авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ”СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ...»

-- [ Страница 3 ] --

Теорема 5.2.2. Пусть в G[0,+) выполняются условия (5.2.5), (5.2.8) и имеет место неравенство a()fxx (, x, z) A, где A sup sup A const. (5.2.44) c(t), f (, x, 0) E1 xEn, zE Тогда, если + + |a()| d + |(, x)| d C, 0 то для решения задачи (5.2.1)–(5.2.3) в G[0,+) справедливо неравен ство |(t, x)| + |u(t, x, z)| C.

Доказательство. Продифференцируем (5.2.9)–(5.2.12) по z дважды и обозначим u (t, x, z) = v (t, x, z). Получим задачу zz n n vt =3 aij (t)vxi xj (t, x, z) + 3a(t)vzz (t, x, z) + 3 bi (t)vxi (t, x, z), i,j=1 i= (5.2.45) j t (j + 1/3), vt = 3c(t)v (t, x, z), (5.2.46) (j + 1/3) t (j + 2/3), (t, x) a(t)vzz (t, x, 0) (5.2.47) vt = 3 fzz (t, x, z), f (t, x, 0) (j + 2/3) t (j + 1), v (0, x, z) = u0 (x, z), x, z En+1. (5.2.48) Рассмотрим произвольный j-ый целый временной шаг. На первом дроб ном шаге в силу принципа максимума получим оценку |v (, x, z)| sup |v (j, x, z)|, (5.2.49) j j+.

xEn, zE На втором дробном шаге имеем линейное однородное уравнение перво го порядка с начальным условием v j + 3, x, z. На основании явного представления решения задачи и оценки (5.2.49) получим t |v (, x, z)| sup |v (j, x, z)| exp 3 c() d, j + t, xEn, (j+ 1 ) zE1 1. (5.2.50) j+ t j+ 3 Из (5.2.50) в силу (5.2.44) sup |v (j, x, z)| e3A(t 3 ), |v (, x, z)| xEn, zE sup |v (j, x, z)| eA.

v (5.2.51) j+, x, z xEn, zE На третьем дробном шаге, проинтегрировав уравнение по временной пе ременной в пределах от (j + 2 ) до, получим равенство v (, x, z) = v j+, x, z + (, x) a()v (, x, 0) +3 fzz (, x, z) d.

f (, x, 0) (j+ 3 ) В силу (5.2.44), (5.2.51) sup |v (j, x, z)| eA + sup |v (, x, z)| xEn, xEn, zE1 zE t C2 sup |v (, x, z)| + C1 d, +3 j+ t, xEn, 2 zE (j+ 3 ) j+ t (j + 1), a()fzz (, x, z) (, x)fzz (, x, z) где C2 = sup sup, C1 = sup sup.

f (, x, 0) f (, x, 0) E1 xEn, E1 xEn, zE1 zE Применяя к данному неравенству лемму Гронуолла, получим sup |v (j, x, z)| eA e3C2 (t(j+ 3 ) ) + sup |v (, x, z)| xEn, xEn, zE1 zE C1 e3C2 (t(j+ 3 ) ) 1, + j+ t.

C Разложим последнее слагаемое в правой части неравенства в ряд Тейлора в предположении малости.

C1 C e3C2 (t(j+ 3 ) ) 1 e3C2 1 = C2 C C1 1 1 + 1 + C2 + = C2 +...

2!

C 1 C1 C n ··· + C2 +... 2C1.

n! C2 1 C Отсюда при (j + 2 ), t, t (j + 3 ), (j + 1), sup |v (j, x, z)| eA e3C2 (t(j+ 3 ) ) + 2C1.

sup |v (, x, z)| xEn, xEn, zE1 zE Через конечное число шагов 2 u0 (x, z) (C2 A)T + 2C1 1 + e(C2 A) +...

sup |v (t, x, z)| sup e z xEn, xEn, zE1 zE · · · + e(C2 A)(N 1).

В силу (5.2.8) получим 2 u0 (x, z) 2C sup |v (t, x, z)| sup + z 2 1 e(C2 A) xEn, xEn, zE1 zE 2 u0 (x, z) 2C = D. (5.2.52) sup + z 2 A C xEn, zE Вернемся к расщепленной задаче (5.2.9)–(5.2.12) и рассмотрим j-й це лый временной шаг. На первом дробном шаге решения оцениваются на ос нове принципа максимума, на втором дробном шаге можно выписать и оце нить решение в явном виде. На третьем дробном шаге, используя оценку (5.2.52), получим соотношение sup |u0 (x, z)| e(j+1)A + |u (t, x, z)| xEn, zE (k+1) j |(, x)| + |a()|D e(jk)A |f (, x, z)| d (5.2.53) +3 sup |f (, x, 0)| xEn k=0 (k+ 3 ) Возьмем теперь j = N 1 и обозначим за D1 константу такую, что |f (t, x, z)| D1 при (t, x, z) G[0,+). Тогда sup |u0 (x, z)| eT A + |u (t, x, z)| xEn, zE (k+1) j D e(N 1k)A |(, x)| + |a()|D d, + k=0 (k+ 3 ) T D |u (t, x, z)| sup |u0 (x, z)| + 3 sup |(, x)| + |a()|D d, xEn, xEn zE откуда в G[0,+) справедливо + D |u (t, x, z)| sup |u0 (x, z)| + 3 sup |(, x)| + |a()|D d = C.

xEn, xEn zE Поскольку ранее мы доказали, что при любом фиксированном T при стремлении параметра к нулю имеет место равномерная в G[0,T ] схо димость подпоследовательности uk последовательности u решений задачи (5.2.9)–(5.2.12) вместе с производными по пространственным переменным до второго порядка включительно к решению u(t, x, z) задачи (5.2.7), (5.2.2), то |u(t, x, z)| C, (t, x, z) G[0,+). (5.2.54) Поскольку (t, x) и u(t, x, z) связаны соотношением (5.2.6), то из (5.2.54) следует справедливость утверждения теоремы. Теорема 5.2.2 доказана.

Докажем теорему о стабилизации решения.

Теорема 5.2.3. Пусть в G[0,+) выполняются условия (5.2.5), (5.2.8), (5.2.44) и имеют место следующие неравенства Q |a(t)| (5.2.55), p = const 1, Q1 = const 0, 1 + tp Q |(t, x)| (5.2.56), q = const 1, Q2 = const 0.

1 + tq Тогда для решения задачи (5.2.1)–(5.2.3) в G[0,+) справедливо соот ношение lim sup |u(t, x, z)| + sup |(t, x)| = 0.

t+ xEn, xEn zE Рассуждая так же, как при доказательстве предыдущей теоремы, полу чим, что на третьем дробном шаге j-го целого временного шага выполнено неравенство (5.2.53). Используя (5.2.5), можем переписать данное неравен ство в следующем виде sup |u0 (x, z)| e(j+1)A + |u | xEn, zE (k+1) j D e(jk)A sup |(, x)| + |a()|D d.

