авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЭНЕРГЕТИКЕ им. Г.Е.Пухова Отделение гибридных моделирующих и управляющих систем в ...»

-- [ Страница 3 ] --

• Нахождение матрицы отклонений аппроксимирующего спек тра от дискретизированных значений сигнала с обнулением значений меньше 0.0015:

• Визуализация аппроксимации сигнала на основе получен ного спектра:

Рис.4.9a. Аппроксимация сигнала на основе полученного спектра 4.5.2. Частное интегрирование двумерных сигналов Известно, что частное интегрирование двумерного сигнала по одной из переменных с переменным верхним пределом осуществ Глава ляется так же, как и интегрирование одномерного сигнала. При этом второй аргумент рассматривается как постоянная величина (пара метр) [1,4,6]:

x J x ( f ( x, t )) = f ( x1, t )dx1, (4.16) t J t ( f ( x, t )) = f ( x, t1 )dt1.

Используя операционный подход, на основе матрицы двумер ного спектра подинтегральной функции можно получить соответст вующую матрицу двумерного спектра частного интеграла по одной из переменных путем умножения операционной матрицы интегриро вания одной переменной [5] и матрицы двумерного спектра сигнала.

Обозначая матрицу двумерного блочно-импульсного спектра сиг t F, а матрицы двумерных спектров частных интегралов сиг нала как t t нала по x и t соответственно как Fx и Ft, получаем следующие выражения для интегрирования сигнала в операционной области:

t t Fx = (Px F*)*, (4.17) t t Ft = Pt F, где: Px и Pt - операционные матрицы интегрирования по x и t, *- символ транспонирования матрицы.

Рассмотрим пример частного интегрования сигнала в опера ционной области.

Пример 4.10..Определить матрицы спектров частных инте гралов по x и t сигнала, рассмотренного в примере 1, в предположе нии, что базисные системы и матрица спектра сигнала определены ранее в примере 4.9.

• Определение операционных матриц интегрования по x и t :

Здесь выбраны порядки интегральных операторов, равные 1.

Однако, обобщение на дробные порядки является тривиальным и Интегро-дифференциальные уравнения нецелых порядков состоит лишь в задании дробных значений параметров, определяю щих элементы операционной матрицы интегрирования.

• Определение матрицы спектра интеграла сигнала по x:

• Определение матрицы спектра интеграла сигнала по t:

Отображения полученных двумерных спектров интегралов сигнала по x и по t не приводятся в связи с их громоздкостью.

• Визуализация аппроксимаций интегралов:

Рис.4.10a. Аппроксимация интеграла сигнала по x Рис.4.10b. Аппроксимация интеграла сигнала по t.

Глава 4.5.3. Математическая модель динамической системы нецелого порядка в операционном пространстве Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных произ водных вида:

u ( x, t ) u ( x, t ) =a. (4.18) t x При произвольных значениях порядков дифференциальных операторов и коэффициента a алгебраизация уравнения может при водить к системе алгебраических уравнений с плохообусловленной матрицей. Подобные проблемы рассматривались в работах Бабенко Ю.И. [2], которым был предложен метод расщепления интегро-диф ференциальных операторов, позволяющий получить устойчивые в вычислительном отношении математические модели. Воспользу емся этим методом. Рассматривая уравнение (4.18) с позиции раз ности квадратов дифференциальных операторов, получим:

/ 2 u ( x, t ) / 2 u ( x, t ) / 2 u ( x, t ) / 2 u ( x, t ) ) = 0 (4.19) a +a ( )( t / 2 x / 2 t / 2 x / Первый из сомножителей выражения (4.19) дает устойчивое в вычислительном отношении решение, удовлетворяющее уравнению (4.18). Для приведения к интегральной форме проинтегрируем пер вый сомножитель по t и x с дробными порядками /2 и /2 соответст венно:

/ 2 u ( x, t ) / 2 u ( x, t ) /2 / +a ) = 0.

0 Jt 0 Jx ( (4.20) t / 2 x / Производя интегрирование с учетом начальных и краевых ус ловий на функцию u(x,t), получим:

/ (u ( x, t )) + a 0 J t / 2 (u ( x, t ))= 0 J x / 2 (u ( x,0)) + a 0 J t / 2 (u (0, t )). (4.21) 0 Jx Переходя в операционное пространство получим следующую математическую модель динамической системы:

v v v (Px / 2 + a Pt / 2 ) U = (Px / 2 U x 0 + a Pt / 2 U 0t ). (4.22) Необходимо отметить, что операционные матрицы интегриро вания для уравнений с частными производными формируются на основе кронекеровских произведений операционных матриц интег рирования одной независимой переменной и единичных матриц со ответствующего размера [10,12].

Решение уравнения (4.22) позволяет определить аппроксима цию решения уравнений (4.18) при самых различных порядках диф ференциальных операторов, изменяющихся в диапазоне от 0 до 2.

Интегро-дифференциальные уравнения нецелых порядков Проиллюстрируем приведенный порядок получения аппрокси мации решения на следующем числовом примере.

Пример 4.11. Найти аппроксимацию решения уравнения (4.18) в области изменения аргументов 0 x A = 1;

0 t T = 1 при зна чениях порядков дифференциальных операторов =1, =3/2 и на 20 t чальных и краевых условиях вида: u ( x,0) = 1, u (0, t ) = e.

Программа решения, результаты ее реализации с коммента риями приведены ниже.

• Задание параметров и системы образующих функций:

• Определение операционных матриц интегрирования:

• Задание начальных и краевых условий:

• Нахождение матриц спектров начальных и краевых условий:

• Переформатирование полученных спектров:

• Задание коэффициента уравнения:

Глава • Получение решения, его переформатирование в матричную форму и отображение в матричном виде:

Визуализация полученного решения:

Рис.4.11. Аппроксимация решения дифференциального уравнения Описанная методика и приведенные программы позволяют осуществлять аппроксимацию двумерных сигналов, на основе кото рой возможен операционный подход к моделированию динамиче ских систем, описываемых интегро-дифференциальными уравне ниями в частных производных как целого, так и дробного порядков.

Интегро-дифференциальные уравнения нецелых порядков Преимуществом данного подхода является гибкость перехода от одного типа уравнения к другому, изменения параметров сетки, физических параметров задачи, типа начальных и краевых условий.

На основе полученных результатов могут быть построены мо дели широкого класса задач математической физики.

Известным ограничением является сложность реализации мо делей на случай более двух независимых перемеменных.

Глава Приложение 4.1. Операционные матрицы интегрирования для блочно-импульсных систем базисных функций (система сме щенных полиномов Лежандра нулевого порядка) Операционная матрица интегрирования первого порядка (h=0.1,m=10) Определяющие вектора для операционных матриц интегри рования дробных порядков (h=0.1, m=10, =0.1,0.2,…,0.9) 0.1 0.2 0.3 0.4 0. pi 0.6 0.7 0.8 0.9 1. pi Интегро-дифференциальные уравнения нецелых порядков 1.5 2.0 3.0 1/ pi Приложение 4.2. Формулы для формирования операционных матриц интегрирования дробного порядка для локальных бази сных систем на основе смещенных полиномов Лежандра Операционная матрица интегрирования строится для опреде ления интеграла нецелого порядка в виде интеграла Римана-Лиу вилля:

t ( ) y (t ) = [ D x(t )]t0 = (t ) 1 x( )d.

Поскольку сигнал, подлежащий дробному интегрированию, ап проксимируется полиномом (1.20):

m xa (t ) = ( X 0i vi (t ) + X 1i wi (t ) + X 2i ui (t )) = i = vv vT v vv XT V (t ) + X1 W (t ) + XT U(t ) 0 то операция дробного интегрирования сводится к интегриро ванию базисных функций vi (t ), wi (t ), ui (t ). После очевидных преобразований операционная матрица интегрирования будет иметь клеточный вид, клетки которой являются нижними треугольными те плицевыми матрицами:

H11 H H = H 21 H 23.

( ) P H H 31 H H Обозначая номер диагоналей клеток матриц через r = i j, i, j = 1, m, получим следующие формулы для векторов, определяю щих диагонали теплицевых матриц H kl, k, l 1, 2,3 :

Глава 0, r 0, h H (, r) = 1, r = 0, ( + 2) [ ] +1 +1 + (r +1) 2r + (r 1), r = 1,K, m 1, 0, r 0, 3h H12 (, r ) =, r = 0, ( + 3) [ ] +1 +2 + (r + 1) ( 2r ) + 4r + (r 1) (2r ), r = 1,K, m 1, r 0, 0, ( 1), r = 0, [ ] 5h + H 13 (, r ) = ( 1)( 6 r ) + 12 r ( r + 1) ( + 4) [ ] [ ] + ( + 2)( + 3) + 12 r 2 + ( r 1) +1 ( 1)( + 6r ) + 12 r 2, 2 r r = 1, K, m r 0, 0,, r = 0, h H 21 (, r ) = [ ] ( + 3) ( r + 1) +1 (2 r ) 4 r + 2 + ( r 1) +1 ( 2r + ), r = 1, K, m r 0, 0, (1 )( + 2), r = 0, [ ] 3h (r + 1) 2 4r + ( + 1)(4r ) + +1 H 22 (, r ) = [ ] ( + 4) + 2r +1 4r 2 ( + 2)( + 3) + [ ] + (r 1) +1 2 4r 2 ( + 1)(4r + ), r = 1, K, m r 0, 0, ( 2)( + 3), r = 0, [ ] 5h (r + 1) ( 2)( + 3) + 8r ( + 3) 24r ( + 1 r ) +1 2 H 23 (, r ) = [ ] ( + 5) 8r + 2 6r 2 ( + 3)( + 4) + [ ] + (r 1) +1 ( 2)( + 3) + 8r ( 2 + 3) + 24r 2 ( + 1 + r ), r = 1, K, m 0, r 0, ( 1), r = 0, h H 31 (, r ) = [ ] [ ] ( + 4) ( r + 1) +1 ( 1)( 6 r ) + 12 r 2 2 r +1 ( + 2)( + 3) + 12 r 2 + [ ] + ( r 1) +1 ( 1)( + 6 r ) + 12 r 2, r = 1, K, m 1, Интегро-дифференциальные уравнения нецелых порядков r 0, 0, ( 2 )( + 3 ), r = 0, [ ] ( r + 1 ) + 1 ( 2 )( + 3 ) 8 r ( + 3 ) + 24 r 2 ( + 1 r ) + 3h (, r) = [6 r ( + 3 )( + 4 ) ] + H ( + 5) + + 8r [ ( 2 )( + 3 ) 8 r ( ] + ( r 1) + 1 + 3 ) 24 r 2 ( + 1 + r ), r = 1, K, m 1, 0, r 0, 5h ( 1)( + 2 )( 3) H 33 (, r ) =, r = 0, ( + 4) ( + 5) p + (, r ) + p 0 (, r ) + p (, r ), r = 1, K, m 1, где [ ] [ ] 6 ( r + 1) + p + (, r ) = ( r + 1) +1 ( 1)( 6 r ) + 12 r 2 + 6 r + 12 r 2 + + [ ] 12 ( r + 1) + ( + 1)( + 2 6 r ) + 12 r 2, + ( + 4 )( + 5 ) [ ] 12r + p0 (, r ) = 2r +1 12r 2 ( + 2)( + 3) +, ( + 4)( + 5) [( ]+ [ ]+ 6 ( r 1) + + p (, r ) = ( r 1) 1 )( + 6 r ) + 12 r + + 6 r + 12 r 2 2 + [ ].

