авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 11 |
-- [ Страница 1 ] --

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

ТРУДЫ

ИНСТИТУТА

МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

Том 18, № 4

2012

ТРУДЫ

ИНСТИТУТА

МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

УрО РАН

ВЫХОДЯТ 4 РАЗА В ГОД

том 18 №4 2012

ЕКАТЕРИНБУРГ

Труды Института математики и механики УрО РАН. Том 18, № 4. Екате-

ринбург: ИММ УрО РАН, 2012. 340 с.

ISSN 0134–4889 Главный редактор акад. РАН В. И. Бердышев Зам. гл. редактора В. В. Кабанов Научные редакторы А. Л. Агеев, А. Р. Данилин Редакционная коллегия А. Г. Бабенко, М. И. Гусев, А. Ф. Клейменов, А. С. Кондратьев, А. И. Короткий, В. И. Максимов, М. Ю. Хачай Редакционный совет чл.-корр. РАН В. В. Васин, акад. РАН И. И. Еремин, акад. РАН А. М. Ильин, чл.-корр. РАН С. В. Матвеев, чл.-корр. РАН А. А. Махнев, акад. РАН Ю. С. Осипов, чл.-корр. РАН Н. Н. Субботина, чл.-корр. РАН Ю. Н. Субботин, чл.-корр. РАН В. Н. Ушаков, чл.-корр. РАН А. Г. Ченцов, чл.-корр. НАН Украины А. А. Чикрий чл.-корр. НАН Беларуси Л. А. Шеметков Отв. редактор выпуска А. Г. Бабенко c Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук, ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН Том 18 № 4 УДК 517. НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ОПЕРАТОРА АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ НА КЛАССЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ В КОЛЬЦЕ ФУНКЦИЙ Р. Р. Акопян Для классов аналитических в кольце (круге) функций изучаются несколько экстремальных задач, связанных с оператором аналитического продолжения: наилучшее приближение оператора, оптималь ное восстановление оператора по заданным с ошибкой граничным значениям функции на окружности, наилучшее приближение одного класса функций другим.

Ключевые слова: приближение операторов, аналитические функции.

R. R. Akopyan. Best approximation for the analytic continuation operator on the class of analytic functions in a ring.

For classes of functions analytic in a ring (a disk), we study several extremal problems related to the analytic continuation operator: the best approximation of an operator, an optimal reconstruction of an operator from boundary values of a function on the circle given with an error, and the best approximation of one class of functions by another class.

Keywords: approximation of operators, analytic functions.

Настоящая работа посвящена изучению взаимосвязанных экстремальных задач на классе аналитических в кольце (и, как следствие, в круге) функций наилучшего приближения опе ратора аналитического продолжения линейными ограниченными операторами, оптимального восстановления оператора аналитического продолжения (аналитической функции) по задан ным с погрешностью граничным значениям функции на окружности, и является продолжени ем работы автора [1], в которой аналогичные задачи были решены на классе функций, анали тических в полосе. Кроме того, обсуждается двойственно связанная задача наилучшего при ближения одного класса аналитических функций другим результаты статьи Л.В.Тайкова [8].

1. Задачи наилучшего приближения и оптимального восстановления оператора аналитического продолжения Пусть r,, R числа, удовлетворяющие неравенству 0 r R. Введем следующие обозначения:

y := ln ln r, Y := ln R ln r;

ln R ln Y y ln ln r y := =, := =.

ln R ln r Y ln R ln r Y Определенные параметры удовлетворяют соотношениям 0 y Y, + = 1.

В качестве области G будет выступать либо Cr,R := {z C : r |z| R} кольцо с центром в нуле, с внутренним и внешним радиусами r и R соответственно, либо DR := {z C : |z| R} круг с центром в нуле и радиусом R.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 11-01-00462) и Министерства образования и нау ки РФ в рамках государственного задания вузам на проведение фундаментальных и прикладных ис следований (проект 1.1544.2011).

4 Р. Р. Акопян Для произвольного числа 0 и функции f, след которой на окружности радиуса p функции (t) := f (eit ) из Lp (0, 2), 1 p, обозначим через I (f ) величину, определен ную равенством 1/p |f (eix )|p dx в случае 1 p ;

, p I (f ) := Lp (0,2) = ess sup |f (eix )| : x [0, 2], в случае p =.

Пусть H p (Cr,R ) пространство Харди функций f, аналитических в кольце Cr,R, след которых на каждой окружности радиуса, r R, принадлежит пространству Lp (0, 2) и для которых p sup{I (f ) : r R} +.

Будем полагать, что для каждой функции f H p (Cr,R ) задана пара функций r и R из Lp (0, 2), являющихся почти всюду на границах кольца некасательными пределами функ ции f, т. е. почти всюду определяемых равенствами r (t) = lim f (eit ), R (t) = lim f (eit );

r+0 R в дальнейшем для граничных значений будем также использовать обозначения f (reit ) := r (x), f (Reit ) := R (x).

Кроме того, для функций f из пространства H p (Cr,R ) будем использовать представление в виде сходящегося в кольце Cr,R степенного ряда Лорана + fk z k. (1.1) f (z) = k= Классическое пространство Харди H p (DR ) функций, аналитических в круге DR, является подпространством H p (Cr,R ) и состоит из функций f, след которых на каждой окружности p радиуса, 0 R, из Lp (0, 2) и для которых sup{I (f ) : 0 R} +. Соответственно p (D ) есть ряд Тейлора, т. е. f = 0, k 0.

представление (1.1) функций пространства Харди H R k В пространстве Харди H p (G) выделим класс Qp (N ), N 0, (Qp, в случае N = 1) функ R R ций f, чьи граничные значения на окружности радиуса R удовлетворяют неравенству p IR (f ) N.

Задача о наилучшем приближении неограниченного линейного оператора линейными огра ниченными операторами на классе элементов банахова пространства появилась в исследо ваниях С.Б. Стечкина в 1965 г. [6]. В его работе [7] 1967 г. была дана постановка задачи, приведены первые принципиальные результаты, дано решение задачи для операторов диффе ренцирования малого порядка. Последующие годы эта задача интенсивно изучалась в работах С.Б. Стечкина, В.В. Арестова, В.И. Бердышева, В.Н. Габушина, Ю.Н. Субботина, Л.В. Тайко ва, А.П. Буслаева, В.Ф. Бабенко, В.Г. Тимофеева, О.А. Тимошина и многих других. К насто ящему времени в задаче Стечкина получены следующие результаты. Выяснена взаимосвязь этой задачи с другими экстремальными задачами. Установлены количественные соотношения между модулем непрерывности линейного неограниченного оператора на классе элементов пространства, наилучшим приближением такого оператора и ошибкой оптимального восста новления значений оператора на элементах класса, заданных с известной погрешностью. По лучены двойственные соотношения между первыми двумя задачами и, соответственно, наи лучшим и наилучшим линейным приближениями одного класса другим. Получен ряд общих теорем существования и характеризации экстремального приближающего оператора. Хоро шо изучено приближение функционалов. Дано решение задачи для конкретных операторов Наилучшее приближение оператора аналитического продолжения в классических функциональных пространствах. При этом наиболее полно исследовано наи лучшее приближение операторов дифференцирования порядка k на классе n раз дифферен цируемых функций (0 k n) в пространствах Lp на числовой оси и полуоси. Подробную информацию об исследованиях задачи Стечкина и взаимосвязанных с ней экстремальных за дач можно найти в обзорной работе В.В. Арестова [2].

В настоящей статье рассматривается конкретная задача, а именно задача наилучшего при ближения оператора аналитического продолжения функции с окружности с центром в нуле и радиусом r на окружность большего радиуса линейными ограниченными операторами на классе Qp функций, аналитических в области G. Точная постановка задачи такова.

R З а д а ч а 1. Пусть Lp (N ) множество линейных ограниченных операторов в Lp (0, 2), норма которых T = T Lp (0,2)Lp (0,2) не превосходит числа N 0. Величина f Qp U (T ) = sup T r Lp (0,2) : R является уклонением оператора T Lp (N ) от оператора аналитического продолжения на классе Qp. Соответственно, величина R (1.2) E(N ) = inf {U (T ) : T L(N )} есть наилучшее приближение оператора аналитического продолжения множеством ограничен ных операторов Lp (N ) на классе Qp. Задача состоит в вычислении величины E(N ) и нахож R дении экстремального оператора, на котором в (1.2) достигается нижняя грань.

Задача 1 тесно взаимосвязана с рядом экстремальных задач. Одной из них является сле дующая задача вычисления модуля непрерывности оператора аналитического продолжения на классе.

З а д а ч а 2. Функцию вещественного переменного [0, ), определяемую равенством () = sup I (f ) : f Qp, Ir (f ), p p (1.3) R будем называть модулем непрерывности оператора аналитического продолжения на клас се Qp. Задача состоит в вычислении величины () и нахождении экстремальной функции, R на которой в (1.3) достигается верхняя грань.

Через (, µ) обозначим вещественнозначную функцию двух неотрицательных перемен ных, µ, определяемую равенством p p p (1.4) (, µ) = sup I (f ) : Ir (f ), IR (f ) µ.

Задачи о вычислении величин (1.3) и (1.4) эквивалентны. Действительно, из их определений следуют равенства () = (, 1), 0;

(, µ) = µ (/µ), 0, µ 0.

Также из определения (1.4) следует, что для функций пространства H p (G) справедливо точное неравенство p p p I (f ) (Ir (f ), IR (f )).

Для функций, аналитических в кольце, хорошо известно как “теорема Адамара о трех кругах” (см., например, [5, отд.3, гл.6, §3]) следующее неравенство:

ln R ln ln ln r p p p ln I (f ) ln Ir (f ) + ln IR (f ).

ln R ln r ln R ln r Иными словами, для произвольной фиксированной функции f из пространства H p (G) функ p ция I() := ln I (f ), = ln, является выпуклой на отрезке [ln r, ln R].

6 Р. Р. Акопян Потенциируя последнее неравенство и подставляя выражения и через r, и R, получим эквивалентное неравенство p I (f ) Ir (f ) IR (f ) ;

p p (1.5) таким образом, справедливо неравенство (, µ) µ и, следовательно, ().

Используя последовательность функций gn (z) = Rn z n, n Z, (n 0 при G = DR ), нетрудно получить оценку снизу модуля непрерывности (1.3) () v(), ln v() := max R : Z, R r = Rn n, n=, ln r ln R где [a] обозначает целую часть числа a. На функциях gn неравенство (1.5) обращается в ра венство и, следовательно, оценки модуля непрерывности сверху и снизу в точках n = Rn r n совпадают, т. е. имеют место равенства (1.6) (n ) = n.

Задачи восстановления значений оператора на элементах класса, принадлежащего области определения оператора, по информации об элементах класса, заданных с известной погрешно стью, возникают в различных разделах математики и хорошо изучены. Восстановление осу ществляется с помощью некоторого множества R операторов. В качестве R, как правило, берется одно из следующих множеств отображений: множество O всех однозначных отобра жений, множество B ограниченных операторов или множество L линейных операторов. Раз личным задачам оптимального восстановления на классах аналитических функций посвящена монография [4].

Задачи 1 и 2 тесно взаимосвязаны со следующей задачей оптимального восстановления аналитической функции по граничным значениям (на одной из граничных окружностей), за данным с ошибкой.