+ xE k=0 (k+ 3 ) Из (5.2.55), (5.2.56) следует (k+1) j D1 DQ1 Q sup |u0 (x, z)| e(j+1)A +3 e(jk)A |u | + d 1 + p 1 + q xEn, k=0 zE1 (k+ 3 ) (k+1) j 1 sup |u0 (x, z)| e(j+1)A + Q e(jk)A + d, p 1 + q 1+ xEn, k= (k+ 2 ) zE1 (5.2.57) где Q = 3D1 max{DQ1, Q2 }. Используя теорему о среднем несложно пока зать справедливость оценок (k+1) (k+1) 1 Q 1 Q 1 = Q 2 = Q d, d, k k 1 + p 1 + (k )p 1 + q 1 + (k )q (k+ 2 ) (k+ 3 ) j Учитывая эти неравенства, можем переписать (5.2.57), выделяя 2 членов j суммы. Здесь 2 — целая часть от деления j на 2. Отметим сразу следую щие свойства j j j j j j j +1, j +1 + 1, +1 + 1, 2 2 2 2 2 2 j j j j 1.

2 2 j 1 (j+1)A e(jk)A |u | sup |u0 (x, z)| e +Q + = 1 + (k )p 1 + (k )q xEn, k= zE j e(j[ 2 ])A e(j1)A = sup |u0 (x, z)| e(j+1)A + Q ej A + ··· + + p+ j 1 + p 1+ xEn, zE j e(j[ 2 ]1)A + ··· + + 2, (5.2.58) + p j 1 + (j )p 1+ + где j e(jk)A 2 =.

1 + (k )q k= Отсюда можно получить неравенство sup |u0 (x, z)| e(j+1)A + |u | xEn, zE j j j j (j[ 2 ])A + Q e +1 + + p j 2 1+ 2 + j + j j ( 2 1)A (j+1)A +1 + 2 j sup |u0 (x)| e + Q e + 2.

p 2 1 + xEn, zE Нетрудно видеть, что на третьем дробном шаге N 1 целого временного шага, т.е. при t T, T, будет выполнено неравенство sup |u0 (x, z)| eAT + |u | xEn, zE T T + + e( 2 )A T e( 2 )A T T T 2 +Q + + + + +.

Tp Tq 2 1+ 1+ 2 (5.2.59) Очевидно, что стоящее справа выражение стремится к нулю, если T +, откуда следует, что sup |u | 0 при t +.

xEn, zE Поскольку ранее мы доказали, что при любом фиксированном T 0 при стремлении параметра к нулю имеет место равномерная в G[0,T ] сходи мость подпоследовательности uk последовательности u решений задачи (5.2.9)–(5.2.12) вместе с производными по x до второго порядка включи тельно к решению u(t, x, z) задачи (5.2.7), (5.2.2), то sup |u(t, x, z)| 0 при t +. (5.2.60) xEn, zE Поскольку (t, x) и u(t, x, z) связаны соотношением (5.2.6), то из (5.2.60) и условий (5.2.5), (5.2.8), (5.2.52), (5.2.55), (5.2.56) следует, что |(t, x)| + |a(t)||uxx (t, x, 0)| |(t, x)| Q2 Q1 D 0 при t +.

+ q) (1 + tp ) (1 + t Утверждение теоремы доказано.

5.3. Обратные задачи для систем составного типа В данном разделе будут рассмотрены постановки некоторых обратных задач для систем составного типа. Такие системы описывают колебания сре ды с учетом влияния теплопроводности [93, 94], различные задачи механики неоднородных жидкостей. В [34] исследован вопрос о влиянии вязкости на гладкость двух групп компонент решений систем, расщепляющихся на па раболическую систему и гиперболическую систему уравнений первого по рядка. Примеры нелинейных систем составного типа задач механики неод нородных жидкостей см., например, в [9].

5.3.1. Задача идентификации функции источника В полосе G[0,T ] = {(t, x, z) | 0 t T, x En, z E1 } рассматривает ся задача определения действительнозначных функций u1 (t, x, z), u2 (t, x, z), g(t, x), удовлетворяющих системе уравнений n 2 n u1 + 1 k ij (t)u1 i xj + (t)u1 + g(t, x)f (t, x, z), a1i (t)uxi + b1k (t)u = t x zz i=1 i,j= k= n a2i (t)u2 i + b2k (t)uk = 0, u + t x i=1 k= (5.3.1) начальному условию uk (0, x, z) = uk (x, z), x En, z E1, (5.3.2) k = 1, 2, и условию переопределения u1 (t, x, 0) = (t, x), t [0, T ], x En. (5.3.3) Считаем, что выполнено условие согласования u1 (x, 0) = (0, x). (5.3.4) Здесь a1i (t), a2i (t), ij (t)(i, j = 1,..., n), b1k (t), b2k (t), uk (x, z)(k = 1, 2), f (t, x, z), (t, x), a(t) — непрерывные в G[0,T ] функции, a(t) 0. Все функ ции предполагаем действительнозначными. Считаем что ij (t) удовлетво n ij (t)i j t (0, T ] для любых отличных от нуля ряют условию i,j= = (1,... n ) En.

Пусть выполняется соотношение |f (t, x, 0)| 0, t [0, T ], x En Const. (5.3.5) Приведем обратную задачу (5.3.1)-(5.3.3) к некоторой вспомогательной прямой задаче. Для этого положим в первом уравнении системы (5.3.1) z = 0. Выражая g(t, x), получим (t, x) + b12 (t)u2 (t, x, 0) (t)u1 (t, x, 0) zz (5.3.6) g(t, x) =, f (t, x, 0) n n a1i (t)xi (t, x) где (t, x) = t (t, x) + b11 (t)(t, x) + ij (t)xi xj (t, x).

i=1 i,j= Заметим, что в силу (5.3.5) знаменатель в (5.3.6) в нуль не обращатся. Под ставляя (5.3.6) в (5.3.1), приходим к задаче n n a1i (t)u1 i + b1k (t)uk = ij (t)u1 i xj + (t)u1 + ut + x x zz i=1 i,j= + (t, x) + b12 (t)u2 (t, x, 0) (t)u1 (t, x, 0) f 1 (t, x, 0)f (t, x, z), zz n a2i (t)u2 i + b2k (t)uk = 0, u + t x i= (5.3.7) uk (0, x, z) = uk (x, z), x En, z E1. (5.3.8) k = 1, 2, Здесь и далее под выражениями вида bjk (t)uk (t, x, z) будем понимать сум му по повторяющемуся индексу.

Ниже мы докажем классическую разрешимость задачи (5.3.7)-(5.3.8).

Для доказательства существования решения задачи (5.3.7)-(5.3.8) при меним метод слабой аппроксимации. Расщепим задачу и линеаризуем ее сдвигом по времени на на третьем дробном шаге.

u1 (t, x, z) + 3 n a (t)u1 (t, x, z) = 1i t xi i= n ij (t)u1xj (t, x, z) + 3(t)u1 (t, x, z), =3 (5.3.9) xi zz i,j= u (t, x, z) + 3 n a (t)u2 (t, x, z) = 0, n t (n + 3 ), 2i t xi i= u1 (t, x, z) + 3b11 (t)u1 (t, x, z) = 0, t 1 u2 (t, x, z) + 3b22 (t)u2 (t, x, z) = 0, (n + 3 ) t (n + 3 ), t (5.3.10) u1 (t, x, z) + 3b12 (t)u2 (t, x, z) = 3 (t, x)+ t +b12 (t)u2 (t, x, 0) (t)u1 (t, x, 0) f 1 (t, x, 0)f (t, x, z), zz 3 u (t, x, z) + 3b (t)u1 (t, x, z) = 0, (n + 3 ) t (n + 1), t (5.3.11) uk (0, x, z) = uk (x, z), x, z En+1 (5.3.12) k = 1, 2, здесь n = 0, N 1, N = T.

