стохасти ческого моделирования (теория хаоса), теория рисков, теория ката строф, синергетика и теория самоорганизующихся систем (включая генетические алгоритмы) [123, 134]. Считается, что эти методы по зволят увеличить глубину прогноза за счет выявления скрытых за кономерностей и взаимосвязей среди плохо формализуемых обыч ными методами макроэкономических, политических и глобальных финансовых показателей.

Представленное учебное пособие может быть рекомендовано для студентов, аспирантов и преподавателей, занимающихся про блемами совершенствования методов и моделей прогнозирования, а также вопросами их практической реализации.

ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ Как было сказано выше, по оценкам зарубежных и отечествен ных систематиков прогностики, уже насчитывается свыше 100 ме тодов прогнозирования. Число базовых методов прогностики, кото рые в тех или иных вариациях повторяются в других методах, гораз до меньше. Многие из этих «методов» относятся скорее к отдельным приемам или процедурам прогнозирования, другие представляют набор отдельных приемов, отличающихся от базовых или друг от друга количеством частных приемов и последовательностью их применения. О проблеме классификации было отмечено во введе нии.

В литературе имеется большое количество классификационных схем методов прогнозирования. Однако большинство из них или неприемлемы, или обладают недостаточной познавательной ценно стью. Основной погрешностью существующих классификационных схем является нарушение принципов классификации. К числу ос новных таких принципов, на наш взгляд, относятся: достаточная полнота охвата прогностических методов, единство классификаци онного признака на каждом уровне членения, открытость классифи кационной. Предлагаемая нами схема классификации методов про гнозирования показана на рисунке 1.1 [19].

Безусловно, имеют право на существование частные классифи кационные схемы, предназначенные для определенной цели или за дачи.

Каждый уровень детализации определяется своим классифика ционным признаком: степенью формализации, общим принципом действия, способом получения прогнозной информации.

По степени формализации все методы прогнозирования делятся на интуитивные и формализованные. Интуитивное прогнозирование применяется тогда, когда объект прогнозирования либо слишком прост, либо настолько сложен, что аналитически учесть влияние многих факторов практически невозможно. В этих случаях прибе гают к опросу экспертов, Полученные индивидуальные и коллек тивные экспертные оценки используют как конечные прогнозы или в качестве исходных данных в комплексных системах прогнозиро вания.

Методы прогнозирования Интуитивные методы Формализованные методы прогнозирования прогнозирования Индивидуаль- Коллектив- Экстраполя- Системно- Ассоциатив- Методы ные экспертные ные эксперт- ционные структурные опережаю ные методы оценки ные оценки методы методы щей инфор Метод Метод Метод Функцио- Метод Анализ пото анкетирова- нально- имитац-го. ка публика «интервью» МНК ния иерархиче- моделир. ций Аналитич-е Метод Экспоненци- Метод мор- Историко- Оценка зна докладные альное сгла- фологическо- логический чимости «комиссий»

записки живание го анализа анализ изобретений Методы теор.

Метод Метод Вер-ное Матричный Анализ па распознава «мозговых моделир. метод тентной сценариев ния образов атак» адап.ное сг.-е информации Сетевое моделир-е Метод про- Нейросетевое граммного прогнозиро прогнозиро- ва-ние Методы вания структурной аналогии Интеллекту Метод эври- альный ана стического лиз данных Граф и дерево прогнозир.

целей Коллективная Прогнозный генерация идей сценарий Математические методы МГУА Кор.-ный и Факторный Распознава- Вариацион- Спектраль рег.- ный анализ ние образов ные методы ный анализ анализ Моделир-е Моделир-е Цепи Математиче нестац-ых с.п.

стационар Маркова ская логика ных с.п.

Рисунок 1.1. Классификационная схема методов прогнозирования В выборе методов прогнозирования важным показателем явля ется глубина упреждения прогноза. При этом необходимо не только знать абсолютную величину этого показателя, но и отнести его к длительности эволюционного цикла развития объекта прогнозиро вания. Для этого можно использовать предложенный В. Белоконем безразмерный показатель глубины (дальности) прогнозирования () = t / t, где t – абсолютное время упреждения;

t x величина эволюцион ного цикла объекта прогнозирования.

Формализованные методы прогнозирования являются действен ными, если величина глубины упреждения укладывается в рамки эволюционного цикла ( 1 ). При возникновении в рамках про гнозного периода «скачка» в развитии объекта прогнозирования ( 1 ) необходимо использовать интуитивные методы, как для оп ределения силы «скачка», так и для оценки времени его осуществле ния, либо теорию катастроф [59]. В этом случае формализованные методы применяются для оценки эволюционных участков развития до и после скачка. Если же в прогнозном периоде укладывается не сколько эволюционных циклов развития объекта прогнозирования ( 1 ), то при комплексировании систем прогнозирования боль шее значение имеют интуитивные методы.

В зависимости от общих принципов действия интуитивные ме тоды прогнозирования, например, можно разделить на две группы:

индивидуальные экспертные оценки и коллективные экспертные оценки.

Методы коллективных экспертных оценок уже можно отнести к комплексным системам прогнозирования (обычно неполным), по скольку в последних сочетаются методы индивидуальных эксперт ных оценок и статистические методы обработки этих оценок. Но так как статистические методы применяются во вспомогательных про цедурах выработки прогнозной информации, на наш взгляд, коллек тивные экспертные оценки целесообразнее отнести к сингулярным методам прогнозирования.

В группу индивидуальных экспертных оценок можно включить (принцип классификации – способ получения прогнозной информа ции) следующие методы: метод «интервью», аналитические доклад ные записки, написание сценария. В группу коллективных эксперт ных оценок входят анкетирование, методы «комиссий», «мозговых атак» (коллективной генерации идей).

Класс формализованных методов в зависимости от общих прин ципов действия можно разделить на группы экстраполяционных, системно-структурных, ассоциативных методов и методов опере жающей информации.

В группу методов прогнозной экстраполяции можно включить методы наименьших квадратов, экспоненциального сглаживания, вероятностного моделирования и адаптивного сглаживания. К груп пе системно-структурных методов – отнести методы функциональ но-иерархического моделирования, морфологического анализа, мат ричный, сетевого моделирования, структурной аналогии. Ассоциа тивные методы можно разделить на методы имитационного модели рования и историко-логического анализа. В группу методов опере жающей информации – включить методы анализа потоков публика ций, оценки значимости изобретений и анализа патентной информа ции.

Представленный перечень методов и их групп не является ис черпывающим. Нижние уровни классификации открыты для внесе ния новых элементов, которые могут появиться в процессе даль нейшего развития инструментария прогностики.

Некоторые не названные здесь методы являются или разновид ностью включенных в схему методов, или дальнейшей их конкрети зацией.

1. На основе каких признаков можно классифицировать методы прогнозирования?

2. На какие классы можно разделить методы прогнозирования?

3. В чем особенность выбора глубины упреждения прогноза?

1.1. Прогнозная экстраполяция В методическом плане основным инструментом любого прогно за является схема экстраполяции. Различают формальную и про гнозную экстраполяцию. Формальная базируется на предположении о сохранении в будущем прошлых и настоящих тенденций развития объекта прогноза. При прогнозной экстраполяции фактическое раз витие увязывается с гипотезами о динамике исследуемого процесса с учетом в перспективе его физической и логической сущности.

Основу экстраполяционных методов прогнозирования составля ет изучение временных рядов, представляющих собой упорядочен ные во времени наборы измерений тех или иных характеристик ис следуемого объекта, процесса.

Временной ряд y t может быть представлен в следующем виде yt = xt + S + C + t (1.1) где xt – детерминированная неслучайная компонента процесса (тренд);

S – сезонная составляющая;

С – циклическая составляющая;

t – стохастическая компонента процесса.

Если детерминированная компонента (тренд) xt характеризует существующую динамику развития процесса в целом, то стохасти ческая компонента t отражает случайные колебания или шумы процесса. Обе составляющие процесса определяются каким-либо функциональным механизмом, характеризующим их поведение во времени. Задача прогноза состоит в определении вида экстраполи рующих функций xt, сезонной и циклической составляющей, и t на основе исходных эмпирических данных.

Первым этапом экстраполяции тренда является выбор опти мального вида функции, описывающей эмпирический ряд. Для этого проводятся предварительная обработка и преобразование исходных данных с целью облегчения выбора вида тренда путем сглаживания и выравнивания временного ряда, определения функций дифферен циального роста, а также формального и логического анализа осо бенностей процесса. Следующим этапом является расчет параметров выбранной экстраполяционной функции.