З а д а ч а 3. Для числа 0 и оператора T R определим величину f Qp, Lp (0, 2), r U(T, ) = sup T Lp (0,2) :.

Lp (0,2) R Тогда (1.7) ER () = inf {U(T, ) : T R} есть величина наилучшего (оптимального) восстановления оператора аналитического продол жения (аналитической функции) с помощью методов восстановления R на функциях клас са Qp по их значениям на окружности с центром в нуле и радиусом r, заданных с ошибкой.

R Задача состоит в вычислении величины ER () и определении оптимального метода восстанов ления оператора, на котором в (1.7) достигается нижняя грань.

Введем обозначения (1.8) (N ) := sup {() N : 0}, N 0;

(1.9) l() := inf {E(N ) + N : N 0}, 0.

Следующее утверждение, связывающее величины (1.2) и (1.3), является частным случаем тео ремы С.Б. Стечкина [7].

Теорема А. Имеют место неравенства (1.10) E(N ) (N ), N 0;

(1.11) () l(), 0.

Наилучшее приближение оператора аналитического продолжения В следующей теореме приведено уточнение неравенства (1.11), и она является частным случаем общего утверждения, связывающего задачу о модуле непрерывности оператора и за дачу Стечкина с задачами оптимального восстановления (см. [2]).

Теорема B. Имеют место неравенства (1.12) () EO () EL () = EB () l(), 0.

2. Предварительные замечания и утверждения В работе автора [1] на классах функций, аналитических в полосе Y := {z : 0 z Y }, были решены задачи, аналогичные задачам 1–3. Точнее, на классе функций, аналитических в полосе Y, с ограниченной единицей Lp -нормой граничных значений на прямой R+iY, для опе ратора аналитического продолжения функции с вещественной оси на параллельную прямую R + iy, 0 y Y были решены задачи о модуле непрерывности оператора, наилучшего при ближения оператора линейными ограниченными операторами, оптимального восстановления оператора по граничным значениям функции на вещественной оси R, заданных с погрешно стью. А именно, в работе [1] было доказано, что для аналогов величин (1.2)–(1.4) и (1.7) при произвольных значениях 0 y Y, N 0, 0 и 1 p справедливы равенства E(N ) = / N /, () = EO () = EL () = EB () =, (, µ) = µ.

Наиболее интересной для нас сейчас является конструкция экстремального оператора в работе [1]. Рассмотрим функцию Ka,b, a 0, b 0, определенную на вещественной оси фор мулой sh at, t = 0;

sh(a + b)t Ka,b (t) = a, t = 0.

a+b Функция Ka,b при произвольных положительных значениях параметров a и b является поло жительной, четной, непрерывной на вещественной оси и удовлетворяет равенству Kb,a (t) = 1 ebt Ka,b (t) eat, t R.

Кроме того, для преобразования Фурье Ka,b функции Ka,b, определяемого равенством Ka,b (t) eitz dt, Ka,b (z) = R справедливо [1, лемма 1] равенство a sin 11 a+b Ka,b (z) =.

2 a + b ch z + cos a a+b a+b Важным в дальнейшем является факт, что для произвольных значений параметров a, b функция Ka,b положительна на всей вещественной оси.

Экстремальным в [1] оператором является оператор (свертки) A = A [y, Y ], определяе мый на пространстве Lp (R) формулой (A f ) (x + iy) = a (x t) f (t) dt, R 8 Р. Р. Акопян с ядром a (x) = ey+ix Ka,b (x) при a = Y y = Y, b = y = Y, где вещественный параметр связан с параметрами задач равенствами N = ey, = eY.

Кроме того, отметим, что разность f A f представима в виде свертки следа функции f на прямой R + iY f (x + iy) (A f )(x + iy) = u (x t)f (t + iY ) dt R с функцией u, определенной формулой u (x) = e(Y y)+ix Kb,a (x).

Определим функцию = a,b следующей формулой:

+ (2.1) (x) := 2 Ka,b (x + 2k).

k= Лемма 1. Для произвольных a, b 0 функция = a,b положительна. При значениях параметров a = ln R ln, b = ln ln r справедливо равенство + (2.2) a,b (x) = 0 + 2 k cos kt, k= k 1 2k R2k ln R ln r 0 = =, k =, k N.

1 r 2k R2k ln R ln r Д о к а з а т е л ь с т в о. Непосредственно из представления (2.1) и свойств функции Ka,b следует, что функция является 2–периодической, четной, гладкой, положительной.

Вычислим коэффициенты k в представлении (2.2) функции или, что то же самое, в виде ряда Фурье + k eikx, a,b (x) = k = k k= при заданных значениях параметров a и b. Для произвольного целого k имеем 2 2 + + 1 ikx ikx Ka,b (x) eikx dx = Ka,b (k).

k = a,b (x) e dx = Ka,b (x + 2j) e dx = 0 j= 0 Подставляя в явный вид значения функции Ka,b (k) параметры a = ln R ln, b = ln ln r, получим представление (2.2). Лемма доказана.

Для произвольных n Z и R на пространстве Lp (0, 2) определим операторы (свертки) Tn, = Tn, [r,, R] и Un, = Tn, [r,, R] формулами (2.3) (Tn, r ) (x) := tn, (x t) r (t) dt, (Un, R ) (x) := un, (x t) R (t) dt, в которых ядра определены равенствами tn, (x) = n r n einx [ + a,b (x)], un, (x) = n Rn einx [ + b,a (x)] (2.4) Наилучшее приближение оператора аналитического продолжения при a = ln R ln, b = ln ln r.

Для функций f из пространства Харди H p (Cr,R ) с представлением (1.1) в виде ряда Лорана операторы Tn, и Un, по лемме 1 можно выписать следующим образом:

+ n n inx n kn fk r kn eikx, (2.5) (Tn, r ) (x) = r fn e + k= где коэффициенты k = Ka,b (k) определены равенствами (2.2);

+ (Un, R ) (x) = n r n fn einx + n µkn fk Rkn eikx, (2.6) k= где коэффициенты µk = Kb,a (k) определены равенствами 1 r 2k 2k ln ln r k µ0 = =, µk =, k Z \ {0}.

1 r 2k R2k ln R ln r R Лемма 2. Для функций f H p (Cr,R ) и произвольного числа справедливо равенство (Tn, r ) (x) + (Un, R ) (x) = (x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя представления операторов (2.5) и (2.6), для произ вольной функции f H p (Cr,R ) имеем + n r kn kn + Rkn µkn fk eikx. (2.7) (Tn, r ) (x) + (Un, R ) (x) = k= Преобразуем выражение в квадратных скобках, применяя свойство функции Ka,b,:

r kn kn + Rkn µkn = kn r kn (kn) kn + Rkn (kn) µkn = kn eb(kn) Ka,b (k n) + ea(kn) Kb,a (k n) = kn.

Результат подставим в (2.7):

+ fk k eikx = (x).

(Tn, r ) (x) + (Un, R ) (x) = k= Лемма доказана.

Введем обозначение a,b = min {a,b (x) : x [0, 2]}.

Для нас важно, что согласно лемме 1 для произвольных значений параметров a, b функция a,b и, следовательно, a,b строго больше нуля. Поэтому для любых a, b 0 отрезок [a,b, b,a ] содержит нуль и имеет положительную меру.

Лемма 3. Для норм операторов Tn, = Tn, [r,, R] и Un, = Un, [r,, R] при n Z и [a,b, b,a ] справедливы равенства Tn, = n r n ( + ), Un, = n Rn ( ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из неотрицательности функции + a,b (x) следует оценка 2 1 n n inx n n [ + a,b (x)] dx = n r n [ + 0 ].

Tn, r e [ + a,b (x)] dx = r 2 0 einx, (x) Норма оператора достигается на функции которая является следом на окруж = r n z n H p (C ности с центром в нуле и радиусом r функции gn (z) = r r,R ) (в случае n 0, gn H p (DR )).

Аналогично проводится оценка нормы оператора Un,.

10 Р. Р. Акопян 3. Задача приближения одного класса аналитических функций другим Операторы, аналогичные введенным Tn, = Tn, [r,, R] и Un, = Un, [r,, R], возникали в работе Л.В.Тайкова 1971 г. [8], в которой рассматривалась задача приближения класса Харди функций, аналитических в круге, другим классом Харди функций, аналитических в круге большего радиуса. Приведем точную постановку задачи.

З а д а ч а 4. Для числа N 0 и функции f Qp величина e(f, Qp (N )) = inf Ir (f F ) : F Qp (N ) p R R является наилучшим приближением функции f классом Qp (N ). Соответственно, величина R EN = E(Qp, Qp (N )) = sup e(f, Qp (N )) : f Qp (3.1) R R есть наилучшее приближение класса Qp классом Qp (N ).

R В работе [8] задача 4 исследовалась для случая приближения класса Харди функций, ана литических в круге D1, классом Харди функций, аналитических в круге DR, R 1, при = 1, что не снижает общности утверждений. Результаты статьи [8] сформулированы в следующей теореме.

Теорема С (Л.В. Тайков). Для произвольных 1 p +, 0 r 1 R справедливо EN N ln r/ln R при N +.

В случае R = r 1, если N = r n, где n– целое неотрицательное число и удовлетворяет неравенству (1)k1 r k (1)k r k 2 1+2, 1 + r 2k 1 + r 2k k=1 k= то EN = (1 )r n.

В данной работе результаты теоремы C будут несколько обобщены. Мы рассмотрим за дачу 4 для классов функций, аналитических в кольцах Cr,, Cr,R, и снимем ограничение на соотношения между радиусами r, и R.

Отметим, что задачи наилучшего и наилучшего линейного приближения класса Харди Qp функций, аналитических в круге D, классом Харди Qp (N ) функций, аналитических в кру R ге DR, двойственно взаимосвязаны с задачами 2 и 1 для классов Харди, аналитических в кру ге функций соответственно. Подробную информацию о двойственности задач можно найти в [2, §7], о двойственности пространств Харди H p в [3, VII]. В настоящей работе соображения двойственности использоваться не будут.

4. Основные результаты Все результаты данного раздела формулируются и доказываются для классов аналитиче ских в кольце функций. В случае, когда параметр n является целым неотрицательным, анало гичные утверждения и доказательства справедливы и для классов функций, аналитических в круге.

Теорема 1. Пусть числа r,, R удовлетворяют неравенству 0 r R. Тогда при произвольных p, 1 p, если положительное число N представимо в виде N = n r n ( + ), Наилучшее приближение оператора аналитического продолжения где n целое число и [a,b, b,a ], то для величины (1.2) справедливо равенство E(N ) = ( ) ( + )/ N /.

При этом экстремальным в задаче (1.2) оператором является оператор Tn, = Tn, [r,, R], определенный равенствами (2.3), (2.4).

Теорема 2. Пусть числа r,, R удовлетворяют неравенству 0 r R. Тогда при произвольных p, 1 p, и целых n для величин (1.3) и (1.7) в случае = n = Rn r n справедливы равенства (n ) = EO (n ) = EL (n ) = EB (n ) = n.

При этом оптимальным методом восстановления в задаче (1.7) является линейный огра ниченный оператор Tn, = Tn, [r,, R], определенный равенствами (2.3), (2.4) при любом [a,b, b,a ].

