авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |

«ВЕСТНИК НАУЧНО- ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА 1 Под редакцией д.ф.-м.н. ...»

-- [ Страница 4 ] --

29. Акульшин А.М., Чиммино А., Опат Дж.И. // Квант. электрон. 2002.

Т.32.

N7. С.567-569.

30. Hasegawa A. // Optics. Letts. 1984. V.9. P.288.

31. Tai A., Hasegawa A., Tomita A. // Phys. Rev. Letters. 1986. Vol.56.

P.3925 3929.

32. Hickmann J.M., Cavalcanti S.B., Borges N.M. Gouveia E.A., Gouveia-Neto A.S. // Optics. Letts. 1993. V.18. P.182.

33. Lyra M.L., Gouveia-Neto A.S. // Optics Comms. 1994. V.27. P.117.

34. Фын Лу, Лю Сю-минь, Фын Ци-юань. // Квант. электрон. 1999. Т.27.

N3. С.269-272.

ДИНАМИКА ИМПУЛЬСОВ ПРИ ТРЕХВОЛНОВОМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ПРИ НАЛИЧИИ КУБИЧЕСКОЙ И КВАДРАТИЧНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ Золотовский И.О., Минвалиев Р.Н., Семенцов Д.И.

Ульяновский государственный университет Исследуются особенности трехволнового параметрического взаимодейст вия в среде с квадратичной и кубической нелинейностями при низкочастот ной накачке и ненулевой отстройке от фазового синхронизма. Показано, что единый волновой пакет, формируемый сигнальной и холостой волнами, распадается на парциальные импульсы, динамику которых определяют эффективные дисперсионные параметры. Наличие двух типов нелинейно стей расширяют возможности управления динамикой образующихся парци альных импульсов (ПИ) за счет изменения мощности волны накачки. Ско рость разбегания ПИ может достигать больших значений и даже превы шать скорость света в вакууме.

ВВЕДЕНИЕ Одним из способов формирования сверхкоротких и сверхмощных им пульсов является создание компактных лазерных устройств, в основе которых лежат принципы параметрического усиления света. При параметрическом усилении в нелинейно-оптических кристаллах энергия волны накачки преоб разуется в усиливаемую сигнальную и холостую волны [1]. Эффективное параметрическое преобразование можно осуществить, используя как хорошо известные однородные нелинейные кристаллы [2], так и активно исследуемые в последнее десятилетие различные периодические доменные структуры, реализуемые в нелинейных кристаллах [3]. В работе [4] в однородной среде с квадратичной нелинейностью был выявлен новый параметрический механизм создания нелинейной дисперсии и компрессии «сигнального» и «холостого»

импульсов, взаимодействующих в условиях фазового синхронизма с сильным полем низкочастотной волны накачки. В работе [3] была рассмотрена ком прессия импульсов в периодических структурах, возникающая при трехчас тотном параметрическом взаимодействии волн в условиях их фазового син хронизма. Однако, в случае реального параметрического взаимодействия достижение фазового синхронизма весьма сложно, особенно когда интенсив ность волны накачки велика. Между тем, отстройка от фазового синхронизма способна существенно изменить дисперсионные характеристики взаимодей ствующих волн и динамику совокупного волнового пакета [5].

Известно также, что нелинейный отклик любого материала с квадра тичной нелинейностью всегда включает нелинейность следующего третьего порядка (керровскую), которая при определенных условиях становится доста точно важной и может конкурировать с квадратичной нелинейностью. Суще ствует несколько физических механизмов, приводящих к конкуренции двух типов нелинейности [6 11]. Прежде всего, любой материал с квадратичной нелинейностью имеет собственную керровскую нелинейность, которая стано вится важной при высоких мощностях. Другой механизм, который может приводить к кубическим нелинейным членам в параметрических процессах, вызван некогерентной связью двух основных взаимодействующих волн с другими модами, которые могут существовать из-за каскадных эффектов высших порядков. При этом любая параметрическая связь с ненулевой рас стройкой может приводить к эффективной кубической нелинейности в дина мических уравнениях для параметрически связанных волновых гармоник. В связи со сказанным, в настоящей работе рассмотрены особенности динамики волновых пакетов, распространяющихся в среде с квадратичной и кубической нелинейностями, при реализации трехволнового параметрического взаимо действия в условиях низкочастотной накачки и отстройки от фазового син хронизма. Анализ проводится в приближении неистощимой низкочастотной накачки.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ Известно, что в среде с квадратичной нелинейностью трехволновое па раметрическое усиление предполагает наличие на входе в нелинейный кри сталл интенсивной волны накачки на частоте 1 и сигнальной волны на час тоте 2. При этом усиление сигнальной волны сопровождается генерацией «холостой» волны на частоте 3. Реализация усиления сигнальной волны будет тем эффективнее, чем лучше выполняются условия фазового синхро низма [1, 9] 3 = 1 + 2, k3(3) = k1(1) + k2(2), (1) где ki – волновые числа однонаправленных взаимодействующих волн. В сильно диспергирующих нелинейных средах при выполнении условия фазо вого синхронизма по частоте фазовый синхронизм по волновым числам мо жет не выполняться. При этом величина отстройки от фазового синхронизма k = k3 – k1 – k2 может быть достаточно большой, что является часто сущест венным препятствием для достижения эффективного параметрического пре образования частот.

Система уравнений, описывающая динамику трехволнового параметри ческого взаимодействия с учетом дисперсионных эффектов первого и второго порядков, кубической и квадратичной нелинейности, а также отстройки от фазового синхронизма, имеет следующий вид:

A1 1 A1 d1 2 A + i 11 | A1 |2 A1 + i 12 | A2 |2 A1 + i 13 | A3 |2 A1 = ib1 A2 A3 e ikz, + i * z u1 t 2 t A2 1 A2 d 2 2 A + i 12 | A1 |2 A2 + i 22 | A2 |2 A2 + i 23 | A3 |2 A2 = ib2 A1 A3eikz, + i z u2 t 2 t A3 1 A3 d 2 A i 3 23 + i 13 | A1 |2 A3 + i 23 | A2 |2 A3 + i 33 | A3 |2 A3 = ib3 A1* A2e ikz.

+ z u3 t 2 t (2) где Aj – комплексные амплитуды медленно изменяющиеся во времени и в пространстве, ui – групповые скорости взаимодействия волн, bj и ij – коэф фициенты квадратичной и кубической нелинейностей.

При рассмотрении задачи трехпараметрического взаимодействия обыч но выделяют два случая низкочастотной и высокочастотной накачки. Не касаясь динамики волновых пакетов при параметрических взаимодействиях в случае высокой частоты волны накачки, найдем решение системы уравнений (2) для случая мощной низкочастотной квазимонохроматической волны накачки A1(z, t). Для этого будем считать выполняющимися неравенства для амплитуд |A1| |A2|, |A3| и длительности 1 10-9 c. Используя приближение неистощимой накачки, в рамках которого мощность волны накачки можно считать постоянной величиной на всей длине параметрического взаимодейст вия, т.е. |A1|2 = P1 = const, систему трех уравнений (2) преобразуем в следую щую систему двух уравнений:

A2 1 A2 d 2 2 A + i 12 | A1 |2 A2 = i 2 A3 exp(ikz ), + i z V 2 (3) A3 1 A3 d3 2 A + i 13 | A1 |2 A3 = i 3 A2 exp(ikz ), i z V 2 где параметр V = (u3 u2 ) / 2u2u3 определяет скорость разбегания указанных волн, j = b j P – параметры нелинейной связи взаимодействующих волн.

Уравнения (3) для временных огибающих сигнальной и холостой волн запи саны в координатах бегущего времени = t z / u, где u = (u2 + u3 ) / 2 – груп повая скорость единого волнового пакета двух параметрически связанных волн. Для их решения введем новые переменные Aj = A j exp(i 1 j P z ). При этом % система (3) преобразуется к виду A3 1 A3 d3 2 A % % % = ib3 P A2 exp[i (k + 13 P ) z ], + i % z V 2 1 (4) A2 1 A2 d 2 2 A % % % = ib2 P A3 exp[i (k 12 P ) z ].

i % z V 2 1 Решение системы (4) представим в виде суперпозиции двух парциальных импульсов (ПИ):

A2 = a1 (, z )exp[i (q + k / 2) z ] + a2 (, z )exp[i (q k / 2) z ] % % %, (5) A = a (, z )exp[i (q k / 2) z ] 1a (, z )exp[i (q + k / 2) z ] % % % 3 1 где a f (, z ) – медленно меняющиеся вдоль световода амплитуды ПИ (f = 1, 2).

k = k + ( ) P, % Здесь введены следующие параметры: 13 12 q = + k / 4, = b2b3 P и % 2 (2q + k ) A30 2 A % =, (2q k ) A20 2 A % которые зависят от мощности волны накачки P1 и, как от величины квадра тичной (b2, b3), так и кубической (12, 13) нелинейностей. Данное обстоятель ство позволяет управлять эффективными параметрами отстройки от фазового синхронизма k и нелинейной связи за счет изменения параметров нели % нейности и мощности волны накачки. Их изменение, как будет показано ниже, в свою очередь может влиять на динамику процесса взаимодействия волн.

В соответствии с (5), формируемый двумя взаимодействующими вол нами импульс является суперпозицией двух ПИ, амплитуды которых удовле творяют уравнениям a f (1) f k a f iD f 2 a f % + = 0, (6) 2qV 2 z где f = 1,2 и введена эффективная дисперсия соответствующего ПИ d + d3 (1) f k V 2 % Df = 2 + 2 1 + (d 2 d3 ). (7) 2 Vq Начальные условия для амплитуд ПИ a f можно получить из начальных условий для подаваемых на вход световода модовых импульсов, которые определяются типом его возбуждения и могут быть представлены в виде A j(, 0) = A j0(). Здесь временная функция для частотно модулированного % % гауссова импульса, с учетом сдвига несущей, частоты имеет вид 2 ( ) = exp 2 (1 + i 0 ) + i, (8) 2 где 0 – длительность вводимого импульса, параметр определяет скорость частотной модуляции, а параметр – сдвиг несущей частоты импульса [3]. В итоге, начальные условия для амплитуд ПИ с учетом (5) принимают вид 1 % % k % a f (,0) = a f 0 ( ) = A20 + (1) f A20 + A30 ( ). (9) 2 2q q Решения уравнений (6) для начальных условий (9) могут быть представлены в виде:

af a f (, z ) = exp i f 2f 2, (10) 2 0 f f где f – меняющаяся с пройденным расстоянием фаза ПИ (ее выражение ввиду громоздкости здесь не приводится), f = f z – бегущее время для соответствующего ПИ и введены обозначения:

1/ zD f k% f = D f + (1) f +1 f = (1 D f z ) + 2.

