авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 |

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ Том 18, № 4 ...»

-- [ Страница 10 ] --

We consider issues related to the solution of abstract attainability problems in topological spaces under constrains of asymptotic nature. The substantial part of the research is concerned with studying the properties of tier mappings (which are limits of step mappings) with values in a complete metric space and of mappings with tier components.

Keywords: constrains of asymptotic nature, ultralter, tier mapping.

1. Введение В дальнейшем используются следующие сокращения: БФ база фильтра, ИП измери мое пространство, МП множество притяжения, п/м подмножество, ТП топологическое пространство, у/ф ультрафильтр.

Рассматривается абстрактная задача о достижимости в ТП при наличии ограничений асимптотического характера. Эти ограничения могут задаваться изначально в виде условий на выбор варианта асимптотического поведения, задаваемого в простейшем случае посредством последовательности в пространстве обычных решений, но могут возникать и при ослаблении тех или иных стандартных ограничений, определяющих в упомянутом пространстве множе ство допустимых элементов. В последнем случае (в рамках секвенциального подхода) реализу ются конструкции, подобные в идейном отношении построениям [1, гл. III] для задач управле ния и [2;

3] для задач математического программирования (в дальнейшем будем опираться на аналогии с [1]). Так или иначе мы сталкиваемся не с одним множеством допустимых элемен тов, а с непустым семейством множеств, выступающим в роли своеобразных “асимптотических ограничений”. В случае, когда ослабляются стандартные ограничения, данное семейство состо ит из множеств допустимых элементов для ограничений, ослабленных в той или иной степени в сравнении с исходными (т. е. отвечающими невозмущенной задаче). Разумеется, асимптотиче ский характер ограничений требует редукции самого понятия решения;

в этой связи напомним о приближенных решениях Дж. Варги [1, гл. III], определяемых в виде последовательностей со специальным свойством, заключающимся в соблюдении каждого ослабленного ограничения с некоторого момента. В этой же связи уместно отметить конструкции, используемые в рабо тах школы Н.Н. Красовского, связанных с исследованием дифференциальных игр;

в частно сти, при реализации траекторий конфликтно-управляемой системы при соблюдении фазовых ограничений в виде стабильных мостов Н.Н. Красовского допускаются малые люфты в схемах Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты 10-01-96020, 10-01-00356, 12-01-00537) и про грамм фундаментальных исследований Президиума РАН (проект 12-П-1-1019).

Ярусные отображения и преобразования пошагового управления. Отметим, что элементы конструкций, связанные с приближенной ре ализацией ограничений, сыграли важную роль в обосновании фундаментальной теоремы об альтернативе Н.Н. Красовского, А.И. Субботина;

см. [4]. Таким образом, проблема приближен ного соблюдения ограничений, а стало быть, и конструкция на основе ограничений асимптоти ческого характера представляют серьезный интерес (см. в этой связи также постановку в [5], где введение “асимптотических ограничений” уже не связывается с ослаблением изначально заданных стандартных ограничений, а отвечает исследованию тенденций, соответствующих специальной и весьма естественной для задач импульсного управления асимптотике областей достижимости;

см. также обсуждение в [6]).

Отметим, что в [1] основное внимание уделялось вопросам динамической оптимизации, но содержательные конструкции [1] легко переносятся на случай задач о достижимости. Для последних, однако, весьма естественны обобщения, для которых требуется рассмотрение ре зультатов действия тех или иных управлений как элементов ТП. Так (подобно [5]) можно рассматривать в качестве упомянутого результата саму траекторию либо какое-то ее преобра зование. При этом получается элемент бесконечномерного пространства в той или иной топо логии (в случае задачи импульсного управления естественное оснащение связано с топологией поточечной сходимости). Возникает задача о достижимости в ТП, которой, применяя выше упомянутый подход к представлению ограничений, можно придать асимптотический характер.

Между тем используемая при этом топология может не определяться сходящимися последова тельностями, что требует применения более общего аппарата при формализации предельных переходов. Отметим также, что и сама проблема соблюдения “асимптотических ограничений” может существенно обогащаться при отказе от рассмотрения только секвенциальных вариан тов асимптотического поведения (см. в этой связи пример в заключительной части работы [6];

с другой стороны, во многих случаях секвенциальный подход в духе [1, гл. III] оказывается достаточным для (исчерпывающего) построения всех асимптотически достижимых элементов;

см., в частности, [7], где рассматривалась асимптотика областей достижимости по скорости для материальной точки при краевом условии на координату). Представляется естественным поэтому при построении МП (в качестве аналогов областей достижимости в задачах теории управления) допускать несеквенциальные аналоги приближенных решений Дж. Варги. По це лому ряду причин (см. обсуждение в [6]) в этом качестве целесообразно использовать у/ф пространства обычных решений. При этом оказывается возможным [8] отождествить с (до пустимыми в асимптотическом смысле) у/ф аналоги как приближенных, так и обобщенных решений Дж. Варги (см. [1, гл. III]).

Серьезные затруднения возникают, однако, в вопросах, связанных с конструктивным пред ставлением так называемых свободных у/ф (у/ф с пустым пересечением всех своих множеств), ответственных в упомянутых выше конструкциях за реализацию асимптотических эффектов, не сводящихся к действию обычных решений. Дело в том, что само существование и свойства таких у/ф устанавливаются с применением леммы Цорна. Имеется, однако, в ряде случаев выход, связанный с обращением к множествам у/ф широко понимаемых ИП, среди которых наиболее известны пространства Стоуна (компакты Стоуна);

их элементами являются у/ф соответствующей алгебры множеств. Данный подход последовательно развивается в насто ящей работе, продолжающей цикл исследований автора. Основное содержание составляют конструкции представления МП в классах у/ф ИП и некоторых аналогов ИП.

2. Обозначения и определения общего характера Используем кванторы, пропозициональные связки. В дальнейшем = используется для обо значения равенства по определению. Как обычно, пустое множество;

def заменяет фразу “по определению”, а ! фразу “существует и единственно”. Принимаем аксиому выбора.

Семейством называем множество, все элементы которого сами являются множествами (ра зумеется, использование термина “множество” в этом случае также допускается). Если x 300 А. Г. Ченцов объект, то {x} есть def одноэлементное множество, содержащее x. Через P(X) (через P (X)) обозначаем семейство всех (всех непустых) п/м множества X (тогда P (X) = P(X) \ {}).

Если A и B множества, то через B A обозначаем множество всех отображений из A в B (для отображений f B A используем также традиционную запись f : A B);

если при этом f B A и C P(A), то f 1 (C) = {f (x) : x C} P(B) (образ множества C при действии f ).

Для всяких множеств X и Y, функции f Y X и семейства X P (P(X)) f 1 [X ] = {f 1 (A) : A X } P (P(Y )) X P (P(X)). (2.1) Интерпретируем (2.1) как “образ” семейства X при действии f (в дальнейшем (2.1) использу ется обычно в случаях, когда X фильтр или база фильтра).

Специальные семейства множеств. В пределах настоящего пункта фиксируем непу стое множество I. Напомним, что [I] = I P (P(I)) | ( I) & (I I) & ( A B I A I B I). (2.2) Элементы множества (2.2) суть -системы п/м I с “нулем” и “единицей” (см. [9, c. 14]). Среди всевозможных -систем выделяем топологии, алгебры и полуалгебры множеств. В частности, G G P ( ) (top)[I] = [I] | GG есть множество всех топологий на I. Если (top)[I] (в этом случае (I, ) есть ТП) и x I, то семейство N (x) = {G | x G} порождает фильтр [10, гл. I] N (x) = {H P(I) | G N (x) : G H} всех окрестностей x в (I, );

(x-bas)[ ] = {B P(N (x)) | A N (x) B B : B A} есть множество всех локальных баз ТП (I, ) в точке x. При (top)[I] и A P(I) через cl(A, ) обозначаем замыкание [10] множества A в ТП (I, ). Множество (clos)[I] = F P (P(I)) | ( F)&(I F)&(A B F A F B F) F F F P (F) & F F всех замкнутых топологий [11, c. 98] множества I находится в естественной двойственности с (top)[I], устанавливаемой посредством оператора CI, действующего в P (P(I)) по правилу CI (J ) = {I \ J : J J } J P (P(I)). Итак, CI ( ) (clos)[I] при (top)[I] и CI (F) (top)[I] при F (clos)[I]. В вопросах, связанных с аксиомами отделимости, следуем в основном терминологии [12]. Полагаем (D-top)[I] = { (top)[I] | x1 I x2 I \ {x1 } H N (x1 ) : x2 H}, / (top)0 [I] = (top)[I] | x1 I x2 I \ {x1 } H1 N (x1 ) H2 N (x2 ) : H1 H2 =, (r-top)[I] = (top)[I] | N (x) CI ( ) (x-bas)[ ] x I, (2.3) (top)[I] = (D-top)[I] (r-top)[I] = (top)0 [I] (r-top)[I].

В (2.3) введено множество всех T3 -топологий I, т. е. множество всех топологий I, превращаю щих последнее в T3 -пространство. Все метризуемые топологии I содержатся в множестве (2.3).

Ярусные отображения и преобразования Если t (top)[I], а S есть непустое множество, то S (t) (top)[I S ] есть def топология тихо новской степени ТП (I, t) с индексным множеством S : (I S, S (t)) тихоновское произведение [10–12] экземпляров ТП (I, ) при использовании S в качестве множества индексов.

Наряду с топологиями рассмотрим алгебры и полуалгебры п/м I;

(alg)[I] = {L [I] | I \ L L L L} есть множество всех алгебр п/м I. Для введения аналогичного множества полуалгебр нам по требуются некоторые обозначения. При N = {1;

2;

...} P (R) (здесь и ниже R вещественная прямая) полагаем, что 1, n = {k N | k n} n N. Полагаем в дальнейшем, что элементы N (натуральные числа) не являются множествами и, с учетом этого, используем традиционное соглашение Y n = Y 1,n при всяком выборе множества Y и числа n N. Если L [I], A P(I) и m N, то через m (A, L) обозначаем множество всех кортежей (Li )i1,m Lm, для каждого из которых m A= Li & Lp Lq = p 1, m q 1, m \ {p}.

i= Тогда [I] = { L [I] | L L n N : n (I \ L, L) = } есть множество всех полуалгебр [13, гл. I] п/м I. Если L [I], то a0 (L) = {A P(I) | k N : k (A, L) = } есть алгебра I п/м I, порожденная [13, гл. I] полуалгеброй L.

Специальные отображения. В пределах настоящего пункта фиксируем непустые мно жества X и Y. Тогда C(X, 1, Y, 2 ) = f Y X | f 1 (G) 1 G 2 (2.4) 1 (top)[X] 2 (top)[Y ].

В (2.4) введено множество всех непрерывных отображений, действующих из одного ТП в другое.

Если X [X], то через B0 (X, X, Y ) обозначаем множество всех отображений f Y X, для каждого из которых n N (yi )i1,n Y n (Li )i1,n n (X, X ) :

f (x) = yj j 1, n x Lj.