Наиболее распространенными методами оценки параметров за висимостей являются метод наименьших квадратов и его модифика ции, метод экспоненциального сглаживания, метод вероятностного моделирования и метод адаптивного сглаживания.

1. Назовите виды экстраполяции. В чем разница между экстраполя цией и интерполяцией?

2. Назовите основные компоненты временного ряда.

1.1.1. Метод наименьших квадратов Сущность метода наименьших квадратов состоит в отыскании параметров модели тренда, минимизирующих ее отклонение от то чек исходного временного ряда, т. е.

n (1.2) S = ( yi yi ) min i = где y i – расчетные значения исходного ряда;

уi – фактические зна чения исходного ряда;

n – число наблюдений. Если модель тренда представить в виде y = f ( xi ;

a1, a 2,..., a k, t ), (1.3) где a1, a2,..., ak – параметры модели;

t – время;

xi - независимые пе ременные, то для того, чтобы найти параметры модели, удовлетво ряющие условию (1.2), необходимо приравнять нулю первые произ водные величины S по каждому из коэффициентов a j. Решая полу ченную систему уравнений с k неизвестными, находим значения ко эффициентов a j.

Использование процедуры оценки, основанной на методе наи меньших квадратов, предполагает обязательное удовлетворение це лого ряда предпосылок, невыполнение которых может привести к значительным ошибкам.

1. Случайные ошибки имеют нулевую среднюю, конечные дис персии и ковариации.

2. Каждое измерение случайной ошибки характеризуется нуле вым средним, не зависящим от значений наблюдаемых переменных.

3. Дисперсии каждой случайной ошибки одинаковы, их величи ны независимы от значений наблюдаемых переменных (гомоскеда стичность).

4. Отсутствие автокорреляции ошибок, т. е. значения ошибок различных наблюдений независимы друг от друга.

5. Нормальность. Случайные ошибки имеют нормальное распре деление.

6. Значения эндогенной переменной х свободны от ошибок из мерения и имеют конечные средние значения и дисперсии.

В практических исследованиях в качестве модели тренда в ос новном используют следующие функции: линейную у = ax + b;

квадратичную у = ах2 + bх + с;

степенную у = aхn;

показательную у a = ax;

экспоненциальную у = аеx;

логистическую у =.

1 + be ex Особенно широко применяется линейная, или линеаризуемая, т.

е. сводимая к линейной, форма как наиболее простая и в достаточ ной степени удовлетворяющая исходным данным.

Выбор модели в каждом конкретном случае осуществляется по целому ряду статистических критериев, например по дисперсии, корреляционному отношению и др. Следует отметить, что назван ные критерии являются критериями аппроксимации, а не прогноза.

Однако, принимая во внимание принятую гипотезу об устойчивости процесса в будущем, можно предполагать, что в этих условиях мо дель, наиболее удачная для аппроксимации, будет наилучшей и для прогноза.

Классический метод наименьших квадратов предполагает рав ноценность исходной информации в модели. В реальной же практи ке будущее поведение процесса значительно в большей степени оп ределяется поздними наблюдениями, чем ранними. Это обстоятель ство породило так называемое дисконтирование, т. е. уменьшение ценности более ранней информации. Дисконтирование можно учесть путем введения в модель (1) некоторых весов 1. Тогда n S = i ( yi yi ) 2 min (1.4) i = Коэффициенты, могут задаваться заранее в числовой форме или в виде функциональной зависимости таким образом, чтобы по мере продвижения в прошлое веса убывали, например i = a i, где а 1. К сожалению, формальных процедур выбора параметра не раз работано, и он выбирается исследователем произвольно.

Метод наименьших квадратов широко применяется для получе ния конкретных прогнозов, что объясняется его простотой и легко стью реализации на ЭВМ. Недостаток метода состоит в том, что мо дель тренда жестко фиксируется, и с помощью МНК можно полу чить надежный прогноз на небольшой период упреждения. Поэтому МНК относится главным образом к методам краткосрочного про гнозирования. Кроме того, существенной трудностью МНК является правильный выбор вида модели, а также обоснование и выбор весов во взвешенном методе наименьших квадратов.

1. В чем состоит сущность метода наименьших квадратов?

2. Назовите основные предпосылки МНК, уточнение которых явля ется обязательным для получения наилучших оценок параметров временного ряда.

3. В чем состоят достоинства МНК?

1.1.2. Метод экспоненциального сглаживания Весьма эффективным и надежным методом прогнозирования яв ляется экспоненциальное сглаживание. Основные достоинства ме тода состоят в возможности учета весов исходной информации, в простоте вычислительных операций, в гибкости описания различ ных динамик процессов. Метод экспоненциального сглаживания дает возможность получить оценку параметров тренда, характери зующих не средний уровень процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения. Наибольшее применение метод нашел для реализации среднесрочных прогнозов. Для метода экспо ненциального сглаживания основным и наиболее трудным момен том является выбор параметра сглаживания, начальных условий и степени прогнозирующего полинома [6,64,72,151].

Пусть исходный динамический ряд описывается уравнением ap a2 t +... + t p + t. (1.5) yt = a0 + a1t + 2 p!

Метод экспоненциального сглаживания, являющийся обобщени ем метода скользящего среднего, позволяет построить такое описа ние процесса (1.5), при котором более поздним наблюдениям при даются большие веса по сравнению с ранними наблюдениями, при чем веса наблюдений убывают по экспоненте. Выражение (1.6) n St[k ] ( y ) = (1 ) St[1 ( y ) k] i i = называется экспоненциальной средней k-го порядка для ряда уt, где – параметр сглаживания.

В расчетах для определения экспоненциальной средней пользу ются рекуррентной формулой [151] St[k ] ( y ) = St[k 1] ( y ) + (1 ) St(1) ( y ). (1.7) i k Использование соотношения (1.7) предполагает задание началь ных условий S01], S02 ],..., S0k ]. Для этого можно воспользоваться [ [ [ формулой Брауна– Мейера, связывающей коэффициенты прогнози рующего полинома с экспоненциальными средними соответствую щих порядков a p p j ( p 1 + j )!, n (1.8) St[k ] = ( 1) j p p! (k 1)! j = 0 j!

p = где р = 1, 2,..., n + 1;

a p – оценки коэффициентов;

p = 1. Мож но получить оценки начальных условий, в частности, для линейной модели S01] = a [ a1;

(1.9) S02 ] = a [ a1;

для квадратичной модели – (2 ) S01] = a [ a1 + a2 ;

2 (1.10) (3 2 ) S02 ] = a [ a1 + a2 ;

2 (4 3 ) S03] = a [ a1 + a2.

2 Зная начальные условия S 0k ] и значения параметра, можно [ вычислить экспоненциальные средние St[k ].

Оценки коэффициентов прогнозирующего полинома определя ются через экспоненциальные средние по фундаментальной теореме Брауна – Мейера. В этом случае коэффициенты и находятся реше нием системы (р + 1) уравнений с к (р + 1) неизвестными, связы вающей параметры прогнозирующего полинома с исходной инфор мацией. Так, для линейной модели получим, a0 = 2St[1] St[2 ];

(1.11) a1 = (St[1] St[2 ] );

для квадратичной модели – ( ) a0 = 3 St[1] St[2 ] + St[3];

(1.12) a1 = 2 [(6 5 )St[1] 2(5 4 )St[2 ] + (4 3 )St[3] ];

2 [1] [St 2St[2] + St[3] ).

a2 = Прогноз реализуется по выбранному многочлену. Соответствен но для линейной модели yt + = a0 + a1, для квадратичной модели - период прогноза.

a2 2, где yt + = a0 + a1 + Важную роль в методе экспоненциального сглаживания играет выбор оптимального параметра сглаживания, так как именно он определяет оценки коэффициентов модели, а, следовательно, и ре зультаты прогноза [72, 103, 215].

В зависимости от величины параметра прогнозные оценки по разному учитывают влияние исходного ряда наблюдений: чем больше, тем больше вклад последних наблюдений в формирова ние тренда, а влияние начальных условий быстро убывает. При ма лом прогнозные оценки учитывают все наблюдения, при этом уменьшение влияния более «старой» информации происходит мед ленно.