Отметим, что на первом дробном шаге решается задача Коши для пара болического уравнения и уравнения первого порядка в частных производ ных. На втором и третьем дробном шаге решается задача Коши для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, причем на втором дробном шаге решение системы можно выписать в явном виде.

Введем обозначения 2 k (5.3.13) U (t) = Us (t), k=1 s= s k k (5.3.14) Us (t) = sup sup u (, x, z), s 0 t xEn z zE s k k (5.3.15) Us (0) = sup u (x, z).

s xEn z zE Функции U (t) и U k (t) являются неубывающими. Относительно входных данных предполагаем, что они достаточно гладкие, имеют все непрерывные производные, входящие в следущие ниже соотношения и удовлетворяют им.

|akj (t)| + |b1k (t)| + |b2k (t)| + |ij (t)| + |(t)| + + |Dx (t, x)| + Dx f (t, x, z) + D u0 (x, z) C, z s x z s || 4. (5.3.16) k = 1, 2, i, j = 1,..., n, s = 0, 1,..., 4, Докажем априорные оценки, гарантирующие компактность семейства ре шений u1 (t, x, z), u2 (t, x, z) задачи (5.3.9)-(5.3.12) в классе непрерывных функций.

Рассмотрим нулевой целый шаг по времени (n = 0).

На первом дробном шаге имеем систему уравнений u1 (t, x, z) + 3 n a (t)u1 (t, x, z) = 1i t xi i= n ij (t)u1xj (t, x, z) + 3(t)u1 (t, x, z), =3 xi zz i,j= u (t, x, z) + 3 n a (t)u2 (t, x, z) = 0, n t (n + 3 ), 2i t xi i= (5.3.17) Рассматривая первое уравнение системы, в силу принципа максимума получим, что u1 (t, x, z) sup u1 (x, z), 3.

0t xEn zE Второе уравнение системы (5.3.17) — уравнение первого порядка в частных производных и для решения задачи Коши справедливо неравенство u2 (t, x, z) sup u2 (x, z), 0t 3.

xEn zE Сложив полученные оценки, приходим к неравенству u1 (t, x, z) + u2 (t, x, z) sup u1 (x, z) + sup u2 (x, z), 0t 3.

0 xEn xEn zE1 zE (5.3.18) Аналогично, дифференцируя (5.3.9)-(5.3.12) по x от одного до четырех раз и повторяя проведенные выше рассуждения, получим оценки s 1 s u (t, x, z) + u (t, x, z) z s z s s 1 s 2 = 1, 4. (5.3.19) sup u (x, z) + sup u (x, z), 0t 3, s s0 s xEn z xEn z zE1 zE Возьмем от левых частей неравенств (5.3.18),(5.3.19) sup sup и сложим 0 t xEn zE результаты операции. Учитывая обозначения (5.3.13)-(5.3.15), получим U (t) U (0), (5.3.20) 0t.

На втором дробном шаге имеем линейное однородное уравнение первого порядка с начальными условиями u1 (, x, z), u2 (, x, z). Решая задачу, 3 получаем равенства t u (t, x, z) = u1 (, x, z) exp 3 b11 ()d, t 1 u (t, x, z) = u2 (, x, z) exp 3 b22 ()d, t.

3 Отсюда t u1 (t, x, z) sup u1 (, x, z) exp(3 |b11 ()| d), xEn zE1 t 1 u2 (t, x, z) sup u2 (, x, z) exp(3 |b22 ()| d), t, 3 3 xEn zE1 и в силу (5.3.16) u1 (t, x, z) sup u1 (, x, z) e3C(t 3 ), xEn zE 1 u2 (t, x, z) sup u2 (, x, z) e3C(t 3 ), t.

3 3 xEn zE Отсюда получаем неравенства u1 (t, x, z) sup u1 (, x, z) eC, xEn zE (5.3.21) 1 sup u (, x, z) eC, u (t, x, z) t.

3 3 xEn zE Сложив неравенства системы (5.3.21), получаем u1 (t, x, z) + u2 (t, x, z) sup u1 + sup u2 eC, 1 (5.3.22) 3, x, z 3, x, z 3 t 3.

xEn xEn zE1 zE Дифференцируя задачу (5.3.9)-(5.3.12) по z от одного до четырех раз и повторяя рассуждения, приведенные выше, на втором дробном шаге прихо дим к следующему неравенству s 1 s u (t, x, z) + u (t, x, z) z s z s s 1 s eC, sup u 3, x, z + sup u 3, x, z s s xEn z xEn z zE1 zE 1 = 1, 4. (5.3.23) 3 t 3, s Возьмем от левых частей неравенств (5.3.22),(5.3.23) sup sup и сложим 0 t xEn zE результаты операции. Учитывая обозначения (5.3.13)-(5.3.15), получим U (t) U ( )eC, 1 (5.3.24) 3 t 3.

На третьем дробном шаге проинтегрируем уравнения системы (5.3.11) в пределах от 3 до t. В силу неравенства треугольника t u1 (t, x, z) u1 |b12 ()| u2 (, x, z) +, x, z + (, x) + |b12 ()| u2 (t, x, 0) + + + |()| u1 (t, x, 0) |f 1 (, x, 0)||f (, x, z)| d, zz t u2 (t, x, z) u2 |b21 ()||u1 (, x, z)|d,, x, z +3 3 t.

Возьмем sup sup от правых, а затем левых, частей неравенств послед 0 t xEn zE ней системы. Учитывая обозначения (5.3.13)-(5.3.15), приходим к неравен ствам t 1 1 2 2 U0 (t) U0 + 3C1 U0 () + U0 () + U2 () + 1 d, (5.3.25) t 2 2 2 U0 (t) U0 + 3C1 U0 () d, t.

3 Сложив неравенства (5.3.25), получим 1 2 1 2 U0 (t) + U0 (t) U0 3 + U0 3 + t 2 1 2 + 3C U0 () + U0 () + U0 () + U2 () + 1 d,. (5.3.26) 3 t Дифференцируя задачу (5.3.9)-(5.3.12) по z от одного до четырех раз и повторяя рассуждения, приведенные выше, на третьем дробном шаге при ходим к неравенству 1 2 1 2 Us (t) + Us (t) Us 3 + Us 3 + t 2 1 2 + 3C Us () + U0 () + U0 () + U2 () + 1 d, s = 1, 4. (5.3.27) 3 t, Сложим неравенства (5.3.26),(5.3.27). Учитывая обозначения (5.3.15) t U (t) U (1 + U ())d, 2 (5.3.28) 3 + 3C 3 t.

Применив лемму Гронуолла к (5.3.28), получим оценку 2 U ( 2 )e3C(t 3 ) + e3C(t 3 ) 1, U (t) 3 t.