, 2Vq Рассмотрим полученные решения для режима полного фазового синхронизма, условием которого в данном случае являются равенства k = 0 и = –1. % Начальные амплитуды ПИ при этом запишутся следующим образом:

1% 1% a 1 (,0) = ( A 20 A30 ) ( ), a 2 (,0) = ( A 20 + A30 ) ( ).

% % 2 (11) В случае двухволнового симметричного или антисимметричного возбуждения среды ( A30 = ± A20 ) полный импульс в соответствии с (9) оказывается пред % % ставленным только одним из ПИ, поэтому поведение распространяющегося по световоду импульса определяется эффективной дисперсией Df соответст вующего ПИ.

На основе полученных решений можно записать выражение для вре менной огибающей интенсивности единого волнового пакета I(, z) при раз личных условиях ввода излучения в кристалл. В общем случае интенсивность единого волнового пакета можно представить в виде суммы интенсивностей ПИ:

I = I1 + I 2 = (1 + 2 ) | a1 |2 + (1 + 2 ) | a2 |2.

(12) В случае одноволнового возбуждения световода максимальная энергия, кото рую можно передать «холостой» волне за счет трехволнового взаимодействия [7], равна b2b3 P = W20 = max W20, (13) W ( ) %/2 q b2b3 I1 + k где W20 = P20 0 – энергия «сигнальной» волны на входе в световод.

Зависимость длительности ПИ от пройденного пути определяется вы ражением 1/ zD f p ( z ) = 0 f = 0 (1 D f z ) + 2, (14) откуда следует, что при Df 0 ПИ расплывается по мере его прохождения по световоду, а при Df 0 ПИ на начальном этапе сжимается, а затем расширя ется. После прохождения импульсом расстояния z = Lc =, (15) D f (1 + 2 0 ) где Lc – длина компрессии ПИ, его длительность становится минимальной:

min = 0 (1 + 2 04 ) 1/ 2. (16) Таким образом, при параметрическом взаимодействии происходит распад единого волнового пакета, составленного из сигнальной и холостой волн, на два автономных ПИ, которые имеют существенно различную динамику, так как величины D1 и D2 отличаются не только по величине, но и по знаку. При этом параметрами, позволяющими управлять динамикой ПИ, являются от стройка от фазового синхронизма k и мощность волны накачки P1.

Скорости максимумов огибающих ПИ, согласно полученным решениям (10), определяются выражением u f = u /(1 + u f ), из которого следует разли чие величин u1 и u2, т.е. распад исходного модового импульса. Скорость разбегания ПИ ( 2 1 )u u = u1 u2 = (17) (1 + u1 )(1 + u2 ) может меняться как в результате изменения мощности волны накачки, так и в результате изменения несущей частоты сигнальной волны, а также в резуль тате варьирования сдвигом несущей частоты. Из полученных соотношений следует, что значения скоростей распространения и, соответственно, скорости разбегания ПИ могут быть достаточно большими и, как показывает анализ, даже превышать скорость света в вакууме. Последнее обстоятельство не противоречит основным положениям специальной теории относительности, а является следствием эффекта переформировки, т.е. трансформации огибаю щей исходного импульса, которая может иметь место в сильнодиспергирую щей среде [12, 13].

Рис. 1. Зависимость эффективной дисперсии от параметра и эффективной отстройки от фазового синхронизма, P1 = 1 мВт.

Смещение несущей частоты может быть получено в результате воз буждения в среде бегущей волны показателя преломления (ПП) n(t, z ) = n0 [1 + m cos( t qz )], где параметры n0 и m – невозмущенное значе ние ПП и глубина его модуляции, и q – частота модуляции и константа распространения волны ПП. При этом для сдвига несущей частоты справед ливо соотношение = 2 V f /, где = 2 / q – длина волны ПП, а V f –– ее фазовая скорость. В работах [14-17] для реализации ПП, «бегущего» со скоростью V f = c / n, предлагается использовать нелинейно оптические среды с малым временем релаксации, в которых последовательности лазерных импульсов могут наводить движущуюся со световыми скоростями оптиче скую неоднородность. В качестве такой среды может быть использован обычный волоконный световод с кубической керровской нелинейностью. В планарной волноведущей структуре бегущий волновой фронт может быть получен с помощью лазерного «зайчика» [18, 19]. Параметр может быть также за счет доплеровского эффекта «наведен»

Рис. 2. Зависимость эффективной дисперсии от мощности волны накачки, k = 50, 100, 150 м-1 (кривые 1 – 3).

при относительном движении световода и источника излучения. При этом ) ( 0 1 (V / V f )cos 1, (18) где = 1 (V / c)2, V – относительная скорость волновода и источника излучения, V f – фазовая скорость излучения (на несущей частоте) в непод вижном световоде, – угол между направлениями движения источника и излучения, c скорость света в вакууме. Анализ показывает, что не сущест вует принципиальных ограничений на достижение ситуации 0. Для используемых в настоящее время волноводных структур (например, планар ных волноводов на основе LiNbO3), в которых реально может быть реализова на бегущая волна ПП (например, гиперзвуковая волна [20]), верным оказыва ется неравенство 0. Как правило, можно считать / 0 102 и для соответствующего параметра модуляции фазы можно принять 1012 c 1.

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ Зависимость эффективной дисперсии ПИ от параметров нелинейности и мощности волны накачки позволяет получать ее значения, значительно пре восходящие значения d2 и d3, что оказывает существенное влияние на дина мику ПИ при их распространении в нелинейной среде. На рис. 1 представлена зависимость эффективной дисперсии ПИ от параметра и эффективной отстройки от фазового синхронизма k. Указанная зависимость получена % при следующих значениях параметров: d1 = 210-26 с2/м, d2 = 10-26 c2/м, V– = 3,310-11 с/м. Видно, что эффективная дисперсия обоих ПИ оказывается более, чем на три порядка больше, Рис. 3. Распад единого волнового пакета на два ПИ, P1 = 1 мВт.

чем материальная дисперсия d j. При этом у первого ПИ эффективная дис персия является аномальной, у второго – нормальной, а их абсолютные зна чения оказываются практически одинаковыми, т.е. D1 0, D2 0, D1 D2.

Из представленной зависимости следует, что максимум эффективной дисперсии отвечает значению эффективной отстройки от фазового синхро низма k = 0 и значению параметра 0 и спадает при их удалении от % нуля. Вообще говоря, при = 0 (т.е. при отсутствии квадратичной нелинейно сти) значение эффективной дисперсии становится бесконечным, однако поведение дисперсии в этом случае описывается другими уравнениями. Как уже отмечалось, эффективная дисперсия в максимуме на несколько порядков превосходит материальную дисперсию среды dj.

На рис. 2 представлена зависимость эффективной дисперсии D1,2 от мощности волны накачки P1 для различных величин отстройки от фазового синхронизма k = (0,5;

1;

1,5)102 м-1 (кривые 1-3) и следующих значений =210-26 с2/м, Вт-1/2м-1, параметров: d1 =2 d2 2b1 = b2 = 212 =13 = 100 (Втм)-1 V–1 = 3,310-11 с/м. Из представленных зависимостей следует, что максимум эффективной дисперсии отвечает значению эффектив ной отстройки от фазового синхронизма k = 0 и с уменьшением отстройки % k смещается в область меньших значений мощности волны накачки.

Рис. 3 для приведенных выше параметров иллюстрирует динамику рас пада вводимого в световод единого волнового пакета (при P1 = 1 мВт) на два парциальных импульса. На рис. 4 представлены зависимости скорости разбе гания Рис. 4. Зависимость скорости разбегания ПИ от мощности волны накачки, k = 50, 100, 150 м-1 (кривые 1 – 3).

ПИ, нормированной на скорость света в вакууме, от мощности волны накач ки, полученные при различных величинах отстройки k = (0,5;

1;

1,5)102 м- (кривые 1-3) и значении параметра = 1012 Гц. Видно, что скорость разбега ния ПИ, как и эффективная дисперсия, имеет максимум при значении эффек тивной отстройки k = 0 и тем больше, чем меньше отстройка k. Близкие к % используемым значениям параметров нелинейностей имеют оптические кристаллы LiNbO3, GaAs и др.

Как видно из рис. 5, параметр так же оказывает влияние на динамику ПИ. В частности, при тех значениях, когда знаменатель в выражении (17) стремится к нулю, скорость разбегания ПИ может существенно превышать скорость света. Данное обстоятельство, однако, не противоречит принципу относительности, а является следствием эффекта переформировки. Кривые на рис. 5 построены для значения мощности волны накачки P1 = 1 мВт. Значение параметра, при котором скорость распада ПИ становится бесконечной, тем меньше, чем меньше значение эффективной отстройки от фазового синхро низма k. Кривые, приведенные на рис. 5 получены для значений % k = (1;

1,1)102 м-1 (кривые 1-2), соответствующие значениям k = (0;

10) м %. Заметим, что значения параметра (более 1012 Гц), при которых происходит асимптотическое увеличение скорости распада ПИ, в настоящее время недос тижимы.

Таким образом, при реализации трехволнового параметрического Рис. 5. Зависимость скорости разбегания ПИ от сдвига несущей частоты импульса, k = 100, 110 м-1 (кривые 1 – 2).

взаимодействия в среде с кубической и квадратичной нелинейностями возни кает нелинейная связь между сигнальной и холостой волнами. В результате происходит перекачка энергии из одной волны в другую, которой можно эффективно управлять отстройкой от фазового синхронизма, существенно зависящей от мощности волны накачки. При этом возможен распад сигналь ного импульса на два автономных ПИ, которые имеют различную динамику, так как их эффективные дисперсии отличаются не только по величине, но и по знаку. Скорость разбегания ПИ может меняться как в результате измене ния мощности волны накачки, так и в результате изменения несущей частоты сигнальной волны. Ее величина может превышать скорость света в вакууме, что является следствием эффекта переформировки в сильнодиспергирующей среде.

Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.

ЛИТЕРАТУРА 1. 1. Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекунд ных лазерных импульсов. М.: Наука, 1988. 311 с.

2. Хазанов Е.А., Сергеев А.М. // УФН. 2008. Т. 178. № 9. С. 1006 1011.

3. Голенищев-Кутузов А.В., Голенищев-Кутузов В.А., Калимуллин Р.И.

Индуцированные доменные структуры в электро- и магнито- упорядо ченных веществах. М.: Физматлит, 2003. 136 с.

4. Сухоруков А.П., Сухорукова А.К. // Письма в ЖЭТФ. 1981. Т. 34. № 4. С. 200- 203.

5. Золотовский И.О., Минвалиев Р.Н., Семенцов Д.И. // Опт. и спектр.

2010. Т. 109.

6. № 4. С. 631 – 636.