Известны два основных соотношения, позволяющие найти при ближенную оценку. Первое соотношение Брауна, выведенное из условия равенства скользящей и экспоненциальной средней 2, где N – число точек ряда, для которых динамика ряда счи = N + тается однородной и устойчивой (период сглаживания). Вторым яв ляется соотношение Мейера n, где n - среднеквадратическая ошибка модели;

- среднеквадратическая ошибка исходного ряда.

Однако использование последнего соотношения затруднено тем, что достоверно определить n и из исходной информации очень сложно.

Выбор параметра целесообразно связывать с точностью про гноза, поэтому для более обоснованного выбора можно использо вать процедуру обобщенного сглаживания, которая позволяет полу чить следующие соотношения, связывающие дисперсию прогноза и параметр сглаживания [103, 129].

Для линейной модели – [1 + 4 + 2 2 + 2 (1 + 3 ) + 2 2 3 ] 2. (1.13) x = (1 + ) Для квадратичной модели – x2 [2 + 3 3 + 3 2 ] 2. (1.14) Для обобщенной модели вида n y (t ) = ai f i (t ) + t. (1.15) i = Дисперсия прогноза имеет следующий вид r x2 = f i ( )cov(a j, ak ) f k ( ) = f TVf ( ) 2, n n (1.6) j =1 k = где – среднеквадратическая ошибка аппроксимации исходного динамического ряда;

fi(t) – некоторая известная функция;

V– матри ца ковариации коэффициентов модели.

Отличительная особенность этих формул состоит в том, что при = 0 они обращаются в нуль. Это объясняется тем, что, чем ближе к нулю, тем больше длина исходного ряда наблюдений t и, следовательно, тем меньше ошибка прогноза. Поэтому для умень шения ошибки прогноза необходимо выбирать минимальное.

В то же время параметр определяет начальные условия, и, чем меньше, тем ниже точность определения начальных условий, а следовательно, ухудшается и качество прогноза. Ошибка прогноза растет по мере уменьшения точности определения начальных усло вий [103].

Таким образом, использование формул (1.13)-(1.16) приводит к противоречию при определении параметра сглаживания: с умень шением уменьшается среднеквадратическая ошибка, но при этом возрастает ошибка в начальных условиях, что в свою очередь влияет на точность прогноза.

Кроме того, при использовании соотношений (1.13)-(1.16) необ ходимо принимать во внимание следующие обстоятельства, а имен но: эти выражения получены для бесконечно длинных рядов без учета автокорреляции наблюдений. На практике мы имеем дело с конечными рядами, характеризующимися внутренней зависимостью между исходными наблюдениями. Все это снижает целесообраз ность использования соотношений (1.13)-(1.16).

В ряде случаев параметр выбирается таким образом, чтобы минимизировать ошибку прогноза, рассчитанного по ретроспектив ной информации.

Весьма существенным для практического использования являет ся вопрос о выборе порядка прогнозирующего полинома, что во многом определяет качество прогноза. Превышение второго порядка модели не приводит к существенному увеличению точности прогно за, но значительно усложняет процедуру расчета [40, 53].

Рассмотренный метод является одним из наиболее надежных и широко применяется в практике прогнозирования. Одно из наиболее перспективных направлений развития данного метода представляет собой метод разностного прогнозирования, в котором само экспо ненциальное сглаживание рассматривается как частный случай [129, 138].

1. Определение какого параметра в методе экспоненциального сглаживания является основным?

2. Как правильно выбрать параметр сглаживания?

1.1.3. Метод вероятностного моделирования Прогнозирование с использованием вероятностных моделей ба зируется на методе экспоненциального сглаживания. Вероятностные модели по своей сути отличны от экстраполяционных моделей вре менных рядов, в которых основой является описание изменения во времени процесса.

Во временных рядах модели представляют собой некоторую функцию времени с коэффициентами, значения которых оценивают ся по наблюдениям. В вероятностных моделях оцениваются вероят ности, а не коэффициенты.

Пусть определено n взаимно независимых и исключающих со бытий. В каждом случае наблюдения измеряются в единой шкале, помещаются в (n + 1) ограниченный класс и обозначаются так: x1, x2, …, xn. Событие, связанное с наблюдением x(t), соответствует числу интервалов, в которое это событие попадает, т. е. существует един ственное значение k, такое, что xk 1 x(t ) xk. И поэтому k-e собы тие связывается с наблюдением x(t).

Рассмотрим метод оценивания вероятностей pn (t ), связанных с различными событиями xk 1 x(t ) xk. На первом этапе задаются начальные значения различных вероятностей: pk (0 ) ;

k 1,2,..., n.

Наблюдение х(t) связано с k-м событием следующим образом: если r xk 1 x(t ) xk, то строится единичный вектор uk, (k - 1) компо нент которого равен 0 и k-й компонент равен 1. Это может быть k-м столбцом единичной матрицы ранга k.

Процесс, реализующий оценки вероятностей, описывается век тором сглаживания по формуле r r r p(t ) = uk + (1 ) p(t 1).

(1.17) Каждая компонента вектора меняется по закону простого экспо ненциального сглаживания между нулем и единицей. Если вектор r p (t 1) вероятностный, то все его компоненты должны быть неот рицательными, и их сумма должна быть равна 1. Значение оценки r pk (t ) есть результат экспоненциального сглаживания, и если рас пределение вероятностей наблюдений х(t) не меняется, то получае мые вероятности и будут действительными вероятностями k-го со бытия. Если существует достаточно длительная реализация процес са, то начальные оценки со временем перестанут оказывать влияние (будут достаточно «взвешены»), и вектор сглаживания будет в сред нем описывать вероятности и взаимно исключающих, и независи r мых событий. Значения компонент вектора u (t ) представляют собой выборку с биномиальным распределением, поэтому дисперсии k-й r r компоненты будут pk (1 pk ). Дисперсия оценок k-и вероятности определяется соотношением r r pk (1 pk ), (1.18) k2 = где – константа сглаживания (0 1), используемая для полу чения оценок вектора вероятностей.

Возможны два варианта. В первом случае пределы классов зада ны так, что pk может быть или очень большим (около 1), или очень малым (около 0). Тогда дисперсия компонент вектора вероятностей будет небольшой. Если форма распределения меняется со временем, большое значение константы сглаживания может быть использова но, чтобы устранить влияние «старой» информации.

Во втором случае распределение вероятностей постоянно во вре мени, нет необходимости «взвешивать» старую информацию. Малое значение константы сглаживания, может быть, позволит уменьшить дисперсию оценок. Тогда можно использовать меньшие интервалы классов с не очень большими вероятностями.

Автоматизированные системы прогнозирования требуют посто янного добавления новых значений информации. Некоторые систе мы могут просто накапливать информацию, затем использовать ее для прогноза. Если мы имеем дело с поступающей информацией, то система может практически бездействовать в течение значительного промежутка времени. Если информация достаточно важна, следует рассматривать ее как непрерывный во времени поток наблюдений или предсказывать распределение поступлений наблюдений. Оче видно, для таких прогнозов следует использовать модель, изложен ную выше. Если в какой-то период нет никаких наблюдений, можно перестроить систему на другой вид информации. Кроме того, оцен ки коэффициентов (или других параметров) в модели прогноза не изменяются, если наблюдения равны нулю;

соответственно и про гноз будет тем же [54, 72].

Вероятностная модель оперирует последовательностью наблю дений с учетом их распределения и игнорирует последовательность этой информации уже непосредственно во времени. Поэтому вектор r вероятностей p (t ), который служит текущей оценкой вероятностей отдельных событий, является оценкой этих вероятностей в будущем.

Последовательность наблюдений может быть представлена как вре менной ряд х(t), где х измерен по некоторой шкале x0 x xn а x0 и хn есть минимум и максимум возможных значений наблюдений.

Поэтому р-й процентилью будет такое число xp, что для р про центов времени реализуется условие x0 x(t ) x p, а (100 – р) про x p x(t ) xn. Кумулятивная вероятность того, что на центов блюдение попадает левее по шкале, для данного класса записывает ся так k pr {x xk } = Pk = Pi. (1.19) i = Очевидно, р0 = 0 и рk = 1, 0.