Тем самым введено множество всех ступенчатых отображений (X, X ) в Y. Упомянутое множе ство содержит функции-константы со значениями в Y ;

оно замкнуто относительно операций склеивания, выполняемых на ячейках разбиений из множеств n (X, X ), n N.

Полагаем до конца настоящего раздела, что r : Y Y [0, [ есть псевдометрика [12, r c. 162] на Y, т. е. (Y, r) есть псевдометрическое пространство. Посредством условимся обозна чать равномерную в смысле r сходимость в Y X (речь идет о сходимости последовательностей в Y X к отображению из Y X при оснащении Y псевдометрикой r). Тогда полагаем, что r B(X, X, Y, r) = f Y X | (fi )iN B0 (X, X, Y )N : (fi )iN f. (2.5) Элементы (2.5) называем ярусными отображениями в (Y, r);

имеется в виду аналогия с по добным понятием для вещественнозначных функций (см. [14]). В дальнейшем будет особенно важен тот частный случай, когда (Y, r) полное метрическое пространство.

3. Фильтры и базы фильтров В пределах настоящего раздела фиксируем непустое множество I. Полагаем, что B P (P (I)) | B1 B B2 B B3 B : B3 B1 B2 ;

(3.1) 0 [I] = 302 А. Г. Ченцов элементы (3.1) суть БФ множества I;

соответственно, в виде F[I] = {F P (P (I)) | (A B F A F B F) & (F F H P(I) (F H) = (H F))} имеем множество всех фильтров I;

см. [10, гл. I]. При этом Nt (x) F[I] t (top)[I] x I.

Тогда Fu [I] = {U F[I] | F F[I] (U F) = (U = F)} множество всех у/ф в I, см.

[10, гл. I]. Пусть Fu [I | J ] = {U Fu [I] | J U } J P (P(I)). (3.2) Напомним следующее хорошо известное свойство (см. [10, гл. I]):

(3.3) (I-)[B] = {F P(I) | B B : B F } F[I] B 0 [I].

С учетом свойства (3.3) определяем, следуя [10, гл. I], понятие сходимости БФ в ТП:

(top)[I] B 0 [I] x I def (3.4) B = x (N (x) (I-)[B]).

В связи с (3.4) отметим, что Fu [I] F[I] 0 [I]. Наконец, точки множества I отождествляются с соответствующими тривиальными у/ф:

(I-ult)[x] = {F P(I) | x F } Fu [I] x I.

Фильтры -систем. В дальнейшем важную роль будут играть фильтры и у/ф широко понимаемых ИП. Фиксируем до конца настоящего пункта I [I]. Тогда F (I) = F P (I) | ( F) & ( A B F A F B F) & (F F L I / (3.5) (F L) = (L F)) есть множество всех фильтров в (I, I), а F (I) = { U F (I) | F F (I) (U F) = (U = F)} есть множество всех у/ф в (I, I);

F (I) F (I) 0 [I]. Полагаем, что F (I | H) = {U F (I) | H U } H P (I). (3.6) 0 Множества (3.6) играют в дальнейшем важную роль, что связано со следующей интерпрета цией: H определяет ограничения асимптотического характера на выбор точки из I. Полагаем, что I (L) = {U F (I) | L U } L I. Тогда семейство (UF)[I;

I] = {I (L) : L I} [F (I)] (3.7) есть база топологии T [I] (top)0 [F (I)], определяемой как семейство объединений всевоз I можных подсемейств семейства в левой части (3.7);

соответственно [15;

16] (F (I), T [I]) (3.8) 0 I есть T2 -пространство (если I (alg)[I], то (3.8) компакт Стоуна).

Ярусные отображения и преобразования 4. Элементы притяжения, Всюду в дальнейшем E непустое множество;

в настоящем разделе фиксируем -систему L [E], получая (мультипликативное [16]) пространство (E, L). Фиксируем в дальнейшем непустое множество H и топологию (top)0 [H], получая T2 -пространство (H, ). Тогда (см.

разд. 3, [10, гл. I]) f 1 [U] 0 [H] f HE U F (L). С учетом (3.4) введем (непустое) множество Flim [E;

L;

H;

] = f HE | U F (L) y H : f 1 [U] = y P HE, (4.1) содержащее функции-константы из HE. Из (4.1) следует с учетом отделимости (H, ), что при f Flim [E;

L;

H;

] корректно определяется оператор lim [f ] HF0 (L), для которого f 1 [U] = lim [f ](U) U F (L). (4.2) Предложение 4.1. Если f Flim[E;

L;

H;

] и S P(F (L)), то lim [f ]1 (S) = {h H | U S : f 1 [U] = h}. (4.3) Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через множество в правой части (4.3). Если h lim [f ]1 (S), то для некоторого U0 S справедливо равенство h0 = lim [f ](U0 ), а потому (см.

(4.2)) f 1 [U0 ] = h0, где h0 H. Это означает, что h0, чем завершается проверка вложения lim [f ]1 (S). Пусть h0. Тогда h0 H и для некоторого U 0 S имеет место сходимость f 1 [U 0 ] = h0. (4.4) Поскольку f 1 [U 0 ] = lim [f ](U 0 ) согласно (4.2) (действительно, U 0 F (L)), то из (4.4) следует в силу отделимости (H, ) равенство h0 = lim [f ](U 0 ), откуда по выбору U 0 имеем включение h0 lim [f ]1 (S). Вложение lim [f ]1 (S), а, соответственно, и равенство lim [f ]1 (S) = установлены. Следствие 4.1. Если f Flim [E;

L;

H;

] и E P (L), то lim [f ]1 (F (L | E)) = {h H | U F (L | E) : f 1 [U] = h}.

0 Доказательство получается непосредственной комбинацией (3.6) и предложения 4.1. Отме тим полезное свойство lim [f ](U) cl(f 1 (L), ) f Flim [E;

L;

H;

] U F (L) L U. (4.5) С учетом (4.5) по аналогии с [15, предложение 9] устанавливается следующее Предложение 4.2. Если (top)[H], то lim [f ] C(F (L), T [E], H, ) f Flim[E;

L;

H;

].

0 L Полагаем до конца настоящего раздела, что (4.6) L L x E \ L L : (x ) & ( L = ).

Тогда ((E, L)-ult)[x] = (E-ult)[x] L F (L) x E. С учетом этого определяем ((E, L)-ult)[·] как отображение x ((E, L)-ult)[x] : E F (L), реализующее погружение E в T2 -прост ранство (F (L), T [E]), которое является вариантом (3.8). По аналогии с [16, предложение 7.2] 0 L устанавливается свойство плотности:

F (L) = cl(((E, L)-ult)[·]1 (E), T [E]) = cl({((E, L)-ult)[x] : x E}, T [E]).

0 L L 304 А. Г. Ченцов Здесь же отметим, что при E P (L) множество ((E, L)-ult)[·]1 (F (L | E)) совпадает с пере сечением всех множеств из E. Наконец, как легко проверить ( символ композиции [12, c.27] отображений), (4.7) lim [f ] ((E, L)-ult)[·] = f f Flim [E;

L;

H;

].

Множества притяжения. Следуя [16, следствие 3.1], полагаем, что (см. (3.2)) для вся ких ТП (Y, ), Y =, отображения g Y E и семейства E P (P(E)) (as)[E;

Y ;

;

g;

E] = {y Y | U F0 [E|E] : g1 [U] = y}. (4.8) u В (4.8) у/ф из множества F0 [E|E] выступают, по сути дела, в качестве приближенных решений, u соблюдающих ограничения асимптотического характера, определяемые посредством E (здесь можно усмотреть аналогию с приближенными решениями Дж. Варги [1, гл. III]).

Предложение 4.3. Если (top)[H], f Flim[E;

L;

H;

] и E P (P(E)), то lim [f ]1 ((as)[E;

F (L);

T [E];

((E, L)-ult)[·];

E]) (as)[E;

H;

;

f ;

E].

0 L Доказательство сводится фактически к комбинации предложения 4.2 и (4.8). Тем самым (в последнем предложении) указана возможность для оценивания снизу МП в T3 -пространстве.

Относительно f здесь предполагается принадлежность множеству (4.1). Ниже будет приведен соответствующий вариант эффективно проверяемых условий, достаточных для осуществления упомянутого условия принадлежности множеству (4.1).

5. Элементы притяжения, В настоящем разделе мы усиливаем предположения относительно выбора L: полагаем в дальнейшем, что L [E] (выполнение условия (4.6) вытекает из аксиом полуалгебры мно жеств, см. разд. 2). В этом случае ТП (F (L), T [E]) непустой компакт (отделимое компакт 0 L ное [17, c. 196] ТП).

З а м е ч а н и е 5.1. В связи с упомянутым свойством компактности отметим, что при A = a0 (L) имеем в виде (F (A), T [E]) нульмерный компакт [13, c. 26] (см. также [15]), E A соответствующий ИП (E, A) с алгеброй множеств. При этом [18, предложение 2.4.3] [A;

U] = {A A | U U : U A} F (A) U F (L).

0 Более того, [A;

·] = ([A;

U])U F (L) F (A)F0 (L) есть гомеоморфизм ТП (F (L), T [E]) на 0 0 L (F (A), T [E]) (данное свойство легко следует из определений с учетом того, что [A;

·] есть 0 A биекция F (L) на F (A), для которой соответствующая обратная биекция совпадает с отобра 0 жением U U L : F (A) F (L);

дальнейшее рассуждение непосредственно следует из 0 определения топологий T [E] и T [E]), что и доставляет требуемое свойство компактности L A (F (L), T [E]).

0 L Пусть (top)[H]. Таким образом (см. предложение 4.2 и (4.7)), при f Flim [E;

L;

H;

] в виде (F (L), T [E], ((E, L)-ult)[·], lim [f ]) 0 L имеем (H,, f )-компактификатор в смысле [19, определение 3.1]. Как следствие получаем (см.

[19, предложение 3.2]) следующее Предложение 5.1. Если f Flim[E;

L;

H;

] и E P (P(E)), то справедливо равенство (as)[E;

H;

;

f ;

E] = lim [f ]1 ((as)[E;

F (L);

T [E];

((E, L)-ult)[·];

E]).

0 L Ярусные отображения и преобразования Полезно выделить для отдельного рассмотрения случай E P (L), поскольку тогда (as)[E;

F (L);

T [E];

((E, L)-ult)[·];

E] = F (L | E). (5.1) 0 L З а м е ч а н и е 5.2. В связи с (5.1) напомним [15, предложение 11] и свойство, отмечен ное в замечании 5.1;

следует учесть, что L (L) CF (L) (T [E]) L L.

L Предложение 5.2. Если f Flim[E;

L;

H;

] и E P (L), то (as)[E;

H;

;

f ;

E] = lim [f ]1 (F (L | E)).

Доказательство получается непосредственной комбинацией (5.1) и предложения 5.1.

Теорема 5.1. Если f Flim[E;

L;

H;

] и E P (L), то (as)[E;

H;

;

f ;

E] = {h H | U F (L | E) : f 1 [U] = h}.

Доказательство сводится к комбинации следствия 4.1 и предложения 5.2. В свою очередь, предложение 5.2 и теорема 5.1 доставляют при f Flim [E;

L;

H;

] и E P (L) следующее важное свойство: у/ф из F (L | E) могут одновременно исполнять роль и обобщенных (см.