7. Pare C., Villeneuve A., Belanger P.A., Doran N.J. // Opt. Lett. 1996.

V.21. №7. P. 459.

8. Driben R., Malomed B.A., Gutin M., Mahlab U. // Opt.Commun. 2005.

V.245. №5, P.93.

9. Маломед Б.А. Контроль солитонов в периодических средах.

М.:Физматлит. 2009. 192 с.

10. Clausen C.B., Bang O., Kivshar Y.S. //Phys. Rev. Lett. 1997. V.78, №9.

P.4749.

11. Bang O., Clausen C.B., Christiansen P.L., Torner L. //Opt. Lett. 1999.

V.24. №11, P.1413.

12. Кившарь Ю.С., Агравал Г.П. Оптические солитоны. От волоконных световодов к фотонным кристаллам. М.: Физматлит, 2005. 648 с.

13. Ораевский А.Н. // УФН. 1998. Т. 168. № 11. С. 1311-1318.

14. Шварцбург А.Б. // УФН. 2007. Т. 177. № 1. С. 43 – 58.

15. Киселев А.С., Киселев А.С., Розанов Н.Н., Сочилин Г.Б. Оптика и спектроскопия. 2006. Т. 101. № 1. С. 124-136.

16. 15.Розанов Н.Н. // Письма в ЖЭТФ. 2008. Т. 88. Вып. 8. С. 577.

17. Н. Н. Розанов. Оптика и спектроскопия. 2009. Т. 106. № 4. С. 680 684.

18. Н. Н. Розанов.ЖЭТФ. 2009. Т. 135. № 1. С. 154-163.

19. Б.М.Болотовский, А.В.Серов. УФН. 1989. Т.159. №1. 155-180.

20. Б.М.Болотовский, А.В.Серов. УФН. 2005. Т.175. №9. 943-956.

21. Tucker, J. W., and Rampton, V. W., Microwave Ultrasonics in Solid State Physics (North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1973. P.).

22. A.B. Shvartsburg, Phys. Usp. 50, 37 (2007).

23. N.N. Rozanov, G.B. Sochilin, Phys. Usp. 49, 407 (2006).

24. N.N.Rozanov, JETP Lett, 88, 577 (2008).

25. B.M. Bolotovskii, A.V. Serov Phys. Usp. 48 903 (2005).

26. N.N. Rozanov Phys. Usp. 48 167 (2005).

27. G.A.Mourou, T.Tajima, and S.V.Bulanov, Rev. Mod. Phys., 78, (2006).

28. Tucker, J. W., and Rampton, V. W., Microwave Ultrasonics in Solid State Physics (North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1973).

ДИНАМИКА ИМПУЛЬСОВ СИМИЛЯРИТОННОГО ТИПА В НЕОДНОРОДНЫХ ПО ДЛИНЕ АКТИВНЫХ СВЕТОВОДАХ.

И.О. Золотовский, Д.И. Семенцов, А.К. Сенаторов, А.А. Сысолятин, М.С. Явтушенко.

Ульяновский государственный университет Исследуется возможность образования самоподобных частотно модулированных (ЧМ) волновых пакетов в неоднородных по длине активных световодах для импульсов с начальной гауссовой, секанс гиперболической и параболической формой. Рассмотрены условия трансформации импульсов различной формы в устойчивые импульсы параболического типа с постоянным значением скорости ЧМ. Показано, что использование ЧМ импульсов параболической формы в активных и неоднородных по длине световодах может обеспечить создание полностью волоконной системы типа генератор – усилитель – компрессор с пиковыми мощностями получаемых импульсов до 1 МВт и выше.

ВВЕДЕНИЕ В последнее время широко обсуждаются особенности генерации и распространения в нелинейных средах ЧМ импульсов параболической формы, практически не подверженных волновой неустойчивости в облас ти спектра, отвечающей нормальной дисперсии групповых скоростей [1 12]. Соответствующее свойство импульсов параболической формы откры вает широкие возможности для создания полностью волоконных систем генерации и усиления субпикосекундных импульсов с энергией до 1 мкДж и пиковой мощностью свыше 1 МВт, а также для генерации устойчивого суперконтинуума. Особый интерес в этом плане представляют световоды с изменяющимися по длине параметрами (дисперсией групповых скоро стей, керровской нелинейностью, усилением, площадью моды). Анализу различных особенностей распространения импульсов симиляритонного типа в указанных световодах посвящены работы [10-17]. В частности, в [14] для нелинейного волоконного усилителя с изменяющимися по длине параметрами найдены условия, при которых имеет место соответствие ме жду солитонами нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) и симиляри тонами секанс-гиперболической формы. В [15] аналитически и численно показана возможность уменьшения на два порядка длительности ЧМ си миляритона секанс-гиперболической формы за счет действия дисперсион ных эффектов высших порядков. В [16] исследуется компрессия линейно чирпованного импульса параболической формы в световоде с неоднород ным по длине усилением. В [17] была предложена схема эффективной ге нерации параболических импульсов, предполагающая использование не однородных по длине световодов с гиперболическим профилем изменения дисперсии групповых скоростей. В этом случае импульс приобретает уси ление практически без сопутствующих шумов.

В настоящей работе обсуждаются особенности распространения ЧМ импульсов различной формы в световодах с плавно изменяющимися пара метрами – дисперсией групповых скоростей, кубической нелинейностью, инкрементом усиления и площадью моды, а также условия, при которых у подобного рода волновых пакетов (получивших название симиляритонов [2-9]) скорость ЧМ оказывается постоянной величиной. Для импульсов га уссовой, секанс-гиперболической и параболической формы получены ус ловия образования волновых пакетов с постоянной скоростью ЧМ, при ко торой они приобретают симиляритонный характер, т.е. остаются самопо добными.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ Динамику огибающей импульсов гауссовой, секанс-гиперболической и параболической формы в неоднородном по длине одномодовом светово де будем рассматривать используя хорошо известную модель нелинейного уравнения Шредингера [18,19]:

A D ( z ) 2 A % % %2 % + i ( z) A A = g ( z) A, i % (1) 2 z z где = t 1 ( z)dz - время в бегущей системе координат, 1 = ( / ) и D = ( 2 / 2 )0 - дисперсионные параметры первого и второго порядков соответственно, - параметр нелинейности, и 0 - волновое число и не сущая частота волнового пакета. Зависимость параметров световода от продольной координаты z связана, прежде всего, с их зависимостью от эффективной площади моды S ( z ), которая зависит от диаметра сердцеви ны световода и разности показателей преломления сердцевины и оболоч ки. При этом параметр, который определяет эффективное усиление свето вода имеет вид 1 dS ( z ) g ( z) = ( z), (2) 2 S ( z ) dz где ( z ) – материальный коэффициент усиления. Будем считать, что все, зависящие от z, параметры являются медленно меняющимися функциями.

Если в уравнении (1) провести следующие замены % (, z ) = A(, z )exp g ( z)dz, R( z ) = ( z )exp(2 g ( z)dz), z z (3) A 0 то его можно привести к виду A D ( z ) 2 A i + iR ( z ) A A = 0.

(4) z Используя хорошо известную вариационную методику [18,19] введем ла гранжиан i A A D ( z ) A R( z ) A + F ( z, ), L= A A + + (5) 2 z z вариация которого приводит к уравнению (4). Введение функции F ( z, ) позволяет устранить возникающие в лагранжиане (5) сингулярности для некоторых типов волновых пакетов (так, например, для импульсов парабо лической формы, наиболее перспективных для получения субпикосекунд ных импульсов с энергиями от 1 мкДж и выше, при p производная A / ). Эта функция подбирается с учетом формы огибающей вво димого в световод импульса и известных частных решений уравнения (4) для однородного световода [2-8]. При этом необходимо, чтобы обраща лись в ноль следующие вариации указанной функции:

F / A = F / A = 0. Так, для гауссова и секанс-гиперболического им пульсов F ( z, ) = 0, а для импульсов параболической формы D ( z )W F ( z, ) =, (6) 2 3 ( z ) ( 2 p ( z ) ) p где W = A0 0 – постоянная по длине световода величина, определяемая начальными условиями возбуждения световода, A0 = A(0,0), 0 = p (0).

Общий вид пробных функций для огибающей, импульса запишем сле дующим образом:

A( z, ) = A( z )G ( z, )exp i ( ( z ) + ( z ) 2 ), (7) где ( z ) - фаза импульса, ( z ) - скорость частотной модуляции (чирп).

Для импульсов гауссовой и секанс-гиперболической форм огибающей функция G ( z, ) имеет вид 2 Gg = exp 2, Gsh = sec h ( z), (8) 2 ( z ) p p а для параболической формы 1 2 / 2 ( z ), ( z ), G par = p p (9) 0.

0, В результате вариационной процедуры приходим к следующей системе уравнений для параметров импульса:

d p = 2 D ( z ) ( z ) p, (10а) dz d ( z ) c1 cW = 4 2 2 ( z ) D ( z ) + 2 3 R ( z ). (10б) p dz p В последнем уравнении введенные константы для гауссова импульса c1 = 2, c2 = 1/ 2, для секанс-гиперболического импульса c1 = c2 = 2 / 2, для параболического импульса c1 = 0, c2 = 1. После исключения из уравнений (10) скорости частотной модуляции ( z ) для длительности соответствую щего импульса может быть получено следующее уравнение:

d 2 p 1 D d p 21 2 DRW = + 3 D + 22. (11) D z dz p dz p Для импульсов параболической формы (с учетом равенств c1 = 0, c2 = 1 ) это уравнение принимает вид d 2 p 1 D d p DRW = +2 2. (12) p D z dz dz В случае однородного распределения дисперсионного параметра приходим к известному уравнению, полученному в работах [3,6].

В качестве примера применения этого уравнения рассмотрим ситуа цию, когда необходимо реализовать ЧМ волновой пакет параболической формы, длительность которого меняется линейным образом:

p ( z ) = 0 (1 Qz ), (13) т.е. в случае Q 0 происходит уширение импульса, а в случае Q 0 - его сжатие. В соответствии с уравнением (10а) и соотношением (13) для ско рости ЧМ в этом случае должна выполняться следующая зависимость от координаты:

Q ( z) =. (14) 2 D ( z )(1 Qz ) При этом дисперсия групповых скоростей должна удовлетворять условию, которое может быть представлено в виде следующего уравнения 1 D 2 R ( z )W =3 (15) D 2 z 0 Q (1 Qz ) Решение этого уравнения при R( z ) = const дает следующую зависимость дисперсионного параметра от координаты 1 1 = b 1, (16) 1 Qz D D где D0 = D (0), b = 2WR / Q 0. Таким образом, существование параболиче ского импульса с линейной координатной зависимостью длительности и однородной нелинейностью возможно как при нормальной, так и аномаль ной дисперсии, но при зависимости D ( z ), определяемой соотношением (16). Если же входное значение дисперсионного параметра выбрать рав ным D0 = 1/ b, то решением уравнения (15) является линейная зависи мость D( z ) = D0 (1 Qz ). (17) При этом зависимость скорости ЧМ должна иметь вид ( z) = (18), (1 Qz ) где 0 = WR / 0. Таким образом, для линейного сжатия параболического импульса в случае однородной по длине световода эффективной нелиней ности необходима линейно убывающая по модулю аномальная дисперсия.