Для связи с вероятностью дается несколько иное представление, нежели процентное. Если р = рk для класса k, то в- этом случае [54] k k p (t ) = p (t ) p p (t ) = p (t ). (1.20) k i k i i =1 i = Кумулятивная вероятность pk 1 (t ) для класса хk-1 меньше, чем желаемая вероятность, которая в свою очередь меньше, чем кумуля тивная вероятность pk (t ) для следующего класса. Простейшая оцен ка необходимой процентили может быть получена по линейной ин терполяции [ pk (t ) p]xk 1 + ( p pk 1 (t ))xk x p (t ) = (1.21) pk (t ) pk 1 (t ) Если классы очень малы (или рk близко к pk-1), линейная интер поляция достаточно хороша. Возможно и интерполирование по по линомам более высокой степени. Около хвостов распределения можно ожидать, что кумулятивная вероятность ведет себя как p( x ) = 1 j x или p ( x ) = 1 x, (1.22) где j или - числа меньше единицы. Такие функции могут быть оценены на основании имеющейся информации.

Определим дисперсию вероятностей модели следующим обра зом x = x 2 x2, (1.23) где величина x 2 может быть оценена экспоненциальным сглажива нием квадратов наблюдений. Можно считать, что наблюдения почти всегда распределены нормально. Тогда вероятностная модель может быть применена непосредственно к этим наблюдениям.

Пусть х – случайная величина с ожиданием m и конечной дис персией. Тогда сумма случайных выборок х будет нормально распределена со средним и дисперсией n 1 2, и вероятности как суммы точек наблюдений будут распределены нормально.

Пусть случайная величина х распределена между нулем и еди ницей. Введем функцию 1, если 0 x 1, f (x ) = (1.24) 0, если x 0 или x 1.

Пусть yN – сумма N случайных выборок, тогда функция распре деления этих сумм будет 1 N 1 N N (1.25) fN (y) = y 1 ( y 1) + 2 ( y 2 ) +...

N 1 N (N 1)! где 0 у N. Находим среднее значение и дисперсию для величины у N N. (1.26) y = y= ;

2 Тогда можно выразить точку уp через среднюю и дисперсию распределения N N, (1.27) y p = y + k p y = + kp 2 где kp – некоторый множитель, учитывающий число степеней свобо ды распределения.

Данное соотношение может служить основой оценок для веро ятностной модели. При достаточном количестве исходной информа ции вероятностная модель может дать вполне надежный прогноз.

Кроме того, эта модель отличается большой простотой и наглядно стью. Оценки, получаемые с помощью этой модели, имеют вполне конкретный смысл. Недостатком модели является требование боль шого количества наблюдений и незнание начального распределения, что может привести к неправильным оценкам. Тем не менее, при определении процедуры начального распределения или с помощью байесовского метода, корректируя его, можно рассматривать веро ятностную модель как эффективный метод прогноза.

1. В чем состоит основная особенность метода вероятностного моделирования?

2. В чем отличие методов экспоненциального сглаживания и вероят ностного моделирования?

1.2. Интуитивные (экспертные) методы прогнозирования Прогнозные экспертные оценки отражают индивидуальное суж дение специалистов относительно перспектив развития объекта и основаны на мобилизации профессионального опыта и интуиции.

Методы экспертных оценок используются для анализа объектов и проблем, развитие которых либо полностью, либо частично не под дается математической формализации, т. е. для которых трудно раз работать адекватную модель. Применяемые в прогнозировании ме тоды экспертной оценки разделяют на, индивидуальные и коллек тивные.

Индивидуальные экспертные методы основаны на использова нии мнений экспертов-специалистов соответствующего профиля независимо друг от друга. Наиболее часто применимыми являются следующие два метода формирования прогноза: интервью и анали тические экспертные оценки.

Метод интервью предполагает беседу прогнозиста с экспертом, в ходе которой прогнозист в соответствии с заранее разработанной программой ставит перед экспертом вопросы относительно перспек тив развития прогнозируемого объекта. Успех такой оценки в значи тельной степени зависит от способности интервьюируемого экспер та экспромтом давать заключения по самым различным фундамен тальным вопросам. Аналитические экспертные оценки предполага ют длительную и тщательную самостоятельную работу эксперта над анализом тенденций, оценкой состояния и путей развития прогнози руемого объекта. Этот метод дает возможность эксперту использо вать всю необходимую ему информацию об объекте прогноза. Свои соображения эксперт оформляет в виде докладной записки.

Основными преимуществами рассматриваемых методов являют ся возможность максимального использования индивидуальных способностей эксперта и незначительность психологического давле ния, оказываемого на отдельного работника. Однако эти методы ма ло пригодны для прогнозирования наиболее общих стратегий из-за ограниченности знаний одного специалиста-эксперта о развитии смежных областей науки.

Методы коллективных экспертных оценок основываются на принципах выявления коллективного мнения экспертов о перспек тивах развития объекта прогнозирования. В основе применения этих методов лежит гипотеза о наличии у экспертов умения с достаточ ной степенью достоверности оценить важность и значение иссле дуемой проблемы, перспективность развития определенного на правления исследований, времени свершения того или иного собы тия, целесообразности выбора одного из альтернативных путей раз вития объекта прогноза и т. д. В настоящее время широкое распро странение получили экспертные методы, основанные на работе спе циальных комиссий, когда группы экспертов за круглым столом об суждают ту или иную проблему с целью согласования мнений и вы работки единого мнения. Этот метод имеет недостаток, заключаю щийся в том, что группа экспертов в своих суждениях руководству ется в основном логикой компромисса.

В свою очередь в методе Дельфи вместо коллективного обсуж дения той или иной проблемы проводится индивидуальный опрос экспертов обычно в форме анкет для выяснения относительной важ ности и сроков свершения гипотетических событий. Затем произво дится статистическая обработка анкет и формируется коллективное мнение группы, выявляются, обобщаются аргументы в пользу раз личных суждений. Вся информация сообщается экспертам. Участ ников экспертизы просят пересмотреть оценки и объяснить причины своего несогласия с коллективным суждением. Эта процедура по вторяется 3–4 раза. В результате происходит сужение диапазона оценок. Недостатком этого метода является невозможность учета влияния, оказываемого на экспертов организаторами опросов при составлении анкет.

Как правило, основными задачами при формировании прогноза с помощью коллектива экспертов являются: формирование репрезен тативной экспертной группы, подготовка и проведение экспертизы, статистическая обработка полученных документов.

При формировании группы экспертов основными являются во просы определения ее качественного и количественного состава.

Отбор экспертов начинается с определения вопросов, которые охва тывают решение данной проблемы;

затем составляется список лиц, компетентных в этих областях.

Для получения качественного прогноза к участникам экспертизы предъявляется ряд требований, основными из которых являются:

высокий уровень общей эрудиции;

глубокие специальные знания в оцениваемой области;

способность к адекватному отображению тенденции развития исследуемого объекта;

наличие психологиче ской установки на будущее;

наличие академического научного ин тереса к оцениваемому вопросу при отсутствии практической заин тересованности специалиста в этой области;

наличие производст венного и (или) исследовательского опыта в рассматриваемой об ласти.

Для определения соответствия потенциального эксперта пере численным требованиям используется анкетный опрос. Дополни тельно к этому часто используют способ самооценки компетентно сти эксперта. При самооценке эксперт определяет степень своей ос ведомленности в исследуемом вопросе также на основании анкеты.

Обработка данных дает возможность получить количественную оценку компетентности потенциального эксперта по следующей формуле m V j, (1.28) K = 0,5 m + j = P V j max j =1 где Vj – вес градации, перечеркнутой экспертом по j-й характери стике в анкете в баллах;

V j max – максимальный вес (предел шкалы) j й характеристики в баллах;

т – общее количество характеристик компетентности в анкете;

– вес ячейки, перечеркнутой экспертом в шкале самооценки в баллах;

р – предел шкалы самооценки экспер та в баллах.

Установить оптимальную численность группы экспертов до вольно трудно. Однако в настоящее время разработан ряд формали зованных подходов к этому вопросу. Один из них основан на уста новлении максимальной и минимальной границ численности груп пы. При этом исходят из двух условий: высокой средней компетент ности групп экспертов и стабилизации средней оценки прогнози руемой характеристики.

Первое условие используется для определения максимальной n k i численности группы экспертов nmax: CK max, где С - константа;

i = nmax Кmax – максимально возможная компетентность по используемой шкале компетентности;

Кi – компетентность i-гo эксперта. Это усло вие предполагает, что если имеется группа экспертов, компетент ность которых максимальна, то среднее значение их оценок можно считать «истинным». Для определения константы используется практика голосования, т. е. группа считается избранной, если за нее подано 2/3 голосов присутствующих. Исходя из этого, принимается, что С=2/3. Таким образом, максимальная численность экспертной группы устанавливается на основании неравенства n 3 K i. (1.29) nmax i = 2k max Далее определяется минимальная численность экспертной груп пы nmin. Это осуществляется посредством использования условия стабилизации средней оценки прогнозируемой характеристики, ко торое формулируется следующим образом: включение или исклю чение эксперта из группы незначительно влияет на среднюю оценку прогнозируемой величины B B, (1.30) Bmax где В – средняя оценка прогнозируемой величины в баллах, данная экспертной группой;

В' – средняя оценка, данная экспертной груп пой, из которой исключен (или в которую включен) один эксперт;

Вmax – максимально возможная оценка прогнозируемой величины в принятой шкале оценок;

– заданная величина изменения средней ошибки при включении или исключении эксперта.