Д о к а з а т е л ь с т в о теорем 1 и 2. В качестве значений параметров N и будем ис пользовать величины N = Tn, = n r n ( + ), n = Rn r n при n Z, [a,b, b,a ].

Объединяя вместе равенство (1.6), неравенство (1.10) теоремы A, определения (1.2), (1.8) и утверждения лемм 2 и 3, получим цепочку соотношений ( ) ( + )/ N / = (n ) N n (N ) E(N ) f Qp } = Un, = ( ) ( + )/ N /, sup{ Tn, r Lp (0,2) : R откуда вытекает равенство E(N ) = ( ) ( + )/ N /. (4.1) Объединяя вместе равенство (1.6), неравенства (1.12) теоремы B, определение (1.9) и ра венство (4.1), получим цепочку соотношений n = (n ) EO (n ) EL (n ) = EB (n ) l(n ) E(N ) + N n = n, откуда вытекает равенство (n ) = EO (n ) = EL (n ) = EB (n ) = n.

Теоремы 1 и 2 доказаны.

Определим операторы (свертки) Un, и Tn, в пространстве Lp (0, 2) формулами (4.2) (Un, )(x) := un, (t x) (t) dt, (Tn, )(x) := tn, (t x) (t) dt.

Нетрудно понять, повторив рассуждения леммы 3, что для норм операторов имеют место равенства Un, = n Rn ( ), Tn, = n r n ( + ).

12 Р. Р. Акопян Теорема 3. Пусть числа r,, R удовлетворяют неравенству 0 r R. Тогда при произвольных p, 1 p, если положительное число N представимо в виде N = n Rn ( ), где n целое число и [a,b, b,a ], то для величины (3.1) справедливо равенство EN = ( + ) ( )/ N /.

При этом линейный метод Un, = Un, [r,, R], определенный равенством (4.2), доставляет наилучшее приближение класса классом.

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 3 проводится по схеме статьи [8]. Пусть теперь в каче стве значения параметра N выступает величина N = Un, = n Rn ( ).

Для получения оценки сверху наилучшего линейного приближения воспользуемся методом, который функции f Qp ставит в соответствие функцию F Qp (N ), определяемую равен R ством F (R eix ) = (Un, )(x). (4.3) Действительно, из представления функции F в виде ряда Лорана + F (R eix ) = fn Rn einx + Rn µkn fk kn eikx (4.4) k= следует, что если f аналитична в кольце Cr,, то F аналитична в кольце Cr,R. При этом из определения (4.3) следует оценка F (Reix ) Un, N, Lp (0,2) Lp (0,2) Qp (N ).

откуда F R Используя представление (4.4), для произвольной f имеем + ix n inx n r kn µkn (rR1 )kn fk eikx. (4.5) r (x) F (re ) = fn r e +r k= Преобразуем выражения в квадратных скобках, применяя свойство функции Ka,b :

r kn µkn (rR1 )kn = kn 1 R(kn) r kn µkn = kn 1 e(a+b)(kn) Kb,a (k n) = kn Ka,b (k n) = kn kn.

Результат подставляем в (4.5):

+ ix n inx n kn fk kn eikx = (Tn, )(x), r (x) F (re ) = fn r e +r k= откуда получаем оценку уклонения на окружности радиуса r:

Ir (f F ) = r (x) F (reix ) p Tn, Lp (0,2).

Lp (0,2) И, следовательно, имеем оценку сверху наилучшего (линейного) приближения класса классом:

EN sup Ir (f F ) : f Qp = Tn, = ( + ) ( )/ N /.

p Оценка снизу следует из равенства (см. [9]) для наилучшего приближения функции gn (z) = Qp :

n z n inf Ir (gn F ) : F Qp (N ) = ( + ) ( )/ N /.

p R Теорема 3 доказана.

Наилучшее приближение оператора аналитического продолжения СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Акопян Р.Р. Наилучшее приближение оператора аналитического продолжения на классе анали тических в полосе функций // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 3.

С. 46–54.

2. Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстре мальные задачи // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, вып. 6(312). С. 89–124.

3. Koosis P. Introduction to Hp Spaces. Cambridge: Cambridge University Press, 1998. 287 c.

4. Osipenko K.Yu. Optimal recovery of analytic functions. Huntington: NJVA Science Publ. Inc., 2000.

229 p.

5. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа: в 2 т. М.: Наука, 1978. Т. 1. 398 с.

6. Стечкин С.Б. Неравенства между нормами производных произвольной функции // Acta Sci.

Math. 1965. Vol. 26, no. 3-4. P. 225–230.

7. Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Мат. заметки. 1967. Т. 1, вып. 2.

С. 137–148.

8. Тайков Л.В. Аналитическое продолжение функций с ошибкой // Тр. МИАН СССР. 1971. Т. 109.

С. 61–64.

9. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций // Мат. заметки. 1967. Т. 1, вып. 2. С. 155–162.

Акопян Роман Размикович Поступила 04.07. канд. физ.-мат. наук зав. кафедрой Озёрский технологический ин-т НИЯУ МИФИ Уральский федеральный университет e-mail: R.Akopyan@oti.ru ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН Том 18 № 4 УДК 517.968.23+519.642. КОНСТРУКТИВНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЯДРОМ ГИЛЬБЕРТА Р. А. Алиев, А. Ф. Амрахова Предложен и обоснован конструктивный метод решения линейных сингулярных интегральных урав нений с ядром Гильберта. В разработанном конструктивном методе сингулярный оператор аппроксими руется операторами, сохраняющими основные свойства этого оператора, что дает возможность получать более точные оценки с точки зрения скорости сходимости, нежели ранее применявшиеся методы. Кроме того, этот метод требует меньших вычислительных затрат, поскольку позволяет найти приближенные решения явным образом (а не в отдельных точках), при этом коэффициенты соответствующих систем линейных алгебраических уравнений легко вычисляются.

Ключевые слова: сингулярное интегральное уравнение, ядро Гильберта, конструктивный метод, ап проксимация сингулярного интеграла, наилучшее среднеквадратичное приближение.

R. A. Aliev, A. F. Amrakhova. A constructive method for the solution of integral equations with Hilbert kernel.

We propose and prove a constructive method for the solution of linear singular integral equations with Hilbert kernel. In this method, in contrast to the methods applied earlier, the singular operator is approximated by operators that preserve the main properties of this operator, which makes it possible to obtain estimates that are more exact from the point of view of convergence rate. In addition, this method requires less computations because it allows one to nd approximate solutions explicitly (not only at isolated points) and the coecients of the corresponding systems of algebraic equations are easily calculated.

Keywords: singular integral equation, Hilbert kernel, constructive method, approximation of a singular integral, best mean-square approximation.

Пусть L2 = L2 ([0;

2)) пространство квадратично-суммируемых 2-периодических функ ций с нормой 2 1/ 1 = |(t)| dt.

L Рассмотрим в L2 сингулярный интегральный оператор (СИО) (H)(t) = a(t)(t) + b(t)(S)(t) + (K)(t), где 2 1 t (S)(t) = ctg ( )d, (K)(t) = K(t, )( )d, 2 2 0 a(t), b(t), K(t, ) известные 2-периодические непрерывные функции, причем a2 (t)+b2 (t) = для всех t [0;

2).

Конструктивные методы решения сингулярных интегральных уравнений (СИУ) (H)(t) = f (t), теория которых изложена в монографиях [1–3], нашли широкое применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике и других прикладных областях [3;

4], и их построению посвящен целый ряд работ [3;

5–12].

Конструктивный метод решения сингулярных интегральных уравнений В разработанном нами конструктивном методе сингулярная часть оператора H аппрокси мируется операторами, сохраняющими основные свойства сингулярного оператора (см. теоре му 1), что дает возможность получать более точные оценки с точки зрения скорости сходимо сти в сравнении с ранее применявшимися методами. Кроме того, этот метод требует меньше вычислительных затрат, поскольку позволяет найти приближенные решения явным образом (а не в отдельных точках), при этом коэффициенты соответствующих систем линейных алгеб раических уравнений (с.л.а.у.) легко вычисляются.

В настоящей работе оператор H аппроксимируется последовательностью операторов вида 2n k (n) (Hn )(t) = k (t) t +, n k= (n) где k (t) 2 периодические непрерывные функции, выраженные через заданные функ ции, k = 0, 2n 1, n N, и доказывается, что последовательность операторов {Hn } сильно сходится к оператору H в L2, из обратимости оператора H следует обратимость операторов Hn 1 сильно сходится к опе (при достаточно больших n) и последовательность операторов Hn 1 при n. Отметим, что в этом методе нахождение обратного оператора H ратору H n равносильно рассмотрению уравнения 2n k (n) k (t) t + = f (t) n k= в точках t + m/n, m = 0, 2n 1, поскольку решение полученной при этом с.л.а.у.

2n m (k + m) m (n) k t+ t+ =f t+, m = 0, 2n 1, n n n k= (2n 1) относительно (t), t + приводит к нахождению функции (t).

,..., t + n n Для СИУ с ядром Коши подобный метод разработан и обоснован в [13].

1. Аппроксимация сингулярного интеграла с ядром Гильберта Известно ([14, гл. IV, §1;

3, гл. I, §1.5]), что оператор 1 t (S)(t) = ctg ( )d 2 действует в L2, операторная норма S = 1 и для любого L L2 L (S 2 )(t) = (t) + ( )d.

Рассмотрим в L2 последовательность операторов n 1 (2k + 1) (2k + 1) (Sn )(t) = ctg t+, n = 2, 3,....

n 2n n k= Нетрудно убедиться, что если a (t) = + (am cos mt + bm sin mt), 2 m= 16 Р. А. Алиев, А. Ф. Амрахова то (n) (am sin mt bm cos mt), (Sn ) (t) = m m= (n) (n) (n) (n) (n) (n) где m = 1 при m = 1, n 1, n = 2n = 0, m = 1 при m = n + 1, 2n 1 и m+2n = m при m Z.

Отсюда следует Теорема 1. Операторы Sn действуют в L2, Sn L2 L2 = 1, (Sn P ) (t) = (SP )(t) для лю бого тригонометрического полинома P (t) порядка не выше n 1 и n 1 2k (Sn )(t) = (t) + t+ L2.

n n k= (2) Обозначим En () = inf, где Tn множество всех тригонометрических поли P L P Tn номов порядка не выше n Z+.

Теорема 2. Последовательность операторов {Sn } сильно сходится к оператору S в L2, при этом для любого L2 справедлива оценка (2) S Sn 2En1 (), n N. (1.1) L Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Pn1 (;

t) тригонометрический полином наилучшего приближения функции L2. В силу теоремы 1 имеем (S Sn ) (t) = S ( Pn1 (;

·)) (t) Sn ( Pn1 (;

·)) (t), откуда следует неравенство (2) S Sn S + Sn Pn1 (;

·) = 2En1 ().

L2 L2 L2 L2 L2 L Теорема 2 доказана.

Рассмотрим регулярный интегральный оператор (K) (t) = K(t, )( )d, где ядро K(t, ) 2-периодическая непрерывная функция, и последовательность операторов 2n 1 k k Kn (t) = K t, t + t+.

2n n n k= Пусть K = max |K(t, )|, En (K) = inf K n, t, [0,2] n 0 (t) где n (t, ) = (k (t) cos k + k (t) sin k ) и inmum берется по всем тригонометри + k= ческим полиномам k (t), k = 0, n, k (t) = 1, n, порядка не выше n.