Подобные профили дисперсии групповых скоростей технологически дос таточно легко могут быть реализованы на практике [11-14]. Отметим, что линейное сжатие импульса имеет место только при его распространении в направлении заданного профиля дисперсионного параметра. При распро странении в противоположном направлении динамика импульса будет су щественно отличаться, что указывает на невзаимный характер рассматри ваемого динамического процесса.

Интересно что теоретически сильное линейное сжатие ЧМ параболиче ского импульса возможно также в условиях нормальной дисперсии и ли нейной ее зависимости, если при этом D / z 0. Так, в случае D( z ) = D0 (1 + z ), где D0 0 и 0, а нелинейность зависит от координа ты следующим образом 0 Q 1 Qz R( z ) =, (19) 2 D0W 1 + z С практической точки зрения выполнение условия (19) представляется сложной задачей, однако сама принципиальная возможность временного самосжатия излучения в условиях нормальной дисперсии групповых ско ростей и уменьшающейся керровской нелинейности представляется инте ресной.

Рассмотрим теперь ЧМ импульс секанс-гиперболической формы.

Чтобы его длительность зависела от координаты по закону p ( ) = 0 (1 Q ), (20) z где параметр ( z ) = ( z)dz, а = D / D0, необходимо выполнение усло вия [20,21] 2 ( ) Sm ( ) ( ) % Q = ln, (21) ( ) r ( ) 1 Q где r = R / R0. При этом линейное сжатие типа (13) возможно только в том случае, если D = const и R = const (т.е. = r = 1) и для введенного соот ношением (2) эффективного инкремента усиления выполняется следующее соотношение:

Q g=, (22) 2(1 Qz ) Очевидно, что практическая реализация условий (20)-(22), т.е. сложных профилей параметров дисперсии, нелинейности и усиления является зна чительно более сложной задачей, чем реализация рассмотренных выше линейных профилей дисперсионного параметра. Этот факт свидетельству ет о том, что использование ЧМ параболических импульсов для реализа ции режимов нелинейного самосжатия является значительно более пред почтительным по сравнению с ЧМ импульсами секанс-гиперболической формы.

УСЛОВИЯ ОБРАЗОВАНИЯ СИМИЛЯРИТОННЫХ ИМПУЛЬСОВ Импульсы, имеющие не нулевую, но постоянную по длине световода скорость ЧМ, т.е. импульсы для которых выполняется условие d / dz = 0, обладают способностью устойчиво сохранять свою форму. Именно такие импульсы получили название симиляритонов [6-8]. Для импульсов любой формы изменение их длительности в случае постоянной величины ( z ) = 0, согласно (10б), определяется выражением z p ( z ) = 0 exp 2 0 D( z)dz. (23) Для световода с независящими от координаты параметрами D и R обра зование симиляритона гауссовой и секанс-гиперболической формы воз можно только в случае сильной девиации несущей частоты, т. е. при 0 0 2. Для световода с произвольной зависимостью параметров D ( z ) и R( z ) образование симиляритона параболической формы возможно только при выполнении следующего условия z c2WR( z ) exp 6 0 D ( z)dz.

0 = (24) D( z ) Так как параметр нелинейности R( z ) всегда положителен, то для образо вания симиляритонного импульса необходимо также, чтобы дисперсия световода была нормальной, т.е. чтобы D( z ) 0. С учетом (2) и (3) может быть получено общее условие образования волновых пакетов симиляри тонного типа:

S (0) ( z ) z exp 2 ( ( z) 3 0 D ( z) ) dz = const.

(25) S ( z) D( z) 0 В пределе однородных по длине световодов для импульсов параболиче ской формы из (25) получаются соотношения, совпадающие с уже извест ными решениями [3-9 ]. Так, для постоянных значений параметров в (25) с учетом переменного верхнего предела интегрирования получаем извест ные [1-9] выражения для условия образования симиляритона (0) 3 0 D(0) = 0 (26) и его длительности p ( z ) = 0 exp ( 2 z / 3). (27) Наряду с условием (26), можно записать также энергетический порог образования симиляритона D (0) 0 0 W Ws = 2 =. (28) c2 (0) c Набор значений константы c2 для разных форм огибающей импульса ука зывает, что энергия образования симиляритона параболической формы является наименьшей и равной Ws = W0. Данное обстоятельство объясняет экспериментальный факт, что ЧМ импульсы при выполнении соответст вующих условий, независимо от своей начальной формы, асимптотически стремятся к форме параболической, масштабирующейся с ростом коорди наты импульса [1-12].

При реализации квазисолитонного (т.е самоподобного) режима рас пространения волнового пакета важным является выполнение условия g 1 2S 1 S S = 0. (29) 0 0 2S z 2S z Отличие от нуля мнимой составляющей дисперсионного параметра первого порядка, который определяет вклад в эффективный инкремент усиления, способно приводить к возникновению целого ряда важных эф фектов (смещение несущей частоты, образование волн со сверхсветовой скоростью максимума огибающей и т.д.). Влияние этих эффектов на обра зование и динамику самоподобных волновых пакетов, как правило, неже лательно. Прежде всего, это связано с возможностью развития неустойчи востей приводящих к смещению несущей частоты волнового пакета. Если несущая частота смещается из области, допускающей образование сими ляритона, волновой пакет теряет свои солитонные свойства [22,23].

Оценка смещения (затягивания) несущей частоты в область, соответ ствующую максимуму инкремента усиления, на длине световода z для импульса параболической формы дается выражением z s = (g ( z ') / )( ( z '))2 dz ', (30) где 2 2 + 2 p – спектральная ширина волнового пакета, а пара p метры p и определяются из системы уравнений (10).

СКОРОСТЬ МАКСИМУМА ОГИБАЮЩЕЙ ИМПУЛЬСА Отдельный интерес может представлять вопрос о скорости макси мумов огибающих ЧМ волновых пакетов в соответствующих условиях.

Так, для импульсов параболической формы скорость максимума огибаю щей с высокой степенью точности может быть описана соотношением [20]:

z g 0 exp 4 D( z) ( z)dz, um ( z ) u g ( z ) 1 + ( z )u g ( z ) (31) где u g ( z ) - групповая скорость волнового пакета, а его скорость ЧМ нахо дится из уравнения:

d z RW = 2 D + 3 exp 6 D( z) ( z)dz '.

(32) dz 0 Из соотношения (31) видно, что при выполнении неравенств z u g 0 exp 4 dD ( z) ( z) z g 1 ( z ) u g ( z ) (33) 0 c скорость максимума огибающей становится больше скорости света в ва кууме. Таким образом, условия, при которых может существовать сверх световая скорость максимума огибающей волнового пакета, предполагают неустойчивость несущей частоты, которая смещается в спектральную об ласть, где выполняется условие g / 0 и um u g. Для световода с изменяющимся по длине диаметром возникновение сверхсветовой волны возможно даже в неактивной среде (т.е. при (z) = 0) в том случае, если 2 Sm 1 S m Sm. (34) z 2 S m z Отметим, что явление сверхсветовой скорости максимума огибающей не противоречит постулатам СТО, а объясняется известным эффектом пере формирования волнового пакета [24-26]. Заметим, что аналогичный рас смотренному эффект, связанный с образованием филаментов (оптических нитей-жгутов, на которые распадается достаточно мощный пучок в резуль тате нелинейной самофокусировки), при распространении мощных лазер ных импульсов в плавленом кварце экспериментально наблюдался в рабо те [27].

ВРЕМЕННОЕ СЖАТИЕ СИМИЛЯРИТОННЫХ ИМПУЛЬСОВ Как следует из проведенного выше анализа, режим усиления импуль са параболической формы в среде с нормальной дисперсией сопровожда ется увеличением его длительности при сохраняющейся скорости частот ной модуляции. Дальнейшее увеличение пиковой мощности импульса за счет его временного сжатия желательно осуществлять в пассивной диспер гирующей среде, обеспечивающей минимальное влияние нелинейных эф фектов (это необходимо для того, чтобы максимально избежать соответст вующих шумов и аберраций, а также развития различного рода неустойчи востей [18,19,22-27]). Данная процедура может быть осуществлена уже за пределами усиливающего световода: либо в пассивном световоде с ано мальной дисперсией, либо на паре дифракционных решеток, играющих роль эффективного дисперсионного элемента. В настоящее время именно эта технология является наиболее отработанной для получения лазерных импульсов большой энергии (так, дифракционные решетки используются в экспериментах по управляемому термоядерному синтезу для получения лазерных импульсов с петаваттной пиковой мощностью [28-30]).

Длительность спектрально-ограниченного импульса, имеющего на входе в компрессор значения параметров p ( L) и ( L), после прохожде ния компрессора определяется соотношением [22,31] p ( L) com =, (35) 1 + 2 ( L) p ( L) где L - длина световода-модулятора. В случае выполнения неравенства ( L) 2 ( L) 1 имеем com 1/(L)p(L). Пиковая мощность сжатого им p пульса симиляритонного типа после прохождения компрессора в соответ ствии с соотношениями (10) и (16) составит:

L Pm = P0 0 0 exp 2 ( ( z ) + 0 D( z ) ) dz (36) 0 Для однородного световода, способного обеспечить симиляритонный ре жим распространения импульса, пиковая мощность составит Pmax = P0 0 0 exp [8 0 D0 L ] = P0 0 0 exp [8 (0) L / 3].

2 (37) Из полученных соотношений следует, что чем больше мы «растянем» во времени импульс с постоянной и отличной от нуля скоростью ЧМ, тем более короткий импульс может быть получен после его прохождения через компрессор. Предлагаемая схема усиления и последующей компрессии импульсов активно используется в настоящее время в твердотельных ла зерных системах для получения импульсов высокой мощности [23-25,27].