+ 12 ( r 1 ) ( + 1 )( + 2 + 6 r ) + 12 r + ( + 4 )( + 5 ) Аппроксимация интеграла дробного порядка выражается фор мулой:

v *v vv v *v y a (t ) = X * P ( ) S(t ) = P ( ) X S(t ) = Y *S(t ) v v Y0 H11 X H H v v v v Y = Y1 = H 21 H 23 X1 = P ( ) X, H 22 v v Y2 H 31 X H H 32 Эти формулы могут использоваться и при интегрировании с целым порядком. Для этого достаточно задать соответствующее це лое значение. Свойства используемой системы базисных функций на основе смещенных полиномов Лежандра в силу ее ортогонально сти таковы, что операционные матрицы интегрирования для базис ных систем на основе полиномов Лежандра нулевого и первого по ( ) рядка являются подматрицами матрицы P :

H H P0( ) = H11, P1( ) = 11.

H H 21 Глава Список литературы к Главе 1. Андре Анго Математика для электро- и радиоинженеров. – М.:

«Наука», 1965. – 780 с.

2. Бабенко Ю.И. Тепломассообмен: Метод расчета тепловых и диффузионных потоков. – Л.: Химия, 1986. – 144 с.

3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – Лейпциг: «Тойбнер», М.:

«Наука», 1981. – 720 с.

Васильев В.В., Симак Л.А. Математическое и компьютерное 4.

моделирование процессов и систем: Аппроксимация сигналов с применением системы Mathematica®, ISBN 978-966-02-4385-9. К.: НАН України, 2007. -- 127 с.

5. Васильев В.В., Симак Л.А. Полиномиальные методы аппрокси мации как операционные исчисления и их реализация в программной среде системы “Mathematica®” // Электронное моделирование. – 1996, т. 18, № 4. – С. 34-42.

Васильєв В.В., Сімак Л.О., Зеленков О.А. та ін. Аналіз та ма 6.

тематичне моделювання динамічних систем на базі некласичних операційних числень ISBN 978-966-02-0964-9.- К.: НАН України, 2006. -- 184 с.

7. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функ ций. – М.: ГИТТЛ, 1954. – 328 с.

8. Дьяконов В.П. Mathematica 4.1/ 4.2/ 5.0 в математических и на учно-технических расчетах. – М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2004. – 696 с.

9. Корн Г.,Корн Т. Справочник по математике для научных работ ников и и нженеров. – М.: «Наука», 1984. – 832 с.

10. Симак Л.А. Аппроксимирующие импльсные спектры нескольких переменных и их применение к моделированию диффе ренциальных уравнений в частных производных, включающих дифференциальные операторы нецелых порядков. – К.: НАН Украины, 1989. – 56 с. – (Препр. / АН УССР. Ин-т проблем моделирования в энергетике;

89-18).

11. Jiang L.H., Schaufelberger W. Block Pulse Functions and Their Applications in Control Systems // Lecture Notes in Control and Information Sciences,179. – Springer-Verlag, 1992. – 237 p.

12. Kailath T. Linear Systems. – Englewood Cliffs, N.J.: Prentice – Hall, Inc., 1980.- 682 p.

13. Momani S. General Solutions for the Space – and Time – fractional Diffusion-wave Equations // Journal of Physical Sciences, Vol.10, 2006. – P. 30 – 43.

Интегро-дифференциальные уравнения нецелых порядков 14. Oldham K.B., Spanier J. The Fractional Calculus. – Academic Press, 1974. – 234 p.

15. Podlubny I. Fractional Differential Equations //Mathematics in Scien ce and Endineering, Vol. 198. – Academic Press, 1999. – 340 p.

16. West J. Bruce, Bologna Mauro, Grigolini Paolo Physics of Fractal Operators. – Springer – Verlag, 2003. – 354 p.

17. Wolfram S. The Mathematica book. – Champaign, Il.: Wolfram Media & Cambridge University Press, 1999. – 1470 p.

    Глава 5. РЕАЛИЗАЦИЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕН ЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НЕЦЕЛЫХ ПОРЯДКОВ Построение электронных моделей интегро-дифференциаль ных операторов нецелых порядков сводится к проблеме синтеза электронных цепей (двухполюсников), связь между током и напря жением которых определяется производной или интегралом неце лого порядка (здесь используется традиционная для классического математического анализа запись производной):

d u N (t ) i N (t ) = G, (5.1) dt где: – порядок производной (0) или интеграла (0).

С этой целью могут быть использованы электронные цепи с сосредоточенными или распределенными параметрами.

5.1. Свойства гипотетического реактивного элемента дробного порядка Эквивалентная схема реактивного элемента изображена на рис.5.1.

iN (t )   u N (t )   G   Рис. 5.1. Гипотетический реактивный элемент В операторной и символической формах (5.1) примет вид:

I ( p ) = p GU ( p ), (5.2) • • I = ( j ) G U,   Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков • где: I(p), I - изображение по Лапласу и комплексное изображение тока двухполюсника i N (t ) соответственно, • U(p), U - то же для напряжения двухполюсника u N (t ), p – оператор Лапласа, j – мнимая единица, - круговая частота.

Не представляется возможным построить электронную цепь из конечного числа пассивных элементов, которая бы точно реализо вала выражения (5.1) и (5.2) на бесконечно больших диапазонах из менения времени и частоты. Поэтому задача моделирования ин тегро-дифференциальных операторов нецелого порядка может ста виться как аппроксимационная в ограниченном диапазоне частот или на конечном интервале времени. Если ввести в рассмотрение гипотетический элемент электронной цепи, реализующий интегро дифференциальный оператор нецелого порядка (его можно также назвать конденсатором или индуктивностью нецелого (дробного) порядка), то его свойства могут быть определены следующим обра зом. Определим переходную проводимость гипотетического реак тивного двухполюсника g(t) как ток, протекающий через двухполюс ник в переходном режиме при воздействии на него единичного скачка напряжения:

i (t ) = g (t ) 1u (t ),. (5.3) где: 1u (t ) - единичный скачок напряжения ( 1u (t ) =1, если t 0, 1u (t ) =0, если t 0).

Ограничившись значениями порядка дифференциального 1, выведем выражение для переходной проводимо оператора сти. Используя определение дробного интеграла порядка в форме Римана - Лиувилля для функции единичного скачка [8], получим:

t g (t ) = G, (5.4) (1 ) (o) Гамма –функция.

где:

Рассматривая порядок интегрального оператора как параметр, получим семейство зависимости переходных проводимостей от времени g (t, ), показанное на рис. 5.2 и 5.3.

ђ Глава g(t, )/G 1. 0. t 0.5 1 1.5 Рис. 5.2. Семейство переходных проводимостей для дробной индуктивности (-1 0).

g(t, )/G 1. 1. 1. 0. 0. 0. t 0.5 1 1.5 Рис. 5.3. Семейство переходных проводимостей для дробного конденсатора (0 1).

Таким образом, множество гипотетических индуктивностей по рождается при непрерывном изменении порядка интегро-диффе ренциального оператора в пределах -1 0, тогда как изменение в пределах 0 1 порождает гипотетические конденсаторы нецелых порядков. Случай =0 соответствует омическому сопротивлению (резистору). Рассмотрим теперь свойства дробного конденсатора в частотной области. Предполагая, что конденсатор находится в уста новившемся режиме под воздействием источника напряжения сину соидальной формы с нулевой начальной фазой и единичной ампли тудой, запишем выражение для комплексной проводимости такого конденсатора:

Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков • Y = G ( j ) = G e j / 2. (5.5) Амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики комплексной проводимости дробного конденсатора в соответствии с (5.5) имеют вид:

Y ( ) = G, (5.6) ( ) = / 2.

В логарифмическом масштабе они имеют вид прямых:

Y ( ) ) = ln( ), ln( (5.7) G ( ) = / 2.

Семейство частотных характеристик, соответствующих раз личным значениям, ограничивается прямыми:

ln Y = ln(G ), для = (5.8) ln Y = ln(G ) + ln( ), для = Семейство фазовых характеристик составляют прямые, па раллельные оси частот в полосе от 0 до /2. Переходные и частот ные характеристики для комплексной проводимости индуктивностей нецелых порядков могут быть получены аналогично. Их внешний вид совпадает с рассмотренными характеристиками дробных конденса торов при замене проводимостей на сопротивления, токов на на пряжения и наоборот. Амплитудно - частотные характеристики ком плексной проводимости индуктивностей нецелых порядков в лога рифмическом масштабе имеют отрицательный угловой коэффици ент, а фазовые характеристики параллельны оси частот и располо жены в области отрицательных углов (-/2 0).

Амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики гипо тетических реактивных элементов нецелых порядков (5.7) для по рядков, изменяющихся в диапазоне 1 1 можно визуализи ровать следующим образом:

Глава Рис. 5.4. Семейство амплитудно-частотных характеристик реактивных элементов дробного порядка в диапазоне 1 1 (шаг по порядку 0.2) Рис. 5.5. Семейство фазо-частотных характеристик реактивных элементов дробного порядка в диапазоне 1 1 (шаг по порядку 0.2) 5.2. Возможные подходы к реализации интегро-диффе ренциальных операторов нецелых порядков Для построения электронных двухполюсников, реализующих приближенно интегро-дифференциальные операторы нецелых по рядков, существует несколько подходов. Первый связан с использо ванием в качестве таких двухполюсников электрических проводящих Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков сред [27]. В запаянной ампуле, заполненной ферроцианидом калия, осуществляется окислительно-восстановительная реакция под воз действием напряжения, приложенного к платиновым электродам.

При выполнении ряда конструктивных ограничений на размеры и форму электродов и концентрацию растворенных веществ связь между комплексами тока и напряжения такого двухполюсника опре деляется комплексным импедансом вида:

e j / 4, Z ( j ) = (5.9) A 1/ где А – константа. В соответствии с (5.9) двухполюсник обла дает свойствами интегратора половинного порядка (=1/2).

Существенными недостатками таких двухполюсников явля ются малый амплитудный диапазон вольт-амперных характеристик, определяемый потенциалом разложения растворителя (около вольта), температурная нестабильность характеристик, низкая тех нологичность и прочность, в связи с использованием электролита в качестве рабочего тела, а также невозможность реализации про странственно неоднородных жидких сред для получения дробных порядков интегрирования, не равных. Частотные характеристики электролитических полу-интеграторов (интеграторов порядка ) от личаются от идеальных на 20-30% в диапазоне частот от 0 до 2 кгц.

При втором подходе в качестве двухполюсников используют отрезки коаксиальных кабелей, длинных линий или других цепей с распределенными параметрами. Известно [19], что точность вос произведения интегро-дифференциального оператора половинного порядка входным импедансом коаксиального кабеля или однород ной длинной линии будет тем выше, чем больше отношение длины отрезка к длине волны колебания. Теоретически лишь бесконечно длинный кабель (линия) реализует своим импедансом интегро-диф ференциальный оператор дробного порядка в неограниченном диа пазоне частот (0). Использование в качестве дробных конден саторов коаксиальных кабелей или однородных длинных линий ог раничено значением порядка дифференциального оператора = и конструктивной невозможностью достижения удовлетворительной точности в низкочастотном диапазоне. Первое ограничение можно снять, перейдя от однородных длинных линий и коаксиальных кабелей с постоянными параметрами к соответствую щим цепям с распределенными параметрами, изменяющимся по пространственной координате по заданному закону, определяемому значением нецелого порядка. Синтез таких цепей представляет собой сложную задачу многопараметрической оптимизации [6, 25].

Глава Третий подход основан на построении квазианалоговых элек тронных цепей, аппроксимирующих интегро-дифференциальные операторы нецелых порядков. Частным случаем этого подхода яв ляется синтез таких цепей для синусоидальных периодических ре жимов. Используя определение интегро-дифференциального опера тора нецелого порядка, можно ввести в рассмотрение гипотетиче ский реактивный элемент электронных цепей дробного порядка, который в зависимости от численного значения порядка будет иметь свойства обычных элементов электрических цепей: индуктивности ( = -1), емкости ( = 1), омического сопротивления ( = 0), а для про межуточных (нецелых) значений между ±1 интерполировать свой ства классических элементов электрических цепей.

Связь между током и напряжением такого элемента в соответ ствии с принятой условностью должна описываться выражением (5.1), где порядок интегро-дифференциального оператора изменя ется в пределах : 1 +1. Поскольку мы предполагаем, что элемент цепи работает на переменном токе (находится под воздей ствием синусоидального напряжения u (t ) = U m sin t ), выражение (5.1) запишем в следующем виде:

i N (t ) = GU mN sin(t + / 2). (5.10) В комплексной форме (3.10) будет иметь вид:

I N = ( j) GU N.

& & (5.11).

Предполагая, что начальная фаза приложенного напряжения равна нулю, векторная диаграмма тока и напряжения рассматри ваемого реактивного элемента порядка будет иметь вид, показан ный на рис.5.6.

• IN t • UN Рис. 5.6. Векторная диаграмма реактивного элемента дробного порядка.

Синтезировать такие элементы можно на основе методов мо делирования, в частности методов квазианалогового моделирования [4].

Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков Рассмотрим возможные варианты таких моделей реактивных элементов нецелого порядка. На рис.5.7 изображено последова тельное соединение омического сопротивления R и обычной емко сти C.

& I R & U C Рис.5.7. RC – цепь – квазианалог реактивного элемента дробного порядка Выражение, связывающее комплексы тока и напряжения в этой схеме, имеет вид:

1 j arctg & & I= CR Ue. (5.12) 1 2 1/ (R + ( )) C Это выражение, естественно, не соответствует уравнению ре активного элемента нецелого порядка (5.11). Выведем условие экви валентности цепи рис.5.5, рассматривая ее как квазианалог реак тивного элемента нецелого порядка. Для этого достаточно потребо вать равенства соответствующих комплексных проводимостей и по лучить зависимости от частоты омического сопротивления и емкости RC-цепи рис.5.7. Выполнив необходимые преобразования, получим:

cos( / 2) R(, ) =, G (5.13) G C (, ) = sin( / 2).

Анализируя (5.13), отметим, что при изменении в диапазоне 0 1 цепь рис.5.7 может рассматриваться как квазианалоговая модель конденсатора порядка. Отметим также, что при =0 полу чаем: С= и R=1/G=const, что соответствует случаю обычного оми ческого сопротивления, величина которого, как известно, не зависит от частоты. При =1 получаем R =0, и цепь превращается в обыч ную емкость.

Глава Реализация реактивных элементов нецелого порядка со зна чениями 0 с помощью квазианалоговой модели в виде RC – цепи при положительных R и C невозможна. Для этой цели следует ис пользовать последовательное соединение омического сопротивле ния и индуктивности. Вывод выражений для частотной зависимости параметров R и L может быть выполнен аналогично рассмотренному случаю RC-цепи.

Описанными двумя эквивалентными схемами не исчерпыва ется возможный перечень квазианалоговых моделей реактивных элементов нецелого (дробного) порядка. В качестве таких моделей могут быть использованы, например, двухполюсники, содержащие параллельное соединение конденсатора или индуктивности с оми ческим сопротивлением (проводимостью). Сводка формул-условий эквивалентности приведена в Табл. 5.1. Если порядок реактивного элемента задан, реализация указанных моделей сводится к исполь зованию частотно-зависимых резисторов, емкостей и индуктивно стей, входящих в соответствующие схемы моделей.

Таблица 5. Схема квазианалога R(G) C(L) cos( / 2) 1G G sin( / 2) cos( / 2) sin( / 2) G +1G G cos( / 2) 1G sin( / 2) Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков G cos( / 2) + G sin( / 2) Известно несколько типовых структур цепей, применяемых для аппроксимационного синтеза двухполюсников, моделирующих интегро-дифференциальные операторы нецелых порядков [12, 25].

Наибольшее распространение получили RC-цепи с сосредоточен ными элементами. Среди них следует упоминуть два типа структур, получивших названия первой и второй RC-цепи Фостера [14], две модификации лестничных схем с сопротивлениями (емкостями) в продольных ветвях и емкостями (сопротивлениями) в поперечных ветвях, описанных в [25]. Рассмотрим более подробно задачу ап проксимации дифференциальных операторов нецелого порядка при использовании структуры второй RC-цепи Фостера (Рис.5.8).

& I r1 r2 ri rn & U C1 C2 Ci Cn Рис. 5.8. RC – цепь Фостера Задача аппроксимационного синтеза может быть сформули рована следующим образом: определить величины сопротивлений и емкостей второй цепи Фостера из условия, что амплитудно-частот ная характеристика цепи в средне-квадратичном смысле наименее отклонялась бы от соответствующих характеристик реактивного элемента нецелого порядка в заданном диапазоне частот [, ].

Запишем выражение для комплексной проводимости i-той ветви цепи (рис.5. 8):

j / i j i • Yi = = gi (5.14) ri 1 + j / i 1 + j i Глава Так как RC-ветви цепи соединены параллельно, полная ком плексная проводимость цепи определится по формуле:

j i n • Y = gi, (5.15) 1 + j i i = i =, где:

ri C i i = - нормализованная круговая частота.

i Полная комплексная проводимость конденсатора нецелого порядка определяется выражением:

• Y = Y0 ( j / 0 ). (5.16) Запишем ошибку аппроксимации как функцию частоты :

j / i n ( ) = Y0 ( j / 0 ) g i. (5.17) 1 + j / i = Алгоритм решения аппроксимационной задачи, связанный с минимизацией нормы функции ошибки, зависит от формы представ ления функции комплексного аргумента, какой является выражение (5.16). Проанализируем аппроксимационное выражение (5.14). Ис пользуем алгебраическую форму представления функций комплекс ного переменного:

( / i ) 2 / i n n • Y = YR + jYC = g i + j g i. (5.18) 1 + ( / i ) 1 + ( / i ) i =1 i = Активная и реактивная составляющие полной комплексной проводимости в выражении (5.18) могут рассматриваться, как обоб щенные полиномы вида:

n YR = g i vi ( ), i = (5.19) n YC = g i wi ( ), i = где: vi ( ) и wi ( ) - образующие (базисные) функции, зависи мость которых от нормализованной частоты показана на рис. 5.9.

Выбором опорных частот i графики базисных функций могут быть сжаты или растянуты, однако, качественный их характер сохранится.

Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков Y 0. 0. 0. 0. W 1 2 3 4 vi ( ) и wi ( ).