Заметим, что e3C(t 3 ) 1 eC 1 = (C )2 (C )m C = (1 + 1 + +... + +...) 2C.

1 C 2! m!

Таким образом, U ( 2 )e3C(t 3 ) + 2C U ( 2 )eC + 2C, U (t) 3 t.

3 Учитывая (5.3.20) и (5.3.24) приходим к тому, что на нулевом целом шаге справедлива оценка U (t) U (0)e3C + 2C, (5.3.29) 0t.

Легко видеть, что на первом целом шаге (t (, 2 ]) U (t) U (0)e3C + 2C (eC + 1), 2.

t Продолжая рассуждения, на n-ом целом шаге (0 N ) приходим к n неравенству U (t) U (0)e3nC + 2C (1 + eC +... + e(n1)C ) U (0)e2nC + 2C N eN C U (0)e2T C + 2CT eT C, (n 1) t n. (5.3.30) Отсюда и из предыдущих неравенств следует, что в G[0,T ] справедлива равномерная по оценка 2 s k (5.3.31) u (t, x, z) C.

z s k=1 s= Продифференцируем задачу (5.3.9)-(5.3.12) по xi (i = 1,..., n), и обозна чим v k = uk. Получим задачу xi v 1 (t, x, z) + 3 n a (t)v 1 (t, x, z) = 1i t xi i= n 1 =3 ij (t)vxi xj (t, x, z) + 3(t)vzz (t, x, z), i,j= n v (t, x, z) + 3 a (t)v 2 (t, x, z) = 0, n t (n + 3 ), 2i t xi i= (5.3.32) vt (t, x, z) + 3b11 (t)v 1 (t, x, z) = 0, 1 vt (t, x, z) + 3b22 (t)v 2 (t, x, z) = 0, (n + 3 ) t(n + 3 ), (5.3.33) vt (t, x, z) + 3b12 (t)v 2 (t, x, z) = 3 xi (t, x) + b12 (t)v 2 (t, x, 0) (t)vzz (t, x, 0) f 1 (t, x, 0)f (t, x, z) + (t, x, z), v (t, x, z) + 3b (t)v 1 (t, x, z) = 0, (n + 3 ) t (n + 1), t (5.3.34) v k (0, x, z) = v0 (x, z), k k = 1, 2, x, z En+1. (5.3.35) Здесь f (t, x, z) (t, x, z) = (xi (t, x) + b12 (t)v 2 (t, x, 0) (t)vzz (t, x, 0).

f (t, x, 0) xi Заметим, что в силу (5.3.16) и (5.3.31) функция (t, x, z) ограничена вместе со воими производными по z до второго порядка.

Введем обозначения 2 Vsk (t), (5.3.36) V (t) = k=1 s= s k Vsk (t) (5.3.37) = sup sup v (, x, z), s 0 t xEn z zE s k Vsk (0) (5.3.38) = sup v (x, z).

s xEn z zE Рассмотрим нулевой целый шаг (n = 0). На первом дробном шаге дифе ренцируя (5.3.32)-(5.3.35) по z, используя теорему принципа максимума и складывая полученные неравенства, получим оценку V (t) V (0), (5.3.39) 0t 3.

На втором дробном шаге, дифференцируя (5.3.32)-(5.3.35) по z, решая по лучившиеся задачи и учитывая предыдущую оценку, приходим к неравен ству V (t) V ( )eC, 1 (5.3.40) 3 t 3.

На третьем дробном шаге, дифференцируя уравение (5.3.34) по z, а затем интегрируя результат дифференцирования по временной переменной на от резке [ 2, t], t ( 2, ], получим неравенство 3 t V (t) V (1 + V ())d, 2 3 + 3C 3 t.

Отсюда, учитывая (5.3.39), приходим к неравенству t V (t) V (0) + 3C (1 + V ())d.

Рассуждая так же, как и при получении оценки (5.3.31), получим, что в G[0,T ] справедлива равномерная по оценка 2 s+1 uk (t, x, z) (5.3.41) C, i = 1,..., n.

z s xi k=1 s= Дифференцируя задачу (5.3.9)-(5.3.12) дважды по xi xj, i, j = 1,..., n, и обозначая v k = ukxj придем к задаче вида (5.3.32)-(5.3.35), причем xi f (t, x, z) (t, x, z) = 3(xi (t, x)+b12 (t)u2 (t, x, 0)(t)u1xj zz (t, x, 0) + xi f (t, x, 0) f (t, x, z) + 3 ((t, x) + b12 (t)u2 (t, x, 0) (t)u1 (t, x, 0) zz f (t, x, 0) xi xi — ограниченная равномерно по функция вместе со своими производны ми по z до второго порядка. Рассуждая так же как и при получении оценки (5.3.41), получим, что в G[0,T ] равномерно по 2 s+2 uk (t, x, z) (5.3.42) C, i, j = 1,..., n.

z s xi xj k=1 s= Дифференцируя задачу (5.3.9)-(5.3.12) по xi xj xl и (5.3.9)-(5.3.12) два жды по xi xj xl xm, будем получать задачи вида (5.3.32)-(5.3.35). Рассуждая так же, как при получении предыдущих оценок, получим, что в G[0,T ] равно мерно по 2 s+3 uk (t, x, z) (5.3.43) C, i, j, l = 1,..., n.

z s xi xj xl k=1 s= 2 s+4 uk (t, x, z) (5.3.44) C, i, j, l, m = 1,..., n.

z s xi xj xl xm k=1 s= Из (5.3.41)-(5.3.44) следует, что 2 s k || (5.3.45) D u (t, x, z) C, 4.

z s x k=1 s= Используя оценку (5.3.31) из уравнений (5.3.9)-(5.3.11) нетрудно получить равномерно по |u1 (t, x, z)| + |u2 (t, x, z)| (t, x, z) G[0,T ].

C, t t Продифференцировав уравнения (5.3.9)-(5.3.11) по z и используя оцен ки (5.3.31), (5.3.45), получим равномерно по |u1 (t, x, z)| + |u2 (t, x, z)| (t, x, z) G[0,T ].

C, tz tz Дифференцируя уравнения (5.3.9)-(5.3.11) по пространственным перемен ным до второго порядка и используя оценки (5.3.31), (5.3.45), получим рав номерно по 2 s k || (5.3.46) D u (t, x, z) C, 2.

t z s x k=1 s= В силу теоремы Арцела о компактности и теоремы 1.5.1 сходимости ме тода слабой аппроксимации, некоторая подпоследовательность ul k (t, x, z) последовательности u k (t, x, z) решений задачи (5.3.9)-(5.3.11) сходится вме сте со своими производными по x, z до второго порядка включительно к ре шению задачи (5.3.7)-(5.3.8).

Таким образом доказана разрешимость задачи (5.3.7)-(5.3.8).

Покажем, что решение задачи (5.3.7)-(5.3.8) удовлетворяет условию пе реопределения (5.3.3).

Положив z = 0 в первое уравнение системы (5.3.7) и обозначив y(t, x) = u (t, x, 0) (t, x), придем к задаче n n (5.3.47) yt = ij (t)yxi xj + a1i (t)yxi + b11 y, i,j=1 i= y(0, x) = 0, x En. (5.3.48) В силу принципа максимума задача (5.3.47)-(5.3.48) имеет единственное решение y(t, x) = 0. Следовательно, u(t, x, 0) = (t, x).