Величина средней оценки наиболее чувствительна к оценке экс перта, обладающего наибольшей компетентностью и поставившего наибольший балл при B Bmax и минимальный – при B Bmax / 2.

Поэтому для проверки выполнения условия (1.30) предлагается ис ключить из группы одного эксперта.

В литературе приводится правило расчета минимального числа экспертов в группе в зависимости от заданной (допустимой) вели чины изменения средней оценки 3 nmin = 0,5 + 5. (1.31) Таким образом, правила (1.29)-(1.31) дают возможность полу чить оценочные значения максимального и минимального числа экс пертов в группе. Окончательная численность экспертной группы формируется на основании последовательного исключения мало компетентных экспертов, при этом используется условие (K max Ki ), где – задаваемая величина границы допустимого отклонения компетентности 1-го эксперта от максимальной. Одно временно могут включаться в группу новые эксперты. Численность группы устанавливается в пределах nmin n nmax.

Кроме описанных выше процедур в методах коллективных экс пертных оценок используется подробный статистический анализ экспертных заключений, в результате которого определяются каче ственные характеристики группы экспертов. В соответствии с этими характеристиками в процессе проведения экспертизы качественный и количественный состав экспертной группы может корректиро ваться.

Подготовка к проведению экспертного опроса включает разра ботку анкет, содержащих набор вопросов по объекту прогноза.

Структурно-организационный набор вопросов в анкете должен быть логически связан с центральной задачей экспертизы. Хотя форма и содержание вопросов определяются спецификой объекта прогнози рования, можно установить общие требования к ним: вопросы должны быть сформулированы в общепринятых терминах, их фор мулировка должна исключать всякую смысловую неопределенность, все вопросы должны логически соответствовать структуре объекта прогноза, обеспечивать единственное толкование.

По форме вопросы могут быть открытыми и закрытыми, прямы ми и косвенными. Вопрос называют открытым, если ответ на него не регламентирован. Закрытыми считаются вопросы, в формулиров ке которых содержатся альтернативные варианты ответов, и эксперт должен остановить свой выбор на одном (или нескольких) из них.

Косвенные вопросы используют в тех случаях, когда требуется за маскировать цель экспертизы. К подобным вопросам прибегают то гда, когда не уверены, что эксперт, давая информацию, будет вполне искренен или свободен от посторонних влияний, искажающих объ ективность ответа. Рассмотрим основные группы вопросов, исполь зуемых при проведении коллективной экспертной оценки:

- вопросы, предполагающие ответы в виде количественной оценки: о времени свершения событий, о вероятности свершения событий, об оценке относительного влияния факторов. При опреде лении шкалы значений количественных характеристик целесообраз но пользоваться неравномерной шкалой. Выбор конкретного мас штаба неравномерности определяется характером зависимости ошибки прогноза от периода упреждения;

- вопросы, требующие содержательного ответа в свернутой форме: дизъюнктивные, конъюнктивные, импликативные;

- вопросы, требующие содержательного ответа в развернутой форме: в виде перечня сведений об объекте;

в виде перечня аргу ментов, подтверждающих или отвергающих тезис, содержащийся в вопросе.

Эти вопросы формируются в два этапа. На первом этапе экспер там предлагается сформулировать наиболее перспективные и наи менее разработанные проблемы. На втором – из названных проблем выбираются принципиально разрешимые и имеющие непосредст венное отношение к объекту прогноза.

Процедура проведения экспертизы может быть различной, одна ко здесь также можно выделить три основных этапа. На первом эта пе эксперты привлекаются для уточнения формализованной модели объекта прогноза, формулировки вопросов в анкетах, уточнения со става группы. На втором этапе осуществляется непосредственная работа экспертов над вопросами в анкетах. На третьем этапе после предварительной обработки результатов прогноза эксперты привле каются для консультаций по недостающей информации, необходи мой для окончательного формирования прогноза.

При статистической обработке результатов экспертных оценок в виде количественных данных, содержащихся в анкетах, определя ются статистические оценки прогнозируемых характеристик и их доверительные границы, статистические оценки согласованности мнений экспертов.


Среднее значение прогнозируемой величины определяется по формуле n B = Bi / n, (1.32) = где Bi - значение прогнозируемой величины, данное i-м экспертом;

n – число экспертов в группе.

Кроме того, определяется дисперсия n D = (Bi B ) / (n 1) i =1 и приближенное значение доверительного интервала D, j=t n где t – критерий Стьюдента для заданного уровня доверительной вероятности и числа степеней свободы k = (n – 2).

Доверительные границы для значения прогнозируемой величи ны вычисляются по формулам: для верхней границы АB = В +j, для нижней границы AH=B-j.

Коэффициент вариации оценок, данных экспертами, определяет, где - среднеквадратическое отклоне ся по зависимости v = B ние.

При обработке результатов экспертных оценок по относитель ной важности направлений среднее значение, дисперсия и коэффи циент вариации вычисляются для каждого оцениваемого направле ния. Кроме того, вычисляется коэффициент конкордации, показы вающий степень согласованности мнений экспертов по важности каждого из оцениваемых направлений, и коэффициенты парной ран говой корреляции, определяющие степень согласованности экспер тов друг с другом.

Для этого производится ранжирование оценок важности, данных экспертами. Каждая оценка, данная i-м экспертом, выражается чис лом натурального ряда таким образом, что число 1 присваивается максимальной оценке, а число n - минимальной. Если все оценки различны, то соответствующие числа натурального ряда есть ранги оценок i-го эксперта. Если среди оценок, данных;

i-м экспертом, есть одинаковые, то этим оценкам назначается одинаковый ранг, равный средней арифметической соответствующих чисел натураль ного ряда.

Сумма рангов Sj, назначенных экспертами направлению j (j = 1,..., т;

х - число исследуемых направлений), определяется по фор муле n S j = Rij, (1.33) i = где Rij – ранг оценки, данной i-м экспертом j-му направлению. Сред нее значение суммы рангов оценок по всем направлениям равно m S = S j / m. Отклонение суммы рангов, полученных j-м направле j = нием, от среднего значения суммы рангов определяется как d j = S j S. Тогда коэффициент конкордации, вычисленный по со вокупности всех направлений, составляет m 12 d. (1.34) j j = W= ( ) n n m m n Ti 2 i = n Величина Ti = t te, рассчитывается при наличии равных ран l i = гов (n - количество групп равных рангов, te – количество равных рангов в группе).

Коэффициент конкордации принимает значение в пределах от до 1. W=l означает полную согласованность мнений экспертов, при W=О - полную несогласованность. Коэффициент конкордации пока зывает степень согласованности всей экспертной группы. Низкое значение этого коэффициента может быть получено как при отсут ствии общности мнений всех экспертов, так и из-за наличия проти воположных мнений между подгруппами экспертов, хотя внутри подгруппы согласованность может быть высокой.

Для выявления степени согласованности мнений экспертов ис пользуется коэффициент парной ранговой корреляции m j, (1.35) j = i, i +1 = ( ) m m ( T j 1) 1 где j – разность (по модулю) величин рангов оценок j-го направ ления, назначенных экспертами i и i + 1, j = Ri Ri +1. (1.36) Коэффициент парной ранговой корреляции может принимать значения от +1 до -1. Значение = 1 соответствует полной согласо ванности мнений двух экспертов. Значение = 1 показывает, что мнение одного эксперта противоположно мнению другого.

Для определения уровня значимости значений коэффициентов W и i, i +1 можно использовать критерий 2. Для этого вычисляется величина m 12 j (1.37) j = 2 = 1n m n(m + 1) Ti m 1 i = (число степеней свободы k = т – 1) и по соответствующим таблицам определяется уровень значимости полученных значений.

1. В чем состоит особенность метода «Интервью»?

2. В чем заключаются преимущества применения методов эксперт ной оценки?

3. Объясните суть метода «Дельфы».

