авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ Том 18, № 4 ...»

-- [ Страница 9 ] --

Перейдем теперь к доказательству соотношения (2.2).

Покажем сначала, что при 2 p имеет место соотношение 1/ s (2.11) EQn (M Bp, ) sup ((2 ) As (g) p ), gT (Qn )1 s где T (Qn )1 = {t : t 1 1 T (Qn ) (t, ) = 0}, 1/p + 1/p = 1.

Действительно, вследствие применения теоремы двойственности Никольского (см., напри мер, [14, введение, § 2]), соотношения (1.6) и неравенства Гельдера имеем EQn (M Bp, ) = sup sup (f, g) = sup sup (s (f ), s (g)) f M Bp, gT (Qn )1 f M Bp, gT (Qn ) s = sup sup ||s (f )||p s (g) sup sup As (f ) As (g) p p p gT (Qn )1 f M Bp, gT (Qn )1 f M Bp, s s s s 1 (2 ( = sup sup ) As (f ) ) As (g) 1 p p n )1 f M Bp, gT (Q s 1/ s = sup sup f (2 ) As (g) M Bp, p gT (Qn )1 f M Bp, s 1/ s = sup (2 ) As (g).

p gT (Qn )1 s Из (2.11) с 1/2 вместо и 2 вместо p и уже доказанных оценок сверху в (2.1) и (2.3) вытекает оценка для g T (Qn )1, а именно 1/ 1 1 1 n s 2 (2n )2 2 n(d1)( 2 )+. (2.12) (2 ) As (g) s 2/a1 22/a Воспользовавшись неравенством (см., например, [14, введение, § 1]) f a f 1 f (1 a 2), а затем неравенством Гельдера с показателем p /(2(p 1)) 1 (1 p 2), полу чим 1/ s (2 ) As (g) p s Наилучшее приближение периодических функций нескольких переменных 1 (1 p ) ( p 1) p s 2 s (2 ) As (g) (2 ) As (g) 1 2 s 2p 2 (1 p ) p 1 2p s (2||s||1 ) As (g) (2 (2.13) ) As (g).

2 s s Далее, поскольку g T (Qn )1, то ||As (g)||1 1, то s (2 ) 1 2p 2p s s (2 ) As (g) 1 1 s 2 s s 1 nd (2(nd) ) 2p 2p 2p s (n d)d 2 (2(nd) ) 2(nd) s 1 nd nd1.

(2n ) (2.14) 2p Подставляя (2.12) и (2.14) в (2.13), а затем (2.13) в (2.11), для 1 2 получим 2p (d1)( 1 1 )+ p d n n n p EQn (M Bp, ) (2 )2 n (2 ) n 2p 2 2 2 1 (d1)( p ) n = (2n )2 p n, а для 2 1 EQn (M Bp, ) (2n )2 p n(d1)( p ).

n Таким образом, при 2 p, 1 теорема доказана.

Теперь остается установить в (2.3) оценку сверху для 2 p, = 1, а также оценку снизу в обоих случаях.

Для 1 p, = 1, учитывая (1.14) и (1.13), имеем EQn (M Bp,1 ) EQn (M Bp,1 ) (2n )2n/p.

Поскольку правая часть (2.3) не зависит от размерности d, то нижнюю оценку в (2.3) можно установить исходя из одномерного случая, который содержится, например, в [13].

Теорема доказана.

В завершение работы приведем некоторые комментарии.

З а м е ч а н и е 1. Доказанная теорема в случае ( ) = r, r 1/p, т. е. для классов r M Bp,, известна и для 1 p 2, = установлена в [17], для 1 p, = в [14, гл. 3, § 3], для 1 p 2, 2 в [18], а для 1 p 2, 1 2 или 2 p, 1 в [19].

З а м е ч а н и е 2. Сравнивая (2.1)–(2.3) с (1.13) приходим к выводу, что при 1 p, d 2,,l, 1/p имеют место соотношения EQn (M Bp, ) = o EQn (M Bp, ), 1, EQn (M Bp,1 ) EQn (M Bp,1 ).

Если же d = 1, то при 1 p,,,l, 1/p имеем (см., например, [13;

20]) EQn (M Bp, ) EQn (M Bp, ) (2n )2n/p, 1 p, EQn (M B, ) nEQn (M B, ) (2n )n.

В заключение выражаю искреннюю признательность рецензенту за сделанные им полезные замечания, которые способствовали улучшению изложения материала работы.

266 С. А. Стасюк СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопря женных функций // Тр. Моск. мат. о-ва. 1952. Т. 2. С. 489–523.

2. Sun Yongsheng, Wang Heping. Representation and approximation of multivariate periodic functions with bounded mixed moduli of smoothness // Тр. Математического ин-та им. В.А. Стеклова. 1997.

Т. 219. С. 356–377.

3. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпо зиционной точки зрения // Тр. МИАН СССР. 1989. Т. 187. С. 143–161.

4. Пустовойтов Н.Н. Представление и приближение периодических функций многих переменных с заданным смешанным модулем непрерывности // Anal. Math. 1994. Т. 20, № 1. P. 35–48.

5. Стасюк С.А., Федуник О.В. Апроксимативнi характеристики класiв Bp, перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн. 2006. Т. 58, № 5. С. 692–704.

6. Динь Зунг. Приближение функций многих переменных на торе тригонометрическими полинома ми // Мат. сб. 1986. Т. 131(173), № 2(10). С. 251–271.

7. Пустовойтов Н.Н. Приближение многомерных функций с заданной мажорантой смешанных модулей непрерывности // Мат. заметки. 1999. Т. 65, № 1. С. 107–117.

8. Пустовойтов Н.Н. О приближении и характеризации периодических функций многих перемен ных, имеющих мажоранту смешанных модулей непрерывности специального вида // Anal. Math.

2003. Т. 29, № 3. С. 201–218.

9. Стасюк С.А. Найкращi наближення, колмогоровськi та тригонометричнi поперечники класiв Bp, перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн. 2004. Т. 56, № 11. С. 1557–1568.

10. Федуник О.В. Оцiнки апроксимативних характеристик класiв Bp, перiодичних функцiй багатьох змiнних в просторi Lq // Проблеми теорiї наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. Київ: Iн-т математики НАН України, 2005. Т. 2, № 2. С. 268–294.

11. Стасюк С.А. Наилучшие приближения периодических функций многих переменных из клас сов Bp, // Мат. заметки. 2010. Т. 87, № 1. С. 108–121.

12. Стасюк С.А. Наилучшее приближение периодических функций нескольких переменных из клас сов M Bp, // Укр. мат. журн. 2012. Т. 64, № 1. С. 140–144.

13. Стасюк С.А. Наближення класiв Bp, перiодичних функцiй багатьох змiнних полiномами зi спек тром в кубiчних областях // Мат. Студiї. 2011. Т. 35, № 1. С. 66–73.

14. Temlyakov V.N. Approximation of periodic functions. New York: Nova Science, 1993. 419 p.

15. Стасюк С.А. Наближення класiв Bp, перiодичних функцiй багатьох змiнних у рiвномiрнiй мет рицi // Укр. мат. журн. 2002. Т. 54, № 11. С. 1551–1559.

16. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. МИАН СССР. 1986. Т. 178. С. 1–112.

17. Темляков В.Н. Приближение периодических функций нескольких переменных тригонометриче скими полиномами и поперечники некоторых классов функций // Изв. АН СССР. Сер. математи ческая. 1985. Т. 49, № 5. С. 986–1030.

18. Романюк А.С. Приближение классов Bp, периодических функций многих переменных линей r ными методами и наилучшие приближения // Мат. сб. 2004. Т. 195, № 2. С. 91–116.

19. Романюк А.С. Наилучшие приближения и поперечники классов периодических функций многих переменных // Мат. сб. 2008. Т. 199, № 2. С. 93–114.

20. Миронюк В.В. Наближення класiв Bp, перiодичних функцiй багатьох змiнних сумами Фур’є у просторi Lp при p = 1, // Укр. мат. журн. 2012. Т. 64, № 9. С. 1204–1213.

Стасюк Сергей Андреевич Поступила 14.06. канд. физ.-мат. наук старший науч. сотрудник Инcтитут математики НАН Украины, Киев e-mail: stasyuk@imath.kiev.ua ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН Том 18 № 4 УДК 517. ОДНОСТОРОННИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ Ю. Н. Субботин В работе изучаются односторонние поперечники классов функций Wp [0, 1] в метрике Lq [0, 1], 1 p, q r, r 1. Такие поперечники определяются аналогично колмогоровским поперечникам, но накладыва ются дополнительные ограничения на приближающие функции.

Ключевые слова: односторонние поперечники, точные порядки, классы гладких функций.

Yu. N. Subbotin. One-sided widths of classes of smooth functions.

One-sided widths of the classes of functions Wp [0, 1] in the metric Lq [0, 1], 1 p, q, r 1, are studied.

r Such widths are dened similarly to Kolmogorov widths with additional constraints on the approximating functions.

Keywords: one-sided widths, exact orders, classes of smooth functions.

Приведем соответствующие определения в рассматриваемом случае. Колмогоровским по перечником (см. [1]) называется следующая величина:

r (1) dn (Wp, Lq ) = inf sup inf f g Lq, Ln Lq f W r g(x)Ln p r где Ln n-мерное подпространство пространства Lq [0, 1], Wp класс функций f (x), пред ставимых в форме x (x t)r1 f (r) (t) dt.

f (x) = Pr1 (x) + (r 1)!

натуральное, f (r1) (x) Здесь Pr1 (x) многочлен степени не выше r 1, r 1, r 1 1/p |f (r) (x)|p dx абсолютно непрерывна, а f (r) 1, 1 p, где под f (r) = Lp L понимается ess sup{|f (r) (x)| : 1 x }.

Соответствующий односторонний поперечник (см. [2]) определяется следующим образом:

d+ (Wp, Lq ) = inf r sup inf f g Lq.

n Ln Lq f W r g(x)Ln p g(x)f (x) r Порядки по n поперечников dn (Wp, Lq ) (1) изучались многими авторами. Обстоятельная информация по этому поводу достаточно полно изложена в [3], где и получены окончательные результаты в этом направлении. А именно справедлив следующий окончательный порядковый результат:

nr, если 1 q p или 2 p q, r 2 + p r, если 1 p 2 q, (2) dn (Wp, Lq ) n r 1 + если 1 p q 2, n p, q r где знак означает, что для dn (Wp, Lq ) получены оценки сверху и снизу с указанными по рядками поведения по n, но с различными константами, зависящими только от r, p, q.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 11-01-00347а) и программы Отделения матема тических наук РАН, финансируемой из средств УрО РАН (проект 12-Т-1-1003/4).

268 Ю. Н. Субботин В настоящей работе показано, что порядки по n в (2) справедливы и для односторонних поперечников d+ (Wp, Lq ).

r n Справедлива Теорема. Для любых натуральных r 1, 1 p, q справедливы порядковые равен ства nr, если 1 q p или 2 p q, r 2 + p + r, если dn (Wp, Lq ) n 1 p 2 q, r 1 + если n p, 1 p q 2.

q Д о к а з а т е л ь с т в о. Оценки снизу следуют непосредственно из определения, а имен но d+ (Wp, Lq ) dn (Wp, Lq ), и оценок (2).

r r n При оценках сверху рассмотрим несколько случаев. Разобьем отрезок [0, 1] на n равных r отрезков [xi, xi+1 ] (i = 0, 1,..., n 1), xi = i/n. На каждом отрезке функцию f (x) из Wp будем приближать отрезком ряда Тейлора (x xi )r1 xi + xi+ i,r (x) = f (xi )(x xi ) + · · · + f (r1) (xi ), xi =.