Рис. 5.9. Качественный характер базисных функций Аппроксимационная задача нахождения параметров ri и C i, при которых минимизируется норма функции ошибки в комплексной области для случая квадратичной нормы, может быть заменена за дачей аппроксимации в действительной области следующим обра зом. Запишем выражение для среднеквадратичной нормы функции ошибки:

( / i ) 2 m gi J = {[Y0 ( / 0 ) cos ]+ 1 + ( / i ) 2 i = (5.20) ( / i ) m gi [Y0 ( / 0 ) sin ] }d min.

1 + ( / i ) 2 i = Минимизация (5.20) осуществляется выбором i и g i. Вели чины емкостей конденсаторов C i определяются по формулам:

gi i и g i Ci =. Система уравнений для нахождения формируется i J J, приравниванием к нулю частных производных.

i g i Определение параметров цепи Фостера может быть выпол нено другим способом – путем решения задачи аппроксимации во временной области, приближением переходной проводимости цепи к переходной проводимости идеального дробного реактивного эле мента (например, дробного конденсатора). Переходная проводи Глава мость i- той ветви цепи в предположении подключения ее к источ нику напряжения 1u (t ) (единичный скачок напряжения) имеет вид:

y i (t ) = g i (1 exp( i t )). Полная переходная проводимость цепи n g i (1 exp( i t )).

определяется выражением: y (t ) = i = Ее можно рассматриваться как обобщенный полином:

n y (t ) = g i s (t ), (5.21) i = где s i (t ) = (1 exp( i t )) - базисные (образующие) функции.

Как и ранее, запишем функционал среднеквадратической ошибки аппроксимации переходной проводимости дробного конден сатора (5.4) переходной проводимостью цепи Фостера (5.20) на ин тервале времени tb n [t a, t b ] : J = [G t g i (1 exp( i t ))] 2 dt min.(5.22) (1 ) i = ta i и g i Систему уравнений для нахождения параметров полу чим, приравнивая к нулю частные производные (5.22) по искомым параметрам:

tb t J n g i (1 exp( i t ))] (1 exp( p t ))dt = 0, (5.23) = [G (1 ) i = g p ta tb t J n, (5.24) g i (1 exp( i t ))] g p t exp( p t ))dt = = [G p (1 ) i = ta i, p:=1,…,m.

Раскрывая скобки и меняя местами операции суммирования и интегрирования, получим:

tb tb t (5.25) n (1 exp( p t )dt = g i (1 exp( i t )) (1 exp( p t ))dt G (1 ) i = ta ta tb tb t n.(5.26) g p t exp( p t )dt = g i (1 exp(i t )) t exp( p t )dt G (1 ) i = ta ta Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков Выполнив интегрирование в выражениях (5.25) и (5.26), можно получить систему уравнений, определяющую параметры схемы Фос тера, аппроксимирующей дифференциальный оператор нецелого порядка.

5.3. Аппроксимационный синтез на основе теории фрак тальных структур Задача синтеза может быть существенно упрощена, если ис пользовать теорию фрактальных структур. Как известно [16], вход ной импеданс электролитического двухполюсника с электродами пористой структуры определяется выражением:

Z ( j ) = R +. (5.27) j C + aR + j C + a R +...

Таким импедансом обладает RC –цепь, изображенная на рис.5.10.

a3 R aR a3R a3 R aR a3 R a3 R a2R a3 R a3 R a2R a3 R Рис.5.10. RC-цепь фрактальной структуры Глава Частотная зависимость входного импеданса такой цепи при бесконечно большом числе каскадов пропорциональна ( j ), где:

ln(2) = 1. Эта цепь имеет древовидную структуру с емкостями ln(a) и резисторами, величины которых изменяются от каскада к каскаду по закону геометрической прогрессии. Характерной особенностью такой структуры является ее фрактальность, которая проявляется в том, что любая отрезанная ветвь подобна всему дереву (на рис.5. выделен такой фрагмент, образующийся при разрезе по линии dd).

Эта схема может быть упрощена, если использовать ее зеркальную симметрию относительно горизонтальной линии, проходящей через корневую ветвь. Симметрия позволяет утверждать, что узлы, распо ложенные симметрично по отношению один к другому, эквипотенци альны и могут быть объединены. В результате такого эквивалент ного преобразования сопротивления и емкости, расположенные в пределах одного каскада, объединяются параллельно, и мы прихо дим к эквивалентной цепи, приведенной на рис. 5.11. Величина па раметра a, соответствующая требуемому дробному порядку диффе ренцирования (интегрирования), определяется по формуле:

a = e ln( 2 ) /(1 ).

a2R a3R ai R aR 2i 4 R 2C 2i C 8C C 4C Рис.5.11. Эквивалентная схема цепи рис. 5.10.

Значения параметров резистивных и емкостных элементов для эквивалентных схем типа рис. 5.11 находятся по формулам:

ri = ( a )i R;

Ci = 2i C, (5.28) где ri, C i - соответственно величины сопротивлений и емкости элементов i – того каскада цепи. Рассмотрим иллюстративные при меры синтеза цепей интеграторов порядков 0.3, 0.5, 0.7 для случая 15 - каскадной схемы рис. 5.11. Параметры элементов схемы при R=1 ом и С=.001 мкф приведены в Табл. 5.2.

Моделирование удобно проводить в программной среде Electronics Workbench(Multisim)[1]. Ниже приведена схема подключе ния виртуального измерителя частотных характеристик 15-каскадной цепи Фостера для аппроксимации интегральных операторов неце Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков лых порядков (Рис. 5.12). Для иллюстрации выбраны аппроксимации интегральных операторов порядков := 0.3, 0.5, 0.7. Входным сигна лом является ток, измеряемый в виде падения напряжения на изме рительном резисторе R16. Выходной сигнал является напряжение на входе двухполюсника. Таким образом, частотные характеристики соответствуют входному импедансу цепи. Величины сопротивлений резисторов и емкостей конденсаторов для первого каскада выбраны равными соответственно 1 и 1nF. Значения сопротивлений и емко стей для остальных каскадов выбираются в соответствии со значе ниями из табл. 5.2. Частотные характеристики входных импедансов цепей рис. 5.11 для выбранных порядков интегральных операторов приведены на рис. 5.13-5.15. Анализ характеристик показывает, что интегральные операторы дробных порядков аппроксимируются с удовлетворительной точностью в диапазоне 3-7 десятичных поряд ков изменения частоты.

Таблица 5.2.

Ri,ом  Ri,ом  Ri,ом  Ci,нф    i  = 0.3   = 0.5   = 0.7   1  1  1  1  1  2  1.3459  2  5.03968  2  3  1.81145  4  25.3984  4  4  2.43803  8  128  8  5  3.28134  16  645.08  16  6  4.41636  32  3251  32  7  5.94398  64  16384  64  8  8  128  82570.2  128  9  10.7672  256  416128  256  10  14.4916  512  2097150  512  11  19.5042  1024  10569000  1024  12  26.2507  2048  53264300  2048  250  M   13  35.3309  4096  4096  1350  M   14  47.5518  8192  8192    15  64  16384  16384  R1 R2 R3 R4 R V C 120 V C2 C3 C4 C 1nF 60 Hz 2nF 4nF 8nF 16nF XBP 0Deg R IN 1k R6 R7 R8 R9 R OUT C6 C7 C8 C9 C 32nF 64nF 128nF 256nF 512nF R11 R12 R13 R14 R каскадной цепи Фостера C11 C12 C13 C14 C 1.024uF 2.048uF 4.096uF 8.192uF 16.384uF Рис. 5.12. Схема подключения виртуального измерителя частотных характеристик 15 Глава Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков   = 0. Рис.5.13. Частотные характеристики для Глава = 0. Рис.5.14. Частотные характеристики для Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков = 0. Рис.5.15. Частотные характеристики для Глава 5.4. Исследование частотно-пространственных характери стик импедансов длинных линий на основе решений уравнения Риккати Отрезок длинной линии и его эквивалентная схема изобра жены на рис. 5.16.

Z(x)x Z(x Y(x)     Z(x)+Z(x)     x x+x Рис. 5.16. Отрезок длинной линии и его эквивалентная схема Входной импеданс линии в сечении x + x определится из вы ражения:

1 Z ( x) + Z ( x) = Zl( x)x + Z ( x) + Yl( x)x, (5.29) где, Z (x) - входной импеданс линии в сечении с координатой x, Z ( x) + Z ( x) - входной импеданс линии в сечении с координатой x + x, Zl(x) - продольный импеданс линии на единицу длины линии, Yl(x) - поперечный адмиттанс линии на единицу длины линии.

Формула (5.29) получена путем применения известного пра вила параллельного и последовательного соединения элементов эквивалентной схемы замещения участка длинной линии.

Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков Преобразуя (5.29) путем перехода к пределу при x 0 и пренебрегая степенями x выше первой, получим следующее диф ференциальное уравнение относительно входного импеданса длин ной линии:

dZ ( x) + Yl( x) Z ( x) 2 Zl( x) = 0. (5.30) dx Как следует из (5.30) – это обыкновенное нелинейное диффе ренциальное уравнение первого порядка типа Рикатти [23]. При ре шении оно должно быть дополнено начальным условием, опреде ляемым импедансом сопротивления нагрузки, включаемой в начале линии при x=0: Z (0) = Z 0.

Аналогичным путем может быть получено дифференциальное уравнение для адмиттанса длинной линии:

dY ( x) + Zl( x)Y ( x) 2 Yl( x) = 0. (5.31) dx Начальным условием для уравнения (5.31) будет выражение для адмиттанса сопротивления нагрузки, включаемой в начале ли нии. Тип уравнения (5.31) по сравнению с (5.30) не изменился – это по прежнему уравнение Рикатти, оно может быть получено также из выражения (5.30) путем замены импедансов на адмиттансы и на оборот. Уравнение (5.30) следует использовать во всех режимах кроме режима холостого хода, тогда как уравнение (5.31) во всех режимах за исключением режима короткого замыкания на входе длинной линии.

5.4.1. Однородная длинная линия RC-типа Для исследования частотных характеристик входных импедан сов и адмиттансов длинной линии ограничимся сначала случаем од нородной длинной линии типа RC, используя известные выражения для комплексных сопротивлений и проводимостей элементов экви Z l( x) = r, валентной схемы фрагмента длинной линии:

Y l( x) = j 2 fCa.