4. Каковы основные критерии формирования группы экспертов?

5. Как определяется численность группы экспертов и на основе ка ких показателей?

6. На основе каких показателей формируется статистическая оцен ка мнений экспертов?

1.3. Корреляционный и регрессионный анализы Одним из наиболее распространенных способов получения мно гофакторных прогнозов является упоминавшийся ранее классиче ский метод наименьших квадратов и построение на его основе мо дели множественной регрессии [16]. Для линейного случая модель множественной регрессии записывается в виде n y j = i xij + j (1.38) i = где i - коэффициенты модели;

y j, xij - соответственно значения j-й функции (зависимой переменной) и i-й независимой переменной;

i = 0, n;

j =1, N, j – случайная ошибка;

n - число независимых переменных в модели (в ряде случаев полагается, что i, – свобод ный член и x0 j = 1 ).

В векторном виде эта модель записывается так [131] Y = X +, (1.39) где вектор Y T = ( y1, y2,..., yn ) и вектор T = (1, 2,..., n ) соответственно векторы значений зависимой переменной и коэффи циентов модели, матрица порядка(nN);

x11, x12,...x1n X =................. – матрица независимых переменных;

xN 1, xN 2,...xNn T = (1, 2,..., n ) – вектор случайных ошибок.

Неизвестные коэффициенты модели находятся из условия ми нимума функционала рассогласований, который представляет собой сумму квадратов рассогласований реальных значений зависимой переменной и значений. В векторном виде функционал рассогласо ваний записывается как.

Ф = (Y X ) (Y X ) min.

T Условия минимума Ф реализуются при равенстве нулю первых производных функционала по неизвестным коэффициентам, т. е.

Ф (1.41) = 0;

i = 0, n Данное условие эквивалентно выполнению векторного соотно шения X T X = X T Y, что дает значения оценок коэффициентов модели = (X T X ) X T Y.

(1.42) Надежность получаемой с помощью оценок модели определя ется с помощью величины остаточной дисперсии, которая вычисля ется по формуле [ ] T ( ) 1 (1.43) 2 = = YY T Y T X X T X X TY, N n N n и коэффициента множественной корреляции, вычисляемого по фор муле D (1.44) R = D(n +1)(n +1) D(n+1)(n+1)- алгебраическое дополнение определителя корреляционной ( ) матрицы r = r [xi x j ], i, j = 0, n к элементу rx n =1 x n +1 Величина R2 – мно жественный коэффициент детерминации;

она показывает, какая до ля дисперсии функции объясняется изменениями входящих в урав нение регрессии независимых переменных при полученных значе ниях коэффициентов модели. Надежность коэффициента множест венной корреляции определяется по критерию Фишера R 2 ( N n 1) (1.45) F= (1 R 2 )(n 1) при заданном уровне надежности и степени свободы 1 = n, v1 = N – n. Наличие связи между зависимой переменной yi и независимыми переменными xij определяется с помощью коэффициентов корреля ции S yxi (1.46) ryxi = 2 SS yy xixi 2 2 где S ;

S ;

S.„ - коэффициенты ковариации, определяемые по yxi yy xixk формуле (xij xi )(xkj xk ), 1N (1.47) S xixk = N 1 j = где xi, xk - средние значения независимых переменных xi и xk. До верительные интервалы Z1, Z2 для коэффициента корреляции опре деляются как U r 2 (1.48) Z1, 2 = arcth ±, N 3 2( N 1) где U r – процентиль нормального распределения N (0, 1) с нулевым средним и единичной дисперсией, z - преобразование Фи шера, определяемое по формуле [16] 1 1 + rxixk (1.49) z xixk = ln, 2 1 rxixk th z - гиперболический тангенс аргумента z, вычисленный по фор муле e z e z. (1.50) thz = e z + e z Истинное значение коэффициента корреляции заключено в пре делах th z1 rxixk thz2. Для определения надежности оценок строится доверительный интервал для полученных оценок коэф фициентов модели i t p, v cii, (1.51) где tp,v – значения критерия Стъюдента с уровнем надежности р и степенями свободы = (N n 1);

= 2 ( 2 определяется по фор ( ) муле (6)), сii– i-й диагональный элемент матрицы X T X. Поэтому истинное значение коэффициента а, модели будет лежать в интерва ле i t p, cii 1 i + t p, cii (1.52) Использование вычислительной процедуры по методу наимень ших квадратов с целью получения оценок коэффициентов модели ( ) i i = 0, n, которые удовлетворяли бы условиям несмещенности, состоятельности, эффективности, предполагает выполнение ряда условий. Рассмотрим эти условия:

– независимые переменные представляют собой неслучайный набор чисел, их средние значения и дисперсии конечны;

– случайные ошибки j - имеют нулевую среднюю и конечную дисперсию M ( j ) = 0;

M ( j j ) = 2 (1.53) – между независимыми переменными отсутствует корреляция и автокорреляция;

– случайная ошибка не коррелированна с независимыми пере менными;

– случайная ошибка подчинена нормальному закону распреде ления.

Кроме того, можно выделить условие отсутствия мультиколли неарности, когда несколько независимых переменных связаны меж ду собой линейной зависимостью, и условие гомоскедастичности, т.

е. одинаковой дисперсии для всех случайных ошибок. Важным яв ляется условие линейной формы связи между зависимой и незави симой переменными. Зависимость должна быть именно линейной или сводимой к линейной с помощью некоторых преобразований.

Но иногда исследуемый процесс не может быть сведен к линей ной зависимости никакими преобразованиями, как, например, в слу чае логистической зависимости. Тогда используется ряд методов, например, метод симплексов. Данный метод отличается сравнитель ной простотой, легкой реализуемостью на ЭВМ, эффективностью при определении оценок коэффициентов модели.

Важной характеристикой реализованной модели является оценка ошибки прогноза. Так, в [55] предлагается следующая оценка дис персии прогноза t2+ = 2 [1 + X tT+ ( X T X ) 1 X t + ], (1.54) где X t + - вектор значений независимых переменных в момент (t + ). Поэтому доверительный интервал для значений зависимой переменной определяется в момент t как ( ) I (1.55) Yt ± t p,v t I + X tT X tT X t Xt t где I - единичный столбец;


tp,v - значение критерия Стьюдента. В [14] находится более эффективная оценка доверительного интервала для прогнозных значений 1 r1 X tT+ r X t + r. (1.56) Yt + ± t p,v t + I + t + 1 X tT X t Важным условием получения надежных оценок для модели по методу наименьших квадратов является отсутствие автокорреляции.

Оценка автокорреляции для полученной по МНК модели осуществ ляется по критерию Дарбина – Уотсона [73, 16] T ( t ) t +, (1.57) t = d= T t t = где T - длина временного ряда.

Полученное расчетное значение d сравнивается с нижней и верхней границей d1 и d2, критерия. Если d d1, то гипотеза отсутст вия автокорреляции отвергается;

если d d2, то гипотеза отсутствия автокорреляции принимается;

если d1 d d2, то необходимо даль нейшее исследование. Одним из известных способов уменьшения автокорреляции является авторегрессионное преобразование для исходной информации или переход к разностям, т. е. Yt=Yt+1-Yt;

Xt=Xt+1-Xt. Если же автокорреляцию устранить не удается, то по лученные оценки считаются состоятельными, и среднеквадратиче ское отклонение корректируется на величину j для j-го коэффици ента.

1 + r1 R1 j, (1.58) j = 1 r1 R1 j где r1 - коэффициент автокорреляции случайных слагаемых первого порядка;

R1j - коэффициент автокорреляции для j-й независимой пе ременной первого порядка.

Другим условием, необходимым для получения состоятельных оценок, является отсутствие мультиколлинеарности. Действительно, при наличии мультиколлинеарности определитель квадратной мат рицы [ X T X ] равен или близок нулю, следовательно, матрица вы рождена, и поэтому решения системы нормальных уравнений не существует.