(r 1)! Имеем x (x t)r1 f (r) (t) dt, (3) |f (x) i,r (x)| = x [xi, xi+1 ].

(r 1)!

xi Справедливы оценки (1/p + 1/p1 = 1) x (x t)r1 f (r) (t) dt |f (x) i,r (x)| (r 1)!

xi 1 x x 1 p1 p |x t|(r1)p1 dt |f (r) (t)|p dt (r 1)!

xi xi xi+1 1 p (r1)p1 + |f (r) (t)|p dt |x xi | p (r 1)!

xi xi+1 r1+ p 1 (xi+1 xi ) p |f (r) (t)|p dt (4) = Ci.

(r 1)! r1+ p 2 xi Таким образом, справедливы неравенства (5) f (x) i,r (x) + Ci 0 (i = 0, 1,..., n 1), xi+1 r1+ p 1 (xi+1 xi ) p |f (r) (t)|p dt (6) 0 f (x) i,r (x) + Ci 2Ci =.

r+ (r 1)! 2 p1 xi Через Lnr обозначим nr-мерное подпространство функций g(x) вида g(x) = Pr1,i (x), x [xi, xi+1 ] (i = 0, 1,..., n 1), где Pr1,i (x) многочлен степени не выше r 1. Тогда для функций, использованных в (3)–(6) и принадлежащих Lnr, имеем xi+1 n1 q d+ 1 (Wp, Lq ) r q |f (x) i,r (x) + Ci | dx nr i=0 xi Односторонние поперечники классов гладких функций xi+ 1 q 1 n1 n r p + q 1 q p q (xi+1 xi )(2Ci )q |f (r) (t)|p dt (7).

r n (r 1)!2 p i=0 i=0 xi xi+ n |f (r) (t)|p dt 0, тогда из условия f Wp следует, что r Обозначим i = i=0 i = 1.

xi q Отсюда и из (7) вытекает, что n1 ip достигает наибольшее значение при q/p 1, когда i= одно из i равно 1, а остальные равны нулю, т. е. в этом случае r p + 1 1 q d+ (Wp, Lq ) r, q p.

nr n (r 1)!2r p При q p наибольшее значение правой части (7) достигается, когда i = (1/n), т. е. в этом случае r p + 1 n1 q 1 1 1 q q p d+ (Wp, Lq ) r nr r 1 n n (r 1)!2 p i= r p + 1 r 1 1 1 1 q p (8) = nq = (q p).

1 n n n (r 1)!2r p (r 1)!2r p Далее рассмотрим случай 2 p q. При этом используем факт, указанный в [3].

Имеют место неравенства d+ (Wp, Lq ) d+ (Wp, L ) d+ (W2, L ).

r r r (9) n n n r Первое из неравенств (8) следует из неравенства f L, второе из вложения Wp f Lq r W2, так как 1 1 1 1 1 p 2 p p p p 2· p |f (r) (x)|2 dx |f (r) (x)| |f (r) (x)|p dx dx (1) dx =.

2 p 0 0 0 Из неравенства (8) при 2 p q выводим, что dn (Wp, Lq ) d+ (Wp, Lq ) d+ (W2, L ) 2dn (W2, L ) nr, r r r r n n 2pq т. е. в этом случае d+ (W2, L ) nr, r 2 p q.

n 1 r 2 + p Осталось показать, что при 1 p 2 q поперечник d+ (Wp, Lq ) n r. Учитывая n первое из неравенств (9), имеем d+ (Wp, Lq ) d+ (Wp, L ).

r r n n Далее отметим следующий факт. Если множество W [0, 1] из L содержит произволь ную константу, то и приближающие подпространства должны содержать константу, иначе dn (W, L ) =. Поэтому dn (Wp, L ) d+ (Wp, L ) = inf sup r r inf f g Lq n Ln f W r g(x)Ln p g(x)f (x) 1 2dn (Wp, L ) nr+ 2 + p r r inf sup inf f g + dn (Wp, L ) (1 p 2 g ).

L Ln f W r g(x)Ln p 270 Ю. Н. Субботин По поводу последней эквивалентности (см. (2) случай (p 2 q )).

По заданному m найдем [m/r], где [m/r] целая часть числа m/r. Тогда [m/r]r m ([m/r] + 1)r. В этом случае d+ ]r+1 (Wp, Lq ) d+ (Wp, Lq ) d+ ]r (Wp, Lq ) r r r m [m [m r r и из предыдущего получаем точный порядок поведения односторонних поперечников отно сительно m (m ) для любых m, а не только для m кратных r. При этом константы эквивалентности конечны и зависят только от r, p, q;

r N, 1 p, q.

Для натуральных четных r можно воспользоваться также результатами работы [4]. При этом в ряде случаев константы, не зависящие от n, при оценках сверху могут быть меньше, чем в настоящей работе, но порядок поведения по n (n ) будет тем же самым.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Kolmogoro A. Uber die beste Annherung von Funktionen einer geqebenen Functionenklasse // Ann.

a Math. 1936. № 37. S. 107–111.

2. Корнейчук Н.П., Лигун А.А., Доронин В.Г. Аппроксимация с ограничениями. Киев: Наукова думка, 1982. 250 с.

3. Кашин Б.С. Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов гладких функций // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1977. Т. 41, № 2. С. 334–351.

4. Birkho G., Schultz M.H., Varga R.S. Piecewise Hermite interpolation in one and two variables with application to partial dierential equations // Numer. Math. 1968. Vol. 11. P. 232–256.

Субботин Юрий Николаевич Поступила 20.05. д-р физ.-мат. наук чл.-корр. РАН гл. науч. сотрудник Институт математики и механики УрО РАН Институт математики и компьютерных наук Уральского федерального университета e-mail: yunsub@imm.uran.ru ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН Том 18 № 4 УДК 517.977. К ВОПРОСУ О СЛАБОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ МНОЖЕСТВ ОТНОСИТЕЛЬНО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ, ПОРОЖДЕННОГО УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМОЙ В. Н. Ушаков, А. А. Зимовец Рассматривается дифференциальное включение на конечном промежутке времени, порожденное управ ляемой системой. Исследуются вопросы, имеющие отношение к свойству слабой инвариантности множеств относительно дифференциального включения. Для множеств в пространстве позиций управляемой систе мы, не являющихся слабо инвариантными относительно дифференциального включения, вводится чис ловая характеристика, оценивающая степень их (слабой) неинвариантности дефект слабой инвариант ности множества относительно дифференциального включения.

Ключевые слова: управляемая система, дифференциальное включение, управление, слабая инвариант ность множества, дефект слабой инвариантности.

V. N. Ushakov, A. A. Zimovets. On the question of the weak invariance of sets with respect to a dierential inclusion generated by a control system.

A dierential inclusion generated by a control system is considered on a nite time interval. Questions concerning the property of weak invariance of sets with respect to the dierential inclusion are investigated. For sets in the space of positions of the control system that are not weakly invariant with respect to the dierential inclusion, a numerical characteristic is introduced, which estimates the degree of the (weak) noninvariance of a set, i.e., the weak invariance defect of this set with respect to the dierential inclusion.

Keywords: control system, dierential inclusion, control, weak invariance of a set, weak invariance defect.

Введение В работе рассматривается управляемая система на конечном промежутке времени и по рожденное этой системой дифференциальное включение. Обсуждаются вопросы, относящиеся к одному из ключевых понятий математической теории управления свойству слабой инвари антности множеств относительно управляемой системы или дифференциального включения.

В теории управления нередко исследуются задачи о наведении управляемой системы на целе вое множество (см., например, [1–7]). Один из возможных подходов к решению таких задач состоит в использовании при построении решений множества разрешимости множества всех исходных позиций управляемой системы, из которых разрешима задача о наведении на це левое множество. Как известно, это множество обладает свойством слабой инвариантности относительно управляемой системы. Выделив это множество (в пространстве позиций систе мы), мы, естественно, можем ответить на вопрос о разрешимости задачи о наведении для кон кретной начальной позиции. Отметим, что для тех начальных позиций управляемой системы, для которых разрешима задача о наведении, существует эффективная процедура управления (см. [2;

8;

9]), обеспечивающая попадание движения системы на целевое множество с напе ред заданной точностью. При построении решений задач о наведении таким путем основная тяжесть ложится на выделение в пространстве позиций управляемой системы множества раз решимости. Это множество, к сожалению, удается выделить точно, т. е. описать аналитически, Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ: “Методы позиционных дифференциальных игр в задачах техники, экономики и экологии” (проект 11-01-12088 офи-м-2011) и “Алгоритмы и динамиче ские процедуры решения в дифференциальных играх и задачах управления ” (проект 11-01-00427-а), а также гранта Президента Российской Федерации по поддержке ведущих научных школ (НШ 5927.2012.1).

272 В. Н. Ушаков, А. А. Зимовец далеко, не всегда;

мы вынуждены чаще всего конструировать это множество приближенно. В результате получаем множество в пространстве позиций, не обладающее свойством слабой ин вариантности относительно управляемой системы. При этом возникает вопрос о том, в какой мере сконструированное множество не обладает свойством слабой инвариантности. Для ак куратной постановки этого вопроса и ответа на него в настоящей работе вводится некоторая числовая характеристика, оценивающая эту меру, дефект слабой инвариантности множе ства в пространстве позиций управляемой системы. Эта числовая характеристика оценивает степень несогласованности эволюции множества во времени с динамикой системы с точки зре ния понятия слабой инвариантности. Эта работа является продолжением исследований [10–14] и примыкает также к исследованиям [15–18].

1. Слабо инвариантные множества в пространстве позиций относительно дифференциального включения Пусть задана управляемая система на промежутке времени [t0, ] (t0 ) dx (1.1) = f (t, x, u), x(t0 ) = x0, u P.

dt Здесь x m-мерный фазовый вектор системы, u вектор управляющих воздействий, P непустой компакт в евклидовом пространстве Rr.

Предполагается, что выполнены следующие условия.

Условие A. Функция f (t, x, u) определена на [t0, ] Rm P и непрерывна, и для любой ограниченной замкнутой области D в [t0, ] Rm существует такая постоянная L = L(D) (0, ), что f t, x(1), u f t, x(2), u L x(1) x(2), t, x(i), u D P, i = 1, 2.

Условие B. Существует такая постоянная µ (0, ), что (t, x, u) [t0, ] Rm P.

f (t, x, u) µ(1 + x ), Здесь f норма вектора f в евклидовом пространстве.

Сопоставим системе (1.1) дифференциальное включение (д. в.) на [t0, ]:

(1.2) x F (t, x) = co {f (t, x, u) : u P }, x(t0 ) = x0 ;

здесь co{f } выпуклая оболочка множества {f }.

Множества достижимости X(t, t0, x0 ) и Y (t, t0, x0 ) в момент t [t0, ] соответственно си стемы (1.1) и д. в. (1.2) связаны соотношением Y (t, t0, x0 ) = cl X(t, t0, x0 ), t [t0, ];

здесь cl X замыкание множества X в Rm.