предложение 5.2), и приближенных (см. теорему 5.1) решений задачи об асимптотической достижимости в (H, ) при использовании семейства E в качестве ограничений асимптотиче ского характера (мы имеем в виду аналогию с подобными по смыслу понятиями в [1, гл. III]);

в этой связи полезно сравнить (4.8) и теорему 5.1. Мы указали в настоящем разделе условия, при которых у/ф ИП (E, L) ведут себя (с точки зрения реализации “в пределе” элементов притяжения) так же, как у/ф множества E, используемые при построении стоун-чеховской компатификации.

6. Ярусные отображения и отображения с ярусными компонентами Напомним некоторые положения [20], сохраняя предположения разд. 5 в отношении ИП (E, L): рассматриваем случай L [E].

Заметим с учетом известных свойств пространства Стоуна [13, c. 26] и рассуждений, по добных используемым в замечании 5.1, что U F (L) m N (Li )i1,n n (E, L) !j 1, n : Lj U. (6.1) В этой связи введем, фиксируя непустое множество H, следующие семейства:

C[E;

L;

U;

f ;

h] = {U U | f (x) = h x U } U F (L) f HE h H. (6.2) Из (6.1), (6.2) и определений разд. 2, 3 вытекает следующее (весьма очевидное) Предложение 6.1. Если U F (L) и f B0 (E, L, H), то !h H : C[E;

L;

U;

f ;

h] =.

С учетом предложения 6.1 полагаем при U F (L), что (6.3) l[U] : B0 (E, L, H) H есть def отображение, определяемое правилом (6.4) C[E;

L;

U;

f ;

l[U](f )] = f B0 (E, L, H).

306 А. Г. Ченцов Посредством (6.3), (6.4) каждый у/ф ИП (E, L) определяет отображение B0 (E, L, H) в H.

Фиксируем псевдометрику [12, c. 162] : H H [0, [ на множестве H. Пусть = {k n, N | n k} n N. C учетом этого имеем свойство: если (fi )iN B0 (E, L, H)N и f HE, то ((fi )iN f ) = (U F (L) ]0, [ n N : (l[U](fp ), l[U](fq )) p q ).

n, n, (6.5) Итак, каждый оператор (6.3) переводит равномерно сходящиеся последовательности (в мно жестве B0 (E, L, H)) в фундаментальные.

Всюду в дальнейшем полагаем, что (H, ) есть полное метрическое пространство. Тогда из (2.5), (3.5) и (6.5) легко следует, что (см. (6.1),(6.2),(6.4)) U F (L) f B(E, L, H, ) !h H (fi )iN B0 (E, L, H)N (6.6) ((fi )iN f ) = (((l[U](fi ), h))iN 0).

З а м е ч а н и е 6.1. Свойство (6.6) есть достаточно простое следствие полноты (H, ), но все же рассмотрим его доказательство, фиксируя U F (L) и f B(E, L, H, ). Используя (2.5), подберем последовательность (fi )iN : N B0 (E, L, H), для которой (fi )iN f. Тогда имеем с очевидностью, что ]0, [ m N : (fi (x), f (x)) i x E.

(6.7) m, С учетом (6.5) получаем свойство: последовательность (l[U](fi ))iN : N H фундаментальна и потому является сходящейся. Пусть h H таково, что (6.8) ((l[U](fi ), h))iN 0.

Выберем произвольно последовательность (gi )iN : N B0 (E, L, H), для которой (gi )iN f.

Тогда получаем, что справедливо следующее свойство:

]0, [ m N : (gi (x), f (x)) i x E.

(6.9) m, Пусть ]0, [. С учетом (6.7)–(6.9) подберем число p N так, что при этом j p, (fj (x), f (x)) x E & (l[U](fj ), h) & (gj (x), f (x)) x E.

4 4 Выберем произвольно n, получая для fn B0 (E, L, H) и gn B0 (E, L, H) следующие p, неравенства:

(6.10) (fn (x), f (x)) x E & (l[U](fn ), h) & (gn (x), f (x)) x E.

4 4 Используя (6.4), выбираем U C[E;

L;

U;

fn ;

l[U](fn )] и U C[E;

L;

U;

gn ;

l[U](gn )], получая, в частности, что (U U) & (U U).

При этом (fn (x) = l[U](fn ) x U ) & (gn (x) = l[U](gn ) x U ). Из (3.5) имеем, что U U =. Пусть x0 U U. Тогда с учетом (6.10) следует, что (fn (x0 ), f (x0 )) & (fn (x0 ), h) & (gn (x0 ), f (x0 )), 4 4 Ярусные отображения и преобразования поскольку fn (x0 ) = l[U](fn ) и gn (x0 ) = l[U](gn ). Тогда (l[U](gn ), h) = (gn (x0 ), h) (gn (x0 ), f (x0 )) + (f (x0 ), fn (x0 )) + (fn (x0 ), h).

Поскольку выбор n был произвольным, получили, что (l[U](gk ), h) k. Коль скоро p, и выбор был произвольным, установлено, что ((l[U](gi ), h))iN 0.

Импликация ((gi )iN f ) = (((l[U](gi ), h))iN 0) установлена, чем и завершается про верка свойства (6.6). С учетом установленного свойства (6.6) введем следующее важное О п р е д е л е н и е 6.1. Если f B(E, L, H, ), то оператор L[f ] HF0 (L) определяем посредством правила: U F (L) (fi )iN B0 (E, L, H)N ((fi )iN f ) = (((l[U](fi ), L[f ](U)))iN 0).

Из (6.4) и определения 6.1 вытекает следующее Предложение 6.2. Если f B(E, L, H, ), U F (L) и ]0, [, то U U : (f (x), L[f ](U)) x U.

Д о к а з а т е л ь с т в о. С учетом (2.5) подберем последовательность (fi )iN B0 (E, L, H)N со свойством (6.11) (fi )iN f.

Тогда (см. определение 6.1) ((l[U](fi ), L[f ](U)))iN 0. Исходя из этого подберем такое число n N, что j.

n, (6.12) (l[U](fj ), L[f ](U)) С другой стороны, согласно (6.11) для некоторого N N имеем свойство (6.13) (fj (x), f (x)) j N, x E.

Пусть r = sup({n;

N });

тогда r N и fr B0 (E, L, H). Из (6.12) и (6.13) следует, что (6.14) ((l[U](fr ), L[f ](U)) ) & ((fr (x), f (x)) x E).

2 В силу (6.4) C[E;

L;

U;

fr ;

l[U](fr )] = ;

выберем произвольно C[E;

L;

U;

fr ;

l[U](fr )], полу чая, что U (см. (6.2)) и при этом (6.15) fr (x) = l[U](fr ) x.

Тогда из (6.14) и (6.15) следует окончательное утверждение: (f (x), L[f ](U)) (fr (x), f (x)) + (l[U](fr ), L[f ](U)) x. Через T обозначаем в дальнейшем топологию множества H, порожденную метрикой ;

при этом, конечно, T (top)[H].

T Следствие 6.1. Если f B(E, L, H, ) и U F (L), то f 1 [U] = L[f ](U).

308 А. Г. Ченцов Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть h = L[f ](U). Введем в рассмотрение открытые (в топо логии T ) шары, полагая B (h, ) = {h H | (h, h) } ]0, [.

Тогда = {B (h, ) : ]0, [} (h-bas)[T ]. Пусть S NT (h). Используя свойства, подберем ]0, [ так, что B (h, ) S. C учетом предложения 6.2 имеем для некоторого U0 U систему неравенств (f (x), h) x U0. Это означает, что f 1 (U0 ) B (h, ), а тогда f 1 (U0 ) S и, как следствие, S (H-)[f 1 [U]] (см. (3.3)). Поскольку выбор S был произвольным, установлено вложение NT (h) (H-)[f 1 [U]], T что означает (см. (3.4)) сходимость f 1 [U] = h. Из доказанного следствия вытекает с учетом (4.1), что ((H = H) & ( = T )) = (B(E, L, H, ) Flim[E;

L;

H;

]).

Далее мы рассмотрим одно существенное обобщение последнего положения, фиксируя непустое множество, элементы которого играют в дальнейшем роль индексов. Всюду в даль нейшем полагаем, что H = H ;

иными словами, H отождествляется с множеством всех отоб ражений из в H. Кроме того, полагаем далее, что = (T );

итак, (top)[H] есть топология тихоновской степени ТП (H, T ) при использовании в качестве индексного множества. Стало быть, всюду в дальнейшем (H, ) есть тихоновское произведение экземпляров ТП (H, T ) c индексным множеством :

(H, ) = (H, (T )). (6.16) Заметим, что из (6.16) вытекает тот факт, что (top)[H] (см. [17, 2.3.11]), т. е. (6.16) есть T3 -пространство. Если f HE и, то, как обычно, f (·)() = (f (x)())xE HE является компонентой f, соответствующей индексу. Пусть теперь B [E;

L;

H;

| ] = {f HE | f (·)() B(E, L, H, ) }. (6.17) В (6.17) введены отображения из E в H с ярусными компонентами.

Предложение 6.3. Если g B [E;

L;

H;

| ] и U F (L), то g1 [U] = (L[g(·)()](U)).

Доказательство следует из (6.16) с учетом следствия 6.1 и простейших свойств тихоновско го произведения (см. [17, c. 127–128]). Из (4.1) и предложения 6.3 вытекает очевидное вложение (6.18) B [E;

L;

H;

| ] Flim [E;

L;

H;

].

Тогда (см. определение разд. 4) имеем lim [f ] HF0 (L) f B [E;

L;

H;

| ]. Из предложе ния 6.3 имеем (см. (4.2)) с учетом отделимости ТП (H, ), что lim [f ](U) = (L[f (·)()](U)) f B [E;

L;

H;

| ] U F (L).

Ярусные отображения и преобразования З а м е ч а н и е 6.2. Пусть (f ) B(E, L, H, ), а отображение f HE определяется условием (6.19) f (x) = (f (x)) x E.

Легко видеть, что f (·)() = f. Поэтому согласно (6.17) f B [E;

L;

H;

| ]. При этом в рассматриваемом случае lim [f ](U) = (L[f ](U)) U F (L).

Итак, на основе правила (6.19) мы имеем возможность конструировать из ярусных отобра жений со значениями в H отображения из множества (6.17), т. е. отображения с ярусными компонентами, а это позволяет применять (см. (6.18)) отображения последнего типа в утвер ждениях разд. 5 (см., в частности, теорему 5.1).

Заметим, что в качестве можно в простейшем случае использовать 1, n при n N, получая в (6.19) ярусные вектор-функции (в общем же случае произвольное непустое множество).