Теорема 3. Последовательность операторов {Kn } сильно сходится к оператору K в L2, при этом для любого L2 справедлива оценка (2) (2) K Kn 2 K En1 () + 2En1 (K) En1 () +. (1.2) L2 L Конструктивный метод решения сингулярных интегральных уравнений Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Pn1 (;

t) и n (0) (t) (0) (0) n1 (K;

t, ) = 0 + k (t) cos k + k (t) sin k k= полиномы наилучшего приближения функций и K. Учитывая, что для любого полино ма r2n2 (t) порядка не выше 2n 2 справедливо равенство 2 2n 1 1 k r2n2 (t)dt = r2n2 t +, 2 2n n k= имеем (K) (t) (Kn ) (t) = (K Kn ) ( Pn1 (;

·)) (t) + [K(t, ) n1 (K;

t, )] Pn1 (;

)d 2n 1 k k k + K t, t + n1 K;

t, t + Pn1 ;

t +.

2n n n n k= Отсюда, с учетом неравенств K следует оценка (1.2).

K, Kn K, L2 L2 L2 L Теорема 3 доказана.

2. Построение и обоснование конструктивного метода решения СИУ Нам понадобятся следующие утверждения из теории проекционных методов [15].

Пусть A линейный непрерывный оператор в банаховом пространстве X, {An } после довательность линейных непрерывных операторов в X.

О п р е д е л е н и е 1. Будем говорить, что к обратимому оператору A применим при ближенный метод по системе операторов {An }, если существует n0 N такое, что операто n= ры An обратимы при n n0 и для любого y X решения xn X уравнений An xn = y, n n0, сходятся по норме пространства X к решению уравнения Ax = y.

Предложение 1. Пусть последовательность операторов {An } сильно сходится к об n= s ратимому оператору A(An A). К оператору A применим приближенный метод по си стеме операторов {An } тогда и только тогда, когда существует такое n0 N, что n= последовательность {An }nn0 равномерно обратима.

Предложение 2. Пусть к обратимому оператору A применим приближенный метод по системе операторов {An }. Тогда для любой системы {Bn } линейных непрерывных n=1 n= операторов в пространстве X, удовлетворяющей условию lim Bn = 0, к оператору A при n меним приближенный метод по системе операторов {An + Bn }.

n= Рассмотрим в L2 последовательности операторов (k+1)/n 2n 1 k (1) Kn (t) = K t, ( )d 2 n k=0 k/n и /n 2n 1 k m (k + m) (2) Kn (t) = t+ K +, d, 2 n n n k=0 18 Р. А. Алиев, А. Ф. Амрахова nt nt где m = целая часть числа.

Из неравенства (1) K Kn max K (t, 1 ) K (t, 2 ) L2 L2 t[0;

2], |1 2 |/n (1) следует равномерная сходимость операторов Kn к оператору K, а из неравенства (2) Kn Kn max |K (t1, 1 ) K (t2, 2 )| (2.1) L2 L2 |1 2 |/n, |t1 t2 |/n (2) и теоремы 3 следует сильная сходимость операторов Kn к оператору K.

Лемма 1. Если существует обратный оператор (I + K)1, то при больших значениях n операторы (I + Kn ) также обратимы и последовательность операторов (I + Kn )1 сильно сходится к (I + K)1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть существует обратный оператор (I + K)1. Поскольку (1) последовательность операторов Kn равномерно сходится к оператору K, то при больших (1) значениях n ( n0 ) операторы I + Kn равномерно обратимы.

Для функции f L2 рассмотрим уравнение (2) I + Kn n (t) = f (t). (2.2) nt Уравнение (2.2) в точках t + k/n, k = m, 2n m 1, где m =, можно записать в виде n Gn = Fn, (2.3) где m (m 1) (2n m 1) n = n t, n t,..., n t +, n n n 1 + g0 0 g0 1... g0 2n1 /n g1 2n1 1 j i g1 0 1 + g1 1...

Gn =, gij = K +, d,............ 2 nn g2n1 0 g2n1 1... g2n1 2n m (m 1) (2n m 1) Fn = f t,f t,...,f t +.

n n n Докажем, что det Gn = 0 начиная с некоторого номера n0. Для этого покажем, что урав нение (x0, x1,..., x2n1 ) Gn = (d0, d1,..., d2n1 ) (2.4) разрешимо при любой правой части. Для любого вектора (d0, d1,..., d2n1 ) рассмотрим функ цию n m (m + 1) f (0) (t) = dm при t,, m = 0, 2n 1.

n n Так как f (0) L2, то уравнение (I + Kn )(0) (t) = f (0) (t) (1) (2.5) n Конструктивный метод решения сингулярных интегральных уравнений (0) однозначно разрешимо относительно n в L2 начиная с некоторого номера n0. Интегри руя (2.5) по отрезкам [k/n;

(k + 1)/n], k = 0, 2n 1, получим /n (0) ( )d,..., (0) ( )d Gn = (d0, d1,..., d2n1 ), (2.6) n n 0 (2n1)/n т. е. уравнение (2.4) разрешимо при любой правой части и, следовательно, det Gn = 0. То гда уравнение (2.3), а также уравнение (2.2) разрешимо при любом f L2. Теперь докажем (2) равномерную обратимость операторов I + Kn. Пусть n (t) решение уравнения (2.2). В 1.

силу (2.3) имеем n = Fn Gn (k) Пусть G1 (k + 1)-й столбец матрицы G1, k = 0, 2n 1. Тогда для почти всех n n t [0;

2] m (m 1) (2n m 1) (k) G n (t) = f t,f t,...,f t +, n n n n m (m + 1) t ;

, m = 0, 2n 1, n n и поэтому 2n n 1 (2n 1) (k) n 2 2 G = f (t), f t +,...,f t + dt. (2.7) n L 2 n n k= Из (2.6) следует, что для любого вектора (d0, d1,..., d2n1 ) (k+1)/n (k) (0) ( )d, G (d0, d1,..., d2n1 ) = k = 0, 2n 1, (2.8) n n k/n (0) (1) 1 (0) где n (t) = I + Kn f (t).

(1) Так как семейство операторов равномерно ограничено, т. е. существует по I + Kn (1) стоянная M0 + такая, что для любого n n0 M0, то I + Kn L2 L 2n1 1/ n 1 (0) (0) (1) M0 f (0) d = I + Kn f = M0.

n k L2 L2 L2 2 k= С другой стороны, в силу равенства (2.8) получаем (k+1)/n 2n1 2n1 2n 2 2 (0) (k) 2 (0) ( )d d2.

G (d0, d1,..., d2n1 ) = n M n n k L n k=0 k=0 k= k/n Отсюда и из равенства (2.7) вытекает, что /n 2n 12 k (2) n 2 2 I+ Kn f L2 = M f t+ dt = M0 f.

2 L L n k= (2) Следовательно, для любого n n0 справедливо неравенство I + Kn M0.

L2 L 20 Р. А. Алиев, А. Ф. Амрахова (2) А это означает, что последовательность I +Kn nn0 равномерно обратима. Тогда соглас но предложению 1 к оператору (I + K) применим приближенный метод по системе операторов (2) I + Kn. Отсюда, учитывая неравенство (2.1), в силу предложения 2 получим, что к опера тору (I + K) применим приближенный метод также по системе операторов I + Kn. Лемма доказана.

Обозначим через W множество последовательностей ограниченных линейных операто ров {Bn }, действующих в L2 и имеющих вид 2n k (n) (Bn ) (t) = k (t) t +, n k= s (n) где k такие непрерывные 2-периодические функции, k = 0, 2n 1, что Bn B и линейный ограниченный оператор в L2, а через W0 множество последовательностей B {Mn } W, удовлетворяющих следующему условию:

если существует обратный оператор (I + BM )1, то для любой последовательности {Bn } s W, Bn B, к оператору I + BM применим приближенный метод по системе операторов s {I + Bn Mn }, где Mn M.

Лемма 2. Последовательность операторов {Kn } W0.

s Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем последовательность {Bn } W, Bn B. Извест но [16], что из сильной сходимости последовательности линейных ограниченных операторов следует равномерная сходимость на любом компактном множестве. Поэтому операторы Bn K (1) равномерно сходятся к оператору BK. Учитывая, что операторы Kn равномерно сходятся к (1) оператору K и последовательность Bn L2 L2 ограничена, получим, что операторы Bn Kn также равномерно сходятся к оператору BK.

Далее, повторяя рассуждения, приведенные в доказательстве леммы 1, получаем равно (2) мерную обратимость операторов I + Bn Kn. Отсюда и из соотношения (2) Bn Kn Kn 0 (n ), L2 L в силу предложений 1 и 2 получим, что к оператору (I + BK) применим приближенный метод по системе операторов {I + Bn Kn }. Лемма доказана.

Лемма 3. Если для любого m N последовательность операторов {Mn,m } W0, {Mn } Wи lim sup Mn,m Mn L2 L2 = 0, m nN то {Mn } W0.

Д о к а з а т е л ь с т в о проводится аналогично доказательству [13, лемма 2.6].

Обозначим через W множество последовательностей {Dn } W, имеющих вид n 2k (n) (Dn ) (t) = k (t) t +, n k= (n) где k (t)непрерывные 2периодические функции, k = 0, n 1, а через W0 множество, удовлетворяющих следующему условию:

последовательностей {Cn } W если существует обратный оператор (I + DC)1, то для любой последовательности {Dn } s, D D, к оператору I + DC применим приближенный метод по системе операторов W n s {I + Dn Cn }, где Cn C.

Конструктивный метод решения сингулярных интегральных уравнений s (even) (even) Аналогично лемме 2 доказывается, что Kn K и Kn W0, где n 1 2k 2k (even) Kn (t) = K t, t + t+.

n n n k= Положим n 1 (2k + 1) (2k + 1) (odd) Kn (t) = K t, t + t+.

n n n k= (odd) Лемма 4. Последовательность операторов Kn сильно сходится к оператору K. Кро ме того, если существуют обратные операторы I ± K + K, то к оператору I + K + K (odd) (even) применим приближенный метод по системе операторов I + Kn + Kn, где K (t) = K(t, )( )d, K(t, ) 2-периодическая непрерывная функция.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из соотношения (odd) (even) Kn (t) = 2 Kn (t) Kn (t) s (odd) (even) (even) следует, что Kn K. Так как Kn W0 и существует обратный оператор Kn 1 (even) (even), то при больших значениях n( n0 ) операторы I Kn также IK+K + Kn s (even) (even) 1 обратимы и I. Тогда Kn + Kn I K + K s 1 (even) (even) I + 2 I Kn + Kn Kn I K + K I +K+K.

C другой стороны, поскольку оператор I K + K I + K + K обратим, Kn W0, 2 I (even) (even) W, то из соотношения Kn + Kn (odd) (even) (even) (even) I + Kn + Kn = I + 2Kn Kn + Kn (even) (even) (even) (even) = I Kn + Kn I + 2 I Kn + Kn Kn (odd) (even) (odd) получим, что операторы I + Kn также обратимы при n n0 и I + Kn + Kn + s (even) 1. Лемма 4 доказана.