Пусть W некоторый произвольно выбранный компакт в [t0, ]Rm, для которого W (t) = x Rm : (t, x) W =, t [t0, ]. Исследуем его на предмет слабой инвариантности [14] относительно д. в. (1.2). Не исключено, что W не является слабо инвариантным относительно д. в. (1.2);

в этом случае введем неотрицательную числовую характеристику, представляющую собой некоторую меру (слабой) неинвариантности множества W относительно этого д. в.

В связи с этим проведем предварительные построения и напомним определения основных понятий, используемых в этих построениях.

Полагаем: Z = [t0, ] B(0;

) такой цилиндр в [t0, ] Rm, что W Z;

D = (t, x) : t [t0, ], x B 0;

(t) ;

здесь B(0;

) = {b Rm : b }, где (t) = + µ(t t0 ) eµ(tt0 ) при t [t0, ].

К вопросу о слабой инвариантности множеств Из определения ограниченной и замкнутой области D следует, что все решения x(t) (x(t ) = x, (t, x ) D, t [t0, ]) д. в. x F (t, x) удовлетворяют на [t, ] включению t, x(t) D.

Поскольку W Z D, то и все решения x(t) (x(t ) = x, (t, x ) W, t [t0, ]) д. в.

x F (t, x) удовлетворяют на [t, ] включению t, x(t) D.

Обозначим символом Y (t, x ) интегральную воронку д. в. x F (t, x), x(t ) = x на [t, ].

Уточним определение множества Y (t, x ), (t, x ) D.

О п р е д е л е н и е 1.1. Y (t, x ) есть множество всех (t, x ) [t0, ] Rm, для которых существуют решения x(t) д. в. x F (t, x), x(t ) = x, удовлетворяющие равенству x(t ) = x.

Согласно сказанному выше имеем Y (t, x ) D, (t, x ) D.

О п р е д е л е н и е 1.2. Множество W D назовем слабо инвариантным относительно д. в. x F (t, x), если для любых (t, x ) W имеет место Y (t, t, x ) W(t) =, t [t, ].

З а м е ч а н и е 1.1. Слабая инвариантность множества W D относительно д. в. x F (t, x) означает также, что для любых (t, x ) W существуют решения x(t) д. в. x F (t, x), x(t ) = x, удовлетворяющие включению (t, x(t)) W при t [t, ].

Существует инфинитезимальная формулировка свойства слабой инвариантности множе ства W относительно д. в. x F (t, x), выраженная в терминах производного множества DW(t, x ) многозначного отображения t W(t), t [t, ], отвечающего точке (t, x ) W, t [t0, ) (см., например, [10]). Это множество определяется равенством DW(t, x ) = d Rm : d = lim (tk t )1 (wk x ), {(tk, wk )} последовательность в W, где tk t и wk x k при k.

Нетрудно показать, что для интегральной воронки Y (t, x ) ((t, x ) D, t [t0, )) д. в.

x F (t, x) имеет место DY (t, x ) = F (t, x ).

На языке производных множеств D Y (t, x ) и D W(t, x ) ((t, x ) W, t [t0, )) опре деление 1.2 принимает вид О п р е д е л е н и е 1.3. Множество W D назовем слабо инвариантным относительно д. в. x F (t, x), если для любых (t, x ) W, t [t0, ) имеет место DY (t, x ) DW(t, x ) = или, что одно и то же, (1.3) F (t, x ) DW(t, x ) =.

Выберем такой шар G = B(0;

R), что F (t, x) G при (t, x) D. Если W слабо инвариантно относительно д. в. x F (t, x), то из (1.3) вытекает (1.4) G DW(t, x ) =, (t, x ) W, t [t0, ).

2. Дефект слабой инвариантности множества относительно д. в. x F (t, x) Вернемся к рассмотрению множества W, выбранного нами в разд. 1. Дадим определение дефекта слабой инвариантности этого множества относительно д. в. x F (t, x). При этом предполагаем, что в дополнение к условию W (t) =, t [t0, ], выполнено следующее условие.

Условие C. При любых (t, t ) справедливо неравенство h W (t ), W (t ) R(t t ). (2.1) 274 В. Н. Ушаков, А. А. Зимовец G Rm (t, x ) D W (t, x ) F (t, x ) d f Рис. Здесь h(W (1), W (2) ) = (w(1), W (2) ) хаусдорфово отклонение W (1) от W (2), где W (1) max w (1) W (1) и W (2) компакты в Rm, = (t, t ) : t0 t t [t0, ] [t0, ].

Не нарушая общности рассуждений, считаем, что R в (2.1) та же константа, что и в разд. 1, т. е. R совпадает с радиусом шара G в (1.4). Из условия C липшицевости отображения t W (t) (с константой R) следует, что W удовлетворяет соотношению (2.2) G DW (t, x ) =, (t, x ) W, t [t0, );

здесь W = t[t0,] (t, W (t)), W (t) граница множества W (t) в Rm.

Заметим, что условие (2.1) не слишком ограничительно для множества W и при этом (2.2) аналогично условию (1.4), сопутствующему слабо инвариантному множеству W.

Представляется важным выяснить, в какой мере множество W не является слабо инвари антным относительно д. в. x F (t, x), т. е. в какой мере множество W далеко от удовлетворе ния определению 1.2.

Для аккуратной формализации этого вопроса и ответа на него введем понятие дефекта слабой инвариантности множества W относительно д. в. x F (t, x).

В связи с этим сопоставим каждой точке (t, x ) W, t [t0, ) число (2.3) (t, x ) = DW (t, x ), F (t, x ) 0;

здесь W, W = inf w w : (w, w ) W W для множеств W и W в Rm.

Величину (t, x ) 0 назовем дефектом слабой инвариантности множества W в точке (t, x ) W, t [t0, ). Множество DW (t, x ) замкнуто и F (t, x ) компактно в Rm. Сле довательно, inf в (2.3) достигается на некоторой паре точек d DW (t, x ), f F (t, x ) (см. рис. 1).

Заметим, что из соотношений F (t, x ) G и G DW (t, x ) =, (t, x ) W, t [t0, ), следует неравенство (t, x ) = F (t, x ), D W (t, x ) 2R, (t, x ) W, t [t0, ).

Далее, полагаем при t [t0, ) (t ) = sup (t, x );

x (t ) К вопросу о слабой инвариантности множеств здесь (t ) = W (t ), W (t ) = x : (t, x ) W.

Величину (t ) назовем дефектом слабой инвариантности множества W в момент t [t0, ). В результате получаем функцию (t) 0 на [t0, ), которую доопределим в точке t = значением () = 0. Функция (t) на [t0, ] есть числовая характеристика, оценивающая сте пень (слабой) неинвариантности множества W.

Поскольку (t, x ) 2R, (t, x ) W, t [t0, ), то (t) 2R, t [t0, ].

Принимая во внимание определение 1.3, видим, что слабая инвариантность множества W эквивалентна равенству (t) = 0 на [t0, ]. Возникает естественное предположение о том, что если функция (t) мала на [t0, ], то множество W можно погрузить в некоторое слабо инвари антное относительно д. в. x F (t, x) множество W, W (t0 ) = W (t0 ), сечения W (t) которого монотонно разбухают с ростом времени t [t0, ] по отношению к сечениям W (t), но не сильно отличаются от W (t) в хаусдорфовой метрике.

Для подтверждения нашего предположения введем еще одно условие.

Условие E. Функция (t) измерима по Лебегу на [t0, ].

Далее введем функцию t eL(t ) ( ) d, (t) = t [t0, ] t и множество W [t0, ] Rm : W (t) = W (t) + B 0;

(t), t [t0, ].

Здесь W (1) + W (2) = w(1) + w(2) : w(1) W (1), w(2) W (2).

eL( ) ( ) d назовем дефектом слабой инвариантности мно Величину W = () = t жества W.

З а м е ч а н и е 2.1. В формуле для дефекта слабой инвариантности W вместо констан ты Липшица L можно взять константу Липшица L( ) (L( ) L при [t0, ]) по переменной x вектор-функции f (t, x, u) в множестве D( ) = x Rm : (, x) D, [t0, ]. Считаем при этом, что L( ) интегрируемая функция на [t0, ]. Так что с учетом этого замечания дефект слабой инвариантности множества W примет вид eL( )(t ) ( ) d.

W = () = t В ряде случаев подмена в формуле для W константы L функцией L( ) на [t0, ] значительно улучшает величину W.

Сформулируем и докажем основное утверждение.

Теорема. Пусть управляемая система (1.1) и компакт W D, W (t) = при t [t0, ], удовлетворяют условиям A–E. Тогда множество W слабо инвариантно относительно д. в.

x F (t, x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сопоставим функции (t) на [t0, ] д. в.:

dx F (t, x), (2.4) [t0, ];

dt здесь F (t, x) = F (t, x) + (t)B, B = B(0;

1) Rm.

Так как для любых (t, x ) W, t [t0, ) (t, x ) = DW (t, x ), F (t, x ) (t ), 276 В. Н. Ушаков, А. А. Зимовец Rm (t, x ) W (t, x(t)) (t, x(t )) (t, z ) (t, z(t )) (t, z(t)) (t, W (t )) W t t 0 t0 t Рис. то имеет место D W (t, x ) F (t, x ) =, (2.5) (t, x ) W, t [t0, ).

Так как для точек (t, x ) W \ W, t [t0, ) имеет место DW (t, x ) = Rm, то для них, очевидно, выполняется D W (t, x ) F (t, x ) =. Тогда соотношение (2.5) означает, что множество W слабо инвариантно относительно д. в. (2.4).

Принимая во внимание этот факт, покажем, что множество W слабо инвариантно отно сительно д. в. x F (t, x).

Для этого выберем произвольные (t, x ) W и t [t, ]. Покажем, что Y (t, t, x ) (t ) =. Тем самым мы покажем, что W удовлетворяет определению 1.2.

W Итак, пусть точка (t, x ) удовлетворяет дополнительному условию (t, x ) int W. В этом / случае точка (t, z ), ближайшая на t, W (t ) к (t, x ), удовлетворяет включению (t, z ) (t ) W. Из свойства слабой инвариантности множества W относительно д. в. (2.4) следует, что существует такая вектор-функция z(t) на [t, t ], z(t ) = z, что dz(t) = f (t) F t, z(t) [t, t ] п. в. на dt и при этом t, z(t) W, на t [t, t ] (см. замечание 1.1).

Вектор-функция f (t) представима в виде f (t) = f (t) + (t)b(t), t [t, t ];

здесь f (t) F t, z(t) и b(t) B интегрируемые по Лебегу на [t, t ] вектор-функции.

Покажем, что существует решение x(t), x(t ) = x, на [t, t ] д. в. x F (t, x), удовлетворя ющее включению t, x(t ) W (см. рис. 2). Это решение сконструируем как равномерный предел на [t, t ] некоторой последовательности ломаных Эйлера д. в. x F (t, x).

К вопросу о слабой инвариантности множеств Для этого введем в рассмотрение разбиение = {0 = t, 1, 2,..., i,..., N 1, N = t }, где i = i+1 i = = 1/N (t t ), i = 0, N 1.

Сконструируем некоторую ломаную Эйлера x (t) д. в. x F (t, x), x (t ) = x на [t, t ], отвечающую разбиению. Конструирование этой ломаной осуществим рекуррентно по шагам [i, i+1 ] разбиения.