7. Пример (пространство-стрелка) Рассматриваем далее случай, когда E = [a, b[, где a R и b ]a, [. Полагаем в даль нейшем, что при всяком выборе упорядоченной пары z [a, b] [a, b] def pr1 (z) [a, b] и pr2 (z) [a, b] суть первый и второй элементы z, однозначно определяемые условием z = (pr1 (z), pr2 (z)). Получаем тогда (7.1) P = {[pr1 (z), pr2 (z)[ : z [a, b] [a, b]} [E], что согласуется с [21, разд. 6]. С учетом (7.1) получаем, что (E, P) есть ИП с полуалгеброй множеств;

полагаем в дальнейшем, что L = a0 (P), (7.2) E получая в виде (E, L) ИП с алгеброй множеств, так как L (alg)[E], P L. В частности, L [E]. В [21, разд. 6] указано исчерпывающее описание F (L) для данного ИП (см. [21, c.

238]). Для наших целей, однако, более удобным оказывается несколько иное представление, использующее конструкции [22]. В этой связи отметим, что при всяком выборе I [E] эле менты множества (7.3) I [E] = {I 0 [E] | I I} (базы фильтров в (E, I)) порождают фильтры из F (I) по стандартному правилу (E-)[B | I] = {I I | B B : B I} F (I) B I [E];

тогда при условии, что (7.4) (H-set)[E | I] = {L I | L H = H H} H I [E], имеем [22, разд. 6] следующее представление баз у/ф -системы I (реализуемое в терминах семейств вида (7.4)):

00 I [E] = { B I [E] | (E-)[B | I] F (I)} (7.5) = {B I [E] | L (B-set)[E | I] B B : B L}.

Если x ]a, b], то условимся, что Jx = {[c, x[ : c [a, x[}, получая непустое подсемейство полуалгебры P.

310 А. Г. Ченцов Предложение 7.1. Справедливо свойство: Jx P [E] x ]a, b].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем t ]a, b];

тогда Jt = {[c, t[ : c [a, t[} P (P) (см. (7.1)). Если при этом c [a, t[, то c [c, t[. Поэтому Jt P (E). Если c1 [a, t[ и c2 [a, t[, то c = sup({c1 ;

c2 }) [a, t[ и [c1, t[[c2, t[= [c, t[ Jt. Поэтому B1 Jt B Jt B3 Jt : B3 B1 B2. Следовательно (см. (3.1)), Jt 0 [E], а тогда, коль скоро Jt P, согласно (7.3) Jt P[E].

Выберем произвольно (Jt -set)[E | P]. Тогда P и при этом (7.6) B = B Jt.

Согласно (7.1) = [p, q[, где p [a, b] и q [a, b]. С учетом непустоты Jt имеем из (7.6), что =, а тогда p q. Поскольку [a, t[ Jt, то из (7.6) следует, что [p, q[[a, t[=, откуда вытекает, что p t. Это означает, что p [a, t[, а потому [p, t[ Jt. При этом (q t) (t q).

Пусть q t. Тогда q [a, t[, а потому [q, t[ Jt, причем [q, t[= [p, q[[q, t[=, что противоречит (7.6). Данное противоречие означает, что t q, а тогда [p, t[ [p, q[. В итоге [p, t[ Jt : [p, t[. Поскольку выбор был произвольным, установлено, что L (Jt -set)[E | P] B Jt : B L. С учетом (7.5) получаем требуемое свойство Jt P [E]. Согласно (7.1), (7.2) и [22, предложение 5.5] получаем, что (7.7) Jx L [E] x ]a, b].

В свою очередь, из (7.5) и (7.7) следует с очевидностью свойство (E-)[Jx | L] F (L) x ]a, b].

Введем в рассмотрение множество всех свободных у/ф алгебры L :

F (L) = U F (L) | (7.8) U =.

0,f U U Из (7.5), (7.8) вытекает при x ]a, b], что Jx (E-)[Jx | L], причем пересечение всех мно жеств из Jx пусто. В итоге (см. (7.8)) (E-)[Jx | L] F (L) x ]a, b].

0,f Исходя из построений [21, c. 238], при x ]a, b] полагаем, что U0 = {[pr1 (z), pr2 (z)[ : z x [a, x[[x, b]}. Тогда U0 F (P) x ]a, b]. Используя конструкцию продолжения у/ф из за x мечания 5.1, получаем при U F (P), что (см. (7.2)) {L L | U U : U L} F (L). В 0 качестве U можно использовать U0 при x ]a, b], устанавливая свойство x U0 = {L L | U U0 : U L} F (L). (7.9) x x Заметим, что при x ]a, b] пересечение всех множеств из U0 пусто, причем согласно (7.9) x U0 U0. Как следствие x x U0 F (L) x ]a, b]. (7.10) x 0,f С учетом (7.2) получаем (см. [21, c. 238]) следующую цепочку равенств F (L) = {((E, L)-ult)[x] : x E} {U0 : x ]a, b]} = ((E, L)-ult)[·]1 (E) {U0 : x ]a, b]}. (7.11) 0 x x Поскольку тривиальные у/ф алгебры L имеют каждый непустое пересечение всех своих мно жеств, то согласно (7.10) и (7.11) F (L) = {U0 : x ]a, b]}. (7.12) x 0,f Ярусные отображения и преобразования Предложение 7.2. Если x ]a, b], то (E-)[Jx | L] = U0.

x Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A (E-)[Jx | L]. Тогда A L и при этом B A для некоторого множества B Jx, где Jx U0 (последнее легко следует из определений). Тогда x B U0, а потому A U0 согласно (7.9). Итак, x x (E-)[Jx | L] U0. (7.13) x Пусть M U0. Тогда M L и N M для некоторого множества N U0 ;

при этом для x x некоторых [a, x[ и [x, b] справедливо равенство N = [, [, причем [, x[ N. Поскольку N P и, в частности, N L, то N (E-)[Jx | L], так как [, x[ Jx. По аксиомам L-фильтра имеем, что M (E-)[Jx | L]. Итак, U0 (E-)[Jx | L] и (см. (7.13)) требуемое равенство x установлено. (L);

пусть далее Фиксируем в дальнейшем семейство E P (7.14) T0 [E] = {t ]a, b] | L E [a, t[ : [, t[ L}.

Предложение 7.3. Справедливо равенство F (L | E) = {U0 : t T0 [E]} ((E, L)-ult)[·]1 (7.15) L.

0 t LE Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через 1 и 2 первое и второе множества в правой части (7.15) соответственно. Выберем произвольно F F (L | E), получая (см. (3.6)) для F F (L) свойство E F. Тогда [15, (6.3)] (F F (L)) (x E : F = ((E, L)-ult)[x]). (7.16) 0,f Обе возможности в (7.16) рассмотрим отдельно. Пусть сначала:

1) F F (L). Тогда согласно (7.8), (7.11) и (7.12) F = U0, где ]a, b] (учитываем, что 0,f каждый тривиальный у/ф обладает непустым пересечением всех своих множеств). Поэтому E U0, откуда в силу предложения 7.2 следует вложение E (E-)[J | L]. Тогда L E B J : B L. Иными словами, L E c [a, [ : [c, [ L. С учетом (7.14) получаем, что T0 [E]. Это означает, что F 1. Итак, (F F (L)) = (F 1 ). (7.17) 0,f 2) Имеет место второй случай в (7.16): F = ((E, L)-ult)[x ], где x E. В частности, E F (E-ult)[x ], а тогда x содержится в пересечении всех множеств из E и, следовательно, F 2. Итак, (7.18) (x E : F = ((E, L)-ult)[x]) = (F 2 ).

Из (7.16)–(7.18) следует, что F 1 2. Тем самым установлено вложение F (L | E) 1 2. (7.19) Пусть V 1. Тогда V F (L) (см. (7.12),(7.14)) и для некоторого t0 T0 [E] справедливо 0,f 0. При этом, в частности, V = (E-)[Jt | L] согласно предложению 7.2, а равенство V = Ut0 потому V V B Jt0 : B V. Если E, то, в частности, L и в силу (7.14) [, t0 [ для некоторого [a, t0 [;

при этом [, t0 [ Jt0. Поэтому B Jt0 : B. Это означает, что (E-)[Jt0 | L], т. е. V. Тем самым установлено вложение E V и, стало быть (см. (3.6)), V F (L | E). Итак, 1 F (L | E). (7.20) Пусть W 2. Тогда W F (L), и при этом для некоторого t L LE (7.21) W = ((E, L)-ult)[t ].

312 А. Г. Ченцов Поскольку E L, имеем по свойствам t, что E ((E, L)-ult)[t ], а тогда E W согласно (7.21), т. е. W F (L | E), чем и завершается проверка вложения 2 F (L | E). С учетом (7.20) 0 имеем, что 1 2 F (L | E), а тогда, используя (7.19), получаем требуемое равенство F (L | E) = 1 2. Полагаем в дальнейшем, что H есть непустое множество и (top0 [H];

итак, (H, ) есть T2 -пространство. Фиксируем, кроме того, Flim [E;

L;

H;

].

Предложение 7.4. Если t ]a, b], то !h H S N (h) ]0, [:

(x) S x ]t, t[ E.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Полагаем для краткости h = lim [](U0 ). Тогда h H. Соглас t но (4.2) получаем, что 1 [U0 ] = h. (7.22) t С учетом (2.1), (3.4) и (7.22) получаем, что S N (h) U U0 : 1 (U ) S. Тогда согласно t 1 ([c, t[) S. Последнее означает, в частности, что предложению 7.2 S N (h) c [a, t[ :

S N (h) ]0, [:

(7.23) (x) S x ]t, t[ E.

Пусть теперь h H обладает тем свойством, что S N (h) ]0, [:

(7.24) (x) S x ]t, t[ E.

Покажем, что h = h. В самом деле, допустим противное: h = h. Используя отделимость ТП N (h), для которых S S =. С учетом (7.23) (H, ) подберем окрестности S N (h) и S имеем для некторого 1 ]0, [, что (7.25) (x) S x ]t 1, t[ E.

В свою очередь, используя (7.24), подберем 2 ]0, [ так, что (7.26) (x) S x ]t 2, t[ E.

При этом 1 = inf({1 ;

t a}) ]0, [ и 2 = inf({2 ;

t a}) ]0, [. Заметим, что ]t 1, t[ ]a, t[ E и ]t 2, t[]a, t[ E;

заметим также, что = inf({1 ;

2 }) ]0, [ и = t ]t 1, t[]t 2, t[.

Тогда E и определено значение () H. При этом по выбору 1 и 2 имеем, что ]t 1, t[]t 2, t[E, а потому из (7.25) и (7.26) следует включение () S S. Последнее Противоречие доказывает равенство h = h. Итак, h H невозможно по выбору S и S.

(S N (h) ]0, [ : (x) S x ]t, t[ E) = (h = h).

С учетом (7.23) получаем требуемое положение. В силу предложения 7.4 корректно следующее определение: если t ]a, b], то ( - lim)[()] H (7.27) t есть def такой единственный элемент H, что S N (( - lim)[()]) ]0, [ : (x) S x ]t, t[ E.

t Из (4.2) вытекает (с учетом отделимости (H, )), что ( - lim)[()] = lim [](U0 ) t ]a, b]. (7.28) t t Рассуждения, связанные с проверкой (7.28), повторяют первую часть доказательства предло жения 7.4. Разумеется, элемент (7.27) определен при t T0 [E].