Kn I K + K В дальнейшем нам понадобятся следующие операторы:

1 t () (t) = ctg [a0 ( ) a0 (t)] ( )d, 2 2n 1 k k k (n ) (t) = ctg a0 t + a0 (t) t +, 2n 2n n n k= где a0 (t) непрерывная 2-периодическая функция.

Очевидно, что в случае, когда a0 (t) непрерывно дифференцируемая функция, {n } W0.

Докажем, что {n } W0 также и в случае, когда a0 (t) непрерывная функция.

22 Р. А. Алиев, А. Ф. Амрахова Рассмотрим последовательность операторов (n = 1, 2,...) 2n 1 k k Sn (t) = ctg t+.

2n 2n n k= Если a (t) = + (am cos mt + bm sin mt), 2 m= то (n) (am sin mt bm cos mt), Sn (t) = m m= (n) (n) (n) (n) где m = (n m)/n при m = 1, 2n 1, 2n = 0 и m+2n = m при всех m N. Отсюда следует, что Sn L2 L2 1 для любого n N, и аналогично теореме 1 доказывается, что s Sn S.

Для любой непрерывной 2-периодической функции a0 (t) существует последовательность непрерывно дифференцируемых 2-периодических функций {am (t)} таких, что lim am a0 = 0.

m Рассмотрим последовательность операторов (n,m ) (t) = Sn am (t) am (t) Sn (t). Так как {n,m } W0 для любого m N и lim sup n,m n L2 L2 = 0, то согласно лемме 3 получим, m n что {n } W0.

Для последовательности операторов n 1 k 2k 2k (even) (t) = ctg a0 t + a0 (t) t + n n n n n k= (even) аналогично доказывается, что n W0.

(odd) Обозначим n (t) = a0 Sn (t) + Sn (a0 ) (t).

Теорема 4. К обратимому полному СИО (H) (t) = a(t)(t) + b(t) (S) (t) + (K) (t), 2-периодические непрерывные функции, a2 (t) + b2 (t) = 0 для всех t где a(t), b(t), K(t, ) [0, 2), применим приближенный метод по системе операторов (Hn ) (t) = a(t)(t) + b(t) (Sn ) (t) + (Kn ) (t), s т. е. операторы Hn также обратимы при больших значениях n и Hn H 1. Кроме того, справедлива оценка (2) (2) Hn f H 1 f const [ b +K ] En1 () + En1 (K) En1 () +, (2.9) L L где = H 1 f.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим обратимый СИО H 0 (t) = a0 (t)(t) + (S) (t) + b0 (t) (J) (t), Конструктивный метод решения сингулярных интегральных уравнений 2-периодические непрерывные функции, a2 (t) + 1 = 0 для всех t [0;

2), где a0 (t), b0 (t) ( )d. Обозначим (J) (t) = 2 H 0 (t) = a0 (t)(t) (S) (t) + b0 (t) (J) (t).

Тогда H 0 H 0 (t) = a2 (t) + 1 (t) + () (t) + S (b0 (t) (J) (t)) + (1 + a0 (t)b0 (t)) J(t) + b0 (t)J (a0 (t)(t)) + b0 (t) (Jb0 ) (t) (J) (t), H 0 H (t) = a2 (t) + 1 (t) () (t) S (b0 (t) (J) (t)) + (1 + a0 (t)b0 (t)) J(t) + b0 (t)J (a0 (t)(t)) + b0 (t) (Jb0 ) (t) (J) (t).

Отсюда получим, что операторы 1 I± ( + S(b0 )J) + 2 ((1 + a0 b0 ) J + b0 J (a0 ) + b0 (Jb0 )J) (2.10) a2 +1 a0 + также обратимы, где J (a0 ) (t) = J (a0 (t)(t)).

Для операторов H 0 и H 0 построим приближенные методы по системе операторов 0 (even) Hn (t) = a0 (t)(t) + (Sn ) (t) + b0 (t) Jn (t) и (even) Hn (t) = a0 (t)(t) (Sn ) (t) + b0 (t) Jn (t) n 1 2k (even) соответственно, где. Тогда Jn (t) = t+ n n k= Hn Hn (t) = a2 (t) + 1 (t) + (odd) (t) + Sn (b0 (t)) Jn 00 (even) (t) 0 n (even) + (1 + a0 (t)b0 (t)) Jn (t) (even) (even) (even) + b0 (t)Jn (a0 (t)(t)) + b0 (t) Jn b0 (t) Jn (t), (2.11) Hn Hn (t) = a2 (t) + 1 (t) (odd) (t) Sn (b0 (t)) Jn 00 (even) (t) 0 n (even) + (1 + a0 (t)b0 (t)) Jn (t) (even) (even) (even) + b0 (t)Jn (a0 (t)(t)) + b0 (t) Jn b0 (t) Jn (t). (2.12) Из обратимости операторов (2.10), аналогично лемме 4, доказывается, что к операто рам (2.10) применим приближенный метод по системам операторов (odd) + Sn (b0 )Jn (even) I± +1 n a 1 (even) (even) (even) (even) + (1 + a0 b0 ) Jn + b0 Jn (a0 ·) + b0 Jn (b0 )Jn.

a2 + Поэтому из соотношений (2.11), (2.12) следует, что существуют левые и правые обратные 0 оператора Hn и, следовательно, операторы Hn обратимы при больших значениях n( n0 ) и 0 1 сильно сходится к оператору H 0 1.

последовательность операторов Hn Теперь рассмотрим обратимый характеристический СИО (h) (t) = a(t)(t) + b(t) (S) (t), 24 Р. А. Алиев, А. Ф. Амрахова непрерывные 2-периодические функции и a2 (t) + b2 (t) = 0 для всех t где a(t), b(t) [0;

2). Для этого оператора построим приближенный метод по системе операторов (hn ) (t) = a(t)(t) + b(t) (Sn ) (t). В силу теоремы 1 имеем (even) hn (I + Sn ) (t) = [a(t) b(t)] (t) + [b(t) + a(t)] (Sn ) (t) + b(t) Jn (t), где Cлюбое комплексное число.

Так как a2 (t) + b2 (t) = 0, то r0 = min |b(t) + ia(t)| 0. Обозначим t[0;

2) r 0 = + 1 i.

2a + Тогда для любого t [0;

2) выполняется неравенство r0 r |b(t) + 0 a(t)| |b(t) + ia(t)| |(0 i) a(t)| r0 |a(t)| 2a +1 и, следовательно, a(t) 0 b(t) 0 b(t) h (I + 0 S) (t) = [b(t) + 0 a(t)] + (S)(t) + (J) (t), (2.13) b(t) + 0 a(t) b(t) + 0 a(t) hn (I + 0 Sn ) (t) = [b(t) + 0 a(t)] a(t) 0 b(t) 0 b(t) J (even) (t), + (Sn )(t) + (2.14) b(t) + 0 a(t) n b(t) + 0 a(t) a(t) 0 b(t) 0 b(t) h (I 0 S) (t) = [b(t) + 0 a(t)] (S)(t) + (J) (t), (2.15) b(t) + 0 a(t) b(t) + 0 a(t) h (I 0 Sn ) (t) = [b(t) + 0 a(t)] n a(t) 0 b(t) 0 b(t) J (even) (t), (Sn )(t) + (2.16) b(t) + 0 a(t) n b(t) + 0 a(t) где (h ) (t) = a(t)(t) b(t)(S)(t), (h ) (t) = a(t)(t) b(t)(Sn )(t).

n Так как операторы h, h и (I ± 0 S) обратимы, то из (2.13) и (2.15) следует, что операторы a 0 b 0 b ±S+ J b + 0 a b + 0 a также обратимы. Тогда к оператору a 0 b 0 b +S+ J b + 0 a b + 0 a применим приближенный метод по системе операторов a 0 b 0 b J (even).

+ Sn + b + 0 a n b + 0 a s А из соотношений (2.14) и (2.16) следует, что операторы hn также обратимы и h1 h1.

n В случае полного СИО имеют место соотношения H = aI + bS + K = (aI + bS) I + (aI + bS)1 K, (2.17) Hn = aI + bSn + Kn = (aI + bSn ) I + (aI + bSn )1 Kn. (2.18) Из (2.17) получаем, что оператор I +(aI +bS)1 K обратим. Значит, согласно лемме 2 к это му оператору применим приближенный метод по системе операторов I + (aI + bSn )1 Kn.

1 s Тогда из (2.18) следует, что операторы Hn также обратимы и Hn H 1.

Оценка (2.9) имеет место в силу [15, замечание 2.1 гл. 2 ] и теорем 2, 3. Теорема 4 доказана.

Авторы выражают благодарность Н.А. Ильясову за полезные обсуждения и замечания.

Конструктивный метод решения сингулярных интегральных уравнений СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 513 с.

2. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

3. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: Янус, 1995. 520 с.

4. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М., 1977. 312 с.

5. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наук. думка, 1968. 287 с.

6. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Из-во Казан.

ун-та. 1980. 231 с.

7. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных урав нениях. М.: Наука, 1985. 256 с.

8. Афендикова Н.Г., Лифанов И.К., Матвеев А.Ф. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 8. C. 1392–1402.

9. Шешко М.А. Прямой метод решения сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильбер та // Докл. АН БССР. 1987. Т. 31, № 12. C. 1077–1080.

10. Бабаев А.А., Мусаев Б.И. Приближенное решение полного линейного сингулярного интеграль ного уравнения с ядром Гильберта // Мат. заметки. 1987. Т. 41, № 5. C. 693-709.

11. Габдулхаев Б.Г. Проекционные методы решения сингулярных интегральных уравнений // Изв.

вузов. Математика. 2004. № 7. C. 12–24.

12. Ермолаева Л.Б. Решение сингулярных интегральных уравнений методом оcциллирующих функ ций // Изв. вузов. Математика. 2009. № 12. C. 28–35.

13. Алиев Р.А. Новый конструктивный метод решения сингулярных интегральных уравнений // Мат. заметки. 2006. Т. 79, вып. 6. C. 803–824.

14. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.I. M.: Мир, 1965. 615 с.

15. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.:

Наука, 1971. 352 с.

16. Хатсон В., Пим Дж. Приложение функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983. 432 с.

Алиев Рашид Авязага Поступила 17.05. канд. физ.-мат. наук, доцент Бакинский государственный университет, e-mail: aliyevrashid@hotmail.ru Амрахова Айнур Физули аспирант Бакинский государственный университет 1919-bdy@mail.ru ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН Том 18 № 4 УДК 517. О ПОРЯДКЕ РОСТА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ДВОЙНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ СУММ ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССОВ (L) Н. Ю. Антонов Получены оценки порядка роста произвольных последовательностей прямоугольных частичных сумм двойных тригонометрических рядов Фурье функций из классов (L), промежуточных между L log+ L[0,2) и L(log+ L)2.

[0,2) Ключевые слова: кратные тригонометрические ряды Фурье, оценки порядка роста.


N. Yu. Antonov. On the growth order of sequences of double rectangular Fourier sums for functions from the classes (L).

We obtain estimates for the growth order of arbitrary sequences of rectangular partial sums of double trigonometric Fourier series for functions from the classes (L), which are intermediate between L log+ L[0,2) and L(log+ L)2.

[0,2) Keywords: multiple trigonometric Fourier series, growth order estimates.

Пусть d {1, 2}, Td = [, )d d-мерный тор, : [0, +) [0, +) неубывающая функция. Обозначим через (L)(Td ) множество всех определенных на Td измеримых по Лебегу вещественнозначных функций f, удовлетворяющих условию (|f (t)|)dt.