Подобная схема с симиляритонным режимом усиления и решеточным компрессором может позволить получать импульсы длительностью до фс с энергией порядка 10 мкДж и, как следствие, с огромной (для полно стью волоконных лазерных систем) мощностью порядка 1 ГВт. Так, в стандартных активных световодах с дисперсией D=10-26 c2/м симиляри тонный режим распространения с усилением импульсов от энергий 10 нДж до энергий свыше 1 мкДж на длине 10 м возможен при инкременте усиле ния порядка 0,5 м-1 и скорости частотной модуляции 0 1,7 1025 с-2. На длине усиливающего световода в 100 м при 0 1,7 1024 с-2 инкремент уси ления может быть всего 0,05 м-1. При столь малой величине инкремента усиления можно использовать импульсы с относительно небольшой на чальной скоростью частотной модуляции, что позволяет уменьшить влия ние шумов и снизить вероятность развития неустойчивостей различного типа. Последнее обстоятельство может оказаться особенно ценным для создания высокоэффективных полностью волоконных генераторов супер континуума устойчивого к шумам накачки шириной до октавы и более.

Отметим, что создание световода длиной 100 м, легированного ионами эр бия Er3+ с концентрацией, обеспечивающей необходимый уровень усиле ния, не представляется в настоящее время технически сложной задачей.

Таким образом, в работе рассмотрены условия образования самопо добных частотно-модулированных импульсов различной формы в усили вающих средах. Получены условия возникновения устойчивых импульсов параболической формы в средах с нормальной дисперсией. Показано, что использование частотно-модулированных импульсов симиляритонного типа (не подверженных влиянию волновой неустойчивости) позволяет соз дать полностью волоконные лазерные системы с большими пиковыми мощностями P 1 МВт. Отметим, что в рассматриваемом процессе сильного сжатия и сильной частотной модуляции не учитывались многие эффекты, имеющие место в световодах при высоких мощностях распро страняющегося излучения (дисперсионные и нелинейные эффекты высших порядков, ВКР и др.). Изучение влияния указанных эффектов на особенно сти формирования самоподобных импульсов, несомненно, представляет практический интерес, особенно в ситуации, когда спектральная ширина волнового пакета становится равной его несущей частоте.

ЛИТЕРАТУРА 1. Fermann M.E., Kruglov V.I., Thomsen B.C. et.al., Phys. Rev. Lett. Vol.84, 6010-6015 (2000).

2. Tamura K., Kubota H., Nakazawa M. IEEE. J. Quantum Electron. Vol.36., 773-781 (2000).

3. Kruglov V.I., Peacock A.C., Dudley J.M., Harvey J.D. Opt. Lett. 25, 1753 1755 (2001).

4. Limpert J., Schreiber T., Clausnitzer T. et al., Opt. Express Vol.10. 628-637(2002).

5. Hirooka T., Nakazava M. Optics Letters. Vol.29. №5. 498-500 (2004).

6. Christophe Finot, Guy Millot, John M. Dudley. Opt. Lett, 29, 2533- (2004);

7. Parmigiani F. IEEE Phot.Techn.Lett. V.18. 7-12 (2006).

8. Dudly J.M., Finot C., Richardson D.J., Millot G. Nature. Vol.3. 597- (2007).

9. Ilday F., Wise F., Kartner F. Opt. Express Vol.12. 2731-2737 (2004).

10.Parmigiani F. IEEE Phot.Techn.Lett. V.18. 7-12 (2006).

11.А.Ю. Плоцкий, А.А. Сысолятин, А.И. Латкин, В.Ф. Хопин, П. Харпер, Дж. Харрисон, С.К. Турицын. Письма в ЖЭТФ, 85, 7, 397-401 (2007).

12.Latkin, S.K. Turitsyn and A. Sysoliatin. Optics Letters, 32, 331-333 (2007).

13.A.A. Sysoliatin, E.M. Dianov, A.I. Kouyukhov, L.A. Melnikov and V.A.

Stasyuk. Laser Physics, 17, 11, 1-5 (2007).

14.A.A. Sysolyatin, D.A. Nolan. J. of Nonlinear Optical Physics & Materials, 16, 2, 171-184 (2007).

15.S.A. Ponomarenko and G.P. Agrawal, Opt. Lett, 32, 1659-1661 (2007).

16.Kruglov, D. Mechin, and J.D. Harvey, J.Opt.Soc.Amer. B24, 833- (2007).

17.Ch. Finot, F..Parmigiani, P. Petropoulos, D. Richardson. Optics Express, 14, 3161-3170 (2006).

18.Ю.С. Кившарь, Г.П.Агравал Оптические солитоны. От волоконных све товодов к фотонным кристалам. М.Физматлит. 2005. С.647.

19.Н.Н.Ахмедиев, А.Анкевич. Солитоны. Нелинейные импульсы и пучки.

М.Физматлит. 2003. С.304.

20.Serkin V.N., Hasegava A. Phys.Rev.Lett., 85, 4502-4510 (2000).

21.Серкин В.Н., Хасэгава А. Письма в ЖЭТФ, 72, 89 (2000).

22.Золотовский И.О., Семенцов Д.И. Квантовая Электроника, 2004, Том 34, № 9, с. 852-856.

23.Золотовский И.О., Семенцов Д.И. Квантовая электроника. 2003, Том № 33, №3, 268-270 (2003).

24.Ораевский А.Н. //УФН. 1998. Т.168. N12. С.1311-1321.

25. Андреев А.Ю., Киржниц Д.А. //УФН. 1996. Т.166. N10. С.1135- 26. Розанов Н.Н. //УФН. 2005. Т.175.№2. С.181-185.

27.И. В. Блонский, В. Н. Кадан, О. И. Шпотюк, И. Н. Дмитрук, И. А. Пав лов // Письма в ЖЭТФ. 2009.Т.89, №11. С.636-640.

28.Mourou G., Tajima T., Bulanov S.V. Review of Modern Physics. 2006.

V.78. P.309-371.

29.В.В. Ложкарев, С.Г. Гаранин, С.Г. Герке, В.Н. Гинзбург, и др. Письма в ЖЭТФ. Том 82, вып.4, С.196-199. (2005).

30. Хазанов Е.А., Сергеев А.М. УФН, т. 178, № 9, с. 1006 –1011 (2008).

31.Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных ла зерных импульсов. – М.Наука.1988. 312 С.

ДИНАМИКА ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СВЕТОВОДАХ С РЕАЛИЗУЕМОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕЖМОДОВОЙ СВЯЗЬЮ Е.И. Барыкина, И.О. Золотовский, Д.И. Семенцов Ульяновский государственный университет Исследуется возможность создания волноведущей среды с межволновой связью, зависящей от интенсивности вводимого в световод излучения.

Показано, что в подобного рода структурах возможно возникновение со литоноподобных импульсов и нелинейных режимов самокомпрессии в ви димой и УФ области спектра соответствующего нормальной дисперсии групповых скоростей.

ВВЕДЕНИЕ Внимание исследователей к системам, в которых распространяющие ся излучение может быть представлено в виде двух взаимодействующих между собой волн (мод), обусловлено широкими возможностями их прак тического использования. Наиболее эффективно связь между однонаправ ленными волнами реализуется в туннельно-связанных световодах или в длиннопериодических волноведущих структурах [1-3]. В работах [4,5] было показано, что в приближении сильной межмодовой связи уравнения, описывающие динамику связанных волн, можно свести к системе нели нейных уравнений Шредингера с эффективными дисперсионными и нели нейными параметрами, которые для подобного рода систем являются функциями параметра межволновой связи и зависят от условий ввода из лучения в световод [6]. При этом сам параметр межмодовой связи всегда полагается линейной величиной, не зависящей от мощности вводимого в световедущую среду излучения.

В настоящей работе рассматривается динамика волнового пакета, формируемого двумя связанными волнами (j = 1,2) в среде, в которой бла годаря нелинейности межмодовой связи реализуется эффективная отрица тельная кубическая нелинейность. Подобная среда может быть создана на основе фотонно–кристаллического световода, представляющего из себя чередование участков длиной L1 и L2 с модовыми показателями прелом ления (ПП) n j1, n j 2 и, дисперсиями групповых скоростей (ДГС) d j1, d j 2.

При этом предполагается, что чередующиеся участки обладают сущест венно разными значениями кубической нелинейностями керровского типа.

Показано, что в условиях фазового синхронизма в подобных структурах возможно образование высокочастотных солитоноподобных импульсов и реализация режима эффективной самокомпрессии в видимом диапазоне при нормальной дисперсии групповых скоростей (ДГС).

ДИНАМИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ПАРАМЕТРЫ СВЕТОВОДА Распространение двухволнового оптического импульса с учетом ДГС, кубической (керровской) нелинейности и нелинейности межмодовой связи описывается следующей системой уравнений [6]:

) ( Aj (1) j Aj d j 2 Aj 2 + i lj Aj + kj A3 j Aj = i j A3 j. j = 1,2 (1) + i % v z Здесь введены следующие параметры: время в бегущей системе коорди нат = t z u, где u = 2u1u2 (u1 + u2 ), u j = ( j ) – групповая скорость j -ой моды, 0 – несущая частота волнового пакета;

d j = ( 2 2 ) – ДГС мод световода;

v = (u1 u2 ) 2u – расстройка групповых скоростей мод;

lj и kj – параметры нелинейности, определяющие фазовую самомо дуляцию и кроссмодуляцию взаимодействующих волн в световоде, j – % параметр межмодовой связи.

ПП рассматриваемого нелинейного световода в целом является пе риодической функцией координаты z и для каждой из собственных мод световода может определяется двумя слагаемыми:

n j (r, z ) = n + n j (r, z ) Aj ( z ). (2) j Здесь линейный и нелинейный вклады в модовые ПП световода, в свою очередь, могут быть представлены следующим образом:

n, (r, z ) = n 0 + n, (r, z ),, (3) j j где постоянные составляющие определяются выражением L1n1j, + L2 n2,j n j0 =,. (4) L1 + L При этом константы распространения взаимодействующих мод j ( ) = k0 n j 0 ( ). Для периодических возмущений соответствующих вкла дов в ПП справедливо следующее разложение:

n, (r, z ) = n, (r )exp(i lz ), (5) j jl 2l где l = ±1, ±2..., а коэффициенты разложения в рассматриваемом случае оп ределяются выражением:

lL n, (r ) = n 1, (r ) n 2 (r ) sin,. (6) j l jl j Будем считать, что для распространяющихся в световоде взаимодейст вующих волн выполняется условие фазового синхронизма 2 2 = k0 (n20 n10 ) = 2 l, (7) где = L1 + L2 – период структуры, а l – номер соответствующей гармо ники разложения ПП, через которую осуществляется взаимодействие меж ду указанными волнами.

С учетом приведенных соотношений запишем выражения, опреде ляющие параметры межволновой связи. Наличие у световода значительной нелинейности и периодичности позволяет с учетом (3) представить ди электрическую проницаемость в виде:

j = n 0 + n + (n j 0 + n j ) A j, (8) j j где нелинейное и периодическое возмущения диэлектрической проницае мости j = j 0 + j принимают вид j 2 n 0 n + n 0 (n j 0 + n j ) Aj + n j 0 n Aj.