Ярусные отображения и преобразования Предложение 7.5. Если (top)[H], то справедливо равенство (as)[E;

H;

;

;

E] = ( - lim)[()] : t T0 [E] 1 (7.29) L.

t LE Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим соответственно через A1 и A2 первое и второе мно жества в правой части (7.29). Выберем произвольно h (as)[E;

H;

;

;

E]. Тогда из пред ложения 5.2 вытекает,что h = lim [](U ) для некоторого у/ф U F (L | E). Согласно предложению 7.3 имеем U U0 : t T0 [E] U ((E, L)-ult)[·]1 (7.30) L.

t LE Оба случая в (7.30) рассмотрим отдельно:

1) Пусть U есть элемент первого множества в правой части (7.15). Тогда U = U0 для t некоторого t T0 [E]. В частности, t ]a, b] (см. (7.14)). При этом (см. (7.28)) ( - lim)[()] = lim [](U0 ) = lim [](U ) = h, t t следовательно, h A1. Итак, установлена импликация (U {U0 : t T0 [E]}) = (h A1 ). (7.31) t 2) Пусть U ((E, L)-ult)[·]1 ( LE L). Тогда U = ((E, L)-ult)[x ], где x L. В LE частности, x E. В этом случае из (4.7) следует, что h = lim [](((E, L)-ult)[x ]) = (x ) A2.

Итак, установлена следующая импликация:

U ((E, L)-ult)[·]1 L = (h A2 ).

LE С учетом (7.30) и (7.31) получаем, что h A1 A2. Поскольку выбор h был произвольным, установлено, что (7.32) (as)[E;

H;

;

;

E] A1 A2.

Пусть h1 A1. Тогда для некоторого t1 T0 [E] справедливо равенство h1 = ( - lim)[()]. (7.33) t В частности, t1 ]a, b]. В силу предложения 7.3 V = U01 F (L | E), причем согласно (7.28) и t (7.33) h1 = lim [](V) lim []1 (F (L | E)), а потому с учетом предложения 5.2 h1 (as)[E;

H;

;

;

E], чем и завершается проверка вло жения (7.34) A1 (as)[E;

H;

;

;

E].

Выберем произвольно h2 A2. Тогда h2 = (t0 ), где t0 L. В частности, t0 E и LE W = ((E, L)-ult)[t0 ] ((E, L)-ult)[·]1 (7.35) L.

LE Из предложения 7.3 имеем (см. (7.35)), что W F (L | E), а потому согласно предложению 5. получаем (см. также (4.7)), что h2 = lim [](((E, L)-ult)[t0 ]) = lim [](W) (as)[E;

H;

;

;

E].

Итак, A2 (as)[E;

H;

;

;

E], откуда с использованием (7.34) получаем вложение A1 A (as)[E;

H;

;

;

E]. С учетом (7.32) имеем, что (as)[E;

H;

;

;

E] = A1 A2. 314 А. Г. Ченцов З а м е ч а н и е 7.1. С учетом построений разд. 6 можно получить важную конкрети зацию предложения 7.5. Речь идет о случае (6.16), где (H, T ) есть метризуемое полной мет рикой ТП (имеется в виду метрика ). В этом случае можно с учетом (6.18) полагать, что B [E;

L;

H;

| ];

напомним, что непустое множество индексов (см. (6.16)).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями.

М.:Наука, 1977. 624 с.

2. Даффин Р.Дж. Бесконечные программы // Линейные неравенства и смежные вопросы. М.:

Иностр. литература, 1959. C. 263–267.

3. Гольштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложе ния. М.: Наука, 1971. 351 c.

4. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

456 с.

5. Скворцова А.В., Ченцов А.Г. О построении асимптотического аналога пучка траекторий ли нейной системы с одноимпульсным управлением // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 12.

С. 1645–1657.

6. Ченцов А.Г. Ультрафильтры в конструкциях множеств притяжения: задача соблюдения ограни чений асимптотического характера // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 7. C. 1047–1064.

7. Ченцов А.Г. О корректности некоторых задач управления материальной точкой // Вестн. Уд мурт. ун-та. 2011. Вып. 3. C. 127–141. (Математика. Механика. Компьютерные науки).

8. Ченцов А.Г. Некоторые конструкции асимптотического анализа, связанные с компактификацией Стоуна Чеха // Современная математика и ее приложения / АН Грузии. Ин-т кибернетики. 2005.

Т. 26. С. 119–150.

9. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2005. 402 c.

10. Бурбаки Н. Общая топология. М.: Наука, 1968. 272 с.

11. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Изд-во ЛКИ, 2008.

368 c.

12. Келли Дж.Л. Общая топология. М.: Наука, 1981. 431 c.

13. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. 309 с.

14. Меленцов А.А., Байдосов В.А., Змеев Г.М. Элементы теории меры и интеграла. Свердловск:

УрГУ, 1980. 100 с.

15. Ченцов А.Г. Ультрафильтры измеримых пространств как обобщенные решения в абстрактных задачах о достижимости // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2011.

Т. 17, № 1. C. 268–293.

16. Ченцов А.Г. Фильтры и ультрафильтры в конструкциях множеств притяжения // Вестн. Удмурт.

ун-та. 2011. Вып. 1. C. 113–142. (Математика. Механика. Компьютерные науки.) 17. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 751 с.

18. Chentsov A.G., Morina S.I. Extensions and relaxations. Dordrecht;

Boston;

London: Kluwer Academic Publishers, 2002. 408 c.

19. Ченцов А.Г. Расширения абстрактных задач о достижимости: несеквенциальная версия // Тр.

Ин-та математики и механики УрО РАН. 2007. Т. 13, № 2. C. 184–217.

20. Ченцов А.Г. Конструирование операций предельного перехода с использованием ультрафильтров измеримых пространств // Автоматика и телемеханика. 2007. № 11. C. 208–222.

21. Ченцов А.Г. Об одном представлении результатов действия приближенных решений в задаче с ограничениями асимптотического характера // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011.

T. 17, № 2. C. 225–239.

22. Ченцов А.Г. Об одном примере представления пространства ультрафильтров алгебры множеств // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 4. C. 293–311.

Ченцов Александр Георгиевич Поступила 1.02. чл.-корр. РАН зав. отделом Институт математики и механики УрО РАН Уральский федеральный университет e-mail: chentsov@imm.uran.ru ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН Том 18 № 4 УДК 517. О ТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ СРЕДНИХ -ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ М. Ш. Шабозов, Г. А. Юсупов В работе найдены точные значения различных -поперечников классов, дифференцируемых на всей (r) оси R = (;

+) функций f, принадлежащих L2 (R) и удовлетворяющих ограничению 1/q h q (f (r), t)dt (h), m где r, m N;

1/r q 2;

0 h, а m (f (r), t)2 обобщенный модуль непрерывности m-го порядка производной f (r) L2 (R);

(t) произвольная непрерывная, возрастающая при t 0 функция, такая что (0) = 0.

Ключевые слова: пространства измеримых функций, целая функция экспоненциального типа, модуль непрерывности m-го порядка, точная константа.

M. Sh. Shabozov, G. A. Yusupov. On the exact values of mean -widths of some classes of entire functions.

(r) We nd the exact values of various -widths for some classes of functions f L2 (R) dierentiable on the axis R = (;

+) and satisfying the condition 1/q h q (f (r), t)dt (h), m where r, m N, 1/r q 2, 0 h, m (f (r), t)2 is the generalized modulus of continuity of mth order of the derivative f (r) L2 (R), and (t) is an arbitrary continuous function increasing on t 0 and such that (0) = 0.

Keywords: spaces of measurable function, entire functions of exponential type, modulus of continuity of mth order, exact constant.

Введение Начало исследований, связанных с аппроксимацией функций на прямой R = (, +), было положено в работах С.Н. Бернштейна, использовавшего для этого в качестве аппара та приближения пространства целых функций конечной степени. В дальнейшем этой про блематике посвящено много работ, из которых укажем фундаментальные работы Н. Винера, Н.И. Ахиезера, М.Г. Крейна, С.М. Никольского, А.Ф. Тимана, Р. Боаса, И.И. Ибрагимова и др. (см., например, монографии [1–4]). В восьмидесятых годах прошлого столетия появились работы [5–7] по приближению функций суммируемыми с квадратом на всей оси целыми функ циями, в которых найдены точные константы, и сравнительно недавно опубликованы работы, в которых вычислены точные значения средних -поперечников для различных классов целых функций (см., например, [8–16] и приведенную там литературу). Отметим, что теория попе речников в их традиционном определении освещена в монографиях В.М. Тихомирова [17, гл.

IV, с. 217–264], Н.П. Корнейчука [18, гл. VIII, с. 340–390], а также в специально посвящен ной этой теории монографии А. Пинкуса [19], где подробно изложены почти все результаты о поперечниках, полученные до конца восьмидесятых годов прошлого века.

Определение средних поперечников (по Колмогорову, Бернштейну, Гельфанду и линей ных) дано Г.Г. Магарил-Ильяевым [8;

9], и им же вычислены точные значения этих величин 316 М. Ш. Шабозов, Г. А. Юсупов для соболевских классов функций на R, а также указаны соответствующие экстремальные подпространства и операторы.

Рассматриваемые в данной работе классы функций определяются следующим образом.

Пусть t 0, h = (h1,..., hm ), 1 j f (x) = f (x + hj ) f (x), j = 1, m;

m = 1 1 1 2 · · · 1 m, h h h h h t t 1/ m f (·) 2 2 (R) dh1 · · · dhm m m (f ;

t)2 = t ···, L h 0 произвольная непрерывная возрастающая на [0, +) функция, (0) = 0, (t) h 1/q (r) q (f (r) ;

t)dt Wq () := W (q, r, m;

) = f L2 (R) : (h) h (0, ].

m При выполнении ряда ограничений относительно параметров r, q, h и мажоранты найде ны точные значения вышеперечисленных средних поперечников класса Wq () в гильбертовом пространстве L2 (R) и указаны соответствующие экстремальные подпространства. Полученные результаты являются продолжением и обобщением результатов работ [15;

16].

Статья состоит из трех разделов. В первом разделе мы приведем необходимые определения, обозначения общего характера, постановки задач и известные результаты, имеющие непосред ственное отношение к исследуемой теме. Во втором разделе рассмотрена одна экстремальная задача для установления неулучшаемых неравенств типа Джексона Стечкина, связывающих наилучшие приближения функции f L2 (R) посредством целых функций g B,2 с модуля ми непрерывности высших порядков указанных функций или их производных. Полученный результат позволил нам в третьем разделе вычислить точные значения средних поперечников для класса Wq () в L2 (R).

1. Определения и обозначения общего характера, постановки задач Всюду далее под Lp (R), 1 p, будем понимать пространство измеримых на всей оси R = (, +) функций f с конечной нормой 1/p p f := f = |f (x)| dx, 1 p, p Lp (R) R f := f = ess sup |f (x)| : x R.