Td Для f L(T) через Sn (f, x) будем обозначать значение n-й частичной суммы (одномерного) тригонометрического ряда Фурье функции f в точке x T.

Пусть f L(T2 ), Z2 целочисленная решетка в R2, (k, l) Z2, (x, y) T2, a(k,l) ei(kx+ly) (1) (k,l)Z двойной тригонометрический ряд Фурье функции f. Пусть (m, n) двумерный вектор с неотрицательными целочисленными координатами. Обозначим через Sm,n (f, x, y) значение (m, n)-й прямоугольной частичной суммы ряда (1) в точке (x, y) T2 :

a(k,l) ei(kx+ly).

Sm,n (f, x, y) = (k,l) : |k| m, |l| n Будем обозначать через log u логарифм по основанию 2: log u = log2 u;

log+ u = log u при u и log+ u = 1 при 0 u 2.

Работа выполнена в рамках программы фундаментальных исследований Отделения математиче ских наук РАН “Современные проблемы теоретической математики” при финансовой поддержке УрО РАН (проект 12-Т-1-1003/5), а также при поддержке РФФИ (проект 11-01-00347) и Министерства об разования и науки РФ в рамках государственного задания вузам на проведение фундаментальных и прикладных исследований (проект 1.1544.2011).

О порядке роста последовательностей сумм Фурье В случае d = 1 хорошо известно [1], что для произвольной функции f L(T) для почти всех x T справедлива оценка (2) Sn (f, x) = o(log n).

К. И. Осколков [2] обобщил соотношение (2) на случай произвольной подпоследовательности последовательности сумм Фурье: для любой последовательности натуральных чисел {nk }k= и любой функции f L(T) Snk (f, x) = o(log k) п.в. (3) В случае d = 2 Г. А. Карагулян [3] получил следующий аналог оценки (3): для любых после довательностей натуральных чисел {mk }, {nk } и для каждой функции f L log+ L(T2 ) k=1 k= Smk,nk (f, x, y) = o(log2 k) п.в. (4) В работе [4] автором показано, что если f L(log+ L)2 (T2 ), то справедлив аналог оценки (4) с log k вместо log2 k в правой части.

В настоящей работе получена оценка скорости роста произвольных последовательностей двойных прямоугольных сумм Фурье функций из классов (L), промежуточных между клас сами L log+ L(T2 ) и L(log+ L)2 (T2 ). Доказана следующая Теорема. Пусть {mk }, {nk } произвольные последовательности натуральных k=1 k= чисел. Предположим, что функция : [0, +) (0, +) такая, что 1) (u) не убывает на [0, +);

2) функция log u/(u) не убывает на [u0, +) для некоторого u0 2.

Тогда для любой функции f из класса L(log+ L)(L)(T2 ) справедлива оценка log2 k п.в.

Smk,nk (f, x, y) = o (k) Для доказательства теоремы нам понадобятся следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть функция : [0, +) (0, +) удовлетворяет условиям 1) и 2) тео ремы, {nk } произвольная последовательность натуральных чисел. Тогда существуют k= константы C 0 и A max{4, u0 } такие, что для характеристической функции F про извольного измеримого множества F T и для любого z из интервала (0, 1/A) справедливо неравенство (k) 1 mes x T : sup |Snk (F, x)| mesF. (5) z C log k z z kA Сформулированное утверждение является обобщением леммы 1.4 из нашей работы [5].

Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 1. Из оценки (3) и одной теоремы Стейна [6, теорема 1] о пределе последовательностей операторов следует неравенство |Snk (f, x)| C mes x T : sup y |f (t)|dt, log k y k T где y 0, f L(T), C1 константа. Это неравенство при f (x) = F (x) принимает вид |Snk (F, x)| C mes x T : sup mesF, (6) y y 0.

log k y k Воспользуемся также следующей оценкой П.Шелина [7]: для характеристической функции F произвольного измеримого множества F T и любого 0 y 1/ 1 mes x T : sup |Sn (F, x)| y mesF.

C2 log y y n 28 Н. Ю. Антонов Отсюда сразу вытекает оценка 1 mes x T : sup |Snk (F, x)| y mesF, (7) C2 log 0 y 1/2.

y y k Если функция (u) ограничена на [0, +), то из неравенства (6) следует неравенство (5), т. е. утверждение леммы в данном случае имеет место. Если функция log u/(u) ограничена на [2, +), то неравенство (5) следует из неравенства (7), т. е. в этом случае утверждение леммы также имеет место.

Рассмотрим теперь случай, когда функции (u) и log u/(u) неограничены. Возьмем число max{4, u0 } таким большим, чтобы (A) 4 и log A/(A) 1. Заметим, что в силу A условия 2) теоремы для 0 z 1/A log log A z (8) 1.

1 (A) z Далее для произвольных фиксированных F T и z (0, 1/A) имеем (k) x T : sup |Snk (F, x)| z log k kA (k) (k) x T: max |Snk (F, x)| z x T : sup |Snk (F, x)| z, log k log k A k 1/z k 1/z откуда (k) (k) mes x T : sup |Snk (F, x)| z mes x T : max |Snk (F, x)| z log k log k A k 1/z kA 1 1 1 mesF mesF z z z z (k) mes x T : sup |Snk (F, x)| z log k k 1/z (9) +.

1 mesF z z Оценим каждое из слагаемых в правой части (9).

1. Пусть точка x T такая, что (k) max |Snk (F, x)| z.

log k A k 1/z Тогда, учитывая условие 1) теоремы, имеем |Snk (F, x)| |Snk (F, x)| |Snk (F, x)| (k) z sup max max, 1 log k log k log k A k 1/z A k 1/z k2 z z откуда (k) |Snk (F, x)| z x T: max |Snk (F, x)| z x T : sup.

log k log k A k 1/z k2 z О порядке роста последовательностей сумм Фурье Используя последнее вложение и (6) при y = z/(1/z), получаем |Snk (F, x)| (k) mes x T : sup y mes x T : max |Snk (F, x)| z log k log k A k 1/z k C1.

1 1 mesF mesF z z y (10) 2. Пусть точка x T такая, что (k) sup |Snk (F, x)| z.

log k k 1/z Тогда, учитывая условие 2) теоремы, имеем 1 (k) log z z log z.

sup |Snk (F, x)| sup |Snk (F, x)| 1 log k k1 k 1/z z z Отсюда z log (k) z x T : sup |Snk (F, x)| z x T : sup |Snk (F, x)|.

log k k k 1/z z Используя это вложение, обозначив y = z log(1/z)/(1/z), получаем (k) mes x T : sup mes x T : sup |Snk (F, x)| y. (11) |Snk (F, x)| z log k k k 1/z Далее 1 1 1 mesF = log mesF. (12) z z y z В силу (8) log z y=z z, z поэтому log(1/z) log(1/y). Отсюда и из (12) получаем 1 1 1 mesF mesF. (13) log z z y y Так как 0 z 1/A 1/4, то (1/z) 4, откуда y = z log(1/z)/(1/z) (A) z log(1/z)/4 1/2;

таким образом, y (0, 1/2) и значит к рассматриваемому y можно при менить оценку (7). Используя неравенства (11) и (13), а затем (7), заключаем (k) mes x T : sup |Snk (F, x)| z mes x T : sup |Snk (F, x)| y log k k 1/z k (14) C2.

1 1 1 mesF mesF log z z y y Объединяя (9), (10) и (14), убеждаемся в справедливости леммы при C = C1 + C2. Лемма доказана.

30 Н. Ю. Антонов Лемма 2. Пусть непрерывная функция : [0, +) (0, +) удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы, функция f принадлежит классу L(log+ L)(L)(T), {nk } произвольная k= последовательность натуральных чисел, константа A из формулировки леммы 1. Тогда мажоранта |Snk (f, x)|(k) sup log k kA интегрируема и |Snk (f, x)|(k) |f (x)| log+ |f (x)| (|f (x)|) dx + K, sup dx K log k k A T T где K = K() 0 некоторая константа, зависящая только от.

Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 2. Пусть N натуральное число. Обозначим для A краткости |Snk (f, x)|(k) M (f, x) = MN, (f, x) = max.

log k AkN Для того чтобы доказать лемму, в силу теоремы Фату достаточно доказать справедливость неравенства |f (x)| log+ |f (x)| (|f (x)|) dx + K, (15) M (f, x)dx K T T где константа K = K() 0 не зависит от N.

Выберем натуральное число j0 так, чтобы 2j0 1 A. Без ограничения общности можно полагать, что f (x) 2j0 1 для всех x T, так как в противном случае можно воспользоваться представлением |f (x)| + f (x) |f (x)| f (x) + 2j0 1 + 2j0 1, f (x) = 2 в котором каждая из функций, стоящих в скобках в правой части, удовлетворяет требуемому условию. Пусть j N, j j0. Положим 2j1 f (x) 2j, f (x), fj (x) = f (x) [2j1, 2j ).

0, / Ясно, что f (x) = 0 fj (x). Для каждой функции fj найдется (см., например, [5, лемма 1]) j=j множество Fj, содержащееся в носителе функции fj и такое, что fj (x)dx = 2j mesFj (16) T и 2j M (Fj, x) + M (fj, x), x T.

2j Из последнего неравенства, положив Ej = x T : M (Fj, x) 4j+1, 4j+1, Hj = x T : M (Fj, x) имеем 2j M (Fj, x) + M (f, x)dx M (fj, x)dx dx 2j j=j0 T j=j0 T T О порядке роста последовательностей сумм Фурье j 2j (17) + 2 M (Fj, x)dx + M (Fj, x)dx.

j=j0 j=j Hj Ej В силу определения множеств Hj 2j 2j 4j+1 mesHj 22j (18) M (Fj, x)dx 2 2.

j=j0 j=j0 j=j Hj Оценим вторую сумму в правой части (17). Обозначим µj (y) = mes x T : M (Fj, x) y.

Согласно оценке (5), для 0 y 1/A и j j C mesFj. (19) µj (y) y y В случае, когда y 1/A, можно воспользоваться оценкой (см. [8, основной результат]) C mesFj. (20) µj (y) y Из (19), (20) и равенства M (Fj, x)dx = y dµj (y) = y µj (y) + µj (y) dy 4j+ Ej 4j+1 4j+ имеем 1/A j mesFj + M (Fj, x)dx C 4 µj (y) dy + µj (y) dy Ej 1/A 4j+ 1/A 1 1 C 4j1 mesFj + C mesFj dy + C mesFj dy y y y 1/A 4j+ C log 4j1 4j1 mesFj = 2C log 2j1 4j1 mesFj, (21) где C = C 1 + (log e)1 + A. Из условия 2) теоремы следует, что log 4j1 2j 4j1 = 2 2j1. (22) log (2j1 ) Используя (21), (22), (16) и определение функции fj, имеем 2j 2j log 2j1 2j1 mesFj M (Fj, x)dx 4C j=j0 j=j Ej fj (x) log 2j1 2j1 dx = 4C j=j0 T (23) 4C fj (x) log (fj (x)) (fj (x)) dx = 4C f (x) log (f (x)) (f (x)) dx.

j=j0 T T Объединяя (17), (18) и (23), получаем (15) с константой K = max{4C, 3}. Лемма 2 доказана.

