авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

”СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ”

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Ю.Я. Белов, А.Ш. Любанова, С.В. Полынцева,

Р.В. Сорокин, И.В. Фроленков

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Учебное пособие

Красноярск

СФУ

2008

Содержание

Глава 1. Некоторые вспомогательные утверждения 4 1.1. Неравенства. Функциональные пространства......... 4 1.2. Линейное уравнение в частных производных первого порядка 7 1.3. Принцип максимума для параболического уравнения второ го порядка............................ 8 1.4. Метод слабой аппроксимации................. 1.5. Теоремы сходимости метода слабой аппроксимации..... Глава 2. Обзор некоторых постановок обратных задач 2.1. Постановки обратных задач для параболических уравнений 2.2. Задачи c финальным и интегральным условиями переопре деления.............................. Глава 3. Разрешимость многомерных обратных задач в классах глад ких функций. Задача Коши 3.1. Задача идентификации функции источника многомерного па раболического уравнения.................... 3.2. Задача идентификации коэффициента при младшем члене мно гомерного параболического уравнения............. 3.3. Задача идентификации коэффициентов при производной по времени и нелинейном выражении двумерного параболиче ского уравнения......................... Глава 4. Краевые задачи 4.1. Разрешимость первой и второй краевых задач идентифика ции коэффициента при младшем члене многомерного пара болического уравнения..................... 4.2. Задача идентификации функции источника. Интегральное пе реопределение.......................... 4.3. Задача идентификации функции источника. Финальное пере определение........................... 4.4. Задача идентификации функции источника в случае неизвест ного коэффициента, зависящего от времени.......... Глава 5. Другие задачи 5.1. Задачи с несколькими неизвестными коэффициентами... 5.2. Поведение при t + решения задачи идентификации функ ции источника для уравнениия теплопроводности...... 5.3. Обратные задачи для систем составного типа......... Список литературы Глава 1. Некоторые вспомогательные утверждения 1.1. Неравенства. Функциональные пространства Пусть — ограниченная область в n - мерном пространстве En. Точка в En обозначается символом x = (x1,..., xn ). Символ обозначает границу области.

Замыкание множества обозначим через. Через QT обозначим ци линдр (0, T ). Пусть – мультииндекс, то есть = (1,... n ), где i i n i – целые неотрицательные числа и || = i=1 i. Обозначим D xi = xi i, D = D1... Dn.

1 n x x x Символом C k () (C k ()) будем обозначать совокупность всех k - раз непрерывно дифференцируемых функций, определенных на ().

Если ввести в C k () норму max |D f (x)|, f= x 0||k то пространство C k () превращается в банахово пространство. При k = вместо C o () будем писать C().

p — банахово пространство, состоящее из клас Lp (), где сов интегрируемых по Лебегу в p - й степени функций, определенных на (в один класс включаются функции, которые равны почти всюду). Норма в этом пространстве определяется по формуле |f (x)|p dx)1/p.

f =( H k () (k – целые числа) — гильбертово пространство, состоит из всех элементов L2 (), имеющих все обобщенные производные до порядка k включительно, которые интегрируемы со 2 - ой степенью [50, 79, 118]. Через (·, ·)H ( · H ) – обозначим скалярное произведение (норму) в гильбертовом пространстве H.

Неравенства В дальнейшем часто используются хорошо известные неравенства Юн га, Гёльдера, Шварца, Гронуолла [9, 74, 100]:

Н е р а в е н с т в о Ю н г а: для любых чисел a 0, b 1 p p 1 q q (1.1.1) ab a + a 0, p 1, q 1, + = 1.

p q pq Н е р а в е н с т в о К о ш и c (неравенство Юнга при p = q = 2):

для любых чисел a 0, b 0, 1 2 (1.1.2) ab (a + b ), 0.

2 Неравенство Г ё л ь д е р а:

(1.1.3) uv u v Lq (), p 1, q 1, + = 1.

L1 () Lp () pq Неравенство Ш в а р ц а: для любых элементов u, v гильбертова пространства H |(u, v)H | (1.1.4) u v H, H где (u, v) - скалярное произведение и u H - норма в H.

Лемма 1.1.1 (Неравенство Гронуолла) Пусть неотрицательная, измеримая и ограниченная на отрезке [0, t ] функция (t) удовлетво ряет неравенству t (t) C+ [A + B()]d, t имеет где постоянные A, B, C 0. Тогда, если B 0, при 0 t место оценка A Bt CeBt + (e 1). (1.1.5) (t) B Если B = 0, то (1.1.6) (t) C + At.

Некоторые понятия функционального анализа Ниже мы сформулируем некоторые понятия и теоремы функционально го анализа, которые нам понадобятся в дальнейшем. Предполагается, что читатель знаком с понятиями нормированного, банахова, гильбертова про странства, с определением линейного оператора, функционала, их норм [50, 118].

1. Рассмотрим ограниченное в En множество и C() – пространство непрерывных на функций f (x) с нормой f C() = max |f (x)|. Пусть M — x некоторое бесконечное множество непрерывных на функций (M C()).

Определение. Множество M нормированного пространства X называ ется компактным, если из каждой последовательности {xn } M можно выделить фундаментальную подпоследовательность.

Нас интересует вопрос о компактности множества M в C(). Для этого введем понятия равномерной ограниченности и равностепенной непрерыв ности функций, и сформулируем теорему Арцела о компактности.

Определение. Говорят, что функции множества M равномерно огра ничены в C(), если существует постоянная K, такая что f C() K для всех f M.

Определение. Говорят, что функции множества M равностепенно непрерывны в, если для любого 0 существует = () такое, что для любых x, x, удовлетворяющих неравенству |x x |, имеет место неравенство |f (x ) f (x )|, выполняющееся сразу для всех f M.

Теорема 1.1.1. (Арцела) Для того чтобы множество M C() было компактно в C(), необходимо и достаточно, чтобы функции из M были равномерно ограничены в C() и равностепенно непре рывны в.

2. Пусть X – нормированное пространство, X – сопряженное прост ранство, то есть пространство линейных ограниченных функционалов, определенных на X.

Значение функционала F X на элементе x X будем обозначать F (x) или F, x. Если в X ввести норму | F, x | F = sup, X x xX,x= то пространство X превращается в банахово. Сопряженное к пространству Lp () при p 1 можно отождествить с пространством Lq (), где p + 1 = 1.

q Это значит, что если F (Lp ()), то существует такой элемент y Lq (), что для любого x Lp () выполняется равенство F, x = x(t)y(t)dt и F X = y Lq (). Имея в виду это соответствие, говорят, что (Lp ()) = Lq (). Аналогично можно показать, что (L1 ()) = L ().

Пусть X = (X ), то есть пространство всех линейных непрерывных функционалов, определенных на X. Определим следующим образом отоб ражение пространства X в X : для x X поставим в соответствие такой элемент x X, что для любого x X выполняется равенство x, x = x, x. В том случае, когда область значений этого отоб ражения совпадает со всем пространством X, пространство X называется рефлексивным.

Пространство Lp () при p 1 рефлексивно. Пространства L1 (), L (), C k () не являются рефлексивными.

Определение. Последовательность {xn } элементов из X называется слабо сходящейся, если существует такой элемент x X, что для каждого фунционала F X выполняется равенство F, x = lim F, xn. При n этом говорят, что x является слабым пределом последовательности xn, сл.

и обозначают это следующим образом: xn x.

Если xn сходится слабо к x, то справедливо неравенство x lim xn.

n 1.2. Линейное уравнение в частных производных первого порядка Рассмотрим линейное уравнение в частных производных первого поряд ка n (1.2.1) zt + fi (t, x, )zxi + f0 (t, x, )z = f (t, x, ), i= где x = (x1,..., xn ), а = (1,..., m ) — параметр.

Условие 1.2.1. Предположим, что в области [t0,t1 ] = {(t, x)/t0 t t1, x En } функции fi, i 1 ограничены при каждом фиксированном.

Функции fi и f непрерывны, а частные производные fixj, fir, i = 0, 1,..., n, и fxj, fr существуют, непрерывны и k 1 раз непрерывно дифференци руемы по всем своим n + m + 1 аргументам (k 1). Функция (x, ) k раз непрерывно дифференцируема по всем n + m аргументам в области x1,..., xn +, 1,..., m +.

Теорема 1.2.1. [56] При выполнении условия 1.2.1 для любых, из интервалов a b, 1,..., m + уравнение (1.2.1) имеет в [t0,t1 ] единственный интеграл z = (t, x;

, ) с начальным значени ем (, x;

, ) = (x, ). Этот интеграл k раз непрерывно дифферен цируем по всем m + n + 2 аргументам.

Если xi = i (t,, 1,... n, ) — характеристические функции системы (1.2.2) xi (t) = fi (t, x, ), i = 1,..., n, (то есть интегральные кривые системы (1.2.2), которые проходят через точ ку (, 1,..., n )), то параметрическое представление интеграла имеет следующий вид:

xi = i (t,, 1,... n, ), i = 1,..., n, t z = exp{F0 }{(1,... n, ) + f (t, 1,..., n, ) exp{F0 }dt}, (1.2.3) t где F0 = F0 (t,, 1,... n, ) = f0 (t, 1,..., n, )dt.

1.3. Принцип максимума для параболического уравнения второго по рядка Пусть T 0 – const, ST = [0, T ], T = ST, QT = (0, T ) и — ограниченная область пространства E n с кусочно-гладкой границей.

Рассмотрим в QT линейное уравнение (1.3.1) L(u) = f, где дифференциальный оператор L имеет вид n n 2u u u + cu L(u) = aij + bi xi xj xi t i,j=1 i= и коэффициенты aij, bi, c и правая часть f уравнения (1.3.1) — веществен ные конечнозначные функции переменных t, x.

Считаем, что aij (t, x) = aji (t, x), i, j = 1,..., n, и выполняется соотно шение n (t, x) QT (1.3.2) 0 aij (t, x)i j T i,j= при любых отличных от нуля = (1,..., n ) En.

Уравнение (1.3.1) вследствие условия (1.3.2) является параболическим в QT T (см., например, [79, 117]).

О п р е д е л е н и е. Функция u называется классическим решением урав 2u нения (1.3.1) в QT, если её производные xi, xi xj, u, i, j = 1,..., n, u t T T, сама функция u(t, x) непрерывна в QT и в непрерывны в Q QT T выполняется тождество L(u(t, x)) = f (t, x).

Теорема 1.3.1. Пусть функция u(t, x) непрерывна в QT, все ее про изводные, входящие в оператор L, непрерывны в QT ГT и выполня ются неравенства 0 в QT ГT, L(u(t, x)) 0 на ГT.

u(t, x) Пусть коэффициент с оператора L ограничен сверху некоторой по стоянной M : c(t, x) M (t, x) QT. Тогда 0 в QT.

u(t, x) Теорема 1.3.2. Пусть классическое решение u(t, x) уравнения (1.3.1) удовлетворяет условию |u(t, x)| при (t, x) T.

q Пусть f – ограниченная функция, а коэффициент c ограничен свер ху:

|f (t, x)| (t, x) QT ;

q, N, M = const N, c(t, x) M 0.

Тогда всюду в QT выполняется неравенство eM t (N t + q).

|u(t, x)| (1.3.3) Теорема 1.3.3. Пусть функция u(t, x) в [0,T ] = {(t, x)| 0 T, x t En } непрерывна и ограничена снизу:

d u(t, x), d = const 0, а в (0,T ] имеет все непрерывные производные, входящие в оператор L, и удовлетворяет неравенству L(u) 0. Пусть коэффициенты aij, bi, c удовлетворяют соотношениям M (|x|2 + 1), M (|x|2 + 1)1/2, |aij (t, x)| |bi (t, x)| c(t, x) M, M = const 0.

Тогда u(t, x) 0 всюду в [0,T ], если u 0 при t = 0.

Рассмотрим для уравнения (1.3.1) задачу Коши: найти непрерывную в полосе [0,T ] функцию u(t, x), удовлетворяющую в (0,T ] уравнению (1.3.1) и при t = 0 совпадающую с заданной на En функцией :

x En. (1.3.4) u(0, x) = (x), Теорема 1.3.4. Пусть u(t, x) — классическое ограниченное решение задачи Коши (1.3.1), (1.3.4), коэффициенты aij, bi оператора L под чинены условиям теоремы 1.3.3 и выполняются соотношения |(x)| x En, q, |f (t, x)| (t, x) [0,T ].