L (R) (r) Через Lp (R) (1 p ;

r N) обозначим множество функций f Lp (R), у кото рых (r 1)-я производная f (r1) локально абсолютно непрерывна и f (r) Lp (R). Символом B,p (0 ;

1 p ) обозначим сужение на R множества всех целых функций экспоненциального типа, принадлежащих пространству Lp (R). Величину A (f )p := inf f g p: g B,p (1 p ) называют наилучшим приближением функции f Lp (R) элементами множества B,p. Моду лем непрерывности m-го порядка функции f Lp (R) называют величину def m f (·) m (f, t)p = sup Lp (R) : |h| t (0 t +), h m где m f (x) = kk m-я разность функции f в точке x с шагом h.

k=0 (1) Cm f (x + kh) h О точных значениях средних -поперечников некоторых классов Прежде чем привести полученные нами результаты в этом направлении, приведем нуж ные нам в дальнейшем определения и обозначения общего характера из работ Г.Г. Магарил Ильяева [8;

9].

Общеизвестно, что до недавнего времени подпространство B,p (0 ;

1 p ) было в некотором смысле единственным аппаратом приближения в Lp (R) и только лишь с кон ца прошлого века все чаще в качестве аппроксимирующего множества используются сплайны (см., например, [10;

11;

20;

21]). Если рассматривать задачу приближения f Lp (R), то целые функции и сплайны являются бесконечномерными образованиями и величины, характери зующие соответствующие приближения, выражаются в терминах, отражающих внутреннюю структуру аппарата аппроксимации, например: степень целой функции экспоненциального ти па, плотность распределения узлов сплайна. Возникает естественный вопрос: как сравнивать между собой подобные способы приближения?

Введение Г.Г. Магарил-Ильяевым [8;

9] определения средней размерности, являющейся опре деленной модификацией соответствующего понятия, данного ранее В.М. Тихомировым [22], позволило определить асимптотические характеристики подпространств, подобные поперечни кам, где роль размерности играет средняя размерность. В результате этого оказалось возмож ным сравнить аппроксимативные свойства подпространства B,p, 1 p, с аналогичными характеристиками иных подпространств из Lp (R), 1 p, той же размерности и решать в Lp (R), 1 p, экстремальные задачи теории аппроксимации вариационного содержания.

Пусть BLp (R) = { Lp (R) : Lp (R) 1} единичный шар в Lp (R);

Lin(Lp (R)) является совокупностью всех линейных подпространств в Lp (R);

def Linn (Lp (R)) = J Lin(Lp (R)) : dimJ n, n Z+ ;

def d(M, N, Lp (R)) = sup inf{ f p: N} : f M наилучшее приближение множества M Lp (R) множеством N Lp (R). Под NT, T понимаем сужение множества N Lp (R) на отрезок [T, T ], а через LinC (Lp (R)) обозначим совокупность таких подпространств J Lin(Lp (R)), для которых множество (J BLp (R))T предкомпактно в Lp ([T, T ]) при любом T 0. Если J LinC (Lp (R)) и T, 0, то существу ют такие n Z+ и M Linn (Lp ([T, T ]), для которых d((J BLp (R))T, M, Lp ([T, T ])).

Пусть D (T, J, Lp (R)) def = min n Z+ : M Linn (Lp ([T, T ])), d((J BLp (R))T, M, Lp ([T, T ])).

В [8] доказано, что данная функция не убывает по T и не возрастает по. Величину def dim(J, Lp (R)) = lim lim inf{D (T, J, Lp (R))/(2T ) : T } : 0, где J LinC (Lp (R)), называют средней размерностью подпространства J в Lp (R). В работах [8;

9] доказано, что dim(B,p ;

Lp (R)) = /, (1 p ).

Пусть M центрально-симметричное подмножество из Lp (R) и 0 произвольное число. Тогда под средним -поперечником по Колмогорову множества M в Lp (R) понимают величину d (M, Lp (R)) def = inf sup{inf{ f p: J } : f M} : J Linc (Lp (R)), dim(J, Lp (R)).

Подпространство, на котором достигается внешняя нижняя грань, называют экстремаль ным. Средним линейным -поперечником множества M в Lp (R) называют величину def (M, Lp (R)) = inf{sup{ f f : f M} : (X, )}, 318 М. Ш. Шабозов, Г. А. Юсупов где нижняя грань берется по всем парам (X, ) таким, что X есть нормированное простран ство, непрерывно вложенное в Lp (R);

M X;

: X Lp (R) является непрерывным линей ным оператором, для которого Im LinC (Lp (R)) и dim(Im, Lp (R)). Пару (X, ), на которой достигается нижняя грань, называют экстремальной.

Величину b (M, Lp (R)) def = sup sup{ 0 : J BLp (R) M} : J LinC (Lp (R), dim(J, Lp (R)), d (J BLp (R), Lp (R)) = называют средним -поперечником по Бернштейну множества M в Lp (R). Последнее условие, налагаемое на J при вычислении внешней точной верхней грани, означает, что рассматривают ся только те пространства, для которых верен аналог теоремы В.М.Тихомирова о поперечнике шара [18, с. 341]. В [8;

9] доказывается, что указанному требованию удовлетворяет, например, пространство B,p, если.

Между вышеперечисленными экстремальными характеристиками множества M в гильбер товом пространстве L2 (R) выполняются неравенства [9;

13] (1.1) b (M, L2 (R)) d (M, L2 (R)) (M, L2 (R)).

Отметим, что точные значения и асимптотически точные значения средних поперечников для некоторых классов функций вычислены Г.Г. Магарил-Ильяевым [8;

9], С.Б. Вакарчуком [12;

13] и в работах [15;

16].

2. Наилучшее приближение целыми функциями Известно [4, с. 64–70], что любая функция вида eizu (u)du, f (z) = (u) L2 (;

) принадлежит пространству B,2, причем f а также известно [5;

6], что = L2 (;

), L2 (R) если + f (t)eixt dt F (f ;

x) = преобразование Фурье функции f L2 (R), то целая функция F (f, t)eixt dt F (f ;

x) = принадлежит классу B,2 и наименее отклоняется от f в смысле метрики L2 (R). При этом 1/ (2.1) A (f )2 = f F (f ) = |F (f, t)| dt.

L2 (R) |t| (r) Из (2.1) следует, что для любого f L2 (R) 1/ (r) 2 2r r A (f )2.

A (f )2 = |F (f, t)| t dt |t| О точных значениях средних -поперечников некоторых классов В [6] доказано, что если f L2 (R), то имеет место равенство + 2 m |F (f ;

x)|2 (1 cos hx)m dx. (2.2) m (f ;

t)2 =2 sup |h|t С.Б. Вакарчук [13] при решении экстремальных задач теории приближения f L2 (R) целыми функциями использовал следующую характеристику гладкости:

t t 1/ m f (·) 2 2 (R) dh1 · · · dhm (2.3) m (f ;

t)2 = ···, t 0, L tm h 0 где h = (h1,..., hm ), m = 1 1 · · · 1 m, 1 j f = f (· + hj ) f (·), j = 1, m, и, в частности, h h h h показал, что r A (f ) sin t m/ def (2.4),r,m (t) = sup = 2 1.

(r) ;

t/) t (f f L (R) m (r) f (r) =const Отметим, что задача (2.4) для модуля непрерывности (2.2) также решена С.Б.Вакарчуком [12].

В данной работе с целью обобщения (2.4) мы введем в рассмотрение следующую экстре мальную характеристику:

r A (f ) def (2.5),r,m,q (h) = sup, h 1/q (r) f L2 (R) q (f (r) ;

t/)2 dt f (r) =const m где r, m N, 1/r q 2, 0 h /2. Имеет место следующая Теорема 2.1. Для произвольных чисел r, m N, 1/r q 2 и всех 0 h /2 справед ливо равенство h 1/q sin t mq/ m/ (2.6),r,m,q (h) = 2 1 dt.

t Д о к а з а т е л ь с т в о. Выше мы отметили, что для произвольной функции f L2 (R) существует только одна целая функция F (f, x) B,2 [5–7], которая наименее уклоняется от f в метрике L2 (R) и имеет вид + + 1 ixt eixt F (f ;

t)dt, F (f, x) = (t)F (f ;

t)dt = e 2 где F (f ;

t) преобразование Фурье функции f, а (t) характеристическая функция ин тервала (, ). Поскольку + 1 j f (x) eithj 1 F (f ;

t)eixt dt (j = 1, m), = f (x + hj ) f (x) = h то мы имеем + m m f (x) = eithj 1 F (f ;

t)eixt dt. (2.7) h j= 320 М. Ш. Шабозов, Г. А. Юсупов Из (2.7), используя свойства преобразования Фурье и равенство Парсеваля, получаем + m m 2 1/2 m f (·) L2 (R) m m =2 F (f ;

·) (1 cos(·)hj ) =2 |F (f ;

t)| (1 cos thj ) dt.

h L2 (R) j=1 j= (2.8) Для фиксированного, 0 /(2), используя соотношение (2.8), находим + m 2 m 2 (f (r) ;

)2 2r = t |F (f ;

t)| (1 cos thj ) dhj dt m j=1 + sin t sin t m m t2r |F (f ;

t)|2 1 t2r |F (f ;

t)|2 m dt 2m (2.9) =2 dt.

t t |t| Воспользуясь континуальным аналогом неравенства Минковского [23, c. 32] h h q/2 1/q 2/q 1/ 2 q |(t, )| d dt |(t, )| dt d, 0 q 2, 0 |t| |t| из (2.9) получаем h h 1/q q/2 1/q sin t m q (f (r), )2 d m 2r 2 t |F (f ;

t)| 1 dt d m t 0 0 |t| h q/2 1/q sin t m m/2 2r =2 t |F (f ;

t)| 1 dt d t 0 |t| h 2/q 1/ sin t mq/ m/2 rq q 2 t |F (f ;

t)| 1 d dt t |t| h 2/q 1/ sin t mq/ m/2 2 rq (2.10) =2 |F (f ;

t)| t 1 d dt.

t |t| Докажем, что функция h sin t mq/ rq (2.11) (t) = t 1 d t в области Q = {t : |t| } является монотонно возрастающей и min{(t) : t Q} = ().

Дифференцируя функцию (2.11), получаем h h sin t d sin t mq/2 mq/ rq1 rq (2.12) (t) = rqt 1 d + t 1 d.

t dt t 0 Воспользовавшись легко проверяемым тождеством d sin t d sin t mq/2 mq/ 1 = dt t t d t О точных значениях средних -поперечников некоторых классов и выполнив интегрирование по частям во втором интеграле правой части равенства (2.12) с учетом условия теоремы получаем h h sin t d sin t mq/2 mq/ rq1 rq (t) = rqt 1 d + t 1 d t dt t 0 h sin th sin t mq/2 mq/ = trq1 h 1 + (rq 1) 1 d 0.

th t Поэтому из неравенства (2.10) следует, что h h 1/q 1/q 1/ sin mq/ q (f (r), )2 d m/2 rq 2 1 d |F (f ;

)| dt m 0 0 |t| h 1/q sin mq/ m/2 r (2.13) =2 A (f ) 1 d.