Получим решение уравнения (5.30) в среде системы Mathematica для случая включения в начале линии нагрузки с импе дансем w (z(0)=w):

Глава Определим это решение как функцию, определяемую пользо вателем, для того, чтобы иметь возможность проанализировать и отобразить визуально решение при изменении входящих в него па раметров:

Анализ этого выражения можно осуществлять, задавая раз личные сочетания параметров и оставляя в качестве независимых аргументов два из 5 параметров, определяющих пользовательскую функцию In[2]. Зададим следующие значения параметров, оставляя в качестве аргументов частоту f и длину исследуемого отрезка линии x: r=1000 ом/м, Сa=0.01мкф/м, w=0 (режим котороткого замыкания):

Исследование частотных характеристик сводится к анализу зависимости от частоты модуля и фазового угла в нашем случае им педанса z1:

Визуализируем амплитудно- и фазо- частотные характери стики средствами трехмерной графики, задав диапазон изменения частоты от 100 гц до 100 кгц и диапазон длин линии от 1 до 15 м:

Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков Рис.5.17. Амплитудная характеристика импеданса RC-линии Рис.5.18 Фазовая характеристика импеданса RC-линии Анализ фазо-частотной характеристики линии рис. 5.18 пока зывает, что линия при заданных параметрах обнаруживает свойства интегратора половинного порядка в части координатной плоскости x f (az=-/4=-0.7854) с небольшими отклонениями, незначительность которых можно оценить, указав в опциях графики полный диапазон изменения функции:

Глава Рис.5.19. Фазовая характеристика импеданса RC-линии при полномасштабной аппликате Частотные характеристики рис. 5.17-5.19 можно представить также, как семейства кривых, зависящих от длины линии, при пара метрическом задании частоты, либо как семейства кривых, завися щих от частоты, при параметрическом задании длины линии (рис.

5.20-5.22):

Рис.5.20. Фазовая характеристика импеданса RC-линии при параметрическом задании частоты Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков Рис.5.21. Амплитудная характеристика импеданса RC-линии при параметрическом задании частоты Рис.5.22. Фазо-частотная характеристика импеданса RC-линии при параметрическом задании длины линии Глава Рис.5.23. Амплитудно-частотная характеристика импеданса RC-линии при параметрическом задании длины линии Для представления характеристик в более широком диапазоне частот можно воспользоваться логарифмическим масштабом (рис.5.24):

Рис.5.24. Амплитудно-частотная характеристика импеданса RC-линии при параметрическом задании длины (в логарифмическом масштабе).

Анализ частотных характеристик, приведенных выше, показы вает, что в области высоких частот длинная линия RC-типа ведет себя как интегратор порядка (наклон амплитудно-частотной харак теристики равен 10 дцб/декаду, фазовый сдвиг равен -/4).

Решение уравнения (5.31) проведем аналогичным образом. Про грамма решения и отображение результатов ее работы приведены ниже без комментариев.

Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков Рис. 5.23. Амплитудная характеристика адмиттанса RC-линии Глава Рис.5.26. Фазовая характеристика адмиттанса RC-линии Рис.5.27. Фазовая характеристика адмиттанса RC-линии при полномасштабной аппликате Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков Рис.5.28. Фазо-частотная характеристика адмиттанса RC-линии при параметрическом задании длины линии Рис.5.29. Амплитудная характеристика адмиттанса RC-линии при параметрическом задании частоты Глава Рис.5.30. Фазо-частотная характеристика адмиттанса RC-линии при параметрическом задании длины линии Рис.5.31. Амплитудно-частотная характеристика адмиттанса RC-линии при параметрическом задании длины линии Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков Рис.5.32. Амплитудно-частотная характеристика адмиттанса RC-линии при параметрическом задании длины (в логарифмическом масштабе).

Анализ частотных характеристик, приведенных выше, показы вает, что в области высоких частот адмиттанс длинной линии RC типа ведет себя как дифференциатор порядка (подъем ампли тудно-частотной характеристики равен 10 дцб/декаду, фазовый сдвиг равен +/4).

5.4.2. Неоднородные длинные линии RC-типа Реализация интегральных операторов дробных порядков, от личных от, возможна на основе неоднородных длинных линий RC-типа. Ниже мы рассмотрим несколько примеров реализации ин тегральных операторов порядков 1 и 2. Прежде всего, необходимо 3 отметить, что неоднородные длинные линии с одинаковыми зако нами изменения распределенных по длине линии параметров ( r ( x ) = r0 f ( x);

c( x) = c0 f ( x) ) проявляют свойства интегрального оператора порядка независимо от вида функциональной зависи мости f ( x ). Для нашего рассмотрения мы используем случай неод нородной длинной линии с экспоненциальными зависимостями от пространственной координаты распределенных сопротивления и емкости вида:

r ( x) = r0 e x, (5.32) c( x) = c0 e x, Глава где. Позднее можно убедиться, что порядок интегрального оператора определяется следующей простой формулой, зависящей от показателей экспонент:

=. (5.33) + Выбор именно экспоненциальных длинных линий объясняется возможностью получения в системе Mathematica аналитического решения уравнения Риккати. Поиск других типов неоднородных длинных линий, реализующих интегральные операторы нецелых по рядков, является одним из возможных направлений дальнейших ис следований.

Пример 5.1. Линия с параметрами:

r ( x) = r e x ;

c( x) = Ca e 2 x.

Фрагменты программы с комментариями приведены ниже.

Нахождение аналитического решения уравнения Риккати:

  Аналитическое решение уравнения, полученное системой Mathematica, здесь не приводится в связи с его громоздкостью.

Далее как и в случае однородных длинных линий решение этого уравнения определяется как функция, определяемая пользователем (user defined function): zo[r_,Ca_,f_,x_,w_].

Задание числовых параметров и упрощение выражения:

      Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков   Определение амплитудной и фазовой пространственно частотных характеристик входного импеданса линии:

    Визуализация амплитудной пространственно-частотной характеристики входного импеданса линии:

  Рис.5.33. Амплитудная пространственно-частотная характеристика входного импеданса неоднородной линии Глава Визуализация фазовой пространственно-частотной характе ристики входного импеданса линии:

Рис.5.34. Фазовая пространственно-частотная характеристика входного импеданса линии Определение и визуализация семейства фазово-частотных ха рактеристик линии при фиксированных длинах отрезков линии от до 13 с шагом 2 (показаны также линии фазовых углов - / 4 и / 6 радиан):

Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков Рис.5.35. Семейство фазово-частотных характеристик входного импеданса линии (длины отрезков линии от 1 до 13 с шагом 2) Определение и визуализация семейства фазово-частотных характеристик линии при фиксированных длинах отрезков линии от 1 до 5 с шагом 1:

  Интересной особенностью фазово-частотных характеристик рис. 5.35 является наличие горизонтальных участков, свидетельствующих о наличии свойств интегральных операторов дробных порядков в диапазоне от 30 до 45 угловых градусов для линий с относительно малой длиной.

Рис.5.36. Семейство фазово-частотных характеристик входного импеданса неоднородной линии (длины отрезков линии от 1 до 5 с шагом 1) Глава Определение и визуализация фазо-частотной характеристики линии при х=14 с указанием зоны допуска 30 ± 2 :

o o   Фазово-частотная характеристика входного импеданса неоднородной линии Рис.5.37.

±2o ) (длина отрезка линии 14 ед. и зона допуска Определение и визуализация семейства частотных характеристик линии в логарифмическом масштабе:

  Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков Рис.5.38. Семейство амплитудно-частотных характеристик входного импеданса неоднородной линии в логарифмическом масштабе Рис.5.39. Семейство фазо-частотных характеристик входного импеданса неоднородной линии в полулогарифмическом масштабе Определение и визуализация фазо-частотной характеристики импеданса отрезка длинной линии в полулогарифмическом мас штабе.

  Глава Рис.5.40. Фазо-частотная характеристика входного импеданса неоднородной линии в полулогарифмическом масштабе.

Анализ частотных характеристик линий рис. 5.35-3. показывает, что они в достаточно-широком диапазоне частот воспроизводят свойства интегрального оператора порядка 1/3.

Пример 5. 2. Линия с параметрами:

r ( x) = r e 2 x ;

c( x) = Ca e x.

Так как для исследования данного варианта линии использо валась программа примера 5.1, фрагменты и результаты ее работы приводятся без особых пояснений.

        Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков         Рис.5.41. Амплитудная пространственно-частотная характеристика входного импеданса неоднородной линии   Глава Рис.5.42. Фазовая пространственно-частотная характеристика входного импеданса линии   Рис.5.43. Семейство амплитудно-частотных характеристик входного импеданса линии в логарифмическом масштабе Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков Рис.5.44. Семейство фазо-частотных характеристик входного импеданса линии в полулогарифмическом масштабе   Рис.5.45. Фазо-частотная характеристика входного импеданса линии в полулогарифмическом масштабе.

Анализ частотных характеристик линии рис. 5.41-5. показывает, что они в достаточно-широком диапазоне частот воспроизводят свойства интегрального оператора порядка 2/3.

Глава 5.5. Аппроксиматоры интегро-дифференциальных опера торов нецелых порядков на операционных усилителях В рассмотренных выше электронных цепях интегродиффе ренциальные операторы реализованы в виде импедансов (адмит тансов). Это предопределяет физическую основу сигналов, которые подвергаются дифференцированию (интегрированию). Если входной сигнал представляет собой ток, его интеграл будет являться напря жением и наоборот. В системах автоматического управления и элек тронных моделях динамических систем часто необходимо обеспе чить однородность физической природы сигналов. Чаще всего ис пользуются сигналы в виде напряжения. Для обеспечения такой од нородности может быть использована широко распространенная в аналоговой вычислительной технике и автоматическом управлении техника операционных усилителей. Для этого необходимо в каче стве входных цепей и в качестве цепей обратной связи операцион ных усилителей использовать как традиционные элементы (рези сторы, конденсаторы, индуктивности), так и двухполюсники, реали зующие интегро-дифференциальные операторы нецелых порядков.