Таким образом, доказано существование решения u1 (t, x, z), u2 (t, x, z), g(t, x) задачи (5.3.1)-(5.3.3). Единственность решения задачи (5.3.1)-(5.3.3) в предположении выполнения условий (5.3.4), (5.3.16) легко получить путем доказательства тождественного равенства нулю в G[0,T ] разности двух пред полагаемых различных решений.

Теорема 5.3.1. Пусть выполняются условия (5.3.4),(5.3.5), (5.3.16).

Тогда задача (5.3.1)-(5.3.3) имеет единственное решение u1 (t, x, z), 1,2, u2 (t, x, z), g(t, x), где uk (t, x, z) Ct,x,z (G[0,T ] ), k = 1, 2, g(t, x) C(G[0,T ] ), удовлетворяющее в G[0,T ] неравенству 2 s k u (t, x, z) C.

z s k=1 s= 5.3.2. Задача идентификации коэффициента при младшем члене В многомерной полосе G[0,T ] = {(t, x, z)|0 t T, x En, z E1 } рас сматривается задача идентификации тройки действительнозначных функ ций u1 (t, x, z), u2 (t, x, z), c22 (t, x), удовлетворяющих системе уравнений u1 + n b (t)u1 + b (t)u1 + 2 c (t, x)uk = 1i 1 1k t xl z i=1 k= n aij (t)uxi xj + a(t)u1 + f (t, x, z), = (5.3.49) zz i,j= n 2 2 c2k (t, x)uk = h(t, x, z), u + b1i (t)uxl + b2 (t)uz + t i=1 k= начальным данным uk (0, x, z) = uk (x, z), (x, z) En+1, (5.3.50) и условию переопределения u2 (t, x, 0) = (t, x), x En, t [0, T ]. (5.3.51) Здесь (t, x) – заданная действительнозначная функция, удовлетворяющая условию согласования u2 (x, 0) = (0, x), x En. (5.3.52) n aij (t)i j t (0, T ] Коэффициенты aij (t) удовлетворяют условию ij= для любых отличных от нуля = (1,... n ) En. Коэффициент a(t) удо влетворяет условию a(t) 0 t [0, T ] и выполняется соотношение |(t, x)| 0, x En, t [0, T ], const. (5.3.53) Относительно входных данных предполагаем, что они достаточно глад кие, имеют все непрерывные производные, входящие в следующее ниже со отношение и при (t, x, z) G[0,T ] удовлетворяют ему:

|aij (t)| + |bi (t)| + |a(t)| + |c(t)| + |Dx (t, x)| + k + Dx f (t, x, z) + Dx h(t, x, z) + D u (x, z) C, z s x z s z s k = 1, 2, || 4, s = 0, 1,..., 4. (5.3.54) Справедлива Теорема 5.3.2. Пусть выполняются условия (5.3.52), (5.3.53), (5.3.54).

Тогда задача (5.3.49)-(5.3.51) имеет единственное решение u1 (t, x), u2 (t, x), c22 (t) в классе Z[0,t ] = (u1 (t, x, z), u2 (t, x, z), c22 (t, x)| 1,2, u1 (t, x), u2 (t, x) Ct,x,z (G[0,t ] ), c22 (t, x) C([0, t ] En ), (5.3.55) удовлетворяющее в G[0,t ] неравенству 2 s k u (t, x) + |c22 (t)| C.

xs k=1 s= Здесь t – некоторая постоянная, 0 t T, зависящая от входных данных.

Список литературы [1] Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные ме тоды решения некорректных задач.: М.: Наука, 1988.

[2] Андреев В.К., Белов Ю.Я., Лазарева Н.Н., Шипина Т.Н. Уравнения математической физики: Учеб. пособие. – Красноярск: КрасГУ, 2005. - 128с..

[3] Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. – Новоси бирск: Наука. Сиб. отд. 1978.

[4] Аниконов Ю.Е. Об однозначности решения обратной задачи для квантового кинетического уравнения // Матем.сборник. 1990.

Т.181. N1. С.68 – 74.

[5] Аниконов Ю.Е. Обратные задачи математической физики и био логии // ДАН СССР.1991. Т.318. N.6. С.1350 – 1354.

[6] Аниконов Ю.Е. Псевдодифференциальные операторы и обрат ные задачи – Новосибирск – 1986. (Препринт / АН СССР. Сиб. от ние. Вычислительный центр, N671).

[7] Аниконов Ю.Е., Белов Ю.Я. Об однозначной разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения // ДАН СССР.

1989. Т.306. N6. С.1289 – 1293.

[8] Аниконов Ю.Е., Бубнов Б.А. Существование и единственность решения обратной задачи для параболического уравнения // ДАН СССР. 1988. Т.298. N4. С.777 – 779.

[9] Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи меха ники неоднородных жидкостей. – Новосибирск: Наука, 1983.

[10] Баранов С.Н. О задаче идентификации четырех коэффициен тов многомерного параболического уравнения в случае неод нородных условий переопределения // Вестник Красноярско го государственного университета: физико-математические науки. Красноярск: КрасГУ, 2005, вып. 1, С. 149 – 159.

[11] Баранов С.Н., Белов Ю.Я. О задаче идентификации двух коэф фициентов с неоднородными условиями переопределения// Не классические уравнения математической физики: Сб. науч. работ / Под ред. А. И. Кожанова. - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2002.

С. 11-22.

[12] Баранов С. Н., Белов Ю. Я. О задаче идентификации нескольких коэффициентов с неоднородными условиями переопределения // Дальневосточный математический журн. - Т. 5. - №1. - Владивосток, 2004. - С. 30 - 40.

[13] Баранов С.Н., Белов Ю.Я. О задаче идентификации трех коэффи циентов с неоднородными условиями переопределения // Вычис лительные технологии, т.8, часть 4. - Новосибирск, 2003. С.92-102.

[14] Безнощенко Н.Я.О задаче Коши для уравнения ut u+uAu = f // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.21. N6. C.991–1000.

[15] Безнощенко Н.Я. Об определении коэффициентов при младщих членах в параболическом уравнении // СМЖ. 1975. Т.16. N 3. С. – 482.

[16] Безнощенко Н.Я. Об определении коэффициента при младшем члене общего параболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 1976. Т.12. N.1. С.175 – 176.

[17] Безнощенко Н.Я. Об определении коэффициентов при старших производных в параболическом уравнении // Дифференциальные уравнения. 1975. Т.11. N4. С.19 – 26.

[18] Белов Ю.Я. Обратная задача для уравнения Бюргерса // ДАН СССР. 1992. Т.323. N3. С.385 – 388.

[19] Белов Ю.Я. О расщеплении одной обратной задачи для много мерного параболического уравнения // ДАН СССР. 1995. Т.345.

N4. С.441 – 444.

[20] Белов Ю.Я., Ахтамова С.С. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений // ДАН СССР. 1991. Т.316. С.791 – 795.

[21] Белов Ю.Я., Ермолаев А.С. Об одной обратной задаче идентифи кации коэффициентом многомерного параболического уравне ния. – В сб. "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения", – Красноярск: КрасГУ. 1996. С. 16 – 27.