В неравенстве (2.13), заменяя h на h/ и сделав замену переменной t =, имеем h h 1/q 1/q sin t mq/ q (f (r), t/)2 d m/2 r (2.14) 2 A (f ) 1 dt.

m t 0 С учетом определения величины (2.5) из неравенства (2.14) получаем оценку сверху h 1/q sin t mq/ m/ (2.15),r,m,q (h) 2 1 dt.

t Для получения оценки снизу величины (2.5) рассмотрим целую функцию экспоненциаль ного типа + следующего вида [13] 2 sin( + )x sin x g (x) =, 0 (/h 1).

x x sin ax Поскольку преобразование Фурье функции (x) =, (a 0) равна x 1, если |x| a;

если |x| = a;

0, если |x| a, F (, x) =, 2 2 то преобразование Фурье g (x) имеет вид 1, если |x| + F (g, x) =, если |x| = + или |x| = 0, если |x| + или |x|.


Из (2.1) следует, что + A2 (g ) 2 |F (g, t)|2 dt = 2.

= |F (g, t)| dt = |F (g, t)| dt + |t| (+) 322 М. Ш. Шабозов, Г. А. Юсупов (r) Очевидно, что g L2 (R), и так как функция sin x/x на отрезке [0, ] является монотонно (r) убывающей и имеет место формула F (g, x) = (ix)r F (g, x), то, используя левую сторону неравенства (2.9), запишем + sin(xt/) m 2 (g, t/)2 = 2m+ (r) x2r 1 dx m xt/ sin t(1 + /) sin t(1 + /) m m 2m+1 ( + )2r 1 = 2m A2 (g )( + )2r 1 (2.16).

t(1 + /) t(1 + /) Из неравенства (2.16) для любых 0, m, r N, 1/r q 2 и 0 h /2 получаем h h 1/q 1/q sin t(1 + /) mq/ q (g, t/)2 dt (r) m/2 r (2.17) 2 A (g )( + ) 1 dt.

m t(1 + /) 0 Неравенство (2.17) запишем в виде h 1/q A (g )( + )r sin t(1 + /) mq/ m/ 2 1 dt t(1 + /) h 1/q q (g, t/)2 dt (r) m (r) и, устремляя к нулю и переходя к верхней грани по всем функциям g L2 (R), получаем h 1/q sin t mq/ m/ (2.18),r,m,q (h) 2 1 dt.

t Теперь из сопоставления неравенств (2.15) и (2.18) выводим равенство (2.6), чем и завер шаем доказательство теоремы 2.1.

3. Значения средних -поперечников класса Wq () Пусть (t), t 0 произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что (0) = 0.

Символом Wq () := W (r, m, q;

), где r, m Z+, 1/r q 2, обозначим множество функций (r) f L2 (R), r-е производные которых удовлетворяют условию h 1/q q (f (r), t)dt (h) h (0, ].

m Следуя работам [13;

14], через t обозначим величину аргумента x (0, ) функции sin x/x, при котором она достигает своего наименьшего значения. Очевидно, что t есть наимень ший из положительных корней уравнения x = tg x. Простые вычисления показывают, что 4.49 t 4.51. Полагаем sin x sin x sin t, если 0 x t ;

1, если x t, (3.1) 1 := x x t A (Wq ())L2 (R) = sup A (f ) : f Wq ().

В формулировке нижеследующей теоремы через (·) обозначим любой из средних попе речников: бернштейновский b (·), колмогоровский d (·) или линейный (·).

О точных значениях средних -поперечников некоторых классов Теорема 3.1. Если для всех µ 0, 0 h, m, r N, 1/r q 2 мажоранта (u) удовлетворяет условию µ h sin t sin t mq/2 mq/ q q (3.2) 1 dt (h) 1 dt, µ t t 0 то для любого 0 имеют место равенства 1/q sin t mq/ m/2 r+1/q (1/), (3.3) (Wq (), L2 (R)) = A (Wq ())L2 (R) = 2 () 1 dt t При этом пара (L2 (R), f ), где f определяется из условия F ( f, ·) = (·)F (f, ·), F преобразование Фурье в L2 (R), характеристическая функция интервала (, ), будет экстремальной для среднего линейного поперечника (·), а пространство B,2 явля ется экстремальным для среднего поперечника по Колмогорову d (·).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из результатов работы [8] следует, что dim(B,2 ;

L2 (R)) =.

Из неравенства (2.13) для произвольного f L2 (R) имеем h h 1/q 1/q sin t mq/ q (f (r), t)dt m/2 r (3.4) A (f ) 2 1 dt.

m t 0 Полагая в правой части (3.4) h = / и используя определение класса Wq (), получаем оценку сверху среднего линейного поперечника 1/q sin t mq/ m/2 r+1/q (1/). (3.5) (Wq (), L2 (R)) A (Wq ())L2 (R) 2 () 1 dt t Получим оценку снизу для среднего -поперечника по Бернштейну класса Wq (). Для def этого положим 1 = (1 + ), где 0 произвольное число, и рассмотрим шар def S1,1 = B1,2 1 BL2 (R) = g1 B1,2 : g1 радиуса /1 1/q sin 1 t mq/ r 2m/2 1 = 1 dt (/1 ).

1 t При этом, как вытекает из результатов работы [8;

9], d (B1,2 BL2 (R), L2 (R)) = 1.

Согласно теореме Винера Пэли [4, с. 66], произвольный элемент g1 B1,2 представим в следующем виде:

eixt (t)dt.

g1 (x) = 324 М. Ш. Шабозов, Г. А. Юсупов Имеет место равенство |(t)|2 dt := g1 = L2 [1,1 ].

Поскольку 1 m m (g1, x) eixt (eihj t 1)(t)dt, = h 2 j= то мы получаем 1 m m g1 (·) = 2m (1 cos hj t)|(t)|2 dt. (3.6) h j= Из (3.6), согласно определению величины (2.3) с учетом равенства (3.1), имеем 1 u 1/ m 2m m (g1, u) = (1 cos hj t)dhj |(t)| dt um j=1 1 1/ sin ut sin 1 u m m/ m/2 2m/2 1 (3.7) =2 1 |(t)| dt g1.

ut 1 u (r) r Используя известное неравенство 1 g1 [2, с. 137], верное для любого g1 B1,2, g из (3.7) получаем sin 1 u m/ m (g1, u) 2m/2 1 (r) r (3.8) g1.

1 u Покажем, что шар S1,1 принадлежит классу Wq (). С этой целью обе части неравен ства (3.8) возведем в степень q (1/r q 2) и проинтегрируем по u в пределах от 0 до h:

h h sin 1 u mq/ rq q (g1, u)du (r) 2mq/2 1 q (3.9) g1 1 du.

m 1 u 0 Учитывая, что g1 S1,1, из (3.9) получаем h sin 1 u mq/ 1 du h 1 u q (g1, u)du (r) q (3.10).

m / sin 1 u mq/ 1 du 1 u Сделаем в правой части (3.10) замену переменной 1 u = v:

1 h sin v mq/ 1 dv h v q (g1, u)du (r) q (3.11).

m sin v mq/ 0 1 dv v О точных значениях средних -поперечников некоторых классов Полагая /h1 = 1/µ, из (3.11) и ограничения (3.2) получаем µ sin v mq/ 1 dv h v h q (g1, u)du (r) q q (h), m µ sin v mq/ 0 1 dv v а это означает, что S1,1 Wq (). Воспользовавшись определением -поперечника по Берн штейну, запишем b (Wq (), L2 (R)) b (S1,1, L2 (R)) (1/(1 + ))((1 + ))r (3.12).

1/((1+)) 1/q sin (1 + )t mq/ 2m/2 r 1 dt (1 + )t Левая часть неравенства (3.12) не зависит от 0, которое в силу нашего выбора является произвольным числом. Устремляя к нулю, из (3.12) имеем 1/ 1/q sin t mq/ m/2 r r b (Wq (), L2 (R)) 2 1 dt t 1/q sin t mq/ m/2 r+1/q (3.13) =2 () 1 dt.

t Сопоставляя неравенства (3.5) и (3.13), с учетом соотношений (1.1) получаем равенство (3.3).

Теорема 3.1 доказана.

Условие (3.2) теоремы 3.1 выглядит неестественным. Однако это не так. Покажем, что среди степенных функций (u) = u/q, возрастающих на положительной полуоси, существует та, для которой выполняется неравенство (3.2) при любых значениях µ 0, h (0, ], m, r N, 1/r q 2. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 3.2. Для того чтобы неравенство (3.2) имело место с любыми заданными µ 0, 0 h, m, r N, 1/r q 2, необходимо и достаточно, чтобы число = (m, q) определялось по формуле sin t mq/ (3.14) = 1 dt.

t Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что функция (t) = t/q, где определяется из (3.14), удовлетворяет ограничению (3.2). Для числа := (m, q) имеем следующую границу значений:

(3.15) 1 mq + 1.

Подставляя в (3.2), получим следующее неравенство:

µ sin t sin t mq/2 mq/ (3.16) µ 1 dt 1 dt.

t t 0 326 М. Ш. Шабозов, Г. А. Юсупов С учетом (3.14) неравенство (3.16) примет вид µ sin t mq/ µ 1 dt, 0 µ +.

t Рассмотрим вспомогательную функцию µ mq/ sin t (µ) = µ (3.17) 1 dt t и покажем, что для всех µ [0, +) функция (µ) 0. Рассуждения проведем для трех случаев: 0 µ 1, 1 µ t /, t / µ +.

Пусть сначала 0 µ 1. Запишем функцию в окрестности нуля mq/ O(µmq+1 ). (3.18) (µ) = µ 6 mq + Из (3.18) в связи с неравенством (3.15) следует, что в бесконечно малой окрестности нуля функция является положительной. Покажем, что на интервале (0, 1) функция знакопо стоянна. Рассуждая методом от противного, предположим, что существует точка (0, 1), в которой функция меняет знак. Поскольку из (3.17) следует, что (0) = (1) = 0, в силу теоремы Ролля заключаем, что производная sin µ mq/ (µ) = µ1 1 (3.19) µ должна иметь не менее двух различных нулей на интервале (0, 1) и, кроме того, (1) = 0. Но это невозможно, поскольку (µ) является разностью двух функций, одна из которых выпукла вниз, а другая выпукла вверх. Из геометрических соображений очевидно, что может иметь на (0, 1) не более двух различных нулей. Полученное противоречие доказывает, что (µ) для любого µ [0, 1].

Пусть теперь 1 µ t /. В этом случае из (3.19) сразу следует, что (µ) 0 на отрезке (1, t /]. Таким образом, и в этом случае неравенство (3.16) доказано.

Наконец, пусть t / µ +. Используя соотношение (3.1), из (3.17) получаем t sin t sin t mq/2 mq/ (µ) = µ 1 dt (µ t ) 1.

t t Отсюда имеем sin t mq/ (µ) = µ1 1 0, µ [t /;

+).

t Это означает, что на рассматриваемом промежутке t / µ + неравенство (3.16) также выполняется. Теорема 3.2 доказана.

Авторы благодарят рецензента за ценные советы и замечания, использованные в работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965. 406 c.

2. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.:Наука, 1969. 480 с.

О точных значениях средних -поперечников некоторых классов 3. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960.

624 с.