2 (9) j j j j В соответствии с этим выражением оператор межмодовой связи определя ется слагаемыми, зависящими как от линейного, так и нелинейного перио дического возмущения диэлектрической проницаемости:

2 jl = jl + c Aj + k A3 j i j µ jl /, % jl jl где введены значения j = (-1), µ jl = ( jl / )0 + 2 jl / 0. Здесь параметр j межмодовой линейной связи определяется выражением k0 n jl = U jl = U (r )U jl (r )rdr, jl U jl (r )U 3 j,l (r )rdr, (11) jl 4 U jl 0 где U jl (r ) – l–ые гармоники разложения профильных модовых функций.

Параметры межмодовой связи, определяемые периодическим нелинейным возмущением ПП, задаются выражением:

k0 n j jl = n jl + n jl U jl (r ) U 3 j,l (r )rdr, c 4 U2 n j jl k0 n j jl = n jl + n jl U 3 j,l (r ) U jl (r )U 3 j,l (r )rdr.


k 2 U2 n j jl При этом параметры нелинейной фазовой самомодуляции и кроссмодуля ции определяются средним значением нелинейного вклада в ПП, а именно:

k0 n j 0 k0 n j 4 2 jl = U jl (r ) rdr jl = 2 U jl (r ) U 3 j,l (r ) rdr.

2 U c k (13) U jl jl Поскольку модовые константы распространения с большой степенью точности определяются невозмущенной линейной частью показателя пре ломления (j= k0nлj0), то модовые параметры, определяемые частотной за висимостью j (), должны записываться с учетом (4). Так, параметры ДГС для рассматриваемого периодического световода определяются следую щим образом L d + L2 d j 2 ( 0 j0 ) dj = k n = 1 j1. (14) L1 + L В уравнении (1) индекс l, определяющий номер гармоники, на которой реализуется фазовый синхронизм взаимодействующих мод, опущен. Далее этот индекс также будем опускать.

ПАРЦИАЛЬНЫЕ ИМПУЛЬСЫ Решение уравнений (1) может быть получено в приближении сильной линейной связи, когда временная огибающая соответствующей моды мо жет быть представлена в виде суммы двух парциальных импульсов (ПИ):

Aj = (1) j +1 a1 (, z )exp(i z ) + a2 exp(i z ), (15) где a f – медленно меняющаяся с координатой z амплитуда ПИ, а f = 1,2.

Для указанных амплитуд справедливы следующие динамические уравне ния ) ( a f iD f 2 a f 2 + i G0 f a f + Gkf a3 f a f = 0, (16) 2 z где введены параметры эффективной дисперсии D f = (d1 + d 2 ) 2 + (1) f ( µ 2 + 2 ) /, (17) и эффективной само- и кроссмодуляции c + 2 + 1k + 2 sign( ) c ( 1 + 2c + 1k + 2k ), (18.1) c k % Gcf = 1 + (1) f 2 Gkf = 1 + 2 + (1) sign( ) ( 1c + 2 ).

c c f c % (18.2) Для длиннопериодических ( 2 l 0 ) структур, реализующих связь однонаправленных мод, с большой степенью точности для модовых нели нейных параметров можно считать, что 1c = 2 = c 0, 1k = 2 = k 0, 1c 2 = c, 1k 2 = k.

c k c k Важным представляется тот факт, что эффективный параметр кросс модуляции Gkf для ПИ в рассматриваемом случае зависит от параметров самомодуляции каждой из взаимодействующих мод и не зависит от пара метров кроссмодуляции этих мод.

Уравнения (1) должны решаться совместно, с начальными условиями для временных огибающих мод Aj, определяемыми условиями возбужде ния световода. Общий вид начальных условий может быть задан соотно шением A2 (,0) = A1 (,0), где параметр определяет тип возбуждения световода. Для амплитуд соответствующих ПИ с учетом (15) получаем следующие начальные условия для ПИ:

1 ~ a f ( ;

0) = 1 + (1) sign( ) A1 ( ;

0), f (19) 2 которые необходимо учитывать при решении (16). Из (19) следует В случае произвольного начального возбуждения рассматриваемой 3.

системы выражение для длительности импульса может быть получено с помощью хорошо известного вариационного метода, успешно применяв шегося для анализа систем уравнений, идентичных по виду уравнениям (16). При этом режим нелинейной самокомпрессии, имеет место при вы полнении условия DefGef 0. Не вдаваясь в детали вариационной методики [7,8], приведем выражение для минимальной длительности вводимого в световод импульса секанс-гиперболической формы начальные условия, для которых, записываются в виде a f (, z ) = a f 0sech( / f )exp(iz ), (20) при этом минимальная длительность импульса достигается на длине zk 0 2 Def Gef I 0.

и составляет при этом порядка min Def / Gef I 0 /4.

d1 + d Def = +, (1 + 2 )v Gc1W12 + Gc 2W22 + (Gk1 + Gk 2 )WW2 Gc1 + Gc 2 4 + (Gk 1 + Gk 2 ) Gef = =, (21) (1 + 2 ) (W1 + W2 ) где = (1 + ) (1 ), I 0 = a10 + a20, W f = a f 0 0.

2 Из (19) следует, что при симметричном или антисимметричном двухмодо вом возбуждении световода ( = ±1 ) амплитуда одного из ПИ равна нулю.

При этом уравнения (16) вырождаются в одно нелинейное уравнение Шре дингера a f iD f 2 a f + iGcf a f a f = 0 (22) 2 z В данном случае f = 1 для антисимметричного и f = 2 для симметрич ного возбуждения световода. Различные решения уравнения (22), описы вающие динамику импульса в кубически нелинейной среде с эффективной дисперсией Df, детально исследованы и широко представлены в литера туре [9-11]. Так режим нелинейного сжатия реализуется в случае когда вы полняется неравенство DfGсf 0. Для однородных по длине световодов ку бическая нелинейность практически всегда полагается больше нуля. В рас сматриваемом случае, как следует из соотношения (20), эффективная не линейность соответствующая эффективная нелинейность соответствующе го ПИ - Gсf может принимать наряду с положительными, и отрицательные значения. А это означает, что при Gcf 0 режим нелинейного самосжатия может быть реализован даже при Df 0, а следовательно для волновых па кетов с несущей частотой “расположенной” в видимом и даже УФ диапа зоне.

Покажем на примере конкретной структуры возможность реализации ситуации при которой для эффективной нелинейности выполняется усло вие Gef 0. Пусть импульс с несущей частотой 0 1016 1 вводится в пе риодический световод, у которого толщина слоев с малой нелинейностью L2 104, а нелинейные параметры этих слоев составляет n2 3,3 1016 2 / – стандартными для типовых ВС. С другой стороны, толщина слоев с большой нелинейностью L1 = 105, при значении пара метра кубической (керровской) нелинейности n1 1013 2 /. В этом случае согласно соотношениям и имеем (12) (13) c k 2 1,5 10 /, а соответствующие значения нелинейных пара метров связи можно оценить как c k 2 2 1011 /.

Таким образом, в случае симметричного или антисимметричного воз буждения световода (когда весь волновой пакет может быть представлен только одним ПИ) оценка эффективного параметра кубической нелиней ности составляет Gef 2,25 1011 / + (1) f sign( )3 1011 /. Следо вательно в случае 0 при = 1 (или в случае 0, но при = 1 ) зна чение параметра эффективной кубической нелинейности становится отри цательным и равным (при приведенных выше значениях соответствующих параметров световода) Gef 0,75 1011 /, что является достаточно большой, а самое главное – отрицательной величиной.

Значение линейного коэффициента межмодовой связи выбираем рав ным 104 1. При этом значение эффективной дисперсии в исследуе мом частотном диапазоне составляет D f d1 d 2 1026 c 2 / (в условиях сильной связи при 100 1 влиянием межмодовой дисперсии можно пренебречь).

В результате импульс, для которого реализована “вырожденная” си туация (т.е. = ±1 ) и несущая частота которого располагается в видимой части спектра ( 0 1016 с-1) и значение параметра Cef I 0 3 1, с началь ной длительностью 0 1012 c может быть сжат до длительностей min 1,5 1014 c всего лишь на длине порядка zmin 10.

В представленных ранее работах [7,8] говорилось о возможности не линейного сжатия в световодах с положительной материальной дисперси ей, но отрицательной эфективной дисперсией т.е. Def 0. Было показано, что за счет влияния межмодовой дисперсии нелинейное самосжатие может быть получено в световодах с положительной материальной дисперсией в том случае, если в среде с сильной неоднородностью нелинейности осуще ствлена сильная межволновая связь для двух однонаправленных мод.

Также можно получить аномальную ДГС в видимой части спектра в ныне уже создаваемых ФК световодах [12,13]. Однако, оба этих подхода по видимому не дают возможности получить аномальную ДГС в спек тральном диапазоне с 0 = 1016 с-1. Межмодовая дисперсия, по видемому, не может (в условиях реализуемого сильного межмодового взаимодейст вия) буть существенно больше значений ±10-27с2/м. Т.о. можно говорить о том, что для высоких частот проблематично реализовать режим нелиней ной компрессии (за счет аномальности ДГС) как при использовании со временных ФК структур, так и для волноведущих структур реализующих сильную межмодовую связь. Как правило «автоматически» полагают вер ным, что для любых сред коэффициент кубической (керровской) нелиней ности и, следовательно, нелинейное самосжатие возможно только в спек тральных облостях с аномальной ДГС. Данное положение принимается как неприложная истина (исключением представляется работа [14]). Однако, в представленной работе показано, что нелинейное самосжатие возможно и в высокочастотной области (в области нормальных значений ДГС) для од номерных ФК структур с большими значениями глубины модуляции пока зателя преломления.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Возможность реализовать нелинейное самосжатие оптического им пульса распространяющегося в УФ области представляется исключительно интересной. Во первых, это интересно с точки зрения возможности нели нейного сжатия коротковолнового УФ излучения (вплоть до мягкого рент гена), а во вторых это интересно потому, что коэффициент керровской не линейности существенно увеличивается при переходе при переходе в оп тический или тем более УФ диапазоне. С другой стороны, во всех предше ствующих работах как правило полагалось, что всегда верны неравенства с, k 0, и кроме того, для УФ диапазона dj 0. Данное обстоятельство де лает невозможным (для «обычных» световодов) реализацию режима нели нейной компрессии излучения в оптическом и УФ диапазоне, поскольку нелинейное сжатие (для одномодового световода) возможно только при условии сd 0.