N, c(t, x) M, Тогда всюду в [0,T ] eM t (N t + q).

|u(t, x)| (1.3.5) Теоремы 1.3.1 – 1.3.4 относятся к группе теорем принципа максимума.

Доказательство теорем 1.3.1 – 1.3.4 дано в [2, 49]. Другие важные теоремы принципа максимума см., например, в [67, 74, 119].

1.4. Метод слабой аппроксимации В банаховом пространстве B рассмотрим задачу Коши du t [0, T ], (1.4.1) + L(t)u = f (t), u(0) = u0, dt где L(t) – нелинейный, вообще говоря, неограниченный оператор с пере менной областью определения D(L(t)), причем при каждом фиксированном t [0, T ] оператор L(t) отображает D(L(t)) в B.

Пусть L = m Li, f = m fi и m D(Li (t)) D(L(t)). Мы считаем, i= i=1 i= что операторы Li (t) отображают D(Li (t)) в B и функции fi (t) B, i = 1,..., m.

Наряду с задачей (1.4.1) рассмотрим семейство задач, зависящих от па раметра :

du + L (t)u = f (t), u (0) = u0.

t [0, T ], (1.4.2) dt Здесь m m L (t) = i (, t)Li (t), f (t) = i (, t)fi (t), i=1 i= а функции i (, t), i (, t) слабо аппроксимируют единицу, то есть для лю бых t1, t2 [0, T ] при t2 t (i (, t) 1) dt 0, (i (, t) 1) dt 0.

t1 t В дальнейшем вместо "семейства задач (1.4.2)"будем говорить о "задаче (1.4.2)".

Метод решения задачи (1.4.1), при котором в качестве приближенных решений u, 0 берутся решения задачи (1.4.2) и решение u задачи (1.4.1) находится как предел при 0 решений u (u = lim u ), мы будем назы вать методом слабой аппроксимации [22, 127].

Часто коэффициенты i (, t), i (, t) выбирают в виде m, (n + i1 ) t (n + m ), i m i (, t) = i (, t) = в противном случае, 0, n = 0, 1,..., N 1.

В этом случае нахождение решения u задачи (1.4.2) сводится к решению последовательности задач Коши:

du + mL1 (t)u = mf1 (t), t (0, ], первый дробный шаг, dt m du + mL2 (t)u = mf2 (t), t (, ], второй дробный шаг, dt mm u (0) = u0.

В качестве начальных данных на этом шаге берется значение решения, по лученного на первом дробном шаге в момент t = m. Продолжая аналогич ным образом, определяют решение на множествах ( 2, 3 ],..., ( (m1), ].

mm m Тем самым находят решение на полуинтервале (0, ] – нулевом целом ша ге. После этого аналогично находят решение на множестве [, 2 ]– первом целом шаге, затем - на множестве [2, 3 ] и так далее. Через конечное чис ло шагов (число это равно N ) решение u находят на отрезке [0, T ]. Задачу (1.4.2) называют расщеплением задачи (1.4.1).

В тех случаях, когда все операторы Li имеют более простую структу ру, чем оператор L, построение и исследование различных свойств реше ния задачи (1.4.2) проще, чем аналогичное исследование задачи (1.4.1). Так в некоторых нелинейных задачах только расщепление позволяет получить априорные оценки, достаточные для доказательства теорем существования.

Описанные расщепления используются при построении разностных ал горитмов для решения многомерных задач математической физики [77, 78, 106, 127]. При этом, как правило, расщепления бывают двух видов: рас щепление по физическим процессам и расщепление по пространственным переменным.

Расщепление по физическим процессам задачи, описывающей сложный эволюционный физический процесс, сводится к решению последователь ности задач, отражающих процессы более простой физической структуры.

Одним из первых, вероятно, подобное расщепление применял Харлоу [120] при решении задач газовой динамики (метод частиц в ячейке). Здесь на пер вом дробном шаге решается система уравнений, описывающая изменения параметров газа только за счет давления, то есть пренебрегают эффекта ми, связанными с движением газа. Это соответствует тому, что из уравне ний опускаются конвективные члены. Второй дробный шаг связан с пере носом субстанций – из уравнений опускаются члены с давлением. Подроб ную библиографию о применении и развитии этого метода можно найти в монографии [35].

При расщеплении по пространственным переменным многомерная эво люционная задача сводится к последовательности задач меньшей размер ности, в частности, к одномерным по пространственным переменным зада чам.

Замечание. В ряде работ [42, 43, 104, 105, 106, 149] рассматривает ся близкий к описанному выше подход, который основан на той же идее представления исходного сложного оператора в виде конечной суммы бо лее простых операторов и сведения решения исходной задачи со сложным оператором к цепочке задач с простыми операторами (метод суммарной аппроксимации). Суть метода заключается в следующем. Пусть j = 0, 1,..., N 1.

tj = j, Решение задачи (1.4.1) предлагается заменить следующей цепочкой задач:

dui t (tj, tj+1 ], + Li (t)ui = fi (t), i = 1,..., m, dt u1 (tj ) = um (tj ) при u1 (0) = u0, j 0, ui (tj ) = ui1 (tj+1 ) при i = 2,..., m.

Доказывается, что при определенных условиях u(t) um (t) = o( ).

Аналогичный результат можно получить, если на каждом полуинтервале (tj, tj+1 ] функцию u(t) приближать функцией v (t), которая строится сле дующим образом:

dui t (tj, tj+1 ], ci + Li (t)ui = fi (t), i = 1,..., m, dt ui (tj ) = v (tj ) при j 0, ui (0) = u0, m v (t) = ci ui (t).

i= Здесь ci – произвольные положительные числа, сумма которых равна 1.

1.5. Теоремы сходимости метода слабой аппроксимации Система локальных уравнений В полосе [t0,t1 ] = {(t, x) | t0 t1, x En } рассмотрим систему t дифференциальных уравнений в частных производных u (1.5.1) = (t, x, u).

t Здесь u = u(t, x) = (u1 (t, x),..., ul (t, x)), = (1,..., l ) – вектор-функ ции размерности l (l 1). Через u = (v0, v1,..., vr ) обозначена вектор функция, компоненты которой определяются следующим образом: v0 = u = (u1,..., ul );

v1 – вектор, составленный из всех производных порядка r по x от u. Таким образом, r u1 r ul u1 u1 ul u = (u1,..., ul,,,...,,...,,..., r ) xr x1 x2 xn xn и система уравнений (1.5.1) содержит производные по пространственным переменным до порядка r включительно (r 0).

Мы предполагаем, что m m i i, =, j = j = 1,..., l, j i=1 i= где i – вектор-функции размерности l;

j, i – j-е компоненты векторов j i и соответственно. Рассмотрим систему m u ai, (t)i (t, x, u ), (1.5.2) = t i= где функции ai, определены следующим соотношением t0 + (n + i1 ) t i m, t0 + (n + m ), m i, = в противном случае, n = 0, 1,..., N 1;

N = t1 t0.

Система (1.5.2) слабо аппроксимирует систему (1.5.1) [22, 45].

Наконец, рассмотрим систему m u ai, (t)i, (t, x, u ), (1.5.3) = t i= где вектор-функции i, (t, x, u ) есть некоторые аппроксимации вектор функций i (t, x, u ), зависящие от.

Ниже будем рассматривать классические решения уравнений (1.5.1), ((1.5.2), (1.5.3)). Под классическим решением уравнения (1.5.2) ((1.5.3)) мы понимаем функцию u, непрерывную вместе со всеми своими производны ми по пространственным переменным, которые входят в уравнение (1.5.2) ((1.5.3)), обладающую кусочно непрерывной производной u в полосе [t0,t1 ] t (ut может иметь разрывы лишь на гиперплоскостях t = (n + i/m) ;

n = 0, 1,..., N 1;

N = t1 t0 ;

j = 0, 1,..., m 1) и удовлетворяющую урав нению (1.5.2) ((1.5.3)) в [t0,t1 ].

Предположим, что выполняются следующие условия.

Условие 1.5.1 Вектор-функции i определены и непрерывны при лю бых значениях своих аргументов. Вектор-функции i, (t, x, u ) на класси ческих решениях u системы уравнений (1.5.3) непрерывны по переменным (t, x) [t0,t1 ].

Пусть {k } (0 0 ) – некоторая последовательность, сходяща k= яся к нулю: lim k = 0. Заметим, что последовательности {k } соответ k= k ствует последовательность {Nk } целых чисел, таких что k Nk = t1 t0.

k= k Через u (t, x) обозначим решение системы (1.5.3) при фиксированном k 0.

Условие 1.5.2. Пусть при всех k 0 классическое решение uk систе мы (1.5.3) существует и при k 0 равномерно в N0,t1 ] = {(t, x)|t0 t1, |x| N }, t [t последовательность uk сходится к некоторой вектор-функции u вместе со всеми производными по x, входящим в (1.5.1), причем max |i (t, x, uk ) i,k (t, x, uk )| 0, (1.5.4) N [t 0,t1 ] k 0, i = 1,..., m.

Теорема 1.5.1. Пусть выполняются условия 1.5.1, 1.5.2. Тогда век тор-функция u(t, x) есть решение системы (1.5.1) в N0,t1 ].

[t Доказательство приведем из [22]. Ниже для удобства обозначений бу дем опускать аргумент x и вместо индекса k писать индекс, например, будем писать u (t) вместо uk (t, x). Введем средние функции u (t):

ср t+ u (t) = u () d. (1.5.5) ср t При любом t из интервала (t0, t1 ) в прямоугольнике N0,t1 ] функции u (t) ср [t существуют (для достаточно малых ) и сходятся при 0 равномерно по t, x к функции u(t).

Из (1.5.5) следует равенство u (t) u (t + ) u (t) ср =.

t u (t) u Докажем, что t сходится равномерно в N0,t ] к вектор-функции ср t.

[t Осредним (1.5.3). Получим систему u (t) ср = (t, x, (u) ) + F, t где F = F (t, x, u ) = t+ m m 1 i (t, x, u (t)) ai, ()i, (, x, u ()) = d.

i=1 i= t Так как меры множеств i, на которых ai, (t) не обращаются в нуль на [t, t + ], равны, то m m {i, (, x, u ()) i (t, x, u (t))} d. (1.5.6) Fv = i= i Рассмотрим подынтегральное выражение в (1.5.6):

|i, (, x, u ()) i (t, x, u (t))| |i, (, x, u ()) i (, x, u ())|+ + |i (, x, u ()) i (t, x, u (t))|.

При 0 первый член в правой части последнего равенства равномерно в N0,t ] стремится к нулю вследствие соотношения (1.5.4).

[t Второй член равномерно в N0,t ] стремится к нулю вследствие равно [t мерной непрерывности по всем своим аргументам вектор-функции i (см.

условие 1.5.1) и равностепенной непрерывности u (t) по t в N0,t ]. Следо [t вательно, при 0 функция F равномерно в N0,t ]. Так как (t, x, u (t)) [t сходится равномерно в N0,t ] к (t, x, u(t)), то [t u (t) ср (t, x, u(t)) равномерно в N0,t ].

[t t По теореме о дифференцировании функциональных последовательно u u стей tср u равномерно в N0,t ] к (t, x, u(t)). Следовательно, = [t t t (t, x, u(t)), то есть u – классическое решение системы (1.5.1) в N0,t ].

[t Рассматривая средние функции t u (t) = u () d, ср t докажем, что u(t) есть решение системы (1.5.1) в N,t1 ] при любом [t N t (t0, t1 ) и следовательно в [t0,t1 ]. Теорема 1.5.1 доказана.

Замечание. Рассмотрим систему уравнений (1.5.1) с вектор-функцией = 1 + 2 + 3. Из доказательства теоремы 1.5.1 следует, что если uk – решение системы uk p 2p = 1, t0 + nk t t0 + (n + )k, p t 2p uk p1 p 2p = 2, t0 + (n + )k t t0 + (n + )k, p t 2p p uk p 2p = 3, t0 + (n + )k t t0 + (n + 1)k, p t p где p 1 – некоторое фиксированное число и выполняются условия 1.5.1, 1.5.2, то u(t, x) является решением системы (1.5.1) в ПN0,t1 ].