А именно, в начальный момент 0 = t разбиения полагаем x (0 ) = x. Предположим, что мы сконструировали уже ломаную на промежутке [0, i ], где i, i 0, N 1 некото рый момент разбиения. В момент i реализовалась точка x (i ) нашей ломаной Эйлера.

Вычисляем вектор s(i ) = z(i ) x (i ) и выбираем вектор f (i) F i, x (i ) из условия s(i ), f (i) = hF (i,x (i )) s(i ).

опорная функция выпуклого компакта F в Rm, s, f Здесь hF (s) = max s, f скалярное f F Rm.

произведение векторов s и f в Звено ломаной Эйлера x (t) на промежутке [i, i+1 ] определяем равенством x (t) = x (i ) + (t i )f (i).

Так, продвигаясь по шагам [i, i+1 ] разбиения, определяем последовательно на всех про межутках [i, i+1 ] ломаную Эйлера.

Введем в рассмотрение величину s(i ), i и оценим сверху величину s(i+1 ). Имеем i+1 i+ f (i) dt.

s(i+1 ) = s(i ) + f (t) dt i i Введем также скалярную функцию () = sup d F (t, x ), F (t, x ) : (t, x ) и (t, x ) из D, |t t | + x x, (0, ) и число K = max { f : f F (t, x), (t, x) D} +. Для функции () имеет место () при 0.

Вектор-функция z(t) на [i, i+1 ] удовлетворяет неравенству t f ( ) d d F t, z(t), F i, z(i ) (|t i | + z(t) z(i ) ) |t i | +.

i Учитывая оценку f ( ) K + 2R, получаем при t [i, i+1 ] f ( ) + ( ) (1 + K + 2R)i. (2.6) d F t, z(t), F i, z(i ) Имеем i+1 i+ 2 f (i) dt + (i, i+1 );

(2.7) s(i+1 ) = s(i ) + 2 s(i ), f (t) dt 2 s(i ), i i i+ (i) здесь (i, i+1 ) = (f (t) f ) dt.

i 278 В. Н. Ушаков, А. А. Зимовец Справедливо неравенство i+1 i+ (f (t) f (i) ) dt f (t) + f (i) dt 2(K + R)i, i i и поэтому (i, i+1 ) 4(K + R)2 2.

i Для простоты обозначений полагаем K = 4(K + R)2.

Принимая во внимание (2.7) и предыдущую оценку, получаем i+ 2 s(i+1 ) s(i ) + 2 s(i ), f (t) dt i i+1 i+ f (i) dt + 2 s(i ), (t)b(t) dt + K 2. (2.8) 2 s(i ), i i i Согласно оценке (2.6) выводим, что вектор-функция f (t) на [i, i+1 ] удовлетворяет вклю чению f (t) F t, z(t) F i, z(i ) + B 0;

(1 + K + 2R)i и, значит, справедливо включение i+ f (t) dt i F i, z(i ) + B 0;

(i ) ;

i здесь обозначено () = (1 + K + 2R), (0, ). Отсюда следует, что интеграл i+ f (t) dt представим в виде i i+ f (t) dt = i g(i) + b(i) ;

i здесь g(i) F i, z(i ), b(i) B 0;

(i ).

Тогда вектор h(i), ближайший в F i, x (i ) к вектору g(i), удовлетворяет неравенству h(i) g(i) (2.9) d F i, x (i ), F i, z(i ) L z(i ) x (i ) = L s(i ).

i+ Представив интеграл f (t) dt в виде i i+ f (t) dt = i h(i) + i g(i) h(i) + b(i), i получаем равенство i+ s(i ), f (t) f (i) dt = 2i s(i ), h(i) f (i) + 2i s(i ), g(i) h(i) + 2 s(i ), b(i).

i Из определения вектора f (i) в F i, x (i ) следует неравенство s(i ), h(i) f (i) (2.10) 0.

К вопросу о слабой инвариантности множеств Также справедливы неравенства s(i ), g(i) h(i) s(i ) · g(i) h(i) L s(i ) 2, (2.11) 2 s(i ), b(i) 2 s(i ) · (i ).

Принимая во внимание (2.9)–(2.11), получаем i+ s(i ), f (t) f (i) dt 2L s(i ) 2 i + 2 s(i ) (i ).

i В итоге из оценки (2.8) и последующих оценок вытекает оценка i+ 2 (t) dt + K 2. (2.12) s(i+1 ) (1 + 2Li ) s(i ) + 2 s(i ) (i ) + 2 s(i ) i i K 2 i.

Если вдруг оказалось, что s(i ) = 0, то s(i+1 ) Проанализируем теперь случай s(i ) 0 и проведем оценки в этом случае. Из (2.12) следует i+ 2 2 (t) dt + 2 s(i ) (i ) + K 2. (2.13) s(i+1 ) s(i ) 2Li s(i ) + 2 s(i ) i i 1 Относительно величины s(i ) 0 есть две возможности: 1. s(i ) i2. 2. s(i ) i2.

Пусть относительно s(i ) 0 реализовалась возможность 1. Тогда из (2.13) следует 3 e2Li i + 4Ri2 + 2i2 (i ) + K 2.

s(i+1 ) i 1 3 e2L K Положив () =, получаем оценку в рассматриваемом + 2 () + 4R + 2 случае (2.14) s(i+1 ) (i ).

Пусть относительно s(i ) 0 реализовалась возможность 2. В этом случае рассмотрим два варианта: (a) s(i ) s(i+1 ), (b) s(i ) s(i+1 ).

Пусть реализовался вариант (a). Из (2.13) выводим оценку i+ (t) dt + 2 s(i ) (i ) + K 2.

2 s(i ) ( s(i+1 ) s(i ) ) 2Li s(i ) + 2 s(i ) i i (2.15) Из (2.15) следует оценка i+ Li K 2, s(i+1 ) e s(i ) + (t) dt + (i ) + i 2 s(i ) i из которой в рассматриваемом случае возможности 2 вытекает i+ 1 Li (t) dt + (i ) + K i2. (2.16) s(i+1 ) e s(i ) + i 280 В. Н. Ушаков, А. А. Зимовец Пусть реализовался вариант (b). Очевидно, что в этом случае также имеет место оцен ка (2.16).

В результате получаем, что в случае, когда реализовалась возможность 2, величина s(i+1 ) связана с величиной s(i ) 0 неравенством (2.16).

Перейдем теперь от локальных оценок к рассмотрению всего набора S = s(i ) : i = 0, N, в котором нас интересуют прежде всего последний вектор s(N ) и его норма s(N ).

Относительно S предполагаются следующие возможности.

1. s(i ) 2 при i 0, N.

1 2. s(i ) 2 при i q, N, s(q1 ) 2 при некотором q 1.

3. s(N ) 2.

Оценим в каждом из этих вариантов величину s(N ) сверху, воспользовавшись пошаго выми оценками (2.14), (2.16).

Итак, пусть относительно набора S реализовалась возможность 1. Имеем при i = 0, N i+ eLi s(i ) + (t) dt + (i );

(2.17) s(i+1 ) i здесь () = () + 1/2 K 2, (0, ).

Возьмем, например, последние четыре номера i = N 1, N 2, N 3, N 4, примыкающие к номеру N ;

для них имеем оценку N eL(N1 +N2 +N3 +N4 ) s(N 4 ) + eL(N1 +N2 +N3 ) s(N ) (t) dt N N2 N1 N + eL(N1 +N2 ) (t) dt + eLN1 (t) dt + eL(N1 +N2 +N3 ) (N 4 ) (t) dt + N3 N2 N + eL(N1 +N2 ) (N 3 ) + eLN1 (N 2 ) + (N 1 ). (2.18) Правая часть оценки (2.18) мажоранта величины s(N ), включающая в себя величины i+ s(N 4 ) и (t) dt, i = N 4, N 1. По этой оценке мы заключаем, как выглядит оценка, i i+ выражающая величину s(N ) через s(0 ) и (t) dt, i = 0, N 1. Выпишем эту оценку:

i L(N1 +N2 +...+0 ) L(N1 +N2 +...+1 ) s(N ) e s(0 ) + e (t) dt 2 + eL(N1 +N2 +...+2 ) (t) dt + eL(N1 +N2 +...+3 ) (t) dt +...

1 N2 N1 N + eL(N1 +N2 ) (t) dt + eLN1 (t) dt + (t) dt N3 N2 N + eL(N1 +N2 +...+1 ) (0 ) + eL(N1 +N2 +...+2 ) (1 ) + eL(N1 +N2 +...+3 ) (2 ) +... + eL(N1 +N2 ) (N 3 ) + eLN1 (N 2 ) + (N 1 ). (2.19) К вопросу о слабой инвариантности множеств Рассмотрим далее произвольный промежуток [i, i+1 ], i 0, N 1 и соответствующую ему величину i+1 i+ L(N1 +N2 +...+i+1 ) eL(N i+1 ) (t) dt.

e (t) dt = i i i+ eL(N t) (t) dt. Поскольку при t [i, i+1 ] имеет Сравним эту величину с интегралом i место eL(N i+1 ) eL(N t), то i+1 i+ L(N i+1 ) eL(N t) (t) dt.

e (t) dt i i Из неравенства (2.19), имеющего место при всех i 0, N 1, следует i+1 N N L(N i+1 ) eL(N t) (t) dt. (2.20) e (t) dt i=0 i При этом заметим, что в оценке (2.20) левую часть оценки мы завысили не сильно. А именно, при достаточно малых i 0 верно неравенство eL(N t) eL(N i+1 ) 2Li eL(N 0 ), t [i, i+1 ], из которого вытекает оценка i+1 i+ L(N t) eL(N i+1 ) (t) dt + 4LReL(N 0 ) 2.

e (t) dt i i i Наряду с оценкой (2.20) справедлива оценка N 1 N 1 L(N i+1 ) eL(N i+1 ) i (1 + K + 2R)i + K i e (i ) = i=0 i= 1 eL(N 0 ) (N 0 ) (1 + K + 2R) + K 2 (2.21) Из оценок (2.19), (2.20), (2.21) выводим оценку N eL(N 0 ) s(0 ) + eL(N t) (t) dt s(N ) 1 + eL(N 0 ) (N 0 ) (1 + K + 2R) + K 2. (2.22) Далее учитывая, что 0, x (0 ) = (t, x ) W и 0, x (0 ) = (t, z ) (t ) W ближайшая на t, W (t ) точка к (t, x ), имеем h W (t ), W (t ) = (t ) = (0 ).

s(0 ) = x z = x, W (t ) eL(0 t) (t) dt, полу Заменяя в оценке (2.22) величину s(0 ) ее мажорантой (0 ) = t чаем N L(N 0 ) L(0 t) eL(N t) (t) dt s(N ) e e (t) dt + t 1 + eL(N 0 ) (N 0 ) (1 + K + 2R) + K 2. (2.23) 282 В. Н. Ушаков, А. А. Зимовец Из (2.23), учитывая 0 = t и N = t, получаем 1 t ) (t ) + eL(t s(t ) (t t ) (1 + K + 2R) + K 2 (2.24) при (0, t t ), диаметр разбиения.