[22] Белов Ю.Я., Кантор С.А. Метод слабой аппроксимации. – КрасГУ, 1999.

[23] Белов Ю.Я. Полынцева С.В. Об одной обратной задаче с двумя неизвестными коэффициентами // Труды III международной кон ференции "Симметрия и дифференциальные уравненияКрасноярск:

институт вычислительного моделирования СО РАН 2002 с.60-65.

[24] Белов Ю.Я. Полынцева С.В. Об одной задаче идентификации двух коэффициентов многомерного параболического уравнения // ДАН 2004г. Т.396 №5 С.583-586.

[25] Белов Ю.Я., Полынцева С.В. О задаче идентификации трех коэффициентов многомерного параболического уравнения // Совместный выпуск, часть I. Вычислительные технологии, т. 9. Вест ник КазНУ, N3(42). - Алматы-Новосибирск, 2004. - С.273-280.

[26] Белов Ю.Я., Саватеев Е.Г. Об одной обратной задаче для парабо лического уравнения с неизвестным коэффициентом при произ водной по времени // ДАН СССР. 1991. Т.334. N5. С.800 – 804.

[27] Белов Ю.Я., Фроленков И.В. О задаче идентификации двух коэф фициентов полулинейного ультрапараболического уравнения // Вычислительные технологии. 2003. Т.8, ч.1. С.120-131.

[28] Белов Ю.Я., Фроленков И.В. О задаче идентификации коэффици ента при производной по времени в полулинейном параболиче ском уравнении //Вычислительные технологии. 2004. т.9, ч.1. с.281 289.

[29] Белов Ю.Я., Фроленков И.В. О задаче идентификации двух коэф фициентов параболического полулинейного уравнения // Вест ник КрасГУ: физико-математические науки. - Красноярск: КрасГУ, 2004. - Вып. 1. - С. 140-149.

[30] Белов Ю.Я., Фроленков И.В. О задачах идентификации двух коэффициентов одномерного полулинейного параболического уравнения // Неклассические уравнения математической физики:

Труды семинара, посвященного 60-летию профессора В.Н. Врагова / под ред. А.И. Кожанова. - Новосибирск: Изд-во Инст-та математики, 2005, С.44-50.

[31] Белов Ю.Я., Фроленков И.В. Некоторые задачи идентификации коэффициентов полулинейных параболических уравнений // До клады Академии Наук, 2005. Т. 404, №5, С.583-585.

[32] Белов Ю.Я., Фроленков И.В. О некоторых задачах идентифи кации коэффициентов полулинейных параболических уравне ний //Информационные технологии и обратные задачи рационально го природопользования: Материалы конференции / Югорский научно исслед. институт информационных технологий. - Ханты-Мансийск:

Полиграфист, 2005, С. 19-23.

[33] Белов Ю.Я., Фроленков И.В. О задаче идентификации двух коэф фициентов параболического полулинейного уравнения с услови ями переопределения, заданными на гладкой кривой //Специаль ный выпуск журнала "Вычислительные технологии", посвященный 85 летию академика Н.Н. Яненко. 2006. Т.11, ч.1. С.46-54.

[34] Белов Ю.Я., Яненко Н.Н. Влияние вязкости на гладкость решения в неполно – параболических системах // Матем. заметки. 1971.

Т.10. N1. С.93 – 99.

[35] Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. Вычислительный эксперимент. – М.: Наука, 1982. – 391с.

[36] Березанский Ю.М. Об однозначности определения уравнения Шредингера // ДАН СССР. 1953. В.93. N4. С.591 – 594.

[37] Бубнов Б.А. К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для параболических уравнений. – Новосибирск – 1989 (Пре принт /АН СССР. Сиб. отд. Вычислительный центр. N87 – 714).


[38] Владимиров В.С. Уравнения математической физики.– М.: Нау ка, 1981.

[39] Ватульян А.О. Математические модели и обратные задачи // Соросовский образовательный журнал. - 1998, №11. - С.143–148.

[40] Волков В.М. Обратная задача для квазилинейного уравнения параболического типа // Дифференциальные уравнения.1983. Т.19.

№12. С.2166 – 2169.

[41] Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. – М.:

МГУ. 1979.

[42] Гордезиани Д.Г. О применении локально-одномерного метода для решения многомерного уравнения параболического типа 2m порядка // Сообщ. АН ГССР. – 1965. - т.39, 3 - с. 535-542.

[43] Гордезиани Д.Г., Самарский А.А. Некоторые задачи термоупруго сти пластин и оболочек и метод суммарной аппроксимации // Комплексный анализ и его приложения. – М., 1978. - с. 173-186.

[44] Данилкина О.Ю. Обратная задача для уравнения теплопровод ности // Современные методы теории краевых задач. Материалы Во ронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XVII".-Воронеж: Центрально-черноземное книжное издательство, 2006. С.51.

[45] Демидов Г.В., Яненко Н.Н.Метод слабой аппроксимации // Труды Всесоюзной конференции по уравнениям с частными производными. М.: Изд-во Московск. ун-та, - 1978. - С. 100-102.

[46] Денисов А.М.Введение в теорию обратных задач: Учебн. пособие.

- М.: Изд-во МГУ, 1994. - 208 с.

[47] Денисов А.М.Обратные задачи для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1989. Т. 307, №5.

С. 1040-1042.

[48] Иванчов Н.И., Салдина Н.В. Обратная задача для вырождающе гося уравнения теплопроводности // Информационные техноло гии и обратные задачи рационального природопользования: Материа лы конференции / Югорский научно-исслед. институт информацион ных технологий. - Ханты-Мансийск: Полиграфист, 2005. - С.32–36.

[49] Ильин А.М., Клашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи мат. наук. 1962. - Т.17, №3. - С.3–146.

[50] Иосида К. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1967. – 624с.

[51] Исаков В.М. Одна обратная задача для параболического уравне ния // Успехи матем. наук. 1982. Т.32. N2. С.108 – 109.

[52] Искендеров А.Д. Многомерные обратные задачи для линейных и квазилинейных параболических уравнений // ДАН СССР. 1975.

Т.225. N5. С.1005–1008.

[53] Искендеров А.Д. Об одной обратной задаче для квазилинейных параболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1974.

Т.10. N.5. С.890 – 898.

[54] Искендеров А.Д., Тагиев Р.К. Задачи оптимизации с управлениями в коэффициентах параболического уравнения // Дифференциаль ные уравнения. 1983. Т.19. N.8. С.1324 – 1334.

[55] Калиев И.А., Первушина М.М. Некоторые обратные задачи для уравнения теплопроводности // Информационные техноло гии и обратные задачи рационального природопользования: Матери алы конференции / Югорский научно-исслед. институт информацион ных технологий. - Ханты-Мансийск: Полиграфист, 2005. - С.39–44.

[56] Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в част ных производных первого порядка.– М.: Наука, 1966. –260с.

[57] Камынин В.Л. Об однозначной разрешимости обратной задачи для параболических уравнений с условием финального переопре деления // Матем. заметки. - 2003.- Т.73, вып.2. - С.217-227.