В ряде работ такие нетрадиционные элементы электронных цепей называют фракторами (fractor) [11].

Рассмотрим возможные структуры активных электронных це пей, реализующих интегро-дифференциальные операторы нецелых порядков. Будем использовать условное обозначение фрактора, предложенное в работе [11]. Эта символика напоминает, что фрак тор занимает промежуточное положение между резистором и кон денсатором (рис. 3.44).

Рис. 5.46. Условное обозначение фрактора (элемента, аппроксимирующего адмиттанс ( j ) ) типа Если в цепь обратной связи операционного усилителя вклю чить фрактор, а на вход усилителя подавать сигнал через резистор, мы получим аналоговую реализацию интегратора нецелого порядка (рис. 5.47). В этой схеме входной сигнал U1 в форме напряжения преобразуется с помощью резистора R 0 в ток, поступающий в цепь Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков обратной связи (фрактор), с помощью которого он преобразуется в выходной сигнал U 2 в соответствии с выражением:

Z U 2 = U1. (5.34) R Так как импеданс фрактора приближенно воспроизводит инте гральный оператор порядка, схема рис. 5.47 является квазианало гом интегратора нецелого порядка.

Z   R U U   Рис.5.47. Активная аппроксимация интегратора порядка.

Если фрактор включить в качестве входного элемента операционного усилителя, а резистор – в цепь обратной связи, мы получим квазианалог дифференциатора порядка :


R U 2 = 0 U1 (5.35) Z Схема такого дифференциатора изображена на рис. 5.48.

Используя два фрактора с различными нецелыми порядками интегрального оператора можно реализовать дифференциаторы и интеграторы различных разностных порядков. Схема такого интегра тора (дифференциатора) приведена на рис. 5.49. Вместо любого из фракторов могут быть использованы конденсаторы для реализации различных порядков дифференциальных операторов Глава R Z U U Рис.5.48. Активная аппроксимация дифференциатора порядка.

Z Z U U при Рис.5.49. Активная аппроксимация интегратора порядка (дифференциатора порядка при ).

Рассмотренные подходы к аппроксимационному синтезу элек тронных цепей, реализующих интегро-дифференциальные опера торы нецелых порядков могут быть использованы для построения контроллеров нецелых порядков и для моделирования динамиче ских систем, математическими моделями которых являются интегро дифференциальные уравнения нецелых порядков.

Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков Список литературы к Главе 1. Карлащук В.И. Электронная лаборатория на IBM PC. Программа Electronics Workbench и ее применение. –– М.: «СОЛОН-Пресс», 2003. – 736 с.

2. Летников А.В. Теория дифференцирования с произвольным указателем // Мат. Сб.. – 1868. – 3. – С. 1 – 68.

3. Нигматуллин Р.Ш., Белавин В.А. Электролитический дробно дифференцирующий и интегрирующий двухполюсник // Труды Казанского авиац. Ин-та. – вып. 82. Радиотехника и электроника.

– Казань, 1964. – С. 58 – 67.

4. Пухов Г.Е. Методы анализа и синтеза квазианалоговых элек тронных цепей. -- Киев: Наук. Думка, 1967. – 568 с.

5. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.

6. Симак Л.А. Анализ неоднородных RC- цепей с распределенными параметрами и аппроксимация проводимостей с заданной частотной характеристикой // Мат. 3 Всесоюзной науч.-техн.

Конф.”Проблемы нелинейной электротехники”. – Киев: Наук.

Думка, 1988. – C. 90 – 93.

7. Симак Л.А. Аппроксимационный синтез электронных цепей, моделирующих интегро-дифференциальные операторы нецелых порядков // Електроніка та системи управління. – 2005, № 1. – С. 140-151.

8. Симак Л.А. Дифференциальные преобразования на основе производных дробного порядка // Электрон. Моделирование. – 1986. – 8, № 4. – С. 54-60.

9. Симак Л.А. Дробное интегро-дифференциальное исчисление.

Вопросы теории, моделирования и применения. Киев, 1987. – 56 с. – (Препр. / АН УССР. Ин-т проблем моделирования в энергетике;

№ 98).

10.Симак Л.А. Математические модели реактивных элементов дробного порядка электрических цепей переменного сину соидального тока // Электрон. моделирование. – 1986. -- 8, № 1. – С. 95 – 97.

11.Bohannan G.W. Analog Realization of a Fractional Control Element – Revisited // Wavelength Electronics, Inc.,, Bozeman, Montana, 59771,Dept. of Physics, Montana State University, Bozeman, Montana, 59717. – 4 p.

Глава 12.Carlson G.E.,Halijak C.A. Simulation of the fractional derivative op erator and the fractional integral operator // Kansas. State Univ.

Bulletin. – 1961. – 45. – P. 1-22.

13. “Fractional Calculus & Applied Analysis” – An International Journal for Theory and Applications, ISSN 1311-0454.

14.Haba T.C.,Loum G.L.,Zoueu J.T., Ablart G. Use of a Component with Fractional Impedance in the Realization of an Analog Regulator of Order //Journal of Applied Sciences 8(1), 2008. – P.59-67.

15. Hashimoto K., Takahashi S., Amano H. Realization of a noninteger order integrator // Elec.Eng. Japan. – 1969. – 89, No 11. – P. 94–101.

16.Ichise M., Nagayanagi Y., Kojima T. An Analog Simulation of Non integer Order Transfer Functions for Analysis of Electrode Processes //J. Electroanal.Chem.. – 1971. – Vol. 33. – p.p. 253-265.

17.Kaplan T., Gray L.J. Effect of disorder on a fractal model for the ac response of a rough interface // Phys. Rev. – 1985. – No 11. – P.7360--7366.

18. Nishimoto Katsuyuki (Ed..) Fractional Calculus and Its Applications // Proc. of the International Conf. held at the Center of Nihon University, Tokyo, May 29 – June 1, 1989 // College of Engineering, Nihon University, Japan, 1990. – 284 p.

19.Oldham K.B., Spanier J. The Fractional Calculus. – New-York & London: Academic Press, 1974. – 234 p.

20. Oustaloup A. Systemes asservis d’ordre, 1, 3/2, 2: une etude comparative aide a les choisir // L’Onde Elec. – 1979. – 59, No 2, P. 41 – 47.

21. Oustaloup A., Sabatier J., Moreau X. From fractal Robustness to the CRONE Approach // ESAIM: Proc. Fractional Differential Systems:

Models, Methods and Applications. – 1995. – Vol.5. – p.p. 177--192.

22.Petras I., Podlubny I., O’LearyP., Dorcak L., Vinagre B. Analogue Realization of Fractional Order Controllers. FBERG, Technical University of Kosice, Kosice, 2002, 84 p., ISBN 8070996277.

23. Pipes Louis A. Computation of the Impedances of Nonuniform Lines by a Direct Method // A.J.E.E. Transactions of the Amer. Inst.

Electr.Eng.. – 1956. – Vol. 75. – Pt.1. – p. p. 551-554.

24. Podlubny I., Petras I.,Vinagre B.M., O’leary P., Dorcak L. Analogue realization of fractional order controllers // Nonlinear Dynamics. – 2002. – Vol 29. – p.p. 281--296.

25. Poinot T., Trigeassou J.–C. A method for modeling and simulation of fractional systems // Special Issue of Signal Processing. – 2003. – Vol. 83, No 11. – p.p. 2319-2333.

26. Roy D.S.С., Shenoi B.A. Distributed and lumped realization of a constant argument impedance // J. Franklin Inst. – 1966. – 282, No 5.

– P. 318--329.

Реализация интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков 27. Roy D.S.С., On the Realization of a Constant – Argument Immitance or Fractional Operator // IEEE Transactions on Circuit Theory. – 1967.

– Vol.CT-14, No. 3. – p.p. 264-274.

28.Xue D., Chen Y.-G., Atherton D.P. Feedback Control Systems – analysis and design with MATLAB 6. London: Springer-Verlag. - 2002. – 463 p.

29.Nakagava M. Chaos and Fractals in Engineering. – World Scientific Publishing Company, 1999. – 944 p.

    Глава 6. ПРИМЕНЕНИЯ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В НАУКЕ, ТЕХНИКЕ, ЕСТЕСТВОЗНАНИИ В настоящее время стремительно растет число применений дробного исчисления в различных областях науки, техники, естест вознания, экономики и других отраслях человеческой деятельности, использующих математические методы и средства компьютерного моделирования. В данной главе, носящей, в основном, обзорно-ре феративный характер, рассмотрены некоторые подходы, близкие научным интересам авторов.

6.1. Проникновение дробных диферинтегралов в фунда ментальные законы естествознания В 1991 г. Westerlund S. [79] предложил использовать дробные производные для описания процесса распространения плоских элек тромагнитных волн в изотропной однородной диэлектрической среде с потерями. Уравнение для напряженности электрического поля в одномерном случае имеет вид:

2 E 2 E + 0 0 0 E ( ) + 2 = 0, 0 t 2 x где: E – напряженность электрического поля, 0, 0, 0 - константы, E ( ) - дробная производная напряженности электрического поля по времени порядка ( 0 2 ). Позднее им же [80] было предло жено в уравнениях Максвелла соотношения D = E и B = H (D электрическое смещение, B-магнитная индукция) заменить их ( 1) ( 1) дробными обобщениями: D = E и B = H, что фактически вводило в систему уравнений Максвелла интегралы дробного по рядка от E и H при 0 1.

M.Caputo в 1993 г. в работе по исследованию электролитиче ски поляризуемой среды [16] предложил более общее выражение для зависимости между D и E:

D ( ) + D = E + E ( ),,,, константы, а нецелый порядок дифференцирова где ния по времени. Это позволило при некоторых упрощающих предпо   Применения дробного исчисления в науке, технике, естествознании ложениях свести уравнения Максвелла в одномерном (по простран ству) случае к следующей системе двух уравнений:

2 E 2 D = 2, x 2 t D + D = E + E ( ).

( ) Westerlund S. [80] предложил обобщение второго закона Нью тона и показал, что закон Гука в теории упругости ( F = kx ), Ньютоновская модель вязкой жидкости ( F = kx ' ) и второй закон Ньютона ( F = kx '' ) могут рассматриваться как частные случаи бо ( ) лее общего соотношения вида: F = kx, где порядок производной может быть любым действительным числом.