Пусть относительно набора S реализовалась возможность 2. В этом случае имеет место оценка, аналогичная оценке (2.22) N L(N q ) eL(N t) (t) dt s(N ) e s(q ) + q 1 + eL(N q ) (N q ) (1 + K + 2R) + K 2. (2.25) Учитывая также неравенство s(q1 ) s(q ), выводим, согласно (2.17), оценку q 1 Lq (t) dt + (q1 ) + K q1. (2.26) s(q ) e s(q1 ) + q Подставляя в (2.25) вместо величины s(q ) ее мажоранту из (2.26), имеем оценку N eL(N q1 ) s(q1 ) + eL(N t) (t) dt s(N ) q 1 + eL(N q1 ) (N q1 ) (1 + K + 2R) + K 2.

Принимая в рассматриваемом случае во внимание неравенство s(q1 ) 2 s(q ), получаем оценку N eL(N q1 ) + eL(N t) (t) dt s(N ) q 1 + eL(N q1 ) (N q1 ) (1 + K + 2R) + K 2. (2.27) Из оценки (2.27) с учетом 0 = t, N = t и 0 = t q1, вытекает t L(t t ) t) eL(t s(t ) e + (t) dt t 1 L(t t ) (t t ) (1 + K + 2R) + K 2 (2.28) +e при (0, t t ), диаметр разбиения.

Очевидно, что из (2.28) следует оценка 1 t ) t ) eL(t 2 + (t ) + eL(t s(t ) (t t ) (1 + K + 2R) + K 2. (2.29) Пусть, наконец, относительно набора S реализовалась возможность 3: s(N ) 2. Ясно, ) = s( ) удовлетворяет и неравенству (2.29).

что в этом случае величина s(t N К вопросу о слабой инвариантности множеств Таким образом, рассмотрев все три возможности относительно набора S, будем считать, что величина s(t ) = s(N ), отвечающая последнему вектору s(N ) из набора S, удовле творяет оценке (2.24) или оценке (2.29).

Рассмотрим теперь последовательность {n } разбиений, подобных разбиению, т. е. n = (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) 0 = t, 1, 2,..., i,..., N (n)1, N (n) = t с промежутками [i, i+1 ], i = 0, N (n) равной длины (n) = 0. При этом полагаем, что N (n) при n и, стало N (n) (t t ) (n) быть, 0 при n.

Каждому разбиению n сопоставим свою ломаную Эйлера xn (t) д. в. x F (t, x), xn (t ) = ], которая сконструирована по той же схеме, что и ломаная Эйлера x (t). При этом x на [t, t движение z(t) на [t, t ], участвующее в конструировании ломаной xn (t), остается тем же самым, что и при конструировании ломаной x (t).

(n) Каждой ломаной Эйлера xn (t) на [t, t ] сопоставим свой набор S (n) = s(n) (i ), i = (n) (n) (n) (n) 0, N (n) векторов s(n) (i ) = z(i )xn (i ) так, что при этом последний вектор s(n) (N (n) ) (n) набора S (n) имеет вид s(n) (N (n) ) = s(n) (t ) = z(t ) xn (t ).

Величины s(n) (t ), n = 1, 2,..., стеснены оценками (каждая из величин стеснена одной из оценок):

1 t ) s(n) (t ) (t ) + eL(t (t t ) (1 + K + 2R)(n) + K (n) 2, (2.30) t ) s(n) (t ) eL(t (t t )(n) 2 + (t ) 1 + eL(t t ) (t t ) (1 + K + 2R)(n) + K (n) 2. (2.31) Последовательность {xn (t)} ломаных Эйлера на [t, t ] равноограничена и равностепенно непрерывна и поэтому, согласно теореме Арцела (см. [19]), из нее можно выделить равномерно сходящуюся на [t, t ] подпоследовательность. Не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что сама последовательность {xn (t)} равномерно сходится на [t, t ]. Полагаем x(t) = lim xn (t) на [t, t ]. Вектор-функция x(t) является решением д. в. x F (t, x), x(t ) = x, на n Кроме того, исходя из оценки (2.30), (2.31) и равенства lim (n) = 0, получаем, что [t, t ].

n вектор s(t ) = z(t ) x(t ) = lim s(n) (t ) удовлетворяет неравенству n s(t ) = lim s(n) (t ) (t ). (2.32) n Учитывая включение t, z(t ) W и оценку (2.32), выводим, что решение x(t) д. в.

x F (t, x), x(t ) = x удовлетворяет включению x(t ) W (t ). Тем самым показано, что для любых (t, x ) W \ int W и t [t, ] имеет место Y (t, t, x ) W (t ) =.

Покажем теперь, что это соотношение имеет место и для любых (t, x ) int W и t [t, ].

Для этого выберем произвольные (t, x ) int W и t [t, ]. При этом представляются две возможности:

1. t, Y (t, t, x ) int W.

t[t,] 2. t, Y (t, t, x ) int W.

t[t,] Пусть реализовалась возможность 1. В этом случае имеем Y (t, t, x ) int W при t [t, ] и, следовательно, Y (t, t, x ) W (t ) = при t [t, ].

Пусть реализовалась возможность 2. Тогда найдутся моменты t (t, ], для которых, t, x ) int W (t ). Полагаем t = inf t (t, ] : Y (t, t, x ) int W (t ) (см. рис. 3).

Y (t (k) (k) (k) Выберем последовательности {t } (t t при k ) и {x(k) } (x(k) Y (t, t, x ) \ (k) int W (t ), k = 1, 2,...). Так как {x(k) } ограничена, то из нее можно выделить сходящуюся 284 В. Н. Ушаков, А. А. Зимовец Rm t, Y (t, t, x ) (t, x ) (t, x(t)) (t, x ) W W (t, W (t )) t 0 t0 t t t Рис. (l) (l) (l) подпоследовательность {x(l) } (x(l) Y (t, t, x ) \ int W (t ), l = 1, 2,... ;

t t при l ). Отображение t Y (t, t, x ) непрерывно справа в точке t и поэтому x = lim xl l Y (t, t, x ). Также отображения t Y (t, t, x ) и t W (t) непрерывны слева в точке t следует Y (t, t, x ) W (t ). Из и поэтому из включения Y (t, t, x ) int W (t) при t t включения x Y (t, t, x ) и Y (t, t, x ) W (t ) получаем x W (t ). С другой стороны, (l) int W (t(l) ), l = 1, 2,..., то x int W (t ). Из соотношений x W (t ), x / поскольку x / / ) следует x W (t ) или, что одно и то же, (t, x ) (t ) W. Для точки (t, x ) int W (t ), пользуясь доказанным ранее, получаем Y (t, t, x ) W (t ) = при t [t, ]. Из (t включения Y (t, t, x ) Y (t, t, x ) следует Y (t, t, x ) W (t ) = при t [t, ]. Кроме, t, x ) int W (t ) W (t ) при t [t, t ) и, значит, Y (t, t, x ) W (t ) = при того, Y (t t [t, t ). Вместе с тем установлено, что для любых (t, x ) int W и t [t, ] имеет место Y (t, t, x ) W (t ) =.

Итак, в случаях (t, x ) W \ int W и (t, x ) int W установлено, что Y (t, t, x ) (t ) = при любых t [t, ].

W Теорема доказана.

Из теоремы вытекает, что для любой начальной позиции (t0, x0 ) W и любого (0, ) существует движение x(t), x(t0 ) = x0, управляемой системы (1.1), удовлетворяющее включе нию x(t) W (t) + B (0, (t) + ) при t [t0, ].

Пусть перед нами стоит задача о наведении управляемой системы (1.1) в момент на целевое множество M, которое при этом удовлетворяет равенству M = W (). С помощью из вестных процедур управления с поводырем, пристроенных к W, мы можем построить управ ление u(t) на промежутке [t0, ] для системы (1.1), которое обеспечивает сколь угодно точное приведение движения x(t), (t0, x0 ) W, системы (1.1) на W -окрестность множества M. Таким образом, в задаче о наведении системы (1.1) в момент на множество M = W () дефект W множества W есть та погрешность, которую лицо, управляющее системой (1.1), гарантирует себе, используя W в качестве базы для процедуры управления множеством.

К вопросу о слабой инвариантности множеств СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Красовский Н.Н. О дифференциальной игре на сближение // Докл. АН СССР. 1968. Т. 182, № 6. С. 1287–1289.

2. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Дифференциальная игра наведения // Дифференц. уравне ния. 1970. Т. 6, № 4. С. 579–591.

3. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

456 с.

4. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх. I // Докл. АН СССР. 1967. Т. 174, № 6.

С. 1278–1281.

5. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх. II // Докл. АН СССР. 1967. Т. 175, № 4.

С. 764–766.

6. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

392 с.

7. Kurzhanski A.B., Filippova T.F. On the theory of trajectory tubes a mathematical formalism for uncertain dynamics, viability and control // Advances in nonlinear dynamics and control: a report from Russia / ed. A.B. Kurzhanski. Boston etc.: Birkhauser, 1993. P. 122–188. (Progress in Systems and Control Theory;

vol. 17).

8. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.

288 с.

9. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Аппроксимация в дифференциальной игре // Прикл. мате матика и механика. 1973. Т. 37, вып. 2. С. 197–204.

10. Guseinov H.G., Subbotin A.I., Ushakov V.N. Derivatives for multivalued mappings with applications to game–theoretical problems of control // Probl. Control Inform. Theory. 1985. Vol. 14, no. 6. P. 405–419.

11. Ушаков В.Н., Латушкин Я.А. Дефект стабильности множеств в игровых задачах управле ния // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2006. Т. 12, № 2. С. 178–194.

12. Ushakov V.N., Brykalov S.A., Latushkin Y.A. Stable and unstable sets in problems of conict control // Funct. Dier. Equ. 2008. Vol. 15, № 3–4. P. 309–338.

13. Ушаков В.Н., Малёв А.Г. К вопросу о дефекте стабильности множеств в игровой задаче о сближении // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 1. С. 199–222.

14. Гусейнов Х.Г., Ушаков В.Н. Сильно и слабо инвариантные множества относительно диффе ренциального включения // Докл. АН СССР. 1988. 2011. Т. 303. №. 4. С. 794–797.

15. Тонков Е.Л., Панасенко Е.А. Функции Ляпунова и положительно инвариантные множества дифференциальных включений // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, № 6. С. 859–860.

16. Тонков Е.Л., Панасенко Е.А. Инвариантные и устойчиво инвариантные множества дифферен циальных включений // Тр. Математического ин-та им. В.А. Стеклова. 2008. Т. 262. С. 202–221.

17. Another proof for the equivalence between invariance of closed sets with respect to stochastic and deterministic systems / M. Quincampoix, R. Buckdahn, C. Rainer, J. Teichman // Bull. Sci. Math.

2010. Vol. 134, no. 2. P. 207–214.

18. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управле ние // Тр. Математического ин-та им. Стеклова. 1985. Т. 169. С. 194–252.

19. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.:

Наука, 1976. 544 с.

Ушаков Владимир Николаевич Поступила 10.04. д-р физ.-мат. наук, профессор зав. отделом Инcтитут математики и механики УрО РАН e-mail: ushak@imm.uran.ru Зимовец Артем Анатольевич аспирант Уральский федеральный университет e-mail: aazimovets@gmail.com ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН Том 18 № 4 УДК 517.968.72, 517.983. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ М. В. Фалалеев, С. С. Орлов В статье исследованы специальные классы линейных интегро-дифференциальных уравнений с нете ровым оператором при старшей производной и сверточными интегральными членами типа Вольтерра.