[58] Камынин В. Л. Асимптотическое поведение решений квазили нейных параболических уравнений в ограниченной области // СМЖ- 1994. т.35. №2. С. 340 - 358.

[59] Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 2-е изд. пе рераб. – М.: Наука, 1977.

[60] Клибанов М.В. Обратная задача для параболического уравнения и одна задача интегральной геометрии // СМЖ. 1976. Т.17. N.3.

С.564 – 569.

[61] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функ ционального анализа. – М.: Наука, 1989.

[62] Кожанов А.И. Уравнения составного типа и нелинейные обрат ные задачи для эллиптических и параболических уравнений. – Новосибирск, 1998 – 29с. (Препринт/ РАН Сиб. отд. Ин-т матема тики;

N54).

[63] Кожанов А.И. О разрешимости обратной задачи нахождения ко эффициента теплопроводности // Сиб. мат. журнал, 2005. Т.46, №5. С.1053–1071.

[64] Коновалов А.Н. Численное решение задач теории упругости. – Новосибирск: Изд–во Новосиб. ун–та, 1968. – 127с.

[65] Корнилов В.С. Гуманитарный потенциал курса «Обратные за дачи для дифференциальных уравнений» // Вестник Московского городского педагогического университета, серия "Информатика и ин форматизация образования". №1(4), 2005 г. С.100-114.

[66] Кочергин В.П. Теория и методы расчета океанических течений.

–М.: Наука, 1978.–127с.

[67] Крылов Н.В.Нелинейные эллиптические и параболические урав нения второго порядка.–М.: Наука, 1985.–376с.

[68] Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах матема тической физики. – Новосибирск: СО АН СССР, 1962.

[69] Лаврентьев М.М. Об одном классе обратных задач для дифферен циальных уравнений // ДАН СССР. 1965. Т.160. N1. С.32 – 35.

[70] Лаврентьев М.М., Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обрат ные задачи для дифференциальных уравнений. – Новосибирск:

Наука. Сиб. отд., 1969.

[71] Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г. Теоремы единственности нели нейных обратных задач для уравнений параболического типа // ДАН СССР.1973. Т.208. N3. С.531 – 532.

[72] Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. – Новосибирск: Наука. Сиб. отд.

1982.

[73] Лаврентьев M.M., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные за дачи математической физики и анализа.– М.: Наука, 1980.

[74] Ладыженская О.А. и др.Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева. – М.: Наука, 1967. – 736 с.

[75] О.А. Ладыженская Уравнения математической физики. М.: Нау ка, 1973. 407с.


[76] Люстерник Л.А. Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. – М.: Высшая школа, 1982.

[77] Марчук Г.И. Методы расщепления. – М.: Наука, 1988. – 264с.

[78] Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды. – Л.: Гидроме теоиздат, 1967. – 353с.

[79] Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных произ водных – М.: Наука, 1976.

[80] Новик О.Б. Задача Коши для системы уравнений в частных про изводных, содержащей гиперболический и параболический опе раторы //Журнал ВМ и МФ. 1969. Т.9. N1. С.122 – 136.

[81] Полынцева С.В. О задаче идентификации двух старших коэффи циентов параболического уравнения с условиями переопределе ния, заданными на различных гиперплоскостях // Вестник Крас ГУ: физико-математические науки. - Красноярск. 2004. - Вып. 3. С.107- [82] Понтрягин Л.С.Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука. 1982.

[83] Прилепко А.И. Избранные вопросы в обратных задачах матема тической физики. – Новосибирск: Наука, 1992. С.151 – 162.

[84] Прилепко А.И.Обратные задачи теории потенциала (эллипти ческие, параболические, гиперболические уравнения переноса) // Матем. заметки. 1973. Т.14,15.

[85] Прилепко А.И., Костин А.Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблю дением // Матем. сб.. 1992. Т.183. N4. С.49-68.

[86] Прилепко А.И., Костин А.Б. Об обратных задачах определения ко эффициента в параболическом уравнении I // СМЖ. 1992. Т.33.

N3. С.146 – 155.

[87] Прилепко А.И., Костин А.Б. Об обратных задачах определения ко эффициента в параболическом уравнении II // СМЖ. 1993. Т.34.

N5. С.147 – 162.

[88] Прилепко А.И., Орловский Д.Г. Об определении параметра эволю ционного уравнения в обратных задачах математической фи зики. 1 // Дифференциальные уравнения. 1987. Т.23. N.1. C.119 –125.

[89] Прилепко А.И., Орловский Д.Г. Об определении параметра эволю ционного уравнения в обратных задачах математической фи зики. 3 // Дифференциальные уравнения. 1987. Т.23. N.8. С.1343 – 1352.

[90] Прилепко А.И., Соловьев В.В. О разрешимости обратных крае вых задач определения коэффициента перед младшей производ ной в параболическом уравнении // Дифференциальные уравнения, 1987. Т23. N1. С.136 – 143.

[91] Прилепко А.И., Ткаченко Д.С. Обратные задачи и итерационно разностный метод для параболического уравнения // Информа ционные технологии и обратные задачи рационального природопользо вания: Материалы конференции / Югорский научно-исслед. институт информационных технологий. - Ханты-Мансийск: Полиграфист, 2005.

- С.58–61.

[92] Пятков С.Г. О разрешимости некоторых классов обратных за дач // Информационные технологии и обратные задачи рационально го природопользования: Материалы конференции / Югорский научно исслед. институт информационных технологий. - Ханты-Мансийск:

Полиграфист, 2005. - С.61–67.

[93] Рихтмайер Р. Звук и теплопроводность // Некоторые вопросы вы числительной и прикладной математики. – Новосибирск: Наука, 1966.

C.183 – 185.

[94] Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых за дач. – М.: Мир, 1972. 418c.

[95] Романов В.Г. Обратные задачи математической физики.- М: На ука, 1984, 251с.

[96] Романов В.Г. К теоремам единственности одного класса обрат ных задач // ДАН СССР, 1972. Т.204. N.5. С.1075 – 1076.

[97] Романов В.Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения // Матем. заметки, 1976. Т.19. В.4. С.595 – 600.

[98] Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравне ний. – Новосибирск: НГУ, 1973.

[99] Романов В.Г. Теорема единственности и устойчивости для нели нейного операторного уравнения // ДАН СССР. 1972. Т.207. N.5.

С.1051 – 1053.

[100] Рождественский Б.М., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений – М.: Наука, 1978.

[101] Саватеев Е.Г. О некоторых обратных задачах для параболиче ских уравнений // ДАН. 1995. Т.340. N5. С.595 – 596.

[102] Саватеев Е.Г. О задаче определения функции источника и ко эффициента параболического уравнения // ДАН. 1995. Т.344. N5.

С.597 – 598.

[103] Саватеев Е.Г. О задаче идентификации коэффициента парабо лического уравнения // СМЖ. 1995. Т.36. N1. С.177 – 185.

[104] Самарский А.А. Об одном экономичном разностном методе ре шения многомерного параболического уравнения в произвольной области // Журнал вычислительной математики и мат. физики. – 1977. т.2, 5 - с. 787-811.

[105] Самарский А.А. О принципе аддитивности для построения эко номичных разностных схем // Докл. АН СССР. – 1965. – т.165, 6. с.1253-1256.