[t Интегродифференциальные уравнения В полосе G[t0,t1 ] = {(t, x, y) | t0 t1, x En, y E1 } рассмотрим t интегродифференциальное уравнение u (1.5.7) = (t, x, y, u, J(u)).

t Здесь u = u1 + iu2, = 1 + i2 комплекснозначные функции, функции uk = uk (t, x, y), k = k (t, x, y, u, J(u)) являются действительнозначными в G[t0,t1 ].

Через u = (v (0), v (1),..., v (p) ) обозначена вектор-функция, компоненты которой определяются следующим образом: v (0) = v;

v (1) — вектор, состав ленный из производных первого порядка от v по xj, j = 1,..., n;

v (2) — век тор, составленный из производных второго порядка от v по x и так далее;

v (p) — вектор, составленный из производных порядка p от v по x. Таким образом, v 2 v 2v pv pv v u = (v,,...,,,..., 2,..., p,..., p ).

xn x x1 xn x1 xn Через J(u) обозначена вектор-функция J(u) = (J0 (u),J1 (u),...,Jr (u)), y k u(t, x, y) dy, k = 0, 1,..., r.

r 0 - целое;

Jk (u) = m j.

Полагаем = j= Рассмотрим уравнение m u j, (t)j (t, x, y, u, J(u )), (1.5.8) = t j= где функции j, определяются соотношением t0 + (n + j1 ) t j m, t0 + (n + m ), m j, = в противном случае, n = 0, 1,..., N 1;

N = t1 t0.

Уравнение (1.5.8) слабо аппроксимирует уравнение (1.5.7).

Наконец, рассмотрим уравнение m u j, (t)j (t, x, y, u, J(u )), (1.5.9) = t j= где вектор-функции j (t, x, y, u, J(u )) есть некоторые аппроксимации вектор-функций (t, x, y, u, J(u )), зависящих от.

j Ниже будем рассматривать классические решения уравнений (1.5.7), (1.5.8), (1.5.9). Под классическим решением уравнения (1.5.8), (1.5.9) мы понимаем функцию u, непрерывную вместе со всеми своими производны ми по x, которые входят в уравнение (1.5.8), (1.5.9), обладающую кусоч но непрерывной производной u в полосе G[t0,t1 ] (u может иметь разрывы t t лишь на гиперплоскостях t = (n + j/m);

n = 0, 1,..., N 1;

N = t1 t0 ;

j = 0, 1,..., m 1 и удовлетворяющую уравнению (1.5.8), ((1.5.9)) в G[t0,t1 ].

Условие 1.5.3. Функции j определены, непрерывны при (t, x, y) G[t0,t1 ] и любых значениях других независимых переменных.

Условие 1.5.4. Пусть классическое решение uk системы (1.5.9) в G[t0,t1 ] для всех k 0 существует. Последовательность {uk } сходится к некото рой вектор-функции u в G[t0,t1 ] вместе со всеми производными по x, входя щими в (1.5.7), и эта сходимость равномерная в GM,t1 ] = {(t, x, y) | t0 t [t t1, |x| M, y E1 } для всех фиксированных M.

Условие 1.5.5. Интегралы Jj (uk ) сходятся абсолютно и равномерно по k и (t, x) [t0,t1 ] = {(t, x) | t0 t1, x En }. Интегралы Jj (u) схо t дятся абсолютно и равномерно при (t, x) [t0,t1 ], и Jj (u ) сходится к Jj (u) k M равномерно в [t0,t1 ] для всех фиксированных M при k 0.

Условие 1.5.6. Для всех фиксированных M lim max |j (t, x, y, uk, J(uk )) j (t, x, y, uk, J(uk ))| = 0, k 0 G M [t0,t1 ] j = 0, 1,..., r.

Здесь M 0 –константа в условиях 1.5.3 – 1.5.6.

Теорема 1.5.2. Пусть условия 1.5.3 – 1.5.6 выполнены. Тогда век тор-функция u(t, x, y) есть решение системы (1.5.7) в G[t0,t1 ].

Доказательство данной теоремы в основных моментах повторяет дока зательство теоремы 1.5.1 (см.[131]).

Глава 2. Обзор некоторых постановок обратных задач При изучении физических объектов или явлений экспериментальными методами типична ситуация, когда интересующие исследователя количествен ные характеристики объекта недоступны для непосредственного наблюде ния. Или проведение самого эксперимента вообще невозможно, потому что он либо запрещен (например, при изучении здоровья человека), либо слиш ком опасен (например, при изучении экологических явлений). Наконец, экс перимент может быть связан с очень большими финансовыми затратами.

Тем не менее, мы практически всегда можем получить некоторую косвенную информацию об исследуемом объекте, по которой исследователь должен сделать заключение о свойствах изучаемого объекта или процесса. Данная информация определяется природой изучаемого объекта и используемым при этом изучении экспериментальным комплексом. В таких ситуациях для диагностики объектов (например, их внутренней структуры) требуются ма тематическая обработка и интерпретация результатов наблюдений.

Речь идет о задачах, в которых требуется определить причины, если из вестны полученные в результате наблюдения следствия. Например, опреде лить место и мощность землетрясения по измеренным на поверхности земли колебаниям. При обработке данных натурных экспериментов по дополни тельным косвенным измерениям делается вывод о внутренних связях яв ления или процесса. В условиях, когда структура математической модели исследуемого процесса известна, можно ставить проблему идентификации математической модели, например, определение коэффициентов дифферен циальных уравнений, правой части, границы области, граничных или на чальных условий. Такие задачи относятся к классу обратных задач матема тической физики и в настоящий момент играют большую роль в естествен ных науках и их приложениях.

В целом под обратными задачами понимаются задачи, решение которых состоит в обращении причинно-следственных связей, проводится в рамках некоторой математической модели исследуемого объекта или процесса и заключается в определении параметров данной модели по имеющимся ре зультатам наблюдений и другой экспериментальной информации.

2.1. Постановки обратных задач для параболических уравнений Начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности являются ма тематическими моделями многих физических процессов.

Рассмотрим задачу cut = (kux )x qu + f, 0 x l, 0 t T, u(0, x) = (x), 0 x l, u(t, 0) 1 ux (t, 0) = µ1 (t), 0 t T, u(t, l) 2 ux (t, l) = µ2 (t), 0 t T, Коэффициенты, входящие в уравнение, и граничные условия представ ляют собой некоторые эффективные характеристики исследуемого процес са. В том случае, когда поставленная задача описывает процесс распро странения тепла в стержне, коэффициенты c и k являются соответсвенно коэффициентами теплоемкости и теплопроводности и характеризуют мате риал, из которого изготовлен стержень. Функция f есть плотность тепловых источников. Теплофизическую интерпретацию имеют также все остальные функции, входящие в уравнение, краевые и начальные условия.

В рамках данной математической модели температура в стержне в мо мент времени t в точке x – функция u(t, x), которая является решением по ставленной задачи и определяется величинами c, k, q, f, 1, 2, µ1, µ2, – характеристиками теплофизического процесса.

Если рассматривать процесс теплопроводности в очень длинном стержне, то в течении небольшого промежутка времени влияние температуры, задан ной на концах отрезка, практически отсутствует, и температура на рассмат риваемом участке зависит лишь от ее начального распределения, т.е. можно решать в G[0,T ] = {(t, x) | 0 t T, x En } задачу Коши cut = (kux )x qu, x E1.

u(0, x) = (x), В том случае, когда все эти величины заданы, решив прямую задачу мож но найти u(t, x), т.е. определить характер процесса диффузии тепловой энер гии. Во многих реальных теплофизических процессах те или иные характе ристики среды неизвестны, но экспериментально можно получить дополни тельную информацию о температуре. Например, все коэффициенты и функ ции известны, кроме коэффициента теплопроводности k(x). Из экспери мента при помощи датчиков в точке x0, определяется функция g(t) = u(t, x0 ) – температура в некоторой внутренней точке стержня – как функция от вре мени. Таким образом, возникает обратная задача: определить коэффициент теплопроводности k(x), если задана функция g(t). Можно рассмотреть слу чаи, когда неизвестны другие коэффициенты или несколько коэффициентов одновременно.

Необходимо отметить, что многообразие обратных задач определяется не только многими возможными неизвестными величинами, но и различны ми типами задания дополнительной информации, т.е. характером проведе ния эксперимента.

Рассмотрим ряд типовых постановок обратных задач для многомерных параболических уравнений с условиями переопределения различных типов, а также познакомимся с физическим смыслом тех или иных задач и условий.

Задача идентификации функции источника с условием переопреде ления, заданным на фиксированной гиперплоскости.

Мы изучим задачу определения источников тепла по дополнительной ин формации о решении задачи Коши для параболического уравнения.

Рассмотрим в области G[0,T ] = {(t, x, z) | 0 t T, x En, z E1 } урав нение (2.1.1) ut (t, x, z) = Lx (u(t, x, z)) + a(t)uzz + c(t)u + (t, x)f (t, x, z) с начальными данными x En, z E1. (2.1.2) u(0, x, z) = u0 (x, z), Здесь n n 2u u Lx (u(t, x, z)) = aij (t) + bi (t), xi xj xi i,j=1 i= bi (t), c(t) C[0, T ], коэффициенты aij (t) C[0, T ] удовлетворяют усло вию n t [0, T ], 0 aij (t)i j, i,j= для любых отличных от нуля = (1,..., n ) En. Коэффициент a(t) удо влетворяет условию a(t) 0 t [0, T ].

Функция (t, x) подлежит определению одновременно с решением u(t, x, z) задачи (2.1.1), (2.1.2), удовлетворяющим дополнительному условию пере определения x En, (2.1.3) u(t, x, ) = (t, x), 0 t T, где E1 – некоторая фиксированная постоянная.

В данной задаче условие (2.1.3) является как раз той дополнительной ин формацией о решении, которая позволяет наряду с неизвестной функцией u(t, x, z) отыскать неизвестный коэффициент (t, x), стоящий при функции источника. Это условие с физической точки зрения можно интерпретиро вать как измерение некоторым прибором температуры на гиперплоскости z =.

Задача идентификации теплоемкости с условием переопределения, заданным на некоторой параметрической гиперповерхности.

Рассмотрим в области G[0,T ] уравнение (t, x)ut (t, x, z) = a1 (t, x)uxx (t, x, z))+a2 (t, x)uzz +b(t, x)ux +c(t, x)u+f (t, x, z) (2.1.4) с начальными данными (2.1.2).

Коэффициент теплоемкость (t, x) зависит от временной и пространствен ной переменных и подлежит определению одновременно с решением u(t, x, z) задачи (2.1.4), (2.1.2), удовлетворяющим условию переопределения z(t) C 1 [0, T ].

x E1, (2.1.5) u(t, x, z(t)) = (t, x), 0 t T, Здесь дополнительная информация о решении задается на гиперповерх ности, зависящей от параметра t.

Задачи определения нескольких коэффициентов многомерного па раболического уравнения.

Часто возникают задачи, когда неизвестны функция u(t, x, z) и одновре менно сразу несколько коэффициентов, входящих в уравнение n 2u 1 (t, x)ut (t, x, z) = aij (t, x) + a(t, x)uzz + xi xj i,j= n u + c(t, x)u + 2 (t, x)f (t, x, z), (2.1.6) + bi (t, x) xi i= с начальными данными (2.1.2). (См. [10, 23, 28, 29]).

Можем, например, рассмотреть задачу идентификации функции источ ника и коэффициента теплоемкости, где неизвестными выступают функции u(t, x, z), 1 (t, x), 2 (t, x)), или задачу идентификации коэффициента при младшем члене и функции источника, где неизвестными являются функции u(t, x, z), c(t, x), 2 (t, x).

Как и ранее, для определения неизвестных коэффициентов требуется неко торая дополнительная информация, причем поскольку количество неизвест ных коэффициентов увеличилось, такой информации требуется больше. Вид условия переопределения при решении практических задач чаще всего опре деляется характером проведения эксперимента. Для указанных задач мы можем сформулировать условия переопределения следующим образом:

t [0, T ], x En, (2.1.7) u(t, x, a) = 1 (t, x), uz (t, x, a) = 2 (t, x), и это означает, что на гиперплоскости z = a установлены датчики, меряю щие температуру и тепловой поток. Также условия могут быть заданы не на фиксированной гиперплоскости, а на некоторой гиперповерхности z = a(t), t [0, T ], т.е. датчики, меряющие состояние среды, со временем могут пе редвигаться [33].