Не осталась без внимания и теория относительности Эйн штейна и связанный с ней известный «парадокс близнецов». Из E = mc вестному соотношению теории относительности сопоставляется выражение для каузальной модели массы, которая d 2W (t ) = m(t ) co, где 0 1.

является функцией времени: dt Таким образом, дополнением к уравнениям теории относи тельности является, по существу, связь массы с дробным интегра лом энергии. Подробнее об этом можно прочитать в [81]. Вестер лунду принадлежит также крылатая фраза: «Неживая материя имеет память. Иначе говоря, мы можем сказать, что Природа рабо тает с дробными производными по времени» [79].

Применению дробного исчисления в космологии посвящена работа [26], в которой вариационные принципы механики обобща ются путем введения принципа вариационного действия, связанного с дробной производной функции Лагранжа. Нестандартность под хода автора заключена в том, что в рамках принципа дробного дей ствия гравитационная константа G должна быть дополнена опреде ленным затухающим фактором, определенным с помощью выраже ния: G = 3(1 ) H / 4 G T, где H - параметр Хаббла, - плот ность материи, T - космическое время, - дробный порядок произ водной. Указывается, что в последние несколько десятилетий дока зана полезность дробного исчисления в различных областях науки, таких как классическая и квантовая физика, теория поля, физика твердого тела, динамика жидкости, турблентность, общая химия, нелинейная биология, стохастический анализ, нелинейная теория управления, обработка изображений.


Глава 6.2. Автоматическое управление и обработка сигналов Применения дробного исчисления в автоматическом управле нии можно подразделить на две группы. Первую образуют методы математического и компьютерного моделирования систем дробного порядка, в которых проявляются свойства дробной динамики (обычно это связано с наличием сигналов со степенной зависимо стью во временной и (или) частотной областях). Ко второй относятся методы использования дробного исчисления для синтеза систем управления динамическими системами как целого, так и дробного порядков, в частности, синтеза контроллеров нецелого порядка.

Математическая модель линейной динамической системы с постоянными параметрами дробного порядка в случае единственной переменной имеет вид:

an D n y (t ) + an 1 D n1 y (t ) + L + a0 D0 y (t ) = = bm D m u (t ) + bm 1 D m1 u (t ) + L + b0 D 0 u (t ), уравнения, i, j дробные где: ai, b j коэфициенты порядки дифференциальных операторов, y (t ) функция выхода динамиче ской системы (функция состояния), u (t ) функция входа динамиче ской системы (функция управления). В случае нулевых начальных условий передаточная характеристика динамической системы в об ласти преобразования по Лапласу принимает вид:

bm p m + bm 1 p m1 + L + b0 p W ( p) =.

an p n + an 1 p n1 + L + a0 p Решение классических проблем теории автоматического управления (устойчивость, наблюдаемость, робастность и т.п.) в случае систем дробного порядка оказываются существенно сложнее из-за трансцедентности передаточных характеристик таких систем.

С подробностями можно познакомиться в работе [84].

В теории автоматического управления широко распростра нены и применяются элементы системы управления, получившие название PID – контроллеров. [54] Они представляют собой сово купность пропорционального, интегрирующего и дифференцирую щего звеньев. Математическая модель классического PID – кон троллера является взвешенной суммой входного сигнала, его инте грала и производной:

Применения дробного исчисления в науке, технике, естествознании t de(t ) u (t ) = K e(t ) + Ti e( )d + Td dt 0.

Передаточная функция контроллера в области преобразова ния по Лапласу имеет вид:

U ( p) = K + Ti p 1 + Td p.

G ( p) = E ( p) Контроллеры дробного порядка обозначаются аббревиатурой PI D, их математическое описание во временной области имеет вид:

u (t ) = K e(t ) + Ti Dt e(t ) + Td Dt e(t ).

Передаточная функция дробного контроллера в операционной области по Лапласу имеет вид:

U ( p) = K + Ti p + Td p.

G ( p) = E ( p) Применения дробного исчисления в автоматическом управле нии и робототехнике неразрывно связаны с цифровой обработкой сигналов. В частности, в рамках 41-й конференции Института инже неров-электриков по принятию решений и автоматическому управ лению, которая состоялась в Лас-Вегасе в декабре 2002 г. [31] был организован специальный симпозиум по применению дробного ис числения в автоматическом управлении и роботике. На этом симпо зиуме были прочитаны следующие лекции:

1. Историческое введение 2. Основы дробного исчисления 3. Системы дробного порядка и управляющие воздействия дроб ного порядка 4. Аналоговая и цифровая реализация операторов дробного по рядка 5. Робастное управление 6. Другие применения в автоматическом управлении 7. Роботика 8. Идентификация систем Кроме этого, были представлены материалы по программным средствам системы Matlab для реализации применений дробного исчисления в автоматическом управлении, а именно:

• Программные средства в Matlab для реализации контроллеров дробного порядка, • Программные средства для применений Matlab в системах идентификации, Глава • Программные реализации контроллеров дробного порядка в Matlab, ориентированные на программирование траекторий роботов с примением дробного исчисления.

В материалах симпозиума содержится обширная библиогра фия по дробному исчислению и последние публикации и события, связанные с развитием этого направления.

Укажем на ряд работ, положивших основу использования дробного исчисления в автоматическом управлении и роботике.

В работах S. Manabe [46, 47] обсуждаются основные про блемы, связанные с частотными и переходными характеристиками систем управления, передаточная функция которых в режиме без k обратной связи описывается формулой 1/ s. Рассмотрены во просы исследования нелинейных систем с насыщением, содержа щих интегрирующие звенья нецелого порядка. Исследуются вели чины перерегулирования в переходном режиме, время установле ния, приводится метод вычисления переходных характеристик и во просы реализации. В частности, отмечается, что интеграл неце лого порядка может быть точно представлен только системой с рас пределенными параметрами. Таким образом, обычные системы управления не могут содержать элементы интегрирования нецелого порядка. Однако, остается непреложным фактом, что такие системы имеют весьма желательные особенности, а опыт показывает, что многие попытки, направленные на улучшение нелинейных систем управления возвращают нас к конструированию интегральных сис тем нецелого порядка или систем с фазовым сдвигом, не зависящим от частоты, путем использования методов аппроксимации.

В докладе I.Podlubny и др. [61] рассматриваются некоторые методы дробного исчисления в приложении к моделированию и управлению динамическими системами. Сп. лит. – 18 назв.

В работе I.Petras и др. [55] представлен синтез контроллеров дробного порядка, анализ их поведения и методы моделирования.

Обращается внимание на неадэкватное представление нецелочис ленных систем целочисленными моделями и различное их поведе ние в режиме замкнутой обратной связи. Сп. лит. – 10 назв.

В работе I.Podlubny [60] рассматриваются динамические сис темы произвольного действительного (дробного) порядка. Предла гается концепция контроллеров дробного порядка, включающих в себя дробного порядка интегратор и дробного порядка дифферен циатор. На примере приводятся доказательства преимуществ дина мических систем с контроллерами нецелых порядков. Сп. лит. – назв.

Применения дробного исчисления в науке, технике, естествознании Класс линейных динамических систем дробного порядка с постоян ными коэффициентами и запаздывнием рассмотрен Y.Q.Chen и K.Moore [19]. Получены границы аналитической стабильности таких систем с использованием функции Ламберта. Аналитические резуль таты иллюстрируются числовыми примерами. Сп. лит. – 30 назв.

Использованию искусственных нейронных сетей для реализа ции контроллеров нецелого порядка посвящена работа S.Abbisio,R.Caponetto и др. [8]. Рассмотрена аппаратная реализация производных и интегралов дробного порядка на основе формулы Грюнвальда – Летникова. В выполненных экспериментах нейронная сеть насчитывала около 1000 весовых коэффициентов.

В работе [13] анализируются свойства систем с явлениями люфта и удара. Показано, что этот тип нелинейности может в пер спективе анализироваться методами дробного исчисления. Дина мика дробного порядка иллюстрируется с использованием диаграмм Найквиста. Список лит. 32 назв.

В работе F.B.M.Duarte, J.A.T.Machado [23] рассмотрено приме нение алгоритмов дробного исчисления для управления траекто риями движения многозвенного робота-манипулятора. Многозвен ный робот-манипулятор имеет ряд преимуществ по сравнению с обычными, так как допускает оптимизацию траектории как в свобод ном пространстве, так и в условиях наличия препятствий (например, монтажного затеснения). Однако, при реализации алгоритмов управления могут возникать хаотические движения из-за возможно сти неоднозначных положений отдельных звеньев робота. Исполь зование в системах формирования траектории элементов с характе ристиками интегро-дифференциаторов нецелого порядка позволило оптимизировать траектории и сформировать условия, исключающие хаотические движения.

В работе L.Dorsak и др. [24] представлены некоторые альтер нативные типы математического описания и методы решения дина мических систем дробного порядка в пространстве состояний. Пока заны различия в постановке задач в пространстве состояний для динамических систем целого и дробного порядка, важность инициа лизационной функции для систем дробного порядка. Обсуждается связь с теорией управления в системах с обратной связью. Приво дятся результаты моделирования. Используются формулы Грюн вальда-Летникова и z-преобразования. Сп. лит.- 24 назв.

В работе P.W.Ostalczyk, T.Rybicki [49] определяется показа тель качества для систем с обратной связью, включающих в себя CRONE – контроллеры. Рассмотрен числовой пример динамической системы второго порядка с CRONE –контроллером в цепи обратной Глава связи. Анализируются области неопределенности на диаграммах Найквиста. Список лит.- 9 назв.

В работе Y.Q.Chen и K.L.Moore [18] представлены два метода дискретизации дифференциатора дробного порядка. Первый связан с реализацией прямой рекурсивной дискретизации оператора Тас тина. Второй является прямой дискретизацией оператора Аль Алаоуи с помощью аппарата цепных дробей. Аппроксимационная дискретизация является минимально-фазовой и устойчивой. Приве дены вычислительные процедуры в среде MATLAB и иллюстратив ные примеры. Сп. лит. – 24 назв.