32 Н. Ю. Антонов Лемма А [2, доказательство теоремы 1]. Пусть g L(T), {gk } последовательность k= измеримых на периоде T функций таких, что |gk (x)| |g(x)|, 1 ux gk (x) = ctg gk (u)du, k N, 2 T функции, тригонометрически сопряженные к функциям gk. Тогда функция |gk (x)| G(x) = G({gk }, x) = sup log k k конечна для почти всех x T.

Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы.


Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы. Пусть f L(log+ L)(L)(T2 ). Обозначим через Dk (t) ядро Дирихле sin k + t 2.

Dk (t) = t 2 sin Для произвольных m, n N, x, y T имеем Sm,n (f, x, y) = Dm (u x)Dn (v y)f (u, v)du dv TT sin m + (u x) 1 = Dn (v y)f (u, v)dv du.

ux 2 sin T T Отсюда, используя тригонометрическое тождество sin m + (u x) 1 ux 2 = ctg (sin mu cos mx cos mu sin mx) + cos m(u x), ux 2 2 2 sin получаем 1 ux Sm,n (f, x, y) = cos mx · ctg sin mu Dn (v y)f (u, v)dv du 2 2 T T 1 ux sin mx · ctg cos mu Dn (v y)f (u, v)dv du 2 2 T T 1 + cos m(u x) Dn (v y)f (u, v)dv du 2 T T 1 ux = cos mx · ctg sin mu Sn (f (u, ·), y)du 2 T 1 ux (24) sin mx · ctg cos mu Sn (f (u, ·), y)du + cos m(u x) Sn (f (u, ·), y)du, 2 2 T T О порядке роста последовательностей сумм Фурье где внешние интегралы понимаются в смысле главного значения, т. е. как предел при интеграла по множеству T\(x, x + ), а Sn (f (u, ·), y) есть значение в точке y n-й частич ной суммы (однократного) ряда Фурье функции f (u, ·) как функции одного переменного при фиксированном u.

Пусть {mk }, {nk } произвольные последовательности натуральных чисел. Из (24) k=1 k= для произвольной точки (x, y) T2 следует, что для A из леммы 1 ux ctg sin mk u Snk (f (u, ·), y)du (k) 2 |Smk,nk (f, x, y)|(k) T sup sup log2 k log2 k k A kA 1 ux ctg cos mk u Snk (f (u, ·), y)du (k) |Snk (f (u, ·), y)|du (k) 2 2 T T. (25) + sup + sup log2 k log2 k kA kA Покажем, что каждое из трех слагаемых в правой части (25) конечно для почти всех (x, y) T2.

Рассмотрим первое слагаемое. Представим его в виде 1 u x sin mk u Snk (f (u, ·), y) (k) ctg du 2 2 log k T sup.

log k kA Обозначим sin mk u Snk (f (u, ·), y) (k) Snk (f (u, ·), y) (k) Fk (u, y) =, F (u, y) = sup.

log k log k kA Зафиксируем u T. Используя лемму 2, имеем Snk (f (u, ·), y) (k) |f (u, y)| log+ |f (u, y)| (|f (u, y)|)dy + K.

F (u, y)dy = sup dy K log k kA T T T (26) Проинтегрируем (26) по u T. Получим |f (u, y)| log+ |f (u, y)| (|f (u, y)|)dy du + 2K. (27) F (u, y)dy du K T2 T Согласно условиям нашей теоремы правая часть (27) конечна. Отсюда, используя теорему Фубини, получаем, что для почти всех y T (28) F (u, y)du +.

T Зафиксируем точку y T, удовлетворяющую условию (28). Применяя лемму А к функциям gk = Fk (·, y), k A, и g = F (·, y), получаем 1 ux ctg sin mk u Snk (f (u, ·), y)du (k) 2 |Fk (x, y)| T п.в.

G({Fk (·, y)}, x) = sup = sup log2 k log k k A kA Отсюда, учитывая, что (28) выполняется для почти всех y T, заключаем, что первое слага емое в правой части (25) конечно для почти всех (x, y) T2. Конечность почти всюду второго слагаемого в правой части (25) доказывается аналогично.

34 Н. Ю. Антонов Рассмотрим третье слагаемое. Используя неравенство |Snk (f (u, ·), y)|du (k) 1 Snk (f (u, ·), y) (k) T sup sup du 2 log k log k kA kA T и (28), получаем, что при почти всех y независимо от x третье слагаемое в правой части (25) конечно почти всюду.

Таким образом, все три слагаемые в правой части (25) конечны почти всюду. Следователь но, левая часть (25) также конечна при почти всех (x, y) T2, или log2 k п.в. (29) Smk,nk (f, x, y) = O (k) Нам осталось показать, что O-большое в последней оценке можно заменить на o-малое.

В случае, когда функция log u/(u) ограничена, классы L(log+ L)(L)(T2 ) и L(log+ L)2 (T2 ) совпадают, и этот случай был рассмотрен нами ранее [4, с. 35–36]. А если функция log u/(u) неограничена, то в силу условия 2) теоремы (u) = o(log u) при u. В этом случае для каждой функции f L(log+ L)(L)(T2 ) найдется удовлетворяющая условиям 1) и 2) теоремы функция : [0, +) (0, +) такая, что (u) = o(log u) при u +, (u) = o (u) при + 2 ). Тогда, применяя (29) к функциям f и, получим u + и f L(log L)(L)(T log2 k log2 k п.в.

Smk,nk (f, x, y) = O =o (k) (k) Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Hardy G.H. On the summability of Fourier series // Proc. London Math. Soc. 1913. Vol. 12. P. 365–372.

2. Осколков К.И. Подпоследовательности сумм Фурье интегрируемых функций // Тр. МИАН.

1985. Т. 167. С. 239–260.

3. Карагулян Г.А. Преобразование Гильберта и экспоненциальные интегральные оценки прямо угольных частичных сумм двойных рядов Фурье // Мат. сб. 1996. Т. 187, № 3. С. 55–74.

4. Антонов Н.Ю. О скорости роста произвольных последовательностей двойных прямоугольных сумм Фурье // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 4. С. 31–37.

5. Antonov N.Yu. Conditions for the niteness of majorants for sequences of operators and convergence of Fourier series // Proc. Steklov Inst. Math. 2001. Suppl. 1. P. S1–S19.

6. Stein E.M. On limits of sequences of operators // Ann. Math. 1961. Vol. 74, no. 1. P. 140–170.

7. Sjlin P. An inequality of Paley and convergence a.e. of Walsh-Fourier series // Arkiv fr Mat. 1969.

o o Vol. 7. P.551–570.

8. Hunt R.A. On the convergence of Fourier series // Orthogonal Еxpansions and their Сontinuous Analogues: Proc. Conf. Carbondale: SIU Press, 1968. P. 235–255.

Антонов Николай Юрьевич Поступила 05.07. д-р физ.-мат. наук ведущий науч. сотрудник Институт математики и механики УрО РАН Институт математики и компьютерных наук Уральского федерального университета e-mail: Nikolai.Antonov@imm.uran.ru ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН Том 18 № 4 УДК 517.518+517. О ПРИБЛИЖЕНИИ ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫМИ ОГРАНИЧЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ НА КЛАССЕ ДВАЖДЫ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ L2 (0, ) В. В. Арестов, М. А. Филатова В работе приведена оценка сверху, близкая к оценке снизу, величины наилучшего приближения опера тора дифференцирования (первого порядка) линейными ограниченными операторами на классе дважды дифференцируемых функций в пространстве L2 (0, ), улучшающая известные ранее оценки. Для обос нования оценки сверху рассмотрено конкретное семейство операторов;

в этом семействе выбран оператор, дающий наименьшую оценку величины наилучшего приближения.

Ключевые слова: задача Стечкина, оператор дифференцирования, полуось.

V. V. Arestov, M. A. Filatova. On the approximation of the dierentiation operator by linear bounded operators on the class of twice dierentiable functions in the space L2 (0, ).

We give an upper bound for the error of the best approximation of the (rst-order) dierentiation operator by linear bounded operators on the class of twice dierentiable functions in the space L2 (0, ). This upper bound is close to a known lower bound and improves the previous upper bounds. To prove the upper estimate, we consider a specic family of operators;

in this family, we choose an operator that provides the least bound for the error of the best approximation.

Keywords: Stechkin’s problem, dierential operator, half-line.

1. Постановка и обсуждение задачи. В данной работе рассматривается задача о наи лучшем приближении оператора дифференцирования (первого порядка) линейными огра ниченными операторами на классе дважды дифференцируемых функций в пространстве L2 = L2 (0, ) вещественнозначных, измеримых на полуоси (0, ) функций f, квадрат ко торых суммируем, наделенном нормой 1/ f=f = |f (t)| dt.

L2 (0,) 2 Пусть W2 = W2 (0, ) есть пространство функций f L2 (0, ), определенных, непрерыв но дифференцируемых на [0, ), производная f которых локально абсолютно непрерывна на полуоси [0, ), а вторая производная принадлежит пространству L2 (0, ). Обозначим че рез Q2 = Q2 (0, ) класс функций f W2 (0, ), обладающих свойством f 1. Пусть, 2 далее, B = B2 (0, ) есть множество линейных ограниченных операторов в пространстве L2 (0, ), а B(N ) множество операторов S B, норма которых ограничена числом N 0:

S L2 L2 N. Для оператора S B величина f Sf : f Q2 (0, ) (1) U (S) = sup является уклонением оператора S от оператора дифференцирования на классе Q2 в простран стве L2 (0, ). Задача состоит в исследовании величины (2) E(N ) = inf {U (S) : S B(N )} Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 11-01-00462) и Министерства образования и на уки РФ в рамках государственного задания вузам на проведение фундаментальных и прикладных исследований (проект 1.1544.2011).

36 В. В. Арестов, М. А. Филатова наилучшего приближения в пространстве L2 (0, ) на классе Q2 оператора дифференциро вания множеством B(N ) линейных ограниченных операторов, нормы которых ограничены числом N 0.

Задача (2) является частным случаем более общей задачи о наилучшем приближении неограниченного линейного оператора линейными ограниченными операторами на некото ром классе элементов, возникшей в работе С. Б. Стечкина [1] в 1967 г. Задаче Стечкина к настоящему времени посвящено большое число исследований, см. обзорные работы [2;

3] и монографию [4]. Наиболее полно она изучена для оператора дифференцирования порядка k на классе n раз дифференцируемых функций в пространствах Ls (I), 1 s, на чис ловой оси I = (;

) и полуоси I = [0, ) при 0 k n. Опишем эту задачу более n n точно. Предположим, что 1 r, q, p. Для n 1 обозначим через Wr,p = Wr,p (I) про странство функций f Lr (I), которые (n 1) раз непрерывно дифференцируемы на I, более того, производная f (n1) порядка (n 1) локально абсолютно непрерывна на I, а производ ная f (n) порядка n принадлежит пространству Lp (I). Во множестве Wr,p (I) выделим класс n Qn = Qn (I) = {f Wr,p : f (n) Lp (I) 1}. Для линейного ограниченного оператора S из n r,p r,p Lr (I) в Lq (I) величина f (k) Sf : f Qn U (S) = sup r,p Lq (I) является уклонением оператора S от оператора дифференцирования порядка k на классе Qn.

r,p Задача состоит в исследовании величины (3) E(N ) = E(N ;

k, n;

r, q, p;

I) = inf {U (S) : S N} Lr (I)Lq (I) наилучшего приближения в пространстве Lq (I) на классе Qn оператора дифференцирова r,p ния f (k) множеством линейных ограниченных операторов из Lr (I) в Lq (I), нормы которых ограничены числом N 0. Из соображений однородности легко получить [1] зависимость ве личины (3) от N, а именно если выполнено условие k + 1/r 1/q 0 (которое исключает лишь некоторые вырожденные значения параметров), то n k + 1/q 1/p E(N ) = N E(1), (4) =.

k + 1/r 1/q Эту задачу изучали С. Б. Стечкин, Ю. Н. Субботин, Л. В. Тайков, В. Н. Габушин, В. И. Берды шев, А. П. Буслаев, В. В. Арестов и др. К настоящему времени известно решение задачи (3) в ряде конкретных случаев, выяснены некоторые общие свойства задачи и экстремального опе ратора, найдена ее связь с другими экстремальными задачами теории функций и операторов.