Эти же задачи могут быть решены, если условия переопределения задать в виде (2.1.8) u(t, x, a1 ) = 1 (t, x), u(t, x, a2 ) = 2 (t, x), t [0, T ], x En, a1 a2 const. C физической точки зрения это означает, что датчики, меряющие температуру, установлены на различных гиперплос костях.

2.2. Задачи c финальным и интегральным условиями переопределе ния В рассмотренных выше постановках обратных задач все неизвестные ко эффициенты зависят от временной переменной и не зависят от одной из про странственных переменных x или z. Но возможна ситуация, когда искомые характеристики среды не меняются со временем, но могут быть различны в зависимости от точки пространства, то есть коэффициенты зависят только от пространственных переменных. Задачи такого рода исследовались в ра ботах Кожанова А.И., Прилепко А.И., Васина И.А., Орловского Д.Г. и др.

(см. например [63], [151], [152]) Можно рассмотреть обратную задачу нахождения коэффициента тепло проводности с "финальным условием переопределения", где дополнитель ная информация представляет собой сведения о состоянии среды (т.е. о тем пературе) в определенный момент времени.

Пусть D – интервал (0, 1), Q – прямоугольник (0, T ) (0, 1), 0 T +. Пусть q(t, x), f (t, x), u0 (x), u1 (x), µ0 (t), µ1 (t) суть функции, заданные при t [0, T ], x D. Рассмотрим уравнение ut T. (2.2.1) (p(x)ux (t, x)) + q(t, x)u = f (t, x), 0 x 1, 0t x Требуется найти функции u(t, x), p(x), удовлетворяющие е в прямоугольни ке Q уравнениею (2.2.1), и для u(t, x) условиям (2.2.2) u(0, x) = u0 (x), 0 x 1, (2.2.3) u(t, 0) = µ0 (t), u(t, 1) = µ1 (t), 0 t T, (2.2.4) u(T, x) = u1 (x), 0 x 1.

Можно в этом же прямоугольнике рассмотривать краевую задачу иден тификации пары функций u(t, x), p(x) с финальным условием переопреде ления, то есть неизвестным является коэффициент в дивергентном члене.

Когда граница области протекания процесса недоступна для непосред ственного измерения возникают нелокальные интегральные условия пере определения, которые дают информацию об усредненной температуре (см.

работы [44, 148]).

В области Q[0,T ] = {(t, x) | 0 t T, x }, где – ограниченная об ласть в пространстве Rn с гладкой границей, рассматривается уравнение (2.2.5) ut = u + p(t)u + f (t, x), с начальным условием (2.2.6) u(0, x) = (x), и граничным условием u |ST = 0, (2.2.7) где ST = {(t, x) | 0 t T, x } – боковая поверхность цилиндра Q[0,T ].

Функция p(t) подлежит определению одновременно с решением u(t, x) задачи (2.2.5)–(2.2.7), удовлетворяющим условию переопределения (2.2.8) K(t, x)u(t, x) dx = E(t), где функции K(t, x) и E(t) заданы.

Если неизвестный коэффициент зависит от пространственных перемен ных, то можно рассмотреть следующую постановку с интегральным усло вием переопределения (см. [151]).

В цилиндре QT = (0, T ) рассматривается задача нахождения пары функций (u(t, x), f (x), удовлетворяющих уравнению ut (t, x) (Lu)(t, x) = f (x)h(t, x) + g(t, x), (t, x) QT, начальному условию x, u(0, x) = u0 (x), краевому условию (t, x) [0, T ] (Bu)(t, x) = b(t, x), и условию переопределения T x.

u(, x)( ) d = (x), Выше символом L обозначен линейный равномерно эллиптический опе ратор, коэффициенты которого не зависят от переменной t:

n n (Lu)(t, x) aij (x)uxj t, x)] + bi (x)uxi, xi i,j=1 i= n n n i2 i2,, µ const 0.

aij = aji, 0 aij i j µ i=1 i,j=1 i= Оператор B имеет вид (Bu)(t, x) u(t, x) (краевое условие первого рода), или u(t, x) (Bu)(t, x) + (x)u(t, x) N (краевое условие третьего рода), где n u(t, x) = Aij uxj (t, x) cos(N, xi ).

N i,j= Приведенный здесь обзор постановок, затрагивает лишь небольшую часть множества обратных задач, возникающих при иследовании тех или иных физических объектов или явлений и не претендует на полноту. Рассмотре ны в основном случаи одномерных и многомерных коэффициентных обрат ных задачи для дифференциальных уравнений параболического типа. По добные задачи представляют особый интерес для сотрудников кафедры ма тематического анализа и дифференциальных уравнений Института матема тики СФУ и большинство изложенных в данном пособии результатов полу чены ими в течение последних пяти лет.

Глава 3. Разрешимость многомерных обратных задач в клас сах гладких функций. Задача Коши 3.1. Задача идентификации функции источника многомерного пара болического уравнения 3.1.1. Разрешимость задачи Коши Рассмотрим в области G[0,T ] = {(t, x, z) | 0 t T, x En, z E1 } урав нение (3.1.1) ut (t, x, z) = Lx (u(t, x, z)) + a(t)uzz + c(t)u + (t, x)f (t, x, z) с начальными данными x En, z E1. (3.1.2) u(0, x, z) = u0 (x, z), Здесь n n 2u u Lx (u(t, x, z)) = aij (t) + bi (t), xi xj xi i,j=1 i= a(t), bi (t), c(t) C[0, T ], коэффициенты aij (t) C[0, T ] удовлетворяют условию n t [0, T ], 0 aij (t)i j, i,j= для любых отличных от нуля = (1,..., n ) En. Коэффициент a(t) t [0, T ].

Функция (t, x) подлежит определению одновременно с решением u(t, x, z) задачи (3.1.1), (3.1.2), удовлетворяющим условию переопределения x En, (3.1.3) u(t, x, ) = (t, x), 0 t T, где E1 – некоторая фиксированная постоянная.

Пусть выполняется условие согласования x En. (3.1.4) u0 (x, ) = (0, x), Все входные данные в поставленной задаче считаем действительнозначны ми функциями, достаточно гладкими и ограниченными вместе с необходи мым количеством производных в G[0,T ].

Пусть также выполняется условие |f (t, x, )| 0, x En. (3.1.5) 0 t T, Приведем задачу (3.1.1)–(3.1.3) к некоторой вспомогательной прямой задаче. Для этого положим в уравнении (3.1.1) z =, используя условие (3.1.3), получим (t, x) = Lx ((t, x)) + a(t)uzz (t, x, ) + c(t)(t, x) + (t, x)f (t, x, ).

t Отсюда находим (t, x) a(t)uzz (t, x, ) (3.1.6) (t, x) =, f (t, x, ) где (t, x) = t (t, x) Lx ((t, x)) c(t)(t, x) – известная функция.

Заметим, что знаменатель выражения (3.1.6) не обращается в ноль в силу условия (3.1.5).

Таким образом, функция u(t, x, z) удовлетворяет уравнению ut (t, x, z) = Lx (u(t, x, z)) + a(t)uzz (t, x, z) + c(t)u(t, x, z)+ (t, x) a(t)uzz (t, x, ) f (t, x, z). (3.1.7) + f (t, x, ) Докажем классическую разрешимость задачи (3.1.7), (3.1.2).

Зафиксируем постоянную 0 такую, что N = T, где N - целое. Сде лаем сдвиг по переменной t на величину в члене, содержащем следы неиз вестных функций:

u (t, x, z) = Lx (u (t, x, z)) + a(t)u + c(t)u + t zz (t, x) a(t)u (t, x, ) zz f (t, x, z). (3.1.8) + f (t, x, ) u (t, x, z)|t x En, z E1. (3.1.9) = u0 (x, z), Полуинтервал ((n 1), n] будем называть n-м временным шагом.

Относительно функций (t, x), u0 (x, z), f (t, x, z) предположим, что они достаточно гладкие, имеют все непрерывные производные, входящие в со отношения (3.1.10) и удовлетворяют им:

k |Dx (t, x)| |Dx t (t, x)| + + D u0 (x, z) + z k x k || 4. (3.1.10) + D f (t, x, z) C, k = 0, 1,..., 4, z k x n || Здесь = (1,..., n ), i 0 – мультииндекс, || = i, Dx =, x1 1 ···xn n i= (t, x, z) G[0,T ], C – постоянная.

Докажем априорные оценки, гарантирующие компактность семейства ре шений u (t, x, z) задачи (3.1.8), (3.1.9) в классе гладких ограниченных функ ций.

Введем обозначения 4 U (t) = Uk1,k2 (t), k1 =0 k2 = k Uk1,k2 (t) = max sup sup Dx u (, x, z), (3.1.11) ||=k1 (n1) t xEn z k zE k D u (x, z), Uk1,k2 (0) = max sup k2 x z ||=k1 xEn zE (n 1) t n.

Функции U (t), Uk1,k2 (t) являются неотрицательными, неубывающими и удовлетворяют условию k U (t), (n 1) t, x En, z E1, D u (, x, z) U||,k (t) z k x на каждом временном шаге t ((n 1), n].

Рассмотрим нулевой временной шаг (n = 0).

В силу принципа максимума получим u (, x, z) (, x) a()u (, ) zz C sup |f (, x, z)| + e sup sup f (, x, ) 0 t xEn xEn zE + sup |u0 (x, z)|, при 0 t.

xEn zE Используя условия (3.1.5), (3.1.10) и обозначения (3.1.11), данное нера венство можно переписать в виде u (, x, z) eC (C(U0,2 (0) + 1)t + U0,0 (0)), при t, 0 t.

(3.1.12) Здесь и далее C 1 – некоторые константы, вообще говоря, различ ные, зависящие от констант, ограничивающих коэффициенты aij (t), a(t), b(t), c(t), константы из неравенства (3.1.5) и константы, ограничивающей входные данные, в условии (3.1.10). Здесь и далее константы C не зависят от параметра.

Продифференцируем задачу (3.1.8), (3.1.9) k-раз по z, k = 1,..., 4.

k k k k u = Lx ( k u ) + a(t) u + c(t) u+ z k z k z k z t zz (t, x) a(t)u (t, x, ) k zz f (t, x, z). (3.1.13) + z k f (t, x, ) k k u (t, x, z)|t 0 = k u0 (x, z), x En, z E1.

z k z Используя условия (3.1.5), (3.1.10) и обозначения (3.1.11), в силу прин ципа максимума получим k eC (C(U0,2 (0) + 1)t + U0,k (0)), u (, x, z) z k при 0, k = 1,..., 4. (3.1.14) t Продифференцируем теперь задачу (3.1.8), (3.1.9) по переменной xi.

u = Lx ( u ) + a(t) u + c(t) u+ xi xi xi xi t zz (t, x) a(t)u (t, x, ) zz + f (t, x, z) + f (t, x, ) xi xi (t, x) a(t)uzz (t, x, ) f (t, x, ) + f 2 (t, x, ) (t, x) a(t)u (t, x, ) xi f (t, x, ) zz f (t, x, z). (3.1.15) f 2 (t, x, ) u0 (x, z), x En, z E1. (3.1.16) u (t, x, z)|t 0 = xi xi Используя принцип максимума, условия (3.1.5), (3.1.10) и обозначения (3.1.11), мы можем оценить u i следующим образом:

x eC (C(U1,2 (0) + U0,2 (0) + 1)t + U1,0 (0)), (3.1.17) u (, x, z) xi при 0 t.

k+ Теперь, для того, чтобы получить оценки на функции мы должны xi z k продифференцировать (3.1.15), (3.1.16) k-раз по z, k = 1,..., 4.

k+1 k+1 k+1 k+ u = Lx ( u ) + a(t) u + c(t) u+ xi z k xi z k xi z k xi z k t zz k+ (t, x) a(t)uzz (t, x, ) + f (t, x, z) + xi z k f (t, x, ) xi (t, x) a(t)uzz (t, x, ) f (t, x, ) + f 2 (t, x, ) (t, x) a(t)u (t, x, ) xi f (t, x, ) k zz f (t, x, z). (3.1.18) f 2 (t, x, ) z k k+1 k+ u0 (x, z), x En, z E1.

u (t, x, z)|t 0 = xi z k xi z k В силу принципа максимума, условий (3.1.5), (3.1.10) и (3.1.11) k+ eC (C(U1,2 (0) + U0,2 (0) + 1)t + U1,k (0)), (3.1.19) u (, x, z) xi z k при 0 t.