[106] Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977. -656с.

[107] Соболев С.Л. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1966.

[108] Соловьев В.В. О разрешимости обратной задачи определения источника с переопределением на верхней крышке для параболи ческого уравнения // Дифференциальные уравнения. 1989. Т.25. N9.

С. 1577 – 1583.

[109] Сорокин Р.В. О стабилизации решения одной обратной задачи для системы составного типа // Вестник Красноярского государ ственного университета, серия "Физико-математические науки". №1, 2005 г, c.167-178.

[110] Сорокин Р.В., Шипина Т.Н. Об однозначной разрешимости одной обратной задачи для системы составного типа в многомерном случае // Вычислительные технологии. 2004, Т.9, ч.3, С.59-68.

[111] Сорокин Р.В., Шипина Т.Н. О разрешимости одной обратной за дачи для системы составного типа // Вычислительные технологии.

2003. Т.8, ч.3. С.139-146.

[112] Тихонов A.Н. О влиянии радиоактивного распада на темпера туру земной коры // Изв. АН СССР. Отд. математики и естествен ных наук. Серия география и геофизика. 1937. Т.3. С.431 – 460.

[113] Тихонов A.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР.

1943. Т.5. N39. С.195 – 198.

[114] Тихонов A.Н. Об обратной задаче для нелинейного дифференци ального уравнения // Журнал ВМ и МФ.1983. N1. Т.23. С.95 – 101.

[115] Тихонов A.Н. О единственности решения задачи электрораз ведки // Докл. АН СССР. 1949. Т.69, №6, С.797-800.

[116] Тихонов A.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных за дач. – М.: Наука, 1979.

[117] Тихонов А.Н., Самарский А.А.Уравнения математической физи ки. – М.: Наука, 1977.–736с.

[118] Треногин В.А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 496с.

[119] Фридман А.Уравнения с частными производными параболиче ского типа. – М.: Мир, 1968.– 427с.

[120] Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гид родинамики // Вычислительные методы в гидродинамике. – М.: Мир, 1967, – с. 316-342.

[121] Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. – М.: Изд-во иностр.лит., 1962. – 830 с.

[122] Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. – М.:

Гос. изд-во Физ.-мат. лит-ры, 1961.

[123] Шипина Т.Н. Некоторые обратные задачи с данными Коши // Дисс.... канд. ф.-м. наук / - Красноярск, 1999. - 90 с.

[124] Шипина Т.Н. Обратная задача Коши для параболического урав нения. – В сб. "Комплексный анализ и дифференциальные уравне ния", – Красноярск: КрасГУ, 1996. С.253 –266.

[125] Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения – М.:

Мир, 1969. – 1071с.

[126] Эйдельман С.Д. Параболические системы. – М.: Наука, 1964. – 444с.

[127] Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. – Новосибирск, 1967. – 195с.

[128] Anikonov Ju. E. Inverse problems and classes of solutions of evolution equations // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V. 11, N 51. P.

1-26.

[129] Anikonov Ju. E. Inverse problems for evolution and dierential dierense equations with a parameter // J.Inv.Ill-Posed Problems.

2003. V. 11, N 5. P. 439-474.

[130] Anikonov Yu.E. and Belov, Yu.Ya. Determining two unknown coecients of then parabolic type equation // J. Inv. Ill-Posed Problems.

[131] Belov Yu.Ya. Inverse Problems for Partial Dierential Equations. Utrecht: VSP, 2002. 211p.

[132] Belov Yu.Ya. Inverse problems for parabolic equations // J. Inv. Ill Posed Problems. 1993. V.1. N4. P.283 – 305.

[133] Belov Yu.Ya. and Shipina T.N. The problem of determining the source function for a system of composite type // J. Inv. Ill – Posed Problems.

1998. V.6. N4. P.287 – 308.

[134] Cannon J.R. and Yanping Lin. Determination of a parameter p(t) in some quasi – linear parabolic dierential equations // J. Ill – Posed and Inverse Problems. 1988. V.4. N1. P.595 – 606.

[135] Iванчов М.I. Оберненi задачi теплопровiдностi з нелокальними умовами: Препринт. - К.: ICДО, 1996. - 84 с.

[136] Herglotz. G. Uber die Elastizitat der Erde bei Borucksichtigung inter Variablen Dichte. – Zeit schr. fur Math. und Phys.. 1905. Bd52. N3.

S.275 – 299.

[137] Kamynin V., Francini E. An inverse problem for higher order parabolic equation with integral overdetermination. Unique solvability and stabilization of the solution. – Pubblicazioni Dell’istituto di analisi globale e applicazioni. Serie "Problemi non ben pasti ed inversi". Firenze. 1996.

[138] Klibanov M.V. Theoretical and Numerical Issues for Some Inverse Problems // Информационные технологии и обратные задачи раци онального природопользования: Материалы конференции / Югор ский научно-исслед. институт информационных технологий. - Ханты Мансийск: Полиграфист, 2005. - С.44–48.

[139] Kozhanov A.I. Composite Type Equations and Inverse Problems // Utrecht: VSP. 1999.

[140] Kozhanov A.I. On solvability of an inverse problem with an unknoun coecient and right-hand side for a parabolic equation, I // J.Inv.Ill Posed Problems. 2002. V.10, N 6. P. 547-658.

[141] Kozhanov A.I. On solvability of an inverse problem with an unknoun coecient and right-hand side for a parabolic equation, II // J.Inv.Ill Posed Problems. 2003. V.ll, N 5. P. 505-522.

[142] Lorenzi A., Paparoni E. Identication of two unknown coecients in an integrodierential hyperbolic equations // J. Inverse Ill-Posed Probl. 1993. V. 1. N4. P. 331– [143] Lorenzi A., Paparoni E. Identication problems for pseudohyperbolic integrodierential operator eqations // J. Inverse Ill-Posed Probl.

1998. V. 5. N6. P. 523–548.

[144] Riganti R. and Savateev E. On the solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation // Rapporto Interno. 1991. N25.

Politecnico di Torino. Torino.

[145] Riganti R. and Savateev E. Solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation // Comm. in Partial Dierntial Equation. 1994.

V.19. N9&10. P. 1611 – 1628.

[146] Riganti R. and Savateev E. Inverse problem for the nonlinear heat equation with nal overdetermination // Rapporto Interno. 1995. N7.

Politecnico di Torino. Torino.

[147] Romanov V.G. On the well-posedness of inverse problems with the data support treated at the domain boundary // J. Inverse Ill-Posed Probl. 1993. V. 1. N2. P. 155–167.

[148] Saullova R.R. Inverse hyperbolic problem with unknown composite source // Inverse and I’ll-Posed Problems.

[149] Temam R. La grade de docteur es sciences mathematigues. – Paris, 1967. - 248p.

[150] Wiechert E. und Zoeppritz K. Uber Erdbebenwellen Gotingen. – Nachr. Konigl. Geselschaft. 1907. N4. S.415 – 549.

[151] Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics - New York: Marcel Dekker, 2000.

[152] Prilepko A.I., Tkachenko D.S. An inverse problem for a parabolic equation with nal overdetermination // Ill Posed and Inverse Problems. Utrecht: VSP, 2002. P. 317-353.



Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.