Получены достаточные условия разрешимости задачи Коши для таких уравнений как в обобщенных функциях, так и в классах функций конечной гладкости, исследована связь между этими типами реше ний. Исследования проведены с помощью аппарата фундаментальных оператор-функций. Абстрактные результаты проиллюстрированы на примерах начально-краевых задач, возникающих в математической теории вязкоупругости.

Ключевые слова: банахово пространство, нетеров оператор, полный жорданов набор, распределение, фундаментальная оператор-функция.

M. V. Falaleev, S. S. Orlov. Generalized solutions of singular integro-dierential equations in Banach spaces and their applications.

We investigate special classes of linear integro-dierential equations with a Noether operator at the highest derivative and convolution integral terms of Volterra type. We obtain sucient conditions for the solvability of the Cauchy problem for such equations both in generalized functions and in classes of functions of nite smoothness and investigate the connection between these types of solutions. The investigation uses the funda mental operator function techniques.

Abstract

results are illustrated by examples of initial–boundary value problems that appear in the mathematical theory of viscoelasticity.

Keywords: Banach space, Noether operator, complete Jordan set, distribution, fundamental operator function.

Ряд начально-краевых задач прикладного характера для интегро-дифференциальных урав нений в частных производных можно редуцировать к исследованию вырожденных интегро дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, что дает возможность рассмат ривать их с единых позиций. В данной работе представлен один из возможных подходов в проведении таких исследований.

1. Постановка задачи Рассматривается задача Коши вида t Bu (t) = Au(t) + (1.1) g(t )Au( )d + f (t), (1.2) u(0) = u0, где выполнена следующая группа условий:

(A) B, A замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства E1 в банахово пространство E2, D(B) = D(A) = E1, D(B) D(A), B нетеров оператор [1, с. 387], Работа выполнена при финансовой поддержке федеральной целевой программы “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009–2013 гг. (госконтракт № 14.B37.21.0365), гранта для поддержки НИР аспирантов и молодых сотрудников ИГУ, тема № 113-11-000 (приказ № от 12.12.2011), а также именной стипендии губернатора Иркутской области аспирантам в 2011 г. (рас поряжение № 111-p губернатора Иркутской области Д.Ф. Мезенцева от 22.12.2011).


Обобщенные решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений n = dim N (B), m = dim N (B ), f (t) достаточно гладкая функция со значениями в E2, g(t) непрерывная при t 0 числовая функция.

Интерес к задачам такого вида проявляется с середины прошлого века. Полная теория интегро-дифференциальных уравнений с необратимым оператором при старшей производной далека до завершения, несмотря на усилия многих математических школ, результаты исследо ваний которых опубликованы в книгах, обзорах, статьях;

их обширный перечень можно най ти в библиографических списках к монографиям: Н.A. Сидоров, Б.В. Логинов, A.В. Синицын, M.В. Фалалеев [2], Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров [3], В.К. Иванов, И.В. Мельникова, А.И. Фи линков [4], А. Фавини, А. Яги [5], И.С. Егоров, С.Т. Пятков, С.В. Попов [6;

7], Х. Гаевский, К. Гре гер, К. Захариас [8], Г.O. Фатторини [9], А.И. Кожанов [10;

11], Г.В. Демиденко, С.В. Успен ский [12], С.Г. Крейн, М.Г. Крейн, Ю.А. Далейкий, М.И. Хасан [13–16] и др. Последними по времени и наиболее важными для приложений основ общей теории вырожденных интегро дифференциальных уравнений являются, на взгляд авторов статьи, результаты, изложенные в монографиях А.Г. Свешникова, С.А. Габова, М.О. Корпусова, А.Б. Альшина, Ю.Д. Плет нера [17–19]. Отметим тот факт, что все авторы указывали на неразрешимость в общем случае задачи (1.1), (1.2), т. е. для существования гладкого решения задачи Коши (1.1), (1.2) всегда требуется согласование входных данных u0 и f (t). Именно описанием такого множества на чальных условий u0 и правых частей f (t) занимались многие исследователи, каждый в своей постановке. Однако для существования обобщенного решения задачи (1.1), (1.2) согласова ния входных данных уже не требуется. Таким образом, естественным представляется сначала построить решение в широком классе распределений, а затем, анализируя это обобщенное решение, получить условия, при которых оно окажется классическим (гладким). Успешно реализовать эту программу исследований удается с помощью конструкции фундаменталь ной оператор-функции, теорию которой последние годы развивают авторы статьи [2;

20–22].

Данная теория является обобщением на банаховы постранства техники фундаментальных ре шений интегро-дифференциальных операторов из классической теории распределений [23].

При таком подходе обобщенное решение строится в виде свертки фундаментальной оператор функции и правой части уравнения. После этого отдельно исследуются сингулярная и регу лярная составляющие полученного обобщенного решения. Условия, при которых сингулярная составляющая обращается в нуль, а регулярная составляющая удовлетворяет исходному урав нению и начальным условиям задачи, как раз и будут условиями существования классического решения, при этом обобщенное решение совпадет с классическим. Таким образом, при нашем подходе удается решать задачу построения обобщенных и классических решений комплекс но. Отметим, что в случае, когда g(t) 0, E1 = E2 Rk конечномерные пространства и det B = 0, наиболее завершенные результаты в этом направлении в свое время были полу чены научной школой профессора С. Т. Завалищина (см. монографию [24] и библиографию к ней). Однако разработанные ими методы не допускают прямого обобщения на случай беско нечномерных пространств, что отчасти и послужило дополнительным стимулом к построению теории обобщенных функций в банаховых пространствах.

2. Псевдообращение и жордановы наборы нетеровых операторов В этом разделе приведены вспомогательные сведения, необходимые в дальнейшем. В сде ланных относительно операторов B и A предположениях обозначим {i }n базис ядра N (B) i= оператора B, {j }m базис ядра N (B ) сопряженного оператора B, тогда по следствию j= из теоремы Хана Банаха ( см. [25, с. 168, следствие 4]) существует биортогональная к ба зису ядра N (B) система элементов {i }n E1, соответственно для базиса N (B ) существу i= ет биортогональная к нему система элементов {zj }m E2 (см. [25, с. 168, лемма 4]), т. е.

j= i, k = ik, i, k = 1,..., n и zk, j = kj, k, j = 1,..., m.

288 М. В. Фалалеев, С. С. Орлов Введем проекторы n n m m P= Pi = ·, i i, Q= Qj = ·, j zj i=1 i=1 j=1 j= пространств E1 и E2 соответственно. Базисам {i }n, {j }m, {i }n и {zj }m соответствует i=1 i= j=1 j= единственный псевдообратный оператор [26], обозначаемый B +, который однозначно опреде ляется следующим набором своих свойств:

D(B + ) = R(B) {z1,..., zm }, R(B + ) = N (P) D(B), BB + = I Q на D(B + ), B + B = I P на D(B), причем N (B + ) = {z1,..., zm }, BB + B = B, B + BB + = B +.

Соответственно для сопряженных проекторов n n m m P = Pi = Q = Q = i, · i, zj, · j j i=1 i=1 j=1 j= псевдообратный сопряженного оператора B + удовлетворяет условиям D(B + ) = R(B ) {1,..., n }, R(B + ) = N (Q ) D(B ), B B + = I P на D(B + ), B + B = I Q на D(B ), кроме того, N (B + ) = {1,..., n }, B B + B = B, B + B B + = B +, B + = B +.

Заметим, что в силу нормальной разрешимости оператора B (т. е. R(B) = R(B), согласно критерию Хаусдорфа [25, с. 218]), области определения псевдообратных операторов совпада ют с соответствующими пространствами, а именно D(B + ) = E2, D(B + ) = E1. Это, в силу теоремы о замкнутом графике [25, с. 157], влечет ограниченность операторов B + и B +. И, кроме того, если оператор A таков, что выполнены условия (A), то суперпозиция AB + также является ограниченным оператором.

В дальнейшем изложении вспомогательных сведений будем придерживаться методологии работы [27], краткое содержание которой представлено в статье [28]. Формулы для присоеди ненных элементов можно также найти в [29]. Итак, введем системы элементов j (j) (1) (1) = B +A i i, i = 1,..., n, j 2, i = i, и функционалов j (j) (1) (1) = B + A i i, i = 1,..., m, j 2, i = i.

В силу свойств псевдообратных операторов B + и B + при j 2 справедливы включения (j) (j) i N (P) и i N (Q ) соответственно, т. е.

(j) (j) и i, k = 0, i, k = 1,..., n, j 2, zk, i = 0, k, i = 1,..., m, j 2.

Пусть выполнено условие (j) (B) Элементы i удовлетворяют системе уравнений и неравенств (j) (j1) Bi = Ai, i = 1,..., n, j = 1,..., pi, (pi +1) (pi ) Bi = Ai, i = 1,..., n, Обобщенные решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений причем (pi ) (1) rang Ai, k = min(n, m) = l.

i=1,...,n, k=1,...,m (j) Это условие означает, что система элементов i, i = 1,..., n, j = 1,..., pi образует полный A-жорданов набор оператора B [1] и, как показано в работе [30], элементы множеств {i }n, i= {j }m, {i }n, {zj }m можно преобразовать так, чтобы выполнялись следующие равенства:

i= j=1 j= 0, j = 1,..., pi 1, i = 1,..., n, k = 1,..., m, (j) Ai, k = ik, j = pi, i, k = 1,..., l;

0, j = 1,..., pi 1, i = 1,..., n, k = 1,..., m, (j) i, A k = ik, j = pi, i, k = 1,..., l.

Таким образом, при выполнении условия (B) без ограничения общности можно считать, что (p ) (p ) zi = Ai i, k = A k k, i, k = 1,..., l. Условие (B) также означает, что система функциона (j) лов {k, k = 1,..., m, j = 1,..., pk } образует полный A -жорданов набор оператора B. При (p ) (1) (1) (p ) i, A k k i=1,...,n, k=1,...,m этом прямоугольные матрицы Ai i, k i=1,...,n, k=1,...,m, имеют одинаковые ранги, равные l и, значит, обе эквивалентны прямоугольной матрице с еди ничным ранговым минором l-го порядка и нулями на остальных местах. Далее везде в работе будем считать, что все необходимые перестройки базисов уже выполнены.

3. Фундаментальные оператор-функции интегро-дифференциальных операторов Для формулировки основных утверждений работы приведем необходимые для этого поня тия теории обобщенных функций в банаховых пространствах.

банахово пространство, E Пусть E сопряженное банахово пространство. К основ ) отнесем все финитные бесконечно дифференцируемые функции s(t) ному множеству K(E со значениями в E. Носителем supp s(t) основной функции s(t) называется замыкание в R множества значений t, при которых s(t) = 0. Множество K(E ) наделяется структурой топо логического пространства посредством введения в нем сходимости следующим образом: по следовательность {sn (t)}+ сходится к функции s(t) в пространстве K(E ), если, во-первых, n= () R 0 такое, что supp sn (t) [R;

R] n N, и, во-вторых, N sn (t) s() (t) E при n + равномерно на t [R;

R].