Дифференцированием (3.1.8), (3.1.9) мы можем получить задачи Коши, решениями которых будут являтся функции k+2 u k+3 u k+4 u,,, xi xj z k xi xj xm z k xi xj xm xl z k k = 0, 1,..., 4;

i, j, m, l = 1, 2,..., n.

Тем же способом, что и (3.1.19) не сложно доказать, что справедливы оценки k+ u (, x, z) C Us,2 (0) + 1 t + U2,k (0), (3.1.20) e C k xi xj z s= k+ u (, x, z) k xi xj xm z C Us,2 (0) + 1 t + U3,k (0), (3.1.21) e C s= k+ u (, x, z) k xi xj xm xl z C Us,2 (0) + 1 t + U4,k (0), (3.1.22) e C s= при 0 t, 0 t.

Возьмем от левых частей неравенств (3.1.12), (3.1.14), (3.1.17)–(3.1.22) сначала sup, а затем sup и сложим данные неравенствa. Поскольку пере xEn 0t zE менные xi, xj, xm, xl были выбраны произвольно, то, учитывая обозначения (3.1.11), получим U (t) eC (C(U (0) + 1)t + U (0)), при 0 t.

Преобразуем данное неравенство U (t) eC (C(U (0) + 1)t) + eC U (0) + 1 eC (C(U (0) + 1)t) + eC U (0) + eC 1 = eC (U (0) + 1) (Ct + 1) eC (U (0) + 1)eCt 1 (U (0) + 1)eC 1, при 0 t.

Аналогично рассуждая на первом временном шаге t (, 2], получим U (t) (U () + 1)eC 1 (U (0) + 1)eC 1 + 1 eC (U (0) + 1)e2C 1, при t 2.

Через конечное число шагов, на N-1 временном шаге получим U (t) (U (0) + 1)eCN 1 = (U (0) + 1)eCT 1, при (N 1) t N.

На отрезке t [0, T ] также справедлива оценка U (t) (U (0) + 1)eCT 1.

Таким образом, в G[0,T ] справедливы равномерные по оценки k C, k = 0, 1,..., 4, || 4. (3.1.23) D u (t, x, z) z k x Рассматривая уравнение (3.1.8) и все уравнения, полученные из него диф ференцированием по переменным xi, xj, xm, xl, z (например, (3.1.13), (3.1.15), (3.1.18) при k = 1, 2 и т.д.), используя оценки (3.1.10), (3.1.23), получим, что на любом временном шаге ((n 1), n], n = 1,..., N правая часть ра венства в данных уравнениях будет ограничена равномерно по, а значит и левая часть также будет ограничена равномерно по Таким образом, в G[0,T ] справедливы равномерные по оценки (k+1) C, k = 0, 1, 2, || 2. (3.1.24) D u (t, x, z) tz k x Оценки (3.1.23), (3.1.24) гарантируют выполнение условий теоремы 1.1. (Теорема Арцела о компактности [76]). В силу теоремы Арцела некоторая подпоследовательность uk (t, x, z) последовательности u (t, x, z) решений задачи (3.1.8)–(3.1.9) сходится вместе с производными по переменным x, z 0,2, до второго порядка включительно к функции u(t, x, z) Ct,x,z (G[0,T ] ), кото рая на основании теоремы сходимости метода слабой аппроксимации (тео рема 1.5.1) является решением задачи (3.1.7), (3.1.2), причем u(t, x, z) 1,2, Ct,x,z (G[0,T ] ), где k Ct,x,z,k2 (G[0,T ] ) 1,k u(t, x, z) | ut, k Dx u C(G[0,T ] ), k = 0, 1,..., k2 ;

|| = k1.

z При (t, x, z) G[0,T ] справедливы оценки k C, где k = 0, 1, 2, || 2. (3.1.25) D u(t, x, z) z k x Мы доказали существование решения u(t, x, z) прямой задачи (3.1.7), 1,2, (3.1.2) в классе Ct,x,z (G[0,T ] ).

Докажем теперь, что пара функций u(t, x, z), (t, x), где (t, x) опреде ляется соотношением (3.1.6) является решением обратной задачи (3.1.1)– (3.1.3).

Поскольку u(t, x, z) – это решение прямой задачи (3.1.7), (3.1.2), то под ставляя u(t, x, z), (t, x) в (3.1.1), (3.1.2), мы очевидно получим верное тож дество.

Используя (3.1.5), (3.1.10), (3.1.25), из (3.1.6), (3.1.7) очевидно, что пара функций u(t, x, z), (t, x) принадлежат классу 1,2,2 0, Z(T ) = u(t, x, z), (t, x) | u Ct,x,z (G[0,T ] ), (t, x) Ct,x ([0,T ] ), и удовлетворяет неравенству k |Dx (t, x)| C, (t, x, z) G[0,T ], (3.1.26) D u(t, x, z) + z k x k=0 || 2 || где 0,k Ct,x 1 ([0,T ] ) = (t, x) | Dx (t, x) C([0,T ] ), || k1, [0,T ] = {(t, x) | 0 t T, x En }.

Докажем выполнение условия переопределения (3.1.3). Положим в урав нении (3.1.7) z =, получим ut (t, x, ) = Lx (u(t, x, )) + a(t)uzz (t, x, ) + c(t)u(t, x, )+ (t, x) a(t)uzz (t, x, ) + f (t, x, ), f (t, x, ) ut (t, x, ) t (t, x) = Lx (u(t, x, ) (t, x)) + c(t) (u(t, x, ) (t, x)).

Обозначим (t, x) = u(t, x, ) (t, x), в силу (3.1.5), (0, x) = 0. Полу чим задачу Коши для однородного параболического уравнения t (t, x) = Lx ((t, x)) + c(t)(t, x), (0, x) = 0.

В силу принципа максимума в [0,T ] (t, x) = 0, и, следовательно, u(t, x, ) = (t, x).

Таким образом, доказано существование решения u(t, x, z), (t, x) задачи (3.1.1)–(3.1.3) в классе Z(T ). Данный результат можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 3.1.1. Пусть выполняются условия (3.1.5), (3.1.10). Тогда существует решение u(t, x, z), (t, x) задачи (3.1.1)–(3.1.4) в классе Z(T ), удовлетворяющее соотношению (3.1.26).

3.1.2. Теорема единственности Докажем единственность решения задачи (3.1.1)–(3.1.3) при условии вы полнения (3.1.5), (3.1.10), (3.1.26).

Пусть u1 (t, x, z), 1 (t, x) и u2 (t, x, z), 2 (t, x) – два классических решения задачи (3.1.1)–(3.1.3), причем пара функций u1 (t, x, z), 1 (t, x) – решение определяемое соотношением (3.1.6), а пара u2 (t, x, z), 2 (t, x) – некоторое другое решение задачи (3.1.1)–(3.1.3), удовлетворяющее условиям (3.1.26).

Тогда справедливы соотношения u1t (t, x, z) = Lx (u1 (t, x, z)) + a(t)u1zz + c(t)u1 + 1 (t, x)f (t, x, z), u2t (t, x, z) = Lx (u2 (t, x, z)) + a(t)u2zz + c(t)u2 + 2 (t, x)f (t, x, z), u2 (0, x, z) = u0 (x, z), x En, z E1, u1 (0, x, z) = u0 (x, z), u1 (t, x, ) = (t, x), u2 (t, x, ) = (t, x).


Разность u1 (t, x, z) u2 (t, x, z) = u(t, x, z), 1 (t, x) 2 (t, x) = (t, x) является решением задачи (3.1.27) ut (t, x, z) = Lx (u(t, x, z)) + a(t)uzz + c(t)u + (t, x)f (t, x, z), u(0, x, z) = 0, u(t, x, ) = 0.

Ясно, что u(t, x, z) является решением задачи ut (t, x, z) = Lx (u(t, x, z)) + a(t)uzz (t, x, z) + c(t)u(t, x, z)+ a(t)uzz (t, x, ) f (t, x, z), (3.1.28) + f (t, x, ) (3.1.29) u(0, x, z) = 0.

Рассмотрим неотрицательные, неубывающие на отрезке [0, T ] функции k gk (t) = sup | u(, x, z)|, k = 0, 1, 2.

z k G[0,t] Учитывая оценки (3.1.5), (3.1.26), в силу принципа максимума для урав нения (3.1.28) получим |u(, x, z)| Cg2 (t), (, x, z) G[0,t], 0 t T, откуда в силу неотрицательности gk (t) следует неравенство (3.1.30) g0 (t) C(g2 (t) + g1 (t) + g0 (t))t, 0 t T.

Дифференцируя (3.1.28), (3.1.29) один или два раза по z, учитывая оцен ки (3.1.5), (3.1.26), в силу принципа максимума для уравнений k k k k ( u)t (t, x, z) = Lx ( k u(t, x, z))+a(t)( k u)zz (t, x, z)+c(t) k u(t, x, z)+ z k z z z k a(t)uzz (t, x, ) + f (t, x, z), k = 1, 2, z k f (t, x, ) получим аналогичные оценки (3.1.31) gk (t) C(g2 (t) + g1 (t) + g0 (t))t, k = 1, 2, 0 t T.

Сложим неравенства (3.1.30), (3.1.31), получим (g2 (t) + g1 (t) + g0 (t)) C(g2 (t) + g1 (t) + g0 (t))t, k = 1, 2, 0 t T.

Отсюда получим, что при t [0, ], где 1 C выполняется g0 (t) + g1 (t) + g2 (t) = 0 и, следовательно, u(t, x, z) = 0, при (t, x, z) G[0,].

Повторяя наши рассуждения для t [, 2], получим, что u(t, x, z) = 0, (t, x, z) G[0,2].

Через конечное число шагов докажем, что u(t, x, z) 0 в G[0,T ].

Учитывая, что u1 u2 в G[0,T ], из (3.1.27), получим, что для (t, x) = 1 (t, x) 2 (t, x) выполняется соотношение (t, x)f (t, x, ) = 0, откуда в силу (3.1.5), (t, x) = 1 (t, x) 2 (t, x) = 0, t [0, T ].

Справедлива Теорема 3.1.2. Решение u(t, x, z), (t, x) задачи (3.1.1) – (3.1.5), удо влетворяющее соотношению (3.1.26), единственно в классе Z(T ).

Из теорем 3.1.1, 3.1.2 следует Теорема 3.1.3. Пусть выполняются условия (3.1.4), (3.1.5), (3.1.10).

Тогда существует и единственно решение u(t, x, z), (t, x) задачи (3.1.1)– (3.1.3) в классе Z(T ), удовлетворяющее соотношению (3.1.26).

3.2. Задача идентификации коэффициента при младшем члене мно гомерного параболического уравнения 3.2.1. Разрешимость задачи Коши Рассмотрим в области G[0,T ] = {(t, x, z) | 0 t T, x En, z E1 } урав нение (3.2.1) ut (t, x, z) = Lx (u(t, x, z)) + a(t)uzz + (t, x)u + f (t, x, z) с начальными данными x En, z E1. (3.2.2) u(0, x, z) = u0 (x, z), Здесь n n 2u u Lx (u(t, x, z)) = aij (t) + bi (t), xi xj xi i,j=1 i= bi (t) C[0, T ], коэффициенты aij (t) C[0, T ] удовлетворяют условию n t [0, T ], 0 aij (t)i j, i,j= для любых отличных от нуля = (1,..., n ) En. Коэффициент a(t) C[0, T ] и a(t) 0 t [0, T ].

Функция (t, x) подлежит определению одновременно с решением u(t, x, z) задачи (3.2.1), (3.2.2), удовлетворяющим условию переопределения x En, (3.2.3) u(t, x, ) = (t, x), 0 t T, где E1 – некоторая фиксированная постоянная.

Пусть выполняется условие согласования x En. (3.2.4) u0 (x, ) = (0, x), Все входные данные в поставленной задаче считаем действительнозначны ми функциями, достаточно гладкими и ограниченными вместе с необходи мым количеством производных в G[0,T ].

Пусть также выполняется условие |(t, x)| 0, x En. (3.2.5) 0 t T, Отсюда находим (t, x) a(t)uzz (t, x, ) (3.2.6) (t, x) =, (t, x) где (t, x) = t (t, x) Lx ((t, x)) f (t, x, ) – известная функция.

Заметим, что знаменатель выражения (3.2.6) не обращается в ноль в силу условия (3.2.5).