4. Ибрагимов И.И. Теория приближения целыми функциями. Баку: Элм, 1979. 468 с.

5. Ибрагимов И.И., Насибов Ф.Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени // Докл. АН СССР. 1970. Т. 194, № 5. С. 1013–1016.

6. Попов В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспонен циального типа // Изв. вузов. Математика. 1972. № 6. С. 65–73.

7. Насибов Ф.Г. О приближении в L2 целыми функциями // Докл. АН Азербайджанской ССР.

1986. Т. XLII, № 4. С. 3–6.

8. Магарил-Ильяев Г.Г. Средняя размерность, поперечники и оптимальное восстановление собо левских классов функций на прямой // Мат. сб. 1991. Т. 182, № 11. С. 1635–1656.

9. Магарил-Ильяев Г.Г. Средняя размерность и поперечники классов функций на прямой // Докл.

СССР. 1991. Т. 318, № 1. С. 35–38.

10. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. О приближении классов функций на прямой сплай нами и целыми функциями // Дифференциальные уравнения и функциональный анализ: сб. тр.

М.: Изд-во Ун-та Дружбы народов, 1991. С. 116–129.

11. de Boor C., Schoenberg I.J. Cardinal interpolation and spline functions VIII // Lect. Notes Math.

1976. Vol. 501. P. 1–79.

12. Вакарчук С.Б. О наилучшем полиномиальном приближении целых трансцендентных функций в некоторых банаховых пространствах. I // Укр. мат. журнал. 1994. Т. 47, № 9. С. 1123–1133.

13. Vakarchuk S.B. Exact constant in an inequality of Jackson type for L2 approximation on the line and exact values of mean widths of functional classes // East J. Approx. 2004. Vol. 10, no. 1–2. P. 27–39.

14. Vakarchuk S.B., Zabutna V.I. Widths of function classes from L2 and exact constants in Jackson type inequalities // East J. Approx. 2008. Vol. 14, no. 4. P. 411–421.

15. Шабозов М.Ш., Мамадов Р. Наилучшее приближение целыми функциями экспоненциального типа в L2 (R) // Вестн. Хорог. гос. ун-та. 2001. Cер. 1, № 4. С. 76–81.

16. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б., Мамадов Р. О точных значениях средних n-поперечников некоторых классов функций // Докл. АН Респ. Таджикистан. 2009. Т. 52, № 4. С. 247–254.

17. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Моск. гос. ун-та, 1976. 325 с.

18. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987. 424 с.

19. Pinkus A. n-Widths in approximation theory. Berlin: Springer-Verlag, 1985. 252 p.

20. Sun Yong Sheng. On optimal interpolation for dierentiable function class. I // Approx. Theory Appl.

1986. Vol. 2, no. 4. P. 49–54.

21. Сунь Юн-шен, Ли Чунь. Наилучшее приближение некоторых классов гладких функций на действительной оси сплайнами высшего порядка // Мат. заметки. 1990. Т. 48, № 4. С. 100–109.

22. Тихомиров В.М. Об аппроксимативных характеристиках гладких функций // Тр. конф. по дифференц. уравнениям и вычисл. математике. Новосибирск: Наука, 1980. С. 183–188.

23. Hardy G.G., Littlewood J.E., Polya G. Inequality. 2nd ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1952. 346 p.

Шабозов Мирганд Шабозович Поступила 23.11. д-р физ.-мат. наук, профессор академик АН Республики Таджикистан зав. отделом Институт математики АН Республики Таджикистан e-mail: shabozov@mail.ru Юсупов Гулзорхон Амиршоевич канд. физ.-мат. наук Таджикский национальный университет e-mail: G_7777@mail.ru ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН Том 18 № 4 ИЗ ПИСЬМА В РЕДАКЦИЮ И. Е. Симонов В томе 17, № 3 опубликована моя статья “Точное неравенство типа братьев Марковых в пространствах Lp, L1 на отрезке”.

В ней допущены следующие неточности.

(1) Формулы для точной константы (1.3) на с. 283 должны выглядеть следующим образом:

n 2 n!, p = 0, e 2n n!

p (0, 2n2 1], (1 + p)1/p, (0.1) Cp (n) = n 2 n! t + c, p (2n2 1, ), 1 + c2 np n (n 1)!, p =.

n2 + 1 n (2) На с. 283 в 5-й строке снизу в предположении леммы должны быть более строгие ограничения на n: n R, n 2.

(3) В формулировке теоремы 2 на с. 289 в связи с различным определением норм в формуле для нормы многочлена допущена неточность, данная формула должна выглядеть следующим образом: 1 + c, если |c| 1, n 2n n n1 k min t + c t + ak t = |c| n {ak }k=0 1, если |c| 1.

k= 2n (4) Последняя формула используется для вычисления Cp (n) на с. 289 в 7-й строке снизу, поэтому следует исправить c c 2 t+ t+ n n p p Cp (n) = 2n1 n! max max, sup, 1 + c2 |c| |c|1 |c| (5) С учетом п. (3) формула в последней строке с. 289 должна выглядеть следующим образом:

c t+ np Cp (n) = 2n n! max.

c[0,1] 1 + c Поступило 15.05. ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН Том 18 № 4 НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ КРАСОВСКИЙ 4 апреля 2012 г. на 88-м году скончался Николай Николаевич Красовский, академик РАН, крупнейший математик современности.

Николай Николаевич родился 7 сентября 1924 г. в Свердловске в семье известного в горо де врача. В 1949 г. окончил металлургический факультет Уральского политехнического ин ститута. В течение последующих 10 лет работал на кафедре высшей математики УПИ, в 1959–1970 гг. в Уральском государственном университете. В 1964 г. был избран членом корреспондентом, а в 1968 г. действительным членом Академии наук СССР, ныне Россий ской академии наук. С 1970 по 1977 г. возглавлял Институт математики и механики Ураль ского научного центра АН СССР. Был членом Президиума РАН, бюро Отделения механики и процессов управления АН СССР, Президиума УрО РАН, входил в состав Президиума Нацио нального комитета по теоретической и прикладной механике. В последние годы был главным научным сотрудником отдела динамических систем ИММ УрО РАН.

Фундаментальные труды Николая Николаевича по ключевым проблемам теории устой чивости и стабилизации движения, теории оптимального управления, теории управления в условиях неопределенности и конфликта внесли выдающийся вклад в сокровищницу миро вой науки и послужили отправным пунктом для многих исследований в стране и за рубе жом. Н. Н. Красовский автор более 300 научных публикаций, в том числе 6 монографий.

Он являлся продолжателем уральской научной школы по теории устойчивости движения, ос нователем и главой уральской научной школы по математической теории управления.

Среди его учеников инженеры и преподаватели, кандидаты и доктора наук, члены-кор респонденты и академики РАН. В школе Н. Н. Красовского получен ряд научных результатов мирового уровня.

Деятельность Н. Н. Красовского в должности директора Института математики и механи ки, его авторитет и энергия способствовали утверждению Института как ведущего научного центра в области математики и механики в нашей стране, обеспечили качественно новый уро вень развития Института. Он инициировал и поддерживал многие направления прикладных исследований по механике и новой технике. Большое значение Николай Николаевич придавал оснащению Института первоклассной вычислительной техникой, развитию вычислительного дела в Уральском регионе.

Весомый вклад внес Н. Н. Красовский в математическое образование на Урале и как круп ный организатор, и как блестящий лектор. В частности, в 60-е годы им были созданы в Уральском госуниверситете две новые кафедры под новые специализации: вычислительной математики и прикладной математики. Много времени и сил Николай Николаевич отдавал пропаганде достижений фундаментальной науки среди учёных-прикладников, инженеров, ме диков. Для них он разработал и прочитал ряд курсов, содержащих в доступной форме идеи и новейшие методы в математике, механике и информатике. Символично, что американский Институт инженеров электротехники и электроники (IEEE), присуждая ему премию 2003 г., отметил его “новаторские идеи, которые были восприняты как теоретиками, так и инженерами практиками”.

Научные достижения и преподавательская деятельность Н. Н. Красовского высоко оцене ны государством (Герой Социалистического Труда, лауреат Ленинской и Государственной пре мий, кавалер орденов Советского Союза и России) и научной общественностью (Большая зо лотая медаль РАН им. М. В. Ломоносова, Золотая медаль им. А. М. Ляпунова, Демидовская премия в области физико-математических наук, золотая медаль УрО РАН имени академика С. В. Вонсовского, доктор Honoris cаusa Венгерской академии наук, награда Международного общества инженеров электриков и электронщиков, лауреат премии программы Фонда содей ствия отечественной науки “Выдающиеся учёные”).

Николай Николаевич имел безоговорочный авторитет и в среде школьных учителей и ра ботников народного просвещения. В 1985 г. именно он внес решающий вклад в компьютери зацию школ Свердловской области, принял активнейшее участие во внедрении в школьную программу курса информатики. Николай Николаевич всегда оставался настоящим уральцем, патриотом родного города и края.

Все знали высочайшую требовательность Николая Николаевича к себе, его скромность и приверженность нравственным ценностям.

Светлая память о блестящем ученом, замечательном человеке, Учителе навсегда останется в наших сердцах, его уроки останутся для нас непреходящей ценностью.

ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН Том 18 № 4 БАЛАГАНСКИЙ ВЛАДИМИР СЕРГЕЕВИЧ 7 апреля 2012 г. на 62-м году ушел из жизни ведущий научный сотрудник отдела аппрок симации и приложений Института математики и механики УрО РАН Владимир Сергеевич Балаганский. В 1974 г. он окончил Уральский госуниверситет и в 1978 г. был принят в аспи рантуру ИММ УрО РАН. Его научным руководителем был известный специалист по геомет рической теории приближений Л.П. Власов. В.С. Балаганский внес значительный вклад в раз витие общей теории аппроксимативных свойств множеств в банаховых пространствах, где им получены глубокие и, в основном, окончательные результаты. Ему принадлежит наиболее су щественное на сегодняшний день продвижение в знаменитой и нерешенной до сих пор проблеме Н.В. Ефимова, С.Б. Стечкина и В. Кли о выпуклости чебышевских множеств в гильбертовых пространствах. В 1982 г. В.С. Балаганский защитил кандидатскую диссертацию, а в 1998 г.

докторскую. Он является автором более 70 научных работ как по фундаментальной, так и по прикладной математике. Владимир Сергеевич активно участвовал в разработке эффективных по затратам машинного времени итерационных методов формирования широких диаграмм направленности гибридных зеркальных антенн с фазовым управлением. Ему принадлежат тонкие исследования по антипроксиминальным множествам в банаховых пространствах.

В.С. Балаганский был талантливым математиком, он прекрасно владел как геометриче скими, так и аналитическими методами. Ярким примером тому является разработанный им и содержащий оба этих начала метод доказательства непрерывности точной “константы” в неравенстве Джексона Стечкина в пространстве L2 (T) как функции от аргумента старшего модуля непрерывности.

Владимир Сергеевич Балаганский был очень доброжелательным, щедрым и отзывчивым человеком, светлая память о нем навсегда сохранится в наших сердцах.

ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ТОМА 18, 2012 г.

№ Стр.



Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.