Распределением (обобщенной функцией) со значениями в E называется всякий линейный непрерывный функционал, заданный на пространстве K(E ). Множество таких функциона лов будем обозначать K (E). Сходимость в K (E) определяется как слабая (поточечная). Стан дартные понятия в K (E) типа носителя обобщенной функции, равенства двух распределений, операции умножения на числовую бесконечно дифференцируемую функцию, дифференциро вания обобщенных функций определяются так же, как и в классической теории обобщенных функций [23], поэтому воспроизводить их здесь не будем. Далее в работе, следуя монографии В.С. Владимирова, множество классических обобщенных функций будем обозначать через D, а через D множество классических обобщенных функций с ограниченным слева носителем.

+ По аналогии с этим будем обозначать через K+ (E) множество распределений со значениями в E, имеющих ограниченный слева носитель.

Всякая локально интегрируемая по Бохнеру функция f (t) со значениями в пространстве E порождает на K(E ) регулярную обобщенную функцию, действующую по правилу + s(t) K(E ).


(f (t), s(t)) = f (t), s(t) dt 290 М. В. Фалалеев, С. С. Орлов Для введенных таким образом регулярных обобщенных функций справедлив аналог леммы дю Буа-Реймона. Все остальные обобщенные функции называются сингулярными, и класси ческий пример таковых доставляет дельта-функция Дирака, а именно:

s(t) K(E ).

(a(t), s(t)) = (a, s(0)) a E Пусть E1, E2 банаховы пространства, k(t) : E1 E2 оператор-функция, тогда выра жение вида (формальный символ) k(t)h(t), где h(t) D классическая обобщенная функция, будем называть обобщенной оператор-функцией. Далее в работе интегро-дифференциальному оператору уравнения (1.1) поставим в соответствие обобщенную оператор-функцию вида L1 ((t)) = B (t) A((t) + g(t)(t)), которую также будем называть интегро-дифференциальным оператором.

Пусть теперь k(t) C (R) оператор-функция со значениями в L(E1, E2 ), h(t) D и + (E ), тогда сверткой обобщенной оператор-функции k(t)h(t) и обобщенной функции f (t) K+ f (t) называется распределение, обозначаемое k(t)h(t) f (t) K+ (E2 ) и определяемое равен ством (k(t)h(t) f (t), s(t)) = h(t), (f ( ), k (t)s(t + )) s(t) K(E2 ).

(3.1) Корректность этого определения и существование свертки следует из ограниченности слева носителей функций h(t) и f (t). Непосредственно из формулы (3.1) можно получить следующие естественные равенства:

t k(t)(t) u(t)(t) = k(t )u( )d (t), u(t) C([0;

+);

E1 ), k(t)h(t) C(i) (t) f (t) = (k(t)Ch(t))(i) f (t) f (t) K+ (E0 ) C L(E0, E1 ), (3.2) D(i) (t) k(t)h(t) f (t) = (Dk(t)h(t))(i) f (t) f (t) K+ (E1 ) D L(E2, E3 ).

(3.3) Для замкнутых операторов C и D равенства (3.2) и (3.3) будем считать выполненными по определению, при этом в дальнейших наших исследованиях фигурируют такие оператор функции k(t) и операторы C и D, что произведения Dk(t) и k(t)C являются бесконечно диф ференцируемыми оператор-функциями ограниченных операторов.

Во введенных терминах можно теперь переписать исходную задачу Коши (1.1), (1.2). Дей ствительно, если функция u(t) C 1 ([0;

+);

E1 ) является решением задачи Коши (1.1), (1.2), то, будучи продолженной нулем при t 0 по правилу u(t) = u(t)(t), эта функция удовлетво ряет сверточному равенству B (t) A((t) + g(t)(t)) u(t) = Bu0 (t) + f (t)(t). (3.4) Задачу о построении решения уравнения (3.4) в классе K+ (E1 ) (или обобщенного решения начальной задачи (1.1), (1.2)) назовем обобщенной задачей Коши.

Теперь введем ключевое понятие нашей работы. Фундаментальной оператор-функцией интегро-дифференциального оператора первого порядка L1 ((t)) = B (t) A((t) + g(t)(t)) называется обобщенная оператор-функция E1 (t) такая, что (3.5) E1 (t) L1 ((t)) u(t) = u(t) u(t) K+ (E1 ), (3.6) L1 ((t)) E1 (t) v(t) = v(t) v(t) K+ (E2 ).

В силу свойства ассоциативноcти свертки (см. равенства (3.2) и (3.3)) заключаем, что если известна фундаментальная оператор-функция, то единственным решением уравнения L1 ((t)) u(t) = f (t), f (t) K+ (E2 ), Обобщенные решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в классе K+ (E1 ) является обобщенная функция u(t) = E1 (t) f (t).

Действительно, из (3.6) следует, что указанная свертка действительно является решением, а единственность вытекает из следующего простого наблюдения: для любого другого реше ния v(t) в силу (3.5) справедлива цепочка равенств v(t) = E1 (t) L1 ((t)) v(t) = E1 (t) f (t) = u(t).

З а м е ч а н и е 1. Аналогичные рассуждения справедливы для интегро-дифференциаль ного оператора N -го порядка вида LN ((t)) = B(N ) (t) A((t) + g(t)(t)).

Теорема 1. Пусть выполнены условия (A), (B) и n m, тогда интегро-дифференциаль ный оператор N -го порядка LN ((t)) имеет фундаментальную оператор-функцию вида EN (t) = B + UN (t) I Q pi 1 pi k n (j) (pi k+1j) (kN ) (t) ((t) + r(t)(t))k+1. (3.7) ·, i i i=1 j= k= Здесь использованы обозначения pi + n tkN 1 (j) (pi +1j) k (t)(AB + )k1, UN (t) = ((t) + g(t)(t)) Q= ·, i Ai, (kN 1)!

i=1 j= k= (j) где функционалы i E2 при i = m + 1,..., n, j = 2,..., pi являются произвольными и (1) i = 0 при i = m + 1,..., n, r(t) резольвента ядра (g(t)), степень обобщенной функции k+1 означает свертку (k + 1)-го экземпляра функций ((t) + r(t)(t)).

((t) + r(t)(t)) Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы проведем для случая N = 1, поскольку в общем случае оно в техническом и принципиальном плане от приведенного ниже ничем не отличается. В соответствии с определением фундаментальной оператор-функции необходимо доказать свер точные равенства (3.5) и (3.6). Действительно, L1 ((t)) B + U1 (t) I Q = (I Q)((t) + g(t)(t)) U1 (t)AB + I Q + (I Q) I Q (t) ((t) + g(t)(t)) U1 (t)AB + I Q = (I Q)(t) Q((t) + g(t)(t)) U1 (t)AB + I Q, L1 ((t)) E1 (t) B + U1 (t) I Q pi 2 pi k n (j) (pi k+1j) (pi kj) (k+1) (t) ((t) + r(t)(t))k+ = ·, i Bi + Ai i=1 j= k= + Q(t) = Q(t), поэтому L1 ((t)) E1 (t) = I(t) Q((t) + g(t)(t)) U1 (t)AB + I Q, 292 М. В. Фалалеев, С. С. Орлов m m здесь Q = ·, j zj (см. разд. 2). Но при = 1,..., m имеем j=1 Qj = j= Q ((t) + g(t)(t)) U1 (t)AB + I Q t ·, z ((t) + g(t)(t)) (t) + ·, z ((t) + g(t)(t)) (2) (3) = (t) + · · · 1!

tp 2 + ·, ) z ((t) + g(t)(t))p (p (t) I Q (p 2)!

pi n (j) (pi +1j) (2) = ·, i z · Ai, ((t) + g(t)(t)) (t) i=m+1 j= t (pi +1j), ((t) + g(t)(t)) (3) + Ai (t) + · · · 1!

tp (pi +1j), ) ((t) + g(t)(t))p (p + Ai (t) = 0, (p 2)!

следовательно, равенство (3.6) доказано.

Теорема 1 доказана.

З а м е ч а н и е 2. Непосредственно из доказанной теоремы 1 вытекает, что при выпол нении ее условий исходная задача Коши (1.1), (1.2) имеет обобщенное решение вида (см. урав нение (3.4)) u(t) = E1 (t) (Bu0 (t) + f (t)(t)), которое является многопараметрическим в силу наличия свободных функционалов у E1 (t), а, следовательно, неединственным. Именно поэтому при доказательстве теоремы 1 мы не прове ряем справедливость равенства (3.5). Оно и не выполняется в условиях этой теоремы.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (A), (B) и n m, тогда обобщенная оператор функция (3.7) является фундаментальной для интегро-дифференциального оператора LN ((t)) на подклассе обобщенных функций v(t) K+ (E1 ) таких, что (3.8) Q UN (t) v(t) 0, = n + 1,..., m.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Как и в первой теореме, доказательство проведем для случая N = 1. Дублированием рассуждений доказательства теоремы 1 получаем m Q ((t) + g(t)(t)) U1 (t)AB + I Q.

L1 ((t)) E1 (t) = I(t) =n+ Но Q U1 (t) ((t) + g(t)(t))AB + Q = 0, поэтому в силу условия (3.8) теоремы 2 получаем равенство (3.6).

С другой стороны, pi n (j) (pi +1j) + ·, A i E1 (t) L1 ((t)) = B (I Q)B + i (t) i=1 j= + B + ((t) + g(t)(t)) U1 (t) AB + I Q B I Q A = I(t), поскольку AB + I Q B I Q A = A I P AB + QB A + QA Обобщенные решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений pi n n (p ) (1) (j) (pi +1j) AB + Ai A i i ·, B i = ·, Ai i=1 i=1 j= pi n pi n (j) (pi +1j) (j+1) (j) (pi +1j) ·, A i ·, B i + A i + Ai = Ai = 0, i=1 j=1 i=1 j= pi n (j) (pi +1j) + ·, A i B I Q B+ i i=1 j= pi pi n n (j) (pi +1j) (j) (pi +1j) B + Ai ·, B i ·, A i =I P + i i=1 j=2 i=1 j= n pi n n (pi ) (1) (j+1) (j) (pi +1j) (pi ) (1) ·, A i ·, B i + A i ·, A i =I i + i + i = I.

i=1 i=1 j=1 i= Равенство (3.5) доказано.

Теорема 2 доказана.

Как следствие из теоремы 1 получаем следующее утверждение.

Теорема 3. Если в условиях теоремы 1 n = m (т. е. оператор B окажется фредгольмо вым), то заменой в формуле (3.7) псевдообратного оператора B + оператором Треногина Шмидта [1] получим представление для фундаментальной оператор-функции и в этом случае.

З а м е ч а н и е 3. Очевидно, во фредгольмовском случае (n = dim N (B) = dim N (B )) формула (3.7) приобретает наиболее простой вид, если p1 = p2 = · · · = pn = 1, а именно + n tkN 1 (1) (1) ((t) + g(t)(t))k1 (A)k1 I Q EN (t) = ·, i i ((t) + r(t)(t)).

(kN 1)!

i= k= В этих предположениях единственным обобщенным решением задачи Коши (1.1), (1.2) (см.

уравнение (3.4)) является регулярная обобщенная функция (3.9) u(t) = E1 (t) (Bu0 (t) + f (t)(t)).

Прямыми вычислениями находим n (1) (1) u(t)|t=0 = u Au0 + f (0), i i, i= отсюда в силу линейной независимости системы {i }n получаем i= Следствие 1. Если в условиях теоремы 3 длины всех A-жордановых цепочек базисных элементов ядра оператора B равны 1, то исходная задача Коши (1.1), (1.2) имеет единствен ное гладкое решение вида (3.9) тогда и только тогда, когда Au0 + f (0), i = 0, i = 1,..., n.