Таким образом, функция u(t, x, z) удовлетворяет уравнению ut (t, x, z) = Lx (u(t, x, z)) + a(t)uzz (t, x, z)+ (t, x) a(t)uzz (t, x, ) u(t, x, z) + f (t, x, z). (3.2.7) + (t, x) Докажем классическую разрешимость задачи (3.2.7), (3.2.2).

Для доказательства существования решения данной задачи применим ме тод слабой аппроксимации [22, 127]. Расщепим задачу и линеаризуем ее сдвигом по времени на (t ) на втором дробном шаге в нелинейных членах:

u (t, x, z) = 2Lx (u (t, x, z)) + 2a(t)u, t (3.2.8) j, j + t zz (t, x) a(t)u (t, x, ) zz u (t, x, z) =2 u (t, x, z) + 2f (t, x, z), t (t, x) t (3.2.9) j+, (j + 1) u (0, x, z) = u0 (x, z). (3.2.10) Здесь j = 0, 1,..., N 1;

N = T ;

u = u (t, x, z).

По аналогии с (3.1.11) введем обозначения 4 U (t) = Uk1,k2 (t), k1 =0 k2 = k Uk1,k2 (t) = max sup sup D u (, x, z), (3.2.11) z k2 x ||=k1 j t xEn zE k D u0 (x, z), Uk1,k2 (0) = max sup z k2 x ||=k1 xEn zE (j + 1).

j t На каждом полуинтервале t (j, (j + 1) ] функции U (t), Uk1,k2 (t) яв ляются неотрицательными, неубывающими и удовлетворяют условию k U (t), t, x En, z E1.

D u (, x, z) U||,k (t) j z k x Относительно входных данных предполагаем, что они достаточно глад кие, имеют все непрерывные производные, входящие в следующие ниже со отношения и удовлетворяют им:

k |Dx (t, x)| + |Dx t (t, x)| + D u0 (x, z) + z k x k || 4, (3.2.12) + D f (t, x, z) C, k = 0, 1,..., 4, z k x n || = (1,..., n ), i 0, || =, (t, x, z) G[0,T ], C – i, Dx = x1 ···xn n i= постоянная.

Докажем априорные оценки, гарантирующие компактность семейства ре шений {u (t, x, z)} задачи (3.2.8)–(3.2.10) в классе гладких ограниченных функций.

Рассмотрим целый нулевой шаг (j = 0).

На первом дробном шаге t 0, для решения u задачи u (t, x, z) = 2Lx (u (t, x, z)) + 2a(t)u (t, x, z), t zz u (0, x, z) = u0 (x, z), в силу принципа максимума |u (, x, z)| sup |u0 (x, z)|, 0 (3.2.13) t.

xEn zE Дифференцируя уравнения (3.2.8), (3.2.10) последовательно по перемен ным xi, xj, xm, xl, а затем каждое из получившихся уравнений k-раз по z, k = 1,..., 4, используя принцип максимума, можно доказать оценки k k (3.2.14) D u (, x, z) sup D u0 (x, z), z k x z k x xEn zE где k = 1,..., 4;

|| 2.

4, 0 t Возьмем от левых частей неравенств (3.2.13), (3.2.14) сначала sup, а за xEn zE тем sup, и сложим полученные неравенства. Учитывая обозначения (3.2.11), 0 t получим U (t) (3.2.15) U (0), 0 t.

На втором дробном шаге проинтегрируем уравнение (3.2.9) по временной переменной в пределах от до, где, t. Получим равенство 2 u (, x, z) = u (, x, z)+ (, x) a()u (, x, ) zz +2 u (, x, z) + f (, x, z) d.

(, x) Отсюда следует неравенство |u (, x, z)| u (, x, z) + t (, x) a()u (, x, ) zz |u (, x, z)| + + (, x) + |f (, x, z)| d, t.

Заменим функции в интегральных членах на их точные верхние грани цы по x En, z E1, затем, поскольку данное неравенство выполняется при всех x, z, заменим функцию |u |, стоящую в левой части неравенства на sup |u |. Получим неравенство xEn zE sup |u (, x, z)| sup u (, x, z) + xEn xEn zE1 zE sup |(, x)| + |a()| sup u (, x, ) t zz xEn xEn sup |u (, x, z)| + + xEn zE + sup |f (, x, z)| d, xEn zE откуда в силу (3.2.5), (3.2.12) sup |u (, x, z)| sup u (, x, z) + xEn xEn zE1 zE t 2C 1 + sup u (, x, ) sup |u (, x, z)| + 1 d, + xx xEn xEn zE Здесь и далее через С обозначены (вообще говоря различные) постоян ные больше единицы, зависящие от из (3.2.5), постоянных, ограничиваю щих функции a(t), b(t), и постоянных из (3.2.12), ограничивающих входные данные. Константы C не зависят от параметра. Ниже для удобства мы считаем, что C 1.

Учитывая монотонность на полуинтервале, функций Uk1,k2 (см. (3.2.11)), из последнего неравенства получим оценку t 1 + 1 + U0,2 ( ) U0,0 () d. (3.2.16) U0,0 (t) U0,0 ( ) + C 2 Дифференцируя уравнение (3.2.9) по z и учитывая, что коэффициент при u не зависит от z, на втором дробном шаге можно доказать неравенства k k sup u (, x, z) sup u (, x, z) + k k xEn z xEn z zE1 zE sup |(, x)| + |a()| sup u (, x, ) t zz k xE xEn +2 n sup u+ k |(, x)| xEn z zE k + sup f (, x, z) d, k = 1,..., 4, t, t, z k 2 xEn zE k k sup u (, x, z) sup u (, x, z) + z k z k xEn xEn zE1 zE t k u (, x, ) +C 1 + sup sup u (, x, z) + 1 d, zz k 2 xEn z xEn zE k = 1,..., 4, t 1 + 1 + U0,2 ( ) U0,k () d, U0,k (t) U0,k ( ) + C 2 k = 1,..., 4. (3.2.17) k+ Оценим функции xi z k u. Для этого продифференцируем уравнение (3.2.9) по xi и k-раз по переменной z, k = 0, 1,..., 4. Получим равенство k+ u (t, x, z) = xi z k t (t, x) a(t)u (t, x, ) k zz xi =2 u (t, x, z) z k (t, x) (t, x) a(t)u (t, x, ) xi (t, x) k zz u (t, x, z)+ 2 (t, x) z k (t, x) a(t)u (t, x, ) k+ zz +2 u (t, x, z)+ xi z k (t, x) k+ + 2 i k f (t, x, z), x z t, (j + 1) (3.2.18) j+ Из (3.2.18) можно (см. вывод оценок 3.2.17) доказать справедливость оценок k+1 k+ sup u (, x, z) sup u (, x, z) + k k xEn xi z xEn xi z zE1 zE t k 1 + sup u i zz (, x, ) + sup u (, x, ) +C sup u (, x, z) + x zz z k 2 xEn xEn xEn zE k+ + 1 + sup u (, x, ) sup u (, x, z) + 1 d, zz xi z k xEn xEn zE k = 0, 1,..., 4, t 1 + 1 + U0,2 ( ) U1,k ()+ U1,k (t) U1,k ( ) + C 2 + 1 + U0,2 ( ) + U1,2 ( ) U0,k () d, 2 k = 0, 1,..., 4. (3.2.19) Дифференцируя уравнение (3.2.9) по переменным xi, xj, xm, xl, z и учи тывая ограниченность входных данных, можно доказать справедливость оце нок Uk1,k2 (t) Uk1,k2 ( )+ t k1 s k Uw,2 ( ) Us,k2 () +C 1+ 1+ d, s=0 w= k2 = 0, 1,..., 4. (3.2.20) k1 = 2, 3, 4, Из (3.2.16), (3.2.17), (3.2.19), (3.2.20), (3.2.11), получим t U( ) + C Uw,2 ( ) U () U (t) 1+ 1+ d, 2 w= t U (t) U( ) + C 1 + 1 + U ( ) U () d, t.

2 2 В силу неотрицательности и неубывания функции U (t) на любом полу интервале (j, (j + 1) ] (см. (3.2.11)) t U (t) U( ) + C 1 + 1 + U ( ) U () d 2 t U( ) + C 1 + U( ) (1 + U ()) d, t.

2 2 Учитывая неравенство (3.2.15), на нулевом временном шаге получим t U (t) (1 + U ()) d, U (0) + C (1 + U (0)) 0t.

Отсюда, используя неравенство Гронуолла, получим U (t) (U (0) + 1)eC(1+U (0))t 1 (U (0) + 1)eC(1+U (0)) 1, 0t.

Для того чтобы получить оценку функции U (t) на первом шаге, нужно в получившемся неравенстве взять вместо величины U (0) величину (U (0) + 1)eC(U (0)+1) 1. Получим неравенство C(U (0)+1) C(U (0) + 1) eC (U (0) + 1)e 1, U (t) (U (0) + 1)e 0t 2.


Предполагая, что достаточно мало и выполняется неравенство eC(U (0)+1) 2, получим, что U (t) (U (0) + 1)e3C(U (0)+1) 1, 0t 2.

На втором дробном шаге (j = 2) при условии e3C(U (0)+1) 2 имеет место оценка U (t) (U (0) + 1)e5C(U (0)+1) 1, 0 t 3, и так далее.

На j-м шаге (j N ) U (t) (U (0) + 1)eC(U (0)+1)(2j+1) 1, 0t (j + 1).

Рассмотрим постоянную t, 0 t T, удовлетворяющую неравенству e2C(U (0)+1)t 2.

Заметим, что t не зависит от, поскольку константы C и U (0) не зависят от.

Таким образом, справедлива оценка t.

U (t) (U (0) + 1)eC(U (0)+1)2t 1 C, 0t Отсюда равномерно по k (3.2.21) D u (t, x, z) C, z k x k = 0, 1,..., 4, || 4, (t, x, z) G[0,t ].

Используя оценки (3.2.21), легко заметить, что правые части уравнений (3.2.8), (3.2.9) ограничены равномерно по на любом временном шаге, по падающем в отрезок [0, t ], следовательно справедлива равномерная по оценка |u (t, x, z)| C, (t, x, z) G[0,t ]. (3.2.22) t Дифференцируя уравнения (3.2.8), (3.2.9) по переменным xi, xj, z необхо димое число раз, можем доказать равномерные по оценки k+ C, k = 0, 1, 2, || 2, (t, x, z) G[0,t ], D u (t, x, z) tz k x что вместе с (3.2.21), (3.2.22) гарантирует выполнение условий теоремы Ар цела о компактности (теорема 1.1.1).

В силу теоремы Арцела некоторая подпоследовательность uk (t, x, z) по следовательности u решений задачи (3.2.8)–(3.2.10) сходится вместе с про изводными по x и z до второго порядка включительно к функции u(t, x, z) 0,2, Ct,x,z (G[0,t ] ). В силу теоремы 1.5.1 сходимости МСА, функция u(t, x, z) есть 1,2, решение задачи (3.2.7), (3.2.2), причем u(t, x, z) Ct,x,z (G[0,t ] ), где k Ct,x,z,k2 (G[0,t ] ) 1,k u(t, x, z) | ut, k Dx u C(G[0,t ] ), k = 0, 1,..., k2 ;

|| = k1.

z При этом k C, k = 0, 1, 2, || (3.2.23) D u(t, x, z) 2.

z k x Таким образом, мы доказали существование решения u(t, x, z) прямой 1,2, задачи (3.2.7), (3.2.2) в классе Ct,x,z (G[0,t ] ). Заметим, что исходная зада ча формулировалась в области G[0,T ], а существование решения доказано в области G[0,t ], где 0 t T – некоторая постоянная, зависящая от констант, ограничивающих входные данные. В этом случае говорят, что до казано существование решения "в малом"временном интервале.

Докажем, что пара функций u(t, x, z), (t, x), где (t, x) определяется со отношением (3.2.6) является решением обратной задачи (3.2.1)–(3.2.3).

Поскольку u(t, x, z) – решение прямой задачи (3.2.7), (3.2.2), то подстав ляя u(t, x, z), (t, x) в (3.2.1), (3.2.2), мы получим верное тождество.

В силу (3.2.5), (3.2.12), (3.2.23), (3.2.6), (3.2.7) очевидно, что функции u(t, x, z), (t, x) принадлежат классу 1,2,2 0, Z[0,t ] = u(t, x, z), (t, x) | u Ct,x,z (G[0,t ] ), (t, x) Ct,x ([0,t ] ), и удовлетворяют неравенству k |Dx (t, x)| C, (t, x, z) G[0,t ], (3.2.24) D u(t, x, z) + z k x k=0 || 2 || где 0,k Ct,x 1 ([0,t ] ) = (t, x) | Dx (t, x) C([0,t ] ), || k1, [0,t ] = {(t, x) | 0 t t, x En }.