В работе D.Xue и Y.Q.Chen [83] в краткой форме приводятся типичных контроллера дробного порядка, а именно: TID-контроллер (Titled Proportional and Integral), CRONE-контроллер (Controle Robuste d’Ordre Non Entier), PI D - контроллер и дробный стабилизирующий компенсатор. Главная цель работы – обратить внимание к необычным путям робастного управления на основе дробного исчисления. Сп. лит. – 32 назв.

В работах I.Petras, Y.Q.Chen, B.M.Vinagre и др. [ 56, 76] иссле дуется использование дробного исчисления в системах адаптивного управления, основанного на модели-прототипе. Иллюстрируются на примерах преимущества метода и делаются замечания относи тельно направлений дальнейших исследований.

D.Xue и Y.Q.Chen [83] в общих чертах ввeли 4 типа наиболее употребительных дробных контроллеров. Основные идеи и техниче ские формулировки представлены со сравнительными коммента риями. Основная цель работы – обратить внимание на нетрадици онные пути развития робастного контроля на основе использования дробного исчисления. Сп. лит. – 32 назв.

В работе N.M.Fonceka Ferreira и др. [29] реализуются алго ритмы дробного порядка в гибридном управлении роботов – мани пуляторов на основе соотношения: положение / усилие. Анализиру ются во временной и частотной областях эффективность и робаст ность систем. Исследуется также явления динамической гибкости и люфта. Демонстрируются на основе сравнения преимущества под хода с использованием алгоритмов управления дробного порядка.

В работе I.Podlubny и др. [62] предлагается подход к реализа ции контроллеров дробного порядка на основе разложения в цепные дроби. Приводятся структурные схемы цепей, реализующих цепные дроби.

В работе P. Ostalczyk [50] представлены основные свойства интегратора дробного порядка (линейного, в дискретном времени с постоянными параметрами). Анализируется система с обратной свя зью, включающая дробный интегратор. Обсуждаются переходные и Применения дробного исчисления в науке, технике, естествознании частотные характеристики. В качестве численного примера предла гается аппроксимационная реализация интегратора дробного по рядка. Сп. лит. – 9 назв.

Моделирование операции дифференцирования дробного по рядка с использованием концепции систем с дискретным временем может рассматриваться в качестве подхода по обработке сигналов с целью изобретения алгоритмов численного дифференцирования на основе интеграла свертки. Существует множество численных алго ритмов дробного дифференцирования, предложенных в математи ческой литературе. Эти алгоритмы базируются главным образом на определении дробного дифференцирования в форме Грюнвальда Летникова. Точность этих алгоритмов улучшается путем увеличения частоты отсчетов сигнала. Однако, для некоторых сигналов, в осо бенности тех, которые могут моделироваться с помощью полиномов конечных степеней, подход на основе формул Грюнвальда-Летни кова не всегда приводит к точным дифференциаторам. В работе Saed Samadi и др. [64] разработан дифференциатор с дискретным временем, основанный на разложении в ряд Ньютона. Система вос производит производную дробного порядка сигнала в каждый мо мент времени на основе текущего отсчета и N предыдущих отсчетов сигнала. Выходной сигнал является точной производной для любого входного сигнала, который может моделироваться полиномом сте пени не больше N. Получены также в замкнутой форме выражения для коэффициентов дифференциаторов как целого, так и дробного порядков. Сп. Лит.- 17 назв.

Работа Wang Jifeng и Li Yuankai [35] посвящена анализу в час тотной области систем управления дробного порядка. Найдено со отношение частотных свойств систем дробного и целого порядков на основе анализа диаграмм Боде и контуров Найквиста. Сп. лит. назв.

Практическому использованию PI-контроллеров дробного по рядка и процедуре настройки контроллеров для системы управления теплофизическим экспериментом посвящена работа T.Bhaskaran, Y.Q.Chen и G.Bohannan [14]. Показано, что включение в систему управления динамической системой контроллеров дробного порядка улучшает устойчивость обэекта и уменьшает перерегулирование.

Использованию контроллеров нецелого порядка для решения про блем автоматизированного электропривода посвящен доклад Во лянского Р.С. и Садового А.В. [2].

Новый метод аппроксимации дробных производных и его при менение в управлении нелинейными системами изложен в работе J.Machado и A.Galhano [45]. Авторами реализована формула Грюн вальда-Летникова, в области z-преобразования. Эффективность Глава контроллеров, синтезированных по предлагаемому методу проверя лась на примере нелинейного актюатора с обратной связью, кото рый подтвердил высокую точность и робастность системы.

6.3. Физика, электроника Обзор исследований по использованию дробных производных в релаксационных процессах приведен в работе F.Mainardi и R.Gorenflo [42]. Целью обзора являлся пересмотр основных положе ний теории релаксационных процессов и, в основном, линейной вяз коупругости, с учетом концепции дробного исчисления. Сп. лит. : назв.

Математическая модель аномальной диффузии форме урав нения в частных производных смешанного порядков рассмотрена в работе [20]. Исследовался одномерный (по пространству) случай:

C 2 C u ( x, t ) = k 2 u ( x, t ), где - производная дробного по dt dx dt рядка по Капуто. Представлены два численных метода – конеч ных разностей и конечных элементов.

Westerlund в работе [79] предложил математическую модель конденсатора в виде интегрального уравнения дробного порядка для заряда и в виде дифференциального уравнения смешанного по рядка для тока:

d n 1u (t ) q (t ) = C0 u (t ) + C, t0, n1;

dt n d nu (t ) du (t ) i (t ) = C0 + C, dt n dt t 0, n 1;

Использование дробного исчисления в теоретической элек тродинамике связано с концепцией мультиполей [27]. Точечные мультиполи (монополи, диполи, квадраполи и т.п.) являются извест ными источниками электрического поля, поля и распределения по тенциалов которых хорошо изучены. Пространственные распреде ления мультиполей выражаются в терминах дельта-функции Дирака и ее пространственных производных. Например, распределение за ряда точечного монополя описывается выражением: ( r ) = q ( r ), а для диполя: (r ) = p (r ). Таким образом, поле точечного монополя обределяется функцией Дирака, тогда как для точечного Применения дробного исчисления в науке, технике, естествознании диполя – первой производной этой функции. Основанием для ис пользования дробного исчисления является ответ на вопрос: какое распределение заряда формирует поле, зависящее от дробной про изводной дельта-функции Дирака? Ответом на этот вопрос было введение понятия дробного мультиполя. В упомянутой работе было выведено и исследовано выражение скалярного электрического по тенциала распределенного заряда типа дробного мультиполя. Сле дующим шагом в использовании дробного исчисления в теории электромагнитного поля явилось развитие дробной версии метода изображений в электростатике и формирование «промежуточных»

волн между плоской и цилиндрической волнами, являющихся реше ниями дробного скалярного уравнения Гельмгольца.

В целом ряде исследований в области электродинамики было выяснено, что электролитические среды и диэлектрические мате риалы проявляют дробное поведение в том смысле, что частотная, где (0,1), т.е. может зависимость импеданса имеет вид j принимать дробные значения.

Известна технология синтеза так называемых ультраконден саторов [11,25], использующая пористые электроды фрактальной структуры, наполненные электролитом и разделенные тонкой порис той мембраной, препятствующей замыканию электродов. Работа таких конденсаторов основана на эффекте Гельмгольца, суть кото рого состоит в том, что при напряжении ниже определенного уровня отсутствует электролиз и электролит ведет себя как изолятор. Ток между электродами отсутствует. Под воздействием внешнего на пряжения формируется два слоя заряженных ионов. Благодаря фрактальной структуре электродов эффективная площадь такого конденсатора достигает весьма больших значений (порядка 2000 кв.

м /грамм), что позволяет получить значения емкостей порядка тысяч фарад. Проведенные в работе [25] исследования показали, что адэ кватные математические модели таких конденсаторов являются ди намическими системами дробного порядка, и они могут изучаться методами дробного исчисления.

В Российском федеральном ядерном центре – ВНИИ экспери ментальной физики В.Карелиным и А.Тренькиным [3] эксперимен тально обнаружена фрактальная микроструктура токового канала при пробое однородных воздушных промежутков импульсами на пряжения наносекундного диапазона. Исследованы неустойчивость и распад электронной лавины и формирование самоподобной про странственнной структуры (фрактала) и определена его топологиче Глава ская размерность. Показано, что импеданс системы, полученный из осциллограмм, хорошо аппроксимируется в частотной области вы ражением: Z ( ) k при 0.3-0.5, то-есть имеет свойства интегратора порядка 0.3-0.5.

6.4. Механика Вязкоупругие материалы способны запоминать часть энергии, затраченной на их деформацию, в то время как остальная часть рассеивается. Первые исследования в этом направлении были вы полнены Nutting в 1921 году. Теория упругости рассматривает обычно два типовых линейных элемента механических цепей: пру жину и демпфер[68].

Деформация пружины подчиняется линейному закону:

d = E = E 0,где:

- усилие, приложенное к пру dt жине, - деформация, вызванная приложенным усилием, E – коэффициент жесткости пружины.

Демпфер описывается уравнением связи усилия с первой производной деформации или скоростью перемещения поршня:

d = = 1, & dt Для вязкоупругих систем вводится так называемый реологиче ский элемент, для которого связь между усилием и деформацией описывается дробной производной:

d =p.

dt На практике получила распространение дробная 4-параметри ческая модель реологического элемента, математическая модель которого имеет вид:

d d EE pE p + = 1 2 +.

E1 + E 2 dt E1 + E 2 E1 + E 2 dt Эта модель может также быть представлена в следующем d d виде: + a = b + c.Нетрудно видеть, что этот эле dt dt мент является обобщением пружины и демпфера.

Применения дробного исчисления в науке, технике, естествознании В механике сплошной среды наиболее характерно применение дробного исчисления в теории вязкоупругости.



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.