Описание полученных здесь результатов и библиографию можно найти в [2–4].

Как заметил С. Б. Стечкин [1], задача (3) связана с точными мультипликативными нера венствами между нормами производных дифференцируемых функций (неравенствами Кол могорова) f (k) Lq K f p f (n) r, n (5) f Wp,r (I), L L n k 1/r + 1/q (6) =, = 1.

n 1/r + 1/p Неравенства (5) впервые появились в работе Г. Г. Харди и Дж. Е. Литтльвуда 1912 г. [5];

они показали, что в равномерной норме на оси (т. е. в C(, )) при всех k, n (1 k n) имеет место неравенство (5) с некоторой конечной константой. Первые точные неравенства были получены Ландау [6] и Адамаром [7] при n = 2. А. Н. Колмогоров [8] в 1939 г. нашел точную константу в неравенстве (5) при p = q = r = (в равномерной норме) на оси S = (, ) для всех k, n (1 k n);

в связи с этим результатом неравенства (5) часто называют неравен ствами Колмогорова. С.-Надь [9] получил неравенство (5) с наилучшей константой в случае О прибижении оператора дифференцирования в L2 (0, ) n = 1, p 1, q r 0. Достаточно полный обзор результатов, относящихся к неравенству (5), можно найти в [2–4]. Как показал В. Н. Габушин, неравенство (5) с конечной константой имеет место в том случае, если [10] nk k n (7) +, p r q величина же (3) конечна в том и только том случае, если [11] (другое доказательство см. в [12]) (8) q r, q p;

отметим, что условие (8) является более ограничительным в сравнении с (7). Будем считать, что K есть наилучшая (наименьшая возможная) константа в (5). Следующее утверждение является конкретизацией более общего утверждения С. Б. Стечкина [1] (см. детали в [2, § 4, формула (4.6)]).

Лемма 1. Если k + 1/r 1/q 0, то величина E(N ) и наилучшая константа K в (5), (6) связаны неравенством (9) E(N ) K N, N 0.

В большинстве случаев точного решения задачи (3) использовалась следующая схема.

Неравенство (9) дает оценку снизу величины E(N ) через наилучшую константу в неравен n стве (5), оценку снизу которой, в свою очередь, дает конкретная функция f Wp,r (I). Оценку сверху величины (3) доставляет конкретный оператор S : E( S ) U (S ). Если функция f и оператор S подобраны так, что оценки сверху и снизу совпали, то получаем решение зада чи (3), а также значение наилучшей константы K в неравенстве (5), если она не была известна ранее. При этом f будет экстремальной функцией в неравенстве (5), а S экстремальным оператором в задаче (3). Методов построения экстремальной функции f в неравенстве (5) и, тем более, экстремального оператора S в задаче (3) нет. Ситуация усугубляется еще и тем, что неравенство (9) может быть строгим, даже если E(N ) и K конечны [12;

13]. В том слу чае, когда неравенство (9) обращается в равенство, говорят, что задача (3) и неравенство (5) согласованы.

Ю. Н. Субботин и Л. В. Тайков [14] решили задачу (3) в пространстве L2 (I) на числовой оси I = (, +) для произвольных k и n, 0 k n. Соответствующее точное неравенство (5) было известно ранее [15]. В этом случае задача Стечкина (3) и неравенство (5) оказались согласованными. В пространстве L2 (0, ) на полуоси даже в случае k = 1, n = 2 точное решение задачи (3), т. е. решение задачи (2), неизвестно.

Г. Г. Харди, Дж. Е. Литтльвуд и Г. Полиа [15, гл. VII, § 7.8] доказали, что на множестве W2 (0, ) имеет место точное неравенство 2 f 2 f · f, (10) f W2 (0, ).

Этот результат породил ряд глубоких исследований;

отметим работы Като [16], Эверитта с коллегами (см. работу [17] и приведенную в ней библиографию), Квонга, Зеттла [18], Н. П. Куп цова [19], А. П. Буслаева [20] и др. Обзоры результатов, относящихся к неравенству (5) и близ ким проблемам, имеются в [18] и [2].

Задачу (2) изучали А. Л. Рублев [21], Е. Е. Бердышева [22] и авторы данной статьи [23].

Поскольку неравенство (10) является точным, то в силу (9) для величины (2) имеет место оценка снизу (11) E(N ).

2N В работах [21–23] были построены конкретные операторы, с помощью которых получены оцен ки сверху величины E(N ), достаточно близкие к оценке снизу (11). А. Л. Рублев [21] показал, что 1 1 = = 0.62996.... (12) E(N ), N 38 В. В. Арестов, М. А. Филатова Этот результат был им получен с помощью конкретного оператора S, построенного следующим образом. Для функции f L2 (0, ) на полуоси [0, ) рассматривается дифференциальная задача y + y = f, (13) y (0) = 0. (14) y L2 (0, ), Оператор S определяется формулой Sf = y. (15) Е. Е. Бердышева [22] усилила оценку (12), доказав, что 2 2 = = 0.577350.... (16) E(N ), N Для обоснования оценки (16) Е. Е. Бердышева воспользовалась следующим оператором B : L2 L2. Для функций f L2 (0, ) рассматривается задача y (4) + y = f, (17) y (0) = y (0) = 0. (18) y L2 [0, ), Оператор B определяется формулой Bf = y, где y есть решение задачи (17)–(18). На протя жении 15 лет оценка (16) Е. Е. Бердышевой оставалась лучшей. Существовала гипотеза, что, возможно, в (16) имеет место равенство. Однако недавно авторы данной работы уточнили результат Е. Е. Бердышевой. А именно было доказано [23], что справедливо неравенство 3 E(N ), 3 = = 0.571428....

N Этот результат обоснован с помощью конкретного оператора F, построенного следующим об разом. Для функции f L2 (0, ) рассматривается задача y (4) 2y + y = f, (19) y (0) = y (0) = 0. (20) y L2 (0, ), Оператор F определяется равенством F f = y y, (21) f L2 (0, ).

В данной работе приводится оценка сверху величины наилучшего приближения, улучша ющая предшествующие оценки, а именно будет доказано следующее утверждение.

Теорема. Величина наилучшего приближения в задаче (2) удовлетворяет неравенству (22) E(N ), = = 0.529133....

N Доказательство теоремы осуществляется с помощью следующим образом построенного оператора. Для функции f L2 (0, ) рассматривается задача y ay ay + y = f, (23) a 0, (24) y L2 (0, ), y (0) = 0. (25) Нетрудно убедиться (см. лемму 2 ниже), что для любой функции f L2 (0, ) эта задача имеет единственное решение y L2 (0, ). Аппроксимирующий оператор Ta определяется равенством Ta f = y ay, (26) f L2 (0, ).

О прибижении оператора дифференцирования в L2 (0, ) Отметим, что при a = 0 оператор (26) есть оператор А. Л. Рублева (13)–(15).

Ниже в лемме 5 будет доказано, что при значении 1 a = a = (2 4 + 2 2) = 0.4869446307662544228541243771...

3 (27) параметра a оператор (26) дает оценку (22). В дальнейшем символом T будет обозначен оператор (23)–(26) со значением (27) параметра a.

Конструкция всех четырех аппроксимирующих операторов основана на идее, содержащей ся в одном из доказательств неравенства (10) в монографии [15, гл. VII, § 7.8].

2. Исследование оператора (23)–(26). В двух последующих разделах изучаются свой ства оператора Ta в пространстве L2 (0, ). В частности, доказано, что при значении (27) параметра a этот оператор ограничен, вычисляются его норма и величина уклонения (1). Для обоснования применяются методы Г. Г. Харди, Дж. Е. Литтльвуда, Г. Полиа [15, гл. VII, § 7.8], которые в дальнейшем развивались А. П. Буслаевым [20]. В работах [21–23] применялись те n n же соображения. В этом разделе будет использоваться обозначение W2 = W2,2 [0, ).

Лемма 2. При a 0 для любой функции f L2 (0, ) задача (23)–(25) имеет в L2 (0, ) единственное решение y и формулой (26) определен линейный оператор в пространстве L2 (0, ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Общее решение уравнения (23) есть сумма общего решения со ответствующего однородного уравнения y ay ay + y = 0 (28) и частного решения неоднородного уравнения (23).

Найдем сначала общее решение однородного уравнения (28), принадлежащее L2 (0, ). Для уравнения (28) составим характеристическое уравнение u3 au2 au + 1 = 0. (29) Уравнение (29) имеет следующие корни:

1 a2 + 2a 3, a2 + 2a 3.

u1 = 1, u2 = a+1+ u3 = a+ 2 Для положительных значений параметра a корни u2, u3 имеют положительные веществен ные части, поэтому этим корням в фундаментальной системе решений однородного уравне ния (29) отвечают функции, не принадлежащие классу L2 (0, ). Следовательно, решением однородного уравнения (28), принадлежащим L2 (0, ), будет функция y(x) = Cex, где C произвольная вещественная константа.

Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения (23) в классе W2. Для этого продолжим f на всю числовую ось, положив f (x) = 0, x 0, и применим оператор Фурье (см. детали, например, в [24, гл. 1]) g(x)e2itx dx g (t) = к уравнению (23) уже на всей числовой прямой. Получим для y уравнение (2it)3 y(t) a(2it)2 y (t) a(2it)(t) + y (t) = f (t), y из которого найдем f (t) y (t) =.

1 2ait + 4a 2 t2 8 3 it 40 В. В. Арестов, М. А. Филатова Знаменатель этого выражения есть многочлен, не обращающийся в ноль на вещественной оси, поэтому функция y принадлежит пространству L2 (, ). Следовательно, функция f (t) e2ixt dt yp (x) = 1 2ait + 4a 2 t2 8 3 it также принадлежит пространству L2 (, ) и является частным решением неоднородного уравнения (23). Функция f вещественнозначная и коэффициенты уравнения (23) веществен ные, поэтому вещественная часть yp,r = Re (yp ) функции yp является частным решением урав нения (23).

Итак, решение задачи (23), (24) имеет вид y(x) = Cex + yp,r (x).

Граничные условия (25), очевидно, можно удовлетворить за счет выбора константы C. Итак, доказано, что задача (23)–(25) имеет единственное решение. Очевидно, оператор Ta, опреде ленный формулой (26), является линейным. Лемма 2 доказана.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 11 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.