В нашем случае, использование систем связанных волн в световодах с неоднородной нелинейностью позволяет управлять величиной и знаком параметров D ef и Сef, и как следствие позволяет реализовать нелинейную самокомпрессию излучения в видимом и даже УФ диапазоне. В некото ром смысле рассматриваемый световод с периодической нелинейностью можно сравнить с левыми средами. Чисто гипотетически эффективное значение показателя преломления nef = nef ) + nef ) I (при достаточно боль ( ( ших значениях интенсивности вводимого в световод излучения) при отри цательном значении эффективной нелинейности сам эффективный показа тель преломления может стать отрицательным. Трудно сказать насколько подобного рода ситуация реализуема на практике. Однако сама принципи альная возможность «превращения» периодической структуры в т.н. «ле вую» [15-18] среду представляется весьма интересной.


ЛИТЕРАТУРА 1. Майер А.А.//УФН. 1995. Т.165., №9. С.1037-1075.

2. Chen Y.J., Carter G.M. //Appl.Phys. Lett. 1982.Vol.43. P.141-145.

3. Майер А.А.//Квантовая Электроника. 1984. Т.11., №2. С.157-161.

4. Золотовский И.О., Семенцов Д.И.// Оптика и спектроскопия. 1999.

Т.86.,№5. С.737-739.

5. Золотовский И.О., Семенцов Д.И.// Квантовая Электроника. 1999.

Т.27.,№3. С.273-277.

6. Золотовский И.О., Семенцов Д.И. // ТМФ. 2003. Т.135. №1. С.107-116.

7. Anderson D.// Phys.Rev.A. 1983. V.27., P.3135-3141.

8. Маймистов А.И.// Квантовая электроника. 1991. Т.18., №6. С.758-761, 1994. Т.21, №4. С.358-364.

9. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика: Пер. с английского - М.:

Мир. 1996. С.323.

10.Кившарь Ю.С., Агравал Г.П. Оптические солитоны. - М.: Физматлит.

2005. С.647.

11.Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных ла зерных импульсов. - М.: Наука. 1988. С.310.

12.Желтиков А.М. Оптика микроструктурированных волокон (Москва, Наука, 2004, С.240) 13.Желтиков А.М. //УФН. 2000. Т.170., №11 С. 1203-1215.

14.Прохоров А.В., Королькова Н.В., Аракелян С.М. //Оптика и спектро скопия. 2005. Т.99., №4, С.627-634.

15. Веселаго В.Г.//УФН. 1967. Т.92, №3. С.517-526.

16.Pendry J.B. //Phys.Rev.Lett. 2000. V.85. P.3966-3978.

17.Shelby R.A., Smith D.R., Schultz S. //Science, 2001, V.292. P.77-79.

18.Агранович В.М., Гартштейн // УФН. 2006. Т.176, №10. С.1051-1068.

ЗОННАЯ СТРУКТУРА И ОПТИЧЕСКИЕ СПЕКТРЫ СВЕРХРЕШЕТОК С ДЕФЕКТОМ ИНВЕРСИИ Д.И Семенцов, С.В. Елисеева, В.А Остаточников.

Ульяновский государственный университет ВВЕДЕНИЕ Одномерные слоисто-периодические структуры (СПС), созданные на основе различных материалов, на протяжении многих лет привлекают при стальное внимание исследователей [1-3], что связано с широкими возмож ностями их практического использования при создании многочисленных устройств управления электромагнитным излучением различных диапазо нов. В последние годы особый интерес вызывают фотоннокристалличе ские (ФК) структуры различной размерности, у которых период простран ственной модуляции материальных параметров соизмерим с длиной волны распространяющегося в них излучения. В ФК структурах проявляются эффекты, связанные с зонной структурой частотного спектра и с наличием в нем запрещенных зон [4-8]. СПС можно рассматривать как одномерную ФК структуру со ступенчатым распределением оптической неоднородно сти. При введении одного или нескольких дефектов в СПС возможна лока лизация распространяющегося излучения в так называемых дефектных модах [8-11] с частотами, лежащими в запрещенных зонах бездефектной структуры.

Для многих практических применений важной задачей является про гнозируемая перестройка фотонного спектра, которая, в первую очередь, должна обеспечиваться правильным выбором создаваемого в структуре дефекта. С помощью сочетания различных типов дефектов и их располо жения в структуре мы имеем возможность эффективного управления оп тическими свойствами СПС. В связи с этим важную роль приобретает классификация существующих видов дефектов в периодических структу рах. В настоящей работе, наряду с классификацией одиночных дефектов в диэлектрической СПС, исследуются особенности, которые проявляются при взаимодействии электромагнитных волн с имеющей дефекты перио дической структурой. Показано влияние типа дефекта и его положения в СПС на положение дефектных мод в первой зоне непропускания в спектре коэффициента прохождения.

МАТРИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ Рассмотрим распространение электромагнитной волны в СПС, в пе риоде которой содержится два слоя различного диэлектрика, т.е.

L = L1 + L2. Для простоты будем считать оба диэлектрика оптически изо тропными, вследствие чего их тензоры диэлектрической проницаемости 1 и 2 являются диагональными и имеют одинаковые компоненты 1 и соответственно. Магнитные проницаемости µ1 и µ2 каждого из слоев в оптическом диапазоне будем считать скалярными величинами и равными единице. Среда в которую помещена слоистая структура, является вакуу мом.

Считаем, что волна распространяется перпендикулярно границам раз дела слоев, т.е. вдоль оси периодичности структуры (ось OZ ). Решение уравнений Максвелла приводит к двум ортогонально поляризованным собственным волнам ТЕМ типа с компонентами поля ( H x, E y,0) и ( Ex, H y,0) соответственно. Зависимость от времени компонент волнового поля выберем пропорциональной множителю exp(i t ). Опуская эти мно жители, запишем выражения для ненулевых компонент волнового поля в каждом слое для собственной волны первого типа:

H jx = Aj exp(i j z ) + B j exp(i j z ), i dH jx j (1) Aj exp(i j z ) B j exp(i j z ), E jy = = k0 j k0 j dz где j = 1, 2 и введены волновые числа j = k0 j собственной волны в каж дом из слоев.

Далее для краткости записи введем двухкомпонентный вектор F j ( H jx, E jy ), компонентами которого являются тангенциальные (по отно шению к границам раздела слоев) компоненты волнового поля H jx ( z ) и E jy ( z ), и будем пользоваться матричной записью уравнений, связывающих поля на различных границах слоев СПС. Так, связь амплитуд полей на обеих границах первого слоя n -го периода с координатами zn и zn + L1 за дается передаточной матрицей слоя m1 следующим образом :

F1 ( zn + L1 ) = m1 F1 ( zn ) (2) Связь амплитуд полей на обеих границах второго слоя n -го периода с ко ординатами zn + L1 и zn + L задается передаточной матрицей m2 : F2 ( zn + L) = F2 ( zn + L1 + L2 ) = m2 F2 ( zn + L1 ) (3) Передаточные матрицы каждого из слоев с учетом приведенных соотно шений имеют следующий вид:

k cos( j L j ) 0 j sin( j L j ) i j mj =, j = 1, (4) i j sin( j L j ) cos( j L j ) k 0j Далее необходимо учесть условие непрерывности тангенциальных состав ляющих волнового поля на границе раздела двух слоев, составляющих пе риод:

F1 ( zn + L1 ) = F2 ( zn + L1 ) (5) Введем теперь передаточную матрицу одного периода, т.е. двух соседних слоев. Указанная матрица связывает амплитуды волнового поля в начале и конце периода. С учетом (5) можно записать:

F2 ( zn + L) = m2 F2 ( zn + L1 ) = m2 F1 ( zn + L1 ) = (m2 m1 ) F1 ( zn ) (6) Удобнее, однако, связывать компоненты волнового поля в обратном по рядке, т.е.:

F1 ( zn ) = (m11 m2 1 ) F2 ( zn + L) = M F2 ( zn + L) (7) где передаточная матрица одного периода M = N N и введено обозначе 1 ние m = N j.

j Проводя перемножение обратных передаточных матриц двух слоев, полу чаем компоненты передаточной матрицы одного периода:

k k M 11 = C1C2 1 2 S1S 2 M 12 = 0 2 C1S 2 + 0 1 C2 S 2 1 i2 i (8), i1 i2 M 21 = C2 S1 M 22 = C1C C1S 2 SS k01 k0 2 1 2 1 где введены обозначения C j = cos( j L j ), S j = sin( j L j ). Если слои непо глощающие, т.е. диэлектрические проницаемости слоев j являются веще ственными величинами, то матрица m является унимодулярной и ее опре делитель равен единице. Если же слои обладают поглощением, то пара метры j = j + i являются комплексными величинами, при этом мат j рица m становится уже неунимодулярной и ее определитель = det M 1.

С учетом периодичности тангенциальные компоненты волнового по ля должны удовлетворять условию теоремы Флоке-Блоха:

F j ( z ) = F j ( z + L)exp(i ef L), (9) где ef - эффективное (блоховское) волновое число. Используя условия не прерывности (5) и условия периодичности (9), а также приведенные выше выражения для компонент волнового поля, приходим к дисперсионному соотношению, которое является характерным для структур с периодиче ским распределением материальных параметров вдоль оси периодичности:

1 cos( ef L) = cos( 1L1 )cos( 2 L2 ) 1 2 + 2 1 sin( 1L1 )sin( 2 L2 ) (10) 2 2 1 1 Наиболее простой вид дисперсионное соотношение (10) принимает в приближении «мелкослоистой» среды, когда выполняются условия j L j 1.

При этом эффективное волновое число собственной волны дается выраже нием:

1/ 1 2 2 2 2 ef = 1 1 + + 2 1 + = k0 ef, (11) 1+ 1 где параметр = L1 / L2 определяет соотношение толщин слоев, состав ляющих период структуры. Эффективная диэлектрическая проницаемость среды в указанном приближении равна усредненному ее значению по пе риоду структуры:

+ ef = = 1 2. (12) 1+ При L1 = 0 и = 0 периодическая структура модифицируется в однород ную диэлектрическую среду с ef = 2 и ef = 2, а при L2 = 0 и структура модифицируется в однородную среду с ef = 1 и ef = 1.

Для брэгговской структуры, у которой период соизмерим с длиной волны распространяющегося излучения в структуре, т.е.

L 0 = 2 c / 0, дисперсионная зависимость ( ef ) в схеме приведен ных зон представляет собой чередующиеся полосы разрешенных и запре щенных частот. Здесь введены центральная частота первой запрещенной зоны:

+ + c 1 0 = = + (13) 2 L b0 b1 b0 + b 2 и отвечающая ей длина волны 0, параметры b0 = и b1 – нулевой и пер вый коэффициенты разложения в ряд Фурье периодической функции – эффективной диэлектрической проницаемости.

Ширина первой запрещенной зоны:

c 1 = + =, (14) L b0 b1 b0 + b где ± - частоты верхнего и нижнего краев первой запрещенной зоны на границе первой зоны Бриллюэна ef = / L.