З а м е ч а н и е 4. По описанной схеме можно исследовать уравнения более высокого порядка. Например, при тех же условиях на операторные коэффициенты задача Коши t (3.10) Bu (t) = Au(t) + g(t )Au( )d + f (t), t 0, 294 М. В. Фалалеев, С. С. Орлов u (0) = u1, (3.11) u(0) = u0, имеет в условиях следствия 1 единственное обобщенное решение вида u(t) = E2 (t) (Bu0 (t) + Bu1 (t) + f (t)(t)), (3.12) которое также является регулярной обобщенной функцией. Поскольку n (1) (1) u(t)|t=0 = u Au0 + f (0), i i, i= n (1) (1) u (t) Au1 + f (0) g(0)f (0), i = u1 i, t= i= то получаем еще одно утверждение Следствие 2. Если в условиях теоремы 3 длины всех A-жордановых цепочек базисных элементов ядра оператора B равны 1, то исходная задача Коши (3.10), (3.11) имеет един ственное решение класса C 2 ([0;

+);

E1 ) вида (3.12) тогда и только тогда, когда Au1 + f (0) g(0)f (0), i = 0, Au0 + f (0), i = 0, i = 1,..., n.

З а м е ч а н и е 5. При g(t) 0 формула (3.7) и теоремы 1–3 данной работы полностью согласуются с аналогичными результатами, полученными ранее в [28;

31].

4. Приложения В этом разделе будут рассмотрены начально-краевые задачи в классических цилиндриче ских областях для интегро-дифференциальных уравнений в частных производных.

П р и м е р 1. Пусть ограниченная область вещественного векторного простран M с границей класса C, переменная t принимает неотрицательные действительные ства R значения, т. е. t {0} R+. В цилиндре R+ рассмотрим уравнение t u (4.1) ( ) (t, x) u(t, x) k1 (t )u(, x)d = f (t, x), t которое возникает при изучении динамики наследственно упругих тел [32], в частности, оно является линейной составляющей интегро-дифференциального уравнения, описывающего те чение вязкоупругих жидкостей Кельвина Фойгта [33]. Здесь отличная от нуля ве щественная постоянная, ядро k1 (t) : {0} R+ R непрерывная функция. Поставим для уравнения (4.1) задачу Коши Дирихле, т. е. зададим начальное (4.2) u(t, x)|t=0 = u0 (), x x, и однородное граничное (4.3) u(t, x)|x = 0, t {0} R+, условия.

Если в качестве пространств E1 и E2 выбрать L2 () v() L2 () : v()|x = 0 и x x L2 () соответственно, область определения операторных коэффициентов B = и A = задать как l+ H l+2 () v() W2 () : v()|x = 0, x x l {0} N, Обобщенные решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений а также положить g(t) = k1 (t), то можно заключить, что задача Коши–Дирихле (4.1)–(4.3) является конкретной реализацией абстрактной начальной задачи (1.1), (1.2). Здесь L2 () и W2 () H l () обозначают пространства Лебега и Соболева соответственно.

l Пусть (), т. е. однородная задача Дирихле () = (), x x ()|x = 0, x имеет ненулевые решения, тогда оператор B = фредгольмов в силу самосопряженности оператора Лапласа и конечной кратности его собственных чисел. Для всякого фиксирован ного () введем показатель d() N его кратности, который и является размерностью d() ядра оператора B =. Кроме того, обозначим {i ()}i=1 отвечающую собственному чис x лу систему собственных функций, ортонормированную в смысле скалярного произведения d() пространства L2 (). В качестве элементов базиса {i ()}i=1 в N (B ) выберем следующие x функции:

i () = i (), x.

x x Тогда справедлива цепочка равенств Ai, j = i ()j ()d = x xx i ()j ()d = ij, x xx i, j = 1,..., d(), которая означает, что длины всех A-жордановых цепочек равны единице. Из следствия предыдущего раздела вытекает следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть (), тогда для того чтобы задача Коши Дирихле (4.1)–(4.3) имела единственное решение класса C 1 ([0;

+);

L 2 ()), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения (u0 () + f (0, x)) i ()d = 0, x xx i = 1,..., d().

П р и м е р 2. В обозначениях примера 1 рассмотрим еще одну начально-краевую задачу вида t 2u ( ) 2 (t, x) + 2 u(t, x) k2 (t )2 u(, x)d = f (t, x), (4.4) t u (4.5) u(t, x)|t=0 = u0 (), x (t, x) = u1 (), x x, t t= (4.6) u(t, x)|x = 0, t {0} R+, где отличная от нуля вещественная постоянная, ядро k2 (t) : {0} R+ R непрерывная функция. В случае M = 2 и f (t, x1, x2 ) 0 уравнение (4.4) моделирует поперечные колебания вязкоупругой пластины с памятью [32], при этом функция u = u(t, x1, x2 ) задает поперечные перемещения, число представляет собой нелинейное соотношение между ее постоянными физическими характеристиками, а функция k2 (t) отражает реологические свойства материала (ползучесть).

Задача Коши Дирихле (4.4)–(4.6) допускает редукцию к начальной задаче (3.10), (3.11) с фредгольмовым оператором B, если g(t) = k2 (t), пространства E1 и E2 выбрать такими же, как и в примере 1, а области определения операторов B =, A = 2, () одинаковыми D(B) = D(A) = H l+4 (), l {0} N. Длины всех жордановых цепочек, как и в предыдущем случае, равны единице, а, значит в силу следствия 2 справедлива следующая 296 М. В. Фалалеев, С. С. Орлов Теорема 5. Пусть (), тогда для того чтобы задача Коши Дирихле (4.4)–(4.6) имела единственное решение класса C 2 ([0;

+);

L 2 ()), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения f f (0, x) 2 u0 () i ()d = 0, (0, x) + k2 (0)f (0, x) 2 u1 () i ()d = 0, x xx x xx t i = 1,..., d().

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

2. Lyapunov-Schmidt Methods in nonlinear analysis and applications / Sidorov N. [et al.]. Dordrecht:

Kluwer Acad. Publ., 2002. 548 p.

3. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. Utrecht;

Boston;

Tokyo;

Keln: VSP, 2003. 216 p.

4. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Физматлит, 1995. 384 с.

5. Favini A., Yagi A. Degenerate dierential equations in Banach spaces. New York;

Basel;

Hong Kong:

Marcel Dekker Inc., 1999. 313 p.

6. Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов С.В. Неклассические дифференциально-операторные урав нения. Новосибирск: Наука, 2000. 336 с.

7. Pyatkov S.G. Operator theory. Nonclassical problems. Utrecht;

Boston;

Tokyo;

Keln: VSP, 2002. 216 p.

8. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 338 с.

9. Fattorini H.O. Second order linear dierential equations in Banach spaces. Amsterdam: Elsevier Science Ltd, 1985. 328 p.

10. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Но восибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1990. 130 с.

11. Kozhanov A.I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht;

Boston;

Tokyo;

Keln: VSP, 1999. 171 p.

12. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы уравнений, не разрешенные относи тельно старшей производной. Новосибирск: Научная книга, 1998. 438 с.

13. Далецкий Ю.М., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банахо вом пространстве. М.: Наука, 1970. 535 с.

14. Крейн С.Г., Хасан М.И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве // Итоги науки и техники. Математический анализ / АН СССР ВИНИТИ. 1983. Т. 21. C. 130–264.

15. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховых пространствах. М.: Физматлит, 1971. 104 с.

16. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1967. 275 с.

17. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников [и др.]. М.: Физматлит, 2007. 736 с.

18. Свешников А.Г., Альшин А.Б., Корпусов М.О. Нелинейный функциональный анализ и его приложения к уравнениям в частных производных. М.: Научный мир, 2008. 400 с.

19. Габов С.А. Новые задачи математической теории волн. М.: Физматлит, 1998. 448 с.

20. Фалалеев М.В., Орлов С.С. Вырожденные интегро-дифференциальные операторы и банаховых пространствах и их приложения // Изв. вузов. 2011. № 10. С. 68–79. (Математика.) 21. Фалалеев М.В., Орлов С.С. Интегро-дифференциальные уравнения с вырождением в банахо вых пространствах и их приложения в математической теории упругости // Изв. Иркут. гос. ун-та.

2011. Т. 4, № 1. С. 118–134. (Математика).

22. Фалалеев М.В., Орлов С.С. Начально-краевые задачи для интегро-дифференциальных урав нений вязкоупругости // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. Т. 17, вып. 4.

С. 597–600.

23. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.

Обобщенные решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений 24. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы: модели и приложения. М.: Наука, 1991.

256 с.

25. Треногин В.А. Функциональный анализ: уч. 3-е изд., испр. М.: Физматлит, 2002. 488 с.

26. Nashed M.Z. Generalized inverses and applications. New York;

San Francisco;

London: Academic Press, 1976. 1055 p.

27. Сидоров Н.А., Благодатская Е.Б. Дифференциальные уравнения с фредгольмовым операто ром при старшем дифференциальном выражении: препринт. Иркутск: ИрВЦ СО АН СССР, 1991.

36 с.

28. Фалалеев М.В., Гражданцева Е.Ю. Фундаментальные оператор-функции вырожденных диф ференциальных и дифференциально-разностных операторов с нетеровым оператором в главной части в банаховых пространствах // Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, № 6. С. 1393–1406.

29. Сидоров Н.А., Романова О.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений с вырождением // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 9. С. 1516–1526.

30. Русак Ю.Б. Некоторые соотношения между жордановыми наборами оператор-функции и сопря женной к ней // Изв. АН СССР. Сер. физ.-мат. 1972. № 2. С. 15–19.

31. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операто ров в банаховых пространствах // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 5. С. 1167–1182.

32. Cavalcanti M.M., Domingos Cavalcanti V.N., Ferreira J. Existence and uniform decay for a non-linear viscoelastic equation with strong damping // Math. Meth. Appl. Sci. 2001. Vol. 24, no. 14.

P. 1043–1053.

33. Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движений жидкостей Кельвина Фойг та и Олдройта // Тр. МИАН СССР. 1988. Т. 179. С. 126–164.

Фалалеев Михаил Валентинович Поступила 27.02. д-р физ.-мат. наук, профессор зав. кафедрой Инcтитут математики, экономики и информатики Иркутского государственного университета e-mail: mihail@ic.isu.ru Орлов Сергей Сергеевич аспирант Институт математики, экономики и информатики Иркутского государственного университета e-mail: orlov_sergey@inbox.ru ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН Том 18 № 4 УДК 519. ЯРУСНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ОСНОВЕ УЛЬТРАФИЛЬТРОВ А. Г. Ченцов Рассматриваются вопросы, связанные с решением абстрактных задач о достижимости в топологиче ских пространствах в условиях ограничений асимптотического характера. Существенная часть исследова ния связана с изучением свойств ярусных отображений (являющихся равномерными пределами ступенча тых) со значениями в полном метрическом пространстве и отображений, имеющих ярусные компоненты.

Ключевые слова: ограничения асимптотического характера, ультрафильтр, ярусное отображение.

A. G. Chentsov. Tier mappings and ultralter-based transformations.



Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.