Эффективный подход к определению мультиколлинеарности предполагает следующую последовательность расчетов. Пусть рас сматривается уравнение регрессии у=f(x1, …, xn). Тогда для выявле ния существования мультиколлинеарности предлагается критерий [~ ~] 1 (1.59) 2 = N 1 (2n + 5) lg X T X [~ ] ~ где X T X - определитель матрицы X T X ), имеющий асимптоти n(n 1) степенями свободы. В ческое распределение Пирсона с формуле (16) N – число наблюдений по каждому переменному, n – число независимых переменных, матрица Х включает значения пе ременных, преобразованных по формуле x xi, ~ (1.60) X ik = ik Si N где S i, xi – соответственно оценки среднеквадратического откло нения и среднее значение для i-й независимой переменной. Далее вычисляются величины ( ) ~~ X T X ii, (1.61) d ii = ~ T ~ XX которые при неколлинеарности переменных близки единице, а при наличии мультиколлинеарности близки к бесконечности, что дает основание оставить или отбросить показатель хi, что определяется статистикой wi = (d ii 1) N n, имеет распределение Фишера c n v1 = N n и v 2 = n 1 степенями свободы. Существует еще ряд способов определения мультиколлинеарности, В целях устранения или уменьшения ее можно переходить к разностям для исходной информации, использовать метод факторного анализа или метод главных компонент.

Получение прогнозов с помощью многофакторных регрессион ных моделей предполагает неизменность значений коэффициентов этих моделей во времени. Тем не менее, в процессе исследования объекта возможно появление новой информации, что позволяет с помощью рекуррентного оценивания корректировать значения оце нок коэффициентов моделей. В то же время исходная информация может содержать в себе различные динамики изменения независи мых переменных, которые возникают в результате различных «ре жимов» функционирования исследуемого объекта. В этом случае важным является, как сам факт установления различия динамик про цессов на разных временных интервалах, так и выбор такого интер вала для построения на нем модели прогнозирования, который был бы наиболее адекватным будущему поведению объекта. Если ока зывается, что для одного интервала времени построена многофак m торная модель y1 = i1 xi, а для другого интервала - модель i = m y2 = i 2 xi, где i1 i 2, то прогноз будет смещен, а, следователь i = но, резко возрастает дисперсия прогноза.

Построение адекватных регрессионных моделей для целей про гнозирования с помощью метода наименьших квадратов предъявля ет к исходной информации весьма жесткие требования. В ряде слу чаев эти требования для реальных наблюдений оказываются невы полненными, поэтому получаемые оценки оказываются неэффек тивными, а прогноз – недостоверным. Действительно, требование нормальности распределения ошибок, предъявляемое к исходной информации процедурой метода наименьших квадратов, в большом числе случаев оказывается невыполненным. Так, говорится: «Нор мальность – это миф. В реальном мире никогда не было и никогда не будет нормального распределения». Поэтому в последнее время ин тенсивно разрабатывается новое направление в статистике – так на зываемая робастная статистика, задача которой в том и состоит, чтобы получать эффективные оценки в случаях невыполнения неко торых предпосылок, например, нормальности распределения, нали чия аномальных наблюдений. Использование робастных методов получения статистических оценок для информации, содержащей аномальные «выбранные» наблюдения, позволяет значительно по высить надежность получаемых оценок по сравнению с обычным методом наименьших квадратов.

1. В чем состоит суть корреляционного анализа?

2. Какую роль в корреляционном анализе играет оценка показателей F-статистики Фишера и t-статистики Стьюдента?

3. В чем состоит проблема мультиколлинеарности?

4. Чем затруднен процесс построения адекватных прогнозов на ос нове регрессионных моделей?

1.4. Модели стационарных временных рядов и их идентификация Здесь рассматривается набор линейных параметрических моде лей. Речь здесь идет не о моделировании временных рядов, а о моделировании их случайных остатков t, получающихся после элиминирования (вычитания) из исходного временного ряда xt его неслучайной составляющей (тренда). Следовательно, в отли чие от прогноза, основанного на регрессионной модели, игнори рующего значения случайных остатков, в прогнозе временных рядов существенно используется взаимозависимость и прогноз самих слу чайных остатков.

Введем обозначения. Так как здесь описывается поведение слу чайных остатков, то моделируемый временной ряд обозначим t, и будем полагать, что при всех t его математическое ожидание равно нулю, т.е. Et 0. Временные последовательности, образующие «бе лый шум», обозначим t.

Описание и анализ рассматриваемых ниже моделей формулиру ется в терминах общего линейного процесса, представимого в виде взвешенной суммы настоящего и прошлых значений белого шума, а именно t = k t k, (1.62) k =.

где 0 = 1 и k k = Таким образом, белый шум представляет собой серию импуль сов, в широком классе реальных ситуаций генерирующих случайные остатки исследуемого временного ряда.

Временной ряд t можно представить в эквивалентном (1.62) ви де, при котором он получается в виде классической линейной моде ли множественной регрессии, в которой в качестве объясняющих переменных выступают его собственные значения во все прошлые моменты времени t = k t k + t. (1.63) k = При этом весовые коэффициенты 1, 2,… связаны определен ными условиями, обеспечивающими стационарность ряда t. Пере ход от (1.63) к (1.62) осуществляется с помощью последовательной подстановки в правую часть (1.63) вместо t1, t2,… их выражений, вычисленных в соответствии с (1.63) для моментов времени t1, t и т.д.

Рассмотрим также процесс смешанного типа, в котором присут ствуют как авторегрессионные члены самого процесса, так и сколь зящее суммирование элементов белого шума p q t = k t k + t + j t j. (1.64) k =1 j = Будем подразумевать, что p и q могут принимать и бесконечные значения, а также то, что в частных случаях некоторые (или даже все) коэффициенты или равны нулю.

1.4.1. Модели авторегрессии порядка p (AR(p)-модели) Рассмотрим сначала простейшие частные случаи.

Модель авторегрессии 1-го порядка AR(1) (марковский про цесс). Эта модель представляет собой простейший вариант авторег рессионного процесса типа (1.63), когда все коэффициенты кроме первого равны нулю. Соответственно, она может быть определена выражением t = t1 + t, (1.65) где некоторый числовой коэффициент, не превосходящий по абсолютной величине единицу (|| 1), а t последовательность случайных величин, образующая белый шум. При этом t зависит от t и всех предшествующих, но не зависит от будущих значений.

Соответственно, в уравнении (1.65) t не зависит от t1 и более ран них значений. В связи с этим, t называют инновацией (обновле нием).

Последовательности, удовлетворяющие соотношению (1.65), часто называют также марковскими процессами.

Модели авторегрессии 2-го порядка – AR(2) (процессы Юла).

Эта модель, как и AR(1), представляет собой частный случай авто регрессионного процесса, когда все коэффициенты j в правой части (1.63) кроме первых двух, равны нулю. Соответственно, она может быть определена выражением t = 1t1 + 2t2 + t, (1.66) где последовательность 1, 2,… образует белый шум.

Условия стационарности ряда (1.66) (необходимые и достаточ ные) определяются как 1 2, (1.67) 2 1 1.

В рамках общей теории моделей те же самые условия стацио нарности получаются из требования, чтобы все корни соответст вующего характеристического уравнения лежали бы вне единичного круга. Характеристическое уравнение для модели авторегрессии 2 го порядка имеет вид: 1 1 z 2 z 2 = 0.

Автокорреляционная функция процесса Юла подсчитывается следующим образом. Два первых значения r(1) и r(2) определены соотношениями r (1) =, 1 2 (1.68) r (2 ) = 2 +, 1 а значения для r(), = 3, 4,… вычисляются с помощью рекуррент ного соотношения r() = 1r( 1) + 2r( 2). (1.69) Модели авторегрессии p-го порядка – AR(p) (p 3). Эти модели, образуя подмножество в классе общих линейных моделей, сами со ставляют достаточно широкий класс моделей. Если в общей линей ной модели (1.63) полагать все параметры j, кроме первых p коэф фициентов, равными нулю, то мы приходим к определению AR(p) модели p t = j t j + t, (1.70) j = где последовательность случайных величин 1, 2,… образует белый шум.

Условия стационарности процесса, генерируемого моделью (1.70), также формулируются в терминах корней его характеристи ческого уравнения 1 1z 2z2 … pzp = 0. (1.71) Для стационарности процесса необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали бы вне единично го круга, т.е. превосходили бы по модулю единицу.

1.4.2. Модели скользящего среднего порядка q (МА(q)-модели) Рассмотрим частный случай общего линейного процесса (1.62), когда только первые q из весовых коэффициентов j ненулевые. В это случае процесс имеет вид t = t 1t1 2t2 … qtq, (1.72) где символы 1,…, q используются для обозначения конечного набора параметров, участвующих в (1.62). Процесс (1.72) называ ется моделью скользящего среднего порядка q (МА(q)).

Двойственность в представлении AR- и МА-моделей и понятие обратимости МА-модели. Из (1.62) и (1.63) видно, что один и тот же общий линейный процесс может быть представлен либо в виде AR модели бесконечного порядка, либо в виде МА-модели бесконечно го порядка.