Для структуры с близкими значениями диэлектрической проницаемости слоев, т.е. при 1 2 1,2 выражения для центральной частоты и шири ны первой запрещенной зоны принимают вид:

c c cb b 0 = ef =, = ef 1 = 0 1 (15) L КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРОХОЖДЕНИЯ Связь между волновыми полями в плоскостях z = 0 и z = nL, отстоя щих друг от друга на целое число периодов n, определяется матрицей преобразования Mn:

H x (nL) = ( M n )11 H x (0) + ( M n )12 E y (0), (16) E y (nL) = ( M n ) 21 H x (0) + ( M n ) 22 E y (0).

Для ее определения воспользуемся формулой Абелеса [5,13], которая оп ределяет целую степень матрицы преобразования M одного периода, и за пишем компоненты матрицы Mn=(M)n ( n 1) / 2 M 11U n 1 ( x ) U n 2 ( x ) 1/ M 12U n1 ( x) Mn = M 22U ( x) U n2 ( x) 1/ M 21U n1 ( x) (17) Здесь введена зависящая от числа периодов n в структуре функция:

sin[(n + 1)arccos x] U n ( x) = (18) 1 x Переменная x, связанная с элементами матрицы M соотношением x = ( M 11 + M 22 ) / 2. Если структура непоглощающая, то = 1 и матрица Mn становится унимодулярной.

Комплексные амплитудные коэффициенты отражения и прохождения могут быть выражены через элементы матрицы Mn и имеют следующий вид [13]:

( M n )11 + ( M n )12 ( M n ) 21 ( M n ) rn =, ( M n )11 + ( M n )12 + ( M n ) 21 + ( M n ) (19) tn =.

( M n )11 + ( M n )12 + ( M n ) 21 + ( M n ) Rn = rn, Энергетические коэффициенты отражения и прохождения Tn = tn удовлетворяют закону сохранения энергии Rn + Tn + An = 1, где ко эффициент поглощения An определяет долю энергии, перешедшей в тепло.

При построении зависимостей использовались следующие параметры структуры: 1 = 11,9 и 2 = 5.6, которые соответствуют материалам GaAs и ZnS, имеющим один тип кубической симметрии 43m кристаллической решетки [12]. Частота 0 и ширина запрещенной зоны зависят от со отношения толщин слоев, составляющих период структуры. Для указан получаем = b0 = 8,75, b1 = 3,76, ных выше параметров структуры 0 1,375 1014 s 1 и 6.28 1013 s 1. На рис. 1 для СПС с указанными выше параметрами и = 1 представлена частотная зависимость коэффици ента прохождения излучения через структуру, состоящую из n=20 периода и не содержащую дефектов (кроме внешних границ).

T 1. 0. 0. 0. 0. wwo 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3. Рис.1 Частотная зависимость коэффициента прохождения излучения че рез структуру, не содержащую дефектов и состоящую из n=20 периодов.

На рисунке 1 видно, что представленный спектр Tn ( ) состоит из че редующихся областей пропускания и практически полного непропускания излучения. Узкие области непропускания лежат в интервалах, включаю щих частоты l = l0, l = 1, 2,...

T 1. 0. 0. 0. 0. wwo 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1. Рис. 2 Частотные зависимости коэффициента пропускания в окрестно сти первой зоны непропускания.

ТИПЫ ДЕФЕКТОВ СПС Дефектом рассматриваемой СПС будем считать один из слоев или их совокупность, занимающие «не свое» место в структуре и нарушающие ее периодичность. Так, передаточная матрица СПС, содержащей конечное число периодов и «дефектный» слой, располагаемый между a и b перио дами, получается последовательным перемножением трех матриц: переда точной матрицы a периодов Ma=(M)a, передаточной матрицы дефектного слоя Dj и передаточной матрицы b периодов Mb=(M)b. Дефектный слой может состоять из одного или нескольких слоев диэлектриков, составляю щих структуру, а может представлять слой материала, не входящего в структуру. Толщина дефектного слоя может совпадать с толщиной одного из слоев структуры, а может отличаться от нее. Вид передаточной матрицы дефекта Dj и всей СПС существенно зависит от типа дефекта. К дефектам периодической структуры необходимо также отнести инверсию, т.е. изме нение порядка следования слоев в одной из частей структуры. Рассмотрим подробнее основные типы дефектов СПС.

А. Дефекты замещения. При таком виде дефекта в одном из периодов структуры происходит замещение одного из слоев периода слоем другого материала этой же структуры. В результате замещения полное число слоев в СПС сохраняется, а участок структуры, включающий дефект, оказывает ся составленным из трех последовательных слоев одного и того же мате риала [14]. Возможно существование двух типов дефекта замещения: пер вый тип отвечает случаю замещения слоя с высоким показателем прелом ления на слой с низким значением, второй тип отвечает обратному заме щению. Структуры с такого вида дефектом определим следующими фор мулами:

( M ) a ( N1D1 )( M )b, ( M ) a ( D2 N 2 )( M )b, (20) где величина a + b задает полное число бездефектных периодов в структу ре, а передаточная матрица дефекта Dj=Nj Б. Дефект перестановки. Этот дефект СПС заключается в том, что в одном из периодов структуры происходит изменение порядка следования слоев. В результате такой перестановки полное число слоев в СПС сохра няется, а участок структуры, включающий дефект, оказывается состав ленным из двух двойных слоев разного типа. Для дефектов этого типа пе редаточная матрица D21=N2·N В. Дефекты внедрения. В этом случае в периодическую структуру помещается дополнительный слой материала, совпадающего или отлично го от материала слоев, составляющих период. Толщина такого дефектного слоя может совпадать с толщиной одного из слоев, но может и отличаться от них [15,16]. Для дефектов этого типа передаточная матрица Dj=Nj для порядка следования слоев в СПС можно записать следующую общую формулу: ( M )a D j ( M )b, где j = 1, 2,3. При j = 3 материал слоя внедрения не совпадает с материалами слоев СПС. Для такой структуры существен ным является выбор значения показателя преломления дефектного слоя.

Он может быть как больше, так и меньше показателей преломления от дельных слоев. К этому типу дефектов можно отнести не только одиноч ные слои, но также и комбинации нескольких слоев.

Г. Дефекты инверсии. Подобные дефекты СПС заключаются в изме нении порядка следования слоев в одной из двух частей структуры [6,7].

Этот тип дефектов определяется следующими двумя формулами:

( M ) a ( M )b, ( M ) a ( M )b, где инвертированному периоду M отвечает пере _ даточная матрица M = N 2 N1. Представляют также интерес структуры, в которых реализована комбинация двух типов дефектов, один из которых является инверсией. Пример такой структуры с дефектом D является структура ( M )a D ( M )b.

Д. Периодический дефект. К СПС с таким типом дефекта можно от нести периодически повторяющуюся b раз структуру, состоящую из a периодов и одного дефекта, например, [( M ) a D ]b. Наряду с периодически повторяющимся дефектом, интерес представляют дефекты, симметрично расположенные в структуре, например, ( M ) a D( M )b D ( M ) a.

ОПТИЧЕСКИЕ СПЕКТРЫ СПС С ДЕФЕКТОМ ИНВЕРСИИ Наличие дефектов периодической структуры приводит к появлению в запрещенной области спектра разрешенных минизон, отвечающих дефект ным модам структуры. Далее на представленных рисунках приведены час тотные спектры пропускания СПС, имеющих один или несколько видов нарушения периодичности. Указанные спектры для частотного интервала, включающего только первую зону непропускания, получены на основе со отношения:

T ( ) =, (20) S11 + S12 + S21 + S где S - элементы передаточной матрицы СПС с дефектом. Вычисления проводились для структур с = 1 без учета поглощения, поэтому переда точная матрица S дефектной СПС является унимодулярной.

Для ясности определим графически, что же мы подразумеваем под _ _ средами ( M )a ( M )b и ( M )a ( M )b а б _ a b Рис.1 Среды отвечающие матрице ( M ) ( M ) а) среда 12, б) при _ _ Очевидно, что спектры для сред ( M ) ( M ) и ( M )b ( M ) a, будут идентичны, a b _ так как мы будем считать, что в среде ( M ) ( M )b электромагнитная волна a _ распространяется слева, а в среде ( M )a ( M )b – справа.

T 0. 0.8 1 1.2 w/wo Рис. 2 спектры пропускания, отвечающие наполовину инвертированной _ 10 СПС ( M ) ( M ), сплошная линия отвечает структуре 12, пунктирная – структуре На рис. 2 представлены спектры пропускания, которые отвечают наполо _ вину инвертированной СПС ( M )10 ( M )10, сплошная линия отвечает струк туре 12, пунктирная – структуре 12. Видно, что положения дефектных мод в запрещенной зоне для этих структур различны. Более того, ширина спектральной линии дефектной моды для первой структуры существенно больше, чем для второй структуры.

T1 1) 0. 1. 0.8 T w/wo 2) 0. 0.8 1 1.2 w/wo Рис. 3 спектр пропускания первой запрещенной зоны СПС с инверсией для различного положения дефекта в структуре, сплошная линия отве чает структуре 12, пунктирная – структуре 12. а) а=9;

б) а= Из профилей спектральных линий, представленных на рис. 3 видно, что перемещение дефекта по структуре приводит к значительному изменению интенсивности дефектной моды. Максимальной интенсивности дефектная мода достигает в структуре с a = b = 10.

T T a= 1 1 a= 9 0.5 0. w/wo w/wo 0.8 1 1.2 0.8 1 1. T T 1 a= 1 a= 0. 0. w/wo w/wo 0.8 1 1.2 0.8 1 1. T T a= a= 7 0. 0. w/wo w/wo 0.8 1 1.2 0.8 1 1. Рис. 4 спектры пропускания первой запрещенной зоны СПС отвечающей матрице ( M ) a ( M )b ( M )b ( M ) a при Рис. 6 спектры пропускания первой запрещенной зоны СПС отвечающей матрице ( M ) a ( M )b ( M )b ( M ) a при 12.

На рис. 5 и 6 представлена структура ( M ) a ( M )b ( M )b ( M ) a, имеющая три последовательных дефекта типа инверсии при 12 и 12 соответственно.

Общее количество периодов в структуре сохраняется и равно 2(a + b) = 20.

Видно, что, когда все дефекты находятся в середине структуры и пред ставляют собой скорее два дефекта ( a = 9, b = 1 ) перестановки, в спектре пропускания появляется лишь один дефектный уровень. По мере удаления дефектов от центра ( a = 8, b = 2 ) в спектре возникает еще два дефектных уровня, «отцепляющихся» от краев запрещенной зоны, при этом имевший ся уровень не меняет своего положения. При дальнейшем удалении дефек тов происходит сближение двух уровней и образование одной минизоны со сложной спектральной линией, интенсивность которой падает.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.