Осталось доказать, что для функции u(t, x, z) выполняется условие пере определения (3.2.3). Положим в уравнении (3.2.7) z =, получим равенства ut (t, x, ) = Lx (u(t, x, )) + a(t)uzz (t, x, )+ (t, x) Lx ((t, x)) f (t, x, ) a(t)uzz (t, x, ) (u(t, x, ) ± (t, x)) + + (t, x) + f (t, x, ), ut (t, x, ) = Lx (u(t, x, )) + a(t)uzz (t, x, ) + (t, x) (u(t, x, ) (t, x)) + + (t, x) f (t, x, ) Lx ((t, x)) a(t)uzz (t, x, ) + f (t, x, ), ut (t, x, ) (t, x) = Lx (u(t, x, ) (t, x)) + (t, x) (u(t, x, ) (t, x)).

Обозначим (t, x) = u(t, x, ) (t, x). В силу (3.2.5), (0, x) = 0. По лучим задачу Коши для однородного параболического уравнения с ограни ченными коэффициентами и нулевым начальным условием t (t, x) = Lx ((t, x)) + (t, x)(t, x), (0, x) = 0.

В силу принципа максимума (t, x) = 0, (t, x) [0,t ], и следовательно u(t, x, ) = (t, x), т.е. выполнено условие (3.2.3).

Таким образом, доказано существование решения u(t, x, z), (t, x) задачи (3.2.1)–(3.2.3) в классе Z[0,t ]. Данный результат можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 3.2.1. Пусть выполняются условия (3.2.5), (3.2.12). Тогда существует решение u(t, x, z), (t, x) задачи (3.2.1)–(3.2.4) в классе Z[0,t ], удовлетворяющее соотношению (3.2.24).

3.2.2. Доказательство единственности Докажем единственность решения задачи (3.2.1)–(3.2.4) при условии вы полнения (3.2.5), (3.2.12), (3.2.24).

Пусть u1 (t, x, z), 1 (t, x) и u2 (t, x, z), 2 (t, x) – два классических решения задачи (3.2.1)–(3.2.3), причем функции u1 (t, x, z), 1 (t, x) – решение опре деляемое соотношением (3.2.6), а функции u2 (t, x, z), 2 (t, x) – некоторое другое решение задачи (3.2.1)–(3.2.3), удовлетворяющее условиям (3.2.24).

Для них справедливы соотношения u1t (t, x, z) = Lx (u1 (t, x, z)) + a(t)u1zz + 1 (t, x)u1 + f (t, x, z), u2t (t, x, z) = Lx (u2 (t, x, z)) + a(t)u2zz + 2 (t, x)u2 + f (t, x, z), u2 (0, x, z) = u0 (x, z), x En, z E1, u1 (0, x, z) = u0 (x, z), u1 (t, x, ) = (t), u2 (t, x, ) = (t).

Разность u1 (t, x, z) u2 (t, x, z) = u(t, x, z), 1 (t, x) 2 (t, x) = (t, x) является решением задачи (3.2.25) ut (t, x, z) = Lx (u(t, x, z)) + a(t)uzz + 1 (t, x)u + (t, x)u2, u(0, x, z) = 0, u(t, x, ) = 0.

Отсюда u(t, x, z) является решением задачи ut (t, x, z) = Lx (u(t, x, z)) + a(t)uzz (t, x) + 1 (t, x)u(t, x, z)+ a(t)uzz (t, x, ) u2 (t, x, z), (3.2.26) + (t, x) (3.2.27) u(0, x, z) = 0.

Рассмотрим неотрицательные, неубывающие на отрезке [0, t ] функции k gk (t) = sup | k u(, x, z)|, k = 0, 1, 2.

G[0,t] z Учитывая оценки (3.2.5), (3.2.24), в силу принципа максимума для урав нения (3.2.26) получим неравенство t, CeC (g2 (t) + g1 (t)), (, x, z) G[0,t], |u(, x, z)| t откуда в силу неотрицательности gk (t) t. (3.2.28) g0 (t) C(g2 (t) + g1 (t) + g0 (t))t, 0 t Дифференцируя (3.2.26), (3.2.27) по z, учитывая оценки (3.2.5), (3.2.24), в силу принципа максимума для уравнений k k 2 k k ( u(t, x, z)) = Lx ( k u(t, x, z))+a(t) 2 ( k u(t, x, z))+1 (t) k u(t, x, z)+ t z k z z z z k a(t)uzz (t, x, ) + u2 (t, x, z), k = 1, 2, z k (t, x) получим оценки t. (3.2.29) gk (t) C(g2 (t) + g1 (t) + g0 (t))t, k = 1, 2, 0 t Сложив неравенства (3.2.28), (3.2.29), получим t.

(g2 (t) + g1 (t) + g0 (t)) C(g2 (t) + g1 (t) + g0 (t))t, k = 1, 2, 0 t Откуда следует, что при t [0, ], где 1 C вытекает равенство g0 (t) + g1 (t) + g2 (t) + g3 (t) = 0 и, следовательно, u(t, x, z) = 0, при (t, x, z) G[0,].

Повторяя наши рассуждения для t [, 2], получим, что u(t, x, z) = 0, (t, x, z) G[0,2].

Через конечное число шагов докажем, что u(t, x, z) 0 в G[0,t ].

Учитывая, что u1 u2 в G[0,t ], из (3.2.25), получим, что для (t, x) = 1 (t, x) 2 (t, x) выполняется соотношение (t, x)(t, x) = 0, откуда в силу (3.2.5), (t, x) = 1 (t, x) 2 (t, x) = 0, (t, x) [0,t ].

Доказана Теорема 3.2.2. Решение u(t, x, z), (t, x) задачи (3.2.1) – (3.2.5), удо влетворяющее соотношению (3.2.24), единственно в классе Z(t ).

Из теорем 3.2.1, 3.2.2 следует Теорема 3.2.3. Пусть выполняются условия (3.2.4), (3.2.5), (3.2.12).

Тогда существует и единственно решение u(t, x, z), (t, x) задачи (3.2.1)– (3.2.3) в классе Z(t ), удовлетворяющее соотношению (3.2.24).

3.3. Задача идентификации коэффициентов при производной по вре мени и нелинейном выражении двумерного параболического урав нения 3.3.1. Разрешимость задачи Коши В данном разделе приводятся постановка и ключевые моменты доказа тельства существования и единственности решения задачи идентификации двух коэффициентов двумерного полулинейного параболического уравне ния (см. [28]). Полное доказательство приводится в разделе для самостоя тельного изучения.

Рассмотрим в области G[0,T ] = {(t, x, z) | 0 t T, x E1, z E1 } задачу Коши 1 (t, x)ut (t, x, z) = a1 (t, x)uxx + a2 (t, x)uzz + + 2 (t, x)M (t, u(t, x, z)) + f (t, x, z), (3.3.1) (3.3.2) u(0, x, z) = u0 (x, z).

Введем обозначение L(u) = a1 (t, x)uxx + a2 (t, x)uzz.

Функции a1 (t, x), a2 (t, x) такие, что дифференциальный оператор L(u) является оператором эллиптического типа при (t, x, z) G[0,T ]. Функции M (t, y), u0 (x, z), f (t, x, z) действительнозначные и заданы в E2, E2 и G[0,T ] соответственно.

Функции 1 (t, x), 2 (t, x) подлежат определению одновременно с реше нием u(t, x, z) задачи (3.3.1), (3.3.2), удовлетворяющим условиям переопре деления (3.3.3) u(t, x, 0) = 1 (t, x), (3.3.4) uz (t, x, 0) = 2 (t, x) и условиям согласования (3.3.5) u0 (x, 0) = 1 (0, x), (3.3.6) u0 (x, 0) = 2 (0, x).

z Относительно функции M (t, y) также предполагаем, что она достаточно гладкая, имеет все непрерывные производные, входящие в следующее ниже соотношение и k M0 (1 + |y|p ), k = 0, 1,..., 11, 0 T, y E1. (3.3.7) M (t, y) t y k Здесь M0 – постоянная, p – фиксированное натуральное число, M (k) (t, y) = k M (t, y), k 1 – целое, M (0) (t, y) = M (t, y).

y k Пусть при (t, x) [0,T ] = {(t, x) | 0 t T, x E1 } выполняется соот ношение 1 (t, x)M (1) (t, 1 (t, x))2 (t, x) |(t, x)| = t 2 (t, x)M (t, 1 (t, x)) 0, (3.3.8) t где – некоторая фиксированная постоянная.

Приведем задачу (3.3.1)–(3.3.4) к некоторой вспомогательной прямой задаче. Положим z = 0 в (3.3.1), получим 1 (t, x) 1 (t, x) = a1 (t, x)1 xx (t, x) + a2 (t, x)uzz (t, x, 0)+ t + 2 (t, x)M (t, 1 ) + f (t, x, 0). (3.3.9) Продифференцируем (3.3.1) по z, положим z = 0. Учитывая (3.3.3), (3.3.4), получим 1 (t, x) 2 (t, x) = a1 2 xx + a2 uzzz (t, x, 0)+ t + 2 (t, x)M (1) (t, 1 )2 + fz (t, x, 0). (3.3.10) Из (3.3.9), (3.3.10) находим (1 (t, x) + a2 (t, x)uzz (t, x, 0))M (1) (t, 1 (t, x))2 (t, x) 1 (t, x) = (t, x) (2 (t, x) + a2 (t, x)uzzz (t, x, 0))M (t, 1 (t, x)), (3.3.11) (t, x) (2 (t, x) + a2 (t, x)uzzz (t, x, 0)) t 1 (t, x) 2 (t, x) = + (t, x) (1 (t, x) + a2 (t, x)uzz (t, x, 0)) t 2 (t, x). (3.3.12) + (t, x) Здесь 1 (t, x) = a1 (t, x)1 xx (t, x) + f (t, x, 0), 2 (t, x) = a1 (t, x)2 xx (t, x) + fz (t, x, 0).

Знаменатели в (3.3.11), (3.3.12) в силу (3.3.8) в ноль не обращаются при всех (t, x) [0,T ]. Перепишем выражения (3.3.11), (3.3.12) в следующем виде :

1 (t, x) = A1 (t, x) + A2 (t, x)uzz (t, x, 0) + A3 (t, x)uzzz (t, x, 0), 2 (t, x) = B1 (t, x) + B2 (t, x)uzz (t, x, 0) + B3 (t, x)uzzz (t, x, 0).

Здесь (t, x), 1 (t, x)M (1) (t, 1 (t, x))2 (t, x) 2 (t, x)M (t, 1 (t, x)) A1 (t, x) =, (t, x) a2 (t, x)M (1) (t, 1 (t, x))2 (t, x) A2 (t, x) =, (t, x) a2 (t, x)M (t, 1 (t, x)) A3 (t, x) =, (t, x) 1 (t, x) t 2 (t, x) 2 (t, x) t 1 (t, x) B1 (t, x) =, (t, x) a2 (t, x) t 2 (t, x) a2 (t, x) t 1 (t, x), B3 (t, x) = B2 (t, x) = (t, x) (t, x) известные функции.

Учитывая выражения для коэффициентов 1 (t, x), 2 (t, x), приходим к следующей задаче [A1 (t, x) + A2 (t, x)uzz (t, x, 0) + A3 (t, x)uzzz (t, x, 0)] ut = L(u)+ + [B1 (t, x) + B2 (t, x)uzz (t, x, 0) + B3 (t, x)uzzz (t, x, 0)] M (t, u)+ + f (t, x, z), (3.3.13) (3.3.14) u(0, x, z) = u0 (x, z).

Введем функцию срезки S (y), определенную на E1, достаточно гладкую, обладающую следующими свойствами y 2, y, S (y) 0, y E1, и S (y) = (3.3.15) 3 3, y 3.