Соотношение (1.72) может быть переписано в виде t =t + 1t1 + 2t2 +…+ qtq. (1.73) Откуда t = t 1t1 2t2 …, (1.74) где коэффициенты j (j = 1, 2,…) определенным образом выражают ся через параметры 1,…, q. Соотношение (1.74) может быть запи сано в виде модели авторегрессии бесконечного порядка (т.е. в виде обращенного разложения) t = j t j + t. (1.75) j = Известно, что условие обратимости МА(q)-модели (т.е. условие сходимости ряда ) формулируется в терминах характеристи j j = ческого уравнения модели (1.75) следующим образом.

Все корни характеристического уравнения 1 1 z 2 z... q z = 0 должны лежать вне единичного круга, 2 q т.е. |zj| 1 для всех j = 1, 2,…, q.

Взаимосвязь процессов AR(q) и МА(q). Сделаем ряд замечаний о взаимосвязях между процессами авторегрессии и скользящего сред него.

Для конечного процесса авторегрессии порядка p t может быть представлено как конечная взвешенная сумма предшествующих, или t может быть представлено как бесконечная сумма предшест вующих. В то же время, в конечном процессе скользящего средне го порядка q t может быть представлено как конечная взвешенная сумма предшествующих или t как бесконечная взвешенная сумма предшествующих.

Конечный процесс МА имеет автокорреляционную функцию, обращающуюся в нуль после некоторой точки, но так как он эквива лентен бесконечному процессу AR, его частная автокорреляционная функция бесконечно протяженная. Главную роль в ней играют зату хающие экспоненты и (или) затухающие синусоиды. И наоборот, процесс AR имеет частную автокорреляционную функцию, обра щающуюся в нуль после некоторой точки, но его автокорреляцион ная функция имеет бесконечную протяженность и состоит из сово купности затухающих экспонент и или затухающих синусоид.

Параметры процесса авторегрессии конечного порядка не долж ны удовлетворять каким-нибудь условиям для того, чтобы процесс был стационарным. Однако для того чтобы процесс МА был обра тимым, корни его характеристического уравнения должны лежать вне единичного круга.

Спектр процесса скользящего среднего является обратным к спектру соответствующего процесса авторегрессии.

1.4.3. Авторегрессионные модели со скользящими средними в остатках (ARMA(p, q)-модели) Представление процесса типа МА в виде процесса авторегрессии неэкономично с точки зрения его параметризации. Аналогично про цесс AR не может быть экономично представлен с помощью модели скользящего среднего. Поэтому для получения экономичной пара метризации иногда бывает целесообразно включить в модель как члены, описывающие авторегрессию, так и члены, моделирующие остаток в виде скользящего среднего. Такие линейные процессы имеют вид t = 1t1 +…+ ptp + t 1t1 … qtq (1.76) и называются процессами авторегрессии скользящего среднего порядка (p, q)(ARMA(p, q)).

Стационарность и обратимость ARMA(p, q)-процессов. Записы вая процесс (1.76) в виде p t = j t j + qt, (1.77) j = где qt = t 1 t 1... q t q, можно провести анализ стационар ности (8) по той же схеме, что и для AR(p)-процессов. При этом раз личие “остатков” qt и е никак не повлияет на выводы, опреде ляющие условия стационарности процесса авторегрессии. Поэтому процесс (1.74) является стационарным тогда и только тогда, когда все корни характеристического уравнения AR(p)-процесса лежат вне единичного круга.

1. Что такое «белый шум»?

2. Дайте определение Марковским процессам.

3. Охарактеризуйте стационарный процесс.

1.5. Модели нестационарных временных рядов и их идентификация 1.5.1. Модель авторегрессии-проинтегрированного скользящего среднего (ARIMA(p, k, q)-модель) Эта модель предложена Дж. Боксом и Г. Дженкинсом [15]. Она предназначена для описания нестационарных временных рядов xt, обладающих следующими свойствами:

- анализируемый временной ряд аддитивно включает в себя со ставляющую f(t), имеющую вид алгебраического полинома (от па раметра времени t) некоторой степени k 1;

при этом коэффициен ты этого полинома могут быть как стохастической, так и нестохас тической природы;

- ряд xtk, t = 1,..., T k, получившийся из xt после применения к нему k-кратной процедуры метода последовательных разностей, может быть описан моделью ARMA(p, q).

Это означает, что ARIMA(p, k, p)-модель анализируемого про цесса xt, может быть записана в виде xtk = 1 xtk1 + 2 xtk 2 +... + p xtk p + 1 t 1... q t q, (1.78) где xtk = k xt = xt Ck xt 1 + Ck2 xt 2... + ( 1) xt k.

k Заметим, что классу моделей ARIMA принадлежит и простей шая модель стохастического тренда – процесс случайного блужда ния (или просто случайное блуждание). Случайное блуждание опре деляется аналогично процессу авторегрессии первого порядка (1.63), но только у случайного блуждания = 1, так что t = t1 + t. (1.79) Ряд первых разностей случайного блуждания t представляет со бой белый шум, т.е. процесс ARMA(0, 0). Поэтому само случайное блуждание входит в класс моделей ARIMA как модель ARIMA(0, 1, 0).

Идентификация ARIMA-моделей. В первую очередь, следует подобрать порядок k модели. Первый тип критерия подбора основан на отслеживании поведения величины 2 (k ) в зависимости от k: в качестве верхней оценки для порядка k определяется то значение k0, начиная с которого тенденция к убыванию 2 (k ) гасится и само значение 2 (k ) относительно стабилизируется. Второй тип крите рия подбора порядка k ARIMA-модели основан на анализе поведе ния автокорреляционных функций процессов xt, 2xt,…. последо вательные преобразования анализируемого процесса xt с помощью операторов, 2,… нацелены на устранение его нестационарности.

Поэтому до тех пор, пока l k процессы lxt будут оставаться неста ционарными, что будет выражаться в отсутствии быстрого спада в поведении их выборочной автокорреляционной функции. Поэтому предполагается, что необходимая для получения стационарности степень k разности достигнута, если автокорреляционная функция ряда xtk = k xt быстро затухает.

После подбора порядка k анализируется уже не сам ряд xt, а его k-е разности. Идентификация этого ряда сводится к идентификации ARMA(p, q)моделей.

1.5.2. Модели рядов, содержащих сезонную компоненту Под временными рядами, содержащими сезонную компоненту, понимаются процессы, при формировании значений которых обяза тельно присутствовали сезонные и/или циклические факторы.

Один из распространенных подходов к прогнозированию состо ит в следующем: ряд раскладывается на долговременную, сезонную (в том числе, циклическую) и случайную составляющие;

затем дол говременную составляющую подгоняют полиномом, сезонную – рядом Фурье, после чего прогноз осуществляется экстраполяцией этих подогнанных значений в будущее. Однако этот подход может приводить к серьезным ошибкам. Во-первых, короткие участки ста ционарного ряда (а в экономических приложениях редко бывают достаточно длинные временные ряды) могут выглядеть похожими на фрагменты полиномиальных или гармонических функций, что приведет к их неправомерной аппроксимации и представлению в качестве неслучайной составляющей. Во-вторых, даже если ряд дей ствительно включает неслучайные полиномиальные и гармониче ские компоненты, их формальная аппроксимация может потребовать слишком большого числа параметров, т.е. получающаяся парамет ризация модели оказывается неэкономичной.

Принципиально другой подход основан на модификации ARIMA-моделей с помощью «упрощающих операторов». Схема тично процедура построения сезонных моделей, основанных на ARIMA-конструкциях, модифицированных с помощью упрощаю щих операторов T = 1 FT_, может быть описана следующим обра зом (детальное описание соответствующих процедур см., например, в [15]:

- применяем к наблюдаемому ряду xt операторы и T для дос тижения стационарности;

- по виду автокорреляционной функции преобразованного ряда xk, K (t ) подбираем пробную модель в классе ARMA- или модифици (T ) рованных (в правой части) ARMA-моделей;

- по значениям соответствующих автоковариаций ряда xkTK (t ) (), получаем (методом моментов) оценки параметров пробной модели;

Диагностическая проверка полученной модели (анализ остатков в описании реального ряда xt с помощью построенной модели) мо жет либо подтвердить правильность модели, либо указать пути ее улучшения, что приводит к новой подгонке и повторению всей про цедуры.



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.