Возьмем срезку от множителя при производной ut в уравнении (3.3.13):

S A1 (t, x) + A2 (t, x)uzz (t, x, 0) + A3 (t, x)uzzz (t, x, 0) ut = Lx (u)+ + uzz + [B1 (t, x) + B2 (t, x)uzz (t, x, 0) + B3 (t, x)uzzz (t, x, 0)] M (t, u)+ + f (t, x, z), (3.3.16) Для доказательства существования решения вспомогательной прямой за дачи (3.3.16), (3.3.14) применим метод слабой аппроксимации. Расщепим задачу и линеаризуем ее сдвигом по времени на (t ) в нелинейных членах.

a1 (t, x)u (t, x, z) xx u (3.3.17) =3, j t j+, t (t, x)) S (R1 a2 (t, x)u (t, x, z) 1 zz u (3.3.18) =3, j+ t j+, t (t, x)) S (R1 3 R2 (t, x)M (t, u (t, x, z)) + f (t, x, z) u =3, t S (R1 (t, x)) (j + 1), (3.3.19) j+ t u (t, x, z)|t x E1, z E1. (3.3.20) = u0 (x, z), Здесь j = 0, 1,..., N 1;

N = T ;

u = u (t) = u (t, x, z), R1 (t, x) = A1 (t, x) + A2 (t, x)u (t, x, 0) + A3 (t, x)u (t, x, 0), zz zzz 3 R2 (t, x) = B1 (t, x) + B2 (t, x)u (t, x, 0) + B3 (t, x)u (t, x, 0).

zz zzz 3 Относительно входных данных предполагаем, что они достаточно глад кие, имеют все непрерывные производные, входящие в следующие ниже со отношения и удовлетворяют им:

m m m+ (3.3.21) i (t, x) + ai (t, x) + i (t, x) C, xm xm xm t k m k m (3.3.22) u0 (x, z) + f (t, x, z) C, z k xm z k xm m = 0, 1,..., 4, i = 1, 2, k = 0, 1,..., 11 2m, (t, x, y) G[0,T ]. Постоянную C в (3.3.21), (3.3.22) считаем больше единицы.

Пусть при (t, x) [0,T ] выполняется следующее условие 2 A1 (t, x) + A2 (t, x) 2 u0 (x, 0) + A3 (t, x) 3 u0 (x, 0). (3.3.23) z z Доказано выполнение следующих априорных оценок равномерно по при (t, x, z) G[0,t ] k k u (t, x, z) + u (t, x, z) + t z k x z k k C, k = 0,..., 5, (3.3.24) + u (t, x, z) z z k k m k m u (t, x, z) + u (t, x, z) + t z k xm x z k xm k m (3.3.25) + u (t, x, z) C, z z k xm m = 0, 1, 2, k = 0, 1, 2, 3.

В силу теоремы 1.1.1 (Арцела) о компактности некоторая подпоследова тельность uk (t, x, z) последовательности u (t, x, z) решений задачи (3.3.17)– (3.3.20) сходится вместе с производными по x до второго и по z до третьего 0,2,3 0,0, порядка включительно к функции u(t, x, z) Ct,x,z (G[0,t ] ) Ct,x,z (G[0,t ] ).

Доказано на основании теоремы 1.5.1, что u(t, x, z) есть решение задачи 1,2,3 0,0, (3.3.16), (3.3.14), причем u(t, x, z) Ct,x,z (G[0,t ] ) Ct,x,z (G[0,t ] ), где 1,2, Ct,x,z (G[0,t ] ) = f (t, x, z) | f, ft C(G[0,t ] ), m k f C(G[0,t ] ), m 2, k = 0, 1, 2, 3, (3.3.26) xm z k k 0,0, Ct,x,z (G[0,t ] ) = f (t, x, z) |f C(G[0,t ] ), k = 0, 1,..., 5, (3.3.27) z k При этом при (t, x, z) G[0,t ] справедливы оценки k (3.3.28) u(t, x, z) C, k = 0,..., 5, z k k m (3.3.29) u(t, x, z) C, m = 0, 1, 2, k = 0, 1, 2, 3.

z k xm Для того чтобы снять срезку в (3.3.16), докажем, что при (t, x) [0,t ] (t, x) = A1 (t, x) + A2 (t, x)uzz (t, x, 0) + A3 (t, x)uzzz (t, x, 0).

Продифференцируем уравнение (3.3.16) дважды по z и проинтегрируем по t в пределах от 0 до t, получим t (3.3.30) uzz (t, x, z) = 2 u0 (x, z) + 1 (, x, z) d, z где 1 (t, x, z) = L(uzz (t, x, z))+ S () + B1 (t, x) + B2 (t, x)uzz (t, x, 0) + B3 (t, x)uzzz (t, x, 0) M (2) (t, u)u2 (t, x, z) + M (1) (t, u)uzz (t, x, z) + fzz (t, x, z).

z Продифференцируем уравнение (3.3.16) трижды по z и проинтегрируем по t в пределах от 0 до t, получим t 2 (, x, z) d, где (3.3.31) uzzz (t, x, z) = 3 u0 (x, z) + z 2 (t, x, z) = L(uzzz (t, x, z))+ S () + B1 (t, x) + B2 (t, x)uzz (t, x, 0) + B3 (t, x)uzzz (t, x, 0) M (3) (t, u)u3 (t, x, z) + 3M (2) (t, u)uz uzz + M (1) (t, u)uzzz (t, x, z) + z + fzzz (t, x, z).

Домножим выражение (3.3.30) на A2 (t, x), а выражение (3.3.31) на A3 (t, x), сложим полученные равенства и прибавим к левой и правой части A1 (t, x).

A1 (t, x) + A2 (t, x)uzz (t, x, z) + A3 (t, x)uzzz (t, x, z) = A1 (t, x)+ t 2 + A2 (t, x) 2 u0 (x, z) + A3 (t, x) 3 u0 (x, z) + A2 (t, x) 1 (, x, z) d+ z z t + A3 (t, x) 2 (, x, z) d, Положим в данном равенстве z = A1 (t, x) + A2 (t, x)uzz (t, x, 0) + A3 (t, x)uzzz (t, x, 0) = A1 (t, x)+ t 2 + A2 (t, x) 2 u0 (x, 0) + A3 (t, x) 3 u0 (x, 0) + A2 (t, x) 1 (, x, 0) d+ z z t 2 (, x, 0) d, (3.3.32) + A3 (t, x) Поскольку выполняется условие (см.(3.3.23)) 2 A1 (t, x) + A2 (t, x) 2 u0 (x, 0) + A3 (t, x) 3 u0 (x, 0), z z то из (3.3.32), учитывая ограниченность входных данных и полученные оцен ки, получим при t 0, 2A() A1 (t, x) + A2 (t, x)uzz (t, x, 0) + A3 (t, x)uzzz (t, x, 0) A()t. (3.3.33) Здесь A() - некоторая положительная константа, зависящая от, M0 из (3.3.7) и константы C из (3.3.21), (3.3.22).

В силу определения срезающей функции S (y) (см.(3.3.15)) получаем S ((t, x)) = (t, x), при t [0, t ], где t = min t,.

2A() Таким образом, в уравнении (3.3.16) срезка снимается. Функция u(t, x, z) удовлетворяет уравнению (3.3.13), заметим, что в силу (3.3.33) A1 (t, x) + A2 (t, x)uzz (t, x, 0) + A3 (t, x)uzzz (t, x, 0).

Таким образом, мы доказали существование решения u(t, x, z) прямой 1,2,3 0,0, задачи (3.3.13), (3.3.14) в классе Ct,x,z (G[0,t ] ) Ct,x,z (G[0,t ] ).

Доказано, что тройка функций u(t, x, z), 1 (t, x), 2 (t, x) является реше нием обратной задачи (3.3.1)–(3.3.4) и выполняются условия переопреде ления (3.3.3), (3.3.4).

Используя (3.3.7), (3.3.8), (3.3.21), (3.3.22), (3.3.24), (3.3.25) из (3.3.11), (3.3.12), (3.3.13) получим, что тройка функций u(t, x, z), 1 (t, x), 2 (t, x) при надлежит классу 1,2,3 0,0, Z(t ) = u(t, x, z), 1 (t, x), 2 (t, x) | u Ct,x,z (G[0,t ] ) Ct,x,z (G[0,t ] ), 0, 1 (t, x), 2 (t, x) Ct,x ([0,t ] ), и удовлетворяет при (t, x, z) G[0,t ] неравенствам 5 2 k m k (3.3.34) u(t, x, z) C, u(t, x, z) C, z k xm z k m=0 k= k= 2 m m C, (t, x) [0,t ]. (3.3.35) 1 (t, x) + 2 (t, x) xm xm m=0 m= 1,2,3 0,0, Классы Ct,x,z (G[0,t ] ), Ct,x,z (G[0,t ] ) определены в (3.3.26), (3.3.27), а m 0, = g(t, x) | m g(t, x) C([0,t ] ), m = 0, 1, 2.

Ct,x ([0,t ] ) x Справедливы следующие теоремы.

Теорема 3.3.1. Пусть выполняются условия (3.3.5)–(3.3.8), (3.3.21)– (3.3.23). Тогда существует решение u(t, x, z), 1 (t, x), 2 (t, x) задачи (3.3.1)– (3.3.4) в классе Z(t ), удовлетворяющее соотношениям (3.3.34), (3.3.35).

Теорема 3.3.2. Решение u(t, x, z), 1 (t, x), 2 (t, x) задачи (3.3.1)–(3.3.8), удовлетворяющее соотношениям (3.3.34), (3.3.35), единственно в клас се Z(t ).

Из теорем 3.3.1 и 3.3.2 следует Теорема 3.3.3. Пусть выполняются условия (3.3.5)–(3.3.8), (3.3.21)– (3.3.23). Тогда существует и единственно решение u(t, x, z), 1 (t, x), 2 (t, x) задачи (3.3.1)–(3.3.4) в классе Z(t ), удовлетворяющее соот ношениям (3.3.34), (3.3.35).

Глава 4. Краевые задачи 4.1. Разрешимость первой и второй краевых задач идентификации коэффициента при младшем члене многомерного параболиче ского уравнения В области [0,T ] = {(t, x1, x2,..., xn ) | 0 t T, 0 xk, k = 1, 2,..., n} рассмотрим задачу идентификации пары действительнозначных функций u(t, x), (t), удовлетворяющих уравнении (4.1.1) ut (t, x) = u(t, x) + (t)u(t, x) + f (t, x), и условиям (4.1.2) u(0, x) = u0 (x).

(4.1.3) u(t, x)|xk =0 = u(t, x)|xk = = 0, k = 1, 2,..., n.

Здесь функции u0 (x), f (t, x) действительнозначные и заданы в En и [0, T ] En соответственно, En – n-мерное евклидово пространство.

Функция (t) подлежит определению одновременно с решением u(t, x) задачи (4.1.1)–(4.1.3), удовлетворяющим условию переопределения (4.1.4) u(t, ) = (t), для некоторой фиксированной точки = (1, 2,..., n ), 0 k, k = 1, 2,..., n.

Считаем выполненным условие согласования (4.1.5) u0 () = (0).

Пусть также выполняется условие |(t)| 0, (4.1.6) 0 t T.

Относительно входных данных предполагаем, что они достаточно глад кие (имеют все непрерывные производные, входящие в соотношение (4.1.7)) и при (t, x) G[0,T ] = {(t, x) | 0 t T, x En } выполняется условие |(t)| + |t (t)| + |Dx u0 (x)| + |Dx f (t, x)| || (4.1.7) C, 4, n || = (1,..., n ), i 0, || =, (t, x) G[0,T ], C – i, Dx = x1 ···xn n i= const.

Пусть функции u0 (x) и f (t, x) допускают продолжение нечетным образом по пространственным переменным x на En :

k1,k2,...,kn sin k1 x1 sin k2 x2 · · · sin kn xn, (4.1.8) u0 (x) = k1,k2,...,kn = k1,k2,...,kn (t) sin k1 x1 sin k2 x2 · · · sin kn xn, (4.1.9) f (t, x) = k1,k2,...,kn = k1,k2,...,kn – постоянные, k1,k2,...,kn (t) C[0, T ].

Используя условие переопределения, найдем выражение для неизвест ного коэффициента n (t) uxi xi (t, ) i= (4.1.10) (t) =, (t) где (t) = (t) f (t, ) – известная функция.

Заметим, что знаменатель данного выражения не обращается в нуль в силу условия (4.1.6).

Рассмотрим теперь в G[0,T ] прямую задачу Коши, которая получается из (4.1.1), (4.1.2) заменой функций u0 (x) и f (t, x) на их продолжения нечетным образом на все пространство En (обозначения продолжений оставим преж ними).



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.